Kommutative Algebra im SS 2018 - Universität Regensburg · Ideals, Varieties, and Algorithms: An...

Kommutative Algebra

Sommersemester 2018Universitat Regensburg

Clara Loh

Version vom 8. Juli [email protected] fur Mathematik, Universitat Regensburg, 93040 Regensburg©Clara Loh, 2018

Inhaltsverzeichnis

Literaturhinweise vii

0 Einfuhrung 1

1 Grundwortschatz Kategorientheorie 51.1 Kategorien 6

1.1.1 Kategorien 6

1.1.2 Wiederholung: Die Kategorie der Ringe 9

1.1.3 Wiederholung: Die Kategorie der Moduln 12

1.1.4 Kommutative Diagramme 15

1.2 Funktoren 161.2.1 Funktoren 17

1.2.2 Wiederholung: Dualraume 20

1.3 Naturliche Transformationen 221.3.1 Naturliche Transformationen 22

1.3.2 Darstellbare Funktoren 24

1.4 (Ko)Limiten 261.4.1 (Ko)Limiten 26

1.4.2 Alte Bekannte 30

1.4.3 Vertraglichkeit mit (Ko)Limiten 33

1.5 Beispiel: Das Tensorprodukt 351.5.1 Wiederholung: Das Tensorprodukt von Vektorraumen 35

1.5.2 Das Tensorprodukt 37

1.5.3 Vertraglichkeit mit Kolimiten 42

1.5.4 Beispiele 45

iv Inhaltsverzeichnis

2 Das Primspektrum 492.1 Das Primspektrum 50

2.1.1 Wiederholung: Primideale und maximale Ideale 50

2.1.2 Punkte vs. Ideale 52

2.1.3 Das Primspektrum 54

2.2 Affine algebraische Geometrie 582.2.1 Der affine Raum 58

2.2.2 Die Zariski-Topologie 60

2.2.3 Affine algebraische Mengen und Radikale 62

2.3 Dimension 742.3.1 Die Dimension eines Rings 74

2.3.2 Polynomringe in einer Variablen 75

2.3.3 Polynomringe in mehreren Variablen 80

3 Lokalisierung 853.1 Lokale Ringe 863.2 Lokalisierung von Ringen und Moduln 89

3.2.1 Lokalisierung von Ringen 90

3.2.2 Lokalisierung von Moduln 94

3.2.3 Exaktheit 96

3.3 Lokalisierung und das Primspektrum 973.3.1 Das Primspektrum von Lokalisierungen 98

3.3.2 Lokalisierungen und Dimension 101

3.4 Lokale Eigenschaften 1043.5 Vervollstandigung 112

4 Noethersche und Artinsche Ringe 1194.1 Noethersche Ringe und Moduln 120

4.1.1 Noethersche Ringe 120

4.1.2 Moduln uber noetherschen Ringen 123

4.1.3 Der Hilbertsche Basissatz 124

4.2 Der Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes 1264.3 Primarzerlegung 130

4.3.1 Primare Ideale 130

4.3.2 Primarzerlegung in noetherschen Ringen 132

4.4 Artinsche Ringe 1384.5 Dedekindringe 141

4.5.1 Diskrete Bewertungsringe 143

4.5.2 Eine lokale Charakterisierung von Dedekindringen 147

5 Elementare Homologische Algebra 1495.1 Kettenkomplexe und Homologie 150

5.1.1 Die Kategorie der Kettenkomplexe 150

5.1.2 Homologie von Kettenkomplexen 153

5.1.3 Funferlemma und lange exakte Homologiesequenz 156

5.2 Projektive Auflosungen 1595.2.1 Projektive Moduln 160

Inhaltsverzeichnis v

5.2.2 Projektive Auflosungen 1635.2.3 Der Fundamentalsatz der homologischen Algebra 167

5.3 Tor 1705.3.1 Axiomatische Beschreibung 1715.3.2 Konstruktion 1735.3.3 Beispiele 176

A Anhang A.1A.1 Das Worterbuch der affinen algebraischen Geometrie A.3A.2 Die adische Topologie A.5A.3 Algorithmische Kommutative Algebra A.7

A.3.1 Monomiale Ideale A.8A.3.2 Leitkoeffizienten A.8A.3.3 Verallgemeinerte Division A.9A.3.4 Grobner-Basen A.10A.3.5 Der Algorithmus von Buchberger A.11A.3.6 Ein Beispielproblem A.12

B Ubungsblatter B.1

C Fingerubungen C.1

D Allgemeine Hinweise D.1

Literaturverzeichnis E.1

Symbolverzeichnis E.3

Index E.7

vi Inhaltsverzeichnis

Literaturhinweise

Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren und esgibt sehr viele Bucher, die den Standardstoff behandeln – Sie sollten alsoindividuell je nach Thema und eigenen Vorlieben die Literatur auswahlen,die am besten zu Ihnen passt.

Kommutative Algebra

• M.F. Atiyah, I.G. MacDonald. Introduction to Commutative Algebra,Addison-Wesley Series in Mathematics, Westview Press, 1969.

• S. Bosch. Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Universitext,Springer, 2013.

• D. Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geo-metry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer, 1999.

• S. Lang. Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211, dritte uberar-beitete Auflage, Springer, 2002.

• D.A. Cox, J. Little, D. O’Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms: AnIntroduction to Computational Algebraic Geometry and CommutativeAlgebra, Undergraduate Texts in Mathematics, vierte Auflage, Springer,2015.

Losungsstrategien

• A. Beutelspacher. Das ist o.B.d.A. trivial!, neunte Auflage, Vieweg+-Teubner, 2009.http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-9599-8

viii Literaturhinweise

• A.G. Konforowitsch. Logischen Katastrophen auf der Spur, zweite Auf-lage, Fachbuchverlag Leipzig, 1994.

• C. Loh, S. Krauss, N. Kilbertus. Quod erat knobelandum, Springer Spek-trum, 2016.

• G. Polya, J.H. Conway (Hrsg.). How to Solve it: A New Aspect of Ma-thematical Method, Princeton Science Library, 2014.

• T. Tao. Solving mathematical problems. A personal perspective, OxfordUniversity Press, 2006.

Weiterfuhrende Literatur

• M. Brandenburg. Einfuhrung in die Kategorientheorie: Mit ausfuhrlichenErklarungen und zahlreichen Beispielen, Springer Spektrum, 2015.

• S. MacLane. Categories for the Working Mathematician, zweite Auf-lage, Springer, 1998.

• C. Weibel. An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studiesin Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1995.

0

Einfuhrung

Die Kommutative Algebra beinhaltet die systematische (Weiter)Entwicklungder Ring- und Modultheorie, mit einem besonderen Augenmerk auf kom-mutativen Ringen, und bildet die Grundlage fur eine weitere Vertiefung imBereich der algebraischen Zahlentheorie, der algebraischen Geometrie undauch fur manche Aspekte der algebraischen Topologie.

Warum Kommutative Algebra?

Zentrale Probleme der Algebra sind Fragestellungen zur Losung polynomia-ler Gleichungen und zur Teilbarkeit. Wie wir bereits wissen, bietet es sichan, diese Probleme mithilfe der Ringtheorie zu behandeln. Dabei spielt diePrimeigenschaft eine wichtige Rolle. Naheliegende Fragen sind zum Beispiel:

• Gibt es einen Integritatsring mit genau 2018 Primidealen?

• Wie konnen Primideale geschachtelt sein?

• Welche Zusatzstruktur tragt die Menge der Primideale eines Rings?

• Wie kann man sich auf die Eigenschaften eines Ringes bezuglich einesPrimelements konzentrieren?

• Was nutzt die Idealtheorie bei der Betrachtung von Losungsmengenpolynomialer Gleichungen (in mehreren Variablen)?

Untrennbar verbunden mit der Untersuchung von Ringen ist die Unter-suchung der zugehorigen Moduln. Wir werden daher auch die Modultheo-rie weiter fortfuhren. Standardkonstruktionen von Moduln sind etwa direkte

2 0. Einfuhrung

Abbildung 0.1.: Kommutative Algebra, schematisch

Summen, Produkte, Quotienten, Tensorprodukte und Dualraume. Mochteman produktiv mit Moduln umgehen, so ist es unerlasslich, sich damit zubefassen, wie diese Konstruktionen miteinander interagieren; zum Beispiel:

• Wie vertragt sich das Tensorprodukt mit injektiven Homomorphismen?Mit Quotienten?

• Allgemeiner: Welche Konstruktionen vertragen sich gut mit exaktenSequenzen?

• Wie kann man das Tensorprodukt und Dualraume bezuglich Exaktheit

”retten“?

Die Kommutative Algebra liefert also das Basiswerkzeug um die beidenessentiellen Zerlegungsprinzipien der Algebra besser zu verstehen:

• Die Zerlegung mithilfe von exakten Sequenzen (zum Beispiel via direkteSummen etc.) und

• die Zerlegung mithilfe von Primelementen (zum Beispiel via Lokalisie-rungen).

Diese Grundlagen sind der Ausgangspunkt fur die algebraische Zahlentheo-rie, die algebraische Geometrie und Teile der algebraischen Topologie (Ab-bildung 0.1).

3

Uberblick uber die Vorlesung

Das Hauptziel der Vorlesung ist, die Grundlagen uber Ringe, Moduln undKonstruktionsmechanismen so weit zu entwickeln, dass sie in der algebrai-schen Geometrie/Zahlentheorie/Topologie eingesetzt werden konnen.

Fur viele Aspekte der Kommutativen Algebra bietet es sich an, die Spra-che der Kategorientheorie und der kommutativen Diagramme zu verwenden.Wir beginnen daher mit einem kurzen Einblick in die Kategorientheorie. DieEinfuhrung dieses Formalismus wird sich an vielen Stellen (nicht nur in derAlgebra!) bezahlt machen.

Bei der spezielleren Untersuchung von Ringen und Moduln werden wir unsvon geometrischen Ideen leiten lassen und zunachst erklaren, welche geome-trische Bedeutung die Menge der Primideale eines Ringes besitzt, und wieman lokale Techniken effizient einsetzen kann. Im Anschluss werden wir Ringemit ubersichtlicher Idealstruktur genauer betrachten:

• noethersche/artinsche Ringe

• Bewertungsringe

Außerdem werden wir untersuchen, wie sich das Tensorprodukt (bzw.Dualraume) bezuglich exakter Sequenzen verhalt. Dies fuhrt zur homologi-schen Algebra und zum Konzept der abgeleiteten Funktoren.

Anmerkung zum Lernen. Dieses Skript dokumentiert die in der Vorlesungbehandelten Inhalte. Es dient keineswegs dazu, den Besuch der Vorlesungoder gar der Ubungen zu ersetzen. Außerdem spiegelt sich in diesem Skriptnaturlich nur ein kleiner Ausschnitt der Kommutativen Algebra wider. Siesollten sich unbedingt auch mithilfe anderer Quellen (Bucher!) selbst ein Bilddes gesamten Gebietes machen!

Referenzen der Form”Satz I.6.4.11“,

”Satz II.2.4.33“ oder

”Satz III.2.2.25“

verweisen auf die entsprechende Stelle im Skript zur Linearen Algebra I/IIbzw. Algebra:

http://www.mathematik.uni-r.de/loeh/teaching/linalg1 ws1617/lecture notes.pdfhttp://www.mathematik.uni-r.de/loeh/teaching/linalg2 ss17/lecture notes.pdf

http://www.mathematik.uni-r.de/loeh/teaching/algebra ws1718/lecture notes.pdf

Die Kommutative Algebra baut auf den Grundkenntnissen der LinearenAlgebra auf. Lucken in der Linearen Algebra sollten Sie also zugig fullen.

Literaturaufgabe. Waren Sie schon einmal in der Bibliothek im Mathema-tikgebaude? Nicht nur an den Tischen, sondern auch bei den Regalen? Wostehen Bucher zur Kommutativen Algebra?

Konvention. Die Menge N der naturlichen Zahlen enthalt die Null.

4 0. Einfuhrung

1

GrundwortschatzKategorientheorie

Mathematische Theorien bestehen aus Objekten und strukturerhaltendenAbbildungen dazwischen. Dies abstrahiert man zum Begriff der Kategorie.Die Ubersetzung zwischen mathematischen Theorien (d.h. zwischen Katego-rien) erfolgt durch sogenannte Funktoren. Grob gesagt handelt es sich da-bei um

”strukturerhaltende Abbildungen zwischen Kategorien“. Funktoren

wiederum kann man mithilfe von naturlichen Transformationen vergleichen.Die Sprache der Kategorientheorie erlaubt es zum Beispiel,

”generische“ Ar-

gumente uber Isomorphismen und universelle Eigenschaften einheitlich zubehandeln.

Wir werden diese Konzepte an algebraischen Beispielen illustrieren unddabei auch Grundbegriffe aus der (Linearen) Algebra wiederholen.

Uberblick uber dieses Kapitel.

1.1 Kategorien 61.2 Funktoren 161.3 Naturliche Transformationen 221.4 (Ko)Limiten 261.5 Beispiel: Das Tensorprodukt 35

Schlusselbeispiel. Kategorie der Ringe, Modulkategorien, Tensorprodukt

6 1. Grundwortschatz Kategorientheorie

1.1 Kategorien

Mathematische Theorien bestehen aus Objekten (z.B. Gruppen, reelle Vek-torraume, topologische Raume, messbare Raume, . . . ) und strukturerhalten-den Abbildungen (z.B. Gruppenhomomorphismen, R-lineare Abbildungen,stetige Abbildungen, messbare Abbildungen, . . . ) dazwischen. Dies abstra-hiert man zum Begriff der Kategorie [10, 3].

Kategorien liefern zum Beispiel eine einheitliche Formalisierung von Iso-morphismen und kommutativen Diagrammen.

1.1.1 Kategorien

Definition 1.1.1 (Kategorie). Eine Kategorie C besteht aus den folgendenKomponenten:

• Einer Klasse Ob(C); die Elemente von Ob(C) heißen Objekte von C.

• Zu je zwei Objekten X,Y ∈ Ob(C) einer Menge MorC(X,Y ); die Ele-mente von MorC(X,Y ) heißen Morphismen von X nach Y in C. (Dabeiwird implizit angenommen, dass die Morphismenmengen zwischen ver-schiedenen Objektpaaren disjunkt sind.)

• Zu je drei Objekten X,Y, Z ∈ Ob(C) einer Verknupfung

◦ : MorC(Y,Z)×MorC(X,Y ) −→ MorC(X,Z)

(g, f) 7−→ g ◦ f

von Morphismen.

Dabei mussen folgende Bedingungen erfullt sein:

• Fur jedes Objekt X in C gibt es einen Morphismus idX ∈ MorC(X,X)mit folgender Eigenschaft: Fur alle Y ∈ Ob(C) und alle Morphis-men f ∈ MorC(X,Y ) bzw. g ∈ MorC(Y,X) gilt

f ◦ idX = f und idX ◦g = g.

(Dadurch ist idX eindeutig bestimmt (Ubungsaufgabe) und heißt Iden-titatsmorphismus von X in C.)

• Die Verknupfung von Morphismen ist assoziativ: Fur alle Objekte W ,X, Y , Z in C und alle Morphismen f ∈ MorC(W,X), g ∈ MorC(X,Y )und h ∈ MorC(Y,Z) gilt

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.

1.1. Kategorien 7

Bemerkung 1.1.2 (Klassen). Klassen sind ein Hilfsmittel, um der Paradoxieder

”Menge aller Mengen“ zu entgehen (Kapitel I.1.3.3). Wer nicht mit der

Mengenlehre nach von Neumann, Bernays, Godel vertraut ist, kann sich ein-fach vorstellen, dass es sich dabei um

”potentiell große“,

”verallgemeinerte“

Mengen handelt.

Beispiel 1.1.3 (Mengenlehre). Die Kategorie Set der Mengen besteht aus:

• Objekte: Es sei Ob(Set) die Klasse(!) aller Mengen.

• Morphismen: Sind X und Y Mengen, so sei MorSet(X,Y ) die Mengealler mengentheoretischen Abbildungen X −→ Y .

• Verknupfungen: Sind X,Y und Z Mengen, so sei die VerknupfungMorSet(Y,Z) ×MorSet(X,Y ) −→ MorSet(X,Z) die gewohnliche Abbil-dungskomposition.

Es ist klar, dass die Verknupfung assoziativ ist. Ist X eine Menge, so ist diegewohnliche Identitatsabbildung

X −→ X

x 7−→ x

der Identitatsmorphismus idX von X in Set.

Beispiel 1.1.4 (lineare Algebra). Sei K ein Korper. Die Kategorie VectK derK-Vektorraume besteht aus:

• Objekte: Es sei Ob(VectK) die Klasse aller K-Vektorraume.

• Morphismen: Sind V und W Vektorraume uber K, so sei MorK(V,W )die Menge aller K-linearen Abbildungen V −→W .

• Verknupfungen: Die Verknupfung sei durch die gewohnliche Abbil-dungskomposition gegeben.

Analog erhalt man auch die Kategorie Group der Gruppen, die Kategorie Abder abelschen Gruppen, . . .

Beispiel 1.1.5 (Topologie). Die Kategorie Top der topologischen Raume be-steht aus:

• Objekte: Es sei Ob(Top) die Klasse aller topologischen Raume.

• Morphismen: Sind X und Y topologische Raume, so sei

map(X,Y ) := MorTop(X,Y )

die Menge aller stetigen Abbildungen X −→ Y .



Caveat 1.1.6. Das Konzept der Morphismen und Verknupfungen ist nachdem Beispiel der Abbildungen zwischen Mengen und der gewohnlichen Ab-bildungskomposition modelliert. Im allgemeinen muss es sich bei Morphismenaber nicht um Abbildungen zwischen Mengen und bei der Verknupfung nichtum Abbildungskomposition handeln! (Beispiel 1.1.7)

Beispiel 1.1.7 (Gruppen als Kategorien). Sei G eine Gruppe. Dann erhaltenwir wie folgt eine Kategorie CG:

• Objekte: Die Kategorie CG besitze genau ein Objekt, etwa 0.

• Morphismen: Es sei MorC(0, 0) := G.

• Verknupfungen: Die Verknupfung sei wie folgt gegeben:

MorC(0, 0)×MorC(0, 0) −→ MorC(0, 0)

(g, h) 7−→ g · h.

Caveat 1.1.8 (Kategorie der Kategorien). Bei einer systematischen Behand-lung der Kategorientheorie ist man naturlich versucht, auch die Kategorie derKategorien (mit Funktoren als Morphismen) zu betrachten. Um mit Kon-strukten dieser Art mathematisch sauber arbeiten zu konnen, sind jedochmengentheoretische Vorkehrungen notig. Wir werden im folgenden nur mitder elementaren Kategorientheorie einzelner Kategorien arbeiten und mussenuns daher mit diesen mengentheoretischen Problemen nicht befassen.

Alle Konzepte und Tatsachen, die sich durch Objekte, Identittatsmorphis-men und (Verknupfung von) Morphismen ausdrucken lassen, besitzen eineallgemeine, kategorientheoretische, Version. Ein erstes Beispiel ist der Iso-morphiebegriff:

Definition 1.1.9 (Isomorphismus). Sei C eine Kategorie. Objekte X,Y ∈Ob(C) sind isomorph in C, wenn es Morphismen f ∈ MorC(X,Y ) undg ∈ MorC(Y,X) mit

g ◦ f = idX und f ◦ g = idY

gibt. In diesem Fall sind f und g Isomorphismen in C und wir schreibenX ∼=C Y (oder wenn die Kategorie aus dem Kontext klar ist: X ∼= Y ).

Beispiel 1.1.10 (Isomorphismenbegriffe).

• Objekte in Set sind genau dann isomorph, wenn sie gleichmachtig sind.

• Sei K ein Korper. Objekte in Group, Ab, VectK , . . . sind genau dann imobigen Sinne isomorph, wenn sie im gewohnlichen algebraischen Sinneisomorph sind.

1.1. Kategorien 9

• Objekte in Top sind genau dann isomorph, wenn sie homoomorphsind (und bijektive stetige Abbildungen sind im allgemeinen keineHomoomorphismen!).

Proposition 1.1.11 (elementare Eigenschaften von Isomorphismen). Sei C eineKategorie und seien X,Y, Z ∈ Ob(C).

1. Der Identitatsmorphismus idX ist ein Isomorphismus in C (von Xnach X).

2. Ist f ∈ MorC(X,Y ) ein Isomorphismus in C, so gibt es genau einenMorphismus g ∈ MorC(Y,X) mit g ◦ f = idX und f ◦ g = idY .

3. Gilt X ∼=C Y , so folgt auch Y ∼=C X.

4. Gilt X ∼=C Y und Y ∼=C Z, so folgt auch X ∼=C Z.

Beweis. Die bereits bekannten Argumente fur Isomorphismen in konkretenSituationen lassen sich leicht in den allgemeinen kategorientheoretischen Kon-text ubersetzen (Ubungsaufgabe).

1.1.2 Wiederholung: Die Kategorie der Ringe

Die Kategorie der Ringe besteht aus Ringen und Ringhomomorphismen. Wirwerden uns im folgenden nur mit assoziativen Ringen mit Eins, und meistensauch nur mit kommutativen Ringen, beschaftigen. Wir verwenden daher diefolgenden Konventionen:

Definition 1.1.12 (Ring). Ein ninoko Ring ist ein Tripel (R,+, · ) bestehendaus einer Menge R und Abbildungen +, · : R × R −→ R (Addition bzw.Multiplikation) mit folgenden Eigenschaften:

• Das Paar (R,+) bildet eine abelsche Gruppe. Wir schreiben 0 fur dasneutrale Element dieser Gruppe.

• Die Multiplikation ist assoziativ und es gibt ein neutrales Elementbezuglich Multiplikation; dieses ist dann eindeutig bestimmt (nachrech-nen) und wird mit 1 bezeichnet.

• Es gilt das Distributivgesetz, d.h. fur alle x, y, z ∈ R gilt

x · (y + z) = x · y + x · z und (y + z) · x = y · x+ z · x.

Ein Ring ist ein ninoko Ring, der zusatzlich die folgende Bedingung erfullt:

• Die Multiplikation ist kommutativ, d.h.

∀x,y∈R x · y = y · x.


Caveat 1.1.13 (ninoko). Die Abkurzung ninoko fur”nicht notwendig kom-

mutativ“ ist nicht Standard, aber sehr praktisch.

Beispiel 1.1.14 (Ringe).

• Die ganzen Zahlen Z bilden bezuglich der gewohnlichen Addition undMultiplikation einen Ring.

• Die naturlichen Zahlen N bilden bezuglich der gewohnlichen Additionund Multiplikation keinen Ring, da N bezuglich Addition keine Gruppeist.

• Jeder Korper ist bezuglich seiner Addition und Multiplikation ein Ring(z.B. Q, R, C, F2).

• Das Produkt Z× Z bildet bezuglich komponentenweiser Addition undMultiplikation einen Ring.

• Ist R ein Ring, so ist der Polynomring R[T ] ein Ring.

• Die Menge {ab

∣∣∣ a ∈ Z, b ∈ Z \ 2 · Z}⊂ Q

bildet bezuglich der von Q induzierten Addition und Multiplikationeinen Ring (nachrechen).

• Etwas exotisch ist der Nullring ; die unterliegende Menge ist {0} unddie Addition bzw. Multiplikation sind jeweils die einzig mogliche Abbil-dung {0}×{0} −→ {0}. In diesem Ring ist 0 auch das neutrale Elementder Multiplikation (also

”0 = 1“).

• Ist K ein Korper und n ∈ N, so bildet die Menge Mn×n(K) der n× n-Matrizen bezuglich komponentenweiser Addition und Matrixmultipli-kation einen ninoko Ring. Dieser Ring ist genau dann kommutativ,wenn n ≤ 1 ist.

Ringhomomorphismen sind strukturerhaltende Abbildungen zwischen Rin-gen:

Definition 1.1.15 (Ringhomomorphismus). SeienR, S ninoko Ringe. Ein Ring-homomorphismus R −→ S ist eine Abbildung f : R −→ S mit folgendenEigenschaften:

• Die Abbildung f ist ein Gruppenhomomorphismus der unterliegendenadditiven abelschen Gruppen, d.h. es gilt

∀x,y∈R f(x+ y) = f(x) + f(y).

• Es gilt f(1) = 1 und

∀x,y∈R f(x · y) = f(x) · f(y).

1.1. Kategorien 11

Beispiel 1.1.16 (Ringhomomorphismen).

• Die Abbildung

Z −→ Zn 7−→ 2 · n

ist kein Ringhomomorphismus, denn die Eins wird nicht auf die Einsabgebildet.

• Ist K ein Korper und x ∈ K, so ist der Einsetzungshomomorphismus

K[T ] −→ K

f 7−→ f(x)

ein Ringhomomorphismus.

• Verknupfungen von Ringhomomorphismen sind Ringhomomorphismenund die Identitatsabbildung auf einem Ring ist ein Ringhomomorphis-mus.

Beispiel 1.1.17 (Ringtheorie). Die Kategorie Ring der Ringe besteht aus:

• Objekte: Es sei Ob(Ring) die Klasse aller Ringe.

• Morphismen: Sind R und S Ringe, so sei MorRing(R,S) die Menge allerRinghomomorphismen R −→ S.


Analog definiert man die Kategorie nRing der ninoko Ringe.

Bemerkung 1.1.18 (Ringisomorphismen). Sei f : R −→ S ein Ringhomomor-phismus. Dann sind aquivalent:

1. Der Ringhomomorphismus f ist ein Ringisomorphismus (d.h. ein Iso-morphismus in der Kategorie nRing bzw. Ring).

2. Es gilt ker f = {0} und im f = S. Dabei bezeichnen

ker f :={x ∈ R

∣∣ f(x) = 0}⊂ R,

im f :={f(x)

∣∣ x ∈ R}⊂ S

den Kern bzw. das Bild von f .

Die allgemeingultigen grundlegenden Eigenschaften aus Proposition 1.1.11gelten selbstverstandlich auch in nRing bzw. Ring; der Formalismus der Ka-tegorientheorie zahlt sich also bereits aus.


1.1.3 Wiederholung: Die Kategorie der Moduln

Moduln sind die ringtheoretische Verallgemeinerung von Vektorraumen, d.h.Moduln sind abelsche Gruppen, die zusatzlich mit einer Skalarmultiplikationuber einem Ring ausgestattet sind. Ist der zugrundeliegende Ring ninoko, somuss hier sorgfaltig zwischen Links-, Rechts- und Bimoduln unterschiedenwerden.

Definition 1.1.19 (Modul). Seien R und S ninoko Ringe. Ein R-Linksmodulist ein Tripel (V,+, · ), bestehend aus einer Menge V und Abbildungen+: V × V −→ V bzw. · : R× V −→ V , mit folgenden Eigenschaften:

• Es ist (V,+) eine abelsche Gruppe.

• Assoziativitat. Fur alle a, b ∈ R und alle v ∈ V gilt

(a · b) · v = a · (b · v).

• Neutrale Skalarmultiplikation. Fur alle v ∈ V gilt

1 · v = v.

• Distributivitat. Fur alle a, b ∈ R und alle v, w ∈ V gilt

(a+ b) · v = a · v + b · v und a · (v + w) = a · v + b · w.

Ein R-Unterlinksmodul von V ist eine Teilmenge U ⊂ V mit folgenden Ei-genschaften:

• Die Abbildungen +: V ×V −→ V und · : R×V −→ V schranken sichzu Abbildungen +: U × U −→ U und · : R× U −→ U ein.

• Die Menge U bildet bezuglich dieser eingeschrankten Addition bzw.Skalarmultiplikation einen R-Modul.

Ein R-Rechtsmodul ist ein Tripel (V,+, · ), bestehend aus einer Menge Vund Abbildungen +: V × V −→ V bzw. · : V × R −→ V , mit folgendenEigenschaften:

• Es ist (V,+) eine abelsche Gruppe.

• Assoziativitat. Fur alle a, b ∈ R und alle v ∈ V gilt (man beachte dieim Vergleich zu Linksmoduln veranderte Reihenfolge der Skalarmulti-plikation mit a bzw. b!)

v · (a · b) = (v · a) · b.

1.1. Kategorien 13

• Neutrale Skalarmultiplikation. Fur alle v ∈ V gilt

v · 1 = v.

• Distributivitat. Fur alle a, b ∈ R und alle v, w ∈ V gilt

v · (a+ b) = v · a+ v · b und (v + w) · a = v · a+ w · a.

Ein (S,R)-Bimodul ist ein Quadrupel (V,+, • , · ), sodass (V,+, • )ein S-Linksmodul ist und (V,+, · ) ein R-Rechtsmodul ist und die beidenSkalarmultiplikationen im folgenden Sinne vertraglich sind:

∀s∈S ∀r∈R ∀v∈V s · (v · r) = (s · v) · r.

Bemerkung 1.1.20 (lechts und rinks).

• Ist R ein Korper, so sind R-Linksmoduln nichts anderes als R-Vektor-raume.

• Abelsche Gruppen entsprechen in kanonischer Weise Z-Moduln. Ist Rein ninoko Ring, so liefert jede R-Linksmodulstruktur eine (R,Z)-Bi-modulstruktur, etc..

• Ist R ein (kommutativer!) Ring, so liefert jede R-Linksmodulstrukturauch eine R-Rechtsmodulstruktur (und umgekehrt), sowie eine (R,R)-Bimodulstruktur. In diesem Fall werden wir daher einfach von R-Mo-duln sprechen.

• Ist R ein ninoko Ring, so liefert die Ringstruktur eine (R,R)-Bimodul-struktur auf R.

• Ist R ein ninoko Ring und ist V ein R-Linksmodul, so bildet V mitderselben Addition und der Abbildung

V ×R −→ V

(v, a) 7−→ a · v

im allgemeinen keinen R-Rechtsmodul, denn:

Zum Beispiel bildet Q2 bezuglich komponentenweiser Addition und Ma-trixmultiplikation M2×2(Q) × Q2 −→ Q2 einen M2×2(Q)-Linksmodul.Die Abbildung

• : Q2 ×M2×2(Q) −→ Q2

(x,A) 7−→ A · x

liefert jedoch keine M2×2(Q)-Rechtsmodulstruktur auf Q2: Fur


A :=

(0 01 0

)und B :=

(1 00 0

)

gilt

e1 • (A ·B) = (A ·B) · e1 = e2 6= 0 = B · (A · e1) = (e1 •A) •B.

Bemerkung 1.1.21 (Ideale). Sei R ein ninoko Ring. Die R-Unterlinksmodulnvon R sind dann genau die Linksideale in R, die R-Unterrechtsmoduln von Rsind genau die Rechtsideale in R, und die (R,R)-Unterbimoduln von R sindgenau die beidseitigen Ideale in R (was bedeutet das explizit?!). EinseitigeIdeale in kommutativen Ringen sind bereits beidseitige Ideale und werdendaher einfach als Ideale bezeichnet.

Kerne von Ringhomomorphismen zwischen ninoko Ringen sind beidseitigeIdeale (nachrechnen). Die Untersuchung von Ringen und Ringhomomorphis-men fuhrt also auf naturlichem Wege in die Modultheorie.

Definition 1.1.22 (Modulhomomorphismus). Sei R ein ninoko Ring und seienV , W Linksmoduln uber R. Ein R-Modulhomomorphismus ist dann eineAbbildung f : V −→W mit folgenden Eigenschaften:

• Fur alle v, v′ ∈ V gilt

f(v + v′) = f(v) + f(v′)

• und fur alle v ∈ V und alle a ∈ R gilt

f(a · v) = a · f(v).

Analog definieren wir den Homomorphismenbegriff fur Rechts- bzw. Bimo-duln.

Beispiel 1.1.23 (Modultheorie). Sei R ein ninoko Ring. Die Kategorie RModder R-Linksmoduln besteht aus:

• Objekte: Es sei Ob(RMod) die Klasse aller R-Linksmoduln.

• Morphismen: Sind V undW Linksmoduln uberR, so sei MorRMod(V,W )

die Menge aller R-Modulhomomorphismen V −→W .


Analog definieren wir die Kategorie ModR der R-Rechtsmoduln bzw. die Ka-tegorie SModR der (S,R)-Bimoduln.

Bemerkung 1.1.24 (Modulisomorphismen). Sei R ein ninoko Ring und seif : V −→ W ein Homomorphismus von R-Linksmoduln (analog funktioniertdies auch fur Rechts- bzw. Bimoduln). Dann sind aquivalent:

1.1. Kategorien 15

1. Der R-Modulhomomorphismus f ist ein R-Modulisomorphismus (d.h.ein Isomorphismus in der Kategorie RMod).

2. Es gilt ker f = {0} und im f = S. Dabei bezeichnen

ker f :={v ∈ V

∣∣ f(v) = 0}⊂ V,

im f :={f(v)

∣∣ v ∈ V}⊂W

den Kern bzw. das Bild von f .

1.1.4 Kommutative Diagramme

Die Sprache der Kategorientheorie erlaubt es, uber kommutative Diagrammein mathematischen Theorien zu sprechen. Kommutative Diagramme sind einegeschickte Beschreibung von Gleichungssystemen zwischen Verknupfungenvon Morphismen. Die Nutzlichkeit dieses Formalismus haben wir bereits inder (Linearen) Algebra kennengelernt.

”Definition“ 1.1.25 (kommutatives Diagramm). Sei C eine Kategorie. Ein

kommutatives Diagramm in C ist ein gerichteter Multigraph aus Objekten(als Knoten) und Morphismen (als Kanten) in C mit folgender Eigenschaft:Fur je zwei gerichtete Wege zwischen denselben Start- und Endknoten stim-men die Verknupfungen der zugehorigen Morphismen uberein.

Beispiel 1.1.26 (kommutatives Diagramm). Sei C eine Kategorie. Das Dia-gramm

Ai //

j

��

X

f

��

Yg// Z

aus Objekten und Morphismen in C ist genau dann kommutativ, wenn

f ◦ i = g ◦ j.

Genauer kann man dies wie folgt formalisieren: Ein gerichteter Multigraphist ein Quadrupel (V,E, s, t) bestehend aus Mengen V und E und Abbildun-gen s : E −→ V und t : E −→ V . Dies beruht auf der folgenden Anschauung:Die Elemente von V reprasentieren die Knoten, die Elemente von E die Kan-ten, die Abbildungen s (source) bzw. t (target) spezifizieren den Start- bzw.Endknoten der Kanten. Sind v, w ∈ V , so ist ein gerichteter Weg eine endlicheFolge (e1, . . . , ek) in E mit

∀j∈{1,...,k−1} t(ej) = s(ej+1)


F

C D

Objekt X

Objekt Y

Objekt Z

Morphismus f

Morphismus g

F (X) Objekt

F (Y ) Objekt

F (Z) Objekt

F (f) Morphismus

F (g) Morphismus

Abbildung 1.1.: Funktor, schematisch

(d.h., dass die End- und Startknoten aufeinanderfolgender Kanten zusam-menpassen).

Definition 1.1.27 (kommutatives Diagramm). Sei C eine Kategorie. Ein kom-mutatives Diagramm in C ist ein Tripel (Γ, F, f) bestehend aus

• einem gerichteten Multigraphen Γ := (V,E, s, t),

• einer Abbildung F : V −→ Ob(C),

• einer Abbildung f : E −→ Mor(C) (in die Klasse aller Morphismenvon C) mit

∀e∈E f ∈ MorC(F (s(e)), F (t(e))

),

mit folgender Eigenschaft: Sind (e1, . . . , ek) und (e′1, . . . , e′k′) gerichtete Wege

in Γ mit denselben Start- und Endknoten, so gilt

f(ek) ◦ f(ek−1) ◦ · · · ◦ f(e1) = f(e′k′) ◦ f(e′k′−1) ◦ · · · ◦ f(e′1).

1.2 Funktoren

Die Ubersetzung zwischen mathematischen Theorien (d.h. zwischen Kate-gorien) erfolgt durch sogenannte Funktoren. Grob gesagt handelt es sichdabei um

”strukturerhaltende Abbildungen zwischen Kategorien“ (Abbil-

dung 1.1). Funktoren werden mithilfe von naturlichen Transformationen ver-glichen (Kapitl 1.3). Diese Hilfsmittel ermoglichen es zum Beispiel, den Be-griff

”naturlicher Isomorphismus“ zu prazisieren.

1.2. Funktoren 17

1.2.1 Funktoren

Definition 1.2.1 (Funktor). Seien C und D Kategorien. Ein (kovarianter)Funktor F : C −→ D besteht aus folgenden Komponenten:

• Einer Abbildung F : Ob(C) −→ Ob(D).

• Zu je zwei Objekten X,Y ∈ Ob(C) einer Abbildung

F : MorC(X,Y ) −→ MorD(F (X), F (Y )

).


• Fur alle X ∈ Ob(C) ist F (idX) = idF (X).

• Fur alle X,Y, Z ∈ Ob(C) und alle f ∈ MorC(X,Y ), g ∈ MorC(Y,Z)gilt

F (g ◦ f) = F (g) ◦ F (f).

Ein kontravarianter Funktor F : C −→ D besteht aus folgenden Komponen-ten:

• Einer Abbildung F : Ob(C) −→ Ob(D).

• Zu je zwei Objekten X,Y ∈ Ob(C) einer Abbildung

F : MorC(X,Y ) −→ MorD(F (Y ), F (X)

).

(”Die Pfeile werden also umgedreht.“)


• Fur alle X ∈ Ob(C) ist F (idX) = idF (X).

• Fur alle X,Y, Z ∈ Ob(C) und alle f ∈ MorC(X,Y ), g ∈ MorC(Y, Z)gilt

F (g ◦ f) = F (f) ◦ F (g).

Bemerkung 1.2.2 (die duale Kategorie). Die Analogie zwischen ko- und kon-travarianten Funktoren lasst sich mithilfe der dualen Kategorie effizient be-schreiben: Die duale Kategorie einer Kategorie entsteht einfach durch einabstraktes

”Umdrehen der Pfeile“. Sei C eine Kategorie. Die duale Katego-

rie Cop ist wie folgt definiert:

• Objekte: Es sei Ob(Cop) := Ob(C).


• Morphismen: Fur alle X,Y ∈ Ob(Cop) = Ob(C) sei (”Umdrehen“)

MorCop(X,Y ) := MorC(Y,X).

• Verknupfungen: Fur alle Objekte X,Y, Z ∈ Ob(Cop) betrachten wir dieVerknupfung

MorCop(Y, Z)×MorCop(X,Y ) −→ MorCop(X,Z)

(g, f) 7−→ f ◦ g;

dabei bezeichnet”◦“ die entsprechende Verknupfung in C.

Sind C und D Kategorien, so sind kontravariante Funktoren C −→ D nichtsanderes als kovariante Funktoren C −→ Dop.

Beispiel 1.2.3 (Identitatsfunktor). Sei C eine Kategorie. Dann ist der Iden-titatsfunktor IdC : C −→ C wie folgt definiert:

• Auf Objekten betrachten wir die Abbildung

Ob(C) −→ Ob(C)

X 7−→ X.

• Auf Morphismen: Fur alle X,Y ∈ Ob(C) betrachten wir

MorC(X,Y ) −→ MorC(X,Y )

f 7−→ f.

Beispiel 1.2.4 (Vergissfunktor). Der Vergissfunktor VectR −→ Set ist wie folgtdefiniert:

• Auf Objekten betrachten wir die Abbildung Ob(VectR) −→ Ob(Set),die einem R-Vektorraum die unterliegende Menge zuordnet.

• Auf Morphismen: Fur alle R-Vektorraume X,Y betrachten wir

MorVectR(X,Y ) = HomR(X,Y ) −→ MorSet(X,Y )

f 7−→ f.

Analog erhalt man Vergissfunktoren Top −→ Set, VectR −→ Ab, . . .

Beispiel 1.2.5 (basierte Vektorraume). Man kann die Mengenlehre uber denfolgenden Funktor F : Set −→ VectR in die lineare Algebra ubersetzen:

• Auf Objekten definieren wir

1.2. Funktoren 19

F : Ob(Set) −→ Ob(VectR)

X 7−→⊕

X

R.

Wir betrachten dabei eine Menge X in kanonischer Weise als Teilmenge,bzw. sogar Basis, von

⊕X R.

• Auf Morphismen definieren wir F wie folgt: Sind X, Y Mengen und istf : X −→ Y eine Abbildung, so definieren wir F (f) :

⊕X R −→⊕

Y Rals die eindeutig bestimmte R-lineare Abbildung, die f von der Basis Xauf ganz

⊕X R fortsetzt.

Dies liefert tatsachlich einen Funktor.

Ein großer Teil der Linearen Algebra I lasst sich wie folgt zusammenfassen:Fur alle Mengen X und alle R-Vektorraume V ist

MorVectR

(F (X), V

)−→ MorSet(X,V )

f −→ f |X

eine Bijektion (universelle Eigenschaft von Basen). Dies zeigt, dass der Funk-tor F und der Vergissfunktor VectR −→ Set sogenannte zueinander adjun-gierte Funktoren sind (Proposition 1.4.14).

Eine wesentliche Eigenschaft von (kovarianten wie kontravarianten) Funk-toren ist, dass sie – da sie mit Verknupfungen und Identitatsmorphismenvertraglich sind – kommutative Diagramme in kommutative Diagrammeuberfuhren. Insbesondere erhalten Funktoren Isomorphie und liefern somitein geeignetes Konzept fur Invarianten:

Proposition 1.2.6 (Funktoren erhalten Isomorphie). Seien C, D Kategorien,sei F : C −→ D ein [kontravarianter] Funktor und seien X,Y ∈ Ob(C).

1. Ist f ∈ MorC(X,Y ) ein Isomorphismus in C, so ist der ubersetzte Mor-phismus F (f) ∈ MorD(F (X), F (Y )) [bzw. F (f) ∈ MorD(F (Y ), F (X))im kontravarianten Fall] ein Isomorphismus in D.

2. Insbesondere: Ist X ∼=C Y , so folgt F (X) ∼=D F (Y ). Bzw.: Ist F (X) 6∼=D

F (Y ), so ist X 6∼=C Y .

Beweis. Der erste Teil folgt direkt aus den definierenden Eigenschaften vonFunktoren: Da f ein Isomorphismus ist, gibt es einen Morphismus g ∈MorC(Y,X) mit

g ◦ f = idX und f ◦ g = idY .

Also ist

F (g) ◦ F (f) = F (g ◦ f) = F (idX) = idF (X)


und analog auch F (f) ◦ F (g) = idF (Y ). Somit ist F (f) ein Isomorphismusvon F (X) nach F (Y ) in D.

Den kontravarianten Fall erhalt man mithilfe der dualen Kategorie ausdem kovarianten Fall. Der zweite Teil ist eine unmittelbare Folgerung ausdem ersten Teil.

Geeignete Funktoren konnen also helfen zu zeigen, dass gewisse Objektenicht isomorph sind.

Caveat 1.2.7. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht ! D.h. Objekte, dieunter einem Funktor auf isomorphe Objekte abgebildet werden, sind im all-gemeinen nicht isomorph.

1.2.2 Wiederholung: Dualraume

Eine wichtige Klasse von Funktoren sind Funktoren, die durch das Bildenvon Morphismenmengen entstehen; ein klassisches Beispiel aus der LinearenAlgebra sind die Dualraume.

Beispiel 1.2.8 (Dualraum). Man kann die Konstruktion des Dualraums alskontravarianten Funktor · ∗ : VectR −→ VectR auffassen:

• Auf Objekten verwenden wir

Ob(VectR) −→ Ob(VectR)

X 7−→ X∗ = HomR(X,R).

• Auf Morphismen: Fur alle R-Vektorraume X,Y betrachten wir

MorVectR(X,Y ) = HomR(X,Y ) −→ HomR(Y ∗, X∗)

f 7−→ f∗ = (g 7→ g ◦ f).

Allgemeiner liefern Objekte in Kategorien Funktoren, die beschreiben wiedie entsprechende Kategorie aus dem Blickwinkel dieses Objekts aussieht:

Beispiel 1.2.9 (dargestellte Funktoren). Sei C eine Kategorie und X ∈ Ob(C).Dann erhalten wir einen kontravarianten Funktor

MorC( · , X) : C −→ Set,

den von X dargestellten kontravarianten Funktor. Dieser Funktor ist wie folgtdefiniert:

• Auf Objekten: Sei

MorC( · , X) : Ob(C) −→ Ob(Set)

Y 7−→ MorC(Y,X).

1.2. Funktoren 21

• Auf Morphismen: Sind Y, Z ∈ Ob(C), so definieren wir

MorC( · , X) : MorC(Y, Z) −→ MorSet

(MorC(Z,X),MorC(Y,X)

)

f 7−→ (g 7→ g ◦ f).

Analog erhalt man einen kovarianten Funktor MorC(X, · ) : C −→ Set.

Im Falle von algebraischen Theorien haben die Morphismenmengen oftzusatzliche Struktur; duale Vektorraume sind nicht nur Mengen, sondern inkanonischer Weise Vektorraume. Wir betrachten dies fur Moduln etwas ge-nauer:

Beispiel 1.2.10 (Hom-Funktoren). Wir beginnen mit der folgenden Voruber-legung: Seien R,S, T ninoko Ringe. Ist V ein (R,S)-Bimodul und W ein(R, T )-Bimodul, so ist M := Mor

RMod(V,W ) ein (S, T )-Bimodul bezuglichden folgenden Skalarmultiplikationen (nachrechnen):

S ×M −→M

(s, f) 7−→(v 7→ f(v · s)

)

M × T −→M

(f, t) 7−→(v 7→ f(v) · t

).

Eine R-Modulstruktur bleibt dabei im nicht-kommutativen Fall im allgemei-nen nicht erhalten. Man beachte dabei, dass Rechtsskalarmultiplikationen imArgument zu Linksskalarmultiplikationen auf dem Abbildungsraum werden(und umgekehrt): Fur alle s, s′ ∈ S, alle f ∈M und alle v ∈ V gilt

((s · s′)f ·

)(v) = f

(v · (s · s′)

)= f

((v · s) · s′

)= (s′ · f)(v · s)

=(s · (s′ · f)

)(v).

Skalarmultiplikationen auf den Werten behalten jedoch ihre Handigkeit. Aufdiese Weise erhalten wir somit Funktoren (nachrechnen)

RHom(V, · ) := MorRMod(V, · ) : RModT −→ SModT (kovariant)

RHom( · ,W ) := MorRMod( · ,W ) : RModS −→ SModT . (kontravariant)

Ist R kommutativ, so vereinfacht sich die Lage, da jeder R-Linksmodul bereitsin kanonischer Weise ein (R,R)-Bimodul ist; daher erhalten wir dann fur alleR-Moduln V und W wie gewohnt Funktoren

RHom(V, · ) : RMod −→ RMod (kovariant)

RHom( · ,W ) : RMod −→ RMod . (kontravariant)

Wir geben ein erstes, einfaches, Beispiel fur die Nutzlichkeit von Hom-Funktoren in der Linearen Algebra:


Beispiel 1.2.11 (Rang freier Moduln). Sei R ein Hauptidealring (zum Bei-spiel Z) und seien m,n ∈ N mit Rm ∼=R Rn. Dann ist m = n (Propositi-on II.2.5.13). Wir geben nun einen Beweis dieser Aussage, der nicht auf demElementarteilersatz, sondern auf einem geeigneten Funktor basiert (und furalle Integritatsringe funktioniert): Dem allgemeinen Invarianzprinzip durchFunktoren folgend, verwenden wir dazu einen geeigneten Funktor in eine Ka-tegorie, die wir besser verstehen (in diesem Falle Vektorraume):

Sei Q der Quotientenkorper von R (ist R = Z, so ist Q = Q). Wir be-trachten dann den Funktor

F := RHom( · , Q) : RMod −→ QMod = VectQ .

Die universelle Eigenschaft freier Moduln zeigt dann, dass F (Rm) isomorph(als Q-Vektorraum) zu Qm ist. Da Funktoren Isomorphie erhalten (Proposi-tion 1.2.6), erhalten wir insgesamt

Qm ∼=Q F (Rm) ∼=Q F (Rn) ∼= Qn,

und damit (mithilfe der Invarianz der Vektorraumdimension dimQ uber demKorper Q), dass m = n.

Mithilfe geeigneter Restklassenkorper kann man dieses Argument auch soverallgemeinern, dass es fur alle kommutativen Ringe funktioniert. Verwendetman statt Hom-Funktoren das Tensorprodukt, so kann man auch den Fallunendlicher Range behandeln.

Ausblick 1.2.12 (Analysis auf Mannigfaltigkeiten). Sei C∞ die Kategorie derglatten Mannigfaltigkeiten und glatten Abbildungen. Das Studium glatterFunktionen nach R auf glatten Mannigfaltigkeiten ist dann das Studium desvon R dargestellten kontravarianten Funktors

MorC∞( · ,R) : C∞ −→ VectR .

1.3 Naturliche Transformationen

Funktoren lassen sich mithilfe von naturlichen Transformationen vergleichen;naturliche Transformationen sind

”strukturerhaltende Abbildungen zwischen

Funktoren“. Dies liefert eine Formalisierung des Konzepts von naturlichenIsomorphismen.

1.3.1 Naturliche Transformationen

Definition 1.3.1 (naturliche Transformation, naturlicher Isomorphismus). SeienC,D Kategorien und seien F,G : C −→ D Funktoren.

1.3. Naturliche Transformationen 23

• Eine naturliche Transformation T von F nach G, kurz T : F =⇒ G, isteine Familie

(T (X) ∈ MorD(F (X), G(X))

)X∈Ob(C)

von Morphismen,

so dass fur alle Objekte X,Y ∈ Ob(C) und alle(!) Morphismen f ∈MorC(X,Y ) die Gleichung

G(f) ◦ T (X) = T (Y ) ◦ F (f)

in D gilt – d.h., dass folgende Diagramme in D kommutativ sind:

F (X)F (f)

//

T (X)

��

F (Y )

T (Y )

��

G(X)G(f)

// G(Y )

• Ein naturlicher Isomorphismus ist eine naturliche Transformation, dieobjektweise aus Isomorphismen besteht (aquivalent ist die Existenz ei-ner objektweise inversen naturlichen Transformation).

Analog definieren wir diese Begriffe auch fur kontravariante Funktoren.

Anmerkung zum Lernen. Die Definition naturlicher Transformationen kannman sich leicht merken: Aus den Vorlesungen zur (Linearen) Algebra ist manbereits mit

”naturlichen Isomorphismen“ vertraut. Naturliche Isomorphis-

men bekommen außer Objekten keine weiteren Daten. Damit ist klar, wasfur eine Art Familie naturliche Transformationen sein mussen. Außerdemsoll Naturlichkeit eine Vertraglichkeit mit Morphismen beinhalten. Die ein-zig sinnvolle Beziehung, die man mit so wenig Daten uberhaupt formulierenkann, ist die im obigen kommutative Diagramm dargestellte. Fertig!

Bemerkung 1.3.2 (naturlich). Das Attribut”naturlich“ wird auf zwei, mit-

einander verwandte, Weisen verwendet: Einerseits als Hinweis darauf, dassetwas funktoriell ist; und andererseits als Hinweis darauf, dass etwas auf einernaturlichen Transformation beruht.

Beispiel 1.3.3 (dargestellte Funktoren). Sei C eine Kategorie, seien X,Y ∈Ob(C) und sei f ∈ MorC(X,Y ). Dann ist

(MorC(Y,Z) −→ MorC(X,Z)

)

Z∈Ob(C)g 7−→ g ◦ f

eine naturliche Transformation MorC(Y, · ) =⇒ MorC(X, · ).Mithilfe des Yoneda-Lemmas lasst sich zeigen, dass alle naturlichen Trans-

formationen MorC(Y, · ) =⇒ MorC(X, · ) von dieser Form sind. Wir werdeneine abgeschwachte Aussage dieser Art in Proposition 1.3.6 zeigen.

Beispiel 1.3.4 (Doppeldual). Wir betrachten einerseits den Identitatsfunktor


IdVectR : VectR −→ VectR

und andererseits den Doppeldualfunktor

D := · ∗∗ = HomR(HomR( · ,R),R

): VectR −→ VectR .

Ist V ein R-Vektorraum, so definieren wir die R-lineare Abbildung

T (V ) : V −→ HomR(HomR(V,R),R

)

v 7−→(f 7→ f(v)

).

Eine einfache Rechnung zeigt, dass (T (V ))V ∈Ob(VectR) eine naturliche Trans-formation IdVectR =⇒ D ist. Eingeschrankt auf die Kategorie der endlichdi-mensionalen R-Vektorraume ist dies sogar ein naturlicher Isomorphismus.

Fur jeden endlichdimensionalen R-Vektorraum V gilt V ∼=R HomR(V,R);man beachte jedoch, dass es keinen naturlichen Isomorphismus dieser Formgibt! (nachrechnen)

1.3.2 Darstellbare Funktoren

Dargestellte Funktoren treten auf naturliche Weise auf und haben viele ange-nehme Eigenschaften (zum Beispiel Vertraglichkeit mit vielen Konstruktio-nen; Bemerkung 1.4.12). Diese Eigenschaften bleiben unter naturlicher Iso-morphie erhalten; daher fuhrt man den folgenden Begriff ein:

Definition 1.3.5 (darstellbarer Funktor). Sei C eine Kategorie und sei F : C −→Set ein Funktor. Der Funktor F ist darstellbar, wenn es ein ObjektX ∈ Ob(C)gibt, so dass F und MorC(X, · ) : C −→ Set naturlich isomorph sind. Manbezeichnet dann X als ein darstellendes Objekt fur F .

Analog definiert man darstellbare kontravariante Funktoren.

Die darstellenden Objekte eines darstellbaren Funktors sind bis auf Iso-morphie eindeutig durch den Funktor bestimmt:

Proposition 1.3.6 (Mini-Yoneda-Lemma). Sei C eine Kategorie und seienX,Y ∈ Ob(C). Dann sind die folgenden Aussagen aquivalent:

1. Es gilt X ∼=C Y .

2. Die Funktoren MorC(X, · ), MorC(Y, · ) : C −→ Set sind naturlichisomorph.

3. Die Funktoren MorC( · , X), MorC( · , Y ) : C −→ Set sind naturlichisomorph.

Beweis. Zu 1. =⇒ 2. Zueinander inverse Isomorphismen zwischen X und Yliefern mithilfe der Konstruktion in Beispiel 1.3.3 zueinander inverse natur-liche Transformationen zwischen MorC(X, · ) und MorC(Y, · ).

1.3. Naturliche Transformationen 25

Zu 2. =⇒ 1. Sei umgekehrt T : F := MorC(X, · ) =⇒ MorC(Y, · ) =: Gein naturlicher Isomorphismus. Um zu zeigen, dass X und Y in C isomorphsind, benotigen wir Morphismen von X nach Y und umgekehrt. Da die Si-tuation so allgemein ist, gibt es gar nicht viele Bausteine, die dafur infrage-kommen: nur T und die Identitatsmorphismen. Sei (man beachte dabei, dassT (Y ) bijektiv ist)

g := T (X)(idX) ∈ MorC(Y,X)

f := T (Y )−1(idY ) ∈ MorC(X,Y ).

Wir zeigen nun, dass f und g zueinander inverse Isomorphismen sind. Esgilt g ◦ f = idX , denn: Dazu wollen wir das kommutative Diagramm aus derDefinition naturlicher Transformationen ins Spiel bringen. Worauf konnenwir dieses Diagramm anwenden? Nach Definition von F := MorC(X, · ) ist

g ◦ f = F (g)(f).

Damit erhalten wir

T (X)(g ◦ f) = T (X)(F (g)(f)

)

= T (X) ◦ F (g)(f)

= G(g) ◦ T (Y )(f) (da T eine naturliche Transformation ist)

= G(g)(T (Y )(f)

)

= G(g)(idY ) (Konstruktion von f)

= g ◦ idY

= g

= T (X)(idX). (Konstruktion von g)

Da T (X) bijektiv ist, folgt hieraus g◦f = idX . Analog (oder uber den inversennaturlichen Isomorphismus) zeigt man, dass f ◦ g = idY ist. Also bezeugen fund g, dass X ∼=C Y gilt.

Zu 1. ⇐⇒ 3. Dies zeigt man analog zur Aquivalenz der ersten beidenAussagen (nachrechnen).

Ausblick 1.3.7 (Zusatzstruktur auf darstellbaren Funktoren). Zusatzstrukturenauf darstellenden Objekten (ausgedruckt durch geeignete Morphismen) spie-geln Zusatzstrukturen auf den zugehorigen darstellbaren Funktoren wider:Ist C eine Kategorie und F : C −→ Set ein darstellbarer Funktor, so fak-torisiert F genau dann uber den Vergissfunktor Group −→ Set, wenn diedarstellenden Objekte von F sogenannte Kogruppenobjekte in C sind. Die-se Tatsache wird bei der Konstruktion vieler gruppenwertiger Invariantenverwendet (zum Beispiel sind die Homotopiegruppen in der algebraischenTopologie von dieser Form).


1.4 (Ko)Limiten

Bei der Klassifikation algebraischer Strukturen (zum Beispiel der Vektorrau-me, der endlich erzeugten abelschen Gruppen, der endlichen Gruppen, . . . )versuchen wir algebraische Objekte in einfachere Bausteine zu zerlegen (zumBeispiel durch Quotienten oder Zerlegung in direkte Summen/Produkte).Wir haben dabei bereits festgestellt, dass viele dieser Konstruktionen effizientdurch universelle Eigenschaften beschrieben und behandelt werden konnen.

Wir geben nun einen allgemeinen Rahmen fur solche universellen Eigen-schaften, mithilfe von (Ko)Limiten in Kategorien.

1.4.1 (Ko)Limiten

Direkte Summen und Quotienten werden durch Morphismen heraus, direkteProdukte durch Morphismen hinein charakterisiert. Dies ist auch die Grund-idee fur (Ko)Limiten in Kategorien. Wir lassen jedoch auch etwas kompli-ziertere Morphismensysteme (indiziert durch partiell geordnete Mengen) zu:

Definition 1.4.1 (partiell geordnete Menge). Eine partiell geordnete Menge istein Paar (I,≤), bestehend aus einer Menge I und einer Relation

”≤“ auf I,

die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Manchmal schreiben wir auch(etwas schlampig) nur I fur das Paar (I,≤).

Beispiel 1.4.2 (partiell geordnete Mengen). Die folgenden partiellen Ordnun-gen sind in Abbildung 1.2 illustriert.

• Diskrete Ordnungen. Ist I eine Menge und ist”≤“ die diskrete partielle

Ordnung auf I, definiert durch

∀i,j∈I i ≤ j ⇐⇒ i = j,

so ist (I,≤) eine partiell geordnete Menge.

• Total geordnete Mengen. Jede total geordnete Menge ist eine partiell ge-ordnete Menge. Eine partiell geordnete Menge (I,≤) ist total geordnet,wenn

∀i,j∈I i ≤ j ∨ j ≤ igilt. Zum Beispiel ist N bezuglich der gewohnlichen Anordnungsrelationtotal geordnet.

• Eine kleine partielle Ordnung. Die Menge {0, 1, 2} ist partiell geordnetbezuglich der Relation

{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (0, 1), (0, 2)

}.

1.4. (Ko)Limiten 27

diskrete Ordnung

die gewohnliche Ordnung auf N0 1 2

. . .

eine kleine partielle Ordnung

0

1

2

Abbildung 1.2.: Partiell geordnete Mengen; die Pfeile stehen dabei fur”ist

echt kleiner als“.

Definition 1.4.3 (Diagramm, Kolimes, inverser Limes). Sei C eine Kategorieund (I,≤) eine partiell geordnete Menge.

• Ein I-Diagramm in C ist ein Paar((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)bestehend

aus Objekten Xi und Morphismen fi,j ∈ MorC(Xi, Xj) mit

∀i∈I fi,i = idXi

∀i,j,k∈I (i ≤ j ∧ j ≤ k) =⇒ fi,k = fj,k ◦ fi,j .

• Ein Kolimes eines I-Diagramms((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)ist ein Paar(

X, (fi)i∈I), bestehend aus einem Objekt X ∈ Ob(C) und Morphis-

men fi ∈ MorC(Xi, X) mit folgender universeller Eigenschaft (Abbil-dung 1.3):

– Fur alle i, j ∈ I mit i ≤ j gilt

fj ◦ fi,j = fi.

– Fur jedes Objekt Y ∈ Ob(C) und jede Familie (gi)i∈I von Mor-phismen gi ∈ MorC(Xi, Y ) mit

∀i,j∈I i ≤ j =⇒ gj ◦ fi,j = gi

gibt es genau einen Morphismus g ∈ MorC(X,Y ) mit

∀i∈I g ◦ fi = gi.

Wir schreiben in diesem Fall auch kurz (und schlampig) X = lim−→i∈I Xi.


Xi

Xj

fi,j

fi

fj

X Y∃! g

gi

gj

Xi

Xj

fi,j

fi

fj

XY∃! g

gi

gj

Abbildung 1.3.: Kolimes und inverser Limes, schematisch

Dual dazu definieren wir inverse Diagramme und inverse Limiten (cha-rakterisiert durch Morphismen hinein). Genauer:

• Ein inverses I-Diagramm in C ist ein Paar((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)be-

stehend aus Objekten Xi und Morphismen fi,j ∈ MorC(Xj , Xi) mit

∀i∈I fi,i = idXi

∀i,j,k∈I (i ≤ j ∧ j ≤ k) =⇒ fi,k = fi,j ◦ fj,k.

• Ein inverser Limes eines inversen I-Diagramms((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)

ist ein Paar(X, (fi)i∈I

), bestehend aus einem Objekt X ∈ Ob(C) und

Morphismen fi ∈ MorC(X,Xi) mit folgender universeller Eigenschaft(Abbildung 1.3):

– Fur alle i, j ∈ I mit i ≤ j gilt fi,j ◦ fj = fi.

– Fur jedes Objekt Y ∈ Ob(C) und jede Familie (gi)i∈I von Mor-phismen gi ∈ MorC(Y,Xi) mit

∀i,j∈I i ≤ j =⇒ fi,j ◦ gj = gi

gibt es genau einen Morphismus g ∈ MorC(Y,X) mit

∀i∈I fi ◦ g = gi.

Wir schreiben in diesem Fall auch kurz (und schlampig) X = lim←−i∈I Xi.

Caveat 1.4.4 (Limes-Namen). Fur die Bezeichnung von Limiten gibt es vieleverschiedene Konventionen (von denen manche nur in bestimmten Situatio-nen eingesetzt werden):

lim−→ lim←−Kolimes Limesinduktiver Limes projektiver Limesgerichteter Limes inverser Limes

1.4. (Ko)Limiten 29

Um Missverstandnisse zu minimieren, werden wir die Bezeichnungen Ko-limes und inverser Limes fur die beiden Limesvarianten verwenden.

Caveat 1.4.5 (Existenz?!). Im allgemeinen gibt es nicht in jeder Kategorie alleKolimiten bzw. inversen Limiten. Zum Beispiel existieren in der Kategorie derendlichen Mengen nicht alle Kolimiten und nicht alle inversen Limiten.

(Ko)Limiten sind (falls existent) im folgenden Sinne eindeutig bestimmt:

Proposition 1.4.6 (Eindeutigkeit von (Ko)Limiten). Sei C eine Kategorie undsei (I,≤) eine partiell geordnete Menge.

1. Sei((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)ein I-Diagramm in C. Sind (X, (fi)i∈I)

und (Y, (gi)i∈I) Kolimiten dieses Diagramms, so gibt es genau einenIsomorphismus f ∈ MorC(X,Y ) mit

∀i∈I f ◦ fi = gi.

2. Sei((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)ein inverses I-Diagramm in der Katego-

rie C. Sind (X, (fi)i∈I) und (Y, (gi)i∈I) inverse Limiten dieses Dia-gramms, so gibt es genau einen Isomorphismus f ∈ MorC(X,Y ) mit

∀i∈I gi ◦ f = fi.

Beweis. Dies folgt aus dem Standard-Argument fur universelle Eigenschaften(”Bruderchen, komm tanz mit mir“, Satz II.2.3.24), indem man

• den Existenzteil der universellen Eigenschaft verwendet, um Morphis-men in beide Richtungen zu konstruieren,

• und den Eindeutigkeitsteil der universellen Eigenschaft verwendet, umzu zeigen, dass beide Kompositionen mit der Identitat ubereinstimmenmussen (da sie dasselbe Abbildungsproblem losen).

Genauer geht man im Kolimes-Fall wie folgt vor:

•”

einmal hin“: Da (X, (fi)i∈I) die universelle Eigenschaft des Kolimeserfullt und die (gi)i∈I kompatibel sind, gibt es einen eindeutig bestimm-ten Morphismus f ∈ MorC(X,Y ) mit

∀i∈I f ◦ fi = gi.

•”

einmal her“: Da (Y, (gi)i∈I) die universelle Eigenschaft des Kolimeserfullt und die (fi)i∈I kompatibel sind, gibt es einen eindeutig bestimm-ten Morphismus g ∈ MorC(Y,X) mit

∀i∈I g ◦ gi = fi.


•”

rundherum, das ist nicht schwer“: Nach Konstruktion gilt

∀i∈I (g ◦ f) ◦ fi = g ◦ (f ◦ fi) = g ◦ gi = fi = idX ◦fi.

Wenden wir die Eindeutigkeitsaussage aus der universellen Eigenschaftdarauf an, so erhalten wir

g ◦ f = idX .

Analog folgt f ◦ g = idY .

Insbesondere sind f und g zueinander inverse Isomorphismen.

1.4.2 Alte Bekannte

Aus dem Vergleich der entsprechenden universellen Eigenschaften erhalt manaus der Eindeutigkeit von (Ko)Limiten (Proposition 1.4.6):

Beispiel 1.4.7 (Koprodukt/direkte Summe). Diagramme uber diskrete Ord-nungen sind nichts anderes als uber die entsprechende Menge indizierte Fa-milien von Objekten; Kolimiten uber diskrete Ordnungen bezeichnet manauch als Koprodukte.

Sei R ein ninoko Ring und sei I eine Menge (mit der diskreten Ordnung).Ist (Mi)i∈I eine Familie von R-Linksmoduln (also ein I-Diagramm in RMod),so erfullt die direkte Summe

⊕i∈IMi zusammen mit den kanonischen In-

klusionen die universelle Eigenschaft des Koprodukts von (Mi)i∈I uber I(Satz II.2.3.24).

Das Koprodukt in der Kategorie der Mengen ist durch die disjunkte Ver-einigung (und die kanonischen Inklusionen) gegeben. Das Koprodukt in derKategorie der Gruppen ist durch das sogenannte freie Produkt gegeben (diesist außer in pathologischen Fallen nicht die direkte Summe von Gruppen!).

Beispiel 1.4.8 (Quotienten). Sei R ein ninoko Ring, sei M ein R-Linksmodulund sei A ⊂ M ein R-Linksuntermodul. Dann erfullt M/A zusammen mitder kanonischen Projektion π : M −→ M/A (und dem Nullmorphismus) dieuniverselle Eigenschaft des Kolimes uber das folgende Diagramm (basierendauf der kleinen partiell geordneten Menge aus Beispiel 1.4.2):

A

0 ??

Inklusion��

{0}0��

Mπ

??M/A

Analog lassen sich auch Quotienten von Vektorraumen, Gruppen, etc. alsKolimiten beschreiben.

1.4. (Ko)Limiten 31

Beispiel 1.4.9 (Produkt). Inverse Limiten uber diskrete Ordnungen bezeich-net man auch als Produkte. Sei R ein ninoko Ring und sei I eine Menge mit derdiskreten Ordnung. Ist (Mi)i∈I eine Familie von R-Linksmoduln, so erfulltdas direkte Produkt

∏i∈IMi zusammen mit den kanonischen Projektionen

die universelle Eigenschaft des Produkts von (Mi)i∈I uber I.Analog gilt dies auch in der Kategorie der Vektorraume uber einem

Grundkorper, der Kategorie der Gruppen und der Kategorie der Mengen.

Proposition 1.4.10 ((Ko)Limiten in Modulkategorien). Sei R ein ninoko Ring.Dann existieren in der Kategorie RMod alle Kolimiten und alle inversenLimiten. Genauer gilt: Sei (I,≤) eine partiell geordnete Menge.

1. Kolimiten. Ist((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)ein I-Diagramm in RMod, so ist

(⊕

i∈IXi

) /N

mit

N := SpanR{ιi(x)− ιj

(fi,j(x)

) ∣∣ i, j ∈ I, i ≤ j, x ∈ Xi

}

zusammen mit den von den kanonischen Inklusionen (ιi)i∈I in die di-rekte Summe induzierten Homomorphismen ein Kolimes dieses Dia-gramms in RMod.

2. Inverse Limiten. Ist((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)ein inverses I-Diagramm

in RMod, so ist

{(xi)i∈I ∈

∏

i∈IXi

∣∣∣∣ ∀i,j∈I i ≤ j =⇒ xi = fi,j(xj)

}⊂∏

i∈IXi

zusammen mit den von den kanonischen Projektionen induzierten Ho-momorphismen ein inverser Limes dieses inversen Diagramms in RMod.

Beweis. Zu 1. Wir weisen nach, dass die universelle Eigenschaft des Koli-mes uber dieses Diagramm erfullt ist, indem wir die universelle Eigenschaftder direkten Summe und von Quotienten kombinieren: Wir setzen X :=(⊕

i∈I Xi

)/N und zu i ∈ I schreiben wir fi : Xi −→ X fur den von der In-

klusion ιi der i-ten Komponente in die direkte Summe und der kanonischenProjektion induzierten Homomorphismus.

• Seien i, j ∈ I mit i ≤ j. Dann gilt wegen der Konstruktion von N furalle x ∈ Xi, dass

fi(x) =[ιi(x)

]=[ιi(x)− ιi(x) + ιj(fi,j(x))

]=[ιj ◦ fi,j(x)

]

= fj ◦ fi,j(x).

• Sei Y ∈ Ob(RMod) und sei (gi)i∈I eine Familie von Morphismen gi ∈MorC(Xi, Y ) mit


∀i,j∈I i ≤ j =⇒ gj ◦ fi,j = gi.

Dann gibt es genau einen R-Modulhomomorphismus g : X −→ Y mit

∀i∈I g ◦ fi = gi,

denn: Wir betrachten den R-Modulhomomorphismus

g :⊕

i∈IXi −→ Y

(xi)i∈I 7−→∑

i∈Igi(xi)

(definiert uber die universelle Eigenschaft der direkten Summe). DieKompatibilitatsbedingung fur (gi)i∈I zeigt, dass N ⊂ ker g (nachrech-nen). Also induziert g einen wohldefinierten R-Modulhomomorphis-mus g : X −→ Y (universelle Eigenschaft des Quotientenmoduls). NachKonstruktion gilt dabei fur alle i ∈ I und alle x ∈ Xi

g ◦ fi(x) = g[ιi(x)

]= g(ιi(x)

)= gi(x).

Dies zeigt die Existenz von g. Die Eindeutigkeit von g folgt aus derTatsache, dass X von

⋃i∈I im fi erzeugt wird.

Zu 2. Dies kann man mit ahnlichen Argumenten wie im ersten Teil auf dieEigenschaften der Bausteine zuruckfuhren (nachrechnen).

Beispiel 1.4.11 (formale Potenzreihen). Sei R ein Ring. Dann betrachten wirdas inverse Diagramm

(R[T ]/(Tn) −→ R[T ]/(Tm)

)n,m∈N,m≤n

uber der total geordneten Menge (N,≤), gegeben durch die kanonischen Pro-jektionen. Der R-Modul

RJT K := lim←−n∈N

R[T ]/(Tn)

erbt von den Restklassenringen (R[T ]/(Tn))n∈N eine Ringstruktur (nachrech-nen). Man bezeichnet diesen Ring als Ring der formalen Potenzreihen uber R.Die konkrete Konstruktion in Proposition 1.4.10 zeigt, dass wir Elementevon RJT K als unter den kanonischen Projektionen kompatible Folgen von Po-lynomen in R[T ] auffassen konnen. Daher konnen wir uns Elemente von RJT Kals Potenzreihen der Form ∞∑

n=0

an · Tn

1.4. (Ko)Limiten 33

mit an ∈ R fur alle n ∈ N vorstellen (und das Cauchy-Produkt stimmt mitdem Produkt auf RJT K uberein).

Man beachte, dass es sich hierbei um”formale“ Potenzreihen handelt; d.h.

es gibt keine Voraussetzungen an die Konvergenz (in welchem Sinne auch?!)der Koeffizienten. Insbesondere ist es nicht ohne weiteres moglich, in solchePotenzreihen Elemente aus R einzusetzen!

1.4.3 Vertraglichkeit mit (Ko)Limiten

Mochte man produktiv mit algebraischen Objekten umgehen, so ist es un-erlasslich, sich damit zu befassen, welche/inwieweit Konstruktionen mit Zer-legungen in kleinere Bausteine vertraglich sind. In unserer kategorientheore-tischen Sprache ist dies die Frage, welche Funktoren mit (Ko)Limiten ver-traglich sind.

Bemerkung 1.4.12 (darstellbare Funktoren und (Ko)Limiten). Sei C eine Kate-gorie und sei X ∈ Ob(C). Da die universellen Eigenschaften von (Ko)Limitendurch Abbildungsprobleme beschrieben werden, folgt (Ubungsaufgabe):

1. Der Funktor MorC(X, · ) : C −→ Set ist mit inversen Limiten ver-traglich: Ist Y := lim←−i∈I Xi ein inverser Limes eines I-Diagramms in C,

so erfullt MorC(X,Y ) zusammen mit den induzierten Morphismen dieuniverselle Eigenschaft des inversen Limes lim←−i∈I MorC(X,Xi) in Set.

Da diese Eigenschaft unter naturlichen Isomorphismen erhalten bleibt(nachrechnen), sind kovariante darstellbare Funktoren C −→ Set mitinversen Limiten vertraglich.

2. Der kontravariante Funktor MorC( · , X) : C −→ Set ubersetzt Koli-miten in inverse Limiten. Also ubersetzen kontravariante darstellbareFunktoren C −→ Set Kolimiten in inverse Limiten.

Analog folgen die entsprechenden Vertraglichkeiten auch fur Hom-Funktorenvon Modulkategorien.

Beispiel 1.4.13 (Wozu?!). Die Nutzlichkeit von Uberlegungen in der Art wiein Bemerkung 1.4.12 zeigt sich zum Beispiel auch in der Analysis: Sind Mund N glatte Mannigfaltigkeiten (z.B. offene Teilmengen von euklidischenVektorraumen), so kann man auch M × N in vernunftiger Weise mit derStruktur einer glatten Mannigfaltigkeit versehen. Was ist einfacher zu ver-stehen, C∞(M ×N,R) oder C∞(R,M ×N) ?

An dieser Stelle ist es irrefuhrend, uber die analytischen Details der Defi-nition glatter Strukturen auf M , N und M ×N , sowie die Definition glatterAbbildungen zwischen glatten Manngifaltigkeiten nachzudenken. Diese Fragelasst sich namlich am einfachsten mit einem strukturellen, kategorientheore-tischen, Blickwinkel beantworten: Die Mannigfaltigkeit M × N ist (zusam-men mit den kanonischen Projektionen) das kategorientheoretische Produkt


von M und N in der Kategorie C∞ der glatten Mannigfaltigkeiten. Somit istklar, dass

C∞(R,M ×N) = MorC∞(R,M ×N)

durch die universelle Eigenschaft der Produkts (oder die Vertraglichkeitvon MorC∞(R, · ) mit inversen Limiten aus Bemerkung 1.4.12) kurz undbundig beschrieben wird.

Der Abbildungsraum C∞(M ×N,R) hingegen ist schwieriger zu beschrei-ben (und fuhrt zu Vervollstandigungen von Tensorprodukten).

Die kategorielle Sichtweise erlaubt es in dieser Weise an vielen Stellenvorherzusagen, welche Aussagen

”einfach“ und welche Aussagen

”schwierig“

oder”erstaunlich“ sein sollten.

Proposition 1.4.14 (adjungierte Funktoren). Seien C und D Kategorien undseien F : C −→ D und G : D −→ C kovariante Funktoren, die im folgendenSinne adjungiert sind:

Es gibt einen naturlichen Isomorphismus

MorD(F ( · ), ·

) ∼= MorC(· , G( · )

)

(in zwei Variablen bzw. als Funktoren auf Cop×D; Bemerkung 1.4.15).

Dann ist F mit Kolimiten vertraglich und G ist mit inversen Limiten ver-traglich.

Bemerkung 1.4.15. Die Naturlichkeitsbedingung in der Formulierung vonProposition 1.4.14 lautet wie folgt (das ist die einzig

”sinnvolle“ uberhaupt

formulierbare Bedingung!): Es gibt eine Familie

(T (X,Y ) : MorD(F (X), Y ) −→ MorC(X,G(Y ))

)X∈Ob(C),Y ∈Ob(D)

von Bijektionen mit folgender Eigenschaft: Fur alle X,X ′ ∈ Ob(C), Y, Y ′ ∈Ob(D) und alle f ∈ MorC(X ′, X) und g ∈ MorD(Y, Y ′) ist das Diagramm

MorD(F (X), Y )T (X,Y )

//

MorD(F (f),Y )

��

MorC(X,G(Y ))

MorC(f,G(Y ))

��

MorD(F (X ′), Y )

MorD(F (X′),g)

��

MorC(X ′, G(Y ))

MorC(X′,G(g))

��

MorD(F (X ′), Y ′)T (X′,Y ′)

// MorC(X ′, G(Y ′))

kommutativ.

1.5. Beispiel: Das Tensorprodukt 35

Beweis. Wir zeigen nur die Aussage fur F (der Beweis fur G verlauft dual da-zu): Sei (I,≤) eine partiell geordnete Menge und sei

((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)

ein I-Diagramm in C, das einen Kolimes in C besitzt. Mit der Adjunktionund Bemerkung 1.4.12 erhalten wir einen naturlichen Isomorphismus

MorD(F ( lim−→

i∈IXi), ·

) ∼= MorC(lim−→i∈I

Xi, G( · ))

(Adjunktion)

∼= lim←−i∈I

MorC(Xi, G( · )

)(Bemerkung 1.4.12)

∼= lim←−i∈I

MorD(F (Xi), ·

). (Adjunktion)

Dies bedeutet aber gerade, dass F ( lim−→i∈I Xi) die universelle Eigenschaft des

Kolimes von((F (Xi))i∈I , (F (fi,j))i,j∈I,i≤j

)besitzt (nachrechnen).

Insbesondere existiert der Kolimes lim−→i∈I F (Xi) in D und die kanonischen

Morphismen induzieren einen Isomorphismus

lim−→i∈I

F (Xi) −→ F(lim−→i∈I

Xi

).

Anmerkung zum Lernen. Sie sollten versuchen, die Schritte des letzten Be-weises (die ja stark komprimiert dargestellt sind) nochmal im Detail nachzu-vollziehen!

Ein Beispiel fur adjungierte Funktoren haben wir bereits in Beispiel 1.2.5gesehen. Im nachsten Abschnitt werden wir ein weiteres kennenlernen.

1.5 Beispiel: Das Tensorprodukt

Im folgenden werden wir das Tensorprodukt fur Moduln konstruieren, cha-rakterisieren und mithilfe von kategorientheoretischen Argumenten genaueruntersuchen. Insbesondere werden wir an diesem Beispiel sehen, wie die all-gemeine Theorie in konkreten Beispielen Probleme losen kann.

1.5.1 Wiederholung: Das Tensorprodukt von Vektorrau-men

Das Tensorprodukt von Vektorraumen ist eine Maschine, die multilineareAbbildungen in lineare Abbildungen verwandelt (Abbildung 1.4). Die Funk-tionalitat dieser Maschine wird dabei kurz und knapp durch eine universelleEigenschaft beschrieben (Satz II.4.1.5):


Abbildung 1.4.: Das Tensorprodukt als Maschine

Satz 1.5.1 (Tensorprodukt). Sei K ein Korper und seien V , W Vektorraumeuber K. Dann gibt es einen K-Vektorraum V ⊗K W und eine bilineare Ab-bildung ⊗ : V ×W −→ V ⊗K W mit folgender universellen Eigenschaft:

Fur jeden K-Vektorraum Z und jede bilineare Abbildung f : V ×W −→ Zgibt es genau eine lineare Abbildung f⊗ : V ⊗K W −→ Z mit

f⊗ ◦ ⊗ = f.

V ×Wf (bilinear)//

⊗��

Z

V ⊗K W

∃! f⊗ (linear)

::

Der K-Vektorraum V ⊗KW und die Abbildung ⊗ : V ×W −→ V ⊗KW sinddurch diese universelle Eigenschaft bis auf kanonische Isomorphie eindeutigbestimmt. Man bezeichnet V ⊗KW als Tensorprodukt von V und W uber K.

Außerdem haben wir bereits gesehen, dass das Tensorprodukt von Vek-torraumen die folgenden Eigenschaften besitzt (Satz II.4.1.8):

• Neutralitat des Grundkorpers

• Kommutativitat

• Assoziativitat

• Vertraglichkeit mit direkten Summen

• Exponentialgesetz

• Funktorialitat


Anmerkung zum Lernen. Konnen Sie sich noch an konkrete Anwendungendes Tensorprodukts von Vektorraumen erinnern? Falls nicht, sollten Sie diesenochmal wiederholen (Kapitel II.4.1.3). Das Tensorprodukt ist namlich einaußerst treuer Helfer in vielen Situationen!

1.5.2 Das Tensorprodukt

Wir verallgemeinern nun das Tensorprodukt auf Moduln uber ninoko Rin-gen. Wichtigstes Designkriterium ist naturlich, dass eine geeignete universel-le Eigenschaft erfullt ist. Im nicht-kommutativen Fall ist dabei das folgendePhanomen zu berucksichtigen:

Caveat 1.5.2 (bilineare Abbildungen uber ninoko Ringen). Es ist verlockend,bilineare Abbildungen auch uber ninoko Ringen zu betrachten. Naiv konntedas wie folgt aussehen: Sei R ein ninoko Ring und seien M ,N , Z Linksmodulnuber R. Eine Abbildung f : M×N −→ Z ist R-bilinear, wenn fur alle m,m′ ∈M , n, n′ ∈ N , r ∈ R die Gleichungen

f(m+m′, n) = f(m,n) + f(m′, n)

f(m,n+ n′) = f(m,n) + f(m,n′)

f(r ·m,n) = r · f(m,n)

f(m, r · n) = r · f(m,n)

erfullt sind.

Ist f : M × N −→ Z eine solche R-bilineare Abbildung, so erhalten wirauch

(r · s) · f(m,n) = r ·(s · f(m,n)

)= r · f(m, s · n) = f(r ·m, s · n)

= s · f(r ·m,n) = s ·(r · f(m,n)

)

= (s · r) · f(m,n),

was im Falle eines nicht-kommutativen Rings R eine zu große Einschrankungdarstellt.

Daher ist es naheliegend, Tensorprodukte nur zwischen einem Rechts-und einem Linksmodul zu definieren, und die Skalarmultiplikationsbedingungleicht abgeschwacht zu formulieren:

Definition 1.5.3 (balanciertes Produkt). Sei R ein ninoko Ring, sei M einR-Rechtsmodul, sei N ein R-Linksmodul und sei Z eine abelsche Gruppe.

• Eine Abbildung f : M ×N −→ Z ist ein R-balanciertes Produkt, wennfur alle m,m′ ∈M , n, n′ ∈ N , r ∈ R die Gleichungen


f(m+m′, n) = f(m,n) + f(m′, n)

f(m,n+ n′) = f(m,n) + f(m,n′)

f(m · r, n) = f(m, r · n)

gelten.

• Wir schreiben BalR(M,N,Z) fur die Menge aller R-balancierten Pro-dukte M×N −→ Z; diese Menge bildet bezuglich punktweiser Additioneine abelsche Gruppe.

Satz 1.5.4 (Tensorprodukt von Moduln). Sei R ein ninoko Ring, sei M ein R-Rechtsmodul und sei N ein R-Linksmodul. Dann gibt es eine abelsche Grup-pe M ⊗R N und ein R-balanciertes Produkt ⊗ : M × N −→ M ⊗R N mitfolgender universellen Eigenschaft:

Fur jede abelsche Gruppe Z und jedes R-balancierte Produkt f : M×N −→Z gibt es genau eine Z-lineare Abbildung f⊗ : M ⊗R N −→ Z mit

f⊗ ◦ ⊗ = f.

M ×Nf (balanciert)//

⊗��

Z

M ⊗R N∃! f⊗ (Z-linear)

::

Die abelsche Gruppe M⊗RN und die Abbildung ⊗ : M×N −→M⊗RV sinddurch diese universelle Eigenschaft bis auf kanonische Isomorphie eindeutigbestimmt. Man bezeichnet M⊗RN als Tensorprodukt von M und N uber R.

Beweis. Die Eindeutigkeit folgt mit dem Standardargument; wir werden auchnoch ein weiteres Argument dafur im Zusammenhang mit der Hom-Tensor-Adjunktion kennenlernen (Satz 1.5.10).

Die Existenz kann analog zum Vektorraumfall mit der folgenden Konstruk-tion nachgewiesen werden (Kapitel II.4.1.4): Wir betrachten den Z-Modul

M ⊗R N :=

(⊕

M×NZ) /

U,

wobei (zur Erzwingung der R-balancierten Interaktion!)

U := SpanZ

({e(m+m′,n) − e(m,n) − e(m′,n) | m,m′ ∈M,n ∈ N}∪ {e(m,n+n′) − e(m,n) − e(m,n′) | m ∈M,n, n′ ∈ N}∪ {e(m·r,n) − e(m,r·n) | m ∈M,n ∈ N, r ∈ R}

).

Zusatzlich definieren wir die Abbildung


⊗ : M ×N −→M ⊗R N(m,n) 7−→ [e(m,n)].

Analog zum Vektorraumfall zeigt man mithilfe der universellen Eigenschaftvon direkten Summen und Quotientenmoduln, dass diese Abbildung ⊗ ein R-balanciertes Produkt ist und dass M ⊗RN zusammen mit ⊗ die gewunschteuniverselle Eigenschaft erfullt.

Caveat 1.5.5 (Elementartensoren). Sei R ein ninoko Ring, sei M ein R-Rechts-modul und N ein R-Linksmodul. Elemente der Form

m⊗ n := ⊗(m,n) ∈M ⊗R N

mit m ∈M und n ∈ N bezeichnet man als Elementartensoren.Da die Abbildung ⊗ : M ×N −→M ⊗RN im allgemeinen nicht surjektiv

ist, sind nicht alle Elemente von M ⊗R N Elementartensoren, sondern Z-Li-nearkombinationen von Elementartensoren.

Ist f : M ×N −→ Z ein R-balanciertes Produkt, so schreibt man norma-lerweise

M ⊗R N −→ Z

m⊗ n 7−→ f(m,n)

fur die induzierte Z-lineare Abbildung f⊗ (obwohl ja nicht alle Elementeauf der linken Seite Elementartensoren sind . . . aber wegen der Eindeutigkeitvon f⊗ ist f⊗ durch diese Beschreibung eindeutig bestimmt).

Literaturaufgabe. Falls Ihnen entfallen sein sollte, wie man mit Elementar-tensoren und der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts korrekt um-geht, kann Tensor Products [4, S. 12] von K. Conrad weiterhelfen.

Beispiel 1.5.6 (Tensorprodukt). Bevor wir uns weiter mit den Eigenschaftendes Tensorprodukts auseinandersetzen, geben wir ein erstes Beispiel, das be-reits eine der Eigenheiten des Tensorprodukts von Moduln zeigt: Es ist

Z/3⊗Z Z/2 ∼= {0},

denn: Fur alle x, y ∈ Z gilt (wegen 2 · 2 ≡ 1 mod 3; da Z kommutativist, konnen wir die Unterscheidung in Rechts-/Linksmoduln ignorieren undarbeiten wie gewohnt mit der Skalarmultiplikation von Links)

[x]⊗ [y] = [2 · 2 · x]⊗ [y] =(2 · [2 · x]

)⊗ [y]

= [2 · x]⊗(2 · [y]

)= [2 · x]⊗ [0]

= 0 (nachrechnen!)

in Z/3⊗ZZ/2. Da dieses Tensorprodukt von Elementartensoren erzeugt wird,folgt Z/3⊗Z Z/2 ∼= {0}.


Statt mit Elementartensoren kann man selbstverstandlich auch direkt mitder universellen Eigenschaft argumentieren: Ist Z eine abelsche Gruppe undf : Z/3× Z/2 −→ Z ein Z-balanciertes Produkt, so folgt

f([x], [y]

)= f

(2 · [2 · x], [y]

)= f

([2 · x], 2 · [y]

)= f

([2 · x], [0]

)= 0.

Also ist BalZ(Z/3,Z/2, Z) ∼=Z {0}. Daher erfullt {0} die universelle Eigen-schaft des Tensorprodukts Z/3⊗Z Z/2 bzw. Z/3⊗Z Z/2 ∼=Z {0}.

Bemerkung 1.5.7 (Funktorialitat des Tensorprodukts). Seien R und S ninokoRinge.

• Sind M,M ′ Rechtsmoduln uber R, sind N,N ′ Linksmoduln uber Rund sind f ∈ HomR(M,M ′), g ∈ RHom(N,N ′), so ist

f ⊗R g : M ⊗R N −→M ′ ⊗R N ′m⊗ n −→ f(m)⊗ g(n)

eine wohldefinierte (nachrechnen!) Z-lineare Abbildung.

• Ist M ein R-Rechtsmodul, so erhalten wir auf diese Weise einen Funk-tor M ⊗R · : RMod −→ Ab:

– Auf Objekten:

Ob(RMod) −→ Ob(Ab)

N 7−→M ⊗R N

– Auf Morphismen: Sind N,N ′ Linksmoduln uber R, so definierenwir

RHom(N,N ′) −→ HomZ(M ⊗R N,M ⊗R N ′)f 7−→ idM ⊗Rf.

Ist N ein R-Linksmodul, so liefert die analoge Konstruktion einen Funk-tor · ⊗R N : ModR −→ Ab.

Man beachte dabei: Ist M ein R-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul,so besitzt das Tensorprodukt M ⊗R N im allgemeinen keine vernunftigeR-Modulstruktur! Die R-Modulstrukturen wurden sozusagen

”in der Mitte

durch das Tensorprodukt aufgefressen“.

• Ist jedoch M ein (S,R)-Bimodul, so liefert

S × (M ⊗R N) −→M ⊗R N(s,m⊗ n) 7−→ (s ·m)⊗ n


eine wohldefinierte S-Linksmodulstruktur auf M ⊗R N (nachrechnen).Auf diese Weise erhalten wir dann den Basiswechselfunktor (und analogfur die andere Seite)

M ⊗R · : RMod −→ SMod .

• Insbesondere: Ist R kommutativ, so erhalten wir wie gewohnt fur jedenR-Modul M einen Tensorproduktfunktor M ⊗R · : RMod −→ RMod.

Wir werden in den folgenden Kapiteln haufig, Basiswechselfunktoren per Ten-sorprodukt verwenden, um zu Moduln uber einfacheren Ringen ubergehen zukonnen.

Bemerkung 1.5.8 (Zusammenhang mit dem Tensorprodukt von Vektorraumen).Sei K ein Korper und seien V und W Vektorraume uber K. Ist Z ein K-Vektorraum, so ist jede K-bilineare Abbildung f : V ×W −→ Z auch eine K-balancierte Abbildung und die induzierte Abbildung f⊗ : V ⊗KW −→ Z ausSatz 1.5.4 ist K-linear. Daher erfullt die Konstruktion aus Satz 1.5.4 auch dieuniverselle Eigenschaft des Vektorraumtensorprodukts. Mit der Eindeutigkeitdes Vektorraumtensorprodukts folgt daher, dass das Modul-Tensorproduktfur Vektorraume mit dem Vektorraumtensorprodukt ubereinstimmt.

Bemerkung 1.5.9 (Mini-Tensorprodukt-Baukasten). Wie im Vektorraumfall,kann man mithilfe der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts die fol-genden Eigenschaften beweisen (nachrechnen; analog zu Satz II.4.1.8): Sei Rein ninoko Ring.

1. Neutralitat des Grundrings. Ist S ein ninoko Ring und N ein (R,S)-Bimodul, so ist

R⊗R N −→ N

r ⊗ n 7−→ r · n

ein wohldefinierter Isomorphismus von S-Rechtsmoduln.

2. Assoziativitat. Seien S, T , U ninoko Ringe, sei M ein (R,S)-Bimodul,sei N ein (S, T )-Bimodul und sei P ein (T,U)-Linksmodul. Dann ist

(M ⊗S N)⊗T P −→M ⊗S (N ⊗T P )

(m⊗ n)⊗ p 7−→ m⊗ (n⊗ p)

ein wohldefinierter Isomorphismus von (R,U)-Bimoduln.

3. Kommutativitat. Ist R ein (kommutativer!) Ring und sind M und NModuln uber R, so ist

M ⊗R N −→ N ⊗RMm⊗ n 7−→ n⊗m


ein wohldefinierter Isomorphismus von R-Moduln. Man beachte, dassdie analoge Aussage fur ninoko Grundringe gar keinen Sinn ergibt!

1.5.3 Vertraglichkeit mit Kolimiten

Die Kategorientheorie liefert uns einen einfachen Beweis dafur, dass das Ten-sorprodukt mit Kolimiten vertraglich ist. Insbesondere erhalten wir so einenkonzeptionellen Beweis dafur, dass Tensorprodukte mit direkten Summenund Quotienten vertraglich sind.

Satz 1.5.10 (die Hom-Tensor-Adjunktion). Sei R ein ninoko Ring. Dann sind

M ⊗R · : RMod −→ Ab und HomZ(M, · ) : Ab −→ RMod

zueinander adjungierte Funktoren: Fur R-Linksmoduln X und abelsche Grup-pen Y sind

HomZ(M ⊗R X,Y ) −→ RHom(X,HomZ(M,Y )

)

f 7−→(x 7→ (m 7→ f(m⊗ x))

)

und

RHom(X,HomZ(M,Y )

)−→ HomZ(M ⊗R X,Y )

f 7−→(m⊗ x 7→ f(x)(m)

)

zueinander inverse wohldefinierte naturliche Bijektionen (Isomorphismenabelscher Gruppen).

Beweis. Es ist zu zeigen, dass die obigen Abbildungen wohldefiniert sind,zueinander invers sind, und mit Morphismen auf den eingesetzten Objektenvertraglich sind. Wir zeigen stellvertretend nur, dass die erste Abbildung ϕwohldefiniert ist (die anderen Aussagen folgen mit ahnlichen elementarenRechnungen; nachrechnen):

Sei f ∈ HomZ(M ⊗R X,Y ). Dann ist g := f ◦ ⊗ : M × X −→ Y einR-balanciertes Produkt. Insbesondere ist fur jedes x ∈ X die Abbildung

M −→ Y

m 7−→ f(m⊗ x)

Z-linear und auch ϕ(f) : X −→ HomZ(M,Y ) ist Z-linear. Warum ist ϕ(f)auch R-linear? Sei dazu r ∈ R und x ∈ X. Dann ist (nach Definitionder R-Linksmodulstruktur auf HomZ(M,Y ) aus der R-Rechtsmodulstrukturauf M)


ϕ(f)(r · x) =(m 7→ f(m⊗ r · x)

)=(m 7→ f(m · r ⊗ x)

)

= r ·(m 7→ f(m⊗ x)

)

= r ·(ϕ(f)(x)

).

Bemerkung 1.5.11 (Eindeutigkeit des Tensorprodukts). Sei R ein ninoko Ring,sei M ein R-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul. Dann sind die Funkto-ren HomZ(M ⊗R N, · ) und RHom(N,HomZ(M, · )) : Ab −→ Ab naturlichisomorph (nach Satz 1.5.10); man beachte dabei, dass der Beweis dieser Kon-sequenz von Satz 1.5.10 allein mit der universellen Eigenschaft des Tensorpro-dukts M ⊗R N gefuhrt werden kann. Nach dem Mini-Yoneda-Lemma (Pro-position 1.3.6) ist somit M ⊗R N bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Bemerkung 1.5.12. Die Adjunktion aus Satz 1.5.10 verallgemeinert sich wiefolgt: Seien R, S ninoko Ringe und sei M ein (S,R)-Bimodul. Dann sind

M ⊗R · : RMod −→ SMod und SHom(M, · ) : SMod −→ RMod

zueinander adjungierte Funktoren. Man muss dazu nur feststellen, dass dieIsomorphismen aus Satz 1.5.10 mit den S-Linksmodulstrukturen vertraglichsind. Auch die folgenden Korollare 1.5.13 und 1.5.14 besitzen eine entspre-chende Verallgemeinerung.

Korollar 1.5.13 (Vertraglichkeit des Tensorprodukts mit Kolimiten). Sei R einninoko Ring und M ein R-Rechtsmodul. Ist (I,≤) eine partiell geordneteMenge und ist

((Xi)i∈I , (fi,j)i,j∈I,i≤j

)ein I-Diagramm in RMod, so indu-

zieren die Abbildungen (idM ⊗Rfi)i∈I einen Isomorphismus

lim−→i∈I

(M ⊗R Xi) ∼=Z M ⊗R lim−→i∈I

Xi

abelscher Gruppen; der Kolimes auf der linken Seite wird dabei uber das I-Diagramm

((M⊗RXi)i∈I , (idM ⊗Rfi,j)i,j∈I,i≤j

)in Ab gebildet. Insbesondere

gilt:

1. Ist I eine Menge und (Xi)i∈I eine Familie von R-Linksmoduln, soist die folgende Abbildung ein wohldefinierter Isomorphismus abelscherGruppen:

⊕

i∈I(M ⊗R Xi) −→M ⊗R

⊕

i∈IXi

(mi ⊗ xi)i∈I 7−→∑

i∈Imi ⊗ xi.

2. Ist X ein R-Linksmodul und ist A ⊂ X ein R-Unterlinksmodul, soist die folgende Abbildung ein wohldefinierter Isomorphismus abelscherGruppen:


(M ⊗R X)/

im(idM ⊗R(A ↪→ X)

)−→M ⊗R (X/A)

[m⊗ x] 7−→ m⊗ [x].

Beweis. Nach Satz 1.5.10 ist M⊗R · ein linksadjungierter Funktor (namlichzu HomZ(M, · )) und somit mit Kolimiten vertraglich (Proposition 1.4.14).

Da direkte Summen und Quotientenmoduln spezielle Kolimiten sind (Bei-spiel 1.4.7, Beispiel 1.4.8), folgen auch die Zusatzaussagen.

Korollar 1.5.14 (Rechtsexaktheit des Tensorprodukts). Sei R ein ninoko Ringund sei M ein R-Linksmodul. Dann ist der Funktor M ⊗R · : RMod −→ Abrechtsexakt: Ist

Ai // X

π // Q // 0

eine exakte Sequenz in RMod (d.h. im i = kerπ und imπ = Q), so ist dieinduzierte Sequenz

M ⊗R AidM ⊗Ri// M ⊗R X

idM ⊗Rπ// M ⊗R Q // M ⊗R {0} ∼=Z {0}

in Ab exakt.

Beweis. Nach dem Homomorphiesatz (Satz II.2.3.21) induziert π einen Mo-dulisomorphismus X/ im i ∼=R Q. Dies ist einfach eine Umformulierung derVertraglichkeit von M ⊗R · mit Quotienten (Korollar 1.5.13).

Caveat 1.5.15 (Exaktheit?!). Das Tensorprodukt uberfuhrt injektive Homo-morphismen im allgemeinen nicht in injektive Homomorphismen. Zum Bei-spiel ist

f : Z −→ Zx 7−→ 2 · x

ein injektiver Homomorphismus (in ZMod), aber

idZ/2⊗Zf : Z/2⊗Z Z −→ Z/2⊗Z Z[m]⊗ [x] 7−→ [m]⊗ [2 · x] = [2 ·m]⊗ [x] = 0⊗ [x] = 0.

Wegen Z/2⊗Z Z ∼=Z Z/2 6∼=Z {0} ist somit idZ/2⊗Zf nicht injektiv.

In Kapitel 3 und Kapitel 5 werden wir uns genauer mit diesem Defekt desTensorprodukts auseinandersetzen.

Anmerkung zum Lernen. Wahlen Sie ein Buch uber Kommutative Algebraaus und vergleichen Sie den Beweis der Rechtsexaktheit des Tensorproduktsin diesem Buch mit unserem Beweis.


1.5.4 Beispiele

Als Verallgemeinerung von Beispiel 1.5.6 erhalten wir:

Proposition 1.5.16 (Tensorprodukt und ggT). Sei R ein Ring, seien a, b ⊂ RIdeale in R. Dann ist

R/a⊗R R/b −→ R/(a ∪ b)[x]⊗ [y] 7−→ [x · y]

ein wohldefinierter Isomorphismus von R-Moduln; dabei bezeichnet (a ∪ b)das von a ∪ b erzeugte Ideal in R.

Insbesondere gilt: Ist R ein Hauptidealring und sind a, b ∈ R, so ist

R/(a)⊗R R/(b) ∼=R R/(a, b) = R/(ggT(a, b)).

Beweis. Die erste Aussage folgt mit der konkreten Angabe eines Inversenoder ganz bequem aus der Vertraglichkeit von R/a ⊗R · : RMod −→ RModmit Quotienten (Ubungsaufgabe).

Die zweite Aussage folgt aus der ersten, unter Berucksichtigung der Tat-sache, dass in Hauptidealringen die Gleichung (a, b) = (ggT(a, b)) gilt (Pro-position II.2.4.27).

Beispiel 1.5.17 (Tensorprodukte von endlich erzeugten abelschen Gruppen).Sind A und B endlich erzeugte abelsche Gruppen, so konnen wir A ⊗Z Bexplizit berechnen, sobald wir Standardzerlegungen von A und B (im Sinnevon Korollar II.2.5.16) kennen (Bemerkung 1.5.9, Korollar 1.5.13, Propositi-on 1.5.16).

Analog kann man auch fur endlich erzeugte Moduln uber Hauptidealrin-gen verfahren (mithilfe des Hauptsatzes uber endlich erzeugte Moduln uberHauptidealringen; Satz II.2.5.15).

Beispiel 1.5.18 (Tensorprodukte und Torsion). Tensorprodukte konnen wiefolgt eingesetzt werden, um Torsion zu vergessen: Sei A eine abelsche Gruppe,die nur aus Torsionselementen (d.h. nur aus Elementen endlicher Ordnung)besteht. Dann gilt

Q⊗Z A ∼=Z {0},denn: Sei x ∈ Q, a ∈ A und sei n die additive Ordnung von a ∈ A. Da A eineTorsionsgruppe ist, ist n ∈ N>0. Also gilt

x⊗ a =(n · 1

n· x)⊗ a =

( 1

n· x)⊗ (n · a) =

( 1

n· x)⊗ 0 = 0.

Da Q⊗Z A von Elementartensoren erzeugt wird, folgt Q⊗Z A ∼=Z {0}.

Beispiel 1.5.19 (Rang endlich erzeugter abelscher Gruppen). Sei A eine endlicherzeugte abelsche Gruppe. Nach dem Klassifikationssatz uber endlich erzeug-


te abelsche Gruppen (Korollar II.2.5.16) gibt es ein n ∈ N und eine endlicheabelsche Gruppe B mit

A ∼=Z Zn ⊕B.Wenden wir darauf nun den Funktor Q⊗Z · : Ab −→ QMod = VectQ an, soerhalten wir (da Funktoren mit Isomorphie vertraglich sind), dass

dimQ Q⊗Z A = dimQ Q⊗Z (Zn ⊕B) (Proposition 1.2.6)

= dimQ((Q⊗Z Z)n ⊕Q⊗Z B

)(Korollar 1.5.13)

= dimQ(Q⊗Z Z)n + dimQ Q⊗Z B (Additivitat von dimQ)

= dimQ Qn + dimQ{0} (Bemerkung 1.5.9, Beispiel 1.5.18)

= n+ 0 = n.

Auf diese Weise liefert also auch das Tensorprodukt einen Beweis der Eindeu-tigkeit des Rangs des freien Anteils einer endlich erzeugten abelschen Gruppe.

Anmerkung zum Lernen. Vergegenwartigen Sie sich nochmal genau, an wel-chen Stellen in den vorigen Beispielen allgemeine kategorientheoretische Me-thoden geholfen haben, konkrete Rechnungen zu vereinfachen!

Caveat 1.5.20 (Tensorprodukte und inverse Limiten). Tensorprodukte sindim allgemeinen nicht mit inversen Limiten (zum Beispiel Produkten!) ver-traglich, denn:

• Einerseits gilt nach Beispiel 1.5.18, dass

Q⊗Z Z/n ∼=Z {0}

fur alle n ∈ N>0. Also ist auch∏n∈N>0

(Q⊗Z Z/n) ∼=Z {0}.

• Aber Q ⊗Z∏n∈N>0

Z/n ist nicht trivial, denn: Der diagonale Homo-morphismus

∆: Z −→∏

n∈N>0

Z/n =: Z

z 7−→ (z)n∈N

ist injektiv (denn z 6≡ 1 mod (|z| + 1) fur alle z ∈ Z \ {0}). Wir wer-den sehen, dass dann auch idQ⊗Z∆: Q ⊗Z Z −→ Q ⊗Z Z injektiv ist(Beispiel 3.2.18; dies liegt an dem speziellen Verhaltnis von Q zu Z).Wegen Q⊗Z Z ∼=Z Q 6∼=Z {0} ist somit auch Q⊗Z Z 6∼=Z {0}.

Ausblick 1.5.21 (Tensorprodukte von Ringen/Korpern). Sind R und S Ringe,so bildet die abelsche Gruppe R ⊗Z S zusammen mit der (wohldefinierten!)Multiplikation


(R⊗Z S)× (R⊗Z S) −→ R⊗Z S

(x⊗ y, x′ ⊗ y′) 7−→ (x · x′)⊗ (y · y′)

einen Ring. Ringe dieser Art haben zum Beispiel die folgenden Anwendungen:

• strukturell: Der Ring R ⊗Z S bildet zusammen mit den kanonischenHomomorphismus R −→ R ⊗Z S und S −→ R ⊗Z S das Koproduktvon R und S in der Kategorie Ring (Ubungsaufgabe).

• in der Galoistheorie: Sind L | K und M | K Korpererweiterungen des-selben Grundkorpers K, so enthalt der Ring M ⊗K L (dies ist im all-gemeinen kein Korper, sondern nur ein direktes Produkt von Korpern)Information uber die Komposita von Einbettungen von L und M ineinen gemeinsamen umgebenden Korper (Ubungsaufgabe).

In der Kommutativen Algebra wird der Hauptzweck des Tensorproduktssein, Basiswechsel zu Ringen mit einfacherer Modulstruktur durchzufuhren.

2

Das Primspektrum

Primideale treten in der Algebra an mehreren Stellen auf naturliche Weiseauf:

• In der Zahlentheorie als verallgemeinerte Primzahlen,

• in der algebraischen Geometrie als verallgemeinerte”Punkte“.

Die Gesamtheit aller Primideale eines Rings bildet das Primspektrum.Wir werden in diesem Kapitel die Grundbegriffe zu Primidealen und maxi-

malen Idealen wiederholen und die geometrische Bedeutung von maximalenIdealen und Primidealen skizzieren. Außerdem werden wir kurz den Dimen-sionsbegriff fur Ringe einfuhren.


2.1 Das Primspektrum 502.2 Affine algebraische Geometrie 582.3 Dimension 74

Schlusselbeispiel. Primspektrum von Z und von Funktionen- bzw. Koordi-natenringen

50 2. Das Primspektrum

2.1 Das Primspektrum

Die Gesamtheit aller Primideale eines Rings bildet das Primspektrum die-ses Rings. Wir wiederholen die Grundbegriffe zu Primidealen und maxima-len Idealen und skizzieren dann die geometrische Bedeutung von maximalenIdealen und Primidealen.

2.1.1 Wiederholung: Primideale und maximale Ideale

In der Teilbarkeitstheorie sind Primelemente die atomaren Bausteine. Diezentrale Idee des Primbegriffs ist dabei nicht Irreduzibilitat, sondern die Teil-barkeit von Faktoren in Produkten bzw. die Eindeutigkeit von Faktorisierun-gen.

Wir erinnern zunachst an grundlegende Typen von Ringen:

• Ein Integritatsring ist ein nullteilerfreier Ring mit 0 6= 1.

Zum Beispiel sind Z, Korper und Polynomringe uber IntegritatsringenIntegritatsringe. Aber Z × Z (mit komponentenweiser Addition undMultiplikation) ist kein Integritatsring.

• Ein Hauptidealring ist ein Integritatsring, in dem jedes Element voneinem Element erzeugt wird.

Zum Beispiel sind Z und Q[T ] Hauptidealringe, nicht aber Z[T ] oderQ[X,Y ].

• Ein faktorieller Ring ist ein Hauptidealring, in dem jedes Element un-gleich 0 eine Zerlegung in Einheiten und Primelemente besitzt.

Zum Beispiel sind Z und Q[T ] faktorielle Ringe; allgemeiner sind Haupt-idealringe faktoriell (Satz III.2.2.37) und Polynomringe uber fakto-riellen Ringen sind faktoriell (Satz von Gauß; Satz III.2.2.40). AberZ[i ·

√5] ⊂ C ist kein faktorieller Ring.

Definition 2.1.1 (Primideal). Sei R ein Ring. Ein Ideal p ⊂ R in R ist prim,wenn p 6= R und

∀x,y∈R x · y ∈ p =⇒ x ∈ p ∨ y ∈ p.

Beispiel 2.1.2 (Primideale).

• Das Ideal (2018) ⊂ Z ist nicht prim (nachrechnen).

2.1. Das Primspektrum 51

• Sei R ein Integritatsring und sei p ∈ R\{0} keine Einheit. Dann ist dasHauptideal (p) genau dann prim, wenn p prim ist (Beispiel III.2.2.14).

Ist R ein faktorieller Ring, so ist p ∈ R genau dann prim, wenn pirreduzibel ist. In solchen Fallen lasst sich daher oft uberprufen, ob eingegebenes Element prim ist oder nicht, indem man es auf Irreduzibilitattestet.

Definition 2.1.3 (maximales Ideal). Sei R ein Ring. Ein Ideal m ⊂ R in R istmaximal, wenn m 6= R und fur alle Ideale a ⊂ R in R gilt: Ist m ⊂ a, so folgtbereits a = m oder a = R.

Beispiel 2.1.4 (maximale Ideale).

• Ist p ∈ Z prim, so ist (p) ⊂ Z ein maximales Ideal.

Allgemeiner gilt (Beispiel III.2.2.14): Ist R ein Hauptidealring und istp ∈ R prim, so ist (p) ein maximales Ideal in R.

• Das Ideal (X) ⊂ Q[X,Y ] ist prim (nachrechnen), aber nicht maximal(denn (X) ⊂ (X,Y ) ⊂ Q[X,Y ] ist eine echt aufsteigende Idealkette).

• Das Ideal (X · Y ) ⊂ Q[X,Y ] ist weder prim noch maximal (nachrech-nen).

In der Praxis ist es oft besser, die Primeigenschaft oder Maximalitat ei-nes Ideals nicht anhand der Definition von Hand nachzuweisen, sondern diefolgende Charakterisierung mithilfe des Restklassenrings zu verwenden:

Bemerkung 2.1.5 (Restklassenring). Sei R ein Ring und a ⊂ R ein Ideal.Dann ist R/a = {x+a | x ∈ R} eine abelsche Gruppe (bezuglich der von derAddition auf R induzierten Addition auf R/a). Außerdem gilt:

1. Die Abbildung

· : R/a×R/a −→ R/a

(x+ a, y + a) 7−→ (x · y) + a

ist wohldefiniert.

2. Die Menge R/a bildet bezuglich der obigen Addition bzw. Multiplika-tion einen Ring, den Restklassenring von R modulo a.

Satz 2.1.6 (Restklassenringe zu Primidealen; Satz III.2.2.15). Sei R ein Ringund sei a ⊂ R ein Ideal. Dann gilt:

1. Der Restklassenring R/a ist genau dann ein Integritatsring, wenn a einPrimideal ist.

2. Der Restklassenring R/a ist genau dann ein Korper, wenn a ein maxi-males Ideal ist.


Insbesondere ist jedes maximale Ideal prim.

Beispiel 2.1.7 (der Korper Fp). Ist p ∈ Z eine Primzahl, so ist das Ide-al (p) ⊂ Z maximal, und damit Fp := Z/(p) ein Korper (bezuglich re-prasentantenweiser Addition und Multiplikation).

Anmerkung zum Lernen. Falls Sie bereits Algebra gehort haben: Wie kannman den Mechanismus aus dem vorigen Beispiel nutzen, um gezielt Korpermit gewissen Zusatzeigenschaften zu konstruieren? (Zum Beispiel Korper mitvorgegebener Elementzahl oder mit Elementen, die vorgegebene polynomialeGleichungen losen.)

Jeder nicht-triviale Ring enthalt maximale Ideale; genauer gilt sogar:

Satz 2.1.8 (Existenz maximaler Ideale; Satz III.2.2.18). Sei R ein Ring undsei a ⊂ R ein Ideal mit a 6= R. Dann gibt es ein maximales Ideal m ⊂ Rmit a ⊂ m.

2.1.2 Punkte vs. Ideale

Welche geometrische Bedeutung haben Primideale? Um dies besser zu ver-stehen, betrachten wir zunachst kein rein algebraisches, sondern ein topolo-gisches Problem:

Frage 2.1.9. Ist X ein nicht-leerer, kompakter topologischer Hausdorffraum(zum Beispiel X = [0, 1]), so bildet die Menge

R := C(X,R)

der stetigen Funktionen X −→ R einen Ring bezuglich punktweiser Additionund Multiplikation. Wie hangen in dieser Situation ringtheoretische Eigen-schaften von R mit topologischen Eigenschaften von X zusammen? ZumBeispiel: Kann man die Punkte von X aus dem Ring R rekonstruieren?

Wir zeigen nun, dass man tatsachlich einiges uber X am Funktionen-ring C(X,R) ablesen kann:

Proposition 2.1.10 (Punkte vs. Ideale). Sei X ein nicht-leerer, kompaktertopologischer Hausdorffraum (zum Beispiel X = [0, 1]) und R := C(X,R).Dann gilt:

1. Ist x ∈ X, so ist mx := {f ∈ R | f(x) = 0} ein maximales Ideal in R.

2. Ist umgekehrt m ⊂ R ein maximales Ideal, so gibt es genau ein x ∈ Xmit m = mx.

Beweis. Zu 1. Als Kern der Auswertungsabbildung Ex : R −→ R bei x istmx ein Ideal.


Warum ist mx maximal? Nach Satz 2.1.6 genugt es dafur zu zeigen, dassder Restklassenring R/mx ein Korper ist. Die konstanten Funktionen vomTyp X −→ R zeigen, dass imEx = R ist. Also ist (nach dem Homomorphie-satz fur Ringhomomorphismen)

R/mx∼=Ring imEx = R

ein Korper, und damit mx ein maximales Ideal in R.

Etwas expliziter kann man die Maximalitat von mx auch direkt anhandder definierenden Eigenschaft verifizieren: Es gilt mx 6= R, denn die konstanteFunktion 1 liegt in R, aber nicht in mx (nach Definition von mx).

Sei a ⊂ R ein Ideal mit mx ⊂ a aber a 6= mx. Also gibt es ein g ∈ a \mx.Insbesondere ist g(x) 6= 0; indem wir mit der konstanten Funktion 1/g(x)multiplizieren, konnen wir ohne Einschrankung annehmen, dass g(x) = 1 ist.Fur alle f ∈ R gilt also

f =(f − f(x) · g

)+ f(x) · g.

Der erste Summand liegt in mx ⊂ a (nach Definition von mx); der zweiteSummand liegt in a (wegen g ∈ a und der Idealeigenschaft). Also ist f ∈ a,und damit a = R. Somit ist das Ideal mx maximal.

Zu 2. Sei umgekehrt m ⊂ R ein maximales Ideal. Angenommen, es gabekein x ∈ X mit m = mx. Da wir bereits wissen, dass die Ideale mx mit x ∈ Xmaximal sind, folgt somit: Fur jedes x ∈ X ist m \mx 6= ∅ bzw.

∀x∈X ∃gx∈m gx(x) 6= 0.

Jede dieser Funktionen gx ist aufgrund der Stetigkeit bereits in einer offenenUmgebung um x von Null verschieden. Da X kompakt ist, genugen endlichviele solcher Umgebungen, um X zu uberdecken. Also gibt es eine endlicheTeilmenge Y ⊂ X mit

g :=∑

y∈Ygy

2 > 0;

mit der Idealeigenschaft folgt g ∈ m. Dann ist auch das punktweise Inver-se 1/g : X −→ R eine stetige Funktion auf X und (wegen g ∈ m)

1 =1

g· g ∈ m.

Dies liefert aber m = R, im Widerspruch zur Maximalitat von m. Also gibtes ein x ∈ X mit m = mx.

Warum ist x ∈ X eindeutig durch m bestimmt? Seien x, y ∈ X mit x 6= y.Dann gilt mx 6= my, denn: Da X ein kompakter Hausdorffraum ist, zeigt derSatz von Urysohn [7, Kapitel 8]: Es gibt eine stetige Funktion f : X −→ Rmit f(x) = 0 und f(y) = 1. Also ist f ∈ mx, aber f 6∈ my; insbesondere istmx 6= my.


Ausblick 2.1.11 (Topologie vs. Ideale). In der Situation von Proposition 2.1.10ist es sogar moglich, die Topologie auf X aus der Idealstruktur von C(X,R)zu rekonstruieren (Ubungsaufgabe).

Man fuhrt daher die folgende Abstraktion durch: Man fasst die Menge allermaximalen Ideale eines Rings als geometrisches Objekt auf. Die Menge allermaximalen Ideale von Ringen ist jedoch nicht unter allgemeinen Ringhomo-morphismen funktoriell (Caveat 2.1.16). Dies ist einer der Grunde, warumman stattdessen die Menge der betrachteten Ideale von den maximalen Idea-len auf die Primideale erweitert.

2.1.3 Das Primspektrum

Definition 2.1.12 (Primspektrum, Maximalspektrum). Sei R ein Ring.

• Das Primspektrum von R (oder kurz Spektrum von R) ist

SpecR := {p | p ⊂ R ist ein Primideal}.

• Das Maximalspektrum von R ist

mSpecR := {m | m ⊂ R ist ein maximales Ideal}.

Da jedes maximale Ideal prim ist, ist das Maximalspektrum eines Ringesim Primspektrum enthalten.

Beispiel 2.1.13 (Spektrum von Ringen). Wir beginnen mit ein paar einfachenBeispielen (Abbildung 2.1): Wir werden im folgenden auch kurz 0 fur dasNullideal von Ringen schreiben.

• Ist K ein Korper, so ist mSpecK = SpecK = {(0)}.• Es ist

SpecZ = {(p) | p ∈ N prim} ∪ {0} und mSpecZ = (SpecZ) \ {0}.

• Ist K ein Korper, so ist

SpecK[T ] = {(p) | p ∈ K[T ] prim} ∪ {0} und

mSpecK[T ] = (SpecK[T ]) \ {0}.

Ist K algebraisch abgeschlossen (z.B. K = C), so ist

SpecK[T ] = {(T − x) | x ∈ K} ∪ {0}.

• Das Spektrum von Z[T ] ist bereits etwas komplizierter. Es enthalt zumBeispiel Ideale der Form (p) (mit p ∈ Z prim) oder (f) (wobei f ∈ Z[T ]


Spec Korper

0

SpecZ0 (2) (3) (5)

. . .

SpecZ[T ]

0

(T )

(T 2 + 1)

...

(2) (3) (5)

(2, T ) (3, T ) (5, T )

(3, T 2 + 1)

...

. . .

SpecC[T ]

0 (T ) (T −√2) (T − π) (T − i)

. . .

SpecR[T ]

0 (T ) (T −√2) (T − π) (T 2 + 1) (T 2 + 2)

. . .

SpecQ[T ]

0 (T ) (T − 1) (T − 2) (T 2 − 2) (T 3 − 2) (T 2 + 1)

. . .

SpecQ[X,Y ]

0

(Y )

(Y 2 + 1)

...

(X) (X2 + 1) (X − 1)

(X,Y ) (X2 + 1, Y ) (X − 1, Y )

(X,Y 2 + 1) (X − 1, Y 2 + 1)

...

. . .

SpecZ/(2)× Z/(3)

(([1], 0)) ((0, [1]))

Abbildung 2.1.: Vage Skizzen des Spektrums einiger Ringe; maximale Idea-le sind rot; dichte Punkte (im Sinne der Zariski-Topologie;Proposition 2.2.5) schattiert.


primitiv (z.B. normiert) und in Q[T ] irreduzibel ist) oder auch (p, g)(wobei p ∈ Z prim ist und das Bild von g ∈ Z[T ] in Fp[T ] irreduzi-bel ist). Die Ideale der obigen Form (p) bzw. (f) sind nicht maximal,aber (p, g) ist maximal.

Das Spektrum von Z[T ] hat somit etwas”Zweidimensionales“ an sich.

• Ahnlich ist auch das Spektrum von Q[X,Y ] eher”zweidimensional“.

• Es gilt (nachrechnen)

mSpec(Z/(2)×Z/(3)

)= Spec

(Z/(2)×Z/(3)

)={(

([1], 0)),((0, [1])

)}.

Analog kann man zeigen, dass (Z/(2))2018 ein Ring ist, der genau 2018Primideale enthalt. Es bleibt aber die Frage, wie man einen nullteiler-freien Ring mit dieser Eigesnchaft konstruieren kann.

• Ist X ein nicht-leerer, kompakter topologischer Raum, so gibt es ei-ne kanonische Bijektion zwischen X und mSpecC(X;R) (Propositi-on 2.1.10).

Bemerkung 2.1.14 (Funktorialitat des Spektrums). Seien R und S Ringe undsei f : R −→ S ein Ringhomomorphismus. Ist p ⊂ S ein Primideal, so ist dasIdeal

f−1(p) ={x ∈ R

∣∣ f(x) ∈ p}⊂ R

ein Primideal in R, denn: Man kann dies direkt mit der Definition nach-rechnen; alternativ kann man auch uber den Restklassenring argumentieren(Satz 2.1.6): Da p ⊂ S ein Primideal ist, ist S/p ein Integritatsring. NachKonstruktion ist der von f induzierte Ringhomomorphismus

R/f−1(p) −→ S/p

injektiv. Also ist auch R/f−1(p) ein Integritatsring, und damit f−1(p) einPrimideal in R. Insgesamt erhalten wir somit eine wohldefinierte Abbildung

Spec f : SpecS −→ SpecR

p 7−→ f−1(p).

Da Urbildnehmen mit Abbildungskomposition vertraglich ist, erhalten wirsomit den kontravarianten Funktor

Spec: Ring −→ Set .

Beispiel 2.1.15. Sei i : Z −→ Z[T ] die Inklusion. Dann ist (nach Definition)

Spec i : SpecZ[T ] −→ SpecZp 7−→ i−1(p) = p ∩ Z.


Caveat 2.1.16 (Un-Funktorialitat des Maximalspektrums). Man beachte je-doch, dass Urbilder maximaler Ideale unter Ringhomomorphismen im allge-meinen keine maximalen Ideale sind: Zum Beispiel ist {0} ⊂ Q ein maximalesIdeal, aber das Urbild unter der Inklusion Z −→ Q ist das Nullideal in Z,welches in Z nicht maximal ist.

Proposition 2.1.17 (Spektrum von Restklassenringen). Sei R ein Ring, seia ⊂ R ein Ideal und sei π : R −→ R/a die kanonische Projektion. Dannliefert Specπ : SpecR/a −→ SpecR Bijektionen

SpecR/a −→ VR(a) := {p ∈ SpecR | a ⊂ p}q 7−→ π−1(q),

mSpecR/a −→ VR(a) ∩mSpecR

m 7−→ π−1(m).

Beweis. Wir rechnen dies Schritt fur Schritt nach:

• Die Abbildung Specπ : SpecR/a −→ SpecR ist injektiv, denn: Sindq, q′ ∈ SpecR/a mit Specπ(q) = Specπ(q′), so ist (da π surjektiv ist)

q = π(π−1(q)

)= π

(Specπ(q)

)= π

(Specπ(q′)

)= π

(π−1(q′)

)= q′.

• Es gilt Specπ(SpecR/a) ⊂ VR(a), denn: Ist q ∈ SpecR/a, so ist a ⊂π−1(0) ⊂ π−1(q).

• Die Abbildung Specπ : SpecR/a −→ VR(a) ist surjektiv, denn: Ist p ∈VR(a), so ist π(p) ⊂ R/a ein Ideal (da π surjektiv ist) und (wegenkerπ = a; nachrechnen)

π−1(π(p)

)= p.

Außerdem ist π(p) ⊂ R/a ein Primideal, denn (wegen a ⊂ p)

(R/a)/π(p) ∼=Ring R/p

ist ein Integritatsring (Satz 2.1.6).

Damit ist gezeigt, dass die erste Abbildung eine Bijektion ist.

Die Aussage uber das Maximalspektrum folgt aus der Aussage uber dasPrimspektrum, da die Abbildung Specπ mit Inklusionen vertraglich ist.

Literaturaufgabe (Spektrum). Der Begriff”Spektrum“ ist in der Mathematik

hoffnungslos uberbucht. Versuchen Sie moglichst viele mathematische Kon-zepte zu finden, die den Namen

”Spektrum“ tragen.


2.2 Affine algebraische Geometrie

Wir erweitern nun unsere geometrische Anschauung um rein algebraischeBeispiele: Ist K ein algebraisch abgeschlossener Korper, so wissen wir bereits,dass die Abbildung

K −→ mSpecK[T ] =(SpecK[T ]

)\ {0}

x 7−→ (T − x)

bijektiv ist. Als ersten Schritt diskutieren wir den zugehorigen”hoherdi-

mensionalen“ Fall mSpecK[X1, . . . , Xn]. Im Anschluss verallgemeinern wirunsere Betrachtungen auf Nullstellenmengen von polynomialen Gleichungenin Kn und beginnen mit dem Worterbuch der affinen algebraischen Geome-trie (Anhang A.1).

2.2.1 Der affine Raum

In Analogie zum eindimensionalen, algebraisch abgeschlossenen, Fall, defi-niert man:

Definition 2.2.1 (affiner Raum). Ist K ein Korper und n ∈ N, so bezeichnetman AnK := SpecK[X1, . . . , Xn] als n-dimensionalen affinen Raum uber K.

Caveat 2.2.2 (affiner Raum). Es gibt viele Zugange zur algebraischen Geome-trie, die verschiedene Konzepte verwenden, um geometrische Objekte zu be-schreiben. Je nachdem, welchen Zugang man verwendet, wird auch der Begriffdes affinen Raums leicht unterschiedlich definiert. Genauer gesagt kann manalgebraische Geometrie in verschiedenen Kategorien und mit unterschiedlichviel Zusatzstruktur betreiben. Wir werden im folgenden eine Mischung ausdem naiven geometrischen Zugang und der Sprache der Primspektren ver-wenden.

Wie im topologischen Fall (Proposition 2.1.10) ergibt sich fur algebraischabgeschlossene Korper K eine Korrespondenz zwischen Punkten in Kn undmaximalen Idealen von K[X1, . . . , Xn].

Satz 2.2.3 (affine Raume uber algebraisch abgeschlossenen Korpern). Sei Kein algebraisch abgeschlossener Korper und n ∈ N>0. Dann ist

Kn −→ mSpecK[X1, . . . , Xn]

x 7−→ (X1 − x1, . . . , Xn − xn)

bijektiv.

Beweis. Wir schreiben ϕ fur die obige Abbildung.

2.2. Affine algebraische Geometrie 59

• Ist x ∈ Kn, so ist ϕ(x) = (X1 − x1, . . . , Xn − xn) ein maximales Idealin K[X1, . . . , Xn], denn der Restklassenring K[X1, . . . , Xn]/ϕ(x) ∼= Kist ein Korper (Satz 2.1.6).

• Die Abbildung ϕ ist injektiv, denn: Seien x, y ∈ Kn mit x 6= y, d.h. esgibt ein k ∈ {1, . . . , n} mit xk 6= yk. Es gilt (X1 − x1, . . . , Xn − xn) =kerEx, wobei

Ex : K[X1, . . . , Xn] −→ K

K 3 z 7−→ z

fur jedes j ∈ {1, . . . , n}: Xj 7−→ xj

der Einsetzungshomomorphismus zu x ist (offenbar sind die Polyno-me X1 − x1, . . . , Xn − xn in kerEx und beide Ideale sind maximal).Insbesondere ist

Ex(Xk − yk) = xk − yk 6= 0,

und damit Xk − yk 6∈ kerEx = (X1 − x1, . . . , Xn − xn) = ϕ(x) abernach Definition ist Xk − yk ∈ ϕ(y). Insbesondere ist ϕ(x) 6= ϕ(y). Alsoist ϕ injektiv.

• Die Abbildung ϕ ist surjektiv, denn: Sei m ⊂ K[X1, . . . , Xn] ein ma-ximales Ideal. Dann ist m 6= K[X1, . . . , Xn]. Nach dem schwachen Hil-bertschen Nullstellensatz (Satz 2.2.4) gibt es ein x ∈ Kn mit

∀f∈m f(x1, . . . , xn) = 0.

Insbesondere ist m ⊂ kerEx = ϕ(x). Da ϕ(x) (nach dem ersten Schritt)und m (nach Voraussetzung) maximale Ideale sind, folgt m = ϕ(x).Also ist ϕ surjektiv.

Satz 2.2.4 (schwacher Hilbertscher Nullstellensatz). Sei K ein algebraischabgeschlossener Korper, sei n ∈ N und sei a ⊂ K[X1, . . . , Xn] ein Idealmit a 6= K[X1, . . . , Xn]. Dann ist {x ∈ Kn | ∀f∈a f(x1, . . . , xn) = 0} 6= ∅.

Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz spater beweisen, wenn wirmehr technische Hilfsmittel zur Verfugung haben (Kapitel 4.2).

Der affine Raum AnK enthalt außer den Punkten zu den maximalen Idealennoch weitere Punkte; wir werden im folgenden sehen, wie man die Punkte zumaximalen Idealen topologisch von nicht-maximalen Primidealen unterschei-den kann.

Anmerkung zum Lernen. Vergleichen Sie die Beweise von Satz 2.2.3 undProposition 2.1.10. Welche Parallelen gibt es? Welche Schritten waren inwelchem Beweis einfacher?


2.2.2 Die Zariski-Topologie

Wir verfeinern nun das Primspektrum, indem wir eine Topologie auf demPrimspektrum einfuhren. Dadurch wird der Funktor Spec: Ring −→ Set zueinem Funktor Spec: Ring −→ Top.

Proposition 2.2.5 (Zariski-Topologie). Sei R ein Ring. Ist a ⊂ R eine Teil-menge, so schreiben wir

VR(a) := {p ∈ SpecR | a ⊂ p} ⊂ SpecR.

1. Dann ist{

SpecR \ VR(a)∣∣ a ⊂ R

}eine Topologie auf SpecR, die

Zariski-Topologie.

2. Ist S ein Ring und f : R −→ S ein Ringhomomorphismus, so istSpec f : SpecS −→ SpecR stetig bezuglich der Zariski-Topologie. Ins-besondere verfeinert sich der Funktor Spec auf diese Weise zu einemFunktor Spec: Ring −→ Top.

Beweis. Zu 1. Wir zeigen, dass {SpecR \VR(a) | a ⊂ R} die Axiome fur eineTopologie erfullt. Dazu zeigen wir, dass die Menge C := {VR(a) | a ⊂ R}die Axiome fur die abgeschlossenen Mengen einer Topologie erfullt (damitsparen wir uns das etwas unhandliche Bilden von Komplementen):

• Es ist ∅ ∈ C und SpecR ∈ C, denn

∅ = VR({1})

und SpecR = VR({0}).

• Die Menge C ist unter Durchschnitten abgeschlossen: Ist (ai)i∈I eineFamilie von Teilmengen von R, so gilt (Ubungsaufgabe)

⋂

i∈IVR(ai) = VR

(⋃

i∈Iai

).

• Die Menge C ist unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen: Sinda, b ⊂ R, so gilt (Ubungsaufgabe)

VR(a) ∪ VR(b) = VR({x · y | x ∈ a, y ∈ b}

).

Zu 2. Es genugt zu zeigen, dass Urbilder abgeschlossener Mengen abge-schlossene Mengen sind. Sei also a ⊂ R. Dann ist (nachrechnen)

(Spec f)−1(VR(a)

)= (Spec f)−1{p ∈ SpecR | a ⊂ p}={q ∈ SpecS

∣∣ a ⊂ f−1(q)}

={q ∈ SpecS

∣∣ f(a) ⊂ q}

= VS(f(a)

).


Proposition 2.2.6 (abgeschlossene Punkte in der Zariski-Topologie). Sei R einRing und x ∈ SpecR. Dann ist die Einpunktmenge {x} genau dann abge-schlossen, wenn x ein maximales Ideal in R ist.

Beweis. Ist x ein maximales Ideal in R, so ist {x} = VR(x) in der Zariski-Topologie abgeschlossen.

Sei umgekehrt {x} in der Zariski-Topologie abgeschlossen. Also gibt esein a ⊂ R mit {x} = VR(a). Da x ein Primideal in R ist, ist x 6= R; alsogibt es ein maximales Ideal m ⊂ R mit x ⊂ m (Satz 2.1.8). Insbesondere istdaher m ∈ VR(a) = {x}, und damit x = m. Also ist x ein maximales Idealin R.

Beispiel 2.2.7 (die Zariski-Topologie auf affinen Raumen). IstK ein algebraischabgeschlossener Korper und n ∈ N>0, so sind die abgeschlossenen Punkte desaffinen Raums AnK = SpecK[X1, . . . , Xn] genau die Ideale der Form (X1 −x1, . . . , Xn − xn) mit x ∈ Kn (Satz 2.2.3).

Die Zariski-Toplogie ist eine Topologie, die gut zu zahlentheoretischen undalgebraischen Eigenschaften passt; sie ist im allgemeinen nicht mit der naivengeometrischen Anschauung kompatibel:

Beispiel 2.2.8 (Abschluss des Nullideals). Sei R ein Integritatsring. Dannist das Nullideal 0 in R ein Primideal in R. Der Abschluss des Punktes 0in SpecR ist ganz SpecR. Deshalb haben wir den entsprechenden Punktin SpecR auch immer so

”dick“ gezeichnet. Man bezeichnet 0 auch als gene-

rischen Punkt von SpecR.

Beispiel 2.2.9 (die Zariski-Topologie auf SpecZ). Eine Teilmenge in SpecZ istgenau dann abgeschlossen, wenn sie eine endliche Teilmenge von SpecZ\{0}ist oder ganz SpecZ ist, denn:

• Endliche Teilmengen von (SpecZ) \ {0} sind in SpecZ abgeschlossen,denn: Da die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen abgeschlos-sen ist, genugt es zu zeigen, dass jede Einpunktmenge in SpecZ \ {0}abgeschlossen ist. Wegen mSpecZ = SpecZ \ {0} ist nach Propositi-on 2.2.6 jede Einpunktmenge in SpecZ \ {0} abgeschlossen.

• Sei A ⊂ SpecZ eine unendliche abgeschlossene Teilmenge. Dann ist A =SpecZ, denn: Wir schreiben A = VZ(a) mit a ⊂ Z. Ist x ∈ a, so liegtx in unendlich vielen Primidealen von Z. Also gibt es unendlich vielePrimzahlen in Z, die x teilen. Damit folgt aber x = 0, und damit a ⊂{0} bzw.

A = VZ(a) ⊃ VZ({0})

= SpecZ.

Literaturaufgabe (the risky topology). Lesen Sie A year in the life of Sam-my the Graduate Student [12] Zum Beispiel ist die Formulierung

”They use

the risky topology“ ist ein Wortspiel, das auf die Zariski-Topologie verweist.Erkennen Sie auch noch weitere mathematische Fachbegriffe?


2.2.3 Affine algebraische Mengen und Radikale

Eines der Hauptziele der Algebra und der algebraischen Geometrie ist dieUntersuchung von Losungsmengen polynomialer Gleichungen. Solche Null-stellenmengen fuhren im einfachsten Fall zu affinen algebraischen Mengen:

Definition 2.2.10 (affine algebraische Menge). Sei K ein Korper und sei n ∈ N.

• Sei F ⊂ K[X1, . . . , Xn]. Dann ist

VK(F ) :={x ∈ Kn

∣∣ ∀f∈F f(x) = 0}⊂ Kn

die durch F definierte (affine) algebraische Menge.

Eine Teilmenge V ⊂ Kn ist eine affine algebraische Menge, wenn eseine Menge F ⊂ K[X1, . . . , Xn] mit V = VK(F ) gibt.

• Ist V ⊂ Kn, so ist

IK(V ) :={f ∈ K[X1, . . . , Xn]

∣∣ ∀x∈V f(x) = 0}⊂ K[X1, . . . , Xn]

das durch V definierte Verschwindungsideal (dies ist tatsachlich einIdeal; nachrechnen).

Caveat 2.2.11 (affine Varietaten). Affine algebraische Mengen, die zusatzlicheine Irreduzibilitatsbedingung erfullen, werden in der elementaren algebrai-schen Geometrie als affine algebraische Varietaten bezeichnet. Unsere No-tation V erinnert dabei an den Begriff

”Varietat“. Der Begriff der affinen

algebraischen Varietat wird in der algebraischen Geometrie aber nicht ganzeinheitlich verwendet – beim Umgang mit Literatur ist also etwas Vorsichtgeboten.

Beispiel 2.2.12 (affine algebraische Mengen). Die durch Polynome in R[X,Y ]definierten affinen algebraischen Mengen

VR(Y −X2) = VR((Y −X2)2018),

VR(X2 + Y 2 − 4),

VR(Y 2 −X3),

VR(X · Y ),

VR(Y 2 −X3 −X2),

VR(Y −X2, Y +X)

in R2 sind in Abbildung 2.2 dargestellt. Algebraisch gesehen ist es vernunf-tiger, mit den entsprechenden algebraischen Mengen im Komplexen zu ar-beiten. Fur die Illustrationen ist es jedoch einfacher, nur den reellen Fall zubetrachten.


À

Á

1

1

VR(Y −X2)

À

Á

1

1

VR(X2 + Y 2 − 4)

À

Á

1

1

VR(Y 2 −X3)

À

Á

1

1

VR(X · Y )

À

Á

1

1

VR(Y 2 −X3 −X2)

À

Á

1

1

VR(Y −X2, Y +X)

Abbildung 2.2.: Beispiele affiner algebraischer Mengen in R2


Ausblick 2.2.13 (Robotik). In der Robotik werden unter anderem Roboterar-me betrachtet, die aus verschiedenen, starren, Segmenten zusammengesetztsind, die mithilfe von Gelenken mit unterschiedlichem Rotationsfreiraum ver-bunden sind. Der Raum der erreichbaren Punkte eines solchen Roboterarmskann oft als affine algebraische Menge (im Normalfall in R2 oder R3) be-schrieben werden [6, Kapitel 6] (Ubungsaufgabe).

Caveat 2.2.14 (großer Fermat). Es ist im allgemeinen nicht einfach zu ent-scheiden, wie eine durch Polynome definierte affine algebraische Menge genauaussieht. Zum Beispiel: Sei n ∈ N≥4. Dann ist

VQ(Xn + Y n − Zn) ⊂ Q3

eng mit der Frage verwandt, ob es Zahlen x, y, z ∈ N>0 mit

xn + yn = zn

gibt. Es ist mittlerweile bekannt, dass es solche Zahlen nicht gibt [14], aberes ist bisher kein elementarer Beweis dafur bekannt.

Wir untersuchen nun, auf welche Weise affine algebraische Mengen mit derRingtheorie (und insbesondere mit Prim- bzw. Maximalspektren) in Verbin-dung gebracht werden konnen.

Als ersten Schritt fuhren wir den Ring der polynomialen Funktionen auf ei-ner affinen algebraischen Menge ein. Solche Funktionen sollten durch Polyno-me gegeben sein. Außerdem wollen wir solche Funktionen als gleich ansehen,wenn sie auf der gegebenen algebraischen Menge dieselben Funktionswerteannehmen. Dies fuhrt zur folgenden Definition (falls der Grundkorper un-endlich ist, stimmt diese Definition tatsachlich mit der vorigen Beschreibunguberein):

Definition 2.2.15 (Koordinatenring). SeiK ein Korper, n ∈ N und sei V ⊂ Kn

eine affine algebraische Menge. Dann ist der Koordinatenring von V definiertals

KK [V ] := K[X1, . . . , Xn]/ IK(V ).

Es stellen sich dabei die folgenden Fragen:

• Wie hangen (abgeschlossene) Punkte in SpecKK [V ] mit der affinenalgebraischen Menge V zusammen?

• Wie kann man Koordinatenringe/Verschwindungsideale berechnen?

• Wie invers zueinander sind die Operationen VK und IK ?

Wir werden diese Fragen mithilfe von Radikalen und dem starken Hilbert-schen Nullstellensatz beantworten.

Die erste zentrale Beobachtung ist:


Bemerkung 2.2.16 (affine algebraische Mengen und Potenzen/Wurzeln). DaKorper nullteilerfrei sind, liefern Potenzen/Wurzeln (falls existent) von Po-lynomen dieselbe affine algebraische Menge. Genauer: Sei K ein Korper, sein ∈ N, sei f ∈ K[X1, . . . , Xn] und sei m ∈ N>0. Dann gilt (nachrechnen)

VK(fm) = VK(f).

Man fuhrt daher den Begriff des Radikals ein:

Definition 2.2.17 (Radikal). Sei R ein Ring und a ⊂ R ein Ideal. Dann istdas Radikal von a definiert als

R√a := {x ∈ R | ∃n∈N>0

xn ∈ a} ⊂ R.

Ist der Ring aus dem Kontext klar, so schreiben wir auch kurz√a fur R

√a.

Bemerkung 2.2.18 (Radikale sind Ideale). Ist R ein Ring und a ⊂ R ein Ideal,so ist auch das Radikal R

√a ein Ideal in R, denn:

• Es ist 0 ∈ R√a, da 01 ∈ a.

• Sind x, y ∈ R√a, so ist x ± y ∈ R

√a (dies folgt mithilfe der binomi-

schen Formel; Ubungsaufgabe): Wegen x, y ∈ R√a gibt es m,n ∈ N>0

mit xm ∈ a und yn ∈ a. Dann ist

(x+ y)m+n =

m+n∑

j=0

(m+ n

j

)· xj · ym+n−j

=

m∑

j=0

(m+ n

j

)· xj · yn · ym−j +

n∑

j=m+1

(m+ n

j

)· xm · xj−m · ym+n−j .

Die Summanden in der ersten Summe liegen in a, da yn ∈ a; dieSummanden in der zweiten Summe liegen in a, da xm ∈ a. Analogfolgt (x− y)m+n ∈ a. Also ist x± y ∈ R

√a.

• Sind x ∈ R√a und r ∈ R, so ist r · x ∈ R

√a (Ubungsaufgabe).

Beispiel 2.2.19 (Radikale). Sei R ein Ring.

• Ist p ⊂ R ein Primideal, so ist R√p = p (dies folgt induktiv aus der

Primidealeigenschaft).

• Sind a, b ⊂ R Ideale, so ist R√a ∩ b = R

√a ∩ R√b (nachrechnen).

Beispiel 2.2.20 (Radikale in Z). Ist p ∈ Z prim, so ist Z√

(p) = (p) und furalle k ∈ N>0 ist (nachrechnen)

Z√

(pk) = (p).


Außerdem gilt zum Beispiel

Z√

(42) = Z√

(2) ∩ (3) ∩ (7) = (2) ∩ (3) ∩ (7) = (42)

Z√

(24) = Z√

(23) ∩ (3) = (2) ∩ (3) = (6).

Mithilfe des schwachen Hilbertschen Nullstellensatzes und dem Begriff desRadikals erhalten wir die Antwort auf die Frage, inwieweit IK und VK inverszueinander sind:

Satz 2.2.21 (starker Hilbertscher Nullstellensatz). Sei K ein algebraisch abge-schlossener Korper und sei n ∈ N.

1. Ist V ⊂ Kn eine affine algebraische Menge, so ist

VK

(IK(V )

)= V.

2. Ist a ⊂ K[X1, . . . , Xn] ein Ideal, so ist

IK(VK(a)

)=√a.

Beweis. Zu 1. Hierbei handelt es sich um den einfachen Teil, den man durchNachrechnen zeigen kann (Ubungsaufgabe).

Zu 2. Fur diese Aussage benotigen wir den schwachen Hilbertschen Null-stellensatz (Satz 2.2.4): Wir beginnen mit der einfachen Inklusion: Es gilt

√a ⊂ IK

(VK(a)

),

denn: Sei f ∈ √a, d.h. es gibt ein m ∈ N>0 mit fm ∈ a. Fur alle x ∈ VK(a)folgt (

f(x))m

= fm(x) = 0,

und damit f(x) = 0. Also ist f ∈ IK(VK(a)

).

Sei umgekehrt f ∈ IK(VK(a)); ohne Einschrankung sei f 6= 0. Um zuzeigen, dass es ein m ∈ N>0 mit fm ∈ a gibt, verwenden wir den folgendenTrick: Sei i : K[X1, . . . , Xn] −→ K[X1, . . . , Xn+1] die kanonische Inklusionund sei

a :=(i(a) ∪ {1−Xn+1 · i(f)}

)⊂ K[X1, . . . , Xn+1].

Wir zeigen nun als Zwischenschritt, dass VK(a) = ∅: Sei (x1, . . . , xn+1) ∈Kn+1. Dann ist (x1, . . . , xn+1) 6∈ VK(a), denn: Es tritt einer der beidenfolgenden Falle ein:

À Es ist (x1, . . . , xn) ∈ VK(a). In diesem Fall folgt wegen f ∈ IK(VK(a)),dass f(x1, . . . , xn) = 0. Also ist

(1−Xn+1 · i(f)

)(x1, . . . , xn+1) = 1− xn+1 · f(x1, . . . , xn) = 1,

und damit (x1, . . . , xn+1) 6∈ VK(a).


Á Es ist (x1, . . . , xn) 6∈ VK(a). In diesem Fall gibt es somit ein g ∈ amit g(x1, . . . , xn) 6= 0. Dann ist aber auch

i(g)(x1, . . . , xn+1) = g(x1, . . . , xn) 6= 0,

und damit (x1, . . . , xn+1) 6∈ VK(a).

Also ist VK(a) = ∅, wie behauptet.

Mit dem schwachen Hilbertschen Nullstellensatz (Satz 2.2.4) erhalten wirdaraus a = K[X1, . . . , Xn+1]. Insbesondere ist 1 ∈ a; also gibt es k ∈ Nund f1, . . . , fk ∈ a, g1, . . . , gk, g ∈ K[X1, . . . , Xn+1] mit

1 =

k∑

j=1

gj · i(fj) + g ·(1−Xn+1 · i(f)

).

Wegen f 6= 0 konnen wir im Quotientenkorper Q(K[X1, . . . , Xn]) denWert 1/f fur die Variable Xn+1 einsetzen und bekommen so die Gleichung

1 =

k∑

j=1

gj

(X1, . . . , Xn,

1

f

)· fj + g

(X1, . . . , Xn,

1

f

)·(

1− 1

f· f)

=

k∑

j=1

gj

(X1, . . . , Xn,

1

f

)· fj

im Quotientenkorper K(X1, . . . , Xn). Durch Multiplikation mit einer geeig-neten Potenz von f erhalten wir daraus eine Gleichung in K[X1, . . . , Xn]: Seim := max

{degXn+1

(gj)∣∣ j ∈ {1, . . . , k}

}. Dann ist

gj := fm · gj(X1, . . . , Xn,

1

f

)

fur jedes j ∈ {1, . . . , k} ein Element von K[X1, . . . , Xn]. Multiplikation derobigen Gleichung mit fm liefert somit

fm =

k∑

j=1

gj · fj ∈ a.

Insbesondere ist f ∈ √a.

Beispiel 2.2.22 (Koordinatenringe). Mit dem starken Hilbertschen Nullstel-lensatz (Satz 2.2.21) konnen wir Koordinatenringe berechnen (indem wir dieRadikale mit Beispiel 2.2.19 analog zu Beispiel 2.2.20 bestimmen):

• Der Koordinatenring von V := VC(Y − X2): Das Ideal (Y − X2) ⊂C[X,Y ] ist prim (direkt nachrechnen, oder in C[X][Y ] oder C[Y ][X]


argumentieren). Also ist√

(Y −X2) = (Y − X2). Mit dem starkenHilbertschen Nullstellensatz erhalten wir

KC[V ] = C[X,Y ]/√

(Y −X2) = C[X,Y ]/(Y −X2) ∼= C[T ]

[X] 7−→ T

[Y ] 7−→ T 2

[X]←− [ T.

Dies stimmt mit der Anschauung uberein, dass V nur eine algebra-isch verformte komplexe Gerade ist (die ja den Koordinatenring C[T ]besitzt; nachrechnen).

• Der Koordinatenring von VC(X2 +Y 2−1) ist nicht isomorph zu C[T ],denn: Da (X2 + Y 2 − 1) in C[X,Y ] prim ist, ist

KK [VC(X2 + Y 2 − 1)] = C[X,Y ]/√

(X2 + Y 2 − 1)

= C[X,Y ]/(X2 + Y 2 − 1).

Dieser Ring ist jedoch nicht isomorph zu C[T ] [9, Blatt 8, Bonusaufga-be] (da er nicht faktoriell ist). Dies stimmt mit der Anschauung uberein,dass VC(X2 + Y 2 − 1) eine geschlossene Kurve ist und nicht einfachnur eine

”krumm eingebettete“ Gerade.

• Der Koordinatenring von VC(X ·Y ) ist kein Integritatsring (und somitinsbesondere nicht isomorph zu C[T ]), denn: Es gilt (da die Ideale (X)und (Y ) in C[X,Y ] prim sind)

√(X · Y ) =

√(X) ∩ (Y ) =

√(X) ∩

√(Y ) = (X) ∩ (Y ) = (X · Y ).

Also erhalten KC[VC(X · Y )] = C[X,Y ]/(X · Y ), und in diesem Ringist

[X] 6= 0 6= [Y ] und [X] · [Y ] = [X · Y ] = 0.

Dies stimmt mit der Anschauung uberein, dass VC(X · Y ) aus zweiGeraden zusammengesetzt ist.

Allgemein erhalten wir fur affine algebraische Mengen V die gewunschteKorrespondenz zwischen Punkten im geometrischen Objekt V und abge-schlossenen Punkten in SpecKK [V ]:

Korollar 2.2.23 (Punkte affiner algebraischer Mengen). Sei K ein algebraischabgeschlossener Korper, sei n ∈ N und sei V ⊂ Kn eine affine algebraischeMenge. Dann ist die folgende Abbildung bijektiv:

V −→ mSpecKK [V ] = mSpecK[X1, . . . , Xn]/ IK(V )

x 7−→([X1 − x1], . . . , [Xn − xn]

)


Beweis. Da V eine affine algebraische Menge in Kn ist, gibt es eine Teilmen-ge F ⊂ K[X1, . . . , Xn] mit V = VK(F ) = VK(

√(F )).

Wir zerlegen die obige Abbildung nun in zwei Schritte: Einerseits zeigtdie Korrespondenz zwischen Kn und maximalen Idealen in K[X1, . . . , Xn](Satz 2.2.3) zusammen mit einer einfachen Rechnung (nachrechnen), dass

ϕ : V = VK

(√(F ))−→ VK[X1,...,Xn]

(√(F ))∩mSpecK[X1, . . . , Xn]

x 7−→ (X1 − x1, . . . , Xn − xn) = kerEx

eine Bijektion ist.Andererseits liefert der starke Hilbertschen Nullstellensatz (Satz 2.2.21),

dass IK(V ) = IK(VK(F )) = IK(VK((F ))) =√

(F ). Insbesondere ist

KK [V ] = KK

[VK(F )

]= K[X1, . . . , Xn]/

√(F ).

Sei π : K[X1, . . . , Xn] −→ KK [V ] die kanonische Projektion. Dann ist dieinduzierte Abbildung

ψ : mSpecKK [V ] −→ VK[X1,...,Xn]

(√(F ))∩mSpecK[X1, . . . , Xn]

m 7−→ π−1(m)

π(q)←− [ q

bijektiv (Proposition 2.1.17).Somit ist auch die Komposition ψ−1 ◦ ϕ bijektiv. Diese Komposition ist

genau die Abbildung aus der Behauptung.

Bemerkung 2.2.24 (uber die zusatzlichen Punkte im affinen Raum). Sei Kein algebraisch abgeschlossener Korper, sei n ∈ N>0, sei p ∈ AnK =SpecK[X1, . . . , Xn] und V := VK(p) ⊂ Kn. Dann ist

√p = p und der

Abschluss von {p} in Ank bezuglich der Zariski-Topologie ist

A := VK[X1,...,Xn](p) = VK[X1,...,Xn](√p) ⊂ AnK .

Die Argumente aus dem Beweis von Korollar 2.2.23 zeigen, dass

V −→ A ∩mSpecK[X1, . . . , Xn]

x 7−→ (X1 − x1, . . . , Xn − xn)

bijektiv ist. Der affine Raum AnK enthalt also neben den Punkten aus Kn (inForm der maximalen Ideale) zusatzlich auch noch Punkte zu den affinen al-gebraischen Mengen, die durch Primideale definiert werden (Abbildung 2.3).

In der algebraischen Geometrie betrachtet man daher statt affiner al-gebraischer Mengen V ⊂ Kn im Normalfall die

”erweiterte Punktmen-

ge“ SpecKK [V ].


À

Á

1

1

(X − x, Y − x2)

VK(Y −X2)

(Y −X2)

Abbildung 2.3.: uber die zusatzlichen Punkte im affinen Raum, schematisch

Ausblick 2.2.25 (Morphismen von affinen algebraischen Mengen). Der nachsteSchritt bei der systematischen Untersuchung affiner algebraischer Mengen istdie Definition eines geeigneten Morphismenbegriffs, basierend auf

”polyno-

mialen Abbildungen“: Sei K ein Korper (der Einfachheit algebraisch abge-schlossen), seien n,m ∈ N und seien V ⊂ Kn, W ⊂ Km affine algebraischeMengen. Ein Morphismus V −→ W ist eine Abbildung f : V −→ W , fur diees Polynome f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] mit

∀x∈V⊂Kn f(x) =(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)

)

gibt; Abbildungen dieser Art korrespondieren genau zu Ringhomomorphis-men

KK [W ] −→ KK [V ].

Der Zusammenhang zwischen affinen algebraischen Mengen und Verschwin-dungsidealen bzw. Koordinatenringen liefert dann eine (kontravariante) Aqui-valenz von Kategorien zwischen der Kategorie der affinen algebraischen Men-gen uber K und der Kategorie der endlich erzeugten K-Algebren.

Ausblick 2.2.26 (Schemata). Affine algebraische Mengen sind geometrischbetrachtet verwandt mit eingebetteten (bzw. immersierten) Untermannigfal-tigkeiten von Rn. Analog zur intrinsischen Beschreibung von (glatten) Man-nigfaltigkeiten als topologische Raume,

• die lokal zu Rn homoomorph sind (und hausdorffsch sind und das zweiteAbzahlbarkeitsaxiom erfullen), und

• fur die man durch Karten und kompatible Kartenwechsel lokal erklarenkann, was glatte Funktionen sind,


Rn ∼= U

C∞(U ;R)

R

Rn Rn

glatte Mannigfaltigkeit

SpecRi

Ri

SpecRj SpecRk

Schema

Abbildung 2.4.: glatte Mannigfaltigkeiten vs. Schemata

kann man auch durch geeignetes”Verkleben“ von Primspektren von Rin-

gen, geometrische Objekte und”regulare Funktionen“ darauf konstruieren

(Abbildung 2.4). Dies sind sogenannte Schemata.Wesentliche Unterschiede zu Mannigfaltigkeiten sind:

• nicht jedes Schema kann in einen geeigneten affinen Raum eingebettetwerden

• die lokalen Modelle (d.h. die Primspektren) sind viel diverser und kom-plizierter als der lokale Fall (d.h. Rn) fur Mannigfaltigkeiten.

An vielen Stellen kann man aber mit geeigneten Varianten der klassischenanalytischen Konstruktionen interessante Invarianten fur Schemata konstru-ieren. All dies – und der Zusammenhang davon mit der Geometrie vonLosungsmengen polynomialer Gleichungen – ist Gegenstand der modernenalgebraischen bzw. arithmetischen Geometrie.

Grob gesagt befasst sich die algebraische Geometrie mit Losungsmengenpolynomialer Gleichungen Korpern. Die arithmetische Geometrie befasst sichmit der Geometrie von Losungsmengen polynomialer Gleichungen uber all-gemeinen Ringen, insbesondere den Ringen ganzer Zahlen aus der Zahlen-theorie.

Literaturaufgabe (Schwerpunkte). Bei dieser Gelegenheit sollten Sie auch diefolgenden Fragen beantworten: Welche Forschungsschwerpunkte gibt es ander Fakultat fur Mathematik der Universitat Regensburg? Welche Professo-ren gehoren zu welchen Schwerpunkten?

Der Vollstandigkeit halber gehen wir noch auf ein paar wichtige Eigen-schaften von speziellen Radikalen ein:

Definition 2.2.27 (nilpotent). Sei R ein Ring. Ein Element x ∈ R ist nilpotent,wenn es ein n ∈ N>0 mit xn = 0 gibt.


Die Menge aller nilpotenten Elemente ist das sogenannte Nilradikal desRings:

Proposition 2.2.28 (Nilradikal und Primideale). Sei R ein Ring. Dann gilt furdas Nilradikal R

√0 ⊂ R:

R√

0 =⋂

p∈SpecRp.

Beweis. Die Primeigenschaft liefert R√

0 ⊂ ⋂p∈SpecR p (Ubungsaufgabe).

Fur die umgekehrte Inklusion sei x ∈ R \ R√

0. Indem man das Lemma vonZorn (Satz I.3.3.19) auf die Menge der Ideale in R anwendet, die disjunktzu {xn | n ∈ N} sind, erhalt man die Existenz eines Primideals p ⊂ Rmit x 6∈ p (Ubungsaufgabe).

Der Restklassenring zum Nilradikal liefert den”großten“ Restklassenring

von R ohne nilpotente Elemente.

Proposition 2.2.29 (universelle Eigenschaft des Nilradikals). Sei R ein Ring.

1. Der Ring R/√

0 enthalt außer 0 keine nilpotenten Elemente.

2. Ist S ein Ring, der außer 0 keine nilpotenten Elemente enthalt, und istf : R −→ S ein Ringhomomorphismus, so gibt es genau einen Ringho-momorphismus f : R/

√0 −→ S mit

f ◦ π = f

(wobei π : R −→ R/√

0 die kanonische Projektion bezeichnet).

Beweis. Beide Aussagen folgen durch einfache Rechnungen aus der Definitiondes Nilradikals (Ubungsaufgabe).

Beispiel 2.2.30 (noch ein Koordinatenring). Ist R ein Ring und ist a ⊂ Rein Ideal, fur das R/a außer Null keine nilpotenten Elemente enthalt, so istR√a = a, denn: Es gilt dann (nachrechnen)

R√a = π−1

(R/a√

0)

= π−1({0})

= a

wobei π : R −→ R/a die kanonische Projektion bezeichnet.Wir verwenden dies, um den Koordinatenring der affinen algebraischen

Menge V := VC(Y −X2, Y +X) ⊂ C2 zu bestimmen: Es ist (Ubungsaufgabe;eine Variable eliminieren, Chinesischen Restsatz anwenden)

C[X,Y ]/(Y −X2, Y +X) ∼=Ring C× C.

Da der Ring C× C keine nilpotenten Elemente außer der Null enthalt, folgt

√(Y −X2, Y +X) = (Y −X2, Y +X),


und damit (starker Hilbertscher Nullstellensatz; Satz 2.2.21)

KC[V ] = C[X,Y ]/√

(Y −X2, Y +X) = C[X,Y ]/(Y −X2, Y +X)∼=Ring C× C.

Dies stimmt mit der Anschauung uberein, dass die affine algebraische Men-ge VC(Y −X2, Y +X) aus zwei einzelnen Punkten besteht.

Ersetzt man in der Beschreibung des Nilradikals als Durchschnitt allerPrimideale (Proposition 2.2.28) das Primspektrum durch das Maximalspek-trum, so erhalt man den Begriff des Jacobson-Radikals:

Proposition 2.2.31 (Jacobson-Radikal). Sei R ein Ring. Man bezeichnet

J(R) :=⋂

m∈mSpecR

m

als Jacobson-Radikal von R. Sei x ∈ R. Dann sind aquivalent:

1. Es ist x ∈ J(R).

2. Fur alle y ∈ R ist 1− x · y eine Einheit in R.

Beweis. Zu 1. =⇒ 2. Sei x ∈ J(R) und y ∈ R. Dann ist 1−x · y eine Einheitin R, denn: Angenommen, 1 − x · y ware keine Einheit in R. Dann gabe esein maximales Ideal m ⊂ R mit (1−x · y) ⊂ m (Satz 2.1.8). Wegen x ∈ J(R)ist x ∈ m. Also folgt auch

1 = 1− x · y + x · y ∈ m,

im Widerspruch zu m 6= R (da m ein maximales Ideal ist). Also ist 1− x · yeine Einheit in R.

Zu 2. =⇒ 1. Sei umgekehrt x ∈ R \ J(R). Dann gibt es ein y ∈ R mit derEigenschaft, dass 1− x · y keine Einheit in R ist, denn: Wegen x ∈ R \ J(R)gibt es ein maximales Ideal m ⊂ R mit x 6∈ m. Also ist (m ∪ {x}) = R.Insbesondere gibt es z ∈ m und y ∈ R mit

z + y · x = 1

bzw. 1 − x · y = z ∈ m. Wegen m 6= R ist daher 1 − x · y keine Einheitin R.

Ausblick 2.2.32 (subdirekte Produkte). Sei R ein Ring. Man kann zeigen,dass R/

√0 ein sogenanntes subdirektes Produkt von Integritatsringen ist.

Analog ist R/J(R) ein subdirektes Produkt von Korpern. Daher spielen dasNilradikal und das Jacobson-Radikal eine wichtige Rolle bei der Klassifikationvon Ringen.


2.3 Dimension

Eine zentrale Invariante der klassischen Geometrie und der Linearen Algebraist die Dimension. Dimensionsbegriffe sind Prazisierungen der naiven

”An-

zahl der Freiheitsgrade“ bzw. der”Schachtelungskomplexitat von Unterob-

jekten“. Zum Beispiel: Ist K ein Korper und V ein K-Vektorraum, so ist dieDimension von V

• die maximale Große einer uber K linear unabhangigen Familie in V(”Anzahl der Freiheitsgrade“)

• und die maximale Lange einer Kette von (nicht-trivialen) Untervek-torraumen in V (

”Schachtelungskomplexitat“).

Wir werden nun die (Krull-)Dimension eines Ringes uber die Schachte-lungskomplexitat des Primspektrums einfuhren und zeigen, dass sie mit deralgebraischen Anzahl der Freiheitsgrade (d.h. mit dem Transzendenzgrad)zusammenhangt.

2.3.1 Die Dimension eines Rings

Wir definieren die Dimension von Ringen uber die Schachtelungskomplexitatvon Primidealen:

Definition 2.3.1 (Dimension). Sei R 6= 0 ein Ring. Die Dimension von R(auch Krull-Dimension von R) ist definiert als

dimR := sup{n ∈ N

∣∣ ∃p0,...,pn∈SpecR p0 ( p1 ( · · · ( pn}∈ N ∪ {∞}.

Außerdem setzt man dim 0 := −∞.

Beispiel 2.3.2 (Dimension von Ringen).

• Ist K ein Korper, so ist dimK = 0.

• Ist R ein Hauptidealring, so ist dimR ≤ 1 (nachrechnen).

• Es gilt dimZ = 1, denn: Da Z ein Hauptidealring ist, ist dimZ ≤ 1.Wegen (0) ( (2) ist dimZ ≥ 1. Also ist dimZ = 1.

Analog folgt: Ist K ein Korper, so ist dimK[T ] = 1 (nachrechnen).

• Ist R ein Ring und ist a ⊂ R ein Ideal, so gilt

dimR/a ≤ dimR,

2.3. Dimension 75

denn: Dies folgt aus der Tatsache, dass die von der kanonischen Pro-jektion R −→ R/a induzierte Bijektion SpecR/a −→ VR(a) ⊂ SpecRaus Proposition 2.1.17 mit der Inklusion von Idealen vertraglich ist.

• Sind R und S Ringe, so ist

dimR× S = max(dimR,dimS),

denn: Die Projektionen R× S −→ R und R× S −→ S induzieren eine(mit Inklusion von Idealen vertragliche) Bijektion (nachrechnen)

SpecR t SpecS −→ SpecR× S.

Die Geometrie legt nahe, dass fur jeden Korper K und n ∈ N dieBeziehung dimK[X1, . . . , Xn] = n gilt. Als Vorbereitung leiten wir ersteAbschatzungen fur die Dimension von Polynomringen in einer Variablen her.

2.3.2 Polynomringe in einer Variablen

Im allgemeinen sind untere Abschatzungen der Dimension leichter anzugebenals obere Abschatzungen (fur untere Abschatzungen genugt eine geeigneteSchachtelung von Primidealen; fur obere Abschatzungen muss man die Mengealler Primideale hinreichend gut verstehen).

Proposition 2.3.3 (untere Abschatzung fur die Dimension von Polynomringen).Ist R ein Ring, so ist

dimR[T ] ≥ dimR+ 1.

Als Hilfsmittel betrachten wir die folgende Erweiterung von Idealen imGrundring zu Idealen im Polynomring:

Lemma 2.3.4. Sei R ein Ring. Ist a ⊂ R ein Ideal, so schreiben wir

a[T ] :=

{ k∑

j=0

aj · T j∣∣∣∣ k ∈ N, a0, . . . , ak ∈ p

}⊂ R[T ]

fur das von a in R[T ] erzeugte Ideal. Dann gilt:

1. Die kanonische Abbildung R[T ] −→ (R/a)[T ] induziert einen Isomor-phismus R[T ]/a[T ] −→ (R/a)[T ] von Ringen.

2. Die Abbildung

SpecR −→ SpecR[T ]

p 7−→ p[T ]

ist eine wohldefinierte Injektion.


Beweis. Zu 1. Man kann dies von Hand nachrechnen. Alternativ kann manauch wie folgt vorgehen: Unter dem kanonischen Isomorphismus R[T ] ⊗RR −→ R[T ] korrespondiert R[T ]⊗R a zu a[T ]. Da R[T ]⊗R · mit Quotientenvertraglich ist (Korollar 1.5.13), folgt

R[T ]/a[T ] ∼=R[T ] (R[T ]⊗R R)/(R[T ]⊗R a) ∼=R[T ] R[T ]⊗R (R/a)∼=R[T ] (R/a)[T ];

außerdem ist dieser Isomorphismus mit der multiplikativen Struktur ver-traglich.

Zu 2. Ist p ⊂ R ein Primideal, so ist auch p[T ] ein Primideal, denn: Nachdem ersten Teil ist R[T ]/p[T ] ∼=Ring (R/p)[T ]. Da p ein Primideal ist, ist R/pein Integritatsring; also ist auch (R/p)[T ] ein Integritatsring. Da R[T ]/p[T ]somit ein Integritatsring ist, ist p[T ] ein Primideal in R[T ] (Satz 2.1.6).

Die Erweiterungsabbildung p 7→ p[T ] ist injektiv, denn: Ist i : R −→ R[T ]die Inklusion, so folgt

Spec i(p[T ]

)= p[T ] ∩ i(R) = p

fur alle p ∈ SpecR (nachrechnen). Also besitzt p 7→ p[T ] ein linksseitigesInverses (namlich Spec i) und ist somit injektiv.

Beweis von Proposition 2.3.3. Sei n := dimR; ohne Einschrankung sei nendlich. Dann gibt es eine Schachtelung p0 ( · · · ( pn in SpecR. Also istp0[T ] ⊂ · · · ⊂ pn[T ] und nach Lemma 2.3.4 ist

p0[T ] ( · · · ( pn[T ]

eine Schachtelung in SpecR[T ].Wir erweitern diese Schachtelung um einen Schritt: Sei q := SpecE0(pn),

wobei E0 : R[T ] −→ R den Einsetzungshomomorphismus zu 0 ∈ R bezeichne.Dann ist

pn[T ] ⊂ E−10 (pn) = SpecE0(pn) = q.

Außerdem gilt pn[T ] 6= q, denn T ∈ q aber T 6∈ pn[T ] (sonst ware 1 ∈ pn).Die Schachtelung p0[T ] ( p1[T ] · · · ( pn[T ] ( q zeigt somit, dass

dimR[T ] ≥ n+ 1 = dimR+ 1.

Caveat 2.3.5. Ist R ein (nicht-trivialer) Ring, so gilt im allgemeinen nichtdie naive Gleichung dimR[T ] = dimR + 1: Es gibt zum Beispiel Ringe Rmit dimR = 1 und dimR[T ] = 3 (Ubungsaufgabe).

Satz 2.3.6 (Dimension von Polynomringen uber Hauptidealringen). Sei R einHauptidealring. Dann ist

dimR[T ] ≤ 2.

Zum Beispiel gibt dies eine Rechtfertigung fur die bereits angedeuteteZweidimensionalitat in Beispiel 2.1.13:

2.3. Dimension 77

R

R[T ]

i

SpecR[T ]

Spec i

SpecR

(p)

VR[T ](p) ∼= Spec(R/(p))[T ]

q

p

Abbildung 2.5.: Primideale in R[T ], die uber (p) ∈ SpecR liegen; schematisch

Beispiel 2.3.7. Es gilt dimZ[T ] = 2, denn: Da Z ein Hauptidealring ist, istdimZ[T ] ≤ 2 (Satz 2.3.6. Andererseits liefern Proposition 2.3.3 und Bei-spiel 2.3.2, dass

dimZ[T ] ≥ dimZ + 1 = 1 + 1 = 2.

Außerdem zeigt die Klassifikation im Beweis von Satz 2.3.6, dass alle Prim-ideale in Z[T ] von der in Beispiel 2.1.13 angegebenen Form sind.

Analog folgt: Ist K ein Korper, so ist dimK[X,Y ] = 2.

Beweis von Satz 2.3.6. Wir beweisen diese Aussage, indem wir die Primidea-le in R[T ] explizit klassifizieren: Sei i : R −→ R[T ] die kanonische Inklusion.Als Einstieg in die Klassifikation verwenden wir die auf den Primspektren in-duzierte Abbildung Spec i : SpecR[T ] −→ SpecR. Sei q ⊂ R[T ] ein Primidealund (p) := Spec i(q) = q ∩R das zugehorige (Haupt-)Primideal in R.

Wir unterscheiden die folgenden Falle:

À Es ist p 6= 0 (und damit p ein Primelement in R). Wir betrachten daszugehorige erweiterte Primideal p := (p)[T ] ∈ SpecR[T ] (Lemma 2.3.4)und die kanonische Projektion π : R[T ] −→ R[T ]/p. Dann ist q ∈VR[T ](p) und nach Proposition 2.1.17 induziert die Abbildung Specπeine Bijektion SpecR[T ]/p −→ VR[T ](p[T ]) (Abbildung 2.5).

Der Ring R[T ]/p ist ein Hauptidealring, denn: Da R ein Hauptideal-ring ist, ist (p) ein maximales Ideal in R. Insbesondere ist R/(p) einKorper, und damit ist auch R/p ∼=Ring (R/(p))[T ] (Lemma 2.3.4) einHauptidealring.

Also gibt es nur die beiden folgenden Moglichkeiten fur q:

– Es ist q = Specπ(0) = p = (i(p)) oder


– es ist q = Specπ(0)(([f ])) = (i(p), f), wobei f ∈ R[T ] ein Polynomist, fur das die Reduktion [f ] modulo p irreduzibel in (R/(p))[T ]ist.

Á Es ist p = 0. Sei j : R −→ Q(R) die Inklusion in den Quotientenkorpervon R. Dann ist q := (j(q)) ⊂ Q(R)[T ] ein Primideal (nachrechnen). DaQ(R)[T ] ein Hauptidealring ist, tritt einer der beiden folgenden Falleein:

– Es gibt ein Primelement f ∈ Q(R)[T ] mit q = (f); dann gibt es

ein primitives Polynom f ∈ R[T ], fur das j(f) zu f assoziiert ist

(Nenner wegmultiplizieren), und es gilt p = (f) (nachrechnen).

– Oder es ist q = (0), und damit q = (0).

Die obige Klassifikation zeigt, dass die einzigen echten Schachtelungen vonPrimidealen in R[T ] (Teile von Schachtelungen) von den folgenden beidenTypen sind:

• von der Form (mit einem Primelement p ∈ R und einem Polynom f ∈R[T ], dessen Reduktion modulo p irreduzibel ist)

(0) ((i(p)

)((i(p), f

)

• oder von der Form (mit einem Primelement p ∈ R und einem primitivenPolynom f ∈ R[T ], das in Q(R)[T ] irreduzibel ist und dessen Reduktionmodulo p irreduzibel ist)

(0) ( (f) ((i(p), f

).

Also ist dimR[T ] ≤ 2.

Im allgemeinen lasst sich die Dimension des Polynomrings R[T ] uber einemRing R nicht ohne weiteres aus dimR berechnen (Caveat 2.3.5). Zumindestgilt aber stets die folgende Abschatzung:

Satz 2.3.8 (Abschatzung der Dimension von Polynomringen). Sei R ein Ring.Dann ist

dimR+ 1 ≤ dimR[T ] ≤ 2 · dimR+ 1.

Ahnlich zum Beweis von Satz 2.3.6 zerlegen wir SpecR[T ] in die”Fa-

sern“ uber SpecR und verwenden dazu als Einstieg die von der Inklusi-on R −→ R[T ] induzierte Abbildung auf den Primspektren. Die wesentlicheBeobachtung dabei ist, dass nicht zu viele geschachtelte Primideale in R[T ]uber einem gegebenen Primideal in R liegen konnen. Wie im Beweis vonSatz 2.3.6 ist es außerdem notig, Primideale in Polynomringen mit Primidea-len in Polynomringen uber Quotientenkorpern zu vergleichen.

2.3. Dimension 79

Lemma 2.3.9. Sei R ein Integritatsring. Dann ist die Abbildung

{q ∈ SpecR[T ]

∣∣ q ∩R = (0)}−→ SpecQ(R)[T ]

q 7−→ q :={x · f

∣∣ x ∈ Q(R), f ∈ q}

wohldefiniert und injektiv.

Beweis. Man kann dies Schritt fur Schritt nachrechnen. Alternativ erhaltman dies aber auch bequem aus einem allgemeinen Lokalisierungsargument(Beispiel 3.3.5).

Lemma 2.3.10. Sei R ein Ring und seien q0, q1, q2 ∈ SpecR[T ] mit

q0 ⊂ q1 ⊂ q2 und q0 ∩R = q1 ∩R = q2 ∩R.

Dann ist q0 = q1 oder q1 = q2.

Beweis. Wir schreiben p := q0 ∩ R = q1 ∩ R = q2 ∩ R fur das zugehorigePrimideal in R. Da p prim ist, ist R/p ein Integritatsring und besitzt somiteinen Quotientenkorper Q(R/p). Wir betrachten das folgende kommutativeDiagramm kanonischer Abbildungen (um uns auf den gut verstandenen Fallvon Polynomringen uber Korpern zuruckzuziehen):

R[T ]/p[T ]

∼=��

R[T ]π //

kanon. Proj.99

(R/p)[T ] // Q(R/p)[T ]

R //

OO

R/p //

OO

Q(R/p)

OO

Nach Lemma 2.3.4, Proposition 2.1.17 und Lemma 2.3.9 ist die Abbildung

ϕ :{q ∈ SpecR[T ]

∣∣ q ∩R = p}−→ SpecQ(R/p)[T ]

q 7−→ π(q)

wohldefiniert, injektiv und mit Inklusionen von Idealen vertraglich. Da aberQ(R/p)[T ] ein Hauptidealring ist, ist dimQ(R/p)[T ] ≤ 1, und damit

ϕ(q0) = ϕ(q1) oder ϕ(q1) = ϕ(q2).

Mit der Injektivitat von ϕ erhalten wir daraus q0 = q1 oder q1 = q2.

Beweis von Satz 2.3.8. Die untere Abschatzung dimR+1 ≤ dimR[T ] habenwir bereits in Proposition 2.3.3 gezeigt.


Fur die obere Abschatzung verwenden wir die obigen Vorbereitungen: Sein := dimR[T ] (ohne Einschrankung n ∈ N), sei q0 ( · · · ( qn eine Schach-telung in SpecR[T ] und seien pj := qj ∩ R ∈ SpecR die darunterliegendenPrimideale in R. Dann gilt

p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn.

Nach Lemma 2.3.10 sind dies mindestens (n+ 1)/2 verschiedene Primidealein R. Also ist

dimR ≥ n+ 1

2− 1 =

dimR[T ] + 1

2− 1,

und damit dimR[T ] ≤ 2 · (dimR+ 1)− 1 = 2 · dimR+ 1.

2.3.3 Polynomringe in mehreren Variablen

Es gibt viele Wege, die Dimension von Polynomringen in mehreren Variablenuber Korpern zu berechnen. Die meisten verwenden Techniken uber ganzeRingerweiterungen (und beweisen dann auch allgemeinere Aussagen). Wirwerden im folgenden einen elementaren Beweis verwenden, der auf dem fol-genden (erst in 2005 publizierten . . . ) Kriterium beruht:

Satz 2.3.11 (Dimensionskriterium von Coquand und Lombardi [5]). Sei R einRing und n ∈ N. Dann sind aquivalent:

1. Es gilt dimR ≤ n.

2. Fur alle x0, . . . , xn ∈ R gibt es k0, . . . , kn ∈ N und y0, . . . , yn ∈ R mit

xk00 ·(· · ·xkn−1

n−1 ·(xknn · (1 + xn · yn) + xn−1 · yn−1

)· · ·+ x0 · y0

)= 0.

Wir werden diese zunachst etwas merkwurdig erscheinende Charakteri-sierung mithilfe von Lokalisierung beweisen (Kapitel 3.3.2); die Terme der

Form xkjj haben dabei etwas mit der Behandlung von Nilpotenz zu tun, die

Terme der Form · · · + xj · yj etwas mit der Behandlung von invertierbarenElementen.

Das Dimensionskriterium von Coquand und Lombardi liefert einen Zu-sammenhang zwischen

”algebraischen Freiheitsgraden“ und der Dimension.

Die algebraischen Freiheitsgrade werden dabei durch den Transzendenzgradformalisiert:

Sei K ein Korper. Wir erinnern an den Begriff der K-Algebra: Eine K-Algebra ist ein Ring R zusammen mit einem Ringhomomorphismus K −→R. (Aquivalent kann man eine K-Algebra auch als Ring mit einer mit derMultiplikation vertraglichen K-Vektorraumstruktur einfuhren.)

Definition 2.3.12 (algebraische unabhangig, Transzendenzgrad). Sei K einKorper und sei R eine K-Algebra.

2.3. Dimension 81

• Ist n ∈ N und sind x1, . . . , xn ∈ R, so ist die Familie (x1, . . . , xn) uber Kalgebraisch abhangig, wenn es ein Polynom f ∈ K[X1, . . . , Xn]\{0} mit

f(x1, . . . , xn) = 0

gibt. Andernfalls heißt die Familie uber K algebraisch unabhangig.

• Der Transzendenzgrad von R uber K ist definiert als

trdegK R := sup{n ∈ N

∣∣ ∃x1,...,xn∈R (x1, . . . , xn) ist uber K

algebraisch unabhangig}∈ N ∪ {∞}.

Beispiel 2.3.13 (algebraische (Un)Abhangigkeit). Der Korper C ist in kanoni-scher Weise eine Q-Algebra.

• Die Familie in C, die nur aus√

2 besteht, ist uber Q algebraisch ab-

hangig, denn (T 2 − 2)(√

2) =√

22 − 2 = 0.

• Die Familie in C, die nur aus π besteht, ist uber Q algebraisch un-abhangig [11, Kapitel 21].

• Die Familie (π, π2) in C, ist uber Q algebraisch abhangig (man betrach-te X2

1 −X2 ∈ Q[X1, X2]).

• Ist K ein Korper und n ∈ N, so ist die Familie (X1, . . . , Xn) im Po-lynomring K[X1, . . . , Xn] algebraisch unabhangig (nach Konstruktiondes Polynomrings).

Proposition 2.3.14 (Transzendenzgrad von Polynomringen). Sei K ein Korperund n ∈ N. Dann ist

trdegK K[X1, . . . , Xn] = n.

Beweis. Die Familie (X1, . . . , Xn) zeigt trdegK K[X1, . . . , Xn] ≥ n.Es bleibt also noch trdegK K[X1, . . . , Xn] ≤ n zu zeigen. Wir verwen-

den dazu ein elementares Zahlargument: Angenommen, es gabe eine Fami-lie (y1, . . . , yn+1) in K[X1, . . . , Xn], die uber K algebraisch unabhangig ist.Dann ist der durch Einsetzen von y1, . . . , yn+1 gegebene K-Algebrenhomo-morphismus

E : K[Y1, . . . , Yn+1] −→ K[X1, . . . , Xn]

injektiv. Wir verwenden nun ein einfaches Zahlargument, um einen Wider-spruch abzuleiten: Sei d := max(deg y1, . . . ,deg yn+1) (wobei deg den Total-grad bezeichne); zu k ∈ N sei Pk ⊂ K[X1, . . . , Xn] der K-Untervektorraum

der Polynome vom Totalgrad hochstens d · k und Pk ⊂ K[Y1, . . . , Yn+1] derK-Untervektorraum der Polynome vom Totalgrad hochstens k. Nach Kon-struktion ist E(Pk) ⊂ Pk und die Injektivitat von E liefert somit


dimK Pk = dimK E(Pk) ≤ dimK Pk.

Fur hinreichend große Werte von k fuhrt dies aber zu einem Widerspruch,denn:

• Einerseits wird Pk von allen Monomen vom Totalgrad hochstens d · kerzeugt; also ist (sehr grobe Abschatzung!)

dimK Pk ≤ (d · k + 1)n.

• Andererseits enthalt Pk mindestens bk/n+ 1cn+1 verschiedene Mono-me. Also ist (auch ziemlich grob . . . )

dimPk ≥ dimK Pk ≥⌊ k

n+ 1

⌋n+1

.

Also ist trdegK K[X1, . . . , Xn] ≤ n.

Wir wenden nun das Dimensionskriterium von Coquand und Lombardian:

Korollar 2.3.15 (Dimension und Transzendenzgrad). Sei K ein Korper und seiR eine K-Algebra. Dann ist

dimR ≤ trdegK R.

Beweis. Ohne Einschrankung sei n := trdegK R endlich. Wir verwendendas Dimensionskriterium (Satz 2.3.11), um dimR ≤ n zu zeigen: Seien al-so x0, . . . , xn ∈ R. Wegen trdegK R = n gibt es ein f ∈ K[X0, . . . , Xn] \ {0}mit f(x0, . . . , xn) = 0. Wir sortieren nun die Monome von f nach der lexi-kographischen Ordnung der Grade und konnen (da K ein Korper ist!) ohneEinschrankung annehmen, dass der Koeffizient des lexikographisch kleinstenMonoms 1 ist. Also konnen wir f in der Form

f = 1 ·Xk00 · · · · ·Xkn

n +Xk00 · · · · ·X1+kn

n · gn + · · ·+X1+k00 · g0

mit Polynomen gj ∈ K[Xj , . . . , Xn] schreiben. Insbesondere ist

0 = f(x0, . . . , xn)

= xk00 · · · · · xknn ·(1 + xn · gn(xn)

)+ · · ·+ x1+k00 · g0(x0, . . . , xn).

Induktiv liefert dies y0, . . . , yn ∈ R mit

0 = xk00 ·(· · ·xkn−1

n−1 ·(xknn · (1 + xn · yn) + xn−1 · yn−1

)· · ·+ x0 · y0

).

Mit dem Dimensionskriterium erhalten wir somit dimR ≤ n = trdegK R.

2.3. Dimension 83

Korollar 2.3.16 (Dimension von Polynomringen uber Korpern). Sei K einKorper und n ∈ N. Dann ist

dimK[X1, . . . , Xn] = n.

Beweis. Die Schachtelung (0) ( (X1) ( (X1, X2) ( · · · ( (X1, . . . , Xn) zeigt,dass dimK[X1, . . . , Xn] ≥ n.

Nach Proposition 2.3.14 ist trdegK K[X1, . . . , Xn] = n; also liefert Korol-lar 2.3.15 die noch fehlende Abschatzung

dimK[X1, . . . , Xn] ≤ trdegK K[X1, . . . , Xn] = n.

Aus der klassischen Geometrie sind wir gewohnt, dass wir die Dimensi-on als Maximum lokal berechneter Dimensionen bestimmen konnen (zumBeispiel bei Mannigfaltigkeiten). Eine ahnliche Aussage gilt auch fur die Di-mension von Ringen; zum Beispiel beruht auch der Beweis des Kriteriumsvon Coquand und Lombardi auf einer solchen Uberlegung. Im nachsten Ka-pitel werden wir systematisch untersuchen, wie man Ringe

”lokal“ studieren

kann, und dies unter anderem auf die Dimension von Ringen anwenden.

3

Lokalisierung

Ein wichtiger Aspekt der Geometrie von Mannigfaltigkeiten ist, dass gewis-se Fragen lokal untersucht werden konnen. Wir werden sehen, dass ahnlicheMechanismen auch bei der Untersuchung von Ringen und Moduln verwendetwerden konnen. Die zentrale Konstruktion in diesem Kontext ist die soge-nannte Lokalisierung. Als Vorbereitung werden wir zunachst kurz lokale Rin-ge untersuchen. Danach fuhren wir die Lokalisierungskonstruktion ein undstudieren ihre Eigenschaften und Anwendungen.


3.1 Lokale Ringe 863.2 Lokalisierung von Ringen und Moduln 893.3 Lokalisierung und das Primspektrum 973.4 Lokale Eigenschaften 1043.5 Vervollstandigung 112

Schlusselbeispiel. Lokalisierung von Z an Primidealen und an Potenzen vonPrimelementen

86 3. Lokalisierung

3.1 Lokale Ringe

Als Vorbereitung fur lokale Betrachtungen in allgemeinen Ringen untersuchenwir sogenannte lokale Ringe.

• algebraische Motivation fur lokale Ringe: Die Ringe mit der einfachstenIdeal- und Modultheorie sind Korper. Indem man die Bedingung, dassdas Nullideal maximal ist, dazu abschwacht, dass der Ring nur genauein maximales Ideal besitzt, gelangt man zu den lokalen Ringen.

• geometrische Motivation fur lokale Ringe: Das Primspektrum eines Rin-ges enthalt im allgemeinen viele abgeschlossene Punkte (namlich furjedes maximale Ideal einen). Indem man sich auf Ringe einschrankt,deren Primspektrum nur genau einen abgeschlossenen Punkt enthalt,gelangt man zu den lokalen Ringen.

Definition 3.1.1 (lokaler Ring).

• Ein Ring ist lokal, wenn er genau ein maximales Ideal enthalt.

• Ist R ein lokaler Ring mit maximalem Idealm, so ist der Korper k(R) :=R/m (Satz 2.1.6) der Restklassenkorper von R.

Beispiel 3.1.2 (lokale Ringe).

• Korper sind lokale Ringe (mit dem Nullideal als einzigem maxima-len Ideal); der Restklassenkorper ist dabei isomorph zum gegebenenKorper.

• Der Ring Z ist nicht lokal (zum Beispiel sind (2) und (3) zwei verschie-dene maximale Ideale).

• Der Nullring ist nicht lokal, da er uberhaupt kein maximales Idealenthalt.

• Der Restklassenring Z/(4) ist ein lokaler Ring; das einzige maxima-le Ideal ist dabei von [2] erzeugt. Der Restklassenkorper ist isomorphzu F2.

• Der Teilring {ab

∣∣∣ a, b ∈ Z, 2 - b}⊂ Q

von Q ist ein lokaler Ring; das maximale Ideal ist das von 2 erzeugteIdeal, der Restklassenkorper ist isomorph zu F2. Man kann dies vonHand nachrechnen oder Proposition 3.1.3 verwenden; wir werden aberauch sehen, dass es sich dabei um eine Instanz eines allgemeinen Loka-lisierungsphanomens handelt (Korollar 3.3.3).

3.1. Lokale Ringe 87

Proposition 3.1.3 (Lokalitatskriterien). Sei R ein Ring und sei m ⊂ R einIdeal mit m 6= R. Dann gilt:

1. Ist jedes Element aus R\m eine Einheit in R, so ist R ein lokaler Ring(mit maximalem Ideal m).

2. Ist m ein maximales Ideal in R und ist fur jedes x ∈ m das Element 1+xeine Einheit in R, so ist R ein lokaler Ring (mit maximalem Ideal m).

Beweis. Zu 1. Man kann dies zum Beispiel mithilfe von Satz 2.1.8 zeigen(Ubungsaufgabe).

Zu 2. Man kann dies mithilfe von Proposition 2.2.31 zeigen oder indemman das Problem auf den ersten Teil zuruckfuhrt (Ubungsaufgabe).

Beispiel 3.1.4 (Funktionskeime). Sei X ein topologischer Raum, sei x ∈ Xund sei R der Ring der Funktionskeime stetiger Funktionen um x. Es ist also

R =⋃

U∈U(x)

C(U,R)/∼,

wobei U(x) die Menge aller offenen Umgebungen um x in X ist und ∼ dieAquivalenzrelation ist, die durch

f ∼ g ⇐⇒ f |U∩V = g|U∩V

fur alle f ∈ C(U,R), g ∈ C(V,R) mit U, V ∈ U(x) gegeben ist. Die Additionund Multiplikation sind auf R durch punktweise Addition bzw. Multiplikationvon Reprasentanten (auf dem Durchschnitt der Definitionsbereiche) definiert.

Dann ist R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

m :={

[f ] ∈ R∣∣ f(x) = 0

},

denn: Es ist m der Kern der Auswertungsabbildung bei x (und damit einIdeal in R) und die Auswertungsabbildung bei x liefert einen Isomorphis-mus R/m ∼=Ring R; da R ein Korper ist, ist somit m ein maximales Ideal.

Ist [f ] ∈ R \ m, so hat f als stetige Funktion bereits in einer offenenUmgebung von x keine Nullstellen und ist daher dort punktweise invertierbar.Also ist [f ] in R eine Einheit. Mit Proposition 3.1.3 folgt somit, dass R einlokaler Ring ist. Dieses Beispiel erklart, warum lokale Ringe lokale Ringeheißen.

Beispiel 3.1.5 (die p-adischen Zahlen). Sei p ∈ Z prim und sei

ZJpK := lim←−n∈N>0

Z/(pn)

der Ring der p-adischen ganzen Zahlen. Der inverse Limes wird dabei uberdas inverse System (πn,k : Z/(pn)→ Z/(pk))n,k∈N>0,k≤n der kanonischen Pro-

88 3. Lokalisierung

jektionen gebildet; zu n ∈ N>0 sei πn : ZJpK −→ Z/(pn) die zugehorige Struk-turabbildung des inversen Limes.

Dann ist ZJpK ein lokaler Ring mit maximalem Ideal kerπ1 (Ubungsauf-gabe).

IstK ein Korper und sind V ,W Vektorraume uberK mit V⊗KW ∼=K {0},so folgt V ∼=K {0} oder W ∼=K {0}, denn dimK V ⊗KW = dimK V ·dimKW .Analog gilt fur Moduln uber lokalen Ringen:

Satz 3.1.6 (Tensorprodukte uber lokalen Ringen). Sei R ein lokaler Ring undseien M , N endlich erzeugte Moduln uber R mit M ⊗R N ∼=R {0}. Dann istM ∼=R {0} oder N ∼=R {0}.

Fur den Beweis verwenden wir als Hilfsmittel das Lemma von Nakayama(ein Klassiker der Kommutativen Algebra):

Definition 3.1.7. Sei R ein Ring, sei M ein R-Modul und sei a ⊂ R ein Ideal.Dann definieren wir

a ·M :=

{ n∑

j=1

aj · xj∣∣∣∣ n ∈ N, a1, . . . , an ∈ a, x1, . . . , xn ∈M

}⊂M.

Bemerkung 3.1.8. Sei R ein Ring, seiM ein R-Modul und sei a ⊂ R ein Ideal.Dann ist a ·M ein R-Untermodul von M (nachrechnen). Außerdem konnenwir diesen Untermodul wie folgt durch ein Tensorprodukt beschreiben (da aals Ideal in R insbesondere ein R-Modul ist): Unter dem Isomorphismus

R⊗RM −→M

r ⊗ x 7−→ r · x

korrespondiert a⊗RM zu a ·M (nachrechnen).

Lemma 3.1.9 (Lemma von Nakayama). Sei R ein Ring, sei M ein endlicherzeugter R-Modul und sei a ⊂ R ein Ideal mit a ⊂ J(R). Dann gilt: IstM = a ·M , so folgt M ∼=R {0}.Beweis. Angenommen, M 6∼=R {0}. Sei {u1, . . . , un} ⊂ M ein minimales Er-zeugendensystem des R-Moduls M ; insbesondere ist n > 0. Wegen M = a·Mgibt es a1, . . . , an ∈ a mit

un =

n∑

j=1

aj · uj .

Wegen a ⊂ J(R) ist 1 − an eine Einheit in R (Proposition 2.2.31). Damiterhalten wir

un =1

1− an·n−1∑

j=1

aj · uj ;

insbesondere ist auch {u1, . . . , un−1} ein Erzeugendensystem von M , im Wi-derspruch zur Minimalitat von {u1, . . . , un}. Also ist M ∼=R {0}.

3.2. Lokalisierung von Ringen und Moduln 89

Beweis von Satz 3.1.6. Sei m ⊂ R das maximale Ideal des lokalen Rings Rund sei k := R/m der Restklassenkorper von R. Die Idee ist, mithilfe desTensorprodukts k ⊗R · einen Basiswechsel durchzufuhren, so dass wir mitModuln uber k (d.h. mit k-Vektorraumen) arbeiten konnen.

Wegen M ⊗R N ∼=R {0} erhalten wir aus den Vertraglichkeiten des Ten-sorprodukts (man beachte dabei, dass der Grundring R kommutativ ist . . . ):

(k ⊗RM)⊗k (k ⊗R N) ∼=k

((k ⊗RM)⊗k k

)⊗R N

∼=k (k ⊗RM)⊗R N∼=k k ⊗R (M ⊗R N)∼=k k ⊗R {0}∼=k {0}.

Da k ein Korper ist, ist somit k ⊗R M ∼=k {0} oder k ⊗R N ∼=k {0}. OhneEinschrankung sei k ⊗RM ∼=k {0}. Dann folgt (da · ⊗RM mit Quotientenvertraglich ist; Korollar 1.5.13, Bemerkung 3.1.8)

{0} ∼=R k ⊗RM = (R/m)⊗RM ∼=R (R⊗RM)/(m⊗RM)∼=R M/m ·M,

und damit m · M = M . Wegen m = J(R) erhalten wir daraus mit demLemma von Nakayama (Lemma 3.1.9), dass M ∼=R {0}.

Caveat 3.1.10. Die Aussage aus Satz 3.1.6 gilt aber im allgemeinen nichtuber jedem Ring: Zum Beispiel ist (Proposition 1.5.16)

Z/2⊗Z Z/3 ∼=Z Z/ ggT(2, 3) ∼=Z {0}.

Sogar Tensorquadrate konnen trivial sein, obwohl der ursprungliche Modulnicht trivial ist: Es gilt zum Beispiel

Q/Z⊗Z Q/Z ∼=Z {0}

(Ubungsaufgabe), obwohl Q/Z 6∼=Z {0}.

3.2 Lokalisierung von Ringen und Moduln

Wir werden nun eine Konstruktion kennenlernen, die es erlaubt, Ringe (bzw.Probleme uber Ringe und Moduln) in lokale Ringe (bzw. Probleme uber lokaleRinge und Moduln uber lokalen Ringen) zu zerlegen. Die Lokalisierungskon-struktion ist eine Verallgemeinerung der Konstruktion des Quotientenkorpersund beruht auf

”Bruchen“ mit eingeschrankten Nennern.

90 3. Lokalisierung

3.2.1 Lokalisierung von Ringen

Wir beginnen mit der Lokalisierung von Ringen. Dabei gibt man sich eineMenge

”zulassiger Nenner“ vor.

Definition 3.2.1 (multiplikativ abgeschlossen). Sei R ein Ring. Eine Teilmen-ge S ⊂ R ist multiplikativ abgeschlossen, wenn 1 ∈ S ist und

∀x,y∈S x · y ∈ S.

Beispiel 3.2.2 (multiplikativ abgeschlossene Teilmengen von Ringen). Sei R einRing.

• Ist a ⊂ R ein Ideal, so ist R\a genau dann multiplikativ abgeschlossen,wenn a ein Primideal ist.

• Ist x ∈ R, so ist die Menge {xn | n ∈ N} multiplikativ abgeschlossen.

Proposition 3.2.3 (Lokalisierung). Sei R ein Ring und sei S ⊂ R multiplikativabgeschlossen. Wir betrachten die Relation

∼S :={(

(r, s), (r′, s′)) ∣∣ r, r′ ∈ R, s, s′ ∈ S, ∃t∈S t · r · s′ = t · r′ · s

}

auf R× S.

1. Dann ist die Relation ∼S eine Aquivalenzrelation auf R × S. Ist(r, s) ∈ R× S, so schreiben wir auch r

s fur die von (r, s) reprasentierte

Aquivalenzklasse.

2. Der Quotient S−1R := (R× S)/ ∼S ist bezuglich der Multiplikation

· : S−1R× S−1R −→ S−1R(rs,r′

s′

)7−→ r · r′

s · s′

und der Addition

+: S−1R× S−1R −→ S−1R(rs,r′

s′

)7−→ r · s′ + r′ · s

s · s′

ein Ring, die Lokalisierung von R an S.

Caveat 3.2.4. Die Aquivalenzrelation∼S modelliert das Rechnen mit Bruchen.Da die Grundringe im allgemeinen nicht nullteilerfrei sind, muss man imGegensatz zur Quotientenkorperkonstruktion das

”Erweitern von Bruchen“

explizit durch die Einfuhrung von”∃t∈S . . .“ berucksichtigen.


Beweis. Zu 1. Es ist klar, dass die Relation ∼S reflexiv und symmetrischist (nachrechnen). Bei der Transitivitat sehen wir etwas genauer hin: Seien(r, s), (r′, s′), (r′′, s′′) ∈ R × S mit (r, s) ∼S (r′, s′) und (r′, s′) ∼S (r′′, s′′).Also gibt es t, t′ ∈ S mit

t · r · s′ = t · r′ · s und t′ · r′ · s′′ = t′ · r′′ · s′.

Da R kommutativ ist (!), erhalten wir daraus

t′ · s′ · t · r · s′′ = t′ · t · r · s′ · s′′= t′ · t · r′ · s · s′′ = t · s · t′ · r′ · s′′= t · s · t′ · r′′ · s′= t′ · s′ · t · r′′ · s.

Da S multiplikativ abgeschlossen ist, ist auch t′ ·s·t ∈ S, und es folgt (r, s) ∼S(r′′, s′′). Also ist ∼S tatsachlich transitiv.

Zu 2. Dies folgt mit den gewohnten Bruchrechentechniken. Wir zeigenstellvertretend, dass die Addition im ersten Argument wohldefiniert ist: Alserstes bemerken wir, dass der neue Nenner wieder in S liegt, da S multipli-kativ abgeschlossen ist. Seien r, r′, r′′ ∈ R, s, s′, s′′ ∈ S mit r/s = r′/s′. Alsogibt es ein t ∈ S mit t · r · s′ = t · r′ · s. Dann ist

r · s′′ + s · r′′s · s′′ =

r′ · s′′ + s′ · r′′s′ · s′′ ,

denn

t · (r · s′′ + s · r′′) · s′ · s′′ = t · r · s′ · s′′ · s′′ + t · s · r′′ · s′ · s′′= t · r′ · s · s′′ · s′′ + t · s · r′′ · s′ · s′′= t · (r′ · s′′ + s′ · r′′) · s · s′′.

Beispiel 3.2.5 (Quotientenkorper). Sei R ein Integritatsring. Dann ist S :=R \ {0} ⊂ R multiplikativ abgeschlossen und die zugehorige Lokalisie-rung S−1R ist der Quotientenkorper Q(R) von R. Der kanonische Homo-morphismus R −→ S−1(R) ist injektiv.

Allgemeiner gilt: Ist R ein Integritatsring und S ⊂ R \ {0} multiplikativabgeschlossen, so ist

S−1R −→ Q(R)r

s7−→ r

s

ein wohldefinierter, injektiver Ringhomomorphismus (nachrechnen). Mankann daher die Lokalisierung S−1R mit dem Bild dieses Homomorphismusin Q(R) identifizieren.

92 3. Lokalisierung

Auf diese Weise kann man zum Beispiel Lokalisierungen von Polynom-ringen (ubern Korpern) als Ringe von

”rationalen Funktionen“ mit einge-

schrankten Nennern auffassen.

Beispiel 3.2.6 (Lokalisierung an (Komplementen von) Primidealen). Sei R einRing und sei p ∈ SpecR. Dann ist R\p multiplikativ abgeschlossen und manschreibt auch kurz

Rp := (R \ p)−1R.Zum Beispiel ist

Z(2)∼=Ring

{ab∈ Q

∣∣∣ a, b ∈ Z, 2 - b}.

Beispiel 3.2.7 (Lokalisierung an Ringelementen). Sei R ein Ring und sei f ∈ R.Dann ist {fn | n ∈ N} multiplikativ abgeschlossen und man schreibt auchkurz

Rf := ({fn | n ∈ N})−1R.Zum Beispiel ist

Z2∼=Ring

{ a

2n∈ Q

∣∣∣ a ∈ Z, n ∈ N}

Caveat 3.2.8 (Notations-Katastrophe). Sei p ∈ Z prim. Dann gibt es leidermehrere Objekte, die aus Z und p entstehen, mit ahnlicher bzw. sogar iden-tischer Notation. In der Literatur muss daher sehr genau auf den Kontextgeachtet werden, um zu entschlusseln, was wirklich gemeint ist:

• Z/p: die zyklische Gruppe, die als Quotient der additiven Gruppe Zmodulo dem Normalteiler p · Z ⊂ Z konstruiert wird. Manchmal wirddiese Gruppe auch (fahrlassigerweise!) mit Zp bezeichnet.

• Z/(p): der Restklassenring, der als Quotient des Rings Z modulo demIdeal (p) ⊂ Z konstruiert wird.

• ZJpK: der Ring der p-adischen ganzen Zahlen. Oft wird dieser Ring auch(mittelmaßig fahrlassig) mit Zp bezeichnet.

• Zp: die Lokalisierung von Z an {pn | n ∈ N}.• Z(p): die Lokalisierung von Z an Z \ (p).

Caveat 3.2.9 (zu kleine Lokalisierung). Ist R ein Ring und ist S ⊂ R multipli-kativ abgeschlossen, so ist der kanonische Ringhomomorphismus S −→ S−1Rim allgemeinen nicht injektiv, denn: Sei R := Z/(4) und sei f := [2] ∈ R.Dann ist

Rf =({[1], [2], [0]}

)−1 ·R ∼=Ring {0},denn: Fur alle r ∈ R, s ∈ S ist r/s in Rf gleich Null (also [0]/[1]), da [0] ∈ Sund

[0] · r · [1] = [0] · [0] · [s].


Analog zur universellen Eigenschaft des Quotientenkorpers eines Inte-gritatsrings (Bemerkung III.2.1.18) haben allgemeine Lokalisierungen die fol-gende universelle Eigenschaft:

Proposition 3.2.10 (universelle Eigenschaft der Lokalisierung). Sei R ein Ring,sei S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen und sei i : R −→ S−1R der kanonischeRinghomomorphismus (gegeben durch r 7→ r/1). Dann gilt:

1. Fur alle s ∈ S ist i(s) eine multiplikative Einheit in S−1R.

2. Fur jeden Ring T und jeden Ringhomomorphismus f : R −→ T mitder Eigenschaft f(S) ⊂ T× gibt es genau einen Ringhomomorphis-

mus f : S−1R −→ T mit f ◦ i = f .

Beweis. Zu 1. Sei s ∈ S. Dann ist 1/s ein wohldefiniertes Element in S−1Rund in S−1R gilt

1

s· i(s) =

1

s· s

1=

1 · ss · 1 =

1

1= 1.

Insbesondere ist i(s) eine Einheit in S−1R.Zu 2. Sei T ein Ring, sei f : R −→ T ein Ringhomomorphismus mit der

Eigenschaft f(S) ⊂ T×.

• Eindeutigkeit: Sei f : S−1R −→ T ein Ringhomomorphismus mit f ◦i =f . Dann gilt fur alle r ∈ R, s ∈ S (nach den Uberlegungen im erstenTeil)

f(rs

)= f

(i(r) · i(s)−1

)= f ◦ i(r) ·

(f ◦ i(s)

)−1= f(r) · f(s)−1.

Also ist f bereits eindeutig bestimmt.

• Existenz: Sei (man beachte dabei, dass f(s) fur alle s ∈ S invertierbarist)

f : S−1R −→ Tr

s7−→ f(r) · f(s)−1.

Dann ist f wohldefiniert, denn: Seien r, r′ ∈ R, s, s′ ∈ S mit r/s = r′/s′

in S−1R. Also gibt es ein t ∈ S mit t · r · s′ = t · r′ · s. Somit folgt

f(t) · f(r) · f(s)−1 = f(t) · f(r) · f(s′) · f(s′)−1 · f(s)−1

= f(t · r · s′) · f(s′)−1 · f(s)−1

= f(t · r′ · s) · f(s′)−1 · f(s)−1

= f(t) · f(r′) · f(s′)−1.

Wegen t ∈ S ist f(t) in T invertierbar. Also erhalten wir aus der obigenGleichung auch

94 3. Lokalisierung

f(r) · f(s)−1 = f(r′) · f(s′)−1.

Daher ist f wohldefiniert.

Nach Konstruktion ist f ◦ i = f . Außerdem zeigen die Standard-Bruchrechentechniken, dass f ein Ringhomomorphismus ist (nachrech-nen).

Ausblick 3.2.11 (Ore-Lokalisierung). Ist R ein ninoko Ring, so ist bei der Kon-struktion von Lokalisierungen von R mehr Vorsicht notig. Wie wir im Beweisvon Proposition 3.2.3 gesehen haben, ist die Kommutativitat zum Beispiel we-sentlich beim Nachweis der Transitivitat der betrachteten Aquivalenzrelationeingegangen. Im nicht-kommutativen Fall kann im allgemeinen nur dann ei-ne Lokalisierung durchgefuhrt werden, wenn die Menge, an der lokalisiertwird, die sogenannte Ore-Bedingung erfullt. Den entstehenden Ring bezeich-net man dann als Ore-Lokalisierung.

3.2.2 Lokalisierung von Moduln

Wir erweitern die Lokalisierung von Ringen nun zu Lokalisierungsfunktorenauf Moduln. Es gibt zwei dafur zwei naheliegende Wege:

• Man definiert den Lokalisierungsfunktor als Tensorproduktfunktor mitdem entsprechend lokalisierten Ring.

• Man definiert den Lokalisierungsfunktor durch eine konkrete Konstruk-tion via Bruche.

Wir werden den ersten Weg wahlen und dann zeigen, dass er alternativ auchdurch Bruche beschrieben werden kann.

Definition 3.2.12 (Lokalisierungsfunktor). Sei R ein Ring und sei S ⊂ Rmultiplikativ abgeschlossen. Dann definieren wir den Lokalisierungsfunk-tor LS : RMod −→ S−1RMod an S durch

LS := S−1R⊗R · : RMod −→ S−1RMod .

Proposition 3.2.13 (Lokalisierung von Moduln). Sei R ein Ring, sei S ⊂ Rmultiplikativ abgeschlossen und sei M ein R-Modul. Wir betrachten die Re-lation

∼S :={(

(x, s), (x′, s′)) ∣∣ x, x′ ∈M, s, s′ ∈ S, ∃t∈S t · s′ · x = t · s · x′

}

auf M × S.

1. Dann ist ∼S eine Aquivalenzrelation auf M ×S. Ist (x, s) ∈M ×S, soschreiben wir auch x

s fur die von (x, s) reprasentierte Aquivalenzklasse.


2. Der Quotient S−1M := (M × S)/ ∼S ist bezuglich der Skalarmultipli-kation

S−1R× S−1M −→ S−1M(rs,x

t

)7−→ r · x

s · tund der Addition

S−1M × S−1M −→ S−1M(xs,x′

s′

)7−→ s′ · x+ s · x′

s · s′

ein S−1R-Modul.

3. Es ist

S−1M −→ LSM

x

s7−→ 1

s⊗ x

ein wohldefinierter Isomorphismus von S−1R-Moduln.

Beweis. Zu 1./2. Dies kann mit denselben Argumenten wie im Beweis vonProposition 3.2.3 nachgewiesen werden.

Zu 3. Die Abbildung ist wohldefiniert, denn: Seien x, x′ ∈ M , s, s′ ∈ Smit x/s = x′/s′. D.h. es existiert ein t ∈ S mit

t · s′ · x = t · s · x′.

In LSM = S−1R⊗RM erhalten wir dann (wegen t, s, s′ ∈ S ⊂ R)

1

s⊗ x =

(1

s· 1

t · s′ · t · s′)⊗ x

=(1

s· 1

t· 1

s′

)⊗ t · s′ · x

=( 1

s′· 1

t · s)⊗ t · s · x′

=( 1

s′· 1

t · s · t · s)⊗ x′

=1

s′⊗ x′.

Also ist die im dritten Teil angegebene Abbildung ϕ wohldefiniert.Ahnliche Argumente zeigen, dass ϕ auch mit Addition und Skalarmulti-

plikation vertraglich ist (nachrechnen).Mit der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts erkennt man leicht,

dass

96 3. Lokalisierung

LSM = S−1R⊗RM −→ S−1M

r

s⊗ x 7−→ 1

s· (r · x)

ein wohldefinierter Homomorphismus von R- bzw. S−1R-Moduln ist. Außer-dem ist diese Abbildung invers zur gegebenen Abbildung ϕ (nachrechnen).Also ist ϕ ein Isomorphismus von S−1R-Moduln.

3.2.3 Exaktheit

Nach Konstruktion als Tensorproduktfunktor ist jeder Lokalisierungsfunk-tor mit Kolimiten (insbesondere mit Quotienten und direkten Summen) ver-traglich. Eine der zentralen Eigenschaften der Lokalisierungsfunktoren ist,dass sie zusatzlich exakt sind, also exakte Sequenzen in exakte Sequenzenuberfuhren:

Satz 3.2.14 (Exaktheit von Lokalisierung). Sei R ein Ring und sei S ⊂ Rmultiplikativ abgeschlossen. Dann ist der Funktor LS : RMod −→ S−1RModexakt, d.h.: Sind N,M,Q Moduln uber R und sind f : N −→M , g : M −→ QHomomorphismen von R-Moduln mit im f = ker g, so ist auch

imLSf = kerLSg.

Beweis. Wegen g ◦ f = 0 ist auch LSg ◦ LSf = LS(g ◦ f) = LS0 = 0 dieNullabbildung; also ist imLSf ⊂ kerLSg.

Umgekehrt gilt auch kerLSg ⊂ imLSf , denn: Wir verwenden dafur diekonkrete Beschreibung der lokalisierten Moduln durch Bruche aus Proposi-tion 3.2.13. Sei y/s ∈ kerLSg (mit y ∈ M und s ∈ S). Dann ist (nachKonstruktion von LSg als idS−1R⊗Rg bzw. der Ubersetzung davon in dieBruchdarstellung)

0 = LSg(ys

)=g(y)

s.

Somit gibt es ein t ∈ S mit

0 = t · s · 0 = t · 1 · g(y) = g(t · y)

Also ist t · y ∈ ker g = im f , d.h. es gibt ein x ∈ N mit f(x) = t · y. Dann ist

LSf( x

t · s)

=f(x)

t · s =t · yt · s =

y

s,

und damit y/s ∈ imLSf .

Anmerkung zum Lernen. Da Tensorproduktfunktoren im allgemeinen nichtexakt sind (Caveat 1.5.15), mussten wir im Beweis eine spezielle Eigen-

3.3. Lokalisierung und das Primspektrum 97

schaft der Lokalisierungsfunktoren verwenden, namlich die Darstellung durchBruche.

Definition 3.2.15 (flach). Sei R ein Ring. Ein R-Modul M ist flach, wenn derFunktor M ⊗R · : RMod −→ RMod exakt ist.

Beispiel 3.2.16 (flache Moduln).

• Der Z-Modul Z/2 ist nicht flach (Caveat 1.5.15).

• Ist R ein Ring, so ist R als R-Modul flach.

• Da Tensorprodukte und exakte Sequenzen mit direkten Summen ver-traglich sind, folgt (nachrechnen): Direkte Summen von flachen Modulnsind flach.

Insbesondere: Ist R ein Ring, so sind alle freien R-Moduln flach undder Polynomring R[T ] (der ja als R-Modul zu

⊕NR isomorph ist) ist

ein flacher R-Modul.

• Uber Korpern sind alle Moduln flach (da alle Moduln uber Korpernfrei sind).

Korollar 3.2.17 (Lokalisierungen sind flach). Sei R ein Ring und sei S ⊂ Rmultiplikativ abgeschlossen. Dann ist S−1R flach als R-Modul.

Beweis. Nach Definition ist

S−1R⊗R · = LS : RMod −→ S−1RMod .

Da der Funktor LS nach Satz 3.2.14 exakt ist, ist der Modul S−1R somit flach.Genau genommen geht an dieser Stelle auch ein, dass Sequenzen in S−1RModgenau dann exakt sind, wenn die (durch Einschrankung der Skalare auf Ruber den kanonischen Ringhomomorphismus R −→ S−1R gegebene) unter-liegende Sequenz von R-Moduln exakt ist.

Beispiel 3.2.18 (Quotientenkorper sind flach). Ist R ein Integritatsring, so istder Quotientenkorper Q(R) also ein flacher R-Modul. Insbesondere ist Q einflacher Z-Modul. Diese Tatsache kann zum Beispiel verwendet werden, umzu zeigen, dass Tensorprodukte im allgemeinen nicht mit Produkten (odergar allgemeinen inversen Limiten) vertraglich sind (Caveat 1.5.20).

Caveat 3.2.19 (Flachheit vs. Korper). Im allgemeinen sind Korper keine fla-chen Z-Moduln. Zum Beispiel ist F2 kein flacher Z-Modul (Beispiel 3.2.16).

3.3 Lokalisierung und das Primspektrum

Wir untersuchen im folgenden wie man das Primspektrum von Lokalisie-rungen durch das Primspektrum des ursprunglichen Rings ausdrucken kann

98 3. Lokalisierung

und welche Eigenschaften des Primspektrum des ursprunglichen Rings in denLokalisierungen sichtbar sind. Zum Beispiel wird uns dies eine alternative Be-schreibung der Dimension von Ringen liefern.

3.3.1 Das Primspektrum von Lokalisierungen

Zunachst uberlegen wir uns, wie wir den Lokalisierungsfunktor fur Modulnnutzen konnen, um Ideale in Lokalisierungen zu konstruieren: Sei R ein Ringund sei S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen. Sei a ⊂ R ein Ideal; da Lokalisie-rung an S exakt ist, konnen wir den S−1R-Modul S−1a als S−1R-Untermodul(d.h. Ideal) in S−1R auffassen. Expliziter (und etwas schlampig) ist also

S−1a ={xs∈ S−1R

∣∣∣ x ∈ a, s ∈ S}⊂ S−1R.

Tatsachlich ist jedes Ideal in S−1R von dieser Form:

Lemma 3.3.1 (Ideale in Lokalisierungen). Sei R ein Ring, sei S ⊂ R multi-plikativ abgeschlossen und sei i : R −→ S−1R der kanonische Ringhomomor-phismus. Dann gilt fur jedes Ideal a ⊂ S−1R:

a = S−1i−1(a).

Beweis. Sei a ⊂ S−1R ein Ideal und sei b := S−1i−1(a). Dann ist b ein Idealin S−1R. Wir zeigen, dass a = b ist:

Es gilt b ⊂ a, denn: Sei z ∈ b; nach Konstruktion gibt es also s ∈ S undx ∈ i−1(a) mit z = x/s. Wegen x ∈ i−1(a) ist x/1 = i(x) ∈ a, und damit (daa ein Ideal in S−1R ist)

z =x

s=

1

s· x

1∈ a.

Umgekehrt gilt auch a ⊂ b, denn: Sei z ∈ a; also gibt es x ∈ R und s ∈ Smit z = x/s. Dann ist auch

i(x) =x

1=s

1· xs∈ a,

und damit x ∈ i−1(a). Also ist z = x/s ∈ S−1i−1(a).

Proposition 3.3.2 (Primspektrum von Lokalisierungen). Sei R ein Ring undsei S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen. Dann ist

{p ∈ SpecR | p ∩ S = ∅} −→ SpecS−1R

p 7−→ S−1p

wohldefiniert und bijektiv.

Beweis. Wir schreiben ϕ fur die in der Proposition angegebene Abbildung.


Die Abbildung ϕ ist wohldefiniert, denn: Sei p ⊂ R ein Primideal mitp ∩ S = ∅. Dann ist auch S−1p ⊂ S−1R prim, denn: Wir zeigen dazu, dassder Restklassenring S−1R/S−1p ein Integritatsring ist. Der Lokalisieriungs-funktor LS ist als Tensorproduktfunktor mit Quotienten vertraglich; also ist

S−1R/S−1p ∼=S−1R S−1(R/p).

Diesen Isomorphismus konnen wir auch als Ringisomomorphismus

S−1R/S−1p ∼=Ring S−1

(R/p)

mit S := {[s] | s ∈ S} ⊂ R/p auffassen (nachrechnen). Da p ein Primidealin R ist, ist R/p ein Integritatsring; wegen p ∩ S = ∅ ist dabei 0 6∈ S. Also

ist S−1

(R/p) zu einem Teilring des Integritatsrings Q(R/p) isomorph (Bei-spiel 3.2.5), und damit selbst ein Integritatsring. Daher ist auch S−1R/S−1pein Integritatsring. Insbesondere ist S−1p ein Primideal in S−1R.

Die Abbildung ϕ ist injektiv, denn: Sei p ∈ SpecR mit p ∩ S = ∅. Danngilt i−1S−1p = p, denn: Nach Konstruktion ist

i−1(S−1p) ={y ∈ R

∣∣∣ ∃x∈p ∃s∈Sx

s=y

1

}

={y ∈ R

∣∣∣ ∃x∈p ∃s,t∈S t · x = t · s · y}

={y ∈ R

∣∣∣ ∃x∈p ∃s,t∈S t · x = t · s · y

∧ (t ∈ p ∨ s ∈ p ∨ y ∈ p)}

(da p prim)

={y ∈ R

∣∣∣ ∃x∈p ∃s,t∈S t · x = t · s · y

∧ y ∈ p}

(da p ∩ S = ∅)= p.

Also ist ϕ injektiv.Die Abbildung ϕ ist surjektiv, denn: Sei q ∈ SpecS−1R und p :=

Spec(i)(q). Dann ist p ⊂ R ein Primideal und nach Lemma 3.3.1 ist

q = S−1i−1(q) = S−1 Spec(i)(q) = S−1p.

Außerdem ist p ∩ S = ∅, denn: Angenommen, es gabe ein x ∈ p ∩ S. Dannist x/1 = i(x) ∈ q, und damit

1

1=x

x=

1

x· x

1∈ q.

Dies steht jedoch im Widerspruch dazu, dass q ein Primideal in S−1R ist.Also ist p ∩ S = ∅ und somit ist ϕ surjektiv.

100 3. Lokalisierung

Korollar 3.3.3 (Lokalisierungen zu Primidealen sind lokal). Sei R ein Ring, seip ∈ SpecR, sei S := R \ p und sei i : R −→ S−1R = Rp der kanonischeRinghomomorphismus. Dann ist

{q ∈ SpecR | q ⊂ p} −→ SpecRp

q 7−→ S−1q

eine Bijektion. Insbesondere ist Rp ein lokaler Ring und das maximale Idealvon Rp ist S−1p.

Beweis. Dies ist ein Spezialfall von Proposition 3.3.2. Man beachte dabei,dass diese Bijektion mit der Inklusion von Idealen vertraglich ist.

Anmerkung zum Lernen. Sei R ein Ring und p ∈ SpecR. Welcher Teilvon SpecR wir durch SpecR/p beschrieben? Welcher durch SpecRp ?

Caveat 3.3.4. Im allgemeinen sind Lokalisierungen von Ringen keine lokalenRinge: Ist R ein Ring, der nicht lokal ist, so ist {1}−1R ∼=Ring R nicht lokal.

Beispiel 3.3.5 (nochmal Primideale in Polynomringen). SeiR ein Integritatsring.Dann ist Q(R)[T ] ∼=Ring (R \ {0})−1(R[T ]) (nachrechnen). Insbesondere folgtaus Proposition 3.3.2: Die Abbildung

{q ∈ SpecR[T ]

∣∣ q ∩R = (0)}−→ SpecQ(R)[T ]

q 7−→{x · f

∣∣ x ∈ Q(R), f ∈ q}

= (R \ {0})−1q

ist wohldefiniert und injektiv. Dies gibt einen konzeptionellen Beweis vonLemma 2.3.9.

Beispiel 3.3.6 (Fasern). SeienR,R′ Ringe, sei f : R −→ R′ ein Ringhomomor-phismus und sei p ∈ SpecR. Dann gibt es eine mit Inklusionen von Idealenvertragliche Bijektion (Ubungsaufgabe)

(Spec f)−1(p)←→ Spec k(p)⊗R R′;

dabei ist k(p) der Restklassenkorper des lokalen Rings Rp und R′ wird via fals R-Modul aufgefasst. Diese Beschreibung der Faser (Spec f)−1(p) lieferteinen konzeptionellen Beweis von Lemma 2.3.10.

Die Beschreibung des Primspektrums von Lokalisierungen (Propositi-on 3.3.2) erlaubt es inbesondere Integritatsringe mit vorgegebener Anzahlvon Primidealen zu konstruieren:

Beispiel 3.3.7 (ein Integritatsring mit genau 2018 Primidealen). Sei m ∈ N undseien p1, . . . , pm die ersten m Primzahlen in N. Wir betrachten die multipli-kativ abgeschlossene Teilmenge

S :=⋂

j∈{1,...,m}Z \ (pj) = {x ∈ Z | ∀j∈{1,...,m} pj - x}


in Z. Dann ist

{q ∈ SpecZ | q ∩ S = ∅} = {(0), (p1), . . . , (pm)}.

Mit Proposition 3.3.2 folgt also, dass SpecS−1Z ={S−1(p1), . . . , S−1(pm)

}

genau m + 1 Elemente enthalt. Außerdem ist S−1Z als Teilring von Q einIntegritatsring. Fur m = 2017 erhalten wir auf diese Weise insbesondere einenIntegritatsring mit genau 2018 Primidealen.

3.3.2 Lokalisierungen und Dimension

Die Dimension von (nicht-zusammenhangenden) Mannigfaltigkeiten konnenwir bestimmen, indem wir fur jeden Punkt der Mannigfaltigkeit die Dimensi-on der Mannigfaltigkeit an diesem Punkt bestimmen und dann das Supremumbilden. Analog erhalten wir fur Ringe:

Satz 3.3.8 (Dimension, lokal). Sei R ein Ring. Dann ist

dimR = sup {dimRp | p ∈ SpecR} = sup {dimRm | m ∈ mSpecR}.

Beweis. Wir schreiben M := max{dimRm | m ∈ mSpecR} ∈ N∪ {−∞,∞}.Es gilt dimR ≥ sup{dimRp | p ∈ SpecR} ≥M , denn: Sei p ∈ SpecR und

S := R\p. Dann ist Rp = S−1R (nach Konstruktion) und nach Korollar 3.3.3ist

{q ∈ SpecR∣∣ q ⊂ p} −→ SpecRp

q 7−→ S−1q

bijektiv. Da diese Abbildung außerdem mit der Inklusion von Idealen ver-traglich ist, folgt dimR ≥ dimRp. Indem wir das Supremum uber alle Prim-bzw. maximalen Ideale von R bilden, erhalten wir die gewunschten Unglei-chungen.

Umgekehrt gilt auch dimR ≤ M , denn: Sei n ∈ N und sei p0 ( · · · ( pneine Schachtelung in SpecR; nach Satz 2.1.8 konnen wir ohne Einschrankungannehmen, dass pn ein maximales Ideal ist. Wir betrachten S := R\pn. Dannist (nach Korollar 3.3.3)

S−1p0 ( · · · ( S−1pn

eine Schachtelung in SpecRpn , und damit M ≥ dimRpn ≥ n. Indem wirdas Supremum uber alle solche Schachtelungstiefen n bilden, erhalten wir dieAbschatzung M ≥ dimR.

Insbesondere konnen wir mit dieser Technik auch das Dimensionskriteriumvon Coquand und Lombardi (Satz 2.3.11) beweisen: Zur Vorbereitung fuhrenwir die folgende Notation ein:


Definition 3.3.9 (Rand). Sei R ein Ring und x ∈ R. Dann definieren wir denRand von x in R als den Ring

∂Rx := S−1x R,

wobei Sx := {xn ·(1+x·y) | n ∈ N, y ∈ R} ⊂ R (multiplikativ abgeschlossen!).

Ist x ∈ R eine Einheit oder nilpotent, so ist 0 ∈ Sx, und damit ∂Rx derNullring. Wie es sich fur Rander gehort, haben Rander kleinere Dimension:

Satz 3.3.10 (Dimension via Rander). Sei R ein Ring und n ∈ N. Dann sindaquivalent:

1. Es ist dimR ≤ n.

2. Fur alle x ∈ R ist dim ∂Rx ≤ n− 1.

Beweis. Die Idee ist naturlich wieder, Proposition 3.3.2 geeignet anzuwenden.Dafur uberlegen wir uns:

À Fur alle x ∈ R und allem ∈ mSpecR giltm∩Sx 6= ∅, denn: Ist x ∈ m, soist auch x ∈ m∩Sx. Ist hingegen x 6∈ m, so ist x modulo m invertierbar(da R/m ein Korper ist), und damit m ∩ {1 + x · y | y ∈ R} 6= ∅.Insbesondere ist auch m ∩ Sx 6= ∅.

Á Sind p, q ∈ SpecR mit p ⊂ q und x ∈ q \ p, so ist p ∩ Sx = ∅, denn:Angenommen, es ware p ∩ Sx 6= ∅. Dann gabe es k ∈ N und y ∈ R mit

xk · (1 + x · y) ∈ p.

Da p ein Primideal ist und x 6∈ p ist, folgt 1 + x · y ∈ p ⊂ q. Wegenx ∈ q ist aber auch x · y ∈ q, und damit 1 = 1 + x · y − x · y ∈ q, imWiderspruch dazu, dass q ein Primideal ist.

Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis:Zu 1. =⇒ 2. Sei x ∈ R, sei k ∈ N und sei q0 ( · · · ( qk eine Schachtelung

in Spec ∂Rx. Nach Proposition 3.3.2 gibt es dann eine Kette p0 ( · · · ( pkin SpecR mit

S−1x pj = qj und pj ∩ Sx = ∅fur alle j ∈ {0, . . . , k}. Sei pk+1 ein maximales Ideal in R mit pk ⊂ pk+1 (einsolches existiert nach Satz 2.1.8). Nach À ist pk+1 ∩ Sx 6= ∅; insbesondere istpk+1 6= pk. Also ist dimR ≥ k + 1; damit folgt

dimR ≥ dim ∂Rx+ 1.

Zu 2. =⇒ 1. Sei umgekehrt n ∈ N und sei p0 ( · · · ( pn eine Schachtelungin SpecR. Wir wahlen nun x ∈ pn \ pn−1. Nach Á ist pn−1 ∩ Sx = ∅, unddamit

∀j∈{0,...,n−1} pj ∩ Sx = ∅.


Mit Proposition 3.3.2 erhalten wir die Schachtelung S−1x p0 ( · · · ( S−1x pn−1in Spec ∂Rx. Insbesondere ist dim ∂Rx ≥ n− 1.

Beweis von Satz 2.3.11. Nach Satz 3.3.10 genugt es fur jedes n ∈ N undjeden Ring R die Aquivalenz der folgenden beiden Aussagen zu zeigen:

(A) Fur alle x ∈ R ist dim ∂Rx ≤ n− 1.

(B) Fur alle x0, . . . , xn ∈ R gibt es k0, . . . , kn ∈ N und y0, . . . , yn ∈ R mit

xk00 ·(· · ·xkn−1

n−1 ·(xknn · (1 + xn · yn) + xn−1 · yn−1

)· · ·+ x0 · y0

)= 0.

Wir beweisen diese Aquivalenz per Induktion uber n.Induktionsanfang. Die Bedingung

∀x∈R dim ∂Rx ≤ −1

ist aquivalent dazu, dass ∂Rx fur jedes x ∈ R der Nullring ist.Sei x ∈ R. Dann ist ∂Rx genau dann der Nullring, wenn 0 ∈ Sx ist (nach-

rechnen). Nach Definition ist aber genau dann 0 ∈ Sx, wenn es ein k ∈ N undein y ∈ R mit

xk · (1 + x · y) = 0

gibt. Dies beweist den Satz im Fall n = 0.Induktionsvoraussetzung. Sei nun n ∈ N>0 und es gelte die Aquivalenz von

(A) und (B) fur alle Dimensionen kleiner als n.Induktionsschritt. Dann gilt die Aquivalenz von (A) und (B) auch in

Dimension n, denn: Sei R ein Ring. Ist S ⊂ R multiplikativ abgeschlos-sen, so gilt nach Induktionsvoraussetzung (und Satz 3.3.10) genau danndimS−1R ≤ n− 1, wenn (in S−1R)

∀x0,...,xn−1∈S−1R ∃k0,...,kn−1∈N ∃y0,...,yn−1∈S−1R

xk00 ·(· · ·xkn−2

n−2 ·(xkn−1

n−1 · (1 + xn−1 · yn−1) + xn−2 · yn−2)· · ·+ x0 · y0

)= 0

gilt. Durch”hochmultiplizieren der Nenner“ sehen wir, dass diese Bedingung

zu

∀x0,...,xn−1∈R ∃s∈S ∃k0,...,kn−1∈N ∃y0,...,yn−1∈R

xk00 ·(· · ·xkn−2

n−2 ·(xkn−1

n−1 · (s+ xn−1 · yn−1) + xn−2 · yn−2)· · ·+ x0 · y0

)= 0

in R aquivalent ist (nachrechnen). Indem wir diese Bedingung auf die multi-plikativ abgeschlossenen Mengen Sxn (mit xn ∈ R) anwenden, erhalten wirdie Aquivalenz von (A) und (B) in Dimension n.


3.4 Lokale Eigenschaften

Unser Ausgangspunkt fur die Einfuhrung der Lokalisierung war der Wunsch,Eigenschaften von Moduln lokal verstehen zu konnen. Bereits in Kapitel 3.3.2haben wir gesehen, wie man die Berechnung der Dimension eines Rings inlokale Probleme zerlegen kann.

Beispiel 3.4.1 (Dimension ist lokal). Die Dimension von Ringen ist im folgen-den Sinne lokal: Sei n ∈ N ∪ {−∞,∞}. Dann sind aquivalent (Satz 3.3.8):

• Es gilt dimR ≤ n.

• Fur alle p ∈ SpecR gilt dimRp ≤ n.

• Fur alle m ∈ mSpecR gilt dimRm ≤ n.

Wir werden nun auf weitere Beispiele dieser Art eingehen.

”Definition“ 3.4.2 (lokale Eigenschaft). Eine

”Eigenschaft“ P von Moduln

ist lokal, wenn folgendes gilt: Ist R ein Ring und M ein R-Modul, so sindaquivalent:

• Der R-Modul M hat die Eigenschaft P .

• Fur jedes p ∈ SpecR hat der Rp-Modul Mp := Rp ⊗R M die Eigen-schaft P .

Ist p ∈ SpecR, so ist Rp ein lokaler Ring (Korollar 3.3.3). Bei lokalen Ei-genschaften von Moduln kann man sich somit auf Moduln uber lokalen Ringen(und damit auf Ringe mit ubersichtlicherer Modultheorie) zuruckziehen.

Bemerkung 3.4.3 (Vektorbundel). Sei π : E −→ X ein Vektorbundel ubereinem kompakten Hausdorffraum X, d.h. π ist ein lokal triviales Bundel,wobei die Fasern reelle Vektorraume sind (z.B. das Tangentialbundel einerkompakten glatten Mannigfaltigkeit). Was hat ein solches Vektorbundel mitModultheorie zu tun? Dazu betrachten wir den Ring R := C(X,R) der ste-tigen Funktionen X −→ R. Dann bildet die Menge

M :={f ∈ C(X,E)

∣∣ π ◦ f = idX}

der stetigen Schnitte von π einen R-Modul bezuglich punktweiser Multipli-kation. Die Untersuchung des Vektorbundels π hat dann mehrere Aspekte:

• den lokalen Aspekt (z.B. die Betrachtung von π auf”kleinen“ Teilmen-

gen von X)

• und den globalen Aspekt (z.B. die Frage, ob das Bundel π global trivialist).

3.4. Lokale Eigenschaften 105

M Mp Mq

p q

SpecR

Abbildung 3.1.: lokale Betrachtung von Moduln, schematisch

Ist x ∈ X und mx := {f ∈ R | f(x) = 0} das zugehorige maximale Ideal,so kann man zeigen, dass die Lokalisierung Rmx zum Ring der Funktionskei-me um x (Beispiel 3.1.4) isomorph ist. Dementsprechend ist das Tensorpro-dukt Mmx

∼=R Rmx ⊗Rmx M eine”lokale“ Variante von M .

Die Analogie mit Vektorbundeln liefert uns die folgende, naive, Anschau-ung fur die lokale Betrachtung von Moduln: Sei R ein Ring und M einR-Modul. Als geometrisches Objekt zu R betrachten wir wie bisher dasPrimspektrum SpecR (und interpretieren R als

”Funktionenring“ darauf).

Dann ist M ein algebraischer Schatten eines”Bundels uber SpecR“ (Abbil-

dung 3.1).

Proposition 3.4.4 (”trivial“ ist lokal). Sei R ein Ring und sei M ein R-Modul.

Dann sind aquivalent:

1. Es gilt M ∼=R {0}.

2. Fur alle p ∈ SpecR ist Mp∼=Rp {0}.

3. Fur alle m ∈ mSpecR ist Mm∼=Rm {0}.

Beweis. Zu 1. =⇒ 2. Ist M ∼=R {0} und p ∈ SpecR, so ist

Mp = Rp ⊗RM ∼=Rp Rp ⊗R {0} ∼=Rp {0}.

Zu 2. =⇒ 3. Dies ist klar, da mSpecR ⊂ SpecR.Zu 3. =⇒ 1. Es gelte Mm

∼=Rm {0} fur alle m ∈ mSpecR. Dann ist Mbereits trivial, denn: Sei x ∈M und sei

a := {y ∈ R | y · x = 0} = ker(R→M ; y 7→ y · x) ⊂ R.


Dann ist a ⊂ R ein Ideal (als Kern eines R-Modulhomomorphismus). Ista = R, so ist x = 0. Angenommen, a 6= R. Dann gibt es ein maximalesIdeal m ∈M mit a ⊂ m (Satz 2.1.8).

Nach Voraussetzung ist x/1 ∈ (R \m)−1M ∼=Rm Mm∼=Rm {0} (Proposi-

tion 3.2.13). Also gibt es ein y ∈ R \m mit

y · x = y · 0 = 0.

Nach Konstruktion von a ist dann aber y ∈ a. Dies steht jedoch im Wider-spruch zu y ∈ R \m ⊂ R \ a. Also ist a = R, und damit x = 0.

Proposition 3.4.5 (”injektiv/surjektiv“ ist lokal). Sei R ein Ring, seien M , N

Moduln uber R und sei f : M −→ N ein R-Modulhomomorphismus. Dannsind aquivalent:

1. Der R-Modulhomomorphismus f : M −→ N ist injektiv [surjektiv].

2. Fur jedes p ∈ SpecR ist LR\pf : Mp −→ Np injektiv [surjektiv].

3. Fur jedes m ∈ mSpecR ist LR\mf : Mm −→ Nm injektiv [surjektiv].

Beweis. Wir zeigen dies, indem wir die Exaktheit des Lokalisierungsfunktorssowie die Lokalitat des Verschwindens (Proposition 3.4.4) auf den Kern bzw.den Kokern von f anwenden:

Sei K := ker f . Dann ist K ein R-Modul und die Sequenz

00 // K

Inkl. i// Mf// N

ist exakt. Ist p ∈ SpecR, so ist der Funktor LR\pf : RMod −→ RpMod exakt(Satz 3.2.14); somit ist auch

00 // Kp

LR\pi// Mp

LR\pf// Np

exakt, und damitKp∼=R\p kerLR\pf.

Da Injektivitat durch Trivialitat des Kerns charakterisiert wird, erhalten wirmithilfe von Proposition 3.4.4 die Behauptung.

Fur Surjektivitat wenden wir dieselbe Argumentation auf N/ im f an.

Proposition 3.4.6 (”flach“ ist lokal). Sei R ein Ring und sei M ein R-Modul.

Dann sind aquivalent:

1. Der R-Modul M ist flach.

2. Fur alle p ∈ SpecR ist der Rp-Modul Mp flach.

3. Fur alle m ∈ mSpecR ist der Rm-Modul Mm flach.


Beweis. Zu 1. =⇒ 2. Dies folgt aus den Eigenschaften des Tensorproduktsund der Flachheit des R-Moduls Rp (Satz 3.2.14) (Ubungsaufgabe).

Zu 2. =⇒ 3. Dies ist klar, da mSpecR ⊂ SpecR.Zu 3. =⇒ 1. Es sei Mm fur jedes m ∈ mSpecR ein flacher Rm-Modul.

Dann ist der R-Modul M bereits flach, denn:Nach Lemma 3.4.7 genugt es zu zeigen, dass M ⊗R · injektive R-Mo-

dulhomomorphismen auf injektive R-Modulhomomorphismen abbildet. Wirverwenden dafur die Lokalitat von Injektivitat: Sei also f : A −→ B ein injek-tiver R-Modulhomomorphismus und m ∈ mSpecR. Nach Proposition 3.4.5ist dann fm : Am −→ Bm injektiv. Da Mm ein flacher Rm-Modul ist, ist

Mm ⊗Rm fm : Mm ⊗Rm Am −→Mm ⊗Rm Bm

somit injektiv. Der kanonische Isomorphismus

Mm ⊗Rm Am = (Rm ⊗RM)⊗Rm (Rm ⊗R A)∼=Rm Rm ⊗R (M ⊗R A) = (M ⊗R A)m

(und analog fur Mm ⊗Rm Bm) zeigt, dass daher

Rm ⊗R (M ⊗R f) : (M ⊗R A)m −→ (M ⊗R B)m

injektiv ist.Mit Proposition 3.4.5 erhalten wir, dass auchM⊗Rf : M⊗RA −→M⊗RB

injektiv ist.

Lemma 3.4.7 (Charakterisierungen von Flachheit). Sei R ein Ring und sei Mein R-Modul. Dann sind aquivalent:


2. Der Funktor M ⊗R · bildet kurze exakte Sequenzen in RMod auf kurzeexakte Sequenzen in RMod ab.

3. Der Funktor M ⊗R · bildet injektive R-Modulhomomorphismen aufinjektive R-Modulhomomorphismen ab.

Beweis. Die Implikationen 1. =⇒ 2. und 2. =⇒ 3. folgen direkt aus denDefinitionen.

Zu 3. =⇒ 1. Wir nehmen an, dass M ⊗R · Injektivitat erhalt. Dann istM flach, denn: Sei

Af// B

g// C

eine exakte Sequenz in RMod (d.h. es gilt im f = ker g). Wir schreiben f :=M ⊗R f = idM ⊗Rf und g := M ⊗R g = idM ⊗Rg.

Dann ist im f ⊂ ker g, denn: Wegen g ◦ f = 0 ist

g ◦ f = idM ⊗R(g ◦ f) = idM ⊗R0 = 0.


Umgekehrt gilt auch ker g ⊂ im f , denn: Sei G : B/ im f = B/ ker g −→ Cder von g induzierte R-Modulhomomorphismus. Dann ist G injektiv. NachVoraussetzung ist dann auch

M ⊗R G : M ⊗R (B/ im f) −→M ⊗R Cm⊗ [b] 7−→ m⊗ g(b)

injektiv. Da M ⊗R · mit Quotienten vertraglich ist, ist daher auch

(M ⊗R B)/(M ⊗R im f) −→M ⊗R C[m⊗ b] 7−→ m⊗ g(b) = g(m⊗ b)

injektiv. Also ist ker g ⊂M⊗R im f . Wegen der Rechtsexaktheit von M⊗R ·ist dabei M ⊗R im f = im(M ⊗R f) = im f .

Wir konnen nun auch umgekehrt fragen:

Frage 3.4.8. Welche Moduln sind lokal frei?

Caveat 3.4.9 (”frei“ ist nicht lokal). Im allgemeinen sind lokal freie Moduln

nicht frei: Sei R := Z/(2)×Z/(2) und sei M := Z/(2)×{0}; dann ist M einR-Modul (als Ideal in R). Der R-Modul M ist nicht frei (da er genau zweiElemente enthalt und der Grundring R genau vier Elemente enthalt). AberM ist lokal frei, denn: Es ist

SpecR ={p1 := Z/(2)× {0}, p2 := {0} × Z/(2)

}.

Es ist

Rp2 −→ Z/(2)

(x1, x2)

s7−→ x1

ein wohldefinierter Ringisomorphismus (nachrechnen) und analog Rp1∼=Ring

Z/(2). Also sind Rp1 und Rp2 Korper. Daher ist jeder R-Modul bereits lokalfrei. Insbesondere ist auch M lokal frei.

Wir wollen außerdem noch ein wichtiges geometrisches Beispiel dieser Artverstehen, namlich das Mobiusband. Als Vorbereitung uberlegen wir uns:

Proposition 3.4.10. Sei R ein Ring und sei M ein R-Modul. Es gebe einenR-Modul M und ein n ∈ N mit

M ⊕M ∼=R Rn.

Dann ist M im folgenden Sinne lokal frei: Fur alle p ∈ SpecR ist der Mo-dul Mp ein freier Rp-Modul.

Der Beweis beruht auf der entsprechenden lokalen Aussage:


Lemma 3.4.11. Sei R ein lokaler Ring und sei M ein R-Modul. Es gebe einenR-Modul M und ein n ∈ N mit

M ⊕M ∼=R Rn.

Dann ist M bereits ein freier R-Modul.

Beweis. Sei m ⊂ R das maximale Ideal von R und sei k := R/m der Rest-klassenkorper von R. Wir verwenden wieder den Basiswechsel k ⊗R · .

• Es ist d := dimk k⊗RM endlich, denn: Wegen M ⊕M ∼=R Rn und der

Vertraglichkeit von Tensorprodukten mit direkten Summen folgt

(k ⊗RM)⊕ (k ⊗RM) ∼=k kn,

und damit dimk k⊗RM ∈ {0, . . . , n}. Außerdem ist der R-Modul M alsdirekter Summand (und damit auch Quotient) von Rn endlich erzeugt.

• Wir wahlen nun x1, . . . , xd ∈M , fur die die zugehorige Familie in k⊗RM ∼=k M/m ·M eine k-Basis ist. Dies liefert einen R-Modulhomomor-phismus

f : Rd −→M

(indem wir die Standardbasis von Rd auf x1, . . . , xd abbilden), fur dender induzierte Homomorphismus k ⊗R f : kd −→ k ⊗R M ein Isomor-phismus von k-Vektorraumen ist. Es genugt nun zu zeigen, dass f einIsomorphismus ist.

• Das Lemma von Nakayama liefert, dass f surjektiv ist (Ubungsaufgabe).

• Außerdem ist f auch injektiv, denn: Wir zeigen dazu, dass K := ker f ⊂Rd trivial ist.

Da M ein direkter Summand des freien Moduls Rn ist und f sur-jektiv ist, besitzt f einen Spalt σ : M −→ Rd mit f ◦ σ = idM(Ubungsaufgabe). Damit besitzt die Inklusion i : K −→ Rd einenSpalt % : Rd −→ K mit % ◦ i = idK (Ubungsaufgabe). Diesen Spalt %kann man verwenden, um zu zeigen, dass K endlich erzeugt ist unddass die Sequenz

0 // k ⊗R Kk⊗Ri // kd

k⊗Rf // k ⊗RM // 0

nicht nur rechtsexakt, sondern sogar exakt ist (Ubungsaufgabe).

Da k⊗Rf nach Konstruktion ein Isomorphismus ist, ist somit k⊗RK ∼=k

{0}. Da K endlich erzeugt ist, folgt aus dem Lemma von Nakayama(oder Satz 3.1.6), dass K ∼=R {0}. Also ist f injektiv.

Insgesamt haben wir daher Rd ∼=R M gezeigt. Also ist M ein freier R-Modul,wie behauptet.


Mobiusband

π

Kreis S1

Abbildung 3.2.: Das Mobiusband als eindimensionales Vektorbundel uber S1

Beweis von Proposition 3.4.10. Sei p ∈ SpecR; dann ist Rp ein lokaler Ring(Korollar 3.3.3). Da die Lokalisierung von R-Moduln an R \ p mit direktenSummen vertraglich ist (als Tensorproduktfunktor), folgt

Mp ⊕Mp∼=Rp Rp

n.

Mit Lemma 3.4.11 erhalten wir daraus, dass Mp ein freier Rp-Modul ist. Alsoist M lokal frei.

Zum Beispiel konnen wir auch mithilfe von Proposition 3.4.10 einsehen,dass der in Caveat 3.4.9 angegebene Modul lokal frei ist (da er ein direkterSummand des Grundrings ist; nachrechnen).

Beispiel 3.4.12 (Mobiusband). Sei E”das“ (offene) Mobiusband (Abbil-

dung 3.2); dann konnen wir die kanonische Projektion π : E −→ S1 als eindi-mensionales reelles Vektorbundel uber S1 auffassen. Sei R := C(S1,R) undsei

M :={f ∈ C(S1, E)

∣∣ π ◦ f = idS1

}

der R-Modul der stetigen Schnitte von π (Bemerkung 3.4.3).Dann gilt M ⊕M ∼=R R2 (nachrechnen; oder besser: nachbauen; Abbil-

dung 3.3). Nach Proposition 3.4.10 ist M somit ein lokal freier R-Modul (diespasst auch dazu, dass Vektorbundel ja lokal trivial sind).

Aber der R-Modul M ist nicht frei, denn: Es ist M 6∼=R {0} (man kannexplizite nicht-triviale Schnitte angeben). Ware M ein freier R-Modul, somusste es aber insbesondere einen stetigen Schnitt von M geben, der keineNullstellen besitzt (nachrechnen). Einen solchen Schnitt gibt es jedoch nicht,denn: Angennommen, es gabe einen Schnitt f : S1 −→ E von π mit


Abbildung 3.3.: Zwei Mobiusbander addieren sich zu einem Torus (d.h. zueinem trivialen Bundel)


∀x∈S1 f(x) 6= 0 im R-Vektorraum π−1({x}).

Da π ein eindimensionales Vektorbundel ist, liefert f dann bereits einen Vek-torbundelisomorphismus

ϕ : (Proj. : S1 × R→ S1) −→ (π : E → S1)

S1 × R 3 (x, t) 7−→ t · f(x) im R-Vektorraum π−1({x})

(nachrechnen). Insbesondere induziert ϕ einen Homoomorphismus

(S1 × R) \(S1 × {0}

)−→ E \Nullschnitt.

Die linke Seite hat zwei Zusammenhangskomponenten, die rechte jedoch nureine (nachbauen!). Also kann es einen solchen Schnitt f nicht geben. Somitist der Modul M nicht frei.

Moduln, die direkte Summanden in freien Moduln sind, spielen auch in derhomologischen Algebra eine wichtige Rolle. Wir werden daher spater nochmalauf diese Moduln zuruckkommen (Kapitel 5).

3.5 Vervollstandigung

Lokalisierungen sind ein algebraisches Werkzeug, um an lokale Information zugelangen. Manchmal sind aber Lokalisierungen nicht lokal genug; der Grunddafur ist, dass es in der Zariski-Topologie nicht genug offene Mengen gibt(Beispiel 2.2.9). Manchmal ist es daher nutzlich – wie in der Analysis – ge-eignete Potenzreihenentwicklungen bzw. Vervollstandigungen zu betrachten:

Definition 3.5.1 (adische Vervollstandigung). Sei R ein Ring und a ⊂ R einIdeal.

• Wir definieren induktiv die Ideale (in R)

a1 := a und ∀n∈N>0 an+1 := a · an ⊂ an.

• Die a-adische Vervollstandigung von R ist der Ring

RJaK := lim←−n∈N>0

R/an,

wobei der inverse Limes in Ring uber das inverse System (R/an →R/ak)n,k∈N>0,k≤n der kanonischen Projektionen gebildet wird. (In der

Literatur wird statt RJaK auch oft die Notation Ra verwendet.)

• Die kanonischen Projektionen (R −→ R/an)n∈N>0 induzieren einenkanonischen Ringhomomorphismus R −→ RJaK. Ist dieser Ringho-

3.5. Vervollstandigung 113

Z/(3)

[0]

[1]

[2]

Z/(9)

[0]

[3]

[6]

[1]

[4]

[7]

[2]

[5]

[8]

Z/(27)

[0][9][18]

π2,1 π3,2

. . .

. . .

Abbildung 3.4.: Die 3-adischen Zahlen als Wege im 4-regularen Wurzelbaum;lila: der Weg zur 3-adischen Zahl 1 + 3 + 9 + 27 + . . .

momorphismus ein Isomorphismus, so bezeichnen wir R als a-adischvollstandig.

Die Vorstellung dabei ist, dass Elemente aus hoheren Potenzen des Ideals azu Termen hoherer Ordnung korrespondieren und daher

”klein“ sind. Mithilfe

der adischen Topologie kann man die adische Vervollstandigung als klassischeVervollstandigung auffassen und uber adische Konvergenz von Folgen spre-chen (Anhang A.2).

Wie im Fall von Moduln konnen wir diese inversen Limiten konkreter alsMengen von Folgen kompatibler Elemente beschreiben.

Beispiel 3.5.2 (adische Vervollstandigungen).

• Sei p ∈ N prim. Die p-adischen ganzen Zahlen ZJpK (Beispiel 3.1.5) sindalso nichts anderes als die p-adische Vervollstandigung ZJ(p)K von Zan (p).

Ein konkretes Modell des inversen Limes ZJpK ist die Menge

{(xn)n∈N>0

∈∏

n∈N>0

Z/(pn)

∣∣∣∣ ∀k,n∈N k ≤ n =⇒ πn,k(xn) = xk

}

der bezuglich der kanonischen Projektionen πn,k : Z/(pn) → Z/(pk)mit n, k ∈ N und k ≤ n kompatiblen Folgen. Diese Folgen lassen sichauch als (unendliche) Wege, beginnend bei der Wurzel, im (p + 1)-re-gularen Wurzelbaum (Abbildung 3.4) veranschaulichen.


Sei i : Z −→ ZJpK der kanonische Ringhomomorphismus. Dann istZJpK ein lokaler Ring, dessen maximales Ideal von i(p) erzeugt wird

(Ubungsaufgabe); der Restklassenkorper ist (nachrechnen)

ZJpK/(p) ∼=Ring Z/(p).

Da i nicht surjektiv ist (der Ring ZJpK ist nicht abzahlbar) ist Z nichtp-adisch vollstandig.

Eine andere Interpretation dieses Baumes ist, dass man sich Elemen-te von ZJpK als Potenzreihen in den Potenzen von p mit Koeffizientenin {0, . . . , p− 1} vorstellen kann.

• Ist R ein Ring, so ist der formale Potenzreihenring RJT K die (T )-adischeVervollstandigung von R[T ] (Beispiel 1.4.11). Die formale Potenzrei-he∑∞n=0 1 · Tn zeigt, dass R[T ] nicht (T )-adisch vollstandig ist.

Analog zu den p-adischen ganzen Zahlen kann man zeigen: Ist K einKorper, so ist KJT K ein lokaler Ring; das maximale Ideal wird dabeivon T erzeugt und der Restklassenkorper ist isomorph zu K.

Beispiel 3.5.3 (zwei algebraische Mengen, sehr lokal). Wir betrachten die affi-nen algebraischen Mengen

VC(X · Y ) und VC(Y 2 −X3 −X2)

in C2. In klassischer Geometrie/Topologie sind diese beiden Teilmengenvon C2 lokal (d.h. in einer kleinen Umgebung) um (0, 0) gleichartig (Ab-bildung 3.5).

• Erste lokale Betrachtung: via Lokalisierungen. In den Lokalisierungender Koordinatenringe R := KC[VC(X · Y )] = C[X,Y ]/(X · Y ) (Bei-spiel 2.2.22) und R′ := KC[VC(Y 2−X3−X2)] = C[X,Y ]/(Y 2−X3−X2) (Ubungsaufgabe) ist diese Ahnlichkeit nicht zu erkennen: Das ma-ximale Ideal, das von {[X], [Y ]} erzeugt wird, entspricht jeweils demNullpunkt. Einerseits ist

R([X],[Y ]) =(C[X,Y ]/(X · Y )

)([X],[Y ])

;

kein Integritatsring (zum Beispiel ist [X]/1 ein Nullteiler). Andererseitsist

R′([X],[Y ])∼=Ring

(C[X,Y ]/(Y 2 −X3 −X2)

)([X],[Y ])

als Lokalisierung eines Integritatsrings am Komplement eines Prim-ideals ein Integritatsring (Beispiel 3.2.5). Also gilt

R([X],[Y ]) 6∼=Ring R′([X],[Y ]).


À

Á

1

1

VR(Y 2 −X3 −X2)

À

Á

1

1

VR(X · Y )

Abbildung 3.5.: Das reelle Bild der beiden affinen algebraischen Men-gen VC(X ·Y ) und VC(Y 2−X3−X2) in der Nahe von (0, 0);in beiden Fallen erhalt man zwei sich kreuzende

”Linien“.

• Zweite lokale Betrachtung: via Vervollstandigungen. Geht man jedochstattdessen zu den ([X], [Y ])-adischen Vervollstandigungen uber, soerhalt man: Einerseits ist (nachrechnen)

RJ([X],[Y ])K ∼=Ring CJX,Y K/(X · Y ).

Andererseits ist (nachrechnen)

R′J([X],[Y ])K ∼=Ring CJX,Y K/(Y 2 −X3 −X2).

Im formalen Potenzreihenring CJX,Y K gibt es Wurzeln aus dem Poly-nom X3 + X2 = X2 · (1 + X), namlich ±X · w, wobei (nachrechnen;Potenzreihenentwicklung von

”

√1 +X“; oder Beispiel 3.5.6)

w :=

∞∑

n=0

(−1)n · (2 · n)!

(1− 2 · n) · (n!)2 · 4n ·Xn+1.

Also ist

R′J([X],[Y ])K ∼=Ring CJX,Y K/((Y +X · w) · (Y −X · w)).

In dieser Darstellung sind nun die Nullteiler bei beiden algebraischenTeilmengen klar zu erkennen. Da w eine Einheit in CJXK ist (nachrech-nen), kann man zeigen, dass die Ringe RJ([X],[Y ])K und R′J([X],[Y ])K sogarisomorph sind.

Satz 3.5.4 (das Henselsche Lemma). Sei R ein lokaler Ring mit maximalemIdeal m, der m-adisch vollstandig ist. Sei k := R/m der Restklassenkorper


von R und π : R[T ] −→ k[T ] der Reduktionshomomorphismus modulo m. Seif ∈ R[T ] ein normiertes Polynom und es gebe normierte Polynome g, h ∈k[T ] mit ggTk[T ](g, h) = (1) und

π(f) = g · h.

Dann gibt es normierte Polynome g, h ∈ R[T ] mit

f = g · h und π(g) = g, π(h) = h.

Insbesondere ist deg g = deg g und deg h = deg h.

Beweis. Da R nach Voraussetzung m-adisch vollstandig ist, ist der kanoni-sche Ringhomomorphismus i : R −→ RJmK ein Isomorphismus. Aus i undkanonischen Bausteinen erhalten wir den Ringisomorphismus

R[T ] ∼=Ring

(lim←−

n∈N>0

R/mn)[T ] (induziert von i)

∼=Ring lim←−n∈N>0

R[T ]/mn[T ]

∼=Ring lim←−n∈N>0

R[T ]/m[T ]n

= R[T ]JmK

(nachrechnen), wobei m := m[T ]. Die konkrete Beschreibung dieses inversenLimes durch kompatible Folgen liefert, dass es genugt, Folgen (gn)n∈N>0

und(hn)n∈N>0

normierter Polynome in R[T ] mit den folgenden Eigenschaften zukonstruieren:

• Es gilt π(g1) = g und π(h1) = h.

• Fur alle n ∈ N>0 ist gn · hn − f ∈ mn.

• Fur alle n ∈ N>0 ist gn+1 − gn ∈ mn und hn+1 − hn ∈ mn.

Wir konstruieren solche Folgen induktiv:Induktionsanfang. Wir wahlen normierte Polynome g1, h1 ∈ R[T ], deren

π-Reduktionen g bzw. h sind (diese existieren, da die kanonische Projekti-on R −→ R/m = k surjektiv ist).

Induktionsschritt. Sei n ∈ N>0 und seien gn, hn bereits konstruiert.Wegen ggTk[T ](g, h) = 1 im Hauptidealring k[T ] ∼=Ring R[T ]/m gibt

es a, b ∈ R[T ] mita · g1 + b · h1 − 1 ∈ m.

Wir betrachten nun

An := −a · (gn · hn − f) ∈ mn und Bn := −b · (gn · hn − f) ∈ mn

und setzen


gn+1 := gn +Bn, hn+1 := hn +An ∈ R[T ].

Nach Konstruktion ist dann gn+1 − gn, hn+1 − hn ∈ mn. Außerdem ist

gn+1 · hn+1 − f = (gn +Bn) · (hn +An)− f= gn · hn − f + gn ·An +Bn · hn +Bn ·An= gn · hn − f − gn · a · (gn · hn − f)− hn · b · (gn · hn − f) +An ·Bn= (gn · hn − f) · (1− a · gn − b · hn) +An ·Bn.

Wegen gn · hn − f ∈ mn (nach Induktionsvoraussetzung) und 1− a · gn − b ·hn ∈ m (nach Wahl von a und b) liegt der erste Summand in mn+1. WegenAn, Bn ∈ mn und n ≥ 1 ist auch An ·Bn ∈ mn+1. Also ist

gn+1 · hn+1 − f ∈ mn+1,

was die induktive Konstruktion abschließt.

Beispiel 3.5.5 (eine Wurzel aus −1). Es gibt ein x ∈ ZJ5K mit x2 = −1, denn:Wir wenden das Henselsche Lemma (Satz 3.5.4) auf das Polynom

f := T 2 + 1 ∈ ZJ5K[T ]

an. Der Ring ZJ5K ist lokal und adisch vollstandig bezuglich seinem maximalenIdeal (5) (nachrechnen). Die Reduktion von f im Polynomring F5[T ] desRestklassenkorpers F5 erfullt

T 2 + [1] =(T − [2]

)·(T − [3]

)∈ F5[T ].

Da T − [2] und T − [3] in F5[T ] teilerfremd sind, ist das Henselsche Lemma

tatsachich anwendbar. Daher gibt es normierte, lineare, Polynome g, h ∈ZJ5K[T ] mit (in ZJ5K[T ])

T 2 + 1 = f = g · h.Insbesondere hat g eine Nullstelle x in ZJ5K, und diese erfullt nach Konstruk-tion x2 + 1 = 0.

Alternativ kann man eine solche Wurzel aus −1 in ZJ5K naturlich auchexplizit mit dem Verfahren aus dem Beweis des Henselschen Lemmas kon-struieren (Ubungsaufgabe).

Beispiel 3.5.6 (implizite Funktionen). Wir kommen nun auf”

√X + 1“ zuruck:

Sei K ein Korper mit charK 6= 2, sei f := Y 2 − (X + 1) ∈ KJXK[Y ]. AusGradgrunden gibt es kein Polynom w ∈ K[X] mit w(0) = 1 und f(X,w) = 0.Es gibt jedoch eine formale Potenzreihe w ∈ KJXK mit

w(0) = 1 und f(X,w

)= 0,

denn: Der Ring KJXK ist lokal und adisch vollstandig bezuglich seinem maxi-malen Ideal (X) (nachrechnen). Die Reduktion von f im Polynomring K[Y ]


des Restklassenkorpers K erfullt

Y 2 − 1 = (Y − 1) · (Y + 1).

Wegen charK 6= 2 sind die Polynome Y − 1 und Y + 1 in K[Y ] teilerfremd.Nach dem Henselschen Lemma (Satz 3.5.4) gibt es normierte, lineare, Poly-

nome g, h ∈ KJXK[Y ] mit

Y 2 − (X + 1) = f = g · h,

deren Reduktion Y − 1 bzw. Y + 1 ist. Sei w ∈ KJXK die Nullstelle von g.Dann ist w(0) = 1 und

f(X,w

)= g(w) · h(w) = 0 · h(w) = 0.

Literaturaufgabe. Lesen Sie das Kapitel uber Vervollstandigungen im BuchIntroduction to Commutative Algebra von M.F. Atiyah und I.G. MacDo-nald [2, Kapitel 10], um einen systematischeren Uberblick uber Vervollstan-digungen zu erhalten.

4

Noethersche und Artinsche Ringe

Die Ring- und Modultheorie vereinfacht sich, wenn geeignete Endlichkeits-bedingungen erfullt sind. Die zentrale solche Klasse von Ringen sind dienoetherschen Ringe. Wir werden grundlegende Eigenschaften von noether-schen Ringen kennenlernen und mit diesen Techniken unter anderem denHilbertschen Nullstellensatz beweisen. Außerdem werden wir auf verwandteKlassen von Ringen, wie z.B. artinsche Ringe, eingehen.


4.1 Noethersche Ringe und Moduln 1204.2 Der Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes 1264.3 Primarzerlegung 1304.4 Artinsche Ringe 1384.5 Dedekindringe 141

Schlusselbeispiel. der Ring Z, Polynomringe uber Korpern (in endlich vielenVariablen)

120 4. Noethersche und Artinsche Ringe

4.1 Noethersche Ringe und Moduln

Noethersche Ringe sind Ringe, die Endlichkeitsbedingungen fur Unterobjekteerfullen.

4.1.1 Noethersche Ringe

Zwei offensichtliche Endlichkeitsbedingungen an Ringe sind:

• Die Kombinatorik der Menge der Ideale ist hinreichend endlich, d.h.aufsteigende Ketten von Idealen werden stationar.

• Jedes Ideal ist endlich erzeugt.

Wir werden die erste Bedingung als Definition noetherscher Ringe verwenden(da sie bei Teilbarkeitsbetrachtungen etc. eine wichtige Rolle spielt) und dannzeigen, dass sie zur zweiten aquivalent ist.

Definition 4.1.1 (noetherscher Ring). Ein Ring R ist noethersch, wenn fol-gendes gilt: Fur jede (bezuglich Inklusion) aufsteigende Folge (an)n∈N vonIdealen in R gibt es ein N ∈ N mit

∀n∈N≥N an = aN .

Beispiel 4.1.2 (noethersche Ringe).

• Jeder Hauptidealring ist noethersch (Lemma II.2.4.22; Proposition 4.1.3).

Zum Beispiel ist also Z noethersch und fur jeden Korper K ist derPolynomring K[T ] noethersch.

• Der Polynomring Q[X0, X1, X2, . . . ] in abzahlbar unendlich vielen Va-riablen ist nicht noethersch, wie man an der Idealkette

(X0) ( (X0, X1) ( (X0, X1, X2) ( . . .

erkennen kann.

• Der Ring C([0, 1],R) ist nicht noethersch, denn: Zu n ∈ N sei An :={1/k | k ∈ N>n} und

an :={f ∈ C([0, 1],R)

∣∣ ∀x∈An f(x) = 0}.

Dann ist an ein Ideal und an ( an+1 (nachrechnen). Diese Idealkettewird also nicht stationar.

4.1. Noethersche Ringe und Moduln 121

Proposition 4.1.3 (alternative Charakterisierung noetherscher Ringe). Sei Rein Ring. Dann sind aquivalent:

1. Der Ring R ist noethersch.

2. Jede nicht-leere Menge von Idealen in R besitzt ein bezuglich Inklusionmaximales Element.

3. Jedes Ideal in R ist endlich erzeugt.

Caveat 4.1.4 (maximale Elemente). Ist (M,≤) eine partiell geordnete Menge,so ist ein Element m ∈M maximal, wenn

∀x∈M m ≤ x =⇒ m = x

gilt. Es darf aber durchaus Elemente inM geben, die nicht mitm vergleichbarsind. Insbesondere ist im allgemeinen m nicht großer als alle Elemente aus M .

Lemma 4.1.5 (Kettenbedingungen in partiell geordneten Mengen). Sei (M,≤)eine partiell geordnete Menge. Dann sind aquivalent:

1. Jede nicht-leere Teilmenge von M enthalt ein maximales Element.

2. Fur jede aufsteigende Folge (xn)n∈N in (M,≤) gibt es ein N ∈ N mit

∀n∈N≥N xn = xN .

Beweis von Lemma 4.1.5. Zu 1. =⇒ 2. Es gelte die erste Aussage. Ist(xn)n∈N eine aufsteigende Folge in (M,≤), so ist {xn | n ∈ N} eine nicht-leere Teilmenge von M . Nach Voraussetzung besitzt diese ein maximales Ele-ment xN mit N ∈ N. Insbesondere folgt dann

∀n∈N≥N xn = xN .

Zu 2. =⇒ 1. Es gelte die erste Aussage nicht. Sei N ⊂ M eine nicht-leere Teilmenge, die kein maximales Element enthalt. Wegen N 6= ∅ gibt esein x1 ∈ N . Dieses ist nicht maximal. Also gibt es ein x2 ∈ N mit x1 < x2.Da N kein maximales Element enthalt, ist auch x2 nicht maximal, d.h. . . . .Induktiv erhalt man so eine Folge (xn)n∈N mit

∀n∈N xn < xn+1.

Also ist die zweite Aussage nicht erfullt.

Beweis von Proposition 4.1.3. Zu 1. =⇒ 2. Dies folgt aus der entsprechen-den allgemeinen Tatsache fur partiell geordnete Mengen (Lemma 4.1.5); dieMenge aller Ideale in R bildet bezuglich Inklusion eine partiell geordneteMenge.


Zu 2. =⇒ 3. Es gelte die zweite Aussage. Sei a ⊂ R ein Ideal. Wir be-trachten die Menge M aller endlich erzeugten Ideale b ⊂ R mit b ⊂ a. Wegen0 ∈ M ist M 6= ∅. Nach Voraussetzung enthalt M also ein maximales Ele-ment b.

Dann ist a = b (und damit inbesondere auch a endlich erzeugt), denn:Nach Konstruktion ist b ⊂ a. Angenommen, es ware b 6= a. Sei x ∈ a \ b.Dann ist (b∪{x}) ein endlich erzeugtes Ideal, das in a enthalten ist, und echtgroßer als b ist, im Widerspruch zur Maximalitat von b. Also ist a = b.

Zu 3. =⇒ 1. Es gelte die dritte Aussage. Sei (an)n∈N eine aufsteigendeFolge von Idealen von R. Dann ist auch a :=

⋃n∈N an ein Ideal (nachrech-

nen). Nach Voraussetzung ist a endlich erzeugt, d.h. es gibt eine endlicheTeilmenge S ⊂ a mit a = (S). Wegen a =

⋃n∈N an und da die Folge (an)n∈N

aufsteigend ist, gibt es ein N ∈ N mit

S ⊂ aN .

Damit erhalten wir aber fur alle n ∈ N≥N , dass

(S) ⊂ aN ⊂ an ⊂ a = (S)

bzw. an = aN . Also ist R noethersch.

Anmerkung zum Lernen. Welche dieser Beweisschritte kennen Sie bereitsaus der Linearen Algebra II bzw. Algebra?

Proposition 4.1.6 (Restklassenringe noetherscher Ringe). Sei R ein noether-scher Ring und a ⊂ R ein Ideal. Dann ist auch R/a noethersch.

Beweis. Wir verwenden die Charakterisierung uber endliche Erzeugtheit vonIdealen (Proposition 4.1.3). Sei π : R −→ R/a die kanonische Projektion und

sei b ⊂ R/a ein Ideal. Dann ist b := π−1(b) ein Ideal in R. Da R noethersch

ist, ist b endlich erzeugt; sei S ⊂ R eine endliche Menge mit b = (S). Dannwird

b = π(b)

von π(S) erzeugt, ist also auch endlich erzeugt. Somit ist R/a noethersch.

Proposition 4.1.7 (Lokalisierung noetherscher Ringe). Sei R ein noetherscherRing und sei S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen. Dann ist auch die Lokalisie-rung S−1R noethersch.

Beweis. Dies folgt aus der Tatsache, dass Ideale in S−1R nichts anderes alsS-Lokalisierungen von Idealen in R sind (Lemma 3.3.1).

Beispiel 4.1.8. Zum Beispiel sind also Z/(2018), Z2018, Z(2017) noetherscheRinge.


4.1.2 Moduln uber noetherschen Ringen

Um Ideale in noetherschen Ringen besser zu verstehen, ist es wie immernutzlich, auch Moduln besser zu verstehen.

Proposition 4.1.9 (endlich erzeugte Moduln uber noetherschen Ringen). Sei Rein noetherscher Ring und sei M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann istjeder R-Untermodul von M endlich erzeugt.

Beweis. Wir gehen ahnlich wie im Fall von Hauptidealringen (Satz II.2.5.1)vor: Wir schreiben

d(M) := min{n ∈ N | es gibt ein n-elementiges Erzeugendensystem von M}

und beweisen die Behauptung per Induktion uber d(M):

• Induktionsanfang. Ist d(M) = 0, so ist M ∼=R {0}. Der einzige Un-termodul von M ist also M selbst (und damit insbesondere endlicherzeugt).

• Induktionsvoraussetzung. Sei nun m := d(M) > 0 und die Behauptungsei bereits fur alle R-Moduln M ′ mit d(M ′) < m gezeigt.

• Induktionsschritt. Wegen m = d(M) gibt es einen surjektiven R-Modulhomomorphismus

f : Rm −→M.

Sei N ⊂ M ein R-Untermodul. Dann ist N := f−1(N) ein R-

Untermodul von Rm. Wegen N = f(N) (nachrechnen) genugt es zu

zeigen, dass N endlich erzeugt ist.

Wir zerlegen das Problem nun: Dazu betrachten wir die Projektion

π : Rm −→ R

x 7−→ xm

auf die letzte Komponente und K := kerπ = Rm−1 × {0} ⊂ Rm.

Mithilfe von π konnen wir N zerlegen:

– Der Untermodul K := K ∩ N ⊂ K ist wegen d(K) ≤ m− 1 nachInduktionsvoraussetzung endlich erzeugt.

– Auch N/K ist endlich erzeugt, denn: Es gilt N/K ∼=R π(N); da R

noethersch ist, ist aber das Ideal π(N) endlich erzeugt (als Idealund als Modul).


Durch Kombination von endlichen Erzeugendensystemen von K undN/K erhalten wir ein endliches Erzeugendensystem fur N . Damit istder Induktionsschritt gezeigt.

4.1.3 Der Hilbertsche Basissatz

Neben der Bildung von Restklassenringen und Lokalisierungen ist die Klasseder noetherschen Ringe auch unter Bildung von Polynomringen abgeschlos-sen:

Satz 4.1.10 (Hilbertscher Basissatz). Sei R ein noetherscher Ring. Dann istauch der Polynomring R[T ] noethersch.

Beweis. Wir verwenden die Charakterisierung noetherscher Ringe uber end-liche Erzeugtheit von Idealen (Proposition 4.1.3). Sei a ⊂ R[T ] ein Ideal.

Wir betrachten die Menge a ⊂ R der Leitkoeffizienten von Polynomenin a; dann ist a ein Ideal in R (nachrechnen). Da R noethersch ist, ist aendlich erzeugt, etwa a = (λ1, . . . , λn) mit n ∈ N und λ1, . . . , λn ∈ R. NachKonstruktion gibt es somit fur jedes j ∈ {1, . . . , n} ein fj ∈ a, das eineDarstellung der Form

fj = λj · T dj + gj

mit dj ∈ N, gj ∈ R[T ] und deg gj < dj besitzt. Sei nun d := max{d1, . . . , dn}und

b :=({f1, . . . , fn}

).

Wir zeigen als nachsten Schritt, dass

a =(a ∩ SpanR{1, . . . , T d−1}

)+ b

ist: Nach Konstruktion ist die rechte Seite in a enthalten. Warum gilt auchdie umgekehrte Inklusion? Sei f ∈ a. Dann liegt der Leitkoeffizient von fin a und wir konnen durch induktives Abziehen von geeigneten Vielfachenvon f1, . . . , fn erreichen, dass f in der Form

f = f + g

mit f ∈ a, g ∈ b und deg f < d dargestellt wird: Ist namlich deg f ≥ dund ist λ ∈ a der Leitkoeffizient von f , so gibt es r1, . . . , rn ∈ R mit λ =∑nj=1 rj · λj . Dann folgt fur

g :=

n∑

j=1

rj · T deg f−dj · fj ∈ b und f := f − g ∈ a,

dass deg f < deg f . Induktiv kann man so den Grad kleiner als d erzwingen.Also ist


f ∈(a ∩ SpanR{1, . . . , T d−1}

)+ b,

und damit a =(a ∩ SpanR{1, . . . , T d−1}

)+ b.

Da SpanR{1, . . . , T d−1} ein endlich erzeugter R-Modul ist und der Ring Rnoethersch ist, ist auch der Untermodul a ∩ Spanr{1, . . . , T d−1} endlich er-zeugt. Außerdem ist b endlich erzeugt (nach Konstruktion). Insgesamt folgtdaraus, dass auch a endlich erzeugt ist.

Bemerkung 4.1.11 (Hilbertscher Basissatz fur Potenzreihenringe). Ist R einnoetherscher Ring, so ist auch RJT K noethersch (Ubungsaufgabe). Statt derLeitkoeffizienten von Polynomen betrachtet man beim Beweis die Koeffizi-enten der niedrigsten Terme und verschiebt dann induktiv alle Sorgen insUnendliche.

Die Beweistechnik mithilfe von Leitkoeffizienten spielt in der algorithmi-schen Kommutativen Algebra eine wichtige Rolle und hangt zum Beispiel mitGrobner-Basen zusammen, die der zentrale Baustein der algorithmischen Be-handlung sind (Anhang A.3).

Korollar 4.1.12. Ist K ein Korper und n ∈ N, so ist K[X1, . . . , Xn] noethersch.

Beweis. Dies folgt induktiv aus der Hilbertschen Basissatz (Satz 4.1.10).

Korollar 4.1.13 (Endlichkeitseigenschaften affiner algebraischer Mengen). SeiK ein Korper, sei n ∈ N und sei V ⊂ Kn eine affine algebraische Teilmenge.Dann gibt es eine endliche Teilmenge F ⊂ K[X1, . . . , Xn] mit

V = VK(F ).

Außerdem ist der Koordinatenring KK [V ] noethersch.

Beweis. Da K[X1, . . . , Xn] ein noetherscher Ring ist (Korollar 4.1.12), istdas Verschwindungsideal IK(V ) ⊂ K[X1, . . . , Xn] endlich erzeugt; sei etwaF ⊂ K[X1, . . . , Xn] ein solches endliches Erzeugendensystem. Wegen V =VK(IK(V )) = VK(F ) (dieser Teil des Hilbertschen Nullstellensatzes 2.2.21gilt fur jeden Korper; nachrechnen) folgt somit die erste Behauptung.

Als Restklassenring von K[X1, . . . , Xn] ist auch KK [V ] noethersch (Pro-position 4.1.6).

Korollar 4.1.14. Jeder endlich erzeugte Ring ist noethersch.

Beweis. Sei R ein endlich erzeugter Ring, d.h. es gibt ein n ∈ N und einensurjektiven Ringhomomorphismus Z[X1, . . . , Xn] −→ R. Insbesondere ist Rzu einem Restklassenring von Z[X1, . . . , Xn] isomorph.

Induktiv folgt aus dem Hilbertschen Basissatz (Satz 4.1.10), dass deriterierte Polynomring Z[X1, . . . , Xn] noethersch ist (da Z noethersch ist).Da Restklassenringe von noetherschen Ringen noethersch sind (Propositi-on 4.1.6), ist somit auch R noethersch.


Beispiel 4.1.15. Die Ringe Z[i] ⊂ C und Z[i ·√

5] ⊂ C sind endlich erzeugt,und damit noethersch. Beispiele dieser Art treten haufig in der AlgebraischenZahlentheorie auf.

4.2 Der Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes

Wir verwenden den Kontext der noetherschen Ringe, um einen Beweis des(schwachen) Hilbertschen Nullstellensatzes (Satz 2.2.4) zu geben. Die grund-legende Idee dazu ist, Korper der Form K[X1, . . . , Xn]/m, wobei K ein (alge-braisch abgeschlossener) Korper und m ein maximales Ideal in K[X1, . . . , Xn]ist, besser zu verstehen. Dies betten wir in die Welt der endlich erzeugten Al-gebren ein.

Definition 4.2.1 (Algebra). Sei R ein Ring.

• Eine R-Algebra ist ein Ring A zusammen mit einem Ringhomomorphis-mus R −→ A.

• Eine R-Algebra A ist endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmen-ge S ⊂ A gibt, so dass die (bezuglich Inklusion) kleinste R-Unteral-gebra R[S] von A, die S enthalt, bereits R[S] = A erfullt.

Wir definieren R-Algebrenhomomorphismen und R-Unteralgebren in deroffensichtlichen Art und Weise.

Als ersten Schritt zeigen wir die folgende Vererbungseigenschaft fur endli-che Erzeugtheit von Algebren (Abbildung 4.2):

Proposition 4.2.2 (Artin-Tate-Lemma). Sei R ein noetherscher Ring, sei Aeine endlich erzeugte R-Algebra und sei B ⊂ A eine R-Unteralgebra mit derEigenschaft, dass A ein endlich erzeugter B-Modul ist. Dann ist auch B eineendlich erzeugte R-Algebra.

Beweis. Sei {x1, . . . , xn} ein Erzeugendensystem von A als B-Modul und sei{y1, . . . , yd} ein Erzeugendensystem von A als R-Algebra. Dann existieren(br(i))i∈{1,...,d},r∈{1,...,n} und (br(j, k))j,k,r∈{1,...,n} in B mit

∀i∈{1,...,d} yi =

n∑

r=1

br(i) · xr

∀j,k∈{1,...,n} xj · xk =

n∑

r=1

br(j, k) · xr.

Sei R die R-Unteralgebra von B, die von den darin auftretenden Koeffizienten(br(i))i∈{1,...,d},r∈{1,...,n} und (br(j, k))j,k,r∈{1,...,n} erzeugt wird.

4.2. Der Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes 127

R (noethersch)

A

endlich erzeugt als B-Modulendlich erzeugt als R-Algebra

B

dann: endlich erzeugt als R-Algebra

Abbildung 4.1.: Das Artin-Tate-Lemma, schematisch

Induktiv konnen wir somit jedes endliche Produkt der y1, . . . , yd als R-Li-nearkombination von x1, . . . , xn schreiben. In anderen Worten: Es ist A einendlich erzeugter R-Modul, erzeugt von {x1, . . . , xn}.

Da R noethersch ist, ist auch R noethersch (dies folgt wie Korollar 4.1.14induktiv aus dem Hilbertschen Basissatz (Satz 4.1.10) und Proposition 4.1.6).

Da B ein R-Untermodul von A ist und R noethersch ist, ist auch B einendlich erzeugter R-Modul (Proposition 4.1.9). Da R eine endlich erzeugteR-Algebra ist, folgt daraus, dass B auch eine endlich erzeugte R-Algebraist.

Ausblick 4.2.3 (endlich erzeugte Gruppen). Das Artin-Tate-Lemma fur Alge-bren besitzt das folgende Analogon in der Gruppentheorie: Ist A eine endlicherzeugte Gruppe und B eine Untergruppe, so ist B im allgemeinen nichtendlich erzeugt. Falls B jedoch endlichen Index in A besitzt, so ist B end-lich erzeugt. Man kann dies entweder von Hand algebraisch beweisen oderauf Tricks aus der Geometrischen Gruppentheorie zuruckgreifen [8, Corolla-ry 4.2.14, Corollary 5.4.5].

Um den nachsten Beweisschritt formulieren zu konnen, benotigen wir einpaar grundlegende Hilfsmittel aus der Theorie der Korpererweiterungen [9,Kapitel 3]:

Bemerkung 4.2.4 (Hilfsmittel aus der Theorie der Korpererweiterungen). SeiK ein Korper. Sei L | K eine Korpererweiterung, d.h. L ist ein Korpermit K ⊂ L.

• Ist S ⊂ L, so bezeichnet man mit K(S) den (bezuglich Inklusion) klein-sten Teilkorper von L, der K und S enthalt.

• Ein Element x ∈ L ist algebraisch uber K, wenn die Familie (x) uber Kalgebraisch abhangig ist, d.h., wenn es ein Polynom f ∈ K[T ] \ {0}mit f(x) = 0 gibt.


• Ist x ∈ L nicht algebraisch uber K, so induziert der Einsetzungshomo-morphismus einen Isomorphismus K(T ) ∼=AlgK K(x) von K-Algebren.

• Ist S ⊂ L endlich und sind alle Elemente aus S algebraisch uber K, soist dimK K(S) endlich.

• Ist K algebraisch abgeschlossen und ist L | K eine Korpererweiterungmit dimK L <∞, so ist L = K.

Proposition 4.2.5 (Zariski-Lemma; Mini-Noether-Normalisierung). Sei K einKorper und sei A eine endlich erzeugte K-Algebra, die sogar ein Korper ist.Dann ist A eine endliche Korpererweiterung von K, d.h. dimK A <∞.

Beweis. Da A ein Korper ist, ist der Ringhomomorphismus K −→ A ausder Algebrenstruktur von A injektiv (Proposition III.3.1.6). Wir konnen so-mit K ⊂ A als Korpererweiterung auffassen. Sei S := {x1, . . . , xn} ⊂ A einendliches Erzeugendensystem von A als K-Algebra. Nach Bemerkung 4.2.4genugt es zu zeigen, dass jedes Element aus S algebraisch uber K ist.

Angenommen, es gabe ein Element in S, das nicht algebraisch uber Kist. Durch Umsortieren konnen wir ohne Einschrankung annehmen, dass(x1, . . . , xr) eine maximale uber K algebraisch unabhangige Familie in Sist; nach Annahme ist dabei r ≥ 1. Wir betrachten nun

B := K(x1, . . . , xr) ⊂ A,

den von x1, . . . , xr erzeugten Teilkorper von A. Nach Konstruktion ist je-des der Elemente xr+1, . . . , xn algebraisch uber B. Also ist dimB A < ∞(Bemerkung 4.2.4).

Wir konnen somit das Artin-Tate-Lemma (Proposition 4.2.2) auf dieseSituation anwenden, und erhalten, dass B eine endlich erzeugte K-Algebraist. Dies lasst sich wie folgt zum Widerspruch fuhren (analog zur Tatsache,dass Q keine endlich erzeugte Z-Algebra ist):

Sei K := K(x1, . . . , xr−1). Dann ist K ein Korper und B ∼=Ring K(xr)

ist eine endlich erzeugte K-Algebra, etwa erzeugt von {y1, . . . , yd}. Da xrnicht algebraisch uber K ist, ist B ∼=Alg

KK(T ) = Q(K[T ]) (wobei xr der

Variablen T entspricht; Bemerkung 4.2.4). Also gibt es fur jedes j ∈ {1, . . . , d}Polynome fj , gj ∈ K[T ] mit

yj =fj(xr)

gj(xr)und gj(xr) 6= 0.

Wir zeigen, dass dies aber dazu fuhrt, dass nicht genug Nenner aus y1, . . . , ydgebildet werden konnen: Sei dazu

h := g1 · · · · · gd · T + 1 ∈ K[T ].

Nach Konstruktion gilt ggT(h, gj) = 1 fur alle j ∈ {1, . . . , d}. Aus Grad-grunden ist außerdem h 6= 0, und damit h(xr) 6= 0 (da xr ja nicht algebraisch

4.2. Der Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes 129

uber K ist); zudem ist h keine Einheit in K[T ]. Also ist

z :=1

h(xr)∈ B;

der Isomorphismus B ∼=AlgK K(T ) und das Erzeugendensystem {y1, . . . , yd}von B als K-Algebra zeigen aber (durch Hochmultiplizieren der Nenner und

da K[T ] faktoriell ist), dass h dann einen nicht-trivialen gemeinsamen Teilermit den Nennern g1, . . . , gd besitzen muss (im Widerspruch zur Konstruk-tion von h). Dieser Widerspruch zeigt, dass jedes Element aus S uber Kalgebraisch ist.

Korollar 4.2.6 (der Hilbertsche Nullstellensatz, algebraische Version). Sei K einKorper, A eine endlich erzeugte K-Algebra und m ⊂ A ein maximales Ideal.

1. Dann ist dimK A/m endlich (die kanonische Abbildung K −→ A/mliefert also eine endliche Korpererweiterung A/m | K).

2. Insbesondere: Ist K algebraisch abgeschlossen, so ist die kanonischeAbbildung K −→ A/m ein Isomorphismus von K-Algebren.

Beweis. Zu 1. Da m ein maximales Ideal ist, ist A/m ein Korper. Außerdemerbt A/m eine K-Algebrenstruktur von A. Wir erhalten die Behauptungdaher durch Anwendung von Proposition 4.2.5 auf A/m.

Zu 2. Dies folgt direkt aus dem ersten Teil (Bemerkung 4.2.4).

Beweis des schwachen Hilbertschen Nullstellensatzes (Satz 2.2.4). Sei (wie inder Voraussetzung des Satzes gefordert) a ⊂ K[X1, . . . , Xn] ein Ideal mit a 6=K[X1, . . . , Xn]. Dann ist

{x ∈ Kn

∣∣ ∀f∈a f(x1, . . . , xn) = 0}6= ∅, denn:

Wegen a 6= K[X1, . . . , Xn] gibt es ein maximales Ideal m ⊂ K[X1, . . . , Xn]mit a ⊂ m (Satz 2.1.8). Die K-Algebra A := K[X1, . . . , Xn] ist end-lich erzeugt. Da K algebraisch abgeschlossen ist, ist nach dem algebrai-schen Hilbertschen Nullstellensatz (Korollar 4.2.6) die kanonische Abbil-dung i : K −→ A/m ein K-Algebrenisomorphismus; sei ϕ : A/m −→ K dasInverse von i. Wir betrachten nun den Punkt x ∈ Kn mit

∀j∈{1,...,n} xj := ϕ([Xj ]

)∈ K.

Nach Konstruktion ist also i(xj) = [Xj ]. Somit erhalten wir fur alle f ∈ m:

f(x1, . . . , xn) = ϕ ◦ i(f(x1, . . . , xn)

)

= ϕ(f(i(x1), . . . , i(xm)

))

= ϕ(f([X1], . . . , [Xn]

))

= ϕ([f ])

= 0.

Wegen a ⊂ m folgt daraus die Behauptung.


4.3 Primarzerlegung

Noethersche Ringe sind im allgemeinen nicht faktoriell, d.h. Elemente vonnoetherschen Ringen besitzen im allgemeinen keine Primfaktorzerlegung(zum Beispiel ist Z[i

√5] noethersch, aber nicht faktoriell). Man verfolgt daher

die folgende Idee:

• Statt Zerlegungen von Elementen von Ringen als Produkte von Prim-potenzen betrachtet man

• Zerlegungen von Idealen von Ringen als Durchschnitte von sogenanntenprimaren Idealen.

Wir werden zeigen, dass in noetherschen Ringen jedes Ideal eine Primar-zerlegung besitzt. Dies liefert zum Beispiel, dass affine algebraische Mengenin sogenannte irreduzible affine algebraische Mengen zerlegt werden konnenund dass Ideale in fur die Zahlentheorie relevanten Ringen als Produkte vonprimaren Idealen geschrieben werden konnen. Primarzerlegungen besitzenjedoch schlechtere Eindeutigkeitseigenschaften als die klassischen Primfak-torzerlegungen.

4.3.1 Primare Ideale

Primare Ideale sind eine Abschwachung von Primidealen:

Definition 4.3.1 (primares Ideal, irreduzibles Ideal). Sei R ein Ring. Ein Ide-al q ⊂ R ist primar, wenn q 6= R ist und folgendes gilt:

∀x,y∈R x · y ∈ q =⇒ (x ∈ q ∨ y ∈ √q)

bzw.∀x,y∈R x · y ∈ q =⇒ (x ∈ q ∨ ∃n∈N>0 yn ∈ q).

Beispiel 4.3.2 (primare Ideale).

• Jedes Primideal ist primar.

• Ist p ∈ Z prim und n ∈ N>0, so ist (pn) ein primares Ideal (nachrech-nen).

• Das Ideal (6) in Z ist nicht primar, denn 2 · 3 ∈ (6), aber 2 6∈ (6) und3 6∈ (6) =

√(6).

Bemerkung 4.3.3 (primare Ideale via Restklassenringe). Sei R ein Ring undq ⊂ R ein Ideal. Dann sind aquivalent (nachrechnen):

4.3. Primarzerlegung 131

1. Das Ideal q ist primar in R.

2. Es ist R/q nicht der Nullring und jeder Nullteiler in R/q ist nilpotent.

In Beispiel 4.3.2 haben wir gesehen, dass primare Ideale als eine Art Verall-gemeinerung von Potenzen von Primzahlen angesehen werden konnen. ZumBeispiel besitzt jedes primare Ideal ein unterliegendes Primideal; dieses lasstsich durch idealtheoretisches Wurzelziehen, also durch Bildung des Radikalsbestimmen:

Proposition 4.3.4 (Radikale primarer Ideale). Sei R ein Ring und sei q ⊂ Rprimar. Dann ist

p :=√q ⊂ R

ein Primideal, namlich das (bezuglich Inklusion) kleinste Primideal in R, dasq enthalt. Man bezeichnet dann q als p-primares Ideal.

Beweis. Das Ideal p =√q ist prim, denn: Seien x, y ∈ R mit x · y ∈ p =

√q.

Dann gibt es ein n ∈ N mit

xn · yn = (x · y)n ∈ q.

Da q primar ist, gilt xn ∈ q oder yn ∈ √q (und damit auch y ∈ √q). Also istp =√q ein Primideal.

Offenbar ist q ⊂ √q = p. Ist p′ ∈ SpecR mit q ⊂ p′, so ist√q ⊂ p′ (dies

folgt direkt aus der Definition des Radikals und der Primeigenschaft); daszeigt die Minimalitat von p.

Beispiel 4.3.5 (primare Ideale in Z). Mithilfe von Beispiel 4.3.2 und Proposi-tion 4.3.4 kann man zeigen: Ideale in Z sind genau dann primar, wenn sie dasNullideal sind oder von der Form (pn) mit einer Primzahl p ∈ N und n ∈ N>0

sind.

Caveat 4.3.6. Die offensichtliche naive Verallgemeinerung (ein Ideal ist ge-nau dann primar, wenn es eine Potenz eines Primideal ist), ist jedoch imallgemeinen falsch (Beispiel 4.3.7, Beispiel 4.3.8).

Beispiel 4.3.7 (ein primares Ideal, das keine Primpotenz ist). Sei K ein Korper.Dann ist das Ideal (X,Y 2) in K[X,Y ] primar, denn der zugehorige Restklas-senring K[X,Y ]/(X,Y 2) ∼=Ring K[Y ]/(Y 2) erfullt die Bedingung aus Bemer-kung 4.3.3.

Aber das Ideal (X,Y 2) in K[X,Y ] ist keine Potenz eines Primideals,denn: Angenommen, es gabe ein Primideal p ⊂ K[X,Y ] und ein n ∈ N>0

mit (X,Y 2) = pn. Nach Proposition 4.3.4 ware dann

(X,Y ) =√

(X,Y 2) ⊂ p.

Da (X,Y ) ein maximales Ideal in K[X,Y ] ist, folgt somit bereits p = (X,Y ).Andererseits ist


p2 = (X2, X · Y, Y 2) ( (X,Y 2) ( (X,Y ) = p,

im Widerspruch zur Existenz von n.

Beispiel 4.3.8 (eine Potenz eines Primideals, die nicht primar ist). Sei K einKorper und sei

R := K[X,Y, Z]/(X · Y − Z2).

Das Ideal p := ([X], [Z]) ⊂ R ist prim (der Restklassenring R/p ist isomorphzu K[Y ]). Aber das Ideal p2 ist nicht primar in R, denn: Es gilt

[X] · [Y ] = [Z]2 ∈ p2,

aber [X] 6∈ p2 (nachrechnen) und [y] 6∈√p2 = p (nachrechnen).

Die Umkehrung von Proposition 4.3.4 gilt also im allgemeinen nicht. Im-merhin gilt aber die folgende Variante:

Proposition 4.3.9. Sei R ein Ring und a ⊂ R ein Ideal. Ist√a ein maximales

Ideal, so ist a primar.

Beweis. Man kann dies zum Beispiel mithilfe der Eigenschaften des Restklas-senrings R/a (Bemerkung 4.3.3) zeigen (Ubungsaufgabe).

4.3.2 Primarzerlegung in noetherschen Ringen

In Hauptidealringen konnen wir die Primfaktorzerlegung von Elementen al-ternativ auch als Durchschnitt der Hauptideale der zugehorigen Primpoten-zen interpretieren. Wir definieren daher Primarzerlegungen von Idealen wiefolgt:

Definition 4.3.10 (Primarzerlegung). Sei R ein Ring und a ein Ideal.

• Das Ideal a besitzt eine Primarzerlegung in R, wenn es ein n ∈ N undprimare Ideale q1, . . . , qn ⊂ R gibt mit

a =

n⋂

j=1

qj .

• Eine Primarzerlegung a =⋂nj=1 qj von a ist minimal, wenn folgendes

gilt:

– Fur jedes j ∈ {1, . . . , n} ist a 6= ⋂k∈{1,...,n}\{j} qk.

– Die Radikale√q1, . . . ,

√qn sind alle verschieden.

Die Minimalitatsbedingung fur minimale Primarideale stellt sicher, dasskeine uberflussigen primaren Ideale in der Zerlegung enthalten sind und dassdie primaren Ideale zum selben Primideal geeignet zusammengefasst sind.


Beispiel 4.3.11 (Primarzerlegung).

• In Z haben wir die folgenden Primarzerlegungen von (24):

(24) = (23) ∩ (3) und (24) = (23) ∩ (22) ∩ (3).

Primarzerlegungen sind im allgemeinen also nicht eindeutig. Die zweitePrimarzerlegung ist jedoch nicht minimal.

• In C[X,Y ] haben wir die minimale Primarzerlegung

(X · Y ) = (X) ∩ (Y ).

Diese entspricht der Darstellung von VC(X · Y ) ⊂ C2 als Vereinigungder affinen algebraischen Teilmengen VC(X),VC(Y ) ⊂ C2. (Und dieseaffinen algebraischen Teilmengen sind tatsachlich nicht weiter in affinealgebraische Teilmengen zerlegbar).

• Sei K ein Korper und a := (X2, X · Y ) ⊂ K[X,Y ]. Dann sind

a = (X) ∩ (X2, X · Y, Y ) und a = (X) ∩ (X2, X · Y, Y 2)

minimale Primarzerlegungen von a in K[X,Y ] (Ubungsaufgabe; zumBeispiel hilft Proposition 4.3.9). Auch minimale Primarzerlegungen sindim allgemeinen also nicht eindeutig.

• Der Ring Z[i√

5] ist noethersch, aber nicht faktoriell. Eine minimalePrimarzerlegung von (6) in Z[i

√5] ist

(6) = (2, 1 + i√

5)2 ∩ (3, 1− i√

5) ∩ (3, 1 + i√

5),

denn: Die Ideale (2, 1+i√

5) und (3, 1±i√

5) sind sogar prim; dies kannman an den Restklassenringen ablesen: zum Beispiel ist

Z[i√

5]/(2, 1 + i√

5) ∼=Ring Z[T ]/(T 2 + 5, 2, 1 + T )

∼=Ring Z/(2)[T ]/(T 2 + [5], T + [1]) ∼=Ring Z/(2)

ein Integritatsring. Außerdem ist (2, 1 + i√

5)2 primar (nachrechnen;z.B. uber den Restklassenring).

Es gilt (6) ⊂ (2, 1 + i√

5)2 ∩ (3, 1− i√

5) ∩ (3, 1 + i√

5), denn

6 = 2 · (1 + i√

5)− (1 + i√

5)2

6 = 3 · 3− (1 + i√

5) · (1− i√

5).

Auch die umgekehrte Inklusion gilt; dies kann man zeigen, indem mannachrechnet, dass die entsprechenden Restklassenringe von Z[i

√5] end-

lich und isomorph sind (und dies mit der bereits bewiesenen Inklusionkombiniert).


• Das Nullideal in C([0, 1],R) besitzt keine Primarzerlegung. Man kanndies zeigen, indem man sich uberlegt, dass dieser Ring unendlich vieleminimale Primideale enthalt; andererseits kann man aus der Existenzeiner Primarzerlegung des Nullideals aber folgern, dass es nur endlichviele minimale Primideale geben kann (Proposition 4.3.13).

Caveat 4.3.12. Die obigen Beispiele zeigen, dass Primarzerlegungen (im Ge-gensatz zu Primfaktorzerlegungen) im allgemeinen keine offensichtliche ein-gebaute Eindeutigkeit besitzen! Es gilt aber eine schwache Eindeutigkeit(Satz 4.3.20).

Proposition 4.3.13 (minimalen Primideale). Sei R ein Ring, in dem dasNullideal eine Primarzerlegung besitzt. Dann gibt es in R nur endlich vie-le (bezuglich Inklusion) minimale Primideale.

Beweis. Sei (0) =⋂nj=1 qj eine Primarzerlegung und sei p ∈ SpecR ein mi-

nimales Primideal. Dann ist p ∈ {√q1, . . . ,√qn}, denn:Wegen p ⊃ (0) =

⋂nj=1 qj und der Primeigenschaft von p folgt

p =√p ⊃

√√√√n⋂

j=1

qj =

n⋂

j=1

√qj .

Da p prim ist, folgt (analog zum Beweis von Proposition 2.2.5), dass esein j ∈ {1, . . . , n} mit p ⊃ √qj gibt. Da p ein bezuglich Inklusion minimalesPrimideal ist und

√qj prim ist (Proposition 4.3.4), ist somit p =

√qj .

Proposition 4.3.14 (von Primarzerlegungen zu minimalen Primarzerlegungen).Sei R ein Ring und sei a ⊂ R ein Ideal, das eine Primarzerlegung besitzt.Dann besitzt a auch eine minimale Primarzerlegung.

Beweis. Durch Entfernen uberflussiger Ideale und Kombination von primarenIdealen zum selben Primideal sehen wir, dass es genugt die folgende Aussagezu zeigen:

Ist p ∈ SpecR und sind q, q′ ⊂ R zwei p-primare Ideale, so ist auch q∩q′ein p-primares Ideal.

Nach Voraussetzung ist

√q ∩ q′ =

√q ∩

√q′ = p ∩ p = p.

Außerdem ist q∩q′ primar, denn: Seien x, y ∈ R mit x·y ∈ q∩q′ und x 6∈ q∩q′.Sei ohne Einschrankung x 6∈ q. Da q primar ist, ist y ∈ √q = p =

√q ∩ q′.

Also ist q ∩ q′ primar.

Analog zum Beweis, dass Hauptidealringe faktoriell sind, erhalten wir:


Satz 4.3.15 (Primarzerlegung in noetherschen Ringen). Sei R ein noetherscherRing. Dann besitzt jedes Ideal in R eine minimale Primarzerlegung.

Wir verwenden fur den Beweis Zerlegungen in irreduzible Ideale.

Definition 4.3.16 (irreduzibles Ideal). Sei R ein Ring. Ein Ideal a ⊂ R istirreduzibel, wenn folgendes gilt: Sind b, c ∈ R Ideale mit a = b ∩ c, so folgtbereits a = b oder a = c.

Lemma 4.3.17 (Zerlegung in irreduzible Ideale). Sei R ein noetherscher Ring.Dann ist jedes Ideal in R der endliche Durchschnitt von irreduziblen Idealen.

Beweis. Angenommen, es gabe ein Ideal in R, das nicht als endlicher Durch-schnitt von irreduziblen Idealen geschrieben werden kann. Dann ist die Men-ge M aller Ideale in R, die nicht als Durchschnitt von irreduziblen Idealengeschrieben werden konnen nicht-leer. Nach Proposition 4.1.3 gibt es also einbezuglich Inklusion maximales Ideal a in M . Insbesondere ist a selbst nichtirreduzibel.

Es gibt somit Ideale b, c ⊂ R mit a = b ∩ c und b 6= a sowie c 6= a. Daa in M maximal ist und a ⊂ b ∩ c ist, folgt: Die Ideale b und c sind jeweilsals Durchschnitte endlich vieler irreduzibler Ideale darstellbar. Durch Kom-bination erhalten wir so aber auch eine Darstellung von a als Durchschnittendlich vieler irreduzibler Ideale, im Widerspruch zu a ∈M .

Also ist jedes Ideal inR der endliche Durchschnitt von irreduziblen Idealen.

Lemma 4.3.18 (irreduzible Ideale sind primar). Sei R ein noetherscher Ring.Dann ist jedes irreduzible Ideal in R primar.

Beweis. Indem wir zum zugehorigen Restklassenring ubergehen (und Propo-sition 4.1.6 verwenden), sehen wir, dass es genugt, die folgende Aussage zuzeigen: Ist in einem noetherschen Ring R das Nullideal irreduzibel, so ist esbereits primar.

Seien also x, y ∈ R mit x · y = 0. Wir betrachten dazu die aufsteigendeKette

N(y) ⊂ N(y2) ⊂ . . .von Idealen in R mit

∀n∈N N(yn) := {r ∈ R | yn · r = 0}.

Da R noethersch ist, gibt es ein N ∈ N>0 mit N(yN+1) = N(yN ). Wir zeigennun, dass

(x) ∩ (yN ) = (0)

gilt: Sei z ∈ (x) ∩ (yN ). Dann gibt es ein r ∈ R mit z = r · yN und es folgt

r · yN+1 = z · y (nach Wahl von r)

= 0 (da z ∈ (x) und x · y = 0),


und damit r ∈ N(yN+1) = N(yN ). Insbesondere ist z = r · yN = 0. Also ist(x) ∩ (yN ) = (0).

Da das Nullideal (0) als irreduzibel vorausgesetzt ist, folgt (x) = 0 oder(yN ) = 0, und damit x ∈ (0) oder y ∈

√(0). Daher ist das Nullideal (0)

primar.

Beweis von Satz 4.3.15. Nach Proposition 4.3.14 genugt es zu zeigen, dassjedes Ideal in R eine Primarzerlegung besitzt. Nach Lemma 4.3.17 ist jedesIdeal in R der Durchschnitt von irreduziblen Idealen. Da nach Lemma 4.3.18jedes irreduzible Ideal bereits primar ist, liefert dies eine Primarzerlegun desgegebenen Ideals.

Anmerkung zum Lernen. Vergleichen sie den Beweis von Satz 4.3.15 mit demBeweis der Tatsache, dass Hauptidealringe faktoriell sind (Satz II.2.4.21).

Korollar 4.3.19. Ist R ein noetherscher Ring (z.B. ein Korper oder Z) undn ∈ N, so besitzt jedes Ideal in R[X1, . . . , Xn] eine Primarzerlegung.

Beweis. Aus dem Hilbertschen Basissatz (Satz 4.1.10) folgt, dass der iteriertePolynomring R[X1, . . . , Xn] noethersch ist. Daher ist Satz 4.3.15 anwendbar.

Außerdem gilt folgende Variante der Eindeutigkeit von Primfaktorzerle-gungen fur Primarzerlegungen:

Satz 4.3.20 (schwache Eindeutigkeit von Primarzerlegungen). Sei R ein Ringund sei a ⊂ R ein Ideal in R, das eine Primarzerlegung besitzt. Dann ist dieMenge der Radikale der Primarideale in minimalen Primarzerlegungen von aunabhangig von der gewahlten Primarzerlegung.

Fur den Beweis verwenden wir Idealquotienten:

Definition 4.3.21 (Idealquotient). Sei R ein Ring und a ⊂ R ein Ideal. Istx ∈ R, so definieren wir den Idealquotienten von a und x als

(a : x) := {y ∈ R | x · y ∈ a} ⊂ R

(dabei handelt es sich um ein Ideal in R; nachrechnen).

Lemma 4.3.22 (Idealquotienten von Primaridealen). Sei R ein Ring, sei q ⊂ Rein primares Ideal und sei p :=

√q. Dann gilt fur alle x ∈ R:

1. Ist x ∈ q, so ist (q : x) = R.

2. Ist x 6∈ q, so ist (q : x) ein p-primares Ideal. Insbesondere:√

(q : x) = p.

Beweis. Zu 1. Ist x ∈ q, so ist (da q ein Ideal ist)

(q : x) = {y ∈ R | x · y ∈ q} = R.


Zu 2. Sei x 6∈ q. Es gilt√

(q : x) = p, denn: Es gilt

q ⊂ (q : x) ⊂ p,

denn: Ist y ∈ (q : x), so ist x · y ∈ q, und damit (da x 6∈ q und q primarist) bereits y ∈ √q = p. Also ist p =

√q ⊂

√(q : x) ⊂ √p = p, und

damit√

(q : x) = p.Außerdem ist das Ideal (q : x) primar, denn: Seien y, z ∈ Rmit y·z ∈ (q : x)

und z 6∈√

(q : x) = p. Dann ist

(x · y) · z = x · (y · z) ∈ q,

und damit (da q primar ist und z 6∈ √q) also x · y ∈ q. Dies liefert y ∈ (q : x).Somit ist (q : x) primar.

Beweis von Satz 4.3.20. Sei a =⋂j∈J qj eine minimale Primarzerlegung

von a und pj :=√qj fur alle j ∈ J . Es genugt zu zeigen, dass {pj | j ∈ J}

mit der Menge

P :={√

(a : x)∣∣ x ∈ R und

√(a : x) ist prim

}

ubereinstimmt.Wir verwenden nun Lemma 4.3.22, um die Menge P mit der Primarzerlegung

zu verbinden: Fur alle x ∈ R gilt

(a : x) =

((⋂

j∈Jqj

): x

)=⋂

j∈J(qj : x).

Mit Lemma 4.3.22 erhalten wir daraus

√(a : x) =

√⋂

j∈J(qj : x) =

⋂

j∈J

√(qj : x) =

⋂

j∈{k∈J|x 6∈qk}pj .

Dies liefert:

• Es ist P ⊂ {pj | j ∈ J}, denn: Sei x ∈ R mit der Eigenschaft,

dass√

(a : x) ∈ P ist; insbesondere ist√

(a : x) 6= R. Analog zumBeweis von Proposition 2.2.5 folgt, dass es dann bereits ein j ∈ Jmit

√(a : x) ⊃ pj gibt. Also ist

√(a : x) = pj .

• Ist j ∈ J , so ist pj ∈ P , denn: Da a =⋂k∈J qk eine minimale

Primarzerlegung von a ist, gibt es ein x ∈ R mit

x 6∈ qj und x ∈⋂

k∈J\{j}qk.

Die obige Rechnung liefert dann√

(a : x) = pj . Also ist pj ∈ P .


Anmerkung zum Lernen. Bestimmen Sie in den Beispielen in diesem Ab-schnitt die zugehorigen Primideale zu den Primarzerlegungen und uberprufenSie in diesen Beispielen die Gultigkeit von Satz 4.3.20.

Die Satze 4.3.15 und 4.3.20 sind Teil der Lasker-Noether-Satze zu Primar-zerlegungen. Diese Satze gehen fur spezielle Ringe auf Lasker zuruck undwurden dann von Noether allgemeiner und eleganter mithilfe der aufsteigen-den Kettenbedingung bewiesen.

4.4 Artinsche Ringe

Wir werden im folgenden noethersche Ringe mit niedriger Dimension etwasgenauer betrachten. Zum Beispiel stellt sich heraus, dass noethersche nulldi-mensionale Ringe eine bemerkenswerte Charakterisierung durch absteigendeKetten von Idealen besitzen. Es handelt sich dabei um die sogenannten ar-tinschen Ringe:

Definition 4.4.1 (artinscher Ring). Ein Ring R ist artinsch, wenn folgendesgilt: Fur jede (bezuglich Inklusion) absteigende Folge (an)n∈N von Idealenin R gibt es ein N ∈ N mit

∀n∈N≥N an = aN .

Beispiel 4.4.2 (artinsche Ringe).

• Jeder Korper ist artinsch.

• Jeder endliche Ring ist artinsch.

• Die Idealkette(2) ) (4) ) (8) ) . . .

zeigt, dass Z nicht artinsch ist.

Analog folgt: Ist R ein nicht-trivialer Ring, so ist R[T ] nicht artinsch.

• Restklassenringe von artinschen Ringen sind artinsch (nachrechnen mit-hilfe von Idealketten, ahnlich zu Proposition 4.1.6).

Caveat 4.4.3. Obwohl die Definition artinscher Ringe”dual“ zur Definiti-

on noetherscher Ringe erscheint, ist es eine deutlich großere Einschrankungartinsch zu sein als noethersch. Ein erstes Beispiel dafur ist die folgende Pro-position 4.4.4.

Proposition 4.4.4 (das Primspektrum artinscher Ringe). Sei R ein artinscherRing. Dann gilt:

1. Jedes Primideal in R ist bereits maximal.

4.4. Artinsche Ringe 139

2. Der Ring R besitzt nur endlich viele maximale Ideale.

3. Es ist SpecR = mSpecR endlich und diskret (bezuglich der Zariski-Topologie).

Beweis. Zu 1. Sei p ∈ SpecR. Wir zeigen, dass R′ := R/p ein Korper ist: DaR artinsch ist, ist auch R/p artinsch (Beispiel 4.4.2).

Sei x ∈ R′\{0}. DaR′ artinsch ist, gibt es einN ∈ N>0 mit (xN ) = (xN+1).Insbesondere gibt es ein y ∈ R′ mit

xN = xN+1 · y.

Da R′ ein Integritatsring und x 6= 0 ist, folgt somit

1 = x · y.

Also ist x eine Einheit in R′, d.h. R′ ist ein Korper.Zu 2. Ohne Einschrankung sei R nicht der Nullring. Wir betrachten

M :=

{ n⋂

j=1

mj

∣∣∣∣ n ∈ N>0,m1, . . . ,mn ∈ mSpecR

}.

Dann istM nicht-leer (da R mindestens ein maximales Ideal enthalt) und par-tiell geordnet bezuglich Inklusion. Da R artinsch ist, folgt mit Lemma 4.1.5,dass M ein minimales Element m enthalt. Nach Definition von M gibt esalso ein n ∈ N>0 und m1, . . . ,mn ∈ mSpecR mit m = m1 ∩ · · · ∩mn.

Dann gilt mSpecR = {m1, . . . ,mn}, denn: Sei m′ ∈ mSpecR. Da m mi-nimal ist, folgt

m′ ⊃ m′ ∩ (m1 ∩ · · · ∩mn) ⊃ m = m1 ∩ · · · ∩mn.

Also gibt es ein j ∈ {1, . . . , n} mit m′ ⊃ mj (dies folgt analog zum Beweisvon Proposition 2.2.5), . Da mj und m′ maximale Ideale sind, erhalten wirwie gewunscht m′ = mj .

Zu 3. Dies ist eine direkte Folgerung aus den ersten beiden Teilen und derCharakterisierung abgeschlossener Punkte in SpecR (Proposition 2.2.6).

Satz 4.4.5 (artinsche Ringe vs. noethersche nulldimensionale Ringe). Sei R einnicht-trivialer Ring. Dann sind aquivalent:

1. Der Ring R ist artinsch.

2. Der Ring R ist noethersch und es gilt dimR = 0.

Fur den Beweis verwenden wir den folgenden Zusammenhang zwischenartinschen und noetherschen Ringen:

Lemma 4.4.6 (noethersch vs. artinsch). Sei R ein Ring und es gebe ein n ∈ Nund maximale Ideale m1, . . . ,mn ⊂ R mit m1 · · · · · mn = (0). Dann ist Rgenau dann noethersch, wenn R artinsch ist.


Beweis. Man betrachtet die R/mj-Vektorraume m1·· · ··mj−1/m1·· · ··mj undKettenbedingungen von Untermoduln. Man uberlegt sich dann, wie sich dieseKettenbedingungen durch die einzelnen Stufen vererben. Dadurch kann mansich auf Endlichkeitsbedingungen von Vektorraumen zuruckziehen: In Vek-torraumen werden genau dann alle auf- bzw. absteigenden Ketten von Unter-vektorraumen stationar, wenn der gegebene Vektorraum endlich-dimensionalist. (Ubungsaufgabe)

Um dieses Lemma anwenden zu konnen, mussen wir Zerlegungen des Null-ideals besser verstehen. An dieser Stelle kommt eine weitere Gemeinsamkeitvon noetherschen und artinschen Ringen ins Spiel: ihr Nilradikal ist im fol-genden Sinne nilpotent.

Lemma 4.4.7 (Nilradikal in noetherschen und artinschen Ringen). Sei R einnoetherscher oder artinscher Ring. Dann gibt es ein k ∈ N mit

(R√

0)k = (0).

Beweis. Den noetherschen Fall beweist man, indem man ein endliches Erzeu-gendensystem des Nilradikals betrachtet und uberlegt, was daher in hohenPotenzen des Nilradikals passiert (Ubungsaufgabe).

Den artinschen Fall beweist man, indem man das Ideal a :=⋂n∈N>0

( R√

0)n

betrachtet und zeigt, dass a = (0) ist. Ware a nicht das Nullideal, so waredie Menge M aller Ideale b ⊂ R mit a · b 6= (0) nicht-leer und hatte somitein bezuglich Inklusion minimales Element b (da R artinsch ist). Man folgertdann, dass b von einem Element erzeugt ist, und fuhrt die Eigenschaftendieses Elements zum Widerspruch (Ubungsaufgabe).

Kombinieren wir die beiden vorigen Lemmata, so erhalten wir:

Lemma 4.4.8. Sei R ein Ring und es gebe n ∈ N sowie maximale Idea-le m1, . . . ,mn in R mit

n⋂

j=1

mj =R√

0.

Dann ist R genau dann noethersch, wenn R artinsch ist.

Beweis. Ist R noethersch oder artinsch, so gibt es ein k ∈ N>0 mit ( R√

0)k =(0) (Lemma 4.4.7). Somit folgt

mk1 · · · · ·mk

n = (m1 · · · · ·mn)k ⊂( n⋂

j=1

mj

)k= (

R√

0)k = (0).

Mit Lemma 4.4.6 erhalten wir somit die Behauptung.

Beweis von Satz 4.4.5. Nach Lemma 4.4.8 genugt es in den beiden Falleneine Zerlegung des Nilradikals in maximale Ideale zu finden.

4.5. Dedekindringe 141

Zu 1. =⇒ 2. Sei R artinsch und nicht-trivial. Mit Proposition 4.4.4 folgt,dass dimR = 0 ist (da jedes Primideal bereits maximal ist und R mindestensein Primideal enthalt).

Außerdem ist R noethersch, denn: Nach Proposition 4.4.4 ist SpecR =mSpecR endlich, etwa {m1, . . . ,mn}. Also ist

R√

0 =⋂

p∈SpecRp =

n⋂

j=1

mj

(Proposition 2.2.28), wie gewunscht.Zu 2. =⇒ 1. Sei umgekehrt R ein noetherscher Ring mit dimR = 0. Dann

ist R artinsch, denn: Das Nullideal von R besitzt (wie jedes Ideal in R) einePrimarzerlegung (Satz 4.3.15). Nach Proposition 4.3.13 gibt es somit nur end-lich viele minimale Primideale p1, . . . , pn in R und es gilt (Proposition 2.2.28)

R√

0 =⋂

p∈SpecRp =

n⋂

j=1

pj .

Wegen dimR = 0 sind p1, . . . , pn bereits maximale Ideale.

Ausblick 4.4.9 (Struktursatz fur artinsche Ringe). Mit denselben Technikenkann man artinsche Ringe noch detaillierter beschreiben. Zum Beispiel gilt:Ist R ein artinscher Ring, so ist R ein endliches Produkt von lokalen ar-tinschen Ringen; diese Zerlegung ist bis auf Permutation der Faktoren undIsomorphie der Faktoren eindeutig [2, Theorem 8.7].

4.5 Dedekindringe

In einer systematischen, dimensionsgesteuerten, Untersuchung noetherscherRinge ist der nachste Schritt die Betrachtung eindimensionaler noetherscherRinge. Solche Ringe haben gute Faktorisierungseigenschaften fur Ideale (Pro-position 4.5.1). Eine spezielle Klasse dieser Ringe spielt daher eine wichtigeRolle in der algebraischen Zahlentheorie: die Dedekindringe (Definition 4.5.3).

Proposition 4.5.1 (Idealfaktorisierung in noetherschen eindimensionalen Rin-gen). Sei R ein noetherscher Integritatsring mit dimR = 1. Dann besitztjedes nicht-triviale Ideal in R eine Darstellung als Produkt von primarenIdealen mit verschiedenen Radikalen.

Beweis. Sei a ⊂ R ein Ideal mit a 6= (0) und a 6= R. Dann besitzt a eineminimale Primarzerlegung

a =

n⋂

j=1

qj


mit n ∈ N>0 und primaren Idealen q1, . . . , qn (Satz 4.3.15). Zu j ∈ {1, . . . , n}sei pj :=

√qj .

Da a 6= (0) ist und R ein Integritatsring ist, ist keines der Ideale p1, . . . , pndas Nullideal. Wegen dimR = 1 sind diese Ideale also alle maximal und(da sie paarweise verschieden sind) paarweise koprim (d.h. pj + pk = R furalle j, k ∈ {1, . . . , n} mit j 6= k; nachrechnen).

Damit folgt, dass auch q1, . . . , qn paarweise koprim sind: Seien j, k ∈{1, . . . , n} mit j 6= k. Da pj und pk koprim sind, gibt es x ∈ pj , y ∈ pkmit x+ y = 1. Wegen pj =

√qj und pk =

√qk gibt es r, s ∈ N>0 mit xr ∈ qj

und ys ∈ qk. Dann ist 1 = (x+ y)r+s ∈ qj + qk. Also sind qj und qk koprim.

Induktiv erhalten wir (nachrechnen)

a =

n⋂

j=1

qj = q1 · · · · · qn.

Diese Produktdarstellung ist dabei sogar eindeutig [2, Proposition 9.1].

Um ein besseres Gefuhl fur diese Situation zu bekommen, geben wir einpaar Beispiele fur eindimensionale noethersche Integritatsringe:

Beispiel 4.5.2 (eindimensionale noethersche Integritatsringe).

• Ist R ein Hauptidealring, der kein Korper ist, (zum Beispiel Z oderQ[T ]) so ist R ein eindimensionaler noetherscher Integritatsring.

• Sei R ein noetherscher Integritatsring der Dimension 2 und sei p ∈SpecR ein Primideal, das nicht maximal und nicht das Nullideal ist.Dann ist R/p ein noetherscher Integritatsring (Proposition 4.1.6) derDimension 1 (nachrechnen; mit Proposition 2.1.17).

Also sind

Z[i] ∼=Ring Z[T ]/(T 2 + 1)

Z[i√

5] ∼=Ring Z[T ]/(T 2 + 5)

Z[1 +

√5

2

]∼=Ring Z[T ]/(T 2 − T − 1) (goldener Schnitt!)

KC[VC(Y −X2)] = C[X,Y ]/(Y −X2)

KC[VC(Y 2 −X3 −X2)] = C[X,Y ]/(Y 2 −X3 −X2)

eindimensionale noethersche Integritatsringe.

Der Ring Z[i√

5] ist kein Hauptidealring; aber das Ideal (6) besitzt diefolgende Zerlegung als Produkt von Primidealen (nachrechnen; mithilfevon Beispiel 4.3.11):

(6) = (2, 1 + i√

5)2 · (3, 1 + i√

5) · (3, 1− i√

5).


Noch naher an einer Primzerlegung sind wir in Proposition 4.5.1, wennzusatzlich jedes Primarideal eine Potenz eines Primideals ist. Man definiertdaher:

Definition 4.5.3 (Dedekindring). Ein Ring R ist ein Dedekindring, wenn diefolgenden Bedingungen alle erfullt sind:

• Es ist R ein noetherscher Integritatsring.

• Es ist dimR = 1.

• Fur jedes primare Ideal q ⊂ R gibt es ein Primideal p ⊂ R und ein n ∈N>0 mit q = pn.

Beispiel 4.5.4 (Dedekindringe). Jeder Hauptidealring, der kein Korper ist, istein Dedekindring (dies folgt analog zu Beispiel 4.3.5). Insbesondere ist

KC[VC(Y −X2)] = C[X,Y ]/(Y −X2) ∼=Ring C[T ]

ein Dedekindring.

Bemerkung 4.5.5 (Idealfaktorisierung in Dedekindringen). Nach Definition be-sitzt also jedes nicht-triviale Ideal in einem Dedekindring eine Darstellung alsProdukt endlich vieler Primideale.

Man kann diese Idealarithmetik in Dedekindringen noch weiter fortfuhren;dies fuhrt zur Idealklassengruppe, einer wichtigen Invariante der algebrai-schen Zahlentheorie [2, S. 96].

Die letzte Bedingung der obigen Definition von Dedekindringen ist imallgemeinen schwierig nachzuprufen. Wir geben im folgenden ein lokale Cha-rakterisierung von Dedekindringen.

Caveat 4.5.6. Die lokale Charakterisierung aus Satz 4.5.11 fuhrt zu vielenaquivalenten Charakterisierungen von Dedekindringen. Das Konzept des De-dekindrings hat also sehr viele Facetten. Je nach Anwendung sind verschie-dene dieser Charakterisierungen besonders hilfreich. Daher findet man auchin der Literatur viele sehr unterschiedlich aussehende Definitionen fur denBegriff des Dedekindrings (die jedoch alle aquivalent sind).

4.5.1 Diskrete Bewertungsringe

Diese lokale Charakterisierung von Dedekindringen beruht auf sogenanntendiskreten Bewertungsringen.

Definition 4.5.7 (diskreter Bewertungsring). Sei K ein Korper.

• Eine diskrete Bewertung auf K ist eine surjektive Abbildung ν : K× −→Z mit:


∀x,y∈K× ν(x · y) = ν(x) + ν(y)

∀x,y∈K× ν(x+ y) ≥ min(ν(x), ν(y)

).

Außerdem definiert man ν(0) :=∞.

• Der Ring (nachrechnen)

{x ∈ K

∣∣ ν(x) ≥ 0}⊂ K

ist der Bewertungsring von ν.

• Ein Integritatsring R ist ein diskreter Bewertungsring, wenn es eineBewertung ν auf Q(R) gibt, so dass R unter der kanonischen Inklusi-on R −→ Q(R) mit dem Bewertungsring von ν ubereinstimmt.

Beispiel 4.5.8 (adische Bewertungen). Sei p ∈ N prim. Dann ist

νp : Q× −→ Z

pn · ab7−→ n

mit p - a · b

eine diskrete Bewertung auf Q (nachrechnen); die p-adische Bewertung. DerBewertungsring von νp stimmt dabei mit Z(p) uberein.

Analog: Sei K ein Korper und f ∈ K[T ] ein irreduzibles Polynom. Dannist

νf : K(T )× −→ Z

fn · ab7−→ n

mit f - a · b

eine diskrete Bewertung auf K(T ) (nachrechnen). Der Bewertungsring von νfstimmt dabei mit K[T ](f) uberein.

Proposition 4.5.9 (grundlegende Eigenschaften von diskreten Bewertungsrin-gen). Sei R ein diskreter Bewertungsring zur Bewertung ν auf K := Q(R);wir fassen im folgenden R als Teilmenge von K auf. Dann gilt:

1. Es gilt R× = {x ∈ K | ν(x) = 0}.

2. Der Ring R ist lokal, mit maximalem Ideal

m :={x ∈ K

∣∣ ν(x) > 0}.

3. Ist a ⊂ R ein Ideal mit a 6= (0) und a 6= R, so gibt es ein n ∈ N>0

mit a = mn.


4. Der Ring R ist ein Hauptidealring (aber kein Korper); insbesondere istR noethersch und dimR = 1.

Beweis. Zu 1. Wegen ν(1) = ν(1 · 1) = ν(1) + ν(1) folgt ν(1) = 0.Sei nun x ∈ R \ {0} (d.h. ν(x) ≥ 0) und y := 1/x ∈ K. Dann ist

0 = ν(1) = ν(x · y) = ν(x) + ν(y).

Also gilt genau dann ν(y) ≥ 0, wenn ν(x) = 0 ist. Daher liegt y genau dannin R, wenn ν(x) = 0 ist.

Zu 2. Es ist m ein Ideal (nachrechnen) und m 6= R, denn ν(1) = 0.Nach dem Lokalitatskriterium aus Proposition 3.1.3 genugt es zu zeigen,

dass jedes Element aus R \ m eine Einheit ist. Wegen R \ m = {x ∈ K |ν(x) = 0} folgt mit dem ersten Teil die Behauptung.

Zu 3. Wegen ν(a) ⊂ N ∪ {∞} gibt es ein Element x ∈ a mit minimalemν-Wert. Dabei ist ν(x) 6= 0 (wegen a 6= R ist x 6∈ R×) und ν(x) 6=∞ (wegena 6= (0) ist a \ {0} 6= ∅).

Dann gilt bereits a = (x), denn

{y ∈ R

∣∣ ν(y) ≥ ν(x)}⊂ (x) ⊂ a ⊂

{y ∈ R

∣∣ ν(y) ≥ ν(x)}.

Die erste Inklusion folgt dabei mit dem ersten Teil: Ist y ∈ K mit ν(y) ≥ ν(x),so ist ν(y/x) ≥ 0, und damit y/x ∈ R; also ist y = y/x · x ∈ (x).

Da ν : K× −→ Z surjektiv ist, gibt es ein z ∈ R mit ν(z) = 1. Nach demvorigen Argument ist m = (z) = {y ∈ R | ν(y) ≥ 1} und zν(x) ∈ a, unddamit

a = mν(x).

Zu 4. Aus dem Beweis des dritten Teils ist klar, dass R ein Hauptidealringist und dass m 6= (0) ist; also ist R kein Korper.

Proposition 4.5.10 (Charakterisierung von diskreten Bewertungsringen). Sei Rein lokaler noetherscher Integritatsring mit dimR = 1; sei m das maximaleIdeal von R. Dann sind aquivalent:

1. Der Ring R ist ein diskreter Bewertungsring.

2. Fur jedes Ideal a ⊂ R mit a 6= (0) und a 6= R gibt es ein n ∈ N>0

mit a = mn.

Beweis. Zu 1. =⇒ 2. Dies folgt aus Proposition 4.5.9.Zu 2. =⇒ 1. Sei umgekehrt die zweite Bedingung erfullt. Wir konstruieren

nun eine geeignete diskrete Bewertung ν auf Q(R):Da R noethersch ist, ist das Ideal m endlich erzeugt; wegen dimR = 1

ist außerdem m 6= (0). Mit dem Lemma von Nakayama (Lemma 3.1.9) folgtdaher: Fur alle n ∈ N>0 ist mn 6= mn+1. Mit der zweiten Bedingung erhaltenwir daher, dass es zu jedem x ∈ R \ {0} ein eindeutiges n ∈ N mit (x) = mn

gibt (wobei m0 = R). Wir definieren dann


ν(x) := n.

Wir erweitern ν auf Q(R)× durch

ν : Q(R)× −→ Za

b7−→ ν(a)− ν(b).

Dies ist eine wohldefinierte diskrete Bewertung auf Q(R):

• Wohldefiniertheit: Seien a, a′, b, b′ ∈ R \ {0} und a/b = a′/b′. Dann ista · b′ = a′ · b und aus der Definition von ν auf R folgt

ν(a) + ν(b′) = ν(a · b) = ν(a′ · b) = ν(a′) + ν(b),

und damit ν(a)− ν(b) = ν(a′)− ν(b′) . Also ist ν auf Q(R)× wohldefi-niert.

• Die Surjektivitat von ν folgt daraus, dass mn 6= mn+1 fur alle n ∈ Ngilt.

• Vertraglichkeit mit Multiplikation: Die Vertraglichkeit mit der Multi-plikation kann man wie die Wohldefiniertheit nachweisen.

• Vertraglichkeit mit Addition: Seien a, a′, b, b′ ∈ R \ {0}. Dann gilt

ν(ab

+a′

b′

)= ν

(a · b′ + a′ · bb · b′

)

= ν(a · b′ + a′ · b)− ν(b · b′)= min

(ν(a) + ν(b′), ν(a′) + ν(b)

)− ν(b)− ν(b′)

= min(ν(ab

), ν(a′b′

)).

Dabei gilt

{r1

∣∣∣ r ∈ R}

= {0} ∪{x ∈ Q(R)×

∣∣ ν(x) ≥ 0},

denn: Nach Konstrukion von ν ist die linke Seite in der rechten Seite enthal-ten. Seien umgekehrt a, b ∈ R \ {0} mit ν(a/b) ≥ 0. Wir setzen n := ν(a),k := ν(b). Dann ist

n− k = ν(a)− ν(b) = ν(ab

)≥ 0,

und damit(b) = mk ⊃ mn = (a).

Also ist b in R ein Teiler von a, d.h. a/b liegt in {r/1 | r ∈ R}.Also ist R ein diskreter Bewertungsring.


4.5.2 Eine lokale Charakterisierung von Dedekindringen

Satz 4.5.11 (lokale Charakterisierung von Dedekindringen). Sei R ein noether-scher Integritatsring mit dimR = 1. Dann sind aquivalent:

1. Der Ring R ist ein Dedekindring.

2. Fur jedes p ∈ SpecR mit p 6= (0) ist Rp ein diskreter Bewertungsring.

Beweis. Da R ein Integritatsring ist, konnen wir R als Teilmenge von Q(R)auffassen; außerdem werden wir auch die Lokalisierungen von R an (Kom-plementen von) Primidealen als Teilmengen von Q(R) auffassen.

Zu 1. =⇒ 2. Sei R ein Dedekindring und sei p ∈ SpecR mit p 6= (0).Dann ist die Lokalisierung Rp (als Teilring von Q(R)) ein Integritatsring, einlokaler Ring (Korollar 3.3.3) und dimRp ≤ 1 (Satz 3.3.8); wegen p 6= (0) istsogar dimRp = 1 (Proposition 3.3.2). Außerdem ist Rp noethersch (nach-rechnen mit Proposition 3.3.1). Wir verwenden nun die Charakterisierungaus Proposition 4.5.10: Sei a ⊂ Rp ein Ideal mit a 6= (0) und a 6= Rp. Seia := a ∩ R das zugehorige Ideal in R. Da R ein Dedekindring ist, besitzt aeine Primzerlegung

a = pn · p1 · · · · · pdmit n ∈ N≥0 und d ∈ N, sowie Primidealen p1, . . . , pd ∈ SpecR \ {p, (0)}(Bemerkung 4.5.5). Also ist (mit S := R \ p)

a = S−1a (Lemma 3.3.1)

= (S−1p)n · S−1p1 · · · · · S−1pd (nachrechnen).

Wegen pj 6∈ {p, (0)} und dimRp = 1 ist pj ∩ p = (0) bzw. S−1pj = Rp. Alsoerhalten wir

a = (S−1p)n.

Da S−1p das maximale Ideal von Rp ist (Korollar 3.3.3), konnen wir nunProposition 4.5.10 anwenden.

Zu 2. =⇒ 1. Sei umgekehrt die zweite Bedingung erfullt. Dann ist R einDedekindring, denn: Sei q ⊂ R ein primares Ideal und p :=

√q; ohne Ein-

schrankung sei dabei p 6= (0) (nach Voraussetzung ist R ein Integritatsring).Wir schreiben nun S := R \ p ⊂ R.

Nach Voraussetzung ist Rp ein diskreter Bewertungsring (mit maximalemIdeal m := S−1p) und S−1q ist weder (0) noch Rp. Also gibt es aufgrund vonProposition 4.5.9 ein n ∈ N>0 mit

S−1q = mn = S−1pn.

Daraus folgt aber bereits q = pn (analog zum Beweis der Injektivitat inProposition 3.3.2).


Findet man nun geeignete weitere Kriterien, wann lokale Ringe diskreteBewertungsringe sind, so erhalt man mit Satz 4.5.11 eine entsprechende Cha-rakterisierung fur Dedekindringe. In der algebraischen Geometrie sind diesim Normalfall Regularitatsbedingungen, in der algebraischen ZahlentheorieAbschlusseigenschaften.

Beispiel 4.5.12.

• Sei R := KC[VC(Y 2 − X3 − X2)]. Dann ist R kein Dedekindring, dadie Lokalisierung an ([X], [Y ]) kein diskreter Bewertungsring ist (dieserlokale Ring entdeckt die Selbstuberschneidung; Ubungsaufgabe).

• Der Ring Z[√

5] ⊂ C ist kein Dedekindring, da die Lokalisierungan (2, 1 +

√5) kein diskreter Bewertungsring ist (dieser lokale Ring

hat zu schlechte Abschlusseigenschaften; Ubungsaufgabe).

Ausblick 4.5.13. In der algebraischen Zahlentheorie ist es am bequemstenmit der Charakterisierung uber ganze Abgeschlossenheit zu arbeiten [2,Theorem 9.3, Theorem 9.5]. Zum Beispiel kann man daran ablesen, dassZ[(1 +

√5)/2] ein Dedekindring ist – obwohl Z[

√5] kein Dedekindring ist.

Außerdem ist auch Z[i√

5] ein Dedekindring.

5

ElementareHomologische Algebra

Bei der Zerlegung algebraischer Objekte in kleinere Teile treten oft exakteSequenzen auf. Da nicht alle Funktoren mit exakten Sequenzen vertraglichsind, ist es nutzlich einen allgemeineren Kontext zu betrachten, namlich dieKategorie der Kettenkomplexe. Die Nicht-Exaktheit eines Kettenkomplexeswird dabei durch die Homologie gemessen. Wir werden in diesem Kapitel dieGrundbegriffe dieser Theorie einfuhren und als Anwendung erklaren, wie manFunktoren konstruieren kann, die die Nicht-Exaktheit des Tensorproduktskompensieren.


5.1 Kettenkomplexe und Homologie 1505.2 Projektive Auflosungen 1595.3 Tor 170

Schlusselbeispiel. simpliziale Auflosungen

150 5. Elementare Homologische Algebra

5.1 Kettenkomplexe und Homologie

Kettenkomplexe sind eine Verallgemeinerung von exakten Sequenzen. IhreNicht-Exaktheit wird durch die Homologie gemessen.

5.1.1 Die Kategorie der Kettenkomplexe

Wir beschranken uns im folgenden auf Kettenkomplexe von Linksmoduln.Analog erhalt man entsprechende Begriffe auch fur Rechts- bzw. Bimoduln.

Definition 5.1.1 (Kettenkomplex). SeiR ein ninoko Ring. EinR-Kettenkomplexist ein Paar C = (C∗, ∂∗), wobei

• C∗ = (Cn)n∈N eine Folge von R-Linksmoduln (den sogenannten Ket-tenmoduln)

• und ∂∗ = (∂n : Cn −→ Cn−1)n∈N>0eine Folge von R-Modulhomo-

morphismen (den Randoperatoren oder Differentialen) mit

∀n∈N>0∂n ◦ ∂n+1 = 0

ist. Sei n ∈ N.

• Die Elemente von Cn heißen n-Ketten.

• Die Elemente von ZnC := ker ∂n heißen n-Zykel. (Man definiertzusatzlich ∂0 := 0 und Z0C := C0.)

• Die Elemente von BnC := im ∂n+1 heißen n-Rander.

Analog kann man auch Kettenkomplexe betrachten, die uber Z oder N∪{−1}oder ahnliches indiziert sind.

Beispiel 5.1.2 (Kettenkomplexe).

• Jede (uber N indizierte) exakte Sequenz ist ein Kettenkomplex.

• Die Sequenz

· · · idZ // Z idZ // Z idZ // Z

ist kein Kettenkomplex von Z-Moduln, da die zweifache Kompositiondes Randoperators nicht die Nullabbildung ist.

5.1. Kettenkomplexe und Homologie 151

3

1 21

23

3

1 21

23

Abbildung 5.1.: Der Rand eines Dreiecks und ein Dreieck; Grad 0 in rot,Grad 1 in blau, Grad 2 in lila.

Beispiel 5.1.3 (ein geometrisches Beispiel). Die Begriffe Zykel, Rander, Ket-ten, . . . haben ihren Ursprung in der algebraischen Topologie. Wir illustrierendies an einem einfachen Beispiel:

Wir betrachten die folgenden Kettenkomplexe C = (C∗, ∂∗) und C ′ =(C ′∗, ∂

′∗) von Z-Moduln: Sei

C0 := Z3, C1 := Z3, ∀n∈N≥2Cn := 0.

und der nicht-triviale Randoperator sei durch

∂1 : C1 = Z3 −→ Z3 = C0

e1 7−→ e2 − e1e2 7−→ e3 − e2e3 7−→ e3 − e1

gegeben; dabei ist nach Konstruktion die Verknupfung von je zwei aufeinan-derfolgenden Randoperatoren die Nullabbildung. Sei

C ′0 := Z3, C ′1 := Z3, C ′2 := Z, ∀n∈N≥3C ′n := 0.

und die nicht-trivialen Randoperatoren seien durch

∂′1 := ∂1

∂′2 : C ′2 −→ C ′11 7−→ e1 + e2 − e3

gegeben; dabei ist tatsachlich ∂′1 ◦ ∂′2 = 0 (nachrechnen).Diese Kettenkomplexe kann man als algebraische Modelle der geometri-

schen Objekte aus Abbildung 5.1 ansehen (s. algebraische Topologie): DieEcken entsprechen der Standardbasis in C0 = C ′0, die Kanten der Standard-basis in C1 = C ′1 und das gefullte Dreieck der 1 in C ′2. Die Randoperatorenentsprechen dabei dem geometrischen Rand dieser geometrischen Objekte.


Die 1-Kette z := e1 + e2 − e3 ist ein 1-Zykel von C (und C ′), denn

∂1(z) = ∂1(e1 + e2 − e3) = 0.

Man beachte, dass dies auch mit der Anschauung eines Zykels ubereinstimmt.Der Komplex C ist nicht exakt, denn: Es gilt z ∈ ker ∂1, aber z 6∈ {0} = im ∂2.In C ist z also kein Rand (was auch mit der Anschauung ubereinstimmt).

In C ′ ist z jedoch ein Rand, denn ∂′2(1) = z (und auch das stimmt mit derAnschauung uberein).

Bemerkung 5.1.4 (Ko). Dreht man die Richtungen der Pfeile in der Definiti-on von Kettenkomplexen um, so erhalt man Kokettenkomplexe (und Koket-ten, Kozykel, Korander, Korandoperatoren, Kokettenabbildungen, Kohomo-logie, . . . ). Das Differential von Kokettenkomplexen bezeichnet man zumeistmit δ (statt ∂) und die Indizes wandern nach oben.

Bei der Analysis auf Mannigfaltigkeiten treten solche Objekte zum Beispielbei der Untersuchung von Differentialformen auf: der De-Rham-Koketten-komplex und die De-Rham-Kohomologie.

Um eine Kategorie von Kettenkomplexen zu erhalten, definieren wir Ket-tenabbildungen als strukturerhaltende Abbildungen zwischen Kettenkomple-xen:

Definition 5.1.5 (Kettenabbildung). Sei R ein ninoko Ring und seien C =(C∗, ∂∗) und (C ′∗, ∂

′∗) Kettenkomplexe von R-Linksmoduln. Eine R-Ketten-

abbildung C −→ C ′ ist eine Folge (fn ∈ RHom(Cn, C′n))n∈N mit

∀n∈N fn ◦ ∂n+1 = ∂′n+1 ◦ fn+1.

· · · // Cn+1

∂n+1//

fn+1

��

Cn

fn

��

// · · ·

· · · // C ′n+1∂′n+1

// C ′n // · · ·

Beispiel 5.1.6 (eine Kettenabbildung). Sei C der Kettenkomplex aus Bei-spiel 5.1.3. Dann bilden die Homomorphismen

C0 7−→ C0

x 7−→ (x2, x1, x3)

C1 7−→ C1

x 7−→ (−x1, x3, x2)

eine Kettenabbildung C −→ C (nachrechnen). Anschaulich ist dies die Spie-gelung des Dreiecks aus Abbildung 5.1 an der vertikalen Achse.


Man uberlegt sich leicht, dass die gradweise Identitat von Kettenkomple-xen eine Kettenabbildung ist und dass die gradweise Komposition von Ket-tenabbildungen eine Kettenabbildung ist. Daher erhalt man eine Kategorie:

Definition 5.1.7 (Kategorie der Kettenkomplexe). Sei R ein ninoko Ring. DieKategorie RCh der Kettenkomplexe von R-Linksmoduln besteht aus:

• Objekte: Es sei Ob(RCh) die Klasse aller Kettenkomplexe von R-Linksmoduln.

• Morphismen: Sind C und C ′ Kettenkomplexe von R-Linksmoduln, sosei Mor

RCh(C,C ′) die Menge aller R-Kettenabbildungen C −→ C ′.

• Verknupfungen: Die Verknupfung sei durch gradweise gewohnliche Ab-bildungskomposition gegeben.

5.1.2 Homologie von Kettenkomplexen

Homologie misst die Nicht-Exaktheit von Kettenkomplexen.

Definition 5.1.8 (Homologie). Sei R ein ninoko Ring und sei C = (C∗, ∂∗)ein Kettenkomplex von R-Linksmoduln. Ist n ∈ N, so bezeichnet man denR-Linksmodul

Hn(C) :=Zn(C)

Bn(C)=

ker(∂n : Cn → Cn−1im(∂n+1 : Cn+1 → Cn

∈ Ob(RMod)

als n-te Homologie von C.

Beispiel 5.1.9 (Homologie).

• Sei R ein ninoko Ring. Ein Kettenkomplex C ∈ Ob(RCh) ist genaudann eine exakte Sequenz, wenn Hn(C) ∼=R {0} fur alle n ∈ N gilt.(Dabei eingeschlossen ist Exaktheit in Grad 0.)

• Fur die Kettenkomplexe C und C ′ aus Beispiel 5.1.3 gilt (nachrechnen)

H1(C) ∼=Z ker ∂1/ im ∂2 = ker ∂1/{0} ∼=Z Z, (erzeugt von z)

H1(C ′) ∼=Z ker ∂′1/ im ∂′2 ∼=Z {0}. (da z in C ′ ein Rand ist)

Die Homologie im Grad 1 erkennt also das”Loch“. Dies ist einer der

Grundgedanken fur Homologietheorien in der algebraischen Topologie.

Algorithmisch lasst sich Homologie mit den Methoden der linearen Al-gebra berechnen (uber Korpern mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren(Satz I.5.2.8), uber euklidischen Ringen/Hauptidealringen mit der Smith-Normalform (Satz II.2.5.6)).


Proposition 5.1.10 (Homologie als Funktor). Sei R ein ninoko Ring und sein ∈ N.

1. Seien C,C ′ ∈ Ob(RCh), sei f : C −→ C ′ eine R-Kettenabbildung. Dannist

Hn(f) : Hn(C) −→ Hn(C ′)

[z] 7−→[fn(z)

]

ein wohldefinierter R-Modulhomomorphismus.

2. Auf diese Weise wird Hn zu einem Funktor RCh −→ RMod.

Beweis. Zu 1. Die Abbildung Hn(f) ist wohldefiniert, denn: Da f eineKettenabbildung ist, bildet fn Zykel auf Zykel ab. Seien z, z′ ∈ Zn(C)mit z − z′ ∈ Bn(C); sei etwa b ∈ Cn+1 mit ∂n+1b = z − z′. Dann erhal-ten wir in Hn(C ′):

[fn(z)

]−[fn(z′)

]=[fn(z)− fn(z′)

]

=[fn(z − z′)

]

=[fn(∂n+1b)

](Wahl von b)

=[∂′nfn+1(b)

](f ist eine Kettenabbildung)

= 0. (Definition von Hn(C ′))

Also ist Hn(f) wohldefiniert. Nach Konstruktion ist Hn(f) außerdem R-li-near (da fn eine R-lineare Abbildung ist).

Zu 2. Aus der Konstruktion ist klar ersichtlich, dass Hn die Identitat aufdie Identitat abbildet und dass Hn mit der Komposition von Kettenabbil-dungen vertraglich ist.

Beispiel 5.1.11 (eine induzierte Abbildung in Homologie). Sei f : C −→ C dieKettenabbildung aus Beispiel 5.1.6. Da [z] eine Basis von H1(C) ist (Bei-spiel 5.1.9), genugt es, H1(f)([z]) zu bestimmen. Nach Definition von f ist

H1(f)([z])

=[f1(z)

]=[f1(e1 + e2 − e3)

]= [−e1 − e2 + e3] = −[z],

und damit H1(f) = − idH1(C).

Eine fur die Topologie zentrale Eigenschaft ist, dass Homologie homotopi-einvariant ist. Im algebraischen Kontext bedeutet dies das folgende:

Definition 5.1.12 (Kettenhomotopie, kettenhomotopieaquivalent). Sei R einninoko Ring, seien C,C ′ ∈ Ob(RCh) und seien f, g : C −→ C ′ Kettenabbil-dungen.

• Dann sind f und g kettenhomotop, kurz f 'R g, wenn es eine Ketten-homotopie von f nach g gibt.


• Dabei ist eine Kettenhomotopie von f nach g eine Folge

(hn ∈ RHom(Cn, C′n+1))n∈N

mit∀n∈N fn − gn = ∂′n+1 ◦ hn + hn−1 ◦ ∂n.

• Die Kettenabbildung f ist eine Kettenhomotopieaquivalenz, wenn eseine Kettenabbildung f ′ : C ′ −→ C mit

f ◦ f ′ 'R idC′ und f ′ ◦ f 'R idC

gibt. In diesem Fall nennen wir C und C ′ kettenhomotopieaquivalentund schreiben C 'R C ′.

Caveat 5.1.13. In der Literatur finden sich verschiedene Vorzeichenkonven-tionen bei der Definition von Kettenhomotopien. Alle diese Konventionenliefern denselben Kettenhomotopiebegriff.

In der algebraischen Topologie werden wir sehen, wie sich dieser Homo-topiebegriff fur Kettenabbildungen ganz naturlich auf geometrische Weiseergibt.

Proposition 5.1.14 (Homotopieinvarianz von Homologie). Sei R ein ninokoRing, seien C,C ′ ∈ Ob(RCh) und seien f, g : C −→ C ′ Kettenabbildungenmit f 'R g. Dann gilt

Hn(f) = Hn(g)

fur alle n ∈ N.Insbesondere: Gilt C 'R C ′, so folgt Hn(C) ∼=R Hn(C ′) fur alle n ∈ N.

Beweis. Sei h eine Kettenhomotopie von f nach g. Sei n ∈ N und z ∈ Zn(C)ein n-Zykel. Dann gilt in Hn(C ′):

Hn(f)([z])−Hn(g)

([z])

=[fn(z)− gn(z)

]

=[∂′n+1 ◦ hn(z) + hn−1 ◦ ∂n(z)

](h ist Kettenhomotopie)

=[∂′n+1 ◦ hn(z) + 0

](z ist ein Zykel)

= [0]. (Definition von Hn(C ′))

Die zweite Aussage folgt mit der Funktorialitat aus der ersten.

Ausblick 5.1.15 (die Homotopiekategorie). Sei R ein ninoko Ring. Um dasArbeiten mit Kettenhomotopien etc. zu vereinfachen, kann man zur Homo-topiekategorie von RCh ubergehen: Die Objekte dieser Kategorie sind dieObjekte von RCh. Die Morphismen sind die Aquivalenzklassen der Mengenvon Kettenabbildungen modulo Kettenhomotopie. Dann entsprechen Ketten-homotopieaquivalenzen in RCh genau den Isomorphismen in der Homotopie-kategorie.


5.1.3 Funferlemma und lange exakte Homologiesequenz

Neben der direkten Berechnung von Homologie anhand der Definition gibtes viele Zerlegungs- und Ubersetzungsprinzipien. Die wichtigsten stellen wirin diesem Abschnitt vor. Die Beweistechnik ist jeweils die sogenannte Dia-grammjagd.

Proposition 5.1.16 (Funferlemma). Sei R ein ninoko Ring und sei

Aa //

fA��

Bb //

fB��

Cc //

fC��

Dd //

fD��

E

fE��

A′a′// B′

b′// C ′

c′// D′

d′// E′

ein kommutatives Diagramm in RMod mit exakten Zeilen. Dann gilt:

1. Sind fB, fD injektiv und ist fA surjektiv, so ist fC injektiv.

2. Sind fB, fD surjektiv und ist fE injektiv, so ist fC surjektiv.

3. Insbesondere gilt: Sind fA, fB, fD, fE Isomorphismen, so ist fC einIsomorphismus.

Beweis. Wir beweisen den ersten Teil mithilfe einer sogenannten Diagramm-jagd (viele Aussagen in der homologischen Algebra werden auf diese Weisebewiesen). Der Beweis des zweiten Teils geht analog; der dritte Teil ist einedirekte Folgerung aus den ersten beiden Teilen.

Zu 1. Es seien also fB und fD injektiv und fA sei surjektiv. Sei x ∈ Cmit fC(x) = 0. Dann ist x = 0, denn (Abbildung 5.2):

• Wegen fD ◦ c(x) = c′ ◦ fC(x) = c′(0) = 0 und der Injektivitat von fDfolgt c(x) = 0.

• Wegen im b = ker c existiert ein y ∈ B mit b(y) = x.

• Wegen b′ ◦ fB(y) = fC ◦ b(y) = fC(x) = 0 und im a′ = ker b′ folgt: Esgibt ein z′ ∈ A′ mit a′(z′) = fB(y).

• Da fA surjektiv ist, existiert ein z ∈ A mit fA(z) = z′.

• Dabei ist a(z) = y, denn: Es gilt fB(a(z)

)= a′◦fA(z) = a′(z′) = fB(y)

und fB ist injektiv.

• Also ist (wegen im a ⊂ ker b)

x = b(y) = b ◦ a(z) = 0,

wie gewunscht.


A B C D E

A′ B′ C ′ D′ E′

x

0 0

0

A B C D E

A′ B′ C ′ D′ E′

x

0 0

0y

A B C D E

A′ B′ C ′ D′ E′

x

0 0

0y

•z′

A B C D E

A′ B′ C ′ D′ E′

x

0 0

0y

•z′

z

A B C D E

A′ B′ C ′ D′ E′

x

0 0

0y

•z′

z

Abbildung 5.2.: Die Diagrammjagd aus dem Funfer-Lemma


Proposition 5.1.17 (lange exakte Homologiesequenz). Sei R ein ninoko Ringund sei

0 // Ai // B

p// C // 0

eine kurze exakte Sequenz in RCh (d.h. die entsprechenden Sequenzen in je-dem Grad sind exakt in RMod). Dann gibt es eine lange exakte Sequenz

· · · ∂k+1// Hk(A)

Hk(i)// Hk(B)

Hk(p)// Hk(C)

∂k // Hk−1(A) // · · ·

Diese ist im folgenden Sinne naturlich: Ist

0 // Ai //

fA��

Bp//

fB��

C //

fC��

0

0 // A′i′// B′

p′// C ′ // 0

ein kommutatives Diagramm in RCh mit exakten Zeilen, so ist das zugehorigeLeiterdiagramm

· · · ∂k+1// Hk(A)

Hk(i)//

Hk(fA)

��

Hk(B)Hk(p)

//

Hk(fB)

��

Hk(C)∂k //

Hk(fC)

��

Hk−1(A) //

Hk−1(fA)

��

· · ·

· · ·∂k+1

// Hk(A′)Hk(i

′)// Hk(B′)

Hk(p′)// Hk(C ′)

∂k

// Hk−1(A′) // · · ·

kommutativ (mit exakten Zeilen).

Beweis. Sei k ∈ N. Wir konstruieren den Verbindungshomomorphismus

∂k : Hk(C) −→ Hk−1(A)

wie folgt: Sei γ ∈ Hk(C); sei c ∈ Ck ein Zykel, der γ reprasentiert. Dapk : Bk −→ Ck surjektiv ist, existiert ein b ∈ Bk mit

pk(b) = c.

Da p eine Kettenabbildung ist, ist pk−1 ◦ ∂Bk (b) = ∂Ck ◦ pk(b) = ∂Ck (c) = 0;aufgrund der Exaktheit im Grad k existiert somit ein a ∈ Ak−1 mit

ik−1(a) = ∂Bk (b).

Wir nennen in dieser Situation (a, b, c) ein kompatibles Tripel fur γ und defi-nieren

∂k(γ) := [a] ∈ Hk−1(A).

Mit einfachen Diagrammjagden zeigt man nun (nachrechnen):

5.2. Projektive Auflosungen 159

• Ist (a, b, c) ein kompatibles Tripel fur γ, so ist a ∈ Ak−1 ein Zykel undreprasentiert somit tatsachlich eine Klasse in Hk−1(A).

• Sind (a, b, c) und (a′, b′, c′) kompatible Tripel fur γ, so ist [a] = [a′]in Hk−1(A).

Daran lasst sich leicht ablesen, dass ∂k ein Homomorphismus ist und dass ∂knaturlich ist (nachrechnen).

Weitere Diagrammjagden liefern, dass die entstehende lange Sequenz exaktist (noch mehr nachrechnen . . . ).

Wir konnen das Funferlemma und die lange exakte Homologiesequenz wiefolgt kombinieren:

Beispiel 5.1.18 (drie halen, twee betalen). Sei R ein ninoko Ring und sei

0 // Ai //

fA��

Bp//

fB��

C //

fC��

0

0 // A′i′// B′

p′// C ′ // 0

ein kommutatives Diagramm in RCh mit exakten Zeilen. Dann gilt: Bestehenzwei der drei Folgen (Hk(fA))k∈N, (Hk(fB))k∈N, (Hk(fC))k∈N aus Isomor-phismen, so auch die dritte, denn:

Die lange exakte Homologiesequenz fur die beiden kurzen exakten Sequen-zen von Kettenkomplexen liefert ein kommutatives Leiterdiagramm von ex-akten Sequenzen (Proposition 5.1.17). Wir konnen dann das Funferlemma(Proposition 5.1.16) auf jeweils funf aufeinanderfolgende Sprossen anwenden(wobei wir die Folge, von der wir nachweisen wollen, dass sie aus Isomorphis-men bestehen, in die Mitte setzen).

5.2 Projektive Auflosungen

Eine wichtige Idee der homologischen Algebra ist, Moduln durch geeigne-te Kettenkomplexe aus

”einfacheren“ Moduln zu ersetzen. Dies fuhrt zu

den projektiven Auflosungen. Projektive Moduln verhalten sich unter vielenFunktoren gutartig; zum Beispiel sind projektive Moduln flach. Durch sol-che Zerlegungen in projektive Bausteine werden manche Eigenschaften vonModuln erst sichtbar bzw. verstandlich – manchmal sehen Moduln namlichzunachst unkompliziert aus und erst bei der Zerlegung in projektive Modulnist ersichtlich, dass es sich um einen Monstermodul handelt (Abbildung 5.3,Beispiel 5.3.14). Außerdem sind projektive Auflosungen fast eindeutig.


Abbildung 5.3.: Modul (Quietscheente) und eine projektive Auflosung (Ok-topus), schematisch.

5.2.1 Projektive Moduln

Projektive Moduln sind eine Verallgemeinerung von freien Moduln:

Definition 5.2.1 (projektiver Modul). Sei R ein ninoko Ring. Ein Modul P ∈Ob(RMod) ist projektiv, wenn er die folgende Liftungseigenschaft besitzt:Fur jeden Epimorphismus π : B −→ C in RMod und jeden R-Homomorphis-mus α : P −→ C gibt es einen R-Homomorphismus α : P −→ B mit π◦α = α.

P

α

��

α

��

Bπ// C // 0

(Analog definieren wir projektive Rechtsmoduln.)

Beispiel 5.2.2 (projektive Moduln).

• Der Z-Modul Z/2 ist nicht projektiv, denn das Liftungsproblem

Z/2

idZ/2

��

?

~~

ZProj.

// Z/2 // 0

in ZMod besitzt keine Losung.


• Jeder freie Modul ist projektiv, denn: Sei R ein ninoko Ring und sei Fein freier R-Modul, frei erzeugt von S ⊂ F . Sei π : B −→ C ein Epimor-phismus in RMod und sei α : F −→ C ein R-Modulhomomorphismus.Ist s ∈ S, so gibt es (da π surjektiv ist) ein b ∈ B mit π(b) = α(s).Wir definieren dann α(s) := b. Die universelle Eigenschaft des freienModuls F zeigt, dass α zu einem R-Modulhomomorphismus F −→ Bfortgesetzt werden kann. Nach Konstruktion gilt dabei π ◦ α = α (dadiese Gleichung auf dem Erzeugendensystem S erfullt ist).

Proposition 5.2.3 (Charakterisierung projektiver Moduln). Sei R ein ninokoRing und P ∈ Ob(RMod). Dann sind aquivalent:

1. Der R-Modul P ist projektiv.

2. Der R-Modul P ist ein direkter Summand in einem freien R-Modul.

3. Jede kurze exakte Sequenz 0 −→ A −→ B −→ P −→ 0 in RMod besitzteinen Rechtsspalt.

4. Der Funktor RHom(P, · ) : RMod −→ ZMod ist exakt.

Die zweite (und in manchen Fallen auch die vierte) Eigenschaft sind gutgeeignet, um nachzuweisen, dass ein gegebener Modul projektiv ist. Die ande-ren Eigenschaften sind nutzlich, wenn man bereits weiß, dass ein projektiverModul vorliegt.

Beweis. Zu 1. =⇒ 2. Sei P projektiv. Sei S ⊂ P ein Erzeugendensystemvon P , sei F := ⊕SR der frei von S erzeugte R-Modul und sei π : F −→ Pder zugehorige Epimorphismus. Wir wenden die Liftungseigenschaft von Pauf die folgende Situation an:

P

idP

��

Fπ// P // 0

Da P projektiv ist, gibt es einen R-Modulhomomorphismus σ : P −→ Fmit π ◦ σ = idP . Dann sind

F ←→ kerπ ⊕ Px 7−→

(x− σ ◦ π(x), π(x)

)

x+ σ(y)←− [ (x, y)

zueinander inverse Isomorphismen in RMod (nachrechnen).Zu 2. =⇒ 3. Sei P ein direkter Summand in einem freien R-Modul F , d.h.

es gibt R-Modulhomomorphismen π : F −→ P (Projektion auf den Summan-den P ) und σ : P −→ F (Inklusion von P als direkter Summand) mit


π ◦ σ = idP .

Sei 0 // Ai // B

p// P // 0 eine kurze exakte Sequenz in RMod.

Da F frei und p surjektiv ist, gibt es einen R-Homomorphismus s : F −→ Bmit p ◦ s = π. Dann ist s ◦ σ ein Spalt von p, denn

p ◦ (s ◦ σ) = (p ◦ s) ◦ σ = π ◦ σ = idP .

Zu 3. =⇒ 1. Es gelte die dritte Bedingung. Aus einem Erzeugendensy-stem von P erhalten wir einen freien R-Modul F und einen surjektiven R-Modulhomomorphismus π : F −→ P . Wenden wir die dritte Bedingung auf

0 // kerπInkl. // F

π // P // 0

an, so erhalten wir einen R-Modulhomomorphismus σ : P −→ F mit π ◦ σ =idP . Mithilfe von σ und π konnen wir Liftungsprobleme fur P in Liftungspro-bleme fur den freien Modul F ubersetzen. Da F projektiv ist (Beispiel 5.2.2),folgt somit, dass auch die Liftungsprobleme fur P losbar sind (nachrechnen).Also ist P projektiv.

Zu 4. Man kann die Exaktheitsbedingung fur RHom(P, · ) zum Beispielgut mit der dritten Bedingung vergleichen (Ubungsaufgabe).

Beispiel 5.2.4 (projektive Moduln vs. Freiheit).

• Im allgemeinen ist nicht jeder projektive Modul frei, denn: Sei M derModul aus Beispiel 3.4.12 uber dem Ring C(S1,R) (Mobiusband!) oderder Modul aus Caveat 3.4.9 uber dem Ring Z/(2)× Z/(2). Nach Kon-struktion sind diese Moduln nicht frei aber direkte Summanden in freienModuln (und daher projektiv).

• Ist R ein lokaler Ring und ist P ein endlich erzeugter projektiver R-Modul, so ist P bereits frei, denn: Da P endlich erzeugt und projektivist, zeigt der Beweis von Proposition 5.2.3, dass P ein direkter Sum-mand in einem endlich erzeugten freien R-Modul ist. Mit Lemma 3.4.11folgt daher, dass P ein freier R-Modul ist.

• Ist R ein (kommutativer!) Ring und P ein endlich erzeugter projektiverModul, so ist P lokal frei, denn: Mit der Charakterisierung projektiverModuln als direkte Summanden in freien Moduln (Proposition 5.2.3)folgt, dass die lokalisierten Moduln projektiv sind; daher ist das vorigeArgument anwendbar.

Alternativ kann man dies wie im lokalen Fall auf Proposition 3.4.10zuruckfuhren.

Korollar 5.2.5 (projektive Moduln sind flach). Sei R ein ninoko Ring und seiP ein projektiver R-Rechtsmodul. Dann ist P flach, d.h. der Funktor


P ⊗R · : RMod −→ ZMod

ist exakt.

Fur kommutative Ringe liefert dies denselben Flachheitsbegriff wie in Defi-nition 3.2.15; im nicht-kommutativen Fall haben die Tensorprodukte zwar imallgemeinen nur noch eine Z-Modulstruktur, was aber den Exaktheitsbegriffnicht beeinflusst.

Beweis. Da P projektiv ist, gibt es einen R-Rechtsmodul Q und einen freienR-Rechtsmodul F mit P ⊕ Q ∼=R F (Rechtsmodulversion von Propositi-on 5.2.3). Wir verwenden nun die folgenden Tatsachen:

• Freie Moduln sind flach (folgt auch im nicht-kommutativen Fall wie inBeispiel 3.2.16); also ist F ⊗R · ein exakter Funktor.

• Die (gradweise) direkte Summe von Kettenkomplexen ist genau dannexakt, wenn die einzelnen Kettenkomplexe exakt sind (nachrechnen).

Wegen P⊕RQ ∼=R F und der Vertraglichkeit des Tensorprodukts mit direktenSummen folgt somit, dass der Funktor P ⊗R · exakt ist.

Alternativ kann man die dritte Eigenschaft aus Proposition 5.2.3 und Lem-ma 3.4.7 verwenden.

5.2.2 Projektive Auflosungen

Wir zerlegen Moduln in Komplexe projektiver Bausteine; dies ist eine Verall-gemeinerung von Prasentationen von Moduln durch Erzeuger und Relationen.

Definition 5.2.6 (projektive Auflosung). Sei R ein ninoko Ring und sei M ∈Ob(RMod). Eine projektive Auflosung von M ist ein Paar (P, ε), wobei

• P = (P∗, ∂∗) ein Kettenkomplex von R-Linksmoduln ist,

• fur jedes n ∈ N der R-Linksmodul Pn projektiv ist,

• ε ein R-Modulhomomorphismus P0 −→M ist, und

• die zusammengesetzte Sequenz P � ε exakt ist:

· · · // P2∂2 // P1

∂1 // P0ε // M // 0

Beispiel 5.2.7 (projektive Auflosungen).

• Zum Beispiel ist

· · · // 00 // 0

0 // Z idZ // Z // 0

eine projektive Auflosung des Z-Moduls Z.


• Es ist

· · · // 00 // Z 2 // Z

Proj.// Z/2 // 0

eine projektive Auflosung des Z-Moduls Z/2.

• Sei R := Z[T ]/(T 2 − 1); wir fassen Z als R-Modul auf (indem wir [T ]als Identitat auf Z operieren lassen). Dann ist

· · · // R[1]7→[1−T ]

// R[1]7→[1+T ]

// R[1]7→[1−T ]

// R[1]7→1

// Z // 0

eine projektive Auflosung des R-Moduls Z (nachrechnen).

Proposition 5.2.8 (simpliziale Auflosungen). Sei R ein ninoko Ring und seiX eine nicht-leere Menge. Zu n ∈ N sei

Sn(X) :=⊕

Xn+1

R

und zu n ∈ N>0 sei

∂n : Sn(X) −→ Sn−1(X)

[x0, . . . , xn] 7−→n∑

j=1

(−1)j · [x0, . . . , xj , . . . , xn].

Dabei verwenden wir die folgende Notation: Ist x = (x0, . . . , xn) ∈ Xn+1,so schreiben wir [x0, . . . , xn] fur den Basisvektor von Sn(X) zu x; ist j ∈{0, . . . , n}, so schreiben wi

[x0, . . . , xj , . . . , xn] := [x0, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn] ∈ Sn−1(X)

fur den Basisvektor von Sn−1(X) zu dem Tupel, das aus x durch Streichender Komponente mit Index j entsteht. Außerdem sei.

ε : S0(X) −→ R

[x] 7−→ 1.

Dann ist (S(X), ε) eine projektive Auflosung von R, die simpliziale Auflosungvon R zu X.

Bemerkung 5.2.9 (Anschauung der simplizialen Auflosung). Die Konstrukti-on in Proposition 5.2.8 beruht auf der folgenden Anschauung: Ist zum Bei-spiel (x0, x1, x2) ∈ X2+1, so stellt man sich dazu das Dreieck [x0, x1, x2](zweidimensionale Simplex) aus Abbildung 5.4 mit den Ecken x0, x1, x2 vor.Der Rand dieses Simplexes ergibt sich dann wie in Beispiel 5.1.3 zu

∂2[x0, x1, x2] = [x1, x2]− [x0, x2] + [x0, x1].


x2

x0 x1[x0, x1]

[x1, x2][x0, x2]

[x0, x1, x2]

Abbildung 5.4.: Anschauung zur simplizialen Auflosung

Beweis von Proposition 5.2.8. Ist n ∈ N, so ist Sn(X) =⊕

Xn+1 R ein freierR-Modul, und damit insbesondere projektiv (Beispiel 5.2.2).

Fur alle n ∈ N>0 gilt ∂n−1 ◦ ∂n = 0, denn: Es genugt, dies auf der Ba-sis Xn+1 von Sn(X) nachzuweisen. Seien (x0, . . . , xn) ∈ Xn+1. Dann ist

∂n−1 ◦ ∂n[x0, . . . , xn] = ∂n−1

( n∑

j=0

(−1)j · [x0, . . . , xj , . . . , xn]

)

=

n∑

j=0

(−1)j · ∂n−1[x0, . . . , xj , . . . , xn]

=

n∑

j=0

(−1)j ·(j−1∑

k=0

(−1)k · [x0, . . . , xk, . . . , xj , . . . , xn]

+

n−1∑

k=j

(−1)k · [x0, . . . , xj , . . . , xk+1, . . . , xn]

)

=

n∑

j=0

j−1∑

k=0

(−1)j+k · [x0, . . . , xk, . . . , xj , . . . , xn]

+

n∑

j=0

n∑

k=j+1

(−1)j+k−1 · [x0, . . . , xj , . . . , xk, . . . , xn].

Diese beiden Summen enthalten dieselben Terme, aber mit umgekehrtemVorzeichen. Also ist ∂n−1 ◦ ∂n = 0. Außerdem gilt ε ◦ ∂1 = 0, denn furalle (x0, x1) ∈ X2 ist

ε ◦ ∂1[x0, x1] = ε([x1]− [x0]

)= 1− 1 = 0.

Zur Exaktheit: Wegen X 6= ∅ gibt es ein Element z ∈ X. Zu n ∈ Nbetrachten wir den

”Kegeloperator“ (der jeden Simplex mit der Kegelspitze 0

zu einem hoherdimensionalen Simplex erweitert)


sn : Sn(M) −→ Sn+1(M)

[x0, . . . , xn] 7−→ [z, x0, . . . , xn].

Dann gilt∀n∈N≥2

∂n ◦ sn−1 = idSn−1(M) +sn−2 ◦ ∂n−1(nachrechnen).

Ist c ∈ ker ∂n−1, so ist daher

∂n(sn−1(c)

)= c+ sn−2 ◦ ∂n−1(c) = c+ 0 = c,

und damit c ∈ im ∂n. Außerdem gilt: Ist c =∑nj=1 aj · [xj ] ∈ ker ε, so ist

∂1

( n∑

j=1

aj · [z, xj ])

=

n∑

j=1

aj · [xj ] +

n∑

j=1

aj · [z] = c+ 0 · [z] = c,

und damit c ∈ im ∂1.

Der Nutzen dieser zunachst unnotig groß und kompliziert wirkenden pro-jektiven Auflosung liegt nicht in der Auflosung selbst, sondern in der un-terliegenden Idee. Simpliziale Methoden fuhren zu vielen interessanten Auf-losungen (zum Beispiel in der Gruppenkohomologie) [13, Kapitel 8].

Jeder Modul besitzt eine projektive (sogar freie) Auflosung. Zum Beispielkann man wie folgt vorgehen: SeiR ein ninoko Ring undM einR-Linksmodul.

• Man wahlt ein Erzeugendensystem von M und betrachtet den kano-nischen surjektiven R-Modulhomomorphismus ε des zugehorigen freienModuls auf M .

• Im nachsten Schritt wahlt man ein Erzeugendensystem von ker ε undbetrachtet den kanonischen surjektiven R-Modulhomomorphismus deszugehorigen freien Moduls auf ker ε.

• . . .

Wir betrachten nun eine systematische, funktorielle, Variante dieser Kon-struktion:

Proposition 5.2.10 (eine funktorielle Auflosung). Sei R ein ninoko Ring undsei F : Set −→ RMod der freie Erzeugungsfunktor (vgl. Beispiel 1.2.5). IstM ein R-Linksmodul, so schreiben wir

εM : F (M) =⊕

M

R −→M

ex 7−→ x

fur den zugehorigen surjektiven R-Modulhomomorphismus. Wir definieren


C0(M) := F (M) und ∂0 := εM

und induktiv

Cn+1(M) := F (ker ∂n)

∂n+1 := εker ∂n : Cn+1(M) = F (ker ∂n) −→ ker ∂n ⊂ Cn(M)

fur alle n ∈ N.

1. Dann ist(C(M), εM

)eine projektive (sogar freie) Auflosung von M

in RMod.

2. Diese Konstruktion ist funktoriell (bildet also einen Funktor von RModin die Kategorie der N∪{−1}-indizierten Kettenkomplexe uber RMod).

Beweis. Zu 1. Nach Konstruktion ist Cn(M) fur jedes n ∈ N ein freierR-Modul und εM ist surjektiv. Induktiv wird außerdem sichergestellt, dass(C∗(M), ∂∗) ein Kettenkomplex und C(M) � εM exakt ist.

Zu 2. Ist f : M −→ N ein Homomorphismus von R-Linksmoduln, so gilt(nachrechnen)

εN ◦ F (f) = f ◦ εM .Wir definieren nun f0 := F (f) : C0(M) −→ C0(M) und induktiv

fn+1 := F (fn|ker ∂n) : Cn+1(M) −→ Cn+1(N)

fur alle n ∈ N. Dann ist f∗�f : C(M)�εM −→ C(N)�εN eine Kettenabbildung(nachrechnen). Da F ein Funktor ist, ist diese Konstruktion funktoriell.

Die obige funktorielle Auflosung hat den Nachteil, dass sie sehr”groß“ ist;

sie hat jedoch den Vorteil, dass sie funktoriell ist.

Beispiel 5.2.11 (Syzygy). Sei R ein noetherscher Ring und sei M ein endlicherzeugter R-Modul. Dann gibt es eine projektive Auflosung (P, ε) von M , beider fur jedes n ∈ N der R-Modul Pn endlich erzeugt ist (Ubungsaufgabe).

5.2.3 Der Fundamentalsatz der homologischen Algebra

Wir zeigen nun, dass projektive Auflosungen im wesentlichen eindeutig be-stimmt sind; dies geht bei vielen Konstruktionen in der homologischen Alge-bra ein.

Satz 5.2.12 (Fundamentalsatz der homologischen Algebra). Sei R ein nino-ko Ring, seien M,N Linksmoduln uber R und sei f : M −→ N ein R-Mo-dulhomomorphismus. Sei (P, ε) eine projektive R-Auflosung von M und seiC � (γ : C0 � N) eine exakte Sequenz in RMod. Dann kann f : M −→ N zu

einer Kettenabbildung f � f : P � ε −→ C � γ fortgesetzt werden und die Ket-tenabbildung f : P −→ C ist bis auf R-Kettenhomotopie eindeutig bestimmt.


Beweis. Existenz. Wir konstruieren induktiv eine R-Kettenabbildung f �

f : P � ε −→ C � γ: Wir bezeichnen die Randoperatoren von P mit ∂Pn unddie von C mit ∂Cn ; ausnahmsweise verwenden wir außerdem die Konventi-

on ∂P0 := ε, ∂C0 := γ und f−1 := f .

• Induktionsanfang. Da γ : C0 −→ N surjektiv ist und P0 projektiv ist,gibt es einen R-Homomorphismus f0 : P0 −→ C0 mit γ ◦ f0 = f ◦ ε:

P0ε //

f0��

M

f

��

// 0

C0 γ// N // 0

• Induktionsschritt. Sei n ∈ N und eine Fortsetzung f : P −→ C seibereits bis Grad n als R-Kettenabbildung konstruiert. Wir konstruierennun einen R-Homomorphismus fn+1 : Pn+1 −→ Cn+1 mit ∂Cn+1◦fn+1 =

fn ◦ ∂Pn+1: Da C � γ exakt ist und nach Induktionsvoraussetzung

∂Cn ◦ fn ◦ ∂Pn+1 = fn−1 ◦ ∂Pn ◦ ∂Pn+1 = 0

gilt, folgt im fn◦∂Pn+1 ⊂ ker ∂Cn = im ∂Cn+1. Da Pn+1 projektiv ist, gibt es

also einen R-Homomorphismus fn+1 : Pn+1 −→ Cn+1 mit ∂Cn+1◦fn+1 =

fn ◦ ∂Pn+1:

Pn+1

∂Pn+1//

fn+1

��

im ∂Pn+1

fn|im ∂Pn+1

��

Cn+1∂Cn+1

// im ∂Cn+1// 0

Damit ist die Existenz gezeigt.

Eindeutigkeit bis auf Kettenhomotopie. Die Eindeutigkeit folgt mit eineranalogen induktiven Konstruktion (nachrechnen).

Korollar 5.2.13 (Eindeutigkeit projektiver Auflosungen). Sei R ein ninoko Ringund sei M ∈ Ob(RMod). Dann gibt es bis auf R-Kettenhomotopieaquivalenzgenau eine projektive R-Auflosung von M .

Beweis. Die Existenz einer projektiven Auflosung erhalten wir aus Proposi-tion 5.2.10. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Fundamentalsatz der homolo-gischen Algebra (Satz 5.2.12), angenwendet auf idM : M −→ M , mit demklassischen Eindeutigkeitsargument bei universellen Eigenschaften:

Seien (P, ε) und (P ′, ε′) projektive Auflosungen von M . Nach dem Funda-mentalsatz (Satz 5.2.12) kann idM zu R-Kettenabbildungen


f � idM : P � ε −→ P ′ � ε′

g � idM : P ′ � ε′ −→ P � ε

fortgesetzt werden. Dann gilt nach der Eindeutigkeitsaussage des Fundamen-talsatzes, dass

(f � idM ) ◦ (g � idM ) = (f ◦ g) � idM 'R idP � idM

Analog folgt (g�idM )◦(f �idM ) 'R idP � idM , und damit die Behauptung.

Caveat 5.2.14. Die Eindeutigkeit projektiver Auflosungen gilt nur bis aufKettenhomotopieaquivalenz bzw. kanonischen Isomorphismus in der Homoto-piekategorie. Verschiedene projektive Auflosungen zu einem gegebenen Modulkonnen jedoch sehr verschiedene Tugenden haben (zum Beispiel Funktoria-litat vs. Ubersichtlichkeit). Die Kunst besteht darin, fur jede Anwendung die

”richtige“ projektive Auflosung auszuwahlen. Oft helfen dabei geometrische

Methoden.

Außerdem ist es moglich, fur kurze exakte Sequenzen von R-Moduln kom-patible projektive Auflosungen zu konstruieren:

Proposition 5.2.15 (Hufeisenlemma). Sei R ein ninoko Ring. Sei

0 // M ′f ′// M

f ′′// M ′′ // 0

eine kurze exakte Sequenz in RMod und seien P ′ � ε′ bzw. P ′′ � ε′′ projektiveR-Auflosungen von M ′ bzw. M ′′:

...

��

...

��

P ′0

ε′

��

? P ′′0

ε′′

��

0 // M ′f ′//

��

Mf ′′// M ′′ //

��

0

0 0

Dann gibt es eine projektive R-Auflosung P � ε von M und R-Kettenabbil-dungen f ′ � f ′ : P ′ � ε′ −→ P � ε bzw. f ′′ � f ′′ : P � ε −→ P ′′ � ε′′, so dass

0 // P ′nf ′n // Pn

f ′′n // P ′′n // 0

fur alle n ∈ N exakt ist.


Beweis. Man definiert P � ε auf Modulebene als direkte Summe der außerenAuflosungen und wahlt fur f ′ bzw. f ′′ die entsprechende Inklusion bzw. Pro-jektion. Die Randoperatoren konstruieren wir wie folgt:

Da P ′′0 projektiv und f ′′ : M −→ M ′′ surjektiv ist, gibt es einen R-Mo-dulhomomorphismus ε′′ : P ′′0 −→M mit

f ′′ ◦ ε′′ = ε′′.

Wir setzen dann

ε := (f ′ ◦ ε′)⊕ ε′′ : P0 = P ′0 ⊕ P ′′0 −→M

und konstruieren induktiv mithilfe der Projektivitat der P ′′n Randoperato-ren ∂n+1 : Pn+1 −→ Pn, die mit den Randoperatoren auf P ′ bzw. P ′′ ver-traglich sind:

Sei n ∈ N>0 und sei ∂n bereits induktiv auf diese Weise konstruiert. EineDiagrammjagd zeigt dann, dass

f ′′n (ker ∂n) = ker ∂′′n = im ∂′′n+1

gilt (nachrechnen). Da P ′′n+1 projektiv ist, gibt es somit einen R-Homomor-

phismus ∂′′n+1 : P ′′n+1 −→ ker ∂n mit

f ′′ ◦ ∂′′n+1 = ∂′′n+1.

Wir definieren dann

∂n+1 := (f ′ ◦ ∂′n+1)⊕ ∂′′n+1;

eine Diagrammjagd zeigt, dass ∂n ◦ ∂n+1 = 0 (nachrechnen).

Auf diese Weise erhalten wir eine kurze exakte Sequenz

0 // P ′ � ε′f ′�f ′

// P � εf ′′�f ′′

// P ′′ � ε′′ // 0

in RCh (indiziert uber N∪ {−1}). Mit der langen exakten Homologiesequenz(Proposition 5.1.17) folgt, dass P � ε exakt ist. Also ist P � ε eine projektiveAuflosung von M mit den geforderten Eigenschaften.

5.3 Tor

Wir wissen bereits, dass Tensorproduktfunktoren im allgemeinen nicht exaktsind. Wir zeigen nun, wie man diese Nicht-Exaktheit mithilfe geeigneter Feh-lertermfunktoren genauer beschreiben kann. Dies fuhrt zu den Tor-Funktoren

5.3. Tor 171

(der Name geht darauf zuruck, dass diese Funktoren in Spezialfallen etwasmit Torsion zu tun haben; Beispiel 5.3.4).

Allgemeiner kann man diese Konstruktion abgeleiteter Funktoren fur alleeinseitig exakten Funktoren durchfuhren (zum Beispiel erhalt man so ausden Hom-Funktoren die sogenannten Ext-Funktoren). Der Einfachheit halberbeschranken wir uns im folgenden nur auf das abgeleitete Tensorprodukt.

5.3.1 Axiomatische Beschreibung

Wir beginnen mit einer axiomatischen Beschreibung von Tor; wir werdendann zeigen, wie man mit dieser Beschreibung erste Beispiele berechnen kannund wie man Eindeutigkeit und Existenz solcher Funktoren beweist.

Definition 5.3.1 (Ableitung des Tensorproduktfunktors). Sei R ein ninoko Ringund es sei M ein R-Rechtsmodul. Eine Ableitung des Tensorproduktfunk-tors M ⊗R · : RMod −→ ZMod besteht aus einer Folge

(TorRn (M, · )

)n∈N

von Funktoren RMod −→ ZMod und einer Familie

(∂n+1 : TorRn+1(M,N ′′) −→ TorRn (M,N ′)

)n∈N, 0→N ′→N→N ′′→0 exakt

von Morphismen (den sogenannten Verbindungshomomorphismen) mit fol-genden Eigenschaften:

• Der Funktor TorR0 (M, · ) ist zu M ⊗R · : RMod −→ ZMod naturlichisomorph.

• Ist P ∈ Ob(RMod) projektiv, so gilt

∀n∈N>0TorRn (M,P ) ∼=Z {0}.

• Ist 0 // N ′f// N

g// N ′′ // 0 eine kurze exakte Sequenz

in RMod, so ist die induzierte Sequenz

· · · // TorRn+1(M,N ′)TorRn+1(M,f)

// TorRn+1(M,N)TorRn+1(M,g)

// TorRn+1(M,N ′′)∂n+1

// TorRn (M,N ′) // · · ·

exakt (und naturlich, in der gegebenen kurzen exakten Sequenz).

Die dritte und die erste Eigenschaft liefern dabei die gewunschte Erwei-terung der Rechtsexaktheit des Tensorprodukts zu einer (langen) exaktenTor-Sequenz.

Satz 5.3.2 (Ableitung des Tensorprodukts). Sei R ein ninoko Ring und seiM ∈ Ob(ModR). Dann gibt es bis auf naturliche Isomorphie genau eineAbleitung des Tensorprodukts M ⊗R · : RMod −→ ZMod.


Bevor wir den Satz beweisen, geben wir erste Beispiele dafur, wie man mitden Eigenschaften der Tor-Funktoren arbeiten kann:

Proposition 5.3.3 (dimension shifting). Sei R ein ninoko Ring, sei M einR-Rechtsmodul, sei N ein R-Linksmodul und sei

0 // Ki // P // N // 0

eine kurze exakte Sequenz in RMod mit einem projektiven R-Modul P . Dannfolgt fur jede Ableitung von M ⊗R · und alle n ∈ N>0, dass

TorRn+1(M,N) ∼=Z TorRn (M,K)

undTorR1 (M,N) ∼=Z ker

(M ⊗R i : M ⊗R K →M ⊗R P

).

Beweis. Die gegebene kurze exakte Sequenz liefert eine lange exakte Tor-Sequenz. Da P projektiv ist, sind die Terme TorRn (M,P ) mit n ∈ N>0 dieserSequenz trivial. Somit erhalten wir fur jedes n ∈ N>0 eine exakte Sequenzder Form

0 // TorRn+1(M,N)∂n+1

// TorRn (M,K) // 0,

und damit TorRn+1(M,N) ∼=Z TorRn (M,K). Analog erhalt man die Behaup-

tung fur TorR1 (M,N) aus der Tatsache, dass TorR0 (M, · ) ∼= M ⊗R · .

Beispiel 5.3.4 (Tor als Torsion). Seien n ∈ N>0 und sei M ein Z-Modul. Furjede Ableitung von M ⊗Z · gilt dann

TorZ1 (M,Z/n) ∼=Z {x ∈M | n · x = 0},

denn: Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

0 // Z n // ZProj.

// Z/n // 0

in ZMod. Mit dimension shifting (Proposition 5.3.3) erhalten wir somit

TorZ1 (M,Z/n) ∼=Z ker(n : M →M).

In diesem Fall beschreibt also der Tor-Term tatsachlich einen Torsionsunter-modul (namlich n-Torsion in M).

Fur m ∈ N>0 folgt zum Beispiel (nachrechnen)

TorZ1 (Z/m,Z/n) ∼=Z ker(n : Z/m→ Z/m) ∼=Z Z/(m,n).

5.3. Tor 173

Beweisskizze der Eindeutigkeitsaussage von Satz 5.3.2. Sei (T∗, ∂∗) eine Ab-leitung von M ⊗R · : RMod −→ ZMod. Insbesondere ist dann T0 bis aufnaturliche Isomorphie vorgegeben (namlich als M ⊗R · ).

Mithilfe von dimension shifting (Proposition 5.3.3) folgt daher induktiv:Fur jedes n ∈ N>0 ist der Funktor Tn : RMod −→ ZMod bis auf naturlicheIsomorphie eindeutig bestimmt. Ist namlich N ein R-Linksmodul, so betrach-ten wir den freien R-Modul F :=

⊕N R und den kanonischen Epimorphis-

mus π : F −→ N . Dimension shifting liefert dann

Tn(N) ∼=Z Tn−1(kerπ).

Diese Isomorphismen sind sogar naturlich und kanonisch, sobald man einennaturlichen Isomorphismus T0 =⇒M ⊗R · gewahlt hat (nachrechnen).

Geht man sorgfaltig durch dieses Induktionsargument, so erkennt manauch, dass diese Argumente mit den Verbindungshomomorphismen ver-traglich sind und diese daher auch (bis auf

”naturliche Isomorphie“) eindeutig

bestimmt sind (nachrechnen; aufwendig!).

Aus dimension shifting ist auch ersichtlich, dass man Tor-Funktoren durchprojektive Auflosungen konstruieren kann. Dies werden wir im folgenden Ab-schnitt systematisch durchfuhren.

5.3.2 Konstruktion

Wir beginnen unsere Konstruktion der Ableitung des Tensorprodukts mitden Tor-Funktoren:

Definition 5.3.5 (Tor). Sei R ein ninoko Ring, sei M ∈ Ob(ModR) und sein ∈ N. Dann definieren wir den Funktor TorRn (M, · ) als die Komposition

TorRn (M, · ) := Hn ◦ (M ⊗R · ) ◦ C : RMod −→ ZMod .

Dabei bezeichnet

• C den Funktor RMod −→ RCh der funktoriellen Auflosung aus Propo-sition 5.2.10,

• M⊗R · den gradweisen Tensorproduktfunktor RCh −→ ZCh durch Ten-sorieren (der Kettenmoduln und der Randoperatoren) mit M (Ubungs-aufgabe),

• Hn den n-ten Homologiefunktor ZCh −→ ZMod.

Im folgenden werden wir Tor immer als Notation fur die in Definition 5.3.5definierten Funktoren verwenden.

Lemma 5.3.6 (Grad 0). Sei R ein ninoko Ring und sei M ∈ Ob(ModR).Dann ist TorR0 (M, · ) naturlich isomorph zu M ⊗R · : RMod −→ ZMod.


Beweis. Sei N ∈ Ob(RMod) und sei εN : C0(N) −→ N die Augmentierungs-abbildung der funktoriellen Auflosung von N . Da εN surjektiv und M ⊗R ·rechtsexakt ist, folgt

M ⊗R N ∼=Z M ⊗R(C0(N)/ ker εN

)(da εN surjektiv ist)

∼=Z M ⊗R(C0(N)/ im ∂1

)(da C(N) � εN exakt ist)

∼=ZM ⊗R C0(N)

im(M ⊗R ∂1)(Rechtsexaktheit von M ⊗R · )

= H0

(M ⊗R C(N)

)(Definition von H0)

= TorR0 (M,N) (Definition 5.3.5).

Da all diese Isomorphismen naturlich sind (nachrechnen), erhalten wir dengewunschten naturlichen Isomorphismus TorR0 (M, · ) ∼= M ⊗R · .

Lemma 5.3.7 (das Tor-Rezept). Sei R ein ninoko Ring, sei M ∈ Ob(ModR),sei N ∈ Ob(RMod) und sei (P, ε) eine projektive Auflosung von N in RMod.Dann gibt es fur jedes n ∈ N einen kanonischen Isomorphismus

TorRn (M,N) ∼=Z Hn(M ⊗R P ).

Beweis. Aus dem Fundamentalsatz der homologischen Algebra (Satz 5.2.12)erhalten wir eine (bis auf Kettenhomotopie kanonische) Kettenhomotopie-aquivalenz f : C(N) −→ P in RCh (als Fortsetzung der Identitat von N).

Dann ist auch M ⊗R f : M ⊗R C(N) −→ M ⊗R P eine Kettenhomoto-pieaquivalenz in ZCh (Ubungsaufgabe).

Insbesondere induziert diese fur alle n ∈ N einen (kanonischen) Isomor-phismus (Proposition 5.1.14)

TorRn (M,N) = Hn

(M ⊗ C(N)

) ∼=Z Hn(M ⊗R P ).

Lemma 5.3.8 (Konstruktion der Verbindungshomomorphismen). Sei R ein ni-noko Ring, sei M ∈ Ob(ModR) und sei

0 // N ′f// N

g// N ′′ // 0

eine kurze exakte Sequenz in RMod. Dann gibt es eine (naturliche) langeexakte Sequenz

· · · // TorRn+1(M,N ′)TorRn+1(M,f)

// TorRn+1(M,N)TorRn+1(M,g)

// TorRn+1(M,N ′′)∂n+1

// TorRn (M,N ′) // · · ·

Beweis. Wir wenden das Hufeisenlemma 5.2.15 auf die projektiven Auf-losungen C(N ′) und C(N ′′) an; daraus erhalten wir eine mit diesen Auf-losungen kompatible projektive Auflosung (P, ε) von N und damit insbeson-dere eine kurze exakte Sequenz

5.3. Tor 175

0 // C(N ′)f// P

g// C(N ′′) // 0

in RCh, die mit der gegebenen Sequenz vertraglich ist. Da die Kettenmodulnin C(N ′′) alle projektiv sind, spaltet diese Sequenz in jedem Grad (Proposi-tion 5.2.3). Somit ist auch die tensorierte Sequenz

0 // M ⊗R C(N ′)M⊗Rf // M ⊗R P

M⊗Rg // M ⊗R C(N ′′) // 0

gradweise exakt (Ubungsaufgabe). Diese kurze exakte Sequenz in ZCh lieferteine lange exakte Homologiesequenz (Proposition 5.1.17). Mit Lemma 5.3.7konnen wir in dieser die Terme der Form Hn(M ⊗R P ) durch TorRn (M,N)ersetzen (dies liefert auch die korrekten Homomorphismen in der langen Se-quenz; nachrechnen).

Die entstehenden Verbindungshomomorphismen sind dabei unabhangigvon der gewahlten projektiven Auflosung (P, ε) (nachrechnen; dabei verwen-det man exzessiv die Eindeutigkeitsaussage bis auf Homotopie aus dem Fun-damentalsatz der homologischen Algebra (Satz 5.2.12)).

Die Naturlichkeit ergibt sich dabei daraus, dass jeder der involviertenSchritte auf Homologie naturlich ist (nachrechnen).

Beweis der Existenzaussage aus Satz 5.3.2. Wir verwenden die Konstrukti-on von Tor aus Definition 5.3.5 und wahlen fur jede kurze exakte Sequenzin RMod Verbindungshomomorphismen wie in Lemma 5.3.8. Dann sind dieEigenschaften aus Definition 5.3.1 erfullt, denn:

• Wir haben TorR0 (M, · ) bereits in Lemma 5.3.6 bestimmt.

• Ist P ∈ Ob(RMod) projektiv, so ist

. . . // 0 // PidP // P

eine projektive Auflosung von P in RMod. Mit Lemma 5.3.7 erhaltenwir somit

TorRn (M,P ) ∼=Z Hn(M ⊗R (· · · → 0→ P ) ∼=Z {0}

fur alle n ∈ N>0.

• Die Konstruktion der Verbindungsmorphismen und der langen exaktenTor-Sequenz ist bereits in Lemma 5.3.8 enthalten.

Bemerkung 5.3.9 (Funktorialitat in der ersten Variablen). Sei R ein ninokoRing und sei n ∈ N. Nach Konstruktion ist dann TorRn ( · , · ) auch inder ersten Variablen funktoriell (nachrechnen). Auf das Zusammenspiel derersten und zweiten Variablen gehen wir in Satz 5.3.15 genauer ein.


Ausblick 5.3.10 (die derivierte Kategorie). Auf die Dauer ist es muhsam beider Betrachtung abgeleiteter Funktoren (wie zum Beispiel Tor), projektiveAuflosungen etc. zu wahlen und immer darauf zu achten, dass alles nur

”bis

auf Kettenhomotopie“ oder”in Homologie“ eindeutig ist. Abhilfe schafft die

sogenannte derivierte Kategorie der Kettenkomplexe. Grob gesagt wird diesewie folgt konstruiert: Sei R ein ninoko Ring. Statt der Kategorie RMod derR-Linksmoduln betrachten wir dann

• die Kategorie RCh der Kettenkomplexe,

• gehen dann zu Homotopiekategorie uber (Ausblick 5.1.15),

• und lokalisieren dann diese Kategorie an der Klasse der Kettenabbil-dungen, die Isomorphismen in Homologie induzieren (d.h. wie bei derklassischen Lokalisierung von Ringen invertieren wir solche Kettenab-bildungen formal durch einen geeigneten Bruchrechnungskalkul).

Die entstehende, derivierte, Kategorie ist ein geeigneter Lebensraum fur ab-geleitete Funktoren. Projektive Auflosungen liefern eine Moglichkeit, denZusammenhang zwischen der ursprunglichen Modulkategorie und der deri-vierten Kategorie etwas konkreter zu beschreiben (dies ist auch der Grund,warum man abgeleitete Funktoren konstruieren kann, ohne die derivierte Ka-tegorie einzufuhren).

5.3.3 Beispiele

Beispiel 5.3.11 (Tor und Flachheit). Sei R ein ninoko Ring und sei M ∈Ob(ModR) ein flacher R-Rechtsmodul. Dann gilt fur alle N ∈ Ob(RMod)und alle n ∈ N>0, dass

TorRn (M,N) ∼=Z {0},denn: Da M flach ist, ist mit der Auflosung (C(N), εN ) von N auch derKomplex M ⊗R

(C(N) � εN

)exakt. Insbesondere ist

TorRn (M,N) = Hn

(M ⊗R C(N)

) ∼=Z {0}

fur alle n ∈ N>0.

Beispiel 5.3.12 (Tor und direkte Summen). Da Tensorprodukte und Homolo-gie (nachrechnen) mit direkten Summen vertraglich sind, ist die Konstruktionder Tor-Funktoren in Definition 5.3.5 im ersten Argument mit direkten Sum-men vertraglich.

Mit der Flexibilitat aus Lemma 5.3.7 und dem Hufeisenlemma (Proposi-tion 5.2.15) kann man zeigen, dass die Tor-Funktoren auch im zweiten Argu-ment mit direkten Summen vertraglich sind (nachrechnen).

5.3. Tor 177

Beispiel 5.3.13 (Tor uber Hauptidealringen). Sei R ein Hauptidealring (z.B.R = Z), sei M ein R-Modul und sei N ein endlich erzeugter R-Modul. Danngilt

TorRn (M,N) ∼=Z {0}fur alle n ∈ N≥2, denn: Da N endlich erzeugt ist, gibt es fur ein geeigne-tes d ∈ N einen Epimorphismus π : Rd −→ N . Da R ein Hauptidealring ist,ist kerπ ⊂ Rd ein freier Modul (Satz II.2.5.14). Also ist

· · · // 0 // kerπ // Rdπ // N

eine projektive Auflosung des R-Moduls N . Ist n ∈ N≥2, so ist der Ketten-modul dieser Auflosung im Grad n der triviale Modul. Insbesondere ist

TorRn (M,N) ∼=R {0}.

Außerdem konnen wir TorR1 (M,N) fur endlich erzeugte Moduln M , Nuber dem Hauptidealring R mithilfe der Klassifikation der endlich erzeugtenModuln uber Hauptidealringen (Satz II.2.5.15), der Vertraglichkeit von Tormit direkten Summen (Beispiel 5.3.12) und der Berechnung aus Beispiel 5.3.4berechnen.

Beispiel 5.3.14 (unendliche homologische Dimension). Sei R := Z[T ]/(T 2−1).Dann gilt fur alle n ∈ N:

TorRn (Z,Z) ∼=Z

Z falls n = 0

Z/2 falls n ungerade

{0} falls n > 0 gerade

Begrundung: Wir verwenden die projektive R-Auflosung (P, ε) von Z ausBeispiel 5.2.7 und das Tor-Rezept aus Lemma 5.3.7: Der Komplex Z ⊗R Pist (da [T ] als Identitat auf Z operiert) isomorph zu dem unteren Komplex

· · · // Z⊗R RZ⊗R[1−T ]

//OO

∼=Z

��

Z⊗R RZ⊗R[1+T ]

//OO

∼=Z

��

Z⊗R RZ⊗R[1−T ]

//OO

∼=Z

��

Z⊗R ROO

∼=Z

��

· · · // Z0

// Z2

// Z0

// Z

Also erhalten wir

TorRn (Z,Z) ∼=Z Hn(Z⊗R P ) ∼=Z

Z falls n = 0

Z/2 falls n ungerade

{0} falls n > 0 gerade


fur alle n ∈ N.

Insbesondere zeigt dies: Der R-Modul Z besitzt keine endliche projektiveR-Auflosung (!), denn sonst ware nach Lemma 5.3.7 TorRn (Z,Z) in allen großgenugen Graden n trivial. Der harmlos wirkende Modul Z (Quietscheent-chen!) ist also uber R ein Monstermodul.

Satz 5.3.15 (Symmetrie von Tor). Sei R ein ninoko Ring und seien M ∈Ob(ModR) bzw. N ∈ Ob(RMod). Ist (P, ε) eine projektive Auflosung von Min ModR, so gilt fur alle n ∈ N, dass

TorRn (M,N) ∼=Z Hn(P ⊗R N).

Beweis. Es gibt mehrere mogliche Beweisstrategien. Zum Beispiel kann mandazu die Eindeutigkeit aus Satz 5.3.2 verwenden:

Ist n ∈ N und sind M ∈ Ob(ModR), N ∈ Ob(RMod), so betrachten wir

Tn(M,N) := Hn

(C ′(M)⊗R N

),

wobei C ′ die Rechtsmodulversion der funktoriellen Auflosung bezeichnet.Dann gilt:

• Der Funktor T0(M, · ) ist zu M ⊗R · : ModR −→ ZMod naturlichisomorph (analog zu Lemma 5.3.6).

• Ist M ein R-Rechtsmodul und (P, ε) eine projektive Auflosung von Min ModR, so gibt es einen naturlichen Isomorphismus Tn(M,N) ∼=ZHn(P ⊗R N) (analog zu Lemma 5.3.7).

• Ist

0 // N ′f// N

g// N ′′ // 0

eine kurze exakte Sequenz in RMod und ist M ein R-Rechtsmodul, soist

0 // C ′(M)⊗R N ′f// C ′(M)⊗R N

g// C ′(M)⊗R N ′′ // 0

eine kurze exakte Sequenz in ZCh (da C ′(M) gradweise flach ist). Mitder langen exakten Homologiesequenz (Proposition 5.1.17) erhalten wirdaraus eine lange exakte Sequenz der Form

· · · // Tk(M,N ′) // Tk(M,N) // Tk(M,N ′′)∂k // Tk−1(M,N ′) // · · ·

Analog zur Konstruktion aus Definition 5.3.5 kann man nun zeigen, dassauch diese Funktoren Tn(M, · ) zusammen mit den obigen Verbindungs-homomorphismen eine Ableitung des Tensorproduktfunktors M ⊗R ·

5.3. Tor 179

bilden. Mit der Eindeutigkeit (Satz 5.3.2) erhalten wir daher insbesonde-re TorRn (M,N) ∼=Z Tn(M,N); mit dem zweiten Zwischenschritt folgt somitdie Behauptung.

Korollar 5.3.16 (Symmetrie von Tor uber kommutativen Ringen). Sei R ein(kommutativer!) Ring und seien M und N Moduln uber R. Dann gibt es furjedes n ∈ N einen naturlichen Isomorphismus

TorRn (M,N) ∼=Z TorRn (N,M).

Beweis. Da R kommutativ ist, konnen wir M und N als Bimoduln auffassenund zwischen Links- und Rechtsmodulstrukturen hin- und herwechseln. MitSatz 5.3.15 und Bemerkung 1.5.9 erhalten wir daher fur alle n ∈ N:

TorRn (M,N) ∼=Z Hn

(C(M)⊗R N

) ∼=Z Hn

(N ⊗R C(M)

)= TorRn (N,M)

Alle diese Isomorphismen sind naturlich (in beiden Variablen).

Zum Beispiel kann man damit die folgende Charakterisierung von lokalfreien Moduln beweisen:

Satz 5.3.17 (lokal freie Moduln uber noetherschen Ringen). Sei R ein noether-scher Ring und sei M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann sind aquivalent:


2. Fur jedes p ∈ SpecR ist Mp = Rp ⊗RM ein flacher Rp-Modul.

3. Fur jedes p ∈ SpecR ist Mp = Rp ⊗RM ein freier Rp-Modul.

Beweis. Zu 1. ⇐⇒ 2. Dies haben wir bereits ganz allgemein bewiesen (Pro-position 3.4.6).

Zu 3. =⇒ 2. Wir wissen außerdem bereits, dass freie Moduln flach sind.

Zu 2. =⇒ 3. Es sei die zweite Bedingung erfullt. Sei p ∈ SpecR. Da M end-lich erzeugt ist, ist auch der Rp-Modul Mp endlich erzeugt. Mit Lemma 5.3.18folgt daher, dass Mp nicht nur flach, sondern sogar frei als Rp-Modul ist.

Lemma 5.3.18. Sei R ein noetherscher lokaler Ring und sei M ein endlicherzeugter flacher R-Modul. Dann ist M bereits ein freier R-Modul.

Beweis. Mithilfe von Tor (statt Projektivitat) passen wir den Beweis vonLemma 3.4.11 auf diese Situation an: Sei m ⊂ R das maximale Ideal von Rund sei k := R/m der Restklassenkorper von R. Wir verwenden den Basis-wechsel k ⊗R · .

• Da M endlich erzeugt ist, ist auch dimk k ⊗RM endlich.


• Wir wahlen nun x1, . . . , xd ∈M , fur die die zugehorige Familie in k⊗RM ∼=k M/m ·M eine k-Basis ist. Dies liefert einen R-Modulhomomor-phismus

f : Rd −→M,

fur den der induzierte Homomorphismus k ⊗R f : kd −→ k ⊗R M einIsomorphismus von k-Vektorraumen ist. Es genugt nun zu zeigen, dassf ein Isomorphismus ist.

• Das Lemma von Nakayama liefert, dass f surjektiv ist (Ubungsaufgabe).

• Außerdem ist f auch injektiv, denn: Wir zeigen dazu, dass K := ker f ⊂Rd trivial ist. Da R noethersch ist, ist K ein endlich erzeugter R-Modul(Proposition 4.1.9).

Da M ein flacher R-Modul ist, folgt analog zu Beispiel 5.3.11 mitSatz 5.3.15, dass

TorR1 (k,M) ∼=R {0}.Also liefert die lange exakte Tor-Sequenz fur TorR(k, · ), dass

{0} ∼=Z TorR1 (k,M) // k ⊗R Kk⊗RInkl

// k ⊗R Rdk⊗Rf // k ⊗RM // 0

exakt ist.

Da k⊗Rf nach Konstruktion ein Isomorphismus ist, ist somit k⊗RK ∼=k

{0}. Da K endlich erzeugt ist, folgt aus dem Lemma von Nakayama(oder Satz 3.1.6), dass K ∼=R {0}. Also ist f injektiv.

Insgesamt haben wir daher Rd ∼=R M gezeigt. Also ist M ein freier R-Modul,wie behauptet.

Ausblick 5.3.19 (lokal frei vs. projektiv). Mit denselben Techniken kann manauch die folgende Variante beweisen (bei der die Endlichkeitsbedingung aneine andere Stelle verschoben ist): Sei R ein Ring und sei M ein endlichprasentierter R-Modul. Dann sind aquivalent:

1. Der R-Modul M ist projektiv.

2. Fur jedes p ∈ SpecR ist Mp = Rp ⊗RM ein freier Rp-Modul.

Dass M endlich prasentiert ist, bedeutet dabei, dass es fur ein geeignetes d ∈N einen Epimorphismus Rd −→M gibt, dessen Kern endlich erzeugt ist.

Ausblick 5.3.20 (Wo begegnet man Tor?). Es gibt viele Situationen in deralgebraischen Geometrie und der algebraischen Topologie, in denen Ketten-komplexe, ihre Homologie und Tensorprodukte betrachtet werden. Bei Be-rechnungen in solchen Kontexten treten daher auch regelmaßig Tor-Termeals Korrekturterme auf.

A

Anhang


A.1 Das Worterbuch der affinen algebraischen Geometrie A.3A.2 Die adische Topologie A.5A.3 Algorithmische Kommutative Algebra A.7

A.2 A. Anhang

A.1. Das Worterbuch der affinen algebraischen Geometrie A.3

A.1 Das Worterbuchder affinen algebraischen Geometrie

Wir sammeln hier die ersten Eintrage im Worterbuch der affinen algebrai-schen Geometrie. Die Begriffe entsprechen sich dabei nicht in allen Fallenohne weitere Voraussetzungen exakt, sondern manchmal nur ungefahr. DieKorrespondenzen, die in dieser Vorlesung nicht im Detail erklart werden, sindgrau dargestellt.

Affine algebraische Geometrie Ringtheorie

affiner Raum AnK SpecK[X1, . . . , Xn]

affine algebraische Teilmenge (radikales) Verschwindungsideal

irreduzible algebraische Teilmenge primes Verschwindungsideal

affines Schema Primspektrum

abgeschlossener Punkt maximales Ideal

verallgemeinerter Punkt Primideal

Polynomfunktionen auf eineraffinen algebraischen Teilmenge

(Koordinaten-)Ring

Polynomfunktionen, die in einerUmgebung eines Punkts definiertsind

Lokalisierung des(Koordinaten-)Rings

Morphismen algebraischer Mengen Ringhomomorphismen

Dimension Krull-Dimension

algebraische Vektorbundel Moduln

A.4 A. Anhang

A.2. Die adische Topologie A.5

A.2 Die adische Topologie

Die adische Vervollstandigung von Ringen (Kapitel 3.5) kann auch mit topo-logischen Mitteln verstanden werden:

Bemerkung A.2.1 (die adische Topologie). Sei R ein Ring und sei a ⊂ R einIdeal. Dann ist

B := {x+ an | x ∈ R,n ∈ N>0}eine Umgebungsbasis einer Topologie auf R, denn:

• Es gilt⋃B = R, denn: Es ist

R =⋃

x∈R{x} ⊂

⋃

x∈R(x+ a).

• Fur alle U, V ∈ B mit U ∩ V 6= ∅ gibt es ein W ∈ B mit W ⊂ U ∩ V ,denn: Seien x, y ∈ R, n,m ∈ N>0 mit (x + an) ∩ (y + am) 6= ∅. Seiz ∈ (x+ an) ∩ (y + am). Dann ist z + amax(n,m) ⊂ (x+ an) ∩ (y + am)(nachrechnen).

Wir bezeichnen diese Topologie als die a-adische Topologie auf R.

Bezuglich dieser Topologie konnen wir von konvergenten bzw. Cauchyfol-gen sprechen:

Definition A.2.2 (adisch konvergent, adische Cauchyfolge). Sei R ein Ring undsei a ⊂ R ein Ideal.

• Eine Folge (xn)n∈N in R ist a-adisch konvergent, wenn es ein x ∈ R mitfolgender Eigenschaft gibt: Fur jedes n ∈ N existiert ein N ∈ N mit

∀k∈N≥N xk − x ∈ an.

• Eine Folge (xn)n∈N in R ist eine a-adische Cauchyfolge, wenn folgendesgilt: Fur jedes n ∈ N existiert ein N ∈ N mit

∀k,`∈N≥N xk − x` ∈ an.

Es handelt sich bei der adischen Konvergenz also um arithmetische Kon-vergenz (d.h. Elemente, die sich

”gut“ teilen lassen, sind

”nahe“ bei Null),

nicht um die aus der klassischen Geometrie bekannte Konvergenz.

Beispiel A.2.3. Die Folge1, 2, 4, 8, 16, . . .

A.6 A. Anhang

in Z konvergiert bezuglich der (2)-adischen Topologie gegen 0; indem man dieReste dieser Folge modulo 3 betrachtet, kann man zeigen, dass diese Folgebezuglich der (3)-adischen Topologie auf Z nicht konvergiert.

Die adische Vervollstandigung kann im folgenden Sinne tatsachlich als Ver-vollstandigung angesehen werden (Ubungsaufgabe):

Proposition A.2.4 (adische Vervollstandigung als Vervollstandigung). Sei R einRing, sei a ⊂ R ein Ideal, sei i : R −→ RJaK der kanonische Ringhomomor-phismus und a das von i(a) in RJaK erzeugte Ideal. Dann gilt:

1. Die Menge i(R) ist dicht in RJaK bezuglich der a-adischen Topologie.

2. Der Ring RJaK ist a-adisch vollstandig.

Ein Vorzug dieser Charakterisierung ist, dass man damit auch Ringhomo-morphismen aus adischen Vervollstandigungen heraus (in vollstandige Ringe)gut beschreiben kann – als eindeutige stetige Fortsetzung von Ringhomomor-phismen auf dem gegebenen Ring.

A.3. Algorithmische Kommutative Algebra A.7

A.3 Algorithmische Kommutative Algebra

Mochte man die Kommutative Algebra auf konkrete Probleme (z.B. in derRobotik; Ausblick 2.2.13) anwenden, so stellt sich die Frage, inwieweit dieIdealtheorie in Polynomringen K[X1, . . . , Xn] uber Korpern algorithmischbehandelt werden kann. Zum Beispiel: Gibt es Algorithmen, die

• fur Ideale a ⊂ K[X1, . . . , Xn] und f ∈ K[X1, . . . , Xn] entscheidenkonnen, ob f ∈ a ist?

• fur Ideale a, b ⊂ K[X1, . . . , Xn] das Ideal a ∩ b berechnen konnen?

• zu Idealen a ⊂ K[X1, . . . , Xn] das Radikal√a berechnen konnen?

• zu Idealen a ⊂ K[X1, . . . , Xn] die Primarzerlegung bestimmen konnen?

Um diese Fragen zu beantworten, ist es essentiell, Ideale in K[X1, . . . , Xn]gut beschreiben zu konnen. Nach dem Hilbertschen Basissatz (Satz 4.1.10) istjedes Ideal in K[X1, . . . , Xn] endlich erzeugt. Die Kunst besteht nun darin,

”gute“ endliche Erzeugendensysteme zu bestimmen.

Ist n = 1, so ist der zugehorige Polynomring K[X1] ein euklidischerRing; mithilfe des euklidischen Algorithmus (Algorithmus II.2.4.28) lassensich Ideale in K[X1] gut behandeln.

Beispiel A.3.1 (Das Ideal-Mitgliedschafts-Problem in einer Variablen). Sei F ⊂K[X1] eine endliche Teilmenge und sei f ∈ K[X1]. Wir konnen wie folgtalgorithmisch entscheiden, ob f ∈ (F ) ist oder nicht:

• Mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen wir”den“ großten ge-

meinsamen Teiler g von F in K[X1].[Dann ist (g) = (F ).]

• Mithilfe von Polynomdivision (Beweis von Proposition II.2.4.6) bestim-men wir dann den Rest r ∈ K[X1] von f bei Division durch g.

– Ist r = 0, so ist f ∈ (g) = (F ).

– Ist r 6= 0, so ist f 6∈ (g) = (F ).

Ist n > 1, so versucht man, sich auf sogenannte monomiale Idealezuruckzuziehen, und ersetzt den euklidischen Algorithmus durch einen allge-meineren Divisionsalgorithmus. Die Kombination dieser Ideen fuhrt zu denGrobner-Basen, die die Grundlage der algorithmischen Kommutativen Alge-bra bilden.

Caveat A.3.2. In diesem Kontext steht das Wort Basis im Normalfall furErzeugendensysteme von Idealen (und nicht fur Basen im Sinne der LinearenAlgebra).

Notation A.3.3. Im folgenden sei K ein Korper und n ∈ N.

A.8 A. Anhang

A.3.1 Monomiale Ideale

Definition A.3.4 (monomiales Ideal).

• Ist α ∈ Nn, so schreiben wir Xα :=∏nj=1X

αjj ∈ K[X1, . . . , Xn].

• Ein Ideal a ⊂ K[X1, . . . , Xn] ist monomial, wenn es von Monomenerzeugt wird, d.h., wenn es eine Teilmenge A ⊂ Nn gibt mit

a =({Xα | α ∈ A}

)⊂ K[X1, . . . , Xn].

Wichtige Eigenschaften monomialer Ideale sind [6, Kapitel 2.4]: Sei a =({Xα | α ∈ A}) ⊂ K[X1, . . . , Xn] ein monomiales Ideal.

• Ist β ∈ Nn, so gilt genau dann Xβ ∈ a, wenn es ein α ∈ A mit Xα | Xβ

gibt.

• Ist f ∈ K[X1, . . . , Xn], so gilt genau dann f ∈ a, wenn jeder monomialeTerm von f in a liegt.

• Dicksons Lemma. Es gibt eine endliche Teilmenge A′ ⊂ A mit a =({Xα | α ∈ A′}).

Mit monomialen Idealen kann man also effizient umgehen.

A.3.2 Leitkoeffizienten

In der klassischen Polynomdivision und im euklidischen Algorithmus wirddie Große von Polynomen durch den Grad gemessen. Fur Polynome in meh-reren Variablen benotigen wir also eine geeignete Gradfunktion. Außerdembietet es sich an, wie im Beweis des Hilbertschen Basissatzes (Satz 4.1.10),Leitkoeffizienten etc. zu betrachten.

Definition A.3.5 (lexikographische Ordnung). Auf Nn betrachten wir die lexi-kographische Ordnung, die wie folgt definiert ist: Fur alle α, β ∈ Nn sei genaudann α < β, wenn es ein k ∈ {1, . . . , n} mit

∀j∈{1,...,k−1} αj = βj und αk < βk

gibt.

Bemerkung A.3.6. Die Theorie der Grobner-Basen funktioniert auch mitgeeigneten anderen Ordnungen auf Monomen. Je nach Anwendung kann esgunstig sein, nicht die lexikographische Ordnung zu verwenden.


Definition A.3.7 (Multigrad, Leit. . . ). Sei f =∑α∈Nn aα·Xα ∈ K[X1, . . . , Xn].

Dann definieren wir:

Multigrad von f mdeg f := max{α ∈ Nn | aα 6= 0} ∈ NnLeitkoeffizient von f LC(f) := amdeg f ∈ KLeitmonom von f LM(f) := Xmdeg f ∈ K[X1, . . . , Xn]Leitterm von f LT(f) := LC(f) · LM(f) = amdeg f ·Xmdeg f

Definition A.3.8 (Leittermideal). Sei a ⊂ K[X1, . . . , Xn] ein Ideal. Dannschreiben wir

LT(a) :={

LT(f)∣∣ f ∈ a \ {0}

}⊂ K[X1, . . . , Xn].

Man bezeichnet (LT(a)) als das Leittermideal von a.

A.3.3 Verallgemeinerte Division

Da K[X1, . . . , Xn] mit n ≥ 2 kein euklidischer Ring ist, gibt es keinegewohnliche Division mit Rest in K[X1, . . . , Xn]. Als Ersatz dafur verwendetman den folgenden verallgemeinerten Divisionsalgorithmus:

Satz A.3.9 (verallgemeinerte Division). Sei d ∈ N und seien g1, . . . , gd ∈K[X1, . . . , Xn]. Ist f ∈ K[X1, . . . , Xn], so gibt es eine Darstellung

f = q1 · g1 + · · ·+ qd · gd + r,

wobei q1, . . . , qd, r ∈ K[X1, . . . , Xn] sind und r die folgende Bedingung erfullt:Es ist r = 0 oder keines der Monome in r is durch eines der Mono-me LT(g1), . . . ,LT(gd) teilbar. Eine solche Darstellung wird durch den Al-gorithmus A.3.10 berechnet.

Man nennt dann r einen Rest von f bei Division durch {g1, . . . , gd}.Algorithmus A.3.10 (verallgemeinerter Divisionsalgorithmus). Sei f, g1, . . . , gd ∈K[X1, . . . , Xn]. Wir berechnen daraus das (d+ 1)-Tupel

Div(f, g1, . . . , gd, 0, . . . , 0, f) ∈ K[X1, . . . , Xn]d+1.

Dabei ist Div(f, g1, . . . , gd, q1, . . . , qd, r) (fur q1, . . . , qd, r ∈ K[X1, . . . , Xn])wie folgt definiert:

• Falls es ein j ∈ {1, . . . , d} mit LT(gj) | LT(r) gibt, so setzen wir (fallsder Algorithmus deterministsch sein soll, wahlen wir dafur das minimalesolche j)

qj := qj +LT(r)

LT(gj)

r := r − LT(r)

LT(gj)· gj

A.10 A. Anhang

und bestimmen rekursiv

Div(f, g1, . . . , gd, q1, . . . , qj−1, qj , qj+1, . . . , qd, r).

• Falls es kein j ∈ {1, . . . , d} mit LT(gj) | LT(r) gibt, so ist das Ergeb-nis (q1, . . . , qd, r).

A.3.4 Grobner-Basen

Nach Konstruktion sind Leittermideale monomiale Ideale (und konnen somitgut behandelt werden). Grobner-Basen sind endliche Erzeugendensystemevon Idealen, deren Leitterme das zugehorige Leittermideal erzeugen; somitkonnen viele Fragen uber allgemeine Ideale in K[X1, . . . , Xn] in entsprechen-de Fragen uber monomiale Ideale ubersetzt werden (die sich dann algorith-misch losen lassen).

Satz und Definition A.3.11 (Grobner-Basis). Sei a ⊂ K[X1, . . . , Xn] ein Ide-al.

1. Dann existiert ein d ∈ N und g1, . . . , gd ∈ a mit

(LT(a)

)=(LT(g1), . . . ,LT(gd)

)⊂ K[X1, . . . , Xn].

2. In diesem Fall ist {g1, . . . , gd} bereits ein Erzeugendensystem von a.

Man nennt dann {g1, . . . , gd} eine Grobner-Basis von a.

Beweis. Zu 1. Da (LT(a)) ein monomiales Ideal ist, folgt dies aus DicksonsLemma.

Zu 2. Dies kann man zum Beispiel mit dem verallgemeinerten Divisonsal-gorithmus (Algorithmus A.3.10) nachweisen [6, Exercise 2.5.6].

Bemerkung A.3.12 (Eindeutigkeit von Resten bei der verallgemeinerten Divisi-on). Ist {g1, . . . , gd} ⊂ K[X1, . . . , Xn] und f ∈ K[X1, . . . , Xn], so schreibenwir auch kurz

f{g1,...,gd}

:= Div(f, g1, . . . , gd, 0, . . . , 0, f) ∈ K[X1, . . . , Xn].

Ist {g1, . . . , gd} eine Grobner-Basis eines Ideals in K[X1, . . . , Xn], so gilt: Furjedes f ∈ K[X1, . . . , Xn] gibt es genau einen Rest r ∈ K[X1, . . . , Xn] von fbei Division durch {g1, . . . , gd} [6, Proposition 2.6.1]. Insbesondere ist dann

f{g1,...,gd}

= r.


A.3.5 Der Algorithmus von Buchberger

Mochte man Idealprobleme algorithmisch mit Grobner-Basen losen, so ist eserforderlich, Grobner-Basen aus endlichen Erzeugendensystemen von Idealenalgorithmisch zu bestimmen. Dies leistet der Algorithmus von Buchberger.

Satz A.3.13 (Berechnung von Grobner-Basen). Sei F ⊂ K[X1, . . . , Xn] eineendliche Teilmenge. Dann terminiert der Algorithmus von Buchberger auf Fund Buchberger(F ) (Algorithmus A.3.15) ist eine Grobner-Basis von (F ) (dieF enthalt).

Ist {g1, . . . , gd} ⊂ K[X1, . . . , Xn], so ist {g1, . . . , gd} im allgemeinen keineGrobner-Basis von (g1, . . . , gd) ⊂ K[X1, . . . , Xn], da sich bei Kombinationder g1, . . . , gd hohe Terme wegheben konnen und dadurch

”neue“ Leitkoeffi-

zienten entstehen. Daher fuhrt man die folgende Notation ein:

Notation A.3.14. Sind g, h ∈ K[X1, . . . , Xn], so schreiben wir

S(g, h) :=Xγ

LT(g)· g − Xγ

LT(h)· h,

wobei α := mdeg g, β := mdeg h, γ := (max(α1, β1), . . . ,max(αn, βn)) ∈ Nn.Nach Konstruktion sorgt also S(g, h) fur die Elimination der Leitterme.

Beweis von Satz A.3.13. Der Beweis [6, Kapitel 2.7] beruht auf dem Kriteri-um von Buchberger : Ist G ⊂ K[X1, . . . Xn] mit F ⊂ G, so ist G genau danneine Grobner-Basis von (F ), wenn folgendes gilt:

∀g,h∈G g 6= h =⇒ S(g, h)G

= 0

(fur die Notation: s. Notation A.3.14).

Algorithmus A.3.15 (Algorithmus von Buchberger). Sei G ⊂ K[X1, . . . , Xn]eine endliche Teilmenge. Dann berechnen wir die endliche Teilmenge

Buchberger(G) ⊂ K[X1, . . . , Xn]

wie folgt:

• Sei M :={S(g, h)

G ∣∣ g, h ∈ G mit g 6= h}

(wobei wir die Reste mithilfevon Algorithmus A.3.10 bestimmen).

– Ist M = {0}, so ist G das Ergebnis.

– Ist M 6= {0}, so bestimmen wir rekursiv Buchberger(G ∪M).

A.12 A. Anhang

A.3.6 Ein Beispielproblem

Zum Abschluss zeigen wir an einem einfachen Beispiel, wie die Theorie derGrobner-Basen eingesetzt werden kann:

Beispiel A.3.16 (Ideal-Mitgliedschafts-Problem). Sei F ⊂ K[X1, . . . , Xn] undsei f ∈ K[X1, . . . , Xn]. Wir konnen wie folgt algorithmisch entscheiden, obf ∈ (F ) ist oder nicht:

• Mit dem Algorithmus von Buchberger (Algorithmus A.3.15) bestimmenwir eine Grobner-Basis G von (F ) (mit F ⊂ G).[Dann ist (G) = (F ).]

• Mit dem verallgemeinerten Divisionsalgorithmus (Algorithmus A.3.10)

bestimmen wir dann fG ∈ K[X1, . . . , Xn].

– Ist fG

= 0, so ist f ∈ (G) = (F ).[Nach Definition der Reste.]

– Ist fG 6= 0, so ist f 6∈ (G) = (F ).

[Angenommen, f ∈ (F ) = (G). Dann ware auch fG ∈ (G), und

damit LT(fG

) ∈ (LT(G)), im Widerspruch zu den Eigenschaftenmonomialer Ideale und der Definition der Reste.]

Anmerkung zum Lernen. Vergleichen Sie Beispiel A.3.1 und Beispiel A.3.16.

B

Ubungsblatter

Ubungen zur Kommutativen Algebra

Prof. Dr. C. Loh/D. Fauser Blatt 0 vom 13. April 2018

Aufgabe 1 (Kategorien). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? BegrundenSie Ihre Antwort (durch einen Beweis oder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Ist X ein Objekt einer Kategorie C, so ist MorC(X,X) 6= ∅.2. Sind X und Y Objekte in einer Kategorie C, so ist MorC(X,Y ) 6= ∅.

Aufgabe 2 (eindeutige Morphismen). Sei C eine Kategorie und X ∈ Ob(C).

1. Zeigen Sie, dass es nur genau einen Identitatsmorphismus fur X in C gibt.

2. Zeigen Sie: Ist Y ∈ Ob(C) und ist f ∈ MorC(X,Y ) ein Isomorphismus, sogibt es genau einen zu f inversen Isomorphismus in MorC(Y,X).

3. Wie konnen Sie aus diesen Aussagen die Eindeutigkeit neutraler Elementebzw. inverser Elemente in Gruppen ableiten?

Aufgabe 3 (glatte Funktionen). Sei n ∈ N.

1. Definieren Sie die Kategorie Openn der offenen Teilmengen von Rn undInklusionen solcher Teilmengen und weisen Sie nach, dass es sich dabeium eine Kategorie handelt.

2. Definieren Sie den kontravarianten Funktor C∞ : Openn −→ VectR derglatten Funktionen auf offenen Teilmengen von Rn und Einschrankung sol-cher Funktionen und weisen Sie nach, dass es sich dabei um einen Funktorhandelt.

Hinweis. Falls Sie Analysis II noch nicht gehort haben, konnen Sie sich auf denFall n = 1 beschranken.

Aufgabe 4 (Null). Sei C eine Kategorie. Ein Nullobjekt in C ist ein Objekt N ∈Ob(C) mit folgender Eigenschaft: Fur jedes Objekt X ∈ Ob(C) gibt es genaueinen Morphismus in MorC(X,N) und genau einen Morphismus in MorC(N,X).

1. Zeigen Sie, dass die Kategorien VectR, Group, ZMod jeweils ein Nullobjektbesitzen.

2. Besitzt die Kategorie Set ein Nullobjekt? Begrunden Sie Ihre Antwort!

3. Zeigen Sie: Falls eine Kategorie ein Nullobjekt besitzt, so ist dieses bis aufIsomorphie eindeutig bestimmt.

Bonusaufgabe (Functor). Was hat die Typklasse Functor in der Programmier-sprache Haskell (http://www.haskell.org) mit Funktoren im Sinne der Kategori-entheorie zu tun?Hinweis. Betrachten Sie die Kategorie, deren Objekte Haskell-Typen und derenMorphismen Haskell-Funktionen sind . . .

keine Abgabe; diese Aufgaben werden in den Ubungenin der zweiten Vorlesungswoche besprochen



Aufgabe 1 (kleine Kategorien). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Be-grunden Sie Ihre Antwort (durch einen Beweis oder ein geeignetes Gegenbei-spiel)!

1. Es gibt eine Kategorie mit genau 2018 Objekten.

2. Ist X ein Objekt in einer Kategorie C mit |MorC(X,X)| = 2018, so istjeder Morphismus in MorC(X,X) ein Isomorphismus.

Aufgabe 2 (Isomorphie). Sei C eine Kategorie und X,Y, Z ∈ Ob(C).

1. Zeigen Sie: Gilt X ∼=C Y , so folgt Y ∼=C X.

2. Zeigen Sie: Gilt X ∼=C Y und Y ∼=C Z, so folgt X ∼=C Z.

Aufgabe 3 (Gruppenkategorien). Seien G und H Gruppen. Wie kann man Funk-toren CG −→ CH gruppentheoretisch beschreiben? Formulieren Sie eine geeig-nete Behauptung und beweisen Sie diese!

Aufgabe 4 (Kern). Sei C eine Kategorie, die ein Nullobjekt N besitzt (s. Aufga-be 4 von Blatt 0). Sind X,Y ∈ Ob(C), so schreiben wir nX,Y ∈ MorC(X,Y ) furdie Komposition der eindeutigen Morphismen in MorC(N,Y ) und MorC(X,N).Sind X,Y ∈ Ob(C) und ist f ∈ MorC(X,Y ), so ist ein Paar (K, k), beste-hend aus einem Objekt K ∈ Ob(C) und einem Morphismus k ∈ MorC(K,X),ein Kern von f in C, wenn f ◦ k = nK,Y und folgendes gilt: Fur jedes Ob-jekt K ′ ∈ Ob(C) und jeden Morphismus k′ ∈ MorC(K ′, X) mit f ◦ k′ = nK′,Y

gibt es genau einen Morphismus g ∈ MorC(K ′,K) mit k ◦ g = k′.

1. Illustrieren Sie diesen Begriff durch ein geeignetes Diagramm!

2. Sei R ein Ring. Zeigen Sie, dass jeder Morphismus in RMod einen Kernim obigen Sinne besitzt.

3. Zeigen Sie: Falls ein Morphismus in einer Kategorie einen Kern im obigenSinne besitzt, so ist dieser Kern

”im wesentlichen“ eindeutig bestimmt.

Bonusaufgabe (Gruppoide).

1. Wie sind Gruppoide (via Kategorien) und Gruppoidmorphismen definiert?

2. Was ist der Zusammenhang zu Gruppen und Gruppenhomomorphismen?

Hinweis. Vergessen Sie nicht, alle verwendeten Quellen zu zitieren!

Abgabe bis zum 20. April 2018, 10:00 Uhr, in die Briefkasten



Aufgabe 1 (Hom). Seien X und Y Moduln uber Z. Welche der folgenden Aus-sagen sind in dieser Situation immer wahr? Begrunden Sie Ihre Antwort (durcheinen Beweis oder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Gilt ZHom(X,Z) ∼=Z ZHom(Y,Z), so folgt X ∼=Z Y .

2. Gilt ZHom(Z, X) ∼=Z ZHom(Z, Y ), so folgt X ∼=Z Y .

Aufgabe 2 (Einheitswurzeln).

1. Zeigen Sie, dass die multiplikative Gruppe {z ∈ C | ∃n∈N>0zn = 1} der

komplexen Einheitswurzeln und die additive Gruppe Q/Z isomorph sind.

2. Wie kann man die Familie (Z/n)n∈N>0abelscher Gruppen so zu einem

Diagramm (uber eine geeignete partielle Ordnung auf N>0) erweitern, dasslim−→n∈N>0

Z/n ∼=Ab Q/Z gilt? Begrunden Sie Ihre Antwort!

Aufgabe 3 (eine Wurzel aus −1). Sei

R :=

{(xn)n∈N ∈

∏

n∈NZ/(5n)

∣∣∣∣ ∀n∈N xn+1 ≡ xn mod 5n}.

Dann bildetR bezuglich komponentenweiser Addition/Multiplikation einen Ring.

1. Zeigen Sie, dass der durch konstante Folgen gegebene Ringhomomorphis-mus Z −→ R injektiv ist.

2. Wie kann man R als inversen Limes der Form lim←−n∈N Z/(5n) in Ring auf-

fassen?

3. Sei n ∈ N>0, sei x ∈ Zmit x ≡ 2 mod 5 und es gebe eine ganze Zahl k ∈ Zmit x2 + 1 = 5n · k. Zeigen Sie: Dann erfullt y := x − 4 · 5n · k ∈ Z dieGleichung y2 ≡ −1 mod 5n+1.

4. Folgern Sie: Es gibt ein x ∈ R mit x2 = −1.Aufgabe 4 (darstellbare Funktoren und Limiten). Sei C eine Kategorie und seiX ∈ Ob(C). Zeigen Sie, dass der Funktor MorC(X, · ) : C −→ Set im folgendenSinne mit inversen Limiten vertraglich ist:

Ist (I,≤) eine partiell geordnete Menge und ist Y := lim←−i∈IXi ein in-

verser Limes eines I-Diagramms in C, so erfullt MorC(X,Y ) zusammenmit den induzierten Morphismen die universelle Eigenschaft des inversenLimes lim←−i∈I

MorC(X,Xi) in Set.

Hinweis. Verstehen Sie, was mit”mit den induzierten Morphismen“ gemeint

ist? Welche universelle Eigenschaft ist nachzuweisen?

Bonusaufgabe (Polymorphismus). Was haben polymorphe Funktionen in derProgrammiersprache Haskell mit naturlichen Transformationen im Sinne derKategorientheorie zu tun?Hinweis. Theorems for free!

Abgabe bis zum 27. April 2018, 10:00 Uhr, in die Briefkasten



Aufgabe 1 (Tensorquadrate). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Be-grunden Sie Ihre Antwort!

1. Es gilt Q⊗Z Q ∼=Z Q.

2. Es gilt Q/Z⊗Z Q/Z ∼=Z {0}.Aufgabe 2 (Tensorprodukt und Ideale). Sei R ein Ring und seien a, b ⊂ R Idealein R. Zeigen Sie, dass

R/a⊗R R/b −→ R/(a ∪ b)[x]⊗ [y] 7−→ [x · y]

ein wohldefinierter R-Modulisomorphismus ist. Geben Sie zwei Beweise:

1. indem Sie einen inversen Isomorphismus konstruieren.

2. mithilfe der Vertraglichkeit von Tensorprodukten mit Quotienten.

Aufgabe 3 (Tensorprodukte und Isomorphie). Sei R := Z[X,Y ]. Zeigen Sie diefolgenden Aussagen mithilfe eines geeigneten Tensorproduktfunktors:

1. R⊕R/(X) 6∼=R R⊕R/(X)⊕R/(X)

2. R/(X)⊕R/(X)⊕R/(X+1, Y ) 6∼=R R/(X)⊕R/(X+1, Y )⊕R/(X+1, Y )

Aufgabe 4 (Tensorprodukt als Koprodukt). Seien R und S Ringe.

1. Zeigen Sie: die abelsche Gruppe R ⊗Z S bildet bezuglich der folgendenMultiplikation einen Ring:

(R⊗Z S)× (R⊗Z S) −→ R⊗Z S

(x⊗ y, x′ ⊗ y′) 7−→ (x · x′)⊗ (y · y′)

2. Zeigen Sie, dass R ⊗Z S zusammen mit den folgenden Abbildungen dasKoprodukt von R und S in der Kategorie Ring bildet:

R −→ R⊗Z S

x 7−→ x⊗ 1

S −→ R⊗Z S

x 7−→ 1⊗ x

Bonusaufgabe (Tensorprodukt von Korpern). Wir betrachten Q(√

2) und Q(i)als Teilkorper von C und auf den Tensorprodukten die Ringstruktur, die analogzu Aufgabe 4 definiert ist.

1. Zeigen Sie, dass der Ring Q(√

2)⊗Q Q(√

2) kein Korper ist.

2. Zeigen Sie, dass der Ring Q(√

2)⊗Q Q(i) zum Kompositum Q(√

2) ·Q(i)in C isomorph ist.

Bonusaufgabe (alternative Bonusaufgabe, falls Algebra noch nicht gehort wurde).Zeigen Sie, dass Q(

√2) := {a + b ·

√2 | a, b ∈ Q} ⊂ R bezuglich der reel-

len Addition/Multiplikation einen Korper bildet und dass Q(√

2) als Ring zumRestklassenring Q[T ]/(T 2 − 2) isomorph ist.

Abgabe bis zum 4. Mai 2018, 10:00 Uhr, in die Briefkasten


Prof. Dr. C. Loh/D. Fauser Blatt 4 vom 4. Mai 2018

Aufgabe 1 (induzierte Abbildungen und Spec). Seien R und S Ringe und seif : R −→ S ein Ringhomomorphismus. Welche der folgenden Aussagen sind indieser Situation immer wahr? Begrunden Sie Ihre Antwort! (durch einen Beweisoder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Ist f surjektiv, so ist auch Spec f : SpecS −→ SpecR surjektiv.

2. Ist f injektiv, so ist auch Spec f : SpecS −→ SpecR injektiv.

Aufgabe 2 (zwei Punkte). Sei R := R[X,Y ]/(Y −X2, Y +X).

1. Zeigen Sie, dass R ∼=Ring R× R ist.

Hinweis. Eliminieren Sie zunachst eine Variable und wenden Sie dannden Chinesischen Restsatz an.

2. Folgern Sie, dass SpecR genau zwei Elemente enthalt. Beschreiben Siediese beiden Primideale in R auf moglichst einfache Weise.

Aufgabe 3 (Zariski-Topologie). Sei R ein Ring. Ist a ⊂ R, so schreiben wir

VR(a) := {p ∈ SpecR | a ⊂ p} ⊂ SpecR.

1. Zeigen Sie: Es gibt a, b ⊂ R mit VR(a) = ∅ und VR(b) = SpecR.

2. Zeigen Sie: Ist (ai)i∈I eine Familie von Teilmengen von R, so gilt

⋂

i∈I

VR(ai) = VR

(⋃

i∈I

ai

).

3. Zeigen Sie: Sind a, b ⊂ R, so gilt VR(a)∪VR(b) = VR({x ·y | x ∈ a, y ∈ b}

).

Aufgabe 4 (Nilradikal). Sei R ein Ring. Das Nilradikal von R ist definiert als

N(R) := {x ∈ R | ∃n∈N>0xn = 0} ⊂ R.

1. Zeigen Sie, dass N(R) ein Ideal in R ist.

2. Zeigen Sie, dass N(Z/(4)× Z/(4)

)kein Primideal in Z/(4)× Z/(4) ist.

3. Zeigen Sie, dass N(R) ⊂ ⋂p∈SpecR p.

4. Zeigen Sie, dass N(R) ⊃ ⋂p∈SpecR p.

Hinweis. Zornsches Lemma!

Bonusaufgabe (Topologie via Algebra). Sei X ein topologischer Hausdorffraum(z.B. X = [0, 1]) und sei

µ : X −→ mSpecC(X,R)

x 7−→{f ∈ C(X,R)

∣∣ f(x) = 0}.

Zeigen Sie: Eine Teilmenge V ⊂ X ist genau dann abgeschlossen, wenn es einIdeal a ⊂ C(X,R) mit µ(V ) = VC(X,R)(a) ∩mSpecC(X,R) (Aufgabe 3) gibt.Hinweis. Wenn Sie mochten, konnen Sie nur den Spezialfall X = [0, 1] behan-deln. Die Mengen {x ∈ X | f(x) 6= 0} mit f ∈ C(X,R) bilden eine Basis derTopologie auf X.




Aufgabe 1 (affine algebraische Mengen). Sei K ein Korper, sei n ∈ N>0 undseien V,W ⊂ Kn affine algebraische Mengen. Welche der folgenden Aussagensind in dieser Situation immer wahr? Begrunden Sie Ihre Antwort! (durch einenBeweis oder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Dann ist auch V ∩W eine affine algebraische Menge.

2. Dann ist auch V \W eine affine algebraische Menge.

Aufgabe 2 (Nullstellenmengen vs. Ideale). Sei K ein Korper, sei n ∈ N und seiV ⊂ Kn eine affine algebraische Menge. Zeigen Sie, dass

VK

(IK(V )

)= V.

Aufgabe 3 (”Octdong“ und

”Tuelle“). Wir betrachten die Polynome

f := X2 + Y 2 + Z4 − Z2 ∈ R[X,Y, Z]

g := Y · Z · (X2 + Y − Z) ∈ R[X,Y, Z]

in R[X,Y, Z] und die zugehorigen affinen algebraischen Mengen V := VR(f)bzw. W := VR(g) in R3.

1. Verwenden Sie ein Computer-Algebra-System Ihrer Wahl, um graphischeDarstellungen von V und W zu erhalten. Vergessen Sie nicht, die Achsenzu beschriften!

2. Geben Sie zwei verschiedene Punkte von SpecKR[V ] oder zwei verschie-dene Punkte von SpecKR[W ] an und begrunden Sie Ihre Antwort!

Hinweis. Der Korper R ist nicht algebraisch abgeschlossen!

Aufgabe 4 (Nilradikal und Restklassenringe). Sei R ein Ring und sei N(R) ⊂ Rdas Nilradikal von R (Aufgabe 4 von Blatt 4).

1. Zeigen Sie: Der Restklassenring R/N(R) enthalt außer der Null keine nil-potenten Elemente.

Hinweis. Ein Element x ∈ R ist nilpotent, wenn es ein n ∈ N>0 mit xn = 0gibt.

2. Zeigen Sie: Ist S ein Ring, der außer der Null keine nilpotenten Elementeenthalt, und ist f : R −→ S ein Ringhomomorphismus, so faktorisiert feindeutig uber einen Ringhomomorphismus R/N(R) −→ S.

Bonusaufgabe (Robotik).

• Wie treten affine algebraische Mengen/Varietaten in der Robotik auf?

• Was sind das forward bzw. inverse kinematics problem?




Aufgabe 1 (Dimension, algebraisch). Seien R und S Ringe und sei f : R −→ Sein Ringhomomorphismus. Welche der folgenden Aussagen sind in dieser Situa-tion immer wahr? Begrunden Sie Ihre Antwort (durch einen Beweis oder eingeeignetes Gegenbeispiel)!

1. Ist f : R −→ S injektiv, so ist dimR ≤ dimS.

2. Ist f : R −→ S surjektiv, so ist dimR ≥ dimS.

Aufgabe 2 (Dimension, geometrisch). Sei f := Y 2 −X3 −X2 ∈ R[X,Y, Z].

1. Skizzieren Sie VR(f) ⊂ R3.

2. Zeigen Sie, dass das Polynom f in C[X,Y, Z] prim ist.

Hinweis. Sie durfen naturlich verwenden, dass C[X,Y, Z] faktoriell ist.

3. Bestimmen Sie die Dimension des Koordinatenrings KC[VC(f)].

Aufgabe 3 (Dimension von Z, anders). Zeigen Sie durch elementare Zahlentheorie(ohne das Kriterium von Coquand und Lombardi zu verwenden):

∀x0,x1∈Z ∃k0,k1∈N ∃y0,y1∈Z xk00 ·

(xk11 · (1 + x1 · y1) + x0 · y0

)= 0.

Aufgabe 4 (die p-adischen ganzen Zahlen). Sei p ∈ Z prim und sei

ZJpK := lim←−n∈N>0

Z/(pn)

der Ring der p-adischen ganzen Zahlen. Der inverse Limes wird dabei uber dasinverse System (πn,k : Z/(pn)→ Z/(pk))n,k∈N>0,k≤n der kanonischen Projektio-nen gebildet; zu n ∈ N>0 sei πn : ZJpK −→ Z/(pn) die zugehorige Strukturabbil-dung des inversen Limes.

1. Sei m := kerπ1. Zeigen Sie, dass ZJpK/m ∼=Ring Z/(p) ist.

2. Zeigen Sie, dass jedes Element aus ZJpK \m in ZJpK invertierbar ist.

Hinweis. Betrachten Sie das konkrete Modell von ZJpK als Teilring desProdukts

∏n∈N>0

Z/(pn) und konstruieren Sie das multiplikative Inverse

induktiv (ahnlich zu Aufgabe 3 von Blatt 2).

3. Wieviele maximale Ideale besitzt also ZJpK ?

Bonusaufgabe (1+1=3). Sei K ein Korper, sei A := K(X) = Q(K[X]) der

rationale Funktionenkorper uber K und sei R := AJY K der formale Potenzrei-

henring uber A. Ist f ∈ R, so schreiben wir kurz f(0) fur den Koeffizienten

(in K(X)) von Y 0 in f . Sei R :={f ∈ R

∣∣ f(0) ∈ K}.

1. Zeigen Sie, dass m :={f ∈ R

∣∣ f(0) = 0}

ein maximales Ideal in R ist.

2. Zeigen Sie, dass m das einzige nicht-triviale Primideal von R ist.

3. Sei p :={g ∈ R[T ]

∣∣ g(X) = 0 (in R)}

. Zeigen Sie, dass p ein Primidealin R[T ] ist, das 0 ( p ( m[T ] erfullt.

4. Zeigen Sie, dass dimR = 1 und dimR[T ] = 3 ist.




Aufgabe 1 (Verschwindungskriterium?). Sei R ein Integritatsring und S ⊂ R einemultiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Welche der folgenden Aussagen sind indieser Situation immer wahr? Begrunden Sie Ihre Antwort (durch einen Beweisoder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Ist S−1R der Nullring, so ist 0 ∈ S.

2. Ist S−1R nicht der Nullring, so ist 0 6∈ S.

Aufgabe 2 (Glattheitskriterium). Sei R := C[X,Y ]/(Y −X2) (also der Koordina-tenring zu VC(Y −X2) ⊂ C2), sei p ⊂ R das von {[X], [Y ]} erzeugte Primidealin R, sei Rp die Lokalisierung von R an R \ p und sei mp das (vom Bild) von perzeugte Ideal in Rp. Außerdem sei Tp := mp/mp · mp (als Rp-Modul); manbezeichnet Tp auch als Tangentialraum von SpecR im Punkt p, da er durchIgnorieren Terme hoherer Ordnung (also durch Ausdividieren von mp ·mp) ge-bildet wird.

1. Zeigen Sie, dass Rp∼=Ring

{[f ]/[g] ∈ Q(R)

∣∣ f, g ∈ C[X,Y ], g(0, 0) 6= 0}

.

2. Zeigen Sie, dass mp ein maximales Ideal in Rp mit Rp/mp∼=Ring C ist.

3. Zeigen Sie, dass Tp auf kanonische Weise ein C-Vektorraum ist.

4. Bestimmen Sie dimC Tp.

Aufgabe 3 (Lokalitatskriterien). Sei R ein Ring, sei m ⊂ R ein Ideal mit m 6= R.Zeigen Sie:

1. Ist jedes Element aus R \m eine Einheit in R, so ist R ein lokaler Ring(mit maximalem Ideal m).

2. Ist m ein maximales Ideal in R und ist fur jedes x ∈ m das Element 1 + xeine Einheit in R, so ist R ein lokaler Ring (mit maximalem Ideal m).

Aufgabe 4 (Surjektivitatskriterium). Sei R ein Ring und sei a ⊂ R ein Idealmit a ⊂ J(R). Außerdem sei M ein R-Modul, sei N ein endlich erzeugter R-Mo-dul, sei f : M −→ N ein R-Modulhomomorphismus und f : M/a·M −→ N/a·Nder von f induzierter Homomorphismus. Zeigen Sie, dass folgende Aussagenaquivalent sind:

1. Der Homomorphismus f ist surjektiv.

2. Der Homomorphismus f ist surjektiv.

Bonusaufgabe (Paritatskriterium).

1. Was besagt der Satz von Monsky?

2. Was hat dieser Satz mit dem Ring der 2-adischen ganzen Zahlen zu tun?

Bonusaufgabe (kommutative Algebraiker; zusatzliche Semesterhalbzeitbonusauf-gabe). (Wo) Hangen Bilder von Artin, Hensel, Hilbert, Noether auf den Flurender Fakultat? Wann haben diese Mathematiker gelebt?

Abgabe bis zum 1. Juni 2018, 10:00 Uhr, in die Briefkasten


Prof. Dr. C. Loh/D. Fauser Blatt 8 vom 1. Juni 2018

Aufgabe 1 (Dimension vs. Lokalitat). Welche der folgenden Aussagen sind wahr?Begrunden Sie Ihre Antwort (durch einen Beweis oder ein geeignetes Gegenbei-spiel)!

1. Ist R ein lokaler Ring, so ist dimR = 0.

2. Ist R ein Ring mit dimR = 0, so ist R ein lokaler Ring.

Aufgabe 2 (Lokalitat der Dimension, Variante). Sei R ein Ring. Zeigen Sie, dass

dimR = sup {dimRf | f ∈ R}.

Aufgabe 3 (Flachheit vs. Lokalisierung). Sei R ein Ring, sei S ⊂ R multiplikativabgeschlossen und sei M ein R-Modul.

1. Zeigen Sie: Ist M flach, so ist S−1M ein flacher S−1R-Modul.

2. Zeigen Sie, dass die Umkehrung im allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe 4 (nicht so glatt). Sei R := C[X,Y ]/(Y 2−X3−X2) (also der Koordi-natenring zu VC(Y 2 −X3 −X2) ⊂ C2), sei p ⊂ R das von {[X], [Y ]} erzeugtePrimideal in R, sei Rp die Lokalisierung von R an R \ p und sei mp das (vomBild) von p erzeugte Ideal in Rp. Außerdem sei Tp := mp/mp ·mp (als Rp-Modul;Aufgabe 2 von Blatt 7).

1. Bestimmen Sie dimC Tp analog zu Aufgabe 2 von Blatt 7.

2. Schließen Sie daraus, dass Rp nicht zu (C[X,Y ]/(Y − X2))([X],[Y ]) iso-morph ist, und erklaren Sie, wie das mit der Anschauung zusammenpasst.

Bonusaufgabe (Fasern). Seien R,R′ Ringe, sei f : R −→ R′ ein Ringhomomor-phismus und sei p ∈ SpecR.

1. Zeigen Sie: Dann gibt es eine mit Inklusionen von Idealen vertraglicheBijektion

(Spec f)−1(p)←→ Spec k(p)⊗R R′;

dabei ist k(p) der Restklassenkorper des lokalen Rings Rp und R′ wirdvia f als R-Modul aufgefasst.

2. Wie kann man diese Beschreibung der Faser (Spec f)−1(p) verwenden, umeinen konzeptionellen Beweis von Lemma 2.3.10 zu erhalten?




Aufgabe 1 (vollstandig prim?). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Be-grunden Sie Ihre Antwort!

1. Das Element 1 + T ist prim in ZJT K.2. Das Element T ist prim in ZJT K.

Aufgabe 2 (Potenzpotenzreihen). Sei R ein Ring. Zeigen Sie, dass die Ringe

R[X,Y ]J(X,Y )K und lim←−n∈N>0

R[X,Y ]/(Xn, Y n)

isomorph sind. Der inverse Limes wird dabei uber die kanonischen Projektionengebildet.Hinweis. Im allgemeinen ist (X,Y )n 6= (Xn, Y n).

Aufgabe 3 (ein algebraisches Mobiusband). Sei R := R[X,Y ]/(X2+Y 2−1) undsei

A :=1

2·([1 +X] [Y ][Y ] [1−X]

)∈M2×2(R).

Zeigen Sie, dass der R-Modul M := {A · x | x ∈ R2} lokal frei ist.Hinweis. Zeigen Sie zunachst, dass A · A = A. Wie erhalt man daraus eineZerlegung von R2 ?

Aufgabe 4 (Spaltereien). Sei R ein Ring. Bearbeiten Sie zwei der folgendenAufgaben:

1. Zeigen Sie: Ist M ein R-Modul und gibt es einen R-Modul M und n ∈ NmitM⊕M ∼=R Rn, so folgt: Fur jeden surjektiven R-Modulhomomorphis-mus f : N −→M gibt es einen Rechtsspalt, d.h. einen R-Modulhomomor-phismus σ : M −→ N mit f ◦ σ = idM .

2. Zeigen Sie: Ist 0 // Ki // M

f// Q // 0 eine kurze exakte Se-

quenz in RMod, so besitzt f genau dann einen Rechtsspalt, wenn i einenLinksspalt besitzt.

3. Zeigen Sie: Ist 0 // Ki // M

f// Q // 0 eine kurze exakte Se-

quenz in RMod und besitzt f einen Rechtsspalt, so ist fur jedenR-ModulNdie Sequenz

0 // N ⊗R KN⊗Ri

// N ⊗R MN⊗Rf

// N ⊗R Q // 0

exakt.

Bonusaufgabe (adische Topologie). Lesen Sie Anhang A.2 uber die adische To-pologie. Zeigen Sie, dass die adische Vervollstandigung als Vervollstandigungbezuglich der adischen Topologie aufgefasst werden kann (liefern Sie also einenBeweis von Proposition A.2.4).




Aufgabe 1 (noethersche Ringe). Sei R ein Ring. Welche der folgenden Aussagensind in dieser Situation immer wahr? Begrunden Sie Ihre Antwort! (durch einenBeweis oder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Ist R noethersch, so ist dimR ≤ 2018.

2. Ist R[T ] noethersch, so ist R noethersch.

Aufgabe 2 (Lange von Moduln). Sei R ein Ring. Die Lange `R(M) eines R-Mo-duls M ist (in Analogie zur Dimension von Ringen) definiert durch

`R(M) := sup{n ∈ N

∣∣ es gibt R-Untermoduln N0, . . . , Nn von M

mit N0 ( N1 ( · · · ( Nn

}∈ N ∪ {∞}.

1. Zeigen Sie: Ist M ein R-Modul mit `R(M) = 0, so ist M ∼=R {0}.2. Was ist `Z(Z) ?

3. Zeigen Sie `R(M ⊕N) = `R(M) + `R(N) fur alle R-Moduln M und N .

Aufgabe 3 (Lange als Klassifikationshilfsmittel). Sei R ein Hauptidealring und seip ∈ R prim. Bearbeiten Sie zwei der folgenden Aufgabenteile (die Lange vonModuln ist in Aufgabe 2 definiert):

1. Zeigen Sie, dass `R(R/(pn)

)= n fur alle n ∈ N gilt.

2. Zeigen Sie mithilfe von `R: Sind N,M,n1, . . . , nN ,m1, . . . ,mM ∈ N mitn1 ≥ n2 ≥ · · · ≥ nN ≥ 1 und m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mM ≥ 1 sowie

N⊕

j=1

R/(pnj ) ∼=R

M⊕

j=1

R/(pmj ),

so folgt N = M und nj = mj fur alle j ∈ {1, . . . , N = M}.3. Folgern Sie daraus (und mit geeigneten Tensorproduktfunktoren) die Ein-

deutigkeitsaussage des Klassifikationssatzes fur endlich erzeugte Modulnuber Hauptidealringen (Satz II.2.5.15).

Aufgabe 4 (noethersche Potenzreihenringe). Sei R ein noetherscher Ring. ZeigenSie, dass dann auch RJT K noethersch ist.Hinweis. Betrachten Sie zu einem Ideal in RJT K die Koeffizienten der niedrig-sten Potenzen. Verschieben Sie dann alle Sorgen ins Unendliche.

Bonusaufgabe (noethersche topologische Raume).

1. Schlagen Sie in der Literatur nach, wie noethersche topologische Raumedefiniert sind.

2. Zeigen Sie: Ist R ein noetherscher Ring, so ist SpecR bezuglich der Zariski-Topologie ein noetherscher Raum.




Aufgabe 1 (artinsche Ringe). Sei R ein Ring. Welche der folgenden Aussagensind in dieser Situation immer wahr? Begrunden Sie Ihre Antwort (durch einenBeweis oder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Ist dimR ≤ 2018, so ist R artinsch.

2. Ist R[T ] artinsch, so ist R artinsch.

Aufgabe 2 (Primarzerlegung, geometrisch). Bestimmen Sie eine minimale Pri-marzerlegung von (Y −X2, Y +X) in C[X,Y ].Hinweis. Denken Sie geometrisch! Und beweisen Sie dann algebraisch.

Aufgabe 3 (maximale Radikale).

1. Sei R ein Ring und a ein Ideal. Zeigen Sie: Ist√a ein maximales Ideal

in R, so ist a bereits ein primares Ideal in R.

2. Sei K ein Korper. Zeigen Sie, dass

(X2, X ·Y ) = (X)∩(X2, X ·Y, Y ) und (X2, X ·Y ) = (X)∩(X2, X ·Y, Y 2)

minimale Primarzerlegungen von (X2, X · Y ) in K[X,Y ] sind.

Aufgabe 4 (nilpotente Nilradikale). Sei R ein Ring. Ein Ideal a ⊂ R ist nilpotent,wenn es ein n ∈ N>0 mit an = (0) gibt.

1. Zeigen Sie: Ist R noethersch, so ist das Nilradikal R√0 nilpotent.

Hinweis. Das Nilradikal ist endlich erzeugt. Was passiert daher in hohenPotenzen von R

√0 ?

2. Zeigen Sie: Ist R artinsch, so ist das Nilradikal R√0 nilpotent.

Hinweis. Sei a :=⋂

n∈N>0( R√0)n. Warum genugt es zu zeigen, dass a =

(0) ist? Nehmen Sie an, a ware nicht das Nullideal und betrachten Siedann die Menge M aller Ideale b ⊂ R mit a · b 6= (0). Warum besitzt Mein bezuglich Inklusion minimales Element b ? Warum ist b von einemElement erzeugt? Was passiert mit diesem Element?

Bonusaufgabe (Grobner-Basen). Lesen Sie Anhang A.3 uber Grobner-Basen.

1. Bestimmen Sie mit dem Algorithmus von Buchberger eine Grobner-Basisdes Ideals

a := (X3 − 2 ·X · Y, X2 · Y − 2 · Y 2 +X) ⊂ C[X,Y ]

in C[X,Y ].

2. Entscheiden Sie mithilfe dieser Grobner-Basis, ob die folgenden Polynomein a liegen oder nicht:

X2018 + 2018 ·X · Y, X2018 + Y 2017.




Aufgabe 1 (Homologie). Sei R ein ninoko Ring, seien C = (C∗, ∂∗) bzw. C ′ =(C ′∗, ∂

′∗) Ketttenkomplexe von R-Linksmoduln und sei n ∈ N. Welche der folgen-

den Aussagen sind in dieser Situation immer wahr? Begrunden Sie Ihre Antwort(durch einen Beweis oder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Ist Cn∼=R C ′n, so folgt Hn(C) ∼=R Hn(C ′).

2. Ist Hn(C) ∼=R Hn(C ′), so folgt Cn∼=R C ′n.

Aufgabe 2 (Dedekind, geometrisch).

1. Sei R ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal m und Restklas-senkorper k := R/m. Zeigen Sie, dass dimkm/m

2 = 1 gilt.

2. Folgern Sie: Der Ring KC[VC(Y 2 −X3 −X2)] ist kein Dedekindring.

Hinweis. Aufgabe 4 von Blatt 8.

Aufgabe 3 (Dedekind, algebraisch). Bearbeiten Sie einen der beiden folgendenAufgabenteile:

1. Sei R ein diskreter Bewertungsring und sei x ∈ Q(R). Zeigen Sie: Wennes ein normiertes Polynom f ∈ R[T ] \ {0} mit f(x) = 0 gibt, so ist x ∈ R.

Hinweis. Ist x 6∈ R, so ist 1/x ∈ R (warum?). Wie hilft nun f(x) ?

2. Folgern Sie, dass Z[√

5] ⊂ C kein Dedekindring ist.

Hinweis. Es ist (2, 1 +√

5) ein Primideal in Z[√

5] und den goldenenSchnitt sollte man immer im Auge behalten.

Aufgabe 4 (noethersch vs. artinsch). Sei R ein Ring und es gebe ein n ∈ N undmaximale Ideale m1, . . . ,mn ⊂ R mit m1 · · · · ·mn = (0). Zeigen Sie, dass R indieser Situation genau dann noethersch ist, wenn R artinsch ist.Hinweis. Betrachten Sie die R/mj-Vektorraume m1 · · · · · mj−1/m1 · · · · · mj

und Kettenbedingungen von Untermoduln. Wie vererben sich diese Kettenbe-dingungen durch die einzelnen Stufen? Was hat die Dimension eines Vektor-raums mit auf-/absteigenden Ketten von Untervektorraumen zu tun? BeginnenSie im Zweifel mit kleinen Werten fur n.

Bonusaufgabe (Gegenbeispielkonstruktionsmaschine). Sei R ein Ring und sei Mein R-Modul. Dann liefern die komponentenweise Addition und

(R×M)× (R×M) −→ R×M((r, x), (r′, x′)

)−→ (r · r′, r · x′ + r′ · x)

eine Ringstruktur auf R := R×M .

1. Wie sehen die Primideale von R aus?

2. Wann ist R noethersch?

3. Verwenden Sie diese Konstruktion, um einen nulldimensionalen Ring zufinden, der nicht noethersch ist.

Abgabe bis zum 6. Juli 2018, 10:00 Uhr, in die Briefkasten


Prof. Dr. C. Loh/D. Fauser Blatt 13 vom 6. Juli 2018

Aufgabe 1 (Homotopie). Sei R ein ninoko Ring, seien C = (C∗, ∂∗) bzw. C ′ =(C ′∗, ∂

′∗) Kettenkomplexe von R-Linksmoduln und sei f : C −→ C ′ eine Ket-

tenabbildung. Welche der folgenden Aussagen sind in dieser Situation immerwahr? Begrunden Sie Ihre Antwort (durch einen Beweis oder ein geeignetesGegenbeispiel)!

1. Ist f eine Kettenhomotopieaquivalenz, so ist fn : Cn −→ C ′n fur jedes n ∈N ein Isomorphismus.

2. Ist f eine Kettenhomotopieaquivalenz, so ist Hn(f) : Hn(C) −→ Hn(C′)

fur jedes n ∈ N ein Isomorphismus.

Aufgabe 2 (Tensorprodukt von Kettenkomplexen). Sei R ein ninoko Ring und seiM ∈ ModR.

1. Konstruieren Sie einen geeigneten FunktorM⊗R · : RCh −→ ZCh (indemSie gradweise das Tensorprodukt von Kettenmoduln und Randoperatorenbilden).

2. Zeigen Sie, dass dieser Funktor M ⊗R · Kettenhomotopien auf Ketten-homotopien abbildet.

Aufgabe 3 (eine Charakterisierung von Projektivitat). Sei R ein ninoko Ring undsei P ein R-Linksmodul. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen aquivalentsind:

1. Der R-Modul P ist projektiv.

2. Der Funktor RHom(P, · ) : RMod −→ ZMod ist exakt.

Aufgabe 4 (Syzygy).

1. Schlagen Sie die Bedeutung des Wortes”Syzygy“ nach.

2. Sei R ein noetherscher Ring und sei M ein endlich erzeugter R-Modul.Zeigen Sie, dass M eine projektive Auflosung (P, ε) besitzt, bei der furjedes n ∈ N der Modul Pn endlich erzeugt ist.

Bonusaufgabe (algorithmische homologische Algebra). Schreiben Sie (in einerProgrammiersprache Ihrer Wahl) ein Programm, das die Homologie von (grad-weise endlich erzeugten) Kettenkomplexen von Z-Moduln berechnet. UberlegenSie sich dazu zunachst, wie Sie Kettenkomplexe und die Ergebnisse uberhauptvernunftig reprasentieren konnen.

freiwillige Abgabe bis 13. Juli, 10:00, in die Briefkasten



Aufgabe 1 (Tor). Sei R ein ninoko Ring, M ∈ Ob(ModR) und N ∈ Ob(RMod).Welche der folgenden Aussagen sind in dieser Situation immer wahr? BegrundenSie Ihre Antwort (durch einen Beweis oder ein geeignetes Gegenbeispiel)!

1. Ist M projektiv, so ist TorR1 (M,N) ∼=Z {0}.

2. Ist TorR1 (M,N) ∼=Z {0}, so ist M projektiv.

Aufgabe 2 (mehr Tor). Wir betrachten die Sequenz

· · · // 0 // C[X,Y ] // C[X,Y ]2 // C[X,Y ]ε // C

1 � // (X,−Y )

(f, g)� // Y · f +X · g

in C[X,Y ]Mod. Dabei fassen wir C via C ∼=C C[X,Y ]/(X,Y ) als C[X,Y ]-Modulauf und ε : C[X,Y ] −→ C bezeichnet die zugehorige kanonische Projektion.

1. Zeigen Sie, dass die obige Sequenz eine projektive Auflosung von C alsC[X,Y ]-Modul ist und bestimmen Sie TorC[X,Y ]

n (C,C) fur alle n ∈ N.

2. Gibt es eine kurzere projektive Auflosung von C als C[X,Y ]-Modul? Be-grunden Sie Ihre Antwort!

Aufgabe 3 (lokal frei vs. projektiv). Sei R ein Ring und sei M ein endlichprasentierter R-Modul, d.h. fur ein geeignetes d ∈ N gibt es einen Epimorphis-mus Rd −→ M , dessen Kern endlich erzeugt ist. Zeigen Sie, dass die folgendenAussagen aquivalent sind:

1. Der R-Modul M ist projektiv.

2. Fur jedes p ∈ SpecR ist Mp = Rp ⊗M ein freier Rp-Modul.

Aufgabe 4 (Atiyah-MacDonald). Losen Sie alle Ubungsaufgaben im Buch Intro-duction to Commutative Algebra von M.F. Atiyah und I.G. MacDonald (Addison-Wesley Series in Mathematics, Westview Press, 1969).

Bonusaufgabe (Skript). Finden Sie so viele Fehler im Skript wie moglich!

keine Abgabe

C

Fingerubungen

Fingerubungen zur Kommutativen Algebra


Aufgabe 1 (Kategorien).

1. Wie wurden Sie die Kategorie der endlichen Gruppen definieren?

2. Wie wurden Sie die Kategorie der partiell geordneten Mengen definieren?

3. Wieviele sinnvolle Moglichkeiten fur Kategorien metrischer Raume fallenIhnen ein?

4. Falls Sie bereits Analysis II/III gehort haben: Wie wurden Sie die Kate-gorie der Untermannigfaltigkeiten von R3 definieren? Wie wurden Sie dieKategorie der messbaren Raume definieren?

Aufgabe 2 (Ringe).

1. Welche der folgenden Teilmengen von Q sind Ringe bezuglich der gewohn-lichen Addition/Multiplikation auf Q ?

(a) {a/b | a, b ∈ Z>0} ∪ {0}(b) {a/2n | a ∈ Z, n ∈ N}(c) {x2 | x ∈ Q}

2. Sei R ein Ring. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

(a) Ist x ∈ R mit x+ 1 = x, so folgt x = 0.

(b) Ist x ∈ R mit x2 = 0, so folgt x = 0.

3. Sei R ein Ring. Wie ist der Polynomring R[T ] definiert?

Aufgabe 3 (Bibliothek). Wahlen Sie funf Bucher uber Kategorientheorie aus undvergleichen Sie diese. Welches hat die zuganglichsten Beispiele? Welches enthaltam

”meisten“ Theorie? Welches ist am verstandlichsten geschrieben? Welches

enthalt am meisten Ubungsaufgaben?

Aufgabe 4 (Wiederholung). Wiederholen Sie die Grundbegriffe zu Ringen, Idea-len und Moduln aus der Linearen Algebra I/II. Warum wurden in der LinearenAlgebra II Ringe und Moduln behandelt?

keine Abgabe!



Aufgabe 1 (Ideale).

1. Ubersetzen Sie die Definitionen von Links-/Rechtsidealen und beidseitigenIdealen uber Untermoduln in eine explizitere Beschreibung.

2. Geben Sie Beispiele fur Linksideale in M2×2(Q), die keine beidseitigenIdeale sind.

Aufgabe 2 (Funktoren). Liefern die folgenden Konstrukte Funktoren vom TypVectR −→ VectR ?

1. Auf Objekten: V 7−→ VAuf Morphismen: f 7−→ 0

2. Auf Objekten: V 7−→ {0}Auf Morphismen: f 7−→ 0

3. Auf Objekten: V 7−→ VAuf Morphismen: f 7−→ idV

4. Auf Objekten: V 7−→ VAuf Morphismen: f 7−→ 2018 · f

Aufgabe 3 (kommutative Diagramme).

1. Welches Gleichungssystem ist zur Kommutativitat des untenstehendenDiagramms aquivalent?

Ai //

k

j

��

X

f

��

Yg//

h

>>

Z

2. Wie kann man die Eigenschaft, dass eine Abbildung von Mengen selbst-invers ist, durch ein geeignetes kommutatives Diagramm beschreiben?

Aufgabe 4 (Wiederholung). Wiederholen Sie universelle Eigenschaften aus derLinearen Algebra I/II (Quotienten, direkte Summen, direkte Produkte, Tensor-produkte).

keine Abgabe!



Aufgabe 1 ((Ko)Limiten in Set). Sei X eine Menge. Wir betrachten die gewohn-liche Anordnung auf N.

1. Was ist lim−→n∈NXn (bezuglich der Inklusionsabbildungen), wenn (Xn)n∈Neine aufsteigende Folge von Teilmengen in X ist?

2. Was ist lim←−n∈NXn (bezuglich der Inklusionsabbildungen), wenn (Xn)n∈Neine absteigende Folge von Teilmengen in X ist?

Aufgabe 2 ((Ko)Limiten uber die leere Indexmenge). Sei C eine Kategorie. Wirbetrachten die leere (einzige!) partielle Ordnung auf I := ∅.

1. Geben Sie eine explizitere Formulierung dafur, was lim−→Iin C erfullt.

2. Geben Sie eine explizitere Formulierung dafur, was lim←−Iin C erfullt.

3. Existieren diese (Ko)Limiten in der Kategorie Ring ?

4. Existieren diese (Ko)Limiten in der Kategorie ZMod ?

Aufgabe 3 (Tensorprodukte).

1. Sei R ein ninoko Ring, sei M ein R-Rechtsmodul, sei N ein R-Linksmodulund sei Z eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie: Ist f : M × N −→ Z eineR-balancierte Abbildung, so folgt

∀n∈N f(0, n) = 0 und ∀m∈M f(m, 0) = 0.

2. Bestimmen Sie dimC C⊗R R2018.

3. Was ist Q⊗Z Z/2018 ?

Aufgabe 4 (Wiederholung). Wiederholen Sie Primideale, maximale Ideale, Rest-klassenringe aus der (Linearen) Algebra.Hinweis. Falls Sie diese Begriffe aus der Linearen Algebra noch nicht kennen, istdas kein Problem; ich werde sie in der Vorlesung auch nochmal kurz wiederholen.

keine Abgabe!



Aufgabe 1 (Tensorprodukt). Bestimmen Sie moglichst einfache/explizite Dar-stellungen der folgenden Tensorprodukte:

1. (Z⊕ Z/5)⊕Z Z/2

2. (Z⊕ Z/5⊕ Z/25)⊗Z Z/10

3. Q[T ]/(T 2)⊗Q[T ] Q[T ]/(T + 1)

4. Q[T ]/(T 2 − 1)⊗Q[T ] Q[T ]/(T + 1)

5. Z[X,Y ]/(2017, X, Y )⊗Z[X,Y ] Z[X,Y ]/(X + 1)

6. Z[X,Y ]/(2017, X, Y )⊗Z[X,Y ] Z[X,Y ]/(X)

Aufgabe 2 (Bibliothek). Wahlen Sie funf Bucher uber Kommutative Algebra ausund vergleichen Sie diese. Welches hat die schonsten Beispiele? Welches erklartdie Bedeutung der einzelnen Resultate am besten? Welche behandeln auch algo-rithmische Aspekte? Welche verwenden den Formalismus der Kategorientheorie?Welche Teilgebiete der Kommutativen Algebra werden abgedeckt? Welches ent-halt die meisten Ubungsaufgaben?

Aufgabe 3 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Ka-pitel 1.1–1.4 (Kategorientheorie); orientieren Sie sich dabei an den folgendenFragen:

1. Was sind Kategorien, Funktoren, naturliche Transformationen? Wozu ver-wendet man diese?

2. Welche Beispiele fur diese Begriffe kennen Sie?

3. Versuchen Sie, auch in anderen Vorlesungen Beispiele dafur zu finden!

4. Was sind Kolimiten/inverse Limiten? Wie arbeitet man damit? WelcheBeispiele kennen Sie dafur? Welche Funktoren sind mit (Ko)Limiten ver-traglich?

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Ka-pitel 1.5 (Tensorprodukt); orientieren Sie sich dabei an den folgenden Fragen:

1. Welche universelle Eigenschaft besitzt das Tensorprodukt von Moduln?

2. Wie konstruiert man das Tensorprodukt von Moduln?

3. Welche grundlegenden Eigenschaften besitzt das Tensorprodukt? Wie kannman effizient damit rechnen? Wie hilft die Kategorientheorie dabei?

4. Welche Beispiele fallen Ihnen ein?

Alles, was Sie jetzt sicher beherrschen, mussen Sie nicht muhsam vor derKlausur unter Zeitdruck lernen . . .

keine Abgabe!



Aufgabe 1 (Primspektren). Wieviele Punkte enthalten die folgenden Primspek-tren? Welche der Punkte sind abgeschlossen in der Zariski-Topologie?

1. SpecZ/(2018)

2. SpecQ[T ]/(T 2 + T )

3. SpecR[T ]/(T 2 + 1)

4. SpecC[T ]/(T 2 + 1)

5. SpecZ/(2)× Z/(3)× Z/(4)

6. SpecZ/(9)⊗Z Z/(99)

Aufgabe 2 (induzierte Abbildungen auf Primspektren). Sei i : R[T ] −→ C[T ] diekanonische Inklusion und sei Spec(i) : SpecC[T ] −→ SpecR[T ] die induzierteAbbildung.

1. Zeigen Sie, dass Spec(i)((T + i)

)= (T 2 + 1).

2. Was ist Spec(i)((T − i)

)?

3. Was ist Spec(i)((T − 2)

)?

4. Gibt es ein p ∈ SpecC[T ] mit Spec(i)(p) = (T 2 + 2018) ?

5. Was ist Spec(i)((T − ζ3)

)? (falls Sie Algebra bereits gehort haben)

Aufgabe 3 (affine algebraische Mengen). Skizzieren Sie die folgenden Teilmengenvon R2 (von Hand oder mithilfe eines Computer-Algebra-Systems):

1. {(x, y) ∈ R2 | x2 + 2 · y2 = 3}

2. {(x, y) ∈ R2 | x · y = 1}

3. {(x, y) ∈ R2 | x2 · y2 = 1}

4. {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 + 1 = 0}

5. Erinnern Sie sich eigentlich noch an die Hauptachsentransformation?!

Aufgabe 4 (etc.). Formulieren und losen Sie weitere Aufgaben vom selben Typ!

keine Abgabe!



Aufgabe 1 (Koordinatenringe). Uberlegen Sie sich fur jedes der folgenden Poly-nome f : Wie sieht VR(f) aus? Was ist IC(VC(f)) ? Was ist KC[VC(f)] ?

1. X ∈ R[X]

2. X ∈ R[X,Y ]

3. X2 ∈ R[X]

4. X2 − 1 ∈ R[X]

5. X2 + 1 ∈ R[X]

6. X2 + Y ∈ R[X,Y ]

7. X2 · (X2 + Y )3 ∈ R[X,Y ]

Hinweis. Ist K ein Korper und n ∈ N, so ist K[X1, . . . , Xn] faktoriell (Satzvon Gauß, Satz III.2.2.40).

Aufgabe 2 (Punkte). Bestimmen Sie fur die folgenden affinen algebraischenMengen V ⊂ C2 jeweils zwei Punkte in V . Wie erhalt man daraus maxima-le Ideale von KC[V ] ?

1. VC(X2 − Y )

2. VC(Y 2 −X2 −X3)

Aufgabe 3 (Jacobson-Radikale). Berechnen Sie fur die folgenden Ringe das Jacob-son-Radikal:

1. Z

2. Z/(2018)

3. Q

4. Q[T ]

5. Z/(9)

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Kapi-tel 2.1–2.2 (Das Primspektrum, Affine algebraische Geometrie); orientieren Siesich dabei an den folgenden Fragen:

1. Was sind Primideale/maximale Ideale? Wozu sind sie gut?

2. Welche grundlegenden Eigenschaften besitzt das Primspektrum?

3. Welche geometrischen Interpretationen des Maximalspektrums kennen Sie?

4. Allgemeiner: Wie korrespondieren geometrische zu algebraischen Eigen-schaften?


keine Abgabe!



Aufgabe 1 (Koordinatenringe). Sei f := Y 2 −X3 +X ∈ R[X,Y ].

1. Skizzieren Sie VR(f) ⊂ R2.

2. Geben Sie einen Punkt in VC(f) an.

3. Bestimmen Sie KC[VC(f)].

4. Geben Sie zwei verschiedene Primideale in KC[VC(f)] an.

5. Bestimmen Sie die Dimension von KC[VC(f)].

Aufgabe 2 (Quiz zu Kapitel 1). Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1. In jeder nicht-leeren Kategorie gibt es mindestens einen Isomorphismus.

2. Die Funktoren HomR(R⊗Z · ,R) und HomZ( · ,R) : ZMod −→ ZMod sindnaturlich isomorph.

3. In der Kategorie der endlichen Gruppen existieren alle inversen Limiten.

4. Fur alle Z-Moduln M,M ′, N mit M ∼=Z M ′ gilt M ⊗Z N ∼=C M ′ ⊗Z N .

5. Fur alle Z-Moduln M,M ′, N mit M ⊗Z N ∼=Z M ′ ⊗Z N gilt M ∼=Z M ′

oder N ∼=Z {0}.Aufgabe 3 (Quiz zu Kapitel 2). Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1. |SpecR| = |SpecF2|2. |SpecQ×Q| = |SpecZ/(2018)|3. |SpecQ[T ]| = |SpecQ[T ]/(T 3 − T )|4. Fur alle affinen algebraischen Mengen V ⊂ C5 ist IC(VC(IC(V ))) = IC(V ).

5. dimZ[T ] = dimZ/(2017)[T ]

6. dimZ[T ] = dimZ/(2018)[T ]

7. dimF2[X,Y, Z] = dimZ[X,Y, Z]

8. Bezuglich der Zariski-Topologie ist SpecZ ist kompakt.

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Ka-pitel 2.3 (Dimension); orientieren Sie sich dabei an den folgenden Fragen:

1. Wie ist die Dimension eines Rings definiert?

2. Wie passt der Dimensionsbegriff mit der naiven Anschauung zusammen?

3. Was sind grundlegende Eigenschaften der Dimension von Ringen?

4. Welche Berechnungsmethoden fur die Dimension kennen Sie?


keine Abgabe!



Aufgabe 1 (lokale Ringe). Welche der folgenden Ringe sind lokal?

1. Z/(5)

2. Z/(25)

3. Z/(55)

4. Z/(125)

5. Z(5)

6. Z5

Aufgabe 2 (Lokalisierungen). Welche linke Seite passt zu welcher rechten Seite?

Z5

{∑nj=−n aj · T j

∣∣ n ∈ N, a−n, . . . , an ∈ F5

}

F5[T ](T ) {0}F5[T ]T

{ab

∣∣ a, b ∈ Z, 5 - b}

Z(5)

{fg

∣∣ f, g ∈ F5[T ], g(0) 6= 0}

(F5[T ] \ {0})−1F5[T ]{

ab

∣∣ a, b ∈ Z,∃n∈N b = 5n}

(5 · Z ∪ {1})−1Z F5(T )

Aufgabe 3 (Exaktheit). Welche der folgenden Funktoren sind exakt?

1. Q⊗Z · : ZMod −→ QMod

2. Q[T ]⊗Z · : ZMod −→ QMod

3. F5 ⊗Z · : ZMod −→ F5Mod

4. F5 ⊗F5· : F5

Mod −→ F5Mod

5. Z(5) ⊗Z · : ZMod −→ Z(5)Mod

6. Z/(55)⊗Z · : ZMod −→ Z/(55)Mod

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Ka-pitel 3.1 (Lokale Ringe) und 3.2 (Lokalisierung von Ringen und Moduln); ori-entieren Sie sich dabei an den folgenden Fragen:

1. Was sind lokale Ringe? Was ist Lokalisierung?

2. Wie passen Lokalisierungen/lokale Ringe mit der Anschauung zusammen?

3. Was sind grundlegende Eigenschaften von lokalen Ringen/Lokalisierungen?


keine Abgabe!



Aufgabe 1 (Primspektren). Beschreiben Sie das Primspektrum der folgendenRinge moglichst explizit.

1. Z(5)

2. Z5

3.{

ab ∈ Q

∣∣ a, b ∈ Z, 5 - b, 11 - b}

4.((Z[T ]/(T 2018 + 2018))[T ]

)[T ]/1

Aufgabe 2 (Dimension). Bestimmen Sie die Dimensionen der folgenden Ringe.

1. Z(5)

2.{

ab ∈ Q

∣∣ a, b ∈ Z, 5 - b, 11 - b}

3. Z[T ]T

4. Z[T ](T )

5. Z[T ](2)

6. Z[T ](2,T )

Aufgabe 3 (lokale Trivialitat). Geben Sie fur jeden der folgenden Z-Moduln Mjeweils ein q ∈ SpecZ mit Mq 6∼=Zq {0} an.

1. Z

2. Z/(2)

3. Z/(2018)

4. Q

5.∏

N Z

6. Z[T ]/(T 2 + 1)

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Ka-pitel 3.3 (Lokalisierung und das Primspektrum) und 3.4 (Lokale Eigenschaften);orientieren Sie sich dabei an den folgenden Fragen:

1. Wie kann man Primspektren von Lokalisierungen beschreiben?

2. Wie kann man Lokalisierungen verwenden, um Dimensionen zu berechnen?

3. Was sind lokale Eigenschaften von Moduln?


keine Abgabe!



Aufgabe 1 (adische Gleichungen). Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1. Es gibt ein x ∈ ZJ3K mit x2 = 2.

2. Es gibt ein x ∈ ZJ7K mit x2 = 2.

3. Es gibt ein f ∈ ZJT K mit f · (1− T ) = 1.

4. Es gibt ein f ∈ ZJT K mit f · (2− T ) = 1.

5. Es gibt ein f ∈ QJT K mit f3 = T + 1.


1. Ist R ein Ring und a ⊂ R ein Ideal, so ist a multiplikativ abgeschlossen.

2. Ist R ein Ring, ist S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen und sind M und NModuln uber R mit LSM ∼=S−1R LSN , so gilt M ∼=R N .

3. Ist R ein Ring und p ∈ SpecR, so gilt dimR = dimRp.

4. Nach dem Lemma von Nakayama ist jeder Modul uber einem lokalen Ringendlich erzeugt.

5. Jeder Korper ist ein flacher Z-Modul.

6. Jeder freie Modul ist lokal frei.

7. Der Ring Z[T ] ist (T )-adisch vollstandig.

Aufgabe 3 (noethersche Ringe). Welche der folgenden Ringe sind noethersch?

1. Z/(42)

2. Q[T ]/(T 2 − 1)

3.∏

N Z

4. Z/(2)× Z/(2)

5. C[T ]T 2+2018

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Kapi-tel 3.5 (Vervollstandigung); orientieren Sie sich dabei an den folgenden Fragen:

1. Wie ist die adische Vervollstandigung definiert?

2. Was sind die grundlegenden Eigenschaften adischer Vervollstandigungen?

3. Wie kann man das Henselsche Lemma verwenden, um”interessante“ Ele-

mente zu konstruieren?


Wiederholen Sie bei dieser Gelegenheit auch nochmal Kolimiten und inverseLimiten!

keine Abgabe!



Aufgabe 1 (noethersche Ringe). Welche der folgenden Ringe sind noethersch?

1. Z[X,Y, Z](X,Y )

2. Z[X0, X1, X2, . . . ]/(X0, X1, X2, . . . )

3.∏

N F2

4. C[X,Y, Z]/(Y 2 −X2 −X3)

Aufgabe 2 (Moduln vs. Algebren). Welche der folgenden Ringe sind endlicherzeugte Z-Moduln? Welche sind endlich erzeugte Z-Algebren? Welche sindnoethersch?

1. Z/(2018)

2. Z× Z

3. Z[T ]

4. Z[T ]/(T 2 + 1)

5. Z[X0, X1, X2, . . . ]

6. ZJT K7. Q

8. Z5

Aufgabe 3 (primare Ideale). Welche der folgenden Ideale sind primar?

1. (42) in Z

2. (121) in Q

3. (T 2018) in R[T ]

4. (T 2 − 1) in R[T ]

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Ka-pitel 4.1 und 4.2 (Noethersche Ringe und Moduln, Der Beweis des HilbertschenNullstellensatzes); orientieren Sie sich dabei an den folgenden Fragen:

1. Was sind noethersche Ringe?

2. Welche Charakterisierungen und (Vererbungs-)Eigenschaften haben noether-sche Ringe bzw. Moduln/Algebren uber noetherschen Ringen?

3. Wie beweist man den Hilbertschen Basissatz? Wie beweist man den Hil-bertschen Nullstellensatz?


Wiederholen Sie bei dieser Gelegenheit auch nochmal die Klassifikation der end-lich erzeugten Moduln uber Hauptidealringen!

keine Abgabe!



Aufgabe 1 (Noether, Artin und Dedekind). Welche der folgenden Ringe sindnoethersch? Artinsch? Dedekindsch?

1. Z/(2018)

2. Q[X,Y ]

3. Z[X,Y ]/(Y −X2)

4. Z(5)[T ]

5. Z(5)

Aufgabe 2 (diskrete Bewertungsringe). Welche der folgenden Ringe sind diskreteBewertungsringe?

1. R[T ]/(T 2 + 2018)

2. R[T ](T 2+2018)

3. Z(5) × Z(2017)

4. Z2017


1. Ist R ein Ring, der ein endlich erzeugtes Ideal enthalt, so ist R noethersch.

2. Ist R ein noetherscher Ring, so ist auch R[X,Y ] noethersch.

3. Ist R ein noetherscher Ring, so ist nach dem Artin-Tate-Lemma jede end-lich erzeugte R-Algebra auch als R-Modul endlich erzeugt.

4. Ist R ein noetherscher Ring, so ist ein Ideal q ⊂ R genau dann primar,wenn

√q maximal ist.

5. Ist R ein artinscher Ring, so besitzt jedes Ideal von R eine Primarzerle-gung.

6. Ist R ein Dedekindring, so ist auch R[T ] ein Dedekindring.

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Kapi-tel 4.3, 4.4, 4.5 (Primarzerlegung, artinsche Ringe, Dedekindringe); orientierenSie sich dabei an den folgenden Fragen:

1. Was sind Primarzerlegungen? Wann existieren sie? Wie eindeutig sind sie?

2. Welche Charakterisierungen und (Vererbungs-)Eigenschaften haben artin-sche Ringe?

3. Welche Charakterisierungen und (Vererbungs-)Eigenschaften haben De-dekindringe?

4. Welche Beispiele fallen Ihnen ein? Wozu sind diese Begriffe gut?

keine Abgabe!



Aufgabe 1 (Ketten, Zykel, Rander, Homologie). Bestimmen Sie fur die folgendenKettenkomplexe von Z-Moduln alle Zykel und Rander sowie die Homologie.

1. · · · // 0 // Z 0 // Z 2018 // Z

2. · · · // 0 // Z 0 // Z2 0 // Z

3. · · · // 0 // Z2

(0 00 1

)

// Z2

(1 00 0

)

// Z2

4. · · · // 0 // Z/4 2 // Z/4 2 // Z/4

Aufgabe 2 (Kettenabbildungen). Zwischen welchen der Kettenkomplexe aus Auf-gabe 1 gibt es Kettenabbildungen, die in Homologie nicht in jedem Grad dieNullabbildung induzieren?

Aufgabe 3 (Projektivitat). Welche der folgenden Z-Moduln sind projektiv?

1. Z/2018⊕ Z/2017

2. Z[T ]

3. Q

4. Q/Z

5. Z2018

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Ka-pitel 5.1 (Kettenkomplexe und Homologie); orientieren Sie sich dabei an denfolgenden Fragen:

1. Was sind Ketten, Zykel, Rander? Warum heißen sie so?

2. Was ist die Homologie eines Kettenkomplexes? Wozu braucht man sie?

3. Welche Techniken kennen Sie, um Homologiegruppen zu berechnen?

4. Was sind Kettenabbildungen, Kettenhomotopien? Wie interagieren sie mitHomologie?


Wiederholen Sie bei dieser Gelegenheit auch nochmal den Algorithmus von Gaußund die Smith-Normalform.

keine Abgabe!



Aufgabe 1 (projektive Auflosungen). Geben Sie jeweils mindestens zwei nicht-isomorphe projektive Auflosungen an!

1. von Z als Z-Modul.

2. von Z/2 als Z-Modul.

3. von Z[T ]/(T ) als Z[T ]-Modul.

4. von Z[T ] als Z-Modul.

Aufgabe 2 (Tor). Beschreiben Sie die folgenden Moduln moglichst explizit!

1. TorZ1 (Z/2018,Z/2019)

2. TorR1(C([0, 1],R), C([0, 1],R)

)

3. TorC[X,Y ]1

(C[X,Y ]/(Y 2 −X3 −X2),C[X,Y ]

)

4. TorQ[T ]1

(Q[T ]/(T 2 + T 5)⊕Q[T ]/(T + 1),Q[T ]/(T )

)

5. TorQ[T ]2

(Q(T ),Q[T ]⊕Q[T ]/(T 2018)

)

6. TorZ[T ]2

(Z[T ]/(2, T 2 + T + 1),Z[T ]/(T )

)

Aufgabe 3 (Bibliothek). Wahlen Sie funf Bucher uber Homologische Algebraaus und vergleichen Sie diese. Welches hat die schonsten Beispiele? Welcheserklart die Bedeutung der einzelnen Resultate am besten? Welche behandelnauch algorithmische Aspekte? Welche arbeiten mit Modulkategorien? Welche inabelschen Kategorien? Welche verwenden simpliziale Methoden? Welche gehenauf Anwendungen der Homologischen Algebra in anderen Gebieten ein? Welchesenthalt die meisten Ubungsaufgaben?

Aufgabe 4 (Zusammenfassung). Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Ka-pitel 5.2 und 5.3 (Projektive Auflosugen; Tor); orientieren Sie sich dabei an denfolgenden Fragen:

1. Was sind projektive Moduln? Was sind projektive Auflosungen?

2. Wie geht die Projektivitat im Fundamentalsatz der homologischen Algebraein?

3. Was ist Tor ? Wie kann man Tor beschreiben/konstruieren/berechnen?


5. Wozu betrachtet man Tor ?

keine Abgabe!

C.16 C. Fingerubungen

D

Allgemeine Hinweise

Kommutative Algebra im SS 2018Organisatorisches

Prof. Dr. C. Loh/D. Fauser April 2018

Homepage. Alle aktuellen Informationen zur Vorlesung, zu den Ubungen, zuSprechstunden, Literaturangaben, sowie die Ubungsblatter finden Sieauf der Homepage zur Vorlesung bzw. in GRIPS:

http://www.mathematik.uni-regensburg.de/loeh/teaching/calgebra ss18

https://elearning.uni-regensburg.de

Vorlesung. Die Vorlesung findet jeweils dienstags (10:15–12:00; H 31) und frei-tags (10:15–12:00; H 31) statt.

Es wird ein (Kurz)Skript zur Vorlesung geben, das eine Ubersichtuber die wichtigsten Themen der Vorlesung enthalt. Dieses Skript wirdjeweils auf den obigen Homepages aktualisiert. Beachten Sie bitte, dassdieses Skript keineswegs geeignet ist, den Besuch der Vorlesung, derZentralubung oder der Ubungen zu ersetzen!

Ubungen. Die neuen Ubungsaufgaben werden wochentlich freitags spatestensum 10:00 Uhr auf den obigen Homepages online gestellt und sind biszum Freitag eine Woche spater um 10:00 Uhr in die entsprechendenBriefkasten in der Mathematik abzugeben.

Auf jedem Ubungsblatt gibt es vier regulare Aufgaben (je 4 Punkte)und herausforderndere Bonusaufgaben (je 4 Bonuspunkte).

Sie durfen (und sollen) die Aufgaben in kleinen Gruppen bearbeiten;aber die Losungen mussen individuell ausformuliert und aufgeschriebenwerden (andernfalls werden die Punkte aberkannt). Sie durfen (mussenaber nicht!) Losungen zu zweit abgeben; in diesem Fall mussen selbst-verstandlich jeweils beide Autoren in der Lage sein, alle der Zweier-gruppe abgegebenen Losungen an der Tafel zu prasentieren (andernfallswerden die Punkte aberkannt).

Die Ubungen beginnen in der zweiten Vorlesungswoche; in diesenersten Ubungen wird Blatt 0 besprochen.

Außerdem werden wir auf der Homepage Fingerubungen anbieten,mit denen grundlegende Begriffe, Handgriffe und Rechentechniken ein-geubt werden konnen. Diese Aufgaben werden nicht abgegeben bzw.korrigiert.

Einteilung in die Ubungsgruppen. Die Einteilung in die Ubungsgruppen er-folgt uber GRIPS:

https://elearning.uni-regensburg.de

Sie konnen sich bis Mittwoch, den 11. April 2018, um 10:00 Uhrfur die Ubungen anmelden; Sie konnen dort Ihre Praferenzen fur die

1

Ubungstermine auswahlen und wir werden versuchen, diese Wunschezu erfullen. Bitte beachten Sie jedoch, dass es sein kann, dass wir nichtalle Wunsche erfullen konnen.

Falls Sie noch keine Kennung des Rechenzentrums haben, wendenSie sich bitte an Daniel Fauser.

Die endgultige Einteilung der Ubungsgruppen wird spatestens amFreitag, den 13. April 2018, in GRIPS bekanntgegeben. Ein Wechsel involle Ubungsgruppen ist dann nur durch Tausch mit einem Tauschpart-ner moglich.

Bei Fragen zur Einteilung der Ubungsgruppen und zum Ubungsbe-trieb wenden Sie sich bitte an Daniel Fauser ([email protected]).

Leistungsnachweise. Diese Vorlesung kann wie in den einzelnen Modulkatalo-gen spezifiziert in die Studiengange eingebracht werden.

• Studienleistung : Regelmaßige und aktive Teilnahme an den Ubun-gen, mindestens 50% der (in den regularen Aufgaben) moglichenPunkte, mindestens einmal zufriedenstellend vorrechnen.

• Prufungsleistung (fur den Leistungsnachweis zur KommutativenAlgebra): Zweistundige Klausur (s.u.). Die Modulnote ergibt sichwie im jeweiligen Modulkatalog angegeben.

Klausur. Die Klausur findet am Montag, den 16. Juli 2018, von 9:00 bis 11:00 Uhr,statt. Die Wiederholungsklausur ist voraussichtlich am Ende der Seme-sterferien; der genaue Termin wird so bald wie moglich bekanntgegeben.Die Wiederholungsklausur kann auch als Erstversuch geschrieben wer-den; diese Option ist nur in Einzelfallen sinnvoll: der nachste Wieder-holungstermin ist dann erst ein Jahr spater im Rahmen der nachstenVorlesung zur Kommutativen Algebra.

Sie mussen sich in FlexNow fur die Studienleistung und die Prufungs-leistung anmelden. Bitte informieren Sie sich fruhzeitig. Wir werdenrechtzeitig Eintrage in FlexNow vorbereiten. Berucksichtigen Sie bit-te auch (implizite) Fristen der entsprechenden Prufungsordnungen biswann (Wiederholungs-)Prufungen abgelegt werden mussen.

Wichtige Informationen im Krankheitsfall finden Sie unter:

http://www.uni-regensburg.de/mathematik/fakultaet/studium/studierende-und-studienanfaenger/index.html

Hinweise fur Wiederholer. Studenten, die bereits in einem vorangegangenenSemester die Klausurzulassung erhalten haben, aber im entsprechendenSemester die Klausur nicht bestanden haben oder nicht an der Klausurteilgenommen haben, konnen mit dieser Zulassung auch an den obengenannten Klausurterminen teilnehmen. Informieren Sie sich rechtzei-tig uber den Stoffumfang dieser Vorlesung (z.B. uber das Kurzskript).Außerdem kann es je nach Kenntnisstand sinnvoll sein, nochmal an denUbungen oder der Vorlesung teilzunehmen.

Fur den Drittversuch besteht alternativ zur Klausur auch wahlweisedie Moglichkeit, die Prufung als mundliche Prufung abzulegen.

2

Falls Sie an den Ubungen teilnehmen mochten, ohne dass Ihre Losun-gen korrigiert werden sollen, schreiben Sie bitte eine email an DanielFauser mit Ihren Wunschterminen (damit die Ubungsgruppen einiger-maßen gleichmaßig besucht sind).

Ansprechpartner.

• Bei Fragen zur Organisation des Ubungsbetriebs wenden Sie sichbitte an Daniel Fauser (Buro M 205):

[email protected]

• Bei Fragen zu den Ubungsaufgaben wenden Sie sich bitte an IhrenUbungsleiter oder an Daniel Fauser.

• Bei mathematischen Fragen zur Vorlesung wenden Sie sich bittean Ihren Ubungsleiter, an Daniel Fauser oder an Clara Loh.

• Bei Fragen zur Planung Ihres Studiums bzw. zur Prufungsordnungwenden Sie sich bitte an die zustandige Studienberatung oder daszustandige Prufungsamt:

http://www.uni-regensburg.de/mathematik/fakultaet/studium/ansprechpersonen/index.html

Bei vielen Fragen kann Ihnen auch die Fachschaft weiterhelfen:

http://www-cgi.uni-regensburg.de/Studentisches/FS MathePhysik/cmsms/

3

Kommutative Algebra im SS 2018Hinweise zur Prufungsvorbereitung


Ziel der Prufungsvorbereitung. Hauptziel der Prufungsvorbereitung ist die sou-verane Beherrschung des behandelten Fachgebiets. Die Prufung sichertab, dass dies tatsachlich der Fall ist, ist aber nicht das eigentliche in-haltliche Ziel der Vorlesung.

Beherrscht werden sollten also:

• aktive Kenntnis der Fachbegriffe und Formalisierungsmethoden

• Verstandnis der Ideen, die zu diesen Fachbegriffen und Formalisie-rungen fuhren

• wichtige Probleme und Fragestellungen, die das Gebiet maßgeblichbeeinflusst haben bzw. die durch das Gebiet gelost werden konnen

• wichtige Resultate und Zusammenhange innerhalb des Gebiets

• wichtige Beweis- und Losungsstrategien

• reprasentative Beispiele

• Anwendungen des Gebiets und Interaktion mit anderen Gebieten

• Fahigkeit, auf all diesen Kenntnissen weiter aufzubauen.

Erreichen dieses Ziels. Wahrend der Vorlesungszeit:

• aktive Auseinandersetzung mit den Ubungsaufgaben

• Erlernen des Fachwissens (Definitionen, Satze), notfalls mit Kar-teikarten

• weiteres aktives Uben mit zusatzlichen Aufgaben und Vertiefungder Kenntnisse durch Selbststudium (Bibliothek!)

• Bei Fragen: Betreuungsangebote nutzen!

Kurz vor der Prufung:

• Kann ich mein Wissen prazise und verstandlich prasentieren? (Daskann man einfach an anderen Kommilitonen ausprobieren . . . )

• Was konnten typische Prufungsfragen sein? Was sind gute Losun-gen zu diesen Fragen?

• Wie belastbar sind meine Fahigkeiten? Was muss ich noch verbes-sern?

Bewertungskriterien. In der Prufung werden folgende Fahigkeiten abgepruft:

• Fachwissen (Definitionen, Satze, Beweise, Beispiele, Anschauung,Zusammenhange, Anwendungen, . . . )

• prazises und korrektes, logisch schlussiges, Formulieren und Argu-mentieren

• Losen von Standardproblemen

• Kreativitat bei der Losung von Problemen

Viel Erfolg bei der Prufung!

Kommutative Algebra im SS 2018Hinweise zu den Ubungsaufgaben


Ziel der Ubungsaufgaben. Ziel der Ubungsaufgaben ist, sich aktiv mit den be-handelten Definitionen, Satzen, Beispielen und Beweistechniken ausein-anderzusetzen und zu lernen, damit umzugehen.

Das Punkteminimum fur die Studienleistung ist das Minimum. Siesollten versuchen, moglichst viele Punkte zu erreichen und nicht nachErreichen dieser Minimalzahl die Ubungen schleifen lassen!

Wie bearbeitet man eine Ubungsaufgabe?

• Beginnen Sie mit der Bearbeitung an dem Tag, an dem das Ubungs-blatt erscheint – manche Dinge brauchen einfach ein paar TageZeit.

• Lesen Sie sich alle Aufgaben grundlich durch. Kennen Sie alle auf-tretenden Begriffe? Verstehen Sie, was in den Aufgaben verlangtwird?

• Was sind die Voraussetzungen? Was ist zu zeigen? Wie konntendiese Dinge zusammenhangen? Gibt es Satze aus der Vorlesung,die auf diese Situation passen?

• Welche Losungsstrategien bzw. Beweisstrategien passen auf dieAufgabe? Kann man einfach direkt mit den Definitionen arbeitenund so zum Ziel gelangen?

• Ist die Aufgabe plausibel? Versuchen Sie die behaupteten Aussa-gen, an einfachen Beispielen nachzuvollziehen!

• Falls Sie die Aufgabe unplausibel finden, konnen Sie versuchen, siezu widerlegen und untersuchen, woran dieses Vorhaben scheitert.

• Kann man die Situation durch eine geeignete Skizze graphisch dar-stellen?

• Versuchen Sie, das Problem in kleinere Teilprobleme aufzuteilen.Konnen Sie diese Teilprobleme losen?

• Verwenden Sie viel Schmierpapier und geben Sie sich genug Zeit, ander Aufgabe herumzuexperimentieren! Selbst wenn Sie die Aufgabenicht vollstandig losen, werden Sie auf diese Weise viel lernen, daSie sich aktiv mit den Begriffen und Satzen auseinandersetzen.

• Wenn Sie nicht weiterwissen, diskutieren Sie die Aufgabe mit Kom-militonen. Lassen Sie sich aber auf keinen Fall dazu verleiten, ein-fach Losungen irgendwo abzuschreiben oder ausschließlich in Grup-pen zu arbeiten. Mathematik kann man nur lernen, wenn man aktivdamit arbeitet und seine Gedanken selbst formuliert!

Wie schreibt man eine Losung auf?

• Gliedern Sie Ihre Losung sauber in Voraussetzung, Behauptungund Beweis.

• Teilen Sie Ihre Beweise in sinnvolle Zwischenschritte auf.

• Achten Sie darauf, dass Sie verstandlich formulieren und dass dieArgumente logisch aufeinander aufbauen.

• Ist Ihre Argumentationskette wirklich luckenlos? Seien Sie miss-trauisch gegenuber Ihrer eigenen Losung und versuchen Sie, allepotentiellen Schwachpunkte ausfindig zu machen!

• Wenn Sie einzelne Beweisschritte nicht vollstandig durchfuhrenkonnen, konnen Sie in Ihrer Losung darauf hinweisen – die restlicheLosung kann trotzdem Punkte erhalten!

• Achten Sie darauf, dass Sie alle Bezeichner einfuhren und dass Siemathematische Symbole und Fachbegriffe korrekt verwenden.

• Versuchen Sie, sich so prazise wie moglich auszudrucken!

• Versuchen Sie, indirekte Argumente so weit wie moglich zu vermei-den.

• Uberprufen Sie am Ende, ob Sie wirklich das bewiesen haben, wasSie ursprunglich behauptet haben.

• Oft ist es auch hilfreich zu uberprufen, ob/wie alle in der Aufgabegegebenen Voraussetzungen verwendet wurden.

• Wurden Sie Ihre Losung verstehen, wenn Sie sie zum ersten Mallesen wurden?

• Alles, was Sie abgeben, mussen Sie eigenstandig formuliert undauch verstanden haben.

• Geben Sie Literaturangaben an, wenn Sie zusatzliche Quellen ver-wendet haben.

Bewertungskriterien. Bei der Bewertung der abgegebenen Losungen wird auffolgendes geachtet:

• Wurde die gestellte Aufgabe vollstandig gelost?

• Wurden Voraussetzung, Behauptung, Beweis deutlich voneinandergetrennt?

• Stimmen die Voraussetzungen? Sind sie sauber formuliert?

• Stimmen die Behauptungen/Zwischenbehauptungen? Sind sie sau-ber formuliert?

• Ist die Argumentationskette der Beweisschritte vollstandig?

• Sind die Beweisschritte prazise formuliert und verstandlich?

• Sind alle Bezeichner eingefuhrt?

• Werden mathematische Symbole und Fachbegriffe korrekt einge-setzt?

• Ist an jeder Stelle des Beweises klar, was passiert?

• Werden die neu erlernten Begriffe und Techniken passend einge-setzt?

Viel Erfolg und viel Spass bei den Ubungen!

D.8 D. Allgemeine Hinweise

Literaturverzeichnis

Bitte beachten Sie, dass das Literaturverzeichnis im Laufe der Vor-lesung wachsen wird und sich daher auch die Nummern der Quellenandern werden!

[1] Martin Aigner, Gunter M. Ziegler, Proofs from The Book, dritte Auf-lage, Springer, 2004. Zitiert auf Seite:

[2] Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald. Introduction to CommutativeAlgebra, Addison-Wesley Series in Mathematics, Westview Press, 1969.Zitiert auf Seite: 118, 141, 142, 143, 148

[3] Martin Brandenburg. Einfuhrung in die Kategorientheorie: Mitausfuhrlichen Erklarungen und zahlreichen Beispielen, Springer Spek-trum, 2015. Zitiert auf Seite: 6

[4] Keith Conrad. Tensor Products,http://www.math.uconn.edu/∼kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdfZitiert auf Seite: 39

[5] Thierry Coquand, Henri Lombardi. A short proof of the Krull dimen-sion of a polynomial ring, Amer. Math. Monthly, 112(9), S. 826–829,2005. Zitiert auf Seite: 80

[6] David A. Cox, John Little, Donal O’Shea. Ideals, Varieties, and Al-gorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry andCommutative Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, vierteAuflage, Springer, 2015. Zitiert auf Seite: 64, A.8, A.10, A.11

[7] Klaus Janich. Topologie, 6. Auflage, Springer, 1999. Zitiert auf Seite: 53

E.2 Literaturverzeichnis

[8] Clara Loh. Geometric Group Theory. An Introduction, Universitext,Springer, 2018. Zitiert auf Seite: 127

[9] Clara Loh. Algebra, Skript zur Vorlesung, 2018.http://www.mathematik.uni-r.de/loeh/teaching/algebra ws1718/lecture notes.pdfZitiert auf Seite: 68, 127

[10] Saunders MacLane. Categories for the Working Mathematician, zweiteAuflage, Springer, 1998. Zitiert auf Seite: 6

[11] Michael Spivak. Calculus, dritte Auflage, Cambridge University Press,2006. Zitiert auf Seite: 81

[12] Christopher Tuffley. A year in the life of Sammy the Graduate Student,http://www.massey.ac.nz/∼ctuffley/sammy/yearinthelife1.html Zitiertauf Seite: 61

[13] Charles Weibel. An Introduction to Homological Algebra, CambridgeStudies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press,1995. Zitiert auf Seite: 166

[14] Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem,Ann. of Math., 142, S. 443–551, 1995. Zitiert auf Seite: 64

Symbolverzeichnis

Symbole

[x0, . . . , xn]Basisvektoren insimplizialenAuflosungen, 164√

a, R√a Radikal von a, 65

| · | Machtigkeit,

∩ Durchschnitt vonMengen,

∪ Vereinigung vonMengen,

t disjunkte Vereinigungvon Mengen,

⊂ Teilmengenrelation(Gleichheit isterlaubt),

⊗R Tensorprodukt vonR-Moduln, 38

'R kettenhomotop,kettenhomoto-pieaquivalent,154

× kartesisches Produkt,

A

Ab Kategorie derabelschen Gruppen, 7

a ·M vom Ideal a erzeugterUntermodul von M ,88

AnK n-dimensionaleraffiner Raum uber K,58

a[T ] erweitertes Ideal imPolynomring, 75

(a : x) Idealquotient von aund x, 136

B

Bal Menge derbalanciertenProdukte, 37

Buchberger Algorithmus vonBuchberger, A.11

C

C Menge der komplexenZahlen,

RCh Kategorie derKettenkomplexe vonR-Linksmoduln, 153

C∞ Kategorie der glattenMannigfaltigkeiten, 22

E.4 Symbolverzeichnis

C(M) eine funktorielleprojektive Auflosungvon M , 166

D

dim Dimension, 74Div verallgemeinerte

Division mit Rest, A.9∂ Randoperator/Differential,

150∂Rx der Rand von x im

Ring R, 101

F

f{g1,...,gd}

Rest von f beiDivisiondurch {g1, . . . , gd},A.10

G

Group Kategorie derGruppen, 7

H

Hn(C) n-te Homologievon C, 153

Hn(f) auf Homologieinduzierte Abbildung,154

RHom R-linkslineareHomomorphismen, 21

HomR R-rechtslineareHomomorphismen, 21

I

id Identitatsmorphismus,6

IK(V ) durch die affinealgebraische Menge VdefiniertesVerschwindungsideal,62

Im Imaginarteil,im Bild, 11, 15

J

J(R) Jacobson-Radikal desRings R, 73

K

ker Kern, 11, 15KK(V ) Koordinatenring der

affinen algebraischenMenge V , 64

k(R) Restklassenkorper deslokalen Rings R, 86

K(S) von S erzeugterTeilkorper von . . . ,127

L

LC Leitkoeffizient, A.9lim−→ Kolimes, 27lim←− inverser Limes, 27L | K Korpererweiterung,

127LM Leitmonom, A.9LT Leitterm, A.9LT Leittermideal, A.9

M

mdeg Multigrad, A.9

SModR Kategorie der(S,R)-Bimoduln, 14

RMod Kategorie derR-Linksmoduln, 14

ModR Kategorie derR-Rechtsmoduln, 14

MorC Morphismen in derKategorie C, 6

MorC(X, · )von X dargestellterkovarianter Funktor,21

MorC( · , X)von X dargestellterkontravarianterFunktor, 20

Mp Lokalisierung von Man R \ p, d.h.Rp ⊗RM , 104

Symbolverzeichnis E.5

mSpec Maximalspektrum, 54

N

N Menge der naturlichenZahlen: {0, 1, 2, . . . },

νp p-adische Bewertungauf Q, 144

nRing Kategorie der ninokoRinge, 11

O

Ob Klasse der Objekteeiner Kategorie, 6

· op duale Kategorie, 17

P

P � ε zusammengesetzteSequenz, 163

p[T ] erweitertes Ideal imPolynomring, 75

Q

Q Menge der rationalenZahlen,

Q(R) Quotientenkorpervon R, 91

R

R Menge der reellenZahlen,

R/a Restklassenring von Rmodulo a, 51

RJaK a-adischeVervollstandigungvon R, 112

Re Realteil,Rf Lokalisierung von R

an {fn | n ∈ N}(wobei f ∈ R ist), 92

Ring Kategorie der Ringe,11

Rp Lokalisierung von Ran R \ p (wobeip ∈ SpecR), 92

R[S] von S erzeugteR-Unteralgebravon . . . , 126

RJT K Ring der formalenPotenzreihen, 32

S

S−1 Lokalisierungsfunktor,94

Set Kategorie derMengen, 7

S(g, h) Polynom miteliminiertenLeittermen, A.11

Spec Primspektrum, 54S−1R Lokalisierung von R

an S, 90S(X) der simpliziale

Kettenkomplex zu X,164

Sx spezielle multiplikativeTeilmenge zu x, 101

T

Top Kategorie dertopologischen Raume,7

Tor Tor, Ableitung desTensorprodukts, 171

trdegK Transzendenzgraduber K, 80

V

VR(a) abgeschlossene Mengein SpecR zu a ⊂ R, 60

VectK Kategorie derK-Vektorraume, 7

VK(F ) durch diePolynommenge Fdefinierte affinealgebraische Menge,62

Z

E.6 Symbolverzeichnis

Z Menge der ganzenZahlen,

ZJpK der Ring derp-adischen ganzenZahlen, 87

Index

A

abgeleiteter Funktor, 171

adisch konvergent, A.5

adisch vollstandig, 112

adische Cauchyfolge, A.5

adische Topologie, A.5

adische Vervollstandigung, 112

adjungierte Funktoren, 19, 34

Hom-Tensor-Adjunktion, 42

affine algebraische Menge, 62

endlich erzeugt, 125

Koordinatenring, 64

Morphismen, 69

Robotik, 64

affine algebraische Varietat, 62

affiner Raum, 58, 69

Algebra, 80, 126

endlich erzeugt, 126

algebraisch, 127

algebraisch abhangig, 80

algebraisch unabhangig, 80

algebraische Geometrie, 70

algebraische Menge, 62

algebraische Varietat, 62

algebraischer Hilbertscher Nullstel-lensatz, 129

algorithmische Kommutative Alge-bra, A.7

Algorithmusverallgemeinerte Division, A.9von Buchberger, A.11

Analysis auf Mannigfaltigkeiten, 22arithmetische Geometrie, 71artinscher Ring, 138

ist noethersch, 139Primspektrum, 138

B

balanciertes Produkt, 37basierte Vektorraume, 18Basis

Grobner-, A.10Basiswechselfunktor, 41beidseitiges Ideal, 14Bewertung, 143Bibliothek, 3Bild

Modulhomomorphismus, 14Ringhomomorphismus, 11

Bimodul, 12Buchberger

Algorithmus, A.11Kriterium, A.11

E.8 Index

D

dargestellter Funktor, 20darstellbarer Funktor, 24

und (Ko)Limiten, 33De-Rham-Kohomologie, 152Dedekindring, 143derivierte Kategorie, 175Diagrammjagd, 156Dicksons Lemma, A.8Differential, 150Dimension, 74

Polynomring, 76, 78, 83Transzendenzgrad, 82

dimension shifting, 172Dimensionskriterium, 80direkte Summe, 30diskrete Bewertung, 143diskrete Ordnung, 26diskreter Bewertungsring, 143Distributivitatsgesetz, 9Divisionsalgorithmus, A.9Doppeldual, 23Dualraum, 20

E

Elementartensor, 39endlich prasentiert, 180exakter Funktor, 96Ext, 171

F

Faser, 100flach, 97, 162formale Potenzreihen, 32freies Produkt, 30Fundamentalsatz der homologischen

Algebra, 167Funferlemma, 156Funktionskeime, 87Funktor, 17

adjungiert, 19adjungierte, 34Basiswechsel, 41dargestellter, 20

darstellbarer, 24Dualraum, 20erhalt Isomorphie, 19exakt, 96glatter Funktionen, 22Hom-, 21Homologie, 154Identitatsfunktor, 18kontravariant, 17kovariant, 17rechtsexakt, 44Tensorprodukt, 40Vergissfunktor, 18

G

generischer Punkt, 61gerichteter Limes, siehe Kolimesgerichteter Multigraph, 15gerichteter Weg, 15glatte Funktion, 22Graph

gerichteter Multi-, 15Grobner-Basis, A.10

Berechnung, A.11Gruppe

als Kategorie, 8

H

Henselsches Lemma, 115Hilbertscher Basissatz, 124

fur Potenzreihenringe, 125Hilbertscher Nullstellensatz, 59, 66,

126, 129Hom-Funktor, 21Hom-Tensor-Adjunktion, 42Homologie, 153

Homotopieinvarianz, 155Homomorphismus

von Moduln, 14Homotopieinvarianz, 155Homotopiekategorie, 155Hufeisenlemma, 169

I

Ideal, 14

Index E.9

irreduzibel, 130, 135Leittermideal, A.9maximales, 51monmoial, A.8prim, 50primar, 130Verschwindungsideal, 62

Idealquotient, 136Identitatsfunktor, 18Identitatsmorphismus, 6induktiver Limes, siehe Kolimesinverser Limes, 27

Eindeutigkeit, 29Existenz, 31

irreduzibel, 135irreduzibles Ideal, 130Isomorphismus

in einer Kategorie, 8naturlicher, 22unter Funktoren, 19

J

Jacobson-Radikal, 73

K

K-Algebra, 80Korpererweiterung, 127Kante, 15Kategorie, 6

der Gruppen, 7der Kettenkomplexe, 153der Mengen, 7der Moduln, 14der Ringe, 11der topologischen Raume, 7der Vektorraume, 7derivierte, 175duale, 17Homotopiekategorie, 155Morphismus, 6Objekt, 6

KernModulhomomorphismus, 14Ringhomomorphismus, 11

Kette, 150

Kettenabbildung, 152Kettenhomotopie, 154kettenhomotopieaquivalent, 154Kettenkomplex, 150

Homologie, 153Knoten, 15Kokettenkomplex, 152Kolimes, 27

Eindeutigkeit, 29Existenz, 31

Kommutative Algebraalgorithmisch, A.7Anwendungen, 3warum?, 1

kommutatives Diagramm, 15, 16kontravarianter Funktor, 17Koordinatenring, 64, 67, 72Koprodukt, 30Korper

Quotientenkorper, 91Restklassenkorper, 86

kovarianter Funktor, 17Kriterium von Buchberger, A.11Krull-Dimension, siehe Dimension

L

lange exakte Homologiesequenz, 158Lasker-Noether-Satze, 138Leitkoeffizient, A.9Leitmonom, A.9Leitterm, A.9Leittermideal, A.9Lemma von Nakayama, 88lexikographische Ordnung, A.8Limes, siehe inverser LimesLinksideal, 14Linksmodul, 12lokal frei, 108, 162, 179, 180lokale Eigenschaft, 104lokaler Ring, 86, 99Lokalisierung, 90

exakt, 96flach, 97Primspektrum, 98universelle Eigenschaft, 93

E.10 Index

von Moduln, 94Lokalisiserung

Ore-Lokalisierung, 94

M

Mannigfaltigkeit, 22maximales Ideal, 51

Restklassenring, 51Maximalspektrum, 54Menge

partiell geordnete, 26Mini-Noether-Normalisierung, 128Mobiusband, 110Modul, 12

endlich prasentiert, 180flach, 97, 162lokal frei, 108, 162, 179, 180lokale Eigenschaft, 104Lokalisierung, 94projektiv, 160Rang, 22Tensorprodukt, 38

Modulhomomorphismus, 14Bild, 14Kern, 14

Modulisomorphismus, 14monomiales Ideal, A.8Morphismen

von affinen algebraischen Men-gen, 69

Morphismus, 6Multigrad, A.9multiplikativ abgeschlossen, 90

N

Nakayama, 88naturliche Transformation, 22naturlicher Isomorphismus, 22nilpotent, 71Nilradikal, 72

universelle Eigenschaft, 72ninoko, 9, 10Noether-Normalisierung, 128noetherscher Ring, 120

Dimension 0, 139

Dimension 1, 141Nullring, 10

O

Ordnungdiskrete, 26lexikographisch, A.8partielle, 26totale, 26

Ore-Lokalisiserung, 94

P

p-adische Bewertung, 144p-adische Zahlen, 87p-primar, 131partiell geordnete Menge, 26Polynomring

Dimension, 76, 78, 83noethersch, 124Transzendenzgrad, 81

Potenzreihen, 32Potenzreihenring, 114

noethersch, 125prim, 50primares Ideal, 130Primarzerlegung, 132Primideal, 50

Restklassenring, 51Primspektrum, 54

Faser, 100Lokalisierung, 98

Produkt, 31balanciertes, 37

projektive Auflosung, 163Eindeutigkeit, 168Existenz, 166

projektiver Limes, siehe inverserLimes

projektiver Modul, 160

Q

Quotient, 30Quotientenkorper, 91

R

Index E.11

R-Algebra, 126Radikal, 65

Jacobson-Radikal, 73Nilradikal, 72

Rand, 101, 150Randoperator, 150Rang freier Moduln, 22rechtsexakt, 44Rechtsideal, 14Rechtsmodul, 12Referenzen, 3Rest bei Division, A.9Restklassenkorper, 86Restklassenring, 51Ring, 9

artinsch, 138Dedekindring, 143Homomorphismus, 10lokaler, 86, 99Lokalisierung, 90ninoko, 9noethersch, 120Nullring, 10Restklassenring, 51

Ringhomomorphismus, 10Bild, 11Kern, 11

Ringisomorphismus, 11Robotik, 64

S

Satzalgebraischer Hilbertscher Null-

stellensatz, 129Dicksons Lemma, A.8dimension shifting, 172Dimensionskriterium von Co-

quand und Lombardi, 80Funferlemma, 156Fundamentalsatz der homolo-

gischen Algebra, 167Henselsches Lemma, 115Hilbertscher Basissatz, 124Hilbertscher Nullstellensatz, 59,

66, 126, 129

Hufeisenlemma, 169Lasker-Noether, 138Lemma von Nakayama, 88Noether-Normalisierung, 128schwacher Hilbertscher Null-

stellensatz, 59, 126starker Hilbertscher Nullstel-

lensatz, 66Struktursatz fur artinsche Rin-

ge, 141Yoneda-Lemma, 24

Schema, 70schwacher Hilbertscher Nullstellen-

satz, 59, 126simpliziale Auflosung, 164Spektrum, 54starker Hilbertscher Nullstellensatz,

66Syzygy, 167

T

TensorproduktAdjunktion, 42Basiswechsel, 41Funktor, 40Moduln, 38uber lokalen Ringen, 88und inverse Limiten, 46und Kolimiten, 43Vektorraume, 35von endlich erzeugten abelschen

Gruppen, 45Tesnorprodukt

rechtsexakt, 44Topologie

Zariski-, 60Tor, 170, 171

Axiome, 171Beispiele, 172, 176Konstruktion, 173Rezept, 174Symmetrie, 178, 179Torsion, 172

totale Ordnung, 26Transformation

E.12 Index

naturliche, 22Transzdendenzgrad, 81Transzendenzgrad, 80

U

unabhangigalgebraisch, 80

universelle Eigenschaftinverser Limes, 27Kolimes, 27Lokalisierung, 93Nilradikal, 72Tensorprodukt, 38

V

Varietat, 62Vektorbundel, 104Vektorraume

basierte, 18verallgemeinerter Divisionsalgorith-

mus, A.9Verbindungshomomorphismus, 158,

171Vergissfunktor, 18Verschwindungsideal, 62Vervollstandigung, 112Vorlesung

Uberblick, 3

W

warum Kommutative Algebra?, 1Weg

gerichteter, 15Worterbuch, A.3

Y

Yoneda-Lemma, 24

Z

Zariski-Topologie, 60Zykel, 150

Kommutative Algebra im SS 2018 - Universität Regensburg · Ideals, Varieties, and Algorithms: An...

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