Joshua S. Hodas and Dale Miller- Logic Programming in a Fragment of Intuitionistic Linear Logic

8/3/2019 Joshua S. Hodas and Dale Miller- Logic Programming in a Fragment of Intuitionistic Linear Logic

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L o g i c P r o g r a m m i n g i n a

F r a g m e n t o f I n t u i t i o n i s t i c L i n e a r L o g i c

J o s h u a S . H o d a s

C o m p u t e r S c i e n c e D e p a r t m e n t

H a r v e y M u d d C o l l e g e

C l a r e m o n t , C A 9 1 7 1 1 - 5 9 9 0 U S A

h o d a s @ c s . h m c . e d u

D a l e M i l l e r

C o m p u t e r S c i e n c e D e p a r t m e n t

U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a

P h i l a d e l p h i a , P A 1 9 1 0 4 - 6 3 8 9 U S A

d a l e @ s a u l . c i s . u p e n n . e d u

A b s t r a c t

W h e n l o g i c p r o g r a m m i n g i s b a s e d o n t h e p r o o f t h e o r y o f i n t u i t i o n i s t i c l o g i c , i t i s n a t u r a l

t o a l l o w i m p l i c a t i o n s i n g o a l s a n d i n t h e b o d i e s o f c l a u s e s . A t t e m p t i n g t o p r o v e a g o a l o f

t h e f o r m D G f r o m t h e c o n t e x t ( s e t o f f o r m u l a s ) ? l e a d s t o a n a t t e m p t t o p r o v e t h e g o a l

G i n t h e e x t e n d e d c o n t e x t ? f D g . T h u s d u r i n g t h e b o t t o m - u p s e a r c h f o r a c u t - f r e e p r o o f

c o n t e x t s , r e p r e s e n t e d a s t h e l e f t - h a n d s i d e o f i n t u i t i o n i s t i c s e q u e n t s , g r o w a s s t a c k s . W h i l e s u c h

a n i n t u i t i o n i s t i c n o t i o n o f c o n t e x t p r o v i d e s f o r e l e g a n t s p e c i c a t i o n s o f m a n y c o m p u t a t i o n s ,

c o n t e x t s c a n b e m a d e m o r e e x p r e s s i v e a n d e x i b l e i f t h e y a r e b a s e d o n l i n e a r l o g i c . A f t e r

p r e s e n t i n g t w o e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n s o f a f r a g m e n t o f l i n e a r l o g i c , w e s h o w t h a t t h e f r a g m e n t

h a s a g o a l - d i r e c t e d i n t e r p r e t a t i o n , t h e r e b y p a r t i a l l y j u s t i f y i n g c a l l i n g i t a l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e . L o g i c p r o g r a m s b a s e d o n t h e i n t u i t i o n i s t i c t h e o r y o f h e r e d i t a r y H a r r o p f o r m u l a s c a n b e

m o d u l a r l y e m b e d d e d i n t o t h i s l i n e a r l o g i c s e t t i n g . P r o g r a m m i n g e x a m p l e s t a k e n f r o m t h e o r e m

p r o v i n g , n a t u r a l l a n g u a g e p a r s i n g , a n d d a t a b a s e p r o g r a m m i n g a r e p r e s e n t e d : e a c h e x a m p l e

r e q u i r e s a l i n e a r , r a t h e r t h a n i n t u i t i o n i s t i c , n o t i o n o f c o n t e x t t o b e m o d e l e d a d e q u a t e l y . A n

i n t e r p r e t e r f o r t h i s l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e m u s t a d d r e s s t h e p r o b l e m o f s p l i t t i n g c o n t e x t s ;

t h a t i s , w h e n a t t e m p t i n g t o p r o v e a m u l t i p l i c a t i v e c o n j u n c t i o n ( t e n s o r ) , s a y G

1

G

2

, f r o m t h e

c o n t e x t , t h e l a t t e r m u s t b e s p l i t i n t o d i s j o i n t c o n t e x t s

1

a n d

2

f o r w h i c h G

1

f o l l o w s f r o m

1

a n d G

2

f o l l o w s f r o m

2

. S i n c e t h e r e i s a n e x p o n e n t i a l n u m b e r o f s u c h s p l i t s , i t i s i m p o r t a n t

t o d e l a y t h e c h o i c e o f a s p l i t a s m u c h a s p o s s i b l e . A m e c h a n i s m f o r t h e l a z y s p l i t t i n g o f c o n t e x t s

i s p r e s e n t e d b a s e d o n v i e w i n g p r o o f s e a r c h a s a p r o c e s s t h a t t a k e s a c o n t e x t , c o n s u m e s p a r t o f

i t , a n d r e t u r n s t h e r e s t ( t o b e c o n s u m e d e l s e w h e r e ) . I n a d d i t i o n , w e u s e c o l l e c t i o n s o f K r i p k e

i n t e r p r e t a t i o n s i n d e x e d b y a c o m m u t a t i v e m o n o i d t o p r o v i d e m o d e l s f o r t h i s l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e a n d s h o w t h a t l o g i c p r o g r a m s a d m i t a c a n o n i c a l m o d e l .

1 I n t r o d u c t i o n

F r a g m e n t s o f i n t u i t i o n i s t i c r s t - o r d e r a n d h i g h e r - o r d e r l o g i c s a r e c o m m o n l y u s e d a s s p e c i c a t i o n

l a n g u a g e s a n d l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s . F o r e x a m p l e , r s t - o r d e r a n d h i g h e r - o r d e r v e r s i o n s

o f h e r e d i t a r y H a r r o p f o r m u l a s ( f o r m u l a s w i t h n o p o s i t i v e o c c u r r e n c e s o f d i s j u n c t i o n s o r e x i s t e n t i a l

q u a n t i e r s ) h a v e b e e n u s e d b o t h a s s p e c i c a t i o n l a n g u a g e s f o r p r o o f s y s t e m s ( F e l t y , 1 9 9 3 ; F e l t y

a n d M i l l e r , 1 9 8 8 ; P a u l s o n , 1 9 9 0 ; P f e n n i n g , 1 9 8 8 ) a n d a s t h e b a s i s o f l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s

( G a b b a y a n d R e y l e , 1 9 8 4 ; H a l l n a s a n d S c h r o e d e r - H e i s t e r , 1 9 9 0 ; M c C a r t y , 1 9 8 8 ; M i l l e r , 1 9 9 0 ; M i l l e r ,

N a d a t h u r , P f e n n i n g , a n d S c e d r o v , 1 9 9 1 ) . P a r t o f t h e e x p r e s s i v e n e s s o f s u c h s y s t e m s d e r i v e s f r o m

T h i s p a p e r w i l l a p p e a r i n a s p e c i a l i s s u e o f J o u r n a l o f I n f o r m a t i o n a n d C o m p u t a t i o n i n m i d 1 9 9 4 .

1



t h e p r o o f r u l e t h a t s t a t e s t h a t i n o r d e r t o p r o v e a n i m p l i c a t i o n D G f r o m t h e c o n t e x t ( s e t o f

a s s u m p t i o n s ) ? , r s t a u g m e n t t h e c o n t e x t w i t h D a n d a t t e m p t a p r o o f o f G i n t h e n e w c o n t e x t .

T h a t i s , t h e s e q u e n t ? ? ! D G h a s a p r o o f i f a n d o n l y i f ? f D g ? ! G h a s a p r o o f .

T h e s t a c k - l i k e l e f t - h a n d s i d e o f s e q u e n t s i n i n t u i t i o n i s t i c s e q u e n t p r o o f s c a n b e e x p l o i t e d b y

p r o g r a m s i n m a n y w a y s . I n t h e o r e m p r o v e r s , t h e y c a n b e u s e d t o s t o r e t h e c u r r e n t a s s u m p t i o n s

a n d e i g e n - v a r i a b l e s o f a p r o o f ; i n n a t u r a l l a n g u a g e p a r s e r s , t h e y c a n b e u s e d t o s t o r e a s s u m e d g a p s

w h e n p a r s i n g r e l a t i v e c l a u s e s ; i n d a t a b a s e p r o g r a m s , t h e y c a n b e u s e d t o s t o r e t h e s t a t e o f t h e

d a t a b a s e ; i n l o g i c p r o g r a m s , t h e y c a n b e u s e d t o p r o v i d e a b a s i s f o r m o d u l a r p r o g r a m m i n g , l o c a l

d e c l a r a t i o n s , a n d a b s t r a c t d a t a t y p e s .

W h i l e i n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t s n a t u r a l l y a d d r e s s c o m p u t i n g c o n c e r n s i n a l a r g e n u m b e r o f a p -

p l i c a t i o n s , i n o t h e r s t h e y a r e t o o l i m i t i n g . O n e p r o b l e m t h a t a p p e a r s f r e q u e n t l y i s t h a t , s p e a k i n g

o p e r a t i o n a l l y , o n c e a n i t e m i s p l a c e d i n t o a c o n t e x t , i t i s n o t p o s s i b l e t o r e m o v e i t , s h o r t o f s t o p p i n g

t h e p r o c e s s t h a t c r e a t e d t h e c o n t e x t . S i n c e t h e c o n t r a c t i o n r u l e i s f r e e l y a v a i l a b l e i n i n t u i t i o n i s t i c

l o g i c , c o n t e x t s c a n a l w a y s b e a s s u m e d t o g r o w a s t h e p r o o f i s d e v e l o p e d f r o m t h e b o t t o m u p . S u c h

m o n o t o n i c i t y i s p r o b l e m a t i c i n n u m e r o u s s e t t i n g s .

W h e n u s i n g a n i n t u i t i o n i s t i c m e t a - l o g i c t o d e s i g n t h e o r e m p r o v e r s i t i s n a t u r a l t o u s e t h e

m e t a - l o g i c ' s c o n t e x t t o m a n a g e o b j e c t - l e v e l h y p o t h e s e s a n d e i g e n - v a r i a b l e s ( F e l t y a n d M i l l e r ,

1 9 8 8 ; P a u l s o n , 1 9 9 0 ) . W i t h s u c h a n a p p r o a c h , h o w e v e r , t h e r e i s n o l o g i c a l w a y t o s p e c i f y a n y

v a r i a t i o n s o f t h e c o n t r a c t i o n r u l e f o r t h e o b j e c t l o g i c : a r b i t r a r y c o n t r a c t i o n o n a l l h y p o t h e s e s

i s i m p o s e d b y t h e m e t a - l o g i c .

A p r o p o s e d t e c h n i q u e f o r p a r s i n g r e l a t i v e c l a u s e s i s t o r s t a s s u m e t h e e x i s t e n c e o f a n o u n

p h r a s e ( a g a p ) a n d t h e n a t t e m p t t o p a r s e a s e n t e n c e ( P a r e s c h i , 1 9 8 9 ) . I n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t s

d o n o t n a t u r a l l y e n f o r c e t h e c o n s t r a i n t t h a t t h e a s s u m e d g a p m u s t b e u s e d w h i l e p a r s i n g

t h e r e l a t i v e c l a u s e a n d t h a t t h e g a p c a n n o t a p p e a r i n c e r t a i n p o s i t i o n s ( \ i s l a n d c o n s t r a i n t s "

( P e r e i r a a n d S h i e b e r , 1 9 8 7 ) ) .

I n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t s c a n b e u s e d t o m a n a g e a d a t a b a s e . W h i l e a d d i n g f a c t s , q u e r y i n g f a c t s ,

a n d p e r f o r m i n g h y p o t h e t i c a l r e a s o n i n g ( \ i f I p a s s C S 1 2 1 , w i l l I g r a d u a t e " ) a r e e a s y t o m o d e l

u s i n g i n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t s , u p d a t i n g a n d r e t r a c t i n g f a c t s c a n n o t b e m o d e l e d s t r a i g h t f o r -

w a r d l y ( B o n n e r , M c C a r t y , a n d V a d a p a r t y , 1 9 8 9 ; G a b b a y a n d R e y l e , 1 9 8 4 ; M i l l e r , 1 9 8 9 b ) .

A n o t i o n o f s t a t e e n c a p s u l a t i o n ( a s i n o b j e c t - o r i e n t e d p r o g r a m m i n g ) c a n b e a p p r o x i m a t e d

u s i n g i n t u i t i o n i s t i c l o g i c ( H o d a s a n d M i l l e r , 1 9 9 0 ) b y r e p r e s e n t i n g a n o b j e c t ' s s t a t e w i t h

a s s u m p t i o n s i n a c o n t e x t . U p d a t i n g t h a t s t a t e , h o w e v e r , m e a n s c h a n g i n g t h o s e r e p r e s e n t a t i v e

a s s u m p t i o n s , a n d t h e o n l y c h a n g e a l l o w e d w i t h i n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t s i s a u g m e n t a t i o n . T h u s ,

a s c o m p u t a t i o n p r o g r e s s e s , a n o b j e c t ' s s t a t e b e c o m e s p r o g r e s s i v e l y m o r e n o n - d e t e r m i n i s t i c :

s e l d o m t h e d e s i r e d n o t i o n o f s t a t e .

E a c h o f t h e s e p r o b l e m s c a n b e a d d r e s s e d b y a d o p t i n g a m o r e r e n e d n o t i o n o f c o n t e x t . I n t h i s

p a p e r , w h i c h i s a r e v i s i o n a n d e x t e n s i o n o f a p a p e r g i v e n a t t h e 1 9 9 1 L o g i c i n C o m p u t e r S c i e n c e

S y m p o s i u m ( H o d a s a n d M i l l e r , 1 9 9 1 ) , w e p r e s e n t a f r a g m e n t o f l i n e a r l o g i c t h a t m a k e s a s u i t a b l e

l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e a n d p e r m i t s v e r y n a t u r a l s o l u t i o n s t o a l l o f t h e a b o v e p r o b l e m s .

F o r t h e p u r p o s e s o f t h i s p a p e r w e w i l l c h a r a c t e r i z e l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s b y c o n c e n t r a t -

i n g o n l y o n l o g i c a l c o n n e c t i v e s a n d q u a n t i e r s o f r s t - o r d e r l o g i c . W e w i l l n o t a d d r e s s n o t i o n s o f

c o n t r o l : i n p a r t i c u l a r , w e w i l l e q u a t e t h e \ e x e c u t i o n " o f l o g i c p r o g r a m s w i t h t h e n o n - d e t e r m i n i s t i c

b o t t o m - u p s e a r c h f o r c e r t a i n k i n d s o f p r o o f s . W e s h a l l m o s t l y i g n o r e t h e l a r g e n u m b e r o f i s s u e s

t h a t a r e i n v o l v e d i n c o n v e r t i n g s p e c i c a t i o n s o f c o m p u t a t i o n s , o f t h e s o r t g i v e n h e r e , t o r e a l c o m -

p u t a t i o n s . T h e s e i s s u e s a r e c u r r e n t l y b e i n g s t u d i e d b y t h e a u t h o r s .

2



2 L o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e d e s i g n

N o t a l l l o g i c s a p p e a r t o b e a p p r o p r i a t e a s t h e f o u n d a t i o n o f a l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e : w h i l e

a w e a k l o g i c s u c h a s H o r n c l a u s e s c l e a r l y i s a p p r o p r i a t e f o r s u c h a u s e , m a n y r i c h e r l o g i c s d o n o t

s e e m t o b e . I n a s e n s e , l o g i c p r o g r a m m i n g s h o u l d b e b a s e d a s m u c h o n a n o t i o n o f \ g o a l - d i r e c t e d

s e a r c h " a s o n t h e f a c t t h a t i t m a k e s u s e o f t h e s y n t a x a n d s e m a n t i c s o f l o g i c . F u l l r s t - o r d e r l o g i c ,

f o r e x a m p l e , d o e s n o t s u p p o r t t h i s n o t i o n o f g o a l - d i r e c t e d s e a r c h . I n p r e v i o u s w o r k g o a l - d i r e c t e d

s e a r c h w a s f o r m a l i z e d u s i n g t h e c o n c e p t o f u n i f o r m s e q u e n t p r o o f ( M i l l e r , 1 9 8 9 b ; M i l l e r e t a l . ,

1 9 9 1 ) . I n t h i s s e c t i o n w e r e v i e w t h e d e n i t i o n o f u n i f o r m p r o o f s a n d p r e s e n t a l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e b a s e d o n i n t u i t i o n i s t i c ( a c t u a l l y m i n i m a l ) l o g i c t h a t s i g n i c a n t l y e x t e n d s H o r n c l a u s e s .

I t i s t h i s l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e t h a t w e s h a l l r e n e w i t h l i n e a r l o g i c c o n n e c t i v e s i n t h e n e x t

s e c t i o n .

I t h a s b e e n a r g u e d i n v a r i o u s p l a c e s , f o r e x a m p l e ( M i l l e r , 1 9 8 9 b ; M i l l e r e t a l . , 1 9 9 1 ) , t h a t

e v a l u a t i o n i n l o g i c p r o g r a m m i n g i s t h e s e a r c h f o r c e r t a i n s i m p l e , c u t - f r e e , s e q u e n t p r o o f s . I n

s u c h a v i e w , a s e q u e n t ? ? ! G d e n o t e s t h e s t a t e o f a n i n t e r p r e t e r t h a t i s a t t e m p t i n g t o d e t e r m i n e

w h e t h e r t h e g o a l G f o l l o w s f r o m t h e p r o g r a m ? . G o a l - d i r e c t e d s e a r c h i s c h a r a c t e r i z e d o p e r a t i o n a l l y

b y t h e b o t t o m - u p c o n s t r u c t i o n o f p r o o f s i n w h i c h r i g h t - i n t r o d u c t i o n r u l e s a r e a p p l i e d r s t a n d l e f t -

i n t r o d u c t i o n r u l e s a r e a p p l i e d o n l y w h e n t h e r i g h t - h a n d s i d e i s a t o m i c . T h i s i s e q u i v a l e n t t o

s a y i n g t h a t t h e l o g i c a l c o n n e c t i v e s i n a g o a l a r e d e c o m p o s e d u n i f o r m l y a n d i n d e p e n d e n t l y f r o m t h e

p r o g r a m : t h e p r o g r a m i s o n l y c o n s i d e r e d w h e n t h e g o a l h a s a n o n - l o g i c a l c o n s t a n t f o r i t s h e a d |

t h a t i s , w h e n i t i s a t o m i c . T h i s i d e a i s f o r m a l i z e d f o r s i n g l e c o n c l u s i o n s e q u e n t s y s t e m s w i t h t h e

f o l l o w i n g d e n i t i o n s .

D e n i t i o n 1 A c u t - f r e e s e q u e n t p r o o f i s a u n i f o r m p r o o f i f f o r e v e r y o c c u r r e n c e i n t h e p r o o f o f a

s e q u e n t w h o s e r i g h t - h a n d s i d e i s n o t a t o m i c , t h a t s e q u e n t i s t h e c o n c l u s i o n o f a r i g h t - i n t r o d u c t i o n

r u l e .

D e n i t i o n 2 L e t D a n d G b e ( p o s s i b l y i n n i t e ) s e t s o f f o r m u l a s . T h e t r i p l e h D ; G ; ` i i s a n ( a b -

s t r a c t ) l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e i f f o r e v e r y n i t e s u b s e t ? D a n d f o r e v e r y G 2 G , t h e

s e q u e n t ? ? ! G h a s a p r o o f i n t h e p r o o f s y s t e m ̀ i f a n d o n l y i f i t h a s a u n i f o r m p r o o f i n ̀ .

T h e s e t D r e p r e s e n t s t h o s e f o r m u l a s t h a t a r e t a k e n t o b e p r o g r a m c l a u s e s a n d t h e s e t G a r e t h o s e

f o r m u l a s t h a t a r e t a k e n t o b e g o a l s .

C l e a r l y , f u l l r s t - o r d e r c l a s s i c a l a n d i n t u i t i o n i s t i c l o g i c s a r e n o t l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s .

T h a t i s , i f N i s t a k e n t o b e a l l r s t - o r d e r f o r m u l a s a n d ̀ i s t a k e n t o b e e i t h e r c l a s s i c a l o r i n t u i t i o n i s t i c

p r o v a b i l i t y , t h e n t h e t r i p l e h N ; N ; ` i i s n o t a l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e , s i n c e i n e a c h c a s e t h e r e

a r e p r o v a b l e s e q u e n t s , s u c h a s p _ q ? ! q _ p , t h a t h a v e n o u n i f o r m p r o o f s .

A n i n t u i t i o n i s t i c s e q u e n t c a l c u l u s I f o r t h e l o g i c a l c o n n e c t i v e s t r u e ; ̂ ; ; a n d 8 i s g i v e n i n

F i g u r e 1 . H e r e , t h e l e f t - h a n d s i d e o f a s e q u e n t i s i n t e n d e d t o b e a s e t : t h u s t h e s t r u c t u r a l r u l e s o f

e x c h a n g e a n d c o n t r a c t i o n a r e n o t n e e d e d . T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t t h e p a t t e r n ? ; a ( d e n o t i n g

t h e s e t u n i o n o f ? a n d f a g ) m a t c h e s t h e s e t f a ; b ; c g i n t w o w a y s : o n e a s s i g n s ? t o f a ; b ; c g a n d t h e

o t h e r t o f b ; c g . B e c a u s e o f t h e f o r m o f t h e i d e n t i t y i n f e r e n c e , t h e s t r u c t u r a l r u l e f o r w e a k e n i n g i s

a l s o n o t r e q u i r e d . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t i t i s p o s s i b l e t o f o r m u l a t e t h i s l o g i c w i t h m u l t i s e t s o f

f o r m u l a s ( r a t h e r t h a n s e t s ) , i n w h i c h c a s e t h e s t r u c t u r a l r u l e s ( e x c e p t f o r e x c h a n g e ) w o u l d n e e d t o

b e m a d e e x p l i c i t . T h a t f o r m u l a t i o n i s r e l e v a n t t o t h e r s t f o r m u l a t i o n o f l i n e a r l o g i c i n t h e n e x t

s e c t i o n .

T h e e x p r e s s i o n ? ̀

I

G d e n o t e s t h e p r o p o s i t i o n t h a t t h e r e i s a n I - p r o o f o f t h e s e q u e n t ? ? ! G .

G e n t z e n ' s p r o o f o f c u t - e l i m i n a t i o n ( G e n t z e n , 1 9 6 9 ) c a n b e u s e d t o s h o w t h a t t h e c u t r u l e i n F i g u r e 2

i s a d m i s s i b l e i n I . A l t h o u g h i t i s p o s s i b l e t o r e q u i r e ? = ?

0

i n t h e c u t r u l e , t h e m o r e g e n e r a l f o r m

3



? ; B ? ! B

i d e n t i t y

? ? ! t r u e

t r u e R

? ; B

1

; B

2

? ! C

? ; B

1

̂ B

2

? ! C

̂ L

? ? ! B ? ? ! C

? ? ! B ̂ C

̂ R

? ? ! B ? ; C ? ! E

? ; B C ? ! E

L

? ; B ? ! C

? ? ! B C

R

? ; B t = x ] ? ! C

? ; 8 x : B ? ! C

8 L

? ? ! B y = x ]

? ? ! 8 x : B

8 R ;

p r o v i d e d t h a t y i s n o t f r e e i n t h e l o w e r s e q u e n t .

F i g u r e 1 : T h e p r o o f s y s t e m I f o r a f r a g m e n t o f i n t u i t i o n i s t i c l o g i c .

?

0

? ! B ? ; B ? ! C

?

0

? ! C

c u t ; p r o v i d e d ? ?

0

.

F i g u r e 2 : T h e c u t - r u l e f o r I .

g i v e n i s u s e f u l i n s h o w i n g c e r t a i n m o d e l - t h e o r e t i c r e s u l t s . C u t w i l l b e s t a t e d i n a s i m i l a r f o r m f o r

t h e p r o o f s y s t e m g i v e n i n F i g u r e 7 a n d t h a t f o r m o f c u t w i l l b e u s e d t o a d v a n t a g e i n S e c t i o n 6

w h e r e a s e m a n t i c r e s u l t i s p r e s e n t e d .

P r o p o s i t i o n 1 T h e t r i p l e h N

0

; N

0

; ̀

I

i , w h e r e N

0

i s t h e s e t o f a l l f o r m u l a s b u i l t f r o m t h e l o g i -

c a l c o n s t a n t s t r u e ; ̂ ; ; a n d 8 , a n d w h e r e ̀

I

i s i n t u i t i o n i s t i c p r o v a b i l i t y , i s a l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e .

T h i s p r o p o s i t i o n i s p r o v e d b y s h o w i n g t h a t g i v e n a n I - p r o o f i t i s a l w a y s p o s s i b l e t o p e r m u t e

e n o u g h i n f e r e n c e r u l e s t o m a k e i t u n i f o r m . F o r a c l o s e l y r e l a t e d p r o o f s e e ( M i l l e r , 1 9 8 9 b ) . T h e

m a i n p r o o f i n ( M i l l e r e t a l . , 1 9 9 1 ) i s c o n c e r n e d w i t h a m u c h s t r o n g e r l a n g u a g e t h a t i n c l u d e s s o m e

f o r m s o f f u n c t i o n a n d p r e d i c a t e q u a n t i c a t i o n .

I t i s p o s s i b l e t o c o n s t r a i n u n i f o r m p r o o f s i n t h i s l o g i c e v e n m o r e a n d s t i l l n o t l o s e c o m p l e t e n e s s .

I n p a r t i c u l a r , i t i s a p p a r e n t f r o m t h e p r o o f o f t h e l a s t p r o p o s i t i o n t h a t l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e s a r e

o n l y n e e d e d t o s u p p o r t b a c k c h a i n i n g . T h i s o b s e r v a t i o n i n v o l v e s t w o p a r t s : r s t , b a c k c h a i n i n g i s

a c o m p o s i t i o n o f s e v e r a l l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e s a n d s e c o n d , w h e n a n a t o m i c g o a l i s t o b e p r o v e d ,

t h e r e m u s t b e s o m e p a r t i c u l a r f o r m u l a o n t h e l e f t t h a t c a n b e p r o c e s s e d c o m p l e t e l y t o p r o v i d e a

s u b p r o o f o f t h a t a t o m i c g o a l . B y e x t e n d i n g t h i s o b s e r v a t i o n , A n d r e o l i h a s d e v e l o p e d a n i n t e r e s t i n g

g e n e r a l i z a t i o n o f b a c k c h a i n i n g , c a l l e d f o c u s i n g ( A n d r e o l i , 1 9 9 2 ) .

T h e s e o b s e r v a t i o n s a b o u t b a c k c h a i n i n g a r e c a p t u r e d i n t h e f o l l o w i n g p r o o f s y s t e m . L e t B b e a

f o r m u l a o v e r t h e l o g i c a l c o n s t a n t s t r u e ; ̂ ; ; a n d 8 , a n d d e n e j B j t o b e t h e s m a l l e s t s e t o f p a i r s

s u c h t h a t

1 . h ; ; B i 2 j B j ,

2 . i f h ; B

1

̂ B

2

i 2 j B j t h e n b o t h h ; B

1

i 2 j B j a n d h ; B

2

i 2 j B j ,

3 . i f h ; 8 x : B

0

i 2 j B j t h e n f o r a l l c l o s e d t e r m s t , h ; B

0

t = x ] i 2 j B j , a n d

4 . i f h ; G B

0

i 2 j B j t h e n h f G g ; B

0

i 2 j B j .

4



? ? ! G

1

: : : ? ? ! G

n

? ? ! A

B C ;

p r o v i d e d n 0 , A i s a t o m i c , B 2 ? , a n d h f G

1

; : : : ; G

n

g ; A i 2 j B j .

F i g u r e 3 : B a c k c h a i n i n g f o r I .

I n f o r m a l l y , i f h ; A i 2 j B j t h e n t h e f o r m u l a B c a n b e u s e d t o e s t a b l i s h t h e f o r m u l a A i f e a c h o f

t h e f o r m u l a s i n t h e s e t c a n b e e s t a b l i s h e d ; t h a t i s , A m i g h t b e p r o v e d b y b a c k c h a i n i n g o v e r B .

F u r t h e r m o r e , b a c k c h a i n i n g c a n b e l i m i t e d t o t h e c a s e w h e r e t h e f o r m u l a A i s a t o m i c . L e t I

0

b e t h e

p r o o f s y s t e m t h a t r e s u l t s f r o m r e p l a c i n g t h e i d e n t i t y , L ; ̂ L , a n d 8 L r u l e s i n F i g u r e 1 w i t h t h e

b a c k c h a i n i n g i n f e r e n c e r u l e i n F i g u r e 3 .

P r o p o s i t i o n 2 L e t ? f B g b e a s e t o f f o r m u l a s o v e r t r u e ; ̂ ; ; a n d 8 . T h e n , t h e s e q u e n t ? ? ! B

h a s a p r o o f i n I i f a n d o n l y i f i t h a s a p r o o f i n I

0

.

A g a i n , t h e p r o o f o f t h i s f o l l o w s f r o m t h e p e r m u t a b i l i t y i n f e r e n c e r u l e s . N o t e t h a t t h e r e i s o n l y

o n e l e f t - r u l e i n I

0

, n a m e l y B C , a n d p r o o f s i n I

0

a r e n e c e s s a r i l y u n i f o r m s i n c e B C a p p l i e s o n l y t o

s e q u e n t s w i t h a t o m i c r i g h t - h a n d s i d e s . T h e I

0

p r o o f s y s t e m p r o v i d e s a u s e f u l s t a r t i n g p o i n t f o r t h e

i m p l e m e n t a t i o n o f a n i n t e r p r e t e r f o r t h i s l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e .

S i n c e i t i s o n l y t h e i m p e r m u t a b i l i t y o f t h e l e f t - h a n d r u l e s f o r d i s j u n c t i o n a n d e x i s t e n t i a l q u a n -

t i c a t i o n t h a t k e e p u n i f o r m p r o o f s f r o m b e i n g c o m p l e t e f o r f u l l r s t - o r d e r i n t u i t i o n i s t i c l o g i c , i t

i s p o s s i b l e t o i n t r o d u c e d i s j u n c t i o n s a n d e x i s t e n t i a l q u a n t i e r s a s l o n g a s t h e y n e v e r n e e d t o b e

i n t r o d u c e d o n t h e l e f t . T h i s i s p o s s i b l e i f t h e y h a v e o n l y p o s i t i v e o c c u r r e n c e s i n ( c u t - f r e e ) p r o o f s :

t h a t i s , i f t h e y a p p e a r o n l y p o s i t i v e l y i n f o r m u l a s o n t h e r i g h t o f s e q u e n t s a n d n e g a t i v e l y i n f o r m u l a s

o n t h e l e f t o f s e q u e n t s . T h e r e a r e a t l e a s t t w o w a y s t h a t s u c h a r e s t r i c t i o n c a n b e m a i n t a i n e d .

F i r s t , d e n e t h e s e t s D

0

a n d G

0

t o b e t h e D a n d G - f o r m u l a s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g m u t u a l

r e c u r s i o n :

D : = t r u e j A j D

1

̂ D

2

j G D j 8 x : D

G : = t r u e j A j G

1

̂ G

2

j G

1

_ G

2

j 9 x : G j D G j 8 x : G :

I f t h e I - p r o o f s y s t e m i s e x t e n d e d w i t h t h e i n t r o d u c t i o n r u l e s f o r _ a n d 9 , t h e t r i p l e h D

0

; G

0

; ̀

I

i

i s a l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e . T h e p r o o f o f t h i s d o e s n o t d i e r s i g n i c a n t l y f r o m t h e p r o o f

o f P r o p o s i t i o n 1 . I t i s , i n f a c t , t h i s l a n g u a g e t h a t i s r e f e r r e d t o a s r s t - o r d e r h e r e d i t a r y H a r r o p

f o r m u l a s i n ( M i l l e r e t a l . , 1 9 9 1 ) .

A l t e r n a t e l y , w e c a n u s e a s l i g h t l y h i g h e r - o r d e r v a r i a n t o f t h e l o g i c o v e r j u s t t r u e ; ̂ ; ; a n d 8 t o

\ d e n e " p a r t o f t h e m e a n i n g o f d i s j u n c t i o n s a n d e x i s t e n t i a l q u a n t i e r s . I n p a r t i c u l a r , c o n s i d e r t h e

t h r e e h i g h e r - o r d e r H o r n c l a u s e s ( s e e N a d a t h u r a n d M i l l e r , 1 9 9 0 , f o r a t r e a t m e n t o f s u c h c l a u s e s ) :

8 P 8 Q P ( P _ Q ) ] 8 P 8 Q Q ( P _ Q ) ] 8 B 8 T ( B T ) 9 B ]

H e r e , _ a n d 9 a r e t r e a t e d a s n o n - l o g i c a l s y m b o l s t h a t h a v e t h e t y p e s ( a s i n C h u r c h ' s S i m p l e

T h e o r y o f T y p e s ( C h u r c h , 1 9 4 0 ) ) o ! o ! o a n d ( i ! o ) ! o , r e s p e c t i v e l y , w h e r e o i s t h e t y p e

o f p r o p o s i t i o n s a n d i i s t h e t y p e o f i n d i v i d u a l s . T h e s e c l a u s e s e n c o d e t h e r i g h t - i n t r o d u c t i o n r u l e s

f o r d i s j u n c t i o n s a n d e x i s t e n t i a l q u a n t i e r s . I n o r d e r t o e n f o r c e t h e f a c t t h a t t h e s e t h r e e c l a u s e s

a r e t o a c t a s d e n i t i o n s , i t i s n e c e s s a r y t o r e s t r i c t o c c u r r e n c e s o f t h e n o n - l o g i c a l c o n s t a n t s _ a n d

9 a s i n t h e p a r a g r a p h a b o v e : _ a n d 9 c a n h a v e n o n e g a t i v e o c c u r r e n c e s i n a g o a l a n d n o p o s i t i v e

o c c u r r e n c e s i n p r o g r a m c l a u s e s o t h e r t h a n t h e t h r e e c l a u s e s d i s p l a y e d a b o v e . T h i s e n s u r e s t h a t

5



t h e o n l y c l a u s e s t h a t c a n b e u s e d t o p r o v e a d i s j u n c t i v e o r e x i s t e n t i a l g o a l a r e t h o s e g i v e n a b o v e .

T h e s e t w o a p p r o a c h e s a m o u n t t o a d e s c r i p t i o n o f t h e s a m e l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e .

T h r o u g h o u t t h i s d i s c u s s i o n , t h e c u t - e l i m i n a t i o n t h e o r e m h a s n o t p l a y e d a m a j o r r o l e , s i n c e

c o m p u t a t i o n i n l o g i c p r o g r a m m i n g h a s b e e n i d e n t i e d w i t h t h e s e a r c h f o r c u t - f r e e p r o o f s . A s w e

s h a l l s h o w i n S e c t i o n 6 , t h e c u t - e l i m i n a t i o n t h e o r e m p l a y s t h e i m p o r t a n t \ e x t e r n a l " r o l e o f p r o v i d i n g

c a n o n i c a l m o d e l s f o r l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s .

3 A l i n e a r l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e

I t i s p o s s i b l e t o a s s u m e , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , t h a t I

0

- p r o o f s h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : i f t h e

s e q u e n t s ? ? ! B a n d ?

0

? ! B

0

h a v e o c c u r r e n c e s o n t h e s a m e p a t h i n a p r o o f , w i t h ? ? ! B b e i n g

c l o s e r t o t h e e n d s e q u e n t , t h e n ? ?

0

. T h u s , a s a c o m p u t a t i o n b u i l d s a p r o o f f r o m t h e b o t t o m

u p , t h e l e f t - h a n d s i d e s o f s e q u e n t s d o n o t d e c r e a s e . T h i s l i m i t a t i o n o n t h e s o r t o f c h a n g e s t h a t

a r e a l l o w e d m e a n s t h a t i n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t s a r e t o o s i m p l i s t i c f o r m a n y d e s i r e d u s e s o f c o n t e x t s

i n l o g i c p r o g r a m m i n g . S i n c e c o n t e x t s c a n b e a s s u m e d t o b e n o n - d e c r e a s i n g , f o r m u l a s i n t h e m

a r e a v a i l a b l e f o r b a c k c h a i n i n g o n a n y n u m b e r o f t i m e s ; t h e y r e p r e s e n t u n b o u n d e d r e s o u r c e s f o r

c o n s t r u c t i n g p r o o f s . L i n e a r l o g i c o e r s a n a t u r a l s e t t i n g w h e r e n o t i o n s o f b o u n d e d a n d u n b o u n d e d

r e s o u r c e c a n b e d e v e l o p e d .

I n o r d e r t o r e n e t h e l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 , w e c o n s i d e r t h e l i n e a r

l o g i c c o n n e c t i v e s > ; & ; ; ? ; ! , a n d 8 . P r o o f r u l e s f o r t h e s e c o n n e c t i v e s a r e g i v e n i n F i g u r e 4 a n d a

c u t r u l e f o r t h i s p r o o f s y s t e m i s g i v e n i n F i g u r e 5 . H e r e , t h e l e f t - h a n d s i d e o f s e q u e n t s a r e m u l t i s e t s

o f f o r m u l a s . A s a r e s u l t , t h e s t r u c t u r a l r u l e f o r e x c h a n g e n e e d n o t b e e x p l i c i t l y s t a t e d . T h e

s t r u c t u r a l r u l e s o f c o n t r a c t i o n a n d w e a k e n i n g a r e g i v e n a s t h e i n f e r e n c e r u l e s ! C ( f o r c o n t r a c t i o n )

a n d ! W ( f o r w e a k e n i n g ) , b u t t h e y a r e o n l y a v a i l a b l e f o r f o r m u l a s o f t h e f o r m ! B . T h e s y n t a c t i c

v a r i a b l e ! d e n o t e s t h e m u l t i s e t f ! C j C 2 g . W e w r i t e ̀

L L

B i f t h e s e q u e n t ? ! B h a s

a p r o o f i n t h e p r o o f s y s t e m o f F i g u r e 4 . B e c a u s e a l l s e q u e n t s i n F i g u r e 4 a r e s i n g l e c o n c l u s i o n

s e q u e n t s , w e s h a l l b e w o r k i n g c o m p l e t e l y w i t h i n t h e \ i n t u i t i o n i s t i c " f r a g m e n t o f l i n e a r l o g i c .

I t i s e a s y t o s e e t h a t l i n e a r l o g i c , e v e n o v e r j u s t t h e l o g i c a l c o n n e c t i v e s c o n s i d e r e d h e r e , i s n o t

a n a b s t r a c t l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e . F o r e x a m p l e , t h e s e q u e n t s a b ? ! b a , ! a ? ! ! a ! a ,

! a & b ? ! ! a , a n d b ( b ? ! a ) ? ! ! a a r e a l l p r o v a b l e i n i n t u i t i o n i s t i c l i n e a r l o g i c b u t d o n o t

h a v e u n i f o r m L L - p r o o f s . T h e p r o b l e m h e r e i s t h a t R a n d ! R d o n o t p e r m u t e d o w n o v e r a l l t h e

l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e s . F o r t h i s r e a s o n , w e c o n s i d e r , i n s t e a d , a f r a g m e n t o f l i n e a r l o g i c t h a t c o n t a i n s

n e i t h e r ! n o r a s c o n n e c t i v e s , a l t h o u g h i t r e t a i n s s o m e o f t h e i r f u n c t i o n a l i t y . W e d o t h i s b y m a k i n g

t w o c h a n g e s t o t h e f o r m u l a t i o n o f l i n e a r l o g i c g i v e n i n F i g u r e 4 . F i r s t , s e q u e n t s w i l l b e o f t h e f o r m

? ; ? ! B w h e r e B i s a f o r m u l a , ? i s a s e t o f f o r m u l a s , a n d i s a m u l t i s e t o f f o r m u l a s . S u c h

s e q u e n t s h a v e t h e i r c o n t e x t d i v i d e d i n t o t w o p a r t s : t h e u n b o u n d e d p a r t , ? , t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e

l e f t - h a n d s i d e o f i n t u i t i o n i s t i c s e q u e n t s , a n d t h e b o u n d e d p a r t , , w h i c h c o r r e s p o n d s t o l e f t - h a n d

s i d e o f s e q u e n t s o f t h e p u r e l y l i n e a r f r a g m e n t o f l i n e a r l o g i c ( n o ! ' s ) . C o n t r a c t i o n a n d w e a k e n i n g

a r e a l l o w e d i n t h e u n b o u n d e d p a r t o f t h e c o n t e x t , b u t n o t i n t h e b o u n d e d p a r t . A s w e s h o w b e l o w ,

t h e s e q u e n t B

1

; : : : ; B

n

; C

1

; : : : ; C

m

? ! B c a n b e m a p p e d t o t h e l i n e a r l o g i c s e q u e n t

! B

1

; : : : ; ! B

n

; C

1

; : : : ; C

m

? ! B :

G i v e n t h i s s t y l e o f s e q u e n t , i t i s n a t u r a l t o m a k e a s e c o n d m o d i c a t i o n t o l i n e a r l o g i c b y i n t r o d u c i n g

t w o k i n d s o f i m p l i c a t i o n s : t h e l i n e a r i m p l i c a t i o n , f o r w h i c h t h e r i g h t - i n t r o d u c t i o n r u l e a d d s i t s

a s s u m p t i o n t o t h e b o u n d e d p a r t o f a c o n t e x t , a n d t h e i n t u i t i o n i s t i c i m p l i c a t i o n ( w r i t t e n ) ) , f o r

w h i c h t h e r i g h t - i n t r o d u c t i o n r u l e a d d s i t s a s s u m p t i o n t o t h e u n b o u n d e d p a r t o f a c o n t e x t . O f

c o u r s e , t h e i n t e n d e d m e a n i n g o f B ) C i s ( ! B ) ? C .

6



B ? ! B

i d e n t i t y

? ! >

> R

; B

i

? ! C

; B

1

& B

2

? ! C

& L ( i = 1 ; 2 )

? ! B ? ! C

? ! B & C

& R

1

? ! B

2

; C ? ! E

1

;

2

; B ? C ? ! E

? L

; B ? ! C

? ! B ? C

? R

; B

1

; B

2

? ! C

; B

1

B

2

? ! C

L

1

? ! B

2

? ! C

1

;

2

? ! B C

R

? ! C

; ! B ? ! C

! W

; ! B ; ! B ? ! C

; ! B ? ! C

! C

; B ? ! C

; ! B ? ! C

! D

! ? ! B

! ? ! ! B

! R

; B t = x ] ? ! C

; 8 x : B ? ! C

8 L

? ! B y = x ]

? ! 8 x : B

8 R ;


F i g u r e 4 : T h e p r o o f s y s t e m L L f o r a f r a g m e n t o f l i n e a r l o g i c

? ! B

0

; B ? ! C

;

0

? ! C

c u t

F i g u r e 5 : A c u t - r u l e f o r L L .

S o f a r , o n l y t h e l o g i c a l c o n n e c t i v e s ? a n d ) h a v e b e e n m o t i v a t e d . C o n s i d e r a s e q u e n t i n

w h i c h t h e b o u n d e d f o r m u l a s a r e a t o m i c . I f t h e o n l y l o g i c a l c o n n e c t i v e s a r e ? a n d ) t h e n e v e r y

f o r m u l a i n t h e b o u n d e d p a r t o f t h e c o n t e x t m u s t b e u s e d e x a c t l y o n c e : t h a t i s , t h e y m u s t b e

a c c o u n t e d f o r i n s o m e i d e n t i t y i n f e r e n c e r u l e b y m a t c h i n g t h e m w i t h t h e s a m e f o r m u l a o n t h e r i g h t

o f a s e q u e n t . S u c h r i g i d c o n t r o l o f r e s o u r c e s i s l i m i t i n g f o r m o s t u s e s . F o r e x a m p l e , i f a d a t a b a s e i s

h e l d i n t h e b o u n d e d p a r t o f a c o n t e x t , t h e n q u e r y i n g t h e d a t a b a s e a b o u t a n i t e m m a k e s t h a t i t e m

u n a v a i l a b l e e l s e w h e r e . A l s o , b e f o r e a c o m p u t a t i o n o n t h e d a t a b a s e c a n b e n i s h e d , i t i s n e c e s s a r y

t o \ r e a d " a l l i t e m s i n t h i s w a y . I f , h o w e v e r , w e a d d t h e c o n n e c t i v e s > a n d & , w e h a v e t h e a b i l i t y t o

e r a s e p a r t s o f t h e b o u n d e d c o n t e x t ( u s i n g > ) a n d t o d u p l i c a t e b o u n d e d c o n t e x t s ( u s i n g & ) . T h u s ,

n o n - d e s t r u c t i v e l y r e a d i n g a v a l u e f r o m a d a t a b a s e c a n b e a c h i e v e d b y r s t m a k i n g a c o p y o f t h e

d a t a b a s e f r o m w h i c h w e d e s t r u c t i v e l y r e a d o n e i t e m a n d d e l e t e t h e r e s t : t h e o r i g i n a l d a t a b a s e i s

u n t o u c h e d . S e e S e c t i o n 5 . 6 f o r a n e x a m p l e o f t h i s k i n d o f d a t a b a s e p r o g r a m s p e c i c a t i o n .

F i g u r e 6 p r e s e n t s a p r o o f s y s t e m L f o r t h e l o g i c c o n n e c t i v e s > ; & ; ? ; ) , a n d 8 . W e w r i t e

? ; ̀

L

B i f t h e s e q u e n t ? ; ? ! B h a s a p r o o f i n L . N o t i c e t h a t t h e b o u n d e d p a r t o f t h e l e f t

p r e m i s e o f t h e ) L i n f e r e n c e r u l e i s e m p t y : t h i s f o l l o w s f r o m t h e s t r u c t u r e o f a n L L - p r o o f w i t h a n

a p p l i c a t i o n o f ? L t o a f o r m u l a o f t h e f o r m ! B ? C . N o t i c e a s w e l l t h a t w e a s s u m e w i t h o u t l o s s

o f g e n e r a l i t y t h a t t h e i d e n t i t y i n f e r e n c e o f t h i s s y s t e m a p p l i e s o n l y w h e r e t h e r i g h t - h a n d s i d e i s a n

a t o m i c f o r m u l a . T h i s t e c h n i c a l r e s t r i c t i o n i s u s e d i n t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 4 b e l o w .

F i g u r e 7 p r e s e n t s t h e t w o c u t r u l e s f o r L . G i r a r d ' s p r o o f o f t h e c u t - e l i m i n a t i o n t h e o r e m f o r

l i n e a r l o g i c ( G i r a r d , 1 9 8 7 a ) c a n b e a d j u s t e d t o s h o w t h a t t h e s e t w o c u t r u l e s a r e a d m i s s i b l e o v e r

̀

L

. A d i r e c t p r o o f o f c u t e l i m i n a t i o n f o r t h i s s y s t e m c a n b e f o u n d i n t h e r s t a u t h o r ' s d i s s e r t a t i o n ,

w h i c h a l s o i n c l u d e s c o m p l e t e p r o o f s o f t h e o t h e r p r o o f - t h e o r e t i c p r o p o s i t i o n s i n t h i s p a p e r ( H o d a s ,

7



? ; A ? ! A

i d e n t i t y

? ; B ; ; B ? ! C

? ; B ; ? ! C

a b s o r b

? ; ? ! >

> R

? ; ; B

i

? ! C

? ; ; B

1

& B

2

? ! C

& L

? ; ? ! B ? ; ? ! C

? ; ? ! B & C

& R

? ;

1

? ! B ? ;

2

; C ? ! E

? ;

1

;

2

; B ? C ? ! E

? L

? ; ; B ? ! C

? ; ? ! B ? C

? R

? ; ; ? ! B ? ; ; C ? ! E

? ; ; B ) C ? ! E

) L

? ; B ; ? ! C

? ; ? ! B ) C

) R

? ; ; B t = x ] ? ! C

? ; ; 8 x : B ? ! C

8 L

? ; ? ! B y = x ]

? ; ? ! 8 x : B

8 R


F i g u r e 6 : L : A p r o o f s y s t e m f o r t h e c o n n e c t i v e s > , & , ? , ) , a n d 8 . T h e f o r m u l a A i n t h e i d e n t i t y

r u l e i s r e s t r i c t e d , f o r c o n v e n i e n c e o n l y , t o b e a t o m i c .

?

0

;

1

? ! B ? ;

2

; B ? ! C

?

0

;

1

;

2

? ! C

c u t

?

0

; ; ? ! B ? ; B ; ? ! C

?

0

; ? ! C

c u t !

F i g u r e 7 : T w o f o r m s o f t h e c u t r u l e f o r L . B o t h r u l e s h a v e t h e p r o v i s o t h a t ? ?

0

.

1 9 9 3 ) . T h i s p a r t i c u l a r p r e s e n t a t i o n o f t h e c u t - r u l e s w i l l b e u s e f u l i n S e c t i o n 6 w h e n w e c h a r a c t e r i z e

t h e i r a d m i s s i b i l i t y i n P r o p o s i t i o n 9 .

P r o p o s i t i o n 3 L e t B b e a f o r m u l a , ? a s e t o f f o r m u l a s , a n d a m u l t i s e t o f f o r m u l a s , a l l o v e r t h e

l o g i c a l c o n s t a n t s > ; & ; ? ; ) , a n d 8 . L e t B

b e t h e r e s u l t o f r e p e a t e d l y r e p l a c i n g a l l o c c u r r e n c e s o f

C

1

) C

2

i n B w i t h ( ! C

1

) ? C

2

. ( A p p l y i n g

t o a s e t o r m u l t i s e t o f f o r m u l a s r e s u l t s i n t h e m u l t i s e t

o f

a p p l i e d t o e a c h m e m b e r . ) T h e n ? ; ̀

L

B i f a n d o n l y i f ! ( ?

) ;

̀

L L

B

.

T h e p r o o f i n e a c h d i r e c t i o n c a n b e s h o w n b y p r e s e n t i n g a s i m p l e t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n p r o o f s i n

t h e t w o p r o o f s y s t e m s .

P r o p o s i t i o n 4 L e t B b e a f o r m u l a , ? a s e t f o r m u l a s , a n d a m u l t i s e t o f f o r m u l a s a l l o v e r t h e

l o g i c a l c o n n e c t i v e s > ; & ; ? ; ) , a n d 8 . T h e s e q u e n t ? ; ? ! B h a s a p r o o f i n L i f a n d o n l y i f i t

h a s a u n i f o r m p r o o f i n L .

P r o o f . I n t h e r e v e r s e d i r e c t i o n , t h e p r o o f i s i m m e d i a t e , s i n c e a u n i f o r m L - p r o o f i s c e r t a i n l y a n L -

p r o o f . I n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n w e p r o v i d e a n o n - d e t e r m i n i s t i c a l g o r i t h m t h a t c o n v e r t s a n a r b i t r a r y

L - p r o o f t o a u n i f o r m L - p r o o f o f t h e s a m e e n d s e q u e n t . W e d e n e a n o n - u n i f o r m r u l e o c c u r r e n c e

a s a n y o c c u r r e n c e o f a l e f t - r u l e i n w h i c h t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h e c o n c l u s i o n i s n o t a n a t o m i c

f o r m u l a . W e a l s o n o t e t h a t t h e a b s o r b r u l e i s c o n s i d e r e d a l e f t - r u l e . T h e r a n k o f a n o n - u n i f o r m

r u l e o c c u r r e n c e i s t h e h e i g h t o f t h e s u b p r o o f o f t h e r i g h t - h a n d p r e m i s e i f t h e r u l e o c c u r r e n c e i s

e i t h e r ? L o r ) L o r i s t h e h e i g h t o f t h e s u b p r o o f o f t h e s o l e p r e m i s e f o r a n y o t h e r l e f t - h a n d r u l e

o c c u r r e n c e . T h e a l g o r i t h m i s g i v e n a s f o l l o w s :

1 . I f t h e p r o o f i s u n i f o r m , t e r m i n a t e ; o t h e r w i s e , g o t o t h e n e x t s t e p .

8



2 . S e l e c t a n o n - u n i f o r m r u l e o c c u r r e n c e w i t h t h e p r o p e r t y t h a t t h e s u b - p r o o f ( s ) r o o t e d a t

p r e m i s e ( s ) o f t h e r u l e a r e u n i f o r m . ( T h a t s u c h a c h o i c e c a n b e m a d e i s i m m e d i a t e g i v e n

t h e a s s u m p t i o n t h a t i d e n t i t y i n f e r e n c e s h a v e o n l y a t o m i c r i g h t - h a n d s i d e s . ) L e t C b e t h e

n o n - a t o m i c r i g h t - h a n d s i d e o f t h e c o n c l u s i o n o f t h i s n o n - u n i f o r m r u l e o c c u r r e n c e .

3 . O n e p r e m i s e o f t h e r u l e s e l e c t e d w i l l b e t h e c o n c l u s i o n o f a r i g h t - r u l e t h a t i n t r o d u c e s t h e l o g i c a l

c o n s t a n t f o r C . T h e r e a r e o n l y 2 5 s u c h c o m b i n a t i o n s o f l e f t - r u l e s b e l o w r i g h t - i n t r o d u c t i o n

r u l e s p o s s i b l e i n a n L - p r o o f . F o r a l l o f t h e s e c a s e s , i t c a n b e c h e c k e d t h a t t h e l e f t - r u l e p e r m u t e s

u p t h r o u g h t h e r i g h t r u l e . W e w i l l o n l y i l l u s t r a t e o n e c a s e , w h e r e a n i n s t a n c e o f ? L o c c u r s

b e l o w a n i n s t a n c e o f & R , a s d i s p l a y e d b e l o w :

1

? ;

1

? ! B

1

2

? ;

2

; B

2

? ! C

1

3

? ;

2

; B

2

? ! C

2

? ;

2

; B

2

? ! C

1

& C

2

& R

? ;

1

;

2

; B

1

? B

2

? ! C

1

& C

2

? L

w h e r e w e a s s u m e

1

,

2

, a n d

3

a r e u n i f o r m p r o o f s o f t h e i r r e s p e c t i v e e n d s e q u e n t s . T h i s

p r o o f s t r u c t u r e i s c o n v e r t e d t o o n e o f t h e f o r m :

1

? ;

1

? ! B

1

2

? ;

2

; B

2

? ! C

1

? ;

1

;

2

; B

1

? B

2

? ! C

1

? L

1

? ;

1

? ! B

1

3

? ;

2

; B

2

? ! C

2

? ;

1

;

2

; B

1

? B

2

? ! C

2

? L :

? ;

1

;

2

; B

1

? B

2

? ! C

1

& C

2

& R

A t t h i s p o i n t , i t i s n e c e s s a r y t o c a l l t h i s p r o c e d u r e r e c u r s i v e l y o n t h e s u b - p r o o f s r o o t e d a t t h e

p r e m i s e s o f t h e n e w n a l r u l e , s i n c e n e w n o n - u n i f o r m r u l e o c c u r r e n c e s m a y h a v e b e e n c r e a t e d

i m m e d i a t e l y a b o v e . F o r t u n a t e l y , s i n c e s u c h n e w o c c u r r e n c e s o f n o n - u n i f o r m r u l e s w i l l h a v e

s t r i c t l y s m a l l e r r a n k s , t h i s r e c u r s i o n w i l l t e r m i n a t e . W i t h t h e t e r m i n a t i o n o f t h e r e c u r s i o n ( s ) ,

t h e n u m b e r o f n o n - u n i f o r m r u l e o c c u r r e n c e s i n t h e o v e r a l l p r o o f h a s b e e n r e d u c e d b y o n e .

4 . G o t o s t e p 1 .

S i n c e e a c h p a s s t h r o u g h t h e o u t e r - l o o p o f t h i s a l g o r i t h m r e d u c e s b y o n e t h e n u m b e r o f n o n - u n i f o r m

r u l e o c c u r r e n c e s , t h e a l g o r i t h m y i e l d s a u n i f o r m p r o o f w h e n i t t e r m i n a t e s . T h u s , a n y s e q u e n t

p r o v a b l e i n L c a n b e p r o v e d b y a u n i f o r m L - p r o o f .

L e t N

1

b e t h e s e t o f a l l r s t - o r d e r f o r m u l a s o v e r t h e l o g i c a l c o n n e c t i v e s > ; & ; ? ; ) , a n d 8 . I t

f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m P r o p o s i t i o n 4 t h a t t h e t r i p l e h N

1

; N

1

; ̀

L

i i s a n a b s t r a c t l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e . ( H e r e , w e a s s u m e t h a t f o r m u l a s i n N

1

c a n o c c u r i n b o t h t h e b o u n d e d a n d u n b o u n d e d

p a r t s o f a s e q u e n t ' s l e f t - h a n d s i d e . )

A s w i t h s y s t e m I

0

i t i s p o s s i b l e t o r e s t r i c t u n i f o r m p r o o f s e v e n f u r t h e r i n t h e s e n s e t h a t t h e u s e

o f l e f t - h a n d r u l e s c a n b e r e s t r i c t e d t o a f o r m o f b a c k c h a i n i n g . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n . L e t

t h e s y n t a c t i c v a r i a b l e B r a n g e o v e r t h e l o g i c a l f o r m u l a s c o n t a i n i n g j u s t t h e c o n n e c t i v e s > ; & ; ? ; ) ,

a n d 8 . T h e n k B k i s t h e s m a l l e s t s e t o f t r i p l e s o f t h e f o r m h ? ; ; B

0

i w h e r e ? i s a s e t o f f o r m u l a s

a n d i s a m u l t i s e t o f f o r m u l a s , s u c h t h a t

1 . h ; ; ; ; B i 2 k B k ,

2 . i f h ? ; ; B

1

& B

2

i 2 k B k t h e n b o t h h ? ; ; B

1

i 2 k B k a n d h ? ; ; B

2

i 2 k B k ,

3 . i f h ? ; ; 8 x : B

0

i 2 k B k t h e n f o r a l l c l o s e d t e r m s t , h ? ; ; B

0

t = x ] i 2 k B k ,

9



? ; ; ? ! B

1

: : : ? ; ; ? ! B

n

? ;

1

? ! C

1

: : : ? ;

m

? ! C

m

? ;

1

; : : : ;

m

; B ? ! A

B C

p r o v i d e d n ; m 0 , A i s a t o m i c , a n d h f B

1

; : : : ; B

n

g ; f C

1

; : : : ; C

m

g ; A i 2 k B k .

F i g u r e 8 : B a c k c h a i n i n g f o r t h e p r o o f s y s t e m L .

4 . i f h ? ; ; B

1

) B

2

i 2 k B k t h e n h ? f B

1

g ; ; B

2

i 2 k B k , a n d

5 . i f h ? ; ; B

1

? B

2

i 2 k B k t h e n h ? ; ] f B

1

g ; B

2

i 2 k B k . ( H e r e , ] d e n o t e s m u l t i s e t u n i o n . )

L e t L

0

b e t h e p r o o f s y s t e m t h a t r e s u l t s f r o m r e p l a c i n g t h e i d e n t i t y , ? L ; ) L ; & L , a n d 8 L r u l e s

i n F i g u r e 6 w i t h t h e b a c k c h a i n i n g i n f e r e n c e r u l e i n F i g u r e 8 .

P r o p o s i t i o n 5 L e t B b e a f o r m u l a , ? a s e t o f f o r m u l a s , a n d a m u l t i s e t o f f o r m u l a s , a l l o v e r

t h e l o g i c a l c o n s t a n t s > ; & ; ? ; ) ; a n d 8 . T h e s e q u e n t ? ; ? ! B h a s a p r o o f i n L i f a n d o n l y i f i t

h a s a p r o o f i n L

0

.

P r o o f . I n t h e r e v e r s e d i r e c t i o n i t i s e a s y t o s h o w t h a t e a c h o c c u r r e n c e o f a B C r u l e i n L

0

c a n b e

c o n v e r t e d t o ( p o s s i b l y ) s e v e r a l o c c u r r e n c e s o f t h e & L , ? L , ) L , 8 L , a n d i d e n t i t y r u l e s i n L . T h e

p r o o f i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n i s m o r e i n v o l v e d .

L e t b e a n L - p r o o f o f ? ; ? ! B . M a r k c e r t a i n o c c u r r e n c e s o f f o r m u l a s i n t h e b o u n d e d p a r t

o f s o m e s e q u e n t s i n a s f o l l o w s . T h e u n i q u e f o r m u l a i n t h e b o u n d e d p a r t o f t h e c o n c l u s i o n o f

e v e r y i d e n t i t y r u l e i s m a r k e d . B y r e f e r r i n g t o F i g u r e 6 w e t h e n m a r k a d d i t i o n a l f o r m u l a o c c u r r e n c e s

u s i n g i n d u c t i o n o n t h e s t r u c t u r e o f p r o o f s a s f o l l o w s :

I f t h e B

i

f o r m u l a o c c u r r e n c e i n t h e & L r u l e i s m a r k e d , t h e n m a r k t h e o c c u r r e n c e o f B

1

& B

2

i n i t s c o n c l u s i o n .

I f t h e B t = x ] f o r m u l a o c c u r r e n c e i n t h e 8 L r u l e i s m a r k e d , t h e n m a r k t h e o c c u r r e n c e o f 8 x : B

i n i t s c o n c l u s i o n .

I f t h e C f o r m u l a o c c u r r e n c e i n t h e r i g h t - h a n d p r e m i s e o f t h e ? L r u l e i s m a r k e d , t h e n m a r k

t h e o c c u r r e n c e o f B ? C i n i t s c o n c l u s i o n

I f t h e C f o r m u l a o c c u r r e n c e i n t h e r i g h t - h a n d p r e m i s e o f t h e ) L r u l e i s m a r k e d , t h e n m a r k

t h e o c c u r r e n c e o f B ) C i n i t s c o n c l u s i o n .

A s i n ( M i l l e r , 1 9 8 9 b ) , a n o c c u r r e n c e o f a l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e i s c a l l e d s i m p l e i f t h e o c c u r r e n c e o f

t h e f o r m u l a c o n t a i n i n g t h e l o g i c a l c o n n e c t i v e i n t r o d u c e d i s m a r k e d . A u n i f o r m p r o o f i n w h i c h a l l

o c c u r r e n c e s o f l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e s a r e s i m p l e i s c a l l e d a s i m p l e p r o o f .

N o w o b s e r v e t w o f a c t s a b o u t s i m p l e p r o o f s . F i r s t , i f i s s i m p l e , t h e n c a n b e t r a n s f o r m e d

d i r e c t l y i n t o a n L

0

- p r o o f : s i m p l y c o l l a p s e a l l c h a i n s o f l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e s ( f o l l o w i n g t h e m a r k i n g

p r o c e s s ) i n t o o n e B C i n f e r e n c e r u l e . S e c o n d , b y p e r m u t i n g i n f e r e n c e r u l e s , a n y u n i f o r m L - p r o o f c a n

b e t r a n s f o r m e d i n t o a s i m p l e p r o o f . T h e p r o o f o f t h i s i s s i m i l a r t o t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 4 . F i n d

a n o n - s i m p l e o c c u r r e n c e o f a l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e f o r w h i c h t h e s u b p r o o f s o f i t s p r e m i s e ( s ) a r e

s i m p l e p r o o f s . O n e o f t h e p r e m i s e s o f t h i s n o n - s i m p l e o c c u r r e n c e o f a l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e m u s t

a l s o b e a l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e . P e r m u t e t h e s e t w o l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e s . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e ,

1 0



t h e f o l l o w i n g c a s e w h e r e t h e s e t w o l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e s a r e ? L .

1

? ;

1

? ! B

1

2

? ;

2

; B

2

? ! C

1

3

? ;

3

; C

2

? ! E

? ;

2

;

3

; B

2

; C

1

? C

2

? ! E

? L

? ;

1

;

2

;

3

; B

1

? B

2

; C

1

? C

2

? ! E

? L

H e r e w e a s s u m e

1

,

2

, a n d

3

a r e s i m p l e p r o o f s . T h i s p r o o f s t r u c t u r e i s t h e n c o n v e r t e d t o t h e

f o l l o w i n g p r o o f b y p e r m u t i n g t h e s e t w o i n f e r e n c e r u l e o c c u r r e n c e s .

1

? ;

1

? ! B

1

2

? ;

2

; B

2

? ! C

1

? ;

1

;

2

; B

1

? B

2

? ! C

1

? L

3

? ;

3

; C

2

? ! E

? ;

1

;

2

;

3

; B

1

? B

2

; C

1

? C

2

? ! E

? L

I t m a y b e n e c e s s a r y t o c o n t i n u e p e r m u t i n g i n f e r e n c e r u l e s i n t h i s f a s h i o n s i n c e , i n t h i s c a s e , t h e

s u b p r o o f o f t h e s e q u e n t ? ;

1

;

2

; B

1

? B

2

? ! C

1

m a y n o t b e s i m p l e . T h e r e s u l t o f c o n t i n u i n g

t h i s p r o c e s s i s t h e n a s i m p l e p r o o f o f t h e s e q u e n t ? ;

1

;

2

;

3

; B

1

? B

2

; C

1

? C

2

? ! E . I n t h i s

w a y , a l l n o n - s i m p l e o c c u r r e n c e s o f l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e s c a n b e e l i m i n a t e d , g i v i n g r i s e t o a s i m p l e

p r o o f , w h i c h c a n , a s n o t e d , b e c o n v e r t e d t o a n L

0

p r o o f .

N o t e t h a t , u n l i k e t h e s y s t e m I

0

, p r o o f s i n L

0

a r e n o t n e c e s s a r i l y u n i f o r m d u e t o t h e p r e s e n c e

o f t h e a b s o r b r u l e , w h i c h m a y a c t o n s e q u e n t s w i t h n o n - a t o m i c r i g h t - h a n d s i d e s . N e v e r t h e l e s s ,

i t i s e a s y t o s e e t h a t a l l u s e s o f t h i s r u l e c a n b e p u s h e d u p a p r o o f t r e e s o t h a t t h e y o c c u r o n l y

i m m e d i a t e l y b e l o w i n s t a n c e s o f B C . S u c h L

0

p r o o f s a r e t h e n u n i f o r m .

A s w a s n o t i c e d i n S e c t i o n 2 , s i n c e w e a r e o n l y i n t e r e s t e d i n c u t - f r e e p r o o f s , i t i s p o s s i b l e t o

p e r m i t d i e r e n t s e t s o f f o r m u l a s t o o c c u r o n t h e l e f t a n d r i g h t o f t h e s e q u e n t a r r o w . A s i n S e c t i o n 2 ,

t h e r e a r e a t l e a s t t w o w a y s t o d o t h i s . W e c a n e x p a n d t h e l o g i c b y a l l o w i n g s o m e o c c u r r e n c e s o f

a d d i t i o n a l l o g i c a l c o n s t a n t s , o r w e c a n u s e h i g h e r - o r d e r q u a n t i c a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e g i v e n

l o g i c t o \ d e n e " t h e a d d i t i o n a l c o n s t a n t s .

U s i n g t h e r s t a p p r o a c h , c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n o f t w o c l a s s e s o f f o r m u l a s o v e r t h e

l o g i c a l c o n s t a n t s > ; 1 ; & ; ; ; ? ; ) ; ! ; 8 , a n d 9 .

R : = > j A j R

1

& R

2

j G ? R j G ) R j 8 x : R

G : = > j A j G

1

& G

2

j R ? G j R ) G j 8 x : G j G

1

G

2

j 1 j G

1

G

2

j ! G j 9 x : G

H e r e , R - f o r m u l a s , c a l l e d r e s o u r c e f o r m u l a s , c a n a p p e a r i n e i t h e r p a r t o f t h e p r o o f c o n t e x t ( o n t h e

l e f t o f a s e q u e n t ) w h i l e G - f o r m u l a s , c a l l e d g o a l f o r m u l a s , c a n a p p e a r o n t h e r i g h t o f s e q u e n t s . G i v e n

t h i s e x t e n s i o n , i t i s n e c e s s a r y t o a d d t o t h e p r o o f s y s t e m L

0

r i g h t - i n t r o d u c t i o n r u l e s f o r 1 ; ; ; !

a n d 9 . L e t L

0 0

b e t h e p r o o f s y s t e m t h a t r e s u l t s f r o m a d d i n g t h e r i g h t - i n t r o d u c t i o n r u l e s i n F i g u r e 9

t o L

0

. ( N o t i c e t h a t s i n c e 1 i s l o g i c a l l y e q u i v a l e n t t o ! > , i t c o u l d b e d r o p p e d f r o m t h i s d e n i t i o n . )

I n t h i s s a m e s e t t i n g , i t i s a l s o p o s s i b l e t o u s e a m o r e r e s t r i c t i v e d e n i t i o n f o r r e s o u r c e f o r m u l a s

( R - f o r m u l a s ) :

R : = > j A j R

1

& R

2

j G ? A j G ) A j 8 x : R : ( )

A l t h o u g h s u c h a s i m p l i c a t i o n d o e s n o t c h a n g e t h e e x p r e s s i v e n e s s o f t h e l o g i c m u c h , i t m a k e s t h e

p r e s e n t a t i o n o f a n i n t e r p r e t e r f o r t h e l o g i c s i m p l e r , a s w i l l b e s e e n i n S e c t i o n 7 .

T h e s e c o n d a p p r o a c h d o e s n o t e x t e n d t h e l o g i c b y a d d i n g t h e s e l o g i c a l c o n s t a n t s d i r e c t l y b u t

i n s t e a d a x i o m a t i z e s t h e i r r i g h t - i n t r o d u c t i o n r u l e s u s i n g h i g h e r - o r d e r q u a n t i c a t i o n . T h e f o l l o w i n g

c l a u s e s a r e a p p r o p r i a t e d e n i t i o n s f o r t h e s e c o n s t a n t s :

1 1



? ; ; ? ! 1

1 R

? ; ; ? ! B

? ; ; ? ! ! B

! R

? ; ? ! B

i

? ; ? ! B

1

B

2

R ( i = 1 ; 2 )

? ; ? ! B x = t ]

? ; ? ! 9 x : B

9 R

? ;

1

? ! B

1

? ;

2

? ! B

2

? ;

1

;

2

? ! B

1

B

2

R

F i g u r e 9 : A d d i t i o n a l r u l e s f o r p o s i t i v e o c c u r r e n c e s o f 1 ; ; ; ! , a n d 9 .

8 P 8 Q P ? ( P Q ) ]

8 P 8 Q Q ? ( P Q ) ]

8 B 8 T ( B T ) ? ( 9 B ) ]

> ) 1

8 P 8 Q P ? Q ? ( P Q ) ]

8 P P ) ! P ]

I f w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e n o n e g a t i v e o c c u r r e n c e s o f a n y o f t h e s e c o n s t a n t s w i t h i n a p r o o f ( e x c e p t

i n t h e s e d e n i n g f o r m u l a s ) t h e n t h i s a m o u n t s t o t h e s a m e r e s t r i c t i o n a s i n t h e r s t a p p r o a c h .

4 A n e m b e d d i n g o f h e r e d i t a r y H a r r o p f o r m u l a s

G i r a r d h a s p r e s e n t e d a m a p p i n g o f i n t u i t i o n i s t i c l o g i c i n t o l i n e a r l o g i c t h a t p r e s e r v e s n o t o n l y

p r o v a b i l i t y b u t a l s o p r o o f s ( G i r a r d , 1 9 8 7 a ) . O n t h e f r a g m e n t o f i n t u i t i o n i s t i c l o g i c c o n t a i n i n g t r u e ,

̂ , , a n d 8 , t h e t r a n s l a t i o n i s g i v e n b y :

( A )

0

= A , w h e r e A i s a t o m i c ,

( t r u e )

0

= 1 ,

( B

1

̂ B

2

)

0

= ( B

1

)

0

& ( B

2

)

0

,

( B

1

B

2

)

0

= ! ( B

1

)

0

? ( B

2

)

0

,

( 8 x : B )

0

= 8 x : ( B )

0

:

H o w e v e r , i f w e a r e w i l l i n g t o f o c u s a t t e n t i o n o n o n l y c u t - f r e e p r o o f s i n I

0

a n d L

0 0

, i t i s p o s s i b l e t o

d e n e a \ t i g h t e r " t r a n s l a t i o n . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t w o t r a n s l a t i o n f u n c t i o n s .

( A )

+

= ( A )

?

= A , w h e r e A i s a t o m i c

( t r u e )

+

= 1

( t r u e )

?

= >

( B

1

̂ B

2

)

+

= ( B

1

)

+

( B

2

)

+

( B

1

̂ B

2

)

?

= ( B

1

)

?

& ( B

2

)

?

( B

1

B

2

)

+

= ( B

1

)

?

) ( B

2

)

+

( B

1

B

2

)

?

= ( B

1

)

+

? ( B

2

)

?

( 8 x : B )

+

= 8 x : ( B )

+

( 8 x : B )

?

= 8 x : ( B )

?

I f w e a l l o w p o s i t i v e o c c u r r e n c e s o f _ a n d 9 w i t h i n c u t - f r e e p r o o f s , a s i n p r o o f s i n v o l v i n g t h e

h e r e d i t a r y H a r r o p f o r m u l a s , w e w o u l d a l s o n e e d t h e f o l l o w i n g t w o c l a u s e s .

( B

1

_ B

2

)

+

= ( B

1

)

+

( B

2

)

+

( 9 x : B )

+

= 9 x : ( B )

+

1 2



P r o p o s i t i o n 6 L e t B b e a f o r m u l a a n d ? a s e t o f f o r m u l a s , a l l o v e r t h e l o g i c a l c o n s t a n t s t r u e ; ̂ ; ;

a n d 8 . D e n e ?

?

= f C

?

j C 2 ? g . T h e n , ? ̀

I

B i f a n d o n l y i f t h e s e q u e n t ?

?

; ; ? ! B

+

h a s a

c u t - f r e e p r o o f i n L

0 0

.

P r o o f . F i r s t o b s e r v e t h a t i f B i s a f o r m u l a o v e r t h e l o g i c a l c o n s t a n t s t r u e ; ̂ ; ; a n d 8 t h e n

h ; A i 2 j B j i f a n d o n l y i f h ; ;

+

; A i 2 k B

?

k . L e t b e a n I

0

- p r o o f o f ? ? ! B . T h i s p r o o f c a n

b e c o n v e r t e d t o a p r o o f

o

o f ?

?

; ; ? ! B

+

b y c o n v e r t i n g t h e i n f e r e n c e r u l e s t r u e R , ̂ R , R , a n d

8 R t o t h e L

0 0

i n f e r e n c e r u l e s 1 R , R , ) R , a n d 8 R . F u r t h e r m o r e , i n s t a n c e s o f t h e B C r u l e o f I

0

n e e d t o b e c o n v e r t e d t o B C p a i r e d w i t h a b s o r b i n L

0 0

. F o r t h e c o n v e r s e , l e t

o

b e a n L

0 0

- p r o o f o f

?

?

; ; ? ! B

+

. A s w a s m e n t i o n e d i n t h e l a s t s e c t i o n , w e c a n a s s u m e t h a t t h e o n l y o c c u r r e n c e s o f

t h e a b s o r b r u l e a r e s u c h t h a t t h e i r p r e m i s e i s t h e c o n c l u s i o n o f a n i n s t a n c e o f t h e B C r u l e . S u c h a

p r o o f c a n b e c o n v e r t e d t o a p r o o f i n L

0 0

b y r e v e r s i n g t h e c o n v e r s i o n m e n t i o n e d f o r t h e r s t c a s e .

( G i r a r d h a s p o i n t e d o u t t o u s t h a t t h i s p r o p o s i t i o n s h o u l d b e p r o v a b l e d i r e c t l y w i t h i n h i s L U p r o o f

s y s t e m ( G i r a r d , 1 9 9 1 ) . )

A c o n s e q u e n c e o f t h i s p r o p o s i t i o n i s t h a t I

0

- p r o o f s i n v o l v i n g H o r n c l a u s e s o r h e r e d i t a r y H a r r o p

f o r m u l a s a r e e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s t h e L

0 0

- p r o o f s o f t h e i r t r a n s l a t i o n s . T h i s s u g g e s t s h o w t o d e s i g n

t h e c o n c r e t e s y n t a x o f a l i n e a r l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s o t h a t t h e i n t e r p r e t a t i o n o f P r o l o g

a n d P r o l o g p r o g r a m s r e m a i n s u n c h a n g e d w h e n e m b e d d e d i n t o t h i s n e w s e t t i n g . F o r e x a m p l e , t h e

P r o l o g s y n t a x

A

0

: ? A

1

; : : : ; A

n

i s t r a d i t i o n a l l y i n t e n d e d t o d e n o t e ( t h e u n i v e r s a l c l o s u r e o f ) t h e f o r m u l a

( A

1

̂ : : : ̂ A

n

) A

0

:

G i v e n t h e n e g a t i v e t r a n s l a t i o n a b o v e , s u c h a H o r n c l a u s e w o u l d t h e n b e t r a n s l a t e d t o t h e l i n e a r

l o g i c f o r m u l a

( A

1

: : : A

n

) ? A

0

:

T h u s , t h e c o m m a i n P r o l o g d e n o t e s a n d : ? d e n o t e s t h e c o n v e r s e o f ? .

F o r a n o t h e r e x a m p l e , t h e n a t u r a l d e d u c t i o n r u l e f o r i m p l i c a t i o n - i n t r o d u c t i o n , o f t e n e x p r e s s e d

u s i n g t h e d i a g r a m

( A )

.

.

.

B

A B ;

c a n b e w r i t t e n a s t h e f o l l o w i n g r s t - o r d e r f o r m u l a f o r a x i o m a t i z i n g a t r u t h p r e d i c a t e ( s e e F e l t y ,

1 9 9 3 ; F e l t y a n d M i l l e r , 1 9 8 8 ; P a u l s o n , 1 9 9 0 ) :

8 A 8 B ( ( t r u e ( A ) t r u e ( B ) ) t r u e ( A i m p B ) ) ;

w h e r e t h e d o m a i n o f q u a n t i c a t i o n i s o v e r p r o p o s i t i o n a l f o r m u l a s o f t h e o b j e c t - l a n g u a g e a n d i m p

i s t h e o b j e c t - l e v e l i m p l i c a t i o n . T h i s f o r m u l a i s w r i t t e n i n P r o l o g u s i n g t h e s y n t a x

t r u e ( A i m p B ) : - t r u e A = > t r u e B .

G i v e n t h e a b o v e p r o p o s i t i o n , t h i s f o r m u l a c a n b e t r a n s l a t e d t o t h e f o r m u l a

8 A 8 B ( ( t r u e A ) t r u e B ) ? t r u e ( A i m p B ) ) ;

1 3



w h i c h m e a n s t h a t t h e P r o l o g s y m b o l = > s h o u l d d e n o t e ) . T h u s , i n t h e i m p l i c a t i o n i n t r o d u c t i o n

r u l e d i s p l a y e d a b o v e , t h e m e t a - l e v e l i m p l i c a t i o n r e p r e s e n t e d a s t h r e e v e r t i c a l d o t s c a n b e i n t e r p r e t e d

a s a n i n t u i t i o n i s t i c i m p l i c a t i o n w h i l e t h e m e t a - l e v e l i m p l i c a t i o n r e p r e s e n t e d a s t h e h o r i z o n t a l b a r

c a n b e i n t e r p r e t e d a s a l i n e a r i m p l i c a t i o n .

N o t i c e t h a t w h e n b u i l d i n g L

0 0

- p r o o f s o f s e q u e n t s t r a n s l a t e d f r o m i n t u i t i o n i s t i c l o g i c , t h e b o u n d e d

p a r t o f s e q u e n t s i s n o n - e m p t y o n l y a t t h e p o i n t t h a t t h e b a c k c h a i n i n g r u l e i s a p p l i e d . I f w e r e l a t e

t h i s o b s e r v a t i o n t o t h e c o n s t r u c t i o n o f n o r m a l - t e r m s , w h e r e b a c k c h a i n i n g c o r r e s p o n d s t o t h e

a p p l i c a t i o n o f a t y p e d c o n s t a n t o r v a r i a b l e , w e d r a w t h e ( o b v i o u s ) c o n c l u s i o n t h a t e v e r y n o r m a l

- t e r m h a s e x a c t l y o n e h e a d s y m b o l .

I n o r d e r t o p r e s e n t s e v e r a l e x a m p l e s i n t h e n e x t s e c t i o n , w e s h a l l m a k e u s e o f t h e f o l l o w i n g

s y n t a c t i c c o n v e n t i o n s f o r s p e c i f y i n g r e s o u r c e f o r m u l a s a n d g o a l f o r m u l a s . T h e s e c o n v e n t i o n s a r e

m o t i v a t e d b y t h e l a s t p r o p o s i t i o n s o t h a t t h e s y n t a x o f P r o l o g a n d P r o l o g e m b e d n a t u r a l l y i n t o

t h e e x t e n d e d l a n g u a g e . T h e s y m b o l s , ( c o m m a ) , t r u e , = > , a n d : - o f P r o l o g a n d P r o l o g w i l l b e

u s e d h e r e t o r e p r e s e n t , 1 , ) , a n d t h e c o n v e r s e o f ? , r e s p e c t i v e l y . I n a d d i t i o n , w e a l l o w f o r m u l a s

t o h a v e o c c u r r e n c e s o f & , b a n g , e r a s e , - o , a n d < = , w h i c h d e n o t e , r e s p e c t i v e l y , & , ! , > , ? , a n d

t h e c o n v e r s e o f ) . W e s h a l l a l s o a d o p t t h e s t a n d a r d c o n v e n t i o n t h a t a t o k e n w i t h a n i n i t i a l u p p e r

c a s e l e t t e r t h a t i s n o t e x p l i c i t l y q u a n t i e d i n a f o r m u l a i s i n t e n d e d t o b e u n i v e r s a l l y q u a n t i e d

( r e s p e c t i v e l y , e x i s t e n t i a l l y q u a n t i e d ) a r o u n d a r e s o u r c e f o r m u l a ( g o a l f o r m u l a ) w i t h o u t e r m o s t

s c o p e . F i n a l l y , t h e c l a u s e s o f a p r o g r a m a r e a s s u m e d t o r e s i d e i n t h e u n b o u n d e d p o r t i o n o f a n

i n i t i a l p r o o f c o n t e x t .

5 S o m e e x a m p l e p r o g r a m s

5 . 1 C o n t e x t m a n a g e m e n t i n t h e o r e m p r o v e r s

I n t u i t i o n i s t i c l o g i c i s a u s e f u l m e t a - l o g i c f o r t h e s p e c i c a t i o n o f p r o v a b i l i t y i n v a r i o u s o b j e c t - l o g i c s .

F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a x i o m a t i z i n g p r o v a b i l i t y i n p r o p o s i t i o n a l , i n t u i t i o n i s t i c l o g i c o v e r t h e l o g i -

c a l s y m b o l s i m p , a n d , o r , a n d f a l s e ( d e n o t i n g o b j e c t - l e v e l i m p l i c a t i o n , c o n j u n c t i o n , d i s j u n c t i o n ,

a n d a b s u r d i t y ) . A r e a s o n a b l e s p e c i c a t i o n o f t h e n a t u r a l d e d u c t i o n i n f e r e n c e r u l e f o r i m p l i c a t i o n

i n t r o d u c t i o n i s :

p v ( A i m p B ) : - h y p A = > p v B .

w h e r e p v a n d h y p a r e m e t a - l e v e l p r e d i c a t e s d e n o t i n g p r o v a b i l i t y a n d h y p o t h e s i s . ( T h i s s p e c i c a t i o n

o f i m p l i c a t i o n i n t r o d u c t i o n i s s i m i l a r t o t h a t g i v e n i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n . ) O p e r a t i o n a l l y , t h i s

f o r m u l a s t a t e s t h a t o n e w a y t o p r o v e A i m p B i s t o a d d t h e o b j e c t - l e v e l h y p o t h e s i s A t o t h e c o n t e x t

a n d a t t e m p t a p r o o f o f B . I n t h e s a m e s e t t i n g , c o n j u n c t i o n e l i m i n a t i o n c a n b e e x p r e s s e d b y t h e

f o r m u l a

p v G : - h y p ( A a n d B ) , ( h y p A = > h y p B = > p v G ) .

T h i s f o r m u l a s t a t e s t h a t i n o r d e r t o p r o v e s o m e o b j e c t - l e v e l f o r m u l a G , r s t c h e c k t o s e e i f t h e r e i s

a c o n j u n c t i v e h y p o t h e s i s , s a y ( A a n d B ) , i n t h e c o n t e x t a n d , i f s o , a t t e m p t a p r o o f o f G f r o m t h e

c o n t e x t e x t e n d e d w i t h t h e t w o h y p o t h e s e s A a n d B . O t h e r i n t r o d u c t i o n a n d e l i m i n a t i o n r u l e s c a n

b e s p e c i e d s i m i l a r l y . F i n a l l y , t h e f o r m u l a

p v G : - h y p G .

i s n e e d e d t o a c t u a l l y c o m p l e t e a p r o o f . W i t h t h e c o m p l e t e s p e c i c a t i o n , i t i s e a s y t o p r o v e t h a t

t h e r e i s a p r o o f o f ( p v G ) f r o m t h e a s s u m p t i o n s ( h y p H 1 ) , : : : , ( h y p H i ) i n t h e m e t a - l o g i c i f a n d

o n l y i f t h e r e i s a p r o o f o f G f r o m t h e a s s u m p t i o n s H 1 , : : : , H i i n t h e o b j e c t - l o g i c .

1 4



p v ( A a n d B ) : - p v A & p v B .

p v ( A i m p B ) : - h y p A - o p v B .

p v ( A o r B ) : - p v A .

p v ( A o r B ) : - p v B .

p v G : - h y p ( A a n d B ) , ( h y p A - o h y p B - o p v G ) .

p v G : - h y p ( A o r B ) , ( ( h y p A - o p v G ) & ( h y p B - o p v G ) ) .

p v G : - h y p ( C i m p B ) , ( ( h y p ( C i m p B ) - o p v C ) &

( h y p B - o p v G ) ) .

p v G : - h y p f a l s e , e r a s e .

p v G : - h y p G , e r a s e .

F i g u r e 1 0 : A s p e c i c a t i o n o f a n i n t u i t i o n i s t i c p r o p o s i t i o n a l o b j e c t - l o g i c

U n f o r t u n a t e l y , a n i n t u i t i o n i s t i c m e t a - l o g i c d o e s n o t p e r m i t t h e n a t u r a l s p e c i c a t i o n o f p r o v a b i l -

i t y i n l o g i c s t h a t h a v e r e s t r i c t e d c o n t r a c t i o n r u l e s | s u c h a s l i n e a r l o g i c i t s e l f | b e c a u s e h y p o t h e s e s

a r e m a i n t a i n e d i n i n t u i t i o n i s t i c l o g i c c o n t e x t s a n d h e n c e c a n b e u s e d z e r o o r m o r e t i m e s . E v e n i n

d e s c r i b i n g p r o v a b i l i t y f o r p r o p o s i t i o n a l i n t u i t i o n i s t i c l o g i c t h e r e a r e s o m e d r a w b a c k s . F o r i n s t a n c e ,

i t i s n o t p o s s i b l e t o l o g i c a l l y e x p r e s s t h e f a c t t h a t a c o n j u n c t i v e o r d i s j u n c t i v e f o r m u l a i n t h e p r o o f

c o n t e x t n e e d s t o b e e l i m i n a t e d a t m o s t o n c e . S o , f o r e x a m p l e , i n t h e s p e c i c a t i o n o f c o n j u n c t i o n

e l i m i n a t i o n , o n c e t h e c o n t e x t i s a u g m e n t e d w i t h t h e t w o c o n j u n c t s , t h e c o n j u n c t i o n i t s e l f i s n o

l o n g e r n e e d e d i n t h e c o n t e x t .

I f , h o w e v e r , w e r e p l a c e t h e i n t u i t i o n i s t i c m e t a - l o g i c w i t h o u r r e n e m e n t b a s e d o n l i n e a r l o g i c ,

t h e s e o b s e r v a t i o n s a b o u t u s e a n d r e - u s e i n i n t u i t i o n i s t i c l o g i c c a n b e s p e c i e d e l e g a n t l y , a s i s d o n e

i n F i g u r e 1 0 . I n t h a t s p e c i c a t i o n , a h y p o t h e s i s i s b o t h \ r e a d f r o m " a n d \ w r i t t e n i n t o " a c o n t e x t

d u r i n g t h e e l i m i n a t i o n o f i m p l i c a t i o n s . A l l o t h e r e l i m i n a t i o n r u l e s s i m p l y \ r e a d f r o m " t h e c o n t e x t ;

t h e y d o n o t \ w r i t e b a c k . " T h e f o r m u l a s r e p r e s e n t e d b y t h e l a s t t w o c l a u s e s i n F i g u r e 1 0 u s e a

w i t h > : t h i s a l l o w s f o r a l l u n u s e d h y p o t h e s e s t o b e e r a s e d , s i n c e t h e o b j e c t l o g i c h a s n o r e s t r i c t i o n s

o n w e a k e n i n g .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h i s s p e c i c a t i o n c a n n o t b e u s e d e e c t i v e l y w i t h a d e p t h - r s t i n t e r p r e t e r

b e c a u s e i f t h e i m p l i c a t i o n l e f t r u l e c a n b e u s e d o n c e , i t c a n b e u s e d a n y n u m b e r o f t i m e s , t h e r e b y

c a u s i n g t h e i n t e r p r e t e r t o l o o p . F o r t u n a t e l y , i m p r o v e m e n t s i n t h e i m p l i c a t i o n l e f t - i n t r o d u c t i o n r u l e

a r e k n o w n . F o r e x a m p l e , t h e p r o o f s y s t e m g i v e n b y D y c k h o i n ( D y c k h o , 1 9 9 2 ) c a n b e e x p r e s s e d

d i r e c t l y i n t h i s s e t t i n g b y r e p l a c i n g t h e o n e f o r m u l a s p e c i f y i n g i m p l i c a t i o n e l i m i n a t i o n i n F i g u r e 1 0

w i t h t h e v e c l a u s e s f o r i m p l i c a t i o n e l i m i n a t i o n a n d t h e ( p a r t i a l ) a x i o m a t i z a t i o n o f o b j e c t - l e v e l

a t o m i c f o r m u l a s i n F i g u r e 1 1 . E x e c u t i n g t h i s l i n e a r l o g i c p r o g r a m i n a d e p t h - r s t i n t e r p r e t e r y i e l d s

a d e c i s i o n p r o c e d u r e f o r p r o p o s i t i o n a l i n t u i t i o n i s t i c l o g i c .

5 . 2 T o g g l i n g a s w i t c h

I f w e a s s u m e t h a t t h e s t a t e o f a s w i t c h i s s t o r e d i n t h e b o u n d e d p a r t o f t h e p r o o f c o n t e x t u s i n g o n e

o f t h e a t o m i c f o r m u l a s o n o r o f f , t h e n t h e f o l l o w i n g t w o c l a u s e s s p e c i f y a h i g h e r - o r d e r p r e d i c a t e

t o g g l e t h a t i s p r o v a b l e o f a n y f o r m u l a G i n a g i v e n c o n t e x t i f G i s p r o v a b l e w h e n t h e s w i t c h i s s e t

t o t h e o p p o s i t e s e t t i n g .

t o g g l e G : - o n , ( o f f - o G ) .

t o g g l e G : - o f f , ( o n - o G ) .

W h i l e t h i s e x a m p l e i n v o l v e s a q u a n t i c a t i o n o v e r p r o p o s i t i o n s ( t h e v a r i a b l e G ) , a n d a s s u c h i s

n o t s t r i c t l y a r s t - o r d e r s p e c i c a t i o n , t h e i n t e n d e d m e a n i n g o f t h e s p e c i c a t i o n s h o u l d b e c l e a r .

1 5



p v G : - h y p ( ( C i m p D ) i m p B ) ,

( ( h y p ( D i m p B ) - o p v ( C i m p D ) ) & ( h y p B - o p v G ) ) .

p v G : - h y p ( ( C a n d D ) i m p B ) , ( h y p ( C i m p ( D i m p B ) ) - o p v G ) .

p v G : - h y p ( ( C o r D ) i m p B ) , ( h y p ( C i m p B ) - o h y p ( D i m p B ) - o p v G ) .

p v G : - h y p ( f a l s e i m p B ) , p v G .

p v G : - h y p ( A i m p B ) , i s a t o m A , h y p A , ( h y p B - o h y p A - o p v G ) .

i s a t o m p .

i s a t o m q .

i s a t o m r .

F i g u r e 1 1 : A c o n t r a c t i o n - f r e e f o r m u l a t i o n o f L

? ; o f f ? ! o f f

.

.

.

.

? ; ; o n ? ! G

? ; ? ! o n ? G

? ; ; o f f ? ! o f f ( o n ? G )

? ; ; o f f ? ! t o g g l e G

F i g u r e 1 2 : P r o o f s e a r c h f o r t o g g l i n g a s w i t c h

F i g u r e 1 2 ( i n w h i c h t h e s e t ? i s a s s u m e d t o c o n t a i n t h e a b o v e t w o c l a u s e s f o r t o g g l e ) s h o w s h o w

a b o t t o m - u p s e a r c h u s i n g t h e s e c l a u s e s m i g h t p r o g r e s s .

T h i s e x a m p l e i l l u s t r a t e s a n a p p r o a c h w h i c h h a s p r e v i o u s l y b e e n u s e d b y t h e a u t h o r s t o p r o v i d e

a n o t i o n o f o b j e c t s t a t e i n o b j e c t - o r i e n t e d l o g i c p r o g r a m m i n g ( H o d a s a n d M i l l e r , 1 9 9 0 ) . T h e l i n e a r

r e n e m e n t o f h e r e d i t a r y H a r r o p f o r m u l a s p r o v i d e s a s t r a i g h t f o r w a r d d e c l a r a t i v e t r e a t m e n t o f s t a t e

u p d a t e i n t h a t s e t t i n g .

5 . 3 P e r m u t i n g a l i s t

S i n c e t h e b o u n d e d p a r t o f c o n t e x t s i n L - p r o o f s a r e i n t e n d e d t o b e m u l t i s e t s a n d n o t l i s t s , i t i s

a s i m p l e m a t t e r t o p e r m u t e a l i s t b y r s t l o a d i n g t h e l i s t ' s m e m b e r s i n t o t h e b o u n d e d p a r t o f a

c o n t e x t a n d t h e n u n l o a d i n g t h e m . T h e l a t t e r o p e r a t i o n i s n o n d e t e r m i n i s t i c a n d c a n s u c c e e d o n c e

f o r e a c h p e r m u t a t i o n o f t h e l o a d e d l i s t . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s i m p l e p r o g r a m :

l o a d n i l K : - u n l o a d K .

l o a d ( X : : L ) K : - ( i t e m X - o l o a d L K ) .

u n l o a d n i l .

u n l o a d ( X : : L ) : - i t e m X , u n l o a d L .

H e r e , n i l d e n o t e s t h e e m p t y l i s t a n d : : t h e l i s t c o n s t r u c t o r . T h e m e a n i n g o f l o a d a n d u n l o a d i s

d e p e n d e n t o n t h e c o n t e n t s o f t h e b o u n d e d p a r t o f t h e c o n t e x t , s o t h e c o r r e c t n e s s o f t h e s e c l a u s e s

m u s t b e s t a t e d r e l a t i v e t o a c o n t e x t . L e t ? b e a s e t o f f o r m u l a s c o n t a i n i n g t h e f o u r f o r m u l a s

d i s p l a y e d a b o v e a n d a n y o t h e r f o r m u l a s t h a t d o n o t c o n t a i n e i t h e r i t e m , l o a d , o r u n l o a d a s t h e i r

h e a d s y m b o l . ( T h e h e a d s y m b o l o f a f o r m u l a o f t h e f o r m A o r G ? A i s t h e p r e d i c a t e s y m b o l t h a t

i s t h e h e a d o f t h e a t o m A . ) L e t b e t h e m u l t i s e t c o n t a i n i n g e x a c t l y t h e a t o m i c f o r m u l a s

i t e m a

1

, : : : , i t e m a

n

:

1 6



W e s h a l l s a y t h a t s u c h a c o n t e x t e n c o d e s t h e m u l t i s e t f a

1

; : : : ; a

n

g . I t i s n o w a n e a s y m a t t e r t o

p r o v e t h e f o l l o w i n g t w o a s s e r t i o n s a b o u t l o a d a n d u n l o a d :

T h e g o a l ( u n l o a d K ) i s p r o v a b l e f r o m ? ; i f a n d o n l y i f K i s a l i s t c o n t a i n i n g t h e s a m e

e l e m e n t s w i t h t h e s a m e m u l t i p l i c i t y a s t h e m u l t i s e t e n c o d e d i n .

T h e g o a l ( l o a d L K ) i s p r o v a b l e f r o m ? ; i f a n d o n l y i f K i s a l i s t c o n t a i n i n g t h e s a m e

e l e m e n t s w i t h t h e s a m e m u l t i p l i c i t y a s i n t h e l i s t L t o g e t h e r w i t h t h e m u l t i s e t e n c o d e d i n t h e

c o n t e x t .

I n o r d e r f o r l o a d a n d u n l o a d t o c o r r e c t l y p e r m u t e t h e e l e m e n t s o f a l i s t , w e m u s t g u a r a n t e e

t w o t h i n g s a b o u t t h e c o n t e x t : r s t , t h e p r e d i c a t e s i t e m , l o a d , a n d u n l o a d c a n n o t b e u s e d a s h e a d

s y m b o l s i n a n y p a r t o f t h e c o n t e x t e x c e p t a s s p e c i e d a b o v e a n d , s e c o n d , t h e b o u n d e d p a r t o f a

c o n t e x t m u s t b e e m p t y a t t h e s t a r t o f t h e c o m p u t a t i o n o f a p e r m u t a t i o n . I t i s p o s s i b l e t o h a n d l e

t h e r s t c o n d i t i o n b y m a k i n g u s e o f a p p r o p r i a t e u n i v e r s a l q u a n t i e r s o v e r t h e p r e d i c a t e n a m e s

i t e m , l o a d , a n d u n l o a d . S u c h a n a p p r o a c h t o t h e l e x i c a l s c o p i n g o f n a m e s h a s b e e n a d d r e s s e d i n

d e p t h i n p r e v i o u s p a p e r s ( M i l l e r , 1 9 8 9 a , 1 9 9 0 ) a n d w i l l n o t b e t a k e n u p h e r e . T h e s e c o n d c o n d i t i o n

| t h a t t h e u n b o u n d e d p a r t o f a c o n t e x t i s e m p t y | c a n b e m a n a g e d b y m a k i n g u s e o f t h e m o d a l

n a t u r e o f ! , w h i c h w e n o w d i s c u s s i n m o r e d e t a i l .

5 . 4 T h e m o d a l i t y o f !

O n e e x t e n s i o n t o l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s t h a t h a s b e e n s t u d i e d f o r s e v e r a l y e a r s i s t h e d e m o -

p r e d i c a t e ( B o w e n a n d K o w a l s k i , 1 9 8 2 ) . T h e i n t e n d e d m e a n i n g o f a t t e m p t i n g a q u e r y o f t h e f o r m

d e m o ( R ; G ) i n c o n t e x t ? i s s i m p l y a t t e m p t i n g t h e q u e r y G i n t h e c o n t e x t c o n t a i n i n g o n l y R ; t h a t

i s , t h e m a i n c o n t e x t i s f o r g o t t e n d u r i n g t h e s c o p e o f t h e d e m o - p r e d i c a t e . T h e u s e o f a ! ' e d g o a l h a s

a r e l a t e d m e a n i n g .

C o n s i d e r p r o v i n g t h e s e q u e n t ? ; ? ! ! G

1

G

2

, w h e r e ? a n d a r e c o m p o s e d o f r e s o u r c e

f o r m u l a s a n d G

1

a n d G

2

a r e g o a l f o r m u l a s . G i v e n t h e c o m p l e t e n e s s o f u n i f o r m p r o o f s f o r t h e

s y s t e m L

0 0

, t h i s i s p r o v a b l e i f a n d o n l y i f t h e t w o s e q u e n t s ? ; ; ? ! G

1

a n d ? ; ? ! G

2

a r e

p r o v a b l e . I n o t h e r w o r d s , t h e u s e o f t h e \ o f - c o u r s e " o p e r a t o r f o r c e s G

1

t o b e p r o v e d w i t h a n

e m p t y b o u n d e d c o n t e x t . T h u s , w i t h r e s p e c t t o b o u n d e d r e s o u r c e s , t h e g o a l ! ( R ? G ) b e h a v e s

s i m i l a r l y t o d e m o ( R ; G ) . I n a s e n s e , s i n c e b o u n d e d r e s o u r c e s c a n c o m e a n d g o w i t h i n c o n t e x t s

d u r i n g a c o m p u t a t i o n , t h e y c a n b e v i e w e d a s \ c o n t i n g e n t " r e s o u r c e s , w h e r e a s u n b o u n d e d r e s o u r c e s

a r e \ n e c e s s a r y " . T h e o f - c o u r s e o p e r a t o r a t t a c h e d t o a g o a l e n s u r e s t h a t t h e p r o v a b i l i t y o f t h e g o a l

d e p e n d s o n l y o n t h e n e c e s s a r y a n d n o t t h e c o n t i n g e n t r e s o u r c e s o f t h e c o n t e x t .

I t i s n o w c l e a r h o w t o d e n e t h e p e r m u t a t i o n o f t w o l i s t s g i v e n t h e e x a m p l e p r o g r a m a b o v e :

a d d e i t h e r t h e f o r m u l a

p e r m L K : - b a n g ( l o a d L K ) .

o r , e q u i v a l e n t l y , t h e f o r m u l a

p e r m L K < = l o a d L K .

t o t h o s e d e n i n g l o a d a n d u n l o a d . T h u s a t t e m p t i n g t o p r o v e ( p e r m L K ) w i l l r e s u l t i n a n a t t e m p t

t o p r o v e ( l o a d L K ) w i t h a n e m p t y b o u n d e d c o n t e x t . F r o m t h e d e s c r i p t i o n o f l o a d a b o v e , L a n d

K m u s t b e p e r m u t a t i o n s o f e a c h o t h e r .

1 7



5 . 5 M u l t i s e t r e w r i t i n g

T h e i d e a s p r e s e n t e d i n t h e p e r m u t a t i o n e x a m p l e c a n e a s i l y b e e x p a n d e d u p o n t o s h o w h o w t h e

b o u n d e d p a r t o f a c o n t e x t c a n b e e m p l o y e d t o d o m u l t i s e t r e w r i t i n g . L e t H b e t h e m u l t i s e t r e w r i t i n g

s y s t e m f h L

i

; R

i

i j i 2 I g w h e r e f o r e a c h i 2 I ( a n i t e i n d e x s e t ) , L

i

a n d R

i

a r e n i t e m u l t i s e t s .

D e n e t h e r e l a t i o n M ;

H

N o n n i t e m u l t i s e t s t o h o l d i f t h e r e i s s o m e i 2 I a n d s o m e m u l t i s e t C

s u c h t h a t M i s C ] L

i

a n d N i s C ] R

i

. L e t ;

H

b e t h e r e e x i v e a n d t r a n s i t i v e c l o s u r e o f ;

H

.

G i v e n a r e w r i t i n g s y s t e m H , w e w i s h t o s p e c i f y a b i n a r y p r e d i c a t e r e w r i t e s u c h t h a t ( r e w r i t e

L K ) i s p r o v a b l e i f a n d o n l y i f t h e m u l t i s e t s e n c o d e d b y L a n d K s t a n d i n t h e ;

H

r e l a t i o n . L e t ?

0

b e t h e f o l l o w i n g s e t o f f o r m u l a s ( t h e s e a r e i n d e p e n d e n t o f H ) :

r e w r i t e L K < = l o a d L K .

l o a d ( X : : L ) K : - ( i t e m X - o l o a d L K ) .

l o a d n i l K : - r e w K

r e w K : - u n l o a d K .

u n l o a d ( X : : L ) : - i t e m X , u n l o a d L .

u n l o a d n i l .

T a k e n a l o n e , t h e s e c l a u s e s g i v e a s l i g h t l y d i e r e n t v e r s i o n o f t h e p e r m u t e p r o g r a m o f t h e l a s t

e x a m p l e . T h e o n l y a d d i t i o n i s t h e b i n a r y p r e d i c a t e r e w , w h i c h w i l l b e u s e d a s a s o c k e t i n t o w h i c h

w e c a n p l u g a p a r t i c u l a r r e w r i t e s y s t e m .

I n o r d e r t o e n c o d e a r e w r i t e s y s t e m H , e a c h r e w r i t e r u l e i n H i s g i v e n b y a f o r m u l a s p e c i f y i n g a n

a d d i t i o n a l c l a u s e f o r t h e r e w p r e d i c a t e a s f o l l o w s : I f H c o n t a i n s t h e p a i r h f a

1

; : : : ; a

n

g ; f b

1

; : : : ; b

m

g i

t h e n t h i s p a i r i s e n c o d e d a s t h e c l a u s e :

r e w K : - i t e m a

1

, : : : , i t e m a

n

, ( i t e m b

1

- o ( : : : - o ( i t e m b

m

- o r e w K ) : : : ) ) .

I f e i t h e r n o r m i s z e r o , t h e a p p r o p r i a t e p o r t i o n o f t h e f o r m u l a i s d e l e t e d . O p e r a t i o n a l l y , t h i s c l a u s e

r e a d s t h e a

i

' s o u t o f t h e b o u n d e d c o n t e x t , l o a d s t h e b

i

' s , a n d t h e n a t t e m p t s a n o t h e r r e w r i t e . L e t

?

H

b e t h e s e t r e s u l t i n g f r o m e n c o d i n g e a c h p a i r i n H . A s a n e x a m p l e , i f H i s t h e s e t o f p a i r s

f h f a ; b g ; f b ; c g i ; h f a ; a g ; f a g i g t h e n ?

H

i s t h e s e t o f c l a u s e s :

r e w K : - i t e m a , i t e m b , ( i t e m b - o ( i t e m c - o r e w K ) ) .

r e w K : - i t e m a , i t e m a , ( i t e m a - o r e w K ) .

T h e f o l l o w i n g c l a i m i s e a s y t o p r o v e a b o u t t h i s s p e c i c a t i o n : i f M a n d N a r e m u l t i s e t s r e p r e -

s e n t e d a s t h e l i s t s L a n d K , r e s p e c t i v e l y , t h e n M ;

H

N i f a n d o n l y i f t h e g o a l ( r e w r i t e L K ) i s

p r o v a b l e f r o m t h e c o n t e x t ?

0

; ?

H

; ; .

O n e d r a w b a c k o f t h i s e x a m p l e i s t h a t r e w r i t e i s a p r e d i c a t e o n l i s t s , t h o u g h i t s a r g u m e n t s a r e

i n t e n d e d t o r e p r e s e n t m u l t i - s e t s , a n d a r e o p e r a t e d o n a s s u c h . T h e r e f o r e , f o r e a c h M , N p a i r t h i s

p r o g r a m g e n e r a t e s a f a c t o r o f a t l e a s t n ! m o r e p r o o f s t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g r e w r i t i n g p r o o f s , w h e r e

n i s t h e c a r d i n a l i t y o f t h e m u l t i s e t N . T h i s r e d u n d a n c y c o u l d b e a d d r e s s e d e i t h e r b y i m p l e m e n t i n g

a d a t a t y p e f o r m u l t i - s e t s o r , p e r h a p s , b y i n v e s t i g a t i n g a n o n - c o m m u t a t i v e v a r i a n t o f l i n e a r l o g i c .

5 . 6 A d a t a b a s e q u e r y l a n g u a g e

A p r o g r a m t h a t i m p l e m e n t s a s i m p l e d a t a b a s e q u e r y l a n g u a g e i s d i s p l a y e d i n F i g u r e 1 3 . T o m a k e

t h i s e x a m p l e i n t e r e s t i n g , w e h a v e a u g m e n t e d t h e l a n g u a g e w i t h t h e r e a d , w r i t e , a n d n l ( n e w l i n e )

1 8



d b : - w r i t e " C o m m a n d : " , r e a d C o m m a n d , d o C o m m a n d .

d b : - w r i t e " T r y a g a i n . " , n l , d b .

d o ( e n t e r E n t r y ) : - e n t r y E n t r y - o d b .

d o ( c o m m i t E n t r y ) : - e n t r y E n t r y = > d b .

d o ( r e t r a c t E n t r y ) : - e n t r y E n t r y , d b .

d o ( u p d O l d N e w ) : - e n t r y O l d , ( e n t r y N e w - o d b ) .

d o ( c h e c k Q ) : - ( e n t r y Q , e r a s e , w r i t e Q , w r i t e " i s a n e n t r y . " , n l ) &

d b .

d o ( n e c e s s a r y Q ) : - ( b a n g ( e n t r y Q ) , e r a s e , w r i t e Q ,

w r i t e " i s a n e c e s s a r y e n t r y " , n l ) & d b .

d o q u i t : - e r a s e .

F i g u r e 1 3 : A s i m p l e d a t a b a s e q u e r y p r o g r a m

i n p u t / o u t p u t c o m m a n d s . W e s h a l l a l s o a s s u m e t h a t t h e s u b - g o a l s o f a c o n j u n c t i o n a r e a t t e m p t e d

i n a l e f t - t o - r i g h t o r d e r . T h e d a t a b a s e i s s t o r e d i n b o t h t h e b o u n d e d a n d u n b o u n d e d p a r t s o f t h e

c o n t e x t u s i n g t h e u n a r y p r e d i c a t e e n t r y . E n t r i e s i n t h e b o u n d e d p a r t c a n b e r e t r a c t e d o r u p d a t e d ;

e n t r i e s i n t h e u n b o u n d e d c o n t e x t a r e p e r m a n e n t a n d c a n n o t b e u p d a t e d o r r e t r a c t e d . A s e s s i o n

u s i n g t h i s p r o g r a m m i g h t p r o c e e d a s f o l l o w s :

C o m m a n d : e n t e r ( e n r o l l j a n e c s 1 ) .

C o m m a n d : c h e c k ( e n r o l l j a n e X ) .

( e n r o l l j a n e c s 1 ) i s a n e n t r y .

C o m m a n d : u p d ( e n r o l l j a n e c s 1 ) ( e n r o l l j a n e c s 2 ) .

C o m m a n d : c h e c k ( e n r o l l j a n e X ) .

( e n r o l l j a n e c s 2 ) i s a n e n t r y .

C o m m a n d : c o m m i t ( s t u d e n t j a n e ) .

C o m m a n d : e n t e r ( s t u d e n t b o b ) .

C o m m a n d : n e c e s s a r y ( s t u d e n t X ) .

( s t u d e n t j a n e ) i s a n e c e s s a r y e n t r y

C o m m a n d : r e t r a c t ( s t u d e n t j a n e ) .

C o m m a n d : n e c e s s a r y ( s t u d e n t X ) .

( s t u d e n t j a n e ) i s a n e c e s s a r y e n t r y

C o m m a n d : n e c e s s a r y ( s t u d e n t b o b ) .

T r y a g a i n .

C o m m a n d : q u i t .

T h i s e x a m p l e s h o w s s o m e l i m i t a t i o n s o f l i n e a r c o n t e x t s i n t h i s d a t a b a s e s e t t i n g . F o r e x a m p l e ,

i t d o e s n o t s e e m p o s s i b l e t o q u e r y a c o n t e x t t o n d o u t i f a n e n t r y i s c o n t i n g e n t a n d n o t n e c e s s a r y

( a l t h o u g h a c c o m m o d a t i n g n e g a t i o n - a s - f a i l u r e w o u l d m a k e t h i s p o s s i b l e ) . T h u s i t i s n o t p o s s i b l e

( w i t h j u s t t h i s l o g i c ) t o c h e c k i f a c o m m a n d i s a t t e m p t i n g t o r e t r a c t a n e c e s s a r y ( c o m m i t t e d ) e n t r y :

a s s e e n i n t h e s a m p l e s e s s i o n , s u c h a n o p e r a t i o n i s a c c e p t e d b u t i n e e c t i v e .

5 . 7 A g a p - t h r e a d i n g p a r s e r f o r E n g l i s h r e l a t i v e c l a u s e s

O u r n a l e x a m p l e i s a s i m p l e n a t u r a l l a n g u a g e p a r s e r w h i c h d e m o n s t r a t e s h o w l i n e a r l o g i c c a n

b e u s e d t o i m p l e m e n t a t e c h n i q u e k n o w n a s g a p t h r e a d i n g ( P e r e i r a a n d S h i e b e r , 1 9 8 7 ) . I n t u i t i o n -

i s t i c c o n t e x t s h a v e b e e n p r o p o s e d a s a m e a n s o f m a n a g i n g t h e i n t r o d u c t i o n a n d s c o p i n g o f g a p s

1 9



s e n t P 1 P 2 : - b a n g ( n p P 1 P 0 ) , v p P 0 P 2 .

v p P 1 P 2 : - t v P 1 P 0 , n p P 0 P 2 .

v p P 1 P 2 : - s t v P 1 P 0 , s b a r P 0 P 2 .

s b a r ( t h a t : : P 1 ) P 2 : - s e n t P 1 P 2 .

n p P 1 P 2 : - p n P 1 P 2 .

r e l ( w h o m : : X ) Y : - a l l z \ ( n p z z ) - o s e n t X Y .

p n ( m a r y : : L ) L .

p n ( b o b : : L ) L .

p n ( a n n : : L ) L .

t v ( l o v e s : : L ) L .

t v ( m a r r i e d : : L ) L .

s t v ( b e l i e v e s : : L ) L .

F i g u r e 1 4 : A s i m p l e p a r s e r f o r g a p s i n E n g l i s h

( P a r e s c h i , 1 9 8 9 ; P a r e s c h i a n d M i l l e r , 1 9 9 0 ) . T h i s a p p r o a c h , a l t h o u g h m o d e l i n g v a r i o u s a s p e c t s o f

g a p - t h r e a d i n g c o r r e c t l y , i s u n s a t i s f a c t o r y f o r a t l e a s t t w o r e a s o n s . F i r s t , t h e r e s t r i c t i o n t h a t a g a p ,

o n c e i n t r o d u c e d , m u s t b e u s e d i s n o t e a s y t o e n f o r c e u s i n g a n i n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t . T h e r e f o r e ,

t h e p h r a s e \ w h o m B o b m a r r i e d A n n " w o u l d p a r s e i n c o r r e c t l y a s a v a l i d r e l a t i v e c l a u s e . S e c o n d ,

v a r i o u s r e s t r i c t i o n s o n w h e r e g a p s m a y o c c u r a r e n o t e x p l a i n e d u s i n g i n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t s . F o r

e x a m p l e , g a p s i n t r o d u c e d b y \ w h o m " c a n o c c u r i n o b j e c t b u t n o t n o m i n a l p o s i t i o n s . T h u s t h e

p h r a s e \ w h o m A n n b e l i e v e s t h a t B o b m a r r i e d " i s c o r r e c t ( t h e g a p i s t h e o b j e c t o f \ m a r r i e d " )

w h i l e \ w h o m A n n b e l i e v e s t h a t m a r r i e d B o b " i s i n c o r r e c t ( t h e g a p i s t h e s u b j e c t o f \ m a r r i e d " ) .

T h e \ m o d a l " d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e s e t w o k i n d s o f n o u n p h r a s e s i s n o t a d d r e s s e d n a t u r a l l y u s i n g

i n t u i t i o n i s t i c l o g i c .

T h e s m a l l l o g i c p r o g r a m i n F i g u r e 1 4 i s a s i m p l e p a r s e r b a s e d o n d e n i t e c l a u s e g r a m m a r s

( D C G ) ( P e r e i r a a n d W a r r e n , 1 9 8 0 ) e x t e n d e d w i t h s o m e u s e s o f l i n e a r l o g i c . E a c h c a t e g o r y o f t h e

g r a m m a r , s u c h a s s e n t f o r s e n t e n c e , v p f o r v e r b p h r a s e , s b a r f o r c o m p l e m e n t c l a u s e s , e t c . , i s g i v e n

t w o a r g u m e n t s , d e n o t i n g a d i e r e n c e l i s t o f w o r d s . T h e r u l e f o r r e l a t i v e c l a u s e s ( r e l ) i n t r o d u c e s a

g a p b y l o a d i n g t h e f o r m u l a a l l z \ ( n p z z ) ( w h i c h d e n o t e s t h e l o g i c a l e x p r e s s i o n 8 z : ( n p z z ) ) i n t o

t h e b o u n d e d c o n t e x t . T h i s f o r m u l a r e p r e s e n t s a c o n t i n g e n t r e s o u r c e : a n o u n p h r a s e o f z e r o l e n g t h .

B e c a u s e o f t h e r e s t r i c t i o n s p l a c e d o n t h e m a n a g e m e n t o f t h e b o u n d e d c o n t e x t , t h e r e q u i r e m e n t

t h a t i n t r o d u c e d g a p s b e c o n s u m e d i s h a n d l e d b y t h e l o g i c .

T h e ! o p e r a t o r p r o v i d e s a s i m p l e m e c h a n i s m f o r d e c l a r i n g t h a t g a p s c a n n o t b e c o n s u m e d d u r i n g

t h e p a r s i n g o f c e r t a i n o c c u r r e n c e s o f p a r t s o f s p e e c h : f o r e x a m p l e , t h e s u b j e c t n o u n p h r a s e i n t h e

f o r m u l a s p e c i f y i n g s e n t i s p r o t e c t e d b y a ! . T h i s b l o c k s a n y c o n t i n g e n t r e s o u r c e s f r o m b e i n g u s e d

i n i t s p r o o f . T h u s , a n i n t r o d u c e d g a p c a n b e u s e d t o p r o v e t h e n o u n p h r a s e m e n t i o n e d i n t h e v p

c l a u s e b u t n o t t h e o n e i n t h e s e n t c l a u s e . T h e r e f o r e , t h e t w o g o a l s

r e l ( w h o m : : a n n : : b e l i e v e s : : t h a t : : b o b : : m a r r i e d : : n i l ) n i l .

r e l ( w h o m : : b o b : : m a r r i e d : : n i l ) n i l .

a r e p r o v a b l e b u t t h e t w o g o a l s

r e l ( w h o m : : a n n : : b e l i e v e s : : t h a t : : m a r r i e d : : b o b : : n i l ) n i l .

r e l ( w h o m : : b o b : : m a r r i e d : : a n n : : n i l ) n i l .

a r e n o t . A s t h i s p a r s e r r u l e s o u t s u b j e c t e x t r a c t i o n , s e n t e n c e s t h a t r e q u i r e s u c h e x t r a c t i o n s m u s t

b e h a n d l e d w i t h a d d i t i o n a l s p e c i a l i z e d g r a m m a r r u l e s . S e v e r a l s i m i l a r t y p e s o f \ i s l a n d c o n s t r a i n t s "

2 0



o c c u r i n n a t u r a l l a n g u a g e p a r s i n g p r o b l e m s ( P e r e i r a a n d S h i e b e r , 1 9 8 7 ) . T h e u s e o f ! ' e d f o r m u l a s

m a y a i d i n h a n d l i n g t h e s e c o n s t r a i n t s a s w e l l .

T h e d u p l i c a t i o n o f g a p s a c r o s s c o n j u n c t i o n s i n s u c h p h r a s e s a s \ t h e d o c t o r w h o m B o b m a r r i e d

a n d J a n e k n e w " c a n b e e x p l a i n e d w e l l u s i n g a & t o c o p y g a p s . T o t h i s e n d , t h e f o l l o w i n g f o r m u l a

c a n b e a d d t o t h e g r a m m a r a b o v e t o h a n d l e t h e c o n j u n c t i o n o f s e n t e n c e s :

s e n t P 1 P 2 : - s e n t P 1 ( a n d : : P 3 ) & s e n t P 3 P 2 .

T h e r s t a u t h o r h a s e x t e n d e d t h i s a p p l i c a t i o n o f l i n e a r l o g i c t o n a t u r a l l a n g u a g e p r o c e s s i n g

( H o d a s , 1 9 9 2 ) . H i s d i s s e r t a t i o n a l s o i n c l u d e s a s e t o f e x t e n d e d e x a m p l e s a l o n g t h e l i n e s o f t h o s e

g i v e n h e r e ( H o d a s , 1 9 9 3 ) .

6 A m o d e l t h e o r e t i c s e m a n t i c s

B e s i d e s t h e f a c t t h a t l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y t h e i r u s e o f g o a l - d i r e c t e d

s e a r c h , t h e y a l s o g e n e r a l l y s h a r e t h e c h a r a c t e r i s t i c t h a t g i v e n a p r o g r a m , t h e r e e x i s t s a s i n g l e m o d e l

s u c h t h a t v a l i d i t y i n t h a t m o d e l i s e q u i v a l e n t t o p r o v a b i l i t y f r o m t h e p r o g r a m . T h u s w h e n d e s i g n i n g

a p r o g r a m ( a p r o o f c o n t e x t ) , a p r o g r a m m e r c a n t h i n k o f t h e m e a n i n g o f a q u e r y o p e r a t i o n a l l y , a s

t h e s e a r c h f o r u n i f o r m , c u t - f r e e p r o o f s o f t h e q u e r y i n t h a t c o n t e x t , o r d e c l a r a t i v e l y , a s t r u t h i n t h e

p a r t i c u l a r c a n o n i c a l m o d e l t h a t t h e p r o g r a m r e p r e s e n t s .

T h e c a n o n i c a l m o d e l f o r r s t - o r d e r H o r n c l a u s e s i s w e l l k n o w n ( A p t a n d v a n E m d e n , 1 9 8 2 ) . A

K r i p k e - l i k e m o d e l c o n s t r u c t i o n w a s p r o p o s e d i n ( M i l l e r , 1 9 8 9 b ) a s t h e c a n o n i c a l m o d e l f o r a s u b s e t

o f r s t - o r d e r h e r e d i t a r y H a r r o p f o r m u l a s , b u t u n f o r t u n a t e l y t h e c o n s t r u c t i o n g i v e n t h e r e w a s n o t

s h o w n t o b e a n a c t u a l m o d e l i n t h e s e n s e o f p o s s i b l e - w o r l d s e m a n t i c s . A c a n o n i c a l m o d e l w a s

g i v e n i n ( M i l l e r , 1 9 9 2 ) f o r t h e l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . W e s h a l l u s e t h e

a p p r o a c h g i v e n i n ( M i l l e r , 1 9 9 2 ) t o d e v e l o p a c a n o n i c a l m o d e l f o r t h e l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e

b a s e d o n > , & , ? , a n d ) . W e s h a l l o n l y c o n s i d e r t h e p r o p o s i t i o n a l c a s e h e r e s i n c e m o s t o f t h e

a s p e c t s o f t h e m o d e l a r e i l l u s t r a t e d i n j u s t t h a t s i m p l e s e t t i n g . T h e a n a l y s i s o f t h e q u a n t i c a t i o n a l

c a s e ( i n c l u d i n g h i g h e r - t y p e q u a n t i c a t i o n ) g i v e n i n ( M i l l e r , 1 9 9 2 ) a p p l i e s e q u a l l y w e l l h e r e .

L e t h R ; + ; 0 i b e a c o m m u t a t i v e m o n o i d a n d l e t h W ; i b e a p a r t i a l l y o r d e r e d s e t . W e s h a l l

c a l l R t h e m o n o i d o f b o u n d e d r e s o u r c e s a n d W t h e s e t o f p o s s i b l e w o r l d s . A ( p r o p o s i t i o n a l ) K r i p k e

i n t e r p r e t a t i o n i s a n o r d e r p r e s e r v i n g m a p p i n g f r o m h W ; i t o t h e p o w e r s e t o f t h e s e t o f a t o m i c

f o r m u l a s ( h e r e , p r o p o s i t i o n a l l e t t e r s ) . A r e s o u r c e i n d e x e d m o d e l M i s a n R - i n d e x e d s e t o f K r i p k e

i n t e r p r e t a t i o n s , f K

r

j r 2 R g . T h u s t h e s e t K

r

( w ) i s i n t e n d e d t o d e n o t e t h e s e t o f p r o p o s i t i o n a l

f o r m u l a s t h a t a r e t r u e a t w o r l d w 2 W i n i n t e r p r e t a t i o n K

r

.

S a t i s f a c t i o n i n a s t r u c t u r e M = f K

r

j r 2 R g i s d e n e d b y t h e f o l l o w i n g i n d u c t i o n o n t h e

s t r u c t u r e o f p r o p o s i t i o n a l f o r m u l a s .

K

r

; w j = > .

K

r

; w j = A i f A i s a t o m i c a n d A 2 K

r

( w ) .

K

r

; w j = B

1

& B

2

i f K

r

; w j = B

1

a n d K

r

; w j = B

2

.

K

r

; w j = B

1

? B

2

i f 8 r

0

2 R ; 8 w

0

2 W i f w w

0

a n d K

r

0

; w

0

j = B

1

t h e n K

r + r

0

; w

0

j = B

2

.

K

r

; w j = B

1

) B

2

i f 8 w

0

2 W i f w w

0

a n d K

0

; w

0

j = B

1

t h e n K

r

; w

0

j = B

2

.

F i n a l l y , w e w r i t e M j = B i f 8 w 2 W , K

0

; w j = B . I n a s e n s e , t h e K r i p k e i n t e r p r e t a t i o n K

0

m o d e l s t r u t h i n t h e u s u a l i n t u i t i o n i s t i c s e n s e w h i l e K

r

m o d e l s t r u t h t h a t h a s b e e n m o v e d o u t - o f -

p h a s e ( b o r r o w i n g a n i m a g e f r o m G i r a r d ( G i r a r d , 1 9 8 7 a ) ) b y t h e p r e s e n c e o f t h e r e s o u r c e r 2 R .

T h e f o l l o w i n g l e m m a i s p r o v e d b y a s i m p l e i n d u c t i o n o n t h e s t r u c t u r e o f p r o p o s i t i o n a l f o r m u l a s .

2 1



L e m m a 7 L e t r 2 R a n d w ; w

0

2 W . I f w w

0

a n d K

r

; w j = B t h e n K

r

; w

0

j = B .

T o a i d i n d e s c r i b i n g t h e s a t i s f a c t i o n o f s e q u e n t s , w e a d d t h e f o l l o w i n g r u l e s f o r d e t e r m i n i n g

t h e s a t i s f a c t i o n o f 1 a n d . I f w e w e r e i n v e s t i g a t i n g m o d e l s f o r a l o g i c t h a t a l l o w e d u n r e s t r i c t e d

o c c u r r e n c e s o f 1 a n d , t h e s e s a t i s f a c t i o n r u l e s w o u l d n e e d t o b e r e p l a c e d b y s t r o n g e r r u l e s .

K

0

; w j = 1 .

K

r

; w j = B

1

B

2

i f t h e r e a r e r

1

; r

2

2 R s u c h t h a t r = r

1

+ r

2

a n d K

r

1

; w j = B

1

a n d

K

r

2

; w j = B

2

.

W e w i l l n e e d t h e f o l l o w i n g c o n s t r u c t i o n s . I f ? i s t h e s e t f C

1

; : : : ; C

n

g ( n 0 ) t h e n l e t & ? b e

t h e f o r m u l a C

1

& & C

n

( o r > i f ? i s e m p t y ) . I f i s t h e m u l t i s e t f B

1

; : : : ; B

n

g ( n 0 ) t h e n l e t

b e t h e f o r m u l a B

1

B

n

( o r 1 i f i s e m p t y ) . T h e n w e s a y a n L - s t y l e s e q u e n t ? ; ? ! B

i s v a l i d i n t h e m o d e l M i f 8 w 2 W ; 8 r 2 R , i f K

0

; w j = & ? a n d K

r

; w j = t h e n K

r

; w j = B .

P r o p o s i t i o n 8 ( S o u n d n e s s T h e o r e m ) I f ? ; ? ! B h a s a n L - p r o o f t h e n ? ; ? ! B i s v a l i d

i n a n y r e s o u r c e i n d e x e d m o d e l .

P r o o f . L e t M = f K

r

j r 2 R g b e a r e s o u r c e i n d e x e d m o d e l . T h e p r o o f i s b y i n d u c t i o n o n t h e

s t r u c t u r e o f a n L - p r o o f ( p o s s i b l y w i t h o c c u r r e n c e s o f t h e c u t r u l e s ) : t h e r e a r e t w o b a s e c a s e s a n d

n i n e i n d u c t i v e c a s e s ( w e i n c l u d e h e r e t h e t w o c u t - r u l e s f o r L ) .

i d e n t i t y : G i v e n K

0

; w j = & ? a n d K

r

; w j = B i t f o l l o w s t h a t K

r

; w j = B . T h u s , t h e s e q u e n t

? ; B ? ! B i s v a l i d i n M .

> R : I m m e d i a t e .

a b s o r b : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , ? ; B ; ; B ? ! C i s p r o v a b l e , a n d h e n c e v a l i d i n M . A s s u m e

n o w t h a t K

0

; w j = ( & ? ) & B a n d K

r

; w j = . T h u s , K

0

; w j = B a n d K

r + 0

; w j = ( ) B .

B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , K

r

; w j = C a n d , h e n c e , ? ; B ; ? ! C i s v a l i d i n M .

& R : I m m e d i a t e .

& L : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , ? ; ; B

i

? ! C i s v a l i d i n M f o r i = 1 o r 2 . A s s u m e n o w t h a t

K

0

; w j = & ? a n d K

r

; w j = ( ) ( B

1

& B

2

) . T h u s , t h e r e a r e r

1

; r

2

2 R s u c h t h a t r = r

1

+ r

2

a n d K

r

1

; w j = a n d K

r

2

; w j = B

1

& B

2

. B u t t h e n K

r

2

; w j = B

i

a n d K

r

; w j = ( ) B

i

.

B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , K

r

; w j = C a n d , h e n c e , ? ; ; B

1

& B

2

? ! C i s v a l i d i n M .

? R : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , ? ; ; B ? ! C i s v a l i d i n M . A s s u m e n o w t h a t K

0

; w j = & ?

a n d K

r

; w j = . W e n e e d t o s h o w t h a t K

r

; w j = B ? C . A s s u m e t h a t w w

0

a n d r

0

2 R

a n d t h a t K

r

0

; w

0

j = B . B y L e m m a 7 a n d t h e d e n i t i o n o f t h e s a t i s a b i l i t y o f , w e h a v e

K

0

; w

0

j = & ? a n d K

r + r

0

; w

0

j = ( ) B . B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , K

r + r

0

; w

0

j = C . T h u s

w e h a v e s h o w n t h a t K

r

; w j = B ? C a n d a l s o t h a t t h e s e q u e n t ? ; ? ! B ? C i s v a l i d .

? L : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , b o t h ? ;

1

? ! B a n d ? ;

2

; C ? ! E a r e v a l i d i n M . A s s u m e

t h a t K

0

; w j = & ? a n d K

r

; w j = (

1

) (

2

) ( B ? C ) . T h u s t h e r e a r e r

1

; r

2

; r

3

2 R

s u c h t h a t r = r

1

+ r

2

+ r

3

a n d K

r

1

; w j =

1

, K

r

2

; w j =

2

, a n d K

r

3

; w j = B ? C . B y

t h e v a l i d i t y o f t h e r s t s e q u e n t , K

r

1

; w j = B . B y t h e d e n i t i o n o f t h e s a t i s a b i l i t y o f ? , w e

k n o w K

r

1

+ r

3

; w j = C . B y t h e v a l i d i t y o f t h e s e c o n d s e q u e n t , K

r

1

+ r

2

+ r

3

; w j = E . T h u s , w e

h a v e s h o w n t h a t K

r

; w j = E a n d t h a t ? ;

1

;

2

; B ? C ? ! E i s v a l i d i n M .

2 2



) R : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , ? ; B ; ? ! C i s v a l i d i n M . A s s u m e n o w t h a t K

0

; w j = & ?

a n d K

r

; w j = . W e n e e d t o s h o w t h a t K

r

; w j = B ) C . A s s u m e t h a t w w

0

a n d t h a t

K

0

; w

0

j = B . B y L e m m a 7 a n d t h e d e n i t i o n o f t h e s a t i s a b i l i t y o f & , w e h a v e K

0

; w

0

j =

( & ? ) & B a n d K

r

; w

0

j = . B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , K

r

; w

0

j = C . T h u s w e h a v e s h o w n

t h a t K

r

; w j = B ) C a n d a l s o t h a t t h e s e q u e n t ? ; ? ! B ) C i s v a l i d i n M .

) L : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , b o t h ? ; ; ? ! B a n d ? ; ; C ? ! E a r e v a l i d i n M . A s s u m e

t h a t K

0

; w j = & ? a n d K

r

; w j = ( ) ( B ) C ) . T h u s t h e r e a r e r

1

; r

2

2 R s o t h a t r = r

1

+ r

2

a n d K

r

1

; w j = a n d K

r

2

; w j = B ) C . B y t h e v a l i d i t y o f t h e r s t s e q u e n t , K

0

; w j = B . B y

t h e d e n i t i o n o f t h e s a t i s a b i l i t y o f ) , w e k n o w K

r

2

; w j = C . B y t h e v a l i d i t y o f t h e s e c o n d

s e q u e n t , K

r

1

+ r

2

; w j = E . T h u s , w e h a v e s h o w n t h a t K

r

; w j = E a n d t h a t ? ; ; B ) C ? ! E

i s v a l i d i n M .

c u t : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , b o t h ?

0

;

1

? ! B a n d ? ;

2

; B ? ! C a r e v a l i d i n M . A s s u m e

t h a t K

0

; w j = & ?

0

a n d K

r

; w j = (

1

) (

2

) . T h u s K

0

; w j = & ? a n d t h e r e a r e r

1

; r

2

2 R

s o t h a t r = r

1

+ r

2

a n d K

r

1

; w j =

1

a n d K

r

2

; w j =

2

. B y t h e v a l i d i t y o f t h e r s t s e q u e n t ,

K

r

1

; w j = B a n d b y t h e v a l i d i t y o f t h e s e c o n d s e q u e n t , K

r

1

+ r

2

; w j = C . T h u s , w e h a v e s h o w n

t h a t K

r

; w j = C a n d t h a t ?

0

;

1

;

2

? ! C i s v a l i d i n M .

c u t ! : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , b o t h ?

0

; ; ? ! B a n d ? ; B ; ? ! C a r e v a l i d i n M . A s s u m e

t h a t K

0

; w j = & ?

0

a n d K

r

; w j = . B y t h e v a l i d i t y o f t h e r s t s e q u e n t , K

0

; w j = B a n d b y

t h e v a l i d i t y o f t h e s e c o n d s e q u e n t , K

r

; w j = C . T h u s ?

0

; ? ! C i s v a l i d i n M .

T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n d e s c r i b e s h o w t h e c a n o n i c a l m o d e l f o r o u r l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e

i s b u i l t a n d s h o w s t h a t i t h a s t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s .

P r o p o s i t i o n 9 ( C a n o n i c a l M o d e l T h e o r e m ) L e t W b e t h e s e t o f a l l s e t s o f f o r m u l a s ( o v e r > ,

& , ? , a n d ) ) a n d l e t b e s e t i n c l u s i o n . L e t R b e t h e s e t o f a l l m u l t i s e t s o f s u c h f o r m u l a s a n d

l e t + b e m u l t i s e t u n i o n a n d 0 b e t h e e m p t y m u l t i s e t . D e n e M = f K

r

j r 2 R g b y

K

r

( w ) = f A j A i s a t o m i c a n d w ; r ̀

L

A g :

T h e n t h e e q u i v a l e n c e 8 w 2 W 8 r 2 R ( w ; r ̀

L

B i f a n d o n l y i f K

r

; w j = B ) h o l d s i f a n d o n l y i f t h e

t w o c u t r u l e s a r e a d m i s s i b l e i n L .

P r o o f . F i r s t , a s s u m e t h a t t h e t w o c u t r u l e s a r e a d m i s s i b l e i n L . W e p r o c e e d b y i n d u c t i o n o n t h e

s t r u c t u r e o f t h e f o r m u l a B . I n t h e b a s e c a s e s w h e r e B i s a t o m i c o r > , t h e c o n c l u s i o n i s i m m e d i a t e .

S i m i l a r l y , i n t h e i n d u c t i v e c a s e w h e r e B i s B

1

& B

2

, t h e c o n c l u s i o n a l s o f o l l o w s i m m e d i a t e l y . T h i s

l e a v e s u s w i t h o n l y t h e f o l l o w i n g t w o i n d u c t i v e c a s e s t o c o n s i d e r .

B = B

1

? B

2

: A s s u m e t h a t w ; r ? ! B

1

? B

2

h a s a c u t - f r e e p r o o f . B y P r o p o s i t i o n 4 , t h e s e q u e n t

w ; r ; B

1

? ! B

2

h a s a c u t - f r e e p r o o f . T o s h o w K

r

; w j = B

1

? B

2

, a s s u m e t h a t w w

0

a n d r

0

2 R a n d K

r

0

; w

0

j = B

1

. B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , w

0

; r

0

? ! B

1

h a s a c u t - f r e e

p r o o f . U s i n g t h e c u t r u l e a n d t h e a d m i s s i b i l i t y o f c u t , t h e s e q u e n t w

0

; r + r

0

? ! B

2

h a s

a c u t - f r e e p r o o f . B y i n d u c t i o n a g a i n , w e h a v e K

r + r

0

; w

0

j = B

2

. T h u s , K

r

; w j = B

1

? B

2

.

T o s h o w t h e c o n v e r s e , a s s u m e t h a t K

r

; w j = B

1

? B

2

. S i n c e w ; B

1

? ! B

1

h a s a c u t - f r e e

p r o o f , K

f B

1

g

; w j = B

1

( b y i n d u c t i o n ) . T h u s , K

r + f B

1

g

; w j = B

2

a n d a g a i n b y t h e i n d u c t i v e

h y p o t h e s i s , t h e s e q u e n t w ; r + f B

1

g ? ! B

2

h a s a c u t - f r e e p r o o f ; t h u s , w ; r ? ! B

1

? B

2

h a s

a c u t - f r e e p r o o f .

2 3



B = B

1

) B

2

: A s s u m e t h a t w ; r ? ! B

1

) B

2

h a s a c u t - f r e e p r o o f . B y P r o p o s i t i o n 4 , t h e s e q u e n t

w ; B

1

; r ? ! B

2

h a s a c u t - f r e e p r o o f . T o s h o w K

r

; w j = B

1

) B

2

, a s s u m e t h a t w w

0

a n d

K

0

; w

0

j = B

1

. B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , w

0

; 0 ? ! B

1

h a s a c u t - f r e e p r o o f . U s i n g t h e c u t !

r u l e a n d t h e a d m i s s i b i l i t y o f c u t ! , t h e s e q u e n t w

0

; r ? ! B

2

h a s a c u t - f r e e p r o o f . B y i n d u c t i o n

a g a i n , w e h a v e K

r

; w

0

j = B

2

. T h u s , K

r

; w j = B

1

) B

2

. T o s h o w t h e c o n v e r s e , a s s u m e t h a t

K

r

; w j = B

1

) B

2

. S i n c e w ; B

1

; 0 ? ! B

1

h a s a c u t - f r e e p r o o f , K

0

; w + f B

1

g j = B

1

( b y

i n d u c t i o n ) . T h u s , K

r + 0

; w + f B

1

g j = B

2

a n d a g a i n b y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , t h e s e q u e n t

w ; B

1

; r ? ! B

2

h a s a c u t - f r e e p r o o f ; t h u s , w ; r ? ! B

1

) B

2

h a s a c u t - f r e e p r o o f .

F i n a l l y , w e a s s u m e t h a t t h e e q u i v a l e n c e h o l d s a n d u s e i t t o s h o w t h a t t h e t w o c u t r u l e s f o r L a r e

a d m i s s i b l e . L e t b e a p r o o f o f t h e s e q u e n t ? ; ? ! B p o s s i b l y c o n t a i n i n g o c c u r r e n c e s o f t h e c u t

a n d c u t ! r u l e s . W e s h o w t h a t t h e r e i s a c u t - f r e e p r o o f o f t h e s e q u e n t ? ; ? ! B b y i n d u c t i o n o n

t h e n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f c u t a n d c u t ! r u l e s . I f h a s n o s u c h o c c u r r e n c e s , t h e n w e a r e n i s h e d .

O t h e r w i s e , p i c k a n o c c u r r e n c e o f a c u t o r c u t ! r u l e s o t h a t t h e t w o s u b p r o o f s

1

a n d

2

, w h o s e

e n d s e q u e n t s a r e t h e p r e m i s e s o f t h a t c u t - r u l e o c c u r r e n c e , a r e c u t - f r e e . W e d i s t i n g u i s h t w o c a s e s .

I n b o t h c a s e s , ? ?

0

C a s e 1 . T h e p r o o f

1

p r o v e s ?

0

;

1

? ! B a n d

2

p r o v e s ? ;

2

; B ? ! C . T h u s t h e c o n c l u s i o n o f

t h e c u t r u l e i s ?

0

;

1

;

2

? ! C . T h u s , ? ;

2

? ! B ? C h a s a c u t - f r e e p r o o f . B y t h e a s s u m e d

e q u i v a l e n c e , K

1

; ?

0

j = B a n d K

2

; ? j = B ? C . B y t h e d e n i t i o n o f t h e s a t i s a b i l i t y o f ? ,

K

1

+

2

; ?

0

j = C a n d b y t h e e q u i v a l e n c e a g a i n ?

0

;

1

;

2

? ! C h a s a c u t - f r e e p r o o f , s a y

3

.

T h u s , i f w e r e p l a c e t h e s u b p r o o f s

1

a n d

2

a n d t h e c u t r u l e w i t h

3

i n , w e h a v e r e d u c e d

t h e n u m b e r o f c u t s b y o n e .

C a s e 2 . T h e p r o o f

1

p r o v e s ?

0

; ; ? ! B a n d

2

p r o v e s ? ; B ; ? ! C . T h u s t h e c o n c l u s i o n o f

t h e c u t ! r u l e i s ?

0

; ? ! C . T h u s , ? ; ? ! B ) C h a s a c u t - f r e e p r o o f . B y t h e a s s u m e d

e q u i v a l e n c e , K

0

; ?

0

j = B a n d K

; ? j = B ) C . B y t h e d e n i t i o n o f t h e s a t i s a b i l i t y o f ) ,

K

; ?

0

j = C a n d b y t h e e q u i v a l e n c e a g a i n ?

0

; ? ! C h a s a c u t - f r e e p r o o f , s a y

3

. T h u s ,

i f w e r e p l a c e t h e s u b p r o o f s

1

a n d

2

a n d t h e c u t ! r u l e w i t h

3

i n , w e h a v e r e d u c e d t h e

n u m b e r o f c u t s b y o n e .

T h e f o l l o w i n g i s , o f c o u r s e , a n i m m e d i a t e c o r o l l a r y o f t h e c a n o n i c a l m o d e l t h e o r e m .

P r o p o s i t i o n 1 0 ( C o m p l e t e n e s s T h e o r e m ) I f a s e q u e n t ? ; ? ! B i s v a l i d i n a l l r e s o u r c e -

i n d e x e d m o d e l s , t h e n i t h a s a n L - p r o o f .

7 A m o d e l o f r e s o u r c e c o n s u m p t i o n

W h i l e w e h a v e s h o w n s e v e r a l p r o g r a m m i n g e x a m p l e s t h a t d e m o n s t r a t e t h e u s e f u l n e s s o f t h i s l o g i c

p r o g r a m m i n g l a n g u a g e , w e h a v e s a i d n o t h i n g a b o u t t h e p r a c t i c a l i t y o f i m p l e m e n t i n g t h e l a n g u a g e .

G i v e n t h e r a t h e r s i m p l e s t r u c t u r e o f p r o o f s i n L

0

a n d L

0 0

, i t i s a n e a s y m a t t e r t o b u i l d a p r o t o t y p e

i n t e r p r e t e r f o r t h i s l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e . F o r e x a m p l e , d e l a y i n g t h e c h o i c e o f u n i v e r s a l

i n s t a n c e s o f f o r m u l a s o n w h i c h t o b a c k c h a i n u s i n g l o g i c v a r i a b l e s a n d u n i c a t i o n a s i n o t h e r l o g i c

p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s i s a n o b v i o u s o p t i o n i n t h i s s e t t i n g .

H o w e v e r , a s e r i o u s c o m p u t a t i o n a l i s s u e t h a t d o e s n o t a r i s e i n t r a d i t i o n a l l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e s m u s t b e a d d r e s s e d . N o t h i n g i n t h e a n a l y s i s m a d e i n S e c t i o n 3 p r o v i d e s a n y g u i d a n c e

t o a n i n t e r p r e t e r t h a t i s f o r c e d t o d i v i d e u p t h e m u l t i s e t o f b o u n d e d r e s o u r c e f o r m u l a s i n a p r o o f

c o n t e x t d u r i n g t h e b o t t o m - u p a p p l i c a t i o n o f t h e - R r u l e o r t h e b a c k c h a i n i n g r u l e . F o r e x a m p l e ,

t h e s e q u e n t ? ; ? ! G

1

G

2

i s p r o v a b l e i f a n d o n l y i f t h e r e i s a p a r t i t i o n i n g o f t h e m u l t i s e t i n t o

2 4



t h e t w o m u l t i s e t s

1

a n d

2

s o t h a t ? ;

1

? ! G

1

a n d ? ;

2

? ! G

2

a r e p r o v a b l e . S o , i f h a s

c a r d i n a l i t y n t h e r e a r e 2

n

s u c h p a r t i t i o n s o f . W h i l e i t c a n b e t h e c a s e t h a t f o r e v e r y o n e o f t h e s e

p a r t i t i o n s , t h e c o r r e s p o n d i n g s e q u e n t s a r e p r o v a b l e , i t i s m u c h m o r e l i k e l y ( a s i n t h e e x a m p l e s o f

S e c t i o n 5 ) t h a t o n l y v e r y f e w o f t h e p a r t i t i o n s a c t u a l l y l e a d t o p r o o f s .

C l e a r l y , a b e t t e r s t r a t e g y t h a n t r y i n g e a c h p o s s i b l e p a r t i t i o n i n s e q u e n c e i s n e e d e d i f t h i s i s t o

b e a u s a b l e l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e . F o r t u n a t e l y , g i v e n t h e r e s t r i c t e d f o r m o f p r o o f c o n t e x t s ,

i t i s p o s s i b l e t o v i e w t h e p r o c e s s o f p r o o f b u i l d i n g a s o n e i n w h i c h r e s o u r c e f o r m u l a s g e t u s e d a n d , i f

t h e y a r e i n t h e b o u n d e d p a r t o f t h e c o n t e x t , d e l e t e d . T h u s , a t t e m p t i n g t o p r o v e ? ; ? ! G

1

G

2

r s t r e s u l t s i n a n a t t e m p t t o p r o v e , s a y G

1

, a n d a s f o r m u l a s i n a r e u s e d i n b a c k c h a i n i n g i n f e r e n c e

r u l e s i n t h i s p r o o f , t h e y a r e d e l e t e d . T h e r e s o u r c e s d e l e t e d d e t e r m i n e l a z i l y t h e m u l t i s e t

1

. I f t h e

s e a r c h f o r a p r o o f o f G

1

i s s u c c e s s f u l , t h e r e m a i n i n g m u l t i s e t o f f o r m u l a s , i m p l i c i t l y e q u a l t o

2

,

i s t h e n u s e d t o p r o v e t h e s e c o n d g o a l G

2

. I f t h e c o r r e c t r e s o u r c e s a r e l e f t t o p r o v e G

2

, t h e n t h e

c o m p o u n d g o a l G

1

G

2

w i l l h a v e b e e n p r o v e d w i t h o u t s p l i t t i n g t h e c o n t e x t a r t i c i a l l y .

A s s u m e t h a t R - f o r m u l a s a r e d e n e d a s i n S e c t i o n 3 . A n I O - c o n t e x t i s a l i s t m a d e u p o f R -

f o r m u l a s , ! ' e d R - f o r m u l a s , o r t h e s p e c i a l s y m b o l d e l u s e d t o d e n o t e a p l a c e w h e r e a n R f o r m u l a h a s

b e e n d e l e t e d . T h e t h r e e - p l a c e p r o p o s i t i o n I f G g O w i l l d e n o t e t h e f a c t t h a t i t i s p o s s i b l e t o n d

a p r o o f o f G g i v e n t h e i n p u t I s o t h a t t h e r e s o u r c e s i n O r e m a i n . T o m a k e t h i s i n f o r m a l n o t i o n

p r e c i s e , w e n e e d t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s r e g a r d i n g I O - c o n t e x t s . T h e t e r n a r y r e l a t i o n p i c k R ( I ; O ; R )

h o l d s i f R o c c u r s i n t h e I O - c o n t e x t I , a n d O r e s u l t s f r o m r e p l a c i n g t h a t o c c u r r e n c e o f R i n I w i t h

t h e n e w c o n s t a n t d e l ( t h i s a c h i e v e s d e l e t i o n ) . T h e r e l a t i o n a l s o h o l d s i f ! R o c c u r s i n I , a n d I a n d

O a r e e q u a l ( ! ' e d f o r m u l a s a r e n o t d e l e t e d ) . A n I O - c o n t e x t O i s a s u b c o n t e x t o f I , d e n o t e d b y t h e

p r e d i c a t e s u b c o n t e x t ( O ; I ) i f O a r i s e s f r o m r e p l a c i n g z e r o o r m o r e n o n - ! ' e d c o m p o n e n t s o f I w i t h

d e l .

F i g u r e 1 5 p r o v i d e s a s p e c i c a t i o n o f t h e p r e d i c a t e I f G g O f o r t h e p r o p o s i t i o n a l f r a g m e n t o f t h i s

l o g i c t h a t u s e s t h e c l a u s e ( ) o f S e c t i o n 3 t o d e n e R - f o r m u l a s . T h e s p e c i c a t i o n o f I f G g O a n d

o f t h e o t h e r p r e d i c a t e s f o r t h e f u l l r a n g e o f R - f o r m u l a s y n t a x i s g i v e n u s i n g P r o l o g i n F i g u r e 1 6 .

I n t h a t p r e s e n t a t i o n , I f G g O i s w r i t t e n u s i n g t h e s y n t a x p r o v e ( I , O , G ) , i s w r i t t e n a s x , ? a s

- o , ) a s = > , > a s e r a s e , a n d ! G a s b a n g ( G ) . ( I n x d e c l a r a t i o n s f o r x , - o , = > , a n d & a r e m i s s i n g

f r o m F i g u r e 1 6 , a s a r e H o r n c l a u s e s d e n i n g t h e a t o m i c f o r m u l a s o f t h e o b j e c t - l o g i c v i a t h e i s A

p r e d i c a t e . )

T h e P r o l o g c o d e g i v e n i m p l e m e n t s o n l y t h e p r o p o s i t i o n a l p a r t o f t h i s l o g i c s i n c e P r o l o g h a s n o

n a t u r a l r e p r e s e n t a t i o n o f o b j e c t - l e v e l q u a n t i c a t i o n . I f P r o l o g ( N a d a t h u r a n d M i l l e r , 1 9 8 8 ) w e r e

u s e d f o r t h e s p e c i c a t i o n , s u c h q u a n t i e r s c o u l d b e i m p l e m e n t e d d i r e c t l y u s i n g - a b s t r a c t i o n s . T h e

r e s u l t i n g s p e c i c a t i o n w o u l d b e i d e n t i c a l t o t h e o n e g i v e n i n F i g u r e 1 6 e x c e p t t h a t t w o m o r e c l a u s e s

| o n e f o r p r o v i n g a u n i v e r s a l q u a n t i e r a n d o n e f o r b a c k c h a i n i n g o v e r a u n i v e r s a l q u a n t i e r |

w o u l d n e e d t o b e a d d e d .

I n o r d e r t o s t a t e t h e c o r r e c t n e s s o f t h e s e s p e c i c a t i o n s f o r I f G g O , w e n e e d t h e n o t i o n o f t h e

d i e r e n c e , I ? O , o f t w o I O - c o n t e x t s , w h e n e v e r i t i s t h e c a s e t h a t s u b c o n t e x t ( O ; I ) h o l d s : I ? O i s

t h e p a i r h ? ; i w h e r e ? i s t h e s e t o f a l l f o r m u l a s R s u c h t h a t ! R i s a n e l e m e n t o f t h e l i s t I ( a n d

h e n c e O ) , a n d i s t h e m u l t i s e t o f a l l f o r m u l a s R w h i c h o c c u r i n I a n d w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g

p o s i t i o n i n O i s t h e s y m b o l d e l . T h u s , i s t h e m u l t i s e t o f f o r m u l a s d e l e t e d i n m o v i n g f r o m I t o O .

P r o p o s i t i o n 1 1 L e t I a n d O b e I O - c o n t e x t s w h e r e O i s a s u b c o n t e x t o f I . L e t I ? O b e t h e p a i r

h ? ; i a n d l e t G b e a g o a l f o r m u l a . T h e p r o p o s i t i o n I f G g O i s p r o v a b l e i f a n d o n l y i f ? ; ? ! G

h a s a n L

0 0

- p r o o f .

P r o o f . F o r s i m p l i c i t y , w e s h o w t h i s p r o o f o n l y f o r t h e c a s e w h e r e R - f o r m u l a s a r e d e n e d u s i n g

t h e s i m p l e r f o r m ( ) i n S e c t i o n 3 . N o t i c e t h a t i f I ? O i s t h e p a i r h ? ; i , t h e n p i c k R ( I ; O ; R ) h o l d s

i f a n d o n l y i f e i t h e r i s f R g o r i s e m p t y a n d R 2 ? .

2 5



I f 1 g I

s u b c o n t e x t ( O ; I )

I f > g O

I f G g I

I f ! G g I

I f G

1

g M M f G

2

g O

I f G

1

G

2

g O

I f G

1

g O I f G

2

g O

I f G

1

& G

2

g O

R : : I f G g d e l : : O

I f R ? G g O

! R : : I f G g ! R : : O

I f R ) G g O

p i c k R ( I ; O ; A )

I f A g O

p i c k R ( I ; M ; G ? A ) M f G g O

I f A g O

p i c k R ( I ; O ; G ) A ) O f G g O

I f A g O

F i g u r e 1 5 : S p e c i c a t i o n o f a n i n t e r p r e t e r f o r t h e p r o p o s i t i o n a l l a n g u a g e

W e r s t s h o w b y i n d u c t i o n o n a p r o o f u s i n g t h e i n f e r e n c e r u l e s i n F i g u r e 1 5 t h a t i f I f G g O i s

p r o v a b l e t h e n ? ; ? ! G h a s a n L

0 0

- p r o o f . T h e t w o b a s e c a s e s o f p r o v i n g t h e g o a l s 1 a n d > a r e

t r i v i a l . T h e i n d u c t i v e c a s e s a r e c o n s i d e r e d b e l o w .

I f ! G g I f o l l o w s f r o m I f G g I : S i n c e i s ; i n t h i s c a s e a n d s i n c e ( b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ) ? ; ; ? ! G

h a s a n L

0 0

- p r o o f , s o t o o d o e s ? ; ; ? ! ! G .

I f G

1

G

2

g O f o l l o w s f r o m I f G

1

g M a n d M f G

2

g O : L e t I ? M b e h ? ;

1

i a n d l e t M ? O b e h ? ;

2

i .

T h u s , I ? O i s h ? ;

1

]

2

i . B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , ? ;

1

? ! G

1

a n d ? ;

2

? ! G

2

h a v e L

0 0

- p r o o f s . T h u s , s o t o o d o e s ? ;

1

;

2

? ! G

1

G

2

.

I f G

1

& G

2

g O f o l l o w s f r o m I f G

1

g O a n d I f G

1

g O : L e t I ? O b e h ? ; i . B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s ,

? ; ? ! G

1

a n d ? ; ? ! G

2

h a v e L

0 0

- p r o o f s . T h u s , s o t o o d o e s ? ; ? ! G

1

& G

2

.

I f R ? G g O f o l l o w s f r o m R : : I f G g d e l : : O : L e t I ? O b e h ? ; i . S i n c e , b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ,

? ; ; R ? ! G h a s a n L

0 0

- p r o o f , s o t o o d o e s ? ; ? ! R ? G .

I f R ) G g O f o l l o w s f r o m ! R : : I f G g ! R : : O : L e t I ? O b e h ? ; i . S i n c e , b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ,

? ; R ; ? ! G h a s a n L

0 0

- p r o o f , s o t o o d o e s ? ; ? ! R ) G .

T h e t h r e e r e m a i n i n g c a s e s i n v o l v e t h e p i c k R p r e d i c a t e . A s s u m e t h a t p i c k R ( I ; O ; R ) h o l d s a n d t h a t

I ? O i s t h e p a i r h ? ; i .

I f A g O f o l l o w s f r o m p i c k R ( I ; O ; A ) : I f i s f A g t h e n ? ; ? ! A i s p r o v e d b y t h e d e g e n e r a t e f o r m

o f t h e B C r u l e w i t h n o p r e m i s e s . O t h e r w i s e , i s e m p t y , I = O , a n d ! A o c c u r s i n I . T h e n

t h a t s a m e s e q u e n t i s p r o v e d u s i n g t h e B C r u l e a s a b o v e f o l l o w e d b y t h e a b s o r b r u l e .

I f A g O f o l l o w s f r o m p i c k R ( I ; M ; G ? A ) a n d M f G g O : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , ? ;

0

? ! G

h a s a n L

0 0

- p r o o f , , w h e r e M ? O i s h ? ;

0

i . I f i s f G ? A g t h e n ? ; ;

0

? ! A h a s a n

L

0 0

- p r o o f b u i l t f r o m u s i n g t h e B C r u l e . O t h e r w i s e , i s e m p t y a n d t h e a b s o r b i n f e r e n c e

r u l e m u s t a l s o b e u s e d .

I f A g O f o l l o w s f r o m p i c k R ( I ; O ; G ) A ) a n d O f G g O : B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , ? ; ; ? ! G h a s

a n L

0 0

- p r o o f , , w h e r e O ? O i s h ? ; ; i . I f i s f G ) A g t h e n ? ; ? ! A h a s a n L

0 0

- p r o o f

b u i l t f r o m u s i n g t h e B C i n f e r e n c e r u l e . O t h e r w i s e , i s e m p t y a n d t h e a b s o r b i n f e r e n c e

r u l e m u s t a l s o b e u s e d .

2 6



T h e r e v e r s e i m p l i c a t i o n o f t h i s p r o p o s i t i o n f o l l o w s b y s i m p l y r e v e r s i n g t h e c o n s t r u c t i o n s d e s c r i b e d

a b o v e .

C o n s i d e r t h e b e h a v i o r o f a P r o l o g i n t e r p r e t e r a t t e m p t i n g t o p r o v e I f G

1

G

2

g O . F i r s t t h e

i n t e r p r e t e r t r i e s t o p r o v e I f G

1

g M , f o r s o m e I O - c o n t e x t M . I f t h i s s u c c e e d s , t h e n M f G

2

g O i s

a t t e m p t e d . I f t h i s s e c o n d a t t e m p t f a i l s , t h e i n t e r p r e t e r r e t r i e s I f G

1

g M l o o k i n g f o r s o m e d i e r e n t

p a t t e r n o f c o n s u m p t i o n t o n d , h o p e f u l l y , a n e w v a l u e f o r M , b e f o r e r e - a t t e m p t i n g a p r o o f o f

M f G

2

g O . B y u s i n g u n i c a t i o n t o d e l a y t h e c h o i c e o f t h e v a l u e u s e d f o r t h e c o n t e x t M , t h a t c h o i c e

i s m a d e e n t i r e l y l a z i l y .

8 R e l a t e d W o r k

T h e r e a r e m a n y w a y s i n w h i c h l i n e a r l o g i c c a n b e f r u i t f u l l y e x p l o i t e d t o a d d r e s s a s p e c t s o f l o g i c

p r o g r a m m i n g . G i r a r d s u g g e s t e d h o w l i n e a r l o g i c c a n b e u s e d t o m o d e l t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e

c l a s s i c a l , \ e x t e r n a l " l o g i c o f H o r n c l a u s e s a n d t h e \ i n t e r n a l " l o g i c o f P r o l o g t h a t a r i s e s f r o m t h e u s e

o f d e p t h - r s t s e a r c h ( G i r a r d , 1 9 8 7 b ) . H i s s u g g e s t i o n s w e r e w o r k e d o u t i n d e t a i l b y C e r r i t o ( C e r r i t o ,

1 9 9 2 ) t o p r o v i d e a l o g i c a l s p e c i c a t i o n o f P r o l o g e v a l u a t i o n f o r p r o p o s i t i o n a l H o r n c l a u s e s . C e r r i t o

h a s a l s o u s e d c l a s s i c a l l i n e a r l o g i c t o p r o v i d e a f o r m a l i z a t i o n o f t h e C l a r k c o m p l e t i o n t h e o r y t h a t

i s s o u n d a n d c o m p l e t e f o r S L D N F o n a l l o w e d l o g i c p r o g r a m s ( C e r r i t o , 1 9 9 0 ) . G a b b a y h a s u s e d

t h e i d e a s t h a t a r i s e f r o m l i n e a r l o g i c t o i s o l a t e d i e r e n t c o m p u t a t i o n a l a s p e c t s o f p r o o f s e a r c h i n

a v a r i e t y o f s y s t e m s i n a n a t t e m p t t o i d e n t i f y c o m p l e t e y e t e c i e n t s e a r c h t e c h n i q u e s ( G a b b a y ,

1 9 9 1 ) . I n p a r t i c u l a r , h e w a s i n t e r e s t e d i n t h o s e l a n g u a g e s i n w h i c h s e a r c h m a y b e r e s t r i c t e d t o

u s i n g f o r m u l a s l i n e a r l y . T h i s w o r k i s c o n c e p t u a l l y r e l a t e d t o , t h o u g h s o m e w h a t b r o a d e r t h a n , t h e

r e c e n t w o r k i n l i n e a r i z i n g i n t u i t i o n i s t i c i m p l i c a t i o n b y L i n c o l n , S c e d r o v , a n d S h a n k a r ( L i n c o l n e t a l . ,

1 9 9 1 ) .

B e s i d e s o u r w o r k d e s c r i b e d h e r e , a t l e a s t t h r e e p r o p o s a l s f o r n e w l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s

h a v e b e e n m a d e r e c e n t l y t h a t u s e l i n e a r l o g i c ( o r , m o r e p r e c i s e l y , s u b s t r u c t u r a l l o g i c s ) f o r t h e i r

f o u n d a t i o n .

A n d r e o l i a n d P a r e s c h i h a v e e x t e n d e d H o r n c l a u s e s s o t h a t p r o g r a m s i n t h e r e s u l t i n g l a n g u a g e

m a k e u s e o f t h e m u l t i p l e c o n c l u s i o n n a t u r e o f f u l l l i n e a r l o g i c ( A n d r e o l i , 1 9 9 2 ; A n d r e o l i a n d P a r e s c h i ,

1 9 9 1 ) . I n t h e l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e t h a t r e s u l t s , t h e a v a i l a b i l i t y o f c o n t e x t o n t h e r i g h t - h a n d

s i d e o f a s e q u e n t c o m b i n e d w i t h t h e u s e o f t h e ` p a r ' o p e r a t o r i n t h e h e a d s o f c l a u s e s m a k e s i t

p o s s i b l e t o n a t u r a l l y s u p p o r t v a r i o u s a s p e c t s o f c o n c u r r e n t a n d o b j e c t - o r i e n t e d p r o g r a m m i n g .

H a r l a n d a n d P y m h a v e p r o p o s e d a f r a g m e n t o f l i n e a r l o g i c a s a l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e

( H a r l a n d a n d P y m , 1 9 9 1 ) . A s w a s d o n e h e r e , t h e i r f r a g m e n t i s c h o s e n s o t h a t u n i f o r m p r o o f s r e m a i n

c o m p l e t e . S i n c e h a v i n g ! ' s i n r i g h t - h a n d s i d e o f s e q u e n t s s t o p s s e v e r a l i n f e r e n c e r u l e p e r m u t a t i o n s

f r o m h o l d i n g , t h e i r p r o p o s a l d i s a l l o w s s u c h r i g h t - h a n d s i d e s . T h u s , g o a l f o r m u l a s a r e w e a k e r t h a n

t h o s e p r e s e n t e d h e r e , b u t c o n t e x t s a r e r i c h e r . T h e l o s s o f ! ' e d g o a l s , h o w e v e r , m e a n s t h a t s e v e r a l

o f t h e e x a m p l e s i n t h i s p a p e r c a n n o t b e c o d e d d i r e c t l y . T h e a u t h o r s a l s o d e s c r i b e a m u l t i p l e -

c o n c l u s i o n v a r i a n t o f t h e i r s y s t e m w h i c h c a p t u r e s s o m e o f t h e f e a t u r e s o f A n d r e o l i a n d P a r e s c h i ' s

s y s t e m .

F i n a l l y , B o l l e n h a s p r o p o s e d a s y s t e m w h i c h e x t e n d s P r o l o g b y a d d i n g r e l e v a n t i m p l i c a t i o n

( B o l l e n , 1 9 9 1 ) . I n h i s s y s t e m , a s s u m p t i o n s a d d e d u s i n g a n e m b e d d e d i m p l i c a t i o n c a n b e d u p l i c a t e d

b u t c a n n o t b e d i s c a r d e d . T h e m a i n a p p l i c a t i o n d i s c u s s e d i s t o e x p e r t s y s t e m s . A s w i t h t h i s

w o r k , B o l l e n p r o p o s e s a r e s t r i c t i o n o f G e n t z e n s y s t e m s t o o n e i n w h i c h g o a l - d i r e c t e d p r o v a b i l i t y

i s c o m p l e t e . H i s r e s t r i c t i o n i s b a s e d o n t h e n o t i o n o f i n v e r t i b i l i t y , r a t h e r t h a n p e r m u t a b i l i t y ,

h o w e v e r , w h i c h l e a d s t o a s o m e w h a t m o r e r e s t r i c t e d l o g i c a l l a n g u a g e t h a n t h e o n e p r e s e n t e d h e r e .

I n p a r t i c u l a r , a r b i t r a r y n e s t i n g o f q u a n t i e r s w i t h i m p l i c a t i o n s i s d i s a l l o w e d . I n t h e e n d , B o l l e n ' s

2 7



i s R ( e r a s e ) .

i s R ( B ) : - i s A ( B ) .

i s R ( B 1 & B 2 ) : - i s R ( B 1 ) , i s R ( B 2 ) .

i s R ( B 1 - o B 2 ) : - i s G ( B 1 ) , i s R ( B 2 ) .

i s R ( B 1 = > B 2 ) : - i s G ( B 1 ) , i s R ( B 2 ) .

i s G ( 1 ) .

i s G ( e r a s e ) .

i s G ( B ) : - i s A ( B ) .

i s G ( B 1 - o B 2 ) : - i s R ( B 1 ) , i s G ( B 2 ) .

i s G ( B 1 = > B 2 ) : - i s R ( B 1 ) , i s G ( B 2 ) .

i s G ( B 1 & B 2 ) : - i s G ( B 1 ) , i s G ( B 2 ) .

i s G ( B 1 x B 2 ) : - i s G ( B 1 ) , i s G ( B 2 ) .

i s G ( b a n g ( B ) ) : - i s G ( B ) .

p r o v e ( I , I , 1 ) .

p r o v e ( I , O , e r a s e ) : - s u b c o n t e x t ( O , I ) .

p r o v e ( I , O , G 1 & G 2 ) : - p r o v e ( I , O , G 1 ) , p r o v e ( I , O , G 2 ) .

p r o v e ( I , O , R - o G ) : - p r o v e ( R : : I , d e l : : O , G ) .

p r o v e ( I , O , R = > G ) : - p r o v e ( b a n g ( R ) : : I , b a n g ( R ) : : O , G ) .

p r o v e ( I , O , G 1 x G 2 ) : - p r o v e ( I , M , G 1 ) , p r o v e ( M , O , G 2 ) .

p r o v e ( I , I , b a n g ( G ) ) : - p r o v e ( I , I , G ) .

p r o v e ( I , O , A ) : - i s A ( A ) , p i c k R ( I , M , R ) , b c ( M , O , A , R ) .

b c ( I , I , A , A ) .

b c ( I , O , A , G - o R ) : - b c ( I , M , A , R ) , p r o v e ( M , O , G ) .

b c ( I , O , A , G = > R ) : - b c ( I , O , A , R ) , p r o v e ( O , O , G ) .

b c ( I , O , A , R 1 & R 2 ) : - b c ( I , O , A , R 1 ) ; b c ( I , O , A , R 2 ) .

p i c k R ( b a n g ( R ) : : I , b a n g ( R ) : : I , R ) .

p i c k R ( R : : I , d e l : : I , R ) : - i s R ( R ) .

p i c k R ( S : : I , S : : O , R ) : - p i c k R ( I , O , R ) .

s u b c o n t e x t ( d e l : : O , R : : I ) : - i s R ( R ) , s u b c o n t e x t ( O , I ) .

s u b c o n t e x t ( S : : O , S : : I ) : - s u b c o n t e x t ( O , I ) .

s u b c o n t e x t ( n i l , n i l ) .

F i g u r e 1 6 : A P r o l o g i m p l e m e n t a t i o n o f t h e I O - i n t e r p r e t e r

2 8



s y s t e m c a n b e s e e n a s a p r o p e r s u b l a n g u a g e o f L , w i t h h i s r e l e v a n t i m p l i c a t i o n A ! B b e i n g

m a p p i n g i n t o A ? ( A ) B ) . T h e r s t ( l i n e a r ) i m p l i c a t i o n a s s u r e s t h e a s s u m p t i o n m u s t b e u s e d ,

w h i l e t h e s e c o n d a d d s a n o t h e r c o p y o f t h e a s s u m p t i o n w h i c h c a n b e u s e d a s m a n y a d d i t i o n a l t i m e s

a s i s n e e d e d . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n L a n d B o l l e n ' s s y s t e m i s d i s c u s s e d i n g r e a t e r d e p t h i n t h e

r s t a u t h o r ' s d i s s e r t a t i o n , w h e r e a n e x t e n s i o n o f L a l l o w i n g d i r e c t r e p r e s e n t a t i o n o f r e l e v a n t a n d

a n e i m p l i c a t i o n i s a l s o p r e s e n t e d ( H o d a s , 1 9 9 3 ) .

I n t h e a r e a o f n a t u r a l l a n g u a g e p a r s i n g , L a m b e k ( L a m b e k , 1 9 5 8 , 1 9 8 7 ) h a s u s e d a l o g i c t h a t

c a n b e i d e n t i e d w i t h a n o n - c o m m u t a t i v e v a r i a n t o f l i n e a r l o g i c t o i n f e r t h e s y n t a c t i c c a t e g o r i e s

o f p h r a s e s . R e c e n t l y , P e r e i r a d e s c r i b e d h o w t h e s e m a n t i c s o f g a p s c o u l d b e c o m p u t e d u s i n g a

l i n e a r l o g i c - l i k e c o n t e x t m e c h a n i s m ( P e r e i r a , 1 9 9 0 ) : h i s a p p r o a c h c a n b e f o r m a l i z e d u s i n g t h e l o g i c

d e s c r i b e d h e r e .

9 C o n c l u s i o n

T h e r e h a v e b e e n s e v e r a l e x a m p l e s i n p r i n t o f t h e n e e d t o r e n e t h e n o t i o n o f i n t u i t i o n i s t i c c o n t e x t

f o u n d i n p r o g r a m s w r i t t e n u s i n g h e r e d i t a r y H a r r o p f o r m u l a s ( F e l t y a n d M i l l e r , 1 9 8 8 ; H o d a s a n d

M i l l e r , 1 9 9 0 ; P a r e s c h i a n d M i l l e r , 1 9 9 0 ; P e r e i r a , 1 9 9 0 ) . I n t h i s p a p e r , w e p r o p o s e d a r e n e m e n t

t o h e r e d i t a r y H a r r o p f o r m u l a s u s i n g a f r a g m e n t o f l i n e a r l o g i c . W e a r g u e d t h a t t h i s f r a g m e n t i s

a s e n s i b l e l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e b y s h o w i n g t h a t i n t e r p r e t i n g i t i n a g o a l - d i r e c t e d f a s h i o n

d i d n o t l e a d t o i n c o m p l e t e n e s s a n d t h a t i t h a s a m o d e l t h e o r y t h a t a d m i t s c a n o n i c a l m o d e l s . W e

p r e s e n t e d a n i n t e r p r e t e r f o r t h i s l a n g u a g e t h a t v i e w s p r o o f c o n s t r u c t i o n a s a p r o c e s s t h a t t a k e s i n

a c o n t e x t , d e l e t e s b o u n d e d f o r m u l a s a s t h e y a r e u s e d i n b a c k c h a i n i n g a n d r e t u r n s t h e r e m a i n i n g

c o n t e x t t o b e c o n s u m e d e l s e w h e r e . T h i s i n t e r p r e t e r s p l i t s c o n t e x t s l a z i l y w h e n a t t e m p t i n g a p r o o f o f

a t e n s o r . F i n a l l y , w e p r e s e n t e d s e v e r a l e x a m p l e s d e m o n s t r a t i n g t h e u t i l i t y o f t h i s l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e .

A p r o t o t y p e i n t e r p r e t e r , w r i t t e n i n S t a n d a r d M L , o f t h e f u l l l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e d e -

s c r i b e d h e r e i s a v a i l a b l e f r o m t h e r s t a u t h o r .

A c k n o w l e d g e m e n t s

W e a r e g r a t e f u l t o J e a n - M a r c A n d r e o l i , G i a n l u i g i B e l l i n , J a w a h a r C h i r i m a r , R e m o P a r e s c h i , a n d

F e r n a n d o P e r e i r a f o r h e l p f u l c o n v e r s a t i o n s r e g a r d i n g t h i s w o r k . T h e J o u r n a l r e v i e w e r s p r o v i d e

u s e f u l c o m m e n t s o n a n e a r l i e r d r a f t o f t h i s p a p e r . B o t h a u t h o r s h a v e b e e n f u n d e d b y O N R N 0 0 0 1 4 -

8 8 - K - 0 6 3 3 , N S F C C R - 8 7 - 0 5 5 9 6 , N S F C C R - 9 1 - 0 2 7 5 3 , a n d D A R P A N 0 0 0 1 4 - 8 5 - K - 0 0 1 8 t h r o u g h t h e

U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a . M i l l e r h a s a l s o b e e n s u p p o r t e d b y S E R C G r a n t N o . G R / E 7 8 4 8 7 \ T h e

L o g i c a l F r a m e w o r k " a n d E S P R I T B a s i c R e s e a r c h A c t i o n N o . 3 2 4 5 \ L o g i c a l F r a m e w o r k s : D e s i g n

I m p l e m e n t a t i o n a n d E x p e r i m e n t " w h i l e h e w a s v i s i t i n g t h e U n i v e r s i t y o f E d i n b u r g h .

R e f e r e n c e s

A n d r e o l i , J . - M . ( 1 9 9 2 ) . L o g i c P r o g r a m m i n g w i t h F o c u s i n g P r o o f s i n L i n e a r L o g i c . J o u r n a l o f L o g i c

a n d C o m p u t a t i o n , 2 ( 3 ) .

A n d r e o l i , J . , a n d P a r e s c h i , R . ( 1 9 9 1 ) . L i n e a r O b j e c t s : L o g i c a l P r o c e s s e s w i t h B u i l t - i n I n h e r i t a n c e .

N e w G e n e r a t i o n C o m p u t i n g , 9 : 3 - 4 . ( S p e c i a l i s s u e o f p a p e r s s e l e c t e d f r o m I C L P ' 9 0 ) .

A p t , K . R . , a n d v a n E m d e n , M . H . ( 1 9 8 2 ) . C o n t r i b u t i o n s t o t h e t h e o r y o f l o g i c p r o g r a m m i n g .

J o u r n a l o f t h e A C M , 2 9 ( 3 ) , 8 4 1 { 8 6 2 .

2 9



B o l l e n , A . W . ( 1 9 9 1 ) . R e l e v a n t L o g i c P r o g r a m m i n g . J o u r n a l o f A u t o m a t e d R e a s o n i n g , 7 ( 4 ) , 5 6 3 {

5 8 6 .

B o n n e r , A . J . , M c C a r t y , L . T . , a n d V a d a p a r t y , K . ( 1 9 8 9 ) . E x p r e s s i n g D a t a b a s e Q u e r i e s w i t h

I n t u i t i o n i s t i c L o g i c . I n L o g i c P r o g r a m m i n g : P r o c e e d i n g o f t h e N o r t h A m e r i c a n C o n f e r e n c e ,

p p . 8 3 1 { 8 5 0 .

B o w e n , K . A . , a n d K o w a l s k i , R . A . ( 1 9 8 2 ) . A m a l g a m a t i n g L a n g u a g e a n d M e t a l a n g u a g e i n L o g i c

P r o g r a m m i n g . I n C l a r k , K . , a n d T a r n l u n d , S . - A . ( E d s . ) , L o g i c p r o g r a m m i n g , V o l . 1 6 o f A P I C

s t u d i e s i n d a t a p r o c e s s i n g , p p . 1 5 3 { 1 7 2 . A c a d e m i c P r e s s .

C e r r i t o , S . ( 1 9 9 0 ) . A L i n e a r S e m a n t i c s f o r A l l o w e d L o g i c P r o g r a m s . I n M i t c h e l l , J . ( E d . ) , P r o c e e d -

i n g s o f t h e F i f t h A n n u a l S y m p o s i u m o n L o g i c i n C o m p u t e r S c i e n c e , P h i l a d e l p h i a , P A , p p .

2 1 9 { 2 2 7 .

C e r r i t o , S . ( 1 9 9 2 ) . A L i n e a r A x i o m a t i z a t i o n o f N e g a t i o n a s F a i l u r e . J o u r n a l o f L o g i c P r o g r a m m i n g ,

1 2 ( 1 & 2 ) , 1 { 2 4 .

C h u r c h , A . ( 1 9 4 0 ) . A F o r m u l a t i o n o f t h e S i m p l e T h e o r y o f T y p e s . J o u r n a l o f S y m b o l i c L o g i c , 5 ,

5 6 { 6 8 .

D y c k h o , R . ( 1 9 9 2 ) . C o n t r a c t i o n - f r e e s e q u e n t c a l c u l i f o r i n t u i t i o n i s t i c l o g i c . J o u r n a l o f S y m b o l i c

L o g i c , 5 7 ( 3 ) .

F e l t y , A . ( 1 9 9 3 ) . I m p l e m e n t i n g T a c t i c s a n d T a c t i c a l s i n a H i g h e r - O r d e r L o g i c P r o g r a m m i n g L a n -

g u a g e . J o u r n a l o f A u t o m a t e d R e a s o n i n g , 1 1 ( 1 ) , 4 3 { 8 1 .

F e l t y , A . , a n d M i l l e r , D . ( 1 9 8 8 ) . S p e c i f y i n g t h e o r e m p r o v e r s i n a h i g h e r - o r d e r l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e . I n N i n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n A u t o m a t e d D e d u c t i o n , p p . 6 1 { 8 0 A r g o n n e ,

I L . S p r i n g e r - V e r l a g .

G a b b a y , D . M . , a n d R e y l e , U . ( 1 9 8 4 ) . N - P r o l o g : A n E x t e n s i o n o f P r o l o g w i t h H y p o t h e t i c a l I m p l i -

c a t i o n s . I . J o u r n a l o f L o g i c P r o g r a m m i n g , 1 , 3 1 9 { 3 5 5 .

G a b b a y , D . M . ( 1 9 9 1 ) . A l g o r i t h m i c P r o o f w i t h D i m i n i s h i n g R e s o u r c e s , P a r t 1 . I n B o r g e r , E . ( E d . ) ,

C S L ' 9 0 . F o u r t h W o r k s h o p o n C o m p u t e r S c i e n c e L o g i c , N o . 5 3 3 i n L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r

S c i e n c e . S p r i n g e r - V e r l a g .

G e n t z e n , G . ( 1 9 6 9 ) . I n v e s t i g a t i o n s i n t o L o g i c a l D e d u c t i o n s , 1 9 3 5 . I n S z a b o , M . E . ( E d . ) , T h e

C o l l e c t e d P a p e r s o f G e r h a r d G e n t z e n , p p . 6 8 { 1 3 1 . N o r t h - H o l l a n d P u b l i s h i n g C o . , A m s t e r d a m .

G i r a r d , J . - Y . ( 1 9 8 7 a ) . L i n e a r L o g i c . T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , 5 0 , 1 { 1 0 2 .

G i r a r d , J . - Y . ( 1 9 8 7 b ) . T o w a r d s a G e o m e t r y o f I n t e r a c t i o n . I n C a t e g o r i e s i n C o m p u t e r S c i e n c e ,

V o l . 9 2 o f C o n t e m p o r a r y M a t h e m a t i c s , p p . 6 9 { 1 0 8 . A M S .

G i r a r d , J . - Y . ( 1 9 9 1 ) . O n t h e u n i t y o f l o g i c . T e c h . r e p . 2 6 , U n i v e r s i t e P a r i s V I I .

H a l l n a s , L . , a n d S c h r o e d e r - H e i s t e r , P . ( 1 9 9 0 ) . A P r o o f - T h e o r e t i c A p p r o a c h t o L o g i c P r o g r a m m i n g .

1 . C l a u s e s a s r u l e s . J o u r n a l o f L o g i c a n d C o m p u t a t i o n , 2 6 1 { 2 8 3 .

H a r l a n d , J . , a n d P y m , D . ( 1 9 9 1 ) . T h e U n i f o r m P r o o f - T h e o r e t i c F o u n d a t i o n o f L i n e a r L o g i c P r o -

g r a m m i n g ( E x t e n d e d A b s t r a c t ) . I n S a r a s w a t , V . , a n d U e d a , K . ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e

1 9 9 1 I n t e r n a t i o n a l L o g i c P r o g r a m m i n g S y m p o s i u m , S a n D i e g o , p p . 3 0 4 { 3 1 8 S a n D i e g o . M I T

P r e s s .

3 0



H o d a s , J . ( 1 9 9 2 ) . S p e c i f y i n g F i l l e r - G a p D e p e n d e n c y P a r s e r s i n a L i n e a r - L o g i c P r o g r a m m i n g L a n -

g u a g e . I n A p t , K . ( E d . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e J o i n t I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e a n d S y m p o s i u m

o n L o g i c P r o g r a m m i n g , p p . 6 2 2 { 6 3 6 .

H o d a s , J . ( 1 9 9 3 ) . L o g i c P r o g r a m m i n g i n I n t u i t i o n i s t i c L i n e a r L o g i c : T h e o r y , D e s i g n , a n d I m p l e -

m e n t a t i o n . P h . D . t h e s i s , U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r a n d I n f o r m a -

t i o n S c i e n c e .

H o d a s , J . , a n d M i l l e r , D . ( 1 9 9 0 ) . R e p r e s e n t i n g O b j e c t s i n a L o g i c P r o g r a m m i n g L a n g u a g e w i t h

S c o p i n g C o n s t r u c t s . I n W a r r e n , D . H . D . , a n d S z e r e d i , P . ( E d s . ) , 1 9 9 0 I n t e r n a t i o n a l C o n f e r -

e n c e i n L o g i c P r o g r a m m i n g , p p . 5 1 1 { 5 2 6 . M I T P r e s s .

H o d a s , J . , a n d M i l l e r , D . ( 1 9 9 1 ) . L o g i c P r o g r a m m i n g i n a F r a g m e n t o f I n t u i t i o n i s t i c L i n e a r L o g i c :

E x t e n d e d A b s t r a c t . I n K a h n , G . ( E d . ) , S i x t h A n n u a l S y m p o s i u m o n L o g i c i n C o m p u t e r

S c i e n c e , p p . 3 2 { 4 2 A m s t e r d a m .

L a m b e k , J . ( 1 9 5 8 ) . T h e m a t h e m a t i c s o f s e n t e n c e s t r u c t u r e . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , 6 5 ,

1 5 4 { 1 6 9 .

L a m b e k , J . ( 1 9 8 7 ) . M u l t i c a t e g o r i e s R e v i s i t e d . I n C a t e g o r i e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , V o l . 9 2 o f

C o n t e m p o r a r y M a t h e m a t i c s , p p . 2 1 7 { 2 3 9 . A M S .

L i n c o l n , P . , S c e d r o v , A . , a n d S h a n k a r , N . ( 1 9 9 1 ) . L i n e a r i z i n g I n t u i t i o n i s t i c I m p l i c a t i o n . I n K a h n ,

G . ( E d . ) , S i x t h A n n u a l S y m p o s i u m o n L o g i c i n C o m p u t e r S c i e n c e , p p . 5 1 { 6 2 .

M c C a r t y , L . T . ( 1 9 8 8 ) . C l a u s a l I n t u i t i o n i s t i c L o g i c I . F i x e d P o i n t S e m a n t i c s . J o u r n a l o f L o g i c

P r o g r a m m i n g , 5 , 1 { 3 1 .

M i l l e r , D . ( 1 9 8 9 a ) . L e x i c a l S c o p i n g a s U n i v e r s a l Q u a n t i c a t i o n . I n S i x t h I n t e r n a t i o n a l L o g i c

P r o g r a m m i n g C o n f e r e n c e , p p . 2 6 8 { 2 8 3 L i s b o n , P o r t u g a l . M I T P r e s s .

M i l l e r , D . ( 1 9 8 9 b ) . A l o g i c a l a n a l y s i s o f m o d u l e s i n l o g i c p r o g r a m m i n g . J o u r n a l o f L o g i c P r o g r a m -

m i n g , 6 , 7 9 { 1 0 8 .

M i l l e r , D . ( 1 9 9 0 ) . A b s t r a c t i o n s i n l o g i c p r o g r a m m i n g . I n O d i f r e d d i , P . ( E d . ) , L o g i c a n d C o m p u t e r

S c i e n c e , p p . 3 2 9 { 3 5 9 . A c a d e m i c P r e s s .

M i l l e r , D . ( 1 9 9 2 ) . A b s t r a c t S y n t a x a n d L o g i c P r o g r a m m i n g . I n L o g i c P r o g r a m m i n g : P r o c e e d i n g s o f

t h e F i r s t a n d S e c o n d R u s s i a n C o n f e r e n c e s o n L o g i c P r o g r a m m i n g , N o . 5 9 2 i n L e c t u r e N o t e s

i n A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e , p p . 3 2 2 { 3 3 7 . S p r i n g e r - V e r l a g . A l s o a v a i l a b l e a s t e c h n i c a l r e p o r t

M S - C I S - 9 1 - 7 2 , U P e n n .

M i l l e r , D . , N a d a t h u r , G . , P f e n n i n g , F . , a n d S c e d r o v , A . ( 1 9 9 1 ) . U n i f o r m P r o o f s a s a F o u n d a t i o n

f o r L o g i c P r o g r a m m i n g . A n n a l s o f P u r e a n d A p p l i e d L o g i c , 5 1 , 1 2 5 { 1 5 7 .

N a d a t h u r , G . , a n d M i l l e r , D . ( 1 9 8 8 ) . A n O v e r v i e w o f P r o l o g . I n F i f t h I n t e r n a t i o n a l L o g i c P r o -

g r a m m i n g C o n f e r e n c e , p p . 8 1 0 { 8 2 7 S e a t t l e , W a s h i n g t o n . M I T P r e s s .

N a d a t h u r , G . , a n d M i l l e r , D . ( 1 9 9 0 ) . H i g h e r - o r d e r H o r n C l a u s e s . J o u r n a l o f t h e A C M , 3 7 ( 4 ) , 7 7 7

{ 8 1 4 .

P a r e s c h i , R . ( 1 9 8 9 ) . T y p e - d r i v e n N a t u r a l L a n g u a g e A n a l y s i s . P h . D . t h e s i s , U n i v e r s i t y o f E d i n b u r g h .

3 1



P a r e s c h i , R . , a n d M i l l e r , D . ( 1 9 9 0 ) . E x t e n d i n g D e n i t e C l a u s e G r a m m a r s w i t h S c o p i n g C o n -

s t r u c t s . I n W a r r e n , D . H . D . , a n d S z e r e d i , P . ( E d s . ) , 1 9 9 0 I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e i n L o g i c

P r o g r a m m i n g , p p . 3 7 3 { 3 8 9 . M I T P r e s s .

P a u l s o n , L . C . ( 1 9 9 0 ) . I s a b e l l e : T h e N e x t 7 0 0 T h e o r e m P r o v e r s . I n O d i f r e d d i , P . ( E d . ) , L o g i c a n d

C o m p u t e r S c i e n c e , p p . 3 6 1 { 3 8 6 . A c a d e m i c P r e s s .

P e r e i r a , F . C . N . ( 1 9 9 0 ) . S e m a n t i c I n t e r p r e t a t i o n a s H i g h e r - O r d e r D e d u c t i o n . I n P r o c e e d i n g s o f

t h e S e c o n d E u r o p e a n W o r k s h o p o n L o g i c s a n d A I . S p r i n g e r - V e r l a g .

P e r e i r a , F . C . N . , a n d S h i e b e r , S . M . ( 1 9 8 7 ) . P r o l o g a n d N a t u r a l - L a n g u a g e A n a l y s i s , V o l . 1 0 . C L S I ,

S t a n f o r d , C A .

P e r e i r a , F . C . N . , a n d W a r r e n , D . H . D . ( 1 9 8 0 ) . D e n i t e C l a u s e s f o r L a n g u a g e A n a l y s i s . A r t i c i a l

I n t e l l i g e n c e , 1 3 , 2 3 1 { 2 7 8 .

P f e n n i n g , F . ( 1 9 8 8 ) . P a r t i a l P o l y m o r p h i c T y p e I n f e r e n c e a n d H i g h e r - O r d e r U n i c a t i o n . I n P r o -

c e e d i n g s o f t h e A C M L i s p a n d F u n c t i o n a l P r o g r a m m i n g C o n f e r e n c e .

Joshua S. Hodas and Dale Miller- Logic Programming in a Fragment of Intuitionistic Linear Logic

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