kiau.ac.irkiau.ac.ir/~heat-transfer-i/Lectuers/Section4.pdfﺮﺒﺠﻧر :ﻩﺪﻨﻨﮐ...

رنجبر: تهيه کننده بخش چهارم انتقال حرارت يک ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

انتقال حرارت هدايت دائم دوبعدی .تا بدينجا انتقال حرارت يک بعدی را مورد مطالعه قرار داديم • .در انتقال حرارت يک بعدی گراديان دما تنها در يک جهت حائز اهمييت است •ت • ايج دور از واقعي اد و نت ادگی زي دی موجب س رارت يک بع ال ح وارد فرض انتق سياری از م ی در ب ول

.می شودرار در • ی ق ث و بررس ورد بح دی م م دو بع دايت دائ رارت ه ال ح سائل انتق ل م های ح ث روش ن مبح اي

.می گيرد

روش های بررسی مسائل انتقال حرارت دو بعدی :جسمی مطابق شکل را که اثرات هدايت دوبعدی در آن حائز اهميت است در نظر می گيريم •21 . فرض می شوندTدو سطح باال و پائين عايق و • T>

ابق • ت مط ا ثاب طح دم ر س ود ب ه عم رارت ک ادل ح رخ تب ردار ن کل ب رم(ش ر ) ايزوت د را در نظ ی باش م

:ميگيريم :اهداف مورد نظر در تجزيه و تحليل هدايت •

o که در مبحث بصورت (تعيين توزيع دما در مادهT ه حرارت ا حل معادل ه ب ود ک د ب خواه .)بدست می آيد

),( yx

o محاسبه نرخ تبادل حرارت با استفاده از معدله فوريه :معادله حرارت هدايت دائم يکبعدی •

)(0

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⊗=∂∂

+∂∂

∴

∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

yT

xT

tT

kq

zT

yT

xT

α&

:روابط فوريه برای محاسبه نرخ تبادل حرارت •

( ) ( )22;

),(;),(

yxyx

yx

qqqqjqiq

yyxTkq

xyxTkq

′′+′′=′′+′′=

∂∂

−=′′∂

∂−=′′

r))r

١٣ از ١صفحه


:ه گرفت می توان از روشهای زير بهر⊗برای حل معادله حرارت • روش تحليلی .١ روش ترسيمی .٢ ) Finite Difference –اختالف محدود (روش عددی .٣

روش تحليلی •

o شامل حل دقيق رياضی معادله( ذکور وجود می باشد⊗( ه م و روشهای مختلفی برای حل معادل .دارند

o معادله مذکور معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئی می باشد. o معادله بسيار پيچيده تر از معادالت يک بعدی بيان شده تاکنون می باشدحل اين. o محدوديت روش حل تحليلی:

.حل معادله منجر به توابع و سری های پيچيده رياضی می شود ا " به علت پيچيدگی رياضيات مسئله، عموما اين روش محدود به اشکال هندسی ساده ب

.شرايط مرزی نه چندان پيچيده می شود),( . می باشدTيت روش در دست يابی مستقيم به تابع مز yx .لذا دما در هر نقطه ای به سادگی از معادله فوريه قابل محاسبه می باشد در اين مبحث فقط به روش حل تحليلی با استفاده از روش جداسازی متغيرها اشاره می

.شودo محدوديت های روشهای ترسيمی و عددی:

) روش حل معادله در اين . به مقادير تقريبی در نقاط منفردی منجر می شوند⊗(ن دو روش وجود ا اي ده ب ا هندسه مشکل و شرايط مرزی پيچي سائل ب امکان تطبيق م

.لذا می توان مسائل پيچيده را با استفاده از اين دو روش حل نمود. دارد روش جداسازی متغيرها •

o ا در آن دو بعدی فرض می شود را در جسمی مستطيل شکلی مطابق شکل زير را که توزيع دم :شرايط مرزی • y :نظر می گيريم

2

1

1

1

),()0,(),(),0(

TWxTxTyLTTyT

====

TT

:معادله هدايت •

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yT

xT

:با تعريف دمای بدون بعد بصورت زير •

12

1

TTTT−−

≡θ

02: عبارتست ازمعادله هدايت بصورت بدون بعد

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yxθθ

),( yxT 0,1 =θT

1,2 =θT

0,1 =

θT

0,1 =

θT x

L

W

0

١٣ از ٢صفحه


:که با شرايط مرزی ذيل می بايست حل شود

1),(0),(0)0,(0),0(====

WxyLxy

θθθθ

:روش جداسازی متغيرها ),( yxθ ی • ابع اصلی يعن ه ت وان فرض می شود ک ه يکی را بت ابع ک ضرب دوت ابعی از حاصل بصورت ت

x : بيان نمود در اينصورت، می باشد و ديگری تابعی ازتابعی از )()(),( yYxXyx

y=θ XY: • با جايگذاری در معادله هدايت و تقسيم طرفين به

2

2

2

2 11dy

YdYdx

XdX

=−

:معادله مذکور را می توان تفکيک نموده و بصورت دو معادله مرتبه دو معمولی نوشت •2

2

2

2

2 11 λ==−dy

YdYdx

XdX

.باشند) λمقادير ويژه،(چون دو معادله مستقل مساوی بايد برابر با مقادير عددی ثابتی •

01

01

22

22

2

2

22

22

2

2

=−→=

=+→=−

Ydy

Yddy

YdY

Xdx

Xddx

XdX

λλ

λλ

yy eCeC

xCxCXλλ

وده و • ا حل نم ا استفاده از شرايط مرزی آنه معادالت ديفرانسيل مذکور را می توان بصورت جداگانه و ب .در معادله توزيع دما صدق نمايند" ن نمود که در هر دو معادله و نتيجتامقادير ويژه را طوری تعيي

:حل عمومی معادالت مذکور •

Y

λλ

43

21 )sin()cos(

+=

+=−

),( yx

: عبارتست ازθو حل عمومی معادله حرارت •( )yy eCeCxCxCyYxXyx λλλλθ 4321 )sin()cos()()(),( ++== −

0),0(

01 : واضح است کهyθ=با اعمال شرط مرزی =C( ) )(0)sin( 432 ∗=+CCxC λ ),0(0با اعمال شرط مرزی =xθخواهيم داشت :

: فقط در صورتی صادق است که )معادله )∗43 CC −= 2 . نخواهد بودواب ديگر تابعی از را نمی تواند برابر صفر باشد چون جCبايد دقت نمود که

x( ) 0)sin(42 =− − yy eexC λλλ رزی رط م ال ش ا اعم ),(0ب =yLθ ه ست C معادل عبارت

) :از ) 0)sin(42 =LCC λ0)sin( =L − − yy ee λλ ه λ که فقط در صورتی صادق است ک .باشد

: گردندکه از اين رابطه مقادير ويژه تعيين می

١٣ از ٣صفحه


Ln

nnLπλ

πλ

=

== L,3,2,1;

:اکنون جواب بصورت تابع زيرحاصل شده است

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−L

ynL

yn

eeL

xnCCyxπππθ )sin(),( 42

n

: بستگی دارد می توان نوشتبا ترکيب ثابت ها و توجه به اينکه ثابت جديد به مقادير

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−L

ynL

yn

n eeL

xnCyxπππθ )sin(),(

: همچنين می توان نوشت

)sinh(2L

ynee Lyn

Lyn πππ

=−−

:ولذا

∑∞

=

=1

)sinh()sin(),(n

n Lyn

LxnCyx ππθ

nC1),(

=Wxθرا با اعمال شرط مرزی : بدست می آوريم

∑∞

=

=1

)sinh()sin(),(n

n LWn

LxnCWx ππθ

nC

[ ]

ه با استفاده از بسط سری های توانی عمود بر هم می توان ضريب ود ک را محاسبه نم :زعبارتست ا

L,3,2,1sinh

1)1(2 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+

n

LWnn

n

n ππC

:و در نتيجه

[ ]L,3,2,1

sinh

)sinh()sin(1)1(2),(

1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= ∑

∞

=

+

n

LWn

Lyn

Lxn

nyx

n

n

π

ππ

πθ

وده و . مالحظه می شود که جواب به يک سری منجر شده است ن سری همگرا ب نانچه چاي :آن را ترسيم نمائيم بصورت زير خواهد بود

١٣ از ۴صفحه


Mi j, θ xindi yind j,( ):=

yind j ylow jyhigh ylow−

yn 1−⋅+:=j 0 yn 1−..:=

xindi xlow ixhigh xlow−

xn 1−⋅+:=i 0 xn 1−..:=

yn 20:=

yhigh W:=ylow 0:=

xn 40:=

xhigh L:=xlow 0:=

θ x y,( )2π

1

200

n

1−( )n 1+ 1+

n

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

sinn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅

sinhn π⋅ y⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

sinhn π⋅ W⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅∑=

⋅:=

W 1:=L 1:=

١٣ از ۵صفحه


:ترسيمیروش . دی با مرزهای دماثابت يا عايق می توان استفاده نموداز اين روش برای حل مسائل انتقال حرارت دوبع اربرد اين روش بر مبنای ترسيم منحنی های دما ثابت بنا شده است که امروزه تمايل به آن با گسترش ک

.کامپيوتر بسيار کاهش يافته است .اين روش برای درک بهتری از طبيعت ميدان دما و نيز تخمين اوليه توزيع دما کاربرد دارد

روش رسم نمودار شدت جريان حرارت . می باشنددديديم که خطوط دما ثابت بر خطوط جريان حرارت عمو" قبال .در اين روش هدف ترسيم شبکه خطوط دما ثابت و جريان حرارت می باشد ی ميدان حرارت هدايت دوبعدی زير را درنظر می گيريم T و خارجی T که کانالی با دمای سطوح داخل

:می باشند12

: مطابق روش زير استنمودار شدت جريانترسيم . ارائه شده استaمقطعی از اين کانال در شکل

o وان . تشخيص خطوط تقارن اولين گام می باشد در اين مسئله يک هشتم مقطع کانال را می ت .در نظر گرفت

o ايق فرض می شو ارن سطوح ع ان حرارت می . ندخطوط تق ايق خطوط جري ذا خطوط ع ل .باشند

o ا سطوح ر خطوط عايق ي ه ب دان می باشند ک ا ثابت در داخل مي قدم بعدی ترسيم خطوط دم .جريان حرارت عمود می باشند

o ه برخطوط دماثابت ه ای ترسيم می شوند ک ه گون خطوط جريان حرارت بصورت چشمی بد در اينصورت شبکه مربعی شکل . عمود باشند اد خواه ی با اضالع منحنی مطابق شکل ايج

.شدo مطابق شکل محورx ذا در صورت دست در جهت جريان حرارت در نظر گرفته شده است ل

:يابی به شبکه قابل قبول بايد شرايط ذيل حاصل شود

22bdacycdabx +

≡∆≈+

≡∆

١٣ از ۶صفحه


o مپس از دست يابی به شبکه قابل قبول نرخ تبادل حرارت را محاسبه می نمائي: محاسبه نرخ تبادل حرارت يم نرخ تبادل حرارت از يک مسير بين دو خط مجاور دما ثابت را با شان می ده ادل . ن رخ تب ذا ن ل

:حرارت کل عبارتست ازiq

i

M

ii Mqq ==∑

=1q

. تعداد کل مسيرها می باشدMکه i :عادله فوريه محاسبه می شود با استفاده از مqمقدار

xT

lykxT

kAq jjii ∆

∆⋅∆≈

∆

∆≈ )(

T∆A

j

N

jj TNTT ∆=∆=∑

=−

121

yx ∆

ود l سطح انتقال حرارت مسير و اختالف دمای بين دو خط دما ثابت متوالی، که عمق عم .بر صفحه جسم می باشد

ji

ر محاسبه می از طرفی افزايش درجه حرارت برای خطوط ا يزوترم مساوی است که بصورت زي :شود

∆

. تعداد کل تقسيمات درجه حرارت می باشدNکه با فرض : می توان نوشت∆=

21−∆≈ TkNMlq

6

از می تو M و Nمقدار ه دقت مورد ني سته ب ه ب ودار بدست آورد ک م را با استفاده از نم د ک اننM=5 . در نظر گرفته شده اند و N=برای مسئله مورد بررسی . وزياد شوند

ضريب شکل هدايت وان ضريب شکل ستم دو بعدی Sبا استفاده از معادله انتقال حرارت ترسيمی می ت رای سي را ب

:تعريف نمود

SKR

NMlS

TSkq

TkNMlq

Dcondt1

)2(,

21

21

==

∆=

∆≈

−

−

کلئراض ا در ب ش ه ای از آنه ه نمون د ک ده ان به ش دی محاس ای دوبع ستم ه سياری سي رای ب ب :جداول ذيل ارائه شده اند

١٣ از ٧صفحه


١٣ از ٨صفحه

نيکرنجبر: تهيه کننده ID_4-28: مسئله نمونه

سئله ی : ID-4_28م عاع داخل ا ش ره، ب کل نيمک ه ش شرده ب رف ف ا ب وئی ب خامت 1ايگل و ضواره ده است 0دي اخته ش ل . س مت داخ ائی در س رارت جابج ال ح ضريب انتق

m8.m5.KmW و در 26.

اد ان ب رايط جري رون در ش مت بي KmWس د215. ی باش شرده . م رف ف ی ب دايت حرارت ريب ه ض

KmW .15.Co20 ر . می باشد 0 ا شده است براب ر روی آن بن وده −دمای سطح يخی که ايگلو ب ب . وضريب هدايت حرارتی آن برابر برف فشرده در نظر گرفته می شود

راد داخل دن اف ر اگر حرارت توليد شده توسط ب و براب ر W32 ايگل وده و دمای هوای خارج براب ب .دمای هوای داخل را محاسبه نمائيد باشد، −

0Co40

mri 8.1=KmWh

T

WE

i

i

g

2

,

6

?

320

=

=

=

∞

&

KmWh

CT2

,

15

40

=

−=∞

o

oo mr 3.2=o

CTico20−=

: فرضيات حالت دائم .١ ضريب انتقال حرارت جابجائی يکسان برای سقف و کف ايگلو .٢ کف و سقف ايگلو در دمای يکنواخت .٣ .کف ايگلو بصورت مشابه ديسکی بر روی سطح نيمه بی نهايت فرض می شود .۴ انتقال حرارت يکبعدی در داخل ديواره .۵

:خواص ترموفيزيکی mKW15.0=k: ضريب انتقال حرارت برف فشرده و کف

iTq

,∞

fcvR ,

capR

cR , wallR ocvR ,

icT

oT

,∞ cv

نيکرنجبر: تهيه کننده ID_4-28: مسئله نمونه

.صورت شکل می باشدمدار حرارتی تبادل از ايگلو به کف و خارج ايگلو ب: حل :نرخ تبادل حرارت از ايگلو بصورت رابطه زير است

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

( )CT

WKCT

WKCT

Wq

WkmmKWkrkS

RcapiceConduction

WKmmKWrrk

RwallConduction

WKmKmWrh

RfloorConvection

WKmKmWrh

RoutsideConvection

WKmKmWrh

RceilingConvection

RRTT

RRRTT

q

i

ii

icap

oiwall

iifcv

ooocv

iiccv

capfcv

ici

ocvwallccv

i

o

oo

o

1.19259.001637.020

0020.01281.000818.040

320

9259.08.115.04

14

11:,

1281.03.2

18.1

115.04

12114

12:,

01637.08.16

22:,

00201.03.2415

242:,

00819.08.146

242:,

,

,,

222,

222,

222,

,

,

,,

,,

=

+−−

+++

−−==

====

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

===

===

===

+−

+++

−=

∞

∞∞

∞∞∞

ππ

ππ

ππ

ππ


معادالت اختالف محدود رغم آنکه حل دقيقی از مسائل را ار ی علي د، اهمانگونه که بيان شد روشهای تحليل ه می نماين ئ

. و شرايط مرزی ساده می شوندولی به علت پيچيدگی های رياضی محدود به مسائلی با اشکال .روش ترسيمی نيز محدوديت های خاص خود را داراست ا بنابراين بهترين گزينه در حل مسائل انتقال حرارت هدايت که امروزه قابليت آن در حل مسائل ب

.هر درجه پيچيدگی آشکار شده است، روش های عددی و استفاده از کامپيوتر می باشده روش ث ب ن مبح دايت در اي رارت ه ال ح سائل انتق ل م اربرد آن در ح دود و ک ات مح اختالف

.اشاره می شود) دوبعدی( شبکه گره ها .در روش عددی دما در تعدادی نقاط مجزا که قابل تعريف می باشند، محاسبه می شود :روش حل مسائله مطابق مراحل زير می باشد

o سيمات، که مطابق شکل جسم مورد تعيين نقاط مورد نظر برای تعيين دما که با ايجاد تق .ه و مرکز هر ناحيه را گره می ناميمدشنظر به ناحيه های کوچکتری تقسيم

١٣ از ٩صفحه


o بيان معادله حرارت بصورت اختالف محدود o در اين مرحله معادله حرارت برای هر گره نوشته می شود. o حل شودنتيجه امر دستگاه معادالت جبری را حاصل می نمايد که بايد به صورت عددی . o معادله حرارت برای گره های داخلی:

)(,

21,

21

,2

2

ix

xT

xT

xT nmnm

nm ∆

∂∂

−∂∂

≈∂∂ −+

o که:

)(,,1

,21

iix

TT

xT nmnm

nm ∆

−≈

∂∂ +

+

)(,1,

,21

iiix

TT

xT nmnm

nm ∆

−≈

∂∂ −

−

))(iiii

(ii) : خواهيم داشت) در معادله و با جايگذاری معادالت ●

( ))(

22

,,1,1

,2

2

⊕∆

−+≈

∂∂ −+

xTTT

xT nmnmnm

nm

:بصورت مشابه می توان نشان داد که ●

( ))(

22

,1,1,

,2

2

⊗∆

−+≈

∂∂ −+

yTTT

yT nmnmnm

nm

yx

: باشد معادله اختالف محدود برای نقاط داخلی عبارتست از∆=∆و در صورتی که ●

04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ nmnmnmnmnm TTTTT

روش موازنه انرژی رای يک معادله اختالف محدود را ب

ا انون بق ال ق ا اعم وان ب ء گره می ترژی ول ان ی ح م کنترل ر روی حج ب

.گره بيان نمودودن در اين روش به علت نامعلوم ب

رارت مناسب است ان ح جهت جريه ا را ب ه جريانه ه کلي لک ره داخ گ

.فرض نمائيمت رژی در حال ه ان دون معادل م ب دائ

:توليد0=− gin EE &&

),nm

با اعمال آن بر روی ناحيه ای حول

: خواهيم داشت)گره

١٣ از ١٠صفحه


)(0)1(4

1),()( Iyxqq

inmi

=→ =⋅∆⋅∆+ &

( )

∑

:برای چهار نقطه مجاور نقطه مذکور خواهيم داشت

( )

( )

( )y

TTxkq

IIy

TTxkq

xTT

ykq

xTT

ykq

nmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnmnmnm

∆−

⋅∆=

∆−

⋅∆=

∆−

⋅∆=

∆−

⋅∆=

−→−

+→+

+→+

−→−

,1,),()1,(

,1,),()1,(

,,1),(),1(

,,1),(),1(

1

)(1

1

1

II(I

(( : خواهيم داشت در معادله )با قرار دادن معادالت

0)(4 ,,1,11,1, =∆⋅∆

+−+++ −+−+ kyxqTTTT nmnmnmnmnm

&

0=q&

T

. خواهد بود: يا استهالک حرارتدر صورت عدم وجود توليد شرايط مرزی .روش موازنه انرژی روشی بسيار مناسب برای بيان معادله الزم برای گره های مرزی است :بصورت نمونه گره ای مطابق شکل را در نظر می گيريم

o يريم در نظر می گحجم کنترل مناسبی حول گره. ),( nmo بيان معادله انرژی برای آن عبارتست از:

:انتقال حرارت هدايت از گره های مجاور) الف

١٣ از ١١صفحه


( )

( )

yTTxkq

yTT

xkq

xTTykq

xTT

ykq

nmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnmnmnm

∆−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∆

=

∆−

⋅∆=

∆−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∆

=

∆−

⋅∆=

−→−

+→+

+→+

−→−

,1,),()1,(

,1,),()1,(

,,1),(),1(

,,1),(),1(

12

1

12

1

:تبادل حرارت جابجائی با محيط) ب

( ) ( )nmnmnm TTyhTTxh ,,),()( 12

12

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∆

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∆

= ∞∞→∞

,nmyx

q

o عبارتست از( با فرض )معادله انرژی کل برای گره: ∆=∆

( ) 0321

,1,,11,,1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+−∆

++++ ∞−++− nmnmnmnmnm Tk

xhTk

xhTTTT

:در جدول ذيل معادله انرژی برای برخی نقاط با اشکال هندسی متداول ارائه شده است • نرخ تبادل حرارت از سطوح مختلف با استفاده از بيان معادله انرژی برای حجم کنترل سطحی بدست می •

.آيد

١٣ از ١٢صفحه


١٣ از ١٣صفحه

رنجبر: تهيه کننده ID-4_78 مسئله انتقال حرارت يک ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

سئله ور : ID-4_78م ه منظ ب

طحی تحکام س زايش اس افکل از ابق ش ا مط ائی ب ه ه ميل

اد ه ابع ستطيل ب ع م مقطتفاده W و است ده اس ال . ش ريب انتق ض

ا ه ه دايت ميل رارت ه ح

mmL 8=mm4=

mKWk 10=

Cbo45=

Co25=∞

KmWh 2/600=

mmyx 2=∆=∆34×

mmyx 1=∆=∆

وده و ای ب دمت و واره يکنواخ ر دي براب

T ند ی باش طوح . م سال رض انتق ا در مع ه ه ميل

رارت ائی ح يط در جابج ا مح بای ريب Tدم و ض . می باشند جابجائی

ره، و مجموع با استفاده از روش اختالف محدود و فرض ) الف گد ا را محاسبه نمائي ه آنه دار بدست . توزيع دما در ميله ها و انتقال حرارت ب ين مق همچن

ا آمده را با نتيجه حاصل ه ه ع دمای يک بعدی در ميل ين از فرض توزي د ف سه مانن مقاي .نمائيد

فواصل گره مورد استفاده در حل قسمت الف بزرگ بوده و نتيجه محاسباتی دقيقی را ) ببرای بررسی اثر کوچکتر نمودن فواصل گره ها، فواصل گرهها را برابر . ت نمی دهدبدس

داد ا مجموع تع 9 ب ز ×5 mmyx و ني 5.0=∆=∆9× داد ا مجموع تع در 17 ب .يج قبلی مقايسه نمائيدنظر گرفته و مسئله را حل نمائيد و نتيجه را با نتا

ود ) ج ه را يک بعدی فرض نم ال حرارت در ميل وان انتق . شرايطی را بدست آوريد که بتال : راهنمائی( اين شرط را می توانيد با استفاده از روش اختالف محدود و محاسبه انتق

دوده ول آن در مح ابعی از ط صورت ت ه ب شه ميل رارت از ري .105ح ≤≤ WL1ا ت ب ثابتن Wنگاهداش

ق تحقيد ه .)نمائي نتيج

ه ا نتيج را به رض ميل فين صورت ف ب .مقايسه نمائيد

hT ,∞

hT ,∞

x

y

W

LbT

x

y

mmW 4

=

mm8CTbo45=

mKWk /10=

L =

KmWh

CT2/600

25

=

=∞o

۶ از ١صفحه


ا :حل ه مورد ب دی ناحي سيم بن تق

داد ه تع داد 8نظر ب ه تع ه ک ناحي

x

y

mmy 2

ی دارد، ×34 ره را در پ گدود ات مح ادالت اختالف رای مع ب

ی ر م ابق زي ره را مط ر گ ه :نويسيم

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

41231121019

81284887

711727876

610626765

5951565

448443

3373432

2262321

115121

;;;

0

0

0

0

02222

022

022

022

TTTTTTTT

TTyxkTT

yxkTTyhTT

xyk

TTyxkTT

yxkTT

xykTT

xyk

TTyxkTT

yxkTT

xykTT

xyk

TTyxkTT

yxkTT

xykTT

xyk

TTxhTTxxkTTyhTT

xyk

TTxhTTxxkTT

xykTT

xyk

TTxhTTxxkTT

xykTT

xyk

TTxhTTxxkTT

xykTT

xyk

b

b

====

=−∆∆

+−∆∆

+−∆+−∆∆

=−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

=−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

=−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

=−∆

+−∆∆

+−∆

+−∆∆

=−∆+−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

=−∆+−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

=−∆+−∆∆

+−∆∆

+−∆∆

∞

∞∞

∞

∞

∞

:نتيجه محاسبات مطابق ذيل خواهد بود

Sub ID4_78() Dim T(12), Told(12) As Single dx = 0.002 dy = 0.002 k = 10 h = 600 Tb = 318 Tinf = 298 a = k * dy / dx b = k * dx / dx

=∆

mmx 2=∆bT

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10

12 11

۶ از ٢صفحه


c = h * dx d = h * dy e = k * dx / dy ItLimit = 500 ItNo = 1 isConverge = "False" Tol = 0.001 For i = 1 To 12 T(i) = 300 Told(i) = T(i) Next i Do T(1) = 1 / (a + b + c) * (a / 2 * T(2) + b * T(5) + c * Tinf + a / 2 * Tb) T(2) = 1 / (a + b + c) * (a / 2 * T(1) + a / 2 * T(3) + b * T(6) + c * Tinf) T(3) = 1 / (a + b + c) * (a / 2 * T(2) + a / 2 * T(4) + b * T(7) + c * Tinf) T(4) = 1 / (a / 2 + d / 2 + b / 2 + c / 2) * (a / 2 * T(3) + b / 2 * T(8) + (d / 2 + c / 2) * Tinf) T(5) = 1 / (2 * (a + e)) * (e * T(1) + a * T(6) + e * T(9) + a * Tb) T(6) = 1 / (2 * (a + e)) * (e * T(2) + a * T(7) + e * T(10) + a * T(5)) T(7) = 1 / (2 * (a + e)) * (e * T(3) + a * T(8) + e * T(11) + a * T(6)) T(8) = 1 / (a + d + 2 * e) * (e * T(4) + a * T(7) + e * T(12) + d * Tinf) T(9) = T(1) T(10) = T(2) T(11) = T(3) T(12) = T(4) For i = 1 To 12 If Abs(T(i) - Told(i)) < Tol Then isConverge = "True" Told(i) = T(i) Next i For i = 1 To 12 Cells(ItNo + 2, i) = T(i) - 273 Next i ItNo = ItNo + 1 Cells(1, 1) = "Iteration No.=" Cells(1, 2) = ItNo Cells(1, 3) = "isConverge =" Cells(1, 4) = isConverge Loop While isConverge = "False" And ItNo < ItLimit End Sub

۶ از ٣صفحه


:نتيجه محاسبات حاصل از اختالفات محدود •

Iteration No.= 52 isConverge = TRUE

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12

39.258 35.594 33.243 31.903 39.931 36.211 33.729 32.222 39.258 35.594 33.243 31.903

Exact Solution 39.551 35.872 33.243 32.197

توزيع دما در فين

22.0

26.0

30.0

34.0

38.0

42.0

T1 T2 T3 T4

Points

Deg

ree

حل عددیحل دقيق

شان • ه ای را ن ل مالحظ تالف قاب ايج دو روش اخ ود نت ی ش شاهده م ه م ه ک همانگون

.می دهندنق • ل دقي ا از ح ع دم به توزي رای محاس از ب ورد ني د م ا(ک ين ب رارت ف ادل ح ای تب انته

):جابجائی

mLmkhmLmLmkhmLhPkAq

mLmkhmLxLmmkhxLm

bcf

b

sinh)/(coshcosh)/(sinh

sinh)/(cosh)(sinh)/()(cosh

++

=

+−+−

=

θ

θθ

'Exact Solution 'convection heat transfer condition in Fin Tip Tetab = Tb - Tinf P = 2 * (W + 1)

۶ از ۴صفحه


Ac = (W * 1) m = (h * P / (k * Ac)) ^ 0.5 For i = 1 To 4

Texact(i) = Tinf + Tetab * (HCos(m * (L - i * dx)) + (h / (m * _ k)) * HSin(m * (L - i * dx))) _

/ (HCos(m * L) + (h / (m * k)) * HSin(m * L)) Cells(56, i) = Texact(i) - 273 Next i

:برای محاسبه مقدار انتقال حرارت بايد بصورت زير عمل نمائيم •

y

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )∞

∞

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=′

∆−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=′

∆−

∆=′

∆−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=′

′+′+′+′+′=′

TTxhq

xTTykq

xTTykq

xTTykqTTxhq

qqqqqq

be

bd

bc

bbba

edcbafin

2

2

22

95

1

mWq f /12.132

:برای محاسبات مقدار تبادل حرارت عبارتست ازنتيجه •o از روش عددی :=′ o از روش حل دقيق :mWq f /69.130=′

:نتيجه محاسبات برای افزايش تقسيمات •

bT

bT

bT

finq′

9T

5T

1T

aq′

bq′

cq′

dq′

eq′

۶ از ۵صفحه


دوبعدی يک بعدی )35( × )39( ×

)( CTtipo 2.32 9. 6.32 31

)/( mWq f′ 7. 130 132 129

سب • ين، ن رای فرض دمای يک بعدی در ف رای برق اری ب ه معي ت برای دست يابی ب

WL با mmL ذکور =8 سبت م دار ن و ثابت را در نظر می گيريم و در طی تغيير مق

ابيم Wبا تغيير ا . می توانيم به معيار مورد نظر دست ي وان ب ه می ت در هر مرحلق ل دقي ددی و روش ح ادالت از روش ع ل مع دی (ح ک بع ش) ي دولی، و ت کيل ج

:رابطه زير به عنوان کنترل برقراری فرض يک بعدی بودن دما استفاده می نمائيم

100(%)1

12 ×′

′−′=

d

dd

qqqError

ه ود ک د ب بديهی است برای مقدار خطای حدود صفر نتيجه هردو روش يکسان خواه

ا ر ودن دم سبت فرض يک بعدی ب ا براساس نWL اين عمل چنانچه . خواهيم داشت

" صورت گيرد مقدار مناسب برای برقرای فرض دمای يکبعدی با دقت مناسب حدودا . خواهد بود4.5برابر

ذا Excel Visual Basic Editorتوابع هيپربوليک در : تذکر • د ل شده ان تعريف ن

:مجبور به تعريف توابع زير خواهيم بودPublic Function HCos(x) As Single HCos = (Exp(x) + Exp(-x)) / 2 End Function Public Function HSin(y) As Single HSin = (Exp(y) - Exp(-y)) / 2 End Function

۶ از ۶صفحه

kiau.ac.irkiau.ac.ir/~heat-transfer-i/Lectuers/Section4.pdfﺮﺒﺠﻧر :ﻩﺪﻨﻨﮐ...

Documents

Transcript of kiau.ac.irkiau.ac.ir/~heat-transfer-i/Lectuers/Section4.pdfﺮﺒﺠﻧر :ﻩﺪﻨﻨﮐ...