Klasicna mehanika Zvonko Glumac.pdf

KLASICNA MEHANIKA

UVOD

Zvonko Glumac

Osijek, 2006.

v

All science is either physics or stamp collecting.

lord Ernest Rutherford, 1871 - 1937

Sadrzaj

1 Uvod 1

I Mehanika jedne cestice 5

2 Matematicki uvod - elementi vektorskog racuna 7

2.1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Derivacija vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Vektorski diferencijalni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Gradijent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 Divergencija: Gaussov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.3 Elektrostatika: Gaussov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.4 Rotacija: Stokesov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.5 Laplaceov operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Cilindricni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5.1 Jos neki cilindricni koordinatni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6 Sferni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6.1 D-dimenzijski sferni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.7 Kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.8 Ortogonalna preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.9 Svojstva matrice preobrazbe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.10 Tenzori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3 Kinematika 91

3.1 Brzina i ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Trobrid pratilac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3 Frenet-Serretove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4 Kruzno gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Newtonovi aksiomi gibanja, konzervativnost, rad, energija, momenti 101

4.1 Newtonovi aksiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2 Rad, snaga i kineticka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 Konzervativne sile i potencijalna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.4 Impuls sile i momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.5 Statika ili ravnoteza cestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

vii

viii SADRZAJ

5 Gibanje cestice u polju konstantne sile i sila ovisnih o brzini 1255.1 Gibanje u polju konstantne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.1.1 Slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.1.2 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2 Uvjeti na gibanje: kosina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3 Sile ovisne o brzini: (1) sila prigusenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.3.1 Slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.3.2 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.4 Sile ovisne o brzini: (2) Lorentzova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6 Harmonijski oscilator i matematicko njihalo 1516.1 Slobodni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.2 Gustoca vjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.3 Nelinearni oscilator - racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.4 Priguseni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.5 Prisilni titraji harmonijskog oscilatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.6 Apsorpcija snage vanjske sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.6.1 Neperiodicna vanjska sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.6.2 Rjesenje pomocu Greenove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.7 Dvodimenzijski harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.8 Teodimenzijski izotropni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.9 Matematicko njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7 Gravitacija i centralne sile 1957.1 Newtonov zakon gravitacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.2 Gravitacijsko privlacenje okruglih tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.3 Divergencija i rotacija gravitacijskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.4 Multipolni razvoj potencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.5 Problem dva tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.6 Centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.7 Jednadzba gibanja cestice u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.8 Potencijalna energija cestice u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.9 Sacuvanje energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.10 Opis gibanja nebeskih tijela pomocu grafa energije . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.11 Ekvivalentnost Keplerovih zakona i zakona gravitacije . . . . . . . . . . . . . . . 2457.12 Virijalni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

7.12.1 Virijalni teorem za homogenu potencijalnu energiju . . . . . . . . . . . . 2527.12.2 Pocetni uvjeti i putanja satelita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

7.13 ”Sto bi bilo ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.14 Racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.15 Rasprsenje cestica u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

8 Inercijski i neinercijski sustavi 2618.1 Vremenska promjena vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618.2 Brzina i ubrzanje u sustavu koji se vrti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.3 Opcenito gibanje koordinatnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.3.1 Jednadzba gibanja u neinercijskom sustavu vezanom za povrsinu Zemlje . 2678.3.2 Slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2718.3.3 Okomiti hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

SADRZAJ ix

8.3.4 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.3.5 Rijeke i cikloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

8.4 Foucaultovo njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758.5 Opcenita jednadzba gibanja cestice u neinercijskom sustavu . . . . . . . . . . . 282

9 Specijalna teorija relativnosti 2859.1 Lorentzove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.2 Relativisticka kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.3 Relativisticka dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.4 Hamiltonova formulacija relativisticke mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

II Mehanika sustava cestica 287

10 Sustavi cestica 28910.1 Diskretni i kontinuirani sustavi cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28910.2 Srediste mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29710.3 Kolicina gibanja, moment kolicine gibanja i energija - definicija i sacuvanje . . . 300

10.3.1 Kolicina gibanja sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.3.2 Moment kolicine gibanja sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30310.3.3 Energija sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

10.4 Neinercijski koordinatni sustav vezan za srediste mase . . . . . . . . . . . . . . . 31010.5 Lagrangeovo i D’Alembertovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31510.6 Sustavi s promjenjivom masom: gibanje rakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32110.7 Sudari cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

10.7.1 Centralni sudar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32910.7.2 Necentralni sudar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

11 Mali titraji sustava cestica 33511.1 Mali longitudinalni titraji jednodimenzijskog diskretnog sustava cestica . . . . 336

11.1.1 Granica kontinuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34411.2 Mali transverzalni titraji kontinuiranog jednodimenzijskog sustava cestica . . . 347

11.2.1 Titranje napete niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34711.2.2 Nit s oba nepomicna ruba: stojni val (D. Bernoulli) . . . . . . . . . . . 35111.2.3 Nit s oba nepomicna ruba: putujuci val (J. D’Alembert) . . . . . . . . 35611.2.4 Nit s nepomicnim lijevim i slobodnim desnim rubom . . . . . . . . . . . 36011.2.5 Nit sa slobodnim desnim i nepomicnim lijevim rubom . . . . . . . . . . 36311.2.6 Nit slobodna na oba ruba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36511.2.7 Brzina sirenja grupe valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36711.2.8 Energija titranja napete niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

11.3 Titranje pravokutne membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37111.4 Titranje kruzne membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

12 Ravninsko gibanje krutog tijela 38112.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38112.2 Moment tromosti krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38312.3 Teoremi o momentima tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38612.4 Parovi sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38812.5 Kineticka energija, rad i snaga vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

x SADRZAJ

12.6 Fizicko njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

12.7 Opcenito ravninsko gibanje krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

12.8 Trenutno srediste vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

12.9 Statika krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

13 Prostorno gibanje krutog tijela 405

13.1 Tenzor tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

13.2 Eulerove jednadzbe gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

13.3 Gibanje Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

13.4 Eulerovi kutovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

13.5 Cayley - Klein parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

13.6 Gibanje zvrka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

III Analiticka mehanika 439

14 Lagrangeove jednadzbe 441

14.1 Poopcene koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

14.2 Stupnjevi slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

14.3 Lagrangeove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

14.4 Lagrangeove jednadzbe za impulsnu silu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

14.5 Lagrangeova funkcija naelektrizirane cestice u elektromagnetskom polju . . . . 459

14.6 Hamiltonovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

14.7 Primjene Euler - Lagrangeove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

14.8 Funkcija djelovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

14.9 Bazdarna preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

14.10Klasicna teorija polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

15 Hamiltonove jednadzbe 473

15.1 Hamiltonove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

15.2 Poissonove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

15.3 Kanonska preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

15.3.1 Funkcija izvodnica kanonske preobrazbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

15.3.2 Infinitezimalna kanonska preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

15.3.3 Poissonove zagrade i kanonska preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

15.4 Hamilton-Jacobijeva jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

15.4.1 Fazni integrali - djelovanje i kutne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . 502

15.5 Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

15.5.1 Kanonska preobrazba i Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

15.6 Prijelaz na kvantnu mehaniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

IV Mehanika Fluida 517

16 Mehanika Fluida 519

16.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

SADRZAJ xi

A Matematicki dodatak 521A.1 Medunarodni sustav mjernih jedinica (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521A.2 Taylorov razvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523A.3 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523A.4 Zaokvirene formule iz ove knjige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

B Delta funkcija 527

C Presjeci stosca 533

D Fourierovi redovi 539

E Vucedolski kalendar 543

xii SADRZAJ

Ovo su biljeske s autorovih predavanja iz kolegija Klasicna Mehanika 1 i 2, na drugoj godinistudija fizike sveucilista u Osijeku. Biljeske nisu strucno recenzirane i daju se na uvid studen-tima kao orjentacija za pripremanje ispita.Sva prava pridrzana.

xiii

xiv SADRZAJ

Predgovor

Iz podrucja teorijske mehanike je vec napisano mnostvo vrlo dobrih knjiga i stoga bi bio vrlotezak zadatak reci nesto novo ili originalno u ovom podrucju. Umjesto toga, autor si je postaviopuno skromniji cilj, a to je: olaksati pracenje predavanja iz kolegija Klasicna mehanika 1 i 2na studiju fizike osjeckog sveucilista.Za pracenje izlaganja u ovoj knjizi, dovoljno je elementarno poznavanje vektorskog i integro-diferencijanog racuna, kao i osnovnih pojmova opce fizike.Iz svojeg visegodisnjeg rada sa studentima, autor je dosao do nedvojbenog zakljucka da opsirnostknjige nikako ne moze biti njezin nedostatak. Stoga su i mnoga objasnjenja, racuni i izvodidani dosta detaljno, uz izostanak samo najelementarnijih algebarskih operacija.Pojedine teme su u ovoj knjizi obradene nesto detaljnije i opsirnije nego na predavanjima, atakoder postoje i teme koje su (zbog nedostatka vremena) potpuno izostavljene na predavan-jima. Isto tako postoje cijela podrucja (poput specijalne teorije relativnosti, mehanike fluida,teorije elasticnosti i sl.) koja se ne nalaze u ovoj knjizi, a koja zainteresirani citatelj moze naciu nekima od knjiga navedenih u popisu literature.

Napomena:Pojavljivanje u tekstu imenica kao sto su citatelj, student i slicnih, podrazumjeva i osobezenskog i osobe muskog spola, dakle: citateljica, studentica i slicno.

Osijek, lipnja 2006. Autor

xv

xvi SADRZAJ

Kazalo kratica i simbola

~A vektorski potencijala velika poluos elipse~a ubrzanje, ~a = d~v/dt~B indukcija magnetskog poljab mala poluos elipsec brzina svjetlosti u vakuumu, 2.9979250(10) 108 ms−1

D dimenzija prostoraE ukupna energijaEk ukupna kineti”cka energijaEk,t translacijska kineti”cka energijaEk,vrt kineti”cka energija vrtnjeEp potencijalna energija~E elektri”cno poljee j jedini”cni vektori u smjerovima glavnih osi krutog tijela~F silaG univerzalna konstanta gravitacije, 6.6732(31) 10−11 N m2 kg−2

g standardno ubrzanje u Zemljinom gravitacijskom polju, 9.80665 ms−2

gij komponente kovarijantnog metri”ckog tenzoraH Hamiltonova funkcijah Planckova konstanta, 6.626 . . . · 10−34 Js~ Planckova konstanta podijeljena s 2 π: ~ = h/(2 π)I, Iαα moment tromosti oko zadane osiIαβ devijacijski (centrifugalni) momenti tromostiJ Jacobijeva determinantaL Lagrangeova funkcija~L moment koli”cine gibanja, ~L = ~r × ~pl duljina~M moment sile, ~M = ~r × ~Fm masa tijela ili ”cesticeP snaga, P = dW/d t~p koli”cina gibanja, ~p = m~vR polumjer zakrivljenosti~r radij vektorr, ~er koordinata i jedini”cni vektor sfernog koordinatnog sustavaS povr”sina; djelovanjeT period, f(t) ≡ f(t+ T )t vrijeme

xvii

xviii SADRZAJ

V volumen; skalarni potencijal~v brzina, ~v = d~r/d t

W rad, W =∫~F d~r

x,~ex koordinata i jedini”cni vektor pravokutnog koordinatnog sustavay, ~ey koordinata i jedini”cni vektor pravokutnog koordinatnog sustavaz, ~ez koordinata i jedini”cni vektor pravokutnog i cilindri”cnog koordinatnog sustava~α kutno ubrzanje, ~α = d~ω /dtγ koeficijent prigu”senja kod harmonijskog titranjaδ(a, b) Kroneckerov simbol: jednak jedinici ako je a = b, a nuli ako je a 6= bδ(x− x0) Diracova δ funkcija

ǫ ekscentricitet elipse ǫ =√a2 − b2/a

Θ jedan od Eulerovih kutovaθ, ~eθ koordinata i jedini”cni vektor sfernog koordinatnog sustavaκ zakrivljenost ili fleksija κ = 1/Rλ kut kolatitude; valna duljina f(x) = f(x+ λ)λm linijska masena gustoca, λm = dm/d lµ reducirana masa, 1/µ = 1/m1 + 1/m2 + · · ·ν frekvencija, inverzna vrijednost perioda ν = 1/Tρ,~eρ koordinata i jedini”cni vektor cilindri”cnog (polarnog) koordinatnog sustavaρm volumna masena gustoca, ρm = dm/d Vσm povr”sinska masena gustoca, σm = dm/d SΦ jedan od Eulerovih kutovaϕ,~eϕ koordinata i jedini”cni vektor cilindri”cnog (polarnog) koordinatnog sustavaΨ jedan od Eulerovih kutovaψ otklon ”cestice sredstva kod titrajnog ili valnog gibanja (valna funkcija)~ω kutna brzina, |~ω | = dϕ/dt

Gr”cko slovo ∆ ispred odre”denog simbola ozna”cava promjenu ozna”cene veli”cine za kona”caniznos. Npr.

∆A = Akon −Apoc.

Slovo d ispred odre”denog simbola ozna”cava infinitezimalnu promjenu ozna”cene veli”cine.Npr.

d ~V (q) = ~V (q + d q) − ~V (q).

Diferencijali volumena ce se ozna”cavati s d V ili s d3r, a diferencijali povr”sine s d S ili s d2r.

Poglavlje 1

Uvod

Na pocetku svake knjige, autor je duzan upoznati citatelje s glavnim likovima koji se u njojpojavljuju. Glavni likovi ove knjige o mehanici1 su pomalo nesvakidasnji: to su vrijeme,prostor i tvar (ili materija). Reci neku vise ili manje preciznu definiciju ovih pojmova jenajvjerojatnije nemoguce. Umjesto toga postoje neke druge mogucnosti kao sto su npr.

- nabrajati svojstva pojmova koje ne znamo definirati, nadajuci se da cemo nabrojati tolikosvojstava koliko nema ni jedan drugi pojam i time ih jednoznacno odrediti, ili

- puno jednostavnije, naprosto se pozvati na nasu intuiciju: svi mi intuitivno shvacamo pojmoveprostora, vremena i tvari i stoga ih nije potrebno posebno objasnjavati.

Na toj ili slicnoj liniji razmisljanja je vjerojatno bio i blazeni Augustin kada je (u DrzaviBozijoj), govoreci o vremenu, rekao otprilike ovako:

Sve dok me ne pitate sto je vrijeme, ja znam sto je ono, ali ako me pitateda vam objasnim, ja ne znam.

Ovom je recenicom sazeto dano nase znanje o vremenu: intuitivno nam je jasno o cemu seradi, ali kako to objasniti (npr. nekome dosljaku iz svemira tko ne posjeduje nasu intuiciju),to nismo u stanju. Naravno, mi mozemo govoriti o vremenskom slijedu, o tome da se jedandogadaj dogodio prije nekog drugog dogadaja ili slicno, ali time samo govorimo o vremenskimrelacijama, ali ne i o samom vremenu. Vezano za vremenski slijed, treba spomenuti i (naizgledtrivijalnu) usporedbu s prostorom: dok je u prostoru moguce gibanje u proizvoljnim smjerovima,u vremenu postoji istaknuti smjer koji se naziva buducnost. Vrlo omiljena (unatoc svojim ocitimlogickim kontradikcijama) knjizevna i filmska tema putovanja u proslost, jos nije nasla uporisteu fizici.

Teorije relativnostiNista manje nije jednostavan ni problem prostora. Dugo je vremena (napose od Newtona, panadalje), prostor smatran za neku vrstu kazalisne pozornice na kojoj glumci (tj. cestice tvari)izvode svoju predstavu (gibaju se tijekom vremena) koju nazivamo fysis - priroda. Prostorje naravno bio zamisljan kao ravni trodimenzijski Euklidski prostor. Pri svemu tome, sva su tripojma: prostor, vrijeme i tvar smatrani medusobno neovisnim.

1Sama rijec mehanika potjece od grcke rijeci µηχανη, koja oznacava orude ili stroj, a oznacava dio fizike koji proucava gibanjei mirovanje cestica.

1

2 POGLAVLJE 1. UVOD

Pocetkom dvadesetog stoljeca dolazi do postupnog povezivanja ovih pojmova. Najprije je

Slika 1.1: Albert Einstein, (Ulm1879. - Princeton 1956.), njemackiteorijski fizicar.

Einstein (slika 1.1) 1905. godine u svojoj Specijalnoj teorijirelativnost povezao pojmove prostora i vremena u jednu jedin-stvenu tvorevinu nazvanu prostor-vrijeme, da bi nesto kasnije,oko 1920. godine, u Opcoj teoriji relativnost pokazao da svo-jstva prostor-vremena (napose njegova zakrivljenost) ovise ojednom svojstvu tvari koje se zove masa. Prostor bez tvari jeravan (euklidski), dok nazocnost tvari (uslijed njezine mase)mijenja geometrijska svojstva prostora i cini ga zakrivljenim.Geometriju ovakvih zakrivljenih prostora, vec su ranije razviliRiemann i Lobacevskij. Ucinci opisani teorijama relativnostipostaju zamjetni tek ako se tijela gibaju brzinama bliskimbrzini svjetlosti (specijalna teorija relativnosti) ili ako je masareda velicine mase planeta ili zvijezda (opca teorija relativnosti). U ovoj cemo se knjizi ograniciti

Slika 1.2: Georg Friedrich Bernhard Riemann, (1826. -1866.), njemacki matematicar.

Slika 1.3: Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, (1792. - 1856.),ruski matematicar.

na pojave kod kojih ucinci opisani teorijama relativnosti imaju vrlo mali utjecaj i zato cemo ihu cjelosti zanemariti (cak i u poglavlju o gravitaciji). Prostor cemo shvacati kao ravan euklidski,homogen i izotropan kontinuum. Svojstvo homogenosti oznacava da prostor ima ista svo-jstva u svakoj svojoj tocki, tj. sve su tocke ravnopravne, ne postoji istaknuta tocka. Izotropnostznaci da prostor ima ista svojstva u svim smjerovima, tj. svi su smjerovi ravnopravni, ne postojiistaknuti smjer u prostoru. Za dani konkretni problem, ova svojstva omogucavaju najpogodnijiodabir polozaja ishodista koordinatnog sustava i smjerova koordinatnih osi.

Kvantna teorijaGovoreci o prostoru i vremenu, spomenuli smo i tvar navodeci jedno njezino svojstvo: masu.Osim mase, tvar moze imati i neka druga svojstava kao sto su: elektricni naboj, spin, cesticetvari se mogu gibati odredenom brzinom, itd. Neka od tih svojstava su nam bliska iz svakod-nevnog zivota (npr. masa ili brzina), dok postoje svojstva tvari (kao sto je npr. spin), koja sujako daleko od nase svakodnevice, sto ih, naravno, ne cini i manje vaznima.Paralelno s Einsteinovim radovima iz teorija relativnosti, u to se doba (pocetkom dvadese-tog stoljeca) razvijala i jedna nova grana fizike, koja ce kasnije biti nazvana kvantnommehanikom. Ona je u bitnome promjenila dotadasnje poimanje tvari. Stoljecima se zamisljaloda se tvar sastoji od malih cestica, koje su jos stari Heleni nazvali nedjeljivima (Demokritoviatomi, ili danasnjim jezikom receno: elementarne cestice). Gibanje tih malih cestica i nji-hovo medusobno povezivanje, tvorilo je sav vidljivi prirodni svijet. Pokusi nad elektronima(npr. Comptonovo rasprsenje) su pokazali da elementarne cestice nemaju samo cesticna (kor-

3

puskularna) svojstva, nego imaju i valna svojstva (kao sto je npr. ogib). Ukratko, doslo je doshvacanja da nije sasvim tocno elementarne cestice zamisljati kao jako smanjene biljarske kuglicekoje jure kroz prostor. Slika je ipak nesto slozenija: pod odredenim uvjetima tvar pokazujecesticna svojstva, a pod nekim drugim uvjetima pokazuje valna svojstva. Stoga bi, umjestoizraza cestica ili val, korektnije bilo koristiti izraz cestica-val ili sto slicno. Razlog zasto se takavnekakav izraz vec nije udomacio u literaturi, jeste taj sto se dvojni valno-cesticni karakter tvariprikazuje tek na vrlo maloj prostornoj skali, tako da makroskopski - tj. u nasem svakidasnjemiskustvu - tvar mahom pokazuje ili samo svoja cesticna ili samo svoja valna svojstva. PremaDe Broglieu, veza valnih (valna duljina λ) i cesticnih (kolicina gibanja ~p ) svojstava cestice-vala,je dana izrazom

Slika 1.4: Louis-Victor Pierre Raymond, prince DeBroglie, (1892. - 1958.), francuski teorijski fizicar.

Slika 1.5: Max Karl Ernst Ludwig Planck, (1858. -1947.), njemacki teorijski fizicar

λ p = h,

gdje je

h = 6.626 . . . · 10−34 Js

jedna univerzalna prirodna konstanta, nazvana Planckova konstanta.

Primjer: 1.1 Helijev plin.Evo jednog jednostavnog primjera. Srednja brzina helijeva plina na sobnoj temper-aturi je oko 1 350ms−1, a masa atoma helija je priblizno cetiri puta veca od maseprotona. Uvrstavanje ovih vrijednosti u De Broglievu relaciju, daje za valnu duljinuvrijednost od 0.74 · 10−10m, sto je oko sto puta manje od srednje udaljenosti meduatomima u plinu. Dakle, helijevi su atomi dovoljno dobro lokalizirani u prostoru,da bi se mogli smatrati cesticama. Naprotiv, snizavanjem temperature od sobne na0.01K, njihova se brzina smanjuje, a valna duljina se povecava i postaje stotin-jak puta veca od srednjeg razmaka medu atomima. U ovoj situaciji, kada se valovi(tocnije receno: valne funkcije) razlicitih atoma jako preklapaju, nije moguce prim-jeniti klasicnu sliku malih cestica, nego je potrebno prijeci sa klasicnog na kvant-nomehanicki opis plina.

Svakodnevni zivot se mahom odvija na sobnoj temperaturi i na makroskopskoj prostornojskali i to je razlog zasto se dvojni karakter tvari moze opaziti tek vrlo pazljivo pripremljenimpokusima.

4 POGLAVLJE 1. UVOD

U ovoj cemo se knjizi baviti pojavama na prostornoj skali puno vecoj od valne duljine ele-mentarnih cestica, tako da cemo dvojni karakter tvari zanemarivati, praveci time zanemarivugresku u nasim racunima.

Jednadzba gibanjaNa kraju cemo pokusati sazeto iznijeti i glavni nas cilj u ovome izlaganju klasicne mehanike:ako su nam u trenutku t0, poznati polozaj

~r0 = ~r(t = t0)

i brzina cestice

~v0 = ~v(t = t0),

tada je nas zadatak odrediti polozaj te iste cestice u proizvoljnom trenutku t 6= t0. Ovoproizvoljnom znaci i proslom, t < t0, i buducem, t > t0. Polozaj cestice u proizvoljnomvremenskom trenutku je funkcija vremena, pocetnog polozaja i pocetne brzine (i prirodnih inumerickih konstanata)

~r = ~r(t;~r0, ~v0)

i moze se proizvoljno tocni odrediti. Primjetimo da se u kvantnoj mehanici polozaj cesticene moze proizvoljno tocno odrediti, nego postoji granicna tocnost odredena Heisenbergovimrelacijama neodredenosti.

Stranice koje slijede, posvecene su trazenju odgovora na ovo pitanje (i njegove brojne varijacije).

Dio I

Mehanika jedne cestice

5

Poglavlje 2

Matematicki uvod - elementivektorskog racuna

Mathematics is part of physics.Vladimir Igorevich Arnold

2.1 Vektori

U ovom se poglavlju krece od pretpostavke da su citatelji vec upoznati s pojmom vektora injihovim osnovnim svojstvima. Stoga ce se ovdje dati samo pregled nekih vektorskih definicija,svojstava i relacija, vise sa ciljem da se uvede notacija, nego da se izlozi nekakav sustavan uvodu vektorski racun.Po svojem algebarskom znacenju, sve su fizicke velicine tenzori odredenog reda. Ako je zaodredenje dane fizicke velicine u D-dimenzijskom prostoru potrebno

D n

realnih brojeva, tada se takva velicina zove tenzor n-tog reda.

n = 0Najjednostavniji medu njima su tenzori nultog reda ili skalari. Za potpuno odredenje skalarapotreban je D0 = 1 realan broj (iznos skalara). Skalari su npr.: masa m, temperatura T , radW , vrijeme t, energija E, snaga P itd.

n = 1Nesto su slozeniji tenzori prvog reda ili vektori1. Za potpuno odredenje vektora potrebno jeD1 = D realnih brojeva. Za razliku od skalara, vektor je karakteriziran, osim svojim izno-som, jos i smjerom i pravilom zbrajanja. Citatelji su se zacijelo vec susretali s vektorskimvelicinama kao sto su sila ~F , brzina ~v, radij vektor ~r, elektricno polje ~E , indukcija magnetskogpolja ~B itd.

n ≥ 2Postoje fizicke velicine (npr. tenzor tromosti (13.2), magnetska susceptibilnost, tenzor energije-kolicine gibanja, tenzor napona i sl.) za cije je potpuno odredenje potrebno vise od D brojeva.

1Vektori se prvi puta spominju u djelima nizozemskog fizicara Simona Stevina (godine 1585.) u vezi zbrajanja sila predstavljenihusmjerenim duzinama.

7

8 POGLAVLJE 2. MATEMATICKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RACUNA

Za potpuno odredenje navedenih velicina, potrebno je D2 realnih brojeva i zato se one zovutenzori drugog reda. U odgovarajucoj bazi, tenzori drugog reda se mogu reprezentirati matri-cama.Skalarni, vektorski ili opcenito tenzorski karakter odredene fizicke velicine se vidi iz njezinogponasanja u odnosu na vrtnju (zakret) koordinatnog sustava (vidjeti odjeljak 2.10). Skalarje odreden samo jednim brojem, pa ne ovisi o promjeni smjerova koordinatnog sustava, kazese da je invarijantan na zakret koordinatnog sustava (npr. zapis mase cestice od 5 kg ostajenepromjenjen nakon zakreta sustava za proizvoljni kut).Za razliku od skalara, vektor je osim svojim iznosom, karakteriziran i smjerom u odnosu nareferentne smjerove koordinatnog sustava. Stoga ce promjena referentnih smjerova (pri zakretusustava) uzrokovati i promjenu u zapisu vektora (npr. zapisi polozaja i brzine spomenute cesticemase 5 kg, ce se promijeniti uslijed zakreta koordinatnog sustava).

PoljeUvedimo sada pojam fizickog polja. Ako svakoj tocki prostora (ciji polozaj oznacavamo s~r), u svakom vremenskom trenutku (koji opet oznacavamo s t) mozemo pridruziti odredenu

vrijednost skalara s, vektora ~V ili tenzora T

s(~r, t), ~V (~r, t), T (~r, t),

tada cemo takve skalare, vektore ili tenzore, nazivati skalarnim, vektorskim ili tenzorskim po-ljem. Primjetimo da su polja opcenito funkcije vise varijabla (tri prostorne i jedne vremenske).Npr. skalarno polje temperature T (~r, t) daje vrijednost temperature u odredenoj tocki prostora~r u odredenom vremenskom trenutku t. Za fluid koji se giba, moze se definirati vektorsko poljebrzine ~v(~r, t), koje oznacava brzinu fluida u tocki ~r u trenutku t. Slicno je i s gravitacijskom

privlacnom silom Zemlje ~FG(~r): svakoj tocki prostora pridruzujemo vektor usmjeren premasredistu Zemlje, iznosa jednakog gravitacijskoj sili u toj tocki - skup svih takvih vektora sezove polje gravitacijske sile Zemlje. Slicno je i za elektricno i magnetsko polje. Kao primjertenzorskog polja moze posluziti polje tenzora napetosti u elasticnom tijelu koje u razlicitimvremenskim trenucima moze imati razlicite vrijednosti u razlicitim tockama tijela.

Racunske operacijekoje se mogu izvodi s vektorima jesu: zbrajanje vektora, mnozenje vektora skalarom, mnozenjevektora vektorom (na vise nacina), deriviranje i integriranje vektora. Dijeljenje vektorom nijedefinirana racunska operacija.

Zbrajanje vektoraZbroj dva vektora je opet vektor. Zbrajanje vektora ~V i ~U se izvodi po pravilu paralelograma(slika 2.1): pocetak vektora ~U translatiramo na kraj vektora ~V , a zatim spojimo pocetak od ~V

sa krajem od ~U . Iz opisanog postupka je ocito da je zbrajanje komutativno

~V + ~U = ~U + ~V ,

kao i da se moze poopciti na proizvoljan broj vektora. Iz definicije zbrajanja vektora slijedi daje zbrajanje vektora asocijativno

~V + (~U + ~W ) = (~V + ~U) + ~W.

2.1. VEKTORI 9

Slika 2.1: Definicija zbrajanja vektora. Slika 2.2: Nekomutativnost vrtnji za konacni kut.

Primjenom svojstva asocijativnosti, zbrajanje proizvoljnog broja vektora se svodi na zbrajanjedva vektora.

Primjetimo da vrtnje (zakreti, rotacije) za konacni kut oko zadane osi nisu vektori iako imajuiznos (to je kut zakreta) i smjer (to je smjer osi oko koje se vrsi zakret). Nisu vektori upravozato jer ne zadovoljavaju pravilo komutativnosti2. Promotrimo, za primjer, dva zakreta zakonacni kut:

Zz = (π/2, ~ez )

je zakret za π/2 oko osi ~ez , a

Zx = (π/2, ~ex )

je zakret za π/2 oko osi ~ex . Iznos ovih velicina je π/2, a njihov smjer je smjer osi oko koje sevrsi zakret. Sa slike 2.2 se vidi da

Zz + Zx 6= Zx + Zz.

Dekompozicija ili rastavvektora je postupak suprotan zbrajanju vektora, gdje se jedan vektor rastavlja na dva (ili vise)vektora koji, zbrojeni, daju opet pocetni vektor. Ovaj je postupak koristan npr. kod analize silakoje djeluju na promatrano tijelo, pri cemu se sile rastavljaju na svoje komponente u prikladnoodabranim smjerovima (za ilustraciju pogledati npr. sliku 5.3)

Iznosili norma vektora ~V je skalar iznosa jednakog duljini vektora ~V izrazenoj u odgovarajucimmjernim jedinicama. Oznacava se s V ili |~V |. Iznos (kao ni smjer) vektora ne ovise o izborukoordinatnog sustava. Za dva vektora se kaze da su jednaki, ako imaju isti iznos i smjer (nenuzno i hvatiste).

Inverzni i nul-vektorInverzni vektor, −~V , je vektor sa svojstvom da je zbroj vektora i njegovog inverza jednak nuli

~V + (−~V ) = 02Zakreti za infinitezimalni kut zadovoljavaju pravilo komutativnosti i zato kutna brzina, definirana relacijom (3.17), jeste vektor.


(nulom je oznacen vektor iznosa nula - njegov smjer nije definiran, pa zato nije ni oznacen).

Mnozenje vektora ~V skalarom sse oznacava kao s ~V . Ono mijenja duljinu (normu, iznos) vektora tako da ona postaje jednaka

s |~V |, a smjer vektora ostaje nepromjenjen. Mnozenje skalarom je distributivno (tj. mozese shvatiti i kao linearni operator)

s (~V + ~U) = s ~V + s ~U.

Jedinicni vektorOdabere li se skalar tako da je upravo jednak inverzu norme

s =1

|~V |,

tada ce rezultantni vektor

s ~V =~V

|~V |

biti jedinicne duljine. Takav se vektor naziva jedinicni vektor vektora ~V i oznacava se kao

~eV =~V

|~V |, |~eV | = 1. (2.1)

Vektore je uobicajeno prikazivati u koordinatnim sustavima. Najcesce cemo koristiti pra-vokutni (PKS), 3 cilindricni (CKS, odjeljak 2.5) i sferni (SKS, odjeljak 2.6) koordinatni sustav.Vise detalja o poopcenom koordinatnom sustavu moze se naci npr. u [12].Zadrzimo se, za sada, na dobro nam poznatom, pravokutnom sustavu.

Bazni vektoripravokutnog koordinatnog sustava ce se oznacavati s

~ex , ~ey , ~ez .

Svaki od gornjih vektora ima smjer porasta koordinate cije ime nosi. Mnozenjem baznihvektora skalarima, i koristeci cinjenicu da je zbroj vektora opet vektor, moguce je konstuiratiproizvoljan (ne-bazni) vektor

~V = Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez .

Ili, drukcije receno, svaki se vektor moze jednoznacno prikazati kao linearna kombinacija baznihvektora. Komponentama vektora ~V cemo nazivati projekcije danog vektora na bazne vektoreodabranog koordinatnog sustava: to su Vx, Vy i Vz. Vektori se mogu prikazati i u obliku D × 1

3Pravokutni koordinatni sustav je prvi uveo Rene Descartes (latinizirano: Cartesius), 1637. godine.

2.1. VEKTORI 11

matrice (gdje je D dimenzija prostora; u nasim primjerima je D = 3), tako sto ce bazni vektoribiti stupci oblika

~ex =

1

0

0

, ~ey =

0

1

0

, ~ez =

0

0

1

,

a sam vektor ~V je tada

~V = Vx

1

0

0

+ Vy

0

1

0

+ Vz

0

0

1

=

Vx

Vy

Vz

.

Radij vektorom, ~r,neke tocke naziva se vektor koji spaja ishodiste koordinatnog sustava s promatranom tockom.U pravokutnom koordinatnom sustavu, radij vektor je

~r = x~ex + y ~ey + z ~ez .

Toliko o mnozenju vektora skalarom. Kod mnozenja vektora vektorom, razlikuju se dva slucaja:skalarno mnozenje, gdje je rezultat mnozenja dva vektora, skalar i vektorsko mnozenje,gdje je rezultat mnozenja dva vektora neki treci vektor. Umnosci tri i vise vektora su rezultatkombiniranja skalarnog i vektorskog mnozenja.

Skalarni umnozakdva vektora ~V i ~U je skalar, definiran kao

~V · ~U = |~V | |~U | cos(~V , ~U), (2.2)

gdje je s cos(~V , ~U) oznacen kosinus kuta izmedu vektora ~V i ~U . Ocito je skalarni umnozak dvamedusobno okomita vektora, jednak nuli

~V ⊥ ~U ⇔ ~V · ~U = 0.

Prema samoj definiciji, skalarni je umnozak komutativan

~V · ~U = ~U · ~V .

Skalarni umnosci baznih vektora pravokutnog koordinatnog sustava su, redom:

~ex · ~ex = 1, ~ex · ~ey = 0, ~ex · ~ez = 0,

~ey · ~ex = 0, ~ey · ~ey = 1, ~ey · ~ez = 0, (2.3)

~ez · ~ex = 0, ~ez · ~ey = 0, ~ez · ~ez = 1,


Slika 2.3: Skalarni umnozak dva vektora. Slika 2.4: Vektorski umnozak dva vektora.

Baza sa gornjim svojstvom se naziva ortonormirana baza.Po svojem geometrijskom znacenju, skalarni je umnozak projekcija jednog vektora na smjerdrugoga, pomnozena s iznosom tog drugog vektora (slika 2.3). Jedna od fizickih realizacijaskalarnog umnoska je pojam rada: kod izracunavanja rada sile pri pomaku cestice, vazna jesamo ona komponeta sile koja lezi u smjeru pomaka, a ona je upravo dana skalarnim umnoskomsile i radij vektora pomaka cestice,

dW = ~F · d~r.

Primjenom definicije (2.2) na rastav vektora ~V i ~U po komponentama, a uzevsi u obzir ortonormi-ranost baze, (2.3), dolazi se do

~V · ~U = (Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez ) · (Ux ~ex + Uy ~ey + Uz ~ez ) = Vx Ux + Vy Uy + Vz Uz,

Iznos (norma) vektora se moze napisati preko skalarnog umnoska kao

V =√~V · ~V =

√V 2x + V 2

y + V 2z . (2.4)

Tako je npr. iznos radij vektora jednak

|~r| = r =√x2 + y2 + z2.

Pomocu skalarnog umnoska se i kut medu vektorima moze napisati kao

~eV · ~eU = 1 · 1 cos(~V , ~U),

sto mozemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutovakoje zatvara s koordinatnim osima. Npr. za pravokutni koordinatni sustav:

~V = Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez

/· ~ex

~V · ~ex = Vx.

No, prema definiciji skalarnog umnoska (2.2), je

~V · ~ex = V cos(~V ,~ex ),

pa se, usporedbom s gornjim izrazom, dobiva

Vx = V cos(~V ,~ex ).

2.1. VEKTORI 13

Slicnim se postupkom dobiva i

Vy = V cos(~V ,~ey ), Vz = V cos(~V ,~ez ),

sto, sve zajedno, vodi na

~V = V[cos(~V ,~ex )~ex + cos(~V ,~ey )~ey + cos(~V ,~ez )~ez

]. (2.5)

Vektorski umnozakdva vektora, ~V i ~U , je vektor

~W = ~V × ~U,

okomit na vektore ~V i ~U ciji je smjer odreden smjerovima ~V i ~U i pravilom desne ruke:ako prstima desne ruke idemo u smjeru od prvog vektora iz umnoska prema drugom, tadapalac pokazuje smjer rezultantnog vektora (kao na slici 2.4). Iznos vektorskog umnoska je dan

povrsinom paralelograma cije su stranice vektori ~V i ~U , pa se moze napisati da je

~W = |V | |U | sin(~V , ~U)~eW . (2.6)

Prema samoj definiciji, slijedi da je vektorski umnozak antikomutativan

~V × ~U = −~U × ~V .

Iz definicije takoder slijedi i da su dva vektora paralelna ako im je vektorski umnozak jednaknuli:

~V × ~U = 0 ⇔ ~V ‖ ~U.

Svoju fizicku realizaciju vektorski umnozak nalazi u izracunavanju momenta sile ~M

~M = ~r × ~F ,

momenta kolicine gibanja ~L

~L = ~r × ~p ,

indukcije magnetskog polja ~B (preko Biot-Savartovog zakona)

~B =µ0

4π

∫ ~j × ~err2

d r3,

i drugih velicina.

Vektorski umnosci baznih vektora pravokutnog koordinatnog sustava su:

~ex × ~ex = 0, ~ex × ~ey = ~ez , ~ex × ~ez = −~ey ,~ey × ~ex = −~ez , ~ey × ~ey = 0, ~ey × ~ez = ~ex , (2.7)

~ez × ~ex = ~ey , ~ez × ~ey = −~ex , ~ez × ~ez = 0,


Gornje relacije izrazavaju cinjenicu da vektori (~ex , ~ey , ~ez ) cine desnu bazu. Pomocu gornjihumnozaka, lako se dobiva i izraz za komponente vektorskog umnoska dva opca vektora

~V × ~U = (Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez ) × (Ux ~ex + Uy ~ey + Uz ~ez )

= Vx Ux ~ex × ~ex + Vx Uy ~ex × ~ey + Vx Uz ~ex × ~ez

+ Vy Ux ~ey × ~ex + Vy Uy ~ey × ~ey + Vy Uz ~ey × ~ez

+ Vz Ux ~ez × ~ex + Vz Uy ~ez × ~ey + Vz Uz ~ez × ~ez

= ~ex (Vy Uz − Vz Uy) + ~ey (Vz Ux − Vx Uz) + ~ez (Vx Uy − Vy Ux)

Primjetimo ciklicnost u definiciji komponenata vektorskog umnoska: x → y → z → x →y → · · · . Vektorski umnozak se moze pregledno napisati i preko determinante (u pomalonekorektnom obliku, jer nisu svi elementi determinate skalari)

~V × ~U =

~ex ~ey ~ez

Vx Vy Vz

Ux Uy Uz

Za vektorski umnozak vrijedi i distributivnost prema zbrajanju

~V × (~U + ~W ) = ~V × ~U + ~V × ~W.

Visestruki umnosciPomocu definicije skalarnog i vektorskog umnoska, mogu se konstruirati i visestruki umnoscivektora. Tako se npr. vektorski umnozak moze skalarno pomnoziti s nekim trecim vektorom idobiti skalarno vektorski umnozak. Za ovaj se umnozak lako pokazuje ciklicnost

~V · (~U × ~W ) =

∣∣∣∣∣∣

Vx Vy VzUx Uy UzWx Wy Wz

∣∣∣∣∣∣= ~U · ( ~W × ~V ) = ~W · (~V × ~U). (2.8)

Ovo je svojstvo posljedica geometrijskog znacenja gornjeg umnoska: buduci da je |~U × ~W |povrsina paralelograma sa stranicama ~U i ~W , to je gornji umnozak jednak V · cosα · |~U × ~W |,gdje je α kut izmedu vektora ~V i ~U × ~W , a to nije nista drugo do volumen paralelopipeda sastranicama ~V , ~U i ~W (slika 2.5).

Rezultat dvostrukog vektorskog umnoska tri nekomplanarna vektora ~V , ~U i ~W je opet vektor

−→D = ~V × (~U × ~W )

Ovakav se umnozak naziva vektorsko vektorski umnozak. Buduci da je ~U × ~W vektorokomit na ravninu odredenu vektorima ~U i ~W , to ce vektor ~V × (~U × ~W ) lezati u toj istojravnini, pa postoji zapis oblika

−→D = ~V × (~U × ~W ) = β ~U + γ ~W.

2.1. VEKTORI 15

Slika 2.5: Skalarno vektorski umnozak tri vektora.Slika 2.6: Vektorsko vektorski umnozak tri vektora.

Nas je zadatak odrediti skalare β i γ. Promotrimo sliku 2.6. S ~n0 je oznacen jedinicni vektorokomit na ~W , koji lezi u (~U, ~W ) ravnini, a usmjeren je tako da su ~n0 , ~U i ~W zakrenuti u

pozitivnom smjeru gledano s vrha vektora ~U × ~W . Pomnozimo

~n0 · −→D = ~n0 · (β ~U + γ ~W ) = β ~n0 · ~U,

(zato jer je ~n0 okomit na ~W , pa je ~n0 · ~W = 0). S druge strane, taj isti umnozak mozemonapisati (zbog ciklicnosti skalarno vektorskog umnoska) i kao

~n0 · −→D = ~n0 · [~V × (~U × ~W )] = (~U × ~W ) · (~n0 × ~V ) = ~V · [(~U × ~W ) × ~n0 ].

No, prema definiciji vektorskog umnoska je

(~U × ~W ) × ~n0 = ~eW |~U × ~W | |~n0 | sin(~U × ~W,~n0 )

= ~eW U W sin(~U, ~W ) 1 sin(π/2)

= ~eW U W sin(~U, ~W ) = ~W U sin(~U, ~W ).

Sa slike 2.6 se vidi da vrijedi

∠(~U, ~W ) =π

2− ∠(~n0 , ~U)

sin(~U, ~W ) = sin(π

2− ∠(~n0 , ~U)

)= cos(~n0 , ~U).

Pomocu gornje relacije postaje

U sin(~U, ~W ) = U cos(~n0 , ~U) = ~U · ~n0 .

Uvrstimo li ovo u izraz za ~n0 · −→D , dobivamo

~n0 · −→D = ~V [ ~W (~n0 · ~U)] = (~V · ~W )(~n0 · ~U).

Ako sada gornji izraz usporedimo s (2.9), zakljucujemo da je

β = ~V · ~W.

Po konstrukciji je−→D ⊥ ~V , pa je zato

−→D · ~V = 0 = (β ~U + γ ~W ) · ~V

= β (~U · ~V ) + γ ( ~W · ~V )

= β (~U · ~V ) + γ β

⇒ γ = −~U · ~V .


Time su odredeni nepoznati skalari β i γ, pa mozemo napisati

~V × (~U × ~W ) = (~V · ~W ) ~U − (~V · ~U) ~W. (2.9)

Zrcaljenjemili refleksijom ili prostornom inverzijom nazivamo operaciju kojom mijenjamo smjerove koor-dinatnih osi. U pravokutnom koordinatnom sustavu, to znaci da treba zamijeniti

~ex → −~ex , ~ey → −~ey , ~ez → −~ez .

Ovom se transformacijom vektor ~V = Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez prevodi u

~V −→ Vx (−~ex ) + Vy (−~ey ) + Vz (−~ez ) = −~V .Dakle, operacijom zrcaljenja vektor mijenja svoj predznak (prema svojoj definiciji, skalar neovisi o smjerovima u prostoru, pa se on ne mijenja operacijom zrcaljenja). Promotrimo kakose neke velicine konstruirane od vektora, preobrazavaju uslijed operacije zrcaljenja:

• skalarni umnozak (pravi skalar)

~V · ~U −→ (−~V ) · (−~U) = ~V · ~U.• vektorski umnozak (pseudo vektor)

~V × ~U −→ (−~V ) × (−~U ) = ~V × ~U.

• skalarno vektorski umnozak (pseudo skalar)

~V · (~U × ~W ) −→ (−~V ) · [(−~U) × (− ~W )] = −~V · (~U × ~W ).

• vektorsko vektorski umnozak (pravi vektor)

~V × (~U × ~W ) −→ (−~V ) × [(−~U) × (− ~W )] = −~V × (~U × ~W ).

Vidimo da se skalarni umnozak preobrazava kao pravi skalar (ne mijenja predznak), a dase vektorsko vektorski umnozak preobrazava kao pravi vektor (mijenja predznak). Rezultatskalarno vektorskog umnoska je skalar koji mijenja predznak uslijed zrcaljenja, pa se takavskalar obicno naziva pseudo skalar. Slicno tome, vektorski umnozak je vektor, ali ne mijenjapredznak uslijed zrcaljenja, pa se obicno naziva pseudo vektor. Moze se reci da se u odnosuna operaciju zrcaljenja vektori dijele na prave ili polarne vektore i pseudo (lazne) ili aksijalnevektore. Pravi se vektori nazivaju i polarni zato jer su vezani za neku tocku (pol), kao npr.radij vektor, brzina ili sila. Pseudo vektori se nazivaju aksijalnima zato jer su povezani s nekomodredenom osi zakreta (kao kod momenta sile ili momenta kolicine gibanja) ili sa smjeromobilaska neke krivulje (kao kod magnetskog polja, Biot-Savartov zakon). U odnosu na operacijuzrcaljenja, pravi vektori mijenjaju svoj predznak, dok pseudo vektori ne mijenjaju predznak.Npr. radij vektor ~r = x~ex + y~ey + z~ez je pravi vektor jer zrcaljenjem mijenja svoj predznak,

~r = x~ex + y~ey + z~ez → −x~ex − y~ey − z~ez = −~r.

Primjer pseudo vektora je moment kolicine gibanja ~L = ~r × ~p , gdje je kolicina gibanja,~p = m(d~r/dt), pravi vektor. Operacijom zrcaljenja ce i ~r i d~r promjeniti predznak, tako da ce

~L → (−~r) × (−~p ) = ~L

ostati nepromjenjen.

2.2. DERIVACIJA VEKTORSKOG POLJA 17

2.2 Derivacija vektorskog polja

Osim zbrajanja i mnozenja, vektori se mogu derivirati i integrirati. Komponete vektora ~Vmogu biti funkcije neke nezavisne varijable: prostornih koordinata, vremena, kuteva i slicno.Kada svakoj vrijednosti nezavisne varijable mozemo jednoznacno pridruziti vektor, tada o tomvektoru govorimo kao o vektorskom polju ili vekorskoj funkciji (slika 2.7)

~V (~r), ~V (t), ~V (~r, t), ~V (x, y, z), ~V (θ, ϕ), · · · .

Vektorska polja je zgodno prikazati u prostoru pomocu linija koje se zovu silnice. Silnice su

Slika 2.7: Vektorsko polje ~V (~r, t) : (A) u jednoj tocki i razlicitim vremenskim trenucima ili (B) u jednomvremenskom trenutku, ali u razlicitim prostornim tockama (crtkana linija prikazuje silnicu).

prostorne krivulje sa svojstvom da tangenta na krivulju u svakoj tocki ima smjer vektora u tojtocki, a iznos vektora je jednak gustoci silnica u toj tocki (desna strana slike 2.7).

Za derivacije vektorskih polja vrijede pravila koja se lako izvode iz pravila za derivaciju obicnihskalarnih polja (tj. funkcija, kako se nazivaju u matematici). Sjetimo se definicije derivacijefunkcije f(x) po varijabli x: promatraju se dvije velicine koje svaka za sebe iscezavaju, alinjihov omjer ne mora biti jednak nuli, nego je opcenito razlicit od nule i zove se derivacijafunkcije u tocki x

lim∆ x→ 0

[f(x + ∆ x) − f(x)

]= 0

lim∆ x→ 0 ∆ x = 0

⇒ lim

∆ x→ 0

f(x+ ∆ x) − f(x)

∆ x=d f

d x.

Pokusajmo, pomocu gornjeg izraza, naci derivaciju vektorskog polja ~V koje ovisi samo o jednojvarijabli koju cemo oznaciti s q (ovaj q moze biti vrijeme, prostorna koordinata ili sto slicno)

~V (q) = ~ex Vx(q) + ~ey Vy(q) + ~ez Vz(q).


Napravimo razliku ~V u bliskim tockama q i q + ∆ q

~V (q + ∆ q) − ~V (q) = ~ex Vx(q + ∆ q) + ~ey Vy(q + ∆ q) + ~ez Vz(q + ∆ q) − ~ex Vx(q) − ~ey Vy(q) − ~ez Vz(q)

= ~ex

[Vx(q + ∆ q) − Vx(q)

]+ ~ey

[Vy(q + ∆ q) − Vy(q)

]+ ~ez

[Vz(q + ∆ q) − Vz(q)

].

Izvedemo li sada granicni prijelaz

lim∆ q → 0

~V (q + ∆ q) − ~V (q)

∆ q= ~ex lim

∆ q → 0

Vx(q + ∆ q) − Vx(q)

∆ q

+ ~ey lim∆ q → 0

Vy(q + ∆ q) − Vy(q)

∆ q

+ ~ez lim∆ q → 0

Vz(q + ∆ q) − Vz(q)

∆ q.

No, gornje granicne vrijednosti na desnoj strani, prepoznajemo kao derivacije skalarnih funkcija- komponenata vektorskog polja

lim∆ q → 0

~V (q + ∆ q) − ~V (q)

∆ q= ~ex

d Vxd q

+ ~eyd Vyd q

+ ~ezd Vzd q

.

Buduci da su jedinicni vektori ~ex , ~ey i ~ez , konstantni, njihove su derivacije jednake nuli

d~exd q

=d~eyd q

=d~ezd q

= 0,

pa se za gornji limes dobiva

lim∆ q → 0

~V (q + ∆ q) − ~V (q)

∆ q=

d

d q

[~ex Vx(q) + ~ey Vy(q) + ~ez Vz(q)

]=d ~V

d q.

Tako smo dosli do izraza za derivaciju vektorskog polja u PKS

d ~V

d q= lim

∆ q→ 0

~V (q + ∆ q) − ~V (q)

∆ q= ~ex

d Vxd q

+ ~eyd Vyd q

+ ~ezd Vzd q

. (2.10)

Slicno se izvode i izrazi za parcijalne derivacije kada vektorsko polje ovisi o vise nezavisnihvarijabla

∂ ~V (q1, q2, · · · )∂ qj

= lim∆ qj → 0

~V (· · · , qj + ∆ qj , · · · ) − ~V (· · · , qj, · · · )∆ qj

= ~ex∂ Vx(q1, q2, · · · )

∂ qj+ ~ey

∂ Vy(q1, q2, · · · )∂ qj

+ ~ez∂ Vz(q1, q2, · · · )

∂ qj,

pri cemu se sve ostale koordinate (koje su razlicite od qj) drze konstantnima.

2.3. INTEGRAL VEKTORSKOG POLJA 19

Za skalarno polje s(q) i vektorska polja ~V (q), ~U(q) se lako dokazuje (npr. raspisom po kompo-nentama u pravokutnom koordinatnom sustavu) da vrijede slijedeca pravila:

d (s ~V )

d q=

d s

d q~V + s

d ~V

d q,

d (~V · ~U)

d q=

d ~V

d q~U + ~V

d ~U

d q,

d (~V × ~U)

d q=

d ~V

d q× ~U + ~V × d ~U

d q.

Zadatak: 2.1 Dokazite gornje tri relacije.

Primjenimo li prvo od gornja tri pravila na zapis vektora u obliku

~V (q) = V (q) ~eV (q),

dobivamo

d ~V

d q=d (V ~eV )

d q=d V

d q~eV + V

d~eVd q

,

pri cemu smo uzeli u obzir mogucnost da smjer vektora ~V (odreden jedinicnim vektorom ~eV )ovisi o varijabli q (kao sto je to npr. slucaj za jedinicne vektore sfernog i cilindricnog koordi-natnog sustava).

Pokazimo da je derivacija jedinicnog vektora okomita na sam jedinicni vektor~eV = ~eV (q). Derivirajmo po q skalarni umnozak

~eV · ~eV = 1

/d

d q,

pa cemo dobiti

d~eVd q

· ~eV + ~eV · d~eVd q

= 0 ⇒ 2 ~eV · d~eVd q

= 0 ⇒ ~eV ⊥ d~eVd q

. (2.11)

Zaista, kada bi derivacija jedinicnog vektora imala komponentu u smjeru samog vektora, ondabi ta komponenta vodila na promjenu duljine vektora i on vise ne bi bio jedinicne duljine. Zatoderivacija jedinicnog vektora ne moze imati komponentu u smjeru samog vektora.

2.3 Integral vektorskog polja

U skladu s pravilom da je integral zbroja funkcija jednak zbroju integrala pojedinih funkcija(ili, drukcije receno, integral je linearni operator), neodredeni integral polja ~V (q) se racuna kao

∫~V (q) dq =

∫ [~ex Vx(q) + ~ey Vy(q) + ~ez Vz(q)

]dq

= ~ex

∫Vx(q) dq + ~ey

∫Vy(q) dq + ~ez

∫Vz(q) dq,


i slicno za odredeni integral∫ q2

q1

~V (q) dq = ~ex

∫ q2

q1

Vx(q) dq + ~ey

∫ q2

q1

Vy(q) dq + ~ez

∫ q2

q1

Vz(q) dq. (2.12)

Ukoliko postoji vektorsko polje ~U , takvo da je

~V (q) =d ~U(q)

d q,

tada je ∫~V (q) dq =

∫d ~U(q)

d qdq = ~U(q) + ~c0, (2.13)

tj. ~U se pojavljuje kao primitivna funkcija u odnosu na ~V . U tom je slucaju i odredeni integraljednak ∫ q2

q1

~V (q) dq =

∫ q2

q1

d ~U(q)

d qdq = ~U(q2) − ~U(q1). (2.14)

Linijski integral:Neka se cestica giba po krivulji C (slika 2.8). Radij vektor

~r(t) = ~ex x(t) + ~ey y(t) + ~ez z(t)

pokazuje polozaj te cestice u proizvoljnom vremenskom trenutku t. U trenutku t1, cestica senalazi u tocki T1 s radij vektorom

~r1 = ~r(t1) =−−→O T1,

a u kasnijem trenutku t2, ona je u tocki

~r2 = ~r(t2) =−−→O T2.

Vektor

∆~r = ~r2 − ~r1

ima smjer sekante krivulje C. Ako se vremenski razmak t2 − t1, neizmjerno smanjuje, tj. akosu tocke T1 i T2 neizmjerno blizu jedna drugoj, vektor ∆~r ce prijeci u d~r, a sekanta ce prijeci utangentu. Kaze se da diferencijal d~r ima smjer tangente na krivulju C u okolici tocke ~r ≡ ~r1 = ~r2(slika 2.8). Prema samom geometrijskom znacenju skalarnog umnoska (str. 12),

~V · d~rje projekcija vektora ~V na smjer d~r, tj. to je tangencijalna komponeneta vektora ~V (naravno,

pomnozena s dr) u svakoj tocki krivulje C. Integral tangencijalne komponente ~V duz krivuljeC od T1 do T2 se zove linijski integral

∫ T2

T1

~V d~r =

∫

C~V d~r =

∫

C(~ex Vx + ~ey Vy + ~ez Vz) (~ex dx + ~ey dy + ~ez dz)

=

∫

C(Vx dx+ Vy dy + Vz dz)

=

∫

CVx(x, y, z, t) dx+

∫

CVy(x, y, z, t) dy +

∫

CVz(x, y, z, t) dz.


Slika 2.8: Razlika ∆~r = ~r2 − ~r1 ima smjer sekante, a diferencijal d~r ima smjer tangente na krivulju C.

Ako je C zatvorena krivulja (naravno, ne nuzno kruznica), linijski integral se oznacava kao

∮~V d~r =

∮Vx dx+

∮Vy dy +

∮Vz dz. (2.15)

Povrsinski integral:Na slican se nacin definira i povrsinski integral vektorskog polja (slika 2.9)

Slika 2.9: Uz definiciju povrsinskog integrala vektorskog polja, (2.16).

∫

S

~V d ~S , (2.16)


gdje je d~S vektor kojemu je iznos jednak diferencijalu plohe dS, a smjer je dan okomicom4 nataj isti diferencijal plohe

d ~S = d S ~n0 ,

gdje je ~n0 jedinicni vektor okomit na element d S. Dakle, skalarnim umnoskom ~V d ~S se usvakoj tocki plohe racuna komponeta polja okomita na malu okolicu promatrane tocke

~V d ~S = V⊥ d S V⊥ = ~V · ~n0 .

Vrijednosti svih tih okomitih komponenata se zbrajaju po svim tockama plohe i rezultat jegornji povrsinski integral. Primjetimo jos da za svaku plohu d S postoje dva okomita vektora,~n0 i −~n0 , pa u racunima treba paziti s kojim se od ta dva vektora racuna.Ako se radi o zatvorenoj plohi, integral se oznacava kao

∮

S

~V d ~S ,

a smjer d~S je iz unutrasnjosti plohe prema van.Gornji se izrazi mogu raspisati i u pravokutnim koordinatama

~n0 = (~n0 · ~ex )~ex + (~n0 · ~ey )~ey + (~n0 · ~ez )~ez ,

= cos(~n0 , ~ex )~ex + cos(~n0 , ~ey )~ey + cos(~n0 , ~ez )~ez ,

d S ~n0 = d S[

cos(~n0 , ~ex )~ex + cos(~n0 , ~ey )~ey + cos(~n0 , ~ez )~ez

],

= d Sx ~ex + d Sy ~ey + d Sz ~ez ,

gdje su

d Sx = d S cos(~n0 , ~ex ),

d Sy = d S cos(~n0 , ~ey ),

d Sz = d S cos(~n0 , ~ez ).

∮

S

~V d ~S =

∮

S

Vx dSx +

∮

S

Vy dSy +

∮

S

Vz dSz,

Primjetimo da je obicni integral vektorskog polja, opet neki vektor kao npr. (2.12), (2.13)ili (2.14), dok su linijski (2.15) i povrsinski integrali (2.16), po svom algebarskom karakteruskalari.

4Sama ploha S po kojoj se integrira, niposto ne mora biti ravnina, ali diferencijal dS se uvijek smatra toliko malenim da se jakodobro aproksimira ravninom i zato je na tu ravninu moguce definirati okomicu.


Zadatak: 2.2 Zadano je vektorsko polje

~F = ~ex (2xy + z3) + ~ey (x2 + 2y) + ~ez (3xz2 − 2).

Izracunajte linijski integral polja∫

c

~F d~r

po putu od (0, 0, 0) do (1, 1, 1), ako je put zadan sa:(a) x = t, y = t2, z = t3 ,(b) nizom pravaca (0, 0, 0) → (0, 0, 1) → (0, 1, 1) → (1, 1, 1),(c) pravcem od (0, 0, 0) do (1, 1, 1) .(d) Izracunajte funkciju f koja zadovoljava relaciju

~F =−→∇ f.

R: (a) Integral se racuna po komponentama:∫

c

~F d~r =

∫

c

(Fx d x+ Fy d y + Fz d z).

Iz x = t slijedi d x = d t, y = t2 daje d y = 2t d t i z = t3 daje d z = 3t2 d t.Uvrstavanje u gornji integral daje

∫

c

~F d~r =

∫ 1

0

(−6t2 + 8t3 + 10t9) d t = 1.

(b) Integral po cijelom putu je zbroj integrala po dijelovima puta:

∫

c

=

∫ (0,0,1)

(0,0,0)

+

∫ (0,1,1)

(0,0,1)

+

∫ (1,1,1)

(0,1,1)

.

Na prvom dijelu puta je x = y = d x = d y = 0, pa preostaje samo

∫ 1

0

(0 − 2) d z = −2.

Na drugom dijelu puta je x = d x = 0, z = 1, d z = 0, pa tu preostaje

∫ 1

0

(0 + 2y) d y = 1.

Na trecem dijelu puta je y = z = 1, d y = d z = 0, pa tu preostaje

∫ 1

0

(2x+ 1) d x = 2.

Ukupno rijesenje je zbroj integrala po dijelovima puta.∫

c

~F d~r = −2 + 1 + 2 = 1.


(c) Jednadzba zadanog pravca je x = y = z, pa je time i d x = d y = d z. Uvrstavanjeovoga u integral vodi do

∫

c

~F d~r =

∫ 1

0

(−2 + 2x + 3x2 + 4x3) d x = 1.

(d) Funkcija f sa svojstvom ~F =−→∇ f tj.

Fx =∂ f

∂ x, Fy =

∂ f

∂ y, Fz =

∂ f

∂ z,

se moze dobiti iz donjih jednadzba:

∂ f

∂ x= 2xy + z3 ⇒ f = x2y + xz3 + c1(y, z)

∂ f

∂ y= x2 + 2y ⇒ f = x2y + y2 + c2(x, z)

∂ f

∂ z= 3xz2 − 2 ⇒ f = xz3 − 2z + c3(x, y),

Gdje su cj funkcije oznacenih varijabla. Usporedbom gornjih jednadzba, slijedi

f = x2y + xz3 + y2 − 2z + const.

2.4 Vektorski diferencijalni operatori

Za opis prostornih promjena, bilo skalarnih, s(x, y, z), bilo vektorskih, ~V (x, y, z), polja, korisnoje uvesti operatore

gradijenta,

divergencije,

rotacije.

Sva su ova tri operatora izgradena od vektorskog diferencijalnog operatora nabla5 , s oznakom−→∇, koji se u pravokutnom koordinatnom sustavu definira kao

−→∇ = ~ex∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z. (2.17)

Nabla je diferencijalni operator zato jer se njegovo djelovanje na neku funkciju sastoji uparcijalnom deriviranju te funkcije po oznacenoj koordinati, a vektorski je operator zato jerrezultatu deriviranja pridruzuje odredeni smjer u prostoru (usmjerena derivacija).

5Operator−→∇ je prvi uveo irski fizicar, astronom i matematicar, William Rowan Hamilton (o kojemu ce vise rijeci biti u poglavlju

15). Hamilton je takoder uveo pojam vektorskog polja i definirao osnovne diferencijalne operacije nad poljima.

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 25

2.4.1 Gradijent

Neka je zadano skalarno polje s(x, y, z) (npr. trenutne vrijednosti temperature u raznimtockama neke prostorije). U razlicitim tockama prostora, ono ima opcenito razlicite vrijed-nosti. Ako se postavimo u jednu prostornu tocku i promatramo vrijednosti polja u susjednimtockama, uocit cemo da promjena vrijednosti polja nije ista u svim smjerovima: postoje smje-rovi u kojima se polje mijenja za veci iznos i postoje smjerovi u prostoru u kojima se poljemijenja za manji iznos. Nas je zadatak odrediti

smjer u kojemu se polje mijenja za najveci iznos,

ili drugim rijecima, treba odrediti smjer najvece strmine polja.Nazovimo ekvipotencijalnom plohom onu plohu u prostoru na kojoj skalarno polje s(x, y, z)ima konstantnu vrijednost6. Promatrajmo sada dvije bliske ekvipotencijalne plohe, odredenejednadzbama (uvjetima)

s(x, y, z) = s0

i

s(x, y, z) = s0 + ds,

gdje je s0 konstanta (slika 2.10.A). Bliske male dijelove ekvipotencijalnih ploha, uvijek mozemo

Slika 2.10: Uz ilustraciju gradijenta kao smjera najbrze promjene skalarnog polja. Primjetite da osi x, y i z neleze u ravnini papira.

smatrati ravninama. Prijelazom iz bilo koje pocetne tocke P na plohi s = s0, u bilo kojukrajnju tocku Kj na plohi s = s0 + ds, vrijednost polja s se promjenila za isti iznos ds.Neka je udaljenost izmedu pocetne P i krajnje tocke Kj oznacena s d nj. Ako je krajnjatocka okomito iznad pocetne (u polozaju K1, slika 2.10.B), tada je dn1 = P K1 najkraca

6Npr. ako je s = x2 + y2 + z2, tada je ekvipotencijalna ploha s = s0 sfera polumjera√s0 sa sredistem u ishodistu.


udaljenost izmedu P i bilo koje tocke iz infinitezimalne okoline tocke K1, pa je tada

ds

dn1= max.

U svakoj drugoj krajnjoj tocki K2 je dn2 > dn1, pa je i

ds

dn2

<ds

dn1

.

Oznacimo li s ~n 1 jedinicni vektor u smjeru spojnice P K1, tada je sa slike 2.10.B, ocito daje najbrza promjena skalarnog polja s dana preko derivacije u okomitom smjeru. Usmjerenaderivacija

ds

dn1~n 1,

se naziva gradijent skalarnog polja s(~r). Iz izvoda se vidi da gradijent ima smjer najbrzepromjene polja, tj. da je okomit na ekvipotencijalnu plohu.

Gradijent u PKSDa bi se dobio oblik gradijenta u pravokutnom koordinatnom sustavu, jedinicni vektor smjera~n 1 treba razviti po vektorima baze pravokutnog koordinatnog sustava, kao sto je pokazano u(2.5)

~n 1 = (~n 1 · ~ex )~ex + (~n 1 · ~ey )~ey + (~n 1 · ~ez )~ez

= cosαx ~ex + cosαy ~ey + cosαz ~ez ,

gdje je αx kut izmedu ~n 1 i ~ex i slicno za ostale kutove. Time se za gradijent dobiva

ds

dn1~n 1 =

ds

dn1(cosαx ~ex + cosαy ~ey + cosαz ~ez ). (2.18)

Po konstrukciji je dn1, sa slike 2.10.B, okomit na ekvipotencijalne plohe s0 i s0 + ds. Neka jedx odrezak po osi x izmedu ekvipotencijalnih ploha s0 i s0 +ds. Tada je dn1 projekcija vektoradx ~ex na smjer ~n 1

dn1 = ~n 1 ·[dx ~ex

]= dx cosαx ⇒ cosαx =

dn1

dx.

gdje je

αx = ∠ (~n 1, ~ex ).

Slicno vrijedi i za kutove prema osima y i z

cosαy =dn1

dy, cosαz =

dn1

dz.

Uvrstavanjem ova tri kosinusa u izraz za gradijent (2.18) i primjenom pravila za derivacijuslozene funkcije, dobiva se

ds

dn1

~n 1 =ds

dn1

(dn1

dx~ex +

dn1

dy~ey +

dn1

dz~ez

)=∂s

∂x~ex +

∂s

∂y~ey +

∂s

∂z~ez

=

(~ex

∂

∂x+ ~ey

∂

∂y+ ~ez

∂

∂z

)s =

−→∇s.


Time smo pokazali da je smjer najbrze promjene skalarnog polja moze napisati pomocu djelo-vanja operatora nabla

grad s ≡ −→∇s =

(~ex

∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z

)s = ~ex

∂ s

∂ x+ ~ey

∂ s

∂ y+ ~ez

∂ s

∂ z.

(2.19)

Primjetimo da je gradijent skalarnog polja s, jedno novo vektorsko polje−→∇s. Operacija

gradijenta podsjeca na mnozenje vektora (−→∇) skalarom (s), s tom razlikom sto sada binarna

relacija nije mnozenje nego deriviranje.

Zadatak: 2.3 Skalarni potencijal u tocki ~r koji potjece od elektricnog dipola smjestenog uishodistu, s dipolnim momentom ~p , je dan izrazom

V (~r) =1

4πǫ0

~p · ~rr3

.

Izracunajte elektricno polje ~E = −−→∇ V .

R: Prema definiciji gradijenta (2.19) je

~E = −−→∇ V = −~ex∂ V

∂ x− ~ey

∂ V

∂ y− ~ez

∂ V

∂ z.

Za primjer izracunavamo prvi clan desne strane:

∂ V

∂ x=

1

4πǫ0

∂

∂ x

px x + py y + pz z

(x2 + y2 + z2)3/2= · · · =

=1

4πǫ0

pxr2 − 3x(~p · ~r)

r5.

Preostala dva clana se dobiju na slican nacin.

∂ V

∂ y=

1

4πǫ0

pyr2 − 3y(~p · ~r)

r5,

∂ V

∂ z=

1

4πǫ0

pzr2 − 3z(~p · ~r)

r5.

Zbroj svih clanova daje elektricno polje dipola

~E =1

4πǫ0

−~p (~r · ~r) + 3~r (~p · ~r)r5

=1

4πǫ0

−~p + 3~er (~p · ~er )

r3.

Zbog sferne simetrije dipolnog potencijala, isti se racun moze provesti i u sfernimkoordinatama: Postavi li se koordinatni sustav tako da je dipol u smjeru ~ez ,

V (~r) =1

4πǫ0

p r cos θ

r3= V (r, θ),

pa je

−−→∇ V = −(~er

∂

∂ r+~eθr

∂

∂ θ+

~eϕr sin θ

∂

∂ ϕ

)p

4 π ǫ0

cos θ

r2

=p

4 π ǫ0

(~er

2 cos θ

r3+~eθr

sin θ

r2

)

=p

4 π ǫ0

3~er cos θ − ~ezr3

=1

4πǫ0

−~p + 3~er (~p · ~er )

r3,


pri cemu je koristen izraz za gradijent u sfernim koordinatama (vidjeti npr. u [12]).

2.4.2 Divergencija: Gaussov teorem

Tok vektorskog polja:Zadani su vektorsko polje

~V (~r) = ~ex Vx(x, y, z) + ~ey Vy(x, y, z) + ~ez Vz(x, y, z)

i zatvorena ploha S. Tok Φ vektorskog polja ~V kroz prostor omeden zatvorenom plohom S, sedefinira kao povrsinski integral

Φ =

∮

S

~V d ~S .

Na str. 22 je pokazano da integrali gornjeg tipa predstavljaju zbroj komponenata vektorskogpolja ~V (~r) okomitih na diferencijal plohe d ~S u svim tockama plohe.

Sjetimo se da je diferencijal povrsine d ~S uvijek usmjeren prema van u odnosu na zatvorenuplohu S. Podijelimo zatim unutrasnjost plohe S, dodatnom ravnom plohom S ′ na dva dijela(slika 2.11). Time smo dobili dvije zatvorene plohe S1 i S2

S1 = S1 + S ′, S2 = S2 + S ′,

koje imaju jedan zajednicki dio, a to je ploha S ′. Izracunajmo tok polja ~V kroz svaku oddvije novonastale zatvorene plohe i zapitajmo se cemu je jednak zbroj tokova kroz ove dvije

Slika 2.11: Uz izvod Gaussova teorema.

zatvorene plohe∮

S1+S′

~V d~S1 +

∮

S2+S′

~V d~S2 =

∮

S1

~V d~S1 +

∮

S′

~V d~S1 +

∮

S2

~V d~S2 +

∮

S′

~V d~S2 = ?


Buduci da je d~Sj uvijek usmjeren prema van, to ce se doprinosi toku od plohe S ′ u oba gornja

integrala medusobno egzaktno ponistiti (zbog suprotnih smjerova vektora d~Sj na dijelu plohe

S ′ koji je zajednicki objema zatvorenim plohama)∫

S′

~V d~S1 = −

∫

S′

~V d~S2,

pa preostaje∮

S1+S′

~V d~S1 +

∮

S2+S′

~V d~S2 =

∮

S1

~V d~S1 +

∮

S2

~V d~S2 =

∮

S

~V d ~S ,

tj. zbroj tokova kroz plohe S1 i S1 jednak je toku kroz pocetnu plohu S.

Prostor unutar plohe S mozemo u mislima nastaviti dijeliti na N sve manjih i manjih djelica,pri cemu ce se, slicno gornjem primjeru, integrali po unutrasnjim plohama ponistiti i za svakiN ce vrijediti

∮

S

~V d ~S =

N∑

j=1

∮

Sj

~V d ~S j .

Divergencija:Jasno je da u granici N → ∞ plohe Sj postaju iscezavajuce malene, pa ce i integrali po timmalenim plohama takoder iscezavati:

∮

Sj

~V d ~S j → 0.

U istoj granici, N → ∞, i mali djelici volumena, ∆ vj, ograniceni plohama Sj iscezavaju:

∆ vj → 0.

Pitanje je

sto se dogada s omjerom ove dvije iscezavajuci male velicine?

Je li on jednak nuli, razlicit od nule i konacan, beskonacan, ... ?

limN→∞∮Sj

~V d ~S j = 0,

limN→∞ ∆ vj = 0 .

lim

∆ vj → 0

∮Sj

~V d ~S j

∆ vj= ? (2.20)

Diferencijalno male volumene ∆ vj uvijek mozemo zamisliti kao male kvadre duljine stranicadx, dy, dz i promatrati tok polja

~V (x, y, z) = ~ex Vx(x, y, z) + ~ey Vy(x, y, z) + ~ez Vz(x, y, z)

kroz njih (slika 2.12). Izostavimo li za trenutak, radi jednostavnosti, indeks j, gornji povrsinskiintegral po plohama kvadra, mozemo napisati kao zbroj povrsinskih integrala po stranicamakvadra

∮

S

~V d ~S =

∫

Gor+Dolj

~V d ~S +

∫

Lij+Des

~V d ~S +

∫

Nap+Nat

~V d ~S .


Slika 2.12: Tok polja kroz diferencijalni volumen.

Diferencijali povrsine na pojedinim plohama su:

dolje : d ~S = −~ez dx dy,gore : d ~S = +~ez dx dy,

lijevo : d ~S = −~ex dy dz,desno : d ~S = +~ex dy dz,

naprijed : d ~S = −~ey dx dz,natrag : d ~S = +~ey dx dz.

Buduci da su plohe diferencijano male, vrijednost polja u bilo kojoj tocki plohe je pribliznokonstantna i jednaka vrijednosti polja u sredistu te plohe, pa ju kao konstantu mozemo izvuciispred integrala. U toj aproksimaciji integracija polja po gornjoj i donjoj plohi daje∫

G+D

~V d ~S =

∫

G

~V ~ez dx dy +

∫

D

~V (−~ez ) dx dy

=

∫

G

Vz dx dy −∫

D

Vz dx dy

≃ Vz(x+ dx/2, y + dy/2, z + dz) dx dy − Vz(x + dx/2, y + dy/2, z) dx dy.

Razvije li se desna strana gornje jednakosti u Taylorov red oko tocke (x, y, z), dobije se

∫

G+D

~V d ~S = dx dy

(Vz +

dx

2

∂ Vz∂ x

+dy

2

∂ Vz∂ y

+ dz∂ Vz∂ z

+ · · ·)

− dx dy

(Vz +

dx

2

∂ Vz∂ x

+dy

2

∂ Vz∂ y

+ · · ·)

= dx dy dz∂ Vz∂ z

+ O(d4),


gdje smo s O(d4) oznacili umnoske cetiri i vise diferencijala dx, dy i dz. Slicno se i za preostaladva para ploha dobiva

∫

L+D

~V d ~S = dx dy dz∂ Vx∂ x

+ O(d4),

∫

N+N

~V d ~S = dx dy dz∂ Vy∂ y

+ O(d4),

pa je ukupan tok polja kroz promatrani mali kvadar jednak∮

Sj

~V d ~S j = dx dy dz

(∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

)+ O(d4).

Umnozak dx dy dz prepoznajemo kao mali volumen ∆ v. Vratimo li se sada omjeru (2.20),mozemo pisati

lim∆ vj → 0

∮Sj

~V d ~S j

∆ vj= lim

∆ vj → 0

1

dx dy dz

[dx dy dz

(∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

)+ O(d4)

]

=∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

.

U granici kada se promatrani mali voluman steze u tocku, gornji se izraz odnosi na tocku uprostoru i zove se divergencija vektorskog polja ~V u toj tocki.Iz gornjeg izraza se vidi i fizicko znacenje divergencije: to je omjer toka polja kroz zatvorenuplohu i volumena definiranog tom plohom u granici kada se ploha neizmjerno smanjuje - kolikopolja izvire ili ponire u toj tocki prostora7. Upravo je izveden oblik divergencije u pravokut-nom koordinatnom sustavu,

div ~V =∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

.

Divergenciju vektorskog polja mozemo zapisati i pomocu operatora nabla (2.17),

div ~V =−→∇ ~V =

(~ex

∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z

)(Vx~ex + Vy~ey + Vz~ez )

div ~V =−→∇ ~V =

∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

. (2.21)

Gornji je rezultat dobiven izravnom primjenom pravila za derivaciju umnoska dvije funkcije.Tako npr. clan s derivacijom po x daje

~ex∂

∂ x

(Vx~ex + Vy~ey + Vz~ez

)= ~ex

∂ Vx~ex∂ x

+ ~ex∂ Vy~ey∂ x

+ ~ex∂ Vy~ey∂ x

= ~ex

(~ex∂ Vx∂ x

+ Vx∂ ~ex∂ x

)+ ~ex

(~ey∂ Vy∂ x

+ Vy∂ ~ey∂ x

)+ ~ex

(~ez∂ Vz∂ x

+ Vz∂ ~ez∂ x

)

=∂ Vx∂ x

,

gdje smo koristili cinjenice da su vektori ~ex , ~ey , ~ez medusobno okomiti i konstantni po svomiznosu i smjeru, tako da su njihove derivacije i medusobni skalarni umnosci, jednaki nuli. Slican

7Tako npr. (staticka) Maxwellova jednadzba−→∇ ~E = ρel/ǫ0, kaze da su su izvori i ponori elektricnog polja u elektricnim nabojima

koji se u gornjoj jednadzbi pojavljuju kroz gustocu elektricnog naboja ρel


je postupak i za ostale komponente. Rezultat divergencije vektorskog polja ~V je skalarno

polje−→∇ ~V dano izrazom (2.21).

Sjetimo se sto smo zapravo htjeli izracunati? Racunali smo tok polja ~V kroz zatvorenu plohuS i dobili smo

Φ =

∮

S

~V d ~S =

N∑

j=1

∆ vj

[1

∆ vj

∮

Sj

~V d ~S j

]=

/N → ∞∑N

j=1 ∆ vj →∫v(S)

d r3

/=

∫

v(S)

d r3−→∇ ~V .

Buduci da nismo trazili da ~V zadovoljava nikakva posebna svojstva osim derivabilnosti,

Slika 2.13: Johann Carl Friedrich Gauß,(Braunschweig, 30. IV 1777. - Gottingen ,23. II 1855.), njemacki matematicar, fizicari astronom.

mozemo reci da za proizvoljno derivabilno vektorskopolje ~V vrijedi Gaussov teorem8

∮

S

~V d ~S =

∫

v(S)

−→∇ ~V d r3, (2.22)

gdje je v(S) volumen odreden zatvorenom plohom S.

Zadatak: 2.4 Izracunajte tok radij vektora ~r krozplohu valjka polumjera baze R i visine H, ako je sredistebaze u ishodistu koordinatnog sustava, a os valjka sepodudara sa osi ~ez , kao sto je to prikazano slikom9

2.14.

R: U ovom je primjeru vektorsko polje naprostozadano radij vektorom, ~V = ~r. Treba, dakle izracunati

∮~r d~S ,

pri cemu integral ide po povrsini plohe valjka. Zbog simetrje plohe, prirodno je odabraticilindicni koordinatni sustav (odjeljak 2.5). U njemu je

~r = ρ~eρ + z ~ez ,

a

d~S = −~ez dB1 + ~ez dB2 + ~eρ dP,

gdje dBj oznacava diferencijale povrsine na bazama valjka, a dP na njegovom plastu. Uzmemoli u obzir ortonormiranost vektora ~eρ i ~ez , slijedi

∮~r d~S =

∮ (ρ~eρ + z ~ez

) (− ~ez dB1 + ~ez dB2 + ~eρ dP

)

= R

∫dP +H

∫dB2 = 3R2πH

8Koji treba razlikovati od Gaussovog zakona iz elektrostatike.9Sliku je napravio dr. I. Lukacevic.


Slika 2.14: Diferencijali plohe valjka.

dB1

x

y

dP

dB2

z

(na donjoj bazi, B1, je vrijednost z koordinate jednaka nuli).Do istog se rezultata moze doci i primjenom Gaussova teorema (2.22)

∮~r d~S =

∫(−→∇~r) d r3.

Tako je npr. u pravokutnom koordinatnom sustavu, u kojemu znamo oblik nabla operatora,(2.17), i gdje je

~r = x~ex + y ~ey + z ~ez ,

∫(−→∇~r) d r3 =

∫ (∂x

∂x+∂y

∂y+∂z

∂z

)d r3 = 3

∫d r3 = 3Vvalj. = 3R2πH.

Zadatak: 2.5 Iz elektrostatike je poznat izraz za elektricno polje jednoliko naelektrizirane kuglepolumjera R i ukupnog naboja Q, sa sredistem u ishodistu

~E < =ρ0

3 ǫ0~r, r ≤ R,

~E > =1

4πǫ0Q~r

r3r ≥ R,

gdje je ρ0 = Q/(4R3π/3) konstantna gustoca naboja unutar kugle. Primjetimo daje polje izvan kugle jednako polju tockastog naboja iznosa Q, smjestenog u ishodistu.Na ovom primjeru provjerite ispravnost prve Maxwellove jednadzbe.

R: Prema prvoj Maxwellovoj jednadzbi je

−→∇ ~E =ρelǫ0.


Unutar kugle je ρel = ρ0, a izvan kugle je ρel = 0, pa se treba uvjeriti da Maxwellovajednadzba glasi

−→∇ ~E =ρ0ǫ0, r ≤ R,

−→∇ ~E = 0, r > R.

Za r ≤ R je

~E = ~E < =ρ0

3 ǫ0

(~ex x + ~ey y + ~ez z

),

pa je

Ex =ρ0

3 ǫ0x, Ey =

ρ03 ǫ0

y, Ez =ρ0

3 ǫ0z,

−→∇ ~E =∂ Ex∂ x

+∂ Ey∂ y

+∂ Ez∂ z

=ρ0

3 ǫ0+

ρ03 ǫ0

+ρ0

3 ǫ0=ρ0ǫ0,

a to je upravo prva Maxwellova jednadzba u prostoru unutar kugle.Izvan kugle je ~E = ~E > ili po komponetama

Ex =1

4πǫ0Q

x

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂ Ex∂ x

=1

4πǫ0Q

(1

r3− 3x2

r5

)

Ey =1

4πǫ0Q

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂ Ey∂ y

=1

4πǫ0Q

(1

r3− 3y2

r5

),

Ez =1

4πǫ0Q

z

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂ Ez∂ z

=1

4πǫ0Q

(1

r3− 3z2

r5

).

Sveukupno se za divergencioju polja izvan kugle dobije

−→∇ ~E =∂ Ex∂ x

+∂ Ey∂ y

+∂ Ez∂ z

=1

4πǫ0Q

[(1

r3− 3x2

r5

)+

(1

r3− 3y2

r5

)+

(1

r3− 3z2

r5

)]= 0

sto je u skladu s prvom Maxwellovom jednadzbom.

2.4.3 Elektrostatika: Gaussov zakon

Izracunajmo tok elektricnog polja tockastog naboja kroz sfernu plohu polumjera r sa sredistemu tocki gdje se nalazi naboj.

∮

S

~E d ~S =

∮

S

(1

4πǫ0

q

r2~er

) (r2 dΩ~er

)=

1

4πǫ0q 4 π =

q

ǫ0

Primjetimo da zbog toga sto polje opada s kvadratom udaljenosti, a diferencijal povrsine rastes kvadratom te iste udaljenosti, tok ne ovisi o polumjeru sfere, tj. isti je kroz svakusferu.


Slika 2.15: Tok elektricnog polja tockastog naboja kroz zatvorenu plohu proizvoljnog oblika.

Neka se sada tockasti naboj q nalazi unutar zatvorene plohe S proizvoljnog oblika (ne nuznosfernog) kao na slici 2.15. Izracunajmo tok polja tockastog naboja kroz tu proizvoljnu zatvorenuplohu

Φ =

∮

S

1

4πǫ0

q

r2~er dS ~n0 =

1

4πǫ0q

∮

S

dS cosα

r2,

gdje je α kut izmedu vektora ~n0 i ~er . Ako se uoceni diferencijal plohe d~S = dS ~n0 nalazina udaljenosti r od naboja i vidljiv je pod prostornim kutom dΩ, tada je njegova projekcijana smjer ~er s jedne strane jednaka d~S · ~er = dS cosα, a s druge strane to je upravo jednakodiferencijalu povrsine kugline plohe na toj istoj udaljenosti i pod istim prostornim kutom, r2 dΩ

r2 dΩ = dS cosα.

Time tok polja tockastog naboja kroz zatvorenu plohu koja ga okruzuje, a koja je proizvoljnogoblika, postaje

Φ =1

4πǫ0q

∮

S

dΩ =1

4πǫ0q 4 π =

q

ǫ0.

Tok ne ovisi niti o obliku plohe S niti o polozaju naboja unutar te plohe.

Pokazimo da, ukoliko zatvorena ploha ne sadrzi naboj (ili je suma naboja unutar plohe jednakanuli), tada je tok elektricnog polja kroz tu plohu jednak nuli. Neka je tok kroz zatvorenu plohuS jednak q/ǫ0. Deformiramo li plohu kao na slici 2.16, dolazimo do

S = S1 + S2

Φ = Φ1 + Φ2.


Slika 2.16: Deformacija zatvorene plohe.

Kako je sav naboj sadrzan u plohi S1, to mora biti i

Φ1 =q

ǫ0

iz cega zakljucujemo da je tok kroz zatvorenu plohu koja ne sadrzi naboj, jednak nuli

Φ2 = 0.

Primjetimo da iako je tok kroz zatvorenu plohu S2 jednak nuli, to niposto ne znaci da je i poljeu unutrasnjosti plohe jednako nuli.Prema nacelu pridodavanja sila tj. polja, tok od N tockastih naboja unutar plohe S ce bitijednak zbroju tokova pojedinih naboja

~E (q1 + q2 + · · · ) = ~E 1(q1) + ~E 2(q2) + · · ·∮

S

~E d~S =

∮

S

~E 1 d~S +

∮

S

~E 2 d~S + · · ·

=q1ǫ0

+q2ǫ0

+ · · ·

ili, krace,

∮

S

~E d~S =1

ǫ0

N∑

n=1

qn =QS

ǫ0,

gdje je QS ukupan naboj sadrzan unutar zatvorene plohe S. U slucaju kontinuirane raspodjelenaboja

1

ǫ0

N∑

n=1

qn → 1

ǫ0

∫

V (S)

dq =1

ǫ0

∫

V (S)

ρ(~r) dr 3, (2.23)


pa je time

∮

S

~E d~S =1

ǫ0

∫

V (S)

ρ(~r) dr 3, (2.24)

gdje je V (S) volumen definiran zatvorenom plohom S. Gornja se relacija zove Gaussov zakon.Iz izvoda se vidi da Gaussov zakon vrijedi ne samo za kulonsku silu, nego i za svaku drugusilu cije polje opada s kvadratom udaljenosti i za koju vrijedi nacelo pridodavanja (kao npr. zagravitacijsku silu, pri cemu ρ oznacava masenu gustocu, a umjesto konstante 1/ǫ0 dolazi 4πG)

∮

S

~g d~S = 4 πG

∫

V (S)

ρ(~r) dr 3.

Gaussov zakon je posebno pogodan za izracunavanje elektricnog polja raspodjele naboja svisokim stupnjem simetrije.

Zadatak: 2.6 Gaussov zakonKoristeci Gaussov zakon, izracunajte elektricno polje beskonacno duge i beskonacnotanke zice naelektrizirane konstantnom linijskom gustocom naboja λ0.

R: Zbog simetrije problema, prirodno je odabrati cilindricni koordinatni sustav(ρ, ϕ, z). Buduci da je zica beskonacno duga, polje ne moze ovisiti o pomacima u sm-jeru osi z. Takoder, zbog invarijantnosti na rotaciju u ravnini (x, y), polje ne mozeovisiti niti o koordinati ϕ. Ono, dakle, moze ovisiti samo o radijalnoj udaljenostiod zice ρ i moze imati samo smjer ~eρ

~E (~r) = E(ρ)~eρ .

Ako sada za plohu integracije S u izrazu (2.24) odaberemo valjak duljine h i polu-mjera baze ρ, koncentricno postavljen oko zice, dobit cemo

∫

Bg

E(ρ)~eρ dS ~ez +

∫

pl

E(ρ)~eρ dS ~eρ +

∫

Bd

E(ρ)~eρ dS (−~ez ) =λ0ǫ0

∫ h+z

z

dz.

Prvi i treci integral lijeve strane su jednaki nuli jer je ~eρ ·~ez = 0. U bilo kojoj tockiplasta valjka je polje istog iznosa, pa se kao konstantno moze izvuci ispred integrala,tako da se drugi integral lijeve strane svodi na | ~E (ρ)| puta povrsina plasta valjka

| ~E (ρ)| 2 ρ π h =λ0ǫ0h,

tj. dobivamo isti izraz kao i ranije izravnom integracijom

~E (ρ) =λ0

2 π ǫ0

1

ρ~eρ .

Zadatak: 2.7 Gaussov zakonKoristeci Gaussov zakon izracunajte elektricno polje beskonacno velike i beskonacnotanke ravnine naelektrizirane konstantnom povrsinskom gustocom naboja σ0.


R: Buduci da je ploha beskonacna, polje moze imati samo smjer okomit na plohu(neka to bude smjer ~ex ). Odaberemo li za plohu integracije valjak visine h i po-lumjera R, tada je integracija polja po plastu valjka jednaka nuli (~ex · ~eρ = 0), aintegracija po povrsini baza daje E ~ex R

2 π ~ex + E (−~ex )R2 π (−~ex ) = 2R2 π E. Sdruge strane, to je jednako ukupnom naboju obuhvacenom plohom i podijeljenoms ǫ0

2R2 π E =1

ǫ0σ0R

2 π

~E = ± σ02 ǫ0

~ex ,

za x > 0 i x < 0 poluprostor. Primjetimo da u ovom slucaju polje ne ovisi oudaljenosti od plohe.

Ako bismo umjesto beskonacno tanke plohe promatrali beskonacno debelu plohu vodica kojazauzima poluprostor x < 0, na cijoj se granici nalazi naboj rasporeden konstantnomgustocom σ0, postupkom kao gore, dobilo bi se

1 · R2 π E =1

ǫ0σ0R

2 π

~E =σ0ǫ0~ex .

(Kasnije cemo pokazati da je u unutrasnjosti vodica polje jednako nuli.)

Ako su zadane dvije beskonacno velike i beskonacno tanke paralelno postavljnene ravninenaelektrizirane konstantnim gustocama naboja σ1 i −σ2, tada su iznosi polja od pojedinihploca jednaki

E1 =σ12 ǫ0

, E2 =σ22 ǫ0

,

a smjerovi su prikazani na slici. Izvan ploca su silnice antiparalelne, pa je

Eout =σ1 − σ2

2 ǫ0.

Unutar ploca su silnice paralelne, pa je

Ein =σ1 + σ2

2 ǫ0.

Specijalno, ako je σ1 = σ2 = σ0, polje izvan ploca je jednako nuli, a polje unutar ploca je

Ein =σ0ǫ0.

To je upravo polje ravnog plocastog kondenzatora (o kojemu cemo govoriti kasnije).

Zadatak: 2.8 Gaussov zakonKoristeci Gaussov zakon izracunajte elektricno polje kugle polumjera R, naelek-trizirane konstantnom volumnom gustocom naboja ρ0.

R: Zbog sferne simetrije odabiremo sferni koordinatni sustav (r, θ, ϕ) s ishodistem


u sredistu kugle. Isto tako zbog sferne simetrije je jasno da polje ne moze ovisitio kutovima θ i ϕ, nego samo o odaljenosti r i da mora biti usmjereno samo u ~ersmjeru

~E (~r) = E(r)~er .

Izracunajmo najprije polje u u unutrasnjosti kugle: r < R. Za plohu integracijeodabiremo koncentricnu sferu polumjera r < R

∫Ein(r)~er r

2 dΩ~er =1

ǫ0

∫ρ0 dr

3

Ein(r) r2 4 π =1

ǫ0

4

3r3 π ρ0

~E in =ρ0

3 ǫ0r ~er .

Polje unutar kugle linearno raste s udaljenoscu od sredista.Da bismo izracunali polje izvan kugle, za plohu integracije opet odabiremo koncentricnu sferu,

ali je ona sada polumjera r > R.∫

Eout(r)~er r2 dΩ~er =

1

ǫ0

∫ρ0 dr

3

Eout(r) r2 4 π =

1

ǫ0

4

3R3 π ρ0 =

Q

ǫ0

~E out =1

4 π ǫ0

Q

r2~er .

Polje izvan kugle opada s udaljenoscu od sredista. i isto je kao polje tockastognaboja iznosa jednakog ukupnom naboju kugle Q = ρ0(4/3)R3π.

2.4.4 Rotacija: Stokesov teorem

Promatrajmo linijski integral proizvoljnog vektorskog polja ~V (~r) po zatvorenoj usmjerenojkrivulji C. Na str. 20 je pokazano da ovakav integral predstavlja zbroj tangencijalnih kompo-nenata polja ~V (~r) po svim tockama krivulje.Krivulja ne mora lezati u ravnini, a pozitivnim smjerom obilaska krivulje se naziva smjersuprotan gibanju kazaljke na satu. Takav se integral naziva cirkulacija polja ~V (~r) i oznacavase s Γ

Γ =

∮

C~V (~r) d~r.

Diferencijal d~r ima smjer obilaska krivulje. Podijeli li se zatvorena krivulja C na dvije zatvorenekrivulje, kao na slici 2.17, dobiju se dvije nove zatvorene krivulje

C1 = C1 + C ′, C2 = C2 + C ′.

Zbroj cirkulacija po C1 i C2 je jednak∮

C1

~V (~r) d~r1 +

∮

C2

~V (~r) d~r2 =

∮

C1

~V (~r) d~r1 +

∮

C ′

~V (~r) d~r1 +

∮

C2

~V (~r) d~r2 +

∮

C ′

~V (~r) d~r2.


Slika 2.17: Uz definiciju cirkulacije vektorskog polja.

No, gornji integrali po C ′ imaju istu vrijednost podintegralne funkcije, ali se izvode u suprotnimsmjerovima, pa su zato istog iznosa a suprotnog predznaka i njihov je zbroj jednak nuli

∮

C ′

~V (~r) d~r1 +

∮

C ′

~V (~r) d~r2 = 0.

Uz ovaj gornji rezultat, preostaje∮

C1~V (~r) d~r1 +

∮

C2~V (~r) d~r2 =

∮

C1~V (~r) d~r1 +

∮

C2~V (~r) d~r2 =

∮

C~V (~r) d~r,

tj. zbroj cirkulacija po C1 i C2 jedna je cirkulaciji po pocetnoj zatvorenoj krivulji C.Ocito ce se nastavljanjem dijeljenja gornje dvije zatvorene krivulje na sve manje i manje dijelove,opet medusobno ponistavati integrali po zajednickim dijelovima, i za podjelu pocetne zatvorenekrivulje na N manjih ce vrijediti

Γ =

∮

C~V (~r) d~r =

N∑

j=1

∮

Cj

~V (~rj) d~rj.

Za N >> 1, tj. kada je pocetna krivulja podjeljena na puno vrlo malih zatvorenih krivulja,svakoj toj maloj krivulji Cj se moze pridruziti ravna ploha ∆ ~S j = ~n0 ∆Sj ciji je iznos odredenpovrsinom plohe definirane krivuljom, a smjer okomicom na plohu i pravilom desne ruke. Ugranici N → ∞, male krivulje Cj iscezavaju, pa iscezava i integral vektorskog polja po tojkrivulji. Isto tako iscezava i povrsina ∆Sj. Ako dvije velicine svaka za sebe iscezavaju, nijenuzno da iscezava i njihov omjer. Izracunajmo slijedecu granicnu vrijednost

limN→∞∮Cj~V (~rj) d~rj = 0,

limN→∞ ∆Sj = 0 .

lim

Cj ,∆Sj → 0

∮Cj~V (~rj) d~rj

∆Sj= ?


Ogranicimo se na j-tu krivulju, tako da mozemo izostaviti indeks j. Radi jednostavnosti, nekaje mala zatvorena krivulja pravokutnog oblika i neka lezi u ravnini z = const. kao na slici 2.18.Opcenito je, u pravokutnom koordinatnom sustavu,

Slika 2.18: Uz izvod Stokesova teorema.

~V (~r) = ~ex Vx(x, y, z) + ~ey Vy(x, y, z)~ey + ~ez Vz(x, y, z),

~r = ~ex x + ~ey y + ~ez z,

pa je, uz konstantni z,

d~r = ~ex dx+ ~ey dy, z = const.

Izracunajmo sada cirkulaciju po malom pravokutniku

∮

C~V d~r =

∮

C

[~ex Vx(x, y, z) + ~ey Vy(x, y, z)~ey + ~ez Vz(x, y, z)

]·[~ex dx+ ~ey dy

]

=

∮

C

[Vx(x, y, z) dx+ Vy(x, y, z) dy

].

Gornji integral po pravokutniku sa slike 2.18, jednak je zbroju integrala po stranicama (1), (2), (3)


i (4) tog istog pravokutnika (d~r ima smjer obilaska krivulje)∮

C


]=

∫

(1)


]

+

∫

(2)


]

+

∫

(3)


]

+

∫

(4)


].

(1) (x, x + dx), y = const.

∫

(1)

[Vx(x, y, z) dx+ Vy(x, y, z) dy︸︷︷︸

= 0

]=

∫ x+dx

x

Vx(x, y, z) dx

(2) x + dx = const., (y, y + dy)

∫

(2)

[Vx(x, y, z) dx︸︷︷︸

= 0

+Vy(x, y, z) dy]

=

∫ y+dy

y

Vy(x + d x, y, z) dy

(3) (x + dx, x), y + dy = const.

∫

(3)

[Vx(x, y, z) dx+ Vy(x, y, z) dy︸︷︷︸

= 0

]=

∫ x

x+dx

Vx(x, y + d y, z) dx

(4) x = const., (y + dy, y)

∫

(4)

[Vx(x, y, z) dx︸︷︷︸

= 0

+Vy(x, y, z) dy]

=

∫ y

y+dy

Vy(x, y, z) dy .

Buduci da su pravokutnici infinitezimalni, vrijednost polja je priblizno konstantna u svimtockama stranica pravokutnika i priblizno je jednaka vrijednosti na polovici promatrane stra-nice. Zato je promatrani linijski integral priblizno jednak

∮

C


]≃ Vx(x+ dx/2, y, z)

[(x+ dx) − x

]

+ Vy(x + dx, y + dy/2, z)[(y + dy) − y

]

+ Vx(x+ dx/2, y + dy, z)[x− (x+ dx)

]

+ Vy(x, y + dy/2, z) dy[y − (y + dy)

].

Za male dx i dy, komponente polja Vx i Vy se mogu razviti u Taylorov red

=

[Vx(x, y, z) +

dx

2

∂ Vx∂ x

+ · · ·]dx +

[Vy(x, y, z) + dx

∂ Vy∂ x

+dy

2

∂ Vy∂ y

+ · · ·]dy

−[Vx(x, y, z) +

dx

2

∂ Vx∂ x

+ dy∂ Vx∂ y

+ · · ·]dx−

[Vy(x, y, z) +

dy

2

∂ Vy∂ y

+ · · ·]dy

=

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

)dx dy + O(d3). (2.25)


rotacije vektorskog poljaUvedimo pojam rotacije vektorskog polja ~V , slijedecom definicijom (u pravokutnom koordinat-nom sustavu)

rot ~V = ~ex

(∂ Vz∂ y

− ∂ Vy∂ z

)+ ~ey

(∂ Vx∂ z

− ∂ Vz∂ x

)+ ~ez

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

).

Uocimo ciklicnost (x → y → z → x → y → · · · ) u definiranju komponenata vektora rotacije,slicno kao i kod definicije vektorskog umnoska dva vektora.Primjetimo da rotaciju vektorske funkcije mozemo zapisati i pomocu operatora nabla, (2.17),

rot ~V =−→∇ × ~V =

(~ex

∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z

)×(Vx~ex + Vy~ey + Vz~ez

)(2.26)

=

~ex ~ey ~ez

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Vx Vy Vz

= ~ex

(∂ Vz∂ y

− ∂ Vy∂ z

)+ ~ey

(∂ Vx∂ z

− ∂ Vz∂ x

)+ ~ez

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

),

tj.

rot ~V ≡ −→∇ × ~V = ~ex

(∂ Vz∂ y

− ∂ Vy∂ z

)+ ~ey

(∂ Vx∂ z

− ∂ Vz∂ x

)+ ~ez

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

).

(2.27)

Rezultat rotacije vektorskog polja ~V je novo vektorsko polje−→∇ × ~V .

Sada mozemo u relaciji (2.25) za cirkulaciju, prepoznati z-komponentu vektora rotacije polja~V ∮

C~V d~r =

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

)dx dy + O(d3) = (

−→∇ × ~V )z dx dy + O(d3) (2.28)

Takoder, mozemo izracunati i pocetni limes

limCj ,∆Sj → 0

∮Cj~V (~rj) d~rj

∆Sj= lim

dx,dy→ 0

[(−→∇ × ~V )z dx dy

dx dy+

O(d3)

dx dy

]= (

−→∇ × ~V )z,

gdje je

(−→∇ × ~V )z = ~ez ·

(−→∇ × ~V)

Slicni bi se izrazi dobili i za preostale komponente rotacije, pri cemu gornju zatvorenu krivulju


shvacamo kao projekciju neke male prostorne krivulje na ravninu (x, y)

(−→∇ × ~V )x =

∂ Vz∂ y

− ∂ Vy∂ z

,

(−→∇ × ~V )y =

∂ Vx∂ z

− ∂ Vz∂ x

.

Sada se mozemo vratiti pocetnom izrazu za cirkulaciju vektorskog polja, koji u granici N → ∞postaje

∮

C~V (~r) d~r =

N∑

j=1

∆Sj

[1

∆Sj

∮

Cj

~V (~rj) d~rj

]=

N∑

j=1

∆Sj ~n0,j (−→∇ × ~V )

=

/N → ∞∑N

j=1 ∆Sj ~n0,j →∫S(C) d

~S

/=

∫

S(C)(−→∇ × ~V ) d~S .

Slika 2.19: Sir George Gabriel Stokes, 1stBaronet FRS (13. VIII 1819. – 1. II 1903.),engleski fizicar i matematicar.

S ~n0,j je oznacen jedinicni vektor okomit na malu plohud S. Time su povezani linijski integral vektorskog poljapo zatvorenoj krivulji C i povrsinski integral rotacijetog istog polja po povrsini S(C) definiranoj krivuljomC, a dobivena se veza zove Stokesov teorem

∮

C~V (~r) d~r =

∫

S(C)(−→∇ × ~V ) d~S .

(2.29)Primjetimo da jedna jedina krivulja C definira

beskonacno mnogo ploha S(C) ciji je ona rub. Sve su teplohe otvorene (dok su kod Gaussova teorema, (2.22),one bile zatvorene).Fizicko znacenje rotacije jeste opis jednog svojstva vek-torskog polja koje se naziva vrtloznost. Ono se mozeiscitati iz relacije (2.28): zamislimo da ~V opisuje brzinufluida, tada je integral na lijevoj strani razlicit od nulesamo u onom dijelu prostora gdje fluid ima vrtloge (vi-

rove) i tada je i odgovarajuca komponenta rotacije ~V razlicita od nule. Naprotiv, ako je−→∇ × ~V = 0, kaze se da je polje bezvrtlozno.

Zadatak: 2.9 Izravnim racunom izracunajte cirkulaciju vektorskog polja ~V = x2y3~ex +~ey +z~ezpo kruznici x2 + y2 = R2, z = 0. Isti racun provedite koristeci Stokesov teorem, akose za plohu integracije odabere polukugla z = +

√R2 − x2 − y2.

R: Izracunajmo cirkulaciju

Γ =

∮

C~V (~r) d~r.


Uvrstimo veze pravokutnog i cilindricnog koordinatnog sustava, odjeljak 2.5,

~r = R~eρ ,

d~r = Rd~eρ = Rdϕ~eϕ ,

~eϕ = −~ex sinϕ+ ~ey cosϕ,

x = R cosϕ, y = R sinϕ,

tako da je

∮

C~V (~r) d~r = R

(−R5

∫ 2π

0

sin4 ϕ cos2 ϕ dϕ+

∫ 2π

0

cosϕ dϕ

)= −π R

6

8.

Naravno, do istog se rezultata moze doci i racunom pomocu Stokesova teorema.Uvrstavanjem veze pravokutnog i sfernog koordinatnog sustava, odjeljak 2.6:

d~S = ~er R2 sin θdθdϕ, ~er = ~ex sin θ cosϕ+ ~ey sin θ sinϕ+ ~ez cos θ,

x = R sin θ cosϕ, y = R sin θ sinϕ,

i integracijom po gornjoj polusferi

∫

S(C)(−→∇ × ~V ) d~S =

∫ π/2

0

sin θdθ

∫ 2π

0

dϕR2~er (−3x2y2~ez ) = −3R6 · 1

6· π

4= −π R

6

8.

dobijemo iti rezultat za cirkulaciju.

Zadatak: 2.10 Zadano je vektorsko polje iz zadatka 2.2

~F = ~ex (2xy + z3) + ~ey (x2 + 2y) + ~ez (3xz2 − 2).

Izracunajte−→∇ × ~F . Razumijete li sada zasto su rezultati u (a), (b) i (c) iz zadatka

2.2 medusobno jednaki? Moze li ovo polje predstavljati elektrostatsko polje i zasto?

R: Izravnim uvrstavanjem ~F u (2.26) i deriviranjem, odmah se dobiva

−→∇ × ~F = ~ex (0 − 0) + ~ey (3z2 − 3z2) + ~ez (2x− 2x) = 0.

Polje je konzervativno (rotacija mu je jednaka nuli), pa zato linijski integrali ne oviseo putu (ukoliko su konacne tocke iste). Konzervativnost je i razlog zasto ovo poljemoze predstavljati elektrostatsko polje.

Zadatak: 2.11 Pokazimo da polje tockastog naboja zadovoljava drugu Maxwellovu jednadzbu

−→∇ × ~E = 0.


R: Polje tockastog naboja iznosa q smjestenog u ishodistu je

~E (~r) =1

4πǫ0

q

r3~r, (2.30)

ili, po komponentama pravokutnog sustava

Ex =1

4πǫ0q

x

(x2 + y2 + z2)3/2, (2.31)

Ey =1

4πǫ0q

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

Ez =1

4πǫ0q

z

(x2 + y2 + z2)3/2.

−→∇ × ~E = ~ex

(∂ Ez∂ y

− ∂ Ey∂ z

)+~ey

(∂ Ex∂ z

− ∂ Ez∂ x

)+~ez

(∂ Ey∂ x

− ∂ Ex∂ y

). (2.32)

Izravnom derivacijom se lako dobije da je svaka od okruglih zagrada jednaka nuli,pa je i njihov zbroj jednak nuli.

2.4.5 Laplaceov operator

Od osobite je vaznosti (napose u izucavanju valnih pojava u mehanici ili elektrostatskih pojavau elektromagnetizmu) operator nastao djelovanjem divergencije na gradijent skalarnog poljas(x, y, z). Taj se operator naziva Laplaceov10 operator ili laplasijan. U pravokutnom koor-dinatnom sustavu je on oblika

div (grad s) =

(~ex

∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z

) (~ex∂ s

∂ x+ ~ey

∂ s

∂ y+ ~ez

∂ s

∂ z

)=∂2 s

∂ x2+∂2 s

∂ y2+∂2 s

∂ z2

≡ ∇ 2 s

Slika 2.20: Pierre-Simon marquis de Laplace(23. III 1749. – 5. III 1827.) francuskifizicar, astronom, matematicar i filozof.

gdje je s ∇ 2 oznacen Laplaceov operator

∇ 2 =∂2

∂ x2+

∂2

∂ y2+

∂2

∂ z2. (2.33)

Operacije gradijenta, divergencije i rotacije se mogui kombinirati. Tako je npr. lako pokazati (izravnimuvrstavanjem prema definicijama) da je za svako vek-

torsko polje ~V

div rot ~V ≡ −→∇ · (−→∇ × ~V ) = 0. (2.34)

Slicno je i za svako skalarno polje s

rot grad s ≡ −→∇ × (−→∇ s) = 0. (2.35)

10Pierre Simon marquis de Laplace, 1749 - 1827, francuski fizicar, astronom, matematicar i filozof,


Zadatak: 2.12 Pokazite da vrijedi

−→∇ × (−→∇ × ~V ) =

−→∇(−→∇ ~V ) −∇ 2~V . (2.36)

Uputa: mozete koristiti raspis u pravokutnom koordinatnom sustavu.

R: dovrsiti

Zadatak: 2.13 Iz elektrostatike je poznata veza izmedu elektricnog polja ~E i elektricnog po-tencijala V

~E = −−→∇ V.

Pokazite da iz nje izravno slijedi druga Maxwellova jednadzba−→∇ × ~E = 0.

R:

−→∇V = ~ex∂V

∂x+ ~ey

∂V

∂y+ ~ez

∂V

∂z

−→∇ × (−→∇V ) = ~ex

(∂

∂y

∂V

∂z− ∂

∂z

∂V

∂y

)+ ~ey

(∂

∂z

∂V

∂x− ∂

∂x

∂sV

∂z

)+ ~ez

(∂

∂x

∂V

∂y− ∂

∂y

∂V

∂x

)= 0.

Zadatak: 2.14 Pokazite da za proizvoljno skalarno polje s i vektorska polja ~U i ~V vrijedeslijedece relacije:

−→∇ × (s ~U) = s−→∇ × ~U + (

−→∇ s) × ~U,

−→∇(~U × ~V ) = ~V (−→∇ × ~U) − ~U(

−→∇ × ~V ),

Uputa: mozete koristiti raspis u pravokutnom koordinatnom sustavu.

R: dovrsiti

Zadatak: 2.15 Poznat je elektricni potencijal izmedu dvije beskonacne paralelne vodljive plocekoje su okomite na os x

V (x) = Ax4/3 +B x + C, A,B, C = const.

Odredite raspodjelu naboja koja stvara takav potencijal.

R: Iz elektrostatike je poznata veza izmedu potencijala i gustoce elektricnognaboja u obliku Poissonove jednadzbe

∇ 2 V (~r) = − ρel(~r)

ǫ0.


Raspisana u pravokutnom koordinatnom sustavu, gornja jednadzba vodi na

− ρelǫ0

=∂2 V

∂ x2+∂2 V

∂ y2+∂2 V

∂ z2

= A4

3

1

3x−2/3

ρel(x) = −A ǫ04

9

1

x2/3.

2.5 Cilindricni koordinatni sustav

Kao sto smo spomenuli na pocetku ovog odjeljka, pored pravokutnog koordinatnog sustavapostoje jos i mnogi drugi koordinatni sustavi. Odabir odredenog koordinatnog sustava ovisio simetriji problema koji se rjesava. U situacijama kada je razmatrani problem simetricanna zakret oko nepomicne osi, koristi se cilindricni koordinatni sustav (CKS). Polozaj tocke uprostoru se, unutar cilindricnog koordinatnog sustava, opisuje koordinatama: ρ, ϕ i z, gdje je zjedna od koordinata pravokutnog koordinatnog sustava. Koordinata ρ ima vrijednost okomite

Slika 2.21: Uz definiciju koordinata cilindricnog koordinatnog sustava.

udaljenosti promatrane tocke od osi z. Koordinata ϕ je kut koji duzina ρ zatvara s pozitivnimsmjerom osi x. Svakoj tocki prostora je jednoznacno pridruzena trojka brojeva (ρ, ϕ, z), pricemu ρ, ϕ i z mogu poprimati vrijednosti iz slijedecih intervala

ρ ∈ (0,∞), ϕ ∈ (0, 2π), z ∈ (−∞,+∞).

Cilindricni koordinatni sustav ogranicen na ravninu (x, y, z = 0), se zove polarni koor-dinatni sustav (PKS) , slika 2.22. Veze pravokutnih i cilindricnih koordinata se dobivajuelementarnom trigonometrijom

2.5. CILINDRICNI KOORDINATNI SUSTAV 49

Slika 2.22: Uz definiciju koordinata polarnog koordi-natnog sustava.

Slika 2.23: Krivulje u ravnini (x, y) na kojima ρ i ϕimaju konstantne vrijednosti.

x = ρ cosϕ, ρ =√x2 + y2,

y = ρ sinϕ, ϕ = arctany

x, (2.37)

z = z.

Plohe na kojima koordinata ρ ima konstantnu vrijednost su kruzni valjci

x2 + y2 = ρ2, ∀ z,

a plohe na kojima ϕ ima konstantnu vrijednost su ravnine okomite na ravninu (x, y)

y = tanϕ x, ∀ z.

Plohe na kojima z ima konstantnu vrijednost su ravnine paralelne s ravninom (x, y).Presjeci ovih cilindara i ravnina s ravninom (x, y) daju kruznice i pravce poput onih prikazanihna slici 2.23. Primjetimo da su plohe (i krivulje) na kojima ρ i ϕ imaju konstantne vrijednosti,medusobno okomite. Takoder su i okomite na ravnine z = const.

Svakoj od koordinata ρ, ϕ i z, se pridruzuju jedinicni vektori smjera ~eρ , ~eϕ i ~ez , koji su

usmjereni u pravcu porasta odgovarajuce koordinate

(slika 2.21) uz konstantne vrijednosti preostale dvije koordinate. Ako radij vektoru ~r povecavamokoordinatu ρ za infinitezimalni iznos dρ, a ϕ i z drzimo konstantnim, tada vektor,

[~r(ρ + dρ, ϕ, z) − ~r(ρ, ϕ, z)

]∼ ~eρ

ima smjer ~eρ . Isti smjer ima i gornji vektor pomnozen skalarom 1/dρ

~r(ρ + dρ, ϕ, z) − ~r(ρ, ϕ, z)

dρ∼ ~eρ

Smjer se nece promijeniti ni kada izvedemo granicni prijelaz dρ→ 0,

limdρ→0

~r(ρ + dρ, ϕ, z) − ~r(ρ, ϕ, z)

dρ∼ ~eρ


koji zatim prepoznajemo kao parcijalnu derivaciju ~r po ρ

(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

∼ ~eρ .

No, gornji vektor jos ne mora biti i jedinicnog iznosa. Da bismo ga napravili jedinicnim, trebaga podijeliti njegovim iznosom, kao u (2.1),

~eρ =

(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

/ ∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

∣∣∣∣∣ (2.38)

Na slican nacin se odreduje jos i jedinicni vektor ~eϕ

~eϕ =

(∂ ~r

∂ ϕ

)

ρ,z

/ ∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ ϕ

)

ρ,z

∣∣∣∣∣ ,

Vektor ~ez je jedinicni vektor iz pravokutnog koordinatnog sustava i njega ne treba racunati.

Izracunajmo ove jedinicne vektore, koristeci izraz za radij vektor u pravokutnom koordinatnomsustavu

~r = x ~ex + y ~ey + z ~ez

i vezu cilindrickog s pravokutnim koordinatnim sustavom (2.37).

Zapocnimo s jedinicnim vektorom ~eρ

(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

=∂

∂ ρ

(x~ex + y~ey + z~ez

)

ϕ,z

=∂

∂ ρ

[~ex (ρ cosϕ) + ~ey (ρ sinϕ) + ~ez z

]

ϕ,z

= ~ex cosϕ+ ~ey sinϕ,

∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

∣∣∣∣∣ =

√cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1,

pa je

~eρ = ~eρ (ϕ) = ~ex cosϕ+ ~ey sinϕ. (2.39)

Primjetimo da, iako ~eρ ima konstantan iznos jednak jedinici, jos uvijek nema i konstantansmjer, jer mu se smjer mjenja s promjenom ϕ, tj. u tockama s razlicitom vrijednoscu ϕ i vektor~eρ ima razlicite smjerove.


Na slican nacin se odreduje i jedinicni vektor ~eϕ :(∂ ~r

∂ ϕ

)

ρ,z

=∂

∂ ϕ

(x~ex + y~ey + z~ez

)ρ,z

=∂

∂ ϕ

[~ex (ρ cosϕ) + ~ey (ρ sinϕ) + ~ez z

]ρ,z

= −~ex ρ sinϕ+ ~ey ρ cosϕ,

∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ ϕ

)

ρ,z

∣∣∣∣∣ =√ρ2(sin2 ϕ+ cos2 ϕ) = ρ,

pa je

~eϕ = ~eϕ (ϕ) = −~ex sinϕ+ ~ey cosϕ. (2.40)

Primjetimo i ovdje da, iako ~eϕ ima konstantan iznos jednak jedinici, jos uvijek nema i kon-stantan smjer, jer mu se smjer mjenja s promjenom ϕ, tj. u tockama s razlicitom vrijednoscuϕ i vektor ~eϕ ima razlicite smjerove.

Vektor ~ez je naprosto ~ez koji smo upoznali jos kod pravokutnog koordinatnog sustava i tu sene treba nista racunati.

Ove jedinicne vektore mozemo prikazati i u obliku jednostupcanih matrica

~eρ =

1

0

0

, ~eϕ =

0

1

0

, ~ez =

0

0

1

,

Pravokutnu i cilindricnu bazu mozemo povezati matricom M CP

~eρ

~eϕ

~ez

= M CP

~ex

~ey

~ez

, M CP =

cosϕ sinϕ 0

− sinϕ cosϕ 0

0 0 1

. (2.41)

Lako je vidjeti da je inverzna matrica (koja izvodi prijelaz iz pravokutnog u cilindricni, M PC)jednaka transponiranoj, relacija (2.93),

M PC ≡ M −1CP = M T

CP ,

M TCP ·M CP = M CP ·M T

CP = 1,

M PC ·M CP = M CP ·M PC = 1


iz cega odmah slijedi

~ex

~ey

~ez

= M PC

~eρ

~eϕ

~ez

, M PC ≡ M T

CP =

cosϕ − sinϕ 0

sinϕ cosϕ 0

0 0 1

. (2.42)

Raspisana po komponentama, gornja jednadzba glasi

~ex = cosϕ ~eρ − sinϕ ~eϕ ,

~ey = sinϕ ~eρ + cosϕ ~eϕ ,

~ez = ~ez .

U skladu s gornjom analizom, zakljucujemo da se proizvoljni vektor ~V moze prikazati kaojednostupcana matrica

~V =

Vρ

Vϕ

Vz

.

Posebno, radij vektor je oblika

~r = x ~ex + y ~ey + z ~ez

= ρ (~ex cosϕ+ ~ey sinϕ) + z ~ez = ρ ~eρ + z ~ez =

ρ

0

z

.

Iznos vektora je dan Pitagorinim pouckom

|~V | =√V 2ρ + V 2

ϕ + V 2z .

Mnozenje vektora sklarom s

s ~V = s Vρ ~eρ + s Vϕ ~eϕ + s ~Vz ~ez .

U skladu s definicijom skalarnog umnoska, a pomocu relacija (2.39) i (2.40), za bazne vektorevrijedi

~eρ · ~eρ = 1, ~eρ · ~eϕ = 0, ~eρ · ~ez = 0,

~eϕ · ~eρ = 0, ~eϕ · ~eϕ = 1, ~eϕ · ~ez = 0, (2.43)

~ez · ~eρ = 0, ~ez · ~eϕ = 0, ~ez · ~ez = 1.


Iz gornje tablice slijedi izraz za skalarni umnozak dva proizvoljna vektora

~V · ~U =(Vρ ~eρ + Vϕ ~eϕ + Vz ~ez

)·(Uρ ~eρ + Uϕ ~eϕ + Uz ~ez

)= Vρ Uρ + Vϕ Uϕ + Vz Uz.

Pomocu skalarnog umnoska se i kut medu vektorima moze napisati kao: ~eV ·~eU = 1·1 cos(~V , ~U),sto mozemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutovakoje zatvara s koordinatnim osima.

~eV · ~eρ = cos(~V ,~eρ ) =~V

V· ~eρ =

Vρ ~eρ + Vϕ ~eϕ + Vz ~ezV

· ~eρ =VρV

⇒ Vρ = V cos(~V ,~eρ ),

~V = V[cos(~V ,~eρ )~eρ + cos(~V ,~eϕ )~eϕ + cos(~V ,~ez )~ez

].

Iz relacija (2.39) i (2.40) se takoder dolazi i do izraza za vektorske umnoske baznih vektora

~eρ × ~eρ = 0, ~eρ × ~eϕ = ~ez , ~eρ × ~ez = −~eϕ ,

~eϕ × ~eρ = −~ez , ~eϕ × ~eϕ = 0, ~eϕ × ~ez = ~eρ , (2.44)

~ez × ~eρ = ~eϕ , ~ez × ~eϕ = −~eρ , ~ez × ~ez = 0.

Pomocu gornjih umnozaka, lako se dobiva i izraz za komponente vektorskog umnoska dva opcavektora

~V × ~U =(Vρ ~eρ + Vϕ ~eϕ + Vz ~ez

)×(Uρ ~eρ + Uϕ ~eϕ + Uz ~ez

)

= ~eρ (Vϕ Uz − Vz Uϕ) + ~eϕ (Vz Uρ − Vρ Uz) + ~ez (Vρ Uϕ − Vϕ Uρ).

Primjetimo ciklicnost u definiciji komponenata vektorskog umnoska: ρ → ϕ → z → ρ →ϕ → · · · . Vektorski umnozak se moze pregledno napisati i preko determinante (u pomalonekorektnom obliku, jer nisu svi elementi determinate skalari)

~V × ~U =

~eρ ~eϕ ~ez

Vρ Vϕ Vz

Uρ Uϕ Uz

.

Usporedbom rastava ~V u pravokutnoj i cilindricnoj bazi

~V = Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez = Vρ ~eρ + Vϕ ~eϕ + Vz ~ez ,

i koristeci (2.39) i (2.40), zakljucujemo da postoji slijedeca veza medu komponentama

Vx

Vy

Vz

= M PC

Vρ

Vϕ

Vz

,

Vρ

Vϕ

Vz

= M CP

Vx

Vy

Vz

.


Za razliku od vektora ~ex , ~ey , ~ez koji su istog smjera u svakoj tocki prostora (slika 2.24.A),iz relacija (2.39) i (2.40) se jasno vidi da, kako se mijenja polozaj tocke u prostoru, takose mijenjaju i smjerovi baznih vektora u ravnini (x, y) (slika 2.24.B) Izracunajmo promjene

Slika 2.24: Smjerovi baznih vektora pravokutnog (A) i cilindricnog (tj. polarnog) (B) koordinatnog sustava.

smjerova vektora ~eρ i ~eϕ (iznosi su im jedinicni, pa se oni ne mogu mijenjati, mijenja im sesamo smjer). Prema relacijama (2.39) i (2.40) je

d~eρ = −~ex sinϕdϕ+ ~ey cosϕdϕ = ~eϕ dϕ,

d~eϕ = −~ex cosϕdϕ− ~ey sinϕdϕ = −~eρ dϕ, (2.45)

d~ez = 0.

Primjetimo da je promjena baznih vektora okomita na same vektore, tj. da je

d~eρ · ~eρ = d~eϕ · ~eϕ = 0

kao sto i mora biti, jer bi npr. promjena ~eρ u smjeru ~eρ promjenila normu od ~eρ i on vise nebi bio jedinicni vektor11.

Pomocu gornjih diferencijala mozemo izracunati diferencijalni volumen u okolici tocke ~r. Nekase koordinata ρ promjeni od vrijednosti ρ na ρ+ dρ, koordinata ϕ od ϕ na ϕ+ dϕ i koordinataz od z na z + dz. Zbog infinitezimalnog karaktera ovih promjena, dobiveni infinitezimalni

volumen se moze aproksimirati paralelopipedom ciji su vektori bridova ~a ,~b ,~c , upravo jednaki

11Usporedite s relacijom (2.11)


(slika 2.25)

~a = ~r(ρ+ dρ, ϕ, z) − ~r(ρ, ϕ, z) =∂ ~r

∂ρdρ = ~eρ dρ,

~b = ~r(ρ, ϕ+ dϕ, z) − ~r(ρ, ϕ, z) =∂ ~r

∂ϕdϕ = ρ~eϕ dϕ,

~c = ~r(ρ, ϕ, z + dz) − ~r(ρ, ϕ, z) =∂ ~r

∂zdz = ~ez dz.

Prema (2.8) volumen se racuna pomocu mjesovitog umnoska vektora

Slika 2.25: Uz diferencijal volumena u cilindricnom koordinatnom sustavu.

d r3 ≡ dV = ~a · (~b × ~c ) = ~eρ dρ · (ρ~eϕ dϕ × ~ez dz) = ρ dρ dϕ dz.

Na slican nacin se moze izracunati i diferencijal zakrivljene plohe z = const. Prema relaciji

(2.6) povrsina paralelograma je dana iznosom vektorskog umnoska vektora stranica |~a × ~b |. Unasem primjeru je

d r2 ≡ dS =∣∣∣~eρ dρ × ρ~eϕ dϕ

∣∣∣ = ρdρ dϕ.

Izracunajmo jos i udaljenost ds dvije bliske tocke: (ρ, ϕ, z) i (ρ + dρ, ϕ + dϕ, z + dz). Upravokutnom koordinatnom sustavu bi se ta udaljenost lako izracunala pomocu Pitagorinogpoucka: koordinate tocaka bi bile (x, y, z) i (x + dx, y + dy, z + dz), a kvadrat udaljenosti

ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2.


Koristeci veze (2.37) izmedu pravokutnog i cilindricnog sustava, lako se dobiva

dx = dρ cosϕ− ρ sinϕdϕ,

dy = dρ sinϕ+ ρ cosϕdϕ,

(ds)2 = (dρ)2 + ρ2(dϕ)2 + (dz)2. (2.46)

Gornji je izraz posebni slucaj opceg izraza (2.68), iz kojega se mogu ocitati komponentemetrickog tenzora g i i cilindricnog koordinatnog sustava.

Diferencijalni operatoriu CKS su oblika12

−→∇s =

~eρ

∂

∂ ρ+~eϕρ

∂

∂ ϕ+ ~ez

∂

∂ z

s,

−→∇ ~V =1

ρ

∂

∂ ρ

(ρ Vρ

)+

1

ρ

∂ Vϕ∂ ϕ

+∂ Vz∂ z

,

−→∇ × ~V =~eρρ

[∂ Vz∂ ϕ

− ρ∂ Vϕ∂ z

]+ ~eϕ

[∂ Vρ∂ z

− ∂ Vz∂ ρ

]+~ezρ

[∂ Vϕρ

∂ ρ− ∂ Vρ∂ ϕ

],

∇ 2s =

1

ρ

∂

∂ ρ

(ρ∂

∂ ρ

)+

1

ρ2∂2

∂ ϕ2+

∂2

∂ z2

s.

Zadatak: 2.16 U polarnim koordinatama napisite jednadzbu pravca koji lezi u ravnini (x, y).

R: dovrsiti

Zadatak: 2.17 U polarnim koordinatama napisite jednadzbu kruznice koja lezi u ravnini (x, y).

R: dovrsiti

Zadatak: 2.18 U polarnim koordinatama napisite jednadzbu Arhimedove spirale koja lezi uravnini (x, y). Arhimedova spirala je putanja tocke koja se konstantnom brzinom v0udaljava od ishodista gibajuci se po polupravcu, pri cemu se i sam polupravac vrtioko ishodista konstantnom kutnom brzinom ω0.

R: Prema uvjetima zadatka je

ρ = v0 t, ϕ = ω0 t.

Eliminacijom vremena iz gornjih jednadzba se odmah dobiva trazena jednadzbaArhimedove spirale

ρ(ϕ) =v0ω0

ϕ.

12Vidjeti npr. u [12].


2.5.1 Jos neki cilindricni koordinatni sustavi

Pored gore opisanog cilindricnog sustava koji se naziva jos i kruzni cilindricni sustav, postojijos nekoliko cilindricnih sustava, definiranih na slijedeci nacin [3]:

(a) Elipticni cilindricni sustav s koordinatama (u, v, z)

x = a cosh u cos v, u > 0,

y = a sinh u sin v, v ∈ (0, 2π),

z = z, −∞ < z < +∞.

Slika 2.26: Krivulje u ravnini (x, y) na ko-jima u i v imaju konstantne vrijednosti (a =1).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

u = 1u = 2v = pi/5v = 2 pi / 5

Krivulje s konstantnim u cine elipse s poluosimaa cosh u i a sinh u (slika 2.26)

x2

a2 cosh2 u+

y2

a2 sinh2 u= cos2 v + sin2 v = 1,

a krivulje s konstantnim v cine hiperbole (slika 2.26)

x2

a2 cos2 v− y2

a2 sin2 v= cosh2 u− sinh2 u = 1.

Plohe na kojima z ima konstantnu vrijednost su ravnineparalelne s ravninom (x, y). Primjetimo da su plohe (ikrivulje) na kojima u i v imaju konstantne vrijednosti,medusobno okomite. Takoder su i okomite na ravninez = const.Racunom jakobijana (odjeljak 10.1)

J =

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∂x

∂z

∂y

∂z

∂z

∂z

=

∂x

∂u

∂y

∂u0

∂x

∂v

∂y

∂v0

0 0 1

,

dolazi se do izraza za diferencijal volumena

d r3 =∣∣∣ J

∣∣∣ du dv dz = a2(sinh2 u+ sin2 v

)du dv dz.

Zadatak: 2.19 Izracunajte jedinicne vektore ~eu i ~ev elipticnog cilindricnog sustava.

R: dovrsiti


(b) Parabolicni cilindricni sustav

x = u v, u > 0,

y =v2 − u2

2, v > 0,

z = z, −∞ < z < +∞.

Slika 2.27: Krivulje u ravnini (x, y) na ko-jima u i v imaju konstantne vrijednosti.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

u = 1.0u = 0.5u = 0.2v = 1.0v = 0.5v = 0.2

Plohe konstantnog u cine konfokalne parabolicne cilin-dre (slika 2.27)

2y =x2

u2− u2, ∀ z,

otvorene prema pozitivnom smjeru osi y, dok plohes konstantnim v takoder cine konfokalne parabolicnecilindre (slika 2.27)

2y = −x2

v2+ v2, ∀ z,

ali otvorene u smjeru osi −y. Plohe na kojima z imakonstantnu vrijednost su ravnine paralelne s ravninom(x, y). Primjetimo da su plohe (i krivulje) na kojima ui v imaju konstantne vrijednosti, medusobno okomite.Takoder su i okomite na ravnine z = const.Racunom jakobijana (odjeljak 10.1)

J =

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∂x

∂z

∂y

∂z

∂z

∂z

=

∂x

∂u

∂y

∂u0

∂x

∂v

∂y

∂v0

0 0 1

,


d r3 =∣∣∣ J

∣∣∣ du dv dz =(u2 + v2

)du dv dz.

Zadatak: 2.20 Izracunajte jedinicne vektore ~eu i ~ev parabolicnog cilindricnog sustava.

R: U skladu s (2.38) moze se napisati

~eu =

(∂ ~r

∂ u

)

v,z

/ ∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ u

)

v,z

∣∣∣∣∣ ~ev =

(∂ ~r

∂ v

)

u,z

/ ∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ v

)

u,z

∣∣∣∣∣ ,


pri cemu je

~r = x~ex + y ~ey + z ~ez = u v ~ex +v2 − u2

2~ey + z ~ez .

Izravnim kombiniranjem gornja dva izraza, lako se dolazi do

~eu =v√

u2 + v2~ex − u√

u2 + v2~ey ,

~ev =u√

u2 + v2~ex +

v√u2 + v2

~ey .

Skalarni i vektorski umnosci gornjih vektora su jednaki

~eu · ~ev = 0, ~eu × ~ev = ~ez ,

iz cega slijedi zakljucak da vektori

~eu, ~ev, ~ez

cine desnu ortonormiranu bazu.

(c) Bipolarni cilindricni sustav

x = asinh u

cosh u− cos v, −∞ < u < +∞,

y = asin v

cosh u− cos v, v ∈ (0, 2π),

z = z −∞ < z < +∞.

Slika 2.28: Krivulje u ravnini (x, y) na ko-jima u i v imaju konstantne vrijednosti (a =1).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

v = pi / 6v = pi / 4v = pi / 3u = 1u = 0.5u = 1.5

Za konstantni v u (x, y) ravnini se dobivaju kruznice(slika 2.28)

x2 +(y − a

tan v

)2=

a2

sin2 v.

Isto se tako dobivaju kruznice u (x, y) i za konstantniu (slika 2.28)

(x− a

tanhu

)2+ y2 =

a2

sinh2 u.

Plohe na kojima z ima konstantnu vrijednost su ravnineparalelne s ravninom (x, y).

Primjetimo da su plohe (i krivulje) na kojima u iv imaju konstantne vrijednosti, medusobno okomite.Takoder su i okomite na ravnine z = const.


Racunom jakobijana (odjeljak 10.1)

J =

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∂x

∂z

∂y

∂z

∂z

∂z

=

∂x

∂u

∂y

∂u0

∂x

∂v

∂y

∂v0

0 0 1

,


d r3 =∣∣∣ J

∣∣∣ du dv dz =a2

(cosh u− cos v)2du dv dz.

Zadatak: 2.21 Izracunajte jedinicne vektore ~eu i ~ev bipolarnog cilindricnog sustava.

R: dovrsiti

2.6 Sferni koordinatni sustav

Pored pravokutnog i cilindricnog koordinatnog sustava, cesto se koristi i sferni koordinatnisustav. Ako je sustav koji se razmatra invarijantan na zakrete oko nepomicne tocke, tada jenajcesce korisno raditi u sfernom koordinatnom sustavu. Polozaj tocke u prostoru se, unutarsfernog koordinatnog sustava, opisuje koordinatama: r, θ i ϕ (slika 2.29). Koordinata r imavrijednost radijalne udaljenosti promatrane tocke od ishodista. Koordinata θ je kut koji radijvektor zatvara s pozitivnim smjerom osi z, a ϕ je kut koji projekcija radij vektora na ravninu(x, y), zatvara s pozitivnim smjerom osi x (slika 2.29). Svakoj tocki prostora je jednoznacnopridruzena trojka brojeva (r, θ, ϕ), pri cemu r, θ i ϕ mogu poprimati slijedece vrijednosti

r ∈ (0,∞), θ ∈ (0, π) , ϕ ∈ (0, 2π).

Veze pravokutnih i sfernih koordinata se dobivaju elementarnom trigonometrijom

x = r sin θ cosϕ, r =√x2 + y2 + z2,

y = r sin θ sinϕ, θ = arctan

√x2 + y2

z, (2.47)

z = r cos θ, ϕ = arctany

x.

Svakoj od koordinata r, θ i ϕ, se pridruzuju jedinicni vektori smjera ~er , ~eθ i ~eϕ , koji su usmjereniu pravcu porasta odgovarajuce koordinate (slika 2.29) uz konstantne vrijednosti preostale dvije

2.6. SFERNI KOORDINATNI SUSTAV 61

Slika 2.29: Uz definiciju koordinata sfernog koordinatnog sustava.

koordinate. Npr. ako radij vektoru ~r povecavamo koordinatu r za infinitezimalni iznos dr, pricemu kutove θ i ϕ drzimo konstantnim, rezultantni vektor

~r(r + dr, θ, ϕ) − ~r(r, θ, ϕ)

ima smjer ~er . Ako gornji vektor pomnozimo skalarom 1/dr i izvedemo granicni prijelaz dr → 0,smjer vektora ce i dalje biti smjer ~er . No, prema definiciji derivacije, dobiveni izraz je upravoderivacija ~r po r

~er ∼ limdr→0

~r(r + dr, θ, ϕ) − ~r(r, θ, ϕ)

dr=

(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

.

Je li gornji vektor nas trazeni vektor ~er ? Ne nuzno. Naime, gornji vektor ne mora biti jedinicnogiznosa. No, poznato je (relacija (2.1)) kako se od proizvoljnog vektora napravi jedinicni vektoristog smjera: treba ga jednostavno podijeliti njegovom normom

~er =

(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

/ ∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

∣∣∣∣∣ .

Na slican nacin se odreduju i preostala dva jedinicna vektora ~eθ i ~eϕ

~eθ =

(∂ ~r

∂ θ

)

r,ϕ

/ ∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ θ

)

r,ϕ

∣∣∣∣∣ , ~eϕ =

(∂ ~r

∂ ϕ

)

r,θ

/ ∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ ϕ

)

r,θ

∣∣∣∣∣ .

Izracunajmo ove jedinicne vektore, koristeci vezu s pravokutnim koordinatnim sustavom (2.47)

~r = x~ex + y~ey + z~ez .

= r sin θ cosϕ ~ex + r sin θ sinϕ ~ey + r cos θ ~ez .


Krenimo s jedinicnim vektorom ~er(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

=∂

∂ r

(r sin θ cosϕ ~ex + r sin θ sinϕ ~ey + r cos θ ~ez

)

θ,ϕ

= ~ex sin θ cosϕ+ ~ey sin θ sinϕ+ ~ez cos θ.

Sada jos treba izracunati iznos gornjeg vektora∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

∣∣∣∣∣ =

√sin2 θ cos2 ϕ+ sin2 θ sin2 ϕ + cos2 θ = 1,

pa je

~er = ~er (θ, ϕ) = ~ex sin θ cosϕ + ~ey sin θ sinϕ+ ~ez cos θ. (2.48)

Primjetimo da, iako ~er ima konstantan iznos jednak jedinici, jos uvijek nema i konstantansmjer, jer mu se smjer mjenja s promjenom θ i ϕ, tj. u tockama s razlicitom vrijednoscu θ i ϕi vektor ~er ima razlicite smjerove.

Slicnim putem se dolazi i do preostala dva jedinicna vektora.(∂ ~r

∂ θ

)

r,ϕ

=∂

∂ θ


)

r,ϕ

= r (~ex cos θ cosϕ+ ~ey cos θ sinϕ− ~ez sin θ) .

Izracunajmo i iznos gornjeg vektora∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ θ

)

r,ϕ

∣∣∣∣∣ =√r2(cos2 θ cos2 ϕ+ cos2 θ sin2 ϕ+ sin2 θ) = r,

pa je

~eθ = ~eθ (θ, ϕ) = ~ex cos θ cosϕ+ ~ey cos θ sinϕ− ~ez sin θ. (2.49)

Ponovo primjetimo da, iako ~eθ ima konstantan iznos jednak jedinici, jos uvijek nema i kon-stantan smjer, jer mu se smjer mjenja s promjenom θ i ϕ, tj. u tockama s razlicitom vrijednoscuθ i ϕ i vektor ~eθ ima razlicite smjerove.

(∂ ~r

∂ ϕ

)

r,θ

=∂

∂ ϕ


)r,θ

= [~ex r sin θ(−) sinϕ+ ~ey r sin θ cosϕ+ ~ez · 0] .

Izracunajmo i iznos gornjeg vektora∣∣∣∣∣

(∂ ~r

∂ ϕ

)

r,θ

∣∣∣∣∣ =√r2(sin2 θ sin2 ϕ+ sin2 θ cos2 ϕ) = r · sin θ,


pa je

~eϕ = ~eϕ (ϕ) = −~ex sinϕ+ ~ey cosϕ. (2.50)

Kao i prethodna dva vektora, ~er i ~eθ , tako i ~eϕ ima konstantan iznos jednak jedinici, alinema i konstantan smjer, jer mu se smjer mjenja s promjenom ϕ, tj. u tockama s razlicitomvrijednoscu ϕ i vektor ~eϕ ima razlicite smjerove.

Ovi se jedinicni vektori mogu prikazati i u obliku D × 1 matrice (gdje je D = 3 dimenzijaprostora)

~er =

1

0

0

, ~eθ =

0

1

0

, ~eϕ =

0

0

1

,

Nadalje, pravokutnu i sfernu bazu mozemo povezati matricom M SP

~er

~eθ

~eϕ

= M SP

~ex

~ey

~ez

, M SP =

sin θ cosϕ sin θ sinϕ cos θ

cos θ cosϕ cos θ sinϕ − sin θ

− sinϕ cosϕ 0

. (2.51)

Lako je vidjeti da je inverzna matrica (koja izvodi prijelaz iz PKS u SKS, M PS) jednakatransponiranoj , relacija (2.93),

M PS = M −1SP = M T

SP

M TSP ·M SP = M SP ·M T

SP = 1,

iz cega odmah slijedi

~ex

~ey

~ez

= M PS

~er

~eθ

~eϕ

, M PS = M T

SP =

sin θ cosϕ cos θ cosϕ − sinϕ

sin θ sinϕ cos θ sinϕ cosϕ

cos θ − sin θ 0

.

Raspisana po komponentama, gornja jednadzba glasi

~ex = sin θ cosϕ ~er + cos θ cosϕ ~eθ − sinϕ ~eϕ ,

~ey = sin θ sinϕ ~er + cos θ sinϕ ~eθ + cosϕ ~eϕ ,

~ez = cos θ ~er − sin θ ~eθ .


Kombiniranjem izraza (2.41) i (2.51), lako se dolazi do veze izmedu jedinicnih vektora cilin-dricnog i sfernog koordinatnog sustava

~er

~eθ

~eϕ

= M SP ·M PC

~eρ

~eϕ

~ez

~eρ

~eϕ

~ez

= M CP ·M PS

~er

~eθ

~eϕ

,

gdje su matrice M SC i M CS, definirane izrazima,

M SC ≡ M SP ·M PC = ...

M CS ≡ M CP ·M PS = ...

medusobno inverzne matrice

M SC · M CS = M CS · M SC = 1,

koje povezuju vektorske komponente vektora u CKS i SKS.

U skladu s gornjom analizom, zakljucujemo da se proizvoljni vektor ~V moze prikazati kaojednostupcana matrica

~V =

Vr

Vθ

Vϕ

.

Posebno, radij vektor je oblika

~r = r ~er =

r

0

0

.

Iznos vektora je dan preko Pitagorina poucka

|~V | =√V 2r + V 2

θ + V 2ϕ .

Mnozenje vektora ~V sklarom s raspisano po komponentama

s ~V = s Vr ~er + s Vθ ~eθ + s ~Vϕ ~eϕ .


U skladu s definicijom skalarnog umnoska, a pomocu relacija (2.48) - (2.50), za bazne vektorevrijedi

~er · ~er = 1, ~er · ~eθ = 0, ~er · ~eϕ = 0,

~eθ · ~er = 0, ~eθ · ~eθ = 1, ~eθ · ~eϕ = 0, (2.52)

~eϕ · ~er = 0, ~eϕ · ~eθ = 0, ~eϕ · ~eϕ = 1,

Prema gornjoj tablici, skalarni umnozak dva vektora je

~V · ~U = (Vr ~er + Vθ ~eθ + Vϕ ~eϕ ) · (Ur ~er + Uθ ~eθ + Uϕ ~eϕ ) = Vr Ur + Vθ Uθ + Vϕ Uϕ;

Pomocu skalarnog umnoska se i kut medu vektorima moze napisati kao: ~eV ·~eU = 1·1 cos(~V , ~U),sto mozemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutovakoje zatvara s koordinatnim osima.

~eV · ~er = cos(~V ,~er ) =~V

V· ~er =

Vr ~er + Vθ ~eθ + Vϕ ~eϕV

· ~er =VrV

⇒ Vr = V cos(~V ,~er ),

~V = V[cos(~V ,~er )~er + cos(~V ,~eθ )~eθ + cos(~V ,~eϕ )~eϕ

].

Iz relacija (2.48) - (2.50) lako se moze doci do izraza za vektorske umnoske baznih vektora

~er × ~er = 0, ~er × ~eθ = ~eϕ , ~er × ~eϕ = −~eθ

~eθ × ~er = −~eϕ , ~eθ × ~eθ = 0, ~eθ × ~eϕ = ~er (2.53)

~eϕ × ~er = ~eθ , ~eϕ × ~eθ = −~er , ~eϕ × ~eϕ = 0

Pomocu gornjih umnozaka, lako se dobiva i izraz za komponente vektorskog umnoska dva opcavektora

~V × ~U = (Vr ~er + Vθ ~eθ + Vϕ ~eϕ ) × (Ur ~er + Uθ ~eθ + Uϕ ~eϕ )

= Vr Ur ~er × ~er + Vr Uθ ~er × ~eθ + Vr Uϕ ~er × ~eϕ

+ Vθ Ur ~eθ × ~er + Vθ Uθ ~eθ × ~eθ + Vθ Uϕ ~eθ × ~eϕ

+ Vϕ Ur ~eϕ × ~er + Vϕ Uθ ~eϕ × ~eθ + Vϕ Uϕ ~eϕ × ~eϕ

= ~er (Vθ Uϕ − Vϕ Uθ) + ~eθ (Vϕ Ur − Vr Uϕ) + ~eϕ (Vr Uθ − Vθ Ur).

Primjetimo ciklicnost u definiciji komponenata vektorskog umnoska: r → θ → ϕ → r →θ → · · · . Vektorski umnozak se moze pregledno napisati i preko determinante (u pomalonekorektnom obliku, jer nisu svi elementi determinate skalari)

~V × ~U =

~er ~eθ ~eϕ

Vr Vθ Vϕ

Ur Uθ Uϕ

.


S obzirom da bazni vektori zadovoljavaju relacije (2.52) i (2.53), oni cine ortonormiranu desnubazu trodimenzijskog prostora.Usporedbom rastava ~V u pravokutnoj i sfernoj bazi,

~V = Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez = Vr ~er + Vθ ~eθ + Vϕ ~eϕ ,

i koristenjem relacija (2.48) - (2.50), dolazimo do slijedece veze medu komponentama

Vx

Vy

Vz

= M PS

Vr

Vθ

Vϕ

,

Vr

Vθ

Vϕ

= M SP

Vx

Vy

Vz

.

Za razliku od vektora ~ex , ~ey , ~ez koji su istog smjera u svakoj tocki prostora (slika 2.30.A),iz relacija (2.48) - (2.50) se jasno vidi da, kako se mijenja polozaj tocke u prostoru, tako semijenjaju i smjerovi baznih vektora (slika 2.30.B). Izracunajmo promjenu smjera vektora ~er

Slika 2.30: Smjerovi baznih vektora pravokutnog (A) i sfernog (B) koordinatnog sustava.

(iznos mu je jedinicni, pa se on ne moze mijenjati, mijenja se samo smjer). Prema relaciji (2.48)je

d~er = ~ex d(

sin θ cosϕ)

+ ~ey d(

sin θ sinϕ)

+ ~ez d(

cos θ)

(2.54)

=(~ex cos θ cosϕ+ ~ey cos θ sinϕ− ~ez sin θ

)dθ +

(− ~ex sin θ sinϕ+ ~ey sin θ cosϕ

)dϕ

= ~eθ dθ + ~eϕ sin θdϕ.

Primjetimo da je promjena d~er okomita na sam vektor ~er , tj. da je

d~er · ~er = 0


kao sto i mora biti, jer bi promjena ~er u smjeru ~er promjenila normu od ~er i on vise ne bi biojedinicni vektor. Na slican nacin se i iz relacije (2.49) dobije

d~eθ = ~ex d(

cos θ cosϕ)

+ ~ey d(

cos θ sinϕ)− ~ez d

(sin θ

)(2.55)

=(− ~ex sin θ cosϕ− ~ey sin θ sinϕ− ~ez cos θ

)dθ +

(− ~ex cos θ sinϕ+ ~ey cos θ cosϕ

)dϕ

= −~er dθ + ~eϕ cos θdϕ.

I ovdje je d~eθ okomito na ~eθ

d~eθ · ~eθ = 0.

I na kraju, vektor d~eϕ

d~eϕ =(− ~ex cosϕ− ~ey sinϕ

)dϕ =

(− sin θ~er − cos θ~eθ

)dϕ. (2.56)

Opet je

d~eϕ · ~eϕ = 0.

Pomocu gornjih diferencijala mozemo izracunati diferencijalni volumen u okolici tocke ~r. Nekase koordinata r promjeni od vrijednosti r na r + dr, koordinata θ od θ na θ + dθ i koordinataϕ od ϕ na ϕ + dϕ. Zbog infinitezimalnog karaktera ovih promjena, dobiveni infinitezimalni

volumen se moze aproksimirati paralelopipedom ciji su vektori stranica ~a ,~b ,~c , upravo jednaki(slika 2.31)

~a = ~r(r + dr, θ, ϕ) − ~r(r, θ, ϕ) =∂ ~r

∂rdr = ~er dr,

~b = ~r(r, θ + dθ, ϕ) − ~r(r, θ, ϕ) =∂ ~r

∂θdθ = r~eθ dθ,

~c = ~r(r, θ, ϕ+ dϕ) − ~r(r, θ, ϕ) =∂ ~r

∂ϕdϕ = r sin θ~eϕ dϕ.

Prema (2.8) volumen racunamo pomocu mjesovitog umnoska vektora

dV = ~a · (~b × ~c ) = ~er dr ·(r~eθ dθ × r sin θ~eϕ dϕ

)= r2 sin θdrdθdϕ.

Na slican nacin se moze izracunati i diferencijal sferne plohe r = const. Prema relaciji (2.6)

povrsina paralelograma je dana iznosom vektorskog umnoska vektora stranica |~b × ~c |. U nasemprimjeru je (slika 2.31)

dS =∣∣∣~b × ~c

∣∣∣ =∣∣∣r~eθ dθ × r sin θ~eϕ dϕ

∣∣∣ = r2 sin θdθdϕ.

Za diferencijal prostornog kuta se obicno korisiti oznaka dΩ ≡ sin θdθdϕ, tako da je puniprostorni kut jednak

∫dΩ =

∫ π

0

sin θ dθ

∫ 2π

0

dϕ = 4π


Slika 2.31: Uz diferencijal volumena u sfernom koordinatnom sustavu.

steradijana.

Izracunajmo jos i udaljenost ds dvije bliske tocke: (r, θ, ϕ) i (r + dr, θ + dθ, ϕ + dϕ). Kao ikod cilindricnog koordinatnog sustava i ovdje krecemo od pravokutnog koordinatnog sustavai Pitagorinog poucka: koordinate tocaka bi bile (x, y, z) i (x + dx, y + dy, z + dz), a kvadratudaljenosti

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2.

Koristeci veze (2.47) izmedu pravokutnog i sfernog sustava, lako se dobiva

(ds)2 = (dr)2 + r2 (dθ)2 + r2 sin θ2 (dϕ)2. (2.57)

Gornji je izraz posebni slucaj opceg izraza (2.68), iz kojega se mogu ocitati komponentemetrickog tenzora g i i sfernog koordinatnog sustava.

Diferencijalni operatori


u SKS su oblika13

−→∇ s =

~er

∂

∂ r+~eθr

∂

∂ θ+

~eϕr sin θ

∂

∂ ϕ

s,

−→∇ ~V =1

r2∂

∂ r

(r2 Vr

)+

1

r sin θ

∂

∂ θ

(sin θ Vθ

)+

1

r sin θ

∂ Vϕ∂ ϕ

,

−→∇ × ~V =~er

r sin θ

[∂ Vϕ sin θ

∂ θ− ∂ Vθ∂ ϕ

]+

~eθr sin θ

[∂ Vr∂ ϕ

− sin θ∂ r Vϕ∂ r

]+~eϕr

[∂ r Vθ∂ r

− ∂ Vr∂ θ

],

∇ 2s =

1

r2∂

∂ r

(r2∂

∂ r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂ θ

(sin θ

∂

∂ θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂ ϕ2

s.

2.6.1 D-dimenzijski sferni koordinatni sustav

Sferni koordinatni sustav se moze i poopciti s tri dimenzije na proizvoljan broj dimenzija D.Neka su, umjesto s x, y, z, pravokutne koordinate oznacene s

x1, x2, · · · , xD.

Tada npr. jednadzba sfere polumjera R sa sredistem u tocki

(x1,0, x2,0, · · · , xD,0)

glasi

(x1 − x1,0)2 + (x2 − x2,0)

2 + · · · + (xD−1 − xD−1,0)2 + (xD − xD,0)

2 = R2.

Sferne koordinate u D-dimenzijskom prostoru

r, θ1, θ2, · · · , θD−1

se definiraju kao poopcenje D = 3-dimenzijskih sfernih koordinata (2.47). Veze medu pravokut-nim i sfernim koordinatama su dane relacijama

x1 = r cos θ1,

x2 = r sin θ1 cos θ2,

x3 = r sin θ1 sin θ2 cos θ3,...

xD−1 = r sin θ1 sin θ2 · · · sin θD−2 cos θD−1,

xD = r sin θ1 sin θ2 · · · sin θD−2 sin θD−1.

13Vidjeti npr. u [12].


Inverzne veze i podrucje vrijednosti sfernih varijabla su

r =√x12 + x22 + · · · + xD−1

2 + xD2, 0 ≤ r <∞,

θ1 = arctan

√x22 + x32 + · · · + x2D

x1, 0 ≤ θ1 ≤ π,

θ2 = arctan

√x32 + · · · + x2D

x2, 0 ≤ θ2 ≤ π,

...

θD−2 = arctan

√xD−1

2 + x2DxD−2

, 0 ≤ θD−2 ≤ π,

θD−1 = arctanxDxD−1

0 ≤ θD−1 ≤ 2 π.

Diferencijal D-dimenzijskog volumena d VD ≡ d rD se racuna pomocu jakobijana (odjeljak 10.1)

J =

∂x1∂r

∂x2∂r

∂x3∂r

· · ·

∂x1∂θ1

∂x2∂θ1

∂x3∂θ1

· · ·

∂x1∂θ2

∂x2∂θ2

∂x3∂θ2

· · ·

· · ·

d rD =∣∣∣ J

∣∣∣ dr dθ1 dθ2 · · · dθD−1

= rD−1(

sin θ1

)D−2 (sin θ2

)D−3

· · · sin θD−2 dr dθ1 dθ2 · · · dθD−1.

Diferencijal D-dimenzijskog prostornog kuta je

dΩD =(

sin θ1

)D−2 (sin θ2

)D−3

· · · sin θD−2 dθ1 dθ2 · · · dθD−1.

Puni prostorni kut u D-dimenzijskom prostoru je

ΩD =

∫dΩD

=

∫ π

0

d θ1

(sin θ1

)D−2∫ π

0

d θ2

(sin θ2

)D−3

· · ·∫ π

0

d θD−2 sin θD−2

∫ 2π

0

d θD−1

=2 πD/2

Γ(D/2).

2.7. KOVARIJANTNE I KONTRAVARIJANTNE KOMPONENTE VEKTORA 71

Volumen sfere polumjera R u D-dimenzijskom prostoru je

VD =

∫d rD

=

∫ R

0

rD−1 d r

∫ π

0

d θ1

(sin θ1

)D−2∫ π

0

d θ2

(sin θ2

)D−3

· · ·∫ π

0

d θD−2 sin θD−2

∫ 2π

0

d θD−1

=RD

D

2 πD/2

Γ(D/2),

sto se, za D = 3, svodi na poznati izraz 4πR3/3.

Primjetimo da se u konacnim izrazima za volumen i prostorni kut, prostorna dimenzija Dpojavljuje kao parametar, pa ne mora biti nuzno cjelobrojna.

2.7 Kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora

Naka su u trodimenzijskom prostoru zadana tri nekomplanarna vektora

~e1, ~e2, ~e3.

Ovi vektori ne moraju biti medusobno okomiti i ne moraju biti jedinicne duljine

~ei · ~ej 6= δ i,j .

Pomocu ovih vektora se moze proizvoljni vektor ~V napisati u obliku njihove linearne kombinacije

~V = V 1 ~e1 + V 2 ~e2 + V 3 ~e3

(primjetimo da sada V 2 ne znaci V · V , nego je to samo oznaka za drugu komponetu vektora islicno za V 3). Pomocu vektora ~ej definira se novi skup vektora

~e 1, ~e 2, ~e 3,

tako da vektor ~e i bude okomit na ravninu u kojoj leze vektori ~ej i ~ek (gdje i, j, k oznacavajuciklicni redoslijed . . . , 2, 3, 1, 2, 3, . . .)

~e i = ci ~ej × ~ek.

Tako je npr.

~e 1 = c1 ~e2 × ~e3,

~e 2 = c2 ~e3 × ~e1,

~e 3 = c3 ~e1 × ~e2,

gdje su cj konstante. U tom slucaju za skalarne umnoske vrijedi

~e i · ~ei = ci (~ej × ~ek) · ~ei = ci · V

~e i · ~ej = ci (~ej × ~ek) · ~ej = 0 i 6= j,


gdje je volumen

V = ~ei · (~ej × ~ek),

a nula u drugoj jednadzbi dolazi od okomitosti

(~ej × ~ek) ⊥ ~ej.

Odaberu li se konstante u gornjim izrazima tako da budu sve jednake

ci =1

V ,

moze se jednostavno napisati

~e i =1

V ~ej × ~ek =~ej × ~ek

~ei · (~ej × ~ek),

~e i · ~ej = δ i,j.

Izracunajmo volumen V paralelopipeda cije su stranice vektori ~e i, npr.

V = ~e 1 · (~e 2 × ~e 3) =1

V (~e2 × ~e3) ·[

1

V (~e3 × ~e1) × 1

V (~e1 × ~e2)

].

Primjenom relacije (2.9), dobiva se

V =1

V 3(~e2 × ~e3) ·

[(~e3 × ~e1) · ~e2

]· ~e1 −

[(~e3 × ~e1) · ~e1

]· ~e2

=1

V 3(~e2 × ~e3) · V ~e1 − 0 =

1

V 2(~e2 × ~e3) · ~e1

=1

V . (2.58)

Volumen V ima inverznu vrijednost volumena V .

Vektori ~e i su takoder nekomplanarni, pa se proizvoljni vektor ~V moze napisati i u obliku

~V = V1 ~e1 + V2 ~e

2 + V3 ~e3.

Izrazimo i vektore ~ei preko vektora ~e i, tako sto cemo (ponovo koristeci (2.9)) izracunati npr.

~e 2 × ~e 3 =1

V (~e3 × ~e1) × 1

V (~e1 × ~e2)

=1

V 2

[(~e3 × ~e1) · ~e2

]

︸︷︷︸= V

·~e1 −[(~e3 × ~e1) · ~e1

]

︸︷︷︸= 0

·~e2

=1

V ~e1

⇒ ~e1 = V ~e 2 × ~e 3


ili, opcenito

~ei = V ~e j × ~e k,

~e1 = V ~e 2 × ~e 3,

~e2 = V ~e 3 × ~e 1,

~e3 = V ~e 1 × ~e 2.

Lako je vidjeti da je

~ei · ~e i = V(~e j × ~e k

)· ~e i = V V = 1,

~ei · ~e j = V(~e j × ~e k

)· ~e j = 0, i 6= j

ili, krace

~ei · ~e j = δ i,j.

Sada se i skalarni umnozak vektora ~V i ~U moze napisati kao

~V · ~U =

(3∑

i=1

Vi ~ei

)·(

3∑

j=1

U j ~ej

)=

3∑

i=1

3∑

j=1

Vi Uj ~e i · ~ej =

3∑

i=1

3∑

j=1

Vi Uj δ i,j =

3∑

j=1

Vj Uj ,

=

(3∑

i=1

V i ~ei

)·(

3∑

j=1

Uj ~ej

)=

3∑

i=1

3∑

j=1

V i Uj ~ei · ~e j =

3∑

i=1

3∑

j=1

V i Uj δ i,j =

3∑

j=1

V j Uj .

Skupove vektora (~e1, ~e2, ~e3) i (~e 1, ~e 2, ~e 3) nazivamo medusobno reciprocnim. U odnosu naskup vektora (~e1, ~e2, ~e3), komponente V i se nazivaju kontravarijantne, a Vi kovarijantne

komponente vektora ~V .

U tri dimenzije vektori ~ei i ~e i se koriste u kristalografiji za opis kristalne resetke i njoj re-ciprocne (inverzne) resetke, a poopcenje na cetverodimenzijski prostor se primjenjuje u teorijirelativnosti.

U posebnom slucaju kada su ~ei medusobno okomiti i jedinicnog iznosa, tada je i

~ei · ~ej = δ i,j ,

~ei = ~e i,

Vi = V i.

Oznacimo skalarne umnoske vektora ~ei i ~e i na slijedeci nacin:

~ei · ~ej = g i j , ~e i · ~e j = g i j . (2.59)


Uskoro cemo, relacijama (2.64) i (2.65), pokazati da velicine g i j i g i j odreduju udaljenosttocaka u prostoru i to je razlog zasto se nazivaju elementima metrickog tenzora Zbogkomutativnosti skalarnog umnoska je g i j = g j i i g i j = g j i, tj. metricki je tenzor simetrican.Tada je

~e i · ~V = ~e i · (V 1 ~e1 + V 2 ~e2 + V 3 ~e3) = V i

V i = ~e i · ~V = ~e i

3∑

j=1

Vj ~ej

V i =

3∑

j=1

Vj gj i. (2.60)

I slicno

~ei · ~V = ~ei · (V1 ~e1 + V2 ~e

2 + V3 ~e3) = Vi

Vi = ~ei · ~V = ~ei

3∑

j=1

V j ~ej

Vi =

3∑

j=1

V j g j i. (2.61)

Iz relacija (2.60) i (2.61) se vidi da g i j i g i j nisu medusobno nezavisni

Vj =3∑

i=1

V i g i j =3∑

i=1

(3∑

k=1

Vk gk i

)g i j = Vj

3∑

i=1

g j i g i j +3∑

k=1k 6=j

Vk

(3∑

i=1

g k i g i j

).

Iz gornje jednakosti zakljucujemo da je

3∑

i=1

g j i g i j = 1,

3∑

i=1

g k i g i j = 0, k 6= j,

tj. da je3∑

i=1

g k i g i j = δ k,j. (2.62)

Na slican nacin dolazimo i do simetricne relacije

V j =

3∑

i=1

Vi gi j =

3∑

i=1

(3∑

k=1

V k g k i

)g i j = V j

3∑

i=1

g j i gi j +

3∑

k=1k 6=j

V k

(3∑

i=1

g k i gi j

).

3∑

i=1

g k i gi j = δ k,j. (2.63)


Jednadzbe (2.62) i (2.63) mozemo preglednije napisati u matricnom obliku

g1 1 g1 2 g 1 3

g 2 1 g 2 2 g 2 3

g 3 1 g 3 2 g 3 3

·

g 1 1 g 1 2 g 1 3

g 2 1 g 2 2 g 2 3

g 3 1 g 3 2 g 3 3

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

g 1 1 g 1 2 g 1 3

g 2 1 g 2 2 g 2 3

g 3 1 g 3 2 g 3 3

·

g1 1 g1 2 g 1 3

g 2 1 g 2 2 g 2 3

g 3 1 g 3 2 g 3 3

,

tj. matrice [ g i j ] i [ g i j ] su jedna drugoj inverzne

[ g i j ] = [ g i j ]−1,

Det [ g i j ] · Det [ g i j ] = 1.

Racunom inverzne matrice, iz gornjih se relacija ocitavaju veze medu kovarijantnim i kontravar-ijantnim komponentama metrickog tenzora. Tako je npr.

g1 1 =g 2 2 g 3 3 − g 3 2 g 2 3

g,

g1 2 = − g 2 1 g 3 3 − g 2 3 g 3 1

g,

g 1 3 = · · · itd. · · · ,

gdje je s g oznacena determinanta metrickog tenzora

g =

g 1 1 g 1 2 g 1 3

g 2 1 g 2 2 g 2 3

g 3 1 g 3 2 g 3 3

Pokazimo i da je

g = V 2...dovrsiti

Neka vekor ~V oznacava vektor koji spaja ishodiste koordinatnog sustava s tockom V . Kvadratudaljenosti tocke od ishodista, ~V · ~V , se naziva metricka forma. Ona se moze izraziti prekokontravarijantnih

~V · ~V = (V 1 ~e1 + V 2 ~e2 + V 3 ~e3) · (V 1 ~e1 + V 2 ~e2 + V 3 ~e3)

(2.64)

= (V 1)2 g 1 1 + (V 2)2 g 2 2 + (V 3)2 g 3 3 + 2 V 1 V 2 g 1 2 + 2 V 1 V 3 g 1 3 + 2 V 2 V 3 g 2 3

i preko kovarijantnih komponenata

~V · ~V = (V1 ~e1 + V2 ~e

2 + V3 ~e3) · (V1 ~e

1 + V2 ~e2 + V3 ~e

3)

(2.65)

= (V1)2 g1 1 + (V2)

2 g 2 2 + (V3)2 g 3 3 + 2 V1 V2 g

1 2 + 2 V1 V3 g1 3 + 2 V2 V3 g

2 3

vektora ~V (pri cemu smo uzeli u obzir da je metricki tenzor simetrican) .


I skalarni umnozak dva vektora se moze izraziti preko komponenata metrickog tenzora:

~V · ~U =

3∑

i=1

Vi ~ei

3∑

j=1

Uj ~ej =

3∑

i=1

3∑

j=1

Vi Uj ~ei ~e j =

3∑

i=1

3∑

j=1

Vi Uj gi j

= g1 1 V1 U1 + g 2 2 V2 U2 + g 3 3 V3 U3

+ g1 2 (V1 U2 + V2 U1) + g 1 3 (V1 U3 + V3 U1) + g 2 3 (V2 U3 + V3 U2)

=[V1 V2 V3

]

g1 1 g1 2 g 1 3

g 2 1 g 2 2 g 2 3

g 3 1 g 3 2 g 3 3

U1

U2

U3

≡ 〈 Vi | g i j | Uj 〉 . (2.66)

~V · ~U =

3∑

i=1

V i ~ei

3∑

j=1

U j ~ej =

3∑

i=1

3∑

j=1

V i U j ~ei ~ej =

3∑

i=1

3∑

j=1

V i U j gi j

= g 1 1 V1 U1 + g 2 2 V

2 U2 + g 3 3 V3 U3

+ g 1 2 (V 1 U2 + V 2 U1) + g 1 3 (V 1 U3 + V 3 U1) + g 2 3 (V 2 U3 + V 3 U2)

=[V 1 V 2 V 3

]

g1 1 g1 2 g 1 3

g 2 1 g 2 2 g 2 3

g 3 1 g 3 2 g 3 3

U1

U2

U3

≡ 〈 V i | g i j | U j 〉 . (2.67)

Buduci da i (2.66) i (2.67) predstavljaju isti skalarni umnozak, ~V · ~U , to je

〈 Vi | g i j | Uj 〉 = 〈 V i | g i j | U j 〉 ≡ 〈 V | g | U 〉,pa se indeksi mogu izostaviti.Prema (2.4), norma vektora ~V se dobiva iz gornjih izraza (uz ~U = ~V ) kao

|~V | =√

〈 V | g | V 〉.

Iz definicije skalarnog umnoska, (2.2), lako se dobije izraz za kut α izmedu vektora ~V i ~U

cos α =〈 V | g | U 〉√

〈 V | g | V 〉√

〈 U | g | U 〉.

Neka je sada

~V = ~U ≡ d~r = dx 1 ~e1 + dx 2 ~e2 + dx 3 ~e3,

spojnica dvije bliske tocke. Tada izrazi (2.66) i (2.67) predstavljaju poopcenje Pitagorinogteorma

d~r · d~r ≡ (ds)2 = g 1 1 (dx 1)2 + g 2 2 (dx 2)2 + g 3 3 (dx 3)2

+ 2 g 1 2 dx1 dx 2 + 2 g 1 3 dx

1 dx 3 + 2 g 2 3 dx2 dx 3.


Ukoliko se koordinatni sustav orotgonalan (g i j = 0, i 6= j), ali ne i normiran (g i i 6= 1),udaljenost medu tockama je

(ds)2 = g 1 1 (dx 1)2 + g 2 2 (dx 2)2 + g 3 3 (dx 3)2

(2.68)

= (h1 dx1)2 + (h2 dx

2)2 + (h3 dx3)2,

pri cemu se velicine

hi ≡√g i i

nazivaju faktorima skale (scale factors). Izraz (2.68) se moze usporediti s (2.46) cilindricnog ilis (2.57) sfernog koordinatnog sustava.U Euklidskom je prostoru, koji je jos i ortonormiran, (g i j = δ i,j), izraz za udaljenost svodi sena poznati izraz za Pitagorin teorem

(ds)2 = (dx 1)2 + (dx 2)2 + (dx 3)2.

Pokazimo jos jednu interpretaciju metrickog tenzora.

Neka je polozaj cestice u trodimenzijskom prostoru odreden trima poopcenim (opcenito krivo-linijskim) koordinatama

q1, q2, q3.

Veze s pravokutnim koordinatama su oblika

x = x(q1, q2, q3),

y = y(q1, q2, q3),

z = z(q1, q2, q3),

~r = x~ex + y ~ey + z ~ez .

Vektor ~ei je vektor (ne nuzno jedinicni) usmjeren prema porastu koordinate qi, tj. tangencijalanje na krivulju po kojoj se mijenja qi (uz konstantne vrijednosti druge dvije koordinate qj i qk).Kao sto je pokazano u odjeljku 2.3 (slika 2.8), vektor d~r ima smjer tangenete na krivulju udanoj tocki, pa je zato vektor ~ei jednak

~ei =

(∂ ~r

∂ qi

)

qj qk

=∂ x

∂ qi~ex +

∂ y

∂ qi~ey +

∂ z

∂ qi~ez . (2.69)

Iz gornjeg izraza se za elemente metrickog tenzora, prema (2.59), dobiva

g i j = ~ei · ~ej =

(∂ x

∂ qi~ex +

∂ y

∂ qi~ey +

∂ z

∂ qi~ez

)·(∂ x

∂ qj~ex +

∂ y

∂ qj~ey +

∂ z

∂ qj~ez

)

=∂ x

∂ qi

∂ x

∂ qj+∂ y

∂ qi

∂ y

∂ qj+∂ z

∂ qi

∂ z

∂ qj. (2.70)

Gornji oblik metrickog tenzora, koristi se u odjeljku (10.1).


2.8 Ortogonalna preobrazba

U nastavku cemo se ograniciti na ortonormirane koordinatne sustave, pa necemo praviti razlikuizmedu kovarijantnih i kontravarijantnih vektora.Promatrajmo dva pravokutna koordinatna sustava (O, x, y, z) i (O, x ′, y ′, z ′) sa istim ishodistemO, ali razlicitim smjerovima koordinatnih osi, kao na slici 2.32. Za zadani proizvoljni vektor

Slika 2.32: Uz ilustraciju ortogonalne preobrazbe.

~V (npr. ~V moze biti radij vektor ~r, vektor brzine ~v, sile ~F ili bilo koji drugi vektor), glavni

zadatak u ovom odjeljku je naci vezu medu komponentama vektora ~V u sustavu (O, x ′, y ′, z ′)i sustavu (O, x, y, z).

Oznacimo s mj kosinuse kutova koje vektor ~ex ′ zatvara redom s vektorima ~ex , ~ey i ~ez . U skladus definicijom skalarnog umnoska (2.2), mozemo pisati

cos(~ex ′ , ~ex ) = ~ex · ~ex ′ ≡ m1,

cos(~ex ′ , ~ey ) = ~ey · ~ex ′ ≡ m2,

cos(~ex ′ , ~ez ) = ~ez · ~ex ′ ≡ m3.

Svaki vektor, pa tako i ~ex ′ , se moze napisati kao linearna kombinacija vektora baze (O, x, y, z),tako da je

~ex ′ = (~ex · ~ex ′ ) ~ex + (~ey · ~ex ′ ) ~ey + (~ez · ~ex ′ ) ~ez = m1 ~ex +m2 ~ey +m3 ~ez . (2.71)

Neka su nj kosinusi kutova koje vektor ~ey ′ zatvara s vektorima ~ex , ~ey i ~ez , a lj neka su kosinusikutova koje vektor ~ez ′ zatvara s vektorima ~ex , ~ey i ~ez . Ako se sustav (O, x ′, y ′, z ′) vrti u odnosuna sustav (O, x, y, z), svi su ovi kosinusi smjerova funkcije vremena. Slicnim postupkom kao

2.8. ORTOGONALNA PREOBRAZBA 79

gore, dolazi se do

~ey ′ = n1 ~ex + n2 ~ey + n3 ~ez ,

(2.72)

~ez ′ = l1 ~ex + l2 ~ey + l3 ~ez .

Ovih devet kosinusa smjerova, mj , nj i lj, u cjelosti odreduju orjentaciju koordinatnog sustava(O, x ′, y ′, z ′) prema (O, x, y, z). No, buduci da i vektori ~ex ′ , ~ey ′ i ~ez ′ takoder cine bazu, to sesvaki vektor, pa tako i ~ex , ~ey i ~ez , mogu prikazati kao njihova linearna kombinacija

~ex = (~ex · ~ex ′ )~ex ′ + (~ex · ~ey ′ )~ey ′ + (~ex · ~ez ′ )~ez ′ = m1 ~ex ′ + n1 ~ey ′ + l1 ~ez ′ ,

~ey = (~ey · ~ex ′ )~ex ′ + (~ey · ~ey ′ )~ey ′ + (~ey · ~ez ′ )~ez ′ = m2 ~ex ′ + n2 ~ey ′ + l2 ~ez ′ , (2.73)

~ez = (~ez · ~ex ′ )~ex ′ + (~ez · ~ey ′ )~ey ′ + (~ez · ~ez ′ )~ez ′ = m3 ~ex ′ + n3 ~ey ′ + l3 ~ez ′ .

Promotrimo sada opci vektor ~V i raspisimo ga po komponentama u oba sustava

~V = Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez = V ′x ~ex ′ + V ′

y ~ey ′ + V ′z ~ez ′ .

Pomnozi li se gornja relacija najprije skalarno s ~ex ′ , a zatim i sa ~ey ′ i ~ez ′ , dobiju se slijedecerelacije

V ′x = m1 Vx +m2 Vy +m3 Vz,

V ′y = n1 Vx + n2 Vy + n3 Vz, (2.74)

V ′z = l1 Vx + l2 Vy + l3 Vz,

Ovo je veza medu komponentama proizvoljnog vektora u obje baze.

Pokazimo sada ovih devet kosinusa smjerova, mj , nj i lj , nisu svi medusobno nezavisni. Nisunezavisni zato jer bazni vektori moraju zadovoljavati sest relacija ortonormiranosti

~ex · ~ex = ~ey · ~ey = ~ez · ~ez = 1, ~ex · ~ey = ~ex · ~ez = ~ey · ~ez = 0 (2.75)

i slicno za ~ex ′ , ~ey ′ i ~ez ′ (ali to vodi na iste uvjete). Ako devet velicina zadovoljava sest jed-nadzba, onda to znaci da su samo tri medu njima medusobno neovisni, a ostalih sest se mozeizracuanti iz ova tri i sest jednadzba uvjeta (2.75). Raspisimo ove uvjete

~ex · ~ex = 1 = (m1 ~ex ′ + n1 ~ey ′ + l1 ~ez ′ ) · (m1 ~ex ′ + n1 ~ey ′ + l1 ~ez ′ ) = m21 + n2

1 + l21,

~ey · ~ey = 1 = (m2 ~ex ′ + n2 ~ey ′ + l2 ~ez ′ ) · (m2 ~ex ′ + n2 ~ey ′ + l2 ~ez ′ ) = m22 + n2

2 + l22,

~ez · ~ez = 1 = (m3 ~ex ′ + n3 ~ey ′ + l3 ~ez ′ ) · (m3 ~ex ′ + n3 ~ey ′ + l3 ~ez ′ ) = m23 + n2

3 + l23.

Tri gornje relacije mogu se sazeti u

m2j + n2

j + l2j = 1, j = 1, 2, 3. (2.76)


Nadalje je

~ex · ~ey = 0 = (m1 ~ex ′ + n1 ~ey ′ + l1 ~ez ′ ) · (m2 ~ex ′ + n2 ~ey ′ + l2 ~ez ′ ) = m1m2 + n1 n2 + l1 l2,

~ex · ~ez = 0 = (m1 ~ex ′ + n1 ~ey ′ + l1 ~ez ′ ) · (m3 ~ex ′ + n3 ~ey ′ + l3 ~ez ′ ) = m1m3 + n1 n3 + l1 l3,

~ey · ~ez = 0 = (m2 ~ex ′ + n2 ~ey ′ + l2 ~ez ′ ) · (m3 ~ex ′ + n3 ~ey ′ + l3 ~ez ′ ) = m2m3 + n2 n3 + l2 l3.

Ove se tri relacije mogu sazeti u

mimj + ni nj + li lj = 0, i 6= j. (2.77)

Obje relacije (2.76) i (2.77) mogu se sazeti u

mimj + ni nj + li lj = δ i,j , i, j = 1, 2, 3. (2.78)

Radi jednostavnijeg oznacavanja u izvodima koji slijede, prijedimo na slijedece oznake

x → 1, y → 2, z → 3.

Tako npr Vx, Vy i Vz postaju V1, V2 i V3, a relacija (2.74) postaje

V ′1 = m1 V1 +m2 V2 +m3 V3,

V ′2 = n1 V1 + n2 V2 + n3 V3, (2.79)

V ′3 = l1 V1 + l2 V2 + l3 V3.

Gornje su relacije poseban slucaj opce (ne i najopcenitije, jer nema konstantnog aditivnogclana) linearne preobrazbe oblika

V ′1 = a1 1 V1 + a1 2 V2 + a1 3 V3,

V ′2 = a2 1 V1 + a2 2 V2 + a2 3 V3, (2.80)

V ′3 = a3 1 V1 + a3 2 V2 + a3 3 V3,

pri cemu su

m1 ≡ a1 1, m2 ≡ a1 2, m3 ≡ a1 3,

n1 ≡ a2 1, n2 ≡ a2 2, n3 ≡ a2 3,

l1 ≡ a3 1, l2 ≡ a3 2, l3 ≡ a3 3.

Kada kazemo opca linearna preobrazba, time mislimo reci da su koeficijenti ai j medusobnonezavisni, dok su koeficijenti iz preobrazbe (2.79) medusobno povezani relacijama (2.78). Gornjetri relacije mozemo sazeto napisati kao

V ′i =

3∑

j=1

ai j Vj, i, j = 1, 2, 3, (2.81)

2.8. ORTOGONALNA PREOBRAZBA 81

ili u matricnom obliku

~V ′ = A ~V ⇔

V ′1

V ′2

V ′3

=

a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3

V1

V2

V3

. (2.82)

Ako na gornju preobrazbu, tj. na (2.80), nametnemo zahtjev da ne mijenja duljinu vektora,tj. da je duljina vektora prije preobrazbe jednaka duljini vektora poslije preobrazbe

3∑

i=1

V ′i V

′i =

3∑

i=1

Vi Vi = inv. ,

uvrstavanjem (2.81), dolazimo do

3∑

i=1

V ′i V

′i =

3∑

i=1

Vi Vi,

3∑

i=1

3∑

j=1

ai j Vj

3∑

k=1

ai k Vk =3∑

i=1

Vi Vi,

3∑

j=1

3∑

k=1

(3∑

i=1

ai j ai k

)Vj Vk =

3∑

i=1

Vi Vi

Da bi gornja jednakost bila zadovoljena, ocito mora biti

3∑

i=1

ai j ai k = δj k. (2.83)

Gornja se relacija naziva uvjet ortogonalnosti i ekvivalentna je s jednadzbom (2.78), tj.mimj + ni nj + li lj = δ i,j. Tako je npr.

j = 1, k = 1 :3∑

i=1

ai 1 ai 1 = 1,

a1 1 a1 1 + a2 1 a2 1 + a3 1 a3 1 = 1,

m21 + n2

1 + l21 = 1.

j = 1, k = 2 :3∑

i=1

ai 1 ai 2 = 0,

a1 1 a1 2 + a2 1 a2 2 + a3 1 a3 2 = 0,

m1 m2 + n1 n2 + l1 l2 = 0.


Svaka linearna preobrazba (2.80) sa svojstvom (2.83) se zove ortogonalna preobrazba.Matrica A

A =

a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3

se zove ortogonalna matrica.Primjetimo da se relacija

~V ′ = A ~V

moze shvatiti na dva nacina:- koordinatni sustav se zakrece od (O, x, y, z) prema (O, x ′, y ′, z ′), dok se sam vektor ~V ne

mijenja; relacija ~V ′ = A ~V daje vezu medu komponentama istog vektora, ali promatranog izdva razlicita sustava - zakrenutog i nezakrenutog; ovakva se preobrazba naziva pasivna vrtnjai to je smisao koji cemo koristiti u ovom odjeljku.- druga je mogucnost da promatramo zakret vektora ~V u fiksnom koordinatnom sustavu;tada ~V oznacava vektor prije, a ~V ′ vektor poslije zakreta; u tom slucaju se govori o aktivnojvrtnji.

Slika 2.33: Ortogonalna preobrazba u dvijedimenzije.

Zadatak: 2.22 Pogledajmo jednostavan primjer udvije dimenzije (slika 2.33). Matrica A je oblika

A =

a1 1 a1 2

a2 1 a2 2

.

Treba postaviti i rijesiti relacije ortogonalnosti.

R: U ovom primjeru postoje tri relacije ortogonal-nosti (2.83)

a21 1 + a22 1 = 1,

a21 2 + a22 2 = 1, (2.84)

a1 1 a1 2 + a2 1 a2 2 = 0.

Dakle, od cetiri elementa ai j , samo je 4− 3 = 1 element nezavisan, a svi ostali se mogu izrazitipreko njega. I zaista, elementarnom trigonometrijom sa slike 2.33 se zakljucuje da je

~ex ′ = cosϕ ~ex + sinϕ ~ey ,

~ey ′ = − sinϕ ~ex + cosϕ ~ey ,

2.9. SVOJSTVA MATRICE PREOBRAZBE A 83

odakle zatim procitamo koeficijente ai j

a1 1 = cosϕ, a1 2 = sinϕ,

a2 1 = − sin ϕ, a2 2 = cosϕ.

Jednadzbe uvjeta (2.84) su ocito zadovoljene

cos2 ϕ+ (− sin ϕ)2 = 1,

sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1,

cosϕ sinϕ+ (− sin ϕ) cosϕ = 0.

2.9 Svojstva matrice preobrazbe A

• Promatrajmo dvije uzastopne ortogonalne preobrazbe opisane matricama A i B

~V → ~V ′ : V ′k =

3∑

j=1

bk j Vj,

~V ′ → ~V ′ ′ : V ′ ′i =

3∑

k=1

ai k V′k .

Uvrstavanjem prve u drugu od gornjih relacija, dobiva se

V ′ ′i =

3∑

k=1

ai k

3∑

j=1

bk j Vj

=

3∑

j=1

(3∑

k=1

ai k bk j

)Vj

=

3∑

j=1

ci j Vj,

Gdje smo oznacili

ci j =3∑

k=1

ai k bk j ⇔ C = A B. (2.85)

Pokazimo da je i C ortogonalna preobrazba. To je ujedno i osnovno svojstvo grupe: rezultatmnozenja (ili neke druge binarne operacije) dva elementa grupe daje neki treci element grupe.Ako je C ortogonalna preobrazba, tada za nju mora vrijediti (2.83)

3∑

i=1

ci j ci k = δj k.


Da bi se to pokazalo, treba naprosto iz (2.85) izraziti c-ove preko a-ova i b-ova, a zatim koristiticinjenicu (2.83) da A i B jesu ortogonalne preobrazbe

3∑

i=1

ci j ci k =3∑

i=1

(3∑

l=1

ai l bl j

) (3∑

p=1

ai p bp k

)

=3∑

l=1

3∑

p=1

(3∑

i=1

ai l ai p

)

︸︷︷︸= δl p

bl j bp k =3∑

l=1

3∑

p=1

δl p bl j bp k =3∑

l=1

bl j bl k

= δj k.

• Ortogonalna preobrazba opcenito nije komutativna

A B 6= B A,

• ali jeste asocijativna

(A B) C = A (B C),

dokaz cega prepustamo citatelju.

• Zbrajanje

C = A + B ⇒ ci j = ai j + bi j.

• Inverznu preobrazbu od A cemo oznacavati s A−1, pri cemu je

~V ′ = A ~V ⇔ V ′k =

3∑

i=1

ak i Vi, (2.86)

~V = A−1 ~V ′ ⇔ Vi =

3∑

j=1

a ′i j V

′j ,

gdje smo s a ′i j oznacili matricne elemente inverzne preobrazbe. Uvrstavanjem gornje dvije

relacije jedne u drugu, dobivamo

V ′k =

3∑

i=1

ak i

3∑

j=1

a ′i j V

′j =

3∑

j=1

(3∑

i=1

ak i a′i j

)V ′j .

Da bi gornja jednakost mogla vrijediti, mora biti izraz u zagradi jednak δj k

3∑

i=1

ak i a′i j = δj k, (2.87)

ili matricno

A A−1 = 1,


gdje je 1 jedinicna 3 × 3 matrica

1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

koja predstavlja identicnu preobrazbu

~V = 1 · ~V , A · 1 = 1 · A = A.

Koristeci (2.86) mozemo doci do slijedece veze

Vi =3∑

j=1

a ′i j V

′j =

3∑

j=1

a ′i j

3∑

k=1

aj k Vk =3∑

k=1

(3∑

j=1

a ′i j aj k

)Vk.

Usporedbom lijeve i desne strane gornje relacije, zakljucujemo da okrugla zagrada mora bitijednaka δi k

3∑

j=1

a ′i j aj k = δi k, (2.88)

ili matricno

A−1 A = 1.

Iz (2.87) i (2.88) vidimo da vrijedi

A A−1 = A−1 A = 1.

Da bismo izracunali matricne elemente inverzne matrice, promotrimo slijedeci dvostruki zbroj

3∑

k=1

3∑

i=1

ak l ak i a′i j . (2.89)

Primjetimo da je, prema (2.83)∑3

k=1 ak l ak i = δi l, pa je gornji zbroj jednak

3∑

i=1

δi l a′i j = a ′

l j. (2.90)

No, s druge strane iz zbroja (2.89) mozemo izdvojiti i∑3

i=1 ak i a′i j , sto je prema (2.87) jednako

δj k, tako da (2.89) postaje3∑

k=1

ak l δj k = aj l. (2.91)

Relacije (2.90) i (2.91) su samo dva razlicita zapisa istog izraza (2.89), pa moraju biti imedusobno jednake

a ′l j = aj l ⇔

(A−1

)l j

= (A)j l . (2.92)

To je trazeni izraz za matricne elemente inverzne matrice: oni se dobiju jednostavnom zamjenomredaka i stupaca u matrici preobrazbe A. Ova se operacija zove transponiranje, a matricase zove transponirana matrica s oznakom AT

(AT)i j

= (A)j i .


Inverz ortogonalne matrice je transponirana matrica

A−1 = AT , ⇒ A AT = AT A = 1. (2.93)

Iz samog izvoda vidimo da su gornje relacije ekvivalentne s (2.83). Determinantu matriceA cemo oznacavati s |A|. Buduci da je determinanta umnoska matrica jednaka umnoskudeterminanata pojedinih matrica, to iz gornje relacije slijedi

|AT | · |A| = 1 ⇒ |AT | =1

|A| .

Pojam transponirane matrice se koristi i kod mnozenja matrice i vektora. Ako je vektor desnood matrice, shvacamo ga kao jednostupcanu matricu i pisemo

A ~V ⇔3∑

j=1

ai j Vj. (2.94)

Ako vektor mnozi matricu s lijeve strane, shvacamo ga kao matricu s jednim redom

~V A ⇔3∑

j=1

Vj aj i,

a ako s desna mnozi transponiranu matricu

~V AT ⇔3∑

j=1

Vj (aT )j i =

3∑

j=1

Vj ai j. (2.95)

Usporedbom (2.94) i (2.95) vidimo da je

~V AT = A ~V .

Ako je kvadratna matrica jednaka svojoj transponiranoj matrici

A = AT ⇒ ai j = (aT )i j = aj i,

onda se ona naziva i simetricna matrica. Determinanta simetricne matrice je +1 ili −1

|AT | · |A| = |A|2 = 1 ⇒ |A| = ± 1.

Ako je

A = −AT ⇒ ai j = −(aT )i j = −aj i,

onda se A naziva antisimetricna matrica. Ocito su dijagonalni elementi antisimetricnematrice jednaki nuli

ai i = 0.

Slicnim razmatranjem kao gore, zakljucuje se da je determinanta antisimetricne matrice

|A| = ± ı.


Iz gornjeg razmatranja se vidi da se svakoj kvadratnoj matrici A mogu pridruziti simetricna iantisimetricna matrica

As =1

2(A + AT ), Aas =

1

2(A−AT ),

(ai j)s =1

2(ai j + aj i), (ai j)as =

1

2(ai j − aj i),

tako da vrijedi

A = As + Aas, AT = As −Aas.

U vezi s pojmom ortogonalnosti je i pojam unitarnosti. Ukoliko su elementi matrice kom-pleksni, tada se

A† = (AT )∗

naziva hermitski adjungirana matrica matrice A (zvjezdica oznacava kompleksno konjugi-ranje). Unitarnom se naziva matrica za koju je

A† A = A A† = 1.

Svaka realna ortogonalna matrica je ujedno i unitarna. Matrica koja je jednaka svojoj hermitskiadjungiranoj matrici,

A† = A,

zove se hermitska matrica.

Relacijom (2.81), tj. (2.82) smo vidjeli kako se preobrazava vektor uslijed linearne preobrazbekoordinata. Sada se mozemo zapitati kako se preobrazava operator uslijed te iste linearnepreobrazbe koordinata?Neka je O proizvoljni linearni operator koji djeluje na vektor ~V1 i kao rezultat daje vektor ~V2

~V2 = O ~V1. (2.96)

Neka je A matrica linearne preobrazbe koordinatnih sustava. Tada je ~V2 u novom koordinatnomsustavu dan sa

~V ′2 = A ~V2.

Isto vrijedi i za vektor ~V1, tj.

~V ′1 = A ~V1

Tada je

A ~V2 = A O ~V1 = A O A−1 A ~V1

~V ′2 = (A O A−1) ~V ′

1 .


No, gornja relacija nije nista drugo nego (2.96) napisana u novom koordinatnom sustavu. Iztoga zakljucujemo da se operator O preobrazava iz starog u novi koordinatni sustav relacijom

O ′ = A O A−1, (2.97)

ili, po komponentama

o ′i j =

3∑

k=1

3∑

l=1

ai k ok l (a−1)l j =3∑

k=1

3∑

l=1

ai k aj l ok l. (2.98)

Preobrazbe gornjeg oblika se zovu preobrazbe slicnosti.Lako je dvidjeti da preobrazba slicnosti ne mijenja vrijednost determinante operatora

O ′ = A O A−1 / ·A

O ′ A = A O

|O ′| |A| = |A| |O|

|O ′| = |O|.

2.10 Tenzori

U D-dimenzijskom prostoru, tenzorom n-tog reda cemo nazivati velicinu sastavljenu od Dn

komponenata,

Ti1 i2 ··· in , ip = 1, 2, · · · , D,

koja se u donosu na ortogonalnu preobrazbu koordinatnog sustava (opisanu matricom A) pre-obrazava kao

T ′i1 i2 ··· in =

D∑

j1=1

D∑

j2=1

· · ·D∑

jn=1

ai1 j1 ai2 j2 · · ·ain jn Tj1 j2 ··· jn.

Povezimo gornju definiciju s nekima od velicina koje smo vec upoznali:

• Prema gornjoj definiciji, tenzor nultog reda ima samo jednu komponentu, koja je samim timei invarijantna na ortogonalnu preobrazbu. Buduci da su skalari invarijantni na ortogonalnepreobrazbe, to tenzor nultog reda nazivamo i skalarom.

• Ogranicimo li se na D = 3-dimenzijski prostor, tenzor prvog reda se preobrazava kao

T ′i =

3∑

j=1

ai j Tj ,

sto prepoznajemo kao preobrazbu vektora (2.81), tj. tenzori prvog reda su vektori.

2.10. TENZORI 89

• Tenzor drugog reda u D = 3-dimenzijskom prostoru se preobrazava kao

T ′i1 i2

=3∑

j1=1

3∑

j2=1

ai1 j1 ai2 j2 Tj1 j2.

Gornju relaciju prepoznajemo kao operaciju slicnosti (2.97) tj. (2.98). Dakle u odnosu naortogonalne preobrazbe, tenzori drugog reda su isto sto i kvadratne matrice.

Poglavlje 3

Kinematika

Kinematika je dio fizike koji se bavi opisom gibanja, ne ulazeci u objasnjavanje toga sto jeuzrok gibanja. Sama rijec kinematika, potjece od grcke rijeci kinema, sto znaci gibanje.Osnovni pojam kinematike jest pojam brzine. Brzina je velicina zadana omjerom prijedenogputa i proteklog vremena. Prijedeni put je vektor, a proteklo vrijeme je skalar, pa je zato njihovomjer, brzina, vektorska velicina. Prema tome, brzina ima svoj iznos i smjer, a zbrajanje brzinaje komutativno. Smjer brzine odreduje kojim ce prostornim tockama proci cestica u svojemgibanju. Skup tih tocaka se naziva putanja ili trajektorija. Ako je taj smjer stalno isti tokomvremena, cestica se giba po pravcu, a gibanje se naziva pravocrtno. Sva ostala gibanja(kod kojih se smjer brzine mijenja u vremenu) se nazivaju krivocrtna gibanja. Posebnioblik krivocrtnog gibanja je kruzno gibanje, kod kojega putanja cestice opisuje kruznicu. Akoje iznos brzine nepromjenjiv u vremenu, gibanje se naziva jednoliko. Ako se iznos brzinemijenja u vremenu, gibanje se zove nejednoliko (naziva se ubrzano ako se brzina povecava,a usporeno ako se brzina smanjuje). Velicina koja opisuje vremenske promjene brzine, zovese ubrzanje (ili akceleracija) i definirana je kao omjer promjene brzine i proteklog vremena.Prema ovoj definiciji i ubrzanje je vektor. Deceleracijom (usporavanjem) se naziva smanjenjeiznosa brzine tijekom vremena.

3.1 Brzina i ubrzanje

Promatrajmo cesticu koja se giba po krivulji C (slika 3.1). Neka se u trenutku t cestica nalazi upocetnoj tocki P ciji polozaj odreduje radij vektor ~r(t). U nesto kasnijem trenutku t+∆ t, nekase cestica nalazi u konacnoj tocki K opisanoj radij vektorom ~r(t + ∆ t) = ~r + ∆~r. Srednjombrzinom ~v cestice na putu ∆~r se naziva omjer

~v =∆~r

∆ t.

Omjer vektora i skalara je vektor, pa je srednja brzina vektorska velicina. Po svojoj dimenziji,srednja brzina je omjer duljine i vremena

[~v]

=[∆~r]

[∆ t]=l

t,

pa se, u SI sustavu, mjeri u jedinicama ms−1. Po svojem geometrijskom znacenju, srednja jebrzina sekanta krivulje C, tj. putanje cestice (slika 3.1). Unutar vremenskog intervala ∆ t,brzina se moze mijenjati (i po iznosu i po smjeru), pa ako zelimo doznati pravu (trenutnu)

91

92 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA

Slika 3.1: Uz definiciju brzine.

brzinu, ~v, cestice u promatranoj tocki, u definiciji srednje brzine treba izvesti granicni prijelaz∆ t→ 0, koji tada prepoznajemo kao definiciju derivacije 1

~v = lim∆ t→0

~r(t+ ∆ t) − ~r(t)

∆ t= lim

∆ t→0

∆~r

∆ t=d~r

dt= ~r, (3.1)

ili, po komponentama pravokutnog koordinatnog sustava

~v =d~r

dt= ~ex

dx

dt+ ~ey

dy

dt+ ~ez

dz

dt= ~ex x + ~ey y + ~ez z .

Geometrijski, pri granicnom prijelazu ∆ t → 0 ce i sekanta sa slike 3.1, prijeci u tangentu naputanju u promatranoj tocki, tj. prava brzina ima smjer tangente na putanju. PremaPitagorinom poucku, iznos brzine

v = |~v| =

∣∣∣∣d~r

dt

∣∣∣∣ =

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

+

(dz

dt

)2

=1

dt

√(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 =

ds

dt

je jednak omjeru infinitezimalne duljine luka krivulje

ds =√

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2

i vremenskog intervala dt. Svaki se vektor, pa tako i vektor brzine, moze prikazati kao umnozakiznosa v, i jedinicnog vektora smjera ~ev ,

~v = v ~ev .

Opcenito, svaka promjena neke velicine s vremenom se moze shvatiti kao brzina. Tako se npr.upravo uvedena brzina moze nazvati i brzinom promjene polozaja radij vektora Moguce je

1Newton je uveo skraceno oznacavanje vremenske derivacije neke velicine tockicom iznad te velicine. Tako se npr. za brzinumoze skraceno napisati ~r.

3.1. BRZINA I UBRZANJE 93

definirati i neke druge brzine:

♣ Promatrajmo povrsinu plohe, S, koju opisuje radij vektor cestice u gibanju. Plosnom brzi-nom, vpl, nazivamo slijedeci diferencijalni omjer

vpl =dS

dt,

gdje je dS povrsina plohe koju je u vremenu dt opisao radij vektor.

♣ Brzinu kojom neka sila obavlja rad, W , nazivamo snagom, P

P =dW

dt,

gdje je dW rad koji je u vremenu dt obavila neka sila.

♣ Brzinu kojom elektricni naboj Q prolazi kroz zamisljenu ravnu plohu, nazivamo elektricnomstrujom

I =dQ

dt,

gdje je dQ kolicina naboja koja je u vremenu dt prosla kroz plohu.

Brzina u cilindricnom koordinatnom sustavu. U cilindricnom koordinatnom sustavuje

~r(t) = ρ(t) ~eρ (t) + z(t) ~ez ,

gdje samo jedinicni vektor ~ez , ne ovisi o vremenu. Stoga je brzina jednaka

~v =d~r

dt=dρ

dt~eρ + ρ

d~eρdt

+dz

dt~ez .

U odjeljku 2 smo, relacijom (2.45) pokazali da je

d~eρ = ~eϕ dϕ,

sto, uvrsteno u gornji izraz za brzinu, daje

~v = ρ ~eρ + ρϕ~eϕ + z ~ez . (3.2)

Brzina u sfernom koordinatnom sustavu. U sfernom koordinatnom sustavu je

~r(t) = r(t) ~er (t),

gdje se obje velicine, i iznos r i smjer radij vektora ~er , mogu mijenjati s vremenom. Stoga je ibrzina jednaka

~v =d~r

dt=

d

dt

[r(t) · ~er (t)

]=dr

dt~er + r

d~erdt

.


Prvi clan opisuje promjenu iznosa radij vektora uz konstantan smjer, a drugi opisuje promjenusmjera radij vektora uz njegov konstantan iznos. U odjeljku 2 smo, relacijom (2.54) pokazalida je

d~er = ~eθ dθ + ~eϕ sin θdϕ,

sto, uvrsteno u gornji izraz za brzinu, daje

~v = r~er + r ˙r = r~er + r(~eθ θ + ~eϕ sin θϕ ) = r~er + rθ ~eθ + r sin θϕ~eϕ . (3.3)

Ubrzanje se definira kao promjena brzine u danoj tocki (ili kao brzina kojom se mijenja brzina)

~a = lim∆ t→0

~v(t+ ∆ t) − ~v(t)

∆ t=d~v

dt=d2~r

dt2= ~r. (3.4)

Ubrzanje je omjer vektora d~v i skalara dt, pa je i samo vektor

~a =d~v

dt=

d

dt( v · ~ev ) =

dv

dt~ev + v

d~evdt

.

Po svojoj dimenziji je ubrzanje omjer duljine i kvadrata vremena

[~a ] =[d~v]

[dt]=

l

t2,

i, u SI sustavu mjernih jedinica, mjeri se u ms−2. Po komponentama u pravokutnom koordi-natnom sustavu, ubrzanje je jednako

~a =d2~r

dt2= ~ex x + ~ey y + ~ez z ,

a po svojem iznosu je

a = |~a | =√x 2 + y 2 + z 2.

Ubrzanje u cilindricnom koordinatnom sustavu. U cilindricnom koordinatnom sustavuje brzina dan izrazom (3.2), a ubrzanje dobivamo vremenskom derivacijom brzine

~a =d~v

dt= ρ ~eρ + ρ ~ ρe + ρ ϕ ~eϕ + ρϕ~eϕ + ρϕ ˙~ϕe + z ~ez .

U odjeljku 2 smo, relacijama (2.45) pokazali da je

d~eρ = ~eϕ dϕ, d~eϕ = −~eρ dϕ.

sto, uvrsteno u gornji izraz za ubrzanje, daje

~a =(ρ − ρϕ 2

)~eρ +

(2ρ ϕ + ρϕ

)~eϕ + z ~ez . (3.5)

3.2. TROBRID PRATILAC 95

Ubrzanje u sfernom koordinatnom sustavu. U sfernom koordinatnom sustavu je brzinadana izrazom (3.3), a ubrzanje dobivamo vremenskom derivacijm brzine

~a =d~v

dt= r~er + r ˙r + rθ ~eθ + rθ ~eθ + rθ ~ θe + r sin θϕ~eϕ + r cos θθ ϕ~eϕ + r sin θϕ ~eϕ + r sin θϕ ˙~ϕe .

U odjeljku 2 smo, relacijama (2.54),(2.55) i (2.56) pokazali da je

d~er = ~eθ dθ + ~eϕ sin θdϕ, d~eθ = −~er dθ + ~eϕ cos θdϕ, d~eϕ =(− sin θ~er − cos θ~eθ

)dϕ.

sto, uvrsteno u gornji izraz za ubrzanje, daje

~a =(r−rθ 2−rϕ 2 sin2 θ

)~er +

(2rθ+rθ−rϕ 2 sin θ cos θ

)~eθ +

(2rϕ sin θ+2rθ ϕ cos θ+rϕ sinθ

)~eϕ .

(3.6)

3.2 Trobrid pratilac

Promatrajmo cesticu koja se giba po prostornoj krivulji C. Neka je polozaj cestice u trenutku

t opisan radij vektorom−→OP = ~r(t) koordinatnog sustava (O, x, y, z) (kao na slici 3.2). Pored

Slika 3.2: Uz trobrid pratilac.

nepomicnog koordinatnog sustava (O, x, y, z), ponekad je korisno uvesti jos jedan pravokutnikoordinatni sustav koji se giba zajedno s cesticom (prati ju) i koji se naziva trobrid prati-lac. On je definiran trima, medusobno okomitim, jedinicnim vektorima. To su :

♠ ~eT jedinicni vektor u smjeru tangente na krivulju. Relacijom (3.1) je pokazano da brzinaima smjer tangente, pa je zato ~eT jednak jedinicnom vektoru brzine ~ev

~eT =~v

v=d~r / dt

ds / dt=d~r

ds= ~ev , (3.7)


gdje je ds duljina luka krivulje C u okolici tocke P .

♠ Buduci da je derivacija jedinicnog vektora okomita na taj isti jedinicni vektor (relacija (2.11)),to je ~eN , jedinicni vektor normale, definiran preko derivacije jedinicnog vektora vektora~eT kao

~eN = Rd~eTds

. (3.8)

Sama derivacija d~eT /ds ne mora biti i jedinicne duljine, pa se mnozitelj R odabire tako da~eN bude jedinicne duljine

R =1∣∣∣∣d~eTds

∣∣∣∣.

Velicina R se naziva polumjer zakrivljenosti krivulje C u tocki P (i kod gibanja pokruznici je jednak polumjeru kruznice - odatle potjece i oznaka). Inverz od R se nazivazakrivljenost ili fleksija i oznacava se s

κ =1

R.

♠ Sada, kada su poznata dva jedinicna i medusobno okomita vektora, lako je pomocu nji-hovog vektorskog umnoska, definirati i treci jedinicni vektor, ~eB , koji ce se zvati vektorbinormale,

~eB = ~eT × ~eN . (3.9)

Prema samoj definiciji vektorskog umnoska, slijedi da je ~eB jedinicnog iznosa i da je okomiti na ~eT i na ~eN .

Ova tri vektora,

~eT , ~eN , ~eB ,

cine trobrid pratilac cestice.

Izrazimo ubrzanje cestice preko ovih vektora

~a =d~v

dt=d(v ~eT )

dt=dv

dt~eT + v

d~eTdt

=dv

dt~eT + v

(d~eTds

ds

dt

)=dv

dt~eT + v

(1

R~eN v

)

=dv

dt~eT +

v2

R~eN

≡ aT ~eT + aN ~eN .

Clan

aT =dv

dt(3.10)

3.3. FRENET-SERRETOVE FORMULE 97

uz ~eT se naziva tangencijalno, a clan

aN =v2

R(3.11)

uz ~eN normalno ubrzanje.

Koordinatni sustav trobrida pratioca se giba zajedno s cesticom duz njezine putanje, i stoganije ni staticki ni inercijski.

3.3 Frenet-Serretove formule

Frenet - Serret-ove2 formule, opisuju nacin na koji se mijenjaju vektori ~eT , ~eN i ~eB duz putanjecestice.

Desni koordinatni sustavPokazimo najprije da jedinicni vektori ~eT , ~eN i ~eB cine desnu bazu trodimenzijskog prostora.Iz (3.9) slijedi

~eB × ~eT = (~eT × ~eN ) × ~eT ,

no, primjenom vektorskog identiteta (2.9) (~a ×~b ) × ~c = ~b (~c~a )−~a (~b~c ) na gornji izraz, dobivase

~eB × ~eT = ~eN (~eT ~eT ) − ~eT (~eN ~eT ) = ~eN

zbog okomitosti ~eN i ~eT . Na slican se nacin, pomocu gornje relacije, dobiva i

~eN × ~eB = (~eB × ~eT ) × ~eB = ~eT (~eB ~eB ) − ~eB (~eT ~eB ) = ~eT ,

zbog okomitosti ~eT i ~eB . Time je pokazano da vrijedi

~eT = ~eN × ~eB , ~eN = ~eB × ~eT , ~eB = ~eT × ~eN . (3.12)

Prva od Frenet-Serret-ovih formula je upravo definicija (3.8) vektora ~eN

d~eTds

= κ~eN . (3.13)

Za izvod trece Frenet-Serret-ove formule (treca je zato jer opisuje promjenu treceg po reduvektora , ~eB ), treba krenuti od izraza za ~eB u (3.12)

~eB = ~eT × ~eN

/d

d s

d~eBd s

=d~eTd s

× ~eN + ~eT × d~eNd s

= κ~eN × ~eN + ~eT × d~eNd s

= ~eT × d~eNd s

.

2Jean Frederic Frenet, 1816 - 1900, i Joseph Alfred Serret, 1819 - 1885, francuski matematicari.


Kao sto je vec vise puta receno, (npr. relacija (2.11)), derivacija jedinicnog vektora mora bitiokomita na sam vektor i zato d~eN /d s mora biti neka linearna kombinacija vektora ~eT i ~eB .Napisimo tu linearnu kombinaciju kao α~eT + β~eB . Tada gornji izraz postaje

d~eBd s

= ~eT × (α~eT + β~eB ) = −β~eN .

Umjesto −β uobicajeno je koristiti oznaku τ = −β koja se naziva i torzija jer se mozepokazati da opisuje torzijska svojstva putanje (zakret oko lokalne osi). Tako smo dosli do treceFrenet-Serret-ove formule

d~eBds

= τ~eN . (3.14)

Za izvod druge Frenet-Serret-ove formule, krecemo od izraza za ~eN u (3.12)

~eN = ~eB × ~eT

/d

d s

d~eNd s

=d~eBd s

× ~eT + ~eB × d~eTd s

= τ~eN × ~eT + ~eB × κ~eN = τ(−~eB ) + κ(−~eT ).

Tako smo dosli i do druge Frenet-Serret-ove formule

d~eNds

= −κ~eT − τ~eB . (3.15)

Sve tri zajedno glase

d~eTds

= κ~eN ,d~eNds

= −κ~eT − τ~eB ,d~eBds

= τ~eN . (3.16)

3.4 Kruzno gibanje

Kao posebno jednostavan oblik gibanja po krivulji, promotrimo gibanje cestice po kruznici.Krivulja C je sada kruznica polumjera ρ, a zbog homogenosti i izotropnosti prostora, koor-dinatni sustav se uvijek moze postaviti tako da kruznica lezi u ravnini (x, y) sa sredistem u

Slika 3.3: Uz gibanje po kruznici.

ishodistu koordinatnog sustva, kao na slici 3.3. Smjerbrzine je smjer tangenete, a to je smjer ~eϕ jedinicnogvektora polarnog koordinatnog sustava, ~v = v ~eϕ .Duljina luka kruznice s i kut ϕ su povezani jednos-tavnom relacijom

s = ρ ϕ,

pa se, za konstantni ρ, brzina cestice moze napisati uobliku

~v =ds

dt~eϕ =

d(ρϕ)

dt~eϕ = ρ ω ~eϕ

v = ω ρ

~ev = ~eϕ ,

3.4. KRUZNO GIBANJE 99

gdje je uvedena kutna (ili kruzna) brzina, ciji je iznos jednak

ω =dϕ

dt. (3.17)

Slicno se moze dobiti i iznos tangencijalnog ubrzanja (3.10)

aT =dv

dt= ρ

dω

dt= ρ

d2ϕ

dt2= ρα,

gdje je

α =dω

dt=d2ϕ

dt2,

iznos kutnog (ili kruznog) ubrzanje.

Izracunajmo i normalnu komponentu ubrzanja, (3.11). Da bismo to izveli, potrebno je odred-iti jedinicni vektor ~eN i polumjer zakrivljenosti R. Krenimo od definicije ~eN uz uvrstavanje~eT = ~eϕ

~eN = Rd~eTds

= Rd~eϕds

= Rd~eϕdt

dt

ds.

No, iz (2.45) znamo da je

d~eϕ = −~eρ dϕ,

a dt/ds je naprosto 1/v uz v = ωρ, sto sve zajedno daje

~eN = R(−)dϕ

dt~eρ

1

v= −R ω

ωρ~eρ .

Da bi ~eN bio jedinicne duljine, ocito za polumjer zakrivljenosti R treba odabrati polumjerkruznice ρ

R = ρ,

iz cega slijedi

~eN = −~eρi normalna (radijalna) komponenta ubrzanja, (3.11), je

aN = v2/ρ = ω2ρ.

Za cijelo ubrzanje gibanja po kruznici, dobije se

~a =dv

dt~eϕ − v2

ρ~eρ .

Poglavlje 4

Newtonovi aksiomi gibanja,konzervativnost, rad, energija,momenti

Starogrcki matematicar Euklid1 je u svojem najznacajnijem djelu, Stoicheia (Elementi), izgra-dio cijelu geometriju na nacin koji ce buducim narastajima postati uzor elegancije i strogosti.Najprije je definirao sve pojmove koje ce kasnije koristiti (npr. tocka je ono sto nema niduljinu ni sirinu, pravac je ono sto ima duljinu, ali nema sirinu i slicno), a zatim je postaviopet temeljnih i nedokazivih tvrdnji2 (postulata ili aksioma) za koje pretpostavlja da vrijedemedu velicinama koje su prethodno definirane. Na temelju (samo) tih pet postulata i logickogzakljucivanja, Euklid izvodi teoreme o geometriji u ravnini i u prostoru. Ovaj veliki uspjeh dase cijela geometrija svede na samo pet aksioma, posluzio je slijedecih skoro dvije tisuce godinakao uzor za izgradnju i drugih znanstvenih disciplina. Tako je npr. Spinoza 3 napisao svojuEtiku po uzoru na Euklidove elemente: definirao je osnovne eticke pojmove, postulirao vezemedu njima, a zatim je logickim zakljucivanjem izvodio eticke stavove. No, nisu samo filozofipokusali izgraditi svoje sustave po uzoru na Euklida. Izgradnje mehanike na aksiomatskimtemeljima poduhvatio se Isaac Newton4 u svojem glasovitom djelu Principia Mathemat-ica Philosophiae Naturalis koje se pojavilo u Londonu godine 1687. S obzirom da se uNewtonovo vrijeme filozofijom prirode nazivalo ono sto se danas zove teorijskom fizikom, naslovbi se mogao prevesti i kao Matematicka nacela teorijske fizike. U toj je knjizi po prvi puta uve-den diferencijalni racun, objavljen je zakon gravitacije, a najvaznije vezano za ovo poglavlje jeaksiomatski temelj onoga sto ce se kasnije nazvati klasicna mehanika (za razliku od kvantnemehanike koja ce se pojaviti pocetkom dvadesetog stoljeca). Newton je uveo silu kao uzrokpromjene stanja gibanja cestice i cijelu je mehaniku sazeo u tri aksioma koji govore sto sedogada s cesticom kada na nju djeluju ili ne djeluju sile.

Temelj klasicne mehanike predstavlja drugi Newtonov aksiom

d 2 ~r

d t 2=

1

m~F ,

1Euklid iz Aleksandrije, IV - III stoljece prije nove ere; trinaest knjiga njegovih Elemenata se moze naci na adresi:http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/java/elements/toc.html.

2Euklidovi aksiomi u Jefimov: Visa geometrija, str. 10, komentar petog aksioma3Baruch de Spinoza, 1632. - 1677.4Sir Isaac Newton, 1642 Woolsthorpe, grofovija Lincoln - 31. III 1727 Kensington, bio je svecenik i svoje teoloske radove je

smatrao puno vaznijim od radova u mehanici i matematici; bio je zastupnik sveucilista Cambridge u engleskom Parlamentu idirektor kovnice novca u Londonu. Osim navedenog djela, navedimo jos i: Metoda fluksija i beskonacnih redova (koja sadrzi otkricediferencijalnog i integralnog racuna), Rasprava o kvadraturi krivulja, Univerzalna aritmetika, Optika i dr..

101

102POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GIBANJA, KONZERVATIVNOST, RAD, ENERGIJA, MOMENTI

koji, dopunjen pocetnim uvjetima na brzinu i polozaj, kaze da je iz poznavanja svih sila ~F kojedjeluju na cesticu mase m, rjesavanjem gornje diferencijalne jednadzbe, moguce proizvoljnotocno odrediti njezin polozaj ~r u prostoru u proizvoljnom vremenskom trenutku t, kako proslom,tako i buducem. Ova je tvrdnja imala i velike filozofske implikacije, koje je najjasnije izrazioLaplace5 kada je 1814., u Filozofskim esejima o vjerojatnosti, rekao

Mi moramo smatrati sadasnje stanje svemira, kao posljedicu njegovogprethodnog stanja, i kao uzrok onome stanju koje slijedi. Um koji bi udanom trenutku poznavao sve sile koje djeluju u prirodi, kao i polozaje ibrzine svih svemirskih tjelesa, i koji bi bio sposoban rijesiti njihove jed-nadzbe gibanja, obuhvatio bi jednom jedinom formulom gibanje najvecihzvijezda i planeta, kao i gibanje najmanjih atoma. Takvom umu nistane bi bilo nepoznato: pred njegovim bi ocima bila sva proslost, kao i svabuducnost.

Svjetonazor izgraden na temelju shvacanja o cvrstoj determiniranosti svih dogadaja u prirodi,nazvan je mehanicizam.No, svijet ipak nije tako cvrsto determiniran, kao sto su to mislili Laplace i njegovi suvremenici.Gornja bi tvrdnja bila istinita samo onda, kada bi Newtonova jednadzba gibanja bila primjenjivana sve sastavne elemente svemira. Suvremena kvantna fizika nas uci da se ponasanje mikroskop-skih objekata ne pokorava Newtonovoj jednadzbi gibanja, nego da ono zadovoljava neke drugejednadzbe (Schrodingerovu, Heisenbergovu, Diracovu, ...), cija rjesenja ne daju tocan polozaji brzinu cestice, nego samo njihovu vjerojatnost. Stovise, Heisenbergovo nacelo neodredenostieksplicite tvrdi da se polozaj i brzina (tocnije receno: kolicina gibanja) mikroskopskog objektane mogu proizvoljno tocno odrediti, ili drugim rjecima, sam pojam putanje ne postoji. Istotako, u analizi gibanja masivnih objekata kao sto su zvijezde, galaksije i slicno, treba racunatis ucincima zakrivljenosti prostor-vremena, kako je to pokazano u Einsteinovoj opcoj teorijirelativnosti. No, ta pitanja vec izlaze izvan okvira ove knjige.

4.1 Newtonovi aksiomi

Slijedece tri tvrdnje predstavljaju aksiome klasicne mehanike6:

(1)Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi unifor-miter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statumillum mutare.

Prvi se aksiom naziva aksiom tromosti i u slobodnom prijevodu glasi: ukoliko na tijelo (cesticu)ne djeluje nikakva sila, ono ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu (tj.njegova je brzina konstantna)

~F = 0 ⇒ ~v = const. (4.1)

5Pierre Simon Laplace, 1749 - 1827, francuski matematicar, fizicar, astronom i filozof.6Latinski navodi potjecu iz reference [17]

4.1. NEWTONOVI AKSIOMI 103

Za ilustraciju ovog aksioma zamislimo slijedeci pokus: nekakva vanjska sila (izvodac pokusa)je kuglicu dovela u stanje gibanja; nakon toga ta vanjska sila vise ne djeluje; ako se kuglicagiba po ravnoj podlozi, primjetit cemo da se kuglica nakon nekog vremena zaustavlja. Je li tou suprotnosti s gornjim aksiomom koji kaze da bi se kuglica trebala nastaviti gibati beskonacnodugo istom brzinom koju je imala u trenutku kada je na nju prestala djelovati vanjska sila?Naravno da nije. Zasto? Zato jer nakon prestanka djelovanja sile koja je kuglicu dovela ustanje gibanja, na kuglicu sve vrijeme djeluju sile trenja (sa podlogom i s medijem kroz koji sekuglica giba) pa zato nije ispunjena pretpostavka aksioma, da je zbroj svih sila koje djeluju natijelo jednak nuli. Upravo ovo ne racunanje sa silama trenja je bio glavni razlog sto vec ranijenije doslo do spoznaje gornje relacije. Ako bi se gornji pokus izveo negdje u svemiru tako stobi astronaut bacio kuglicu u smjeru van Sunceva sustava, prema nekoj udaljenoj zvijezdi, tabi se kuglica, u skladu s gornjim aksiomom, gibala pocetnom brzinom i pravocrtno. Ovakvobi se gibanje odvijalo tako dugo dok kuglica ne bi bila zahvacena gravitacijskom silom nekogsvemirskog objekta kraj kojega bi prolazila, a tada je dalja sudbina kuglice krajnje neizvjesna.

(2)Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri se-cundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Drugi se aksiom naziva aksiom sile i u slobodnom prijevodu glasi: vremenska promjena kolicinegibanja (~p = m~v) cestice (tijela), jednaka je zbroju svih sila, ~F , koje djeluju na cesticu (tijelo)

d~p

dt= ~F . (4.2)

Sila vodi na promjenu kolicine gibanja cestice. Ako se sila jednaka nuli, tada nema ni promjenekolicine gibanja, tj. kolicina gibanja je konstantna, sacuvana velicina. U tom se slucaju kazeda vrijedi zakon o sacuvanju kolicine gibanja

~p = const. (4.3)

Kolicina gibanja je vektorska velicina, pa njezina konstantnost znaci konstantnost i po iznosui po smjeru

p = const., ~ep = const.,

ili po komponentma u npr. cilindricnom koordinatnom sustavu

pρ = const., pϕ = const., pz = const.

Ne moraju sve komponente kolicine gibanja biti ili sacuvane ili nesacuvane. Moguce su situacijeu kojima sila djeluje npr. samo u ρ smjeru cilindricnog koordinatnog sustava, a nema kompo-nenata u ϕ i z smjeru. U tom slucaju pρ nije konstantan (sacuvan), dok pϕ i pz jesu konstantni.

Ukoliko se masa, m, cestice ne mijenja s vremenom, dm/d t = 0, (a sto je istina za tijela koja


se gibaju brzinama puno manjim od brzine svjetlosti), tada drugi aksiom glasi

d~p

dt= m

d~v

dt+ ~v

dm

dt= m~a = ~F ,

gdje je ~a ubrzanje cestice. No, ubrzanje je druga vremenska derivacija radij vektora cestice,pa se drugi Newtonov aksiom cita kao nehomogena diferencijalna jednadzba drugog reda zanepoznatu funkciju ~r = ~r(t)

d 2 ~r(t)

dt 2=

1

m~F (~r, t), (4.4)

gdje je nehomogeni clan srazmjeran zbroju vanjskih sila ~F koje se smatraju poznatim (zadanim)funkcijama. Rjesenje gornje jednadzbe je jednoznacno odredeno pocetnim uvjetima kojiodreduju stanje gibanja cestice (njezin polozaj i brzinu) u nekom odredenom vremenskomtrenutku t0

~r(t = t0) = ~r0, ~v(t = t0) = ~v0.

Rjesenje jednadzbe (4.4)

~r = ~r(t;~r0, ~v0)

daje polozaj cestice u svakom vremenskom trenutku (i proslom, t < t0, i buducem, t > t0).Drugi Newtonov aksiom se smatra definicijskom jednadzbom za silu iz koje slijedi dimenzijasile

[~F]

= [m]

[d 2 ~r

dt 2

]=ml

t 2

i njezina mjerna jedinica koja se u SI sustavu zove njutn i oznacava s N

N = kgm

s 2.

♣ Na ovom mjestu je zgodno uvesti pojmove inercijskog i neinercijskog koordinatnog ili ref-erentnog sustava. Svi koordinatni sustavi u kojima vrijedi drugi Newtonov aksiom se zovuinercijski sustavi. Svaki sustav koji se giba konstantnom brzinom u odnosu na neki inerci-jski sustav, i sam je inercijski. Svi sustavi koji nisu inercijski, jesu neinercijski.Precizirajmo malo pojmove inercijskog i neinercijskog sustava. Promatrajmo dva pravokutnakoordinatna sustva: S = (O, x, y, z) i S ′ = (O ′ , x ′, y ′, z ′) kao na slici 4.1. Neka se cestica(trome) mase m giba kroz prostor tako da se u trenutku t nalazi u tocki P . Gledano iz sustavaS, njezin je radij vektor tada ~r(t), a gledano iz sustva S ′, radij vektor je ~r ′(t) (primjetimo dasmo ovime implicitno pretpostavili da su vremena u oba sustava ista, tj. da je t = t′). Ova sudva vektora povezana jednostavnom relacijom

~r = ~R + ~r ′

(sjetimo se pravila o zbrajanju vektora sa str. 8). Promatrac koji miruje u sustavu S, opisujegibanje cestice jednadzbom (4.4)

m~r = ~F ,

gdje ~F oznacava zbroj svih sila koje djeluju na cesticu u sustavu S. Promatrac koji miruje usustavu S ′, takoder opisuje gibanje cestice jednadzbom (4.4)

m~ ′r = ~F ′ ,

4.1. NEWTONOVI AKSIOMI 105

Slika 4.1: Uz definiciju (ne)inercijskog sustava.

gdje sada ~F ′ oznacava zbroj svih sila koje djeluju na cesticu u sustavu S ′. Ove dvije jednadzbegibanja su povezane relacijom ~r = ~R + ~r ′

~F = m~r = m( ~R + ~ ′r) = m~R + ~F ′

~F = m ~R + ~F ′ .

Zakljucak je: ukoliko je relativno ubrzanje, ~R, izmedu oba sustva jednako nuli, na cesticudjeluju iste sile, bez obzira opisuje li se gibanje iz sustava S ili S ′. Ubrzanje je nula kada jebrzina konstantna, pa se moze reci da su svi sustavi koji se gibaju konstantnom (po iznosu ismjeru) brzinom u odnosu na neki inercijski sustav, i sami inercijski. U svim takvim sustavimadjeluju iste sile

~F = ~F ′ = · · · = inv.

Ukoliko ubrzanje medu sustavima nije jednako nuli, tada osim vanjskih sila djeluje jos i iner-cijska sila

m ~R.

Kao referentni inercijski sustav, najcesce se uzima sustav fiksiran uz zvijezde stajacice. Jedanprimjer neinercijskog sustava je i sama Zemlja na cijoj povrsini mi svi zivimo. U odnosu nasustav zvijezda stajacica, Zemlja se ne giba konstantnom brzinom: ona se vrti oko svoje osi,giba se po elipticnoj putanji oko Sunca i zajedno sa cijelim suncevim sustavom se giba okosredista nase galaksije. O ucincima ovih gibanja ce biti vise rijeci u poglavlju 8.Detaljnija analiza gibanja u odnosu na razlicite sustave koji se i sami relativno gibaju dovelaje A. Einsteina7 1905. godine do otkrica Specijalne teorije relativnosti. Pokazalo se da

7Alber Einstein, Ulm 14. III 1879. - Princeton 1955.


su relativisticki ucinci vazni za opis gibanja tek kod brzina bliskim brzini svjetlosti

c ≃ 300 000km

s.

Za opis gibanja cestica koje se gibaju bitno manjim brzinama nego sto je c, relativisticki seucinci mogu zanemariti.

♣ U vezi s Newtonovim aksiomima potrebno je posebno komentirati i pojam mase koji sepojavljuje u drugom aksiomu

~a =1

m~F.

Gornja je jednadzba primjer jednog cijelog tipa jednadzba koje se pojavljuju u fizici, a koje suoblika

[ sustav ] = [odziv] · [vanjska smetnja],

gdje se promatra medudjelovanje sustava i okolice, a odzivna funkcija mjeri kako jako ili kakoslabo se sustav mijenja uslijed djelovanja vanjske smetnje. Npr. ako na dva tijela, jedno malemase m i drugo velike mase M , djeluje ista sila, tada ce tijelo manje mase m dobiti veceubrzanje, nego tijelo vece mase M . Vidimo da se tu masa pojavljuje kao velicina koja odredujeodziv (odzivna funkcija, susceptibilnost) tijela (sustava) na vanjsku pobudu (silu): sto je vecamasa, manja je reakcija (ubrzanje). Masa se dakle, pojavljuje kao mjera tromosti, kao osobinakojom se cestica odziva na djelovanje vanjske pobude (sile). Zbog ove svoje osobine, masa kojase pojavljuje u gornjoj jednadzbi se naziva troma masa.Drugo svojstvo mase se sastoji u slijedecem: u poglavlju 7 ove knjige cemo vidjeti (takoderzahvaljujuci Newtonovu otkricu) da se cestice (tijela) jedna na drugu djeluju privlacnom (grav-itacijskom) silom

∣∣∣ ~FG∣∣∣ = G

m1 m2

r 21,2

,

koja je utoliko veca ukoliko je vece jedno svojstvo cestice koje se naziva teska masa. Ovo jesvojstvo zgodno usporediti sa elektricnim nabojem: kao sto znamo tockasti elektricni nabojidjeluju jedni na druge silom koja je srazmjerna umnosku naboja i obratno srazmjerna kvadratunjihove medusobne udaljenosti

∣∣∣ ~FC∣∣∣ =

1

4πǫ0

q1 q2r 21,2

,

(Coulombova elektrostatska sila). Sto je vise naboja i sila je veca. Slicno se moze i teska masazamisliti kao neka vrsta gravitacijskog naboja koja je izvor gravitacijske sile, bas kao stosu i elektricni naboji izvor elektricne sile8 .Uocimo da se radi o dva posve razlicita svojstva cestice: odzivu i naboju. Jedno je odzivcestice (sustava) na djelovanje neke vanjske pobude (sile), a drugo je svojstvo koje samoj cesticiomogucava da bude izvor sile (naboj) u odnosu na okolinu. Eksperimentalno je s vrlo velikim

8Postoji naravno i razlika: elektricni naboji mogu biti pozitivni i negativni, dok je gravitacijski naboj uvijek pozitivan. Posljedicaovoga je da se medudjelovanje elektricnih naboja moze ostvariti na dva nacina: medudjelovanje istoimenih i medudjelovanjeraznoimenih naboja, sto vodi na odbojne i privlacne sile. Gravitacijski naboj je uvijek istog predznaka i zato sila ima uvijek isti -privlacni - karakter.

4.2. RAD, SNAGA I KINETICKA ENERGIJA 107

stupnjem tocnosti utvrdeno da su ova dva svojstva numericki jednaka (istog su iznosa iako imje fizicko znacenje posve razlicito) i zato se za njih koristi ista oznaka m, a oba se svojstvanazivaju jednostavno masa, bez preciziranja radi li se o tromoj ili teskoj masi.

Nakon ovih malih digresija, vratimo se Newtonovim aksiomima. Treci Newtonov aksiom izvornoglasi:

(3 )Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem sive corporumduorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrariasdirigi.

On se naziva aksiom djelovanja i protudjelovanja (akcije i reakcije) i u slobodnom prijevodu

glasi: ako cestica (tijelo) A djeluje na cesticu (tijelo) B silom ~FAB, tada i cestica (tijelo) B

djeluje na cesticu (tijelo) A silom ~FBA, istog iznosa, a suprotnog smjera

~FAB = −~FBA. (4.5)

Nerazumjevanje ovog aksioma je izvor mnogih prividnih paradoksa. Jedan od najcescih jepitanje kako objasniti da konj vuce kola: ako konj djeluje na kola istom silom kao i kola nakonja, onda bi i konj i kola trebali ostati na mjestu. To se ipak ne dogada. Zasto?

4.2 Rad, snaga i kineticka energija

Neka se cestica nalazi u tocki opisanoj radij vektorom ~r. Pomakne li se cestica za d~r u poljukonstantne vanjske9 sile ~F , definira se diferencijal10 rada W (od engl. work) kao

dW = ~F · d~r = F dr cos(~F , d~r). (4.6)

Prema samoj definiciji skalarnog umnoska slijedi da je komponenta sile paralelna s pomakomcestice, upravo dana mnoziteljem F cos(~F , d~r). Prema tome, ako je cos(~F , d~r) > 0, pomakcestice je u smjeru paralelne komponente sile i kaze se da sila (okolina) obavlja rad nad

cesticom (sustavom). Ako je cos(~F , d~r) < 0, tada je pomak cestice u smjeru suprotnom odsmjera paralelne komponente vanjske sile i kaze se da cestica obavlja rad nad okolinom. Akoje cos(~F , d~r) = 0, tada sila nema komponentu u smjeru pomaka cestice i nije obavljen nikakv

9Sila se moze shvatiti kao nacin na koji okolina djeluje na cesticu10Primjetimo da se ovdje rijec diferencijal koristi kao oznaka za mali iznos rada, a ne u matematickom smislu pojma difrencijala:

ne postoji nekakva funkcija W koja kada se diferencira daje dW = ~F · d~r. Dok npr. postoji funkcija f = x2 ciji je diferencijaljednak df = 2xdx. Ovaj df je pravi diferencijal, dok dW nije pravi diferencijal. Ponekad, napose u termodinamici, ova se razlikanaglasava tako da se umjesto dW pise d′W , no takvo oznacavanje necemo koristiti u ovoj knjizi.


rad. Iz gornje definicijske jednakosti, jedinica za rad je umnozak jedinice za silu i jedinice zaput. U SI sustavu ta se jedinica zove dzul11 i oznacava se s J

J = N m = kgm 2

s 2.

Po svojim dimenzijama, rad je

[W ] = [m][L 2]

[T 2].

Izraz (4.6) daje rad na diferencijalnom dijelu puta. Kako izracunati rad na konacnom dijelu puta(slika 4.2), ako uzmemo u obzir da sila ne mora biti ista u svakoj tocki putanje? Razdijelimo umislima putanju cestice u N djelica d~r koji su toliko mali da je sila priblizno konstantna unutarsvakog tog djelica. Sada mozemo pomocu gornjeg zaokvirenog izraza izracunati diferencijalrada unutar svakog tog djelica putanje, a ukupan rad po cijeloj putanji od pocetne tocke Pdo konacne tocke K racunamo tako da zbrojimo radove po svim djelicima od kojih se sastoji

Slika 4.2: Uz definiciju rada.

putanja. U granici kada N → ∞, ovaj zbroj prelazi u integral, pa se za ukupan rad dobiva

WP,K =

∫ K

P

~F · d~r =

∫

c

~F · d~r =

∫ ~rtK

~rtP

~F · d~r. (4.7)

Integrira se po putanji C od pocetne do konacne tocke.

SNAGA, P (od engl. power) se definira kao brzina kojom se obavlja rad

P =dW

d t=

~Fd~r

d t= ~F ~v. (4.8)

11James Prescot Joul, engleski fizicar, 1818 - 1889, prvi je shvatio vezu izmedu mehanickog rada, energije i topline.

4.3. KONZERVATIVNE SILE I POTENCIJALNA ENERGIJA 109

U SI sustavu, jedinica za snagu se zove vat12 s oznakom W i definira se kao

W =J

s= N

m

s= kg

m 2

s3.

Po dimenziji, snaga je

[P ] = [m][L 2]

[T 3].

ENERGIJA, E: cestica moze posjedovati dvije vrste mehanicke energije: jedna - kineticka -potjece od gibanja cestice, a druga - potencijalna - potjece od polozaja cestice u polju konz-ervativne sile (o konzervativnim silama cemo govoriti u slijedecem odjeljku). Neka se cesticamase m giba od pocetne tocke s radij vektorom ~rP , u kojoj ima brzinu ~vP , do konacne tockes radij vektorom ~rK , u kojoj ima brzinu ~vK . Izracunajmo ukupan rad koji sila ~F obavi nadcesticom pri njezinom gibanju od pocetne do konacne tocke. U skladu s drugim Newtonovimaksiomom (4.2), umnozak mase i ubrzanja cestice jednak je sili koja djeluje na cesticu, pa jestoga rad (4.7) jednak

WP,K =

∫ ~rK

~rP

~F · d~r =

∫ ~rK

~rP

md~v

dtd~r = m

∫ ~vK

~vP

~v d~v =m~v 2

K

2− m~v 2

P

2≡ Ek(K) −Ek(P ). (4.9)

Vidimo da je rad obavljen na racun promjene jedne velicine koja ovisi samo o svojstvimacestice: njezinoj masi i brzini. Ta se velicina naziva kineticka energija i oznacava se s Ek

Ek =m~v 2

2.

Ako je konacna kineticka energija veca od pocetne, Ek(K) > Ek(P ), vanjska sila (okolina) jeobavila rad nad cesticom i povecala joj brzinu. Ako se kineticka energija smanjila, Ek(K) <Ek(P ), tada je cestica dio svoje kineticke energije potrosila na obavljanje rada nad okolicom(savladavanje vanjske sile).Iz cinjenice da je rad jednak razlici kinetickih energija, slijedi zakljucak da su i rad i kinetickaenergija istih dimenzija i da se mjere u istim jedinicama, dzulima.

4.3 Konzervativne sile i potencijalna energija

U prirodi postoji jedna vrsta sila koje se nazivaju konzervativne sile i koje imaju vrlo posebnosvojstvo u odnosu na rad koji obavljaju nad cesticom:

rad konzervativnih sila ne ovisi o obliku putanje

po kojoj se rad obavlja, nego samo o pocetnoj i konacnoj tocki. To je osnovno fizicko znacenjepojma konzervativnosti: rad ne ovisi o obliku puta. Ovaj se fizicki sadrzaj moze matematickiiskazati u integralnom i diferencijalnom obliku. Integralni iskaz bi mogao biti ovakav: kon-tinuirano i derivabilno polje sila ~F je konzervativno, ako je rad takve sile po svakoj zatvorenoj

12u cast skotskog fizicara i inzenjera Jamesa Watta, (1736–1819).


(takvoj da su pocetna i konacna tocka iste) jednostavnoj (nema samopresjecanja) putanji jed-nak nuli

∮

c

~F · d~r = 0. (4.10)

Pokazat cemo da se u tom slucaju sila moze napisati u obliku (negativnog) gradijenta jedneskalarne funkcije koja se naziva potencijalna energija, Ep (to je diferencijalni oblik zapisakonzervativnosti)

~F = −−→∇Ep. (4.11)

U pravokutnom koordinatnom sustavu, gornja relacija glasi

~F = −(~ex

∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z

)Ep

Primjetimo da je ovako definirana potencijalna energija neodredena do na konstantu, zatojer i Ep i Ep + const. daju istu silu. Ako se citatelj pita zasto je potreban minus u gornjojdefiniciji, onda se treba prisjetiti odjeljka 2.4.1 u kojem je pokazano da gradijent ima smjernajbrzeg porasta funkcije. Odabir minusa znaci da sila ima smjer najbrzeg opadanja funkcijepotencijalne energije, tj. sila ima smjer prema lokalnom minimumu potencijalne energije. Naprimjeru gravitacijske sile (za koju ce se kasnije pokazati da je takoder konzervativna) to znacida voda sama od sebe tece niz brdo, a ne uz brdo kao sto bi to bio slucaj kada u gornjojdefiniciji ne bi bilo minusa. Taj minus je dakle odabrala priroda, a ne fizicari.Konzervativne sile imaju i to svojstvo da je njihova rotacije jednaka nuli (kaze se da su tobezvrtlozna polja)

−→∇ × ~F = 0. (4.12)

Najprije cemo pokazati da za konzervativne sile vrijedi (4.10), a zatim cemo pokazati da susva tri gornja iskaza: (4.10), (4.11) i (4.12), medusobno ekvivalentna.

(ako rad ne ovisi o obliku putanje) ⇒ (∮~Fd~r = 0)

Dokazimo relaciju (4.10): pretpostavimo da polje sile jeste konzervativno (da rad ne ovisi oputu i pokazimo da je tada rad po zatvorenoj putanji jedank nuli. Na slici 4.3.A je prikazanajedna zatvorena putanja PAKBP . Tu cemo putanju rastaviti na dva dijela PAK i KBP (kojezajedno cine cijelu zatvorenu putanju) i izracunati zbroj integrala po te dvije putanje

∮~Fd~r =

∫

PAK

~Fd~r +

∫

KBP

~Fd~r

= −∫

KAP

~Fd~r +

∫

KBP

~Fd~r.

No, prema nasoj pretpostavci, integrali ovise samo o pocetnoj i konacnoj tocki, a one su isteu gornja dva integrala, pa je zbog negativnog predznaka ispred prvog integrala, njihov zbroj


jednak nuli, tj.

∮~Fd~r = 0,

cime je dokazana polazna tvrdnja.

(∮~Fd~r = 0) ⇒ ( rad ne ovisi o obliku putanje)

Slicno se dokazuje i suprotan smjer tvrdnje: ako pretpostavimo da je integral po zatvoremojputanji jednak nuli, treba pokazati da integral po bilo kojoj putanji ovisi samo o pocetnoj ikonacnoj tocki te putanje

∮~Fd~r = 0 =

∫

PAK

~Fd~r +

∫

KBP

~Fd~r = −∫

KAP

~Fd~r +

∫

KBP

~Fd~r

⇒∫

KAP

~Fd~r =

∫

KBP

~Fd~r,

tj. integral od pocetne tocke P do konacne tocke K je isti bez obzira ide li putanja preko tockeA ili tocke B, dakle ne ovisi o obliku putanje.

( rad ne ovisi o obliku putanje) ⇒ (~F = −−→∇Ep)Pretpostavimo da vrijedi (4.10), tj. rad ne ovisi o obliku putanje i pokazimo da tada vrijedi(4.11). Pocetna tocka je konstantna s koordinatama (xP , yP , zP ), a konacna je varijabilna s

Slika 4.3: Uz dokaz konzervativnosti.


koordinatama (x, y, z), kao na slici 4.3.B. Oznacimo s EP slijedeci integral

EP (x, y, z) = −∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

~Fd~r (4.13)

= −∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

[Fx(x, y, z)dx+ Fy(x, y, z)dy + Fz(x, y, z)dz

]

= −∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

Fx(x, y, z)dx−∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

Fy(x, y, z)dy −∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

Fz(x, y, z)dz.

Po pretpostavci, gornji integral ne ovisi o putanji, pa za putanju C, mozemo odabrati slijedeciniz od tri pravaca13:

C ≡ p1 ⊕ p2 ⊕ p3.

p1: (xP , yP , zP ) → (x, yP , zP ) ,

p2: (x, yP , zP ) → (x, y, zP ),

p3: (x, y, zP ) → (x, y, z).

Na prvom se pravcu samo x mijenja od xP do x, a preostale dvije koordinate imaju nepromi-jenjene vrijednosti yP i zP . Zato je na ovom pravcu

p1 : dx 6= 0, dy = dz = 0

i od gornja tri integrala, doprinos razlicit od nule dolazi samo od prvog clana

−∫ x

xP

Fx (η, yP , zP ) d η.

(nijema varijabla, po kojoj se integrira, oznacena je s η). Na drugom se pravcu samo y mijenjaod yP do y, a preostale dvije koordinate imaju nepromijenjene vrijednosti x i zP . Zato je naovom pravcu

p2 : dy 6= 0, dx = dz = 0

i od tri integrala iz (4.13), doprinos razlicit od nule dolazi samo od drugog clana

−∫ y

yP

Fy (x, η, zP ) d η.

I na trecem pravcu se samo z mijenja od zP do z, a preostale dvije koordinate imaju nepromi-jenjene vrijednosti x i y. Zato je na ovom pravcu

p3 : dz 6= 0, dx = dy = 0

i od tri integrala iz (4.13), doprinos razlicit od nule dolazi samo od treceg clana

−∫ z

zP

Fz (x, y, η) d η.

13Pravce odabiremo zato jer je po njima lagano integrirati.


Sada (4.13) glasi

Ep(x, y, z) = −∫ x

xP

Fx(η, yP , zP ) d η −∫ y

yP

Fy(x, η, zP ) d η −∫ z

zP

Fz(x, y, η) d η. (4.14)

Ako se gornja relacija parcijalno derivira14 po z, dobit ce se

∂Ep(x, y, z)

∂z= −Fz(x, y, z), (4.15)

zato sto u prva dva clana desne strane (4.14) varijabla z ima konstantnu vrijednost zP , paderivacija konstante iscezava. Ako se (4.14) parcijalno derivira po y, dobiva se

∂Ep(x, y, z)

∂y= −Fy(x, y, zP ) −

∫ z

zP

∂ Fz(x, y, η)

∂yd η.

Ako se u gornji izraz za Fz uvrsti (4.15), slijedi

∂Ep(x, y, z)

∂y= −Fy(x, y, zP ) +

∫ z

zP

∂

∂y

∂Ep(x, y, η)

∂ηdη

= −Fy(x, y, zP ) +

∫ z

zP

∂

∂η

[∂Ep(x, y, η)

∂y

]dη

= −Fy(x, y, zP ) +∂Ep(x, y, z)

∂y− ∂Ep(x, y, zP )

∂y

⇒ ∂Ep(x, y, zP )

∂y= −Fy(x, y, zP ),

No, ono sto vrijedi za zP , vrijedi za svaki drugi z, pa iz gornjeg izraza slijedi

∂Ep(x, y, z)

∂y= −Fy(x, y, z). (4.16)

Ako se sada (4.14) parcijalno derivira jos i po x, dobiva se

∂Ep(x, y, z)

∂x= −Fx(x, yP , zP ) −

∫ y

yP

∂ Fy(x, η, zP )

∂xd η −

∫ z

zP

∂ Fz(x, y, η)

∂xd η. (4.17)

14Parcijalna derivacija odredenog integrala se izvodi na slijedeci nacin (vidjeti npr. referencu [3], str. 507)

d

dα

∫ h(α)

g(α)f(η, α) d η =

∫ h(α)

g(α)

∂ f(η, α)

∂ αd η + f(h(α), α)

d h(α)

dα− f(g(α), α)

d g(α)

d α.


Za Fz i Fy se uvrsti (4.15) i (4.16), pa slijedi

∂Ep(x, y, z)

∂x= −Fx(x, yP , zP ) +

∫ y

yP

∂

∂x

∂Ep(x, η, zP )

∂ηd η +

∫ z

zP

∂

∂x

∂Ep(x, y, η)

∂ηd η

= −Fx(x, yP , zP ) +

∫ y

yP

∂

∂η

[∂Ep(x, η, zP )

∂x

]d η +

∫ z

zP

∂

∂η

[∂Ep(x, y, η)

∂x

]d η

= −Fx(x, yP , zP ) +∂Ep(x, y, zP )

∂x− ∂Ep(x, yP , zP )

∂x+∂Ep(x, y, z)

∂x− ∂Ep(x, y, zP )

∂x

⇒ ∂Ep(x, yP , zP )

∂x= −Fx(x, yP , zP ).

Ono sto vrijedi za yP i zP , vrijedi za svaki drugi y i z, pa je

∂Ep(x, y, z)

∂x= −Fx(x, y, z). (4.18)

Relacijama (4.15), (4.16) i (4.18) je pokazano da iz pretpostavke o neovisnosti integrala o

putanji slijedi ~F = −−→∇Ep.

(~F = −−→∇Ep) ⇒ (∮~F · d~r = 0)

Pretpostavimo da vrijedi (4.11) i pokazimo da je tada zadovoljena relacija (4.10). Podsjetimose najprije kako izgleda diferencijal funkcije tri varijable

dEp(x, y, z) =∂ Ep∂x

dx+∂ Ep∂y

dy +∂ Ep∂z

dz.

Izracunajmo rad sile oblika (4.11) od tocke P do tocke K duz proizvoljne putanje

WP,K =

∫ K

P

~F · d~r = −∫ K

P

(~ex∂Ep∂x

+ ~ey∂Ep∂y

+ ~ez∂Ep∂z

)(~ex dx+ ~ey dy + ~ez dz)

=

∫ P

K

(∂Ep∂x

dx +∂Ep∂y

dy +∂Ep∂z

dz

)

=

∫ P

K

dEp = Ep(xP , yp, zP ) − Ep(xK , yK , zK). (4.19)

Ovime je pokazano da rad ne ovisi o obliku putanje, nego samo o pocetnoj i konacnoj tocki.Ako je putanja zatvorena, P ≡ K i gornji je rad jednak nuli.

(~F = −−→∇Ep) ⇒ (−→∇ × ~F = 0)

Vec je ranije, relacijom (2.35), pokazano da je rotacija gradijenta jednaka nuli, pa time odmahiz pretpostavke da vrijedi (4.11) slijedi (4.12)

−→∇ × ~F = −−→∇ × (−→∇Ep) = 0.


(−→∇ × ~F = 0) ⇒ (~F = −−→∇Ep)

Suprotan smjer: pretpostavimo da je−→∇ × ~F = 0, sto daje tri skalarne jednadzbe (npr. u

pravokutnom koordinatnom sustavu)

~ex

(∂ Fz∂ y

− ∂ Fy∂ z

)+ ~ey

(∂ Fx∂ z

− ∂ Fz∂ x

)+ ~ez

(∂ Fy∂ x

− ∂ Fx∂ y

)= 0,

∂ Fz∂ y

=∂ Fy∂ z

,∂ Fx∂ z

=∂ Fz∂ x

,∂ Fy∂ x

=∂ Fx∂ y

. (4.20)

Ocito ce gornje jednadzbe biti zadovoljene, ako je svaka komponenta sile srazmjerna derivacijineke skalarne funkcije po toj istoj komponenti radij vektora,

Fx = −∂Ep∂x

, Fy = −∂Ep∂y

, Fz = −∂Ep∂z

. (4.21)

Uz gornje veze, zadovoljene su relacije (4.20)

∂

∂ y

∂Ep∂z

=∂

∂ z

∂Ep∂y

∂

∂ z

∂Ep∂x

=∂

∂ x

∂Ep∂z

∂

∂ x

∂Ep∂y

=∂

∂ y

∂Ep∂x

.

No, (4.21) je upravo (4.11).

(−→∇ × ~F = 0) ⇒ (

∮~F · d~r = 0) i (

∮~F · d~r = 0) ⇒ (

−→∇ × ~F = 0)Oba smjera proizlaze iz Stokesova teorema (odjeljak 2.4.4).

Zadatak: 4.1 Nadite rad obavljen po dijelu jedinicne kruznice od 0 do π u ravnini (x, y), protivsile dane sa

~F = −~exy

x 2 + y 2+ ~ey

x

x 2 + y 2.

Uocite da obavljeni rad ovisi o putu. Cemu je jednaka rotacija ~F? Objasnite ovajrezultat.

R: ... dovrsiti ....

Sacuvanje mehanicke energije. Iz drugog Newtonovog aksioma smo dosli do veze (4.9)izmedu obavljenog rada i kineticke energije, a u (4.19) smo povezali rad s potencijalnom ener-gijom cestice u polju konzervativne sile. Kombiniranjem ova dva izraza, dolazi se do

WP,K =

Ek(K) −Ek(P ) (4.9),

EP (P ) − EP (K) (4.19) ,


⇒ Ek(P ) + EP (P ) = Ek(K) + EP (K),

tj. zbroj kineticke i potencijalne energije cestice je isti u tocki P kao i u tocki K. Buduci date tocke nisu ni po cemu posebne, zakljucujemo da je zbroj kineticke i potencijalne energijekonstantan u svakoj tocki prostora. Ova se konstanta naziva mehanicka energija

Ek + Ep = Emeh. = const. (4.22)

Gornja relacija predstavlja zakon o sacuvanju mehanicke energije. Naglasimo jos jednom daona vrijedi samo u slucaju kada su sve sile koje djeluju na cesticu, konzervativne. Neke odkonzervativnih sila s kojima cemo se jos susretati su: gravitacijska, elasticna, Lorentzova, ...

Recimo na kraju i kakve su to nekonzervativne sile. Nekonzervativne sile su sve one silekoje nisu konzervativne (npr. to su brojne sila trenja koje se pojavljuju u realnim procesima,zatim neke od sila u hidrodinamici itd.), tj. to su one sile kod kojih rad ovisi o obliku putanjeod pocetne do krajnje tocke. Vise matematicki receno, to su sve one sile koje se ne mogunapisati u obliku gradijenta nekog skalarnog polja (ne postoji njima pridruzena potencijalnaenergija).

4.4 Impuls sile i momenti

Impuls sile. Promatra li se sila kao vektorsko polje, ona moze ovisiti i o prostornim i ovremenskoj kooordinati ~F = ~F (~r, t). Sa stanovista vremenske ovisnosti, sila ne mora bitikonstantna u vremenu: njezini iznos i smjer se mogu mijenjati tijekom vremena. Rezultatdjelovanja sile unutar vremenskog intervala tP ≤ t ≤ tK , jeste promjena kolicine gibanja cestice

∫ tK

tP

~F (t) dt =

∫ tK

tP

d~p

dtdt = ~p (tK) − ~p (tP ). (4.23)

Gornji integral se naziva impuls sile. Primjetimo da ovaj rezultat vrijedi i ako se masa cesticemijenja s vremenom, kao i da ne ovisi o tome je li sila konzervativna ili nije.

Moment sile i moment kolicine gibanja. Za cesticu koja se giba po putanji opisanojradij vektorom ~r(t) u odnosu na ishodiste nekog koordinatnog sustava O (slika 4.4) u polju sile~F , definira se moment sile ~M u odnosu na ishodiste, relacijom

~M = ~r × ~F . (4.24)

Iznos momenta sile | ~M | je mjera ucinka zakreta koji sila izvodi nad cesticom. Slicno se definira

i moment kolicine gibanja cestice, ~L ,

~L = ~r × ~p . (4.25)

Pokazimo vezu koja postoji izmedu ova dva momenta. Izraz za drugi Newtonov aksiom (4.2),pomnozimo s lijeva vektorski s ~r

~r ×/

d~p

dt= ~F ⇒ ~r × d~p

dt= ~r × ~F .

4.4. IMPULS SILE I MOMENTI 117

Slika 4.4: Uz definiciju momenta sile i momenta kolicine gibanja.

Na desnoj strani prepoznajemo ~M = ~r × ~F , a lijevu stranu mozemo napisati kao

~r × d~p

dt=

d

dt(~r × ~p )︸︷︷︸

= ~L

− d~r

dt× ~p

︸︷︷︸

= 0

.

Drugi clan desne strane je jednak nuli zato jer su d~r/dt = ~v i ~p = m ~v kolinearni vektori, paje po definiciji, njihov vektorski umnozak jednak nuli. Kombiniranjem gornje dvije jednadzbe,zakljucujemo da je

d~L

dt= ~M. (4.26)

Time je pokazano da izmedu momenta kolicine gibanja i momenta sile postoji ista veza kao iizmedu kolicine gibanja i sile (drugi Newtonov aksiom (4.2), d~p /dt = ~F ). Gornji izraz vrijedi iako je masa cestice promjenjiva i za sve sile (a ne samo za konzervativne). Ukoliko je momentsila jednak nuli

d~L

dt= 0 ⇒ ~L = const.,

moment kolicine gibanja je konstantan u vremenu. Kaze se da tada vrijedi zakon o sacuvanjumomenta kolicine gibanja. Ako je samo jedna od komponenata ~M jednaka nuli, npr. Mz = 0,tada je samo z komponeta momenta kolicine gibanja sacuvana, dok su druge dvije komponentepromjenjive

Mx 6= 0 ⇒ Lx 6= const.,

My 6= 0 ⇒ Ly 6= const.,

Mz = 0 ⇒ Lz = const.

Podsjetimo se da su i moment sile, kao i moment kolicine gibanja pseudo vektori, zato jer ne


mijenjaju svoj predznak kada koordinatne osi promjene predznak

~M(−x,−y,−z) = (−~r) × (−~F ) = ~r × ~F = ~M(x, y, z),

i slicno za ~L .

Rezimirajmo: za sve sile (i konzervativne i nekonzervativne) vrijede relacije:

WP,K =

∫ K

P

~Fd~r = Ek(K) −Ek(P ),

∫ tK

tP

~F (t) dt = ~pK − ~p P ,d~L

dt= ~M,

a samo za konzervativne sile vrijedi:

∫ K

P

~F d~r = Ep(P ) − Ep(K), Ek + Ep = const..

4.5 Statika ili ravnoteza cestice

Ravnoteznim stanjem cestice nazivamo situaciju u kojoj je zbroj svih sila koje djeluju na cesticujednak nuli i cestica miruje ili se giba konstantnom brzinom u odnosu ne neki inercijski sustav.Shvati li se mirovanje kao poseban slucaj gibanja konstantnom brzinom jednakom nuli, u skladus drugim Newtonovim aksiomom, (4.2), uvjet ravnoteze cestice se moze napisati kao

~F = 0, (4.27)

gdje je ~F zbroj svih sila koje djeluju na cesticu. U ovom je slucaju kolicina gibanja cesticekonstantna

d~p

dt= ~F = 0 ~p = ~p 0 = const.,

Kolicina gibanja je konstantna i jednaka svojoj pocetnoj vrijednosti. Ako je cestica u pocetnomtrenutku mirovala i ako na nju ne djeluju sile, ona ce ostati u stanju mirovanja. To je zakonsacuvanja kolicine gibanja: kolicina gibanja je konstantna u vremenu. Ako je samo jedna odkomponenata ~F jednaka nuli, npr. Fz = 0, tada je samo z komponeta kolicine gibanja sacuvana,dok su druge dvije komponente promjenjive

Fx 6= 0 ⇒ px 6= const.,

Fy 6= 0 ⇒ py 6= const.,

Fz = 0 ⇒ pz = const.

Ako su sile koje djeluju na cesticu konzervativne, a pripadna potencijalna energija je Ep, tadase nuzan uvjet ravnoteze u tocki (x0, y0, z0), moze napisati u pravokutnim koordinatama kao

~F = −−→∇Ep = 0 ⇔ ∂Ep∂x

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

=∂Ep∂y

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

=∂Ep∂z

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

= 0. (4.28)

4.5. STATIKA ILI RAVNOTEZA CESTICE 119

Slika 4.5: Uz definiciju (A) stabilne, (B) labilne i (C) indiferentne ravnoteze cestice i tijela.

Ravnoteza cestice moze biti stabilna, labilna i indeferentna (slika 4.5).

♣ Stabilna ravnoteza, slika 4.5.A, odgovara lokalnom minimumu potencijalne energije: nacesticu koja se malo otkloni od polozaja ravnoteze, djeluju sile koje ju nastoje vratiti uravnotezni polozaj. Ako otklon cestice od polozaja ravnoteze nije mali, cestica moze prijeciu neki drugi lokalni polozaj ravnoteze.

♣ Labilna ravnoteza, slika 4.5.B, odgovara lokalnom maksimimu potencijalne energije: nacesticu koja se malo otkloni od polozaja ravnoteze, djeluju sile koje ju udaljavaju od pocetnogravnoteznog polozaja.

♣ Indiferentna ravnoteza, slika 4.5.C, odgovara lokalno konstantnoj vrijednosti potencijalneenergije: mali otklon od pocetnog polozaja ne dovodi do djelovanja nikakve sile na cesticu. Svetocke iz male okolice pocetne tocke su medusobno ekvivalentne.

Da je (4.28) nuzan, ali ne i dovoljan uvjet ravnoteze, vidi se iz slijedeceg primjera.

Zadatak: 4.2 Pokazite da polje potencijalne energije Ep(x, y) = x ·y, iako zadovoljava relaciju(4.28), ipak nema ekstrem u tocki (0, 0), tj. ishodiste nije ravnotezni polozaj.

R: Pokazimo najprije da Ep zadovoljava uvjete(4.28):

∂Ep∂x

= y = 0 za x = y = 0, i∂Ep∂y

= x = 0 za x = y = 0.

Dakle, i Ep(x, y) i njezine prve derivacije su jednake nuli u ishodistu. Nacrtamo li


Slika 4.6: Ilustracija sedlaste plohe potencijalne energije.

x*y

-10-5 0 5 10x

-10-5

0 5

10y

-100

-50

0

50

100

Ep uokolici ishodista, dobit cemo sedlastu plohu (pozitivan Ep u prvom i trecem, anegativan u drugom i cetvrtom kvadrantu) kao na slici 4.6. Ocito je da ishodistenije ekstremna tj. ravnotezna tocka cestice u polju potencijalne energije Ep.

Dakle, u prostoru dimenzije vece od jedan, relacije (4.28) jesu nuzan, ali ne i dovoljan uvjetza odredivanje ravnoteznog polozaja cestice. Da bi se odredio ravnotezan polozaj, potrebno jestudirati i druge parcijalne derivacije potencijalne energije. Radi jednostavnosti, zadrzat cemose na dvodimenzijskom primjeru. Razvijmo u red funkciju potencijalne energije u okolici tocke(x0, y0)

Ep(x, y) = Ep(x0, y0) + (x− x0)∂Ep∂x

∣∣∣∣x0,y0

+ (y − y0)∂Ep∂y

∣∣∣∣x0,y0

+1

2(x− x0)

2 ∂2Ep∂x 2

∣∣∣∣x0,y0

+ (x− x0)(y − y0)∂ 2Ep∂x∂y

∣∣∣∣x0,y0

+1

2(y − y0)

2 ∂2Ep∂y 2

∣∣∣∣x0,y0

+ · · · ,

gdje su tockicama oznaceni clanovi viseg reda u (x−x0)n(y−y0)m, tj. oni za koje je n+m > 2.Da bi (x0, y0) bila tocka ravnoteze, nuzno je, prema (4.28),

∂Ep∂x

∣∣∣∣x0,y0

=∂Ep∂y

∣∣∣∣x0,y0

= 0. (4.29)

Radi kraceg zapisa, oznacimo

∆ x = x− x0, ∆ y = y − y0, A =∂ 2Ep∂x 2

∣∣∣∣x0,y0

, B =∂ 2Ep∂x∂y

∣∣∣∣x0,y0

, C =∂ 2Ep∂y 2

∣∣∣∣x0,y0

.

U ovim oznakama, razvoj za potencijalnu energiju glasi

Ep(x, y) = Ep(x0, y0) +1

2

(∆ x 2 A + 2∆ x∆ y B + ∆ y 2 C

)+ · · ·

= Ep(x0, y0) + ∆Ep.


Ako otklon od (x0, y0) povecava vrijednost potencijalne energije, onda je (x0, y0) polozaj lokalnogminimuma

(x0, y0) = min. ⇒ ∆ x 2A + 2∆ x∆ yB + ∆ y 2C > 0.

Naprotiv, ako otklon od (x0, y0) snizava vrijednost potencijalne energije, tada je (x0, y0) lokalnimaksimum

(x0, y0) = max. ⇒ ∆ x 2A+ 2∆ x∆ yB + ∆ y 2C < 0.

Potrazimo koje uvjete mora zadovoljavati potencijalna energija, pa da (x0, y0) bude njezinlokalni minimum

∆Ep ≡ ∆ x 2A+ 2∆ x∆ yB + ∆ y 2C > 0.

Prijedimo s pravokutnih varijabli ∆ x i ∆ y, na polarne varijable ρ i ϕ (ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π)

∆ x = ρ cosϕ, ∆ y = ρ sinϕ.

Izravnim trigonometrijskim preobrazbama, za ∆Ep se dobiva

∆Epρ 2

= A cos 2 ϕ+ 2B sinϕ cosϕ+ C sin 2 ϕ

=A + C

2+A− C

2cos 2ϕ+B sin 2ϕ

=A + C

2+

√

B 2 −AC +

(A+ C

2

) 2

sin(2ϕ+ 2δ),

gdje je konstantni kut δ odreden relacijom

tan 2δ =2B

A− C.

Trazimo da bude ∆Ep/ρ2 > 0 za svaku vrijednost sin(2ϕ + 2δ), pa i za njegovu najmanju

vrijednost −1:

A+ C

2−

√

B 2 − AC +

(A+ C

2

) 2

> 0

A+ C

2>

√

B 2 − AC +

(A+ C

2

) 2/

2

(A+ C

2

) 2

> B 2 − AC +

(A + C

2

) 2

AC > B 2.

Buduci da je B 2 > 0, iz gornjeg izraza zakljucujemo da su A i C istog predznaka, a buduci datrazimo da bude ∆Ep pozitivan, i A i C moraju biti pozitivni. Tako smo dobili tri uvjeta datocka (x0, y0) bude lokalni minimum, tj, polozaj stabilne ravnoteze: A > 0, C > 0, AC−B 2 >0. U pocetnim oznakama ovi uvjeti (zajedno s uvjetima iscezavanja prvih parcijalnih derivacija


(4.29)) glase:

∂Ep∂x

∣∣∣∣x0,y0

=∂Ep∂y

∣∣∣∣x0,y0

= 0,

∂ 2Ep∂x 2

∣∣∣∣x0,y0

> 0,∂ 2Ep∂y 2

∣∣∣∣x0,y0

> 0, (4.30)

[∂ 2Ep∂x 2

∂ 2Ep∂y 2

−(∂ 2Ep∂x ∂y

) 2]

x0,y0

> 0.

To su uvjeti da tocka (x0, y0) bude tocka stabilne ravnoteze cestice u polju sile opisane poten-cijalnom energijom Ep(x, y). Ovaj se posljednji uvjet moze napisati i u obliku determinante

∂ 2Ep∂x 2

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂y 2

x0,y0

> 0.

Slicnim se postupkom dobiju uvjeti da je tocka (x0, y0, z0), tocka stabilne ravnoteze cestice u


trodimenzijskom prostoru:

∂Ep∂x

∣∣∣∣x0,y0,z0

=∂Ep∂y

∣∣∣∣x0,y0,z0

=∂Ep∂z

∣∣∣∣x0,y0,z0

= 0, (4.31)

∂ 2Ep∂x 2

∣∣∣∣x0,y0,z0

> 0,

∂ 2Ep∂x 2

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂y 2

x0,y0,z0

> 0,

∂ 2Ep∂x 2

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂x ∂z

∂ 2Ep∂y ∂x

∂ 2Ep∂y 2

∂ 2Ep∂y ∂z

∂ 2Ep∂z ∂x

∂ 2Ep∂z ∂y

∂ 2Ep∂z 2

x0,y0,z0

> 0.

Determinante koje se pojavljuju u gornjim izrazima se zovu Hesseove15 determinante.

15L. O. Hesse, 1811 - 1874.

Poglavlje 5

Gibanje cestice u polju konstantne silei sila ovisnih o brzini

5.1 Gibanje u polju konstantne sile

U prethodnom smo se poglavlju upoznali s drugim Newtonovim aksiomom, tj. jednadzbomgibanja, (4.4), cestice pod djelovanjem sila ~F

d 2 ~r

dt 2=

1

m~F . (5.1)

Ponovimo jos jednom da je to diferencijalna jednadzba drugog reda i da je njezino rjesenje

~r = ~r(t;~r0, ~v0) (5.2)

jednoznacno odredeno zadavanjem pocetnih uvjeta, tj. poznavanjem polozaja i brzine cesticeu jednom odredenom trenutku t0

~r0 = ~r(t0), ~v0 = ~v(t0).

U ovom cemo se poglavlju baviti rjesavanjem ove jednadzbe u osobito jednostavnim slucajevimakada je sila (desna strana jednadzbe) konstantna. Buduci da je sila vektor, njezina konstantnostznaci konstantnost i po iznosu i po smjeru.Evo najjednostavnijeg primjera: sila je konstantna i nema nikakvih dodatnih uvjeta na gibanje.Zbog opcenitosti cemo pretpostaviti da je sila koja djeluje na cesticu oblika

~F = ~ex F0,x + ~ey F0,y + ~ez F0,z,

(slika 5.1), gdje su F0,x, F0,y i F0,z konstante. Ako se u trenutku t0 cestica nalazila u tocki

~r0 = (x0, y0, z0)

i imala brzinu

~v0 = (v0,x, v0,y, v0,z),

treba odrediti polozaj, brzinu i ubrzanje cestice u proizvoljnom trenutku t (bez obzira proslom,t < t0, ili buducem, t > t0). Postavimo jednadzbu gibanja (5.1) i raspisimo ju po komponen-tama u pravokutnom koordinatnom sustavu

d 2 x

dt 2=F0,x

m,

d 2 y

dt 2=F0,y

m,

d 2 z

dt 2=F0,z

m. (5.3)

125

126 POGLAVLJE 5. GIBANJE CESTICE U POLJU KONSTANTNE SILE I SILA OVISNIH O BRZINI

Slika 5.1: U trenutku t0, konstantna sila ~F = ~ex F0,x + ~ey F0,y + ~ez F0,z pocinje djelovati na cesticu mase m.Na slici su oznaceni i pocetni uvjeti ~r0 i ~v0.

Navedimo i pocetne uvjete u pravokutnom koordinatnom sustavu:

x(t = t0) = x0, y(t = t0) = y0, z(t = t0) = z0,

vx(t = t0) = v0,x, vy(t = t0) = v0,y, vz(t = t0) = v0,z.

Iz jednadzba (5.3) se vidi da su gibanja u smjerovima x, y i z osi medusobno nepovezana imogu se rjesavati neovisno jedno o drugom. Gibanja po sve tri osi imaju jednadzbe i pocetneuvjete istog oblika, pa ce im i rjesenja biti istog oblika. Stoga je dovoljno rjesavati samo jednuod njih, npr. onu za koordinatu x. Integracijom ubrzanja, dobit ce se brzina

∫ t

t0

dt

/d 2 x

dt 2=

F0,x

m∫ t

t0

d

dt

(d x

dt

)dt =

F0,x

m

∫ t

t0

dt

(d x

dt

)

t

−(d x

dt

)

t0

=F0,x

m(t− t0).

Prvi clan lijeve strane je x komponenta brzine u trenutku t, a drugi clan je x komponentabrzine u trenutku t0, koja je po pocetnim uvjetima, jednaka v0,x, sto sve zajedno daje za brzinupo osi x

vx(t) ≡(d x

dt

)

t

= v0,x +F0,x

m(t− t0).

5.1. GIBANJE U POLJU KONSTANTNE SILE 127

Integracijom brzine dolazi se do polozaja∫ t

t0

d x

dtdt =

∫ t

t0

v0,x dt+

∫ t

t0

F0,x

m(t− t0) dt

x(t) − x(t0) = v0,x (t− t0) +1

2

F0,x

m(t− t0)

2.

Prema pocetnim uvjetima je x(t0) = x0, pa ukupno rjesenje (polozaj, brzina i ubrzanje) zagibanje u smjeru osi x glasi

x(t) = x0+v0,x (t−t0)+1

2

F0,x

m(t−t0) 2, vx(t) = v0,x+

F0,x

m(t−t0), ax =

F0,x

m. (5.4)

Slicnim bi se postupkom dobile odgovarajuce jednadzbe polozaja i brzine i za preostale dvijekoordinate. Ukupno rjesenje koje daje polozaj, brzinu i ubrzanje (u pravokutnim koordinatama)

cestice mase m koja se giba pod djelovanjem konstantne sile ~F = ~ex F0,x + ~ey F0,y + ~ez F0,z uzzadane pocetne uvjete, za sve tri koordinate je

x(t) = x0 + v0,x (t− t0) +1

2

F0,x

m(t− t0)

2, vx(t) = v0,x +F0,x

m(t− t0), ax =

F0,x

m,

y(t) = y0 + v0,y (t− t0) +1

2

F0,y

m(t− t0)

2, vy(t) = v0,y +F0,y

m(t− t0), ay =

F0,y

m,

(5.5)

z(t) = z0 + v0,z (t− t0) +1

2

F0,z

m(t− t0)

2, vz(t) = v0,z +F0,z

m(t− t0), az =

F0,z

m.

Gornji izrazi su komponente rjesenja (5.2) u pravokutnom koordinatnom sustavu

~r(t;~r0, ~v0) = ~ex x(t; x0, v0,x) + ~ey y(t; y0, v0,y) + ~ez z(t; z0, v0,z).

Konstantna sila je konzervativna. Pokazat cemo da rad konstantne sile ne ovisi o oblikuputanje, nego samo o pocetnoj i konacnoj tocki, tako sto cemo izracunati njezin rad od pocetnetocke (x0, y0, z0) do proizvoljne krajnje tocke (x, y, z)

W =

∫ (x,y,z)

(x0,y0,z0)

~F · d~r =

∫ (x,y,z)

(x0,y0,z0)

(~ex F0,x + ~ey F0,y + ~ez F0,z) · (~ex dx + ~ey dy + ~ez dz)

= F0,x

∫ x

x0

dx + F0,y

∫ y

y0

dy + F0,z

∫ z

z0

dz

= F0,x (x− x0) + F0,y (y − y0) + F0,z (z − z0) = ~F0 · (~r − ~r0). (5.6)

Vidimo da rad ne ovisi o obliku putanje, pa zakljucujemo da je konstantna sila konzervativna.

Buduci da je sila konzervativna, moze joj se, relacijom ~F = −−→∇Ep, pridruziti potencijalnaenergija Ep(x, y, z)

~ex F0,x + ~ey F0,y + ~ez F0,z = −(~ex∂Ep∂x

+ ~ey∂Ep∂y

+ ~ez∂Ep∂z

)

⇒ F0,x = −∂Ep∂x

, F0,y = −∂Ep∂y

, F0,z = −∂Ep∂z

.


Sve su tri jednadzbe istog oblika, pa je dovoljno rjesavati samo jednu od njih, npr. za xkoordinatu

∫dx

/F0,x = −∂Ep

∂x

F0,x

∫dx = −

∫∂Ep∂x

dx = −Ep(x, y, z) + f1(y, z) + c1

i slicno za preostale dvije jednadzbe. Sve zajedno se dobije

F0,x x = −Ep(x, y, z) + f1(y, z) + c1,

F0,y y = −Ep(x, y, z) + f2(x, z) + c2,

F0,z z = −Ep(x, y, z) + f3(x, y) + c3,

gdje je su ci konstante. Iz gornjeg izraza se ocitava cijeli izraz za potencijalnu energiju

Ep(x, y, z) = −F0,x x− F0,y y − F0,z z + c0 = −~F0 · ~r + c0, (5.7)

gdje je c0 proizvoljna konstanta. Ovaj je rezultat konzistentan s rezultatom (5.6) za rad kon-stantne sile, jer je

W = Ep(x0, y0, z0) −Ep(x, y, z).

5.1.1 Slobodan pad

Primjenimo relacije (5.5) na jednostavnom primjeru slobodnog pada.Jedan primjer konstantne sile je i sila kojom Zemlja privlaci tijela u svojoj blizini. Zemljadjeluje privlacnom silom na sva tijela (tijelom nazivamo skup cestica). Ta se sila zove gravitaci-jska sila i uz odredena zanemarivanja, moze se smatrati konstantnom silom (o gravitacijskojsili ce vise biti rijeci u poglavlju 7). Gravitacijska je sila usmjerena (priblizno - vidjeti poglavlje8) prema sredistu Zemlje, a po iznosu je jednaka umnosku mase tijela na koje djeluje i jednogubrzanja koje se zove Zemljino gravitacijsko ubrzanje, ~g . U blizini Zemljine povrsine ovoubrzanje iznosi priblizno

g = 9.80665m

s 2

i malo se mijenja ovisno o zemljopisnoj sirini mjesta na kojemu se ono mjeri. Kada se kaze ublizini Zemljine povrsine, onda se misli na udaljenosti od povrsine koje su male u odnosu napolumjer Zemlje.Ako promatramo cesticu mase m koja se giba u blizini Zemljine povrsine pod djelovanjemgravitacijske sile i ako zanemarimo sile trenja koje dolaze od otpora koje pruzaju cestice zrakaiz atmosfere, mozemo reci da se cestica giba pod djelovanjem konstantne sile. Promatramoli gibanja na prostornoj skali maloj u usporedbi s polumjerom Zemlje, mozemo dio Zemljinekugle zamjeniti ravninom. Postavimo pravokutni koordinatni sustav tako da ravnina (x, y) lezina povrsini Zemlje, a da je os z okomita na nju i usmjerena prema gore. U tom koordinatnomsustavu je gravitacijska sila Zemlje

~FG = −m g ~ez . (5.8)


Gornja sila je sila kojom Zemlja privlaci sva tijela u svojoj blizini i naziva se jos i sila teza.Tezinom tijela, s oznakom ~G , cemo oznacavati silu kojom tijelo djeluje na podlogu na kojojse nalazi ili na objesiste o koje je objeseno. U inercijskim sustavima (vidjeti poglavlje 8) ovesu dvije sile istog iznosa. U neinercijskim sustavima (npr. u dizalu koje se ubrzano giba), ovesile nisu istog iznosa1 Primjetimo jos i da sila teza i tezina tijela nisu sile akcije i reakcije okojima se govori u trecem Newtonovom aksiomu (4.5). U trecem aksiomu se govori o dva tijelakoji jedan na drugi djeluju silama. Sada imamo tri tijela: Zemlja, tijelo mase m i podloga (iliobjesiste). Sila teza je sila kojom Zemlja djeluje na tijelo mase m, a tezina je sila kojom to istotijelo mase m djeluje na podlogu (ili objesiste) na kojoj se nalazi.Gibanje tijela u smjeru prema tlu, pod djelovanjem sile teze (i nijedne druge sile) u bliziniZemljine povrsine, naziva se slobodan pad. Neka se cestica mase m u trenutku t0 nalazi u tocki

~r0 = (0, 0, z0)

i neka ima brzinu

~v0 = (0, 0, v0)

(v0 > 0 ako se cestica giba prema gore, a v0 < 0, ako se cestica giba prema dolje). Kada je silazadana izrazom (5.8), jednadzba gibanja (4.4) glasi

d 2~r

dt 2= −g~ez . (5.9)

U usporedbi s (5.1), komponente sile su

F0,x = 0, F0,y = 0, F0,z = −mg.

Jednadzba (5.9) je istog oblika kao i (5.1), s tom razlikom da su sada sila i pocetni uvjetidrukciji. Uzme li se to u obzir, mozemo iskoristiti rjesenja (5.5)

x(t) = 0, vx(t) = 0, ax(t) = 0,

y(t) = 0, vy(t) = 0, ay(t) = 0, (5.10)

z(t) = z0 + v0(t− t0) −1

2g(t− t0)

2, vz(t) = v0 − g(t− t0), az(t) = −g.

Iako jednostavno, gornje rjesenje sadrzi jednu vaznu informaciju: u njemu se ne pojavljujemasa tijela koje pada, ili drugim rjecima, tijela razlicitih masa, padaju na isti nacin. Ovoje dakako istina samo dotle dok mozemo zanemariti otpor zraka (kao sto je i napravljeno ugornjem racunu). Ako uzmemo u obzir i otpor zraka (odjeljak 5.3), vidjet cemo da gibanjetijela ovisi i o masi i o obliku tijela. Prigodom jednog od spustanja americkih astronauta napovrsinu Mjeseca, izveden je jedan jednostavan pokus: cekic i pticje pero pusteni su padatis priblizno iste visine prema povrsini Mjeseca. Buduci da Mjesec gotovo i nema atmosferu,gotovo da nije bilo ni otpora sile trenja i oba tijela, cekic i pero, su pali na povrsinu Mjeseca upriblizno istom trenutku, u skladu s gornjim jednadzbama.Primjenom rezultata (5.7) za potencijalnu energiju konstantne sile na ovaj posebni primjergravitacijske sile, dobije se gravitacijska potencijalna energija cestice mase m u obliku

Ep = mgz. (5.11)

1U tekucini, zbog uzgona, ove sile takoder nece biti istog iznosa.


Primjetimo da se ovako napisana gravitacijska potencijalna energija moze shvatiti i kao rad sileteze (mg) pri pomaku cestice od povrsine z = 0 do tocke z, bez obzira na vrijednosti x i ykoordinata. Sada z oznacava polozaj cestice iznad Zemljine povrsine, tj. njezinu visinu h, pase gravitacijska potencijalna energija cesto pise i kao Ep = mgh.

Buduci da je gravitacijska sila konzervativna, mora biti zbroj kineticke i potencijalne energijecestice, koja se giba u njezinom polju, konstantan u vremenu i prostoru. Pokazimo da je

Emeh(~r, t) = Emeh(~r0, t0) = const.,

tj. da je zbroj kineticke i potencijalne energije u svakom trenutku jednak zbroju kineticke ipotencijalne energije u pocetnom trenutku. Uvrstimo izraze za kineticku i potencijalnu energijucestice

Emeh(~r, t) = Ek(~r, t) + Ep(~r, t) =mv 2(t)

2+mgz(t) =

m

2(v 2x + v 2

y + v 2z ) +mgz

=m

2

[v 20 − 2v0g(t− t0) + g 2 (t− t0)

2]

+mg

[z0 + v0(t− t0) −

1

2g(t− t0)

2

]

=mv 2

0

2+mgz0

= Emeh(~r0, t0).

Do istog se zakljucka dolazi i promatranjem vremenske promjene mehanicke energije

dEmehd t

=d

d t

[m z 2

2+mgz

]= mz (z + g) = (5.9) = 0.

Ako je vremenska promjena energije jednaka nuli, tada je energija konstanta u vremenu.

5.1.2 Kosi hitac

Kosi hitac je, slicno slobodnom padu, takoder gibanje pod djelovanjem samo sile teze (otporzraka se ponovo zanemaruje), pa su jednadzbe gibanja iste kao kod slobodnog pada

d 2~r

dt 2= −g~ez ⇒ d 2x

dt 2= 0,

d 2y

dt 2= 0,

d 2z

dt 2= −g, (5.12)

ali ga od slobodnog pada razlikuju pocetni uvjeti. U pocetnom trenutku (koji, radi jednos-tavnosti, odabiremo tako da je t0 = 0) cestica ima brzinu iznosa v0 koja zatvara kut α premaZemljinoj povrsini. Postavimo koordinatni sustav tako da u pocetnom trenutku brzina imasamo y i z komponentu (kao na slici 5.2). U tom slucaju pocetni uvjeti glase

x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = z0,

(5.13)

vx(0) = 0, vy(0) = v0 cosα, vz(0) = v0 sinα.

Gornji pocetni uvjeti sadrze u sebi i posebne slucajeve okomitog hica, α = π/2; vodoravnoghica, α = 0 i hica prema dolje, α = −π/2. Jednadzbe gibanja (5.12) su istog oblika kao i


Slika 5.2: Uz kosi hitac.

jednadzbe (5.3), pa ce zato i rjesenja biti oblika (5.5)

x(t) = 0, vx(t) = 0, ax(t) = 0,

y(t) = v0 t cosα, vy(t) = v0 cosα, ay(t) = 0, (5.14)

z(t) = z0 + v0 t sinα− 1

2gt 2, vz(t) = v0 sinα− gt, az(t) = −g.

Razmislimo o gornjem rjesenju. Buduci da je x(t) uvijek nula, zakljucujemo da se gibanje svevrijeme odvija u ravnini (y, z) (u odjeljku 8 cemo uzeti u obzir i vrtnju Zemlje oko svoje osi itada cemo vidjeti da ovo vise nece biti istina). U smjeru osi y gibanje je jednoliko: zaista,u smjeru osi y ne djeluju nikakve sile (gravitacija djeluje samo u smjeru osi z), pa nema nipromjene brzine, ona je ista kao i na pocetku gibanja vy(t) = vy(0) = v0 cosα. Sila djelujesamo u smjeru osi z i u tom smjeru je gibanje sastavljeno od dvije vrste gibanja: pocetnogjednolikog gibanja (konstantnom brzinom v0 sinα ) u smjeru +~ez i jednoliko ubrzanoggibanja u smjeru −~ez (padanja konstantnim ubrzanjem, g).Izracunajmo maksimalnu visinu H koju postigne cestica kod kosog hica uz konstantnupocetnu brzinu v0 i konstantni kut ispaljenja α. Jasno je da ce cestica dostici najvisu tockuputanje u onom trenutku t = tH kada njezina okomita komponenta brzine bude jednaka nuli,tj. kada z koordinata dostigne svoju ekstremni (maksimalni) iznos

vz(t = tH) =d z

d t

∣∣∣∣t=tH

= 0 ⇒ (5.14) ⇒ tH =v0 sinα

g.

To je vrijeme potrebno cestici da dostigna najvisu tocku putanje. Najvisu tocku, zmax = H ,izracunavamo tako da u z(t) uvrstimo tH

H = z(t = tH) = z0 +1

2

v 20 sin 2 α

g. (5.15)


Koliki je doseg, D, kosog hica uz konstantnu pocetnu brzinu v0 i konstantni kut ispaljenja α.Da bismo to izracunali, treba najprije naci vrijeme tD u kojemu ce cestica ponovo pasti na tlo.Uvjet da u trenutku tD cestica bude na tlu glasi

z(t = tD) = 0 = z0 + v0tD sinα− 1

2gt 2D.

Gornja kvadratna jednadzba ima formalno dva rjesenja za tD. Od ta dva rjesenja jedno jemanje od nule, pa ga odbacujemo jer nas zanima samo gibanje cestice nakon pocetnog trenutkat = 0. Pozitivno rjesenje glasi

tD =v0 sinα

g+

√v 20 sin 2 α

g 2+

2z0g.

Primjetimo da ako se cestica u pocetku nalazila na tlu (z0 = 0), tada je tD = 2 tH . Koordinatay opisuje otklon od pocetne tocke u vodoravnom smjeru, pa se doseg dobije tako da se izracunakoliki je y(t = tD)

D = y(t = tD) =v 20

2 gsin 2α

(1 +

√1 +

2z0g

v 20 sin 2 α

). (5.16)

Prema (5.15) i (5.16), visina H i doseg D ovise o pocetnoj brzini v0 i kutu ispaljenja α, pa semoze postaviti slijedece pitanje: ako se projektil ispaljuje s tla, z0 = 0 i ako je brzina ispaljenjav0 konstantna, koliki treba biti kut α, pa da visina H i doseg D budu maksimalni? Uz oveuvjete, visina i doseg su funkcije kuta, H = H(α) i D = D(α), pa se njihov ekstrem, u ovomslucaju maksimum, odreduje iz uvjeta

(5.15) ⇒ ∂ H

∂ α

∣∣∣∣αmax,H

= 0, ⇒ αmax,H =π

2,

(5.16) ⇒ ∂ D

∂ α

∣∣∣∣αmax,D

= 0 ⇒ αmax,D =π

4.

Primjetimo da (kada se ispaljenje vrsi s tla, z0 = 0), tada je αmax,H = 2αmax,D. Kada se izgornjih jednadzba nadu αmax,H i αmax,D, maksimalni visina i doseg se dobiju kao

Hmax = H(αmax,H) =1

2

v 20

g,

Dmax = D(αmax,D) =v 20

g= 2Hmax.

Izracunajmo i oblik putanje cestice, tako sto cemo iz rjesenja za y u jednadzbi gibanja (5.14)eliminirati vrijeme

t =y

v0 cosα

5.2. UVJETI NA GIBANJE: KOSINA 133

i uvrstiti ga u jednadzbu za z

z − z0 = y tanα− g

2v 20 cos 2 α

y 2.

Gornju jednadzbu prepoznajemo kao jednadzbu parabole u (y, z) ravnini.Kao i kod slobodnog pada, i ovdje djeluje samo gravitacijska konzervativna sila, pa zato morabiti zbroj kineticke i potencijalne energije cestice konstantan. Pokazimo da je

Emeh(~r, t) = Emeh(~r0, 0) = const

Uvrstimo izraze za kineticku i potencijalnu energiju cestice

Emeh(~r, t) = Ek(~r, t) + Ep(~r, t) =mv 2(t)

2+mgz(t) =

m

2(x 2 + y 2 + z 2) + mgz

=m

2(0 + v 2

0 cos 2 α + v 20 sin 2 α− 2v0gt sinα + g 2t 2) +mg

(z0 + v0t sinα− 1

2gt 2)

=mv 2

0

2+mgz0 = Emeh(~r0, 0).

Kao i kod slobodnog pada, i sada se do istog zakljucka dolazi i promatranjem vremenskepromjene mehanicke energije

dEmehd t

=d

d t

[m z 2

2+mgz

]= mz (z + g) = (5.12) = 0.

Kada je vremenska promjena energije jednaka nuli, tada je energija konstanta u vremenu.Ako bi se u racun uzela i silu trenja izmedu cestice koja se giba i molekula zraka iz zemljine at-mosfere, tada ukupna mehanicka energija nece biti sacuvana, nego ce se smanjivati (dEmeh / dt) <0, a smanjenje mehanicke energije cestice je po iznosu jednako (a po predznaku suprotno)povecanju mehanicke energije gibanja molekula zraka. Promatra li se sustav koji se sastoji odcestice i zraka kroz koji se ona giba, opet ce mehanicka energija takvog sustava ostati neprom-jenjena u vremenu.

5.2 Uvjeti na gibanje: kosina

Postoje situacije u kojim je cestica prisiljena gibati se duz neke odredene povrsine ( npr. kosine,slika 5.3.A) ili krivulje (npr. po unutrasnjosti zakrivljene plohe, slika 5.3.B). U takvim seslucajevima kaze da je gibanje cestice podvrgnuto odredenim uvjetima. Uslijed djelovanjavanjskih sila (npr. sile teze), cestica ce djelovati silom na plohu kojom se giba, pa ce u skladu strecim Newtonovim aksiomom (4.5), i ploha djelovati na cesticu silom iste jakosti, ali suprotnog

smjera, ~N . Osim ove sile reakcije podloge, postoji jos jedna sila koja je posljedica postojanjauvjeta na gibanje, a zove se trenje. Uslijed privlacnog medudjelovanja cestice s molekulamapodloge po kojoj se giba, pojavit ce se sile koje nastoje zustaviti cesticu u njezinom gibanju.Fenomenoloski se ta sila naziva trenjem, ~Ftr i opisuje se preko koeficijenta trenja µ

Ftr = µ N.

Koeficijent trenja se eksperimantalno odreduje. Smjer sile trenja je suprotan smjeru gibanjacestice,

~Ftr = −µ N ~ev.


Slika 5.3: Uz definiciju uvjeta na gibanje.

Ilustrirajmo ovo primjerom gibanja cestice po kosini kuta nagiba α (slika 5.3.A). Jednostavnomtrigonometrijom se dolazi do

~e1 = ~ex cosα− ~ey sinα,

~e2 = ~ex sinα + ~ey cosα,

Jednadzba gibanja glasi

m(x ~ex + y ~ey ) = −mg~ey +N~e2 − Ftr~e1

= −mg~ey +N(~ex sinα + ~ey cosα) − Ftr(~ex cosα− ~ey sinα),


mx = N sinα− Ftr cosα = N (sinα− µ cosα),

my = −mg +N cosα + Ftr sinα = −mg +N (cosα + µ sinα),

uz pocetni uvjet da je cestica u t = 0 mirovala na vrhu kosine:

x(0) = 0, y(0) = y0,

x (0) = 0, y (0) = 0.

Sa slike 5.3.A je

N = mg cosα,

5.3. SILE OVISNE O BRZINI: (1) SILA PRIGUSENJA 135

sto uvrsteno u jednadzbe gibanja daje za ubrzanje cestice

x = g cosα(sinα− µ cosα),

y = −g sinα(sinα− µ cosα),

a =√x 2 + y 2 = g(sinα− µ cosα).

Sile, tj. desne strane gornjih jednadzba su konstantne, pa mozemo primjeniti rjesenja (5.5) iliih izravno rjesavati. Integracijom po vremenu dobivamo brzinu

x = gt cosα(sinα− µ cosα),

y = −gt sinα(sinα− µ cosα),

v =√x 2 + y 2 = gt(sinα− µ cosα),

a integracijom brzine po vremenu dobivamo koordinate polozaja cestice

x(t) =1

2gt 2 cosα(sinα− µ cosα),

y(t) = y0 −1

2gt 2 sinα(sinα− µ cosα).

Prijedeni put od pocetka gibanja pa do trenutka t je jednak

√x 2 + (y − y0) 2 =

1

2gt 2 sinα(sinα− µ cosα).

5.3 Sile ovisne o brzini: (1) sila prigusenja

Cestica koja se giba kroz neko sredstvo, sudara se s cesticama tog sredstva i tijekom tih su-dara, izmjenjuje s njima energiju i kolicinu gibanja. Makroskopski ucinak ovih sudara je slicandjelovanju jedne sile, koju cemo zvati silom otpora, prigusenja ili disipativnom silom, ~Fprig, akoja ima smjer suprotan smjeru gibanja cestice. Najcesca aproksimacija se sastoji u tome dase pretpostavi da je sila otpora srazmjerna nekoj potenciji relativne brzine, v(t), cestice premamediju kroz koji se giba,

~Fprig = −~ev β vn, β > 0

β je pozitivna konstanta srazmjernosti koja, osim sto prilagodava mjerne jedinice na lijevoji desnoj strani, opisuje (eksperimentalno) svojstva medija u kojem se odvija gibanje i oblik(geometriju) tijela koje se giba.

5.3.1 Slobodan pad

Pogledajmo kako se mijenja jednadzba gibanja cestice u konstantnom polju gravitacijske sile,kada ukljucimo i djelovanje otpora zraka, kada je otpor srazmjeran prvoj potenciji brzine.Jednadzba gibanja sada ima dva clana na desnoj strani

md 2~r

dt 2= −mg~ez + ~Fprig = −mg~ez − β~v.


Za razliku od (5.9), gdje se masa kracenjem nestala iz jednadzbe, u gornjoj jednadzbi ostajemasa, tj. nece se tijela razlicitih masa gibati na isti nacin (sto nam je blisko iz svakodnevnogiskustva). Gornju jednadzbu jos treba nadopuniti pocetnim uvjetima:

t0 = 0 : ~r(0) = ~ez z0, ~v(0) = ~ez v0.

Raspisane po komponentama, jednadzbe gibanja glase

mx = −βx , my = −βy , mz = −mg − βz . (5.17)

Primjetimo da se tijekom padanja, z koordinata cestice smanjuje, tako da je dz < 0 dok jedt > 0, pa je z = dz/dt < 0.

Gornje su jednadzbe medusobno nezavisne, pa se moze rjesavati svaka posebno. Jednadzbe ipocetni uvjeti za x i y komponentu su istog oblika, pa ce i rjesenja biti istog oblika. Rijesimozato samo jednadzbu za komponentu x. Uvedimo novu varijablu vx = x , u kojoj jednadzba zakomponentu x glasi

mdvxdt

= −βvxdvxvx

= − β

mdt

/∫ t

0

∫ vx(t)

vx(0)

dvxvx

= − β

m

∫ t

0

dt

lnvx(t)

vx(0)= − β

mt

vx(t) = vx(0) e−β t/m.

No, prema pocetnim je uvjetima, u pocetnom trenutku, x komponenta brzine jednaka nuli,

vx(0) = 0,

pa iz toga slijedi

vx(t) = 0.

Ako je x komponenta brzine sve vrijeme jednaka nuli, tada je polozaj cestice po osi x neprom-jenjen i jednak polozaju u trenutku t0 = 0, tj.

x(t) = const. = x(0) = 0.

Istim postupkom se i za polozaj po osi y dobije

y(t) = 0.

Preostaje jednadzba za z komponentu

z = −g − β

mz .

Kao sto je vec spomenuto, tijekom padanja, z koordinata cestice smanjuje, tako da je dz < 0dok je dt > 0, pa je z = dz/dt < 0. Uvedimo novu varijablu

Z = −g − β

mz .


U varijabli Z, jednadzba gibanja postaje

−mβ

dZ

dt= Z.

Integracijom od pocetnog do trenutka t, se dobije∫ Z(t)

Z(0)

dZ

Z= − β

m

∫ t

0

dt ⇒ Z(t) = Z(0) e−β t/m.

Vratimo li se u pocetne oznake

z (t) = −mgβ

+

(mg

β+ v0

)e−β t/m. (5.18)

Primjetimo da se, u granici t→ ∞, brzina priblizava konacnoj granicnoj vrijednosti

limt→∞

z (t) = −mgβ.

Vremenskom derivacijom izraza za brzinu (5.18), dobiva se ubrzanje cestice u sredstvu s otporom

z = −(g +

β

mv0

)e−β t/m, (5.19)

a integracijom (5.18), se dobiva polozaj, tj. putanja z = z(t):∫ t

0

dz

dtdt = −m

βgt+

(m

βg + v0

) ∫ t

0

dt e−β t/m

z(t) = z0 −mg

βt− m

β

(mg

β+ v0

) [e−β t/m − 1

].

Granicni slucaj slobodnog pada (bez otpora sredstva) dobiva se kada β u gornjem izrazuiscezava. U tom slucaju moze se razviti eksponencijana funkcija po malom argumentu βt/m idobiti

limβ→0

z(t) = z0 −m

βgt− m

β

(m

βg + v0

) [1 − β

mt+

1

2

β 2

m 2t 2 + · · · − 1

]

= z0 + v0t−1

2gt 2,

sto je upravo rezultat (5.10) koji se dobije promatranjem slobodnog pada bez ucinka trenja.

Izracunajmo mehanicku energiju u proizvoljnom trenutku t > 0 i pokazimo da je manja odpocetne energije mgz0 + mv 2

0 /2, a da je smanjenje energije srazmjerno s koeficijentom β kojiodreduje silu prigusenja. U trenutku t > 0, mehanicka energija je jednaka

E(t) =mz 2(t)

2+mg z(t).

Izravnom derivacijom E po vremenu, i uvrstavanjem (5.18) i (5.19), dolazi se do

dE

dt=

d

dt

[mz 2

2+mgz

]= mz (g + z ) = −β z 2 =

−1

β

[mg(1 − e−βt/m

)− βv0e

−βt/m] 2.


Desna je strana uvijek manja od nule, sto znaci da se energija smanjuje s vremenom (vrijemeuvijek ide u jednom smjeru, pa je zato dt uvijek veci od nule; da bi i lijeva strana bila negativnamora biti dE < 0, tj. energija se mora smanjivati). Primjetimo da gubitak energije nijeravnomjeran u vremenu, tako npr. za male vrijednosti β i/ili t je

dE

dt= −β(v0 − gt+ · · · ) 2.

(od t = 0 pa do t = v0/g se gubitak energije smanjuje, a zatim se ponovo povecava). U graniciβ → 0, energija ostaje sacuvana.

5.3.2 Kosi hitac

Jednadzbama kosog hica (5.12), dodajmo clan s trenjem

md 2~r

dt 2= −g~ez − β ~v ⇒ d 2x

dt 2= − β

mx ,

d 2y

dt 2= − β

my ,

d 2z

dt 2= −g − β

mz . (5.20)

Kao i u slucaju bez trenja (odjeljak 5.1.2), to su opet jednadzbe istog oblika (5.17) kao i kodslobodnog pada, s prigusenjem, ali s razlicitim pocetnim uvjetima.Jednadzbe za x i y koordinatu su istog oblika, pa je dovoljno rijesiti samo jednu od njih, npr.za komponentu x (slicno kao kod slobodnog pada)

mdvxdt

= −βvx

dvxvx

= − β

mdt

/∫ t

0

∫ vx(t)

vx(0)

dvxvx

= − β

m

∫ t

0

dt

lnvx(t)

vx(0)= − β

mt

vx(t) = vx(0) e−β t/m.

Slicno bi se dobilo i za vy(t)

vx(t) = vx(0) e−β t/m, vy(t) = vy(0) e−β t/m.

Prema pocetnim uvjetima je vx(0) = 0, vy(0) = v0 cosα, sto vodi na

vx(t) = 0, vy(t) = v0 cosα e−β t/m.

Rjesavanje z komponente takoder ide kao i kod slobodnog pada: uvodi se nova varijabla

Z = −g − β

mz .

cime jednadzba za z komponentu postaje

−mβ

dZ

dt= Z,


s rjesenjem (kada se vratimo u pocetne oznake)

vz(t) = v0 sinα e−β t/m − m

βg(

1 − e−β t/m).

Sada, kada su poznate svi tri komponente brzine, njihovom integracijom uz uvrstavanje pocetnihuvjeta, dobiju se polozaji

x(t) = 0,

y(t) =m

βv0 cosα

(1 − e−β t/m

),

(5.21)

z(t) = z0 +m

βv0 sinα

(1 − e−β t/m

)− m

βg t +

m 2

β 2g(

1 − e−β t/m).

U granici β → 0, kada sila trenja iscezava, iz (5.21) i odgovarajucih derivacija, dobiju serezultati za kosi hitac bez trenja

limβ → 0

y(t) = v0 t cosα,

limβ → 0

vy(t) = v0 cosα,

limβ → 0

ay(t) = 0,

limβ → 0

z(t) = z0 + v0 t sinα− 1

2g t2,

limβ → 0

vz(t) = v0 sinα− g t,

limβ → 0

az(t) = −g.

Slicno kao i kod slobodnog pada, i sada se moze pokazati da mehanicka energija nije sacuvana,nego se smanjuje uslijed trenja. Izravnom derivacijom ukupne mehanicke energije

E =m

2(y 2 + z 2) +mgz

po vremenu, i uvrstavanjem (5.21) i odgovarajucih derivacija, dolazi se do

dE

dt= my y +mz (g + z )

= −βv20 cos2 α e−2β t/m +

[v0 sinα e−β t/m − mg

β

(1 − e−β t/m

)]2

Izraz u viticastoj zagradi gornjeg izraza je zbroj dva pozitivna broja, pa je i sam uvijek pozitivan,sto znaci da se energija smanjuje s vremenom U granici slabog prigusenja, tj. za male vrijednostiβ je

dE

dt= −β

(v20 − 2 v0 g t sinα + g2 t2

)− β2 g t

2

m

(v0 sinα− 1

2g t

)+ O

(β3).


U granici β → 0, energija ostaje sacuvana.

pocetak balistike

5.4 Sile ovisne o brzini: (2) Lorentzova sila

Ovaj cemo odjeljak posvetiti analizi gibanja cestice u jos jednom polju sile koje nije kon-stantno. To je primjer gibanja cestice koja, osim mase, posjeduje i elektricni naboj iznosaq ≶ 0 i koja se giba u elektromagnetskom polju koje je konstantno i u prostoru i u vremenu.Elektromagnetsko polje opisujemo dvama vektorima: vektorom jakosti elektricnog polja ~E ivektorom indukcije magnetskog polja ~B . Sila koja djeluje na cesticu je oblika

~FL = q ~E + q ~v × ~B (5.22)

i zove se Lorentzova sila2 Sastoji se od dva clana: prvog koji predstavlja silu od elektricnogpolja i drugog koji predstavlja silu od magnetskog polja. Ova je druga sila osobita po tome stoovisi o brzini cestice ~v = ~v(t) koja ne mora biti konstanatna u vremenu, pa time i cijela silamoze ovisiti o vremenu. Lorentzova je sila konzervativna, sto se lako vidi ako se izracunarad ~FL izmedu dvije tocke. Za polja ~E i ~B konstantna u prostoru (neovisna o ~r) je

W =

∫ ~r

~r0

~FL d~r =

∫ ~r

~r0

(q ~E + q~v × ~B )d~r = q ~E (~r − ~r0) + q

∫ ~r

~r0

d~r ·(d~r

dt× ~B

)

︸︷︷︸= 0

= q ~E (~r − ~r0)

koji ovisi samo o pocetnoj ~r0 i konacnoj tocki ~r, a ne i o obliku putanje izmedu te dvije tocke.Buduci da je sila konzervativna, moze joj se pridruziti potencijalna energija

Ep(~r, ~v, t) = q[V (~r, t) − ~v · ~A (~r, t)

],

Gdje su V i ~A , skalarni i vektorski potencijali elektromagnetskog polja. O tome ce vise rijecibiti u odjeljku 14.5, jednadzba (14.24).Takoder treba primjetiti i da sav rad potjece od elektricne komponente sile: magnetski dio nevrsi rad, jer je magnetska komponenta sile uvijek okomita na pomak cestice (zato je magnetskiclan i jednak nuli). Ovaj rad Lorentzove sile mijenja kineticku energiju cestice, kao u (4.9), tj.iznos brzine cestice. Vidjet cemo da magnetska komponenta sile, iako ne mijenja iznos brzine,mijenja njezin smjer.Radi jednostavnosti, u ovom cemo primjeru zanemariti utjecaj gravitacijske sile i sile trenja nagibanje cestice. U tom slucaju, drugi Newtonov aksiom, tj. jednadzba gibanja cestice (4.4),glasi

d 2~r

dt 2=

1

m

(q ~E + q

d~r

dt× ~B

).

Rjesenje jednadzbe gibanja je jednoznacno odredeno pocetnim uvjetima: neka se u trenutkut = 0, cestica nalazi u tocki ~r0 i ima brzinu ~v0. Vektori polja ~E i ~B neka zatvaraju neki prizvoljni

2Hendrick Antoon Lorentz, nizozemski fizicar, 1853 - 1928; zajedno s P. Zeemanom, 1902. god. je dobio Nobelovu nagradu zafiziku.

5.4. SILE OVISNE O BRZINI: (2) LORENTZOVA SILA 141

kut θ. Zbog izotropnosti prostora, koordinatni sustav mozemo orjentirati tako da os z imasmjer vektora ~B = B~ez (uz B > 0), a da vektor ~E lezi u ravnini (y, z). Zbog homogenostiprostora, ishodiste koordinatnog sustava mozemo postaviti u tocku ~r0 (slika 5.4). Uz ovajodabir, pocetni uvjeti glase:

~r(0) = ~0,

(5.23)

~v(0) = ~v0 = v0,x ~ex + v0,y ~ey + v0,z ~ez .

Napisimo jednadzbu gibanja

Slika 5.4: Uz Lorentzovu silu.

m~r = q E (~ey sin θ + ~ez cos θ) + q ~r × ~ez B,

= q E (~ey sin θ + ~ez cos θ) + q(x ~ex + y ~ey + z ~ez

)× ~ez B,

= q E (~ey sin θ + ~ez cos θ) + q Bq,(− x ~ey + y ~ex

),

po komponentama

x =qB

my = ω y ,

y =qE

msin θ − qB

mx =

qE

msin θ − ω x ,

z =qE

mcos θ,

gdje je uvedena tzv. ciklotronska frekvencija

ω =qB

m.


Primjetimo da je predznak ω jednak predznaku naboja cestice:

sgnω = sgn q.

Prve dvije jednadzbe, za x i y, su medusobno povezane, dok je gibanje u smjeru osi z neovisnoo gibanju u ravnini (x, y), tj. u ravnini okomitoj na os polja magnetske indukcije ~B .Promatrajuci jednadzbu gibanja u smjeru osi z, primjecujemo da je desna strana jednadzbekonstantna, tj. tu se radi o gibanju u polju konstantne sile, koje smo vec rijesili na pocetkuovog poglavlja, (5.5), uz

z(0) = 0, vz(0) = v0,z, F0,z = qE cos θ.

Primjenom tog rjesenja na ovaj problem, moze se odmah napisati

z(t) = v0,z t+1

2

qE cos θ

mt 2, vz(t) = v0,z +

qE cos θ

mt, az(t) =

qE cos θ

m. (5.24)

Vezani 2 × 2 sustav diferencijalnih jednadzba za x i y koordinate, cemo rijesiti uvodenjemkompleksne varijable

ζ = x+ i y,

gdje je i 2 = −1, imaginarna jedinica. Pomnozimo li jednadzbu za y s i i zbrojimo ju s jed-nadzbom za x, dobit cemo

x + iy = ωy + iqE

msin θ − iωx

ζ + iωζ = iqE

msin θ. (5.25)

Prema konstrukciji gornje jednadzbe, njezin realni dio je rjesenje za x, a imaginarni dio jerjesenje za y. Gornju cemo jednadzbu rjesavati postupno.

♣ Radi jednostavnosti, ogranicimo se najprije na slucaj gibanja u (samo) elektricnom polju:B = 0 = ω i E 6= 0. Tada jednadzba (5.25) postaje

ζ = x + ı y = iqE

msin θ.

Izjednacimo realne i imaginarne dijelove na lijevoj i desnoj strani

x = 0,

y =qE

msin θ.

No, to su jednadzbe istog oblika kao i u odjeljku 5.1, uz konstantne komponente sile

F0,x = 0, F0,y = q E sin θ.

Rjesenja ove jednadzbe su nam poznata iz (5.5) (dodajmo jos i rjesenje (5.24) za z)

x(t) = v0,x t, y(t) = v0,y t +1

2

q E sin θ

mt 2, z(t) = v0,z t+

1

2

qE cos θ

mt 2.

(5.26)


To je rjesenje za

E 6= 0, B = 0.

Gibanje u smjeru osi x je jednoliko i odvija se konstantnom pocetnom brzinom v0,x. U smje-rovima osi y i z postoji ubrzanje koje dolazi od y i z komponenata sile elektricnog polja,F0,y = q E sin θ i F0,z = q E cos θ.

♣ Neka se sada cestica giba (samo) u magnetskom polju, tj. neka je: E = 0, a B 6= 0. Tadajednadzba (5.25) prelazi u

ζ + iωζ = 0. (5.27)

Funkcija cija je druga derivacija srazmjerna prvoj derivaciji, mora biti (do na konstantu) jednakaeksponencijalnoj funkciji. Zato rjesenje gornje jednadzbe trazimo u obliku

ζ = a+ b e c t, ⇒ ζ = b c e c t,

ζ = b c 2 e c t.

Tri nepoznate konstante a, b i c se odreduju iz same jednadzbe (5.27) i dva pocetna uvjeta(5.23). Uvrstavanje gornjeg rjesenja u jednadzbu daje

b c ec t(c+ iω) = 0 ⇒ c = −iω

Preostale dvije konstante a i b se odreduju iz pocetnih uvjeta

ζ(0) = x(0) + i y(0) = 0 = a+ b ⇒ a = −b,ζ (0) = x (0) + i y (0) = v0,x + iv0,y = b(−iω),

a = −b =−iv0,x + v0,y

ω.

Uvrstimo ove vrijednosti za konstante a, b i c u ζ = x + i y i odvojimo realni x i imaginarni ydio

Re (ζ) = x(t) =v0,yω

+v0,xω

sinωt− v0,yω

cosωt,

Im (ζ) = y(t) = −v0,xω

+v0,xω

cosωt+v0,yω

sinωt.

Ova rjesenja mozemo napisati preglednije, uvedemo li velicine R i Φ relacijama

R =

√v 20,x + v 2

0,y

|ω| , tan Φ =v0,yv0,x

.

Primjetimo da R i Φ ovise o pocetnim uvjetima, tj. pocetnim brzinama. Sada za ukupnorjesenje x, y i z mozemo napisati

x(t) − v0,yω

= R sin(ωt− Φ), y(t) +v0,xω

= R cos(ωt− Φ), z(t) = v0,z t.

(5.28)


To je rjesenje za

E = 0, B 6= 0.

U gornjim su jednadzbama vrijednosti x i y odredene parametarski preko vremena t kao parame-tra. Ako se zeli dobiti eksplicitna veza izmedu x i y, treba eliminirati parametar tj. vrijeme.Za gornje je jednadzbe lako pokazati da je

(x− v0,y

ω

) 2

+(y +

v0,xω

) 2

= R 2.

No, to je upravo jednadzba kruznice, (slika 5.5.A),

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = R 2 (5.29)

sa sredistem u tocki

(x0, y0) =(v0,yω,−v0,x

ω

)

i polumjerom

R =

√v 20,x + v 2

0,y

|ω| .

Polumjer ovisi o pocetnim uvjetima: sto su pocetne brzine vece, veci je i polumjer kruznice.Udaljenost od sredista kruznice do ishodista je

√x 20 + y 2

0 = R,

pa kruznica prolazi ishodistem. Smjer kruzenja ovisi o predznaku ω tj, o predznaku naboja.

Slika 5.5: (A) Gibanje po kruznici u ravnini (x, y). (B) Gibanje po zavojnici u prostoru.

Period kruzenja je odreden zahtjevima

x(t) = x(t+ T ), y(t) = y(t+ T ).


Oba ova zahtjeva su ispunjena ako je

sin(ωt− Φ

)= sin

(ωt− Φ + ωT

)= sin

(ωt− Φ

)cos(ωT)

+ cos(ωt− Φ

)sin(ωT).

Gornja relacija vrijedi ako je

ωT = ± n · 2π, n = 1, 2, 3, · · · .

Period je najkrace vrijeme koje zadovoljava ovu relaciju, pa je zato

T =2π

|ω| = 2πm

|q|B.

Primjetimo da period ne ovisi o pocetnim uvjetima, tj. pocetnim brzinama.Uzmemo li u obzir i jednoliko gibanje u smjeru osi z = v0,z t, zakljucujemo da se cestica giba pokrivulji oblika zavojnice (spirale) koja nastaje kombiniranjem jednolikog pravocrtnog gibanja

u smjeru vektora ~B i jednolikog kruzenja u ravnini okomitoj na ~B . Zavojnica je namotana navaljak polumjera R, cija je jedna izvodnica os z. Visina hoda zavojnice je (slika 5.5.B), prema(5.28)

∆ z = z(t + T ) − z(t) = v0,z T = v0,z2π

|ω| .

Naboji izbaceni iz ishodista istom pocetnom brzinom v0,z, a razlicitim pocetnim brzinama v0,xi v0,y, gibat ce se po zavojnicama razlicitih polumjera R, ali ce se ponovo sastati u tockama

(0, 0, z(t = n · T )

),

jer im za jedan ophod treba isto vrijeme T (koje ne ovisi o pocetnim brzinama).

♣ Promotrimo sada i najopcenitiji slucaj kada su i elektricno i magnetsko polje razliciti odnule. U tom slucaju treba rijesiti nehomogenu diferencijalnu jednadzbu

ζ + iωζ = iqE sin θ

m.

Opce rjesenje ovakve jednadzbe je zbroj rjesenja homogene, ζH i partikularnog rjesenja, ζPnehomogene jednadzbe

ζ = ζH + ζP .

Homogeno rjesenje znamo iz (5.27) da je oblika ζH = a + b exp(−iωt) (frekvencija vrtnje ω jeista kao i ranije, dok konstante a i b ovise o pocetnim uvjetima na cijelo rjesenje i nece bitiiste kao ranije). Lako je provjeriti da je partikularno rjesenje jednostavno linearna3 funkcijaζP = A · t. Ocito je

ζP = A · t, ζ P = A, ζ P = 0,

pa odabir konstante

A =E sin θ

B,

3Opcenita linearna funkcija je oblika a+ A · t, no konstantni clan a je vec uracunat kod homogenog dijela rjesenja.


zadovoljava jednadzbu. Tako smo dosli do opceg rjesenja u obliku

ζ = a+ be−iωt +E sin θ

Bt,

gdje se konstante a i b odreduju iz pocetnih uvjeta:

ζ(0) = x(0) + i y(0) = 0 = a+ b ⇒ a = −b,

ζ (0) = x (0) + i y (0) = v0,x + iv0,y = b(−iω) +E sin θ

B,

a = ıE sin θ

ωB− ı

v0,x + iv0,yω

.

b = −ıE sin θ

ωB+ ı

v0,x + iv0,yω

.

Uvrstavanjem ovih konstanata u izraz za ζ = x + i y i razdvajanjem realnog i imaginarnogdijela, dobivamo rjesenja za x i y

Re (ζ) = x(t) =v0,yω

+E sin θ

Bt+

(−E sin θ

ωB+v0,xω

)sinωt− v0,y

ωcosωt,

Im (ζ) = y(t) = −v0,xω

+E sin θ

ωB+

(−E sin θ

ωB+v0,xω

)cosωt+

v0,yω

sinωt.

Ponovo se gornja rjesenja mogu preglednije zapisati preko velicina R i Φ, ovoga puta definiranihrelacijama

R =

√[v0,x − E sin θ/B] 2 + v 2

0,y

|ω| , tan Φ =v0,y

v0,x −E sin θ/B.

Pomocu ovih velicina, rjesenja za x, y i z komponente vektora polozaja cestice, tj. njihovaputanja, glasi

x(t) −(v0,yω

+E sin θ

Bt

)= R sin(ωt− Φ),

y(t) +

(v0,xω

− E sin θ

ωB

)= R cos(ωt− Φ),

z(t) = v0,z t+1

2

qE cos θ

mt 2.

(5.30)

To je putanja kada su

E 6= 0, B 6= 0.

Sada se u ravnini (x, y), cestica se giba po krivulji koja nastaje gibanjem po kruznici (5.29)kada se i samo srediste kruznice (x0(t), y0), uz

x0(t) =v0,yω

+E sin θ

Bt, y0 = −v0,x

ω+E sin θ

ωB,


giba konstantnom brzinom

x0 =E sin θ

B, y0 = 0.

u smjeru osi x (slika 5.6.A)

[x− x0(t)

]2+[y − y0

]2= R2,

[x−

(v0,yω

+E sin θ

Bt

)] 2

+

[y +

(v0,xω

− E sin θ

ωB

)] 2

= R 2.

Kombinacija ova dva gibanja (kruzenje i jednoliko gibanje po pravcu) u ravnini (x, y), daje

Slika 5.6: Gibanje uz ~E 6= 0 i ~B 6= 0: (A) u ravnini (x, y); (B) u trodimenzijskom prostoru.

krivulju koja se zove cikloida4, cija je opcenita parametarska jednadzba oblika

x = a ϕ− b sinϕ, y = a − b cosϕ. (5.31)

Gornje su jednadzbe istog oblika kao i jednadzbe (5.30) za x i y komponentu polozaja. Cikloidamoze biti:

obicna a = b,

produljena b > a,(prolate, extended)

skracena b < a,(curtate, contracted)

4Cikloida je krivulja koju opisuje tocka na kruznici, kada se kruznica kotrlja po pravcu.


ovisno o omjeru putova koje prede cestica gibajuci se po kruznici i po pravcu (slika 5.7) gibajucise brzinom x0. U vremenu od jednog perioda T , cestica obide cijelim opsegom kruznice stoiznosi 2Rπ, a pravocrtno se pomakne za T E sin θ/B

2πR >E sin θ

BT produljena,

2πR =E sin θ

BT obicna,

2πR <E sin θ

BT skracena.

Ukupno, trodimenzijsko, gibanje cestice je kombinacija gibanja po cikloidi u ravnini (x, y) ijednoliko ubrzanog gibanja u smjeru osi z (slika 5.6.B).

Slika 5.7: Cikloide, odozgo prema dolje: obicna, skracena i produljena.

0

2

4

0

2

4

6

0 50 100 150 200-2

0

2

4

6

Pokazimo da su jednadzbe za x i y iz (5.30) oblika jednadzba cikloide (5.31). Nazovimo

ϕ = ωt− Φ.

Tada jednadzbe za x i y iz (5.30), glase

x(t) − v0,yω

− E sin θ

ω BΦ =

E sin θ

ω Bϕ+R sinϕ,

y(t) +v0,xω

=E sin θ

ωB+R cosϕ.


Uvedu li se nove (pomaknute) koordinate

x(t) = x(t) − v0,yω

− E sin θ

ω BΦ,

y(t) = y(t) +v0,xω,

tada su gornje parametarske jednadzbe za x(t) i y(t) upravo oblika jednadzba cikloide (5.31)

x(t) = aϕ+ b sinϕ,

y(t) = a + b sinϕ,

uz

a ≡ E sin θ

ω B, b ≡ −R.

Sada se usporedba a i b svodi na usporedbu

E sin θ

|ω|B S R,

ili, ako su umjesto |ω| koristi T = 2π/|ω|E sin θ

BS 2 π R.

Poglavlje 6

Harmonijski oscilator i matematickonjihalo

6.1 Slobodni harmonijski oscilator

U prethodnom poglavlju smo upoznali konstantnu silu, silu trenja i neke od sila ovisnih o brzinicestice. U ovom cemo poglavlju upoznati elasticnu silu koja ovisi o koordinati, tj. o uda-ljenosti cestice od njezinog polozaja ravnoteze. Kao vektorska velicina, sila je karakteriziranasvojim iznosom i smjerom. Kod elasticne sile

iznos sile ovisi linearno o udaljenosti od polozaja ravnoteze, a

smjer sile je smjer prema polozaju ravnoteze.

Cestica koja se giba (samo) pod djelovanjem elasticne sile se zove slobodni harmonijskioscilator ili linearni oscilator.Najjednostavnija realizacija harmonijskog oscilatora jeste elasticna opruga, ciji je jedan krajpricvrscen za nepomicnu stjenku, a za drugi je kraj pricvrscena cestica mase m (slika 6.1.A).Postavimo koordinatni sustav tako da se cestica nalazi u ishodistu kada je opruga nerastegnuta.

Slika 6.1: Uz definiciju elasticne sile.

Ako se cestica pomakne iz ravnoteznog polozaja lijevo ili desno po osi x, opruga ce se rastegnuti

151

152 POGLAVLJE 6. HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATICKO NJIHALO

ili sabiti (slike 6.1.B i C) za neki iznos x. Ako je x mali prema duljini opruge, tada ce opruga nacesticu djelovati silom koja je srazmjerna pomaku x (Hookov1 zakon) i bit ce uvijek usmjerenaprema polozaju ravnoteze (u ovom slucaju prema ishodistu)

~Fel = −K x ~ex , K > 0.

Konstanta K je primjer necega sto se opcenito naziva konstantom vezanja. To je konstantakoja opisuje jakost medudjelovanja promatranog sustava i okoline. U ovom primjeru, sustav jejednostavno jedna cestica, a okolina s kojom ona medudjeluje je opruga. Pozitivna konstantaK se naziva konstanta opruge ili elasticna konstanta, a opisuje kako se lako ili tesko oprugarasteze. Podrijetlo elasticne sile je u (elektricnim) silama koje djeluju medu molekulama tvariod koje je izradena opruga. Ako zanemarimo trenje izmedu cestice i podloge kao i trenje izmeducestice i molekula sredstva kroz koje se cestica giba, jedina sila koja djeluje je elasticna silai sustav sa slike 6.1 predstavlja slobodni harmonijski oscilator. Jednadzba gibanja cestice nakoju djeluje samo elasticna sila glasi

mx = −Kx,

a sustav cije je gibanje opisano gornjom jednadzbom se zove slobodni jednodimenzijskiharmonijski oscilator (ili linearni harmonijski oscilator). Samo gibanje se zove harmonijskogibanje. Rijesimo jednadzbu gibanja uz najopcenitije pocetne uvjete: u pocetnom trenutkut = 0, cestica je otklonjena iz polozaja ravnoteze za x0 i ima brzinu v0

t = 0 : x(0) = x0, x (0) = v0. (6.1)

Uvede li se pozitivna konstanta ω0 =√K/m, jednadzba gibanja glasi

x = −ω20 x. (6.2)

Gornja jednadzba kaze da treba naci funkciju cija je druga derivacija srazmjerna negativnojvrijednosti same funkcije. Takvo svojstvo imaju funkcije

sinαt, cosαt, e ı αt, e−ı αt.

Eulerovom relacijom

e±ı αt = cosαt± ı sinαt,

povezane su eksponecijalna i trigonometrijske funkcije, pa se mozemo zadrzati npr. samo natrigonometrijskim funkcijama. Zbog linearnosti diferencijalne jednadzbe (6.2), njezino opcerjesenje je linearna kombinacija sinusa i kosinusa

x(t) = C cosαt+ S sinαt

s nepoznanicama C, S i α. Ove tri nepoznanice cemo odrediti pomocu tri jednadzbe: jednadzbegibanja (6.2) i dvije jednadzbe pocetnih uvjeta (6.1).Uvrstavanjem gornjeg izraza u (6.2), slijedi

α = ± ω0.

Buduci da su C i S jos neodredene, mozemo odabrati bilo koji predznak, npr. pozitivni2

x(t) = C cosω0t + S sinω0t.

1Robert Hook, engleski fizicar, 1635 - 17032Odabir negativnog predznaka samo znaci redefiniciju S → −S.

6.1. SLOBODNI HARMONIJSKI OSCILATOR 153

Preostale dvije nepoznate konstante, C i S, cemo odrediti iz dva pocetna uvjeta (6.1).

x(t = 0) = x0 = C · 1 + S · 0 ⇒ C = x0,

x (t = 0) = v0 = ω0 (−x0 · 0 + S · 1) ⇒ S =v0ω0,

x(t) = x0 cosω0t +v0ω0

sinω0t.

Umjesto zbroja funkcija sinusa i kosinusa, gornje rjesenje mozemo napisati i kao jednu od tihfunkcija, ali s pomakom u fazi. Tako se npr. uvodenjem konstanata A (amplituda) i Φ (pomaku fazi)

A =

√

x20 +v20ω20

, tan Φ =v0

ω0 x0, (6.3)

rjesenje za trenutni otklon od polozaja ravnoteze (tj. putanju), x(t), dobiva u obliku (slika 6.2)

x(t) = A cos(ω0t− Φ). (6.4)

Trenutni otklon od polozaja ravnoteze, x(t), se naziva i elongacija. Maksimalni otklon kodtitranja nazivamo amplituda i ona je, prema gornjem izrazu, jednaka ±A. Osim o K i m,amplituda ovisi i o pocetnim uvjetima x0 i v0. Cestica titra oko polozaja ravnoteze kruznomfrekvencijom ω0 koja se naziva vlastita frekvencija titranja.

Slika 6.2: Otklon x(t) = 0.5 cos(2 t− 0.8).

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5t

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x (

t )


Ako nismo dovoljno dosjetljivi da pogodimo rjesenje jednadzbe, onda ju trebamo rijesiti.Zaboravimo na trenutak na gornje rjesenje i pocnimo rjesavati jednadzbu gibanja (6.2). Pomnozimoli obje strane jednadzbe s 2x

2 x x = −2 ω20 x x ,

na lijevoj strani prepoznajemo vremensku derivaciju kvadrata brzine, a na desnoj strani pre-poznajemo vremensku derivaciju kvadrata pomaka

d

dtx 2 = −ω2

0

d

dtx2.

Integracijom po vremenu od pocetnog trenutka 0 do nekog opceg t, dobivamo∫ t

0

d

dtx 2 dt = −ω2

0

∫ t

0

d

dtx2 dt

∫ t

0

d(x 2) = −ω20

∫ t

0

d(x2)

x 2(t) − x 2(0) = −ω20

[x2(t) − x2(0)

].

No, x 2(0) je kvadrat brzine u pocetnom trenutku, v20, a x2(0) je kvadrat polozaja cestice upocetnom trenutku, x20. Uvrstavanjem se dobije izraz za brzinu u proizvoljnom trenutku

x (t) ≡ dx(t)

dt= ± ω0

√(v20ω20

+ x20

)− x2(t) = ± ω0

√A2 − x2(t). (6.5)

Pozitivan predznak brzine se odnosi na onaj dio gibanja kada se cestica pomice desno odpolozaja ravnoteze (kada je dx > 0, opruga se rasteze), a negativni se predznak odnosi napomak cestice lijevo od polozaja ravnoteze (kada je dx < 0, opruga se sabija). Buduci da jebrzina realna velicina, mora izraz pod korjenom biti veci ili jednak nuli. To je moguce samoonda ako se gibanje cestice odvija po ogranicenom dijelu osi x iz intervala −A ≤ x ≤ +A (gdjesmo se posluzili pokratom (6.3)). Opisimo gibanje pocevsi od proizvoljnog trenutka u kojemuje x > 0. Prema jednadzbi (6.5), brzina se smanjuje i postaje jednaka nuli kada cestica dode utocku x = +A. U toj tocki brzina mijenja predznak i postaje negativna. Brzina ima negativnevrijednosti sve dok cestica ne dode u tocku x = −A, kada opet mijenja predznak i postajepozitivna, itd. Ocito ce brzina biti najveca u trenutku prolaska kroz polozaj ravnoteze, x = 0.Ovime smo pokazali kako iz samih jednadzba (6.2) i (6.5), a bez njihova rjesavanja, mozemozakljuciti da ce se cestica pod djelovanjem elasticne sile, gibati periodicki izmedu x = +A ix = −A. Ovaj se zakljucak ne moze izvesti iz samog oblika elasticne sile. Nastavimo sadarjesavati jednadzbu (6.5) tako sto cemo se ograniciti na pocetni uvjet v0 > 0 i zadrzati samopozitivni predznak. Izvedimo zatim razdvajanje varijabli

+dx√

A2 − x2= ω0 dt

/∫

∫ x

x0

dx√A2 − x2

= ω0

∫ t

0

dt

arcsinx

A∣∣∣x

x0= ω0 t ⇒ x(t) = A sin

(ω0t+ arcsin

x0A).

Citateljima prepustamo da pokazu identicnost gornjeg rjesenja s rjesenjem (6.4).

6.1. SLOBODNI HARMONIJSKI OSCILATOR 155

Period:Periodom T cemo nazivati najkraci vremenski interval izmedu dva uzastopna identicna polozajacestice. Prema (6.4), moze se napisati

x(t) = x(t + T )

A cos(ω0t− Φ) = A cos[ω0(t+ T ) − Φ

]= A cos

[(ω0t− Φ) + ω0T

]

A cos(ω0t− Φ) = A[

cos(ω0t− Φ) cos(ω0T ) − sin(ω0t− Φ) sin(ω0T )]

Usporedbom lijeve i desne strane gornje jednadzbe, zakljucujemo da mora biti

cos(ω0T ) = 1, sin(ω0T ) = 0, ⇒ ω0T = 2π · n,

gdje je n neki cijeli broj. Period je najkrace vrijeme koje zadovoljava gornji uvjet, pa zatoodabiremo n = 1,

T =2π

ω0= 2π

√m

K.

Primjetimo da pocetni uvjeti odreduju amplitudu A i pocetnu fazu Φ, ali ne i na period titranja.Period je odreden samo svojstvima sustava: konstantom vezanja K i masom cestice m.

Frekvencija:Frekvencijom ν se naziva broj titraja u jednoj sekundi

ν =1

T=ω0

2π=

1

2π

√K

m. (6.6)

konzervativnost:Pokazimo da je elasticna sila konzervativna, tako sto cemo pokazati da rad elasticne sile ovisisamo o pocetnoj i konacnoj tocki putanje.

Wx0,x =

∫ x

x0

Fel dx = −K∫ x

x0

x dx = −1

2K x2 +

1

2K x20

U skladu s (4.19), iz izraza za rad ocitavamo i potencijalnu energiju elasticne sile

Wx0,x = Ep(x0) − Ep(x) = −1

2K x2 +

1

2K x20,

iz cega se zakljucuje da je potencijalna energija pridruzena elasticnoj sili

Ep(x) =1

2K x2.

sacuvanje energije:Izracunajmo mehanicku energiju harmonijskog oscilatora u proizvoljnom vremenskom trenutku


t

Emeh(t) = Ek(t) + Ep(t) =1

2m x 2 +

1

2K x2

=m

2

[− ω0 A sin(ω0t− Φ)

]2+K

2

[A cos(ω0t− Φ)

]2=

1

2K A2

=1

2K

(x20 +

v20ω20

)=

1

2m v20 +

1

2K x20

= Ek(0) + Ep(0) = Emeh(0).

Mehanicka je energija ista u pocetnom kao i u bilo kojem slijedecem trenutku, Emeh(0) =Emeh(t), tj. ona je konstantna (sacuvana)

Ek + Ep = const. (6.7)

U odjeljku 6.4 cemo pokazati kako medudjelovanje cestice s medijem u kojem se odvija titranje,vodi na smanjenje energije cestice (relacija (6.25)).

6.2 Gustoca vjerojatnosti

U ovom odjeljku zelimo odgovoriti na slijedece pitanje: ako se tijekom vremena, oscilator gibapo osi x unutar intervala (−A,+A), kolika je vjerojatnost da se u danom trenutku oscilatornalazi unutar infinitezimalnog intervala [x, x + d x]? Tu cemo vjerojatnost oznaciti s d P (x).Buduci da se oscilator mora nalaziti negdje u intervalu −A ≤ x ≤ +A, to za d P (x) moravrijediti (normiranje vjerojatnosti)

∫ +A

−Ad P (x) = 1.

Umjesto same vjerojatnosti dP (x), uobicajeno je uvesti gustocu vjerojatnosti ρ(x). I gustocavjerojatnosti se definira kao i sve ostale gustoce s kojima smo se do sada susretali (gustocamase, naboja, energije, . . . ): ako je dP (x) vjerojatnost nalazenja oscilatora negdje u intervalu[x, x + dx], tada je gustoca vjerojatnosti dana omjerom

ρ(x) =d P (x)

d x,

a uvjet normiranja glasi

∫ +A

−Aρ(x) dx = 1.

Izracunajmo gustocu vjerojatnosti ρ(x) za harmonijski oscilator iz prethodnog odjeljka. Na-jprije cemo gornju relaciju normiranja transformirati tako sto cemo s integracije po prostoru,prijeci na vremensku integraciju: dx = v dt

∫ +A

−Aρ(x) dx =

∫ T/2

0

ρ v dt = 1.

6.2. GUSTOCA VJEROJATNOSTI 157

Lako je uvjeriti se da ce gornja relacija biti zadovoljena ako je

ρ =2

vT,

jer je tada

∫ T/2

0

ρ v dt =

∫ T/2

0

2

v Tv dt =

2

T

T

2= 1.

Da bismo iz ρ = 2/(vT ) mogli procitati ρ kao funkciju polozaja x, treba brzinu izraziti kaofunkciju od x. Prema (6.5) je

v =dx

dt= ω0

√A2 − x2

Primjetimo da je brzina najmanja i jednaka je nuli u tockama okretista, x = ± A, a najvecaje pri prolazu kroz polozaj ravnoteze x = 0. Pomocu gornjeg izraza za brzinu, za gustocuvjerojatnosti, ρ = 2/(vT ), se dobiva (slika 6.3)

ρ(x) =1

π

1√A2 − x2

.

Najmanja je vjerojatnost da cemo oscilator zateci tamo gdje se on najbrze giba, a to je u

Slika 6.3: Gustoca vjerojatnosti nalazenja harmonijskog oscilatora ρ(x) = 1/√1− x2.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

ρ (

x )

okolini tocke x = 0. Naprotiv, najveca je vjerojatnost da cemo naci oscilator tamo gdje se onnajsporije giba (jer tamo provodi najvise vremena), a to je u okolini tocaka x = ± A.


Zadatak: 6.1 tekst primjera

R: tekst rjesenja

6.3 Nelinearni oscilator - racun smetnje

Ako sila koja djeluje na cesticu, pored clana linearnog s udaljenoscu od polozaja ravnoteze,sadrzi i clanove visih potencija,

F = −K x+K2 x2 +K3 x

3 + · · · ,

tada se sustav sastavljen od cestice i sile koja na nju djeluje, naziva neharmonijski ili nelin-earni oscilator ili oscilator sa smetnjom. Na primjeru opruge, visi clanovi u izrazu za silu cese pojaviti ako rastezanje ili sabijanje opruge vise nije malo u odnosu na nerastegnutu duljinuopruge. Ocekujemo da najveci doprinos sili potjece od linearnog clana, dok su doprinosi os-talih clanova po iznosu utoliko manji ukoliko im je potencija visa. Slijedeci primjer nelinernostimozemo naci kod matematickog njihala, relacija (6.60), gdje je vodeci nelinearni clan u izrazuza silu, srazmjeran trecoj potenciji kuta otklona od polozaja ravnoteze. Postupak kojim cemoizracunavati putanju cestice pod djelovanjem nelinearne sile je primjer jednog opcenitog pos-tupka koji se naziva racun smetnje. Naziv dolazi od toga sto se ovi dodatni nelinearniclanovi sile shvacaju kao smetnja u odnosu na gibanje cestice koje bi se odvijalao kada tihclanova ne bi bilo. Osnovna pretpostavka racuna smetnje je da se putanja cestice sa smetnjommalo razlikuje od putanje nesmetane cestice. Ili, vise tehnicki receno, da postoji mala velicinapo kojoj se moze izvesti razvoj velicina od interesa (npr. otklona i kruzne frekvencije, relacije(6.9)).Ako se, radi jednostavnosti, zadrzimo samo na vodecem (kvadratnom) nelinearnom clanu, jed-nadzba gibanja glasi

mx = −Kx +K2x2.

Zbog pretpostavke da su dodatni clanovi (u odnosu na elasticnu silu) mali, ocekujemo da ce serjesenje gornje jednadzbe malo razlikovati od rjesenja harmonijskog oscilatora i da ce u graniciK2 → 0, prijeci u (6.4). Takoder cemo se ograniciti na trazenje periodickih rjesenja za kojaje x(t) = x(t + T ). Za period titranja T = 2π/ω ocekujemo da ce se razlikovati od periodalinearnog oscilatora 2π/ω0, kao i da ce ta razlika iscezavati u granici K2 → 0.Umjesto vremena, uvedimo novu bezdimenzijsku varijablu ϕ = ωt u kojoj jednadzba gibanjapostaje

ω2 d2x

dϕ2= −ω2

0x+K2

mx2

/1

ω20(

ω

ω0

)2d2x

dϕ2+ x− ǫ x2 = 0, (6.8)

gdje smo uveli pokratu ǫ = K2/(mω20) (primjetimo da ǫ ima dimenziju inverzne duljine). Zbog

pretpostavke da je kvadratni clan u izrazu za silu malen, ocekujemo da je otklon x i kruznufrekvenciju ω, moguce napisati u obliku razvoja u red po maloj velicini ǫ

x(ϕ) =∞∑

n=0

an(ϕ) ǫn,

(ω

ω0

)2

=∞∑

n=0

bn(ϕ) ǫn. (6.9)

6.3. NELINEARNI OSCILATOR - RACUN SMETNJE 159

Kako bismo u granici ǫ → 0 dobili rjesenja linearnog oscilatora (uz iste pocetne uvjete), morabiti a0 jednako rjesenju (6.4), a b0 mora biti jednako jedinici.Pocetne uvjete cemo odabrati tako da je

x(ϕ = 0) = x0, x (ϕ = 0) = 0 (6.10)

(primjetimo da su ovi uvjeti nesto jednostavniji od uvjeta (6.1). Prevedeno na jezik koeficijenataan, ovi uvjeti glase

a0(ϕ = 0) = x0, an(ϕ = 0) = 0, n = 1, 2, · · · (6.11)

an(ϕ = 0) = ωd and ϕ

∣∣∣∣ϕ=0

= 0, n = 0, 1, 2, · · ·

Uvrstimo razvoje (6.9) u jednadzbu gibanja (6.8)

( ∞∑

n=0

bn ǫn

) ( ∞∑

n=0

d2andϕ2

ǫn

)+

( ∞∑

n=0

an ǫn

)− ǫ

( ∞∑

n=0

an ǫn

)2

= 0.

Grupiraju li se clanovi s istom potencijom ǫ, dobit ce se red cijih nekoliko prvih clanova izgledaovako

[b0a′ ′0 + a0] ǫ

0 +[b0a

′ ′1 + b1a

′ ′0 + a1 − a20

]ǫ1 + [b0a

′ ′2 + b1a

′ ′1 + b2a

′ ′0 + a2 − 2a0a1] ǫ

2 + · · · = 0

(crticom su oznacene derivacije po ϕ). Zanemareni su clanovi s trecom i visim potencijamaǫ. S obzirom da je ǫ konstanta, gornja jednadzba moze biti zadovoljena samo ako je svaka oduglatih zagrada jednaka nuli, sto vodi na sustav jednadzba (gdje smo uzeli u obzir da je b0 = 1)

ǫ0 : a ′ ′0 + a0 = 0,

ǫ1 : a ′ ′1 + a1 = a20 − b1a

′ ′0 , (6.12)

ǫ2 : a ′ ′2 + a2 = 2a0a1 − b1a

′ ′1 − b2a

′ ′0 .

Rjesavanje jednadzbe uz ǫ0 uz pocetne uvjete (6.11) ide isto kao i rjesavanje jednadzbe linearnogoscilatora i daje

a0 = x0 cos(ωt), b0 = 1. (6.13)

Sada ovo rjesenje za a0 uvrstavamo u jednadzbu uz ǫ1 i dolazimo do

a ′ ′1 + a1 =

x202

+ b1x0 cosϕ+x202

cos 2ϕ.

To je nehomogena diferencijalna jednadzba, pa je njezino opce rjesnje zbroj homogenog i par-tikularnog rjesenja a1 = a1,H + a1,P . Homogeno rjesenje je ocito oblika A cosϕ + B sinϕ, dokcemo partikularno rjesenje potraziti u obliku

a1,P = c1 + c2 ϕ sinϕ+ c3 cos 2ϕ.

Uvrstavanjem u jednadzbu za a1 i usporedbom lijeve i desne strane jednadzbe, zakljucujemoda konstante cj moraju biti jednake

c1 =x202, c2 =

b1x02, c3 = −x

20

6.


No, dio rjesenja srazmjeran s ϕ sinϕ nije periodican, pa ga moramo odbaciti, tj. njegovkoeficijent, c2, mora biti jednak nuli, a to je moguce samo ako je b1 = 0. Sada za cijelo(homogeno plus partikularno) rjesenje a1 preostaje

a1 = A cosϕ+B sinϕ+x202

− x206

cos 2ϕ.

Konstante A i B odredujemo iz pocetnih uvjeta (6.11): A = −x20/3, B = 0,

a1 =x202

− x203

cos(ωt) − x206

cos(2ωt), b1 = 0. (6.14)

Za izracunavanje a2(ϕ) treba rijesiti trecu od jednadzba (6.12)

a ′ ′2 + a2 = 2a0a1 − b1a

′ ′1 − b2a

′ ′0 = 2a0a1 + b2a0.

Nakon uvrstavanja rjesenja (6.13) i (6.14) za a0 i a1, desna strana gornje jednadzbe je oblikacn · cos(nϕ)

a ′ ′2 + a2 = −x

30

3+ x0(b2 +

5

6x20) cosϕ− x30

3cos 2ϕ− x30

6cos 3ϕ. (6.15)

Iz rjesavanja jednadzbe za a1 smo vidjeli da clan s cosϕ na desnoj strani, vodi na neperiodickidio rjesenja za a1, pa se stoga taj clan ne smije pojaviti niti na desnoj strani jednadzbe zaa2, tj. mora biti b2 = −5x20/6. Jednadzba za a2 je nehomogena, pa je njezino rjesenje zbrojrjesenja homogene i partikularnog rjesenja nehomogene jednadzbe: a2 = a2,H+a2,P . Homogenorjesenje je opet oblika A cosϕ + B sinϕ, dok cemo za partikularno rjesenje pretpostaviti redoblika cn cosnϕ (izostavivsi clan s n = 1, koji vodi na neperiodicnost)

a2,P = c0 + c2 cos 2ϕ+ c3 cos 3ϕ.

Konstante cj odredujemo iz zahtjeva da a2,P zadovoljava jednadzbu (6.15)

c0 = −x30

3, c2 =

x309, c3 =

x3048.

Ukupno rjesenje za a2

a2 = A cosϕ+B sinϕ− x303

+x309

cos 2ϕ+x3048

cos 3ϕ,

sadrzi konstante A i B koje se odrede iz pocetnih uvjeta (6.11): A = 29x30/144, B = 0,

a2 = −x30

3+

29 x30144

cosϕ+x309

cos 2ϕ+x3048

cos 3ϕ, b2 = −5

6x20. (6.16)

Uvrstavanje rjesenja (6.13), (6.14) i (6.16) u razvoj (6.9) za otklon x(ϕ) daje

x(ϕ) = x0 cosϕ+

(1

2− cosϕ

3− cos 2ϕ

6

)x20 ǫ

1+

(−1

3+

29 cosϕ

144+

cos 2ϕ

9+

cos 3ϕ

48

)x30 ǫ

2+· · ·(6.17)

Nakon preraspodjele clanova, izraz za otklon, se moze napisati preglednije kao

x = x0

(1

2x0 ǫ−

1

3x20 ǫ

2 + · · ·)

+

(1 − 1

3x0 ǫ+

29

144x20 ǫ

2 + · · ·)

cosωt (6.18)

+

(−1

6x0 ǫ+

1

9x20 ǫ

2 + · · ·)

cos 2ωt+

(1

48x20 ǫ

2 + · · ·)

cos 3ωt

.

6.4. PRIGUSENI HARMONIJSKI OSCILATOR 161

Kruzna frekvencija ω iz gornjeg izraza je takoder poznata s tocnoscu od O(ǫ3). Razvoj (6.9)za ω daje

ω = ω0

(1 − 5

12x20 ǫ

2 + · · ·). (6.19)

Vidimo da uvodenje nelinearnog clana snizava frekvenciju (tj. povecava period) titranja uodnosu na frekvenciju linearnog oscilatora (6.6). Takoder primjecujemo da sada frekvencija (patime i period) ovise i o pocetnim uvjetima (kroz x0), a ne samo o svojstvima sustava (masa ikonstanta vezanja) kao kod linearnog oscilatora.

Osim ovog primjera nelinearnog oscilatora, racun smetnje se moze primjeniti i na vec spomenutiprimjer matematickog njihala. Vise detalja o ovome primjeru se moze naci u odjeljku 15.3reference [18] ili na str. 130 reference [5].

6.4 Priguseni harmonijski oscilator

Na harmonijski oscilator koji titra u nekom sredstvu (zraku, tekucini) djelovat ce i sila prigusenja(otpora, trenja). Ova je sila rezultat medudjelovanja cestice koja titra i cestica sredstva u ko-jemu se odvija titranje. Eksperimentalno je ustanovljeno da sila prigusenja ovisi o brzinicestice (ili tijela) koja se giba kroz sredstvo i da ima smjer suprotan smjeru trenutne brzine.

Radi jednostavnosti, pretpostavit cemo da je sila prigusenja, ~Fprig, srazmjerna prvoj potencijibrzine (prisjetiti se slicnog racuna iz odjeljka 5.3). Za gibanje po osi x je

~Fprig = −β ~v = −β v ~ex = −β dx

dt~ex , β > 0.

Koeficijent prigusenja β je pozitivna konstanta koja opisuje oblik tijela i svojstva sredstva ukojemu se odvija titranje3.Uz elasticnu silu i silu prigusnja, jednadzba gibanja glasi

mx = Fel + Fprig = −Kx− βx . (6.20)

Postavimo i pocetne uvjete

x(0) = x0, x (0) = v0.

Uvede li se konstanta

γ =β

2m,

gornja jednadzba gibanja se moze preglednija napisati kao

x + 2γx + ω20x = 0. (6.21)

To je homogena linearna diferencijalna jednadzba drugog reda, cija cemo rjesenja potraziti uobliku eksponencijalne funkcije

x(t) = a e b t,

3Takva je npr. sila viskoznosti koja djeluje na tijelo koje se giba kroz viskozni fluid. Ova sila ovisi o obliku tijela, a u slucajukugle polumjera r, ona je po svojem iznosu, dana sa F = 6πηrv, gdje je η koeficijent viskoznosti, a v brzina. Ovakva sile se zoveStokesova sila.


za konstantne a i b. Uvrstavanje u jednadzbu vodi do

(b2 + 2 γ b+ ω20) a e b t = 0.

i dva rjesenja za b

b± = −γ ±√γ2 − ω2

0.

Oznacimo izraz pod korjenom (diskriminantu) s D2 = γ2 − ω20. Uz pretpostavku da je D2 6= 0,

postoje dva rjesenja za x, pa je opce rjesenje njihova linearna kombinacija

x(t) = a+ eb+ t + a− e

b− t.

Dvije konstante a± se odreduju iz dva pocetna uvjeta: pocetni polozaj i pocetna brzina.

(D2 > 0) Ako je D2 = γ2 − ω20 > 0, tada je u pocetnim oznakama

β2 > 4mK.

To je granica jakog prigusenja. Obje vrijednosti b± = −γ ±√γ2 − ω2

0 su realne i negativne,uz

0 > b+ > b−

pa je

x(t) = a+ e−|b+| t + a− e

−|b−| t

= e −γ t(a+ e

t√γ2−ω2

0 + a− e−t

√γ2−ω2

0

). (6.22)

Ako su a+ i a− istog predznaka (a to ovisi o pocetnim uvjetima), i otklon x(t) ce biti stalnoistog predznaka, pa ce se cestica priblizavati polozaju ravnoteze samo s jedne strane (slika6.4.A), ne prelazeci niti jednom na drugu stranu.Ako je a− (koji stoji uz exp(−|b−|t), koji brze opada jer je |b+| < |b−|) suprotnog predznaka,a veceg iznosa od a+, tada cestica zapocinje gibanje s jedne strane, prijede na drugu stranu i ste druge strane se priblizava polozaju ravnoteze (slika 6.4.B).Ovaj oblik rjesenja se naziva neperiodickim.

(D2 = 0) Ako je D2 = 0 ili

γ2 = ω20,

tada je i

b− = b+ = −γ,

pa gornji postupak daje samo jedno rjesenje za x

x1 = e −γ t,

a ne dva. Drugo rjesenje, linearno nezavisno od ovoga, doznajemo iz teorije rjesavanja diferen-cijalnih jednadzba, relacija (6.53), i ono je oblika

x2 = t · e −γ t.


Slika 6.4: Jako priguseno titranje uz D2 = γ2 − ω2

0> 0.

0 5 10 15 20 25 30t

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x ( t )

( A )

a +

> 0, a - > 0

a +

< 0, a - < 0

0 5 10 15 20 25 30

t-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x(t)

a +

- | a - | < 0

( B )

Uvrstavanjem ovog izraza u jednadzbu gibanja harmonijskog oscilatora s prigusenjem, lako jeuvjeriti se da ono zadovoljava jednadzbu. Sada opet imamo dva linearno nezavisna rjesenja, iukupno rjesenje je njihova linearna kombinacija

x(t) = a x1(t) + b x2(t), a, b = const.

= a e −γ t + b t · e −γ t = e −γ t (a + b t). (6.23)

Konstante a i b se odreduju iz pocetnih uvjeta. Ovo je granicni slucaj neperiodickog gibanja.

Za male t, eksponencijalni je clan priblizno jednak jedan, pa x(t) linearno raste s t. Kasnijeeksponencijalni clan postaje dominantan i cijelo rjesenje eksponencijalno trne. Kao rezultatkompeticije ova dva clana, vremenska ce ovisnost otklona od polozaja ravnoteze, x(t), izgledatikao na slici 6.5. Koordinate maksimalnog otklona (tmax, xmax), odredujemo iz uvjeta

d x

d t= 0 ⇒ tmax =

b− γ a

b γ, xmax = x(tmax) =

b

γe −(1−γ a/b).

(D2 < 0) Ako je D2 = γ2 − ω20 < 0, tada je u pocetnim oznakama

β2 < 4mK.


Slika 6.5: Titranje uz D2 = 0. Otklon je x(t) = e −0.5 t (1 + 8 t).

0 5 10 15 20 25 30

t0

1

2

3

4

5

6

7

x (

t )

t max

To je granica slabog prigusenja.

b± = −γ ± i√ω20 − γ2

x(t) = e −γ t(a+ e

it√ω20−γ2 + a− e

−it√ω20−γ2

).

Nazovemo li ω =√ω20 − γ2, rjesenje za otklon x(t) mozemo napisati kao

x(t) = e −γ t

(a+ + a−)︸︷︷︸

= C

cosωt+ ı(a+ − a−)︸︷︷︸= S

sinωt

.

Uz oznake

A0 =√C2 + S2, tan Φ =

S

C,

otklon se moze napisati u obliku

x(t) = A(t) cos(ωt− Φ), A(t) = A0 e−γ t (6.24)

gdje se konstante A0 i Φ odreduju iz pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu cestice. Rjesenje jeprikazano na slici 6.6: to je kosinus cija amplituda, A(t) = A0 e

−γ t, nije konstantna u vremenu,nego eksponencijalno opada. Ovaj oblik rjesenja se naziva periodickim. Period ovog prigusenog


Slika 6.6: Titranje uz D2 = γ2 − ω2

0< 0. Otklon je x(t) = 10 e −0.3 t cos(2t − 4). Za usporedbu, zelena linija

pokazuje titranje bez trenja.

0 5 10 15 20t

-10

-5

0

5

10

x(t)

titranja

T =2π

ω=

2π√ω20 − γ2

je veci od perioda slobodnog (neprigusenog , γ ≡ 0) harmonijskog oscilatora.Izracunajmo vrijednost otklona za dvije susjedne vrijednosti t (oznacene s tn i tn+1) za koje jecos(ωtn − Φ) = 1 i cos(ωtn+1 − Φ) = 1

t = tn, → x = xn

t = tn+1 = tn + T, → x = xn+1

xn = A e −γ tn · 1

xn+1 = A e −γ tn+1 · 1 = A e −γ (tn+T )

xnxn+1

=A e −γ tn

A e −γ tn e −γ T = e γ T

Velicinu koja opisuje brzinu opadanja amplitude na logaritamskoj skali, zovemo logaritamskidekrement i oznacavamo ju s δ

δ = lnxnxn+1

= γT =2πγ√ω20 − γ2

.

Primjetimo zajednicku karakteristiku sva tri tipa gornjih rjesenja (D2 > 0, D2 = 0 i D2 < 0):


amplituda svih ovih rjesenja eksponencijalno trne s vremenom

x(t) = e− γ t ·[· · ·

],

tj. nakon dovoljno dugo vremena, njihova ce amplituda postati proizvoljno mala. To je upravoucinak prigusenja. U nastavku ovog odjeljka cemo pokazati kako se zbog prigusenja smanjujei energija oscilatora, a u slijedecem odjeljku cemo pokazati kako vanjska sila moze nadoknaditiovaj gubitak energije i odrzati titranje oscilatora, unatoc gubicima energije kroz prigusenje.

Energija:Pokazimo da sada, kada na cesticu djeluje i sila prigusenja4, mehanicka enegija cestice nijesacuvana, nego s s vremenom smanjuje.

Emeh =mx 2

2+Kx2

2dEmehdt

=m

22x x +

K

22xx = x (mx +Kx).

No, prema jednadzbi gibanja (6.20), izraz u okrugloj zagradi je upravo jednak −βx , pa jevremenska promjena mehanicke energije (tj. snaga) jednaka

dEmehdt

= −β x 2. (6.25)

Ako nema prigusenja (β ≡ 0), energija je sacuvana Emeh(t) = const., kao sto smo i dobilikod izvoda (6.7). Buduci da je β > 0, desna je strana negativna, sto znaci da se energijacestice smanjuje s vremenom. Lako je vidjeti da je ovaj gubitak energije rezultat rada sileprigusenja

Pprig =dWprig

d t=

~Fprig d~r

d t= ~Fprig ~v = (−βx ) x = −β x 2.

Jedno od osnovnih nacela fizike kaze da se energija ne moze ni povecati ni smanjiti. Iz togazakljucujemo da ako se energija cestice oscilatora smanjila, neka se druga energija moralapovecati, tako da je njihov zbroj nepromjenjen. Cestica oscilatora se u svom gibaju sudara scesticama sredstva u kojemu se odvija titranje i prenosi na njih dio svoje energije (pogledatidio o sudarima). Time se povecava kineticka energija cestica sredstva. U statistickoj fizici sesrednja kineticka energija cestica povezuje s temperaturom, tako da visa energija odgovara visojtemperaturi. Prema tome mozemo reci da se mehanicka energija cestice oscilatora postupnopretvara u energiju toplinskog gibanja cestica sredstva u kojemu se nalazi oscilator.


R: tekst rjesenja

4Prigusenje nije konzervativna sila, pa nema potencijalnu energiju.

6.5. PRISILNI TITRAJI HARMONIJSKOG OSCILATORA 167

6.5 Prisilni titraji harmonijskog oscilatora

Pretpostavimo sada da na harmonijski oscilator, osim elasticne sile i sile prigusenja, djelujejos i periodicna vanjska sila ~Fv(t) u smjeru osi x. Sila je periodicna s periodom T , tako da je

~Fv(t) = ~Fv(t+ T ).

Jednadzba gibanja tada glasi

mx = −Kx− βx + Fv(t).

Uz ranije uvedene oznake

ω20 =

K

m, 2γ =

β

m,

gornja jednadzba postaje linearna nehomogena diferencijalna jednadzba drugog reda s kon-stantnim koeficijentima

x + 2 γ x + ω20 x =

1

mFv(t).

Zadajmo i pocetne uvjete

x(0) = x0, x (0) = v0.

Opce rjesenje nehomogene jednadzbe, x(t), je zbroj rjesenja homogene jednadzbe xH (koje vecznamo iz prethodnog odjeljka) i partikularnog rjesenja xP nehomogene jednadzbe, koje cemosada izracunati

x = xH + xP .

No, prije toga primjetimo jednu posljedicu linearnosti gornje jednadzbe: ako se vanjska silamoze napisati kao zbroj dva clana, npr.

Fv(t) = Fv,1(t) + Fv,2(t),

tada je i partikularno rjesenje oblika

xP = xP,1 + xP,2,

gdje je xP,1 partikularno rjesenje jednadzbe

x P,1 + 2 γ x P,1 + ω20 xP,1 =

1

mFv,1(t), (6.26)

a xP,2 je partikularno rjesenje jednadzbe

x P,2 + 2 γ x P,2 + ω20 xP,2 =

1

mFv,2(t). (6.27)

Zaista, ako se u jednadzbu

x + 2 γ x + ω20 x =

1

mFv,1(t) +

1

mFv,2(t)

uvrsti za x = xP,1 + xP,2, dobit ce se

(x P,1 + x P,2) + 2 γ (x P,1 + x P,2) + ω20 (xP,1 + xP,2) =

1

mFv,1(t) +

1

mFv,2(t)


[x P,1 + 2 γ x P,1 + ω2

0 xP,1 −1

mFv,1(t)

]+

[x P,2 + 2 γ x P,2 + ω2

0 xP,2 −1

mFv,2(t)

]= 0.

No, xP,1 je rjesenje od (6.26), a xP,2 rjesenje od (6.27) i zato su obje gornje uglate zagradejednake nuli. Ocito je da se gornje razmatranje moze primjeniti i na slucaj kada je vanjska siladana u obliku zbroja proizvoljno mnogo clanova

Fv =∑

j

Fv,j .

Tada je partikularno rjesenje zbroj rjesenja koja odgovaraju svakom pojedinom clanu vanjskesile

xP =∑

j

xP,j . (6.28)

Kao sto je pokazano u dodatku D , svaka se periodicna funkcija moze napisati u oblikubeskonacnog reda trigonometrijskih funkcija. Shodno tomu, i vanjska se periodicna silaFv moze napisati kao

Fv(t) =1

2C0 +

∞∑

j=1

[Cj cos (j ω t) + Sj sin (j ω t)

],

gdje je ω kruzna frekvencija koja odgovara periodu vanjske sile

ω =2 π

T,

a Cj i Sj su poznati koeficijenti razvoja

C0 =2

T

∫ T

0

Fv(t) d t,

Cj =2

T

∫ T

0

Fv(t) cos (j ω t) d t,

Sj =2

T

∫ T

0

Fv(t) sin (j ω t) d t.

Uz ovakav izraz za vanjsku silu, potrebno je naci partikularna rjesenja slijedecih jednadzba:

x(0)P x + 2 γ x + ω2

0 x =C0

2 m,

x(c)P x + 2 γ x + ω2

0 x =Cjm

cos (j ω t), (6.29)

x(s)P x + 2 γ x + ω2

0 x =Sjm

sin (j ω t).

a ukupno partikularno rjesenje je njihov zbroj

xP = x(0)P +

∞∑

j=1

[x

(c)P + x

(s)P

](6.30)


Lako je vidjeti da je partikularno rjesenje prve od jednadzba (6.29), naprosto konstanta

x(0)P =

C0

2mω20

. (6.31)

Potrazimo sada rjesenje druge i trece od jednadzba (6.29) za j = 1. Rjesenja za ostale j-ovecemo dobiti tako sto cemo u j = 1 rjesenje uvesti zamjene

ω → j ω, C1 → Cj , S1 → Sj. (6.32)

Uz oznake

f0 =C1

m, g0 =

S1

m,

jednadzbe cija partikularna rjesenje trazimo, postaju

x + 2 γ x + ω20 x = f0 cos ω t, x + 2 γ x + ω2

0 x = g0 sin ω t. (6.33)

Jednadzbe su istog oblika, pa je dovoljno rjesavati jednu od njih, npr. prvu. Pretpostavimo dace se, uslijed djelovanja vanjske sile, titranje odvijati kruznom frekvencijom vanjske

sile ω i da ce zato otklon x(c)P (t) biti oblika

x(c)P (t) = CP cosωt+ SP sinωt,

x(c)P (t) = −ω CP sinωt+ ω SP cosωt,

x(c)P (t) = −ω2

[CP cosωt+ SP sinωt

]= −ω2 x

(c)P (t),

gdje su CP i SP nepoznate konstante koje treba odrediti. Uvrstavanjem ovog pretpostavljenogrjesenja u prvu od jednadzba gibanja (6.33), dolazi se do

sinωt[−2CPγω + SP (ω2

0 − ω2)]

+ cosωt[CP (ω2

0 − ω2) + 2SPγω − f0]

= 0.

Buduci da sinusi i kosinusi iz gornje jednadzbe ne mogu istovremeni biti jednaki nuli, za-kljucujemo da svaka od gornjih uglatih zagrada mora zasebno iscezavati

−2 γ ω CP + (ω20 − ω2)SP = 0,

(ω20 − ω2)CP + 2 γ ω SP = f0.

To je 2 × 2 sustav za nepoznanice CP i SP ,

−2 γ ω ω2

0 − ω2

ω20 − ω2 2 γ ω

·

CP

SP

=

0

f0

,

CP

SP

=

−2 γ ω ω20 − ω2

ω20 − ω2 2 γ ω

−1

·

0

f0

,


cija su rjesenja

CP =f0

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

(ω20 − ω2), SP =

f04γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)22γω.

Time se za partikularno rjesenje x(c)P dobiva

x(c)P = CP cosωt+ SP sinωt

=f0

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

[(ω2

0 − ω2) cosωt+ 2γω sinωt],

≡ A (c)(ω) cos[ωt− Φ(ω)

](6.34)

gdje su uvedeni frekventno ovisan pomak u fazi Φ(ω) relacijom

tan Φ(ω) =2 γ ω

ω20 − ω2

, 0 ≤ Φ ≤ π (6.35)

i frekventno ovisna amplituda

A (c)(ω) =f0√

4 γ2 ω2 + (ω20 − ω2)2

=C1

m√

4 γ2 ω2 + (ω20 − ω2)2

. (6.36)

Slicnim se putem za drugu jednadzbu iz (6.33), dobije

x(s)P = A (s)(ω) sin

[ωt− Φ(ω)

]

s istim faznim pomakom Φ(ω) i amplitudom

A (s)(ω) =g0√

4 γ2 ω2 + (ω20 − ω2)2

=S1

m√

4 γ2 ω2 + (ω20 − ω2)2

. (6.37)

Pomocu rjesenja (6.31) i gornja dva rjesenja za x(c)P i x

(s)P , jednostavnim zamjenama iz (6.32),

dolazi se do partikularnog rjesenja jednadzba (6.29) u obliku (6.30)

xP (t) =C0

2mω20

+

∞∑

j=1

Cj cos[jωt− Φ(j ω)

]+ Sj sin

[jωt− Φ(j ω)

]

m

√4γ2(j ω)2 +

[ω20 − (j ω)2

]2 ,

i, dodavanjem rjesenja homogene jednadzbe, do opceg rjesenja

x(t) = xH(t) + xP (t)

= xH(t) +C0

2mω20

+

∞∑

j=1

Cj cos[jωt− Φ(j ω)

]+ Sj sin

[jωt− Φ(j ω)

]

m

√4γ2(j ω)2 +

[ω20 − (j ω)2

]2 , (6.38)

gdje su fazni pomaci Φ(j ω) zadani sa

tan Φ(j ω) =2 γ j ω

ω20 − j2 ω2

, 0 ≤ Φ ≤ π, (6.39)


a xH(t) je jedno od rjesenja

(6.22) xH(t) = e −γ t(a+ e

t√γ2−ω2

0 + a− e−t

√γ2−ω2

0

).

(6.23) xH(t) = e −γ t (a + b t).

(6.24) xH(t) = e −γ t A0 cos(ωt− Φ),

pri cemu se dvije nepoznate konstante (a± ili a, b ili A0,Φ) koje se pojavljuju u xH(t), odredujuiz pocetnih uvjeta

x(0) = x0, x (0) = v0.

primjenjenih na cijelo rjesenje (6.38).

Kao sto je pokazano u prethodnom odjeljku, sva rjesenja homogene jednadzbe eksponenci-jalno trnu s vremenom kao

e −γ t,

i zato su vazna samo u kratkom vremenskom intervalu nakon ukljucivanja vanjske sile - zovuse tranzijentna ili prijelazna rjesenja zato jer opisuju prijelazni rezim titranja harmonijskogoscilatora (prijelaz iz rezima kada ne djeluje vanjska sila, u rezim kada vanjska sila pocinjedjelovati)

limt→∞

xH(t) = 0.

To je razlog zasto izvan tog prijelaznog vremenskog intervala, mozemo zanemariti utjecaj ho-mogenog rjesenja i smatrati da je gibanje harmonijskog oscilatora odredeno samo partikularnimrjesenjem. Ovo partikularno rjesenje se naziva i stacionarno rjesenje, zato jer je to onorjesenje koje se opaza u dugom vremenskom intervalu nakon pocetka djelovanja vanjske sile.Vidimo da sada cestica titra frekvencijom vanjskog polja, uz pomak u fazi Φj , a taj je pomakuzrokovan silom prigusenja opisanom koeficijentom

γ =β

2m.

Zbog otpora cestica sredstva, harmonijski oscilator ne moze tocno slijediti titranje vanjske sile,nego malo kasni za njim.

RezonancijaRadi jednostavnosti dalje analize, ogranicimo se na jednostavnu periodicnu silu ciji je samo

jedan koeficijent, neka to bude C1 ≡ F0 iz (6.29), razlicit od nule. Promotrimo amplitudu(6.36) stacionarnog titranja (slika 6.7)

A(ω) =f0√

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

, f0 =F0

m.


Primjecujemo da amplituda ovisi o kruznoj frekvenciji vanjskog polja, A = A(ω), i da je najvecana frekvenciji koju cemo nazvati rezonantnom kruznom frekvencijom ωR

dAdω

∣∣∣∣ω=ωR

= 0,

⇒ ω2R = ω2

0 − 2γ2 (6.40)

⇒ Amax = A(ωR) =f0

2γ√ω20 − γ2

.

U gornjim se izrazima opet opaza da razlika izmedu rezonantne i vlastite frekvencije slobodnogoscilatora potjece od sile prigusenja (kada vi bilo γ = 0, tada bi i ωR = ω0). Blizu ove kruzne

Slika 6.7: Amplituda titraja, (6.36), u slucaju rezonancije s prigusenjem, za ω0 = 2Hz i nekoliko razlicitihjakosti prigusenja.

0 1 2 3 4 5ω

0

0.2

0.4

0.6

0.8

A (

ω)

/ f 0

γ = 0.3 Hzγ = 0.5 Hzγ = 1.0 Hzγ = 2.0 Hz

frekvencije, amplitude titranja harmonijskog oscilatora su vrlo velike i mogu ostetiti5 sam sustav

5Vjerojatno najpoznatiji primjer destruktivnog ucinka rezonancije je rusenje Tacoma mosta. Ovaj viseci most je pusten u promet1. VII 1940., a spajao je dvije strane zaljevskog tjesnaca Pudget Sound u americkoj drzavi Washington. Ukupna duzina mu je bilaod oko dva kilometra, a najveci raspon mosta je bio 853m. Samo cetiri meseca kasnije, 7. XI 1940., vjetar brzine od oko 60 km/hga je doveo u rezonantno torzijsko stanje titranja perioda oko 5 s. Buduci da je cijelo je titranje trajalo oko sat vremena, svi koji suse tada zatekli na mostu imali su dovoljno vremena da se maknu s njega, a bilo je vremena i za dolazak snimatelja koji su snimilimost za vrijeme titranja i rusenja. Dio snimka mozete pogledati na http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw&feature=fvst.


koji titra. Ta se pojava naziva rezonancija. Izraz za amplitudu moze se napisati i preko ωR

A(ω) =f0√

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

=f0√

4γ2ω2 + (ω20 − 2γ2 + 2γ2 − ω2)2

=f0√

4γ2ω2 + [(ω2R − ω2) + 2γ2]2

= · · · =f0√

4γ2(ω20 − γ2) + (ω2 − ω2

R)2. (6.41)

Granicne vrijednosti amplitude za male i velike frekvencije, slijede iz (6.36)

A(ω → 0) =f0√ω40 + 0

=f0ω20

= const.,

A(ω → ∞) =f0√ω4 + 0

=f0ω2

→ 0.

Iako graf A(ω) nije simetrican u varijabli ω, on je simetrican oko ωR u varijabli ω2. Neka jeω2 = ω2

R ± ∆ 2, tada je prema (6.41)

A(ω2 = ω2R ± ∆ 2) =

f0√4γ2(ω2

0 − γ2) + (ω2R ± ∆ 2 − ω2

R)2=

f0√4γ2(ω2

0 − γ2) + ∆ 4,

pa je

A(ω2 = ω2R + ∆ 2) = A(ω2 = ω2

R − ∆ 2).

Gornja relacija vrijedi za

0 ≤ ∆ ≤ ωR,

kako bi ω2 = ω2R ± ∆ 2 bilo uvijek pozitivno ili nula.

Rezonancija bez prigusenja:Promotrimo sada detaljnije situaciju kada na harmonijski oscilator djeluje vanjska periodicnasila, ali kada nema otpora sredstva

β = γ = 0.

Tada je, prema (6.40), rezonantna frekvencija jednaka vlastitoj frekvenciji slobodnog harmoni-jskog oscilatora

ωR = ω0.

Rijesimo jednadzbu gibanja kada je frekvencija vanjske periodicne sile jednaka vlastitoj tj.rezonanznoj frekvenciji

ω = ωR = ω0

x + ω20x = f0 cosω0t. (6.42)

Ukupno rjesenje je opet zbroj homogenog i partikularnog rjesenja

x = xH + xP .


Kao i u odjeljku 6.1, lako je uvjeriti se da je homogeno rjesenje linearna kombinacija sinusa ikosinusa

xH(t) = C0 cosω0t + S0 sinω0t,

dok iz teorije diferencijalnih jednadzba (slicno kao kod D2 = 0 rjesenja sa strane 162 ili (6.54)),slijedi da je drugo linearno nezavisno rjesenje, a to je sada partikularno rjesenje, oblika

xP (t) = t(CP cosω0t + SP sinω0t

).

Uvrstavanjem gornjeg xP u jednadzbu gibanja (6.42) i izjednacavanjem clanova uz sinω0t icosω0t na lijevoj i desnoj strani jednadzbe, dobivamo dvije jednadzbe za dvije nepoznanice:CP i SP

−2ω0CP = 0 ⇒ CP = 0,

2ω0SP = f0 ⇒ SP =f0

2ω0.

Ukupno je rjesenje (slika 6.8)

x(t) = xH + xP = C0 cosω0t +

(S0 + t

f02ω0

)sinω0t

(6.43)

≡ A(t) cos[ω0t− Φ(t)

].

gdje je uvedena vremenski ovisna amplituda A = A(t)

A(t) ≡

√

C20 +

(S0 + t

f02ω0

)2

i vremenski ovisan pomak u fazi Φ(t)

tan Φ(t) =1

C0

(S0 + t

f02ω0

).

Konstante C0 i S0 odreduju se iz pocetnih uvjeta: x(0) = x0, x (0) = v0 na cijelo rjesenje (6.43).

Primjetimo da sada amplituda titranja, A(t), raste s vremenom,

limt→ ∞

A(t) = tf0

2ω0→ ∞,

sto ce, nakon dovoljno dugo vremena, dovesti do raspada sustava.

Takoder treba primjetiti i da pomak u fazi Φ(t) ovisi o vremenu, pa se npr. vremena prolaskaoscilatora kroz polozaj ravnoteze (kada je x(t) = 0)

ω0 t + Φ(t) = (2n+ 1)π

2.


Slika 6.8: Elongacija (6.43) za slucaj rezonancije bez prigusenja.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

-30

-20

-10

0

10

20

30

x (

t )

razlikuju od onih za f0 ≡ 0 i mijenjaju se pri svakom novom prolasku kroz ravnotezni polozaj.Tako je vrijeme n+ 1-vog prolaska kroz ravnotezni polozaj dano rjesenjem jednadzbe

tn =2ω0

f0

C0 tan

[(2n+ 1)

π

2− ω0tn

]− S0

, n = 0, 1, 2, · · · .

Zadatak: 6.3 Izvedite izraz za struju u strujnom krugu sa slike 6.9, ako je vanjski napon oblika

V (t) = V0 sinωt.

R: Izjednacimo napone u strujnom krugu

V0 sinωt = R I + Ld I

d t+Q

C.

Da bi se ovaj primjer povezao s modelom harmonijskog oscilatora, derivirajmogornju jednadzbu po vremenu i podijelimo ju s L

d2 I

d t2+R

L

d I

d t+

1

LCI =

V0 ω

Lcosωt. (6.44)

No, gornja je jednadzba upravo oblika (6.29), s prigusenjem danim sa

2 γ =R

L,


Slika 6.9: Uz primjer ??.

vlastitom frekvencijom

ω20 =

1

LC,

i vanjskom periodicnom silom

Fv =V0 ω

Lcosωt.

Ukupno rjesenje za struju je zbroj homogenog i partikularnog rjesenja, pri cemuhomogeno rjesenje eksponencijalno trne s vremenom i vazno je samo u kratkomvremenskom intervalu nakon ikljucenja vanjskog napona. Ono sto odreduje ob-lik struje nakon ukljucenja vanjskog napona je partikularno rjesenje IP koje cemosada izracunati. Pretpostavljamo da ce struja u krugu titrati frekvencijom vanjskognapona, tj. da ce biti oblika

IP (t) = C cosωt+ S sinωt. (6.45)

Uvrstavanje ovog izraza za sruju u (6.44), vodi na

cosωt

[−ω2 C +

R

Lω S +

1

LCC − V0 ω

L

]+ sinωt

[−ω2 S − R

Lω C +

1

LCS]

= 0.

Buducu da sinusi i kosinusi ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, mora svaka odgornjih uglatih zagrada zasebno iscezavati

(1

LC− ω2

)C +

Rω

LS =

V0 ω

L,

−RωL

C +

(1

LC− ω2

)S = 0.

6.6. APSORPCIJA SNAGE VANJSKE SILE 177

Rjesavanje gornjeg 2 × 2 sustava za C i S daje

C =V0

R2 +(

1ω C

− ω L)2(

1

ω C− ω L

),

S =V0

R2 +(

1ω C

− ω L)2 R

Uvrstavane gornjih vrijednosti u (6.45), daje konacni izraz za struju u stacionarnomrezimu

IP (t) = A cos(ωt− Φ),

gdje su

A =V0√

R2 +(

1ω C

− ω L)2 ,

tan Φ =R

1ω C

− ω L.

Primjetimo jos da uvjet rezonancije (maksimalne amplitude)

dAd t

= 0,

daje da je rezonantna frekvencija jednaka vlastitoj frekvenciji

ωR = ω0 =1√LC

.

6.6 Apsorpcija snage vanjske sile

Radi jednostavnosti, ogranicimo se opet na vanjsku silu ciji je koeficijent

C1 ≡ F0

razvoja (6.29), razlicit od nule, dok su svi ostali koeficijenti jednaki nuli. Djelujuci na harmoni-jski oscilator, vanjska sila

~Fv(t) = F0 cosωt ~ex

nad njim obavlja odredeni rad i time povecava njegovu energiju. U ovom cemo odjeljkuizracunati koliko je to povecanje energije po jedinici vremena tako sto cemo izracunati snaguvanjske sile Pv

Pv =dWv

d t=

~Fv d~r

d t= ~Fv ~v = F0 cosωt ~ex x ~ex = F0 x cosωt.

Brzinu x cemo izracunati pomocu stacionarnog (partikularnog) rjesenja (6.34) jer nas zanimaponasanje sustava u vremenima nakon ukljucenja sile, a ne sam prijelazni rezim u trenutku


ukljucenja. Vremenskom derivacijom (6.34) i uvrstavanjem u gornji izraz za snagu, dobije setrenutna apsorbirana snaga vanjske sile kao

Pv(t) = − F 20

m

ω√4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)2sin(ωt− Φ) cosωt.

Buduci da se vanjska sila mijenja s vremenom, isto tako ce se s vremenom mijenjati i apsor-birana snaga. Kako je sila periodicna s periodom T = 2 π/ω, relevantna je srednja snagaapsorbirana tijekom jednog perioda. Opci izraz za racun srednje vrijednosti periodicnefunkcije 〈 f 〉 tijekom jednog perioda je

〈 f 〉 =1

T

∫ t+T

t

f(t) d t. (6.46)

Primjenimo gornji izraz na racun srednje apsorbirane snage

〈Pv〉 = − F 20

m

ω√4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)2〈 sin(ωt− Φ) cosωt 〉

= − F 20

m

ω√4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)2

(1

2cos Φ 〈 sin 2ωt 〉 − sin Φ 〈 cos2 ωt 〉

).

Elementarnom integracijom se dobiva

〈 sin 2ωt 〉 =1

T

∫ t+T

t

sin 2ωt d t = 0,

(6.47)

〈 cos2 ωt 〉 =1

T

∫ t+T

t

cos2 ωt d t =1

2,

sto, uvrsteno u izraz za srednju snagu, daje

〈Pv〉 =1

2

F 20

m

ω√4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)2sin Φ.

Trigonometrijskim preobrazbama se iz (6.35) dobije

sin Φ =2 γ ω√

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

,

pa je konacno

〈Pv〉 =γ F 2

0

m

ω2

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

. (6.48)

Gornji izraz je predstavlja snagu (usrednjenu po jednom priodu) koju vanjska sila predaje har-monijskom oscilatoru (slika 6.10). Vidi se da apsorbirana snaga ovisi o frekvenciji vanjske sile:na nekim je frekvencijama apsorpcija veca, a na nekima je manja. Sad je prirodno postavitislijedece pitanje: koliku frekvenciju treba imati vanjska sila, pa da apsorpcija snage bude mak-simalna? Kao i obicno, ekstrem funkcije trazimo izjednacavanjem njezine prve derivacije snulom

d

d ω〈Pv〉 = 0,


Slika 6.10: Snaga, (6.48), usrednjena po jednom periodu koju vanjska sila predaje harmonijskom oscilatoru (zaω0 = 2Hz).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4ω

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

< P

v >

m /

( γ

F 0

2 )

γ = 0.3 Hzγ = 0.5 Hzγ = 1.0 Hzγ = 2.0 Hz

sto je zadovoljeno ako je

ω = ω0.

Dakle, kao sto se moglo i ocekivati, sustav apsorbira najvise energije (po jedinici vremena), akovanjska sila titra vlastitom frekvencijom samog sustava. Maksimalna apsorbirana snaga je

〈Pv〉max = 〈Pv〉ω=ω0 =1

4

F 20

γ m. (6.49)

Apsorpcija snage je veca ako je veci intezitet vanjske sile, ako je manje prigusenje i ako je manjamasa cestice koja titra (ovdje je rijec o tromoj masi).

polusirina linije:Osim polozaj maksimuma 〈Pv〉, oblik apsorpcijske linije sa slike 6.10 se opisuje i pojmompolusirine linije. Polusirina se definira tako sto se pitamo za koliko se treba pomaknuti nalijevu i desnu stranu od maksimuma,

ω = ω0 ± ∆ω,

pa da vrijednost 〈Pv〉 bude jednaka polovici maksimalne? Kada nademo ∆ω, trazena polusirinaje 2 ∆ω. Sama ∆ω je dakle rjesenje jednadzbe

〈Pv〉ω=ω0±∆ω =1

2〈Pv〉max.


Izravnim uvrstavanjem (6.48) i (6.49) u gornju jednadzbu, i njezinim rjesavanjem, dobiva se

∆ ω = γ − ω0 +√γ2 + ω2

0.

U granici slabog prigusenja γ << ω0, priblizno je

∆ ω ≃ γ.

Polusirina linije je dakle priblizno jednaka 2 γ i odredena je koeficijentom prigusenja: sto jemanje prigusenje, apsorpcijska linija postaje sve uza (slika 6.10).Primjetimo jos i da se apsorbirana snaga moze dobiti u obliku Lorentzove funkcije (lorencijana)

fL(Y ) =1

1 + Y 2.

Da bi se to izvelo, u (6.48) treba izvesti zamjenu varijable, tako da se za varijablu koristiY ≡ 1/ tan Φ, koji je, prema (6.35), jednak

Y ≡ 1

tan Φ=ω20 − ω2

2γω.

U toj je varijabli

〈Pv〉 =F 20

4 m γ

1

1 + Y 2.

Vidimo da je apsorpcijska linija uistinu oblika lorencijana, a da se maksimum postize za Φ =π/2.

Sacuvanje energije:Na kraju jos jedna mala provjera cijelog racuna. Upravo smo ustanovili da, uslijed rada van-jske sile, postoji tok energije u sustav (harmonijski oscilator). Buduci da smo sve smo vrijemeradili sa stacionarnim rjesenjem (6.34), zakljucujemo da istovremeno mora postojati i tokenergije iz sustava koji je po iznosu jednak toku energije u sustav. U suprotonom, stacionarnostanje se ne bi moglo ostvariti. Jasno je da se tok energije iz sustava u okolinu odvija mehaniz-mom prigusenja (medudjelovanja harmonijskog oscilatora sa cesticama okoline). Ovaj gubitakenergije smo vec izracunali u (6.25), i on je jednak

Pprig =dEmehd t

= −β x 2 = −2 m γ x 2.

Uvrsti li se za x brzina dobivena iz stacionarnog rjesenja (6.34) i izvede li se vremensko usred-njenje po jednom periodu, nakon kraceg racuna dolazi se do

〈 Pprig 〉 = −2 γ m ω2 A2(ω)(

cos2 Φ〈 sin2 ωt 〉 + sin2 Φ〈 cos2 ωt 〉 − 2 sin Φ cos Φ 〈sinωt cosωt〉)

= −γ m ω2 A2(ω),

gdje smo za izracunavanje vremenskih srednjih vrijednosti koristili (6.47). Uvrstavanjem am-plitude iz (6.36), dobije se brzina gubitka energije kao

〈 Pprig 〉 = −γ F20

m

ω2

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

. (6.50)


Usporedimo li gornji izraz sa (6.48), vidimo da je ukupna bilanca vremenske promjene energije

〈 Pprig 〉 + 〈Pv〉 = 0,

ili

| 〈 Pprig 〉 | = 〈Pv〉.Ostvaren je stacionarni protok energije: koliko energije posredstvom vanjske sile ude u sustav(harmonijski oscilator), toliko i izade procesom prigusenja.

6.6.1 Neperiodicna vanjska sila

Do sada smo govorili o harmonijskom oscilatoru na koji djeluje periodicna vanjska sila. Pogleda-jmo sada sto se moze reci o rjesenju jednadzbe gibanja oscilatora, ako vanjska sila nije nuznoperiodicna?

Radi jednostavnosti, izostavit cemo ucinke prigusenja i promatrati gibanje cestice pod djelo-vanjem samo elasticne sile i vanjske sile Fv(t). Jednadzba gibanja je

mx +K x = Fv(t),

a pocetni uvjeti neka su: x(0) = x0, x (0) = v0. Opce rjesenje gornje jednadzbe je zbrojhomogenog i partikularnog rjesenja x = xH + xP . Homogeno rjesenje je oblika

xH = CH cosω0t+ SH sinω0t,

gdje su CH i SH konstante, a ω0 =√K/m.

Ukupno rjesenje (dakle, ne samo partikularno) cemo potraziti polazeci od homogenog rjesenjai koristeci metodu varijacije konstanata. Kao sto je poznato iz matematicke analize(vidjeti npr. [23], str. 535) ukupno rjesenje gornje jednadzbe se trazi u obliku

x(t) = C(t) cosω0t + S(t) sinω0t,

pri cemu su funkcije S(t) i C(t), rjesenja 2 × 2 sustava

C ′ cosω0t+ S ′ sinω0t = 0,

C ′ (cosω0t)′ + S ′ (sinω0t)

′ = Fv,

tj. (nakon deriviranja)

C ′ cosω0t + S ′ sinω0t = 0,

−C ′ sinω0t + S ′ cosω0t =Fvω0.

Prva od gornjih jednadzba se pomnozi sa sinω0t, a druga s cosω0t, a zatim se dobivene jed-nadzbe zbroje. Rezultat je

d S

d t=

1

ω0Fv(t) cosω0t

/ ∫ t

0

d t

S(t) − S(0) =1

ω0

∫ t

0

Fv(s) cosω0s d s.


Na slican nacin (mnozenjem prve jednadzbe s cosω0t, a druge sa sinω0t i oduzimanjem prveod druge), dobiva se i

dC

d t= − 1

ω0Fv(t) sinω0t

/ ∫ t

0

d t (6.51)

C(t) − C(0) = − 1

ω0

∫ t

0

Fv(s) sinω0s d s.

Sada je opce rjesenje

x(t) =

[S(0) +

1

ω0

∫ t

0

Fv(s) cosω0s d s

]sinω0t

+

[C(0) − 1

ω0

∫ t

0

Fv(s) sinω0s d s

]cosω0t.

Uvrstimo u gornje rjesenje pocetne uvjete:

x(0) = x0 = 0 +[C(0) − 0

]⇒ C(0) = x0.

Racun pocetnog uvjeta na brzinu

x(t) = C(t) cosω0t + S(t) sinω0t

x (t) = C ′(t) cosω0t− ω0C(t) sinω0t

+ S ′(t) sinω0t + ω0S(t) cosω0t,

x (0) = v0 = C ′(0) + ω0S(0).

Iz relacije (6.51) se ocitava C ′(0) = 0, pa je

S(0) =v0ω0.

Sada se cijelo rjesenje moze napisati u obliku

x(t) = x0 cosω0t+v0ω0

sinω0t

+1

ω0

∫ t

0

Fv(s)[

sinω0t cosω0s− cosω0t sinω0s]d s

= x0 cosω0t+v0ω0

sinω0t+1

ω0

∫ t

0

Fv(s) sinω0(t− s) d s

= xH + xP ,

gdje smo prepoznali homogeno rjesenje xH , poznato iz odjeljka 6.1 (koje preostane ako nemavanjske sile: Fv = 0)

xH = x0 cosω0t+v0ω0

sinω0t

i drugi dio koji je partikularno rjesenje

xP =1

ω0

∫ t

0

Fv(s) sinω0(t− s) d s.


Opcenitije:Gore izlozena teorija se odnosi na nepriguseni harmonijski oscilator na koji djeluje neperiodicnavanjska sila. No, to je samo poseban slucaj opcenitog problema trazenja partikularnog rjesenjadiferencijalne jednadzbe drugog reda s konstantnim koeficijentima

x + p x + q x = f(t), (6.52)

gdje su p i q konstante. Gornjoj se diferencijalnoj jednadzbi pridruzuje algebarska jednadzba

ϕ(k) = k2 + p k + q = 0

koja se naziva karakteristicna jednadzba. Navodimo rjesenja jednadzbe (6.52) za dva mogucaoblika funkcije f(t).

(1)

f(t) = e a t Pn(t),

gdje je Pn(t) polinom n-tog reda u varijabli t. Ako a nije korjen karakteristicne jednadzbe, tj.ako je

ϕ(a) 6= 0,

tada se partikularno rjesenje trazi u obliku

xp = e a t Qn(t),

gdje je Qn(t) polinom n-tog reda u varijabli t, ciji se koeficijenti odreduju uvrstavanjem xpu jednadzbu i usporedbom clanova s istom potencijom t. Ako a jeste korjen karakteristicnejednadzbe, tj. ako je

ϕ(a) = 0,


xp = xr e a t Qn(t), (6.53)

gdje je r visestrukost korjena a (tj. r = 1 ili je r = 2).

(2)Ako je nehomogeni dio oblika

f(t) = e a t[Pn(t) cos bt +Qm(t) sin bt

]

gdje su Pn(t) i Qm(t) polinomi n-tog i m-tog reda u varijabli t. Ako a ± ı b nisu korjenikarakteristicne jednadzbe, tj. ako je

ϕ(a± ı b) 6= 0,


xp = e a t[CN(t) cos bt + SN(t) sin bt

],


gdje su CN(t) i SN(t) polinomi reda N = max n,m u varijabli t, ciji se koeficijenti odredujuuvrstavanjem xp u jednadzbu i usporedbom clanova s istom potencijom t i uz istu trigonometri-jsku funkciju. Ako a± ı b jeste korjen karakteristicne jednadzbe, tj. ako je

ϕ(a± ı b) = 0,


xp = xr e a t[CN(t) cos bt + SN(t) sin bt

], (6.54)

gdje je r visestrukost korjena a± ı b (tj. r = 1 ili je r = 2).


R: tekst rjesenja

6.6.2 Rjesenje pomocu Greenove funkcije

dovrsiti ...

6.7 Dvodimenzijski harmonijski oscilator

U prethodnim smo odjeljcima promatrali iskljucivo jednodimenzijsko gibanje cestice pod djelo-vanjem elasticne sile (i sile prigusenja, vanjske sile itd.) Promotrimo sada dvodimenzijskogibanje cestice pod djelovanjem samo elasticne sile u ravnini (x, y)

~F = −Kx x ~ex −Ky y ~ey , (6.55)

gdje su Kx iKy pozitivne konstante (slika 6.11). Primjetimo da zaKx 6= Ky, sila nije usmjerenaprema ishodistu . Jednadzba gibanja cestice mase m pod djelovanjem gornje sile je

md2 ~r

d t2= −Kx x ~ex −Ky y ~ey ,

raspisana po komponentama pravokutnog koordinatnog sustava postaje

x = −ω20,x x, ω2

0,x =Kx

m,

y = −ω20,y y, ω2

0,y =Ky

m, (6.56)

z = 0.

Osim gornjim jednadzbama, gibanje je odredeno i pocetnim uvjetima:

x(0) = x0, x (0) = v0x, y(0) = y0, y (0) = v0 y, z(0) = 0, z (0) = 0.

Uz ove uvjete, cestica ce se sve vrijeme gibati u ravnini (x, y). Dobila su se dva nevezana jednodi-menzijska slobodna harmonijska oscilatora, cije su jednadzbe gibanja vec rjesne u odjeljku 6.1

x(t) = Cx cosω0,xt + Sx sinω0,xt = Ax cos(ω0,xt− Φx),

y(t) = Cy cosω0,yt+ Sy sinω0,yt = Ay cos(ω0,yt− Φy).

6.7. DVODIMENZIJSKI HARMONIJSKI OSCILATOR 185

Slika 6.11: Elasticna sila u dvije dimenzije.

To su parametarske jednadzbe s vremenom t kao parametrom. Konstante Cj i Sj , tj. Aj i Φj

se odreduju iz gornjih pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu cestice, kao u (6.3)

Ax =

√

x20 +v20xω20x

, tan Φx =v0x

ω0x x0,

Ay =

√y20 +

v20 yω20 y

, tan Φy =v0 y

ω0 y y0.

Putanje koje cestica opisuje u ravnini (x, y) se zovu Lissajousove6 krivulje. Nekoliko razlicitihLissajousovih krivulja je prikazano na slici 6.12. Razmotrimo neke njihove najjednostavnijeslucajeve:

♣ Neka su frekvencije titranja iste ω0,x = ω0,y = ω0, tj. Kx = Ky. Sada je, prema(6.55), elasticna sila usmjerena prema ishodistu. Rjesenja za pomak u x i y smjeru su

x

Ax= cosω0t cos Φx + sinω0t sin Φx,

(6.57)y

Ay= cosω0t cos Φy + sinω0t sin Φy.

To su parametarske jednadzbe krivulje u ravnini (x, y), s vremenom t kao parametrom. Eli-minirat cemo vrijeme, kako bismo dobili izravnu vezu x i y. Pomnozimo gornju jednadzbu scos Φy, a donju s − cos Φx i zbrojimo ih

x

Ax

cos Φy −y

Ay

cos Φx = sinω0t sin(Φx − Φy).

6Ove su krivulje proucavali Nathaniel Bowditch 1815, a kasnije, 1857, i puno detaljnije Jules Antoine Lissajous.


Slika 6.12: Lissajousova krivulje kao rjesenja jednadzba: x = A sin(ω0,xt + δ), y = A sin(ω0,yt) za δ = π/2 inavedene vrijednosti ω0,x i ω0,y, pri cemu je ω0,x neparan prirodan broj i |ω0,x − ω0,y| = 1

ω0,x = 1, ω0,y = 2 ω0,x = 3, ω0,y = 2 ω0,x = 3, ω0,y = 4

ω0,x = 5, ω0,y = 4 ω0,x = 5, ω0,y = 6 ω0,x = 9, ω0,y = 8

Ako sada gornju od jednadzba (6.57) pomnozimo sa − sin Φy, a donju sa sin Φx i zbrojimo,dobivamo

− x

Axsin Φy +

y

Aysin Φx = cosω0t sin(Φx − Φy).

Ako sada gornje dvije jednadzbe kvadriramo i zbrojimo, vrijeme t nestaje iz jednadzbe i pre-ostaje

(x

Ax

)2

− 2xy

AxAycos(Φx − Φy) +

(y

Ay

)2

= sin2(Φx − Φy). (6.58)

Gornja jednadzba predstavlja elipsu u ravnini (x, y) sa sredistem u ishodistu i s glavnomosom zakrenutom za odredeni kut Φ prema pozitivnom smjeru osi x (slika 6.13). S gibanjemcestice po elipsi uslijed djelovanja elasticne sile u smjerene prema ishodistu, cemo se susrestiponovo u poglavlju 7 o centralnim silama.Lako je odrediti kut zakreta Φ. Uvedimo pomocni koordinatni sustav (x ′, y ′) kao na slici 6.13.U tom koordinatnom sustavu su osi elipse usmjerene duz koordinatnih osi x ′ i y ′, pa jednadzbaelipse glasi

(x ′

A′x

)2

+

(y ′

A′y

)2

= 1.


Slika 6.13: Elipsa kao Lissajousova krivulja.

Veza (x ′, y ′) s (x, y) sustavom je dana relacijama

x = x ′ cos Φ − y ′ sin Φ,

y = x ′ sin Φ + y ′ cos Φ.

Pomocu gornjih relacija cemo elipsu (6.58) napisati u koordinatama x ′ i y ′

x ′ 2 ·[

cos2 Φ

A2x

− sin 2Φ


sin2 Φ

A2y

]

+x ′y ′ ·[−sin 2Φ

A2x

− 2cos 2Φ


sin 2Φ

A2y

]

+ y ′ 2 ·[

sin2 Φ

A2x

+sin 2Φ


cos2 Φ

A2y

]= sin2(Φx − Φy).

Gornje dvije jednadzbe prikazuju istu elipsu, pa moraju biti jednake, tj. clan srazmjeranumnosku x ′ · y ′, mora biti jednak nuli, a to je moguce samo ako je

−sin 2Φ

A2x

− 2cos 2Φ


sin 2Φ

A2y

= 0,

ili, nakon kraceg sredivanja,

tan 2Φ =2AxAy

A2x −A2

y

cos(Φx − Φy),

sto predstavlja jednadzbu za odredivanje kuta zakreta koordinatnih sustava, Φ. Usporedbom


gornjih izraza jos zakljucujemo i da je

(A′x)

−2 =

(cos2 Φ

A2x

− sin 2Φ


sin2 Φ

A2y

)/sin2(Φx − Φy)

(A′y)

−2 =

(sin2 Φ

A2x

+sin 2Φ


cos2 Φ

A2y

)/sin2(Φx − Φy).

Promotrimo neke posebne slucajeve jednadzbe (6.58):

♣ Ako je Φx = Φy, tada se jednadzba elipse, (6.58), degenerira u(x

Ax− y

Ay

)2

= 0 ⇒ y =Ay

Axx

pravac koji lezi na dijagonali pravokutnika duljine stranica Ax i Ay (slika 6.14.A).

Slika 6.14: Elipsa - posebni slucajevi .

♣ Ako je Φx = Φy + π, tada se jednadzba elipse degenerira u(x

Ax+

y

Ay

)2

= 0 ⇒ y = −Ay

Axx

pravac koji lezi na drugoj dijagonali pravokutnika duljine stranica Ax i Ay (slika 6.14.B).

♣ Ako je Φx = Φy + π/2, tada je putanja cestice elipsa, a kut zakreta Φ = 0(x

Ax

)2

+

(y

Ay

)2

= 1,

a titranje u smjeru osi x je za 1/4 perioda ispred titranja u smjeru osi y (slika 6.14.C).♣ Ako je Φx = Φy + 3π/2, tada je putanja cestice opet elipsa s kutom zakreta Φ = 0

(x

Ax

)2

+

(y

Ay

)2

= 1,


a titranje u smjeru osi x za 1/4 perioda kasni u odnosu na titranje u smjeru osi y (slika 6.14.C).

♣ Ako je jos i Ax = Ay, elipsa degenerira u kruznicu.

Gornja je analiza primjenjiva na opis polarizacije elektromagnetskog vala. Elektricnai magnetska komponenta vala titraju u ravnini okomitoj na smjer sirenja vala i jos su medusobnookomite. Uzme li se za tu ravninu upravo ravnina (x, y), tada jednostavna promjena notacijex → E i y → B, prevodi gornju analizu na opis linearno, kruzno i elipticki polariziranogelektromagnetskog vala. Kruzna i elipticka polarizacija jos mogu biti lijevo ili desno orjentirane,ovisno o tome vrti li se vrh vektora elektricnog (pa time i magnetskog) polja u smjeru ili suprotnosmjeru kazaljke na satu.

♣ Ako je ω0,x = 2ω0,y i razlika u fazama Φx − Φy = π2, Lissajousova krivulja je parabola7

x(t)

Ax= cos(2ω0,yt− Φy − π/2),

y(t)

Ay

= cos(ω0,yt− Φy).

Eliminacijom vremena iz gornjih parametarskih jednadzba, dolazi se do

x±Ax

= − sin Φy + 2 sin Φy

(y

Ay

)2

± 2y

Ay

√

sin2 Φy + (1 + sin2 Φy)

(y

Ay

)2

,

ili, jednostavnije, ako je pocetna faza Φy = 0, tada je

x±Ax

= ±2

(y

Ay

)2

.

♣ Napomenimo samo jos i to da u slucaju kada je ω0,x = 1, a ω0,y = n, gdje je n prirodanbroj, a razlika u fazama

Φx − Φy =N − 1

N

π

2,

Lissajousove krivulje su Cebisevljevi polinomi prve vrste i stupnja n.

♠ U opcem slucaju ω0,x 6= ω0,y, u skladu s relacijama (6.56), elasticna sila nije usmjerenaprema ishodistu koordinatnog sustava i putanja cestice ce biti znatno slozenija (sto necemodalje diskutirati).


R: tekst rjesenja7Primjetimo da sada sila vise nije centralna, tj. nije usmjerena prema ishodistu.


6.8 Teodimenzijski izotropni harmonijski oscilator

dovrsiti ...

6.9 Matematicko njihalo

Matematicko njihalo, slika 6.15, je sustav koji se sastoji od cestice mase m pricvrscene za jedankraj niti duljine l. Drugi kraj niti je pricvrscen za nepomicnu tocku objesista O. Masa irastezivost niti se zanemaruju. Ako se cestica otkloni od polozaja ravnoteze u tocki A i otpusti,ona ce se njihati lijevo i desno od tocke A.Izvedimo i rjesimo jednadzbu gibanja matematickog njihala uz zanemarivanje sile otporakoja potjece od sudara cestice njihala sa cesticama sredstva u kojemu se odvija njihanje i odtrenja u tocki objesista. Takoder cemo zanemariti i ucinke od vrtnje Zemlje oko svoje osi, tj.pretpostavit cemo da se njihanje odvija u inercijskom sustavu (ucincima neinercijalnosti cemose posvetiti u poglavlju 8 - Foucaultovo njihalo). Zbog toga sto se gibanje odvija u ravnini,

Slika 6.15: Matematicko njihalo .

prirodno je postaviti jednadzbu gibanja u polarnom koordinatnom sustavu. Polozaj cesticeje odreden vektorom

~r(t) = l~eρ (t),

a sile koje djeluju na cesticu jesu sila teza

mg~ex

i sila napetosti niti

~Fnap = −Fnap ~eρ (t).

Stoga je jednadzba gibanja

m~r = mg~ex − ~eρ Fnap.

6.9. MATEMATICKO NJIHALO 191

U odjeljku 3.1 smo izracunali opci izraz (3.5) za ubrzanje u polarnom koordinatnom sustavu

~r = (ρ− ρϕ2)~eρ + (ρϕ+ 2ρϕ)~eϕ .

Sada je ρ = l = const., zbog nerastezivosti niti, pa je

ρ = ρ = 0.

Iz relacije (2.42) takoder znamo i da je

~ex = ~eρ cosϕ− ~eϕ sinϕ.

Uvrstavanjem u jednadzbu gibanja, slijedi

m(−lϕ2~eρ + lϕ~eϕ ) = mg(~eρ cosϕ− ~eϕ sinϕ) − ~eρ Fnap,


−lϕ2 = g cosϕ− Fnapm

,

lϕ = −g sinϕ.

Prva jednadzba daje napetost niti

Fnap = mg cosϕ+mlω2

kao zbroj dva doprinosa: prvog od radijalne komponente sile teze i drugog od centrifugalne sile(ω = ϕ ). Druga jednadzba

ϕ = −gl

sinϕ. (6.59)

je jednadzba njihanja koju treba rijesiti i naci kut otklona ϕ kao funkciju vremena. Jednadzbu(6.59) cemo rijesiti na dva nacina: priblizno i egzaktno.

PribliznoZa male kutove otklona ϕ (izrazenog u radijanima), vrijedi Taylorov razvoj

sinϕ = ϕ− 1

6ϕ3 + O(ϕ5), (6.60)

pa jednadzba gibanja, s tocnoscu reda O(ϕ3), glasi

ϕ = −glϕ.

Oznaci i se

ω20 =

g

l,

gornju jednadzbu prepoznajemo kao jednadzbu slobodnog jednodimenzijskog harmonijskog os-cilatora (6.2)

ϕ = −ω20 ϕ.


Opce rjesenje gornje jednadzbe je

ϕ(t) = C cosω0t+ S sinω0t,

gdje se konstante C i S odreduju iz pocetnih uvjeta:

ϕ(0) = ϕ0, ϕ (0) = 0.

Uvrstenje pocetnih uvjeta daje

ϕ(t) = ϕ0 cosω0t.

Period njihanja, T , se odreduje iz zahtjeva periodicnosti

ϕ(t) = ϕ(t+ T ) ⇒ T =2π

ω0

= 2π

√l

g. (6.61)

Vidimo da se rjesavanje problema njihanja matematickog njihala kada su amplitude male, svodina problem slobodnog harmonijskog oscilatora.

EgzaktnoNo, sto ako amplitude nisu male? Tada postoje dva puta: egzaktno (kao u nastavku ovogodjeljka) ili racunom smetnje (kao u [18], str 130 ili u odjeljku 15.3 reference [5]).Evo egzaktnog racuna. Ako amplituda nije mala, tada zadrzavanje vodeceg clana u razvojusinusa u (6.60) nije opravdano i treba rjesavati cijelu jednadzbu (6.59). Uvedimo

ω =dϕ

dt= ω(ϕ(t))

i shvatimo ju kao funkciju kuta ϕ. tada je

d2ϕ

dt2=dω

dt=dω

dϕ

dϕ

dt= ω

dω

dϕ

Uvrstavanjem ove zamjene u jednadzbu gibanja (6.59), sa varijable vremena t, prelazimo nakutnu varijablu ϕ,

ωdω

dϕ= −g

lsinϕ

ωdω = −gl

sinϕ dϕ

/∫ t

0

≡∫ ϕ

ϕ0∫ ϕ

ϕ0

ωdω = −gl

∫ t

0

sinϕ dϕ

1

2ω2(ϕ) − 1

2ω2(ϕ0) =

g

l

[cosϕ(t) − cosϕ(0)

].

Uzmemo li u obzir pocetne uvjete

ϕ(0) = ϕ0, ω(0) = 0,

za kruznu brzinu se dobiva

ω =dϕ

dt= ±

√2g

l

(cosϕ− cosϕ0

).

6.9. MATEMATICKO NJIHALO 193

Odlucimo se sa predznak. U vremenskom intervalu

0 ≤ t ≤ T/4,

vrijeme raste, dt > 0, a kut ϕ se smanjuje od maksimalne vrijednosti ϕ0 do nule, tj. dϕ < 0(slika 6.15). Zato je omjer dϕ/dt < 0 i mi u gornjem izrazu odabiremo negativni predznak(drzeci na umu da smo se ogranicili na 0 ≤ t ≤ T/4)

dϕ

dt= −

√2g

l

(cosϕ− cosϕ0

)

−∫ T/4

0

dt = −T4

=

√l

2g

∫ 0

ϕ0

dϕ√cosϕ− cosϕ0

T = 4

√l

2g

∫ ϕ0

0

dϕ√cosϕ− cosϕ0

= 2

√l

g

∫ ϕ0

0

dϕ√sin2(ϕ0/2) − sin2(ϕ/2)

Uvedimo sada novu varijablu Φ relacijom

sin(ϕ/2) = sin(ϕ0/2) sin Φ.

U varijabli Φ, jednadzba za period glasi

T = 4

√l

g

∫ π/2

0

dΦ√1 − k2 sin2 Φ

, (6.62)

gdje je

k2 = sin2(ϕ0/2).

Integral koji se pojavljuje na desnoj strani se zove elipticki integral prve vrste i ne mozese izraziti preko elementarnih funkcija. Koristeci se binomnim teoremom

(1 + x)p = 1 + px+p(p− 1)

1 · 2x2 +

p(p− 1)(p− 2)

1 · 2 · 3x3 + · · · ,

korjen pod integralom moze razviti u red potencija. Uz p = −1/2 i x = −k2 sin2 Φ, binomniteorem mozemo primjeniti na razvoj podintegralne funkcije u izrazu za period

T = 4

√l

g

∫ π/2

0

dΦ

(1 +

1

2k2 sin2 Φ +

1 · 3

2 · 4k4 sin4 Φ +

1 · 3 · 5

2 · 4 · 6k6 sin6 Φ · · ·

).

Svi su integrali s desne strane rjesivi∫ π/2

0

(sin x)2n dx =1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · (2n)

π

2.

Uvrstavanjem ovih rjesenja, dobije se period matematickog njihala za proizvoljnuvrijednost amplitude ϕ0, u obliku beskonacnog reda potencija u varijabli k

T = 2π

√l

g

[1 +

(1

2

)2

k2 +

(1 · 3

2 · 4

)2

k4 +

(1 · 3 · 5

2 · 4 · 6

)2

k6 + · · ·]. (6.63)


U granici malih amplituda ϕ0, i k ce biti mala velicina, pa najveci doprinos periodu dolazi odprvog clana koji prepoznajemo kao (6.61), T = 2π

√l/g.

Zadatak: 6.6 tekst zadatka

R: tekst rjesenja

Poglavlje 7

Gravitacija i centralne sile

Sir Isaac Newton secretly admitted to some of his friends:I understand how gravity behaves, but not how it works!

Gibanje nebeskih tijela je privlacilo pozornost ljudi jos od najdavnijih vremena. Vrlo rano(Babilon, Asirija, Maye), promatranjem nocnog neba, ljudi su uocili da se nebeska tijela gibajuu odnosu na nepomicne tocke na Zemlji. Ta su se gibanja pokazala periodicnim, i posluzilasu za stvaranje kalendara. Jedan od najstarijih kalendara naden je u ovom nasem podrucju,a potjece iz bakrenog doba (prije otprilike 5 000 godina) i nalazi se na jednoj glinenoj posudikoja pripada Vucedolskoj kulturi, a pronadena je na nalazistu u blizini Vinkovaca (slika 7.1,dodatak E ).

Slika 7.1: Orionov kalendar - vucedolska kultura, nalaziste kod Vinkovaca.

U vrijeme procvata helenske kulture, pitanjem gibanja nebeskih tijela se bavio i Aristarh saotoka Samosa (oko 280 god. p.n.e., dakle suvremenik Euklida i Apolonija) Koliko je poznato,on je prvi covjek koji je dao cjeloviti prikaz heliocentricnog sustava, no postoje indicije daje samo ucenje o heliocentricnom sustavu bilo pozanto jos polaznicima Platonove Akademije,stotinjak godina prije Aristarha. U isto doba je i Eratosten (bibliotekar u Aleksandriji, oko200 god. p.n.e.), smatrao da je Zemlja loptastog oblika i razmjerno tocno je izracunao njezinpolumjer. No, u to vrijeme, ljudi su vise pozornosti poklanjali nekim drugim pitanjima filozofije,matematike, knjizevnosti, itd., tako da su Aristarhova i Eratostenova otkrica prosla gotovo

195

196 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE

nezapazeno i s vremenom su pala u zaborav1. Kasnije, s propascu helenske civilizacije, dosloje do bitne promjene u gledanju i objasnjavanju prirodnih pojava. To je vrijeme kada jeu Europi krscanstvo, putem crkvene organizacije, postalo apsolutni arbitar u svim poljimaduhovnog i svjetovnog zivota europskih naroda. Zaboravljena i zanemarena su ne samo znanjaiz astronomije i matematike, vec i gotovo cjelokupno knjizevno nasljede stare Helade i Rima.Biblija i spisi svetih otaca (i odabranih antickih filozofa poput Aristotela) su bili jedini priznatiizvor sveg znanja, oznacenog kao dogma. Izmedu ostalog, Crkva je naucavala da je Zemljasrediste svemira oko kojega se okrecu i Sunce i Mjesec i svih sedam (tada poznatih) planeta. Dabi se tom sklopu objasnile astronomske pojave, konstruirane su slozene teorije (epicikli) koje suopisivale putanje nebeskih tijela. To je Ptolomjev geocentricni sustav svijeta. Duhovna jeklima tada bila posve drukcija nego u vrijeme Aristarha i Eratostena. Za razliku od razmjernoslobodoumnih Helena koji su uvazavali tude misljenje, ako je valjano argumentirano, sada jesvako odstupanje od crkvenog ucenja proglasavano herezom i potpadalo je pod jurisdikcijuposebno osnovanog suda - inkvizicije. Postupni i spori razvoj znanja iz podrucja matematike imehanike, vodio je do zakljucaka suprotnih ucenju Crkve: Sunce je nepomicno, Zemlja i ostaliplaneti se okrecu oko njega. Time Zemlja, pa i covjek koji zivi na njoj, gube sredisnje mjestou Svemiru. Naravno da je ovakvo stajaliste bilo neprihvatljivo za Crkvu i da su siritelji takvogucenja bili proganjani.Razvoj mehanike i astronomije se ipak nije mogao sprijeciti (nego samo usporiti) i 1543. godineje (posmrtno) izasla rasprava poljskog svecenika i astronoma (a bavio se i medicinom) NikoleKopernika2 O gibanju nebeskih tijela, kojom je konacno ustolicen heliocentricni sustavsa Suncem u sredistu oko kojega se gibaju planeti i ostala nebeska tijela. Ovu je knjigu,godine 1616., inkvizicija stavila na Indeks ( Index Librorum Prohibitorum - popis knjiga kojesu vjernicima zabranjene za citanje).Galileo Galilei je 1610. podrzao Kopernikovu teoriju, a 1632. je izdao (uz suglasnost papeUrbana VIII) i knjigu Dijalog o dvama glavnim sustavima svijeta. Unatoc svojimdobrim odnosima s papom, Galilei biva pozvan u Rim pred inkviziciju i prisiljen da se odreknesvojeg ucenja:

Ja, Galileo Galilei, ucitelj matematike i fizike u Firenzi, odricem se togasto sam ucio da je Sunce srediste svijeta i nepokretno, a da Zemlja nijenjegovo srediste i da se krece. Zaklinjem se, proklinjem i odbacujem siskrenoscu srca i s uvjerenjem sve one zablude i sve ono hereticko, kao idruge nazore koji se protive svetoj Crkvi.

Navodno je, nakon izricanja presude, promrmljao ono cuveno E pur si muove - ipak se okrece,no nikada necemo znati je li to uistinu receno ili su to naknadno dodali povjesnicari radidramatskog ucinka. Poslije ovoga, Galilei se nastavio baviti svojim radom, sto je imalo zaposljedicu njegove dalje sukobe s Crkvom.Pored Galilejevog, iz tog nam je razdoblja ostao svakako najpoznatiji primjer Giordana Bruna3

(Napulj 1548 - Rim 1600). On je nadogradio Kopernikovo ucenje tvrdnjom da nas Suncevsustav nije nikakva posebnost, vec da u svemiru postoji mnostvo zvijezda slicnih nasemu Suncu,sa planetima na kojima zive razumna bica slicna nama. Zbog odbijanja da se odrekne togaucenja, inkvizicija ga je javno spalila 1600. godine na trgu Campo dei Fiori u Rimu. Ovakorazlicite sudbine Galileia i Bruna ce, vecini danasnjih ljudi, stav Bruna uciniti u najmanju rukudvojbenim. Zacijelo bi i starim Helenima bilo neshvatljivo da jedan covjek ubije drugog (i to

1Postoje indicije da je starim Helenima bilo poznato i nacelo rada parnog stroja, sto je takoder zaboravljeno i ponovo otkrivenotek puno kasnije.

2Nikola Kopernik, 1473. - 1543., De revolutionibus orbium coelestium, izaslo godine 1543. Na margini jednog Kopernikovogrukopisa je pronadeno i Aristarhovo ime, sto sugerira da je Koperniku bilo poznato njegovo ucenje.

3Vise detalja o zivotu Giordana Bruna se moze naci npr. na http://www.moljac.hr/biografije/bruno.htm

197

na veoma okrutan nacin) zato jer se ne slazu oko toga vrti li se Zemlja oko Sunca ili Sunce okoZemlje.

Iz istog razdoblja potjecu i rezultati astronomskih opazanja velikog danskog astronoma TychoBrachea. Ova je opazanja Jochan Kepler4, sazeo u tri poznata zakona koja su dobila njegovoime (odjeljak 7.11).

Teorijsko obrazlozenje ovih opazajna je dao Isaac Newton, godine 1687. izdavsi u Londonusvoje glasovito djelo

Principa Mathematica Philosophia Naturalis - Matematicka nacela fizike

(tada se fizika nazivala filozofijom prirode), gdje se izlazu osnovni aksiomi dinamike, a zatim izakon gravitacije koji se primjenjuje na objasnjenje gibanja planeta.

Le Verrier5 i Adams6 su 1846. godine, a na temelju odstupanja putanje planeta Urana odputanje izracunate na temelju zakona gravitacije, zakljucili da mora postojati jos jedan planetcija gravitacijska sila izaziva uocena odstupanja. Oni su uspjeli odrediti kakva mora biti putanjatog nepoznatog planeta, pa da proizvede opazena odstupanja Urana. Na temelju njihovihproracuna, Galle je 23. IX 1844. zaista i ugledao novi, do tada nepoznati planet koji je dobioime Neptun7. Suvremenici su zbog toga ustvrdili da je Neptun otkriven vrhom pera. Na slicanje nacin, 1929. godine otkriven i deveti planet, Pluton.

Ovaj i mnogi drugi uspjesi Newtonove teorije su doveli do razvoja citavog jednog novog pogledana svijet nazvanog mehanicizam. Sustina je ovog svjetonazora da se svijet promatra kao jedanveliki mehanicki stroj. Ovaj je stroj sastavljen od dijelova koji se mogu proucavati neovisnojedan o drugom i razumjeti (iskljucivo) pomocu zakona mehanike. Ovo je najsazetije izrazioLaplace8 u svojem djelu Essai philosophique sur les probabilites (Filozofski esej o vjerojatnosti)izaslom godine 1814:

Mi moramo smatrati sadasnje stanje svemira, kao posljedicu njegovogprethodnog stanja, i kao uzrok onome stanju koje slijedi. Um koji bi udanom trenutku poznavao sve sile koje djeluju u prirodi, kao i polozaje ibrzine svih svemirskih tjelesa, i koji bi bio sposoban rijesiti njihove jed-nadzbe gibanja, obuhvatio bi jednom jedinom formulom gibanje najvecihzvijezda i planeta, kao i gibanje najmanjih atoma. Takvom umu nistane bi bilo nepoznato: pred njegovim bi ocima bila sva proslost, kao i svabuducnost.

Suvremene spoznaje (poglavito kvantna teorija) sve vise odbacuju ideju o svijetu kao mehanickomstroju i naglasavaju njegovo jedinstvo u kojemu je svijet kao cjelina (puno) vise nego zbroj nje-govih dijelova.

Pogledajmo sada detaljnije u cemu se sastoji hereza zbog koje je Giordano Bruno zavrsio nalomaci.

4Jochan Kepler, 1571. - 1630., njemacki astronom5Urbain Le Verrier, 1811. - 1877., francuski astronom6John Couch Adams, 1819. - 1892., engleski astronom7zapravo je otkriven malo dalje od mjesta gdje je proracun pokazivao, zbog utjecaja tada takoder jos nepoznatog Plutona8Pierre Simon marquis de Laplace, 1749 - 1827, francuski fizicar, astronom, matematicar i filozof,


7.1 Newtonov zakon gravitacije

Koliko je poznato, sir Isaac Newton (1642 Woolsthorpe - 1727 Kensington) je prvi covjekkoji je uocio i precizno izrazio identicnost sile koja izaziva slobodni pad tijela u blizini Zemljinepovrsine (dakle, jedno pravocrtno gibanje) i sile kojom medudjeluju nebeska tijela (a koja vodii na krivocrtna gibanja). Razlika u obliku putanje u slucaju ova dva spomenuta gibanja dolazi,kao sto cemo uskoro vidjeti, od razlike u pocetnim uvjetima. Ta je sila nazvana gravitaci-jska9 sila i ima slijedeca svojstva:

Slika 7.2: Gravitacijska sila izmedu cestice mase m1 u tocki ~r1 i cestice mase m u tocki ~r.

- djeluje medu parovima cestica,

- srazmjerna je umnosku masa cestica,

- obrnuto je srazmjerna kvadratu njihove medusobne udaljenosti,

- uvijek je privlacna.

Masa o kojoj se ovdje govori jeste teska masa.

Preciznije, neka je cestica mase m1 smjestena u tocki ~r1, a cestica mase m u tocki ~r. Tada je

9od lat. gravitas = tezina, teret.

7.1. NEWTONOV ZAKON GRAVITACIJE 199

gravitacijska sila kojom cestica mase m1 djeluje na cesticu mase m, dana sa (slika 7.2)

~FG(~r) = −G m1m~r − ~r1|~r − ~r1|3

, (7.1)

gdje je

G = 6.6732 · 10−11 Nm2

kg2,

univerzalna gravitacijska konstanta koja ima ulogu konstante vezanja, tj. opisuje jakostkojom medudjeluju mase m i m1. Prvi ju je eksperimentalno izracunao H. Cavendish10, 1798.godine.

Sada se mozemo zapitati kolika gravitacijska sila djeluje na cesticu mase m, ako se ona nalaziu blizini dvije cestice masa m1 i m2? Odgovor na to pitanje nije sadrzan u (7.1), negoje dobiven iskustvom (eksperimentom), a glasi da je rezultantna sila jednostavno jednaka vek-torskom zbroju sile od prve i druge cestice. Zato se kaze da za gravitacijsku silu vrijedi nacelopridodavanja ili superpozicije. Opcenito, sila kojom N cestica djeluje na promatranu cesticu,jednaka je vektorskom zbroju sila svake pojedine od tih N cestica (slika 7.3.A)

Slika 7.3: Nacelo pridodavanja za gravitacijsku silu: (A) za skup cestica; (B) za tijelo.

~FG(~r) = −G mN∑

j=1

mj~r − ~rj|~r − ~rj |3

. (7.2)

Gornjom formulom moze se racunati i gravitacijsko privlacenje koje potjece izmedu cestice masem i makroskopskog tijela. U tu cemo svrhu, u mislima, podijeliti cijelo tijelo na vrlo veliki broj,

10Sir Henry Cavendish, 1731 - 1810, engleski fizicar i kemicar


N >> 1, djelica mase ∆mj (slika 7.3.B). Ti su djelici dovoljno mali da se za svaki od njih mozetocno definirati vektor njihovog polozaja ~rj . Na svaki od tih malih djelica primjenimo gornjiizraz i za silu gravitacijskog privlacenja izmedu cestice i tijela dobijemo

~FG = −G m

N∑

j=1

∆mj~r − ~rj|~r − ~rj|3

.

Promatrani dijelovi ∆mj su mali u odnosu na ukupnu masu tijela, ali oni jos uvijek sadrzeogroman broj (reda 1023) atoma ili molekula. Zbog tog velikog broja gradivnih cestica pojammasene volumne gustoce tijela, ρm(~rj), u okolici tocke ~rj je dobro definiran i dan je omjerommase ∆mj i volumena ∆Vj promatranog malog dijela tijela

ρm(~rj) =∆mj

∆Vj,

gdje ∆Vj oznacava mali volumen u okolici tocke ~rj. Uz ove oznake, mozemo za silu napisati

~FG = −G m

N∑

j=1

∆Vj ρm(~rj)~r − ~rj|~r − ~rj |3

.

U granici kada podjela na male djelice postaje sve finija i finija, tj. kada N → ∞, gornji zbrojprelazi u integral, a zbrajanje po indeksu j prelazi u integraciju po varijabli ~rj → ~r ′, kojaprolazi svim tockama tijela

N∑

j=1

∆Vj →∫

d V (~r ′).

Slovom V cemo uskoro poceti oznacavati gravitacijski potencijal, pa cemo zato za diferencijalvolumena koristiti oznaku d r ′ 3, umjesto d V (~r ′). Time za gravitacijsku silu izmedu cesticemase m u tocki ~r i tijela opisanog masenom gustocom ρm(~r ′), dobivamo

~FG(~r) = −G m

∫ρm(~r ′)

~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3 d r′ 3. (7.3)

Integrira se po volumenu tijela, tj. po dijelu prostora u kojemu je ρm(~r ′) 6= 0.Na slican nacin, primjenom nacela pridodavanja, mozemo izracunati i silu gravitacijskog privlacenjaizmedu dva tijela A i B (slika 7.4). Rastavimo, u mislima, oba tijela na male dijelove masadmA i dmB. Ti su dijelovi toliko mali da na njih mozemo primjeniti izraz za silu izmedu cestica

d ~FG = −G dmA dmB~rA − ~rB|~rA − ~rB|3

.

Ukupna sila izmedu tijela A i B se dobije zbrajanjem (tj. integracijom) sila medu pojedinimdjelicima oba tijela

~FG = −G∫

A

dmA

∫

B

dmB~rA − ~rB|~rA − ~rB|3

.

Uvedu li se volumne masene gustoce oba tijela ρm(~rA,B) = dmA,B/d V (~rA,B), ukupna sila je

~FG = −G∫

A

ρm(~rA) d3 ~rA

∫

B

ρm(~rB) d3~rB~rA − ~rB|~rA − ~rB|3

.


Slika 7.4: Gravitacijska sila izmedu dva tijela.

Gravitacijsko polje:Iz relacije (7.3) se vidi da je sila na cesticu mase m koje se nalazi u tocki ~r jednostavna

jednaka umnosku mase cestice i jednog vektora. Taj se vektor opcenito naziva polje pridruzenoodgovarajucoj sili, u ovom slucaju je to polje gravitacijske sile

~g =~FGm

~g (~r) = −G

∫ρm(~r ′)

~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3 d r′ 3. (7.4)

Ako se radi o diskretnoj raspodjeli N cestica mase mj u tockama ~rj, tada je, prema (7.2), poljeu tocki ~r jednako

~g (~r) = −GN∑

j=1

mj~r − ~rj|~r − ~rj|3

.

Posebno jednostavno je polje koje u tocki ~r stvara jedna jedina cestica mase m1 smjestena uishodistu (tako da je ~r1 = 0). U skladu s gornjim izrazom, ono je jednako

~g (~r) = −G m1~r

|~r|3 . (7.5)

Sama gravitacijska sila je jednaka umnosku mase cestice, koja u ovom slucaju ima znacenjeteske mase ili gravitacijskog naboja, i gravitacijskog polja11

~FG = m~g .11Slicno kao sto je elektrostatske Coulombova sila (str. ) jednaka umnosku elektricnog naboja i elektrostatskog polja.


Primjetimo da gravitacijsko polje ima dimenziju ubrzanja. Uvodenjem pojma polja je rijesentzv. problem djelovanja na daljinu. Naime, ljudi su se pitali: kako to da cestica u tocki ~r znada se u tocki ~r ′ nalazi neka druga cestica koja na nju djeluje nekakvom silom? Odgovor jepronaden u pojmu polja: svaka cestica (pa time i tijelo), uslijed svoje mase, stvara oko sebegravitacijsko polje. Ovo polje mijenja svojstva prostora u okolici cestice u smislu da ako se ublizini ove cestice (ili tijela) izvora polja, nade neka druga (probna) cestica, na nju ce djelovatisila. Ova je sila jednaka umnosku mase m (tj. naboja - gravitacijskog ili elektricnog, ovisno okojoj se sili radi) probne cestice i vrijednosti vektora polja cestice izvora, ~g (~r) u onoj tocki ukojoj se nalazi probna cestica.

konzervativnost:Promatrajmo cesticu mase m koja se giba u polju gravitacijske sile koja potjece od cestice

mase m1 koja se nalazi u tocki ~r1. Dokazimo da je gravitacijska sila konzervativna tako stocemo pokazati da rad gravitacijske sile obavljen nad cesticom mase m na putu izmedu bilo kojepocetne tocake ~r = ~rp i bilo koje konacne tocke ~r = ~rk, ne ovisi o obliku putanje koja povezujete dvije tocke, nego samo o krajnjim tockama.

Wp,k =

∫ ~rk

~rp

~FG(~r) d~r = −G m m1

∫ ~rk

~rp

~r − ~r1|~r − ~r1|3

d~r.

Pod integralom je ~r1 konstantno, pa je d~r = d(~r − ~r1). Uvedemo li novu varijablu ~R = ~r − ~r1,

lako se pokazuje da je ~Rd~R = RdR

~R · d~R = R~eR · d(R~eR ) = R~eR · (dR~eR +Rd~eR ).

Buduci da je d~eR okomit na sam jedinicni vektor ~eR , to ce drugi clan na desnoj strani gornjegizraza biti jednak nuli. Sada za rad mozemo napisati

Wp,k = −G m m1

∫ ~R k

~R p

dRR

R3= −G m m1

(1

|~rp − ~r1|− 1

|~rk − ~r1|

).

Vidimo da rad ovisi samo o pocetnom i konacnom polozaju cestice mase m, tj. sila koja jeobavila rad je konzervativna. U odjeljku 4.3 je pokazano da se za konzervativne sile mozedefinirati skalarno polje, koje se naziva potencijalna energija Ep,

~FG = −−→∇Ep,

a rad se obavlja na racun promjene potencijalne energije

Wp,k = −∆Ep = Ep(~rp) − Ep(~rk).

Usporedbom dva gornja izraza za Wp,k, se vidi da je potencijalna energija cestice mase m kojase nalazi u tocki ~r, dana sa

Ep(~r) = −Gm m1

|~r − ~r1|+ c0,

gdje je c0 konstanta. Beskonacno daleko od cestica izvora gravitacijske sile, gravitacijska po-tencijalna energija iscezava, tj, Ep(~r → ∞) = 0, pa je i c0 = 0.Zamislimo sada da imamo dvije cestice: (m1, ~r1) i (m2, ~r2) na konacnoj medusobnoj udaljenosti|~r1−~r2|. Beskonacno daleko od njih se nalazi treca cestica mase m3. Buduci da je potencijalana


energija beskonacno razmaknutih cestica jednaka nuli, potencijalna energija sustava ove tricestice je jednaka naprosto potencijalnoj energiji izmedu prve i druge cestice

Ep = −Gm1 m2

|~r1 − ~r2|.

Ako tu trecu cesticu zelimo dovesti u blizinu prve dvije, u tocku ~r3, gravitacijska ce sila obavitiodredeni rad i time promjeniti potencijalnu energiju sustava ove tri cestice. Prema nacelupridodavanja, sila na cesticu mase m3 je vektorski zbroj sila od cestica masa m1 i m2, pa ce irad ukupne sile biti jednak zbroju radova pojedinih sila

∫ ~r3

∞~F d~r =

∫ ~r3

∞(~F1,3 + ~F2,3) d~r = G

m1m3

|~r1 − ~r3|+G

m2m3

|~r2 − ~r3|.

Potencijalna energija sustava ove tri cestice se promijenila za iznos jednak ovome radu. Timese za potencijalnu energiju sustava tri cestice dobiva izraz

Ep = −G

(m1m2

|~r1 − ~r2|+

m1m3

|~r1 − ~r3|+

m2m3

|~r2 − ~r3|

).

Protegne li se ovaj nacin razmisljanja na sustav od N cestica masa mj smjestenih u tocke ~rj,lako se dolazi do izraza za potencijalnu energiju cijele nakupine

Ep = − 1

2G

N∑

j=1

N∑

k=1j 6=k

mjmk

|~rj − ~rk|(7.6)

(mnozitelj 1/2 dolazi od dvostrukog brojanja istog para cestica u zbrajanju po j i po k).Slicno kao sto se pojam polja izvodi iz pojma sile,

~g =~F

m,

tako se i pojam potencijala

V =Epm

uvodi kao potencijalna energija koju bi cestica mase m imala u tocki ~r. Kao i potencijalnaenergija, i potencijal je definiran samo u smislu razlike potencijala izmedu dvije tocke, pa sezato moze napisati

d V =1

mdEp = − 1

m~F d~r = −~g d~r,

sto nakon integracije od pocetne ~rp do konacne tocke ~rk, daje

V (~rk) − V (~rp) = −∫ ~rk

~rp

~g d~r. (7.7)

Gravitacijski potencijal koji u tocki ~r stvara cestica mase m smjestena u ishodistu je (uzmimo~rp = ∞ uz V (∞) = 0 i ~rk = ~r)

V (~r) − V (∞) = G

∫ ~r

∞

m

r2dr

V (~r) = − Gm

r. (7.8)


Prema nacelu pridodavanja sila, a time i polja, slijedi da je potencijal koji u tocki ~r stvaramnostvo cestica masa mj koji se nalaze u tockama ~rj jednak zbroju potencijala koje stvarajupojedine cestica

V (~r) =

N∑

j=1

Vj(~r) = −GN∑

j=1

mj

|~r − ~rj |. (7.9)

U granici kontinuirane raspodjele mase

N∑

j=1

mj →∫

dm =

∫ρm(~r ′) dr ′ 3,

(~r ′ je nijema varijabla integracije), pa konacni izraz za racunanje gravitacijskog potencijala utocki ~r, koji potjece od kontinuirane raspodjele mase opisane volumnom gustocom ρm(~r ′) glasi

V (~r) = −G

∫ρm(~r ′)

|~r − ~r ′| dr′ 3 . (7.10)

U slucaju povrsinske raspodjele mase opisane povrsinskom gustocom σm(~r ′), potencijal je dansa

V (~r) = −G

∫σm(~r ′)

|~r − ~r ′| dr′ 2

a u slucaju linijske raspodjele mase opisane linijskom gustocom λm(~r ′), potencijal je dan sa

V (~r) = −G

∫λm(~r ′)

|~r − ~r ′| dr′ .

Integrali se protezu po dijelu prostora u kojemu je masena gustoca razlicita od nule.Skup tocaka u prostoru na kojima je potencijal konstantan

V (~r) = const.

se zove ekvipotencijalna ploha . Npr. ako je masa rasporedena s konstantnom gustocomunutar kugle, ekvipotencijalne plohe su sfere sa sredistem u tocki gdje je i srediste kugle.

Uocimo u jednadzbi (7.6)

Ep = −1

2G

N∑

j=1

N∑

k=1j 6=k

mjmk

|~rj − ~rk|

izraz za potencijal (7.9) u tocki ~rj koji stvara preostalih N − 1 cestica u tockama ~rk. Time sepotencijalna energija moze napisati kao

Ep =1

2

N∑

j=1

mj V (~rj).


Opet u granici kontinuirane raspodjele mase, kao gore,

N∑

j=1

mj →∫

dm =

∫ρm(~r) d r3,

dobiva se izraz za potencijalnu energiju kontinuirane raspodjele mase

Ep =1

2

∫ρm(~r) V (~r) dr3. (7.11)

Izmedu gravitacijskog polja i potencijala vrijedi ista relacija kao i izmedu gravitacijske sile ipotencijalne energije

~FG = −−→∇Ep, ~g = −−→∇V. (7.12)

U konkretnim racunima je cesto jednostavnije raditi s potencijalnom energijom ili potencijalom,koji su skalari, nego sa silom ili gravitacijskim poljem koji je vektori (dakle kombinacija triskalara).

Napomena o elektrostatskoj sili:Sva gore navedena svojstva gravitacijske sile, mogu se izravno primjeniti i na elektrostatsku

Coulombovu12 silu, ~FC , kojom medudjeluju dvije naelektrizirane cestice s nabojima q1 i q, akoje se nalaze, redom, u tockama ~r1 i ~r. Umjesto masa dolaze elektricni naboji, a umjestokonstante vezanja −G dolazi jedna druga konstanta vezanja 13

~FC(~r) =1

4πǫ0q1 q

~r − ~r1|~r − ~r1|3

(7.13)

1

4πǫ0= 8.9874 · 109 N m2C−2.

(usporediti sa (7.1)). Bitna je razlika izmedu gravitacijske i elektrostatske sile u tome sto je grav-itacijska sila uvijek privlacna, dok elektrostaska sila moze biti i privlacna (medu raznoimenimnabojima) i odbojna (medu istoimenim nabojima). Moze se reci da postoji samo jedan grav-itacijski naboj (to je masa14), dok postoje dva elektricna naboja (pozitivni i negativni15).U dvocesticnom medudjelovanju, jedan gravitacijski naboj se moze kombinirati samo sam sanekim drugim istovrsnim nabojem, pa zato gravitacijska sila ima samo jedan (privlacan) karak-ter. Naprotiv, dva elektricna naboja se u parnom medudjelovanju mogu kombinirati na dva

12Charles Augustin de Coulomb, 1736 - 1806, francuski fizicar. Pomocu vrlo osjetljive torzijske vage, mjerio je silu kojommedudjeluju elektricni naboji smjesteni na krajevima dugog stapa. Ustanovio je da je sila srazmjerna umnosku naboja, a obrnutosrazmjerna kvadratu njihove medusobne udaljenosti. Memoires del’Acad. r. des sc. izdano u razdoblju od 1785 do 1789.

13ǫ0 = 8.854 · 10−12 C2/(Nm2), se naziva permitivnost vakuuma. Ako se elektricni naboji nalaze u nekom sredstvu, dolazido medudjelovanja naboja s cesticama sredstva (polarizacija) i sila medu njima se mijenja (smanjuje). Ova je promjena opisanabezdimenzijskom velicinom koja se zove relativna dielektricna konstanta ǫr, koja se u izrazu za silu pojavljuje kroz

1

4πǫ0 ǫr.

14Preciznije receno radi se o teskoj masi, za razliku od trome mase koja je je mjera tormosti kojom se tijelo opire promjenistanja gibanja - str. 106

15Primjetimo da je oznacavanje jedne vrste elektricnih naboja kao pozitivnih, a drugih kao negativnih, samo zgodna matematickadosjetka koja pociva na cinjenici da je (−) · (−) = (+) · (+) = +, a (−) · (+) = −, pa sila medu elektricnim nabojima zapisanau obliku (7.13) ima privlacan smjer za raznoimene, a odbojini za istoimene naboje. U samim nabojima (elektronima, protonima,itd.) nema niceg ni pozitivnog ni negativnog. Oni su mogli biti oznaceni i kao crni i bijeli naboj, ili kao gornji i donji naboj, pricemu bi zapis sile morao biti nesto drukciji.


razlicita nacina (dva istoimena i dva raznoimena naboja) sto rezultira dvojnim karakterom sile:privlacnim i odbojnim.Uvazavajuci ovu razliku u pogledu privlacnosti/odbojnosti izmedu gravitacijske i elektrostatskesile, sva se gornja razmatranja mogu provesti i za elektrostatsku silu uz zamjene konstante

−G ⇔ 1

4πǫ0(7.14)

i naboja tj. gustoce nabojam ⇔ q, ρm ⇔ ρq. (7.15)

Tako je npr. elektrostatski potencijal dan izrazom

V (~r) =1

4πǫ0

∫ρq(~r

′)

|~r − ~r ′| d r′ 3. (7.16)

Evo i nekoliko primjera:

Zadatak: 7.1 Izracunajte gravitacijski potencijal kugle polumjera R, ispunjene masom kon-stantne gustoce ρ0.

R: Polazimo od izraza

V (~r) = −G

∫ρm(~r ′)

|~r − ~r ′| dr′ 3

u kojemu je gustoca konstantna ρm(~r ′) = ρ0. Zbog simetrije problema, integracijuizvodimo u sfernom koordinatnom sustavu, tako da je dr ′ 3 = r ′ 2 sin θ ′ dr ′ dθ ′ dϕ′.Takoder zbog sferne simetrije, tocku u kojoj racunamo potencijal, mozemo stavitina os ~ez , ~r = r ~ez , tako da izraz za potencijal postaje

V (~r) = −G ρ0

∫ R

0

r ′ 2 dr ′∫ π

0

sin θ ′ dθ ′∫ 2π

0

dϕ′ 1√r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′

Integracija po ϕ′ daje 2 π, a uvodenje nove varijable t umjesto θ ′

t = r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′

d t = 2rr ′ sin θ ′ dθ ′,

vodi na

V (~r) = −2πG ρ0

∫ R

0

r ′ 2 dr ′∫ t(π)

t(0)

dt

2rr ′1√t

= −2πGρ0r

∫ R

0

r ′ dr ′(√

r2 + r ′ 2 + 2rr ′ −√r2 + r ′ 2 − 2rr ′

)

= −2πGρ0r

∫ R

0

r ′ dr ′ (r + r ′ − |r − r ′ |) .

Sada postoje dvije mogucnosti: r < R, potencijal unutar kugle i r > R, potencijalizvan kugle.• Unutar kugle je

∫ R

0

=

∫ r

0

+

∫ R

r

.


U prvom integralu desne strane je r ′ < r, a u drugom integralu je r ′ > r, sto vodina izraz za potencijal unutar kugle

Vin(~r) = −2πGρ0r

(∫ r

0

r ′ dr ′ 2 r ′ +

∫ R

r

r ′ dr ′ 2 r

)= −2πGρ0

(R2 − 1

3r2).

• Izvan kugle je r > R > r ′ > 0, pa je potencijal dan sa

Vout(~r) = −2πGρ0r

∫ R

0

r ′ dr ′ 2 r ′ = −4πGρ0R3

3 r= −Gm

r, (7.17)

dakle isto kao i potencijal cestice mase m, smjestene u sredistu kugle.

Zadatak: 7.2 Kugla polumjera R je jednoliko ispunjena masom konstantne volumne gustoceρ0. Izracunajte potencijalnu energiju kugle, tj. rad koji treba utrositi da bi se svidjelici kugle razmaknuli na medusobno beskonacnu udaljenost.

R: Izraz (7.11) za Ep primjenimo na zadanu raspodjelu mase

Ep =1

2

∫ρ(~r) V (~r) d3r.

Gustoca je

ρ(r) =

ρ0 0 ≤ r ≤ R

0 r > R.

Iz prehodnog primjera znamo da se potencijal ima razlicite vrijednosti unutar kugle(gdje je ρ = ρ0) i izvan kugle (gdje je ρ = 0)

Ep =1

2

∫ R

0

ρ0Vin d3r +

1

2

∫ ∞

R

0 · Vout d3r.

Ep =1

2

∫ R

0

ρ0(−2πG)ρ0

(R2 − 1

3r2)d3r = −G3

5

m2

R, (7.18)

gdje je m = ρ04πR3/3 ukupna masa kugle.

Gornji racun moze posluziti za definiciju klasicnog polumjera elektrona. Naime, akobismo elektron zamislili kao tockastu cesticu, tada bi, u skladu sa (7.8), potencijal u blizinielektrona neizmjerno rastao po iznosu, sto je fizicki neprihvatljivo. Zato se krenulo sa slijedecomzamisli: neka je elektron slican maloj kuglici polumjera Re unutar koje je jednoliko rasporedennaboj elektrona qe. Isti bi racun kao gore, dao za elektrostatsku (vlastitu) potencijalnu energijuelektrona (uz −G→ 1/(4πǫ0) i m→ qe)

Ep =3

5

q2e4 π ǫ0

1

Re

.

Izjednaci li se ova energija s relativistickim izrazom za energiju

E = m0 c2,


gdje je m0 masa mirujuceg elektrona, a c brzina svjetlosti u vakuumu, dolazi se do izraza zaklasicni polumjer elektrona

Re =3

5

q2e4 π ǫ0

1

m0 c2= 1.69 · 10−15m. (7.19)

Je li ovime rijesen problem elektrona? Naravno da nije! Ovako zamisljena tvorevina bi,zbog snaznog elektrostatskog odbijanja pojedinih dijelova elektrona, bila posve nestabilna,tj. ovakav bi elektron eksplodirao. Pa ipak ova ideja klasicnog polumjer elektrona nije lisenasvog znacenja. Ona nam daje ocjenu reda velicine (to je 10−15m) gdje pojmovi i predstaveklasicne fizike prestaju vrijediti i gdje je potrebno uvesti kvalitativno novi pristup kakav je danu kvantnoj mehanici. Ovo je samo jedan od primjera iz kojih se vidi da se mikroskopski ob-jekti ne mogu zamisljati jednostavno kao proizvoljno smanjeni makroskopski objekti (konkretno,elektroni nisu nikakve proizvoljno smanjene kuglice).

Napomena o silama u atomskoj jezgri : Atomska jezgra je nakupina protona (elek-tropozitivnih cestica) i neutrona (elektroneutralnih cestica) na maloj medusobnoj udaljenosti(reda 10−14m). Upravo smo vidjeli da izmedu istoimenih elektricnih naboja djeluju odbojneelektricne sile. Prirodno je onda zapitati se kako to da se jezgra ne razleti uslijed snaznog elek-trostatskog odbijanja istoimenih elektricnih naboja na maloj udaljenosti? Odgovor je da osimelektrostatske, medu protonima i neutronima djeluje i privlacna jaka nuklearna sila, kojaje po iznosu puno jaca od elektricne sile (konstanta fine strukture je 1/137, to je mjera jakostielektricne ili opcenitije govoreci elektromagnetske sile, dok je konstanta vezanja jake nuklearnesile jednaka 10, iz cega se zakljucuje da je jaka sila oko stotinu puta jaca od elektromagnetskesile). Druga vazna razlika izmedu elektromagnetske i jake nuklearne sile je u dosegu. Dosegelektromagnetske sile je beskonacan (sto je povezano s cinjenicom da foton γ - nositelj elektro-magnetske sile - ima masu mirovanja jednaku nuli), dok je doseg jake nuklerane sile vrlo malii reda je 10−15m (sto je opet povezano s cinjenicom da cestice nositelji jake sile - π mezoni -imaju konacnu masu mirovanja). Stoga na makroskopskim udaljenostima (svakako vecim od10−15m), medu protonima djeluje odbojna kulonska sila, dok na vrlo malim udaljenostima naprotone djeluju i odbojna kulonska i privlacna jaka nuklearna sila.

7.2 Gravitacijsko privlacenje okruglih tijela

Ako Vas netko zapita kako izracunati gravitacijsko privlacenje izmedu Zemlje i Sunca, Vas ceodgovor, zacijelo glasiti otprilike ovako: u formulu (7.1) treba uvrstiti mase Zemlje, Sunca isrednje udaljenosti medu njima (jer mi znamo da se Zemlja giba po elipsi, pa udaljenost doSunca nije uvijek ista) i izvrijedniti

FG = GmZmS

R2.

No, sada Vas taj netko moze dalje zapitati zasto koristite (7.1) koji vrijedi za cestice, tj.geometrijske tocke, kada ni Zemlja ni Sunce nisu cestice, nego su tijela koja zauzimaju vrlovelike dijelove prostora?

Odgovor na ovo pitanje se nalazi u nastavku ovog odjeljka.

7.2. GRAVITACIJSKO PRIVLACENJE OKRUGLIH TIJELA 209

Krenimo od jednog malo opcenitije postavljenog problema. Izracunat cemo gravitacijsku siluizmedu homogene suplje kugle mase M , unutrasnjeg polumjera Ru, vanjskog polumjera Rv icestice mase m koja se nalazi na udaljenosti r od sredista kugle (slika 7.5). Ako se odabereRu = 0, dobit ce se obicna puna kugla.Vazno svojstvo kugle je da ona ima konstantnu masenu gustocu

ρ0 =3M

4π(R3v − R3

u).

Zbog sferne simetrije problema, koristit cemo sferni koordinatni sustav, koji cemo postaviti

Slika 7.5: Gravitacijska sila suplje kugle.

tako da se cestica nalazi na osi z, a srediste kugle je u ishodistu. Sila na cesticu mase m u tocki~r = r~ez je

~FG(~r) = −G m

∫ρ0

~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3 dr′ 3.

Integrira po dijelu prostora u kojemu je gustoca suplje kugle razlicita od nule.

~FG(~r) =−3GmM

4(R3v − R3

u)π

∫ Rv

Ru

r ′ 2dr ′∫ π

0

sin θ ′dθ ′∫ 2π

0

dϕ′ r~ez − r ′ ~e ′r(r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′)3/2

.

Uvrstimo li za ~e ′r = ~ex sin θ ′ cosϕ′ + ~ey sin θ ′ sinϕ′ + ~ez cos θ ′ (dobiven ranije u (2.48)),razlomak podintegralnog izraza postaje

r ′ (sin θ ′ cosϕ′~ex + sin θ ′ sinϕ′~ey ) + (r − r ′ cos θ ′)~ez(r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′)3/2

,

lako se vidi da integracija po ϕ′ u clanovima uz ~ex i ~ey daje nulu, a uz clan ~ez daje 2π

~ex

∫ 2π

0

dϕ′ cosϕ′ = 0, ~ey

∫ 2π

0

dϕ′ sinϕ′ = 0, ~ez

∫ 2π

0

dϕ′ = 2π.


Tako se, nakon integracije po ϕ′, dolazi do

~FG(~r) = ~ez−3GmM

2(R3v − R3

u)

∫ Rv

Ru

r ′ 2dr ′∫ π

0

sin θ ′dθ ′ r − r ′ cos θ ′

(r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′)3/2.

Za integraciju po θ ′, uvodimo novu varijablu v relacijom

v2∣∣∣r+r ′

|r−r ′ |= r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′∣∣π

0,

2vdv = 2rr ′ sin θ ′dθ ′,

cos θ ′ =−v2 + r2 + r ′ 2

2rr ′ .

Nakon uvrstavanja u izraz za silu i skracivanja, dobiva se

~FG(~r) = ~ez−3GmM

2(R3v − R3

u)

∫ Rv

Ru

r ′ 2dr ′∫ r+r ′

|r−r ′ |

2vdv

2rr ′r − r ′ (−v2 + r2 + r ′ 2)/(2rr ′ )

v3,

=~ez2r2

−3GmM

2(R3v − R3

u)

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′(

2r ′ +(r − r ′ )(r + r ′ )

|r − r ′ | − |r − r ′ |). (7.20)

Sada trebamo razmotriti tri moguca polozaja cestice u odnosu na suplju kuglu:IN: cestica moze biti u supljini,INTER: cestica moze biti u prostoru izmedu Ru i Rv, iOUT: cestica moze biti izvan kugle.

IN: unutar supljine je uvijek r < Ru ≤ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r ′ − r, pa (7.20) postaje

~F ING (~r) =

−3GmM

2(R3v −R3

u)

~ez2r2

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′[2r ′ +

(r − r ′ )(r + r ′ )

r ′ − r− (r ′ − r)

]

=−3GmM

2(R3v −R3

u)

~ez2r2

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ [2r ′ − (r + r ′ ) − (r ′ − r)] = 0.

~F ING (~r) = 0, =⇒ ~g IN =

~F ING

m= 0. (7.21)

Dobili smo vazan rezultat: sila na cesticu mase m koja se nalazi u supljini kugle, je jednakanuli.

INTER: kolika je sila ~F INTERG na cesticu koja se nalazi u dijelu prostora Ru ≤ r ≤ Rv? U ovom

slucaju integraciju u (7.20) treba rastaviti na dva dijela:

Ru ≤ r ′ ≤ r ⇒ |r − r ′ | = r − r ′ ,

r ≤ r ′ ≤ Rv ⇒ |r − r ′ | = r ′ − r.


Za silu ~F INTERG u prostoru izmedu Ru i Rv, dobiva se

~F INTERG (~r) =

−3GmM

2(R3v − R3

u)

~ez2r2

(∫ r

Ru

r ′ dr ′ 4r ′ +

∫ Rv

r

r ′ dr ′ · 0

)

=−3GmM

2(R3v − R3

u)

~ez2r2

4

3(r3 −R3

u) = −Gm[ρ0

4

3(r3 − R3

u)π

]~ezr2

= −~ez Gm · mINTER

r2,

gdje je s mINTER oznacen dio mase kugle sadrzan u dijelu prostora izmedu Ru i r

mINTER = ρ04 π

3(r3 − R3

u).

Iz gornjeg izraza za silu se vidi da na cesticu mase m, djeluje ista sila kao da se u ishodistukoordinatnog sustava nalazi jedna druga cestica (a ne suplja kugla), mase jednake mINTER.Kada se cestica mase m ne bi nalazila na osi ~ez , nego u nekoj opcoj tocki u prostoru, izraz zasilu bi glasio

~F INTERG (~r) = −GmmINTER

~err2

=⇒ ~g INTER(~r) = −GmINTER~err2. (7.22)

U slucaju pune kugle, Ru = 0, polje je

~g = −G4 π

3ρ0 r ~er , (7.23)

tj. u unutrasnjosti pune homogene kugle, polje raste linearno s udaljenoscu od ishodista.

OUT: pogledajmo na kraju i silu ~FOUTG koja djeluje na cesticu smjestenu izvan kugle, gdje je

r > Rv ≥ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r − r ′

~FOUTG (~r) =

−3GmM

2(R3v − R3

u)

~ez2r2

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ 4r ′ =−3GmM

2(R3v − R3

u)

~ez2r2

4

3(R3

v − R3u) = −G

mM

r2~ez .

Za cesticu mase m izvan osi ~ez , bi se ocito dobio ovaj izraz za silu

~FOUTG (~r) = −G

mM

r2~er

Izvan kugle je sila na cesticu ista kao i da se umjesto suplje kugle, u ishodistu nalazi cesticamase jednake ukupnoj masi kugle M . Gravitacijsko polje izvan kugle je

~g =~FOUTG

m= −G

M

r2~er . (7.24)

Gornji rezultati sadrze dva granicna slucaja:(1) u granici kada Ru → 0, gornji se rezulatati svode na privlacenje izmedu cestice i pune kuglepolumjera Rv = R;(2) u granici kada Ru → Rv = R, gornji se rezultati svode na privlacenje cestice i sferne ljuske


mase M i polumjera R.

Sada mozemo razumijeti odgovor na pitanje s pocetka ovog odjeljka. Rastavimo u mislimaZemlju na velik broj malih dijelova. Na svaki taj djelic Sunce djeluje istom silom kao i daumjesto njega imamo cesticu iste mase na mjestu njegova sredista. U skladu s nacelom prido-davanja, ukupna sila na cijelu Zemlju je jednaka zbroju sila na svaki njezin dio, a to je upravoizraz s pocetka odjeljka (istina je da se pojedini dijelovi Zemlje nalaze na razlicitim udalje-nostima od sredista Sunca, ali je ta razlika neusporedivo manja od udaljenosti izmedu Zemljei Sunca, pa se zanemaruje). Naravno da se ista argumentacija primjenjuje i na medusobnoprivlacenje planeta i ostalih sfernih objekata.Pokazimo da se do istog rezultata za silu, moze doci i racunom potencijala i koristenjem veze

sile i potencijala: ~F = −−→∇Ep = −m−→∇V . Gravitacijski potencijal cemo racunati izrazom(7.10)

V (~r) = −G

∫ρm(~r ′)

|~r − ~r ′| dr′ 3.

Koristeci oznake sa slike 7.5, mozemo napisati

V (~r) = −G ρ0

∫ Rv

Ru

r ′ 2 dr ′∫ π

0


0

dϕ′ 1

|~r ′ − r~ez |Slicnim postupkom kao kod racuna sile, kutni dio integracije daje

∫ π

0


0

dϕ′ 1

|~r ′ − r~ez |=

∫ π

0

sin θ ′ dθ ′√r ′ 2 + r2 − 2rr ′ cos θ ′

∫ 2π

0

dϕ′

=2 π

rr ′ (r ′ + r − |r ′ − r|),

sto vodi na integral za potencijal

V (r) = −Gρ02 π

r

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ (r ′ + r − |r ′ − r|).

Sada opet razlikujemo tri moguca polozaja cestice u odnosu na suplju kuglu:IN: cestica moze biti u supljini,INTER: cestica moze biti u prostoru izmedu Ru i Rv, iOUT: cestica moze biti izvan kugle.

IN: unutar supljine je r < Ru ≤ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r ′ − r

VIN = −Gρ02 π

r

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ (r ′ + r − r ′ + r) = −G 2 π ρ0 (R2v −R2

u). (7.25)

Potencijal u supljini je konstantan.

INTER: U ovom dijelu prostora, integraciju treba rastaviti na dva dijela:

Ru ≤ r ′ ≤ r ⇒ |r − r ′ | = r − r ′ ,

r ≤ r ′ ≤ Rv ⇒ |r − r ′ | = r ′ − r.,


tako da je

∫ Rv

Ru

dr ′ =

∫ r

Ru

dr ′

︸︷︷︸r ′ < r

+

∫ Rv

r

dr ′

︸︷︷︸r ′ > r

.

Uz gornji rastav, za potencijal se dobiva,

VINTER(r) = −Gρ02 π

r

[∫ r

Ru

r ′ dr ′ (r ′ + r + r ′ − r) +

∫ Rv

r

r ′ dr ′ (r ′ + r − r ′ + r)

]

= −G 2 π ρo

(R2v −

r2

3− 2R3

u

3 r

)(7.26)

OUT: neka se sada cestica nalazi izvan kugle, r > Rv ≥ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r − r ′

VOUT (r) = −Gρ02 π

r

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ (r ′ + r + r ′ − r)

= −Gρ04 π

3(R3

v − R3u)

1

r= −G M

r, (7.27)

a to je isti potencijal kao da umjesto suplje kugle mase M , u ishodistu imamo cesticu iste mase.Pokazimo jos i da se iz ovih potencijala, dobivaju ranije izracunati izrazi za sile. Sila i potencijalsu vezani operacijom gradijenta, koja je u pravokutnom koordinatnom sustavu, oblika

~F = −−→∇Ep = −m −→∇V = −m(~ex

∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z

)V.

IN: unutar supljine je potencijal konstantan, (7.25), pa je sukladno gornjem izrazu derivacija

konstante jednaka nuli i sila u supljini je jednaka nuli, ~F ING = 0, bas kao i u (7.21).

INTER: Potencijal VINTER je dan izrazom (7.26). Izracunajmo najprije samo x komponentesile u prostoru izmedu Ru u Rv:

F INTERGx = G 2 π ρo m

∂

∂x

(R2v −

x2 + y2 + z2

3− 2R3

u

3√x2 + y2 + z2

)

= Gm4 π

3ρ0

(−x +

R3u

r3x

)

i slicno za y i z komponentu sile. Sve zajedno, za ~F INTERG = ~ex F

INTERGx + ~ey F

INTERGy +

~ez FINTERGz , dobivamo, bas kao i u (7.22)

~F INTERG = −Gm 4 π

3ρ0

(~r − R3

u

r3~r

)= −GmmINTER(r)

~err3,

gdje smo prepoznali

mINTER(r) =4 π

3ρ0 (r3 −R3

u).


OUT: Izvan kugle je potencijal dan sa (7.27). Ponovo je dovoljno izracunati samo jednu, npr.x, komponentu sile

FOUTGx = G m M

∂

∂x

1√x2 + y2 + z2

= −G m Mx

r3

i slicno za preostale dvije komponente. Sve zajedno, ~FOUTG = ~ex F

OUTGx + ~ey F

OUTGy + ~ez F

OUTGz ,

dobivamo kao i u (7.24)

~FOUTG = −G m M

~r

r3.

O tome kako izgleda gravitacijski potencijal koji potjece od nesfernih objekata (kao sto sunpr. dvojne zvijezde, spiralne ili elipticke galaksije), bit ce vise rijeci u odjeljku o multipolnomrazvoju potencijala.Svi gornji racuni i rezulatati vrijede i za elektrostatsku silu, ako se u odgovarajucim izrazimaizvedu zamjene (7.14) i (7.15). Primjetimo da je vazan dio u gornjim racunima pretpostavka okonstantnoj gustoci kojom je masa (za gravitacijsku silu ili elektricni naboj za elektrostatskusilu) rasporedena u prostoru.

7.3 Divergencija i rotacija gravitacijskog polja

Prema Helmohltzovu16 teoremu, vektorsko je polje u cjelosti odredeno svojom rotacijom idivergencijom. U ovom cemo odjeljku izracunati divergenciju i rotaciju gravitacijskog polja

~g (~r) = −G

∫ρm(~r ′)

~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3 d r′ 3, (7.28)

a sve sto izvedemo za gravitacijsko polje, moze se relacijama (7.14) i (7.15) prevesti u termine

elektrostatskog polja ~E .

Relacijom (7.12) je pokazano da je gravitacijsko polje dano negativnim gradijentom potencijala,a buduci da smo vec pokazali, relacijom (2.35), i da je rotacija gradijenta jednaka nuli, to odmahslijedi

−→∇ × ~g = 0. (7.29)

Gornja jednadzba je jedan od mogucih nacina da se matematicki kaze da je gravitacijsko poljekonzervativno. Izracunamo li plosni integral gornje jednadzbe

∫(−→∇ × ~g ) d~S = 0

i primjenimo Stokesov teorem (2.29)∫

(−→∇ × ~g ) d~S =

∮~g d~r = 0,

16Hermann Ludwig Ferdinand von Helmohltz, 1821 - 1894, njemacki fizicar

7.3. DIVERGENCIJA I ROTACIJA GRAVITACIJSKOG POLJA 215

dolazimo do tvrdnje da je rad gravitacijskog polja (tj. sile) po zatvorenoj krivulji jednaknuli (tako npr. Zemlja ne obavlja nikakav rad gibajuci se oko Sunca). Elektrostatsko je poljetakoder konzervativno i za njega vrijedi

−→∇ × ~E = 0.

Ova se jednadzba naziva druga Maxwellova17 jednadzba.

Zadatak: 7.3 Pokazimo da gravitacijsko polje cestice na svim udaljenostima i gravitacijskopolje homogene kugle na udaljenostima vecim od polumjera kugle, zadovoljava jed-nadzbu (7.29).

R: Polje cestice mase m smjestene u ishodistu koordinatnog sustava je

~g (~r) = −G m

r3~r

(a kao sto znamo iz (7.24), to je i polje kugle, ako je r vece od polumjera kugle).Raspisano po komponentama pravokutnog koordinatnog sustava

gx = −Gm x

(x2 + y2 + z2)3/2,

gy = −Gm y

(x2 + y2 + z2)3/2,

gz = −Gm z

(x2 + y2 + z2)3/2.

Komponente rotacije u pravokutnim koordinatama su

−→∇ × ~g = ~ex

(∂ gz∂ y

− ∂ gy∂ z

)+ ~ey

(∂ gx∂ z

− ∂ gz∂ x

)+ ~ez

(∂ gy∂ x

− ∂ gx∂ y

).

Izravnom derivacijom se lako dobije da je svaka od okruglih zagrada jednaka nuli

−→∇ × ~g = 0.

Da bismo izracunali divergenciju gravitacijskog polja,−→∇~g (~r), trebamo najprije primjetiti da

operator nabla djeluje na koordinatu ~r (a ne na ~r ′) na desnoj strani relacije (7.28). Ovo

cemo naglasiti time sto cemo (samo u ovom odjeljku) umjesto−→∇ pisati

−→∇r. Integrira se po

koordinati ~r ′, pa je dozvoljeno komutirati integraciju i−→∇r

−→∇r~g = −G∫

ρm(~r ′)−→∇r

~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3 d r′ 3.

17James Clerck Maxwell, 1831 - 1879, skotski fizicar


Neka je ~r 6= ~r ′. Izracunajmo rezultat djelovanja−→∇r

−→∇r~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3 =

(~ex

∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z

)~ex (x− x ′) + ~ey (y − y ′) + ~ez (z − z ′)

[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2(7.30)

=∂

∂ x

x− x ′

[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

+∂

∂ y

y − y ′

[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

+∂

∂ z

z − z ′

[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

=

(1

|~r − ~r ′|3 − 3(x− ~ex ′ )2

|~r − ~r ′|5)

+

(1

|~r − ~r ′|3 − 3(y − ~ey ′ )2

|~r − ~r ′|5)

+

(1

|~r − ~r ′|3 − 3(z − ~ez ′ )2

|~r − ~r ′|5)

= 0.

Izracunajmo sada∫d r3

−→∇r~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3

po kugli unutar koje se nalazi i tocka ~r = ~r ′. Umjesto ~r, uvedimo novu varijablu ~R = ~r − ~r ′,

tako da je d r3 = dR3 i−→∇r =

−→∇R. Primjenom Gaussova teorema (2.22), prelazimo s integracijepo volumenu kugle, na integraciju po povrsini sfere

∫dR3 −→∇R

~R

R3=

∮d~S

~R

R3=

∮

Ω

~eRR2dΩ

~eR R

R3= 4π. (7.31)

Funkcija koje jednaka nuli kada je njezin argument razlicit od nule, a integral koje je jednakjedinici kada podrucje integracije sadrzi i tocku koja ponistava njezin argument, naziva seDiracova18 δ-funkcija . O definiciji i svojstvima δ-funkcije, vidjeti vise u dodatku B i [3]. Izrelacija (7.30) i (7.31) zakljucujemo da je

−→∇r~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3 = 4πδ(~r − ~r ′).

Sada je

−→∇~g (~r) = −G∫

ρm(~r ′)−→∇r

~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3 d r′ 3 = −G

∫ρm(~r ′)4πδ(~r − ~r ′) d r ′ 3 = −4πGρm(~r).

Time smo dosli do jednadzbe za divergenciju gravitacijskog polja

−→∇~g (~r) = − 4 π G ρm(~r). (7.32)

Odgovarajuca elektrostatska jednadzba

−→∇ ~E (~r) =ρq(~r)

ǫ018Paul Adrien Maurice Dirac, 1902 - 1984, engleski fizicar

7.3. DIVERGENCIJA I ROTACIJA GRAVITACIJSKOG POLJA 217

se naziva prva Maxwellova jednadzba. Gornju jednadzbu mozemo napisati i u integralnomobliku, koristeci Gaussov teorem

∫d r3

−→∇~g = −4 π G

∫d r3 ρm

∮

S

~g d~S = −4 π G mS, (7.33)

gdje mS oznacava masu sadrzanu unutar zatvorene plohe S. Gornja jednadzba kaze da je tokgravitacijskog polja kroz proizvoljnu zatvorenu plohu, srazmjeran kolicini mase sadrzane unutarplohe. Odgovarajuci iskaz za elektricno polje se zove Gaussov zakon

∮~E d~S =

qSǫ0.

Gornji su izrazi jako pogodni racun gravitacijskog ili elektrostatskog polja, kada su masa ilielektricni naboj na neki posebno jednostavan i simetrican nacin rasporedeni u prostoru. Ovutvrdnju ilustriramo slijedecim primjerom.

Zadatak: 7.4 Koristeci jednadzbu (7.33), izracunajte gravitacijsko polje suplje kugle jednolikegustoce (to smo vec izracunali na drugi nacin - izravnom integracijom - u odjeljku7.2).

R: Zbog sferne simetrije odabiremo sferni koordinatni sustav s koordinatama(r, θ, ϕ) i s ishodistem u sredistu kugle. Isto tako zbog sferne simetrije je jasnoda polje ne moze ovisiti o kutovima θ i ϕ, nego samo o odaljenosti r i da mora bitiusmjereno samo u ~er smjeru

~g (~r) = g(r)~er . (7.34)

IN: izracunajmo najprije polje u supljini kugle na udaljenosti r od ishodista. Dabismo to izveli, za plohu integracije, u izrazu (7.33), uzimamo sferu polumjera r <

Ru, tako da je d~S = ~er r2dΩ, pa je lijeva strana (7.33) jednaka

∮

S

~g INd~S =

∫

Ω

gIN(r)~er ~er r2dΩ = gIN(r) r2 4 π.

Na desnoj strani (7.33) se pojavljuje mS, masa obuhva”ena plohom integracije. Noploha integracije (sfera polumjera r < Ru) se u cjelosti nalazi unutar supljine, pazato ne obuhvaca nikakvu masu, tj. mS = 0 i Gaussov zakon u supljini kugle glasi

gIN(r) r2 4 π = 0,

tj. ~g IN = 0, kao sto smo dobili i ranije u (7.21).INTER: izracunajmo sada polje na udaljenosti r od ishodista, gdje je Ru ≤ r ≤ Rv.Za plohu integracije opet odabiremo sferu polumjera Ru ≤ r ≤ Rv sa sredistem uishodistu. Lijeva strana (7.33) je opet jednaka

∮

S

~g INTERd~S =

∫

Ω

gINTER(r)~er ~er r2dΩ = gINTER(r) r2 4 π,


no masa obuhvacena plohom integracije je sada jednaka onome sto smo gore oznacavalisa mINTER(r) ≡ mS = ρ0 [(4 π/3) r3 − (4 π/3) R3

u], pa Gaussov zakon daje

gINTER(r) r2 4 π = −4 πG mINTER(r) ⇒ ~g INTER(r) = −GmINTER(r)~err2,

bas kao i u (7.22).OUT: da bismo izracunali polje izvan kugle, za plohu integracije opet odabiremokoncentricnu sferu, ali je ona sada polumjera r > Rv. Kao i u dva prethodna slucaja,lijeva strana (7.33) je opet jednaka gOUT (r) r2 4 π. Masa obuhvacena plohom inte-gracije, koja se sada pojavljuje na desnoj strani (7.33), je upravo cijela masa supljekugle M , pa Gaussov zakon glasi

gOUT (r) r2 4 π = −4 π G M =⇒ ~g OUT (r) = −GM ~err2,

sto je isto kao i u (7.24): polje ima oblik polja cestice.

Zadatak: 7.5 Polazeci od relacije (7.28) pokazite da se gravitacijsko polje moze prikazati kaogradijent jedne skalarne funkcije i odredite tu skalarnu funkciju.

R: Primjetimo da je

−→∇r1

|~r − ~r ′| =

(~ex

∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z

)[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2

]−1/2

= ~ex−2(x− x ′)

2 [(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

+ ~ey−2(y − y ′)

2 [(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

+ ~ez−2(z − z ′)

2 [(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

= − ~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3

Pomocu gornjeg izraza, mozemo gravitacijsko polje napisati kao

~g (~r) = −G∫

ρm(~r ′)

(−−→∇r

1

|~r − ~r ′|

)d r ′ 3 = −−→∇r

(−G

∫ρm(~r ′)

1

|~r − ~r ′| d r′ 3)

= −−→∇V (~r),

gdje je

V (~r) = −G∫

ρm(~r ′)

|~r − ~r ′| d r′ 3.

7.4. MULTIPOLNI RAZVOJ POTENCIJALA 219

Zadatak: 7.6 Od ranije, relacije (7.23) i (7.24), nam je poznato gravitacijsko polje kugle jed-nolike masene gustoce ρ0 i ukupne mase m, sa sredistem u ishodistu koordinatnogsustava. Uvjerimo se da to polje zadovoljava relaciju (7.32).

R: Znamo da je za r ≤ R

~g IN = −4πGρ03

~r = −4πGρ03

(x~ex + y~ey + z~ez ),

a za r ≥ R je

~g OUT = −Gm ~r

r3= −Gm x~ex + y~ey + z~ez

(x2 + y2 + z2)3/2,

gdje je ρ0 = 3m/(4R3π), konstantna masena gustoca kugle. Unutar kugle je gustocaρ = ρ0, dok izvan kugle nema mase pa je tamo ρ = 0. Prema jednadzbi (7.32), trebadobiti

−→∇~g IN = −4πGρ0−→∇~g OUT = 0.

Divergencija je naprosto zbroj parcijalnih derivacija komponenata polja

−→∇~g =∂gx∂x

+∂gy∂y

+∂gz∂z

.

Unutar kugle, x-komponenta divergencije daje

∂gx∂x

=∂

∂x

−4πGρ03

x =−4πGρ0

3.

Isti rezultat daju i y i z komponenta, pa je konacno

−→∇~g IN = 3−4πGρ0

3= −4πGρ0.

Izvan kugle, x-komponenta divergencije daje

∂gx∂x

=∂

∂x(−G)

mx

(x2 + y2 + z2)3/2

= −Gm[

1

r3+ x(−3/2)(x2 + y2 + z2)−5/22x

]= −Gm

[1

r3− 3x2

r5

]

i simetricno za y i z komponentu. Sve zajedno daje

−→∇~g OUT = −Gm(

1

r3− 3x2

r5+

1

r3− 3y2

r5+

1

r3− 3z2

r5

)= −Gm

(3

r3− 3r2

r5

)= 0,

kao sto i treba biti.

7.4 Multipolni razvoj potencijala

U odjeljku 7.2, rijesen je jednostavan problem izracunavanja potencijala tj. gravitacijske ielektrostatske sile, koja potjece od sfernih objekata. Vidjeli smo da je sila u prostoru izvan


sfere ista kao i sila od cestice koja bi se nalazila na mjestu sredista sfere, a cija je masa (naboj)ista kao i ukupna masa (naboj) sfere.Pogledajmo sada slijedeci elektrostatski problem: dva naboja istog iznosa, a suprotnog predz-naka se nalaze na medusobnoj udaljenosti l; zadatak je izracunati potencijal ovog sustava naudaljenostima ~r velikim u usporedbi s medusobnom udaljenoscu naboja

r >> l.

Promatran u gornjoj granici, ovaj sustav dva naboja se naziva elektricni dipol i prikazanje na slici 7.6. Zbog homogenosti i izotropnosti prostora, koordinatni sustav mozemo postaviti

Slika 7.6: Elektricni dipol.

tako da se ishodiste nalazi na polovistu spojnice naboja, os z lezi u smjeru spojnice. U skladu snacelom pridodavanja, potencijal zbroja naboja je jednak zbroju potencijala pojedinih naboja.Oznacimo li s V+ potencijal naboja +q koji se nalazi u tocki (l/2)~ez , a s V− potencijal naboja−q koji se nalazi u tocki (−l/2)~ez , tada je njihovu ukupni potencijal, Vdip jednak

Vdip(~r) = V+(~r) + V−(~r),

pri cemu su potencijali tockastih naboja

V±(~r) =1

4πǫ0

±q|~r − ~r±|

.

Ukupni, dipolni, potencijal je tada jednak

Vdip(~r) =1

4πǫ0q

(1

|~r − ~ez l/2|− 1

|~r + ~ez l/2|

)

=1

4πǫ0

q

r

[(1 − cos θ

l

r+

1

4

l2

r2

)− 12

−(

1 + cos θl

r+

1

4

l2

r2

)− 12

].

U granici r >> l, na gornji se izraz moze primjeniti Taylorov razvoj

(1 + x)−12 = 1 − 1

2x +

1 · 3

2 · 4x2 − 1 · 3 · 5

2 · 4 · 6x3 + O(x4), (7.35)


za |x| < 1, pri cemu je

x ≡ ∓ cos θl

r+

1

4

l2

r2.

Uvrstavanjem vrijednosti za x i sredivanjem dobivenog razvoja, za dipolni potencijal se dobije

Vdip(~r) =1

4πǫ0

q

r

[l

rcos θ + O

(l3

r3

)].

Drugi clan na desnoj strani gornjeg izraza oznacava zanemarene clanove razvoja, koji su zboguvjeta r >> l manji od clana koji je zadrzan. U nastavku, taj clan vise necemo eksplicitnonavoditi. Definiramo li vektor dipolnog momenta (usmjerenog od negativnog prema pozi-tivnom naboju) kao ~p = ql~ez , tada se dipolni potencijal moze napisati u uobicajenom obliku

Vdip(~r) =1

4πǫ0

~p · ~err2

. (7.36)

Primjetimo da, za razliku od potencijala jednog tockastog naboja, koji opada kao 1/r, potencijal

dipola opada brze, kao 1/r2. Iz poznatog potencijala, polje se racuna kao ~E dip = −−→∇Vdip.Operator gradijenta u sfernom koordinatnom sustavu se moze naci npr. u [10], pa jednostavnomderivacijom, dobivamo polje dipola

~E dip = −(~er

∂

∂r+ ~eθ

1

r

∂

∂θ+ ~eϕ

1

r sin θ

∂

∂ϕ

)1

4πǫ0

p cos θ

r2

=1

4πǫ0

p

r3(2 cos θ~er + sin θ~eθ ) =

1

4πǫ0

1

r3(3p cos θ~er − p~ez ) .

Prepoznamo li u gornjem izrazu p cos θ kao skalarni umnozak ~p · ~er , a p~ez kao ~p , elektricnopolje dipola postaje

~E dip(~r) =1

4πǫ0

3(~p · ~er )~er − ~p

r3.

Za razliku od polja tockastog naboja (7.5) (uz zamjene m → q i −G → 1/4 π ǫ0) koje jesferno simetricno, polje dipola nije sferno simetricno, vec ovisi o kutu θ koji mjeri otklon odosi dipola. Sila kojom ovaj dipol djeluje na tockasti naboj iznosa q koji se nalazi u tocki ~r jejednaka ~Fdip = q ~E dip(~r).S obzirom da elektricni naboji mogu biti pozitivni i negativni, a gravitacijski naboj (teska masa)je uvijek pozitivan, mozemo se zapitati postoji li neki gravitacijski sustav tijela koji bi proizveodipolni potencijal oblika (7.36)? Pogledajmo sliku 7.7. Dvojni sustav zvijezda sastavljen odjedne velike i jedne male zvijezde ili sustav sastavljen od zvijezde i masivnog planeta, mozemozamisliti kao rezultat zbrajanja (pridodavanja) potencijala od velike mase iznosa M + m idvaju manjih masa iznosa ±m ′ od kojih je jedna negativna. Ova negativna masa je samofikcija korisna za razumjevanje oblika potencijala. Na udaljenostima velikim u usporedbi sdimenzijom sustava, gravitacijski potencijal ce biti priblizno jednak zbroju potencijala velikemase iznosa M + m (to je potencijal tockastog izvora) i potencijala dipola sastavljenog odpozitivne i negativne mase m ′.Ukoliko se promatra sustav dvije zvijezde jednakih masa, kao na slici 7.8, rezultantni potencijalzbog simetrije mase obje zvijezde, nece sadrzavati dipolni nego ce poslije monopolnog, prvi

slijedeci neiscezavajuci clan biti kvadrupolni.


Slika 7.7: Uz objasnjenje gravitacijskog dipola.

Gornja se razmatranja mogu dalje poopcavati. ”Sto ako nemamo dva naboja (ili dvije masenecestice), nego imamo nekakav skup od N naboja (ili masa) rasporeden unutar nekog ogranicenogdijela prostora? Kako ce izgledati potencijal ove nakupine na udaljenostima velikim u usporedbis dimenzijama same nakupine (slika 7.9)? Evo nekoliko primjera:

(1) astronomija - nebeska tijela kao sto su dvojne zvijezde, galaksije, nakupine plina, nisu uvi-jek sfernog oblika i nalaze se na udaljenostima puno vecim nego sto su prostorne dimenzijesamih tijela;

(2) nuklearne fizika - atomske jezgre teskih elemenata cesto nisu okruglog oblika: ili su maloizduzene u oblik cigare, ili su spljostene u oblik palacinke. Zato elektricna sila kojom djelujuna elektrone iz elektronskog plasta atoma, nije ista kao sila od kuglastog objekta (koju smoracunali u odjeljku 7.2). Srednja udaljenost elektrona od jezgre je oko pet redova velicineveca od dimenzije same jezgre, pa smo i ovdje u situaciji da nas zanima sila (tj. potencijaliz kojega cemo dobiti silu) na udaljenostima velikim u usporedbi s prostornim dimenzijamakoje zauzima izvor sile (tj. potencijala);

(3) atomska fizika - atomi su kao cjeline elektricki neutralni jer imaju isti broj elektrona uplastu, kao i protona u jezgri, no zbog nejednolike raspodjele naboja unutar atoma, utockama izvan atoma postojat ce elektrostatski potencijal razlicit od nule.

Radi odredenosti, u nastavku cemo govoriti o elektrostatskom potencijalu, a zamjenama (7.14)i (7.15) sve se moze prevesti i u jezik gravitacijskog potencijala.

Postavimo koordinatni sustav tako da je polozaj tocke u kojoj racunamo potencijal odredensfernim koordinatama (r, θ, ϕ), polozaj tocaka u kojima se nalaze izvori potencijala je oznacen


Slika 7.8: Uz objasnjenje gravitacijskog kvadrupola.

s (r ′ , θ ′, ϕ′)

~r = r(~ex sin θ cosϕ+ ~ey sin θ sinϕ+ ~ez cos θ) = r~er ,

~r ′ = r ′ (~ex sin θ ′ cosϕ′ + ~ey sin θ ′ sinϕ′ + ~ez cos θ ′) = r ′ ~e ′r .

Smatrat cemo da su tocke izvori potencijala kontinuirano raspodjeljene gustocom naboja ρq(~r′)

po konacnom dijelu prostora u okolici ishodista (slika 7.9). U skladu s gornjom diskusijom,ogranicit cemo se na racun potencijala u tockama na udaljenostima r za koje vrijedi

r >> r ′ .

Gornja nejednakost nam omogucava definirati malu velicinu r ′ /r po kojoj razvijamo nazivnikiz podintegralne funkcije u izrazu za potencijal (7.16)

1

|~r − ~r ′| =1√

r2 − 2rr ′ (~er · ~e ′r ) + r ′ 2=

1

r

[1 − 2

r ′

r(~er · ~e ′r ) +

(r ′

r

)2]−1/2

.

Koristeci Taylorov (7.35) uz:

x ≡ −2r ′

r(~er · ~e ′r ) +

(r ′

r

)2

,

x2 = 4

(r ′

r

)2

(~er · ~e ′r )2 − 4

(r ′

r

)3

(~er · ~e ′r ) + O(r ′ 4

r4

),

x3 = −8

(r ′

r

)3

(~er · ~e ′r )3 + O(r ′ 4

r4

).

dobivamo

1

|~r − ~r ′| =1

r

1 +

r ′

r(~er · ~e ′r ) +

1

2

(r ′

r

)2

[3(~er · ~e ′r )2 − 1] +3

2

(r ′

r

)3

(~er · ~e ′r )

[5

3(~er · ~e ′r )2 − 1

]+ O

(r ′ 4

r4

)


Slika 7.9: Uz multipolni razvoj gravitacijskog potencijala.

Uvrstavanjem gornjeg razvoja u izraz za elektrostatski potencijal, (7.16), dobiva se

V (~r) = V (~r)mon + V (~r)dip + V (~r)kva + V (~r)okt + · · · (7.37)

Prvi clan gornjeg razvoja je monopolni potencijal , tj. potencijal koji dolazi od ukupnog nabojacijelog sustava

V (~r)mon =1

4πǫ0

1

r

∫ρq(~r

′)d3r ′ =1

4πǫ0

q

r. (7.38)

Ako je ukupan naboj cijelog sustava jednak nuli (kao sto je to npr. slucaj kod neutralnih atomagdje je q = q+ + q− = 0), onda ovaj clan iscezava.Drugi clan se naziva dipolni potencijal

V (~r)dip =1

4πǫ0

1

r2

∫~er · ~e ′r r ′ ρq(~r

′)d3r ′ =1

4πǫ0

~err2

∫~r ′ρq(~r

′)d3r ′ .

Nazovemo li dipolnim momentom ~p

~p =

∫~r ′ρq(~r

′)d3r ′ , (7.39)

tada je gornji dipolni potencijal oblika kao i (7.36)

V (~r)dip =1

4πǫ0

~p~err2

. (7.40)

Ako u (7.39) uvrstimo da je gustoca naboja ρq(~r′) razlicita od nule samo u dvije tocke: ±(l/2)~ez

u kojima ima vrijednost ±q, dobit cemo rezultat ~p = ql~ez s pocetka ovog odjeljka (gornji jeizraz za ~p je puno opcenitiji od ~p = ql~ez koji vrijedi samo za dva tockasta naboja). Za razlikuod potencijala monopola, dipolni potencijal opada brze, kao 1/r2.Treci se clan naziva kvadrupolni potencijal i opada jos brze (kao 1/r3) od prethodna dva clana.

V (~r)kva =1

4πǫ0

1

r31

2

∫r ′ 2[3(~er ·~e ′r )2−1]ρq(~r

′)d3r ′ =1

4πǫ0

1

r31

2

∫[3(~er ·~r ′)2−r ′ 2]ρq(~r

′)d3r ′ .

(7.41)


Raspisimo izraz iz uglate zagrade u pravokutnim koordinatama

~er = ~ex sin θ cosϕ+ ~ey sin θ sinϕ+ ~ez cos θ ≡ ~ex rx + ~ey ry + ~ez rz,

~r ′ = ~ex x′ + ~ey y

′ + ~ez z′,

3(~er · ~r ′)2 − r ′ 2 = 3(rxx′ + ry~ey + rz~ez )2 − (x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2)

= 3(r2xx′ 2 + r2yy

′ 2 + r2zz′ 2 + 2rxryx

′y ′ + 2rxrzx′z ′ + 2ryrzy

′z ′) − x ′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2.

Citatelj ce se lako uvjeriti, izravnim mnozenjem, da se gornji izraz moze preglednije napisatipomocu matrice T (~r ′) definirane donjim izrazom

〈~er |T (~r ′)|~er 〉 =[rx ry rz

]

2x ′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2 3x ′y ′ 3x ′z ′

3y ′x ′ 2y ′ 2 − x ′ 2 − z ′ 2 3y ′z ′

3z ′x ′ 3z ′y ′ 2z ′ 2 − x ′ 2 − y ′ 2

rxryrz

Uvedemo li sada realnu i simetricnu matricu koja se, u analogiji s dipolnim momentom (koji jevektor), naziva kvadrupolni moment Q

Q =

∫ρq(~r

′) T (~r ′) d3r ′ , (7.42)

kvadrupolni potencijal mozemo zapisati u obliku

V (~r)kva =1

4πǫ0

1

r3〈~er |Q |~er 〉

2.

Uvedimo lijeve 〈λj | i desne svojstvene vektore |λj〉 i njima pridruzene svojstvene vrijednosti λj,matrice Q

Q |λj〉 = λj |λj〉 , 〈λj|Q = λj 〈λj | ,za j = 1, 2, 3. Ovi svojstveni vektori cine ortonormiran i potpun skup

〈λi|λj〉 = δi,j ,

3∑

j=1

|λj〉〈λj| = 1,

gdje 1 oznacava jedninicnu 3 × 3 matricu. Primjenom relacije potpunosti, slijedi

〈~er |Q |~er 〉 = 〈~er |Q3∑

j=1

|λj〉〈λj|~er 〉 =3∑

j=1

λj 〈~er |λj〉〈λj |~er 〉 .

No, 〈~er |λj〉 = 〈λj |~er 〉 su samo oznake za skalarne umnoske dva jedinicna vektora i zato je

〈~er |λj〉 = 〈λj|~er 〉 = cos Ψj,

gdje smo s Ψj oznacili kutove koje ~er zatvara sa smjerovima svojstvenih vektora matrice Q(slika 7.10). Pomocu ovih velicina, kvadrupolni elektrostatski potencijal glasi

V (~r)kva =1

4πǫ0

1

r31

2

3∑

j=1

λj cos2 Ψj ,

a gravitacijski kvadrupolni potencijal je

V (~r)kva = −G 1

r31

2

3∑

j=1

λj cos2 Ψj. (7.43)


Slika 7.10: Smjerovi svojstvenih vektora matrice Q .

Cetvrti se clan naziva oktupolni potencijal i opada kao 1/r4,

V (~r)okt =1

4πǫ0

1

r43

2

∫r ′ 3[

5

3(~er · ~e ′r )3 − (~er · ~e ′r )

]ρq(~r

′) d3r ′ . (7.44)

Odgovarajuce gravitacijske potencijale dobivamo iz gornjih izraza zamjenama (7.14) i (7.15).

S obzirom da Zemlja nije savrsena kugla i da njezina masena gustoca nije konstantna, rezultat(7.17) dobiven za kuglu konstantne gustoce nece biti potpuno primjenjiv na Zemlju. Naravnoda ce odstupanja biti mala, a ta mala odstupanja su upravo dana izrazima (7.40), (7.43) i(7.44). Ukupan gravitacijski potencijal je dan sa (7.37), a to je potencijal homogene kugle plusmale korekcije od nehomogenosti i nesfericnosti. Vise o gravitacijskom potencijalu Zemlje mozese naci u [28].

Zadatak: 7.7 Pokazite da za sustav elektricnih naboja sa slike 7.6, vrijedi: Vmon = Vkva =Vokt = 0.

R: gustoca naboja koja se pojavljuje u izrazima za potencijale, je razlicita odnule samo u dvije tocke: z = ± l/2 i u tim tockama ima vrijednost ± q. Ovomozemo zapisati pomocu Diracove δ-funkcije u npr. pravokutnom koordinatnomsustavu

ρq(~r′) = + q δ(x ′) δ(y ′) δ(z ′ − l/2) − q δ(x ′) δ(y ′) δ(z ′ + l/2).

7.5. PROBLEM DVA TIJELA 227

Monopolni potencijal gornje raspodjele naboja, racunamo prema (7.38)

V (~r)mon =1

4πǫ0

1

r

∫ρq(~r

′)d3r ′

=1

4πǫ0

q

r

∫ +∞

−∞δ(x ′) δ(y ′) δ(z ′ − l/2) dx ′dy ′dz ′

−∫ +∞

−∞δ(x ′) δ(y ′) δ(z ′ + l/2) dx ′dy ′dz ′

=1

4πǫ0

q

r(1 − 1) = 0.

Kvadrupolni potencijal racunamo pomocu (7.41

V (~r)kva =1

4πǫ0

1

r31

2

∫[3(~er · ~r ′)2 − r ′ 2]ρq(~r

′)d3r ′

=1

4πǫ0

1

r31

2

[3(~er · ~r ′)2 − r ′ 2] (+q)

∣∣x ′=y ′=0,z ′=l/2

+ [3(~er · ~r ′)2 − r ′ 2] (−q)∣∣x ′=y ′=0,z ′=−l/2

=1

4πǫ0

1

r31

2

[3

(l

2

)2

−(l

2

)2]q +

[3

(− l

2

)2

−(− l

2

)2]

(−q)

= 0,

a oktupolni, pomocu (7.44)

V (~r)okt =1

4πǫ0

1

r43

2

∫r ′ 3[

5

3(~er · ~e ′r )3 − (~er · ~e ′r )

]ρq(~r

′) d3r ′ .

=1

4πǫ0

1

r43

2

√(

l

2

)23(

5

3− 1

)(+q) +

√(− l

2

)23(

5

3− 1

)(−q)

= 0.

7.5 Problem dva tijela

U svakodnevnom govoru je uobicajeno reci: Zemlja se giba oko Sunca po elipsi, pri cemuSunce miruje u jednom od zarista elipse. Strogo gledano, ta tvrdnja nije tocna. U ovom cemoodjeljku pokazati da se i Zemlja i Sunce gibaju oko jedne tocke koju cemo kasnije u poglavlju10.2 prepoznati kao srediste mase. No, zbog toga sto je masa Sunca puno veca od mase Zemlje(a i svih ostalih planeta uzetih zajedno), ova se tocka nalazi tako blizu sredista Sunca da se ujako dobroj pribliznosti moze smatrati da Sunce miruje. Radi jednostavnosti, promatrat cemosamo medudjelovanje Zemlje i Sunca, a utjecaj ostalih nebeskih tijela cemo zanemariti.U odjeljku 7.2 smo pokazali da se, u odnosu na gravitacijsku silu, a zbog svojeg pribliznokuglastog oblika, Sunce i planeti mogu tretirati kao cestice. Opisimo zato opcenito gibanjedvije cestice masa m1 i m2 medu kojima djeluje gravitacijska sila (slika 7.11) iznosa

FG = Gm1m2

|~r1 − ~r2|2.


Slika 7.11: Uz problem dva tijela.

Ova formulacija, osim gravitacijske, obuhvaca i Coulombovu silu

FC =1

4πǫ0

q1 q2|~r1 − ~r2|2

,

koja djeluje medu cesticama raznoimenih elektricnih naboja (s time da se tu javlja i, klasicnimpojmovima nerjesiv, problem zracenja naboja koji se ubrzano giba. Prema trecem Newtonovomaksiomu je ~F2,1 = −~F1,2, pa jednadzbe gibanja za obje cestice glase

m1d2~r1d t2

= ~F2,1,

m2d2~r2d t2

= ~F1,2 = −~F2,1.

Zbrajanjem gornjih jednadzba, dolazi se do zakona o sacuvanju ukupne kolicine gibanja

m1d2~r1d t2

+m2d2~r2d t2

= 0,

d

d t

[m1~ 1r +m2~ 2r

]= 0,

m1~ 1r +m2~ 2r = const.,

tj. ukupna kolicina gibanja sustava se ne mijenja u vremenu. Ako uvedemo pojam sredistamase sustava ~rSM

~rSM =m1~r1 +m2~r2m1 +m2

,

tada je i

m1d2~r1d t2

+m2d2~r2d t2

= (m1 +m2)~rSM = 0,

7.5. PROBLEM DVA TIJELA 229

pa je ~rSM = const., tj. srediste mase sustava dvije cestice se giba konstantnom brzinom(konstantnom po iznosu i po smjeru), a buduci da je konstantna, onda je i jednaka brzini upocetnom trenutku. Primjetimo na ovom mjestu, da ako je jedna masa puno veca od druge,npr. m1 >> m2 (kao sto je to slucaj u sustavu Sunce - Zemlja), tada ce se srediste masenalaziti vrlo blizu polozaja masivnijeg tijela. Taylorovim razvojem izraza za ~rSM po malojvelicini m2/m1, lako se dolazi do

m1 >> m2 ⇒ ~rSM = ~r1 +m2

m1(~r2 − ~r1) + · · · .

Pokazimo jos i da je i moment kolicine gibanja cijelog sustava konstantan u vremenu.

~r1 × m1~ 1r = ~r1 × ~F2,1,

~r2 × m2~ 2r = ~r2 × ~F1,2 = −~r2 × ~F2,1.

Zbrajanjem gornje dvije jednadzbe, dobiva se

~r1 × m1~ 1r + ~r2 × m2~ 2r = (~r1 − ~r2) × ~F2,1 = 0,

d

d t(~r1 × m1~ 1r + ~r2 × m2~ 2r) = 0.

Desne strane gornjih jednadzba su jednake nuli zato jer sila ~F2,1 ima smjer spojnice tocaka ~r1i ~r2, pa je kolinearna s (~r1 − ~r2) i vektorski umnozak na desnoj strani je jednak nuli. Definira

li se moment kolicine gibanja cijelog sustava ~L izrazom

~L = ~r1 × m1~ 1r + ~r2 × m2~ 2r, (7.45)

tada iz gornjeg razmatranja zakljucujemo da je ~L konstantan u vremenu i jednak vrijednostimomenta kolicine gibanja u pocetnom trenutku. Ovu konstantnu vrijednost cemo oznacavati s~L 0.Postavimo sada ishodiste koordinatnog sustava u tocku srediste mase, ~rSM = (m1~r1+m2~r2)/(m1+m2) = 0 (slika 7.12). Tada je po komponentama

Slika 7.12: Ishodiste koordinatnog sustava je u sredistu mase.

m1x1 + m2x2 = 0, m1y1 +m2y2 = 0, m1z1 +m2z2 = 0. (7.46)


U koordinatnom sustavu u kojemu je ~rSM = 0 je i ukupna kolicina gibanja m1~ 1r+m2~ 2r = (m1+

m2)~rSM = 0, pa jedini konstantni vektor koji nam preostaje je vektor ukupnog momenta kolicinegibanja. On predstavlja istaknuti smjer u prostoru. Zbog izotropnosti prostora, koordinatneosi mozemo usmjeriti kako zelimo, a u ovom je slucaju je prirodno jednu od osa postaviti usmjer momenta kolicine gibanja. Neka to bude os z. Sada je ~L = L0 ~ez . U ovako postavljenomkoordinatnom sustavu, a prema relaciji (7.45), je

Lx = 0 = m1(y1z1 − z1y1) +m2(y2z2 − z2y2),

Ly = 0 = m1(z1x1 − x1z1) +m2(z2x2 − x2z2),

Lz = L0 = m1(x1y1 − y1x1) +m2(x2y2 − y2x2).

Gornje su jednadzbe zadovoljene ako je z1 = z2 = 0. Time smo dosli do dva vazna zakljucka:(1) da se cestice gibaju oko sredista mase u ravnini (x, y), i

(2) da je ta ravnina okomita na konstantni vektor momenta kolicine gibanja ~L 0.

Kao sto smo pokazali na strani 202, gravitacijska je sila konzervativna, a za konzervativnesile vrijedi zakon o sacuvanju mehanicke energije (zbroj kineticke i potencijalne energije jekonstantan). Izracunajmo ukupnu mehanicku energiju ovog sustava

E =m1

2(x21 + y21) +

m2

2(x22 + y22) −G

m1m2

|~r1 − ~r2|,

|~r1 − ~r2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

Uvedimo relativne koordinate

x = x2 − x1, y = y2 − y1.

U sustavu s ishodistem u sredistu mase je, prema (7.46),

x2 = −m1

m2x1, y2 = −m1

m2y1

(sjetimo se da smo postavili koordinatni sustav tako da je z1 = z2 = 0). Gornje veze namomogucavaju izraziti xj i yj preko relativnih koordinata x i y

x1 = x2 − x = −m1

m2x1 − x ⇒ x1 = − m2

m1 +m2x,

x2 = −m1

m2x1 =

m1

m1 +m2x,

y1 = y2 − x = −m1

m2

y1 − y ⇒ y1 = − m2

m1 +m2

y,

y2 = −m1

m2y1 =

m1

m1 +m2y,

Oznacimo li s ρ medusobnu udaljenost cestica, ρ =√x2 + y2, tada energiju dobivamo izrazenu

preko relativnih koordinata

E =m1

2

[m2

2

(m1 +m2)2x2 +

m22

(m1 +m2)2y2]

+m2

2

[m2

1

(m1 +m2)2x2 +

m21

(m1 +m2)2y2]−G

m1m2

ρ

=1

2

(m1 +m2)m1m2(x2 + y2)

(m1 +m2)2−G

m1m2

ρ.

7.6. CENTRALNE SILE 231

Uvede li se reducirana masa µ

1

µ=

1

m1

+1

m2

, µ =m1m2

m1 +m2

,

ukupna je energija jednaka

E =1

2µρ2 −G

m1m2

ρ.

Opet vidimo da ako je m1 >> m2, reducirana je masa priblizno jednaka manjoj masi m2 i svakineticka energija (energija gibanja) dolazi od gibanja cestice manje mase: samo se mala masagiba, a velika masa priblizno miruje u ishodistu.Na slican se nacin moze i ukupan moment kolicine gibanja izraziti u relativnim koordinatma

L0 = Lz = m1(x1y1 − y1x1) +m2(x2y2 − y2x2)

= m1

[m2

m1 +m2x

m2

m1 +m2y − m2

m1 +m2y

m2

m1 +m2x

]

=(m1 +m2)m1m2(xy − yx)

(m1 +m2)2= µ(~ρ × ~ρ)z.

Ovime smo, sve zajedno, dobili deset konstantnih velicina:- polozaj sredista mase, 3 konstante,- brzina sredista mase (tj. ukupna kolicina gibanja), 3 konstante,- ukupan moment kolicine gibanja, 3 konstante,- mehanicka energija, 1 konstanta.

Ovih deset konstanata je dovoljno za potpuno odredenje gibanja dva tijela. Problem gibanjatri i vise tijela nije rjesiv, jer je broj zakona sacuvanja isti (to su gornja 4 zakona), dok brojkoordinata cestica sustava raste s porastom broja cestica.

7.6 Centralne sile

Gravitacijska sila iz prethodnog odjeljka je poseban slucaj opceg oblika sila koje se jednimimenom zovu centralne sile. U ovom cemo se odjeljku posvetiti proucavanju opcih svojstavacentralnih sila, imajuci sve vrijeme na umu gravitacijsku silu kao posebno vazan primjer cen-tralne sile.

Slika 7.13: Uz svojstva centralne sile.Navedimo dvije osnovne karakteristike cen-tralnih sila (slika 7.13):smjer Sila na cesticu je uvjek usmjerena duzspojnice cestice i nepomicne tocke O kojase zove centar sile. Ako je sila usmjerena odcestice prema O, sila je privlacna, a ako jeusmjerena od tocke O prema cestici, sila jeodbojna.iznos Iznos sile ovisi samo o udaljenostir od cestice do tocke O (a ne i kutovima kaonpr. kod sile od dipola ili kvadrupola).


Oba se gornja svojstva mogu sazeti u izraz

~F = f(r)~er . (7.47)

Sila je privlacna ako je f(r) < 0, a odbojna ako je f(r) > 0. Elasticna sila (u jednojdimenziji), gravitacijska i elektrostatska sila su primjeri centralnih sila. Elasticna sila udvije ili tri dimenzije s razlicitim konstantama vezanja, zatim sile od dipola i visih multipolagravitacijske ili elektrostatske sile, su primjeri necentralnih sila. Oblik sile kao u (7.47) ima trivazne posljedice:(1) moment kolicine gibanja je konstantan:Primjetimo da je moment centralne sile jednak nuli

~F = f(r) ~er ⇒ ~r × ~F = f(r) ~r × ~er = 0.

Prema drugom Newtonovom aksiomu je

~r× / m~v = ~F

m~r × ~v = ~r × ~F = 0 ⇒ ~r × ~v = 0.

Izracunajmo vremensku promjenu momenta kolicine gibanja

~L = ~r × ~p = m ~r × ~v,

d ~L

d t= m

d

d t(~r × ~v) = m(~v × ~v + ~r × ~v) = 0.

Buduci da su oba clana desne strane gornjeg izraza jednaka nuli, zakljucujemo da se momentkolicine gibanja ne mijenja u vremenu

~L = ~r × m~v = const. = ~L 0 (7.48)

Moment kolicine gibanja je dakle sve vrijeme gibanja konstantan po iznosu i smjeru i jednak jemomentu kolicine gibanja u pocetnom trenutku

~L 0 = ~r0 × m ~v0.

Ako je u tom pocetnom trenutku pocetna brzina ~v0 bila jednaka nuli ili je bila kolinearna s ~r0,pocetni moment kolicine gibanja ~L 0 je jednak nuli. Takvo smo gibanje proucavali u prethod-nim odjeljcima. Tek ako je ~L 0 razlicit od nule (pocetna brzina nije kolinearna s ~r0) i dovoljnovelik, gibanje ce biti krivocrtno. Ovdje se jasno vidi kako oblik putanje ovisi o pocetnim uvje-tima. Moguce oblike tog gibanja cemo prouciti u ovom odjeljku. Npr. jabuka s drveta padaravno na tlo, jer je njezin pocetni moment kolicine gibanja jednak nuli. Naprotiv, Mjesecse giba oko Zemlje jer je u trenutku formiranja Suncevog sustava (to je pocetni trenutak za

opis Mjesecevog gibanja oko Zemlje) imao dovoljno veliki ~L 0. Na oba tijela, jabuku i Mjesec,djeluje ista, gravitacijska sila. Razlika u obliku putanje potjece od razlike u pocetnim uvjetima.

(2) gibanje se odvija u ravnini:Pokazimo da je putanja (ili orbita ili trajektorija) cestice, ravninska krivulja, tj. pod djelo-vanjem centralnog polja sila, cestica se sve vrijeme giba u jednoj ravnini19. Obicno se uzima

19U slucaju gibanja Zemlje, ta se ravnina naziva ravnina ekliptike.

7.6. CENTRALNE SILE 233

da je to ravnina (x, y), slika 7.14.A, u pravokutnom koordinatnom sustavu, ili (ρ, ϕ) ravninacilindricnog koordinatnog sustava (u odjeljku 2.5 smo tu ravninu zvali polarna ravnina).

Zbog medusobne okomitosti vektora ~r i ~r × ~v, skalarni umnozak ~r sa ~L 0 je jednak nuli

~r(t) · ~L 0 = m ~r · (~r × ~v) = 0.

Geometrijski to znaci da je projekcija vektora polozaja cestice ~r(t), na smjer konstantnog

vektora ~L 0, jednaka nuli za svaki trenutak t, tj. za sve vrijeme gibanja. Drugim rijecima,cestica se giba u ravnini okomitoj na vektor ~L 0.

Zbog izotropnosti prostora, smjerove koordinatnih osa mozemo odabrati proizvoljno. Opisgibanja cemo pojednostaviti, odaberemo li ~ez za smjer vektora ~L 0. U tom ce se slucaju cesticagibati u ravnini (x, y) tj. u ravnini (ρ, ϕ) polarnog koordinatnog sustava (slika 7.14.A):

Slika 7.14: (A): Pod djelovanjem centralne sile, cestica se giba u ravnini okomitoj na konstantni vektor ~L 0.(B) Pod djelovanjem centralne sile, cestica se giba tako da u jednakim vremenskim intervalima, opisuje jednakepovrsine.

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ,

~r → ~ρ , ~er → ~eρ ,

~F = f(ρ)~eρ .

(3) povrsinska brzina je konstantna:Pokazimo da se cestica giba tako da radij vektor (spojnica tocke izvora sile i trenutnog polozajacestice) u jednakim vremenskim razmacima opisuje jednake povrsine (slika 7.14.B). Definirajmopovrsinsku brzinu S kao omjer povrsine ∆S koju u vremenu ∆ t opise radij vektor.

S = lim∆t→0

∆S

∆t.


Pokazimo da je ta brzina konstantna: opisanu povrsinu (slika 7.14.B) mozemo izraziti vek-torskim umnoskom

∆S ≃ 1

2|~ρ × ∆~ρ |.

Umjesto znaka jednakosti doalzi znak priblizno jednako, jer smo zanemarili oznaceni dio izmeduvektora ∆~ρ i linije same putanje. U granici kada ∆t postaje iscezavajuce malen, i ovaj znakpriblizno jednako prelazi u pravu jednakost. Iz gornjeg izraza slijedi

∆S

∆t=

1

2

∣∣∣∣~ρ × ∆~ρ

∆t

∣∣∣∣ =1

2|~ρ × ~v| =

|~L 0|2m

= const. (7.49)

Pod djelovanjem centralne sile, cestica se dakle giba tako da radij vektor u jednakim vremenskimintervalima opisuje jednake povrsine. Kao sto ce se uskoro vidjeti, ova tvrdnja je sadrzaj jednogod Keplerovih zakona.

7.7 Jednadzba gibanja cestice u polju centralne sile

U prethodnom odjeljku smo zakljucili da se, pod djelovanjem centralne sile, cestica giba uravnini. Za tu ravninu smo odabrali ravninu polarnog koordinatnog sustava. Brzinu i ubrzanjeu polarnom koordinatnom sustavu smo izracunali ranije relacijama (3.2) i (3.5)

~ρ = ρ~eρ + ρϕ~eϕ ,

~ρ = (ρ− ρϕ2)~eρ + (ρϕ+ 2ρϕ)~eϕ .

U slucaju kada na promatranu cesticu djeluje samo centralna sila, jednadzba gibanja (drugi

Newtonov aksiom), m~ρ = ~F , glasi

m(ρ− ρϕ2) ~eρ +m(ρϕ + 2ρϕ) ~eϕ = f(ρ) ~eρ ,


~eρ : m (ρ− ρϕ2) = f(ρ),

(7.50)

~eϕ : m (ρϕ + 2ρϕ) = 0.

Pogledajmo najprije drugu od gornjih jednadzba. Primjetimo da je

d

d t

[ρ2(t) ϕ(t)

]= 2ρρϕ+ ρ2ϕ = ρ(ρϕ + 2ρϕ).

Pomocu gornjeg rezultata, mozemo drugu od jednadzba (7.50) napisati u obliku

m

ρ

d

d t(ρ2ϕ) = 0,

tj.

ρ2ϕ = const.

7.7. JEDNADZBA GIBANJA CESTICE U POLJU CENTRALNE SILE 235

je konstantno u vremenu. Primjetimo da je ovo konstanta s kojom smo se vec sreli: u polarnomkoordinatnom sustavu je moment kolicine gibanja

~L 0 = m~ρ × ~ρ = m~ρ × (ρ~eρ + ρϕ~eϕ ) = mρ2ϕ~ez = const. ⇒ ρ2ϕ =|~L 0|m

= const.

U prvoj od jednadzba (7.50), se pojavljuju ρ i ϕ kao funkcije vremena,

ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t),

uz uvjet da je ρ2ϕ konstantno u vremenu. Ta se jednadzba moze rjesavati na dva nacina:

(1) parametarski: pomocu uvjeta ρ2ϕ = const., eliminirati kutnu varijablu ϕ i dobiti jed-nadzbu za ρ kao funkciju vremena: ρ = ρ(t); rijesiti tu jednadzbu i zatim taj ρ = ρ(t)uvrstiti u ρ2ϕ = const.; time dobivamo diferencijalnu jednadzbu za ϕ kao funciju vremena:ϕ = ϕ(t)

ρ = ρ(t),

ϕ = ϕ(t).

(2) eksplicitno: shvatiti ρ kao slozenu funkciju u smislu da ρ ovisi o vremenu samo krozkutnu varijablu ϕ, tj. da je ρ = ρ(ϕ) i ϕ = ϕ(t)

ρ = ρ(ϕ(t) ).

(1) Pogledajmo prvi nacin: u prvu od jednadzba (7.50)

ρ− ρϕ2 =f(ρ)

m,

uvrstimo ϕ iz ρ2ϕ = L0/m = const. i dobijemo

ρ− L20

m2ρ3=f(ρ)

m, (7.51)

jednadzbu za ρ = ρ(t) u kojoj je eliminirana kutna varijabla. Kada se, za dani konkretni obliksile f(ρ), rijesi ova jednadzba, dobit ce se eksplicitna ovisnost ρ = ρ(t). Ovo rjesenje za ρ uvrstise zatim u ρ2ϕ = L0/m i ta se jednadzba rijesi po ϕ

dϕ

d t=

|~L 0|m ρ2(t)

∫ ϕ

ϕ0

d ϕ =|~L 0|m

∫ t

t0

d t

ρ2(t)

ϕ(t) = ϕ0 +|~L 0|m

∫ t

t0

d t

ρ2(t)

ϕ(t) = ϕ(ϕ0, L0, t0; t).


(2) Drugi nacin je ovaj: uvedimo novu varijablu

u(ϕ) =1

ρ

koju shvacamo kao funkciju kuta ϕ. Iz konstantnosti momenta kolicine gibanja slijedi

L0

m= ρ2ϕ =

1

u2ϕ ⇒ ϕ =

L0

mu2

ρ =d ρ

d t=

d ρ

d ϕ

dϕ

d t=

d u−1

d ϕϕ =

−1

u2d u

d ϕ

L0

mu2 = −L0

m

du

dϕ,

ρ =d ρ

d t=

d

d t

(−L0

m

du

dϕ

)= −L0

m

d

dϕ

d u

d t= −L0

m

d

dϕ

(d u

d ϕ

dϕ

d t

)

= −L0

mϕd2 u

dϕ2= −L2

0

m2u2d2 u

dϕ2.

Sada prva od jednadzba gibanja (7.50), poprima oblik

m(ρ− ρϕ2) = f(ρ)

m

(−L2

0

m2u2d2 u

dϕ2− 1

u

L20

m2u4)

= f(1/u)

/· −mL20u

2,

d2 u

dϕ2+ u = −m

L20

f(1/u)

u2, (7.52)

gdje je u = u(ϕ), tj. eliminirano je vrijeme. Gornja se jednadzba zove Binetova 20 formula.Ako se sada vratimo u varijablu ρ = 1/u,

d u

d ϕ=

d

d ϕ

1

ρ=

−1

ρ2d ρ

d ϕ,

d2 u

dϕ2=

d

d ϕ

(−1

ρ2d ρ

d ϕ

)=

2

ρ3

(d ρ

d ϕ

)2

− 1

ρ2d2 ρ

d ϕ2,

Binetovu formulu (7.52) mozemo napisati i u varijabli ρ = ρ(ϕ)

2

ρ3

(d ρ

d ϕ

)2

− 1

ρ2d2 ρ

d ϕ2+

1

ρ=

m

L20

ρ2f(ρ)

/· (−ρ2),

d2 ρ

d ϕ2− 2

ρ

(d ρ

d ϕ

)2

− ρ =m

L20

ρ4f(ρ) (7.53)

20Jacques Philippe Marie Binet, 1786. - 1856., francuski matematicar.

7.8. POTENCIJALNA ENERGIJA CESTICE U POLJU CENTRALNE SILE 237

7.8 Potencijalna energija cestice u polju centralne sile

Pokazimo da je centralno polje sile konzervativno (kao sto smo vec pokazali za gravitacijskusilu), tako sto cemo pokazati da je njegova rotacija jednaka nuli. Operator rotacije u cilin-dricnom koordinatnom sustavu se moze naci npr. u [12]

−→∇ × ~F =

[1

ρ

∂ Fz∂ ϕ

− ∂ Fϕ∂ z

]~eρ +

[∂ Fρ∂ z

− ∂ Fz∂ ρ

]~eϕ +

1

ρ

[∂ (ρFϕ)

∂ ρ− ∂ Fρ

∂ ϕ

]~ez .

Za centralne sile je ~F = f(ρ)~eρ , pa su Fϕ = Fz = 0, a Fρ = f(ρ) ovisi samo o varijabli ρ, takoda su svi clanovi desne strane gornjeg izraza jednaki nuli

−→∇ × ~F = 0.

Buduci da je centralno polje sila konzervativno, moze se definirati potencijalna energija Ep sasvojstvom

~F = −−→∇Ep.

Uvrstavanjem gradijenta u cilindricnom koordinatnom sustavu, (koji se takoder moze naci u[12]),

−f(ρ) ~eρ =−→∇Ep = ~eρ

∂ Ep∂ ρ

+~eϕρ

∂ Ep∂ ϕ

+ ~ez∂ Ep∂ z

,

dolazi se do tri skalarne jednadzbe

∂ Ep∂ ρ

= −f(ρ),∂ Ep∂ ϕ

= 0,∂ Ep∂ z

= 0,

s rjesenjima

Ep = −∫f(ρ)dρ+ c1(ϕ, z), Ep = c2(ρ, z), Ep = c3(ϕ, z).

Sve tri gornje jednadzbe su zadovoljne za potencijalnu energiju

Ep = −∫f(ρ)dρ+ c0.

Konstanta c0 se odreduje odabirom ekvipotencijalne plohe na kojoj je potencijalna energijajednaka nuli. Npr. kod elasticne sile se obicno odabire Ep(ρ = 0) = 0, dok se kod gravitacijskesile najcesce odabire Ep(ρ→ ∞) = 0.

7.9 Sacuvanje energije

Ukupna mehanicka energija u polju konzervativne sile je

E = Ek + Ep = const. = E0.

Kineticka energija je

Ek =mv2

2=m

2(ρ~eρ + ρϕ~eϕ )2 =

m

2(ρ2 + ρ2ϕ2).


Do na aditivnu konstantu, potencijalna je energija

Ep = −∫f(ρ) dρ,

pa je ukupna energija

E =m

2(ρ2 + ρ2ϕ2) −

∫f(ρ) dρ = const. = E0. (7.54)

Uvrstavanjem ϕ iz uvjeta ρ2ϕ = L0/m = const., u jednadzbu (7.54), dolazi se do jednadzbe zaenergiju izrazene preko ρ = ρ(t)

E =m

2

(ρ2 +

L20

m2ρ2

)−∫f(ρ) dρ = const. = E0. (7.55)

Shvatimo li jos i ρ kao funkciju od ϕ(t), dolazi se do jednadzbe za energiju izrazene prekoρ = ρ(ϕ)

d ρ

d t=

d ρ

d ϕ

dϕ

d t=d ρ

d ϕϕ =

d ρ

d ϕ

L0

mρ2,

E0 =m

2

[(d ρ

d ϕ

)2L20

m2ρ4+

L20

m2ρ2+

]−∫f(ρ)dρ,

E0 =L20

2mρ4

[(d ρ

d ϕ

)2

+ ρ2

]−∫f(ρ)dρ.

U terminima varijable u(ϕ) = 1/ρ(ϕ), jednadzba sacuvanja energije se moze napisati kao

d ρ

d ϕ=

d

d ϕ

1

u=

−1

u2d u

d ϕ,

E0 −Ep =L20

2mu4

[1

u4

(d u

d ϕ

)2

+1

u2

]=

L20

2m

[(d u

d ϕ

)2

+ u2

],

(d u

d ϕ

)2

+ u2 =2m(E0 − Ep)

L20

. (7.56)

Pomocu jednadzbe (7.55), dolazi se do izraza za proteklo vrijeme gibanja cestice.Rijesimo tu jednadzbu po nepoznanici ρ

ρ2 =2

m

(E0 −Ep(ρ) − L2

0

2mρ2

)

d ρ

d t=

√2

m

(E0 − Ep(ρ) − L2

0

2mρ2

)(7.57)

7.10. OPIS GIBANJA NEBESKIH TIJELA POMOCU GRAFA ENERGIJE 239

(zadrzali smo samo pozitivan predznak, jer je na lijevoj strani iznos brzine koji je nuzno poziti-van). Sada izvedimo razdvajanje varijabli i integraciju od pocetnog trenutka t0 kada se cesticanalazila u tocki ρ(t0) = ρ0, do nekog opceg trenutka t kada se cestica nalazi u ρ

∫ t

t0

d t =

√m

2

∫ ρ

ρ0

d ρ√E0 −Ep(ρ) − L2

0/(2mρ2)

t = t0 +

√m

2

∫ ρ

ρ0

d ρ√E0 −Ep(ρ) − L2

0/(2mρ2)

t = t(t0, E0, L0, ρ0; ρ).

Pomocu gornjih izraza, moze se doci i do relacije koja daje opisani kut kao funkciju koordinateρ. Krenimo od relacije (7.57), prema kojoj je

d t =

√m

2

d ρ√E0 −Ep(ρ) − L2

0/(2mρ2)

i d t izrazimo preko d ϕ koristeci izraz za konstantnost momenta kolicine gibanja

L0 d t = d ϕ mρ2.

Tako dobivamo

d ϕ =L0

mρ2

√m

2

d ρ√E0 −Ep(ρ) − L2

0/(2mρ2)∫ ϕ

ϕ0

d ϕ =

∫ ρ

ρ0

d ρ

ρ2√

2m (E0 −Ep(ρ))/L20 − 1/ρ2

ϕ = ϕ0 +

∫ ρ

ρ0

d ρ

ρ2√

2m (E0 − Ep(ρ))/L20 − 1/ρ2

ϕ = ϕ(ϕ0, E0, ρ0, L0; ρ).

Dobili smo ϕ kao funkciju konstanti i trenutnog polozaja ρ.

7.10 Opis gibanja nebeskih tijela pomocu grafa energije

Nebeska se tijela gibaju pod utjecajem gravitacijske sile, a jedan zgodan nacin za razumijevanjenjihova gibanja je opis preko grafa energije. Vratimo se dakle gravitacijskoj sili, kao jednomvaznom primjeru centralnih sila.Ono sto se naziva graf energije, se dobije tako da se na ordinatu nanosi energija (ukupna,kineticka, potencijalna), a na apscisu relativna udaljenost promatranog tijela i drugih tijela skojim ono medudjeluje.Npr. promatrajmo gibanje nebeskog tijela mase m uslijed gravitacijskog djelovanja Suncamase M , pri cemu cemo zanemariti gravitacijski utjecaj ostalih tijela na promatrano tijelo.Takoder cemo zanemariti i gravitacijski utjecaj promatranog tijela na Sunce (akcija i reakcija)i pretpostaviti da Sunce miruje (tj. da je njegovo ubrzanje zanemarivo). Uz ove aproksimacije,energija promatranog tijela (planeta, komete, asteroida) je

E0 = Ek + Ep =p2

2m−G

mM

ρ,


gdje je ρ udaljenost izmedu sredista mase tijela i Sunca, a ~p = m~v je kolicina gibanja sredistamase tijela. Rastavimo li kolicinu gibanja na komponentu ~p⊥ okomitu na radij vektor i kom-ponentu ~p ‖ paralelnu s radij vektorom (slika 7.15), tada je

Slika 7.15: Rastav vektora kolicine gibanja ~p na komponentu ~p⊥ okomitu na radij vektor i komponentu ~p ‖

paralelnu s radij vektorom. Sam vektor ~p ima smjer tangente na krivulju u danoj tocki (odjeljak 3).

~p = ~p ‖ + ~p ⊥,

~p 2 = p2‖ + p2⊥.

Primjetimo da je, prema istoj slici, moment kolicine gibanja

~L 0 = ~ρ × (~p ⊥ + ~p ‖) = ρp⊥~ez , ⇒ p⊥ =L0

ρ

Sada se za energiju moze napisati

E0 =p2‖2m

+p2⊥2m

−GmM

ρ=

p2‖2m

+L20

2m ρ2−G

mM

ρ.

Prvi clan desne strane cemo nazivati paralelnom kinetickom energijom

E‖k =

p2‖2m

,

jer ovisi o paralelnoj komponenti brzine tijela kroz p‖. Druga dva clana ovise samo o polozajutijela (kroz radij vektor ρ), pa cemo ih nazvati efektivnom potencijalnom energijom

Eef.p =

L20

2mρ2−G

mM

ρ.

Efektivna potencijalna energija se sastoji od dva clana: prvi je uvijek pozitivan, a drugi je uvijeknegativan. Ovisno o tome koji je od ta dva clana veci, Eef.

p moze biti pozitivna, negativna i


jednaka nuli. Kineticka energija je uvijek pozitivna, tako da ukupna (konstantna) energija

E = E‖k + Eef.

p = E0

takoder moze biti i veca i manja i jednaka nuli.Graf efektivne potencijalne energije, za danu konstantnu vrijednost ~L 0, je prikazan na slici 7.16(primjetimo da se Eef.

p asimptotski priblizava nultoj vrijednosti, kada ρ tezi prema beskonacnosti).Promotrimo detaljnije sliku 7.17. Tijelo uvijek ima konstantnu vrijednost momenta kolicine

Slika 7.16: Graf efektivne potencijalne energije Eef.p .

ρ

Ep

ef.

0

L0

2

2 m1

ρ2

- G m Mρ

Slika 7.17: Oblik putanje tijela ovisi o njegovoj ukupnojmehanickoj energiji.

ρ

Ep

ef.

ρe,2

ρk

ρe,1ρ

p

ρh

Ehip

Epar

Eelp

Ekru

gibanja L0, pa je i oblik efektivne potencijalne energije konstantan. Kao posljedica zakona osacuvanju energije, zbroj kineticke i potencijalne energije tijela je konstantan tijekom cijeloggibanja.Promotrimo nekoliko tipicnih situacija:

(1) Neka se tijelo giba s ukupnom mehanickom energijom E0 koju cemo oznaciti s Eelp < 0

Eelp = E‖k + Eef.

p < 0 (7.58)

(slika 7.17). U tockama ρe,1 i ρe,2 vrijedi da je

Eelp = Eef.p ,

pa u tim tockama mora biti

E‖k =

p2‖2m

= 0

tj.

v‖(ρ = ρe,1) = v‖(ρ = ρe,2) = 0, v⊥ = v 6= 0.

Brzina ima samo okomitu komponentu.Na udaljenostima manjim od ρe,1 i vecim od ρe,2 , je (slika 7.17)

Eelp < Eef.p ,


pa da bi relacija (7.58) bila zadovoljena morala bi biti i

E‖k =

p2‖2m

< 0,

no to je nemoguce jer je p2‖/(2m) uvijek pozitivno (radijalna komponenta brzine ne moze biti

imaginarna, to je fizicki neprihvatljivo). Iz tog razloga zakljucujemo da ce se tijelo gibati uogranicenom dijelu prostora izmedu ρe,1 (najmanja udaljenost tijela od Sunca) i ρe,2 (najvecaudaljenost tijela od Sunca), kao sto je to prikazano slikama 7.18. Ova putanja opcenito ne mora

Slika 7.18: (A) Periodicka putanja. (B) Neperiodicka putanja.

biti zatvorena (slika 7.18 B ). Moze se pokazati da je u posebnim slucajevima, ako je sila kojaizvodi gibanje harmonijska ili gravitacijska (kao u ovom primjeru), putanja je uvijek zatvorena.To je elipsa smjestena u dijelu ravnine izmedu kruznica polumjera ρe,1 i ρe,2 sa izvorom sile ujednom od fokusa (ako je sila obrnuto srazmjerna kvadratu udaljenosti, kao kod gravitacijskesile), tj. sa izvorom sile u sredistu elipse (ako je sila srazmjerna udaljenosti, kao kod elasticnesile - odjeljak 6).Pokazimo kako ukupna energija tijela odreduje veliku poluos elipse. Na udaljenostima ρ = ρe,1i ρ = ρe,2, vrijedi

Eelp = Eef.p =

L20

2mρ2− K

ρ, K ≡ G M m.

Dva rjesenja po ρ gornje jednadzbe su upravo ρ = ρe,1 i ρ = ρe,2

ρe,1,2 =1

2

(− K

Eelp±√

K2

E2elp

+2L2

0

mEelp

),

a njihov zbroj je (slike 7.17 ili 7.18A), jednak 2a

a =1

2(ρe,1 + ρe,2) = −1

2

K

Eelp.


Time je dobivena veza izmedu ukupne energije tijela koje se giba po elipsi i velike poluosi elipse

Eelp = −K

2a= −G mM

2a. (7.59)

(2) Ako je energija tijela najmanja moguca E0 = Ekru < 0, tada je u svakoj tocki putanje

Slika 7.19: Ako je E = Ekru < 0, udaljenost tijela od Sunca je sve vrijeme gibanja konstantna i putanja jekruznica polumjera ρk. Ako je E = Epar = 0, gibanje se odvija po paraboli, a najmanja udaljenost tijela odSunca je ρp < ρk. Ako je E = Ehip > 0, gibanje se odvija po hiperboli, a najmanja udaljenost od Sunca jeρh < ρp < ρk.

kruznicaparabolahiperbola

ρ k

ρ p

ρ h

S

Ekru = Eefp = min, a E

‖k = 0. S obzirom da je E

‖k = 0 to je i v‖ = 0, tj. brzina tijela je u svakoj

tocki putanje okomita na radij vektor. Udaljenost tijela od Sunca je ρ = ρk = const., tj. tijelose giba po kruznici polumjera ρk (slika 7.19). Polozaj minimuma Eef.

p , tj. udaljenost tijela od

izvora sile, je lako odrediti kao ekstrem funkcije Eef.p (ρ)

∂Eef.p

∂ρ

∣∣∣∣∣ρk

= 0 ⇒ ρk =L20

mK.

Sada mozemo izracunati i energiju tijela koje se giba po kruznici

Ekru = Eefp (ρk) = −1

2

mK2

L20

= − K

2ρk. (7.60)

Brzina koju je potrebno dati tijelu (satelitu) da bi se gibao oko Zemlje po kruznici polu-mjera jednakog polumjeru Zemlje RZ , naziva se prva kozmicka brzina, v1 i dobiva se iz


izjednacavanja centrifugalne i gravitacijske sile

Fcf = FG

mv21RZ

= Gm MZ

R2Z

v1 =

√G Mz

Rz≃ 7.9

km

s.

Iz (1) i (2) zakljucujemo da negativne vrijednosti energije, vode na gibanje po zatvorenimkrivuljama u polju gravitacijske i harmonijske sile. Za druge oblike centralnih sila, krivulje nemoraju biti zatvorene, ali se gibanje i dalje odvija u jednom ogranicenom dijelu prostora.

(3) Neka je sada ukupna mehanicka energija tijela konstantna i jednaka nuli:

E0 = Epar = 0

ili veca od nule

E0 = Ehip > 0

(slika 7.19). U tom slucaju postoji samo najmanja dozvoljena udaljenost tijela od Sunca, ρp,tj. ρh. Najveca udaljenost tijela od Sunca nije ogranicena. U nastavku ovog odjeljka cemopokazati da ova gibanja jesu gibanja po paraboli (E0 = Epar = 0) i hiperboli (E0 = Ehip > 0).Ova se gibanja dakle odvijaju u neogranicenom dijelu prostora.Energija iznosa E = 0 je dakle granicna energija za koju se raketa moze beskonacno udaljitiod Zemlje. Brzina rakete koja odgovara ovoj granicnoj energiji, naziva se druga kozmickabrzina, v2 i dobiva se iz uvjeta

E =mv22

2−G

mMz

ρ= 0.

Energija je jednaka nuli uvijek, pa i u trenutku lansiranja kada je ρ = RZ . Iz gornjeg izraza setada lako dolazi do vrijednosti druge kozmicke brzine

v2 =

√2G Mz

Rz=

√2 v1 ≃ 11.2

km

s.

Podsjetimo se jos jednom, da se sva gibanja, opisana u (1), (2) i (3) odvijaju u ravnini okomitoj

na konstantni vektor momenta kolicine gibanja tijela ~L 0. Primjetimo da sto je energija tijelaveca (pozitivnija), to se tijelo vise priblizava izvoru sile - Suncu (cije se srediste nalazi u ρ = 0).

Zadatak: 7.8 Na cesticu djeluje sila srazmjerna udaljenosti od izvora sile. Odredite putanjutijela. dovrsiti ....

R: dovrsiti

7.11. EKVIVALENTNOST KEPLEROVIH ZAKONA I ZAKONA GRAVITACIJE 245

7.11 Ekvivalentnost Keplerovih zakona i zakona gravitacije

Vratimo se opet gravitacijskoj sili kao vaznom primjeru centralne sile.

Na temelju velikog broja osmatrackih podataka o polozajima planeta, do kojih je dosao TychoBrache 21, formulirao je njegov ucenik Johannes Kepler 22 tri zakona o gibanjima planeta

Slika 7.20: Uz Keplerove zakone o gibanju planeta (P )oko Sunca (S).

oko Sunca (slika 7.20):

(1) svaki se planet giba po elipticnoj putanjisa Suncem u jednom od zarista elipse; elipsesvih planata imaju jedno zajednicko zeriste ukojemu se nalazi Sunce;

(2) radij vektor, tj. spojnica Sunce-planet, ujednakim vremenima opisuje jednake povrsine(tj. povrsinska brzina je konstantna)23;

(3) kvadrati ophodnih vremena planeta okoSunca, srazmjerni su kubovima velikih polu-osa njihovih orbita.

Izvod gravitacijske sile iz Keplerovih zakona :Pokazimo da se iz Keplerovih zakona moze izvesti Newtonov izraz za gravitacijsku silu.Prema prvom Keplerovom zakonu (koji jerezultat opazanja), planeti se oko Suncagibaju po elipsama. Izvedimo oblik sile koja izaziva gibanje po takvoj orbiti. Jednadzbaelipse

ρ = ρ(ϕ),

sa jednim od zarista u tocki ishodista, u polarnim koordinatama je (dodatak C)

ρ(ϕ) =a(1 − ǫ2)

1 + ǫ cosϕ, (7.61)

gdje je a velika poluos elipse, b je mala poluos, a ekscentricitet

ǫ =

√a2 − b2

a< 1.

Iz poznate putanje, (7.61), sila se moze izracunati iz Binetove formule (7.52)

f(ρ) = −L20u

2

m

(d2 u

dϕ2+ u

),

gdje je

u(ϕ) =1

ρ(ϕ)=

1 + ǫ cosϕ

a(1 − ǫ2)

21Tycho Brache, 1546. - 1630., svedski astronom i astrolog danskog kralja Fridricha II; nije vjerovao da se Zemlja giba oko Sunca.22Johannes Kepler, 1571. - 1630., njemacki astronom23Dakle linijska brzina nije konstantna, vec se planet brze giba kada je blize Suncu.


d u

d ϕ=

− ǫ sinϕ

a(1 − ǫ2),

d2 u

dϕ2=

−ǫ cosϕ

a(1 − ǫ2).

Uvrstavanjem u izraz za silu, slijedi

f = −L20u

2

m

[ −ǫ cosϕ

a(1 − ǫ2)+

1 +ǫ cosϕ

a(1 − ǫ2)

]= − L2

0

ma(1 − ǫ2)

1

ρ2= −K

ρ2.

Dobivena je privlacna sila obrnuto srazmjerna kvadratu udaljenosti od tocke izvora sile, a to jeupravo gravitacijska sila. Konstantom K smo oznacili

K =L20

ma(1 − ǫ2)(7.62)

koja se u Newtonovom obliku pise kao

K = GMm

i uvijek je pozitivna. Za slucaj Coulombove elektrostatske sile, konstanta

K = − q1q24πǫ0

moze biti takoder pozitivna (ako su naboji q1 i q2 suprotnog preznaka), ali moze biti i negativna(ako su naboji q1 i q2 istog preznaka).

Izvod prvog Keplerovog zakona iz Newtonovog zakona gravitacije:Pokazimo sada da su putanje tijela (planete, komete, sateliti, . . .) koja se gibaju u poljuprivlacne sile inverznog kvadrata, presjeci stosca (kruznica, elipsa, parabola ili hiperbola), slika7.21. Neka je sila oblika

f(ρ) = −Kρ2

= −K u2,

uz pozitivnu konstantu K danu sa (7.62). U Binotovom obliku jednadzbe gibanja (7.52), sadaje poznat oblik sile f , a nepoznanica je u tj. ρ = ρ(ϕ)

d2 u

dϕ2+ u = − m

L20u

2f = − m

L20u

2(−K u2) =

Km

L20

Rjesenje nehomogene diferencijalne jednadzbe

d2 u

dϕ2+ u =

Km

L20

potrazimo u obliku zbroja rjesenja pripadne homogene jednadzbe i partikularnog rjesenja ne-homogene jednadzbe

u = uH + uP .

Homogena varijanta gornje jednadzbe nam je dobro poznata iz odjeljka 6, gdje je opisivalagibanje cestice pod djelovanjem elasticne sile (sada s ω0 = 1). Njezina su rjesenja trigonometri-jske funkcije, koje sazeto mozemo napisati u obliku

uH = C0 cos(ϕ− ϕ0),


Slika 7.21: Presjeci stosca i ravnine.

uz konstantne C0 i ϕ0 koje se odreduju iz pocetnih uvjeta na cijelo rjesenje u = uH + uP . Lakoje uvjeriti se da je partikularno rjesenje konstanta

uP =Km

L20

,

pa je cijelo rjesenje

u = uH + uP = C0 cos(ϕ− ϕ0) +Km

L20

.

Zbog izotropnosti prostora, smjerovi koordinatnih osi se mogu postaviti tako da je pocetniotklon ϕ0 = 0. Vratimo li se u varijablu ρ = 1/u, gornje rjesenje je

ρ(ϕ) =L20/(Km)

1 +[C0 L

20/(Km)

]cosϕ

,

sto prepoznajemo kao jednadzbu presjeka stosca iz dodatka C,

ρ(ϕ) =p

1 + ǫ cosϕ,

uz

p =L20

Km, ǫ = C0 p > 0. (7.63)

Ovime je pokazano da su putanje tijela u polju privlacne sila inverznog kvadrata, oblika presjekastosca. Primjetimo da smo, pomocu Binetove formule, iz oblika putanje jednoznacno


dobili oblik sile, ali da iz oblika sile dobivamo vise mogucih oblika putanje.Stvarni oblik putanje ovisi o pocetnim uvjetima.

Povezimo konstantu C0 s ukupnom energijom tijela E0. Gibanje u polju sile inverznog kvadratase moze odvijati po zatvorenoj (planeti, sateliti) ili otvorenoj putanji (komete, meteori), ovisnoo tome je li ukupna mehanicka energija objekta koji se giba E0 < 0 ili E0 ≥ 0. Iz razmatranjao energiji, (7.56 ), znamo da je

2m(E0 − Ep)

L20

=

(d u

d ϕ

)2

+ u2.

Uvrsti li se u gornji izraz

u = C0 cosϕ+Km

L20

, Ep = −K u,

dolazi se do

2m

L20

E0 +2mK

L20

(C0 cosϕ+

Km

L20

)= C2

0 sin2 ϕ+

(C0 cosϕ+

Km

L20

)2

.

Rjesavanjem gornje jednadzbe po C0, dolazi se do

C0 =Km

L20

√1 +

2L20

K2mE0,

pa je, prema (7.63),

ǫ =L20

KmC0 =

√1 +

2L20

mK2E0. (7.64)

Iz dodatka C znamo da vrijednost ǫ odreduje oblik putanje:

ǫ = 0 kruznica

0 < ǫ < 1 elipsa

ǫ = 1 parabola

ǫ > 1 hiperbola

Na kruznici je ǫ = 0, pa je, prema (7.64), energija kruznog gibanja

E0 = Ekru = −mK2

2L20

, (7.65)

upravo kao sto smo i dobili iz razmatranje grafa energije (7.60).Na elipsi je 0 < ǫ < 1 i zato, prema (7.64), energija mora biti

−mK2

2L20

< E0 < 0.


Za gibanje po paraboli, energija mora biti jednaka nuli, a za gibanje po hiperboli, mora bitipozitivna.Gornja razmatranja mozemo pregledno prikazati na slijedeci nacin:

E0 = −mK2/(2L20) ⇔ ǫ = 0 ⇒ kruznica, (7.66)

−mK2/(2L20) < E0 < 0 ⇔ ǫ < 1 ⇒ elipsa,

E0 = 0 ⇔ ǫ = 1 ⇒ parabola,

E0 > 0 ⇔ ǫ > 1 ⇒ hiperbola.

I ovdje se vidi kako pocetni uvjeti (ovdje je to vrijednost energije koja je konstantana, dakleista kao i u pocetnom trenutku), utjecu na oblik24 putanje tijela.

Izvod drugog Keplerovog zakona iz zakona gravitacije :Ranije smo, relacijom (7.49), vec pokazali da je opcenito u polju bilo koje centralne sile (patako i gravitacijske), povrsinska brzina konstantna

dS

dt=

L0

2m= const.

i time je drugi Keplerov zakon dokazan.

Primjetimo usput i to, da u tom slucaju sama linijska (obodna) brzina cestice, v = dl/dt, nijekonstantna, nego je veca kada je cestica blize izvoru sile (zaristu elipse), a manja kada je cesticadalje od izvora sile. Relacijom (7.59), smo pokazali da je energija gibanja po eliptickoj putanji

Eelp = −K

2a. (7.67)

S druge je strane, ukupna mehanicka energija jednaka zbroju kineticke i potencijalne energije

mv2

2− K

ρ= E0 = − K

2a

/2

m, (7.68)

v2(ρ) =K

m

(2

ρ− 1

a

).

Kao posljedicu konstantnosti povrsinske brzine, dobili smo linijsku brzinu koja nije konstantna,nego je najveca kada je planet najblizi Suncu (tj. kada je ρ najmanji), a najmanja kada jenajdalje od njega (tj. kada je ρ najveci).

Izvod treceg Keplerovog zakona iz Newtonovog zakona gravitacije :Treci Keplerov zakon kaze da je omjer kvadrata ophodnog vremena T planeta oko Sunca i kubavelike poluosi a njegove putanje konstantan za sve planete. Ako poluosi elipse po kojoj se gibaplanet oznacimo s a i b, tada je povrsina elipse jednaka abπ. Povrsinska brzina S je konstantnai jednaka je L0/(2m). U vremenu od jednog perioda, planet ce opisati povrsinu cijele elipse, paje

L0

2m=abπ

T⇒ T =

2m

L0abπ.

24Primjetimo da je energija E0 zbroj kineticke i potencijalne energije.


Da bi se dobila veza izmedu perioda T i velike poluosi a, treba malu poluos b izraziti preko a.Iz definicije ekscentriciteta, ǫ =

√a2 − b2/a, je

b = a√

1 − ǫ2.

Izracunamo li ǫ iz (7.64), tako sto cemo uvrstiti energiju Eelp = −K/(2a), dobivamo

ǫ2 = 1 − L20

Kam⇒ 1 − ǫ2 =

L20

Kam.

Uvrstavanjem gornjeg 1 − ǫ2 u izraz za b, slijedi

b = a√

1 − ǫ2 = a

√L20

Kam.

Sada je povrsina elipse

abπ = a2 π

√L20

Kam= π

√L20a

3

Km.

Uvrstavanje abπ u izraz za period, daje

T =2πm

L0

√L20a

3

Km

/ 2

⇒ T 2 =4π2m2

L20

L20a

3

Km=

4π2m

Ka3.

Uvrstavanjem K = GMm dobiva se

T 2

a3=

4π2

GM.

Iako su svaki za sebe, T i a razliciti za razlicite planete, omjer T 2/a3 ovisi samo o masi SuncaM i nekoliko konstanata, pa je zato isti za sve planete.

7.12 Virijalni teorem

Promatrajmo cesticu s kolicinom gibanja ~p , koja se giba u polju sile ~F (~r) i definirajmo velicinuT izrazom

T = ~r · ~p .T je iste dimenzije kao i moment kolicine gibanja ~L = ~r × ~p , ali, kao sto cemo uskoro vidjeti,ima posve drukcije fizicko znacenje. Pogledajmo kako se T mijenja u vremenu

d Td t

=d~r

d t~p + ~r

d ~p

d t

= ~v ~p + ~r ~F =~p 2

m+ ~r ~F

= 2Ek + ~r ~F .

Usrednjimo gornji izraz po vremenu od pocetnog trenutka t = 0 do t = t0 prema slijedecemobrascu

〈 f(t) 〉 =1

t0

∫ t0

0

dt f(t),

⟨ d Td t

⟩= 2 〈 Ek 〉 + 〈 ~r ~F 〉.

7.12. VIRIJALNI TEOREM 251

Lijeva strana je jednaka⟨ d Td t

⟩=

1

t0

∫ t0

0

dtd Td t

=1

t0

[T (t0) − T (0)

].

Ako je gibanje periodicno s periodom T = t0, tada je T (t0) = T (0), pa je⟨ d Td t

⟩= 0.

Ako gibanje nije periodicno, ali se odvija u konacnom dijelu prostora, tada ~r i ~p imaju konacnevrijednosti, pa i T (t) = ~r · ~p koji je dan njihovim umnoskom i sam mora biti konacan. U tomslucaju je i razlika T (t0) − T (0), konacna, pa ce, za dovoljno velike vremenske intervale t0 biti

⟨ d Td t

⟩=

T (t0) − T (0)

t0= 0.

Tako dolazimo do zakljucka da je za periodicna i prostorno ogranicena neperiodicna gibanja

〈 T 〉 = 0,

sto znaci da je

〈 Ek 〉 = −1

2〈 ~r · ~F 〉. (7.69)

Gornji se izraz zove virijalni teorem, a sama velicina

−1

2〈 ~r · ~F 〉

se zove virijal jedne cestice. Virijalni teorem kaze da je vremenska srednja vrijednostkineticke energije jednaka virijalu.

Prmjenimo virijalni teorem na gibanje cestice u polju centralne sile: ~r = ~ρ

~F = f(ρ)~eρ ,

~F = −−→∇Ep = −dEpd ρ

~eρ .

Iz gornjih jednadzba slijedi

~ρ ~F = −ρ~eρdEpd ρ

~eρ = −ρdEpd ρ

.

Prema virijalnom teoremu je

〈 Ek 〉 = −1

2〈 ~ρ · ~F 〉 =

1

2

⟨ρdEpd ρ

⟩.

Specijalno, u polju gravitacijske sile je

Ep = −G mM

ρ, ⇒ dEp

d ρ= G

mM

ρ2,

ρdEpd ρ

= GmM

ρ= −Ep,

〈 Ek 〉 =1

2

⟨ρdEpd ρ

⟩= −1

2〈 Ep 〉.


Sada je vremenska srednja vrijednost ukupne mehanicke energije jednaka

〈 E 〉 = 〈 Ek 〉 + 〈 Ep 〉 = −1

2〈 Ep 〉 + 〈 Ep 〉 =

1

2〈 Ep 〉,

tj. gravitacijsku silu (i opcenito za privlacnu centralnu silu koja opada s kvadratom udaljenosti)je

〈 E 〉 =1

2〈 Ep 〉.

Gornji je izraz u skladu s (7.67): Eelp = −K/(2a).

Buduci da je za centralne sile, mehanicka energija konstanta gibanja, to je i

〈 E 〉 = E0 =1

2〈 Ep 〉.

7.12.1 Virijalni teorem za homogenu potencijalnu energiju

dovrsiti

7.12.2 Pocetni uvjeti i putanja satelita

dovrsiti

7.13 ”Sto bi bilo ...

Kao rezultat pretpostavke da izmedu Zemlje i Sunca djeluje gravitacijska sila, dobili smoelipticku putanju Zemlje oko Sunca (uz drukcije pocetne uvjete, ona bi se gibala po hiper-boli, paraboli ili cak pravocrtno prema Suncu, ali tada zivot na Zemlji ne bi bio moguc, pa nimi ne bismo dosli u situaciju da o tome razmisljamo).No, u nasim smo racunima propustili primjetiti jednu vaznu stvar, a to je da osim Sunca, naZemlju djeluje i gravitacijsko privlacenje od drugih tjela suncevog sustava:planeta, meteora, kometa itd. Ovo je privlacenje naravno po iznosu puno manje od Suncevog,ali ipak treba prouciti i njegov utjecaj. U nekim situacijama i mala promjena vanjskih uvjetamoze izazvati velike promjene u stanju sustava. Npr. mala kuglica na vrhu brijega se nalaziu stanju (labilne) ravnoteze (slika 7.22.A). Ako se vanjski uvjeti ne promjene, ona ce ostati utom polozaju beskonacno dugo. No, ako neka vanjska sila malo pomakne cesticu iz njenogpolozaja, ona ce se otkotrljati niz strminu i zauzeti neki novi polozaj ravnoteze, udaljen odpocetnog za neki konacan iznos. Drukcija je situacija ako se cestica nalazina dnu jame kaona slici 7.22.B. Tada mali pomaci od pocetnog polozaja nece izazvati trajno udaljavanje odpocetnog polozaja: cestica se nalazi u stanju stabilne ravnoteze. Slicno je i sa gibanjem Zemlje:gravitacijsko privlacenje Sunca i uvjeti koji su vladali u vremenu formiranja Zemlje, doveli suZemlju u elipticnu putanju oko Sunca. Kada ne bi bilo gravitacijskih utjecaja drugih nebeskihtijela, Zemlja bi se vjecito (ili bar dok postoji Sunce) gibala po savrsenoj elipsi (sa zaristem usredistu mase sustava Zemlja - Sunce). No ostala nebeska tijela predstavljaju vanjsku smetnjuu odnosu na sustav Zemlja - Sunce. Ona svojom gravitacijskom silom otklanjaju Zemlju saelipticne putanje. Pitanje je hoce li se Zemlja pod utjecajem ove smetnje ponasati kao kuglica

7.13. ”STO BI BILO ... 253

Slika 7.22: Uz ilustraciju stabilnosti kuglice.

na vrhu brijega ili kao kuglica na dnu jame? S obzirom da smo mi u situaciji da mozemo o tomeraspravljati, jasno je da se Zemlja ponasa kao cestica na dnu jame. U ostatku ovog odjeljkacemo pokusati razjasniti i zasto je to tako.

U odjeljku 7.3 smo pokazali, relacijom (7.32), da gravitacijsko polje zadovoljava jednadzbu

−→∇ ~g = −4πGρm(~r).

Izracunajmo gravitacijsko polje Sunca u D-dimenzijskom prostoru. Izvan Sunceve kugle jeρm ≡ 0 i gornja se jednadzba svodi na

−→∇ ~g = 0.

Buduci da je Sunce sferno simetricno tijelo, njegovo gravitacijsko polje mora odrazavati tusfernu simetriju, tj. u koordinatnom sustavu sa ishodistem u sredistu Sunca, ono mora bitioblika

~g (~r) = f(r) ~r.

Oznacimo komponente vektora ~g , ~r i−→∇ uD-dimenzijskom pravokutnom koordinatnom sustavu

sa

~g = ~ex 1 g1 + ~ex 2 g2 + · · · + ~ex D gD,

~r = ~ex 1 x1 + ~ex 2 x2 + · · · + ~ex D xD,−→∇ = ~ex 1

∂

∂x1+ ~ex 2

∂

∂x2+ · · · + ~ex D

∂

∂xD

(za D = 3 je ~ex 1 = ~ex , ~ex 2 = ~ey , ~ex 3 = ~ez , a komponente vektora su g1 = gx, g2 = gy, g3 = gzi x1 = x, x2 = y, x3 = z). U ovom koordinatnom sustavu, raspisana po komponentama,


divergencija polja je

−→∇ ~g =∂ g1∂x1

+∂ g2∂x2

+ · · · +∂ gD∂xD

=D∑

j=1

∂ gj∂xj

,

pri cemu je gj = f(r) xj . Izracunajmo gornje parcijalne derivacije

∂ gj∂xj

=∂

∂xj[f(r) xj ] =

∂ f(r)

∂ xjxj + f(r)

∂ xj∂xj

=d f(r)

d r

∂ r

∂xjxj + f(r).

Prema poopcenom Pitagorinom poucku je

r =

(N∑

j=1

x2j

)1/2

⇒ ∂ r

∂xj=

1

22xj

(N∑

j=1

x2j

)−1/2

=xjr,

sto, uvrsteno u gornju parcijalnu drivaciju, daje

∂ gj∂xj

=d f(r)

d r

x2jr

+ f(r).

Sada mozemo izracunati i−→∇~g

−→∇ ~g =D∑

j=1

∂ gj∂xj

=D∑

j=1

(d f(r)

d r

x2jr

+ f(r)

)= r

d f(r)

d r+Df(r).

Primjetimo da se u gornjoj jednakosti prostorna dimenziju D pojavljuje kao parametar. Rijesimosada jednadzbu za gravitacijsko polje u prostoru gdje nema mase

−→∇ ~g = 0 = rd f(r)

d r+Df(r)

d f

f= −D d r

r

f(r) =const.

rD⇒ ~g = ~er

const.

rD−1.

Kako bi gravitacijsko polje bilo usmjereno prema sredistu Sunca (ishodistu koordinatnog sus-tava), konstantu odabiremo tako da je const. = −K, pri cemu je K > 0

~g = −~erK

rD−1.

U trodimenzijskom svijetu, to je polje koje opada s kvadratom udaljenosti (7.4). Gravitacijska

sila kojom Sunce djeluje na Zemlju je ~FG = mz ~g . Radi jednostavnosti, pretpostavit cemo daZemlja ima takvu ukupnu mehanicku energiju da joj je putanja kruznica (o ovisnosti oblikaputanje i ukupne mehanicke energije, vidjeti odjeljak 7.10). U tom je slucaju gravitacijska silauravnotezena centrifugalnom silom

~FG + ~Fcf = 0.

Izjednacavanjem iznosa ove dvije sile, dobije se brzina Zemlje

v =

√K

rD−2. (7.70)

7.13. ”STO BI BILO ... 255

Pretpostavimo sada da osim Sunceve gravitacije, na Zemlju djeluje i gravitacija nekog drugogtijela cija je masa puno manja od Sunceve, npr. neki planet ili asteroid. Utjecaj ovog drugogtijela ce malo promjeniti putanju Zemlje, tako da njezin polozaj vise nece biti ~r, nego ~r+ δr ~er ,pri cemu je |δr| << r, a δr moze biti i manje od nule (priblizavanje Zemlje Suncu) ili veceod nule (udaljavanje Zemlje od Sunca). Mala promjena udaljenosti ~r, mijenja i gravitacijsku icentrifugalnu silu (slika 7.23)

~FG → ~FG + δ ~FG,~Fcf → ~Fcf + δ ~Fcf .

Koji je uvjet stabilnosti putanje Zemlje? Ako je δr > 0, Zemlja se udaljila od prvobitne

Slika 7.23: Uz ilustraciju stabilnosti gravitacijske sile.

putanje, pa ukupna promjena sile δ ~FG+ δ ~Fcf mora vratiti Zemlju prema Suncu, tj. mora imatismjer −~er . S druge strane, ako je δr < 0, Zemlja se priblizila Suncu, pa ukupna promjenasile δ ~FG + δ ~Fcf mora odmaknuti Zemlju od Sunca, tj. mora imati smjer +~er . Oba ova slucajamozemo sazeti u relaciju

(δ ~FG + δ ~Fcf) · δr ~er < 0. (7.71)

Izracunajmo promjenu gravitacijske sile uslijed promjene udaljenosti za δr:

~FG + δ ~FG = −K mz

(r + δr)D−1~er = −K mz

rD−1~er

[1 − (D − 1)

δr

r+ · · ·

]

= −K mz

rD−1~er +K(D − 1)

mz δr

rD~er + · · ·

⇒ δ ~FG = K(D − 1)mz

rDδr ~er . (7.72)

Primjetimo da promjena gravitacijske sile ovisi o prostronoj dimenziji D. Prije izracunavanjapromjene centrifugalne sile, prisjetimo se da je, prema (7.48), moment kolicine gibanja u polju


centralne sile, konstantan, tj. da je

L(r) = L(r + δr),

mzv(r)r = mzv(r + δr)(r + δr) = mz[v(r) + δv(r)](r + δr),

0 = vδr + rδv + O(δ2),

δ v = −vrδ r. (7.73)

Izracunajmo sada i promjenu centrifugalne sile:

~Fcf + δ ~Fcf =mz (v + δv)2

(r + δr)~er =

mz v2(1 + 2δv/v + · · · )r(1 + δr/r)

~er

Uvrstavanjem promjene brzine (7.73) u gornji izraz, dobije se

~Fcf + δ ~Fcf =mz v

2

r~er

(1 − 2

δr

r+ · · ·

)(1 − δr

r+ · · ·

)=mz v

2

r~er

(1 − 3

δr

r+ · · ·

).

Iz gornjeg je izraza lako ocitati vodeci clan za promjenu centrifugalne sile

δ ~Fcf = −3mz v

2

r2δr ~er . (7.74)

Primjetimo da promjena centrifugalne sile ne ovisi o prostornoj dimenziji D. Ukupna promjenagravitacijske i centrifugalne sile je

δ ~F = δ ~FG + δ ~Fcf = K(D − 1)mz

rDδr ~er − 3

mz v2

r2δr ~er .

Uvrsti li se za brzinu izraz (7.70), dobije se ukupna promjena sile u D-dimenzijskom prostoru

δ ~F = (D − 4)Kmz

rDδr ~er .

Iz gornjeg izraza zakljucujemo da je uvjet stabilnosti putanje (7.71), uvijek zadovoljen, ako je

D < 4.

Vazno je primjetiti da gornji uvjet ne ovisi o udaljenosti r planeta od Sunca, tj. da vrijediza sve planete jednako (time je iskljucna mogucnost postojanja odredenih podrucja u kojimabi sila bila stabilna ili nestabilna). Dakle, u D = 3-dimenzijskom prostoru u kojemu zivimo,gornji je uvjet zadovoljen i putanje svih planeta su stabilne u odnosu na male gravitacijskesmetnje drugih nebeskih tijela.

Zadatak: 7.9 Polazeci od izraza za polje gravitacijske sile u D-dimenzijskom prostoru

~g (~r) = − K

rD−1~er ,

izracunajte gravitacijski potencijal u D = 1, D = 2 i D = 3-dimenzijskom prostoru.

R: Polazimo od izraza

~g = −−→∇V = −K ~r

rD.

7.13. ”STO BI BILO ... 257

(D = 1)

−−→∇V = −K~r

r, ~r = x~ex , r = x,

~exdV

dx= K

x~exx

= K~ex ,∫dV = K

∫dx,

V (r) = V (0) +K r.

(D = 2)

−−→∇V = −K ~r

r2, ~r = x~ex + y~ey , r2 = x2 + y2,

~ex∂V

∂x+ ~ey

∂V

∂y= K

x~ex + y~eyx2 + y2

,

∂V

∂x= K

x

x2 + y2,

∂V

∂y= K

y

x2 + y2,

∫dV = K

∫x dx

x2 + y2,

∫dV = K

∫y dy

x2 + y2,

V (~r) = V (~r0) +K ln r.

(D = 3)

−−→∇V = −K ~r

r3, ~r = x~ex + y~ey + z~ez , r2 = x2 + y2 + z2,

~ex∂V

∂x+ ~ey

∂V

∂y+ ~ez

∂V

∂z= K

x~ex + y~ey + z~ezx2 + y2 + z2

,

∂V

∂x= K

x

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂V

∂y= K

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂V

∂z= K

z

(x2 + y2 + z2)3/2,

∫dV = K

∫x dx

(x2 + y2 + z2)3/2+ f1(y, z),

= K

∫y dy

(x2 + y2 + z2)3/2+ f2(x, z),

= K

∫z dz

(x2 + y2 + z2)3/2+ f3(x, y),

V (~r) = −K 1

r.


7.14 Racun smetnje

dovrsiti

7.15 Rasprsenje cestica u polju centralne sile

U ovom se odjeljku daje prikaz klasicnog opisa rasprsenja cestica na polju centralne sile.Promatra se homogeni snop cestica (elektroni, α-cestice, planeti, · · · ) iste mase i energije, koje sepriblizavaju centru sile. Uobicajeno je pretpostaviti da sila iscezava u beskonacnosti, tako da secestice snopa kada su jos daleko od izvora sile, gibaju po pravcu. Upadni je snop karakteriziransvojim intenzitetom I, koji se jos naziva i gustoca toka, a koji je jednak broju cestica snopakoje u jedinici vremena produ kroz jedinicnu plohu postavljenu okomito na smjer snopa. Kakose cestice priblizavaju centru sile, one ce biti ili privucene njemu (ako je sila privlacna) iliodbijene od njega (ako je sila odbojna). Kao rezultat ovakvog djelovanja sile, putanja cesticevise nece biti pravocrtna, nego ce doci do promjene oblika putanje. Nakon prolaska poredcentra sile i udaljavanjem od njega, putanja ce ponovo postati pravocrtna. Dakle i sada cese cestice snopa gibati po pravcu, ali kao rezultat djelovanja sile, ovaj pravac zatvara odedenikut s upadnim pravcem. Kaze se da je doslo do rasprsenja. Velicina koja opisuje procesrasprsenja se zove udarni presjek za rasprsenje u danom smjeru i oznacava se s σ(Ω), gdjeΩ oznacava prostorni kut u smjeru kojega se dogodilo rasprsenje

σ(Ω) dΩ =broj cestica rasprsenih u prostorni kut dΩ u jedinici vremena

upadni intenzitet.

S dΩ je oznacen diferencijal prostornog kuta

dΩ = sin θ d θ d ϕ.

U literaturi se σ(Ω) naziva i diferencijalni udarni presjek. Uobicajeno je koordinatni sustavpostaviti tako da upadni snop lezi na osi z. Zbog simetrije centralne sile, sada je cijeli sustav(snop + polje sile) invarijantan na zakrete oko osi z, tj. nece ovisiti o kutu ϕ, po kojemu semoze printegrirati, tako da je sada

dΩ = 2 π sin θ d θ.

Cijeli se proces rasprsenja opisuje jednim kutom, θ, koji opisuje otklon cestica snopa od upadnogsmjera (slika 7.24 prikazuje rasprsenje na odbojnoj sili) i zove se kut rasprsenja. Primjetimojos i da izraz udarni presjek potjece od toga sto σ(Ω) ima dimenziju povrsine.Za svaku pojedinu cesticu se parametri putanje, pa time i rasprsenja, odreduju iz njezineenergije i momenta kolicine gibanja. Uobicajen je iznos momenta kolicine gibanja izraziti prekoenergije i jedne velicine koja se naziva25 upadni parametar, s oznakom s, a koja predstavljaokomitu udaljenost izmedu sredista sile i smjera upadne brzine (slika 7.24). Ako se s v0 oznaciiznos upadne brzine cestica, tada je

L0 = s m v0 = s√

2mE.

Odabir E i s, jednoznacno odreduje kut rasprsenja θ. Polazi se od pretpostavke da razlicitevrijednosti s, ne mogu voditi na isti kut rasprsenja θ. Prema ovoj pretpostavci je broj cesticakoje se rasprse u prostorni kut dΩ omeden s θ i θ+d θ jednak broju cestica koje su se u ulaznomsnopu nalazile unutar elipticnog podrucja izmedu s i s+ d s.

25engl. impact parameter

7.15. RASPRSENJE CESTICA U POLJU CENTRALNE SILE 259

Slika 7.24: Rasprsenje upadnog snopa na odbojnom centru sile.

Poglavlje 8

Inercijski i neinercijski sustavi

U ovom cemo se poglavlju detaljnije baviti ucincima neinercijalnosti sustava u kojemu se odvijagibanje. Napose cemo detaljno razmotriti slucaj gibanja u sustavu vezanom za povrsinu Zemlje.Zemlja se vrti oko svoje osi, pa su zbog toga svi sustavi koji miruju prema Zemljinoj povrsini- neinercijski.

8.1 Vremenska promjena vektora

Do sada smo promatrali gibanje cestice u sustavima za koje smo pretpostavili da su inercijski(tj. da u njima vrijede Newtonovi aksiomi). U mnogim slucajevima od prakticne vaznosti,ta je pretpostavka pogresna. Tako npr. koordinatni sustav vezan za Zemljinu povrsinu nijeinercijski zbog Zemljine vrtnje oko svoje osi, njezinog gibanja oko Sunca itd. Sukladno tome,opis gibanja cestice u sustavu vezanom za povrsinu Zemlje moze rezultirati pogreskom (ovisnoo tocnosti kojom se opisuje gibanje).

Sada cemo prouciti opis gibanja cestice u sustavu koji se vrti u odnosu na inercijski sustav.Uvedimo najprije oznake:

(X, Y, Z) ce oznacavati nepomicni, inercijski koordinatni sustav s ishodistem u tocki O(origin). Velicine koje se odnose na taj sustav, biti ce oznacene indeksom in.

(x, y, z) ce oznacavati koordinatni sustav koji se vrti u odnosu na sustav (X, Y, Z), sa ishodistemu istoj tocki O. Velicine koje se odnose na taj sustav, biti ce oznacene indeksom nin,zato jer je , uslijed svoje vrtnje, ovaj sustav neinercijski.

Promotrimo proizvoljni vektor ~V (slika 8.1) u neinercijskom (x, y, z) sustavu

~V = Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez .

Osnovni zadatak u ovom odjeljku jeste

pronaci vezu izmedu vremenske promjene vektora ~Vu inercijskom i neinercijskom sustavu.

Sa stanovista promatraca nepomicnog u (x, y, z) sustavu, smjerovi ~ex , ~ey i ~ez se ne mjenjaju

261

262 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINERCIJSKI SUSTAVI

Slika 8.1: Vektor ~V gledan iz inercijskog (X,Y, Z) i neinercijskog (x, y, z) sustva. Os vrtnje je oznacena s ~ω .

u vremenu, pa sva vremenska promjena vektora ~V dolazi od vremenske promjene njegovihkomponenata

d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

=d Vxd t

~ex +d Vyd t

~ey +d Vzd t

~ez .

Zanima nas kako izgleda vremenska promjena vektora ~V , gledana iz nepomicnog koordinatnogsustava (X, Y, Z),

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

= ?

Sa stanovista promatraca u nepomicnom sustavu, u vremenu se mijenjaju i komponente vektora~V , ali se mijenjaju i smjerovi (ne i iznosi, jer se radi o jedinicnim vektorima) jedinicnih vektora~ex , ~ey , ~ez sustava koji se vrti

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d Vxd t

~ex +d Vyd t

~ey +d Vzd t

~ez (8.1)

+ Vxd~exd t

+ Vyd~eyd t

+ Vzd~ezd t

.

Prvi red gornje jednazbe opisuje promjene komponenata ~V uz konstantne ~ex , ~ey , ~ez , pa je to

upravo (d ~V /d t)nin

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ Vxd~exd t

+ Vyd~eyd t

+ Vzd~ezd t

.

Izracunajmo sada vremensku promjenu baznih vektora (x, y, z) sustava, gledano iz nepomicnog

8.1. VREMENSKA PROMJENA VEKTORA 263

sustava. Neka se sustav (x, y, z) vrti oko sustava (X, Y, Z) tako da je os vrtnje vektor ~ω , slika8.1, a iznos kutne brzine vrtnje neka je

ω(t) =d ϕ(t)

d t

(~ω ne mora biti konstanta u vremenu). Sa ~U oznacimo bilo koji konstantni vektor u (x, y, z)

sustavu. Kasnije cemo ~U identificirati s ~ex , ~ey ili ~ez . Gledano iz (X, Y, Z) sustava, ~U ce se,uslijed vrtnje sustava (x, y, z) oko osi ~ω nepomicne u (X, Y, Z) sustavu, mijenjati po smjeru,

ali ne i po iznosu. Rastavimo vektor ~U na dvije komponente: okomitu i paralelnu u odnosu na~ω (slika 8.2.A)

~U = ~U⊥ + ~U‖,

~U‖ = ω · (ω · ~U),

~U⊥ = ~U − ω · (ω · ~U).

Primjetimo da je, gledano iz nepomicnog (inercijskog) sustava,

Slika 8.2: (A) Rastav vektora ~U na komponente paralelne i okomite na ~ω . (B) Zakret sustava. (C) Hvatiste

vektora ~V nije na osi vrtnje.

~U(t) = ~U⊥(t) + ~U‖,

tj. s vremenom se mijenja samo okomita, ali ne i paralelna komponenta vektora ~U . Definirajmo

novi pomocni vektor ~b tako da bude okomit i na ~U⊥ i na ~ω

~b = ω × ~U⊥

b = U⊥.

Sada imamo tri medusobno okomita vektora, slika 8.2.B

~ω , ~U⊥, ~b .


Da bismo izracunali vremensku promjenu (derivaciju) U⊥(t), postupamo ovako: za kratko vri-jeme d t, sustav (x, y, z) ce se zakrenuti za dϕ = ω d t u odnosu na nepomicni sustav (slika8.2.B). Sa slike se vidi da je

~U⊥(t + ∆ t) = cosω∆ t · U⊥(t) U⊥(t) + sinω∆ t · U⊥(t) b(t),

= cosω∆ t · ~U⊥(t) + sinω∆ t ·~b (t),

~U⊥(t + ∆ t) − ~U⊥(t) = (cosω∆ t− 1) · ~U⊥(t) + sinω∆ t ·~b (t).

U granici kada ∆ t postaje iscezavajuce malen, dobiva se

d ~U⊥d t

= lim∆ t→0

~U⊥(t+ ∆ t) − ~U⊥(t)

∆ t

= lim∆ t→0

(cosω∆ t− 1) · ~U⊥(t) + sinω∆ t ·~b (t)

∆ t

= lim∆ t→0

[1 − (ω∆ t)2/2 + · · · − 1

]· ~U⊥(t) +

[ω∆ t− (ω∆ t)3/6 + · · ·

]·~b (t)

∆ t

= lim∆ t→0

[(−1

2ω2∆ t + · · ·

)· ~U⊥(t) +

(ω − ω3(∆ t)2

6+ · · ·

)·~b (t)

]= ω ~b .

Tako smo dobili

d ~U⊥d t

= ω ~b .

Buduci da je ~U‖ konstantno u vremenu, to je

d ~U

d t=d ~U⊥d t

= ω ~b .

Kako je ~b definiran kao

~b = ω × ~U⊥,

a zbog kolinearnosti ω i ~U‖, to je i

~b = ω × (~U⊥ + ~U‖) = ω × ~U.

Uvrsti li se ovo u gornju jednadzbu, dobiva se da, za svaki vektor ~U , konstantan usustavu koji se vrti, a gledan iz nepomicnog sustava, vrijedi

d ~U

d t= ~ω × ~U, (8.2)

gdje je ~ω vektor vrtnje (x, y, z) sustava oko nepomicnog sustava (X, Y, Z).

8.2. BRZINA I UBRZANJE U SUSTAVU KOJI SE VRTI 265

Ako se sada vektor ~U identificira redom sa vektorima ~ex , ~ey , ~ez , dobiva se

d~exd t

= ~ω × ~ex ,d ~eyd t

= ~ω × ~ey ,d ~ezd t

= ~ω × ~ez .

Ovi se rezultati mogu primjeniti na problem trazenja veze izmedu vremenskih promjena vektora~V gledano iz nepomicnog i sustava koji se vrti, postavljen jednadzbom (8.1)

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ Vx (~ω × ~ex ) + Vy (~ω × ~ey ) + Vz (~ω × ~ez )

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ~ω × (Vx ~ex + Vy ~ey + Vz ~ez )

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ~ω × ~V . (8.3)

Gornji izraz povezuje vremensku promjenu proizvoljnog vektora u inercijskom i neinercijskomsustavu i predstavlja sredisnji rezultat ovog odjeljka .

”Sto ako vektor ~V nema hvatiste na osi vrtnje (slika 8.2.C)? U tom slucaju postoje vektori ~B

i ~C sa hvatistem na osi vrtnje, takvi da je ~C = ~V + ~B . U tom slucaju je

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~C

d t

∣∣∣∣∣in

− d ~B

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~C

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ω × ~C − d ~B

d t

∣∣∣∣∣nin

− ω × ~B

=d ( ~C − ~B )

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ω × ( ~C − ~B )

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ω × ~V ,

pa vidimo da ista relacija vrijedi i za taj vektor.

8.2 Brzina i ubrzanje u sustavu koji se vrti

Uzme li se za vektor ~V upravo radij vektor, ~V ≡ ~r, jednadzba (8.3) daje veze medu brzinamamirujuceg i sustava koji se vrti

d~r

d t

∣∣∣∣in

=d~r

d t

∣∣∣∣nin

+ ~ω × ~r ⇐⇒ ~vin = ~vnin + ~ω × ~r.


Ubrzanje u mirujucem sustavu se dobije tako da za ~V u (8.3) uvrstimo ~vin

d~vind t

∣∣∣∣in

=d~vind t

∣∣∣∣nin

+ ~ω × ~vin

~a in =d

d t

∣∣∣∣nin

(~vnin + ~ω × ~r) + ~ω × (~vnin + ~ω × ~r)

= ~a nin +d ~ω

d t

∣∣∣∣nin

× ~r + ~ω × ~vnin + ~ω × ~vnin + ~ω × (~ω × ~r).

Time se dobila veza izmedu ubrzanja mirujuceg i sustava koji se vrti

~a in = ~a nin +d ~ω

d t

∣∣∣∣nin

× ~r + 2 ~ω × ~vnin + ~ω × (~ω × ~r). (8.4)

Prvi clan na desnoj strani ocito predstavlja ubrzanje onako kako ga vidi nepomicni promatracu sustavu koji se vrti. Drugi, treci i cetvrti clan su rezultat vrtnje (svi su srazmjerni s ~ω )i cine razliku ubrzanja koje vidi nepomicni promatrac u nepomicnom sustavu u odnosu nanepomicnog promatraca u sustavu koji se vrti. Drugi clan desne strane potjece od vremenskepromjene brzine vrtnje i on je jednak nuli ako je brzina vrtnje konstantna. Treci se clan,2 ~ω × ~vnin, naziva Coriolisovo ubrzanje i okomito je (slika 8.3 ) na smjer brzine kojom

Slika 8.3: Coriolisovo ubrzanje.

se cestica giba u sustavu koji se vrti (okomitoje i na ~ω ). Posljednji clan gornjeg izraza jecentripetalno ubrzanje, ~ω × (~ω × ~r).Ako su ~ω ,~r i ~v medusobno okomiti vektori,tada je v = ωr i centripetalno ubrzanje dobi-vamo u poznatom obliku

v2

r.

Velicina −~ω × (~ω × ~r) se zove centrifugalnoubrzanje.

8.3 Opcenito gibanje koordi-natnih sustava

Promatrajmo sada situaciju kada se (x, y, z)sustav vrti oko nepomicnog sustava ali tako da im se ishodista ne poklapaju (slika 8.4) nego

su medusobno povezana vektorom ~R . U tom slucaju su ~R i ~R brzina i ubrzanje ishodistasustava koji se vrti prema ishodistu nepomicnog sustava. Oznaci li se s ~r polozaj tocke P uneinercijskom sustavu,

~r ≡ ~rnin,

8.3. OPCENITO GIBANJE KOORDINATNIH SUSTAVA 267

Slika 8.4: Gibanje sustava (Q;x, y, z) u odnosu na inercijski sustav (O;X,Y, Z).

tada je polozaj te iste tocke P promatran iz nepomicnog sustava jednak

~rin = ~R + ~r/ d

d t

∣∣∣∣in

d~rind t

∣∣∣∣in

=d ~R

d t

∣∣∣∣∣in

+d~r

d t

∣∣∣∣in

~vin = ~Rin + ~vnin + ~ω × ~r. (8.5)

Slicno se dobivaju i veze medu ubrzanjima

d2 ~rind t2

∣∣∣∣in

= ~Rin +d2 ~r

d t2

∣∣∣∣in

⇒ (8.4) ⇒

~a in = ~Rin + ~a nin + ~ωnin × ~r + 2 ~ω × ~vnin + ~ω × (~ω × ~r). (8.6)

8.3.1 Jednadzba gibanja u neinercijskom sustavu vezanom za povrsinu Zemlje

Ono sto zanima nas koji zivimo na povrsini Zemlje, jeste kako izgleda gibanje promatrano izneinercijskog sustava, tj. zanima nas ~a nin.Drugi Newtonov aksiom vrijedi u inercijskim sustavima. Iz prethodnog odjeljka se vidi da jeumnozak mase i ubrzanja u neinercijskom sustavu jednak

m~a nin = m~a in −m~Rin −m~ωnin × ~r − 2m~ω × ~vnin −m~ω × (~ω × ~r). (8.7)

Umnozak mase i ubrzanja u inercijskom sustavu, m~a in = ~F jeste sila videna iz inercijskogsustava, dok su ostali clanovi posljedica neinercijalnosti. Za sustav vezan s povrsinom Zemlje,R ima znacenje udaljenosti od tocke promatranja do sredista Zemlje.


Nadimo jednadzbu gibanja cestice u odnosu na promatraca na povrsini Zemlje. Zbog jednos-tavnosti, pretpostavit cemo da je Zemlja kugla sa sredistem u tocki O (slika 8.5.A). U tom jeslucaju, slika 8.5.B, istok (E) u smjeru +~ey , zapad (W ) je u smjeru −~ey , jug (S) je u smjeru+~ex , a sjever (N) je u smjeru −~ex . Zemlja se vrti oko osi Z konstantnom kutnom brzinom

Slika 8.5: Zemlja kao neinercijski sustav (λ je kolatituda).

~ω ≡ ~Ω = Ω ~eZ

i napravi jedan okret za 23 sata 56 min. i 4 sec. Stoga je

Ω =2π

86 164 s≃ 0. 000 072 9 s−1 ≃ 7.3 · 10−5 s−1.

Istovremeno se Zemlja giba oko Sunca, a kutna brzina toga gibanja je priblizno jednaka

ωz−s =2π

365 · 86 164 s≃ 2 · 10−7 s−1.

Cijeli se Suncev sustav giba oko sredista galaksije kutnom brzinom koja je priblizno jednaka

ωs−g =2π

6.3 · 1015 s≃ 1 · 10−15 s−1.

Svakoj od gornjih kutnih brzina se moze pridruziti period T relacijom T = 2π/ω (odgovarajucakutna brzina). Ako je vrijeme trajanja pokusa puno manje od nekog od ovih perioda, tadase ucinak tog neinercijskog gibanja moze zanemariti u racunu. Tako npr. ako se promatranogibanje odvija u vremenskom intervalu manjem od jedne godine, s visokom tocnoscu se moguzanemariti neinercijski ucinci koji potjecu od gibanja Zemlje oko Sunca i Sunca oko sredistagalaksije. U ovoj cemo aproksimaciji, sustav vezan za srediste Zemlje smatrati inercijskim.Prema relaciji (8.4) je

~R∣∣∣in

= ~R∣∣∣nin

+ ~Ω × ~R + 2~Ω × ~Rnin + ~Ω × (~Ω × ~R ).


Kutna brzina vrtnje Zemlje je konstantna, pa je ~Ω = 0, a isto tako su i ~R∣∣∣nin

= ~R∣∣∣nin

= 0.

Posljednji clan sadrzi malu velicinu Ω 2 pomnozenu s polumjerom Zemlje R, tako da je cijelitaj clan reda velicine Ω .

~R∣∣∣in

= ~Ω × (~Ω × ~R ).

Uvrstavanjem gornjeg izraza u jednadzbu gibanja u neinercijskom sustavu (8.7), uz izostavljanjeoznaka in i nin, dolazi se do

md2 ~r

d t2= ~F − 2m~Ω × ~v −m~Ω × (~Ω × ~r) −m~Ω × (~Ω × ~R ).

Oznakom ~F su predstavljene sve sile koje djeluju na cesticu, gledane iz inercijskog sustvavezanog za srediste Zemlje. Jedna od tih sila je uvijek i gravitacijska sila

~FG = −G MZ m~R + ~r

|~R + ~r|3.

Ako je gravitacijska sila i jedina sila koja djeluje, jednadzba gibanja glasi

md2 ~r

d t2= −GMZm

~R + ~r

|~R + ~r|3−m~Ω × (~Ω × ~R ) − 2m~Ω × ~v −m~Ω × (~Ω × ~r).

Definira li se gravitacijsko polje (tj. ubrzanje) ~g kao

~g = −G MZ

~R + ~r

|~R + ~r|3− ~Ω × (~Ω × ~R ), (8.8)

jednadzba gibanja postaje

d2 ~r

d t2= ~g − 2~Ω × ~v − ~Ω × (~Ω × ~r).

Ako je ~r malen u usporedbi s polumjerom Zemlje

r << R,

a to je istina kada su u pitanju gibanja blizu povrsine Zemlje, tada je posljednji clan gornjejednadzbe srazmjeran s Ω 2, pa je zato puno manji od prethodna dva clana koji su reda velicineΩ i moze se zanemariti. Uz ovu aproksimaciju, jednadzba gibanja se dalje pojednostavljuje do

d2 ~r

d t2= ~g − 2~Ω × ~v.

Ako osim gravitacijske sile djeluju jos neke sile ~Fj , desnoj strani gornje jednadzbe treba dodati

clanove oblika ~Fj/m.

d2 ~r

d t2= ~g +

1

m

∑

j

~Fj − 2~Ω × d~r

d t,

=~F

m− 2~Ω × d~r

d t(8.9)


gdje su s ~F/m = ~g +∑

j~Fj/m oznacene sve sile (podijeljene s masom). Rjesenje gornje jed-

nadzbe je potpuno odredeno zadavanjem pocetnih uvjeta. Postavit cemo najopcenitije pocetneuvjete: neka je u t = 0 polozaj cestice ~r(0) = ~r0, a brzina neka je ~r(0) = ~v0. Jednadzbu cemorjesavati uz:

- pretpostavku da su ~Ω i ~F konstantni u vremenu, i

- zanemarivanje clanova srazmjernih s Ω 2,Ω 3, · · · .

Integracijom po vremenu gornje jednadzbe, dolazi se do

d2 ~r

d t2=

~F

m− 2~Ω × d~r

d t

/ ∫ t

0

dt

~r(t) − ~r(0) =~F

mt− 2~Ω × [~r(t) − ~r(0)]

~v(t) = ~v0 +~F

mt− 2~Ω × ~r(t) + 2~Ω × ~r0.

Uvrstavanjem gornjeg izraza za brzinu u (8.9)

~r =~F

m− 2~Ω ×

[~v0 +

~F

mt− 2~Ω × ~r(t) + 2~Ω × ~r0

]

i zanemarivanjem clanova srazmjernih s Ω 2,Ω 3, · · · , dolazi se do

~r =~F

m− 2~Ω × ~v0 −

2t

m~Ω × ~F + O(Ω 2).

U gornjoj je jednadzbi sva ovisnost o vremenu na desnoj strani, eksplicitna i zato se jednadzbamoze rijesiti izravnom integracijom

~r =~F

m− 2~Ω × ~v0 −

2t

m~Ω × ~F + O(Ω 2)

/ ∫ t

0

dt

~r(t) − ~r(0) =~F

mt− 2~Ω × ~v0t−

2

m

t2

2~Ω × ~F + O(Ω 2)

~r(t) = ~v0 +~F

mt− 2t~Ω × ~v0 −

t2

m~Ω × ~F + O(Ω 2)

/ ∫ t

0

dt

~r(t) − ~r(0) = ~v0t +~F

m

t2

2− t2~Ω × ~v0 −

t3

3m~Ω × ~F + O(Ω 2)

~r(t) = ~r0 + ~v0t+~F

2mt2 − t2~Ω × ~v0 −

t3

3m~Ω × ~F + O(Ω 2).

Gornja jednadzba daje polozaj cestice mase m u neinercijskom sustavu (x, y, z) u trenutku

t > 0. ~F je zbroj svih vanjskih sila konstantnih u vremenu (to su sile koje bi djelovale nacesticu i kada bi bilo Ω = 0). Da bismo gornju vektorsku jednadzbu rastavili na njezineskalarne komponente, moramo najprije raspisati vektorske umnoske na desnoj strani. Sa slike8.6 vidimo da je


Slika 8.6: Uz prikaz ~Ω u sustavu (x, y, z).

~Ω = Ω~eZ

~eZ = (~eZ · ~ex )~ex + (~eZ · ~ey )~ey + (~eZ · ~ez )~ez

= cos(λ+ π/2)~ex + 0 · ~ey + cos λ~ez

= − sin λ~ex + cosλ~ez~Ω = Ω (− sin λ~ex + cosλ~ez ).

Za opceniti vektor ~V je

~Ω × ~V = Ω (− sin λ~ex + cosλ~ez ) × (Vx~ex + Vy~ey + Vz~ez )

= Ω (− sin λVy~ez + sinλVz~ey + cosλVx~ey − cosλVy~ex )

= −Ω cosλVy~ex + Ω (sinλVz + cosλVx)~ey − Ω sin λVy~ez .

Primjenom gornjeg izraza na ~V ≡ ~v0 i ~V ≡ ~F , dolazi se do skalarnih komponenata rjesenjajednadzbe gibanja

x(t) = x0 + v0,xt +Fx2m

t2 + t2Ω v0,y cos λ+t3

3mΩ cos λFy + O(Ω 2), (8.10)

y(t) = y0 + v0,yt+Fy2m

t2 − t2Ω (v0,z sinλ+ v0,x cosλ) − t3

3mΩ (Fz sin λ+ Fx cos λ) + O(Ω 2),

z(t) = z0 + v0,zt +Fz2m

t2 + t2Ω v0,y sin λ+t3

3mΩFy sinλ+ O(Ω 2).

Recimo jos jednom, da su gornje jednadzbe izvedene uz pretpostavku da je sila konstantna.

8.3.2 Slobodan pad

Rjesimo jednadzbe gibanja (8.10) iz prethodnog odjeljka na slucaju slobodnog pada u grav-itacijskom polju Zemlje u blizini njezine povrsine. U odjeljku 5.1 je pokazano da se gibanje


cestice koja slobodno pada u inercijskom sustavu, odvija po pravcu (bio je to pravac koji jelezao na osi z). Pocetni uvjeti i vanjske sile kod slobodnog pada su zadani na slijedeci nacin

x0 = y0 = 0, z0 = h,

v0,x = v0,y = v0,z = 0,

Fx = Fy = 0, Fz = −mg.

Uvrstavanjem gornjih vrijednosti u relacije (8.10), dobiva se

x(t) = O(Ω 2),

y(t) =t3

3Ω g sinλ+ O(Ω 2)

z(t) = h− 1

2gt2 + O(Ω 2).

I na sjevernoj (gdje je 0 ≤ λ ≤ π/2) i na juznoj polusferi (gdje je π/2 ≤ λ ≤ π) je sinλ > 0pa, za razliku od slobodnog pada u inercijskom sustavu, dolazi do otklona na istok (slika8.7) u odnosu na okomicu. U trenutku t0 pada na zemljinu povrsinu, je z(t0) = 0, pa je

Slika 8.7: Uz slobodan pad, okomiti hitac i kosi hitac uneinercijskom sustavu.

vrijeme padanja t0 =√

2h/g, tako da jeu trenutku pada na tlo, otklon na istok odokomice jednak

y(t0) =2

3h Ω

√2h

gsinλ.

primjetimo da je otklon srazmjeran s Ω i da jenajveci na ekvatoru, λ = π/2, gdje je sinλ =1, a otklona nema na polovima, λ = 0 ili λ =π.

8.3.3 Okomiti hitac

Promotrimo sada slucaj gibanja cestice kojaje konacnom pocetnom brzinom izbacenaokomito u vis - okomiti hitac. U inercijskomsustavu se cestica sve vrijeme giba po pravcu.Pogledajmo ucinke neinercijalnosti. Pocetni uvjeti i sila na cesticu su dani slijedecim jed-nadzbama:

x0 = y0 = z0 = 0,

v0,x = v0,y = 0, v0,z = v0,

Fx = Fy = 0, Fz = −mg.

Uvrstavanjem gornjih vrijednosti u rjesenje (8.10), dobiva se

x(t) = O(Ω 2),

y(t) = −Ω t2 sinλ (v0 −gt

3) + O(Ω 2)

z(t) = v0t−1

2gt2 + O(Ω 2).


”Cestica postize maksimalnu visinu u trenutku t = tmax, kada je z(t = tmax) = 0, tj. kada jev0 = g tmax. U tom je trenutku

y(tmax) = −Ωv20g2

sin λ(v0 −g

3

v0g

) + O(Ω 2)

= −2

3Ωv30g2

sin λ+ O(Ω 2) < 0,

pa je otklon prema zapadu. U trenutku ponovnog pada na Zemlju je z(t0) = 0, pa jet0 = 2v0/g = 2tmax. Uvrstavanjem ovog vremena u izraz za y, dobije se otklon prema zapadu(slika 8.7) u iznosu od

y(2 tmax) = −4

3Ωv30g2

sinλ+ O(Ω 2).

8.3.4 Kosi hitac

Promatrajmo sada slucaj kada je cestica ispaljena pocetnom brzinom v0 pod kutom α u odnosuna ravninu (x, y) (slika 8.8). Neka u pocetnom trenutku smjer brzine lezi u ravnini (x, z). Kao

Slika 8.8: Uz kosi hitac u neinercijskom sustavu.

sto znamo iz odjeljka 5.1.2, u inercijskom ce se sustavu, cestica sve vrijeme gibati u toj istoj (z, x)ravnini. Sada cemo pokazati da gibanje u neinercijskom sustavu vodi na otklon putanje uodnosu na pocetnu ravninu.

x0 = y0 = 0, z0 = 0,

v0,x = v0 cosα, v0,y = 0, v0,z = v0 sinα,

Fx = Fy = 0, Fz = −mg.


Uvrstavanjem gornjih vrijednosti u relacije (8.10), dobiva se

x(t) = v0t cosα + O(Ω 2),

y(t) = −Ω t2v0(sinα sinλ+ cosα cosλ) +t3

3Ω g sinλ+ O(Ω 2)

= −Ω t2v0 cos(α− λ) +t3

3Ω g sin λ+ O(Ω 2)

z(t) = v0t sinα− 1

2gt2 + O(Ω 2).

Gornje jednadzbe opisuju polozaj cestice u proizvoljnom trenutku t > 0 nakon pocetka gibanja,a prije ponovnog pada na tlo. Primjecujemo otklon u y smjeru u odnosu na gibanje u pocetnoj(x, z) ravnini. Ovaj je otklon srazmjeran s Ω . Izracunajmo otklon u trenutku t0 kada cesticapada na tlo. U trenutku pada na tlo je vrijednost z koordinate jednaka nuli, pa se t0 odredujekao rjesenje jednadzbe

z(t0) = 0 = v0t0 sinα− 1

2gt20.

To je kvdratna jednadzba, pa ima dva rjesenja

t(1)0 = 0, t

(2)0 =

2v0 sinα

g.

U oba ova vremenska trenutka, tijelo se nalazi na tlu: trenutak t(1)0 je trenutak ispaljenja, a t

(2)0

je ponovni pad na tlo. Konacni otklon od pocetne (x, z) ravnine dobijemo tako da izracunamo

vrijednost y(t(2)0 )

y(t(2)0 ) = −4

3

Ω v30 sin2 α

g2(3 cosα cosλ+ sinα sin λ).

Na sjevernoj polusferi, na kojoj mi zivimo, je 0 < λ < π/2, pa su cosλ i sin λ pozitivni i cijeli

je otklon ~ey y(t(2)0 ) < 0. ”Cestica se otklanja na zapad.

8.3.5 Rijeke i cikloni

Coriolisovo ubrzanje, tj. Coriolisova sila cini da na sjevernoj polusferi, rijeke pri svom toku visepotkopavaju desnu nego lijevu obalu (slika 8.9.A). Postavimo koordinatni sustav tako da je zokomica, a smjer rijeke (lokalno) ima smjer osi y. Tada je brzina rijeke ~v = v~ey , a kutna brzina

vrtnje Zemlje je ~Ω = Ω ~eZ . Zbog Coriolisove sile, na element rijecnog toka mase m i brzine ~v,djeluje sila

~FCor = −2 m ~Ω × ~v = −2 m[Ω (− sinλ~ex + cosλ~ez )

]× v~ey = ~F vod

Cor + ~F okoCor ,

gdje su vodoravna ~F vodCor i okomita ~F oko

Cor komponenta sile jednake

~F vodCor = 2mΩ cosλ v ~ex ,

~F okoCor = 2mΩ sin λ v ~ez .

Vidimo da je, na zapadnoj polusferi (0 ≤ λ ≤ π/2 i cosλ ≥ 0), vodoravna komponenta Cori-olisove sile uvijek usmjerena na desnu obalu rijeke (ima smjer +~ex ). Na juznoj polusferi je

8.4. FOUCAULTOVO NJIHALO 275

Slika 8.9: Uz opis utjecaja Coriolisove sile na: (A) tok rijeka i (B) formiranje ciklona.

π/2 ≤ λ ≤ π i cosλ ≤ 0 i smjer Coriolisove sile je −~ex . Tamo rijeke potkopavaju svoju lijevuobalu.Okomita komponena, ~F oko

Cor , samo podize razinu vode (povrsina nije vodoravna).

Isti nacin razmisljanja primjenjen gore na opis gibanja rijecnih masa, moze se primjeniti ina opis gibanja zracnih masa. Na gibanje zracne mase djeluje Coriolisova sila koja zracnustruju otklanja u desno. Kombinacija otklona brzine u desno za sve zracne struje koje segibaju prema sredistu ciklona, na sjevernoj Zemljinoj polusferi rezultira vrtnjom zracnih masau smjeru suprotnom od kazaljke na satu, kao sto je skicirano na slici 8.9.B i na satelitskoj snimci8.10. Primjetimo da Coriolisova sila djeluje udesno bez obzira iz kojeg smjera dolazi pojedinazracna struja. Isti ovaj mehanizam mozemo svaki dan primjetiti u vlastitoj kupaonici: voda ukadi koja se zavrti prije izlaska kroz slivnik, cini to zbog Coriolisove sile i vrtnje Zemlje.Na juznoj polusferi, i zracne struje i voda u kupaonici se vrte u smjeru kazaljke na satu.

8.4 Foucaultovo njihalo

U odjeljku 6.9 smo se upoznali s gibanjem matematickog njihala u inercijskom sustavu. Poredostalog, konstatirali smo da se njihanje odvija stalno u istoj ravnini. U ovom cemo odjeljkuprouciti gibanje matematickog njihala u neinercijskom sustavu. Glavni je rezulatat da se uneinercijskom sustavu vezanom za povrsini Zemlje, njihanje vise nece odvijati stalno u istojravni, vec ce doci do zakreta ravnine njihanja na takav nacin da unutar jednog dana ravninanjihanja napravi jedan puni okret.Promotrimo njihalo koje se sastoji od duge i priblizno nerastezive niti na cijem je kraju objesenateska kugla. Trenje u tocki objesista i trenje s cesticama zraka se zanemaruje. Pretpostavimoda je njihalo otklonjeno iz polozaja ravnoteze i ostavljeno da slobodno njise u okomitoj ravnini.Ovaj je pokus prvi izveo Jean Foucault, godine 1851. u zgradi pariskog Panteona s njihalomduljine 67m i mase 28 kg (slika 8.11.A). Pod je bio posut pijeskom, a na kugli se nalazio siljak


Slika 8.10: Lijevo: ciklon Basyang (Conson) koji je pogodio podrucje Filipina u ozujku 2002. godine. Desno:ciklon Ingrid koji je pogodio Australiju u ozujku 2005. godine. Primjetite razlicite smjerove vrtnje zracnihmasa, na lijevoj i desnoj slici.

koji je ostavljao trag po pijesku, tako da se lako mogao uociti polozaj ravnine u kojoj njihalotrenutno njise. Kao sto ce se uskoro pokazati, uslijed vrtnje Zemlje, ravnina njihanja ce sepostupno zakretati oko okomite osi. Ako se gleda odozgo prema dolje, na sjevernoj polusferi,zakret je u smjeru kazaljke na satu (slika 8.11.B), a na juznoj je polusferi zakret u smjerusuprotnom od gibanja kazaljke na satu (slika 8.11.C).

Slika 8.11: Uz Foucaultovo njihalo.

Opisimo matematicki rezultat Foucaultovog pokusa (slika 8.12.A). Ukupna sila koja djeluje na

cesticu je zbroj gravitacijske sile ~FG = −mg~ez i napetosti niti ~Fnap. Sa slike 8.12.B i C se vidi


Slika 8.12: Uz odredenje sila na cesticu Foucaultovog njihala.

da je

cos(~Fnap, ~ex ) = cos(π − βx) = − cos βx = −xl,

cos(~Fnap, ~ey ) = cos(π − βy) = − cos βy = −yl,

cos(~Fnap, ~ez ) = cos(π/2 − βx) = sin βx =l − z

l.

= cos(π/2 − βy) = sin βy =l − z

l.

~Fnap = (~Fnap · ~ex )~ex + (~Fnap · ~ey )~ey + (~Fnap · ~ez )~ez

= Fnap cos(~Fnap, ~ex ) ~ex + Fnap cos(~Fnap, ~ey ) ~ey + Fnap cos(~Fnap, ~ez ) ~ez

= Fnap

(−x(t)

l~ex − y(t)

l~ey +

l − z(t)

l~ez

).

Buduci da ~Fnap ovisi o x, y i z, a ovi opet ovise o vremenu, izlazi da cijela sila na cesticu~F = ~FG + ~Fnap ovisi o vremenu, pa se ne mogu primjeniti rjesenja (8.10) koja vrijede samoza sile konstantne u vremenu. Umjesto toga treba rjesiti jednadzbu

m~r = ~F − 2 m ~Ω × ~r

U kojoj je ~F = ~FG + ~Fnap. Vektorski umnozak na desnoj strani je jednak

~Ω × ~r = Ω (− sin λ~ex + cosλ~ez ) × (x~ex + y~ey + z~ez )

= −Ω cosλ y ~ex + Ω (sin λ z + cosλ x) ~ey − Ω sin λ y ~ez .


Uvrstavanjem gornjeg izraza i izraza za sile, u jednadzbu gibanja, dolazi se do slijedece triskalarne jednadzbe

mx = −xlFnap + 2 m Ω y cosλ

m y = −ylFnap − 2 m Ω (x cosλ+ z sin λ)

m z = −mg +l − z

lFnap + 2 m Ω y sinλ

Pojednostavimo ove jednadzbe pretpostavkom da su amplitude njihanja male, tako da sekugla priblizno nalazi u ravnini poda sto je (x, y) ravnina. U matematickom jeziku to znaci dapretpostavljamo da je z = z = z ≃ 0. Uz ovu pretpostavku, iz posljednje od gornjih jednadzbaslijedi iznos sile napetosti niti

Fnap = m g − 2 m Ω y sinλ

Uvrstavanjem ovog izraza za napetost u preostale dvije jednadzbe, dolazi se do

x = −glx + 2 Ω y cos λ+

2 Ω sin λ

lx y

y = −gly − 2 Ω x cosλ+

2 Ω sinλ

ly y.

Za pretpostavljene male amplitude titraja, nelinearni clanovi xy i yy su manji od ostalihclanova, pa ih zato zanemarujemo. Preostaje vezani 2 × 2 linearni sustav diferncijalnih jed-nadzba za x i y

x = −glx+ 2 Ω y cosλ

y = −gly − 2 Ω x cos λ.

Primjetimo da je sustav vezan upravo preko clana srazmjernog s Ω koji dolazi od vrtnje Zemlje.Ako bi se taj clan zanemario, dobile bi se dvije nevezane diferencijalne jednadzbe matematickognjihala u inercijskom sustavu kao u (6.59).Definirajmo pocetne uvjete gibanja, uz koje cemo traziti rjesenje. Neka se u pocetnomtrenutku t = 0, njihalo nalazi u ravnini (y, z) otklonjeno za A u pozitivnom smjeru osi y (slika8.13).

x(0) = 0, x(0) = 0, (8.11)

y(0) = A, y(0) = 0.

Uz pokrate

ω20 =

g

l, α = Ω cosλ,

jednadzbe gibanja glase

x = −ω20 x + 2α y

y = −ω20 y − 2α x.


Slika 8.13: Ilustracija pocetnih uvjeta za opis gibanja Foucaultovog njihala.

Pomnozimo drugu od gornjih jednadzba imaginarnom jedinicom i i zbrojimo obje jednadzbe

x + iy = ω20(x + iy) − 2iα(x+ iy).

U novoj kompleksnoj varijabli ζ = x+ iy, gornja jednadzba postaje

ζ + 2iα ζ + ω20 ζ = 0,

sto po obliku prepoznajemo kao jednadzbu harmonijskog oscilatora s prigusenjem srazmjernimbrzini (relacija (6.21)), ali je koeficijent prigusenja imaginaran. Potrazimo rjesenje gornjehomogene jednadzbe u obliku

ζ(t) = c eγ t,

s konstantnim c i γ.

ζ[γ2 + 2αγi+ ω2

0

]= 0,

γ± = −iα ± i√α2 + ω2

0.

Buduci da je Ω 2 ≃ 10−10s−2, to je α2 = Ω 2 cos2 α << ω20 = g/l ≃ 0.15 s−2, pa je zato

γ± ≃ −iα± iω0.

Postoje, dakle, dva rjesenja gornje jednadzbe, c+ eγ+ t, c− e

γ− t, sto znaci da je opce rjesenjelinearna kombinacija ta dva rjesenja

ζ = c+ eγ+ t + c− e

γ− t

= (c1 + ic2)e−i(α−ω0)t + (c3 + ic4)e

−i(α+ω0)t,

za realne konstante cj. Koristeci Eulerovu relaciju

e±ia = cos a± i sin a,


prethodna relacija postaje

x + iy = ζ

= (c1 + ic2)[

cos(α− ω0)t− i sin(α− ω0)t]

+ (c3 + ic4))[

cos(α + ω0)t− i sin(α+ ω0)t].

Izjednacavanjem realnih i imaginarnih dijelova, dolazi se do

x = c1 cos(α− ω0)t+ c2 sin(α− ω0)t + c3 cos(α + ω0)t+ c4 sin(α + ω0)t

y = −c1 sin(α− ω0)t + c2 cos(α− ω0)t− c3 sin(α + ω0)t + c4 cos(α + ω0)t.

Cetiri nepoznate konstante c1, c2, c3 i c4 odreduju se iz cetiri pocetna uvjeta (8.11). Uvrstavanjempocetnih uvjeta za x:

x(0) = 0 = c1 + c3 ⇒ c3 = −c1x(0) = 0 = c2(α− ω0) + c4(α+ ω0) ⇒ c4 = c2

ω0 − α

ω0 + α,

dolazi se do

c4 = c2

√g/l − Ω cosλ√g/l + Ω cosλ

= c21 − Ω cosλ

√l/g

1 − Ω cosλ√l/g

= c2 + O(Ω ).

Uvrstavanjem pocetnih uvjeta za y, dobiva se

y(0) = A = c2 + c4 = 2 c2 ⇒ c2 = c4 =1

2A

y(0) = 0 = −c1(α− ω0) − c3(α + ω0) ⇒/c1 = −c3

/⇒ 2 ω0 c1 = 0 ⇒ c1 = c3 = 0.

Time je, konacno

c1 = 0, c2 = A/2, c3 = 0, c4 = A/2.

x(t) =A

2

[sin(α− ω0)t + sin(α + ω0)t

]= A sinαt cosω0t,

y(t) =A

2

[cos(α− ω0)t+ cos(α + ω0)t

]= A cosαt cosω0t.

Prisjetimo li se da je α = Ω cosλ, a ω0 =√g/l, konacno rjesenje je

x(t) = A cos

(√g

lt

)· sin(Ω t cosλ),

y(t) = A cos

(√g

lt

)· cos(Ω t cosλ).

Pogledajmo fizicko znacenje ovog rjesenja: polozaj kugle njihala u ravnini (x, y) je dan radijvektorom

~r(t) = x(t) ~ex + y(t) ~ey = A[~ex sin(Ω t cosλ) + ~ey cos(Ω t cosλ)

]cos

(√g

lt

).


Izraz u uglatoj zagradi je vektor jedinicne duljine, ciji se smjer mijenja s vremenom.Oznacimo ga s n (t)

n (t) ≡ ~ex sin(Ω t cosλ) + ~ey cos(Ω t cosλ).

Vektor n (t) odreduje smjer njihanja, a amplituda je A

~r(t) = n (t) A cos

(t

√g

l

). (8.12)

Taj se smjer periodicki mijenja u vremenu s periodom

Tn =2π

Ω | cosλ| ≃ 24 h,

ravnina njihanja se zakrece tako da za priblizno 24 h napravi jedan puni okret. Ovaj zakretravnine njihanja je izravna posljedica vrtnje Zemlje oko svoje osi. Ovaj je period puno veci odsamog perida titranja T0

T0 =2 π

ω0= 2π

√l

g≃ 16.41 s, l = 67m

Tn >> T0,

tj. njihalo napravi puno titraja prije nego sto mu se ravnina zakrene za puni kut.

Pokazimo da se ravnina njihanja zakrece u suprotnim smjerovima na sjevernoj i juznoj Zemljinojpolusferi. Pomocu Tn, moze se n (t) napisati u obliku

n (t) = ~ex sin(Ω t cosλ) + ~ey cos(Ω t cosλ)

= ~ex sin

(sgn(cosλ)

2 π t

Tn

)+ ~ey cos

(sgn(cosλ)

2 π t

Tn

),

Neka u t = 0, njihalo njise u (y, z) ravnini, tj. neka je

n (0) = ~ey .

Nakon vremena t = Tn/4, na sjevernoj polusferi je 0 ≤ λ ≤ π/2, pa ce biti i cosλ > 0

n (t = Tn/4) = ~ex sin

(2 π t

Tn

)

t=Tn/4

+ ~ey cos

(2 π t

Tn

)

t=Tn/4

= ~ex ,

tj. ravnina njihanja se zakrenula za π/2 u smjeru kazaljke na satu (slika 8.14.A).Na juznoj polusferi je π/2 ≤ λ ≤ π, pa ce biti i cosλ < 0

n (t) = ~ex sin

(−2 π t

Tn

)

t=Tn/4

+ ~ey cos

(−2 π t

Tn

)

t=Tn/4

= −~ex ,tj. ravnina njihanja se zakrenula za π/2 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 8.14.B).


Slika 8.14: Zakret ravnine njihanja Foucaultovog njihala. .

8.5 Opcenita jednadzba gibanja cestice u neinercijskom sustavu

Izvedimo sada opcenitu jednadzbu gibanja cestice u neinercijskom sustavu bez pretpostavkeda je kutna brzina vrtnje ω konstantna u vremenu i bez pretpostavke da je kutna brzina vrtnjemala po iznosu. Takoder cemo dozvoliti da sila ~F (koja djeluje i kada je ω = 0) moze ovisiti ovremenu. Jednadzba gibanja je

m~r = ~F (t) −m~ω × ~r − 2m~ω × ~r −m~ω × (~ω × ~r). (8.13)

~ω = ω~eZ = ω(−~ex sinλ+ ~ez cosλ),

~ω = ω(−~ex sinλ+ ~ez cosλ).

~ω × ~r = ω(−~ex sinλ+ ~ez cosλ) × (x~ex + y~ey + z~ez )

= −~ex ωy cosλ+ ~ey ω(x cosλ+ z sinλ) − ~ez ωy sin λ,

~ω × ~r = ω(−~ex sinλ+ ~ez cosλ) × (x~ex + y~ey + z~ez )

= −~ex ωy cosλ+ ~ey ω(x cosλ+ z sinλ) − ~ez ωy sin λ,

~ω × (~ω × ~r) = ω(−~ex sinλ+ ~ez cos λ) × [−~ex ωy cosλ+ ~ey ω(x cosλ+ z sin λ) − ~ez ωy sinλ]

= ω2[~ex (−x cos2 λ− z sin λ cosλ) + ~ey (y sin2 λ− y cos2 λ) + ~ez (−x sin λ cosλ− z sin2 λ)

].

8.5. OPCENITA JEDNADZBA GIBANJA CESTICE U NEINERCIJSKOM SUSTAVU 283

Uvrstavanjem gornjih izraza u pocetnu vektorsku jednadzbu (8.13), dobivaju se tri skalarnejednadzbe gibanja

mx = Fx +myω cosλ+ 2myω cosλ+mω2(x cos2 λ+ z sin λ cosλ),

my = Fy −mω(x cosλ+ z sinλ) − 2mω(x cosλ+ z sinλ) −mω2y(sin2 λ− cos2 λ),

mz = Fz +myω sin λ+ 2myω sinλ+mω2(x sinλ cosλ+ z sin2 λ),

koje se dalje rjesavaju ovisno o konkretnom obliku sile i kutne brzine kao funkcije vremena.

Poglavlje 9

Specijalna teorija relativnosti

Brzina svjetlosti u vakuumu, c, je najveca moguca brzina i priblizno iznosi 300 000 km/s.Gibanja brzinama bliskim ovoj brzini bitno se razlikuju po svojim fizickim svojstvima od gibanjabrzinama puno manjim od c. U ovom cemo se poglavlju detaljnije baviti ucincima na gibanjetijela koji dolaze od gibanja brzinama bliskim brzini svjetlosti.

9.1 Lorentzove transformacije

9.2 Relativisticka kinematika

9.3 Relativisticka dinamika

9.4 Hamiltonova formulacija relativisticke mehanike

285

286 POGLAVLJE 9. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI

Dio II

Mehanika sustava cestica

287

Poglavlje 10

Sustavi cestica

10.1 Diskretni i kontinuirani sustavi cestica

U prethodnim smo poglavljima razmatrali objekte cije se gibanje moze opisati kao gibanjecestice, tj. objekta konacne mase, ali beskonacno malog volumena. Sada cemo promatratigibanja objekata (sustava) izgradenih od mnostva cestica.Ako smo u mogucnosti razlikovati pojedine cestice sustava, govorit cemo o diskretnom sustavucestica, gdje cemo sa ~rj i mj oznacavati polozaj i masu j-te cestice sustava za j = 1, · · · , N .Ukupna masa sustava m je naprosto jednaka zbroju1 masa pojedinih cestica sustava

m =

N∑

j=1

mj .

Ako pojedine cestice sustava ne mozemo razlikovati, nego su one priblizno kontinuirano raspod-jeljene u jednom dijelu prostora (onako kako smo to opisali u poglavlju o gravitaciji, str. 200),tada govorimo o kontinuiranom sustavu cestica. Raspodjela mase u prostoru se opisujefunkcijom koja se zove masena gustoca.

Volumna masena gustoca:Raspodjela mase tijela koja se protezu u trodimenzijskom prostoru, se opisuje volumnommasenom gustocom ρm(~r)

ρm(~r) = lim∆V→0

∆m

∆V=dm

dV,

[ρm] =[m]

[l3],

gdje je d V ≡ d 3r diferencijal volumena u okolini tocke ~r (slika 10.2.A), a dm je masa sadrzana utom volumenu. Uglatom zagradom je oznacena dimenzija gustoce. Opcenito, gustoca ne moraimati istu vrijednost u razlicitim prostornim tockama i zato je u gornjem izrazu ρm prikazanakao funkcija ~r. Ako ρm(~r) ima istu vrijednost u svim tockama sustava, onda se kaze da jegustoca konstantna i jednaka je omjeru ukupne mase m i ukupnog volumena V sustava,

ρm =m

V.

1Kada se uzmu u obzir i relativisticki ucinci, to nije istina.

289

290 POGLAVLJE 10. SUSTAVI CESTICA

Za zadanu volumnu gustocu, masa m(V0) sustava sadrzana u dijelu volumena V0 ⊆ V , racunase kao

m(V0) =

∫

V0 ⊆ V

ρm(~r) dV.

Posebno, ako je gustoca konstantna, masa tijela sadrzana unutar volumena V0 je jednaka

m(V0) = mV0V.

Za odredivanje polozaja pojedinih tocaka sustava u trodimenzijskom prostoru, potrebna su tri2

broja, tj. tri koordinate. To mogu biti pravokutne, sferne ili koje druge pogodno odabranekoordinate. Opcenito cemo te koordinate oznacavati s q1, q2 i q3 i zvat cemo ih poopcenekoordinate. Radij vektor polozaja cestice je funkcija poopcenih koordinata

~r = ~r(q1, q2, q3).

Npr. u sfernom kordinatnom sustavu su q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ ili u cilindricnom koordinatnomsustavu je q1 = ρ, q2 = ϕ, q3 = z ili neki drugi izbor za neki drugi koordinatni sustav.Dvije primjedbe u vezi poopcenih koordinata:(1) poopcenih koordinata ima onoliko kolika je dimenzija objekta o kojemu je rijec; ako se radio trodimenzijskom tijelu, tada su potrebne tri poopcene koordinate; u nastavku ce se pokazatida je za opis dvodimenzijske plohe potrebno znati vrijednosti dvaju parametara, a za opis linijesamo jedan parametar;(2) ne moraju sve poopcene koordinate imati dimenziju duljine; npr. u sfernom koordiantnomsustavu samo r ima dimenziju duljine (mjeri se u metrima), dok θ i ϕ nemaju.

U skladu s geometrijskim znacenjem mjesovitog umnoska vektora (str. 14), diferencijal volu-mena u okolini tocke ~r, racuna se kao

dV = d~r1 · (d~r2 × d~r3), (10.1)

gdje su d~rj vektori u smjeru porasta poopcenih koordinata qj . Neka se koordinata q1 promjenilaod vrijednosti q1 na vrijednost q1 + dq1, uz konstantne vrijednosti preostale dvije varijable q2 iq3 (slika 10.1). Za male vrijednosti dq1, Taylorov razvoj daje

~r(q1 + dq1, q2, q3) = ~r(q1, q2, q3) + dq1∂ ~r

∂q1

∣∣∣∣q2,q3

+1

2(dq1)

2 ∂2 ~r

∂q21

∣∣∣∣q2,q3

+ · · · .

Za male vrijednosti dq1, kvadratni i visi clanovi se mogu zanemariti, tako da je

~r(q1 + dq1, q2, q3) − ~r(q1, q2, q3) ≃ dq1∂ ~r

∂q1.

Nazove li se razlika vektora na lijevoj strani gornje jednadzbe, d~r1, tada je

d~r1 =∂ ~r

∂q1dq1.

2Opcenito, u D-dimenzijskom prostoru, potrebno je D brojeva.

10.1. DISKRETNI I KONTINUIRANI SUSTAVI CESTICA 291

Slika 10.1: Smjer porasta koordinate q1.

Slican se postupak moze provesti i za preostale dvije varijable q2 i q3, sto tada sve zajedno daje:

d~r1 = ~r(q1 + dq1, q2, q3) − ~r(q1, q2, q3) =∂ ~r

∂q1dq1

d~r2 = ~r(q1, q2 + dq2, q3) − ~r(q1, q2, q3) =∂ ~r

∂q2dq2

d~r2 = ~r(q1, q2, q3 + dq3) − ~r(q1, q2, q3) =∂ ~r

∂q3dq3

Ukoliko su poopcene koordinate uvedene preko pravokutnih

~r = ~ex x + ~ey y + ~ez z,

relacijama

x = x(q1, q2, q3), y = y(q1, q2, q3), z = z(q1, q2, q3),

tada je i

d~r1 =

(∂~r

∂q1

)

q2 q3

dq1 =

(~ex

∂x

∂q1+ ~ey

∂y

∂q1+ ~ez

∂z

∂q1

)dq1 = ~e1 dq1

d~r2 =

(∂~r

∂q2

)

q1 q3

dq2 =

(~ex

∂x

∂q2+ ~ey

∂y

∂q2+ ~ez

∂z

∂q2

)dq2 = ~e2 dq2, (10.2)

d~r3 =

(∂~r

∂q3

)

q1 q2

dq3 =

(~ex

∂x

∂q3+ ~ey

∂y

∂q3+ ~ez

∂z

∂q3

)dq3 = ~e3 dq3.

gdje su vektori ~ei vektori (ne nuzno jedinicni) tangencijalni na krivulju po kojoj se mijenja ko-ordinata qi uz konstantne vrijednosti preostale dvije koordinate qj i qk. Vektori ~ei su definiranirelacijom (2.69).


Uvrstavanjem gornjeg izraza u izraz za diferencijal volumena (10.1) i koristeci zapis mjesovitogumnoska pomocu determinante (2.8), dobiva se

dV =

∂x

∂q1

∂y

∂q1

∂z

∂q1

∂x

∂q2

∂y

∂q2

∂z

∂q2

∂x

∂q3

∂y

∂q3

∂z

∂q3

dq1 dq2 dq3.

Gornja se determinanta naziva jakobijan ili Jacobi-jeva 3 determinanta i oznacava se sa

J =∂(x, y, z)

∂(q1, q2, q3).

... dovrsiti: raspisati gornji izraz i prepoznati komponente metrickog tenzora ...

Zadatak: 10.1 Izracunajte jakobijan prijelaza iz pravokutnog u sferni koordinatni sustav

R: Uputa: koristite relacije (2.47).

Zadatak: 10.2 Izracunajte jakobijan prijelaza iz pravokutnog u cilindricni koordinatni sustav

R: Uputa: koristite relacije (2.37).

U poopcenim koordinatama je masa sadrzana u volumenu V0 jednaka

m(V0) =

∫

V0

ρm(q1, q2, q3) · J · dq1 dq2 dq3, (10.3)

a sam obujam volumena je

V0 =

∫

V0

J · dq1 dq2 dq3.

Zadatak: 10.3 Izracunajte masu kugle polumjera R, cija se masena gustoca ρm mijenja kaoρm(~r) = ρ0(r/R) 2, gdje je ρ0 konstanta, a r je udaljenost od sredista kugle.

R: U ovom primjeru mozemo sferne koordinate shvatiti kao poopcene koordinate

q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ,

sto daje jakobijan

J = r 2 sin θ.

Prema izrazu za masu (10.3), slijedi

m =

∫ R

0

r 2dr

∫

Ω

dΩ ρ0

( rR

) 2

= 4πρ0R 2

∫ R

0

r4dr =4π

5ρ0R

3.


Slika 10.2: Uz definiciju volumne (A), povrsinske (B) i linijske (C), masene gustoce.

Povrsinska masena gustoca:Ako se sustav s kontinuiranom raspodjelom mase proteze po povrsini, tada se u okolini tocke~r definira povrsinska masena gustoca σm(~r) kao omjer diferencijala mase dm i povrsine d S nakojoj se nalazi ta masa (slika 10.2.B)

σm(~r) = lim∆S→0

∆m

∆S=dm

dS,

[σm] =[m]

[l 2].

Uglatom zagradom je oznacena dimenzija povrsinske gustoce. Ponovo, kao i u volumnomslucaju, gustoca ne mora imati istu vrijednost u razlicitim prostornim tockama i zato je ugornjem izrazu σm prikazana kao funkcija ~r. Ako σm(~r) ima istu vrijednost u svim tockamasustava, onda se kaze da je gustoca konstantna i jednaka je omjeru ukupne mase m i ukupnepovrsine S sustava,

σm =m

S.

Za zadanu povrsinsku gustocu, masa m(S0) sustava sadrzana na dijelu povrsine S0 < S, racunase kao

m(S0) =

∫

S0

σm(~r) dS. (10.4)

Posebno, ako je gustoca konstantna, masa tijela sadrzana na povrsini S0 je jednaka

m(S0) = mS0

S.

Kao dvodimenzijski objekt, plohu je moguce opisati s dva parametra, ili dvije poopcene koor-dinate q1 i q2, tj. ~r = ~r(q1, q2) ili, po komponentama

x = x(q1, q2), y = y(q1, q2), z = z(q1, q2).

3Carl Gustav Jakob Jacobi, 1804 - 1851


U skladu s definicijom vektorskog umnoska, str. 13, diferencijal plostine plohe je dan sa

dS = |d~r1 × d~r2|,

gdje su d~r1 i d~r2 tangencijalni vektori koordinatnih linija (pokazuju smjer porasta odgovarajucekoordinate) dani sa (10.2)

d~r1 =

(∂~r

∂q1

)

q2 q3

dq1 =

(~ex

∂x

∂q1+ ~ey

∂y

∂q1+ ~ez

∂z

∂q1

)dq1 = ~e1 dq1

d~r2 =

(∂~r

∂q2

)

q1 q3

dq2 =

(~ex

∂x

∂q2+ ~ey

∂y

∂q2+ ~ez

∂z

∂q2

)dq2 = ~e2 dq2,

Izravnim uvrstavanjem gornjih izraza u vektorski umnozak za diferencijal povrsine, dobiva se

∣∣∣d~r1 × d~r2

∣∣∣ =

√(∂y

∂q1

∂z

∂q2− ∂z

∂q1

∂y

∂q2

) 2

+

(∂z

∂q1

∂x

∂q2− ∂x

∂q1

∂z

∂q2

) 2

+

(∂x

∂q1

∂y

∂q2− ∂y

∂q1

∂x

∂q2

) 2

dq1 dq2.

Izraz pod korjenom se dalje moze raspisati, a zatim se dobiveni clanovi grupiraju tako da cijeliizraz poprimi pregledniji oblik

dS = |d~r1 × d~r2| =√g11 g22 − g 2

12 dq1 dq2,

gdje su g i j velicine koje se nazivaju kovarijantne komponente metrickog tenzora,relacija (2.70), zadane plohe (odjeljak (2.7))

g11 =

(∂x

∂q1

) 2

+

(∂y

∂q1

) 2

+

(∂z

∂q1

) 2

,

g22 =

(∂x

∂q2

) 2

+

(∂y

∂q2

) 2

+

(∂z

∂q2

) 2

,

g12 =∂x

∂q1

∂x

∂q2+∂y

∂q1

∂y

∂q2+∂z

∂q1

∂z

∂q2= g21.

Primjetimo da se pod korjenom izraza za dS pojavljuje determinanta drugog reda

g11 g12

g21 g22

u kojoj je g12 = g21. Sada masu raspodjeljenu po povrsini (10.4), racunamo slijedecim inte-gralom

m(S0) =

∫

S0

σm(q1, q2)√g11g22 − g 2

12 dq1 dq2,

a sama je plostina povrsine jednaka je

S0 =

∫

S0

√g11g22 − g 2

12 dq1 dq2.


Posebno, ako je jednadzba povrsine zadana eksplicitno jednadzbom z = z(x, y), tada x i yshvacamo kao gornje poopcene koordinate (parametre) q1 i q2, tj.

x ≡ q1, y ≡ q2, z = z(x, y).

Ovo pojednostavljuje komponente metrickog tenzora, pa se za masu dobiva

m(S0) =

∫

S0

σm(x, y)

√

1 +

(∂z

∂x

) 2

+

(∂z

∂y

) 2

dx dy, (10.5)

a za plostinu povrsine

S0 =

∫

S0

√

1 +

(∂z

∂x

) 2

+

(∂z

∂y

) 2

dx dy,

Zadatak: 10.4 Izracunajte masu pravokutnika duljine stranica a i b, koji lezi u ravnini (x, y),a cija se povrsinska gustoca σm mijenja kao σm(~r) = σ0(x/a)n, gdje je σ0 konstanta,n 6= −1 i a je duljina stranice u smjeru osi x.

R: Sada se nalazimo u, gore spomenutoj, jednostavnoj situaciji, kada je jed-nadzba plohe eksplicitno zadana (10.5)

z = 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b,

pa x i y shvacamo kao poopcene koordinate. Izraz pod korjenom u gornjem izrazuza masu je naprosto jednak jedinici. Prema tom istom gornjem izrazu za masu,slijedi

m =

∫ a

0

dx

∫ b

0

dy σ0

(xa

)n=σ0 b

an

∫ a

0

xndx =σ0

n+ 1ab.

Linijska masena gustoca:Ako se sustav s kontinuiranom raspodjelom mase proteze duz neke krivulje (linije u trodi-menzijskom prostoru), tada se, u oklici tocke ~r definira linijska masena gustoca λm(~r) kaodiferencijalni omjer mase dm i duljine krivulje d l na kojoj se nalazi ta masa (slika 10.2.C)

λm(~r) = lim∆l→0

∆m

∆ l=dm

d l,

[λm] =[m]

[l].

Uglatom zagradom je oznacena dimenzija linijske gustoce. Kao i u volumnom i povrsinskomslucaju, ni linijska masena gustoca ne mora imati istu vrijednost u razlicitim prostornimtockama i zato je u gornjem izrazu ρm prikazana kao funkcija ~r. Ako ipak λm(~r) ima istuvrijednost u svim tockama sustava, onda se kaze da je gustoca konstantna i jednaka je omjeruukupne mase m i ukupne duljine l krivulje, λm = m/l. Za zadanu linijsku gustocu, masa m(l0)sustava sadrzana na dijelu krivulje duljine l0 < l, racuna se kao

m(l0) =

∫

l0

λm(~r) dl.


Posebno, ako je gustoca konstantna, masa tijela sadrzana na duljini l0 je jednaka

m(l0) = ml0l.

Za opis jednodimenzijskog objekta kao sto je krivulja, dovoljan je jedan parametar, tj. jednapoopcena koordinata q1. To znaci da, npr. u pravokutnom koordinatnom sustavu, postoje vezeoblika

x = x(q1), y = y(q1), z = z(q1), (10.6)

diferencijal duljine luka krivulje je, prema Pitagorinom teoremu,

dl =√dx 2 + dy 2 + dz 2 =

√(dx

dq1

) 2

+

(dy

dq1

) 2

+

(dz

dq1

) 2

dq1.

Uvrstavanje gornjeg diferencijala u izraz za masu, daje

m(l0) =

∫

l0

λm(q1)

√(dx

dq1

) 2

+

(dy

dq1

) 2

+

(dz

dq1

) 2

dq1. (10.7)

Ocito cemo samu duljinu luka krivulje dobiti kao

l0 =

∫

l0

√(dx

dq1

) 2

+

(dy

dq1

) 2

+

(dz

dq1

) 2

dq1. (10.8)

Ukoliko je krivulja zadana eksplicitno jednadzbama

y = y(x), z = z(x),

tada x shvacamo kao poopcenu koordinatu (parametar) x ≡ q1 i primjenjujemo gornji izraz

m(l0) =

∫

l0

λm(x)

√

1 +

(dy

dx

) 2

+

(dz

dx

) 2

dx,

a duljinu lika krivulje racunamo kao

l0 =

∫

l0

√

1 +

(dy

dx

) 2

+

(dz

dx

) 2

dx,

Zadatak: 10.5 Tanka zica je savijena u obliku zavojnice polumjera R i hoda h. Linijskamasena gustoca je dana izrazom

λm = A+B sin 2 ϕ,

gdje su A i B konstante, a ϕ je kut u ravnini okomitoj na os zavojnice, mjeren uodnosu na odabranu pocetnu tocku. Ako su

x = R cosϕ, y = R sinϕ, z =h

2πϕ,

parametarske jednadzbe zavojnice, izracunajte duljinu i masu N zavoja zavojnice.

10.2. SREDISTE MASE 297

R: Sada se nalazimo u situaciji da imamo jednadzbu krivulje zadanu u param-etarskom obliku (10.6), gdje je parametar, tj. poopcena koordinata q1 = ϕ, pamozemo primjeniti izraze (10.8) i (10.7). Duljina N zavoja je jednaka N putaduljina jednog zavoja l = l1 ·N

l = N

∫ 2π

0

√(dx

dϕ

) 2

+

(dy

dϕ

) 2

+

(dz

dϕ

) 2

dϕ = N√

4π 2R 2 + h 2,

Masa N zavoja je N puta masa jednog zavoja m = N · m1, a tu masu odredimopomocu (10.7) uz ϕ kao poopcenu koordinatu (parametar)

m = N

∫ 2π

0

(A+B sin 2 ϕ)

√(dx

dϕ

) 2

+

(dy

dϕ

) 2

+

(dz

dϕ

) 2

dϕ.

Iskoristimo li cos 2ϕ = cos 2 ϕ− sin 2 ϕ = 1 − 2 sin 2 ϕ, elementarna integracija daje

m = N√

4π 2R 2 + h 2

(A +

1

2B

)= l λ0,

gdje smo s l oznacili ukupnu duljinu zavojnice a λ0 = (A+B/2) je gustoca koju biimala homogena zavojnica iste mase i duljine.

primjeri plosnih integrala - dovrsiti

Na slican se nacin mogu uvesti i pojmovi volumne, povrsinske i linijske gustoce elektricnognaboja, energije, struje ili neke druge fizicke velicine.

10.2 Srediste mase

Promatrajmo diskretni sustav od N cestica cije su mase oznacene s

m1, m2, · · · , mN ,

a vektori polozaja s

~r1, ~r2, · · · , ~rN ,kao na slici 10.3.A. Srediste mase se definira kao tocka s vektorom polozaja ~rSM

~rSM =m1 ~r1 +m2 ~r2 + · · · +mN ~rN

m1 +m2 + · · · +mN=

∑Nj=1 mj ~rj∑N

j=1 mj

=1

m

N∑

j=1

mj ~rj, (10.9)

gdje s m =∑N

j=1 mj oznacena ukupna masa sustava. Primjetimo da je, u jednostavnomslucaju kada se sustav sastoji samo od jedne cestice, N = 1, srediste mase isto sto i radij vektorpolozaja te jedne jedine cestice

~rSM = ~r1.


Slika 10.3: Uz definiciju sredista mase (A) diskretnog i (B) kontinuiranog sustava cestica.

Za kontinuirani sustav koji se nalazi unutar volumena V (slika 10.3.B), srediste mase se definiratako da se cijeli volumen podjeli na male dijelove mase dmj. Ovi su dijelovi toliko mali da sesvakome moze pridruziti radij vektor polozaja ~rj koji opisuje priblizni polozaj dmj. Sredistemase se tada racuna prema definiciji (10.9) kao

~rSM =

∑Nj=1 dmj ~rj∑N

j=1 dmj

.

Ovaj nacin racuna ~rSM sadrzi pogresku koja potjece od zbrajanja masa kockica sa ruba tijela:glatke stranice kockica ne mogu pratiti opcenito zaobljeni oblik tijela. Da bi se ova greskasmanjila, povecava se broj kockica, tj. smanjuje se njihov volumen. U granici kada brojkockica N → ∞, one ce savrseno dobro pratiti (proizvoljni) oblik tijela. No tada ce i gornjizbroj prijeci u integral, pa ce se za polozaj sredista mase dobiti

~rSM =

∫Vdm(~r)~r∫

Vdm(~r)

=1

m

∫

V

dm(~r)~r.

Uvedu li se gustoce: volumna ρm = dm/dV , povrsinska σm = dm/dS i linijska λm = dm/dl,polozaj sredista mase i ukupna masa volumne raspodjele cestica se odreduje pomocu

~rSM =

∫V~r ρm(~r) dV∫

Vρm(~r) dV

, m =

∫

V

ρm(~r) dV ;

polozaj sredista mase i ukupna masa povrsinske raspodjele cestica se odreduje pomocu

~rSM =

∫S~r σm(~r) dS∫

Sσm(~r) dS

m =

∫

S

σm(~r) dS;

i polozaj sredista mase i ukupna masa linijske raspodjele cestica se odreduje pomocu

~rSM =

∫l~r λm(~r) dl∫lλm(~r) dl

m =

∫

l

λm(~r) dl.

10.2. SREDISTE MASE 299

Svaka od gornje tri vektorske relacije za racun polozaja sredista mase, se moze napisati i kao triskalarne relacije. Npr. raspis prve od njih u pravokutnom koordinatnom sustavu (za diskretnui kontinuiranu raspodjelu cestica), vodi na

xSM =1

m

N∑

j=1

mj xj =1

m

∫

V

x ρm(x, y, z) dx dy dz,

ySM =1

m

N∑

j=1

mj yj =1

m

∫

V

y ρm(x, y, z) dx dy dz,

zSM =1

m

N∑

j=1

mj zj =1

m

∫

V

z ρm(x, y, z) dx dy dz.

Slicno se dobije i za raspis u drugim koordinatnim sustavima. Ukoliko gustocu mase shvatimokao funkciju gustoce odredene statisticke raspodjele vjerojatnosti4, Pm(~r) = ρm(~r), tada se ~rSMpojavljuje kao prvi moment te raspodjele. Opci n-ti moment raspodjele se dobije kao

〈 ~r n 〉 =

∫V~r n Pm(~r) d 3r∫VPm(~r) d 3r

.

Nazivnik predstavlja normiranje raspodjele (ako je raspodjela vec normirana, nazivnik je jednakjedinici). Slicne izraze, (7.39) i (7.42), smo vec dobivali u poglavlju o gravitaciji.

Ako se sutav nalazi u jednolikom gravitacijskom polju, tada se srediste mase naziva i sredistegravitacije ili teziste. Naime, ako brojnik i nazivnik izraza za ~rSM pomnozimo s g, ubrzanjemZemljinog gravitacijskog polja, dobivamo za ~rSM

~rSM =

∑Nj=1 g mj ~rj∑N

j=1 gmj

=

∑Nj=1 FG,j ~rj∑Nj=1 FG,j

,

sto je upravo definicija tezista.

Pokazimo da polozaj sredista mase ne ovisi o izboru ishodista koordinatnog sustava.Postavimo dva koordinatna sustava, jedan s ishodistem u tocki O i drugi s ishodistem u tockiO ′ , kao na slici 10.4.A. S ~rj je oznacen polozaj j-te cestice s masom mj u odnosu na sustav sishodistem u tocki O, a s ~r ′

j je oznacen polozaj j-te cestice u odnosu na sustav s ishodistem utocki O ′ . Polozaj sredista mase u oba koordinatna sustava je dan izrazima

~rSM =

∑Nj=1 mj ~rj∑N

j=1 mj

, ~r ′SM =

∑Nj=1 mj ~r

′j∑N

j=1 mj

.

4O raspodjelama vjerojatnosti i njihovim momentima, vidjeti npr u [13]


Slika 10.4: (A) Dva koordinatna sustava. (B) cetiri tocke u prostoru.

Sa slike 10.4.A se vidi da je

~rj =−−→OO ′ + ~r ′

j

/N∑

j=1

mj

N∑

j=1

mj ~rj =−−→OO ′

N∑

j=1

mj +

N∑

j=1

mj ~r′j

m ~rSM =−−→OO ′m +m ~r ′

SM

/1

m

~rSM =−−→OO ′ + ~r ′

SM . (10.10)

Ako pretpostavimo da se polozaj sredista mase S u koordinatnom sustavu s ishodistem u Oi polozaj sredista mase S ′ u koordinatnom sustavu s ishodistem u O ′ razlikuju, tada, premaslici 10.4.B, zakljucujemo da mora biti

~rSM =−−→OO ′ + ~r ′

SM +−−→S ′S. (10.11)

Usporedbom izraza (10.10) i (10.11), zakljucuje se da je

−−→S ′S = 0,

tj. da polozaj sredista mase ne ovisi o izboru ishodista (niti smjerova osi) koordinatnog sustava.

10.3 Kolicina gibanja, moment kolicine gibanja i energija - definicija

i sacuvanje

Sile:Kada se sustav sastoji samo od jedne cestice, N = 1, svaka sila koja djeluje na njega je nuzno

10.3. KOLICINAGIBANJA, MOMENTKOLICINEGIBANJA I ENERGIJA - DEFINICIJA I SACUVANJE301

vanjska sila. No, kada se sustav sastoji od N > 1 cestica, tada se moze govoriti o vanjskimi unutarnjim (ili meducesticnim) silama. Unutarnje sile su one kojima jedna cestica sustavadjeluje na neku drugu cesticu sustava, a vanjske su sile kojima okolina djeluje na sustav (njihovise izvori nalaze izvan sustava). Zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na j-tu cesticu sustava,oznacavat ce se s

~F vj ,

a sila kojom i-ta cestica sustava djeluje na j-tu cesticu sustava, oznacit ce se s

~f i,j.

Naravno da je

~f j,j ≡ 0,

(tj. cestica ne djeluje silom na samu sebe) i da je prema trecem Newtonovom aksiomu

~f i,j = −~f j,i.

10.3.1 Kolicina gibanja sustava cestica

Govoreci o jednoj cestici, u odjeljku 4 smo definirali kolicinu gibanja cestice, ~p , kao umnozaknjezine mase i brzine

~p = m~v.

Sada imamo N cestica oznacenih indeksom j = 1, · · · , N , tako da je masa j-te cestice sustavamj , a brzina ~vj ≡ ~rj . Ukupnu kolicinu gibanja sustava je najprirodnije definirati kao zbrojkolicina gibanja pojedinih cestica sustava

~p =N∑

j=1

~p j =N∑

j=1

mj ~rj .

Za sustav s kontinuiranom raspodjelom mase, u gornjem izrazu treba zbroj zamijeniti inte-gralom, a masu mj zamijeniti diferencijalom mase u okolini promatrane tocke

N∑

j=1

−→∫

mj −→ dm(~r).

Na taj nacin, ukupna kolicina gibanja kontinuiranog sustava cestica postaje

~p =

∫

V

dm(~r)~v =

∫

V

~v ρm(~r) d 3r.

Vremenskom derivacijom vektora polozaja sredista mase

~rSM =1

m

N∑

j=1

mj ~rj =1

m

∫

V

~r ρm(~r) d 3r

/d

dt


dobiva se brzina sredista mase

~rSM =1

m

N∑

j=1

mj ~vj =1

m

∫

V

~v ρm(~r) + ~r

[(−→∇ ρm)~v +

∂ ρm∂ t

]d 3r

Usporedbom gornjeg i izraza za kolicinu gibanja cijelog sustava ~p , dolazi se do

~p = m~rSM , (10.12)

tj. ukupna kolicina gibanja sustava cestica se dobije kao umnozak ukupne mase sustava i brzinesredista mase.

Napisimo jednadzbu gibanja (drugi Newtonov aksiom) za j-tu cesticu sustava i zbrojimo svete jednadzbe

d~p jdt

=d 2

dt 2(mj~rj) = ~F v

j +N∑

i=1

~f i,j

/N∑

j=1

.

Lijeva strana je ocito jednaka vremenskoj promjeni ukupne kolicine gibanja sustava, dok se nadesnoj strani dobivaju dva clana

d~p

dt=

N∑

j=1

~F vj +

N∑

i=1

N∑

j=1

~f i,j. (10.13)

Prvi clan desne strane je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sve cestice sustava i oznacavatce se s ~F v

~F v =N∑

j=1

~F vj .

Drugi clan je zbroj svih meducesticnih sila:

N∑

i=1

N∑

j=1

~f i,j = 0 + ~f 1,2 + ~f 1,3 + ~f 1,4 + · · · + ~f 1,N i = 1 (10.14)

+ ~f 2,1 + 0 + ~f 2,3 + ~f 2,4 + · · · + ~f 2,N i = 2

+ ~f 3,1 + ~f 3,2 + 0 + ~f 3,4 + · · · + ~f 3,N i = 3...

...

+ ~f N,1 + ~f N,2 + ~f N,3 + · · · + ~f N,N−1 + 0. i = N

No, buduci da je ~f 1,2 = −~f 2,1, ~f 1,3 = −~f 3,1, · · · , ~f 1,N = −~f N,1 itd., ocito je gornji zbrojjednak nuli.U prethodnom je odjeljku pokazano da je ~p = m ~rSM , sto uvrsteno u (10.13), daje

d ~p

dt=

d 2

dt 2(m ~rSM) = ~F v. (10.15)


Pod djelovanjem vanjskih sila, sustav se giba kao cestica smjestena u tocki~rSM , cija je masa jednaka ukupnoj masi sustava, a na koju djeluje sila jednakazbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.Primjetimo takoder da samo vanjske sile mogu promijeniti ukupnu kolicinu gibanja sustava

cestica (unutarnje sile ~f i,j se ne pojavljuju u gornjem izrazu).Ako je zbroj svih vanjskih sila jednak nuli, tada vrijedi relacija koja se naziva zakon osacuvanju kolicine gibanja sustava cestica

~F v = 0 ⇒ d~p

dt= 0 ⇒ ~p = const. (10.16)

Ukupna kolicina gibanja sustava, ~p = m ~rSM je konstantna u vremenu. U tom slucaju, sredistemase sustava ili miruje ili se giba konstantnom brzinom (konstantnom po smjeru - gibanje popravcu, i konstatno po iznosu - jednoliko gibanje).

Moguce je da na sustav djeluju vanjske sile samo u jednom smjeru. Npr. nalazi li se sustav uZemljinom gravitacijskom polju u blizini njezine povrsine, na sve ce cestice djelovati gravitaci-jska sila u smjeru −~ez i zato z komponenta kolicine gibanja nece biti sacuvana, dok ce preostaledvije komponente (okomite na z) ostati sacuvane

px = const. py = const. pz 6= const.

10.3.2 Moment kolicine gibanja sustava cestica

Moment kolicine gibanja jedne cestice, u odnosu na zadano ishodiste, se definira kao

~L = ~r × ~p .

S tim u skladu, moment kolicine gibanja sustava od N cestica se definira kao zbroj pojedinacnihmomenata kolicina gibanja svih cestica sustava

~L =N∑

j=1

~L j =N∑

j=1

~rj × mj~vj ,

ili, za sustav s kontinuiranom raspodjelom mase

~L =

∫~r × dm ~v =

∫~r × ~v ρm(~r) d 3r.

Neka je, ponovo, ~F vj oznaka za zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na j-tu cesticu sutava (radi

jednostavnosti, radit cemo sa sustavom s diskretnom raspodjelom cestica). Velicinu

~M vj = ~rj × ~F v

j ,

ce se nazivati momentom vanjskih sila j-te cestice, u odnosu na zadano ishodiste. Zbroj mom-enata vanjskih sila svih cestica sustava cemo oznaciti s ~M v

~M v =

N∑

j=1

~rj × ~F vj .


Iz odjeljka 4.3, relacija (4.26), znamo da za sustav od jedne cestice vrijedi

d ~L

d t= ~M.

Ispitajmo vrijedi li slicna relacija i za sustav cestica? Krenimo opet od jednadzbe gibanja j-tecestice, koju cemo sada s lijeva vektorski pomnoziti s ~rj

d~p jdt

= ~F vj +

N∑

i=1

~f i,j

/~rj ×

~rj × d

dt(mj~rj) = ~rj × ~F v

j +N∑

i=1

(~rj × ~f i,j

)

d

dt(~rj × mj~rj)︸︷︷︸

= ~L j

− ~rj × mj~rj︸︷︷︸= 0

= ~rj × ~F vj +

N∑

i=1

(~rj × ~f i,j

)

d~L j

dt= ~rj × ~F v

j +

N∑

i=1

(~rj × ~f i,j

) /N∑

j=1

d

dt

N∑

j=1

~L j =N∑

j=1

~rj × ~F vj +

N∑

j=1

N∑

i=1

(~rj × ~f i,j

)

Lijevu stranu gornje jednakosti prepoznajemo kao vremensku promjenu momenta kolicine

gibanja cijelog sustava, ~L, a prvi clan desne strane je ukupni moment vanjskih sila ~M . Pokazimoda je drugi clan desne strane jednak nuli, ako su sile medu cesticama usmjerene duz njihovihspojnica, tj. ako je

~f i,j = fi,j~ri − ~rj|~ri − ~rj|

.

Dvostruki zbroj na desnoj strani sadrzi clanove oblika

· · · + ~rj × ~f i,j + · · · + ~ri × ~f j,i + · · ·

Prema trecem Newtonovom aksiomu je ~f j,i = −~f i,j, pa gornja dva clana mozemo zbrojiti u

· · · + (~rj − ~ri) × ~f i,j + · · ·

Buduci da su meducesticne sile usmjerene duz spojnica cestica, to je

(~rj − ~ri) × ~f i,j = (~rj − ~ri) × ~ri − ~rj|~ri − ~rj|

fi,j = 0, (10.17)

zato jer je vektorski umnozak dva kolinearna vektora jednak nuli. Tako smo, krenuvsi odjednadzbe gibanja, dosli do

d~L

dt= ~M v. (10.18)

Vremenska promjena momenta kolicine gibanja sustava cestica jednaka je momentu svih van-jskih sila koje djeluju na cestice sustava. Ovaj rezultat vrijedi uz pretpostavku da su meducesticne


sile usmjerene duz spojnica cestica (primjer sile koja nema samo radijalnu komponentu, sudipolne sile koje se izvode iz dipolnog potencijala, odjeljak 7.4).Primjetimo takoder da samo moment vanjskih sila moze promijeniti ukupan moment kolicine

gibanja sustava cestica (moment unutarnjih sila ~f i,j se ne pojavljuju u gornjem izrazu).

Ukoliko je moment vanjskih sila jednak nuli, ~M v = 0, tada je i

~M v = 0 ⇒ d~L

dt= 0, ⇒ ~L =

N∑

j=1

mj~rj × ~vj = const.

(10.19)tj. moment kolicine gibanja sustava cestica je konstantan u vremenu. Gornja jednadzba se

zove i zakon o sacuvanju momenta kolicine gibanja sustava cestica

.Opet, kao i kod sacuvanja kolicine gibanja, str. 303, mozemo pretpostaviti da su neke kom-ponente ~M v jednake nuli, a neke nisu. Npr. neka je u cilindricnom koordinatnom sustavuMv,ϕ = 0, a preostale dvije komponente neka su razlicite od nule. Tada je

Lρ 6= const. Lϕ = const. Lz 6= const.

10.3.3 Energija sustava cestica

RadOznacimo s ~Fj zbroj svih sila, vanjskih i meducesticnih, koje djeluju na j-tu cesticu sustava

~Fj = ~F vj +

N∑

i=1

~f i,j.

zelimo izracunati rad koji obave ove sile pri pomaku cijelog sustava iz pocetne konfiguracijeoznacene s

poc = (~r1,p, ~r2,p, · · · , ~rN,p),

u konacnu konfiguraciju iznacenu s

kon = (~r1,k, ~r2,k, · · · , ~rN,k).

Taj je rad jednak zbroju radova nad svakom pojedinom cesticom

Wpoc,kon =N∑

j=1

Wj, poc,kon =N∑

j=1

∫ kon

poc

~Fj d~rj.

Kineticka energijasustava cestica se definira kao zbroj kinetickih energija svih cestica sustava (ponovo cemo, radijednostavnosti, raditi s diskretnim sustavom)

Ek =

N∑

j=1

Ek,j =1

2

N∑

j=1

mj~v2j =

N∑

j=1

~p 2j

2mj.


Povezimo promjenu ukupne kineticke energije sustava s radom obavljenim nad cesticama sus-tava. Prema drugom Newtonovom aksiomu je

~pj = ~Fj ,

iz cega slijedi (uz zanemarivanje relativistickih ucinaka):

Wpoc,kon =

N∑

j=1

∫ kon

poc

~Fj d~rj =

N∑

j=1

∫ kon

poc

d~p jdt

d~rj =

N∑

j=1

∫ kon

poc

mjd~vjdt

d~rj

=N∑

j=1

mj

∫ kon

poc

d~vj ~vj =N∑

j=1

mj

~v 2j

2

∣∣∣∣kon

poc

=N∑

j=1

(1

2mj~v

2j,k −

1

2mj~v

2j,p

)

= Ek(kon) − Ek(poc). (10.20)

Ukupan obavljeni rad je, dakle, jednak razlici konacne i pocetne kineticke energije cijelog sus-tava.

Konzervativne sile:Pretpostavimo sada da su sve sile, i vanjske i unutarnje, koje djeluju na cestice sustava konz-ervativne. Svaka konzervativna sila se moze napisati kao negativan gradijent odgovarajucepotencijalne energije

~F = −−→∇ Ep.

Tako cemo vanjskim silama pridruziti vanjsku potencijalnu energiju Evp , a unutarnjim silama,

unutarnju potencijalnu energiju Eup

~F vj = −−→∇j E

vp (rj) ~f i,j = −−→∇ j E

up (ri,j).

Rad unutarnjih sila:Pogledajmo najprije unutarnje sile i njima pridruzenu potencijalnu energiju. Preciznije, poten-cijalnu energiju i-te cestice u odnosu na j-tu cesticu, cemo oznaciti s Eu

p,i,j. Ta energija ovisisamo o medusobnoj udaljenosti dvije promatrane cestice ri,j

ri,j = rj,i =√

(xi − xj) 2 + (yi − yj) 2 + (zi − zj) 2 (10.21)

i zato je simetricna

Eup,i,j(ri,j) = Eu

p,j,i(rj,i).

Zbog ovog svojstva mozemo izostavljati indekse i, j i jednostavno pisati

Eup (ri,j).

Primjetimo da Eup (ri,j) ovisi o sest koordinata

Eup (ri,j) = Eu

p (xi, yi, zi, xj , yjzj) = Eup (xi − xj , yi − yj, zi − zj),


Pa je zato njezin potpuni diferencijal jednak

dEup =

∂Eup

∂xidxi +

∂Eup

∂yidyi +

∂Eup

∂zidzi +

∂Eup

∂xjdxj +

∂Eup

∂yjdyj +

∂Eup

∂zjdzj. (10.22)

Pokazimo da ovakva potencijalna energija vodi na sile koje zadovoljavaju treci Newtonov aksiom(akcije i reakcije). Sila kojom i-ta cestica djeluje na j-tu cesticu je

~f i,j = −−→∇ j Eup (ri,j) = −~ex

∂Eup (ri,j)

∂xj− ~ey

∂Eup (ri,j)

∂yj− ~ez

∂Eup (ri,j)

∂zj.

Oznaka−→∇ j znaci da se derivacije racunaju po koordinatama s indeksom j. Isto tako je i sila

kojom cestica j djeluje na cesticu i jednaka

~f j,i = −−→∇ iEup (rj,i),

zbog simetrije potencijalne energije Eup (ri,j) = Eu

p (rj,i), gornji izraz prelazi u

~f j,i = −−→∇ iEup (ri,j).

No, u skladu s (10.21), derivacije po koordinatama i i j se razlikuju u predznaku, npr.

∂Eup (ri,j)

∂xi=∂Eu

p (ri,j)

∂ri,j

∂ri,j∂xi

=∂Eu

p (ri,j)

∂ri,j(−)

∂ri,j∂xj

= −∂Eu

p (ri,j)

∂xj

i zato je

−−→∇ iEup (ri,j) = +

−→∇j Eup (ri,j) = −~f i,j,

tj. ~f j,i = −~f i,j u skladu s trecim Newtonovim aksiomom.

Izracunajmo rad meducesticnih sila pri infinitezimalnom pomaku j-te cestice za d~rj i i-te cesticeza d~ri

~f i,j d~rj + ~f j,i d~ri = −(~ex∂Eu

p (ri,j)

∂xj+ ~ey

∂Eup (ri,j)

∂yj+ ~ez

∂Eup (ri,j)

∂zj

)(~ex dxj + ~ey dyj + ~ez dzj)

−(~ex∂Eu

p (ri,j)

∂xi+ ~ey

∂Eup (ri,j)

∂yi+ ~ez

∂Eup (ri,j)

∂zi

)(~ex dxi + ~ey dyi + ~ez dzi)

= −(∂Eu

p (ri,j)

∂xjdxj +

∂Eup (ri,j)

∂yjdyj +

∂Eup (ri,j)

∂zjdzj

+∂Eu

p (ri,j)

∂xidxi +

∂Eup (ri,j)

∂yidyi +

∂Eup (ri,j)

∂zidzi

).

Desna strana je upravo potpuni diferencijal unutarnje potencijalne energije (10.22), koja jefunkcija sest varijabli: xi, yi, zi, xj , yj, zj, tj. dobili smo da je

~f i,j d~rj + ~f j,i d~ri = −dEup (ri,j).


Zbrojimo gornju jednadzbu po i i j:

N∑

i=1

N∑

j=1

~f i,j d~rj +N∑

i=1

N∑

j=1

~f j,i d~ri = −N∑

i=1

N∑

j=1

dEup (ri,j).

Zamijenom (nijemih) indeksa po kojima se zbraja u drugom clanu lijeve strane, dobiva se

N∑

i=1

N∑

j=1

~f i,j d~rj +N∑

j=1

N∑

i=1

~f i,j d~rj = −N∑

i=1

N∑

j=1

dEup (ri,j)

N∑

i=1

N∑

j=1

~f i,j d~rj = −1

2

N∑

i=1

N∑

j=1

dEup (ri,j).

U gornjem zbroju se izostavljaju clanovi i = j. Izracunajmo sada rad, W upoc,kon meducesticnih

(unutarnjih) sila pri pomaku sustava iz pocetne konfiguracije poc u konacnu konfiguraciju kon,tako sto cemo prointegrirati gornji izraz

W upoc,kon =

N∑

i=1

N∑

j=1

∫ kon

poc

~f i,j d~rj = −1

2

N∑

i=1

N∑

j=1

∫ kon

poc

dEup (ri,j)

= −1

2

N∑

i=1

N∑

j=1

[Eup (ri,j)kon − Eu

p (ri,j)poc

]

Uz oznake

Eup =

1

2

N∑

i=1

N∑

j=1

Eup (ri,j),

rad meducesticnih (unutarnjih) sila se dobiva u obliku

W upoc,kon = Eu

p (poc) −Eup (kon). (10.23)

Rad vanjskih sila:Prijedimo sada na rad vanjskih sila, koje su po pretpostavci takoder konzervativne, i daju seizraziti kao negativni gradijent vanjske potencijalne energije Ev

p (rj) (primjetimo da ova poten-cijalna energija ovisi o polozaju samo jedne cestice, tj. o njezine tri koordinate, npr.: xj , yj, zj)

~F vj = −−→∇ jE

vp (rj)

/d~rj ·

~F vj d~rj = −−→∇ jE

vp (rj)d~rj

= −(~ex∂Ev

p (rj)

∂xj+ ~ey

∂Evp (rj)

∂yj+ ~ez

∂Evp (rj)

∂zj

) (~ex dxj + ~ey dyj + ~ez dzj

)

= −(∂Ev

p (rj)

∂xjdxj +

∂Evp (rj)

∂yjdyj +

∂Evp (rj)

∂zjdzj

).


Izraz u gornjoj zagradi prepoznajemo kao potpuni diferencijal dEvp (rj), pa je

~F vj d~rj = = −dEv

p (rj)/ ∫ kon

poc

∫ kon

poc

~F vj d~rj = −

∫ kon

poc

dEvp (rj) = Ev

p (rj)poc −Evp (rj)kon

/ N∑

j=1

N∑

j=1

∫ kon

poc

~F vj d~rj =

N∑

j=1

[Evp (rj)poc − Ev

p (rj)kon

].

Znacenje lijeve strane gornjeg izraza je jasno: to je rad vanjskih sila pri pomaku sustava izpocetne u konacnu konfiguraciju; oznacit cemo ga s W v

poc,kon. Isto je tako jasno i znacenje desnestrane: oznacimo li s Ev

p ukupnu potencijalnu enegiju sustava cestica u odnosu na vanjske sile

Evp =

N∑

j=1

Evp (rj),

tada je rad vanjskih sila nad sustavom jednak razlici vanjskih potencijalnih energija sustava

W vpoc,kon = Ev

p (poc) −Evp (kon).

Ukupan rad nad sustavom je rad koji potjece i od unutarnjih i od vanjskih sila

Wpoc,kon = W upoc,kon +W v

poc,kon = Eup (poc) −Eu

p (kon) + Evp (poc) − Ev

p (kon).

Oznacimo s

Ep = Eup + Ev

p ,

zbroj potencijalnih energija koje potjecu od unutarnjih i vanjskih sila. Relacijom (10.20) smopovezali rad i promjenu kineticke energije, a relacijom (10.23) smo povezali rad i promjenupotencijalne energije, pa je stoga

Ek(kon) − Ek(poc) = Wpoc,kon = Ep(poc) − Ep(kon)

Ek(kon) + Ep(kon) = Ek(poc) + Ep(poc).

Buduci da gornje pocetne i konacne konfiguracije nisu ni po cemu posebne, zakljucujemo da jezbroj kineticke i potencijalne energije konstantna za svaku konfiguraciju sustava

Ek + Ep = const. (10.24)

Gornja relacija izrazava zakon o sacuvanju mehanicke energije sustava cestica i vrijedi samouz pretpostavku da su sve sile - i vanjske i unutarnje - konzervativne.

Sazetak:Ovime je pokazano da postoji sedam velicina koje (pod odredenim uvjetima koji su navedeni


tijekom izlaganja) su konstante gibanja sustava cestica. To su tri komponente ukupne kolicinegibanja

~p ,

tri komponente ukupnog momenta kolicine gibanja,

~L ,

i mehanicka energija sustava

E = Ek + Ep.

10.4 Neinercijski koordinatni sustav vezan za srediste mase

Cesto je korisno opisivati gibanje sustava cestica u odnosu na polozaj sredista mase. Zatocemo pored nepomicnog (inercijskog) koordinatnog sustava oznacenog s

S ≡ (O, x, y, z),

uvesti i (neinercijski) koordinatni sustav

S ′ = (O ′ , x ′, y ′, z ′),

cije se ishodiste O ′ nalazi u sredistu mase sustava (slika 10.5) i koji se giba u skladu s gibanjemsvih cestica sustava.

Slika 10.5: Veza nepomicnog i sustava vezanog uz srediste mase.

Kolicina gibanja:Pokazimo da je u tom koordinatnom sustavu5 ~r ′

SM = 0 kao i da je ukupna kolicina gibanja svih5to je zapravo vec i ucinjeno pri kraju odjeljka 10.2, gdje je pokazano da polozaj sredista mase ne ovisi o izboru ishodista

koordinatnog sustava

10.4. NEINERCIJSKI KOORDINATNI SUSTAV VEZAN ZA SREDISTE MASE 311

cestica sustava, mjerena iz (O ′ , x ′, y ′, z ′), jednaka nuli

~r ′SM = 0, ~p ′ = 0.

Sa slike se vidi veza polozaja j-te cestice u crtkanom ~r ′j i necrtkanom sustavu ~rj

~rj = ~rSM + ~r ′j

/d

d t⇒ ~vj = ~vSM + ~v ′

j . (10.25)

Prema definiciji polozaja sredista mase u necrtkanom i crtkanom sustavu je

~rSM =1

m

N∑

j=1

mj~rj, ~vSM =1

m

N∑

j=1

mj~vj

~r ′SM =

1

m

N∑

j=1

mj~r′j , ~v ′

SM =1

m

N∑

j=1

mj~v′j .

Zbog veze ~rj = ~rSM + ~r ′j , za ~rSM mozemo pisati

~rSM =1

m

N∑

j=1

mj~rj =1

m

N∑

j=1

mj(~rSM + ~r ′j ) =

~rSMm

N∑

j=1

mj +1

m

N∑

j=1

mj~r′j .

No,∑N

j=1 mj = m, tako da se dobiva

~rSM = ~rSM +1

m

N∑

j=1

mj~r′j = ~rSM + ~r ′

SM .

Iz gornje jednadzbe zakljucujemo da je

~r ′SM =

1

m

N∑

j=1

mj~r′j = 0. (10.26)

Dakle, zbroj umnozaka mase i radij vektora svih cestica sustava, racunat u odnosu na koor-dinatni sustav sa ishodistem u sredistu mase, jednak je nuli. To je jedan od razloga zastose srediste mase zove srediste. Vremenskom derivacijom gornje jednadzbe se dobiva upravozbroj kolicina gibanja svih cestica sustava izrazen u odnosu na polozaj sredista mase

N∑

j=1

mj~r′j = 0

/d

dt

~p ′ =

N∑

j=1

mj~v′j = 0, (10.27)

tj. ukupna kolicina gibanja sustava u odnosu na srediste mase je jednaka nuli.

Moment kolicine gibanja:Povezimo sada ukupni moment kolicine gibanja sustava cestica, prikazan u koordinatnim sus-tavima (O, x, y, z) i (O ′ , x ′, y ′, z ′). Uvrstavanjem veza (10.25) u izraz za ukupni moment


kolicine gibanja

~L =

N∑

j=1

mj~rj × ~vj =

N∑

j=1

mj(~rSM + ~r ′j ) × (~vSM + ~v ′

j)

=N∑

j=1

mj(~rSM × ~vSM + ~rSM × ~v ′j + ~r ′

j × ~vSM + ~r ′j × ~v ′

j)

= m ~rSM × ~vSM + ~rSM ×(

N∑

j=1

mj~v′j

)

︸︷︷︸~p ′ = 0

+

(N∑

j=1

mj~r′j

)

︸︷︷︸~r ′SM = 0

×~vSM +N∑

j=1

mj~r′j × ~v ′

j .

Prema relacijama (10.26) i (10.27) su drugi i treci clan gornjeg izraza jednaki nuli, tako dapreostaje

~L = m ~rSM × ~vSM +N∑

j=1

mj~r′j × ~v ′

j

~L = m ~rSM × ~vSM + ~L ′ , (10.28)

gdje smo uveli oznaku

~L ′ =

N∑

j=1

mj~r′j × ~v ′

j .

Moment kolicine gibanja je zbroj dva clana: prvi predstavlja gibanje sustava kao cjeline uodnosu na ishodiste O (brzinom ~vSM), a drugi je zbroj momenata kolicine gibanja cestica uodnosu na ishodiste O ′ vezano za srediste mase sustava.

Potrazimo jos i vezu izmedu momenta vanjskih sila i momenta kolicine gibanja sustava cestica.Od ranije, relacijom (10.18), znamo da u koordinatnom sustavu (O, x, y, z), vrijedi da je

d~L

dt= ~M v,

pri cemu je

~M v =

N∑

j=1

~rj × ~F vj , (10.29)

a iz (10.28) znamo da je

~L =

N∑

j=1

mj~rj × ~vj = m ~rSM × ~vSM + ~L ′ .

10.4. NEINERCIJSKI KOORDINATNI SUSTAV VEZAN ZA SREDISTE MASE 313

Uvrstavanjem ~rj = ~rSM + ~r ′j u izraz (10.29), dobiva se

d~L

dt= ~M v,

d

dt

(m~rSM × ~vSM + ~L ′ .

)=

N∑

j=1

(~rSM + ~r ′j ) × ~F v

j (10.30)

m~vSM × ~vSM︸︷︷︸= 0

+ ~rSM × md~vSMdt

+d~L ′

dt= ~rSM ×

N∑

j=1

~F vj +

N∑

j=1

~r ′j × ~F v

j .

Pogledajmo sada detaljnije sto smo dobili. Prvi clan lijeve strane je vektorski umnozak dvajednaka vektora, pa je time jednak nuli. Da bismo prepoznali drugi clan lijeve strane, prisjetimose jednadzbe gibanja j-te cestice iz prethodnog odjeljka

d~p jdt

= ~Fv,j +

N∑

i=1

~f i,j

/N∑

j=1

N∑

j=1

mjd~vjdt

=N∑

j=1

~Fv,j +N∑

j=1

N∑

i=1

~f i,j.

Kao sto smo pokazali relacijom (10.14),∑N

i,j=1~f i,j = 0, pa iz gornje relacije preostaje

md~vSMdt

=

N∑

j=1

~Fv,j . (10.31)

Prema gornjoj relaciji zakljucujemo da se drugi clan lijeve strane i prvi clan desne strane izraza(10.30) ukidaju, tako da u tom izrazu preostaje

~rSM × m

d~vSMdt

+d~L ′

dt=

~rSM ×N∑

j=1

~F vj +

N∑

j=1

~r ′j × ~F v

j .

d~L ′

dt=

N∑

j=1

~r ′j × ~F v

j .

Fizicki sadrzaj gornje relacije je ocit: nazovemo li moment vanjskih sila u koordinatnom sustavu(O ′ , x ′, y ′, z ′)

~M ′ v =N∑

j=1

~r ′j × ~F v

j ,

tada vrijedi

d~L ′

dt= ~M ′ v. (10.32)

Buduci da od ranije, relacijom (10.18), znamo da je

d~L

dt= ~M v,


(gornja je relacija napisana u inercijskom sustavu), zakljucujemo da gornja relacija vrijedi nesamo u inercijskim sustavima, nego i u neinercijskim sustavima (koji se na proizvoljannacin gibaju zajedno sa sredistem mase).

Kineticka energija:Pogledajmo jos i kako izgleda izraz za kineticku energiju u koordinatnom sustavu (O ′ , x ′, y ′, z ′).Izravnim uvrstavanjem veze medu brzinama u oba koordinatna sustava, se dolazi do

Ek =1

2

N∑

j=1

mj~v2j =

1

2

N∑

j=1

mj(~vSM + ~v ′j)

2

=1

2

N∑

j=1

mj(~v2SM + 2~vSM~v

′j + ~v ′ 2

j )

=1

2m~v 2

SM + ~vSM

N∑

j=1

mj~v′j

︸︷︷︸= ~p ′ = 0

+1

2

N∑

j=1

mj~v′ 2j

︸︷︷︸= E ′

k

.

Prema relaciji (10.27), drugi clan desne strane je jednak nuli, pa za kineticku energiju preostajeizraz

Ek =1

2m~v 2

SM + E ′k. (10.33)

Kineticka energija sustva cestica je jednaka zbroju od dva clana: prvi clan opisuje energijutranslacijskog gibanja sustava kao cjeline, brzinom ~vSM , a drugi clan opisuje kineticku energijugibanja cestica u odnosu na srediste mase sustava.

Impuls sile:Neka je ~F v(t) zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sve cestice sustava. One ne moraju biti

konstantne u vremenu, nego o njemu mogu ovisiti na proizvoljan nacin ~F v = ~F v(t). Ako vanjskesile djeluju u vremenskom intervalu od t = tpoc do t = tkon, tada se integral

∫ tkon

tpoc

~F v dt,

naziva ukupni (linearni) impuls vanjske sile. Pokazimo da je on jednak promjeni ukupne kolicinegibanja sustava. Prema relaciji (10.31) je

~F v = md~vSMdt

,

sto uvrsteno u izraz za impuls sile daje

∫ tkon

tpoc

md~vSMdt

dt = m

∫ tkon

tpoc

d~vSM = m ~vSM,kon −m ~vSM,poc = ~p kon − ~p poc. (10.34)

10.5. LAGRANGEOVO I D’ALEMBERTOVO NACELO 315

Slicna se relacija dobije i za moment vanjskih sila, za koji i u inercijskom S i u neinercijskomS ′ sustavu vrijede relacije istog oblika

d~L

dt= ~M v d~L ′

dt= ~M ′ v,

tako da je∫ tkon

tpoc

~M vdt =

∫ tkon

tpoc

d~L

dtdt =

∫ tkon

tpoc

d~L = ~L kon − ~L poc,

∫ tkon

tpoc

~M ′ vdt =

∫ tkon

tpoc

d~L ′

dtdt =

∫ tkon

tpoc

d~L ′ = ~L ′kon − ~L ′

poc. (10.35)

10.5 Lagrangeovo i D’Alembertovo nacelo

Kao sto prvi Newtonov aksiom opisuje sto se dogada s cesticom kada na nju ne djeluju sile(tj. kada je zbroj sila jednak nuli), a drugi aksiom opisuje gibanje cestice pod djelovanjem sila,tako i Lagrangeovo i D’Alembertovo nacelo opisuju to isto, ali za sustav cestica: Lagrangeovonacelo daje uvjete kada sustav cestica miruje (statika), a D’Alembertovo nacelo daje uvjetepod kojima se sustav cestica giba (dinamika).

uvjeti:U konkretnim je situacijama cesto gibanje cestice ili sustava cestica podvrgnuto razlicitimvrstama ogranicenja (uvjeta na gibanje). Ovi uvjeti potjecu od razlicitih sila koje djeluju nacestice i mogu se podijeliti u dvije skupine: uvjeti (ogranicenja) koja dolaze od veza meducesticama sustava (koje potjecu od sila medudjelovanja cestica sustava) i uvjeti koji dolazeod vanjskih sila. Opis ovih sila moze biti jako slozen i nepraktican i zato ih je u nekimsituacijama zgodnije izraziti kroz uvjete na gibanje. Od konkretnog problema ovisi koje cemosile tretirati kroz uvjete, a koje cemo shvatiti kao (prave) aktivne sile. Nekoliko primjera uovom odjeljku ce razjasniti ove pojmove. Kao primjer veze medu cesticama moze posluziti

sustav koji se sastoji od dvije cestice vezane krutim stapom zanemarive mase i duljine d (slika10.6.A). Polozaji cestica nisu nezavisni nego su povezani relacijom

|~r1(t) − ~r2(t)| = d = const.


Slika 10.6: Primjer veze medu cesticama (A) i uvjeta od vanjskih sila (B).

Ako je cestica ogranicena (vanjskim silama) na gibanje po kruznici polumjera R u ravnini (x, y)(slika 10.6.B), onda je, umjesto trazenja eksplicitnog oblika sile koji uzrokuje to ogranicenje,jednostavnije djelovanje te vanjske sile opisati jednim uvjetom na gibanje . U ovomjednostavnom primjeru, to je zahtjev da koordinate cestice zadovoljavaju jednadzbu kruznice

x(t) 2 + y(t) 2 −R 2 = 0.

U ovom primjeru djelovanje vanjske npr. gravitacijske sile nece biti opisano uvjetom na gibanje,nego ce se u jednadzbi gibanja pojaviti eksplicitno kao m ~g .U oba primjera, dakle, rjesavamo jednadzbu gibanja, ali zahtjevamo da rjesenja osim te jed-nadzbe zadovoljavaju jos i odredene jednadzbe uvjeta (slicno kao sto smo u nekim primjerima- npr. kod harmonijskog oscilatora - zahtijevali da rjesenja zadovoljavaju odredene pocetne ilirubne uvjete).

Ravnoteza:Potrazimo uvjet ravnoteze sustava cestica. U fiksnom vremenskom trenutku, promatrajmo dvijemoguce bliske konfiguracije sustava odN cestica, koje su u skladu sa silama i uvjetima kojima supodvrgnute cestice. Ako se prijelaz iz jedne u drugu konfiguraciju, ostvaruje trenutnom (dt =0) promjenom polozaja j-te cestice za δ~rj, tada pomak δ~rj nazivamo virtualni (ili zamisljeni)pomak. On se razlikuje od pravog pomaka d~rj koji se dogada u vremenskom intervalu dt 6= 0tijekom kojega se i sile i uvjeti mogu promjeniti (zamisljeni pomak δ~rj se dogada uz fiksne silei uvjete)

d ~rj , d t 6= 0,

δ ~rj , d t = 0.


Za simbol δ vrijede ista pravila kao i za diferencijal d, npr.

δ(sin θ) = cos θ δθ, δ(x 2) = 2 x δx.

Promatra se sustav vezanih cestica na koji djeluju vanjske sile (one koje nisu opisane uvjetima

na gibanje). Vanjsku silu na j-tu cesticu cemo oznaciti ~F vj . Zadatak je

naci uvjete pod kojima je ovakav sustav vezanih cestica u ravnotezi.

Zamislimo da je j-ta cestica pomaknuta za δ~rj u skladu s vezama medu cesticama i vanjskimsilama. Zbog tih istih veza i vanjskih sila, biti ce pomaknute i neke druge cestice sustava, pa ceu tom slucaju ukupan zamisljeni rad vanjskih sila obavljen nad cijelim sustavom biti jednak

δW = ~Fv,1 δ~r1 + ~Fv,2 δ~r2 + · · · + ~Fv,N δ~rN =

N∑

j=1

~F vj · δ~rj .

Ako vanjske sile mogu izvrsiti (pozitivan) rad nad sustavom vezanih cestica, one ce ga i izvrsititj. zamisljeni pomaci ce se realizirati i sustav ce prijeci iz jedne konfiguracije u drugu i δW cebiti razlicit od nule. Jedino ako pri svim zamisljenim pomacima rad iscezava, sustav ce ostatiu mirovanju. Dakle, uvjet ravnoteze sustava vezanih cestica glasi

δW =

N∑

j=1

~F vj · δ~rj = 0. (10.36)

Ta se relacija zove Lagrange-ovo 6 nacelo ili nacelo zamisljenih (virtualnih) pomaka. Zasustav nevezanih cestica su pomaci δ~rj medusobno neovisni, pa je gornji zbroj jednak nuli

samo ako su sve ~F vj = 0. Ovo je lako vidjeti iz slijedeceg rasudivanja: ako su svi pomaci

medusobno neovisni, mozemo sve zamisljene pomake, osim prvog, odabrati da su jednaki nuli,pa iz gornje relacije slijedi da je ~Fv,1 = 0. Zatim ostavimo samo drugi zamisljeni pomak

razlicitim od nule, pa zakljucimo da je i ~Fv,2 = 0, itd. za ostale cestice i dobivamo uvjetravnoteze nevezanog sustava cestica u obliku

~F vj = 0, j = 1, 2, · · · , N,

a to je upravo prvi Newtonov aksiom za svaku pojedinu cesticu. Ako su cestice vezane, gornjaargumentacija nije primjenjiva, jer zbog veze medu cesticama nije moguce da pomak samo jednecestice bude razlicit od nule, a pomaci svih ostalih cestica da su jednaki nuli: zbog postojanjaveza medu cesticama, pomak jedne od njih, izazvati ce i pomake drugih, s njom povezanihcestica. Stoga je uvjet ravnoteze vezanih cestica izrazen gore zaokvirenim izrazom. Taj izrazvrijedi bez obzira jesu li vanjske sile konzervativne ili nisu. U posebnom slucaju kada su vanjskesile konzervativne, tj. kada postoji skalarna funkcija potencijalne energije sa osobinom daje (npr. u pravokutnom koordinatnom sustavu)

~F vj = −−→∇jE

vp = −

(~ex

∂Evp

xj+ ~ey

∂Evp

yj+ ~ez

∂Evp

zj

),

6Joseph Louis comte de Lagrange, 1736 - 1813, francuski matematicar.


uvjet ravnoteze sustava vezanih cestica se moze napisati i u obliku

0 = δW =N∑

j=1

(~F vj · δ~rj

)=

N∑

j=1

(Fv,j,xδxj + Fv,j,yδyj + Fv,j,zδzj)

= −N∑

j=1

(∂Ev

p

xjδxj +

∂Evp

yjδyj +

∂Evp

zjδzj

)= −

N∑

j=1

δEvp,j = −δEv

p .

δEvp = 0. (10.37)

U ravnotezi je potencijalna energija minimalna, tako da svaki pomak povecava potencijalnuenergiju.

Zadatak: 10.6 Dva tijela masa m1i m2 se nalaze na nepomicnoj dvostrukoj kosini kao na slici10.7. Kosina je bez trenja, a tijela su povezane nerastezivom niti duljine l0 i zane-marive mase, prebacenom preko koloture (takoder bez trenja). Nacelom zamisljenihpomaka pokazite da u ravnotezi vrijedi

sinα1

sinα2=m2

m1.

R: U ovom se primjeru pojavljuje posebno jednostavan sustav koji se sastoji

Slika 10.7: Uz zadatak 10.6: dvostruka kosina bez trenja.

od samo dvije cestice. Gibanje cestica je podvrgnuto trima silama: gravitaciji mj ~g ,


otporu podloge po kojoj se gibaju (kosina) ~R j i napetosto niti ~Fnap,j (uz zanemari-vanje sile trenja) i jednom uvjetu: nepromjenjivoj duljini niti

~F vj = mj ~g + ~Fnap,j + ~R j

l0 = r1 + r2 = const.

Lagrangeovo nacelo glasi

0 =

2∑

j=1

~F vj · δ~rj

=[m1 ~g δ~r1 + ~Fnap,1 δ~r1 + ~R 1 δ~r1

]+[m2 ~g δ~r2 + ~Fnap,2 δ~r2 + ~R 2 δ~r2

].

Primjetimo da iznosi varijacija pomaka mogu biti i pozitivni i negativni

δrj ≶ 0.

Pogledajmo pojedine clanove. Vektori ~R j i δ~rj su medusobno okomiti, pa je njihov

skalarni umnozak jednak nuli. Sile napetosti ~Fnap,j su kolinearne s pomacima δ~rj , azbog izostanka trenja, one su i jednake po iznosu

~Fnap,1 δ~r1 + ~Fnap,2 δ~r2 = Fnap,1 δr1 + Fnap,2 δr2 = Fnap(δr1 + δr2).

Primjetimo da u gornjem izrazu jos ne znamo nista o svojstvima niti koja povezujecestice, pa zato ne mozemo nista reci o medusobnoj vezi δr1 i δr2. Tek ako se uzmeu obzir i uvjet na gibanje cestica - da su povezane nerastezivom niti, tada je:

r1 + r2 = l0, ⇒ δr1 + δr2 = 0 ⇒ δr1 = −δr2,

Uvrsti li se to u gornji jednadzbu, slijedi

Fnap (δr1 + δr2) = 0.

U izrazu za Lagrangeovo nacelo, preostaje samo clan s gravitacijskom silom

0 = m1 ~g δ~r1 +m2 ~g δ~r2

0 = m1 g cos(π/2 + α1) δr1 +m2 g cos(π/2 + α2) δr2

0 = m1 g sinα1 δr1 +m2 g sinα2 δr2.

0 = (m1 sinα1 −m2 sinα2) g δr1,

tj. dobiva se trazena relacijasinα1

sinα2=m2

m1. (10.38)


Zadatak: 10.7 Rijesite prethodni zadatak pomocu zahtjeva da je u ravnotezi potencijalna en-ergija minimalna, tj. da je δEp = 0.

R: Uz zanemarivanje sila trenja, jedina (neuvjetna) sila koja djeluje na cesticeje konzervativna gravitacijska sila, koja se moze izraziti preko potencijalne energije.Neka je ukupna duljina niti l0 = r1 + r2, a Ep = 0 na vrhu kosine. Tada je

Ep = −m1 g r1 sinα1 −m2 g (l0 − r1) sinα2,

δEp =∂Ep∂r1

δr1 = −g δr1 (m1 sinα1 −m2 sinα2) = 0.

Primjetimo da je Ep linearna funkcija r1, pa zato ne moze postojati minimum nitimaksimum potencijalne energije.

Gibanje:Polazeci od Lagrangeova nacela, moze se doci i opceg zakona gibanja sustava vezanihcestica. Neka vanjska sila ~F v

j daje j-toj cestici ubrzanje ~a j. Uslijed veza medu cesticamaili uvjeta na gibanje, ovo ubrzanje ne mora biti kolinearno s vanjskom silom. Npr.kod gibanja cestice niz kosinu uslijed djelovanja vanjske gravitacijske sile, ubrzanje cestice jepo smjeru paralelno s kosinom i prema tome nije kolinearno s vanjskom (gravitacijskom) silom(slika 10.7).

Zamislimo sada da na cesticu osim vanjske sile ~F vj djeluje jos i sila jednaka negativnom umnosku

mase i ubrzanja j-te cestice: −mj~a j , koja ponistava djelovanja i vanjskih sila i silaod uvjeta. Sada je zbroj svih sila koje djeluju na cesticu jednaka

~F vj −mj~a j

i sustav je u ravnotezi, pa Lagrangeov uvjet ravnoteze poprima oblik

N∑

j=1

(~F vj −mj~a j

)δ~rj = 0. (10.39)

Gornja se jednadzba zove D’Alembertovo 7 nacelo za gibanje sustava vezanih cestica.Slicnom argumentacijom kao i kod Lagrangeova nacela, zakljucujemo da je uvjet ravnotezenevezanih cestica ekvivalentan Newtonovim jednadzbama gibanja

~F vj −mj ~a j = 0, j = 1, 2, · · · , N,

a to je upravo drugi Newtonov aksiom za svaku pojedinu cesticu. Ovime je dinamika shvacenakao poseban slucaj statike.

Zadatak: 10.8 Koristeci D’Alembertovo nacelo, opisite gibanje sustava iz primjera 10.6.

7Jean D’Alembert, 1717 - 1783, francuski matematicar.

10.6. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM: GIBANJE RAKETE 321

R: Uz istu oznacavanje kao i u prethodnim primjerima, D’Alembertovo naceloglasi

0 =

2∑

j=1

(~F vj −mj ~rj

)· δ~rj

=[m1 ~g + ~Fnap,1 + ~R 1 −m1 ~r1

]· δ~r1 +

[m2 ~g + ~Fnap,2 + ~R 2 −m2 ~r2

]· δ~r2.

Kao i u prethodna dva primjera, clanovi sa silama napetosti i reakcijom podlogeiscezavaju, a preostaje

0 = (m1 ~g −m1 ~r1) δ~r1 + (m2 ~g −m2 ~r2) δ~r2,

0 = (m1 g sinα1 −m1 r1) δr1 + (m2 g sinα2 −m2 r2) δr2.

Zbog nerastezivosti niti je opet r1 + r2 = l0 = const., pa je δr1 = −δr2 i r1 = −r2.Uvrstavanjem ovih veza u gornju relaciju, slijedi

0 = (m1 g sinα1 −m1 r1) δr1 + (m2 g sinα2 +m2 r1) (−δr1),

0 = (m1 g sinα1 −m1 r1 −m2 g sinα2 −m2 r1) δr1.

Rjesavanjem gornje jednadzbe po r1, dobiva se ubrzanje prve cestice

r1 = gm1 sinα1 −m2 sinα2

m1 +m2.

Primjetimo da je ono konstantno u vremenu. Ubrzanje druge cestice je r2 = −r1. Uravnotezi je r1 = r2 = 0, a ove su relacije zadovoljene ako je brojnik gornjeg izrazajednak nuli tj. ako vrijedi (10.38) iz prethodna dva primjera.

10.6 Sustavi s promjenjivom masom: gibanje rakete

Do sada smo promatrali gibanja cestica ili sustava cestica nepromjenjive mase, a sada cemodetaljnije prouciti gibanje jednog sustava promjenjive mase: rakete. Promatrat cemo najjed-nostavniju situaciju u kojoj se raketa giba okomito po pravcu u konstantnom gravitacijskompolju (slika 10.8), zanemarujuci utjecaj otpora zraka tijekom gibanja kroz atmosferu i vrtnjuZemlje. Osnovni zadatak je

izracunati brzinu rakete u proizvoljnom trenutku nakon lansiranja.

Neka je brzina rakete u trenutku t, oznacena s

~v = v ~ez , v > 0, (10.40)

a njezina masa s m. Pod masom rakete podrazumjevamo masu kabine mk, masu spremnika zagorivo ms i masu samog goriva mg.

m(t) = mk +ms +mg(t).


Slika 10.8: Gibanje rakete u konstantnom gravitacijskom polju: (A) u trenutku t; (B) u trenutku t+∆t.

Samo se masa goriva mijenja (smanjuje) s vremenom. U trenutku t+ ∆t, raketa je izbacila diosvoje mase u obliku mjesavine cestica goriva, u smjeru suprotnom od smjera svojega gibanja.Masu odbacenih plinova oznacavamo s −∆m > 0, a njihovu brzinu s ~v − ~v0. Brzina izbacenihplinova se dakle sastoji od dvije komponente: brzine same rakete ~v i brzine plinova u odnosuna raketu −~v0 = −v0~ez , v0 > 0. U tom istom trenutku t + ∆t, masa rakete je umanjenaza masu izbacenih plinova i jednaka je m + ∆m, a brzina joj je povecana na ~v + ∆~v gdje je∆~v = ∆v ~ez , ∆v > 0. Sve se brzine mjere u odnosu na inercijski sustav sa ishodistem u tockiO.

Kao sto je pokazano relacijom (10.15), samo vanjska sila moze promijeniti ukupnu kolicinugibanja sustava. Nadalje, relacijom (10.34) je polazano da je ta promjena kolicine gibanja

sustava jednaka je impulsu vanjske sile. Primjetimo da vanjska sila ~F v (gravitacija ili trenje),mijenja kolicinu gibanja cijelog sustava koji se sastoji od rakete i izbacenog plina. Unutarsustava, uslijed pogona rakete, njezina brzina se povecava, ali se taj porast brzine (pa timei kolicine gibanja rakete) kompenzira izbacenim plinom, tako da je ukupna kolicina gibanjasustava raketa plus izbaceni plin nepromjenjena. Ili, drugim rijecima, unutarnja sila kojapotjece od pogona, povecat ce brzinu rakete, ali nece promijeniti kolicinu gibanja cijelog sustava(raketa plus izbaceni plin).

kolicina gibanja u t + ∆t

︷︸︸︷(m + ∆m) (~v + ∆~v)︸︷︷︸

raketa u t+ ∆t

+ (−∆m)(~v − ~v0)︸︷︷︸plin u t+ ∆t

−

kolicina gibanja u t

︷︸︸︷m ~v︸︷︷︸

raketa u t

=

impuls vanjske sile

︷︸︸︷~F v ∆t .

m ~v +m ∆~v + ∆m ~v + ∆m ∆~v −∆m ~v + ∆m ~v0 −m ~v = ~F v ∆t

/1

∆t,

m∆~v

∆t+ ∆m

∆~v

∆t+ ~v0

∆m

∆t= ~F v

/lim∆t→0

.


U granici kada ∆t iscezava, takoder iscezavaju i ∆m→ 0 , kao i ∆~v → 0, pa preostaje

md~v

dt+ ~v0

dm

dt= ~F v,

~ez mdv

dt+ ~ez v0

dm

dt= −~ez m g,

m(t)dv

dt+ v0

dm

dt= −m(t) g. (10.41)

Radi jednostavnosti, u gornjoj smo jednadzbi u clanu vanjskih sila zanemarili otpor atmosfere ivrtnju Zemlje, a za gravitacijsku silu smo pretpostavili da se ne mijenja s visinom, g = const.(tocnije bi bilo uzeti da je g = g(z)).

Clan dm/dt opisuje brzinu kojom raketa gubi masu. Najjednostavnije je pretpostaviti da raketagubi masu konstantnom brzinom dm/d t. Buduci da je za pozitivni dt masa rakete smanjuje,dm < 0, pretpostavit cemo da je

dm

dt= −c 20 = const.

∫ t

0

dm = −c 20∫ t

0

dt = −c 20 t

m(t) = m(0) − c 20 t,

mk +ms +mg(t) = mk +ms +mg(0) − c 20 t,

mg(t) = mg(0) − c 20 t.

Uvrstavanjem gornjeg izraza za masu u (10.41), dobiva se

[m(0) − c 20 t

] dvdt

− v0 c20 = −

[m(0) − c 20 t

]g

/1

m(0) − c 20 t

dv

dt=

v0 c20

m(0) − c 20 t− g

/∫ t

0

dt

v(t) − v(0) = −g t + v0 c20

∫ t

0

dt1

m(0) − c 20 t

v(t) = v(0) − g t + v0 lnm(0)

m(0) − c 20 t.

Uz pretpostavku da je pocetna brzina rakete jednaka nuli v(0) = 0, konacno se dobije za brzinurakete u trenutku t > 0

v(t) = v0 lnm(0)

m(0) − c 20 t− g t. (10.42)


Izracunajmo najvecu brzinu koju moze postici ovakva raketa (uz zanemarivanje relativnomale brzine −g t). To ce ocito biti brzina koju postigne raketa nakon sto potrosi svo gorivo, ato ce se dogoditi nakon vremena koje cemo oznaciti s t = τ

mg(τ) = 0 = mg(0) − c 20 τ ⇒ τ =mg(0)

c 20.

U tom je trenutku brzina jednaka (uz zanemarivanje brzine −g t)

v(t = τ) = vmax = v0 lnmk +ms +mg(0)

mk +ms= v0 ln

(1 +

mg(0)

mk +ms

).

Ukupna pocetna masa goriva i stjenki spremnika se obicno oznacava s

m0 = ms +mg(0),

a omjer pocetne mase goriva i m0 se naziva strukturni faktor i oznacava se s

ǫ =mg(0)

m0.

Prijelazom sa ms i mg(0) na m0 i ǫ pomocu relacija

mg(0) = ǫ m0, ms = (1 − ǫ) m0,

za najvecu brzinu se dobiva

vmax = −v0 ln

(1 − ǫ

m0

mk +m0

).

Po redu velicine je brzina izlaznih plinova iz rakete jednaka v0 = 4 · 103ms−1, strukturni faktorje ǫ = 0.8, a omjer mase kabine i mase spremnika i goriva je oko jedan posto. Uvrstavanjemovih brojeva u izraz za maksimalnu brzinu, dobije se

vmax ≃ 6.28 · 103ms−1.

Ova je brzina manja od prve kozmicke brzine (brzine kruzenja, 8 · 103ms−1), pa ovakva raketane bi imala dovoljnu brzinu potrebnu za orbitiranje oko Zemlje.

Zato se konstruiraju dvostupanjske rakete. Ove se rakete sastoje od kabine i dva spremnikas gorivom. Nakon sto se potrosi gorivo iz prvog spremnika, on se odbacuje, a zapocinje izgaranjegoriva iz drugog spremnika. Oznacimo s

m01 = mg1(0) +ms1,

ukupnu masu goriva i stjenki prvog spremnika, a sa

m02 = mg2(0) +ms2,

ukupnu masu goriva i stjenki drugog spremnika. Ukupna masa rakete u trenutku lansiranja je

m(0) = mk +m01 +m02.

Uvrstavanje u jednadzbu (10.42), uz zanemarivanje utjecaja gravitacije i otpora zraka, daje

v(t) = v0 lnmk +m01 +m02

mk +m01 +m02 − c 20 t.


U trenutku t = τ1, potroseno je svo gorivo iz prvog spremnika

mg1(τ1) = 0 = mg1(0) − c 20 τ1,

v(τ1) = v0 ln

(1 +

mg1(0)

mk +ms1 +m02

).

Uvede li se strukturni faktor prvog spremnika izrazom

ǫ1 =mg1(0)

m01,

gornji izraz za brzinu postaje

v(τ1) = −v0 ln

(1 − ǫ1

m01

mk +m01 +m02

). (10.43)

Nakon odbacivanja prvog stupnja rakete, njezinu brzinu opet mozemo racunati pomocu (10.42),ali uz drukcije pocetne uvjete: sada je pocetna brzina v(τ1) (a ne nula), a pocetna masa je

m(0) = mk +mg2(0) +ms2

(zato jer je prvi spremnik odbacen)

v(t) = v(τ1) + v0 lnmk +mg2(0) +ms2

mk +mg2(0) +ms2 − c 20 t, t > τ1.

Sada pocinje izgaranje goriva iz drugog spremnika. Radi jednostavnosti, neka ono izgara istombrzinom kao i gorivo iz prvog spremnika. Nakon vremena t = τ2, izgorjet ce svo gorivo i izdrugog spremnika

mg2(τ2) = 0 = mg2(0) − c 20 τ2.

v(τ2) = v(τ1) + v0 lnmk +mg2(0) +ms2

mk +ms2

,

v(τ2) = v(τ1) + v0 ln

(1 +

mg2(0)

mk +ms2

).

Uvedimo strukturni faktor drugog spremnika izrazom

ǫ2 =mg2(0)

m02.

Uvrstavanjem u gornji izraz za brzinu, daje

v(τ2) = v(τ1) − v0 ln

(1 − ǫ2

m02

mk +m02

).

Brzinu u trenutku τ1 (nakon sto je potroseno gorivo prvog spremnika), daje izraz (10.43), pa jebrzina rakete u trenutku t = τ2, kada je potroseno gorivo iz oba spremnika, jednaka

v(τ2) = −v0 ln

(1 − ǫ1

m01

mk +m01 +m02

)− v0 ln

(1 − ǫ2

m02

mk +m02

).

(10.44)


Tablica 10.1: Brzina dvostupanjske rakete,ovisno o omjeru masa prvog i drugog stupnja.Desno je graficki prikaz podataka iz tablice.

m01/mk m02/mk v(τ2) · 10−3 ms−1

95 5 9.9890 10 10.1985 15 10.0280 20 9.7670 30 9.1960 40 8.6450 50 8.15 0 10 20 30 40 50 60

v ( τ2 ) 10 -3

m s-1

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

m 0

2 /

m k

Da bismo dobili osjecaj o redu velicina brzine dvostupanjskle rakete, neka je ǫ1 = ǫ2 =0.8, m01 = m02, m01 +m02 = 100 mk. Uvrstavanje ovih vrijednosti u (10.44), dobije se

v(τ2) = 8.15 · 103m

s,

sto je po redu velicine jednako prvoj kozmickoj brzini. Vece konacne brzine se mogu dobitivariranjem omjera masa prvog i drugog stupnja rakete. Tablica 10.1 pokazuje da je konacnabrzina najveca kada je masa prvog stupnja oko devet puta veca od mase drugog stupnja (uznepromjenjene vrijednosti ostalih parametara).

10.7 Sudari cestica

U ovom cemo poglavlju promatrati posebno jednostavan slucaj sustava cestica koji se sastojiod samo dvije cestice, tj. N = 2. Od svih parova meducesticnih sila, ~f i,j, preostaje samo jedanpar

~f 1,2.

Ali i ova je sila sve vrijeme jednaka nuli osim u trenutku dodira (sudara) cestica. U tom trenutkudjeluju ili jake odbojne sile, pa se cestice odbiju jedna od druge, ili djeluju jake privlacne sile,pa se cestice spoje i nakon sudara se gibaju kao jedno tijelo. Od vanjskih sila, na cestice djelujegravitacijska sila. Radi jednostavnosti, gibanje cemo postaviti na pravac ili ravninu okomitu nasmjer djelovanja gravitacijske sile, tako da ona nece utjecati na sudar cestica (naravno, samoako zanemarimo trenje cestica s podlogom po kojoj se gibaju). Takoder cemo zanemariti itrenje cestica s medijem u kojem se odvija gibanje. Ucinci na gibanje koji dolaze od vrtnjeZemlje (neinercijalnost), se takoder zanemaruju.Cestice su zamisljene kao savrsene glatke kugle koje imaju odredeni volumen, masu i odredenuelasticnost, a sve ostale njihove osobine su zanemarene. Vrijeme trajanja sudara se sastoji odvremena kompresije, tijekom kojega dolazi do deformacije cestice-kugle, i vremena resti-tucije tijekom kojega cestica opet poprima (u cjelosti ili samo djelomice) svoj nedeformiranioblik. Uslijed glatkosti kugli, sile se tijekom sudara prenose duz linije koja spaja sredista kuglii prolazi linijom njihovog dodira. Sudari se mogu razvrstati u odnosu na smjer gibanja cesticana centralne i necentralne i u odnosu na bilancu mehanicke energije na elasticne ineelasticne .Kod centralnih sudara, smjer gibanja cestica lezi na spojnici njihovih sredista i prije i poslijesudara. Sudari koji nisu centralni, jesu necentralni. I kod centralnih i kod necentralnih sudara,vazna je samo ona komponenta brzine koja izaziva sudar. Koordinatni sustav cemo postaviti

10.7. SUDARI CESTICA 327

tako da to bude x komponenta brzine (slika 10.11). Brzine cestica prije sudara cemo oznacitis ~v1 i ~v2, a poslije sudara s ~v ′

1 i ~v ′2. Ako je v1 > v2, do sudara ce doci bez obzira na smjer ~v2

Slika 10.9: Uz Newtonovo pravilo za sudare: (A) prije sudara, (B) poslije sudara.

(slika 10.9). Nakon sudara mora biti v ′2 > v ′

1, ako su cestice razdvojene nakon sudara (zato jerprva cestica ne moze prestici drugu), a v ′

2 = v ′1, ako su se cestice nakon sudara slijepile jedna

za drugu.U odnosu na bilancu energije, sudar se naziva elasticnim ako je ukupna kineticka energija istaprije kao i poslije sudara. Svi ostali sudari su neelasticni. Kod neeelasticnih sudara se dio (ilisva) kineticke energije radom pretvara u druge oblike energije: npr. da bi se kugla deformirala,potrebno je obaviti rad za savladavanje medumolekularnih sila koje vladaju medu molekulamatvari cime se dio kineticke energije pretvara u medumolekularnu potencijalnu energiju. Za opisi elasticnih i neelasticnih sudara korisiti se jedna relacija koja se temelji na iskustvu, a koja sezove Newtonovo pravilo za sudare. Ono se moze iskazati formulom

ǫ =|~v ′

2 − ~v ′1|

|~v2 − ~v1|.

Velicina ǫ se zove koeficijent restitucije i ovisi o osobinama tvari od koje su izgradenecestice koje sudjeluju u sudaru. Opcenito je 0 ≤ ǫ ≤ 1.Kao poseban slucaj sudara dvije cestice, moze se promatrati cestica koja nalijece na nepomicnizid (sa stanovista cestice-kugle, zid je kugla beskonacno velikog polumjera i beskonacno velikemase), tada je ~v2 = ~v ′

2 = 0 i ǫ = v ′1/v1 je omjer iznosa brzina cestice nakon i prije sudara.

Zadatak: 10.9 Dvije kugle masa m1 i m2 objesene su kao na slici 10.10. Prva se kugla postavitako da u t = 0, zatvara kut α s okomicom i zatim pusti da pada bez pocetne brzinena drugu kuglu koja do tada miruje. Poslije sudara se druga kugla odbije do polozajaopisanog kutom β prema okomici. Odredite koeficijent restitucije.

R: Prema slici 10.10, u trenutku sudara brzine cestica imaju samo x kom-


Slika 10.10: Uz zadatak odredivanja koeficijenta restitucije.

ponentu, pa Newtonovo pravilo za sudare glasi

ǫ =v ′2,x − v ′

1,x

v1,x − v2,x=v ′2,x − v ′

1,x

v1,x − 0,

jer druga cestica prije sudara miruje pa je v2,x = 0. Izracunajmo v ′1,x, v

′2,x i v1,x preko

kutova α i β i masa m1 i m2.Bilanca mehanicke energije za brzinu prve kugle prije sudara, daje

1

2m1 v

21,x = m1 g h1 = m1 g l (1 − cosα) ⇒ v1,x = 2 sin

α

2

√g l,

i slicno za brzinu druge kugle poslije sudara

v ′2,x = 2 sin

β

2

√g l.

Iz sacuvanja kolicine gibanja

m1 v1,x + m20 = m1 v′1,x + m2 v

′2,x,

dobivamo brzinu prve cestice poslije sudara

v ′1,x =

m1 v1,x − m2 v′2,x

m1

.

Pomocu ove tri brzine: v1,x, v′1,x i v ′

2,x, dobivamo koeficijent restitucije

ǫ =m1 +m2

m1

sin(β/2)

sin(α/2)− 1.


10.7.1 Centralni sudar

Neka se prije sudara cestica mase m1 giba brzinom ~v1, a cestica mase m2 brzinom ~v2 (slika10.9). Zadatak je

izracunati brzine ~v ′1 i ~v ′

2 cestica poslije sudara, ako su nam poznate njihovebrzine prije sudara

Buduci da na cestice ne djeluju vanjske sile u smjeru gibanja (gravitacija djeluje u okomitomsmjeru, pa zbog zanemarivanja trenja ne utjece na gibanje), bit ce ukupna kolicina gibanjasustava konstantna (strana 303), tj. ista prije i poslije sudara:

m1 ~v1 +m2 ~v2 = m1 ~v′1 +m2 ~v

′2.

Za nalazenje dvije nepoznanice, ~v ′1 i ~v ′

2, trebaju nam i dvije jednadzbe. Jednu vec imamo, toje gornja jednadzba sacuvanja ukupne kolicine gibanja sustava. Iako je napisana u vektorskimsimbolima, ta jednadzba ima samo jednu - x - komponentu jer se gibanje sve vrijeme - i prijei poslije sudara - odvija po istom pravcu, tj. po osi x. Za drugu ne mozemo uzeti zakono sacuvanju mehanicke energije, jer zelimo opisivati i neelasticne sudare u kojima mehanickaenergija nije sacuvana. Kao druga jednadzba, posluzit ce nam Newtonovo pravilo za sudare(primjetimo da su predznaci brzina odabrani tako da je ǫ ≥ 0):

~v ′2 − ~v ′

1 = ǫ (~v1 − ~v2).

Gornje dvije jednadzbe su dvije linearne algebarske jednadzbe iz kojih se elementarnim putemdolazi do brzina cestica poslije sudara:

~v ′1 =

(m1 − ǫ m2) ~v1 +m2 (1 + ǫ) ~v2m1 +m2

,

(10.45)

~v ′2 =

m1 (1 + ǫ) ~v1 + (m2 − ǫ m1) ~v2m1 +m2

.

Primjetimo da su gornji izrazi invarijantni na zamjenu

1 2,

sto je posljedica izotropije prostora.Sto je s brzinom sredista mase? Hoce li se ona promjeniti? Prema izrazu (10.15) vidi se dapromjena brzina sredista mase potjece od djelovanja vanjskih sila, a buduci da u razmatranomslucaju nema vanjskih sila (tocnije, njihovo je djelovanje zanemareno), to se mora zakljucitida je brzina sredista mase nepromjenjena. U to je lako uvjeriti se: usporedimo brzine sredistamase prije sudara

~vSM =m1 ~v1 +m2 ~v2m1 +m2

,


i poslije sudara

~v ′SM =

m1 ~v′1 +m2 ~v

′2

m1 +m2

=1

m1 +m2

[m1

(m1 − ǫm2)~v1 +m2(1 + ǫ)~v2m1 +m2

+m2m1(1 + ǫ)~v1 + (m2 − ǫm1)~v2

m1 +m2

]

=1

(m1 +m2) 2

[m1(m1 +m2)~v1 +m2(m1 +m2)~v2

]=m1 ~v1 +m2 ~v2m1 +m2

= ~vSM .

Dakle, brzinu sredista mase mogu promijeniti samo vanjske sile (strana 303), a one su jednakenuli u smjeru gibanja cestica, pa je zato brzina sredista mase cijelog sustava konstantna.

Pogledajmo i koliko se promjenila kineticka energija sustava uslijed sudara. Prije sudara je

Ek =1

2m1 ~v

21 +

1

2m2 ~v

22 ,

a poslije sudara

E ′k =

1

2m1 ~v

′ 21 +

1

2m 2 ~v

′ 22 .

Promjena kineticke energije se dobiva uvrstavanjem izraza (10.45) za ~v ′1 i ~v ′

2 u razliku E ′k −Ek.

Nakon kraceg sredivanja, dobiva se

∆Ek = E ′k − Ek = −1

2

m1 m2

m1 +m2

(~v1 − ~v2)2 (1 − ǫ 2). (10.46)

Negativan predznak u gornjem izrazu znaci da se kineticka energija moze samo smanjivati iliostati nepromjenjena, E ′

k ≤ Ek. Sudarom se ne moze stvarati kineticka energija. Primjetimoda se ∆Ek moze preglednije napisati preko reducirane mase µ i relativne brzine. Inverznavrijednost reducirane mase se definira kao dvostruka vrijednost harmonijske sredine masa m1 im2

1

µ=

1

m1+

1

m2

Relativne brzina se definira kao

~v = ~v1 − ~v2

∆Ek = −1

2µ ~v 2 (1 − ǫ 2).

Posebni slucajevi:Neka je ǫ = 0. Uvrstavanje u jednadzbe (10.45), daje

~v ′1 =

m1~v1 +m2~v2m1 +m2

= ~vSM , ~v ′2 =

m1~v1 +m2~v2m1 +m2

= ~v ′1 = ~vSM .


Zakljucujemo da su se cestice uslijed sudara slijepile i poslije se gibaju kao jedno tijelo brzinom~v ′1 = ~v ′

2 = ~vSM , a smanjenje kineticke energije (10.46) je najvece

∆Ek = −1

2µ ~v 2.

Ovakav se sudar naziva savrseno neelastican.

Neka je sada ǫ = 1. Tada su brzine poslije sudara jednake

~v ′1 =

(m1 −m2)~v1 + 2m2~v2m1 +m2

, ~v ′2 =

2m1~v1 + (m2 −m1)~v2m1 +m2

.

Primjetimo da je sada, prema (10.46), kineticka energija nepromjenjena

∆Ek = 0 ⇒ Ek = E ′k.

Ek = E ′k, pa se ovakav sudar naziva elastican sudar.

Svi ostali sudari sa 0 < ǫ < 1, se nazivaju neelasticni sudari.

10.7.2 Necentralni sudar

Promatrajmo sada dvije cestice-kugle, masa m1 i m2, koje se bez trenja gibaju u ravnini (x, y)i u njoj se necentralno sudaraju (slika 10.11). Zbog zanemarivanja trenja, gravitacijska sila neceutjecati na gibanje. Kao i kod centralnih sudara, zadatak je

Slika 10.11: Necentralni sudar.

izracunati brzine cestica poslije sudara, ako su nam poznate njihove brzineprije sudara.


Brzine prije i poslije sudara su zadane s dva broja: to mogu biti x i y komponente vektora brzineu pravokutnom koordinatnom sustavu ili iznos brzine i kut prema pozitivnoj x koordinati kaou polarnom koordinatnom sustavu:

m1 v1, ϕ1 v ′1, ϕ

′1,

v1x, v1y v ′1x, v

′1y,

m2 v2, ϕ2 v ′2, ϕ

′2.

v2x, v2y v ′2x, v

′2y,

Sada trazimo cetiri jednadzbe iz kojih cemo izracunati cetiri nepoznanice: po dvije kom-ponente brzine za svaku od dvije cestice. Primjetimo, najprije, da y komponente brzine nesudjeluju u sudaru (kada bi cestice imale samo brzinu u smjeru y, do sudara ne bi ni doslo), pada zato mora biti

v ′1y = v1y = −v1 sin(π − ϕ1) = −v1 sinϕ1. (10.47)

v ′2y = v2y = −v2 sinϕ2.

To su prve dvije od trazene cetiri jednadzbe. One naprosto kazu da se y komponente brzinane mijenjaju. U ravnini (x, y) ne djeluju vanjske sile, pa zato mora vrijediti zakon o sacuvanjuukupne kolicine gibanja

m1 ~v1 +m2 ~v2 = m1 ~v′1 +m2 ~v

′2.

To je vektorska jednadzba koju mozemo rastaviti na x komponentu

m1 v1x +m2 v2x = m1 v′1x +m2 v

′2x, (10.48)

i y komponentu

m1 v1y +m2 v2y = m1 v′1y +m2 v

′2y. (10.49)

No, jednadzba (10.49) nije nezavisna, nego je posljedica (10.47), tako da imamo sve skupatri nezavisne jednadzbe (dvije u (10.47) i jednu u (10.48)). cetvrtu jednadzbu cemo dobiti izNewtonovog pravila za sudare. Ponovo, u smjeru y nema sudara, a u smjeru x vrijedi

v ′1x − v ′

2x = ǫ (v2x − v1x). (10.50)

Jednadzbe (10.48) i (10.50) predstavljaju 2 × 2 linearni sustav za dvije nepoznanice: v ′1x i v ′

2x.Rjesavanjem tog sustava, u polarnim koordinatama,se dobiva

v ′1x = v ′

1 cosϕ′1 =

−v1 cosϕ1 (m1 −m2 ǫ) − v2 cosϕ2 m2 (1 + ǫ)

m1 +m2

,

v ′2x = v ′

2 cosϕ′2 =

−v1 cosϕ1 m1(1 + ǫ) − v2 cosϕ2 (m2 −m1 ǫ)

m1 +m2.

Buduci da y komponente brzina ostaju nepromjenjene, znamo i x i y komponente brzina poslije


sudara

~v ′1 = ~ex

−v1 cosϕ1 (m1 −m2 ǫ) − v2 cosϕ2 m2(1 + ǫ)

m1 +m2− ~ey v1 sinϕ1,

= ~exv1x (m1 −m2 ǫ) + v2x m2(1 + ǫ)

m1 +m2+ ~ey v1y,

~v ′2 = ~ex

−v1 cosϕ1 m1 (1 + ǫ) − v2 cosϕ2 (m2 −m1 ǫ)

m1 +m2− ~ey v2 sinϕ2.

= ~exv1x m1 (1 + ǫ) + v2x (m2 −m1 ǫ)

m1 +m2

+ ~ey v2y.

Gornje relacije sadrze u sebi poseban slucaj centralnog sudara koji se dobije kada je ϕ1 = π, aϕ2 = 0 ili π. U tom slucaju gornje relacije prelaze u

~v ′1 = ~ex

v1 (m1 −m2 ǫ) ± v2 m2 (1 + ǫ)

m1 +m2

− ~ey · 0,

~v ′2 = ~ex

v1 m1 (1 + ǫ) ± v2 (m2 −m1 ǫ)

m1 +m2− ~ey · 0.

koje smo vec na strani 329 dobili za centralni sudar (predznak + se odnosi na kut ϕ2 = π, a −na ϕ2 = 0).

Poglavlje 11

Mali titraji sustava cestica

Kristalna resetkaZa razliku od odjeljka o sudarima gdje smo promatrali sustav od samo dvije cestice kojemedudjeluju samo u trenutku izravnog medusobnog dodira, sada cemo promatrati nesto slozenijisustav. Slozeniji utoliko sto je sada broj cestica proizvoljno velik, a i medudjelovanja cestica suslozenija.

Slika 11.1: Element kubicne kristalne resetke.

To su sustavi koji se susrecu pri studiranjukristalnih tvorevina. Kristali su pravilnetvorevine nastale beskonacnim periodickimponavljanjem osnovnog uzorka. Ovaj os-novni uzorak se naziva elemetarana celija.Postoje razlicite vrste elementarnih celijaod kojih je najlakse zamisliti (a svakakoi nacrtati) kubicnu celiju (Slika 11.1). Uvrhovima celije se nalaze cestice (atomi, ioni,skupine atoma, molekule, ...), a bridovi pred-stavljaju cesticna medudjelovanja. Uslijedmedudjelovanja, najcesce samo medu prvimsusjedima, cestice u cvorovima kristalneresetke nece mirovati, nego ce titrati oko svo-jih ravnoteznih polozaja. Ovo titranje u 3D prostoru se moze, radi jednostavnosti, zamislitikao kombinacija dvije vrste titranja: jednog, u smjeru spojnice susjednih cestica (longitudi-nalno ili ouzduzno, smjer x sa slike 11.2) i drugo, okomito na smjer spojnice susjednih cestica(trasverzalno ili poprecno). Ovo transverzalno titranje se opet moze zamisliti kao kombinacijadva titraja u medusobno okomitim smjerovima (smjerovi y i z sa slike 11.2). Po svojim geometri-jskim odnosima, ovo transverzalno titrajne podsjeca na medusobni odnos titranja elektricnog imagnetskog polja u opisu elektromagnetskog vala.

SileSile kojima medudjeluju cestice kristalne resetke su elektromagnetskog (npr. Coulombova elek-trostatska sila) i / ili kvantno-mehanickog podrijetla (sile ”zamjene”). Njihov tocan opis jecesto nepoznat ili je toliko slozen, da je prakticki neprimjenjiv. Stoga se pribjegava pojednos-tavljenim opisima medudjelovanja. Jedno vrlo jednostavno pojednostavljenje je pretpostavkada medu cesticama djeluju jednostavne elasticne sile srazmjerne udaljenosti pojedine cesticeod ravnoteznog polozaja (silu ovog tipa smo vec upoznali u odjeljku 6). Kristalan resetka

335

336 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA CESTICA

time postaje geometrijski pravilan skup cestica povezanih malenim oprugama (slika 11.1), tj.postaju skup vezanih harmonijskih oscilatora. Opruge povezuju samo prve susjede (kratki dosegmedudjelovanja). U kvantnomehanickom opisu titranja (koje se nece ovdje izloziti), umjestoskupa vezanih klasicnih harmonijskih oscilatora, promatra se skup vezanih kvantnih harmoni-jskih oscilatora, a rezultantno titranje se shvaca kao skup cestica, elementarnih pobudenja1

titranja kristalne resetke, koje se zovu fononi (longitudinalni titraji se nazivaju akusticki fononi,a transverzalni su opticki fononi).Radi jednostavnosti, na slici 11.1 cemo uociti jedan smjer, npr. smjer osi x i opisat cemotitranja cestica u tom smjeru (kao na slici 11.2). Naravno da se isti rezultati dobiju i analizomtitranja cestica u smjerovima y i z. Rezultantno titranje je vektorski zbroj titranja u pojedinimsmjerovima.Ogranicenje na sile kratkog dosega tada znaci da svaka cestica medudjeluje samo sa svoja dvaprva susjeda.

~f i, i−1 6= 0, ~f i, i+1 6= 0, ~f i, j = 0, j 6= i± 1.

Promatrat ce se ucinci samo elasticne sile, dok ce se ucinci gravitacije i trenja s medijem ukojem se odvija gibanje, zanemariti.

Pocetni i rubni uvjetiPromatrat cemo situaciju u kojoj neka vanjska sile u jednom (pocetnom) trenutku t = 0, otk-loni iz polozaja ravnoteze nekoliko ili sve cestice sustava i zada im pocetne brzine. Nakon togase sustav dalje giba u skladu s jednadzbama gibanja.Promatrat ce se sustav odN cestica. Lijevo od prve i desno odN -te cestice nalazi se nepomican

zid (to su rubni uvjeti).Ogranicit cemo se na proucavanje gibanja jedno- i dvodimenzijskih sustava.

11.1 Mali longitudinalni titraji jednodimenzijskog diskretnog sus-tava cestica

U odjeljku 6 smo vidjeli da jedna cestica koja se giba samo pod djelovanjem elasticne sile(harmonijski oscilator), harmonijski titra oko svog polozaja ravnoteze. Sila je po iznosu jednakaK ∆ x (gdje je ∆ x otklon od polozaja ravnoteze), a smjer je prema polozaja ravnoteze. To setitranje odvija kruznom frekvencijom

ω0 =

√K

m

za harmonijski oscilator ili

ω0 =

√g

l

za matematicko njihalo.U ovom odjeljku cemo prouciti gibanje sustava od N cestica iste mase m, povezanih oprugamaiste konstante K (slika 11.2), tj. promatrat cemo sustav sastavljen od N jednakih i medusobno

1Bas kao sto se i titranje elektromagnetskog polja shvaca kao skup cestica (fotona), tako se i titraji kristalne resetke shvacajukao skup cestica (fonona).

11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI JEDNODIMENZIJSKOGDISKRETNOG SUSTAVA CESTICA 337

povezanih harmonijskih oscilatora. Za razliku od titranja jednog izoliranog harmonijskogoscilatora, gdje smo dobili samo jednu mogucu frekvenciju titranja ω0, sada ocekujemo

Slika 11.2: Jednodimenzijski sustav od N vezanih jednakih harmonijskih oscilatora, s nepomicnim rubovima.

da ce sustav moci titrati s vise razlicitih frekvencija. Pokazat ce se, relacija (11.6), da postojiupravo N razlicitih frekvencija. Nas glavni zadatak u ovom odjeljku jeste

izracunati te frekvencije i naci otklone cestica

u slucaju titranja nekom odredenom frekvencijom. U racunu cemo zanemariti utjecaj gravitacijei trenja (prigusenja) bilo kojeg podrijetla (sa cesticama medija u kojemu se odvija titranje, spodlogom i slicno). Koordinatni sustav cemo postaviti tako da sustav lezi u smjeru osi x,ravnotezni polozaj j-te cestice cemo oznaciti s x0,j , a njezin polozaj u proizvoljnom trenutkucemo oznaciti s xj(t). Napisimo jednadzbe gibanja za svih N cestica sustava: umnozak mase iubrzanja svake cestice jednak je zbroju svih sila koje na nju djeluju. Na svaku cesticu djelujesila koja potjece od dvije opruge, a koja ovisi o otklonima od ravnoteze cestica na krajevimaopruge (rubove lijevo od prve i desno od N -te cestice, smatramo nepomicnim):

~ex mx1 = −~exK[(x1 − x0,1) − 0

]+ ~exK

[(x2 − x0,2) − (x1 − x0,1)

],

~ex mx2 = −~exK[(x2 − x0,2) − (x1 − x0,1)

]+ ~exK

[(x3 − x0,3) − (x2 − x0,2)

],

~ex mx3 = −~exK[(x3 − x0,3) − (x2 − x0,2)

]+ ~exK

[(x4 − x0,4) − (x3 − x0,3)

],

...

~ex mxN = −~exK[(xN − x0,N) − (xN−1 − x0,N−1)

]+ ~exK

[0 − (xN − x0,N)

].

Buduci da se gibanje odvija samo u smjeru ~ex , nadalje cemo izostavljati tu oznaku. Umjesto


samog polozaja cestice, xj(t), uvedimo oznake ψ(j, t), koje opisuju otklon j-te cestice odravnoteznog polozaja u trenutku t

ψ(j, t) ≡ xj(t) − x0,j ,

/d2

d t2

ψ(j, t) = xj .

Primjetimo da u gornjoj oznaci ψ(j, t), varijabla j opisuje prostornu koordinatu, a t vre-mensku. Sada jednadzbe gibanja mozemo napisati nesto preglednije

1

ω20

ψ(1, t) = 0 − 2 ψ(1, t) + ψ(2, t),

1

ω20

ψ(2, t) = ψ(1, t) − 2 ψ(2, t) + ψ(3, t), (11.1)

...1

ω20

ψ(N − 1, t) = ψ(N − 2, t) − 2 ψ(N − 1, t) + ψ(N, t),

1

ω20

ψ(N, t) = ψ(N − 1, t) − 2 ψ(N, t) + 0 .

Opcenito

1

ω20

ψ(j, t) = ψ(j − 1, t) − 2ψ(j, t) + ψ(j + 1, t), j = 1, 2, · · · , N,

uz rubne uvjete koji opisuju mirovanje lijevog i desnog ruba sa slike 11.2.

ψ(0, t) = ψ(N + 1, t) = 0, ∀ t.

Iz rjesavanja jednadzbe gibanja jednog slobodnog harmonijskog oscilatora u odjeljku 6, je poz-nato da je vremenska ovisnot rjesenja dana trigonometrijskim funkcijama. Sada rjesenje ovisii o prostornoj j i vremenskoj t varijabli, pa cemo rjesenje sustava (11.1) pretpostaviti u oblikuumnoska funkcije ovisne o prostornoj koordinati X(j) i trigonometrijskih funkcija u vremenskojvarijabli T (t)

ψ(j, t) = X(j) · T (t) = C(j) cos(ωt) + S(j) sin(ωt), (11.2)

Funkcije C(j) i S(j) ovise o prostornoj varijabli j. Pretpostavljena frekvencija titranja sustavaω je opcenito razlicita od ω0.Lako je vidjeti da je

ψ(j, t) = −ω2ψ(j, t),


sto uvrsteno u jednadzbe gibanja daje

−0 + 2 ψ(1, t) − ψ(2, t), =ω2

ω20

ψ(1, t),

−ψ(1, t) + 2 ψ(2, t) − ψ(3, t) =ω2

ω20

ψ(2, t),

−ψ(2, t) + 2 ψ(3, t) − ψ(4, t) =ω2

ω20

ψ(3, t),

... (11.3)

−ψ(N − 2, t) + 2 ψ(N − 1, t) − ψ(N, t) =ω2

ω20

ψ(N − 1, t),

−ψ(N − 1, t) + 2 ψ(N, t) − 0 =ω2

ω20

ψ(N, t).

Nepoznanice su frekvencije kojima titraju cestice (sve titraju istom frekvencijom) i nepoznatesu amplitude titranja

ω = ? ψ(j, t) = ?

Uvede li se realna simetricna tridijagonalna matrica medudjelovanja A i vektor polozajasvih N cestica ~Ψ

A =

2 −1 0 0 · · · 0−1 2 −1 0 · · · 00 −1 2 −1 · · · 0...

......

......

...0 · · · 0 −1 2 −10 · · · 0 0 −1 2

, ~Ψ =

ψ(1, t)ψ(2, t)

...ψ(N − 1, t)ψ(N, t)

,

gornji sustav jednadzba se prepoznaje kao problem nalazenja svojstvenih vrijednosti i svo-jstvenih vektora realne simetricne kvadratne matrice A

A ~Ψ =ω2

ω20

~Ψ ⇒(A− ω2

ω20

1

)~Ψ = 0,

(1 je jedinicna matrica N -tog reda) koji je citatelju poznat iz linearne algebre. Podsjetimo se,

ukratko, formulacije tog problema. Za zadanu matricu A treba naci vektor ~V sa svojstvomda rezultat djelovanja matrice na vektor, bude taj isti vektor ~V pomnozen nekim skalarom λ,tj. da vrijedi A ~V = λ ~V . U ovom problemu su nepoznanice vektor ~V i skalar λ. Vektor~V se naziva svojstveni ili vlastiti vektor matrice A, a skalar λ se zove svojstvena ili vlastitavrijednost. Svojstvene vrijednosti se odreduju kao rjesenja jednadzbe Det [A − λ 1] = 0,gdje je s 1 oznacena jedinicna N × N matrica. To je algebarska jednadzba N -tog reda kojaje zadovoljena za N , opcenito kompleksnih, vrijednosti λn. Kada jednom izracunamo sve λn,mozemo izracunati i njima pridruzene svojstvene vektore: uzmemo neki odredeni λn i uvrstimoga u jednadzbu A ~Vn = λn ~Vn. To je sada N ×N linearni sustav za N komponenta vektora ~Vn,koji rijesimo i dobijemo svojstveni vektor ~Vn pridruzen svojstvenoj vrijednosti λn. Matrica A jerealna i simetricna matrica N -tog reda, a za takve se matrice pokazuje da imaju sve svojstvene


vrijednosti realne i da su njihovi svojstveni vektori ~Vn medusobno okomiti, tj. da cine bazuN -dimenzijskog prostora. To znaci da se svaki proizvoljni vektor u tom prostoru moze napisatikao linearna kombinacija tih baznih vektora ~V =

∑n cn ~Vn (gdje su cn konstante).

U nasem primjeru, fizicki sadrzaj svojstvenih vrijednosti jesu frekvencije titranja sustava vezanihharmonijskih oscilatora λn ≡ ω2

n/ω20, a svojstveni vektori predstavljaju pomake oscilatora u

odnosu na njihove ravnotezne polozaje ~Vn ≡ ~Ψ n.

FrekvencijeIzracunajmo najprije svojstvene frekvencije. Nazovimo

M = A− ω2

ω20

1 =

c0 −1 0 0 · · · 0−1 c0 −1 0 · · · 00 −1 c0 −1 · · · 0...

......

......

...0 · · · 0 −1 c0 -10 · · · 0 0 −1 c0

, M ~Ψ = 0,

gdje smo uveli pokratu

c0 ≡ 2 − ω2

ω20

.

Da bi postojalo netrivijalno rjesenje za ~Ψ 6= 0, mora biti

DetM = 0.

Izracunajmo determinantu razvojem po prvom redu (ili stupcu), pri cemu cemo eksplicite voditievidenciju o dimenziji matrice ciju determinantu racunamo

DetMN = c0

c0 −1 0 ·−1 c0 −1 ·...

......

...· −1 c0 -1· 0 −1 c0

− (−1)

−1 −1 0 0 ·0 c0 −1 0 ·0 −1 c0 −1 ·...

......

......

· 0 −1 c0 -1· 0 0 −1 c0

.

Prvu determinantu na desnoj strani prepoznajemo kao DetMN−1, a drugu determinantu razvi-jemo po prvom stupcu

DetMN = c0 DetMN−1 + 1 · (−1)

c0 −1 0 0 ·−1 c0 −1 0 ·0 −1 c0 −1 ·...

......

......

· 0 −1 c0 -1· 0 0 −1 c0

.

Gornju determinantu prepoznajemo kao DetMN−2, pa smo tako dosli do rekurzijske relacije

DetMN = c0 DetMN−1 − DetMN−2. (11.4)


Determinante za N = 1 i N = 2 je trivijalno izracunati

DetMN=1 = c0 DetMN=2 =c0 -1−1 c0

= c20 − 1.

Gornje determinante uvrstene u rekurziju (11.4) za N = 2, daju

DetMN=0 = 1.

Pretpostavimo, nadalje, da se DetMN moze napisati u obliku potencije

DetMN = pN ,

za p koji treba odrediti iz rekurzije (11.4):

pN = c0pN−1 − pN−2,

0 = pN−2(p2 − c0p+ 1),

p± =1

2

(c0 ±

√c20 − 4

).

Uvedimo varijablu α relacijom

c0 = 2 − ω2

ω20

= 2 cosα.

(Primjetimo da nije postavljen zahtjev da je α realan, pa time nije nuzno | cosα| ≤ 1.) U tomslucaju je

p± = e± i α.

Dakle, dobivena su dva rjesenja za p,

pN+ = e+ i N α = 0, pN− = e− i N α = 0,

pa je ukupno rjesenje linearna kombinacija oba ova rjesenja

DetMN = a e+iNα + b e−iNα = A cos(Nα) +B sin(Nα).

Koeficijenti A i B se odreduju iz poznavanja DetMN=0 = 1 i DetMN=1 = c0 = 2 cosα

N = 0 ⇒ A · 1 +B · 0 = 1, ⇒ A = 1

N = 1 ⇒ 1 · cosα +B sinα = 2 cosα, ⇒ B =cosα

sinα.

Sada se moze napisati i opce rjesenje determinante matrice medudjelovanja sustava od N cesticakoje titraju

DetMN = cos(Nα) +cosα

sinαsin(Nα) =

sinα cos(Nα) + cosα sin(Nα)

sinα=

sin(N + 1)α

sinα,

pri cemu je cosα = 1 − ω2/(2ω20). Prisjetimo se da je uvjet za postojanje rjesenja ψ(j, t) 6= 0

bio Det MN = 0. Prema gornjoj relaciji taj je uvjet zadovoljen za N razlicitih diskretnihvrijednosti kuta α

(N + 1)α = nπ, n = 1, 2, · · · , N, (11.5)

α = αn = nπ

N + 1.


Buduci da su frekvencije titranja sustava cestica povezane s kutom α relacijom cosα = 1 −mω2/(2K), to svakom kutu αn odgovara jedna svojstvena frekvencija titranja sustava

ωn =√

2ω20 (1 − cosαn) = 2 ω0 sin

nπ

2(N + 1), n = 1, 2, · · · , N. (11.6)

Ove se frekvencije nazivaju svojstvene frekvencije sustava. U nastavku cemo pokazati,relacijom (11.22), da je svako titranje sustava (koje ovisi o pocetnim uvjetima) moguce napisatiu obliku linearne kombinacije titranja svojstvenim frekvencijama. Izolirani harmonijski oscila-tor titra samo jednom frekvencijom ω0, dok sustav od N vezanih harmonijskih oscilatora, mozetitrati s N gornjih frekvencija (slika 11.3.A). Ogranicimo li se na N = 1 (slika 11.3.B), preostaje

Slika 11.3: (A) N razlicitih mogucih frekvencija titranja sustava vezanih harmonijskih oscilatora. (B) Posebnislucaj N = 1

samo jedna frekvencija ω1 =√

2K/m, a to je ista frekvencija kao i ω0 =√K/m iz poglavlja

6, samo sto sada imamo dvije opruge, pa K → 2K.

AmplitudeSada, kada smo nasli frekvencije, tj. svojstvene vrijednosti matrice medudjelovanja, mozemoprijeci na racun amplituda titranja pojedinog harmonijskog oscilatora, tj. na racun svojstvenihvektora. Kao sto smo spomenuli na strani 339, komponente svojsvenog vektora pridruzenogdanoj svojstvenoj vrijednosti racunamo tako da svojstvenu vrijednost ωn uvrstimo u jednadzbu

A ~Ψ n =ω2n

ω20

~Ψ n.

Ova vektorska jednadzba predstavlja sustav od N skalarnih jednadzba za N komponenatavektora ~Ψ n, koje cemo oznaciti s ψn(j, t) za j = 1, 2, · · · , N . Dakle, za svaku od N svojstvenihfrekvencija ωn, treba rjesiti N ×N sustav

−ψn(j − 1, t) +

(2 − ω2

n

ω20

)ψn(j, t) − ψn(j + 1, t) = 0, j = 1, 2, · · · , N, (11.7)


uz rubne uvjete koji izrazavaju nepomicnost lijevog i desnog ruba

ψn(j = 0, t) ≡ 0, ψn(j = N + 1, t) ≡ 0, ∀ t.Buduci da se radi o titranju, vec smo, relacijom (11.2), pretpostavili oblik rjesenja za pomake.Sada u to rjesenje treba unijeti spoznaju da sustav moze titrati s vise razlicitih frekvencija ωn,tj. da svakoj frekvenciji treba pridruziti drukciji pomak

ψn(j, t) = Cn(j) cos(ωnt) + Sn(j) sin(ωnt),

Koordinata j odreduje prostorni polozaj harmonijskog oscilatora, a index n odreduje frekvencijutitranja. Uvrstenje gornjeg izraza u sustav jednadzba (11.7), daje

cos(ωnt)

[−Cn(j − 1) + 2 cos

nπ

N + 1Cn(j) − Cn(j + 1)

]

+ sin(ωnt)

[−Sn(j − 1) + 2 cos

nπ

N + 1Sn(j) − Sn(j + 1)

]= 0

za sve j = 1, 2, · · · , N i n = 1, 2, · · · , N uz rubne uvjete

Cn(j = 0) = Cn(j = N + 1) = Sn(j = 0) = Sn(j = N + 1) = 0.

Zbog linearne nezavisnosti sinusa i kosinusa, gornji izraz je nula samo ako je svaka od gornjihuglatih zagrada jednaka nuli

Cn(j − 1) − 2 cosnπ

N + 1Cn(j) + Cn(j + 1) = 0,

Sn(j − 1) − 2 cosnπ

N + 1Sn(j) + Sn(j + 1) = 0.

Jednadzbe su istog oblika, pa je dovoljno rijesiti samo jednu, npr. onu za Cn. Pretpostavimoopet rjesenje u obliku potencije

Cn(j) = r jn

(sada j oznacava potenciju, a n je indeks)

0 = rj−1n − 2 cos

nπ

N + 1r jn + rj+1

n ,

0 = rj−1n

(1 − 2 cos

nπ

N + 1rn + r2n

),

rn ± =1

2

(2 cos

nπ

N + 1±√

4 cos2nπ

N + 1− 4

)= cos

nπ

N + 1± i sin

nπ

N + 1= e±i nπ/(N+1).

Dobivena su dva rjesenja, pa je i svaka njihova linerna kombinacija takoder rjesenje

Cn(j) = r jn = a+,ne+i nπ

N+1j + a−,ne

−i nπN+1

j = c+,n cos

(nπ

N + 1j

)+ c−,n sin

(nπ

N + 1j

).

Na rubovima sustava vrijedi

Cn(j = 0, t) = 0 = c+,n · 1 + c−,n · 0 ⇒ c+,n = 0,

Cn(j = N + 1, t) = 0 = c−,n sinnπ ⇒ c−,n 6= 0.


Buduci da je samo c−,n 6= 0, oznaku minus mozemo izostaviti i napisati

Cn(j) = Cn sinnjπ

N + 1.

Slicnim postupkom se za amplitudu b dobiva

Sn(j) = Sn sinnjπ

N + 1.

za konstantni Sn. Ukupno rjesenje za ψn(j, t) je

ψn(j, t) = Cn sinnjπ

N + 1cos(ωnt) + Sn sin

njπ

N + 1sin(ωnt).

To su komponente svojstvenog vektora ~Ψ n matrice A pridruzene svojstvenoj vrijednosti m ω2n/K,

tj. svojstvenoj frekvenciji ωn. Ovi vektori cine bazu N -dimenzijskog prostora titranja sustavaN vezanih harmonijskih oscilatora. Dakle, u tom prostoru vektori ~Ψ n znace isto sto i vektori~ex , ~ey i ~ez u nasem svakodnevnom realnom trodimenzijskom prostoru. I kao sto se svakiproizvoljni vektor obicnog trodimenzijskog prostora moze napisati kao linearna kombinacijabaznih vektora ~ex , ~ey i ~ez , tako se i svaki pomak (titranje) sustava vezanih harmonijskih os-cilatora moze prikazati kao linearna kombinacija ovih svojstvenih pomaka

~Ψ =N∑

n=1

~Ψ n,

ili po komponentama

ψ(j, t) =

N∑

n=1

ψn(j, t) =

N∑

n=1

sinnjπ

N + 1

[Cn cos(ωnt) + Sn sin(ωnt)

]. (11.8)

U gornjem izrazu je2

ωn = 2 ω0 sinnπ

2(N + 1), n = 1, 2, · · · , N,

a 2N konstanata Cn i Sn se odreduju iz 2N pocetnih (u t = 0) vrijednosti polozaja, ψ(j, t = 0),

i brzina, ψ(j, t = 0) svih j = 1, 2, · · · , N harmonijskih oscilatora.

11.1.1 Granica kontinuuma

Promatrajmo sada gornji skup harmonijskih oscilatora u granici kada njihov brojN neogranicenoraste, ali se istovremeno udaljenost medu njima a0 neograniceno smanjuje, tako da udaljenostizmedu prvog i posljednjeg od njih N · a0 = L ostaje konstantna. S M cemo oznaciti ukupnumasu sustava M = Nm. Neka se harmonijski oscilatori nalaze rasporedeni duz osi x. Sadaotklon od ravnoteznog polozaja vise necemo oznacavati s ψ(j) nego s ψ(x), gdje je x = j · a0.Najmanji razmak medu harmonijskim oscilatorima je ∆ x = 1 · a0.

2Primjetimo da diskretna vrijednost frekvencije dolazi od rubnih uvjeta. U kvantnomehanickom opisu, frekvencije su takoderdiskretne, ali sada ta diskretnost ima sasvim drukcije, kvantno, podrijetlo.


Uocimo da su jednadzbe (11.1) oblika valne jednadzbe.Opci oblik tih jednadzba je

ψ(j, t) = ω20

[ψ(j − 1, t) − 2ψ(j, t) + ψ(j + 1, t)

],

uz rubne uvjete ψ(−1, t) = ψ(N + 1, t) ≡ 0. Argument j je diskretna prostorna koordinata iopisuje polozaj j-te cestice. U tom smislu se i razlika ψ(j + 1, t) − ψ(j, t) i ψ(j, t) − ψ(j − 1, t)mogu shvatiti kao diskretne derivacije

ψ(j + 1, t) − ψ(j, t) =ψ(j + 1, t) − ψ(j, t)

(j + 1) − j=

d

d jψ(j + 1/2, t),

ψ(j, t) − ψ(j − 1, t) =ψ(j, t) − ψ(j − 1, t)

j − (j − 1)=

d

d jψ(j − 1/2, t).

Time polazna jednadzba postaje

ψ(j, t) = ω20

[d

d jψ(j + 1/2, t) − d

d jψ(j − 1/2, t)

]= ω2

0

d

d jψ(j + 1

2, t) − d

d jψ(j − 1

2, t)

(j + 12

) − (j − 12

)

= ω20

d2

d j2ψ(j, t),

i prelazi sada u jednadzbu (imajmo sve vrijeme na umu da je dx = dj a0)

∂2 ψ(j, t)

∂ t2= a20 ω

20

∂2 ψ(x, t)

∂ x2,

tj.

∂2ψ

∂t2= v2f

∂2ψ

∂x2. (11.9)

To je parcijalna linearna diferencijalna jednadzba drugog reda koja se zove jednodimenzijskavalna jednadzba longitudinalnog vala. Velicina

vf = a0 ω0 = a0

√K

m

je fazna brzina sirenja vala. Ako se uvedu Yangov modul elasticnosti E = K a0 i linijska masenagustoca λ0 = m/a0, gornja valna jednadzba se moze napisati i u obliku

λ0∂2ψ

∂t2= E

∂2ψ

∂x2.

Potrazimo rjesenje gornje jednadzbe u obliku umnoska

ψ(x, t) = X(x) · T (t)


(vidjeti npr. [12], odjeljak o parcijalnim diferencijalnim jednadzbama). Uvrstavanjem gornjegrjesenja u valnu jednadzbu i dijeljenjem cijele jednadzbe s X(x) · T (t), dobiva se

1

ω20 T

d2 T (t)

d t2=a20X

d2X(x)

d x2≡ −c.

Sa stanovista vremenske varijable, desna strana gornje jednadzbe je jedna bezdimenzijska kon-stantna, a isto tako sa stanovista prostorne varijable, lijeva je strana jednadzbe bezdimenzijskakonstantna. Bez gubitka opcenitosti, za tu se konstantu moze uzeti vrijednost − c. Tako sudobivene dvije jednadzbe

d2X(j)

d x2= −c X

a20,

d2 T (t)

d t2= −c ω2

0 T,

cija su rjesenja dana trigonometrijskim funkcijama

X(x) = α sin cx/a0 + β cos cx/a0,

T (t) = γ sin cω0t + δ cos cω0t,

ψ(x, t) = (α sin cx/a0 + β cos cxk0) (γ sin cω0t+ δ cos cω0t).

Konstante α, β, γ, δ i c se odreduju iz same jednadzbe i pocetnih i rubnih uvjeta

ψ(x = 0, t) = ψ(x = L, t) = 0.

Prvi rubni uvjet daje

X(x = 0) = 0 = α 0 + β 1 ⇒ β = 0.

Drugi rubni uvjet

X(x = L) = 0 = α sin cL/a0 ⇒ c = a0nπ

L.

Sada je i

X(x) → Xn(x) = αn sinnπx

L, n = 1, 2, · · · , N.

Vremenski dio rjesenja

Tn(t) = γn sina0nπω0t

L+ δn cos

a0nπω0t

L, n = 1, 2, · · · , N.

ψ(x, t) =N∑

n=1

sinnπx

L

[an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)

],

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA CESTICA 347

gdje su an = αn γn i bn = αn δn konstante, a frekvencije titraja su

ωn =a0Lnπω0.

Primjetimo da je to ista vrijednost koja je dobivena i diskretnim formalizmom

ωn = 2 ω0 sinnπ

2(N + 1)≃ 2 ω0

nπa02L

=a0Lnπω0.

11.2 Mali transverzalni titraji kontinuiranog jednodimenzijskog sus-tava cestica

Krenimo ponovo od slike cestica povezanih malenim oprugama (slika 11.2), ali sada su pocetniuvjeti takvi da izazivaju titranje u ravnini (y, z), kao sto je to prikazano na slici 11.4. Smatratcemo cestice i opruge toliko malenim, da je na makroskopskoj skali broj cestica po jediniciduljine (u jednoj dimenziji ili po jedinici povrsine za dvodimenzijske sustave) toliko velik da semoze govoriti o (priblizno) kontinuiranoj raspodjeli mase unutar sustava.

Slika 11.4: Transverzalno titranje napete niti.

Opisat cemo male transverzalne titraje jednogtakvog sustava, npr. napete niti glazbenog in-strumenta (violina, klavir - jednodimenzijskisustav). ili membrane bubnja (dvodimenzijskisustav). Kada se kaze ”mali” titraji, to znacida je otklon cestica od polozaja ravnoteze,puno manji od ukupne duljine niti koja titra.

11.2.1 Titranje napete niti

Promatrajmo napetu elasticnu nit, polozenuduz osi x i ucvrscenu u tockama x = 0 i x = L(slika 11.5.A). Neka je linijska masena gustocaniti konstantna i jednaka λ0. U ravnotezi, svecestice niti leze na osi x. Takvo stanje traje zat < 0. U trenutka t = 0, vanjska sila trenutnoizbaci nit iz polozaja ravnoteze, tj. promjeni polozaj i / ili brzine svih ili samo nekih cestica niti.Kasnije sila vise ne djeluje (trenutna ili impulsna sila - udarac). Nit ce (ako zanemarimo trenje)nastaviti titrati oko svog ravnoteznog polozaja (slika 11.5.B). Transverzalni (okomiti) otklonod polozaja ravnoteze u tocki x u trenutku t, cemo oznaciti s

ψ(x, t).

Osim transverzalnih, pojedini elementi niti ce izvoditi i longitudinalne (uzduzne) pomake, kojisu po svom iznosu puno manji od iznosa transverzalnih pomaka i zato cemo ih zanemarivati.Uocimo jedan element niti duljine ds i mase

dm = λ0 ds

i promatrajmo sile napetosti kojima susjedni elementi niti djeluju na promatrani element (slika11.6). Na element djeluje i gravitacijska sila, koju cemo sada radi jednostavnosti, zanemariti(pretpostavljamo da je ona po iznosu puno manja od sila koje uzimamo u racun). U oznakama sa


Slika 11.5: (A) Napeta nit - pocetni uvjet. (B) Mali titraji napete niti.

slike 11.6, sile napetosti na rubovima promatranog elementa su iznosa Fnap(x, t) i Fnap(x+dx, t).Ukupna sila u vodoravnom, tj. x smjeru je

Fx = Fnap(x+ dx, t) cosα(x+ dx, t) − Fnap(x, t) cosα(x, t) = 0.

To je sila koja djeluje na promatrani element u vodoravnom smjeru. Buduci da se pomaci uvodoravnom smjeru zanemaruju (smatraju se puno manjima od pomaka u okomitom smjeru),gornji je izraz izjednacen s nulom. U skladu s definicijom derivacije funkcije, za male vrijednostidx, gornji izraz je

Fx = dxd

d x

[Fnap(x, t) cosα(x, t)

]= 0

No, za male okomite pomake i kut α(x, t) je mali pa je

cosα(x, t) = 1 −O[α2(x, t)

]

sto znaci da je s tocnoscu od O[α2(x, t)

]

Fx = dxd

d xFnap(x, t) + O

[α2(x, t)

]= 0,

Fnap(x, t) = (const. u x) = Fnap(t), (11.10)

tj. napetost je priblizno konstantna unutar intervala dx i moze ovisiti samo o vremenu.Ukupna sila u okomitom smjeru je

Fy = Fnap(x + dx, t) sinα(x+ dx, t) − Fnap(x, t) sinα(x, t)

= (11.10) = Fnap(t)[

sinα(x+ dx, t) − sinα(x, t)]. (11.11)


Slika 11.6: Sile napetosti na element napete niti duljine d s.

To je sila koja izaziva okomite pomake niti, pa Newtonova jednadzba gibanja, za promatranielement niti mase dm = λ0 ds, u okomitom smjeru glasi

λ0 ds∂2ψ

∂t2= Fnap(t)

[sinα(x+ dx, t) − sinα(x, t)

],

/· 1

dx

λ0ds

dx

∂2ψ

∂t2= Fnap(t)

sinα(x+ dx, t) − sinα(x, t)

dx.

U granici kada dx → 0, desna strana gornje jednadzbe prelazi u derivaciju po x od sinα(x, t),dok je na lijevoj strani

ds

dx=

√dx2 + dψ2

dx=

√

1 +

(∂ψ

∂x

)2

.

Sve zajedno, uvrsteno u jednadzbu gibanja, daje

λ0

√

1 +

(∂ψ

∂x

)2∂2ψ

∂t2= Fnap(t)

∂

∂ xsinα(x, t). (11.12)

Povezimo derivacije po x na lijevoj i desnoj strani gornje jednadzbe. Iz trigonometrije je

sinα =tanα√

1 + tan2 α, (11.13)

a sa slike 11.6 je

tanα ≃ ∂ψ

∂x.

Kombiniranjem gorjna dva izraza, dolazi se do

sinα =∂ψ

∂x

[1 +

(∂ψ

∂x

)2]−1/2

.


Uvrstavanjem ovih izraza u jednadzbu gibanja, dobiva se

λ0

√

1 +

(∂ψ

∂x

)2∂2ψ

∂t2= Fnap(t)

∂

∂ x

∂ψ

∂x

[1 +

(∂ψ

∂x

)2]−1/2

.

Buduci da je kvadrat male velicine jos puno manji od same male velicine,

(∂ψ

∂x

)2

<<∂ψ

∂x,

za titraje u okomitom smjeru se mogu zanemariti kvadratni clanovi u gornjoj jednadzbi gibanja.Tako se dolazi do jednadzbe

∂2ψ(x, t)

∂t2= v2f (t)

∂2ψ(x, t)

∂x2. (11.14)

To je linearna parcijalna diferncijalna jednadzba drugog reda koja se zove jednodimenzijskavalna jednadzba. Linearna je zato jer se nepoznata funkcija ψ pojavljuje linearno, a parci-jalna je zato jer se pojavljuju derivacije i po x i po t. Velicina

vf (t) =

√Fnap(t)

λ0.

koja se pojavljuje u gornjoj jednadzbi ima dimenziju brzine i naziva se fazna brzina. Najcescese sila napetosto ne mijenja s vremenom (nit je napeta u pocetnom trenutku i ta se napetostvise ne mijenja) tako da je tada

vf =

√Fnapλ0

konstantno u vremenu.

Rjesenja ove parcijalne diferencijalne jednadzbe drugog reda su u cjelosti odredena rubnim (uprostoru) i pocetnim (u vremenu) uvjetima.

Rubni uvjeti:Rubni uvjeti definiraju otklon (elongaciju) niti u krajnjim tockama niti. Na ucvrscenom krajunema pomaka, ψ = 0, a na slobodnom kraju se obicno odabire uvjet da je pomak maksimalan(ekstreman), pa je zato tamo ψ ′ = 0. Ako su oba ruba niti nepomicni, tada je u svakomtrenutku t

ψ(x = 0, t) = 0, ψ(x = L, t) = 0.

Ako je nit nepomicna na svojem lijevom rubu, a slobodna na desnom:

ψ(x = 0, t) = 0,∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=L

= 0.


Ako je nit slobodna na lijevom rubu, a nepomicna na desnom:

∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=0

= 0, ψ(x = L, t) = 0.

I posljednja je mogucnost da je nit slobodna na oba ruba:

∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=0

= 0,∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=L

= 0.

Pocetni uvjeti:Pocetni uvjeti definiraju stanje titranja (to znaci polozaj i brzinu svake tocke niti) u nekomodredenom trenutku (kojemu se najcesce pridruzuje vrijednost t = t0 ili t = 0)

ψ(x, t = 0) = X0(x),∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

= V0(x). (11.15)

Funkcija X0(x) oznacava polozaj, a funkcija V0(x) brzinu svake tocke niti, x ∈ [0, L], u trenutkut = 0. Za usporedbu, kod opisa gibanja jedne cestice, pocetni uvjeti su pocetni polozaj cestice

~r(t = 0) = ~r0

(to je sada pocetni polozaj svih cestica niti, X0(x)) i pocetna brzina cestice

∂~r

∂t

∣∣∣∣t=0

= ~v0

(to je sada pocetna brzina svih cestica niti, V0(x)).

11.2.2 Nit s oba nepomicna ruba: stojni val (D. Bernoulli)

Pretpostavimo da se rjesenje valne jednadzbe ψ(x, t) moze napisati u obliku umnoska3 dvijefunkcije: jedne, koja ovisi samo o prostornoj koordinati X (x) i druge, koja ovisi samo o vre-menskoj koordinati T (t) (to je oblik rjesenja koji potjece od D. Bernoullija4)

ψ(x, t) = X (x) · T (t)

i uvrstimo to u valnu jednadzbu

X d2Tdt2

= v 2f (t) T d

2Xdx2

,

/1

v 2fXT

1

v 2f (t) T

d2Tdt2

=1

Xd2Xdx2

.

Osnovno i najvaznije je primjetiti da lijeva strana ovisi samo o vremenskoj, a desna samoo prostornoj koordinati. Zato je, sa stanovista funkcije T (t), desna strana gornje jednadzbekonstantna. Isto je tako, sa stanovista funkcije X (x), lijeva strana gornje jednadzbe konstantna.Nazovimo tu konstantu −k2 6= 0. Tako dolazimo do dvije jednadzbe

d2Xdx2

= −k2X , d2Tdt2

= −k2v 2f (t) T .

3Usporediti s poglavljem o parcijalnim diferencijalnim jednadzbama u [12]4Daniel Bernoulli, 1700. - 1782., nizozemski fizicar.


S diferencijalnim jednadzbama ovog tipa smo se vec susretali kod rjesavanja jednadzbe gibanjaharmonijskog oscilatora u odjeljku 6

x + ω0 x = 0.

Njihova su rjesenja ocito linearne kombinacije trigonometrijskih funkcija (od sada pa nadaljepretpostavljamo da vf ne ovisi o vremenu)

X (x) = Cx cos kx + Sx sin kx,

T (t) = Ct cos kvf t+ St sin kvf t,

ψ(x, t) = (Cx cos kx + Sx sin kx)(Ct cos kvf t+ St sin kvf t),

za konstantne Cj i Sj. Prema nacinu kako smo uveli konstantu k, vidi se da ona ima dimenzijuinverzne duljine

[k]

=1

L

i zvat cemo ju valni broj (a u dvije i tri dimenzije, to ce biti valni vektor). Cetiri nepoznatekonstante u gornjem rjesenju cemo odrediti pomocu dva rubna i dva pocetna uvjeta.

Rubni uvjeti:

x = 0 ⇒ ψ(0, t) = 0 = Cx(Ct cos kvf t+ St sin kvf t) ⇒ Cx = 0,

x = L ⇒ ψ(L, t) = 0 = Sx sin kL(Ct cos kvf t + St sin kvf t) ⇒ kL = π, 2π, · · · .

Valni broj moze poprimati samo diskretne vrijednosti odredene jednadzbom

k = kn =nπ

L, n = 1, 2, · · · (11.16)

(n ne moze biti jednako nuli, jer su i k i L veci od nule). Time smo dobili niz rjesenja za svakupojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanata SxCt → C i SxSt → S, ta rjesenja glase

ψn(x, t) = sinnπx

L

(C cos

nπvf t

L+ S sin

nπvf t

L

).

Periodicnost:Rjesenje ψn(x, t) je napisano preko sinusa i kosinusa koje se periodicne funkcije, pa ce zato iψn(x, t) biti periodicna funkcija. Oznacimo prostornu periodicnost ψn(x, t) sa λ,

ψn(x, t) = ψn(x + λ, t), (11.17)

gdje je λ najmanji broj (ako ih ima vise) koji zadovoljava gornji uvjet.Uvjet vremenske periodicnosti je

ψn(x, t) = ψn(x, t + T ). (11.18)


gdje je T najmanji broj (ako ih ima vise) koji zadovoljava gornji uvjet.

Periodicnost u prostoru:Prostorna ovisnost ψn(x, t) je sadrzana u clanu sin(nπx)/L, pa se λ odreduje iz

sinnπ

Lx = sin

nπ

L(x + λ) = sin

nπx

Lcos

nπλ

L+ cos

nπx

Lsin

nπλ

L.

Usporedbom lijeve i desne strane gornjeg izraza (sinusi i kosinusi su linearno nezavisne fukcije,vidjeti npr. [12]) zakljucuje se da je gornja jednadzba zadovoljena ako je

cosnπλ

L= 1, sin

nπλ

L= 0,

tj. ako je

nπλ

L= 2π ·m, m = 1, 2, · · · ,

λ =2L

nm.

No, λ sa m = 2 je dvostruka vrijednost od λ sa m = 1, itd. Buduci da je period najmanjavrijednost λ koja zadovoljava (11.17), to zakljucujemo, da je za svaki dani n

λ = λn =2L

n, n = 1, 2, . . . .

Periodicnost u prostoru se naziva valna duljina, i u ovom primjeru ona moze poprimitisamo diskretan niz vrijednosti, odreden gornjom relacijom. U skladu s (11.16), valna duljinaje relacijom

kn · λn = 2 π

povezana s, ranije uvedenim, valnim brojem. Na slici 11.7 su prikazani stojni valovi za trinajnize vrijednosti valnog broja. Primjecujemo da neke cestice sredstva stalno miruju - to sucvorovi stojnog vala. Nasuprot njima, cestice koje se maksimalno otklanjaju se zovu trbusistojnog vala.

Periodicnost u vremenu:

ψn(x, t) = ψn(x, t + T ).

Ispitajmo sada uvjete na vremensku periodicnost

sinnπvfL

t = sinnπvfL

(t + T )

= sinnπvf t

Lcos

nπvfT

L+ cos

nπvf t

Lsin

nπvfT

L,

cosnπvfL

t = cosnπvfL

(t+ T )

= cosnπvf t

Lcos

nπvfT

L− sin

nπvf t

Lsin

nπvfT

L.


Slika 11.7: Stojni val za (A) n = 1, (B) n = 2 i (C) n = 3.

Obje gornje jednadzbe su zadovoljene, ako je

cosnπvfT

L= 1, sin

nπvfT

L= 0,

tj. ako je

nπvfT

L= 2π ·m.

Slicno kao i gore, periodicnost za m = 2, 3, · · · itd. su visekratnici periodicnosti za m = 1, paje zato periodicnost odredena s m = 1, tj.

T = Tn =2L

nvf, n = 1, 2, . . . .

Vremenski period je takoder diskretan. Frekvencijom se naziva inverzna vrijednost T

ν =1

T, νn =

1

Tn=nvf2L

.


Kutna brzina ωn se definira kao

ωn = 2πνn =nvfπ

L

Umnozak valne duljine i frekvencije daje faznu brzinu vala vf

νn · λn = vf .

Ovu brzinu nazivamo faznom brzinom, zato jer ona (kao sto cemo vidjeti u odjeljku ...) opisujebrzinu sirenja faze vala.

Pocetni uvjeti:Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadzbe (11.14) i svaka linearna kombinacija rjesenjaψn(x, t) je takoder rjesenje. Zato je opce rjesenje oblika

ψ(x, t) =

∞∑

n=1

sinnπx

L

(C cos

nπvf t

L+ S sin

nπvf t

L

)(11.19)

=

∞∑

n=1

sin knx(C cosωnt+ S sinωnt

).

Gornja granica u zbroju je beskonacno, zato jer sustav tretiramo kao kontinuiran. Realno, kadase govori o titrajima kristalne resetke, postoji najmanji razmak medu susjednim cvorovimaresetke koji odreduje najmanju mogucu valnu duljinu, tj. najveci moguci n. Gornja jednadzbaje istog oblika kao i (11.8), s tom razlikom sto je ovdje polozaj u prostoru kontinuirana varijablax, dok je tamo bio diskretna varijabla j i frekvencije titranja su drukcije.

Preostale dvije nepoznate konstante, C i S, cemo odrediti iz pocetnih uvjeta (11.15): polozajaX0(x), i brzine V0(x), niti u trenutku t = 0, koristeci se Fourierovom analizom (dodatak D):

ψ(x, t = 0) = X0(x) =

∞∑

n=1

sinnπx

L

(C · 1 + S · 0

),

/∫ L

0

sinmπx

Ldx

∫ L

0

X0(x) sinmπx

Ldx =

∞∑

n=1

C

∫ L

0

sinmπx

Lsin

nπx

Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=L

2C.

U gornjem je racunu koristena funkcija Kronecker-delta, definirana izrazom

δm,n =

1 m = n

0 m 6= n

Funkcija X0(x) je poznata (zadana), pa su koeficijenti C ovisni o n i odredeni izrazom

C → Cn =2

L

∫ L

0

X0(x) sinnπx

Ldx. (11.20)


Primjenimo sada pocetni uvjet na brzinu u trenutku t = 0

∂ψ(x, t)

∂t=

∞∑

n=1

sinnπx

L

nπvfL

(−Cn sin

nπvf t

L+ S cos

nπvf t

L

),

∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

= V0(x) =

∞∑

n=1

sinnπx

LSnπvfL

,

/∫ L

0

sinmπx

Ldx

∫ L

0

V0(x) sinmπx

Ldx =

∞∑

n=1

nπvfL

S

∫ L

0

sinmπx

Lsin

nπx

Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=mπvf

2S.

Funkcija V0(x) je poznata (zadana), pa su koeficijenti S ovisni o n i odredeni izrazom

S → Sn =2

nπvf

∫ L

0

V0(x) sinnπx

Ldx. (11.21)

Ukupno rjesenje za amplitudu titranja se dobiva uvrstavanjem eksplicitnih izraza za Cn i Sn

ψ(x, t) =∞∑

n=1

sinnπx

L

Cn cos

nπvf t

L+ Sn sin

nπvf t

L

ψ(x, t) =∞∑

n=1

sinnπx

L

[2

L

∫ L

0

X0(z) sinnπz

Ldz

]cos

nπvf t

L

+

[2

nπvf

∫ L

0

V0(z) sinnπz

Ldz

]sin

nπvf t

L

.

11.2.3 Nit s oba nepomicna ruba: putujuci val (J. D’Alembert)

Pokazimo sada da se do rjesenja iz prethodnog poglavlja moze doci i na jedan drukciji nacin.Primjetimo da svaka funkcija s argumentom x + vf t zadovoljava valnu jednadzbu

∂2ψ

∂t2= v 2

f

∂2ψ

∂x2.

Neka je ψ(x, t) = L(x + vf t), tada je

∂2L∂t2

= L ′′ · v 2f ,

∂2L∂x2

= L ′′

i valna jednadzba je ocito zadovoljena (crticama su oznacene derivacije po argumentu funkcije).No, ocito je da i svaka funkcija s argumentom x− vf t takoder zadovoljava valnu jednadzbu zaψ(x, t) = D(x− vf t),

∂2D∂t2

= D ′′ · (−vf )2,∂2D∂x2

= D ′′.

Buduci da je valna jednadzba linearna, svaka linearna kombinacija rjesenja je takoder rjesenje(sto je lako provjeriti izravnim uvrstavanjem), pa je zato opci oblik rjesenja dan sa

ψ(x, t) = L(x+ vf t) + D(x− vf t).


Ovaj oblik rjesenja se naziva putujuci ili ravni val, a potjece od D’Alemberta 5.Objasnimo sada naziv putujuci val: neka je u t = t0, stanje titranja u proizvoljnoj tocki x0opisano s L(x0 + vf t0). Pitamo se u kojoj tocki prostora cemo naci to isto stanje titranja unekom kasnijem trenutku t > t0? Ocito cemo to isto stanje titranja naci u tocki u kojoj L imaiste vrijednosti argumenta 6,

L(x0 + vf t0) = L(x+ vf t).

x = x0 − vf

(t− t0

).

To znaci da ce se, nakon vremena t− t0, isto stanje titranja pojaviti u tocki koja je za vf (t− t0)lijevo od tocke x0. Zakljucujemo da funkcija L opisuje val koji se siri (putuje) konstantnombrzinom vf u smjeru s desna na lijevo. Slicnom argumentacijom zakljucujemo da D(x − vf t)opisuje putujuci val koji se istom brzinom vf giba s lijeva na desno. Buduci da brzina vf opisujesirenje faze vala, naziva se faznom brzinom.

Pokazimo sada kako se stojni val iz prethodnog odjeljka moze dobiti kao rezultat zbrajanja(interferencije) dva putujuca vala koji se gibaju u suprotnim smjerovima.Neka su, kao i ranije, u pocetnom trenutku t = 0 polozaj i brzina niti koja titra odredenifunkcijama X0 i V0

ψ(x, 0) = X0(x),∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

= V0(x),

gdje su X0 i V0 funkcije definirane na intervalu [0, L]. Uvrstavanjem opceg rjesenja za ψ,dobivamo

L(x) + D(x) = X0(x), cL′(x) − cD′(x) = V0(x).

Integracijom od 0 do x, desne gornje jednadzbe, dobiva se

L(x) − L(0) −D(x) + D(0) =1

c

∫ x

0

V0(η) dη.

Nazovemo li konstantu L(0) − D(0) = a0, dolazimo do sustava dvije jednadzbe s dvije nepoz-nanice: L(x) i D(x)

L(x) + D(x) = X0(x)

L(x) −D(x) =1

c

∫ x

0

V0(η) dη + a0,

s rjesenjima

L(x) =1

2X0(x) +

1

2c

∫ x

0

V0(η) dη +1

2a0,

D(x) =1

2X0(x) − 1

2c

∫ x

0

V0(η) dη − 1

2a0.

5Jean D’Alembert, 1717. - 1783., francuski fizicar i matematicar.6Kada se govori o valovima, onda se ovaj argument cesto naziva faza.


Iz ovih je izraza lako procitati ukupno rjesenje za ψ

ψ(x, t) = L(x+ ct) + D(x− ct)

=1

2X0(x+ ct) +

1

2c

∫ x+ct

0

V0(η) dη +1

2a0

+1

2X0(x− ct) − 1

2c

∫ x−ct

0

V0(η) dη − 1

2a0

=1

2

[X0(x+ ct) +X0(x− ct)

]+

1

2c

∫ x+ct

x−ctV0(η) dη.

Tako smo dosli do rjesenja koje zadovoljava pocetne uvjete na polozaj i brzinu

ψ(x, t) =1

2[X0(x + ct) +X0(x− ct)] +

1

2c

∫ x+ct

x−ctV0(η) dη. (11.22)

Pogledajmo sada rubne uvjete: na rubu intervala [0, L] je otklon niti jednak nuli ψ(x = 0, t) =ψ(x = L, t) = 0 u svakom trenutku t.

ψ(x = 0, t) = L(0 + ct) + D(0 − ct) = 0 ⇒ L(ct) = −D(−ct),ψ(x = L, t) = L(L + ct) + D(L− ct) = 0 ⇒ L(L+ ct) = −D(L− ct).

Pokazimo da su L i D periodicne funkcije s periodom 2L. Oznacimo s = ct, tako da rubneuvjete mozemo napisati u obliku

L(s) = −D(−s), (11.23)

L(L+ s) = −D(L− s), (11.24)

za s iz intervala 0 < s < L. Prije dokaza periodicnosti, pokazimo najprije da se funkcije L i Dmogu produljiti izvan intervala [0, L]. Za s ∈ [0, L], argument od L(L+s) iz jednadzbe (11.24),poprima vrijednosti iz [L, 2L], dok funkcija na desnoj strani D(L − s) poprima vrijednosti izintervala [0, L]. Time je L produljena na interval [0, 2L]. Slican se postupak moze provesti idalje na lijevu i desnu stranu intervala [0, L] za funkciju L i za D.Dokazimo sada i periodicnost funkcija L i D. Izvedimo zamjenu s→ s+L u jednadzbu (11.24)

L(L+ s+ L) = −D(L− s− L) = −D(−s),

no, prema jednadzbi (11.23), je upravo −D(−s) = L(s), pa smo tako pokazali periodicnost Ls periodom 2L

L(s+ 2L) = L(s).

Na slican nacin, zamjenom s→ s− L u jednadzbi (11.24), dolazi se do

D(L− s+ L) = −L(L + s− L) = −L(s) = D(−s),

D(2L− s) = D(−s),

pri cemu smo u posljednjem koraku koristili i jednadzbu (11.23).


Pogledajmo sada sto mozemo zakljuciti o funkcijama X0(x) i V0(x) koje odreduju pocetno(t = 0) stanje niti. Iz pocetnih uvjeta je

X0(x) = L(x) + D(x), (11.25)

V0(x) = c[L(x)′ −D(x)′

]. (11.26)

Buduci da su L i D periodicne funkcije s periodom 2L, iz gornjih relacija zakljucujemo da su iX0 i V0 takoder periodicne s istim periodom 2L.Nadalje, iz (11.25) slijedi X0(−x) = L(−x) + D(−x). No, prema (11.23) je L(−x) = −D(x), iD(−x) = −L(x), pa je

X0(−x) = L(−x) + D(−x) = −D(x) −L(x) = −[L(x) + D(x)] = −X0(x),

tj. pokazali smo da je X0(x) = −X0(−x) neparna funkcija na intervalu [−L, L]. Slican je idokaz za funciju V0(x): iz relacije (11.23) je

L(x) = −D(−x),

L′(x) = −D′(−x) (−1) = D′(−x) ⇒ L′(−x) = D′(x).

Uvrstavanjem gornjih veza u (11.26), dobiva se

V0(x) = c[L(x)′ −D(x)′

],

⇒ V0(−x) = c[L(−x)′ −D(−x)′] = c[D(x)′ −L(x)′

]= −c

[L(x)′ −D(x)′

],

V0(−x) = −V0(x),

tj. i V0(x) je neparna funkcija od x. Sve zajedno, za X0 i V0 znamo da vrijedi: obje su funkcijeperiodicne periodom 2L i obje su neparne u x

X0(x) = X0(x + 2L), X0(x) = −X0(−x),

V0(x) = V0(x + 2L), V0(x) = −V0(−x).

Svaka se periodicka funkcija moze razviti u Fourierov red, a buduci da je funkcija i neparna,u redu ce se pojaviti samo sinusi

X0(x) =

∞∑

n=1

an sin

(n

2π

2Lx

).

Iz gornjeg izraza odmah slijedi

X0(x+ vf t) =∞∑

n=1

an sinnπ

L(x + ct),

X0(x− vf t) =∞∑

n=1

an sinnπ

L(x− ct).


Funkcija V0 je takoder neparna i periodicna, pa se i ona moze razviti u red po sinusima

V0(η) =

∞∑

n=1

bn sin

(n

2π

2Lη

).

U izrazu (11.22) se pojavljuje integral od V0, pa nas zapravo zanima

∫ x+ct

x−ctV0(η) dη =

∞∑

n=1

bn

∫ x+ct

x−ctsin(nπLη)dη

=

∞∑

n=1

bnL

nπ

[cos

nπ

Lη]x−ctx+ct

=∞∑

n=1

bnL

nπ

[cos

nπ

L(x− ct) − cos

nπ

L(x + ct)

].

Uvrste li se gornji izrazi za X0 i integral od V0 u (11.22), dobiva se

ψ(x, t) =1

2

∞∑

n=1

an

[sin

nπ

L(x+ ct) + sin

nπ

L(x− ct)

]

+1

2c

∞∑

n=1

bnL

nπ

[cos

nπ

L(x− ct) − cos

nπ

L(x+ ct)

].

Koristeci se trigonometrijskim identitetima

sin(α+ β) + sin(α− β) = 2 sinα cos β,

cos(α− β) − cos(α + β) = 2 sinα sin β,

gornji izraz za ψ prelazi u

ψ(x, t) =1

2

∞∑

n=1

an 2 sinnπ

Lx cos

nπ

Lct+

1

2c

∞∑

n=1

bnL

nπ2 sin

nπ

Lx sin

nπ

Lct,

tj. dobili smo isto rjesenje kao i kod stojnog vala (11.19)

ψ(x, t) =

∞∑

n=1

sinnπ

Lx(an cos

nπ

Lct+ bn sin

nπ

Lct).

11.2.4 Nit s nepomicnim lijevim i slobodnim desnim rubom

Pratimo postupak iz odjeljka 11.2.2, uz izmjenjene rubne uvjete. Krecemo od zapisa valnefunkcije u obliku

ψ(x, t) = (Cx cos kx + Sx sin kx)(Ct cos kvf t+ St sin kvf t).

Cetiri nepoznate konstante odredujemo pomocu dva rubna i dva pocetna uvjeta.


Rubni uvjeti:

x = 0 ⇒ ψ(0, t) = 0 = Cx (Ct cos kvf t+ St sin kvf t) ⇒ Cx = 0,

x = L ⇒ ∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=L

= 0 = Sx k cos kL (Ct cos kvf t+ St sin kvf t)

⇒ kL = (2n+ 1)π

2, n = 0, 1, 2, · · · .


k = kn = (2n+ 1)π

2L, n = 0, 1, 2, · · · .

Time smo dobili niz rjesenja za svaku pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanti SxCt →Cn i SxSt → Sn, ta rjesenja glase

ψn(x, t) = sin(2n+ 1)πx

2L

[Cn cos

(2n+ 1)πvf t

2L+ Sn sin

(2n+ 1)πvf t

2L

].

Sada ispitujemo periodicnost u prostornoj i vremenskoj varijabli.

ψn(x, t) = ψn(x + λ, t), (11.27)

a vremensku periodicnost sa Tψn(x, t) = ψn(x, t + T ). (11.28)

Prostorna ovisnost ψn(x, t) je sadrzana u clanu sin[(2n+ 1)πx]/(2L), pa se λ odreduje iz

sin(2n+ 1)πx

2L= sin

(2n+ 1)π(x+ λ)

2L

= sin(2n+ 1)πx

2Lcos

(2n+ 1)πλ

2L+ cos

(2n+ 1)πx

2Lsin

(2n+ 1)πλ

2L

Gornja je jednadzba zadovoljena ako je

cos(2n+ 1)πλ

2L= 1, sin

(2n+ 1)πλ

2L= 0,

tj. ako je [(2n+ 1)πλ]/(2L) = 2π ·m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sam = 1, tako da zakljucujemo, da je za svaki dani n

λ = λn =4L

2n+ 1, n = 0, 1, 2, . . . .

Kao i valni broj kn i valna duljina je diskretna, pri cemu je opet kn λn = 2π.Ispitajmo sada uvjete na vremensku periodicnost

sin(2n+ 1)πvf t

2L= sin

(2n+ 1)πvf(t+ T )

2L

= sin(2n+ 1)πvf t

2Lcos

(2n+ 1)πvfT

2L+ cos

(2n+ 1)πvf t

2Lsin

(2n+ 1)πvfT

2L,

cos(2n+ 1)πvf t

2L= cos

(2n+ 1)πvf (t+ T )

2L

= cos(2n+ 1)πvf t

2Lcos

(2n+ 1)πvfT

2L− sin

(2n+ 1)πvf t

2Lsin

(2n+ 1)πvfT

2L.



cos(2n+ 1)πvfT

2L= 1, sin

(2n+ 1)πvfT

2L= 0,

tj. ako je [(2n+1)πvfT ]/(2L) = 2π ·m. Period je najmanja takva vrijednost, tj. ona za m = 1

T = Tn =4L

(2n+ 1)vf, n = 0, 1, 2, . . . .

Frekvencija je

νn =1

Tn=

(2n+ 1)c

4L.

Brzina vala c je opet

νn · λn = vf .

Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadzbe i svaka linearna kombinacija rjesenja ψn(x, t)je takoder rjesenje. Zato je opce rjesenje oblika

ψ(x, t) =

∞∑

n=0

sin(2n+ 1)πx

2L

[Cn cos

(2n+ 1)πvf t

2L+ Sn sin

(2n+ 1)πvf t

2L

]. (11.29)

Pocetni uvjeti:Nepoznate konstante Cn i Sn cemo odrediti iz pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu niti u trenutkut = 0 (Fourierova analiza, dodatak D):

ψ(x, t = 0) = X0(x) =

∞∑

n=0

sin(2n+ 1)πx

2LCn,

/∫ L

0

sin(2m+ 1)πx

2Ldx

∫ L

0

X0(x) sin(2m+ 1)πx

2Ldx =

∞∑

n=0

Cn

∫ L

0

sin(2n+ 1)πx

2Lsin

(2m+ 1)πx

2Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=L

2Cm.

Cn =2

L

∫ L

0

X0(x) sin(2n+ 1)πx

2Ldx.


V0(x) =∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

=∞∑

n=0

sin(2n+ 1)πx

2LSn

(2n+ 1)πvf2L

/∫ L

0

sin(2m+ 1)πx

2Ldx

∫ L

0

V0(x) sin(2m+ 1)πx

2Ldx =

∞∑

n=0

(2n+ 1)πvf2L

Sn

∫ L

0

sin(2n+ 1)πvf

2Lsin

(2m+ 1)πc

2Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=(2m+ 1)πc

4Sm.


Funkcija V0(x) je poznata (zadana), pa su koeficijenti Sn odredeni izrazom

Sn =4

(2n+ 1)πvf

∫ L

0

V0(x) sin(2n+ 1)πx

2Ldx.

Ukupno rjesenje za amplitudu titranja dobijemo uvrstavanjem eksplicitnih izraza za an i bn

ψ(x, t) =

∞∑

n=0

sin(2n+ 1)πx

2L·[

2

L

∫ L

0

X0(z) sin(2n+ 1)πz

2Ldz

]cos

(2n+ 1)πvf t

2L

+

[4

(2n+ 1)πvf

∫ L

0

V0(z) sin(2n+ 1)πz

2Ldz

]sin

(2n+ 1)πvf t

2L

.

11.2.5 Nit sa slobodnim desnim i nepomicnim lijevim rubom

U cjelosti pratimo postupak iz prethodnog odjeljka, uz simetricno izmjenjene rubne uvjete.Zapocinjemo s valnom funkcijom u obliku

ψ(x, t) = (Cx cos kx + Sx sin kx)(Ct cos kvf t+ St sin kvf t).

Cetiri nepoznate konstante cemo ponovo odrediti pomocu rubnih i pocetnih uvjeta.Rubni uvjeti:

x = 0 ⇒ ∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=0

= 0 = Sx k (Ct cos kvf t+ St sin kvf t) ⇒ Sx = 0,

x = L ⇒ ψ(L, t) = 0 = Cx cos kL (Ct cos kvf t+ St sin kvf t)

⇒ kL = (2n+ 1)π

2, n = 0, 1, 2, · · · .


k = kn = (2n+ 1)π

2L, n = 0, 1, 2, · · · .

Time smo dobili niz rjesenja za svaku pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanti CxCt →an i CxSt → bn, ta rjesenja glase

ψn(x, t) = cos(2n+ 1)πx

2L

[an cos

(2n+ 1)πct

2L+ bn sin

(2n+ 1)πct

2L

].

Sada ispitujemo periodicnost u prostornoj i vremenskoj varijabli.

ψn(x, t) = ψn(x + λ, t), (11.30)

a vremensku periodicnost sa Tψn(x, t) = ψn(x, t + T ). (11.31)

Prostorna ovisnost ψn(x, t) je sadrzana u clanu cos[(2n+ 1)πx]/(2L), pa se λ odreduje iz

cos(2n+ 1)πx

2L= cos

(2n+ 1)π(x+ λ)

2L

= cos(2n+ 1)πx

2Lcos

(2n+ 1)πλ

2L− sin

(2n+ 1)πx

2Lsin

(2n+ 1)πλ

2L



cos(2n+ 1)πλ

2L= 1, sin

(2n+ 1)πλ

2L= 0,

tj. ako je [(2n+ 1)πλ]/(2L) = 2π ·m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sam = 1, tako da zakljucujemo, da je za svaki dani n

λ = λn =4L

2n+ 1, n = 0, 1, 2, . . . .

Kao i valni broj kn i valna duljina je diskretna, pri cemu je opet kn λn = 2π.Vremenska ovisnost ψn(x, t) je ista kao i u prethodnom odjeljku, pa je i vremensko ponasanjeisto

T = Tn =4L

(2n+ 1)c, n = 0, 1, 2, . . . ,

ωn =(2n+ 1)πvf

2L.

Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadzbe, opce rjesenje za pomak ψn(x, t) je

ψ(x, t) =∞∑

n=0

cos(2n+ 1)πx

2L

[an cos

(2n+ 1)πct

2L+ bn sin

(2n+ 1)πct

2L

]. (11.32)

Pocetni uvjeti:Nepoznate konstante an i bn cemo odrediti iz pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu svakog elementaniti u trenutku t = 0 (Fourierova analiza, dodatak D):

ψ(x, t = 0) = X0(x) =

∞∑

n=0

cos(2n+ 1)πx

2Lan,

/∫ L

0

cos(2m+ 1)πx

2Ldx

∫ L

0

X0(x) cos(2m+ 1)πx

2Ldx =

∞∑

n=0

an

∫ L

0

cos(2n+ 1)πx

2Lcos

(2m+ 1)πx

2Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=L

2am.

an =2

L

∫ L

0

X0(x) cos(2n+ 1)πx

2Ldx.


V0(x) =∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

=∞∑

n=0

cos(2n+ 1)πx

2Lbn

(2n+ 1)πvf2L

/∫ L

0

cos(2m+ 1)πx

2Ldx

∫ L

0

V0(x) cos(2m+ 1)πx

2Ldx =

∞∑

n=0

(2n+ 1)πvf2L

bn

∫ L

0

cos(2n+ 1)πvf

2Lcos

(2m+ 1)πc

2Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=(2m+ 1)πc

4bm.


Za poznatu funkciju V0(x), koeficijenti bn se racunaju iz

bn =4

(2n+ 1)πvf

∫ L

0

V0(x) cos(2n+ 1)πx

2Ldx.

Ukupno rjesenje za amplitudu titranja dobijemo uvrstavanjem eksplicitnih izraza za an i bn

ψ(x, t) =

∞∑

n=0

cos(2n+ 1)πx

2L·[

2

L

∫ L

0

X0(z) cos(2n+ 1)πz

2Ldz

]cos

(2n+ 1)πct

2L

+

[4

(2n+ 1)πvf

∫ L

0

V0(z) cos(2n+ 1)πz

2Ldz

]sin

(2n+ 1)πct

2L

.

11.2.6 Nit slobodna na oba ruba

Opet zapocinjemo s valnom funkcijom u obliku

ψ(x, t) = (Cx cos kx + Sx sin kx)(Ct cos kvf t+ St sin kvf t),

gdje cemo cetiri nepoznate konstante odrediti pomocu rubnih i pocetnih uvjeta.Rubni uvjeti:

x = 0 ⇒ ∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=0

= 0 = Sx k (Ct cos kvf t+ St sin kvf t) ⇒ Sx = 0,

x = L ⇒ ∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=L

= 0 = −Cx sin kL (Ct cos kvf t+ St sin kvf t)

⇒ kL = nπ, n = 1, 2, · · · ,

(n ne moze biti 0, jer k ne moze biti 0). Valni broj moze poprimati samo diskretne vrijednostiodredene jednadzbom

k = kn =nπ

L, n = 1, 2, · · · .

Time smo dobili niz rjesenja za svaku pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanti CxCt →an i CxSt → bn, ta rjesenja glase

ψn(x, t) = cosnπx

L

[an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

].

Sada ispitujemo periodicnost u prostornoj i vremenskoj varijabli

ψn(x, t) = ψn(x + λ, t), ψn(x, t) = ψn(x, t + T ).

Prostorna ovisnost ψn(x, t) je sadrzana u clanu cos(nπx/L), pa je λ najmanja vrijednost zakoju je

cosnπx

L= cos

nπ(x + λ)

L

= cosnπx

Lcos

nπλ

L− sin

nπx

Lsin

nπλ

L



cosnπλ

L= 1, sin

nπλ

L= 0,

tj. ako je nπλ/L = 2π ·m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sa m = 1, takoda zakljucujemo, da je za svaki dani n

λ = λn =2L

n, n = 1, 2, . . . .

Kao i valni broj kn i valna duljina je diskretna, pri cemu je opet kn λn = 2π.Vremenska periodicnost:

cosnπvf t

L= cos

nπvf (t+ T )

L= cos

nπvf t

Lcos

nπvf t

L− sin

nπvf t

Lsin

nπvf t

L,

sinnπvf t

L= sin

nπvf (t+ T )

L= sin

nπvf t

Lcos

nπvf t

L+ cos

nπvf t

Lsin

nπvf t

L.


cosnπvf t

L= 1, sin

nπvf t

L= 0,

tj. ako je nπvf t/L = 2π ·m. Periodicnosti za m = 2, 3, · · · itd. su visekratnici periodicnosti zam = 1, pa je zato periodicnost odredena s m = 1, tj.

T = Tn =2L

nvf, ωn =

πnvfL

, n = 1, 2, . . . .

Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadzbe, opce rjesenje za pomak ψn(x, t) je

ψ(x, t) =

∞∑

n=1

cosnπx

L

[an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

].

Pocetni uvjeti:Nepoznate konstante an i bn cemo odrediti iz pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu svakog elementaniti u trenutku t = 0 (Fourierova analiza, dodatak D):

ψ(x, t = 0) = X0(x) =∞∑

n=1

cosnπx

Lan,

/∫ L

0

cosmπx

Ldx

∫ L

0

X0(x) cosmπx

Ldx =

∞∑

n=1

an

∫ L

0

cosnπx

Lcos

mπx

Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=L

2am.

an =2

L

∫ L

0

X0(x) cosnπx

Ldx.



V0(x) =∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

=

∞∑

n=1

cosnπx

LbnnπvfL

/∫ L

0

cosmπx

Ldx

∫ L

0

V0(x) cosmπx

Ldx =

∞∑

n=1

nπvfL

bn

∫ L

0

cosnπvfL

cosmπvfL

dx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=mπvf

2bm.

Za poznatu funkciju V0(x), koeficijenti Sn se racunaju iz

Sn =2

nπvf

∫ L

0

V0(x) cosnπx

Ldx.

Ukupno rjesenje za amplitudu titranja dobijemo uvrstavanjem eksplicitnih izraza za Cn i Sn

ψ(x, t) =∞∑

n=1

cosnπx

L·[

2

L

∫ L

0

X0(z) cosnπz

Ldz

]cos

nπvf t

L

+

[2

nπvf

∫ L

0

V0(z) cosnπz

Ldz

]sin

nπvf t

L

.

11.2.7 Brzina sirenja grupe valova

Ako se medijem (u jednodimenzijskom slucaju je to nit) siri istovremeno vise od jednog vala,tada se moze govoriti o sirenju grupe valova i njihovoj brzini. Ta se brzina naziva grupnabrzina, vg i opcenito je razlicita od fazne brzine, vf .

dovrsiti uvod

11.2.8 Energija titranja napete niti

Titranje napete niti je pojava koja sadrzi odredenu energiju. To je kineticka energija uslijedgibanja pojedinih dijelova niti i to je potencijalna energija uslijed deformacije dijelova niti nakoju djeluje elasticna sila od ostatka niti.

Kineticka energija:Kineticka energija dijela niti duljine ds i mase dm = λ0 d s potjece od njegovog gibanja uokomitom smjeru. Otklon u okomitom smjeru opisuje varijabla ψ(x, t), pa je zato

dEk =1

2dm v2 =

1

2(λ0 d s)

(∂ ψ

∂ t

)2

.

Prema Pitagorinu poucku, duljina niti je priblizno jednaka

d s =√

(d x)2 + (d ψ)2 = d x

√

1 +

(∂ ψ

∂ x

)2

≃ d x + · · · .


Sukladno aproksimacijama koje smo koristili u izvodu valne jednadzbe, i ovdje smo zanemarilikvadratni clan pod korjenom, tako da je d s ≃ d x, sto vodi na izraz za kineticku energiju

dEk =1

2λ0 d x

(∂ ψ

∂ t

)2

.

To je kineticka energija elementa niti priblizne duljine d x. Kineticku energiju cijele niti sedobiva tako da se gornji izraz prointegrira po cijeloj duljini niti

Ek =λ02

∫ L

0

(∂ ψ

∂ t

)2

d x. (11.33)

Za ψ koristimo (11.19)

ψ(x, t) =∞∑

n=1

sinnπx

L

(Cn cos

nπvf t

L+ Sn sin

nπvf t

L

)

∂ ψ

∂ t=

∞∑

n=1

nπvfL

sinnπx

L

(−Cn sin

nπvf t

L+ Sn cos

nπvf t

L

)

(∂ ψ

∂ t

)2

=

[ ∞∑

n=1

nπvfL

sinnπx

L

(−Cn sin

nπvf t

L+ Sn cos

nπvf t

L

)]

·[ ∞∑

m=1

mπc

Lsin

mπx

L

(−Cm sin

mπvf t

L+ Sm cos

mπvf t

L

)]

Uvrstavanjem gornjeg izraza u izraz za kineticku energiju (11.33), dobiva se

Ek =λ02

∞∑

n=1

∞∑

m=1

nπvfL

mπvfL

∫ L

0

sinnπx

Lsin

mπx

Ld x

·(−Cn sin

nπvf t

L+ Sn cos

nπvf t

L

) (−Cm sin

mπvf t

L+ Sm cos

mπvf t

L

).

No, gornji integral po sinusima je razlicit od nule samo ako su indeksi n i m jednaki

∫ L

0

sinnπx

Lsin

mπx

Ld x =

L

2δn,m,

sto konacno daje za kineticku energiju cijele niti

Ek =λ0π

2v 2f

4L

∞∑

n=1

n2

(Cn sin

nπvf t

L− Sn cos

nπvf t

L

)2

.

Sjetimo li se da je v 2f = Fnap/λ0, kineticka se energija moze napisati i kao

Ek =π2Fnap

4L

∞∑

n=1

n2

(Cn sin

nπvf t

L− Sn cos

nπvf t

L

)2

. (11.34)


Vidimo da sama kineticka energija nije konstantna u vremenu, nego se mjenja u skladu sgornjim izrazom.

Potencijalna energija:Potencijalna energija potjece od sile napetosti niti. Za tu smo silu, relacija (11.10), pokazali daje priblizno konstantna na dijelu niti d x. Uslijed deformacije niti kod titranja, taj se dio nitirastegne sa duljine d x na duljinu d s, a rad sile Fnap potreban da se obavi ta deformacija, jejednak promjeni potencijalne energije

∆ W = Fnap(d s− d x

)= dEp.

Sa slike 11.6 se vidi da je

d s =√

(d x)2 + (d ψ)2 = d x

√

1 +

(∂ ψ

∂ x

)2

= d x

1 +

1

2

(∂ ψ

∂ x

)2

+ O[(

∂ ψ

∂ x

)4]

.

Zadrzimo li se samo na vodecem7 clanu razvoja, potencijalna energija pridruzena dijelu niti je

dEp ≃Fnap

2

(∂ ψ

∂ x

)2

d x.

Zbog aditivnosti energije, potencijalna energija cijele niti je zbroj (tj. integral) potencijalnihenergija svih djelova niti

Ep =Fnap

2

∫ L

0

(∂ ψ

∂ x

)2

d x.

Uvrstavanjem derivacije (11.19)

∂ ψ

∂ x=

∞∑

n=1

nπ

Lcos

nπx

L

(Cn cos

nπvf t

L+ Sn sin

nπvf t

L

)

(∂ ψ

∂ x

)2

=

[ ∞∑

n=1

nπ

Lcos

nπx

L

(Cn cos

nπvf t

L+ Sn sin

nπvf t

L

)]

·[ ∞∑

m=1

mπ

Lcos

mπx

L

(Cm cos

mπvf t

L+ Sm sin

mπvf t

L

)],

dolazi se do

Ep =Fnap

2

∞∑

n=1

∞∑

m=1

nπ

L

mπ

L

∫ L

0

cosnπx

Lcos

mπx

Ld x

·(Cn cos

nπvf t

L+ Sn sin

nπvf t

L

) (Cm cos

mπvf t

L+ Sm sin

mπvf t

L

).

Opet je integral po prostornoj koordinati razlicit od nule samo ako je n = m∫ L

0

cosnπx

Lcos

mπx

Ld x =

L

2δn,m.

7Sve do sada smo clanove srazmjerne (∂ ψ/∂ x)2 zanemarivali, a sada ga zadrzavamo. Zasto? Nije li to nekonzistentno sdosadasnjim izvodima? Nije: u svim dosadasnjim izvodima, spomenuti clan nije bio vodeci clan, nego mala korekcija u odnosu na,puno veci, vodeci clan. Sada, na ovom mjestu je taj clan vodeci clan u odnosu na ostale, puno manje clanove. Zanemarivanje njegavodi na Ep ≃ 0, a to nije istina.


Uz gornji rezultat, potencijalna energija je

Ep =π2Fnap

4L

∞∑

n=1

n2

(Cn cos

nπvf t

L+ Sn sin

nπvf t

L

)2

. (11.35)

Vidimo da kao i kineticka energija, ni sama potencijalna energija nije konstantna u vre-menu, nego se mjenja u skladu s gornjim izrazom.

Ukupna mehanicka energija:Ukupna mehanicka energija je zbroj kineticke i potencijalne energije, sto je prema (11.34) i(11.35) jednako

E = Ek + Ep

=π2Fnap

4L

∞∑

n=1

n2

(C2n sin2 nπvf t

L−

2CnSn sinnπvf t

Lcos

nπvf t

L+ S2

n cos2nπvf t

L

+ C2n cos2

nπvf t

L+

2CnSn sinnπvf t

Lcos

nπvf t

L+ S2

n sin2 nπvf t

L

)

=π2Fnap

4L

∞∑

n=1

n2(C2n + S2

n

).

Za razliku od kineticke i potencijalne energije, ukupna energija ne ovisi o vremenu, tj. onaje konstantna ili sacuvana. Dobili smo jos jedan primjer sacuvanja energije8. Primje-timo takoder da je energija zadana koeficijentima Cn i Sn koji se, relacijama (11.20) i (11.21),odreduju iz pocetnih uvjeta. To znaci da je energija jednaka onom iznosu koji je u pocetkugibanja vanjska sila, putem rada obavljenog nad niti, predala toj istoj niti.

Jednadzba kontinuiteta:

Uvede li se gustoca energije

E(x, t) ≡ dE

dx=λ02

(∂ ψ

∂ t

)2

+Fnap

2

(∂ ψ

∂ x

)2

i snaga (tj. protok energije u smjeru osi x u jedinici vremena), kao umnozak okomite kompon-nete sile napetosti9 i brzine

Px(x, t) =

(−Fnap

∂ ψ

∂ x

)· ∂ ψ∂ t

,

8Zanemarisi sva trenja, iz razmatranja smo izbacili medudjelovanje s okolinom i zato energija mora ostati sacuvana; ne postojimehanizam izmjene energije s okolonom.

9Okomita komponenta sile napetosti je

−Fnap sinα ≃ −Fnap∂ ψ

∂ x

11.3. TITRANJE PRAVOKUTNE MEMBRANE 371

tada je lako vidjeti da te dvije velicine zadovoljavaju jednodimenzijsku jednadzbu kontinuiteta10

∂ Px(x, t)

∂ x+∂ E(x, t)

∂ t= 0

11.3 Titranje pravokutne membrane

Promotrimo sada jedan dvodimenzijski primjer titranja. Neka se savrseno tanka napeta elasticnamembrana nalazi u ravnini (x, y), sa rubovima u x = 0, x = Lx, y = 0 i y = Ly, kao sto je toprikazano na slici 11.8. Promotrimo mali pravokutni dio te membrane duljine bridova dx i dy.

Slika 11.8: Dvodimenzijska napeta membrana.

Zbog napetosti membrane, ostali djelovi djeluju silom napetosti na promatrani dio (slika 11.8)Ukupna sila na jedan od bridova promatranog dijela, npr. na brid AB duz y smjera, se mozenapisati u obliku

~Fnap,y =

∫ B

A

~Fy dy = ~Fy dy,

gdje je ~Fy vektor napetosti (dimenzije sile po jedinici duljine) membrane u y smjeru (opcenito jeFx 6= Fy). Kada je membrana u ravnotezi, ovaj je vektor istog iznosa u svakoj tocki membrane(kada ne bi bilo tako, pojedini bi se dijelovi membrane gibali sve dok se ravnoteza ne uspostavi).

Pretpostavimo sada da neka vanjska sila trenutno deformira membranu na nacin prikazan naslici 11.9, nakon cega vanjska sila vise ne djeluje. Od tog trenutka, na promatrani dio membranedjeluje samo gravitacijska sila i sila napetosti kojom susjedni djelovi membrane, djeluju na pro-matrani dio. Pretpostavit cemo da je membrana male povrsinske gustoce (lagana membrana),

10

−→∇~j +∂ ρ

∂ t= 0


Slika 11.9: Mali deformirani dio membrane.

tako da je gravitacijska sila po iznosu puno manja od sile napetosti, pa cemo ju zanemar-iti u daljem racunu. Zadatak je postaviti, a zatim i rijesiti jednazbu gibanja za promatranidjelic membrane: umnozak mase i ubrzanja promatranog dijela treba izjednaciti s svim silama(napetosti) koje na njega djeluju. Masa promatranog dijela je jednostavno jednaka

σ0 dsx dsy,

gdje je σ0 konstantna povrsinska masena gustoca, a dsx i dsy su duljine lukova promatranogdjelica. Otklon svake tocke membrane u odnosu na ravninu (x, y) u danom trenutku t, cemooznacavati s ψ(x, y, t), pa je ubrzanje odredene tocke membrane

∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2.

Pretpostavit cemo da je gibanje djelica membrane u smjerovima paralelnim s ravninom (x, y)puno manje od gibanja u okomitom smjeru, pa cemo ga zanemariti. Na desnu stranu jednadzbegibanja dolaze sile napetosti u smjeru okomitom na ravninu (x, y), kao sto je to prikazano naslikama 11.9.A i 11.9.B, a slicno racunu koji smo proveli u odjeljku 11.2.2 za opis jednodimen-zijskog titranja (relacije (11.11) do (11.12)). Okomita komponenta sile na bridove CB i DA jejednaka (sa slike 11.9.A)

Fx = Fx dy

(dx

∂

∂ xsinαx

)

Transformacijom sinusa kao u (11.13), dobiva se

Fx = Fx dx dy∂

∂ x

∂ ψ

∂ x

[1 +

(∂ ψ

∂ x

)2]−1/2

= Fx dx dy

∂2 ψ

∂ x2+ O

[(∂ ψ

∂ x

)2]

Potpuno isti postupak proveden nad silama koje djeluju na rubove duz y koordinate, oznacenena slici 11.9.B s AB i DC, vodi na okomitu komponentu sile jednaku

Fy = Fy dx dy∂2 ψ

∂ y2+ O

[(∂ ψ

∂ y

)2]


Slika 11.10: Sile: (A) u smjeru osi x i (B) u smjeru osi y.

Sada mozemo napisati jednadzbu gibanja kao

σ0 dsx dsy∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2= Fx dx dy

∂2 ψ

∂ x2+ Fy dx dy

∂2 ψ

∂ y2+ O

[(∂ ψ

∂ x

)2

,

(∂ ψ

∂ y

)2]

Duljine lukova dsx i dsy mozemo izraziti kao

dsx =√

(dx)2 + (dψ)2, dsy =√

(dy)2 + (dψ)2

Ako cijelu jednadzbu podijelimo s dx dy, dolazi se do slijedece jednadzbe

σ0

√(dx)2 + (dψ)2

dx

√(dy)2 + (dψ)2

dy

∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2= Fx

∂2 ψ

∂ x2+ Fy

∂2 ψ

∂ y2+ O

[(∂ ψ

∂ x

)2

,

(∂ ψ

∂ y

)2]

σ0

√

1 +

(∂ ψ

∂ x

)2√

1 +

(∂ ψ

∂ y

)2∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2= Fx

∂2 ψ

∂ x2+ Fy

∂2 ψ

∂ y2+ O

[(∂ ψ

∂ x

)2

,

(∂ ψ

∂ y

)2].

Zanemarimo li male clanove srazmjerne kvadratu prve derivacije ψ po koordinatama, gornjajednadzba postaje

∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2=

Fx

σ0

∂2 ψ

∂ x2+

Fy

σ0

∂2 ψ

∂ y2.

Omjeri F/σ0 su dimenzije kvadrata brzine, pa cemo uvesti oznake

cx =

√Fx

σ0, cy =

√Fy

σ0.

Uz ove oznake, jednadzbu gibanja malog dijela membrane prepoznajemo kao dvodimenzijsku11

11Usporediti s jednadzbom (11.14) u jednoj dimenziji.


valnu jednadzbu

∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2= c2x

∂2 ψ(x, y, t)

∂ x2+ c2y

∂2 ψ(x, y, t)

∂ y2. (11.36)

sa razlicitim faznim brzinama u x i y smjerovima.Pretpostavka da je povrsinska masena gustoca σ0 konstantna, znaci da je membrana homogenau svim svojim tockama. Ako jos pretpostavimo da su i sile napetosti u x i y smjeru iste, tadace membrana biti i izotropna, imat ce ista svojstva u svim smjerovima. U tom slucaju cejednake biti i brzine cx = cy ≡ c, pa gornja valna jednadzba postaje

∂2 ψ

∂ t2= v 2

f ∇ 22D ψ,

gdje smo s ∇ 22D oznacili dvodimenzijski Laplaceov operator

∂2

∂ x2+

∂2

∂ y2

u pravokutnom koordinatnom sustavu.Kao sto smo vec vise puta spomenuli, rjesenje diferencijalne jednadzbe je jednoznacno odredenopocetnim uvjetima za vremensku i rubnim uvjetima za prostornu varijablu. Rubni uvjeti kazuda su rubovi membrane sve vrijeme nepomicni, tj. njihov je otklon jednak nuli:

lijevi rub ψ(0, y, t) = 0,

desni rub ψ(Lx, y, t) = 0,

donji rub ψ(x, 0, t) = 0,

gornji rub ψ(x, Ly, t) = 0.

Pocetni uvjeti opisuju polozaj i brzinu svake tocke na membrani u pocetnom trenutku t:

pocetni polozaj ψ(x, y, 0) = f(x, y),

pocetna brzina∂ ψ(x, y, t)

∂ t

∣∣∣∣t=0

= g(x, y),

za poznate (zadane) funkcije f i g.Pretpostavimo rjesenje u Bernoullijevu obliku (s razdvojenim varijablama)

ψ(x, y, t) = X (x) Y(y) T (t).

Uvrstimo li ovo rjesenje u jednadzbu (11.36), dolazimo do

X Y ∂2 T∂ t2

= c2x Y T ∂2 X∂ x2

+ c2y X T ∂2 Y∂ y2

.

Cijelu jednadzbu podijelimo s umnoskom X Y T i dobijemo

1

T∂2 T∂ t2

=c2xX

∂2 X∂ x2

+c2yY

∂2 Y∂ y2

.


Svaki od tri clana u gornjoj jednadzbi je funkcija samo jedne varijable, tj. on vidi preostaladva clana kao konstante. Te konstante su dimenzije inverznog kvadrata vremena, pa cemoih oznaciti s ω2, jer je kvadrat kutne brzine iste dimenzije

c2xX

∂2 X∂ x2

= − ω2x,

c2yY

∂2 Y∂ y2

= − ω2y ,

1

T∂2 T∂ t2

= − ω2x − ω2

y.

Na taj nacin sve tri jednadzbe postaju jednadzbe tipa harmonijskog oscilatora,

∂2 X∂ x2

= −ω2x

c2xX , ∂2 Y

∂ y2= −

ω2y

c2yY , ∂2 T

∂ t2= −(ω2

x + ω2y) T ,

s kojima smo se vec sretali u poglavlju 6, pa mozemo odmah napisati njihova rjesenja u oblikulinearne kombinacije trigonometrijskih funkcija

X (x) = Cx cos kxx + Sx sin kxx, kx ≡ωxcx

Y(y) = Ct cos kyy + St sin kyy, ky ≡ωycy

T (t) = C3 cosωt+ S3 sinωt, ω ≡√ω2x + ω2

y .

Nepoznate koeficijente aj i bj odredujemo iz 4 rubna i 2 pocetna uvjeta na funkciju

ψ(x, y, t) = (Cx cos kxx+ Sx sin kxx) (Ct cos kyy + St sin kyy) (C3 cosωt+ S3 sinωt).

Zapocnimo s rubnim uvjetima:Lijevi rub:

ψ(0, y, t) = 0 = Cx Y(y) T (t) ⇒ Cx = 0.

Desni rub:

ψ(Lx, y, t) = 0 = Sx sin kxLx Y(y) T (t) ⇒ kxLx = nπ, n = 1, 2, · · · .

Zakljucujemo da valni broj, a time i valna duljina, frekvencija i period, mogu poprimati samodiskretne vrijednosti

kx = kx,n =nπ

Lx, n = 1, 2, · · · ,

λx = λx,n =2Lxn,

ωx = ωx,n = cxnπ

Lx,

Tx = Tx,n =2Lxn cx

.

Donji rub:

ψ(x, 0, t) = 0 = Sx sin kx,nx Ct T (t) ⇒ Ct = 0.

Gornji rub:

ψ(x, Ly, t) = 0 = Sx sin kx,nx St sin kyLy T (t) ⇒ kyLy = mπ, m = 1, 2, · · · .


Ovo opet vodi do zakljucka o diskretnosti

ky = ky,m =mπ

Ly, m = 1, 2, · · · ,

λy = λy,m =2Lym

,

ωy = ωy,m = cymπ

Ly,

Ty = Ty,m =2Lyn cy

.

Diskretna postaje i kruzna frekvencija ω

ω = ωn,m =√ω2x,n + ω2

y,m = π

√c2x n

2

L2x

+c2ym

2

L2y

.

Time rjesenje za ψ postaje ovisno o indeksima n i m

ψn,m(x, y, t) = Sx sin kx,nx St sin ky,my (C3 cosωn,mt+ S3 sinωn,mt).

Uz redefiniciju konstanata Sx St C3 → an,m i Sx St S3 → bn,m, pisemo

ψn,m(x, y, t) = sin kx,nx sin ky,my (an,m cosωn,mt + bn,m sinωn,mt).

Buduci da je polazna valna jednadzba linearna, to ce ukupno rjesenje (ono koje zadovoljava irubne i pocetne uvjete) biti linearna kombinacija svih mogucih ψn,m-ova

ψ(x, y, t) =

∞∑

n=1

∞∑

m=1

ψn,m(x, y, t) =

∞∑

n=1

∞∑

m=1

sin kx,nx sin ky,my(an,m cosωn,mt+bn,m sinωn,mt

).

(11.37)Kao i u nekoliko prethodnih odjeljaka, preostale nepoznate koeficijente an,m i bn,m cemo odreditiiz (pocetnih) uvjeta na polozaj i brzinu svih tocaka membrane u t = 0.Pocetni polozaj:

X0(x, y) = ψ(x, y, 0) =

∞∑

n=1

∞∑

m=1

sinnπx

Lxsin

mπy

Lyan,m.

Na obje strane gornje jednadzbe djelujemo slijedecim operatorom integriranja∫ Lx

0

dx sinpπx

Lx

∫ Ly

0

dy sinrπy

Ly

i dobijemo

∫ Lx

0

dx

∫ Ly

0

dy X0(x, y) sinpπx

Lxsin

rπy

Ly=

∞∑

n=1

∞∑

m=1

an,m

∫ Lx

0

dx sinnπx

Lxsin

pπx

Lx︸︷︷︸= (Lx/2) δn,p

·∫ Ly

0

dy sinmπy

Lysin

rπy

Ly︸︷︷︸= (Ly/2) δm,r

,


iz cega odmah slijedi koeficijent an,m

an,m =4

Lx Ly

∫ Lx

0

dx

∫ Ly

0

dy X0(x, y) sinnπx

Lxsin

mπy

Ly.

Na slican nacin odredujemo i koeficijente bn,m

V0(x, y) =∂ ψ(x, y, t)

∂ t

∣∣∣∣t=0

=∞∑

n=1

∞∑

m=1

sinnπx

Lxsin

mπy

Lybn,m ωn,m.

Opet cijelu jednadzbu napadamo istim operatorom integriranja∫ Lx

0

dx sinpπx

Lx

∫ Ly

0

dy sinrπy

Ly,

iz cega slijedi∫ Lx

0

dx

∫ Ly

0

dy V0(x, y) sinpπx

Lxsin

rπy

Ly=

∞∑

n=1

∞∑

m=1

bn,m ωn,m

∫ Lx

0

dx sinnπx

Lxsin

pπx

Lx︸︷︷︸= (Lx/2) δn,p

·∫ Ly

0

dy sinmπy

Lysin

rπy

Ly︸︷︷︸= (Ly/2) δm,r

,

sto daje za koeficijent bn,m

bn,m =4

ωn,m Lx Ly

∫ Lx

0

dx

∫ Ly

0

dy V0(x, y) sinnπx

Lxsin

mπy

Ly,

cime je rjesenje (11.37) za ψ u cjelosti odredeno.

Kao sto smo u odjeljku 11.2.1, kod titranja opisanog s ψn(x, t) uocili cvorne tocke (tj. cvorove),tako sada u ovom dvodimenzijskom primjeru, kod titranja modom ψn,m(x, y, t) uocavamocvorne linije: mjesta na membrani koja stalno miruju. To su pravci paralelni s x i y osi,koji su rjesenja jednadzba

sinnπx

Lx= 0 ⇒ nπx

Lx= p π, p = 0, 1, 2, · · · ,

sinmπy

Ly= 0 ⇒ mπy

Ly= r π, r = 0, 1, 2, · · · ,

iz cega slijede jednadzbe pravaca

x = Lxp

n, y = Ly

r

m.

Slicno se dobiju i jednadzbe pravaca na kojima leze trbusi dvodimenzijskog stojnog vala

sinnπx

Lx= ± 1 ⇒ nπx

Lx= (2 p+ 1)

π

2, p = 0, 1, 2, · · · ,

sinmπy

Ly= ± 1 ⇒ mπy

Ly= (2 r + 1)

π

2, r = 0, 1, 2, · · · ,

x =Lx2

2 p+ 1

n, y =

Ly2

2 r + 1

n.


Nakon ovih primjera titranja u jednoj i dvije dimenzije, vjerujemo da citatelju nece biti teskogornje racune poopci na titanje trodimenzijskog elasticnog kontinuuma s pravokutnom ge-ometrijom.

11.4 Titranje kruzne membrane

U prethodnom smo odjeljku dosli do valne jednadzbe koja opisuje titranje dvodimenzijskemembrane

∂2 ψ

∂ t2= v 2

f ∇ 22D ψ.

Sada cemo rjesavati tu jednadzbu, ali ne u pravokutnoj geometriji kao u prethodnom odjeljku,nego u cilindrickoj geometriji: pretpostavit cemo da imamo kruznu homogenu membranukoja je pobudena na titranje. Ispitivanjem svojstava tog titranja, upoznat cemo se s novimi vaznim Besselovim 12 funkcijama koje se pojavljuju i u klasicnoj elektrodinamici i u kvant-noj mehanici.Postavimo membranu u ravninu (x, y) sa sredistem u ishodistu. Polumjer membrane oznacimos R, a otklon bilo koje tocke membrane od ravnoteznog polozaja cemo opet oznaciti s ψ.Zbog simetrije membrane, necemo korisiti pravokutne, vec polarne koordinate (ρ, ϕ). Laplaceovoperator u polarnim koordinatama je oblika

∇ 2 =∂2

∂ ρ2+

1

ρ

∂

∂ ρ+

1

ρ2∂2

∂ ϕ2.

U ovim oznakama, valna jednadzba glasi

1

v 2f

∂2 ψ(ρ, ϕ, t)

∂ t2=∂2 ψ(ρ, ϕ, t)

∂ ρ2+

1

ρ

∂ ψ(ρ, ϕ, t)

∂ ρ+

1

ρ2∂2 ψ(ρ, ϕ, t)

∂ ϕ2.

Jednadzbu cemo rjesavati metodom razdvajanja varijabli

ψ(ρ, ϕ, t) = R(ρ)F(ϕ) T (t).

U ovim oznakama, valna jednadzba postaje

R Fv 2f

∂2 T (t)

∂ t2= F T

(∂2 R(ρ)

∂ ρ2+

1

ρ

∂R(ρ)

∂ ρ

)+

R Tρ2

∂2 F(ϕ)

∂ ϕ2.

Sada cijelu jednadzbu podijelimo s R(ρ)F(ϕ) T (t)

1

T v 2f

∂2 T (t)

∂ t2=

1

R

(∂2 R(ρ)

∂ ρ2+

1

ρ

∂R(ρ)

∂ ρ

)+

1

F ρ2∂2 F(ϕ)

∂ ϕ2.

Desna strana jednadzbe ne ovisi o vremenu, pa je sa stanovista vremenske varijable ona kon-stantna. Ta konstanta ima dimenziju inverznog kvadrata duljine, pa cemo ju oznaciti s −k2

∂2 T∂ t2

= −k2 v 2f T , 1

R

(∂2 R∂ ρ2

+1

ρ

∂R∂ ρ

)+

1

F ρ2∂2 F∂ ϕ2

= −k2.

Lijevu od gornjih jednadzba prepoznajemo kao jednadzbu harmonijskog oscilatora iz odjeljka6, cija su rjesenja linearna kombinacija trigonometrijskih funkcija

T (t) = Cx cos kvf t+ Sx sin kvf t.

12Friedrich Wilhelm Bessel, 1784. - 1846., njemacki matematicar i astronom.

11.4. TITRANJE KRUZNE MEMBRANE 379

Mnozenje desne od gornjih jednadzba s ρ2, vodi na

ρ2

R

(∂2 R∂ ρ2

+1

ρ

∂R∂ ρ

+ k2R)

= − 1

F∂2 F∂ ϕ2

.

Lijeva strana ovisi samo o varijabli ρ, a desna samo o varijabli ϕ. Sa stanovista varijable ρ,desna je strana konstantna, a isto tako sa stanovista varijable ϕ, lijeva je strana konstantna.Radi se o bezdimenzijskoj konstanti koju cemo oznaciti s n2

∂2F∂ ϕ2

= −n2 F ,(∂2 R∂ ρ2

+1

ρ

∂R∂ ρ

+ k2R)

=n2

ρ2R.

Lijevu od gornjih jednadzba prepoznajemo kao jednadzbu harmonijskog oscilatora sa rjesenjima

F(ϕ) = Ct cosnϕ+ St sin nϕ.

Zbog kruzne simetrije membrane, F mora biti periodicna funkcija s periodom 2 π

F(ϕ) = F(ϕ+ 2 π),

a to je ispunjeno ako je

cosnϕ = cosn(ϕ + 2 π) = cosnϕ cosn2 π − sin nϕ sinn2 π,

sinnϕ = sin n(ϕ+ 2 π) = sin nϕ cosn2 π + cosnϕ sinn2 π.

Ocito su gornji uvjeti zadovoljeni ako je n cijeli broj

n = 0,±1,±2, · · ·

Pogledajmo sada jednadzbu za R

ρ2∂2R∂ ρ2

+ ρ∂R∂ ρ

+ (k2 ρ2 − n2) R = 0.

Prijedimo s varijable ρ na bezdimenzijsku varijablu α = ρ k

∂R∂ ρ

= k∂R∂ α

,∂2R∂ ρ2

= k2∂2 R∂ α2

.

U varijabli α, jednadzba za R postaje

∂2 R∂ α2

+1

α

∂R∂ α

+

(1 − n2

α2

)R = 0

Gornja je jednadzba poznata kao Besselova diferencijalna jednadzba, cija su rjesenjapoznata i zovu se Besselove funkcije. One ovise o cijelom broju n (koji se naziva i red funkcije)i oznacavaju se s In

R(ρ) = In(ρ k)

Kao posljedica rubnog uvjeta ψ(R,ϕ, t) = 0 = R(ρ = R), slijedi uvjet na k

In(Rk) = 0.

Konstanta k ne moze biti proizvoljna, vec se mora odabrati tako da Rk bude nul-tocka Besselovefunkcije. Besselove funkcije imaju besnonacno puno diskretnih realnih nul-tocaka koje se mogu


oznaciti indeksom m = 1, 2, · · · . Dakle ce konstanta k imati dva indeksa: n koji oznacava redfunkcije i m koji oznacava nul-tocku za dani red

k → kn,m.

Time smo dobili rjesenje za ψ koje ovisi o dva indeksa (uz redefiniciju konstanata)

ψn,m(ρ, ϕ, t) = In(ρ kn,m) (an,m cosnϕ+ bn,m sinnϕ) (cn,m cos kn,mct + dn,m sin kn,mct).

Zbog linearnosti valne jednadzbe, opce je rjesenje linearna kombinacija rjesenja za sve mogucen i m

ψ(ρ, ϕ, t) =

∞∑

n=0

∞∑

m=0

ψn,m(ρ, ϕ, t)

=

∞∑

n=0

∞∑

m=0

In(ρ kn,m) (an,m cosnϕ+ bn,m sin nϕ) (cn,m cos kn,mct+ dn,m sin kn,mct).

Konstante an,m, bn,m, cn,m i dn,m su proizvoljne.

Poglavlje 12

Ravninsko gibanje krutog tijela

12.1 Uvod

silaDjelovanje vanjske sile na sustav cestica, promjenit ce udaljenosti medu cesticama sustava. Ovaosobina sustava se naziva deformabilnost ili elasticitet. Promotrimo dvije cestice sustava, i-tui j-tu, na medusobnoj udaljenosti ri,j. Ako je promjena medusobne udaljenosti cestica, ∆ ri,j,puno manja od same meducesticne udaljenosti ri,j,

∆ ri,j << ri,j,

i ako se stoga moze, u prvoj aproksimaciji zanemariti, govori se o krutom (cvrstom) tijelu kodkojega su medusobne udaljenosti cestica nepromjenjive (konstantne),

ri,j = const. ∀ i, j.

Krutim tijelom nazivamo sustav cestica kod kojega se udaljenost izmedu bilo koje dvije njegovesastavne cestice ne mijenja, bez obzira na jakost sila koje djeluju na cestice sustava.

pomakPomakom krutog tijela nazivamo promjenu njegovog polozaja. Pomaci mogu biti ili vrtnje ilitranslacije.Ako tijekom pomaka tijela, sve tocke tijela sa jedne linije (koju nazivamo os) tijela ostajunepomicne, tada taj pomak nazivamo vrtnjom, rotacijom ili zakretom oko osi. Zakreti mogubiti konacni ili infinitezimalni. Konacni zakreti nisu pravi vektori (nego pseudo-vektori) jer zanjih ne vrijedi pravilo komutativnosti zbrajanja. Neka su npr. zadana dva zakreta: prvi zaπ/2 oko osi z, oznacen s Zz = (~ez ,

π2) i drugi za π/2 oko osi x, oznacen s Zx = (~ex ,

π2). Oba

su zakreta definirana u skladu s pravilom desne ruke. Sa slike 12.1 se jasno vidi da ne vrijedikomutativnost

Zz ⊗ Zx 6= Zx ⊗ Zz. (12.1)

Za infinitezimalne zakrete vrijedi

dZz ⊗ dZx = dZx ⊗ dZz (12.2)

i oni se mogu prikazati pravim vektorima (tako je npr. kutna brzina ~ω pravi vektor jer jedefinirana preko zakreta za infinitezimalni kut dϕ).

381

382 POGLAVLJE 12. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA

Slika 12.1: Nekomutativnost zakreta za konacni kut.

Ako se tijekom pomaka sve tocke krutog tijela gibaju paralelno jedna drugoj, pomak se nazivatranslacija.

Fiksiranjem jedne tocke krutog tijela, sprjecava se njegovo translacijsko gibanje, ali se onomoze vrtjeti oko bilo koje osi koja prolazi tom fiksiranom tockom. Fiksiraju li se dvije tockekrutog tijela, ono se moze vrtjeti samo oko jedne osi koja prolazi tim dvjema tockama. No,ako se fiksira jos jedna (treca) tocka izvan ove osi, tijelo se nece moci niti vrtjeti, tj. fiksiranjetri nekolinearne tocke krutog tijela onemogucava bilo kakav pomak tijela.. Zakljucak je datri nekolinearne tocke odreduju polozaj krutog tijela. Neki primjeri translacijskog gibanja suprikazani na slici 12.2 (radi preglednosti, na slici su prikazani polozaji samo tri nekolinearnetocke). Opce gibanje krutog tijela je ono kod kojega niti jedna tocka tijela ne ostaje nepomicna.Kao sto je pokazano u odjeljku 12.4, ono se moze prikazati kao kombinacija translacije ivrtnje oko pogodno odabrane tocke (cesto je ta tocka upravo srediste mase tijela).

Ako se kruto tijelo giba tako da se sve njegove tocke gibaju paralelno u odnosu na nekunepomicnu ravninu, a os vrtnje je okomita na tu istu ravninu, takvo se gibanje naziva ravnin-sko gibanje . Kod ravninskog gibanja se razlikuju dva slucaja:

(1) Osnovno kod ravninskog gibanja krutog tijela je da tijekom gibanja, os vrtnje nemijenja svoj smjer . Ukoliko tijelo izvodi samo vrtnju (bez translacije), ono ima samojedan stupanj slobode, jer je potrebna samo jedna koordinata za potpuno odredenjepolozaja tijela (to je kut ϕ zakreta tijela oko osi).

(2) Opce ravninsko gibanje: gibanje tijela je kombinacija translacije u smjeru paralelno sanepomicnim ravninom i vrtnje oko osi okomite na tu ravninu. cesto se odabire da ta osprolazi sredistem mase. Kod ovakvog gibanja, tijelo posjeduje tri stupnja slobode: dvijekoordinate su potrebne za opis translacije (npr. x i y koordinate sredista mase tijela) ijedna koordinata (npr. kut ϕ) koja opisuje zakret oko osi vrtnje. Spomenuta se os zovetrenutna os, a njezino presjeciste s ravninom se zove trenutno srediste vrtnje.

12.2. MOMENT TROMOSTI KRUTOG TIJELA 383

Slika 12.2: Ilustracija translacijskog gibanja krutog tijela: (A) pravocrtno translacijsko; (B) krivocrtnotranslacijsko i (C) kruzno translacijsko.

12.2 Moment tromosti krutog tijela

Moment tromosti je velicina koja u opisu vrtnje krutog tijela ima slicnu ulogu koju ima tromamasa kod opisa translacijskog gibanja krutog tijela. Npr. kruto tijelo ukupne mase m koje setranslacijski giba brzinom ~v ima kineticku energiju jednaku

m~v 2

2.

Pokazat cemo da to isto tijelo koje se vrti kutnom brzinom ω oko nepomicne osi, ima kinetickuenergiju vrtnje jednaku

Iω2

2,

gdje je I moment tromosti tijela u odnosu na danu os vrtnje, a ~ω kutna brzina.

cesticaDefinirajmo najprije moment tromosti cestice mase m cija je okomita udaljenost od zadane osiAB oznacena s r⊥ (slika 12.3.A)

I = mr2⊥. (12.3)

tijeloDo momenta tromosti krutog tijela se dolazi tako da se tijelo (u mislima) razdijeli naN djelica mase ∆mj, dovoljno malih da je okomita udaljenost svakoga od njih, od osi AB(slika 12.3.B), dobro definiran pojam. Tu cemo udaljenost oznaciti s rj,⊥. Moment tromostidefiniramo kao aditivnu velicinu, tako da se moment tromosti cijeloga tijela definira kao zbroj


Slika 12.3: Uz definiciju momenta tromosti: (A) cestice, (B) krutog tijela.

momenata tromosti svih njegovih dijelova

I =N∑

j=1

∆mjr2j,⊥. (12.4)

U granici kada N postaje neograniceno velik (tj. dijelovi postaju sve manji)

I = limN→∞

N∑

j=1

∆mj r2j,⊥ →

∫dm r2⊥(m). (12.5)

Prijelazom s mase na gustocu mase, dm = ρm(~r) d3r, (u trodimenzijskom prostoru) izraz zamoment tromosti postaje

I =

∫r2⊥ ρm(~r) d3r. (12.6)

Integrira se po dijelu prostora u kojemu se nalazi kruto tijelo (tj. tamo gdje je gustoca razlicitaod nule). S r⊥ je oznacena okomita udaljenost elementa volumena d3r od osi u odnosu na kojuse racuna moment tromosti. Volumna masena gustoca krutog tijela je oznacena s ρm(~r) i imaulogu funkcije raspodjele1, a moment tromosti se pojavljuje kao drugi moment te raspodjele.Ako je jedna od dimenzija krutog tijela puno manja od preostale dvije, moze se govoriti odvodimenzijskoj (plosnoj) raspodjeli mase gustoce σm(~r), ili, ako je tijelo oblika tanke zice,govorimo o linijskoj raspodjeli gustoce mase koju oznacavamo s λm(~r). U ta dva slucaja,moment tromosti se racuna slijedecim izrazima

I =

∫r2⊥ σm(~r) d2r, 2D, (12.7)

I =

∫r2⊥ λm(~r) dr, 1D.

1Vidjeti npr. poglavlje Osnovni pojmovi statistike u [13]

12.2. MOMENT TROMOSTI KRUTOG TIJELA 385

polumjer tromostiDa bi se naglasila slicnost u definiciji momenta tromosti cestice i krutog tijela, uvodi se pojampolumjera tromosti ili polumjera giracije K sustava cestica. On je definiran izrazom

K2 =

∑Nj=1 ∆mj r

2j,⊥∑N

j=1 ∆mj

=I

m,

tj.

I = mK2

ili rijecima: jedna cestica koja bi imala masu jednaku ukupnoj masi sustava m i cija bi okomitaudaljenost od zadane osi bila jednaka K, imala bi isti moment tromosti kao i sustav cesticapolumjera tromosti K (specijalno: ako se sustav sastoji samo od jedne cestice, tada je K = r⊥).Za sustave s kontinuiranom raspodjelom mase, polumjer tromosti se racuna iz

K2 =

∫r2⊥ ρm(~r) d3r∫ρm(~r) d3r

.

Primjetimo da gornji izraz definira polumjer tromosti kao drugi moment2 normirane funkcijeraspodjele ρ(~r) definirane sa

ρ(~r) =ρm(~r)∫ρm(~r) d3r

.

K2 =⟨r2⊥

⟩=

∫r2⊥ ρ(~r) d3r.

Zadatak: 12.1 Izracunajte moment tromosti homogenog tankog stapa duljine L u odnosu naos koja prolazi njegovim sredistem i okomita je na njega.

R: dovrsiti

Zadatak: 12.2 Izracunajte moment tromosti homogene kvadratne ploce duljine brida L u odnosuna os koja prolazi sredistem ploce i okomita je na plocu.

R: dovrsiti

Zadatak: 12.3 Izracunajte moment tromosti homogene kugle polumjera R u odnosu na os kojaprolazi njezinim sredistem.

R: dovrsiti

2Vidjeti npr. [13].


12.3 Teoremi o momentima tromosti

Teorem o paralelnim osima (Steinerov teorem):Promatrajmo kruto tijelo koje se vrti oko proizvoljne osi AB koja prolazi tockom O (slika12.4.A). Uocimo sada os paralelnu sa osi AB, ali koja prolazi sredistem mase SM krutogtijela i potrazimo vezu medu momentima tromosti tijela u odnosu na te dvije osi. Neka jeb okomita udaljenost medu osima, a m neka je ukupna masa tijela. Postavimo dva koordi-

Slika 12.4: Uz Steinerov teorem.

natna sustava kao na slici 12.4.B: jedan, (x, y, z), s ishodistem O bilo gdje na osi AB, a drugi,(x ′, y ′, z ′), s ishodistem SM u sredistu mase krutog tijela. Osi z i z ′ su medusobno paralelnei imaju smjer osi vrtnje. Okomita udaljenost medu osima je dana vektorom

~b = b b .

Veza medu polozajem j-te cestice gledane iz sustava (x, y, z) i sustava (x ′, y ′, z ′) je dana izrazom

~rj = ~rSM + ~r ′j .

Izracunajmo momente tromosti oko obje osi

IO =N∑

j=1

mj r2j,⊥ =

N∑

j=1

mj (~rj b )2,

ISM =

N∑

j=1

mj r′ 2j,⊥ =

N∑

j=1

mj (~r ′j b )2.

12.3. TEOREMI O MOMENTIMA TROMOSTI 387

Vezu izmedu IO i ISM cemo dobiti tako da ~rj = ~rSM + ~r ′j uvrstimo u izraz za IO

IO =

N∑

j=1

mj[(~rSM + ~r ′j )b ]2 =

N∑

j=1

mj (~rSM b + ~r ′j b )2

=

N∑

j=1

mj

[(~rSM b )2 + 2 (~rSM b ) (~r ′

j b ) + (~r ′j b )2

]

= (~rSM b )2N∑

j=1

mj

︸︷︷︸= m

+2 (~rSM b )

(N∑

j=1

mj ~r′j

)

︸︷︷︸= 0

b +N∑

j=1

mj (~r ′j b )2

︸︷︷︸= ISM

= m b2 + ISM .

Nula u gornjem izrazu dolazi odatle sto je

~r ′SM =

1

m

N∑

j=1

mj~r′j = 0.

Tako se dolazi do veze medu momentima tromosti tijela mase m u odnosu na dvije paralelneosi od kojih jedna prolazi tockom O, a druga sredistem mase SM , a medusobno su udaljene zab

IO = ISM +m b2. (12.8)

Gornji izraz se zove Steinerov teorem3. Buduci da je mb2 > 0, zakljucujemo da tijeloima najmanji moment tromosti kada os vrtnje prolazi sredistem mase. To je jos jedna vaznaosobina sredista mase. U odjeljku 12.5 cemo vidjeti da je rad koji je potrebno uloziti da se tijeloiz stanja mirovanja, dovede u stanje vrtnje, srazmjeran s I. Taj ce rad dakle biti najmanji kadaje I najmanji, a iz Steinerova teorema vidimo da je I najmanji kada os vrtnje prolazi sredistemmase (tada je b = 0). Zakljucujemo da najmanje rada treba uloziti da bi se tijelo vrtjelo okoosi kroz srediste mase.

Teorem o okomitim osima:Teorem o okomitim osima je primjenjiv samo na kruta tijela cija je masa rasporedena

Slika 12.5: Uz teorem o okomitim osima.

u ravnini, npr. u ravnini (x, y) pravokutnogkoordinatnog sustava (slika 12.5). Neka Ix, Iyi Iz oznacavaju momente tromosti tijela okoosi ~ex , ~ey i ~ez , a ~rj = xj~ex + yj~ey neka jeradij-vektor j-te cestice tijela. Izracunajmomomente tromosti oko sve tri osi. Buduci dase tijelo nalazi u ravnini (x, y), njegove su z

3Jakob Steiner, 1796 - 1863, njemacki matematicar.


koordinate jednake nuli, zj ≡ 0, pa je i

Ix =

N∑

j=1

mjr2j,⊥ =

N∑

j=1

mj (y2j + 0)

Iy =N∑

j=1

mjr2j,⊥ =

N∑

j=1

mj (0 + x2j )

Iz =

N∑

j=1

mjr2j,⊥ =

N∑

j=1

mj (x2j + y2j )

Usporedbom gornjih izraza, alko se iscitavateorem o okomitim osima

Iz = Ix + Iy. (12.9)

12.4 Parovi sila

U ovom se odjeljku pokazuje kako se ucinak djelovanja proizvoljne sile na kruto tijelo mozeprikazati kao djelovanje momenta sile koji izaziva zakret tijela i djelovanja rezultantne sile kojaizaziva translaciju tijela.

Parom sila cemo nazivati skup od dvije po iznosu jednake, a po smjeru suprotne sile kojeleze na paralelnim pravcima. To su sile ~F i −~F sa slike 12.6.A. Ako takav par sila djeluje

Slika 12.6: Uz definiciju para sila.

na kruto tijelo, on proizvodi ucinak zakreta, a zakretni moment ili moment sile ~M ne ovisi o

12.5. KINETICKA ENERGIJA, RAD I SNAGA VRTNJE 389

izboru polozaju ishodista koordinatnog sustava i jednak je ~r × ~F , gdje je r udaljenost meduhvatistima sila

~M = ~r+ × ~F + ~r− × (−~F ).

No, ~r+ = ~r− + ~r, pa je

~M = ~r+ × ~F + (~r+ − ~r) × (−~F ) = ~r+ × ~F − ~r+ × ~F + ~r × ~F = ~r × ~F .

Ako sile leze na istom pravcu, tada je ~r kolinearan s ±~F i njihov je vektorski umnozak jednaknuli, ~r × ~F = 0. Vektori ~r± ovise o izboru polozaja ishodista koordinatnog sustava, dok ~r i ~F ,

ne ovise, pa ni ~M ne ovisi o izboru ishodista.Pokazimo sada da se svaka sila, ~F , koja djeluje u proizvoljnoj tocki krutog tijela, P , mozezamijeniti jednom drugom silom koja djeluje u nekoj drugoj tocki krutog tijela, O, i jednimpogodno odabranim parom sila. Slika 12.6.B ilustrira ovu tvrdnju. Neka proizvoljna sila ~Fdjeluje u proizvoljnoj tocki P krutog tijela. Nista se nece promijeniti ako u tocki O djeluju sile~f i −~f (ovaj par sila nece izazvati ni translaciju ni zakret). Odaberemo li iznos sile ~f tako daje f = F , tada mozemo reci da umjesto jedne sile u tocki P , na tijelo djeluje sila

~f = ~F

u tocki O i moment sila

~M = ~r × ~F .

Podijelimo, opet, u mislima kruto tijelo na N djelica i neka u svakoj j-toj tocki Pj s radij

vektorom ~rj, djeluje sila ~Fj . Tu silu zamjenimo parom sila momenta jednakog ~rj × ~Fj i silom~Fj koja djeluje u tocki O (primjetimo da je O sada postalo zajednicko hvatiste svih sila ~Fj).

Kada to provedemo za sve sile koje djeluju na tijelo, vidimo da smo sustav sila ~Fj koje djelujuu razlicitim tockama ~rj tijela zamjenili jednom silom

~R = ~F1 + ~F1 + · · · + ~FN ,

koja djeluje u jednoj proizvoljno odabranoj tocki O i jednim momentom sila

~M = ~r1 × ~F1 + ~r2 × ~F2 + · · · + ~rN × ~FN ,

koji ne ovisi o izboru ishodista (koje je postavljeno - radi jednostavnosti- u tocku O).

Uobicajeno je tocku O postaviti u srediste mase tijela. Tada rezultantna sila ~R vodi natranslacijsko gibanje tijela, a rezultantni moment sile ~M vodi na zakret oko osi koja prolazisredistem mase.

12.5 Kineticka energija, rad i snaga vrtnje

Kineticka energija:Neka se kruto tijelo vrti oko nepomicne osi AB (slika 12.7) kutnom brzinom ω koja ima smjerosi AB, dakle smjer se ne mjenja u vremenu. Uslijed vrtnje tijela, njegove se cestice gibaju


Slika 12.7: Uz izvod kineticke energije vrtnje.

i stoga imaju odredenu kineticku energiju. Tu cemo energiju zvati kineticka energija vrtnje, aoznacavat cemo ju s Ek,vrt. Izracunajmo Ek,vrt tijela sa slike 12.7. Zamislimo opet da je tijelosastavljeno od N djelica mase mj . Kineticka energija j-tog djelica je jednaka mj v

2j/2, a brzina

vj =dljdt

=dϕ rj,⊥dt

= ω rj,⊥.

Energija je aditivna velicina, pa kineticku energiju vrtnje cijelog tijela racunamo kao zbrojkinetickih energija pojedinih djelica

Ek,vrt =

N∑

j=1

1

2mjv

2j =

1

2

N∑

j=1

mj ω2 r2j,⊥.

U gornjem izrazu prepoznajemo moment tromosti I =∑N

j=1 mj r2j,⊥, tako da je konacno

Ek,vrt =1

2I ω2 (12.10)

Primjecujemo i slicnost gornjeg izraza s izrazom za kineticku energiju translacijskog gibanja,mv2/2: umjesto mase dolazi moment tromosti, a umjesto brzine dolazi kruzna brzina. Primje-timo i razliku: dok je masa uvijek ista4 za svako transalcijsko gibanje, dotle momemt tromostiopcenito ovisi o smjeru osi oko koje se odvija vrtnja.

4Naravno, uz zanemarivanje relativistickih ucinaka

12.5. KINETICKA ENERGIJA, RAD I SNAGA VRTNJE 391

Momenti:Izracunajmo i moment kolicine gibanja krutog tijela koje se vrti oko nepomicne osi. Iznosmomenta kolicine gibanja j-tog djelica tijela je

~L j = ~rj × ~p j = ~rj × mj ~vj = rj~er j × mj vj~eϕ j = rjmjvj(−~eθ j)= rjmjvj(−~ex cos θj cosϕj − ~ey cos θj sinϕj + ~ez sin θj).

Smjer vektora ~L je odreden smjerom vektorskog umnoska ~er × ~eϕ = −~eθ i cinjenicom daje (vanjskim silama) smjer osi vrtnje nepromjenjiv. Smjer ~eθ se moze rastaviti na komponentu

okomitu na os vrtnje i komponentu paralelnu s osi vrtnje. Komponete ~L okomite na smjervrtnje (to su Lx i Ly komponente) bi htjele promijeniti smjer osi vrtnje, ali ih u tome sprjecavajuvanjske sile koje drze os vrtnje nepomicnom. Ove se komponente dakle ponistavaju s djelova-njem vanjskih sila i preostaje samo komponenta paralelna s osi vrtnje (to je Lz komponenta).

~L j = mj rj vj sin θj ~ez = mj rj,⊥ vj ~ez = mj r2j,⊥ ω~ez ,

pa je ukupni iznos momenta kolicine gibanja

~L =N∑

j=1

~L j =N∑

j=1

mj r2j,⊥ ~ω = I ~ω . (12.11)

Ranije smo, relacijom (10.18), pokazali da je ~L = ~M . Primjenimo li to na gornji izraz za ~L ,slijedi

d

dtI ~ω = I ~α = ~M,

gdje smo s ~α = ~ω oznacili kutno ubrzanje, tj. vremensku promjenu kutne brzine vrtnje. Smjervrtnje je nepromjenjiv u vremenu, pa se vremenska derivacija odnosi samo na promjenu iznosakutne brzine. Za tijelo koje se vrti, gornja je relacija analogon drugog Newtonovog aksioma

m~a = ~F ,

gdje umjesto sile dolazi moment sile, umjesto mase dolazi moment tromosti, a umjesto ubrzanjadolazi kutno ubrzanje.

Rad i snaga:Ako na tijelo djeluju samo konzervativne vanjske sile, tada se tijelu moze pridruziti potenci-jalana energija Ep, a zbroj kineticke energije vrtnje i potencijalne energije je konstantan

Ek,vrt + Ep =1

2I ω2 + Ep = E = const.

Promotrimo sada kruto tijelo koje u pocetku miruje, ali se moze vrtjeti oko osi okomite nazadanu ravninu, a koja prolazi tockom O tijela (slika 12.8.A). Sila ~F koja izaziva vrtnju ti-

jela, djeluje u tocki A (slika 12.8.B) i stvara moment sile ~M . Izracunajmo koliki rad treba

obaviti vanjska sila ~F , da bi u kratkom vremenu dt zakrenula kruto tijelo za mali kut dϕ. Utom kratkom vremenskom intervalu je sila priblizno konstantna, pa je prema opcoj definicijidiferencijala rada


Slika 12.8: Uz izvod izraza za rad koji treba obaviti da bi se tijelo dovelo u stanje vrtnje.

dW = ~F d~r = ~Fd~r

dtdt = ~F ~v dt = ~F (~ω × ~r) dt,

(neka je koordinatni sustav postavljen tako da je ~ω = ω~ez ). No, za mjesoviti umnozak vektora,

vrijedi pravilo ciklicnosti, prema kojemu je ~F (~ω × ~r) = ~r(~F × ~ω ) = ~ω (~r × ~F ) (sto se lako mozeprovjeriti pomoci raspisa mjesovitog umnoska u obliku determinante). Time se za diferencijalrada vrtnje krutog tijela, dobiva

dW = ~ω ~Mdt = M dϕ, (12.12)

sto je izraz analogan izrazu za rad pri translacijskom pomaku

dW = ~F d~r.

Ukupni rad koji vanjska sila treba obaviti nad krutim tijelom da bi ga prevela iz pocetnogstanja opisanog vrijednoscu kuta zakreta ϕp i kutnom brzinom ωp, u konacno stanje opisanokutom ϕk i kutnom brzinom ωk je zbroj (tj. integral) radova za sve male zakrete koji vode odpocetnog do konacnog stanja vrtnje

Wp−k =

∫ k

p

dW =

∫ ϕk

ϕp

M dϕ =

∫ ωk

ωp

Idω

dtω dt = I

∫ ωk

ωp

ω dω

=1

2I ω2

k −1

2I ω2

p = Ek,vrt(k) − Ek,vrt(p).

Da bi se tijelo koje u pocetku miruje (ωp = 0), dovelo u stanje vrtnje kutnom brzinom ωk = ω,potrebno je nad tijelom obaviti rad jednak kinetickoj energiji vrtnje Iω2/2. Dakle je radsrazmjeran momentu tromosti I. Prema Steinerovu teoremu (12.8),

I = ISM +mb2,

moment tromosti je najmanji ako os prolazi sredistem mase, pa je i rad koji treba uloziti naj-manji ako se tijelo vrti oko osi koja prolazi sredistem mase. Dakle, ako je zadatak dovesti tijelou stanje vrtnje kutnom brzinom ω oko osi okomite na zadanu ravninu, uz minimalni utrosak

12.6. FIZICKO NJIHALO 393

energije, potrebno je os vrtnje postaviti tako da prolazi sredistem mase.

Iz izraza (12.12) se vidi da je snaga P potrebna za obavljanje tog rada jednaka

P =dW

dt=M dϕ

dt= M ω,

sto je posve slicno izrazu za snagu P = Fv kod translacijskog gibanja.

Impuls momenta sileUkoliko vanjske sile koje djeluju na tijelo nisu konstantne u vremenu, ni njihov moment necebiti konstantan. U tom slucaju je korisno definirati vremenski integral momenta vanjskih sila

J =

∫ tk

tp

M(t) dt,

i nazvati ga moment impulsa vanjskih sila (kao sto je to izvedeno relacijom (10.35)). Pokazimoda je moment impulsa vanjskih sila jednak promjeni momenta kolicine gibanja (u konacnomvremenskom intervalu)

∫ tk

tp

M dt =

∫ tk

tp

Idω

dtdt = I ωk − I ωp = Lk − Lp.

Ako je ukupni moment vanjskih sila u vremenskom intervalu od tp do tk jednak nuli, tada je imoment kolicine gibanja isti na pocetku i na kraju tog vremenskog intervala

Lp = Lk = const.

12.6 Fizicko njihalo

U odjeljku 6.9 smo se upoznali s matematickim njihalom: cesticom mase m pricvrscenom zanit duljine l, koja se njise oko ravnoteznog polozaja. Zanemarili smo masu i rastezivost niti,kao i otpor sredstva u kojemu se odvija njihanje, a isto tako smo zanemarili i trenje u tockiobjesista. Uz te uvjete, za period malih titraja je dobiveno

T = 2 π

√l

g.

Neka slika 12.9 prikazuje kruto tijelo mase m koje se, uslijed djelovanja gravitacijske sile, njiseoko osi kroz tocku O. Njihanje se odvija u ravnini okomitoj na os vrtnje, pri cemu os vrtnjesvo vrijeme zadrzava isti smjer. Ako zanemarimo trenje tijela s cesticama medija u kojemuse odvija njihanje, kao i trenje u tocki objesista, takvo se tijelo naziva fizicko njihalo. Uznavedene uvjete, polozaj tijela je u cjelosti odreden kutom otklona od polozaja ravnoteze (to jekut ϕ sa slike 12.10). Zamislimo li kruto tijelo kao skup od N cestica, djelovanje gravitacijskesile na tijelo mozemo zamisliti kao djelovanje gravitacijske sile na skup cestica od kojih jetijelo sastavljeno (slika 12.9). Prema odjeljku 12.4, djelovanje sile u jednoj tocki tijela mozemozamjeniti djelovanjem iste sile u jednoj drugoj tocki tijela i djelovanjem momenta sile u odnosu


Slika 12.9: Sile koje djeluju na fizicko njihalo: reakcijau objesistu i gravitacijska sila. Slika 12.10: Uz fizicko njihalo.

na tu novu odabranu tocku. Primjenjeno na fizicko njihalo to znaci da djelovanje gravitacijskesile mj ~g u tocki ~rj tijela, mozemo zamjeniti djelovanjem iste takve sile u tocki objesista O imomentom sile u odnosu na to objesiste ~rj × mj ~g . Ovu zamjenu mozemo izvesti za sve cesticeodo kojih se tijelo sastoji i kao rezultat dobivamo rezultantnu silu koja djeluje u tocki objesistaO

~R O = m1 ~g +m2 ~g + · · · +mN ~g =

N∑

j=1

mj ~g = m ~g .

i rezultantni moment sila

~MO = ~r1 × m1 ~g + ~r2 × m2 ~g + · · · + ~rN × mN ~g =

(N∑

j=1

mj ~rj

)× ~g = m ~rSM × ~g .

Rezultantna sila ~R O se ukida sa silom reakcije objesista ~N

~R O + ~N = 0

i cini da se njihalo ne giba translacijski. Rezultantni moment sile ~MO izaziva zakret tijela okoobjesista i oblika je kao da je sva masa tijela skoncentrirana u tocki sredista mase ~rSM .Postavimo koordinatni sustav kao na slici 12.10: ishodiste neka je u objesistu, a os vrtnje nekaje okomita na ravninu crtnje. Sa SM oznacimo polozaj sredista mase njihala, a kut ϕ neka jekut koji zatvara spojnica O − SM , tj vektor ~rSM s pozitivnim smjerom osi x. Uobicajeno jeudaljenost O − SM , tj iznos vektora ~rSM oznaciti s b. Nadimo jednadzbu gibanja njihala.

~MO = ~rSM × ~g m = b (cosϕ~ex + sinϕ~ey ) × m g ~ex

= −~ez b m g sinϕ.

Prema (12.11), je

~L = IO ~ω = IOϕ ~ez ,

gdje je kutna brzina vrtnje

~ω = ϕ ~ez ,


a IO je moment tromosti njihala oko osi kroz O. Moment sile i moment kolicine gibanja suvezani relacijom (10.32),

~L = ~M,

koja u ovom slucaju postaje

IO ϕ ~ez = −~ez b m g sinϕ,

tj. dobili smo jednazbu gibanja fizickog njihala u obliku

ϕ+b m g

IOsinϕ = 0. (12.13)

Do istog rezultata se moze doci i razmatranjem energije. Gravitacijska sila je konzervativna, pase moze definirati potencijalna energija Ep kao zbroj potencijalnih energija svih djelica njihala

Ep = −∑

j

mj g xj + c0 = −g∑

j

mj xj + c0

= −g m xSM + c0 = −g m b cosϕ+ c0.

Postavimo ishodiste potencijalne energije tako da je ona jednaka nuli kada je srediste mase naosi x, tj kada je ϕ = 0. Tada je, ocito, c0 = m g b, pa je

Ep = m g b (1 − cosϕ).

Uz zanemarivanje trenja, na njihalo djeluju samo konzervativne sile, pa je ukupna mehanickaenergija sacuvana

const. = Ek,vrt + Ep

const. =1

2IO ϕ

2 +m g b (1 − cosϕ)

/d

d t

0 = IO ϕ ϕ+m g b (0 + ϕ sinϕ)

0 = ϕ(IO ϕ+m g b sinϕ

).

Sve dok se njihalo njise, ϕ 6= 0, pa gornja jednadzba moze biti zadovoljena samo ako je zagradajednaka nuli, a to je upravo ista jednadzba koju smo dobili i iz jednadzbe gibanja.

Izracunajmo period malih titraja. Mali titraji su oni za koje je otklon od polozaja ravnotezemali, tj. oni za koje je ϕ << 1. U tom slucaju je

sinϕ ≃ ϕ+ O(ϕ3),


pa jednadzba gibanja postaje

ϕ+b m g

IOϕ ≃ 0. (12.14)

Gornju jednadzbu prepoznajemo kao jednazbu gibanja slobodnog harmonijskog oscilatora

x+ ω20 x = 0,

s kruznom fekvencijom

ω0 =2π

T.

Sada je lako procitati period

T = 2 π

√IO

m g b.

Veza s matematickim njihalomPrema relaciji (6.61), period matematickog njihala duljine l je

2π

√l

g,

pa ce fizicko i matematicko njihalo imati iste periode, ako je

l =IOm b

.

U tom se slucaju l naziva ekvivalentnom duljinom matematickog njihala. Proanalizirajmogornju relaciju, tako sto cemo sa IO, pomocu Steinerovog teorema

IO = ISM +m b2,

prijeci na ISM

Slika 12.11: Uz ekvivalentnu duljinu matematickog nji-hala.

l =ISM +m b2

m b

i rijesimo gornju jednadzbu po b, tj. po uda-ljenosti od sredista mase do objesista

b± =1

2

[l ±√l2 − 4

ISMm

].

Koje je znacenje b±? Zamislimo dva koncen-tricna valjka s polumjerima b+ i b− cije osiprolaze sredistem mase (slika 12.11). Uzme lise za os vrtnje (objesiste) fizickog njihala, bilokoju izvodnicu ovih valjaka, njihalo ce se njihati s istim periodom kao i matematicko njihaloduljine l (naravno, ako su amplitude male). Primjetimo da je zbroj

b+ + b− = l,


tj. jednak je duljini ekvivalentnog matematickog njihala. No,

l = g

(T

2π

)2

,

a odatle slijedi

g =

(2π

T

)2

(b+ + b−),

pa se iz poznatih (izmjerenih) T i b± moze izracunati g. S druge strane, umnozak

b+ b− =ISMm

,

pa je

ISM = m b+ b−.

Iz poznatih b± mozemo izracunati i moment tromosti i polumjer tromosti

K2SM =

ISMm

= b+ b−.

Minimalni periodVidjeli smo, relacijom (12.15), da period titranja ovisi o b, udaljenosti od objesista do sredistamase. Sada se mozemo zapitati kolika treba biti ta udaljenost, pa da period titraja budeminimalan? Napisat cemo period kao funkciju od b, a zatim cemo minimalni period dobitikao uvjet ekstrema na funkciju T (b).

T 2 = 4π2 IOm g b

=4 π2

m g b

(ISM +m b2

)(12.15)

T 2 =4 π2

m g b

(m K2

SM +m b2)

=4 π2

g

(K2SM

b+ b

)/d

d b

2Td T

d b=

4 π2

g

(−K

2SM

b2+ 1

)= 0.

Iz gornje je relacije

b = ± KSM ,

a buduci da je polumjer giracije pozitivna velicina, odlucujemo se za pozitivni predznak.Takoder je lako vidjeti da se radi o minimumu

d2 T

d b2=

π√g

(K2SM

b+ b

)−3/2(3

2

K4SM

b4+ 3

K2SM

b2− 1

2

).

Uvrstivsi b = KSM , dobiva se

d2 T

d b2

∣∣∣∣b=KSM

=π√g

4

(2b)3/2> 0,


dakle, radi se o minimumu, a iznos tog minimuma je

Tmin = T (b = KSM) =

√8π2

KSM

g.

Primjetimo jos, da ova tvrdnja vrijedi i ako titraji nisu malene amplitude. Naime, istimpostupkom kao i kod matematickog njihala, relacija (6.62), dolazi se do izraza za period njihalakoje njise proizvoljnom amplitudom

T = 4

√IO

m b g

∫ π/2

0

dϕ√1 − k2 sin2 ϕ

, k2 = sin2 ϕ0

2

=

√IO

m b gf(ϕ0).

Gornji je izraz za period istog oblika kao i (12.15), pa ima i isti minimum.

Zadatak: 12.4 Izracunajte period malih titraja homogenog valjka polumjera R oko osi par-alelne s osi valjka, a udaljene za R/3 od te osi.

R: ... dovrsiti ...

12.7 Opcenito ravninsko gibanje krutog tijela

Opcenito ravninsko gibanje krutog tijela se moze shvatiti kao rezultat uzastopne translacije uravnini paralelnoj nekoj zadanoj fiksnoj ravnini i vrtnje oko pogodno odabrane osi okomite natu istu fiksnu ravninu. Pri tome je dobro imati u vidu tri vazne cinjenice:

Nacelo linearne kolicine gibanja:u poglavlju 10 smo pokazali da vrijedi relacija (10.15)

d ~p

d t= ~Fv,

gdje je ~p = m~rSM ukupna kolicina gibanja sustava, a ~rSM je polozaj sredista mase sustavacestica (u ovom slucaju krutog tijela). S ~Fv je oznacen zbroj svih vanjskih sila koje djeluju nakruto tijelo.

Nacelo momenta klicine gibanja:ako je ISM moment tromosti krutog tijela oko osi koja prolazi sredistem mase, ω kutna brzinanjegove vrtnje oko te osi, tada je ~L SM = ISM ~ω . Ako je s ~MSM oznacen ukupni moment svihvanjskih sila u odnosu na koordinatni sustav sa ishodistem u sredistu mase, tada cemo pokazatida je

d ~L SM

d t= ~MSM .

12.7. OPCENITO RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA 399

Slika 12.12: Ravninsko gibanje krutog tijela oko osi krozsrediste mase.

Zamislimo opet da je kruto tijelo sastavljenood N cestica i krenimo s jednadzbom gibanjaj-te cestice napisanom u koordinatnom sus-tavu sa ishodistem u sredistu mase i osi zpostavljene u smjeru osi vrtnje ~ω = ω~ez kaona slici 12.12 (~Fv,j je zbroj svih vanjskih sila

koje djeluju na j-tu cesticu, a ~f i,j je sila ko-jom i-ta cestica sustava djeluje na j-tu cesticasustava).

N∑

j=1

~rj ×/

d ~p jd t

= ~Fv,j +

N∑

i=1

~f i,j

N∑

j=1

~rj × mjd~vjd t

=

N∑

j=1

~rj × ~Fv,j

︸︷︷︸= ~MSM

+

N∑

j=1

N∑

i=1

~rj × ~f i,j,

︸︷︷︸= 0

= ~MSM .

Prvi zbroj na desnoj strani je zbroj momenata vanjskih sila na sve cestice krutog tijela, pa jeto ukupni moment vanjskih sila, a buduci da se radij vektori racuna u odnosu na srediste mase,oznaka ima indeks SM . Da je drugi clan jednak nuli, pokazano je u (10.17). Na lijevoj stranije

N∑

j=1

~rj × mjd~vjd t

=d

d t

N∑

j=1

~rj × mj~vj

︸︷︷︸= ~L SM

−N∑

j=1

~vj × mj~vj .

︸︷︷︸= 0

Time je dobiveno

d ~L SM

d t= ~MSM .

Gornji se izraz dalje moze raspisati uz ~vj = ~ω × ~rj,

d ~L SM

d t=

d

d t

N∑

j=1

mj~rj × (~ω × ~rj) = ~MSM .

Rastavimo radij vektor ~rj na dvije medusobno okomite komponente: ~eρ i ~ez komponente

~rj = ~eρ rj,⊥ + ~ez zj .

Sada je

~ω × ~rj = ω ~ez × (~eρ rj,⊥ + ~ez zj) = ω rj,⊥~eϕ ,

~rj × (~ω × ~rj) = ~rj × ω rj,⊥~eϕ = (rj,⊥ ~eρ + zj ~ez ) × ω rj,⊥~eϕ = ω r2j,⊥ ~ez − zj ω rj,⊥~eρ .

Posljednji clan (onaj u smjeru ~eρ ) u gornjem izrazu se ponistava sa silama reakcije uredaja kojiodrzava os vrtnje fiksnom (slika 12.12), pa preostaje

~rj × (~ω × ~rj) = ω r2j,⊥ ~ez = ~ω r2j,⊥.


Vratimo li se sada jednadzbi gibanja, dobiva se

d

d t~ω

N∑

j=1

mj r2j,⊥ =

d

d t~ω ISM =

d ~L SM

d t= ~MSM ,

gdje je ~L SM = ~ω ISM .

Nacelo sacuvanja energije:ako se kruto tijelo nalazi u polju samo konzervativnih sila, tada mu se moze pridruziti po-tencijalna energija Ep, a kineticka energija se moze napisati u obliku zbroja kineticke energije

sredista mase mv2SM/2 i kineticke energije cestica u odnosu na srediste mase 12

∑Nj=1 mjv

2j (kao

sto je to pokazano relacijom (10.33)). No, kao i u prethodnom paragrafu, brzina ~vj se mozenapisati kao

~vj = ~ω × ~rj = ω ~ez × (~eρ rj,⊥ + ~ez zj) = ω rj,⊥ ~eϕ ,

pa je ~v2j = ω2r2j,⊥. Time se kineticka energija dobiva kao zbroj kineticke translacijske i kinetickeenergije vrtnje

Ek =1

2m v2SM +

1

2

N∑

j=1

mj (ωrj,⊥)2 =1

2m v2SM +

1

2ISM ω2 = Ek,tr. + Ek,vrt .

Bez nekonzervativnih sila, ukupna je mehanicka energija sacuvana

1

2m v2SM +

1

2ISM ω2 + Ep = E = const.

12.8 Trenutno srediste vrtnje

Neka se kruto tijelo giba paralelno s ravninom (x, y). Promotrimo ravninu (x ′, y ′) paralelnus ravninom (x, y) i cvrsto vezanom uz tijelo (slika 12.13.A) koja se i giba zajedno s tijelom.Pokazimo da se opce ravninsko gibanje krutog tijela, sastavljeno od translacijskog gibanja ivrtnje, moze prikazati kao cista vrtnja oko jedne tocke - trenutnog sredista vrtnje. Kakose tijelo giba, u svakom ce trenutku postojati tocka gibajuce ravnine (x ′, y ′) koja trenutnomiruje prema ravnini (x, y). Ta tocka, P , koja moze, a i ne mora biti u tijelu, se zovetrenutno srediste vrtnje . O njemu se moze misliti kao o tocki oko koje tijelo izvodi cistuvrtnju (bez translacije). Za cisto translacijsko gibanje krutog tijela, trenutno se srediste nalaziu beskonacnosti. Naravno da se polozaj trenutnog sredista mijenja kako se tijelo giba.

• Na slici 12.13.A je pokazan graficki nacin odredivanja polozaja trenutnog sredista (tockaP ): A i B su bilo koje dvije tocke krutog tijela, a crtkane linije prikazuju okomice na vektorebrzina tocaka A i B; prema svojoj definiciji, trenutno srediste je tocka presjecista ovih okomica.

• Pokazimo sada kako se moze racunski dobiti vektor polozaja trenutnog sredista krutogtijela

~rP =?

Polozaj P u sustavu (x ′, y ′) cemo oznaciti s ~r ′P (slika 12.13.B). Neka je ~vP brzina tocke P u

sustavu (x, y), a ~vO ′ neka je brzina ishodista sustava (x ′, y ′). Brzina tocke P u sustavu (x ′, y ′)

12.8. TRENUTNO SREDISTE VRTNJE 401

Slika 12.13: Uz odredivanje trenutnog sredista: (A) graficki; (B) racunski.

je uvijek jednaka nuli, jer je taj sustav cvrsto vezan s tijelom, tj. giba se zajedno s njim (u tomsustavu tijelo se vrti oko osi kroz P , a sama tocka P miruje). Od ranije, (8.5), znamo za vezumedu brzinama u inercijskom i neinercijskom sustavu:

~vin = ~Rin + ~vnin + ~ω × ~r,

koja prevedena na sadasnje oznake, glasi

~vP = ~vO ′ + 0 + ~ω × ~r ′P .


~rP = ~rO ′ + ~r ′P ,

pa gornja relacija prelazi u

~vP = ~vO ′ + ~ω × (~rP − ~rO ′ ).

No, ako je P trenutno srediste, tada ono trenutno miruje, tj. njegova je brzina jednaka nuli~vP = 0 i u sustavu (x, y), pa je

~vO ′ = −~ω × (~rP − ~rO ′ ).

Da bismo gornju jednadzbu rijesili po nepoznanici ~rP , cijelu cemo jednadzbu pomnoziti vek-torski s ~ω

~ω ×/

~vO ′ = −~ω × (~rP − ~rO ′ )

~ω × ~vO ′ = −~ω ×[~ω × (~rP − ~rO ′ )

]

~ω × ~vO ′ = −[~ω · (~rP − ~rO ′ )

]~ω + ω2(~rP − ~rO ′ ).


Buduci da vektor (~rP − ~rO ′ ) lezi u ravnini (x, y), to je vektor kutne brzine ~ω = ω ~ez okomitna njega, pa je prvi clan desne strane gornje relacije jednak nuli. Preostaje

~ω × ~vO ′ = ω2 (~rP − ~rO ′ ),

odakle za polozaj trenutnog sredista dobivamo

~rP = ~rO ′ +~ω × ~vO ′

ω2. (12.16)

Zadatak: 12.5 Valjak se giba po ravnoj podlozi. Odredite polozaj trenutnog sredista kada sevaljak kotrlja bez klizanja i sa klizanjem.

R: Koristimo oznake sa slike 12.14.A:

Slika 12.14: Uz odredivanje polozaja trenutnog sredista valjka koji se kotrlja.

translacijska brzina sredista O ′ valjka je ~vO ′ = vO ′ ~expolozaj sredista O ′ valjka u sustavu (x, y) je ~rO ′ = xO ′ (t) ~ex +R ~eypolozaj trenutnog sredista u sustavu (x, y) je ~rPkutna brzina vrtnje valjka je ~ω = −ω ~ez .Izravnim uvrstavanjem u (12.16) dobivamo

~rP = ~rO ′ +~ω × ~vO ′

ω2= ~rO ′ +

−ω~ez × vO ′ ~exω2

= xO ′ (t) ~ex +(R− vO ′

ω

)~ey .

Tako smo, za koordinate trenutnog sredista dobili: xP = xO ′ (t) =∫vO ′ (t) dt i

yP = R − vO ′ /ω. Sa slike 12.14.B se vidi da yP lezi na spojnici sredista valjka itocke dodira s podlogom.Ako je dozvoljeno samo kotrljanje bez klizanja, tada je vO ′ = R ω, pa je yP = 0 i

12.9. STATIKA KRUTOG TIJELA 403

trenutno srediste se nalazi upravo u tocki dodira valjka i podloge.Ako se dozvoli i klizanje valjka, tada je vO ′ > Rω (veci se put prijede u translacijskomgibanju nego sto se valjak okrene oko svoje osi) i polozaj trenutnog sredista vrtnjese nalazi izvan valjka (ispod podloge).Primjetimo da mozemo promatrati i granicni slucaj cistog klizanja: valjak se nevrti, ω = 0, nego se samo klize (translatira) po podlozi. Cak i ovo cisto translatornogibanje mozemo shvatiti kao cistu vrtnju oko trenutnog sredista, s time da se tosrediste, prema gornjoj formuli nalazi u tocki −∞ u y smjeru.

Zadatak: 12.6 Neka je m masa valjka iz prethodnog primjera. Izracunajte njegovu kinetickuenergiju, ako se kotrlja bez klizanja.

R: Zadatak cemo rijesiti na dva nacina: prvo cemo kotrljanje valjka shvatiti kaokombinaciju translacijskog gibanja sredista mase i vrtnje oko osi simetrije valjka,a drugi nacin je da gibanje valjka shvatimo kao cistu vrtnju oko osi kroz trenutnosrediste vrtnje.

(1)

Ek = Ek,tr. + Ek,vrt.(SM) =1

2m v2O ′ +

1

2ISM ω2

ISM =1

2m R2, vO ′ = ω R

Ek =1

2m v2O ′ +

1

2

1

2m R2 v

2O ′

R2=

3

4m v2O ′

(2)

Ek = Ek,vrt.(P ) =1

2IP ω

2 =1

2(ISM +mR2) ω2 =

3

4m v2O ′ .

Kineticka energija je ista, bez obzira s koje tocke gledista opisujemo gibanje.

12.9 Statika krutog tijela

Statiku krutog tijela karakterizira iscezavanje gibanja, tj. njegova translacijska brzina i brzinavrtnje su jednake nuli. U tom se slucaju kaze da je tijelo u ravnotezi. Nuzni i dovoljni uvjetiravnoteze krutog tijela su

~Fv = 0, ~Mv = 0,

gdje su ~Fv zbroj svih vanjskih sila, a ~Mv zbroj svih momenata vanjskih sila koje djeluju nakruto tijelo. Prvi uvjet izrice ravnotezu u odnosu na translacijske pomake, a drugi u odnosuna vrtnju5.

5Buduci da se materijalna cestica zamislja kao matematicka tocka, pojam vrtnje tocke nema smisla, pa je statika cestice odredenasamo jednim uvjetom: ~F = 0.


Buduci da je kruto tijelo poseban slucaj sustava cestica s nepromjenjenom medusobnom uda-ljenosti cestica, nacelo zamisljenog rada i D’Alembertovo nacelo vrijede i za kruto tijelo.Ako su vanjske sile sile koje djeluju na tijelo konzervativne, tada postoji funkcija potencijalne

energije sa svojstvom da je ~Fv = −−→∇Ep, pa se uvjet ravnoteze ~Fv = 0 moze napisati i prekopotencijalne energije

∂ Ep∂ x

=∂ Ep∂ y

=∂ Ep∂ z

= 0.

Ravnoteza je stabilna, Ep = min., ako se tijelo nakon malog otklona iz ravnoteznog polozajaopet vraca u pocetni ravnotezni polozaj. Ravnoteza je nestabilna (labilna), Ep = max., akose tijelo nakon malog otklona iz ravnoteznog polozaja udaljava od pocetnog ravnoteznogpolozaja.

Zadatak: 12.7 Ploha stola zanemarive mase ima oblik jednakostranicnog trokuta ABC, duljinestranice s. Noge stola se nalaze u vrhovima trokuta i okomite su na plohu. Tockamase m se nalazi na stolu u tocki za a udaljenoj od stranice BC i za b od straniceAC. Nadite opterecenja svih nogu stola.

R: ... dovrsiti ...

Poglavlje 13

Prostorno gibanje krutog tijela

U prethodnom smo poglavlju promatrali posebno jednostavan slucaj gibanja krutog tijela kodkojega se ono moze translacijski gibati samo paralelno sa zadanom nepomicnom ravninom ivrtjeti se samo oko osi okomite na tu ravninu. Brzina vrtnje se mogla mijenjati po iznosu, aline i po smjeru

~ω = ω(t) · ~eω .

Smjer osi vrtnje, ~eω , je bio konstantan u vremenu.

U ovom cemo poglavlju promatrati opcenito gibanje krutog tijela u trodimenzijskom prostoru.Takvo se gibanje sastoji od translacije jedne odredene tocke (najcesce se za tu tocku odabiresrediste mase) i vrtnje oko osi kroz tu tocku. No, sada niti iznos, a niti smjer osi vrtnje nemoraju biti sve vrijeme konstantni, nego se mogu mijenjati s vremenom

~ω = ω(t) ~eω (t).

Zamislimo kruto tijelo koje se giba i zapitajmo se na koji ga nacin mozemo zaustaviti? Akojednu tocku (tri koordinate, npr. x, y i z)

x, y, z

krutog tijela ucinimo nepomicnom, sprijecit cemo njegovo translacijsko gibanje. No, tijelo sejos moze vrtjeti oko bilo koje osi koja prolazi tom tockom. Os vrtnje mozemo fiksirati dvamakutovima (npr. kutovima θ i ϕ sfernog koordinatnog sustava)

θ, ϕ.

Sada se tijelo jos moze samo vrtjeti oko fiksne osi. Ako fiksiramo i kut

ψ

koji opisuje zakret oko osi, u cjelosti smo zaustavili gibanje tijela. Vidimo da smo trebali fiksiratisest velicina, ili kako se to drukcije kaze, kruto tijelo ima sest stupnjeva slobode. Prvatri stupnja slobode su translacijski stupnjevi slobode i obicno opisuju polozaj sredista mase,a slijedeca tri (Eulerovi kutovi) su rotacijski stupnjevi slobode i opisuju vrtnju oko osi krozodabranu tocku. Ako na gibanje krutog tijela postoje i neki dodatni uvjeti, oni mogu samosmanjiti broj stupnjeva slobode.

405

406 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA

13.1 Tenzor tromosti

Buduci da se opce gibanje krutog tijela moze opisati u terminima translacije odabrane tocke ivrtnje oko osi kroz tu tocke, zapocet cemo s proucavanjem ciste vrtnje krutog tijela, a kasnijecemo dodati ucinke translacijskog gibanja.Promotrimo dakle kako se moze gibati kruto tijelo cija je (samo) jedna tocka nepomicna.Oznacimo tu nepomicnu tocku s O i neka se u danom trenutku t tijelo vrti kutnom brzinom~ω (t) oko trenutne osi kroz tocku O (slika 13.1). Neka se u j-toj tocki tijela na mjestu ~rj

Slika 13.1: Vrtnja krutog tijela kutnom brzinom ~ω (t) oko nepomicne tocke O.

nalazi j-ta cestica tijela, koja se giba brzinom ~vj . Iz poglavlja 8 o neinercijskim sustavima,znamo da je veza medu brzinama u inercijskom i neinercijskom sustavu oblika

~vin = ~vnin + ~ω × ~r.

Cestica j miruje u neinercijskom sustavu (cvrsto vezanom za tijelo koje se vrti), pa je zato

~vnin ≡ 0

i

~vj = ~ω × ~rj.

Izracunajmo moment kolicine gibanja krutog tijela

~L =

N∑

j=1

~rj × ~p j =

N∑

j=1

~rj × mj ~vj =

N∑

j=1

~rj × mj (~ω × ~rj),

gdje zbrajanje ide po svim tockama krutog tijela. Primjetimo da ~L ne mora biti paralelan s~ω . U nepomicnom (inercijskom) pravokutnom koordinatnom sustavu (x, y, z) sa ishodistem uO, moment kolicine gibanja tijela, kutna brzina vrtnje i radij vektor j-te cestice tijela imaju

13.1. TENZOR TROMOSTI 407

komponente:

~L = Lx ~ex + Ly ~ey + Lz ~ez ,

~ω = ωx ~ex + ωy ~ey + ωz ~ez ,

~rj = xj ~ex + yj ~ey + zj ~ez .

Koristeci se vektorskim identitetom

~A × ( ~B × ~C ) = ( ~A ~C ) ~B − ( ~A ~B ) ~C ,

izraz za ~L mozemo napisati kao

~L =N∑

j=1

mj ~rj × (~ω × ~rj) =N∑

j=1

mj

[r2j ~ω − (~rj~ω ) ~rj

]

= ~ωN∑

j=1

mj r2j −

N∑

j=1

mj (xj ωx + yj ωy + zj ωz) ~rj ,

sto, raspisano po komponentama, vodi na slijedeci sustav

Lx = ωx

N∑

j=1

mj r2j −

N∑

j=1

mj (xj ωx + yj ωy + zj ωz) xj ,

Ly = ωy

N∑

j=1

mj r2j −

N∑

j=1

mj (xj ωx + yj ωy + zj ωz) yj,

Lz = ωz

N∑

j=1

mj r2j −

N∑

j=1

mj (xj ωx + yj ωy + zj ωz) zj.

Gornji se sustav moze napisati i preglednije, tako sto ce se izdvojiti komponente kutne brzine

Lx = ωx

N∑

j=1

mj (y2j + z2j ) + ωy (−)N∑

j=1

mj xj yj + ωz (−)N∑

j=1

mj xj zj ,

Ly = +ωx (−)

N∑

j=1

mj yj xj + ωy

N∑

j=1

mj (x2j + z2j ) + ωz (−)

N∑

j=1

mj yj zj ,

Lz = +ωx (−)N∑

j=1

mj zj xj + ωy (−)N∑

j=1

mj zj yj + ωz

N∑

j=1

mj (x2j + y2j ).

Umnoske mase s kvadratom koordinata, prepoznajemo kao momente tromosti (usporediti s


(12.3)). Oznacimo s Ixx, Iyy, Izz (aksijalne) momente tromosti oko osi x, y i z

Ixx =N∑

j=1

mj (y2j + z2j ) →∫

(y2 + z2) ρm(x, y, z) dx dy dz,

Iyy =

N∑

j=1

mj (x2j + z2j ) →∫

(x2 + z2) ρm(x, y, z) dx dy dz,

Izz =N∑

j=1

mj (x2j + y2j ) →∫

(x2 + y2) ρm(x, y, z) dx dy dz.

Velicine Iαβ cemo nazvati devijacijski ili centrifugalni momenti ili umnosci tromosti

Ixy = Iyx = −N∑

j=1

mj xj yj → −∫

x y ρm(x, y, z) dx dy dz, (13.1)

Ixz = Izx = −N∑

j=1

mj xj zj → −∫

x z ρm(x, y, z) dx dy dz,

Iyz = Izy = −N∑

j=1

mj yj zj → −∫

y z ρm(x, y, z) dx dy dz.

Naveli smo i integralne izraze za momente i umnoske tromosti, koji se dobiju na uobicajeninacin prijelazom sa zbroja na integral:

∑

j

f(j)mj →∫

f(~r) dm(~r) =

∫f(~r) ρ(~r) d3r.

Momenti tromosti Iα,α i centrifugalni momenti Iα,β jesu elementi jednog tenzora drugog redakoji se zove tenzor tromosti krutog tijela i oznacava se s I

I =

Ixx Ixy Ixz

Iyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

. (13.2)

Fizicko znacenje momenata tromosti se vidi iz relacije (12.10): oni se pojavljuju u izrazu zakineticku energiju vrtnje oko nepomicne osi, dakle rad koji treba utrositi da bi se tijelo dovelou odredeno stanje vrtnje je srazmjeran momentu tromosti oko te osi.

No, koje je fizicko znacenje umnozaka tromosti? Sjetimo se da na svaku cesticu mase m kojase vrti, djeluje centrifugalna sila (8.4)

~Fcf = ~a cf m = −~ω × (~ω × ~r) m.

Ta sila djeluje po pravcu okomitom na os vrtnje, a u smjeru od osi vrtnje. Ova centrifugalnasila djeluje i na sve cestice od kojih je sastavljeno kruto tijelo. No, zbog krutosti krutog tijela,njegove se cestice ne mogu slobodno gibati, nego se sila na cestice, prenosi na cijelo tijelo.


Ako su cestice krutog tijela rasporedene simetricno u odnosu na os vrtnje, sve ce se ove silemedusobno ponistiti i rezultantna sila na kruto tijelo ce biti jednaka nuli . Naprotiv, ako sucestice rasporedene nesimetricno u odnosu na os vrtnje, one se nece sve medusobno ponistiti,nego ce preostati rezultantna sila u smjeru okomitom na os vrtnje. S obzirom da je okomitana os vrtnje, ocito je da ce ova sila izazvati promjenu smjera osi vrtnje. Uvjerimo seu ispravnost ovog razmisljanja slijedecim racunom: neka se u nekom pocetnom vremenskomtrenutku tijelo vrti oko osi ~ω i neka je koordinatni sustav postavljen tako da je

~ω = ω ~ez .

Izracunajmo ukupan moment centrifugalnih sila koje djeluju na sve cestice krutog tijela. Ponovokoristimo identitet

~A × ( ~B × ~C ) = ( ~A ~C ) ~B − ( ~A ~B ) ~C

koji vodi na

~Mcf =

N∑

j=1

~rj × ~Fj,cf = −N∑

j=1

mj ~rj ×[~ω × (~ω × ~rj)

]

= −N∑

j=1

mj ~rj ×[(~ω ~rj) ~ω − ω2 ~rj

]= −

N∑

j=1

mj

[(~ω ~rj) (~rj × ~ω ) − ω2 (~rj × ~rj)︸︷︷︸

= 0

]

= −N∑

j=1

mj (ωzj) (xj ~ex + yj ~ey + zj ~ez ) × ω ~ez = −N∑

j=1

mj (ωzj) (~ex yj ω − ~ey xj ω)

= −~ex ω2

N∑

j=1

mj yj zj + ~ey ω2

N∑

j=1

mj xj zj = ω2 (~ex Iyz − ~ey Ixz)

= Mcf,x ~ex −Mcf,y ~ey ,

gdje su komponente momenta centrifugalne sile jednake

Mcf,x = ω2 Iyz, Mcf,y = ω2 Ixz.

Ako se u pocetnom trenutku tijelo okretalo oko osi z, pojavljuju se momenti centrifugalne silekoji zakrecu tijelo u okomitom smjeru u odnosu na os vrtnje (u nasem primjeru su to x i ysmjerovi). Da bi se tijelo sve vrijeme okretalo oko osi z, potrebno je vanjskim silama fiksirati osvrtnje (kao sto je to prikazano na slici 12.12). Ovaj moment sile iscezava, samo ako je raspodjelamasa simetricna prema pocetnoj osi vrtnje, tj. ako je Iyz = Ixz = 0 (simetricna raspodjela maseznaci da u gornjem zbroju za Iyz i Ixz ima jednako mnogo pozitivnih i negativnih doprinosaistog iznosa). U tom je slucaju dovoljno tijelo fiksirati u jednoj tocki i ono ce se trajno vrtjetioko pocetne osi. Ako ovakva os prolazi i sredistem mase krutog tijela, tada je ona i glavna osi tijelo ne treba ucvrstiti niti u jednoj tocki, a ono ce se ipak trajno vrtjeti oko te osi. Zboggore opisane veze s centrifugalnom silom, umnosci tromosti se nazivaju i devijacijski momentiili centrifugalni momenti.

Zadatak: 13.1 Izracunajte tenzor tromosti homogenog valjka polumjera R, visine H i mase m.

R: ... dovrsiti ...


Vratimo se komponentama momenta kolicine gibanja, koje sada mozemo napisati preko mom-enata i umnozaka tromosti

Lx = Ixx ωx + Ixy ωy + Ixz ωz,

Ly = Iyx ωx + Iyy ωy + Iyz ωz, (13.3)

Lz = Izx ωx + Izy ωy + Izz ωz.

Gornji sustav jednadzba mozemo napisati kao jednu matricnu jednadzbu, tako sto cemo koristitimatricu tenzora tromosti I u pravokutnom koordinatnom sustavu

I =

Ixx Ixy Ixz

Iyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

.

Elementi matrice su (prema definiciji) realni, a zbog simetrije umnozaka tromosti:

Ixy = Iyx,

Ixz = Izx,

Iyz = Izy,

matrica je i simetricna. To znaci da su njezine svojstvene vrijednosti realne, a svojstveni vektorisu medusobno okomiti. Sustav jednadzba (13.3) sada glasi

~L = I ~ω . (13.4)

U ovom opcem slucaju, kada su Iα,β 6= 0, smjer momenta kolicine gibanja ~L se razlikuje odsmjera osi vrtnje ~ω .Pogledajmo sada kako izgleda kineticka energija vrtnje krutog tijela? Ponovo krecemo od zapisakineticke energije vrtnje kao zbroja kinetickih energija pojedinih cestica krutog tijela

Ek,vrt =1

2

N∑

j=1

mj ~v2j =

1

2

N∑

j=1

mj ~vj ~vj (13.5)

=1

2

N∑

j=1

mj ~vj (~ω × ~rj) =1

2

N∑

j=1

mj ~ω (~rj × ~vj) =1

2~ω ~L .

Uvrstimo li relacije (13.3) u skalarni umnozak ~ω ~L , dobivamo za energiju vrtnje

Ek,vrt =1

2

[Ixx ω

2x + Iyy ω

2y + Izz ω

2z + 2 Ixy ωx ωy + 2 Ixz ωx ωz + 2I yz ωy ωz

](13.6)

Zadatak: 13.2 Stozac jednolike gustoce, kotrlja se bez klizanja po ravnini (x, y) kutnom brzi-nom ϕ oko osi z. Polumjer stosca je R, visinaH, a masam (slika 13.2). Izracunajte


Slika 13.2: Uz primjer izracunavanja kineticke energije stosca koji se kotrlja po ravnini.

kineticku energiju stosca.

R: Primjetimo najprije da u ovom zadatku postoje dvije kutne brzine. Prvaje kutna brzina vrtnje sredista mase stosca oko ishodista i nju cemo oznaciti s ϕ .Druga je kutna brzina vrtnje stosca oko trenutnog sredista vrtnje, a to je linije pokojoj stozac dodiruje ravninu (x, y). Ovu cemo brzinu oznaciti s ω = χ.Srediste mase stosca se nalazi na osi simetrije, 3H/4 udaljeno od njegovog vrha.Izracunajmo brzinu sredista mase na dva nacina:(a) pomocu ϕ

vSM =ds

dt=ρSM dϕ

dt=

3

4H cosα ϕ ,

(b) pomocu ω

vSM =r dχ

dt=

3

4H sinα ω.

Usporedbom gornja dva izraza, dolazimo do

ω =cosα

sinαϕ =

H

Rϕ .

Ukupnu kineticku energiju mozemo dobiti kao energiju vrtnje oko trenutnog sredista.Za to nam je potrebna brzina vrtnje oko trenutnog sredista, a to je ω i moment tro-mosti oko trenutnog sredista, a to je moment tromosti stosca oko njegove izvodnice

Iizv =3

20mR2

(1 +

5H2

R2 +H2

),

za ukupnu energiju stosca dobivamo

E = Et.s.k,vrt =

1

2Iizvω

2 =3

40m H2 ϕ 2 R

2 + 6H2

R2 +H2.


Sustav glavnih osi krutog tijela:Analizom znacenja centrifugalnih momenata tromosti pokazano je oni vode na momente silakoji izazivaju promjenu smjera i iznosa vrtnje. Imajuci to u vidu, prirodno je postaviti pitanje:postoji li sustav u kojemu ce centrifugalni momenati tromosti biti jednaki nuli

Iα,β = 0, α 6= β.

U tom sustavu centrifugalne sile nece mijenjati smjer osi vrtnje (no jos uvijek ce smjer bitirazlicit od smjera ).Matematickim jezikom receno, treba pronaci koordinatni sustav u kojemu ce matrica tenzoratromosti biti dijagonalna s dijagonalnim elementima Ij za j = 1, 2, 3. Takav ce se sustav zvatisustav glavnih osi krutog tijela, a jedinicni vektori tog sustava se oznacavaju s ~ej (slika13.3). Buduci da je matrica tenzora I realna i simetricna, vektori ~ej su medusobno okomiti i

Slika 13.3: Glavne osi krutog tijela: ~e1, ~e2, ~e3.

mogu se koristii kao baza trodimenzijskog vektorskog prostora. Naravno da je taj sustav cvrstovezan s krutim tijelom i rotira zajedno s njim. Centrifugalni momenti tromosti, u sustavuglavnih osi, su jednaki nuli i zato ce tijelo koje se u pocetnom trenutku vrtjelo oko jedne odglavnih osi, nastaviti vrtnju oko te osi sve dok vanjske sile ne promjene smjer vrtnje. Da bise nasle dijagonalne vrijednosti Ij i smjerovi glavnih osa ~ej , treba rijesiti algebarski problemdijagonalizacije matrice, tj. naci njezine svojstvene vrijednosti Ij i pripadajuce svojstvenevektore ~ej

I ~ej = Ij ~ej →[I− 1 Ij

]~ej = 0,

(s 1 je oznacena 3 × 3 dijagonalna matrica s jedinicama na dijagonali i nulama izvan dijagonale).Gornja jednadzba ima rjesenje ~ej 6= 0 ako determinata matrice (I− 1 Ij) iscezava

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ixx − Ij Ixy Ixz

Iyx Iyy − Ij Iyz

Izx Izy Izz − Ij

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0.


To je algebarska jednadzba treceg reda za nepoznanice Ij . Zbog realnosti i simetrije elemenatamatrice I, ona ima tri realna rjesenja Ij koja zovemo glavni momenti tromosti (oni nisunuzno medusobno razliciti1) . Njima su pridruzena tri ortonormirana svojstvena vektora ~ejkoja zovemo glavne osi krutog tijela

I ~ej = Ij ~ej ,

~ei · ~ej = δi,j, i, j = 1, 2, 3.

Smjerovi glavnih osi odgovaraju smjerovima simetrije krutog tijela. Nedijagonalni elementiIi,j iscezavaju samo ako se u izrazu

Ii,j = Ij,i = −N∑

n=1

mn ri,n rj,n

(gdje rj,n oznacava projekciju radij vektora n-te cestice na smjer glavne osi ~ej) pojavi jed-nako mnogo pozitivnih i negativnih doprinosa koji se medusobno poniste, a to je upravo znaksimetricnosti.Izrazimo kineticku energiju vrtnje preko velicina vezanih za sustav glavnih osi. Oznacimo s ωj iLj za j = 1, 2, 3, komponente kutne brzine vrtnje i momenta kolicine gibanja u sustavu glavnihosi

~L · ~ej = Lj , ~ω · ~ej = ωj .

U tom je sustavu sustavu I dijagonalna matrica, pa relacija ~L = I ~ω postaje jednostavno

~L = I1 ω1 ~e1 + I2 ω2 ~e2 + I3 ω3 ~e3,

L1 = I1 ω1, L2 = I2 ω2, L3 = I3 ω3,

a kineticka energija vrtnje

Ek,vrt =1

2~ω ~L =

1

2(I1 ω

21 + I2 ω

22 + I3 ω

23) (13.7)

Ako kutna brzina vrtnje ima smjer jedne od glavnih osi krutog tijela ~ω = ω ~ej , tada ce biti~L = Ij ω ~ej , tj. u tom slucaju ~L i ~ω imaju isti smjer, a kineticka energija vrtnje je

Ek,vrt =1

2~ω ~L =

1

2Ij ω

2 (13.8)

Izraz za energiju (13.7) moze napisati i drukcije, tako sto ce se uvesti kosinusi kutova koje osvrtnje, ~eω , zatvara sa smjerovima glavnih osi. Prema samom znacenju komponente ωj je

ωj = ~ω · ~ej = ω cos(~eω , ~ej),

stoga je, prema (13.7), i kineticka energija vrtnje jednaka

Ek,vrt =1

2

[I1 ω

2 cos2(~eω , ~e1) + I2 ω2 cos2(~eω , ~e2) + I3 ω

2 cos2(~eω , ~e3)]≡ 1

2ω2 I~ω .

1Npr. homogena kugla ima sva tri glavna omenta tromosti medusobno jednaka.


Gornji izraz definira moment tromosti krutog tijela I~ω u odnosu na proizvoljni smjer vrtnje ~eω ,izrazen preko glavnih momenata tromosti Ij

I~ω = I1 cos2(~eω , ~e1) + I2 cos2(~eω , ~e2) + I3 cos2(~eω , ~e3). (13.9)

Gornji izraz je osobito vazan, jer daje moment tromosti tijela oko proizvoljne osi ~eω izrazenpreko momenata tromosti oko glavnih osi. Drugim rijecima, ako jednom izracunamo momentetromosti tijela oko glavnih osi, onda pomocu gornjeg izraza mozemo lako izracunati momenttromosti oko proizvoljne osi.

Zadatak: 13.3 Izracunajmo moment tromosti valjka oko osi oznacene na slici 13.4. Polumjervaljka je R, visina H, a masa m.

R: Prema relaciji (13.9), za rjesenje ovog zadatka trebamo samo znati glavne

Slika 13.4: Valjak se vrti oko osi koja prolazi sredistem baze i jednom tockom na spojnici suprotne baze i plasta.

momente tromosti valjka Ij i kuteve koje os vrtnje zatvara a glavnim osima valjka~ej . Zbog simetrije valjka, koordinatni sustav uvijek mozemo postaviti tako da osvrtnje lezi u (~e1, ~e2) ravnini, pa je

I1 =1

2m R2, I2 = I3 = m

(R2

4+H2

3

)

cos2(~eω , ~e1) =H2

H2 +R2, cos2(~eω , ~e2) =

R2

H2 +R2, cos2(~eω , ~e3) = 0.

Uvrstavanjem gornjih vrijednosti u (13.9), dobiva se

I~ω =1

12m R2 10H2 + 3R2

H2 +R2.

13.2. EULEROVE JEDNADZBE GIBANJA 415

Kao sto smo gornjim izrazom definirali moment tromosti u odnosu na sustav glavnih osi, slicnomozemo definirati i moment tromosti I u odnosu na nepomicni (inercijski) sustav (x, y, z).Neka su α, β i γ kutovi koje osi x, y i z zatvaraju sa smjerom osi vrtnje ~eω . Tada je

~ω = ω ~eω = ωx ~ex + ωy ~ey + ωz ~ez / · ~exω (~eω ~ex ) = ωx

ω cosα = ωx

i slicno za y i z komponentu, sto sve zajedno daje

~ω = ω (~ex cosα + ~ey cos β + ~ez cos γ).

Uvrsti li se ovaj izraz za kutnu brzinu u (13.6), za kineticku energiju se dobije

Ek,vrt =1

2I ω2,

gdje je s I oznacena velicina

I = Ixx cos2 α + Iyy cos2 β + Izz cos2 γ

+ 2 Ixy cosα cos β + 2 Ixz cosα cos γ + 2 Iyz cos β cos γ.

Gornja velicina opisuje svojstva tromosti krutog tijela u odnosu na proizvoljan inercijski sustav(x, y, z). Ona se moze vizualizirati u obliku jednog elipsoida, na slijedeci nacin. Uvedimo vektor~η relacijom

~η =~eω√I

= ~excosα√I

+ ~eycos β√I

+ ~ezcos γ√I

= ~ex ηx + ~ey ηy + ~ez ηz.

U terminima komponenata vektora ~η , izraz za I glasi

1 = Ixx η2x + Iyy η

2y + Izz η

2z + 2 Ixy ηx ηy + 2 Ixz ηx ηz + 2 Iyz ηy ηz. (13.10)

U koordinatnom sustavu (ηx, ηy, ηz), gornja jednadzba predstavlja elipsoid koji se zove elipsoidtromosti i koji vizualizira osobine tromosti danog tijela u danom koordinatnom sustavu.Ako se koordinatni sustav (x, y, z) zakrene tako da se poklopi sa sustavom glavnih osi, tadaα, β i γ oznacavaju kutove izmedu glavnih osi krutog tijela i osi vrtnje, a centrifugalni momentiiscezavaju. U tom slucaju jednadzba elipsoida tromosti postaje

1 = I1η21 + I2η

22 + I3η

23, (13.11)

gdje su

η1 =cos(~eω , ~e1)√

I~ω, η2 =

cos(~eω , ~e2)√I~ω

, η3 =cos(~eω , ~e3)√

I~ω.

13.2 Eulerove jednadzbe gibanja

Promatrajmo kruto tijelo koje se vrti oko osi ~eω (t) i na koje djeluju vanjske sile. Ucinak

vanjskih sila na vrtnju tijela opisujemo momentom vanjskih sila ~M . Gibanje tijela cemo proma-trati iz dva koordinatna sustava: jednog inercijskog (nepomicnog) i drugog koji je cvrsto vezan


za kruto tijelo i vrti se zajedno s njim (neinercijski). Za ovaj neinercijski sustav cemo odabratiupravo sustav glavnih osi (~e1, ~e2, ~e3). U tom je sustavu ukupan moment kolicine gibanja krutogtijela jednak

~L = I1 ω1(t) ~e1 + I2 ω2(t) ~e2 + I3 ω3(t) ~e3,

gdje su ωj(t) komponente kutne brzine vrtnje u smjerovima glavnih osi. U neinercijskom sustavuse samo kutna brzina moze mijenjati s vremenom, dok su momenti tromosti Ij i smjerovi vektora~ej konstantni (jer se vektori ~ej vrte zajedno s neinercijskim sustavom). Prema relaciji (8.3),

vremenske promjene vektora ~L u inercijskom i neinercijskom sustavu su povezane relacijom

d ~L

d t

∣∣∣∣∣in.

=d ~L

d t

∣∣∣∣∣nin.

+ ~ω × ~L

= I1ω 1~e1 + I2ω 2~e2 + I3ω 3~e3 + (ω1~e1 + ω2~e2 + ω3~e3) × (I1ω1~e1 + I2ω2~e2 + I3ω3~e3)

= ~e1

[I1ω 1 + (I3 − I2)ω2ω3

]+ ~e2

[I2ω 2 + (I1 − I3)ω1ω3

]+ ~e3

[I3ω 3 + (I2 − I1)ω1ω2

].

Vanjske sile koje djeluju na tijelo, kao sto im samo ime kaze, djeluju u vanjskom, dakle inerci-jskom sustavu, pa njihov moment zadovoljava jednadzbu (10.18)

~M =d ~L

d t

∣∣∣∣∣in.

= M1 ~e1 +M2 ~e2 +M3 ~e3. (13.12)

Primjetimo da se, promatrano iz inercijskog sustava, smjerovi ~ej mijenjaju u vremenu. Us-poredbom gornje dvije jednadzbe, dolazimo do sustava

I1 ω 1 + (I3 − I2) ω2 ω3 = M1,

I2 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 = M2,

I3 ω 3 + (I2 − I1) ω1 ω2 = M3.

(13.13)

koji se zove Eulerove 2 jednadzbe gibanja krutog tijela.

Trazimo konstante gibanja uz uvjet da se kruto tijelo vrti oko nepomicne tocke O i dana tijelo ne djeluju vanjske sile, osim sile u tocki oslonca. Tada je krak vanjske sile u tockioslonca jednak nuli, pa je i ukupni moment vanjskih sila jednak nuli

~M = 0.

Prva konstanta: moment kolicine gibanja.

U skladu s relacijom ~M = ~L = 0 (koja vrijedi i u inercijskom (10.18) i u neinercijskom (10.32)sustavu), zakljucujemo da je tada moment kolicine gibanja krutog tijela konstantan,

~L = const.2Leonhard Euler, 1707. - 1783., svicarski matematicar.

13.2. EULEROVE JEDNADZBE GIBANJA 417

Konstantnost vektora znaci konstantnost smjera

~L

|~L |= const.

i konstantnost iznosa

L =√L2x + L2

y + L2z =

√L21 + L2

2 + L23 = const..

Pravac na kojemu lezi ~L se zove invarijantna linija.

Druga konstanta: kineticka energija.Pokazimo da ce u ovom slucaju i kineticka energija vrtnje biti konstantna. Zapocnimo time stocemo Eulerove jednadzbe redom pomnoziti s ω1,2,3 (neka je u pocetku desna strana razlicita odnule),

I1 ω 1 + (I3 − I2) ω2 ω3 = M1

/· ω1

I2 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 = M2

/· ω2

I3 ω 3 + (I2 − I1) ω1 ω2 = M3

/· ω3,

a zatim ih zbrojiti

I1 ω 1 ω1 + I2 ω 2 ω2 + I3 ω 3 ω3 + ω1 ω2 ω3 (I3 − I2 + I1 − I3 + I2 − I1)︸︷︷︸

= 0

= M1 ω1 +M2 ω2 +M3 ω3.

Primjetimo da je ω j ωj = 12

(d ω2j/d t), pa gornji izraz mozemo napisati kao

1

2

(I1d ω2

1

d t+ I2

d ω22

d t+ I3

d ω23

d t

)= ~M · ~ω .

Prema relaciji za energiju (13.7), izraz u zagradi prepoznajemo kao vremensku promjenukineticke energije vrtnje (tj. snagu vrtnje), pa gornji izraz kaze da je vremenska promjena

kineticke energije vrtnje jednaka skalarnom umnosku ~M · ~ωdEk,vrtd t

= ~M · ~ω .

Gornja je jednadzba iste grade kao i (4.8). Ukoliko je moment vanjskih sila jednak nuli, ~M = 0,tada je i energija konstantna

dEk,vrtd t

= 0 ⇒ Ek,vrt = const.

Treca konstanta: projekcija osi vrtnje.Iz cinjenice da je kineticka energija konstantna, a pomocu relacije (13.5) zakljucujemo da je

projekcija osi vrtnje ~eω (t) na konstantni vektor ~L i sama konstantna (slika 13.5)

Ek,vrt =1

2~ω ~L = const.


Slika 13.5: Projekcija osi vrtnje ~eω (t) na vektor ~L se ne mijenja u vremenu.

Drugim rjecima, vrh vektora ~ω (t) opisuje tijekom vremena, neku krivulju po ravnini okomitoj

na vektor ~L . Ta se ravnina zove invarijantna ravnina. Primjetimo da ta krivulja ne morabiti kruznica, jer vektor ~ω (t) ne mora biti konstantnog iznosa - trazi se samo da je njegovaprojekcija na jedan konstantni vektor i sama konstantna. Gornja relacija kaze da projekcija~ω (t) na ~L (dakle umnozak ω cos(~eω , ~L )), mora biti u svakom trenutku ista. Opazac smjestenu sustav koji se vrti zajedno s krutim tijelom (~e1, ~e2, ~e3) primjecuje da se vektor ~ω okrece oko

vektora ~L (koji je, sjetimo se, konstantan). Taj zakret osi vrtnje ~ω (t) oko smjera ~L se nazivaprecesija.

13.3 Gibanje Zemlje

Slika 13.6: Priblizan oblik Zemlje prikazane u sustavuglavnih osi.

Jedan vazan primjer krutog tijela koje se vrtiuz moment vanjskih sila jednak nuli, je vrt-nja Zemlje oko svoje osi. Jedina vanjskasila koja djeluje na Zemlju je gravitacijska sila(od Sunca i drugih planeta), ali ona djelujena srediste mase Zemlje, pa je njezin momentsile jednak nuli. Zemlja nije savrseno krutotijelo, jer ima tekucu jezgru, ali cemo ucinkete tekuce jezgre na vrtnju Zemlje zanemariti.Takoder cemo oblik Zemlje aproksimirati ob-likom elipsoida (spljostene kugle, slika 13.8.Adolje). Oznacimo li smjer osi simetrije takvogtijela kao ~e3, tada ce biti I1 = I2 6= I3 i Eu-

13.3. GIBANJE ZEMLJE 419

lerove jednadzbe glase

I1 ω 1 + (I3 − I1) ω2 ω3 = 0,

I1 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 = 0,

I3 ω 3 = 0.

U ovom slucaju, a kao posljedicu simetrije I1 = I2, vidimo da postoji i cetvrta konstantagibanja. Naime iz posljednje od gornjih jednadzba zakljucujemo da je treca komponenta kutnebrzine vrtnje konstantna

ω3 = const. ≡ Ω 3.

Tada se preostale dvije jednadzbe mogu napisati u obliku

ω 1 +I3 − I1I1

ω2 Ω 3 = 0, (13.14)

ω 2 −I3 − I1I1

ω1 Ω 3 = 0.

To je sustav od dvije vezane diferencijalne jednadzbe prvog reda, za nepoznate funkcije ω1(t)i ω2(t). Vremenskom derivacijom druge od gornjih jednadzba i uvrstavanjem prve, dobiva sediferencijalna jednadzba drugog reda, ali se u njoj pojavljuje samo jedna funkcija, ω2(t)

ω2 +

(Ω 3

I3 − I1I1

)2

ω2 = 0. (13.15)

Gornju jednadzbu prepoznajemo kao jednadzbu slobodnog jednodimenzijskog harmonijskogoscilatora (6.2)

x + ω20 x = 0,

s opcim rjesenjem danim preko sinusa i kosinusa

ω2 = A cosω0t+ Ω ⊥ sinω0t,

gdje su A i Ω ⊥ konstante. Odaberu li se pocetni uvjeti tako da je u t = 0 i ω2 = 0, slijedi daje A = 0, tj.

ω2 = Ω ⊥ sinω0t.

Vrijednost ω0 dobiva se iz diferencijalne jednadzbe (13.15) za ω2, i ona iznosi

ω0 = Ω 3|I3 − I1|

I1.

Uvrstavanje ω2 u jednadzbu (13.14) za ω1, daje

ω1 = Ω ⊥ cosω0t.

Uzeto sve zajedno, os vrtnje, tj. vektor ~ω (t), gledano iz sustava glavnih osi tijela, mijenja svojsmjer u vremenu na slijedeci nacin

~ω (t) = ~e1 Ω ⊥ cosω0t+ ~e2 Ω ⊥ sinω0t + ~e3 Ω 3


(primjetimo da i Ω ⊥ i Ω 3 imaju dimenziju kutne brzine). Primjecujemo da je kutna brzinavrtnje konstantnog iznosa

ω =√

Ω 2⊥ + Ω 2

3

i zato vektor ~ω opisuje stozac u prostoru tako da je os stosca visine Ω 3 u smjeru ~e3, a polumjerbaze je Ω ⊥ (slika 13.7), tj. ~ω precesira oko ~e3. Kutna brzina precesije je ω0 pa je vrijeme

Slika 13.7: Precesija ~ω (t) oko ~e3.

jednog obilaska, tj. period precesije

T0 =2π

ω0

.

Konkretno, za Zemlju je

ω3 = Ω 3 = 2πrad

dan,

I3 − I1I1

= 0.00327,

pa period precesije iznosi oko T0 = 305 dana ili desetak mjeseci. Ovo je vrijednost za T0 blizuopazene vrijednosti koja iznosi priblizno 430 dana, a razlika se objasnjava, vec spomenutom,cinjenicom da Zemlja nije savrseno kruta, vec ima i tekuci jezgru, pa u razmatranje treba uzetii hidrodinamicko ponasanje tekucine koja se vrti, a takoder treba uzeti u obzir i atmosferskagibanja, utjecaj plimnog trenja, elasticnosti Zemlje (koja ipak nije savrseno kruta) i slicno.

Vidimo da su za odredenje gibanja Zemlje, vazna tri vektora: ~e3, ~ω i ~L . Njihove medusobneodnose cemo opisati pomocu dva stosca. To su:prostorni stozac - vezan za sustav (~ex , ~ey , ~ez ) istozac krutog tijela - vezan za sustav (~e1, ~e2, ~e3).Opisimo vrtnju Zemlje u u tim terminima. Oznacimo s α kut izmedu osi simetrije Zemlje ~e3

13.3. GIBANJE ZEMLJE 421

(glavne osi su osi simetrije tijela) i konstantnog vektora momenta kolicine gibanja ~L .

~ω = ~e1 Ω ⊥ cosω0t+ ~e2 Ω ⊥ sinω0t+ ~e3 Ω 3,~L = I1ω1~e1 + I1ω2~e2 + I3ω3~e3,

= I1Ω ⊥(~e1 cosω0t+ ~e2 sinω0t) + ~e3I3 Ω 3,

cosα = ~e3 ·~L

L=

I3 Ω 3√I21 Ω 2

⊥ + I23 Ω 23

.

Oznacimo s β kut izmedu osi simetrije Zemlje ~e3 i vektora vrtnje ~ω

cos β = ~e3 ·~ω

ω=

Ω 3√Ω 2

⊥ + Ω 23

.

Uobicajenim trigonometrijskim manipulacijama, dolazi se do sinusa kutova α i β

sinα =I1 Ω ⊥√

I21 Ω 2⊥ + I23 Ω 2

3

, sin β =Ω ⊥√

Ω 2⊥ + Ω 2

3

,

a zatim i do omjera njihovih tangensa

tanα =I1 Ω ⊥I3 Ω 3

, tan β =Ω ⊥Ω 3

, ⇒ tanα

tan β=I1I3.

Za Zemlju (ili bilo koji drugi sferoid spljosten na polovima) je I1 < I3 (zato jer je zbogspljostenosti, velicina r2⊥ veca kada se racuna I3, nego kada se racuna I1).

I1 < I3 ⇒ tanα < tan β ⇒ α < β.

Nazovimo prostornim stoscem stozac cija je os simetrije konstantni vektor ~L , os simetrije stoscatijela neka je os ~e3 (slika 13.8 gore). Vidimo da gibanje Zemlje mozemo shvatiti kao kotrljanje

(bez klizanja) stosca tijela oko prostornog stosca (vektor ~L je konstantan, pa se prostorni stozacne pomice, nego se pomice stozac tijela) tako da njihova dodirna linija ima smjer vektora vrtnje~ω .Navedimo jos nekoliko opazanja vezanih za opis Zemljinog gibanja:

• Primjetimo da pravci definirani vektorima ~L ,~e3 i ~ω leze u istoj ravnini. Ovu cemo tvrd-nju dokazati tako sto cemo pokazati da je volumen paralelopipeda cije su stranice dane ovimvektorima, jednak nuli. Volumen racunamo preko mjesovitog umnoska ta tri vektora, relacijom(2.8), u bazi glavnih osi krutog tijela

~L · (~e3 × ~ω ) =

∣∣∣∣∣∣

I1 ω1 I1 ω2 I3 ω3

0 0 1ω1 ω2 ω3

∣∣∣∣∣∣= 0.

• Opazac u koordinatnom sustavu (O, x, y, z) ce vidjeti da ~ω opisuje prostorni stozac, dokce opazac u sustavu (O,~e1, ~e2, ~e3) (a to smo svi mi koji zivimo na Zemlji) vidjeti da ~ω opisujestozac tijela.• Za Zemlju je I1 < I3 (spljostena tijela) i zato je prostorni stozac unutar stosca krutog tijela.Za tijela za koja je I1 > I3 (duguljasta tijela oblika cigare) je lako pokazati da je stozac tijelaunutar prostornog stosca (slika 13.8 dolje).


Slika 13.8: Gore: opis gibanja Zemlje pomocu prostornog stosca (os simetrije je ~L ) i stosca tijela (os simetrijeje ~e3). Dolje: polozaji prostornog stosca i stosca tijela, ovisno o odnosu I1 i I3

13.4. EULEROVI KUTOVI 423

13.4 Eulerovi kutovi

Za opis vrtnje krutog tijela oko nepomicne tocke, uobicajeno je koristiti tri kutne varijable

Φ, Θ, Ψ,

koje se zovu Eulerovi kutovi. Osnovna je ideja posve jednostavna:- krece se s dva koordinatna sustava s istim ishodistem (O; x, y, z) i (O; x ′, y ′, z ′), koji se u

pocetku poklapaju;- zatim se pomocu kutova Φ i Θ, koji su poznati iz sfernog koordinatnog sustava, odredi novismjer osi z ′;- i konacno cijeli se sustav (x ′, y ′, z ′) zakrene oko osi z ′ za kut Ψ.Pokazimo u slijedeca tri koraka kako se iz pocetnog koordinatnog sustava (x, y, z), koristecidva pomocna koordinatan sustava (X, Y, Z) i (X ′ , Y ′ , Z ′ ), stize u konacni zakrenuti sustav(x ′, y ′, z ′):

Slika 13.9: Uz definiciju Eulerovih kutova Φ,Θ i Ψ.

(x, y, z) ⇒ (X, Y, Z) ⇒ (X ′ , Y ′ , Z ′ ) ⇒ (x ′, y ′, z ′)z = Z X = X ′ Z ′ = z ′

Φ Θ Ψslika 13.9.A slika 13.9.B slika 13.9.C

Povezimo jedinicne vektore pojedinih koordinatnih sustava:prvi korak: zakret oko osi z = Z za kut Φ (slika 13.9.A)

~ex = (~ex ~eX )~eX + (~ex ~eY )~eY + (~ex ~eZ )~eZ = ~eX cos Φ + ~eY cos(Φ +π

2) + ~eZ cos

π

2= ~eX cos Φ − ~eY sin Φ,

~ey = (~ey ~eX )~eX + (~ey ~eY )~eY + (~ey ~eZ )~eZ = ~eX cos(π

2− Φ) + ~eY cos Φ + ~eZ cos

π

2= ~eX sin Φ + ~eY cos Φ,

~ez = (~ez ~eX )~eX + (~ez ~eY )~eY + (~ez ~eZ )~eZ = ~eX cosπ

2+ ~eY cos

π

2+ ~eZ cos 0

= ~eZ ,


ili, u matricnom zapisu~ex~ey~ez

= EΦ

~eX~eY~eZ

, EΦ =

cos Φ − sin Φ 0sin Φ cos Φ 0

0 0 1

. (13.16)

Drugi korak: zakret oko osi X = X ′ za kut Θ (slika 13.9.B)

~eX = (~eX ~eX ′ )~eX ′ + (~eX ~eY ′ )~eY ′ + (~eX ~eZ ′ )~eZ ′ = ~eX ′ cos 0 + ~eY ′ cosπ

2+ ~eZ ′ cos

π

2= ~eX ′ ,

~eY = (~eY ~eX ′ )~eX ′ + (~eY ~eY ′ )~eY ′ + (~eY ~eZ ′ )~eZ ′ = ~eX ′ cosπ

2+ ~eY ′ cos Θ + ~eZ ′ cos(Θ +

π

2)

= ~eY ′ cos Θ − ~eZ ′ sin Θ,

~eZ = (~eZ ~eX ′ )~eX ′ + (~eZ ~eY ′ )~eY ′ + (~eZ ~eZ ′ )~eZ ′ = ~eX ′ cosπ

2+ ~eY ′ cos(

π

2− Θ) + ~eZ ′ cos Θ

= ~eY ′ sin Θ + ~eZ ′ cos Θ, .

Matricno~eX~eY~eZ

= EΘ

~eX ′

~eY ′

~eZ ′

, EΘ =

1 0 00 cos Θ − sin Θ0 sin Θ cos Θ

. (13.17)

Treci korak: zakret oko osi Z ′ = z ′ za kut Ψ (slika 13.9.C)

~eX ′ = (~eX ′ ~ex ′ )~ex ′ + (~eX ′ ~ey ′ )~ey ′ + (~eX ′ ~ez ′ )~ez ′ = ~ex ′ cos Ψ + ~ey ′ cos(π

2+ Θ) + ~ez ′ cos

π

2= ~ex ′ cos Ψ − ~ey ′ sin Ψ,

~eY ′ = (~eY ′ ~ex ′ )~ex ′ + (~eY ′ ~ey ′ )~ey ′ + (~eY ′ ~ez ′ )~ez ′ = ~ex ′ cos(π

2− Ψ) + ~ey ′ cos Ψ + ~ez ′ cos

π

2= ~ex ′ sin Ψ + ~ey ′ cos Ψ,

~eZ ′ = (~eZ ′ ~ex ′ )~ex ′ + (~eZ ′ ~ey ′ )~ey ′ + (~eZ ′ ~ez ′ )~ez ′ = ~ex ′ cosπ

2+ ~ey ′ cos

π

2+ ~ez ′ cos 0

= ~ez ′ ,

ili, u matricnom zapisu~eX ′

~eY ′

~eZ ′

= EΨ

~ex ′

~ey ′

~ez ′

, EΨ =

cos Ψ − sin Ψ 0sin Ψ cos Ψ 0

0 0 1

. (13.18)

Sada cemo, pomocu gornjih relacija, povezati jedinicne vektore (~ex , ~ey , ~ez ) sa jedinicnim vek-torima (~ex ′ , ~ey ′ , ~ez ′ ).Uzastopnom primjenom gornjih relacija, mozemo povezati sustav (x, y, z) sa sustavom (x ′, y ′, z ′)

~ex~ey~ez

= EΦEΘEΨ

~ex ′

~ey ′

~ez ′

. (13.19)

13.4. EULEROVI KUTOVI 425

Iz gornjeg izraza mozemo izvesti i inverznu relaciju, invertiranjem matrica~ex ′

~ey ′

~ez ′

= E −1

ΨE −1

ΘE −1

Φ

~ex~ey~ez

. (13.20)

Pomocu matrica EΦ,EΘ i EΨ mogu se dobiti veze i medu vektorima ostalih baza. Npr.~eX~eY~eZ

= EΘ EΨ

~ex ′

~ey ′

~ez ′

,

~eX~eY~eZ

= E −1

Φ

~ex~ey~ez

, (13.21)

ili

~eX ′

~eY ′

~eZ ′

= EΨ

~ex ′

~ey ′

~ez ′

,

~eX ′

~eY ′

~eZ ′

= E −1

ΘE −1

Φ

~ex~ey~ez

. (13.22)

Lako je vidjeti da su inverzne matrice iz gornjih izraza, upravo jednake transponiranim matri-cama

E −1

Φ= E T

Φ, EΦ E T

Φ= E T

ΦEΦ = 1,

E −1

Θ= E T

Θ, EΘ E T

Θ= E T

ΘEΘ = 1,

E −1

Ψ= E T

Ψ, EΨ E T

Ψ= E T

ΨEΨ = 1.

(EΦ EΘ EΨ

)−1

= E −1

ΨE −1

ΘE −1

Φ= E T

ΨE T

ΘE T

Φ=(EΦ EΘ EΨ

)T.

Izravnim mnozenjem matrica, se dobije za EΦEΘEΨ

cos Φ cos Ψ − sin Φ cos Θ sin Ψ − cos Φ sin Ψ − sin Φ cos Θ cos Ψ sin Φ sin Θ

sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ − sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ − cos Φ sin Θ

sin Θ sin Ψ sin Θ cos Ψ cos Θ

,

(13.23)i za E −1

ΨE −1

ΘE −1

Φ

cos Φ cos Ψ − sin Φ cos Θ sin Ψ sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ sin Θ sin Ψ

− cos Φ sin Ψ − sin Φ cos Θ cos Ψ − sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ sin Θ cos Ψ

sin Φ sin Θ − cos Φ sin Θ cos Θ

.

(13.24)


Uvrstavanjem (13.23) u (13.19), dobiju se relacije

~ex = ~ex ′ (cos Φ cos Ψ − sin Φ cos Θ sin Ψ) + ~ey ′ (− cos Φ sin Ψ − sin Φ cos Θ cos Ψ) + ~ez ′ sin Φ sin Θ,

~ey = ~ex ′ (sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ) + ~ey ′ (− sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ) − ~ez ′ cos Φ sin Θ,

~ez = ~ex ′ sin Θ sin Ψ + ~ey ′ sin Θ cos Ψ + ~ez ′ cos Θ, (13.25)

a uvrstavanjem (13.24) u (13.20) dobiju se inverzne relacije

~ex ′ = ~ex (cos Φ cos Ψ − sin Φ cos Θ sin Ψ) + ~ey (sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ) + ~ez sin Θ sin Ψ,

~ey ′ = ~ex (− cos Φ sin Ψ − sin Φ cos Θ cos Ψ) + ~ey (− sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ) + ~ez sin Θ cos Ψ,

~ez ′ = ~ex sin Φ sin Θ − ~ey cos Φ sin Θ + ~ez cos Θ. (13.26)

Nadalje cemo se ovim relacijama korisiti kod opisa gibanja zvrka, pri cemu ce (~ex , ~ey , ~ez ) bitiinercijski sustav (nepomican u prostoru), dok ce (~ex ′ , ~ey ′ , ~ez ′ ) biti sustav glavnih osi tijela ~ej

~e1 ≡ ~ex ′ , ~e2 ≡ ~ey ′ , ~e3 ≡ ~ez ′ .

Kutna brzinaIzrazimo kutnu brzinu vrtnje tijela ~ω u odnosu na inercijski sustav (~ex , ~ey , ~ez ), preko Eulerovih

kutova: prvi korak je bio zakret za kut Φ oko osi ~ez = ~eZ , sto daje doprinos od ~ez Φ ; drugi jekorak zakret oko osi ~eX = ~eX ′ za kut Θ, sto daje doprinos od ~eX ′ Θ ; treci je korak zakret okoosi ~eZ ′ = ~ez ′ ≡ ~e3 za kut Ψ, sto daje doprinos od ~ez ′ Ψ ≡ ~e3Ψ . Sva tri doprinosa zajedno,odreduju kutnu brzinu vrtnje

~ω = ~ez Φ + ~eX ′ Θ + ~ez ′ Ψ = ~ez Φ + ~eX ′ Θ + ~e3Ψ .

Prema (13.25) je

~ez = ~e1 sin Θ sin Ψ + ~e2 sin Θ cos Ψ + ~e3 cos Θ,

a prema (13.18) je

~eX ′ = ~e1 cos Ψ − ~e2 sin Ψ.

Uvrstavanjem ova dva izraza u (13.27), dobiva se

~ω = Φ (~e1 sin Θ sin Ψ + ~e2 sin Θ cos Ψ + ~e3 cos Θ) + Θ (~e1 cos Ψ − ~e2 sin Ψ) + ~e3Ψ

= ~e1(Φ sin Θ sin Ψ + Θ cos Ψ) + ~e2(Φ sin Θ cos Ψ − Θ sin Ψ) + ~e3(Φ cos Θ + Ψ ),


ω1 = Φ sin Θ sin Ψ + Θ cos Ψ,

ω2 = Φ sin Θ cos Ψ − Θ sin Ψ, (13.27)

ω3 = Φ cos Θ + Ψ .

13.5. CAYLEY - KLEIN PARAMETRI 427

Na slican nacin, polazeci od (13.27) i uvrstavanjem ~eX ′ iz (13.22) i ~ez ′ iz (13.26), dobivaju sei komponente brzine vrtnje ~ω u nepomicnom (inercijskom) (x, y, z) sustavu

~ω = ~ex (Θ cos Φ + Ψ sin Φ sin Θ) + ~ey (Θ sin Φ − Ψ cos Φ sin Θ) + ~ez (Φ + Ψ cos Θ), (13.28)


ωx = Θ cos Φ + Ψ sin Φ sin Θ,

ωy = Θ sin Φ − Ψ cos Φ sin Θ,

ωz = Φ + Ψ cos Θ.

Iz relacije (13.7) znamo oblik kineticke energije vrtnje u sustavu glavnih osi tijela. U vrstimo liu taj izraz gornje vrijednosti za ωj , dobivamo kineticku energiju vrtnje izrazenu preko Eulerovihkutova

Ek,vrt =1

2(I1 ω

21 + I2 ω

22 + I3 ω

23)

=I12

(Φ sin Θ sin Ψ + Θ cos Ψ

)2+I22

(Φ sin Θ cos Ψ − Θ sin Ψ

)2+I32

(Φ cos Θ + Ψ

)2.

U posebnom slucaju kada je tijelo oblika spljostene (ili izduzene) kugle, je I1 = I2 i kinetickase energija svodi na

Ek,vrt =I12

(Φ 2 sin2 Θ + Θ 2

)+I32

(Φ cos Θ + Ψ

)2.

Ukoliko je tijelo oblika kugle I1 = I2 = I3 = I

Ek,vrt =I

2

(Φ 2 + Θ 2 + Ψ 2 + 2Φ Ψ cos Θ

).

(Moment tromosti kugle oko osi kroz promjer je (2/5)mR2, tada je npr. Θ = Φ = 0, a Ψ = ω.)

13.5 Cayley - Klein parametri

13.6 Gibanje zvrka

U ovom cemo odjeljku opisati gibanje zvrka, tj. vrtnju osno simetricnog krutog tijela okoosi vrtnje koja se poklapa s jednom od glavnih osi (osi simetrije) tijela (slika 13.10). Jednatocka zvrka, O, je nepomicna i os vrtnje prolazi kroz tu tocku. Za razliku od prethodnogprimjera (vrtnja Zemlje), gdje je moment vanjskih sila bio jednak nuli, sada ce moment vanjske(gravitacijske) sile biti razlicit od nule.

Postavimo inercijski kordinatni sustav (x, y, z) i sustav glavnih osi tijela (e1, e2, e3) (neinercijski,cvrsto vezan uz tijelo) tako da imaju isto ishodiste, a to ishodiste je nepomicna tocka gibanjazvrka, kao na slici 13.10. Sustav (e1, e2, e3) se kutnom brzinom ~ω vrti oko sustava (x, y, z).Prisjetimo se Eulerovih kutova: Φ i Θ odreduju smjer osi vrtnje (tj. odreduju smjer ~e3, gledano


Slika 13.10: Vrtnja zvrka u gravitacijskom polju Zemlje.

iz (x, y, z) sustava), a kut Ψ tj. kutna brzina Ψ opisuje vrtnju zvrka oko osi ~e3. Sustav(~e1, ~e2, ~e3) se giba u skladu s promjenom smjera osi vrtnje (koje opisuju kutovi Φ i Θ), ali seNE vrti oko svoje ~e3 osi3 (jer bi tada zvrk mirovao u tom sustavu). U sustavu glavnih osi ~ej ,

zvrk se vrti kutnom brzinom Ψ oko glavne osi ~e3.

Uslijed djelovanja momenta vanjskih sila, moment kolicine gibanja zvrka ce se mijenjati u skladu

s ~L = ~M . U sustavu glavnih osi tijela je moment kolicine gibanja sada jednak

~L = I1 ω1 ~e1 + I2 ω2 ~e2 + I3 (ω3 + Ψ ) ~e3,

pri cemu su komponente vektora vrtnje

ωj = ωj

(Θ(t),Φ(t)

).

Sada postupamo kao u izvodu Eulerovih jednadzba, s tom razlikom da u izrazu za ~L imamo idodatni clan od Ψ . Vezu izmedu vremenske promjene ~L u inercijskom i neinercijskom sustavuznamo iz (8.3), a ona ovisi samo o vrtnji neinercijskog sustava kao cjeline, u odnosu na inercijski

3Govoreci u terminima Eulerovih kutova, to je kao da su izvedeni zakreti za Φ i Θ, ali ne i za Ψ.

13.6. GIBANJE ZVRKA 429

sustav

d ~L

d t

∣∣∣∣∣in.

=d ~L

d t

∣∣∣∣∣nin.

+ ~ω × ~L (13.29)

= I1 ω 1 ~e1 + I2 ω 2 ~e2 + I3 (ω 3 + Ψ ) ~e3

+(ω1 ~e1 + ω2 ~e2 + ω3 ~e3

)×[I1 ω1 ~e1 + I2 ω2 ~e2 + I3 (ω3 + Ψ ) ~e3

]

= ~e1

[I1 ω 1 + (I3 − I2) ω2 ω3 + I3 ω2 Ψ

]

+ ~e2

[I2 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 − I3 ω1 Ψ

]

+ ~e3

[I3 (ω 3 + Ψ ) + (I2 − I1) ω1 ω2

].

U inercijskom sustavu na zvrk djeluje vanjska gravitacijska sila. Kao sto smo pokazali relacijom(10.15) ta sila djeluje kao da je sva masa zvrka skoncentrirana u njegovom sredistu mase. Nekase srediste mase nalazi u tocki l ~e3, gdje je s l oznacena udaljenost od ushodista O do sredistamase SM . Tada je moment gravitacijske sile jednak

~M = ~r × ~F = l ~e3 × m g (−~ez ) = −l m g ~e3 ×[(~ez ~e1) ~e1 + (~ez ~e2) ~e2 + (~ez ~e3) ~e3

].

Buduci da vektor ~e1 lezi u ravnini (x, y), to je

~ez ~e1 = 0.


~ez ~e2 = cos(π/2 − Θ) = sin Θ

(ili iz jednadzba (13.25) uz Ψ ≡ 0). Posljedni clan uglate zagrade ima smjer ~e3, pa je njegovvektorski umnozak s ~e3 jednak nuli

~e3 × ~e3 = 0.

Time se za moment vanjske sile konacno dobiva

~M = −l m g ~e3 × sin Θ ~e2 = ~e1 l m g sin Θ. (13.30)

U skladu s relacijom ~L = ~M , ovaj je moment sile upravo jednak vremenskoj promjeni momentakolicine gibanja (13.29). Izjednacavanjem ta dva izraza, uz I1 = I2 za osno simetricni zvrk,dolazimo do Eulerovih jednadzba, koje sada glase

I1 ω 1 + (I3 − I1) ω2 ω3 + I3 ω2 Ψ = l m g sin Θ (13.31)

I1 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 − I3 ω1 Ψ = 0,

I3 (ω 3 + Ψ ) = 0.

Naglasimo jos jednom da je sustav glavnih osa (~e1, ~e2, ~e3) orjentiran prema (x, y, z) sustavutako sto je u odnosu na njega zakrenut za kutove Θ i Φ, ali ne i za Ψ (Ψ opisuje vrtnju zvrka


u sustavu glavnih osa). Zbog toga za komponente ω1,2,3 mozemo napisati izraze iz (13.27) ukojima je Ψ ≡ 0

ω1 = Θ , ω2 = Φ sin Θ, ω3 = Φ cos Θ. (13.32)

Uvrstavanjem ovih izraza u Eulerove jednadzbe, dobivamo

I1 Θ + (I3 − I1) Φ 2 sin Θ cos Θ + I3 Φ Ψ sin Θ = l m g sin Θ

I1

(Φ sin Θ + Φ Θ cos Θ

)+ (I1 − I3) Θ Φ cos Θ - I3 Θ Ψ = 0

I3d

d t

(Φ cos Θ + Ψ

)= 0

(13.33)

Znacenja kutnih brzina koje se pojavljuju u gornjim jednadzbama su:

- Φ , precesija; vrtnja projekcije vektora ~e3 oko osi z, u ravnini (x, y),

- Θ , nutacija; gibanje vektora ~e3 prema i od osi z,

- Ψ , spin; vrtnja zvrka oko glavne osi ~e3.

konstante gibanja: prva konstantaPrimjetimo da iz trece od gornjih jednadzba mozemo zakljuciti

I3d

d t(Φ cos Θ + Ψ ) = 0 ⇒ Φ cos Θ + Ψ = const. ≡ Ω . (13.34)

Ω je konstanta dimenzije kutne brzine. Uvrstavanjem Ψ = Ω − Φ cos Θ u preostale dvijejednadzbe iz (13.33), dobivaju se dvije vezane jednadzbe za Φ i Θ

I1 (Θ − Φ 2 sin Θ cos Θ) + I3 Φ Ω sin Θ = l m g sin Θ

(13.35)

I1 (Φ sin Θ + 2 Φ Θ cos Θ) − I3 Ω Θ = 0.

konstante gibanja: druga konstantaBuduci da na zvrk djeluje samo (konzervativna) gravitacijska sila, energija je sacuvana. Dabismo to dokazali, pomnozimo jednadzbe (13.31) redom sa ω1, ω2 i (ω3+Ψ ) i zatim ih zbrojimo.Kao rezultat se dobije

I1 (ω1 ω 1 + ω2 ω 2) + I3 (ω3 + Ψ ) (ω 3 + Ψ ) = m g l ω1 sin Θ = m g l Θ sin Θ.

Ako na desnoj strani gornjeg izraza uzmemo u obzir da je ω1 = Θ , obje strane gornjeg izrazamozemo napisati kao vremenske derivacije

1

2I1

(d ω2

1

d t+d ω2

2

d t

)+

1

2I3

d

d t

(ω3 + Ψ

)2= −m g l

d cos Θ

d t.


Integracijom po vremenu gornje jednadzbe, dobiva se konstanta dimenzije energije

1

2I1(ω21 + ω2

2

)+

1

2I3

(ω3 + Ψ

)2+m g l cos Θ = const. ≡ E.

Konacni oblik konstantne energije se dobije uvrstavanjem (13.32) i (13.34) u gornji izraz

1

2I1

(Θ 2 + Φ 2 sin2 Θ

)+

1

2I3 Ω 2 +m g l cos Θ = E. (13.36)

To je zakon o sacuvanju mehanicke energije zvrka.

konstante gibanja: treca konstantaPokazali smo, relacijom (13.12), da je u odsustvu momenata vanjskih sila, moment kolicine

gibanja konstantan (sacuvan). Sada je moment vanjskih sila razlicit od nule, pa nece cijeli ~Lbiti sacuvan, nego ce biti sacuvana samo ona njegova komponenta, koja je okomita na momentvanjskih sila (jer ga, zbog medusobne okomitosti, ne moze promjeniti). Sa slike 13.10 i iz relacije

(13.30) vidimo da ~M ima samo ~e1 komponentu koja lezi u ravnini (x, y) i zato zakljucujemo

dLxd t

= Mx 6= 0,d Lyd t

= My 6= 0,d Lzd t

= Mz = 0 ⇒ Lz = const.

da ce samo z komponenta momenta kolicine gibanja biti konstantna. Izracunajmo Lz

~L = Lx ~ex + Ly ~ey + Lz ~ez = I1 ω1 ~e1 + I1 ω2 ~e2 + I3 (ω3 + Ψ )︸︷︷︸= Ω

~e3, / · ~ez

Lz = ~L~ez = I1 ω1 (~e1~ez ) + I1 ω2 (~e2~ez ) + I3 Ω (~e3~ez ).

No, sa slike 13.10, se vidi da je

~e1 ~ez = 0, ~e2 ~ez = cos(π/2 − Θ) = sin Θ, ~e3 ~ez = cos Θ.

Uvrstivsi jos, ω2 = Φ sin Θ, dobiva se

Lz = I1 Φ sin2 Θ + I3 Ω cos Θ.

Da bismo se uvjerili da je Lz = const., treba vidjeti da njegova vremenska derivacija iscezava

dLzd t

=[I1 (Φ sin Θ + 2 Φ Θ cos Θ) − I3 Ω Θ

]

︸︷︷︸= 0

sin Θ.

Zbog druge od jednadzba (13.35), gornja uglata zagrada je jednaka nuli, sto znaci da je Lzkonstantan u vremenu

Lz = I1 Φ sin2 Θ + I3 Ω cos Θ = const. (13.37)

Stacionarna precesijaVratimo se sada jednadzbama (13.35) i nadimo uvjete za stacionarnu precesiju zvrka. Sta-cionarnom precesijom se naziva precesija kod koje je kut Θ glavne osi ~e3 prema osi ~ez inercijskogsustava, konstantan (dakle, bez nutacije)

Θ = const. ⇒ Θ = Θ = · · · = 0.


Primjetimo da je za konstantni Θ i projekcija sredista mase zvrka na ravninu (x, y) takoderkonstantna i jednaka l sin Θ. Uz uvjet konstantnog Θ, jednadzbe (13.35) glase

− sin Θ(I1 Φ 2 cos Θ − I3 Φ Ω + l m g

)= 0

(13.38)

I1 Φ sin Θ = 0.

Iz druge od gornjih jednadzbi slijedi da je

Φ = const.,

tj. zvrk precesira konstantnom brzinom. Shvatimo li prvu od gornjih jednadzba kao kvadratnujednadzbu u Φ , nalazimo dva rjesenja za kutnu brzinu precesije u ravnini (x, y) (slika 13.11.A)

Φ ± =I3 Ω ±

√I23 Ω 2 − 4 I1 m g l cos Θ

2 I1 cos Θ. (13.39)

Vidimo da su oba rjesenja konstantna (jer je Θ konstantno). Ukoliko je

I23 Ω 2 > 4 I1 m g l cos Θ,

postoje dva realna rjesenja za kutnu brzinu precesije: Φ + i Φ −. Ukoliko je

I23 Ω 2 = 4 I1 m g l cos Θ,

postoji samo jedno rjesenje

Φ = Φ + = Φ − =I3 Ω

2 I1 cos Θ.

Ukoliko je I23 Ω 2 < 4 I1 m g l cos Θ, nema realnih rjesenja. Pogledajmo detaljnije situaciju ukojoj se zvrk brzo vrti oko svoje osi, gdje brzo znaci da je Ψ >> ωj, tj. vrtnja zvrka oko svojeosi je puno veca od svih ostalih kutnih brzina. U ovoj granici vrijedi i da je

Ω = Ψ + ω3 ≃ Ψ >> ωj.

Taylorovim razvojem po maloj velicini 1/Ω , za precesijske brzine Φ ± se dobiva

Φ ± =1

2 I1 cos Θ

[I3 Ω ± I3 Ω

√1 − 4 I1 m g l cos Θ

I23 Ω 2

]

= · · · =1

2 I1 cos Θ

[I3 Ω ±

(I3 Ω − 2 I1 m g l cos Θ

I3 Ω+ · · ·

) ],

sto daje jednu vrlo veliku i jednu vrlo malu precesijsku brzinu

Φ + ≃ I3 Ω

I1 cos Θ, Φ − ≃ m g l

I3 Ω, Φ + >> Φ −.

Primjetimo da je u ovom slucaju, precesijska brzina uvijek konstantna u vremenu. Hoce li zvrkprecesirati brzinom Φ + ili Φ − ovisi o pocetnim uvjetima.


Slika 13.11: (A) Precesija: projekcija SM zvrka se kutnom brzinom Φ± giba po kruznici polumjera l sinΘ uravnini (x, y). (B) Nutacija: os simetrije zvrka ~e3 se periodicki otklanja od i prema osi ~ez inercijskog sustava.

Nutacija - dinamicka precesijaProucimo sada gibanje zvrka bez zahtjeva da je Θ konstantan kut (dinamicka precesija). Vre-menska promjena kuta Θ se naziva nutacija. Pozovimo se na zakone sacuvanja energije,(13.36) i z komponente momenta kolicine gibanja, (13.37)

1

2I1

(Θ 2 + Φ 2 sin2 Θ

)+

1

2I3 Ω 2 +m g l cos Θ = E = const.,

I1 Φ sin2 Θ + I3 Ω cos Θ = Lz = const.

To su vezane nelinearne diferencijalne jednadzbe za Φ(t) i Θ(t) Iz druge od gornjih jednadzbaizracunamo Φ

Φ =Lz − I3 Ω cos Θ

I1 sin2 Θ(13.40)

i uvrstimo u prvu, koja time postaje nelinearna diferencijalna jednadzba prvog reda zaracunanje Θ = Θ(t)

1

2I1

Θ 2 +

(Lz − I3 Ω cos Θ

)2

I21 sin2 Θ

+

1

2I3 Ω 2 + m g l cos Θ − E = 0.

Gornja jednadzba se rjesava uvodenjem nove varijable

u(t) = cos Θ(t).

Prema svojoj definiciji, kut Θ se moze mijenjati u intervalu

0 ≤ Θ ≤ π

2,


pa u moze poprimati vrijednosti iz intervala

0 ≤ u ≤ 1.

U terminima u, gornja jednadzba postaje nelinearna diferencijalna jednadzba za u(t)

u2 = (1 − u2)(α− βu) − (γ − δu)2︸︷︷︸

= P3(u)

, (13.41)

gdje je P3(u) pokrata za polinom treceg reda u varijabli u, a konstante α, β, γ i δ su

α =2

I1

(E − I3 Ω 2

2

), β =

2 m g l

I1, γ =

LzI1, δ =

I3I1

Ω .

Sve su gornje konstante zadane preko tri konstanata gibanja: Ω , E i Lz , preko momenatatromosti I1,3, mase m i polozaja sredista mase l.

Primjetimo da se pomocu gornjih konstanata, jednadzba (13.40) za Φ moze napisati kao

Φ (t) =γ − δ u(t)

1 − u2(t), (13.42)

tj. precesijska brzina vise nece biti konstantna, kao u (13.39), nego ce se mijenjati s vremenomkroz ovisnost u = u(t).Pretpostavimo da je Θ = Θ(t) periodicka funkcija, tj. da Θ poprima samo vrijednosti izmeduneke dvije granicne vrijednosti

Θ1 ≤ Θ ≤ Θ2

i promatrajmo vremenski interval dt u kojemu se Θ smanjuje. Tada ce biti

u = −Θ sin Θ > 0,

pa iz jednadzbe (13.41) zadrzavamo pozitivan korjen

d u

d t= +

√P3(u) t =

∫d u√P3(u)

+ const.

Gornji se integral moze izracunati u terminima eliptickih funkcija koje jesu periodicne, stoje suglasno s nasom pretpostavkom o periodicnosti u. Potrazimo nule polinoma P3(u)

P3(u) = (1 − u2) (α− β u) − (γ − δ u)2

0 = β u3 − (α + δ2) u2 + (2 γ δ − β) u+ (α− γ2). (13.43)

Zasto su nam vazne bas nule polinoma? U tim je tockama

u2 = P3(u) = 0,

tj.

u = −Θ sin Θ = 0 ⇒ Θ = 0,

nutacijska brzina je nula. Tu se dakle, zvrk zaustavlja u svom nutacijskom gibanju i, zbogperiodicnosti, pocinje se gibati u suprotnom smjeru. Prema tome nul-tocke polinoma P3(u)


odeduju rubne kutove Θ1 i Θ2 nutacijskog gibanja (slika 13.11.B). Zaboravimo, na trenutak,da je 0 ≤ u ≤ 1 i pogledajmo P3(u) i za u-ove izvan tog intervala. Konstanta β je pozitivnavelicina, pa je zato, prema (13.43),

P3(u→ ±∞) = ±∞(slika 13.12). Takoder se lako vidi da je

Slika 13.12: Uz odredivanje nul-tocaka polinoma P3(u).

P3(u = +1) = −(γ − δ)2 < 0, P3(u = −1) = −(γ + δ)2 < 0.

Buduci da je P3(u = +1) < 0, a P3(u → ∞) > 0, jedna nul-tocka P3, nazovimo ju u3, moralezati u nefizikalnom podrucju izmedu u = 1 i u → ∞. Iz ovoga zakljucujemo da se preostaledvije nul-tocke

u1 = cos Θ1, u2 = cos Θ2,

moraju nalaziti u intervalu 0 ≤ u ≤ 1. U nekim posebnim slucajevima se moze dogoditi da jeu1 = u2 ili u2 = u3 = 1. Pogledajmo koje je fizicko znacenje ovih rezultata. Iz cinjenice da pos-toje dva granicna kuta Θ1 i Θ2, zakljucujemo da ce se kut Θ koji os simetrije zvrka ~e3 zatvara sa(nepomicnim) smjerom osi ~ez , periodicki mijenjati s vremenom u intervalu Θ1 ≤ Θ ≤ Θ2 (slika13.11.B). Kao sto je vec spomenuto, ova se promjena kuta Θ zove nutacija. Osim nutacije,zvrk izvodi i precesiju (slika 13.11.A) kutnom brzinom Φ odredenom relacijom (13.42). Ovaprecesijska kutna brzina nije konstantna, nego se mijenja onako kako se mijenja i kut Θ: odΦ (Θ1) do Φ (Θ2). Naravno, da osim ova dva gibanja, zvrk izvodi i vrtnju oko svoje glavne osi~e3 kutnom brzinom Ψ , koja se zove SPIN.

Sve tri vrtnje je zgodno predociti tako da se prati gianje tocke nastale presjecanjem osi zvrka~e3 i plohe jedinicne sfere.Na slici 13.13.A je prikazan zvrk koji izvodi samo vrtnju oko svoje osi (spin)

Φ = 0, Θ = 0, Ψ 6= 0.


Presjeciste osi zvrka ~e3 i plohe jedinicne sfere je jedna tocka koja sve vrijeme miruje.Na slici 13.13.B je prikazan zvrk koji izvodi vrtnju oko svoje osi i precesiju, ali ne i nutaciju

Φ 6= 0, Θ = 0, Ψ 6= 0.

Presjeciste osi zvrka ~e3 i plohe jedinicne sfere je jedna tocka koja se giba po kruznici paralelnojs ravninom (x, y).Na slici 13.13.C je prikazan zvrk koji izvodi vrtnju oko svoje osi i nutaciju, ali ne i precesiju

Φ = 0, Θ 6= 0, Ψ 6= 0.

Presjeciste osi zvrka ~e3 i plohe jedinicne sfere je jedna tocka koja se periodicki giba po dijelumeridijana sfere.

Slika 13.13: Tocka na jedinicnoj sferi je presjeciste osi simetrije zvrka ~e3 i plohe jedinicne sfere. Na slici (A) jeprikazan slucaj kada zvrk izvodi samo spinsku vrtnju. Na slici (B) je prikazan slucaj kada zvrk izvodi spinskui precesijsku vrtnju. Na slici (C) je prikazan slucaj kada zvrk izvodi spinsko i nutacijsko gibanje.

Sva ova tri gibanja zvrka, precesija, nutacija i spin, prikazana su slikom 13.14. Presjeciste osizvrka ~e3 i plohe jedinicne sfere je tocka koja opisuje krivulju nastalu superpozicijom gibanjaprikazanih na slikama 13.13.B i 13.13.C. Tocan oblik krivulja na slikama 13.14.A, B, C ovisi opocetnim uvjetima, tj. o vrijednostima konstanata Ω , E i Lz.


Slika 13.14: Tocka na jedinicnoj sferi je presjeciste osi simetrije zvrka ~e3 i plohe jedinicne sfere. Na slici suprikazana sva tri karakteristicna gibanje zvrka: precesija (gibanje tocke po jednoj od crtkanih zelenih kruznica),nutacija (gibanje tocke u podrucju Θ1 < Θ < Θ2) i spin (kao Ψ ).

Dio III

Analiticka mehanika

439

Poglavlje 14

Lagrangeove jednadzbe gibanja

Sto te previse cudi, nemoj istrazivati;a sto je iznad tvojih snaga, nemoj ispitivati.

Biblija, Knjiga propovjednikova

Osnovna ideja koja lezi u osnovi cijelog racuna koji se izlaze u ovom odjeljku jeste u tome dase, polazeci od Newtonovih jednadzba gibanja svih N cestica sustava, dode do jednadzbagibanja za S stupnjeva slobode tog istog sustava.

N cestica −→ S stupnjeva slobode

U prethodnim poglavljima smo probleme gibanja cestice, sustava cestica i

Slika 14.1: Lijevo: Joseph Louis comte de La-grange, 1736 - 1813. Desno: William RowanHamilton, 1805 - 1865.

krutih tijela, rjesavali Newtonovom jednadzbomgibanja, nacelom zamisljenih (virtualnih) pomaka iliEulerovim jednadzbama. U ovom i slijedecem odjeljku,cemo se upoznati s jednim opcenitijim pristupom, kojisu uglavnom formulirali Lagrange1 i Hamilton2 .Iako se oba ova pristupa svode na Newtonove zakone,oni se odlikuju na samo relativnom lakocom kojomse problemi formuliraju i rjesavaju, nego isto tako imogucnoscu primjene ovih metoda na rjesavanje prob-lema izvan podrucja tradicionalne klasicne mehanike,kao sto su kvantna fizika, statisticka fizika, elektrodi-namika i nebeska mehanika.

14.1 Poopcene koordinate

Promatrajmo sustav sastavljen od N cestica. Ako se svaka cestica tog sustava, za vrijemesvojega gibanja, moze nalaziti u proizvoljnoj tocki prostora i pri tome imati proizvoljnu brzinu,sustav se zove slobodan sustav. Za odredivanje polozaja takvog sustava, potrebno je znatiN radij-vektora polozaja svih njegovih cestica (u odnosu na neku zadanu, nepomicnu tocku u

1Joseph Louis comte de Lagrange, 1736 - 1813, francuski fizicar i matematicar2William Rowan Hamilton, 1805 - 1865, irski matematicar i astronom

441

442 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADZBE

prostoru)

~r1, ~r2, · · · , ~rN .

Uvedemo li i pravokutni koordinatni sustav, tada je ~rj = ~rj(xj , yj, zj ; t), pa je polozaj cijelogsustava odreden s

3N

koordinata

xj , yj, zj , j = 1, 2, · · · , N.

Umjesto pravokutnih koordinata, mogu se uvesti neke druge, pogodnije odabrane velicine (kojecak i ne moraju imati dimenziju duljine, nego mogu biti npr. kutovi kao u sfernom koordinatnomsustavu), koje cemo oznacavati s

η1, η2, · · · , η3N .

U svakom trenutku t, svaka od 3N pravokutnih koordinata, se moze izraziti preko svih ili samonekih od varijabla ηj

xj = xj(η1, η2, · · · , η3N ; t), yj = yj(η1, η2, · · · , η3N ; t), zj = zj(η1, η2, · · · , η3N ; t).

To su npr. jednadzbe (2.47) prijelaza iz pravokutnog u sferni koordinatni sustav.

14.2 Stupnjevi slobode

Uvedimo pojam broja stupnjeva slobode sustava cestica, S. Pod brojem stupnjevaslobode cemo podrazumjevati najmanji broj medusobno nezavisnih skalarnih velicina nuznihza odredivanje polozaja svih cestica sustava.

Primjer: 14.1 Za odredivanje polozaja jedne cestice koja se slobodno giba u trodimenzijskomprostoru, su potrebne tri koordinate: (x, y, z), (η1, η2, η3), (r, θ, ϕ) ili nesto slicno. Zato je brojstupnjeva slobodne jedne slobodne cestice u trodimenzijskom prostoru, jednak tri (tj. D uopcenitom D-dimenzijskom prostoru).

Primjer: 14.2 Za odredivanje polozaja sustava koji se sastoji od N cestica koje se slobodnogibaju u trodimenzijskom prostoru, potrebno je odrediti polozaj svake od cestica sustava, a polozajsvake cestice je odreden s tri koordinate. Prema tome, ukupan broj koordinata potrebnih zaodredivanje polozaja sustava je 3N , tj. toliki je broj stupnjeva slobode.

Zadatak: 14.1 Koliko stupnjeva slobode ima kruto tijelo:(A) koje se moze slobodno gibati u trodimenzijskom prostoru,(B) koje ima jednu svoju tocku nepomicnu, ali se moze gibati oko te tocke?

R: (A-1) Polozaj krutog tijela u prostoru je jednoznacno odreden poznavanjem

14.2. STUPNJEVI SLOBODE 443

koordinata njegove tri nekolinearne tocke. Neka su koordinate te tri tocke u pra-vokutnom koordinatnom sustavu

T1 = (x1, y1, z1), T2 = (x2, y2, z2), T3 = (x3, y3, z3).

Od ovih devet koordinata nisu sve nezavisne. Kod krutog tijela su udaljenosti meducesticama nepromjenjive, pa gornjih devet koordinata mora zadovoljavati slijedecetri relacije,

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 + (z1 − z2)2 = d1,2 = const.,

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)

2 + (z1 − z3)2 = d1,3 = const., (14.1)

(x2 − x3)2 + (y2 − y3)

2 + (z2 − z3)2 = d2,3 = const..

tj. samo je sest koordinata nezavisno (bilo kojih sest koordinata), dok su preostaletri koordinate odredene gornjim trima jednadzbama. Zakljucujemo da kruto tijeloima sest stupnjeva slobode.(A-2) Do istog se rezultata dolazi i drukcijim razmisljanjem. Gibanje slobodnog kru-tog tijela mozemo zamisliti kao kombinaciju translacijskog gibanja i vrtnje. Kad bise tijelo gibalo samo translacijski, polozaj jedne tocke tijela bi (zbog uvjeta krutosti)odredivao polozaj cijelog tijela. Polozaj te tocke je odreden s tri stupnja slobode, tj.cijelo kruto tijelo bi imalo tri stupnja slobode. Kada bi se tijelo samo vrtilo, njegovbi polozaj bio odreden s dva kuta, θ(t) i ϕ(t), koji odreduju smjer osi vrtnje i trecikut Ψ(t) koji odreduje zakret tijela oko osi. To sve skupa daje tri stupnja slobodeza vrtnju oko nepomicne tocke. Tako smo opet dosli do broja od sest koordinata tj.sest stupnjeva slobode krutog tijela: tri od vrtnje i tri od translacije.

(B-1) Ako je jedna tocka krutog tijela nepomicna, onda se ono ne moze gibatitranslacijski, nego se moze samo vrtjeti, a u (A-2) je pokazano da je tada broj stup-njeva slobode jednak tri.(B-2) Tri stupnja slobode za kruto tijelo s jednom nepomicnom tockom, mozemodobiti i drugim nacinom razmisljanja. Neka su koordinate nepomicne tocke T =(x1, y1, z1). Tada je za sve vrijeme gibanja krutog tijela

x1 = c1, y1 = c2, y1 = c3.

za cj = const. Gornje tri jednadzbe predstavljaju dodatne uvjete u odnosu na triuvjetne jednadzbe slobodnog krutog tijela (14.1), tako da u ovom slucaju preostaju6 − 3 = 3 stupnja slobode.

UvjetiAko polozaji ili brzine cestica sustava ne mogu poprimati proizvoljne vrijednosti, nego samoone vrijednosti koje zadovoljavaju odredene uvjete, onda takav sustav zovemo neslobodansustav cestica. Npr. dvije cestice povezane tankom nerastezivom niti su primjer neslobodnogsustava: njihova medusobna udaljenost je uvijek manja ili jednaka duljini niti. Neka je ukupanbroj uvjeta nametnutih sustavu, jednak M . Ovi ce uvjeti opcenito ovisiti o kooordinatamacestica, njihovim brzinama i eventualno o vremenu.Moze se dogoditi da neki od uvjeta na gibanje ne ovise o brzinama cestica sustava η j.Takvi se uvjeti zovu se holonomni3 ili konacni ili integrabilni, a mogu se analiticki izraziti

3øλøζ = cijeli, potpuni; νøµøζ = zakon


algebarskim (ne diferencijalnim) jednadzbama oblika

fm(ηj ; t) = 0, m = 1, 2, · · · ,Mh, (14.2)

za j = 1, 2, · · · , 3N . S Mh ≤ M je oznacen broj holonomnih veza. Neslobodni sustav cije jegibanje odredeno samo holonomnim vezama (Mh = M), zove se holonomni sustav. Buduci dasada imamo 3N koordinata i Mh veza medu njima, zakljucujemo da je samo

S = 3N −Mh

od njih medusobno nezavisno (a preostale se koordinate mogu dobiti iz jednadzba uvjeta nagibanje). U skladu s definicijom pojma stupnja slobode, kazemo da ovakav sustav ima 3N−Mh

stupnjeva slobode.

Ukoliko se u jednadzbama uvjeta pojavljuju i derivacije, kao u (14.3), uvjeti se zovu ne-holonomni i mogu se izraziti diferencijalnim jednadzbama oblika

fm(ηj , η j ; t) = 0, m = 1, 2, · · · ,M2 (14.3)

za j = 1, 2, · · · , 3N . Vrijeme t se pojavljuje u onim slucajevima kada se veze mijenjaju uvremenu. Moze se dogoditi da je neku od M2 gornjih jednadzba moguce napisati kao vremenskuderivaciju neke funkcije Φ koja ovisi samo o polozajima cestica sustava i vremenu

fn =dΦn(ηj; t)

d t= 0.

Tada veze

Φn(ηj ; t) = Cn = const.

zamjenjuju odgovarajuce vezu s brzinama iz (14.3). Ovakve se veze nazivaju poluholonomneveze. Odabirom odgovarajucih vrijednosti za konstanata Cn, ove veze postaju holonomne.Ako se veze (14.3) ne mogu napisati u obliku vremenskih derivacija nekih drugih funkcijakoordinata i vremena, onda se one zovu neholonomne ili diferencijalne ili neintegrabilne, asustav se zove neholonomni sustav. U opcem slucaju, brzine se u (14.3) mogu pojavljivati naproizvoljan nacin. No, u vecini slucajeva od interesa (ali ne i iskljucivo), one se pojavljujulinearno, tako da se veze (14.3) mogu napisati u obliku

N∑

j=1

Ajm η j +Bm = 0 , m = 1, 2, · · · ,Mnh, (14.4)

Ajm = Ajm(ηj ; t) , Bm = Bm(ηj ; t).

Poluholonomne veze smo pribrojili holonomnim vezama, i sve skupa ih ima Mh. S Mnh smooznacili broj neholonomnih veza, tako da je ukupan broj stupnjeva slobode

S = 3N −Mh −Mnh.

Ogranicimo li se samo na linearne diferencijalne veze (tj. uvjete na gibanja), opcenito zaholonomne i neholonomne veze, mozemo pisati

algebarske jedn. fm(ηj ; t) = 0, m = 1, 2, · · · ,Mh,

(14.5)

diferencijalne jedn.

N∑

j=1

Ajm η j +Bm = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh.


U jednadzbama uvjeta, (14.3) ili (14.2), moze se ali i ne mora eksplicitno pojavljivati vrijeme.Ukoliko jednadzbe uvjeta (14.2) ne sadrze eksplicitno vrijeme, one se zovu skleronomne.4

Ako jednadzbe sadrze vrijeme, zovu se reonomne.5.

Po svom karakteru, uvjeti na gibanje mogu se jos podijeliti i na zadrzavajuce i nezadrzavajuce.Gornje jednadzbe su primjeri zadrzavajucih veza, dok bi nezadrzavajuce veze dobili tako sto bise u gornjim jednadzbama znakovi = zamjenili sa ≥, cime se polozaji (za holonomne sustave)ili polozaji i brzine (za neholonomne sustave), dijele u dva podrucja: jedno koje je dostupnocesticama sustava i drugo koje im je nedostupno.U odnosu na ovisnost o vremenu, i neholonomni uvjeti se dijele na skleronomne i reonomne.

Primjer: 14.3 Uzmimo jednostavni primjer sustava dvije cestice (N = 2) koje se mogu gibatisamo u ravnini (x, y), a medusobno su povezane krutim stapom (slika 14.2.A). Dvije slobodnecestice imaju sest stupnjeva slobode 3N = 3 · 2 = 6

x1, y1, z1, x2, y2, z2.

Ogranicenje na gibanje u ravnini mozemo izraziti uvjetima

z1 = 0, z2 = 0.

Kada ne bi bile povezane stapom, njihov polozaj u ravnini bi bio odreden s cetiri koordinate,po dvije za svaku cesticu (npr. njihove x i y koordinate), no zbog stapa duljine d, njihove sukoordinate povezane jos i relacijom

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 = d 2, (14.6)

tako da ukupno imamo tri holonomna uvjeta na gibanje Mh = 3, pa je broj stupnjeva slobodeS = 3N −Mh = 6 − 3 = 3. Primjetimo da sve tri gornje veze ne ovise ni o vremenu ni obrzinama cestica.

Pretpostavimo da smo rijesili Mh jednadzba (14.2) i da smo dobili Mh koordinata η1, η2, · · · ηMh

izrazenih preko preostalih S = 3N −Mh koordinata

η1 = η1(ηMh+1, ηMh+2, · · · , η3N ; t),

η2 = η2(ηMh+1, ηMh+2, · · · , η3N ; t),

...

ηMh= ηMh

(ηMh+1, ηMh+2, · · · , η3N ; t).

Uvedimo sada umjesto S nezavisnih koordinata

ηMh+1, ηMh+2, · · · , η3N ,

nove nezavisne koordinate

q1, q2, · · · , qS4σκληρøζ = suh, cvrst, krut, nepromjenjiv ; νøµøζ = zakon5ρηω = teci, mijenjati se; νøµøζ = zakon


Slika 14.2: Ilustracija holonomno skleronomnih (A) i holonomno reonomnih (B) uvjeta na gibanje.

pomocu relacija

ηMh+1 = ηMh+1(q1, q2, · · · , qS; t),

ηMh+2 = ηMh+2(q1, q2, · · · , qS; t),

...

η3N = η3N (q1, q2, · · · , qS; t).

Ove nove koordinate qs za s = 1, 2, · · · , S se zovu poopcene koordinate. Njih ima onolikokoliko ima i stupnjeva slobode. Pomocu poopcenih koordinata je moguce napisati

ηj = ηj(q1, q2, · · · , qS; t),

za sve j = 1, 2, · · · , 3N .

Primjer: 14.4 Kao jednostavan primjer skleronomnog uvjeta na gibanje, moze se promatrativec spomenuti sustav dvije cestice povezane krutim stapom u ravnini (x, y) (slika 14.2.A). Uvjetna gibanje je uvjet da je udaljenost medu cesticama nepromjenjiva i jednaka duljini stapa d,relacija (14.6). To je skleronoman uvjet, jer se u gornjoj jednadzbi vrijeme ne pojavljuje eksplic-itno, nego samo implicitno, kroz xj = xj(t), yj = yj(t). Reonoman uvjet se dobije ako se krutistap iz prethodnog primjera zamjeni oprugom, kao na slici 14.2.B (pri cemu pretpostavljamosamo titranje u smjeru osi opruge, a ne i u smjerovima okomitim na tu os). U tom slucajujednadzba uvjeta glasi

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 = [d+ ∆ · sinωt] 2 .

U ovoj se jednadzbi vrijeme pojavljuje implicitno kroz xj(t), yj(t) i eksplicitno u sinusnom clanu.


Primjer: 14.5 Kao primjer neholonomne veze, navodimo kuglu koja se, bez klizanja, kotrlja poravnoj plohi. Koordinatni sustav cemo postaviti tako da se kugla kotrlja u ravnini (x, y) (slika14.3).

Zbog uvjeta da se kugla kotrlja bez klizanja, tocka dodira kugle s podlogom, P , trenutno miruje,

Slika 14.3: Uz primjer neholonomne veze.

tj. ona je trenutno srediste vrtnje (vidi odjeljak 12.8). Povezimo s kuglom koordinatni sustav(e1, e2, e3) sa ishodistem u sredistu kugle O ′ (sustav glavnih osi kugle). Polozaj ovog koordi-natnog sustava u odnosu na sustav (x, y, z) odredujemo koordinatama sredista kugle xO ′ , yO ′

i zO ′ i trima Eulerovim kutovima Φ,Θ i Ψ. Iz odjeljka o prostornom gibanju krutog tijelaznamo da su projekcije kutne brzine kugle na nepomicni koordinatni sustav (~ex , ~ey , ~ez ), danesa (13.28)

ωx = Θ cos Φ + Ψ sin Φ sin Θ,

ωy = Θ sin Φ − Ψ cos Φ sin Θ,

ωz = Φ + Ψ cos Θ.

Iz odjeljka 8.1 znamo da se brzina proizvoljne nepomicne tocke P neinercijskog koordinatnogsustva moze napisati kao (8.5)

~vP = ~vO ′ + ~ω ×−−→O ′ P .

U tocki dodira kugle s podlogom je ~vP = 0, a−−→O ′ P = (0, 0,−R), gdje je R polumjer kugle.

Uvrstavanje u gornju jednadzbu, vodi na

~vP = 0 = x O ′ ~ex + y O ′ ~ey + z O ′ ~ez +

∣∣∣∣∣∣

~ex ~ey ~ezωx ωy ωz0 0 −R

∣∣∣∣∣∣,



d xO ′

d t− R

(Θ sin Φ − Ψ cos Φ sin Θ

)= 0,

d yO ′

d t+R

(Θ cos Φ + Ψ sin Φ sin Θ

)= 0,

d zO ′

d t= 0.

Prve dvije jednadzbe su neholonomne, a iz trece jednadzbe slijedi

zO ′ = const = R,

pa je to holonomna jednadzba. Na temelju ovog razmatranja, zakljucujemo da je kugla koja sekotrlja po ravnoj plohi, neholonoman sustav sa tri uvjeta na gibanje (dva neholonomna i jedanpoluholonoman koji smo uspjeli napisati kao holonoman).

14.3 Lagrangeove jednadzbe

Neka je zadan sustav od N cestica. Cestice nisu slobodne nego su podvrgnute uvjetima. PostojiMh jednadzba kojima su izrazeni holonomni i Mnh jednadzba kojima su izrazeni neholonomniuvjeti. Zato je broj stupnjeva slobode sustava jednak

S = 3N −Mh −Mnh

(ako umjesto sustava od N cestica imamo kruto tijelo, onda umjesto 3N dolazi broj stupnjevaslobode slobodnog krutog tijela, a to je 6). Pretpostavimo da su holonomni uvjeti rijeseni ida smo Mh zavisnih poopcenih koordinata izrazili preko preostalih 3N −Mh. Ove preostalepoopcene koordinate jos nisu sve medusobno neovisne, nego su povezane s Mnh neholonomnihjednadzba. Ove jednadzbe ne znamo rijesiti i zato nastavljamo raditi s 3N −Mh poopcenihkoordinata imajuci na umu da one nisu sve medusobno nezavisne

~rj = ~rj(qs; t), j = 1, 2, · · · , N, s = 1, 2, · · · , 3N −Mh.

Opcenito ce indeks j oznacavati cestice, a indeks s stupnjeve slobode.

Iznimka je situacija kada nema neholonomnih uvjeta,

Mnh = 0.

Tada je broj stupnjeva slobode

S = 3N −Mh,

i svih S poopcenih koordinata je medusobno neovisno.Nazovimo poopcenim brzinama

qs ≡d qsd t

,

vremenske derivacije poopcenih koordinata.

14.3. LAGRANGEOVE JEDNADZBE 449

Uvedimo varijaciju vektora polozaja (virtualni ili zamisljeni pomak) δ ~rj , kao trenutni pomak(uz t = const., tj. δ t ≡ 0) u skladu s uvjetima na gibanje

δ ~rj =

3N−Mh∑

s=1

∂~rj∂qs

δ qs.

Zamisljeni (virtualni) rad je

δW =

N∑

j=1

~Fj δ ~rj =

N∑

j=1

~Fj

3N−Mh∑

s=1

∂~rj∂qs

δ qs.

Taj se rad moze napisati kao umnozak poopcenih sila i diferencijala poopcenih koordinata, takosto se definira poopcena sila, Φs, pridruzena (koja djeluje na) poopcenoj koordinati qs kao

Φs =

N∑

j=1

~Fj∂ ~rj∂qs

,

tako da se ukupan rad vanjskih sila nad sustavom moze napisati u obliku

δW =

N∑

j=1

~Fj δ~rj =

3N−Mh∑

s=1

Φs δqs, (14.7)

gdje se umjesto sila i koordinata svih cestica sustava, pojavljuju poopcene sile i poopcenekoodinate, a umjesto zbrajanja po cesticama, zbraja se po stupnjevima slobode. Primjetimoda je poopcena sila skalar, tj. po svom algebarskom karakteru odgovara jednoj od komponenatasile kao vektora.Sada zelimo uspostaviti vezu izmedu poopcene sile i kineticke energije. Do ove cemo veze doci ucetiri koraka. U tim koracima cemo poopcene koordinate qs(t) i poopcene brzine qs(t), tretiratikao dva skupa medusobno neovisnih varijabli.

(1) izvedimo takozvano ponistenje tockica:

~rj = ~rj

(q1(t), q2(t), · · · , q3N−Mh

(t); t) /

d

d t

~rj =∂ ~rj∂ q1

q1 +∂ ~rj∂ q2

q2 + · · · +∂ ~rj

∂ q3N−Mh

q3N−Mh+∂ ~rj∂ t

/∂

∂ qs

∂ ~rj∂ qs

=∂ ~rj∂ qs

. (14.8)

(2) Pokazimo da potpuna vremenska derivacija i parcijalna derivacija po poopcenoj koordinatikomutiraju, kada djeluju na ~rj

(∂

∂ qs

d

d t

)~rj =

(d

d t

∂

∂ qs

)~rj. (14.9)


Iz prethodne tocke (1), imamo

d~rjd t

=∂ ~rj∂ q1

q1 +∂ ~rj∂ q2

q2 + · · · +∂ ~rj

∂ q3N−Mh

q3N−Mh+∂ ~rj∂ t

/∂

∂ qs

∂

∂ qs

(d~rjd t

)=

∂ 2 ~rj∂ q1 ∂ qs

q1 + · · · +∂ 2 ~rj

∂ q3N−Mh∂ qs

q3N−Mh+

∂ 2 ~rj∂ t ∂ qs

. (14.10)

Primjetimo sada da iz relacije ~rj = ~rj(q1, q2, · · · , q3N−Mh; t) slijedi da je i derivacija

∂ ~rj∂ qs

≡ fj,s

(q1(t), q2(t), · · · , q3N−Mh

(t); t),

takoder nekakva funkcija od tih istih q1, q2, · · · , q3N−Mhi vremena. Zbog toga je

d

d t

(∂ ~rj∂ qs

)=

∂

∂ q1

(∂ ~rj∂ qs

)q1 +

∂

∂ q2

(∂ ~rj∂ qs

)q2 + · · · +

∂

∂ q3N−Mh

(∂ ~rj∂ qs

)q3N−Mh

+∂

∂ t

(∂ ~rj∂ qs

)

=∂ 2 ~rj∂ q1 ∂ qs

q1 + · · · +∂ 2 ~rj

∂ q3N−Mh∂ qs

q3N−Mh+

∂ 2 ~rj∂ t ∂ qs

. (14.11)

Usporedbom (14.10) i (14.11) se vidi da vrijedi relacija (14.9).

(3) Napisimo ponovo izraz za zamisljeni rad δW =∑N

j=1~Fj δ~rj , ali cemo sada za silu na j-tu

cesticu uvrstiti drugi Newtonov aksiom mj~rj = ~Fj

δW =

N∑

j=1

~Fj δ~rj =

N∑

j=1

mj~rj δ~rj =

N∑

j=1

3N−Mh∑

s=1

mj ~rj∂~rj∂ qs︸︷︷︸

δqs.

Oznaceni dio desne strane gornjeg izraza, mozemo nadalje transformirati na slijedeci nacin:

d

d t

(~rj∂ ~rj∂ qs

)= ~rj

∂ ~rj∂ qs

+ ~rjd

d t

(∂ ~rj∂ qs

)

⇒ ~rj∂ ~rj∂ qs

=d

d t

(~rj∂ ~rj∂ qs

)− ~rj

d

d t

(∂ ~rj∂ qs

).

Na drugi clan desne strane mozemo primjeniti, u tocki (2) pokazanu, komutativnost vremenskei derivacije po qs, pa dobivamo

~rj∂ ~rj∂ qs

=d

d t

(~rj∂ ~rj∂ qs

)− ~rj

∂ ~rj∂ qs

,

sto, uvrsteno u izraz za zamisljeni rad, daje

δW =

N∑

j=1

3N−Mh∑

s=1

[d

d t

(mj~rj

∂ ~rj∂ qs

)−mj~rj

∂ ~rj∂ qs

]δqs, (14.12)

gdje smo uzeli u obzir da sve vrijeme radimo u nerelativistickoj granici, kada su brzine tolikomale (u usporedbi s brzinom svjetlosti u vakuumu), da mase cestica sustava mozemo smatratikonstantnim.


(4) Toliko o silama, pogledajmo sada kineticku energiju.Derivacija kineticke energije po poopcenoj koordinati vodi na

Ek =1

2

N∑

j=1

mj ~r2j ,

/∂

∂ qs

∂ Ek∂ qs

=

N∑

j=1

mj ~rj∂ ~rj∂ qs

. (14.13)

U gornjem izrazu se prepoznaje drugi clan desne strane izraza (14.12). Da bi se doslo do prvogclana desne strane istog izraza, treba kineticku energiju derivirati po poopcenoj brzini

Ek =1

2

N∑

j=1

mj ~r2j ,

/∂

∂ qs

∂ Ek∂ qs

=

N∑

j=1

mj ~rj∂ ~rj∂ qs

= (14.8) =

N∑

j=1

mj ~rj∂ ~rj∂ qs

. (14.14)

U gornjem izrazu se prepoznaje prvi clan desne strane izraza (14.12).Ako sada izraze dobivene u (14.13) i (14.14) uvrstimo u (14.12), dobit cemo zamisljeni radizrazen preko derivacija kineticke energije sustava

δW =

3N−Mh∑

s=1

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs

]δqs.

No, ovaj isti zamisljeni rad vec imamo napisan preko poopcenih sila u relaciji (14.7). Iz-jednacavanjem ta dva izraza, dolazi se do

3N−Mh∑

s=1

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs− Φs

]δqs = 0. (14.15)

Gornja jednadzba vrijedi i za holonimne i za neholonomne sustave. Za holonomnesustave, sve su gornje varijacije δqs medusobno nezavisne, dok za neholonomne sustave nisu svevarijacije δqs medusobno nezavisne.

holonomni sustavi:Ogranicimo se na holonomne sustave, tj. neka nema neholonomnih uvjeta na gibanje,

Mnh = 0.

U tom slucaju je broj nezavisnih stupnjeva slobode jednak

S = 3N −Mh

i sve varijacije δqs iz (14.15) su medusobno nezavisne. Cim su nezavisne znaci da se moguvarirati neovisno jedna o drugoj. Tako se moze npr. uzeti da je samo δq1 6= 0, a sve ostale sujednake nuli. U tom je slucaju uglata zagrada s indeksom s = 1 jednaka nuli. Zatim se mozeuzeti da je samo δq2 6= 0, i doci do zakljucka da uglata zagrada s indeksom s = 2 iscezava i


tako redom za ostale kordinate. Konacni je zakljucak da svih S = 3N −Mh uglatih zagrada iz(14.15) mora iscezavati, tj. da je

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs= Φs, s = 1, 2, · · · , S. (14.16)

za s = 1, 2, · · · , S. Jednadzba ima onoliko koliko i stupnjeva slobode, S. To su Lagrangeovejednadzbe gibanja za holonomni sustav cestica. One vrijede i za skleronomne i reonomnesustave, kao i za konzervativne i nekonzervativne sile. Velicina

ps =∂ Ek∂ qs

(14.17)

se zove poopcena kolicina gibanja konjugirana poopcenoj koordinati qs.

Ako su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, tada se one mogu izraziti prekopotencijalne energije Ep, tako da vrijedi

~Fj = −−→∇jEp

(ovdje smo s−→∇ j oznacili operator nabla koji djeluje na koordinate j-te cestice). U tom je

slucaju poopcena sila jednaka

Φs =N∑

j=1

~Fj∂~rj∂qs

= −N∑

j=1

(~ex

∂ Ep∂ xj

+ ~ey∂ Ep∂ yj

+ ~ez∂ Ep∂ zj

)∂(~ex xj + ~ey yj + ~ez zj)

∂qs

= −N∑

j=1

(∂ Ep∂ xj

∂xj∂qs

+∂ Ep∂ yj

∂yj∂qs

+∂ Ep∂ zj

∂zj∂qs

)= −∂ Ep

∂ qs

Uvrstavanjem ovog izraza za poopcenu silu u Lagrangeove jednadzbe, dobivamo

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs= −∂ Ep

∂ qs

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂

∂ qs(Ek − Ep) = 0.

Ukoliko potencijalna energija ne ovisi o poopcenim brzinama qs, a sto je najcesce slucaj (npr.za elasticnu je silu Ep = k x 2/2, za gravitacijsku silu je Ep = K/r itd.6), prakticno je uvestiLagrangeovu funkciju ili lagranzijan, L, izrazom

L = Ek − Ep.

U terminima lagranzijana, Lagrangeove jednadzbe gibanja mozemo napisati kao

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0, s = 1, 2, · · · , S. (14.18)

6No, o jednoj vaznoj iznimci ce biti vise rijeci u odjeljku 14.5


Ove jednadzbe vrijede za holonomne konzervativne sustave (pri cemu uvjeti na gibanjemogu biti i skleronomni i reonomni). Za konzervativni sustav se poopcena kolicina gibanja,ps, konjugirana s-toj poopcenoj koordinati, definira izrazom

ps =∂ L

∂ qs. (14.19)

Ako na sustav djeluju i konzervativne i nekonzervativne sile (kao npr. trenje), Lagrangeovejednadzbe gibanja se mogu napisati u obliku

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= Φnk

s ,

gdje smo s Φnks oznacili nekozervativnu poopcenu silu, dok su konzervativne sile izrazene kroz

potencijalnu energiju koja se nalazi u lagranzijanu L.

Zadatak: 14.2 Cestica mase m se giba u polju konzervativna sile opisane potencijalnom ener-gijom Ep(x, y, z). Nema uvjeta na gibanje. Napisite Lagrangeove jednadzbe gibanja.

R: Buduci da nema uvjeta na gibanje, cestica ima tri stupnja slobode S = 3, a zatri poopcene koordinate mogu se jednostavno uzeti pravokutne koordinate cestice

q1 = x, q2 = y, q3 = z.

Lagrangeova funkcija je

L = Ek − Ep =1

2m v 2 − Ep =

m

2(x 2 + y 2 + z 2) −Ep(x, y, z).

Derivacije L po x i x (i slicno za y i z) daju

∂ L

∂ x= m x ,

∂ L

∂ x= −∂ Ep

∂ x.

Uvrstavanjem gornjih derivacija u Lagrangeove jednadzbe (14.18 ), dobiva se

m x = −∂ Ep∂ x

, m y = −∂ Ep∂ y

, m z = −∂ Ep∂ z

.

Prepoznamo li −∂ Ep/∂ x kao x komponentu sile, Fx (i slicno za ostale parcijalnederivacije), vidimo da su gornje Lagrangeove jednadzbe slobodne cestice zapravoNewtonove jednadzbe gibanja

m x = Fx, m y = Fy, m z = Fz.

Neholonomni sustavi:Pretpostavimo sada da osim Mh holonomnih, postoji jos i Mnh neholonomnih uvjeta na gibanjei vratimo se jednadzbi (14.15). Prisjetimo se da, zbog postojanja Mnh neholonomnih uvjeta nagibanje, sada nisu sve varijacije δqs medusobno neovisne.Ako se u neholonomnim uvjetima (14.5), koordinate ηj zamjene poopcenim koordinatama qs,dobiva se

3N−Mh∑

s=1

As,m qs +Bm = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh (14.20)


gdje su As,m = As,m(qs; t) i Bm = Bm(qs; t). Pomnoze li se gornje jednadzbe s dt

3N−Mh∑

s=1

As,m dqs +Bm dt = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh

i prijede li se sa pravih pomaka dqs, dt na zamisljene δqs, δt (za koje je δt = 0), gornje jednadzbepostaju

3N−Mh∑

s=1

As,m δqs = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh.

Svaku od Mnh gornjih jednadzba pomnozimo proizvoljnom konstantom λm, koja se naziva7

Lagrangeov mnozitelj (multiplikator), i zatim zbrojimo sve jednadzbe uvjeta

3N−Mh∑

s=1

(λ1As,1 + λ2As,2 + · · · + λMnhAs,Mnh

) δqs = 0.

Oduzme li se ova jednadzba od jednadzbe (14.15), dobiva se

3N−Mh∑

s=1

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs− Φs − λ1As,1 − λ2As,2 − · · · − λMnh

As,Mnh

]δ qs = 0. (14.21)

U gornjoj jednadzbi nije svih 3N −Mh varijacija δ qs medusobno nezavisno. Zbog postojanjaMnh neholonomnih uvjeta, nezavisno je S = 3N−Mh−Mnh varijacija poopcenih koordinata qs.Neka su prvih Mnh poopcenih koordinata zavisne od preostalih S = 3N −Mh−Mnh nezavisnih

q1, q2, · · · , qMnh︸︷︷︸zavisno

, qMnh+1, qMnh+2, · · · , q3N−Mh︸︷︷︸nezavisno

.

Sve do sada, na Lagrangeove mnozitelje nisu bili postavljeni nikakvi uvjeti - njihove su vrijed-nosti potpuno proizvoljne. Ako se sada odaberu Lagrangeovi mnozitelji λm na takav nacin daiscezava prvih Mnh uglatih zagrada iz (14.21) koje mnoze zavisne δqs,

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs− Φs − λ1As,1 − λ2As,2 − · · · − λMnh

As,Mnh

]

s=1,··· ,Mnh

= 0,

preostaje jos S = 3N −Mh −Mnh uglatih zagrada, povezanih jednadzbom

3N−Mh∑

s=Mnh+1

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs− Φs − λ1As,1 − λ2As,2 − · · · − λMnh

As,Mnh

]δ qs = 0.

No, u gornjoj su jednadzbi sada sve poopcene koordinate qs medusobno nezavisne, pa istomargumentacijom kao u izvodu (14.16) zakljucujemo da svaka od gornjih uglatih zagrada moraiscezavati. Tako smo dosli do zakljucka da svih 3N − Mh okruglih zagrada iz (14.21) moraiscezavati: njih Mnh zbog izbora Lagrangeovih mnozitelja, a preostalih S = 3N−Mh−Mnh zbognezavisnosti poopcenih koordinata. Lagrangeove jednadzbe nekonzervativnog neholonomnog

7Vise o koristenju Lagrangeova mnozitelja moze se naci npr. u [12]


sustava mogu se sada zapisati u obliku sustava diferencijalnih jednadzba

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs= Φs + λ1As,1 + λ2As,2 + · · · + λMnh

As,Mnh, s = 1, · · · , 3N −Mh,

(14.22)3N−Mh∑

s=1

As,mqs +Bm = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh.

Gornji se sustav sastoji od (3N −Mh) +Mnh jednazba i isto toliko nepoznanica:

q1, q2, · · · , q3N−Mh, λ1, λ2, · · · , λMnh

.

Ukoliko su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, moze se uvesti potencijalna en-ergija, izrazom

Φs = −∂Ep∂qs

.

Ako potencijalna energija ne ovisi o poopcenim brzinama qs, Lagrangeove jednadzbe se mogunapisati preko lagranzijana L = Ek − Ep (o jednoj vaznoj iznimci, kada potencijalna energijaovisi o brzini, bit ce vise rijeci u odjeljku 14.5),

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= λ1As,1 + λ2As,2 + · · · + λMnh

As,Mnh, s = 1, · · · , 3N −Mh,

3N−Mh∑

s=1

As,mqs +Bm = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh.

(14.23)

Nesto opcenitija diskusija o Lagrangeovim jednadzbama kada postoje uvjeti na gibanje, mozese naci npr. u odjeljku o varijacijskom racunu u [12].

Ako to zelimo, gornjim se postupkom mogu rjesavati i holonomni sustavi, tako sto ce seholonomne uvjete

fm(qs; t) = 0, m = 1, 2, · · · ,Mh

derivirati po vremenu i napisati ih u obliku (14.22)

3N∑

s=1

∂ fm∂ qs

qs +∂ fm∂ t

= 0, m = 1, 2, · · · ,Mh,

tj. nije potrebno rjesavati jednadzbe uvjeta (iako su mozda i rjesive), vec ih se moze tretiratipomocu Lagrangeovih mnozitelja.Fizicko znacenje Lagrangeovih mnozitelja vidimo iz relacije (14.23) na cijoj desnoj strani di-menzijski mora biti nekakva sila, tj. izrazi oblika λmAs,m predstavljaju popcene sile koje potjecuod uvjeta na gibanje.


Zadatak: 14.3 Pod djelovanjem gravitacijske sile, cestica mase m se giba po unutarnjoj plohiparaboloida x 2 + y 2 = a0 z (za konstantni a0), prikazanog na slici 14.4. Zane-marivsi trenje, izvedite Lagrangeove jednadzbe gibanja cestice, tretirajuci uvjet nagibanje kao: (a) holonoman, (b) neholonoman.

R: Zadatak cemo rijesiti u cilindricnom koordinatnom sustavu, gdje su tri

Slika 14.4: Uz gibanje cestice po unutrasnjosti paraboloida.

poopcene koordinate upravo cilindricne koordinate

q1 = ρ =√x 2 + y 2, q2 = ϕ = arctan

y

x, q3 = z.

No, zbog postojanja uvjeta na gibanje po povrsini paraboloida, ove tri koordinatenisu medusobno neovisne, vec su povezane jednadzbom uvjeta

x 2 + y 2 = a0 z ⇐⇒ ρ 2 = a0 z.

To znaci da je broj stupnjeva slobode S = 3 − 1 = 2. Gornji uvjet je holonoman(Mh = 1,Mnh = 0) jer ga znamo rijesiti, tj. jednu od koordinata lako mozemonapisti kao eksplicitnu funkciju ostalih koordinata

z =1

a0ρ 2

i time ostajemo s dvije nezavisne poopcene koordinate: q1 = ρ i q2 = ϕ. Izracunajmosada kineticku i potencijalnu energiju, i pomocu njih konstruirajmo Lagrangeovufunkciju:

Ek =m v 2

2=m

2(x 2 + y 2 + z 2), Ep = m g z


Prijelazom iz pravokutnih u cilindricne koordinate

x = ρ cosϕ, x = ρ cosϕ− ρ ϕ sinϕ

y = ρ sinϕ, y = ρ sinϕ+ ρ ϕ cosϕ

z =1

a0ρ 2, z =

2

a0ρ ρ ,

dobije se Lagrangeova funkcija L = Ek −Ep u obliku

L(ρ, ϕ, ρ , ϕ ) =m

2

(ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 +

4

a 20

ρ 2 ρ 2

)− m g

a0ρ 2.

Sada mozemo postaviti obje Lagrangeove jednadzbe (14.18)

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0,

tako sto cemo redom izracunati derivacije koje se u njima pojavljuju

∂ L

∂ ρ=

m

2

(2ρ +

4

a 20

ρ 2 2 ρ

),

∂ L

∂ ρ=

m

2

(2ρ ϕ 2 +

4

a 20

2 ρ ρ 2

)− m g

a02 ρ,

∂ L

∂ ϕ=

m

2ρ 2 2 ϕ ,

∂ L

∂ ϕ= 0

i uvrstiti ih u Lagrangeove jednadzbe

ρ

(1 +

4

a 20

ρ 2

)+

4

a 20

ρ ρ 2 + ρ

(2 g

a0− ϕ 2

)= 0, ρ 2 ϕ = const.

To je sustav dvije jednadzbe za dvije nepoznate funkcije ρ = ρ(t) i ϕ = ϕ(t). Izdruge jednadzbe mozemo ϕ izraziti preko ρ i uvrstiti u prvu. Tako konacno dobijemonelinearnu diferencijalnu jednadzbu drugog reda u kojoj se pojavljuje samo jednanepoznata funkcija ρ = ρ(t)

ρ

(1 +

4

a 20

ρ 2

)+

4

a 20

ρ ρ 2 + ρ

(2 g

a0− const. 2

ρ4

)= 0.

Isti zadatak mozemo rijesiti i tretirajuci uvjet na gibanje ρ 2 − a0 z = 0 kao ne-holonoman (pretvaramo se da ga ne znamo rijesiti). Sada imamo tri poopcenekoordinate: q1 = ρ, q2 = ϕ i q3 = z i jedan neholonomni uvjet (Mh = 0,Mnh = 1),pa postupamo na slijedeci nacin: najprije variramo uvjet i nalazimo konstante A iz(14.20)

ρ 2 − a0 z = 0 / δ

2 ρ δρ− a0 δz ≡ A1 δρ + A2 δϕ+ A3 δz

⇒ A1 = 2 ρ, A2 = 0, A3 = −a0.


Lagrangeova jednadzba za ovaj neholonomni konzervativni sustav glasi

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= λ1 As, s = 1, 2, 3.

Lagrangeova funkcija je sada jednaka

Ek − Ep = L(ρ, ϕ, z, ρ , ϕ , z ) =m

2(ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 + z 2) −m g z.

Nakon izracuna odgovarajucih parcijalnih derivacija Lagrangeove funkcije i njihovoguvrstenja u Lagrangeove jednadzbe, dobije se slijedeci sustav cetiri jednadzbe (trijednadzbe gibanja plus jedna jednadzba uvjeta) za cetiri nepoznanice (ρ, ϕ, z i λ1)

m ρ −m ρ ϕ 2 = λ1 2 ρ,

md

d t(ρ 2 ϕ ) = 0,

m z +m g = −λ1 a0,2 ρ ρ − a0 z = 0.

Eliminacijom nepoznanica ϕ, z i λ1, opet dolazimo do iste jednadzbe za ρ

ρ

(1 +

4

a 20

ρ 2

)+

4

a 20

ρ ρ 2 + ρ

(2 g

a0− const. 2

ρ4

)= 0

koju smo dobili rjesavajuci ovaj sustav kao holonoman.

14.4 Lagrangeove jednadzbe za impulsnu silu

Neka u kratkom vremenskom intervalu τ , na j-tu cesticu sustava djeluje vanjska sila ~Fj(t).Interval djelovanja sile je iscezavajuce kratak, ali je sila dovoljno velika (kratki impuls jake sile)da je donji integral konacan.

limτ→0

∫ τ

0

~Fj(t) dt = ~Ij .

Sila koja zadovoljava ovaj uvjet, naziva se impulsna sila, a ~Ij se zove impuls. Iz (14.16) znamoda za holonomni sustav vrijedi

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs= Φs =

N∑

j=1

~Fj∂ ~rj∂ qs

.

Prointegrirajmo cijelu gornju jednadzbu po vremenu od 0 do τ

∫ τ

0

dtd

d t

(∂ Ek∂ qs

)−∫ τ

0

dt∂ Ek∂ qs

=N∑

j=1

∫ τ

0

dt ~Fj∂ ~rj∂ qs

(∂ Ek∂ qs

)

τ

−(∂ Ek∂ qs

)

0

−∫ τ

0

dt∂ Ek∂ qs

=N∑

j=1

∫ τ

0

dt ~Fj∂ ~rj∂ qs

/limτ→0

(∂ Ek∂ qs

)

2

−(∂ Ek∂ qs

)

1

− 0 =

N∑

j=1

~Ij∂ ~rj∂ qs

,

14.5. LAGRANGEOVA FUNKCIJA NAELEKTRIZIRANE CESTICE U ELEKTROMAGNETSKOMPOLJU 459

gdje su indeksom 1 oznacene velicine prije, a indeksom 2 poslije djelovanja sile. Uvede li sepoopceni impuls

~Fs =N∑

j=1

~Ij∂ ~rj∂ qs

,

i sjetimo li se definicije poopcene kolicine gibanja, (14.17), ps = ∂Ek/∂qs, prethodna jednadzbapokazuje da je promjena poopcene kolicine gibanja jednaka poopcenom impulsu

ps,2 − ps,1 = ~Fs,

sto je pak poopcenje izraza (10.34).

14.5 Lagrangeova funkcija naelektrizirane cestice u elektromagnet-

skom polju

U izvodu jednadzba (14.18) i (14.23) je pretpostavljeno da potencijalna energija ne ovisi obrzini. U velikom broju primjera, to je tocno, ali postoji jedan vazan izuzetak, a to je nalek-trizirana cestica koja se giba u elektromagnetskom polju.

Neka je elektricni naboj cestice Q, a brzina ~r. Elektromagnetsko polje neka je opisano vektorimaelektricnog polja ~E i indukcije magnetskog polja ~B . Na naelektriziranu cesticu koja se giba,djeluje Lorentzova sila

~FL = Q ( ~E + ~r × ~B ).

Posebnost Lorentzove sile je u tome sto ona ovisi o brzini cestice, sto ce u konacnici datipotencijalnu energiju koja ovisi o brzini. Kao sto je poznato, polja ~E i ~B se moguizraziti preko dva potencijala: skalarnog V (~r, t) i vektorskog ~A (~r, t),

V (~r, t) =1

4πǫ0

∫ρQ(~r ′, t ′ )

|~r − ~r ′| d3r ′ ,

~A (~r, t) =µ0

4π

∫ ~j Q(~r ′, t ′ )

|~r − ~r ′| d3r ′ ,

kao

~E = −−→∇V − ∂ ~A

∂t, ~B =

−→∇ × ~A ,

a Lorentzova sila je

~FL = Q

[−−→∇V − ∂ ~A

∂t+ ~r × (

−→∇ × ~A )

].

U gornjim izrazima su ρQ i ~j Q redom, gustoce naboja i struje, a

t ′ = t− |~r − ~r ′|c


je retardirano vrijeme, tj. vrijeme potrebno elektromagnetskom polju da, gibajuci se brzi-nom c, prijede put |~r − ~r ′|. Zadatak je

izracunati Lagrangeovu funkciju naelektriziranecestice koja se giba u elektromagnetskom polju.

Uocimo da nema uvjeta na gibanje, pa sustav, koji se sastoji od samo jedne cestice, imaS = 3 stupnja slobode, a za poopcene koordinate se mogu uzeti pravokutne koordinate cestice,tako da vrijedi

~r = x~ex + y ~ey + z ~ez ,

q1 = x, q2 = y, q3 = z,

q1 = x , q2 = y , q3 = z ,

∂~r

∂qs⇒ ∂~r

∂x= ~ex ,

∂~r

∂y= ~ey ,

∂~r

∂z= ~ez .

Poopcene sile su upravo komponente Lorentzove sile (za sustav od jedne cestice je i N = 1,indeks s stupnja slobode je s = x, y, z)

Φs =N∑

j=1

~Fj∂~rj∂qs

⇒ Φs=x = Fx, Φs=y = Fy, Φs=z = Fz.

Izracunajmo npr. x komponentu Lorentzove sile, izrazenu preko potencijala

FL,x = Q

−∂V∂x

− ∂Ax∂t

+[~r × (

−→∇ × ~A )]

x

.

Izracunajmo x komponentu vektorskog umnoska[~r × (

−→∇ × ~A )]

x= y (

−→∇ × ~A )z − z (−→∇ × ~A )y

= y

(∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

)− z

(∂Ax∂z

− ∂Az∂x

)

= y∂Ay∂x

− y∂Ax∂y

− z∂Ax∂z

+ z∂Az∂x

± x∂Ax∂x

= −(∂Ax∂x

x +∂Ax∂y

y +∂Ax∂z

z

)+

(x∂Ax∂x

+ y∂Ay∂x

+ z∂Az∂x

)

Prisjetimo li se da su ~r i ~r medusobno neovisne varijable, tada u drugom clanu desne stranegornjeg izraza prepozanjemo ∂x(~r ~A ). Prvi clan desne strane, povezujemo s ukupnom vremen-skom promjenom Ax(x, y, z; t)

dAxd t

=∂Ax∂x

x +∂Ax∂y

y +∂Ax∂z

z +∂Ax∂t

,

14.5. LAGRANGEOVA FUNKCIJA NAELEKTRIZIRANE CESTICE U ELEKTROMAGNETSKOMPOLJU 461

sto sve zajedno daje

[~r × (

−→∇ × ~A )]

x=

(∂Ax∂t

− dAxd t

)+

∂

∂x(~r ~A ).

Sada se mozemo vratiti izrazu za x komponentu sile

FL,x = Q

[−∂V∂x

−

∂Ax

∂t+

∂Ax

∂t− dAx

d t+

∂

∂x(~r ~A )

]= Q

[∂

∂x(~r ~A − V ) − dAx

d t

].

Primjetimo da skalarni i vektorski potencijali ovise samo o prostornim koordinatama i vremenu

V = V (~r; t), ~A = ~A (~r; t),

ali ne i o brzinama, pa je zato

Ax =∂

∂x(x Ax + y Ay + z Az − V ) =

∂

∂x(~r ~A − V ).

pomocu gornjeg izraza je i

dAxd t

=d

d t

∂

∂x(~r ~A − V ).

Sada se izraz za FL,x moze napisati kao

FL,x = Q

[∂

∂x(~r ~A − V ) − d

dt

∂

∂x(~r ~A − V )

].

Nazove li se potencijalnom energijom slijedeci izraz

Ep(~r, ~r, t) = Q[V (~r, t) − ~r · ~A (~r, t)

], (14.24)

dobili smo potencijalnu energiju, koja osim o polozaju, ovisi i o brzini cestice. Za x kompo-nentu Lorentzove sile se dobiva

FL,x = −∂ Ep∂x

+d

dt

(∂ Ep∂x

)

i slicno za ostale dvije komponente sile

FL,y = −∂ Ep∂y

+d

dt

(∂ Ep∂y

),

FL,z = −∂ Ep∂z

+d

dt

(∂ Ep∂z

).

Kada potencijalna energija ne bi ovisila o brzini, drugi clan desne strane gornjih izraza bi bio

jednak nuli, i dobila bi se uobicajena veza sile i potencijalne energije, ~FL = −−→∇Ep. Napisimo


Lagrangeovu jednadzbu (14.16) za koordinatu x

d

dt

(∂Ek∂x

)− ∂Ek

∂x= FL,x = −∂ Ep

∂x+d

dt

(∂ Ep∂x

),

d

dt

[∂(Ek −Ep)

∂x

]− ∂(Ek − Ep)

∂x= 0,

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= 0. (14.25)

I analogno za y i z koordinate

d

dt

(∂L

∂y

)− ∂L

∂y= 0,

d

dt

(∂L

∂z

)− ∂L

∂z= 0.

U gornjoj je jednadzbi s L = Ek − Ep, oznacena Lagrangeova funkcija (lagranzijan) cestice

naboja Q koja se brzinom ~r giba u prostorno i vremenski promjenjivom elektromagnetskompolju, opisanom skalarnim V (~r, t) i vektorskim ~A (~r, t) potencijalima

L =m~r 2

2−Q(V − ~r ~A ).

Lako je provjeriti da se uvrstavanjem gornjeg lagranzijana u jednadzbu (14.25), dobije x kom-ponenta Newtonove jednadzbe gibanja

m~r = ~FL.

Zadatak: 14.4 Pomocu lagranzijana (14.26) raspisite Lagrangeove jednadzbe jedne slobodne

cestice i pokazite da se one svode na Newtonovu jednadzbu gibanja m~r = ~FL, gdjeje FL Lorentzova sila.

14.6 Hamiltonovo nacelo

Pokazimo sada vezu koja postoji izmedu Lagrangeovih jednadzba i jednog dijela matematikekoji se zove varijacijski racun. Ova veza ce nam ukazati na jedan drukciji nacin na koji semoze gledati na izvod i smisao Lagrangeovih jednadzba gibanja.Osnovni i najjednostavniji problem varijacijskog racuna, jeste odgovoriti na slijedece pitanje:

kako naci funkciju y = Y (x)

koja povezuje tocke x = a i x = b (slika 14.5), a ima svojstvo da je integral

I =

∫ b

a

F (y, y ′; x) dx (14.26)

14.6. HAMILTONOVO NACELO 463

Slika 14.5: Uz varijacijski racun.

ekstreman, tj. maksimalan ili minimalan.

S y ′ je oznacena derivacija dy/dx, a F oznacava neku zadanu funkciju od y, y ′ i x. Samafunkcija y se tada zove ekstrem. Ako je

y = Y (x)

funkcija koja cini gornji integral ekstremnim,

Iextr =

∫ b

a

F(Y (x), Y ′(x); x

)dx,

neka je tada

y = Y (x) + δY (x) ≡ Y (x) + ǫ η (x)

njoj bliska (varirana) krivulja (slika 14.5), sa svojstvom da je

η (x = a) = η (x = b) = 0,

a ǫ = const. u x. Vrijednost integrala I za ovu blisku krivulju je

I(ǫ) =

∫ b

a

F[Y (x) + ǫ η(x)︸︷︷︸

y

, Y ′(x) + ǫ η′(x)︸︷︷︸y ′

; x]dx, (14.27)

gdje su, opet, crticom oznacene derivacije po x. Nakon integracije po x, rezultat I ovisi samoo ǫ. Uvjet da za ǫ = 0, ovaj integral poprima ekstremalnu vrijednost, pisemo kao zahtjev da je

d I

d ǫ

∣∣∣∣ǫ=0

= 0.


Pomocu izraza (14.27) mozemo izracunati gornju derivaciju

d I

d ǫ=

∫ b

a

(∂ F

∂ y

∂ y

∂ ǫ+∂ F

∂ y ′∂ y ′

∂ ǫ

)dx =

∫ b

a

(∂ F

∂ yη +

∂ F

∂ y ′ η′)dx

=

∫ b

a

∂ F

∂ yη dx +

∫ b

a

∂ F

∂ y ′d η

d xdx.

Drugi clan desne strane se moze parcijalno integrirati koristeci

d

d x

(∂ F

∂ y ′ η

)= η

d

d x

(∂ F

∂ y ′

)+

∂ F

∂ y ′d η

d x.

Tako se dolazi do

d I

d ǫ=

∫ b

a

η∂ F

∂ ydx+

∫ b

a

[−η d

d x

(∂ F

∂ y ′

)+

d

d x

(ηd F

d y ′

)]dx

=

∫ b

a

η

[∂ F

∂ y− d

d x

(∂ F

∂ y ′

)]dx+

(η∂ F

∂ y ′

)b

a

.

No, sjetimo se da je

η (x = a) = η (x = b) = 0,

pa je posljednji clan desne strane gornjeg izraza jednak nuli. Preostaje

0 =d I

d ǫ

∣∣∣∣ǫ=0

=

∫ b

a

η

[∂ F

∂ y− d

d x

(∂ F

∂ y ′

)]

ǫ=0

dx.

Funkcija η(x) u gornjem integralu je potpuno proizvoljna, pa ju mozemo odabrati tako da nacijelom intervalu a ≤ x ≤ b ima isti predznak kao i uglata zagrada. U tom slucaju,gornja jednakost moze biti zadovoljena samo ako je uglata zagrada jednaka nuli

d

d x

(∂ F

∂ y ′

)− ∂ F

∂ y= 0. (14.28)

Slika 14.6: Leonhard Euler (Basel, 15.travnja 1707. - Petrograd, 18. rujna 1783.),svicarski matematicar, fizicar i astronom.

Ova se jednadzba naziva Euler - Lagrangeova jed-nadzba. Opisani se postupak je lako poopciti i nafunkciju vise varijabli

F (y1, y2, · · · , yS, y ′1, y

′2, · · · , y ′

S; x),

ys = Ys(x) + ǫs ηs(x), s = 1, 2, · · · , Si vodi do S Euler - Lagrangeovih jednadzba

d

d x

(∂ F

∂ y ′s

)− ∂ F

∂ ys= 0, s = 1, 2, · · · , S.

Primjetimo da ako nezavisnu varijablu x shvatimo kaovrijeme t, funkciju F shvatimo kao Lagrangevu funkcijuL, a ys i y ′

s kao poopcene koordinate qs i poopcenebrzine qs, tada su gornje jednadzbe upravo Lagrangeove jednadzbe gibanja za holonomne sus-tave (14.18).

14.7. PRIMJENE EULER - LAGRANGEOVE JEDNADZBE 465

14.7 Primjene Euler - Lagrangeove jednadzbe

Evo i nekoliko primjera primjene Euler - Lagrangeove jednadzbe.

Primjer: 14.6 Zadatak je naci krivulju koja spaja tocke A i B u ravnini (x, y), sa svojstvomda je duljina krivulje najmanja (slika 14.7.A).

Iz iskustva svi znamo da je to pravac, a sada cemo pokazati kako se to moze i izracunati.Podijelimo cijelu krivulju na male elemente oznacene s ds. Duljinu krivulje dobivamo tako da

Slika 14.7: Uz primjene varijacijskog racuna.

zbrojimo sve te male elmente. Kada broj tih malih elementata tezi k beskonacnosti, njihov zbrojprelazi u integral, pa za duljinu I, cijele krivulje, mozemo napisati

I =

∫ B

A

ds.

Za mali ds vrijedi Pitagorin poucak ds =√

(dx) 2 + (dy) 2, pa gornji integral postaje

I =

∫ B

A

√(dx) 2 + (dy) 2 =

∫ xB

xA

dx

√

1 +

(dy

dx

) 2

.

Uvjet da udaljenost izmedu A i B bude najkraca sada postaje uvjet da integral I bude minimalan.No, to je upravo problem (14.26) sa funkcijom

F (y, y ′; x) =√

1 + y ′ 2 = F (y ′).

Da bi I bio ekstreman (u ovom slucaju iz geometrije znamo da se radi o minimumu), F morazadovoljavati jednadzbu (14.28). Lako je vidjeti da je

∂ F

∂ y= 0,

∂ F

∂ y ′ =y ′

√1 + y ′ 2

,


pa Euler - Lagrangeova jednadzba glasi

d

dx

(y ′

√1 + y ′ 2

)= 0 ⇒ y ′

√1 + y ′ 2

= const.

Rjesavanjem gornje jednadzbe po y ′, dolazi se do

d y

d x= a,

gdje je a nekakva konstanta. Rjesenje gornje jednadzbe je ocito linearna funkcija

y = ax + b,

tj. pravac, kao sto smo od pocetka i znali da treba biti. Nepoznate konstante a i b se odredujuiz uvjeta da pravac prolazi tockama A = (xA, yA) i B = (xB, yB).

Primjer: 14.7 Slijedeci problem koji cemo izloziti je problem brahistokrone koji je prvirijesio Johann Bernoulli, 1697. godine. Sama rijec potjece od grckih rijeci brahistos sto znacinajkraci i chronos sto znaci vrijeme. Problem je slijedeci: cestica pocinje padati iz tocke Asa slike 14.7.B u konstantnom gravitacijskom polju (bez trenja); pitanje je kako treba izgledatinjezina putanja, pa da stigne u tocku B u najkracem mogucem vremenu? Takva putanja,koja minimizira vrijeme (a ne put, kao u prethodnom primjeru), se zove brahistokrona.

Postupak je uobicajen: putanja se podjeli na male dijelove duljine ds; vrijeme potrebno zaprolazak tim dijelom putanje je dt = ds/v; vrijeme potrebno za prolazak cijelom putanjom jezbroj vremena za svaki mali dio; u granici kada ds postaje iscezavajuce malen, ovaj zbroj prelaziu integral koji cemo oznaciti s I

I =

∫ tB

tA

dt =

∫ tB

tA

ds

v.

Kao i u prethodnom primjeru, ds =√

(dx) 2 + (dy) 2. Buduci da nema trenja, brzina se mozeodrediti iz zakona o sacuvanju energije. Neka je potencijalna energija jednaka nuli kada je y = 0i neka u tA cestica miruje, tada je ukupna mehanicka energija u tocki A jednaka nuli. Zbogsacuvanja energije, ona ce biti jednaka nuli i u svakoj drugoj tocki putanje u kojoj je brzina v,a vrijednost ordinate y

EA = E = 0 =mv 2

2−mgy ⇒ v =

√2gy.

Uvrstavaje brzine u izraz za I daje

I =

∫ xB

xA

dx

√1 + y ′ 2√

2gy.

Iz gornjeg izraza ocitavamo funkciju F iz (14.26)

F (y, y ′) =1√2g

√1 + y ′ 2

y. (14.29)

14.7. PRIMJENE EULER - LAGRANGEOVE JEDNADZBE 467

Prije nego sto nastavimo s rjesavanjem ovoga, izvedimo jedan postupak koji se zove nalazenjeprvog integrala Euler - Lagrangeove jednadzbe. Primjetimo da F ne ovisi eksplicitno o x,nego sva ovisnost o x dolazi kroz y = y(x) i y ′ = y ′(x). To nam omogucava da y ′ shvatimokao funkciju od y(x)

y ′ = y ′[y(x)

], F = F

[y(x), y ′(y(x))

].

Ova zamjena varijable, ima za posljedicu da se derivacija po x shvaca kao derivacija slozenefunkcije

d

d x=

d

d y

d y

d x.

Primjenimo ovo na Euler - Lagrangeovu jednadzbu

d

d x

(∂ F

∂ y ′

)− ∂ F

∂ y= 0,

y ′ d

d y

(∂ F

∂ y ′

)− ∂ F

∂ y= 0,

d

d y

(y ′ ∂ F

∂ y ′

)− d y ′

d y

∂ F

∂ y ′ −∂ F

∂ y= 0.

No, posljednja dva clana lijeve strane nisu nista drugo do

d

d yF (y, y ′(y)) =

∂ F

∂ y+∂ F

∂ y ′d y ′

d y,

tako da cijela Euler - Lagrangeova jednadzba postaje

d

d y

(y ′ ∂ F

∂ y ′ − F

)= 0 ⇒ y ′ ∂ F

∂ y ′ − F = const. (14.30)

Gornji izraz se zove prvi integral Euler - Lagrangeove jednadzbe. U problemu brahistokrone, Fje zadano sa (14.29), sto uvrsteno u gornju jednadzbu, nakon kraceg racuna, vodi na

d y

d x=

√c1 − y

y,

∫dy

√y

c1 − y=

∫dx = x− c2, cj = const.

Integral na lijevoj strani se rjesava uvodenjem nove varijable y = c1 sin 2(u/2)

x = c2 + c1

∫du sin 2(u/2) = c2 +

c12

(u− sin u).

Time su dobivene parametarske jednadzbe trazene krivulje

x = c2 +c12

(u− sin u),

y =c12

(1 − cosu),

koje prepoznajemo kao jednazbu cikloide8. Dakle, brahistokrona je cikloida.

8Kako izgleda cikloida: uocimo jednu tocku na kruznici koja se, bez klizanja, kotrlja po vodoravnoj podlozi - uocena tockaopisuje cikloidu.


14.8 Funkcija djelovanja

Ocita slicnost Euler - Lagrangeove jednadzbe (14.28)

d

d x

(∂ F

∂ y ′

)− ∂ F

∂ y= 0

i Lagrangeove jednadzba (14.18) za holonomne konzervativne sustave,

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0, s = 1, 2, · · · , S,

navela je Hamiltona na razmatranje slijedeceg integrala koji je nazvao djelovanjem (action)ili principalnom funkcijom

S =

∫ tk

tp

L(q1, q2, · · · , qS, q1, q2, · · · , qS; t) dt, (14.31)

gdje je

L = Ek −Ep

Lagrangeova funkcija. Po dimenzijama, funkcija djelovanja predstavlja umnozak energije i

Slika 14.8: Uz Hamiltonovo nacelo najmanjeg djelovanja.

vremena. Istim postupkom kao u odjeljku 14.6, uz promjenu oznaka (slika 14.8)

F → L, x → t, ys → qs, y ′s → qs,

qs(t) = qextrs (t) + ǫs ηs(t),

S (ǫs) =

∫ tk

tp

L(qextrs (t) + ǫs ηs(t), q

extrs (t) + ǫs η s(t); t

)dt

14.8. FUNKCIJA DJELOVANJA 469

i zahtjev da je djelovanje ekstremalno

d Sd ǫs

∣∣∣∣ǫs=0

= 0,

od Euler - Lagrangeovih, dolazimo do Lagrangeovih jednadzba u obliku (14.18)

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0, s = 1, 2, · · · , S.

Izvedimo Taylorov razvoj funkcije djelovanja u okolici tocke ǫs = 0

S (ǫs) = S (0) +

S∑

s=1

ǫsd Sd ǫs

∣∣∣∣ǫs=0︸︷︷︸

= 0

+1

2

S∑

s=1

S∑

s′=1

ǫs ǫs′d 2 Sd ǫs d ǫs′

∣∣∣∣0

+ O(ǫ3).

Nazovemo li varijacijom djelovanja δS razliku djelovanja na pravoj (koja cini S ekstremalnom)i variranoj putanji

δS = S (ǫs) − S (0),

tada, s tocnoscu od O(ǫ 2), mozemo reci da se mehanicki sustav giba tako da je vari-jacija njegove funkcije djelovanja jednaka nuli

δ S = 0. (14.32)

Buduci da je na pravoj putanji mehanickog sustava, ekstrem funkcije djelovanja najcesceminimalan, gornji se izraz zove Hamiltonovo nacelo najmanjeg djelovanja.

Primjetimo da smo polazeci od cisto matematickog zahtjeva da je integral jedne funkcije ek-streman, dosli do izraza koji opisuje jednu prirodnu pojavu i koji je ekvivalentan Newtonovimjednadzbama gibanja. Ili, drukcije receno: gibanja u prirodi se odvijaju tako da cine ekstrem-nim integral Lagrangeove funkcije.

Poopcenje gornjeg postupka na neholonomne sustave se moze naci u drugom poglavlju Gold-steinove knjige [14].

Zadatak: 14.5 Izracunajte funkciju djelovanja jednodimenzijskog harmonijskog oscilatora kojise u trenutku t1 nalazi u tocki x1, a u trenutku t2 u tocki x2.

R: .... dovrsiti ....

S =mω0

2 sin ω0(tk − tp)

[(x21 + x22

)cos ω0(tk − tp) − 2 x1 x2

]= S (x1, x2).


14.9 Bazdarna preobrazba

Neka je zadan lagranzijan sustava

L = L(qs, qs; t).

Polazeci od L, bazdarnom (gauge, kalibracijskom) preobrazbom oblika

L(qs, qs; t) = α L(qs, qs; t) +d f(qs; t)

d t, (14.33)

konstruira se jedan drugi lagranzijan L, gdje je α konstanta, a funkcija f ne ovisi o poopcenimbrzinama. Zadatak je vidjeti

sto se dogada s Lagrangeovim jednadzbama uslijed bazdarne preobrazbe.

U prethodnom je odjeljku pomocu lagranzijana L, uvedena funkcija djelovanja

S =

∫ tk

tp

L(q1, q2, · · · , qS, q1, q2, · · · , qS; t) dt.

Bazdarnom preobrazbom (14.33), dolazi se i do djelovanja

S =

∫ tk

tp

L(q1, q2, · · · , qS, q1, q2, · · · , qS; t) dt

= α

∫ tk

tp

L(qs, qs; t) dt+

∫ tk

tp

d f(qs; t)

d tdt

= α S + f(qs; tk) − f(qs; tp).

No

f(qs(tk); tk) − f(qs(tp); tp) = c0 = const.

tj. bazdarna funkcija djelovanja je do na konstantni pomak i mnozenje konstantom (linearnapreobrazba) jednaka nebazdarenoj funkciji djelovanja, pa ce zato i Lagrangeove9 jednadzbegibanja ostati nepromjenjene.

Primjer: 14.8 Bazdarenje elektromagnetskih potencijala.Poznato je da su elektricno i magnetsko polje invarijantni na bazdarne preobrazbe skalarnog ivektorskog potencijala

V → V − ∂Ψ

∂t, ~A → ~A +

−→∇Ψ.

za proizvoljno polje (funkciju) Ψ(~r, t).

~E = −−→∇V − ∂ ~A

∂t→ −−→∇

(V − ∂Ψ

∂t

)− ∂

∂t

(~A +

−→∇Ψ)

= −−→∇V +−→∇ ∂Ψ

∂t− ∂ ~A

∂t−

∂

∂t

−→∇Ψ = ~E .

9Slicno kao sto i kanonska preobrazba ne mijenja Hamiltonove jednadzbe gibanja, odjeljak 15.3.

14.10. KLASICNA TEORIJA POLJA 471

~B =−→∇ × ~A → −→∇ ×

(~A +

−→∇Ψ)

=−→∇ × ~A +

−→∇ × −→∇Ψ︸︷︷︸≡ 0

=−→∇ × ~A = ~B .

V − ~r ~A → V − ∂Ψ

∂t− ~r

(~A +

−→∇Ψ)

= (V − ~r ~A ) −(∂Ψ

∂t+ ~r

−→∇Ψ

).

Primjetimo sada da je

d Ψ(~r, t)

d t=∂ Ψ(~r, t)

∂ xx +

∂ Ψ(~r, t)

∂ yy +

∂ Ψ(~r, t)

∂ zz +

∂ Ψ(~r, t)

∂ t= ~r(

−→∇Ψ) +∂ Ψ(~r, t)

∂ t.

Iz gornjeg izraza zakljucujemo da bazdarna preobrazba mijenja lagranzijan tako sto mu pribrojipotpunu vremensku derivaciju bazdarne funkcije Ψ, pomnozenu s nabojem Q

L→ L = L+Qd Ψ(~r, t)

d t,

a to je upravo preobrazba oblika (14.33) za koju je pokazano da ne mijenja Lagrangeove jed-nadzbe.

14.10 Klasicna teorija polja

... dovrsiti ...

Poglavlje 15

Hamiltonove jednadzbe gibanja

Ako ne znas kuda ides, lako se moze dogoditi da stignes negdje drugdje.

Alica u zemlji cudesa, Lewis Carrol

Lagrangeova funkcija uvedena u prethodnom poglavlju, je funkcija poopcenih koordinata qsi poopcenih brzina qs. Takoder, pomocu Lagrangeove funkcije, uveden je pojam poopcenekolicine gibanja

ps =∂L

∂qs.

Odabir poopcenih koordinata i poopcenih brzina kao nezavisnih varijabli je, naravno, moguc, alinije i jedini moguci izbor. U ovom ce se poglavlju definirati jedna nova funkcija: Hamiltonovafunkcija ili hamiltonijan, koja ce biti funkcija poopcenih koordinata i poopcenih kolicina gibanja.

(qs, qs) −→ (qs, ps)

I dok su Lagrangeove jednadzbe gibanja dane u obliku diferencijalnih jednadzba drugog reda,jednadzbe gibanja izrazene preko Hamiltonove funkcije ce biti diferencijalne jednadzbe prvogreda (ali ce ih zato biti dvostruko vise).Promatrat ce se sustav od N cestica cije je gibanje ograniceno s Mh holonomnih uvjeta.Ovi su uvjeti rijeseni, zavisne poopcene koordinate su izrazene preko nezavisnih i formirana jeLagrangeova funkcija od S = 3N −Mh nezavisnih poopcenih koordinata i brzina:

L(qs, qs; t), s = 1, 2, · · · , S.

Ova funkcija predstavlja ishodiste u daljim racunima ovog poglavlja.Neholonomni sustavi se nece tretirati u ovom poglavlju, a zainteresirani citatelj se upucuje nastudiranje prvog poglavlja Diracove knjige Lectures on Quantum Mechanics, [11].

15.1 Hamiltonove jednadzbe

Legendreova preobrazba - matematikaNeka je zadana funkcija dvije varijable

f(x, y).

473

474 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADZBE

Njezin je diferencijal

d f(x, y) =∂ f

∂ xdx+

∂ f

∂ ydy ≡ u dx+ v dy,

gdje su s u i v oznacene derivacije f koje se mogu shvatiti kao definicija novih varijabla

u =∂ f

∂ x= u(x, y), v =

∂ f

∂ y= v(x, y),

a gornje relacije su upravo veze izmedu starih (x, y) i novih (u, v) varijabla.Legendreova preobrazba funkcije f jeste funkcija g definirana relacijom

g = f − u x = f − ∂ f

∂ xx. (15.1)

Sada je

dg = df − du x− u dx

= u dx+ v dy − x du−u dx

= v dy − x du ⇒ g = g(u, y),

tj. funkcija g je funkcija jedne nove varijable, u i jedne stare varijable, y, a ona druga staravarijabla x i druga nova varijabla y su dane derivacijama g

∂ g

∂ u= −x, ∂ g

∂ y= v. (15.2)

Derivacija ponovoj varijabli u, daje staru varijablu −x, a derivacija po staroj varijabli y, dajenovu varijablu v. Primjetimo da su gornje relacije istog oblika kao i Hamiltonove kanonskejednadzbe (15.7).

Legendreova preobrazba - termodinamikaTermodinamicki potencijali su funkcije od po dvije od slijedece cetiri varijable: dvije intenzivne- tlak p i temperatura T i dvije ekstenzivne - volumen V i entropija S.Prema prvom zakonu termodinamike (zakon o sacuvanju energije), unutarnja energijasustava U je

dU = d ′Q− dW = T dS − p dV ⇒ U = U(V, S)

funkcija dvije ekstenzivne varijable V i S, pri cemu su derivacije U po V i S dane onimpreostalim dvjema (intenzivnim) varijablama

∂ U

∂ S= T,

∂ U

∂ V= −p. (15.3)

Primjetimo da su gornje relacije istog oblika kao i (15.2), kao i da derivacije po ekstenzivnimvarijablama daje intenzivne varijable.

15.1. HAMILTONOVE JEDNADZBE 475

Izvedimo Legendreovu preobrazbu U tako sto cemo definirati entalpijuH (oznaku za entalpijune treba brkati s oznakom za hamiltonijan)

H = U + pV = U − ∂ U

∂ VV

dH = dU + dp V + p dV = T dS −p dV + dp V +p dV

= T dS + dp V ⇒ H = H(S, p)

funkcija jedne ekstenzivne varijable S i jedne intenzivne varijable p, pri cemu su derivacije Hpo S i p dane onim preostalim dvjema varijablama

∂ H

∂ S= T,

∂ H

∂ p= V.

Primjetimo da su gornje relacije istog oblika kao i (15.2) kao i da derivacija po ekstenzivnojvarijabli daje intenzivnu varijablu, a derivacija po intenzivnoj varijabli daje ekstenzivnu vari-jablu.

Slicnim se postupkom dolazi i do Helmholtzove slobodne energije F

F = U − TS = U − ∂ U

∂ SS

dF = dU − dT S − T dS = T dS − p dV − dT S −T dS

= −p dV − dT S ⇒ F = F (V, T )

funkcija jedne ekstenzivne varijable V i jedne intenzivne varijable T , pri cemu su derivacije Fpo V i T dane onim preostalim dvjema varijablama

∂ F

∂ V= −p, ∂ F

∂ T= −S.

Primjetimo da su gornje relacije istog oblika kao i (15.2) kao i da derivacija po ekstenzivnojvarijabli daje intenzivnu varijablu, a derivacija po intenzivnoj varijabli daje ekstenzivnu vari-jablu.

Slicnim se postupkom dolazi i do Gibbsove slobodne energije G

G = H − TS = H − ∂ H

∂ SS

dG = dH − dT S − T dS = T dS + V dp− dT S −T dS

= V dp− dT S ⇒ G = G(T, p)

funkcija dvije intenzivne varijable T i p, pri cemu su derivacije G po T i p dane onim preostalimdvjema ekstenzivnim varijablama

∂ G

∂ T= −S, ∂ G

∂ p= V. (15.4)


Gornje relacije su istog oblika kao i (15.2), a derivacije po intenzivnim varijablama daje eksten-zivne varijablu.Primjetimo jos i da je U = U(V, S) funkcija obje ekstenzivne, a G = G(T, P ), funkcija objeintenzivne varijable i da njihove derivacije (15.3) i (15.4) imaju isti oblik kao i Hamiltonovekanonske jednadzbe (15.7).

Legendreova preobrazba - mehanikaNeka je zadan sustav sa S stupnjeva slobode, opisan Lagrangeovom funkcijom L(qs, qs; t).Hamiltonova je ideja bila, pronaci funkciju u kojoj ce se kao varijable, umjesto poopcenih brzinapojavljivati poopcene kolicine gibanja. Zapocnimo racun tako sto cemo izracunati diferencijalLagrange-ove funkcije L(qs, qs; t)

L = L(qs, qs; t) ⇒ dL(qs, qs; t) =S∑

s=1

(∂L

∂qsdqs +

∂L

∂qsdqs

)+∂L

∂ tdt.

U skladu s definicijom poopcene kolicine gibanja (14.19) i Lagrangeovom jednadzbom (14.18)

ps =∂ L

∂ qs,

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0 ⇒ ∂ L

∂ qs=d psd t

= ps,

diferencijal Lagrangeove funkcije postaje

dL(qs, qs; t) =

S∑

s=1

(psdqs + psdqs

)+∂L

∂ tdt.

U gornjoj jednadzbi se clan s diferencijalom poopcene brzine, moze izraziti kao

d(psqs) = dps qs + psdqs,

psdqs = d(psqs) − dps qs,

sto vodi na

dL =S∑

s=1

[psdqs + d(psqs) − dps qs

]+∂L

∂ tdt

S∑

s=1

(−ps dqs + qs dps) −∂L

∂ tdt = d

(S∑

s=1

psqs − L

). (15.5)

Funkcija na lijevoj strani gornje jednadzbe se zove Hamiltonova funkcija ili hamiltonijan

H =

S∑

s=1

psqs − L(qs, qs; t), (15.6)


Slika 15.1: Sir William Rowan Hamilton (4.VIII 1805. – 2. IX 1865.) irski fizicar, as-tronomo i matematicar.

Primjetimo da se, u skladu s definicijom Legendreovepreobrazbe (15.1), hamiltonijan u gornjem izrazu po-javljuje kao Legendreova preobrazba lagranzijana.Iz lijeve strane (15.5) se vidi da je hamiltonijan funkcijapoopcenih koordinata, poopcenih kolicina gibanja i vre-mena

H = H(qs, ps; t),

a ne poopcenih koordinata, poopcenih brzina i vre-mena, kao sto je to lagranzijan. Buduci da je opcenitodiferencijal funkcije poopcenih koordinata, poopcenih kolicina gibanja i vremena, jednak

dH =

S∑

s=1

(∂H

∂qsdqs +

∂H

∂psdps

)+∂H

∂ tdt,

usporedbom gornjeg izraza sa (15.5), dolazi se do Hamiltonovih kanonskih jednadzbagibanja

ps = −∂H∂qs

, qs =∂H

∂ps,

∂H

∂t= −∂L

∂t, (15.7)

za sve s = 1, 2, · · · , S. Primjetimo simetriju (do na predznak) jednadzba na zamjenu qs ips. Kao sto vidimo, Hamiltonove su jednadzbe prvog reda, ali ih ima dvostruko vise negoLagrangeovih. Uz zadane vrijednosti qs i ps u nekom proizvoljnom trenutku t0

qs(t = t0) = qs,0,

ps(t = t0) = ps,0,

rjesavanje gornjih kanonskih jednadzba daje vrijednosti qs(t) o ps(t) za svaki t

qs(t) = qs(t; qs,0, ps,0),

t ≷ t0

ps(t) = ps(t; qs,0, ps,0),

tj, odreduje stanje mehanickog sustava proizvoljno tocno u proslosti, sadasnjosti kao i ubuducnosti.

izvod iz Hamiltonovog nacelaPokazimo jos i kako se Hamiltonove kanonske jednadzbe gibanja mogu izvesti pomocu Hamiltonovognacela najmanjeg djelovanja (14.32)

δ S = 0. (15.8)


Prema definiciji funkcije djelovanja (14.31) i hamiltonijana (15.6) je

δ S = 0 = δ

∫ tk

tp

L(q1, q2, · · · , qS, q1, q2, · · · , qS; t) dt

=

∫ tk

tp

dt δ

(S∑

s=1

psqs −H(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS; t)

)

=

∫ tk

tp

dt

S∑

s=1

(δps qs + ps δqs −

∂ H

∂ qsδqs −

∂ H

∂ psδps

).

Parcijalna integracija drugog clana desne strane gornjeg izraza daje∫ tk

tp

dt ps δqs =

∫ tk

tp

dt

[d

dt

(ps δqs

)− δqs ps

]= ps δqs

∣∣∣tk

tp−∫ tk

tp

dt δqs ps = −∫ tk

tp

dt δqs ps,

zato jer je varijacija qs u pocetnom i konacnom trenutku jednaka nuli (slika 14.8)

δqs(tp) = δqs(tk) = 0.

Uvrstavanjem ove parcijalne integracije, Hamiltonovo nacelo dalje vodi na

δ S = 0 =

∫ tk

tp

dt

S∑

s=1

(qs δps − ps δqs −

∂ H

∂ qsδqs −

∂ H

∂ psδps

)

0 =

∫ tk

tp

dt

S∑

s=1

[ (ps +

∂ H

∂ qs

)δqs +

(−qs +

∂ H

∂ ps

)δps

].

Iz linearne nezavisnosti hamiltonovih kanonskih varijabla qs i ps, slijedi i linearna nezavisnotvarijacija δqs i δps. Ako su varijacije nezavisne, moguce je jednu od njih drzati razlicitomod nule, a sve ostale staviti da su jednake nuli - iz toga slijedi da je zagrada koja mnozi tuvarijaciju, razlicita od nule. Takvo razmisljanje vrijedi za svaku varijaciju, tj. sve pridruzenegornje zagrade moraju biti jednake nuli, a to su upravo Hamiltonove kanonske jednadzbe

ps = −∂H∂qs

, qs =∂H

∂ps.

Ovime je pokazano kako se iz Hamiltonovog nacela najmanjeg djelovanja, izvode Hamiltonovekanonske jednadzbe gibanja.

fizicko znacenje hamiltonijanaPogledajmo sada koje je fizicko znacenje Hamiltonove funkcije? Neka je sustav konzervati-van, tako da je

L = Ek −Ep

i neka lagranzijan (pa time i hamiltonijan) ne ovisi eksplicitno o vremenu. Pokazimo da jeu tom slucaju kineticka energija kvadratna funkcija poopcenih brzina. Krenimo od kinetickeenergije sustava N cestica, napisane u pravokutnim koordinatama

Ek =1

2

N∑

j=1

mj~r2j =

1

2

N∑

j=1

mj(x2j + y 2

j + z 2j)


i prevedimo ju u poopcene koordinate. Za koordinete xj reonomnog sustava, vrijedi

xj = xj(q1, q2, · · · , qS; t)

x j =S∑

s=1

∂ xj∂ qs

qs +∂ xj∂ t

x 2j =

(S∑

s=1

∂ xj∂ qs

qs +∂ xj∂ t

)(S∑

r=1

∂ xj∂ qr

qr +∂ xj∂ t

)

=

S∑

s=1

S∑

r=1

∂ xj∂ qs

∂ xj∂ qr

qsqr + 2∂ xj∂ t

S∑

s=1

∂ xj∂ qs

qs +

(∂ xj∂ t

)2

.

Slican racun za yj i zj daje

y 2j =

S∑

s=1

S∑

r=1

∂ yj∂ qs

∂ yj∂ qr

qsqr + 2∂ yj∂ t

S∑

s=1

∂ yj∂ qs

qs +

(∂ yj∂ t

)2

,

z 2j =

S∑

s=1

S∑

r=1

∂ zj∂ qs

∂ zj∂ qr

qsqr + 2∂ zj∂ t

S∑

s=1

∂ zj∂ qs

qs +

(∂ zj∂ t

)2

.

Uvedu li se pokrate

as,r =1

2

N∑

j=1

mj

(∂ xj∂ qs

∂ xj∂ qr

+∂ yj∂ qs

∂ yj∂ qr

+∂ zj∂ qs

∂ zj∂ qr

)= ar,s,

as =N∑

j=1

mj

(∂ xj∂ t

∂ xj∂ qs

+∂ yj∂ t

∂ yj∂ qs

+∂ zj∂ t

∂ zj∂ qs

),

b =1

2

N∑

j=1

mj

[(∂ xj∂ t

)2

+

(∂ yj∂ t

)2

+

(∂ zj∂ t

)2],

kineticka je energija jednaka

Ek =

S∑

s=1

S∑

r=1

as,r qsqr +

S∑

s=1

as qs + b.

Vidimo da ako je sustav skleronoman (tj. vrijeme se ne pojavljuje eksplicitno)

b ≡ 0, as ≡ 0

i kineticka energija postaje kvadratna funkcija u poopcenim brzinama. U tom slucaju se moze


dalje pisati

Ek =S∑

s=1

S∑

r=1

as,rqsqr

/∂

∂ql

∂Ek∂ql

=S∑

r=1

al,rqr +S∑

s=1

as,lqs

/S∑

l=1

ql

S∑

l=1

∂Ek∂ql

ql =

S∑

l=1

S∑

r=1

al,r ql qr +

S∑

s=1

S∑

l=1

as,l qs ql = 2Ek

Ogranicimo li se na konzervativne sustave kod kojih potencijalna energija ne ovisi o poopcenimbrzinama, a u skladu s gornjim izrazom, za poopcenu kolicinu gibanja dobivamo

ps =∂ L

∂ qs=∂ Ek∂ qs

⇒S∑

s=1

∂Ek∂qs

qs =

S∑

s=1

ps qs = 2Ek

Uvrstimo to u izraz za Hamiltonovu funkciju i dobit cemo

H =

S∑

s=1

psqs − L = 2Ek − (Ek − Ep) = Ek + Ep,

tj.

H = Ek + Ep. (15.9)

Hamiltonova je funkcija zbroj kineticke i potencijalne energije cijelog sus-tava. To je i jednostavan nacin da se napise hamiltonijan sustava.

Konstante gibanjaPokazimo da je H(qs, ps) konstanta gibanja, tj. da se ne mijenja s vremenom. Ako je nestokonstantno u vremenu, tada je njegova potpuna vremenska derivacija jednaka nuli

dH

dt=

S∑

s=1

(∂H

∂qsqs +

∂H

∂psps

)= (15.7) =

S∑

s=1

(−psqs + qsps) = 0,

H(qs, ps) = E = const. (15.10)

CiklicnostAko hamiltonijan ne ovisi o nekoj od poopcenih koordinata, npr. o koordinati qk, tada je

pk = −∂H∂qk

= 0 ⇒ pk = const. (15.11)

pridruzena poopcena kolicina gibanja konstantna u vremenu. Svrha uvodenja hamiltonijana ijeste u tome da se u izrazu za H neke koordinate ne pojavljuju, sto odmah pojednostavljuje


rjesavanje jednadzba gibanja. Poopcene koordinate koje se ne pojavljuju eksplicitno u hamil-tonijanu, zovu se ciklicne koordinate.

Zadatak: 15.1 Koristeci polarni koordinatni sustav, napisite hamiltonijan jedne cestice koja segiba u polju sile opisane potencijalnom energijom Ep(ρ, ϕ). Napisite i Hamiltonovejednadzbe gibanja.

R: Cestica koja se slobodno giba u ravnini ima dva stupnja slobode, a za dvijepoopcene koordinate uzimaju se

q1 = ρ, q2 = ϕ.

Za S = 2 stupnja slobode ce biti 2S = 4 Hamiltonove jednadzbe gibanja. Iz veze spolarnih i pravokutnih koordinata,

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ,

lako se dolazi do izraza za kineticku energiju u polarnom sustavu

Ek =m v2

2=m

2(x 2 + y 2) =

m

2(ρ 2 + ρ2ϕ 2).

Poopcene kolicine gibanja su definirane kao

ps =∂Ek∂qs

, s = 1, 2,

sto u ovom primjeru daje

p1 ≡ pρ =∂Ek∂ρ

= mρ , p2 ≡ pϕ =∂Ek∂ϕ

= mρ2ϕ .

Hamiltonova funkcija ovisi o poopcenim koordinatama i kolicinama gibanja H =H(ρ, ϕ, pρ, pϕ)

H = Ek + Ep =m

2

(p2ρm2

+ ρ2p2ϕm2ρ4

)+ Ep(ρ, ϕ) =

1

2m

(p2ρ +

p2ϕρ2

)+ Ep(ρ, ϕ).

Vidi se da kineticka energija ovisi o varijabli ρ, ali ne ovisi o varijabli ϕ, pa ako je(kao npr. kod centralnih sila) Ep = Ep(ρ), dakle neovisno o kutu ϕ, tada je i cijelihamiltonijan neovisan o ϕ

pϕ = −∂H∂ϕ

= 0 ⇒ pϕ = mρ2ϕ = const.,

tj. ϕ je ciklicna koordinata. Ovu smo velicinu, moment kolicine gibanja L ≡ pϕ,upoznali u poglavlju o centralnim silama, gdje smo na nesto drukciji nacin dokazalinjezinu nepromjenjivost u vremenu. To je ujedno i prva od cetiri Hamiltonove


jednadzbe. Preostale tri su

pρ = −∂H∂ρ

=p2ϕmρ3

− ∂ Ep∂ ρ

,

ρ =∂H

∂pρ=pρm,

ϕ =∂H

∂pϕ=

pϕmρ2

.

15.2 Poissonove zagrade

Slika 15.2: Poisson, SimeonDenis, (1781 - 1840) fran-cuski fizicar i matematicar.

DefinicijaPoissonova zagrada dvije funkcije poopcenih koordinata qs ipoopcenih kolicina gibanja, ps,

F1(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS)

F2(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS)

se definira kao

F1, F2 =S∑

s=1

(∂ F1

∂ qs

∂ F2

∂ ps− ∂ F2

∂ qs

∂ F1

∂ ps

)(15.12)

(S je broj stupnjeva slobode).

SvojstvaIzravnim uvrstavanjem u gornju definicijsku formulu, pokazuju se sli-

15.2. POISSONOVE ZAGRADE 483

jedeca svojstva:

(0) F, c = 0, c = const.,

(1) F, F = 0,

(2) F1, F2 = −F2, F1,

(3) F1 + F2, F3 = F1, F3 + F2, F3,

(4) F, qk = − ∂ F

∂ pk, (15.13)

(5) F, pk =∂ F

∂ qk,

(6) F1 F2, F3 = F1, F3F2 + F1 F2, F3,

(7) F1, F2, F3 + F2, F3, F1 + F3, F1, F2 = 0.

Posljednja od gornjih relacija je poznata kao Jacobijev identitet.

veza s Hamiltonovim jednadzbamaPogledajmo cemu su jednake Poissonove zagrade poopcene koordinate i poopcene kolicinegibanja s Hamiltonovom funkcijom:

qs, H =

S∑

s ′=1

(∂ qs∂ qs ′

∂ H

∂ ps ′

− ∂ H

∂ qs ′

∂ qs∂ ps ′

)

=

S∑

s ′=1

(δs,s ′

∂ H

∂ ps ′

− ∂ H

∂ qs ′

· 0

)

=∂ H

∂ ps= (15.7) = qs, (15.14)

ps, H =

S∑

s ′=1

(∂ ps∂ qs ′

∂ H

∂ ps ′

− ∂ H

∂ qs ′

∂ ps∂ ps ′

)

=

S∑

s ′=1

(0 · ∂ H

∂ ps ′

− ∂ H

∂ qs ′

δs,s ′

)

= −∂ H∂ qs

= (15.7) = ps, (15.15)

gdje smo uvrstili relacije

∂ qs∂ qs ′

= δs,s ′,∂ ps∂ ps ′

= δs,s ′,∂ qs∂ ps ′

= 0,∂ ps∂ qs ′

= 0. (15.16)


Pomocu Poissonovih zagrada (15.14) i (15.15), zakljucujemo da se Hamiltonove kanonske jed-nadzbe gibanja (15.7), mogu napisati u potpuno simetricnom obliku

qs = qs, H, ps = ps, H. (15.17)

Koristeci (15.16), lako je izracunati Poissonove zagrade izmedu samih poopcenih koordinata ipoopcenih kolicina gibanja: one su razlicite od nule samo kada se racunaju izmedu poopcenekoordinate i njoj pridruzene (koje se odnose na isti stupanj slobode) poopcene kolicine gibanja

qk, ql =

S∑

s=1

(∂ qk∂ qs

∂ ql∂ ps

− ∂ ql∂ qs

∂ qk∂ ps

)=

S∑

s=1

(0 − 0

)= 0,

pk, pl =

S∑

s=1

(∂ pk∂ qs

∂ pl∂ ps

− ∂ pl∂ qs

∂ pk∂ ps

)=

S∑

s=1

(0 − 0

)= 0, (15.18)

qk, pl =

S∑

s=1

(∂ qk∂ qs

∂ pl∂ ps

− ∂ pl∂ qs

∂ qk∂ ps

)=

S∑

s=1

(δk,s δs,l − 0

)= δk,l.

Pokazimo jos i kako se ukupna vremenska promjena proizvoljne funkcije

f[qs(t), ps(t); t

],

moze napisati preko Poissonove zagrade (u izvodu se ponovo koriste Hamiltonove kanonskejednadzbe (15.7)):

d f

d t=

S∑

s=1

(∂ f

∂ qsqs +

∂ f

∂ psps

)+∂ f

∂ t

=S∑

s=1

(∂ f

∂ qs

∂ H

∂ ps− ∂ H

∂ qs

∂ f

∂ ps

)+∂ f

∂ t

= f,H +∂ f

∂ t.

Ukoliko funkcija f ne ovisi eksplicitno o vremenu, tada je

d f

d t= f,H. (15.19)

Ako je Poissonova zagrada funkcije i hamiltonijana jednaka nuli, tada je f konstantagibanja. Posebno, ako je f ≡ H , zakljucujemo, kao i ranije u (15.10), da je H konstantagibanja.

15.3 Kanonska preobrazba

U odjeljku 14.9 je pokazano da bazdarna preobrazba ne mjenja (ostavlja invarijantnim) La-grangeove jednadzbe gibanja. U ovom ce se odjeljku uvesti jedna druga preobrazba, kanonska,

15.3. KANONSKA PREOBRAZBA 485

za koju ce se pokazati da ostavlja invarijantnim Hamiltonove kanonske jednadzbe gibanja.

U prethodnim odjeljcima je, relacijom (15.11), uveden pojam ciklicne koordinate kao onekoordinate o kojoj hamiltonijan ne ovisi. Naravno da je od interesa naci takav skup koordinatau kojemu ce biti sto vise ciklicnih koordinata, jer time ostaje manje Hamiltonovih jednadzbakoje treba rijesiti. Naime, tada je jednostavno rjesiti Hamiltonove kanonske jednadzbe gibanja

ps = −∂H∂qs

= 0 ⇒ ps = p0,s = const.

(15.20)

qs =∂H

∂p0,s= const = ωs ⇒ qs = ωs t + q0,s.

Kako bi se dobio sto veci broj ciklicnih poopcenih koordinata, ponekad je zgodno prijeci savarijabli qs i ps (stare varijable) na nove varijable qs, ps za s = 1, 2, · · · , S. Neka su veze starihi novih varijabli oblika

qs = qs(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS, t),(15.21)

ps = ps(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS, t),

qs = qs(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS, t),(15.22)

ps = ps(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS, t).

Hamiltonovu funkciju izrazenu u starim varijablama cemo oznaciti s H(qs, ps), a u novim vari-

jablama s H(qs, ps). Preobrazbu (15.22) nazivamo kanonskom, ako i u novim varijablamavrijede Hamiltonove kanonske jednadzbe gibanja (15.7)

˙ps = −∂H∂qs

, ˙qs =∂H

∂ps(15.23)

Zadatak je

pronaci uvjete koja mora zadovoljavati preobrazba (15.22) da bi bilakanonska.

15.3.1 Funkcija izvodnica kanonske preobrazbe

Da bi preobrazba (15.22) bila kanonska, potrebno je da Hamiltonovo nacelo najmanjeg djelo-vanja (14.32) vrijedi i u starim i u novim varijablama

δ

∫ tk

tp

[S∑

s=1

ps qs −H(qs, ps)

]dt = 0, δ

∫ tk

tp

[S∑

s=1

ps ˙qs − H(qs, ps)

]dt = 0,


odnosno,

δ

∫ tk

tp

[S∑

s=1

(ps qs − ps ˙qs) + (H −H)

]dt = 0.

Gornja ce relacija biti zadovoljena ako je

S∑

s=1

(ps qs − ps ˙qs) + (H −H) =dG

dt,

jer je tada

δ

∫ tk

tp

dG

dtdt = δ

[G(tk) −G(tp)

]= 0.

Ovako uvedena funkcija G se naziva funkcija izvodnica kanonske preobrazbe (ili gen-erator kanonske preobrazbe)

dG =S∑

s=1

(ps qs dt− ps ˙qs dt

)+(H −H

)dt

=S∑

s=1

(ps dqs − ps dqs

)+(H −H

)dt. (15.24)

Funkcija izvodnica G je proizvoljna funkcija 4n + 1 nezavisnih varijabla: 2n starih qs i ps i 2nnovih qs i ps i eventualno vremena t

q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS, q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS, t.

Zbog veza (15.22) nisu sve 4n+1 varijable nezavisne - nezavisno je samo 2n+1 varijabla.Izbor nezavisnih varijabla dijeli izvodnice kanonskih preobrazba u cetiri tipa:

G1 = G1(qs, qs; t) dG1 =S∑

s=1

(∂ G1

∂ qsdqs +

∂ G1

∂ qsdqs

)+∂ G1

∂ tdt,

G2 = G2(qs, ps; t) dG2 =S∑

s=1

(∂ G2

∂ qsdqs +

∂ G2

∂ psdps

)+∂ G2

∂ tdt,

G3 = G3(ps, qs; t) dG3 =

S∑

s=1

(∂ G3

∂ psdps +

∂ G3

∂ qsdqs

)+∂ G3

∂ tdt,

G4 = G4(ps, ps; t) dG4 =

S∑

s=1

(∂ G4

∂ psdps +

∂ G4

∂ psdps

)+∂ G4

∂ tdt.

Neka je funkcija izvodnica G ≡ G1, tada iz gornjeg izraza i (15.24) slijedi

dG1 =S∑

s=1

(∂ G1

∂ qsdqs +

∂ G1

∂ qsdqs

)+∂ G1

∂ tdt = dG =

S∑

s=1

(ps dqs − ps dqs

)+(H −H

)dt,


iz cega slijede relacije

ps =∂ G1

∂ qs, −ps =

∂ G1

∂ qs, H −H =

∂ G1

∂ t. (15.25)

Iz

ps = −∂ G1(qs, qs; t)

∂ qs= ps(qs, qs; t)

se mogu dobiti qs kao funkcije novih varijabla

qs = qs(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS; t). (15.26)

Sada se gornje relacije uvrste u

ps =∂ G1(qs, qs; t)

∂ qs= ps(qs, qs; t)

i ps(qs, qs; t) postajeps = ps(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS; t). (15.27)

Poznavajuci qs = qs(qs, ps; t) i ps = ps(qs, ps; t) i njihovim uvrstavanjem u desnu stranu izraza

H(qs, ps; t) = H(qs, ps; t) +∂ G1(qs, qs; t)

∂ t

dobit ce se H kao funkcija novih varijabla qs i ps.

Drugi tipovi funkcija izvodnica su prikladne Legendreove preobrazbe (pocetak odjeljka 15.1)G1.

G2

d(G1 +

S∑

s=1

qs ps

)=

(G1 −

S∑

s=1

∂ G1

∂ qsqs

)= dG1 +

S∑

s=1

(dqs ps + qs dps

)

=

S∑

s=1

(ps dqs−ps dqs+ps dqs + qs dps

)+(H −H

)dt

=

S∑

s=1

(ps dqs + qs dps

)+(H −H

)dt

= dG2(qs, ps; t),

iz cega slijedi1

G2(qs, ps; t) = G1(qs, qs; t) +

S∑

s=1

qs ps,

1Zapravo je

G2(qs, ps; t) = G1(qs, qs; t) +S∑

s=1

qs ps + const.,

ali se ova konstanta obicno izostavlja.


H = H +∂G2

∂t, ps =

∂G2

∂qs, qs =

∂G2

∂ps. (15.28)

G3

d(G1 −

S∑

s=1

qs ps

)= dG1 −

S∑

s=1

(dqs ps + qs dps

)= dG−

S∑

s=1

(ps dqs + qs dps

)

=

S∑

s=1

(ps dqs − ps dqs − ps dqs − qs dps

)+(H −H

)dt

=

S∑

s=1

(− ps dqs − qs dps

)+(H −H

)dt

= dG3(qs, ps; t),

iz cega slijedi

G3(qs, ps; t) = G1(qs, qs; t) −S∑

s=1

qs ps,

H = H +∂G3

∂t, qs = −∂G3

∂ps, ps = −∂G3

∂qs. (15.29)

G4

d(G1 −

S∑

s=1

qs ps +S∑

s=1

qs ps

)=

S∑

s=1

(− ps dqs − qs dps

)+(H −H

)dt+

S∑

s=1

(ps dqs + qs dps

)

=

S∑

s=1

(− qs dps − qs dps

)+(H −H

)dt

= dG4(ps, ps; t),

iz cega slijedi

G4(ps, ps; t) = G1(qs, qs; t) −S∑

s=1

qs ps +S∑

s=1

qs ps,

H = H +∂G4

∂t, qs = −∂G4

∂ps, qs = −∂G4

∂ps. (15.30)

Primjer: 15.1 Identitet: neka je

G2 =S∑

s ′=1

qs ′ ps ′ = q1 p1 + q2 p2 + · · · + qS pS.

Prema (15.28) je

∂G2

∂t= 0 = H −H , ps =

∂G2

∂qs= ps , qs =

∂G2

∂ps= qs .


Primjer: 15.2 Zamjena: neka je

G1 =

S∑

s=1

qs qs.

Prema (15.25) je

∂G1

∂t= 0 = H −H , ps =

∂G1

∂qs= qs , ps = −∂G1

∂qs= −qs .

U novim varijablama su qs i ps samo zamjenili mjesta, a onaj minus potjece od minusa uHamiltonovim kanonskim jednadzbama (15.7)

qs =∂ H

∂ ps→ −ps =

∂ H

∂ qs,

ps = −∂ H∂ qs

→ ˙qs = − ∂ H

∂ (−ps)=∂ H

∂ ps.

Primjer: 15.3 Jednodimenzijski harmonijski oscilator (jedan stupanj slobode)

G1(q, q, t) =m ω0

2

q2

tan q.

Prema (15.25) je

∂G1

∂t= 0 = H(q, p) −H(q, p) , p =

∂G1

∂q= mω0

q

tan q, p = −∂G1

∂q=mω0

2

q2

sin2 q.

Iz druge dvije od gornjih jednadzba, stare se varijable mogu izraziti preko novih

q =

√2 p

m ω0sin q, p =

√2 m ω0 p cos q. (15.31)

Ovo gore su primjeri opcenitih relacija (15.26) i (15.27).Buduci da je dobiveno

H(q, p) = H(q, p),

a za jednodimenzijski harmonijski oscilator je

H(q, p) =p2

2m+mω2

0

2q2,

to je i (uvrstavanjem (15.31))

H(q, p) =p2

2m+mω2

0

2q2 = ω0 p.


Buduci da se u izrazu za H(q, p) ne pojavljuje q, to je q ciklicna koordinata, pa je premaHamiltonovim kanonskim jednadzbama

− ˙p =∂ H

∂ q= 0,

˙q =∂ H

∂ p= ω0.

Iz prve od gornjih jednadzba je p = p0 = const, pa je i cijeli H konstantan

H = ω0 p0 = E = const,

a iz druge jednadzbe je

q(t) = ω0 t + q0.

Pomocu gornjeg izraza i veza (15.31), dobiva se i rjesenje u starim koordinatama

q =

√2p0mω0

sin(ω0 t+ q0

)

sto prepoznajemo kao harmonijsko titranje oko ravnoteznog polozaja u q = 0.

15.3.2 Infinitezimalna kanonska preobrazba

Promotrimo kanonsku preobrazbu koja se infinitezimalno razlikuje od identicne preobrazbe izprimjera (15.1)

G2(qs, ps; t) =

S∑

s=1

qs ps + ǫ f(qs, ps) + O(ǫ2).

Prema (15.28) je (zanemarujuci clanove reda ǫ2 i vise)

H = H +∂G2

∂t= H , ps =

∂G2

∂qs= ps + ǫ

∂ f(qs, ps)

∂ qs, qs =

∂G2

∂ps= qs + ǫ

∂ f(qs, ps)

∂ ps.

Buduci da su clanovi

ǫ∂ f(qs, ps)

∂ qs, ǫ

∂ f(qs, ps)

∂ ps

vec reda O(ǫ) u njima mozemo u funkciji f zamjeniti p sa p i s tocnoscu od O(ǫ2) napisati

qs = qs + ǫ∂ f(qs, ps)

∂ ps, δqs = qs − qs = ǫ

∂ f(qs, ps)

∂ ps,

ps = ps − ǫ∂ f(qs, ps)

∂ qs, δps = ps − ps = −ǫ ∂ f(qs, ps)

∂ qs.

Prisjetimo li se definicije Poissonovih zagrada (15.12)

F1, F2 =

S∑

s ′=1

(∂ F1

∂ qs ′

∂ F2

∂ ps ′

− ∂ F2

∂ qs ′

∂ F1

∂ ps ′

),


vidimo da se izrazi za δqs i δps mogu napisati i kao

δqs = ǫ qs, f, δps = ǫ ps, f.

Odabere li se za mali parametar ǫ kratki vremneski interval dt, a za funkciju f(qs, ps) se odabereupravo hamiltonova funkcija H(qs, ps), tada funkcija izvodnica kanonske preobrazbe glasi

G2(qs, ps; t) =S∑

s=1

qs ps + dt H(qs, ps) + O(ǫ2),

a jednadzbe za δqs i δps postaju

δqs = dt qs, H, δps = dt ps, H.

No, prema (15.17)

qs = qs, H, ps = ps, H,

gornji izrazi postaju

δqs = dt qs = dqs, δps = dt ps = dps.

Sto fizikalno znace gornje relacije? Hamiltonova funkcija je funkcija izvodnica (generator)vremenske evolucije sustava: ona prevodi sustav iz stanja opisanog sa

qs(t), ps(t)

u trenutku t, u stanje

qs(t + dt) = qs(t) + dqs, ps(t+ dt) = ps(t) + dps

u trenutku t + dt.

Slican se postupak provodi i u odjelju 15.4, gdje stare varijable opisuju sustav u t = 0, a novevarijable opisuju sustav u vremenu t > 0.

15.3.3 Poissonove zagrade i kanonska preobrazba

Kanonske varijable (qs, ps) cine bazu2 2S dimenzijskog faznog prostora u kojemu svaka tockaprostora predstavlja jedno fizicko stanje mehanickog sustava. Kanonska preobrazba

(qs, ps) → (qs, ps)

predstavlja samo zamjenu jedne baze (stare, (qs, ps)) drugom3 (novom, (qs, ps)).

Pokazat cemo da Poissonove zagrade ne ovise o izboru baze 2S dimenzijskog faznog prosotra

F1, F2q,p = F1, F2q,p,

tj. da su Poissonove zagrade invarijantne na kanonske preobrazbe.

2Kao sto vektori ~ex , ~ey , ~ez cine uobicajenu pravokutnu bazu trodimenzijskog prostora.3Kao kada se stara baza ~ex , ~ey , ~ez zakrene za neki kut i dobije se nova baza ~ex ′, ~ey ′, ~ez ′.


Krenimo od Poissonovih zagrada funkcija F1(qs, ps) i F2(qs, ps), napisanih u novim varijablama

F1, F2q,p =S∑

s=1

(∂ F1

∂ qs

∂ F2

∂ ps− ∂ F2

∂ qs

∂ F1

∂ ps

).

No, F1 i F2 su funkcije starih varijablaa qs i ps, pa je (prema pravilu za derivaciju slozenefunkcije)

∂ F1

∂ qs=

S∑

s ′=1

(∂ F1

∂ qs ′

∂ qs ′

∂ qs+∂ F1

∂ ps ′

∂ ps ′

∂ qs

),∂ F2

∂ qs=

S∑

s ′=1

(∂ F2

∂ qs ′

∂ qs ′

∂ qs+∂ F2

∂ ps ′

∂ ps ′

∂ qs

),

∂ F1

∂ ps=

S∑

s ′=1

(∂ F1

∂ qs ′

∂ qs ′

∂ ps+∂ F1

∂ ps ′

∂ ps ′

∂ ps

),∂ F2

∂ ps=

S∑

s ′=1

(∂ F2

∂ qs ′

∂ qs ′

∂ ps+∂ F2

∂ ps ′

∂ ps ′

∂ ps

).

Nakon uvrstavanja gornjih izraza u F1, F2q,p i kraceg sredivanja, dobije se

F1, F2q,p =

S∑

s ′=1

S∑

s ′′=1

[∂ F1

∂ qs ′

∂ F2

∂ qs ′′

qs ′, qs ′′q,p +∂ F1

∂ qs ′

∂ F2

∂ ps ′′

qs ′, ps ′′q,p

+∂ F1

∂ ps ′

∂ F2

∂ qs ′′

ps ′, qs ′′q,p +∂ F1

∂ ps ′

∂ F2

∂ ps ′′

ps ′, ps ′′q,p].

Ukoliko su zadovoljene slijedece relacije:

qs, qs ′q,p = 0, ps, ps ′q,p = 0, qs, ps ′q,p = δs,s ′, (15.32)

tada su Poissonove zagrade funkcija F1 i F2 iste i u starim i u novim varijablama

F1, F2q,p = F1, F2q,p. (15.33)

Izracunajmo sada vremensku promjenu qs. Buduci da je qs = qs(qs ′, ps ′) (bez eksplicitneovisnosti o vremenu), to je vremenska promjena qs dana s

d qsd t

=S∑

s ′=1

(∂ qs∂ qs ′

˙qs ′ +∂ qs∂ qs ′

˙ps ′

). (15.34)

S druge strane, tu istu vremensku promjenu mozemo, kao u (15.19), napisati i preko Poissonovihzagrada u starim varijablama

d qsd t

=qs, H(qs ′, ps ′)

q,p.

Zbog relacija (??) i (15.33), jeqs, H(qs ′, ps ′)

q,p=qs, H(qs ′, ps ′)

q,p,


pa je

d qsd t

=qs, H(qs ′, ps ′)

q,p

=

S∑

s ′=1

(∂ qs∂ qs ′

∂ H

∂ ps ′

− ∂ H

∂ qs ′

∂ qs∂ ps ′

).

Usporedbom gornje relacije s (15.34), dolazi se do zakljucka da je

˙qs =∂ H

∂ ps=qs, H

, ˙ps = −∂ H

∂ qs=ps, H

. (15.35)

tj. ukoliko su zadovoljene relacije (15.32), transformacija (15.22) je kanonska, zato jer i novevarijable zadovoljavaju kanonske jednadzbe gibanja (15.35). Do istog se zakljucka dolazi iracunom vremenske promjene ps

d psd t

=S∑

s ′=1

(∂ ps∂ qs ′

˙qs ′ +∂ ps∂ qs ′

˙ps ′

)

=ps, H(q, p)

q,p

=ps, H(qs ′, ps ′)

q,p

=S∑

s ′=1

(∂ ps∂ qs ′

∂ H

∂ ps ′

− ∂ H

∂ qs ′

∂ ps∂ ps ′

)

⇒ ˙qs =∂ H

∂ ps=qs, H

, ˙ps = −∂ H

∂ qs=ps, H

.

Zakljucujemo da su relacije (15.32) uvjet na preobrazbu (15.22), da bi ona bila kanonska.

Zadatak: 15.2 Provjerite je li preobrazba

q = ln(1 +√q sin p), p = −2(1 +

√q sin p)

√q cos p,

kanonska.

R: Broj stupnjeva slobode je S = 1. Prve dvije Poissonove zagrade iz (15.32)su ocito zadovoljene, pa preostaje izracunati trecu

q, pq,p =∂ q

∂ q

∂ p

∂ p− ∂ p

∂ q

∂ q

∂ p

∂ q

∂ q=

sin p

2√q(1 +

√q sin p)

,

∂ q

∂ p=

√q cos p

1 +√q sin p

,

∂ p

∂ q= − sin p cos p− (1 +

√q sin p) cos p√q

,

∂ p

∂ p= −2q cos2 p+ 2(1 +

√q sin p)

√q sin p.


Izravno uvrstavanje gornjih parcijalnih derivacija u izraz za Poissonovu zagradu,daje

q, pq,p = 1,

cime je pokazano da je preobrazba kanonska.

Zadatak: 15.3 Izracunajte Poissonove zagrade komponenata momenta kolicine gibanja.

R: Moment kolicine gibanja

~L = ~r × ~p

u pravokutnom koordinatnom sustavu ima slijedece komponente

Lx = y pz − z py,

Ly = z px − x pz,

Lz = x py − y px.

Izracunajmo redom slijedecih sest Poissonovih zagrada (ostale se dobiju osobinomantisimetrije (2) iz (15.13))

Lx, Lx, Lx, Ly, Lx, Lz,

Ly, Ly, Ly, Lz,

Lz, Lz.

Svojstvom (1) iz (15.13) je

Lx, Lx = Ly, Ly = Lz, Lz = 0,

pa preostaju za izracunati samo tri Poissonove zagrade. Izracunajmo

Lx, Ly =∂ Lx∂ x

∂ Ly∂ px

− ∂ Ly∂ x

∂ Lx∂ px

+∂ Lx∂ y

∂ Ly∂ py

− ∂ Ly∂ y

∂ Lx∂ py

+∂ Lx∂ z

∂ Ly∂ pz

− ∂ Ly∂ z

∂ Lx∂ pz

= x py − y px = Lz.


Lx, Lz =∂ Lx∂ x

∂ Lz∂ px

− ∂ Lz∂ x

∂ Lx∂ px

+∂ Lx∂ y

∂ Lz∂ py

− ∂ Lz∂ y

∂ Lx∂ py

+∂ Lx∂ z

∂ Lz∂ pz

− ∂ Lz∂ z

∂ Lx∂ pz

= −(z px − x pz) = −Ly.

Ly, Lz =∂ Ly∂ x

∂ Lz∂ px

− ∂ Lz∂ x

∂ Ly∂ px

+∂ Ly∂ y

∂ Lz∂ py

− ∂ Lz∂ y

∂ Ly∂ py

+∂ Ly∂ z

∂ Lz∂ pz

− ∂ Lz∂ z

∂ Ly∂ pz

= y pz − z py = Lx.

Ili, krace,

Lα, Lβ =∑

γ=x,y,z

ǫα,β,γ Lγ .

Gornji rezultati vode na zakljucke: buduci da Poissonove zagrade komponenatakolicine gibanja ne iscezavaju,- najvise jedna komponenta momenta kolicine gibanja se moze odabrati za poopcenukoordinatu;- najvise jedna komponenta momenta kolicine gibanja se moze odabrati za poopcenukolicinu gibanja;- nijedne dvije komponente momenta kolicine gibanja ne mogu biti par kanonskikonjugiranih varijabla.Slicni zakljucci vrijede i u kvantnoj mehanici.

Zadatak: 15.4 Izracunajte Poissonove zagrade kvadrata momenta kolicine gibanja s kompo-nenata momenta kolicine gibanja.

R: Kvadrat momenta kolicine gibanja je

~L 2 = L2x + L2

y + L2z,

L2x = y2 p2z − 2 y z py pz + z2 p2y,

L2y = z2 p2x − 2 z x pz px + x2 p2z,

L2z = x2 p2y − 2 x y px py + y2 p2x.


a trazene Poissonove zagrade su

~L 2, Lx = L2x + L2

y + L2z, Lx = L2

x, Lx + L2y, Lx + L2

z, Lx,

~L 2, Ly = L2x + L2

y + L2z, Ly = L2

x, Ly + L2y, Ly + L2

z, Ly,

~L 2, Lz = L2x + L2

y + L2z, Lz = L2

x, Lz + L2y, Lz + L2

z, Lz.Izravnim uvrstavanjem se dobiva

L2x, Lx = 0,

L2y, Lx = 2 y z p2x − 2 x y px pz − 2 x z px py + 2 x2 py pz,

L2z, Lx = 2 x z px pz − 2 y z p2x − 2 x2 py pz + 2 x y px pz,

⇒ ~L 2, Lx = 0.

Slicnim se racunom dolazi i do

~L 2, Ly = ~L 2, Lz = 0

Gornji rezultati vode na zakljucke: buduci da Poissonove zagrade |~L | s bilo kojomkomponenatom kolicine gibanja iscezavaju,- |~L | i bilo koja komponenta momenta kolicine gibanja se moze odabrati za poopcenukoordinatu;- |~L | i bilo koja komponenta momenta kolicine gibanja se moze odabrati za poopcenukolicinu gibanja;- |~L | i bilo koja komponente momenta kolicine gibanja mogu biti par kanonskikonjugiranih varijabla.Slicni zakljucci vrijede i u kvantnoj mehanici.

15.4 Hamilton-Jacobijeva jednadzba

Relacijama (15.25), (15.28), (15.29), (15.30), je pokazano da funkcija izvodnica G generira novi

hamiltonijan H relacijom oblika

H = H +∂ G

∂ t. (15.36)

Ako postoji funkcija izvodnica G takva da je

H = 0, (15.37)

tada je, prema (15.23)

˙qs =∂H

∂ps= 0 ⇒ qs(t) = qs(0) = const. ≡ αs ,

(15.38)

˙ps = −∂H∂qs

= 0 ⇒ ps(t) = ps(0) = const. ≡ βs .

15.4. HAMILTON-JACOBIJEVA JEDNADZBA 497

Ove konstante su upravo vrijednosti koordinata i kolicina gibanja u nekom odabranom pocetnomtrenutku t = 0

αs ≡ qs(t = 0), βs ≡ ps(t = 0).

Jacobijeva je ideja bila da se vremenska evolucija mehanickog sustava od trenutka t = 0 dotrenutka t 6= 0 shvati kao kanonska preobrazba generirana funkcijom G, koja prevodi starevarijable qs(t), ps(t) u te iste varijable, ali u pocetnom trenutku

qs(t), ps(t) −→ qs(0), ps(0)

(usporediti s poglavljem 15.3.2 o infinitezimalnoj kanonskoj preobrazbi).Pomocu ovih konstanata i veza (15.22) starih i novih koordinata i kolicina gibanja, dobivaju sestare varijable kao funkcije ovih konstanata i vremena

qs = qs(qs ′, ps ′, t) = qs(αs ′, βs ′, t),

(15.39)

ps = ps(qs ′, ps ′, t) = ps(αs ′, βs ′, t).

Gornjim je jednadzbama rijesen problem gibanja mehanickog sustava. Dakle, potrebno je

rednaci funkciju izvodnicu G koja vodi na (15.37),a zatim primjeniti gore opisani postupak da bi se doslo do rjesenja (15.39). Iz (15.36) se vidida je trazena funkcija G rjesenje parcijalne diferencijalne jednadzbe

H(qs, ps; t) +∂ G

∂ t= 0. (15.40)

Odabere li se za funkciju izvodnicu jedna od funkcija tipa G2 koja je funkcija starih koordinatai novih kolicina gibanja (koji su, prema (15.38) konstante)

G = G2(qs, ps; t) = G2(qs, βs; t),

tada je, prema (15.28),

ps =∂ G

∂ qs, αs =

∂ G

∂ βs, (15.41)

pa jednadzba (15.40) postaje

H

(qs,

∂ G

∂ qs; t

)+∂ G(qs, βs; t)

∂ t= 0. (15.42)

Gornja se jednadzba zove Hamilton-Jacobijeva jednadzba. To je parcijalna diferencijalnajednadzba prvog reda (ne nuzno linearna) za nepoznatu funkciju G. Njezino rjesenje, G,

G = G(q1, q2, · · · , qS, β1, β2, · · · , βS; t)

sadrzi S + 1 nezavisnu varijablu

q1, q2, · · · , qS, t.


Fizicko znacenje funkcije izvodnice GIzracunajmo potpunu vremensku derivaciju funkcije izvodnice G(q1, q2, · · · , qS, β1, β2, · · · , βS; t)

dG

d t=

S∑

s=1

∂ G

∂ qsd qs +

∂ G

∂ t.

No, prema (15.40) i (15.41), gornji izraz prelazi u

dG

d t=

S∑

s=1

ps qs −H = (15.6) = L

/ ∫ t

0

d t

G(q1, q2, · · · , qS, β1, β2, · · · , βS; t) −G(0) =

∫ t

0

L(q1, q2, · · · , qS, q1, q2, · · · , qS; t) d t = (14.31)

= S (q1, q2, · · · , qS, q1, q2, · · · , qS; t)

= S (q1, q2, · · · , qS, β1, β2, · · · , βS; t).

Ovaj posljednji redak u gornjoj jednadzbi dolazi zato sto su u Hamiltonovom formalizmu svefunkcije, pa tako i sve brzine qs, funkcije koordinata i kolicina gibanja. Ako su kolicine gibanjakonstantne i jednake βs, onda su sve funkcije ovisne o qs i βs kao sto i pise gore.Trazena funkcija izvodnica koja povezuje koordinate i kolicine gibanja u pocetnom trenutkut = 0 s koordinatama i kolicinama gibanja u proizvoljnom trenutku t je upravo (do na konstantuG(0)) funkcija djelovanja S izracunata izmedu ta dva vremenska trenutka.Od sada pa nadalje ce se za funkciju izvodnicu umjesto G koristiti oznaka S .

Hamiltonijan neovisan o vremenu... promijeniti oznake ...G u S ...Ukoliko H ne ovisi eksplicitno o vremenu

H = H

(qs,

∂ S∂ qs

),

tada Hamilton-Jacobijeva jednadzba (15.42) glasi

H

(qs,

∂ S∂ qs

)= −∂ S (qs, βs; t)

∂ t.

Pretpostavi li se rjesenje za S u obliku

S (q1, q2, · · · , qS, β1, β2, · · · , βS; t) = S q(q1, q2, · · · , qS, β1, β2, · · · , βS) −E(β1, β2, · · · , βS) t,

gdje je S + 1-va konstanta βS+1 oznacena s E. Tada je

∂ S∂ qs

=∂ S q

∂ qs,

∂ S∂ t

= −E = −βS+1 (15.43)

i Hamilton-Jacobijeva jednadzba prelazi u

H

(qs,

∂ S q

∂ qs

)= E.


Funkcija S q se naziva karakteristicna Hamiltonova funkcija.

Prema (15.9) je Hamiltonova funkcija jednaka zbroju kineticke i potencijalne energije, pa gornjajednadzba u pravokutnim koordinatama (za jednu cesticu) glasi

1

2m

[(∂ S q

∂ x

)2

+

(∂ S q

∂ y

)2

+

(∂ S q

∂ z

)2]

+ Ep(x, y, z) = E.

(Sjetimo se da je ps = ∂ S q / ∂ qs.)Kada Hamiltonova funkcija ne ovisi eksplicitno o vremenu, pogodno je funkciju izvodnicuprikazati na jedan od slijedeca dva nacina

S = S 1(q1) + S 2(q2) + · · · + S S(qS) + S S+1(t), (15.44)

S = S 1(q1) · S 2(q2) · · · · · S S(qS) · S S+1(t). (15.45)

Tim se postupkom jedna parcijalna diferencijalana jednadzba prevodi u S + 1 obicnu diferen-cijalnu jednadzbu.

Zadatak: 15.5 Postavite i rijesite Hamilton-Jacobijevu jednadzbu za gibanje slobodne cestice.

R: Cestica je slobodna kada se ne nalazi u polju sile, pa je prema tome njezinhamiltonijan jednak kinetickoj energiji

H =p2x + p2y + p2z

2m

Buduci da hamiltonijan ne ovisi o koordinatama, sve S = 3 koordinate x, y, z suciklicne i njima pridruzene kolicine gibanja px, py, pz su stoga konstante

H =p2x(0) + p2y(0) + p2z(0)

2m=β2x + β2

y + β2z

2m= E(βx, βy, βz),

pa je konstantna i energija

βS+1 = E.

Primjenom relacije (15.41), Hamilton-Jacobijeva jednadzba glasi

1

2m

[(∂ S∂ x

)2

+

(∂ S∂ y

)2

+

(∂ S∂ z

)2]

+∂ S∂ t

= 0.

Kako hamiltonijan ne ovisi o vremenu i sve su koordinate ciklicne, prirodno jepotraziti S u obliku (15.44)

S (x, y, z, βx, βy, βz; t) = S x(x) + S y(y) + S z(z) + S t(t).

Pretpostavimo li, kao najjednostavnije, da su sve funkcije S linearne u svojim var-ijablama

S x(x) = x βx, S y(y) = y βy, S z(z) = z βz, S t(t) = −t E,


(gdje su vrijednosti konstanata srazmjernosti unaprijed dobro odabrane), Hamilton-Jacobijeva jednadzba prelazi u

β2x + β2

y + β2z

2m= E,

sto znamo da vrijedi, pa je prema tome rjesenje Hamilton-Jacobijeve jednadzbeslobodne cestice

S (x, y, z, βx, βy, βz; t) = x βx + y βy + z βz − t E.

Trajektorije slobodne cestice su ... dovrsiti

Zadatak: 15.6 Postavite i rijesite Hamilton-Jacobijevu jednadzbu za gibanje jednodimenzijskogharmonijskog oscilatora.

R:

H =p2

2m+mω2

0

2q2 = (15.43) =

1

2m

(∂ S q

∂ q

)2

+mω2

0

2q2

i Hamilton-Jacobijeva jednadzba glasi

1

2m

(∂ S q

∂ q

)2

+mω2

0

2q2 = E.

Iz gornje jednadzbe je

p =∂ S q

∂ q=

√(E − mω2

0

2q2)

2m

S q(q, E) =

∫ q

q0

√(E − mω2

0

2q ′ 2)

2m d q ′

S (q, E; t) =

∫ q

q0

√(E − mω2

0

2q ′ 2)

2m d q ′ −E t.

Iz (15.41) je S = S (q, β; t) pa konstantnu poopcenu kolicinu gibanja β prepozna-jemo kao E

α =∂ S∂ β

≡ ∂ S∂ E

=1

ω0

∫ q

q0

d q ′√

2Eω20/m− q ′ 2

− t

α + t =1

ω0

[arccos

(√mω2

0

2Eq

)− arccos

(√mω2

0

2Eq0

)]

Uvodenjem pokrate

ϕ0 ≡1

ω0

arccos

(√mω2

0

2Eq0

),


rjesenje za polozaj harmonijskog oscilatora je

q =

√2E

mω20

cos [ω0(α + t) − ϕ0] .

Dvije integracijske konstante E i ω0α− ϕ0 se odreduju iz pocetnih uvjeta.

Zadatak: 15.7 Koristeci Hamilton-Jacobijevu metodu, rijesite Keplerov problem gibanja cesticeu polju centralne sile inverznog kvadrata.

R:

H =1

2m

(p2ρ +

p2ϕρ2

)− K

ρ.

Hamiltonijan ne ovisi o koordinati ϕ, tj. ona je ciklicna koordinata i zato jepridruzena kolicina gibanja konstantna (Hamiltonova kanonska jednadzba (15.20) )

pϕ = − ∂ H

∂ ϕ= 0 pϕ(t) = pϕ(0) = const. ≡ β2.

Centralna sila je konzervativna, pa je i ukupna mehanicka energija sacuvana

H = E = const. ≡ β3.

Prema (15.40) (i promjenom oznake G → S ) je

E +∂ S∂ t

= 0∂ S∂ t

= −β3

Buduci da je

pρ =∂ S∂ ρ

, pϕ =∂ S∂ ϕ

= β2,

Hamilton-Jacobijeva jednadzba glasi

1

2m

[(∂ S (ρ)

∂ ρ

)2

+β22

ρ2

]− K

ρ− β3 = 0.

U skladu s (15.44) , rjesenje gornje jednadzbe se trazi u obliku

S (ρ, t) = S 1(ρ) + S 2(ϕ) + S 3(t) = S 1(ρ) + β2 ϕ− β3 t+ c0.

... dovrsiti ...

Veza s kvantnom mehanikomHamilton-Jacobijeva jednadzba za sustav s jednim stupnjem slobode glasi

1

2m

(∂ S q

∂ q

)2

+ Ep(q) = E. (15.46)


U kvantnoj mehanici se Schrodingerova jednadzba

H ψ = E ψ,

dobiva tako da se u hamiltonijanu kolicina gibanja p zamjeni diferencijalnim operatorom

p −→ −ı ~ ∂

∂ q,

tako da vremenski neovisna (stacionarna) Schrodingerova jednadzba glasi

1

2m

(−ı ~ ∂

∂ q

)2

ψ + Ep(q)ψ = E ψ.

Definirajmo funkciju χ(q) relacijom

ψ(q) = eı χ(q)/~.

Tada je

∂2 ψ

∂ q2=

[∂2 χ

∂ q2+ı

~

(∂ χ

∂ q

)2]ı

~eı χ/~

i Schrodingerova jednadzba prelazi u

−ı ~2m

∂2 χ

∂ q2+

1

2m

(∂ χ

∂ q

)2

+ Ep(q) = E.

U klasicnoj granici

~ → 0,

Gornja jednadzba prelazi u Hamilton-Jacobijevu jednadzbu (15.46) uz

S q ≡ χ.

Ovime je pokazano da je Hamilton-Jacobijeva jednadzba, klasicna granica ( to znaci ~ → 0)kvantnomehanicke stacionarne Schrodingerove jednadzbe.

15.4.1 Fazni integrali - djelovanje i kutne varijable

Slika 15.3: Projekcija trajektorijereprezentativne tocke na ravninu(qs, ps).

Gibanje mehanickog sustava u realnom vremenu i prostoru,opisano je gibanjem reprezentativne tocke u 2S dimenzijskomfaznom prostoru. Ako je projekcija putanje reprezentativne tockena bilo koju od (qs, ps) ravnina u faznom prostoru, zatvorenakrivulja, Cs, takav se mehanicki sustav naziva periodickimehanicki sustav (slika 15.3).Linijski integral

Js =

∮

Csps d qs

po zatvorenoj krivulji sa slike 15.3, se naziva fazni integral ilivarijabla djelovanja. Neka je S rjesenje Hamilton-Jacobijeve jed-nadzbe (15.42)

S = S (q1, q2, · · · , qS, β1, β2, · · · , βS; t).

... dovrsiti ...

15.5. LIOUVILLEOV TEOREM 503

15.5 Liouvilleov teorem

Slika 15.4: Joseph Liouville (24. III 1809. –8. IX 1882.) francuski matematicar.

U ovom ce se odjeljku dokazati Liouville-ov teo-rem, koji je od velike vaznosti u klasicnoj statistickojfizici, jer tvrdi da je gustoca reprezentativnih tocakastatistickog ansambla konstantna u vremenu. Ili,drugim rijecima, gibajuci se zajedno s reprezenta-tivnom tockom u faznom prostoru, opazac ce u svo-joj okolini uvijek opazati istu gustocu reprezentativnihtocaka .

Jedan sustavNeka je zadan konzervativni sustav cestica sa S stup-njeva slobode. Svako mehanicko stanje sustava jejednoznacno odredeno zadavanjem vrijednosti svih polozaja qs i svih kolicina gibanja ps cesticasustava, za s = 1, 2, · · · , S. Uvede li se pojam faznog prostora ili (q, p) prostora kao 2S-dimenzijskog prostora cije su koordinate qs i ps, tada se svako mehanicko stanje sustava mozepredociti jednom tockom u faznom prostoru. Takva se tocka

(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS)

naziva reprezentativna tocka. Vrijedi i obrat: svakoj reprezentativnoj tocki faznog pros-tora, odgovara jedno mehanicko stanje sustava. Gibanju sustava u realnom trodimenzijskomprostoru, odgovara gibanje reprezentativne tocke u 2S-dimenzijskom faznom protoru. Gibanjase odvijaju u skladu s Hamiltonovim jednadzbama gibanja

ps = −∂H∂qs

, qs =∂H

∂ps,

a putanja reprezentativne tocke se zove fazna putanja ili fazna trajektorija.Primjetimo da je brzina reprezentativne tocke 2S - dimenzijski vektor ~v cije su komponente

d qsd t

,d psd t

, s = 1, 2, 3, · · · , S,

a iznos je

∣∣∣~v∣∣∣ =

√√√√S∑

s=1

(d qsd t

)2

+

S∑

s=1

(d psd t

)2

=

√√√√S∑

s=1

(∂H

∂ps

)2

+

S∑

s=1

(∂H

∂qs

)2

.

Smjer brzine je smjer tangente na trajektoriju reprezentativne tocke. Ako hamiltonijan ovisi ovremenu, i brzina ovisi o vremenu

~v = ~v(qs, ps; t),

a ako hamiltonijan ne ovisi o vremenu, niti brzina nece ovisiti o vremenu tj. gibanje reprezen-tativne tocke ce biti stacionarno

~v = ~v(qs, ps).


Vise sustavaPromatrajmo vrlo velik broj

N >> 1

konzervativnih mehanickih sustava (statisticki ansambl), koji su svi opisani istim hamiltoni-janom H , ali koji imaju razlicite pocetne uvjete. Buduci da su sustavi po pretpostavcikonzervativni, H je konstanta gibanja jednaka ukupnoj mehanickoj energiji sustava

H(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS) = En = const. (15.47)

Vrijednost ove konstante ovisi o pocetnim uvjetima i razlikuje se za pojedine sustave

E1, E2, · · · , EN .

No, jednadzba (15.47) predstavlja jednadzbu (2S−1)-dimenzijske hiperplohe u 2S-dimenzijskomfaznom prostoru4. Pretpostavimo da energije

En, n = 1, 2, · · · , N

svih N sustava leze izmedu neke dvije konstantne vrijednosti koje cemo oznaciti s E< i E>

E< < En < E>.

Tada ce i fazne putanje svih sustava lezati u dijelu faznog prostora omedenog s dvije hiperplohecije jednadzbe glase

H = E< , H = E>

(slika 15.5). Buduci da razliciti sustavi imaju i razlicite pocetne uvjete, oni ce se i gibati po ra-zlicitim putanjama u faznom prostoru. Zamislimo da su u pocetnom trenutku t = 0, reprezenta-tivne tocke svih N sustava sadrzane u dijelu faznog prostora oznacenom s Γ0. Kako vrijeme pro-lazi, reprezentativne tocke se gibaju dijelom faznog prostra ogranicenog hiperplohama H = E<i H = E> i nakon vremena t sve ce se one naci u dijelu faznog prostora oznacenom s Γt. Npr.reprezentativna tocka nekog odredenog sustava se premjestila iz tocke A u tocku B. Premasamom izboru podrucja Γ0 i Γt, jasno je da oba sadrze isti broj, N , reprezentativnih tocaka.Uvedimo sada jedan nov pojam: gustoca reprezentativnih tocaka. Gustoca reprezen-tativnih tocaka se definira poput gustoca s kojima smo se vec susretali 5: kao omjer kolicinemase, naboja ili cega slicnog i prostora u kojemu se ta masa ili naboj nalaze. Promatrajmo, utrenutku t, tocku faznog prostora definirani s 2S poopcenih koordinata (q1, · · · , qS, p1, · · · , pS).Promjena svake od koordinata za infinitezimalni iznos dqs

q1 → q1 + dq1, · · · qS → qS + dqS, p1 → p1 + dp1, · · · pS → pS + dpS,

definira diferencijal volumena u faznom prostoru koji cemo oznaciti s

dΓ = dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS.4Slicno kao sto npr.

x2 + y2 + z2 = R2 = const.

, predstavlja jednadzbu 2D plohe - tocnije: sfere - u obicnom 3D prostoru.5Sjetimo se npr. definicije gustoce mase

ρm(~r) =dm

dV,

gdje je dm kolicina mase sadrzana u infinitezimalnom volumenu dV u okolici tocke ~r.


Slika 15.5: Shematski prikaz faznih putanja u faznom prostoru.

Ako se u trenutku t unutar dΓ nalazi dN reprezentativnih tocaka, tada se gustoca reprezenta-tivnih tocaka definira slicno kao i obicna masena gustoca

ρ =dN

dΓ. (15.48)

Primjetimo da je gornja gustoca funkcija svih poopcenih koordinata, svih poopcenih kolicinagibanja i vremena

ρ = ρ(q1, · · · , qS, p1, · · · , pS; t),

kao i da osim eksplicitne ovisnosti o vremenu, ρ ovisi o vremenu i kroz qs = qs(t) i ps = ps(t).Vratimo se sada opet podrucjima Γ0 i Γt koja, po definiciji, sadrze isti broj reprezentativnihtocaka.

Liouville-ov teoremtvrdi da su i sami 2S-dimenzijski volumeni Γ0 i Γt istog iznosa, ili, drukcije receno, gustocareprezentativnih tocaka je konstantna u vremenu. Ako je nesto konstantno, ondase to ne mijenja u vremenu, pa mora biti

d ρ

d t= 0. (15.49)

Prisjetimo li se da ρ moze ovisiti o vremenu eksplicitno, ali i implicitno kroz qs = qs(t) ips = ps(t), tada gornji izraz glasi

d ρ

d t≡

S∑

s=1

(∂ρ

∂qsqs +

∂ρ

∂psps

)+∂ρ

∂t= 0.


Nakon sto dokazemo gornju tvrdnju, o reprezentativnim tockama mozemo razmisljati kao ocesticama nestlacivog (zato jer mu je gustoca konstantna) fluida, koje se u skladu s Hamiltonovimjednadzbama gibaju kroz fazni prostor6. Dokazimo sada Liouville-ov teorem.Svaka se reprezentativna tocka giba u skladu s Hamiltonovim jednadzbama gibanja. Kao rezul-tat tog gibanja, mijenja se i gustoca reprezentativnih tocaka. Zanima nas vremenska promjenagustoce reprezentativnih tocaka u okolici dane tocke faznog prostora. U kratkom vremenskom

Slika 15.6: Uz dokaz Liouvilleovog teorema: promjena faznog volumena za danu promjenu varijable qs.

intervalu dt, broj cestica unutar faznog volumena dΓ ce se, prema definiciji (15.48), promjenitiza mali iznos

dN(t+ dt) = ρ(t+ dt) dΓ , dN(t) = ρ(t) dΓ,

dN(t+ dt) − dN(t) =[ρ(t + dt) − ρ(t)

]dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS

=

(∂ρ

∂tdt

)dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS. (15.50)

Ova promjena dolazi od reprezentativnih tocaka koje ulaze i izlaze iz malog volumena uokolici dane tocke faznog prostora u vremenskom intervalu dt. Prije nego izracunamo brojcestica koje ulaze i izlaze iz malog faznog volumena, prisjetimo se da sada sve funkcije shvacamokao funkcije od qs i ps. Tako je npr. i brzina

qs = qs(q1, · · · , qS, p1, · · · , pS).

Radi jednostavnosti, zapocet cemo racun tako sto cemo promatrati promjenu broja cesticau faznom volumenu uslijed njihova protoka kroz samo jednu plohu i to onu definiranu jed-nadzbom qs = const. Sve ostale koordinate (njih 2S − 1) cemo, za sada, izostaviti.ulaz:Broj reprezentativnih tocaka koje ulaze u promatrani volumen (lijevi zasjenjeni dio) kroz plohu

6Bas kao sto se i cestice pravog nestlacivog fluida gibaju u pravom prostoru.


qs = const., je jednak broju reprezentativnih tocaka sadrzanih unutar povrsine koja je jednaka

dps · dt qs(qs, ps)

i oznacene je s ulaz na slici 15.6. Svi ostali diferencijali koordinata se ne mjenjaju, pa je ukupnapromjena faznog volumena jednaka

dq1 · · · qs(qs,ps) dt · · ·dqS dp1 · · ·dps · · · dpS.

Pomnozi li se ovaj fazni volumen s gustocom u okolici promatrane tocke faznog prostora, dobitce se broj reprezentativnih tocaka koje su u vremenskom intervalu dt usle u promatrani elementfaznog volumena (radi preglednije notacije, kao argumente funkcija necemo navoditi svih 2Skoordinata plus vrijeme, nego samo koordinate od interesa u danom postupku)

dNulaz,qs = ρ(qs) dq1 · · · qs(qs) dt · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS.

izlaz:Racun broja izlaznih reprezentativnih tocaka radimo na isti nacin kao i za ulazne, s tom razlikomsto sada, umjesto u okolici tocke qs, sve velicine racunamo u okolici tocke qs + dqs . Brojreprezentativnih tocaka koje izlaze iz promatranog volumena (desni zasjenjeni dio) kroz plohuqs + dqs = const., je jednak broju reprezentativnih tocaka sadrzanih unutar povrsine oznacenes izlaz na slici 15.6, a koja je jednaka

dps · dt qs(qs + dqs).

Ponovo, sve ostale diferencijale koordinata drzimo nepromjenjenim, pa je ukupna promjenafaznog volumena jednaka

dq1 · · · qs(qs + dqs) dt · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS.

Pomnozi li se ovaj fazni volumen s gustocom u okolici tocke qs + dqs, dobit ce se broj reprezen-tativnih tocaka koje su u vremenskom intervalu dt izasle iz promatranog elementa faznog vol-umena

dNizlaz,qs+dqs = ρ(qs + dqs) dq1 · · · qs(qs + dqs) dt · · · dqSdp1 · · ·dps · · · dpS.

Sada je potrebno gornju gustocu ρ(qs +dqs) i brzinu qs(qs+dqs) razviti u Taylorov red u okolicitocke qs po maloj velicini dqs i zadrzati se na vodecem (linearnom) clanu razvoja:

ρ(qs + dqs) = ρ(qs) + dqs∂ ρ(qs)

∂ qs+ O

[(dqs)

2]

qs(qs + dqs) = qs(qs) + dqs∂ qs(qs)

∂ qs+ O

[(dqs)

2].

Kada gornje razvoje uvrstimo u izraz za dNizlaz,qs+dqs, medusobno pomnozimo i zadrzimo se na


clanovima linearnim u dqs, dobit cemo

dNizlaz,qs+dqs = ρ(qs) dq1 · · · qs(qs) dt · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS

+ ρ(qs) dq1 · · · dqs∂qs(qs)

∂qs

dt · · ·dqSdp1 · · ·dps · · · dpS

+ dqs∂ρ(qs)

∂qs

dq1 · · · qs(qs)dt · · ·dqSdp1 · · · dps · · · dpS

+ O[(dqs)

2]

Promjena broja reprezentativnih tocaka u promatranom faznom volumenu je jednaka razlicibroja reprezentativnih tocaka koje su usle i koje su izasle iz promatranog faznog volumena

dNulaz,qs − dNizlaz,qs+dqs = −(∂qs∂qs

ρ+ qs∂ρ

∂qs

)dq1 · · · dqs · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS dt

= −∂ (qsρ)

∂qsdq1 · · · dqs · · · dqSdp1 · · · dps · · · dpS dt

= −∂ (qsρ)

∂qsdΓ dt.

Ovo je doprinos promjeni broja reprezentativnih tocaka u volumenu dq1 · · · dpS uslijed ulaskareprezentativnih tocaka kroz plohu qs = const i izlaska kroz plohu qs + dqs = const. Potpunoistim postupkom se dolazi do odgovarajucih izraza za promjenu broja reprezentativnih tocakauslijed njihovog prolaska kroz sve ostale plohe qs = const., a isto tako i plohe ps = const. (ufaznom prostoru su qs i ps potpuno ravnopravne koordinate). Zbroj po s = 1, 2, · · · , S svihovih promjena broja reprezentativnih tocaka, daje ukupnu promjenu broja reprezentativnihtocaka unutar faznog volumena dΓ ≡ dq1 · · · dpS u vremenu dt

dN(t + dt) − dN(t) = −S∑

s=1

[∂

∂qs(qsρ) +

∂

∂ps(psρ)

]dΓ dt

No, prema (15.50), lijeva strana gornjeg izraza je jednaka (∂ρ/∂t) dΓ dt, pa njihovim iz-jednacavanjem,

∂ρ

∂tdΓ dt = −

S∑

s=1

[∂

∂qs(qsρ) +

∂

∂ps(psρ)

]dΓ dt,

dobivamo

∂ρ

∂t= −

S∑

s=1

[∂

∂qs(qsρ) +

∂

∂ps(psρ)

]= −

S∑

s=1

(∂ρ

∂qsqs +

∂qs∂qs

ρ +∂ρ

∂psps +

∂ps∂ps

ρ

).

Uvrstavanjem Hamiltonovih kanonskih jednadzba gibanja (15.7), u drugi i cetvrti clan desne


strane gornjeg izraza, dobiva se

∂ρ

∂t= −

S∑

s=1

[∂ρ

∂qsqs +

∂2H

∂qs ∂psρ +

∂ρ

∂psps −

∂2H

∂qs ∂psρ

],

∂ρ

∂t+

S∑

s=1

(∂ρ

∂qsqs +

∂ρ

∂psps

)= 0.

No, lijeva strana gornje jednakosti nije nista drugo do potpuna vremenska derivacija gustocereprezentativnh tocaka, tj.

d ρ

d t= 0,

cime je dokazano da je ona vremenska konstanta.

15.5.1 Kanonska preobrazba i Liouvilleov teorem

Osim na gore izlozeni nacin, Liouvilleov se teorem moze dokazati i nesto formalnijim putem,koristeci kanonsku preobrazbu.

Naime, vezano za kanonsku preobrazbu iz prethodnog odjeljka, Liouvilleov teorem se mozeiskazati i kao tvrdnja da kanonska preobrazba ne mijenja fazni volumen.

Neka su dva skupa koordinata (qs, ps) i (qs, ps)

qs = qs(qs ′, ps ′), ps = ps(qs ′, ps ′).

povezana kanonskom preobrazbom, tako da za njih vrijedi (15.32)

qs, qs ′q,p = 0, ps, ps ′q,p = 0, qs, ps ′q,p = δs,s ′.

U simbolickom zapisu, tvrdnja da su fazni volumeni u koordinatama (qs, ps) i koordinatama(qs, ps) isti, znaci da je

∫dΓq,p =

∫dΓq,p

∫dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS =

∫dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS. (15.51)

No, poznato je (navesti referencu) da se veza medu diferencijalima dva skupa koordinata,ostvaruje pomocu jakobijana

dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS =∣∣∣ J

∣∣∣ dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS,


gdje je J jakobijan prijelaza s koordinata (qs, ps) na koordinate (qs, ps)

J =∂(q1, q2, · · · , pS)

∂(q1, q2, · · · , pS)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂q1∂q1

· · · ∂q1∂qS

∂q1∂p1

· · · ∂q1∂pS

...

∂qS∂q1

· · · ∂qS∂qS

∂qS∂p1

· · · ∂qS∂pS

∂p1∂q1

· · · ∂p1∂qS

∂p1∂p1

· · · ∂p1∂pS

...

∂pS∂q1

· · · ∂pS∂qS

∂pS∂p1

· · · ∂pS∂pS

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Prije opceg racuna gornjeg jakobijana, promotrimo jedan posebno jednostavan slucaj kada jeS = 1. Tada gornji jakobijan glasi

J =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂q

∂q

∂q

∂p

∂p

∂q

∂p

∂p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∂q

∂q· ∂p∂p

− ∂q

∂p· ∂p∂q

=q, pq,p

= (15.32) = 1.

Time je pokazano da za S = 1 vrijedi relacija (15.51).

Sto ako je S = 2? Tada je jakobijan 4 × 4 determinanta

J =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂q1∂q1

∂q1∂q2

∂q1∂p1

∂q1∂p2

∂q2∂q1

∂q2∂q2

∂q2∂p1

∂q2∂p2

∂p1∂q1

∂p1∂q2

∂p1∂p1

∂p1∂p2

∂p2∂q1

∂p2∂q2

∂p2∂p1

∂p2∂p2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Razvojem determinante po prvom ... dovrsiti

15.6 Prijelaz na kvantnu mehaniku

Iako je, povijesno gledano, do nastanka kvantne mehanike doslo jednim drugim putem, formali-zam Poissonovih zagrada iz odjeljka 15.2, omogucava prijelaz sa klasicne na kvantnu mehaniku

15.6. PRIJELAZ NA KVANTNU MEHANIKU 511

i to je takoder jedan od nacina na koje je kvantna mehanika mogla biti otkrivena.

Da bi se izveo taj prijelaz, umjesto komutativnih velicina klasicne mehanike (opcenito kom-pleksnih funkcija) F1, F2 za koje vrijedi

F1 F2 = F2 F1,

uvode se opcenito nekomutativne kvantne velicine (operatori) F 1,F 2, tako da je njihovkomutator

[F 1,F 2]− ≡ F 1F 2 − F 2F 1,

povezan s Poissonovim zagradama analognih klasicnih velicina F1, F2 na slijedeci nacin

[F 1,F 2]− ≡ F 1F 2 − F 2F 1 = ı ~ F1, F2. (15.52)

gdje je ı je imaginarna jedinica, ı2 = −1, a velicina oznacena s ~ je Planckova konstanta hpodijeljena s 2 π

~ =h

2 π, h = 6.626068 . . . · 10−34 J s.

Primjetimo da Planckova konstanta ima dimenziju funkcije djelovanja S - energija puta vrijemei da je vrlo malenog iznosa. U skladu s relacijama (15.18) koje vrijede medu klasicnim koordi-natama i klasicnim kolicinama gibanja, za kvantne operatore koordinate i kolicine gibanja se,prema (15.52), moze napisati

[q k,q l]− = 0, [p k,p l]− = 0, [q k,p l]− = ı ~ δk,l. (15.53)

Buduci da se u Hamiltonovu formalizmu sve velicine izrazavaju kao funkcije koordinata ikolicina gibanja, to su gornje komutacijske relacije dovoljne za odredenje komutatora ma kojihdrugih kvantnih velicina.Napisano u pravokutnom koordinatnom sustavu, razliciti od nule su samo komutatori izmedukoordinata i kolicina gibanja koji se odnose na iste stupnjeve slobode koji su u donjim relacijamaoznaceni indeksima k i l

[x k,p x,l]− = ı ~ δk,l, [y k,p y,l]− = ı ~ δk,l, [z k,p z,l]− = ı ~ δk,l, (15.54)

a svi ostali komutatori su jednaki nuli

[x k,x l]− = 0, [x k,y l]− = 0, [x k, z l]− = 0,

[y k,y l]− = 0, [y k, z l]− = 0,

[z k, z l]− = 0,

[p x,k,p x,l]− = 0, [p x,k,p y,l]− = 0, [p x,k,p z,l]− = 0,

[p y,k,p y,l]− = 0, [p y,k,p z,l]− = 0,

[p z,k,p z,l]− = 0,

[x k,p y,l]− = 0, [x k,p z,l]− = 0,

[y k,p x,l]− = 0, [y k,p z,l]− = 0,

[z k,p x,l]− = 0, [z k,p y,l]− = 0.


~r - reprezentacijaLako je uvjeriti se da ce komutatori (15.53) biti zadovoljeni, ako se za operator koordinate

odabere obicno mnozenje s istoimenom koordinatom, a za operator kolicine gibanja operatorderiviranja po istoimenoj koordinati pomnozen s −ı ~

x k → xk, y k → yk, z k → zk,

(15.55)

p x,k → −ı ~ ∂

∂ xk, p y,k → −ı ~ ∂

∂ yk, p z,k → −ı ~ ∂

∂ zk.

Ovakav odabir se naziva ~r ili koordinatna reprezentacija. Da bi se provjerile komutacijskerelacije (15.54), kao i one iza njih, djelujmo komutatorima na proizvoljnu derivabilnu funkcijukoordinata i kolicina gibanja f(x1, · · · , px,1, · · · ). Tako se npr. za komutator koordinate i njojpridruzene (konjugirane) kolicine gibanja dobije

[x k,p x,l]− f =

(−xk ı ~

∂

∂ xl+ ı ~

∂

∂ xlxk

)f = −xk ı ~

∂ f

∂ xl+ ı ~

∂ (xk f)

∂ xl

=

−xk ı ~∂ f

∂ xl+ ı ~

∂ xk∂ xl︸︷︷︸δk,l

f +ı ~ xk

∂ f

∂ xl

= ı ~ δk,l f.

No, funkcija f je proizvoljna, pa gornja relacija moze biti zadovoljena samo ako vrijedi opera-torska jednakost

[x k,p x,l]− = ı ~ δk,l,

a to je upravo ono sto smo i htjeli dokazati.Na slican nacin se pokazuje da su svi ostali komutatori jednaki nuli; npr.

[x k,x l]− f = (xk xl − xl xk) f = 0,

[x k,y l]− f = (xk yl − yl xk) f = 0,

[p x,k,p x,l]− f =

[(−ı ~ ∂

∂ xk

)(−ı ~ ∂

∂ xl

)−(−ı ~ ∂

∂ xl

)(−ı ~ ∂

∂ xk

)]f

=

(−~

2 ∂2

∂ xk xl+ ~

2 ∂2

∂ xl xk

)f = 0.

[p x,k,p y,l]− f =

[(−ı ~ ∂

∂ xk

)(−ı ~ ∂

∂ yl

)−(−ı ~ ∂

∂ yl

)(−ı ~ ∂

∂ xk

)]f

=

(−~

2 ∂2

∂ xk yl+ ~

2 ∂2

∂ yl xk

)f = 0.

~p - reprezentacijaOsim gornjega, moguc je i drugi izbor operatora za koordinatu i kolicinu gibanja. Komutatori


(15.54) (i oni iza njih) ce biti zadovoljeni i slijedecim odabirom7

x k → ı ~∂

∂ px,k, y k → ı ~

∂

∂ py,k, z k → ı ~

∂

∂ pz,k,

(15.56)

p x,k → px,k, p y,k → py,k, p z,k → pz,k.

Ovakav odabir se naziva ~p ili impulsna reprezentacija. Da bi se provjerile komutacijskerelacije (15.54), kao i one iza njih, djelujmo komutatorima na proizvoljnu derivabilnu funkcijukoordinata i kolicina gibanja f(x1, · · · , px,1, · · · ). Tako se npr. za komutator koordinate i njojpridruzene (konjugirane) kolicine gibanja dobije

[x k,p x,l]− f =

(ı ~

∂

∂ px,kpx,l − px,l ı ~

∂

∂ px,k

)f =

[ı ~

∂ (px,l f)

∂ px,k− px,l ı ~

∂ f

∂ px,k

]

= ı ~∂ px,l∂ px,k︸︷︷︸δk,l

f +

ı ~ px,l∂ f

∂ px,k−

px,l ı ~∂ f

∂ px,k

= ı ~ δk,l f,

ili, ako se ukloni (pomocna) funkcija f , preostaje operatorska jednakost

[x k,p x,l]− = ı ~ δk,l.

Na slican nacin se racunaju i svi ostali komutatori.

Heisenbergove relacijeU kvantnoj se mehanici pokazuje da su komutacijske relacije (15.53), tj. (15.54) ako seogranicimo na pravokutni koordinatni sustav, ekvivalentne Heisenbergovom8 nacelu neodredenostiili Heisenbergovim relacijama neodredenosti, prema kojemu se ne mogu proizvoljno istodobnotocno odrediti koordinata polozaja i njoj konjugirana kolicina gibanja, nego uvijek moraju bitizadovoljene slijedece nejednakosti

∆xk ∆ px,k ≥1

2~, ∆yk ∆ py,k ≥

1

2~, ∆zk ∆ pz,k ≥

1

2~. (15.57)

S ∆ oznacava neodredenost dane funkcije (tocnije, njezina standardna devijacija - u teorijivjerojatnosti, uobicajena oznaka je σ)

∆xk =√〈 x2 〉 − 〈 x 〉2, ∆px,k =

√〈 p2x,k 〉 − 〈 px,k 〉2,

i slicno za ostale koordinate tj. stupnjeve slobode. Usrednjavanje se racuna pomocu funkcijegustoce vjerojatnosti ρ koja se dobije kao apsolutni kvadrat valne funkcije ψ, relacija (15.58)

〈 f(~r, ~p ) 〉 =

∫ψ ⋆(~r) f(~r, ~p ) ψ(~r) d r3.

7Vidjeti npr. [12], poglavlje o Fourierovoj preobrazbi.8Werner Heisenberg (5. XII 1901. – 1. II 1976.) njemacki teorijski fizicar.


Gornji se izraz odnosi na ~r-reprezentaciju, a slican izraz vrijedi i za racun srednjih vrijednostiu ~p -reprezentaciji.Buduci da je ~ numericki jako malena velicina, ove relacije postaju vazne tek na mikroskopskojskali.

Schrodingerova jednadzba u ~r-reprezentacijiKada se klasicne velicine zele prevesti u kvantne, koristeci zamjene (15.55), potrebno je voditi

racuna o njihovoj (ne)komutativnosti. Tako je npr. u klasicnoj slici x px = px x, dok u kvantnojslici to nije istina. Zbog toga je, prije prijelaza u kvantni oblik, potrebno na zgodan nacinsimetrizirati odgovarajuce klasicne izraze, na takav nacin da budu invarijantni na redoslijedclanova koji se u njima pojavljuju. U navedenom primjeru treba napisati

x px =1

2(x px + px x),

i slicno u ostalim slucajevima.Ako se u jednadzbu sacuvanja energije, (15.10),

H(x1, · · · , px,1, · · · ) = E,

uvrste kvantni izrazi za koordinate i kolicine gibanja, hamiltonijan postaje diferencijalni oper-ator. Taj diferencijalni operator mora djelovati na neku funkciju, a ta se funkcija zove valnafunkcija,

Ψ(x1, y1, z1, · · · , xN , yN , zN).

Prema gornjoj jednadzbi sacuvanja energije, rezultat tog djelovanja je ta ista valna funkcijapomnozena konstantom E

H

(x1, · · · ,−ı~

∂

∂ x1, · · ·

)Ψ = E Ψ.

Ova jednadzba ima oblik diferencijalne jednadzbe svojstvenih vrijednosti9.

Schrodingerova jednadzba za gibanje jedne cestice mase m u polju konzervativne sile opisanepotencijalnom energijom Ep se dobije tako da se u klasicni izraz za Hamiltonovu funkciju jednecestice

H(x, y, z, px, py, pz) = Ek + Ep =~p 2

2m+ Ep(~r) =

p2x + p2y + p2z2m

+ Ep(x, y, z),

uvrste kvantni izrazi za koordinatu i kolicinu gibanja (15.55), sto vodi na Schrodingerovu dife-rencijalnu jednadzbu

[− ~

2

2m

(∂2

∂ x2+

∂2

∂ y2+

∂2

∂ z2

)+ Ep(x, y, z)

]Ψ(x, y, z) = E Ψ(x, y, z),

[− ~

2

2m∇ 2 + Ep(~r)

]Ψ(~r) = E Ψ(~r).

9Vidjeti npr. [12], poglavlje o ortogonalnim funkcijama.


Ovisno o vrijednosti potencijalne energije, jednadzba moze opisivati trodimenzijski kvantniharmonijski oscilator s

Ep = Kr2

2= K

x2 + y2 + z2

2,

ili, ako se za Ep uvrsti elektrostatska potencijalna energija

Ep =K

r=

K√x2 + y2 + z2

,

dobije se Schrodingerova jednadzba vodikovog atoma.Nepoznanice u gornjoj jednadzbi su energija E i valna funkcija Ψ. Ova se jednadzba mozeshvatiti i kao jednadzba svojstvenih vrijednosti (iz linearne algebre) u kojoj operator (matrica)H djeluje na valnu funkciju |Ψ〉 (svojstveni vektor) i kao rezultat daje neki broj (svojstvenuvrijednost, energiju E) pomnozen tom istom valnom funkcijom (tj. tim istim svojstvenimvektorom)

H |Ψ〉 = E |Ψ〉.Fizicko znacenjePokazalo se da sama valna funkcija Ψ nema fizicko znacenje. Tek se njezin kvadrat apsolutnevrijednosti |Ψ(~r)|2, interpretira kao gustoca vjerojatnosti nalazenja cestice u malom volumenud r3 oko tocke ~r. Sam diferencijal vjerojatnosti je tada dan sa

d P = ρ(~r) d r3 (15.58)

= |Ψ(x, y, z)|2 dx dy dz,

= |Ψ(ρ, ϕ, z)|2 ρ dρ dϕ dz,

= |Ψ(r, θ, ϕ)|2 r2 sin θ dr dθ dϕ,... (15.59)

ovisno o tome koji se koordinatni sustav koristi. Buduci da se cestica mora nalaziti negdje uprostoru, to je vjerojatnost nalazenja cestice u bilo kojoj tocki prostora jednaka jedinici. Ovase cinjenica matematicki zapisuje kao

∫|Ψ(~r)|2 d r3 = 1,

∫|Ψ(x, y, z)|2 dx dy dz = 1,

∫|Ψ(ρ, ϕ, z)|2 ρ dρ dϕ dz = 1,

∫|Ψ(r, θ, ϕ)|2 r2 sin θ dr dθ dϕ = 1,

...

i naziva se normiranje valne funkcije.


Zadatak: 15.8 Tekst zad.

R: dovrsiti

Dio IV

Mehanika Fluida

517

Poglavlje 16

Mehanika Fluida

uvodni tekst

16.1 Uvod

519

520 POGLAVLJE 16. MEHANIKA FLUIDA

Dodatak A

Matematicki dodatak

A.1 Medunarodni sustav mjernih jedinica (SI)

Na Opcoj konferenciji o utezima i mjerama, odrzanoj u listopadu 1960. ..gdje.? u Parizu.,definirane su osnovne i izvedene mjerne jednice sustava nazvanog Medunarodni sustav mjernihjedinica (Systeme international - SI): metar, kilogram, sekunda, amper, kelvin, kandela i mol.Pored ovih jedinica, definirane su i iznimno dopustene jedinice izvan SI. Osnovne mjerne jediniceMedunarodnog sustava mjernih jedinica su:

(1) duljina - metar - m1m je duljina jednaka 1 650 763.73 valne duljine zracenja u vakuumu koja odgovara prijelazuizmedu razine 2 p10 i 5 d5 atoma Cr86.

(2) masa - kilogram - kg1 kg je masa medunarodne pramjere kilograma, koja se od 1889. cuva u Medunarodnomuredu za utege i mjere u Sevresu kraj Pariza.

(3) vrijeme - sekunda - sGodine 1967 na 13.-oj Opcoj konfernciji o utezima i mjerama, 1 s je definirana kao trajanjeod 9 192 631 770 perioda zracenja koje odgovara prijelazu izmedu dviju hiperfinih razinaosnovnog stanja atoma Cs133.

(4) jakost elektricne struje - amper - A1A je jakost stalne elektricne struje koja, kad se odrzava u dva ravna paralelna vodica,neogranicene duljine i zanemarivog kruznog presjeka, koji se nalaze u vakuumu na medusobnojudaljenosti 1m, uzrokuje medu tim vodicima silu jednaku 2 10−7N po metru duljine.

(5) termodinamicka temperatura - kelvin - K1K je termodinamicka temperatura jednaka 1/273.16 termodinamicke temperature trojnetocke vode.

termodinamicke temperature trojne tocke vode.

(6) svjetlosna jakost - kandela - cd1 cd je svjetlosna jakost koju u okomitom pravcu zraci povrsina od 1/600 000m2 crnog tijelana temperaturi skrucivanja platine (2046.16K) pod tlakom od 101 325N m−2.

(7) kolicina tvari - mol - mol1mol je kolicina tvari sustava koji sadrzi toliko gradivnih cestica koliko ima atoma u0.012 kg C12. Te gradivne cestice mogu biti molekule, atomi, ioni, elektroni ili kakvedruge cestice ili nakupine cestica.

521

522 DODATAK A. MATEMATICKI DODATAK

prefiks simbol visekratnik prefiks simbol visekratnik

eksa E 1018 ato a 10−18

peta P 1015 femto f 10−15

tera T 1012 piko p 10−12

giga G 109 nano n 10−9

mega M 106 mikro µ 10−6

kilo k 103 mili m 10−3

hekto h 102 centi c 10−2

deka d 101 deci dc 10−1

U slucaju potrebe vecih ili manjih jedinica, koriste se ispred oznake SI jedinice oznake faktoramnozenjaIznimno dopustene jedinice izvan SI sustava su:

A.2. TAYLOROV RAZVOJ 523

A.2 Taylorov razvoj

ei α = cosα+ i sinα, i2 = −1 (A.1)

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+ · · · =

∞∑

n=0

xn

n !(A.2)

sin x = x− x3

6+ · · · =

∞∑

n=1

x2n−1

(2n− 1) !(A.3)

cosx = 1 − x2

2+ · · · =

∞∑

n=0

x2n

(2n) !(A.4)

ln (1 + x) = x− x2

2+x3

3+ · · · + (−1)n+1 x

n

n+ · · · − 1 < x ≤ 1 (A.5)

ln (1 − x) = −[x+

x2

2+x3

3+ · · · +

xn

n+ · · ·

]− 1 ≤ x < 1 (A.6)

1√1 ± x

= 1 ∓ 1

2x +

1 · 3

2 · 4x2 ∓ 1 · 3 · 5

2 · 4 · 6x3 + · · · |x| < 1 (A.7)

1

(1 ± x)= 1 ∓ x + x2 ∓ x3 + x4 ∓ · · · |x| < 1 (A.8)

1

(1 ± x)3/2= 1 ∓ 3

2x+

3 · 5

2 · 4x2 ∓ 3 · 5 · 7

2 · 4 · 6x3 · · · |x| < 1 (A.9)

A.3 Integrali

[BS75], str443, (450)

∫xn eax d x =

xn

aeax − n

a

∫xn−1 eax d x

♣ B.-S., 479, (42)

∫ +∞

0

xa−1

1 + xbdx =

π

b sin aπb

, 0 < a < b.

♣ B.-S., str 443, (450)∫

xn eax d x =xn

aeax − n

a

∫xn−1 eax d x

♣∫ ∞

0

xn e−ax dx =Γ(n+ 1)

an+1.


♣ B.-S., 475, (3)∫ +∞

0

e−a2x2 dx =

√π

2a, a > 0.

♣ B.-S., 474, (2)

∫ +∞

0

xn e−ax2

dx =Γ(n+12

)

2 a(n+1)/2, a > 0, n > −1

=

1 · 3 · . . . · (2k − 1)

2k+1ak+1/2

√π n = 2k

k !

2ak+1n = 2k + 1.

♣

I2m =

∫ +∞

−∞x2m e−

N2x2 dx =

Γ(m + 1

2

)

Nm+ 12

2m+ 12

I0 =

√2 π

N,

I4I0

=3

N2,

(I2I0

)2

=1

N2.

Γ

(1

2

)=

√π, Γ

(3

2

)=

1

2

√π, Γ

(5

2

)=

3

4

√π,

♣∫ π/2

0

(sin x)2n dx =1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · (2n)

π

2.

♣ Luijten-Bloete, 6 (1995) 359-370, p. 8

∫ +∞

−∞d x xk e−a x

4

=1

2

Γ(k+14

)

a(k+1)/4, a > 0.

♣ B. - S., 477, (19)∫ +∞

0

sin2 ax

x2dx =

π

2|a|.

♣

∫d x

b+ c cos ax=

2a√b2−c2 arctan

(b−c) tan ax2√

b2−c2 , b2 > c2

1a√c2−b2 ln

(c−b) tan ax2+√c2−b2

(c−b) tan ax2−√c2−b2 , b2 < c2.

A.4. ZAOKVIRENE FORMULE IZ OVE KNJIGE 525

♣ Integrali trigonometrijskih funkcija - najcesce zamjene∫

sinm x cosn x d x

(1) cosx = t, m > 0, neparan,

(2) sin x = t, n > 0, neparan,

(3) tanx = t, m + n < 0, parno.

Univerzalna trigonometrijska zamjena

sin x =2t

1 + t2,

cos x =1 − t2

1 + t2,

d x =2 d t

1 + t2.

A.4 Zaokvirene formule iz ove knjige

~er = ~ex sin θ cosϕ+ ~ey sin θ sinϕ+ ~ez cos θ,

~eθ = ~ex cos θ cosϕ+ ~ey cos θ sinϕ− ~ez sin θ,

~eϕ = −~ex sinϕ + ~ey cosϕ.

~eρ = ~ex cosϕ+ ~ey sinϕ,

~eϕ = −~ex sinϕ+ ~ey cosϕ.

−→∇ = ~ex∂

∂ x+ ~ey

∂

∂ y+ ~ez

∂

∂ z.

grad A ≡ −→∇ A = ~ex∂ A

∂ x+ ~ey

∂ A

∂ y+ ~ez

∂ A

∂ z

div ~A ≡ −→∇ ~A =∂ Ax∂ x

+∂ Ay∂ y

+∂ Az∂ z

∮

S

~A d ~S =

∫

V (S)

−→∇ ~A dV,

∮

C~A (~r) d~r =

∫

S(C)(−→∇ × ~A ) d~S

Dodatak B

Diracova δ-funkcija

Diracova funkcija δ(x − x0) se mo”ze zamisliti kao grani”cna vrijednost Gaussove funkcijeraspodjele

δ(x− x0, σ) =1

2 π σ2exp

[− (x− x0)

2

2 σ2

],

kada ”sirina gausijana i”s”cezava, σ → 0, ali njegova visina neograni”ceno raste, tako da jeintegral nepromjenjen

δ(x− x0) = limσ → 0

δ(x− x0, σ),

∫ x2

x1

δ(x− x0) dx = 1, x0 ∈ [x1, x2].

Drugim rje”cima, δ(x − x0) = 0 u svim to”ckama u kojima je argument razli”cit od nule, anjezin je integral jednak jedinici, ako podru”cje integracije obuhva”ta to”cku x0

δ(x− x0) = 0, x 6= x0,∫ x2

x1

δ(x− x0)dx = 1, x1 ≤ x0 ≤ x2,

∫ x2

x1

δ(x− x0)dx = 0, x < x1 ili x > x2.

Svojstva: promatramo u”cinke δ funkcije na kontinuiranu derivabilnu funkciju f(x). Graniceu integralima moraju biti takve da je to”cka u kojoj se poni”stava argument δ funkcije unutargranica integracije. U suprotnom je integral jednak nuli. Kako bismo se osigurali da δ funkcijauvijek ima nulu unutar granica integracije, uzet ”temo da se inetgrira po cijelom pravcu od−∞ do +∞.

(1) Budu”ti da je δ(x−x0) jednaka nuli svuda izvan x = x0, a razli”cita od nule samo u uskomintervalu oko x0, u tom uskom intervalu je f(x) pribli”zno konstantna i jednaka f(x0)

∫ +∞

−∞f(x) δ(x− x0) dx ≈ f(x0)

∫ +∞

−∞δ(x− x0) dx = f(x0)

527

528 DODATAK B. DELTA FUNKCIJA

(2) Pogledajmo sada δ funkciju s ne”sto slo”zenijim argumentom. Zapo”cnimo s najjednos-tavnijim slu”cajem kada je argument linearna funkcija

∫ +∞

−∞f(x) δ(c x− x0) dx, x0, c = const. 6= 0.

Neka je c > 0 i uvedimo novu varijablu c x − x0 = y. Koriste”ti rezultat iz to”cke (1), dobivase

∫ +∞

−∞f(x) δ(c x− x0) dx =

1

c

∫ +∞

−∞f

(y + x0c

)δ(y) dy =

1

cf(x0c

).

Ako je c < 0, opet uvodimo novu varijablu c x− x0 = y. Sada je

∫ +∞

−∞f(x) δ(c x− x0) dx =

1

c

∫ −∞

+∞f

(y + x0c

)δ(y) dy

= − 1

c

∫ +∞

−∞f

(y + x0c

)δ(y) dy = − 1

cf(x0c

)=

1

|c|f(x0c

).

Budu”ti da se δ funkcija u umno”scima s drugim funkcijama pojavljuje u integralima, dvagornja reda se mogu sa”zeti u

δ(c x− x0) =1

|c| δ(x− x0/c).

Ako odaberemo c = −1 i x0 = 0, gornja relacija nam ka”ze da je δ funkcija parna

δ(x) = δ(−x).

(3) Pogledajmo sada slu”caj kada je argument δ funkcije, kvadratna funkcija∫ ∞

−∞f(x) δ(x2 − a2) dx, a = const. 6= 0.

Budu”ti da se u gornjem izrazu a pojavljuje samo kroz a2, bez gubitka op”tenitosti, mo”zemoodabrati da je a > 0

∫ ∞

−∞f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx =

∫ 0

−∞f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx+

∫ ∞

0

f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx.

U prvom integralu desne strane, argument δ funkcije i”s”cezava samo u x = −a, pa stogamo”zemo pisati

∫ 0

−∞f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx ≈

∫ 0

−∞f(x) δ[(−2a)(x + a)] dx =

∫ 0

−∞f(x) δ[−2ax− 2a2)] dx.

Na gornji izraz primjenimo rezultat iz to”cke (2), uz c ≡ −2a i x0 ≡ 2a2, ”sto vodi na

∫ 0

−∞f(x) δ[(x− a)(x + a)] dx =

1

| − 2a| f(

2a2

−2a

)=

1

|2a| f (−a) .

529

Sli”cnim se postupkom dobije i

∫ ∞

0

f(x) δ[(x− a)(x + a)] dx =1

|2a| f(

2a2

2a

)=

1

|2a| f (a) ,

pa tako kona”cnomo”zemo napisati da je

∫ ∞

−∞f(x) δ(x2 − a2) dx =

f(a) + f(−a)

|2a| .

Na isti rezultat vodi i jednakost

δ(x2 − a2) =δ(x− a) + δ(x + a)

|2a| .

Primjetimo da gornji izvod vrijedi samo za a 6= 0.

(4) Neka je sada argument δ funkcije nekakva op”ta funkcija g(x) koja ima N izoliranih nul-to”caka

g(xn) = 0, n = 1, 2, · · · , N.

Na”s je zadatak izra”cunati∫ ∞

−∞f(x) δ[g(x)] dx.

U okolini svake nul-to”cker g(x), vrijedi Taylorov razvoj oblika

g(x) = (x− xn)∂ g

∂ x

∣∣∣∣xn

+ O[(x− xn)2].

Stoga je i

δ[g(x)] ≈ δ[(x− xn) g ′(xn)],

gdje smo s g ′(xn) ozna”cili derivaciju g u to”cki x = xn. No, gornja δ funkcija je time postalaδ funkcija s linearnim argumentom, koju smo rije”sili u to”cki (2): c ≡ g ′(xn) i x0 ≡ xn g

′(xn).

∫ ∞

−∞f(x) δ[g(x)] dx =

N∑

n=1

∫ xn+∆

xn−∆

f(x) δ[g ′(xn) x− xn g′(xn)] dx

=

N∑

n=1

1

|g ′(xn)| f(xn g

′(xn)

g ′(xn)

)=

N∑

n=1

1

|g ′(xn)| f(xn).

S ∆ je ozna”cena proizvoljna pozitivna konstanta koja samo osigurava da podru”cje integracijesadr”zi nulu δ funkcije. Isti rezultat kao gore, se dobije i iz jednakosti

δ[g(x)] =N∑

n=1

δ(x− xn)

|g ′(xn)| .


(5) Pogledajmo sada integrale koji sadr”ze derivaciju δ funkcije. Zadatak je izra”cunati∫ ∞

−∞f(x)

d δ(x− x0)

d xdx.

Budu”ti da smo pretpostavili da je f(x) derivabilna, mo”zemo provesti parcijalnu itegraciju

f(x)d δ(x− x0)

d x=

d

d x[f(x) δ(x− x0)] −

d f(x)

d xδ(x− x0),

”sto izravno vodi na∫ ∞

−∞f(x)

d δ(x− x0)

d xdx =

∫ ∞

−∞

d

d x[f(x) δ(x− x0)] dx−

∫ ∞

−∞

d f(x)

d xδ(x− x0) dx

= [f(x) δ(x− x0)]+∞−∞ − d f(x)

d x

∣∣∣∣x0

.

No, δ(x− x0) = 0 kada je x = ± ∞ 6= x0, pa prvi ”clan desne strane gornjeg izraza i”s”cezavai preostaje

∫ ∞

−∞f(x)

d δ(x− x0)

d xdx = − d f(x)

d x

∣∣∣∣x0

.

Na isti na”cin kao gore (parcijalnim integriranjem), mo”ze se ra”cunati drug, tre”ta i op”teniton-ta derivacija δ funkcije, s rezultatom

∫ ∞

−∞f(x)

dn δ(x− x0)

d xndx = (−)n

dn f(x)

d xn

∣∣∣∣x0

,

za n puta derivabilnu funkciju f(x).

(6) Do sada smo promatrali δ funkciju jednog argumenta. ”Sto ako δ funkcija ovisi o vi”se argu-menata? Npr. δ(~r−~r0) je funkcija tri varijable, jer ~r opisuje polo”zaj to”cke u trodimenzijskomprostoru. Integral

∫

V

δ(~r − ~r0) d3r

je jednak jedinici ako se to”cka ~r0 nalazi u volumenu V , a jednak je nuli, ako je ~r0 izvan togvolumena. Pretpostavimo nadalje da volumen V obuhva”ta sav prostor, tako da je to”cka ~r0uvijek sadr”zana u njemu.

U pravokutnom koordinatnom sustavu je d3 r = dx dy dz, pa iz∫ +∞

−inftydx

∫ +∞

−∞dy

∫ +∞

−∞dz δ(~r − ~r0) = 1,

zaklju”cujemo da je

δ(~r − ~r0) = δ(x− x0) δ(y − y0) δ(z − z0) .

531

Na sli”can na”cin, u sfernom koordinatnom sustavu je

∫ +∞

0

r2 dr

∫ π

0

sin θ dθ

∫ 2π

0

dϕ δ(~r − ~r0) = 1,

iz ”cega zaklju”cujemo da je

δ(~r − ~r0) =δ(r − r0)

r20

δ(θ − θ0)

sin θ0δ(ϕ− ϕ0).

U cilindri”cnom koordinatnom sustavu je

∫ +∞

0

ρ dρ

∫ 2π

0

dϕ

∫ +∞

−∞dz δ(~r − ~r0) = 1,

iz ”cega slijedi

δ(~r − ~r0) =δ(ρ− ρ0)

ρ0δ(ϕ− ϕ0) δ(z − z0) .

Dodatak C

Presjeci stosca: kruznica, elipsa,parabola i hiperbola

U ovom cemo dodatku izvesti jednadzbe krivulja koje se dobiju kao rezultat presjeka stosca iravnine pod razlicitim kutovima, pa se stoga i zovu presjeci stosca. Ove krivulje cine jednuposebnu familiju rjesenja opce algebarske jednadzbe drugog reda u varijablama x i y

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F = 0 (C.1)

(uz uvjet da je bar jedan od koeficijenata A,B ili C razlicit od nule) i bila su poznata jos isterogrckim matematicarima oko 300. godine p.n.e. ( Apolonije iz Aleksandrije ). Ove cemokrivulje koristiti najvise u poglavlju 7 (o gravitaciji), pa cemo zato, osim u pravokutnom, navestii njihove oblike u polarnom koordinatnom sustavu.

Neka je pravac AB (koji cemo zvati direktrisa) za D udaljen od ishodista (ili fokusa) O, kaona slici C.1. U polarnom koordinatnom sustavu je polozaj tocke P odre”den koordinatama ρ iϕ. Udaljenost tocke P od pravca AB cemo oznaciti s d. ”Zelimo odrediti jednadzbu krivuljepo kojoj se giba tocka P uz uvjet da je omjer udaljenosti P do fokusa i P do direktrise ABjednak jednoj bezdimenzijskoj konstanti koju cemo zvati ekscentricitet i oznaciti s ǫ

ρ

d= ǫ = const. (C.2)

U tocki Q trazene krivulje je ρ = p i d = D, pa je zato i ǫ = p/D (primjetimo da u ovomodjeljku p ne oznacava kolicinu gibanja cestice, nego je parametar koji ima dimenziju duljine,a kojim cemo definirati krivulju u ravnini). Iz trigonometrije se dobije

D = d+ ρ cosϕ.

Uvrstivsi za D = p/ǫ, a za d = ρ/ǫ, dolazi se do trazene jednadzbe krivulje u polarnomkoordinatnom sustavu, ρ = ρ(ϕ), u obliku

ρ(ϕ) =p

1 + ǫ cosϕ. (C.3)

Ova jednadzba opisuje familiju krivulje koje se zovu presjeci stosca. Pokazat cemo da,ovisno o iznosu ekscentriciteta ǫ, gornja jednadzba opisuje:

533

534 DODATAK C. PRESJECI STOSCA

Slika C.1: Uz izvod jednadzbe krivulja presjeka stosca.

ǫ → 0 kruznicu,

0 < ǫ < 1 elipsu,

ǫ = 1 parabolu,

ǫ > 1 hiperbolu.

Kruznica: ǫ→ 0 .Kruznica se definira kao ravninska krivulja kojoj je udaljenosti svake njezine tocke od zadanefiksne tocke, konstantna. U jednadzbi (C.3) to znaci da ρ ne ovisi o kutu ϕ, tj. ǫ → 0 iρ = p = const za sve kutove. Buduci da ǫ → 0, da bi ρ = ǫ d = p bio konstantan, premajednadzbi (C.2), mora d → ∞, tj. direktrisa kruznice je beskonacno udaljena od njezinogsredista.U pravokutnom koordinatnom sustavu, zahtjev da je svaka tocka (x, y) kruznice jednako udal-jena od jedne fiksne tocke (sredista) (x0, y0), pisemo pomocu Pitagorinog poucka

√(x− x0)2 + (y − y0)2 = p,

gdje smo s p oznacili polumjer kruznice. Kvadriranjem i raspisom gornje jednadzbe, dobivamojednadzbu tipa (C.1)

x2 + y2 − 2xx0 − 2yy0 + x20 + y20 − p2 = 0.

Prijelazom u polarne koordinate: x = ρ cosϕ i y = ρ sinϕ, dobivamo jednadzbu kruznicepolumjera p, sa sredistem u ishodistu, u jednostavnom obliku ρ = p, sto je upravo izraz odkojega smo i krenuli.Kruznica se dobije presjecanjem stosca ravninom paralelnom s bazom stosca.

Elipsa: 0 < ǫ < 1 .

535

Elipsa se definira kao ravninska krivulja kojoj je zbroj udaljenosti svake njezine tocke od dvijefiksne tocke (fokusa O i O ′ , slika C.2) konstantan i jednak 2a. Izvedimo jednadzbu elipse kaoposeban slucaj jednadzbe presjeka stosca (C.3). Prema definiciji elipse je

ρ + PO ′ = 2a ⇒ (ϕ = π/2) ⇒ p+QO ′ = 2a.

Na oznaceni pravokutni trokut (slika C.2) primjenimo Pitagorin1 poucak i dobijemo

p2 + 4c2 = (QO ′ )2 = (2a− p)2 ⇒ p = a− c2

a. (C.4)

Za kutove ϕ = 0 i ϕ = π, sa slike C.2 i iz jednadzbe (C.3), slijedi

ϕ = 0 ⇒ ρ = OV ⇒ OV =p

1 + ǫ,

ϕ = π ⇒ ρ = OU ⇒ OU =p

1 − ǫ.

Sa slike C.2 je OV +OU = 2a, dok je prema gornjim jednadzbama

Slika C.2: Uz izvod jednadzbe elipse: C je srediste elipse; CV = CU = a je duljina velike poluosi; CW = CS = bje duljina male poluosi; CO = CO ′ = c je udaljenost od sredista elipse do fokusa.

2a = OV +OU =p

1 + ǫ+

p

1 − ǫ⇒ p = a(1 − ǫ2). (C.5)

Uvrstimo li to u opci jednadzbu presjeka stosca, (C.3), dobivamo za jednadzbu elipse

ρ =a(1 − ǫ2)

1 + ǫ cosϕ. (C.6)

Pokazimo da je ekscentricitet manji od jedinice. Sa slike C.2 je, prema Pitagorinom poucku,(OW )2 = b2 + c2. Duljinu c mozemo dobiti izjednacavanjem (C.4) i (C.5)

c = aǫ.1Mozda nije suvisno spomenuti da Pitagora nije prvi covjek koji je uocio vezu izme”du kvadrata hipotenuze i zbroja kvadrata

kateta (ta je veza bila poznata vec dugi vremena prije Pitagore), ali je on prvi koji je tu vezu dokazao.


Za elipsu je zbroj udaljenost svake njezine tocke od oba fokusa jednak 2a. Tocka W je jednakoudaljena od oba fokusa, pa je zato

OW +O ′W = 2a, OW = O ′W, ⇒ O ′W = OW = a.

Gore dobivene vrijednosti za c i OW mozemo uvrstiti u

(OW )2 = b2 + c2 ⇒ a2 = b2 + a2ǫ2 ⇒ ǫ =

√a2 − b2

a< 1.

Za one koji se bolje snalaze u pravokutnom koordinatnom sustavu, prevedimo jednadzbu (C.6)

u pravokutne koordinate (x, y) ravnine. Umjesto ρ pisemo√x2 + y2, a umjesto cosϕ =

x/√x2 + y2. Nakon kraceg sre”divanja, se dobije

(x + ǫa

a

)2

+

(y

a√

1 − ǫ2

)2

= 1.

Prisjetimo li se da je c = aǫ, a iz jednadzbe za ekscentricitet slijedi da je manja poluos b =a√

1 − ǫ2, vidimo da gornja jednadzba prikazuje elipsu sa sredistem u tocki (−c, 0) i poluosimaa i b

(x− (−c)

a

)2

+(yb

)2= 1.

U posebnom slucaju kada je a = b, elipsa degenerira u kruznicu (c = ǫ = 0).Elipsa se dobije presjecanjem stosca ravninom koja nije paralelnom niti s bazom niti s izvodni-com stosca.

Parabola: ǫ = 1 .Parabola se definira kao skup tocaka u ravnini kojima je udaljenost do fiksne tocke (fokusa)jednaka udaljenosti do fiksnog pravca (direktrise), slika C.3. U nasim oznakama to znaci daje ρ = d, tj. prema (C.2) je ǫ = 1. S obzirom da vec imamo izvedenu jednadzbu elipse,do jednadzbe parabole mozemo doci granicnim prijelazom elipse kojoj velika poluos divergiraa → ∞ (sto je ekvivalentno zahtjevu ǫ = 1, jer za veliki a, iz

√a2 − b2 = aǫ, slijedi ǫ = 1) uz

uvjet da je, prema (C.5),

p = a(1 − ǫ2) = const.

Tada jednadzba parabole (u polarnim koordinatma) glasi

ρ =p

1 + cosϕ. (C.7)

Prijelazom iz polarnih u pravokutne koordinate, kao kod elipse, dobivamo gornju jednadzbu uobliku

y2 = p2 − 2px.

Parabola se dobije presjecanjem stosca ravninom paralelnom s izvodnicom stosca. .....

Hiperbola: ǫ > 1 .

537

Slika C.3: Uz izvod jednadzbe parabole.

Hiperbola se definira kao skup tocaka u ravnini sa svojstvom da je razlika udaljenosti svaketocke krivulje, P , od dvije fiksne tocke (fokusa, O,O′) konstantna (slika C.4)

PO′ − PO = 2a.

Spustimo li se hiperbolom iz tocke P u tocku Q, gornja jednadzba postaje

QO′ − p = 2a.

pomocu gornje relacije i trokuta (O,O′, Q), dolazimo do izraza za p u obliku

(2c)2 + p2 = QO′2 = (2a+ p)2,

p =c2

a− a. (C.8)

Stavimo li u jednadzbu (C.3) za kut ϕ = 0, dobivamo

ρ = OV = OC − CV = c− a,

pri cemu je i d = V E. Sada iz definicije ekscentriciteta slijedi

ǫ =ρ

d=c− a

V E⇒ V E =

c− a

ǫ.

S druge strane, za kut ϕ = 2 π u jednadzbi (C.3), dobivamo

d = OE = OV + V E = c− a+ V E,

uz ρ = p. Ponovo iz ekscentriciteta dobivamo

ǫ =ρ

d=

p

c− a + V E⇒ V E =

p

ǫ− c+ a.

Izjednacavanjem gornja dva izraza za V E, dobivamo

ǫ =c

a> 1


jer je c > a. Iz gornjeg izraza mozemo c uvrstiti u (C.8) i dobiti

p = a(ǫ2 − 1),

sto konacno vodi na jednadzbu hiperbole

ρ(ϕ) =a(ǫ2 − 1)

1 + ǫ cosϕ.

Nadalje se lako pokazuje da je mala poluos b = a√ǫ2 − 1, a polozaj direktrise je xD = a(ǫ2−1)/ǫ.

Prijelazom iz polarnih u pravokutne koordinate, kao kod elipse, dobivamo gornju jednadzbu u

Slika C.4: Uz izvod jednadzbe hiperbole.

obliku

(x− ǫ a)2

a2− y2

a2 (ǫ2 − 1)= 1.

Jedna grana hiperbole se dobije presjecanjem stosca ravninom okomitom na bazu stosca.

Asimptote krivulja u polarnim koordinatama

dovrsiti

Dodatak D

Elementi Fourierove analize

Osnovni problem koji se tretira u ovom dodatku jeste slijedeci: periodicku funkciju f(x) =f(x + 2π) treba aproksimirati trigonometrijskim polinomom N -tog reda oblika

PN (x) =1

2A0 + A1 cosx + A2 cos 2x + · · · + AN cosNx (D.1)

+ B1 sin x +B2 sin 2x+ · · · +BN sinNx, (D.2)

uz uvjet da zbroj kvadrata odstupanja prave vrijednosti funkcije od njezine polinomne aproksi-macije, [f(x)−Pn(x)]2, bude sto manji1. Buduci da je f(x) zadana na kontinuiranom intervalu(0, 2π), ovaj ce zbroj zapravo biti integral

IN =

∫ 2π

0

[f(x) − Pn(x)]2 dx = min. (D.3)

Da (D.1) zaista prikazuje polinom N tog reda u sin x i cosx, mozemo se uvjeriti tako sto cemose sjetiti da se svaki sinnx i cosnx mogu napisati kao polinom n-tog reda od sin nx i cosnx.Tako je npr.

sin 2x = 2 sinx cos x, cos 2x = cos2 x− sin2 x.

Kako iz uvjeta (D.1) odrediti koeficijente polinoma? Uvrstimo u

IN =

∫ 2π

0

f 2(x) dx− 2

∫ 2π

0

f(x)PN(x)dx +

∫ 2π

0

P 2N(x) dx

polinom PN . Za srednji clan se dobije∫ 2π

0

f(x)PN(x)dx =1

2A0

∫ 2π

0

f(x)dx + A1

∫ 2π

0

f(x) cosxdx+ · · · + AN

∫ 2π

0

f(x) cosNxdx

+ B1

∫ 2π

0

f(x) sin xdx+ · · · +BN

∫ 2π

0

f(x) sinNxdx.

Uvedimo sada konstante koje cemo zvati Fourierove konstante ili Fourierovi koeficijentifunkcije f(x)

a0 =1

π

∫ 2π

0

f(x) dx, an =1

π

∫ 2π

0

f(x) cosnx dx, bn =1

π

∫ 2π

0

f(x) sinnx dx,

(D.4)

1Ideja o najmanjem kvadratnom odstupanju kao mjeri tocnosti aproksimacije, Potjece od njemackog astronoma i matematicaraF. Bessela, Minden 1784 - Konigsberg 1846.

539

540 DODATAK D. FOURIEROVI REDOVI

za sve n = 1, 2, · · · , N . Pomocu Fourierovih koeficijenata mozemo napisati∫ 2π

0

f(x)PN(x)dx = π

(1

2A0a0 + A1a1 + · · · + ANaN +B1b1 + · · · +BNbN

).

Pogledajmo sada clan s kvadratom polinoma PN . Opcenito je

(c0 + c1 + c2 + · · · + cN)2 = c20 + c21 + · · · + c2N+ 2c0(c1 + c2 + · · · + cN )

+ 2c1(c2 + c3 + · · · + cN )...

+ 2cN−1cN .

Identifikacijom c0 = A0 i cn = An cosnx +Bn sin nx, slijedi

P 2N(x) =

1

4A2

0 +N∑

n=1

A2n cos2 nx + 2

N∑

n=1

An cosnxBn sinnx +N∑

n=1

B2n sin2 nx

+ 21

2A0

N∑

n=1

(An cosnx +Bn sinnx)

+ 2(A1 cos x+B1 sin x)

N∑

n=2

(An cosnx +Bn sinnx)

+ 2(A2 cos 2x+B2 sin 2x)N∑

n=3

(An cos nx+Bn sin nx)

...

+ 2[AN−1 cos(N − 1)x +BN−1 sin(N − 1)x] [AN cosNx +BN sinN)x].

Pri integraciji P 2N , pojavit ce se integrali oblika (za prirodne brojeve p 6= k)

0 =

∫ 2π

0

sin px dx =

∫ 2π

0

cos px dx,

0 =

∫ 2π

0

sin px cos kx dx =

∫ 2π

0

sin px sin kx dx =

∫ 2π

0

cos px cos kx dx

π =

∫ 2π

0

sin2 px dx =

∫ 2π

0

cos2 px dx,

pa ce u integralu od P 2N preostati

∫ 2π

0

P 2N(x) dx = π

(1

2A2

0 + A21 + · · · + A2

N +B21 + · · · +B2

N

).

Sve zajedno, za IN smo dobili

IN =

∫ 2π

0

f 2(x) dx − 2π

(1

2A0a0 + A1a1 + · · · + ANaN +B1b1 + · · · +BNbN

)

+ π

(1

2A2

0 + A21 + · · · + A2

N +B21 + · · · +B2

N

).

541

Izracunajmo sada integral IN ako umjesto koeficijenata polinoma An, Bn uvrstimo Fourierovekoeficijente an, bn. Oznacimo taj novi integral s IN . Prema gornjem izrazu, slijedi

IN =

∫ 2π

0

f 2(x) dx − 2π

(1

2a0a0 + a1a1 + · · · + aNaN + b1b1 + · · · + bNbN

)

+ π

(1

2a20 + a21 + · · · + a2N + b21 + · · · + b2N

)

=

∫ 2π

0

f 2(x) dx − π

[1

2a20 +

N∑

n=1

(a2n + b2n)

].

Izracunajmo razliku IN − IN

IN − IN =

∫ 2π

0

f 2(x) dx− 2π

[1

2A0a0 +

N∑

n=1

(Anan +Bnbn)

]+ π

[1

2A2

0 +

N∑

n=1

(A2n +B2

n)

]

−∫ 2π

0

f 2(x) dx+ π

[1

2a20 +

N∑

n=1

(a2n + b2n)

]

= π

[1

2(−2A0a0 + A2

0 + a20) +N∑

n=1

(−2Anan − 2Bnbn + A2n +B2

n + a2n + b2n)

]

= π

[1

2(A0 − a0)

2 +

N∑

n=1

[(An − an)2 + (Bn − bn)2]

].

Buduci da se na desnoj strani nalazi zbroj kvadrata realnih velicina, to ce uvijek biti IN ≥ IN .Dakle, najmanju vrijednost kvadratnog odstupanja (D.3) dobijemo ako za koeficijente polinomauvrstimo upravo Fourierove koeficijente (D.4).

542 DODATAK D. FOURIEROVI REDOVI

Dodatak E

Vucedolski kalendar

http://www.vjesnik.hr/html/2001/04/01/Clanak.asp?r=kul&c=1

Najstariji europski kalendar otkrio sam sasvim slucajno! Dr. Aleksandar Durman: Najstarijiindoeuropski kalendar otkrio sam na loncu iz Vinkovaca na koji isprva nisam obracao paznju.Moja teza jest da je u seobenom valu u kojem je naseljen Vucedol, naseljena i Troja cime suse otvorila vrata broncanog doba! Takoder mislim da je Krist u narodnoj tradiciji preuzeo ukasnijim vremenima Orionovu simboliku. Izlozba ≫Vucedolski Orion≪ ce vjerojatno gostovati iu Parizu, Ottawi, Pragu, Ankari i Ljubljani!Televizijske kamere BBC-a i CNN-a, po svemu sudeci, imaju izvanredan razlog dolaska u Za-greb! I Hrvati imaju svog Arthura Clarkea! Kapitalna su, naime, istrazivanja dr. AleksandraDurmana koji na izlozbi ≫Vucedolski Orion≪ u Arheoloskom muzeju predstavlja svoja sjajnaotkrica vezana uz vucedolsku kulturu. Ne samo da je na jednom loncu iz Vinkovaca dr. Dur-man ≫desifrirao≪ simboliku najstarijeg indoeuropskog kalendara, s prikazom zvijezda nocnogneba(!), vec je iznio pregrst novih teza o vucedolskoj kulturi sto se 3000. godine prije Kristarazvijala na desnoj obali Podunavlja, istodobno sa civlizacijama Starog Egipta, Sumerskomkuturom i Trojom I.Procelnik Odsjeka za arheologiju zagrebackog Filozofskog fakulteta dr. Aleksandar Durmanznanstvenik je impresivne karijere. Vodio je pedesetak arheoloskih iskopavanja diljem Hrvatskevezanih uz prapovijesne i anticke lokalitete. Kao predavac je gostovao na prestiznim svjet-skim sveucilistima u Heidelbergu, Nottinghamu, Tubingenu, Cornell University, Wake Forrestsveucilistu kao i nekoliko manjih univerziteta drzave New York. Sjajnu izlozbu, koju vec danasmozemo uvrstiti u kulturni dogadaj godine i jedan od najvaznijih izlozbenih projekata Hrvatskeu svijetu (pregovara za se gostovanja izlozbe u Parizu, Pragu, Ljubljani, Ottawi i Ankari), uzdr. Durmana, osmislila je ekipa vrhunskih strucnjaka: Zeljko Kovacic (postav), Ivan Antonovic(vizualni identitet), Stanko Juzbasic (glazbena podloga sto prati kretanje zvijezda(!), JacquelineBalen i Mirela Dalic (strucne suradnice), te Rujana Kren (skulpture nadahnute vucedolskomkulturom).U kakvom je stanju lokalitet Vucedol?– Imali smo ≫srece≪ da je sest stotina nalaza iz jednog podruma u Vukovaru odneseno u NoviSad, a ne unisteno. Vec smo dobili neke informacije da su tamosnji strucnjaci voljni vratitimaterijal. Sam lokalitet u dobrom je stanju, stovise, u tijeku je realizacija ideje da se Vucedolpretvori u europski arheoloski park!Vucedol, smjesten cetiri kilometra od Vukovara, na karakteristicnom je podrucju, kakvom?– Vucedolska kultura se rasprostirala na lesnom grebenu od Erduta uz Dunav pa sve do Fruskegore. Kako je Dunav svoju desnu obalu nagrizao i podlokavao, stvorio se vertikalan ≫zid≪ visok

543

544 DODATAK E. VUCEDOLSKI KALENDAR

25 metara jos u davnim geoloskim vremenima ledenog doba. Taj prirodni ≫plato≪ se od Nustrapocinje dizati prema Vukovaru tako da se negdje od 86. metara popne na cak 115. metaranadmorske visine. Tlo, tzv. les, na tom je podrucju vrlo porozno, sto znaci da njemu gotovonema raslinja, cineci ga nekom vrstom stepe sto je i pogodovalo istocnim narodima koji su doslina taj prostor (takoder sa stepa) oko 3000. godine prije Krista na prvim europskim kolima!Vucedolska metalurgija najrazvijenija u Europi

Tko su bili Vucedolci?– Vucedolci su bili prvi indoeuropski narod koji je na ove prostore dosao u velikom globalnomvalu nakon badenske kulture. Kao i drugi orijentalni narodi, stabiliziraju se na ovom prostoru,gdje ih je zaustavila konfiguracija terena. Isprva stocari, u kasnijim se fazama bave rudarstvom imetalurgijom bakra, a njihova ce keramika postati slavna diljem Europe. Vrlo je vazno istaknutida im je na nasem prostoru trebalo cak 200 godina da od Vucedola dodu do drugog velikognaselja Vinkovci, gdje su stigli u zonu velikih suma. Tamo im kola nisu funkcionirala, stokaim se nije mogla napasati, te su morali promijeniti ekonomiju, zbog cega su postali lovci i topoglavito na jelene!

Kakva je to bila zajednica?– Bila je to dobro organizirana zajednica, u kojoj, doduse, ne mozemo govoriti o rodovskomuslojavanju u njenoj ranoj (3000.-2800. g. pr. Kr.) i klasicnoj fazi (2800.-2600. pr. Kr.),vec tek u kasnoj (2600.-2400. pr.Kr.) kada imamo i neku vrstu prvih vladara knezova stopotvrduju dva knezevska groba od kojih je jedan doista znacajan otkriven u Tivatskom polju.U njemu je bio pokojnik sa zlatnom sjekirom, bodezom, privjescima u kosi i po svemu sudeciprvom europskom krunom!

Rijec je o kulturi paralelnoj s velikim civilizacijama?– Da. Od 3000. godine pr. Kr. pocinje period starog carstva u Egiptu. Od 2470. do 2400.godine pr. Kr. grade se piramide, dakle, na samom kraju vucedolske kulture. S druge strane,u isto vrijeme u Mezopotamiji nastaje fascinantna kultura Sumerana (3000. do 2400. pr. Kr.),gdje takoder nastaju prvi vladarski grobovi sa svom poznatom pompom koja se moze mjeriti sTutankamonovim bogatstvima. Osim toga, vucedolska se kultura razvija paralelno i s TrojomI. i pocetnom fazom Troje II. Mozemo cak govoriti i o tome da postoji veza Vucedola i Troje!Vucedolska predodzba svijeta i svemira – na terinama

Kako to mislite?– Moja teza jest da je u seobenom valu u kojem je naseljen Vucedol, naseljena i Troja! Za-kljucio sam to na osnovu keramickih analogija, odnosno, na osnovu slicne metalurgije, naime,tehnologija vezana uz metalurgiju u Troji je vrlo slicna vucedolskoj. Cak mislim da je s nasegtla krenula ideja kositrene rudace koja u dodatku bakra otvara vrata broncanog doba! Stovise,Vucedolska metalurgija upravo i jest jedan od razloga sirenja kulture u kasnoj fazi prema sjeveruEurope (iza 2600. godine pr. Kr.), do Praga, ali i prema jugu. Zauzela je vucedolska kulturasva podrucja bogata bakrom, jer je vucedolska metalurgija dosegnula takav stupanj umijecakoji je nadilazio sva iskustva koja su u Europi tada postojala.

Izlozba predstavlja vucedolsku predozbu svijeta na posudama. O cemu je rijec?– Vucedolci su kao i svi stari narodi imali specifican odnos prema smrti koju nisu mogli defini-rati. Iznad glave su im se rasprostirale zvijezde, Sunce, Mjesec i planeti, sto je moglo izgledatikao slika vjecnosti. Medutim, gledajuci u nebo, Vucedolci su kao i svi stari narodi uocili nizpromjena. Pojava svakodnevnog izlaska i zalaska sunca opjevana je u svim civilizacijama kaonajvazji trenutak dana. Cjelokupna vucedolska predozba svijeta i svemira (nastala promatran-jem neba) iskazana je na njihovim posudama, prije svega terinama. Predodzba izlazeceg suncana terinama je prikazana tocno na polovini, prijelomu posude ciji donji dio sugerira dubinuoceana i mraka, a gornja polovina izlazi iznad obzora. Sunce, dakle, nije dano u svojoj cijelosti

545

vec kao kanon stoji na tom prijelomu. Vazno je reci da segment ispod bikonicnog prijelomavucedolskih posuda nikada nije uresen, buduci da je to dio ispod naseg obzora, dakle, svijettame i smrti, a preko nekih drugih posuda mozemo shvatiti da je to svijet voda u koji povremenotonu Sunce i zvijezda. I Biblija, uostalom, spominje boravak sunca u mraku, a Homer i Hesiodspominju ≫pobjedu sunca nad smrcu≪. Jos jedan znak cesto stoji na istom mjestu kao sunce –pet zvijezdica slozenih u romb od kojih su tri horizontalno smjestene ravno na tom prijelomu.Tih pet zvijezda simboliziraju veliko zimsko zvijezde Orion koji je u vucedolsko vrijeme dakleoko 2800. g. pr. Kr. zalazio za obzor 21. ozujka, tocno na dan proljetne ravnodnevnice. To jeujedno i pocetak vucedolske godine i pocetak novog ciklusa radanja.

Na jednom loncu nasli ste i najraniji indoeuropski kalendar, sto je doista fantasticno!– U Vinkovcima smo 1978. u jednom podrumu, gdje se u drevnim vremenima nalazila jamaljevaca bakra (na mjestu temelja buduceg hotela ≫Slavonija≪), otkopali cijele posude, kolekcijuod 5 dvodjelnih kalupa za lijevanje bakrenih sjekira s posudom u kojoj se topio bakar. Jamaje do trenutka zatrpavanja sluzila kao podrum vezan uz kucu, a potom i kao odlagaliste zaotpad. Uz kalupe na dnu jame nadene su tri posebno ukrasene posude. Dvije posude svojimukrasima nisu pripadale vremenski kasnoj vec klasicnoj fazi vucedolske kulture. Dok je jednaposuda bila amforica iz kasne faze kulture, druga je bila tzv. ≫kadionica≪ u cijem su se donjemdijelu nalazile tri kamene kuglice, sto znaci da je posuda sluzila kao zvecka u klasicnoj fazivucedolske kulture. Treci i najvazniji nalaz (takoder iz klasicnog doba), na kojeg isprva nisamobracao posebnu paznju, bio je osteceni lonac za kojeg se u vucedolskoj kulturi moze nacimalo analogija. Upravo na njemu sam otkrio oslikani najraniji cjeloviti europski (indoeuropski)kalendar. Kalendar je, valja reci, istovremeni sumerskom i egipatskom i nije njihova kopija jerje uspostavljen na daleko sjevernijoj 45. paraleli!

Mozete li ukratko pojasniti simboliku?– Lonac se sastoji od 4 pojasa od kojih na gornja tri nedostaje nekoliko polja. Svaki pojasima vise kvadrata od kojih su gornja tri polja dosta ostecena. Medutim donji pojas broji 12kvadrata od kojih je svaki drugi prazan. U ≫punim≪ kvadratima su simboli zvijezda koje sepojavljuje u tom dijelu godine. U prvoj zoni prikaz je proljeca. To je jedina zona na loncuu kojoj se javlja Sunce. Redom se javljaju (s praznim kvadratima izmedu) – Sunce, Orion,opet Sunce, a ostalo je odlomljeno. U drugom, nizem i najsirem pojasu prikazano je ljetokoje ima tek dva dominantna zvijezda – sto znaci da opet naizmjenicno idu Plejade, Labud,Kasiopeja, Plejade. Posebno je zanimljivo zvijezde Kasiopeje u obliku slova W koje tada nijebilo cirkumpolarno, a na ljetnu je dugodnevnicu izlazilo sa zalaskom sunca u 20 sati. Labud(prikazan poput kriza sv. Andrije) je visoko nad istocnim obzorjem, a treci znak Plejada svise koncentricnih krugova prikazan je poput Marsa. Treci pojas nosi Plejade, Blizance, Pegazi Ribe te opet Plejade. Zvijezda Pegaza i Riba najcesce su prikazivani kao dva dijagonalnopreklopljena kvadrata, ali se javljaju u jos barem dvije likovne varijante. Najzanimljiviji jecetvrti, ocuvani pojas sa zimskim nebom u 12 kvadrata sto nosi Kasiopeju, Pegaz/Ribe, Orion,Plejade, Pegaz i Blizance. Kalendar, u stvari prepoznaje 4 godisnja doba i 12 polja (tjedana?)u svakom pojasu. Istoznacna Orionova i smrt Kristova

Zasto su dominanta zvijezda u vucedolskoj kulturi?– Vidite, u stepi bez istaknutih prirodnih ≫kontura≪, bilo je vrlo tesko pratiti visinu sunca. Zatomegaliticke civilizacije grade kamene blokove da bi pratile kretanje sunca. U prostorima gdje jeravno obzorje stari su narodi pratili dva tipa zvijezda – ona koja se krecu ravno iznad nasih glava(Veliki medvjed i Velika kola) i tzv. umiruca zvijezda koja je pratila vucedolska kultura. Rijecje o zvijezdima koja se javljaju nisko na obzoru i povremeno se tijekom godine gube s obzora.Vrlo je bitan upravo Orion kojega nema osam mjeseci, a vraca se pocetkom zime. S drugestrane, baveci se kalendarom, naisao sam na problem precesije. Zbog ≫razlokane≪ zemaljske

546 DODATAK E. VUCEDOLSKI KALENDAR

osi, naime, stvara se imaginarna kruznica na nebu koja se zatvara svakih 26.000 godina, stoznaci da je danasnja Sjevernjaca Vucedolcima prije pet tisuca godina bila nevazna zvijezda, asjevernjaca im je bio Thuban u zvijezdu Zmaja. To jasno vidimo i na egipatskim piramidama.To znaci da je Orion bio najvaznije zvijezde u kozmogoniji Vucedolaca?– Moja ideja jest da je Krist u narodnoj tradiciji preuzeo u kasnijim vremenima Orionovusimboliku. Kako je Orion tonuo za obzor na sam dan proljetne ravnodnevnice, biljezio jekraj zime, to jest njezinu smrt. Vezujem to dakle uz hrvatsku tradiciju. Na granici izmeduDalmacije i Hercegovine panj se na Badnjak ukrasavao s pet zvijezdica na isti nacin kakoVucedolac prikazuje Orion. Pojava Oriona na nebu pokriva vrijeme od pocetka zime do krajaproljeca u koji period mozemo svrstati i dva najvaznija datuma vezana uz Krista – njegovorodenje i smrt. Orionova smrt oznacava dominaciju sunca, kao sto i Kristova smrt i UskrsnuceBoga – covjeka uzdize u Boga! I staronjemacka tradicija spominje tri zvijezde iz Orionovapojasa kao tri maga.!Kako povezujete cinjenicu da je kalendar bio u jami ljevaca bakra?– Gledajte, Vucedolci su vjerovali da je metalurg onaj koji moze nasilno iz utrobe zemlje izvucirudacu i posebnim procesima pretvoriti taj metal u uporabni predmet. To znaci da su Vucedolcivjerovali da je metalurg onaj koji moze zaustaviti ili ubrzati vrijeme, odnosno skratiti proceserasta metala u zemljinoj utrobi, do njegovog konacnog oblika – zlata. Danas ne bi trebalo cuditizasto je kalendar naden u jami ljevaca bakra. Kalendar je u biti bio samo banalna kontrolavremena koju je metalurg i tako vec imao! Svojom funkcijom ≫operatera vjecnoscu≪, metalurgje, u stvari, bio saman, a kao sto je poznato samanska tehnika se sastojala od ≫odlaska≪ u svijetmrtvih i povratka u svijet zivih, tj. od donosenja poruka s onoga svijeta. Otkrice kalendarana neki nam je nacin zatvorilo cijelu pricu o vucedolskoj religiji i vjeri. Kalendar je u bititehnikalija koja je trebala opisati nebeska zbivanja vezana uz pojavu i nestanak zvijezda, ali jeistovremeno mogla i prepoznavati neke od planeta koje putuju kroz ta zvijezda (ne zaboravimoda rijec planet dolazi od grcke rijeci lutalica).Posebno su intrigantni nalazi ljudskih zrtava na Vucedolu. Kakvi?– Da. Grob s osam pokojnika otkopan 1985. godine iz rane faze vucedolske kulture u kojemse nalazio muskarac i sedam zena od kojih su sest imale udubljenja na glavi nastala kapljomusijanog metala – jako je vazan. Jedna zena i muskarac, zanimljivo, imali su samo jednu kapljuizazvanu metalom na lubanji i sahranjeni su tako da gledaju u nebo, dok su sve ostale zeneimale po dva udubljenja na glavi i bile su sahranjene s licem prema zemlji. Svi su kosturi bilizatrpani s debelim slojem drvenog ugljena, sto upucuje na ritualnu zrtvu. Uz brojne posudenadene u tom grobu isticala se terina koja nam je pojasnila situaciju u grobu. Ukras na terinipredocava muskarca simbolom Marsa, zenu simbolom Venere, a ostale zene veze u zvijezdePlejade. Uz njih je cetiri puta prikazano zvijezde Oriona, sa sedam sunaca na obzoru. Svrhatog zrtvovanja bila je da se s metalom provede inicijacija, odnosno, da se ti ljudi obiljeze kaozastupnici nebeskih tijela, a moguce je da se dogodilo i to da su Mars i Venera prosli u vrlokratko vrijeme kroz zvijezde Plejada i da je zbog toga pala ljudska zrtva!

Bibliografija

[1] Aganovic I., Veselic K., Uvod u analiticku mehaniku, (Matematicki odjel Prirodoslovno-matematickog fakulteta, Zagreb, 1990)

[2] Aganovic I., Veselic K., Kraljevic H., Zadaci iz teorijske mehanike, (Liber, Zagreb,1970.)

[3] Arfken G. B., Weber H. J., Mathematical Methods for Physicists, (Academic Press,

San Diego (etc.), 1995.)

[4] Arnold V. I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, (Springer-Verlag, New York,

1978)

[5] Bilimovic A., Racionalna mehanika 1, (Naucna knjiga, Beograd, 1950.)



[8] Bilimovic A., Dinamika cvrstog tela, (SANU, Beograd, 1955.)

[9] Blanusa D., Visa matematika II/ 2, (Tehnicka knjiga, Zagreb, 1974.)

[10] Bronstejn I. N., Semendjajev K. A., Matematicki prirucnik za in”zenjere i studente,(Tehnicka knjiga, Zagreb, 1975.)

[11] Dirac P. A. M., Lectures on Quantum Mechanics, (Belfer Graduate School of Science,New York, 1964)

[12] Glumac Z., Matematicke metode fizike - uvod, (http://www.fizika.unios.hr/ zglumac/ummf.pdf)

[13] Glumac Z., Vjerojatnost i statistika - uvod, (http://www.fizika.unios.hr/ zglumac/uvs.pdf)

[14] Goldstein H., Classical Mechanics, (Addison-Wesley, 1980.)

[15] Grechko L. G., Sugakov V. I., Tomasevich O. F., Fedorchenko A. M., Prob-

lems in Theoretical Physics, (Mir Publishers, Moscow, 1977.)

[16] Ivanovic D. M., Vektorska analiza, (Naucna knjiga, Beograd, 1960.)

[17] Jankovic Z., Teorijska mehanika, (Liber, Zagreb, 1982)

[18] Kittel C, Knight W. D., Ruderman M. A., Mehanika, (Tehnicka knjiga, Zagreb,

1982.)

[19] Kotkin G. L., Serbo V. G., Zbirka zadataka iz klasiqne mehanike, (Nauka, Moskva, 1977.)

547

548 BIBLIOGRAFIJA

[20] Krpic D., Savic I., Klasicna fizicka mehanika, (Naucna knjiga, Beograd, 1979.)

[21] Landau L. D., Lifsic E. M., Mehanika, (Gradevinska knjiga, Beograd, 1961.)

[22] Markovic ”Z., Uvod u visu analizu 1, (Nakladni zavod Hrvatske, Zagreb, 1950.)

[23] Markovic ”Z., Uvod u visu analizu 2, (Skolska knjiga, Zagreb, 1952.)

[24] Morse P. M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics 1, (McGraw-Hill, NewYork, 1953.)

[25] Morse P. M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics 2, (McGraw-Hill, New

York, 1953.)

[26] Purcell E. M., Elektricitet i magnetizam, (Tehnicka knjiga, Zagreb, 1988.)

[27] Rojansky V., Uvod u kvantnu mehaniku, (Naucna knjiga, Beograd, 1963.)

[28] Snieder R., A Guided Tour of Mathematical Physics,(http://samizdat.mines.edu/snieder, 2004.)

[29] Spiegel M., Theory and Problems of Theoretical Mechanics with an Introduction to La-

grange’s Equations and Hamiltonian Theory, (McGraw-Hill, New York, 1968.)

[30] Spiegel M. R., Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, (McGraw-Hill,New York, 1959.)

[31] Supek I., Teorijska fizika i struktura materije 1, (Skolska knjiga, Zagreb , 1974)

[32] Supek I., Teorijska fizika i struktura materije 2, (Skolska knjiga, Zagreb , 1977.)

[33] Targ S. M., Teorijska mehanika, (Gradevinska knjiga, Beograd , 1990.)

[34] Wells D. A., Theory and problems of Lagrangian Dynamics, (McGraw-Hill, New York,

1967.)

[35] Yavorsky B., Detlaf A., Handbook of Physics, (Mir Publisher, Moscow, 1975.)

Kazalo pojmova

mehanicizam, 167

amplituda, 127, 138, 142–144apsorpcija, 148, 150

brzina, 69, 135, 341cilindricni koordinatni sustav, 71fazna, 304, 308, 315kruzna, 341kutna, 76neinercijski sustav, 233plosna, 71polarni koordinatni sustav, 204poopcena, 392povrsinska, 204, 217prava, 69prva kozmicka, 285rakete, 284, 286sferni koordinatni sustav, 71snaga, 71, 86srednja, 69struja, 71

cikloida, 122cirkulacija, 34

deformabilnost, 333dipol

elektricni, 189gravitacijski, 191moment, 190, 194polje, 191potencijal, 190, 194

Diracova δ-funkcija, 186, 196, 431direktrisa, 437, 438divergencija, 28, 184–186djelovanje, 409, 410

ekscentricitet, 437, 439–441ekvipotencijalna ploha, 23, 174, 207elasticitet, 333

elektricni naboj, 175elipsa, 157, 212, 214, 217, 438elipsoid tromosti, 364elongacija, 127energija, 86, 93, 216, 429

graf, 209harmonijskog oscilatora, 129kineticka, 87, 93, 106, 108, 115,

207, 268, 276, 287, 290, 392, 394,413, 414

kineticka, vrtnje, 341, 351, 359nesacuvanje, 108, 113, 114, 139potencijalna, 87, 93, 96, 98, 103,

105, 106, 108, 172, 173, 175, 177,207, 208, 210, 269, 271, 278, 279,287, 395, 397, 401, 403, 414, 428

sacuvanje, 93, 130, 139, 151, 200,207, 272

epicikli, 166Eulerovi kutovi, 370, 374

fazna putanja, 421fazni prostor, 420, 421foton, 178Fourierov red, 312, 443frekvencija, 120, 129, 134, 143, 156,

308, 314, 319ciklotronska, 116rezonantna, 143, 145vlastita, 127, 145, 150

Frenet-Serretove formule, 74

glavne osi krutog tijela, 361glavni momenti tromosti, 361gradijent, 23, 24, 87, 92, 175, 183, 191gravitacija

konstanta, 169naboj, 172, 175, 191polje, 171, 184–186, 237potencijal, 173, 175, 176

549

550 KAZALO POJMOVA

gustocaelekticne struje, 402elekticnog naboja, 402linijska, masena, 174, 260, 263, 302povrsinska, masena, 174, 258, 263reprezentativnih tocaka, 421vjerojatnosti, 130, 429volumna, masena, 174, 193, 255,

263

hamiltonijan, 412, 414, 418, 421, 428harmonijski oscilator, 125, 161, 293,

305, 429dvodimenzijski, 154neperiodicna vanjska sila, 151periodicna vanjska sila, 139s prigusenjem, 135sa smetnjom, 131

heliocentricni sustav, 166Hesseova determinanta, 100hiperbola, 440

impuls sile, 93, 276, 282invarijantna linija, 365invarijantna ravnina, 366

Jacobijev identitet, 416jakobijan, 257jednadzba

druga Maxwellova, 184Euler - Lagrangeova, 406, 410Eulerova, 364, 365, 367, 375Hamiltonova, 411, 412, 417, 420–

422, 425prva Maxwellova, 186Schrodingerova, 428valna, 304, 305, 308, 310, 315, 317,

319, 326jednadzba gibanja

Lagrangeova, 391, 395, 397, 404,410, 412

Newtonova, 82, 93, 101, 102, 105,109, 111, 115, 126, 132, 135, 140,155, 160, 197, 204, 265, 281, 294,303, 345, 391, 393, 404

kalendar, 165kinematika, 69klasicni polumjer elektrona, 177

koeficijent restitucije, 287kolicina gibanja, 209, 420

poopcena, 395, 401, 411, 414, 417sacuvanje, 95, 198, 266, 289, 291sustava, 265, 274, 289

komutator, 393, 425, 428konstanta

fine strukture, 178vezanja, 126, 169, 175

konzervativan sustav, 414koordinata

cilindricna, 41poopcena, 256, 259, 260, 388, 392,

395, 397, 402, 411, 413, 414, 417pravokutna, 8sferna, 48

koordinatni sustavcilindricni, 41, 207, 435polarni, 42, 75, 214pravokutni, 196, 434sferni, 48, 179, 187, 191, 192, 434

kosi hitacinercijski sustav, 106neinercijski sustav, 241

Kronecker-delta, 308kruznica, 119, 121, 159, 213, 217, 438kruto tijelo, 333kvadrupol

gravitacijski, 191moment, 194potencijal, 194, 195

kvantna mehanika, 178, 425prijelaz na, 425

lagranzijan, 395, 397, 402, 404, 410,411

Lagrangeov mnozitelj, 397, 398laplasijan, 40logaritamski dekrement, 138lorencijan, 150

masareducirana, 200teska, 84, 172, 175troma, 84, 150, 175

matricaantisimetricna, 67hermitska, 67ortogonalna, 62

KAZALO POJMOVA 551

simetricna, 67transponirana, 66unitarna, 67

metricka forma, 58mezon, 178moment

dipola, 194kolicine gibanja, 93, 94, 199, 201,

267, 268, 274, 342, 359kvadrupolni, 194sile, 93, 267, 268, 274, 277tromosti, 334, 341, 362tromosti, devijacijski, 357

naceloD’Alembertovo, 281Hamiltonovo, 410Lagrangeovo, 278neodredenosti, 428pridodavanja, 169, 174, 189

nabla, 22, 23, 28, 40Newtonovi aksiomi, 79, 80, 167, 229

drugi, 81, 93, 101, 105, 115, 202,204, 265, 269

prvi, 80treci, 84, 104, 109, 197, 270

Newtonovo pravilo za sudare, 287,289, 291

njihalofizicko, 344, 345Foucaultovo, 243matematicko, 160, 293, 347

nutacija, 376

okomiti hitacinercijski sustav, 106neinercijski sustav, 240

operatorkolicine gibanja, 426, 427koordinate, 426, 427

par sila, 339parabola, 108, 213, 217, 440period, 119, 122, 129, 132, 134, 138,

162, 163, 218, 308, 314, 319, 347Poissonove zagrade, 416, 418polje

elektricno, 115, 117, 184elektromagnetsko, 115, 120

gravitacijsko, 184konzervativno, 184magnetsko, 115, 118sile, 172, 175skalarno, 8tenzorsko, 8vektorsko, 8, 17

polusirina, 150polumjer tromosti, 336potencijal

monopola, 194multipolni, 189, 194oktupola, 196skalarni, 402–404vektorski, 402–404

precesija, 366, 376, 377preobrazba

bazdarna, 404kanonska, 418

presjeci stosca, 215, 437problem dva tijela, 197prostor

homogenost, 75, 115, 189izotropnost, 75, 115, 189, 199, 203

proton, 178putanja, 69, 82, 85, 87, 93, 108, 112,

119, 121, 201, 225

rad, 85, 87, 105, 115, 172, 177, 270,287

elasticne sile, 129gravitacijske sile, 184sile prigusenja, 139sustava, 269, 271, 272zamisljeni, 278

raketa, 282dvostupanjska, 286

ravninsko gibanje, 334ravnoteza

cestice, 95, 279indiferentna, 96labilna, 96, 221stabilna, 96, 221sustava, 278

refleksija, 16reprezentacija

~p , 427~r, 426

552 KAZALO POJMOVA

impulsna, 427koordinatna, 426

reprezentativna tocka, 421rezonancija, 143, 144rotacija, 34, 88, 92, 184, 207

sila, 82centralna, 201, 207centrifugalna, 223Coriolisova, 242Coulombova, 172, 175, 197doseg, 178elasticna, 93, 125, 129, 154, 157,

201, 293elektrostatska, 175, 176, 184, 201gravitacijska, 93, 104, 105, 108,

111, 115, 168, 169, 172, 175, 176,179, 197, 201, 209, 214, 221, 283,286, 289, 293, 302

impulsna, 401jaka nuklearna, 178konstantna, 101, 103, 104, 106, 117konzervativna, 87, 93, 103, 105, 108,

115, 129, 172, 200, 207, 269, 271,272, 279, 395, 397

Lorentzova, 93, 115, 401, 402napetosti, 160, 302nekonzervativna, 93, 395ovisna o brzini, 115periodicna, 139poopcena, 392, 395, 398prigusenja, 108, 110, 135, 139, 283teza, 104, 106, 160trenja, 109u atomskoj jezgri, 178unutarnja, 265vanjska, 139, 148, 265

skalar, 7, 175gradijent, 23, 24pseudo, 16

slobodan padinercijski sustav, 104, 111, 168neinercijski sustav, 239

snaga, 86, 148apsorbirana, 148

spin, 376srediste mase, 197, 198, 262, 265, 272,

289stozac

krutog tijela, 369prostorni, 369

stupnjevi slobode, 386–388, 391, 394,402, 411, 416, 420, 426

sudarcentralni, 287, 289, 292elastican, 287, 290necentralni, 287, 290neelastican, 287, 290

sustav, 255diskretni, 255inercijski, 82, 104, 160, 229, 272,

276kontinuirani, 255konzervativan, 395, 420, 421neinercijski, 82, 104, 160, 229, 272nekonzervativan, 395

svojstvena vrijednost, 297, 300

teziste, 263tezina, 104tenzor, 68

drugog reda, 8, 68, 358metricki, 57, 259nultog reda, 68prvog reda, 68tromosti, 358

teoremGaussov, 25, 29, 186Liouvilleov, 422o okomitim osima, 339o paralelnim osima, 338Steinerov, 338Stokesov, 92, 184virijalni, 219

titranjelongitudinalno, 293sustava, 293transverzalno, 293

tok, 25, 186transformacija

ortogonalna, 62slicnosti, 68

translacija, 334trenutna os vrtnje, 355trenutno srediste vrtnje, 351trobrid pratilac, 72, 73

ubrzanje, 71, 74, 82, 172

KAZALO POJMOVA 553

cilindricni koordinatni sustav, 72Coriolisovo, 234kutno, 76neinercijski sustav, 233polarni koordinatni sustav, 160,

204sferni koordinatni sustav, 72

uvjeti, 109, 277, 387, 402holonomni, 387, 389, 392, 394, 395,

398, 401, 409, 411minimuma potencijalne energije, 99neholonomni, 389, 392, 394, 396,

410, 411pocetni, 101, 105, 106, 110, 111,

115, 120, 126, 127, 132, 145, 155,161, 203, 304, 308, 311, 315, 317,319, 421

reonomni, 389, 395, 413rubni, 304, 311skleronomni, 389, 395, 414

valputujuci, 310stojni, 305

valna duljina, 306valna funkcija, 3, 428, 429varijacijski racun, 405vektor, 7, 175

aksijalni, 16derivacija, 18, 233diferencijalni operatori, 22, 25,

28, 34, 40, 88, 92divergencija, 28integral, 19jedinicni, 9kontravarijantni, 55kovarijantni, 55linijski integral, 19polarni, 16povrsinski integral, 20, 25pseudo, 16, 95, 333rotacija, 34, 88, 92skalarni umnozak, 11, 18, 45, 51,

85, 195skalarno vektorski umnozak, 13,

256svojstveni, 297, 300vektorski umnozak, 12, 45, 52, 259vektorsko vektorski umnozak, 14

virijal, 220vodikov atom, 429vrtnja, 333

zakondrugi Keplerov, 214, 217Gaussov, 186gravitacije, 167, 168prvi Keplerov, 214, 215treci Keplerov, 214, 218

zamisljeni pomak, 278zrcaljenje, 16zvrk, 374

Klasicna mehanika Zvonko Glumac.pdf

Documents

Transcript of Klasicna mehanika Zvonko Glumac.pdf