Kapitel 7 Lineare Restriktionen. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 2 Cobb-Douglas...

Kapitel 7

Lineare Restriktionen

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

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Cobb-Douglas Produktionsfunktion

Q(K, L) = A K L

Q: Output (value added)K: eingesetzter Kapitalbestand (capital stock)L: geleistete Arbeit (labor input)

Funktion f(x) heißt homogen vom Grad r, wenn f(px) = pr f(x)

Produktion mit konstanten Skalenerträgen Q(pK, pL) = A (pK) (pL) = p Q(K, L) = p Q(K, L)

d.h., die Produktionsfunktion ist homogen vom Grad 1

Die Parameter erfüllen die Beziehung (lineare Restriktion)+ = 1


3

Produktionsfunktion: Daten

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

LOG

Q

5

6

7

8

9

10

LOG

K

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5

LOGQ

LOG

L

5 6 7 8 9 10

LOGK

4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5

LOGL

Nach Hildebrand & Liu (1957),Aigner et al. (1977)

LOGQ: log(Q)LOGK: log(K)LOGL: log(L)


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Lineare Restriktionen: Fragen

Wenn die Annahme unterstellt wird, dass eine Restriktion, beispielsweise + = 1, zutrifft, wie können wir die Koeffizienten, und , schätzen, so dass auch die Schätzer diese Restriktion erfüllen?

Wie können wir überprüfen, ob eine vermutete Restriktion auch tatsächlich zutrifft?


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Produktionsfunktion, Forts.

OLS-Anpassung von Q * = log Q = + log K + log L + u (mit = log A) gibt

Für die Summe der Koeffizienten ergibt sich

a + b = 0.376 + 0.603 = 0.979

95%-iges Konfidenzintervall:

0.850 ≤ + ≤ 1.108

Deutlicher Hinweis auf konstante Skalenerträge!

*ˆ 1.17 0.376 log 0.603 logQ K L


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Dependent Variable: QMethod: Least SquaresDate: 02/03/05 Time: 18:09Sample(adjusted): 1 27Included observations: 27

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.170644 0.326782 3.582339 0.0015L 0.602999 0.125954 4.787457 0.0001K 0.375710 0.085346 4.402204 0.0002

R-squared 0.943463 Mean dependent var 7.443631Adjusted R-squared 0.938751 S.D. dependent var 0.761153S.E. of regression 0.188374 Akaike info criterion -0.396336Sum squared resid 0.851634 Schwarz criterion -0.252355Log likelihood 8.350542 F-statistic 200.2489Durbin-Watson stat 1.885989 Prob(F-statistic) 0.000000


7

Lineare Restriktionen: Notation

Spezifiziertes Modell: y = X + u

g lineare Restriktion:

H= h

Die Matrix H hat Ordnung gxk, h ist g -Vektor


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Beispiel

Die Koeffizienten sollen erfüllen

1. 1 + 2 = 0

2. 3 = 1

Matrixform: Hß = h mit

110 0,

001 1H h


9

Beispiel

Vergleich von [X: nx(k-g), Z: nxg ]

y = X + u

und

y = X + Z + v

Restriktion = 0 oder

mit

0 0gH I


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Restringierte Schätzer

Restringierte Schätzer erfüllen die Restriktionen

Methoden:

1. Substitutionsmethode: Berücksichtigen der Restriktionen durch Eliminieren von Regressionskoeffizienten

2. Lagrange-Methode: Erweitern der Summe der Fehlerquadrate zur Lagrange-Funktion, Minimieren der Lagrange-Funktion


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Berücksichtigen der Restriktion + = 1 durch Eliminieren von : Einsetzen von = 1 – gibt

Anpassen von Q * = log Q – log L = + (logK-logL) + u

Restringierte Schätzer aR = 0.363 (vergl.: a = 0.376) und

bR = 1- 0.363 = 0.637 (vergl.: b = 0.603)

1 KQ AK L AL

L

*ˆ 1.07 0.363(log log )Q K L


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Dependent Variable: Q_STMethod: Least SquaresDate: 02/03/05 Time: 18:17Sample(adjusted): 1 27Included observations: 27

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.069265 0.131759 8.115322 0.0000K_ST 0.363030 0.075408 4.814211 0.0001

R-squared 0.481076 Mean dependent var 1.679979Adjusted R-squared 0.460319 S.D. dependent var 0.251845S.E. of regression 0.185013 Akaike info criterion -0.465599Sum squared resid 0.855741 Schwarz criterion -0.369611Log likelihood 8.285587 F-statistic 23.17663Durbin-Watson stat 1.903585 Prob(F-statistic) 0.000060


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Lagrange-Methode

Gesucht sind Schätzer für aus y = X + u mit H = h

Minimieren der Lagrange-Funktion

liefert die restringierten OLS-Schätzer

Je schlechter die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen, umso größer ist die Abweichung zwischen dem nicht-restringierten und dem restringierten Schätzer (die Korrektur)!

( , ) ( ) ( ) ( )y X y X H h

11 1( ) ( ) ( )Rb b X X H H X X H Hb h


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Konsequenzen von Restriktionen

Irrtümlich restringierter OLS-Schätzer Schätzer verzerrt Minimale Varianz des Schätzers Überschätzte Varianz der Störgrößen

Irrtümlich nicht restringierter OLS-Schätzer Schätzer unverzerrt Varianz des Schätzers zu groß


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Test von Restriktionen

Prüft, ob eine vermutete Restriktion auch zutrifft; Test von H0: H = h

1. Wald‘sche Teststatistik: auf Basis von d = Hb-h

mit nicht-restringiertem OLS-Schätzer b: Unter H0 sollte

einen kleinen Wert haben; unter H0 gilt näherungsweise: d ~ N[0,2H(X’X)-1H’]

2. Modellvergleich mittels F-Test (siehe Kapitel 6: „Variablenauswahl und Missspezifikation“)

1W d Var d d


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Wald-Test

Test von H0: H = h mittels Wald‘scher Teststatistik

Die Chi-Quadrat-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n)

Wegen kann W auch geschrieben werden als

Die Teststatistik F = W/g ist näherungsweise F-verteilt mit g und n-k Freiheitsgraden

11 22

1( )W d H X X H d g

s

2( )R R R Re e e e e e e e

W n ks e e

11

R Rd H X X H d e e e e


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Modellvergleich

Test durch Vergleich des restringierten Modells mit dem nicht-restringierten Modell

Die F-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n)

Ausführen der Tests:1. Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S =

e'e

2. Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von SR = eR'eR

3. Einsetzen in F

Wald‘sche Teststatistik kann man berechnen als W = gF

( , )R R RS S e e e en k n kF F g n k

S g e e g


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Berechnung von W und F

Berechnen von

1. Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e

2. Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von SR = eR'eR

3. Einsetzen in F

Wald‘sche Teststatistik wird berechnet nach W = gF

Beispiel Produktionsfunktion:

R R Re e e e S Sn k n kF

e e g S g

0.855741 0.851634 27 30.1157

0.851634 1F


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Asymptotische Tests

1. Wald-Test: überprüft, inwieweit die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen

2. Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): untersucht, ob die Ableitung der Likelihood-Funktion (die score-Funktion), an der Stelle der restringierten Schätzer einen Wert nahe bei Null hat

3. Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): untersucht, ob das logarithmierte Verhältnis der Likelihood-Funktionen, die sich an der Stelle der restringierten und der nicht-restringierten Schätzer ergeben, nahe bei Null liegt

Die Teststatistiken aller drei Tests folgen unter H0 näherungsweise (großes n) der Chi-Quadrat-Verteilung mit g Freiheitsgraden


20

Asymptotische Tests

g() = 0: RestriktionlogL: Log-likelihood


21

Asymptotische Tests: Berechnung1. Wald-Test: W = gF (siehe oben)2. Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test):

Re2: Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen eR auf X

3. Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test):

2eLM nR

log R Re eLR n

e e


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Lagrange-Multiplier-Test

Teststatistik des LM-Tests

Re2: Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen eR

auf X

1. Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln der Residuen eR

2. Regression der Residuen eR auf die Regressoren des nicht-restringierten Problems, Ermitteln von Re

2

3. Einsetzen in LM

2eLM nR


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Likelihood-Quotienten-Test

Teststatistik des LR-Tests

1. Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von e'e

2. Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von eR'eR

3. Einsetzen in LR

log R Re eLR n

e e


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Asymptotische Tests von H0: + = 1 Wald-Test

p-Wert: 0.734

Lagrange-Multiplier-Test

Re2 = 0.0048, LM = 27x0.0048 = 0.1296, p-Wert: 0.719

Likelihood-Quotienten-Test

LR = 27xlog(0.885741/0.851634) = 0.0564, p-Wert: 0.812

0.855741 0.851634(27 3) 0.1157

0.851634W

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