Jensen不等式を活用した解法

第83回北数教数学教育実践研究会平成24年12月1日（土）アスティ 45 ビル 10 階セミナールーム

t

0 1 2 3

1

2

3

4

5

大学入試問題分析

Jensen 不等式を活用した解法

凸不等式から得られるもの

松本睦郎（札幌北高等学校）

大学入試問題には、様々な特殊不等式を活用した問題が出題される。教科書、問題集に

おいて、「相加平均・相乗平均」，「シュワルツの不等式」は、記載されている。

しかし、「Jensen の不等式」は、あまり活用されていない。

一見すると難問に見える大学入試問題が、「Jensen の不等式」を利用すると、簡単に解

法できるケースがある。今回は、「Jensen の不等式」を活用した例題をまとめた。

Episode1 凸不等式

関数は、 0において、 0を満たす。

0, 0において 1, 0, 0

Proof

0よりは、下に凸の曲線である。

「曲線 AB は、線分 AB よりも下に存在する。」（↓）

B

P

A

Q

A , , , とし、

Q , , ,

点 P は、線分 AB を : に内分する点である。上図より

Q.E.D.


0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

-4

-2

2

Episode2 相加平均・相乗平均

, , , は正の実数とする。このとき

3

を証明せよ。信州大学 2010 後期

Proof

0 とおく。

上の異なる 3 点 , , , , , ,△PQR の重心 G とすると、

G3

,3

上の点

S3

,3

1

10

のグラフは、上に凸なので、

R

S

Q

G

P

3 3

13 3

3

Q.E.D.


Episode３重み , , に関する , , の加重重心

平面上に個の点 , , が存在し、

, 0

を満たす実数とする。

1

が成立するとき、

点 P を重み , , に関する , , の加重重心

Episode３点の重心

平面上に個の点 , , が存在し、

1

個の点 , , の重心

Episode５ Jensen の不等式

0において、 0

2, 0, 0, , 0とする。

1, 0, 0. , 0 のとき、

Proof

に関する数学的帰納法によって証明するのが一般的である。

2の時

0, 0, 1 前述の Episode1 凸不等式より

は成立する。

の時

1, 0 1,2,3, ,

が成立すると仮定する。

1の時

α 1, α 0, α 0, α 0, , α 0, α 0

とする時


0 1 2 3

1

2

3

4

5

, とおくと、 1, 0, 0

, 1,2, ,

,

1

α x

1の時も成立する。

以上より、すべての自然数について

1, 0, 0. , 0 のとき、

■


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Example１

正の実数 , , に対して

A とB 2 の大小関係を調べよ。

東京工業大学 1999

[解答例]

とおく。

, 1

（ⅰ） 1の場合

0の時、 0となるので、は、下に凸のグラフである。

点 , ,Y , , , 0 , , 0 とおく。

線分 PQ の中点 , 0 ，弧 AB 上の点 , ，線分 XY の中点L ,

右図より

Y

L

M

X

P R Q

2 2

21

2

2

B


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

（ⅱ） 1の場合 Y

L M

X

,

A B

(ⅲ)0 1の場合

1 0

は、上に凸のグラフ

Y

M

L

X

2 2

21

2

2

B


0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

Example２

, , はα 0, 0, 0, を満たすものとする。

このとき、の最大値を求めよ。

京都大学 1999 後期

[解答例]

, 0 のグラフについて 0より0

同様にして

0 , 0

10

, 0 のグラフは、上に凸のグラフである。

, , , , , とおく。

△ABC の重心 G の y 成分は、

3 3 3

3 3 3√32

B

G

A

C

3 3

3

√32

3√32

sinα sinβ sinγ√32

3√38

の時、等号成立。

■


0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Example３

正の実数 , , が、 1を満たしているとき、

√1 √1 √1 1

を示せ。

日本数学オリンピック 2005 年

[解答例]

0

とおく。

13

,29

0

0より。は、上に凸のグラフである。

Jennsen の不等式より

1 2 0

1 2 0

1 2 0

とおくと、

√1 √1 √1 1 1 1

√1 √1 √1 √

√1 √1 √1 1

■


=

a

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

Example4

を実数とする。また、関数を 1の範囲において

1 1 。

（１）関数が単調減少であるためのの条件を求めよ。

（２）級数

が正の無限大に発散するようなの条件を求めよ。

札幌医科大学 2012

解答例

（１）省略

のグラフはの変化に

より、様々なグラフになる。

（２） 0を示す。

1 1

1 1

11

11

11

11

1


2 14

1 1

1 なので、

2 1 0

両辺をで割ると、

2 1 0

2 0

を実数なので、判別式＜0

2 4 0

2 4

0 4

1 0 なので、

0

2 3

0より、のグラフは、下に凸なので、Jensen の不等式

2 31

2 31

12 3

1

左辺 11

2 31

2 31

12 3

11

11

22

22

12

21

＝2 1

21

51

2 12

51

15

1

（ⅰ） 0の時

2 12

51

15

15 2

21

51

∞

（＊）よりは発散する。

は正の無限大に発散する。


（ⅱ） 0の時

左辺2 1

25

11

51

5 15

15

と収束してしまう。

1 1 より

2 3

3 4 5 1 2 3 1

＝ 2 1 ∞

0の時

は発散する。

（ⅲ） 0の時

左辺2 1

25

11

51

2 5 2 15

1∞

∞

は発散する。

（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）より、 0のとき

級数

は発散する。

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