LAPLACE TRANSFORMS

Definition of the Laplace transform:

0

[ ( )] ( ) ( )stL f t f t e dt F s

0

0 0

a tU t

t

0

[ ( )] ( ) ( )stL u t u t e dt U s

00

( )st

st ae aU s ae dt

s s

( )( )

0 0 0

1[ ]

s a tat at st s a e

L e e e dt e dts s

Aşağıdaki rampa (ramp) fonksiyonu analitik yöntemle çözünüz

0

0 0

bt tf t

t

0 0

( ) ( ) st stF s f t e dt bte dt

0

0 0

1(1)

stst ste

b te dt bt b e dts s

200

0( ) ( )

ststb b e b b

e dts s s s s s

Properties of Laplace transforms: 1) Linearity : a sabit bir sayı veya s ve t den bağımsız ise

L[af(t)]=aL[f(t)]=aF(s) 2) Süperpozisyon : her iki fonksiyonunda laplace dönüşümü

alınabiliyorsa

1 2 1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )L f t f t L f t L f t F s F s

3)Translation in time:

[ ( )] ( )asL f t a e F s 4)Complex Differention:

[ ( )] ( )d

L tf t F sds

5)Translation in the s domain:

[ ( ) ( )atL e f t F s a

6)Real differantiation:

2 2

[ ( )] ( ) (0 )

[ ( )] ( ) (0) (0)

L Df t sF s f

L D f t s F s sf Df

7)Final value Theorem:

0

( ) ( )lim lims s

sF s f t

Example:

3( )

( 2)Y s

s s

Solution:

0 0 0

3 3 3( ) ( ) ( )

( 2) 2 2lim lim lim lims s s s

y t sY s ss s s

8)Initial value Theorem:

0

( ) ( )lim lims s

sF s f t

Laplace Transforms of Most Common Functions of Time Continuous Function Laplace Transform

Impulse 1

Step s

1

t 2

1

s

2t 3

2

s

ate as

1

atte 2)(

1

as

Sin(wt) )( 22 ws

w

Cos(wt) )( 22 ws

s

Örnek: 2

3( )

( 2 5)f s

s s s

1 2 3

2 2

3

( 2 5) 2 5

K K s K

s s s s s s

1 2 32 2

3 ( )

( 2 5) 2 5

K K s Ks s s

s s s s s s

1

3

5K

22 3

3 63 ( ) ( ) 3

5 5K s K s

1 2 32 2

3

( 2 5) 2 5

K K s K

s s s s s s

2 2

1 1 1 2 33 2 5K s K s K K s K s

1

3

5K idi.

22 3

3 33 ( ) 3 (2 )

5 5K s x K s

22 3

3 63 ( ) 3 ( )

5 5K s K s

2

3

5K 3

6

5K

2 2

33 3 25( )

( 2 5) 5 2 5

sf s

s s s s s s

2 2

( )[ cos ]

( )at A s a

L Ae wts a w

2 2[ sin ]

( )at Bw

L Be wts a w

2 2

( )[ cos sin ]

( )at at A s a Bw

L Ae wt Be wts a w

2 2

23 ( 1)

35 2( )5 ( 1) 2

sF s

s s

3 3 1

( ) (cos2 sin 2 )5 5 2

tf t e t t

Örnek: 2

2( )

( 1)( 2)f s

s s

1 2 32 2

2( )

( 1)( 2) ( 1) ( 2) 2

K K Kf s

s s s s s

2 12 3

2( 2) ( 2)

1 1

Ks K s K

s s

1 21

2 22

( 1)( 2) ( 1 2)s

Ks s

1 2K

2s 2 2K

1 32 2

2 ( 2)

( 1) ( 1)

s sK K

s s

2 2 2 21 2 32 2

2( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

( 1)( 2) 1 ( 2) ( 2)

K K Ks x s s s

s s s s s

12 3

2( 2) ( 2)

( 1) 1

Ks K s K

s s

İşleminin türevi alındığında

s = -2’ye yaklaşır.

3 2K

1 2 32 2

2( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

( 1)( 2) 1 ( 2) ( 2)

K K Ks s s s

s s s s s

2s için ; 30 0 K

2 12 3

2( 2) ( 2)

1 ( 1)

Ks K s K

s s

3 12 2

(0)( 1) (1)(2) [0( 1) 1]0 (2 4)

( 1) ( 1)

s sK K s

s s

2 2

2

( 2) 2( 2)( 1) 1( 2)

( 1) ( 1)

s s s s

s s

=2 2

2

2( 2 2) ( 2)

( 1)

s s s s

s

=2 2

2

2 2 2 4 4

( 1)

s s s s s

s

2( 2)

( 1)

s

s

=

2

2

2

( 1)

s s

s

Bir Fonksiyonun Tekil Noktaları ve Kutupları

S düzleminde tekil noktalar, fonksiyonun yada türevinin bulunmadığı noktalardır.Kutup, tekil noktadır.

G(s) s civarında analitik ve tek değerlidir.

[( ) ( )]limi

ri

s s

s s G s

2

10( 2)( )

( 1)( 2)

sG s

s s s

fonksiyonunun sıfırları s=-2 de bir sonlu ve

sonsuzda 3 sıfırı vardır. s=-3 de katlı, s=0 da ve s=-1 de katsız kutbu vardır.G(s) fonksiyonu bu noktalar dışında analitiktir denir.

3

10( ) 0lim lim

s s

G ss

Adi Doğrusal Diferansiyel Denklemler: Seri RLC devresini ele alalım;

( ) 1( ) ( ) ( )

di tRi t L id t e t

dt C ……….()

İkinci mertebeden bir diferansiyel denklem:

11

11

( ) ( ) ( )... ( ) ( )

n n

n nn n

d y t a d y t dy ta a y t f t

dt dt dt

………( )

Katsayılar y(t)’nin bir fonksiyonu olmadığı sürece doğrusal adi diferansiyel denklemdir.

()’da 1( ) ( )x t i t dt

ve 12

( )( ) ( )

dx tx t i t

dt

21 2

( ) 1 1( ) ( ) ( )

dx t Rx t x t e t

dt LC L L

1. mertebeden durum değişkenleri;

1

2

( ) ( )

( )( )

x t y t

dy tx t y

dt

( ) . . .

1

1

1

( )( )

nn

n n

d y tx t y

dt

1 2

2 3

x x

x x

. . .

1n nx x

1 1....n n nx a x a x u

Dinamik Sistemlerin Matematiksel Modeli

Lineer Sistemler: Bir sisteme süperpozisyon teoremi uygulanıyorsa sistem lineerdir.

1 1( ) ( )x t y t

İse 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t y t y t

2 2( ) ( )x t y t

Lineer zamanla değişmeyen ve lineer zamanla değişen sistemler: Bir diferansiyel denklemin katsayıları sabit ise veya fonksiyonları bağımsız değişkenlerden oluşuyorsa lineerdir.( Zamanla değişen sistemlere örnek:Uzay aracı kontrol sistemidir.Yakıt tüketiminden dolayı uzay aracının kütlesi değişir.) Doğrusal olmayan sistemler:Bir sisteme süperpozisyon teoremi uygulanamıyorsa sistem nonlineerdir.

22

2sin

d x dxx A wt

dt dt

2

2

2( 1) 0

d x dxx x

dt dt

2

3

20

d x dxx x

dt dt

Dinamik Sistemlerin Durum Uzayı Gösterimi

1( )x t ve 2 ( )x t durum değişkenleri olsun;

u(t); Giriş, 11 12 21 22 11 21, , , , ,a a a a b b ise sabit katsayılar:

111 1 12 2 11

( )( ) ( ) ( )

dx ta x t a x t b u t

dt

221 1 22 2 21

( )( ) ( ) ( )

dx ta x t a x t b u t

dt

1

2

( )( )

( )

x tx t

x t

Durum denklemleri;

( )( ) ( ) ( )

dx tx t Ax t Bu t

dt

ile ifade edilir.

1

2

n

x

x

x

x

,

A =

1 2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

n n n n xa a a a

B =

0

0

0

1

çıkış ( y= Cx) Y =

1

2

1 0 0

n

x

x

x

x

Filename: kon_sis_tem_2.doc Directory: C:\Documents and

Settings\Administrator\Desktop\FUNDAMENTALS OF CONTROL SYSTEMS\kontrol_temelleri

Template: C:\Documents and Settings\Administrator\Application Data\Microsoft\Templates\Normal.dotm

Title: LAPLACE TRANSFORMS Subject: Author: hp Keywords: Comments: Creation Date: 09.10.2009 11:01:00 Change Number: 39 Last Saved On: 08.07.2010 15:34:00 Last Saved By: PERFECT Total Editing Time: 541 Minutes Last Printed On: 08.07.2010 15:40:00 As of Last Complete Printing Number of Pages: 26 Number of Words: 752 (approx.) Number of Characters: 4.293 (approx.)