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2020/06/26 Field Theory I2nd Lecture
2. Classical Field Theory
scalarfield_se.fred swear Field)=
中川 : areal valued function of Space Time. pcoordinate xn の
面 が、Lorentz transformations で → x' M = ベンが
中は) → 4%の) = d'(べ甥
母 = 知)
vectorfu_ee.ws"としてただthe same
Point in SpagnaUM La) -7 V" (N) = 1Mv ん( x)
99 (x) ( a - 1 、 一 、 N )
4 9(x) rs 4'9I = D(べけい)・ Lorentz Group t Translation = Painearegroups(
1 M = AM 、 xNt aM
tconstant
CIassicalfieldtheory_classic.atMechanics
a Particle , q coordinate
La , I) Lag rang i anな
S = fdt Llq 、 で ) actions
ti
Action principle ( Hamilton's principle)
qH) → qい +88は)と
川にti.gs o fndw 91が
、
SS = 0 ⇒ Euler Lagrange eq t
言 一 純書) = 。
口 coordinates Gift)-) 4 1 t , *)www.
iii) → tit , * )
L 19,8) → L ( 中, I ) Lagrangeindensityt
よし( 4 , 2µ
L = [ d3× よし4.am
S= SLaid t → S- Get L
= S d4× LAction should satisfy nnnuess
• Poincariinv.lt Internal symmetry )・ S is read valid → Unitary' t dependence of I is through 4
→ luwity。 Lisa function of 0,34,2中4
,. . .
.
dynamie s is determined by value of dtf
5=594× £10 = fdtではti
中 (x)→ 0の +04い
8 lti ,*) = 841な、x) = 0
- 0{ 4 1t.pl Spatial Infinity
OS = S d4 つ( 8 80µ(84)
= 1嶰章 8 4 +讞「関st) 幾品
で会い型)| 讞學 |= 2 。 (84)
=微新 ・ の 1讞りーー
かで derivative
・ 引器が 8 4 ]Sax の 1讞り 一意域な
t.IO。
SS - Sax 1章 ・ の 1着から 84
割器の はら-) = 0として-_-
Euler -Lagrange equation些 L = し た¢ が4 - 主 m24 2
恋の 1着、 )-
一 m24 - 2µ 1が 4)
= 一 (たが十 m2 ) 4 = 0
1 1がい幽eee
Klein - Gordon eq .
口 Noe thus than
If the actions in is Under certain continue symmetry,
then thee exists a conserved charge 。
• DoinCare' symmetry
infinitesind transformations
x M→ NM = IM+Sam
8 NM = EM 、 1V+ EM
( En = - Eva )
中 に) → (1 9) = 4 11) +84に)were
89つり = 44が) - 4は)
= d' EN) -41が t 0 (xx) -4 (x)-80 中 ( x) 8 KM 2µ 4い
Liederivative_Forscalarfiel.cl,84 1の 二 0 8044) = -8どの物
S = Sdが よ
よし ¢ (か、 2µ 4 しの) → よ" ( 41 (か? 私 44が)Sedan
of = S o L t S ×" がよmr。4-
一 章 80 4 +器 した +8がみ L
の
= 8が 2µ L + [章一 の 1器が] a of
written
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𠮟 M → alt = フ( Mtd つに
dT → d 4 つ(1= detに器 ) d 4×
T.acobianee.catに器) - wt 10し tな業) = 1+ 2µが
det 1 1+ E) = exp ( tr ln 11+ ED = expltr E)
な) i = eip ( た Inti )= 1 +tre. .
OS = fd4た ( 8がるは 十 の 1着が。4)
+ 2µ 8が よ )
= Sax の (高が t 8がよ)
84=804+8が 2µ ¢
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.8 0 is induced by wa → Waterwa
PoxP =8噐。
Swa ont . parameters
Of = 8_ rwaEwa
で啡讞とは始器が爛swa
If 8 S = 0 for any dwaT
⇒
が譲、 噐 + はな謠 の噀Noether awent
の うた = 0
TeO= 燄dt fd3し た がいかt
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= 煎る。 [ ドぽいー]= Gの jdyx) - f d'× j !心が
Qa = fd3xjdlt.xyt.independent→ conserved charge
ewa
D Example 1 x M → x 1M - x M + en
of
{ Ti= 0,
Scala r find
o x M
た。
= 0 と
TM u = 一 [ で の 一言。34188
= 一 £8 し +2よーーるくる
20
enugymomentv.in tensor
P。 = Sd 3× T ' v は、 *)
Energy + 3 dim Momentum of the System
D Example 2 x M → x' M = EN が wa _ ew
0 4
。= 0 Solar Fields
{噐。 こう はっいにいM M
mul = T Mw つ( U - T My Nui
Generalized singular Momentum tensor
M uv= S d 3 KM 、
Generalized angda nomentum
M ij : a regular Momentun
Moi : conserved changes related toLorentz Boost .