ft'II

I

r?it-

. , ',i

.<

BAB IITURUNAN

A. Pem*,::r'rbigsn Tttum.I.l

run&n fungsi y : f (x} terhadap x,Jititilc x : x r, didefinisikan sebagai :

linr Af : Iinnit flx-t A +J-:.lt*Ax.:) i) Ax A>r-)Cl Ax

r\ndaikan limitnya ada dan dirnlis sebagrii f 1 (:l) atau dfdx.

Con{a'.lt: }litung tururtari clari f (x) : 5x 2 + {t

.luwai, : i{ 1x; : lim ffa:J-U-:-fldAx *0 Ax

- lim {l;g;r A x} 2 + 6)-:--:iliX_-i-61

Ax ?0 Ax

:lim il.x3.+ Z xAX.+$1x) r'6 - 5.r:-*6

Ax*O A,',r

= lirn :: ' . f Ot X-:3t' ,

A:< l0 Ax

: lim lOx + ,5{p : 10x

Ax )()

B. Rrnrrus"rumw" ENShr Tunman

l. y == xn, rnakay' : ilxo-I.

2. 'j '= .suahr

fungsi konstanta, maka y I : 0'

3. v firrrgsi trigonometri :

i

tlro llq il

#; lr-'

l

aj,rr :t1.. ,,i!1.,.-"r;"i{Hr*:1,, ,1 -a::"'

eL__,

7?' '4'-a

lIr-iD'r'a

€

'ii "rFffi?l!1:!j,1':.f, ari:iJ!1,11::-.:.1:

1

a) :r'- sisx * )' : soslL

bl y - 65x -* Yl: -sinx.

c) i,,'= @x -* Yl: sgs')L

d) y: Sgx t Y':-co6€G2xl

e):r: $Gsx * Yt: secxtgx

0';,: cos36x t yl : 'cosscxctglt

4., y'fiu gsii logrritma :

e)i,=thgx t;rr- -1..xln g

b) 1r = Inx * Y'- J-=

x.

5. y f.rrigsi oksPomnsisl :

a) y : a"

b) y - ot* :y' : u'lna.

* Y t : e*'

6. y fiur:tr*i siklsmsri :

.t'a) y : arc sisx { Y' = Vfl]i3

b) f + att oo$x * Y'i

,l-c) y = sr? tgx -) y''= 1 + xx

_l..._

d) f = are otgx ) Y' : I 't- x2

c)y:are$ooxlY':x,

-l_

1

7"

v

*1

n CwUc,*: 1.y-3r* )Y'='12x3',7

2.y:tg'* )Y':Ztgxsec-x'

C. Aturri,lr Renfrl Fungsi Tens'usr:m

lJrrtuk fungsi-fungsi yang benhknya rumiL r!funilts y a'Jaletrr f;:ngsi dari

u (atnu v), u dan y merupakan fungsi dari x, hrrunannya clik*mbatrilcan

ker.lnrus dasar.

C*wrye:

t.r"= hu + vr : f,(u'), hou*u*n

2.5,,= g * v ) Y' : u'* vl

3.), ,= ut t Yl : ulv + u'r'I

4. y,= g + Yt: u'v- uv'

S'a,r I : lenttlkanY' &t i,

l. :/ : ln V3-I72. r '= sin'3x.

o2v

Contah:y : &\'sin x

T.v' : slnx -iia!-Esin

2 x.

li,rlain dari keeinpat bentuk di atas, suatu fi*ngsi mentpak'tn fungsi

tersuluu clari fungsi prda rumlls dasar. tlntuk men*;ari turunannya gunakan

r.:+-ri :;tFi-lEE.ri+iq7-5ili .:' : t

runlu:i 1,Bng disebut duran ru*tai. Bila y : f (x) mtlrupakan fungsi tersusun

,E-#*Fq':k? I. ii,l

= h {x), mak* & * dy .dEY:E(u)danu' dx du d1

Corrta,*:Y = $mqudirxsnsu: x'-1Y':&:dY'du

&du&- -5 sinu' 2x

' : -10 x sin.u. 7 1\

= -10 x sitt(x'- i)Terntukan turunan P*rt*ma d*ri :

t.y = q+u +I

u'= !G-

2.y= Vl +U u=VN

\I + x I4. Y '=' tlz$ x sin 2x

5. y = xViffi = sz arg sin x/a

6. y ''' xhx - x.

D, Tunuun I-+Hr T.fug$

Mtsslryay:f(x)fungsixyangdapatdideferinshdsnturunannyat',triik.turuna'Epertlmadepatdidiferensif'

disetrut ' lanaaa Y'* fr*fusu dari firngsi erslinya' Ditulis dY-' ' Y

u

atau :. " (x)..:--- , ;;;;r* runuran dari ruruilan kedun disebut nt*nanun kdwf

dinyt,t iksa oleh ry Y * atau f* tx)'

dx3

v

v

: 5cosul: -5 sin u

i

#. . .'ir{<f+1sf3:

i i#t i*S.t?,:ij:Bryi:r+: ":: :E:aBi. -;l

9

Su*r*: Y'

*v

s'*ffi

v'

;r *x3* lSxE* 24r

-24

E MmryB*nffinl.ary

y - f(xletr)

lny = taflxltlrt :S(xllnf(x)

Id:r E 3I(xltuf(x)+g(x) {lnf(x)}1

y d:r

tr ytsf(*)uf{x)+s{xi}[tgf{x} ]'}dx

Caldoh :

t. y = x*

d:t t' x'''

k' f : lnx": xlnxj. fu : ltrx *' x.-!- : lnx + I

t&r x

dX = y {bx * t} = x" {hx + I}

dx ,-

2.y =(lnx)'' ob

Irry : l$ [0nx)"tJ : *' tnla(x)

.:_l =Zxln(lnx)+x,. [ .1.

,.r lnx x

ii

i:

:

*:,&*'

r*

1f\I 1,,

vl

:: ?E fu&x* +*S"

kxt: y*,ge & kx) + .x. ) * : {1s4"

trsx

{2xln(lnx) + x }

lnx€,

F;.TumnruWSIffid3

*+A**

t1

lQ" x ';= ;ffi B {x + Y}

'tt.xffiry: tb {x + Yi

l3.Ter*uk*P ,ffi\l + *i5, bile eY = x + Y

'*r- -,1 dx 2

C.' G*,*k lf#ry,ffi dan garis n*1mal .

E ila m : q ruks gsris singgrmg sciei&r deugan x pr'rsamaan

Gar*s sntEgES ffitlt*xrayar psrsamaan : y - y o: iI: (x - x ')'

r{ CI y€ilg

) dengan

Y:Ye'

' *l+ ryel titik $a& grafik) adalah g**3. . 'iiryis ffiIllal dui.Sg$k @

y*rrg teg,aklunrs gmis siag6ung @"ti* tslEsbut

t?.

Par.*aiwwgarisnormaldi(,u", Yo):y - yo: - 1*(r- x.-') s*rt* bile:

f '(*)- #a.iis *irygung il sumbu y, rnaka Seffis xi*rlrxi} l/ silmbu'x

- Ge"ds siagrrng /i sumbu x, maka g*ris **ry // sumbu y'

Cw{,*it: TEntukan persrmaan garis eiffitffig dcn geris normel pade x 2 - 3 x

Y + Y2:5@sritik{l'l}'fmrnl,' x' - 3xY + Y2 : 5'

2x-3Y-3x1'I r}YYr:O'yr (-3y + 2Y): '2x + 3Y

)'I ': [x-!--L Y

3x + ?,v

,-?'+3: l:-l-3+2 -l

pcrsi*issnsariss.inggung ,; - I _ l,:;

,,

x+Y-?:0Pe#lu+Hengarisnortral : y - tr = {x -'1) i

y-x:0Y-"L

Paninng garis si*ggung, p*$&e'x*& 5e*r '*mxseg" eerfry gwts #Md,zn pw$wtg sub garis nontwl

PanjangSfr',issiLnggu*adalahpnnj*nepotongansarissinggrrag

dihir n:ng dari titik singg,ung sampai titik potong -"f'1* Paaia'ng s3*& gstb

singrytng (panjang sub tangen) *g[ulut penjang ;rroyeksi prtcrigan gar'is

terse btrt'Pada sumbu x.

l3

.*'iE *srwsladalah panjang potong*n g*ris *ormaI dihitlg

dan rrtik po$oog dengan garis singgung sarnpai titik pt<x'g clcngan t"\'I'

Paz$u;xgsfl& g4{if nornffil (psoj*ng sub norm+!} adal*l,, p*r'jang proysksi

garis'rrsebut Pada rutH

rs '' tg y - koefislen esah garis sisgs,lw

Penjlnl,; subtangar :TS : lY"/ml

'r.-Fltl'w?

Fcnjlr:p garis singgpng : TF : V TS' + ffitrPanjrrnl;; garis normal :f,fP : V S

C&fdrni: : Panjang garis, singgung; Psqis"g Srys xrrms'l' prfiaqs sub gryrs

singgung panjang sub garis normal &lri xy + 2x - y:5 p*d" (2' l),-lorrxtt :xY + 2x- Y:5

y +:(yt + 2 - Yl '= 0

yl (x - 1) : -y - ?'

7 a -^l^ (rl t\ ty,: l-2 pada(2, 1)

x-1: J--:J. := L: '3

2 - 1 t

Fanjr:rrigsubtangcn : ly"/ml:' ll/-3 I : Lf3

Panj,irrgsubnorntal : ln,yol : l-3'11:3

' iii'

14

Faqpr*s ssi$ s*w*w = V?TEF] .- V@-f? : V;SP : 1,i3 Vm"

,Sesd, : i:Ke*ry ffitre ff,ri* si*wl*sg, *gris nornral, sub garis siaggung' sub '

:ffid;r*ri:E,) x' * y' - 4x - ?,t: sdits,4)

h) 4x2 + xY:4$di {-1,?}"

H" Ber* hrk ts*. *@ *m n&sem {}i'Hmpital >

I,imil dwgan brntuk taktentrl s,*alah limit dengan im$'*h-ber:n'r.k' : o/o,

-f^., r-, i-,6-w, - o clas l-'. Unh:k renghitung iimi? terseb'ut dripmi eSigunakan

*.nrra* €"HoaPital).

I.Ji&slirrf{x}-odanlimg(x):-,m*eIi*f{x}g(x}_G.-r**ahb'cntr*:

:

1. t.e (x) f (x)

:

Cot*tx: lim (1 - x) ls (l - x): (S, * )'

x) I

tim !n (1 - -x ): ' (berfiik : )'

x*l 1.

I -x

lim -1 . :

*!-F. : lim -{1 -x):O.

xll- l . {+}, (1 - x),

{iFtl?, - fi'

i

15

g &l*wf{x}-*fu k * (x}- -, n*sks tiss {f{x} - g{x} }: *. - - (bsoh}k.

tak tellft)*:*r x*e x*e ta'K rentrt)

lim ,t''*Lx'* c [lx]--JIx} isteh b*nhrk o/o

f(o! s (x)-\ i" ry \ '

Csiah:lb lx I \:x*1 \*-r r"*/

x*1 (x-l) kxiu-l :it - l) I

titu h*,t-Jr,-1fi-- I {tu-l :x*l lnx + g'.-11 : x x

:

x .",

tim . !8. l&xill-+.[* E fJ,t

ittx2iIb lf,2- t = **: l"

llx+ I x x* I 2

III. *ka ' r) lis f (x) : O d.a llp g (x) = O

x* a xl e

b) Iim f (x) * o dss littt s (x) 5* *

x* a x) a

c) lim f {x} = - dan lim s {x} : (}

x?a x)a

,\

16

ft@ trtm f (x) s (x) **;u6i hma* tak tnntu. Limit-limit tsrsebut dapat

"ry#d*d*e kia nrenpmffi tagrylry*anya,

C,ffi*:1.[imx*": ials& bentuk : Oo

xtSt*@a:t

IftL

xlO-kl*& x*" :'x*S

:fu rinx lnx'x*O

* lim. ' ,18 x.

r* O l/sin x

' . :"-:TT**::T*x*O . jw ffiip2x

:lim _ &txx* O xecpx

lirn ln x &"

x*O{o *)

=Em" x*O

:OII -IBL =flL :eo:l

r'.' lim x =* *- I

x*O,[x : i

-^_ 4m x cffix

00s,x-xfl$x,r -.;, r ,o:

Soa;t:1 Iim

x.-* O

tr

at#

l7

:1. lim l'1-J-\i.x*o \* sinx )

:i.iim 2arcts4-x:!

x*S ?x-*r.e sinx\ .\

rr. lim l--4-- 1'\--.ll ri

x)2 \t'-+ x-2

L Mex.wntnSm fi'e Kr#e $*e' ekstr*m),F

I'rx) dapat didifrrensir dslam selang a ( x'<' b dan jtka t (x) memurt<t

aila.i :.elatif mak*imum (r*inirnum) di titit 1 : x'o' Iliinena a (' x * < b'

''' ;og**ak* titik kritis Itvl i

Cer* l:

2. 1*,trikaa nil*i-nilai lritis pada s1$tu,Fkql* bilengan' rnaka tsrbenftk

txrb';raP+ internal'

i (x) bernilai arak*imal : f (x J jiku f 1 (x) berulnh da{r + ke -' ,

! l-^ L

f (x) be,rnilai rninimal ': f (x "]

jik& f ' 0t] be*beh dari - l* '" .

i (x) tidak bernilai, maksimum atau mi*imal dari r= x o bil* f t (*)

:idak berubah tanda.

Caro t'I'.

' 1. $elesaikan f ' (*) : O untuk harga'harga lcritis-

. 2. Ftrngsi di diferensial sekali llgi,gernperoleh f

1(:'") Untr'tk harga kritis x: xo

Id* I

- f (r) mempuuyal nilai maksimum f (x o) bile :t' '*

o) < O'

- 1 (x) mernpunyai nilai minimum f (* J bila f t' t" o) > O'

- !-,tnyelidikan geg&l bila f t't* o) : O atau menjauli tak hinggn'

-t,

Cmt*tl. 1. Y:16x3 * 'Ax2 -6x + 8

Tentuknn :

a) Untuk titili-titik kritis'

b) Interual dimana y naik dan y turutr'

c) Niki nleksimuul daa miairnum deri y'

2'Y=x'-3x3, y : x'+ 2x2 - 4x - I

.4

tgrrgli: l.Y : lBi' * t/,t'':'2 ' 6x + 8

&)Yt ="o ' ''

Yl == x' + x' - 6: o

(x -r-3)(x-2):O

Titik kritis : -3 dan -2'

'b) Intertral dimario y @dst, tnrur..

c) Nilai maksimum dan minimum dari -/ :

x : -3 * y : lB (-3)' + Yz(a)' - 6(-3) + I

= 8.+ 9/2-+ 18 + 8: 17 I 9f2:4312

x:2 >'y: IRQ)3 + tAQ)'' 6{2} +g

* S/3 +2 - 12 + 8 : '2+ 8/3 - {,13 + 8l3:23

18

19

Tirir Q i?, ?/3)

P t-3, 43/2),

rt 1l?\\tu1 at t

.1