UNIVERZITET U BEOGRADU

GRAĐEVINSKI FAKULTET

Selimir V. Lelović

KONSTITUTIVNE JEDNAČINE ZA PESAK I NJIHOVA PRIMENA U

NUMERIČKOJ ANALIZI PONAŠANJA TRAKASTOG TEMELJA

doktorska disertacija

Beograd, 2012

UNIVERSITY OF BELGRADE

FACULTY OF CIVIL ENGINEERING

Selimir V. Lelović

CONSTITUTIVE EQUATIONS FOR SAND AND THEIR APPLICATION IN

NUMERICAL ANALYSIS OF STRIP FOUNDATION BEHAVIOR

Doctoral Dissertation

Belgrade, 2012

Mentor dr Miloš Lazović, vanredni profesor, Univerzitet u Beogradu, Građevinski fakultet Članovi komisije: dr Miloš Lazović, vanredni profesor, Univerzitet u Beogradu, Građevinski fakultet

dr Mirjana Vukićević, docent, Univerzitet u Beogradu, Građevinski fakultet

dr Slobodan Ćorić, redovni profesor, Univerzitet u Beogradu, Rudarsko geološki fakultet

Datum odbrane: _____________________________

Posvećeno uspomeni na profesore Stevana Stevanovića i Savu Vukelića

SADRŽAJ

REZIME SUMMARY

1. UVOD 1

1.1 Uvodna razmatranja 1 1.2 Struktura rada 1

2. KONSTITUTIVNE RELACIJE 3 2.1. Uvod 3 2.2. Geometrija deformacije 4

2.2.1 Vektori deformacije i tenzori deformacije 5 2.2.2 Tenzori relativne deformacije 7 2.2.3 Prikaz tenzora deformacije preko gradijenata pomeranja 8 2.2.4 Glavne deformacije. Invarijante deformacije 10

2.3 Tenzor napona 11 2.3.1 Glavni naponi. Invarijante napona 12 2.3.2 Konvencija znaka 16

2.4. Veza između napona i deformacija 17 2.4.1 Elastični modeli 17

2.5. Plastičnost. Uslov tečenja 19 2.5.1 Osnovni pojmovi u matematičkoj teoriji plastičnosti 19

2.6 Elasto-plastični modeli za tlo 27 2.6.1 Mohr-Coulomb-ov uslov tečenja 27 2.6.2 Drucker-Prager-ov uslov tečenja 30 2.6.3 Kapa model 31 2.6.4 HISS model 33

3. INKREMENTALNA FORMULACIJA OSNOVNIH JEDNAČINA STATIČKE ANALIZE 35

3.1. Uvod 35 3.2 Formulisanje rešenja nelinearnih jednačina 37

3.2.1 Totalna Lagrange-ova formulacija 37 3.2.2 Korigovana Lagrange-ova formulacija 40 3.2.3 Linearizacija jednačina ravnoteže 40

3.3 Formulacija rešenja metodom konačnih elemenata 41 3.4 Numerička integracija konstitutivnih jednačina 46

3.4.1 Algoritam povratnog preslikavanja 47 4. NELINEARNI MOHR-COULOMB-OV MODEL 54

4.1 Uvod 54 4.2 Osnovne jednačine Mohr-Coulomb-ovog modela 55 4.3 Konstitutivne jednačine NMC modela 59 4.4 Verifikacija predloženog NMC modela 62

4.4.1 Opit direktnog smicanja - Zbijeni pesak 62 4.4.2 Londonska glina 63 4.4.3 Drobljeni antracit 64 4.4.4 Standardna triaksijalna kompresija (CTC) 65

5. PRORAČUN TRAKASTIH TEMELJA NA DEFORMABILNOJ PODLOZI 67

5.1 Uvod 67 5.2 Nosivost tla 67

5.2.1 Teorija nosivosti Terzaghi-a 68 5.3 Ilustracija primene MKE na konkretnim primerima 71

5.3.1 Kruta temeljna traka na pesku 72 5.3.2 Kruta temeljna traka na glini 81

6. KRITERIJUM STABILNOSTI ELASTO-PLASTIČNOG MATERIJALA 87

6.1 Uvod 87 6.2 Konstitutivne jednačine elasto-plastičnog materijala 88 6.3 Odredivanje kritične tačke 90 6.4 Ilustracija predloženog postupka na konkretnom primeru 93

6.4.1 Test standardne triaksijalne kompresije (CTC 95 6.4.2 Test redukovane triaksijalna ekstenzija (RTE 97 6.4.3 Test standardne triaksijalne ekstenzije (CTE) 99 6.4.4 Test redukovane triaksijalne kompresije (RTC) 101 6.4.5 Test triaksijalne kompresije (TC) 103 6.4.6 Test triaksijalne ekstenzije (TE) 105 6.4.7 Test triaksijalnog prostog smicanja (SS) 107

7. ZAKLJUČNA RAZMATRANJA 109 LITERATURA 111

REZIME Rešavanjem graničnih problema fundiranja i mehanike tla u građevinarstvu razvijen je veliki broj konstitutivnih modela i svaki je uspešan za određenu vrstu tla i za specifičnu putanju opterećenja. Zbog nehomogenosti i različitosti prirode tla, još uvek ne postoji generalni model koji uspešno opisuje ponašanje različitih vrsta tla pri proizvoljnim putanjama napona. Drugim rečima, još uvek ne postoji odgovarajući spoj matematičkih formulacija deformacije tla opisanih u mehanici kontinuuma i mehanici individualnih čestica.

U ovom radu su korišćeni osnovni principi nelinearne mehanike kontinuuma i matematičke teorije plastičnosti. Temeljna konstrukcija i tlo su diskretizovani konačnim elementima a konstitutivne jednačine su primenjene za rešavanje granične nosivosti trakastog temelja oslonjenog na deformabilni sloj peska. Tlo je opisano kao homogeno, izotropno i elastoplastično telo koje se monotono opterećuje u dreniranim uslovima.

Nelinearni Mohr-Coulombov (NMC) konstitutivni model je razvijen u cilju formulacije problema granične nosivosti i deformacije tla usled zadatog opterećenja. U radu je NMC model formulisan na osnovu četiri polazne pretpostavke:

1. Ugao smičuće otpornosti nelinearne anvelope loma ima hiperboličku zavisnost od normalnih napona (Maksimović, 1989.).

2. Ugao dilatancije se može odrediti kao odnos između ekvivalentne srednje zapreminske i ekvivalentne smičuće plastične deformacije.

3. Ugao dilatancije u linearnom modelu smičuće otpornosti jednak je maksimalnoj dilatanciji nelinearnog modela.

4. Bazni ugao nelinearne smičuće otpornosti se računa na osnovu aproksimacije da su tangentna smičuća otpornost za nelinearni i smičuća otpornost linearnog konstitutivnog modela jednake u određenoj vrednosti normalnog napona.

Na osnovu NMC modela napravljen je računarski program da bi se analizirali različiti aspekti ponašanja trakastog temelja na deformabilnom sloju peska. Za verifikaciju predloženog modela korišćeni su rezultati laboratorijskih ispitivanja koji su publikovani u stručnoj literaturi.

Doktorska disertacija predstavlja nastavak istraživačkog rada prikazanog u magistarskom radu: "Primena Mohr-Coulomb-ovog modela za rešavanje nekih problema u geotehnici".

Ključne reči: Tlo, pesak, ugao smičuće otpornosti, dilatancija, elastoplastičnost, Mohr-Coulomb, nelinearna anvelopa loma, metod konačnih elemenata, povratno preslikavanje, granična nosivost NAUČNA OBLAST: GRAĐEVINARSTVO UŽA NAUČNA OBLAST: GRAĐEVINSKA GEOTEHNIKA UDK

SUMMARY By solving boundary value problems in foundations and soil mechanics, a great number of constitutive models is developed in civil engineering each being successful for a certain kind of soil and for a specific path of loading. Due to inhomogeneous nature of different soils, there is no one general model to describe behavior of all kinds of soil and under all possible paths of loading. In other words, there is no accepted way to connect mathematical formulations of soil deformation by continuum mechanics and particle mechanics.

In presented work, basic principles of nonlinear continuum mechanics and mathematics of theory of plasticity were used. Base construction and soil were netted with finite elements while constitutive formulations were applied to strip foundation on deformable sand. Soil is described as homogeneous, isotropic, and elastoplastic body which is monotonically loaded in drained conditions.

Nonlinear Mohr-Coulomb (NMC) constitutive model is developed to describe soil deformation under applied load. In the PhD dissertation, NMC model is formulated based on four assumptions:

1. Angle of shearing resistance for nonlinear failure envelope has hyperbolic dependence on normal stresses (Maksimović, 1989).

2. Dilatation angle may be looked as the ratio between equivalent mean volumetric and equivalent shear plastic deformation.

3. In linear model, dilatation angle of shearing resistance is equal to the maximum dilatation angle in nonlinear model.

4. Basic angle in nonlinear model is calculated based on approximation that tangents of shear resistance for linear and nonlinear models were equal at one specific point of normal stress.

Based on described NMC model, a computer program is developed to look at different behavior of strip foundation on deformable layer of sand. To verify new model, comparison was done with results from laboratory testing published in literature.

PhD thesis is a continuation of investigation presented in MS thesis: "Application of Mohr-Coulomb model for solving certain problems in geo-technique".

Key words: Soil, sand, angle of shear resistance, dilatation, elastoplastic, Mohr-Coulomb, nonlinear failure envelope, finite element method, return mapping, boundary loading CIVIL ENGINEERING GEOTECHNICAL ENGINEERING UDC

1

1. UVOD 1.1 Uvodna razmatranja

U radu su analizirane konstitutivne jednačine za pesak sa posebnim osvrtom na

njihovu primenu u numeričkoj analizi ponašanja trakastog temelja. Analiza je zasnovana na

sledećim pretpostavkama: 1. mehaničko ponašanje krupnozrnog tla opisuje se korišćenjem

modela homogenog, izotropnog i elasto-plastičnog tela; 2. razmatra se monotono opterećenje

u dreniranim uslovima; i 3. temeljna konstrukcija i tlo se mogu na odgovarajući način

diskretizovati konačnim elementima i numerički analizirati ponašanje trakastog temelja

oslonjenog na deformabilni sloj peska.

Primena nelinearne teorije tamo gde zato ima opravdanje i tamo gde postoji

razumevanje posledica ovakvog proračuna, je nesumnjivo na mestu. Najčešći matematički

okvir je teorija plastičnosti, gde se razvoj obavlja na dva načina - sa jedne strane pokušava se

definisati generalna granica tečenja u prostoru glavnih napona za razne materijale i razne

režime opterećenja, dok se sa druge strane pokušava matematički korektno i efikasno odrediti

priraštaj plastičnih deformacija i pripadajuće disipacije energije.

Do sada je predložen veliki broj konstitutivnih modela za tlo, ali još uvek ne postoji

takav model koji uspešno opisuje ponašanje različitih vrsta tla pri proizvoljnim putanjama

napona. Korišćenjem osnovnih principa nelinearne mehanike kontinuuma i matematičke

teorije plastičnosti u radu je razvijen nelinearni Mohr-Coulombov (NMC) konstitutivni model

u cilju opisivanja ponašanja tla. Postoji niz već prihvaćenih koraka prilikom testiranja

konstitutivnog modela: matematička formulacija modela, nalaženje parametara koji definišu

model (određuju se iz konvencionalnih opita), provera modela u laboratoriji za različite

putanje napona i upoređivanje rezultata numeričke analize sa rezultatima merenja na terenu.

Granični problemi u matematičkoj teoriji plastičnosti metodološki se slično rešavaju

kao i odgovarajući problemi linearne teorije elastičnosti. Osnovne jednačine MKE za

probleme plastičnosti mogu da se izvedu na isti način kao i za probleme elastičnosti. Jedina

razlika, kvalitativne prirode, je u tome što se u matrici krutosti konačnog elementa umesto

elastične konstitutivne matrice veze pojavljuje tzv. trenutna elasto–plastična konstitutivna

matrica. Pošto elementi ove matrice posredno, kao funkcije napona, zavise od pomeranja

čvorova, sistem jednačina MKE u problemima matematičke teorije plastičnosti je nelinearan.

1.2 Struktura rada

Rad sadržajno obuhvata sedam poglavlja i jedan prilog. Posle uvodnih razmatranja i

napomena u drugom poglavlju su obrađene konstitutivne relacije. U ovom poglavlju su date

2

teorijske postavke vezane geometriju deformacije i tenzor napona, kao i osnove matematičke

teorije plastičnosti. U nastavku je dat prikaz nekih materijalnih modela koji se primenjuju u

geotehnici.

U trećem poglavlju su date teorijske osnove inkrementalne formulacije osnovnih

jednačina statičke analize. U nelinearnoj analizi konstrukcija, umesto generalisanih

pomeranja, za osnovne parametre u čvorovima usvajaju se inkrementi pomeranja tako da se

uobičajenom primenom MKE dobija inkrementalni oblik jednačina ravnoteže. Pretpostavljeno

je da su inkrementi dovoljno mali, tako da se može izvršiti linearizacija problema za svaki

inkrement opterećenja. Ako je statičko-deformacijsko stanje na početku inkrementa poznato,

onda se iz uslova ravnoteže može odrediti stanje na kraju inkrementa. Polazeći od

nedeformisane konfiguracije sukcesivno se određuju naponsko-deformacijska stanja na

krajevima svih inkremenata. U zavisnosti od izbora referentne konfiguracije u odnosu na koju

se prati inkrementalni postupak postoje dve formulacije: totalna Lagrange-ova i korigovana

Lagrange-ova formulacija. U drugom delu ovog poglavlja prikazane su osnovne teorijske

postavke algoritma povratnog preslikavanja za intergraciju elasto-plastičnih konstitutivnih

jednačina.

Četvrto poglavlje predstavlja centralnu temu rada. U okviru ovog poglavlja formulisan

je NMC materijalni model u cilju opisivanja ponašanja tla. Definisani su parametri modela

kao i procedura za njihovo određivanje, koristeći rezultate standardnih laboratorijskih opita.

Rezultati sprovedenih proračuna su upoređeni sa merenim vrednostima tla u laboratorijskim

opitima.

U petom poglavlju je izvršena verifikacija razvijenog NMC modela. Poglavlje je

posvećeno praktičnim aspektima, sa prikazom dobijenih rezultata primenom matematičkog

modela i numeričkog postupka u analizi napona i deformacija u tlu ispod trakastog temelja.

U šestom poglavlju je određeno kritično opterećenje HISS modela uz korišćenje

inkrementalno iterativnog algoritma za različite putanje napona u standardnom triaksijalnom

opitu. Predloženim postupakom je pokazano da je određivanje kritične tačke u analizi

materijalne stabilnosti elasto-plastičnog materijala moguće svesti na određivanje onog stanja

pri kome dolazi do promene znaka osnovnih kvantiteta metrike površi tečenja.

Sedmo poglavlje se odnosi na zaključne napomene. Ukratko je prikazana analiza

relevantnih rezultata sa posebnim osvrtom na prednosti i mogućnosti razvijenog modela.

Na kraju, dat je i spisak literature koja se odnosi na razmatranu problematiku u ovom

radu.

3

2. KONSTITUTIVNE RELACIJE 2.1. Uvod

Pri matematičkom modeliranju bilo koje fizičke pojave, uvek se kao osnovni problem

nameće idealizacija tj. pronalaženje računskog modela koji na neki način odražava suštinu

pojave, njen mehanizam i sve bitne uticaje, a pri tome je dovoljno jednostavan da omogućava

rutinsku upotrebu u praktičnim proračunima. Osnovni principi (balansa mase, balansa

količine kretanja i balansa momenta količine kretanja) važe za sve materijale, nezavisno od

njihove strukture. Kako je skup nepoznatih veličina veći od broja jednačina koje slede iz ovih

zakona, potrebno je uvesti dodatne jednačine da bi jednoznačno bilo određeno ponašanje

materijala pri dejstvu spoljnih efekata, koji se matematički definišu kao granični i početni

uslovi.

U cilju uzimanja u obzir strukture materijala koja karakteriše ponašanje materijala,

neophodno je odrediti dodatne jednačine koje nazivamo konstitivnim. Osobine materijala se

uzimaju u obzir preko odgovarajućih konstitutivnih jednačina, za svaki materijal sa

konstitutivnim promenjivim, ograničenim na domen njihove definisanosti koji je određen

odgovarajućim fizičkim osobinama materijala.

Teorija konstitutivnih jednačina zasnovana je na odgovarajućim fizičkim zakonima. S

obzirom da su materijali za koje se određuju konstitutivne jednačine predstavljeni svojim

matematičkim modelima, konstitutivne jednačine definišu idealne materijale. Za razliku od

gotovo svih drugih materijala koji se koriste u realnim konstrukcijama, osobine tla su

promenjive, tako da se uglavnom moraju meriti za svaki slučaj posebno. Ponašanje u oblasti

radnih napona je vrlo kompleksno: plastične deformacije se mogu teško zanemariti, u većini

slučajeva su nehomogenost i anizotropija jako naglašene, a osim toga na karakter pojave bitno

utiče niz propratnih pojava, naročito prisustvo vode. Idealizovati ponašanje samog materijala

u ovakvim slučajevima je izuzetno teško.

Kako je nemoguće potpuno obuhvatiti složenu fizičku pojavu, ona se

pojednostavljuje, shematizuje uvođenjem određenih ograničenja i pretpostavki. Na taj način

izvedeni obrazac – konstitutivna jednačina, po svojoj suštini, ne predstavlja ništa drugo nego

simbolički izraz tih pretpostavki. Stoga je primena opravdana samo utoliko, ukoliko su

pretpostavke ostvarene. Ova činjenica se ne sme nikad gubiti iz vida.

4

2.2. Geometrija deformacije

Radi potpunosti celokupnog izlaganja, u ovom odeljku se detaljnije definišu

mehaničke veličine: tenzor deformacije, u vezi sa deformacijom, tenzor brzine deformacije i

tenzor napona [ ]94 .

Posmatramo model materijala u vidu neprekidne materijalne sredine koji zauzima

određeni deo zapremine prostora ograničen konturnom površi. Takvu materijalnu sredinu

nazivamo telo. Telo zamišljamo sastavljenim od beskonačno malih zapreminskih elemenata,

raspoređenih neprekidno, pri čemi svakom zapreminskom elementu, koji čini okolinu

posmatrane tačke tela, pripisujemo elementarnu količinu mase tela.

Položaj tako definisanih materijalnih tačaka u referentnoj konfiguraciji obeležavamo

koordinatama tačaka tela sa KX , (K 1, 2,3)= , sa KG odgovarajuće bazne vektore, sa V

zapreminu tela i sa A konturu tela u referentnoj konfiguraciji. U skladu sa tim sa dV

obeležavamo elementarnu zapreminu i sa dA elementarnu površinu u okolini proizvoljne

tačke posmatranog tela. Koordinate KX nazivamo materijalne koordinate, jer su vezane za

određene materijalne tačke tela i služe za njihovu identifikaciju, jer sve koordinantne linije u

svakom trenutku vremena prolaze kroz jedne te iste tačke posmatranog tela. Sistem

koordinata je vezan za telo i deformiše se zajedno sa njim. Važno svojstvo datog sistema

krivolinijskih koordinata je to što se u njima koordinate proizvoljne tačke u nekom trenutku

brojčano izražavaju istim koordinatama kao u nedeformisanom stanju. Potrebno je odrediti

pomeranja tačaka tela, kojima je zadat prvobitni oblik, uslovi oslanjanja i opterećenja. Pri

tome treba odrediti i oblik onih delova površine koji ograničavaju telo, a kojima pomeranja

nisu unapred zadata. Konturni uslovi zadaju se na granicama tela kojima oblik zavisi od

osnovnih veličina. Prema tome, nameće se, kao najpogodnija matematička forma –

krivolinijske koordinate ix jer će u njima jednačine konture posmatranog tela imati isti oblik

kao i pre deformacije. Zamislimo u posmatranom telu neki skup tačaka koji leži na jednoj

liniji (materijalno vlakno) ili na nekoj površi (materijalni sloj). Pri datoj deformaciji vlakno

(ili sloj) neprekidno menja svoj oblik i položaj u prostoru. Za određivanje položaja vlakna (ili

sloja), kao geometrijskih tačaka, služi nam "prostorni " sistem koordinata, u tom smislu što se

određene koordinate ne vezuju za određene materijalne tačke, već za određene tačke prostora.

Prostorni koordinantni sistem može biti sastavljen od istih Dekartovih ili krivolinskih

koordinata kao i materijalni sistem, tako da u tom slučaju materijalne koordinate predstavljaju

"početne vrednosti" prostornih koordinata, vezane za referentnu konfiguraciju. Prostorni

5

koordinantni sistem obeležavamo oznakom ix , (i 1, 2,3)= , sa ig odgovarajuće bazne vektore,

sa v - zapreminu tela i sa a - konturu tela u trenutnoj konfiguraciji. U skladu sa tim sa dv

obeležavamo elementarnu zapreminu i sa da - element površine tela. U toku procesa

deformacije prostorne koordinate određene materijalne tačke tela predstavljaju funkciju

vremena, tako da za određenu tačku tela, KX , prostorne koordinate predstavljaju njene

konačne jednačine kretanja:

( ) ( )i i Kx x X , t , i, K 1, 2,3= = (2.1)

gde je t vreme. Jasno je da oblik konačnih jednačina kretanja materijalne tačke zavise od

početnih uslova. Relacija inverzna jednačinama (2.1) pokazuje, koja je to tačka tela za

određini trenutak vremena "t" zauzima određeni položaj u prostoru. Jednačine (2.1)

predstavljaju deformaciju kontunuuma. Deformacija može da se posmatra sa stanovišta

materijalnih koordinata, tako i sa stanovišta prostornih koordinata, odakle sledi da moramo da

uvedemo postojanje jednoznačne inverzne relacije oblika:

( ) ( )K K iX X x , t , i, K 1, 2,3= = (2.2)

Oba izraza za deformaciju moraju da zadovoljavaju aksiom neprekidnosti, tj.

transformacije (2.1) i (2.2) su u celoj oblasti posmatranja jednoznačne i dopuštaju neprekidne

izvode do svakog potrebnog reda. Pri opisivanju procesa deformacije u deformabilnoj sredini

primenjuju se dva pristupa. Pristup kada se za nezavisne promenljive usvajaju koordinate

materijalnih tačaka tela označava se kao materijalna deskripcija i po tom pristupu sve veličine

se definišu u određenoj tački tela za određeni vremenski trenutak. Za razliku od ovog

pristupa, prostorna deskripcija za nezavisno promenljive ima prostorne koordinate. Ovaj drugi

pristup opisivanja procesa deformacije određuje sve veličine u određenom položaju tačke u

prostoru u trenutku vremena.

2.2.1 Vektori deformacije i tenzori deformacije

Ako se usvoji materijalna deskripcija (2.1), tada je:

i i K;Kdx x dX= (2.3)

gde se parcijalni izvodi i;Kx nazivaju materijalni gradijenti deformacije. Pri prostornoj

deskripciji je:

K K i;idX X dx= (2.4)

6

Na taj način u materijalnoj deskripciji možemo napisati za elementarni vektor položaja:

i K;K idr x g dX= (2.5)

pri čemu veličine,

iK ;K iC x g= (2.6)

predstavljaju materijalne vektore deformacije, pomoću kojih je,

KKdr C dX= (2.7)

Vektori deformacije KC zamenjuju bazne vektore pri prikazivanju elementarnog

vektora deformisane konfiguracije u odnosu na materijalni sistem koordinata. U prostornoj

deskripciji je:

KKi ;ic X G= (2.8)

sa kojima prikazujemo

iidR c dx= (2.9)

Gradijenti deformacije i;Kx se obično označava:

i i;K Kx F≡ (2.10)

pri čemu je F tenzor gradijenta deformacije.

Pomoću tenzora deformacije izražava se kvadrat elementarnog rastojanja u okolini

posmatrane tačke deformbilnog tela. Kvadrat rastojanja , 2 2(pp ) (dr)= izračunavamo koristeći

relacije (2.7) u obliku:

7

( ) ( ) ( )2 K L K LK L KLdr C dX C dX C dX dX= ⋅ = (2.11)

gde tenzor,

( ) ( )i j i jKL ;K i ;L j ij ;K ;LC x g x g g x x= ⋅ = (2.12)

predstavlja materijalni tenzor deformacije ili Grinov tenzor deformacije. Međutim,

posmatrajući element rastojanja u referentnoj konfiguraciji i izražavajući kvadrat tog

rastojanja polazeći od izraza (2.9), nalazimo

( ) ( )( )2 i j i ji j ijdR c dx c dx c dx dx= = (2.13)

gde tenzor,

( ) ( )K L K Lij ;i K ; j L KL ;i ; jc X G X G G X X= ⋅ = (2.14)

predstavlja prostorni tenzor deformacije ili Košijev tenzor deformacije. Polazeći od izraza

(2.11) i (2.13) jasno je da su oba tenzora deformacije (2.12) i (2.14) simetrični i pozitivno

definitni. 2.2.2 Tenzori relativne deformacije

Tenzori relativne deformacije u materijalnoj ili prostornoj deskripciji izražavaju

razliku kvadrata dve beskonačno bliske tačke tela (ili tačaka u beskonačno bliskom

prostornom položaju) u deformisanoj i u referentnoj konfiguraciji. Prema tome nalazimo:

( )2 2 K LKL KL(dr) (dR) C G dX dX− = − (2.15)

gde je:

KL KL KL2E C G= − (2.16)

Tenzor KLE je materijalni ili Lagranžov tenzor relativne deformacije. Kada se KLC izrazi

preko (2.12), sledi:

( )i jKL ij ;K ;L KL1E g x x G2= − (2.17)

Izražavajući razliku (2.15) u prostornoj deskripciji, nalazimo:

( )2 2 i jij ij(dr) (dR) g c dx dx− = − (2.18)

gde je:

ij ij ij2e g c= − (2.19)

8

Tenzor ije je prostorni (Ojlerov) tenzor relativne deformacije. Kada se ijc izrazi preko (2.14), sledi:

( )K Lij ij KL ;i ; je 1 2 g G x x= − (2.20)

Kako se izrazi (2.15) i (2.18) odnose na istu veličinu, to je moguće uspostaviti vezu između

materijalnog i prostornog tenzora relativne deformacije.

2.2.3 Prikaz tenzora deformacije preko gradijenata pomeranja

Na slici 2.2 je prikazan beskonačno blizak par tačaka P i P′odnosno p i p′ (položaji

tačaka P i P′ u toku deformacije). Tačka P vrši pomeranje,

( )Ku u X , t= (2.21)

dok je pomeranje tačke P′ :

( ) ( )K K Ku u X dX , t u X , t du= + = + (2.22)

Između vektora dR , du i dr postoji veza:

dr dR du= + (2.23)

Vektor pomeranja u materijalnoj deskripciji predstavljamo koordinatama Ku a u prostornom

sistemu koordinatama iu , tako da je,

( )K Ku u X, t G= , odnosno ( )i iu u x, t g= (2.24)

pri čemu je prema izrazima za operator paralelnog pomeranja

i i KKu g u= , odnosno

K K iiu g u= (2.25)

9

Priraštaj pomeranja može se prikazati u dve varijante, na osnovu obrasca (2.24):

K M,M Kdu u G dX= , odnosno

i j, j idu u g dx= (2.26)

kao priraštaj pomeranja između dve tačke tela odnosno dve tačke prostora. U materijalnoj

deskripciji vektorska jednačina (2.23) može biti predstavljena preko koordinata KdX , vektora

dR i izraza (2.5) za dr :

K M K KK ,K M KG dX u G dX C dX+ = (2.27.1)

i odavde

( )M M MK K ,K M M K ,KC G u G G u= + = δ + (2.27.2)

gde je M,Ku kovarijantni parcijalni izvod vektora pomeranja. Na osnovu (2.27) i (2.16) dobija se:

( ) ( ) ( )M M N N MKL K K ,K N L ,L KL K,L L,K ,K M,L1 1E G u G u G u u u u2 2 = δ + ⋅ δ + − = + + (2.28)

gde zarezi označavaju kovarijantne parcijalne izvode po materijalnim koordinatam. Linearan

deo izraza (2.28) predstavlja tenzor infinitezimalne deformacije:

( )KL K,L L,K K,L1E u u u2= + = (2.29)

Na taj način je tačan izraz za tenzor deformacije dat u obliku:

MKL KL ,K M,L

1E E u u2

= + (2.30)

Na sličan, u odnosu na prostorni koordinantni sistem nalazimo za Ojlerov tenzor deformacije

sledeći izraz preko gradijenta pomeranja:

( )mij i, j j,i ,i m, j1e u u u u2= + − (2.31)

Linearan deo izraza (2.31) predstavlja tenzor infinitezimalne deformacije, izražen preko prostornih koordinata:

( )ij i, j j,i i, j1e u u u2= + = (2.32)

Tenzor konačne (relativne) deformacije je dat izrazom:

mij ij ,i m, j

1e e u u2

= − (2.33)

10

2.2.4 Glavne deformacije. Invarijante deformacije

Po definiciji, glavne deformacije su sopstvene vrednosti tenzora deformacije. Ose koje

odgovaraju ovim deformacijama zovu se glavne ose, a ravni upravne na te ose su glavne

ravni. Smičuće deformacije u glavnim ravnima su jednaki nuli. Komponente glavnih

infinitezimalnih deformacija označićemo sa 1e , 2e i 3e uz pretpostavku da je 1e 2e 3e .

Komponente glavnih infinitezimalnih deformacija su koreni jednačine:

3 2e e ee I e II e III 0− + − = (2.34)

Ovde smo sa eI , eII , eIII označili invarijante tenzora deformacije, definisane sa:

e 1 2 3 ii iiI e e e e e tr(e)= + + = ≡ =∑ (2.35)

( )e 1 2 2 3 3 1 ii jj ij ji1II e e e e e e e e e e2= + + = − (2.36)

( )e kl 1 2 3III det e e e e= = (2.37)

Pri deformaciji tela dolazi do promene i njegove zapremine. Odnos te promene i prvobitne

(nedeformisane) zapremine:

V 1 2 3 ee V V e e e I= ∆ = + + = (2.38)

zove se kubna dilatacija. Tenzor deformacije možemo da razložimo na dva dela:

kl 0 kl kle e e′= δ + (2.39)

gde je: 0 e kke I 3 1 3e= = sferni deo tenzora deformacije,

klδ je Kronekerov (Cronecker) δ − symbol,

kle′ devijator tenzora deformacije.

Devijatorski deo odgovara klizanju za koje je kubna dilatacija jednaka nuli. Dakle,

prva invarijanta devijatora tenzora deformacije ( kle′ ) je identički jednaka nuli. Druge dve

invarijante devijatora deformacija mogu da se izraze preko glavnih deformacija u obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2de 1 2 2 3 3 1 1 2 31 1II e e e e e e e e e6 2 ′ ′ ′= − + − + − = + + (2.40)

( )de kl 1 2 3III det e e e e′ ′ ′ ′= = ⋅ ⋅ (2.41)

11

Druga invarijante devijatora deformacija obuhvata uticaj smičuće deformacije, dok treća

invarijante devijatora deformacija predstavlja pravac smičuće deformacije.

2.3 Tenzor napona

Naponsko stanje u tački tela je u potpunosti određeno sa poznavanjem vektora napona

za tri nekomplanarne ravni, koje prolaze kroz tu tačku. Stanje napona je određeno

poznavanjem devet podataka (tri projekcije tri vektora), koji predstavljaju koordinate tenzora

napona. Ova činjenica znači da se sa poznavanjem ovih devet podataka može odrediti vektor

napona ( )( )nt za bilo koju presečnu ravan, sa normalom n , kroz tu tačku, tj.:

( ) ij jn it t n= ⋅ (2.42)

gde je: ijt tenzor napona, jn kosinusi pravca normale n , ( )n it vektor napona za presečnu

ravan sa normalom n . Napomenućemo da ćemo u daljim izlaganjima smatrati, osim kada

naglasimo suprotno, da je tenzor napona simetričan, što sledi iz balansa momenta količine

kretanja, u odsustvu naponskih spregova (tri skalarne jednačine). Prethodno definisan tenzor

napona je Košijev (Cauchy) tenzor napona meren po jedinici površine deformisanog tela a

referisan u sistemu baznih trijedara posle deformacije. Kako je početna konfiguracija tela

poznata a samim tim poznate su i njegove granične površi, često je znatno pogodnije granične

uslove izraziti u odnosu na ovaj referentni položaj. Iz tih razloga potrebno je definisati

naponske veličine koje će biti merene po jedinici nedeformisane površi. Kada ovaj stav

primenimo na Košijev napon dolazimo do pojma Piola-Kirhofovog (Piola-Kirchhoff) tenzora

napona prve i druge vrste.

Prvi Piola-Kirhofov tenzor napona može se definisati preko Košijevog napona na

sledeći način:

kK kl K kl 1 kL l;l ;LT Jt X , t J T x

−= = (2.43)

Ovaj tenzor napona predstavlja napon u tački x , meren po jedinici površine u X . Prvi Piola-

Kirhofov tenzor napona je vektor ( )T X, t, N koji je paralelan sa Košijevim vektorom napona

( )t x, t, n , ali je mera sile po jedinici nedeformisane površine. Uslov prostorne paralelnosti se

može matematički izraziti na sledeći način:

TdA tda= (2.44)

12

Ovako definisan tenzor napona je nesimetričan pa samim tim i nepogodan za praktičnu

primenu. Nedostatak se eliminiše formulacijom simetričnog Piola-Kirhofov tenzor napona

druge vrste merenog u odnosu na nedeformisanu konfiguraciju, odnosno

KL K mL K L lm;m ;l mS X T JX X t= = (2.45)

Kako je naprezanje karakteristika samo trenutne konfiguracije, odnosno deformisanog

stanja, i imajući na umu da su vektori napona na stranama elementarnog tetraedra za slučaj

oba Piolina napona mereni u odnosu na normale nedeformisane površi, oni samim tim nemaju

jasno fizičko značenje i, u praktičnim računskim analizama, moraju se izračunavati Cauchy-

evi naponi.

2.3.1 Glavni naponi. Invarijante napona

Služeći se analogijom možemo definisati i izvesti nekoliko pojmova koji su već

dokazani u prethodnim razmatranjima o deformacijama. Tako se može dokazati da u svakoj

tački tela posle deformacije postoje tri međusobno upravne ravni, za koje su svi smičući

naponi jednaki nuli, dok normalni naponi poprimaju ekstremne vrednosti. Komponente

glavnih napona (koje ćemo označavati sa 1σ , 2σ , 3σ i uz pretpostavku da je 1σ 2σ 3σ )

predstavljaju korene sekularne jednačine kao sopstvene veličine:

ij ij 0σ −σδ = (2.46)

ili u razvijenom obliku:

3 21 2 3I I I 0σ − σ + σ− = (2.47)

Ovde smo sa 1I , 2I , 3I označili tri nezavisne invarijante tenzora napona, definisane sa:

1 1 2 3 ii iiI tr= σ +σ + σ = σ ≡ σ = σ∑ (2.48)

( )2 1 2 2 3 3 1 ii jj ij ji1I 2= σ σ +σ σ +σ σ = σ σ −σ σ (2.49)

( )3 ij 1 2 3I det= σ = σ σ σ (2.50)

Tenzor napona možemo da razložimo na dva dela:

ij ij ijp Sσ = δ + (2.51)

13

gde je: p sferni deo tenzora napona - koji se može izraziti kao 1p 1 3J= ,

klδ je Kronekerov δ − symbol i

ijS devijatorski deo tenzora napona ili devijatorski tenzor napona.

Devijatorski deo tenzora napona određuje odstupanje, devijaciju, od sfernog stanja

napona. Ovaj deo napona izaziva promenu oblika, na pr. sfera prelazi u elipsoid, kocka u

paralelopiped. Karakteristika ovog tenzora je da je njegova prva invarijanta uvek jednaka

nuli. Glavni pravci devijatorskog tenzora napona, analogno tenzoru napona, određuju iz

sistema jednačina:

( )ij ij jS S n 0− δ = (2.52)

Na isti način se može pokazati da je karakteristična jednačina devijatorskog tenzora napona oblika:

32d 3d 2d 2dS I S I 0, I I− ⋅ − = = − (2.53)

Ovde sa 2dI i 3dI označili drugu i treću invarijantu devijatorskog tenzora napona, koje mogu

da se izraze preko glavnih devijatora napona u obliku:

( ) ( ) ( )2 2 22d 1 2 3 ij ij1 1I S S S S S2 2 = + + = (2.54)

( )3d ij 1 2 3I det S S S S= = ⋅ ⋅ (2.55)

Karakteristična jednačina devijatorskog tenzora napona može se rešiti smenim

2dS 2 I 3 sin= θ (2.56)

Kubna jednačina se tada svodi na oblik:

( ) ( )3 2 32d 3d2 I 3 3sin 4sin Iθ− θ = (2.57)

Koristeći trigonometrijsku identičnost: 3sin 3 3sin 4sinθ = θ− θ izraz u zagradi je jednak

sin 3θ , pa se prema tome dobija

3 23d 2dsin 3 3 3 2 I I

−θ = − ⋅ ⋅ (2.58)

Uobičajeno je da se kriterijum tečenja geometrijski interpretira kao površina u

naponskom prostoru i da se označi kao površ tečenja. Pošto tenzor napona σ ima šest

različitih komponenata, generalno posmatrano ovakav slikoviti prikaz bi zahtevao

šestodimenzionalni prostor. Praktičniji pristup je korišćenje trodimenzionalnog prostora u

14

kojem su referentne koordinate glavni naponi. Naponski prostor se definiše kao prostor čije su

koordinate vrednosti glavnih napona (u svim tačkama tela), tj. svakoj tački ovog prostora

odgovora stanje napona u nekoj tački tela. Ovakav prostor je prikazan na slici 2.3.

Hidrostatička osa (prostorna dijagonala) je linija koja pravi jednake uglove sa

koordinatnim osama (u našem slučaju sa glavnim pravcima napona). Jedinični vektor n , duž

hidrostatičke ose, ima sledeće komponente:

{ }n 1 3 ,1 3 ,1 3= (2.59) Bilo koja ravan normalna na hidrostatičku osu zove se devijatorska ili okatedarska ravan.

Devijatorska ravan koja prolazi kroz koordinantni početak zove se π -ravan. Naponsko stanje

može biti prikazano tačkom P sa koordinatama 1 2,σ σ i 3σ i vektorom OP . Vektor položaja

neke tačke, može da se razloži na dve komponente:

OP ON NP= + (2.60)

Gde je vektor ON duž prostorne dijagonale a vektor NP je u devijatorskoj ravni koja prolazi

kroz tačke N i P .

{ }1 2 3ON OP n 1 3 3 p= ⋅ = ⋅ σ +σ +σ = ⋅ (2.61)

gde je 1p 1 3 I= ⋅ srednji napon. Devijatorska ravan koja prolazi kroz tačku N je prikazana na

slici 2.4.

15

Neka θ označava ugao meren od ose čistog klizanja { }2 1 31 2σ = ⋅ σ +σ , kao što je

prikazano na slici 2.4, onda je:

( )1 1 2dI 3 2 3 I sin 2 3σ = + ⋅ ⋅ θ + π (2.62)

2 1 2dI 3 2 3 I sinσ = + ⋅ ⋅ θ (2.63)

( )3 1 2dI 3 2 3 I sin 2 3σ = + ⋅ ⋅ θ − π (2.64)

gde je 6 6−π ≤ θ ≤ π i 1 2 3σ ≥ σ ≥ σ .

Oktaedarska ravan je ravan koja gradi jednake uglove sa koordinantnim osama.

16

Napon smicanja u ovoj ravni naziva se oktaedarski napon i dat je izrazom

( ) ( ) ( )2 2 20 1 2 2 3 3 1 2d1 3 2 3 Iτ = σ −σ + σ −σ + σ −σ = ⋅ (2.65)

2.3.2 Konvencija znaka

Za normalne komponente tenzora napona, s obzirom na njihovo dejstvo, koriste se i

posebni nazivi i to: naponi pritiska, ako normalna komponenta deluje u suprotnom smeru od

spoljne normale na površinski element, i suprotno njima naponi zatezanja.

U mehanici tla naponi pritiska su dominantni, pa je usvojena konvencija računanja

napona pritisaka kao pozitivnih i napona zatezanja kao negativnih normalnih napona. Za

tenzor napona se koriste razna obeležavanja. Za Dekartov sistem u inženjerskoj praksi

najčešći vid označavanja je: xσ , yσ , zσ , xyτ , zxτ i zyτ za simetričan tenzor napona. Na slici

2.6 je prikazana interpretacija pozitivnih komponenti tenzora napona.

17

2.4. Veza između napona i deformacija

Konstatovali smo da su pri rešavanju praktičnih problema potrebne i dopunske

jednačine, tj. veze između napona i deformacija. Proučavanje deformacija bilo je čisto

geometrijsko: ispitujući promene oblika i zapremine tela nismo ulazili u njihovu zavisnost od

spoljnih sila. Za uspostavljanje veza između deformacija i napona (a na taj način i između

deformacija i spoljnih sila, jer je zavisnost između napona i spoljnih sila određena) treba da

definišemo predmet našeg razmatranja, tj. realno telo, znači treba mu pripisati određene

osobine. Te osobine moraju biti utvrđene neposrednim eksperimentima sa realnim telima. U

tom slučaju će i zaključci koji proističu iz takve definicije moći da se primenjuju na realna

tela. Zaključci i jednačine koje ćemo izvesti u daljim izlaganjima, mogu se primenjivati za

realna tela ako se eksperimentalno utvrdi da imaju tu osobinu i samo u granicama u kojima je

imaju. Za razliku od obrazaca matematike, koji operišu sa apstraktnim pojmovima, jednačine

matematičke teorije plastićnosti postavljaju veze između stvarnih veličina: spoljnih sila,

dimenzija tela i osobina materijala.

Obično se usvajaju tri osnovna modela materijala: elastičan, plastičan i viskozni i

odgovarajuće njihove kombinacije. U daljem tekstu će se spominjati samo elastični i plastični

modeli, s obzirom da su dovoljni za odgovarajuće opisivanje problematike koja je predmet

ovog rada.

2.4.1 Elastični modeli

Engleski fizičar Robert Hooke je objavio 1678. god., kao rezultat svojih ogleda, da za

mnoga realna tela, u izvesnim granicama, važi zakon proporcionalnosti između napona i

deformacija. Hooke-ov zakon i iz njega izvedeni zaključci važe bez ograničenja samo za

idealno elastično telo, koje u prirodi ne postoji. Međutim, njihova primena na realna tela, npr.

tlo, je opravdana u oblastima u kojima naponi i deformacije ne prelaze određene vrednosti,

koje se za pojedine materijale utvrđuju eksperimentom.

Koeficijenti elastičnosti, uopšte, zavise od položaja tačke u telu i od izabranih pravaca osa

kroz tu tačku. Pri izvođenju konstitutivne jednačine linearno elastičnog modela najčešće se

polazi od generalisanog Hooke-ovog zakona koji se može prikazati sledećim jednačinama:

ij ijkl klCσ = ⋅ε (2.66)

ili inverzno

18

ij ijkl klDε = ⋅σ (2.67)

gde su: ijσ komponente tenzora napona, klε komponente tenzora deformacija, ijklC

komponente tenzora elastičnosti koje predstavljaju module krutosti materijala, ijklD

komponente tenzora elastičnosti koje predstavljaju module fleksibilnosti materijala.

Sva dalja razmatranja, u primenama, biće ograničena pretpostavkom da je telo

homogeno, što znači da su koeficijenti elastičnosti isti u svim tačkama. Može se dokazati da

između tih 36 koeficijenata postoji 15 veza i na taj način smanjiti broj nezavisnih

koeficijenata do 21. Ograničavamo se još i pretpostavkom da je telo izotropno-elastično, što

znači da ima iste elastične osobine za sve pravce kroz datu tačku. Ta pretpostavka daje niz

veza među koeficijentima koje, između ostalog, obuhvataju i 15 ranije spomenutih veza. Za

elastične modele napon u svakoj čestici tela jednoznačno je određen deformacijom u

posmatranom trenutku tj. nezavisan je od kretanja pre dolaska u tekuću konfiguraciju. Za

analizu Hooke-ovog zakona pogodno je i tenzor infinitezimalne deformacije i tenzor napona

razložiti na sferi i devijatorski deo u obliku, kako je već prikazano u izrazima (2.39) i (2.51):

kk kk3Kσ = ⋅ε (2.68)

ij ijS 2G e= ⋅ (2.69)

gde je: K - moduo kompresije i G - moduo smicanja

Elastični izotropni model može biti predstavljen i preko Young-ovog modula i

Poisson-ovog koeficijenta. Ove konstante se mogu dovesti u vezu sa K i G .

9KG 3K 2GE ,3K G 6K 2G

−= ν =

+ + (2.70)

Može se dobiti i veza između konstati K i G s jedne strane i konstati E i ν sa druge

strane, koristeći jednačinu (2.67), u sledećem obliku:

( ) ( )E EK , G

3 1 2 2 1= =

− ν + ν (2.71)

Iz predhodne jednačine može se dobiti tenzor izotropnih elastičnih konstanti u obliku:

( )ij ij kk ij ij kk ij ij kk ij kk ij ijkl klS 2Ge 3K 2G K Cσ = +σ δ = + ε δ = ε − ε δ + ε δ = ε (2.72)

gde je :

( )ijkl ik jk ik il ij kl2C G K G3 = δ + δ + δ + δ + − δ δ

(2.73)

19

pri čemu je

( )ik jk ik il kl ij ik jk kl ij kk2 ,δ + δ + δ + δ ε = ε δ δ ε = δ ε (2.74)

Gornja jednačina je simetrična po indeksima i j− , k l− ; i predstavlja najprostiji oblik veze

između napona i deformacija u izotropnom elastičnom telu.

Prećutno se pretpostavlja da je sferni deo tenzora napona proporcionalan sfernom delu

tenzora deformacije, a isto tako i devijatorski deo tenzora napona odgovarajućem delu tenzora

deformacije. Moduo kompresije predstavlja količnik iz srednjeg normalnog napona i kubne

dilatacije, drugim rečima daje meru kojom se izotropni materijal suprostavlja promeni

zapremine. Moduo klizanja se javlja kao koeficijent proporcionalnosti između odgovarajućih

devijatorskih komponenta napona i deformacija.

Govoriti o opravdanosti ili neopravdanosti primene ovog modela za proračun naponsko

deformacijskog stanja u tlu nije suštinsko pitanje, već je to određivanje granica promene

naponskog stanja kada je ova primena prihvatljiva [ ]141 .

2.5. Plastičnost. Uslov tečenja

2.5.1 Osnovni pojmovi u matematičkoj teoriji plastičnosti

Kako se većina trodimenzionalnih teorija plastičnosti zasniva na uopštavanju

jednodimenzionalne teorije, pa se pri razmatranju stanja napona i deformacija u plastično

deformisanim delovima konstrukcije, polazi od idealizovanog dijagrama zavisnosti

jednoosnog naprezanja i deformacija.

Tipična kriva napon-deformacija dobijena u testu standardne triaksijalne kompresije je

prikazana na slici 2.7.b. Opit triaksijalne kompresije se sprovodi na uzorku kod koga je visina

jednaka dvostrukom prečniku, i kod koga je kontrolisan inkrementalni iznos aksijalnog

pomeranja. Osim toga poznati su i granični uslovi po bočnim naponima, tokom trajanja

čitavog opita, dok su nepoznate veličine devijator napona, kao i veličine bočnih pomeranja.

Analizirajući pomenuti eksperiment može se uočiti sledeće ponašanje materijala uzorka:

elastičan opseg – koji predstavlja linearnu vezu između napona i deformacije, pri čemu se

po prestanku dejstva (zadato pomeranje ili zadato opterećenje) uzorak vraća u prvobitno

stanje;

plastičan opseg – slučaj gde postoje deformacije koje se ne vraćaju sa rasterećenjem

uzorka.

20

Za materijal izložen spoljašnjim dejstvima (mehaničkim) kažemo da je trajno - plastično

deformisan ako i posle prestanka spoljašnjeg dejstva ostaje promenjen oblik ili zapremina

materijala u odnosu na neutralno stanje. Kako su komponente deformacije mehaničke veličine

kojima opisujemo stanje, to znači da je u nekoj tački došlo do plastične deformacije ukoliko

je, po prestanku dejstva uzroka deformisanja, bar jedna od komponenata deformacije različita

od nule. Trajni deo deformacije zove plastična deformacija, a za odgovarajući uzorak kažemo

da se u ovom opsegu ponaša plastično.

Napon tečenja je definisan kao najveći napon koji se može postići pre nego što dođe

do početne plastične deformacije. Ovakva definicija granice elastičnosti je više teoretski opis

stanja jer se za realne materijale tačna vrednost napona tečenja veoma teško određuje

eksperimentalnim putem. Ako su eksperimentalna posmatranja dovoljno precizna, onda se

postavlja pitanje da li linearni region ili tačna vrednost napona tečenja uopšte i postoje za

realni material (a naročito za peskove). Međutim, koncept tečenja ima centralnu ulogu u

matematičkoj teoriji plastičnosti i standardno je usvojeno da se material idealizovano ponaša

prvo u linearno-elastičnom regionu posle koga počinje plastično tečenje. Test jednoaksijalne

kompresije se često koristi da se definišu neki aspekti ponašanja materijala, međutim taj test

ne daje zadovoljavajuće odgovore za slučajeve višeosnog naponskog stanja u kome se

najčešće nalazi temeljno tlo.

Postavljaju se sledeća praktična pitanja: Šta se dešava ako na element određenog

materijala deluju nekoliko operećenja u različitim pravcima? Koja kombinacija ovih

opterećenja je merodavna i dovodi do pojave plastičnog tečenja? Kombinacija opterećenja

21

koja izaziva pojavu tečenja u materijalu naziva se kriterijum tečenja. U opštem slučaju,

kriterijum tečenja trebalo bi da zavisi od dejstva primenjenog stanja napona i da odražava

efekat prethodnih opterećenja na mikrostrukturu tog elementa.

Čestice granularnog skeleta tla se pod uticajem smičućih napona pomeraju jedna u

odnosu na drugu. Ako su ovi naponi smicanja veći od otpornosti tla dolazi do klizanja između

čestica, što uslovljava tečenje materijala.

Svesni činjenice da se ni u kom slučaju ne može izbeći idealizacija, usvajamo Hooke-ovu

pretpostavku samo do izvesne granice i to do granice tečenja. Pod početkom tečenja

podrazumeva se stanje pri kome je granica tečenja upravo dostignuta na jednom ili

istovremeno na više mesta u tlu. Proširivanje procesa tečenja kroz konačno prostorno

područje nastaje sa daljim povećanjem opterećenja, pri čemu prema usvojenoj idealizaciji

deformacije postaju plastične i dobijaju veliki priraštaj. Ako je temelj preopterećen, ili ako tlo

ima lošije osobine nego što je pretpostavljeno, tada se Hooke-ov zakon ne može primeniti u

većim područjima jer je tlo isprožimano ravnima klizanja. Od izuzetnog značaja je

proučavanje pojava koje predhode lomu tla, kao i praćenje tipa deformacije koje se javljaju u

samoj fazi loma tla.

Pored konstitutivnih veza kojima se opisuje ponašanje materijala u domenu elastičnosti,

odnosno do pojave plastičnih deformacija, za opisivanje elasto-plastičnog ponašanja

materijala neophodno je poznavati: uslov tečenja, zakon tečenja i zakon ojačanja.

Zavisnost ( )σ = σ ε predstavlja uslov koji mora zadovoljiti napon pritiska ili zatezanja

da bi došlo do pojave, odnosno povećanja plastične deformacije; ovaj uslov je poznat kao

uslov tečenja. On određuje stanje napona pri kome počinje plastično tečenje i definiše

površinu u naponskom prostoru koja odvaja oblast elastičnog ponašanja od oblasti u kojoj

naponi pored elastičnih izazivaju i plastične deformacije. Do sada je bilo reči o samo

jednoosnom naprezanju pa se može konstatovati da se u toj oblasti relativno jednostavno

može utvrditi uslov tečenja materijala. Međutim u opštem slučaju, troosnog naprezanja

problem je veoma složen. Do sada su vršena mnogobrojna eksperimentalna i teorijska

istraživanja, ali ona nisu rezultirala stvaranjem opšte teorije uslova tečenja, koji zapravo

predstavlja jedno od centralnih pitanja teorije plastičnosti.

Ako sa q obeležimo unutrašnje promenjive vezane za strukturu materijala na

makroskopskom nivou, koje se opisuju tenzorom drugog reda pijε i skalarom k , a Košijev

napon σ (spoljašnja promenljiva), onda se kriterijum tečenja može izraziti matematički sa

skalarnom funkcijom tečenja f :

22

f ( ,q) 0σ = (2.75)

gde je:

pijq q = ε (2.76)

Veličina q zavisi od komponenata plastične deformacije pijε i načina deformisanja materijala

(istorije deformacije) u posmatranoj tački.

Pre dalje analize funkcije tečenja f , objasnimo ukratko pojam istorije deformacije

materijala u posmatranoj tački. Naime, eksperimentima se može utvrditi da će povećanje

komponenti plastične deformacije pijε , pri određenim vrednostima pijε nastupiti u opštem

slučaju pri različitim veličinama ijσ za dva različita načina deformisanja materijala u

posmatranoj tački. Ovo znači da funkcija q ne zavisi samo od vrednosti pijε već se mora

uvesti i parametar koji uzima u obzir način deformisanja. Prema Hill-u [ ]52 kao parametar se

može koristiti rad plastičniog deformisanja po jedinici zapremine tela u posmatranoj tački ili

ekvivalentna plastična deformacija.

Neke od osobina funkcije ijf ( ,q)σ najbolje se mogu utvrditi geometrijskim

predstavljanjem ove funkcije u naponskom prostoru. Kako svakoj plastičnoj deformaciji

predhodi elastična, funkcija f predstavlja krivu tečenja u naponskom prostoru koja okružuje

koordinatni početak ( ij 0σ = ) i elastičnu oblast, kako je prikazano na slici 2.7.a.

Na istoj slici je sa 1 označena kriva inicijalne plastične deformacije, koja odgovara

tački 1 u dijagramu ( ),σ ε pri jednoosnom naprezanju. Funkcija tečenja f se menja u opštem

slučaju po obliku i veličini, usled ojačanja materijala.

U literaturi se funkcija f zove i funkcija opterećenja jer se njome mogu utvrditi i

uslovi povećanja plastične deformacije (povećanje "opterećenja") u posmatranoj tački

materijala, odnosno uslovi pri kojima do toga neće doći. Ako posmatramo promenu napona

ijσ u nekoj tački, menjaće se funkcija f , tako da se diferenciranjem po vremenu jednačine

(2.75) dobija sledeći izraz:

pij ijp

ij ij

f f ff kk

∂ ∂ ∂= ⋅σ + ⋅ε + ⋅∂σ ∂ε ∂

(2.77)

23

Ukoliko je u nekom trenutku f 0≺ što znači da imamo "rasterećenje", na slici 2.7.a to bi

odgovaralo putanji 2-3 u naponskom prostoru, odnosno liniji 2-3 u dijagramu ( ),σ ε , pa nema

povećanja plastične deformacije i ojačanja, na osnovu toga sledi da je:

ijij

f 0∂ ⋅σ∂σ

≺ (2.78)

kriterijum "rasterećenja". "Neutralno" opterećenje u nekoj tački postoji u slučaju kada pri

promeni naponskog stanja ne dolazi do povećanja plastične deformacije ( )pij 0, k 0ε = = i pri tom je f 0= , odnosno:

ijij

f 0∂ ⋅σ =∂σ

(2.79)

"Neutralno" opterećenje odgovara putanji 2-4 čiji su elementarni delovi upravni na gradijent

ijf∂ ∂σ površi f . Pri jednoosnom naprezanju „neutralno“ opterećenje se ne može definisati.

Konačno ukoliko je ispunjen uslov f 0 , odnosno

ijij

f 0∂ ⋅σ∂σ

(2.80)

imamo povećanje "opterećenja" u posmatranoj tački (putanje 1-2 na slikama 2.7.a i 2.7.b).

Zbog ojačanja materijala, kako je već predhodno rečeno , menja se u opštem slučaju i

veličina i oblik površi f 0= . Može se pokazati, na osnovu fizičkog uslova da se pri plastičnoj

deformaciji javlja gubitak mehaničke energije, da je površ f 0= konveksna, posmatrano iz

vrha pozitivne normale-usmerene u smeru povećanja f odnosno u smeru gradijenta ijf∂ ∂σ .

Za shvatanje pojma plastičnog materijala potrebno je imati na umu da se, za razliku od

elastičnog tela, rad spoljašnjih sila utrošen na deformaciju ne može vratiti. Drugim rečima,

rad koji se troši pri ciklusu opterećenje-rasterećenje ne može biti negativan (Drucker-ov

postulat). Ovaj postulat uzima se često kao polazna tačka kod izvođenja veza između napona i

brzina deformacija.

Energija koja se troši pri plastičnoj deformaciji svedena na jedinicu zapremine i

vremena da je izrazom

pij ijdR d 0= σ ⋅ ε ≥ (2.81)

24

pri čemu znak jednakosti važi za idealno plastičan materijal. Disipacija (rasipanje) energije

data ovim izrazom može se shvatiti kao fizički zakon plastične deformacije. Može se pokazati

da je tada, u skladu sa ovim, ispunjen i uslov tečenja

ijij

ff 0∂= ⋅σ =∂σ

(2.82)

Gornja jednačina ima sledeću geometrijsku interpretaciju: ako u naponskom prostoru

shvatimo komponente ijσ kao komponente nekog vektora u devetodimenzijalnom prostoru,

vektor ijf∂ ∂σ i vektor brzine ijσ napona su međusobno ortogonalni vektori. Isto tako, i

uslov tečenja ima geometrijsku interpretaciju kao hiperpovršina. Vektor ijσ mora biti

tangencijalan na tu površinu jer je moguća samo ona promena u naponima koja zadovoljava

uslov tečenja - drugim rečima, priraštaj vektora napona mora ležati u tangencijalnoj ravni.

Ako je to tako onda je vektor ijf∂ ∂σ normalan na tu površinu. Dodajmo sada uslovu (2.81)

još i postulat da priraštaj napona ne vrši nikakav rad na brzinama komponentalnih

deformacija plastične deformacije. Ovaj postupak geometrijski interpretirano znači da je

vektor pijε normalan na vektor ijσ i shodno ranijoj činjenici sledi da su vektori pijε i ijf∂ ∂σ

koaksijalni:

pij

ij

f∂ε = λ ⋅

∂σ (2.83)

gde je λ skalarni koeficijent. Da je to pozitivan koeficijent možemo videti iz izraza (2.81)

ijij

fR 0∂= λ ⋅ ⋅σ∂σ

(2.84)

Kako je ijσ vektor koji se meri od početka koordinatnog sistema, a ijf∂ ∂σ ima pravac

normale na površ koja je konveksna, mora da je :

ijij

f 0∂ ⋅σ∂σ

(2.85)

pa je λ pozitivno i zavisi od naponskog stanja, priraštaja napona, veličine plastične

deformacije i istorije deformacije materijala u posmatranoj tački.

Treba primetiti da za sve materijale (na primer tlo) uvedeni fizički postulati nisu

sasvim u skladu sa ponašanjem tih materijala, pa se smatra da ovo izjednačavanje nije sasvim

opravdano. U slučaju da je uslov tečenja definisan sa više funkcija 1f , 2f , ... nf tada je svaka

od tih funkcija važeća za jednu određenu oblast naponskog prostora. Geometrijski

25

predstavljeno, pojedini delovi ove hiperpovršine se seku i na tim prodorima vektor nije

jednoznačno određen. Tada se može prikazati kao linearna kombinacija vektora koji su

normalni na pojedine delove površine:

p kij k

ij

f , k 1, 2,...n∂ε = λ ⋅ =∂σ

(2.86)

Pri tome je svaka od pojedinačnih površina tečenja konveksna. Ovde neće biti izlagano

razmatranje singularnih tačaka, uslova tečenja sa prekidnim izvodima, a u vezi sa tim i

zakona tečenja (videti npr. [ ]15 , [ ]25 , [ ]57 , [ ]108 ).

Za uspostavljanje veze između priraštaja plastičnih deformacija i priraštaja napona

koristi se pretpostavka prema kojoj je inkrement plastičnih deformacija direktno

proporcionalan gradijentu napona. Na taj način, opšti zakon tečenja može da se izvede iz

plastičnog potencijala g , koji je između ostalog skalarna funkcija napona. Tada se inkrementi

plastičnih deformacija dobijaju pomoću gradijenata plastičnog potencijala.

pij

ij

g∂ε = λ ⋅

∂σ (2.87)

gde je dλ koeficijent proporcionalnosti. Jednačinom (2.87) definisan je zakon tečenja.

Zakonom tečenja uspostavlja se veza između pravaca vektora plastičnih deformacija i

funkcije plastičnog potencijala. Obično se uvodi princip normalnosti koji kaže da je

inkrement plastične deformacije upravan na površ plastičnog potencijala, odnosno da leži duž

pravca spoljašnje normale za ovu površ. U slučaju asocijativne plastičnosti funkcija

plastičnog potencijala usvaja se u istom obliku kao funkcija tečenja, pa je inkrement plastične

deformacije upravan na površ tečenja.

Zakon ojačanja poredi veličine inkrementa plastičnih deformacija sa veličinama

inkremenata napona, pošto se stanje napona nalazi na površini tečenja. Ovim zakonom

definiše se širenje ili skupljanje površi tečenja u zavisnosti od ukupnih plastičnih deformacija.

Do sada su vršena mnogobrojna eksperimentalna i teorijska istraživanja, ali ona nisu

rezultirala stvaranjem opšte teorije uslova tečenja, koji zapravo predstavlja jedno od

centralnih pitanja teorije plastičnosti. Interesantno je napomenuti da eksperimentalni rezultati

pokazuju da se kod frikcionih materijala mogu primeniti i neasocijativni modeli, u kojima se

kao plastični potencijal ne koristi funkcija tečenja, već druga funkcija napona.

Na teškoće u primeni asocijativne plastičnosti u rešavanju problema mehanike tla

ukazao je Drucker [ ]36 , [ ]38 . Na osnovu rezultata velikog broja sprovedenih numeričkih analiza

pojedini autori (Zienkiewicz [ ]148 , Vermer [ ]163 ) zaključuju da primena asocijativne plastičnosti

26

u modeliranju mehaničkog ponašanja frikcionih materijala ne daje rezultate koji odgovaraju

ponašanju tog materijala u fizičkim eksperimentima. Prema njihovom mišljenju glavni razlog

za navedeno odstupanje je pre svega u značajnom povećanju zapreminskih plastičnih

deformacija, usled kojih primena asocijativne plastičnosti ne daje realne rezultate pri

rešavanju određenih graničnih problema.

Ovakvo ponašanje tla prevashodno se nalazi u pojavi dilatancije. Pojava povećanja

zapremine tla pri promeni smičućih napona, u mehanici tla se koristi izraz dilatancija, kojim

se objašnjava uticaj uzglobljenja zrna na ukupnu smičuću otpornost. Dilatancija je skalarni

pokazatelj strukturnih karakteristika određene vrste tla. Dilatanciju zbijenih peskova prvi je

uočio Reynolds, 1885.god., koji je eksperimentalno pokazao da se zbijeni peskovi šire pri

uticaju smičućih napona. Iz ovih eksperimenata nije proizišla nikakva praktična mera koja bi

mogla da ukaže na vezu između dilatancije i smičuće otpornosti zrnastih materijala.

Casagrande 1936.god., je pokazao zavisnost ugla smičuće otpornosti peskova u funkciji

koeficijenta poroznosti i zapreminskih promena uzorka peska izloženog smicanju. Pokazao je

da se zbijeni peskovi šire pri smicanju i pokazuju relativno velike vrednosti ugla smičuće

otpornosti, dok se rastresiti peskovi tokom smicanja sabijaju pokazujući pri tome značajno

manje vrednosti ugla smičuće otpornosti.

Efekti dilatancije su značajni u nižim područjima normalnih napona i postepeno

nestaju sa porastom normalnih napona. Pri veoma visokim naponima, ponašanje većine

frikcionih materijala zavisi od trenja koje je praćeno drobljenjem zrna. Za dovoljno visok

nivo normalnih napona, efekti dilatancije se potpuno gube i materijal se plastično deformiše

pri konstantnoj zapremini.

Radi definisanja kriterijuma koji bi jedinstveno kvantifikovao pojavu dilatancije u

ovom radu se koristi parametar koji se, zbog praktične primene, najčešće koristi u literaturi i

predstavlja tzv. ugao dilatancije

27

2.6 Elasto-plastični modeli za tlo 2.6.1 Mohr-Coulomb-ov uslov tečenja

Francuski vojni inženjer Coulomb (1773) je postavio hipotezu kojom definiše veličinu

otpornosti tla na smicanje, pomoću poznatog izraza:

f tan cτ = σ φ+ (2.88)

gde su:

σ - normalni napon koji deluje u ravni napona fτ

c - specifična kohezija

tanφ - konstanta proporcionalnosti koja izražava linearnu zavisnost između normalnog napona σ i smičućeg napona fτ .

Sama formulacija izraza je posledica eksperimenata u kojima su smicani uzorci drveta i u

kojima je pokazano da smičuća otpornost veze dva drvena elementa linearno zavisi od

veličine normalnog napona. Njegovim radovima započelo je tumačenje graničnih stanja u tlu.

Uglavnom je razmatrao problem pritisaka na potporne konstrukcije, ali je analizirao i

stabilnost bočnih strana iskopa u prirodno vlažnom koherentnom tlu, pri čemu je koristeći

pretpostavku o ravnim površinama klizanja, odredio izraz za graničnu visinu vertikalnog

zaseka.

Mohr (1882) je formulisao uslov loma za materijale sa nejednakom otpornošću na pritisak

i zatezanje, izražen preko glavnih napona. Ograničio je domen važnosti ovako formulisanog

uslova loma, tako da se ova linearna anvelopa posmatra kao granična kriva za naponska stanja

pri jedoosnom pritisku i zatezanju. Stiče se utisak da Mohr i nije imao nameru da uspostavi

opšti uslov loma, već je pokušao da odredi međusobni odnos osnovnih mehaničkih

karakteristika, i to pre svega između čvrstoće na smicanje i čvstoće na pritisak. Mohr-ova

hipoteza ne uzima uticaj srednjeg glavnog napona na formiranje uslova plastičnosti, tako da

na granično stanje utiču samo algebarski najveći i najmanji napon. Mohr je relaciju (2.88)

izrazio preko glavnih napona u sledećem obliku:

( ) ( )1 3 1 3 tan 2d 0σ −σ − σ +σ ⋅ α − = (2.89)

gde je:

d c cos , tan sin= ⋅ φ α = φ (2.90)

28

Empirijski Mohr-Coulomb-ov linearni kriterijum tečenja zadovoljavajuće opisuje stanje

napona pri tečenju za određeni interval promene napona za sve vrste tla u konvencionalnoj

mehanici tla.

Presek ovako definisane prave linije sa nultim nivoom normalnih napona daje odsečak

koji predstavlja komponentu smičuće čvrstoće koja ne obuhvata trenje. Ovaj parametar ima

fizičkog smisla samo onda kad su čestice tla međusobno povezane značajnim silama, bez

obzira na njihovu pravu prirodu; tada tlo ima koheziju.

Parametre smičuće otpornosti treba shvatiti kao empirijske veličine i oni zavise od

pripreme samih uzoraka i vrste ispitivanja. Potrebno je primeniti ona ispitivanja koja

najpribližnije simuliraju stanje napona i deformacija i njihove promene u posmatranom

uzorku tla.

Linearna idealizacija, kod koje su kohezija i ugao smičuće čvrstoće nezavisni od nivoa

napona, može se smatrati dobrom za rastresite peskove i normalne konsolidovane gline. Kod

materijala koji pokazuju kruto ponašanje, tečenje se dešava progresivno, sa različitim

stepenom angažovanja otpornosti u pojedinim tačkama same površi tečenja.

Eksperimentalno je utvrđeno da se gore navedena zakonitost može primeniti sa

konstantnim vrednostima parametra otpornosti samo za određene promene normalnog

napona. Odstupanje od linearne anvelope može biti izraženo u području malih napona, što je

posebno važno kod ispitivanja pri kojima su naponi niski.

Izraze (2.62) i (2.64) možemo napisati u sledećem obliku:

1 32dJ cos2

σ −σ= θ (2.91)

29

1 31 2d

1 1I J sin2 3 3

σ +σ= − θ (2.92)

Ako u jednačinu (2.89) unesemo izraze (2.91) i (2.92), jednačinu (2.90) možemo, posle

elementarnih transformacija, napisati u sledećem obliku:

12d 2d

1 If J cos J sin sin sin c cos 033

= θ + θ φ− φ− ⋅ φ = (2.93.1)

gde je Lode-ov ugao:

1 3d3/ 22d

I1 3 3sin3 2 I

− θ = − ⋅ ⋅

(2.93.2)

Ako se uzmu u obzir i druge dve kombinacije napona ( 2 1σ σ i 3 1σ σ ) mogu se

dobiti još dve relacije oblika (2.93). U trodimenzionalnom prostoru glavnih napona površ

tečenja, koja se dobija kada se uzmu u obzir sve tri predhodne kombinacije, predstavlja

nepravilnu šestostranu piramidu duž hidrostatičke ose čija je projekcija na ravan nepravilni

šestougaonik (slika 2.9).

Ovakav oblik površi tečenja koji se u ovom slučaju javlja, a ne cilindrični, posledica je

učešća sfernog dela tenzora napona u uslovu tečenja. Za vezano tlo, ako uticaj kohezije

zamenimo uporednim normalnim naponom cσ , jednačinu (2.93.1) za slučaj hidrostatičkog

naponskog stanja ( 1 2 3σ = σ = σ ), možemo napisati u sledećem obliku 1 c c ctgσ = σ = ⋅ φ .

Geometrijskom interpretacijom ovog izraza uočava se položaj vrha piramide na prostornoj

dijagonali ( 1 2 3σ = σ = σ ) a na odstojanju od koordinatnog početka koje je jednako uporednom

normalnom naponu c c ctgσ = ⋅ φ .

30

Vrednosti maksimalnog i minimalnog poluprečnika krugova koji prolaze kroz uglove

piramide u π ravni jednake su:

max 2d2 6 с cos, R 2J

6 3 sinπ ⋅ ⋅ φ

θ = − = =− φ

(2.94.1)

min 2d2 6 с cos, R 2J

6 3 sinπ ⋅ ⋅ φ

θ = = =+ φ

(2.94.2)

2.6.2 Drucker-Prager-ov uslov tečenja

Ovaj model je nastao aproksimacijom Mohr-Coulomb-ove površi tečenja sa glatkom

površi i kao modifikacija dobro poznatog Von Mises-ovog materijalnog modela uključujući

sfernu komponentu tenzora napona.

Drucker i Prager (1952) predložili su uslov tečenja u obliku:

2d 1f I I k 0= −α − = (2.95)

gde su:

1I - prva invarijanta tenzora napona,

2dI - druga invarijanta devijatora tenzora napona,

, kα - materijalne konstante.

Ukoliko je 0α = jednačina (2.95) prelazi u Von Mises-ov uslov tečenja. Konstante α

i k mogu se odrediti u zavisnosti od kohezije c i ugla smičuće otpornosti φ predpostavljajući

da istovremeno Drucker-Prager-ov i Mohr-Coulomb-ov kriterijum tečenja daju identično

granično opterećenje za date eksperimentalne uslove. Koristeći jednačine (2.94.1) i (2.95)

zavisnost se može predstaviti, u triaksijalnim uslovima za CTC test:

( )2sin

3 3 sinφ

α =− φ

(2.96.1)

( )6ccos ck

tan3 3 sinφ

= = αφ− φ

(2.96.2)

31

U uslovima ravanskog stanja deformacija ova veza se može prikazati u obliku:

2

tan9 12 tan

φα =

+ φ (2.97.1)

2

3ck9 12 tan

=+ φ

(2.97.2)

Ograničenja u praktičnim primenama Drucker-Prager-ovog modela su detaljno

prikazana u radu [ ]21 .

2.6.3 Kapa model

DiMaggio i Sandler (1971) su formulisali elasto-plastičan model koji se sastoji od dve

površi tečenja koje se seku. Jedna površ tečenja opisuje idealno elasto-plastično ponašanje, a

druga površ tečenja - kapa obuhvata izotropno ojačanje materijala pri povećanju plastične

deformacije. Familija površi tečenja formira "kape" [ ]21 , pa otuda i ime modelu.

Modifikovanom Drucker-Pragerovom površi tečenja je fiksirana u prostoru glavnih

napona i može se napisati u obliku

1If 2d 1f I e I 0

−β= + γ −θ −α = (2.98)

gde je:

1I - prva invarijanta tenzora napona,

2dI - druga invarijanta devijatora tenzora napona i

, , ,α β γ θ - materijalni parametri koji se eksperimentalno određuju.

Druga površ tečenja je kapa koja se širi u prostoru glavnih napona u funkciji

zapreminskih plastičnih deformacija. Posmatramo slučaj kape prikazane sledećom

jednačinom:

( )22 2 2c 2d 1f R I I C R B 0= + − − = (2.99)

koja predstavlja elipsu sa poluosama X C− i B . Parametar R predstavlja odnos između

manje i veće poluose elipse, dok su C i X centar odnosno teme elipse na apcisnoj osi.

Ojačanje materijala je definisano preko promene zapreminske plastične deformacije, u obliku:

pv1X ln 1 Z

D W ε

= − − +

(2.100)

gde su:

32

X - vrednost 1I u preseku kape i hidrostatičke ose,

pvε - zapreminska plastična deformacija koja odgovara tekućem X i

D , Z i W - materijalni parametri modela.

Veličina D određuje brzinu promene zapreminske plastične deformacije, Z određuje

početnu elipsu, a W predstavlja maksimalnu plastičnu zapreminsku deformaciju koja

smanjuje poroznost materijala na početnu vrednost.

U elastičnoj oblasti model obuhvata ponašanje nelinearno elastičnog tela. U elasto-

plastičnoj oblasti prirodu deformacija određuje eliptična kapa. Ako se tekuće naponsko stanje

nalazi na površi kape u slučaju asocijativne plastičnosti vektor priraštaja plastičnih

deformacija je upravan na eliptičnu površ tečenja. Zbog oblika kape, vektor priraštaja

zapreminske plastične deformacije ima uvek pozitivnu komponentu u pravcu prve invarijante,

pri čemu se kapa pomera unapred, odnosno materijal ojačava. U slučaju plastičnog

deformisanja na graničnoj površi loma priraštaji zapreminskih plastičnih deformacija su

negativni, odnosno sa razvojem dilatancije javlja se kontrakcija kape. Na taj način je kretanje

kape određeno povećanjem ili smanjenjem zapreminske plastične deformacije.

Za domen koji obuhvata male napone se može uvesti i tzv. početna (inicijalna) kapa

čiji je centar u koordinatnom početku. Za definisanje modela potrebno je odrediti deset

materijalnih parametara: dva elastična ( E,ν ), četiri za graničnu površ tečenja ( , , ,α β γ θ ) i na

kraju još četiri konstante za eliptičnu kapu ( D , Z , W i R ).

33

Potrebno je napomenuti da se kod nelinearne elastičnosti broj elastičnih parametara

povećava srazmerno usvojenom stepenu nelinearnosti. Svi materijalni parametri se mogu

odrediti na osnovu standardnih laboratorijskih testova i numeričkih procedura [ ]31 .

2.6.4 HISS model

Desai [ ]32 , [ ]33 je predložio hijerarhijski koncept definisanja materijalnih modela (HISS)

u oblasti plastičnosti. Opšti oblik funkcije tečenja predstavljen je polinomom koji sadrži

invarijante napona i devijatora napona. Funkcija tečenja menja oblik i veličinu u toku

deformisanja, čime se obuhvata ojačanje ili omekšanje materijala.

U ovom radu razmatra se funkcija tečenja za izotropno ojačanje asocijativne

plastičnosti:

2a 2d b sf p I F F 0−= − ⋅ = (2.101.1)

gde je:

( ) ( )n 2b 1 a 1 aF I p I p= −α ⋅ + γ ⋅ (2.101.2)

( )ms rF 1 S= −β⋅ (2.101.3)

32

r 3d 2dS 3 3 2 I I−= ⋅ ⋅ (2.101.4)

α funkcija ojačanja,

n , γ , β i m materijalne konstante i

ap atmosferski pritisak.

bF je osnovna funkcija koja prikazuje oblik funkcije tečenja u 1 2dI I− prostoru, sF funkcija

koja reprezentuje oblik u oktaedarskoj ravni.

Oblik funkcije ojačanja se definiše relacijom:

1aηα = ξ (2.102)

gde su:

1a i η materialne konstante kojima se opisuje ojačanje materijala i

ξ je ekvivalentna (efektivna) plastična deformacija.

Efektivna plastična deformacija definisana je relacijom:

34

( )1/ 2p pij ijd dξ = ε ε∫ (2.103)

Slika 2.11 Funkcija tečenja HISS (C.S.Desai, 1986): (a) u prostoru 1 2dI I− ; (b) u triaksijalnoj ravni; (c) u devijatorskoj ravni

HISS uslov tečenja uspešno opisuje ponašanje frikcionih materijala za različite

putanje napona. Prednost ovog modela, između ostalog, je što za razliku od većine

kompleksnih elasto-plastičnih modela nema posebno definisanu graničnu površ loma.

35

3. INKREMENTALNA FORMULACIJA OSNOVNIH JEDNAČINA STATIČKE ANALIZE

3.1. Uvod

Kada je potrebno formirati matematički model posmatranog mehaničkog sistema u

mehanici tla ne mogu se izbeći nelinearni problemi, što podrazumeva korišćenje formulacija

nelinearne mehanike kontinuuma. Nelinearna mehanika kontinuuma nije dostigla stepen

razvoja u kome se većina problema mogu svesti na diferencijalne jednačine za koje postoji

razrađene metode integracije, za razliku od teorije elastičnosti koja je dostigla izvestan stepen

matematičke potpunosti [ ]89 .

Odeljci 3.1, 3.2 i 3.3 ovog poglavlja urađeni su prema mongrafiji[ ]8 . Na slici 3.1

prikazane su tri konfiguracije proizvoljnog tela u toku deformacije: početna 0Ω , tekuća nΩ i

naknadna konfiguracija n 1+ Ω . Predpostavljamo da je rešenje za kinematičke i statičke veličine

za sve konfiguracije 0Ω , 1Ω , 2Ω , ..., nΩ poznato i da je potrebno odrediti rešenje za

konfiguraciju n 1+ Ω .

Koordinate proizvoljne tačke P tela u konfiguraciji 0Ω su 0 01 2x , x i

03x u

nΩ su

n n1 2x , x i

n3x i u

n 1+ Ω su n 1 n 11 2x , x+ + i n 1 3x

+ . Na sličan način se obeležavaju i pomeranja,

odnosno:

( )n 0 n

i i in 1 0 n 1

i i i

x x u, i 1, 2,3

x x u+ += + =

= + (3.1)

36

Nepoznate inkremente pomeranja od nΩ do konfiguracije n 1+ Ω mogu se obeležiti sa

( )n 1 ni i iu u u , i 1,2,3+∆ = − = (3.2)

U toku deformacije tela, njegova površina, naponi i deformacije menjaju se kontinualno.

Površinu tela ćemo obeležiti sa 0 A , n A i n 1A+ .

Pošto je konfiguracija n 1+ Ω nepoznata, sve spoljašnje sile, napone i deformacije

izrazićemo u odnosu na neku poznatu ravnotežnu konfiguraciju. Komponente površinskih sila

po jedinici površine u konfiguraciji n 1+ Ω , ali merene u konfiguraciji nΩ , su ( )n 1n ip , i 1, 2,3+ = .

Slično je i kod napona. Komponente Piola-Kirchoff-ovog tenzora napona druge vrste koje

odgovaraju konfiguraciji n 1+ Ω , ali merene u konfiguraciji nΩ , obeležićemo sa n 1n ijS+ . Ako se

radi o veličini koja se posmatra u istoj konfiguraciji u kojoj se meri tada se levi donji indeks

može izostaviti. To je slučaj kod Cauchy-jevog tenzora napona, tj. n 1 n 1n+ +σ = σ . Komponente

Cauchy-jevog infinitezimalnog tenzora deformacije koje odgovaraju konfiguraciji n 1+ Ω

obeležićemo sa n 1 ije+ . Komponente Green-Lagrange-ovog tenzora deformacije koje

odgovaraju konfiguraciji n 1+ Ω u odnosu na konfiguraciju nΩ obeležićemo sa n 1n+ ε .

Referentne konfiguracije u odnosu na koje ćemo određivati veličine spoljnih sila Piola-

Kirchoff-ovog tenzora napona druge vrste i Green-Lagrange-ovog tenzora deformacije će biti 0Ω i nΩ .

U formulaciji osnovnih jednačina ravnoteže pojaviće se i izvod pomeranja i

koordinata. Prema usvojenoj notaciji zarezom ćemo označiti izvod po koordinati koja sledi

iza nje, a levi donji indeks će označavati konfiguraciju u kojoj je posmatrana koordinata

merena. U Lagrange-ovoj inkrementalnoj formulaciji ravnotežu tela u konfiguraciji (n+1)

izrazićemo korišćenjem principa virtuelnih pomeranja. Osnovna pretpostavka od koje se

polazi pri definisanju ovoga principa je da on važi za konstrukciju u ravnoteži. Iskaz da je

algebarski zbir radova svih spoljašnjih i unutrašnjih sila pri bilo kojim virtuelnim

pomeranjima tačaka tela jednak je nuli formuliše princip virtuelnih pomeranja. Pod pojmom

virtuelna ili moguća pomeranja podrazumevamo beskonačno mala proizvoljna pomeranja

koja su neprekidne i diferencijabilne funkcije koordinata tačaka tela i jednaka su nuli u svim

onim tačkama u kojima su konturni uslovi zadati po pomeranjima. Princip virtuelnih

pomeranja, odnosno slaba forma jednačine momentnog balansa, zadovoljava diferencijalnu

jednačinu problema (uslove ravnoteže tela), granične uslove koji predstavljaju poznata

37

pomeranja i zadate sile na granici razmatranog domena. Princip virtuelnih pomeranja za

konfiguraciju n 1+ Ω glasi:

n 1 n 1u sR R

+ +δ = δ (3.3)

gde je: n 1 uR+ δ - virtuelni rad unutrašnjih sila (rad stvarnih napona na virtuelnim

deformacijama), a n 1 sR+ δ - virtuelni rad spoljašnjih sila (rad zapreminskih i površinskih sila

na virtuelnim pomeranjima),

n 1

n 1 n 1 n 1 n 1u ij ij

V

R e dV+

+ + + +δ = σ δ∫ (3.4.1)

n 1 n 1

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 s n 1s n 1 i i n 1 i i

V A

R f u dV p u dA+ +

+ + + + + + + ++ +δ = ρ δ + δ∫ ∫ (3.4.2)

( )n 1n 1

jn 1 n 1 n 1iij n 1 i, j n 1 j,in 1 n 1

j i

u1 u 1e u u2 x x 2

+++ + +

+ ++ +

∂δ∂δδ = + = δ + ∂ ∂

(3.4.3)

Primenom jednačine (3.3) dolazi se do jednačina ravnoteže. Rešenje jednačine (3.3)

nije moguće dobiti direktno pošto je konfiguracija n 1+ Ω nepoznata. Moguće je dobiti

približno rešenje ako se sve promenljive izraze preko odgovarajućih veličina u nekoj

predhodno izračunatoj ravnotežnoj konfiguraciji i izvrši linearizacija tako dobijene jednačine.

Bilo koja već sračunata konfiguracija može se usvojiti kao referentna konfiguracija. U

praktičnim primenama koriste se dve varijante Lagrange-ove inkrementalne formulacije:

totalna Lagrange-ova formulacija i korigovana Lagrange-ova formulacija.

3.2 Formulisanje rešenja nelinearnih jednačina 3.2.1. Totalna Lagrange-ova formulacija

U totalnoj Lagrange-ovoj formulaciji za referentnu konfiguraciju usvajamo početnu

konfiguraciju 0Ω . Ako u (3.4.1) izrazimo n 1 uR+ δ preko Piola-Kirchoff-ovog tenzora napona

druge vrste i Green-Lagrange-ovog tenzora deformacije, koristeći relaciju (36) ispisanu za

konfiguraciju n 1+ Ω :

0

n 1 n 1 n 1 0u 0 ij 0 ij

V

R S dV+ + +δ = δ ε∫ (3.5)

Spoljne sile u izrazu (3.4.2) možemo napisati u obliku

38

n 1 n 1 n 1 0 n 1 0n 1 i 0 if dV f dV

+ + + ++ρ = ρ (3.6)

n 1 n 1 n 1 0n 1 i 0 ip dF p dA+ + ++ = (3.7)

gde je usvojena pretpostavka da veličine i pravci sila 0 n 10 if+ρ i n 10 ip

+ ne zavise od deformacije

tela u konfiguraciji n 1+ Ω . Jednačine ravnoteže tela u konfiguraciju n 1+ Ω u odnosu na

ravnotežnu konfiguraciju 0Ω možemo napisati u obliku:

0

n 1 n 1 0 n 10 ij 0 ij s

V

S dV R+ + +⋅δ ε ⋅ = δ∫ (3.8)

gde je na osnovu (3.4.2), (3.6) i (3.7)

0 0

n 1 0 n 1 n 1 0 n 1 n 1 a 0s 0 i i 0 i i

V A

R f u dV p u dA+ + + + +δ = ρ δ + δ∫ ∫ (3.9)

U jednačini (3.8) n 10 ijS+ -Piola-Kirchoff-ov tenzor napona druge vrste u konfiguraciji n 1+ Ω , a

merene u konfiguraciji 0Ω je

0n 1 0 n 1 0

0 ij n 1 i,k kl n 1 j,ln 1S x x+ +

+ ++

ρ= ⋅ σ ⋅

ρ (3.10)

a n 10 ij+δ ε varijaciona komponenta Green-Lagrange-ov tenzor deformacije u konfiguraciji

n 1+ Ω , a merene u konfiguraciji 0Ω

Tenzor deformacije koji je u saglasnosti sa Piola-Kirchoff-ovim tenzorom napona

druge vrste je Green-Lagrange-ov tenzor deformacije. Varijacija Green-Lagrange-ov tenzor

deformacije može se prikazati jednačinom:

( )n 1 n 1 n 1 n 1 n 10 ij 0 i, j 0 j,i 0 k,i 0 k, j1 u u u u2+ + + + +δ ε = δ + + ⋅ (3.11)

Kao što je već rečeno, ako su nam poznate komponente Piola-Kirchoff-ovog tenzora napona

druge vrste i pomeranja u konfiguraciji nΩ , možemo odgovarajuće veličine vezane za

konfiguraciju n 1+ Ω odrediti korišćenjem sledeće inkrementalne dekompozicije:

n 1 n0 ij 0 ij ijS S S+ = + ∆ (3.12.1)

n 1 n0 ij 0 ij ij+ ε = ε + ∆ε (3.12.2)

n 1 ni i iu u u

+ = + ∆ (3.12.3)

39

gde su: ijS∆ i ij∆ε inkrementi Piola-Kirchoff-ovog tenzora napona druge vrste i Green-

Lagrange-ovog tenzora deformacije koji se odnose na početnu konfiguraciju 0Ω , a iu∆ je

inkrement pomeranja. Polazeći od relacije kojom je izražen Green-Lagrange-ov tenzor

deformacije preko pomeranja, uz vođenje računa o jednačini (3.12), dobija se:

n 1 nij 0 ij 0 ij

+∆ε = ε − ε (3.13)

( ) ( ) ( )n 1 n n 1 n n 1 n 1 n nij 0 i, j 0 i, j 0 j,i 0 j,i 0 i,k 0 k, j 0 i,k 0 k, j1 u u u u u u u u2+ + + + ∆ε = − + − + ⋅ − ⋅ =

( ) ( )n 1 n n 1 ni i j j0 0j i

1 u u u u2 x x

+ + ∂ ∂

− + − +∂ ∂

( ) ( )n n n n0 i,k k,i 0 j,k k, j 0 i,k 0 k, ju u u u u u + ∆ + + ∆ + ⋅

(3.14)

Odnosno;

( )n nij 0 i, j 0 j,i 0 i,k 0 k, j 0 j,k 0 k,i 0 i,k 0 k, j1 u u u u u u u u2∆ε = ∆ + ∆ + ⋅ ∆ + ⋅ ∆ + ∆ ⋅ ∆ (3.15)

Inkrement Green-Lagrange-ovog tenzora deformacije ij∆ε može se prikazati kao odgovarajući zbir linearnog i nelinearnog dela:

ij ij ije∆ε = ∆ + ∆η (3.16)

gde su:

( )n nij 0 i, j 0 j,i 0 i,k 0 k, j 0 j,k 0 k,i1e u u u u u u2∆ = ∆ + ∆ + ⋅ ∆ + ⋅ ∆ (3.17)

ij 0 i,k 0 k, j1 u u2

∆η = ∆ ⋅ ∆ (3.18)

Iz jednačine (3.12.2) sledi:

( )n 1 n0 ij 0 ij ij ij+δ ε = δ ε + ∆ε = δ∆ε (3.19)

pa korišćenjem gornje jednačine i jednačine (3.8) uslov ravnoteže možemo napisati u obliku:

0 0

0 n 1 n 0ij ij s 0 ij ij

V V

S dV R S dV+∆ ⋅δ∆ε ⋅ = δ − ⋅δ∆ε ⋅∫ ∫ (3.20)

veza između inkremenata napona i deformacija je oblika:

nij 0 ijkl klS D∆ = ∆ε (3.21)

40

pa smenom jednačine (3.21) u jednačini (3.20) dobijamo oblik:

0 0 0

n 0 n 0 n 1 n 00 ijkl kl ij 0 ij ij s 0 ij ij

V V V

D dV S dV R S dV+∆ε ⋅δ∆ε ⋅ + ⋅δ∆η ⋅ = δ − ⋅δ∆ε ⋅∫ ∫ ∫ (3.22)

koji predstavlja nelinearnu jednačinu za određivanje inkrementa pomeranja iu∆ u totalnoj Lagrange-ovoj formulaciji.

3.2.2.Korigovana Lagrange-ova formulacija

Kod korigovane Lagrange-ove formulacije za referntnu konfiguraciju usvajamo

tekuću konfiguraciju tela nΩ . Analogno predhodnom razmatranju, jednačina (3.3) dobija

oblik:

n

n 1 n 1 n n 1n ij n ij s

V

S dV R+ + +⋅δ ε ⋅ = δ∫ (3.23)

n 1n ijS+ -Piola-Kirchoff-ov tenzor napona druge vrste u konfig. n 1+ Ω , a merene u konfig. nΩ

n 1n ij+ ε -Green-Lagrange-ov tenzor deformacije u konfiguraciji n 1+ Ω , a merene u konfig. nΩ

n 1sR

+ δ -rad spoljašnjih sila pri virtuelnim pomeranjima

Pretpostavljajući da je opterećenje nezavisno od deformacije tela, slično prethodnim

razmatranjima, dobija se nelinearna jednačina za određivanje inkrementalnog pomeranja

iu∆ u korigovanoj Lagrange-ovoj formulaciji u sledećem obliku:

n n n

n n n n n 1 n nn ijkl n kl n ij ij n ij s ij ij

V V V

D dV dV R dV+∆ε ⋅δ ∆ε ⋅ + σ ⋅δ ∆η ⋅ = δ − σ ⋅δ∆ε ⋅∫ ∫ ∫ (3.24)

3.2.3 Linearizacija jednačina ravnoteže

U inkrementalno iterativnim postupcima princip virtuelnih pomeranja je zadovoljen na

kraju ili početku svakog inkrementa opterećenja što znači da je primenom ovih postupaka

obezbeđena ravnoteža razmatranog mehaničkog sistema (tela) samo u diskretnim koracima

nanošenja spoljnog opterećenja. Da bi se postigla zahtevana ravnoteža tela u pojedinim

inkrementima razmatranog nelinearnog mehaničkog sistema neophodno je korišćenje

odgovarajućih iterativnih postupaka. Poslužićemo se geometrijskom interpretacijom, tj. u

prostoru nezavisnih parametara ravnotežna stanja sistema formiraju krivu, pa konvergencija

rešenja direktno zavisi od usvojenog reda aproksimacije te krive. Postupkom linearizacije

41

uvodimo aproksimaciju razmatrane krive njenom tangentom. Linearizacijom principa

virtuelnih pomeranja dolazi se do pojma neuravnoteženih sila koje deluju na posmatrani

mehanički sistem kao i do pojma tangentne matrice krutosti sistema koja karakteriše odgovor

sistema na neuravnoteženu pobudu. Jednačine ravnoteže (3.22) i (3.24) su nelinearne po

inkrementima pomeranja. Linearizaciju možemo izvršiti usvajanjem sledeće aproksimacije:

0 ij 0 ije∆ε ≈ ∆ (3.25)

ij 0 ijkl 0 klS D∆ = ⋅ ∆ε (3.26)

ij 0 ijeδ∆ε ≈ δ ∆ (3.27)

Ako u jednačini (3.22) unesemo odgovarajuće izraze možemo napisati sledeću jednačinu

ravnoteže u totalnoj Lagrange-ovoj formulaciji:

0 0 0

n 0 n 0 n 1 n 00 ijkl 0 kl ij 0 ij 0 ij e 0 ij 0 ij

V V V

D e e dV S dV R S e dV+⋅ ∆ ⋅δ∆ ⋅ + ⋅δ ∆η ⋅ = δ − ⋅δ ∆ ⋅∫ ∫ ∫ (3.28)

Prema predhodno izvršenoj linearizaciji:

ij n ijkl klS D e∆ ≈ ⋅∆ (3.29)

ij ijeδ∆ε ≈ δ∆ (3.30)

Jednačina ravnoteže u korigovanoj Lagrange-ovoj formulaciji (3.24) dobija sledeći oblik:

n n n

n n n n n 0 n 1n ijkl n kl n ij ij 0 ij ij n ij s

V V V

D e e dV dV e dV R+⋅ ∆ ⋅δ ∆ ⋅ + σ ⋅δ ∆η ⋅ + σ ⋅δ ∆ ⋅ = δ∫ ∫ ∫ (3.31)

Jednačine (3.28) i (3.31) su linearne jednačine po inkrementalnim pomeranjima. Izraz

(3.31) predstavlja linearizovani oblik priraštaja unutrašnjeg virtuelnog rada u odnosu na

priraštaj prostornih pomeranja u datoj tački prostora. Na osnovu njega se određuje

linearizovani priraštaj unutrašnje energije sistema u odnosu na komponente pro