Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée
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1
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée
J. Le Roux, [email protected]
- Historique- Les points fondamentaux- Applications monodimensionnelles
- signaux temporels- fonctions de transfert- radiodiffusion, transmissions- sons
- Applications multidimensionnelles- images- propagation d’ondes
interférométrie, holographie- imagerie médicale
- Tomographie X- Imagerie RMN
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2
1768 (21 Mars) Naissance à Auxerre Famille modeste, très doué1793 Comité Révolutionnaire1794 Ecole Normale, Ecole Centrale (Polytechnique)1798 Campagne d ’Egypte avec Bonaparte, Monge (excellent organisateur)1801 Retour à Polytechnique1802 Nommé préfet de l’Isère (Champollion)1804-1807 commence (?) à travailler sur la propagation de la chaleur mal reçu par la communauté scientifique (n’a pas cité le travail de Jean Baptiste Biot...)1810 Ouvrage : Description de l ’Egypte1811 Prix (mitigé) pour son travail sur la propagation de la chaleur; le manuscrit n’est pas publié 1815 Préfet à Lyon, retour à Paris (évite Napoléon au retour de l’île d ’Elbe)1817 Académie des sciences1822 Secrétaire de l’Académie des sciences; Publication de la ‘théorie analytique de la chaleur’1830 (16 Mai ?) Décès à Paris
J. Dhombes, J. B. Robert, Fourier, créateur de la physique-mathématiqueEd. Belin, 1998
home.nordnet.fr/~ajuhel/Fourier/Fourier.html
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3
• Résoudre une équation aux dérivées partielles : trouver v(x,y) satisfaisant
02
2
2
2
yv
xv
et des conditions aux limites
• L’idée : décomposer la fonction en une somme de sinusoïdes
)2sin()(L
kaxf x
kk
• Comment trouver les ?ka
Orthogonalité entre fonctions
0)2sin()2sin(0
dxqLxp
L
xL
Le problème étudié par J. B. Fourier
dxxfLxkka
L)()2sin(
0
(série de Fourier)
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4
Mathématiquesun dépaysement soudainJP Bourguignon et al.Fondation CartierParis Oct. 2011
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5
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6
•Transformée de Fourier Laplace
•Transformée Inverse
F f t e dtj t( ) ( )
f t F e dj t( ) ( )
1
2
• Extension aux signaux échantillonnés
F k f t et
T j ktT( ) ( )
0
1 2
• Extension aux signaux multidimensionnels (images, 3D,etc..)
•1965: Invention de la transformée de Fourier rapide Cooley, Tukey, IBM
Les travaux qui s’en déduisent
F u v f x y e dxdyj ux vy( , ) ( , ) ( )
dtetfpF pt)()(
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7
LA propriété fondamentale
Système linéaire invariant en temps
Entréex t( ) h t( )
Sortiey t( )
y t x t h d( ) ( ) ( )
Convolution
X ( ) H( ) Y( )Y H X( ) ( ). ( )
Une sinusoïde reste une sinusoïde de même fréquence, même si son amplitude et sa phase sont modifiées
Transformée de Fourier
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8
Applications
• Transmissions analogiques et numériques
• Equations différentielles et filtrage
• Analyse en fréquence des sons, de la musique (cf. cochlée) MP3= analyse de Fourier + filtrage numérique
• Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole
• Identification des caractéristiques d’un système linéairepar exemple suppression d ’échos, sismographiesignaux biologiques déformés
Signaux temporels (liste non exhaustive)
• Interprétation de l ’échantillonnage des signaux en vue du traitement numérique
• Nouveaux procédés de radiodiffusion et télédiffusionnumérique (OFDM)
http://www.eskimo.com/~miyaguch/mp3info.html
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9
Filtrage, annulation d ’écho, etc ... : déformation linéaire par un canal de transmission
Une composante sinusoïdale est amplifiée et déphasée différemment suivant la fréquence : trouver cette déformation et la compenser
-3.14159
-2.35696
-1.57233
-0.78770
-0.00307
0.78157
1.56620
2.35083
3.13546
-2
-1
0
1
2
-2.35696
-1.57233
-0.78770
-0.00307
0.78157
1.56620
2.35083
3.13546
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
Fréquence
Atténuation
Fréquence
Déphasage
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10
Modulation d ’amplitude = translation en fréquenceexemple en communication numérique
30 80 130-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
30 80 130-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
-50 0 50 100
2
5
8
-50 0 50 100
2
5
8
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
-50 0 50 100
2
5
8
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
-50 0 50 100
2
5
8
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
-50 0 50 100
2
5
8
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
-50 0 50 100
2
5
8
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
-50 0 50 100
2
5
8
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
-50 0 50 100
2
5
8
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
-50 0 50 100
2
5
8
Bande de base
modulation
Addition, transmission
démodulation
filtrage
e j t1 e j t2
e j t 1 e j t 2
1 2
2 1 1 2
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
0 8 16 24 32-1.2
-0.8
-0.4
-0.0
0.4
0.8
1.2
temps fréquence temps fréquence
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11
Echantillonner un signal au pas
100 700 1300 1900-1
0
1
100 700 1300 1900-1
0
1
c’est périodiser sa transformée de Fourier
-256 -128 0 128 256-0.2
-0.1
-0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-256 -128 0 128 256-0.2
-0.1
-0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Pour un échantillonnage correct, pas de composantes fréquentielles pour / t
Reconstruire le signal , c’est éliminer les hautes fréquences par filtrage passe bas
t
2 / t
x t x k t
t k tt
t k tt
k
( ) ( )sin ( )
( )
Interprétation de l’échantillonnage
t
x t( )
x k t( )
/ t / t
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12
Analyse de l ’amplitude des composantes d ’un signal vocal
t
t
Unité=125 s
Unité=125 s
Signal temporel Représentation en fréquence
8000Hz4000Hz
Fondamentale à 129 Hz
0.0 5.2 10.4 15.6 20.8 26.0 31.2 36.4 41.6 46.8 52.0 57.2 62.4
0.01
0.03
0.05
0.07
0.0 5.2 10.4 15.6 20.8 26.0 31.2 36.4 41.6 46.8 52.0 57.2 62.4
0.01
0.03
0.05
0.07
600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800
-0.5
-0.0
0.5
200 600 1000
-0.5
-0.0
0.5
0Hz
harmoniques (composantesaux fréquences multiples de lafondamentale)
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13
Données pour la reconnaissance de parole : mesure de l’énergie dans une vingtaine de bandes de fréquences
(échelle mél)
0 20 000 Hz
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14
lg13t
mod lgt
log 13( )
log 2( ) 1
lg11t
mod lgt
log 11( )
log 2( ) 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.083
0.17
0.25
0.33
0.42
0.5
0.58
0.67
0.75
0.83
0.92
1
lgt
lg3t
lg5t
lg7t
lg11t
lg13t
lg17t
tdo ré mi fa sol la si do
do
ré
mi
fa
sol
la
si
do3 55
fa#
Tableau montrant pour quelles notes de la gamme à 12 demi-tons, les harmoniquessont elles aussi des notes de la gamme (à peu près) :
accord majeur = harmoniques 3 et 5 la H5 du fa est le la (H3 du ré) : accord mineur ?
ré fa# la (ré fa la)
http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf
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15
notes jouées par un violon
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spectrogram_of_violin.png
temps
fréquence
harmonique 8
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16
Représentation de l ’intensité d ’un signal (gris ou couleur)en fonction du temps et de la fréquence (spectrogramme)
Temps (1s)
temps
Freq.(8kHz)
Freq.
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17
Représentation temps fréquence: cri de chauve-souris (ultrasons)
fréquence
temps
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18
effet doppler :le mouvement modifiela fréquence observée
échographie dopplercirculation sanguinecosmologie
Riess, Press & Kirshner (1996), Astrophysical Journal 473, 88
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19
Codage MP3
Décomposition du signal en différentes bandes de fréquences (filtrage numériqueet transformée de Fourier discrète) et prise en compte de phénomènes psycho-acoustiques:suppression ou codage moins fin des composantes fréquentielles moins utiles
Quelques applications de la transformée de Fourier discrète
Diffusion numérique radio télé : OFDM, wifi
Codes correcteurs d’erreurs de Reed Solomon (transmissions numériques, téléphone mobile, CD…)
F k akt f tt
( ) ( )a : générateur d ’un corps de Galois (corps fini)
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20
Filtrage des signauxdans différentes bandes de fréquences
T. FourierSélection des canaux utiles (effet de masquage1er codage
T. Cos etcodage
T. Cos etcodage
T. Cos etcodage
T. Cos etcodage
T. Cos etcodage
Em
issi
on d
es d
onné
es
Principe du codage MP3
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21
Rôle fondamental de la fréquence en mécanique quantique
Les relations de Planck-Einstein établissent un lien entre la fréquence d'une onde lumineuse plane, et l'énergie des photons associés à cette onde : h constante de Planck, fréquence de l'onde
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22
implémentation de transformées unitairestransformer une fonction de probabilité p(x) associée aux données x à traiterafin de faire apparaître une deuxième fonction de probabilité présentant des pics prononcésmettant en évidence la solution du problème
Cryptographie, Casser le code RSA : algorithme de Shor
Trouver les facteurs premiers d’un nombre
Ramené à la recherche de la périodicité d’une fonction :
Mise en évidence de pics régulièrement espacés dans la transformée de Fourier(c ’est une transformée unitaire)
Dans le domaine des fréquencesHarmoniques d ’une fréquence fondamentale
H|0>
H|0>
U U|u>
.
.
Informatique Quantique :
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23http://www.nicolet.com/labsys/
http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256
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24
Interférométrie et spectroscopie
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25http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256
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26
http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf
http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf
D. A. Naylor et al « Mach-Zehnder Fourier transform spectrometer for astronomical spectroscopy at submillimeter wavelengths ». http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf
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27
Résultat de l ’analyse spectrale d ’un signal RMN (résonance magnétique nucléaire)
pour une molécule d ’alcool éthylique
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28
détection d’exo planètes par mesure de variation de la vitesse radiale d’une étoile (effet doppler : variation de longueur d’onde de la lumière en fonction de la vitesse) :recherche d’un signal périodique en présence d’un bruit de mesure très important
effet doppler, décalage vers le rouge, expansion de l’univers
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29
Recherche de traces de vie extraterrestre
corrélation de deux analyses spectrales
Interférométrie et spectroscopie
mouvement périodique de planète
(effet doppler)
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30
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31
Infrared spectroscopy for food quality analysis and control Par Da-Wen Sun
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32
Fonctions multidimensionnelles (images)
Propagation d’ondes, interférométrie
Traitement d’images
Tomographie par rayons x
Imagerie par résonance magnétique nucléaire
(Optique de Fourier)
Cristallographie, analyse des structures moléculaires
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33
sinusoïde bidimensionnelle caractérisée par sa direction et la périodedes oscillations dans cette direction
)cos( vyux
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34
Traitement d ’antennes :
Retrouver par un réseau de capteurs (antenne) la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques
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35
Traitement d ’imagespar exemple franges de Fraunhofer, disque d ’airy
Convolution de l ’image avec la transforméede Fourier de l ’ouverture du télescope
coupe
Produit dans ledomaine des fréquences
Convolution dans ledomaine spatial
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36
Quelques exemples de traitement
• Correction d’effet de flou, de bougé
• Mise en évidence des contours
(Amplification des hautes fréquencesc ’est à dire des variations rapides)
• Codage d’images JPEG et MPEG(une variante de la transformée de Fourier, la transformée en cosinus)+ élimination ou codage plus sommaire des hautes fréquences
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37
Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le signal intéressant
est dans les basses fréquences)
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38
FILTRAGE PASSE BAS (FLOU)
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39
FILTRAGE PASSE HAUT (CONTOURS)
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40
Transformée en cosinus et réduction de débit
en transmission d ’images JPEG MPEG
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41
Chebyshev and Fourier Spectral Methods
John P. Boyd University of Michigan
Étude des équations aux dérivées partielles
Décomposition des fonctions étudiées sur une base, par exemple des sinusoïdes multidimensionnelles ; Trouver l’amplitude de chaque composante afin d’approcher au mieux la solution de l’équation
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42
Electromagnétisme, optique ondulatoirel ’onde transmise ‘porte’ la transformée 2D de la source
(équations de Maxwell)
Application en interférométrie et en holographie
f
(Analyse des appareils d ’optique p.ex. lentilles, optique de Fourier)
(mécanique quantique)
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43
Holographie = Enregistrement des interférences
formalisation liée à celle de la transformée de Fourier (propagation des ondes lumineuses)
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44
http://fr.wikipedia.org/wiki/Holographie
enregistrement des frangesd’interférence
éclairage de l’hologrammel’observateur, en regardantles franges voit « l’objet »
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45
Interférométrie en imagerie astronomique
Antoine Labeyrie au plateau de Calern
Télescopes de l ’ESO à La Silla au Chili
Mesure de l ’amplitudeet de la phase des interférences F()
distance = fréquence =
Déplacement des télescopes: Modification de
Transformée de Fourier inverse f(x)
Problème : turbulence atmosphérique
faire interférer les signaux provenant de deux télescopes
Limitation du diamètre
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46http://fr.wikipedia.org/wiki/Very_Large_Telescope#Interf.C3.A9rom.C3.A9trie_optique
![Page 47: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081504/56814e79550346895dbc1472/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Observatoire de Paris (LESIA)
http://www.techno-science.net/?onglet=news&news=7401
interféromètre IOTA (Arizona)
surface de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse
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48
Cristallographie
Un motif de diffraction des rayons X par un cristal est une photographie du module dela transformée de Fourier de la distribution de la densité des électrons dans le cristal; on retrouve des informations sur la structure du cristal en effectuant une transformée inverse
![Page 49: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081504/56814e79550346895dbc1472/html5/thumbnails/49.jpg)
49http://www.afmb.univ-mrs.fr/IMG/pdf/introduction-cristallo.pdf
Transformée de Fourier
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50
élément pour l’étude de la structure des protéines
![Page 51: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081504/56814e79550346895dbc1472/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Tomographie
Reconstruire un objet à deux dimensions à partir de ses projections
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52LES VUES SOUS DES ANGLES DIFFERENTS D’OBJETS TRANSLUCIDESPERMETTENT DE RECONSTRUIRE LEURS VOLUMES
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53
g t f t t d( , ) ( cos sin , sin cos )
x
y
f x y( , )
t
Tomographie : formulation dans le domaine spatial
Dans le domaine des fréquencesF G( cos , sin ) ( , )
Transformée de Fourier mono-dimensionnelle de g t( , )
On reconstruit F(u,v) à partir de pour différentes valeurs de G( , )
Puis on effectue une transformée inverse
u
v
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54
Tomographie
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55
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56
Résonance magnétique nucléaire
Champ magnétique:
Faible aimantation du noyau
Possibilité d’utiliser les phénomène de résonance
A. Champ magnétique fixe B + champ tournant B B
B
à la fréquence
B. Evolution libre, retour à l ’équilibre
Décroissance exponentielle oscillante del ’aimantation (~100ms) mesurée par une antenne
La fréquence des oscillations (quelques Hz) dépend de B
(Onde radiofréquence 20 à 50 MHz)
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57
0.0000
10.0294
20.0588
30.0882
40.1176
50.1471
60.1765
70.2059
80.2353
90.2647
-1.0
-0.5
-0.0
0.5
1.0
1.5
B fort
0.0000
10.0294
20.0588
30.0882
40.1176
50.1471
60.1765
70.2059
80.2353
90.2647
-2.0
-1.2
-0.4
0.4
1.2
2.0
B faible
Imagerie par RMN
On choisit B(x,y,z) fonction linaire de la position, variable d ’une mesure à l ’autre
Le signal capté par une antenne est
s t m x y zt
Tj t G r dxdydzB B( ) ( , , ) exp( ) exp ( . )
G r x
B
xy
B
yz
B
zB .
avec
Fréquence du retour à l’équilibre (exponentielle amortie) de l’ordre du Hz
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58
t fixé : une valeur de la transformée de Fourier tridimensionnelle
s tt
Tm x y z j t G r dxdydzB B( ) exp( ) ( , , ) exp ( . )
(t varie: valeur suivant un axe : même formulation que la tomographie)
Une image ou un volume complet : plusieurs mesures avec des directionsde gradient différentes
Variation linéaire du champ ‘fixe’ dans l’espacex
y
B
Imagerie par RMN
Reconstruction par transformée inverse (précision du mm)
Quantité de molécules d’hydrogène dans le volume dxdydz
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59
Image rmn
![Page 60: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081504/56814e79550346895dbc1472/html5/thumbnails/60.jpg)
60
![Page 61: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081504/56814e79550346895dbc1472/html5/thumbnails/61.jpg)
61image irm de diffusion de molécules d’eau (le long des axones)
![Page 62: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081504/56814e79550346895dbc1472/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Conclusion
• Vaste champ d ’application
• Grâce au traitement numérique• Grâce à l ’invention de la transformée de Fourier rapide
• Importance des systèmes linéaires invariants et de leureffet sur les signaux sinusoïdaux
• Orthogonalité des fonctions sinusoïdales
• Du point de vue mathématique
• + la théorie des distributions (en particulierla distribution de Dirac)
Copie des transparents:http://www.essi.fr/~leroux/http://www.essi.fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier.html