krive linije

7/25/2019 krive linije

1/22

Vaje Ana2Uni FRI

Seznam primernih vaj in kakna reitev . . .

Prvi sestavljeno: 12. januar 2007

Zadnji popravek 27. marec 2008


2/22

Opozorilo

Ti zapiski vsebujejo napake. Odkrivanje in odpravljanje le-teh je sestavni del unega procesa.

1


3/22

Kazalo

1 Krivulje v ravnini 3

1.1 Parametrino podane krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Krivulje, podane s polarnim zapisom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Krivulje drugega reda (stoernice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Krivulje vijih redov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Kompleksna tevila 19

2.1 Osnovne lastnostiC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Enabe s kompleksnimi tevili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Mnoice v kompleksni ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Polarni zapis kompleksnega tevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


4/22

1 Krivulje v ravnini

1.1 Parametrino podane krivulje

Naloga 1.1.1. Parametriziraj premico v ravnini, ki gre skozi toki(1, 1)in(2, 4)ter kronico,s polmerom3 in srediem v(1, 1). Poii preseia teh dveh krivulj.Reitev:

Parametrina enaba poljubne premice je

x(t) = x0+ (x1 x0)t,y(t) =y0+ (y1 y0)t,

kjer staA(x0, y0)in B(x1, y1)toki, skozi kateri premica poteka. Potem je enaba nae premicex(t) = 1 3tin y(t) = 1 + 3t. Parametrina enaba kronice je

x(t) = r cos t+x0,y(t) = r sin t+y0,

e jer polmer kronice s srediem vS(x0, y0). Potem je enaba nae kronice x(t) = 3 cos t1in y(t) = 3sin t + 1. Za raunanje presei si zadevo olajamo s pretvorbo obeh enab vstandardno obliko. Torej je enaba premice

y y0=

y1 y0x1 x0

(x x0)

in enaba kronice(x a)2 + (y b)2 =r2,

e jeS(a, b). Potem je enaba premice y= x+ 2 in enaba kronice (x+ 1)2 + (y 1)2 = 9.Vstavimo prvo enabo v drugo in dobimo vrednosti x =

72

in y =

72

+ 2. Torej sta

preseii v tokah P1 72 ,72

+ 2in P2 72

,72 + 2.

Naloga 1.1.2. Krivulja v ravnini je parametrizirana kotx(t) = 2tt2 iny(t) = 2t2t3. Poiitoke na krivulji, kjer je tangenta na krivuljo vzporedna kateri izmed koordinatnih osi. Skicirajkrivuljo. Izraunaj ploino lika, ki ga krivulja opie v prvem kvadrantu.

Reitev:

Tangenta na krivuljo je vzporedna ordinatni osi, kadar je

x(t) = 0

in vzporedna abscisni osi, kadar je

y(t) = 0x(t)je enak 0 pri t = 1, y(t)pa pri t = 0in t= 4

3. Ploina lika, ki ga krivulja opie v prvem

kvadrantu, je enaka

S= 1

2

20

(xy xy)dt= 815

.

3


5/22

Slika 1: Krivulja z zanko.

Naloga 1.1.3. Narii graf krivulje, podane v parametrini obliki kot r(t) = (t3 t, t2 1).Izraunaj tudi ploino zanke, ki jo opie krivulja.

Reitev:

Slika 2: e ena krivulja z zanko.

Tako podana funkcija opie zanko, ki je simetrina glede na ordinatno os, zane in kona pase v koordinatnem izhodiu. Funkcija vstopi skozi izhodie pri t =1, izstopi pa pri t = 1.Ploini bi se odteli ob prehodu v drug kvadrant, zato je treba biti pazljiv pri tvorjenju integrala.Vzamemo robne vrednosti t za eno od polovic zanke in vstavimo v integral:

S= 2

1

2 1

0(3t2

1)(t2

1) + (t3

t)(2t) dt=

8

15

.

Naloga 1.1.4. Krivulja v ravnini je parametrizirana kotx(t) = 11+t2 iny(t) = t3

1+t2.

1. Skiciraj krivuljo. Izraunaj tudi asimptoto.

4


6/22


7/22

Reitev:

Enaba tangente v parametrini obliki je:

y= y(t0) +y(t0)

x(t0) (x x(t0))

V t = 12

je torej y(12

) = y( 12

) = 12e

, x( 12

) =e

2 , x(1

2) = 3

e

2 , koeficient tangente 1

3e in njena

enabay=

1

3e x+ 1

3

e.

Naloga 1.1.8. Skiciraj krivuljo, ki se imenuje "Descartesov list". Podana je paremetrino:

x(t) = 3t

1 +t3 y(t) =

3t2

1 +t3 .

Izraunaj tudi asimptoto in na koncu izraunaj e ploino "lista".

Reitev:

Slika 4: Descartesov list.

Asimptota je krivulja, h kateri se neka funkcija pribliuje, z enabo oblike y = kx +n, kjer je

k = limx

y

x

in

n= limx (y kx).Ko sta y in x podana neodvisno, takrat poljemo t proti tisti vrednosti, kamor gre funkcija vneskonnost. Torej je

k = limt1

y(t)

x(t)

= lim

t1t= 1

6


8/22

in

n= limt1

(y(t) (1) x(t)) = limt1

3t(t+ 1)

(1 +t)(1 t+t2) = 1.

Enaba asimptote je torejy =

x

1.

Ploina lista je

S=1

2

0

(xy xy)dt= 32

.

(tpoljemo v neskonnost, saj se proti neskonnosti zanka zakljuuje.)

Naloga 1.1.9. Krivulja z imenom "astroida"je podana parametrino kotr(t) =

cos3 t, sin3 t

.Ugotovi, od kod njeno ime (tako da jo narie) in izraunaj njeno dolino.

Reitev:

Ker je astroida osno somerna, lahko samo z izraunom enega njenega loka dobimo njeno celotno

Slika 5: Astroida.

dolino. Ker sta cos in sin periodini funkciji, se funkciji po t = 2ponavljata, zato je smiselnogledati vrednosti t samo od 0 do 2. Torej je dolina astroide

l= 4

2

0

x2 + y2dt= 6.

1.2 Krivulje, podane s polarnim zapisom

Naloga 1.2.1. Izraunaj ploino "ribe", ki je zaa >0 podana parametrino kot

r(t) = (a cos t(1 + cos t),a cos t sin t) .

Krivuljo zapii tudi v polarni obliki.

7


9/22

Slika 6: Riba pri a=1.

Reitev:

Narava te krivulje je podobna kot pri tisti zanki pri zgornji nalogi, namre, da se ploine zanejoodtevati, ko skoi krivulja v drugi kvadrant. Vendar pa tu krivulja lei v tirih kvadrantih, nesamo v dveh. Prezrcali se ez x os, zato lahko vzamemo po dve in dve etrtini krivulje, in takozapiemo enabo:

S= 2 1

2

2

0 (xy xy)dt+ 2 1

2

2

(xy xy)dtNa sreo so integrali aditivni, pa e ulomki se krajajo. Ostane le neprijetna operacija dejanskegaintegriranja, zato nasvet: e se znajde med integriranjem funkcije cos3 x, potem si pomagaj sprevajanjem na trojne kote:

cos3x= cos3 x 3cos x sin2 xsin3x= 3 cos2 x sin x sin3 x

Rezultat je S = 83a2. Poglej za primer x(t) = cos t(1 + cos t) in y(t) = cos t sin t, da je

ploina res 83

( =2, 7).

Naloga 1.2.2. Strofoida je krivulja, podana v polarni obliki z enabo

r() = acos2

cos , a >0 .

Skiciraj krivuljo (poraunaj tudi asimptoto) in izraunaj ploino njene zanke.

Reitev:

Ob pretvorbi iz polarne oblike v parametrino dobimo

x() =a cos2

in

y() = a sin cos2cos

=a tan cos2.

Pri odvajanju obeh zadev dobimo x() = a2sin2in y() =a(1tan2 4sin2 ). Koeficientasimptote je torej

lim

2

y()

x()=

8


10/22

Slika 7: Strofoida.

(poljemo v tisto vrednost, kjer se funkcija pribliuje neskonnosti.) Ta raun pokae, da jeasimptota navpina, torej je njena enaba oblike

x= m.

Torej mora veljatilim

2

(x() m) = 0.

Za x()vstavimo a cos2in dobimo

lim

2

(a cos2 m) = 0

ter

a m= 0in s tem

m= a.Enaba ploine za krivuljo, podano v polarni obliki, je

S=1

2

21

r2()d.

Podobno kot prej, pazimo na zgornjo in spodnjo mejo. Recimo, da gledamo kot od 0 do 4

-tam dobimo polovico iskane ploine. Torej je velikost ploine nae zanke enaka

S= 2 12

4

0

a

cos2

cos

2d.

Iskana ploina zanke pri poljubnem a je torej

S= a2

2 2

.

9


11/22

Naloga 1.2.3. Opii gibanje toke na manjem obrou, ki se kotali po obodu vejega obroa, nanjegovi zunanji strani. Lahko privzame, da je radij vejega obroa vekratnik radija manjega.

Takni krivulji pravimo epicikloida.

Reitev:

Epicikloido dobimo tako, da sledimo toki na kronici s polmerom r, ki se kotali po zunanji

strani neke druge kronice s polmerom R. tpredstavlja kot, s katerim se sredie malega krogapremika glede na sredie velikega kroga, t pa kot, s katerim se premika opazovana toka, kilei na obodu malega kroga okrog njegovega sredia (glede na zaetni poloaj). Velja

t R= t r t r

t=r+R

r t.

Slika 8: Konstrukcija epicikloide.

Enaba za epicikloido je potem

x(t) = (r+R) cos t r cos t = (r+R) cos t r sin

r+R

r t

y(t) = (r+R) sin t r sin t= (r+R) sin t r sin

r+R

r t

.

Naloga 1.2.4. Opii gibanje toke na manjem obrou, ki se kotali po obodu vejega obroa, nanjegovi notranji strani. Lahko privzame, da je radij vejega obroa vekratnik radija manjega.

Takni krivulji pravimo hipocikloida.

Reitev:

Hipocikloido dobimo tako, da sledimo toki na kronici z polmerom r, ki se kotali po notranjistrani neke druge kronice s polmeromR. Pravzaprav riemo cikloido na notranjo stran kronice.Spremenljivka tpredstavlja kot, s katerim se sredie malega kroga premika glede na sredievelikega kroga. Velja

x(t) = (r R) cos t r cos

r Rr

t

10


12/22

in

y(t) = (r R) sin t r sin

r Rr

t

.

Naloga 1.2.5. Skiciraj Arhimedovo spiralo, podano zr() = a in logaritemsko spiralo, podanozr() =aem. Dokai, da logaritemska spirala seka vsak poltrak iz koordinatnega izhodia podistim kotom.

Reitev:

Slika 9: Arhimedova spirala.

Formula za izraun kota med dvema premicama je

tan = k2

k1

1 +k1k2 .

Dokazati moramo, da ta kot pri logaritemski spirali ni odvisen od spremembe kota . k1naj bokoeficient poltraka iz koordinatnega izhodia,k2pa koeficient tangente na logaritemsko spiralov preseiu s poltrakom. Torej je

k1= tan

in

k2=y()

x().

Pri parametrizaciji logaritemske spirale dobimo x() = aem cos in y() = aem sin . eodvajamox()iny(), in vse skupaj vstavimo v enabo za izraun kota med dvema premicama,dobimo, da je

tan = 1

m

oziroma

= arctan 1

m.

11


13/22

Kot med poltrakom in tangento torej res ni odvisen od kota, glede na katerega se logaritemskaspirala giblje, ampak samo od podanega zaetnega m.

Naloga 1.2.6. S pomojo prevedbe na polarni koordinatni sistem, skiciraj graf funkcije, podanez enabo

x2 +y22

=a2

x2 y2 .Reitev:

Slika 10: Skica krivulje za a = 1.

Zapiemox() = r() cos()

iny() =r()sin()

e zamenjamo v prvotni enbi bomo dobili

r2()cos2() +r2()sin2()

2=a2

r2()cos2() r2() sin()

oziromar4() = a2r2()

cos2() sin2()

e to malo preuredimo bomo dobili

r() =a

cos(2)

Definicijsko obmoje nae funkcije je Df =

0, 4

34

, 54

7

4, 2

Naloga 1.2.7. Skiciraj in izraunaj dolino loka krivulje

r() =a sin3

3 .

Reitev:

Dolino loka krivulje (skicirane na sliki 11) bomo izraunali z uporabo formule:

l=

r2() + r2()

Imamor() = a sin3

3

12


14/22

Slika 11: Jabolko.

inr() = a sin2

3cos

3

To vstavimo v formulo za izraun doline loka in dobimo

l=

30

a2 sin6

3 +a2 sin4

3cos2

3

Z raunanjem integrala dobimo da je dolina loka enaka l = 32

a

Naloga 1.2.8. Narii graf in doloi ploino lika, ki ga opie krivulja, podana z enabo

r() = 2a cos3 , a >0 .

Reitev:

Ploino lika (skiciranega na sliki 12) bomo dobili s uporabo formule

A=

1

2r2()d

Integriramo

A1=

6

0

1

24a2 cos2 3 d

in dobimo, da je ploina

A1= a1

6(+ sin())

To je samo estina ploine lika, zato je celotna ploina A = a(+ sin())

13


15/22

Slika 12: Detelica.

1.3 Krivulje drugega reda (stoernice)

Naloga 1.3.1. Skiciraj naslednje stoernice.

a) x2 2y2 + 4x 4y+ 1 = 0 b) x2 4

2x 2xy+y2 = 0c) 2x2 + 2y2 + 4xy =

2x

2y d) 3x2 + 3y2 + 2xy+ 4

2x+ 4

2y = 0

e) 13x2 + 6

15xy 29y2 32 = 0 f) x2 + 2xy+y2 6

2x+ 6

2y= 0

Reitev:

V delu

V delu Naloga 1.3.2.

Reitev:

Dana je funkcija z = 1x

. Formula za ploino lika ki ga dobimo, e krivuljo zrotiramo okrog xosi je:

P = 2 b

a

z(x)

1 + z(x)2 dx

To izraunamo in dobimo, da je

P = 2

1

1

x

1 +

1

x4 dx

14


16/22

To lahko zpiemo kot

P = 2

1

x4 + 1

x3 dx

Morali bomo ugotoviti, ali je integral konen ali neskonen. Predpostavimo, da je integralneskonen. Trditev bomo dokazali, e primerjamo na integral z integralom za keterega evemo, da je neskonen.

P = 2

1

x4 + 1

x3 dx > P = 2

1

1

x dx

Torej je ploina neskonna. Volumen lika bomo izraunali s pomojo formule:

V =

ba

z2(x)dx

oziroma

V =

1

1

x2 dx

Izraunamo in dobimo rezultat:V =


Reitev:

Dana je funkcijax2

a2

+z2

b2

= 1

Formula za izraun volumna je

V =

aa

z2(x)dx

oziroma

V = 2

a0

z2(x)dx

Iz prvotne funkcije bomo izraunali, da je

z2 =

1 x

2

a2

b2

e to damo v formulo za izraun volumna in integriramo, dobimo

V = 4

3ab2

15


17/22


Reitev:

Dana je funkcija

2x2

+y2

+ 4x 8y+ 14 = 0Funkcjo lahko preoblikujemo tako, da dobimo polne kvadrati. Dobili bomo

2(x2 + 2x+ 1) + (y2 8y+ 16) = 4

Oziroma(x+ 1)2

2 +

(y 4)24

= 1

Dobili smo elipso.


Reitev:

Dana je funkcija3x2 10xy+ 3y2 + 8 = 0

Zato ker imamo meani len, bomo uporabili nov koordinaten sistem, kjer velja

x= Xcos Y sin

and

y= Xsin +Ycos Zamenjamo v prvotni enabi, in potem iem kot pri kateri velja da je meani len X Y = 0.Dobimo enabo cos2= 0, oziroma da je = 4 . Preuredimo enabo in bomo dobili enabo

x2

4 y2 = 1

Dobili bomo hiperbolo rotirana za = 4

1.4 Krivulje vijih redov

Naloga 1.4.1. Skiciraj krivuljo, podano z naslednjo zvezo.

x3 +y3 x y = 0

Namig: Uporabi dejstvo, da vsaka toka na ravnini lei na neki premici z enabo y = tx ali pa premici x = 0.

16


18/22

Reitev:

V delu

Naloga 1.4.2. Podana je enabax3 +y3 x y= 0.1. Katere od tok(1, 0),(2, 2),(2, 2)leijo na krivulji, ki jo v ravnini podaja

ta enaba?

2. Pokai, da krivulja vsebuje simetralo sodih kvadrantov.

3. Doloi enabo tangente na krivuljo v toki(0, 1).

Reitev:

Pokazali bomo da krivulja vsebuje simetralo kvadrantov. Vemo da je simetrala kvadrantovpremicay = x. e to zamenjamo v prvotni enabi bomo dobili x3 + (x)3x(x) = 0.

Naloga 1.4.3. Skiciraj krivuljo, podano z naslednjo zvezo.

x6 x2y3 y5 = 0

Namig: Uporabi dejstvo, da vsaka toka na ravnini lei na neki premici z enabo y = tx ali pa premici x = 0.

Reitev:

Slika 13: Graf krivulje x6 x2y3 y5 = 0

e zapiemo, da jey= tx, dobimo naslednjo enabo:z(x)

x6 x5t3 x5t5 = 0

Ali,

x5

(x t3

t5

) = 0Sledi da je x = y = 0 ali pa x = t3 t5 in y = t4 t6. Tako imamo krivuljo v paramteriniobilki jo lahko narisemo.

17


19/22

Naloga 1.4.4. Skiciraj mnoico tok v ravnini, ki ustreza reitvi naslednjih dveh (razcepnih!)enab.

a) y4 + 4xy2 + 4x2 1 = 0 b) 2y3 xy2 2x2y+x3 = 0

Reitev:

V delu

Naloga 1.4.5. Podana je krivulja v implicitni obliki:

(x a)2(x2 +y2) lx2 = 0.

Krivuljo zapii v polarni in parametrini obliki.

Narii krivuljo za izbiro a= 2 in l= 1.

Reitev:

V delu

18


20/22

2 Kompleksna tevila

2.1 Osnovne lastnosti C

Naloga 2.1.1. Naj bo z = 3 +

3i inw= 1 + 3i. Poraunaj in narii naslednja tevila:x, z+w, w2, zw in z

w.

Reitev:

V delu

Naloga 2.1.2. Za vsakn N izraunaj vrednost izraza1 +i+i2 +i3 + +in.Reitev:

Naj bo Sn= 1 +i+i2 +i3 + +in. Sledi:en mod 4 = 0potem, in = 1, sledi Sn= 1 +i 1 i+ 1 + + 1, ali Sn= 1.en mod 4 = 1potem, in =i, sledi Sn= 1 +i 1 i+ 1 + + 1 +i, ali Sn= 1 +i.en mod 4 = 2potem, in = 1, sledi Sn= 1 +i 1 i+ 1 + + 1 +i 1, ali Sn= i.en mod 4 = 3potem, in = i, sledi Sn= 1 +i 1 i+ + 1 +i 1 i, ali Sn= 0.

Naloga 2.1.3. Naj bosta naravni tevilia inb zapisljivi kot vsoti kvadratov dveh naravnih tevil.Dokai, da je potem tudi njun produkt zapisljiv kot vsota kvadratov dveh naravnih tevil.

Reitev:

V delu

2.2 Enabe s kompleksnimi tevili

Naloga 2.2.1. Rei naslednje enabe nad kompleksnimi tevili.

a) z 2iz = 1 +i b) z iz2 = 0c) zz+ 1 = 0 d) z = 1 + z

Reitev:a) Vzamimo z = x +iy. Vstavimo v z 2iz = 1 +i, in dobimo (x iy) 2i(x+iy) = 1 +i.Dobili smo sistem dveh enab, x +2y= 1, y2x= 1. Sistem reimo in dobimo y = 1,x = 1.Sledi,z = 1 +i.b) Vzamimo z = x+ iy. Vstavimo v z iz2 = 0, in dobimo (x iy)) = i(x+ iy)2. Dobilismo sistem dveh enab, x 2xy = 0, y x2 +y2 = 0. Sistem reimo in dobimo x = 0, y = 0,

19


21/22

x= 0, y = 1, x=32

, y = 12

, x= 3

2 , y = 1

2. Sledi, z = 0, z = i, z = 1 +i, z =

32

+ 12

,

in z = 3

2 + 12 .

c) zz+ 1 = 0, zamenjamo zz =|z|2, in dobimo|z|2 =1. To ni mono, sledi enaba nimareitev.

d) Vzamimo z =x +iy. Vstavimo v z = 1 + z, in dobimo (x+iy) = 1 + (x+iy). Dobili smosistem dveh enab, 0

x= 1, 2

y= 0. Sistem je oitno nereljiv.

Naloga 2.2.2. Rei splono kvadratno enabo z2 =w nad kompleksnimi tevili.

Reitev:

V delu

2.3 Mnoice v kompleksni ravnini

Naloga 2.3.1. Doloi in narii naslednje podmnoice kompleksne ravnine

a) |z| = 1 b) |z 3 + 2i| 2c) Re(z) +Im(z2) = 2 d) |z 2| |z|

Reitev:

Slika 14: Graf krivulje (x+ 12

)2 y2 = 74

c) e zapiemo da je z = x+ iy in z2 = x2 +ixy y2 in zamenjamo v zgornji enabi bomodobili naslednjo enabo

(x+

1

2 )2

y2

=

7

4

Reitve so vse toke, ki leijo na tej hiperboli (glej sliko).

20


22/22

2.4 Polarni zapis kompleksnega tevila

Naloga 2.4.1. Naj bostaz= 1 +i inw= 3 +i kompleksni tevili. Izraunajw12. Zapii tudi prvih nekaj potenc tevilaz in jih narii. "Grafino" izraunaj produktzw.

Naloga 2.4.2. Izraunaj in narii pete korene tevila1 +i ter etrte korene tevila1 +i

3.

Reitev:

V delu

Naloga 2.4.3. Poii vse kompleksne reitve enabe

(z 1)10 =z10 .Reitev:

V delu

Naloga 2.4.4. Dokai, da jearctan(1/2) + arctan(1/3) = /4 .

Reitev:

Vemo da se pri mnoenju dveh kompleksnih tevil njuna argumeta setejeta in njune absolutnevrednosti zmnoijo. Zato vzamemo z1 = 2 +i in z2 = 3 +i (njuna argumenta sta ravnoarctan(1/2)in arctan(1/3)). Njun produkt je z1z2= 5 + 5i, igar argument je

arctan(1) =/4.

Naloga 2.4.5. Naj bostaa >0 inb >0 pozitivni tevili. Skiciraj krivuljo v kompleksni ravnini,ki je podana z enabo

z(t) = e(a+ib)t .

Reitev:

V delu

21

krive linije

Documents

Transcript of krive linije