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8/18/2019 isometria6 1°.doc

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GUIA MATEMATICAPRIMEROS MEDIOS

UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMETRICAS

Si auna

figura geométrica se le alica una transformaci!n" # esta no ro$uce un cam%io en la me$i$a $e los la$os # &ngulosse llama 'transformaci!n isométrica()O%ser*emos a continuaci!n algunas transformaciones geométricas en el lano:

Traslación: A+CDEF se ,a transforma$o a la figura A-+-C-D-E-F-" en

la $irecci!n # longitu$ $el *ector d

Rotación: A+CDE se ,a transforma$o a la figura A-+-C-D-E-"me$iante la rotaci!n con centro en el unto O # con el&ngulo α # en el senti$o .ue este &ngulo in$ica)

En estas $os figuras" el &ngulo .ue forma el *értice $ela figura original con su ,omologo es siemre el mismo)

Reflexión: A+CD se ,a refle/a$o entorno a la recta 0 .ue$an$o enla figura A-+-C-D-

Homotecia:

Aren$i1a/es esera$os:2) Relacionan # anali1an roie$a$es $efiguras geométricas en conte3tos $e

em%al$osamiento $e una suerficie lana)

Acti*i$a$ 2 Anali1ar relaciones # roie$a$es $efiguras geométricas .ue $eri*an $e la

osi%ili$a$ $e em%al$osar suerficieslanas)

Conteni$os:2) Conceto $e Transformaciones

Isométricas)

4) Simetr5a A3ial)6) 7ectores)8) Traslaciones)9) Rotaciones)) Simetr5a Central);) Simetr5a Rotacional))Dise?o %al$osas)22)Mosaicos en trama cua$ra$a)24)Mosaicos en trama triangular)

4) Caracteri1an la traslaci!n" la simetr5a # larotaci!n $e figuras en un lano)

6) Descri%en los cam%ios .ue o%ser*an entreuna figura # su imagen or traslaci!n"rotaci!n o simetr5a)

8) Constru#en" utili1an$o escua$ra # com&so un rograma comutacional" figurassimétricas" trasla$a$as # rota$as)

Acti*i$a$ 4Caracteri1ar traslaci!n" simetr5a # rotaci!n)Descri%ir los cam%ios .ue genera sualicaci!n # utili1arlas ara construirfiguras) Transformar figuras or simetr5a #traslaci!n en un sistema cartesiano $ecoor$ena$as # anali1arlas)

9) Dise?an comosiciones sencillas .ueincororan traslaciones" simetr5as #rotaciones)

) Reconocen simetr5as" rotaciones #traslaciones en la naturale1a # en o%ras$e arte tales como las $e M)C)Esc,er" elalacio $e la Al,am%ra" algunasartesan5as" etc)

;) Descri%en atrones .ue se o%ser*an en laalicaci!n $e simetr5as" rotaciones #traslaciones en un sistema $ecoor$ena$as)

Acti*i$a$ 6Dise?ar comosiciones sencillas # $escri%ir # anali1ar transformaciones isométricasresentes en el arte" en la naturale1a" en elmun$o $e la ciencia #@o en $ise?osestructurales # tecnol!gicos)


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A la figura A+CD se le ,a alica$o una ,omotecia $ecentro O # ra1!n 6 : 4" transform&n$ose en elcua$ril&tero A-+-C-D-

c!mo son estas $os figurasB

En las transformaciones anteriores" las tres rimeras correson$en a transformaciones Isométricas" mientras .ue laultima no lo es" #a .ue conser*a los &ngulos ero no las me$i$as $e los la$os)

SISTEMAS DE COORDENAS

Un sistema coor$ena$o %i$imensional es un sistema en el cual un unto ue$e mo*erse en to$as $irecciones"mantenién$ose siemre en un lano) Este sistema es el $e coor$ena$as rectangular u ortogonal) Este sistema est&

forma$o or $os rectas eren$iculares entre s5 - e - llama$as e/es $e coor$ena$as)

0a recta - ,ori1ontal" a%scisas reci%e el nom%re $e EGE # la recta - *ertical" or$ena$as reci%e el nom%re$e EGE )

0a intersecci!n entre el e/e # el e/e es un con/unto cu#o Hnico elemento es un unto llama$o origen $el sistemacartesiano)El origen $el sistema $i*i$e a ca$a e/e en $os semie/es:a las ABSCISAS u%ica$as a la $erec,a $el e/e " resecto $el

origen" son ositi*as # las u%ica$as a la i1.uier$a sonnegati*as)

% las ORDENADAS u%ica$as ,acia arri%a $el e/e " resecto$el origen" son ositi*as # las u%ica$as ,acia a%a/o sonnegati*as)

0os e/es $i*i$en al lano en cuatro artes llama$as cua$rantes"numera$os segHn se muestra en la Figura)

Reresentación !e "ntos en el #lano

To$o unto P $el lano" .ue$a $etermina$o or un ar $e nHmerosreales 3 e # .ue se llaman COORDENADAS $el unto P" # sereresentan or el ar $e coor$ena$as 3"#)0a coor$ena$a x $e P se llama A+SCISA) 0a coor$ena$a $ $e P

se llama ORDENADA)0os untos en el lano se $esignan or las letras ma#Hsculas: A" +"C" P etc)

0os untos cu#as or!ena!as son cero" est&n so%re el e/e o e/e$e las a%scisas) 0os untos cu#as a%scisas son cero" est&n so%reel e/e o e/e $e las or$ena$as)

To$o unto P en el lano" ue$e locali1arse a tra*és $ecoor$ena$as) 0as coor$ena$as $e P se o%tienen tra1an$o PAeren$icular al e/e # P+ eren$icular al e/e )

0a longitu$ $el segmento OA es la a%scisa $e P # se reresenta or 3) 0a longitu$ $el segmento O+ es la or$ena$a$e P # se reresenta or #)

Transformaciones

Em%al!osa!os 0os em%al$osa$os o teselaciones se reali1aron $es$e tiemos mu#antiguos" sin em%argo" su ,istoria # su estu$io en la matem&tica esreciente)En resumen" em%al$osar o teselar" significa recu%rir el lano con figuras.ue se reiten $e mo$o .ue:

• Al unir las figuras se recu%re comletamente el lano

• 0a intersecci!n $e $os figuras sea *ac5a sin ,uecos


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&' Teselación Re("lar 0a Teselaci!n regular es el cu%rimiento $el lano con ol5gonos regulares # congruentes) Son s!lo tres losol5gonos regulares .ue cu%ren o em%al$osan el lano Eucli$eano: el tri&ngulo e.uil&tero" el cua$ra$o # el,e3&gono regular)

Al o%ser*ar estas artes $el lano em%al$osa$as or ca$a uno $e los ol5gonos regulares" $istinguimos situaciones.ue con*iene $estacar)

Al em%al$osar con cua$ra$os" estos se alinean erfectamente uno so%re otro" en cam%iolos tri&ngulos # los ,e3&gonos se ensam%lan no alinea$os) Tam%ién se o%ser*a .ue un,e3&gono regular lo forman seis tri&ngulos e.uil&teros simult&neamente)

Al cu%rir el lano ocurre .ue en ca$a *értice $el ol5gonoregular" su &ngulo interior $e%e ser $i*isor e3acto $e 6>J" lo .ueocurre solamente en el tri&ngulo e.uil&tero" en el cua$ra$o # en el,e3&gono)

)' Teselación Semi*Re("lar

Una Teselaci!n semiregular es a.uella .ue est& forma$a or ol5gonos regulares $e manera .ue la uni!n $e elloses i$éntica en ca$a *értice 0as siguientes oc,o figuras" son las Hnicas com%inaciones $e ol5gonos regulares .ueermiten em%al$osar comletamente el lano:

E3isten otras com%inaciones $e ol5gonos regulares .ue aarentemente ue$en cu%rir el lano" ero sin em%argos!lo logran cu%rir el entorno $el unto" es $ecir" no es osi%le e3ten$erlas in$efini$amente)

0os nHmeros .ue se encuentran en ca$a una $e las figuras in$ican cu&ntos ol5gonos regulares $e .ué tio sonnecesarios en ca$a caso" or e/emlo:6"6"6"6" significa .ue o$emos crear una teselaci!n semiregular toman$o como atr!n %ase cuatro tri&ngulos #un ,e3&gono)

El em%al!osa!o con Transformaciones Isom+tricas

0a simle o%ser*aci!n # an&lisis $e em%al$osa$os" nos ermite comro%ar .ue estos se constru#en en %ase atransformaciones isométricas)

Traslación, Rotación $ Simetr-a .Reflexión/ son tres transformaciones isométricas me$iante las cuales ue$e,acerse coinci$ir una figura consigo misma)

Traslación: Isometr5a en .ue to$os los untos se $esla1an una $istancia fi/a,acia sus im&genes a lo largo $e tra#ectorias aralelas)

E/emlos:

• Una ersona su%ien$o o %a/an$o or una escala mec&nica)

• Un ascensor anor&mico)

• Un autom!*il $esla1&n$ose or un camino recto)• Un a*i!n al $esegar # luego al a$.uirir *eloci$a$ $e crucero)

Rotación: Isometr5a en .ue to$os los untos giran en un &nguloconstante con resecto a un unto fi/o) El unto fi/o se $enominacentro !e rotación # la canti$a$ $e giro se $enomina 0n("lo!e rotación'

Estas ala%ras significan .ue to$os los untos $e la figura sonrota$as a tra*és $e c5rculos concéntricos en O # .ue ellos$escri%en los mismos arcos en me$i$a angular $e estosc5rculos)


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E/emlos $e rotaci!n

• Un carrusel $e ni?os

• 0as rue$as $e una %icicleta)

• 0as asas $e un *entila$or)

• 0os unteros $e un relo/ an&logo)

• Kélices $e un a*i!n o un ,elic!tero)

Algunos conte3tos en los .ue se *en o utili1an las simetr5as:- En la naturale1a: Un tré%ol" una estrella $e mar)- En F5sica: El mo*imiento circular uniforme" *eloci$a$ angular" fuer1as centr5eta # centr5fuga" la rotaci!n

lanetaria)

Simetr-a0a i$ea $e simetr5a es in,erente a la erceci!n ,umana) Por lo tanto es aroia$o recurrir aalgunos naturales $e simetr5a # $e gran %elle1a)

Al o%ser*ar la mariosa # el escara%a/o" $iremos .ue ca$a uno es simétrico" ues al tra1ar una l5nea recta en el centro $e ca$a uno $e ellos" # si se $o%lara el ael or esta l5nea" laarte .ue est& a la $erec,a $e la l5nea ser5a e3actamente igual a la arte .ue est& a lai1.uier$a $e esa misma l5nea" $e tal manera .ue esas $os artes coinci$an)

En ca$a uno $e los e/emlos anteriores se *e claramente .ue al tra1ar una recta en el centro $e la figura" las artesforma$as son in$istingui%les en forma # tama?o" e3ceto or la osici!n .ue ocuan)

En %ase a las o%ser*aciones en los e/emlos anteriores" resulta natural $escu%rir .ue ,a# una transformaci!n .uelle*a la arte i1.uier$a $e la figura a la arte $erec,a sin cam%iar su forma ni sus $imensiones)

Otro E1emlo:

E2ERCICIOS

2) El OAB∆ se ,a gira$o en torno a O" .ue$an$o en la osici!n $el OCD∆ ) Cu&les $e las siguientes

afirmaciones esson *er$a$erasB

I OA L OCII AOC BOD≅R R

III AC L +Da Solo I% Solo IIc Solo I # II$ S!lo II # III

e I" II # III

4) El cua$ra$o $e *értices A2"2 +6"2 C6"6 # D2"6 es trasla$a$o $e mo$o .ue el *értice C .ue$e en el origen)Cu&les son las coor$ena$as $e los $em&s *érticesBa A-4"4 +->"4 D-4">

% A-8"8 +-"8 D-8"c A-2"2 +-2"2 D-2"2$ A-2@6"2@6 +-2"2@6 D-2@6"2e Falta Informaci!n

6) Cu&l $e las siguientes alternati*as no correson$e a una transformaci!n isométricaB

a Traslaci!n % Simetr5a c Rotaci!n $ Refle3i!n e Permutaci!n

8) El mo*imiento $e un ascensor anor&mico es un e/emlo $e:

a Traslaci!n % Simetr5a c Rotaci!n $ Isometr5a e Teselaci!n


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5

9) ué figura muestra to$o los e/es $e simetr5as $e un rect&nguloB:

a %

c $ e N)A)

) Cu&l $e las alternati*as reresenta la rotaci!n $e la figura $a$aB

a % c

$

e Ninguna $elas anteriores

;) Al trasla$ar el tri&ngulo $e *értices A2"9" +4"> # C6"2" segHn el *ector $e traslaci!n 8"2" el *értice,om!logo correson$iente a +- es:

a 6" % 4"2 c "> $ "2 e ;"4

) En la figura las coor$ena$as $e P son 9" ) Si P es unto me$io $e A+" cu&lesson las coor$ena$as $e +B

a "9$ 9"

% 9"8e 9"=

c 9"9

22) El cua$ra$o A+CD $e la figura tiene sus la$osaralelos a los e/es coor$ena$os) Si el la$o A+ mi$e 9cm) cu&les son las coor$ena$as $el *értice CB

a 6"


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4) C!mo *ar5an las coor$ena$as $e un unto X, Y al efectuar en un lano cartesiano" una rotaci!n ositi*a $e2J con centro en el origenB

A X, -Y + -X, Y C X, Y D -X, -Y E 4 X,2Y)

4;) Si reali1o una traslaci!n con un *ector $e traslaci!n T 4" 2 al unto A2" 4" en un lano cartesiano" el untoresultante $esués $e la traslaci!n es:

A 2" 6 + 2" 2 C 6" 6 D 6" 6 E 6" 4

4J " enun lano cartesiano" con centro en el origen Cu&les ser5an las coor$ena$as $el tri&ngulo ABC luego $e alicar una rotaci!n $e =>J con centro en el origen # osteriormente una traslaci!n T 4" 6B

Nota: 0os *értices $el tri&ngulo son: A 4" 6" B 9" 2 # C 8" 9)

A A6" 4" +2" 9 # C 9" 8 + A>" " B6" 8 # C 4" ; C A9" 9" +6" # T >" 8 E To$as las anteriores son *er$a$eras)

66) Si se rota en 2J el tri&ngulo $e *értices: A>" >" B8" 6 # C 9" >" en un lano cartesiano" con centro en elorigen # senti$o anti,orario" # luego reali1o una traslaci!n con un *ector $e traslaci!n T 4" 4 los *értices $eltri&ngulo resultante son :

A A4" 4" B"2" C ;" 4 + A4" 4" B2"" C ;" 4 C A4" 4" B2"" C 4" ;D A4" 4" B2"" C 4" ; E A8" 4" B2"" C ;" 4 9

68) Si el tra1o AB, ubicado en un lano cartesiano" $e e3tremos A( 4"9 # B4"> se gira ositi*amente" con centroen el origen 2J" luego se gira =>J m&s # finalmente se gira otros =>J" los e3tremos $el tra1o resultante son:

A 9"4 # >"4 + 9"4 # 4"> C 4"9 # 4"> D 4"9 # 4"> E 4"9 # 4"=

35. Si en un plano cartesiano el punto A(3,2) se traslada a B( 2,4) y luego a C(-2,-1), ¿cuál es elvector traslacin !ue se de"e e#plear para trasladar en un solo paso el punto $ a la u"icacin C%

$) T (-5, -3) &) T (5, 3) ') T (-5, ) ) T (, -3) *) T (-3,-5)

3+. Si al punto A(3,4), u"icado en un plano cartesiano, se le aplica una rotacin de con centro enel origen, y luego una traslacin (5, -2), el punto A´ ser/a0

$) (1, +) &) (+, 4) ') (11, -3) ) (1, 1) *) (11, -1)

3. ¿'#o var/an las coordenadas ( X,Y ) de los vrtices de un triangulo ABC, en un plano cartesiano aleectuar una rotacin positiva de 3+ con centro en el origen y luego una traslacin con un vectorde traslacin T (, 2)%

$) ( X 2 ,-Y ) &) ( X, Y 2) ') (Y ,Y 2) ) ( X ,)

*) o var/an.

36. 7n ta"lero de a8edre9 está or#ado por cuadrados ordenados en 6 colu#nas identi:cadas con lasletras A, B, C, D, E, F, G, H (de i9!uierda a derec;a) y 6 :las, identi:cadas con los n"B( 4";" C9"8 con resecto al e/e Y consi$eran$o el e/e Y como e/e $e simetr5a tiene *értices:


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$) (,), (,), (2,4) &) (-2,), (-2,), (-5,4) C 4">" 4";" 9"8D 4">" 2"8" 4"; E 4">" 9"8" ;">

8>) Si al tri&ngulo ABC $e la figura" u%ica$o en un lano cartesiano $e *értices A4"4 B4" 8 # C " 2 "se lealica una rotaci!n $e =>J" con centro en el origen" # luego una traslaci!n T 9" 4" el *értice C ser5a:

A 2" + " 8C 22" 6D 2" 2E Ninguna $e ellas

41. >ara !ue un punto A(2,5) se desplace ;asta la posicin A’ (-4,-1), se de"er/a aplicar(1) 7na traslacin con vector T (-+,-+)

(2) 7n giro positivo con centro en el origen y ángulo de rotacin de ?$) (1) por s/ sola.&) (2) por s/ sola.') $#"as 8untas (1) y (2).) 'ada una por s/ sola (1) (2).*) Se re!uiere inor#acin adicional

Nota: 0as acti*i$a$es comlementarias" ronto ser&n entrega$as)

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