travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de...

206
NOTES DEL SEMINARI DE 20è ANY Criptografía: mini-curso. Galois representations and Diophantine problems. Successions de Sloane Barcelona 2006

Transcript of travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de...

Page 1: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

NOTES DEL SEMINARI DE

20è ANY

Criptografía: mini-curso. Galois representations and Diophantine problems.

Successions de Sloane

Barcelona 2006

Page 2: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 3: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

15 Notes del Seminari de Teoria de Nombres

(UB-UAB-UPC)

Comitè editorial

P. Bayer E. Nart J. Quer

Page 4: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 5: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Criptografía: mini-curso. Galois representations and Diophantine problems.

Successions de Sloane

Especial 20è aniversari

Edició a cura de

J. C. Lario D. Remón

Amb contribucions de

P. Bayer

T. Crespo G. Frey J. González-Rovira

N. Koblitz A. Rio X. Xarles

Page 6: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 7: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona

D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat de Barcelona Gran Via de les Corts Catalanes, 585 08007 Barcelona

Comitè editorial P. Bayer Facultat de Matemàtiques Universitat de Barcelona Gran Via de les Corts Catalanes, 585 08007 Barcelona Espanya

E. Nart Facultat de Ciències Universitat Autònoma de Barcelona Dep. de Matemàtiques 08193 Bellaterra Espanya

J. Quer Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona Espanya

Barcelona, 2006 Amb suport parcial de MTM2006-15038-C02-01, BFM2003-01898 i MTM2006-04895 ISBN: 84-934244-4-7

Page 8: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Índex 1 La relación entre la criptografía y las matemáticas puras N. KOBLITZ 1 1.1 Algunos temas en la criptografía de curvas elípticas ............................. 1 1.2 La “seguridad demostrable” ................................................................... 45 2 Galois Representations and Diophantine Problems G. FREY 93 2.0 Prelude.................................................................................................... 93 2.1 The Deepest Mystery.............................................................................. 95 2.2 Galois Representation............................................................................. 95 2.3 Sources for Representations ................................................................... 97 2.4 Two-dimensional Representations ......................................................... 99 2.5 Finiteness Results ................................................................................... 101 2.6 Large Fields............................................................................................ 105 3 A000079 A. RIO 111 4 Divertiments analítics - aritmètics J. GONZÁLEZ ROVIRA 143 5 Soluciones algebraicas de ecuaciones diferenciales T. CRESPO 147 5.1 Función hipergeométrica de Gauss ........................................................ 147 5.2 Ecuaciones diferenciales fuchsianas....................................................... 148 5.3 Soluciones algebraicas ........................................................................... 155 5.4 La sucesión de Sloane A087659 ............................................................ 157 5.5 Una conjetura de Grothendieck .............................................................. 158 6 Constantes Locales P. BAYER 167 6.1 Curvas de Shimura y puntos CM ........................................................... 168 6.2 Uniformización en el caso D = 6............................................................ 171 6.3 Dependencia algebraica entre constantes locales ................................... 185 6.4 Trascendencia de las constantes locales en el caso D = 1 ...................... 186 6.5 Trascendencia de las constantes locales en el caso D = 6 ...................... 196

Page 9: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 10: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Introducció Aquesta vegada el Seminari de Teoria de Nombres (UB-UAB-UPC) tenia raons per estar de Festa Major. Es tractava de la 20a edició del Seminari i la nostra col·lega Pilar Bayer feia anys rodons. Per aquest motiu el programa va ser un xic especial, diferent del d'altres edicions. Vam comptar amb la presència de Neal Koblitz, que va impartir un minicurs sobre aspectes matemàtics de la Criptografia en relació amb les corbes el·líptiques. La tarda de dimecres vam fer una sessió especial dedicada a l'aniversari de Pilar Bayer. Vam comptar amb una xerrada de la historiadora Ann Koblitz sobre el quefer de les dones matemàtiques i una altra xerrada de Gerhard Frey sobre problemes diofàntics i l'aritmètica de les representacions del grup de Galois absolut. Al final d'aquestes notes trobareu algunes fotos de la festa i de l'original pastís commemoratiu. Amb les intervencions de Neal Koblitz i Gerhard Frey, hem tingut l'oportunitat de reviure algunes de les aportacions que més han marcat el nostre seminari al llarg d'aquests anys. D'altra banda, i com de costum, les sessions matinals van incloure cinc xerrades per part de membres del STNB (UB-UAB-UPC). En aquesta ocasió, sota el títol "Successions de Sloane" s'amagaven algunes sorpreses per contribuir a l'esperit festiu. Si bé per raons de la mare natura no vam podar comptar amb la presència d'alguns i alguna col·lega (que tant haurien volgut participar en aquesta edició), cal destacar que la presència de nous joves que s'incorporaven al STNB per primera vegada fa preveure que tindrem moltes més ocasions per celebrar la teoria i els nombres. J. C. Lario Barcelona, 8 de gener de 2007

Page 11: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

!" #%$ !& '( )

* +,-./0! 12+345,61(7, +

8 +345,61()9 %:;+=<> 8 (

<?7.@+, 1

A 4 BDC A 4 *;E !F $ CG$;B=C A 4 * B E :; F=H B=4=I !E 4

J A 4 LK 4M;C K !45 E* 4 :ONPB54 RQ

ES 4 A H NP$ F= ;C K 4 CG$ A 4 * B E :O FUTH B=4=I !E 4 VWC * NPBYXG4 C A !E :O EZ* 4

EZES A 4 [ C H NPB E VD4DV VWC K F= ;B54D< A C]\

$+_^` -R+acb9d

Ne,61()9a 2+_CG)fb9 gh )9iRjbk 1

lbmbk+ noCGCGNPN

p -R+cbkdlq='rbki Sts )kiajbk S &

u

Page 12: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

A 4 * B E :; F=H B54=I !E 4 VWC * A 4YXWC : !NP< A E* 4

+.@ 1./ bk g./+(65!& -R+a.@ & 611b9 o h icb VP 8 K kbZa+a+'

+7' )k)fb9'o! .7bka.@ & & ()fbk o B= B=,61()fb@n45 i0n 8 A ( 1 45+'

A .@7b9 j !" ./+061 5!& -R+a.@ 8 + )k,)fbk'B 4 & ( 1 )k. & -R(Zb9 ) & o .@ !)?b9 T )m.@/bk E j+lbk no + ) )9( T6./ ) abk+j.0, -cb !a.@ ) 1b9!" ) & ao kbk.0, +, o )k,-Ra+a b9 +,) + T.@ ./, 1) .@ 1' +,)R') jcbk+() S

Page 13: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

A a(.@bk + Q

A & ./0! .0 bk ()fb ! ./.@)9-R+ . & + & ( o()9 n & )9 +,./+,(615!& -R+a.@ S a-j n +, & ./0! 161()m =()k./ 1b9 & )9 ./+a. & + )9 1+, '1b9 o +, o()9 & o )9% bk./+061 +)m.@/bk S

45 !)#+;./ 1b9 +, )')9m() )9 T.@/bk )7n +, .@7 bk j !" ./+(6 5!& -R+a.@ bZ, & .i) bk) R+a././ 1() n bk+) .@ 1'

+,)R') ,j1cb9 +,)

- +.@ 1bk 1+ % ./.@)m lbk )

. +, ) bk .@ 1+, ) bZ & 6 1+ +.7b9 ! 1./'bk

+ abk(7.@- , W./+(6) & .@7 bk T)k,)fbk'#b9a./ 1+ ./+0617c6r kS

Page 14: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

V & bke+ ) a' ); ) P+,.@7 bk j !" ./+061 5!& -R+a.@ n#+ !& a.@ )k) bk' & '0bZ/! )9('.@ 1o0bka +; B 4 & +; K ( p +

+a+' S

C]+ )9)fb9'% K ( p ++a+a' & =-)m +

[ R -R+' ' .ia+, n \ ().0,(n + -R+,' n & =!& '( 8 & .@ 1 & bk g=!& ' )bk( ) n ./ 1b9 & ) & - .@ 1 & 1b9 . & 8 ) & ')m',j & + S

:G 1b9 ! ) n <?a. p ++ n F + 8 d p 8 bk )+ j o+, )'.@ bk )9)fb9')' .ia+, S

+ 61(d R./( & +=B 4 ,-R b9.@ 1o0bka S

Page 15: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C] .0,- n p A )fb9 R,)fbk T- & 8 ! & ()9-o d/ & +j 7 bZ' g & 061 + .7bk 7,d0./0! 1 + ) =!& '( ) 1b9 ) S

C]+1) o.7bk & 8 6 )9 + !0b9 A )fb9 & 2+ & )m +,). & Z6r)'+ !" bka.@) S CG) bk & +7' 61d & +) . & 6r) + !" bZ.@) & 1& )9) +./ b9 j !" S

C] & K )k. !& L' .@ 1' Zbka./ 1b9 & abk(7.@ -R, .0,b!" .@ jR,d/ o P+)D45.@ ,)D * R./,L#+Ne0! 1 67!/bZ./ 8 + ) CG)fbk ) N` ) S

C]') bk bk 1.@) 8 `()fbk-o)9 % & .i `)9 T- +,) R+aa.@./ 1)D#+b9 r!" #=!& ' ) + .@ bk j !" S VWLi.i nY - 2()9b! & )k. & )9 2)m -()fbk'bk' + T& 0! 12%+ .0, K rb9 !lbZ./ K )k. !& S

Page 16: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

K %j & )fb ! & .i + !/bk .7bk 7,d0./0! 12A )fbk n 8 '? . & 7/! 5.@ 1)ka(M b9 & )9 P +). & 6r);+ !" bZa.@) Q RR+, .@ + j & o & + TbZR+aa.@lbZc61 & . & o cb9 + )#)k) bk')+ bk o VP

+a+' S

CG)k.@- !" & ./kbk 45 s F + 8 d p )9 -RL & ()fbk & .@ bk )k)fb9' -)9 + - +,' + + jcbk' ,)k.@/bk & . & 6r+ !" bZ./ S

& 61 & ) oL.@)k & ') R ./-R,L) &) & )fb9 & 8 +bk S VP m & '+.0/! & aabk(()9 bkn 8 & 5 b9 'lbk !rbka.@ n+VW S XP. b9 K a+a+, 5+,`.@ 1!" E < K n +Di- !" )9./cb9 .@ 1 +L)9' & )fb9 Robk T'bk 8 )ka & +cb ! ( '1b9 S

Page 17: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C] i-r!" ./ !" & + & b & .@.@ + ./ b9 j !" . & 6r) + !" bZ./) *?* C - & j & o+?o Zb9 bk2 +.@7 bk j !" Ro!. bka.@ - +a+(j )9+.@ 1o0bka Ra./ + + ) )9)fb9')D%B 4 S

$% XPa.7bk 5 8 lbk1b9 ' ) +, * * C S

C]'.@)9 n ()fbk ` 5bk!" =)kj1 .@ n o & )9 8 kbZ +3)9)fb9' lbk1b9) n 8 )k, T i?b9a & & 1b9 6,)fbkD bZ T ./Rcb9 +)fb9 S

:G XWa.7bk b9-m- & ./ R!" & 8.@R bk+a) bk n + . & + )k,i )k)fbka & ) & )PR+( )P1b9bk .@ 1)9(j & %+ !a' =!& ' o )k-R+, Rlbk1b9) S

:G ) bk d ! ) & o .@ )9 R,bk & XP. b9 b9 o .@ rb9b ! g+ * * C S

Page 18: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

XWCG$ 4 4 VWC A 4 2* NeB3X]4 C A !E :; EZ* 4

$` )9 .@ 1 .@ j !& +j cbk' bZo ) & -o o 1./+ 1o +, ./+,(61 . & )9 & )9 & '. & Z6r()k.@ j1'. & )9'bk kS

* 1' () & +cb9 o ' ) & )9 .0+,(61()? !) o T & ) & +,) %B 4 S

C ,)fbk & j =!& '( o )k-R+aa) +)9+././0! +. & Z6r S

* 1./0! 1 Q B 4 * * C Q

C]+_.@ R+, .7bk 7,d0./0! 1 Q !" j1cb9 ) ./a'+() S

C]+_.@ R 1oD+ * * C Q #!" jcbk ) ./a'+() S

Page 19: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

4 o()9 L+ +,j i)fb9 61()fbZ,j.0, 1) +,) . & Z6r) + !" bka.@) n & .i ) .@ b ! j )bZ, & `.7bZcb & g)9 ) o.i )9`i./e++) 8 TR & )k,)fbk' -)9 +) 'rb9 !lbZa.@) !) )9./a++) S C] + ) ) + .@ 1 !" B 4 1b9b ! 1'bkU)fb9. bkcb & g b9' >+) . & 6r) + !" bZa.@) S

[ -j n + )9j & a +, ) .@ bk )k) Tbk')M-R)9 );+);. & 6r)O+ !" bZ.@)U %()O-RbkR nR-Ra %'j Zb9De+elb & +(d/-R) bk .7bk'%+)D. & Z6r) + !" bZ.@) S 1o .@ ) +, ).@7 b ! j ) & ()#1bkR +) . & Z6r)+ !" TbZ.@) n o + . & + SaSS +Uabk1b906r + & +, )9 Tj & a & ./ b9 )k) bk'#`. & Z6r) + !" bZ./)) & o .@ ./ ` +Rabk1b9>(6r+ & & j T'bk .07! )k. & -Rkbk +, o )k, .@+ T S \

B= 1 B5c61)fb +_)k bZ g s (- %B 4 T

Page 20: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

A 4 2* NPB3X]4 C A !E :; E* 4

Ne . & Z6r + !" bZ.@ )m - & . & o () & '. & ./0! 1

U, & )9 ) & 061 n) ./0n+ o +aa 1, . !& - .@ & b9 ./( ) !& + bZ +,) 8 +. & .0/! 1 () & o .@ R (1b9 + ./)9 g .@ T .7bk(!" )fbZ./ ! L S

A ) & bk ) ! & ?)9lbZ,) .@#)fb9=. & .0/! 1on.@ 1 & bk'bkD.@ 1+[ & bk + cb9 1\#"Un T' & j & o -o+ . & 8 abZ () " S

E I$ ()O+ . & ( o %?+'bk ) n bk 1.@) ) & j & o cbk S (j>!& +( ' )9)9n + =!& ' & bk )g )mrbk) .@ +)k,j & +

&(' )+*,% u.- &0/ 1 %

CG) ./0n ' ) +,,)k'''j1cb & & % S

u32

Page 21: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

:G ; m +, n RP+P. & 6r ) a)9 - E I5bk' ) ) .@)9 ) Q

* )m [0) & o()9aj & +7\ Q

* -

CG) l! ./a+ ' )fbk &

' * E I - u

* )m [( T ) & o()kj & +7\ Q

u * -

C]+3)k' H & )9)56)fbkjM! L)fb9.@)9 8 R.@ 1bk ! & r! 7 & + ' * E I - SC] 7'+ & j)mg()k.@7,-o n 1 ) R 8 u * - S C]bk 1.@)

' * E I - u )

u@u

Page 22: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

A FD2* B E :; F= E ;C K 4 C A !E :O EZ* FD

C] + .@ bk j !" b9-m' ) +j & o j( o & & 1b9 f n 8 )U)m- +, & D)fb9W) & -Rj & o bkj 7' n 1 ) .@)k+,')9''j1cb & & % S

C] bk) +,-) n bk' ) & )k.@ j( & . & o E I $ 8 & . & 6r bk+'' & ' * E I $ - bkj & . b9 a' & 8 j S

-R7! ) & o 1j ' ) & %i' ) ./ .@ g+)& a () ')mme.@ 1' & bk ) ! n 8 & T' ) 6 & ')9f S

u

Page 23: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

E ' .//! 15!& -R+a./ Q

E I $ n n & 1b9 f S

* +,(61%)m.@/bk%45+a.0, Q

& =!& ' '1b9 )k.@ j1 g+(rb9 'bk 9S

* +,(615!& -R+a./' 4=+aa./, Q

+ & bk S

<?(rb97,d & ,W16+P45+a./+ ')9m SC]+a+,%)9./ j5+lbk 7, '1b9 & L=!& '( 1b9 n8 ./+a. & +=+ ) ) & bk ) 8 *, - S C]++D+>16_!" '4=+aa./,'+ ) ) & bk )

* -

u

Page 24: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

CG) ./,(nD+=')9m ) b ! [() d/ 1\ o + & 1b9 o( ()fbk & 1b9 b9 -R7! ()`,j & + * - n 8 45+a./ & [ & cb9 + !)k.@ n \' & + TbZR+aa.@ g+ Ra'( & 1b9 o =) & ./+(6)9.@0bk8 ) & ) bk 8 R + () & +cbk g+)9j & & 1b9 Q

) * -

& !'bkr!" & o i.@ & o)9 1 & b9 d/ R`R.@ 1bk?+ ')9f r!" ) & ./bk )9 +,61( + -R+,' +'+ j cbk' )k.@0b9 g +_j & o +;[/C * V A :;\ 9S

CG)fb9e()U+ - +,' nR + nRPR.@ 1 Tbk & =!& ' '1b9 #bk+ & S

C]+ [/C * V A :O\ ) R 1+() +: A V * C + - +,' + + jcbk' ,)k.@/bk & . & 6r+ !" bZ./ S

u

Page 25: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C] j+ n>+ . & +cb9 +?: A V * C o +P'j1cb & + .7b9 7' ` !) j + +_j & o + S

:G ) bk d ! 1 ) ' m & )9 . & Z6r) . & 8 )j & o )?bZ, 7a' ' [0.@)k Ra' S \

C] 2 61 1+ S l n !j S Tr i./ 6r7,).@ 1m/b & ))m - + --R+a T & P+% & ./.0/! 1 ! 1 & + & . & 6r+ !" bZ./ g)9 -+ . & ( o =!& ' ) ./ +()Pb9j a' & !" +, . & Z6r+) b ! f o fR+ n ) 8 +a' 6r!" kS

C ,)fbk (6 a./ bk1b9 .@ 1 & b9 ./, 1 + ./ ' i & r!" )fbZ.@ & )fb9 --R+aa () T''bkj & +Y n_ 1+g.@ 1)fbkbk o + . & Z6r !) ./)9'bknU+) a !j()# +)R)mbk.0, 1) ! 1 & +

+_j & o H + ) + ) & bk )D% kS

u

Page 26: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

:G D+ )Y() & +cbk ) & & )9( ' )fb9 ))9 1 & .i g !) !(-Ra+() & %) bk)D.@ 1f0b & ) S

4 D./ ./a1b9 + b9 ' !) & (Zb9 ) bk bZo RS 45+a K 8 X S ^ & ' K & kb 8 a.@ & n .@ 1 --R+aa u n+ 72 * E I - bkj / u . b9 ) 7' ) S

C]+U() & +cbk K ,7K & Zb 8 ()i' )9 n o

) =!& bka+ + !.7bZa.@ S

C]+Ybk-Rf K ,7 K & Zb 8 ) & fR+ +a & ./ +, .@7 bk j !" g)9 -+)P'lbk ! TbZ.@) & ) S

VW 61d . & + .@7b9 j !" 61 & & 1b9 & 061 ) -R+,') S

<?f + & ./2 +, * * C;nY+ )`'lbk !lbZ.@ )bk3! a.@ )Di 61()fbZ,j L) o.7bk )=+,)D. & 6r)+ !" bZ./) & bk(7, 7'1b9 i- !" ./-Ra ) & rb9./0! 1 S

u

Page 27: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

$` bk Q Ne bk-f !)%./1b9 .@ 1 & () & + Tbk 5 !) & kbk & U+ K ,7 8 K & kb 8 & & - T+a.@ o 4 S * S * f .@ & 7n S 9S

CG)D# b9 & RS H +,-cbki 8 S K . T^( S A 1 1 K rbki S] . S n361 1+ S 11n !j S T a161()fbZ,j 1 + ,)k'2. & ()fbZ/! 1on o( .@ 1+ Ra' f 8 +,'. & 6r 6r7,-R+ S

CG);./,(n . & )fb ! f 8 )9 6r!" '+, )O.@ T ./1b9);D+W. & ./0! 1 n )9 ) b & 0! +, R T--R+aa & %+_ * E I - )9( 7' S

u

Page 28: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

F b9 - +,' & W) & 0! & #j o Zb9 T./ + * * C 8 rb9f +,2lbk.0/! 1 & .i )'lbk !lbZ.@ ) Q

VW/bka=+_ ' * E I$ -. & + & ,=. & Z6r+ !" bka.@ S

C]+?+j 7 bZ' .i & + 7'+j cbk' bZ,o o 1+a + o & & 8 ./1b9 kS

.i ;0b9a ! +Y6r+ ! & +, 6r7, ) Ra' ) o & ) b906;!)# + ) o 1+ T 1 ) T Rc6,)k0! 1 . & 8 ) !" .@)>)9 1 +) .@ T) T + ) & bk )D% kS

4>b p a) 8 C]+ p ,) ' .@ 1 + !0bk .i n & )m + ) o 1+a ) ' & +,) & )9 1 !) ) & + ) c6)90! 1 S

u

Page 29: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C] +P.@)9 . & 6r)2 R) )m - . & o ) cbk ) o & [email protected](!" ) bZa.@ n rb9 1i ./ 1b9 ! & +j 7 bZ' T ./ & 8 T.@d S

45+,j & ) 6)k 1()O++j cbk' T a.@ & 0b9a ' * E I - & ) o .@) )9(j & )o D.@ 1 & b9 S

B=() & +cb9 & + * * C )L & 8 o!.7bZ./ & )9. & 6r) )9 - E I ./ 2.@ .0,bk() +(rb9 ) S

u

Page 30: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

4M 4 NPC *?F $%;B=4 * B E :; F= EZ ;C K 4

* 1bk+B 4 Q

+,'.@7,-'. & o ) & !(7./ )

Uo

* 1bk'+,) . & Z6r) + !" bZ.@) Q

+ !0b9 %:G 1+a+, T

Uo

C] -o ) .@)9 ) S

2

Page 31: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C]+=!& ' .@ 7

+ .7bk d/.0/! 1 Q

+ * * C Q

A 611b9m 7.0 + ?+D./ b9 j !" . & 6r)+ !" bZ./) Q

)#+, )lbk & )j(+() )'.0,(n; !)P.@)9 ) () o./, +,) & (bko o 1 T./+ no + . & +P)9 & .@ 1)9(j & & ,61+. & )9j & a .@ 1 ./+061)2 b9 ' +lbZc6r '1b9 o & S

lu

Page 32: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

IY') ,j1cb9 +,) & )9 g. & Z6r) + !" bka.@) Q

C]+>C * V 4l4=IYV * C +,j cbk' R T') j1 bk+)D.@ 1 . & Z6r)?+ !" bka.@)

()fb !-R)9 g +_V 4 abk & ./a o O+R)fbZ b & bk ./ 1+ ()fbk)+j -R %CGCGNPN

+261)k0! .@ 1 . & 6r)#+ !" bka.@)() !) .@d 8i +,d/ +_V 4

Page 33: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

[0IY') j1 bk+() .@ kbk) & )9 +'R-Ra+a+ h a+ n \

[ i kb )kj1lb & ) 1 bki`h a+aj n \<> 1ion A 8 i.i n 7n61 + S n !j S T nRbk-R7!2) To 1,- +, +_)9cbZ, g s - %VW2<> 1i Qibmb Q s s?sWS .@) S )fbk S & 0-o

CG)fb9%)k) bk'R')?R,j1cb9 +,) o%+) ,() ) o.1!" .@) +) . & Z6r) + !" bka.@) S

C] .@ 1bk)fbkW+ C * V 4l4=IYV * C;nR+ )k,)fbk'<? i T A 8 Tf i.i )fb ! ./ Tj>!& )k)fb9' & & )9j & o ) !)?)9./a++ ) S

4 .@ 1bZ & ./0! 1()9bk & W61)k/! 1')9./a++`+.@ 1)fbk & .0.//! 1 %<> 1i A 8 i.i S

Page 34: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C] . & + & (e)9)fb9'g R')Dj1 bk+)=)9 & )9& [0'Ra.@ +a+ \ =2j1+7!()

() !)> ' ) & i & +a+ .7bZ+=+_' T)9f S

C]+''Ra.@R+a+, L () )9.@0bk S

Page 35: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

F b9#61dP6r' ) & )m=+'. & Z6r'.@ 1 . & ./0!

) !

a%)9 -R E Iln * - S CG)fbkW();+ .@)9 ) & o)kj & +,0n 1

' u

& o 1j ' ) & %+ Ra'

& u

8 () & & 1b9 % S

() +_j & o j( o S

Page 36: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

XO' )3 b9-m bk-R7! +, b9)k0! #. & To!rbka.@'+_. & ( o E I Q

E I E I * u.- E I * -

-D)fb9W. & o +. & Z6rPbk * u.- & 1b9 ) n8 bk & bk ) S

-f ./ + ) & bk ) .@ 1 .@ T ) E I n bk' ) & 2'

* - * ) -

-m +. & +

)

CG)2 b9 & )9 * - )mrbk) .@ + . & ./0! 1 ) n bk R.@() * ) - +, )9lbZ,) .@bk-R7! S

Page 37: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C]+g[0R f ,bk 'R -R+aa( + h a+a\) b ! a () & bk )g + .@ 1 T & bk +, ) E I T & 1b9 ) +. & 6r S & )%6r+ ())9 1 o bk./) +, !" d& a

! u

Page 38: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C]+_R f ,bk bk+,) R)

8

+, !& +cbka'') & + bk +, R2-R+aa( + kS

Page 39: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

& o 1j ' ) & g45+a./ & R7' & ' T)9f & bZ 6r+ [ Ra.@ +a+ \ n + . & +o ' ) ) & o 1D) & & 1b9 g%+'. & Z6r n S

VWDj & + '( & D' bk )O.@ bk )k)fb9')U. & 6r)U+ !" bka.@) n +,./+061P)9.@0bk%e45+a./() & =!& ' j( +lbk 7, '1b9 n 8 ) & ./+(65!& - +a.@'() + & 1b9 S

A R7'45+a./() )kaR+,'bk+ & 1b9

Page 40: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

:G 61 .@ +, R' n>+ ./ R1b9 + ' T)9f n <?lbkdrn .@+a. & + )W./,(n+ 'j -f + '!* - * ) - 8 + )Y ) 6r +, ()+_ f ,bk

8

<?(rb97,d`.@ bk+ '#)k)fb9 ) )9 1 j & +() S

45+a./i.@ +, R7'.@ .7b9 '1b9 no Tbk R.@() -o )?6r+ ) )m 12,j & +,)

<?(rb97,d=.@ bk +,R7'o & W)9P.@ 1 !" & )9 1+, '1b9'45+a./gi-Rr!" o R i ++P+ & bk & bZ, ++ j cbk' `,)k.@/bk `./ -)9 j & +++ j cbk' )k.@0bk .@ 1 -)9 S

8

2

Page 41: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

:G & )m ()fbk )k,)fbk' ')g()g.@)97, o (5.@ +. & +,D +. & o E I S

C]+W!& a.@ ' & =)mW.@ 1 .@ +,)k .@ & R7') )9 1+ & ./, 15+: A V * C;n ()=.0,(n R.@ 1 Tbk=+,'./+061%)9./0b9# 45+a./ S

u

Page 42: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

:G+ ! a'#)9j & a )9./

4 o)m ) bk .@ 1'.0/! 1one+ R' <? i T A 8 Tf i.i ) +lbZc6r '1b9.@ kbk 8 .@d S

C] b9 )./ b9 )k) bk') . & 6r)+ !" bZa.@)L().@)m b9D)9 1+'bk S

:G & ! -o )9 ' 8 +')k,)fbk' <? i T A 8 Tf i.i

Page 43: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

A d ! 1 () & +' m1b9 h + & )9( & )m b9 & ./, +#: A V * C + - +,' +#+ j cbk' )k.@0b9 +#j & o !) )9./a++ E I S

CG) bk & %)k ?n 1b9 1./()

C] bk)+-R) n?+ + jcbZ' R,)k.@/bk .@ 1 -)m + j & o ()5j & + +3+ j cbk' )k.@0b9 L .@ 1 -)m

+_j & o E I S

C]+ : A V ) bk !& +cbka' %j & o `bkW.@ 1R+, ma ' & %++_: A V * C +.@)9 j(+ S

K !) -Ron_) bk : A V ) & R -R+'')9 1+, '1b9& o ./ !) !" ./a+ & + .7bk d/./0! 1 & bk( %+,,)k'#'j1 b & & n () T./0no -Rcbk) )k S

Page 44: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C] b9 )./ b9 )k) bk') . & 6r)+ !" bZa.@)L)m& )92)9 1+, '1b9+) . & 6r) T ) & o)kaj & +) S

C] + ./)9 T ) & o)kaj & +, + . & Z6r ) n 1 u ' n b9' )

' * E I - u )

1 S

C]2()fbk .@)9 bk-R7!2 ,)fbk+_ m1b9 h + n o bZ, 6r+ )L +=. & o E I 1

* u ) - & * ) u.-

C]2+.@)m ') & o)kaj & +,Db & 6a' )

* u.- & * ) u.-

:G + .@)9 T ) & o)kaj & +, .@)k & .@bk' )!* u ) - & * ) u.- S

Page 45: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

n ) .7bZ,-R+ bk-fL + . & o E I S $` bk )9bZ bk & ./ + : A V * C +: A V +_j & o E I S

B=() & +cb9 & +,61+ . & +cb9 +: A V * C () & .i ' 8 ./)k;bk ) +)'. & 6r)' T) & o)kj & +,) & R+,) ) & o()kj & +() S

:G ()fbkd ! 1 + ' 8 !" %e+ )?./ b9 )k) bk') . & Z6r) + !" bZ./) & )9 . & 6r) T ) & o( T)kj & +,) S

CG)`./0nY+ )k)fb9' R7')Pg<> 1i T A 8 R T i .i )9 ./ + ) b9 ) )k) bk'). & 6r) + !" bZa.@) o &

& )9'+,) . & 6r) ) & o)kj & +,) . & 6r) T ) & o)kaj & +,) .@ 1 6r +, () & 8 o & ) n 8

)fb !-)9 +'`h a+ n +. & +_ ,)fbk #j & o ) !) )m./a+a+, )

Page 46: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C]+ & )9 +W m1b9 - +a( + .@ 1 T)fb9 & bk ./ + ).@7b9 jo! .@ )) & b9' & .i ) ) b & ) S

C]+61()fbZ,j R 1 & VW <? 1i i1bfb Q s s sWS ./) S )fb9 7 S & (-o kS

F b9) & 1b9)Da 7'./0! 1 Q

S H +,-cbki n_[0:Gaj)7n \ .@ !" b & +, E n* -7j %NeRc6 S :M()9) n

^ -R+cbkd 8 K (d0() nG[/:G ,7j T -R)9.@ 8 bk j Ri 8 lb iji )9. & cb 8 +(6+)7n \ibmb Q lRab S .@ S j r S

Page 47: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Ne +) R+a././ 1() ao Zb9 bk() + T fbk =) )9 1+ & ./, 1 + R -R+' +[/./ 1b9 -R)9 abZ \

2j+7!) kS

C] & )k,)fbk' L)fb9LbZo +2./+(6 5!& - +a.@ ())k +,'1b + 1- & bk abZ ././0! 1 + & ) & 7, S

X !()9n o fR+, n +kb!" . & +, <? 1i 8I p +a n 61 + S 1 r n !j S T bk- 7! ,) o 1-R+ + )kcbk Ls - %VW <? i kS

Page 48: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C A 4 4 NPC VWC FD CG: E A XWCGB K 4=$

& ')kR+a .@

) & W. & 6r + !" bZ./= a5)9 - E I n 8 )9 1 ) ) & ) & bk ) S

& (' ) i ++ & 1b9 bk+ & S

+,././ 1' ) ) & bk ) >n ./ %.@ ) =+ ) =!& ' ) 1b9 ) . & 8 ) ()ka & ) ! 1 & + )9 1 & ()fbk ) & 1b9 ) S

-R7!')9+././ ' ) & `. & Z6rP+ !" bka.@ * E -.@ 1 .@ ./,bk)./ 1+) & L./ 1bk 8 8 & ! 1 & + )9% & .@%'+,'. & 6r# * E I - S

Page 49: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

& o 1j ' ) & 8 )9 1 obk() * E - no() ./0n &

"

C]2()fbk%./)9 nRbk-f ! 1 & + bk' )

" * -

o D+ . & +

2 * -

1 ()5+3 7 + & 1b9 >n 8 r!./a+a'1b9.@ 1bk' ) S

Page 50: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

a -Rj nLj+o+ --Ra+a & 8 )9( oR,bk) )O & 8 n & 8 o & SA # a+c61' & e+ & 'bk )fb9 R T--R+aaon o 1 W.@ 1a./ ()G+ )kj & ,bkbZo Q

' * E I - u ) 1 * -b9 )D+ ) 7' )_bk 8 R u32 2 kS 4 & !" * E I - b9 +L & ././0! 1 * E - ! 1 & + +7' S

j !& + ' )9)9 n )k, b9 T' )

u ) 1 / ' * E I - / u 1

o =+ . & + +,'.@ 1a./0! 1 ./ & i 8 + TbZc6r '1b9 o .@ ) & 1b9 ) ! 1 & + S

W b9'+ =!& ' !a' ' & bk )Da To1b9)g + . & Z6r * E - n?bk R.@() +,61( T' & & 'bk%+, -R-Ra+a & )9( o & S

2

Page 51: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

a+c61' & )fbk .@ + o )ka.//! 1 +).@ 1 T./ 1() no-)R! )9

+ * 1m/b & < .i 8 s akbk 1 T V 8 0n & R.@ nWbk b9) .@ )9) n & () j & +=+ + .@ u `+, T & ./0! 1 * E - ()fbk [ T & .0/! 1 `)m)9

h a+a\2)fb ! '

& )9R + )9. & R./, =!& ' ) ' * E I - + ) Ra' )

& r! & +, + !" bka.@ S T : SK ()fbk +6r+ S A e' )fbk .//! 1LD)fb9r! 7 & +e T & ,%+ * 1f0b & R 8 ' n & a.@ & . & + & ( . & 6r * E - ) [0' & +0n \ 8 o 2+, bkbk & #)9W()fb & bk(6;!()=#+b9 r!" ')`' & +,) S 45i + * 1f0b & R 8 '')D & 8 ' )9.@ 1' () & +cb9 #+' ) bk ./0! + !N`+ bZ' ( ' I'rbo `45 s h +) o( n. & )m '1b9 n + bk T-m h +) .@ b9 R+a././0! 1o!.7bZ./ +,j & S

u

Page 52: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

C])m bZ,- n . & e ) a ! a+ T61(7' )9 - ) & +j 7 bZ' n ( ././ ' ).@ 1& o .@ bk' (n 8 & a'( 6 )fb9 +)a() & 8 ) !& bZa+,) & )9 R+a./ 1 + +,j TcbZ' R./( 1 . & +cbkW+ ?!+a)9) !)fb9 S

:G 5() & !()G>6r7,)3)9' )GUb9-m D+Ne,61()k h rb9+ n]+ j' )' ) bk & +rb9 & ? +,61(7' D() o! .7bZ.@ S $ & T)fb9 ?! +)k,)D%) & +j 7 bZ' '()fb !'-)9

+) ,() + )!" T ++' [0+cb & =+ j Tr!" bZ./L.@ ! 1./\ & & 1b9 + . & + )P !) 5' ) o .0, 1 ++ =!& ' 5 )!" -o 1+ ) T & (7 ) R ()k.@7,- , +,) .@ 7) + & 1b9

+Lj '0bkr!" =!& ' ) 8 & 1b9 )P & 0bZ. & +,

+, * 1m/b & 2 A j n & & .@ b9+' o )k,- +, + b & ' & & 1b9 S

Page 53: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

B=C N K CG$ VWC A 4 LE VWC]4 VWC A 4H C F?K C]UB !E 4 4 A H CG<>B !4 EZ* 4 4DB E K !C] EZ* 4N 4=V 4 CG$ C A 4 A H`F B E K F VWC E A X5CGB TK 4=$ J F $NPC ;B F 4=$ !4 A EZ E VWC !C UC

+ T & ./0! 1 )9)9h + nY+ . & + 6

+)9. & ./ ' * E I - a' )

+ * 1f0b & %< ,7.i 8 s akbk 1 T V 8 (

+, ! 7 & + + !" bZ./ K )fb9 +;6r+

+, * 1f0b & #`R 8 ' i & Lb9 '45 s h +) 8 bk )

+5+cb & P+ jr!" bka.@5.@ ! R.@P $ ! 1 lbk

+ * 1f0b & A j S

Page 54: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

$%j & ) U)fb9 ) 'lbk !rbka.@ )Y & 8 ) bk./ )+)kj+ )9)9n h + n<?.ion s R(Zb9 1 TV 8 ((n K ()fbk n 8 ' n3$ ! 1on lbknY A j )9i-!" a'j1 & #) & )Dbk-Rf )=- #b9DR+a.@ ./, 1) + & o! .7bka.@ S

C]+3Rc61+ )9 R)fbka.@ .//! 1 #+,)=a)='lbk !rbk T.@) & )m )5 +L.@7 bk j !" [email protected] & .i & 1b9 + ) !& + bZa' )5 ) S

K & .i )]bk')O +)O'lbk !rbka.@)O & 8 b9Y! a.@) + b9 r!" . & ( o ) & !(7./ ) 8 + j( T'0b9!" 2+j(- !a.@ 8 cbZ !/bZ./ & bk T 'bk & 1g.@ 1)ka )U./ ' & 8 + m ) . & +() & ,5R+a.@ ./, 1) i & j & o+G./+(6 +G)9 1++ 8 + ?! +)k,)+, ).@7 bk )k,)fbk') !) ao kbkbk) S

Page 55: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

!#"%$'&)(*$,+ )- " .0/1"32 (4$,57698*69:- 8 $"%;9<=64+>/?84/ /1" <=@ A76*+B&%5C(*$+$,57"32 8ED

"3FBG 9H? FBGJI* F K* G LB9M LONP G QM 8 RS 2 T# FVUXW7IY F

H GOG[Z]\R^^ Z _` Ga _ a b ^ Kc ^ de afZ

5 ghP_ I F iMg_ Y \H GOG[Z]\R^^ Z _` Ga _ a b ^ e^ e afZ j .Y8 G H1Rklm GonE2 p)q=:rZ 2 YT# Fs

t

Page 56: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" F G rb_ hV_ ZG b I G IV_ \

< 'g F>G K#_ I g G g I G _`'R F bMN_`K N Z G k#_ Z G bK IJ# a

! p N_R FBGJI Z F bNP_R r FBG bV_RK D! - F g G g I G _# FVD @ a- F N Z W _R i #_R #_ Mg Z N G #_ IM a

- F g G g I G _` F G g F N Z NP G W _ FBG g I F F I ZG _` Z bMg I G _# a

Page 57: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

$ N Z M bKg F N bNP_R FBGJI N F #_ Z

G Kb I i0R W Z9INP`_ Z

Z G bK%R F INg F G LO G 9C I_ G =N K G i Mg #_ G I P_ U

g K G Y # J #_`_K F H_ W Fg I_# F U

YPVg F _bM_ G F a

! A Mg Z N M P F bMN_`K F _ FBG g Ni FBGJI N F K D

!#"3F'Z F _P . g FBG : F YbMNV_ F _ F

G g D

Page 58: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" d c9`R 6 b . g FBG M F bMN_`K : #_ G F _ FBG g F K' R 6Q$,8 N `g M .06 ()ZG _`g Z " #_g_ G 8*F _`g I G _` : _` bM I F ! " #%$& (')*+*& , j (784"3&s a

- F Mg Z .- I F 2 F>G A V q _ F ?_` #`N MM h( 84"3& F N F FBG FiZ Z bK R G I _` a

" d q _` G K $ HMN Z / Kg_ I #N_` F g G . g FBG K#_ IM F bMN_` : )`R

6 Kb0 K ' M G I NP S`R a

"3FBG G _ Z F G _R mKN F QNP Z Pg _P_`_`K a

1

Page 59: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

! p N I F G _ Z k I G F'Z KR F . g FBG * F bMN_`K :D

q g F Z G _R9h Z KR .#F bN_` :j #_g_ G s a

@ N FBG Z _`g F[Z N FBG \

A N N_R F _ FBG g #R W Z9INP`_# FBGJI F N SN 0_ IM M FBG N#0_ IM _##_ IM IN _` a

Page 60: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" LBg Z \" F _ F>G g 6E$,8 F>G SN P#_ IM F R ghN G _ Z `_ K#_ IM o F3Z _`g F b P F Z ? G Y . g IMN : \

" Z F _` W F F R G _T#K#_ IM 9 IN g G R #N F N Z N FBG Kg G FK G _RP a

& R #NKQ N FBG Z _`g Y J P_#_ IM Z W _

F _RM K .#F bN_` : FV\ F>G F YbMNC N7 N #_ IM E7_##_ IM IN P_ Z N F 4_` W G _ a

Page 61: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

$ _` g bk F Mg_R T#' FBG NP_R =_ Z G Kb I 14#R W Z9INJ_` j RQ IKQ F d s G P_RM Nh Z _` #_ Z _m F4Z F _ P N N #_ IM #_g_ G m 6Q$,8

j M ' F N / Z G LB, F G / G F P#_`k F G +/ G #_ s Z I F _` W Y G _` F _ Z kY4K G V_RT#? g IPNR aj @ K_R G _R h_`KRbMN Mg HKYVR aRs

" G M F N F bMN F[Z N FBG Z YbMN G F i F G _ R Z KR .#F bN_` : F \ F>G F bN N F K G _RP _` W G _R SNP #_ I i #_Kg_R G a

Page 62: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

- Qg M I =9 F `_RP F 4#_ Z G b I 1 F #_ G FZ ?g G g I G _ F W g I F ` I NE FBG F F F[Z N FBG F Z bMN G F .0F YbMNV_K a :

& BLBg Z R g_ F F `_RP F F )?V_ ZG b I G _R FBG h G a

"3FBG Z N G W _ F>G hghN `_`g_ G Z NQK

G _#_ Z *g I C)R F G N F M G ? F #_ Z

G F _ FBG g F M F #N F F G g F 'Z I G _# a

Page 63: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" LBg Z j _`H PHY d s \

$ N Z M bKg F N 8 _`#_ FBGJI #_P_ P g

F LB F G W7I F N F _ FBG g G _ Z 6Q$k8Ea

8 G F #_g_ G F g F LB F G #_Y G Sg a $ _oN g F LB F #_K G _ FBG Vg % G M # F P_ Km8 _`#_ G K F g_ G h G _ X#_ IM iNP K a

& # P FBG K G h_ k#N a

$ _` g b 9)_`H HY Z N j W FsN F FBG F G _ JK#_ F 1Y Z i F #_RS G / G P#_RSK $+>@ H Y4K G KV_RT0 a

"3F T#r G N )_`H HY \

Page 64: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

F G / G #_ a

" K W Y F _Q W _= 8 _`#_Q#_Y G F G / G F4.0Z Y

G NK F : j F b_` F #N_`K F Kg G Z

G _RC s FBG N_ #NKR F = F FBGJIK HT FCZ 4 G 1R g G a

A M G k F>G _ g K#_ IM Z Nh F #_ a

" G Nmm)_`H HY F BLBg Z R mNP G N . G +/ G 9 #_9 F #KbM_` : j _ bM I F \ $ ) % +Os a

t

Page 65: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

< Z R G N G +/ G #_ F b_` N_R4#_R N*P W F V_R Z N4 G 8 _`#_ 4 F #_g_ G #N N_R g F LB N F b/ Z G G / G #_ N FP #r G N a

" G N R_`H KHQ F NP G N Z #_% FBG G _ Z F G _` N' G _R 8 _`#_ KRbMN _` g K#_ I F E G / G r

F #_K j F 0_RY F _ G _R Sg #K G s a

/ N G R IK F'd ghNPH g I FG g Z N G N R_`H KH ; ` FOF 0 2 _`K_S 6 _ W FBG G F F[Z #_RK_ FBG F G P_RM N=N m# P ZG SN G = .#F bMN_ K : _` #`N_E Z #_`K F _ FBG _= NP G N G +/ G #_ F bM_ a

"3FBG F N M Z G F bMN_`K ghNH g I FSNY G K Z N F F N Z N )K W Y F _ FZ Y F E F G _i N Z N* G 8 _`#_ g NH_` Vg #_ IM a

tt

Page 66: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

8 H, ! N I N_R0_RQ Z KR . g F>G #_ IM : j F bN_` s[D- F[Z N FBG g Z _g G Z G \

"3F N bMNg G r . PN##_ IM a :- _Y . N#_ N Z KJRg G : FMg IN G K G F g G g I G _# F Mg #_ P#_R Mg Z N G K#_ IM a

" LBg Z R F g G g I G _` FV\

5 Kg 6 _R G j d s a" < G _g 5 Yg YVg GmF N R A M LO G N 5 _ Mg a

"3F #_0]_ J#N G K A M LO G N 5 _ Mg F _bMN g N < G _g 5 Y g PYVg Ga

t

Page 67: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

8 Z F N Z F r F>G BLBg Z Sg F Z g F G rNP FF N G _`RT# F R F

g FBG #_M F PN##_ IM \ W F F G _ F Z F _P F _ G Z G #_M F g N G Ng G M G K_ G _ F a

" FBG i# F \

+ G Z G K#_ IM 8 \o5 W YT < G _g 5 Yg HK F 0 F _P G W7I F G I 7Sg Fg N F Z ' 0N W R Z G # A M LB G N 5 _ Mg aj "3F>G SN _` G Z G #_ IM _`R F a s

+ G Z G K#_ IM \ $ _ A M LO G N 5 K _ Kg F IN g I F _R I #_ Nm < G _`g 5 g

G P F W R Z _` G G G LO F>G aj "3F>G h NQi_` G Z G #_ IM Q F _ G F F g I F g G g I G _# F aRs

t

Page 68: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" LBg Z R #_ P#_R Mg Z N G K#_ IM \- G Y I @E&

Mg Z G _ G NP

& g FBG N NP Z Pg F @E& Mg Z G F F N J0_R G g FBG N Z g $,8 5 F iNPi G FCZ KR F NC#N N_R%bKV_ G g Z Z N F N F KG g P_ I j M '#_Y G F NYT#g I _`g hK_0_RM K sZ F M`N#_ $,8 5oa

" FBG Q F R _ J#N G F _bMNg M N R $,8 5 Q G F Z F K F NP Z g @E&

Mg Z G a

t 1

Page 69: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" V_ ZG b I W T Z Pg $,8 5N F g F N Z KJRg g G g I G _` 0N M _

#N G G k F # Pg F Z i>LOg Z R 'K

G KV_RT0#_ IM r INg F G Y F ghN b F U F Z Pg mg Z N FBG _ Z G F _ F

G g N F G _` K a- F F N G K F G _ Z . g FBG #_ IM F bMN_`K :G _ R F _RbMN_ G Sg # P_0_RM K \

$ _Q Z Pg F _ I #_`SE G M F Q#_ Z

G F FBG g FQF bMN # G G N F G _ Z a

"3F h G N

Rr_ J#NP G Z Pg rg G g I G _# I F _` F R F N Z F _#_ IM hRiM #`N F _ IM '= g F

G 0_ IM U

F =_`Q K F KPQ F # F #N #_ F QNP G N G _ Z P a

t

Page 70: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" Z V_g QBLBg Z rN g F>G K#_ I N0#_ IM Z F bMN_` N _ Z G F _ FBG g \

" F _ FBG g i P#_RSKg_R G 6 P_` a

6 Vg F N4RESN P#_ IM m? #_g_ G h6E$,8 F

M h F N / Z M G LO N F G _ W g G Z _`g M t t j N I g IMN F Z kPN G FmZ _`g F ghN bK F s[a

8 _`#_ NP_R #_ h g F LO M k# F K

G K F Z K1 G G Z NHK1N r+/

Z M G F #_Kg_R G G N

$ _` g Pb 9 F G I_`g G Z F _RP N bMN_ PM G F _` H 'H`RK F K

G K F a

t

Page 71: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" g I G k 6 P_` j N_ _ W GI Z G g G = F[Z N I F 6Q$,8Qs F N W Y F _ IM 6E$,8M a

& 6 P_` ' F _ G 1bMN F g kP_ J##_M F M Ni g Z g k F c

dKa

" r F 0_RSg_ G 8 _`#_ HKiN i1R F I F #NKK F g IPNR RmLON FBG F _ F R I T= F a

8 _`#_ Z N L[N FBG ghN G _ Z `_K Z tj g k s Z K j g s XM C F R F M`N #_ IM F #_M F

t t

& 8 _`#_ NP_R M F S G F F IK#_` K0NR G k F F G KR F N j g s[a

t

Page 72: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" # G FBG M P#_RSKg_R G 6E$,8 % 6 P_` G _ h Z Z _ _` W F \

$ Mg G oN Z Y F M N)# KTY4 F K G F H I Z _`r F #_RS G +/ G F 6 P_ a

" # G FBG M P#_RSKg_R G 6E$,8 % 6 J_ G _R Z Z _ N F Z N* $ & Ng Z ' F N_ W G ''K

G KV_RT0#_ IM 9g IPNR F G _` M G _ NK#_ IM \

57"%( 6*"32 8Ea - S G _T##_ IM F N Z PRg ' # G G +/ G F 0_RS Z G _RQ G / G ' #_K F _ FBG g m 6 P_` a

A ()@$"%A7<="3@A7+B8 a $ _*S G _T##_ IM h F _ I #_` G P F 1_ Z G F _ FBG g 6 P_` F F bMN 0N G R _` W F _ IM R N #_ IM

#_g_ G a

@ F M k# _` bMN N#0_ IM FBG G _ Z Z 6E$,8 a

t

Page 73: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

/ HH d M H q l G F g FBG M N H Z k# Z F _P_`_` Nh/_ FBG

N NP##_ I Z KJRg K G V_RT#K#_ I Z KJRg i_ W Y F _ IM RSN 0_ IM #_

g_ G r 6E$,8 a

"3F[Z I Xg G 3`R F g FBG M N Z Z N - F _+/_ FBG NP NP##_ I . bYP I_` : Z PRg S G _T#0_ IM Z Pg 6E$,8 C G M F Z KJRg g_ F g K G K _T##_ IM F Y* IK#_ a

& 3R G K G Z g F 0_R N7M #_Kg_R G 6 J_ G _R )N Z Z _Ri I F _#o .#F bMN_ K g FBG JR : N F _ F>G g 6E$,8 a

" G M F ! HK g F>G K= F YbMNV_ k #_g_ G r 6 P_` D

& N I F a

t

Page 74: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" 7g_ F g bMNg G N F Z g FBG G Yg F KP?9 N_ W 0_RQ?R1_` W F _ IM 6 P_` iR* G _T#K#_ IM G ghP_ I hghN FBG N) #_Kg_R G 6 J_ F Mg Z G g G W N PRiK G Ni G / G P#_RSK F bM_` a

$ _K W Y F _ Z N4Rb N 8 `_#_= F #_RS j g s Z P_RSY G F W KR F ) F bM_ F Y G _g G Z mCK W Y F _ G P F M Z P_`_` t Z IK G KV_RT0 a

" E G F Z KR F G k* Z R J _`#_ I .#F bMN_` a :

" og_ F g bNPg G Z N . g FBG : F YbMNV_ F _ F>G g Q 6 J_ a`a`a F N_` F bN_ K a

@( 5 8 \ " K d 3) H g FBG I N g k_ J#_ IM F _ F>G g 6 P_ M #_R G . : N . M _ FBG : N Z

F Y4 J#_ G Z G g G F bN a

Page 75: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

8 H Z F g F G g E* #_g_ G iKJPVg F _b_ G F a

+ bKP_R G VN#_ \ N N #_ IM Z _#_` j _` bM I F \ " %$& s[a

" b YS,N 1 N #_ IM r Z _K_`E F NP 1SN #_ IM F F 0N P#_R F Rb F P_ G F j V_ Z G b I F ]g F LB s F #N #_ F g N

H9g I F G F N F _R W h . H,N` F K

G _ F : hR F g F LB F a F N QSN 0_ IM Z9INP`_ N4#N N_ Z Y F IK#_`g G Z NhK#NPR a- SNP #_ I Z _`P_`R Y G i#_R G F1Z

Z _ F a - F N Z F _`#_ I g I F #g N r F N .

F _ FBG hH N F a :- Z Z _RK F _ FBG #_ H N F N_R#_ N* F Z F _PR4 G _g Z ET#M PR4

M G ?N Z ? g F LB F M g_ F g Z _`P_`R a

t

Page 76: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" F g FBG #_M F 4PN##_ IM ghNH F%W F F F _ F N Z M NP Z Z _RK g I FSNY G N G _R )kg_ F g 4Mg Z G g_ G N N SN 0_ IM Y G _ a

" G FZ P F ) W YT F N Z Y N G g F N EbKV_ G g o G g_` I FBG _` Z9INP_` Z K#NPR F F N Z N #NK N_Y1 F _ IM #NK mbNP_R N_ F 9NP W KR ]NP . I#N : R I N W KRiY G V_R a - IN P_M _`#_ IM F N F _%KRbMN_ Z YbMN G G W TF g_ F g rg F LB G M F K I#NPR F[Z M I M g_ F g W K a

$ _ N F g F FBG F N Z F _`#_ IM ,#_`g F N F>G g FG PLB P

. g kr IK#NY G V_R a :

Page 77: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

- PVg _bM_ G I F _ 6E$,8 \

$ N Z M bKg F N F'W KR F N #_ IM Z _`P_`R j F #N F Z I G _# G _ NP Mg Z G g_ G KR G _ s FBGJIK _ FBG _PN I F G o_` G Y W ? P F g IMNr 8 _`#_ a

8 _`#_ N_Y PVg =N g F LB N W _ I )Y G V_RT a

" `R'`#N F N Z G #_mg M F N/ Z M G F G U F #_0 F N Pg F

Page 78: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

A N Pr)Y G V_RT #_ g F LB R PVg `R G g P_ I K0NR iN F 1*/ Z G Z NJ_` Z W _ J N

$ _ F _bMNP j g k s k G M F G _TZ N FBG F bNr N

8 _`#_ SN Z F M N W _ I g F LBj Z K N F N Z N FBG Kg G F Mg G # kQ/ Z M G N? F _ W F EEQ/ Z M G s[U

g F LBi rH F _K G j Z Ni P_RH I Z _E M G G Eg F LB M g_ F g s a

1

Page 79: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" F _ W FBG _Rb0_RM F F PVg F _RbM_ G KR F M Z G N F[Z M

.#F bNrM G G N F G / G #_ F bM_` :

F.#F bNrM G G N F g F LO F F bM_` FCZ K9N F _ X9/_ FBG #_ a :

p N_R #_ N, W F V_R Z N K G 8 _`#_PVg F*W IK_` F Z m#N F N_Y g

F LB F N F b a- ?M F _Yg F N K F _ JK3/_ G F F _ Z N#mN Pg WI`_ Z N g F LO N F _RSY G h G F R F a

Page 80: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

57"%( 6*"32 8Ea $ _3 Z Pg ' _ W Y F _ IM SNP #_ I j g k hs F _ I #_` j F #_0 _g bK _ W F Z N F Y #`#N G _Rg Z T#M P s G M F FBG PVg 6E$,8 F F YbMN j 7g R 7 I#N KR G _ sM G G N F g F LO F F bM_ F Z NP K F _ JK*/_ FBG #_ a

/1"32 (4$,576984A7+ ( @a p Ng F N bMNg G =NP##_ I N PN##_ IM m Z g _` W F _ IM g Z 6Q$,8 K Z g Z N0_R9N Pg K F _ J a

" G F Z KR F F N Z M bKg F N G g FN Z bg P_ K #N M G F # W Z9INP`_` 8 `_0_R a $ Z g_ G HKY K g I F N Z bMN G F F KP F1W F g I F G j F _ N_R s F h FPVg F FOZ M P_R G F Z 0N F N_Yg F LB F a

Page 81: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

"3FBG Z bKg KV_` F N K F _ JK/_ FBG #_m g F LB F F b_` F j _ bM F \ $ , & $& , s'F _ Z N#_ I

Kg G oN PVg WI`_ Z 9N QoR F g

F LB F Z NE0_RP_ I F g G i W ? Z _ K_` r Jg a

5 g F NCg F>G NP g I G k Z 1N F FBG Z Kbg 9C_` K Z F MN0_RM 7 Z g \ / K H`R G N j g k s a

Page 82: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

q Y F _ IM _` g K j Z rMg Z G s

q _ FBG N F N SN 0_ IM G KV_R, F g

F LB F G _R W #_ bNP a

- Ni S F _ J# G _ h_ F[Z M _P \N F 0N P#_R KR G _ M LONP G g G M F #K F[Z P_R G Fj F I F g s

& G I+/_ G 7S F _ J#r Z kPN#_ I T g k #_Y G W K G KV_R MM a

" G Yg *# F>G N FBG G 9 1 F g I F IK#_ N Ro Z N0_R I T g N W K KR G _ F _` G rR F #N #_ Z F a- ig FBG #_ IM F #_ F =N#Q R F _bMN _ G F W 0_ IM G _ W _RK \

Page 83: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

# $& *& *+ + $&% + $ t t $& $ "$ * $ # # * & & * $ #*+$ $ " *0 $ *

" G F*Z F F Z N _ #_=N F 0N P#_R KR G _

N F #N #_ KR G _

F _RbMNK g_=m F #N #_ Z F F r_T NP_R r F hR H a

"3FBG . g FBG #_ IM : `_K F g I F N R G N G MRb I M G _ ,N#_ IM \

$ *0 $ $& # " +$& + $ * $ %$& "& $ + , #$ * $ +* %%$ #+ #$ " , # #% $& " *, " & & * $ $ %

Page 84: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

$ _` g bk G g F N g P#_RM N F N

G _YT0 a

" 'Rhg FBG #_ IM m=N#0_ IM g K Z bKg )7S F _ J#3 F Y3V_ PW # FZ FBG F _ F bMN H PM G I TQ F a

! A N FF M R F M F #N #_ F Z I G _# F j F G _` GIYVg_ `R 6 b .#F bMN_`K g FBG PR _ G K HK#_ R Z IK

G _, : _` bM I F % $ * $ s[D

Page 85: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

$ N Z M bKg F No FBG g F N F K iN W 7 G rb N4M Jg F N9R F I Fg Z N F K#NPRK F g F Z K#_RM F a

$ N Z M bKg F N Z g F F[Z r G N F g F LB F F bM_ F N W F V_R Z NHKY*N g_` I j s Z YbMN G F K IK#N PVg F a- =N#0_ IM SKVg J_g Z `_` N Z g F FBG F YbMN FoF g G N K F _ JK= # F _

G I Z *rg F

Z Y#_M FVa

t

Page 86: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

& G RK W Y F _ IM _` Vg )_# N K F _ JK' F _ G I Cg_ F g G _Rg Z Z Y#_M F N 0N NP_RQ G Z F M N N_R Z kPN#_4N I TQg a

! p N I G _ T I j ds g FBG #_ IM iNP##_ I Dj s F G _` Mg IN D

& bMN G N_ W KR G \ ! F F Z Pg F M G _` NK#_ IM F M N_ W G F N K G D

" 6Q$k8 Z Pg \/ F H`hR I TQ g a

" 6Q$k8 d Z PRg \/ F 'NP M L[N G J P_ G Y G V_R F F Z g_ G F R##_M

1 R F Z K N r F 0N FF i F N I T=g UF N_Y Z N#_4 I TQg N i F g F a

Page 87: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

8 bMNg G r_ g K \6Q$k8 d F g I F I0_ N 6Q$,8 a

6 NP##_ I Vg \6Q$k8 Z N F Y F `N#_M M Z G _`#_RM F *N KRb_ G g Z 6Q$k8 d Z %E0NNP I g_ G o_` _ Z 9 G _g Z Z Z Pg 6E$,8 F 9_ W _`_ G Z G Y1N I g_ G _` _Z Z Pg 6E$,8id a

Page 88: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

8 RbMN F _ Z GIKb F H F M`RK g _ K#_RM F 4 FBG F _ F>G g E Pg F 6E$,8 Z

G 4N##_M F . Z G K F a :

"3F #_RY Z N g FBG N N KRb_ G g N Mg Z F N F _ FBG g Z I F N F Z F MN0_RM 6E$,8 Z KJRg F _ og_ F g G _Rg Z a

!q Z H#Y4 F D

!#"3F Z VN G g Z RKY N F _ FBG g F #_`Z CN F _ FBG g hg I F Mg Z _`K Z Z kYCN N0#_ IM Z G D

1

Page 89: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

2 _ Z _` _ IM \ 5 W YTQ

j d s A M N FBG N G N g I F Mg Z `_# H g I F'Z F _RJ_`_ F N K a & BLBg Z kF _ N_hN b Y= INg F KR G _ F bMN_ Z k I Mg Z g G Y* FBG b K aj s " r=_ Z G Kb I G kQPghN PE FBGJI _g Z I #_ G Kg G F N Z M _R N1 6E$,8 Z Pg * F g I F I#_` N Z PRg o S G _T#0_ IM a$ _` ghbK F Yb IN )M H q l G F K FZ Z PR N /_ FBG N N0#_ IM Z KJRg )7 G _T#K#_ IM E 6E$,8 Z KJRg a "3F#_0 F N Z N FBG N_ W #_ F>G F FZ KJRg F F F K .#F G _ Mg IN : / Z _ P#_R F F[Z 0_RK_ FBG FVa

"3F N Z k4M G K_ G _9 Yb F N F .0F G _`Mg IN : # F r 6Q$k8 WkF 6E$,8id a

" R F #N #_ F N Z N FBG NP_ W KR #_

G _T#0_RM 6E$,8 6E$,8 t Z V_g FCF bMNKg G i Z N G m IP_` a

Page 90: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" G F Z F \

8 bMNg G F SKVg F M N##_M F Z G FCF M F F PN F a

& r W # F #_ Z G b I Ng FoF N Z N F N_ W G 4 H F>G F _J Z g F M FBG N_ N N#0_ IM Z G K

a

Page 91: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

6 F Ng \

+a3< . g FBG K#_ IM F YbMNV_ : FBG PR F YbMNV_K F _ FBG g F Mg G M G ?#_Y G G _ Z ? G N F! F Mg G M E F N Z F _`#_ IM N #_R G Z KJRg g G g I G _` F _ I #_` a

" R _ F 0N F _ IM F KP' F _ F>G g 6 J_

G g F N=R g_ F g Z Z _R N Z YVg_ G = g FBG 'R F YbMNV_K #_R G F G _ Z k I KN F R W NP P_`_` G G KE G G _ Z G N F a

"3FBG Kg FoG Z Y #N Z F9Z 1 g >LOKg_ G RhNh R Z NY G Eh` NE F F # Z R G 0_ IM N R Z N G G I F FBGJIMg Z G g G J_R G a

Page 92: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

+ +a < . g FBG 0_ IM F YbMNV_K : NP V_ Z G F _ FBG g = F _g Z C F>GXI1C0NYVQM F G _` #g INP a

& oK G ENP##_ I Z G G KRbMN F V_ Z GI b F #_ HT# N F _ F>G g F #_` Z F N F _ F>G g g I F Mg Z _`K % 0NZ N F 4N g KR _ a

Page 93: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

+ + +aP" g Z .#F bMN_` g FBG P :Z Y _ I N Z _P_`_`K #NK $ HMN Z M G IoNP ` Q . g FBG K#_ IM : %)`

6 b Z F N (784"3& a

" _ Z G Kb I /_ FBG N G K_0_ IM g

G P G G Z NP`_` GI 0NR F # g Z F _P Z _`T a

/_ FBG G P_#_ IM 'bMN iYo#N_` F g G i F)G LO F i G F _` W F>G _bKK F a

/ N G .- F F[Z N I F F N Z NP`_`#_ IM M P_R/ Kg_ I9#N_`K F Kg G C, GI #N1 6 Kb0 KC Z F N I FBG SN N G LB_`g Z K G K G M b _ XN P#_R g N rMg #_ a

Page 94: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" M G FBG F g G g I G _` F

d / Kg G LB _ F & V_g F _ F _` & 8 b0 G K

j " Z Pg .0& V_g K_`K :1Z G &Rs

+ q a - g MK I R F . g F>G K#_ F F bMN_`K : F M F __g Z F _PR1=YY YP_`hiLBb,J g K_ F g / F _ W k R F K F a

1

Page 95: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

q a " oN F Z _bMg . G Yg ^ g FBG #_ IM : #N F g G _` F M N F _ IM a

& PR FCZ P F

. Pg K#_ IM :

. bMNg G :j g I FCZ #_ F g G \

. Pg K#_ IM F F bMN_`KN#0_RM _ FBG :

. bMNg G riN##_ IM Z M PVg #_ IM : s a

1 t

Page 96: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

- Z . g FBG #_ IM : G _R ' F M G #_M F \j d s*d Y G _`Ngh Uj s N F 0N P#_R _` G _` bMNg G FghN GI# _` F N P_R SNmN I #N F

G H F[Z 0_RK_ FBG F H I Z _` G PYr#N FBG _M a

< . g FBG 0_ IM hN G Yg : F b _`

G _g_` G a

< . bMNg G Z M N Pg K#_ I :G _R NP F M _`4g I F H,Ng_` F NbM_RbK N#NK N_Y Z Y F M =_` G _b G Z I 9 G G W YT Z Y4 N a

1

Page 97: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

" V_ Z G b I F M G #_M F FoGIY g_` F LONb NP Z Z 3ghNPH g I F _`g Z G G Ni G F Kg Z F i F g G g I G _` F a

" IKRb N F g F GIYVg_ . K _` : F _` Z Y #N Z F7Z R Z F _P_`_`'=g KR G _ FCZ 4

g G g I G _` F a

"3F Z k Z PR N N LB W Z F I NZ NhN F 4Mg b Z F N W _ a

" M G FBG 1 Z9INP`_` IK#_`g G Z N _`

G Y Z G F%Z KR F9. g FBG K#_ IM m F bMN_ K : 4N Qg K Y1ghN / bY #g ERH_`#_Y F Mg Z - I F?q _ F 2 FBG A V M F[Z G K ( 84"3& a

1

Page 98: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

A M #`N F _ IM \

" F "3F>G F< _ FG g F N G _`#_ IM b / bK* # Z K#_ h G # MRb I Z b G _T#4 F bMN_` a

/ N G FhZ V_g F I# F R I Z k# N#Y \

M FBG VN##_ IM SNbM_ F M G ``N W _K_RK G _ W

2 I F 0_R G g G \Z M I G _ F)G M G F bK FBG K t IMR FZ # F>G NP_R9N . F 0N G _

g_ F _ :

5 G Q R1V_ ZG b I *Mg 1 W _`9 b P F g F bK - M N F F #_ IM

_`N F _ F bMN_`K a

11

Page 99: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

!#"3FoZ F _RJR g FBG 1 F bMN_` hNP #_ Z

G F FBG g D

2 _ F[Z N FBG \7@ a

- = IN F N 9N r#_ Z G F _ F>G g F YbMNi F g I F G N #_ 0_R a

@ N Z kg F FBG d F YbMN F N'RHg F RbK a

"3F Z k Z PR N ` Pg F FBG F G b_ a

1

Page 100: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 101: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Galois Representations and Diophantine Problems

Gerhard FreyIEM

University of Duisburg-Essen

Lecturefor a very special occasion and a very special colleague

at theNumber Theory Seminar

Barcelona, February 1, 2006

PreludeAbout 20 years ago I had the great pleasure to be a visitor at CRM in Bellaterra!I made the observation: The group S3 is equal to Gl(2, Z/2).So we can get it as image of the Galois group GQ acting on points of order 2 ofan (in fact many) elliptic curve E, and we feel at home.S4 is an extension of S3 by Z/2×Z/2, and so we solve an embedding problem ifwe realize S4 as Galois group over Q.Geometry gives us the group H1(GQ, E[2]), and hence we can solve these embed-ding problems by using 2−coverings of the chosen elliptic curve which are easyto be handled, especially if we restrict ramification and use Selmer groups.I discussed this with Pilar Bayer, and we decided to use Geometry to computeWitt invariants of trace forms; and we did it in a very rapid way!Why where we interested?Because T. Crespo had made explicit Serre’s criterion for the solvability of theembedding problem

1 → Z/2Z → S4 → S4 → 1

(and for other 2-covers of alternating and symmetric groups).In fact, as result we got a machinery to produce (thanks to the theory providedby Langlands and Tunnell and the computational help of J. Quer and J.C. Lario)cusp forms of weight 1 and given level quite easily, and ready was a paper, and Iwas well integrated in the team...Surprisingly our machine is used rather constantly till today.

Page 102: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

0.1 ...there is more behind...

In fact, at that time we knew already that Galois representations on torsion pointsmay be important for diophantine questions.I had the pleasure to give a series on lectures in the number theory seminar onRibet’ theorem proving Serre’s conjecture conditionally, and this reduced FLTto the problem to show that every semi stable elliptic curve is modular.What we did not know is that Wiles looked at S4 as group isomorphic to Gl(2, F3)and got, as first tiny step, that the Galois representation attached to points oforder 3 of elliptic curves is modular, and then dared to go on!

In the following I shall try to sketch the big frame of Galois representations whichproved to be immensely fruitful for arithmetic geometry, discuss some results andconjectures which came up during the history of the Seminar teoria de nombres.Nearly all of the were discussed in the seminar, and many contributions wereachieved by members of the seminar.This leads me to

0.2 Acknowledgments

Thanks to the whole TEAMof

teoria de nombres!

and, of course, special thanks to Pilar Bayer!

Page 103: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

PART I Galois Representations

1 The Deepest Mystery

All we want to understand isN,

the ordered set of natural numbers with semi-group structures induced by addi-tion and multiplication.

We believe that we would get “all” information if we would know

GQ

the group of automorphisms of the algebraic numbers Q. This is a huge groupbut it is compact with respect to the profinite topology.Two questions arise in a natural way:

1. Which are the finite(ely generated) factors of GQ and what can we sayabout the corresponding fields, the number fields? For example is the

Conjecture 1.1 (Inverse Galois Problem)Every finite group is a quotient of GQ

true?

2. What can be said about finitely generated subgroups and their fixed fields,the large fields?Here “special subgroups” like subgroups of order 2 generated by complexconjugations are interesting but in many cases one gets results for “almostall” subgroups with given number of generators.

2 Galois Representations

Let GK be the absolute Galois group of a global (in most cases number) field Kwith separable closure Ks.Let R be a ring with a topology (often discrete).A Galois representation is a continuous homomorphism

ρ : GK → Gl(k,R).

ρ is (un-)ramified at p if p is (un-)ramified in Kρ := Ksker(ρ)/K.

The conductor N ′ρ of ρ measures the ramification of ρ.

Examples for R are

Page 104: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

• C with discrete topology,

• Z/n or Fq,

• Zl with l-adic topology.

Since GK is compact the image of ρ is finite if the topology of R is discrete.

2.1 Semisimple representations

Let ρ be as above.Let σ be an element of GK .By

χρ(σ)(T )

we denote the characteristic polynomial of ρ(σ).Example:For k = 2

χρ(σ)(T ) = T 2 − Tr(ρ(σ))T + det(ρ(σ)).

Definition 2.1 ρ is semisimple if it is the direct sum of simple representations.In particular, ρ is determined (up to equivalence)by (σ, χρ(σ)(T )); σ ∈ GK.

For example Galois representations over C are always semisimple.

2.2 Cebotarev‘s Density Theorem

Assume that a place v ∈ ΣK is unramified in Kρ, i.e. v does not divide N ′ρ.

Take an extension v of v to Ks and let πv be a Frobenius automorphism withrespect to v.Then

χρ(πv)(T )

is well-defined and independent of the choice of v.

Page 105: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Theorem 2.2 (Ceboratev)Assume that ρ is ramified only in finitely many places and semisimple.Then ρ is determined by

(v, χρ(πv)(T )); v ∈ ΣK and not dividing N ′ρ.

In fact there is an effectively computable bound M = M(K, N ′ρ) such that ρ is

determined by

(v, χρ(πv)(T )); v ∈ ΣK with norm(v) ≤ M.

3 Sources for Representations

3.1 Representations attached to Group Schemes

Let G be a geometrically connected commutative group scheme defined over K.Let G[n] denote the kernel of the scalar multiplication by n.The operation of GK on G[n] induces a Galois representation ρG,n over Z/n.Taking n = `k (` a prime) and passing to the projective limit the action of GK

induces the `-adic representation ρG,l which is a lift of ρG,l.

3.2 Good Reduction and Semisimpleness

We give two examples of relations between arithmetic and Galois representations.The proof of the first one is relatively easy.

Theorem 3.1 (Criterion of Neron-Ogg-Shafarevich)Let K be a field with discrete valuation v which does not divide the prime `.Let A be an abelian variety over K.Then A has good reduction modulo v iff ρA,` is unramified at v.

The next result is much deeper. In fact, it is the key ingredient for Faltings’ proofof Mordell’s Conjecture.

Theorem 3.2 (Faltings, Tate, Zarhin, Mori ...)Let K be a field of finite type, A an abelian variety over K and ` prime tochar(K).Then ρA,l is semisimple.

Page 106: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

3.3 The Conjecture of Fontaine-Mazur

In the previous subsections we produced `-adic representations ρ by Tate modulesof group schemes.This can be interpreted as using the first etale cohomology group. So more gene-rally we can use de Rham, `-adic or p−adic cohomology groups of schemes overK to get Galois representations.

Definition 3.3 Let K be a global field.An `-adic representation of GK is geometric if it is unramified outside of a finiteset of places of K and if its restriction to decomposition groups is potentiallysemi-stable.

Conjecture 3.1 (Fontaine-Mazur)Let ρ be an irreducible `-adic geometric Galois representation.Then the representation space of ρ is isomorphic to a subquotient of an etalecohomology group of an algebraic variety over K (with coefficients in a Tate twistQ`(r)).

Consequence for number fields:Assume that the Fontaine-Mazur conjecture is true.Let K be a number field, and let L/K be an unramified Galois extension withG(L/K) a `-adic Lie group. Then L/K is finite.This is wrong for curves over function fields K of characteristic p > 0.

Theorem 3.4 (F.-Kani)There exist function fields K over finite fields and non-isotrivial curves C/K(explicitly given for every genus > 2 if p ≡ 3 mod 4) with regular unramifiedGalois pro-covers in which at least one point is totally split with Galois groupPSL3(Zp).

Though the theorem “contradicts” the consequences of the Fontaine-Mazur con-jecture it follows its spirit. The representation is given by the Galois action onthe Tate-module of a carefully constructed Jacobian variety of a cyclic cover Cof the projective line such that JC has potentially good reduction at all placesand at one place the fibre has complex multiplication of a special type.

Page 107: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

4 Two-dimensional Representations

4.1 Two-dimensional Modular Representations

Modular representations are representations induced by Cohomology groups ofthe Jacobians J1(n) of modular curves X1(n) which are explicitly given curveswhose points have a modular interpretation.A very special property is that the ring of endomorphisms on J1(n) contains alarge commutative subring, the Hecke algebra Tn generating an order of atotally real field.The Hecke algebra acts in a canonical way on geometric and arithmetic objectsrelated to X1(n) and, since Tn is defined over Z, it commutes with Galois actions.In particular, Tn acts on the space of cusp forms (closely related to holomorphicdifferentials on X1(n)) of weight k and splits it up in spaces generated by eigen-forms. The Galois action corresponding to the cover

X1(n) → X0(n)

yields a further splitting of the eigenspaces of cusp forms with respect to Γ0(n)with nebentype ε where ε is a Dirichlet character modulo n.

The Eichler-Shimura relation connects Frobenius automorphisms acting onX1(n)× Zp with the p-th Hecke operator Tp.

Theorem 4.1 (Deligne)For k ≥ 2 and an eigenform f of level n, weight k and nebentype ε there existsa two-dimensional Q`[GQ]-representation ρλ which is not ramified outside of n`with Tr(ρλ(πp)) = ap (ap the eigenvalue of Tp) and det(ρλ(πp)) = ε(p)pk−1.

As special case of the Fontaine- Mazur conjecture one gets:Geometric `-adic odd irreducible two-dimensional representations are attached tomodular forms!

4.1.1 mod − `-version: Serre’s conjecture1

Conjecture 4.1 Let ρ be an odd irreducible Galois representation of GQ intoGl(2, k) with k a finite field of characteristic p.

1added in proof: This is no longer a conjecture but a theorem of Khare-Wintenberger andKisin. We shall use this in the sequel.

Page 108: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

• ρ is attached to a modular form.

• The local behavior of ρ at p determines the minimal weight, the minimallevel and the nebentype of an attached cusp form.

• If the group scheme attached to ρ is finite at p then the minimal weight is2, the level is the prime-to-p-part of Nρ and the nebentype is trivial.

4.2 The non-geometric case: k = 1

The Theorem of Deligne stated above is true for k = 1 if we use C as groundfield.

Theorem 4.2 (Deligne-Serre)For an eigenform f of level n, weight 1 and nebentype ε there exists an odd irredu-cible two-dimensional C-representation ρf with Artin conductor n with Tr(ρf (πp)) =ap (ap the eigenvalue of Tp) and det(ρf (πp)) = ε(p).

In combination with a result of Langlands-Weil we get

Corollary 4.3 Artin’s conjecture is true for odd two-dimensional representationsiff every such representation is modular.

Remark 4.4 As indicated in the header of the subsection we do not have a ageometric interpretation of modular forms of weight 1 via an Eichler-Shimura iso-morphism. Nevertheless one uses geometry to construct mod −`-representations(multiply by Eisenstein series to raise the weight), then lifts these representationsto `-adic representations, and finally uses analytic number theory (Rankin) toshow that these representations are coming from complex representations.

This opens a wide area for numerical experiments.On the one hand try to compute the number of eigenforms of weight one togiven level, and on the other side compute the number of odd two-dimensionalrepresentations with given Artin conductor.Both numbers have to be the same, and in fact they are in all tested cases.The possible images of such representations modulo the center are very restricted(dihedral, A4, S4, A5), and so it is interesting to interpret them geometrically (cf.Prelude).

Page 109: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

PART II

5 Finiteness Results

5.1 Isogeny Theorems

We have mentioned already that Faltings, Tate et al. have proved that the `-adicrepresentations attached to abelian varieties over fields of finite type are semi-simple.Consequence:The L-series of abelian varieties determine the isogeny classes.In fact, everything is effective, and so two abelian varieties over fields K of finitetype are isogenous if “enough” (e.g. infinitely many) Galois representations on`-torsion points are equivalent.Here “enough” depends on the arithmetic of the abelian variety, e.g. their con-ductor, and on the field K. Does this result remain true if we replace equivalencebetween representations by equality of the kernels of the representations?

5.1.1 Horizontal Isogeny Theorem for Elliptic Curves

Using crucially results of Serre and investing some work in the CM case we (F.-Jarden) prove

Theorem 5.1 Assume that K is a finitely generated field which is not finite, andlet E and E ′ be elliptic curves over K.Assume that there exists an infinite set Λ of primes and a constant c such thatfor ` ∈ Λ

[K(E[`], E ′[`]) : K(E[`]) ∩K(E ′[`])] ≤ c.

Then E is isogenous to a twist of E ′.

It is remarkable that this result is not true if K is a finite field. In this case Λhas to be a set of Dirichlet density > 3/4.

5.2 Shared Torsion Structures

As in the last section the statements and conjectures make sense for arbitraryfields of finite type. Here we restrict ourselves to the case that the ground field isQ.Let A1 and A2 be two abelian varieties defined over Q with conductor N1 and N2.

Page 110: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Assume that we find Galois invariant finite subgroups Ci ⊂ Ai with C1 Galoisisomorphic to C2. How large (depending on dimAi, Ni) has the order of C1 to bein order to force A1 and A2 to have isogenous abelian subvarieties?The best results known in this direction are due to Faltings and Masser-Wustholz.Typically the bounds involve the heights of Ai. It is conjectured that the heightsdepend polynomially on the degree of the conductors.We restrict ourselves to the case that A1 is an elliptic curve.

Conjecture 5.1 (Degree Conjecture) There is a polynomial function m(t) suchthat for all elliptic curves E and all abelian varieties A of dimension g over Qwe get:Assume that the degree of the conductor of E × A is bounded by M , that m ≥m(2M) and that a Galois invariant subgroup C of order m of E(Q) can be em-bedded (as GQ- module) into A(Q).Then A contains a subvariety isogenous to E.

For pairs of elliptic curves much sharper conjectures should be true.

Conjecture 5.2 (Representation Conjecture) For fixed elliptic curve E0 thereis a number m0 such that for all m > m0 and for all elliptic curves E withρE0,m = ρE,m it follows that E0 is isogenous to E.

Kani and Darmon conjecture that fixing E0 is not necessary and that it is (maybeup to finitely many exceptions (Kani)) sufficient to have m ≥ 23.These conjectures are motivated by standard conjectures like Lang’s conjecturefor surfaces of general type applied to moduli spaces of pairs of elliptic curveshaving common torsion structures.

5.3 The Asymptotic Fermat Conjecture

We formulate Serre’s conjecture in the geometric context.

Assume that ρ is an irreducible and odd two-dimensional representation of GQ toGl(2, F`) such that the group scheme Aρ is finite at `. Then Aρ can be embeddedinto J0(N

′ρ) where N ′

ρ is the prime-to-`-part of the Artin conductor of ρ.

We apply this to representations attached to elliptic curves.Consequence 1: Let A, B ∈ Z be relatively prime. Then the elliptic curve

EA,B : Y 2 = X(X − A)(X −B)

is semi stable outside of 2 and EA,B[`] is finite as group scheme at all odd primesp with vp(AB(A−B)) ≡ 0 mod `.

Page 111: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

So EA,B[`] can be embedded into J0(NA,B) with

NA,B = 2δΠvp(AB(A−B)) 6≡0 mod ` p

with δ ≤ 4.

Remark 5.2 Of course, this result proves FLT!

Consequence 2: Let `i, i ∈ N, be an infinite sequence of different prime num-bers, and for each i let ρi be an odd irreducible representation of GQ to Gl(2, F`i

)finite at `i.If the Serre conductors Nρi

are bounded then there is an elliptic curve E0 definedover Q such that for infinitely many i we get:

ρi = ρE0,`i.

Corollary 5.3 Assume that there is a number N0 such that for infinitely manyprime numbers `i ≥ 7 there is an elliptic curve Ei defined over Q such thatQ(Ei[`i]) is unramified outside of `iN0 and such that Ei[`i] is finite at `i. Thenthere is an elliptic curve E0 with E0[`i] = Ei[`i] for infinitely many i, and theconductor of E0 is ≤ N0.

These two consequences give an equivalence between the Asymptotic FermatConjecture and Representation Conjecture 5.2 for elliptic curves.

Theorem 5.4 Fix a, b, c ∈ Z relatively prime. Assume that for infinitely manyprimes ` ≥ 5 and x, y, z ∈ Z, relatively prime, one has

ax` + by` = cz`.

Then there is an elliptic curve E0 defined over Q of conductor N0 = 2δ · Πl|abclsuch that for infinitely many `

E0[2`] = Eax`,by` [2`] as GQ −module.

Hence the Asymptotic Fermat Conjecture true over Q if and only if theRepresentation Conjecture 5.2 for even mi is true.

5.4 The ABC-Conjecture and the Degree-Conjecture

Recall the ABC-Conjecture over Q stated in a weak form:There are constants c and d such that for all relatively prime integers A and Bwe have

| A |≤ c(∏

p|AB(A−B)

p)d.

Page 112: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Letϕ : X0(NE) → E

be a minimal modular parametrization of the elliptic curve E.

Fact:log(deg(ϕ)) ≤ 2h(E) + O(log(NE))

≤ log(deg(ϕ)) + O(log NE) + O(1)

where h(E) is the Faltings height of E. For semi stable E the conductor NE issquare free and hence J0(NE) has no multiple factors. Since deg(ϕ)2 is the orderof the intersection of E with the kernel of ϕ∗ the Conjecture 5.1 predicts that itis bounded by a polynomial in NE.We apply this to the curve

E : Y 2 = X(X − A)(X −B)

and get

Theorem 5.5 The ABC-conjecture over Q is equivalent with the degree conjec-ture 5.1 for semi stable elliptic curves with rational points of order 2 over Qapplied to their modular parametrization.

Page 113: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

PART III

6 Large Fields

6.1 Notation and Definitions

Let e be a non-negative integer.Since GQ is compact the cartesian product Ge

Q has a unique normalized Haarmeasure.In the following σ = (σ1, . . . , σe) is an element in Ge

Q,

Q(σ) is the fixed field in Q of σ1, . . . , σe. We say that a property E holds foralmost all σ iff it is true outside of a set of measure 0 in Ge

Q. It turns out thatthis gives a lot of information about the behavior of E over number fields.e ≥ 1 is a cut number if a (arithmetic-geometric) property is true for almost allσ ∈ Ge−1

Q but not in GeQ.

A first example for “almost all”:(Fried-Jarden)For all e ≥ 1 and for almost for almost all σ the Galois group of Q/Q(σ) isprofinite free and Q(σ) is hilbertian.

6.2 Large fields are large

Example 6.1 For all e and almost all σ and all irreducible varieties V definedover Q(σ) we have

V (Q(σ)) 6= ∅.

So Q(σ) is a PAC field.

In a similar direction points the next example:

Example 6.2 (F.-Jarden) For all e, for almost all σ and for all abelian varietiesover Q(σ) the rank of A(Q(σ)) is infinite.

Reason: For varieties V there are infinitely many linear disjoint extensions of Kof fixed degree over which V has “new” rational points.

Page 114: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

6.3 Torsion points in large fields

The argument given in the last section for points on varieties does not hold fortorsion points of a fixed group scheme. First take the multiplicative group Gm.A by now classical result of Jarden is:For almost all σ ∈ GQ the field Q(σ) contains infinitely many roots of unity.For e ≥ 2 the field Q(σ) contains only finitely many roots of unity.So 1 and 2 are “cut numbers”.Much deeper is the following result of Geyer-Jarden:Let E be an elliptic curve defined over Q.Then

1. If e = 1 then there are infinitely many prime numbers ` with E(Q(σ))[`] 6=0.

2. If e ≥ 2 then there are only finitely many prime numbers ` with E(Q(σ))[`] 6=0.

3. For all e ≥ 1 and all ` the fixed elements in the Tate module, T`(E)GQ(σ) , isequal to 0.

The proof of these results uses our knowledge about the Galois representationson torsion points of elliptic curves.A key ingredient is Serre‘s open image theorem on the Galois action on theproducts of the `-torsion points (It is tricky in the case of complex multiplication.)

With these remarks one can hope to generalize the results.Without problems one can replace “Q” by “number field” resp. “field of finitetype”.What about abelian varieties of higher dimension?A conjecture of Geyer and Jarden stated already 1978 claims that analogousresults should hold.The difficulty comes from the fact that Serre has not proved strong enough resultsfor the images of the representations in all cases!What is known?The result on Tate modules is true for all abelian varieties over finitely generatedfields (Jacobson-Jarden).The second part of the result above is true for all abelian varieties over finitelygenerated fields in characteristic 0 (Jacobson-Jarden).The first part is true for abelian varieties A if either End(A)= Z, dim(A)= 2, 6or odd, or A has real multiplication and not potentially good reduction. (In thesecases Serre’s results about the Galois representations attached the A are strongenough.) In the number field case there is a new result (2004) of Geyer and Jardenwhich use the rudiments known about Galois representations in an ingenious way.They prove

Page 115: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Theorem 6.3 Let K be a number field and A an abelian variety defined over K.Then K has a finite Galois extension L such that for almost all σ ∈ GL there areinfinitely many primes ` withA(Q(σ))[`] 6= 0.

6.4 Elliptic curves with CM

Some questions :Are there cut numbers larger than 2?What about torsion and isogenies of elliptic curves over large fields?

Using the results about roots of unity one gets immediately restrictions for ellipticcurves having all points of order n in a field Q(σ).But the modular curves X1(n) and X0(n) have for all e and almost all σ infinitelymany points in Q(σ) (PAC-property).We know (Merel) that over number fields the torsion of elliptic curves is uniformlybounded, and we believe that the same is true for isogenies, as long as we avoidelliptic curves with complex multiplication.Can we hope for such a result over Q(σ)? Answer:

Theorem 6.4 (F.-Jarden 06)We identify twists of elliptic curves and claims hold for almost all σ.

1. If e ≤ 2 then there are infinitely many non-isomorphic elliptic curves Ewith CM over Q(σ) and all endomorphisms defined over Q(σ).

2. If e ≥ 3 then there are only finitely many such curves.

3. If e ≤ 3 there are infinitely many elliptic curves defined over Q(σ) with CMover C.

4. For e ≥ 4 there are only finitely many elliptic curves E over Q(σ) with CM.

So 3 and 4 are cut numbers.

Page 116: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

The proof of the theorem uses (of course) the knowledge about the degree ofj-invariants of CM-curves and the relation to the class number h(d) of imaginaryquadratic fields Q(

√−d) which is “about”

√d.

But this is not precise enough. We need

Theorem 6.5 (partly courtesy of R. Murty)∑p≡3 mod 4

h(p)−2 = ∞.

Page 117: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 118: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

A000079

Anna Rio

Departament de Matematica Aplicada IIUniversitat Politecnica de Catalunya

STNB 2006

Anna Rio A000079

Keywords: core, easy, nice

Anna Rio A000079

111 139

Page 119: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Anna Rio A000079

An octahedral-elliptic type equality in Br2(k)

On curves of genus 2 with Jacobian of GL2−type

Dyadic exercises for octahedral extensions

Octahedral Galois representations arising from Q−curvesof degree 2

Determining the 2−Sylow subgroup of an elliptic curveover a finite field

Anna Rio A000079

112 139

Page 120: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Anna Rio A000079

Aritmetica d’algebres de quaternionsCorbes de Shimura, STNB 2001

Una K−algebra de quaternions es una K−algebra centrali simple, de dimensio 4 sobre K

Una K−algebra de quaternions o be es isomorfa a M2(K )o be es una K−algebra de divisio

Sobre R les uniques algebres de quaternions son M2(R) iH = (−1,−1)R

Anna Rio A000079

113 139

Page 121: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

H es una R−algebra de dimensio 4 amb base 1, i , j , k

Producte

1 es l’element identitat

i , j , k son arrelsquadrades de −1

ij = k , ji = −ki totes les identitatsobtingudes d’aquestesper permutacionscıcliques de (i , j , k)

Anna Rio A000079

Complexos C

z =< a, b >

Producte< a1a2−b1b2, a1b2+a2b1 >

Norma|z| =

√a2 + b2

Geometria

|z| = 1⇓

Rotacio 2D(a −bb a

)

Quaternions H

H = R ⊕ H+

q =< α, v >=< q0, [q1, q2, q3] >

Producte< αβ − v .u, αu + βv + (v × u) >

Norma|q| =

√q2

0 + q21 + q2

2 + q23

Geometria

|q| = 1⇓

Rotacio 3D

Anna Rio A000079

114 139

Page 122: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Rotacio d’angle θ al voltant de l’eix de direccio unitaria a

Anna Rio A000079

Sir William Rowan Hamilton

Fascinat per la relacio entre C i la geometria plana, intentavatrobar una algebra mes gran que jugues el mateix paper a lageometria de l’espai

Cercava una algebra de divisio normada de dimensio 3. Perotal cosa no existeix. En realitat necessitava una algebra dedimensio 4

La va trobar el 16 d’octubre de 1843

Anna Rio A000079

115 139

Page 123: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

L’endema, Hamilton va escriure al seu col.lega John T. Graves.El 26 de desembre aquest li va escriure parlant-li d’una novaalgebra de dimensio 8, i demostrant que era una algebra dedivisio normada.Els nombres octavians

Hamilton es va oferir a fer-ne difusio, pero ho va anar deixant imentrestant, el marc de 1845, Arthur Cayley, que buscavarelacions entre quaternions i funcions hiperel.lıptiques, vapublicar l’article “On Jacobi’s Elliptic Functions (...) and onQuaternions”, on de passada descrivia la mateixa algebra.Els nombres de Cayley

Anna Rio A000079

Anna Rio A000079

116 139

Page 124: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Els octonions O

Algebra de divisio normada de dimensio 8

R ⊆ C ⊆ H ⊆ O

Teorema Son les uniques algebres de divisio normades

Adolf HurwitzUber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln,

Nachr. Ges. Wiss. Gottingen (1898) 309-316.

Anna Rio A000079

Algebra es un K−espai vectorial equipat amb una formabilineal m : A × A → A, anomenada multiplicacio, iun element 1 ∈ A diferent de zero, anomenatunitat, tals que m(1, a) = m(a, 1) = a

No suposem les algebres associatives

Algebra de divisio: si ab = 0, aleshores a = 0 o b = 0

Si l’algebra es associativa equival a l’existenciad’inversos multiplicatius

Algebra de divisio normada es una R−algebra amb estructurad’espai vectorial normat tal que ||ab|| = ||a||||b||Implica que l’algebra es de divisio i que ||1|| = 1

R, C, H

(x21 + x2

2 + · · · + x2n )(y2

1 + y22 + · · · + y2

n ) = z21 + z2

2 + · · · + z2n

n = 1, 2 (Diofant), 4 (Fermat-Lagrange)

Teorema dels vuit quadrats (C.F. Degen, 1818)

Anna Rio A000079

117 139

Page 125: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Algebra alternativa: qualsevol subalgebra generada per doselements es associativa

(Artin) A alternativa si, i nomes si, per a tot a, b ∈ A

(aa)b = a(ab) (ab)a = a(ba) (ba)a = b(aa)

Associador: A × A × A → A

[a, b, c] = (ab)c − a(bc)

es un forma trilineal. Es alternada si, i nomes si, l’algebraes alternativa

Teorema R ⊆ C ⊆ H ⊆ O son les uniques algebres dedivisio alternatives

Max ZornTheorie der alternativen Ringe

Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 8 (1930), 123– 147

Anna Rio A000079

Els octonions O

Base: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7

Taula del producte

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

e1 −1 e4 e7 −e2 e6 −e5 −e3

e2 −e4 −1 e5 e1 −e3 e7 −e6

e3 −e7 −e5 −1 e6 e2 −e4 e1

e4 e2 −e1 −e6 −1 e7 e3 −e5

e5 −e6 e3 −e2 −e7 −1 e1 e4

e6 e5 −e7 e4 −e3 −e1 −1 e2

e7 e3 e6 −e1 e5 −e4 −e2 −1

Anna Rio A000079

118 139

Page 126: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

e1, e2, . . . e7 son arrels quadrades de −1

anticommutativitat: eiej = −ejei si i = j

index cycling (mod 7): eiej = ek ⇒ ei+1ej+1 = ek+1

index doubling (mod 7): eiej = ek ⇒ e2i e2j = e2k

A partir d’un producte no trivial, com ara e1e2 = e4, aquestespropietats son suficients per recuperar tota la taula del producte

Anna Rio A000079

El pla de Fano

7 punts i 7 rectes. Cada parell de punts en una unica recta.Cada recta te 3 punts ordenats cıclicament

eiej = ek ejei = −ek

Anna Rio A000079

119 139

Page 127: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

El pla de Fano es el pla projectiu sobre F2

Les rectes per l’origen a l’espai F32 s’identifiquen amb els set

elements diferents de zero de F32

Els plans per l’origen donen subalgebres de O isomorfesals quaternions (alternativitat)

Les rectes per l’origen donen subalgebres de O isomorfesals complexos

L’origen dona una subalgebra isomorfa als reals

Anna Rio A000079

Els octonions com a matrius

O =

(α uv β

)| α, β ∈ R, u, v ∈ R3

Suma component a component

Producte(α1 v1

u1 β1

) (α2 v2

u2 β2

)=

(α1α2 + v1.u2 α1v2 + β2v1 − (u1 × u2)

α2u1 + β1u2 + (v1 × v2) β1β2 + u1.v2

)

Els octonions com a parells de quaternions

Anna Rio A000079

120 139

Page 128: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Els octonions com a algebra de grup twistada

Podem usar qualsevol funcio α : G × G → ±1 per twistar elproducte a l’algebra de grup R[G]:

g h = α(g, h)gh

α es 2−cocicle ⇔ associativaα es 2−cocicle estable ⇔ commutativa

C = R[F2] twistada amb un 2−cocicle estable

H = R[F22] twistada amb un 2−cocicle

O = R[F32] twistada per una funcio que no es 2−cocicle

O es una algebra no associativa

Anna Rio A000079

1, 2, 4, 8 . . . What comes next?

A000079

Anna Rio A000079

121 139

Page 129: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

La construccio de Cayley-Dickson

Successio infinita d’algebres, cadascuna dobla la dimensio del’anterior i les quatre primeres son R, C, H, O

Si A es una algebra on hi ha definida una conjugacio a → a∗,aleshores definim una algebra A′

elements: parells d’elements de A

suma: component a component

producte: (a, b)(c, d) = (ac − db∗, a∗d + cb)

conjugacio: (a, b)∗ = (a∗,−b)

Equivalentment: A′ = a + bi | a, b ∈ A amb i2 = −1

a(ib) = i(a∗b) (ai)b = (ab∗)i (ia)(bi−1) = (ab)∗ i∗ = −i

Anna Rio A000079

Algebres normades

Una ∗−algebra es una algebra A amb una conjugacio:∗ : A → A R−lineal tal que a∗∗ = a i (ab)∗ = b∗a∗

Una algebra commutativa es pot considerar com a ∗−algebraprenent ∗ =identitat. Direm que l’algebra es real

Una ∗−algebra A es ben normada (nicely normed) si

a + a∗ ∈ R i aa∗ > 0 ∀a = 0

Aleshores, Re(a) =a + a∗

2∈ R, Im(a) =

a − a∗

2

Norma: ||a|| =√

aa∗

L’algebra te inversos multiplicatius: a−1 = a∗/||a||2

Anna Rio A000079

122 139

Page 130: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Si A es ben normada i alternativa, es una algebra dedivisio normada

a, b, a∗, b∗ pertanyen a l’algebra associativa generada perIm(a), Im(b)

ab = 0 ⇒ (ab)b−1 = 0

Si b = 0, b−1 = b∗/||b|| i el producte anterior es associatiu

||ab||2 = (ab)(ab)∗ = ab(b∗a∗) = a(bb∗)a∗ = ||a||2||b||2

Anna Rio A000079

Efectes d’iterar la construccio de Cayley-Dickson

Proposicio 1 A′ mai es real

Proposicio 2 A es real ⇐⇒ A′ es commutativa

Proposicio 3 A es commutativa i associativa ⇐⇒ A′ esassociativa

Proposicio 4 A es associativa i ben normada ⇐⇒ A′ esalternativa i ben normada

Proposicio 5 A es ben normada ⇐⇒ A′ es ben normada

Anna Rio A000079

123 139

Page 131: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

R es ∗−algebra real, commutativa, associativa i ben normada

C es ∗−algebra commutativa, associativa i ben normada

H es ∗−algebra associativa i ben normada

O es ∗−algebra alternativa i ben normada

Totes quatre son algebres de divisio normades

Anna Rio A000079

Els sedenions O′

Successio de ∗−algebres An de dimensio 2n

Ben normades, pero no reals, ni commutatives, nialternatives

Tenen inversos multiplicatius pero no son algebres dedivisioA16 = O′ (i, per tant, tota la resta) te divisors de zero

a = (e7, e8) b = (e5, e6)

Anna Rio A000079

124 139

Page 132: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Algebres de Clifford

William Kingdom CliffordAplication’s of Grassman’s extensive algebra. Amer. Jour. Math. 1 (1878), 350-358

V espai vectorial real amb un producte escalarCliff (V ) es l’algebra associativa generada lliurement per Vmodul les relacions v2 = −||v ||2Equivalentment, modul les relacions vw + wv = −2〈v , w〉V = Rn amb el producte escalar usual, Cliff (n).

Algebra associativa lliurement generada pern arrels quadrades de −1 que anticommuten

Cliff (0) = R Cliff (1) = C Cliff (2) = H

Anna Rio A000079

Algebres de Clifford Cliff (n)

n Cliff (n)

0 R

1 C

2 H

3 H ⊕ H

4 M2(H)5 M4(C)6 M8(R)7 M8(R) ⊕ M8(R)

Periodicitat de Bott

Cliff (n + 8) ∼= Cliff (n) ⊗ M16(R)

Algebres de matrius sobre R, C, H ⇒ Es facil determinar lesseves representacions

Anna Rio A000079

125 139

Page 133: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Algebres de Clifford Cliff (n): representacions

Tota representacio es suma d’irreductibles

Unica representacio irreductible de Mk (R), Mk (C), Mk (H)

n = 3, 7 mod 8: unica rep. irreductible de Cliff (n). Espaidels pinors Pn

n = 3, 7 mod 8, Cliff (n) es ⊕ de dues algebres de matriusreals o quaternioniques, te dues rep. irreductibles. Pinorspositius P+

n i pinors negatius P−n

n Cliff (n) Representacions irreductibles

0 R P0 = R

1 C P1 = C

2 H P2 = H

3 H ⊕ H P+3 = H, P−

3 = H

4 M2(H) P4 = H2

5 M4(C) P5 = C4

6 M8(R) P6 = R8

7 M8(R) ⊕ M8(R) P+7 = R8, P−

7 = R8

Anna Rio A000079

El teorema de Hurwitz

Suposem que K es una algebra de divisio normada

La : K → K

x → ax

Si ||a|| = 1, l’operador La conserva la norma. Aplica S(K),l’esfera unitat, sobre sı mateixa

K es algebra de divisio ⇒ donats dos punts qualssevol deS(K), hi ha un operador La que envia un a l’altre

Tanta simetria a S(K) vol dir que la norma prove d’unproducte escalar

〈x , y〉 =12

(||x + y ||2 − ||x ||2 − ||y ||2

)

a ∈ K imaginari si es ortogonal a 1. Im(K) es l’espaitangent a S(K) en el punt 1

Anna Rio A000079

126 139

Page 134: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

El teorema de Hurwitz

a −→ La

S(K) → transformacions ortogonals de K

Im(K) → transformacions antiadjuntes

a imaginari de norma 1 ⇒ La ortogonal i antiadjuntaOrtogonal: es pot trobar una base ortonormal en la qual lamatriu es diagonal per blocs amb blocs 2 × 2

(cos α sin α− sin α cos α

)i potser un bloc (1)

Ortogonal i antiadjunta ⇒ blocs 2 × 2 de la forma ±(

0 1−1 0

)

a imaginari de norma 1 ⇒ L2a = −1

L2a = −||a||2 ∀a ∈ Im(K)

Anna Rio A000079

El teorema de Hurwitz

L2a = −||a||2 ∀a ∈ Im(K)

a → La es una representacio de Cliff (Im(K)) en K

Una algebra de divisio normada de dimensio n proporciona unarepresentacio n−dimensional de Cliff (n − 1)

Taula anterior: n = 1, 2, 4, 8

Periodicitat de Bott: representacions irreductibles deCliff (n + 8) s’obtenen tensorialitzant les de Cliff (n) per R16

i, per tant, la dimensio es multiplica per 16

Si n > 8, aleshores les representacions irreductibles deCliff (n − 1) tenen dimensio mes gran que n

Anna Rio A000079

127 139

Page 135: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

El teorema de Hurwitz

Les algebres de divisio normades nomes son possibles endimensio 1,2,4,8

R, C, H, O son algebres de divisio normades d’aquestesdimensions

Unicitat? Aprofundir en la relacio amb la construccio deCayley-Dickson

Anna Rio A000079

El teorema de Hurwitz. Unicitat

Suposem que K es una algebra de divisio normada

Existeix un unic operador lineal ∗ : K → K tal que 1∗ = 1 ia∗ = −a per a tot a ∈ Im(K)

Es prova que K es una ∗−algebra ben normada

K0 subalgebra de K, es ben normada

K0 = K, element i ∈ K ortogonal a K0

Podem suposar ||i || = 1. Ortogonal a 1 ∈ K0 ⇒ i ∈ Im(K)

Per la definicio de ∗ es te i∗ = −i

Com abans (ortogonal i antiadjunt), i2 = −1

Es provaa(ia′) = i(a∗a′) (ai)a′ = (aa

′∗)i (ia)(a′i−1) = (aa′)∗

Subalgebra 〈K0, i〉 isomorfa com a ∗−algebra a K′0

Anna Rio A000079

128 139

Page 136: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

El teorema de Hurwitz. Unicitat

Podem trobar un cadena de subalgebres

K0 = R ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn = K

tal que Ki+1 = K′i

Les uniques algebres de divisio normades son R, C, H, OAlgebres de Hurwitz

Anna Rio A000079

Rellevancia dels octonions

Geometria: el 1925 Elie Cartan va descriure la trialitat, lasimetria entre vectors i espinors a l’espai euclidiade dimensio 8

Fısica: On an algebraic generalization of the quantummechanical formalism Pascual Jordan, John vonNeumann, Eugene Wigner. Ann. Math. 35 (1934)

Els octonions expliquen algunes caracterıstiquescurioses de la teoria de cordes.Supersymmetry and the division algebras.T. Kugo, P.-K. Townsend. Nucl. Phys. B 221 (1983)

Anna Rio A000079

129 139

Page 137: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Rellevancia dels octonions

Els octonions connecten estructures algebraiques que sino apareixencom a excepcions aıllades i inexplicables

Les algebres de Lie simples es presenten en 3 famılies infinitesd’algebres classiques, que provenen dels grups d’isometriesdels espais projectius Pn(R), Pn(C), Pn(H)

A mes hi ha 5 algebres de Lie simples excepcionals:

4 d’elles provenen dels grups d’isometria dels plans projectiussobre O, O ⊗ C, O ⊗ H, O ⊗ O.

La que resta es el grup d’automorfismes de O

Anna Rio A000079

Rellevancia dels octonions

Algebra de Jordan formalment real es una algebracommutativa i de potencies associatives tal que

a21 + · · · + a2

n = 0 ⇒ a1 = · · · = an = 0

Les matrius hermıtiques sobre les R, C, H tenen estructurad’algebra de Jordan amb el producte x y = (xy + yx)/2

3 famılies infites d’algebres simples: hn(R), hn(C), hn(H)

La quarta famılia es Rn ⊕ R amb el producte(v , α) (w , β) = (αw + βv , < v , w > +αβ)

L’algebra de Jordan excepcional es l’algebra de matrius3 × 3 octonioniques hermıtiques, tambe ambx y = (xy + yx)/2

Anna Rio A000079

130 139

Page 138: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Rellevancia dels octonions

Successio d’algebres de Jordan simples

h3(R) → h3(C) → h3(H) → h3(O)

de dimensions 6, 9, 15, 27.En mecanica quantica els observables sovint es descriuenmitjancant elements de h3(C)Una projeccio en una algebra de Jordan formalment real es unelement p tal que p2 = p. En el cas h3(C), corresponen a lesmatrius amb valors propis 0, 1 i s’usen per descriureobservables que prenen nomes dos valorsLes projeccions de les algebres de Jordan es poden tractarcom a proposicions de “logica quantica”

p ⇒ q si q − p es una suma de quadrats

Anna Rio A000079

La construccio de Tits

A algebra de Hurwitz. J una de les 4 algebres de Jordan h3Siguin A0 i J0 els respectius conjunts d’elements de traca zero

a • b = ab − 12

t(ab) X • Y = XY − 13

t(XY )

DefinimL = Der(A) ⊕ (A0 ⊗ J0) ⊕ Der(J)

amb la multiplicacio que coicideix amb els commutadors sobreDer(A) i Der(J) i satisfa [Der(A), Der(J)] = 0

[a ⊗ X , D] = aD ⊗ X [a ⊗ X , E ] = a ⊗ XE

[a ⊗ X , b ⊗ Y ] =112

t(XY )Da,b + (a • b) ⊗ (X • Y ) +12

t(ab)DX ,Y

on R, L indiquen la multiplicacio per la dreta,esquerra i

Da,b = R[a,b] − L[a,b] − 3[La, Rb] DX ,Y = [RX , RY ]

Anna Rio A000079

131 139

Page 139: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

La construccio de Tits

L’algebra L aixı construıda es una algebra de Lie

Si A = O i J = R, h3(R), h3(C), h3(H), h3(O) s’obtenen les 5algebres de Lie simples excepcionals

G2, F4, E6, E7, E8

de dimensions 14, 52, 78, 133, 248

Anna Rio A000079

Rellevancia dels octonions

Les projeccions de hn(C) corresponen a subspais de Cn

Rang d’una projeccio: longitud de la cadena mes llarga

0 = p0 < p1 < · · · < pi = p

Construccio de l’espai projectiu: els punts son les projeccionsde rang 1, les rectes son les projeccions de rang 2, larelacio d’incidencia donada per l’ordre de l’algebra de Jordan

Amb hn(R), hn(C), hn(H) i n ≥ 2 s’obtenen els espaisprojectius Pn(R), Pn(C), Pn(H)

Amb Rn ⊗ R i n ≥ 2 s’obte una serie d’espais projectius1-dimensionals relacionats amb la geometria Lorentziana

Jordan (1949): Amb h3(O) s’obte un pla projectiu P2(O)

Anna Rio A000079

132 139

Page 140: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Rellevancia dels octonions

El pla projectiu sobre O no satisfa el teorema de DesarguesRuth MoufangAlternativ korper und der Satz vom vollstandigen VierseitAbh. Math. Sem. Hamburg 9 (1933)

Moufang loops, isotopies, geometria 8-dimensional, SO8,companys,. . .

Anna Rio A000079

I l’aritmetica?

Que son els quaternions a + bi + cj + dk enters?

Enters de Lipschitz: a, b, c, d ∈ Z

Enters de Hurwitz: a, b, c, d ∈ Z o a, b, c, d ∈ Z +12

Divisio euclidiana Z = Qz + R imitant la dels enters de Gauss:

q = Zz−1 = a + bi + cj + dk

A, B, C, D enters mes propersQ = A + Bi + Cj + Dk , R = Z − Qz

N(Rz−1) = (a − A)2 + (b − B)2 + (c − C)2 + (d − D)2 ≤ 4(

12

)2

= 1

Anna Rio A000079

133 139

Page 141: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Enters quaternionics

S’obte N(R) ≤ N(z) pero no la desigualtat estricta !

Igualtat: |a − A| = |b − B| = |c − C| = |d − D| =12

Llavors, q enter i Z = qz + 0

Unitats de Hurwitz: enters de norma 1. N’hi ha 24

±1,±i ,±j ,±k ,±12± 1

2i ± 1

2j ± 1

2k

Primers: enters de norma un primerEnters primitius: No divisibles per cap natural n > 1

Anna Rio A000079

Factoritzacio quaternionica

Teorema (Cas primitiu). Per a cada factoritzacio deN(Q) = p0p1 . . . pk , hi ha una factoritzacio

Q = P0P1 . . . Pk

amb N(Pi) = pi . Factoritzacio modeladaUna altra factoritzacio modelada per la mateixa factoritzacio dela norma sera de la forma

Q = P0U1 · U−11 P1U2 . . . U−1

k Pk

Factoritzacio unica llevat migracio d’unitatsUn quaternio de norma 60 te 165888 factoritzacions

Anna Rio A000079

134 139

Page 142: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Factoritzacio quaternionica

Teorema (Cas no primitiu) Si Q te norma 2n0pn11 . . . pnk

k i esexactament divisible per 2s0ps1

1 . . . pskk , el nombre de

factoritzacions de Q (comptades modul migracio d’unitats)modelades per aquesta factoritzacio de la norma es

∏i≥1

Cni ,si (pi)

on Cni ,si son els polinomis de Catalan truncats

Cn,s(p) = Cn−1,s(p) + pCn−1,s−1(p)

Anna Rio A000079

Que son els octonions enters?

Enter significa “pertanyent a un ordre maximal”. Arrel d’unpolinomi monic a coeficients enters.El polinomi mınim d’un octonio a0 + a1e1 + . . . a7e7 es

x2 − 2a0x + (a20 + a2

1 + . . . a27)

La traca i la norma han d’esser enteres

L’ordre de Coxeter RIntegral Cayley numbers. Duke Math. J. 13(1946) 567-578

R es un ordre maximal en la Q−algebra OQ dels octonions,unic a menys de Aut(OQ) amb la propietat que R/pR es unaFp−algebra octonionica per a tot primer p

Anna Rio A000079

135 139

Page 143: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

L’ordre R

1-conjunts1672 1235 0467 50340713 1346 2570 62450124 1457 3602 7356∅ 0561 4723 Ω

Enters R: i | ai ∈ 12

Z − Z es un 1−conjunt

Els enters de Graves M son els de coordenades enteres.R/M (Z/2Z)4 amb base

12(1 + e1 + e2 + e4)

12(1 + e1 + e3 + e7)

12(1 + e1 + e5 + e6)

12(e1 + e2 + e3 + e5)

Anna Rio A000079

Embeddings into the integral octonionsNoam Elkies, Benedict H. Gross

Pacific Journal of Mathematics, 181 (1997) 147–158

“Our interest in octonions dates from a lecture that Serre gaveat Harvard on the subject, in the fall of 1990”

K cos quadratic imaginari, A anell d’enters, D discriminant,ε : (Z/DZ)∗ → ±1 caracter de Dirichlet de K

Teorema El nombre d’immersions de A en R es −252 L(ε,−2)

2 proves: una usa series theta i series d’Eisenstein de pessemi-enter, la segona usa la teoria de mesures de Tamagawadesenvolupada per Siegel i Weil

Anna Rio A000079

136 139

Page 144: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Embeddings into the integral octonions

K una Q−algebra de quaternions definida, A un ordre maximal,S el conjunt de primers que ramifiquen en K (es a dir, K ⊗ Qp

es algebra de divisio sobre Qp)Teorema El nombre d’immersions de A en R es

504∏p∈S

(p2 − 1)

Generalitzen resultats de Hasse i Eichler sobre immersionsd’anells d’enters de cossos quadratics imaginaris en certsordres d’algebres de quaternions racionals

Anna Rio A000079

Referencies

John H. Conway, Derek A. SmithOn quaternions and octonionsAKPeters (2003)

John C. BaezThe OctonionsBull. Amer. Math. Soc. 39 (2002) 145–205

Anna Rio A000079

137 139

Page 145: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Further Reading

Helena Albuquerque, Shahn MajidQuasi algebra structure of the octonionsJ. Algebra, 220 (1999) 188-224

Florin Panaite, Freddy Van OystaeyenQuasi-Hopf algebras and representations of octonions andother quasialgebrasJournal of Mathematical Physics, 45 (2004) 3912-3929

Jamil Daboul, Robert DelbourgoMatrix representation of octonions and generalizationsJournal of Mathematical Physics, 40 (1999) 4134-4150

Paolo BudinichFrom the Geometry of Pure Spinors with their DivisionAlgebras to Fermion PhysicsFoundations of Physics, 32 (2002) 1347-1398

Anna Rio A000079

Further Reading

Pilar Benito, Cristina Draper, Alberto ElduqueModels of the octonions and G2

Linear Algebra and its Applications, 371 (2003) 333-359

Anna Rio A000079

138 139

Page 146: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

I en acabat, que cadascu es vesteixicom bonament li plagui, i via fora!,que tot esta per fer i tot es possible.

Anna Rio A000079

139 139

Page 147: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 148: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 149: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

DIVERTIMENTS ANALITICS-ARITMETICS

JOSEP GONZALEZ ROVIRA

Resum

Sigui X+0 (p) la corba modular X0(p)/〈Wp〉, on Wp es la involucio

d’Atkin-Lehner i p is un nombre primer. Sigui g+ el genere de X+0 (p).

Denotem per S el conjunt de primers racionals

p : X+0 (p)(Q)\∞ conte almenys un punt sense CM .

El conjunt S es la unio disjunta del conjunts finits Si := p ∈ S : g+ =i. Per a i ≤ 1, Si conte tots els primers p tal que g+ = i. Aixı,

S0 = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71 ,

S1 = 37, 43, 53, 61, 79, 83, 89, 101, 131 .

For i > 1, nomes cinc valors p ∈ Si son coneguts (cf. [1], [2]):73, 103, 191 ⊆ S2 i 137, 311 ⊆ S4. Sabem que quan p 6= 3, els j-invariants d’aquestes corbes el·lıptiques (Q-corbes quadratiques de graup) son quasi cubs (Proposicio 1.2 de [3]) i que aquesta propietat es unaconsequencia de propietats de l’extensio de cossos Q(X0(p))/Q(X+

0 (p)).En aquesta xerrada expliquem com son els bons factors R ∈ Q(X0(p))

tal que j/R ∈ Q(X0(p))3 i com poden ser calculats quan g+ ≤ 2.

Remarca. El contingut d’aquesta xerrada va ser preparat expressa-ment pel STNB en ocasio del 60 aniversari de la Dra P. Bayer (febrer2006) i dos messos despres es va convertir en un article ([4]).

References

[1] Noam D. Elkies. Elliptic and modular curves over finite fields and related com-putational issues. In Computational perspectives on number theory (Chicago,IL, 1995), volume 7 of AMS/IP Stud. Adv. Math., pages 21-76. Amer. Math.Soc., Providence, RI, 1998.

[2] Steven D. Galbraith. Rational points on X+0 (p). Experiment. Math., 8(4):311-

318, 1999.[3] Josep Gonzalez. On the j-invariants of the quadratic Q-curves. J. London

Math. Soc. (2), 63(1):52-68, 2001.[4] Josep Gonzalez. On cubic factors of j-invariants of quadratic Q-curves of prime

degree. Pprint, (03-2006).

Escola Politecnica Superior d’Enginyeria de Vilanova i la Geltru,143

Page 150: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

144 JOSEP GONZALEZ ROVIRA

Av. Vıctor Balaguer s/n. E-08800 Vilanova i la GeltruE-mail address: [email protected]

Page 151: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 152: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Soluciones algebraicas de ecuaciones diferenciales(o la cuarta sucesion de Sloane)

Teresa Crespojueves 2 de febrero de 2006

Seminari de Teoria de Nombres (UB-UAB-UPC)Facultat de Nautica

Consideramos el siguiente problema:

”Dada una ecuacion diferencial lineal con coeficientes en C(z), ¿comoreconocer si todas sus soluciones son funciones algebraicas sobre C(z)?”

Esta cuestion fue planteada por Fuchs y Schwarz y retomada por Kleinen su libro del icosaedro [K1]. En su artıculo sobre las ecuaciones hiper-geometricas de Gauss [S], Schwarz da una respuesta completa a esta preguntapara este tipo de ecuaciones diferenciales.

1. Funcion hipergeometrica de GaussPara a, b, c ∈ R, c 6∈ Z≤0, se define la funcion hipergeometrica de Gauss por

F (a, b, c; z) =∞∑

n=0

(a)n(b)n

(c)nn!zn (1)

donde el sımbolo de Pochhammer (x)n se define por(x)0 = 1(x)n = x(x + 1) . . . (x + n− 1).El radio de convergencia de (1) es 1 salvo si a o b son enteros no positivos

y en este caso tenemos un polinomio. En particular

Pn(z) =1

n!

dn

dzn(1− z2)n = 2nF (−n, n + 1, 1;

1 + z

2)

son los polinomios de Legendre;

Tn(z) = (−1)nF (−n, n,1

2;1 + z

2)

es el polinomio de Chebyshev definido por Tn(cos z) = cos(nz).La funcion hipergeometrica de Gauss (1) admite prolongacion analıtica

mediante su representacion por la integral de Euler

F (a, b, c; z) =Γ(c)

Γ(b)Γ(c− b)

∫ 1

0

tb−1(1− t)c−b−1(1− tz)−a dt.

147

Page 153: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Las funciones hipergeometricas aparecen tambien en la determinacionde los periodos de la red del plano complejo asociada a una curva elıptica.Concretamente

ω1(λ) =∫ 0

−∞dx√

x(x− 1)(x− λ)= iπF (

1

2,1

2, 1; 1− λ),

ω2(λ) =∫∞

1

dx√x(x− 1)(x− λ)

= πF (1

2,1

2, 1; λ),

son los periodos de la curva elıptica y2 = x(x − 1)(x − λ), con λ numerocomplejo cumpliendo |λ| < 1, |λ− 1| < 1 (ver [H]).

Puede comprobarse facilmente que la funcion hipergeometrica de GaussF (a, b, c; z) es solucion de la ecuacion diferencial

Y ′′ +(a + b + 1)z − c

z(z − 1)Y ′ +

ab

z(z − 1)Y = 0 (2)

Vemos ahora algunas cuestiones de ecuaciones diferenciales lineales defi-nidas sobre el cuerpo C(z).

2. Ecuaciones diferenciales fuchsianas2.1 Singularidades regulares

Para una ecuacion diferencial

Y (n) + a1(z) Y (n−1) + · · ·+ an−1(z) Y ′ + an(z) Y = 0 (3)

con ai(z) ∈ C(z), un punto P de P1(C) se llama regular si las funciones ai notienen polo en P . Si P ∈ C (resp. P = ∞) es punto singular, consideramosel lımite limz→P (z − P )iai(z) (resp. limz→∞ ziai(z)). Si este lımite existe yes finito para i = 1, . . . , n, el punto P es singularidad regular.

La ecuacion (3) se llama Fuchsiana si todos los puntos de P1(C) sonregulares o singularidades regulares.

Suponemos ahora que 0 es un punto singular regular de la ecuacion

(3). Escribimos la ecuacion en terminos del operador diferencial D = zd

dz.

A partir de la igualdad de operadoresdr

dzr· z = r

dr−1

dzr−1+ z

dr

dzr, para r ≥ 1,

puede probarse por recurrencia

zr dr

dzr= D(D − 1) · · · (D − r + 1). (4)

Multiplicando (3) por zn i usando (4), la ecuacion queda en la forma

F (D, z)(Y ) := DnY + b1(z)Dn−1Y + · · ·+ bn−1DY + bn(z)Y = 0. (5)

148

Page 154: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

La condicion de singularidad regular implica que las funciones bi(z) son holo-morfas en el entorno de z = 0.

2.2 Soluciones formales en series de potencias

Teorema 1 (de Cauchy). Supongamos que 0 es un punto regular de (3), en-tonces existen n series de Taylor en z, f1, . . . , fn , soluciones de (3), lineal-mente independientes sobre C, con radio de convergencia positivo. Ademas,toda serie de Taylor solucion de (3) es combinacion lineal de f1, . . . , fn concoeficientes en C.

Prueba. Buscamos una solucion en serie de potencias y =∑

k≥0 ckzk. Multi-

plicando (3) por zn i usando (4), obtenemos

D(D− 1) · · · (D−n+1) Y +n∑

i=1

ziai(z)D(D− 1) · · · (D− (n− i)+ 1) Y = 0.

Escribimos ziai(z) =∑∞

j=i aijzj y, para cada j ≥ 1, ponemos Pj(X) =∑j

i=1 aijX(X − 1) · · · (X − (n− i) + 1). Sustituyendo y en la ecuacion, obte-nemos la relacion de recurrencia

k(k − 1) · · · (k − n + 1)ck +k∑

j=1

Pj(k)ck−j = 0.

Como Pj(k − j) = 0, para 1 ≤ j ≤ k < n, la recurrencia es trivial parak ≤ n− 1. Por tanto podemos fijar c0, · · · , cn−1 arbitrariamente y los coefi-cientes ck con k ≥ n quedan fijados por la relacion de recurrencia. Obtenemospues n soluciones linealmente independientes de (3) que son base del espaciovectorial de soluciones.

Falta ver que cualquier solucion en serie de potencias tiene radio de con-vergencia positivo. Para ello, elegimos C > 1 tal que |Pj(k)| < Cjkn−1 paratodo par j, k, |cj| < C2j+1 para j = 0, · · ·n−1 y (k(k−1) · · · (k−n+1))−1 <C/kn para todo k ≥ n. Probamos por induccion sobre k que |ck| < C2k+1.Para k < n, se cumple por la eleccion de C. De la relacion de recurrencia,obtenemos la desigualdad

|ck| ≤C

kn

k∑j=1

Cjkn−1|ck−j|.

Usando la hipotesis de induccion,

|ck| ≤C

knkn−1

k∑j=1

Cj · C2(k−j)+1 < C2k+1.

149

Page 155: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Por tanto, los coeficientes ck estan acotados exponencialmente y la serie depotencias tiene radio de convergencia positivo.

2.3 Soluciones formales en puntos singulares regulares

Suponemos ahora que 0 es un punto singular regular de la ecuacion (3).Buscamos soluciones de la forma

y = zρ∑k≥0

ckzk. (6)

Desarrollamos los coeficientes de (5) en serie de Taylor, bi(z) =∑∞

j=0 bijzj y

ponemos

F0(D) = Dn + b10D

n−1 + b20Dn−2 + · · ·+ bn0

Fj(D) = b1jDn−1 + b2jD

n−2 + · · ·+ bnj para j > 0.

La ecuacion se escribe entonces

F (D, z)(Y ) =∞∑

j=0

zjFj(D)(Y ) = 0

y sustituyendo y, obtenemos

F (D, z)(y) =∑∞

i=0

∑∞j=0 zjFj(D)(ciz

ρ+i)

=∑∞

i=0

∑∞j=0 zρ+i+jFj(ρ + i)ci

=∑∞

k=0 zρ+k[∑k

i=0 Fk−i(ρ + i)ci

]= 0.

Esta expresion se anula identicamente si los coeficientes ci cumplen las rela-ciones

k∑i=0

Fk−i(ρ + i)ci = 0 (k ≥ 0). (7)

En particular, para obtener c0 6= 0, ρ debe ser raız de la ecuacion polinomial

F0(X) = Xn + b10Xn−1 + · · ·+ bn0 = Xn + b1(0)X

n−1 + · · ·+ bn(0) = 0.

Esta ecuacion se llama ecuacion indicial, sus raıces se llaman exponenteslocales en el punto singular z = 0.

A partir de (4), se obtiene que la ecuacion indicial en un punto P ∈ C,regular o singularidad regular, en terminos de los coeficientes de (3) es

150

Page 156: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

X(X − 1) · · · (X − n + 1)+

∑nk=1 limz→P (z − P )kak(z)X · · · (X − n + k + 1)

+ limz→P (z − P )nan(z) = 0.

Si ∞ es punto regular o singularidad regular, la ecuacion indicial en ∞ es

X(X + 1) · · · (X + n− 1)+

∑nk=1(−1)klimz→∞zkak(z)X · · · (X + n− k − 1)

+ (−1)nlimz→∞znan(z) = 0.

Los exponentes locales satisfacen la

Relacion de Fuchs. Si ρ1(P ), ρ2(P ), · · · , ρn(P ) son los exponentes localesen un punto P ∈ P1, se cumple∑

P∈P1

(ρ1(P ) + ρ2(P ) + · · ·+ ρn(P )−(

n

2

)) = −2

(n

2

).

Teniendo en cuenta que en un punto regular, los exponentes locales son0, 1, · · · , n− 1, tenemos que la suma es de hecho finita.

Ahora, si dos soluciones independientes corresponden al mismo exponenteρ, restandolas obtenemos otra solucion correspondiente a otro exponentemayor ρ′ que tambien debe cumplir la ecuacion indicial. Por tanto, cadaexponente local da lugar a lo sumo a una solucion en serie de potencias dela forma (6) .

Si F0(ρ) = 0, F0(ρ + k) 6= 0 para todo entero positivo k, podemos elegirc0 6= 0 y cada uno de los coeficientes ck siguientes queda unıvocamente de-terminado por las relaciones (7). Pero, si ρ y ρ + k son ambos exponenteslocales, con k entero positivo, la relacion

∑ki=0 Fk−i(ρ + i)ci = 0 puede ser

incompatible.Siempre que no tengamos un sistema completo de soluciones de la forma

(6), por tener la ecuacion indicial raıces multiples o raıces que difieren en unentero, esta escasez puede suplirse con soluciones en que aparecen logaritmos.

Distribuimos los exponentes locales en conjuntos, cada uno de ellos for-mado por exponentes locales que difieren en un entero. Vemos ahora comocalcular las soluciones correspondientes a uno de estos conjuntos, formadopor h exponentes locales distintos ρi con multiplicidades ri, ordenados conparte real ascendiente. Buscamos soluciones del tipo

y = zρ∑k≥0

ukzk. (8)

donde los uk son polinomios en t := log z de grado menor que n. Teniendo

en cuenta D(ui) =dui

dt, obtenemos

151

Page 157: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

F (D, z)(y) =∑∞

i=0

∑∞j=0 zjFj(D)(zρ+iui)

=∑∞

i=0

∑∞j=0 zρ+i+jFj(D + ρ + i)ui

=∑∞

k=0 zρ+k[∑k

i=0 Fk−i(D + ρ + i)ui

]= 0,

que se anula identicamente si las ui cumplen las relaciones

k∑i=0

Fk−i(D + ρ + i)ui = 0 (k ≥ 0).

Esto puede verse como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en lavariable t = log z, del cual nos interesa la solucion mas general en polinomios.La primera ecuacion puede escribirse

F0(D + ρ)(u0) = F0(ρ)u0 +1

1!F ′

0(ρ)Du0 +1

2!F ′′

0 (ρ)D2u0 + · · · = 0,

y es la ecuacion indicial generalizada. Si u0 es un polinomio en t, no identica-mente 0, esta expresion es un polinomio del mismo grado salvo si F0(ρ) = 0.Para obtener efectivamente una solucion, ρ debe pues satisfacer la ecuacionindicial. Para ρ = ρ1, tenemos F0(D+ρ1)(u0) = G1(D)(Dr1u0) con G1(0) 6= 0,y por tanto, u0 debe cumplir la ecuacion Dr1u0 = 0.

Supongamos hallados los polinomios u0, u1, · · · , uk−1. Si F0(ρ1 + k) 6= 0,uk queda unıvocamente determinado como un polinomio cuyo grado no ex-cede el de los anteriores por la formula simbolica

uk = − 1

F0(D + ρ1 + k)

∑k−1i=0 Fk−i(D + ρ1 + i)(ui)

= −(A0 + A1D + A2D2 + · · · )

∑k−1i=0 Fk−i(D + ρ1 + i)ui

= Lk(u0, u1, · · · , uk−1).

(9)

Pero si k = ρi − ρ1, tenemos F0(D + ρ1 + k) = F0(D + ρi) = Gi(D)Dri , conGi(0) 6= 0 y por tanto, en vez de (9), tenemos la relacion

Driuρi−ρ1 = Lk(u0, u1, · · · , uk−1), con k = ρi − ρ1.

La estructura de la solucion queda completamente determinada por u0, · · · ,uρh−ρ1 ya que los uk restantes quedan determinados por una relacion del tipo(9). Podemos distinguir los h polinomios crıticos Ui := uρi−ρ1 y expresar losrestantes explıcitamente en la forma

152

Page 158: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

uk = Λk(U1, U2, · · · , Uh)

donde los Ui satisfacen un sistema de ecuaciones de la formaDr1U1 = 0

f21(D)U1 + Dr2U2 = 0f31(D)U1 + f32(D)U2 + Dr3U3 = 0

. . .

.

Obtenemos pues∑h

i=1 ri soluciones linealmente independientes. Puede pro-barse que tienen radio de convergencia positivo (ver [P]).

Observacion. Una ecuacion diferencial lineal homogenea que sea ecuacionde Fuchs con tres puntos singulares queda determinada por sus puntos sin-gulares y los exponentes locales en cada punto singular.

2.4 Grupo de monodromıaToda solucion analıtica de (3) en el entorno de un punto regular puede

prolongarse analıticamente a lo largo de todo camino en C que no pase porningun punto singular. Sea S el conjunto de singularidades de (3), z0 ∈ P1\S.Sean f1, . . . , fn soluciones analıticas independientes en el entorno de z0. Seaγ ∈ π1(P1 \ S, z0). Por prolongacion analıtica a lo largo de γ, obtenemos

f1, . . . , fn que son de nuevo soluciones de (3). Se tiene por tanto una matrizM(γ) ∈ GL(n, C) tal que f1

...

fn

= M(γ)

f1...

fn

.

La aplicacion

ρ : π(P1 \ S) → GL(n, C)γ 7→ M(γ)

es un morfismo de grupos. Su imagen se llama grupo de monodromıa de(3). El grupo de monodromıa proyectivo es el grupo de monodromıa moduloescalares, es decir la imagen del grupo de monodromıa por el epimorfismoGL(n, C) PGL(n, C).

Para la ecuacion diferencial (3), una extension de Picard-Vessiot es uncuerpo diferencial K con cuerpo de constantes C, generado diferenciable-mente sobre C(z) por un sistema fundamental de soluciones de (3). El grupode Galois diferencial de (3) es el grupo G de automorfismos diferencialesde K sobre C(z). El grupo G es un grupo algebraico, subgrupo del grupolineal GL(n, C). Para una ecuacion diferencial fuchsiana, el grupo de Galoisdiferencial G es la clausura de Zariski del grupo de monodromıa. Por tanto,

153

Page 159: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

el tener un sistema fundamental de soluciones contenido en una extensionalgebraica de C(z) equivale a la finitud del grupo de monodromıa. Teniendoen cuenta que el subcuerpo de K generado diferenciablemente sobre C(z)por el determinante wronskiano de un sistema fundamental de soluciones esel cuerpo fijo por el subgrupo del grupo de Galois diferencial G formadopor las matrices del grupo especial lineal SL(n, C), se tiene que el grupo demonodromıa es finito si y solo si lo es el grupo de monodromıa proyectivo yel wronskiano es algebraico sobre C(z).

2.5 La ecuacion hipergeometricaLa ecuacion hipergeometrica (2) tiene tres puntos singulares 0, 1,∞ que

son singularidades regulares. Escribimos los exponentes locales en el esquemade Riemann:

0 1 ∞0 0 a

1− c c− a− b b(10)

Sea P un punto regular de (2). Con origen en P , trazamos tres buclesen el plano complejo g0, g1, g∞, alrededor de 0, 1,∞, respectivamente, cong0g1g∞ = 1. Las correspondientes matrices de monodromıa M0, M1, M∞cumplen M0M1M∞ = 1 y M0, M∞ generan el grupo de monodromıa.

A partir de los valores de los exponentes locales dados en el esquema deRiemann (10), tenemos que los valores propios de M0 son 1, e2πi(1−c), los deM1, 1, e2πi(c−a−b) y los de M∞, e2πia, e2πib.

Observacion: Toda ecuacion fuchsiana de orden 2 con tres puntos singularespuede transformarse en una ecuacion hipergeometrica mediante

-una transformacion de Mobius S(z) =az + b

cz + d, ad − bc 6= 0 que envıe los

puntos singulares a 0, 1,∞. Obtenemos entonces una ecuacion con esquemade Riemann de la forma

0 1 ∞α β γα′ β′ γ′

donde α + β + γ + α′ + β′ + γ′ = 1 por la relacion de Fuchs.-multiplicacion de las soluciones por z−α(1− z)−β. El esquema de Riemannobtenido corresponde a una ecuacion hipergeometrica con parametros ade-cuados.

154

Page 160: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

3. Soluciones algebraicasSean f, g dos soluciones independientes de la ecuacion hipergeometrica

en un entorno de z0. El cociente D(z) = f/g considerado como aplicacionde H = z ∈ C : Im z > 0 en P1 se llama aplicacion de Schwarz y tenemos

Teorema 2 (de Schwarz). Sea λ = |1 − c|, µ = |c − a − b|, ν = |a − b| ysupongamos 0 ≤ λ, µ, ν < 1. Entonces D(z) aplica H ∪ R biyectivamente enun triangulo curvilıneo de vertices D(0), D(1), D(∞) con angulos λπ, µπ, νπ.

El grupo de monodromıa proyectivo describe el comportamiento del co-ciente f/g de las dos soluciones de la base cuando estas se prolongan a lo largode un camino de π(P1 \S). Se obtiene en la forma siguiente. Sea W el grupogenerado por las reflexiones respecto de una arista del triangulo curvilıneo.El grupo de monodromıa proyectivo es el subgrupo de W formado por loselementos que son producto de un numero par de reflexiones. A partir delas triangulaciones de la esfera, se obtienen todos los posibles valores λ, µ, νque corresponden a ecuaciones con todas las soluciones algebraicas. Estosvalores, junto con los correspondientes grupos de monodromıa proyectivos,son los que aparecen en la llamada Lista de Schwarz [S]. Posteriormente, ha-ciendo cociente por la relacion de equivalencia proyectiva, Klein [K2] obtienela llamada Lista basica de Schwarz. Decimos que dos operadores diferen-ciales L y L′ son proyectivamente equivalentes si, en cualquier punto de P1,todo cociente de dos soluciones independientes de L es tambien cociente desoluciones independientes de L′. Reproducimos a continuacion la lista basicade Schwarz.

(λ, µ, ν) = (1, 1/n, 1/n) da grupo cıclico de orden n= (1/2, 1/2, 1/n) da grupo diedro de orden 2n= (1/2, 1/3, 1/3) da grupo tetraedrico de orden 12= (1/2, 1/3, 1/4) da grupo octaedrico de orden 24= (1/2, 1/3, 1/5) da grupo icosaedrico de orden 60

En general, las ecuaciones diferenciales de orden 2 con grupo de mono-dromıa proyectivo finito quedan caracterizadas por el siguiente teorema deKlein. Notemos que toda ecuacion diferencial lineal de orden 2 es proyecti-vamente equivalente a una en forma normalizada: Y ′′ + a2(z) Y = 0.

Teorema 3 (de Klein). Sea L(Y ) = 0 una ecuacion diferencial lineal deorden 2 en forma normalizada, con grupo de monodromıa proyectivo G finito.Entonces existe una unica ecuacion hipergeometrica H(Y ) = 0, con grupo demonodromıa proyectivo G y una funcion racional f : P1 → P1 tal que paratodo cociente τ(z) de soluciones independientes de H(Y ) = 0, τ(f(z)) escociente de soluciones independientes de L(Y ) = 0. Ademas, la funcionf es unica modulo transformaciones de Mobius que dejen H invariante ypermuten sus puntos singulares.

155

Page 161: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

En el caso de la ecuacion de Lame, con parametros n ∈ Q, g2, g3, B ∈ C:

Y ′′ +P ′(z)

2P (z)Y ′ − n(n + 1)z + B

P (z)Y = 0

donde P (z) := 4z3 − g2z − g3 tiene tres ceros z1, z2, z3 distintos, Beukers-van der Waall [B-W] y Litcanu [L1], completando trabajos de Baldassarri yChiarelotto, determinan en que casos todas las soluciones son algebraicas.En este caso, el esquema de Riemann es

z1 z2 z3 ∞0 0 0 −n/2

1/2 1/2 1/2 (n + 1)/2

Teniendo en cuenta que el determinante wronskiano W de una base delespacio de soluciones de una ecuacion diferencial lineal (3) cumple W ′ =−a1W , obtenemos que para la ecuacion de Lame, el wronskiano siemprees una funcion algebraica. Beukers y van der Waall usan que el grupo demonodromıa de la ecuacion de Lame es un grupo de reflexiones formadopor matrices con determinante ±1. Litcanu usa el hecho que, para n 6∈Z +

1

2la funcion racional f en el teorema de Klein tiene a lo sumo tres

puntos de ramificacion y es por tanto una funcion de Belyi. Su metodo sebasa en el estudio del ”dessin d’enfant” asociado por la correspondencia deGrothendieck a esta funcion de Belyi. Las cuestiones basicas de ”dessinsd’enfants” pueden verse en [C-X]. Se tiene

Teorema 4. 1. Si n ∈ Z +1

2, la ecuacion de Lame tiene soluciones alge-

braicas si y solo si su grupo de monodromıa proyectivo es el grupo deKlein. (Brioschi, Halphen)

2. No hay ecuacion de Lame con grupo de monodromıa proyectivo cıclico.

3. No hay ecuacion de Lame con grupo de monodromıa proyectivo tetra-edrico.

4. Si el grupo de monodromıa proyectivo de la ecuacion de Lame es octa-

edrico, entonces n ∈ Z + ±1

4,±1

6.

5. Si el grupo de monodromıa proyectivo de la ecuacion de Lame es icosa-

edrico, entonces n ∈ Z + ±1

6,± 1

10,± 3

10.

6. Si el grupo de monodromıa proyectivo de la ecuacion de Lame es diedro,entonces n ∈ Z. Si n ∈ Z y el grupo de monodromıa proyectivo es finito,entonces es diedro de orden al menos 6.

156

Page 162: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

En sentido contrario a los enunciados del teorema anterior, se tienen losresultados siguientes, obtenidos mediante ”dessins d’enfants”.-Dados n ∈ Z, N ∈ N, Litcanu (para n = 1) y Dahmen (para n general) ob-tienen una formula explıcita para el numero de ecuaciones de Lame, moduloequivalencia proyectiva, con parametro n y grupo de monodromıa proyectivoel grupo diedro de orden 2N (cf. [L2], [D]).

-Para cada n en Z + ±1

4,±1

6 (resp. Z + ±1

6,± 1

10,± 3

10), Nakanishi

construye una ecuacion de Lame con parametro n y monodromıa proyectivaoctaedrica (resp. icosaedrica) (cf. [N]).

En el caso de las ecuaciones de orden 2 con 4 puntos singulares, la ecuacionya no queda determinada por los puntos singulares y los exponentes locales,es decir por datos locales, como en el caso de tres puntos singulares. En elcaso de cuatro puntos, hay un parametro (B en el caso Lame) no determinadopor datos locales. Este se llama parametro accesorio de la ecuacion. Se sabepoco de como depende el grupo de monodromıa del parametro accesorio.En el caso de la ecuacion de Lame, pueden encontrarse condiciones sobre Bpara que el grupo de monodromıa sea un determinado grupo finito (fijandon en el conjunto adecuado) a partir de productos simetricos de la ecuaciony representaciones del grupo.

Beukers-Heckmann [B-H] determinan el grupo de monodromıa para lafuncion hipergeometrica generalizada y en particular cuando esta es alge-braica sobre C(z). La funcion hipergeometrica generalizada se define por

nFn−1(α1, . . . , αn; β1, . . . , βn−1|z) =∞∑

k=0

(α1)k . . . (αn)k

(β1)k . . . (βn−1)kk!zk.

Es solucion de una ecuacion diferencial lineal de orden n con singularidadesregulares en 0, 1,∞.

4. La sucesion de Sloane A087659A proposito de funciones hipergeometricas generalizadas, en la Enciclo-

pedia Digital de Sucesiones Enteras de Sloane [Sl], hallamos que

a(n) = 3F 2(−n,n + 4

2,n + 5

2; 3, 2| − 4)

es la sucesion de Sloane A087659. Sus primeros valores son

157

Page 163: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

n a(n)0 11 62 573 7014 101475 1643176 28882827 540474348 10625301199 21739192762

10 45968511466511 999307285513512 22242165611343513 505221513233249214 11680852660731982315 274298660334941131116 65306671610636210891

y esta probado que es efectivamente una sucesion entera (ver [Sl]). En lapagina de Sloane, pueden encontrarse otras nueve sucesiones dadas por valo-res de funciones hipergeometricas generalizadas, aunque no para todas ellasesta probado que sean efectivamente sucesiones enteras.

5. Una conjetura de GrothendieckConsideramos ahora una ecuacion diferencial

L(Y ) = Y (n) + a1(z) Y (n−1) + · · ·+ an−1(z) Y ′ + an(z) Y = 0,

con ai ∈ Q(z). Para casi todo primo p, podemos reducir las funcionesracionales ai(z) modulo p. Las reducciones ai,p estan en Fp(z) y podemosconsiderar la ecuacion diferencial

Lp(Y ) = Y (n) + a1,p(z) Y (n−1) + · · ·+ an−1,p(z) Y ′ + an,p(z) Y = 0.

En los anos sesenta, A. Grothendieck formulo la conjetura siguiente.

Conjetura de Grothendieck. Los dos enunciados siguientes son equiva-lentes.

1. La ecuacion L(Y ) = 0 tiene n soluciones, algebraicas sobre Q(z), li-nealmente independientes sobre Q.

158

Page 164: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

2. Para casi todo p, la ecuacion Lp(Y ) = 0 tiene n soluciones en Fp(z),linealmente independientes sobre Fp(z

p).

Prueba de 1 ⇒ 2. Sea K una extension finita de Q(z) que contiene unabase de soluciones y1, y2, . . . , yn de L(Y ) = 0. Sea W el wronskiano dey1, y2, . . . , yn. Tenemos K = Q(z)[t] = Q(z)[T ]/(F ), con F (T ) = T d +bd−1T

d−1 + · · · + b0 polinomio irreducible de Q(z)[T ] y t = T mod F . Laderivacion de Q(z) se extiende en forma unica a K definiendo

t′ = −b′d−1T

d−1 + · · ·+ b′0FT (t)

,

donde FT indica derivada de F respecto de T . Invirtiendo FT modulo F yreduciendo modulo F , obtenemos una expresion de t′ como polinomio en tde grado < d con coeficientes en Q(z). Consideramos ahora primos p talesque

i) bd−1, . . . , b0 ∈ Z[z]p,

ii) el discriminante de F , respecto de T , es invertible en Z[z]p,

iii) y1, . . . , yn ∈ Z[z]p[t],

iv) W es un elemento invertible de Z[z]p[t].

Estas condiciones excluyen un numero finito de primos. Como el discrimi-nante de F es invertible en Z[z]p, FT es invertible en Z[z]p[T ] y por tantot′ ∈ Z[z]p[t], es decir Z[z]p[t] es invariante por diferenciacion. El ideal (p) esinvariante por diferenciacion y por tanto Z[z]p[t]/(p) es anillo diferenciable,extension de Fp(z). Se tiene Z[z]p[t]/(p) = Fp(z)[T ]/(F ), para F la reduccionde F modulo p. Por hipotesis, el discriminante de F es invertible y por tantoZ[z]p[t]/(p) es un producto M1 × · · · × Ms de cuerpos Mi, extensiones se-parables de Fp(z). Por la unicidad de la extension de la derivacion, cadaMi es subcuerpo diferencial de Z[z]p[t]/(p). Sean y1, . . . , yn, W las imagenesde y1, . . . , yn, W en M = M1. Entonces W es el wronskiano de y1, . . . , yn

y, renumerando si hace falta los Mi, tenemos que y1, . . . , yn son linealmenteindependientes sobre el cuerpo de constantes de M . Usando que M es se-parable sobre Fp(z), se puede probar que el cuerpo de constantes de M esMp y que 1, z, . . . , zp−1 es tambien base de M sobre Mp. Tenemos puesM = Mp⊗Fp(zp) Fp(z). Por tanto los espacios de soluciones en Fp(z) y en Mde la ecuacion diferencial Lp(Y ) = 0 tienen misma dimension. En M estadimension es n y por tanto tambien lo es en Fp(z).

La conjetura de Grothendieck puede verse como una generalizacion dife-rencial de un corolario del teorema de densidad de Chebotarev: Un polinomio

159

Page 165: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

con coeficientes en Q tiene todas sus raıces en Q si y solo si las raıces de sureduccion modulo p estan en Fp para casi todo p.

En la conjetura de Grothendieck, el enunciado 1. es equivalente a que elgrupo de monodromıa de la ecuacion sea finito. Puede darse una condicionequivalente al enunciado 2. en terminos de p-curvatura. Para definir lap-curvatura es mas facil trabajar con operadores diferenciales en forma ma-tricial.

5.1. Sistemas diferenciales y p-curvaturaRecordamos que la ecuacion

L(Y ) = Y (n) + a1(z)Y (n−1) + · · ·+ an−1(z)Y ′ + an(z)Y = 0,

equivale al sistema Y ′ = AY con matriz n× n

A =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0

. . .

0 0 . . . 0 1−an −an−1 −an−2 . . . −a1

.

El paso de sistema matricial a ecuacion se hace mediante un vector cıclicodel modulo diferencial asociado al sistema . Recordemos que un modulo di-ferencial (o D-modulo) sobre un cuerpo diferencial K con derivacion d es unK-espacio vectorial de dimension finita, que es modulo por la izquierda parael anillo D = K[d]. A un sistema diferencial Y ′ = AY con A = (aij)1≤i,j≤n

definido sobre el cuerpo diferencial (K, d), podemos asociarle un modulodiferencial, el K-espacio vectorial Kn := K × ·n · · ×K con la estructura deD-modulo dada por dei = −

∑j ajiej, para e1, . . . , en base canonica de Kn.

Un vector del modulo diferencial Kn tal que el y sus derivados forman basese llama vector cıclico (ver [P-S]).

Consideramos un cuerpo K de caracterıstica p tal que [K : Kp] = p(donde Kp := xp|x ∈ K). Entonces K = Kp(z) para algun z y definimosla derivacion en K por z′ = 1. Consideramos el operador diferencial ∂ :=d

dz− A, para A matrix n × n con coeficientes en K. El operador ∂ opera

sobre el espacio vectorial Kn y es Kp-lineal. Su potencia p-esima ∂p es portanto tambien Kp-lineal. Es facil ver que el operador ∂p tambien es K-lineal. En efecto, se tiene la igualdad de operadores ∂.z = 1 + z.∂ y de aquı∂k.z = k∂k−1 + z.∂k, para k ≥ 1, y por tanto ∂p.z = z.∂p. El operador ∂p sellama la p-curvatura de ∂.

Lema 1 (de Cartier). El operador diferencial ∂ =d

dz−A con A matriz n×n,

160

Page 166: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

con coeficientes en K, tiene un espacio de soluciones en K de dimension nsobre Kp si y solo si su p-curvatura ∂p es 0.

Prueba. El operador ∂ : V := Kn → K es Kp-lineal. Supongamos queexisten e1, . . . , en ∈ V en el nucleo de ∂, linealmente independientes sobreKp. Veamos que tambien son independientes sobre K. Sea

λ1e1 + · · ·+ λnen = 0, λi ∈ K. (11)

Quitando denominadores, podemos suponer λi ∈ Kp[z], ponemos λi = bio +

bi1 z + · · · + bi

p−1zp−1, con bi

j ∈ Kp. Tenemos ∂(bzaei) = baza−1ei para b ∈Kp. Por tanto aplicando varias veces ∂ a (11), obtenemos una relacion dedependencia sobre Kp. Entonces, ∂p es cero en la K-base e1, . . . , en de V ypor tanto ∂p = 0.

Recıprocamente, si ∂p = 0, la aplicacion Kp-lineal ∂ sobre V es nilpotente⇒ ∃e1 6= 0 en V con ∂e1 = 0. Como Ke1 es invariante por ∂, ∂ opera sobreW = V/Ke1. Por induccion sobre n, W tiene una base f2, . . . , fn sobre Kcon ∂fi = 0 y cogiendo representantes Fi de los fi, obtenemos una K-basee1, F2, . . . , Fn de V con ∂Fi ∈ Ke1, i = 2, . . . , n. Ponemos ∂Fi = gie1, congi ∈ K. Ahora tenemos

∂(gie1) =d

dz(gie1)− Agie1 = g′ie1 + gi∂e1 = g′ie1.

Esto vale para todo gi ∈ K y obtenemos ∂p−1(gie1) = gp−1i e1 y por tanto

0 = ∂pFi = ∂p−1(gie1) = gp−1i e1 ⇒ gp−1

i = 0 ⇒ gi = G′i, con Gi ∈ K. Sea

ei = Fi − Gie1, entonces ∂ei = ∂Fi − ∂(Gie1) = ∂Fi − gie1 = 0 ⇒ el nucleode ∂ en V es Kpe1 + · · ·+ Kpen.

Se tiene un algoritmo sencillo para calcular la p-curvatura: definimos lasucesion de matrices A(k) por

A(1) := A, A(k + 1) =d

dz(A(k)) + A.A(k)

entonces A(p) modulo p es la matriz de la curvatura.

5.2 Casos probadosB. Dwork (hacia 1970) prueba la conjetura de Grothendieck para ecua-

ciones hipergeometricas, Beukers-Heckmann para las hipergeometricas ge-neralizadas (1989), Chudnovsky-Chudnovsky en 1985 para la ecuacion deLame. El trabajo de Honda (1974) publicado postumamente en 1981 incluyeel caso de orden 1. De hecho lo prueba como consecuencia del caso poli-nomial. Haraoka prueba la conjetura para las ecuaciones de Pochhammer(1994). La ecuacion de Pochhammer es una ecuacion diferencial de orden

161

Page 167: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

n, generalizacion de la hipergeometrica de Gauss, en el sentido que sus solu-ciones tienen una representacion integral del tipo de Euler. Es una ecuacionlibre de parametros accesorios.

En 1972, N. Katz prueba la conjetura para conexiones de Gauss-Manin.En [Ka1] propone una reformulacion muy general: Si consideramos el grupode Galois diferencial G de la ecuacion y el de monodromıa M, tenemosM ⊂ G ⊂ GL(n, C) y G coincide con la clausura de Zariski M de Msiempre que la ecuacion es fuchsiana. Por tanto la finitud del grupo demonodromıa equivale a la anulacion del algebra de Lie G del grupo G. Elenunciado de Katz es basicamente que el algebra de Lie G de G sobre C(z)es la menor subalgebra de Lie algebraica del algebra de matrices M(n, C(z))con la propiedad que su reduccion modulo p contiene la p-curvatura paracasi todo primo p. De hecho en [Ka1] Katz prueba que el enunciado deGrothendieck implica su enunciado, aparentemente mas general.

En [Ka2], Katz prueba la conjetura para sistemas rıgidos, englobando loscasos probados anteriormente. Un sistema rıgido queda globalmente deter-minado por datos locales, es decir por los puntos singulares y los exponenteslocales. En 1997, Y. Andre la prueba mas en general para sistemas dife-renciales ligados a conexiones de Gauss-Manin sobre grupos de cohomologıade de Rham relativa (sistemas diferenciales ”que vienen de la geometrıa”)(ver [A]). En particular, el trabajo de Andre incluye el caso de ecuaciones deorden uno sobre cuerpos de funciones sobre un cuerpo de numeros, caso delque Chudnovsky-Chudnovsky habıan dado una prueba incompleta en 1985.

El primer caso en que la conjetura esta totalmente abierta es el de ecua-ciones diferenciales lineales sobre Q(z) de orden 2 con cuatro puntos singu-lares regulares, exponentes racionales y grupo de Galois SL(2, C). En estecaso habrıa que probar que el enunciado 2. de la conjetura no es cierto. Ladificultad principal esta en que los datos locales no determinan en este casola ecuacion diferencial.

De la misma forma en que una ecuacion diferencial lineal con tres pun-tos singulares regulares se transforma en una ecuacion hipergeometrica, todaecuacion diferencial lineal con cuatro puntos singulares regulares puede trans-formarse en una ecuacion de Heun

Y ′′ +(a + b + 1)z2 − (a + b− d + 1 + (c + d)a)z + ac

z(z − 1)(z − a)Y ′

+ab(z − q)

z(z − 1)(z − a)Y = 0.

con puntos singularidades regulares en 0, 1, a,∞ (ver [E], [W-W]). El esquemade Riemann es

162

Page 168: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

0 1 a ∞0 0 0 a

1− c 1− d 1− e b

con e = a + b + 1− c− d. La constante q es el llamado parametro accesorio,cuya presencia se debe al hecho mencionado anteriormente que una ecuacionfuchsiana de segundo order con cuatro (o mas) puntos singulares no quedadeterminada por los puntos singulares y los exponentes locales.

Bibliografıa.[A] Y. Andre, Sur la conjecture des p-courbures de Grothendieck-Katz et unprobleme de Dwork, Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, 55–112,Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004.[B-H] F. Beukers, G. Heckmann, Monodromy for the hypergeometric function

nFn−1, Invent. Math. 95 (1989), 325–354.[B-W] F. Beukers, A. van der Waall, Lame equations with algebraic solutions,J. Differential Equations 197 (2004), 1–25.[C-X] T. Crespo, X. Xarles, Dibuixos d’infants, Notes del Seminari de Teoriade Nombres, UB-UAB-UPC, n. 12, Barcelona 2005, ISBN. 84-934244-0-4.[D] S. Dahmen, Counting Integral Lame Equations by Means of Dessinsd’Enfants, Trans. Amer. Math. Soc., aparecera.[E] A. Erdelyi et alt., Higher transcendental functions, vol. III, McGraw-Hill,New York, 1955.[F] L. Fuchs, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit verander-lichen Coefficienten, J. reine angew. Math. 66 (1866), 121-160.[H] D. Husemoller, Elliptic Curves, Springer 1987.[K1] F. Klein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gle-ichungen vom funften Grade, Birkhauser, 1993.Version inglesa: Lectures on the icosahedron and the solution of equationsof the fifth degree, Dover, 2003.[K2] F. Klein, Ueber lineare differentialgleichungen, Math. Ann. 12 (1878),167-179.[Ka1] N. Katz, A conjecture in the arithmetic theory of differential equations,Bull. Soc. Math. France 110 (1982), 203-239; correccion: Bull. Soc. Math.France 110 (1982), 347-348.[Ka2] N. Katz, Rigid local systems, Annals of Math. Studies 139, PrincetonUniversity Press, 1996.[L1] R. Litcanu, Lame operators with finite monodromy—a combinatorialapproach, J. Differential Equations, 207 (2004), 93–116.[L2] R. Litcanu, Counting Lame differential operators, Rend. Sem. Mat.Univ. Padova 107 (2002), 191–208.

163

Page 169: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

[N] K. Nakanishi, Lame operators with projective octahedral and icosahedralmonodromies, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 115 (2005), 109–129.[P] E.G.C. Poole, Introduction to the theory of linear differential equations,Oxford : The Clarendon Press, 1936.[P-S] M. van der Put, M.F. Singer, Galois theory of linear differential equa-tions, Springer-Verlag, 2003.[S] H.A. Schwarz, Ueber diejenigen Falle, in welchen die Gaussische Hyperge-ometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt,J. reine angew. Math. 75 (1873), 292-335.[Sl] N.J.A. Sloane, The on-line encyclopedia of integer sequences,http://www.research.att.com/∼njas/sequences/[W-W] E.T. Whittaker, G.N. Watson, A course of modern analysis, Cam-bridge University Press, 1940.

164

Page 170: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 171: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

CONSTANTES LOCALES

Pilar Bayer & Artur Travesa

Universitat de Barcelona

•Seminari de Teoria de Nombres (UB-UAB-UPC), 20 anys

Barcelona, 3 de febrero de 2006

Funciones automorfas y trascendencia

Vilanova i la Geltru, julio, 2005

• Pregunta 3

Estudiar la naturaleza aritmetica de las constantes locales kP asocia-

das a las funciones automorfas que uniformizan XD, D = 6, y sus

cocientes. ¿Es cierto que son trascendentes?

• Respuesta de F. Rodrıguez-Villegas

Miren Chowla-Selberg.

167 197

Page 172: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Contenido

1. Curvas de Shimura y puntos CM

2. Uniformizacion en el caso D = 6

3. Dependencia algebraica entre constantes locales

4. Trascendencia de las constantes locales en el caso D = 1

5. Trascendencia de las constantes locales en el caso D = 6

1. Curvas de Shimura y puntos CM

H(a, b) = 〈1, i, j,k〉, i2 = a, j2 = b, ij = −ji = k, a, b ∈ Q∗

H indefinida, a > 0, Φ : H → M(2, R)

Φ(x + yi + zj + tk) =

[x + y

√a z + t

√a

b(z − t√

a) x − y√

a

]

DH = p1 . . . p2r, pi primos distintos

168 197

Page 173: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Grupos aritmeticos de unidades cuaternionicas

H ⊗ R M(2, R), O(D, N) orden de Eichler

Γ(D, N) := Φ(x ∈ O : Nr(x) = 1) ≤ SL(2, R)

Γ(D, N) ≤ PSL(2, R)

Γ(1,1) = SL(2, Z), Γ(1, N) = Γ0(N)

•X(1, N)/Q = X0(N)/Q curva modular, D = 1

X(D, N)/Q curva de Shimura, D ≥ 1

tipo PEL (Shimura): Ω = (H, Φ, ∗ ;T, O; V)

• H algebra de cuaterniones indefinida; Φ : H → M(2, R);

∗ anti-involucion positiva de H.

• O ⊆ H, estable por ∗; T : H × H → Q forma alternada no degene-

rada tomando valores enteros sobre O.

• V = (v1, . . . , vs) estructura de nivel, vi ∈ O ⊗ Q/O = H/O.

P = polarizacion, E = endomorfismo, L = nivel (level)

169 197

Page 174: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Curvas elıpticas falsas: (A, ι,L, W )/C, Ω = (H, Φ, ∗ ;T, O; V)

(i) Superficie abeliana A/C. Un homomorfismo inyectivo ι : O →End(A) tal que H1(A, Z) es un O-modulo isomorfo a O.

(ii) Una polarizacion principal L de A tal que la anti-involucion deRosati asociada, φL : Endo(A) → Endo(A), restringe a la anti-involucion ∗ en ι(O).

(iii) Una estructura de nivel W ⊆ H1(A, Q) dada por la imagen de Vpor el isomorfismo H H1(A, Q) obtenido de (ii).

[A, ι,L, W ] clase de isomorfıa

Curvas elıpticas falsas con multiplicacion compleja

Q(√

d), d < 0, R orden; supongamos que R ⊆ O ⊆ H

Definicion. Una curva elıptica falsa [A, ι,L, N ] admite multiplicacion

compleja por un orden R si

End[A, ι,L, N ] R.

En este caso,

Endo[A, ι,L, N ] Q(√

d), Q(√

d) ⊗Q H M(2, Q(√

d))

A ∼ E × E, E curva elıptica con MC por Q(√

d)

170 197

Page 175: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

El modelo canonico de Shimura

Ω : Φ : H → M(2, R), µ2 = −D, α → α∗; O(D,1); N

(X(D, N)/Q, jD,N)

π : H → Γ(D;N)\H, jD,N : Γ(D, N)\H −→ X(D, N)(C)

jD,N(π(z)) ⇐⇒ [Az, ιz,Lz, Nz]

τ ∈ Q ∩H MC ⇐⇒ [Aτ, ιτ ,Lτ , Nτ ] MC

• τ ∈ Q ∩H MC ⇒ jD,N(τ) ∈ X(D, N)(Q)Kronecker, Shimura

• τ ∈ Q ∩H, jD,N(τ) ∈ X(D, N)(Q) ⇒ τ MCSchneider, P. Cohen

2. Uniformizacion en el caso D = 6

a

a b

b

c c

P0P1

P2P3

P4

P5

P6

P7P8

X6 y algunas rectas hiperbolicas

171 197

Page 176: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

P0 P1 P2 P3 P4 P6

w2 P7 P3 P4 P5 ∗ P6

w3 P8 ∗ P2 P6 ∗ P1

w′3 ∗ ∗ ∗ P6 P4 P5

w6 P0 ∗ P4 P6 P2 P3

w6η−12 ∗ P6 P4 ∗ ∗ P5

Involuciones de X6 y sus acciones

a a

b b

P0

P2

P3

P4

P6

a

a

b

b

P0

P2

P3

P4

P6

X(2)6 := X6/〈w2〉 X

(3)6 := X6/〈w3〉

172 197

Page 177: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

a

a

b

b

c

cP0

P3

P4

P5

P6

P7

a a

b b

P0

P2 P4

P6

X(6)6 := X6/〈w6〉 X+

6 := X6/〈w2, w3〉

X6

X(2)6

X

(3)6

X(6)6

X+6

173 197

Page 178: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Funciones uniformizadoras (Hauptmoduli) de X6 y de sus cocientes

C(X+6 ) = C(t+6 )

C(X(2)6 ) = C(t(2)

6 ), C(X(3)6 ) = C(t(3)

6 ), C(X(6)6 ) = C(t(6)

6 )

C(X6) = C(t6)

Cada funcion automorfa queda determinada por sus valores en tres

vertices.

t(2)6 , t

(3)6 , t+6 son funciones triangulares;

t(6)6 , t6 son funciones cuadrangulares.

valores iniciales P0 P2 P3 P4 P6 P7

t6 ∗ a 0 1 ∞ ∗ a = 0,1,∞ (⇒ a = −1)

t(2)6 ∗ ∗ 0 1 ∞ ∗ ∗

t(3)6 ∗ 0 ∗ 1 ∞ ∗ ∗

t(6)6 0 ∗ ∗ 1 ∞ b b = 0,1,∞ (⇒ b = 2)

t+6 0 ∗ ∗ 1 ∞ ∗ ∗

174 197

Page 179: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Teorema. Se satisfacen las relaciones algebraicas siguientes:

(a) 4t+6 t(2)6 = (t(2)

6 + 1)2. (b) t+6 = (2t(3)6 − 1)2.

(c) 4t(2)6 (2t

(3)6 − 1)2 = (t(2)

6 + 1)2. (d) t26 = t(2)6 .

(e) 4t6t(3)6 = (t6 + 1)2. (f) t+6 + t

(6)6 (t(6)

6 − 2) = 0.

(g) 2t6t(6)6 = i(t6 − i)2. (h) 4t26t+6 = (t26 + 1)2.

(i) (t(2)6 + 1)2 + 4t

(2)6 t

(6)6 (t(6)

6 − 2) = 0.

(j) (2t(3)6 − 1)2 + t

(6)6 (t(6)

6 − 2) = 0.

Derivada de Schwarz Ds(f, z) :=2D(f, z)D3(f, z) − 3D2(f, z)2

D(f, z)2

Derivada automorfa Da(f, z) :=Ds(f, z)

D(f, z)2

Da(az + b

cz + d, z) = 0, para toda

[a bc d

]∈ GL(2, C)

f−1(w) = z, Ds(f−1, w) = −Da(f, z)

f(z) ∈ A0(Γ) ⇒ Da(f, z) ∈ A0(Γ) Schwarz, 1873

175 197

Page 180: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Ecuacion diferencial de tercer orden:

Da(t, z) + R(t(z)) = 0, R(t) ∈ C(t)

Da(ω, z) = 0 ⇐⇒ ω(z) =az + b

cz + d, para ω =

[a bc d

]∈ GL(2, C)

Si t(z) es una solucion particular, entonces t(ω(z)) es una solucion

para todo ω ∈ GL(2, C).

Se tienen tres constantes de integracion.

Buscamos unicamente soluciones Γ-automorfas. Estas admiten de-

sarrollos de la forma

t(z) =∑

m≥m0

bm

(kz − v

z − v

)m, v ∈ H,

con lo cual queda una sola constante de integracion, k.

Por cuestiones de isotropıa local:

t(z) =∑

n≥n0

an

(kz − v

z − v

)evn, ev = Γv.

La constante k queda determinada por condiciones de contorno.

176 197

Page 181: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

curva funcion angulos −Da(t, z)

X6 t6[P2, P3, P4, P6]

[π/3, π/2, π/3, π/2]27t4 + 74t2 + 27

36t2(t2 − 1)2

X(2)6 t(2)

6[P3, P4, P6]

[π/4, π/3, π/4]135t2 − 142t + 135

144t2(t − 1)2

X(3)6 t(3)

6[P2, P4, P6]

[π/6, π/6, π/2]27t2 − 27t + 35

36t2(t − 1)2

X(6)6 t(6)

6[P0, P4, P7, P6]

[π/2, π/3, π/2, π/2]27t4 − 108t3 + 211t2 − 206t + 108

36t2(t2 − 3t + 2)2

X+6 t+6

[P0, P4, P6][π/2, π/6, π/4]

135t2 − 103t + 108

144t2(t − 1)2

El caso clasico de la funcion j

(X0(1), j)

q(z) = e2πiz, 2i ∈ Q, π = Γ(1/2)2

j(q) = 1728 t(q)

j(q) =1

q+744+196884q+21493760q2+864299970q3+20245856256q4+

333202640600q5 + 4252023300096q6 + O(q7)

1728 factor de normalizacion

• A000521 Coefficients of modular function j as power series in q = e2πiz

177 197

Page 182: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Definicion. Un parametro de uniformizacion local en v ∈ H por laaccion de Γv es cualquier funcion

q(z) :=(kz − v

z − v

)ev,

en donde ev = Γv es el orden del grupo de isotropıa en v y k ∈ C.

Diremos que un parametro q(z) es adaptado a una funcion Γv-automorfano constante

t(z) =∑

n≥n0

anq(z)n

si ar = 1 en el caso en que t−a0 tenga un cero de orden evr en z = v,o bien a−r = 1 si t tiene un polo de orden evr en z = v. La constantek = k(v,Γv, t) se denomina constante local en v adaptada a la funciont. Abreviadamente, hablaremos de constantes locales.

Factores de normalizacion en el caso r = 1

Caso t(P ) = 0

t(z) =∞∑

n=1

b′nq(z)n

(en)!, b′1 = e!.

Substiuir q por ν−1q:

t(z) =∞∑

n=1

b′′nq(z)n

(en)!, b′′1 = νe!.

n0 := νe!, t(P, qP ; z) := n−10 t(z)

t(P, qP ; z) =∞∑

n=1

cnqP (z)n

(en)!, c1 = 1, qP (z) =

1

νP

(kP

z − P

z − P

)eP

178 197

Page 183: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Coeficientes cn (1 ≤ n ≤ 10) de t6(P3, qP3; z):

1 = 10 = 0

−48 = −24 · 30 = 0

27504 = 24 · 32 · 1910 = 0

−64498392 = −23 · 32 · 7 · 1279730 = 0

436272183216 = 24 · 34 · 23 · 229 · 639130 = 0

a

a b

b

c c

P0P1

P2P3

P4

P5

P6

P7P8

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:

I am sorry but the terms do not match anything in the table.

Caso t(P ) = 0,∞

t(z) =∞∑

n=0

b′nq(z)n

(en)!, b′1 = e!.

Substituir q por ν−1q,

t(z) =∞∑

n=0

b′′nq(z)n

(en)!, b′′1 = νe!.

nv = νe!, v = t(P ), t(P, qP ; z) := n−1v t(z)

t(P, qP ; z) =∞∑

n=0

cnqP (z)n

(en)!, c1 = 1, qP (z) =

1

νP

(kP

z − P

z − P

)eP

179 197

Page 184: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Coeficientes cn (0 ≤ n ≤ 10) de t6(P4, qP4; z):

1/2 = 2−1

1 = 120 = 22 · 5

1356 = 22 · 3 · 113227040 = 25 · 3 · 5 · 11 · 43

74611380 = 22 · 3 · 5 · 124352342574294080 = 26 · 32 · 5 · 17 · 19 · 45767

38683567274400 = 25 · 32 · 52 · 537271767752554612744944640 = 210 · 32 · 5 · 11 · 23 · 4507937111

101782604056899960000 = 26 · 34 · 54 · 139 · 226002762361270629344957362042528000 = 28 · 34 · 53 · 29 · 16126171 · 223259851

a

a b

b

c c

P0P1

P2P3

P4

P5

P6

P7P8

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:

I am sorry but the terms do not match anything in the table.

Coeficientes cn (0 ≤ n ≤ 10) de t6(P2, qP2; z):

−1/2 = −2−1

1 = 1−20 = −22 · 5

1356 = 22 · 3 · 113−227040 = −25 · 3 · 5 · 11 · 43

74611380 = 22 · 3 · 5 · 1243523−42574294080 = −26 · 32 · 5 · 17 · 19 · 45767

38683567274400 = 25 · 32 · 52 · 5372717677−52554612744944640 = −210 · 32 · 5 · 11 · 23 · 4507937111

101782604056899960000 = 26 · 34 · 54 · 139 · 226002762361−270629344957362042528000 = −28 · 34 · 53 · 29 · 16126171 · 223259851

a

a b

b

c c

P0P1

P2P3

P4

P5

P6

P7P8

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:

I am sorry but the terms do not match anything in the table.

180 197

Page 185: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Coeficientes cn (0 ≤ n ≤ 10) de t6(P0, qP0; z):

i/12 = −i · (1 + i)−4 · 3−1

1 = 1−12i = i · (1 + i)4 · 3−226 = −2 · 1135664i = (1 + i)10 · 3 · 59

160728 = 23 · 3 · 37 · 181−5467296i = −(1 + i)10 · 3 · 56951

−211472208 = −24 · 35 · 109 · 4999193300992i = −i · (1 + i)20 · 32 · 571 · 1747

445513958784 = 27 · 33 · 128910289−23734590202368i = −(1 + i)18 · 34 · 15919 · 35951

a

a b

b

c c

P0P1

P2P3

P4

P5

P6

P7P8

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:

I am sorry but the terms do not match anything in the table.

Caso t(P ) = ∞

t(z) =∞∑

n=−1

b′nq(z)n

(2e(n + 2))!, b′−1 = (2e)!.

Substituir q por ν−1q:

t(z) =∞∑

n=−1

b′′nq(z)n

(2e(n + 2))!, b′′−1 = ν(2e)!.

n∞ = ν(2e)! t(P, qP ; z) := n−1∞ t(z)

t(P, qP ; z) =∞∑

n=−1

cnqP (z)n

(2e(n + 2))!, c−1 = 1, qP (z) =

1

νP

(kP

z − P

z − P

)eP

181 197

Page 186: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Coeficientes cn (−1 ≤ n ≤ 10) de t6(P6, qP6; z):

10

184800

128035908000

−8179937226270810000

−1560789298453265580199500000

1228599534077201106792411793803450000

a

a b

b

c c

P0P1

P2P3

P4

P5

P6

P7P8

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:

I am sorry but the terms do not match anything in the table.

Funciones automorfas normalizadas t(P, qP ; z) = n−1t(z)

n∞ 3870720 = 30965760 = 48 = 24 · 3 96 = 25 · 3 384 = 27 · 3212 · 33 · 5 · 7 215 · 33 · 5 · 7

t(P ) = ∞ t+6 (P6, qP6) t(2)6 (P6, qP6) t(3)

6 (P6, qP6) t(6)6 (P6, qP6) t6(P6, qP6)

n0 144 = 24 · 32 27

2= 2−1 · 33 10 = 2 · 5 72 = 23 · 32 3

2= 2−1 · 3

t(P ) = 0 t+6 (P0, qP0) t(2)6 (P3, qP3) t(3)

6 (P2, qP2) t(6)6 (P0, qP0) t6(P3, qP3)

n1 40 = 23 · 5 4 = 22 10 = 2 · 5 2 2

t(P ) = 1 t+6 (P4, qP4) t(2)6 (P4, qP4) t(3)

6 (P4, qP4) t(6)6 (P4, qP4) t6(P4, qP4)

ni ∗ ∗ ∗ ∗ 12 = 22 · 3t(P ) = i ∗ ∗ ∗ ∗ t6(P0, qP0)

182 197

Page 187: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Teorema. Sea F (a, b, c;w) =∑∞

n=0(a)n(b)n

(c)n

wn

n!, |w| < 1, la serie hiper-

geometrica. Supongamos que c = 1. La funcion

z = s(a, b, c;w) :=w1−cF (a − c + 1, b − c + 1,2 − c;w)

F (a, b, c;w)

aplica el w-semiplano H sobre el interior de un triangulo de vertices

s(0) = 0,

s(∞) = exp (πi(1 − c))Γ(b)Γ(c − a)Γ(2 − c)

Γ(c)Γ(b − c + 1)Γ(1 − a),

s(1) =Γ(2 − c)Γ(c − a)Γ(c − b)

Γ(c)Γ(1 − a)Γ(1 − b).

Los angulos internos en estos vertices son απ, βπ, γπ, en dondeα = 1 − c = 0, β = b − a, γ = c − a − b.

t P eA t(A) νA kA

t+6 P0 2 0 23 · 32 i

√2 +

√3

2

Γ(7/24)Γ(11/24)

Γ(19/24)Γ(23/24)

t+6 P4 6 11

2 · 32

2 +√

3 − i

12

Γ(1/6)Γ(7/24)Γ(19/24)

Γ(5/6)Γ(11/24)Γ(23/24)

t+6 P6 4 ∞ 25 · 3√

2 +√

3

4

Γ(1/4)Γ(13/24)Γ(17/24)

Γ(3/4)Γ(19/24)Γ(23/24)

t(2)6 P3 4 0

32

24

(1 +√

3)(1 + i)

8

Γ(1/4)Γ(5/12)

Γ(3/4)Γ(11/12)

t(2)6 P4 3 1

2

3

2 +√

3 − i

6

Γ(1/3)2Γ(7/12)

Γ(2/3)2Γ(11/12)

t(2)6 P6 4 ∞ 28 · 3

√3

4

Γ(1/3)Γ(2/3)Γ(1/4)

Γ(3/4)Γ(7/12)Γ(11/12)

t(3)6 P2 6 0

1

23 · 32

(1 +√

3)(1 + i)

12

Γ(1/6)Γ(7/12)

Γ(5/6)Γ(11/12)

t(3)6 P4 6 1

1

23 · 32

2 +√

3 − i

12

Γ(1/6)Γ(7/12)

Γ(5/6)Γ(11/12)

t(3)6 P6 2 2 2

(1 +√

3)(1 + i)

4

Γ(1/4)Γ(5/12)

Γ(3/4)Γ(11/12)

183 197

Page 188: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

t P eP t(P ) νP kP

t(6)6 P0 2 0 22 · 32 i

√2 +

√3

2√

2

Γ(7/24)Γ(11/24)

Γ(19/24)Γ(23/24)

t(6)6 P4 3 1 3−1 (1 +

√3)(1 + i)

12

Γ(1/6)Γ(7/24)Γ(19/24)

Γ(5/6)Γ(11/24)Γ(23/24)

t(6)6 P7 2 2 22 · 32 (2

√3 + 3

√2)(

√2 + i)

12

Γ(7/24)Γ(11/24)

Γ(19/24)Γ(23/24)

t(6)6 P6 2 ∞ 22 i

√2 +

√3

4

Γ(1/4)Γ(13/24)Γ(17/24)

Γ(3/4)Γ(19/24)Γ(23/24)

t P eP t(P ) νP kP

t6 P0 1 i 22 · 3 i

√2 +

√3

2

Γ(7/24)Γ(11/24)

Γ(19/24)Γ(23/24)

t6 P2 3 −1 3−1 1 + (2 +√

3)i

6 3√

2

Γ(1/3)2Γ(7/12)

Γ(2/3)2Γ(11/12)

t6 P3 2 0 3 · 2−2 (1 +√

3)(1 + i)

8

Γ(1/4)Γ(5/12)

Γ(3/4)Γ(11/12)

t6 P4 3 1 3−1 2 +√

3 − i

6 3√

2

Γ(1/3)2Γ(7/12)

Γ(2/3)2Γ(11/12)

t6 P6 2 ∞ 24

√3(1 − i)

4√

2

Γ(1/3)Γ(2/3)Γ(1/4)

Γ(3/4)Γ(7/12)Γ(11/12)

184 197

Page 189: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

La formula de Chowla-Selberg (1967)

∆(z) := e2πiz∞∏

n=1

(1 − e2πinz)24 =∞∑

n=1

τ(n)qn, q = e2πiz;

d < 0 discr., H(d) = (aj, bj, cj)1≤j≤h, τj =−bj + i

√|d|

2aj;

h∏j=1

∆(τj) =

h∏j=1

a6j

(2π|d|)6h

|d|∏m=1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Γ

(m

|d|

)(dm

)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

3w

,

w =

⎧⎪⎨⎪⎩

6, si d = −3,

4, si d = −4,

2, en los otros casos.

3. Dependencia algebraica entre constantes locales

Definicion. (C∗/K∗) Sea K un subcuerpo de C. Dados a, b ∈ C∗,

escribiremos a ∼K b para indicar que ab−1 ∈ K∗; diremos que a, b

tienen la misma parte trascendente sobre K. Si K = Q, escribiremos

a ∼ b y diremos que a, b tienen la misma parte trascendente.

Proposicion. Sean Γ, Γ′ ⊆ SL(2, R) grupos fuchsianos conmensu-

rables, v ∈ H, t una funcion Γv-automorfa con constante local adap-

tada k(v,Γ, t), t′ una funcion Γ′v-automorfa con constante local adap-

tada k(v,Γ′, t′). Sea F (X, Y ) ∈ K[X, Y ]\0 tal que F (t, t′) = 0, siendo

K un subcuerpo de C que contenga los valores t(v), t′(v). Entonces

k(v,Γ, t) ∼K k(v,Γ′, t′).

185 197

Page 190: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Lema. Sea v ∈ H un punto de orden ev ≥ 1 por la accion de Γv ⊆ Γ, y

t una funcion Γ-automorfa no constante. Entonces, para toda matriz

γ =

[a bc d

]∈ Γ, las dos constantes locales adaptadas en v y γ(v) se

relacionan por(

k(γ(v),Γ, t)

k(v,Γ, t)

)evr

=(

cv + d

cv + d

)evr

.

En particular, si v, c, d ∈ Q, se tendra que k(γ(v),Γ, t) ∼ k(v,Γ, t).

4. Trascendencia de las constantes locales en el caso D = 1

Teorema. (Takeuchi, 1977) Existen exactamente nueve tipos arit-

meticos definidos por grupos triangulares con puntas, a saber:

(∞,∞,∞), (∞,∞,3), (∞,∞,2),(∞,6,6), (∞,6,2), (∞,4,4),(∞,4,2), (∞,3,3), (∞,3,2).

b b

a a

v0

v1

v2 v4

v3

Dominio fundamental de Γ0(1), (∞,3,2)

186 197

Page 191: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

b b

aav7

v0

v1

v18

Dominio fundamental de Γ0(2), (∞,∞,2)

b b

aav8

v0

v1

v18

Dominio fundamental de Γ0(3), (∞,∞,3)

b b

aa

v18v0

v1

v17

Dominio fundamental de Γ0(4), (∞,∞,∞)

b b

a a

v0

v1

v5 v7

v13

Dominio fundamental de Γ+0 (2), (∞,4,2)

187 197

Page 192: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

b b

a a

v0

v1

v6 v8

v14

Dominio fundamental de Γ+0 (3), (∞,6,2)

b b

a a

v0

v1

v16 v17

v15

Dominio fundamental de Γ+0 (4), (∞,∞,2)

b ba a

v17

v1

v2 v4 v19

Dominio fundamental de Γ+0 (1)∗, (∞,3,3)

b b

a a

v17

v1

v7v5 v20

Dominio fundamental de Γ+0 (2)∗, (∞,4,4)

188 197

Page 193: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

b b

a a

v17

v6

v1

v8 v21

Dominio fundamental de Γ+0 (3)∗, (∞,6,6)

b b

a a

v16 v17

v1

v22

Dominio fundamental de Γ+0 (4)∗, (∞,∞,∞)

X0(4)

2

2

X+0 (4)∗

2

X+0 (2)∗

2

X0(2)

2

3

X+

0 (4) X+0 (1)∗

2

X0(3)

4

2

X+0 (3)∗

2

X+0 (2) X0(1) X+

0 (3)

189 197

Page 194: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Constantes locales en puntos elıpticos

t v ev t(v) a, c νv kv

t+1 v3 2 0 112

, 12

2 · 32 exp(πi2)12

Γ( 112

)Γ( 512

)

Γ(1112

)Γ( 712

)

t+2 v13 2 0 18, 12

23 exp(πi2)12

Γ(18)Γ(3

8)

Γ(78)Γ(5

8)

t+3 v14 2 0 16, 12

32 exp(πi2)12

Γ(16)Γ(1

3)

Γ(56)Γ(2

3)

t+4 v15 2 0 14, 12

2 exp(πi2)12

Γ(14)2

Γ(34)2

t∗1 v4 3 0 16, 23

2 exp(πi3)13

Γ(16)Γ(1

3)

Γ(56)Γ(2

3)

t∗2 v7 4 0 14, 34

1 exp(πi4)14

Γ(14)2

Γ(34)2

t∗3 v8 6 0 13, 56

1 exp(πi6)16

Γ(13)Γ(1

6)

Γ(23)Γ(5

6)

t v ev t(v), a, c νv kv

t+1 v4 3 1 112

, 23

23 13

Γ( 112

)Γ( 712

)Γ(13)

Γ(1112

)Γ( 512

)Γ(23)

t+2 v7 4 1 18, 34

1 14

Γ(18)Γ(5

8)Γ(1

4)

Γ(78)Γ(3

8)Γ(3

4)

t+3 v8 6 1 16, 56

1 16

Γ(16)2Γ(2

3)

Γ(56)2Γ(1

3)

t∗1 v19 3 1 16, 23

2 13

Γ(16)Γ(1

3)

Γ(56)Γ(2

3)

t∗2 v20 4 1 14, 34

1 14

Γ(14)2

Γ(34)2

t∗3 v21 6 1 13, 56

1 16

Γ(13)Γ(1

6)

Γ(23)Γ(5

6)

190 197

Page 195: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

t v ev t(v), a, c νv kv

t1 v2 3 0 112

, 23

23 exp(πi3)13

Γ( 112

)Γ( 712

)Γ(13)

Γ(1112

)Γ( 512

)Γ(23)

t1 v3 2 1 112

, 12

2 · 32 12

Γ( 112

)Γ( 512

)

Γ(1112

)Γ( 712

)

t2 v7 2 1 14, 12

2 12

Γ(14)2

Γ(34)2

t3 v8 3 1 13, 23

2 13

Γ(13)3

Γ(23)3

Ordenes de Q(i): dependencias algebraicas

(1)(

k(v(−4,P (0,1),X+0(1)),t+

1))

k(v(−4,P (0,1),X0(1)),t1)

)2

= −1, e+ = e = 2;

(2)(

k(v(−4,P (0,1),X0(1)),t1)k(v(−4,P (1/2,1/2),X0(2)),t2)

)2= 3, e1 = e2 = 2;

(3)(

k(v(−4,P (1/2,1/2),X+0(2)),t+

2)

k(v(−4,P (1/2,1/2),X0(2)),t2)

)4

=1

4, e+ = 4, e = 2;

(4)(

k(v(−4,P (1/2,1/2),X+0(2)),t+

2)

k(v(−4,P (1/2,1/2),X+0(2)∗),t∗

2)

)4

= −4, e+ = e∗ = 4;

(5)(

k(v(−4,P (1/2,1/2),X+0(2)),t+

2)

k(v(−4,P (3/2,1/2),X+0(2)∗),t∗

2)

)4

= 4, e+ = e∗ = 4;

(6)(

k(v(−16,P (0,1/2),X0(1)),t1)k(v(−16,P (0,1/2),X0(2)),t2)

)1= 2541, e1 = e2 = 1;

(7)(

k(v(−16,P (0,1/2),X0(2)),t2)k(v(−16,P (0,1/2),X0(4)),t4)

)1=

3

16, e2 = e4 = 1;

(8)(

k(v(−4·22,P (0,1/2),X+0(4)),t+

4)

k(v(−4·22,P (0,1/2),X0(4)),t4)

)2

=−1

4, e+ = 2, e = 1;

(9)(

k(v(−4·22,P (0,1/2),X+0(4)),t+

4)

k(v(−4·22,P (0,1/2),X+0(4)∗),t∗

4)

)2

= 4, e+ = 2, e∗ = 1.

191 197

Page 196: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Ordenes de Q(√−3): dependencias algebraicas

(10)(

k(v(−3,P (−1/2,√

3/2),X0(1)),t1)

k(v(−3,P (1/2,√

3/2),X0(1)),t1)

)3

= 1, e = 3;

(11)(

k(v(−3,P (1/2,√

3/2),X+0(1)),t+

1)

k(v(−3,P (1/2,√

3/2),X0(1)),t1)

)3

= −1, e+ = e+ = 3;

(12)(

k(v(−3,P (1/2,√

3/2),X+0(1)),t+

1)

k(v(−3,P (1/2,√

3/2),X+0(1)∗),t∗

1)

)3

= −4, e+ = e∗ = 3;

(13)(

k(v(−3,P (1/2,√

3/2),X+0(1)),t+

1)

k(v(−3,P (3/2,√

3/2),X+0(1)∗),t∗

1)

)3

= 4, e+ = e∗ = 3;

(14)(

k(v(−3,P (1/2,√

3/2),X0(1)),t1)

k(v(−3,P (−1/2,√

3/6),X0(3)),t3)

)3

= −8, e1 = e3 = 3;

(15)(

k(v(−3,P (−1/2,√

3/6),X+0(3)),t+

3)

k(v(−3,P (−1/2,√

3/6),X0(3)),t3)

)6

=1

4, e+ = 6, e = 3;

(16)(

k(v(−3,P (−1/2,√

3/6),X+0(3)),t+

3)

k(v(−3,P (−1/2,√

3/6),X+0(3)∗),t∗

3)

)6

= −4, e+ = e∗ = 6;

(17)(

k(v(−3,P (−1/2,√

3/6),X+0(3)),t+

3)

k(v(−3,P (3/2,√

3/6),X+0(3)∗),t∗

3)

)6

= 4, e+ = e∗ = 6;

(18)(

k(v(−3,P (0,1/√

3),X+0(3)),t+

3)

k(v(−3,P (0,1/√

3),X0(3)),t3)

)2

=−1

4, e+ = 2, e = 1.

Dependencias algebraicas deducidas por observacion de la tabla

Ordenes de Q(i):

(19)

(k(v(−4·22,P (0,1/2),X+

0 (4)),t+4 )

k(v(−4,P (1/2,1/2),X+0 (2)∗),t∗2)

)4

= −16, e+4 = 2, e∗2 = 4.

Ordenes de Q(√−3):

(20)

(k(v(−3·22,P (0,1/

√3),X+

0 (3)),t+3 )

k(v(−3,P (1/2,√

3/2),X+0 (3)∗),t∗3)

)6

= 729, e+3 = 2, e∗3 = 6.

192 197

Page 197: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Representantes de las clases en C∗/Q∗

• Para Q(√−2), d = −8:

k(v(−8, P (0,1/√

2), X+0 (2)), t+2 ) = exp(πi

2)12

Γ(18)Γ(3

8)

Γ(58)Γ(7

8)∼ Γ(1

8)Γ(3

8)

Γ(58)Γ(7

8)

• Para Q(√−1), d = −4:

k(v(−4, P (1/2,1/2), X0(2)), t2) = 12

Γ(14)2

Γ(34)2

∼ Γ(14)2

Γ(34)2

• Para Q(√−3), d = −3:

k(v(−3, P (−1/2,√

3/6), X0(3)), t3) = 13

Γ(13)3

Γ(23)3

∼ Γ(13)3

Γ(23)3

K =∫ π

2

0

dϕ√1 − k2 sin2 ϕ

, K′ =∫ π

2

0

dϕ√1 − k′2 sin2 ϕ

, k2 + k′2 = 1

iK/K′ = τ ∈ Q(√

d), d < 0, ∆(τi) ∼ ∆(τj)

K ∼ √π

|d|∏m=1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Γ

(m

|d|

)(dm

)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

w4h

Chowla-Selberg

• Para d = −8:

(K√π

)2

∼ Γ(18)Γ(3

8)

Γ(58)Γ(7

8)∼ k(P (0,1/

√2), X+

0 (2), t+2 )

π−8 :=Γ(1

8)Γ(38)

Γ(58)Γ(7

8)

193 197

Page 198: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

• Para d = −4:

(K√π

)2

∼ Γ(14)

2

Γ(34)

2∼ k(P (1/2,1/2), X0(2), t2)

π−4 :=Γ(1

4)2

Γ(34)

2

• Para d = −3:

(K√π

)2

∼ Γ(13)

3

Γ(23)

3∼ k(P (−1/2,

√3/6), X0(3), t3)

π−3 :=Γ(1

3)3

Γ(23)

3

Definicion. Dado un discriminante d < 0, escribiremos

πd :=|d|∏

m=1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Γ

(m

|d|

)(dm

)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

w2h

.

Definicion. Sea P ∈ H un punto de multiplicacion compleja por unorden de discriminante d < 0. Sea Γ ≤ SL(2, R) un subgrupo conmen-surable con el grupo modular. Por definicion, un parametro aritmeticode uniformizacion local en P por la accion de ΓP es cualquier funcion

qP (z) :=(kz − P

z − P

)eP,

en donde eP = ΓP y la constante k es tal que k ∼ πd.

Definimos q∞ = exp(2πiz).

194 197

Page 199: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Teorema. (Chudnovsky, 1970) Sea E/Q una curva elıptica de ecuacion

Y 2 = 4X3 − g2X − g3.

Si E tiene multiplicacion compleja, entonces para todo perıodo ω ∈ Λ,

ω = 0, los numeros π, ω son algebraicamente independientes sobre Q.

Corolario. Γ(1/4), Γ(1/3) ∈ Q.

Demostracion:

4∫ 1

0

dt√1 − t4

(14

)2

√2π

; 2∫ ∞1

dt√4t3 − 4

(13

)3

3√16π.

Corolario. Γ(1/2), Γ(1/3), Γ(1/4), Γ(2/3), Γ(3/4) son trascendentes.

Teorema. Para todo discriminante d < 0, πd es trascendente.

Demostracion. Sea τ un punto de multiplicacion compleja por un

orden de discriminante d. Entonces, j(τ) ∈ Q. Puesto que

j(τ) = 28(k(τ)4 − k(τ)2 + 1)3

k(τ)4(k(τ)2 − 1)2,

se tendra que k(τ) ∈ Q. El modelo de Jacobi

Ek : Y 2 = (1 − X2)(1 − k(τ)X2)

esta definido sobre Q y su red de perıodos es 〈4K(τ),4K(τ)τ〉. El

modelo de Weierstrass correspondiente a esta red esta definido so-

bre Q. Por el teorema de Chudnovsky, K(τ), π son algebraicamente

independientes. Puesto que K(τ) ∼ √π · √πd, se deduce que πd es

trascendente.

195 197

Page 200: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Definicion. Sean P ∈ H un punto CM y qP un parametro aritmetico.

Sea Γ ≤ SL(2, R) un subgrupo conmensurable con el grupo modular.

Una funcion Γ-modular f se denomina aritmetica en P si su desarrollo

en serie de potencias de qP es de coeficientes algebraicos. Un funcion

modular respecto de Γ se denomina aritmetica en el infinito si su

desarrollo en serie de potencias de q∞ es de coeficientes algebraicos.

Teorema. Las condiciones siguientes son equivalentes:

(i) La funcion f es aritmetica en el infinito.

(ii) La funcion f es aritmetica en un punto CM.

(iii) La funcion f es aritmetica en todo los puntos CM.

5. Trascendencia de las constantes locales en el caso D = 6

Ordenes de Q(i):

a

a b

b

c c

P0P1

P2P3

P4

P5

P6

P7P8

k(P1, X6, t6) ∼ k(P3, X6, t6) ∼ k(P5, X6, t6) ∼ k(P6, X6, t6) ∼ Γ(1/4)Γ(5/12)Γ(3/4)Γ(11/12)

Ordenes de Q(√−3): k(P2, X6, t6) ∼ k(P4, X6, t6) ∼ Γ(1/3)2Γ(7/12)

Γ(2/3)2Γ(11/12)

Ordenes de Q(√−6):

k(P0, X6, t6) ∼ k(P7, X6, t6) ∼ k(P8, X6, t6) ∼ Γ(7/24)Γ(11/24)Γ(19/24)Γ(23/24)

196 197

Page 201: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

Teorema. Las constantes locales kP asociadas a las funciones au-tomorfas que uniformizan X6 y sus cocientes son trascendentes. Masconcretamente,

(i) k(P3, X6, t6) ∼ Γ(14)Γ( 5

12)

Γ(34)Γ(11

12)∼ π−4, π−4 =

Γ(14)

2

Γ(34)

2.

(ii) k(P4, X6, t6) ∼ Γ(13)

2Γ( 712)

Γ(23)

2Γ(1112)

∼ π−3, π−3 =Γ(1

3)3

Γ(23)

3.

(iii) k(P0, X6, t6) ∼ Γ( 724)Γ(11

24)

Γ(1924)Γ(23

24)∼ π−6, π−6 =

(Γ( 1

24)Γ( 524)Γ( 7

24)Γ(1124)

Γ(1324)Γ(17

24)Γ(1924)Γ(23

24)

)1/2

.

Demostracion.(

π−4k(P3,X6,t6)

)4= −256

3 ,(

π−3k(P4,X6,t6)

)12= −531441

4 ,(

π−6k(P0,X6,t6)

)2= −4.

Definicion. Sea P ∈ H un punto de multiplicacion compleja respectode Φ : H(3,−1) → M(2, R) por un orden de discriminante d < 0. SeaΓ ≤ SL(2, R) un subgrupo conmensurable con Γ(6,1). Por definicion,un parametro aritmetico de uniformizacion local en P por la accionde ΓP es cualquier funcion

qP (z) :=(kz − P

z − P

)eP,

en donde eP = ΓP y k ∼ πd.

Definicion. Una funcion Γ-automorfa se denomina aritmetica en P

si posee un desarrollo en serie de potencias de qP de coeficientesalgebraicos.

Teorema. Una funcion Γ-automorfa es aritmetica en un punto CMsi, y solo si, es aritmetica en todo punto CM.

197 197

Page 202: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat
Page 203: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

201

G. Frey, presentat per N. Vila

P. Bayer

Page 204: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

202

A. Koblitz i N. Koblitz

P. Bayer i G. Frey

Page 205: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

203

Representació (sènior) del STNB

Trio per amenitzar la festa amb Marcel·lí, Aleix i David

Page 206: travesa.cat · J. C. Lario Facultat de Matemàtiques i Estadística Universitat Politècnica de Catalunya Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona D. Remón Facultat de Matemàtiques Universitat

204

El pastís d’aniversari

Representació (júnior) del STNB