A tacit rite of passage for the mathematician is the first sleepless night

caused by an unsolved problem.B. Reznick

Prof. univ. dr. Ioan TOFAN

Zilele Universității „Alexandru Ioan Cuza” din Iași octombrie 2016

Mathematics is the study of mental objects with reproducible properties.

R. Davis, R. Hersh

Everything should be made as simple as possible but not simpler.

A. Einstein

1. Platon – teoria ideilor numere (Theaitetos, Timaios)

Aristotel – abstracție idealizantă (Metafizica)

2. M,

ax. Z-F alg. Boole

relațiifuncțiit. categ. algebre Heyting

înlocuirea pătratelor (reprezentare geometrică) cu figurisimilare (între ele)

t. cosinusului

plan și spațiu (tetraedru)

geometrie Riemann

geometrie Lobacevski

? T. Pitagora ax. paralelelor

2 2 2a b c

2

2 2 21

ra b O c

Triplete pitagoreice (x, y, z) (din ℤ)𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 (ec. diofantică)

Proprietăți - 𝑦 par ⇒ 4/𝑦- 5/𝑥 sau 𝑧- etc.

Triplet primitiv = pitagoreic și (rezultă și 𝑥, 𝑧 = 1 = (𝑦, 𝑧))

Problemă (reprezentări de numere):𝑘 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑘2 = 𝑥2+𝑦2

T. 𝑝 > 2, prim este sumă de pătrate ⇔ 𝑝 = 4𝑘 + 1 T. (Sierpinski) 𝑧 > 0 satisf. ∃𝑥, 𝑦: 𝑧2 = 𝑥2+𝑦2 ⇔ 𝑧 are un

factor prim de forma 4𝑘 + 1. Probleme: - Nr. de reprezentări (pentru un 𝑝 sau 𝑧).

- Reprezentări: 𝑥12 + ...+𝑥𝑘

2

, 1x y

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2⇒𝑥

𝑧

2+

𝑦

𝑧

2= 1 (t. primitiv)

→coresp. bijectivă între 𝑡. 𝑝 și {puncte de

coord. raționale de pe cercul unitar aflate în

primul cadran (fără axe)}.

! Diofant – metodă de determinare a pct. de

coordonate raționale de pe conice.

Probleme: - triplete de nr. raționale, „pitagoreice”

𝑥1

𝑥2,𝑦1

𝑦2,𝑧1

𝑧2

𝑧1

𝑧2

2=

𝑥1

𝑥2

2+

𝑦1

𝑦2

2

Obs. ⇔ 𝑥1𝑦2𝑧2, 𝑥2𝑦1𝑧2, 𝑥2𝑦2𝑧1 t. pitagoreic.

- legătura cu 𝐸 ℚ grupul abelian al pct. de coord.

raționale de pe curbe eliptice.

(T. Mordell: 𝐸 ℚ este finit generat)

- studiul proprietăților unor mărimi atașate t. p. (de ex.

aria triunghiului dreptunghic asociat).

Notăm A 𝑝, 𝑞, 𝑟 aria tr. dreptunghic coresp.

𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ ℚ .

Obținem: 1,2,3 ≠ A 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∀𝑡. 𝑝.

A 𝑝, 𝑞, 𝑟 ≠ 𝑘2

(consecințe pentru ec. diofantice 𝑥4 − 𝑦4 = 𝑧2,

𝑥4 + 𝑦4 = 𝑧4).

! Fie 𝐸𝑛 curba eliptică dată de 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑛2𝑥.

T. 𝑛 liber de pătrate este de forma A 𝑝, 𝑞, 𝑟 ⇔

𝐸𝑛 ℚ are un element de ordin infinit.

Ex. 2. Fie 𝑅0 ⊆ 𝑅1 inele com., unitare 𝑃 ∈ 𝑅. 𝑋 . Se cer rădăcinile din 𝑅1.

- cazuri: 𝑅0 = 𝑅1 = ℤ, etc.; nr. răd.; intervale.

- soluțiile – numere algebrice.

1. 𝑃 ∈ 𝑅0 𝑋, 𝑌

Zero 𝑃 = 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅12/𝑃 𝛼, 𝛽 = 0

𝑅1 = ℝ, Zero 𝑃 - curbă plană (curbă algebrică)

2. 𝑃 ∈ 𝑅0 𝑋, 𝑌, 𝑍 - suprafețe algebrice

3. 𝑃 ∈ 𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑 - hipersuprafețe algebrice

(∗) 𝑃1 = 0

⋮𝑃𝑚 = 0

𝑃𝑖 ∈ 𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑 .

Zero 𝑃1, … , 𝑃𝑚 ! Zero 𝑃1, … , 𝑃𝑚 =Zero 𝑃1, … , 𝑃𝑚Pentru 𝐽 ⊆ 𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑 , Zero 𝐽

(pt. 𝑅1 corp - Zero 𝐽 - mulțime algebrică)

! 𝑅1 = ℂ (algebraic închis).Wu Wen-tsun: Mechanical Theorem Proving in Geometries, Springer, 1994

(rezolvare pentru (∗))

! Sisteme de forma

𝑃1 = 0,… , 𝑃𝑘 = 0𝑃𝑘+1 > 0,… , 𝑃𝑙 > 0𝑃𝑙+1 ≥ 0,… , 𝑃𝑚 ≥ 0

sau cu tipuri particulare de polinoame.

𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑 ; 𝑅1𝑑 ( 𝑑 𝑅1 ), top. Zariski.

𝐽 ⊆ 𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑 ↝Zero 𝐽 ⊆𝑅1𝑑

întoarcere la algebră

𝑈 ⊆ 𝑅1𝑑 ↝ Ideal 𝑈 = 𝑃 ∈ 𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑 𝑎. 𝑖. 𝑃 𝛼1, … , 𝛼𝑑 = 0

∀ 𝛼1, … , 𝛼𝑑 ∈ 𝑈 (! este ideal)

- Ideal(Zero 𝐽 )Zero(Ideal(𝑈))

𝐽 ⊆ Ideal Zero 𝐽

Zero(Ideal(Zero(J)))=Zero(J)

U ⊆ Zero(Ideal(U))

Ideal(Zero(Ideal(U)))=Ideal(U)

Probleme: Restricţia: J ideal; 𝑅1 corp alg. închis (ℂ) (𝑈 mulț. alg.)- idealele inelului 𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑 - finit/infinit generate; privite în 𝑅1 𝑋1, … , 𝑋𝑑 (T. bazei Hilbert: 𝑅0 noetherian ⇒𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑

noetherian)- Date 𝑃0, 𝑃1, … , 𝑃𝑚 ∈ 𝑅0 𝑋1, … , 𝑋𝑑 , avem 𝑃0 ∈ 𝑃1, … , 𝑃𝑚 ? (baze Gröbner)

(T. zerourilor, Hilbert) (bijecție: mulț. alg - radicali) J = Ideal(Zero(J))⇔J este radical

! Idealele – mai multe informații decât mulț. alg.

Ex. 3 Geom. pct. laticeale (coord. ∈ ℤ)

- 𝑙-dreapta (≡ dreaptă ce conține 2 puncte laticeale

distincte)

- 𝑙-segment (≡ segment cu extremități – p. laticeale)

- 𝑙- poligon (≡ cu vf. în p. laticeale).

Obs. i) 𝑠 = lungimea unui 𝑙 -segment ⇒ 𝑠2 ∈ ℕ

ii) 𝛼 = ∢ 𝑙 -drepte, 𝛼 ≠𝜋

2, 3

𝜋

2⇒tg𝛼 ∈ ℚ

iii) ∄ 𝑙 -triunghiuri echilaterale.

Problemă

- 𝑙-poligoane regulate (! doar pătrate)

- 𝑙 – poligon primitiv (singurele p. laticeale din interior

sau de pe laturi: vârfurile)

- baze în ℤ2 (ca ℤ-modul) (laturi pentru 𝑙 –triunghiuri

primitive)

! Paralelogramul pe elem. unei baze este 𝑙 –

paralelogram (și are aria =1).

Problemă

– aria unui 𝑙 –poligon

T. Pick: 𝐴 =1

2𝐵 𝑃 + 𝐼 𝑃 − 1

𝐵 𝑃 = nr. p. laticeale de pe laturile poligonului)

𝐼 𝑃 = nr. p. laticeale interioare poligonului

T. 𝑛 = aria unui 𝑙 – pătrat ⇔ 𝑛 =sumă de pătrate

de întregi nenegativi

Probleme: - pct laticeale 𝑝 = 𝑎, 𝑏 cu 𝑎, 𝑏 relativprime. ! pe 𝑙 dreapta ce conține 0,0 și 𝑎, 𝑏 avem că𝑎, 𝑏 este cel mai apropiat de origine.

Fie 𝑃 un 𝑙-pătrat de latură 𝑡 (centrul în origine) și𝑁(𝑡)-p. laticeale, 𝑉(𝑡)-p. laticeale cu 𝑎, 𝑏 relativprime (din 𝑃).

lim𝑡→∞

𝑉(𝑡)

𝑁(𝑡)=

6

𝜋2

Fie 𝐶 𝑛 cerc centrat în origine de rază 𝑛 și𝐿 𝑛 = nr. pct. laticeale din și de pe cerc

lim𝑛→∞

𝐿(𝑛)

𝑛= 𝜋

− 𝑙 triunghiuri 𝑇 cu 𝐼 𝑇 = 0 sau 1.

− legătură p. laticeale 𝑝 = 𝑎, 𝑏 , unde 𝑎, 𝑏-prime

între ele cu șirurile Farey.

− legătura cu T. Minkowski (pt. ℝ2: s mărg.,

convexă, simetrică față de origine ⇒ s conține p.

laticeale ≠ 0,0 și are aria > 4; similar pt ℝ𝑘).

− polinoamele Ehrhart

Ex. 4 Aproximări diofantice

Obs. 𝑎

𝑏−

𝑝

𝑞<

1

𝑏𝑞⇒

𝑎

𝑏=

𝑝

𝑞

0 <𝑎

𝑏−

𝑝

𝑞<

1

𝑚𝑏⇒ 𝑞 > 𝑚

𝛼 ∈ ℝ, 𝛿, η ∈ ℝ+ ⇒ ∃ nr finit de 𝑝

𝑞∈ 𝑄 cu 𝑞 ≤ 𝑛 a.i.

𝛼 −𝑝

𝑞≤ 𝛿.

! Nr. raționale „apropiate” de numere reale

T. Dirichlet 𝛼 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ∗. ∃𝑝

𝑞∈ ℚ cu 0 < 𝑞 ≤ 𝑛 a.î.

𝛼 −𝑝

𝑞≤

1

𝑛+1 𝑞

Obs. Ineg. nu poate fi îmbunătățită (𝑛 fixat, ∃𝛼,cu „=‘’)

Consec. i) ∀𝛼 ∈ ℝ ∃𝑝

𝑞∈ ℚ: 𝛼 −

𝑝

𝑞<

1

𝑞2

ii) 𝛼 irațional ⇒∃ o infinitate de nr. 𝑝

𝑞∈ ℚ a.i.

𝛼 −𝑝

𝑞<

1

𝑞2.

Problemă: 𝛼 −𝑝

𝑞<

1

𝑞2poate fi îmbunătățită?

De ex. 𝛼 −𝑝

𝑞<

1

2𝑞2?

T. Hurwitz Fie 𝛼 irațional. ∃ o infinitate de nr.

raționale 𝑝

𝑞a.î. 𝛼 −

𝑝

𝑞<

1

5𝑞2

(și constanta 5 este cea mai bună posibilă).

Problemă: determinarea lui 𝑝

𝑞din T. Dirichlet

- algoritm (v. teoria fracțiilor continue)

Alte probleme: - legătura cu Alg. Euclid

- unicitatea dezvoltării în fr. continue

(raționale/iraționale)

Obs. Ineg. Dirichlet ⇒ 𝛼𝑞 − 𝑃 ≤1

𝑛+1⇒

reformulare

∃𝑞 ∈ ℤ: 1 ≤ 𝑞 ≤ 𝑛 și 𝑎𝑞 ≤ 𝑛 + 𝑞 −1 ( 𝑥 =

𝑚𝑖𝑛 𝑥 − 𝑛/𝑛 ∈ ℤ )

→ T. Lagrange, T. Legendre („cea mai bună

aproximație”)

- T. Liouville

I ask circumspect questions to avoid circumspect answers.

Stanislav Jerzy Lec