Kesme kuvveti-Kayma gerilmesi-Kayma akımı-Kayma merkezi

Shear Forces-Shear stressShear flow-Shear center

6 - 2

Introduction

dAyMdAF

dAzMVdAF

dAzyMdAF

xzxzz

xyxyy

xyxzxxx

0

0

00

• Distribution of normal and shearing stresses satisfies

• Transverse loading applied to a beam results in normal and shearing stresses in transverse sections.

• When shearing stresses are exerted on the vertical faces of an element, equal stresses must be exerted on the horizontal faces

• Longitudinal shearing stresses must exist in any member subjected to transverse loading.

6 - 3

Shear flow on the Horizontal Face of a Beam Element

• Consider prismatic beam

• For equilibrium of beam element

A

CD

ADCx

dAyIMMH

dAHF 0

xVxdxdMMM

dAyQ

CD

A

• Note,

flowshearIVQ

xHq

xIVQH

• Substituting,

6 - 4

Shear flow on the Horizontal Face of a Beam Element

flowshearIVQ

xHq • Shear flow,

• where

section cross full ofmoment second

above area ofmoment first

'

21

AA

A

dAyI

y

dAyQ

6 - 5

Shear on the Horizontal Face of a Beam Element

• Same result is found for lower area

HH

QQ

qIQV

xHq

axis neutral torespect h moment witfirst

0

6 - 6

Shear Stress on the Horizontal Face of a Beam Element

IVQ

xHq

• Shear flow,

• Shear stress is found by dividing the shear flow q with bz.

zz IbVQ

bq

V

xy

zb

• Shear stress

Örnek: Şekildeki yükleme durumu ve kesiti görülen kiriş için;a) C noktasındaki asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. b) Kesitteki kayma gerilmesi dağılımını gösteriniz.

2 m 2 m 2 m

6 kN 6 kN

A D E B

20

6020

20

40

y

C

G

2 m 3 m 2 m

6 kN 6 kN

A D E B

Çözüm: KKD - EMD

6 kN 6 kN

6 kN

6 kN

(+)

(-)

(+) (+) (+)

12 kNm

20

6020

20

40

y

C

G

mmy 30

60206020106020506020

46

23

23

1036.1

3010602012

20603050602012

6020

mmI

I

z

z

Ağırlık merkezi ve Atalet momenti

Kesme Kuvveti-Kayma AkımıKayma Merkezi-Kayma Gerilmesi

Kesitteki iç kuvvetler:

İNCE CİDARLI AÇIK KESİTLERDE KAYMA GERİLMELERİ VE KAYMA MERKEZİ

Denge denklemi:

Kesme kuvveti:

b – b kesitindeki ortalama gerilme:

Kayma Akımı:

Kayma Gerilmesi:

«U» şeklindeki kesitin kayma merkezi

Kesitteki Kayma Gerilmesi Değişimi:

zItbhe

41

22

Kanattaki kesme kuvveti:

Kayma merkezi:

Kanattaki kayma akımı ve kesme kuvveti:

ÖRNEK: Şekilde görülen profil P=12 kN’luk bir kesme kuvvetine maruz kaldığına göre:a) Kayma merkezinin yerini bulunuz.b) Kesit çevresi boyunca kayma gerilmesi değişimini gösteriniz.

103105.85

18 MPa

ÖRNEK: Şekilde görülen profilin boyutları b=100 mm, h=150 mm ve t=3 mm olup profil P=800 N’luk bir kesme kuvvetine maruz bırakılmaktadır. Buna göre:a) Kayma merkezinin yerini bulunuz.b) Kesit çevresi boyunca kayma gerilmesi dağılımını gösteriniz.

e

b

h

tO O’

AB

D E

Çözüm:

e

b

h

tO O’

AB

D E

b=100 mmh=150 mmt=3 mm

462

4633

1022.41501006121503

veya

1022.41475.981535.101121

mmI

mmI

hbthI

hbtbtthI

III flangeweb

6121

21212

121

2

2

233

AB kolundaki kayma akımını bulmak için s uzunluğundaki bir eleman dikkate alınır.

sAB

D E

2hy

..ETA

2hy ve stA

sthsthAyQ22

sIhtVsht

IV

IQVq

22

Statik momenti:

Kayma akımı:

AB kolundaki kesme kuvvetini hesaplamak için A’dan B’ye kadar integral almak gerekir.

IhbtVF

sdsIhtVdsqF

bb

4

22

00

s

AB

D E

2hy

..ETA

mme

Ibhte

40

1022.441001503

4 6

2222

O’ noktasına göre moment alınırsa kayma merkezi

VhFehFeVMO 0'

Ibhte

Vh

IhbtVe

44

222

şeklinde bulunur.e

b

h

tO O’

AB

D E

V

s2hy

..ET

AB

D

max

2hy ve tsA tshAyQ

2Statik momenti:

Kayma gerilmesi denklemi:

Kesit çevresi boyunca kayma gerilmesi dağılımı

sIhV

tIQV

tq

2

MPa

bIhV

bs

BD 422.1

1001022.42

1508002 6

A-B ve E-D kesitindeki kayma gerilmesi değişimi

33

4150

23150

42

4222211

1094.30100 mmbQ

ttbAyAyQhth

hhh

Statik momenti:

Kayma gerilmesi denklemi:

Kesit çevresi boyunca kayma gerilmesi dağılımı

6

3

1022.421094.30800

tIQV

MPa93.2max

B-D kesitindeki kayma gerilmesi (maksimum kayma gerilmesi)Maksimum kayma gerilmesi T.E. üzerinde meydana gelir. T.Ü. deki alanın statik momenti

6 - 29

Shearing Stresses in Thin-Walled Members• Consider a segment of a wide-flange

beam subjected to the vertical shear V.

• The longitudinal shear force on the element is

xIVQH

ItVQ

xtH

xzzx

• The corresponding shear stress is

• NOTE: 0xy0xz

in the flangesin the web

• Previously found a similar expression for the shearing stress in the web

ItVQ

xy

6 - 30

Shearing Stresses in Thin-Walled Members

• The variation of shear flow across the section depends only on the variation of the first moment.

IVQtq

• For a box beam, q grows smoothly from zero at A to a maximum at C and C’ and then decreases back to zero at E.

• The sense of q in the horizontal portions of the section may be deduced from the sense in the vertical portions or the sense of the shear V.

6 - 31

Sample Problem 6.3

Knowing that the vertical shear is 50 kips in a W10x68 rolled-steel beam, determine the horizontal shearing stresses in the top flange at the points a and C.

SOLUTION:• First moment for the shaded area,

3in98.15

in815.4in770.0in31.4

Q

Q

• The shear stress at a,

in770.0in394

in98.15kips504

3

ItVQ

ksi63.2

• First moment for the area over point C,

3in4.42

in215.2in770.0in43.4in815.4in770.0in40.9

Q

Q

• The shear stress at C,

in770.0in394

in4.42kips504

3

ItVQ

ksi989.6

- Craig

6 - 40

Unsymmetric Loading of Thin-Walled Members

• Beam loaded in a vertical plane of symmetry deforms in the symmetry plane without twisting.

ItVQ

IMy

avex

• Beam without a vertical plane of symmetry bends and twists under loading.

ItVQ

IMy

avex

6 - 41

• When the force P is applied at a distance e to the left of the web centerline, the member bends in a vertical plane without twisting.

Unsymmetric Loading of Thin-Walled Members

• If the shear load is applied such that the beam does not twist, then the shear stress distribution satisfies

FdsqdsqFdsqVItVQ E

D

B

A

D

Bave

• F and F’ indicate a couple Fh and the need for the application of a torque as well as the shear load.

VehF

6 - 42

Example 6.05Determine the location for the shear center of the channel section with b = 4 in., h = 6 in., and t = 0.15 in.

6 - 43

Example 6.05• Inertia moment: • b = 4 in., h = 6 in., and t = 0.15 in.

hbthI

hbtbtthI

III flangeweb

6121

21212

121

2

2

233

6 - 44

Solution

IhFe

• where

IVthbF

dshstIVds

IVQdsqF

b bb

4

22

0 00

• Combining,

.in43.in62

in.4

32

bh

be .in6.1e

Shear stress in flanges• Determine the shear stress distribution for V = 2.5 kips.

ItVQ

tq

• Shearing stresses in the flanges,

ksi22.2

in6in46in6in15.0in4kips5.26

66

62

22

2121

B

B

B hbthVb

hbthVhb

sI

VhhstItV

ItVQ

6 - 46

Shear stress in web• Determine the shear stress distribution for V = 2.5 kips.

ItVQ

tq

• Shearing stress in the web,

ksi06.3in6in66in6in15.02

in6in44kips5.236243

64

max

max

2121

81

max

hbthhbV

thbthhbhtV

ItVQ

t1 t2

b

Ph1 h2

Örnek: Şekilde kesiti görülen kirişina) Kayma merkezinin yerini bulunuz.b) Kanatlarda oluşan iç kuvvetleri hesaplayınız.

t =6 mm t1 =4 mm t2 =5 mm h1 =60 mm h2 =40 mm b=50 mm P=800 N

t

Çözüm: Denge denklemleri

00 21 PVVFy PVV 21

00 2 bVePM AePbV 2

PfbV 1veya

t1 t2

e fb

Ph1

h2

V1 V2

A Omaxx

bfe

43333 10567.99405650604121 mmI x

4332 10667.26405

121 mmI

4331 1072604

121 mmI

Atalet momentleri

Tüm kesitin Atalet momenti

Başlıkların atalet momentleri t1 t2

e fb

Ph1

h2

V1 V2

A Omax

x

xxx IhPhth

tIP

tIQV

842

222

22

22

2max

Sağ başlıktaki maksimum kayma gerilmesi

MPaIhP

x

61.110567.998

408008 3

222

max

xxx IIPht

IPth

IhPthV 2

322

22

22

22max2 12832

32

kNIIPVx

26.21410567.9910667.26800 3

32

2

kNIIPVx

5.57810567.99

1072800 3

31

1

ePbV 2 800

26.214502

PVbe

mme 4.13

Sağ başlıktaki kesme kuvveti

Sol başlıktaki kesme kuvveti

Kayma merkezinin yeri:

t

V

h

b

x

A

C

B

ED

b=100 mm

h=150 mm

t=3 mm

Example: For the channel section, and neglecting stress concentrations, determine the maximum shearing stress caused by a V=800-N vertical shear applied at centroid C of the section, which is located to the right of the center line of the web BD.x

x

Solution:

V

x

A

C

B

ED

=

e

V

x

A

C

B

ED

=

e

TV

x

A

C

B

EDe x

A

C

B

EDe

+ T

mmx 29

105030000

1503310025031002

46233 10219.4753100310012121503

121 mmI x

331094.302

75375753100 mmQ

MPatIQV

xV 956.1

310219.41094.30800

6

3

V

x

A

C

B

EDe

V

BB

D

D

x

A

C

B

EDe

T

mmItbhe

x

4010219.44

3.1501004 6

2222

O

VxeVOCT

4333 1015.33100215031

31 mmtbJ ii

MPatJT

T 57.5231015.3102.55

3

3

NmNmmT 2.55102.558002940 3

MPaTV 526.5457.52956.1max

The maximum shearing stress