Kinematika

1. Zakon pravolinijskog kretanja Da bismo poznavali polozaj tacke na njenoj putanji u svakom

trenutku vremena potrebno je da znamo zavisnost: X=Ft- Ovajednacina predstavlja zakon pravolinijskog kretanja.

Ox- koordinatna osa,M- tacka koja se krece, prolazi put x i zauzima polozaje M1; M2…

X- predstavlja polozaj tacke, a ne i predjeni put,

Pređeni put: Ako tačka ide on 0 do M1 pa se vrati u M jednak je

2. Brzina i ubrzanje pri pravolinijskom

kretanju

Brzina (υ) tačke u trenutku vremena t je veličina kojoj teži

srednja brzina kada vremenski interval teži nuli.

*Srednja brzina tačke - vektor srednje brzine ima pravac ose

x i usmeren je usmeru kretanja od tačke M ka tački M1.

Δt = t1-t

ΔX = X1-X

V = lim ΔX/Δt

V = dx/dt [m/s]

Ubrzanje tačke je veličina koja karakteriše promenu brzine

tačke.

*Vektor brzine i ubrzanja imaju isti pravac (smer je različit ako se

radi o usporenom kretanju), dok pređeni put i pomeraj imaju

istu brojčanu vrednost.

Prema formuli brojčana vrednost ubrzanja u datom trenutku

vremena jednaka je prvom izvodu brzine ili drugom izvodu

koordinate X po vremenu t.

Za definisanje krivoliniskog kretanja tačke,moze se primeniti

jedna od tri metode:

a) Vektorska,

b) Analitička( koordinatna) i

c) Prirodna.

3. Vektorski način definisanja

krivolinijskog kretanja

Ova jednačina omogućava da se u

svakom trentku t konstruiše

odgovarajući vektor i da se na

taj način odredi položaj pokretne

tačke.

Vektor brzine tačke

Brzinom tačke M u datom trenutku vremena t

naziva se vektorska veličina , kojoj teži

srednja brzina kada vremenski interval Δt teži

nuli.

Vektor brzine tačke u svakom trenutku vremena pada u pravcu

tangente na putanju, i usmeren je u smeru kretanja.

Vektor ubrzanja tačke

Ubrzanjem tačke u datom trenutku t naziva se vektorska veličina kojoj teži vektor

srednjeg ubrzanja kada vremenski interval Δt teži nuli.

Vektor ubrzanja tačke jednak je prvom izvodu vektora brzine ili drugom izvodu

vektorapoložaja tačke po vremenu.

4. Analitički način definisanja

krivolinijskog kretanja

Projekcije vektora u

Dekartovom pravolinijskom sistemu su x(t), y(t), z(t).

Skalarne jedinice su u tom slučaju:

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t)

Ove jednačine su parametarske jednačine kretanja , a

eliminacijom parametra t iz jednačina dobija se linija putanje.

Vektor ubrzanja tačke se određuje izračunavanjem izvoda po

vremenu vektora položaja:

Pošto su jedinični vektori sledi da je izraz za vektor

brzine u ravni:

Za vektor brzine u prostor važi:

Određivanje vektora ubrzanja se određuje na sličan način pri

čemu je:

Ubrzanje se određuje na osnovu izvoda brzine:

Za prostor važi:

5. Prirodni način definisanja kretanja Pri kretanju tačke M, menja se

rastojanje tokom vremena. Da bi smo poznavali položaj tačke u svakom trenutku na putanji potrebno je da znamo zavisnost s = f(t) – ova jednačina izražava zakon kretanja tačke M po putanji.

Da bi smo odredili kretanjetačke prirodnim putem potrebno je da znamo:

1) putanju tačke;

2) početak koordinatnog sistema;

3) zakon kretanja tačke duž putanje u obliku s=f(t) gde rastojanje s= određuje krivolinijsku koordinatu putanje.

Za Δt = t1 - t tačka pređe put

od M do M1 tj. Δs =

s1 – s.

Na osnovu toga brojčana

vrednost brzine tačke u

datom trenutku jednaka je

prvom izvodu pređenog puta tačke po vremenu.

6. Translatorno kretanje

Kretanje krutog tela naziva se translatorno, ako se svaka

prava ili ravan provučena u tom telu pomera zajedno sanjim, tako da uvek ostane samo sebi paralelna (ovo

kretanje ne treba mešati sa pravolinijskim).

Pri ovom kretanju putanje tačke mogu da budu ma kakvekrive linije tj. translacija može da bude kako pravolinijska

tako i krivolinijska.

Pri translatornom kretanju sve tačke tela opisuju istuputanju i imaju istu brzinu i ubrzanje u svakom trenutku

vremena i po intenzitetu i po pravcu i po smeru.

Za određivanje brzine tačaka A i B

potrebno je diferencirati obe

strane jednačine po vremenu:

Međutim izvod const vektora

= 0, pa je iz jednačine

diferenciranjem obe strane

jednačine po vremenu dobijamo:

Kod translatornog kretanja brzina i ubrzanje tačaka imaju isti intenzitet, smer i

pravac.

U ovom slučaju vektor je ostao konstantan i po intenzitetu i po pravcu i po

smeru prilikom pomeranja.

7. Obrtno kretanje krutog tela Obrtnim kretanjem naziva se takvo kretanje krutog tela pri kome

bilo koje dve tacke koje pripadaju telu(ili su sa njim čvrsto vezane)

ostaju za sve vreme nepomične (sa slike prava AB koja prolazi kroz

nepomicne tacke A i B naziva se obrtna osa).

I – ravan koja je nepomična

II – ravankoja je čvrsto vezana za

kruto telo

φ - ugao obrtanja tela (ugao

obrtanja)

Φ= f(t) – zakon obrtnog kretanja

tela

Osnovne kinematske karakteristike obrtnog kretanja krutog tela su ugaona brzina i ugaono ubrzanje.

Ako se za vremenski interval Δt=t1-t, telo okrene za ugao Δφ=φ1 – φ, onda je srednja ugaona brzina jednaka ωsr = Δφ/Δt.

Ugaonom brzinom tela u trenutku t naziva se veličina kojoj teži srednja ugaona brzina ωsr kada vremenski interval Δt teži 0.

Na osnovu toga ugaona brzina u datom trenutku vremena brojčano je jednaka prvom izvodu obrtnog ugla po vremenu.

(jer je radijan veličina bez dimenzija)

Ugaono ubrzanje karakteriše promenu ugaone brzine

obrtanja tela u toku vremena. Ako je Δt = t1 – t i Δω

=ω1 – ω onda je srednje ugaono ubrzanje:

Na osnovu prethodnog:

Ugaono ubrzanje tela u datom trenutku vremena

brojčano je jednako prvom izvodu ugaone brzine ili

pak drugom izvodu obrtnog ugla tela po vremenu.

Dimenzija ugaonog ubrzanja

Kod obrtnog kretanja imamo:

a) Ubrzano kretanje: vektor brzine i ubrzanja imaju

isti smer i pravac.

b) Usporeno kretanje: vektor brzine i ubrzanja imaju

isti pravac a suprotan smer.

8. Ravno kretanje krutog tela, tazlaganje

kretanja na translatorno i obrtno

Kretanje krutog tela naziva se ravnim ako se sve

njegove tačke kreću parlelno prema nekoj nepomičnoj

ravni, odnosno ako su brzine svih tačaka paralelne

nekoj nepomičnoj ravni π.

Pri ravnom kretanju sve tačke tela koje leže na pravoj

MM’, upravnoj na ravan π kreću se na isti način.

Da bi smo bili u stanju da odredimo položaj tela u

prostoru u bilo kom trenutku vremena potrebno je da

znamo obe ove slike.

xa = f1 (t) ; ya = f2 (t) ; = f3 (t) – ovo su jednačine

kretanja krutog tela.

Razmotrimo dva

uzastopna položaja I i II

koje zauzima presek S

pokretnog tela u

trenutcima t1 i t2.

Translatorno kretanje:

A1 u A2 i B1 u B1’ – duž

A1B1 se pomera na

A2B1’.

Obrtno kretanje:

pomeranje tačke B1’ u B2

za ugao .

- brzina i ubrzanje za translatorno

kretanje.

– ugaona brzina i ugaono ubrzanje za obrtno

kretanje.

Sa slike vidimo da je A1B1||A2B1’||B2A1’ ; Δ 1 =Δ 2.

9. Odredjivanje brzina tačaka tela

Ravno kretanje krutog telasastoji se iz translatornog

dela kretanja pri čemu se sve tačke kreću brzinom

i iz obrtnog dela kretanja oko tog polja

10. Odredjivanje ubrzanja tačaka tela

Ubrzanje bilo koje tačke M pri ravnom kretanju sastoji se iz

ubrzanja koje ta tačka ima pri translatornom i pri obrtnom

kretanju posmatranog tela.

Položaj tačke M prema koordinatnom sistemu određen je

vektorom položaja.

Prema tome definiciju ubrzanja tačke M intenzitet i pravac

ubrzanja nalazimo konstruisanjem odgovarajućeg

paralelograma.

11. Plan brzina Planom brzina naziva se dijagram na kome su od neke

tačke naneti vektori brzina pojedinih tačaka tela.

Neka su - brzine tačaka A, B, i C.

Iz trougla Oab se vidi da je :

Prema ovome: odsečci koji spajaju krajeve vektora brzina u planu brzina upravni su na odsečke koji spajaju odgovarajuće tačke tela i po intenzitetu proporcionalni su tim odsečcima, figure označene u planu brzina i u preseku (S) tela istim slovima biće tom pilikom slične i okrenute jedna u odnosu na drugu za 90⁰.

12. Plan ubrzanja Ubrzanje bilo koje tačke M tela sastoji se iz ubrzanja koje

ta tačka ima pri translatornom i pri obrtnom kretanju

posmatranog tela.

Vektor je upravan na AM i ima smer

obrtanja ako je obrtanje ubrzano, odnosno ima

smer suprotan obrtanju ako je obrtanje usporeno.

Vektor usmeren je uvek od tačke M ka

polju pa dobijamo:

Ubrzanje bilo koje tačke tela u datom trenutku vremena može da se odredi ako su poznati:

1) vektori brzine i ubrzanja i neke tačke A tela u tom trenutku

2)putanje neke druge tačke B tela.

13. Složeno kretanje tačke, apsolutno,

prenosno I relativno kretanje

Složeno kretanje podrazumeva kretanje tela u odnosu na dva

koordinatna sistema (pri čemu jedan stoji a drugi se kreće)

(primer: kretanje kugle po brodu koji se kreće nepokretni

sistem je obala a pokretni brod).

1) Kretanje koje vrši tačka M

u odnosu na pokretni

koordinatni sistem zvaćemo

relativno kretanje.

Putanja AB koju opisuje tačka

M pri svom relativnom

kretanju zove se relativna

putanja.

2)Kretanje koje vrši pokretni koordinanti sistem Oxyz, i

zajedno sa njim čvrsto vezane pojedine tačke prostora, u

odnosu na nepokretni koordinatni sistem O1x1y1z1 za

tačku M je prenosno kretanje. Brzina tačke koja je čvrsto

vezana za pokretni koordinatni sistem Oxyz i sa kojom se

u datom trenutku poklapa tačka M zove se prenosna

brzina tačke M u tom trenutku i označava se sa .

3) Kretanje koje vrši tačka u odnosu na nepokretni

koordinatni sistem O1x1y1z1 zove se apsolutno ili

složeno kretanje. Putanja CD tog kretanja zove se

apsolutna putanja.

, - Apsolutna brzina i apsolutno ubrzanje.

Za primer kugle na brodu:

Kretanje kugle u odnosu na palubu broda je

relativno, kretanje broda u odnosu na obalu

predstavlja prenosno kretanje kugle, kretanje kugle

u odnosu na obalu predstavlja apsolutno kretanje.

14. Slaganje brzina

Tačka M se kreće duž relativne putanje

AB, Δt = t1 – t put MM’.

Putanja AB kreće se zajedno sa

svojim koordinatnim sistemom i zauzima položaj A1M1.

Pravci brzina se poklapaju sa tangentama na odgovarajuće putanje.

Na osnovu slike intenzitet

apsolutne brzine:

15. Slaganje ubrzanja, Koriolisovo

ubrzanje (teorema)

- relativno ubrzanje pri relativnom

kretanju

Prenosna brzina dobija priraštaj i pri relativnom

i pri prenosnom kretanju usled čega je:

Tačka M se kreće ubrzano duž

prave Ox koja se obrće u ravni

Ox1y1, oko tačke O.

MM’- relativno pomeranje tačke

M

MM’’ – prenosno pomeranje

tačke M

Apsolutno ubrzanje tačke:

Pri složenom kretanju:

1) Slučaj translatornog i prenosnog kretanja

Slika pokazuje kretanje koordinatnog sistema i prave AB

zajedno sa njim.

2) Pri relativnom pomeranju tačke iz M u M’ vektor

se ne menja pa je

3) Slučaj kada prenosno kretanje nije

translatorno: ovde su i -

različite od 0. Uvodimo oznaku:

- predstavlja obrtno ili Koriolisovo

ubrzanje tačke pa je:

Korisolova teorema Ako prenosno kretanje nije translatorno onda je

apsolutno ubrzanje tačke jednako geometrijskom zbirutri ubrzanja :

1) relativnog – koje karakteriše promena relativnebrzine pri relativnom kretanju;

2) prenosnog – koje karakteriše promena prenosnebrzine pri prenosnom kretanju i

3) Koriolisovog – koje karakteriše promenu relativnebrzine pri prenosnom kretanju i prenosne brzine prirelativnom kretanju.

Pravac i smer vektora Koriolisovog ubrzanjanajjednostavnije je odrediti pravilom desne ruke.

16. Cilindrični zupčasti prenosnici

Obicnim prenosnikom naziva se prenosnik kod koga su ose

svih medjusobom ozubljenih zupcanika nepomicne.