KAJIAN MATEMATIS DAN PENDIDIKAN ATAS MODEL …

KAJIAN MATEMATIS DAN PENDIDIKAN ATAS MODEL TRANSMISI

PENYAKIT VIRUS CORONA 2019 (COVID-19)

Mathematical and Educational Studies on the Corona Virus Disease 2019

(COVID-19) Transmission Model

TESIS

Caecilia Dian Pratiwi

191442101

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2021

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

KAJIAN MATEMATIS DAN PENDIDIKAN ATAS MODEL TRANSMISI

PENYAKIT VIRUS CORONA 2019 (COVID-19)

Mathematical and Educational Studies on the Corona Virus Disease 2019

(COVID-19) Transmission Model

TESIS

Caecilia Dian Pratiwi

191442101

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2021


iv

HALAMAN MOTTO

“Bersukacitalah dalam pengharapan, sabarlah dalam kesesakan, dan

bertekunlah dalam doa.”

(Roma 12: 12)

“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu

akan menerimanya”

(Matius 21: 22)

“Opportunities are usually disguised as hard work, so most people don’t recognize

them.”

(Ann Landers)


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tesis ini saya persembahkan untuk

Diri saya sendiri yang sudah mampu bertahan dan berjuang serta untuk

Bapak Riyanto Petrus Canisius dan Alm. Ibu Agnes Wiwik Avianti


viii

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil dari penelitian tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi

internasional yaitu the 3rd International Conference on Life Sciences and Technology (ICoLiST

2020). Konferensi ini diselenggarakan oleh Universitas Negeri Malanga secara daring pada

tanggal 29 September 2020.


ix

ABSTRAK

Pratiwi, Caecilia Dian. 2021. Kajian Matematis dan Pendidikan Atas Model

Transmisi Penyakit Virus Corona 2019 (COVID-19). Tesis. Program Studi

Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata

Dharma, Yogyakarta.

Penelitian tesis ini bertujuan untuk meyelesaikan model pandemik SEIR-NDC pada

transmisi virus Corona penyebab COVID-19 dengan menggunakan metode Euler dan

metode Heun serta serta merancang rencana pembelajaran pada jenjang SMA terkait

model penyebaran penyakit. Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah

studi literatur dengan bersumber dari buku dan jurnal-jurnal yang relevan. Hasil

penelitian ini ditunjukkan berdasarkan simulasi yang dilakukan dengan metode Euler

maupun Heun, diperoleh bahwa hasil dari kedua metode tersebut serupa. Meskipun

kedua metode tersebut menghasilkan hasil yang serupa, namun metode Heun secara

teoritis lebih akurat dibandingkan metode Euler. Berdasarkan hasil simulasi tersebut,

dapat dikatakan bahwa kedua metode tersebut dapat memprediksi perilaku dari

penyebaran penyakit virus Corona (COVID-19). Rancangan pembelajaran dari

penelitian ini juga dapat digunakan untuk membelajarkan siswa pada jenjang SMA

terkait model penyebaran penyakit dengan memperhatikan langkah-langkah

pemodelan dan penerapan di kehidupan sehari-hari. Adapun aspek pendidikan dari

penelitian ini yaitu bagaimana rancangan rencana pembelajaran untuk mempelajari

penyebaran penyakit di Sekolah Menengah Atas serta membuat karya tulis ilmiah

sebagai output dari pembelajaran.

Kata kunci: transmisi penyakit virus Corona (COVID-19), model pandemik SEIR- NDC,

metode Euler, metode Heun.


x

ABSTRACT

Pratiwi, Caecilia Dian. 2021. Mathematical and Educational Studies on the Corona

Virus Disease 2019 (COVID-19) Transmission Model. Thesis. Master of

Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and Natural

Sciences Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma

University, Yogyakarta.

This research aims to complete the SEIR-NDC pandemic model of the transmission of

the Coronavirus that causes COVID-19 by using the Euler method and the Heun

method and to educate students at the high school level regarding the disease spread

model. The research method used by the author is a literature study sourced from

relevant books and journals. The results of this study are shown based on simulations

carried out by the Euler and Heun methods. It is found that the results of the two

methods are similar. Although the two methods produce similar results, the Heun

method is theoretically more accurate than the Euler method. Based on the simulation

results, it can be said that the two methods can predict the behavior of the spread of

the Corona virus disease (COVID-19). The learning design of this study can also be

used to teach students at the high school level related to disease spread models by

paying attention to modeling steps and application of daily life. The educational aspect

of this research is how to design lesson plans for learning about the spread of disease

in high school and make scientific papers as learning outcomes.

Keywords: transmission of Corona virus disease (COVID-19), the SEIR-NDC pandemic

model, the Euler method, the Heun method.


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...................................................................................................... i

LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN ......................................................................................... iii

HALAMAN MOTTO .................................................................................................. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. vi

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS .................................................................................. vii

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ............................................. viii

ABSTRAK ................................................................................................................... ix

ABSTRACT .................................................................................................................... x

KATA PENGANTAR ................................................................................................. xi

DAFTAR ISI .............................................................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................. xvi

DAFTAR TABEL ..................................................................................................... xvii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................ xviii

BAB I ............................................................................................................................ 1

PENDAHULUAN ........................................................................................................ 1

A. Latar Belakang .................................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah............................................................................................... 4

C. Batasan Masalah ................................................................................................. 4

D. Tujuan Penelitian ................................................................................................ 4


xiv

E. Manfaat Penulisan .............................................................................................. 5

F. Metode Penelitian ............................................................................................... 5

G. Tinjauan Pustaka................................................................................................. 6

H. Kebaruan Penelitian ............................................................................................ 7

I. Sistematika Penulisan ......................................................................................... 7

BAB II ........................................................................................................................... 9

LANDASAN TEORI .................................................................................................... 9

A. Pemodelan Matematika ...................................................................................... 9

B. Persamaan Diferensial ........................................................................................ 9

C. Penyakit Virus Corona (COVID-19) ................................................................ 10

D. Model Pandemik SEIR (Susceptible-Exposed-Infectious-Removed)-NDC .... 11

E. Metode Euler .................................................................................................... 13

F. Metode Heun .................................................................................................... 15

G. Karya Ilmiah Remaja ........................................................................................ 19

H. Kerangka Berpikir ............................................................................................ 23

BAB III ....................................................................................................................... 24

ASPEK MATEMATIS PADA PENYAKIT VIRUS CORONA (COVID-19) .......... 24

A. Model SEIR Transmisi Virus Corona .............................................................. 24

B. Penyelesaian Model pada Virus Corona dengan Metode Euler ....................... 30

C. Penyelesaian Model pada Virus Corona dengan Metode Heun ....................... 36

BAB IV ....................................................................................................................... 43

ASPEK PENDIDIKAN .............................................................................................. 43

A. Aspek Pendidikan di Jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA) ....................... 43


xv

B. Pengenalan Model SIR dan SEIR-NDC bagi siswa jenjang SMA Sebagai

Bahan Pendampingan Bagi Karya Ilmiah Remaja. .......................................... 46

C. Refleksi ............................................................................................................. 59

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 62

LAMPIRAN ................................................................................................................ 65


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3. 1 Timeline penyebaran virus Corona menurut Lin et al (2020) ................ 25

Gambar 3. 2 Skema populasi manusia untuk transmisi

virus Corona (Lin el at, 2020) ................................................................ 26

Gambar 3. 3 Grafik dari sistem transmisi penyakit virus Corona (COVID-19) model

SEIR-NDC menggunakan metode Euler oleh Pratiwi dan Mungkasi

(2021) ..................................................................................................... 35

Gambar 3. 4 Grafik dari sistem transmisi penyakit virus Corona (COVID-19) model

SEIR-NDC menggunakan metode Heun oleh Pratiwi dan Mungkasi

(2021) ..................................................................................................... 41

Gambar 4. 1 Skema populasi manusia untuk transmisi penyakit virus Corona

(COVID-19) model SIR ......................................................................... 49

Gambar 4. 2 Skema populasi manusia untuk transmisi penyakit virus Corona

(COVID-19) model SEIR-NDC ............................................................. 55


xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 3. 1 Definisi Variabel dan Parameter Model Laju Transmisi Virus Corona

Model Pandemik SEIR-NDC (Lin et al, 2020) ......................................... 26

Tabel 3. 2 Nilai Awal dan Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona

(COVID-19) .............................................................................................. 32

Tabel 4. 1 Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona (COVID-19)

Model SIR ................................................................................................. 49

Tabel 4. 2 Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona (COVID-19)

Model SEIR-NDC ..................................................................................... 54

Tabel Lampiran 3. 1 Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus

Corona dengan Menggunakan Metode Euler ............................................ 70

Tabel Lampiran 3. 2 Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus

Corona dengan Menggunakan Metode Heun ............................................ 74


xviii

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN 1: Program MATLAB dengan Menggunakan Metode Euler ............... 65

LAMPIRAN 2: Program MATLAB dengan Menggunakan Metode Heun ............... 67

LAMPIRAN 3: Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus

Corona dengan Menggunakan Metode Numeris ............................. 70

LAMPIRAN 4: Rancangan Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Sekolah Menengah Atas ................................................................... 78

LAMPIRAN 5: Letter of Accepted (LoA) ICOLIST 2020 ....................................... 87

LAMPIRAN 6: Artikel ICOLIST 2020 ..................................................................... 88

LAMPIRAN 7: Sertifikat ICOLIST 2020.................................................................. 98


1

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini, peneliti membahas mengenai latar belakang penelitian, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian,

tinjauan pustaka, kebaruan penelitian, sistematika penulisan, dan metode penelitian.

A. Latar Belakang

Kehidupan yang semakin berkembang menuntut adanya perkembangan ilmu

pengetahuan baik melalui informasi maupun teknologi. Pada kenyataannya banyak

permasalahan yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu

permasalahan yang sering muncul dan sedang berkembang pada saat ini adalah

permasalahan pada bidang kesehatan. Pada bidang kesehatan inilah kebanyakan

penyakit-penyakit menular merupakan penyakit yang disebabkan oleh virus atau

bakteri. Wabah penyakit menular ini merupakan ancaman bagi masyarakat dan dapat

merubah struktur perekonomian, pendidikan dan kesehatan masyarakat sekitar. Salah

satu virus baru yang sedang berkembang dan banyak menyerang manusia adalah virus

Corona, dimana virus ini dapat menular dengan cepat dari manusia ke manusia.

Berdasarkan worldometers untuk data terbaru (diperbarui per pukul 18.46 WIB, data

pada tanggal 12 Januari 2021) di dunia terdapat 1.954.118 jiwa yang meninggal dunia

dengan 91.364.076 terindikasi positif virus Corona serta 63.383.131 jiwa sembuh dari

penyakit tersebut. Sedangkan untuk di Indonesia sendiri berdasarkan perolehan data

pada Satuan Tugas Penanganan COVID-19 terdapat 24.343 jiwa yang meninggal dunia

dengan 836.718 jiwa yang positif dan 688.739 jiwa sembuh dari penyakit ini. Menurut

Zein (2020) infeksi dari virus Corona atau COVID-19 dapat menyebabkan

penderitanya mengalami gejala flu, seperti hidung berair dan meler, sakit kepala, batuk,

nyeri tenggorokan, dan demam atau gejala penyakit infeksi pernapasan berat seperti

demam tinggi, batuk berdahak bahkan berdarah, sesak napas dan nyeri dada. Menurut


2

McKibbin and Fernando (Aulia dkk., 2020) Pandemi ini langsung ditangani oleh WHO

karena cara penyebaran yang sangat mudah menulari orang lain.

Adanya berbagai permasalahan dan berkembangnya informasi serta ilmu

pengetahuan maka diperlukan adanya suatu solusi dari permasalahan tersebut.

Permasalahan di berbagai bidang seperti bidang kesehatan, fisika, biologi, kimia,

ekonomi, atau pada teknik sipil, teknik mesin dan berbagai bidang lainnya banyak

melibatkan model matematika dalam penyelesaiannya. Kholisoh dan Kharis (2012)

mengatakan bahwa perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika juga turut

memberikan peranan penting dalam mencegah meluasnya penyebaran penyakit.

Peranan tersebut berupa model matematika yang mempelajari penyebaran penyakit.

Hal ini sesuai dengan apa yang disampaikan oleh Yulida dan Karim (2020) yang

mengatakan bahwa matematika memiliki peran sangat penting dalam mempelajari

dinamika suatu wabah penyakit, mulai dari kajian pencarian sumber, penyebaran,

prediksi pola, hingga strategi penanganannya dimana bidang kajian tersebut dinamakan

matematika epidemiologi. Pada penelitian ini, model matematis yang digunakan adalah

model SEIR-NDC. Model ini merupakan pengembangan dari model SEIR dengan

variabel tambahan N, D, dan C. Pemilihan model ini dikarenakan model ini belum

banyak dikembangkan dan diteliti serta model ini juga memiliki parameter-parameter

yang signifikan. Namun demikian, tidak sedikit diantaranya model matematika yang

dapat diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, diperlukan adanya penghitungan

numerik agar mempermudah penyelesaian yang tidak bisa diselesaikan secara analitik.

Berdasarkan hal tersebut salah satu upaya yang dapat dilakukan yaitu dengan

menggunakan metode numerik. Metode numerik menurut Atmika (2016) merupakan

teknik penyelesaian permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara

operasi hitungan. Selaras dengan Atmika, Widodo (2014) mengatakan bahwa metode

numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik

sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah,

kurang, kali, dan bagi). Selain itu, sejalan dengan berbagai permasalahan yang muncul

dari berbagai bidang, Atmika (2016) mengatakan bahwa metode numerik juga


3

merupakan alat yang sangat ampuh untuk menyelesaikan permasalahan dalam berbagai

bidang seperti bidang teknik (teknik mesin, teknik sipil, teknik elektro, teknik kimia

dan sebagainya), kedokteran, sosial, ekonomi dan bidang ilmu lainnya. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa metode numerik adalah suatu teknik penyelesaian yang

memformulasikan persoalan matematik di berbagai bidang.

Pada metode numerik, terdapat berbagai macam metode yang dapat digunakan

untuk menyelesaikan suatu permasalahan diantaranya metode biseksi, metode secant,

metode Newton Raphson, metode Euler serta metode Heun. Hal ini sejalan dengan apa

yang disampaikan oleh Munir (Nurofi’atin dan Abadi, 2018) bahwa penyelesaian

persamaan diferensial dapat ditentukan dengan menggunakan metode numerik dan

terdapat beberapa metode numerik yang sering digunakan untuk penyelesaian

persamaan diferensial adalah metode Euler, metode Heun, metode deret Taylor, metode

Runge-Kutta, dan metode banyak langkah. Pada penelitian ini, peneliti akan

menyelesaikan suatu model dari persamaan diferensial dengan menggunakan metode

Euler dan metode Heun sebagai salah satu kajian matematisnya. Metode Euler sendiri

merupakan metode yang paling dasar untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial

biasa yang memiliki nilai awal. Sedangkan metode Heun merupakan metode lanjutan

dari metode Euler yang berguna untuk memperbaiki keakuratan metode Euler.

Selain itu, peneliti membuat sebuah rancangan pembelajaran sebagai kajian

aspek pendidikan pada jenjang SMA. Pada rancangan tersebut, peneliti memberikan

permasalahan terkait masalah kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan materi

turunan fungsi. Kemudian, siswa diberikan kembali permasalahan terkait bagaimana

memodelkan penyebaran penyakit virus Corona dengan model sederhana SIR, dan

SEIR-NDC. Pada aspek pendidikan ini, setelah siswa berhasil membuat model

penyebaran penyakit dengan model SIR dan SEIR-NDC, siswa didampingi dalam

sebuah mini-research untuk membuat sebuah karya tulis ilmiah berdasarkan hasil

diskusi tersebut. Hal ini bertujuan agar pada jenjang SMA, siswa sudah bisa membuat

sebuah karya tulis ilmiah sebagai output dalam pembelajarn yang selama ini dilakukan.

Berdasarkan permasalahan di atas, peneliti ingin menyelesaikan model


4

persamaan transmisi virus Corona penyebab COVID-19 model SEIR-NDC dengan

menggunakan metode Euler dan metode Heun serta juga akan dikaji aspek

pendidikannya.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan masalah yang telah dipaparkan di atas, maka masalah tersebut

dapat dirumuskan di dalam penelitian ini sebagai berikut:

1. Bagaimana menyelesaikan model pandemik SEIR-NDC pada transmisi virus

Corona penyebab COVID-19 dengan menggunakan metode Euler dan metode

Heun?

2. Bagaimana rancangan rencana pembelajaran untuk mempelajari penyebaran

penyakit di Sekolah Menengah Atas?

C. Batasan Masalah

Penelitian ini membahas mengenai transmisi virus Corona penyebab COVID-

19 yang penyelesaian modelnya menggunakan metode Euler dan Metode Heun.

Berikutnya, peneliti juga membahas mengenai keterkaitan antara topik dari penelitian

ini dengan penerapannya di dalam materi yang dipelajari dijenjang Sekolah

Menengah Atas.

D. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan di atas, maka tujuan dari

penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk menyelesaikan model pandemik SEIR-NDC pada transmisi virus Corona

penyebab COVID-19 dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun.

2. Untuk mengetahui rancangan rencana pembelajaran dari penyebaran penyakit di

Sekolah Menengah Atas.


5

E. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat dari penulisan ini antara lain:

1. Mengetahui beberapa hal yang akan terjadi pada populasi manusia yaitu S

(Susceptible), E (Exposed), I (Infectious), R(Removed) dengan N merupakan total

ukuran populasi, D merupakan persepsi publik tentang risiko terkait jumlah kasus

dan kematian yang parah dan kritis serta C mewakili jumlah kumulatif baik kasus

yang dilaporkan maupun yang tidak dilaporkan.

2. Mengetahui beberapa metode numeris yakni metode Euler dan metode Heun yang

bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial terkait model

pandemik SEIR-NDC pada transmisi virus corona yang mengakibatkan COVID-19.

3. Tesis ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain untuk menyelesaikan suatu

model persamaan dengan menggunakan metode numeris yang sama dan untuk

permasalahan yang lebih kompleks.

4. Tesis ini juga dapat dijadikan sebagai salah satu contoh nyata penerapan metode

numeris terhadap permasalahan yang ada di kehidupan nyata.

F. Metode Penelitian

Penelitian ini menggunakan metode studi literatur. Adapun langkah-langkah

yang dilakukan oleh peneliti adalah sebagai berikut:

1. Peneliti mencari berbagai literatur dari sumber buku dan jurnal penelitian, yang

berkaitan dengan penyebaran Coronavirus Disease-19, model penyebaran

penyakit SEIR, serta metode Euler dan metode Heun.

2. Membuat program MATLAB untuk melakukan simulasi dari persamaan yang

digunakan oleh peneliti agar memperoleh solusi dari penggunaan dua metode

numeris yaitu metode Euler dan metode Heun.

3. Merancang pelaksanaan pembelajaran yang berkaitan dengan konsep dari model

matematika SEIR-NDC dan konsep dari metode Euler serta metode Heun pada

siswa jenjang Sekolah Menengah Atas. Pada rancangan ini peneliti menggunakan


6

pendekatan saintifik dengan model pembelajaran discovery learning. Rancangan

ini dibuat untuk dua kali pertemuan dan setelah rencana pembelajaran tersebut

dilakukan, peneliti melakukan pendampingan dalam pembuatan karya tulis ilmiah

berdasarkan hasil diskusi yang telah dilakukan pada pertemuan sebelumnya.

G. Tinjauan Pustaka

Penyelesaian dari permasalahan mengenai transmisi penyakit dengan

menggunakan metode Euler dan metode Heun dalam persamaan diferensial linear dan

nonlinear telah banyak dibahas dalam berbagai buku, jurnal nasional dan jurnal

internasional yang telah di publikasikan. Untuk menyelesaian persamaan dengan

menggunakan metode Euler dan metode Heun ini, peneliti menggunakan beberapa

sumber buku, artikel dan jurnal yang dijadikan sebagai acuan dari peneliti. Adapun

buku-buku dan jurnal tersebut membahas mengenai model SEIR, penerapan metode

Euler dan penerapan dari metode Heun. Adapun beberapa tinjauan pustaka tersebut,

adalah sebagai berikut:

1. Penelitian yang dilakukan oleh Sihotang, Simbolon, Hartiny, Tindaon, & Sinaga

(2020). Penelitian ini menghasilkan model SEIR dari transmisi penyakit campak.

2. Penelitian yang dilakukan oleh Zhu et al. (2020). Penelitian ini mengidentifikasi

penyebab pasien Pneumonia yang terinfeksi Virus Corona.

3. Penelitian yang dilakukan oleh Lin et al. (2020). Penelitian ini membahas

mengenai transmisi dari virus corona dan menghasilkan model persamaan SEIR-

NDC.

4. Penelitian yang dilakukan oleh Oktaviani, Prihandono, & Helmi, (2014). Penelitian

ini melakukan penyelesaian numerik sistem persamaan diferensial non-linear

dengan menggunakan metode Heun pada model Lotka Volterra.

5. Penelitian yang dilakukan oleh Tang et al. (2020). Penelitian ini membahas

mengenai transmisi virus corona dan menggunakan model persamaan SEIR

sebagai salah satu model persamaan.


7

6. Penelitian yang dilakukan oleh Hurit (2020). Penelitian ini membahas mengenai

penyelesaian model SEIR untuk penyebaran penyakit meningitis menggunakan

metode Euler, metode Heun dan metode Runge Kutta Orde Empat.

7. Penelitian yang dilakukan oleh Z. Tang, Li, & Li (2020). Penelitian ini

menghasilkan simulasi model yang menunjukkan bahwa tanpa tindakan apapun

maka tingkat orang yang terinfeksi akan mencapai 2.384.803 jiwa sedangkan jika

Kota Wuhan mengambil tindakan lockdown maka jumlah orang yang terinfeksi

akan berkurang menjadi 19.773 jiwa.

Pada penelitian di atas terlihat bahwa pembahasan mengenai model SEIR,

metode Euler dan metode Heun telah banyak dilakukan oleh para peneliti.

Berdasarkan hal tersebut kebaruan dari penelitian ini peneliti akan menyelesaikan

persamaan transmisi virus corona model pandemik SEIR-NDC yang telah

dimodelkan oleh Lin et al. (2020) dengan menggunakan dua metode yakni metode

Euler dan metode Heun dan akan mengkaji aspek pendidikannya.

H. Kebaruan Penelitian

Pada penelitian ini akan ditentukan penyelesaian dari suatu sistem persamaan

transmisi Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) dengan menggunakan model

pandemik SEIR-NDC dimana penyelesaiannya menggunakan metode Euler dan

metode Heun. Sejauh ini, jarang sekali ditemukan penelitian yang membahas

mengenai mengenai model persamaan yang rumit dan diselesaikan dengan metode-

metode sederhana yaitu metode Euler dan metode Heun.

I. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut:

1. Bab I: Pada bagian ini, peneliti akan membahas mengenai pendahuluan yang

terdiri dari latar belakang masalah, tinjauan pustaka, rumusan masalah, Batasan

masalah, tujuan penelitian, kebaruan penelitian, manfaat penulisan, sistematika

penulisan dan metode penelitian.


8

2. Bab II: Pada bagian ini, peneliti akan membahas mengenai landasan teori yang

akan digunakan. Adapun landasan teori yang digunakan meliputi: pemodelan

matematika, persamaan diferensial, transmisi penyakit virus corona (COVID-19),

metode Euler, metode Heun dan kerangka berpikir.

3. Bab III: Pada bagian ini, peneliti akan membahas mengenai hasil dari penelitian

yang berisikan penyelesaian dari persamaan transmisi virus corona model SEIR-

NDC dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun.

4. Bab IV: Pada bagian ini, peneliti akan membahas mengenai aspek Pendidikan

yang berisikan rancangan pembelajaran di sekolah yang berkaitan dengan

penyelesaian suatu persamaan diferensial dengan menggunakan metode Euler dan

metode Heun.


9

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini, peneliti memaparkan beberapa teori pendukung yang dibutuhkan

pada penulisan ini. Teori pendukung ini akan menjadi landasan teori dari penelitian ini

antara lain mengenai pemodelan matematika, persamaan diferensial, virus Corona,

model pandemik SEIR-NDC, metode Euler, metode Heun dan teori mengenai karya

tulis ilmiah.

A. Pemodelan Matematika

Model matematika merupakan representasi dari masalah nyata yang ada di

kehidupan sehari-hari yang kemudian diubah kedalam bentuk matematika. Oleh karena

itu, permasalahan tersebut dapat diselesaikan secara sistematis. Fathoni dkk., (2019)

mengungkapkan bahwa model matematika digunakan untuk menjelaskan fenomena

dalam bidang biologi terlebih dalam kasus penyebaran penyakit menular yang

dimodelkan dengan persamaan diferensial dengan representasi proses waktu yang

kontinu. Hal yang serupa juga diungkapkan oleh ahli yang lain bahwa suatu model

matematika secara luas dapat didefinisikan sebagai sebuah formulasi atau persamaan

yang mengungkapkan segi utama suatu sistem atau proses fisika dalam istilah

matematika disampaikan oleh Chapra (1991). Adapun hasil dari model matematika

tersebut berupa persamaan, sistem persamaan, pertidaksamaan dan lain sebagainya.

B. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan dimana dalam persamaan

tersebut memuat suatu turunan. Sedangkan Kosasih (2006) mengatakan bahwa

persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial dari satu variabel


10

bebas beserta derivatif-derivatif dari fungsi variabel tersebut. Biasanya yang akan

menjadi variabel bebas adalah waktu (𝑡) atau jarak (𝑥).

Pada penelitian ini sistem persamaan transmisi virus corona model SEIR

berbentuk sistem persamaan diferensial dan akan diselesaikan dengan menggunakan

metode Euler dan metode Heun.

C. Penyakit Virus Corona (COVID-19)

Menurut Riyanti (Yufajjiru dan Dharma, 2020) virus Corona dapat menginfeksi

dari manusia ke manusia sehinga penyebarannya begitu cepat. Virus Corona

merupakan sebuah virus yang menyebabkan penyakit yang dimulai dari gejala ringan

sampai gejala yang berat. Terdapat dua jenis coronavirus yang dapat menyebabkan

gejala yang berat yaitu Middle East Respiratory Syndrome (MERS-CoV) dan Severe

Acute Respiratory Syndrome (SARS-CoV) sedangkan Novel Coronavirus (2019-

nCoV) merupakan jenis baru yang belum pernah diidentifikasi pada manusia. Penyakit

ini ditandai dengan adanya gejala gangguan pada pernapasan akut, demam, batuk dan

sesak napas bahkan dapat menyebabkan pneumonia hingga berujung pada kematian.

Penularan coronavirus ini jika terjadi kontak dari manusia ke manusia (seorang yang

sudah positif terinfeksi). Berdasarkan hal tersebut, salah satu cara yang dilakukan untuk

mencegah penyebaran virus ini adalah dengan melakukan cuci tangan secara teratur,

tidak memasak atau memakan makanan mentah, melakukan physical distancing,

menerapkan etika batuk dan bersin yang tepat, serta menggunakan masker agar

terhindar dari virus ketika bepergian.

Berikut ini beberapa sindrom klinis yang dapat muncul jika terinfeksi menurut

PDPI (Yuliana, 2020):

1. Tidak Berkomplikasi

Pada kondisi ini merupakan golongan dari kondisi yang ringan, dimana gejala yang

muncul berupa gejala yang tidak spesifik. Namun terkait dengan gejala utama tetap

muncul seperti demam, batuk, dapat disertai dengan nyeri tenggorokan, kongesti


11

hidung, malaise, sakit kepala, dan nyeri otot. Perlu diperhatikan untuk pasien

dengan usia lanjut dan pasien immunocompromises presentasi gejala menjadi tidak

khas atau atipikal. Hal itu dikarenakan terdapat beberapa kasus yang ditemui tidak

disertai dengan demam dan gejala relative ringan. Pada kondisi ini pasien tidak

memiliki gejala komplikasi diantaranya dehidrasi, sepsis, atau napas pendek.

2. Pneumonia Ringan

Gejala yang muncul ada orang dewasa yang terinfeksi pneumonia ringan adalah

demam, batuk dan sesak. Namun demikian, pada individu tersebut tidak muncul

gejala pneumonia berat. Sedangkan pada anak-anak gejala yang muncul adalah

batuk atau susah bernapas.

3. Pneumonia Berat

Pada orang dewasa, gejala yang muncul adalah demam atau infeksi saluran napas.

Kemudian diikuti dengan tanda yang muncul yaitu takipnea dimana frekuensi

napas > 30 ×/menit, distress pernapasan berat atau saturasi oksigen.

D. Model Pandemik SEIR (Susceptible-Exposed-Infectious-Removed)-NDC

Model SEIR merupakan suatu model matematika untuk wabah penyakit yang

mempunyai masa laten dimana Diekmann dan Heesterbeck (Kharis, 2012)

mendefinisikan sebagai masa suatu individu telah terinfeksi oleh penyakit tetapi

individu tersebut belum dapat menularkan penyakit kepada individu yang lainnya.

Pada model SEIR ini, subpopulasi manusia terbagi menjadi empat bagian dimana S

(Susceptible) merupakan subpopulasi yang rentan terhadap suatu penyakit, E

(Exposed) merupakan subpopulasi yang tertular tetapi belum menjadi penderita, I

(Infectious) merupakan subpopulasi yang telah menjadi penderita dan aktif menularkan

penyakit, R(Removed) merupakan subpopulasi yang telah sembuh dari penyakit karena

adanya pengobatan. Berikut ini disajikan model persamaan dari SEIR menurut Brauer

dan Chavez (2000) dimana penyebaran penyakit dengan model ini diasumsikan sebagai

berikut:


12

1. Seorang individu yang terinfeksi rata-rata menghasilkan 𝛽 penularan baru

berdasarkan waktu ketika mereka melakukan kontak dengan seseorang yang rentan

tetapi kemudian laju ini dikurangi dengan 𝑆/𝑁.

2. Individu dalam subpopulasi 𝐸(Exposed) berpindah ke subpopulasi yang terinfeksi

dengan kecepatan per kapita 𝑘.

3. Tidak ada kematian akibat penyakit, kekebalan permanen, dan periode terinfeksi

rata-rata adalah 1/𝛾.

Didefinisikan bahwa 𝛾 = 𝑟 + 𝜇, sehingga model persamaannya menjadi sebagai

berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= 𝑏𝑁 − 𝜇𝑆 − 𝛽𝑆

𝐼

𝑁,

(2.1)

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 𝛽𝑆

𝐼

𝑁− (𝑘 + 𝜇)𝐸,

(2.2)

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝑘𝐸 − (𝑟 + 𝜇)𝐼,

(2.3)

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝑟𝐼 − 𝜇𝑅.

(2.4)

Keterangan:

t : Waktu

N : Total Populasi

k : Parameter laju transmisi dari individu rentan ke individu terinfeksi

r : Parameter laju transmisi dari individu terinfeksi ke individu sembuh

𝛽 : Parameter laju transmisi dari individu rentan ke individu terpapar

Model pandemik SEIR-NDC merupakan salah satu model pengembangan dari

model SEIR dengan variabel tambahan NDC dimana N merupakan total ukuran

populasi, D merupakan persepsi publik tentang risiko terkait jumlah kasus dan


13

kematian yang parah dan kritis serta C mewakili jumlah kumulatif baik kasus yang

dilaporkan maupun yang tidak dilaporkan. Berikut ini merupakan model dari sistem

transmisi virus Corona yang dipaparkan oleh (Lin et al., 2020):

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −

𝛽0𝑆𝐹

𝑁−

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− 𝜇𝑆,

(2.5)

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝛽0𝑆𝐹

𝑁+

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼,

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅,

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜇𝑁,

𝑑𝐷

𝑑𝑡= 𝑝𝛾𝐼 − 𝜆𝐷,

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝜎𝐸,

E. Metode Euler

Salah satu metode mendasar dari metode numerik yaitu metode Euler. Burden,

R. L dan Faires J.D (2011) mengatakan bahwa pada metode ini solusi diperoleh dengan

pendekatan menggunakan nilai awal:

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑦(𝑎) = 𝛼

(2.6)


14

Berikutnya, fungsi 𝑦(𝑡) memiliki turunan pada interval [𝑎, 𝑏]. Kemudian

dengan memilih sembarang bilangan bulat positif dan memilih sembarang titik awal:

𝑡𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, dengan 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑁.

Kemudian, dapat terlihat bahwa terdapat jarak yang sama antar titik tersebut

yaitu ℎ =𝑏−𝑎

𝑁= 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 yang disebut sebagai ukuran langkah. Dengan menggunakan

deret Taylor untuk memperoleh metode Euler. Misalkan 𝑦(𝑡) adalah solusi untuk

persamaan (2.6) pada interval [𝑎, 𝑏] dengan 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1, maka:

𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖)𝑦′(𝑡𝑖) +(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖)

2

2𝑦′′(𝜉𝑖),

Untuk sembarang 𝜉𝑖 pada (𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1) dan karena ℎ = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 maka:

𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + ℎ𝑦′(𝑡𝑖) +ℎ2

2𝑦′′(𝜉𝑖),

Dan karena 𝑦(𝑡) memenuhi persamaan diferensial (2.6), maka:

𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦(𝑡𝑖)) +ℎ2

2𝑦′′(𝜉𝑖),

(2.7)

Metode Euler dibangun dengan menggunakan pendekatan 𝑤𝑖 ≈ 𝑦(𝑡𝑖), untuk setiap 𝑖 =

1, 2, … , 𝑁 maka metode Euler menjadi:

𝑤0 = 𝛼,

𝑤𝑖+1 = 𝑤𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑤𝑖), untuk setiap 𝑖 = 0,1, … , 𝑁 − 1. (2.8)

Karena metode Euler digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan

persamaan nonlinear yang berdasarkan persamaan (2.8) maka jika diberikan suatu

sistem persamaan diferensial dengan tujuh variabel terikat sebagai berikut:

𝑆′(𝑡) = 𝑓1(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),

𝐸′(𝑡) = 𝑓2(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),

𝐼′(𝑡) = 𝑓3(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),


15

𝑅′(𝑡) = 𝑓4(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),

𝑁′(𝑡) = 𝑓5(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),

𝐷′(𝑡) = 𝑓6(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),

𝐶′(𝑡) = 𝑓7(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),

Dengan nilai awalnya adalah 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0,

𝑁(𝑡0) = 𝑁0, 𝐷(𝑡0) = 𝐷0 and 𝐶(𝑡0) = 𝐶0 maka dengan metode Euler tersebut dapat

diterapkan ke sistem persamaan dan diperoleh:

𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖 + ℎ𝑓1(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖 , 𝑁𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.9)

𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 + ℎ𝑓2(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖 , 𝑁𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖 , 𝑡𝑖), (2.10)

𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖 + ℎ𝑓3(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖 , 𝑅𝑖 , 𝑁𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.11)

𝑅𝑖+1 = 𝑅𝑖 + ℎ𝑓4(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖 , 𝑁𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖 , 𝑡𝑖), (2.12)

𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 + ℎ𝑓5(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖 , 𝑁𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.13)

𝐷𝑖+1 = 𝐷𝑖 + ℎ𝑓6(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.14)

𝐶𝑖+1 = 𝐶𝑖 + ℎ𝑓7(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖 , 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.15)

dengan ℎ = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 dimana 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0,

𝑁(𝑡0) = 𝑁0, 𝐷(𝑡0) = 𝐷0 dan 𝐶(𝑡0) = 𝐶0 untuk setiap 𝑖 = 0, 1, 2, … .

F. Metode Heun

Pada penjelasan metode sebelumnya yaitu metode Euler kita mengetahui

bahwa metode tersebut memiliki akurasi yang rendah hal ini dikarenakan galatnya yang

besar dan sebanding dengan ℎ. Maka, metode tersebut diperbaiki dengan metode yang

baru untuk mengurangi galatnya yakni dengan metode Heun atau yang biasa dikenal

dengan Modified Euler’s Method. Pada metode ini, solusi yang kita miliki pada metode


16

Euler dijadikan sebagai perkiraan awal (predictor) dan kemudian diperbaiki dengan

menggunakan metode Heun (corrector). Adapun penurunan dari metode Heun tersebut

menurut Chapra (2012):

𝑦𝑖′ = 𝑓(𝑡𝑖 , 𝑦𝑖), (2.16)

digunakan untuk mengekstrapolasi secara linear terhadap 𝑦𝑖+1:

𝑦𝑖+10 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖)ℎ. (2.17)

Pada metode Euler, kita bisa mendapatkan solusi dari persamaan diferensial

hanya sampai pada tahap tersebut. Namun demikian, pada metode Heun persamaan

dari 𝑦𝑖+10 pada persamaan (2.17) dihitung dan dijadikan sebagai nilai prediksi. Oleh

sebab itu, persamaan tersebut dibedakan dengan superscript. Persamaan (2.17) disebut

sebagai persamaan prediksi. Adanya prediksi tersebut dapat membuat perkiraan yang

memungkinkan penghitungan dari kemiringan di akhir interval:

𝑦𝑖+1′ = 𝑓(𝑡𝑖+1, 𝑦𝑖+1

0 ). (2.18)

Oleh karena itu, kedua persamaan di atas yaitu persamaan (2.16) dan (2.18)

dapat digabungkan untuk memperoleh rata-rata dari interval berikut:

�̅�′ =𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖+1, 𝑦𝑖+1

0 )

2.

Rata-rata dari kemiringan ini kemudian digunakan untuk mengekstrapolasi

secara linear dari 𝑦𝑖 ke 𝑦𝑖+1 dengan menggunakan metode Euler:

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖+1, 𝑦𝑖+1

0 )

2ℎ,

(2.19)

dimana persamaan ini disebut sebagai corrector. Berikutnya, penurunan dari metode

Heun juga dapat dilakukan dengan melakukan pengintegralan kedua ruas. Misalnya

diberikan persamaan diferensial biasa sebagai berikut:

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡).

(2.20)


17

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengintegralkan kedua ruas,

sebagai berikut:

∫ 𝑑𝑦𝑦𝑖+1

𝑦𝑖

= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡.𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

(2.21)

Sehingga diperoleh hasil,

𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

,

(2.22)

atau,

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

.

(2.23)

Sekarang, kita dapat melihat kembali aturan trapesium pada persamaan

sebelumnya yaitu:

𝐼 = ∫ [𝑓(𝑎) +𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎(𝑥 − 𝑎)]

𝑏

𝑎

𝑑𝑥.

(2.24)

Kemudian didefinisikan sebagai berikut:

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑡𝑖+1

𝑡𝑖

=𝑓(𝑡𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖+1)

2ℎ,

(2.25)

Dimana ℎ = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 . Langkah berikutnya, lakukan substitusi pada

persamaan (2.23) hingga persamaan (2.25) sehingga diperoleh:

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +𝑓(𝑡𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖+1)

2ℎ.

(2.26)

Dimana persamaan tersebut ekuivalen dengan persamaan (2.23). Oleh sebab

itu, metode Heun terkadang disebut juga dengan aturan trapesium. Berdasarkan

penjabaran tersebut jika diberikan suatu sistem persamaan diferensial dengan tujuh

variabel terikat sebagai berikut, maka:




18






Dengan nilai awal 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0, 𝑁(𝑡0) = 𝑁0,

𝐷(𝑡0) = 𝐷0, 𝐶(𝑡0) = 𝐶0 dimana ℎ = 𝑡𝑟+1 − 𝑡𝑟 kemudian dengan menerapkan metode

Heun pada sistem persamaan tersebut, diperoleh:

Predictor:

𝑆(0)𝑖+1 = 𝑆𝑖 + ℎ𝑓1(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖 , 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.27)

𝐸(0)𝑖+1 = 𝐸𝑖 + ℎ𝑓2(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖 , 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.28)

𝐼(0)𝑖+1 = 𝐼𝑖 + ℎ𝑓3(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖, 𝑅𝑖 , 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖 , 𝑡𝑖), (2.29)

𝑅(0)𝑖+1 = 𝑅𝑖 + ℎ𝑓4(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖, 𝑅𝑖 , 𝑁𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖 , 𝑡𝑖), (2.30)

𝑁(0)𝑖+1 = 𝑁𝑖 + ℎ𝑓5(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖 , 𝑅𝑖, 𝑁𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.31)

𝐷(0)𝑖+1 = 𝐷𝑖 + ℎ𝑓6(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.32)

𝐶(0)𝑖+1 = 𝐶𝑖 + ℎ𝑓7(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.33)

Corrector:

𝑆𝑖+1

= 𝑆𝑖

+ℎ

2[𝑓1(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖)

+ 𝑓1(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)

𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)

𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)

𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)],

(2.34)

𝐸𝑖+1

= 𝐸𝑖

+ℎ

2[𝑓2(𝑆𝑖, 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖 , 𝑅𝑖, 𝑁𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖)

+ 𝑓2(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)

𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)

𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)

𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)],

(2.35)


19

𝐼𝑖+1

= 𝐼𝑖

+ℎ


+ 𝑓3(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)

𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)

𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)

𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)],

(2.36)

𝑅𝑖+1

= 𝑅𝑖

+ℎ

2[𝑓4(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖 , 𝑅𝑖, 𝑁𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝐶𝑖, 𝑡𝑖)

+ 𝑓4(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)

𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)

𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)

𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)],

(2.37)

𝑁𝑖+1

= 𝑁𝑖

+ℎ


+ 𝑓5(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)

𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)

𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)

𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)],

(2.38)

𝐷𝑖+1

= 𝐷𝑖

+ℎ


+ 𝑓6(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)

𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)

𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)

𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)],

(2.39)

𝐶𝑖+1

= 𝐶𝑖

+ℎ


+ 𝑓7(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)

𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)

𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)

𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)],

(2.40)

dengan 𝑖 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛. Fungsi 𝑓1, … , 𝑓7 persamaan ruas kanan dari model SEIR-

NDC.

G. Karya Ilmiah Remaja

Masa remaja merupakan masa transisi seseorang dari masa kanak-kanak menuju

masa dewasa hal ini disampaikan oleh Santrock (Nada dkk., 2020). Sehingga pada fase

ini anak-anak banyak mengalami perubahan diri dan mengalami banyak tantangan


20

untuk menemukan jati dirinya. Dalam menemukan jati dirinya, banyak remaja yang

justru terjebak ke dalam kenakalan remaja, namun tidak semua anak-anak terjebak ke

dalam hal-hal yang negatif. Anak-anak yang memiliki kemampuan literasi media yang

baik maka ia dapat menyaring informasi yang baik dan yang buruk, hal ini selaras

dengan apa yang disampaikan oleh (Nada dkk., 2020). Walaupun secara nyata masih

sering kita jumpai permasalahan dari kenakalan remaja melalui media televisi (adanya

tontonan yang kurang mendidik), handphone (adanya situs-situs atau informasi buruk

yang menjurus terhadap kenakalan remaja) dan media lainnya. Oleh sebab itu, perlu

adanya upaya yang dilakukan untuk membimbing dan mendampingi para remaja agar

para remaja mampu melewati fasenya ke arah yang lebih positif. Salah satu upaya yang

dapat dilakukan adalah membimbing dan mendampingi para remaja untuk

berkontribusi pada kegiatan pengabdian masyarakat yaitu pada kegiatan membuat

karya tulis ilmiah. Djuroto (Pratama dan Casmudi, 2019) memaparkan bahwa karya

tulis ilmiah dibagi menjadi dua yaitu karya tulis yang berdasarkan laporan hasil

penelitian dan karya tulis yang berdasarkan tinjauan atau gagasan ilmiah. Karya tulis

ilmiah yang dikembangkan di sekolah biasanya sebagai salah satu ekstrakurikuler yang

juga disebut sebagai Karya Ilmiah Remaja (KIR). Adanya kegiatan KIR dapat

menjadikan siswa sebagai generasi yang memiliki sikap ilmiah, mereka mampu untuk

memberikan solusi-solusi terhadap masalah yang muncul di sekitar mereka sendiri, hal

ini disampaikan oleh Sagala (Madayani, 2020). Sejalan dengan apa yang disampaikan

oleh Sagala, Asmara & Kusumaningrum (2020) mengungkapkan bahwa orang yang

terampil dalam menulis karya tulis ilmiah akan kaya ilmu pengetahuan, wawasan,

bahkan finansial dimana mereka terbiasa untuk berpikir secara sistematis, cermat,

mampu mengidentifikasi dan memecahkan permasalahan. Oleh sebab itu, penting bagi

para calon guru dan para pendidik untuk mengupayakan pendampingan pembuatan

karya tulis remaja sejak dini. Berkaitan dengan hal tersebut karya tulis ilmiah

merupakan karya yang memuat dan mengkaji suatu masalah dengan menggunakan

kaidah-kaidah keilmuan seperti metode ilmiah, penggunaan bahasa baku dan tata tulis


21

ilmiah serta prinsip keilmuan yang bersifat logis, objektif, empiris, sistematis, lugas

dan konsisten hal ini disampaikan oleh Prayitno (Noorjannah, 2014). Sejalan dengan

hal tersebut, maka karya ilmiah remaja merupakan karya yang dikaji dengan

menggunakan kaidah keilmuan dan dilakukan oleh para remaja sebagai salah satu

kontribusi mereka terhadap pengabdian masyarakat. Beberapa cara yang dapat

dilakukan dalam melakukan pendampingan Karya Ilmiah Remaja antara lain:

1. Memberikan gambaran umum

Pada bagian ini, pendidik memberikan gambaran umum mengenai masalah apa saja

yang sedang dihadapi saat ini. Hal ini bertujuan agar siswa mengetahui apa

permasalahan yang sedang muncul dan penting untuk dihadapi saat ini. Pada tahap

ini para siswa secara bebas untuk mencari topik permasalahan, baik permasalahan

yang sudah dipaparkan maupun permasalahan yang belum dipaparkan oleh

pendidik.

2. Melakukan observasi

Menyadari permasalahan yang ada, maka sebelum melakukan penulisan karya

imiah perlu adanya observasi untuk mengetahui kondisi atau masalah yang akan

diteliti. Setidaknya observasi perlu dilakukan minimal 2 kali untuk benar-benar

memastikan permasalahan tersebut apakah benar-benar muncul dan perlu untuk

diteliti.

3. Penyusunan Karya Ilmiah

Setelah kegiatan observasi dilakukan maka penting bagi pendidik sebagai

fasilitator untuk membantu para siswa dalam menyiapkan materi dan mulai

mencari teori-teori yang relevan. Dalam penyusunan ini, pendidik memfasilitasi

siswa dan mendampingi jika siswa mengalami kesulitan. Pada tahap ini juga,

pendidik memberikan arahan mengenai penggunaan bahasa yang sistematis dalam

penyusunan karya ilmiah remaja.

4. Presentasi proposal

Proposal yang sudah diunggah akan melalui tahap seleksi kemudian akan direview.


22

Setelah itu, proposal tersebut akan dipresentasikan dan akan

dipertanggungjawabkan hasil tulisannya. Proposal tersebut juga memiliki

kemungkinan untuk mengalami perbaikan kembali, jika ada hal-hal yang kurang

tepat.

Selain itu, pendampingan juga bisa dilakukan dengan mengadakan kegiatan berkala

kepada siswa/i anggota ekstrakurikuler maupun seluruh siswa yang berminat pada

Karya Ilmiah Remaja. Rangkaian kegiatan tersebut dipaparkan oleh Asmara dan

Kusumaningrum (2020) diantaranya:

1. Observasi

Sebelum melaksanakan kegiatan, perlu adanya observasi untuk mengetahui kondisi

dan kesiapan acara dalam melakukan pendampingan karya lmiah.

2. Persiapan Materi dan Pematangan Konsep Kegiatan

Pada bagian ini, maka adanya pembagian tugas untuk menyiapkan berbagai

kebutuhan selama kegiatan pendampingan karya ilmiah.

3. Sosialisasi Program

Kegiatan ini bertujuan untuk memberikan gambaran dan mensosialisasikan

pentingnya membuat karya ilmiah sebagai luaran dari pendidikan siswa di jenjang

SMA.

4. Pelaksanaan Program

Pelaksanaan program ini bisa disesuaikan dengan metode yang digunakan dalam

pendampingan. Pendampingan bisa dilakukan secara berkelompok maupun secara

individu.

5. Kontes Proposal

Bagi para siswa yang mengikuti program ini, proposal yang telah dibuat kemudian

diunggah dan diseleksi untuk di presentasikan.

6. Pendampingan dan Pembimbingan

Pendampingan ini dilakukan sampai semua proposal yang telah dibuat oleh siswa

diunggah dan direview.


23

7. Monitoring dan Evaluasi Kegiatan

Pada tahap ini dilakukan evaluasi dari kegiatan yang bertujuan mengetahui hal-hal

yang harus diperbaiki dan hal-hal yang urang selama kegiatan berlangsung.

Dengan adanya pendampingan-pendampingan ini, sekiranya siswa dapat memperoleh

output selama masa pendidikannya yaitu dengan adanya karya ilmiah remaja sebagai

kontribusi siswa terhadap masyarakat. Karya ilmiah yang dibuat oleh siswa/i ini

berdasarkan apa yang telah mereka peroleh selama pembelajaran, dimulai dengan dasar

dari konsep turunan fungsi. Kemudian pemodelan matematis, dari konsep tersebut

siswa dapat membuat sebuah karya ilmiah dari model penyebaran penyakit.

H. Kerangka Berpikir

Pada bagian ini sudah dijelaskan mengenai teori tentang pemodelan

matematika, persamaan diferensial, model transmisi penyakit virus corona (COVID-

19), model pandemik SEIR-NDC, metode Euler dan metode Heun dan karya tulis

remaja. Berdasarkan hal-hal yang sudah dipaparkan oleh peneliti tersebut, maka akan

dibahas secara mendalam mengenai bagaimana membuat persamaan diferensial dari

transmisi virus corona dengan model pandemik SEIR-NDC yang sudah dirumuskan

oleh Lin et al. (2020). Berikutnya, persamaan diferensial yang telah dimodelkan

tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan dua metode numeris yang mendasar

pada penyelesaian persamaan diferensial yaitu metode Euler dan metode Heun. Hasil

dari penyelesaian tersebut akan di paparkan dalam gambar grafik dengan menggunakan

program MATLAB.


24

BAB III

ASPEK MATEMATIS PADA PENYAKIT VIRUS CORONA (COVID-19)

Pada bagian ini, peneliti membahas mengenai model matematika yang

digunakan dalam penyebaran virus Corona. Model matematika yang digunakan dan

akan dicari solusinya adalah model pandemik SEIR-NDC. Dalam mencari solusi dari

penyebaran virus Corona menggunakan model tersebut, peneliti menggunakan metode

Euler dan metode Heun. Adapun hasil-hasil dari penelitian ini telah diseminarkan di

International Conference on Life Sciences and Technology (ICoLiST 2020) oleh

Pratiwi dan Mungkasi (2021).

A. Model SEIR Transmisi Virus Corona

Berdasarkan model pandemik SEIR-NDC pada transmisi Virus Corona dengan

membentuk populasi manusia menjadi empat sub-populasi yaitu Susceptible dimana

subpopulasi ini rentan terhadap suatu penyakit, Exposed yaitu subpopulasi yang tertular

tetapi belum menjadi penderita, Infectious yaitu subpopulasi yang telah menjadi

penderita dan aktif menularkan virus corona, serta Removed yaitu subpopulasi yang

telah sembuh dari penyakit karena adanya pengobatan. Pada model pandemik ini

terdapat variabel tambahan yaitu N merupakan total ukuran populasi, D merupakan

persepsi publik tentang risiko terkait jumlah kasus dan kematian yang parah dan kritis

serta C mewakili jumlah kumulatif baik kasus yang dilaporkan maupun yang tidak

dilaporkan.

Menurut Lin et al. (2020) pada model transmisi virus Corona didasarkan pada

pertimbangan reaksi perilaku individu dan tindakan pemerintah, misalnya hari libur

ekstensi, pembatasan perjalanan, rawat inap dan karantina. Berikut ini peneliti

memaparkan timeline dari pemerintah Wuhan:


25

Gambar 3. 1 Timeline penyebaran virus Corona menurut Lin et al (2020)

16 Desember 2019:

Pertama kali masuk ke

RS di Wuhan

31 Desember 2019:

Sekelompok penderita

Pneumonia yang tidak

diketahui penyebabnya di

laporkan

01 Januari 2020:

Penutupan pasar

makanan laut di

Huanan

12 Januari 2020:

Organisme 2019-

nCoV

diluncurkan 20 Januari 2020:

Transmisi dari manusia ke

manusia terjadi di

Guangdong

23 Januari 2020:

Angkutan umum di

tolak di Wuhan

26 Januari 2020:

Mobil dilarang di pusat

Kota Wuhan

11 Februari 2020:

WHO menamakan

penyakit yang disebabkan

oleh virus corona adalah

COVID-19.

07 Januari 2020:

Virus Corona dinamakan

sebagai 2019-nCov

25 Januari 2020:

Angkutan umum di

tolak di Hubei


26

Berdasarkan timeline pada Gambar 3.1 tersebut, maka Lin et al. (2020)

menjelaskan bahwa jumlah populasi manusia yang tertular Virus Corona terhadap

waktu dipengaruhi oleh beberapa faktor. Laju perubahan dari populasi manusia

tersebut dapat diilustrasikan pada Gambar 3.2 berikut ini:

Gambar 3. 2 Skema populasi manusia untuk transmisi virus Corona

Berdasarkan skema populasi manusia tersebut, maka penulis menyajikan

beberapa definisi dari variabel dan parameter yang digunakan, sebagai berikut:

Tabel 3. 1 Definisi Variabel dan Parameter Model Laju Transmisi Virus Corona Model

Pandemik SEIR-NDC (Lin et al, 2020)

Variabel

Parameter Notasi Rentang Catatan

Jumlah kasus

yang

disebabkan

oleh hewan

𝐹 {0, 10} Fungsi Bertahap

Populasi awal 𝑁0 14 juta Konstan

𝛽0𝑆𝐹

𝑁

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁

Susceptible

Exposed

Removed

Infected D

Case

𝜇𝑆

𝜎𝐸

𝜇𝐸

𝛾𝐼

𝜇𝐼

𝜇𝑅

𝜆𝐷 𝑝𝛾𝐼

𝜎𝐸


27

Variabel

Parameter Notasi Rentang Catatan

Populasi awal

yang rentan 𝑆0 0.9𝑁0

Konstan

Tingkat

Transmisi 𝛽0

{0.5944, 1.68}

(/hari) Fungsi Bertahap

Tindakan

Pemerintah 𝛼 {0,0.4239,0.8478} Fungsi Bertahap

Intensitas

Tanggapan 𝜅 1117.3 Konstan

Tingkat

Emigrasi 𝜇 {0, 0.0205} (/hari)

Fungsi Bertahap

Rata-rata

orang yang

menunjukkan

gejala

𝜎−1 3 (hari) Konstan

Periode

Menular 𝛾−1 5 (hari) Konstan

Proporsi

kasus yang

parah 𝑝 0.2

Konstan

Durasi

redaksi publik 𝜆−1 11.2 (hari)

Konstan

Berdasarkan hal di atas, maka berikut ini merupakan persamaan diferensial

nonlinear laju transmisi virus corona pandemik SEIR-NDC:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −

𝛽0𝑆𝐹

𝑁−

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− 𝜇𝑆,

(3.1)

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝛽0𝑆𝐹

𝑁+

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼,

𝑑𝑅


𝑑𝑁



28

𝑑𝐷


𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝜎𝐸,

Dimana,

𝛽(𝑡) = 𝛽0(1 − 𝛼) (1 −𝐷

𝑁)

𝜅

Berikut ini penjelasan dari model di atas:

1. Laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap waktu (𝑑𝑆

𝑑𝑡) yang

dipengaruhi oleh:

a. Suatu transmisi dari populasi awal yang rentan, yang dapat tertular dan

disebabkan oleh hewan dibagi populasi yaitu 𝛽0𝑆𝐹

𝑁.

b. Suatu transmisi seiring berjalannya waktu dari populasi awal yang rentan yang

dipengaruhi oleh orang yang terinfeksi dibagi dengan populasi yaitu 𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁.

c. Suatu populasi yang rentan juga dipengaruhi oleh rata-rata orang yang

berpindah (emigrasi) yaitu 𝜇. 𝑆.

Kemudian dari a); b); dan c) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −

𝛽0𝑆𝐹

𝑁−

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− 𝜇𝑆. (3.2)

2. Laju perubahan jumlah manusia yang memperlihatkan gejala terinfeksi terhadap

waktu (𝑑𝐸

𝑑𝑡) yang dipengaruhi oleh:

a. Suatu transmisi dari populasi awal yang rentan, yang dapat tertular dan

disebabkan oleh hewan dibagi populasi yaitu 𝛽0𝑆𝐹

𝑁.

b. Suatu transmisi seiring berjalannya waktu dari populasi awal yang rentan yang

dipengaruhi oleh orang yang terinfeksi dibagi dengan populasi yaitu 𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁.


29

c. Kemudian dikurangi dengan sub populasi yang tertular yang dipengaruhi oleh

orang yang menunjukkan gejala dan rata-rata orang yang berpindah (emigrasi)

yaitu (𝜎 + 𝜇)𝐸.

Kemudian dari a); b); dan c) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡=

𝛽0𝑆𝐹

𝑁+

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸. (3.3)

3. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi langsung oleh virus terhadap waktu (𝑑𝐼

𝑑𝑡)

yang dipengaruhi oleh:

a. Populasi manusia yang menunjukkan gejala dikalikan dengan exposed

(kemungkinan orang yang tertular) yaitu 𝜎𝐸.

b. Kemudian dikurangi dengan rata-rata populasi orang yang terinfeksi ditambah

dengan rata-rata orang yang berpindah (emigrasi) dikalikan dengan sub

populasi yang terinfeksi yaitu (𝛾 + 𝜇)𝐼.

Kemudian dari a) dan b) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼. (3.4)

4. Laju perubahan jumlah manusia yang sembuh dari penyebaran penyakit virus

corona terhadap waktu (𝑑𝑅


a. Sub populasi manusia yang terinfeksi langsung oleh virus dengan periode

penularan tertentu yaitu 𝛾𝐼.

b. Sub populasi dikurangi dengan rata-rata orang yang berpindah (emigrasi) dari

sub populasi manusia yang terinfeksi virus dari manusia yaitu 𝜇𝑅.


𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅. (3.5)

5. Laju perubahan total ukuran dari populasi manusia terhadap waktu (𝑑𝑁

𝑑𝑡) yang

dipengaruhi oleh rata-rata orang yang berpindah (emigrasi) dikalikan populasi


30

total. Sehingga berdasarkan faktor tersebut, maka laju perubahan tersebut dapat

dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜇𝑁. (3.6)

6. Laju perubahan jumlah manusia dari persepsi publik tentang risiko terkait jumlah

kasus dan kematian yang parah dan kritis terhadap waktu (𝑑𝐷

𝑑𝑡) yang dipengaruhi

oleh:

a. Konstanta (p) yang dikalikan dengan sub populasi orang yang terinfeksi yaitu

𝑝𝛾𝐼.

b. Kemudian dikurangi dengan orang yang meninggal tetapi belum tentu

terinfeksi yaitu 𝜆𝐷.


𝑑𝐷

𝑑𝑡= 𝑝𝛾𝐼 − 𝜆𝐷. (3.7)

7. Laju perubahan dari jumlah kumulatif untuk kasus yang dilaporkan maupun yang

tidak dilaporkan terhadap waktu (𝑑𝐶

𝑑𝑡) yang dipengaruhi oleh orang yang

menunjukkan gejala dikalikan dengan E dimana E adalah orang yang memiliki

kemungkinan tertular. Sehingga berdasarkan faktor tersebut, dapat dimodelkan

sebagai berikut:

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝜎𝐸. (3.8)

B. Penyelesaian Model pada Virus Corona dengan Metode Euler

Berdasarkan (3.1) persamaan diferensial nonlinear laju transmisi corona virus

model pandemik SEIR-NDC adalah sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −

𝛽0𝑆𝐹

𝑁−

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− 𝜇𝑆,

(3.1)


31

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝛽0𝑆𝐹

𝑁+

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼,

𝑑𝑅


𝑑𝑁


𝑑𝐷


𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝜎𝐸.

Dimana,

𝛽(𝑡) = 𝛽0(1 − 𝛼) (1 −𝐷

𝑁)

𝜅

Namun, penelitian ini terbatas pada 𝛽(𝑡) yang konstan yaitu 0.6 .

Dalam menerapkan metode Euler pada ketujuh persamaan di atas, dapat dilakukan

dengan cara mengkonstruksi model tersebut sesuai dengan persamaan (2.8)−(2.14)

sehingga diperoleh sebagai berikut:

𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖 + ∆𝑡 (−𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖

𝑁−

𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖

𝑁− 𝜇𝑆𝑖), (3.9)

𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 + ∆𝑡 (𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖

𝑁+


𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸𝑖), (3.10)

𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖 − (𝛾 + 𝜇)𝐼𝑖), (3.11)

𝑅𝑖+1 = 𝑅𝑖 + ∆𝑡(𝛾𝐼𝑖 − 𝜇𝑅𝑖), (3.12)


32

𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 + ∆𝑡(−𝜇𝑁𝑖), (3.13)

𝐷𝑖+1 = 𝐷𝑖 + ∆𝑡(𝑝𝛾𝐼𝑖 − 𝜆𝐷𝑖), (3.14)

𝐶𝑖+1 = 𝐶𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖). (3.15)

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dari persamaan (3.9)−(3.15) dengan

menggunakan metode Euler, maka diperlukan adanya data awal. Berikut ini merupakan

data awal yang diberikan pada Tabel 3.2 berikut ini:

Tabel 3. 2 Nilai Awal dan Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona (COVID-19)

Kondisi Awal dan Parameter Nilai Awal Kondisi dan Parameter

𝑆(𝑡0) = 𝑆0 0.9𝑁0 = 12.6

𝐸(𝑡0) = 𝐸0 0.1𝑁0 = 1.4

𝐼(𝑡0) = 𝐼0 0

𝑅(𝑡0) = 𝑅0 0

𝑁(𝑡0) = 𝑁0 14

𝐷(𝑡0) = 𝐷0 0

𝐶(𝑡0) = 𝐶0 0

𝐹 10

𝛽0 0.5

𝛽(𝑡) 0.6

𝜇 0.0205

𝜎 1/3

𝜆 1/11.2

𝛾 1/5

𝑑 0.2

Dengan menggunakan nilai awal pada Tabel 3.2 serta ∆𝑡 = 0.5 dan 𝑖 =

0, 1, 2, 3, … 𝑛 pada persamaan (3.9)−(3.15) maka diperoleh iterasi dari perhitungan

menggunakan metode Euler sebagai berikut:

𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖 + ∆𝑡 (−𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖

14−


14− (𝜇𝑆𝑖)), (3.16)

𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 + ∆𝑡 (𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖

14+


14− (𝜎 + 𝜇)𝐸𝑖), (3.17)


33

𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖 − (𝛾 + 𝜇)𝐼𝑖), (3.18)

𝑅𝑖+1 = 𝑅𝑖 + ∆𝑡(𝛾𝐼𝑖 − 𝜇𝑅𝑖), (3.19)

𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 + ∆𝑡(−𝜇𝑁𝑖), (3.20)

𝐷𝑖+1 = 𝐷𝑖 + ∆𝑡(𝑝(𝛾)𝐼𝑖 − (𝜆)𝐷𝑖), (3.21)

𝐶𝑖+1 = 𝐶𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖). (3.22)

𝑆1 = 𝑆0 + ((0.5) (−(0.5)𝑆0𝐹0

14000000−

(0.6)𝑆0𝐼0

14000000− (𝜇 × 𝑆0)))

𝑆1 = 12.6 + ((0.5) (−(0.5 × 12.6 × 10)

14000000−

(0.6 × 12.6 × 0)

14000000

− (0.0205 × 12.6)))

𝑆1 = 12.470.847

(3.23)

𝐸1 = 𝐸0 + ((0.5) ((0.5)𝑆0𝐹0

14000000+

(0.6)𝑆0𝐼0

14000000− ((𝜎 + 𝜇)𝐸0)))

𝐸1 = 1.4 + ((0.5) ((0.5 × 12.6 × 10)

14000000+

(0.6 × 12.6 × 0)

14000000

− ((0.3 + 0.0205)1.4)))

𝐸1 = 1.152.318

(3.24)

𝐼1 = 𝐼0 + ((0.5)(𝜎𝐸0 − (𝛾 + 𝜇)𝐼0))

𝐼1 = 0 + ((0.5)(0.3 × 1.4) − ((0.2 + 0.0205)0))

𝐼1 = 0.21

(3.25)

𝑅1 = 𝑅0 + ((0.5)(𝛾𝐼0 − 𝜇𝑅0) )

𝑅1 = 0 + ((0.5)((0.2 × 0) − (0.0205 × 0)))

𝑅1 = 0

(3.26)

𝑁1 = 𝑁0 + ((0.5)(−(0𝑁0)))

𝑁1 = 14 + ((0.5)(−(0.0205 × 14)))

𝑁1 = 13.8565

(3.27)


34

𝐷1 = 𝐷0 + ((0.5)(𝑝𝛾𝐼0 − (𝜆𝐷0)))

𝐷1 = 0 + ((0.5)(0.2 × 0.2 × 0 − (0.089285714 × 0)))

𝐷1 = 0

(3.28)

𝐶1 = 𝐶0 + ((0.5)(𝜎𝐸0))

𝐶1 = 0 + ((0.5)(0.3 × 1.4))

𝐶1 = 0.21

(3.29)

Berikutnya, dengan menggunakan MATLAB maka simulasi tersebut dapat terlihat

pada Gambar 3.3.


35

Gambar 3. 3 Grafik dari sistem transmisi penyakit virus Corona (COVID-19) model SEIR-NDC menggunakan metode Euler oleh

Pratiwi dan Mungkasi (2021)


36

Berdasarkan apa yang diamati pada Gambar 3.3 mengenai perilaku penyebaran

virus Corona dengan model pandemi SEIR-NDC menggunakan metode Euler dan

Heun. Pada gambar tersebut kita dapat melihat bahwa, awalnya subpopulasi manusia

yang rentan cukup besar, tetapi ketika 𝑡 mendekati tak terhingga atau dalam hal ini

merupakan waktu maka subpopulasi berpindah ke subpopulasi yang terpapar,

kemudian pindah ke yang terinfeksi. Berdasarkan gambar tersebut dapat diketahui

bahwa pada saat 𝑡 mencapai tak terhingga maka subpopulasi manusia yang rentan,

terpapar, terinfeksi berkurang atau pada grafik ini menuju nol dimana dalam hal ini

dapat dikatakan bahwa penyebaran penyakit virus Corona akan cenderung berhenti.

Berbeda dengan subpopulasi rentan, terpapar, terinfeksi, dan sembuh. Jika kita amati

pada grafik untuk kasus yang dilaporkan dan tidak dilaporkan, ketika 𝑡 menuju tak

terhingga, maka grafik tersebut akan naik ke atas atau dapat kita sebut sebagai fungsi

naik. Hal ini dikarenakan C merupakan kasus kumulatif dimana jumlah kasus akan

ditambah dari kasus pertama yang dilaporkan sampai dengan waktu 𝑡.

Berdasarkan penyajian gambar tersebut, terlihat bahwa subpopulasi rentan, sub

populasi terpapar, sub populasi terinfeksi, sub populasi manusia sembuh, populasi

manusia secara keseluruhan (N), dan persepsi publik tentang penyebaran virus Corona

(D) akan semakin menurun menuju nol. Artinya berdasarkan simulasi ini, seiring

berjalannya waktu penyebaran penyakit virus corona akan punah akibat kematian

manusia dan emigrasi. Namun, jika 𝑡 menuju tak terhingga, baik kasus korona yang

dilaporkan maupun yang tidak dilaporkan (C) akan meningkat mendekati titik

ekuilibrium. Pada simulasi ini, peneliti menggunakan ∆𝑡 = 0.5.

C. Penyelesaian Model pada Virus Corona dengan Metode Heun

Berdasarkan persamaan diferensial nonlinear laju transmisi corona virus model

pandemik SEIR-NDC adalah sebagai berikut:


37

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −

𝛽0𝑆𝐹

𝑁−

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− 𝜇𝑆,

(3.1)

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝛽0𝑆𝐹

𝑁+

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼,

𝑑𝑅


𝑑𝑁


𝑑𝐷


𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝜎𝐸.

Dalam menerapkan metode Heun pada ketujuh persamaan di atas, dapat

dilakukan dengan cara mengkonstruksi model tersebut sesuai dengan persamaan

(2.26)−(2.39) sehingga diperoleh sebagai berikut:

Predictor:

𝑆(0)𝑖+1 = 𝑆𝑖 + ∆𝑡 (−

𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖

𝑁−


𝑁− 𝜇𝑆𝑖),

(3.30)

𝐸(0)𝑖+1 = 𝐸𝑖 + ∆𝑡 (


𝑁+


𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸𝑖),

(3.31)

𝐼(0)𝑖+1 = 𝐼𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖 − (𝛾 + 𝜇)𝐼𝑖), (3.32)

𝑅(0)𝑖+1 = 𝑅𝑖 + ∆𝑡(𝛾𝐼𝑖 − 𝜇𝑅𝑖), (3.33)

𝑁(0)𝑖+1 = 𝑁𝑖 + ∆𝑡(−𝜇𝑁𝑖), (3.34)


38

𝐷(0)𝑖+1 = 𝐷𝑖 + ∆𝑡(𝑝𝛾𝐼𝑖 − 𝜆𝐷𝑖), (3.35)

𝐶(0)𝑖+1 = 𝐶𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖). (3.36)

Corrector:

𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖 +∆𝑡

2[(−


𝑁−


𝑁− 𝜇𝑆𝑖)

+ (−𝛽0𝑆(0)

𝑖+1𝐹𝑖+1

𝑁−

𝛽(𝑡)𝑆(0)𝑖+1𝐼(0)

𝑖+1

𝑁− 𝜇𝑆(0)

𝑖+1)],

(3.37)

𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 +∆𝑡

2[(


𝑁+


𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸𝑖)

+ (𝛽0𝑆(0)

𝑖+1𝐹𝑖+1

𝑁+

𝛽(𝑡)𝑆(0)𝑖+1𝐼(0)

𝑖+1

𝑁

− (𝜎 + 𝜇)𝐸(0)𝑖+1)],

(3.38)

𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖 +∆𝑡

2[(𝜎𝐸𝑖 − (𝛾 + 𝜇)𝐼𝑖) + (𝜎𝐸(0)

𝑖+1 − (𝛾 + 𝜇)𝐼(0)𝑖+1)], (3.39)

𝑅𝑖+1 = 𝑅𝑖 +∆𝑡

2[(𝛾𝐼𝑖 − 𝜇𝑅𝑖) + (𝛾𝐼(0)

𝑖+1 − 𝜇𝑅(0)𝑖+1)], (3.40)

𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 +∆𝑡

2[(−𝜇𝑁𝑖) + (−𝜇𝑁(0)

𝑖+1)], (3.41)

𝐷𝑖+1 = 𝐷𝑖 +∆𝑡

2[(𝑝𝛾𝐼𝑖 − 𝜆𝐷𝑖) + (𝑝𝛾𝐼(0)

𝑖+1 − 𝜆𝐷(0)𝑖+1)], (3.42)

𝐶𝑖+1 = 𝐶𝑖 +∆𝑡

2[(𝜎𝐸𝑖) + (𝜎𝐸(0)

𝑖+1)]. (3.43)

Dengan menggunakan nilai awal yang telah disajikan pada Tabel 3.2 dengan ∆𝑡 =

0.5 dan 𝑖 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛 maka diperoleh iterasi dari perhitungan menggunakan

metode Heun sebagai berikut:


39

Predictor:

𝑆(0)𝑟+1 = 𝑆0 + ((0.5) (−

(0.5)𝑆0𝐹0

14000000−

(0.6)𝑆0𝐼0

14000000− (𝜇 × 𝑆0)))

(3.44)

𝑆1(0) = 12.470.847

𝐸(0)𝑟+1 = 𝐸0 + ((0.5) (

(0.5)𝑆0𝐹0

14000000+

(0.6)𝑆0𝐼0

14000000− ((𝜎 + 𝜇)𝐸0)))

(3.45)

𝐸1(0) = 1.152.318

𝐼(0)𝑟+1 = 𝐼0 + ((0.5)(𝜎𝐸0 − (𝛾 + 𝜇)𝐼0)) (3.46)

𝐼1(0) = 0.21

𝑅(0)𝑟+1 = 𝑅0 + ((0.5)(𝛾𝐼0 − 𝜇𝑅0) ) (3.47)

𝑅1(0) = 0

𝑁(0)𝑟+1 = 𝑁0 + ((0.5)(−(0𝑁0))) (3.48)

𝑁1(0) = 13.8565

𝐷(0)𝑟+1 = 𝐷0 + ((0.5)(𝑝𝛾𝐼0 − (𝜆𝐷0))) (3.49)

𝐷1(0) = 0

𝐶(0)𝑟+1 = 𝐶0 + ((0.5)(𝜎𝐸0)) (3.50)

𝐶1(0) = 0.21

Corrector:

𝑆1 = 12.6 +0,5

2[(−

(0.5)𝑆0𝐹0

14−

(0.6)𝑆0𝐼0

14− (𝜇)𝑆0)

+ (−(0.5)𝑆(0)

1𝐹1

13.8565−

(0.6)𝑆(0)1𝐼(0)

1

13.8565− (𝜇)𝑆(0)

1)]

(3.51)

𝑆1 = 12.440.009


40

𝐸1 = 1.4 +0,5

2[(0.5944)𝑆0𝐹0

14+

𝛽(𝑡)𝑆0𝐼0

14− (3 + 0)𝐸0

+ ((0.5944)𝑆(0)

1𝐹1

13.8565+

𝛽(𝑡)𝑆(0)1𝐼(0)

1

13.8565

− (𝜎 + 𝜇)𝐸(0)1)]

(3.52)

𝐸1 = 1.205.728

𝐼1 = 0 +0,5

2[(𝜎𝐸0 − (𝛾 + 𝜇)𝐼0) + (𝜎𝐸(0)

1 − (𝛾 + 𝜇)𝐼(0)1)] (3.53)

𝐼1 = 199.830

𝑅1 = 0 +0,5

2[(5𝐼0 − 0𝑅0) + (5𝐼(0)

1 − 0𝑅(0)1)]

(3.54)

𝑅1 = 11.666

𝑁1 = 14 +0.5

2[(−𝜇𝑁0) + (−𝜇𝑁(0)

1)] (3.55)

𝑁1 = 13.857.235

𝐷1 = 0 +0,5

2[(𝑝𝛾𝐼0 − 𝜆𝐷0) + (𝑝𝛾𝐼(0)

1 − 𝜆𝐷(0)1)]

(3.56)

𝐷1 = 2.333

𝐶1 = 0 +0,5

2[(𝜎𝐸0) + (𝜎𝐸(0)

1)] (3.57)

𝐶1 = 212.693

Berikutnya, dengan menggunakan MATLAB maka simulasi tersebut dapat terlihat

pada Gambar 3.4.


41

Gambar 3. 4 Grafik dari sistem transmisi penyakit virus Corona (COVID-19) model SEIR-NDC menggunakan metode Heun oleh

Pratiwi dan Mungkasi (2021)


42

Berdasarkan apa yang diamati pada Gambar 3.4 mengenai perilaku penyebaran

virus Corona dengan model pandemi SEIR-NDC menggunakan metode Euler dan

Heun. Pada gambar tersebut kita dapat melihat bahwa, awalnya subpopulasi manusia

yang rentan cukup besar, tetapi ketika 𝑡 mendekati tak terhingga atau dalam hal ini

merupakan waktu maka subpopulasi berpindah ke subpopulasi yang terpapar,

kemudian pindah ke yang terinfeksi. Berdasarkan gambar tersebut dapat diketahui

bahwa pada saat 𝑡 mencapai tak terhingga maka subpopulasi manusia yang rentan,

terpapar, terinfeksi berkurang atau pada grafik ini menuju nol dimana dalam hal ini

dapat dikatakan bahwa penyebaran penyakit virus Corona akan cenderung berhenti.

Berbeda dengan subpopulasi rentan, terpapar, terinfeksi, dan sembuh. Jika kita amati

pada grafik untuk kasus yang dilaporkan dan tidak dilaporkan, ketika 𝑡 menuju tak

terhingga, maka grafik tersebut akan naik ke atas atau dapat kita sebut sebagai fungsi

naik. Hal ini dikarenakan C merupakan kasus kumulatif dimana jumlah kasus akan

ditambah dari kasus pertama yang dilaporkan sampai dengan waktu 𝑡.

Berdasarkan penyajian gambar tersebut, terlihat bahwa subpopulasi rentan, sub

populasi terpapar, sub populasi terinfeksi, sub populasi manusia sembuh, populasi

manusia secara keseluruhan (N), dan persepsi publik tentang penyebaran virus Corona

(D) akan semakin menurun menuju nol. Artinya berdasarkan simulasi ini, seiring

berjalannya waktu penyebaran penyakit virus corona akan punah akibat kematian

manusia dan emigrasi. Namun, jika 𝑡 menuju tak terhingga, baik kasus korona yang

dilaporkan maupun yang tidak dilaporkan (C) akan meningkat mendekati titik

ekuilibrium. Pada simulasi ini, peneliti menggunakan ∆𝑡 = 0.5.

Berdasarkan simulasi yang dilakukan dengan menggunakan metode Euler dan

metode Heun, diperoleh bahwa hasil dari kedua metode tersebut serupa. Meskipun

kedua metode tersebut menghasilkan hasil yang serupa, namun metode Heun secara

teoritis lebih akurat dibandingkan metode Euler. Berdasarkan hasil simulasi tersebut,

dapat dikatakan bahwa kedua metode tersebut dapat memprediksi perilaku dari

penyebaran penyakit virus Corona (COVID-19).


43

BAB IV

ASPEK PENDIDIKAN

Pada bab ini, peneliti memaparkan aspek-aspek pendidikan yang berkaitan

dengan pemodelan matematika terkhususnya konsep dari model SEIR-NDC serta

penerapan dari model persamaan SEIR-NDC. Pada bab ini juga, peneliti menuangkan

pengalaman yang bermakna selama proses penyusunan tesis ini ke dalam refleksi.

A. Aspek Pendidikan di Jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA)

Pendidikan di era industri 4.0 merupakan salah satu hal yang sangat penting.

Berdasarkan hal tersebut mahasiswa yang berkecimpung di dalam dunia pendidikan

diharapkan mampu bersaing dengan teknologi yang ada. Hal ini sudah ditunjukkan

dengan adanya pandemik COVID-19 yang berdampak pada dunia pendidikan, dimana

teknologi menjadi kebutuhan dalam proses pembelajaran. Dengan demikian, revolusi

industri 4.0 menyelaraskan manusia dengan teknologi, hal ini bertujuan agar manusia

mampu memperoleh solusi, memecahkan berbagai masalah dan menemukan

kemungkinan-kemungkinan inovasi yang dapat dikembangkan dan dimanfaatkan oleh

manusia. Pemanfaatan tersebutlah yang digunakan oleh peneliti dalam mencari solusi

numerik dengan metode Euler dan metode Heun pada penyebaran penyakit virus

corona (COVID-19).

Pada bagian ini peneliti membuat sebuah rancangan pembelajaran dalam

membelajarkan siswa mengenai penyebaran penyakit. Adapun rancangan

pembelajaran tersebut dapat di lihat pada lampiran 4. Pada rancangan tersebut, peneliti

menyajikan permasalahan yang berkaitan dengan permasalahan sehari-hari yang

berkaitan dengan turunan fungsi dan model penyebaran suatu penyakit. Hal tersebut

diberikan kepada siswa agar siswa lebih mudah memahami permasalahan yang ada di

kehidupan sehari-hari serta mengetahui manfaat pemodelan matematika dalam

kehidupan sehari-hari. Permasalahan yang diberikan kemudian dibuat model


44

matematika nya berdasarkan langkah-langkah pemodelan matematika. Adapun

langkah-langkah dalam memodelkan matematika antara lain: adanya masalah nyata

yang ingin dicari solusinya, identifikasi masalah, membangun model, analisis model,

dan uji model. Pada uji model jika solusi yang diperoleh sudah realistis maka,

pemodelan selesai. Sedangkan jika solusi yang diperoleh belum realistis, maka proses

memodelkan tersebut harus diulang sampai realistis. Adapun permasalahan nyata yang

diberikan berkaitan dengan materi yang telah dipelajari oleh siswa diantaranya materi

turunan suatu fungsi. Permasalahan tersebut kemudian diselesaikan dengan

menggunakan konsep turunan fungsi yang telah di pelajari di SMA. Setelah siswa

mampu membuat model matematika dari permasalahan yang berkaitan dengan materi

turunan fungsi, kemudian peneliti memperkenalkan siswa SMA dengan model SIR

sebagai model mendasar. Selanjutnya, peneliti memperkenalkan model SEIR-NDC

yang memiliki tujuh persamaan. Setelah siswa mampu membuat model matematika

dari permasalahan penyebaran penyakit virus Corona dengan model SIR maupun

SEIR-NDC, peneliti kemudian membuat mini-research dan mendampingi siswa untuk

menghasilkan suatu karya tulis dari hasil penelitian yang mereka lakukan. Pada mini-

research, siswa dapat menggunakan hasil dari model matematika yang telah mereka

peroleh dari permasalahan virus Corona maupun masalah terkait penyebaran penyakit

lainnya.

Contoh permasalahan pemodelan matematika dalam kehidupan sehari-hari dan

penerapan dari konsep turunan fungsi dalam Pembelajaran Matematika di SMA

ditunjukkan pada Masalah 1.

Masalah 1:

Seorang anak berencana membuat sebuah tabung dengan alas berbentuk lingkaran

dengan bahan yang berbeda. Tabung yang akan dibuat harus mempunyai volume

43.120 𝑐𝑚3. Biaya pembuatan alas adalh Rp 150,00 per 𝑐𝑚2, biaya pembuatan

selimut tabung adalah Rp 40,00 per 𝑐𝑚2. Berapakah biaya minimal yang harus

disediakan anak tersebut?


45

Penyelesaian:

Adapun untuk menyelesaikan permasalahan di atas, siswa terlebih dahulu membuat

model matematikanya dan mensketsa tabung yang akan dibuat.

Misalkan: 𝑟 adalah radius alas dan atap tabung

𝑡 adalah tinggi tabung dan 𝜋 =22

7 maka,

𝑉𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 =22

7𝑟2𝑡 = 43.120

𝑡 =7

22×

43.120

𝑟2

Biaya = (Luas alas × biaya alas) + (Luas selimut × biaya selimut) + (Luas atap ×

biaya atap)

= (22

7× 𝑟2 × 150) + (2 ×

22

7× 𝑟 × 𝑡 × 40) + (

22

7× 𝑟2 × 50)

= (22

7× 𝑟2 × 150) + (2 ×

22

7× 𝑟 ×

7

22×

43.120

𝑟2 × 40) + (22

7× 𝑟2 × 50)

= (22

7× 𝑟2 × 200 +

86.240

𝑟× 40)

= (4.400

7𝑟2 +

3.449.600

𝑟)

Atau dapat ditulis menjadi

𝐵(𝑟) = (4.400

7𝑟2 +

3.449.600

𝑟)

Karena 𝐵′(𝑟) = 0, maka:

𝐵′(𝑟) = (8.800

7𝑟 −

3.449.600

𝑟2) = 0

88

7𝑟 =

34.496

𝑟2

88𝑟3 = 241.472

𝑟3 =241.472

88

𝑟3 = 2.744

𝑟 = 14


46

Karena, 𝐵′′(𝑟) =8.800

7+

2(3.449.600)

𝑟3 dan 𝐵′′(14) > 0 maka titik optimum

(minimum).

Biaya minimum = (22

7× 𝑟2 × 200) + (

86.240

𝑟× 40)

= (22

7× 142 × 200) + (

86.240

14× 40)

= (616 × 200) + (6.160 × 40)

= (123.200) + (246.400)

= 369.600

Jadi, biaya minimum yang harus disediakan adalah Rp 369.600,00.

B. Pengenalan Model SIR dan SEIR-NDC bagi siswa jenjang SMA Sebagai

Bahan Pendampingan Bagi Karya Ilmiah Remaja.

Pada kurikulum 2013 siswa banyak diminta untuk belajar dengan cara

menemukan artinya siswa lebih banyak mengeksplorasi pengetahuan mereka. Oleh

sebab itu, dalam proses pembelajaran matematika peneliti ingin siswa dapat

menghubungkan konsep matematika yang dimilikinya dengan kehidupan nyata.

Sehingga salah satu rancangan yang dibuat yaitu bagaimana cara menjelaskan kepada

siswa untuk mampu memodelkan permasalahan mengenai penyebaran penyakit virus

Corona (COVID-19) dengan model sederhana SIR dan SEIR-NDC.

Pemberian Masalah Model Sederhana SIR dengan menyajikan Masalah 2:

Buatlah model matematika dari penyebaran Virus Corona. Berdasarkan penyebaran

tersebut, terdapat beberapa faktor yang mempengaruhi penyebarannya, diantaranya

adalah: riwayat berpergian, kebersihan diri, daya tahan tubuh, interaksi antar manusia,

makanan mentah, physical distancing, adanya kematian, populasi yang akan sembuh

setelah mendapatkan pengobatan, serta populasi yang tidak akan sembuh setelah

mendapatkan pengobatan.


47

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan permasalahan matematika, terdapat beberapa langkah yang harus

dilakukan oleh siswa untuk memodelkan masalah penyebaran penyakit virus Corona

(COVID-19) untuk dinyatakan kedalam bentuk matematika. Adapun langkah-langkah

tersebut antara lain pendefinisian masalah (hal apa yang diketahui dan apa yang

ditanyakan), mengidentifikasi faktor-faktor yang mempengaruhi masalah nyata

tersebut, memilih faktor-faktor yang signifikan, mengkaitkan faktor-faktor yang

signifikan berdasarkan hukum yang berlaku sehingga diperoleh model matematikanya,

menyelesaikan model matematikanya, menganalisis solusi model tersebut apakah

sudah realistis.

Berikut langkah-langkah pemodelannya:

1. Masalah

Adanya masalah nyata mengenai penyebaran penyakit virus corona (COVID-19)

sebagai salah satu masalah yang ingin dicari solusinya.

2. Identifikasi Masalah

Pada tahap ini dilakukan penentuan asumsi-asumsi yang jelas serta keterkaitannya.

Dalam melakukan identifikasi pada model matematika SIR, maka terdapat

beberapa masalah dari model ini yaitu: adanya subpopulasi yang rentan terhadap

penyebaran virus corona (Susceptible), adanya subpopulasi yang terinfeksi atau

tertular (Infected), adanya subpopulasi yang sembuh dari penyakit ini (Removed),

subpopulasi kelahiran dan kematian.

3. Membangun Model

Setelah membentuk asumsi yang relevan, berikutnya merupakan tahap membangun

model dimana tahap ini para siswa menerjemahkan masalah dari kehidupan sehari-

hari yang kemudian dibawa ke dalam persamaan matematika yang kemudian

menghasilkan suatu model matematik.

4. Analisis Model

Tahap ini merupakan tahap yang penting dimana model yang telah dibuat bisa saja

tidak sesuai dengan masalah yang ada. Sehingga perlu adanya analisis model.


48

5. Uji Model

Model yang telah dianalisis kemudian diuji dengan berbagai software matematika

untuk diketahui apakah model sudah sesuai dan memadai.

Setelah itu, dengan menerapkan langkah-langkah pemodelan di atas, siswa dapat

menyelesaikan permasalahan tersebut dengan langkah-langkah pengerjaan sebagai

berikut:

1. Penyakit yang dianalisis adalah penyebaran penyakit virus corona (COVID-19).

2. Faktor-faktor yang mempengaruhi antara lain:

a. Adanya masa inkubasi selama 5-14 hari.

b. Adanya riwayat perjalanan ke luar negeri.

c. Air liur.

d. Lingkungan yang tidak bersih.

e. Melakukan interaksi dengan pasien penderita COVID-19.

f. Kekebalan daya tahan tubuh.

g. Adanya subpopulasi yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan dan

melakukan isolasi mandiri.

h. Adanya subpopulasi yang meninggal setelah mendapatkan pengobatan.

i. Adanya subpopulasi yang meninggal karena penyakit lain.

Dari beberapa faktor tersebut, dipilih beberapa faktor yang signifikan dengan

permasalahan, diantaranya:

a. Adanya subpopulasi yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan dan


b. Adanya subpopulasi yang meninggal karena penyakit virus corona.

c. Melakukan interaksi dengan pasien penderita COVID-19.

d. Adanya subpopulasi yang meninggal karena penyakit lain.

3. Membangun model (parameter gunakan yang di pendahuluan)

Pada bagian ini, guru mengarahkan siswa untuk membentuk model matematika

berdasarkan parameter yang ada. Berikut ini parameter yang akan digunakan dalam

membuat model matematikanya:


49

Tabel 4. 1 Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona (COVID-19) Model SIR

Variabel Parameter Keterangan

𝛽 Laju infeksi

𝜇 Laju kematian karena penyakit lain

𝛿 Laju kematian karena penyebaran

penyakit virus corona

𝛾 Laju kesembuhan

Kemudian, setelah menentukan parameternya pembentukan model tersebut bisa

dimulai dengan menggambarkan skema dari penyebaran penyakit menggunakan

model SIR, sebagai berikut:

Gambar 4. 1 Skema populasi manusia untuk transmisi penyakit virus Corona (COVID-19)

model SIR

Dari pembuatan skema tersebut kita mengetahui bahwa untuk menyelesaikan

model matematika dari penyebaran penyakit virus corona dengan menggunakan

model SIR adalah sebagai berikut:

𝛽𝑆𝐼

Susceptible (Rentan)

Removed (Sembuh)

Infected (Terinfeksi)

𝛾𝐼

𝜇𝑆

𝜇𝐼

𝜇𝑅

𝛿𝐼


50

a. Laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap waktu (𝑑𝑆

𝑑𝑡)

dipengaruhi oleh:

1) Suatu transmisi dari subpopulasi awal yang rentan dimana ia melakukan

interaksi dengan orang yang terinfeksi, yaitu: 𝛽𝑆𝐼.

2) Adanya subpopulasi yang meninggal dikarenakan penyakit lain, yaitu: 𝜇𝑆.

Sehingga, dari 1) dan 2) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝑆.

b. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi langsung oleh virus terhadap waktu

(𝑑𝐼


1) Adanya transmisi dari subpopulasi yang terinfeksi setelah berinteraksi

dengan individu yang rentan, yaitu: 𝛽𝑆𝐼.

2) Adanya subpopulasi yang meninggal dikarenakan penyakit lain, yaitu: 𝜇𝐼.

3) Subpopulasi yang meninggal karena penyebaran penyakit virus corona,

yaitu: 𝛿𝐼.

4) Adanya subpopulasi yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan, yaitu:

𝛾𝐼.

Kemudian dari 1), 2), 3) dan 4) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐼 − 𝛿𝐼 − 𝛾𝐼.

c. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi karena virus dari manusia terhadap

waktu (𝑑𝑅


1) Subpopulasi manusia yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan, yaitu:

𝛾𝐼.

2) Subpopulasi yang meninggal karena penyakit lain, yaitu: 𝜇𝑅.

Kemudian dari 1) dan 2) dapat dimodelkan sebagai berikut:


51

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅.

Sehingga berdasarkan langkah-langkah di atas, diperoleh model SIR untuk

penyebaran penyakit virus corona adalah sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝑆,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐼 − 𝛿𝐼 − 𝛾𝐼,

𝑑𝑅


4. Analisis Model

Berdasarkan model yang telah dibuat, telah diketahui bahwa terdapat tiga

subpopulasi dari penyebaran penyakit virus corona (COVID-19) dengan

menggunakan model SIR yaitu:

a. S (Susceptible): Subpopulasi yang rentan terhadap penyakit.

Subpopulasi ini merupakan subpopulasi yang belum terkena penyebrana

penyakit virus corona.

b. I (Infected): Subpopulasi yang telah terinfeksi penyakit.

Subpopulasi ini merupakan subpopulasi yang positif terinfeksi penyakit,

dimana subpopulasi ini berasal dari subpopulasi yang Susceptible dan

melakukan interaksi dengan subpopulasi yang telah terinfeksi.

c. R (Removed): Subpopulasi yang sembuh dari penyakit.

Subpopulasi ini merupakan subpopulasi yang telah sembuh setelah mengidap

dan setelah mendapatkan pengobatan dari pihak medis.

5. Uji Model

Penyebaran penyakit virus corona (COVID-19) memiliki masa inkubasi yang

cukup lama, sehingga pada masa inkubasi tersebut subpopulasi rentan akan saling

mempengaruhi terhadap subpopulasi yang terinfeksi berdasarkan faktor-faktor

yang telah di paparkan.


52

Setelah guru menyajikan permasalahan model matematika SIR, kemudian guru

menyajikan permasalahan model matematika SEIR-NDC untuk dikerjakan oleh siswa.

Pemberian Masalah Model SEIR-NDC dengan menyajikan Masalah 3:

Buatlah model matematika dari penyebaran Virus Corona. Berdasarkan penyebaran

tersebut, terdapat beberapa faktor yang mempengaruhi penyebarannya, diantaranya

adalah: riwayat berpergian, kebersihan diri, daya tahan tubuh, interaksi antar manusia,

makanan mentah, physical distancing, adanya kematian, populasi yang akan sembuh

setelah mendapatkan pengobatan, serta populasi yang tidak akan sembuh setelah

mendapatkan pengobatan.

Penyelesaian Siswa:

Untuk menyelesaikan permasalahan matematika, terdapat beberapa langkah yang harus

dilakukan oleh siswa untuk memodelkan masalah penyebaran penyakit virus Corona

(COVID-19) untuk dinyatakan kedalam bentuk matematika. Adapun langkah-langkah

tersebut adalah pendefinisian masalah (hal apa yang diketahui dan apa yang

ditanyakan), mengidentifikasi faktor-faktor yang mempengaruhi masalah nyata

tersebut, memilih faktor-faktor yang signifikan, mengkaitkan faktor-faktor yang

signifikan berdasarkan hukum yang berlaku sehingga diperoleh model matematikanya,

menyelesaikan model matematikanya, menganalisis solusi model tersebut apakah

sudah realistis.

Berikut langkah-langkah pemodelannya:

1. Masalah

Adanya masalah nyata mengenai penyebaran penyakit virus corona (COVID-19)

sebagai salah satu masalah yang ingin dicari solusinya.

2. Identifikasi Masalah

Pada tahap ini dilakukan penentuan asumsi-asumsi yang jelas serta keterkaitannya.

Dalam melakukan identifikasi pada model matematika SEIR-NDC, maka terdapat

beberapa masalah dari model ini yaitu: adanya subpopulasi yang rentan terhadap

penyebaran virus corona (Susceptible), adanya subpopulasi yang tertular tetapi


53

belum terinfeksi (Exposed), adanya subpopulasi yang terinfeksi atau tertular

(Infected), adanya subpopulasi yang sembuh dari penyakit ini (Removed), total

populasi yang ada (N), persepsi publik terkait resiko jumlah kasus dan kematian

yang parah dan kritis (D), serta jumlah kumulatif kasus yang dilaporkan maupun

yang tidak dilaporkan, serta dengan adanya asumsi subpopulasi kelahiran dan

kematian.

3. Membangun Model

Setelah membentuk asumsi yang relevan, berikutnya merupakan tahap membangun

model dimana tahap ini para siswa menerjemahkan masalah dari kehidupan sehari-

hari yang kemudian dibawa ke dalam persamaan matematika yang kemudian

menghasilkan suatu model matematik.

4. Analisis Model

Tahap ini merupakan tahap yang penting dimana model yang telah dibuat bisa saja

tidak sesuai dengan masalah yang ada. Sehingga perlu adanya analisis model.

5. Uji Model

Model yang telah dianalisis kemudian diuji dengan berbagai software matematika

untuk diketahui apakah model sudah sesuai dan memadai.

Setelah itu, langkah-langkah yang dikerjakan oleh siswa antara lain:

1. Penyakit yang dianalisis adalah penyebaran penyakit virus corona (COVID-19).

2. Faktor-faktor yang mempengaruhi antara lain:

a. Adanya masa inkubasi selama 5-14 hari.

b. Adanya riwayat perjalanan keluar negeri.

c. Air liur.

d. Lingkungan yang tidak bersih.

e. Makanan mentah.

f. Melakukan kontak dengan pasien penderita COVID-19.

g. Kekebalan daya tahan tubuh.

h. Adanya subpopulasi yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan dan



54

i. Adanya subpopulasi yang meninggal setelah mendapatkan pengobatan.

Dari beberapa faktor tersebut, dipilih beberapa faktor yang signifikan dengan

permasalahan, diantaranya:

a. Adanya subpopulasi yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan dan


b. Adanya subpopulasi yang meninggal karena penyakit virus corona.

c. Melakukan interaksi dengan pasien penderita COVID-19.

d. Adanya subpopulasi yang meninggal karena penyakit lain.

e. Adanya masa inkubasi selama 5-14 hari.

f. Adanya subpopulasi OTG (Orang Tanpa Gejala) yang dapat terinfeksi karena

memiliki gejala atau tidak terinfeksi karena gejala yang ditimbulkan.

3. Membangun model (parameter gunakan yang di pendahuluan)

Pada bagian ini, guru mengarahkan siswa untuk membentuk model matematika

berdasarkan parameter yang ada. Berikut ini parameter yang akan digunakan dalam

membuat model matematikanya:

Tabel 4. 2 Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona (COVID-19) Model SEIR-NDC

Variabel Parameter Keterangan

𝛽 Laju infeksi

𝜇 Laju kematian karena penyakit

lain

𝛿

Laju kematian karena

penyebaran penyakit virus

corona

𝛾 Laju kesembuhan

𝜎 Laju penularan

Pembentukan model tersebut bisa dimulai dengan menggambarkan skema dari

penyebaran penyakit menggunakan model SEIR-NDC, sebagai berikut:


55

Gambar 4. 2 Skema populasi manusia untuk transmisi penyakit virus Corona (COVID-19)

model SEIR-NDC

Dari pembuatan skema tersebut kita mengetahui bahwa untuk

menyelesaikan model matematika dari penyebaran penyakit virus corona dengan

menggunakan model SEIR-NDC adalah sebagai berikut:

a. Laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap waktu (𝑑𝑆

𝑑𝑡)

dipengaruhi oleh:

1) Suatu transmisi dari subpopulasi awal yang rentan dimana ia melakukan

interaksi dengan orang yang terinfeksi, yaitu: 𝛽𝑆𝐼.

2) Adanya subpopulasi yang meninggal dikarenakan penyakit lain, yaitu: 𝜇𝑆.

Sehingga, dari 1) dan 2) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝑆.

b. Laju perubahan jumlah manusia yang memperlihatkan gejala terinfeksi

terhadap waktu (𝑑𝐸


𝛽𝑆𝐼

Susceptible

Exposed

Remove

d

Infected D

Case

𝜇𝑆

𝜎𝐸

𝜇𝐸

𝛾𝐼

𝜇𝐼

𝜇𝑅

𝜇𝐷

𝛿𝐼

𝜎𝐸


56

1) Adanya transmisi dari subpopulasi yang terinfeksi setelah berinteraksi

dengan individu yang rentan, yaitu: 𝛽𝑆𝐼.

2) Adanya subpopulasi yang meninggal dikarenakan penyakit lain, yaitu: 𝜇𝐸.

3) Adanya penularan dari subpopulasi OTG selama masa inkubasi, yaitu:

𝜎𝐸.

Kemudian dari 1), 2) dan 3) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐸 − 𝜎𝐸.

c. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi langsung oleh virus terhadap waktu

(𝑑𝐼


1) Adanya subpopulasi OTG yang terinfeksi selama masa inkubasi, yaitu:

𝜎𝐸.

2) Subpopulasi yang meninggal karena penyebaran penyakit virus corona

yaitu: 𝛿𝐼.

3) Adanya subpopulasi yang meninggal dikarenakan penyakit lain, yaitu: 𝜇𝐼.

4) Adanya subpopulasi yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan yaitu:

𝛾𝐼.

Kemudian dari 1), 2), 3) dan 4) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − 𝛿𝐼 − 𝜇𝐼 − 𝛾𝐼.

d. Laju perubahan jumlah manusia yang sembuh dari penyebaran penyakit virus

corona terhadap waktu (𝑑𝑅


1) Adanya subpopulasi yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan, yaitu:

𝛾𝐼.

2) Adanya subpopulasi yang meninggal dikarenakan penyakit lain, yaitu: 𝜇𝑅.

Kemudian dari 1) dan 2) dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝑅



57

e. Laju perubahan total ukuran dari populasi manusia terhadap waktu (𝑑𝑁

𝑑𝑡) yang

dipengaruhi oleh rata-rata orang yang berpindah (emigrasi) dikalikan populasi

total. Sehingga berdasarkan faktor yang ada, maka laju perubahan tersebut

dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜇𝑁.

f. Laju perubahan jumlah manusia dari persepsi publik tentang risiko terkait

jumlah kasus kematian terhadap waktu (𝑑𝐷

𝑑𝑡) yang dipengaruhi oleh orang yang

meninggal karena penyakit lain, yaitu 𝜇𝐷. Kemudian laju perubahan tersebut

dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝐷

𝑑𝑡= −𝜇𝐷 + 𝛿𝐼

.

g. Laju perubahan dari jumlah kumulatif untuk kasus yang dilaporkan maupun

yang tidak dilaporkan terhadap waktu (𝑑𝐶

𝑑𝑡) yang dipengaruhi oleh subpopulasi

OTG dimana mereka menunjukkan gejala dan memiliki kemungkinan

terinfeksi selama masa inkubasi. Sehingga berdasarkan faktor tersebut, laju

perubahannya dapat dimodelkan sebagai berikut:

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝜎𝐸.

Sehingga berdasarkan langkah-langkah di atas, diperoleh model SIR untuk

penyebaran penyakit virus corona adalah sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝑆,

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐸 − 𝜎𝐸,

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − 𝛿𝐼 − 𝜇𝐼 − 𝛾𝐼,


58

𝑑𝑅


𝑑𝑁


𝑑𝐷

𝑑𝑡= −𝜇𝐷 + 𝛿𝐼,

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝜎𝐸.

4. Analisis Model

Berdasarkan model yang telah dibuat, telah diketahui bahwa terdapat tujuh

subpopulasi dari penyebaran penyakit virus corona (COVID-19) dengan

menggunakan model SEIR-NDC yaitu:

a. S (Susceptible): Subpopulasi yang rentan terhadap penyakit.

Subpopulasi ini merupakan subpopulasi yang belum terkena penyebrana

penyakit virus corona.

b. E(Exposed): Subpopulasi yang terpapar penyakit

Subpopulasi ini merupakan subpopulasi yang menunjukkan gejala terinfeksi

tetapi belum tentu akibat penyebaran virus corona.

c. I (Infected): Subpopulasi yang telah terinfeksi penyakit.

Subpopulasi ini merupakan subpopulasi yang positif terinfeksi penyakit,

dimana subpopulasi ini berasal dari subpopulasi yang Susceptible dan

melakukan interaksi dengan subpopulasi yang telah terinfeksi.

d. R (Removed): Subpopulasi yang sembuh dari penyakit.

Subpopulasi ini merupakan subpopulasi yang telah sembuh setelah mengidap

dan setelah mendapatkan pengobatan dari pihak medis.

e. N: merupakan total ukuran populasi.

f. D: merupakan persepsi publik tentang risiko terkait jumlah kasus dan kematian

yang parah dan kritis.


59

g. C: merupakan jumlah kumulatif baik kasus yang dilaporkan maupun yang tidak

dilaporkan.

5. Uji Model

Penyebaran penyakit virus corona (COVID-19) memiliki masa inkubasi yang

cukup lama, sehingga pada masa inkubasi tersebut subpopulasi rentan, subpopulasi

yang terjangkit akan saling mempengaruhi terhadap subpopulasi yang terinfeksi

berdasarkan faktor-faktor yang telah di paparkan.

C. Refleksi

Pada penulisan tesis ini saya memiliki struggle yang cukup mendalam.

Semuanya dimulai pada semester I hingga pertengahan semester II saya mulanya

merupakan mahasiswi bimbingan dosen lain yaitu Bapak Hongki Julie. Pada semester

I saya bertemu Pak Sudi sebagai dosen pengampu mata kuliah Pemodelan Matematika.

Saat itu saya selalu takut untuk bertemu atau saat perkuliahan dimulai hal itu

dikarenakan Pak Sudi pernah meminta saya maju kedepan untuk mengerjakan

pembuktian dari suatu rumus namun saya tidak bisa. Saat itu saya merasa malu dan

takut setiap perkuliahan Pak Sudi. Hingga akhirnya pada Semester II saya bertemu

kembali dengan Pak Sudi sebagai dosen pengampu mata kuliah Komputasi

Matematika. Seiring berjalannya waktu saya mulai tertarik dengan Komputasi

Matematika terlebih setelah Pak Sudi memberikan tugas membuat makalah mengenai

metode komputasi matematis yang berguna di bidang kesehatan, ekonomi dan lain

sebagainya. Kemudian peneliti berfikir dan meminta saran kepada kakak tingkat yang

peneliti kenal seperti Kak Ivan, Mas Anung, Kak Osni dan Song untuk memberikan

masukan ketika peneliti ingin berpindah dosen pembimbing. Walaupun peneliti lebih

banyak memiliki ketakutan untuk menyampaikan keinginan tersebut namun akhirnya

peneliti berpindah menjadi mahasiswi bimbingan Pak Sudi.

Menulis sebuah tugas akhir pada masa-masa pandemik bukanlah hal yang

mudah bagi saya. Keberadaan saya yang jauh yaitu di Balikpapan membuat saya harus


60

melakukan bimbingan dan berkonsultasi secara daring (via email). Terkadang saya

merasa kebingungan dan tidak tahu harus bertanya kepada siapa. Pak Sudi secara

sukarela selalu rajin bertanya kepada saya saat di kantor FST “sesil bagaimana

tesisnya?” atau “sesil tesisnya sudah dikerjakan?” pertanyaan-pertanyaan yang

membuat saya jadi tertekan tapi juga jadi semangat karena berfikir “dosennya aja rajin

nanya ke saya, kok sayanya ga rajin mengerjakan”. Akhirnya saya mengerjakan dengan

semampu saya, melihat berbagai macam referensi, melihat video di youtube yang

menggunakan bahasa inggris sampai saya tertidur, bertanya kepada kakak tingkat. Saya

merasa ada tantangannya ketika saya harus bimbingan di setiap hari Kamis bersama

kedua rekan saya yaitu Song dan Ka Ian. Hal tersebut artinya saya tidak boleh kopong,

setiap hari Rabu saya selalu telfon dengan Mas Anung, saya meminta tolong untuk

diajari MATLAB diajari bagaimana konsep dari metode Euler dan Heun itu. Saya harus

tahu stepnya! Itu yang disampaikan Pak Sudi. Terkadang setiap Rabu, saya dan Song

bekerja bersama karena kami punya target yang sama. Kami harus segera selesai agar

tidak banyak membebani Pak Sudi karena kami sadar bahwa Pak Sudi tidak hanya

membimbing kami. Kalau kami lamban lulusnya, maka anak-anak bimbingannya Pak

Sudi semakin bertambah setiap semesternya dan akan semakin membebani beliau.

Oleh sebab itu, kami gencar dan semangat waktu kami harus ikut Seminar

Internasional. Bahkan Pak Sudi banyak sekali membantu kami dan membimbing kami.

Berdasarkan pengalaman tadi saya tahu, bahwa ilmu itu diperoleh tidak hanya dari

membaca, menonton video, tetapi semua hal itu ilmu termasuk ketelitian, kerapihan,

dan ketekunan kita. Semuanya pasti ada hasil yang baik ketika kita bersungguh-

sungguh.

Dalam menyusun tulisan ini ada banyak sekali rintangannya, termasuk

ketakutan saya. Saya takut saya tidak bisa, saya takut kalau bertanya kepada Pak Sudi

saya dikira bodoh dan Pak Sudi marah, saya takut kalau saya tidak lulus, saya takut

kalau diantara anak-anak bimbingannya Pak Sudi saya yang paling tertinggal, saya

terlalu memikirkan ketakutan saya. Sampai pada suatu hari sepertinya Pak Sudi

membaca pikiran saya dan mengatakan hal tersebut didepan kami bertiga, nyatanya


61

beliau tidak marah. Beliau benar-benar membimbing kami, beliau mengajarkan pelan-

pelan kepada kami dimulai dari dasarnya dulu. Saya selalu meminta maaf kepada Pak

Sudi “maaf ya Pak kalau saya lamban” atau “maaf ya Pak kalau saya harus pelan-pelan

dulu mengerjakannya” dan Pak Sudi memaklumi itu. Saya mengingat satu kejadian,

pada hari Kamis 17 September 2020. Setelah saya melakukan praktek mengajar, Pak

Sudi meminta saya keruangannya dan saya diajarkan metode Heun. Sepulang dari

kampus saya menangis dan berpikir kenapa saya sebodoh ini sampai Pak Sudi

menjelaskan ulang dari situ saya mulai pelan-pelan mengkikis rasa takut dan mulai

berani bertanya.

Penulisan ini juga jauh dari kata sempurna jika tidak didukung oleh teman-

teman saya. Terlebih Song, sebagai teman yang satu bimbingan dengan saya, Song

selalu baik dan mau mengajari saya, memberikan semangat ketika saya bilang kalau

sudah tidak betah di Jogja. Rasa-rasanya saya hanya ingin pulang ke Balikpapan saja.

Tapi ia selalu bilang “nanggung, diselesaikan dulu”. Rasa-rasanya saya tidak semangat

lagi saat semester III ini, setelah memasuki masa dimana saya benar-benar kehilangan

sosok Ibu, beliau selalu mensupport saya, meyakinkan saya supaya bisa lulus, selalu

mengatakan bahwa “kamu bisa nok, udah gausah takut”. Tuhan memang baik,

mungkin Ibu sedang menyemangati saya tapi lewat orang lain, bisa lewat teman-teman

saya maupun lewat dosen pembimbing saya. Oleh sebab itu, tulisan ini saya

persembahkan untuk Ibu, yang sudah menyekolahkan saya, yang sudah berperan

menjadi Bapak dari saya sekolah S1 sampai sekarang, yang sudah mengajarkan saya

untuk sabar dan terus berusaha.


62

DAFTAR PUSTAKA

Asmara, R., & Kusumaningrum, W. R. (2020). Pendampingan Penulisan Karya Ilmiah Remaja

Berstandar LKIR LIPI Bagi Guru dan Siswa SMA Islam Terpadu Ihsanul Fikri

Kabupaten Magelang. Jurnal Widya Laksana, 9(1), 98–110.

Atmika, I. K. A. (2016). Metode Numerik. 102. http://directory.umm.ac.id

Aulia, R., Sazlin, R. A., Ismayani, L., Sukiman, M., Perwira Negara, H. R., & Ayu Kurniawati,

K. R. (2020). Implementasi Interpolasi Newton Gregory pada Model Matematika

Penyebaran Virus Corona di Indonesia. Jurnal Pemikiran Dan Penelitian Pendidikan

Matematika (JP3M), 3(1), 01–16. https://doi.org/10.36765/jp3m.v3i1.214

Brauer, F., & Chavez, C. C. (2000). Mathematical Models in Population Biology and

Epidemiology. Springer.

Chapra, S. C. (2012). Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and

Scientists. In The McGraw-Hill (Third Edit).

Chapra, Steven. C dan Raymond P. Canale. (1991). Metode Numerik Untuk Teknik: Dengan

penerapan pada Komputer Pribadi. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesia.

Fathoni, M. I. A., Nahdlatul, U., Sunan, U., & No, J. A. Y. (2019). Strategi Pencegahan Endemi

HIV/AIDS dengan MMenggunakan Pemodelan Matematika. MAJAMATH: Jurnal

Matematika Dan Pendidikan Matematika, 2(1), 32–41.

Hurit, R. H. (2020). Penyelesaian Model SEIR untuk Penyebaran Penyakit Meningitis

Menggunakan Metode Euler, Metode Heun, dan Metode Runge-Kutta Orde Empat:

Tinjauan Matematika dan Aspek Pendidikannya (Tesis).

https://repository.usd.ac.id/8332/1/121414071_full.pdf

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI:

Edisi Revisi 2017. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Kharis, M. (2012). Model SEIR untuk Epidemi Flu Babi Pada Populasi Babi dengan Laju

Kontak Jenuh. Jurnal MIPA, 35(1), 84–90.

Kholisoh, S., & Kharis, S. B. W. dan M. (2012). Model Epidemi SEIR Pada Penyebaran

Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi. Unnes Journal of Mathematics, 1(2), 110–

117.


63

Kosasih, P. B. (2006). Komputasi Numerik: Teori dan Aplikasi. C.V. Andi OFFSET.

Lin, Q., Zhao, S., Gao, D., Lou, Y., Yang, S., Musa, S. S., Wang, M. H., Cai, Y., Wang, W.,

Yang, L., & He, D. (2020). A conceptual model for the coronavirus disease 2019 (

COVID-19 ) outbreak in Wuhan , China with individual reaction and governmental

action. International Journal of Infectious Diseases, 93, 211–216.

https://doi.org/10.1016/j.ijid.2020.02.058

Madayani, N. S. (2020). Pendampingan Penyusunan Laporan KKarya Tulis Bagi Siswa Peserta

EKstrakurikuler Karya Ilmiah Remaja di MAN 1 Tulungagung. J-ADIMAS (Jurnal

Pengabdian Kepada Masyarakat), 8(1), 48–56.

Nada, E., Alkhajar, S., & Luthfia, A. R. (2020). Diseminasi dan Publikasi Karya Tulis Berbasis

Media Baru. 03(2), 62–67.

Noorjannah, L. (2014). Pengembangan Profesionalisme Guru Melalui Penulisan Karya Tulis

Ilmiah Bagi Guru Profesional Di SMA Negeri 1 Kauman Kabupaten Tulungagung.

Jurnal Humanity, 10(1), 97–114.

Nurofi’atin, U., & Abadi, A. M. (2018). Model Analysis of Motorcycle Suspension System

Using the Fourth Order of Runge-Kutta Method. Jurnal Eksakta, 18(2), 106–120.

https://doi.org/10.20885/eksakta.vol18.iss2.art3

Oktaviani, R., Prihandono, B., & Helmi. (2014). Penyelesaian Numerik Sistem Persamaan

Diferensial Non Linear Dengan Metode Heun Pada Model Lotka-Volterra. Mathematical

Modelling, 03(1), 29–38.

Pratama, R. A., & Casmudi, C. (2019). Pelatihan dan Pendampingan Penulisan Karya Ilmiah

Remaja bagi Siswa/i SMA/Sederajat di Kecamatan Muara Jawa, Kabupaten Kutai

Kartanegara. Abdimas Universal, 1(1), 1–5.

https://doi.org/10.36277/abdimasuniversal.v1i1.13

Pratiwi, Caecilia Dian dan Sudi Mungkasi. (2021). Euler's and Heun's Numerical Solutions to

a Mathematical Model of the Spread of COVID-19. The 3rd International Conference on

Life Sciences and Technology (ICoLiST 2020). Accepted AIP Conference Proceedings.

Satuan Tugas Penanganan COVID-19. (2020). Data Sebaran COVID-19 di Indonesia.

https://covid19.go.id/

Satuan Tugas Penanganan COVID-19. (2021). Data Sebaran. https://covid19.go.id/

Sihotang, W. D., Simbolon, C. C., Hartiny, J., Tindaon, D., & Sinaga, L. P. (2020). Analisis


64

Kestabilan Model SEIR Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Imunisasi dan

Vaksin MR. Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi, 16(1), 107–113.

https://doi.org/10.20956/jmsk.v

Tang, B., Bragazzi, N. L., Li, Q., Tang, S., Xiao, Y., & Wu, J. (2020). An updated estimation

of the risk of transmission of the novel coronavirus (2019-nCov). Infectious Disease

Modelling, 5, 248–255. https://doi.org/10.1016/j.idm.2020.02.001

Tang, Z., Li, X., & Li, H. (2020). Prediction of New Coronavirus Infection Based on a Modified

SEIR Model. MedRxiv, 1–9. https://doi.org/10.1101/2020.03.03.20030858

Widodo, S. A. (2014). Metode Numerik. Graha Ilmu.

Worldometers. (2020). COVID-19 CORONAVIRUS PANDEMIC.

https://www.worldometers.info/coronavirus/?fbclid=IwAR1rP20FWbf2y7ZzWDkf4LU

CrE45xYRTX1yeJvwRGNzKVNx5chspvmLyGaw

Worldometers. (2021). COVID-19 Coronavirus Pandemic.

https://www.worldometers.info/coronavirus/

Yufajjiru, L., & Dharma, S. (2020). Pemodelan Kasus COVID-19 di Indonesia Menggunakan

Persamaan Gaussian. 15(1), 46–51.

Yuliana. (2020). Corona virus diseases (Covid -19); Sebuah tinjauan literatur. Wellness and

Healthy Magazine, 2(1), 187–192.

https://wellness.journalpress.id/wellness/article/view/v1i218wh

Yulida, Y., & Karim, M. A. (2020). Pemodelan Matematika Penyebaran COVID-19 di Provinsi

Kalimantan Selatan. Media Bina Ilmiah: Open Journal System, 14(10), 3257–3264.

Zein, A. (2020). Pendeteksian VIirus Corona Dalam Gambar X-Ray Menggunakan Algoritma

Artifical Intelligence Dengan Deep Learning Python. Jurnal Teknologi Informasi ESIT,

XV(01), 19–23.

Zhu, N., Zhang, D., Wang, W., Li, X., Yang, B., Song, J., Zhao, X., Huang, B., Shi, W., Lu,

R., Niu, P., Zhan, F., Ma, X., Wang, D., Xu, W., Wu, G., Gao, G. F., & Tan, W. (2020).

A novel coronavirus from patients with pneumonia in China, 2019. New England Journal

of Medicine, 382(8), 727–733. https://doi.org/10.1056/NEJMoa2001017


65

LAMPIRAN

LAMPIRAN 1: Program MATLAB dengan Menggunakan Metode Euler

clc;

clear;

h=0.5; %nilai step size

t=0:h:50;

S=0*t;

E=0*t;

I=0*t;

R=0*t;

N=0*t;

D=0*t;

C=0*t;

T=length(t);

N0=14000000; %populasi (dalam juta)

S(1)=0.9*N0; %nilai S awal (dalam juta)

E(1)=0.1*N0; %nilai E awal

I(1)=0; %nilai I awal

R(1)=0; %nilai R awal

N(1)=N0;

D(1)=0; %nilai D awal

C(1)=0; %nilai C awal

F=10; %nilai F awal

b1=0.5; %nilai betta awal

b=0.6; %nilai betta saat waktu t

m=0.0205; %nilai myu

p=1/3; %nilai sigma

g=1/5; %nilai gamma

l=1/11.2; %nilai lambda

d=0.2; %nilai kasus parah

disp ('------------------------------------------------------Metode Euler untuk model

persamaan SEIR-NDC--------------------------------------------------')

disp ('-----------------------S(i)-----------------E(i)----------------I(i)--------------------R(i)--

----------------N(i)---------------D(i)--------------C(i)----------------')

disp ('------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------')


66

for i=2:T;

S(i)=S(i-1)+h*(-b1*S(i-1)*F/N(i-1)-b*S(i-1)*I(i-1)/N(i-1)-m*S(i-1));

E(i)=E(i-1)+h*(b1*S(i-1)*F/N(i-1)+b*S(i-1)*I(i-1)/N(i-1)-(p+m)*E(i-1));

I (i)= I(i-1) +h*(p*E(i-1)-(g+m)*I(i-1));

R(i)=R(i-1)+h*(g*I(i-1)-m*R(i-1));

N(i)=N(i-1)+h*(-m*N(i-1));

D(i)=D(i-1)+h*(d*g*I(i-1)-l*D(i-1));

C(i)=C(i-1)+h*(p*E(i-1));

fprintf(' %1.0f %1.10f %1.7f %1.7f %1.7f

%1.7f %1.7f %1.7f\n',i, S(i), E(i), I(i), R(i), N(i), D(i), C(i))

disp ('------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------')

end

%%Plots

plot (t,S,'b-',t,E,'b--',t,I,'b-.',t,R,'b:',t,N,'r-',t,D,'g--',t,C,'m:')

xlabel('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai S(t), E(t), I(t), R(t), N(t), D(t), C(t)');

grid on;

title('Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi virus Corona (COVID-19)

Model SEIR-NDC Simulasi I');

legend ('S(t) Susceptible', 'E(t) Exposed', 'I(t) Infectious', 'R(t) Removed', 'N(t)

Population', 'D(t) Public Perception', 'C(t) Case')


67

LAMPIRAN 2: Program MATLAB dengan Menggunakan Metode Heun

clc;

clear;

h=0.5; %nilai step size

t=0:h:50;

S=0*t;

E=0*t;

I=0*t;

R=0*t;

N=0*t;

D=0*t;

C=0*t;

T=length(t);

N0=14000000; %populasi (dalam juta)

S(1)=0.9*N0; %nilai S awal (dalam juta)

E(1)=0.1*N0; %nilai E awal

I(1)=0; %nilai I awal

R(1)=0; %nilai R awal

N(1)=N0;

D(1)=0; %nilai D awal

C(1)=0; %nilai C awal

F=10; %nilai F awal

b1=0.5; %nilai betta awal

b=0.6; %nilai betta saat waktu t

m=0.0205; %nilai myu

p=1/3; %nilai sigma

g=1/5; %nilai gamma

l=1/11.2; %nilai lambda

d=0.2; %nilai kasus parah

disp ('------------------------------------------------------Metode Heun untuk model

persamaan SEIR-NDC--------------------------------------------------')

disp ('-----------------------S(i)-----------------E(i)----------------I(i)--------------------R(i)--

----------------N(i)---------------D(i)--------------C(i)----------------')

disp ('------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------')

for i=2:T;

%model awal dengan nilai awal

se=(-b1*S(i-1)*F/N(i-1)-b*S(i-1)*I(i-1)/N(i-1)-m*S(i-1));

ee=(b1*S(i-1)*F/N(i-1)+b*S(i-1)*I(i-1)/N(i-1)-(p+m)*E(i-1));


68

ie=(p*E(i-1)-(g+m)*I(i-1));

re=(g*I(i-1)-m*R(i-1));

ne=(-m*N(i-1));

de=(d*g*I(i-1)-l*D(i-1));

ce=(p*E(i-1));

%hitung yeuler(prediksi awal)

Sprediksi=S(i-1)+h*se;

Eprediksi=E(i-1)+h*ee;

Iprediksi= I(i-1) +h*ie;

Rprediksi=R(i-1)+h*re;

Nprediksi=N(i-1)+h*ne;

Dprediksi=D(i-1)+h*de;

Cprediksi=C(i-1)+h*ce;

%hitung dengan nilai baru

sh=(-b1*Sprediksi*F/Nprediksi-b*Sprediksi*Iprediksi/Nprediksi-m*Sprediksi);

eh=(b1*Sprediksi*F/Nprediksi+b*Sprediksi*Iprediksi/Nprediksi-

(p+m)*Eprediksi);

ih=(p*Eprediksi-(g+m)*Iprediksi);

rh=(g*Iprediksi-m*Rprediksi);

nh=(-m*Nprediksi);

dh=(d*g*Iprediksi-l*Dprediksi);

ch=(p*Eprediksi);

%hitung yheun (hasil dikoreksi)

S(i)= S(i-1)+(h/2*(se+sh));

E(i)= E(i-1)+(h/2*(ee+eh));

I(i) =I(i-1)+(h/2*(ie+ih));

R(i)=R(i-1)+(h/2*(re+rh));

N(i)=N(i-1)+(h/2*(ne+nh));

D(i)=D(i-1)+(h/2*(de+dh));

C(i)=C(i-1)+(h/2*(ce+ch));

fprintf(' %1.0f %1.10f %1.7f %1.7f %1.7f

%1.7f %1.7f %1.7f\n',i, S(i), E(i), I(i), R(i), N(i), D(i), C(i))

disp ('------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------')

end

%%Plots

plot (t,S,'b-',t,E,'b--',t,I,'b-.',t,R,'b:',t,N,'r-',t,D,'g--',t,C,'m:')

xlabel('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai S(t), E(t), I(t), R(t), N(t), D(t), C(t)');

grid on;


69

title('Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi virus Corona (COVID-19)

Model SEIR-NDC Simulasi I');

legend ('S(t) Susceptible', 'E(t) Exposed', 'I(t) Infectious', 'R(t) Removed', 'N(t)

Population', 'D(t) Public Perception', 'C(t) Case')


70

LAMPIRAN 3: Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus Corona dengan Menggunakan Metode

Numeris

Tabel Lampiran 3. 1 Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus Corona dengan Menggunakan Metode Euler

𝒊 𝑺(𝒊) 𝑬(𝒊) 𝑰(𝒊) 𝑹(𝒊) 𝑵(𝒊) 𝑫(𝒊) 𝑪(𝒊)

2 12470847.750000 1152318.916667 233333.333333 0.000000 13856500.000000 0.000000 233333.333333

3 12280019.321929 1011456.733626 399661.486111 23333.333333 13714470.875000 4666.666667 425386.486111

4 12046789.099204 939873.204511 524174.929538 63060.315278 13573897.548531 12451.563056 593962.608382

5 11783746.238239 913157.242778 623030.177642 114831.440000 13434765.098659 22379.188296 750608.142467

6 11499021.133073 915546.213467 706533.974353 175957.435504 13297058.756398 33840.720942 902801.016264

7 11197855.218264 936871.777396 781229.639259 244807.269226 13160763.904145 46460.653959 1055392.051842

8 10883661.960765 970538.786957 851244.367763 320420.958642 13025866.074127 60011.110407 1211537.348074

9 10558727.136452 1012211.589113 919151.140710 402261.080592 12892350.946867 74356.930333 1373293.812567

10 10224665.016669 1058969.655440 986516.658966 490053.018587 12760204.349662 89420.447329 1541995.744086

11 9882713.468917 1108769.005230 1054248.139888 583681.641043 12629412.255078 105158.796252 1718490.686659

12 9533923.980781 1160100.963801 1122812.116670 683123.718211 12499960.779463 121549.169932 1903285.520864

13 9179283.218315 1211777.809951 1192372.241441 788402.911767 12371836.181474 138579.110036 2096635.681498

14 8819789.553496 1262800.130906 1262876.170147 899559.006065 12245024.860614 156239.987453 2298598.649823

15 8456499.337672 1312277.113981 1334110.760873 1016626.143268 12119513.355792 174522.511416 2509065.338307

16 8090552.143953 1359381.496740 1405737.901817 1139616.801386 11995288.343896 193413.543088 2727778.190637

17 7723180.720825 1403327.517261 1477318.880931 1268509.519354 11872336.638371 212893.767950 2954341.773427

18 7355709.285716 1443364.323385 1548332.393852 1403239.184874 11750645.187827 232935.959500 3188229.692971

19 6989542.569571 1478779.814473 1618189.467994 1543689.222614 11630201.074652 253503.680614 3428790.413535

20 6626147.388370 1508911.388825 1686247.381560 1689685.354881 11510991.513637 274550.341375 3675253.715947

21 6267028.253354 1533160.939904 1751823.839214 1840990.818150 11393003.850622 296018.577337 3926738.947418

22 5913698.489895 1551011.940815 1814212.084258 1997303.046185 11276225.561153 317839.939062 4182265.770735

23 5567648.406715 1562046.751945 1872697.192104 2158251.898388 11160644.249151 339934.897753 4440767.760871


71


24 5230312.159456 1565962.498503 1926573.451999 2323399.535640 11046247.645598 362213.176517 4701108.886195

25 4903035.022278 1562584.070687 1975162.478667 2492242.035599 10933023.607230 384574.414462 4962102.635946

26 4587042.772572 1551873.046242 2017831.493841 2664212.802601 10820960.115256 406909.163390 5222533.314393

27 4283414.779838 1533931.644126 2054011.079352 2838687.770758 10710045.274075 429100.205616 5481178.822100

28 3993062.161592 1509001.187505 2083211.631875 3014992.329043 10600267.310015 451024.168023 5736834.096121

29 3716712.037195 1477454.964656 2105037.747378 3192409.820858 10491614.570088 472553.393160 5988334.294039

30 3454898.500973 1439785.795000 2119199.829839 3370191.394932 10384075.520744 493558.014484 6234576.788148

31 3207960.487283 1396588.995490 2125522.347766 3547566.916118 10277638.746657 513908.171149 6474541.087315

32 2976046.256265 1348541.761728 2123948.341506 3723756.590004 10172292.949504 533476.289035 6707305.919897

33 2759123.832655 1296380.197865 2114539.997143 3897982.919107 10068026.946771 552139.350105 6932062.880185

34 2556996.416512 1240875.331385 2097475.328769 4069482.593901 9964829.670567 569781.071918 7148126.246495

35 2369321.577085 1182809.430165 2073041.229003 4237517.930190 9862690.166443 586293.923497 7354938.801726

36 2195632.947922 1122953.811476 2041623.338533 4401387.494306 9761597.592237 601580.912206 7552073.706754

37 2035363.157101 1062049.119434 2003693.334039 4560435.606343 9661541.216917 615557.088254 7739232.675333

38 1887866.834301 1000788.779827 1959794.330534 4714060.474782 9562510.419444 628150.727780 7916240.861905

39 1752442.711580 939806.052533 1910525.135563 4861720.787969 9464494.687644 639304.171186 8083038.991877

40 1628354.049889 879664.822302 1856524.081456 5002940.663448 9367483.617096 648974.309113 8239673.333965

41 1514846.851991 820854.023043 1798453.105193 5137312.929794 9271466.910021 657132.723371 8386284.137682

42 1411165.542265 763785.394959 1736982.654186 5264500.782782 9176434.374193 663765.503181 8523093.141523

43 1316565.988655 708794.135637 1672777.882388 5384237.915178 9082375.921857 668872.767730 8650390.707349

44 1230325.901560 656141.925519 1606486.476795 5496327.264786 8989281.568658 672467.933961 8768523.063289

45 1151752.764954 606021.779310 1538728.330314 5600638.558001 8897141.432580 674576.773588 8877880.050875

46 1080189.536905 558564.188396 1470087.161782 5697104.845813 8805945.732896 675236.305659 8978883.680760

47 1015018.404118 513844.064098 1401104.083595 5785718.237322 8715684.789134 674493.570964 9071977.712160

48 955662.894011 471888.056557 1332273.035728 5866525.033749 8626349.020045 672404.332503 9157618.389509

49 901588.644677 432681.899221 1264037.942966 5939620.455726 8537928.942589 669031.742660 9236266.398936


72


50 852303.114623 396177.506330 1196791.409624 6005143.140351 8450415.170928 664445.013007 9308380.048806

51 807354.485785 362299.624415 1130874.741101 6063269.564125 8363798.415426 658718.117405 9374409.633194

52 766329.980040 330951.904795 1066579.071631 6114208.525203 8278069.481668 651928.553414 9434792.903930

53 728853.774564 302022.320152 1004147.379782 6158195.794982 8193219.269481 644156.181569 9489951.554729

54 694584.667649 275387.893738 943777.184520 6195489.026062 8109238.771969 635482.156774 9540288.608088

55 663213.615491 250918.744852 885623.732216 6226362.981997 8026119.074556 625987.961322 9586186.590377

56 634461.232991 228481.479849 829803.506548 6251105.134653 7943851.354042 615754.544836 9628006.381186

57 608075.328062 207941.975331 776397.916593 6270011.657678 7862426.877663 604861.572787 9666086.627827

58 583828.519349 189167.610795 725457.042177 6283383.829846 7781837.002167 593386.782334 9700743.623716

59 561515.971412 172029.013266 677003.338409 6291524.849807 7702073.172894 581405.441823 9732271.558848

60 540953.268790 156401.377584 631035.222561 6294737.053938 7623126.922872 568989.908510 9760943.061059

61 521974.440694 142165.424290 587530.485537 6293319.521391 7544989.871913 556209.277760 9787009.957323

62 504430.140727 129208.053260 546449.486889 6287566.044851 7467653.725726 543129.116142 9810704.194705

63 488185.980700 117422.746255 507738.106502 6277763.441580 7391110.275037 529811.270338 9832238.870248

64 473121.013835 106709.765960 471330.437970 6264190.176954 7315351.394718 516313.743613 9851809.327958

65 459126.360129 96976.193179 437151.218177 6247115.271437 7240369.042922 502690.631676 9869594.288951

66 446103.965074 88135.838200 405117.995236 6226797.461722 7166155.260232 488992.109982 9885756.987814

67 433965.482076 80109.056848 375143.042628 6203484.587263 7092702.168815 475264.464977 9900446.294181

68 422631.268607 72822.496818 347135.031653 6177413.174507 7020001.971584 461550.162215 9913797.803655

69 412029.486158 66208.795368 321000.477216 6148808.192633 6948046.951376 447887.944892 9925934.886458

70 402095.294396 60206.245516 296644.973831 6117882.956380 6876829.470124 434312.956896 9936969.685686

71 392770.130404 54758.444472 273974.239719 6084839.153461 6806341.968055 420856.885083 9947004.059939

72 384001.064473 49813.935098 252894.987202 6049866.976109 6736576.962883 407548.116079 9956130.467351

73 375740.224580 45325.848729 233315.637379 6013145.338325 6667527.049013 394411.903498 9964432.789867

74 367944.282307 41251.555630 215146.896480 5974842.162345 6599184.896761 381470.541982 9971987.097989

75 360573.993651 37552.327675 198302.210414 5935114.719829 6531543.251569 368743.545002 9978862.357260


73


76 353593.788794 34193.016459 182698.112995 5894110.014992 6464594.933240 356247.823808 9985121.078540

77 346971.405469 31141.748954 168254.482114 5851965.198638 6398332.835175 343997.865362 9990819.914616

78 340677.561166 28369.641932 154894.716953 5808808.003563 6332749.923614 332005.907444 9996010.206108

79 334685.659872 25850.535739 142545.848065 5764757.193222 6267839.236897 320282.109486 10000738.479764

80 328971.529561 23560.747422 131138.590939 5719923.016798 6203593.884719 308834.717988 10005046.902387

81 323513.187019 21478.842888 120607.352525 5674407.664969 6140007.047401 297670.225611 10008973.693624

82 318290.627007 19585.427445 110890.199057 5628305.721656 6077071.975165 286793.523304 10012553.500772

83 313285.633089 17862.953898 101928.792518 5581704.607915 6014781.987419 276208.044995 10015817.738679

84 308481.607741 16295.547246 93668.302126 5534685.014935 5953130.472048 265915.904551 10018794.897662

85 303863.419669 14868.844939 86057.296358 5487321.323745 5892110.884710 255918.024855 10021510.822203

86 299417.266441 13569.851632 79047.620257 5439682.009812 5831716.748141 246214.258958 10023988.963026

87 295130.550816 12386.807357 72594.262062 5391830.031237 5771941.651473 236803.503374 10026250.604965

88 290991.769293 11309.068066 66655.212563 5343823.199623 5712779.249545 227683.803643 10028315.072858

89 286990.411582 10326.997516 61191.320056 5295714.533084 5654223.262238 218852.452374 10030199.917535

90 283116.869864 9431.869539 56166.143272 5247552.591125 5596267.473800 210306.080009 10031921.083788

91 279362.356802 8615.779765 51545.804233 5199381.791393 5538905.732193 202040.738588 10033493.062045

92 275718.831416 7871.565957 47298.842610 5151242.708455 5482131.948438 194051.978843 10034929.025339

93 272178.932000 7192.736140 43396.072872 5103172.354954 5425940.095967 186334.920925 10036240.952998

94 268735.915381 6573.403804 39810.445195 5055204.445603 5370324.209983 178884.319127 10037439.742355

95 265383.601864 6008.229499 36516.910913 5007369.644555 5315278.386831 171694.620927 10038535.309656

96 262116.325314 5492.368194 33492.293068 4959695.796790 5260796.783366 164760.020711 10039536.681239

97 258928.887858 5021.421843 30715.162456 4912208.144179 5206873.616336 158074.508505 10040452.075938

98 255816.518744 4591.396642 28165.719436 4864929.526947 5153503.161769 151631.914053 10041288.979578

99 252774.836974 4198.664506 25825.681642 4817880.571239 5100679.754361 145425.946565 10042054.212352

100 249799.817326 3839.928346 23678.177658 4771079.863548 5048397.786878 139450.230440 10042753.989770

101 246887.759458 3512.190763 21707.646629 4724544.112713 4996651.709563 133698.337277 10043393.977827


74

Tabel Lampiran 3. 2 Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus Corona dengan Menggunakan Metode Heun


2 12440009.660965 1205728.366813 199830.743056 11666.666667 13857235.437500 2333.333333 212693.243056

3 12235737.922960 1084214.381528 355599.881010 40374.526667 13715926.712165 7928.130407 400356.872216

4 11997871.179018 1014528.867370 481243.504396 82415.427357 13576058.978140 15950.319109 573005.432725

5 11734054.305870 981755.201775 586553.769152 135254.264165 13437617.540962 25824.485382 737769.005373

6 11449750.177981 975272.039485 678387.941711 197177.696838 13300587.856014 37156.144634 899725.808035

7 11148889.487301 987495.290990 761524.991451 267045.757254 13164955.526996 49676.851759 1062492.516296

8 10834350.732416 1012970.451520 839269.115492 344116.004986 13030706.304414 63205.415262 1228639.191697

9 10508309.513592 1047724.716924 913873.225232 427918.628336 12897826.084084 77620.427134 1399978.703167

10 10172490.074388 1088808.386436 986835.227680 518167.217145 12766300.905649 92840.725672 1577767.106448

11 9828344.776980 1133972.760246 1059104.947002 614694.466883 12636116.951110 108811.413410 1762841.314738

12 9477180.661456 1181445.949165 1131228.633097 717405.299662 12507260.543380 125493.766394 1955712.952562

13 9120246.960067 1229778.828532 1203450.180999 826242.175243 12379718.144841 142857.876580 2156631.914552

14 8758793.430816 1277741.327701 1275782.613263 941158.984145 12253476.355925 160877.226216 2365629.316176

15 8394106.465962 1324254.964055 1348059.423396 1062101.060294 12128521.913707 179524.645117 2582546.799169

16 8027527.902448 1368351.557516 1419972.570274 1188989.660270 12004841.690508 198769.279284 2807057.216687

17 7660460.109936 1409150.847002 1491101.908280 1321709.827303 11882422.692520 218574.324060 3038680.332830

18 7294360.085600 1445851.624424 1560939.390217 1460100.958198 11761252.058439 238895.361939 3276796.155117

19 6930724.801135 1477732.272291 1628910.317649 1603949.667037 11641317.058112 259679.204716 3520657.754196

20 6571069.809527 1504157.440980 1694393.117562 1752984.723135 11522605.091203 280863.179159 3769404.828523

21 6216903.030074 1524588.184723 1756738.516305 1906873.954766 11405103.685867 302374.819893 4022078.787844

22 5869695.609440 1538593.305973 1815288.511217 2065223.070811 11288800.497440 324131.946352 4277639.724895

23 5530851.739407 1545860.018633 1869395.177294 2227576.371809 11173683.307142 346043.105340 4534985.302678

24 5201679.249944 1546202.386619 1918439.074255 2393419.309977 11059740.020795 368008.359038 4792971.299248

25 4883362.657961 1539566.356052 1961846.830287 2562182.823250 10946958.667550 389920.392320 5050433.324219


75


26 4576940.124814 1526030.586221 1999107.368108 2733249.319488 10835327.398630 411665.904559 5306209.055556

27 4283285.463827 1505802.688179 2029786.202644 2905960.131436 10724834.486087 433127.241468 5559160.245936

28 4003095.962569 1479210.879778 2053537.271284 3079624.207936 10615468.321566 454184.213240 5808193.716537

29 3736886.374021 1446691.434787 2070111.847568 3253527.758714 10507217.415090 474716.037725 6052280.589999

30 3484989.022136 1408772.613648 2079364.224168 3426944.533899 10400070.393850 494603.342324 6290473.105906

31 3247559.596074 1366055.991385 2081254.014699 3599146.398853 10294016.001011 513730.156597 6521918.499487

32 3024587.903300 1319196.230217 2075845.099129 3769413.861884 10189043.094529 531985.829248 6745869.592144

33 2815912.634790 1268880.377325 2063301.406935 3937046.226930 10085140.645980 549266.808261 6961691.924035

34 2621239.074505 1215807.709812 2043879.881162 4101371.073925 9982297.739403 565478.231044 7168867.438064

35 2440158.657390 1160671.015751 2017921.083698 4261752.813314 9880503.570153 580535.281749 7366994.886983

36 2272169.333687 1104140.014801 1985837.980789 4417600.114485 9779747.443762 594364.284811 7555787.270062

37 2116695.813953 1046847.408831 1948103.485636 4568372.066402 9680018.774821 606903.516201 7735066.706291

38 1973108.927809 989377.835582 1905237.333988 4713582.988486 9581307.085865 618103.726182 7904757.214692

39 1840743.508868 932259.796431 1857792.833955 4852805.867019 9483602.006273 627928.378665 8064875.900159

40 1718914.400024 875960.456814 1806343.970291 4985674.444048 9386893.271177 636353.622190 8215523.039314

41 1606930.342682 820883.083408 1751473.264506 5111884.029788 9291170.720384 643368.015572 8356871.531023

42 1504105.660611 767366.788604 1693760.703563 5231191.144535 9196424.297312 648972.037247 8489156.127322

43 1409769.768422 715688.198604 1633773.959234 5343412.121669 9102644.047929 653177.411339 8612662.799325

44 1323274.624539 666064.641917 1572060.033572 5448420.819680 9009820.119708 656006.285452 8727718.525701

45 1244000.310241 618658.463544 1509138.387837 5546145.598972 8917942.760594 657490.295514 8834681.723583

46 1171358.953129 573582.099416 1445495.545697 5636565.719737 8827002.317978 657669.551855 8933933.477624

47 1104797.229463 530903.588545 1381581.107989 5719707.311688 8736989.237685 656591.578409 9025869.665016

48 1043797.679985 490652.250720 1317805.075947 5795639.056312 8647894.062964 654310.233878 9110894.024492

49 987879.062380 452824.310151 1254536.352055 5864467.708917 8559707.433504 650884.640057 9189412.176246

50 936595.944574 417388.296493 1192102.271052 5926333.572323 8472420.084442 646378.138642 9261826.567523

51 889537.719706 384290.101489 1130789.006556 5981406.017643 8386022.845394 640857.293921 9328532.294579


76


52 846327.198587 353457.610418 1070842.699385 6029879.131101 8300506.639491 634390.954921 9389913.735164

53 806618.910491 324804.861971 1012471.160107 6071967.549856 8215862.482425 627049.387032 9446341.915319

54 770097.219532 298235.717974 955846.009031 6107902.534970 8132081.481507 618903.479872 9498172.529199

55 736474.342535 273647.045863 901105.130239 6137928.316090 8049154.834727 610024.035333 9545744.529571

56 705488.335415 250931.432732 848355.331129 6162298.730560 7967073.829836 600481.137285 9589379.208715

57 676901.098990 229979.460751 797675.114343 6181274.169342 7885829.843427 590343.602380 9629379.693689

58 650496.441599 210681.580798 749117.484092 6195118.833542 7805414.340031 579678.509768 9666030.785654

59 626078.224843 192929.624867 702712.723266 6204098.298242 7725818.871217 568550.806242 9699599.079554

60 603468.609848 176617.999139 658471.090957 6208477.374766 7647035.074710 557022.982373 9730333.307378

61 582506.414446 161644.599014 616385.401862 6208518.258184 7569054.673505 545154.814550 9758464.855295

62 563045.586270 147911.485523 576433.459485 6204478.943728 7491869.475005 533003.167386 9784208.411686

63 544953.792707 135325.359825 538580.323966 6196611.893657 7415471.370155 520621.850782 9807762.709485

64 528111.125668 123797.869228 502780.402903 6185162.934792 7339852.332591 508061.525856 9829311.332133

65 512408.917047 113245.774693 468979.359736 6170370.366324 7265004.417800 495369.654069 9849023.557699

66 497748.659346 103591.006247 437115.839230 6152464.257458 7190919.762281 482590.484061 9867055.220445

67 484041.025049 94760.629296 407123.013542 6131665.914834 7117590.582721 469765.070996 9883549.573229

68 471204.977903 86686.741589 378929.955297 6108187.500390 7045009.175179 456931.323524 9898638.137671

69 459166.969054 79306.317603 352462.846316 6082231.781298 6973167.914271 444124.073865 9912441.532055

70 447860.211107 72561.014409 327646.032120 6053991.994741 6902059.252377 431375.166872 9925070.269495

71 437224.023332 66396.950678 304402.933281 6023651.811550 6831675.718840 418713.564341 9936625.521018

72 427203.241598 60764.468378 282656.825192 5991385.384018 6762009.919187 406165.461216 9947199.839968

73 417747.686997 55617.884879 262331.497960 5957357.464513 6693054.534349 393754.410714 9956877.845579

74 408811.687500 50915.241591 243351.807972 5921723.582831 6624802.319893 381501.455745 9965736.864681

75 400353.647484 46618.053961 225644.132333 5884630.271483 6557246.105261 369425.264365 9973847.531435

76 392335.660337 42691.066507 209136.736870 5846215.329303 6490378.793017 357542.267271 9981274.345667

77 384723.159808 39102.015629 193760.067750 5806608.114912 6424193.358099 345866.795692 9988076.190907


77


78 377484.606169 35821.402194 179446.976110 5765929.862613 6358682.847086 334411.218232 9994306.813638

79 370591.203595 32822.275237 166132.884341 5724294.014289 6293840.377462 323186.075520 10000015.265512

80 364016.645573 30080.027636 153755.901957 5681806.561729 6229659.136895 312200.211679 10005246.310485

81 357736.885433 27572.204196 142256.898238 5638566.394656 6166132.382523 301460.901860 10010040.798911

82 351729.929402 25278.322295 131579.538116 5594665.650432 6103253.440244 290973.975230 10014436.010701

83 345975.649859 23179.704947 121670.287133 5550190.062075 6041015.704014 280743.932954 10018465.969628

84 340455.616703 21259.326031 112478.390619 5505219.301802 5979412.635154 270774.060842 10022161.730837

85 335152.944975 19501.667218 103955.831652 5459827.317818 5918437.761664 261066.536435 10025551.643560

86 330052.157062 17892.586102 96057.271839 5414082.662537 5858084.677540 251622.530404 10028661.590938

87 325139.057990 16419.194939 88739.978396 5368048.810782 5798347.042106 242442.302212 10031515.208779

88 320400.622496 15069.749370 81963.740598 5321784.466879 5739218.579343 233525.290052 10034134.084960

89 315824.892663 13833.546505 75690.778210 5275343.859851 5680693.077230 224870.195135 10036537.941101

90 311400.885088 12700.831709 69885.644169 5228777.026132 5622764.387097 216475.060432 10038744.797996

91 307118.506601 11662.713476 64515.123413 5182130.079482 5565426.422971 208337.344041 10040771.126214

92 302968.477721 10711.085775 59548.129507 5135445.467940 5508673.160942 200453.987328 10042631.983167

93 298942.263068 9838.557277 54955.600403 5088762.217782 5452498.638530 192821.478073 10044341.137823

94 295032.008060 9038.386921 50710.394458 5042116.164615 5396896.954054 185435.908805 10045911.184189

95 291230.481289 8304.425270 46787.187656 4995540.171802 5341862.266018 178293.030571 10047353.644549

96 287531.022032 7631.061190 43162.372756 4949064.336515 5287388.792493 171388.302368 10048679.063400

97 283927.492404 7013.173373 39813.960978 4902716.183758 5233470.810513 164716.936460 10049897.092923

98 280414.233721 6446.086291 36721.486678 4856520.848778 5180102.655469 158273.939823 10051016.570760

99 276986.026676 5925.530175 33865.915381 4810501.248286 5127278.720518 152054.151959 10052045.590804

100 273638.054973 5447.604671 31229.555398 4764678.240950 5074993.455993 146052.279281 10052991.567641

101 270365.872104 5008.745823 28795.973234 4719070.777659 5023241.368819 140262.926318 10053861.295228


78

LAMPIRAN 4: Rancangan Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Sekolah

Menengah Atas

Mata pelajaran : Matematika

Kelas/Semester : XI/Ganjil

Materi Pokok : Pemodelan Matematika dari Penyebaran Penyakit

Alokasi Waktu : 𝟒 × 𝟒𝟓 menit (2 Pertemuan)

1. Tujuan Pembelajaran

Melalui proses pengamatan, bertanya, mengumpulkan informasi, bernalar,

berdiskusi dan mengasosiasi diharapkan peserta didik dapat:

a. Memahami langkah dari pemodelan matematika.

b. Memodelkan permasalahan dari penyebaran penyakit virus Corona

dengan menggunakan model sederhana SIR.

c. Memodelkan permasalahan dari penyebaran penyakit virus Corona

dengan menggunakan model SEIR-NDC.

2. Materi Pembelajaran

Adapun materi pembelajaran pada pertemuan ini adalah:

a. Turunan Fungsi.

b. Pemodelan Matematika.

c. Model Matematika SIR.

d. Model Matematika SEIR-NDC.

3. Model, Pendekatan dan Metode Pembelajaran

Pendekatan Pembelajaran : Pendekatan Saintifik

Model Pembelajaran

Pertemuan 1 : Discovery Learning

Pertemuan 2 : Discovery Learning

Metode Pembelajaran : Tanya jawab, ceramah dan diskusi.


79

4. Media dan Alat Pembelajaran

a. Media Pembelajaran

1) Power Point Materi

2) Lembar Kerja Siswa

b. Alat Pembelajaran

1) Laptop

2) LCD Proyektor

3) Papan Tulis

4) Spidol

5. Sumber Pembelajaran

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017. Matematika

SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI: Edisi Revisi 2017. Jakarta: Kementerian

Pendidikan dan Kebudayaan.

Haberman, Richard. 1977. Mathematical Models: Mechanical Vibrations,

Population Dynamics, and Traffic Flow. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Dan sumber-sumber lainnya yang relevan.


80

6. Langkah-langkah Pembelajaran

Pertemuan 1: Alokasi waktu (2 × 45 menit)

Kegiatan

Pembelajaran Deskripsi Kegiatan

Alokasi

Waktu

Pendahuluan

Guru:

Orientasi

• Melakukan pembukaan dengan salam pembuka dan mengajak peserta

didik untuk berdoa sebelum memulai pembelajaran.

• Memeriksa kehadiran peserta didik sebagai sikap dari disiplin.

Apersepsi:

• Mengaitkan materi/tema/kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan

dengan pengalaman peserta didik dengan materi/tema/kegiatan

sebelumnya.

• Mengaitkan Kembali materi prasyarat dengan mengajukan pertanyaan

kepada peserta didik.

Motivasi:

• Memberikan gambaran kepada peserta didik mengenai manfaat dari

mempelajari pelajaran pada pertemuan kali ini.

• Jika peserta didik dapat memahami materi pembelajaran pada pertemuan

pertama dengan baik maka diharapkan peserta didik dapat menjelaskan

langkah-langkah pemodelan matematika dari permasalahan turunan

fungsi.

• Menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan pertama.

Pemberian Acuan:

• Pada tahap ini, guru memberi tahu kepada peserta didik mengenai materi

pelajaran apa yang akan dibahas pada pertemuan ini.

10 menit


81

Kegiatan


Alokasi

Waktu

Inti

Fase Deskripsi Kegiatan

Orientasi siswa pada

masalah

(Mengamati)

1. Pada tahap ini, peserta didik diberikan suatu

masalah melalui soal cerita pada materi

turunan fungsi. Masalah yang disajikan ini

berkaitan dengan pemodelan matematika.

2. Setelah peserta didik mengamati

permasalahan yang diberikan oleh guru,

berikutnya guru memandu siswa dalam

menyelesaikan permasalahan ini.

3. Peserta didik memperhatikan langkah-

langkah yang digunakan oleh guru dalam

memodelkan suatu permasalahan.

4. Kemudian guru menyajikan Kembali

permaslaahan yang berkaitan dengan odel

sederhana SIR terkait penyebaran penyakit

virus Corona.

Mengorganisasi

peserta didik untuk

belajar

(Menanya)

1. Berikutnya, guru membagi siswa kedalam

beberapa kelompok yang terdiri dari

maksimal 4 orang dengan cara berhitung

(sehingga proporsi anggota setiap kelompok

seimbang).

2. Peserta didik didorong untuk mengajukan

pertanyaan seputar bagaimana memodelkan

suatu permasalahan terlebih mengenai

penyebaran penyakit.

70 menit


82

Kegiatan


Alokasi

Waktu

Membimbing

penyelidikan

individual maupun

kelompok

(Mengeksplorasi)

1. Peserta didik mencari faktor-faktor yang

siginifikan dengan penyebaran penyakit virus

Corona.

2. Peserta didik yang ada di dalam setiap

kelompok diarahkan untuk memahami

konsep dari pemodelan dengan langkah-

langkah pemodelan tersebut dan kemudian

dituliskan pada Lembar Kerja Peserta Didik

(LKPD).

Mengembangkan

dan menyajikan hasil

karya

(Mengasosiasikan)

1. Peserta didik kemudian mengolah informasi

yang telah mereka kumpulkan dan mereka

diskusikan.

2. Peserta didik mengamati hasil dari

memodelkan penyebaran penyakit virus

Corona.

Menganalisis dan

mengevaluasi proses

pemecahan masalah

(Mengkomunikasikan)

Peserta didik menyajikan secara tertulis dan

lisan hasil diskusi sebagai pembelajaran pada

pertemuan pertama.

Penutup

Peserta Didik:

• Mereview kembali point-point penting terkait kegiatan pembelajaran yang

telah dilakukan.

• Mengagendakan materi berikutnya yang akan dipelajari.

Guru:

10 menit


83

Kegiatan


Alokasi

Waktu

• Bersama-sama dengan siswa mereview kembali point-point penting terkait

kegiatan pembelajaran yang telah dilakukan.

• Memberikan apresiasi terhadap kelompok dengan kinerja yang baik.

• Menutup pembelajaran dan menyampaikan materi pada pertemuan

berikutnya,

Pertemuan 2: Alokasi waktu (2 × 45 menit)

Kegiatan


Alokasi

Waktu

Pendahuluan

Guru:

Orientasi

• Melakukan pembukaan dengan salam pembuka dan mengajak peserta

didik untuk berdoa sebelum memulai pembelajaran.

• Memeriksa kehadiran peserta didik sebagai sikap dari disiplin.

Apersepsi:

• Mengaitkan materi/tema/kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan

dengan pengalaman peserta didik dengan materi/tema/kegiatan

sebelumnya.

• Mengaitkan Kembali materi prasyarat dengan mengajukan pertanyaan

kepada peserta didik.

Motivasi:

• Memberikan gambaran kepada peserta didik mengenai manfaat dari

mempelajari pelajaran pada pertemuan kali ini.

• Jika peserta didik dapat memahami materi pembelajaran pada pertemuan

pertama dengan baik maka diharapkan peserta didik dapat menjelaskan

langkah-langkah pemodelan matematika dari permasalahan turunan

fungsi.

10 menit


84

Kegiatan


Alokasi

Waktu

• Menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan pertama.

Pemberian Acuan:

• Pada tahap ini, guru memberi tahu kepada peserta didik mengenai materi

pelajaran apa yang akan dibahas pada pertemuan ini.

Inti

Fase Deskripsi Kegiatan

Orientasi siswa pada

masalah

(Mengamati)

1. Pada tahap ini, peserta didik diberikan suatu

masalah melalui permasalahan dari

penyebaran penyakit virus Corona dengan

menggunakan model SEIR-NDC.

2. Setelah peserta didik mengamati

permasalahan yang diberikan oleh guru,

berikutnya guru memandu siswa dalam

menyelesaikan permasalahan ini.

Mengorganisasi

peserta didik untuk

belajar

(Menanya)

1. Berikutnya, guru membagi siswa kedalam

beberapa kelompok yang terdiri dari

maksimal 4 orang dengan cara berhitung

(sehingga proporsi anggota setiap kelompok

seimbang).

2. Peserta didik didorong untuk mengajukan

pertanyaan seputar bagaimana memodelkan

suatu permasalahan terlebih mengenai

penyebaran penyakit.

70 menit


85

Kegiatan


Alokasi

Waktu

Membimbing

penyelidikan

individual maupun

kelompok

(Mengeksplorasi)

1. Peserta didik mencari faktor-faktor yang

signifikan dengan penyebaran penyakit virus

Corona.

2. Peserta didik yang ada di dalam setiap

kelompok diarahkan untuk memahami

konsep dari pemodelan dengan langkah-

langkah pemodelan tersebut dan kemudian

dituliskan pada Lembar Kerja Peserta Didik

(LKPD).

Mengembangkan

dan menyajikan hasil

karya

(Mengasosiasikan)

1. Peserta didik kemudian mengolah informasi

yang telah mereka kumpulkan dan mereka

diskusikan.

2. Peserta didik mengamati hasil dari

memodelkan penyebaran penyakit virus

Corona.

Menganalisis dan

mengevaluasi proses

pemecahan masalah

(Mengkomunikasikan)

Peserta didik menyajikan secara tertulis dan

lisan hasil diskusi sebagai pembelajaran pada

pertemuan pertama.

Penutup

Peserta Didik:

• Mereview kembali point-point penting terkait kegiatan pembelajaran yang

telah dilakukan.

• Mengagendakan materi berikutnya yang akan dipelajari.

Guru:

• Bersama-sama dengan siswa mereview kembali point-point penting terkait

10 menit


86

Kegiatan


Alokasi

Waktu

kegiatan pembelajaran yang telah dilakukan.

• Memberikan apresiasi terhadap kelompok dengan kinerja yang baik.

• Menutup pembelajaran dan menyampaikan materi pada pertemuan

berikutnya,


87

LAMPIRAN 5: Letter of Accepted (LoA) ICOLIST 2020


88

LAMPIRAN 6: Artikel ICOLIST 2020

Euler’s and Heun’s Numerical Solutions to a

Mathematical Model of the Spread of COVID-19

Caecilia Dian Pratiwi1, a) and Sudi Mungkasi2, b)

1Department of Mathematics Education, Faculty of Teacher Training and Education,

Sanata Dharma University, Yogyakarta, Indonesia 2Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology,

Sanata Dharma University, Yogyakarta, Indonesia

a)Corresponding author: [email protected]

b)[email protected]

Abstract. In this paper, we considered a mathematical model of the spread of the Coronavirus disease 2019

(COVID-19). The model was based on the COVID-19 outbreak in Wuhan, China. The model was of the

type of the SEIR (Susceptible, Exposed, Infected, Removed) system involving the effects of individual

reaction and governmental action. We used Euler’s and Heun’s numerical methods for solving the model.

We took parameters of the Wuhan case for simulations of the COVID-19 spread. Both Euler’s and Heun’s

methods produced solutions having the same behavior. These solutions provided prediction of the spread of

COVID-19 in a particular region.

INTRODUCTION

Life demands the development of science both through information and technology. In fact, there

are many problems that are often encountered in everyday life. One of the problems that often arise and

are developing at this time is the problem in the health sector. In the health sector, most infectious

diseases are caused by viruses or bacteria. Infectious disease outbreaks are a threat to the society and

can change the structure of the economy, education and health of the surrounding community.

One of the new viruses that are developing and attacking humans these days is the Corona virus. This

virus can spread quickly from human to human. Based on Worldometers [1], it says that for the latest

data (updated data on October 20, 2020) in the world there are 1,122,992 people who have died with

40,648,527 indicated positive for the Coronavirus and 30,353,352 people removed from the disease.

Meanwhile, in Indonesia, based on data collection (updated data on October 20, 2020) from the Satuan

Tugas Penanganan COVID-19 [2], it was explained that there were 12,617 people who died with 365,240

positive people and 289,243 people removed from this disease. According to Zein [3] infection from the

Corona or COVID-19 virus can cause sufferers to experience flu symptoms, such as runny noses,

headaches, coughs, sore throats, and fever or symptoms of severe respiratory infections such as high

fever, cough with phlegm even bleeding, shortness of breath and chest pain. According to McKibbin

and Fernando in Aulia et al. [4], this pandemic is directly handled by the World Health Organization

(WHO) because the way it is spread is very easy to infect other people. With the existence of various problems and the development of information and knowledge, it is


89

necessary to have a solution to these problems. Problems in various fields such as health, physics,

biology, chemistry, economics, or in civil engineering, mechanical engineering and various other fields

involve many mathematical models in solving them. Kholisoh and Kharis [5] said that the development

of science in the field of mathematics also played an important role in preventing the spread of disease.

A mathematical model can be used to study the spread of diseases. This is in accordance with what

was conveyed by Yulida [6] who said that mathematics had a very important role in studying the

dynamics of a disease outbreak, starting from the study of finding sources, spreading, predicting patterns,

to handling strategies called epidemiological mathematics. However, a few of them are mathematical

models that can be solved analytically. Thus, it is necessary to have numerical calculations in order to

obtain solutions to the problems. Based on this, one of the efforts that can be done is to use numerical

methods.

Numerical method, according to Atmika [7], is a problem-solving technique that is formulated

mathematically by means of a count operation. In line with Atmika, Widodo[8] stated that numerical

method is a technique used to formulate mathematical problems that can be solved with ordinary

arithmetic or calculation operations (addition, subtraction, multiplication, and division). In line with

various problems, Atmika [7] said that numerical method was also a very powerful tool for solving

problems in various fields such as engineering, medical, social, economic’s and other scientific fields.

There are various kinds of numerical methods that can be used to solve a problem including the

bisection method, the secant method, the Newton-Raphson method, the Euler’s method and the Heun’s

method. This is in line with Munir, as mentioned by Nurofi’atin [(Nurofi’atin & Abadi, 2018)]. The

solution of differential equations can be solved using numerical methods, such as, the Euler’s method,

the Heun’s method, the Taylor series method, and the multi-step method. In this study, the author will

solve a model of differential equations using the Euler’s and the Heun’s methods. Euler’s method is the

most basic method for solving an ordinary differential equation that has an initial value. Meanwhile, the

Heun’s method is more advanced, which is useful for refining the Euler’s method.

Based on the above problems, we want to solve the equations of the transmission of the Coronavirus

disease (COVID-19) SEIR-NDC model, which was derived by Lin et al. [10] using the Euler’s and the

Heun’s methods [11,12]. These methods are alternative numerical methods for solving the model that

can be used, when analytical method is not able to provide accurate solutions in the long term of time

[13]. Both the Euler’s and the Heun’s methods are the type of Runge-Kutta methods that been known

reliable for solving various problems [14-24].

Mathematical models of COVID-19 have been researched by a number of authors [25-30]. We

believe that the spread of COVID-19 should be studied comprehensively from all aspects of human life,

as this problem is in fact a multidisciplinary problem [31-42]. The studies should include the

mathematical point of view of the COVID-19. Therefore, in this paper we aim to provide contributions

in the mathematical aspects of the modelling and simulation of the spread of COVID-19.

EXPERIMENTAL DETAILS

This research used the mathematical model described by Lin et al. [10], namely the SEIR-NDC

pandemic model as follows:

𝑑𝑆

𝑑𝑡= −

𝛽0𝑆𝐹

𝑁−

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− 𝜇𝑆,

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝛽0𝑆𝐹

𝑁+

𝛽(𝑡)𝑆𝐼

𝑁− (𝜎 + 𝜇)𝐸,


90

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼,

𝑑𝑅


𝑑𝑁


𝑑𝐷

𝑑𝑡= 𝑑𝛾𝐼 − 𝜆𝐷,

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝜎𝐸.

The descriptions of variables and parameters are given in Table 1. Here all values of variables and

parameters are nonnegative.

TABLE 1. Defined parameters and initial variables of the Coronavirus transmission rate of the SEIR-

NDC model.

Notation Description Initial value

𝐹 zoonotic cases 10

𝑁 total population 14

𝑆 susceptible population 0.9𝑁

𝐸 exposed population 0.1𝑁

𝐼 infected population 0

𝑅 removed population 0

𝐷 public perception 0

𝐶 cumulative case 0

𝜇 emigration rate 0.0205

𝛽0 initial transmission rate 0.5

𝛽(𝑡) transmission rate at time 𝑡 0.6

𝜎 mean latent 1/3

𝛾 mean infected 1/5

𝜆 mean public reaction 1/11.2

𝑑 severe case value 0.2

Based on the above mathematical model, we solve the equation model with two methods of solving,

namely, the Euler’s method and the Heun’s method. Each of these methods has advantages and

disadvantages in predicting value. In the following, we describe the settlement methods.

Euler’s Method

One of the fundamental methods of numerical methods is the Euler’s method. Munir [(Munir, 2008)]

and Kosasih [(Kosasih, 2006)] state that the Euler’s method approaches in various ways, namely by

using the Taylor series and by using the quadrilateral rule. Given the first order ordinary differential

equation as follows:

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝑦) and initial values 𝑦(𝑡0) = 𝑦0.


91

The symbol of 𝑦′ represents the derivative of function 𝑓 where 𝑡 is the independent variable and 𝑦 is the

dependent variable. We denote

𝑦𝑟 = 𝑦(𝑡𝑟).

We shall approximate 𝑦-values at 𝑡𝑟 calculated by the Euler’s method. In this case 𝑡𝑟 = 𝑡0 + 𝑟ℎ with

𝑟 = 0, 1, 2, … , 𝑛, where ℎ is the time step. The Euler's method is derived by approximating 𝑦(𝑡𝑟+1)

around 𝑡𝑟 into the Taylor series as follows (Equation 1):

𝑦(𝑡𝑟+1) = 𝑦(𝑡𝑟) +(𝑡𝑟+1 − 𝑡𝑟)

1!𝑦′(𝑡𝑟) +

(𝑡𝑟+1 − 𝑡𝑟)2

2!𝑦′′(𝑡𝑟) + ⋯

(1)

so that if the equation is truncated to the third term, we obtain

𝑦(𝑡𝑟+1) ≈ 𝑦(𝑡𝑟) +(𝑡𝑟+1 − 𝑡𝑟)

1!𝑦′(𝑡𝑟) +

(𝑡𝑟+1 − 𝑡𝑟)2

2!𝑦′′(𝑡),

(2)

for a particular value of 𝑡 in interval 𝑡𝑟 < 𝑡 < 𝑡𝑟+1. Based on Equation 2 then,

𝑦′(𝑡𝑟) = 𝑓(𝑡𝑟 , 𝑦𝑟) and 𝑡𝑟+1 − 𝑡𝑟 = ℎ.

Then Equation 3 can be written as

𝑦(𝑡𝑟+1) ≈ 𝑦(𝑡𝑟) + ℎ𝑓(𝑡𝑟 , 𝑦𝑟) +ℎ2

2𝑦′′(𝑡)

(3)

With the first two terms of Equation 3, namely:

𝑦(𝑡𝑟+1) = 𝑦(𝑡𝑟) + ℎ𝑓(𝑡𝑟 , 𝑦𝑟) (4)

where 𝑟 = 0, 1, 2, 3 … , 𝑛. Equation 4 was the numerical scheme of the Euler’s method. This method was called the first order

method, because in the previous equation we only arrived at the first order term. Since the initial value

condition was 𝑦(𝑡0) = 𝑦0, then the equation from the Euler's method would be obtained as follows:

𝑦𝑟+1 = 𝑦𝑟 + ℎ𝑓(𝑥𝑟 , 𝑦𝑟)

with 𝑟 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛 and ℎ represents a step size value. Here we denote 𝑦𝑟 = 𝑦(𝑡𝑟).

So, based on this equation, if given a system of differential equations with seven dependent variables

as follows:







92



where the initial value is 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0, 𝑁(𝑡0) = 𝑁0, 𝐷(𝑡0) = 𝐷0

and 𝐶(𝑡0) = 𝐶0. So by applying the Euler’s method for the system of equations, it will be obtained:

𝑆𝑟+1 = 𝑆𝑟 + ℎ𝑓1(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (5)

𝐸𝑟+1 = 𝐸𝑟 + ℎ𝑓2(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (6)

𝐼𝑟+1 = 𝐼𝑟 + ℎ𝑓3(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (7)

𝑅𝑟+1 = 𝑅𝑟 + ℎ𝑓4(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (8)

𝑁𝑟+1 = 𝑁𝑟 + ℎ𝑓5(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (9)

𝐷𝑟+1 = 𝐷𝑟 + ℎ𝑓6(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (10)

𝐶𝑟+1 = 𝐶𝑟 + ℎ𝑓7(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (11)

with ℎ = 𝑡𝑟+1 − 𝑡𝑟 where 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0, 𝑁(𝑡0) = 𝑁0, 𝐷(𝑡0) =𝐷0 and 𝐶(𝑡0) = 𝐶0. Here 𝑟 = 0, 1, 2, … .

Heun’s Method

In this method, the solution we had in the Euler’s method was used as an initial estimate (predictor)

and then corrected using the Heun’s method (corrector). The derivation of the Heun’s method according

to Munir [(Munir, 2008)] and Kosasih [(Kosasih, 2006)] was as follows:

𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)).

The symbol of 𝑦′(𝑡) represented the derivative of function 𝑓 where 𝑡 was the independent variable and

𝑦 was the dependent variable. Readers interested in alternative methods other than the Euler’s and

Heun’s methods could consult with recent literature, such as Mungkasi [(Mungkasi, 2021)].

Next, we could integrate the two sides from 𝑡𝑟 until 𝑡𝑟+1 as follows:

∫ 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))𝑑𝑡𝑡𝑟+1

𝑡𝑟

= ∫ 𝑦′𝑑𝑡𝑡𝑟+1

𝑡𝑟

= 𝑦(𝑡𝑟+1) − 𝑦(𝑡𝑟)

= 𝑦𝑟+1 − 𝑦𝑟 .

Express 𝑦𝑟+1 in the left side and the other terms in the right side as follows:

𝑦𝑟+1 = 𝑦𝑟 + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))𝑑𝑡.𝑡𝑟+1

𝑡𝑟

(12)

The terms that contain the integral on the right side, ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))𝑑𝑡𝑡𝑟+1

𝑡𝑟 can be solved using the

trapezoid rule to be:


93

∫ 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))𝑑𝑡 ≈ℎ

2[𝑓(𝑡𝑟 , 𝑦𝑟) + 𝑓(𝑡𝑟+1, 𝑦𝑟+1)]

𝑡𝑟+1

𝑡𝑟

(13)

where ℎ represents the step size value. Next, we do the substitution Equation (12) to Equation (13) to

produce the following equation:

𝑦𝑟+1 = 𝑦𝑟 +ℎ

2[𝑓(𝑡𝑟 , 𝑦𝑟) + 𝑓(𝑡𝑟+1, 𝑦𝑟+1)].

(14)

This equation is an equation of the Heun’s method or Euler-Cauchy method which is improved. In

this equation, the terms on the right side contain 𝑦𝑟+1. That is, the value of 𝑦𝑟+1 is the solution of the

initial estimate or as a predictor calculated using the Euler’s method. So that Equation (14) can be written

as:

Predictor: 𝑦(0)𝑟+1

= 𝑦𝑟 + ℎ𝑓(𝑡𝑟 , 𝑦𝑟) (15)

Corrector: 𝑦𝑟+1 = 𝑦𝑟 +ℎ

2[𝑓(𝑡𝑟 , 𝑦𝑟) + 𝑓(𝑡𝑟+1, 𝑦(0)

𝑟+1)]. (16)

So, based on the description of the method, if given a system of differential equations with seven

dependent variables, namely:








where the initial value is 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0, 𝑁(𝑡0) = 𝑁0, 𝐷(𝑡0) = 𝐷0,

𝐶(𝑡0) = 𝐶0 with ℎ = 𝑡𝑟+1 − 𝑡𝑟 then for the system of equations for the Heun’s method is obtained as

follows:

Predictor:

𝑆(0)𝑟+1 = 𝑆𝑟 + ℎ𝑓1(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (17)

𝐸(0)𝑟+1 = 𝐸𝑟 + ℎ𝑓2(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (18)

𝐼(0)𝑟+1 = 𝐼𝑟 + ℎ𝑓3(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (19)

𝑅(0)𝑟+1 = 𝑅𝑟 + ℎ𝑓4(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (20)

𝑁(0)𝑟+1 = 𝑁𝑟 + ℎ𝑓5(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (21)


94

𝐷(0)𝑟+1 = 𝐷𝑟 + ℎ𝑓6(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (22)

𝐶(0)𝑟+1 = 𝐶𝑟 + ℎ𝑓7(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟), (23)

Corrector:

𝑆𝑟+1 = 𝑆𝑟 +ℎ

2[𝑓1(𝑆𝑟 , 𝐸𝑟 , 𝐼𝑟 , 𝑅𝑟 , 𝑁𝑟 , 𝐷𝑟 , 𝐶𝑟 , 𝑡𝑟)

+ 𝑓1(𝑆(0)𝑟+1, 𝐸(0)

𝑟+1, 𝐼(0)𝑟+1, 𝑅(0)

𝑟+1, 𝑁(0)𝑟+1, 𝐷(0)

𝑟+1, 𝐶(0)𝑟+1, 𝑡𝑟+1)],

(24)

𝐸𝑟+1 = 𝐸𝑟 +ℎ


+ 𝑓2(𝑆(0)𝑟+1, 𝐸(0)

𝑟+1, 𝐼(0)𝑟+1, 𝑅(0)

𝑟+1, 𝑁(0)𝑟+1, 𝐷(0)

𝑟+1, 𝐶(0)𝑟+1, 𝑡𝑟+1)],

(25)

𝐼𝑟+1 = 𝐼𝑟 +ℎ


+ 𝑓3(𝑆(0)𝑟+1, 𝐸(0)

𝑟+1, 𝐼(0)𝑟+1, 𝑅(0)

𝑟+1, 𝑁(0)𝑟+1, 𝐷(0)

𝑟+1, 𝐶(0)𝑟+1, 𝑡𝑟+1)],

(26)

𝑅𝑟+1 = 𝑅𝑟 +ℎ


+ 𝑓4(𝑆(0)𝑟+1, 𝐸(0)

𝑟+1, 𝐼(0)𝑟+1, 𝑅(0)

𝑟+1, 𝑁(0)𝑟+1, 𝐷(0)

𝑟+1, 𝐶(0)𝑟+1, 𝑡𝑟+1)],

(27)

𝑁𝑟+1 = 𝑁𝑟 +ℎ


+ 𝑓5(𝑆(0)𝑟+1, 𝐸(0)

𝑟+1, 𝐼(0)𝑟+1, 𝑅(0)

𝑟+1, 𝑁(0)𝑟+1, 𝐷(0)

𝑟+1, 𝐶(0)𝑟+1, 𝑡𝑟+1)],

(28)

𝐷𝑟+1 = 𝐷𝑟 +ℎ


+ 𝑓6(𝑆(0)𝑟+1, 𝐸(0)

𝑟+1, 𝐼(0)𝑟+1, 𝑅(0)

𝑟+1, 𝑁(0)𝑟+1, 𝐷(0)

𝑟+1, 𝐶(0)𝑟+1, 𝑡𝑟+1)],

(29)

𝐶𝑟+1 = 𝐶𝑟 +ℎ


+ 𝑓7(𝑆(0)𝑟+1, 𝐸(0)

𝑟+1, 𝐼(0)𝑟+1, 𝑅(0)

𝑟+1, 𝑁(0)𝑟+1, 𝐷(0)

𝑟+1, 𝐶(0)𝑟+1, 𝑡𝑟+1)],

(30)

with 𝑟 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛. The functions 𝑓1, … , 𝑓7 are the right-hand sides of equations in the SEIR-NDC

model.

RESULTS AND DISCUSSION

In Figure 1 and Figure 2, we observe the spread behavior of the Coronavirus with the SEIR-NDC

pandemic model using the Euler’s and Heun’s methods. In these figures, we see that initially the sub-

population of humans who are susceptible is large enough, but when 𝑡 goes large to approach infinity

the sub-population moves to a sub-population that is exposed, then move to the infected and removed

sub-populations. Based on the pictures, we know that when 𝑡 goes to infinity, the sub-populations of

humans who are susceptible, exposed, the infected decreases or in this graph it goes to zero where in

this case it can be said that the spread of the coronavirus will tend to stop. However, in the graph for

reported and unreported cases, as 𝑡 goes to infinity it will continue to rise (an upward function). This is

because 𝐶 is a cumulative case where the number of cases will be added from the first reported cases up


95

to time 𝑡.

Based on the presentation of the two images (Figures 1 and 2), the subpopulation that is susceptible,

the sub-population that is exposed, the sub-population that is infected, the sub-population of cured

humans (removed), the sub-population of humans as a whole (𝑁), and perceptions of the public

regarding the spread of Coronavirus (𝐷) will further decline towards zero. This means that based on this

simulation, over time the spread of the corona virus disease will become extinct due to human death and

emigration. However, when 𝑡 goes to infinity, both reported and unreported corona cases (𝐶) will

increase to approach the equilibrium point. Note that in our simulations, we used the timestep value ℎ =0.5.

FIGURE 1. Euler’s solution to the Coronavirus disease transmission system SEIR-NDC pandemic model. Here,

the horizontal axis is the time 𝑡 variable and the vertical axis is the 𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡)

variables.


96

FIGURE 2. Heun’s solution to the Coronavirus disease transmission system SEIR-NDC pandemic model. Here,

the horizontal axis is the time 𝑡 variable and the vertical axis is the 𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡)

variables.

SUMMARY

We have solved the SEIR-NDC model of COVID-19 using the Euler’s and Heun’s methods. The

simulation results of both methods are similar. This implies that we are confident with our research

results and that our numerical experiments are correct. We note that even though both methods produce

similar results, the Heun’s method is theoretically more accurate than the Euler’s method. Practically,

the differences between the Euler’s and Heun’s results are negligible. Research results indicate that both

methods can predict the spreading behavior of COVID-19. Further research direction could do the

application of numerical methods for the spreading problem of COVID-19 in Indonesia.

ACKNOWLEDGMENT

This work was financially supported by Sanata Dharma University. The authors are grateful for the

support. Some discussions with Mr. Laurent Simangunsong are acknowledged.

REFERENCES

1. Worldometers, COVID-19 Coronavirus Pandemic. https://www.worldometers.info/coronavirus/,

accessed on 20 October 2020 at 11.00 am WIB.

2. Satuan Tugas Penanganan COVID-19, Data Sebaran Covid-19 di Indonesia. https://covid19.go.id/,

accessed on 20 October 2020 at 11.00 am WIB.

3. A. Zein, J. Teknol. Inf. ESIT XV, 19–23 (2020).

4. R. Aulia, R.A. Sazlin, L. Ismayani, M. Sukiman, H.R.P. Negara, and K.R.A. Kurniawati, J. Pemikir.

dan Penelit. Pendidik. Mat. 3, 01–16 (2020).

5. S. Kholisoh and S.B.W. dan M. Kharis, Unnes J. Math. 1, 110–117 (2012).

6. Y. Yulida and M.A. Karim, Media Bina Ilm. Open J. Syst. 14, 3257–3264 (2020).

7. I.K.A. Atmika, Metode Numerik (Universitas Udayana, Denpasar, 2016), p. 1.


97

8. S.A. Widodo, Metode Numerik (Graha Ilmu, Yogyakarta, 2014), p. 4.

9. U. Nurofi’atin and A.M. Abadi, J. Eksakta 18, 106–120 (2018).

10. Q. Lin, S. Zhao, D. Gao, Y. Lou, S. Yang, S.S. Musa, M.H. Wang, Y. Cai, W. Wang, L. Yang, and

D. He, Int. J. Infect. Dis. 93, 211–216 (2020).

11. R. Munir, Metode Numerik: Revisi Kedua (Mizan, Jakarta, 2008), p. 366–373.

12. P.B. Kosasih, Komputasi Numerik: Teori Dan Aplikasi (C.V. Andi OFFSET, Yogyakarta, 2006),

pp. 380–384.

13. S. Mungkasi, Appl. Math. Model. 90, 1–10 (2021).

14. J. Lv and T.E. Simos, J. Math. Chem. 57, 1983–2006 (2019).

15. S. Liu, J. Zheng, and Y. Fang, J. Math. Chem. 57, 1413–1426 (2019).

16. Y. Yang, Y. Fang, K. Wang, and X. You, J. Math. Chem. 57, 1496–1507 (2019).

17. R. Hao and T. Simos, J. Math. Chem. 56, 3014–3044(2018).

18. R. D’Ambrosio, M. Moccaldi, B. Paternoster, and F. Rossi, J. Math. Chem. 56, 2876–2897 (2018).

19. V.N. Kovalnogov, R. V Fedorov, and T.E. Simos, J. Math. Chem. 56, 2816–2844 (2018).

20. K. Yan and T.E. Simos, J. Math. Chem. 56, 2454–2484 (2018).

21. V. Kovalnogov, R. Fedorov, A. Bondarenko, and T. Simos, J. Math. Chem. 56, 2302–2340 (2018).

22. Y. Fang, Y. Zhang, and P. Wang, J. Math. Chem. 56, 1924–1934 (2018).

23. A.M. Alqahtani, J. Math. Chem. 56, 1543–1566 (2018).

24. Y. Yang, Y. Fang, and X. You, J. Math. Chem. 56, 799–812 (2018).

25. J. Enrique Amaro, J. Dudouet, and J. Nicolás Orce, Appl. Math. Model. 90, 995–1008 (2021).

26. N.A. Kudryashov, M.A. Chmykhov, and M. Vigdorowitsch, Appl. Math. Model. 90, 466–473

(2021).

27. M. Rafiq, J.E. Macías-Díaz, A. Raza, and N. Ahmed, Appl. Math. Model. 89, 1835–1846 (2021).

28. M. Núñez-López, L. Alarcón Ramos, and J.X. Velasco-Hernández, Appl. Math. Model. 89, 1949–

1964 (2021).

29. H. Zhu, Y. Li, X. Jin, J. Huang, X. Liu, Y. Qian, and J. Tan, Appl. Math. Model. 89, 1983–1998

(2020).

30. J. Liu, L. Wang, Q. Zhang, and S.T. Yau, Appl. Math. Model. 89, 1965–1982 (2020).

31. L.L. Liang, C.H. Tseng, H.J. Ho, and C.Y. Wu, Sci. Rep. 10, 12567 (2020).

32. M. Nishio, S. Noguchi, H. Matsuo, and T. Murakami, Sci. Rep. 10, 17532 (2020).

33. R. Omori, R. Matsuyama, and Y. Nakata, Sci. Rep. 10, 16642 (2020).

34. R.K. Moozhipurath, L. Kraft, and B. Skiera, Sci. Rep. 10, 17705 (2020).

35. T.D. Pham, Sci. Rep. 10, 16942 (2020).

36. G. Xie, Sci. Rep. 10, 13120 (2020).

37. Ł. Jankowiak, L. Rozsa, P. Tryjanowski, and A.P. Møller, Sci. Rep. 10, 12512 (2020).

38. M.P. Pirraglia, G. Ceccarelli, A. Cerini, G. Visioli, G. d’Ettorre, C.M. Mastroianni, F. Pugliese, A.

Lambiase, and M. Gharbiya, Sci. Rep. 10, 17419 (2020).

39. J.-G. Wang, H. Cui, and H. Tang, Sci. Rep. 10, 17846 (2020). 40. G. Cacciapaglia, C. Cot, and F. Sannino, Sci. Rep. 10, 15514 (2020).

41. X. Jiang, L. Chang, and Y. Shi, Sci. Rep. 10, 14015 (2020).

42. C. Tsay, F. Lejarza, M.A. Stadtherr, and M. Baldea, Sci. Rep. 10, 10711 (2020).


98

LAMPIRAN 7: Sertifikat ICOLIST 2020


KAJIAN MATEMATIS DAN PENDIDIKAN ATAS MODEL …

Documents

Transcript of KAJIAN MATEMATIS DAN PENDIDIKAN ATAS MODEL …