MoreMoreServices on DemandArticleArticle in xml formatArticle referencesHow to cite this articleCurriculum ScienTIAutomatic translationSend this article by e-mailIndicatorsCited by SciELOAccess statisticsRelated linksShareermalin!Journal of the Brazilian Society of MechanicalSciencesPrint version ISSN 0100-7386J. Braz. Soc. Mech. Sci. vol.22 n.2 Campinas2000http://dx.doi.org/10.1590/S0100-73862000000200015 Uma Reviso sobre a Parametrizaode Rotaes Finitas na Dinmica deCorpos RgidosM.A. rindadeR. !ampaioPontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro.Departamento de Engenharia Mecnica. Rua Marqus de SoVicente 225. Gvea. 22453-900. Rio de Janeiro. RJ. Brasiltrindade@mec.puc-rio.br , rsampaio@mec.puc-rio.brhttp://www.mec.puc-rio.br/prof/rsampaio/rsampaio.htmlEste trabalho tem por objetivo apresentar possveis parametrizaes de rotaesfinitas, dando especial nfase descrio do operador rotao em termos dosparmetros mais utilizados na literatura !ma descrio intrnseca do operadorrotao e de suas propriedades " apresentada Em se#uida, este operador "utilizado para descrever a cinem$tica espacial de corpos r#idos Parmetros comon#ulos de Euler e de %r&ant, parmetros de Euler e de 'odri#ues, vetor rotao,vetor rotao conforme, e (uaternios so apresentados, assim como suas relaesProblemas como pontos de sin#ularidade e propriedades de diferenciabilidade sotratados )omparaes entre os diversos sistemas de parametrizaes soapresentadas e concluses finais acerca das vanta#ens e desvanta#ens de umadada parametrizao so formuladasIntroductionA parametrizao de rotaes finitas tem sido objeto de continua anlise devido a suaJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...' %e -& ,,/&./,&'. '':&&extensa aplicao pesquisa aeronutica e aeroespacial. Entretanto, o primeiro estudo sobrerotaes foi publicado por Euler em 1776. Vrios livros clssicos de Dinmica (Arnold, 1976,Goldstein, 1980, Meirovitch, 1970, Whittaker, 1965) apresentam conhecimentos bsicos dacinemtica de corpos rgidos, porm sem detalhar a parametrizao de rotaes finitas. JBottema e Roth (1979) e Angeles (1988) se dedicaram cinemtica propriamente dita.Adicionalmente, uma introduo simples lgebra de rotaes pode ser encontrada em(Mayer, 1964).Atualmente, o problema da representao de rotaes finitas continua sendo bastanteestudado. Alguns autores (Cardona, 1989, Rochinha e Sampaio, 1996b, Trindade, 1996)apresentaram a importncia da anlise de rotaes finitas na dinmica tridimensional demulticorpos. O desenvolvimento da anlise no-linear de estruturas, motivado principalmentepelo estudo de estruturas geometricamente no-lineares e de estruturas sujeitas a grandesdeslocamentos, despertou o interesse da comunidade de dinmica estrutural narepresentao de rotaes finitas (Bathe e Bolourchi, 1979, Betsch, Menzel e Stein, 1998,Ibrahimbegovic, Frey e Kozar, 1995, Simo e Wong, 1991). Argyris (1982) e Atluri e Cazzani(1995) apresentaram uma reviso de rotaes finitas e de suas aplicaes dinmicaestrutural.Mais precisamente sobre a parametrizao de rotaes, uma discusso sobre a necessidadede cinco parmetros para representar globalmente rotaes apresentada por Stuelpnagel(1964). Sistemas com quatro parmetros, como quaternios, so suficientes para representarrotaes na prtica, com apenas um parmetro redundante. Neste trabalho, mostra-se que agrande vantagem de utilizar o nmero mnimo de parmetros, i.e. trs, de eliminar aredundncia nos parmetros de forma no originar equaes de vnculo. Mesmo se, nestecaso, singularidades na representao so inevitveis (Stuelpnagel, 1964). Maioresdiscusses sobre singularidades podem ser encontradas em (Sampaio e Trindade, 1998).Uma reviso geral sobre diferentes sistemas de parametrizao foi apresentada por Gradin eRixen (1995).O objetivo deste trabalho apresentar uma reviso das possveis abordagens para oproblema da descrio da cinemtica espacial de corpos rgidos, que consiste basicamenteem descrever as rotaes finitas de corpos rgidos. Este estudo bsico para a modelagem,simulao, anlise do comportamento dinmico de estruturas.Inicialmente, ser apresentada uma descrio intrnseca do operador rotao, i.e., sem o usode componentes, atentando para as principais propriedades do operador. Em seguida, serodescritos o movimento geral de um corpo rgido e os seus campos de velocidades eaceleraes.Posteriormente, sero apresentadas diversas abordagens para a parametrizao de rotaesfinitas. A representao de rotaes finitas objetivo de intensivo estudo e numerosostrabalhos nesta rea vem sendo apresentados ao longo da ltima dcada. No objetivodeste trabalho esgotar o assunto de parametrizao de rotaes finitas, mas sim, apresentaruma discusso acerca dos mais importantes sistemas de parametrizao encontrados naliteratura.Sero apresentados os seguintes sistemas de parametrizao:ngulos de Euler e ngulos de Bryant - fornecem uma caracterizao geomtrica da rotao.So os sistemas de parametrizao mais encontrados na literatura de Dinmica,principalmente, por apresentarem fcil visualizao do problema.Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&..., %e -& ,,/&./,&'. '':&&Parmetros de Euler, Parmetros de Rodrigues, Vetor Rotao e Vetor Rotao Conforme -derivam do teorema de Euler acerca da representao de rotaes finitas em termos dosinvariantes (eixo e ngulo de rotao). Possuem a vantagem de no serem especficos paradeterminados problemas como os ngulos de Euler e Bryant, sendo, em princpio, maisapropriados para o estudo de problemas gerais.Quaternios - trata de forma bastante peculiar e elegante o problema de rotao. Permitecombinar rotaes sucessivas atravs da multiplicao de quaternios, causando um nmeromnimo de operaes algbricas.Estas diferentes abordagens e suas relaes sero apresentadas. Problemas como pontos desingularidade e propriedades de diferenciabilidade sero tratados. Atravs da comparaodos diversos sistemas de parametrizao, sero apresentadas concluses finais acerca daconvenincia de uma dada parametrizao, i.e., suas vantagens e desvantagens.Descrio Intrnseca do Operador de Rotaes FinitasSeja o operador linear R, representado na figura 1, tal que" = R# (2.1)A imagem de X obtida atravs de uma rotao na qual seu mdulo permanece inalteradoqualquer que seja R. De modo que podemos escrever# T# = "T" = #TRTR#(2.2)donde, podemos observar queRTR=$ (2.3)portanto RT=R-1, o que significa que o operador R pode ser representado por uma matrizortogonal.Sabendo que os vetores Ei formam uma base ortonormal E, temos (2.4)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...) %e -& ,,/&./,&'. '':&&e, portanto, (2.5)Da mesma maneira, sabemos que os vetores ti formam uma base ortonormal t (2.6)e, portanto, (2.7)Vamos definir, ento, as matrizesA = [%1%2%3]e& = [t1t2t3] (2.8)que, devido s equaes (2.5) e (2.7), tm determinante unitriodet(A) = 1edet(&) = 1(2.9)Sabendo que os vetores ti da base t tambm so transformados pelo operador R, tal que, podemos observar que& = R A (2.10)e, portanto, podemos afirmar quedet(R) = +1(2.11)o que mostra que o operador R pode ser representado por uma matriz ortogonal e prpria.Consideremos o conjunto {l 1, l 2, l 3} e o conjunto {h1, h2, h3} como os autovalores eautovetores do operador R, respectivamente. Portanto, podemos escrever:R' i = l i ' i ( i = 1,2,3 )(2.12)Podemos, ento, concluir que o produto dos autovalores de R igual a 1.det(R) = l1l2l3 = 1(2.13)Alm disso, de (2.12), podemos escrever (2.14)Como foi verificado anteriormente, o mdulo de um vetor que efetua uma rotao purapermanece inalterado, de modo que todos os autovalores tm mdulo unitrio (2.15)Como R um operador 3/3, a equao caracterstica de R uma equao cbica em l . ComoR real, esta equao deve possuir pelo menos uma raiz real. Devido ao fato de que omdulo dos autovalores unitrio, esta raiz real s pode ser 1.Consideremos, ento, todos os possveis autovalores de R. Todos os trs autovalores noJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...- %e -& ,,/&./,&'. '':&&podem ser reais e diferentes, pois razes reais s podem ter valores 1. Se todos osautovalores forem reais e dois deles iguais, o que diferente deve ser +1, seno odeterminante de R no poderia ser +1. Com exceo da soluo trivial onde todos osautovalores tm valor +1 (que representa a matriz identidade), a nica possibilidaderemanescente um autovalor real e outros dois complexos conjugados. Mas, os autovalorescomplexos conjugados possuem mdulo unitrio e, consequentemente, seu produto igual a+1, portanto o autovalor real deve ser +1.Como foi verificado, qualquer transformao ortogonal no-trivial representando omovimento de rotao de um corpo rgido tem um, e apenas um, autovalor igual a +1. Estaafirmao pode ser reescrita atravs do teorema de Euler: o movimento geral de um corporgido com um ponto fixo equivalente a uma rotao em torno de algum eixo.Consideremos a matriz 0 como sendo a matriz dos autovalores de R. Podemos escrever ooperador R comoR = (L(-1 onde()( = $ (2.16)e onde (2.17)sendo que os autovalores {l 1, l 2, l 3} podem ser escritos da seguinte formal1 = 1 l2 = exp(i f)l3 = exp(-i f),(f arbitr$rio)(2.18)O operador R possui um autovetor n associado ao autovalor l 1, tal que:Rn = n (2.19)e, portanto, permanece inalterado na transformao. O vetor unitrio n denominado deeixo de rotao.Os autovetores associados aos outros dois autovalores l 2 e l 3 so complexos conjugados.Podemos escrever o operador Q na formaQ = [nu=iv u-iv] (2.20)portanto (2.21)Utilizando a propriedade definida na equao (2.16), podemos escrever (2.22)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&.... %e -& ,,/&./,&'. '':&&donde podemos escrevernT* - nTv = 0*Tv = 0 (2.23)*T* + vTv = 1Das propriedades acima descritas, podemos deduzir que os vetores u e v formam uma baseortogonal no plano perpendicular ao eixo de rotao n.Podemos observar que os autovetores ( * + i v ) e ( * - i v ) obedecem s seguintes relaes:R ( * + i v ) = exp ( i f ) ( * + i v ) (2.24)R ( * - i v ) = exp (- i f ) ( * - i v )que podem ser reescritas da seguinte formaR* + iRv =( * cos f - vsen f ) + i ( *sen f + vcos f ) (2.25)R* - iRv =( * cos f - vsen f ) - i ( *sen f + vcos f )dondeR* =* cos f - v sen f(2.26)Rv =* sen f + v cos fEste resultado mostra que os vetores u e v apresentam uma rotao plana de um ngulo f noplano perpendicular ao eixo de rotao.Os ltimos resultados mostram que qualquer rotao R pode ser pensada globalmente comouma rotao plana de um ngulo f em torno de um eixo n.Movimento Geral de um Corpo RgidoNa seo anterior, descrevemos o operador rotao atravs de uma transformao rgida deum vetor, onde eram consideradas apenas as configuraes inicial e final. Agora, desejamosdescrever o movimento de um corpo rgido. Para tal, passaremos a considerar que ooperador rotao varivel no tempo. Isto porque o corpo rgido pode assumir vriasconfiguraes, uma para cada instante de tempo. Para descrever este movimento sonecessrios seis parmetros, dos quais trs so para descrever a translao de um ponto docorpo e outros trs para descrever a rotao em torno de um eixo que passa por este ponto(Arnold, 1976).Consideremos um corpo rgido se movendo no espao, como representado na figura 2. SejaO um ponto do corpo que adotaremos como origem do referencial inercial, representado nafigura 2 pela base E. Sejam X e xP os vetores-posio de um ponto arbitrrio P do corpo.Suponhamos que o movimento do corpo seja a composio de dois movimentos, um detranslao pura e outro de rotao pura. No primeiro movimento, todos os pontos do corpoapresentam o mesmo deslocamento, que representaremos pelo deslocamento xO do ponto O.No segundo movimento, o corpo rgido gira em torno de um eixo que passa pelo ponto O. Talque, o vetor-posio do ponto P, aps o movimento, #P = #O + #(3.1)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...+ %e -& ,,/&./,&'. '':&&onde xP = OP, X = OP, xO = OO e x = OP.Como o segundo movimento uma rotao pura, representada pelo operador R, o vetor x a imagem do vetor X, de modo que podemos reescrever a equao (3.1) na seguinte forma:" P = " O + R #(3.2)Podemos expressar o deslocamento do ponto P de sua posio de referncia na forma* P = " P - # = * O + D # (3.3)onde *O = "O o deslocamento da origem, e ondeD = R - $ (3.4)O operador D tem pelo menos um autovalor nulo, poisD n = DTn = 0(3.5)Portanto, o sistema*o + D# = 0 (3.6)no tem soluo em geral, o que significa que, geralmente, nenhum ponto do corpopermanece fixo durante a transformao definida na equao (3.2) a no ser que odeslocamento da origem uO seja nulo. Porm, podemos encontrar um ponto C com odeslocamento mnimo. A sua posio pode ser encontrada resolvendo o seguinteproblema. (3.7)A soluo do problema acima verifica a seguinte equaoD T (* o + D# C) = 0(3.8)o que mostra que o deslocamento do ponto C paralelo ao eixo de rotaoJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...( %e -& ,,/&./,&'. '':&&*C = *O + D#C = kn(3.9)onde k uma constante cujo valor pode ser obtido pr-multiplicando a equao (3.9) por nTk = nT* O (3.10)e a posio do ponto C soluo deD# C = ( nn T - $ ) * o (3.11)no entanto, no podemos resolver este sistema, pois o operador D no inversvel, comopode ser observado em (3.5). De modo a eliminar a indeterminao na escolha do ponto Cno eixo de rotao, podemos escolher um ponto M no eixo de rotao que satisfaa o sistemaacima e que seja o mais prximo da origem O. O vetor-posio de M est sujeito ao seguintevnculonT#M = 0(3.12)e soluo do seguinte sistema (3.13)Este sistema formalmente sobredeterminado com quatro equaes e trs incgnitas.Porm, sua sobredeterminao apenas formal, j que, apenas trs das quatro equaes solinearmente independentes. A soluo do sistema acima pode ser obtida utilizando a inversageneralizada de Moore-Penrose (Campbell e Meyer, 1979) (3.14)donde (3.15)Podemos verificar que o deslocamento do ponto M consiste apenas de uma translao*M = kn + D (#M - #C) = kn (3.16)A partir dos ltimos resultados podemos escrever o teorema de Chasles:"Em um movimento qualquer de um corpo rgido, a posio dos pontos do corpo quepossuem o menor deslocamento definida por uma linha paralela ao eixo de rotao quepassa por um ponto M cujo vetor-posio definido na equao (3.15)."Campo de Velocidades de um Corpo RgidoPodemos, agora, analisar as velocidades envolvidas em um movimento geral de um corporgido. Para tal, como na seo anterior, vamos considerar o movimento de um ponto P docorpo. O vetor-velocidade do ponto P pode ser obtido atravs da diferenciao com relaoao tempo da equao (3.2) e dado pela seguinte expressoJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...* %e -& ,,/&./,&'. '':&& (4.1)Consideremos o caso onde o ponto material fixo com relao base material e, portanto,. Desta forma, a equao acima se reduz a: (4.2)Podemos ainda eliminar X da equao acima exprimindo X em funo xP. Para tal, podemosinverter a equao (3.2) obtendo:# = RT (" P - " o)(4.3)substituindo a equao (4.3) na equao (4.2), obtemos a forma final do vetor-velocidade doponto P(4.4)onde o operador um operador anti-simtrico, j que(4.5)portanto, podemos definir o operador (4.6)como sendo o operador anti-simtrico associado ao vetor-velocidade angular espacial w docorpo rgido. O isomorfismo entre um operador anti-simtrico e um vetor nos permiteescrever. Tal que, em qualquer base, podemos escrever a seguinte relao entre ascomponentes da matriz anti-simtrica e do vetor(4.7)De forma que a velocidade vP do ponto P pode ser escrita como (4.8)onde o vetor-velocidade do ponto de referncia O. Desta maneira, se sabemos aposio e a velocidade de um ponto qualquer do corpo e a velocidade angular do corpo,podemos determinar o seu movimento.Podemos definir, tambm, a velocidade angular material que pode ser obtida atravs datransformao (Figura 3) (4.9)donde a velocidade angular material expressa por (4.10)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...1 %e -& ,,/&./,&'. '':&&Como a escolha da origem O arbitrria, interessante obtermos uma descrio invarianteda velocidade do ponto P. Para isso, analogamente ao desenvolvimento da seo anterior,vamos definir um ponto C do corpo como sendo aquele que apresenta menor velocidade. Istoconsiste em resolver o seguinte problema (4.11)Da equao acima, podemos observar que o vetor-posio xC do ponto C verifica a seguintecondio (4.12)o que significa que seu vetor-velocidade vC paralelo a direo da velocidade angular (4.13)O valor de u pode ser obtido projetando a equao acima na direo de w, ou seja,pr-multiplicando a equao por wT (4.14)A posio xC do ponto C pode ser obtida utilizando as equaes (4.13) e (4.14)(4.15)contudo, este sistema no tem soluo nica pois no tem posto mximo. Portanto,vamos supor um conjunto de solues "C da forma"C = "M + a +(4.16)onde xM uma soluo particular da equao (4.15) e a um parmetro arbitrrio. Todos ospontos xC possuem a mesma velocidade mnima definida na equao (4.13). A equao(4.16) representa uma linha que passa pelo ponto xM e segue na direo da velocidadeangular w. Esta linha chamada de eixo de parafuso instantneo (instantaneous screw axis)do corpo rgido.Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'& %e -& ,,/&./,&'. '':&&O ponto M pode ser considerado como sendo o ponto mais prximo ao ponto de referncia,de modo que,T#M = 0(4.17)O vetor-posio do ponto M , ento, soluo do seguinte sistema (4.18)Este sistema formalmente sobredeterminado com quatro equaes e trs incgnitas, pormessa sobredeterminao apenas formal, j que apenas trs das quatro equaes solinearmente independentes. Podemos obter a soluo deste sistema utilizando a inversageneralizada de Moore-Penrose. Para tal, vamos pr-multiplicar este sistema por. (4.19)donde (4.20)A partir dos ltimos resultados podemos escrever o seguinte teorema:"A posio dos pontos de um corpo rgido que possuem a menor velocidade definida poruma linha paralela a velocidade angular espacial que passa por um ponto M cujo vetor-posio definido na equao (4.20)."A componente u definida na equao (4.14) chamada de deslizamento (sliding) do parafusoinstantneo e o passo do parafuso pode ser definido como (4.21)A velocidade de um ponto P arbitrrio do corpo rgido pode ser escrita da seguinte forma (4.22)o que mostra que a velocidade de um corpo rgido composta de uma translao ao longo doeixo instantneo de rotao e de uma rotao em torno do mesmo eixo.Campo de Aceleraes de um Corpo RgidoPor ltimo, podemos analisar as aceleraes envolvidas em um movimento geral de um corporgido. Para tal, como nas sees anteriores, vamos considerar o movimento de um ponto Pdo corpo. O vetor-acelerao do ponto P pode ser obtido atravs da diferenciao da equao(4.2) e dado pela seguinte expresso (5.1)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'' %e -& ,,/&./,&'. '':&&Podemos ainda eliminar X da equao acima utilizando a equao (4.3) obtendo: (5.2)O operador pode ser escrito em termos do operador associado velocidadeangular espacial da seguinte forma (5.3)O primeiro termo, que anti-simtrico, representa a variao da velocidade angular espacial.A acelerao angular espacial a pode ser definida como o vetor associado ao operador, ouseja (5.4)De maneira que podemos reescrever a equao (5.2) na forma (5.5)Esta equao determina o campo de aceleraes do corpo rgido. Podemos definir, como naseo anterior, a acelerao angular material que pode ser obtida atravs da transformao (5.6)Representaes do Operador RotaoA propriedade de ortogonalidade do operador rotao RTR=$ apresentada anteriormentefornece as seis equaes de vnculo seguintes:ri rj = %ij (i = 1, . . . , j ; j = 1,2,3)(6.1)onde ri representa uma coluna de R. Desta maneira, temos nove incgnitas e seis equaes eportanto, podemos concluir que so necessrios trs parmetros arbitrrios para determinaro operador R, ouR = R ( a1, a2, a3 )(6.2)onde estes trs parmetros a1, a2 e a 3 podem ser escolhidos de vrias maneiras diferentes.Nas prximas sees, apresentaremos vrias parametrizaes possveis que permitem arepresentao do operador rotao R.Representao de Rotaes em Termos de Produtos TensoriaisPodemos observar que os vetores ti componentes da base t tambm so transformados pelooperador R, como representado na figura 1, de forma que:ti = R%i (i = 1,2,3)(6.3)portanto podemos representar o operador R na seguinte formaJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...', %e -& ,,/&./,&'. '':&&R = t 12 % 1 + t 22 % 2 + t 32 % 3(6.4)o que significa que o operador R representado na base mista ( ) a prpria matrizidentidade, j que um vetor X operado por R gira solidrio base t, ou seja, o vetor Xrepresentado na base E igual ao vetor x representado na base t.(6.5)Para representarmos o operador R nas bases ( ) e ( ), devemos representar os vetorescomponentes de uma base na outra. Deste modo, vamos escrever ti na base Eiti = (ti.%1)%1 + (ti.%2)%2 + (ti.%3)%3 (i = 1,2,3)(6.6)substituindo esta expresso na equao (6.4) obtemos a representao do operador R nabase, em funo dos cosenos diretores (6.7)ou, na forma matricial,(6.8)Analogamente, podemos escrever Ei na base ti%i = (%i.t1)t1 + (%i.t2)t2 + (%i.t3)t3(i = 1,2,3) (6.9)substituindo esta expresso na equao (6.4) obtemos a representao do operador R nabase, em funo dos cosenos diretores (6.10)ou, na forma matricial,(6.11)De modo que podemos observar que as representaes de R nas bases ( ) e ( ) soiguais (6.12)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...') %e -& ,,/&./,&'. '':&&Representao de Rotaes em Termos de seus InvariantesComo j foi apresentado anteriormente, qualquer rotao R pode ser representada por umarotao plana, de ngulo f , em torno de um eixo n. Nesta seo, apresentaremos os passospara representar o operador rotao R em termos destes dois invariantes n e f .Podemos decompor os vetores X e " = R# em suas partes paralelas e ortogonais ao eixo derotao n.# = n nT# + ( $ - n nT ) # (6.13)" = n nT" + ( $ - n nT ) "observando quen nTR = n nT(6.14)e definindo as partes ortogonais de X e x como Y e y- = ( $ - n nT ) # (6.15). = ( $ - n nT ) " / ( $ - n nT ) R#Podemos reescrever a equao (6.13) na seguinte forma# = n nT# + -(6.16)" = n nT# + .Sabemos que, na transformao operada por R, a parte ortogonal de x apresenta umarotao plana no plano ortogonal a n e, consequentemente, (6.17)reescrevendo o sistema em forma matricial, obtemos (6.18)Este sistema formalmente sobredeterminado com quatro equaes e trs incgnitas.Porm, sua sobre determinao apenas formal, pois o operador no inversvel, j que. Portanto, apenas trs das quatro equaes so linearmente independentes. Pararesolver este sistema, vamos pr-multiplicar o sistema acima pela inversa generalizada deMoore-Penrose (Campbell e Meyer, 1979) do primeiro termo.(6.19)onde, a seguinte expresso verdadeira para qualquer Y (6.20)Desta forma, podemos escreverJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'- %e -& ,,/&./,&'. '':&&(6.21)ou(6.22)Da equao (6.15), podemos eliminar Y e y, obtendo (6.23)resultado que nos fornece a forma do operador rotao R, em funo de n e f(6.24)donde podemos observar que o operador R possui os seguintes invariantes lineares, quesero bastante teis para obter os parmetros a partir de uma dada matriz de rotao (6.25)Se reescrevermos a transformao atravs da relao" = R # (6.26)e derivarmos a relao em termos do ngulo de rotao f , obtemos (6.27)onde (6.28)Podemos verificar que (6.29)Portanto, substituindo este resultado na equao (6.27) podemos verificar que x satisfaz aseguinte equao (6.30)cuja soluo (6.31)donde conclumos que o operador rotao R pode tambm ser representado pelos invariantesJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'. %e -& ,,/&./,&'. '':&&n e f atravs da seguinte relao (6.32)Agora, podemos representar as velocidades angulares espacial w e material W em termosdos invariantes n e f e de suas derivadas. Para tal, vamos relembrar as seguintespropriedades de invarincia do operador rotaoRn = n RTn = n(6.33)Derivando as duas expresses acima no tempo (6.34)Se pr-multiplicarmos a primeira equao por RT e a segunda por R, obtemos(6.35)e, consequentemente, (6.36)Porm, no podemos resolver estas equaes j que os operadores no soinversveis, pois($ - RT )n = 0(R - $)n = 0 (6.37)Mas, sabemos tambm que o vetor n unitrio, portanto, podemos obter a seguinte relaoadicional (6.38)donde soluo dos seguintes sistemas (6.39)Os sistemas acima representam um sistema formalmente sobredeterminado de quatroequaes e trs incgnitas. Porm, a sobredeterminao destes sistemas apenas formal,pois as trs primeiras equaes no so linearmente independentes. Estes sistemas podemser resolvidos pr-multiplicando-os pela inversa de Moore-Penrose (Campbell e Meyer, 1979)do primeiro termo (6.40)Sendo que, da expresso de R, obtida na equao (6.24), podemos verificar que (6.41)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'+ %e -& ,,/&./,&'. '':&&e (6.42)Ento, obtemos as seguintes relaes (6.43)onde (6.44)Porm, estes sistemas no podem ser resolvidos porque o operador B no tem postomximo. Portanto, escrevamos as seguintes relaes adicionais entre as velocidadesangulares W e w e a derivada do ngulo de rotao (6.45)Vamos decompor o operador R em suas partes simtrica e anti-simtricaR = ! + ondea = nsenf(6.46)Podemos verificar, tambm, as duas seguintes propriedades vlidas para quaisquer a, u e S(simtrica) (6.47)donde, obtemos (6.48)Agora, podemos obter os vetores w e W resolvendo os seguintes sistemas (6.49)cujas solues podem ser escritas na forma (6.50)onde o operador A = &T& + n nT possui como inverso (6.51)Desta forma, obtemos as expresses de w e W em termos dos invariantes n e f e suasderivadasJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'( %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.52)onde (6.53)Agora, podemos, tambm, obter as expresses das aceleraes angulares em termos dosinvariantes n e f e suas derivadas, derivando diretamente a equao (6.52)(6.54)onde o operadorpode ser eliminado notando que (6.55)portanto, (6.56)onde(6.57)Representao de Rotaes em Termos do Vetor RotaoA representao do operador rotao em termos dos invariantes n e f possui o inconvenientede ser escrita em termos de quatro parmetros: as trs componentes de n e o ngulo f .Portanto, interessante apresentarmos o vetor rotao. O vetor rotao definido como ovetor que possui a direo do eixo instantneo de rotao e o comprimento igual a amplitudede rotaoY = n f(6.58)Desta forma, podemos representar o operador R em termos do vetor rotao, substituindo aequao (6.58) na equao (6.24) e utilizando a expresso (6.20)(6.59)ou na forma exponencial substituindo a equao (6.58) na equao (6.32)(6.60)O vetor rotao pode ser obtido a partir do operador rotao, calculando-se o trao e o vetorassociado de RJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'* %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.61)Para obtermos as expresses de velocidade angular em termos do vetor rotao e de suaderivada temporal, interessante notar as seguintes relaes(6.62)Invertendo o sistema acima, obtemos(6.63)Substituindo estes resultados na equao (6.52) podemos escrever as velocidades angularesna forma(6.64)onde o operador T (Shuster, 1993b) (6.65)A aparente singularidade em que aparece nas expresses (6.59) e (6.65) dosoperadores R e T facilmente eliminada notando que (6.66)As aceleraes angulares podem ser obtidas derivando as equaes (6.64)(6.67)Forma de Cayley de uma Matriz Ortogonal - Parmetros de RodriguesSe reiniciarmos da transformao descrita atravs da relao" = R # ondeRTR = $ (6.68)sendo que sabemos que esta transformao preserva o comprimento do vetor inicial.Podemos expressar este fato da seguinte forma"T" - #T# = (" + #) T (" - #) = 0(6.69)Podemos introduzir dois vetores f e g definidos por0 = " - # = (R - $)# (6.70)g = " + # = (R + $)#substituindo f e g na equao (6.69)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'1 %e -& ,,/&./,&'. '':&&gT0 = 0 (6.71)Utilizando a equao (6.70) obtemos a seguinte relao entre f e g0 = ( R - $ ) ( R + $ ) -1g = & g(6.72)donde obtemos o seguinte resultadogT & g = 0 (6.73)Atravs da ltima expresso, deduzimos que o operador B , necessariamente,anti-simtrico. O isomorfismo entre uma matriz anti-simtrica e um vetor nos permiterelacionar as componentes da matriz e do vetor correspondentes. Portanto, podemos definiro vetor b, cujas componentes em uma base qualquer so [b1 b2 b3], tal que o isomorfismoentre a matriz anti-simtrica B e o vetor b nos permite escrever a seguinte relao (6.74)Podemos inverter a relao entre B e R definida na equao (6.72), obtendo a seguinteexpresso de R (6.75)Esta ltima expresso corresponde a uma escolha de trs parmetros para descrever ooperador rotao. Porm, conveniente expandirmos o primeiro termo da multiplicao daltima equao. Para tal, consideremos a seguinte identidade(6.76)onde (6.77)Baseados nesta igualdade, podemos calcular o operador (6.78)Substituindo o ltimo resultado na equao (6.75), obtemos a forma algbrica geral dooperador rotao (6.79)em termos de trs parmetros [b1 b2 b3].Comparando a equao (6.24) com a ltima equao, podemos deduzir a seguinte relaoJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,& %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.80)e, portanto,(6.81)O conjunto de trs parmetros bi definidos acima so, normalmente, chamados deparmetros de Rodrigues. O vetor b formado pelos parmetros de Rodrigues tambmconhecido por Vetor de Gibbs (Wertz, 1978, Shuster, 1993a).Os parmetros de Rodrigues oferecem a vantagem de representar a rotao atravs de umaexpresso simples em funo de apenas trs parmetros. Eles podem ser obtidos a partir dooperador R, calculando o trao e o vetor associado de R (6.82)e (6.83)Este procedimento de inverso apresenta uma singularidade quando f = p.Para obtermos as expresses das velocidades angulares em termos dos parmetros deRodrigues e suas derivadas, podemos derivar a equao (6.81)(6.84)Pr-multiplicando a ltima equao por nT, obtemos a expresso (6.85)e, substituindo esta expresso na anterior, obtemos (6.86)Substituindo os ltimos resultados na equao (6.52), obtemos as expresses dasvelocidades angulares (6.87)onde o operador (6.88)As aceleraes angulares podem ser obtidas atravs do mesmo procedimento utilizado naseo anterior.Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,' %e -& ,,/&./,&'. '':&&Representao de Rotaes em Termos dos Parmetros de EulerA representao do operador rotao em termos dos parmetros de Euler, conhecidostambm por parmetros simtricos de Euler ou parmetros de Euler-Rodrigues (ver Wertz,1978 e Shuster, 1993a), pode ser obtida diretamente da representao em termos dosinvariantes n e f . Eles aparecem atravs da seguinte mudana de variveis(6.89)onde-1 3 e i3 1i = (0 ... 3) (6.90)Os parmetros ei no so quantidades independentes j que so relacionados pela seguinterestrio (6.91)Podemos, tambm, observar que os parmetros de Euler so relacionados com osparmetros de Rodrigues da seguinte forma (6.92)A partir desta ltima relao e da equao (6.79), podemos, facilmente, escrever o operadorrotao em termos dos parmetros de Euler(6.93)O operador rotao R tambm pode ser expresso como produto de dois operadores 4/3 queso escritos em termos dos parmetros de Euler na seguinte formaR = 1 2T (6.94)onde (6.95)A desvantagem dos parmetros de Euler representar a rotao atravs de quatroparmetros dependentes, mas esta representao no apresenta nenhuma singularidade.Eles podem ser obtidos a partir da operador R, calculando o trao e o vetor associado de R (6.96)Porm, este procedimento no apenas s til quando e0 no nulo, i.e., quando f 4 p, mas numericamente ineficiente quando e0 se aproxima de zero. Portanto, apresentaremos umafrmula (Spurrier, 1978) que permite a inverso com mximas preciso e eficincia.Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,, %e -& ,,/&./,&'. '':&&O primeiro passo construir uma matriz simtrica S a partir dos elementos da matriz R, talque (6.97)sendo que, substituindo os elementos de R, podemos observar facilmente que (6.98)Portanto, podemos usar o maior elemento da diagonal para calcular os parmetros (6.99)Para obtermos as expresses das velocidades angulares em termos dos parmetros de Eulere suas derivadas, vamos derivar a equao (6.89) com respeito ao tempo. Obtemos oseguinte sistema de equaes(6.100)o qual pode ser invertido na forma(6.101)Substituindo a equao acima na equao (6.52) e nomeando, o vetor dos parmetrosde Euler, obtemos (Roberson, 1968)(6.102)onde os operadores H e G foram introduzidos na equao (6.95).As aceleraes angulares podem ser obtidas atravs da diferenciao das expresses dasvelocidades angulares.lgebra de QuaterniosJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,) %e -& ,,/&./,&'. '':&&A lgebra de quaternios (Wehage, 1984) fornece uma maneira muito elegante de descreverrotaes finitas. Ela conduz ao mesmo conceito dos parmetros de Euler mas, de maneiracompletamente diferente. A regra fundamental de multiplicao de quaternios fornece umamaneira eficiente de expressar a velocidade angular e, tambm, de combinar rotaessucessivas.Definio e Propriedades:Um quaternio definido como um nmero complexo quadri-dimensional(6.103)onde i,j e k so smbolos tais quei 2 = j 2 = k 2 = - 1(6.104)j k = - k j = ik i = - i k = ji j= - j i= kPodemos adotar tambm a notao vetorial (6.105)onde q0 a parte escalar e q a parte vetorial do quaternio.A regra de multiplicao de quaternios derivada da propriedade (6.104) dos smbolos (6.106) importante ressaltar que a regra de multiplicao no comutativa devido a presena doproduto vetorial no ltimo termo cujo sinal invertido ao se inverter a ordem de.O quaternio conjugado definido como (6.107)A norma de um quaternio definida como (6.108)Um quaternio definido como unitrio quando (6.109)Um quaternio vetorial definido como um quaternio cuja parte escalar nula(6.110)e que, consequentemente, verifica a seguinte propriedade (6.111)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,- %e -& ,,/&./,&'. '':&&Representao de Rotaes em Termos de QuaterniosSejam quaternios unitrio e vetorial, respectivamente (6.112)podemos verificar que a rotao de um vetor X dada por (6.113)A prova obtida verificando que1. a norma de preservada na transformao: (6.114)2. o quaternio resultante tambm um quaternio vetorial: (6.115)A operao de rotao inversa pode ser escrita na seguinte forma(6.116)indicando que a transposio inverte o sentido da rotao.Podemos notar a equivalncia dos quaternios com os parmetros de Euler colocando oquaternio unitrio na forma (6.117)Utilizando a equao (6.113) e a regra de multiplicao de quaternios, obtemos (6.118)Esta transformao a anteriormente apresentada na equao (6.24)Consideremos, agora, duas rotaes sucessivas (6.119)elas originam a seguinte rotao resultanteJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,. %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.120)Este resultado nos permite afirmar o seguinte:Duas rotaes sucessivas podem ser combinadas multiplicando-se os quaternioscorrespondentes na ordem apropriada.Para obtermos as expresses das velocidades angulares em termos de quaternios, vamosderivar a equao (6.113) com respeito ao tempo no referencial inercial (6.121)Substituindo a equao (6.116) na equao acima e utilizando (6.109), obtemos (6.122)Se derivarmos a equao (6.109) no tempo, obtemos a importante relao (6.123)que mostra que o quaternio um quaternio vetorial e pode ser escrito na seguinte forma (6.124)Substituindo esta relao na equao (6.122) obtemos (6.125)e, consequentemente, (6.126)mostrando que a parte vetorial de a velocidade angular espacial cuja expresso pode serdesenvolvida a partir de (6.124)(6.127)Podemos, tambm, obter a expresso da velocidade angular material, utilizando a equao(6.122)(6.128)Analogamente ao caso anterior, podemos escrever o quaternio na seguinte forma (6.129)Substituindo esta relao na equao (6.128) obtemos (6.130)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,+ %e -& ,,/&./,&'. '':&&e, consequentemente, (6.131)mostrando que a parte vetorial de a velocidade angular material cuja expresso pode serdesenvolvida a partir de (6.129)(6.132)Representao Matricial de QuaterniosPodemos representar os quaternios na forma matricial atravs de uma matriz coluna quadri-dimensional (6.133)O produto de dois quaternios (6.134)pode ser escrito na seguinte forma (6.135)com as matrizes 4/4 (6.136)Na forma matricial, o operador rotao (6.113) em um quaternio vetorial pode ser escritocomo (6.137)onde o produto matricial (6.138)Desta forma, podemos extrair o operador R (6.139)Podemos verificar que a expresso obtida similar a expresso em termos dos parmetrosde Euler, portanto podemos facilmente escrever as velocidades angulares (6.140)onde os operadores H e G foram introduzidos na equao (6.95), ou na forma de quaterniosJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,( %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.141)As aceleraes angulares podem ser obtidas atravs da diferenciao das expresses dasvelocidades angulares.Representao de Rotaes em Termos do Vetor Rotao ConformeO vetor rotao conforme (VRC) obtido aplicando-se um rotao conforme nos parmetrosde Euler (Milenkovic, 1982) (6.142)Esta rotao produz um conjunto de trs parmetros independentes funo da quarta partedo ngulo de rotao (6.143)e, onde (6.144)Uma vantagem importante do VRC sua relao praticamente linear com o ngulo derotao f no intervalo [-p,+p], ilustrada na figura 4a que apresenta a relao do ngulo e suasprimeira e segunda derivadas com o VRC.A representao de rotaes em termos do vetor rotao conforme possui uma singularidadeem f = 2p, pois. Porm, ao contrrio dos parmetros de Rodrigues, no intervalo f5[-p,+p], o VRC no apresenta nenhuma singularidade j que neste intervaloJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,* %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.145)Utilizando algumas relaes trigonomtricas, podemos observar facilmente que (6.146)Substituindo este resultado na equao (6.79) e utilizando a equao (6.144), obtemos aexpresso do operador R em termos do VRC (6.147)A principal propriedade do VRC o fato de que a rotao total R pode ser dividida em duasrotaes F de mesma amplitude, a qual pode ser computada em termos dos parmetros deRodrigues considerando meia rotao.R = F2 (6.148)onde F pode ser escrita da seguinte forma (6.149)Para obtermos as expresses das velocidades angulares em termos do VRC e suas derivadas,podemos derivar a equao (6.143) (6.150)Pr-multiplicando a ltima equao por nT, obtemos a expresso (6.151)e, substituindo esta expresso na anterior, obtemos (6.152)Substituindo os ltimos resultados na equao (6.52) e utilizando algumas relaestrigonomtricas, obtemos as expresses das velocidades angulares (6.153)onde o operador T (6.154)As aceleraes angulares podem ser obtidas atravs do mesmo procedimento utilizado naseo anterior.Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,1 %e -& ,,/&./,&'. '':&&Representao de Rotaes no PlanoA rotao mais simples que podemos considerar a rotao plana de um ngulo finito emtorno de um eixo coordenado. Sejam os eixos xyz e xyz, apresentados na figura 5. O eixoxyz fixo no espao e o eixo xyz solidrio a um vetor X. Suponhamos, agora, quegiremos o vetor X de um ngulo f em torno do eixo z.Se considerarmos que o vetor X possui componentes [X1 X2 X3] na base material E, asnovas componentes do mesmo vetor na base espacial t aps a rotao f podem ser escritasda seguinte forma: (6.155)Se escrevermos em forma matricial, obtemos:# = R # (6.156)onde o operador rotao R da seguinte forma:(6.157)Da mesma forma, podemos obter o operador rotao para rotaes nos outros eixoscoordenados E1 e E2 de ngulos y e 6 , respectivamente. (6.158)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)& %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.159)No-Comutatividade de RotaesConsideremos um corpo rgido (Figura 6) submetido a duas rotaes sucessivas R1 e R2 de90o em torno dos eixos z e y, respectivamente (6.160)e (6.161)Sabemos que o produto de matrizes no comutativo, i.e. (6.162)No caso de rotaes finitas, a no-comutatividade significa que a inverso da ordem dasoperaes de rotao d origem a diferentes configuraes geomtricas do corpo no qual asoperaes foram aplicadas. Esta propriedade implica que, em qualquer decomposio de umaJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)' %e -& ,,/&./,&'. '':&&rotao finita em termos de rotaes elementares sucessivas, a ordem na qual as rotaeselementares so aplicadas essencial.Representao de Rotaes em Termos dos ngulos de EulerOs ngulos de Euler formam um conjunto de trs parmetros independentes que permitemrepresentar o operador rotao atravs da superposio de trs rotaes planas (Junkins eShuster, 1993). Existem 12 diferentes conjuntos de ngulos de Euler (Wertz, 1978, Shuster,1993a), 6 simtricos e 6 assimtricos. Nesta seo, usaremos o seguinte conjunto simtrico(Figura 7):1- Uma rotao de y (precesso) em torno do eixo E3: R1(z,y)2- Uma rotao de 6 (nutao) em torno do eixo r1: R2(x,6)3- Uma rotao de 7 (rotao prpria) em torno do eixo s3: R3(z,7)Podemos escrever a transformao resultante da seguinte forma:" = R # (6.163)onde o operador rotao R a composio das trs rotaes na seguinte ordemR = R3 ( z, f ) R2 ( x , 6 ) R1 ( z , 8 ) (6.164)Para obtermos a expresso matricial do operador R em termos dos ngulos de Euler,devemos ento desenvolver o produto acima, para tal, devemos escrever os operadores R1,R2 e R3 na mesma base, digamos.Onde,Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...), %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.165). (6.166) (6.167)O operador R pode ser escrito da seguinte forma (6.168)onde a mudana de base pode ser escrita da seguinte forma (6.169) (6.170)Conforme, demonstrado na seo anterior, as matrizes de mudana de base so similares smatrizes de rotao, de forma que as matrizes Q2 e Q3 so (6.171)Substituindo as ltimas expresses na equao (6.168) obtemos (6.172)donde, podemos escrever a expresso (6.173)onde c# = cos# e s# = sen# (# = y ,6 ,7 ).Os ngulos de Euler podem ser obtidos a partir da matriz R, atravs das seguintes relaes (6.174) (6.175)Podemos observar que esta inverso apresenta uma singularidade quando 6 = 0 ou p, poisJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)) %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.176)Para obtermos as expresses das velocidades angulares, vamos relembrar as seguintesrelaes (6.177)Utilizando o resultado obtido na equao (6.173), podemos escrever as expresses dasvelocidades angulares. As componentes da velocidade angular espacial w na base E so (6.178)e as suas componentes na base t so (6.179)Representao de Rotaes em Termos dos ngulos de BryantOs ngulos de Bryant (Figura 8) fornecem um conjunto assimtrico de ngulos de Euler(Wertz, 1978, Shuster, 1993a) permitindo de representar o operador rotao atravs dasuperposio de trs rotaes planas. As rotaes sucessivas so na seguinte ordem:1- Uma rotao de y (yaw) em torno do eixo E3: R1(z,y )2- Uma rotao de 6 (pitch) em torno do eixo r2: R2(y,6 )3- Uma rotao de 7 (roll) em torno do eixo s1: R3(x,7 )Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)- %e -& ,,/&./,&'. '':&&Podemos escrever a transformao resultante da seguinte forma:" = R# (6.180)onde o operador rotao R a composio das trs rotaes na seguinte ordemR = R3 ( x , 7 ) R2 ( y , 6 ) R1 ( z , 8 ) (6.181)Para obtermos a expresso matricial do operador R em termos dos ngulos de Bryant,devemos ento desenvolver o produto acima, para tal, devemos escrever os operadores R1,R2 e R3 na mesma base, digamos.Onde, (6.182) (6.183) (6.184)O operador R pode ser escrito da seguinte forma (6.185)onde a mudana de base pode ser escrita da seguinte forma (6.186) (6.187)Relembrando a relao das matrizes Q2 e Q3 com as matrizes de rotao e substituindo asduas ltimas expresses na equao (6.185) obtemos (6.188)donde, podemos escrever a expresso (6.189)onde c# = cos# e s# = senx (# = y ,6 ,7 ).Os ngulos de Bryant podem ser obtidos a partir da matriz R, atravs das seguintes relaesJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...). %e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.190) (6.191)Podemos observar que esta inverso apresenta uma singularidade quando 6 = p/2, pois (6.192)Para obtermos as expresses das velocidades angulares, vamos relembrar as seguintesrelaes (6.193)Utilizando o resultado obtido na equao (6.189), podemos escrever as expresses dasvelocidades angulares. As componentes da velocidade angular espacial w na base E so (6.194)e as suas componentes na base t so (6.195)ConclusesO problema da representao de rotaes finitas para o estudo da dinmica de corpos rgidosfoi estudado. O operador rotao foi derivado a partir de diferentes abordagens e aoproblema de parametrizao foi dado um tratamento particular. Vrios sistemas deparametrizao foram apresentados, entre eles:ngulos de Eulerngulos de BryantParmetros de EulerParmetros de RodriguesVetor Rotao Conforme (VRC)Vetor RotaoQuaterniosPodemos, agora, fazer uma exposio dos principais pontos favorveis e desfavorveis destessistemas de parametrizao. Vrios aspectos podem ser analisados, entre eles:Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)+ %e -& ,,/&./,&'. '':&&Os ngulos de Euler e Bryant so parametrizaes criadas para problemas especficos como,por exemplo, os ngulos de Euler para o problema do pio pesado e os ngulos de Bryantpara o problema de direcionamento de aeronaves. Devido a este fato, pode-se esperar queeles no sejam apropriados para o estudo de problemas gerais. Os dois sistemas apresentampontos de singularidade, i.e., a matriz T no inversvel para 6 = 0 ou p, no caso dos ngulosde Euler, e para 6 = p/2, no caso dos ngulos de Bryant. As outras parametrizaes soderivaes do teorema de Euler acerca da representao de rotaes finitas em termos doeixo e do ngulo de rotao.Os parmetros de Euler, o VRC e o vetor rotao podem ser utilizados para representarrotaes de qualquer magnitude dentro do intervalo f 5 [-p,p]. Enquanto que, os parmetros deRodrigues tendem a infinito quando |f| 9p. Fora do intervalo [-p,p], os parmetros de Euler e ovetor rotao no apresentam singularidades, porm, o VRC tende a infinito quando |f| 9,p.Quanto s propriedades de diferenciabilidade, os parmetros de Euler, o VRC e o vetorrotao possuem o operador tangente T contnuo e inversvel dentro do intervalo f 5 [-p,p].Contudo, a nica parametrizao que permite valores fora deste intervalo o sistema dosparmetros de Euler. O vetor rotao apresenta um ponto de singularidade (T no inversvel) quando |f| ! ,p e o VRC quando |f| ! ).(&1. No entanto, esta limitao pode serfacilmente superada trabalhando no intervalo f 5 [-p,p] e transformando as rotaes queexcedem esta faixa em rotaes dentro do intervalo somando ou diminuindo o ngulo derotao de 2p . Sendo que, quando |f| ! p, o VRC est mais prximo do ponto de singularidadeque o vetor rotao, portanto pode-se esperar um melhor comportamento do ltimo quanto aconvergncia do algoritmo de integrao.O vetor rotao e o VRC tm a vantagem de representar rotaes com um nmero mnimode parmetros, enquanto os parmetros de Euler formam um conjunto de quatro parmetrosdependentes relacionados por um vnculo. Isto causa o inconveniente de se tornar necessriaa adio de um multiplicador de Lagrange para descrever o vnculo para cada corpo. Deforma que, sob o ponto de vista computacional, se torna necessrio um algoritmo que integreEADs (Equaes Algbrico-Diferenciais) e no mais EDOs (Equaes Diferenciais Ordinrias).Os parmetros de Euler do origem a expresses mais simples que o VRC e o vetor rotao,especialmente para as aceleraes angulares.Os ngulos de Euler e de Bryant fornecem uma caracterizao geomtrica imediata darotao. Dentre os sistemas de parametrizao que no apresentam singularidades, o vetorrotao fornece uma caracterizao geomtrica mais simples da rotao. Enquanto que osoutros sistemas requerem interpretao dos valores dando origem a funes trigonomtricasrazoavelmente complicadas.Como concluso final, quanto a parametrizao de rotaes em problemas de dinmica decorpos rgidos, podemos dizer que, desde que se possa aceitar o custo de integrar equaesalgbrico-diferenciais, o sistema de parametrizao mais indicado o dos parmetros deEuler, pois o nico que no apresenta singularidade para qualquer magnitude de rotao e,alm disso, este sistema d origem a equaes simples. Entretanto, se desejado ounecessrio empregar um sistema de trs parmetros independentes, tanto o VRC quanto ovetor rotao so apropriados. Porm, em geral, o vetor rotao uma opo mais adequadaj que ele fornece uma caracterizao geomtrica mais simples e melhores propriedades deconvergncia dos algoritmos de integrao.Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s... http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)( %e -& ,,/&./,&'. '':&&RefernciasAngeles, J., 1988, "Rational Kinematics", Springer-Verlag, Berlin.[ Links ]Argyris, J.H., 1982, "An Excursion into Large Rotations", Comp. Meth. in Appl. Mech. andEng., Vol.32, pp.85-155.[ Links ]Arnold, V., 1976, "Les Mthodes Mathmatiques de la Mcanique Classique, Mir,Moscou.[ Links ]Atluri, S.N. e Cazzani, A., 1995, "Rotations in Computational Solid Mechanics", Arch. 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