Kuantum Fizigi-universite Notlari

8/3/2019 Kuantum Fizigi-universite Notlari

1/19

Amalar

Bu niteyi altktan sonra, ada fiziin temellerini oluturan;

Planck'n kuantum varsaymlarn,

Foton kavramn,

De Broglie varsaymn, Heisenberg belirsizlik ilkesini renecek,

Dalga paketleri,

Dalga fonksiyonu hakknda bilgi sahibi olacak,

Kuantum fizii ile ortaya kan birok yeni kavram ierisinden;

Olaslk younluu ve aks,

Beklenen deer,

lemci,

zdeer ve zfonksiyon, gibi kavramlar tanyacak, Schrdinger denklemi ve basit uygulamalar hakknda bilgile-

neceksiniz.

indekiler

Giri 41

NTE

3Kuantum Fizii

Yazarlar

Do. Dr. Mustafa ENYEL

Yrd. Do. Dr. A. enol AYBEK


2/19

A N A D O L U N V E R S T E S

Max Planck'n Kuantum Varsaymlar 41

Foton Kavram 42

De Broglie Varsaym 43

Dalga Paketleri ve Paracklar 44 Heisenberg Belirsizliklkesi 45

Dalga Fonksiyonu 47

Olaslk Younluu ve Aks 47

Kuantum Mekaniinin Postlalar 48

Schrdinger Dalga Denklemi 49

Schrdinger Denkleminin Uygulamalar 51

zet 54

Deerlendirme Sorular 55 Yararlanlan ve Bavurulabilecek Kaynaklar 57

alma nerileri

Bu niteyi almadan nce 2. niteyi bir kez daha gzden ge-iriniz.

nitede ok kstl olarak bahsedilen kavramlar daha iyi anla-yabilmek iin ek okuma kaynaklarndaki kitaplara bavurunuz.


3/19

A I K R E T M F A K L T E S

1. Giri

20. Yzyln balarndan itibaren fizik alannda byk gelimeler olmutur. 1900 y-lnda Max Planck'n ortaya att "kuantum varsaymlar"nn ardndan, yzyln ilkeyreinde kuantum fizii asndan nemli keifler yaplmtr.

Klasik mekaniin maddeyi makroskobik bir yaklamla incelemesine karn, kuan-tum mekanik kuram maddeyi mikroskobik bir yaklamla inceler. 20.Yzyln ba-ndan itibaren atomlarn i yaplar aratrlmaya balanm ve klasik kuramlarn

bu al malarda yetersiz kaldgrlmtr. 1924 de ortaya atlan de Broglie varsa-ym ve 1927'de ortaya atlan Heisenberg belirsizlik ilkesi bilim dnyasnda yeniufuklarn domasna sebep olmutur. Bu gelimeler Max Planck'n kuantum varsa-

y

mlar

ve Schrdinger'in dalga mekanii ile birletirilerek kuantum mekanik ku-ram ortaya kmtr. Bu kuram paracktan ziyade ona elik eden olaslk dalgas ileilgilenir. Kuantum mekanik kuram kk ktleli hareketli cisimlerin olaslk dalga-lar mekanii kavram anlamn tadndan, maddeyi mikroskobik bir yaklamlaele alr. Bu kuram ile birlikte gzlenebilirlik, ilemci, zdeer, beklenen deer, dalgafonksiyonu gibi yeni kavramlar da ortaya kmtr.

Bu nitede kuantum mekanik kurama bir genel giri yapldktan sonra, bunun te-mel postlalarve ortaya koyduu yeni kavramlar nda basit uygulamalarndan

bahsedilecektir.

2. Max Planck'n Kuantum Varsaymlar

Max Planck 1900 ylnda siyah cisim masn aratrrken deneyle tam bir uyumiinde olan bir forml buldu. Bu deneysel forml nerirken de iki arpc tartmalvarsaym ortaya att. Bylece kuantum kavramndan literatrde ilk kez szedilmioldu. Planck'n kuantum varsaymlarunlardr:

Inm yayan, titreen bir sistemin enerjisi;

E = nh (n=1,2,3,...) 3.1

ile verilen kesikli enerji deerlerine sahiptir. Atomlar, kuanta (bugn sylendii haliyle foton) denilen k enerjisinin ke-

sikli birimleri cinsinden enerji yaynlar veya soururlar atomlar bunu bir enerjidzeyinden dierine srayarak yaparlar. Bu durumda gei enerjisine karlkgelen fotonun enerjisi;

E = h 3.2

ile verilir.

K U A N T U M F Z 41

Max Planck: Alman teorikfizikisi. Enerjinin srekliolmayp, temel bir byk-ln katlar biimindekesikli olduunu ne s-ren "kuantum teorisi" ile fi-zikte devrim yaratmtr.


4/19


Bu ifadelerdeki "h" Planck sabiti olarak adlandrlr ve h=6,625.10-34 J.s deerinesahiptir. ise molekllerin titreim frekans veya fotonun frekansdr. ekil 3.1'dePlanck tarafndan nerilen kesikli enerji dzeyleri ve bunlarn arasndaki izinli ge-

iler grlmektedir.

Planck'n kuantum varsaymlarndaki temel unsur, kesikli enerji dzeyleri gibikkl bir varsaymdr. Bu varsaym kuantum kuramnn douunu belirginletir-mitir.

3. Foton Kavram

In tanecikli modelinin baars foton kavramndestekleyen bir olgudur. Bu kav-

ram ilk kez 1904 ylnda A. Einstein tarafndan kullanlmtr. Foton k enerjisi pa-keti veya yuma demektir. En genel anlamda foton, elektromagnetik dalga paketidemektir. Bir fotonun enerjisi, frekans cinsinden;

E = h

ve dalgaboyu cinsinden de;

3.3

ile ifade edilir.

Foton kavramn destekleyen n tanecik modeliyle aklanabilen olaylar ne-

lerdir?

RNEK 3.1: Sodyumun sar nn dalgaboyu = 589nm dir. Sar k

fotonunun enerjisini hesaplaynz.

ZM: eitliinden h = 6,63.10-34J.s , c= 3.108ms-1 ve

= 589nm = 589.10-9m deerleri yerine konulursa;


?

0

h

2h

3h

0

1

2

3

n

E

ekil 3.1: Bir boyutta frekans ile titreen bir titreici sistemin enerji dzeyleri ve bu dzeyler arasndakiizinli geiler

E = h c

Albert Einstein: Almanyadoumlu ABD uyruklu fi-ziki. 20. yzyln balarn-da gelitirdii zel ve ge-nel grelilik teorileriyleNewton'dan sonra fizikteen kkl devrimi gerek-letirmitir.

hc =12400 eV. sk kar-lalan bir arpandr.

E = h c


5/19


olarak bulunur. Fakat genellikle bu enerji elektronvolt (eV) birimi

cinsinden verilir. u halde sark fotonunun enerjisi,

olarak elde edilir.

4. De Broglie Varsaym

Kuantum kuramnn gelimesinde 1924 ylnda Fransz fiziki L. de Broglie tarafn-dan ortaya atlan varsaymn da ok byk nemi vardr. Bu varsayma gre mo-mentumu p olan bir paraca dalgaboyu;

3.4

ile verilen bir dalga elik eder. Varsaym bu ifadesiyle parack mekaniinden dalgamekaniine geii oluturduundan olduka nemlidir. Bu varsaym klasik fizikte-ki elektromagnetik dalgalar ve mekanik dalgalarn dnda, fizie nc bir dalgatr kavramn sokmaktadr. Bu yeni dalga tr Schrdinger dalgas, madde dalga-s gibi adlarla anlr. Bu dalgalarn klasik fiziktekilerden fark, bir olas lk dalgas ol-masdr. Yani bu dalgalar paracn belirli bir "t" annda "x" konumunda bulun-

ma olasln verir.

RNEK 3.2: 6.106ms-1 hza sahip bir elektrona elik eden dalgann dalga-

boyu nedir? (me=9,1.10-31kg)

ZM: Elektronun momentumu;

olarak hesaplanr. (3.4) eitliinden dalgaboyu

olarak bulunur.


E =(6,63.10-34J.s) (3.108ms-1)

589.10-9m=3,38.10-19J

E =3,38.10-19

1,6.10-19=2,1eV

=hp

Louis de Broglie: Franszteorik fizikisi. Atom par-

acklarnn dalga zelliitadn kantlam vedalga mekaniinin nc-lerinden biri olmutur.

p = mev = 9,1.10-31 x 6.106 = 5,46.10-24kgms-1

= hp

= 6,63.10-34J.s

5,46.10-24kgms-1= 1,2.10-10m = 0,12n


6/19


RNEK 3.3: 144km.h-1 hzla giden, 500g ktleli bir futbol topuna elik

eden dalgann dalgaboyu nedir?

ZM: Futbol topunun momentumu;

olarak hesaplanr. (3.4) eitliinden dalgaboyu;

olarak elde edilir.

Bu iki rnee dikkat edilirse de Broglie varsaym ancak kk ktleli paracklariin geerlidir. Bu nedenle madde mikroskobik bir yaklamla incelenirken, deBroglie varsaym anlamldr.

5. Dalga Paketleri ve Paracklar

Farkl frekans, farkliddet ve farklyaylma dorultusuna sahip birden fazla dalga-nn uzayn bir noktasnda giriimleri sonucu oluan enerji paketine (veya sinyal)dalga paketi ad verilir.

Bir dalga paketi rnei verebilir misiniz?

Enerjinin youn olduu dalga paketleri, dalgann faz hzndan daha yava hareketederler. lerleyen bir dalgann faz hz;

vf= 3.5

eitlii ile verilir. Dalga paketlerinde dalgalar tam olarak st ste bindiklerinden,bu blgeler dalgalarn grup yapt yerlerdir. Bu nedenle dalga paketinin hznagrup hz denir ve vgile gsterilir. Bir dalga paketinin grup hz;

3.6

ile tanmlanr. Bu eitlikte , asal frekans olup, frekansolan dalga iin;

= 2 3.7


?

p = mv = 144kmh -1 x 500g =144 x 10003600

ms-1 x 0,5k

p = 20kgms-1

= hp

= 6,63.10-34J.s

20kgms-1

= 2,215.10-35

vg=ddk


7/19


ile verilir. k ise dalga says olup dalgaboyu olan dalga iin;

3.8

eitliiyle verilir. Dalgaya elik eden paracn dalga genliinin en byk olduuyerde bulunma olasl en byktr. te yandan de Broglie dalgalarnn dalga pa-keti ise tam paracn bulunduu konumda oluacandan, de Broglie dalgalariin paracn hz ile elik eden dalgann grup hz ayndr. Bu hz iin st limit khzdr.

RNEK 3.4: Faz hzvfolan bir hareketli iin vf. vg = c2 olacan gsteriniz.

ZM: De Broglie hipotezinde;

te yandanE = h= mc2 dir. Buradan bulunur.

Bunlar faz hz ifadesinde yerine koyarsak;

bulunur.

6. Heisenberg Belirsizlik lkesiBir nceki blmde grld gibi de Broglie dalgalarnn hareketini belirleyendalga paketlerinin grup hz "k" dalga saysna baldr. Dalga paketlerinin boyu-tu "x" ise, ayn zamanda dalgann elik ettii paracn herhangi bir andaki ko-numudur. Dalga paketleri birden fazla dalgann giriimiyle olutuuna gre "k"dalga says ne kadar byk olursa "x" o kadar kk olur. Baka bir ifadeyle "x" idorulukla belirlemek iin dalgay sklatrmak, yani "k" y bytmek gerekir. Budurumda konumun belirlenmesindeki duyarlk (x) artarken, dalga saysnn be-lirlenmesindeki duyarlk (k) azalr. u halde xbelirsizlii ile k belirsizliininters orantl olarak ilikide olduunu syleyebiliriz.

3.9

3.4 ve 3.8 eitliklerinin ortak zmnden;

3.10

ifadesini elde ederiz. Bu ifadeden taneciin momentumunun llmesinde yapla-bilecek belirsizlik (hata);


k =2

= hp

= hmv t

olur. v t = vg olduundan= hmvg

yazabiliriz.

= mc2

h

vg = = hmv t

mc2

h= vfvg=c2

x = 1k

p = hk2


8/19


3.11

olarak bulunur. Bu sonu eitlik 3.9'da yerine konulursa

3.12

elde edilir. Bu ifadedeki H(h-bar diye okunur) bir sabit olup H=1,05.10-34 J.s de-erine sahiptir. 3.12 eitliinden de grld gibi konum ve momentumun ll-mesindeki iki belirsizlik (hata), birbirinden bamsz deildir. Bu gerek ilk kez W.Heisenberg tarafndan "birbirine bal iki byklkten birinin llmesindeki duyarlkarttka, dierinin llmesindeki duyarlk azalr. yle ki, lmler sonucu her iki bykl-e ait belirsizliklerin arpmdaima Planck sabitinden byk veya en az ona eittir" eklindeifade edilmitir. Bu ifadeye gre Heisenberg belirsizlik ilkesi;

xpH 3.13

eklinde ifade edilebilir.

Sonu olarak konum ve ilgili momentum iftinin ezamanl olarak istenen duyarl-lkla belirlenemedii grlmektedir. Benzer belirsizlikler enerji-zaman, asal ko-num-asal momentum iftleri arasnda da mevcuttur.

RNEK 3.5: Konumundaki belirsizlikx = 1.10-4m olan bir hareketlininhzndaki belirsizlii, hareketlinin;a) elektron

b) ktlesi 0,01g olan bir toz zerresi olmas halinde hesaplay-

nz. (me=9,1.10-31kg)

ZM: 3.12 eitsizliinden,

xp = H

yazabiliriz. Bu eitlikten;

eitliini elde ederiz. te yandan;

p = mv

olacandan;

eitliini buluruz. Bu eitlik yardmyla


p h2

k

xp = h2

=H

p = Hx

v = Hmx

W. K. Heisenberg: Almanfiziki. Yzylmzn ennde gelen teorik fizikile-rindendir. Kendi adyla birlikte anlan "belirsizlikprensibi" ni ortaya koy-mutur. Kuantum meka-

niinin kurulmas ve geli-imindeki almalarndan dolay 1932 de Nobeldl kazanmtr.


9/19


a) elektron iin,

b) toz zerresi iin,

olarak bulunur.

Bu iki rnee dikkat edilirse toz zerresi byk ktleli, elektron ise kk ktleli par-acklardr. rneklerden grld gibi toz zerresinin hz elektronun hz yanndaihmal edilebilecek kadar kk bir deer olarak kmaktadr. u halde Heisenberg

belirsizlik ilkesinin de madde mikroskopik yaklamla incelendiinde anlaml ola-ca aktr.

7. Dalga Fonksiyonu

Kuantum mekanii, hareketli cisimlerle ilgilenir. Hareket durduunda paracaelik eden dalgann dalgaboyu sonsuz olacandan, ortada ilem yapacak sonlukavram kalmaz. Kuantum mekaniksel olarak bir sistemin durumu (x, y, z, t) ile

verilen ve koordinatlar

ve zaman

ifade eden deikenlerin bir fonksiyonu olan dal-ga fonksiyonu ile belirlenir. Sistemin dalga fonksiyonu bilindii zaman, bundan ha-reketle sistemle ilgili birok fiziksel byklk hesaplanabilir. (x, y, z, t) dalga fonk-siyonu boyutsuzdur. Bu nedenle tek bana fiziksel bir anlam ifade etmez. Fakat |(x, y, z, t)|2 nin fiziksel bir anlam vardr ve birim hacimde paracn bulunmaolasln verir. Bu nedenle kuantum mekaniksel olarak paraca elik eden dalgaolaslk dalgas olarak adlandrlr. Bundan dolay kuantum mekanii z itibariyle

bir olaslklar kuramdr.

8. Olaslk Younluu ve Aks

Hareketli bir paraca de Broglie varsaymna gre elik eden dalgay(x, y, z,t) ile gsterdiimizi belirtmitik. Bu dalgann fiziksel olarak bir anlam ve boyu-tu olmamakla birlikte, mutlak deerinin karesi yani | (x, y, z, t)|2, paracn

birim hacimde bulunma olasldr ve olaslk younluu adn alr, (x, y, z, t)ile gsterilir. u halde tanm olarak olaslk younluu;

(x, y, z, t) = | (x, y, z, t)|2 = *(x, y, z, t) . (x, y, z, t) 3.14


v =1,055.10-34

9,1.10-31 x 1.10-4= 1,16ms-1

v =1,055.10-34

0,01.10-3 x 1.10-4= 1,055.10-27ms-1


10/19


olmaktadr. Bu tanma gre paracn herhangi bir dV= dxdydz hacim elemaniinde bulunma olasl(x, y, z, t) dV, tm uzayda bulunma olasl ise;

3.15

olur. 3.15 eitlii paracn uzayn herhangi bir yerinde mutlak var olmasanlamntar ve dalga fonksiyonunun boylandrma (normalizasyon) koulu olarak bilinir.Bu koul yerine getirilerek dalga fonksiyonu boylandrlr.

Paracn olaslk younluunun uzayda yer deitirmesi ise olaslk aks adnalr ve S(x, y, z, t) ile gsterilir. Olaslk younluu ve olaslk aks arasnda;

3.16

ilikisi vardr. Bu ifadedeki sembol;

3.17

ile verilen nabla ilemcisidir. 3.16 eitliine dikkat edilirse olaslk aksnn konumagre deiimi, olaslk younluunun zamana gre deiimine sebep olmaktadr.3.16 eitlii "olaslk younluu ve aksnn korunumu yasas" olarak bilinir.

9. Kuantum Mekaniinin Postlalar

Bir olaslklar kuram olan kuantum mekaniini sistematik olarak incelemek iinnce dayand postlalar iyi anlamak gerekir. Kuantum mekaniinde bir ok pos-tla olmasna ramen kuram ana postla zerine kurulmutur. Bu postlalarylece sralayabiliriz.

I. Postla: Bu postla dalga fonksiyonu ile ilgilidir. Bu postlaya gre;

3.18

olmak zere 0 r aralnda (r) dalga fonksiyonu ile onun birinci t-

revi srekli ve r iken (r) 0 olmaldr.

II. Postla: Bu postla ilemci (operatr) veya gzlenebilirlerle ilgilidir. Kuantummekaniinde llebilen her ey bir dinamik deikendir ve her dinamik deikenelineer ve hermitik bir ilemci () karlk gelir. Bu ekilde belirlenen ilemcilerdinamik halleri belirleyen dalga fonksiyonuna uygulandnda;

3.19


(x, y, z, t)dVtmuzay = *

dVtmuzay = 100100 = 1

(x, y, z, t)

t+ S(x, y, z, t) = 0

= x

i +

yj+

zk

r = r = x2 +y 2 + z 2

(r)

dr

= a


11/19


elde edilir. Bu ifadede "" fonksiyonu ilemcisinin zfonksiyonu "a" ise zdeeriadn alr ve 3.19 ifadesi zdeer denklemi olarak bilinir. Bir ilemcininzfonsiyonlar o ilemcinin ileyecei uzay geren baz vektrlerini olutururlar.

Baz nemli dinamik deikenlere karlk gelen ilemciler Tablo 3.1'degsterilmitir.

III. Postla: Bu postla ise beklenen deerlerle ilgilidir: Bir dalga fonksiyonu ilebelirli bir dinamik halde gibi bir dinamik deiken lld zaman bu dinamikdeikenin lm sonucundan beklenen deeri, bu dinamik deikene karlk ge-len ilemcisinin ortalama deerine eit olur: Yani beklenen deer;

3.20

ifadesiyle verilir.dalga fonksiyonu boyland

r

lm

sa 3.20 ifadesinin paydas

"1"eeit olacandan beklenen deer;

3.21ifadesiyle hesaplanr.

10. Schrdinger Dalga Denklemi

1927 ylnda E. Schrdinger, de Broglie dalgalar nn dalga fonksiyonunu salamakzorunda olduu kendi adyla anlan bir denklem gelitirdi. Bu denklemin zmincelenen sistemin izinli dalga fonksiyonlarn ve enerji zdeerlerini verir. Dalgafonksiyonlarnn kullanlmasyla da sistemin btn llebilir niceliklerini hesap-lamak mmkndr.


< > = A =

*dV

*dV

< > = A =*dV

Erwin Schrdinger: Dalgamekaniinin kurucusuolarak tannan Avusturya-l teorik fizikidir. statistikmekanik, renk grnmesive genel grelilik alanla-rnda eitli almalaryapmtr.

Tablo 3.1: Baz Dinamik Deikenlere Karlk Gelen lemciler

Fiziksel nicelik Gzlenebiliri lemcisi

Konum

izgisel momentum

izgisel momentumun

x bileeni

Relativistik olmayan

kinetik enerji

Toplam enerji (zamana

baml)

Toplam enerji (zamandan

bamsz)

x, y, z X, Y, Z, R

p= mv p=-iH

px= mvx px=-iH

x

p2

2m -H

2

2m2

E= K + U H=-H2

2m2+ U

E= K + U H=-H

i

t


12/19


Klasik mekanikte kinetik ve potansiyel enerjilerin toplam olan mekanik enerjiyibunlarn kuantum mekaniindeki ilemci karlklaryla birletirerek Schrdin-ger dalga denklemi elde edilebilir.

Klasik fizikte toplam enerji;

3.22

ile verilir. izgisel momentum (p)nin ilemci ifadesi Tablo 3.1'de;

3.23

ile verilmitir. Bu ifadeden;

3.24

elde ederiz. 3.24 eitlii 3.20 de yerine konulursa toplam enerji ilemcisi E iin;

3.25

ilemci eitliini elde ederiz. Bu ilemci bir (x, y, z, t) dalga fonksiyonuna uygu-lanrsa;

3.26

zamandan bamsz Schrdinger dalga denklemi elde edilir.

3.27

ile Hamiltonyen ilemcisi tanmlanrsa;

H= E 3.28eklinde daha sade ve basit grnl olarak ifade edilmi olur.

Schrdinger denklemini zme ii, potansiyel enerji fonksiyonuna bal olarak, okzor olabilir. Bununla beraber, Schrdinger denklemi klasik fiziin aklamakta ye-tersiz kald, mikroskobik sistemlerin davran larnaklamada son derece baar-ldr. te yandan dalga mekanii makroskobik sistemlere uygulandnda, karlkilkesi gerei, sonular klasik fizikle uyumaktadr.


E = 12

mv 2 + U(x, y, z, t) = p2

2m+ U(x, y, z, t)

p p = -iH2

p 2 = p . p = - H2

Schrdinger denklemi:Bu nitede sadece zaman-

dan bamsz Schrdingerdenkleminden sz ettik.Bu denklemin zamanabal ve relativistik haldeolan ekilleri de vardr.

- H2

2m2 + U(x, y, z, t) = E

- H2

2m2 + U(x, y, z, t) = E

H = - H2

2m2 + U


13/19


11. Schrdinger Denkleminin Uygulamalar

Eitlik 3.25 yeniden dzenlendiinde;

3.29

eklini alr. Bu denklemi zebilmek iinU(x, y, z) potansiyel fonksiyonunun akifadesinin bilinmesi gerekir. te yandan potansiyel fonksiyonunun U(x) gibi tek

boyutta olmas Schrdinger denkleminin zmn daha da kolaylatrr. Bu b-lmde sadece serbest parack ve bir boyutlu kutu iindeki parack iin Schrdin-ger denkleminin zmlerini greceiz.

11.1. Serbest Parac

kBu halde U = 0 olacandan 3.29 eitlii;

3.30

halini alr. Bu denklem tek boyutta;

3.31

eklinde yazlr. Bu denklemin zm iin;

3.32

eklinde, dalgann yaylma sabitini tanmlarsak denklemin zm3.33

eklindedir. Bu ifade Euler alm kullanlarak yazlrsa;

3.34

ifadesi elde edilir. Bu ifadelerdeki N1, N2, A ve B boylandrma arpanlar olup

snr koullarndan belirlenirler. Burada ise snr koullar belli olmadndan boy-landrma arpanlar belirlenemezler. Sistemin toplam enerjisi ise yalnzca kinetikenerjiden ibaret olduundan eitlik 3.32 den, serbest paracn toplam enerjisi;

3.35

ile belirlidir. Burada p0 dalgann momentumudur vep0 = Hk0 3.36

eitliiyle tanmldr.


2 + 2m

H2

E - U(x, y, z) = 0

2 + 2mE

H2

=0

d 2

dx 2+2mE

H2

(x) =0

k 0= 2mEH

(x) = N1 e ik0x+ N2 e -ik0x

(x)= A cosk 0x + B sink 0x

E =H2 k 0

22m

=p02

2m


14/19


p0 momentumunun alabilecei deerler konusunda hibir n art olmadndan,paracn momentumu kesinlikle bellidir. Bu nedenle serbest parack E > 0 olanher enerji deerini alabilir. Yani enerjisi sreklidir.

Paracn konumu ise olaslk younluundan

eklinde bulunur. Yani parack uzayda her yerde ayn olaslkla bulunabilir. uhalde serbest paracn momentumu kesinlikle belli, konumu ise tamamen belir-sizdir.

11.2. Bir Boyutlu Kutudaki Parack

L geniliindeki bir boyutlu kutu iindeki parack iin Schrdinger denklemini -zelim. Byle bir kutu diyagramekil 3.2'de gsterilmitir. Byle bir kutu matema-tiksel olarak;

3.37

eklinde tanmlanr. Parack sonsuz Uyksekduvarlardan darya kamayacana gre dai-ma kutu iinde kalacaktr. Bu nedenle kutunun

dnda (x) = 0 olur. Bu durumda sadece kutuiinde paraca elik eden bir Schrdinger Dal-gasndan sz edilebilir. Kutu iinde U(x) = 0olduundan burada da serbest parack hali szkonusudur ve ilgili Schrdinger denklemi;

3.38

olur.

3.39

olmak zere bu denklemin zm fonksiyonu;

3.40

eklindedir. 3.37 snr artlar kullanlrsa;

x = 0 iken(x) = 0 olacandan, B0 olmaldr. Dier snr art ise x = L de (x) = 0eklindedir. Bu art kullanlrsa;


(x)= (x) 2= A 2 e ik0 x e -ik0 x + B 2 e -ik0 x e ik0 x = A 2+ B 2= sabit

0< x < L iin U(x)=0

x < 0 veya x > L iin U(x)=

d 2 dx 2

=2mEH

2 =0

U(x) = U(x) =

U(x) = 0000

0

x

ekil 3.2: L Genlikli ve Sonsuz YksekDuvarl Bir Boyutlu Kutu Diyagram

k 0= 2mEH

(x)= A sink 0x + B cosk 0x


15/19


sin k0 xL = 0 3.41

olmas gerektii grlr. Bunun iin de k0 L nin " " nin bir tamsay kat olmas

yani;

k0L = n (n = 1,2,3...) 3.42olmas gerekir. Bu eitlikten izinli E enerjileri iin;

3.43

deeri bulunur. 3.43 eitliine dikkat edilirse burada enerji kuantumludur. Bu du-

rumu belirlemek iin enerjiyi gsteren E sembol En eklinde kullan

lm

t

r. G-rld gibi sonsuz derin kuyu iine hapsolmu bir paracn alabilecei enerji de-erleri klasik mekaniktekinin aksine srekli deil kesiklidir. Yani parack ancak

belli enerji dzeylerinde bulunabilir.

Bir boyutlu kutudaki parack iin izinli dalga fonksiyonu ise;

3.44

ifadesiyle verilir. Bu dalga fonksiyonu 3.15 boylandrma kouluyla boylandrlrsa;

3.45

elde edilir. Bu integral alma ilemi yaplrsa olarak bulunur ve

boylandrlm dalga fonksiyonu;

3.46

eklini alr. Bir boyutlu kutudaki parack iin, paracn herhangi bir x konu-munda birim hacimde bulunma olasl yani olaslk younluu;

3.47

eklinde bir fonksiyondur. ekil 3.3'te bir boyutlu kutudaki parack iin enerji sevi-yeleri ve n (x) dalga fonksiyonu ile n (x) olaslk younluu fonksiyonlarnnyerleri ve ekilleri gsterilmitir.


En= n22H22mL 2

n(x)= A sin nL

x

*(x)ndx =1-

+

A = 2L

n(x) = 2L

sin nL

x

n(x)=n* (x)n(x)= 2

Lsin 2 n

Lx


16/19


ekil 3.3'e dikkat edilirse n , n ve En aralarndaki iliki ortaya kar. Kutuiinde parack belirli enerji seviyelerinde balanm gibi kalmaktadr. Bu nedenle

bu seviyeler bal durumlar olarak adlandrlr.

zetMax Planck' n kuantum varsaymlarna gre nm yayan, titreen bir sistemin enerjisi ke-sikli enerji deerlerine sahiptir ve atomlar foton ad verilen k enerjisinin kesikli birimlericinsinden enerji yaynlar veya soururlar. Bir fotonun enerjisi frekans ve dalgabo-

yu cinsinden;

eitlikleriyle belirlidir.

De Broglie varsaymna gre ise momentumu "p" olan bir paraca dalgaboyu;

ile belirli bir dalga elik eder.

Enerjinin youn olduu dalga paketleri dalgann faz hzndan daha yava hareket ederler.lerleyen bir dalgann faz hz;

vf=

ve dalga paketinin gurup hz ise;


E

E1

E = 9 E3 1

E = 4 E2 1

(a )

x x

x

xx

x

(b) (c )

00

3

2

1

3

2

1

L L

ekil 3.3: Bir Boyutlu Kutudaki Parack in n = 1, 2, 3 Kuantum DurumlarinEn, n (x) ve n(x) Yerleimleri

E = h ve E= h c

=hp


17/19


eitlikleriyle tanmldr.

Heisenberg belirsizlik ilkesine gre konum ve momentumun llmesindeki iki belirsizlikbirbiriyle ilikilidir. Bu iliki;

xp Heklinde ifade edilir.

Kuantum mekaniksel olarak hareketli bir sistemin durumu(x, y, z, t) ile verilen koordinat-lar ve zamann fonksiyonu olan bir dalga fonksiyonu ile belirlenir. Dalga fonksiyonu tek ba-

na fiziksel bir anlam ifade etmez fakat mutlak deer karesi yani |(x, y, z, t)|

2

para-cnbirim hacimde bulunma olasln verir.

Kuantum mekanik kuramnn temel postlalarndan tanesinden ilki dalga fonksiyonuy-la, ikincisi ilemci ve gzlenebilirlerle, ncs ise beklenen deerlerle ilgilidir.De Broglie dalga fonksiyonunu salamak zorunda olan zamandan bamsz Schrdingerdenklemi

ifadesiyle verilir.

Deerlendirme Sorular

1. Frekans 3,2 x 1014 1/s olan fotonun enerjisi ka eV tur?A. 0,663B. 1,326C. 0,3315D. 3,315E. 13,26

2. 1,55eV enerjiye sahip fotonun dalgaboyu ka metredir?(hc = 12400eV. )?A. 1,922 x 10-7

B. 1,922 x 10-9

C. 8 x 10-7

D. 8 x 10-8

E. 8 x 10-9


vg=ddk

-H2

2m2+ U(x, y , z, t)= E


18/19


3. Bir protona elik eden dalgann dalgaboyu 1,33 dr. Bu protonun hz kams-1 dir?A. 2985

B. 3970C. 4985D. 5820E. 8324

4. Dalgaboyu 2600nm olan, ilerleyen bir dalgann faz hz 520ms-1 dir. Bu dal-gann frekans ka hertz'dir?A. 5 x 10-9

B. 2 x 10-8

C. 5 x 10-8

D. 2 x 108

E. 2 x 109

5. Dalgaboyu 12,56 olan bir dalgann dalgasays ka cm-1 dir?A. 2 x 1010

B. 5 x 109

C. 2 x 108

D. 5 x 108

E. 5 x 107

6. Dalgasays 4000cm-1 olan bir krmz alt fotonunun momentumu ka kgms-1

dir?A. 4,22 x 10-34

B. 4,22 x 10-31

C. 4,22 x 10-30

D. 4,22 x 10-29

E. 4,22 x 10-28

7. Bir hareketli iin zaman llmesindeki belirsizlik 1s ise, bu hareketlininenerjisinin llmesindeki belirsizlik ka joule olur?A. 6,63 x 10-34

B. 1,055 x 10-34

C. 1,055 x 10-40D. 6,63 x 10-28

E. 1,055 x 10-28

8. Hareketli bir elektronun hznn llmesindeki belirsizlik 2,32ms-1 dir. Elekt-ronun konumunun llmesindeki belirsizlik ka metredir?A. 2 x 10-5

B. 1 x 10-4

C. 2 x 10-4

D. 5 x 10-4

E. 1 x 10-3



19/19


9. Bir kutudaki parack iin E1enerji dzeyi 0,6eV ise E3enerji dzeyi ka eVolur?A. 5,4

B. 1,8C. 2,7D. 1,08E. 0,54

10. Aadaki kavramlardan hangisi kuantum mekanik kuramn fizie kazan-drd yeni kavramlardan deildir?A. GzlenebilirB. mpulsC. Beklenen deer

D. lemciE. Olaslk aks

Yararlanlan ve Bavurulabilecek Kaynaklar

Aygn E., Zengin M., Kuantum Fizii, Ankara, 1994.

Beiser A., Concepts of Modern Physics, McGraw-Hill Book Company, 1967.

Eisberg R., Resnick R., Quantum Physics, John Wiley & Sons,1976.

Erbil H., Kuantum Fizii,zmir, 1990.

Liboff R., Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 1997.

Karaolu B., Kuantum Mekaniine Giri,stanbul, 1997.

Modern Fizik, Anadolu . Akretim F. Lis. Tam. Prog.,Eskiehir, 1991.

Deerlendirme Sorularnn Yantlar

1. B 2. C 3. A 4. D 5. E 6. D 7. E 8. C 9. A 10. B


Kuantum Fizigi-universite Notlari

Documents

Transcript of Kuantum Fizigi-universite Notlari