K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R...

15

Transcript of K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R...

Page 1: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

�����

��� !�.3 �� ��� ���4' ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �41�9 ������ ��

%���: � �;��� ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� !�.3 �<=� !�: �� %���: � �;��� �1�& 77

��<>� �� ?�4 ���@��� �� ����4' A6: �� B�<� ��)� C� ������ �� �@���� +��� �� )� �� D/

+��� �1�& 77 ��� !�.3 !�: �� � �� %���: � �;��� ���/ ���06� +��� �1�& 77 ��� E����� +�F��

��. �: -�36' �� ���.� !�: �� %���: � E��,� +� G��� �� ���� �� ��, � �*�4 �� HI� J� �� �8<�

%������/� ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �� �68�

���� �����1�& 77 ��� �8��0' %K

�1�& 77 ��� %L�� HI� J� �� �8<� �1�& 77 ��� %M

��'�� ��5 ��06� %N���/ ��06� %O

��'�� ��5 �1�& 77 ��� ��06� %P�3( �8��0' ��.1) %Q

B

Page 2: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

���

��� !�.3 �� ��� ���4' ��'�� ��5 ���06� �� +��� ��1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �41�9 ������ ��

%���: � �;��� ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� !�.3 �<=� !�: �� %���: � �;��� ��1�& 77

���<>� �� ?�4 ���@��� �� ����4' � A6: �� B�<� ��)� C� ������ �� �@���� +��� �� )� �� D/

+��� �1�& 77 ��� !�.3 !�: �� � �� %���: � �;��� ���/ ���06� +��� �1�& 77 ��� E����� � +�F��

��. �: -�36' �� ���.� !�: �� %���: � E��,� +� G��� �� ���� �� ��, � �*�4 �� HI� J� �� �8<�

%������/� ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �� �68�

���@��` �8` ���� c�� ��06� ��� %)�� ���@��` �8` �� �����* ���� ����� �1�& 77 ��� ���06�

���06� �� �)Y ��06� ��� �41�9 �1 %��� E), ��,�� ����� ��� �� ����� ���<� �"�0 %)�,�� �

J�� ��'�� ���06� �41�9 �� ��'�� ��5 ���06� ����� d��� ���� �� ��� ��# C��� %��� ��'��

�06� � �4T� �U�1� ��� Z) +)$� �3( ���� � +��� ��<>� �� �� ��e� Z�_ ���� %)�� � �����,

�� �� � ���6�` J' H)� Z���<�� Z� E)�� �� �8<� ��'�� �4T� X�Y( �� �� �� � -69 X�Y( ���<�

Almost Cohen-Macaulayness �

Cohen-Macaulay �

Glaz �

Hochster �

Eagon �

Local cohomology modules �

Absolute integral closure �

Monomial conjecture �

K

Page 3: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

L � )0

��@�<` %)��< ��'�� ��)� �� ��'�� �4T� X�Y( �� �� �� -69 ���<� �&�� Z�� %��� � +�f ��

��� !�.3 ���� �� E)�� g� ��I� KbbL Z�� �� C8� ���� � +��� ���@��` �8` �"�0 �� �� E���

��� ���� �3��4' �;��� +)� �� �1�0 �� A6: Z�� ��� �� %��� E��8� ��`� ��'�� ��5 ���06� �� �1�& 77

�� ����� � � d�� �� %��� �1�& 77 ��� ��)@ �1�& 77 ��� ���06� ����/ �06� �� H)� !�.3

�� Z�� � �,h: �� )4� %����� �1�& 77 ��� ��'�� ��5 ���06� ���� �3��4' i69 ��� ����� j�*

M Z) RR ����: � %��� �;��� kA6:�1�& 77 ���l ��'�� ��5 ���06� ���� �3��4' � i69 ���

m��,�� ��,�� R �� p Z� Z�E)�� � ���� E�: � ��� A6: ���4 �� �1�& R���

K gradRp(pRp, Mp) = htM (p) .

+�� �� %��� � +�$� Glaz ���� �� �� !�.3 ��� � %��� L �� a Z��� E��� K gradR(a, L) +� �� ��

�� Z��� ��� A6: �h1 %��8� �1�& 77 ��� A6: 2��4' �� �� ), E��� ��n�� �o� �06� J� �� �1�_ �1�0

�� �� ��� �;��� ��'�� ��5 ���06� �� �1�& 77 ��� !�.3 ���� �3��4' +���� ���F> �� ��� p�9

�o� ) ���� C�# �� %)��$� �1�& 77 ��� �n�� �o� ���06� EI4� ��, �&� ��'�� �1�� �� 2��4'

%��, � �����: ��� E��� A6:

E��A: �� ��� �;��� ��'�� ��5 ���06� �� �1�& 77 ��� !�.3 ���� �3��4' +���� ���F> ����

m),�� ���� +� ���� ��� ��

%��, �&� ��'�� �1�� �� 2��4' �� 2��4' kKl

%)��$� �1�& 77 ��� �n�� �o� ���06� kLl

��'��/� �� ),�� +��> R �� ��=��&� �� ���� ��: G �1�& 77 ��� ���06� R )��� jA* kMl

��� ����/ �06� �� R EI4� ),�� ��`� +� ���� � )1����

RG := {x ∈ R : σ(x) = x for all σ ∈ G}

%��� �1�& 77 ��� RG ���( ��� �� %),�� ���� )�1�' ��

Cohernt regular �

Reynolds operator �

Page 4: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

M � )0

RG p�T�� %)��� � ���� ���/ R �� G \�� �Y' �� ��� R �� �(��� ����� �. ��q�T� �� �&�

%)�� � ���� ���/ R �� G \�� �Y' +��� �06� ��(�� �h1 %��� R �� �� �06� ���

�� )��� � k���, �$F��l ����� �� �&� �� ���/ ���06� ���r' ��� ?�4 B��� �� �� ��� �<'�

?�4 B��� � )0 �� �� ��8�A�� ����� %��� E), ��,h: +�� �� ���@��` �8` E)��� E��� �*�$�/ sq��

� �1��� ��� E)�<��� �� ���� ����� %)��� � ���@��` �8` �� �$�� �� �&� �� ���/ ���06� ���r' ��F��

�U�1�/�' �� Z�_ ���� %��� ���T��� 26�= �� ���, �� +���* ������� ����� ���/ ���06� ���r' )���

��8` ��)� R��8` \���� ���o� R�� ����: �� ���/ R ���8���' R �U�1���� ��.�: R ��8`

%��� ���@��` �8`

��� �. t���� �� �&� �;��� ���� %��� ���@��` �8` ���/ ���06� ���r' +�� �6��0' �� � �`�' �@��� ��

�� ��=��&� �� ��: G ���@��` ���06� R )��� j�* %���< ���3 �� ���� �� �� )� ���� � �1���

�� � �06� �� �(��� Eu��� %��� � v�� �� R �� �� +��� �06� ��(�� RG �� ���� � ������ %),�� R

?�4 ��� � ��� �� J��I� �6r< ��1� %)�� � ���� ���/ R �� G \�� �Y' A�� ������/ ��06� ��� �Y'

���8` +��� � ��� ��'�� ]�, +��� �n�� ]�8'�� �� �6r< ��� %),�� � ����86� KN �6r< ��

�'�:�� �� B�<� �e0� Z�_ ����� �6r< ��� ���� E��,� �� �<�� 291 �� �1�� %��� +�)� J� ��

�� %G := (F, +) )�� ���� ��� ���� ���)� F )��� j�* ��� ��� �� �� E��� Z�_ +)�� ���� %���

�06� �� �� G �� �$�� g(X + (X�)) := X + (X�) g(Y + (X�)) := X + Y + (X�) B�w��� ���w���

�� RG := F [X, XY, XY �, · · ·]/(X�) ����� �8��Y ��)�� �� %)�� � 2��4' R := F [X, Y ]/(X�) ��'��

R �� )��� j�* Z�� %�<�� G \�� �Y' �n�� ���(�� +��� ��'�� ]�, �h1 %��� ��'�� ��5 ���06�

��l ��, ��*�&, �� ),�� �490 ����� RG −→ R ��=���RRG ),�� X�Y( RG ��� ����/ �06� ��

�� �'�� �� �� �@��� ����� ���w��� �� %k),�� � ��`� \�� ��� ���� )1���� ��'��/� �� ����: � �1�� ���

�� �06� RG �� ���� � +��� ��<>� +�F�� �� �� E��A: d�� �� %��� ��'�� ���06� RG �� )�� +��' �

%��� �@��� ��� ��'�� ��5 �=<� �;��� !� Cw*�� � ?�)� �����. �� �&� %��� �1�& R��� ��'��

Matsumura ��

Eisenbud ��

Grobner Bases ��

Hilbert ��

Noether ��

Page 5: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

N � )0

x1�� ������� �06� !�.3 �� ��� ����� �1��� �� �� +��6�� A6: H)� C� ���� !�: ��1� ������ ��

��,�� ht(a) ≥ µ(a) ��(�� �� a Z� E)�� � ���� E�: � ��� x1�� ������� R ����: � %�����/ ��

M �� ����<�� 2�4T ��9� Z� ��.1� E)�� �q��@ wAssR(M) +� �� �� wAssR(R/a) = min(a) m��,��

WB ���� �� �� !�.3 ��� � %��� ���� ��� a )�1�' ���� �� ��� �06� �(��q �� ��)4' ������ µ(a) )��<

m�� )�'��8q �,�� �o� ) �1�& 77 ��� !�.3 ���� +��6�� �� �(��� �6�` �� %����� � ��� ��

%��� �1�& 77 ��� �� �06� R[X�, X�, · · ·] ���w��� �� %��� �1�& 77 ��� R )��� j�* m(H�)

�� ),�� � �1�& 77 ��� R E�F�� ),�� �1�& 77 ��� Rp �06� p Z� Z� E)��� ���� �� �:� m(H�)

%D&q

��� �� )�)` �3��4' �.�� %),�� � �� �1�� +��6�� �� -64� A6: H)� ������ �� !�: �����.

�� !�.3 ��� %�� �� � �1�� +��6�� ���4 �� +��� �1�& 77 ��� ���� � �� )���� �;��� +��� �1�& 77

� )4� �� R �� ��1�� �� ����� %)����� E����� �� kLl kKl y���, �.�� %��, � E��� ��&� HM ����

%)���� ����� (H�) (H�) �� ?�� J� ����� %)�� E��� ���n kMl ),�� R �� ���� ����� G �8'�

%��, +��� ��)4� �� ���: �� )���' � +��� �1�& 77 ��� ��'�� ���06� �� �� ���� � +�$� ����

���4 �� �1�& R��� R ����: � %),�� R �06� ��.1� E)�� �� �.'�� �� �����: Σ �� )��� j�* Z�_ ����

m��,�� ��,�� a ∈ Σ Z� E)�� � ���� E�: � ��� Σ

K grad(a, R) = htR(a).

Spec Z� f.g.ideals ��� � )� 1� ' � � ��. 1� E) �� � ����: � � � %� �� � +�$� Σ ��� � � � �� !�.3 ���

%���� � G�� �.`�' ideals �.1� E)�� � ��' �����: Max Z���<��

�1�� �� �1�& 77 ��� 2��4' ���� �)�)��� J� +���q �� �� "�� �� E), E��,� 2���4' �� J� � +����

+�� y�� � �� ���� %)��<�� � �� � � A1 ��'�� ��5 �1�� �� ���h �� 2��4' %�*�: �o� �� ��'�� ��5

Hamilton ��

Bourbaki unmixed ��

Weakly associated prime ��

Marley ��

Page 6: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

O � )0

m�� )�'��8q ���h �� 2��4'

Max ⇐ Spec ⇔ ideals ⇒ Glaz ⇒ f.g.ideals ⇒ HM ⇐ WB.

%Spec ⇒ WB �� ��� � +�$� ��� �n�� �06� �� ��1�� �� �����

m�� �<'��8q "�� 2���4' ��q�� ��8n� ���� � �)�6� �� �1 �� �&�

�� �� �� � � �� � � � � � � � ��� �-R � � M � R � � � � �� � � �� �� a � � � �� � �� �� � ��

�K gradR(a, M) ≤ htM (a) ��� ��

d���' E��� ���� z�* �1 �� E), �;��� ��< �� �� )�� � �o� �� ���T i69 ��� ��#

E. gradR(a, M) := inf{i : ExtiR(R/a, M) �= �}

�� M +�> ���� )�1�' �� �1) -R a C_ �1� E)�� �� R C_ ���06� +��' � ��4� %),�� ��� ����

m�� ��� +��>

E gradR(a, M) > htM (a).

%)��� �4`�� N%N%K Z�_ ��

m)�� � ^0� �� ��� !��:��� �� E), �q�� y�� � !� Cw* �� !�� \=� �� E), �;��� ��.1�_

f.g.ideals ⇐ Max ⇔ HM ⇒ f.g.ideals, HM ⇒ WB.

"�� �� E) � 2���4' � ��' �� �� ���� � ��'�� ��5 �� �06� �� �� �.1�_ !� Cw* �� !��.> \=� ��

��� ����� +�$� E), �;��� Z�_ ��1� �� %��� ��'�� �1�& R��� R )��� j�* %)��< �1�& 77 ���

��f� ���.� �� ��.�� �6�` )�> �06� ��

R[X�, X�, · · ·] :=∞⋃

i=�

R[X�, · · · , Xi]

Page 7: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

P � )0

X�Y( ���<� +��� �1�& 77 ��� �� D{� %��� kE) � "�� �� �� �3���4' � ��' ��l �1�& R��� �� �06�

%�����/ ����� kE) � "�� �� �� �3���4' � ��' ��l p �w=$ �� C �� �� �06� � C �� ���<� -69

��'�� ��5 �1�& 77 ��� ���06� �� ��F�� 2��4' A6: H)� C� ���� !� Cw* �� \=� ����� ��

%��� ��� ��e� !� Cw* �� � �@��� �����. %��� � �;���

E��A: �� ��� �;��� +��> ��'�� ��5 ���06� �� �1�& 77 ��� !�.3 ���� �3��4' +��' � �����

m),�� ���� +� ���� ��� ���: t�/ ��

%��, �&� ��'�� �1�� �� 2��4' �� 2��4' kKl

%)��$� �1�& 77 ��� �n�� �o� ���06� kLl

�� ��=��&� �� R �� ��h/ +�� ���8'� �� ���� ��: G �1�& 77 ��� ���06� R )��� j�* kMl

)�1�' �� RG ��� ����/ �06� �� R EI4� ),�� ��`� +� ���� �� )1���� ��'��/� �� ),�� +��> R

%��� �1�& 77 ��� RG ���( ��� ��%),�� ����

�1�& 77 ��� �� �06� R[X�, X�, · · ·] ���w��� �� %��� ��'�� �1�& 77 ��� R )��� j�* kNl

%���

%),�� � �1�& 77 ��� R E�F�� ),�� �1�& 77 ��� Rp �06� p Z� Z� E)��� ���� �� �:� kOl

� +���/ �� k26�= 2���4' ��l ���/ �� �06� +��� �1�& 77 ��� �41�9 �� !� Cw* �� �� ��� ��� �

%�����

�� ���� �� J� �� %��� ��*�: ���� �`�' ��� ���@��` �8` +�� �� �� +), �3( �8��0' !�3 �����

�� �� )4� �� �4T� X�Y( �� �� �� �4T� �U�1� ��� Z) �� � +), �3( �8��0' +��� +�$� ��

��� �� % k)���8� �� |MV}l ��� E���� ��8n� �� ���6�` J' H)� Z���<�� Z� E)�� �� �8<� ]�6= �w=$

perfect closure �

Reynolds operator ��

Almost vanishing ��

Heitmann ��

Page 8: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

Q � )0

��� �� ���06� �8��0' ���o� |KP} �� DF���1�* �� -��q �� �1�0 �� �� ���� ��F� �� �� � � �� �8: �F��

+��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �' �,�� +� �� �� �� D'��� -��q �� ��� ��� % k)���8� �� |LN}l )�� E��.�

��e� �� �6�` J' H)� �� +��� �1�& 77 ��� �8��0' ���� +)�� ���� %)� ���� G�� �.`�' ��� ��

�.1) ��=��� �.1) ���� �� �3( �8��0' ��.1) ���F�� E��� ��)�� �� %)���8� �� kE) � ��� �� ��l M%V

�.1) ���� ���� �4T� �� )�)` ���� %)���� ��F�� )�)` ���� �� �� ������5� �w�q ���$ �$0�

�8��0' !�.3 ��&� ��� ~��h/ �� %��� E), C(�� �3( �8��0' ��.1) HI� �� �8<� �.1) ��=���

E), �4T� ���� �� A �4�8� ���w' +��� �1�& 77 ��� !�.3 �� ���$ �$0� A �06� +��� �1�& 77 ���

%),�� � �.1) �� Eu� ��I� �� �8<�

�8��0' ��.1) �� �� �����: �� ��, �� \�/ ���� %),�� ��� J� ���@��` ���06� R )��� j�*

%����3(

E�: � ����: �3( �8��0' �� M Z) RR %),�� a� = a ��(�� �� R �06� �� �1� E)�� a )��� j�* kKl

%)���8� �� |LN} ��$�� ���;A` ���� %��� � � �8: �� -64� 2��4' ��� %aM = �

\���� c�/n �� �� c �3� �� X�Y( �� �$�� !��' �� ),�� R �06� �� �3( �� ��w�q c )��� j�* kLl

�� �� n ���� c�/nM = � E�: � ����: �3( �8��0' �� M Z) RR %)��, �*�� R �� )��, � E���

%)���8� �� |KP} ��$�� ���;A` ���� %��� DF���1�* �� -64� 2��4' ��� %W�A� �*�� E��)��

�� V +�> �� ��<<: E��� �06� ���( ��� �� %��� ��'�� �4T� ���� �� (R, m) )��� j�* kMl

E��� �06� V +�> %���� ���� m �� +� Z���<�� Z� E)�� �� ��, � �*�� +��> R ���<� +�)�

E��� �,�F � ��� +�� ' � %��, � �*� � v : R −→ Z ∪ {∞} +�> �� E� �� �,�F � ��� � �<<:

+�> �� E� �� �,�F � � � ��� d ��� ' ��, � E��� \��� � R+ � � � � R -69 X�Y( �� �< � � � ��

kv E� �� �� �8<� l�3( �8��0' M Z) RR+ �� ���� � ������ Z�� %)��� v : R+ −→ Q ∪ {∞}

Gabber ��

Ramero ��

Faltings ��

Almost ring theory ��

Roberts ��

initial object ��

Page 9: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

S � )0

+��> v(a) < ε ��(�� �� a ∈ R+ C_ ��w�q ε > � � ���� m ∈ M � ���� E�: � ���

�06� !��' �� �� 2��4' ��� +��' � l %��� D'�� � �� -64� 2��4' ��� %am = � �� ��, �*��

%k��� ~��<: ��E� �� �� �8<� J>�� �*�� �)� �� �� E� �� �� ��(��q ����� �� ���

m������{� ��'�� ��5 �� �06� �41�9 �� �' �,�� +� �� �� � ��� E��� �,�����

�@��� �3( �8��0' Z) ��` " �� ���: �� �"�� �� J� � �� �.�)� �"�� �� �o�*�( �� �� � ��� �

%��� ��'�� ��5 �� �06� ���/ �06� �� ��� )���

��� ���/ �� ��F��� �� x�, · · · , xd %),�� d )4� �� ��'�� �4T� �� �06� (R, m) �� )��� j�* Z��

�� ���� � +��� ��<>� �� �6�` J' H)� ���w��� �� %)���F� R ����

xt�· · ·xt

d /∈ (xt+��

, · · · , xt+�d )R.

H)� E�F�� ),�� ������ X�Y( �� �� �� ���� �� �6�` J' H)� �:� �� ���, � ��h� %t ≥ � +� �� ��

���' ���o� �� �8<� R+ +��� �1�& 77 ��� %��� ������ ��'�� �4T� �� �06� �� ���� �� �6�` J'

%��� � +�f �� �� �� �� �6�` J' H)� v E� �� y��' E), �����

m��� �� H������� � c��� D'�� � �� B�<� ��� �@���

����� ����� �� R � ����� ����� � ����� ���� ��� ���� (R, m) ���� ��� �� �� � ����

���� (R, m) ��� � � !" #� $�% &�'�( )���� � &* �� +,-� �.�/� 00 1��� �,2�3� �� ���� A 4�5

�+�

� M%N \=� �� ���� �� �1")��� i1�9 +), C �� ���� ����� E)����� Z�� E�*� �� �:��� ���� �

%����

�� �3( �8��0' ��.1) �� ���, � +�$� ���� +��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �� +), A.@ ����

m )��< ���$ ��� G���

�.��=���RR �.1) RR �� ��� E�'�� -��� ��,� �� kKl

� −→ L −→ M −→ N −→ �

Singh �

Srinivas ��

Page 10: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

b � )0

%)�,�� �3( �8��0' L N �:� �.�' �:� ��� �3( �8��0' M

%),�� � �3( �8��0' ��)@ �3( �8��0' ��.1) �� ��0�< ��)�.` E�F��� � ��0�< )� kLl

���o� )�� z��( ]�, � � �� �� ��� �����: �� �� �� HI� )�� z��( kKl ]�, �� �� ��� �����: ��

%)���: �� ���'

�� �� HI� �� �8<� +��� �1�& 77 ��� !�.3 �� )�)` �3��4' �� �,�� +� �� �� � z�* ��)�$

m��� �;���

���� )�1�' �� �1) RR �� M %),�� �.1) RR �� �� HI� J� T ��� ��'�� ���06� R )��� j�*

,�� �4T� �U�1� ��� E��� ���3 %���� � ������ a Z� E)�� ���� �)1� �q��@ �� x := x�, · · · , xn

m)��, � 2��4' ��� �0��� �� i�'�' �� �� S �� HI� �� �8<� a �� M �� d���' �� Z���

S − H. gradR(a, M) := inf{i : Hia(M) /∈ S} kKl

S − K. gradR(a, M) := inf{i : Hi(K(x; M) /∈ S} kLl

S − E. gradR(a, M) := inf{i : ExtiR(R/a, M) /∈ S} kMl

�� a �� J��I� E��� a �� S �� HI� �� �8<� Z���<�� 2�4T ����,�RM Z�� ����$�� �� kNl

%���� +�$� S − c grad(a, M) ���� �� �� +� ����:� S �� HI� �� �8<� M

�8<� �1�& 77 ��� M ���� )�1�' �� Z) RR �� %),�� ��'�� �4T� ���06� (R, m) )��� j�*

m��,�� ��,�� i = �, · · · , � � x�, · · · , x� C_ ��� ���/ �� E�F��� � ���� E�: � ����: S �� HI� ��

((x�, · · · , xi−�)M :M xi)/(x�, · · · , xi−�)M ∈ S.

Serre class ��

Torsion theory ��

Local cohomology grade ��

Koszul grade ��

Ext grade ��

classical grade ��

Page 11: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

KV � )0

��� C_ ��� �3 �� ��� �8�` +��' � �� ��.�I� �� i��� ���.��=��� �� )��E ), �`�� �� ��� +��

�� HI� �� �8<� �1�& 77 ��� ���r' ���� ��� �� �� ����*�� ���4' Z) ��6�* ��Z) ��6�* , �1�& 77

%��� E), E��� !�� Cw* �� �� HI� ��� �� �8<� �1�& 77 ��� G��� %��� �41�9 ��

��� S �� HI� �� �8<� ���� )�1�' �� �� Z) �� �.1� E)�� E��� !�.3 !�� Cw* �� Z� \=� ��

+�<&� kLl kMl kNl 2���4' �� ���� � +��� !�� Cw* �� Z� \=� �@��� �����. %���: � ���� �����

%��� ����� kLl kMl kNl �� A�� kKl ),�� ���' ���o� S�:� )��<

� 2��4' S �� HI� �� �8<� M Z) �� a Z� E)�� [�3'�� !�.3 !�� Cw* �� !� \=� ��)��� ��

�8<� �1�& 77 ��� �� )�A� H)� E)����� ��� �&� %��� ����� +�$� S − htM (a) ���� �� ���� � %���:

� +�$� ��� E��A: �� ���9��� %),�� S − htM (a) = S − c grad(a, M) ��<' �� Z��4 �� HI� ��� ��

m ���� � 2��4' ��<�� ���� H)� ��� )�

S − SuppR(M) := {p ∈ SuppR(M) : R/ p /∈ S}.

%��, � 2��4' S − SuppR(M) �� ���$ ~� �� S − AssR(M)

#2 M ���� ��� ��2��'� �6.���7R * �� $8� #2 S � ����� � �3 % (R, m) �� �� � �����

���.���� �2* ��� 9� ���&: ;�<�2 � ����� ����=� ��.�� �� >���7R

� +� S �� $8� �� +,-� �.�/� 00 1��� M kKl

� +� �.�/� 00 1��� Mp ?2� p ∈ S − SuppR(M) �� �* �� kLl

htM (p) + dim(R/ p) = dimM.

?2� p ∈ S − SuppR(M) �� �* �� kMl

S − E. gradR(p, M) = S − htM (p) = htM (p)

filter module ��

Generalized filter module ��

Page 12: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

KK � )0

htM (p) + dim(R/ p) = dimM.

�depthRp(Mp) = dim M − dim(R/ p) ?2� p ∈ S − SuppR(M) �� �* �� kNl

4( � � � dim(R/ p) = dimM − i ? 2� x�, · · · , x� @ A � M �� �� �� = �� B * &� ' = �� � � �� � kOl

�p ∈ S − AssR(M/(x�, · · · , xi)M) � � ≤ i ≤ d := dimM

C?���� �=�� S − SuppR(M) ∪ {m} * q ⊆ p �� ��� kPl

ht(p / q) + htM (q) = htM (p) DE.

+� �.�/� 00 1��� Mp DF

�dimM = dim(R/ p) &�'�( p ∈ Min(S − SuppR(M)) &�8�� � DG

���� ����� ��� � �06� ��)&� ��=��� �� HI� J� �� �8<� +��� �1�& 77 ��� ]�8'�� ��� ��

���� )�1�' �� Z) RR J� �� M ,�4T� ��)&� ��=��� �� f : R −→ A ��o� ��� ���� %���: �

HI� �� %���� � ������ �.1) RA �� �� HI� J� �� S

Sc = {M ∈ R−Mod|M ⊗R A ∈ S}

%��� �.1) RR �� �� HI� J� Sc �� )�� +��' � ����� �� %���� � �`�' �.1) RR ��

>���7R #2 M ����� ����� +��/2 �=H2�!� #2 f : (R, m) −→ (A, n) ���� ��� � �� � ����

�� +,-� �.�/� 00 1��� M ⊗R A ;�<�2 � ����� �6.���7A * �� $8� #2 S � ����=� ��.�� ��

C����� �� �� �2* ��� &: � �6���� +� S �� $8�

�+� Sc �� $8� �� +,-� �.�/� 00 1��� M kKl

����� �.�/� 00 1��� Aq

f−�(q)Aq�3 % q ∈ S − Supp(M ⊗R A) �� �* �� kLl

?���� �=�� q ∈ S − Supp(M ⊗R A) �� �* �� kMl

Page 13: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

KL � )0

ht(q/f−�(q)) + dim(A/q) = dim(A/f−�(q)A).

�� � � ) � 1� ' � � Z) RR J� �� M � 4T� �� � 0 6 � �� (R, m) �)4 � �@ � � � � ;��� �� � ��� ��

�� � � a(M) := a(M). · · · . ad−�(M) ) � � ��� � i = �, · · · , d − � � ��� � %) � � � �� � � �� d ) 4 � ��

�&��� �� HI� J� �� �8<� �1�& 77 ��� +�� ]�8'�� ��� ��e� �� %ai(M) = AnnR(Him(M)) +�

m��, � E��� R/a(M) ∈ S

#2 M ���� ��� ��2��'� �6.��� 00 R * �� $8� #2 S � ����� � �3 % (R, m) �! �� � ����

����� �"���2* ���&: �� ����� ����=� ��.�� �� >���7R

R/a(M) ∈ S kKl

�+� S �� $8� �� +,-� �.�/� 00 1��� M kLl

&�'�( ���� �12�=I�� �3 % #2 * �2���B �2�<� R � ���� �� �J�=� DKL &�!� DML ;�<�2 �

����� �� N��� :�� O���� 12 P/Q

�06� J� �� ���,�/ ���w' �� �4T� �� �06� �� (R, m) !�� Cw* �� �6(� �@��� ����� �;��� ����

���w��� �� %���� � ������ ��� �1�& 77 ���

NCM(M) = {p ∈ Spec R|Mp is not Cohen − Macaulay}

����� aM +�> �1� E)�� ���� � � �h 1 %��� ��<� �� �q��@ Spec(R) �� �&<���� �U� 1� /� ' � � �8<�

%��� ��&� Z�&���� )� �' Z� E)�� ��� %NCM(M) = V (aM )

� ���� ��=R +� �.�/� 00 1��� �3 % #2* �2���B �2�<� �� ����� � �3 % (R, m) �" �� � ����

Gorenstein �

Zariski topology ��

Page 14: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

KM � )0

���&: ����� ����=� ��.�� � � >���7R #2 M ���� ��� ��2��'��6.���7R * �� $8� #2 S

���.�����2*

�p ∈ min(S − Supp M) �� �* �� dimM = dim R/p 1��S!� � R/aM ∈ S kKl

�+� S �� $8� �� +,-� �.�/� 00 1��� M kLl

i1 �9 d���' ���� �,I' �1��� !��.> Cw* ��� E) � !�� Cw* ���� �� ��� EA�F�� +�� H��� ��

�8` �� J�U�1�� �. ����A�� �� �&� %),�� � ���' ���o� ��'�� ��5 ���06� �� !�� Cw* �� ��`�

��&</ �1 �� ����4' !��.> Cw* �� � ��� )�6� %��� �� �=�{�� �� ��&</ �� �� ?�4 ��1 ���@��`

%)���8� �� KL%K%N �1 %��� �=�{��

J� +� %T (L) := {N ∈ R−Mod| SuppR N ⊆ SuppR L} ��� � ��� � L +�> Z) RR � ��� �

� ��'�� �� �06� �� �� )�� ����� !�� Cw* �� %��� ��<� ��0�< d�` �Y' �� ��� �� HI�

� A1 ���' ���o� � ��'�� ��5 �� �06� �� )�� ����� �� ��9��� ���3��� %��� ���: ��� �� ���' ���o�

!�* �� L +�> �1) RR ���� �� �� ���' ���o� �� %�<�� ���: ��� ��

T (L) := {N ∈ R−Mod| SuppR N ⊆ SuppR L}.

2���4' [���� +�� �� �<��0 �=�{�� ��&</ �1 ���4' �� E��3��� �� %����: � ��h/ \���� ���' ���o� ),��

��e� ��Y��( ��9� %��� ����� �;��� ���' �� ���o� �� �8<� �.1) �� �.1� E)�� E��� !�.3 �� 26�=

%��� ����� ��8n� �� ���

� +� ����=� ��.�� �� a �� ���� ��� ��2��'� >���7R #2 M � ���� �2�T� T �# �� � ����

C��=-� ���� �2* ��� &: ;�<�2

�T − C. gradR(a, M) = T − K. gradR(a, M) kKl

T �2 � �U��� R �/�( V�� �� T −E. gradR(a, M) = T −K. gradR(a, M) = T −H. gradR(a, M) kLl

����� �2WB 92�!�

Lemma Acyclicites ��

Peskine ��

Szpiro ��

Page 15: K R ,M L K ,Lmath.ipm.ac.ir/commalg/Thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , R p Z Z E) E: A6: 4 1& R Kgrad R p (pRp,Mp)=ht M(p). + % + $ Glaz ! . 3 % L a Z E Kgrad R (a,L) + Z A 6:

KN � )0

%��� ��� ���� �� !��.> Cw* �� �F�� �@���

?T��7M ��<�Q x ∈ a � R * ����=� ��.�� � � �.( &�2 a )>���7R #2 M �$ �� � ����

���=-� ���� �2* ��� &: ;�<�2 � ��2��'� ���� �2�T� T � T �� +,-� E���

�T − K. gradR(a, M) = T − K. gradR(a, M/xM) + � kKl

�T − C. gradR(a, M) = T − C. gradR(a, M/xM) + � kLl

�T − E. gradR(a, M) ≤ T − E. gradR(a, M/xM) + � kMl

T − H. gradR(a, M) ≤ T − H. gradR(a, M/xM) + � kNl

����� �2WB 92�!� T �2 � �U��� R �/�( V�� �� +� ���� ���-� DXL � DYL � kOl

m)�� E), C( �� �1��� ��� �� ��`� i1�9 �� ��� �� �1 �0

Cohen-Macaulayness with respect to Serre classes, Illinois J. Math. 2009, 67–85. kKl

On the notion of Cohen-Macaulayness for non Noetherian rings, J. Algebr 2009, 2297-2320. kLl