IRAM 35050E1

ESQUEMA 1

350501999

Estadística

Procedimientos para la evaluación de laincertidumbre de medición

Procedure for the evaluation of theuncertainty in measurement

Este esquema está sometido a discu-

sión pública. Las observaciones de-

ben remitirse fundadas y por escri-

to, al Instituto IRAM, Perú 552/556 -

1068 – Capital Federal antes del

2000-10-20

DOCUMENTO EN ESTUDIO

DE NORMA IRAM

Setiembre 1999

INSTITUTO ARGENTINO DE NORMALIZACIÓN

Esquema 1 IRAM 35050:1999

Prefacio

El Instituto Argentino de Normalización (IRAM) es una asociación civil sin fines de lucro cuyas finalidades específicas, en su carácter de Organismo Argentino de Normalización, son establecer normas técnicas, sin limitaciones en los ámbitos que abarquen, además de propender al conocimiento y la aplicación de la normalización como base de la calidad, promoviendo las actividades de certificación de productos y de sistemas de la calidad en las empresas para brindar seguridad al consumidor.

IRAM es el representante de la Argentina en la International Organization for Standardization (ISO), en la Comisión Panamericana de Normas Técnicas (COPANT) y en el Comité MERCOSUR de Normalización (CMN).

Esta norma IRAM es el fruto del consenso técnico entre los diversos sectores involucrados, los que a través de sus representantes han intervenido en los Organismos de Estudio de Normas correspondientes.

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Índice

0 INTRODUCCIÓN.........................................................................................5

1 OBJETO Y CAMPO DE APLICACIÓN........................................................7

2 DEFINICIONES...........................................................................................8

3 CONCEPTOS BÁSICOS...........................................................................10

4 EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR............................15

5 DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA26

6 DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EXPANDIDA....................31

7 EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE...................................................32

8 RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA LA EVALUACIÓN Y LA EX-PRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE............................................................35

Anexo A (Normativo).....................................................................................37

Anexo B (Normativo).....................................................................................39

Anexo C (Normativo).....................................................................................47

Anexo D (Normativo).....................................................................................56

Anexo E (Normativo).....................................................................................62

Anexo F (Normativo).....................................................................................70

Anexo G (Normativo).....................................................................................82

Anexo H (Normativo).....................................................................................93

Anexo J (Normativo)....................................................................................128

Anexo K (Informativo)..................................................................................133

Anexo L (Informativo)..................................................................................143

Anexo N (Informativo)..................................................................................144

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Página


Estadística

Procedimientos para la evaluación de laincertidumbre de medición

0 INTRODUCCIÓN(*)

0.1 Cuando se informa el resultado de una medición de una magnitud física, es obligatorio que se dé alguna indicación cuantitativa de la calidad del resultado, de modo que quien lo utiliza pueda evaluar su confiabilidad. Sin esta indicación, los resultados de las mediciones no pueden compararse, ya sea entre ellos o contra valores de referencia dados por una especificación o por un patrón. Entonces, es necesario que sea implementado sin demora un procedimiento generalmente aceptado y fácilmente entendible, para caracterizar la calidad del resultado de una medición, esto es, para evaluar y expresar su incertidumbre.

0.2 El concepto de incertidumbre, como un atributo cuantificable, es relativamente nuevo en la historia de las mediciones, aunque los términos error y análisis de error han sido vastamente usados como parte práctica de la ciencia de la medición o metrología. Ahora, se reconoce ampliamente que, cuando se han evaluado todas las componentes conocidas o supuestas de un error, y se han aplicado las correcciones adecuadas, todavía queda como remanente una incertidumbre sobre la corrección del resultado establecido, esto es una duda de cuan bien representa el resultado de la medición al valor de la magnitud que está siendo medida.

0.3 En este momento en que el uso universal del Sistema Internacional de Unidades (SI) está brindando coherencia a todas las mediciones científicas y tecnológicas, un consenso mundial sobre la evaluación y expresión de la incertidumbre de la medición debe permitir que el significado de un vasto espectro de resultados de medición en ciencia, ingeniería, comercio, industria y regulación sea

correctamente entendido e interpretado adecuadamente. En esta era de plazas mundiales de mercado, es imperativo que el método para evaluar y expresar incertidumbres sea uniforme a través del mundo, de manera que las mediciones llevadas a cabo en diferentes países puedan compararse fácilmente.

0.4 El método ideal para evaluar y expresar la incertidumbre del resultado de una medición debe ser:

- universal: el método debe ser aplicable a todas las clases de mediciones y a todos los tipos de datos de entrada empleados en las mediciones.

La magnitud real usada para expresar la incertidumbre debe ser:

- internamente consistente: debe ser derivable directamente de las componentes que contribuyen a ella; independientemente de la manera en que estas componentes estén agrupadas y de la descomposición de las componentes en subcomponentes;

- transferible: debe ser posible emplear directamente la incertidumbre evaluada para un resultado como una componente en la evaluación de la incertidumbre de otra medición en la cual se emplea el primer resultado.

Además, en muchas aplicaciones comerciales e industriales, así como en áreas de salud y seguridad, es frecuentemente necesario proveer de un intervalo al resultado de la

*(*) En esta traducción y de acuerdo con los estudios hechos del VIM, se ha empleado el término "medida" como "resultado de una medición", quedando "medición" como la operación y "medida" como el resultado.

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medición, de manera que pueda esperarse que abarque una gran fracción de la distribución de valores que puedan atribuirse razonablemente a la cantidad medida. Así el método ideal para la evaluación y la expresión de la incertidumbre de la medición, debe ser capaz de proveer fácilmente tal intervalo, en particular, uno con una probabilidad de cobertura que se corresponda, en una forma real, con la requerida.

0.5 El enfoque sobre el cual este documento está basado es el desarrollado en la recomen-dación INC-1 (1980) (2) del grupo de trabajo para el Establecimiento de Incertidumbres, que fue convocado por el BIPM, en respuesta a un pedido de la CIPM. Este enfoque, cuya justificación se discute en el Anexo E, analiza todos los requisitos señalados anteriormente. Este no es el caso de la mayoría de los métodos de uso corriente. La recomendación INC-1 (1980) fue aprobada y reafirmada por el CIPM en sus Recomendaciones 1 (CI-1981) [3] y 1 (CI-1986) [4]; las traducciones en castellano de estas Recomendaciones CIPM, se reproducen en el Anexo A (ver A.2 y A.3 respectivamente). Dado que la Recomendación INC-1 (1980) es el fundamento de este documento, se reproduce en el apartado 0.7, y el texto en francés en A.1.

0.6 Un resumen sucinto del procedimiento especificado en este documento para la evaluación y expresión de la incertidumbre de la medición, se señala en el capítulo 8 y se presentan varios ejemplos, en detalle, en el Anexo H. Otros Anexos proporcionan términos generales de metrología (Anexo B), términos y conceptos estadísticos básicos (Anexo C), valor "verdadero", error e incertidumbre (Anexo D), sugerencias prácticas para evaluar las componentes de la incertidumbre (Anexo F), grados de libertad y niveles de confianza (Anexo G), los principales símbolos matemáticos usados a través del documento (Anexo J) y referencias bibliográficas (Anexo K). El documento concluye con un índice alfabético.

0.7 Recomendación INC-1 (1980)

Expresión de incertidumbres experimentales

1 La incertidumbre en los resultados de una medición generalmente está integrada por varias componentes que pueden ser agrupadas dentro de dos categorías, de acuerdo a cómo se estime su valor numérico:

A aquellos que se evalúan por medio de métodos estadísticos

B aquellos que se evalúan por otros medios

No siempre existe una correspondencia simple entre la clasificación en las categorías A o B y la clasificación anteriormente usada en incertidumbres "aleatorias" y "sistemáticas". El término "incertidumbre sistemática" puede ser engañoso y debe ser evitado.

Todo informe detallado sobre la incertidumbre debe consistir en una lista completa de las componentes, especificando en cada una de ellas el método usado para obtener su valor numérico.

2 Las componentes de la categoría A se caracterizan por las variancias estimadas

(o desvíos estándar estimados si) y el número de grados de libertad i. Cuando corresponda pueden informarse las covariancias.

3 Las componentes de la categoría B deben caracterizarse por cantidades , las cuales se pueden considerar como aproximaciones a las correspondientes variancias, cuya existencia se presupone. Las cantidades pueden tratarse como

variancias y las cantidades como desvíos estándar. Cuando corresponda, las covariancias deben tratarse en una forma similar.

4 La incertidumbre combinada debe caracterizarse por el valor numérico

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obtenido al aplicar el método habitual para la combinación de variancias. La incertidumbre combinada y sus componentes deben expresarse en forma de "desvíos estándar".

5 Si, para aplicaciones particulares, es necesario multiplicar la incertidumbre combinada por un factor para obtener la incertidumbre total, debe aclararse siempre el valor de dicho factor de multiplicación.

1 OBJETO Y CAMPO DE APLICACIÓN

1.1 Esta norma establece las reglas generales para evaluar y expresar la incertidumbre de los resultados de las mediciones, que se pueden realizar en varios niveles de exactitud y en muchos campos, desde el nivel industrial hasta la investigación básica. Por lo tanto los principios de esta norma están concebidos para ser aplicables a un amplio espectro de mediciones, incluyendo a aquellas requeridas para:

- mantener control de calidad y aseguramiento de la calidad en producción

- cumplir y hacer cumplir leyes y regulaciones

- conducir la investigación básica, la investigación aplicada y el desarrollo en ciencia e ingeniería

- calibrar patrones e instrumentos y llevar a cabo ensayos a través de un sistema nacional de mediciones para lograr la trazabilidad a patrones nacionales

- desarrollar, mantener y comparar patrones físicos de referencia nacionales e internacionales, incluyendo materiales de referencia.

1.2 Esta norma se ocupa en primer lugar de la expresión de la incertidumbre de la medición de una magnitud física bien definida - el

mesurando - que puede caracterizarse por un valor "esencialmente" único. Si el fenómeno de interés puede ser representado solamente como una distribución de valores o si depende de uno o más parámetros, tales como el tiempo, entonces los mesurandos necesarios para su descripción son el conjunto de magnitudes que describen tal distribución o tal dependencia.

1.3 Esta norma es asimismo aplicable a la evaluación y expresión de la incertidumbre asociada con el diseño conceptual y el análisis teórico de experimentos, métodos de medición y componentes y sistemas complejos. Debido a que el resultado de una medición y su incertidumbre pueden ser conceptuales y estar basados íntegramente sobre datos hipotéticos, el término "resultado de una medición" tal como se emplea en esta norma, se debe interpretar en este amplio contexto.

1.4 Esta norma provee reglas generales para la evaluación y expresión de la incertidumbre de las mediciones, antes que instrucciones detalladas, específicas de una técnica concreta. Más aún, no discute cómo, una vez evaluada la incertidumbre de una medida en particular, puede emplearse para diferentes propósitos, por ejemplo, para obtener conclusiones acerca de la compatibilidad de ese resultado con otros resultados similares, para establecer límites de tolerancia en un proceso de fabricación, o para decidir si un curso de acción determinado puede tomarse con seguridad.

Por lo tanto puede ser necesario desarrollar normas particulares basadas en esta norma, de acuerdo con los problemas propios para campos específicos de medición o en los varios usos de expresiones cuantitativas de incertidumbre. Estas normas pueden ser versiones simplificadas de ésta, pero es necesario que incluya el detalle que resulte apropiado para el nivel de exactitud y complejidad de las mediciones y de los usos a que se destinan.

Nota. Pueden existir situaciones en las cuales el concepto de incertidumbre de la medición se considera que no es plenamente aplicable, tales como cuando se determina la precisión de un método de ensayo (ver referencia [5], por ejemplo).

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2 DEFINICIONES

2.1 Términos generales de metrología

La definición de una cantidad de términos generales de metrología, importantes para esta norma, tales como magnitud (medible), mesurando y error (de medición) se indican en el Anexo B. Estas definiciones están tomadas del "International vocabulary of basic and general tems in metrology” (abbreviated VIM) [6]. [En IRAM, guía IRAM 32:1997 - Metrología - Vocabulario VIM]. Además, el Anexo C contiene las definiciones de un número de términos básicos estadísticos tomados principalmente de la Norma Internacional ISO 3534-1 [7]. (En IRAM existe la norma IRAM 34552-1 no equivalente). Cuando uno de estos términos metrológicos o estadísticos (u otros términos estrechamente relacionados) están empleados por primera vez en el texto, a partir del capítulo 3, están impresos en negrilla y el número de apartado en el cual están definidos figura entre paréntesis.

Dada su importancia para esta norma, la definición del término metrológico general "incertidumbre de la medición", figura dos veces, en el Anexo B y en 2.2.3. Las definiciones de los términos específicos más importantes de esta norma figuran en 2.3.1 a 2.3.6. En todos estos apartados y en los Anexos B y C, el uso de paréntesis encerrando algunos términos indica que estas palabras pueden omitirse únicamente si ello no causa confusión.

2.2 El término "incertidumbre"

El concepto de incertidumbre se discute luego en el capítulo 3 y en el Anexo D.

2.1.1 La palabra "incertidumbre" significa dudas, y así en su sentido más amplio, "incertidumbre de la medición" implica duda sobre la validez del resultado de una medición. Debido a la carencia de diferentes palabras para este concepto general de incertidumbre y para las magnitudes específicas que proveen medidas cuantitativas del concepto, por

ejemplo, el desvío estándar, es necesario usar la palabra "incertidumbre" en estos dos diferentes sentidos.

2.2.2 En esta norma, la palabra "incertidumbre" sin adjetivos se refiere tanto al concepto general de incertidumbre como a alguna o todas las medidas cuantitativas de este concepto. Cuando se trate de expresar una medida específica, deben emplearse adjetivos adecuados.

2.2.3 La definición formal del término "incertidumbre de medida" desarrollado para ser usada en esta norma y en el VIM vigente [6] (apartado 3.9 del VIM), es la siguiente:

incertidumbre (de la medición)

Parámetro asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mesurando.

Notas

1. El parámetro puede ser, por ejemplo, un desvío estándar (o un múltiplo determinado de éste), o la semiamplitud de un intervalo de nivel de confianza especificado.

2. La incertidumbre de una medida comprende, en general, varias componentes. Algunos de ellas pueden evaluarse a partir de la distribución estadística de los resultados de series de mediciones y pueden ser caracterizados por desvíos estándar experimentales. Las otras componentes que también pueden representarse por desvíos estándar, son evaluadas a partir de distribuciones de probabilidad supuestas, basadas en la experiencia u otra información.

3. Se entiende que el resultado de la medición es el mejor estimador del valor del mesurando, y que todos las componentes de la incertidumbre, incluyendo aquellas que provienen de efectos sistemáticos, tales como las componentes asociados con las correcciones y patrones de referencia, contribuyen a la dispersión.

2.2.4 La definición de incertidumbre de la medición indicada en 2.2.3 es operacional, y está orientada al resultado de la medición y su incertidumbre evaluada. Sin embargo, no es inconsistente con otros conceptos de incertidumbre de medida, tales como

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- una medida del error posible en el valor estimado del mesurando provisto por el resultado de una medición

- una estimación que caracteriza el intervalo de valores dentro del cual se encuentra el valor verdadero del mesurando (VIM, primera edición 1984, apartado 3.09).

Aunque estos dos conceptos tradicionales son idealmente válidos, ellos están enfocados sobre cantidades desconocidas: el "error" del resultado de una medición y el "valor ver-dadero" del mesurando (en contraste con su valor estimado) respectivamente. No obstante, cualquiera sea el concepto de incertidumbre adoptado, una componente de la incertidumbre siempre debe evaluarse usando los mismos datos e información seleccionada (ver además E.5).

2.3 Términos específicos de esta norma

En general, los términos que son específicos de esta norma, están definidos la primera vez que figuran en el texto. Sin embargo las definiciones de los términos más importantes, se indican a continuación, para facilitar su referencia.

Nota. Algunos de estos términos se discuten posteriormente. Ellos pueden hallarse de la manera siguiente: para 2.3.2, ver 3.3.3 y 4.2; para 2.3.3, ver 4.3.3 y 4.3; para 2.3.4, ver capítulo 5 y fórmulas (10) y (13); y para 2.3.5 y 2.3.6, ver capítulo 6.

2.3.1 incertidumbre estándar

Incertidumbre del resultado de una medición expresada como un desvío estándar.

2.3.2 evaluación tipo A (de incertidumbre)

Método de evaluación de incertidumbre por el análisis estadístico de series de observaciones.

2.3.3 evaluación tipo B (de incertidumbre)

Método de evaluación de incertidumbre por medios distintos del análisis estadístico de series de observaciones.

2.3.4 incertidumbre estándar combinada

Incertidumbre estándar del resultado de una medición cuando este resultado ha sido obtenido a partir de los valores de otras magnitudes; es igual a la raíz cuadrada positiva de una suma de términos, que son las variancias o covariancias de dichas magnitudes, ponderadas de acuerdo a como varía el resultado de la medición al varíar las magnitudes consideradas.

Nota IRAM. Para aclarar esta traducción casi textual podría decirse que cuando el resultado de una medición depende de los resultados de otras mediciones, la incertidumbre (de la medición que nos ocupa) es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de términos que son las variancias o covariancias de los resultados de las mediciones de origen, y que a cada uno de estos términos se les asigna un peso que representa en cuanto afecta a los resultados (de la medición que nos ocupa) la variación de cada una de las otras medidas.

2.3.5 incertidumbre expandida

Cantidad que define un intervalo alrededor del resultado de una medición, del cual se espera que cubra una gran proporción de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mesurando.

Notas

1. La fracción puede ser vista como una probabilidad de cobertura o como un nivel de confianza del intervalo.

2. Para asociar el nivel específico de confianza con el intervalo definido por la incertidumbre expandida se requiere asumir en forma explícita o implícita la distribución de probabilidad que caracteriza al resultado de la medición y la incertidumbre estándar combinada. El nivel de confianza que se puede atribuir a este intervalo puede ser conocido solo en la extensión en la cual dicha suposición puede ser justificada.

3. La incertidumbre expandida es denominada incertidumbre total en el párrafo 5 de la reco-mendación INC-1 (1980).

2.3.6 factor de cobertura

Factor numérico que se emplea como multiplicador de la incertidumbre combinada estándar para obtener una incertidumbre expandida.

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Nota. Un factor de cobertura, k, está típicamente en el orden de 2 a 3. (NOTA IRAM: esto corresponde para una distribución normal)

3 CONCEPTOS BÁSICOS

Una discusión adicional de los conceptos básicos puede hallarse en el Anexo D, en un enfoque sobre las ideas de valor "verdadero", error e incertidumbre, que incluye ilustraciones gráficas de estos conceptos; y en el Anexo E, que explora la motivación y las bases estadísticas para la Recomendación INC-1 (1980) que es el antecedente de esta norma. El Anexo J es un glosario de los principales símbolos matemáticos empleados en esta norma.

3.1 Medición

3.1.1 El objetivo de una medición (B.2.5) es determinar el valor (B.2.2) del mesurando (B.2.9), es decir, el valor particular (B.2.1, nota 1) a ser medido. Por lo tanto, una medición comienza con una especificación adecuada del mesurando, del método de medición (B.2.7), y del procedimiento de medición (B.2.8).

Nota. El término "valor verdadero" (ver Anexo D) no se emplea en esta norma por las razones dadas en D.3.5, los términos "valor de un mesurando" (o de una magnitud) y "valor verdadero de un mesurando" (o de una magnitud) se consideran como equivalentes.

3.1.2 En general, el resultado de una medición (B.2.11) es sólo una aproximación o estimación (C.2.26) del valor del mesurando, y solo está completo cuando está acompañado por la incertidumbre (B.2.18) de esta estimación.

3.1.3 En la práctica, la especificación o definición del mesurando, está dictada por la exactitud de medición (B.2.14) requerida. El mesurando debe definirse en forma suficiente-mente completa con respecto a la exactitud requerida de modo que para todos los propósitos prácticos asociados con la medición, este valor sea único. Es en este sentido que la expresión "valor del mesurando" se emplea en esta norma.

Ejemplo: Si el largo de un metro nominal de una barra de acero, debe determinarse con la exactitud de un micrometro, su especificación debe incluir la temperatura y la presión a las cuales se define la longitud. Así, el mesurando se debe especificar, como por ejemplo, la longitud de la barra a 25,00 C y 101 325 Pa (más cualquier otro parámetro que pueda influir, considerado necesario tal como la manera en que debe sostenerse la barra). Sin embargo, si la longitud debe determinarse con una exactitud de un milímetro, su especificación no requiere un valor definido de temperatura o presión, o de cualquier otro parámetro.

Nota. Una definición incompleta del mesurando puede dar lugar a una componente de incertidumbre suficientemente grande que se deba incluir en la evaluación de la incertidumbre de la medición (ver D.1.1, D.3.4 y D.6.2).

3.1.4 En muchos casos, el resultado de una medición se determina sobre la base de series de observaciones obtenidas bajo condiciones de repetibilidad (B.2.15, nota 1).

3.1.5 Las variaciones en las observaciones repetidas, se supone que aumentan debido a que las magnitudes de influencia (B.2.10) que pueden afectar los resultados de medición no se mantienen constantes.

3.1.6 El modelo matemático de la medición que transforma un conjunto de observaciones repetidas en el resultado de la medición, resulta de importancia crítica, porque, además de las observaciones, generalmente incluye varias magnitudes de influencia que son inexactamente conocidas. Esta falta de conocimiento contribuye a la incertidumbre del resultado de las mediciones, así como las variaciones de las observaciones repetidas y cualquier incertidumbre asociada con el modelo matemático por sí mismo.

3.1.7 Esta norma trata el mesurando como un escalar (una magnitud simple). La extensión a un conjunto de mesurandos relacionados, determinados simultáneamente en la misma medición, requiere reemplazar el mesurando escalar y su variancia (C.2.11, C.2.20, C.3.2) por un vector mesurando y una matriz de covariancia (C.3.5). Tales reemplazos son

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considerados en esta norma sólo como ejemplos. (ver H.2, H.3 y H.4).

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3.2 Errores, efectos y correcciones

3.2.1 En general, una medición tiene imperfecciones que se convierten en un error (B.2.19) en el resultado de la medición. Tradicionalmente se ha sostenido que un error tiene dos componentes, denominados componente aleatorio (B.2.21) y componente sistemático (B.2.22).

Nota. El error es un concepto idealizado y los errores no pueden conocerse exactamente.

3.2.2 El error aleatorio surge presumiblemente de variaciones temporales y espaciales impredecibles de las magnitudes de influencia. Los efectos de estas variaciones, denominadas efectos aleatorios, dan lugar a variaciones cuando se realizan observaciones repetidas del mesurando. Aunque no sea posible compensar el error aleatorio del resultado de una medición, puede normalmente reducirse a cero su esperanza o valor esperado (C.2.9, C.3.1) incrementando el número de observaciones.

Notas

1. La desviación estándar experimental de la media aritmética de una serie de observaciones (ver 4.2.3) no es el error aleatorio de la media, a pesar de que así se lo designe en varias publicaciones. Es en cambio una medida de la incertidumbre de la media aritmética, debida a los efectos aleatorios. El valor exacto del error de la media, debido a estos efectos, no se puede conocer.

2. En esta norma, se pone especial cuidado en distinguir los términos "error" e "incertidumbre". Ellos no son sinónimos, y representan conceptos completamente diferentes, no deben confundirse uno con otro ni emplearse incorrectamente.

3.2.3 El error sistemático, así como el error aleatorio, no puede ser eliminado pero puede ser reducido. Si un error sistemático proviene de un efecto reconocido o de una influencia cuantitativa sobre un resultado de medición, de ahora en más llamado efecto sistemático, dicho efecto puede ser cuantificado, y si es de tamaño significativo en relación con la precisión y exactitud de la medición, puede aplicarse una corrección (B.2.2.3) o un factor de corrección (B.2.2.4) para compensar el efecto. Se supone que, luego de la corrección,

el valor esperado del error, debido al efecto sistemático es cero.

Nota. La incertidumbre de una corrección aplicada a un resultado de la medición para compensar el efecto sistemático no es el error sistemático o sesgo del resultado de medición debido al efecto, como se lo denomina frecuentemente. Es, por el contrario, una me-dida de la incertidumbre debida al conocimiento incompleto del valor requerido de la corrección. El error debido a la imperfecta compensación del efecto sistemático no se puede conocer exactamente. Los términos "error" e "incertidumbre" deben ser utilizados adecuadamente y se debe tener cuidado para distinguir uno del otro.

3.2.4 Se supone que el resultado de una medición ha sido corregido de todos los efectos sistemáticos significativos reconocidos y que se ha hecho todo el esfuerzo necesario para identificar tales efectos.

Ejemplo: Se aplica una corrección debida a la impedancia finita de un voltímetro usado para determinar la diferencia de potencial (el mesurando) a través de una resistencia de alta impedancia, para reducir el efecto sistemático sobre el resultado de la medición debido a la influencia de la carga del voltímetro. Sin embargo, los valores de impedancia del voltímetro y de la resistencia que han sido empleados para estimar el valor de la corrección y que han sido obtenidos de otras mediciones, son, por si mismos, inciertos. Estas incertidumbres se emplean para evaluar la componente de la incertidumbre de la diferencia de potencial, proveniente de la corrección y luego la del efecto sistemático debido a la impedancia del voltímetro.

Notas

1. Frecuentemente, los instrumentos de medición y los sistemas, se ajustan o se calibran empleando patrones de medida y materiales de referencia, para eliminar los efectos sistemáticos; sin embargo, aún deberían ser tenidas en cuenta las incertidumbres asociadas con estos patrones y materiales.

2. El caso en el cual no se aplica una corrección para un efecto sistemático significativo conocido, se considera en la nota posterior a 6.3.1 y en F.2.4.5.

3.3 Incertidumbre

3.3.1 La incertidumbre del resultado de una medición refleja la falta del conocimiento

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exacto del valor del mesurando (ver 2.2). El resultado de una medición, luego de ser corregida por la presencia de efectos sistemáticos reconocidos, es todavía una estimación del valor del mesurando, por la incertidumbre proveniente de los efectos aleatorios y de la corrección imperfecta de los efectos sistemáticos.

Nota. El resultado de una medición (luego de la corrección) puede ser, en forma inescrutable, muy cercano al valor del mesurando (y por lo tanto tener un error despreciable), y sin embargo puede tener una gran incertidumbre. Así, la incertidumbre del resultado de una medición no debe confundirse con el error remanente desconocido.

3.3.2 En la práctica, hay muchas fuentes posibles de incertidumbre de medida, que incluyen:

a) definición incompleta del mesurando;

b) realización imperfecta de la definición del mesurando;

c) muestreo no representativo - la muestra medida puede ser no representativa del mesurando definido;

d) inadecuado conocimiento de los efectos de las condiciones ambientales sobre la medición o medición imperfecta de las condiciones ambientales;

e) desvíos personales en la lectura de instrumentos analógicos;

f) resolución finita del instrumental o del umbral de discriminación;

g) valores inexactos de los patrones de medición y materiales de referencia;

h) valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y empleados en los cálculos;

i) aproximaciones y suposiciones incorporadas en el método de medición y procedimiento;

j) variaciones en las observaciones repetidas del mesurando bajo condiciones aparentemente idénticas.

Estas fuentes no son necesariamente independientes, y varias de las fuentes a) a i) pueden contribuir a la fuente j). Por cierto que un efecto sistemático no reconocido no puede ser tomado en cuenta en la evaluación de la incertidumbre del resultado de una medición, pero contribuye al error de dicho resultado.

3.3.3 La recomendación INC-1 (1980) del grupo de trabajo en el Establecimiento de Incertidumbres, agrupa las componentes de la incertidumbre dentro de dos categorías basadas en sus métodos de evaluación, "A" y "B" (ver 0.7, 2.3.2 y 2.3.3). Estas categorías se aplican a la incertidumbre y no son sustitutos de las palabras "aleatorio" y "sistemático". La incertidumbre de una corrección debida a un efecto sistemático conocido, en algunos casos puede obtenerse mediante una evaluación tipo "A" mientras que en otros casos por una evaluación tipo "B", y esta incertidumbre puede caracterizarse como un efecto aleatorio.

Nota. En algunas publicaciones las componentes de la incertidumbre, se categorizan como "aleatorias" y "sistemáticas" y se asocian con los errores provenientes de los efectos aleatorios y de los efectos sistemáticos conocidos, respectivamente. Tal categorización de las componentes de la incertidumbre puede ser ambigua cuando se aplica en forma general. Por ejemplo una componente "aleatoria" de incertidumbre de una medición puede convertirse en una componente "sistemática" de la incertidumbre de otra medición en la cual el resultado de la primera medición se emplea como un dato de entrada. Categorizar los métodos de evaluación de las componentes de incertidumbre antes que las mismas componentes, evita esta ambigüedad. Al mismo tiempo no se debe evitar la recolección de componentes individuales que hayan sido evaluadas por dos métodos diferentes dentro de grupos diseñados para ser empleados para un propósito particular (ver 3.4.3).

3.3.4 El propósito de la clasificación en tipo A y tipo B es indicar las dos maneras diferentes de evaluar las componentes de la incertidumbre y es solo conveniente para la discusión; la clasificación no tiene la intención de indicar si existe alguna diferencia en la naturaleza de las componentes resultantes de los dos tipos de evaluación. Ambos tipos de evaluación, están basados sobre distribuciones de probabilidad (C.2.3) y las componentes de la incertidumbre resultantes de cada tipo están cuantificadas por variancias o desviaciones estándar.

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3.3.5 La variancia estimada u2 que caracteriza a una componente de la incertidumbre obtenida de una evaluación tipo A, se calcula a partir de una serie de observaciones repetidas y es la estadísticamente conocida variancia estimada s2 (ver 4.2).

La desviación estándar estimada u (C.2.12, C.2.21, C.3.3), la raíz cuadrada positiva de u2, es así u = s y por conveniencia se denomina generalmente "incertidumbre estándar Tipo A". Para una componente de incertidumbre obtenida por una evaluación de tipo B, la variancia estimada u2 se evalúa usando el conocimiento disponible (ver 4.3), y la desviación estándar estimada u se denomina generalmente "incertidumbre estándar Tipo B".

Así una incertidumbre estándar Tipo A, se obtiene a partir de una función de densidad de probabilidad (C.2.5) derivada de una distribución de frecuencias observada (C.2.18), mientras que una incertidumbre estándar Tipo B se obtiene a partir de una función de densidad de probabilidad supuesta, basada en el grado de creencia de que un evento pueda ocurrir [frecuentemente denominada probabilidad subjetiva (C.2.1)]. Ambas aproximaciones emplean interpretaciones reconocidas de probabilidad.

Nota. Una evaluación tipo B de una componente de la incertidumbre está usualmente basada en un conjunto de información confiable (ver 4.3.1).

3.3.6 La incertidumbre estándar del resultado de una medición, cuando dicho resultado se obtuvo a partir de cierto número de otras magnitudes, se denomina incertidumbre estándar combinada y se representa como uc. Es la desviación estándar estimada asociada con el resultado, y es igual a la raíz cuadrada positiva de la variancia combinada, obtenida de todas las variancias y covariancias (C.3.4) que la componen, cualquiera sea la manera que hayan sido evaluadas, usando el método que en esta norma se denomina ley de propagación de incertidumbre (ver capítulo 5).

3.3.7 Para tener en cuenta las necesidades de algunas aplicaciones industriales y comerciales, así como los requerimientos de las áreas de salud y seguridad, se obtiene una

incertidumbre expandida U, multiplicando la incertidumbre estándar combinada uc por un factor de cobertura k. El propósito pretendido de U es proveer un intervalo, alrededor del resultado de medición, del cual se pueda esperar que cubra una gran fracción de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mesurando. La elección del factor k, el cual está usualmente entre 2 y 3, está basada en la probabilidad de cobertura requerida del intervalo (ver capítulo 6).

Nota IRAM: Esto se corresponde con una distribución normal.

Nota. El factor de cobertura k, se debe declarar siempre, de manera que la incertidumbre estándar de la magnitud medida pueda recuperarse para el uso en cálculos de incertidumbres estándar combinadas u otros resultados de medición que puedan depender de esta magnitud.

3.4 Consideraciones prácticas

3.4.1 Si todas las magnitudes, de las cuales depende el resultado de una medición, son variadas, su incertidumbre puede ser evaluada por medios estadísticos. Sin embargo, como ésto es difícilmente posible en la práctica debido a la escasez de tiempo y de recursos, la incertidumbre del resultado de una medición se evalúa usualmente empleando modelos matemáticos de medición y la ley de propagación de incertidumbre. Así, está implícita en esta norma la suposición de que una medición pueda responder a un modelo matemático al grado impuesto por la exactitud requerida de la medición.

3.4.2 Dado que el modelo matemático puede ser incompleto, todas las magnitudes relevantes deberán variarse lo máximo practicable, de manera que la evaluación de incertidumbre pueda basarse lo máximo posible en datos observados. Siempre que sea factible, el uso de modelos empíricos de medición basados en datos cuantitativos tomados a lo largo del tiempo, y el uso de patrones de verificación y de gráficos de control pueden indicar si los resultados de las mediciones están bajo control estadístico, y serían parte del esfuerzo para obtener evaluaciones confiables de incertidumbre. El modelo matemático debe revisarse cuando los

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datos observados, incluyendo los resultados de determinaciones independientes del mismo mesurando, demuestren que el modelo es incompleto. Un buen diseño de experimento puede facilitar evaluaciones confiables de incertidumbre y es una parte importante de la técnica de las mediciones.

3.4.3 Para decidir si un sistema de medición está funcionando adecuadamente, frecuentemente se compara la variabilidad experimental de sus valores de salida, determinada por la desviación estándar observada, con la desviación estándar obtenida a partir de la combinación de las distintas componentes de las incertidumbres que caracterizan la medición. En estos casos, sólo debe considerarse aquellas componentes (las obtenidas de las evaluaciones del Tipo A o del Tipo B) que pueden contribuir a la variabilidad observada experimentalmente de los valores de salida.

Nota. Este análisis puede facilitarse agrupando aquellas componentes que contribuyen a la variabilidad y aquellas que no, en dos grupos separados y adecuadamente identificados.

3.4.4 Una vez que se evaluó la incertidumbre de una corrección debida a un efecto sistemático, ésta se puede ignorar si su contribución a la incertidumbre estándar combinada de la medida resulta ser insignificante. Si el valor de la corrección es insignificante en relación a la incertidumbre estándar combinada, también se puede ignorar.

3.4.5 Ocurre frecuentemente en la práctica, especialmente en el campo de la metrología legal, que un aparato se ensaya mediante una comparación con una medida patrón y las incertidumbres asociadas con el patrón y con el procedimiento de comparación, son despreciables en relación con la exactitud requeridas por el ensayo. Un ejemplo es el uso de un juego de masas patrones bien calibradas para ensayar la exactitud de una balanza comercial. En tales casos, debido a que las componentes de la incertidumbre son lo suficientemente pequeñas como para ser ignoradas, la medición puede ser vista como la determinación del error del aparato ensayado (ver además F.2.4.2).

3.4.6 Alguna veces, el valor estimado de un mesurando – obtenido del resultado de una medición - se expresa en términos del valor adoptado de un patrón de medida más que en términos de la unidad correspondiente del Sistema Internacional de Unidades (SI). En tales casos, la incertidumbre correspondiente a la medida resultante puede ser significati-vamente menor que cuando este resultado se expresa con la unidad SI correspondiente. (En efecto, el mesurando ha sido redefinido como la relación del valor de la magnitud por medir y el valor adoptado del patrón).

Ejemplo: Un patrón de tensión eléctrica Zener de alta calidad se calibra por comparación con una referencia de tensión por efecto Josephson, basándose en el valor convencional de la constante de Josephson recomendado para el uso internacional por la CIPM. La incertidumbre estándar combinada relativa uc (Vs)/Vs (ver 5.1.6) de la tensión calibrada Vs del patrón Zener es 2 x 10-8, cuando Vs se expresa en términos del valor convencional, pero uc(Vs)/Vs es 4 x 10-7 cuando Vs se expresa en la unidad SI de tensión, debido a la incertidumbre adicional asociada con el valor SI de la constante de Josephson.

3.4.7 Las equivocaciones en el registro o análisis de los datos pueden introducir un error desconocido significativo en el resultado de una medición. Los errores grandes pueden generalmente identificarse mediante una revisión adecuada de los datos; los pequeños pueden estar enmascarados por, o incluso aparecer como, variaciones aleatorias. No se pretende que las medidas de incertidumbre tomen en cuenta tales errores.

3.4.8 A pesar de que esta norma proporciona un método para evaluar la incertidumbre, no puede sustituir a la reflexión crítica, a la honestidad intelectual y a la destreza profesional. La evaluación de incertidumbres no es una tarea de rutina ni puramente matemática; depende del conocimiento detallado de la naturaleza del mesurando y de su medición. La calidad y utilidad de la incertidumbre indicada para el resultado de la medición depende, en última instancia, de la interpretación, del análisis crítico y de la

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integridad de todo lo que contribuye a la asig-nación de ese valor.

4 EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR

En el anexo F pueden encontrarse sugerencias adicionales, principalmente de naturaleza prác-tica, para la evaluación de componentes de incertidumbre.

4.1 Modelo matemático de la medición

4.1.1 En la mayoría de los casos, el mesuran-do Y no se mide directamente sino que se de-termina a partir de otras N magnitudes de en-trada X1, X2,...., XN, a través de una relación funcional f:

Notas:

1.- Por economía de notación, en esta norma se utiliza el mismo símbolo para la magnitud física (el mesuran-do) y para la variable aleatoria (ver 4.2.1) que repre-senta el resultado posible de una observación de esa magnitud. Cuando se indica que Xi tiene una distribu-ción particular de probabilidad, el símbolo es utilizado en ese último sentido; se supone que la magnitud físi-ca en sí misma puede ser caracterizada por un valor esencialmente único (ver 1.2 y 3.1.3).

2.- En una serie de observaciones, el k-ésimo valor ob-servado de Xi se denomina Xik,; por lo tanto, si con R se indica la resistencia de un resistor, el k-ésimo valor observado de resistencia se denomina Rk.

3. La estimación de Xi (estrictamente hablando, de su esperanza matemática) se denomina xi.

Ejemplo: Si se aplica una diferencia de poten-cial V a los terminales de un resistor depen-diente de la temperatura, que tiene una resis-tencia R0 a la temperatura definida t0 y un co-eficiente lineal de variación de resistencia por temperatura , la potencia P (el mesurando) disipada por el resistor a la temperatura t de-pende de V, R0, y t, de acuerdo con

Nota: Otros métodos de medición de la potencia P po-drían modelarse con expresiones matemáticas diferen-tes.

4.1.2 Las magnitudes de entrada X1, X2,... , XN, de los cuales depende la magnitud de sali-da Y, pueden ser vistas a su vez como mesu-randos y depender de otras magnitudes, inclu-yendo correcciones y factores de corrección por efectos sistemáticos, dando lugar por lo tanto a relaciones funcionales f complicadas, que nunca podrían expresarse explícitamente. Además, f puede determinarse experimental-mente (ver 5.1.4) o existir sólo como un algorit-mo que deba ser evaluado numéricamente. La función f, como se presenta en esta norma, debe interpretarse en este sentido más amplio, en particular, como aquella función que contie-ne todas las magnitudes (incluyendo todas las correcciones y factores de corrección) que puedan contribuir con componentes significati-vos de incertidumbre al resultado de la medi-ción.

Entonces, si los datos indican que f no modela la medición hasta el grado impuesto por la exactitud requerida del resultado de la medi-ción, deben incluirse magnitudes de entrada adicionales en f para adecuar el modelo. (ver 3.4.2). Esto puede requerir la introducción de una magnitud de entrada que refleje el conoci-miento incompleto de un fenómeno que afecta al mesurando. En el ejemplo de 4.1.1, se po-drían necesitar magnitudes de entrada adicio-nales que tengan en cuenta que la resistencia no siempre varía linealmente con la temperatu-ra, por ejemplo un posible coeficiente no lineal de variación de resistencia por temperatura, o una posible dependencia de la resistencia con la presión barométrica.

Nota: Sin embargo, la ecuación (1) puede ser tan ele-mental como Y = X1 - X2. Esta expresión modela, por ejemplo, la comparación de dos determinaciones de la misma magnitud X.

4.1.3 El conjunto de magnitudes de entrada X1, X2, ..., XN puede clasificarse en:

magnitudes cuyos valores e incertidum-bres se determinan por medición directa en la medición actual, vigente o corrien-te. Estos valores e incertidumbres pue-den obtenerse, por ejemplo, por una úni-

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ca observación, observaciones repetidas o por juicio basado en la experiencia, y pueden involucrar la determinación de correcciones en la lectura de los instru-mentos y correcciones debidas a la pre-sencia de magnitudes de influencia, tales como la temperatura ambiente, la pre-sión barométrica y la humedad;

magnitudes cuyos valores e incerticlum-bres son incorporados a la medición y que provienen de fuentes externas, tales como magnitudes asociadas con patro-nes de medición calibrados, materiales de referencia certificados y datos de re-ferencia obtenidos de manuales.

4.1.4 Una estimación del mesurando Y, deno-minada y, se obtiene de la ecuación (1) usan-do las magnitudes de entrada estimadas x1, x2, ... , xN para los valores de las N magnitudes X1, X2, ... , XN. Por lo tanto, la estimación de la magnitud resultante y, que es el resultado de la medición, está dada por

Nota: En algunos casos el valor estimado y, puede obte-nerse por:

Esto es, y se toma corno la media aritmética o promedio (ver 4.2.1) de n determinaciones independientes Yk de Y, donde cada determinación posee la misma incertidumbre y está basada en un conjunto completo de valores obser-vados de las N magnitudes de entrada Xi obtenidas si-multáneamente. Esta forma de promediar, mas que

es la

media aritmética de las observaciones individuales Xik, puede ser preferible cuando f es una función no lineal de los argumentos X1, X2, ..., XN, pero ambas apro-ximaciones son idénticas si f es una función lineal de Xi

(ver H.2 y H.4).

4.1.5 La desviación estándar estimada, aso-ciada con la estimación de la magnitud de sali-da o resultado de medición y se denomina in-certidumbre estándar combinada uc(y). Se de-termina a partir de la desviación estándar esti-mada asociada con cada valor estimado de las

magnitudes de entrada xi , denominada incerti-dumbre estándar u(xi) (ver 3.3.5 y 3.3.6).

4.1.6 Cada valor estimado de la magnitud de entrada xi y su incertidumbre estándar asocia-da u(xi) se obtiene a partir de una distribución de valores posibles de la magnitud de entrada Xi. Esta distribución de probabilidad puede es-tar basada en frecuencias, es decir, basada en una serie de observaciones Xik de Xi, o puede ser una distribución a priori. Las evaluaciones de Tipo A de las componentes de la incerti-dumbre estándar están fundadas en distribu-ciones de frecuencias, mientras que las eva-luaciones de Tipo B están fundadas en distri-buciones a priori. Se debe reconocer que en ambos casos las distribuciones son modelos utílizados para representar el estado de nues-tro conocimiento.

4.2 Evaluación de Tipo A de la incertidum-bre estándar

4.2.1 En la mayoría de los casos, el mejor es-timador disponible de la esperanza o valor es-perado q, de una magnitud q que varía alea-toriamente [una variable aleatoria (C.2.2)], y para la cual se han obtenido n observaciones independientes qk bajo las mismas condicio-nes de medición (ver B.2.15), es la media arit-mética o promedio (C.2.19) de las n observa-ciones:

Así, para una magnitud de entrada Xi estimada a partir de n observaciones repetidas indepen-dientes Xi,k, la media aritmética .obtenida de la ecuación (3) es utilizada en la ecuación (2) como el estimador de las magnitudes de entra-da xi, para determinar el resultado de medición y; esto es, xi = . Aquellas magnitudes de en-trada no evaluadas a partir de observaciones repetidas deben ser obtenidas por otros méto-dos, tales como aquellos que se indican en la segunda categoría de 4.1.3.

4.2.2 Las observaciones individuales qk difie-ren en valor debido a variaciones aleatorias en las magnitudes de influencia, o a efectos alca-

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torios (ver 3.2.2). La variancia experimental de las observaciones, que estima la variancia 2

de la distribución de probabilidad de q, está dada por:

Este estimador de la variancia y su raíz cua-drada positiva s(qk), denominada desviación estándar experimental (B.2.17), caracterizan la variabilidad de los valores observados qk, o más específicamente, su dispersión alrededor de la media .

4.2.3 El mejor estimador de 2 . = 2/n, la variancia de la media, está dado por:

La variancia experimental de la media s2( ) y la desviación estándar experimental de la media s( ) (B.2.17, nota 2), igual a la raíz cuadrada positiva de s2( ), cuantifican “cuán bien” * estima a la esperanza q de q , y cualquiera de ellas puede ser usada como una medida de la incertidumbre de .

* Nota IRAM: en el texto en inglés dice “how well”.

Por lo tanto, para una magnitud de entrada Xi

determinada a partir de n observaciones inde-pendientes repetidas Xi,k,, la incertidumbre es-tándar u(xi) de su estimación

calcula-da de acuerdo con la ecuación (5). Por conve-niencia, , a veces son llamadas variancia de Tipo A e in-certidumbre estándar de Tipo A, respectiva-mente.

Notas:

1.- El número de observaciones n debe ser lo suficiente-mente grande como para que se pueda asegurar que provea una estimación confiable de la esperanza q de la

variable aleatoria q, y que s2( ) otorgue una estimación

confiable de la variancia 2( ) = 2/n (ver la nota en 4.3.2).

La diferencia entre s2( ) y 2( ) debe ser considerada al construir intervalos de confianza (ver 6.2.2). En este ca-so, si la distribución de probabilidad de q es una distribu-ción normal (ver 4.3.4), la diferencia es considerada por medio de la distribución t de Student (ver G.3.2).

2.- Aunque la variancia s2( ) es el estadístico básico pa-ra la cuantificación de la variabilidad, la desviación están-dar es más conveniente en la práctica porque tiene la misma dimensión que q y se comprende más fácilmente que la variancia.

4.2.4 Para una medición bajo control estadísti-co bien caracterizada, puede disponerse de una estimación combinada1 de la variancia (o una desviación estándar experimental com-binada sp) que caracterice la medición. Se agrega, cuando el valor de un mesurando se determina a partir de n observaciones inde-pendientes, la variancia experimental de la media aritmética de las observaciones es

mejor estimada por que por s2( )/n, y la

incertidumbre estándar es . (Ver la nota en H.3.6.)

4.2.5 A menudo una estimación xi de un mag-nitudes de entrada Xí es obtenida a partir de una curva que ha sido ajustada a los datos ex-perimentales por el método de cuadrados mí-nimos. Las variancias estimadas y las incerti-dumbres estándar resultantes de los pará-metros ajustados que caracterizan la curva, y de cualquier punto predicho por tal ajuste, pue-den calcularse generalmente usando proce-dimientos estadísticos bien conocidos (ver H.3 y referencia [8]).

4.2.6 Los grados de libertad (C.2.31) i de u(xi) (ver G.3), iguales a n - 1 en el caso sim-ple en que ,se calcu-lan a partir de n observaciones independientes como en 4.2.1 y 4.2.3 y se deben indicar siem-pre que se documenten las evaluaciones de las componentes de incertidumbre de Tipo A.

4.2.7 Si las variaciones aleatorias en las ob-servaciones de una magnitud de entrada están

1 En el original: pooled estimate (N.T.)

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correlacionadas entre sí (por ejemplo, en el tiempo), la media y la desviación estándar ex-perimental de la media, tal como se dan en 4.2.1 y 4.2.3, pueden ser estimadores (C.2.25) inapropiados de los estadísticos (C.2.23) deseados. En tales casos, las obser-vaciones deben ser analizadas por métodos estadísticos especialmente diseñados para tra-tar una serie de mediciones correlacionadas que varían aleatoriamente.

Nota: Tales métodos especializados se utilizan para tra-tar mediciones de patrones de frecuencia. Sin embargo, es posible que, al pasar de mediciones a corto plazo (pe-ríodos cortos de tiempo) a mediciones a largo plazo (pe-ríodos largos de tiempo) de otras magnitudes metrológi-cas, la suposición de tener variaciones aleatorias no co-rrelacionadas puede perder validez y podrían utilizarse los métodos especializados también en estas medicio-nes. (Ver referencia [9] por ejernplo, para una discusión detallada de la variancia de Allan.)

4.2.8 La discusión de la evaluación de Tipo A de la incertidumbre estándar en los párrafos 4.2.1 a 4.2.7 no pretende ser exhaustiva; exis-ten muchas situaciones, algunas bastante complejas, que pueden tratarse por métodos estadísticos. Un ejemplo importante es el uso de diseños de calibración, a menudo basados en el método de cuadrados mínimos, para evaluar las incertidumbres que surgen de las variaciones aleatorias a corto y largo plazo en los resultados de comparaciones de sistemas materiales de valores desconocidos, tales co-mo bloques patrones y patrones de masa, con patrones de referencia de valores conocidos. En tales situaciones de medición, las compo-nentes de incertidumbre pueden ser evaluadas frecuentemente por análisis estadístico de los datos obtenidos a partir de diseños que con-sisten en secuencias anidadas de mediciones del mesurando, para un número de valores di-ferentes de las magnitudes de las cuales de-pende (análisis de la variancia) (ver H.5).

Nota: En los niveles más bajos de la cadena de calibra-ción, donde a menudo se supone que los patrones de re-ferencia son exactamente conocidos puesto que han sido calibrados por un laboratorio normalizado o certificado nacional o primario, la incertidumbre estándar de Tipo A, evaluada mediante una desviación estándar combinada que caracterice las rnediciones.

4.3 Evaluación de Tipo B de la incertidum-bre estándar.

4.3.1 Para una estimación xi de una magnitud de entrada Xi, que no ha sido obtenida por ob-servaciones repetidas, la variancia estimada asociada u2(xi) o la incertidumbre estándar u(xi) son evaluadas mediante el juicio científico basado en toda la información disponible res-pecto a la variabilidad de Xi. Esta información puede incluir:

datos de mediciones previas; experiencia con, o conocimiento gene-

ral del comportamiento y las propieda-des de los materiales e instrumentos relevantes;

especificaciones de los fabricantes; datos obtenidos de calibración y otros

certificados; incertidumbres asignadas a datos de

referencia obtenidos de manuales.

Por conveniencia, u2(xi) y u(xi), evaluadas de este modo, son algunas veces llamadas va-riancia de Tipo B e incertidumbre estándar de Tipo B, respectivamente.

Nota: Cuando xi se obtiene a partir de una distribución a priori, la variancia asociada es denominada u2(Xi), pero por simplicidad, en esta norma se usan u2(xi) y u(xi).

4.3.2 El uso apropiado de la información dis-ponible para una evaluación de Tipo B de la in-certidumbre estándar, requiere una visión ba-sada en la experiencia y en el conocimiento general, y es una habilidad que puede ser ad-quirida con la práctica. Debe reconocerse que una evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar puede ser tan confiable como una evaluación de Tipo A, especialmente en una situación donde una evaluación de Tipo A se basa en un número relativamente pequeño de observaciones estadísticamente independien-tes.

Nota: Si la distribución de probabilidad de q en la nota 1 de 4.2.3 es normal, es la desviación están-

dar de relativa a , y es aproximadamente igual

a . Entonces, tomando como la in-

certidumbre de , para n = 10 observaciones la incer-

tidumbre relativa de es del 24 %, mientras que para n = 50 observaciones, ésta es del 10 %. (En la tabla E.1 del anexo E se dan valores adicionales).

4.3.3 Si la estimación xi se obtiene a partir de una especificación, de un certificado de cali-

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bración, de uso manual, u de otra fuente, y su incertidumbre evaluada se indica como un múltiplo particular de una desviación estándar, la incertidumbre estándar u(xi) es simplemente el valor asignado dividido por el factor de multi-plicación, y la variancia estimada u2(xi) es el cuadrado de dicho cociente.

Ejemplo: Un certificado de calibración indica que la masa ms de un patrón de masa de ace-ro inoxidable, de valor norninal 1 kg es 1 000,000 325 g y que "la incertidumbre de es-te valor es 240 g al nivel de tres desviaciones estándar". La incertidumbre estándar del pa-trón de masa es entonces simplementeu(ms) = 240 g/3 = 80 g. Esto corresponde a una incertidumbre estándar relativa u(ms)/ms.-de 8010-9 (ver 5.1.6). La variancia estimada es, pues, u2(ms) = (80 g)2 = 6,4 . 10-9 g2.

Nota: En muchos casos se proporciona poca o ninguna información acerca de las componentes individuales a partir de los cuales se ha evaluado la incertidumbre. Esto generalmente no es importante para la expresión de la incertidumbre de acuerdo a las prácticas de esta norma, ya que todas las incertidumbres estándar son tratadas del mismo modo cuando se calcula la incertidumbre es-tándar combinada de un resultado de medición (ver capí-tulo 5).

4.3.4 La incertidumbre indicada para xi no ne-cesariamente está dada como un múltiplo de una desviación estándar como en 4.3.3. En su lugar, puede encontrarse que la incertidumbre evaluada define un intervalo que posee una probabilidad de cobertura del 90 %, 95 % o 99 % (ver 6.2.2). A menos que se indique otra cosa, se puede suponer que ha sido asumida una distribución normal (C.2.14) para calcu-lar la incertidumbre indicada, y recuperar la in-certidumbre estándar de xi dividiendo la incerti-dumbre indicada por el factor apropiado para la distribución normal. Los factores correspon-dientes a las tres probabilidades de cobertura mencionadas son 1,64; 1,96; y 2,58 (ver tam-bién la tabla G.1 en el anexo G).

Nota: Tal suposición no sería necesaria si la incertidum-bre hubiera sido indicada de acuerdo con las recomenda-ciones de esta norma respecto a la expresión de incerti-dumbre, donde se hace hincapié en que el factor de co-bertura usado debe mencionarse (ver 7.2.3).

Ejemplo: Un certificado de calibración declara que la resistencia de un resistor patrón Rs de valor nominal 10 es de10,000 742 ± 129 a 23 ºC, y que "la in-certidumbre evaluada de 129 define un in-tervalo con una probabilidad de cobertura de 99 %". La incertidumbre estándar del resistor puede tomarse como u(Rs) = (129 )/2,58 = 50 , que corresponde a una incertidumbre estándar relativa u(Rs)/(Rs) de 5,0·10-6 (ver 5.1.6). La variancia estimada esu2(Rs) = (50 )2 = 2,5·10-9 2.

4.3.5 Considérese el caso en el cual, basán-dose en la información disponible, se puede in-dicar que "existe una probabilidad cincuenta por ciento que el valor de la magnitud de en-trada Xi, se encuentre en el intervalo que va desde a+ hasta a-". Si puede suponerse que la distribución de valores posibles de Xi es apro-ximadamente normal, entonces la mejor esti-mación xi de Xi puede tomarse como el punto medio del intervalo. Adicionalmente, si el semi-intervalo se denota como a = (a+ - a-)/2, se puede tomar u(xi) = 1,48 a, porque para una distribución normal con valor esperado ± /1,48 abarca aproximadamente al 50 % de la distribución.

Ejemplo: Un operario, al determinar las di-mensiones de una pieza, estima que su longi-tud se encuentra, con una probabilidad de 0,5 en el intervalo que va de 10,07 mm a 10,15 mm, e informa que l = (10,11 0,04) mm, en-tendiendo que ± 0,04 mm define un intervalo con una probabilidad de cobertura del 50 %. Entonces a = 0,04 mm, y si se supone una dis-tribución normal para los posibles valores de l, la incertidumbre estándar de la longitud esu(l) = 1,48 · 0,04 mm 0,06 mm y la variancia estimada es:u2(l) = (1,48 · 0,04 mm)2 = 3,5 · 10-3 mm2.

4.3.6 Considérese un caso similar al de 4.3.5 pero donde, basado en la información disponi-ble, es posible enunciar que "existe una chan-ce de dos a tres que el valor de Xi se encuen-tre en el intervalo a–, a+" (en otras palabras, la probabilidad de que Xí esté dentro de ese in-tervalo es 0,67). Entonces resulta razonable tomar u(xi) = a, puesto que, para una distribu-ción normal con esperanza y desvío están-

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dar , el intervalo abarca alrededor de 68,3 % de la distribución.

Nota: Si se considerara una probabilidad p = 2/3 exacta, se debería utilizar el factor 0,9674 correspondiente en la distribución normal a tal probabilidad. Esto es, u(xi) = a/0,96742 = 1,033a.

4.3.7 En otros casos puede ser posible esti-mar sólo los límites (superior e inferior) para Xi,

en particular, para enunciar que "la probabili-dad que el valor de Xi esté dentro del intervalo a-, a+ para todos los propósitos prácticos es igual a uno y la probabilidad de que Xi caiga fuera de ese intervalo es esencialmente cero." Si no existe un conocimiento específico acerca de los posibles valores de Xi dentro del inter-valo, sólo se puede suponer que es igualmen-te probable que Xi tome cualquier valor dentro del intervalo (una distribución uniforme o rec-tangular de valores posibles - ver 4.4.5 y figura 2a). Entonces xi, la esperanza o el valor espe-rado de Xi, es el punto medio del intervalo, xi = (a- + a+)/2, con variancia asociada.

Si la diferencia entre los límites, a+ y a- se de-nota por 2a, entonces la ecuación (6) se con-vierte en

Nota: Cuando una componente de la incertidumbre de-terminada de esta manera contribuye significativamente a la incertidumbre de un resultado de medición, es pru-dente obtener datos adicionales para su posterior evalua-ción.

Ejemplos:

1.- Un manual establece el valor del coeficien-te de expansión térmica lineal del cobre puro a 20ºC, 20(Cu), como 16,52 x 10-6 ºC-1 y simple-mente declara que “el error en este valor no debería exceder de 0,40 . 10-6 ºC-1.” A partir de esta información limitada, no es desatinado su-poner que el valor de 20(Cu) se encuentra, con igual probabilidad, en el intervalo que va de 16,12 x 10-6 ºC-1 a 16,92 x 10-6 ºC-1, y que es muy poco probable que el valor de 20(Cu) caiga fuera de este intervalo. La variancia de esta distribución rectangular simétrica de valo-

res posibles de 20(Cu), con semiintervalo igual a a = 0,40 . 10-6 ºC-1 es entonces, a partir de la ecuación (7), u2(20) = (0,40 x 10-6 ºC-1)2/3 = 53,3 x 10-15 ºC-2, y la incertidumbre estándar es: u(20) = (0,40 x 10-6 ºC-1)/ = 0,23 x 10-6

ºC-1.

2.- Las especificaciones dadas por el fabrican-te de un voltímetro digital establecen que “en-tre uno y dos años después de la calibración del instrumento, su exactitud en el rango de 1 V es 14 . 10-6 por el valor de la lectura más 2.10-6 por el valor del rango.” Considere que el instrumento se usa 20 meses después de la calibración para medir en su rango de 1 V una diferencia de potencial V y que la media arit-mética de un número de observaciones inde-pendientes repetidas de V es

= 0,928 571 V con una incertidumbre están-dar de Tipo A igual a u( ) = 12 V. La incerti-dumbre estándar de Tipo B asociada con las especificaciones del fabricante puede obtener-se suponiendo que la exactitud declarada pro-porciona límites simétricos para una corrección aditiva de , , con esperanza igual a cero y con igual probabilidad de que se encuentre en cualquier lugar dentro de los límites. El semiin-tervalo a de la distribución rectangular simétri-ca de valores posibles de es entonces:a = (14 . 10-6) . (0,928 571 V) + (2 . 10-6) . (1 V) = 15 V, y de la ecuación (7), u2( ) = 75 V2

y u( ) = 8,7 V. La estimación del valor del mesurando V, por simplicidad denotada con el mismo símbolo V, está dada por V = + = = 0,928 571 V. Puede obtenerse la incertidum-bre estándar combinada de esta estimación combinando la incertidumbre estándar Tipo A de 12 V de con la incertidumbre estándar Tipo B de 8,7 V de . El método general para combinar las componentes de incertidum-bre estándar se indica en el capítulo 5, con es-te ejemplo particular tratado en 5.1.5.

4.3.8 En 4.3.7 los límites superior e inferior, a+

y a-, de la magnitud de entrada Xi pueden no ser simétricos con respecto a su mejor estima-dor xi, más especificamente, si el límite inferior se escribe como a- = xi – b- y el límite superior como a+ = xi + b+, entonces b- b+ Dado que en este caso xi (supuesto como la esperanza de Xi) no está en el centro del intervalo a- , a+ , la distribución de probabilidad de Xi no puede

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ser uniforme en todo el intervalo. Sin embargo, puede no haber suficiente información disponi-ble para elegir una distribución adecuada; dife-rentes modelos conducirán a diferentes expre-siones para la variancia. En ausencia de tal in-formación la aproximación más simple es:

que es la variancia de una distribución rectan-gular con ancho b+ + b-. (Las distribuciones asimétricas se discuten también en F.2.4.4 y G.5.3.).

Ejemplo: Si en el ejemplo 1 de 4.3.7 el valor del coeficiente se indica en el manual como 20(Cu) = 16,52 . 10-6 ºC-1 y se establece que “el valor más pequeño posible es16,40 x 10-6 ºC-1 y el mayor posible es 16,92 x 10-6 ºC-1 ,” entonces b- = 0,12 · 10-6 ºC-1 ,b+ = 0,40 . 10-6 ºC-1, y, de la ecuación (8),u(20 ) = 0,15 . 10-6 ºC-1.

Notas:

1.- En muchas situaciones prácticas de medición donde los límites son asimétricos, puede ser apropiado aplicar una corrección a la estimación xi de valor (b+ + b-)/2 de modo tal que la nueva estimación x’i de Xi esté en el punto medio de los límites: x’i = (a- + a+)/2. Esto reduce la situación al caso de 4.3.7, con nuevos valores:b’+ = b’- = (b+ + b-)/2 = (a+ - a-)/2 = a.

2.- Basado en el principio de máxima entropía, puede demostrarse que la función de densidad de probabilidad en el caso asimétrico es p(Xi) = A exp[-(Xi –xi)], con:

y

Esto conduce a la variancia:

u2(xi) = b+b- – (b+ - b-)/ ; para b+ > b-, > 0 y para b+ < b-, < 0.

4.3.9 En 4.3.7, dado que no existía conoci-miento específico acerca de los posibles valo-res de Xi dentro de sus límites estimadosa-, a+, solo era posible suponer que era igual-mente probable para Xi tomar cualquier valor dentro de estos límites, con probabilidad nula de caer fuera de ellos. Tales discontinuidades (función escalón) en una distribución de proba-bilidad frecuentemente carecen de sentido físi-co. En muchos casos es más realista esperar que los valores cercanos a los límites sean menos probables que aquellos que están cer-ca del punto medio. Es entonces razonable reemplazar la distribución rectangular simétri-ca por una distribución trapezoidal simétrica con igual pendiente en ambos lados (un trape-zoide isósceles), con una base inferior de an-cho a+ - a- = 2a, y una base superior de ancho 2a, donde 0 1. A medida que 1 es-tá distribución trapezoidal se aproxima a la dis-tribución rectangular de 4.3.7, mientras que para = 0 es una distribución triangular (ver 4.4.6 y figura 2b). Suponiendo tal distribución trapezoidal para Xi, se encuentra que la espe-ranza de Xi es: xi = (a- + a+) /2 y su variancia asociada es:

que para la distribución triangular, con = 0, se convierte en

Notas:

1.- Para una distribución normal con esperanza y des-vío estándar , el intervalo 3 cubre aproximada-mente 99,73 % de la distribución. Entonces, si los límites superior e inferior a+ y a- definen límites del 99,73 %, en lugar del 100 %, y puede suponerse que Xi tiene una dis-tribución aproximadamente normal, en lugar de asumir que no se posee información específica sobre Xi entre los límites, como en 4.3.7, entonces u2(xi) = a2/9. Compa-rativamente, la variancia de una distribución rectangular simétrica de semiintervalo a es a2/3 [ecuación (7)] y la de

22


una distribución triangular simétrica de semiintervalo a es a2/6 [ecuación (9b)]. La magnitud de las variancias de las tres distribuciones son sorprendentemente similares da-das las grandes diferencias en la cantidad de información requerida para justificarlas.

2.- La distribución trapezoidal es equivalente a la circun-volución de dos distribuciones rectangulares [10], una con un semiancho a1 igual al semiancho medio de la tra-pezoidal, a1 = (1 + )/2, la otra con un semiancho a2

igual al ancho medio de una de las porciones triangula-res del trapezoide, a2 = a (1 - )/2. La variancia de la dis-

tribución es . La distribución una vez

hecha la circunvolución se puede interpretar como una distribución rectangular de ancho 2 a1 que tiene intrínse-ca una incertidumbre representada por una distribución rectangular de ancho 2 a2 y modelo el hecho que los lími-tes de la magnitud de entrada no son conocidos exacta-mente. Pero aunque si a2 es 30 % mayor que a1, u exce-de a a1/ por menos que un 5 %.

4.3.10 La discusión sobre la evaluación de Ti-po B de la incertidumbre estándar hecha en las secciones 4.3.3 a 4.3.9 debe entenderse sólo como indicativa. Adicionalmente, las eva-luaciones de incertidumbre deben basarse en datos cuantitativos tanto como sea posible, tal como se enfatiza en 3.4.1 y 3.4.2.

4.4 Ilustración gráfica de la evaluación de la incertidumbre estándar

4.4.1 La figura 1 representa la estimación del valor de una magnitud de entrada Xi y la eva-luación de la incertidumbre de dicha estima-ción a partir de la distribución desconocida de los valores posibles medidos de Xi, o a partir de la distribución de probabilidad de Xi, mues-treada mediante observaciones repetidas.

4.4.2 En la figura 1a, se supone que la magni-tud de entrada Xi es una temperatura t y que su distribución desconocida es de tipo normal, con una esperanza matemática t = 100 C y una desviación estándar = 1,5 C. Su densi-dad de probabilidad (véase C.2.14) es pues

Nota - La definición de densidad de probabilidad p(z) re-quiere que se satisfaga la relación.

.

Nota IRAM. En la expresión anteior se entiende que los límites de integración son - , +.

4.4.3 La figura 1b muestra un histograma de n = 20 observaciones repetidas tk que se supo-ne han sido tomadas en forma aleatoria de la distribución de la figura 1a. Para obtener el histograma, las 20 observaciones o muestras,

Tabla 1- Veinte observaciones repetidas de la temperatura t agrupada en intervalos de 1 ºC

Intervalo t1 t < t2 Temperaturat

(en ºC)t1

(en ºC)t2

(en ºC)

23

94,595,596,597,598,599,5

100,5101,5102,5103,5104,5

95,596,597,598,599,5

100,5101,5102,5103,5104,5105,5

--96,9098,18; 98,2598,61; 99,03; 99,4999,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42100,68; 100,95; 101,11; 101,20101,57; 101,84; 102,36102,72--

cuyos valores se indican en la tabla 1, se agru-pan en intervalos de 1 ºC. (se sobreentiende que no se requiere la preparación de histogra-mas para el análisis estadísticos de los datos).

La media aritmética o promedio de las n = 20 observaciones, calculada de acuerdo con la ecuación (3) es = 100,145 ºC 100,14 ºC que se toma como la mejor estimación de la es-peranza t de t basada en los datos disponi-bles. La desviación estándar experimental s(tk) calculada usando la ecuación (4) ess(tk) = 1,489 ºC 1,49 ºC, y la desviación es-tándar experimental de la media s( ), calculada a partir de la ecuación (5), que es la incertidum-bre estandar u( ) de la media t, es

(Para cálculos adicionales, interesa conservar todas las cifras)

Nota – Aunque los datos de la tabla 1 pueden considerar-se verosímiles, dada la utilización generalizada de los ter-mómetros electrónicos digitales de alta resolución, éstos se dan a título ilustrativo, no debiendo interpretarse nece-sariamente como describiendo una medición real.

Tabla 1

4.4.4 La figura 2 representa la estimación del valor de una magnitud de entrada Xi y la eva-luación de la incertidumbre de esta estimación, a partir de una distribución supuesta a priori de los valores posibles de Xi, o de una distribución de probabilidad de Xi basada en la totalidad de la información disponible. En los dos casos pre-sentados, se supone de nuevo que la magnitud de entrada es una temperatura t.

4.4.5 En el caso ilustrado en la figura 2a, se supone que se tiene poca información sobre la magnitud de entrada t y que todo lo que puede hacerse es suponer que t se describe a priori por una distribución de probabilidad rectangular simétrica, de límite inferior a- = 96 ºC, y de lími-te superior a+ = 104 C, con una semiamplitud de intervalo a = (a+ - a-)/2 = 4C (ver 4.37). La densidad de probabilidad de t es entonces

p(t) = 1 / (2a) para a- t a+ p(t) = 0 para cualquier otro valor

Como se indica en 4.3.7, la mejor estimación de t es su esperanza matemáticat = (a+ + a-)/2 = 100 ºC, según C.3.1. La incerti-dumbre estándar de esta estimación esu(t) = a / 2,3 ºC, según C.3.2 [ver ecua-ción (7)]

4.4.6 Para el caso ilustrado en la figura 2b, se supone que la información disponible concer-niente a t es menos limitada, pudiendo venir descrita t a priori por una distribución de proba-bilidad triangular simétrica, con el mismo límite inferior a- = 96 ºC, el mismo límite superiora+ = 104 ºC y, por lo tanto, la misma amplitud a = (a+ + a-)/2 = 4 ºC, que en 4.4.5 (ver 4.3.9). La función de densidad de probabilidad de t se-rá entonces

p(t) = (t - a-)/a2 para a- t (a+ + a-)/2 p(t) = (a+ - t)/a2 para (a+ + a-)/2 t a+ p(t) = 0 para cualquier otro valor.

Como se indica en 4.3.9, la esperanza mate-mática de t es t = (a+ + a-)/2 = 100 ºC, según C.3.1. La incertidumbre estándar de esta esti-mación es u(t) = a/ 1,6 ºC, según C.3.2 [ver ecuación (9b)].

24


El valor anterior u(t ) = 1,6 C puede comparar-se con u(t ) = 2,3 C obtenido en 4.4.5 a partir de una distribución rectangular de igual ampli-tud, 8 C, o con = 1,5 C de la distribución normal de la figura 1a, para la que el intervalo de –2,58 a +2,58, que comprende el 99 %

de la distribución, es del orden de 8 C; final-mente, también puede compararse con u( ) = 0,33 C obtenida en 4.4.3 a partir de 20 obser-vaciones supuestamente tomadas al azar, per-tenecientes a la misma distribución normal.

25

Figura 1 - Ilustración gráfica de la evaluación de la incertidumbre estándar de unargumento a partir de observaciones repetidas

26


Figura 2 - Ilustración gráfica de la evaluación de la incertidumbre estándar de unargumento a partir de una distribución a priori

5 DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA

27

5.1 Magnitudes de entrada no correlaciona-das

Este apartado trata el caso en que todas las magnitudes de entrada son independientes (C.3.7). El caso en que existe una relación en-tre dos o más magnitudes de entrada, es decir, en que son interdependientes o correlaciona-das (C.2.8), se analiza en 5.2.

5.1.1 La incertidumbre estándar de y, siendo y la estimación del mensurando Y, es decir, el resultado de medición, se obtiene componien-do apropiadamente las incertidumbres están-dar de las estimaciones de entrada x1, x2, ..., xN

(ver 4.1). Esta incertidumbre estándar combi-nada de la estimación y se indica como uc (y).

Nota. Por las mismas razones que las indicadas en la nota de 4.3.1, en todos los casos se utilizan los símbolos uc(y) y uc

2(y).

5.1.2 La incertidumbre estándar combinada uc(y) es la raíz cuadrada positiva de la varia-ción combinada uc

2(y), dada por

donde f es la función dada en la ecuación (1). Cada u(xi) es una incertidumbre estándar eva-luada como se describe en 4.2 (evaluación de Tipo A) o en 4.3 (evaluación de Tipo B). La in-certidumbre estándar combinada uc(y) es una desviación estándar estimada y caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razo-nablemante atribuídos al mensurando Y (ver 2.2.3).

La ecuación (10) y su contrapartida para las magnitudes de entrada correlacionadas, ecua-ción (13), basadas ambas en un desarrollo en serie de Taylor de primer orden deY = f (X1, X2, ..., XN), expresan lo que en esta Norma se denomina ley de propagación de la incertidumbre (ver E.3.1 y E.3.2).

Nota. Cuando la no linealidad de f resulta significativa, es necesario incluir términos de orden más elevado en el desarrollo en serie de Taylor para la expresión de uc

2(y), ecuación (10). Cuando la función de distribución de cada Xi es simétrica alrededor de su media, los términos más

importantes de orden inmediatamente superior a añadir a la ecuación (10) son

Ver en H.1 el ejemplo de un caso en que es necesario to-mar en cuenta la contribución de los términos de mayor orden de uc

2(y).

5.1.3 Las derivadas parciales /xi son igua-les a /Xi, calculadas para Xi = xi (ver a con-tinuación la nota 1). Estas derivadas, frecuen-temente denominadas coeficientes de sensibi-lidad, describen cómo varía la estimación de salida y, en función de las variaciones en los valores de las estimaciones de entrada x1, x2, ..., xN. En particular, la variación de y produ-cida por una pequeña variación xi en la esti-mación de entrada xi viene dada por(y)i = ( f/xi ) (xi ). Si esta variación es debi-da a la incertidumbre estándar de la estima-ción xi, la variación correspondiente de y es ( f/xi )u(xi). La variancia combinada uc

2(y) puede considerarse entonces como una suma de términos, cada uno de ellos representando la variancia estimada asociada a la estimación de salida y, debido a la variancia estimada asociada a cada estimación de entrada xi. Esto conduce a escribir la ecuación (10) en la forma

...(11a)

donde

ci f/ xi, ui(y) ci u (xi) (11b)

Notas

1 En rigor, las derivadas parciales sonf / xi = f / Xi, calculadas para las esperanzas matemáticas de las Xi. En la práctica, no obstan-te, las derivadas parciales se estiman por

2 La incertidumbre estándar combinada uc(y) pue-de calcularse numéricamente reemplazando ciu(xi) en la ecuación (11a) por

28

x1, x2 .....xN


Es decir, que ui(y) se evalúa numéricamente calculando la variación de y debida a variaciones de xi de valores +u(xi) y -u(xi). El valor de ui(y) puede entonces tomarse

igual a Zi y el valor del coeficiente de sensibilidad co-rrespondiente ci, igual a Zi/u(xi).

Ejemplo - En el ejemplo de 4.1.1, utilizando por simplicidad de notación el mismo símbolo para la magnitud y para su estimación,

c1 P / V = 2V / R0 [1 + (t - t0) ] = 2 P / V

c2 P / R0 = -V2 / [1 + (t - t0) ] = - P / R0

c3 P / = - V2 (t - t0 ) / R0 [i + (t - t0 ) ]2 = - P (t - t0) / [1 + (t - t0)]

c4 P / t = - V2 / R0 [1 + (t - t0) ]2 = - P / [1 + (t - t0) ]

y

5.1.4 En lugar de calcularlos a partir de la fun-ción f , los coeficientes de sensibilidad f/xi

pueden determinarse de forma experimental, midiendo la variación de Y producida por una variación de una Xi dada, manteniendo cons-tantes las otras magnitudes de entrada. En es-te caso, el conocimiento de la función f (o de una parte de ella cuando únicamente se deter-minan de esta forma algunos coeficientes de senbilidad) se reduce, en consecuencia, a un desarrollo empírico en serie de Taylor de pri-mer orden, basado en los coeficientes de sen-sibilidad medidos.

5.1.5 Si la ecuación (1) para el mensurando Y se desarrolla en serie alrededor de los valores nominales Xi,0 de las magnitudes de entrada Xi, entonces, en el primer orden (que es habitual-mente una aproximación suficiente),Y = Y0 + c11 + c22 + ... + cNN , dondeY0 = f(X1,0, X2,0, ..., XN,0), ci = ( f / Xi ), calcula-

dos en Xi = Xi,0, y i = Xi - Xi,0. En consecuen-cia, para las necesidades de un análisis de in-certidumbre, habitualmente se obtiene una aproximación del mensurando mediante una función lineal de sus variables, transformando sus magnitudes de entrada Xi en i (ver E.3.1).

Ejemplo - A partir del ejemplo 2 de 4.3.7, la es-timación del valor del mensurando V es

con = 0,928 571 V, u = 12 V, la corrección aditiva = 0, y u ( ) = 8,7 V.

Como V / = 1 y V/( ) = 1, la variancia combinada asociada a V viene dada por

29

y la incertidumbre estándar combinada es uc(V) = 15 V, que corresponde a una incerti-dumbre estándar combinada relativa uc(V)/V de 16 x 10-6 (ver 5.1.6). Este es un ejemplo de caso en que el mensurando es una función li-neal de las magnitudes de las que depende, con los coeficientes ci = +1. Se deduce de la ecuación (10) que siY = c1X1 + c2X2 + ... + cNXN y las constantes

ci = +1 ó -1, entonces .

5.1.6 Si Y es de la forma

y los exponentes pi son números conocidos, positivos o negativos, de incertidumbres des-preciables, la variancia combinada, la ecua-ción (10) puede expresarse en la forma

...(12)

Esta es una forma análoga a la ecuación (11a) pero con la variancia combinada expre-sada en forma de variancia combinada relativa

y con la variancia u2(xi) asociada

a cada estimación de entrada expresada en forma de variancia relativa estimada

. [La incertidumbre estándar com-

binada relativa es uc(y) / y y la incertidumbre estándar relativa de cada estimación de entra-da es u(xi) / xi , con y 0 y xi 0.]

Notas

1 Cuando Y toma esta forma, su transformación en una función lineal de variables (ver 5.1.5) se obtiene fácilmente haciendo Xi = Xi,0 (1 + i); de ello resulta la relación aproximada siguiente:

(Y - Y0) / Y0 = .

Por otra parte, la transformación logarítmicaZ = In Y, Wi = In Xi, conduce a una linealización exacta para las nuevas variables:

Z = In c + .

2 Si cada pi toma el valor +1 o -1, la ecuación (12) se transforma en

, lo que muestra

que, en este caso especial, la variancia combi-nada relativa asociada a la estimación y es sim-plemente igual a la suma de las variancias relati-vas estimadas asociadas a las estimaciones de entrada xi .

5.2 Magnitudes de entrada correlacionadas

5.2.1 La ecuación (10) y las que de ella se de-ducen, tales como la (11) y la (12) tienen una validez limitada al caso en que las magnitudes de entrada Xi son independientes o no corre-lacionadas (se trata de variables aleatorias, no de magnitudes físicas, que se supone son in-variantes - ver 4.1.1, nota 1). Si algunas de las Xi están significativamente correlacionadas, es necesario tener en cuenta dichas correla-ciones.

5.2.2 Cuando las magnitudes de entrada están correlacionadas, la expresión apropiada para la variancia combinada uc

2 (y) asociada al re-sultado de medida es

...(13)

donde xi y xj son las estimaciones de Xi y Xj, y u (xi, xj ) = u (xj, xi ) es la covariancia esti-mada asociada a xi y xj. El grado de correla-

ción entre xi y xj viene caracterizado por el coeficiente de correlación (C.3.6) estimado (C.3.6).

...

(14)

donde r (xi, xj ) = r (xj, xi) y -1 r (xi, xj ) +1. Si las estimaciones xi y xj son inde-

30


pendientes, r (xi, xj ) = 0 y una variación de una de las dos no entraña ninguna variación previ-sible en la otra. (ver C.2.8, C.3.6 y C.3.7 para una discusión más detallada).

Utilizando los coeficientes de correlación, los cuales son más fácilmente interpretables que la covariación, el término de covariación de la ecuación (13) puede escribirse

...

(15)

Tomando en cuenta la ecuación (11b), la ecuación (13) se transforma en

...(16)

Notas

1 En el caso muy especial en que todas las esti-maciones de entrada estén correlacionadas, con coeficientes de correlación r (xi, xj ) = +1, la ecuación (16) se reduce a

La incertidumbre estándar combinada uc(y) es entonces simplemente una suma lineal de térmi-nos que representan las variaciones de la mag-nitud de salida y, generados por variaciones de cada estimación de entrada xi iguales a su in-certidumbre estándar u(xi) (ver 5.1.3). [No debe confundirse esta suma lineal con la ley general de propagación del error, aunque presente una forma análoga; las incertidumbres estándar no son errores (ver E.3.2).]

Ejemplo - Diez resistores, cada uno de valor no-minal Ri = 1000 , se calibran con una incerti-dumbre despreciable mediante comparación con un resistor Rs de 1000 caracterizado por

una incertidumbre estándar u(Rs) = 100 m se-gún figura en su certificado de calibración. Los resistores se conectan en serie, con conducto-res de resistencia despreciable, para obtener una resistencia de referencia Rref, de valor nomi-

nal 10 k. Así, .

Como r (xi, xj ) = r (Ri, Rj ) = +1 para cada par de resistores (ver F.1.2.3, ejemplo 2), puede aplicarse la ecuación de esta nota. Puesto que para cada resistor se tiene f / xi = Rref / Ri = 1, y u(xi) = u(Ri) = u(Rs) (ver F.1.2.3, ejemplo 2), esta ecuación da, para la incertidumbre estándar combinada de Rref,

El resultado

obteni-

do a partir de la ecuación (10) sería incorrecto pues no tendría en cuenta el hecho de que la to-talidad de los valores de calibración de los diez resistores están correlacionados.

2 Las variaciones estimadas u2(xi) y las covaria-ciones estimadas u(xi, xj) pueden considerarse como elementos uij de una matriz de covarian-cia. Los elementos diagonales uij de la matriz son las variaciones u2 (xi), mientras que los elementos no diagonales uij (i j) son las co-variancia u(xi, xj) = u(xj, xi). Si dos estimaciones de entrada no están correlacionadas, su cova-riación asociada, así como los elementos co-rrespondientes, uij y uji de la matriz de cova-riancias son iguales a cero. Si las estimaciones de entrada son todas no correlacionadas, todos los elementos no diagonales son nulos y la ma-triz de covariacias es diagonal (ver C.3.5).

3 Para evaluar numéricamente, la ecuación (16) puede escribirse

donde Zi está dada en 5.1.3 nota 2.

4 Si las Xi de la forma especial considerada en 5.1.6 están correlacionadas, es necesario enton-ces añadir los términos

al miembro de la derecha, de la ecuación (12).

5.2.3 Consideremos dos medias aritméticas y , que estiman las esperanzas matemáticas q y r de dos magnitudes q y r que varían

31

aleatoriamente, y supongamos que y se calculan a partir de n pares independientes de observaciones simultáneas de q y r, realizadas en las mismas condiciones de medida (ver B.2.15). Entonces, la covariancia (ver C.3.4) de y está estimada por

...

(17)

donde qk y rk son las observaciones individua-les de las magnitudes q y r, y donde y se calculan a partir de las observaciones, según la ecuación (3). Si las observaciones no están realmente correlacionadas, puede esperarse un valor de la covariancia calculada próximo a cero.

De esta forma, la covariancia estimada de dos magnitudes de entrada correlacionadas Xi y Xj, estimadas por las medias y , y deter-minadas a partir de pares independientes de observaciones simultáneas repetidas, está da-da por u(xi, xj ) = s( ), con calculada según la ecuación (17). Esta aplica-ción de la ecuación (17) es una evaluación de Tipo A de la covariancia. El coeficiente de co-rrelación estimado de y se obtiene a partir de la ecuación (14):

Nota - En H.2 y H.4 se presentan dos ejemplos en los que es necesario utilizar covariancias calculadas según la ecuación (17).

5.2.4 Puede existir una correlación significati-va entre dos magnitudes de entrada si se utili-za para su determinación el mismo instrumen-to de medida, el mismo patrón o el mismo dato de referencia, con incertidumbres significati-vas. Por ejemplo, si se utiliza un termómetro para determinar una corrección de temperatu-ra necesaria para estimar el valor de una mag-nitud de entrada Xi, y el mismo termómetro se utiliza para determinar una corrección de tem-peratura similar, necesaria para la estimación de la magnitud de entrada Xj, las dos magnitu-des de entrada podrían estar correlacionadas de forma significativa. No obstante, si en este

caso, Xi y Xj se redefinen como magnitudes no corregidas, y las magnitudes que definen la curva de calibración para el termómetro se in-cluyen como magnitudes de entrada adiciona-les, con incertidumbres independientes, la co-rrelación entre Xi y Xj desaparece. (ver F.1.2.3 y F.1.2.4 para un análisis más comple-to)

5.2.5 Las correlaciones entre magnitudes de entrada no pueden ignorarse, siempre que existan y sean significativas. Las covariancias asociadas deben evaluarse experimentalmen-te, si ello es posible, haciendo variar las mag-nitudes de entrada correlacionadas (ver C.3.6, nota 3) o utilizando el conjunto de informacio-nes disponibles acerca de la variabilidad corre-lacionada de las magnitudes en cuestión (eva-luación de Tipo B de la covariancia).

La intuición basada en la experiencia, así co-mo los conocimientos generales (ver 4.3.1 y 4.3.2) son especialmente necesarios a la hora de estimar el grado de correlación entre mag-nitudes de entrada derivado de efectos causa-dos por influencias comunes tales como la temperatura ambiente, la presión atmosférica y el grado de humedad. En numerosos casos, los efectos de estas magnitudes de influencia presentan una interdependencia despreciable, y las magnitudes de entrada afectadas pueden suponerse no correlacionadas. Si no es posi-ble hacer tal suposición, pueden evitarse estas correlaciones introduciendo las magnitudes de influencia comunes como magnitudes de en-trada independientes adicionales, tal como se indicó en 5.2.4.

6 DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EXPANDIDA

6.1 Introducción

6.1.1 La Recomendación INC-1 (1980) del Grupo de Trabajo sobre la Expresión de las In-certidumbres, fundamento de la presente nor-ma (ver la Introducción), y las Recomendacio-nes 1 (CI-1981) y 1 (CI-1986) del CIPM que aprueban y confirman INC-1 (1980) (ver A.2 y A.3), preconizan la utilización de la incertidum-bre estándar combinada uc(y) como parámetro

32


para expresar cuantitativamente la incertidum-bre del resultado de una medición. En efecto, el CIPM expresó en la segunda de estas Re-comendaciones que lo que ahora se denomina incertidumbre estándar combinada uc(y) sea utilizada para la expresión de los resultados por “todos los participantes en comparaciones internacionales y en otros trabajos efectuados bajo los auspicios del CIPM y de sus Comités Consultivos”.

6.1.2 Aunque uc(y) puede ser utilizada univer-salmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida, frecuentemente es nece-sario, en ciertas aplicaciones comerciales, in-dustriales o reglamentarias, o en los campos de la salud o la seguridad, dar una medida de la incertidumbre que defina, alrededor del re-sultado de la medición, un intervalo en el inte-rior del cual pueda esperarse encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando. El Grupo de trabajo ha reconocido la existen-cia de esta exigencia y el punto 5 de la Reco-mendación INC-1 (1980) así lo manifiesta. La Recomendación 1 (CI-1986) del CIPM lo refle-ja igualmente.

6.2 Incertidumbre expandida

6.2.1 La nueva medida de la incertidumbre, que satisface la exigencia de aportar un inter-valo tal como el que se indica en 6.1.2 se de-nomina incertidumbre expandida, y se repre-senta por U. La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre están-dar combinada uc(y) por un factor de cobertura k:

U = k uc(y) ...(18)

Es conveniente expresar el resultado de una medición en la forma Y = y U, lo que se in-terpreta como que la mejor estimación del va-lor atribuible al mensurando Y es y y que puede esperarse que en el intervalo desde y - U hasta y + U esté comprendida una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y. Un intervalo tal se expresa por y - U Y y + U.

6.2.2 Los conceptos intervalo de confianza (C.2.27, C.2.28) y nivel de confianza (C.2.29)

tienen definiciones específicas en estadísticas y se aplican solamente al intervalo definido por U cuando se cumplen ciertas condiciones, in-cluída la de que todas las componentes de la incertidumbre que contribuyen a uc(y) se ob-tengan mediante evaluaciones de Tipo A. En consecuencia, en esta norma no se utiliza el concepto “de confianza” para modificar el tér-mino intervalo definido por U; de la misma for-ma tampoco se utiliza el concepto “nivel de confianza” en relación con este intervalo, pero si la denominación “probabilidad de cobertura”. Más específicamente U se interpreta como un intervalo que contiene el mesurando y que abarca una fracción grande p de la distribución de probabilidad caracterizada por este resulta-do y su incertidumbre estándar combinada, siendo p la probabilidad de cobertura del inter-valo.

6.2.3 Debe estimarse e indicarse la probabili-dad de cobertura p asociada al intervalo defini-do por U. Debe tenerse en cuenta que el he-cho de multiplicar uc(y) por una constante no añade información nueva, sino que presenta en forma diferente la información de la que ya se disponía. También debe tenerse en cuenta que, en numerosos casos, la probabilidad de cobertura p (especialmente para valores de p cercanos a 1) es algo incierta, no solamente debido al conocimiento limitado de la distribu-ción de probabilidad caracterizada por y y por uc(y) (particularmente en las porciones extre-mas), sino también por causa de la propia in-certidumbre de uc(y) (ver nota 2 de 2.3.5, 6.3.3 y anexo G, en particular G.6.6).

Nota - Para ver las formas que es preferible utilizar a la hora de presentar el resultado de una medición, según que la incertidumbre se exprese por uc(y) o por U, ver respectivamente 7.2.2 y 7.2.4.

*Nota IRAM. En el texto en inglés se considera en los casos que sea practicable.

6.3 Elección de un factor de cobertura

6.3.1 El valor del factor de cobertura k se elige en función de la probabilidad de cobertura re-querida para el intervalo y - U a y + U. En ge-neral, k toma un valor entre 2 y 3. No obstante, en aplicaciones especiales, k puede tomarse fuera de dicho campo de valores. Una gran ex-periencia y un conocimiento amplio de la utili-

33

zación de los resultados de medida puede faci-litar la elección de un valor conveniente para k.

Nota – Ocasionalemnte, pueden encontrarse situaciones en donde no se han aplicado correcciones por efectos sistemáticos conocidos al resultado informado de una medición, sino que se han tratado de tomar en cuenta esos efectos ampliando la “incertidumbre” asiganada al resultado. Esto debería ser evitado; sólo en circunstan-cias muy especiales podrían no aplicarse al resultado co-rrecciones por efectos sitemáticos significativos conoci-dos (ver en F.2.4.5 un caso específico y su tratamiento). La evaluación de la incertidumbre de un resultado de me-dición no deberá ser confundida con la asignación de lí-mites de seguridad a una magnitud.

6.3.2 Idealmente, debería poderse escoger un valor específico del factor de cobertura k que proporcionarse un intervalo Y = y U = y k uc(y) correspondiente a una probabilidad de cobertura particular p, como por ejemplo, un 95 o un 99 por ciento; y de for-ma equivalente, para un valor dado de k, de-bería ser posible enunciar de forma inequívoca la probabilidad de cobertura asociada a dicho intervalo. Sin embargo, no es fácil lograr esto en la práctica puesto que se requiere un cono-cimiento amplio de la distribución de probabili-dad caracterizada por el resultado de medida y, y su incertidumbre estándar combinada uc(y). Aunque estos parámetros son de impor-tancia crítica, no son suficientes por sí solos para poder establecer intervalos con probabili-dades de cobertura exactamente conocidos.

6.3.3 La Recomendación INC-1 (1980) no es-pecifica cómo debe establecerce la relación entre k y p. Este problema se analiza en el anexo G, presentándose en G.4 un método re-comendado para su solución aproximada y, en forma resumida, en G.6.4. No obstante, en si-tuaciones de medición en que la ley de proba-bilidad caracterizada por y y uc(y) es aproxi-madamente normal, y en donde el número efectivo de grados de libertad de uc(y) es signi-ficativamente elevado, con frecuencia es con-veniente una aproximación más simple; esta aproximación se presenta en G.6.6. En este caso, que sucede frecuentemente en la prácti-ca, puede suponerse que la elección de un factor k = 2 proporciona un intervalo con una probabilidad de cobertura de aproximadamen-te el 95 por ciento, y que la elección de k = 3 proporciona un intervalo con una probabilidad

de cobertura de aproximadamente el 99 por ciento.

Nota - Un método de estimación del número efectivo de grados de libertad de uc(y) se presenta en G.4. La tabla G.2 del anexo G puede utilizarse como ayuda para deci-dir si esta solución es adecuada para una medición parti-cular (ver G.6.6).

7 EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

7.1 Consejos generales

7.1.1 En general, a medida que se asciende en la jerarquía de la medición, se exigen más detalles sobre la forma en que han sido obtenidos el resultado de medida y su incertidumbre. Sin embargo, en todos los niveles jerárquicos, incluídas las actividades comerciales y reglamentarias sobre los mercados, la ingeniería en la industria, las instalaciones de calibración de nivel elemental, la investigación y el desarrollo industriales, la investigación fundamental, los patrones primarios y los patrones de calibración industriales, los laboratorios primarios nacionales y el BIPM, toda la información necesaria para poder comprobar el proceso de medición debe estar a disposición de todos aquellos que puedan necesitaría. La principal diferencia se refiere a los niveles inferiores de la cadena jerárquica, donde puede ser ventajoso que la información necesaria llegue en forma de informes, de sistemas de calibración o de ensayo, de especificaciones de ensayo, de certificados de calibración y de ensayo, de manuales de instrucciones, de normas internacionales o nacionales y de reglamentaciones locales.

7.1.2 Cuando se proporcionan los detalles de una medición, incluyendo la forma de evaluar la incertidumbre del resultado, por referencia a documentos publicados, como es el caso frecuente de un certificado que incluye los resultados de calibración, es imperativo que dichos documentos se mantengan actualizada, para que sean compatibles con el procedimiento de medición realmente utilizado.

34


7.1.3 Diariamente se efectúan numerosas mediciones tanto en la industria como en el comercio, sin un informe explícito de sus incertidumbres . Muchas de ellas son además efectuadas con instrumentos sujetos a calibración periódica o a inspección legal. Si se admite que los instrumentos cumplen sus especificaciones u otros documentos normativos existentes que les sean de aplicación, pueden deducirse las incertidumbres de sus indicaciones a partir de dichas especificaciones o de dichos documentos normativos.

7.1.4 A pesar de que, en la práctica, la cantidad de información necesaria para documentar un resultado de medida depende de la utilización prevista, sin embargo se mantiene el principio básico de que cuando se indica el resultado de medición y su incertidumbre, es mejor pecar por exceso de información que por defecto. Por ejemplo, se debe(n):

a) describir claramente el método utilizado para calcular el resultado de medición y su incertidumbre, a partir de las observaciones experimentales y de otros datos de entrada,

b) listar todas las componentes de la incertidumbre, documentando totalmente la forma en que se han evaluado;

c) presentar el análisis de los resultados de forma que pueda seguirse fácilmente cada una de sus etapas, y que pueda repetirse de forma independiente, si es necesario, el cálculo del resultado obtenido;

d) dar todas las correcciones y constantes utilizadas para el análisis, así como las fuentes utilizadas.

Una comprobación de la lista precedente consiste en preguntarse uno mismo: ¿He proporcionado suficiente información, en forma lo bastante clara, para que mi resultado pueda ser actualizado posteriormente, si aparecen nuevas informaciones o nuevos datos?

7.2 Consejos específicos

7.2.1 Cuando se expresa el resultado de- una medición, y la medida de su incertidunibre esta dada por medio de su incertidumbre su incertidumbre estándar combinada uc(y), se debe:

a) describir completamente la forma en que se ha definido el mensurando Y;

b) dar la estimación y del mensurando Y y su incertidumbre estándar combinada uc(y) indicando siempre las unidades utilizadas para y y para uc(y);

c) aportar la incertidumbre estándar

combinada relativa uc(y)/y, cuando proceda (con la condición y 0)

d) proporcionar la información que se describe en 7.2.7, o hacer referencia a algún documento que la incluya.

Si se considera útil para posteriores usuarios potenciales del resultado de medición; por ejemplo, para facilitar cálculos posteriores de factores de cobertura, o para ayudar a la comprensión de la medición, puede(n) indicarse:

- el número efectivo de grados de libertad eff

estimados (ver G.4); - las incertidumbres estándar combinadas de

Tipo A, ucA(y) , y de Tipo B, ucB(y) , respectivemente, así como sus grados efectivos de libertad estimados, effA y effB

(ver G.4.1, nota 3)

7.2.2 Cuando la incertidumbre está dada por uc(y) , es preferible dar el resultado numérico de la medición mediante una de las cuatro formas siguientes, para evitar cualquier falsa interpretación (supongamos que la magnitud cuyo valor se expresa es un patrón de masa ms, de valor nominal 100 g; la información entre paréntesis puede omitirse para ser más conciso, si uc se define en el documento que expresa el resultado).

1)”ms = 100,021 47 g, con (una incertidumbre estándar combinada) uc = 0,35 mg.”

35

2)”ms = 100,021 47(35) g, donde el número entre paréntesis es el valor numérico de (la incertidumbre estándar combinada) uc

referido a los últimos dígitos del resultado.”

3)”ms = 100,021 47(0,000 35) g, donde el número entre paréntesis es el valor numérico de (la incertidumbre estándar combinada) uc, expresada en la misma unidad que el resultado de medida.”

4)”ms = (100,021 47 0,000 35) g, donde el número que sigue al símbolo es el valor numérico de (la incetidumbre estándar combinada) uc y no un intervalo de confianza.”

Nota. La forma con debe evitarse en lo posible, ya que habitualmente se utiliza para indicar un intervalo correspondiente a un nivel de confianza elevado, y puede confundirse con la incertidumbre expandida (ver 7.2.4). Además, aunque la finalidad de la advertencia en 4) es prevenir tal confusión, aún así, el hecho de escribir Y = y uc(y) podría malinterpretarse, pudiendo entenderse, sobre todo si se omite accidentalmente el final de la frase, que se refiere a una incertidumbre expandida con k = 1, y que el intervalo y - uc(y) Y y + uc(y) posee una probabilidad de cobertura específica p; es decir, aquélla asociada a la distribución normal (ver G.1.3). Como se indica en 6.3.2 y en el anexo G, esta interpretación de uc(y) es normalmente difícil de justificar.

7.2.3 Cuando el resultado de medición se acompaña de la incertidumbre expandidaU = k uc(y), se debe:

a) describir completamente la forma en que se ha definido el mensurando Y;

b) indicar el resultado de medición en la forma Y = y U, y dar las unidades de y, y de U;

c) incluir la incertidumbre expandida relativa, U/y, con y 0 cuando sea apropiado;

d) dar el valor de k utilizado para obtener U [o, para facilidad del usuario del resultado, proporcionar tanto el valor de k como el de uc(y)];

e) dar la probabilidad de cobertura aproximado asociado al intervalo y U, e indicar cómo se ha determinado;

f) proporcionar la información que se describe en 7.2.7, o hacer referencia a algún documento que la incluya.

7.2.4 Cuando la incertidumbre está dada por U, es preferible, para mayor claridad, enunciar el resultado numérico de la medición como en el siguiente ejemplo (la información entre paréntesis puede omitirse para mayor brevedad, siempre que U, uc y k aparezcan definidos en el documento que expresa el resultado).

“ms = (100,021 47 0,000 79) g, donde el número que sigue al símbolo es el valor numérico de (la incertidumbre expandida)U = k uc, con U determinada a partir de (la incertidumbre estándar combinada) uc = 0,35 mg, y del factor de cobertura k = 2,26, basado en la distribución t de Student para = 9 grados de libertad, definiendo un intervalo con una probabilidad de cobertura del 95 % por ciento”.

7.2.5 Si una medición determina simultáneamente más de un mesurando, es decir, si proporciona dos o más estimaciones de salida yi (ver H.2, H.3 y H.4), es necesario dar entonces, además de yi y uc(yi), los elementos u(yi; yj) de la matriz de covariancia, o los elementos r(yi; yj) de la matriz de coeficientes de correlación (C.3.6, nota 2), (preferiblemente ambos).

7.2.6 Los valores numéricos de la estimación y y de su incertidumbre estándar combinada uc(y) o de su incertidumbre expandida U no deben darse con un número excesivo de cifras. Habitualmente basta con dar uc(y) y U [así como las incertidumbres estándar u(xi) de las estimaciones de entrada xi] con dos cifras significativas aunque, en ciertos casos, pueda ser necesario retener cifras suplementarias para evitar la propagación de errores de redondeo en cálculos posteriores.

A la hora de dar los resultados finales, puede ser apropiado redondear las incertidumbres a una cifra superior, mejor que a la cifra más próxima. Por ejemplo, uc(y) = 10,47 m podría redondearse a 11 m. No obstante, el sentido

36


común deberá prevalecer, y un valor como u(xi) = 28,05 kHz debería redondearse al valor inferior 28 kHz. Las estimaciones de entrada y de salida deben redondearse de acuerdo con sus incertidumbres; por ejemplo, si y = 10,057 62 , con uc(y) = 27 m, y deberá redondearse a 10,058 . Los coeficientes de correlación deberán darse con tres cifras significativas, cuando sus valores absolutos sean próximos a la unidad.

7.2.7 En el informe detallado que describe el modo de obtención del resultado de medición y de su incertidumbre, deben seguirse las recomendaciones dadas en 7.1.4 y, en consecuencia:

a) dar el valor de cada estimación de entrada xi y de su incertidumbre estándar u(xi), junto con una descripción de cómo han sido obtenidas;

b) proporcionar las covariancias estimadas, o los coeficientes de correlación estimados (preferiblemente ambas cosas), asociadas a todas las estimaciones de entrada que están correlacionadas, así como los métodos utilizados para su obtención;

c) dar los grados de libertad de la incertidumbre estándar de cada estimación de entrada, y la forma en que se obtuvieron;

d) indicar la relación funcional Y = f(X1, X2, ..., XN) y, cuando se juzgue útil, las derivadas parciales o coeficientes de sensibilidad . Si alguno de estos coeficientes ha sido obtenido experimental-mente, también debe incluirse su proceso de obtención.

Nota – Debido a que la relación funcional f puede ser extremadamente compleja, o puede no existir en forma explícita, sino únicamente como programa de computación, algunas veces es imposible dar f y sus derivadas. Puede entonces describirse la función f en términos generales, o indicar el programa utilizado, con ayuda de las referencias apropiadas. En este caso, es importante presentar claramente la forma en que han sido obtenidas tanto la estimación y del mensurando Y como su incertidumbre estándar combinada uc(y).

8 RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA LA EVALUACIÓN Y LA EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

Las etapas a seguir para evaluar y expresar la incertidumbre del resultado de una medición, tal como se presentan en esta norma, pueden resumirse como sigue:

1 Se expresa matemáticamente la relación existente entre el mensurando Y y las magnitudes de entrada Xi de las que depende Y según Y = f(X1, X2, ..., XN). La función f debe incluir todas las magnitudes, incluyendo correcciones y factores de corrección que pueden contribuir significativamente a la incertidumbre del resultado de medición (ver 4.1.1 y 4.1.2 de la norma).

2 Se determina xi, valor estimado de la magnitud de entrada Xi, ya sea a partir del análisis estadístico de una serie de observaciones, o por otros métodos (ver 4.1.3).

3 Se evalua la incertidumbre estándar u(xi) de cada estimación xi. Para una estimación de entrada obtenida por análisis estadísticos de series de observaciones, la incertidumbre estándar se evalúa tal como se describe en 4.2 (evaluación de Tipo A de la incertidumbre estándar). Para una estimación de entrada obtenida por otros medios, la incertidumbre estándar u(xi) se evalúa tal como se describe en 4.3 (evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar).

4 Se evalua la covariancias asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén correlacionadas. (ver 5.2).

5 Se calcula el resultado de medición; esto es, la estimación y del mesurando Y, a partir de la relación funcional f, utilizando para las magnitudes de entrada Xi las estimaciones xi

obtenidas en el paso 2 (ver 4.1.4).

6 Se determina la incertidumbre estándar combinada uc(y) del resultado de medición y, a partir de las incertidumbres estándar y de las covariancias asociadas a las estimaciones de entrada, tal como se describe en le capítulo 5.

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Si la medición determina simultáneamente más de una magnitud de salida, se calcula sus covariancias (ver 7.2.5, H.2, H.3 y H.4).

7 Si es necesario, se da una incertidumbre expandida U, cuyo propósito es proporcionar un intervalo y – U a y + U , en el que puede esperarse encontrar la mayor parte de la distribución de valores que podrían, razonablemente, ser atribuidos al mensurando Y, multiplicar la incertidumbre estándar combinada uc(y) por un factor de cobertura k normalmente comprendido en un campo de valores entre 2 y 3, para obtener U = k uc(y). Se selecciona k considerando la probabilidad de cobertura requerida para el intervalo (ver

6.2, 6.3 y especialmente el anexo G que presenta la elección de un valor de k que proporciona un intervalo con una probabilidad de cobertura próxima a un valor especificado).

8 Se informa el resultado de medición y, junto con su incertidumbre estándar combinada uc(y), o su incertidumbre expandida U, siguiendo las indicaciones dadas en los puntos 7.2.1 o 7.2.3. Utilizar una de las formas de expresión recomendadas en 7.2.2 o 7.2.4. se describe, tal como se indica en el capítulo 7, cómo han sido obtenidos los valores de y y de uc(y) o U.

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Anexo A(Normativo)

Recomendaciones del Grupo de Ytrabajo y del CIPM

A.1 Recomendación INC -1 (1980)

El Grupo de Trabajo sobre la expresión de las incertidumbres (ver Prefacio) se reunió en octubre de 1980 por iniciativa del Bureau Internacional de Pesas y Medidas (BIPM), en respuesta a una solicitud del Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM). El grupo preparó un informe detallado para so-meterlo a consideración del CIPM, el cual concluye con la Recomendación INC-1 (1980) 2. La tra-ducción al castellano de esta Recomendación se da en el punto 0.7 de la presente norma, y el texto en francés, que es la versión oficial autorizada, se reproduce a continuación 2.

Expression des incertitudes expérimentalesRecommandation INC-1 (1980)

1. L' incertitude d' un résultat de mesure comprend généralement plusieurs composantes qui peuvent être groupées en deux catégories d' aprês la méthode utilisée pour estimer leur valeur numérique

A. celles qui sont évaluées à l' aide de methodes statistiques.B. celles qui sont évaluées par d'autres moyens

Il n' y a pas toujours une correspondance simple entre le classement dans les catégories A ou B et le caractère «aléatoire» ou « systématique » utilisé antérieurment pour classer les incerti-tudes.L'expression «incertitude systématique » est susceptible de conduire à des erreurs d'interpréta-tion; elle doit être évitée.

Toute description détaillée de l'incertitude devrait comprende une liste complète de ses compo-santes et indiquer pour chacune la méthode utilisée pour lui attribuer une valeur numérique.2. Les composantes de la catégorie A sont caractérisées par les variances estimées si

2 (ou les «écarts-types» estimés si) et les nombres i de degrés de liberté. Le cas échéant, les cova-riances estimées doivent être données.3. Les composantes de la catégorie B devraient être caractérisées par des termes uj

2, qui puissent être considérés comme des approximations des variances correspondantes dont on admet l' existence. Les termes uj

2 peuvent ètre traités comme des variances et les termes uj

comme des écarts-types. Le cas échéant, les covariances doiven être traitées de façon analo-gue.4. L' incertitude composée devrait être caractérisée par la valeur obtenue en apliquant la mé-thode usuelle de combinaison des variances. L' incertitude composée ainsi que ses compo-santes devraient être exprimées sous la forme d'«écart-types»5. Si pour des utilisations particulières on est amené à multiplier par facteur I'incertitude com-posée afin d'obtenir une incertitude globale, la valeur numérique de ce facteur doit toujours être donée.

A.2 Recomendación 1 (CI-1981)El CIPM ha examinado el informe que le había sometido el Grupo de Trabajo sobre la expresión de las incertidumbres y ha adoptado la siguiente recomendación en su 70ª reunión celebrada en octubre de 1981 3:

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Recomendación 1 (CI-1981)Expresión de las incertidumbres experimentales

El Comité Internacional de Pesas y Medidas

considerando- la necesidad de encontrar modalidades uniformes para expresar la incertidumbre en metrología- los esfuerzos tendentes a este fin, realizados por diversos organismos durante numerosos años- los progresos hacia una solución aceptable que han resultado de las discusiones del Grupo de

trabajo sobre la expresión de las incertidumbres reunido en el BIPM en 1980

reconoce- que las propuestas del Grupo de trabajo podrían constituir la base para un acuerdo eventual so-

bre la expresión de las incertidumbres.

recomienda- que las proposiciones de este Grupo de trabajo sean difundidas ampliamente para el conocimien-

to de todos los interesados- que el BIPM se esfuerce en aplicar los principios contenidos en estas propuestas, en las compa-

raciones que organice en el futuro- que otros organismos interesados estudien y sometan a prueba estas propuestas, y hagan llegar

al BIPM sus observzciones- que en un plazo de dos o tres años el BIPM informe de nuevo sobre la marcha de la aplicación de

estas propuestas.

A.3 Recomendación 1 (C1-1986)El CIPM ha examinado el tema de la expresión de las incertidumbres en su 75ª reunión celebrada en octubre de 1986, y ha adoptado la siguiente recomendación 4:

Recomendación 1 (C1-1986)Expresión de las incertidumbre en los trabajos efectuados bajo los auspicios del CIPM

El Comité Internacional de Pesas y Medidas

considerando la adopción de la Recomendación INC-1 (1980) por parte del Grupo de Trabajo sobre la Expresión de las Incertidumbres en 1980 y la adopción de la Recomendación 1 (CI-1981) por parte del CIPM en 1981 sobre el mismo tema.

considerando que ciertos miembros de los Comités Consultivos pueden desear un esclarecimiento de dichas Recomendaciones en función de las necesidades de trabajo, en particular en las compara-ciones internacionales

reconoce que el párrafo 5 de la Recomendación INC-1 (1980) relativo a aplicaciones particulares, es-pecialmente las de significado comercial, está siendo considerado actualemnte por un grupo de tra-bajo de la Organización Internacional de Normalización (ISO), con miembros de la ISO, el OIML y la IEC, y la concurrencia y cooperación del CIPM,

solicita que el párrafo 4 de la Recomendación INC-1 (1980) debería ser aplicado por todos los partici-pantes que informen resultados de todas las comparaciones internacionales u otro trabajo hecho bajo los auspicios del CIPM y de los Comités Consultivos, y que la incertidumbre combinada de Tipo A y de Tipo B sea dada en términos de una desviación estándar.

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Anexo B(Normativo)

Términos metrológicos generales

B.1 Origen de las definiciones

Las definiciones de los términos metrológicos generales relacionados con esta norma y que se ofrecen aquí, están tomadas del Vocabulaire international des termes gènèraux et fondamentaux de métrologie (abreviadamente VIM)*, segunda edición, publicado por la International Organization for Standardization (ISO), en nombre de las siete organizaciones que apoyaron su desarrollo y nombraron los expertos que lo preparaton: el Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), la International Electrotechnical Commission (IEC), la International Federation of Clinical Chemistry (IFCC), la propia ISO, la International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC), la International Union of Pure and Applied Phisics (IUPAP), y la International Organization of Legal Metrology (OIML). El VIM debe ser la primera fuente de consulta para las definiciones de los términos no incluidos en el presente anexo o en el texto de la norma.

Nota – Algunos términos y conceptos estadísticos básicos se presentan en el anexo C, mientras que los términos "valor verdadero”, “error” e “incertidumbre” se discuten posteriormente en el anexo D.

* Nota IRAM. Existe la guía IRAM 32 equivalente a este texto.

B.2 Definiciones

Al igual que en el capítulo 2, en las definiciones que siguen, la utilización del paréntesis en torno a ciertas palabras de algunos términos significa que dichas palabras pueden ser omitidas, si ello no crea confusión.

Los términos en negrita, en algunas notas, son términos metrológicos adicionales definidos en dichas notas, explicíta o ímplicitamente. (ver referencia [6])

B.2.1 magnitud (medible) [VIM 1.1]

Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia, que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente.

NOTAS

1. El término "magnitud" puede referirse a una magnitud en sentido general (ver ejemplo a) o a una magnitud particular (ver ejemplo b).

EJEMPLOS

a) magnitudes en sentido general: longitud, tiempo, masa, temperatura, resistencia eléctrica, concentración en cantidad de materia;

b) magnitudes particulares (cantidades):

- longitud de una varilla dada- resistencia eléctrica de una muestra de alambre dado- concentración molar de etanol en una muestra de vino dada.

2. Las magnitudes que pueden ser ordenadas, unas respecto de otras, en forma creciente o decreciente, se denominan magnitudes de la misma especie.

3. Las magnitudes de la misma especie pueden agruparse en categorías de magnitudes, por ejemplo:

- trabajo, calor, energía;- espesor, longitud de circunferencia, longitud de onda.

4. En la norma IRAM 31, equivalente a la ISO 31, se dan los símbolos de las magnitudes

B.2.2 valor (de una magnitud) [VIM 1.18]

Expresión cuantitativa de una magnitud particular, generalmente indicada como el producto de una unidad de medida por un número.

EJEMPLOS

a) longitud de una varilla 5,34 m ó 534 cmb) masa de un cuerpo 0,152 kg ó 152 gc) cantidad de moles de una muestra de agua (H2O) 0,012 mol ó 12 mmol

NOTAS

1. El valor de una magnitud puede ser positivo, negativo o cero.

2. El valor de una magnitud puede expresarse en más de una forma.

3. Para las magnitudes adimensionales la unidad es el número uno y sus valores se expresan generalmente mediante números puros.

4. Los valores de ciertas magnitudes, para las cuales no es posible definir la relación con una unidad, pueden expresarse por referencia a una escala, a un procedimiento de medición especificado, o a ambos.

B.2.3 valor verdadero (de una magnitud) [VIM 1.19]

Valor compatible con la definición de una magnitud particular dada.

NOTAS

1. Es un valor que se obtendría mediante una medición perfecta (ver nota 3).

2. Todo valor verdadero es, por naturaleza, indeterminado.

3. Se prefiere el uso del artículo indeterminado "un" al determinado "el" en conjunto con "valor verdadero", porque pueden existir varios valores correspondientes a la definición de una magnitud dada.

Comentario de la norma: ver anexo D, en particular D.3.5, para conocer las razones por las que el término “valor verdadero” no es usado en esta norma y porqué los términos “valor verdadero de una magnitud” y “valor de una magnitud” son considerados equivalentes.

B.2.4 valor verdadero convencional (de una magnitud) [VIM 1.20]

Valor atribuido a una magnitud particular, y aceptado, a veces por convención, porque la representa, con una incertidumbre apropiada, para un fin dado.

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EJEMPLOS

a) En un lugar dado, el valor asignado a una magnitud particular, realizada por un patrón de referencia, puede tomarse como valor verdadero convencional.

b) El valor recomendado por CODATA (1986) para la constante de Avogadro es NA = (6,022 136 7 ± 0,000 003 6) x 1023 mol-1.

NOTAS

1. El "valor verdadero convencional" es muchas veces denominado valor asignado, mejor estimación del valor, valor convencional o valor de referencia. El término "valor de referencia", en este sentido, no debe confundirse con la expresión idéntica dada en la nota de 5.7, que está empleada con otro sentido.

2. Para establecer un valor verdadero convencional, se realiza con frecuencia un gran número de mediciones de la magnitud particular.

Comentario de la norma: ver el comentario de la norma a B.2.3.

B.2.5 medición [VIM 2.1]

Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar el valor de una magnitud particular.

NOTA. Las operaciones pueden realizarse manual o automáticamente.

B.2.6 principio de medición [VIM 2.3]

Base científica de una medición.

EJEMPLOS

a) El efecto termoeléctrico, aplicado a la medición de la temperatura.b) El efecto Josephson, aplicado a la medición de la diferencia de potencial eléctrico.c) El efecto Doppler, aplicado a la medición de la velocidad.d) El efecto Raman, aplicado a la medición del número de ondas de las vibraciones moleculares.

B.2.7 método de medición [VIM 2.4]

Secuencia lógica de las operaciones que, descriptas genéricamente, se llevan a cabo para la realiza-ción de mediciones.

NOTA Los métodos de medición pueden ser, entre otros:

- de sustitución- diferencial- de cero

B.2.8 procedimiento de medición [VIM 2.5]

Conjunto de operaciones, descriptas en forma específica, que se ponen en práctica para la reali-zación de mediciones particulares, con el empleo de un método dado.

NOTA Un procedimiento de medición normalmente se registra en un documento que lleva esa designación y que contiene, por lo general, suficientes detalles para permitir que un operador lleve a cabo la medición sin necesidad de información adicional.

B.2.9 mesurando [VIM 2.6]

Magnitud particular sometida a medición.

EJEMPLO presión de vapor de una muestra de agua a 20 C.

NOTA La definición del mesurando puede requerir indicaciones relativas a otras magnitudes, tales como el tiempo, la temperatura o la presión.

NOTA IRAM En castellano se emplea "mensurando" para el objeto o sistema material o teórico sobre el cual se realiza la medición.

B.2.10 magnitud de influencia [VIM 2.7]

Magnitud que es ajena al mesurando, pero que afecta el resultado de la medición.

EJEMPLOS

a) La temperatura afecta la indicación de un micrómetro en la medición de longitudes.

b) La frecuencia afecta la medición de la amplitud de una tensión eléctrica alterna.

c) La concentración de bilirrubina afecta la medición de la concentración de hemoglobina en plasma sanguíneo humano.

Comentario de esta norma. Se entiende que la definición de magnitud de influencia incluye valores asociados con patrones de medición, materiales y datos de referencia de los cuales puede depender el resultado de una medición, así como también fenómenos tales como fluctuaciones a corto plazo de los instrumentos de medición, y magnitudes como temperatura ambiente, presión barométrica y humedad.

B.2.11 resultado de una medición [VIM 3.1]

Valor atribuido a un mesurando, obtenido por medición.

NOTAS

1. Cuando se informa un resultado, debe quedar en claro si se hace referencia a:

- la indicación,- el resultado no corregido,- el resultado corregido,- y si proviene de una media aritmética, obtenida de varios valores.

2. La expresión completa del resultado de una medición incluye información sobre la incertidumbre de la medida.

B.2.12 resultado no corregido [VIM 3.3]

Resultado de una medición, antes de la corrección debida al error sistemático.

B.2.13 resultado corregido [VIM 3.4]

Resultado de una medición, luego de la corrección debida al error sistemático.

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B.2.14 exactitud de una medición [VIM 3.5]

Proximidad entre el resultado de una medición y el valor verdadero del mesurando.

NOTAS

1. "exactitud" es un concepto cualitativo.

2. No debe emplearse el término "precisión" en el sentido de "exactitud".

Comentario de esta norma: ver también el comentario en B.2.3.

B.2.15 repetibilidad (de los resultados de las mediciones) [VIM 3.6]

Proximidad entre los resultados de mediciones sucesivas del mismo mesurando, realizadas bajo las mismas condiciones de medición.

NOTAS

1. Estas condiciones son denominadas condiciones de repetibilidad.

2. Las condiciones de repetibilidad incluyen:

- el mismo procedimiento;- el mismo operador;- el mismo instrumental de medición, usado en las mismas condiciones;- el mismo lugar;- repetición efectuada en un lapso breve.

3. La repetibilidad puede expresarse cuantitativamente en función de parámetros característicos de la dispersión de los resultados.

B.2.16 reproducibilidad (de los resultados de mediciones) [VIM 3.7]

Proximidad entre los resultados de mediciones de un mismo mesurando, realizadas bajo distintas condiciones de medición.

NOTAS

1. Para que una expresión de reproducibilidad sea válida deben indicarse las condiciones que se han cambiado.

2. Entre las condiciones cambiadas pueden estar comprendidas:

- el fundamento de la medición;- el método de medición;- el operador;- el instrumental de medición;- el patrón de referencia;- el lugar;- las condiciones de uso;- el tiempo.

3. La reproducibilidad puede expresarse cuantitativamente en función de parámetros característicos de la dispersión de los resultados.

4. Los resultados aquí considerados son, habitualmente, resultados corregidos.

B.2.17 desvío estándar experimental (1) [VIM 3.8]

Para una serie de n medidas del mismo mesurando, el parámetro estadístico s(qk) caracteriza la dis-persión de los resultados y está dado por la fórmula:

siendo qk el resultado de la késima medición y la media aritmética de los n resultados

considerados.

NOTAS1. Considerando series de n mediciones como una muestra de una población de tamaño N >> n y de media aritmética

m, es un estimador no sesgado del promedio q y s2(qk) es un estimador no sesgado de la variancia 2, de dicha población.

2. La expresión proporciona una estimación del desvío estándar de la media aritmética . La expresión se denomina desvío estándar experimental de la media aritmética.

3. El desvío estándar experimental de la media aritmética se denomina a veces, incorrectamente, "error estándar de la media aritmética".

(1)NOTA IRAM También llamado "desvío estándar muestral". (Ver norma IRAM 34552).

Comentario de esta norma. Algunos de los símbolos usados en el VIM han sido cambiados para asegurar consistencia con la notación usada en el capítulo 4.2 de esta norma.

B.2.18 incertidumbre (de medida) [VIM 3.9]

Parámetro, asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mesurando.

NOTAS

1. El parámetro puede ser, por ejemplo, un desvío estándar (o un múltiplo determinado de éste), o la semiamplitud de un intervalo de nivel de confianza especificado.

2. La incertidumbre de una medición comprende, en general, varios componentes. Algunos de ellos pueden evaluarse a partir de la distribución estadística de los resultados de series de mediciones y pueden ser caracterizados por desvíos estándar experimentales. Los otros componentes que también pueden representarse por desvíos estándar, son evaluados a partir de distribuciones de probabilidad supuestas, basadas en la experiencia u otra información.

3. Se entiende que el resultado de la medición es el mejor estimador del valor del mesurando, y que todos los componentes de la incertidumbre, incluyendo aquellos que provienen de efectos sistemáticos, tales como los componentes asociados con las correcciones y patrones de referencia, contribuyen a la dispersión.

Comentario de esta norma. Se destaca en la a publicación del VIM que esta definición y las notas son idénticas a las que están en esta norma (ver 2.2.3).

B.2.19 error (de medición) [VIM 3.10]

Resultado de una medición, menos un valor verdadero del mesurando.

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NOTAS

1. Dado que el valor verdadero no puede ser determinado, en la práctica se usa un valor verdadero convencional (ver 1.19 y 1.20).

2. Cuando sea necesario distinguir entre "error" y "error relativo", el primero de los conceptos podrá denominarse "error absoluto de medida". No debe confundirse esta expresión con "valor absoluto del error", que significa módulo del error.

Comentario de esta norma. Si el resultado de una medición depende de los valores de otras magnitudes diferentes que el mesurando, los errores de los valores medidos de estas magnitudes contribuyen al error del resultado de la medición. Ver también los comentarios B.2.22 y B.2.3.

B.2.20 error relativo [VIM 3.12]

Cociente entre el error de medición y el valor verdadero del mesurando.

NOTA Dado que el "valor verdadero" no puede ser determinado, en la práctica se usa un "valor verdadero convencional" (ver 1.19 y 1.20).

Comentario de esta norma. Ver también el comentario de esta norma en B.2.3.

B.2.21 error aleatorio [VIM 3.13]

Diferencia entre el resultado de medición y la media aritmética que se obtendría de los resultados de un número infinito de mediciones, efectuadas sobre el mismo mesurando, en condiciones de repe-tibilidad.

NOTAS

1. El error aleatorio es igual a la diferencia entre el error y el error sistemático.

2. Como sólo se puede efectuar un número finito de mediciones, sólo es posible determinar una estimación del error aleatorio.

Comentario de esta norma. Ver también el comentario de esta norma en B.2.22.

B.2.22 error sistemático [VIM 3.13]

Media aritmética que resultaría de un número infinito de mediciones del mismo mesurando, llevadas a cabo en condiciones de repetibilidad, menos un valor verdadero del mesurando.

NOTAS

1. El error sistemático es igual al error menos el error aleatorio.

2. Igual que en el caso del valor verdadero, el error sistemático y sus causas no pueden ser conocidos completamente.

3. Para un instrumento de medición, ver "error de ajuste" (5.2.5).

Comentario de esta norma. Generalmente se puede considerar que el error del resultado de una medición (ver B.2.19) proviene de un número de efectos sistemáticos y aleatorios que contribuyen con los componentes individuales del error al error del resultado. Ver también el comentario de esta norma en B.2.19 y B.2.3.

B.2.23 corrección [VIM 3.15]

Valor que se suma algebraicamente al resultado no corregido de una medición, para compensar un error sistemático.

NOTAS

1. La corrección es igual al error sistemático estimado, cambiado de signo.

2. Algunos errores sistemáticos pueden ser estimados y compensados por la aplicación de correcciones apropiadas. Sin embargo, dado que el error sistemático no puede ser conocido completamente, la compensación no puede ser total.

B.2.24 factor de corrección [VIM 3.16]

Factor numérico por el cual se multiplica un resultado no corregido, para compensar un error sistemático.

NOTA Dado que el error sistemático no puede ser conocido perfectamente, la compensación no puede ser total.

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Anexo C(Normativo)

Términos y conceptos estadísticos básicos

C.1 Origen de las definiciones

Las definiciones de los términos estadísticos básicos dado en este anexo han sido tomadas de la Norma Internacional ISO 3534-1 [7] . Esta debería ser la primera fuente de consulta para las defini-ciones de términos no incluidos en este anexo. Algunos de estos términos y sus conceptos funda-mentales son desarrollados en C.3 después de la introducción de sus definiciones en C.2, con la fi-nalidad de facilita el uso de esta norma. Sin embargo, C.3, que incluye las definiciones de los térmi-nos referidos, no está basado directamente en la ISO 3534-1.

C.2 Definiciones

Al igual que en el capítulo 2 y en el anexo B, el encerrar ciertas palabras de algunos términos entre paréntesis significa que estas palabras pueden ser omitidas, siempre que esto no cause confusión.

Los conceptos presentados desde C.2.1 hasta C.2.14 se definen haciendo uso de las propiedades de las poblaciones. Las definiciones de los conceptos desde C.2.15 hasta C.2.31 están relacionadas con un conjunto de observaciones (ver referencia [7]).

C.2.1 probabilidad [ISO 3534-1, 1.1]Número real, entre 0 y 1, asociado a un suceso aleatorio.

NOTA – Puede referirse a la frecuencia relativa de un suceso, dentro de una larga serie, o al grado de credibilidad de que un suceso ocurra. Para un alto grado de credibilidad, la probabilidad es próxima a 1.

C.2.2 variable aleatoria [ÌSO 3534-1, 1.2]Variable que puede tomar cualquiera de los valores de un conjunto determinado de valores, y a la que se asocia una distribución de probabilidad ([ISO 3534-1] 1.2 [C.2.3]).

NOTAS

1. Una variable aleatoria que puede tomar únicamente valores aislados se denomina “discreta”. Una variable que puede tomar cualquiera de los valores de un intervalo finito o infinito se denomina “continua”.

2. La probabilidad de ocurrencia de un suceso A se representa como Pr(A) o P(A).

Comentario de la norma: En esta norma se usa el símbolo Pr(A) en lugar del símbolo P r(A) empleado en ISO 3534-1.

C.2.3 distribución de probabilidad (de una variable aleatoria) [ISO 3534-1, 1.3].Función que da la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dado cualquiera o perte-nezca a un conjunto dado de valores.

NOTA. La probabilidad sobre el conjunto total de valores de una variable aleatoria es igual a 1.

C.2.4 función de distribución [ISO 3534-1, 1.4]Función que da, para cada valor de x, la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual que x:

F(x) = Pr(X x)

C.2.5 función de densidad de probabilidad (para una variable aleatoria continua) [ISO 3534-1, 1.5].Es la derivada (cuando existe) de la función de distribución:

(x) = dF(x)/dx

NOTA. (x)dx se denomina “elemento de probabilidad” o “probabilidad elemental”.

(x) = Pr(x < X < x + dx)

C.2.6 función masa de probabilidad; función de probabilidad (para una variable aleatoria discre-ta) [ISO 3534-1, 1.6].Función que da, para cada valor xi de una variable aleatoria discreta X, la probabilidad pi de que esta variable aleatoria sea igual a xi:

pi = Pr(X = xi)

C.2.7 parámetro [ISO 3534-1, 1.12]. Magnitud utilizada para describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

C.2.8 correlación [ISO 3534-1, 1.13]Relación entre dos o entre varias variables aleatorias dentro de una distribución de dos o más varia-bles aleatorias.

NOTA. La mayoría de las medidas estadísticas de correlación miden sólo el grado de la relación lineal.

C.2.9 esperanza matemática (de una variable aleatoria o de una distribución de probabilidad); valor esperado; media [ISO 3534-1.1.18]

1. Para una variable aleatoria discreta X que toma los valores xi con probabilidades pi, la esperan-za, si existe, es

donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores xi que pueda tomar X.

2. Para una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad (x), la esperan-za, si existe, es

donde la integral se extiende a todo el campo de variación de X.

C.2.10 variable aleatoria centrada [ISO 3534-1, 1.21]Variable aleatoria cuya esperanza matemática es igual a cero.

NOTA. Si la variable aleatoria X tiene por esperanza matemática , la correspondiente variable aleatoria centrada es (X-).

C.2.11 variancia (de una variable aleatoria o de una distribución de probabilidad) [ISO 3534-1, 1.22].Esperanza matemática del cuadrado de la variable aleatoria centrada ([ISO 3534-1] 1.21 [C.2.10]):

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C.2.12 desvío estándar (de una variable aleatoria o de una distribución de probabilidad) [ISO 3534-1. 1.23]Raíz cuadrada positiva de la variancia:

C.2.13 momento central 1) de orden q [ISO 3534-1, 1.28]En una distribución univariada, es la esperanza matemática de la q-ésima potencia de la variable aleatoria centrada (X-).

1) Si en la definición de momentos, las magnitudes X, X-a, Y, Y-b, etc, se reemplazan por sus valores absolutos; es decir, por X, X-a, Y, Y-b, etc., quedan definidos otros momentos denominados “momentos absolutos”,

NOTA. El momento central de orden 2 es la variancia ([ISO 3534-1] 1.22 [C.2.11]) de la variable aleatoria X.

C.2.14 distribución normal; distribución de Laplace-Gauss [ISO 3534-1, 1.37]Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, cuya función de densidad de proba-bilidad es:

para - < x < +

Nota - es la esperanza matemática y es el desvío estándar de la distribución normal.

Nota - La distribución puede representarse gráficamente como un histograma ([ISO 3534-1. 2.17], un diagrama de barras ([ISO 3534-1] 2.18), un polígono de frecuencias acumuladas ([ISO 3534-1] 2.19), o como una tabla de dos entradas ([ISO 3534-1] 2.22).

C.2.15 característica [ISO 3534-1, 2.2]Propiedad que ayuda a identificar o diferenciar elementos de una población dada.

NOTA. La característica puede ser cuantitativa (por variables) o cualitativa (por atributos)

C.2.16 población [ISO 3534-1, 2.3]Totalidad de los elementos bajo consideración.

Nota - En el caso de una variable aleatoria, se considera que la distribución de probabilidad ([ISO 3534-1] 1.3[C.2.3]) defi-ne la población de esa variable.

C.2.17 frecuencia [ISO 3534-1, 2.11]

Número de ocurrencias de un tipo dado de suceso o número de observaciones que pertenecen a una clase específica.

C.2.18 distribución de frecuencia [ISO 3534-1, 2.15]Relación empírica entre los valores de una característica y sus frecuencias o frecuencias relativas.

C.2.19 media aritmética; valor promedio [ISO 3534-1, 2.26]Suma de valores dividida por el número de valores

NOTAS

1. El término “media” se emplea generalmente cuando se hace referencia a un parámetro de una población y el término “promedio” cuando se refiere al resultado de cálculo sobre datos obtenidos en una muestra.

2. El promedio de una muestra aleatoria simple tomada de una población es un estimador insertado de la media de esa población. No obstante, a veces se utilizan otros estimadores, tales como la media geométrica o la armónica, la media-na o la moda.

C.2.20 variancia [ISO 3534-1, 2.33]Medida de dispersión, igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a su valor medio, dividido por el número de observaciones menos uno.

EJEMPLO – Para n observaciones x1, x2, ...., xn con valor medio

la variancia es

NOTAS

1. La variancia de la muestra es un estimador insesgado de la variancia de la población.2. La variancia es n/(n-1) veces el momento central de orden 2 (ver nota de [ISO 3534-1] 2.39).

Comentario de la norma: La variancia aquí definida se designa de forma más apropiada como “esti-mación muestral de la variancia poblacional”, La variancia de una muestra se define normalmente co-mo el momento central de orden 2 de la muestra (ver C.2.13 y C.2.22).C.2.21 desvío estándar [ISO 3534-1, 2.34]Raíz cuadrada positiva de la variancia.

NOTA – El desvío estándar muestral es un estimador sesgado del desvío estándar poblacional.

C.2.22 momento central de orden q [ISO 3534-1. 2.37].En una distribución de característica única, media aritmética de la q-ésima potencia de la diferencia entre los valores observados y su valor medio .

donde n es el número de observaciones

NOTA – El momento central de orden 1 es igual a cero.

C.2.23 estadístico [ISO 3534-1, 2.45]Función de las variables aleatorias de la muestra.

NOTA – Un estadístico, por ser función de variables aleatorias, es también una variable aleatoria y como tal adquiere dife-rentes valores de una muestra a otra. El valor del estadístico obtenido usando los valores observados en esta función pue-

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de ser empleado en un test estadístico o como estimación de un parámetro de la población, como la media o el desvío es -tándar.

C.2.24 estimación [ISO 3534-1, 2.49]Proceso que tiene por finalidad atribuir, a partir de observaciones en una muestra, valores numéricos a los parámetros de una distribución elegida como modelo estadístico de la población, de la cual la muestra fue tomada.

NOTA – El resultado de este proceso puede expresarse como un valor único (estimador puntual; ver [ISO 3534-1] 2.51 [C.2.26]) o en forma de estimador de intervalo (ver [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27] y 2.58 [C.2.28]).

C.2.25 estimador [ISO 3534-1, 2.50]Estadístico utilizado para estimar un parámetro de una población.

C.2.26 estimación (valor estimado) [ISO 3534-1, 2.51]Valor de un estimador obtenido como resultado de una estimación.

C.2.27 intervalo de confianza bilateral [ISO 3534-1, 2.57]Si T1 y T2 son dos funciones de los valores observados tales que, siendo un parámetro poblacional que se desea estimar, la probabilidad Pr(T1 T2) es al menos igual a (1-) [siendo (1-) un nú-mero fijo, positivo y menor que 1], el intervalo entre T1 y T2 es un intervalo de confianza bilateral (1-) para .

NOTAS

1. Los límites T1 y T2 del intervalo de confianza son estadísticos ([ISO 3534-1] 2.45 [C.2.23]) y, como tales, tomarán gene-ralmente diferentes valores de una muestra a otra.

2. En una larga serie de muestras, la frecuencia relativa de los casos en que el valor verdadero del parámetro poblacional está contenido en el intervalo de confianza, es mayor o igual que (1-).

C.2.28 intervalo de confianza unilateral [ISO 3534-1, 2.58]Si T es una función de los valores observados tal que, siendo un parámetro poblacional que se de-sea estimar, la probabilidad Pr(T ) [o la probabilidad Pr(T )] es al menos igual a (1-) [siendo (1-) un número fijo, positivo y menor que 1], el intervalo que va desde el valor más pequeño posible de hasta T (o el intervalo que va desde T hasta el mayor valor posible de ) es un intervalo de con-fianza unilateral (1-) para .

NOTAS

1. El límite T del intervalo de confianza es un estadístico ([ISO 3534-1] 2.45 [C.2.23]) y, como tal, tomará generalmente di -ferentes valores de una muestra a otra.

2. Ver nota 2 de [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27]

C.2.29 nivel de confianza [ISO 3534-1, 2.59]Valor (1-) de la probabilidad asociada a un intervalo de confianza o a un intervalo de cobertura esta-dística (Ver [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27], 2.58 [C.2.28], y 2.61 [C.2.27]).

NOTA – (1-) se expresa frecuentemente como porcentaje.

C.2.30 intervalo de cobertura estadística [ISO 3534-1, 2.61 ]Intervalo del que puede afirmarse, con un nivel de confianza dado, que contiene al menos una pro-porción dada de la población.

Notas

1. Cuando los dos límites del intervalo se definen mediante estadísticos, el intervalo es bilateral. Cuando uno de los lími -tes es infinito o es el límite extremo de la variable, el intervalo es unilateral.

2. También se denomina “intervalo de tolerancia estadística”. Este término no debería usarse porque puede confundirse con “intervalo de tolerancia”, definido en ISO 3534-2.

C.2.31 grados de libertad [ISO 3534-1, 2.85]En general, el número de términos de una suma, menos el número de restricciones sobre los térmi-nos de dicha suma.

C.3 Elaboración de términos y conceptos

C.3.1 Esperanza matemáticaLa esperanza matemática de una función g(z) de la variable aleatoria z, con función de densidad de probabilidad p(z) se define como

donde , en razón de la definición de p(z). La esperanza matemática de la variable

aleatoria z, representada por z, y denominada también valor esperado o media de z, está dada por

y se estima estadísticamente mediante , media aritmética o promedio de n observaciones indepen-dientes zi de la variable aleatoria z, cuya función de densidad de probabilidad es p (z):

C.3.2 Variancia

La variancia de una variable aleatoria es la esperanza matemática de su desvío respecto a su espe-ranza matemática, elevada al cuadrado. Por lo tanto, la variancia de una variable aleatoria z con fun-ción de densidad de probabilidad p(z) viene dada por

donde z es la esperanza matemática de z. La variancia 2(z) puede estimarse mediante

y las zi son n observaciones independientes de z.

NOTAS

1. El factor n – 1 en la expresión s2(zi) proviene de la correlación existente entre zi y , y refleja el hecho de que hay úni-

camente n – 1 valores independientes en el conjunto (zi - ).

2. Si se conoce la esperanza matemática z de z, la variancia puede estimarse mediante

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La variancia de la media aritmética de las observaciones es preferible a la variancia de las observa-ciones individuales, para dar la medida correcta de la incertidumbre de un resultado de medida. La variancia de una variable z debe distinguirse cuidadosamente de la variancia de la media . La va-riancia de la media aritmética de una serie de n observaciones independientes zi de z viene dada por 2( ) = 2(zi)/n , y se estima mediante la variancia experimental de la media

C.3.3 Desviación estándar

El desvío estándar es la raíz cuadrada positiva de la variancia. Mientras que una incertidumbre es-tándar de Tipo A se obtiene tomando la raíz cuadrada de la variancia evaluada estadísticamente, cuando se evalúa una incertidumbre estándar de Tipo B, es a menudo más cómodo obtener “primero una desviación estándar equivalente, no estadística, y luego obtener la variancia equivalente elevan-do al cuadrado dicha desviación estándar.

C.3.4 Covariancia

La covariancia de dos variables aleatorias es una medida de su dependencia mutua. La covariancia de dos variables aleatorias “y” y “z”, se define mediante

de donde resulta

) (z - z) p (y,z) dydz

donde p(y, z) es la función de densidad de probabilidad conjunta de las dos variables y y z. La cova-riancia cov (y, z) [también expresada como v(y,z)] puede estimarse mediante s(yi, zi) obtenida a partir de n pares de observaciones simultáneas yi y zi de y y z.

donde

NOTA - La covariancia estimada de dos medias , está dada por

C.3.5 Matriz de covariancias

Para una distribución de probabilidad de varias variables, se denomina matriz de covariancias a la matriz V cuyos elementos son las variancias y covariancias de las variables. Los elementos de la dia-gonal, v(z,z) 2(z), o s(zi, zi) s2(zi), son las variancias, mientras que los elementos fuera de la dia-gonal, v(y,z) o s(yi, zi), son las covariancias.

C.3.6 Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación es una medida de la dependencia relativa mutua de dos variables, y es igual al cociente entre su covariancia y la raíz cuadrada positiva del producto de sus variancias. Es decir,

con las estimaciones

El coeficiente de correlación es un número entero tal que –1 + 1, ó –1 r(yi, zi) + 1.

NOTAS

1. Los coeficientes de correlación son normalmente más útiles que las covariancias, debido a que y r son números ente-ros comprendidos en el intervalo de –1 a +1, extremos incluidos, mientras que las covariancias son frecuentemente magnitudes con dimensiones y órdenes de magnitud poco cómodos.

2. Para distribuciones de probabilidad de varias variables suele darse frecuentemente la matriz de coeficientes de corre-lación, en lugar de la matriz de covariancias. Como (y,y) = 1, y r(yi yi) = 1, los elementos de la diagonal de la matriz son iguales a la unidad.

3. Si las estimaciones de entrada xi y xj están correlacionadas (ver 5.2.2), y una variación i en xi produce una variación j

en xj, el coeficiente de correlación asociado a xi y xj puede estimarse aproximadamente por

Esta relación puede servir como base para estimar los coeficientes de correlación de forma experi-mental. También puede emplearse para calcular la variación aproximada de una estimación de entra-da producida por una variación en otra estimación de entrada, si se conoce sus coeficientes de corre-lación.

C.3.7 Independencia

Dos variables aleatorias son estadísticamente independientes si su función de distribución de proba-bilidad conjunta es el producto de sus funciones de distribución de probabilidad individuales.

NOTA – Si dos variables aleatorias son independientes, su covariancia y su coeficiente de correlación son cero, pero lo contrario no es necesariamente cierto.

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C.3.8 La distribución o distribución de Student

La distribución t, o de Student, es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua , cuya función de densidad de probabilidad es

para - < t <

donde es la función gamma y > 0. La esperanza matemática de la función de distribución t es ce-ro y su variancia es /(-2) para > 2. Conforme , la función de distribución se aproxima a la distribución normal con = 0 y = 1 (ver C.2.14).

La función de distribución de probabilidad de la variable es la función de distribución t, si la variable aleatoria z está normalmente distribuida con esperanza z, donde es la media aritmética de n observaciones independientes zi de z, s(zi) es el desvío estándar experimental de n observacio-nes, y es el desvío estándar experimental de la media , con = n –1 grados de li-bertad.

Anexo D(Normativo)

Valor “verdadero”, error e incertidumbre

El término valor verdadero (B.2.3) ha sido utilizado tradicionalmente en publicaciones sobre incerti-dumbre, pero no en esta norma, por las razones aducidas en este Anexo. Debido a que los términos “mensurando”, “error” e “incertidumbre” se malinterpretan frecuentemente, el presente anexo propor-ciona una discusión adicional sobre las ideas que subyacen bajo estos conceptos, tratando de com-plementar la discusión presentada en el capítulo 3. Se presentan dos figuras que ilustran porqué el concepto de incertidumbre adoptado en esta norma está basado en el resultado de la medición y su incertidumbre evaluada, en lugar de basarse en las magnitudes desconocidas “valor verdadero” y “error”.

D.1 El mensurando

D.1.1 El primer paso a la hora de realizar una medición es definir el mensurando; es decir, la magni-tud objeto de medición; el mensurando no puede definirse mediante un valor sino exclusivamente mediante una descripción de una magnitud. Sin embargo, en principio, un mensurando no puede de-finirse completamente sin contar con una cantidad infinita de información. Por ello, al caber interpre-taciones varias, la definición incompleta del mensurando introduce en la incertidumbre del resultado de una medición una componente de incertidumbre que puede o no ser significativa, dependiendo de la exactitud requerida en la medición.

D.1.2 Frecuentemente, la definición de un mensurando especifica ciertos estados físicos y condicio-nes.

EJEMPLO – La velocidad del sonido en aire seco de composición (fracción molar) N2 = 0,780 8,O2 = 0,209 5, Ar = 0,009 35 y CO2 = 0,000 35 a la temperatura T = 273,15 K y presión p = 101 325 Pa.

D.2 Magnitud verificada

D.2.1 Idealmente, la magnitud verificada con vistas a la medición debería ser totalmente coherente con la definición del mensurando. sin embargo sucede frecuentemente, que tal magnitud no puede obtenerse, y la medición se lleva a cabo sobre una magnitud que es una aproximación del mensuran-do.

D.3 El valor “verdadero” y el valor corregido

D.3.1 El resultado de la medición de la magnitud verificada se corrige por la diferencia existente en-tre dicha magnitud y el mensurando, con objeto de predecir el resultado que se obtendría si la magni-tud verificada cumpliera totalmente la definición del mensurando. El resultado de la medición de la magnitud verificada se corrige también por todos los efectos sistemáticos significativos identificados. A pesar de que el resultado final corregido es considerado a veces como la mejor estimación del va-lor “verdadero” del mensurando, en realidad el resultado es simplemente la mejor estimación del va-lor de la magnitud que se pretende medir.

D.3.2 Como ejemplo, supóngase que el mensurando es el espesor de una lámina dad de material a una temperatura específica. La muestra se lleva a una temperatura próxima a la especificada y se mide su espesor en un punto determinado con ayuda de un micrómetro. El espesor del material en

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dicho punto a dicha temperatura, bajo la presión aplicada por el micrómetro, es la magnitud verifica-da.

D.3.3 En el momento de la medición se determinan la temperatura del material y la presión aplicada. El resultado sin corregir de la medición verificada de la magnitud se corrige entonces teniendo en cuenta la curva de calibración del micrómetro, la desviación de temperatura de la muestra respecto a la temperatura específica y la ligera compresión de la muestra bajo la fuerza aplicada.

D.3.4 El resultado corregido puede considerarse como la mejor estimación del valor “verdadero”, “verdadero” en el sentido de que es el valor de la magnitud que suponemos satisface totalmente la definición del mensurando; pero si el micrómetro se hubiera aplicado en una zona diferente de la lá-mina de material, la magnitud verificada habría sido diferente, con un valor “verdadero” diferente. Sin embargo, ese valor “verdadero” sería coherente con la definición del mensurando, ya que ésta no es-pecificaba que el espesor debiera determinarse en un punto particular de la lámina. Así, en este ca-so, debido a la definición incompleta del mensurando, el valor “verdadero” posee una incertidumbre que puede evaluarse a partir de mediciones verificadas en diferentes lugares de la lámina. Hasta cierto punto, cada mensurando posee una incertidumbre “intrínseca” que, en principio puede estimar-se de alguna forma. Esta es la mínima incertidumbre con la que un mensurando puede determinarse, y toda medición que posea dicha incertidumbre puede considerarse como la mejor medición posible del mensurando. La obtención de un valor de la magnitud en cuestión con una incertidumbre menor requiere una definición más completa del mensurando.

NOTAS

1) En el ejemplo, la definición del mensurando deja de lado muchos otros aspectos que podrían afectar razonablemente al valor del espesor: la presión atmosférica, la humedad, el comportamiento de la lámina en el campo gravitatorio, la for -ma de apoyo, etc.

2) A pesar de que el mensurando debe definirse con el suficiente detalle como para que cualquier incertidumbre prove-niente de su definición incompleta sea despreciable en comparación con la exactitud requerida en la medición, debe re-conocerse que esto no siempre es posible. La definición puede, por ejemplo, ser incompleta, por ejemplo, porque no especifique parámetros cuyos efectos se han supuesto despreciables sin justificación alguna,; o puede implicar condi-ciones que nunca podrán cumplirse y cuya realización imperfecta es difícil de valorar. Así, en el ejemplo de D.1.2, la velocidad del sonido implica infinitas ondas planas de amplitud cada vez menor. Como la medición no satisface esta condición, deben considerarse los efectos debidos a la difracción y a la falta de linealidad.

3) La definición inadecuada del mensurando puede llevar a discrepancias entre resultados de diferentes laboratorios, ob-tenidos tras mediciones realizadas teóricamente sobre la misma magnitud.

D.3.5 Los términos “valor verdadero de un mensurando” o “valor verdadero de una magnitud” (a me-nudo solo “valor verdadero” en forma simplificada) se evitan en esta norma por considerar el término “verdadero” como redundante. En efecto “mensurando” (ver B.2.9) significa “magnitud particular obje-to de medición”, de aquí que “valor de un mensurando” signifique “valor de una magnitud particular objeto de medición”. Como por “magnitud particular” se entiende generalmente una magnitud definida o específica (ver B.2.1, nota 1), el adjetivo “verdadero” en “valor verdadero de un mensurando” (o en un “valor verdadero de una magnitud”) es innecesario – el valor “verdadero” del mensurando (o mag-nitud) es simplemente el valor del mensurando (o magnitud). Además, tal como se indicó en la discu-sión anterior, un valor “verdadero” único es un concepto ideal.

D.4 Error. Un resultado de medición corregido no es el valor del mensurando – es decir, existe un error– debido a imperfecciones en la medición de la magnitud verificada, ya sea por las variaciones aleatorias de las observaciones (efectos aleatorios), por la determinación inadecuada de las correcciones por efectos sistemáticos, o por el conocimiento incompleto de ciertos fenómenos físicos (de nuevo, efectos sistemáticos). Ni el valor de la magnitud verificada, ni el valor del mensurando, pueden conocerse jamás con exactitud; todo lo más que puede conocerse son sus valores estimados. En el ejemplo anterior, el espesor medido en la lámina puede ser erróneo; es decir, puede diferir del

valor del mensurando (el espesor de la lámina), debido a que los siguientes factores pueden combinarse entre sí, contribuyendo a un error desconocido en el resultado de medida:

a) pequeñas diferencias en las indicaciones del micrómetro cuando se aplica repetidamente so-bre la misma magnitud verificada;

b) calibración imperfecta del micrómetro;

c) medición imperfecta de la temperatura y de la presión aplicada;

d) conocimiento incompleto de los efectos de la temperatura, la presión atmosférica y la hume-dad sobre la muestra, el micrómetro, o ambos.

D.5 Incertidumbre

D.5.1 Mientras que los valores exactos de las contribuciones al error de un resultado de medición son desconocidos y nunca podrán conocerse, las incertidumbres asociadas a los efectos aleatorios y sistemáticos que dan lugar al error si pueden evaluarse. Sin embargo, aunque las incertidumbres evaluadas sean pequeñas, esto no garantiza que el error en el resultado de medida sea pequeño, ya que puede haberse pasado por alto algún efecto sistemático no identificado, en la determinación de alguna corrección, o al evaluar el conocimiento incompleto del que se dispone. Es así que, la incerti -dumbre del resultado de medición no es necesariamente una indicación de la certeza existente de que el resultado de medición se halla próximo al valor del mensurando; se trata simplemente de una estimación de la verosimilitud acerca de la proximidad al mejor valor, que es consistente con el cono-cimiento disponible.

D.5.2 La incertidumbre de medición es pues una expresión del hecho que, para un mensurando y un resultado de medición del mismo dados, no existe un único valor, sino un infinito número de valores dispersos en torno al resultado. Estos valores son compatibles con todas las observaciones, datos y conocimientos que poseen del mundo físico, y con diferentes grados de credibilidad, pueden ser atri-buidos al mensurando.

D.5.3 Afortunadamente, en muchas situaciones prácticas de medición, la mayor parte de la discu-sión del presente anexo no es de aplicación. Este es el caso, por ejemplo, cuando un mensurando está definido adecuadamente, cuando los patrones o instrumentos son calibrados respecto a patro-nes de referencia perfectamente conocidos, dotados de trazabilidad a patrones nacionales; o cuando las incertidumbres de las correcciones de calibración son insignificantes comparadas con las incerti-dumbres provenientes de efectos aleatorios sobre las indicaciones de los instrumentos, o cuando se tiene un número limitado de observaciones (ver E.4.3). No obstante, el conocimiento incompleto de las magnitudes de influencia y sus efectos puede contribuir, a menudo de forma significativa, a la in-certidumbre del resultado de una medición.

D.6 Representación gráfica

D.6.1 La figura D.1 representa algunas de las ideas discutidas en el capítulo 3 de esta norma y en este anexo. Ilustra porqué el foco de esta norma es la incertidumbre y no el error.

El error exacto del resultado de una medición es, en general, desconocido, y así permanecerá siem-pre. Lo más que se puede hacer es estimar los valores de las magnitudes de entrada, incluyendo las correcciones por efectos sistemáticos identificados, junto con sus incertidumbres estándar (desviacio-nes estándar estimadas), ya sea en base a distribuciones desconocidas de probabilidad, en base a muestras obtenidas por medio de observaciones repetidas, o bien según distribuciones subjetivas o a priori, basadas en el conjunto de informaciones disponibles. Luego se calcula el resultado de medi-

60

ción, a partir de los valores estimados de las magnitudes de entrada y de la incertidumbre estándar combinada del resultado, de las incertidumbres estándar de los valores estimados. Solo si existe una base sólida para creer que todo esto se ha realizado apropiadamente, sin haber pasado por alto efectos sistemáticos significativos, puede asumirse que el resultado de medición es una estimación fiable del valor del mensurando, y que su incertidumbre estándar combinada es una medida fiable de su posible error.

NOTAS

1) En la figura D.1a, las observaciones se muestran en forma de histograma, a efectos ilustrativos (ver 4.4.3 y figura 1b).2) La corrección de un error es igual a la estimación del error, cambiada de signo. Así, tanto en la figura D.1, como en la

figura D.2, una flecha ilustra que la corrección de un error es igual en longitud, pero apuntando en dirección opuesta, a la flecha que representaría el propio error, y viceversa. El texto de la figura expresa claramente si una flecha en parti -cular representa una corrección o un error.

D.6.2 La figura D.2 describe algunas de las ideas ya presentadas en la figura D.1, pero en forma di-ferente. Además, también ilustra la idea de que pueden existir muchos valores del mensurando si la definición de éste es incompleta (punto g de la figura). La incertidumbre derivada de esta definición incompleta, medida por la variancia, se evalúa a partir de mediciones de múltiples verificaciones del mensurando, utilizando el mismo método, los mismos instrumentos, etc. (ver D.3.4).

NOTA – En la columna encabezada con la palabra “variancia” se sobreentiende que las variancias son las (y) definidas

en la ecuación (11) de 5.1.3; de ahí que se sumen linealmente, tal como se muestra.

Figura D.1

62

Figura D.2

Anexo E(Normativo)

Motivación y fundamentos de la recomendación INC-1 (1980)

Este anexo presenta brevemente tanto la motivación como los fundamentos estadísticos de la recomendación INC-1 (1980) del Grupo de Trabajo sobre la expresión de las incertidumbres, en los que se apoya esta norma. Para más detalles, ver las referencias [1.2, 11, 12]

E.1 “Seguro”, “aleatorio” y “sistemático”

E.1.1 Esta norma presenta un método de amplia aplicación para evaluar y expresar la incertidumbre de la medición. Este método proporciona un valor de la incertidumbre más realista que “seguro”, ba-sado en la idea de que no existe diferencia inherente entre una componente de incertidumbre que proviene de un efecto aleatorio y otra que proviene de una corrección debido a un efecto sitemático (ver 3.2.2 y 3.2.3). Por lo tanto, el método establecido contrasta con ciertos métodos más antiguos que tienen en común las dos ideas siguientes.

E.1.2 La primera idea es que la incertidumbre declarada debe ser “segura” o “conservadora”, lo que significa que jamás debe implicar el riesgo de ser estimada con un valor muy pequeño. De hecho, da-do que la evalución de la incertidumbre de un resultado de la medición es problemática, era frecuente realizarla deliberadamente grande.

E.1.3 La segunda idea es que las influencias que incrementa la incertidumbre podrían ser siempre reconocidas, ya sea como “aleatorias”, o como “sistemáticas”, siendo ambas categorías de naturale-za diferente. Las incertidumbres asociadas a cada categoría deberían combinarse de forma apropia-da y expresarse por separado (o combinada de cierta forma específica cuando se exige un único nú-mero). De hecho, el método de combinación de incertidumbres estaba frecuentemente concebido pa-ra satisfacer el requisito de seguridad.

E.2 Justificación para evaluaciones realistas de la incertidumbre

E.2.1 Cuando se informa el valor de un mensurando, debe darse la mejor estimación de su valor, y la mejor evaluación de la incertidumbre de dicha estimación debido a que si la incertidumbre se aparta de su valor correcto, normalmente no sería posible decidir la dirección hacia la que se apartaría de forma “segura”. Una subestimación de las incertidumbres podría causar un exceso de confianza de los valores en cuestión, con consecuencias imprevisibles, cuando no desastrozas. Una sobreevalu-ación deliberada de las incertidumbres podría tener repercuciones indeseables. Podría ocurrir que los usuarios de equipos de medición debieran adquirir instrumentos más caros de lo necesario, u podría causar que productos costosos sean rechazados innecesariamente, o sea no aceptados los servicios ofrecidos por un laboratorio de calibración.

E.2.2 Esto no quiere decir que los que utilizan un resultado de medición no puedan aplicar su propio factor multiplicador a una incertidumbre dada, para obtener una incertidumbre expandida que defina un intervalo con una probabilidad de cobertura específica que satisfaga sus propias necesidades, ni tampoco que, en determinadas circunstancias, los organismos que proporcionen resultados de medi-ciones no puedan aplicar, corrientemente, un factor que conduce a una incetrtidumbre expandida análoga, que satisfaga las necesidades de un tipo particular de usuarios de sus resultados. Sin em-bargo, tales factores (que siempre deben indicarse) deben aplicarse a una incertidumbre determi-nada por un método realista y únicamente después de determinar la incertidumbre, de forma que el intervalo definido por la incertidumbre expandida tenga una probabilidad de cobertura requerida y que la operación pueda invertirse fácilmente.

64

E.2.3 aquellos que se ocupan de las mediciones frecuentemente deben incorporar a sus análisis re-sultados de mediciones efectuadas por otros, donde uno de estos resultados tiene su propia incer-tidumbre. A la hora de evaluar la incertidumbre de su propio resultado de medición, necesitan, no un valor “seguro”, sino el mejor valor de incertidumbre de cada uno de los resultados incorporados, procedentes de otro origen. Además, para dar la incertidumbre de su propio resultado, deben poder combinar de forma lógica y simple estas incertidumbres de sus propias observaciones. La recomen-dación INC-1 (1980) proporciona el método.

E.3 Justificación para tratar de forma idéntica todas las componentes de la incertidumbre

La finalidad de este apartado es ilustrar mediante un ejemplo sencillo como esta norma trata exacta-mente de la misma forma las componentes de la incertidumbre provenientes de efectos aleatorios, y las provenientes de correcciones de efectos sitemáticos, al evaluar la incertidumbre de un resultado de medición. De esta forma se ejemplifica el punto de vista adoptado en esta norma y citado en E.1.1; es decir, que todas las componentes de la incertidumbre son de la misma naturaleza y deben ser tratadas de forma idéntica. El punto de partida de la presentación es una demostración simplifi-cada de la expresión matemática de la propagación de las desviaciones estándar, denominada en esta norma ley de propagación de la incertidumbre.

E.3.1 Supongamos que la magnitud de salida z = f(w1, w2, ..., wN) depende de N magnitudes de en-trada w1, w2, ..., wN, donde cada wi está descrita por una distribución de probabilidad adecuada. El desarrollo en serie de Taylor de primer orden de f alrededor de las esperanzas matemáticas de las wi, E(wi) i, da, para pequeñas variaciones de z alredor de z, en función de desviaciones pe-queñas de wi alrededor de i,

donde los términos de grado más elevado se suponen despreciable, y con z = f(1, 2, ..., N). El cuadrado de la desviación z - z está dado entonces por

que puede escribirse en la forma

La esperanza matemática del cuadrado de la diferencia (z - z)2 es la variancia de z; es decir,E[(z - z)2] = , y la ecuación (E.2b) conduce a

En esta expresión, i2 = E[(wi - i)2] es la variancia de wi y E[(wi - i)(wj - j)] = v(wi, wj) es la covarian-

cia de wi y wj. y ij = v(wi, wj)/( es el coeficiente de correlación de wi y wj

NOTAS

1 y son respectivamente los momentos centrales de orden 2 (ver C.2.13 y C.2.22) de las distribuciones de proba-

bilidad de z y de wi. Una distribución de probabilidad puede caracterizarse completamente mediante su esperanza ma-temática, su variancia y sus momentos centrales de mayor orden.

2 La ecuación (13) de 5.2.2 [al igual que la ecuación (15)] emp`leada para calcular la incertidumbre estándar combinada es idéntica a la ecuación (E.3), salvo en el hecho de que la ecuación (13), está expresada en términos de estimacio-nes de variancias, de desviaciones estándar y de coeficientes de correlación.

E.3.2 En la terminología tradicional, la ecuación (E.3) se denomina generalmente “ley general de pro-pagación de errores”, una denominación que se aplica mejor a una expresión de la forma

, donde z es la variación de z debida a (pequeñas) variaciones de wi [ver ecuación (E.8)]. De hecho es apropiado denominar a la ecuación (E.3) “ley de propagfación de la in-certidumbre”, tal como se ha hecho en esta norma, debido a que esta ecuación muestra cómo se combinan las incertidumbres de las magnitudes de entrada wi tomadas igual a las desviaciones es-tándar de las distribuciones de probabilidad de las wi, para obtener la incertidumbre de la magnitud de salida z, si esta incertidumbre se toma igual a la desviación estándar de la distribución de probabi-lidad de z.

E.3.3 La ecuación (E.3) también se aplica a la propagación de múltiples desviaciones estándar debi-do a que si se reemplaza cada desviación estándar i por un múltiplo ki con el mismo k para cada i, la desviación estándar de la magnitud de salida z está dada por kz. Sin embargo, dicha ecuación no se aplica a la propagación de los intervalos de confianza. En efecto, si cada i se reemplaza por una magnitud i que define un intervalo correspondiente a una probabilidad de cobertura dada p, la magnitud resultante para z, z, no definirá un intervalo correspondiente al mismo valor de p, salvo que todas las wi tengan distribuciones normales. La ecuación (E.3) no implica que se asuma la normali-dad de las distribuciones de probabilidad de las magnitudes w i. Más específicamente, si en la ecua-ción (10) de 5.1.2, cada incertidumbre estándar u(xi) se evalúa a partir de observaciones repetidas in-dependientes, y se multiplica por el factor t correspondiente a su número de grados de libertad para un valor particular de p (por ejemplo, p = 95 %), la incertidumbre de la estimación Y no definirá un in-tervalo correspondiente a dicho valor de p (ver G.3 y G.4).

Nota. El requisito de normalidad para la propagación de los intervalos de confianza utilizando la ecuación (E.3) puede ser una de las razones para la separación histórica entre las componentes de incertidumbre derivadas de observaciones repeti-das, las cuales se asume que están distribuidas normalmente, y las componentes evaluadas simplemente mediante límites superior e inferior.

E.3.4 Consideremos el ejemplo siguiente: z depende solamente de una magnitud de entrada w, z = f(w), y w se estima mediante el valor medio de n valores wk de w; estos n valores se obtienen a partir de n observaciones repetidas e independientes qk de una variable aleatoria q, estando wk y qk relacio-nadas mediante la ecuación

wk = + qk ... (E.4)

66

En esta ecuación, representa un desplazamiento “sistemático” constante o común a cada observa-ción, y es un factor proporcional común. El desplazamiento y el factor de escala, aunque fijos en el curso de las observaciones, se suponen caracterizados por una distribución de probabilidades a prio-ri, siendo y las mejores estimaciones de las esperanzas de dichas distribuciones.La mejor estimación de w es la media aritmética obtenida a partir de

...(E.5)

La magnitud de z es estimada entonces por f( ) = f(, , q1, q2, ..., qn) y la estimación de u2(z) de su variancia 2(z se obtiene a partir de la ecuación (E.3)). Si suponemos, para simplificar, que z = w, de forma que la mejor estimación de z sea z = f( ) = , entonces la estimación u2(z) puede hallarse fá-cilmente. Observando que, según la ecuación (E.5).

llamando respectivamente u2() y u2() a las variancias estimadas de y de , y suponiendo que las observaciones individuales no están correlacionadas, se obtiene, a partir de la ecuación (E.3)

... (E.6)

donde s2(qk) es la variancia experimental de las observaciones qk, calculada según la ecuación (4) de 4.2.2 y donde s2(qk)/n = s2( ) es la variancia experimental de la media [ecuación (5) de 4.2.3].

E.3.5 En la termonología tradicional, el tercer término del miembro de la derecha de la ecuación (E.6) se denomina contribución “aleatoria” a la variancia estimada u2(z), debido a que normalmente decre-ce a medida que el número de observaciones aumenta, mientras que los dos primeros términos se denominan contribuciones “sistemáticas”, ya que no dependen de n.

De forma más significativa, e ciertos tratamientos tradicionales de la incertidumbre de la medición, la ecuación (E.6) sería cuestionable debido a que no establece distinción entre las incertidumbres pro-venientes de efectos sistemáticos y las provenientes de efectos aleatorios. En particular, se desacon-seja la combinación de variancias obtenidas a partir de distribuciones a priori de probabilidad, con las obtenidas a partir de distribuciones de frecuencias, debido a que el concepto de probabilidad se con-sidera de aplicación únicamente a los sucesos que pueden ser repetidos un gran número de veces, esencialmente en las mismas condiciones indicando la probabilidad p de un suceso (0 p 1)con la frecuencia con la que se produce el suceso.

En contraste con el punto de vista de la probabilidad basada en la frecuencia, otro punto de vista igualmente válido es el de la probabilidad como medida del grado de credibilidad que se tiene en que un suceso ocurra [13, 14]. Por ejemplo, supongamos que un apostador racional tiene la oportunidad de ganar una pequeña suma de dinero D. El grado de credibilidad en que ocurra el suceso A esp = 0,5, si nos son indiferente las dos posibles opciones del apostador: (1) que obtenga D si se pro-duce el suceso A, y nada si no se produce; (2) que obtenga D si el suceso A no se produce, y nada si se produce. La recomendación INC-1 (1980) sobre la que se basa esta norma adopta implítamente este punto de vista de la probabilidad, ya que considera las expresiones tales como la ecuación (E.6) como el medio más conveniente de calcular la incertidumbre estándar combinada del resultado de una medición.

E.3.6 Existen tres ventajas distintas por adoptar la interpretación de la probabilidad basada en el gra-do de credibilidad, la desviación estándar (incertidumbre estándar) y la ley de propagación de la in-certidumbre [ecuación (E.3)] como bases para evaluar y expresar la incertidumbre de la medición, tal como ya se ha visto en esta norma.

a) la ley de propagación de la incertidumbre permite la fácil incorporación de la incertidumbre están-dar combinada de un resultado único, a la evaluación de la incertidumbre estándar combinada de otro resultado para cuya obtención se requiere el primero;

b) la incertidumbre estándar combinada puede servir de base para el cálculo de intervalos que co-rrespondan de forma realista a los niveles de confianza exigidos, y

c) no es necesario clasificar las componentes en “aleatorias” o “sistemáticas” (o de cualquier otra manera) al evaluar la incertidumbre, debido a que todas las componentes de la incertidumbre son tratadas de la misma forma.

La ventaja c) es particularmente apreciada debido a que la clasificación que se menciona es frecuen-te fuente de confusión; una componente de incertidumbre no es ni “aleatoria” ni “sistemática”. su na-turaleza está condicionada por la utilización que se haga de la magnitud correspondiente o, más for-malmente, por el contexto en que la magnitud aparece, dentro del módelo matemático que describe la medición. En concecuencia, cuando la magnitud correspondiente se utiliza en un contexto diferen-te, una componente “aleatoria” puede convertirse en “sitemática” y viceversa.

E.3.7 Por la razón apuntada anteriormente en c), la Recomendación INC-1 (1980) no clasifica las componentes de la incertidumbre en “aleatorias” y “sistemáticas”. De hecho, en lo que respecta al cálculo de la incertidumbre estándar combinada de un resultado de medición no es necesaria una clasificación de las componentes de la incertidumbre, es más, no es realmente necesario adoptar es-quema de clasificación alguno. No obstante, puesto que a veces es cómodo disponer de categorías, ya que es útil en la comunicación y en la presentación de ideas, la Recomendación INC-1 (1980) pro-porciona un esquema de clasificación según métodos distintos de evaluación de las componentes de la incertidumbre, el “A” y el “B” (ver 0.7, 2.3.2 y 2.3.3).

El hecho de clasificar los métodos utilizados para la evaluación de las componentes de incertidum-bre, en lugar de clasificar las propias componentes, evita el problema de que la clasificación de una componente pudiera depender de la utilización que se hiciera de la magnitud correspondiente. Sin embargo, la clasificación de los métodos en lugar de las componentes, no impide colocar las compo-nentes individuales evaluadas por los dos métodos en grupos específicos para un uso particular, en una medición dada, por ejemplo, cuando se compara la variabilidad observada experimentalmente con la prevista teóricamente para los valores de salida de un sistema de medida complejo. (ver 3.4.3).

E.4 La desviación estándar como medida de la incertidumbre

E.4.1 La ecuación (E.3) requiere que la incertidumbre de la estimación de una magnitud de entrada se deba evaluar en forma de incertidumbre estándar, es decir en forma de desviación estándar esti-mada, cualquiera que sea la forma en que se obtenga. Si, en lugar de esto, se toma cualquier otra al-ternativa considerada como más segura, ésta no podrá utilizarse en la ecuación (E.3). En particular, si en la ecuación (E.3) se utiliza el "límite máximo de error” (la mayor desviación permitida respecto a la mejor estimación supuesta), la incertidumbre resultante tendrá un significado mal definido y será inutilizable por cualquiera que desee introducirla en cálculos ulteriores de incertidumbres, para otras magnitudes (ver E.3.3).

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E.4.2 Cuando la incertidumbre estándar de una magnitud de entrada no puede evaluarse mediante análisis de los resultados de un número conveniente de observaciones repetidas, debe adoptarse una distribución de probabilidad basada en un conocimiento mucho más rentrigido de lo que sería deseable. No obstante, este hecho no invalida ni convierte en no realista dicha distribución; como to-das las distribuciones de probabilidad, representará el conocimiento disponible.

E.4.3 Las evaluaciones basadas en observaciones repetidas no son necesariamente superiores que las obtenidas por otros medios. Consideremos , desviación estándar experimental de la media de n observaciones independientes qk de una variable aleatoria q distribuida normalmente [ ver ecua-ción (5) de 4.2.3]. La magnitud es un estadístico (ver C.2.23) que estima , desviación es-tándar de la distribución de probabilidad de : es decir , desviación estándar de la distribución de va-lores de que se obtendrían si la medición se repitiera un número infinito de veces. La variancia 2[

] de está dada aproximadamente por

...(E.7)

donde = n – 1 es el número de grados de libertad de (ver G.3.3). Entonces, la desviación es-tándar relativa de , dada por el cociente [ ]/ , y que puede ser considerada como una

medida de la incertidumbre relativa de , es aproximadamente igual . Esta “incerti-

dumbre de la incertidumbre” de , que aparece por razones puramente estadísticas, debido a la limi-tación efectiva del muestreo, puede ser extraordinariamente grande; para n = 10 observaciones, es igual al 24 %. La tabla E.1 da este valor y algunos otros, y muestra que la desviación estándar de una desviación estándar estimada estadísitcamente no siempre es despreciable para valores prácti-cos de n. En consecuencia, puede concluirse que las evaluaciones de Tipo A de la incertidumbre es-tándar no son necesariamente más fiables que las evaluaciones de tipo B y que en numerosas situa-ciones prácticas de mediciones, en que el número de observaciones es limitado, las componentes obtenidas por evaluación de Tipo B pueden conocerse mejor que las obtenidas a partir de evaluacio-nes de Tipo A.

Tabla E.1 - Desviación estándar relativa de la desviación estándar experimental de la media de n observaciones independientes de una variable aleatoria q distribuida según una distribución normal, respecto a la desviación estándar de la media, [ ]/ (a)

Número de observacionesn

[ ]/(en tanto por ciento)

2345

10203050

7652423624161310

(a)Los valores dados han sidos calculados a partir de la expresión exacta de [ ]/ , y no a partir de la expresión apro-

ximada

E.4.4 Se ha argumentado que mientras que las incertidumbres asociadas a la aplicación de un méto-do de medición particular son parámetros estadísticos que caracterizan variables aleatorias, existen casos de un efecto sistemático verdadero” en el que la incertidumbre debe ser tratada de forma dife-rente. Puede darse como ejemplo el de un desvío de valor fijo desconocido, igual para todas las de-terminaciones realizadas por un mismo método, debido a una posible imperfección en el propio prini-cipio del método o en una de sus hipótesis subyacentes. ahora bien, si se constata la posible existen-cia de tal desvío, y se supone que su valor puede ser significativo, entonces podrá ser descrito me-diate una función de distribución, aunque esta sea muy simple, basada en el conocimiento que ha permitido llegar a la conclusión de que dicho desvío puede existir y ser significativo. Así, si se consi-dera la probabilidad como una medida del grado de credibilidad de que ocurra un suceso, la contribu-ción de un efecto sistemático tal puede ser incluida en la incertidumbre estándar combinada de un re-sultado de medición, evaluándose como una incertidumbre estándar de una función de distribución supuesta a priori, siendo tratada de la misma forma que cualquier otra incertidumbre estándar de una magnitud de entrada.

EJEMPLO – La especificación de un método particular requiere que cierta magnitud de entrada se calcule a partir de un desarrollo en serie de potencias específicas, cuyos términos de mayor grado no se conocen con exactitud. El efecto sistemático debido al hecho de no poder tratar exactamente di-chos términos suponen un desplazamiento fijo desconocido, que no puede ser muestreado mediante repetición del método operativo. En consecuencia, si se sigue estrictamente una interpretación de la probabilidad basada en la frecuencia, la incertidumbre asociada a dicho efecto no puede ser evalua-da e incluida en la incertidumbre del resultado de medida final. Sin embargo, la interpretación dela probabilidad como basada en el grado de credibilidad, permite la evaluación de la incertidumbre que caracteriza dicho efecto a partir de una función de distribución a priori (deducida del conocimiento disponible, derivado de los términos conocidos de forma inexacta), y su inclusión en el cálculo de la incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición, como cualquier otra incertidumbre.

E.5 Comparación entre los dos puntos de vista sobre la incertidumbre

E.5.1 El punto focal de esta norma se refiere al resultado de la medición y a la evaluación de su in-certidumbre, más que a las magnitudes desconocidas valor “verdadero” y error (ver anexo D). Adop-tando el punto de vista operativo de que el resultado de una medición es simplemente el valor a atri -buir al mensurando, y que la incertidumbre de ese resultado es una medida de la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuídos al mensurando, esta norma acaba con la confusa

70

conexión frecuentemente existente, entre la incertidumbre y las magnitudes desconocidas valor “ver-dadero” y error.

E.5.2 Esta conexión puede explicarse interpretando la deducción de la ecuación (E.3), la ley de pro-pagación de la incertidumbre, desde el punto de vista del valor “verdadero” y del error. en este caso, se considera i como el valor “verdadero” único, desconocido, de la magnitud de entrada wi, y se su-pone que cada wi está relacionado con su valor “verdadero” i mediante la relación wi = i + i, donde i es el error de wi. La esperanza matemática de la función de distribución de cada i se supone igual a cero, E(i) = 0, con la variancia E(i

2) = i2. La ecuación (E.1) se transforma entonces en

donde i = z - z es el error de z y z es el valor “verdadero” de z. Si se calcula la esperanza matemá-tica del cuadrado de z, se obtiene una ecuación idéntica de la forma de la ecuación (E.9), pero don-

de E(z2) = z

2 es la variancia de z, E(i, j) = v(i, j) es la coviancia de i, j, y ij = v(i, j)/(ij) . es el

coeficiente de correlación de i y j. Las variancias y covariancias son, por lo tanto, asociadas con los errores de las magnitudes de entrada más que con las magnitudes de entrada

Nota. Si se asume que la probabilidad se consideran como una medida del grado de creencia que un suceso ocurra, impli -ca que un error sistemático puede ser tratado de la misma forma que a un error aleatorio, y que i representa ambos tipos.

E.5.3 En la práctica, la diferencia entre los puntos de vista no acarrean a una diferencia del valor un-mérico del resultado de medición o de la incertidumbre asignada al resultado.

Primero, en ambos casos, los mejores estimadores disponibles de las magnitudes de entrada wi se usan para obtener la mejor estimación de z de la función f; esto no hace diferencia en los cálculos si se considera al mejor estimador como el valor más probable que se le puede atribuir a las magnitu-des en cuestión o el mejor estimador de su valor “verdadero”.Segundo, debido a que i = wi - i y a que i es un valor numérico único y fijo, y por lo tanto no pre-senta incertidumbre, las variancias y las desviaciones estándar de los i y wi son idénticas. Esto signi-fica que, en ambos casos, las incertidumbres estándar usadas como estimadores de las desviacio-nes estándar i para obtener la incertidumbre estándarcombinada del resultado de una medición, son idénticas y pueden tener el mismo valor numérico para la incertidumbre. De nuevo, esto no hace dife-rencia en los cálculos si la incertidumbre estándar se considera como una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad de una magnitud de entrada o como una medida de la disperción de la distribución de probabilidad del error de esa magnitud.

NOTA – Si no se hiciera la hipótesis de la nota de E.5.2, la discusión de este párrafo no tendría sentido, a menos que todas las estimaciones de las magnitudes de entrada, y las incertidumbres de dichas estimaciones hubieran sido obtenidas a par -tir del análisis estadístico de observaciones repetidas, es decir, a partir de las evaluaciones de tipo A.

E.5.4 Aunque la aproximación basada en el valor “verdadero” y el error da los mismos resultados nu-méricos que la aproximación seguida en esta norma (siempre y cuando se haga la hipótesis de la no-ta de E.5.2), el concepto de incertidumbre desarrollado en la norma elimina la confusión entre error e incertidumbre (ver anexo D). En efecto, la aproximación operativa de la presente norma, en la que el acento está puesto en el valor observado (o estimado) de una magnitud y en la variabilidad observa-da (o estimada) de dicho valor, hace totalmente innecesario cualquier referencia al concepto de error.

Anexo F(Normativo)

Consejos prácticos para la evaluación de las componentes de la incertidumbre

Este anexo da sugerencias de naturaleza práctica para la evaluación de los componentes de la incertidumbre que complementan a los ya dados en el capítulo 4.

F.1 Componentes evaluadas a partir de observaciones repetidas: evaluación de Tipo A de la incertidumbre estándar.

F.1.1 Valores aleatorios y observaciones repetidas

F.1.1.1 Las incertidumbres determinadas a partir de observaciones repetidas se consideran frecuen-temente como “objetivas”, “estadísticamente rigurosas”, etc., en oposición a las evaluadas por otros medios. Esto implica incorrectamente, que pueden ser evaluadas aplicando simplemente fórmulas estadísticas a las observaciones, y que su evaluación no necesita la aplicación de juicio alguno.

F.1.1.2 La primera pregunta que uno debe formularse es “¿hasta que punto las observaciones repeti-das son repeticiones totalmente independientes del método de medición?”. Si la totalidad de las ob-servaciones se realiza sobre la misma muestra, y si el muestreo forma parte del método de medición porque el mensurando sea la propiedad de un material (y no porque sea la propiedad de una probeta específica de dicho material), las observaciones no se repiten entonces de forma independiente; a la variancia observada en las repeticiones hechas sobre la muestra única, debe añadirse una evalua-ción de la componente de la variancia procedente de las posibles diferencias existentes entre las muestras.

Si la puesta a cero de un instrumento forma parte del método operativo, el ajuste del cero del instru-mento debe formar parte de cada repetición, incluso si existe una deriva despreciable durante el pe-ríodo en el que se efectúan las observaciones, puesto que existe una componente potencial de la in-certidumbre, que puede ser atribuida a la puesta a cero y que puede ser determinada estadística-mente.

De forma similar, si se va a hacer una lectura en cada repetición de la medición (preferiblemente des-pués de haber perturbado el barómetro y haberle dado tiempo de recuperar su punto de equilibrio), puesto que puede existir una variación, tanto en la indicación como en la lectura, aunque la presión atmosférica se mantenga constante.

F.1.1.3 A continuación debe plantearse la cuestión si todas las influencias que se suponen aleato-rias, son tales ¿Son constantes las medias y las variancias de las distribuciones? ¿Puede ser que exista una deriva en el valor de una magnitud de influencia, no medida durante el período de repeti-ción de las observaciones?. Si se dispone de un número suficiente de observaciones, pueden calcu-larse las medias aritméticas de los resultados de la primera y segunda mitad del período, así como sus desviaciones estándar experimentales, comparando las dos medias entre sí y juzgando si su di-ferencia es estadísticamente significativa para deducir que si hay algún efecto que varía con el tiem-po.

F.1.1.4 Si los valores de alimentación del laboratorio (tensión y frecuencia eléctricas, presión y tem-peratura del agua, presión de nitrógeno, etc.) son magnitudes de influencia, no será posible ignorar la componente fuertemente aleatoria que normalmente existe en sus variaciones.

F.1.1.5 Si la última cifra significativa de una indicación digital varía continuamente durante una obser-vación debido al “ruido”, será difícil no seleccionar involuntariamente valores de dicha cifra, elegidos por razones personales de difícil justificación. Es preferible establecer algún medio para “congelar” la indicación en un instante arbitrario y registrar dicho resultado.

72

F.1.2 Correlaciones

La mayor parte de lo que se expone en este párrafo es aplicable a las evaluaciones de Tipo B de la incertidumbre.

F.1.2.1 La covariancia asociada a las estimaciones de dos magnitudes de entrada X i, y Xj tratarse como insignificante o considerarse igual a cero, sí

a) Xi son no correlacionadas (las variables aleatorias, no las magnitudes físicas, que se supo-nen invariables – ver 4.1.1 nota 1) por ejemplo, porque se han medido en forma repetida pero no simultánea, en ensayos independientes y diferentes, o por que representan magni-tudes resultantes de evaluaciones diferentes, hechas independientemente;

b) una de las magnitudes Xi o Xj puede ser tratada como constante;

c) se posee información insuficiente para evaluar la covariancia asociada a las estimaciones de Xi y Xj.

NOTAS

1. En otros casos, como en el ejemplo de la resistencia de referencia de la nota 1 de 5.2.2, ocurre que las magnitudes de entrada están completamente correlacionadas y las incertidumbres estándar de sus estimaciones se combinan lineal-mente.

2. Ensayos diferentes pueden no ser independientes si, por ejemplo, se utiliza el mismo instrumento en ambos (ver F.1.2.3).

F.1.2.2 La correlación de dos magnitudes de entrada observadas de forma repetida y simultánea se pueden determinar con ayuda de la ecuación (17) de 5.2.3. Por ejemplo, si la frecuencia de un oscila-dor, con compensación nula o pequeña de la temperatura es una magnitud de entrada, si la tempera-tura ambiente es otra magnitud de entrada, y ambas magnitudes se observan simultáneamente, pue-de existir una correlación significativa que se evidenciará mediante el cálculo de la covariancia entre la frecuencia del oscilador y la temperatura ambiente.

F.1.2.3 En la práctica, las magnitudes de entrada están correlacionadas frecuentemente, puesto que en la estimación de sus valores se utiliza el mismo patrón físico, el mismo instrumento de medida, el mismo dato de referencia, o incluso el mismo método de medición aportando una incertidumbre signi-ficativa. Sin perder generalidad, supongamos que dos magnitudes de entrada X1, y X2 estimadas por x1, y x2 dependen de un conjunto de variables no correlacionadas Q1, Q2 ... QL. Entonces X1 = F(Q1, Q2, ... , QL) y X2 = G(Q1, Q2, ... , QL); pudiendo aparecer algunas de las variables únicamente en una de las dos funciones. Si u2(ql) es la variancia asociada a la estimación ql de Ql, entonces la variancia estimada a xl será, según la ecuación (10) de 5.1.2.

con una expresión similar para u2(x2). La covariancia asociada a x1 y x2 está dada por

Puesto que únicamente contribuyen a la suma los términos para los que F/ql 0 y G/ql 0, para un l dado, la covariancia será nula si no existe a la una variable común a F y a G.

El coeficiente de correlación estimado r(x1; x2), asociado a las dos estimaciones x1 y x2 está determi-nado a partir de u(x1; x2) (ecuación (F.2)) y de la ecuación (14) de 5.2.2, con u(x1) calculada a partir de la ecuación (F.1) y u(x2) a partir de una expresión similar (Ver también la ecuación (H.9) de H.2.3). También es posible, para la covariancia estimada asociada a dos magnitudes de entrada, tener a la vez una componente estadística (ver la ecuación (17) de 4.2.3)) y una componente evaluada como se ha explicado en el presente apartado.

EJEMPLOS

1 Una resistencia patrón Rs se utiliza en la misma medición para determinar tanto una corriente eléctrica I, como una temperatura t. La corriente se determina midiendo con un voltímetro digi-tal, la diferencia de potencial en los bornes del patrón; la temperatura se determina midiendo con un puente de resistencias y el patrón, la resistencia R t(t) de un sensor de temperatura cali-brado, cuya relación temperatura-resistencia viene dada por t = aR (t) – t0 en el rango de tem-peraturas 15 C t 30 C, siendo a y t0 constantes conocidas. La intensidad de corriente eléctrica está determinada por la relación I = VS/RS, y la temperatura por la relaciónt = a2(t) – t0, donde (t) es igual a la relación medida Rt(t)/RS, dada por el puente.

Como la magnitud RS es la única común a las expresiones que dan I y t, la ecuación (F.2) da para la covariancia de I y t.

(Para simplificar la notación, en este ejemplo se ha utilizado el mismo símbolo tanto para la magnitud de entrada como para su estimación).

Para obtener el valor numérico de la covariancia, se sustituyen en esta expresión los valores numéricos de las magnitudes medidas I y t, así como los valores de RS y de u(RS) dados en el certificado de calibración de la resistencia patrón. Queda claro que la unidad de u(I, t) es C, ya que la dimensión de la variancia relativa u(RS)/RS2 es igual a uno (ésta última es llamada una magnitud sin dimensión).

Supongamos además que una magnitud P está relacionada con las magnitudes de entrada I y t mediante la ecuación P = C0 I2/(T0 + t), donde C0 y T0 son constantes conocidas de incertidum-bre despreciable u2(C0) 0, u2(T0) 0. La ecuación (13) de 5.2.2 da, para la variancia de P en función de las variancias de I, de t y de su covariancia.

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Las variancias u2(I) y u2(t) se obtienen aplicando la ecuación (10) de 5.1.2 a las relaciones I = VS/RS y t = a2(t) RS

2 – t0.

Se obtiene

donde, por simplicidad, se supone que las incertidumbres de las constantes t0 y a son tam-bién despreciables. Estas expresiones pueden evaluarse de forma sencilla, ya que u2(VS) y u2() pueden determinarse respectivamente a partir de lecturas repetidas del voltímetro y del puente de resistencias. Naturalmente, al determinar u2(VS) u2() es necesario tener en cuen-ta todas las incertidumbres debidas a los propios instrumentos de medida y a los métodos operativos utilizados.

2 Para el ejemplo de la nota 1 de 5.2.2 supongamos que la calibración de cada resistor está representada por Ri = iRS, con una incertidumbre estándar u(i) de la relación i, obtenida a partir de observaciones repetidas. Supongamos además que i 1 para cada resistencia, y que u (ai) sea prácticamente la misma para cada calibración, de forma que u(i) u(). En-tonces, las ecuaciones (F.1) y (F.2) dan u2(Ri) = RS

2 u2() + u2(RS) y u(Ri, Rj) = u2(RS). Esto implica según la ecuación (14) de 5.2.2 que el coeficiente de correlación de dos resistencias cualesquiera (i j) es

Dado que u(RS)/RS = 10-4, si u() = 100 x 10-6, rij 0,5; si u(a) = 10 x 10-6, rij 0,990; y si u(a) = 1 x 10-6 , rij 1000. O sea, cuando u() 0 , rij 1 y u(Ri) u(RS)

NOTA - En general, en las calibraciones por comparación, como las de este ejemplo, los valores estimados de los elemen -tos calibrados se encuentran correlacionados con un grado de correlación que depende de la relación existente entre la in -certidumbre de la comparación y la incertidumbre del patrón de referencia. Cuando la incertidumbre de la comparación es despreciable frente a la incertidumbre del patrón, lo que ocurre frecuentemente en la práctica, los coeficientes de correla-ción son iguales a +1, y la incertidumbre de cada elemento calibrado es la misma que la del patrón.

F.1.2.4 Puede pasarse por alto la introducción de la covariancia u(xi, xj) siempre que el conjunto origi-nal de magnitudes de entrada X1, X2 ..., XN, de las que depende del mensurando Y (ver ecuación (1) de 4.1.)) se redefina de forma que considere adicionalmente como magnitudes de entrada indepen-dientes, las magnitudes Q1 que son comunes a dos o más de las X i originales (puede ser necesario efectuar mediciones complementarias para establecer completamente la relación entre las Q l y las Xi

afectadas). Sin embargo, en determinadas situaciones, puede ser más cómodo mantener las cova-riancias, en lugar de acrecentar el número de magnitudes de entrada. Un tratamiento similar puede aplicarse a las covariancias observadas como resultado de observaciones simultáneas y repetidas (ver ecuación (17) de 5.2.3), aunque la identificación de las magnitudes de entrada complementarias apropiadas es con frecuencia algo ad hoc, y no físico.

EJEMPLO – Si, en el ejemplo del párrafo 1 anterior, se introducen en la expresión de P las expresio-nes de I y t en función de Rs, el resultado es

evitándose así la correlación entre I y t, en base al reemplazar dichas magnitudes de entrada por las magnitudes VS, RS y . Como estas magnitudes no están correlacionadas, la variancia de P puede obtenerse a partir de la ecuación (10) de 5.1.2.

F.2 Componentes evaluadas por otros medios: evaluación de Tipo B de la incertidumbre es-tándar.

F.2.1 La necesidad de evaluaciones de Tipo B

Si un laboratorio de medición dispusiera de recursos y tiempo ilimitados, podría efectuar una investi-gación estadística exhaustiva de todas las causas de incertidumbre posible por ejemplo utilizando instrumentos de diferentes tipos y de distintos fabricantes, con diferentes métodos de medición, dife-rentes modos de aplicación del método y diferentes aproximaciones para los modelos teóricos de la medición. Las incertidumbres asociadas a todas estas causas podrían entonces evaluarse mediante análisis estadístico de series de observaciones, y la incertidumbre debida a cada causa podría ca-racterizarse estadísticamente mediante una desviación estándar. En otras palabras, todas las com-ponentes de la incertidumbre se obtendrían mediante evaluaciones de Tipo A. Como tal estudio no es económicamente viable, muchas componentes de la incertidumbre deben evaluarse por otros mé-todos más prácticos.

F.2.2 Distribuciones determinadas matemáticamente

F.2.2.1 Resolución de una indicación digital

Una de las fuentes de incertidumbre de un instrumento digital es la resolución de su dispositivo indi-cador. Aunque, por ejemplo, si las indicaciones repetidas fueran todas idénticas, la incertidumbre de medición atribuible a la repetibilidad no es igual a cero, puesto que para un rango dado de señales de entrada al instrumento, dentro de un intervalo conocido, se obtendría la misma indicación. Si la reso-lución del dispositivo indicados es x, el valor de señal de entrada que produce una indicación dada X puede situarse con igual probabilidad en cualquier punto dentro del intervalo que va de X - x/2 a X + x/2. La señal de entrada puede describirse entonces por medio de una distribución rectangular (ver 4.3.7 y 4.4.5) de x y variancia u2 = (x)2/12, lo que supone amplitud u = 0,29 x para cualquier indicación.

Así, un instrumento de pesada con un dispositivo indicador, cuya cifra significativa menor sea igual a 1 g, tendrá una variancia debida a la resolución del dispositivo igual a u2 = (1/12) g2 y una incertidum-bre estándar igual

u = (1/

F.2.2.2 Histéresis

Ciertos tipos de histéresis pueden causar un tipo similar de incertidumbre. La indicación de un instru-mento puede diferir de una cantidad fija y conocida, según que las lecturas sucesivas se tomen en

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sentido creciente o decreciente. El operador prudente tomará nota del sentido en que se toman la lecturas sucesivas y hará las correcciones apropiadas. Pero no siempre es posible observar el senti-do de la histéresis: puede haber oscilaciones ocultas dentro del instrumento, alrededor de un punto de equilibrio, de forma que la indicación dependa del sentido final de aproximación a dicho punto. Si la amplitud del intervalo de posibles lecturas debidas a esta causa es x, la variancia es nuevamente u2 = (x)2/12 y la incertidumbre estándar debida a la histéresis es u = 0,29 x.

F.2.2.3 Cálculos de precisión finita

El redondeo de números que tiene lugar en las reducciones automáticas de datos en las computado-ras también puede ser una fuente de incertidumbre. Consideremos por ejemplo un ordenador con una longitud de palabra de 16 bits. Si, en el transcurso de los cálculos, un número con esta longitud de palabra se resta de otro del que difiere únicamente en el bit nº 16, el resultado poseerá única-mente un bit significativo. Tales casos pueden producirse en la evaluación de algoritmos “mal estruc-turados”, siendo difíciles de prever. Puede obtenerse empíricamente una determinación de la incerti-dumbre, realizando pequeños incrementos de la magnitud de entrada más importante para el cálculo (frecuentemente una de ellas es proporcional a la magnitud de salida) hasta que se produzca una va-riación en la magnitud de salida. La menor variación en la magnitud de salida obtenida de esta forma puede tomarse como una medida de la incertidumbre; si dicha variación es x, la variancia es u2 = (x)2 /12 y u = 0,29 x.

NOTA – Puede verificarse la evaluación de la incertidumbre, comparando el resultado del cálculo efectuado en un ordena-dor de longitud de palabra limitada, con el resultado del mismo efectuado en otro ordenador de longitud de palabra significa-tivamente mayor.

F.2.3 Valores de entrada de origen externo

F.2.3.1 Un valor de origen externo para una magnitud de entrada es aquel que no ha sido estimado en el curso de una medición dada, sino que ha sido obtenido como resultado de una evaluación inde-pendiente. Tal valor de origen externo está frecuentemente acompañado por una indicación acerca de su incertidumbre. La incertidumbre puede estar dada, por ejemplo, por una desviación estándar, por un múltiplo de ésta, o por el semiintervalo o los límites extremos de un intervalo, con un probabili-dad de cobertura dado. Alternativamente, pueden darse los límites superior e inferior, o también pue-de suceder que no sé de ninguna información acerca de la incertidumbre. En este último caso, los usuarios de dicho valor deben emplear su propio conocimiento sobre el orden probable de la magni-tud de la incertidumbre, en función de la naturaleza de la magnitud, la confiabilidad de la fuente, las incertidumbres obtenidas en la práctica para tales magnitudes, etc.

NOTA – La discusión sobre la incertidumbre de las magnitudes de entrada de origen externo, está incluido en este párrafo sobre la evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar, exclusivamente por conveniencia, la incertidumbre de una mag-nitud tal puede incluir componentes obtenidas tanto por evaluaciones de Tipo A como de Tipo B. Dado que no es necesario distinguir entre sí las componentes evaluadas por los diferentes métodos, en el momento de calcular una incertidumbre es-tándar combinada, tampoco es necesario conocer la composición de la incertidumbre de una magnitud de origen externo.

F.2.3.2 Algunos laboratorios de calibración han adoptado con forma práctica expresar “la incertidum-bre” como los límites superior e inferior de un intervalo que posee “como mínimo” una determinada probabilidad de cobertura, por ejemplo al menos de 95 %. Esto puede tomarse como ejemplo de los que se denomina incertidumbre “segura” (Ver E.1.2), la cual no puede transformarse en una incerti-dumbre estándar, sin conocer previamente cómo ha sido calculado dicho intervalo. Si la información de que se dispone es suficiente, la incertidumbre estándar puede calcularse siguiendo las reglas de esta norma; si no es así, deberá realizarse una evaluación independiente de la incertidumbre por to-dos los medios de que se disponga.

F.2.3.3 Algunas incertidumbres se dan simplemente como límites extremos entre los que están comprendidos todos los valores de la magnitud. La práctica habitual es suponer que todos los valores comprendidos entre dichos límites son igualmente probables (función de distribución rectangular), pe-ro no podría adoptarse tal hipótesis, si existieran razones para suponer que los valores situados en el interior, pero cerca de los límites, fueran menos probables que los situados en el centro del intervalo comprendido entre dichos límites. Una distribución rectangular de semiintervalo a tiene una variancia igual a a2/3; una distribución normal, para la que a es el semiancho del intervalo de probabilidad de cobertura de 99,73 %, tiene una variancia igual a a2/9. Puede ser prudente adoptar un compromiso entre ambos valores suponiendo, por ejemplo, que la función de distribución es triangular, con varian-cia igual a a2/6. (ver 4.3.9 y 4.4.6).

F.2.4 Valores de entradas medidos

F.2.4.1 Observación única, instrumentos calibrados

Si una estimación de entrada se ha obtenido a partir de una única observación, con un instrumento determinado, calibrado respecto a un patrón de baja incertidumbre, la incertidumbre de la estimación es principalmente una incertidumbre de repetiibilidad. La variancia de las mediciones repetidas con el mismo instrumento puede haber sido obtenida en una ocasión anterior, y no necesariamente para el mismo valor actual de lectura, sino para un valor lo suficientemente próximo como para poder ser uti-lizado, admitiéndose la aplicación de la variancia así deducida al valor de entrada en cuestión. Si no se dispone de tal información, debe asumirse una estimación basada en la naturaleza del aparato o del instrumento de medida, las variancias conocidas de otros instrumentos de construcción similar, etc.

F.2.4.2 Observación única, instrumentos verificados.

No todos los instrumentos de medición vienen acompañados de un certificado de calibración o de una curva de calibración. La mayor parte de ellos, sin embargo, se construyen siguiendo alguna nor-ma escrita, y se verifica su conformidad con dicha norma, por el fabricante, o por una autoridad inde-pendiente. Habitualmente, la norma contiene los requerimientos metrológicos, frecuentemente en for-ma de “errores máximos permitidos”, que deben cumplir los instrumentos. La conformidad del instru-mento con estos requerimientos se realiza mediante comparación con un instrumento de referencia, cuya incertidumbre máxima permitida viene habitualmente especificada en la norma. Esta incertidum-bre es una componente de la incertidumbre del instrumento verificado.

Si no se dispone de información acerca de la curva de error característica del instrumento verificado, puede suponerse que el error tiene la misma probabilidad de tener cualquier valor, dentro de los lími-tes permitidos; es decir de tener una función de distribución rectangular. Sin embargo, algunos tipos de instrumentos poseen curvas características tales que los errores son, por ejemplo, siempre positi-vos en una zona del campo de medida, y negativos en otras zonas. Este tipo de información puede a veces deducirse del estudio de la norma.

F.2.4.3 Magnitudes bajo control

Las mediciones se efectúan frecuentemente en condiciones de referencia controladas, que permane-cen constantes en el curso de una serie de mediciones.Por ejemplo, las mediciones pueden efectuarse sobre muestras situadas en un baño dotado de circu-lación de aceite, cuya temperatura esté regulada por un termostato. La temperatura del baño puede medirse en el instante en que se realiza la medición sobre cada muestra pero, si la temperatura del

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baño varía en forma cíclica, la temperatura instantánea de la muestra puede no ser la indicada por el termómetro en el baño. El cálculo de las fluctuaciones de temperatura de la muestra, y de su varian-cia, basadas de la teoría de la transferencia de calor, queda fuera del alcance de esta norma, pero debe realizarse a partir de un ciclo de temperatura conocido o supuesto del baño. Este ciclo puede observarse con ayuda de una termocupla de precisión y un registrador de temperatura pero en su de-fecto, podrá deducirse una aproximación a partir del conocimiento que pueda tenerse sobre la natu-raleza de control.

F.2.4.4 Distribuciones asimétricas de valores posibles

Hay ocasiones en que todos los valores posibles de una magnitud se sitúan de un solo lado respecto a un único valor límite. Por ejemplo, cuando se mide la altura vertical fija h (el mensurando) de una columna de líquido en un manómetro, el eje del dispositivo de medida de la altura puede estar des-viado respecto a la vertical un pequeño ángulo . La distancia l determinada por el dispositivo será siempre mayor que h, no existiendo valores posibles inferiores a h, ya que h es igual a la proyección l cos, y por tanto l = h /cos, y todos los valores de cos son menores que uno. Este error denomina-do “error de coseno” puede producirse también de forma tal que la proyección h’ cos de un mensu-rando h’ sea igual a la distancia observada l; es decir, l = h’ cos y que la distancia observada sea siempre inferior al mensurando.

Si se introduce una nueva variable = 1 – cos, las dos situaciones diferentes son, suponiendo 0 o << 1, lo que es habitual en la práctica.

con como el mejor estimador de l, es igual a la media aritmética de n observaciones repetidas e in-dependientes lk de l, con variancia estimada u2(l) (ver ecuaciones (3) y (5) de 4.2). A partir de las ecuaciones (F.3a) y (F.3b) se deduce entonces que para obtener una estimación de h, o de h’ se re-quiere una estimación del factor de corrección , mientras que para obtener la incertidumbre estándar combinada de la estimación de h, o de h’ es requerida además u2(), variancia estimada de . De for-ma más específica, la aplicación de la ecuación (10) de 5.1.2 a las ecuaciones (F.3a) y F.3b) da, para uc

2(h) y uc2(h’) (signos – y + respectivamente).

Para obtener la estimación del valor esperado de , y de la variancia de , supongamos que el eje del dispositivo utilizado para medir la altura de la columna de líquido en el manómetro está forzado a mantenerse en un plano vertical, y que los valores del ángulo de inclinación alrededor de su valor esperado, igual a cero, se distribuyen normalmente, con variancia 2. Aunque pueda tomar valores tanto positivos como negativos, = 1 – cos es positivo para todos los valores de . Si se supone que no hay restricción alguna para el desalineamiento del eje del dispositivo, la orientación de éste puede variar dentro de un ángulo sólido, ya que puede desalinearse en un azimut cualquiera, pero siempre será un ángulo positivo.

En el caso de restricción de a un plano vertical, caso unidimensional, el elemento de probabilidad p()d (nota en C.2.5) es proporcional a [exp (-2/22)]d; en el caso bidimensional, o sin restricción,

el elemento de probabilidad es proporcional a [exp (-2/22)] send d. En los dos casos, las expre-siones a utilizar en las ecuaciones (F.3) y (F.4) para determinar la esperanza matemática y la varian-cia de , son las funciones de densidad de probabilidad p(). Estas pueden obtenerse fácilmente a partir de los elementos de probabilidad, ya que el ángulo puede suponerse pequeño, pudiendo sus-tituirse = 1 – cos y sen por los órdenes más bajos de , de sus desarrollos en serie. Esto da 2/2, sen = , y d = d/ . Las funciones de densidad de probabilidad serán entonces

para una dimensión

para dos dimensiones,

con

Las ecuaciones (F.5a) y (F.5b), que muestran que el valor más probable de la corrección en los dos casos es igual a cero, dan, en el caso unidimensional E() = 2/2 y var () = 4/2 para la esperanza matemática y la variancia de ; y en el caso bidimensional E() = 2 y var() = 4. Las ecuaciones (F.3a), (F.3b) y (F.4b) quedan transformadas entonces en

...(F.6a)

...(F.6b)

...(F.6c)

donde d es el número de dimensiones (d = 1 ó 2) y u() es la incertidumbre estándar del ángulo , to-mada como la mejor estimación de la desviación estándar de una distribución que se supone eva-luada a partir de la totalidad de la información disponible, referida a la medición (evaluación de Tipo B). Este es un ejemplo de un caso donde la estimación del valor del mensurando depende de la in-certidumbre de una magnitud de entrada.

Aunque las ecuaciones (F.6a) a (F.6c) sean específicas para una distribución normal, puede efec-tuarse el análisis suponiendo otras distribuciones para sigue una ley rectangular simétrica, con +0

y -0 como límites superior e inferior en el caso unidimensional, y + 0 y 0 en el caso bidimensional, E() = 0

2/6 y var () = 04/45 para una dimensión, y E() =2

0/4 y var () = 40/48 para dos dimensio-

nes.

NOTA – Esta es una situación en la que el desarrollo de la función Y = (X1, X2, ... XN) en una serie de Taylor de primer or-den para obtener u2

c (y), ecuación (10) de 5.1.2 es inadecuada debido a la no linealidad de : cos cos (ver nota 2 de 5.1.2 y H.2.4). Aunque pudiera efectuarse completamente el análisis en función de , la introducción de la variable simpli-fica el problema.

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Otro ejemplo de una situación en que todos los valores posibles de una magnitud se encuentran de un solo lado respecto a un límite único es el de la determinación, por la titulación de la concentración de un componente en una solución cuando el punto final viene indicado por la emisión de una señal; la cantidad de reactivo añadido es siempre superior a la que sería necesaria para la emisión, jamás inferior. El exceso de reactivo respecto a la requerida en el punto de equivalencia titulante, es una va-riable necesaria para la reducción de los datos y, en este y en otros casos similares, el procedimiento consiste en suponer una distribución de probabilidad apropiada para la cantidad de reactivo en exce-so, y utilizarla para obtener la esperanza matemática y la variancia de dicho exceso.

EJEMPLO – Si se supone una distribución rectangular de límite inferior cero y de límite superior C0

para la cantidad de reactivo en exceso z, la esperanza matemática del exceso será C0/2 y la varian-cia asociada C0/12. Sin embargo, si para función de densidad de probabilidad del exceso se toma co-mo una distribución normal, con 0 z < ; es decir, p(z) = exp (-z2/22), la esperanza ma-temática será entonces igual a y la variancia 2 (1 - 2/).

F.2.4.5 Incertidumbre cuando no se aplican correcciones derivadas de una curva de calibra-ción

La nota de 6.3.1 presenta el caso en que no se aplica una corrección conocida b de un efecto siste-mático significativo al resultado de una medición sino que, en lugar de esto, se toma en cuenta para expandir la “incertidumbre” atribuida al resultado. Se puede, por ejemplo, reemplazar una incertidum-bre expandida U, por una incertidumbre U + b, donde U es la incertidumbre expandida obtenida con la hipótesis de b = 0. Esta práctica es seguida a veces en situaciones en las que se dan todas las condiciones siguientes: él mensurando Y está definido para un rango de valores de un parámetro t, como en el caso de la curva de calibración de un sensor de temperatura: U y b dependen también de t; y además existe un valor común de incertidumbre atribuible a todas las estimaciones y (t) del men-surando, dentro del rango de valores posibles de t. En tales casos, el resultado de la medición está dado frecuentemente como Y(t) = y(t) (Umáx + bmáx), donde el subíndice “máx” indica que se utiliza el valor máximo de U y el valor máximo de la corrección conocida b, en el rango de valores de t.

Aunque esta norma recomienda aplicar las correcciones por efectos sistemáticos identificados como significativos a los resultados de medida, hay situaciones en las que esto no es posible, dado el costo inaceptable que supondría calcular y aplicar una corrección individual, y luego calcular y aplicar una incertidumbre individual a cada valor de y(t).

Una aproximación relativamente simple para este problema, que es consistente con los principios de esta norma, es la de calcular una corrección media única, a partir de

donde t1 y t2 definen el intervalo de interés del parámetro t, y se toma como mejor estimación de Y(t), y’(t) = y(t) + , donde y(t) es la mejor estimación no corregida de Y(t). La variancia asociada a la co-rrección media para el intervalo viene dada por

sin considerar la incertidumbre de la determinación actual de la corrección b (t). La variancia media de la corrección b(t) debida a su determinación real viene dada por

donde u2 (b (t)) es la variancia de la corrección b(t). De forma análoga, la variancia media de y(t) pro-veniente de todas las fuentes de incertidumbre distintas de la corrección b(t) se obtiene a partir de

donde u2 [(y(t)] es la variancia de y(t) debida a todas las fuentes de incertidumbre distintas a b(t). El valor único de la incertidumbre estándar, a utilizar para todas las estimaciones y’(t) = y(t) + del men-surando Y(t) es la raíz cuadrada positiva de la variancia combinada

Puede obtenerse una incertidumbre expandido U multiplicando uc(y’) por un factor de cobertura k ele-gido de forma conveniente, tal que U = k uc (y’), lo que da Y(t) = y’(t) U = y(t) + U. No obstante, no hay que olvidar que se ha utilizado la misma corrección media para todos los valores de t, en lu-gar de la corrección conveniente para cada valor de t, siendo necesario indicar claramente lo que re-presenta U.

F.2.5 Incertidumbre debida al método de medición

F.2.5.1 Es posible que la componente de incertidumbre más difícil de evaluar sea la asociada al mé-todo de medición, en particular si se ha comprobado que la variabilidad de los resultados obtenidos con este método es menor que la resultante de aplicar cualquier otro método conocido. Sin embargo, es probable que existan otros métodos, algunos incluso desconocidos o de difícil aplicación práctica por una u otra razón, que podrían dar resultados sistemáticamente diferentes, con igual validez apa-rente. Esto implica una función de distribución de probabilidad a priori, y no una distribución de la que poder tomar fácilmente muestras para ser tratadas estadísticamente. Entonces, aunque la incerti-dumbre del método pueda ser la incertidumbre dominante, la única información disponible frecuente-mente para evaluar la incertidumbre estándar proviene de lo que se conoce del mundo físico (ver también E.4.4).

NOTA – La determinación del mismo mensurando por métodos distintos, en el mismo laboratorio, o en diferentes laborato-rios, o mediante un mismo método, en laboratorios diferentes, aporta frecuentemente una información válida sobre la incer-tidumbre atribuible a un método particular. En general, el intercambio entre laboratorios de patrones o de materiales de refe-rencia para realizar mediciones independientes, es una manera válida de comprobar la confiabilidad de las evaluaciones de incertidumbre y de identificar efectos sistemáticos no puestos de manifiesto con anterioridad.

F.2.6 Incertidumbre debida a la muestra

F.2.6.1 Numerosas mediciones conforman la comparación de un objeto desconocido con un patrón conocido, de características similares, para calibrar el objeto desconocido. Puede darse como ejem-plo los bloques patrón longitudinales, algunos termómetros, juegos de masas, resistores y materiales de alta pureza, etc.

Lo más frecuente en tales casos es que el método de medición no sea especialmente sensible o afectado adversamente por el tratamiento o por la selección de la muestra (es decir, por la muestra particular a calibrar), o por los efectos de diversas magnitudes de influencia ligadas al ambiente, puesto que la muestra desconocida y el patrón responden generalmente de forma similar y frecuente-mente previsible a estas variables.

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F.2.6.2 En determinadas situaciones prácticas de medida, el muestreo y el tratamiento de la muestra juegan un papel mucho más importante. Este se da frecuentemente en el caso del análisis químico de materiales o sustancias naturales. Contrariamente a los materiales fabricados por el hombre, en los que su homogeneidad puede haber sido comprobada a un nivel superior al requerido en la medi-ción, las sustancias naturales carecen con mayor frecuencia de dicha homogeneidad. Esta heteroge-neidad conduce a dos componentes complementarias de la incertidumbre. La evaluación de la prime-ra componente requiere determinar hasta qué punto la muestra seleccionada representa correcta-mente al material o sustancia objeto del análisis. La evaluación de la segunda componente requiere determinar en qué medida los constituyentes secundarios (no analizados) influyen sobre la medición y son correctamente tratados por el método de medición.

F.2.6.3 En algunos casos, un cuidadoso diseño del experimento hace posible evaluar estadística-mente la incertidumbre debida a la muestra (ver H.5 y H.5.3.2). No obstante, habitualmente, y en es-pecial cuando las magnitudes de influencia ligadas al medio ambiente tienen efectos significativos so-bre la muestra, para evaluar la incertidumbre es necesario acudir a la competencia y a los conoci-mientos del analista, derivados de su experiencia, así como considerar la totalidad de la información práctica que se dispone.

Anexo G(Normativo)

Grados de libertad y probabilidad de cobertura

G.1 Introducción

G.1.1 Este anexo aborda el problema general de la obtención de una incertidumbre expandida Up = kp uc (y) a partir de la estimación y del mensurando Y, y de la incertidumbre estándar combinada uc(y) de dicha estimación. A partir de esta incertidumbre expandida, se define un intervaloy – Up Y y + Up que corresponde a una probabilidad de cobertura p, específico y de alto valor.Este anexo trata pues de la forma de determinar el factor de cobertura kp que produce, en torno al resultado de medición y, un intervalo en el que se espera encontrar una fracción importante p de la distribución de valores que podrán ser razonablemente atribuidos al mensurando Y (ver capítulo 6).

G.1.2 En la mayoría de las situaciones prácticas de medición, el cálculo de un intervalo correspon-diente a una probabilidad de cobertura especificada es, como mucho, aproximado, al igual que lo es la estimación de la mayor parte de las componentes individuales de la incertidumbre en tales situa-ciones. Incluso si se obtiene una desviación estándar experimental de la media, a partir de un núme-ro tan elevado de observaciones repetidas como 30, para una magnitud descrita por una distribución normal, esta desviación estándar tiene, ella misma, una incertidumbre de alrededor de un 13 % (ver tabla E.1 del anexo E).

En numerosos casos, no tiene sentido tratar de hacer la distinción entre, por ejemplo, un intervalo con un probabilidad de cobertura del 95 % (una posibilidad sobre 20 de que el valor del mensurando Y esté situado fuera del intervalo) y un intervalo del 94 o del 96 por ciento (1 posibilidad sobre 17 o sobre 25, respectivamente).Es particularmente difícil obtener intervalos legítimos que correspondan realmente a probabilidades de coberetura iguales o superiores al 99 % (1 posibilidad sobre 100), incluso si se supone que no se ha subestimado ningún efecto sistemático, puesto que en general, se posee muy poca información acerca de los tramos más extremos o “colas” de las funciones de probabilidad de las magnitudes de entrada.

G.1.3 Para obtener el valor del factor de cobertura kp que proporciona un intervalo correspondiente a una probabilidad especificada p, es necesario poseer un conocimiento detallado de la distribución de probabilidad caracterizada por el resultado de medición y su incertidumbre estándar combinada. Por ejemplo, para una magnitud z descrita por una función normal, de esperanza matemática z y desvia-ción , es fácil calcular el valor de kp que proporciona un intervalo z kp que comprende la fracción p de la distribución, con una probabilidad de cobertura p. La tabla G.1 da algunos ejemplos.

Tabla G.1 – Valor del factor de cobertura kp que proporciona un intervalo correspondiente a una pro-babilidad de cobertura p, suponiendo una distribución normal.

Probabilidad de cobertura p(porcentaje)

Factor de cobertura kp

68,279095

95,4599

99,73

11,6451,960

22,576

3

84

NOTA – Comparativamente, si z está descrita por distribución rectangular de esperanza matemática z desviación están-dar , donde a es el semirrango de la distribución, la probabilidad de cobertura p es 57,74 % para kp = 1, 95 % para

kp = 1,65, 99 % para kp = 1,71 y 100 % para kp 1,73. La distribución rectangular es “más estrecha” que la distribución normal, en lo que respecta extensión finita y a que no posee “colas”.

G.1.4 Si se conocen las distribuciones de probabilidad de las magnitudes de entrada X1, X2, ..., Xn de las que dependen el mensurando y [sus esperanzas matemáticas, sus variancias y sus momentos de mayor grado (ver C.2.13 y C.2.22) si las distribuciones no son normales] y si Y es una función lineal de las magnitudes de entrada, es decir, Y = c1X1 + c2 X2 + ... + cN XN, la distribución de probabilidad de Y puede entonces obtenerse mediante convolución de las distribuciones de probabilidad individuales [10]. Los valores de kp que proporcionan intervalos correspondientes a niveles de confianza específi-cos p pueden calcularse a partir de las distribuciones resultantes de la convolución.

G.1.5 Si la relación funcional entre Y y sus magnitudes de entrada no es lineal, y si el desarrollo en serie de Taylor, limitado al primer orden, no es una aproximación conveniente de esta relación (ver 5.1.2 y 5.1.5), la distribución de probabilidad de Y no puede obtenerse mediante convolución de las distribuciones de las magnitudes de entrada. En tal caso, es necesario utilizar otros métodos, analíti-cos o numéricos.

G.1.6 En la práctica, por una parte los parámetros caracterizan las distribuciones de probabilidad de las magnitudes de entrada son habitualmente estimaciones; por otra parte, no es realista esperar que la probabilidad de cobertura correspondiente a un intervalo dado pueda conocerse con un elevado grado de exactitud; como resultado, la convolución de las distribuciones de probabilidad se toma una operación compleja y, en consecuencia, dicha convolución raramente se realiza a la hora de calcular el intervalo correspondiente a un probabilidad de cobertura específico. En su lugar, se utilizan aproxi-maciones basadas en el teorema del límite central.

G.2 Teorema del límite central

G.2.1 Si Y = c1X1 + c2 X2 + ...+ cN XN = ci Xi, y todas las Xi están caracterizadas por distribuciones

normales, la distribución resultante de la convolución Y también es normal. No obstante, con frecuen-cia es posible suponer una distribución normal para Y, aunque las distribuciones de Xi no lo sean, te-niendo en cuenta el teorema del límite central. Este teorema establece que la distribución de Y será

aproximadamente normal, con esperanza matemática E(Y) = y variancia

2(Y) = , donde E(Xi) es la esperanza matemática de Xi y 2(Xi) es la variancia de Xi,

siempre que las Xi sean independientes y 2(Y) sea mucho mayor que cualquier otra componente 2(Xi) de una Xi cuya distribución no sea normal.

G.2.2 El teorema del límite central es relevante ya que muestra el importante papel que representan las variancias de las distribuciones de probabilidad de las magnitudes de entrada, en relación con el representado por los momentos de mayor orden de dichas distribuciones, en la determinación de la forma de la distribución convolución resultante de Y. Implica además que la distribución obtenida tras la convolución converge hacia una ley normal a medida que aumenta el número de magnitudes de entrada que contribuyen a 2(Y), que la convergencia será tanto más rápida cuanto más próximos sean entre sí los valores de ci

2 2(Xi) (lo que equivale en la práctica a que las estimaciones de entra-da xi contribuirán con incertidumbres comparables a la incertidumbre de la estimación y del mensu-rando Y), y que cuanto más próximas a la normal sean las distribuciones de Xi, menor número de ellas será necesario para obtener una distribución normal de Y.

EJEMPLO – La distribución rectangular (ver 4.3.7 y 4.4.5) es un caso extremo de distribución no nor-mal, pero la convolución de un número tan pequeño como tres distribuciones rectangulares de igual rango ya es aproximadamente normal. Si el semirrango de cada una de estas tres distribuciones rec-tangulares es a y, en consecuencia, la variancia es a2/3, la variancia de la distribución resultante de la convolución es 2 = a2. Los intervalos del 95 % y del 99 % de la distribución resultante de la convo-lución están definidos respectivamente por 1,937 y 2,379 , mientras que los correspondientes a una distribución normal de la misma desviación estándar vienen definidos por 1,960 y 2,576 (ver tabla G.1) [10].

NOTAS

1. Para todo intervalo de una probabilidad de cobertura p superior a aproximadamente un 91,7 por ciento, el valor de kp

para una distribución normal es siempre superior al valor correspondiente de la distribución resultante de la convolución de distribuciones rectangulares, cualquiera que sea el número y rango de éstas.

2. Del teorema del límite central se deduce que la distribución de probabilidad de la media aritmética de n observacio-nes qk de una variable aleatoria q, de esperanza matemática q y desviación estándar finita , tiende hacia una distribu-ción normal de media q y desviación estándar , cuando n , cualquiera que sea la distribución de probabilidad de q.

G.2.3 Una consecuencia práctica del teorema del límite central es la siguiente: siempre que pueda demostrarse que se cumplen aproximadamente las hipótesis de validez del teorema, en particular que la incertidumbre estándar combinada c(y) no está dominada por una componente de incertidumbre estándar obtenida por una evaluación de Tipo A basada únicamente en unas pocas observaciones, o por una componente de incertidumbre estándar obtenida por evaluación de Tipo B basada en una supuesta distribución rectangular, para el cálculo de una incertidumbre expandida UP = kp uc(Y) que proporcione un intervalo de probabilidad de cobertura p, se utilizará para kp, en una primera aproximación razonable, un valor tomado de la distribución normal. La tabla G.1 da los valores más comúnmente utilizados para este fin.

G.3 La distribución t y los grados de libertad

G.3.1 Para obtener una aproximación mejor que la debida a la simple utilización de un valor de kp

deducido de la distribución normal, como en G.2.3, debe tenerse presente que el cálculo de un inter-valo de probabilidad de cobertura específica necesita, no la distribución de la variable [Y – E(Y)]/(Y), sino la distribución de la variable (y-Y)/uc(y). La razón proviene del hecho de que, en la práctica, de lo

único que se dispone es de y, estimación de Y obtenida a partir de , donde xi es la esti-

mación de Xi y la variancia combinada asociada a y, u (y), evaluada a partir de (y) =

, donde u(xi) es la incertidumbre estándar (desviación estándar estimada) de la esti-

mación xi.

NOTA –Para hacer totalmente correcto, en la expresión (y – Y)/ uc(y) debería utilizarse E(Y) en lugar de Y. Por simplifica-ción, tal distinción no se ha hecho más que en algunos pocos lugares de la norma. En general, se ha utilizado el mismo símbolo para la magnitud física, la variable aleatoria que representa a esta magnitud y la esperanza matemática de dicha variable (ver notas de 4.1.1).

G.3.2 Si una variable aleatoria x de esperanza matemática z y desviación estándar sigue una distribución normal, y es la media aritmética de n observaciones independientes zk de z, siendo s( ) la desviación estándar experimental de [ver ecuaciones (3) y (5) de 4.2], entonces la distribución de la variable t = ( - z)/s( ) es la distribución t o distribución de Student (C.3.8) con = n – 1 grados de libertad.

86

En consecuencia, si el mensurando Y es simplemente una única magnitud X que sigue una distribu-ción normal Y = X, y si X se estima mediante la media aritmética de n observaciones repetidas in-dependientes Xk de X, con una desviación estándar experimental de la media s( ), entonces la me-jor estimación de Y es y = y la desviación estándar experimental de esta estimación esuc(y) = s( ). Entonces t = (z - z)/s(z) = ( - X)/s( ) = (y – Y)/u(y) se distribuye según la distribución t, con

lo que también puede escribirse en la forma

En estas expresiones, Pr[ ] significa “probabilidad de” y el factor t, tp () es el valor de t para un valor dado del parámetro – número de grados de libertad (ver G.3.3) – de forma que la fracción p de la distribución t esté comprendida en el intervalo desde –tp() a + tp(). En consecuencia, la incertidum-bre expandida

define un intervalo desde y – Up a y + Up, escrito por comodidad Y = y Up, el cual es de esperar que contenga una fracción p de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y, siendo p la probabilidad de cobertura del intervalo.

G.3.3 El número de grados de libertad es igual a n – 1, para una magnitud única estimada por la media aritmética de n observaciones independientes, como en G.3.2. Si se utilizan las n observacio-nes independientes para determinar a la vez la pendiente y la ordenada en el origen de una recta, por el método de los cuadrados mínimos, el número de grados de libertad de sus incertidumbres es-tándars respectivas es =n – 2. En el ajuste por el método de los cuadrados mínimos de m paráme-tros, a partir de n datos, el número de grados de libertad de la incertidumbre estándar de cada pará-metro es = n – m (ver referencia [15] para un estudio completo de los grados de libertad).

G.3.4 Al final de este anexo, en la tabla G.2 presenta una selección de valores de tp (v), para diferen-tes valores de y de p. A medida que , la distribución t tiende hacia una distribución normal y tp() (1 + 2/)1/2kp, donde kp es el factor de cobertura necesario para obtener un intervalo con una probabilidad de cobertura p para una variable distribuida normalmente. Por ello, en la tabla G.2 el va-lor de tp() para un valor dado de p, es igual al valor de kp para el mismo valor de p de la tabla G.1.

NOTA – Frecuentemente la distribución t está tabulada en cuantiles; los valores de t1 – se obtienen a partir de la fórmula

donde 1- es el cuantil y es la densidad de probabilidad de t. De esta forma , tp() y t1 - () están relacionados por p = 1 - 2. Así, por ejemplo, el valor del cuantil t0,975 para el que 1 - = 0,975 y = 0,025, es el mismo que el de tp() para p = 0,95.

G.4 Número efectivo de grados de libertad

G.4.1 La distribución t no describe en general la distribución de la variable (y – Y)/uc(y), si uc2(y) es la

suma de dos o más componentes de variancias estimadas uc2 = ci

2 u2(xi) (ver 5.1.3), ni siquiera si ca-da xi es la estimación de una magnitud de entrada Xi distribuida normalmente. No obstante, es posi-ble aproximarse a la distribución de esta variable por medio de una distribución t con un número efec-tivo de grados de libertad eff obtenido mediante la fórmula de Welch-Satterhwaite [16, 17, 18].

o

con

donde uc2(y) = (ver 5.1.3). La incertidumbre expandida Up = kp uc(Y) = tp(eff) uc(y) pro-

porciona entonces un intervalo Y = y Up de una probabilidad de cobertura aproximada p.

NOTAS

1. Si el valor de eff obtenido a partir de la ecuación (G.2b) no es un número entero, lo que será el caso habitual en la práctica, la obtención del valor correspondiente de tp se realizará, a partir de la tabla G.2, por interpolación o trunca-miento de eff al número entero inferior más próximo.

2. Si una estimación de entrada xi ha sido obtenida a su vez, a partir de dos o más estimaciones, el valor de i a utilizar con ui

4(y) = [ci2u2(xi)]2 en el denominador de la ecuación (G.2b) será el número efectivo de grados de libertad calculado

mediante una expresión equivalente a la ecuación (G.2b).

3. Dependiendo de las necesidades de los usuarios potenciales de un resultado de medida, puede ser útil, como comple -mento a eff dar también los valores de effA y effB calculados a partir de la ecuación (G.2b), al tratar separadamente las incertidumbres estándar obtenidas en las evaluaciones de Tipo A y de Tipo B. Si notamos como u2

cA(y) y u2cB(y) las

contribuciones a u2c(y) de las incertidumbres estándars de Tipo A y de Tipo B, las diferentes magnitudes estarán liga-

das mediante:

EJEMPLO – Supongamos que Y = (X1, X2, X3) = bX1 X2 X3, y que las magnitudes de entrada X1, X2, X3 están distribuidas normalmente, siendo sus respectivas estimaciones, x1, x2, x3, las medias aritmé-ticas de n1 = 10 n2 = 5, y n3 = 15 observaciones repetidas e independientes, con incertidumbres es-tándars relativas u(x1)/x1 = 0,25 %, u(x2)/x2 = 0,57 % y u(x3)/x3 = 0,82 %. En este caso,ci = /Xi = Y/Xi (calculados para X1, X2, X3 – ver 5.1.3, nota 1),

88

, (ver nota 2 de 5.1.6 ) y la ecuación (G.2b) se transforma

en:

Entonces,

El valor de tp para p = 95 % y = 19 es (tabla G.2) t95(19) = 2,09, por lo tanto, la incertidumbre relati-va expandida para esta probabilidad de cobertura es U95 = 2,09 % x (1,03 %) = 2,2 %. Entonces, pue-de decirse que Y = y U95 = y (1 0,022) (y determinado a partir de y = bx1x2x3), o que 0,978 y Y 1,022 y, y que la probabilidad de cobertura del intervalo es aproximadamente igual a un 95 %.

G.4.2 uc(y) depende en la práctica de las incertidumbres estándars u(xi) a partir de distribuciones, unas de frecuencia y otras de probabilidad a priori (es decir, unas de evaluaciones de Tipo A y otras de Tipo B). Lo mismo puede decirse de la estimación y y de las estimaciones de entrada xi de las que depende y. Sin embargo, la distribución t puede constituir una aproximación a la distribución de pro-babilidad de la función t = (y –Y) / uc(y) si se desarrolla ésta en serie de Taylor alrededor de su espe-ranza matemática. Esto es lo que se consigue especialmente, en la aproximación de menor orden, mediante la fórmula de Welch-Satterhwaite, ecuación (G.2a) o ecuación (G.2b).

La cuestión consiste en saber cuál es el número de grados de libertad asociado a una incertidumbre estándar obtenida mediante evaluación de Tipo B, cuando eff se calcula mediante la ecuación (G.2b). Puesto que la definición de número de grados de libertad admite que , tal como aparece en la distribución t, es una medida de la incertidumbre de la variancia s2(z), puede utilizarse la ecuación (E.7) de E.4.3 para definir el número de grados de libertad i:

La magnitud entre los corchetes grandes es la incertidumbre relativa u(xi). Para una evaluación de Ti-po B de la incertidumbre estándar, se trata de una magnitud subjetiva cuyo valor se obtiene mediante juicio científico basado en el conjunto de informaciones disponibles.

EJEMPLO – Supóngase que el conocimiento que se tiene acerca de la forma en que se evaluaron la estimación de entrada xi y su incertidumbre estándar u(xi) permite concluir que el valor de u(x1) posee una falta de confianza en torno a un 25 %. El significado de esto puede ser el de que la incertidumbre relativa es u(xi)/u(xi) = 0,25, y en consecuencia, a partir de la ecuación (G.3), que i = (0,25)2/2 = 8. Sin embargo, si se supusiera como falta de confianza del valor de u(xi) un 50 %, i

sería entonces igual a 2. (ver también la tabla E.1 del anexo E).

G.4.3 En la presentación de 4.3 y 4.4 para la evaluación de Tipo B de la incertidumbre estándar, a partir de una distribución de probabilidad a priori, se supuso implícitamente que el valor de u(xi) resul-

tante de dicha evaluación era conocido con exactitud. Por ejemplo, cuando u(xi) se obtiene a partir de una distribución rectangular de semirrango a = (a+ - a-)/2, como en 4.3.7 y 4.4.5, u(xi)= se consi-dera como constante, sin incertidumbre, puesto que así son también considerados los límites a+ y a-, y, en consecuencia a (sino ver la nota 2 de 4.3.9). Esto supone, según la ecuación (G.3) que i , o lo que es lo mismo, que 1/i 0, lo que no entraña dificultad alguna para evaluar la ecuación (G.2b). Además, el suponer que i no está tan alejado de la realidad, ya que es una práctica fre-cuente elegir a+ y a-, de forma que la probabilidad de que la magnitud en cuestión esté fuera del inter-valo comprendido entre a+ y a-, sea extremadamente pequeña.

G.5 Otras consideraciones

G.5.1 Una expresión procedente de la bibliografía sobre incertidumbres, y utilizada frecuentemente para obtener una incertidumbre tal que proporcione un intervalo con un 95 % de confianza, es la si -guiente:

Aquí, (’eff) corresponde a la distribución t para eff grados de libertad y p = 95 %. eff es el número efectivo de grados de libertad calculado a partir de la fórmula de Welch-Satterhwaite [ecuación (G.2b)] tomando en cuenta únicamente las componentes de incertidumbre estándar si evaluadas es-tadísticamente a partir de observaciones repetidas en la medición actualmente en curso:

son de aplicación para todas las demás com-ponentes de incertidumbre, con + aj y -aj como límites superior e inferior de Xj, supuestos exacta-mente conocidos, con respecto a su mejor estimación xj (es decir, xj - aj Xj xj + aj).

NOTA – Una componente basada en observaciones repetidas que hubieran sido realizadas fuera de la medición en curso se trataría de la misma forma que cualquiera de las otras componentes incluidas en u2. De aquí en adelante, con objeto de poder hacer una comparación significativa entre las ecuaciones (G.4) y (G.5) del apartado siguiente, se supondrá que tales componentes, si están presentes, son despreciables.

G.5.2 Si mediante los métodos recomendados en G.3 y G.4 se evalúa la incertidumbre expandida que proporciona un intervalo con una probabilidad de cobertura del 95 %, la expresión resultante que sustituye a la ecuación (G.4) es

donde eff se calcula a partir de la ecuación (G.2b) donde el cálculo incluye todas las componentes in-certidumbre.

En la mayor parte de los casos, el valor de U95 obtenido mediante la ecuación (G.5) será mayor que el de U obtenido por la ecuación (G.4), siempre que se suponga que, en la evaluación de la ecuación (G.5), todas las variancias de Tipo B se obtienen a partir de distribuciones rectangulares a priori, de semirrangos iguales a intervalos con los límites aj utilizados para calcular u2 en la ecuación (G.4). Es-to puede comprenderse fácilmente tras constatar que, aunque t95(eff) sea la mayor parte de las veces algo superior a t95(eff), sin embargo, los dos factores son próximos al valor 2 y que en la ecuación (G.5), u2 va multiplicada por (eff) 4, mientras que en la ecuación (G.4), va multiplicada por 3. Aunque las dos expresiones dan valores iguales para U’95 y para U95 cuando u2 << s2, sin embargo, U’

95 es como un 13 % inferior a U95, cuando u2 >> s2. Así, la ecuación (G.4) da en general una incerti-dumbre que proporciona un intervalo con una probabilidad de cobertura inferior al intervalo proporcio-nado por la incertidumbre expandida calculada a partir de la ecuación (G.5).

90

NOTAS

1. En los límites, cuando u2/s2 y veff , U’95 1,960 u. En este caso, U’95 proporciona un intervalo con una proba-

bilidad de cobertura del 91,7 % solamente, mientras que U95 proporciona un intervalo con el 95 %. En la práctica, se tiende hacia esta situación cuando las componentes obtenidas a partir de estimaciones de límites superior e inferior, son dominantes, importantes en número y dan valores comparables para las uj

2 (y) = c2j a2

j /3.

2. Para una distribución normal, el facto de cobertura k = 1,732 proporciona un intervalo con una probabilidad de co-bertura p = 91,673 %. Este valor de p es muy estable, en el sentido de que, comparado con cualquier otro valor, es in-dependiente, en grado óptimo, de pequeñas desviaciones de las magnitudes de entrada respecto a la normalidad,.

G.5.3 Ocasionalmente, una magnitud de entrada Xi puede distribuirse de forma asimétrica; es decir, las desviaciones respecto a su esperanza matemática pueden ser más probables en un sentido que en el otro (ver 4.3.8). Aunque este hecho no supone diferencia alguna respecto a la evaluación de la incertidumbre estándar u(xi) de la estimación xi de Xi, y por tanto, de la evaluación de uc(y), sin em-bargo puede afectar al cálculo de U.Habitualmente, es cómodo proporcionar un intervalo simétrico Y = y U, salvo que exista una dife-rencia de coste entre las variaciones de un signo y las del otro. Si la asimetría de Xi entraña única-mente una pequeña asimetría de la distribución caracterizada por el resultado de medida y y por su incertidumbre estándar combinada uc(y), la pérdida de probabilidad en uno de los lados, por dar un intervalo simétrico, queda compensada por la ganancia de probabilidad en el otro lado. La alternativa es proporcionar un intervalo simétrico en probabilidad (y, por lo tanto, asimétrico en U), de forma que la probabilidad de que Y esté situado por debajo del límite inferior y – U sea igual a la probabilidad de que Y esté situado por encima del límite superior y + U. Pero para dar tales límites, es necesario con-tar previamente con más información, no sólo con las estimaciones y y uc (y) [y, consecuentemente, con más información que las estimaciones xi y u(xi) de cada magnitud de entrada Xi].

G.5.4 La evaluación de la incertidumbre expandida Up que aquí se hace, en función de uc(y), de eff y del factor tp(eff) de la distribución t, es solamente una aproximación, y tiene sus limitaciones. La distri-bución (y – Y)/ uc (y) sigue la distribución t, únicamente si la distribución de Y es normal, si la estima-ción y y su incertidumbre estándar combinada uc (y) son independientes y si la distribución de (y) es una distribución 2. La introducción de eff, ecuación (G.2b), tiene que ver únicamente con el último problema, proporcionando una distribución 2 aproximada para (y); la otra parte del problema, que proviene de la falta de normalidad de la distribución de Y, exige que se tomen en consideración, ade-más de la variancia, los momentos de mayor grado.

G.6 Resumen y conclusiones

G.6.1 El factor de cobertura kp que proporciona un intervalo con una probabilidad de cobertura p pr-óximo a un nivel especificado, no puede hallarse más que si se dispone de un conocimiento suficien-te acerca de la distribución de probabilidad de cada magnitud de entrada, y de cómo se componen dichas distribuciones para obtener la distribución de la magnitud de salida. Las estimaciones de en-trada xi y sus incertidumbres estándars u(xi) son por sí mismas insuficientes para alcanzar tal objeti-vo.

G.6.2 Dado que los extensos cálculos necesarios para componer las distribuciones de probabilidad raramente quedan justificados por la extensión y fiabilidad de la información disponible, puede acep-tarse una aproximación de la distribución de la magnitud de salida. Según el Teorema del Límite Central, habitualmente es suficiente con suponer que la distribución de probabilidad de (y-Y)/uc(y) es la distribución t y tomar kp = tp(eff), con el factor t basado en un número de grados de libertad eff de c(y) obtenido a partir de la fórmula de Welch-Satterhwaite, ecuación (G.2b).

G.6.3 La obtención de eff a partir de la ecuación (G.2b) implica conocer el número de grados de li-bertad i de cada componente de la incertidumbre estándar. Para una componente obtenida median-te evaluación de Tipo A, i depende del número de observaciones repetidas e independientes sobre las que se basa la estimación de la entrada correspondiente, así como del número de magnitudes in-dependientes determinadas a partir de dichas observaciones (ver G.3.3). Para una componente obte-nida mediante evaluación de Tipo B, i depende de la fiabilidad que pueda suponérsele al valor de di-cha componente [ver G.4.2 y ecuación (G.3)].

G.6.4 La secuencia siguiente es el resumen del método preferido para calcular una incertidumbre expandida Up = kp uc(y) que proporcione un intervalo Y = y Up con una probabilidad de cobertura aproximado p:

1) Determinar y y uc (y) tal como se indica en los capítulos 4 y 5.

2) Calcular eff a partir de la ecuación (G.2b), fórmula de Welch-Satterhwaite, (reproducida de nuevo a continuación para facilidad de consulta):

Si u(xi) se obtiene mediante evaluación de Tipo A, determinar i tal como se indica en G.3.3. Si uc(xi) se obtiene mediante evaluación de Tipo B, y puede tratarse como si se conociera exacta-mente, lo que ocurre frecuentemente en la práctica, i , si no es así, estimar i mediante la ecuación (G.3).

3) Determinar el factor tp(eff) para la probabilidad de cobertura p deseada, a partir de la tabla G.2. Si eff no es un número entero, interpolar o truncar eff al entero inferior más próximo.

G.6.5 En determinados casos, no demasiado frecuentes en la práctica, puede que no se satisfagan exactamente las condiciones exigidas por el Teorema del Límite Central y la aproximación de G.6.4 puede conducir a un resultado inaceptable. Por ejemplo, si uc(y) está nominada por una componente de incertidumbre evaluada a partir de una distribución rectangular cuyos límites se suponen exacta-mente conocidos, es posible [si tp (eff) > ] que y + Up e y - Up, límites superior e inferior del interva-lo definido por Up, puedan situarse fuera de los límites de la distribución de probabilidad de la magni-tud de salida Y. Tales casos deben tratarse de forma individualizada, aunque frecuentemente puedan tratarse mediante aproximación analítica (por ejemplo, mediante convolución de una distribución nor-mal con una distribución rectangular [10]).

G.6.6 En numerosas mediciones prácticas, pertenecientes a campos variados, predominan las con-diciones siguientes:

- la estimación y del mensurando Y se obtiene a partir de estimaciones x1 de un número significativo de magnitudes de entrada X1 que pueden describirse mediante distribucio-nes de probabilidad razonables, tales como distribuciones normales o rectangulares;

- las incertidumbres estándars u(xi) de tales estimaciones, que pueden obtenerse me-diante evaluaciones de Tipo A o de Tipo B, contribuyen de forma comparable a la incer-tidumbre estándar compuesta uc(y) del resultado de medida y;

92

- la aproximación lineal supuesta por la ley de propagación de la incertidumbre resulta adecuada (ver 5.1.2 y E. 3.1);

- la incertidumbre de uc(y) es razonablemente pequeña puesto que su número efectivo de grados de libertad eff es significativamente elevado, normalmente superior a 10.

En tales condiciones, puede suponerse que la distribución de probabilidad caracterizada por el resul-tado de medición y su incertidumbre estándar combinada es normal, en razón del Teorema del Límite Central; y uc(y) puede considerarse como una estimación razonablemente fiable de la desviación es-tándar de dicha distribución normal, en razón del valor significativamente alto de eff. Entonces, ba-sándose en la presentación hecha en este anexo, incluyendo la demostración de la naturaleza apro-ximada del proceso de evaluación de la incertidumbre y el hecho de que sería ilusorio pretender dis-tinguir entre intervalos con probabilidades de cobertura que difieran entre sí en un uno o un dos por ciento, puede hacerse lo siguiente:

tomar k = 2 y suponer que U = 2 uc(y) define un intervalo con una probabilidad de cobertura de apro-ximadamente un 95 %.

o, en aplicaciones más críticas,

tomar k = 3 y suponer que U = 3 uc(y) define un intervalo con un probabilidad de cobertura en torno a un 99 %.

Aunque esta aproximación debería ser adecuada para numerosas mediciones corrientes, sin embar-go, su aplicabilidad a una medición particular dependerá de lo que se aproxime k = 2 a t95(eff), ok = 3 a t99(eff); es decir, de lo cercano que esté a la probabilidad de cobertura del intervalo definido por U = 2 uc(y) o U = 3 uc(y) a un 95 % o a un 99 %, respectivamente. Aunque para eff = 11, k = 2 yk = 3 solamente subestiman t95 (11) y t99(11), en un 10 y un 4 por ciento, respectivamente, (ver tabla G.2), esto no es aceptable en ciertos casos. Además, para todos los valores de eff ligeramente su-periores a 13, k = 3 conduce a un intervalo con una probabilidad de cobertura superior al 99 % (Ver tabla G.2), que muestra también que para eff , las probabilidades de cobertura de los intervalos proporcionados por k = 2 y k = 3 son, respectivamente, del 95,45 y del 99,73 por ciento).Así, en la práctica, es el valor de eff, y el requerido para la incertidumbre expandida, los que determi-narán si puede utilizarse o no dicha aproximación.

Tabla G.2 – Valor de tp() de la distribución t, para v grados de libertad, que define un intervalo de –tp() a +tp(), que incluye la fracción

p de la distribución

Número de grados de li-bertad v

Fracción p, en tanto por ciento68,27(4) 90 95 95,45(a) 99 99,73(a)

Valor de tp()12345

1,841,321,201,141,11

6,312,922,352,132,02

12,714,303,182,782,57

13,974,533,312,872,65

63,669,925,844,604,03

235,8019,219,226,625,51

678910

1,091,081,071,061,05

1,941,891,861,831,81

2,452,362,312,262,23

2,522,432,372,322,28

3,713,503,363,253,17

4,904,534,284,093,96

1112131415

1,051,041,041,041,03

1,801,781,771,761,75

2,202,182,162,142,13

2,252,232,212,202,18

3,113,053,012,982,95

3,853,763,693,643,59

1617181920

1,031,031,031,031,03

1,751,741,731,731,72

2,122,112,102,092,09

2,172,162,152,142,13

2,922,902,882,862,85

3,543,513,483,453,42

2530354045

1,021,021,011,011,01

1,711,701,701,681,68

2,062,042,032,022,01

2,112,092,072,062,06

2,792,752,722,702,69

3,333,273,233,203,18

50100

1,011,0051,000

1,681,6601,645

2,011,9841,960

2,052,0252,000

2,682,6262,576

3,163,0773,000

(a) Para una magnitud z descrita por una distribución normal de esperanza matemática z y desviación estándar , el intervalo z k incluye respectivamente las fracciones p = 68,27 %, 95,45 % y 99,73 % de la distribución, para los valores k = 1,2 y 3.

94

Anexo H(Normativo)

Ejemplos

Este anexo presenta seis ejemplos, H.1 a H.6 tratados en forma detallada, a fin de ilustrar los principios básicos presentados en esta norma para la evaluación y expresión de la incertidumbre de la medición. Los ejemplos aportados en el cuerpo principal del documento y en alguno de los otros anexos, tratan de conseguir que los usuarios de la norma puedan aplicar estos principios en su propio trabajo.

Los ejemplos que son para un propósito ilustrativo fue necesario simplificarlos. Además dado que estos ejemplos y los datos numéricos correspondientes han sido escogidos principalmente para demostrar los principios de esta norma, no deben interpretarse necesariamente como mediciones reales. Los valores numéricos se utilizan tal como se presentan pero, para limitar los errores de redondeo, los cálculos intermedios se han realizado con un número de cifras significativas mayor que el que se muestra. En consecuencia el resultado final de un cálculo en que intervienen varias magnitudes, puede diferir ligeramente del resultado que se obtendría a partir de los valores numéricos dados en el texto para dichas magnitudes.

En capítulos anteriores de esta norma se ha indicado que la clasificación en Tipo A y Tipo B de los métodos utilizados para evaluar las componentes de la incertidumbre, es únicamente por conveniencia. Esta clasificación no es necesaria para determinar la incertidumbre estándar combinada o la expandida de un resultado de medición, debido a que todas las componentes de la incertidumbre son tratadas de la misma manera, cualquiera que sea la forma de obtención (ver 3.3.4, 5.1.2 y E.3.7). Así, en los ejemplos, el método utilizado para evaluar la incertidumbre no se identifica específicamente con el tipo de ésta. No obstante, la presentación muestra para discutir si una componente se ha obtenido mediante una evaluación de Tipo A o de Tipo B.

H.1 Calibración de bloques patrón longitudinales (galgas)

Este ejemplo demuestra que, incluso en una medición aparentemente sencilla, puede haber aspectos sutiles relacionados con la evaluación de la incertidumbre.

H.1.1 El problema de medición

La longitud de un bloque patrón longitudinal, de valor nominal 50 mm, se determina por comparación con otro bloque patrón conocido, de la misma longitud nominal. En la comparación de los dos bloques se obtiene directmente la diferencia d entre sus longitudes

d = l (1 + ) - ls(1 + ss)

donde

l es el mensurando; es decir, la longitud a 20C del bloque a calibrar;

ls es la longitud del bloque patrón a 20 C, dada en su certificado de calibración;

y s son, respectivamente, los coeficientes de dilatación térmica lineal del bloque en calibración y del bloque patrón;

y s son, respectivamente, las desviaciones respecto a la temperatura de referencia de 20 C, de las temperaturas del bloque de calibración y del bloque patrón.

H.1.2 El modelo matemático

Según la ecuación (H.1), el mesurando esta dado por

l = ls + d + ls(ss - ) + ... ...(H.2)

Si la diferencia de temperatura entre el bloque a calibrar y el bloque patrón está escrita como = - s, y la diferencia entre sus coeficientes de dilatación térmica lineal es = - s, la ecuación (H.2) se transforma en

l = f(ls, d, ls,s,, , )... (H.3)

l = ls + d - ls( · + s · )

Las diferncias y se suponen nulas, pero no así sus incertidumbres. Además, , s, y se suponen no correlacionadas (si el mensurando se expresa en función de las variables , s, y s, sería necesario incluir la correlación entre y s, y entre y s)

De la ecuación (H.3) se deduce que la estimación del valor del mensurando l puede obtenerse a partir de la expresión simple ls + d, donde ls es la longitud del patrón a 20 C, tal como figura en su

certificado de calibración, y d se estima por medio de , media aritmética de n = 5 observaciones repetidas e independientes. la incertidumbre estándar combinada uc(l) de l se obtiene aplicando la ecuación (H.3), tal como se analiza más adelante.

Nota. En este ejemplo y en los siguientes, para simplificar la notación, se utiliza el mismo símbolo para la magnitud y para su estimación.

H.1.3 Contribución de variancias

La tabla (H.1) resume las características principales de este ejemplo, tal como se presenta en este apartado y en los siguientes.

Debido a que se supone que = 0 y = 0, la aplicación de la ecuación (10) de 5.1.2 a la ecuación (h.3) da como resultado

...

(H.4)

con

96

y, en consecuencia,

Tabla H.1 – Resumen de las componentes de la incertidumbre estándar

Componente de la incerti-dumbre es-

tándaru(xi)

Fuente de incertidumbre

Valor de la incertidumbre estándar u(xi)

ui(l) ci u(xi)(nm)

Números de grados de

libertad

u(ls) Calibración del bloque patrón

25 nm 1 25 18

u(d)

u( )

u(dl)

u(d2)

Diferencia medida entre bloques

observaciones repetidasefectos aleatorios del comparadorefectos sitemáticos del comparador

9,7 nm

5,8 nm 3,9 nm

6,7 nm

1 9,7 25,6

24

5

8

u(s) Coeficiente de dilatación térmica del bloque patrón

1,2 x 10-6 ºC-1 0 0

u()

u( )

u()

Temperatura del banco de ensayo

temperatura media del banco de ensayo

variación cíclica de la temperatura ambiente en la sala de medición

0,41 C

0,2 C

0,35 C

0 0

u() Diferencia entre los coeficientes de dilatación de los bloques

0,58 x10-6 C-1 -ls 2,9 50

u() Diferencia de temperatura entre los bloques

0,029 C -lss 16,6 2

uc(l) = 32 nmeff (l) = 16

H.1.3.1 Incertidumbre debido a la calibración del patrón, u(ls)

El certificado de calibración da como incertidumbre expandida del patrón U = 0,075 m, precisando que ha sido obtenida utilizando un factor de cobertura k = 3. La incertidumbre estándar es entonces

u(ls) = (0,075 m)/3 = 25 nm

H.1.3.2 Incertidumbre de la diferencia de longitudes medida, u(d)

La desviación estándar ponderada experimental de una medida que caracterice la comparación de l y ls está basada en un conjunto de medidas, y se determinó a partir de la variabilidad de 25 observaciones repetidas e independientes de las diferencias de longitud entre dos bloques patrón longitudinales, habiéndose obtenido un valor de 13 nm. En la comparación del presente ejemplo, se han ealizado únicamente cinco repeticiones. Por lo tanto, la incertidumbre estándar asociada a la media aritmética de estas lecturas será (ver 4.2.4)

El certificado de calibración del comparador utilizado para comparar l con ls indica que su incertidumbre “debida a errores aleatorios” es de 0,01 m, con un nivel de confianza del 95 % sobre la base de 6 medidas repetidas; la incertidumbre estándar va a ser, utilizando el factor t para = 6 – 1 = 5 grados de libertad, t95(5) = 2,57 (ver anexo G, tabla 2)

u(d1) = (0,01 m)/2,57 = 3,9 nm

En el certificado se dice también que la incertidumbre del comporador “debida a errores sistemáticos” es de da a errores aleatorios” es de 0,02 m, para un “nivel tres sigma”. La incertidumbre estándar por esta causa es igual a

u(d2) = (0,02 m)/3 = 6,7 nm

La contribución total se obtiene mediante la suma de las variancias estimadas:

o

u(d) = 9,7 nm

H.1.3.3 Incertidumbre del coeficiente de dilatación térmica, u(s)

El coeficiente de dilatación térmica del bloque patrón está dado como s = 11,5 x 10-6 C-1 con una incertidumbre representada por una distribución rectangular de límites 2 x 10-6 C-1. La incertidumbre estándar es entonces [ver ecuación (7) de 4.2.7]

98

Como , como se indica en H.1.3, esta incertidumbre no aporta ninguna

contribución de primer orden a la incertidumbre de l. No obstante, existe una contribución de segundo orden, que se evalúa en H.1.7.

H.1.3.4 Incertidumbre de la desviación de la temperatura del bloque patrón, u()

La temperatura del banco de ensayo está dada como (19,9 0,5) C, no habiendo quedada registrada la temperatura durante las observaciones individuales. La desviación máxima observada, = 0,5 C, representa la amplitud de una variación apróximadamente cíclica de la temperatura en un sistema termostatizado, y no la incertidumbre de la temperatura media. El valor de la desviación media de temperatura es

y posee una incertidumbre estándar debida a la incertidumbre de la temperatura media del banco de ensayo de

u( ) = 0,2 C

mientras que la variación cíclica en función del tiempo sugiere una distribución de temperatura en forma de U (arco seno), cuya incertidumbre estándar es

La desviación de temperatura puede tomarse igual a , y la incertidumbre estándar de se obtiene a partir de

lo que da como resultado

Como , según se indica en H.1.3, esta incertidumbre no contribuye en modo alguno a la incertidumbre de l de primer orden, aunque si aporta una contribución de segundo orden, que se evalúa en H.1.7.

H.1.3.5 Incertidumbre de la diferencia entre los coeficientes de dilatación, u()

La variabilidad estimada de es de 1 x 10-6 C-1, con idéntica probabilidad que posea cualquier valor comprendido entre estos límites. La incertidumbre estándar es

H.1.3.6 Incertidumbre de la diferencia de temperatura entre bloques, u()

El bloque patrón y el bloque en calibración se supone que están a la misma temperatura, pero puede existir una diferencia de temperatura entre ambos que esté comprendida con igual probabilidad, con igual probabilidad, en el intervalo de –0,05 C a + 0,5 C.

La incertidumbre estándar es entonces

H.1.4 Incertidumbre estándar combinada

La incertidumbre estándar combinada uc(l) se calcula a partir de la ecuación (H.5). Los términos individuales son sustiutídos en la expresión obteniendo

...(H.6a)

...(H.6.b)

o

uc(l) = 32 nm ...(H.6c)

La componente dominante de la incertidumbre es claramente la del patrón, u(ls) = 25 nm.

H.1.5 Resultado final

El certificado de calibración del bloque patrón da ls = 50,000 623 mm como longitud a 20 C. La media aritmética de cinco observaciones repetidas de la diferencia de longitud entre el bloque desconocido y el bloque patrón es 215 nm. Como l = ls + (ver H.1.2), la longitud l del bloque desconocido, a 20 C, es 50,000 838 mm. De acuerdo con 7.2.2, el resultado final de la medición puede enunciarse en la forma:

l = 50,00 838 mm, con una incertidumbre estándar combinada relativa correspondiente es uc/l = 6,4 x 10-7.

H.1.6 La incertidumbre expandida

Supongamos que se requiere obtener una incertidumbre expandida U99 = k99 uc(l) que proporcione un intervalo correspondiente a una probabilidad de cobertura de un 99 % aproximadamente.. El procedi-miento a utilizar es el resumido en G.6.4, y el número de grados de libertad necesario está indicado en la tabla H.1. se obtiene lo siguiente:

1) Incertidumbre de la calibración del patrón, u(ls) [H.1.3.1]. El certificado de calibración específica que el número efectivo de grados de libertad de la incertidumbre estándar combinada, que ha permitido obtener la incertidumbre expandida que se indica en eff(ls) = 18.

2) Incertidumbre de la diferencia de longitudes medida, u(d) [H.1.3.2]. Aunque se ha obtenido a partir de cinco observaciones repetidas, como u( ) se obtuvo de un desvío estándar ponderado experimental basado en un conjunto de 25 observaciones, el número de grados de libertad de u(

) es ( ) = 25 – 1 = 24 (ver nota en H.3.6). El número de grados de libertad de u(d1), incertidum-bre debida a los efectos aleatorios sobre el comparador, es (d1) = 6 – 1 = 5, puesto que d1 se ob-

100

tuvo a partir de 6 mediciones repetidas. La incetidumbre de 0,02 m por efectos sistemáticos sobre el comparador puede asumirse con una confiabilidad de un 25 %, resultando entonces, a partir de la ecuación G.3) de G.4.2, que el número de grados de libertad es (d2) = 8 (ver el ejem-plo en G.4.2). El número efectivo de grados de libertad de u(d), eff(d), se obtiene a partir de la ecuacuón (G.2b) en G.4.1:

3) Incertidumbre de la diferencia de coeficientes de dilatación, u() [H.1.3.5]. Los límites estimados, 1 x 10-6 C-1, sobre la variabilidad de se considera con una confiabilidad del 10 %. Esto da, a partir de la ecuación (G.3) en G.4.2, () = 50.

4) Incertidumbre de la diferencia entre las temperaturas de los bloques, u() [H.1.3.6].El intervalo estimado, de –0,05 C a +0,05 C, para la diferencia de temperatura se supone con una confiabilidad de un 50 %, lo que da, a partir de loa ecuación (G.3) en G.4.2, () = 2.

El cálculo de eff(l) a partir de la ecuación (G.2b) de G.4.1 se realiza exactamente igual que el cálculo de eff(d) realizado anteriormente en 2). Así, a partir de las ecuaciones (H.6b) y (H.6c), y de los valo-res de dados de 1) a 4).

Para obtener la incertidumbre expandida requerida, se redondea primeramente este valor al número entero inmediatamente inferior eff(l) = 16. De aquí, según la tabla G.2 del anexo G, t99(16) = 2,92, y U99 = t99(16) uc(l) = 2,92 x (32 nm) = 93 nm. Según 7.2.4, el resultado final de la medición puede enunciarse como sigue:

l = (50,000 838 0,000 093) mm, donde el número que sigue al símbolo es el valor numérico de una incertidumbre expandida U = k uc, con U determinada a partir de una incertidumbre estándar combinada uc = 32 nm y un factor de cobertura k = 2,92 basado en una distribución t con 16 grados de libertad, y donde esa incertidumbre define un intervalo con una probabilidad de cobertura del 99 %. La correspondiente incertidumbre expandida relativa es U/l = 1,9 x 10-6.

H.1.7 Términos de segundo orden

La nota en 5.1.2 precisa que la ecuación (10), utilizada en este ejemplo para obtener la incertidumbre estándar combinada uc(l), debe completarse cuando la no linealidad de la función Y =f(X1, X2, ..., XN) es suficientemente significativa y no pueden despreciarse los términos de mayor grado en el desarro-llo en serie de Taylor.

Este es el caso del ejemplo, donde resulta que la evaluación de uc(l) mostrada hasta ahora no es completa. Aplicando la expresión dada en la nota de 5.1.2 a la ecuación (H.3), se obtienen dos térmi-nos de segundo orden, distintos, no despreciables, que es necesario añadir a la ecuación (H.5). Es-tos términos, que provienen del término cuadrático en la expresión de la nota señalada, son

Aunque solamente el primero de ellos contribuye significativamente a uc(l):

= (0,05 m)(0,58 x 10-6 C-1)(0,41 C) = 11,7 nm

= (0,05 m) (1,2 x 10-6 C-1)(0,029 C) = 1,7 nm

Los términos de segundo orden hacen aumentar uc(l) de 32 nm a 34 nm.

H.2 Medición simultánea de un resistor y de una reactancia

Este ejemplo demuestra el tratamiento de múltiples mensurandos o magnitudes de salida, determinadas simultáneamente en la misma medición, y la correlación de sus estimaciones. Solamente se consideran las variaciones aleatorias de las observaciones; en la práctica real, la incertidumbre de las correcciones debido a efectos sistemáticos deberían contribuir también a la incertidumbre de los resultados de la medición. Los datos se analizan de dos maneras diferentes, conduciendo esencialmente a los mismos valores numéricos.


La resistor R y la reactancia X de un elemento de un circuito se determinan midiendo la amplitud V de la diferencia de potencial alterna sinusoidal entre sus bornes, la intensidad de corriente alterna I que lo atraviesa, y el desfase entre la diferencia de potencial y la corriente alterna.

Así resulta que las tres magnitudes de entrada son V, I y , mientras que las magnitudes de salida – los mensurandos – son los tres componentes de la impedancia R, X y Z. Como Z2 = R2 + X2, solo hay dos magnitudes de salida independientes.

H.2.2 El modelo matemático y los datos

Los mesurandos se relacionan con las magnitudes de entrada por la ley de Ohm:

cos ; sen ; ... (H7)

Se considera que se han obtenido cinco grupos independientes de observaciones simultáneas sobre las tres magnitudes de entrada V, I, y , en condiciones similares (ver B.2.15), de donde resultan los datos que se presentan en la tabla H.2. La tabla también muestra las medias aritméticas de las observaciones y las desviaciónes estándar experimentales de estas medias, calculadas a partir de las ecuaciones (3) y (5) en 4.2. Las medias se toman como los mejores estimadores de los valores

102

esperados de las magnitudes de entrada, y los desvíos estándar experimentales son las incertidumbres estándar de estas medias.

Como las medias se han obtenido a partir de observaciones simultáneas, están correlacionadas, y deben tenerse en cuenta estas correlaciones en la evaluación de las incertidumbres estándar de los mensurandos, R, X, y Z. Los coeficientes de correlación necesarios se obtienen fácilmente a partir de la ecuación (14) en 5.2.2, utilizando los valores de ,

, , calculados a partir la ecuación (17) en 5.2.3. Los resultados se incluyen en la

tabla H.2, donde se debería recordar que y

H.2.3 Resultados: aproximación 1

La aproximación 1 se resume en la Tabla H.3.

Los valores de estos tres mensurandos R, X, y Z se obtienen de las relaciones dadas en las fórmulas (H.7) usando los valores de las medias dados en la tabla H.2 para V, I, y . Las incertidumbres estándares de R, X, y Z se obtienen a partir de la ecuación (16) en 5.2.2, ya que, como se indicó anteriormente, las magnitudes de entrada , están correlacionadas. Por ejemplo, se considera . Identificando a V con xi, a I con x2, y a f con , la fórmula (16) en 5.2.2 resulta, para la incertidumbre estándar combinada de Z

... (H.8a)

... (H.8b)

ó

... (H.8c)

donde , y el subíndice “r” en la última expresión indica que u es la incertidumbre relativa. Luego la sustitución de los valores apropiados de la Tabla H.2 en la ecuación (H.8a) se obtiene uc(Z) = 0,236 .

Debido a que los tres mesurandos o magnitudes de salida dependen de las mismas magnitudes de entrada, ellos también se correlacionan. Los elementos de la matriz covariancia que describe esta correlación, puede escribirse como

... (H.9)

donde y . La fórmula (H.9) es una generalización de la ecuación (F.2) de F.1.2.3 cuando los ql en esa expresión se correlacionan. Los coeficientes de

correlación estimados de las magnitudes de salida están dados por , como se

indica en la ecuación (14) en 5.2.2. Si se admite que los elementos de la diagonal de la matriz

covariancia, u (yl , yl ) = u2 (yl ), son las variancias estimadas de las magnitudes de salida yl (ver 5.2.2, nota 2) y que m = l, la ecuación (H.9) es idéntica a la ecuación (16) en 5.2.2.

Para aplicar la fórmula (H.9) a este ejemplo, deben realizarse las siguientes identificaciones:

y1 = R x1 = u(xi) = s(xi)

y2 = X x2 = N = 3

y3 = Z x3 =

Los resultados de los cálculos de R, X, Z y de las estimaciones de sus variancias y los coeficientes de correlación se dan en la Tabla H.3.

H.2.4 Resultados: aproximación 2

La aproximación 2 se resume en la tabla H.4. Como los datos que se han obtenido de los cinco grupos de observaciones de las tres magnitudes de entrada V, I, y , entonces es posible calcular un valor de R, X y Z para cada conjunto de datos de entrada, y tomar la media aritmética de los cinco valores individuales para obtener las mejores estimaciones de R, X y Z. La desviación estándar experimental de cada media (que es su incertidumbre estándar combinada) se calcula a partir de los cinco valores individuales, de la forma habitual [ecuación (5) en 4.2.3]; y las covariancias estimadas de las tres medias se calculan aplicacando la ecuación (17) en 5.2.3 directamente a los cinco valores individuales que se utilizaron para el cálculo de la media. No hay diferencias en los valores de salida, las incertidumbres estándar, y las covariancias estimadas, proporcionadas por ambas aproximaciones, excepto en los efectos de segundo orden, debido a que los términos y cos aparecen reemplazados por y .

Para demostrar esta segunda aproximación, la tabla H.4 presenta los valores de R, X y Z calculados para cada uno de los cinco grupos de observaciones. Las medias aritméticas, las incertidumbres estándar, y los coeficientes de correlación estimados se calculan directamente a partir de los valores individuales. La diferencia entre los valores numéricos obtenidos de esta forma y los dados en la Tabla H.3 es despreciable.

Según la terminología de la nota en 4.1.4, la aproximación 2 es un ejemplo de obtención de la

estimación de y, a partir de , mientras que la aproximación 1 es un ejemplo de la

obtención de y a partir de . Como se detalla en la nota, las dos aproximaciones darán en general resultados idénticos, siempre que f sea una función lineal de sus magnitudes de entrada (con la condición que al aplicar la aproximación 1 se tengan en cuenta los coeficientes de la correlación observados experimentalmente). Si f no es una función lineal, los resultados de la aproximación 1 diferirán de los de la aproximación 2, dependiendo del grado de no linealidad y de las variancias y covariacias estimadas de Xi Esto puede comprobarse en la expresión

...(H.10)

donde el segundo término de la derecha de la ecuación es el término de segundo orden del desarrollo en serie de Taylor de f en función de las (ver también la nota en 5.1.2). En el caso

presente, es preferible la aproximación 2 debido a que evita la aproximación y refleja mejor el procedimiento de medición utilizado, ya que los datos se han colectados en grupo.

104

Por otro lado, la aproximación 2 sería inapropiada si los datos de la tabla H.2 representan n1 = 5 observaciones de la diferencia de potencial V, seguido por n2 = 5 valores de las observaciones de la corriente I, y luego seguido por n3 = 5 valores de las observaciones del ángulo de fase , y sería imposible si n1 n2 n3. (Se trata de un procedimiento pobre de medición, ya que la diferencia de potencial y la corriente están directamente relacionadas entre sí, para una impedancia determinada)

Si los datos de la Tabla 2 se reinterpretan de esta forma, es decir que la aproximación 2 es inapropiada, y si las correlaciones entre las magnitudes V, I, y se suponen inexistente, entonces los coeficientes de correlación observados carecen de significado y deben tomarse igual a cero. Si se realiza esto en la tabla H.2, la ecuación (H.9) se reduce a una expresión equivalente a la ecuación (F.2) en F.1.2.3, es decir,

...(H.11)

y su aplicación a los datos de la tabla H.2 da lugar a las modificaciones en la tabla H.3, que se muestran en la tabla H.5.

Tabla H.2 - Valores de las magnitudes de entrada V, I y obtenidos de cinco gruposde observaciones simultáneas

Número de grupo

k

Magnitudes de entrada

V

(V)

I

(mA)

(rad)

1

2

3

4

5

5,007

4,994

5,005

4,990

4,999

19,663

19,639

19,640

19,685

19,678

1,0456

1,0438

1,0468

1,0428

1,0433

Media aritmética = 4,9990 = 19,6610 = 1,044 46

Desviación estándar experimental del método

= 0,0032 = 0,0095 = 0,000 75

Coeficiente de correlación

= -0,36

= 0,86

= -0,65

Tabla H.3 - Valores calculados de las magnitudes de salida R, X y Z: aproximación 1

Índice de mesurando

I

Relación entre la estimación del mesurando yl y la estimación de entrada xl

Valor de estimación yl, (resultado de la medición)

Incertidumbre estándar combinado uc (yl) del resultado de la medición

1 y1 = R = cos y1 = R = 127,732 uc (R) = 0,071

uc (R) / R = 0,06 x 10-2

2 y2 = X = sen y2 = X = 219,847 uc (X) = 0,295

uc (X) / X = 0,13 x 10-2

3 y3 = Z = y3 = Z = 254,260 uc (Z) = 0,236

uc (Z) / Z = 0,09 x 10-2

Coeficientes de correlación r (yl, ym)

r (y1, y2) = r (R, X) = -0,588

r (y1, y3) = r (R, Z) = -0,485

r (y2, y3) = r (X, Z) = 0,993

106

Tabla H.4 - Valores calculados de las magnitudes de salida R, X y Z: aproximación 2

Número de grupo

k

Valores individuales del mesurando

R = (V/I ) cos

()

X = (V/I ) sen

()

Z = V/I

()

1

2

3

4

5

127,67

127,89

127,51

127,71

127,88

220,32

219,79

220,64

218,97

219,51

254,64

254,29

254,84

253,49

254,04

Media aritmética y1 = = 127,732 y2 = = 219,847 y3 = = 254,260

Desviación estándar experimental de la

media = 0,071 = 0,295 = 0,236

Coeficiente de correlación

r (y1, y2) = = -0,588

r (y1, y3) = = -0,485

r (y2, y3) = = 0,993

Tabla H.5 – Modificaciones en la tabla H.3, con la hipótesis de que los coeficientes de correlación de los valores de la tabla H.2 son nulos

Incertidumbre estándar combinada de los resultados de la medición uc (yl)

uc (R) = 0,195

uc (R) / R = 0,15 x 10-2

uc (X) = 0,201

uc (X) / X = 0,09 x 10-2

uc (Z) = 0,204

uc (Z) / Z = 0,08 x 10-2

Coeficientes de correlación r (yl, ym)

r(y1, y2) = r(R, X) = 0,056

r(y1, y3) = r(R, Z) = 0,527

r(y2, y3) = r(X, Z) = 0,878

H.3 Calibración de un termómetro

Este ejemplo ilustra la utilización del método de los cuadrados mínimos para obtener una curva de calibración lineal (recta en este caso), y la forma en que los parámetros de ajuste, pendiente y orde-nada al origen, y sus variancias y covariancias estimadas, se utilizan para obtener, a partir de la rec-ta, el valor de una corrección dada y la incertidumbre estándar de una corrección dada.


Un termómetro se calibra mediante comparación de n = 11 lecturas de temperatura tk, cada una de ellas de incertidumbre despreciable, con las correspondientes temperaturas de referencia tR,k

conocidas, en el rango de temperaturas de 21 C a 27 C, obteniéndose correcciones bk = tR,k – tk a aplicar a las lecturas. Las correcciones medidas bk y las temperaturas medidas tk son las magnitudes de entrada de la evaluación. Una curva de calibración lineal

b(t) = y1 + y2 (t – t0) ... (H.12)

es ajustada por el método de los cuadrados mínimos a las correcciones y temperaturas medidas. Los parámetros y1 e y2, que representan respectivamente la ordenada al origen y la pendiente de la recta de calibración, son los mensurandos o magnitudes de salida a determinar. La temperatura t0 es una temperatura exacta de referencia, escogida convenientemente; no se trata de un parámetro independiente que vaya a determinarse mediante el ajuste por cuadrados mínimos. Una vez que se determinan y1 e y2, así como sus variancias y covariancias estimadas, la ecuación (H.12) puede utilizarse para predecir el valor y la incertidumbre estándar de la corrección a aplicar al termómetro, para cualquier valor t de temperatura.

H.3.2 Ajuste por el método de cuadrados mínimos

Basándose en el método de los cuadrados mínimos y en las hipótesis hechas en H.3.1, las magnitudes de salida y1 e y2, y sus variancias y covariancias estimadas, se obtienen minimizando la suma

lo que conduce a las siguiente ecuaciones y1 e y2 para sus variancias experimentales s2(y1) y s2(y2) y para sus coeficientes de correlación estimado r(y1, y2) = s(y1, y2) / s(y1) s(y2), donde s(y1, y2) es su covariancia estimada:

...(H.13a)

...(H.13b)

..(H.13c)

..(H.13d)

108

...(H.13e)

...(H.13f)

...(H.13g)

donde todas las sumatorias van desde k = 1 hasta n, siendo k = tk – t0, y ;

[bk – b(tk)] es la diferencia entre la corrección medida u observada bk a la temperatura tk y la corrección b(tk) predicha por la recta ajustada, de ecuación b(t) = y1 + y2 (t – t0), para tk. La variancia s2 es una medida de la incertidumbre total del ajuste, y el factor n – 2 refleja el hecho de que los parámetros y1 e y2 se determinan a partir de n observaciones y que, en consecuencia, el número de grados de libertad de s2 es = n – 2 (ver G.3.3).

H.3.3 Obtención de los resultados

Los datos a ajustar se muestran en la segunda y tercera columnas de la tabla H.6. Tomandot0 = 20 C como temperatura de referencia, la aplicación de las ecuaciones (H.13a) a (H.13g) da

y1 = - 0,171 2 C s(y1) = 0,002 9 Cy2 = 0,002 18 s(y2) = 0,000 67r(y1, y2) = - 0,930 s = 0,003 5 C

El hecho que la pendiente y2 sea más de tres veces mayor que su incertidumbre justifica la elección de una recta de calibración mejor y que no se requiere una corrección media fija.

Tabla H.6 - Datos utilizados para obtener una recta de calibración para un termómetro, porel método de los cuadrados mínimos

Lectura número

k

Lectura del termómetro

tk

(C)

Corrección observada

bk = tR,k – tk

(C)

Corrección predicha

b(tk)(C)

Diferencias entre las correcciones observadas y

las predichasbk – b(tk)

(C)123456789

1011

21,52122,01222,51223,00323,50723,99924,51325,00225,50326,01026,511

-0,171-0,169-0,166-0,159-0,164-0,165-0,156-0,157-0,159-0,161-0,160

-0,1679-0,1668-0,1657-0,1646-0,1635-0,1625-0,1614-0,1603-0,1592-0,1581-0,1570

-0,0031-0,0022-0,0003+0,0056-0,0005-0,0025+0,0054+0,0033+0,0002-0,0029-0,0030

La función lineal que corresponde a la recta de calibración se puede escribir como

b(t) = - 0,1712(29) C + 0,002 18(67) (t – 20 C) ... (H.14)

donde las cifras entre paréntesis son las incertidumbres estándar de los valores numéricos inmediatamente precedentes, correspondientes a los últimos dígitos (ver 7.2.2). Esta ecuación proporciona el valor predicho de la corrección b(t) para cualquier temperatura t y, en particular, el valor b(tk) parat = tk. Estos valores aparecen en la cuarta columna de la tabla, mientras que las última columna presenta las diferencias entre los valores medidos y los valores predichos, bk – b(tk). Un análisis de estas diferencias se puede utilizar para verificar la validez del modelo lineal; existen tests de verificación con este objeto [ver referencia (8)], aunque no se consideran en este ejemplo.

H.3.4 Incertidumbre de un valor predeterminado

La expresión de la incertidumbre estándar combinada del valor predeterminado de una corrección puede obtenerse fácilmente aplicando la ley de propagación de la incertidumbre, ecuación (16) en 5.2.2, a la ecuación (H.12). Sabiendo que b(t) = f(y1, y2) y escribiendo u(y1) = s(y1) y u(y2) = s(y2), se obtiene

...(H.15)

La variancia estimada presenta un mínimo en tmin = t0 – u(y1)r(y1, y2)/u(y2) , que en el presente caso da tmin = 24,008 5 C.

Como un ejemplo del uso de la ecuación (H.15), supongamos que se requiere calcular la corrección del termómetro, y su incertidumbre para t = 30 C, valor que se sitúa fuera del campo de temperaturas en que se calibró el termómetro. Sustiyendo t = 30 C en la acuación (H.14), se obtiene

b(30 C) = -0,149 4 C

110

mientras que la ecuación (H.15) se convierte en

= 17,1 x 10-6 C2

o

La corrección a 30 C es –0,1494 C, con una incertidumbre estándar combinada uc = 0,004 1 C, que tiene = n – 2 = 9 grados de libertad.

H.3.5 Eliminación de la correlación entre la pendiente y la ordenada

En la ecuación (H.13e) para el cálculo del coeficiente de correlación r(y1, y2), si t0 se escoge de tal

forma que , entonces r(y1, y2) = 0, por lo que no están correlacionadas

y1 e y2, simplificándose así el cálculo de la incertidumbre estándar de una corrección dada. Como

, cuando t0 = , y en el presente ejemplo = 24,008 5 C, si se repite el

ajuste por cuadrado mínimos con t0 = 24,008 5 C, se obtendrán los valores no correlacionados de y1 e y2 (La temeperatura es también aquella en la que u2[b(t)] presenta un mínimo – ver H.3.4). No obstante, no es necesario repetir el ajuste puesto que puede demostrarse que

b(t) = y1’ + y2 (t – ) ... (H.16a)

...(H.16b)

r(y1’, y2) = 0 ...(H.16c)

donde

y1’ = y1 + y2( - t0)

= t0 – s(y1) r(y1, y2)/ s(y2) s2(y1’) = s2(y1)[1 – r2(y1, y2)]

y donde al escribir la ecuación (H.16b) se hacen sustituciones u(y1’) = s(y1’) y u(y2) = s(y2) [ver ecuación (H.15)]. La aplicación de estas relaciones a los resultados obtenidos en H.3.3, se obtiene

b(t) = -0,162 5(11) + 0,002 18(67) (t – 24,008 5 C) ... (H.17a)

...(H.17b)

Puede comprobarse cómo estas ecuaciones dan los mismos resultados que las ecuaciones (H.14) y (H.15); repitiendo el cálculo para b(30 C) y uc[b(30 C)]. En efecto, sustituyendo t = 30 ºC en las ecuaciones (H.17a) y (H.17b) se obtiene

b(30 C) = -0,149 4 C uc[b(30 C)] = 0,004 1 C

resultados idénticos a los obtenidos en H.3.4. La covariancia estimada entre dos correcciones predichas b(t1) y b(t2) puede obtenerse a partir de la ecuación (H.9) en H.2.3.

H.3.6 Otras consideraciones

El método de los cuadrados mínimos puede utilizarse para ajustar curvas de mayor grado a puntos experimentales, y también es aplicable a los casos en que los datos individuales poseen sus propias incertidumbres. Para más detalles debe consultarse la bibliografía clásica existente sobre el tema [8]. No obstante, los siguientes ejemplos ilustran dos casos en que las correcciones medidas bk no se suponen conocidas con exactitud.

1) Supongamos que cada tk tiene una incertidumbre despreciable, que cada uno de los n valores tR,k

se ha obtenido a partir de una serie de m lecturas repetidas, y que la variancia ponderada de estas lecturas, estimadas a partir de una gran cantidad de datos, obtenidos durante un período de varios meses es . La variancia estimada de cada tR,k será /m = y cada corrección observada bk = tR,k – tk tiene la misma incertidumbre estándar u0. Bajo estas cirscunstancia (y con las hipótesis de que no existe ninguna razón para creer que el modelo lineal sea incorrecto), reemplaza a s2 en las ecuaciones (H.13c) y (H.13d).

Nota. Una estimación ponderada de la variancia , basada en un conjunto de N series de observaciones independientes

de la misma variable aleatoria, se obtiene a partir de

donde es la variancia experimental de la i-ésima serie de ni observaciones repetidas e independientes [ecuación (4) en

4.2.2] con un número de grados de libertad i = ni – 1. El número de grados de libertad de es .

La variancia experimental /m (y la desviación estándar experimental sp/ ) de la media aritmética de m observaciones

independientes caracterizadas por la estimación ponderada de la variancia , establecida a partir de un conjunto de datos,

tiene también grados de libertad.

2) Supongamos que cada tk tiene una incertidumbre despreciable, y que a cada uno de los n valores de tR,k se le aplica una corrección k, y que cada corrección tiene la misma incertidumbre estándar ua. Entonces, la incertidumbre estándar de cada bk = tR,k – tk es también ua y s2(y1) es reemplazada por s2(y1) + , y s2(y1’) es reemplazada por s2(y1’) +

H.4 Medición de actividad radiactiva

Este ejemplo es similar al ejemplo H.2, medición simultánea de resistencia y reactancia, en cuanto que los datos pueden analizarse de dos formas distintas, ambas dando prácticamente el mismo re-sultado numérico. La primera aproximación ilustra una vez más la necesidad de tener en cuenta las correlaciones observadas entre las magnitudes de entrada.

112


La concentración desconcida de la actividad de radón (222Rn) en una muestra de agua se determina mediante conteo del centelleo líquido en comparación con una muestra patrón de radón en agua, de actividad conocida. La concentración desconocida se obtiene midiendo tres fuentes de conteo consistentes en frascos de 22 ml de volumen conteniendo aproximadamente 5 g de agua y 12 g de centelleador en emulsión orgánica:

Fuente (a) patrón consistente en una masa ms de solución patrón, de actividad conocida;

Fuente (b) blanco; muestra de agua idéntica pero no conteniendo sustancia radiactiva alguna, utilizada para obtener el conteo del ruido de fondo;

Fuente (c) muestra consistente en una parte alícuota (proporcional al total) de masa mx, de actividad desconocida.

Se realizan seis ciclos de medición sobre las tres fuentes, en el orden patrón- blanco – muestra; la duración del conteo T0 para cada fuente, corregida por tiempos muertos, es de 60 minutos para cada uno de los seis ciclos. Aunque el conteo del ruido de fondo no puede suponerse constante en la duración total del conteo (65 horas), sin embargo se supone que el número de cuentas obtenido para cada blanco es representativo del ruido de fondo existente durante las mediciones del patrón y de la muestra, dentro del mismo ciclo. Los datos obtenidos se presentan en la tabla H.7, donde

ts, tB, tx son los tiempos desde el instante de referencia t = 0 hasta el punto medio de los intervalos de conteo, corregidas por tiempo muerto, T0 = 60 min, para los frascos patrón, blanco y muestra, respectivamente; el valor de tB se da para completar la información, ya que no es necesario para el análisis;

Cs, CB, Cx son los números de cuentas registradas durante los intervalos de conteo, corregidos por tiempos muertos, T0 = 60 min, para los frascos patrón, blanco y muestra, respectivamente.

Tabla H.7 – Datos de cuenteo para determinar la concentración de actividad de una muestra desconocida

Ciclo Patrón Blanco Muestra

kts

(min)Cs

(cuentas)tB

(min)CB

(cuentas)tx

(min)Cx

(cuentas)1 243,74 15 380 305,56 4054 367,37 41 4322 984,53 14 978 1046,10 3922 1107,66 38 7063 1723,87 14 394 1785,43 4200 1846,99 35 8604 2463,17 13 254 2524,73 3830 2586,28 32 2385 3217,56 12 516 3279,12 3956 3340,68 29 6406 3956,83 11 058 4018,38 3980 4079,94 26 356

El número de cuentas observado puede expresarse como

... (H.18a)

... (H.18b)

donde

es la eficiencia de detección del líquido centelleador para 222Rn, para una composición de fuente dada, suponiendo que dicha eficiencia es independiente del nivel de actividad;

AS es la concentración de actividad del patrón en el instante de referencia t = 0;

Ax es el mensurando, definido como la concentración de actividad desconocida de la muestra en el tiempo de referencia t = 0;

mS es la masa de la solución patrón;

mx es la masa de la alícuota de la muestra;

es la constante de desintegración para el 222Rn: = (ln 2)/ T1/2 = 1,258 94 x 10-4 min-1 (T1/2 = 5505, 8 min)

Las ecuaciones (H.19a) y (H.18b) indican que no es posible realizar directamente el promedio de los seis valores individuales de Cs o de Cx dados enla tabla H.7, debido al decaimiento exponencial de la actividad del patrón y de la muestra, y a pequeñas variaciones en el conteo del ruido de fondo, de un ciclo a otro. En lugar de esto, deben utilizarse los conteos corregidos por decaimiento y ruido de fondo corregido (o los conteos definidos como el número de cuentas dividido por T0 = 60 min), lo que supone combinar las ecuaciones (H.18a) y (H.18b) para obtener la siguiente expresión para la concentración de actividad desconocida, en función de las magnitudes conocidas:

Ax = f(As, ms, mx, Cs, Cx, CB, tS, tx, )

donde y son los conteos corregidos por ruido de fondo, para la

muestra y para el patrón, respectivamente, en el instante de referencia t = 0, y en el intervalo de tiempo T0 = 60 min. Alternativamente, puede escribirse simplemente

Ax = f(As, ms, mx, Rs, Rx,)

...(H.20)

donde los conteos Rx y RS, corregidos por ruido de fondo y decaimiento, están dados por

Rx = ... (H.21a)

RS = ... (H.21b)

114

H.4.2 Análisis de los datos

La tabla H.8 resume los valores de conteo RS y Rx corregidos por ruido de fondo y decaimiento, obtenidos a partir de las ecuaciones (H.21a) y H. 21b), utilizando los datos de la tabla H.7, con = 1,258 94 x 10-4 min-1, tal como se indicó anteriormente. Debe notarse que la relación R = Rx / RS se calcula más fácilmente a partir de la expresión

Tabla H.8. Cálculo de conteos corregidos por decaimiento y ruido de fondo

Ciclok

Rx

(min-1)RS

(min-1)tx – tS

(min-1)R = RX/RS

123456

652,46666,48665,80655,68651,87623,31

194,65208,58211,08241,17213,92194,13

123,63123,13123,12123,11123,12123,11

3,35203,19533,15433,06153,04733,2107

= 652,60

s( ) = 6,42

s( )/ = 0,98 x 10-2

= 206,09

s( ) = 3,79

s( )/ = 1,84 x 10-2

= 3,170s( ) = 0,046s( )/ = 1,44 x 10-2

/ = 3,167

u( / ) = 0,045

u( / )/( / ) = 1,42 x 10-2

Coeficiente de correlaciónr( , ) = 0,646

Las medias aritméticas , y , así como sus desviaciones estándar experimentales s( ), s( ) y s( ), se calculan de la forma habitual [ecuaciones (3) y (5) en 4.2]. El coeficiente de correlación r(

, ) se calcula a partir de la ecuación (17) en 5.2.3 y de la acuación (14) en 5.2.2.

Debido a la variabilidad relativamente pequeña de los valores de Rx y RS, el cociente de medias, /

y la incertidumbre estándar de este cociente, u( / ), son muy cercanos al cociente medio, y a su desviación estándar experimental s( ) respectivamente, tal como se detalla en la última columna de la tabla H.8 [ver H.2.4 y la ecuación (H.10) de este anexo]. No obstante, para el cálculo de la incertidumbre estándar u( / ), debe tenerse en cuenta la correlación entre y ,

representada por el coeficiente de correlación r( , ), utilizando la ecuación (16) en 5.2.2. [Esta ecuación proporciona los tres últimos términos de la ecuación (H.22b) para el cálculo de la variancia relativa estimada de / ].

Se debe reconocer que las desviaciones estándar experimentales de Rx y RS, s( ) y s( ), indican una variabilidad de estas magnitudes que es dos a tres veces superior a la derivada de la estadística de Poisson respecto al proceso de conteo; esta última está incluida en la variabilidad observada en los conteos y no necesita ser considerada por separado.

H.4.3 Obtención de los resultados finales

Para obtener la concentración desconocida de la actividad Ax y su incertidumbre estándar combinada uc(Ax) a partir de la ecuación (H.20), es necesario conocer AS, mx y ms, así como sus incertidumbres estándar. A continuación se dan los valores:

AS = 0,136 8 Bq/gu(AS) = 0,001 8 Bq/g; u(AS)/ AS = 1,32 x 10-2

ms = 5,019 2 gu(ms) = 0,005 g; u(mx)/ms = 0,10 x 10-2

mx = 5,019 2 gu(ms) = 0,005 g; u(mx)/ms = 0,10 x 10-2

Otras fuentes de incertidumbres que son consideradas como despreciables son:

- la incertidumbre estándar de los tiempos de decaimiento, u(tS,k) y u(tx,k);

- la incertidumbre estándar de la constante de desintegración del 222Rn, u() = 1 x 10-7 min-1. (La magnitud significativa es el factor de decaimiento, exp[(tx – ts], el cual varía entre 1,015 63, para los cilcos k = 4 y 6, y 1,015 70, para el ciclo k = 1. La incertidumbre estándar de esos valores esu = 1,2 x 10-5);

- la incertidumbre asociada a la posible dependencia de la eficiencia de detección del contador de centelleo y la fuente utilizada (patrón, blanco y muestra).

- la incertidumbre de la corrección por tiempo muerto del contador, y de la corrección por dependencia entre el rendimineto de conteo y el nivel de actividad.

H.4.3.1 Resultados: aproximación 1

Como se indicó anteriormente, Ax y uc(Ax) pueden obtenerse de dos forma diferente a partir de la ecuación (H.20). Mediante la primera aproximación Ax se calcula utilizando las medias aritméticas

y , lo que conduce a

= 0,430 08 Bq/g ...(H.22a)

La aplicación de la ecuación (16) en 5.2.2 a esta expresión da, para la variancia combinada

... (H.22b)

donde, como se indicó en H.4.2, los tres últimos términos proporcionan u( / )/( / )2; es decir,

la variancia relativa estimada de / . De acuerdo con la presentación realizada en H.2.4, los

resultados de la tabla H.8muestran que no es exactamente igual a / , u( / ), tampoco es exactamente igual a la incertidumbre estándar s( ) de .

116

Sustituyendo los valores de las correspondientes magnitudes relevantes en las ecuaciones (H.22a) y (H.22b), se obtiene

1,93 x 10-2

uc(Ax) = 0,008 3 Bq/g

El resultado de la medición puede expresarse como:

Ax = 0,430 0 Bq/g con una incertidumbre estándar combinada uc = 0,008 3 Bq/g.

H.4.3.2 Resultados: aproximación 2

En la segunda aproximación, se evita la correlación entre y , Ax se calcula utilizando la media aritmética . Así

= 0,0430 4 Bq/g. ...(H.23a)

La expresión para es simplemante

. ..(H.23b)

dando

1,95 x 10-2

uc(Ax) = 0,008 4 Bq/g

El resultado de la medición puede expresarse como

Ax = 0,430 4 Bq/g con una incertidumbre estándar combinada uc = 0,008 4 Bq/g.

El número efectivo de grados de libertad de uc puede calcularse utilizando la fórmula de Welch-Satterthwaite, como se ilustra en H.1.6.

Como en H.2, de los dos resultados, se prefiere el segundo, pues evita obtener la aproximación de la media de un cociente de dos magnitudes mediante el cociente de las medias de dichas magnitudes, reflejando mejor el procedimiento de medición utilizado – los datos fueron recogidos en ciclos diferentes.

No obstante, la diferencia entre los valores de Ax de las dos aproximaciones es claramente pequeña comparada con la incertidumbre estándar atribuida a cualquiera de ellos, y la diferencia entre las dos

incertidumbres estándar es totalmente despreciable. Tal concordancia muestra que las dos aproximaciones son equivalentes cuando se incluyen apropiadamente las correlaciones observadas.

H.5 Análisis de variancia

Este ejemplo proporciona una breve introducción a los métodos de análisis de la variancia (ADEVA, en español; ANOVA, en inglés). Estas técnicas estadísticas se utilizan para identificar y cuantificar efectos aleatorios individuales en una medición, de forma que puedan ser tenidos en cuenta correctamente a la hora de evaluar la incertidumbre del resultado de la medición. Aunque los métodos ANOVA se aplican a una amplia gama de mediciones, por ejemplo, a la calibración de patrones de referencia, como los patrones Zener de tensión o los patrones de masa, o a la certificación de materiales de referencia, los métodos de análisis de variancia no pueden identificar, por si mismos, efectos sistemáticos que pudieran estar presentes.

Existen numeroso modelos distintos incluidos bajo el nombre general de análisis de variancia (ANOVA). Por su importancia, el modelo específico discutido en este ejemplo es el diseño anidado balanceado. La ilustración numérica de este modelo involucra sobre la calibración de un patrón Zener de tensión: el análisis debe poder ser relevante a numerosas situaciones prácticas de medida.

Los métodos de análisis de variancia (ANOVA) tienen especial importancia en la certificación de materiales de referencia (MR), mediante ensayos interlaboratorios, tema tratado a fondo en la guía ISO 35 [19] (ver H.5.3.2 para una breve descripción sobre la certificación de materiales de referencia). Como la mayor parte del contenido de la guía ISO 35 es de gran aplicación, puede consultarse esta publicación para detelles complementarios relativos al análisis de la variancia, incluyendo los diseños anidados no balanceados. También pueden consultarse las referencias [15] y [20].


Consideremos un patrón de tensión Zener, de valor nominal 10 V, calibrado por comparación con una referencia estable de tensión, durante un período de dos semanas. Cada día J del período, se realizan K observaciones repetidas e independientes dela diferencia de potencial Vs del patrón. Si llamamos Vjk a la k-ésima observación de Vs (k = 1, 2, ..., K) del j-ésimo día (j = 1, 2, ..., J), la mejor estimación de la diferencia de potencial del patrón es la media aritmética de las JK observaciones [ver ecuación (3) en 4.2.1].

...(H.24a)

La desviación estándar experimental de la media s( ), que es una medida de la incertidumbre de como una estimación de la diferencia de potencial del patrón, se obtiene mediante [ver ecuación (5) en 4.2.3]

...(H.24b)

Nota. A lo largo de todo este ejemplo, se supone que todas las correcciones aplicadas a las observaciones para compensar los efectos sistemáticos poseen incertidumbres despreciables, o que sus incertidumbres son tales que pueden considerarse al final del análisis. La diferencia entre el valor certificado ( supuesto con una incertidumbre determinada) y el valor de trabajo de la referencia de tensión estable, respecto a la cual se calibre el patrón de tensión Zener, es una corrección que pertenece a esta última categoría y que puede aplicarse a la media de las observaciones, al final del análisis. De aquí

118

resulta que la estimación de la diferencia de potencial del patrón obtenida estadísticamente a partir de las observaciones, no es necesariamente el resultado final de la medición; igualmente, la desviación estándar experimental de dicha estimación no es necesariamente la incertidumbre estándar combinada del resultado final.

La desviación estándar experimental de la media s( ) obtenida a partir de la ecuación (H.24b) es una medida apropiada de la incertidumbre de , sólo si la variabilidad de las observaciones, de día en día, es igual a la variabilidad de las observaciones en un solo día. Si hay evidencia de que la variabilidad “entre días” es significativamente mayor que la que habría que esperar a partir de la variabilidad “dentro del día”, la utilización de esta expresión puede conducir a una subestimación considerable de la incertidumbre de . Surgen entonces dos preguntas: cómo decidir si la variabilidad entre días (caracterizada por la componente entre días de la variancia) es significativa en comparación con la variabilidad dentro del día (caracterizada por la componente dentro del día de la variancia) y, si es este el caso, cómo debe evaluarse la incerttdumbre de la media.

Tabla H.9 – Resumen de los datos de calibración de tensión obtenidos jurante J = 10 d, con medias diarias j y desviaciones estándar experimentales s(Vjk), correspondientes a K = 5 observaciones

independientes repetidas diariamente.

Magnitud / Día, j 1 2 3 4 5j (en V) 10,000 172 10,000 116 10,000 013 10,000 144 10,000 106

s(Vjk) (en V) 60 77 111 101 67Magnitud / Día, j 6 7 8 9 10

j (en V) 10,000 031 10,000 060 10,000 125 10,000 163 10,000 041s(Vjk) (en V) 93 80 73 88 86

= 10,000 097 s( j) = 57 V

= Ks2( j) = 5 (57 V) = (128 V)2 = (85 V)2

H.5.2 Ejemplo numérico

H.5.2.1 Los datos que permiten abordar las preguntas anteriores se presentan en la tabla H.9, donde

J = 10 es el número de días durante los que se realizan las observaciones de diferencia de potencial;

K = 5 es el número de observaciones de diferencia de potencial realizadas cada día;

...

(H.25a)

es la media aritmética de las K = 5 observaciones de diferencia de potencial hechas el día j-ésimo (hay por lo tanto J = 10 medias diarias);

= ...

(H.25b)

es la media aritmética de las J = 10 medias diarias y, por lo tanto, la media de las JK = 50 observaciones;

...

(H.25c)

es la variancia experimental de las K = 5 observaciones hechas el día j-ésimo (hay, por lo tanto,J = 10 estimaciones de variancia); y

..(H.25d)

es la variancia experimental de las J = 10 medias diarias (solamente hay, por lo tanto, una única estimación de la variancia).

H.5.2.2 La consistencia entre la variabilidad dentro del día y la variabilidad entre días de las observaciones puede investigarse comparando dos estimaciones independientes de , la componente dentro del día de la variancia (que es la variancia de las observaciones hechas el mismo día).

La primera estimación de , representada por , se obtiene a partir de la variancia observada de

las medias diarias . Como es la media de K observaciones, su variancia s2( ) estima /K, bajo la hipótesis de que la componente entre días de la variancia es nula. Se desprende entonces de la ecuación (H.25d) que

= Ks2( j) = ...

(H.26a)

que es una estimación de con va = J – 1 = 9 grados de libertad.

La segunda estimación de representada por , es la estimación ponderada de la variancia sobre el conjunto de datos de datos obtenidos a partir de los J = 10 valores individuales de s2(Vjk), utilizando la ecuación de la nota en H.3.6, donde los diez valores individuales se calculan a partir de la ecuación (H.25c). Como el número de grados de libertad de cada uno de estos valores esi = K – 1, la expresión resultante para es simplemente su media. Entonces,

...(H.26b)

que es una estimación de con b = J(K – 1) = 40 grados de libertad.

Las estimaciones de obtenidas mediante las ecuaciones (H.26ª) y (H.26b) son respectivamente

= (128 V)2 y = (85 V)2 (ver tabla H.9). Dado que la estimación se basa en la variabilidad de

los valores medios diarios, mientras que la estimación se basa en la variabilidad de las observaciones diarias, su diferencia indica la posible presencia de algún efecto que varía de un día

120

para otro, pero que permanece relativamente constante cuando las observaciones se hacen el mismo día. Para verificar esta posibilidad y, en consecuencia, la hipótesis de nulidad de la componente entre-días de la variancia, se utiliza el test F.

H.5.2.3 La distribución F es la distribución de probabilidad del cociente

entre dos estimaciones independientes y de la variancia 2 de una variable aleatoria normalmente distribuida [15]. Los parámetros a y b son los respectivos grados de libertad de las dos

estimaciones, siendo 0 F(a, b) . Los valores de F se encuentran tabulados para diferentes valores de la a y b y para diferentes valores de la distribución F. Un valor de F(a, b) > F0,95 o F(a, b) > F0,975 (valor crítico) se interpreta habitualmente como indicativo de que es mayor

que en una cantidad estadísticamente significativa, y que la probabilidad de un valor de F tan grande como el observado, si ambas son estimaciones de la misma variancia, es inferior a 0,05 o a 0,025 respectivamente. (Pueden escogerse también otros valores críticos, por ejemplo, F0,99).

H.5.2.4 La aplicación del test F al presente ejemplo numérico da

...(H.27)

con a = J – 1 = 9 grados de libertad, en el numerador, y b = J(K – 1) = 40 grados de libertad, en el denominador. Dado que F0,95(9, 40) = 2,12 y F0,975(9, 40) = 2,45, se concluye que existe un efecto en-tre días estadísticamente significativo, para un nivel de significación del 5 %, pero no para un nivel del 2,5 %.

H.5.2.5 Si se rechaza la existencia de un efecto entre-días, porque la diferencia entre y

no se considera estadísticamente significativa (decisión imprudente puesto que podría condu-

cir a subestimar la incertidumbre), la variancia estimada s2( ) de debe calcularse a partir de la

ecuación (H.24b). Esta relación equivale a considerar conjuntamente las estimaciones y ,

(tomando unos valores de y ponderados según un número respectivos de grados de libertad a

y b – ver nota H.3.6) para obtener la mejor estimación de la variancia de las observaciones; y dividir posteriormente esta estimación por JK, número de observaciones, para obtener la mejor estimación s2( ) de la variancia de las media de las observaciones. Siguiendo este procedimiento se obtiene

= (13 V)2 ...

(H.28a)

o s( ) = 13 V ..(H.28b)

con s( ) teniendo JK – 1 = 49 grados de libertad.

Si se supone que todas las correcciones por efectos sistemáticos han sido ya consideradas y que las demás componentes de la incertidumbre son despreciables, entonces el resultado de la calibración

puede expresarse como Vs = = 10,000 097 V (ver tabla H.9), con una incertidumbre estándar com-binada s( ) = uc = 13 V, con 49 grados de libertad.

Notas.

1 En la práctica, existirán probablemente componentes de incertidumbre adicionales, que serán significativas y deberán, en consecuencia, combinarse con la componente de incertidumbre obtenida estadísticamente a partir de las observaciones (ver nota de H.5.1).

2 Puede demostrarse que la ecuación (H.28a) para s2( ) es equivalente a la ecuación (H.24b), si la doble sumatoria que fi-gura en ésta, indicada como S, la escribimos en la forma

=

H.5.2.6 Si se acepta la existencia de un efecto entre días (decisión prudente debido a que evita una posible subestimación de la incertidumbre) y se le supone un carácter aleatorio, entonces la variancia s2( j) calculada a partir de las J = 10 medias diarias según la ecuación (H.25d) no estima /K,

como se postuló en H.5.2.2, sino /K + , donde es la componente aleatoria de la variancia inter-días. Esto implica que

s2( j) = /K + ...(H.29b)

donde estima a , y a . Como calculada de la ecuación (H.26b) depende solamente

de la variación inter-días de las observaciones, se puede tomar = . por lo tanto, la razón k

s2(Vj) / utilizada para el test F en H.5.2.4 se convierte entonces en

= ...(H.30)

lo que conduce a

= (43 V)2, o sB = 43 V ...(H.31a)

= (85 V)2, o sw = 85 V ...(H.31b)

122

La variancia estimada de se obtiene a partir de s2( j), ecuación (H.25d), puesto que s2( j) refleja correctamente ambas componentes aleatorias, de la variancia dentro-día y de la variancia entre-días [ver ecuación (H.29)]. Entonces

s2( ) = s2( j)/J

= (57 V)2/10, o s( ) = 18 V ...(H.32)

con s( ) teniendo J – 1 = 9 grados de libertad.

El número de grados de libertad de (y por lo tanto de sw) es J(K – 1) = 40 [ver ecuación (H.26b)]

es el número efectivo de grados de libertad de la diferencia [ecuación (H.31a), aunque su estimación es problemática.

H.5.2.7 La mejor estimación de la diferencia de potencial del patrón de tensión es puesVs = = 10,000 097 V, con s( ) = uc = 18 V, dada por la ecuación (H.32). Comparese este valor de uc y sus 9 grados de libertad con uc = 13 V y sus 49 grados de libertad, resultado obtenido en H.5.2.5 [ecuación (H.28b)], cuando se había descartado la existencia de un efecto entre-días.

En una medición real, los efectos entre-días aparentes deben, en lo posible, estudiarse a fondo, con objeto de determinar su causa, debiendo comprobarse también si hay efectos sistemáticos presentes, lo que impediría la utilización de los métodos de análisis de la variancia (ANOVA). Tal como se dijo al comienzo de este ejemplo, las técnicas de análisis de la variancia (ANOVA) están concebidas para identificar y evaluar las componentes de la incertidumbre provenientes de efectos aleatorios, pero no proporcionan información acerca de las componentes derivadas de efectos sistemáticos.

H.5.3 El papel del análisis de la variancia en la medición

H.5.3.1 Este ejemplo del patrón de tensión ilustra lo que generalmente se conoce con el nombre de diseño anidado compensado, de un nivel. El nombre deriva del hecho de que, en efecto, sólo existe un único nivel de “anidamiento” de las observaciones, con un solo factor, el día durante el que se realizan las observaciones, el cual se hace variar durante la medición. Asimismo, está balanceado porque cada día se efectúa el mismo número de observaciones. Un análisis similar al que se presenta en este ejemplo puede utilizarse para determinar si existe un “efecto laboratorio”, un “efecto muestra”, o incluso un “efecto método” en una medición particular. Así, en el ejemplo, imaginemos que reemplazamos las observaciones hechas en diferentes días J, por observaciones hechas el mismo día pero por diferentes operadores J; entonces, la componente inter-días de la variancia se transforma en una componente de la variancia asociada a los distintos operadores.

H.5.3.2 Como se indicó en H.5, los métodos de análisis de la variancia (ANOVA) se utilizan ampliamente en la certificación de materiales de referencia (MR) mediante ensayos interlaboratorios. Tal certificación implica generalmente contar con un número de laboratorios independientes, de igual nivel de competencia, que midan las muestras de material, del que se desea certificar una propiedad. Generalmente se supone que las diferencias entre los resultados individuales, tanto inter- como intra-laboratorio, son de naturaleza estadística, sin importar sus causas. La media de cada laboratorio se considera como una estimación no sesgada de la propiedad del material, y la media no ponderada de las medias de los laboratorios se supone habitualmente como la mejor estimación de dicha propiedad.

La certificación de un material de referencia podría implicar I laboratorios diferentes, cada uno de ellos midiendo la propiedad en estudio en J muestras distintas del material, consistiendo la medición

de cada muestra en K observaciones repetidas e independientes. el número total de observaciones es entonces IJK, y el número total de muestras IJ. Este es un ejemplo de diseño anidado balanceado, de dos niveles de anidamiento, análogo al ejemplo anterior del patrón de tensión de un nivel.

En este caso, hay dos niveles de “anidamiento” de las observaciones, con dos factores diferentes, muestra y laboratorio, que se hacen variar durante la medición. El modelo está balanceado puesto que cada muestra es observada el mismo número (K) de veces en cada laboratorio, y cada laboratorio mide el mismo número (J) de muestras. Por analogía adicional con el ejemplo del patrón de tensión, en el caso del material de referencia, el análisis de los datos tiene por objeto investigar la existencia de un posible efecto inter-muestras o inter-laboratorio, y determinar la incertidumbre más conveniente que puede atriburse a la mejor estimación del valor de la propiedad a certificar. De acuerdo con el apartado anterior, esta mejor estimación se supone que es la media de las I medias de laboratorios, que es también la media de las IJK observaciones.

H.5.3.3 El apartado 3.4.2 puso en evidencia la importancia de hacer variar las magnitudes de entrada, de las que dependen el resultado de la medición, de forma que su incertidumbre esté basada en datos observados, evaluados estadísticamente. Los diseños anidados y el análisis de los datos resultantes mediante métodos de análisis de variancia (ANOVA), pueden utilizarse con éxito en numerosas situaciones de medición encontradas en la práctica.

Sin embargo, tal como se indicó en 3.4.1, es poco práctico hacer variar todas las magnitudes de entrada, debido a las limitaciones de tiempo y de recursos existentes; en el mejor de los casos, en la mayoría de las situaciones prácticas de medición, sólo es posible evaluar algunos componentes de la incertidumbre utilizando métodos de análisis de la variancia. Como también se señaló en 4.3.1, muchas componentes deben evalauarse basándose en criterios ciéntificos, utilizando la totalidad de la información disponible sobre la posible variabilidad de las magnitudes de entrada en cuestión; en numerosos casos, una componente de la incertidumbre, como la proveniente de un efecto inter-muestra (o inter-laboratorio, inter-instrumento, o inter-operadores), no puede evaluarse mediante análisis estadístico de series de observaciones, sino que es necesario evaluarla a partir de todo el conjunto de informaciones disponibles.

H.6 Mediciones respecto a una escala de referencia: dureza

La dureza es un ejemplo de una propiedad física que no puede cuantificarse sin hacer referencia a un método de medida; no existe una unidad de dureza independiente de un método dado. La magni-tud “dureza” difiere de las magnitudes medibles clásicas en que no puede introducirse en ecuaciones algebráícas para definir otras magnitudes medibles (aunque a veces se utiliza en ecuaciones empíri-cas que relacionan la dureza con alguna otra propiedad de un material determinado). Su valor está determinado mediante una medición convencional, la de la dimensional lineal de una huella o impron-ta realizada sobre un bloque del material de interés o bloque maestro. La medición se realiza de acuerdo con una norma escrita, que incluye una descripción del dispositivo que realiza la huella, de-nominado “penetrador”, la construcción de la máquina de ensayo que permite aplicar el penetrador, y la forma en que debe utilizarse la máquina. Existen varias normas sobre dureza, de forma que hay varias escalas de dureza.

La dureza obtenida es una función (dependiente de la escala considerada) de la dimensión lineal me-dida. En el ejemplo incluído en este apartado, se trata de una función lineal de la media aritmética de las profundidades de cinco huellas obtenidas repetidamente, pero en otras escalas, la función no es lineal.

124

Los patrones nacionales son máquinas patrón realizadas con este fin (no existe un patrón internacio-nal); la comparación entre una máquina particular y la máquina patrón nacional se hace utilizando un bloque patrón de transferencia.

H.6.1 Problema de medición

En este ejemplo se determina la dureza de un bloque muestra de material, en la escala “Rockwell C”, utilizando una máquina que ha sido calibrada respecto a la máquina patrón nacional. La unidad de escala para la dureza Rockwell C es 0,002 mm, definiéndose la dureza en dicha escala como 100 x (0,002 mm) menos la medida de las profundidades de cinco huellas, medidas en milímetros. El valor de esta cantidad, dividido por la unidad de escala Rockwell C, 0,002 mm, se denomina “índice de dureza HRC”. En el presente ejemplo, la magnitud se denomina simplemente “dureza”, simbolizándose como hRockwell C y el valor numérico de la dureza, expresado en unidades Rockwell de longitud, se denomina “índice de dureza”, simbolizándose como HRockwell C.

H.6.2 Modelo matemático

Al valor medio de las profundidades de las huellas realizadas en el bloque muestra por la máquina utilizada para determinar su dureza o máquina de calibración, deben añadirse las correcciones a determinar, con el objeto de obtener el valor medio de las profundidades de las huellas que, sobre el mismo bloque, habrían sido hechas por la máquina patrón nacional. De esta forma

hRockwell C = f( , c, b, S)

= 100 (0,0002 mm) - - c - b - S ...(H.33a)

Hrockwell C = hRockwell C / (0,002 mm) ...(H.33b)

donde

es la media aritmética de las profundidades de las cinco huellas hechas por la máquina de calibración sobre el bloque muestra;

c es la corrección obtenida mediante comparación de la máquina de calibración con la máquina patrón nacional, utilizando un bloque patrón de transferencia. Es igual a la media de las profundidades de 5 m huellas hechas por la máquina patrón nacional sobre el bloque, menos la media de las profundidades de 5 n huellas hechas sobre el mismo bloque por la máquina de calibración;

b es la diferencia de dureza (expresada como diferencia de profundidades medias de huella) entre las dos partes de un bloque patrón de transferencia, sobre el que respectivamente se han realizado huellas con las dos máquinas (supuestamente cero); y

S es el error debido a la falta de repetibilidad de la máquina patrón nacional y a la definición incompleta de la magnitud dureza. Aunque se supone que S es igual a cero, existe una incertidumbre estándar asociada, igual a u(S).

Como las derivadas parciales , , y de la función de la ecuación

(H.33a) son todas iguales a –1, la incertidumbre estándar combinada de la dureza del bloque muestra, medida por la máquina de calibración, esta dada simplemente por

= u2( ) + u2(c) + u2(b) + u2(S)

donde para simplificar la notación, h hRockwell C.

H.6.3 Contribución de variancias

H.6.3.1 Incertidumbre de la profundidad media de huella sobre el bloque muestra patrón, u()

Incertidumbre de las observaciones repetidas. La repetición estricta de una observación no es posible puesto que no puede hacerse una nueva huella en el mismo lugar de la precedente. Como cada huella debe hacerse en un emplazamiento distinto, la variación en los resultados incluye el efecto de variación de dureza entre distintos emplazamientos. Así, u( ), incertidumbre estándar de la media de las profundidades de cinco huellas realizadas sobre el mismo bloque muestra por la máquina de calibración, se toma igual a sp(dk)/ , donde sp(dk) es la desviación estándar ponderada experimental de un conjunto de profundidades determinadas mediante mediciones “repetidas” sobre un bloque que se sabe posee una dureza muy uniforme (ver 4.2.4).

Incertidumbre de la indicación. Aunque la corrección sobre debida a la indicación de la máquina de calibración sea igual a cero, existe una incertidumbre sobre debida a la incertidumbre de la indicación de profundidad, derivada de la propia resolución de la indicación, dada por u2() = 2/12 (ver F.2.2.1). La variancia estimada de es pues

u2( ) = s2(dk)/ 5 + 2/12 ...(H.35)

H.6.3.2 Incertidumbre de la corrección por diferencia entre las dos máquinas, u(c)

Como se indicó en H.6.2, c es la corrección por diferencia entre la máquina patrón nacional y la máquina de calibración. Esta corrección puede expresarse en la forma c = z’S – z’ , donde

es la profundidad media de 5 m huellas hechas por la máquina patrón nacional

sobre el bloque patrón de transferencia, y es la profundidad media de las 5n

huellas realizadas por la máquina de calibración sobre el mismo bloque. Suponiendo que, para la comparación, la incertidumbre debida a la resolución de la indicación de cada máquina es despreciable, la variancia estimada de c es

...(H.36)

donde

es la media aritmética de las variancias experimentales de las medias

de cada una de de las m series de huellas zS,ik hechas por la máquina patrón;

es la media aritmética de las variancias experimentales de las medias

de cada una de las n series de huellas zi,k hechas por la máquina de calibración.

126

Nota. Las variancias y son estimaciones sobre conjuntos de datos. ver la presentación de la ecuación

(H.26b) en H.5.2.2.

H.6.3.3 Incertidumbre de la corrección debida a las variaciones de dureza del bloque patrón de transferencia, u(b)

La Recomendación Internacional R 12 de la OIML, Verification et étalonnage des blocs normlisés de dureté Rockwel C (Verficación y calibración de bloques normalizados de dureza Rockwell C) exige que las profundidades máxima y mínima obtenidas tras cinco mediciones sobre el bloque patrón de transferencia no difieran en más de una fracción x, de la profundidad media, siendo x función del nivel de dureza. Supongamos entonces que la diferencia máxima entre las profundidades de las huellas, en todo el bloque, sea xz’, donde z’ se define como en H.6.3.2, con n = 5. Supongamos también que la diferencia máxima responde a una distribución triangular de probabilidad en torno al valor medio xz’/2 (según la hipótesis razonable de que los valores próximos al valor central son los más probables que los extremos – ver 4.3.9). Si en la ecuación (9b) de 4.3.9, a = xz’/2, entonces la variancia estimada de la corrección de la profundidad media de huella, debida a las diferncias de dureza presentadas respectivamente a la máquina patrón y a la máquina de calibración, es

u2(b) = (xz’)2/24 ...(H.37)

Como se indicó en H.6.2, se supone que la mejor estimación de la correción de b es cero.

H.6.3.4 Incertidumbre de la máquina patrón nacional y de la definición de dureza, S

La incertidumbre de la máquina patrón nacional, al igual que la debida a la definición incompleta de la magnitud dureza, está informada como la desviación estándar estimada u(S) (magnitud cuya dimensión es una longitud).

H.6.4 La incertidumbre estándar combinada uc(h)

Tomando todos los términos individuales presentados de H.6.3.1 a H.6.3.4 y sustituyéndolos en la ecuación (H.34) se obtiene para la variancia estimada de la medida de dureza

...(H.38)

siendo la incertidumbre estándar combinada uc(h).

H.6.5 Ejemplo numérico

Los datos para el presente ejemplo se resumen en la tabla H.10.

Tabla H.10 – Resumen de datos para determinar la dureza de un bloque muestra en la escala Rockwell C

Fuente de incertidumbre ValorProfundidad media de 5 huellas realizadas por la máquina de calibración sobre el bloque muestra: 0,072 mm

36,0 unidades Rockwell

Índice de dureza del bloque muestra obtenido a partir de 5 huellas:HRockwell C = hRockwell C /(0,002 mm) = = [100(0,002 mm) – 0,072 mm]/(0,002 mm) (ver H.6.1)

64,0 HRC

Desviación estándar experimental sp(dk) del conjunto de profundidades hechas por la máquina de calibración sobre un bloque que tiene dureza uniforme


Resolución de la indicación de la máquina de calibración 0,1 unidades Rockwellsav( s), raíz cuadrada de la media de las variancias experimentales de las medias de m series de huellas hechas por la máquina patrón nacional sobre el bloque patrón de transferencia

0,10 unidades Rockwellm = 6

sav( ), raíz cuadrada de la media de las variancias experimentales de las medias de n series de huellas hechas por la máquina de calibración sobre el bloque patrón de transferencia

0,11 unidades Rockwelln = 6

Variación relativa permitida x de la profundidad de penetración, sobre el bloque patrón de transferencia

1,5 x 10-2

Incertidumbre estándar u(S) de la máquina patrón nacional y de la definición de dureza.


La escala es la Rockwell C, designada por HRC. La unidad de escala Rockwell C es 0,002 mm, lo que significa que en la tabla H.10 y en lo que sigue “36 unidades Rockwell”, por ejemplo, significará 36,0 x (0,002 mm) = 0,072 mm, siendo simplemente una forma conveniente de expresar los datos y los resultados.

Si los valores de las correspondientes magnitudes dadas en la tabla H.10 se llevan a la ecuación (H.38), se obtienen las dos expresiones siguientes:

(unidades Rockwell)2

= 0,307 (unidades Rockwell)2

uc(h) = 0,55 (unidades Rockwell) = 0,001 1 mm

donde basta con tomar z’ = = 36,0 unidades Rockwell para calcular la incertidumbre.

Si se supone c = 0, la dureza del bloque muestra es entonces

hRockwell C = 64,0 unidades Rockwell, o 0,128 0 mm, con una incertidumbre estándar combinadauc = 0,55 unidades rockwell, o 0,001 1 mm.

128

El índice de dureza del bloque es

hRockwell C/(0,002 mm) = (0,128 0 mm)/(0,002 mm), o

HRockwell C = 64,0 HRC, con una incertidumbre estándar combinada uc = 0,55 HRC

Además de la componente de incertidumbre debida a la máquina patrón nacional y a la definición de dureza, uc(S) = 0,5 unidades Rockwell, las componentes significativas de la incertidumbre son las de repetibilidad de la máquina, sp(dk)/ = 0,20 unidades Rockwell, y la variación de dureza del bloque patrón de transferencia, esta última igual a (xz’)2 / 24 = 0,11 unidades Rockwell. El número efectivo de grados de libertad de uc puede calcularse utilizando la fórmula de Welch-Satterthwaite, en la forma ilustrada en H.1.6.

Anexo J(Normativo)

Glosario de los símbolos principales

a Semi-intervalo de una distribución rectangular de valores posibles de un argumento Xi:a = (a+ - a-) / 2

a+ Cota superior, o límite superior, del argumento Xi

a- Cota inferior, o límite inferior, del argumento Xi

b+ Cota superior, o límite superior, de la desviación de un argumento X i respecto a su estimador xi : b+ = a+ - x

b- Cota inferior, o límite inferior, de la desviación de un argumento Xi respecto a su estimador xi: b- = x - a

ci Derivada parcial o coeficiente de sensibilidad: cí f / xi

f Relación funcional entre el mesurando Y y los argumentos Xi de los cuales depende Y, y entre el estimador y del mesurando y los estimadores xi de los argumentos de los cuales depende y.

Derivada parcial con respecto al argumento Xi de la relación funcional f entre el mesurando Y y los argumentos Xi de las cuales depende Y, evaluada en los estimadores xi de Xi:

=

k Factor de cobertura utilízado para calcular la incertidumbre expandida U = k uc(y) del estimador y del mesurando a partir de su incertidumbre estándar combinada uc(y), donde U define un intervalo Y= y U que posee un alto nivel de confianza

kp Factor de cobertura utilizado para calcular la incertidumbre expandida Up = kp uc(y) del estimador y del mesurando a partir de su incertidumbre estándar combinada uc(y); donde Up define un intervalo Y= y ± Up que posee un alto nivel de confianza p especificado

n Número de observaciones repetidas

N Número de argumentos Xi de las cuales depende el mesurando Y

p Probabilidad; nivel de confianza: 0 p 1

q Magnitud que varía aleatoriamente, descrita mediante una distribución de probabilidad

Media aritmética o promedio de n observaciones independientes repetidas qk de una variable aleatoria q ; estimador de la esperanza o media k de la distribución de probabilidad de q

qk k-ésima observación repetida en forma independiente de la variable aleatoria q

130

r(xi, xi) Coeficiente de correlación estimado asociado con los estimadores xi y xj de los argumentos Xi y Xj; r(xi, xi) = u(xi, xi)/ u(xi) u(xI)

Coeficiente de correlación estímado de las medias determinado a partir de n pares de observaciones simultáneas repetidas e independientes Xi,k y Xj,k de Xi y Xf:

r(yi, yj) Coeficiente de correlación estimado, asociado con los estimadores yi y yj de los mesurandos, cuando dos o más mesurandos son determinados en la misma medición

s2p Estimador combinado o ponderado de la varianza

sp Desviación estándar experimental ponderada, igual a la raíz cuadrada positiva de s2p

s2 Varianza experimental de la media ; estimador de la vananza 2 / n de :

varianza estimada obtenida por una evaluación de Tipo A

Desviación estándar experimental de la media , igual a la raíz cuadrada positiva de es un estimador sesgado de (ver la nota de C.2.21); incertidumbre

estándar obtenida por una evaluación de Tipo A

s2qk) Varianza experimental determinada a partir de n observaciones repetidas independientes qk de q; estimador de la varianza 2 de la distríbución de probabilidad de q

s(qk) Desviación estándar experimental, igual a la raíz cuadrada positiva de s2(qk); s(qk) esun estimador sesgado de la desviación estándar de la distribución de probabilidad de q

Varianza experimental de la media de los argumentos, determinada a partir de n observaciones repetidas en forma independiente Xi,k de Xi; varianza estimada obtenida por una evaluación de Tipo A

Desviación estándar experimental de la medía de los argumentos, igual a la raíz

cuadrada positiva de incertidumbre estándar obtenida por una evaluación de Tipo A

Estimador de la covarianza de las medias y que estima las esperanzas q y r

de dos variables aleatorias q y r, determinado a partir de n pares de observaciones simultáneas independientes repetidas qk y rk de q y r, covarianza estimada obtenida por una evaluación de Tipo A

Estimadorde la covarianza de los valores medios de los argumentos y

determinados a partir de n pares de observaciones simultáneas independientes repetidas Xi,j y Xj, k de Xi y Xj, covarianza estimada obtenida por una evaluación de Tipo A

tp () Factor t de la distribución t para grados de libertad correspondientes a una probabilidad p dada

tp(eff) Factor t de la distribución t para eff grados de libertad correspondientes a una probabilidad p dada, usado para calcular la incertidumbre expandida Up

u2(xi) Varianza estimada asociada con el estimador xi del argumento Xi

NOTA - Cuando xi es determinado a partir de la media aritmética o promedio de n observaciones

repetidas en forma independiente, es una varianza estimada obtenida por una

evaluación de Tipo A

u(xi) Incertidumbre estándar del estimador xi del argumento Xi, igual a la raíz cuadrada positiva de u2(xi)

NOTA - Cuando Xi es determinado a partir de la media aritmética o promedio de n observaciones

repetidas en forma independiente, es la incertidumbre estándar estimada obtenida por

una evaluación de Tipo A

u(xi,xj) Covarianza. estimada asociada con dos estimadores xi y xj de los argumentos Xi y Xj

NOTA - Cuando xi y xj son determinados a partir de n pares de observaciones simultáneas

repetidas en forma independiente, es una covarianza estimada obtenida por

una evaluación deTipo A

uc2(y) Varianza combinada asociada con el estimador y del mesurando

uc(y) Incertidumbre estándar combinada del estimador y del mesurando, igual a la raíz cuadrada. positiva de uc

2(y)

ucA(y) Incertidumbre estándar combinada del estimador y del argumento, determinada a partir de incertidumbres estándar y covarianzas estimadas obtenidas sólo a partir de una evaluación de Tipo A

ucB(y) Incertidumbre estándar combinada del estimador y del mesurando, determinada a partir de incertidumbres estándar y covariarizas estimadas obtenidas sólo a partir de una evaluación de Tipo B

uc(yi) Incertidumbre estándar combinada del estimador yi del mesurando, cuando dos o más mesurandos o argumentos son determinados en la misma medición

ui2(y) Componente de la varianza combinada uc

2(y) asociada con el estimador y del argumento, generada por la varianza estimada u2(xi) asociada con el estimador xi del argumento: ui

2(y) = [ciu(xi)]2

ui(y) Componente de la incertidumbre estándar combinada uc(y) del estimador y del mesurando y generada por la incertidumbre estándar del estimador xi del argumento: ui(y) ci u(xi)

u(yi,yj) Covarianza estimada asociada con los estimadores yi y yj de dos mesurandos determinados en la misma medición

u(xi) / xi Incertidumbre estándar relativa del estimador xi del argumento

uc(y)/ y Incertidumbre estándar combinada relativa del estimador y del mesurando[u(xi) / xi]2 Varianza relativa estimada asociada con el estimador xi del argumento

132

[uc(y) / y]2 Varianza combinada relativa asociada con el estimador y del mesurando

u(xi,xj) / xixj Covarianza relativa estimada asociada con los estimadores xi y xj de dos argumentos

U Incertidumbre expandida del estimador y del mesurando que define un intervalo Y = y U que posee un alto nivel de confianza p especificado, igual al factor de cobertura k multiplicado por la incertidumbre estándar combinada uc(y) de y: U = kuc(y)

Up Incertidumbre expandida del estimador y del mesurando que define un intervalo Y = y Up que posee un alto nivel de confianza p especificado, igual al factor de cobertura kp multiplicado por la incertidumbre estándar combinada uc(y) de y:Up = kpuc(y)

xi Estimador del argumento Xi

NOTA - Cuando xi es determinado a partir de la media aritmética o promedio de n observaciones

repetidas en forma independiente,

Xi i-ésimo argumento del cual depende el mesurando Y

NOTA - Xi puede ser la magnitud física o la variable aleatoria (ver nota 1 de 4.1.1)

Estimador del valor del argumento Xi, igual a la media aritmética o promedio de n observaciones repetidas en forma independiente Xi,k de Xi

Xi,k k-ésima observación repetida en forma independiente de Xi

y Estimador del mesurando Y; resultado de una medición, estimador del argumento

yi Estimador del mesurando Yi cuando dos o más mesurandos son determinados en la misma medición

Y Un mesurando

u(xi) / u(xi) Incertidumbre relativa estimada de la incertidumbre estándar u(xi) del estimador xi del argumento

q Esperanza o media de la distribución de probabilidad de una magnitud aleatoria q

Grados de libertad (en general)

i Grados de libertad, o grados efectivos de libertad, de la incertidumbre estándar u(xi) del estimador xi del argumento

eff Grados efectivos de libertad de uc(y), usados para obtener tp(eff) para el cálculo de la incertidumbre expandida Up

effA Grados efectivos de libertad de una incertidumbre estándar combinada determinada a partir de incertidumbres estándar obtenidas sólo por evaluaciones de Tipo A

effB Grados efectivos de libertad de una incertidumbre estándar combinada determinada a partir de incertidumbres estándar obtenidas sólo por evaluaciones de Tipo B

2 Varianza de una distribución de probabilidad de (por ejemplo) una magnitud aleatoria q, estimada mediante s2(qk)

Desviación estándar de una distribución de probabilidad, igual a la raíz cuadrada positiva de 2; s(qk) es un estimador sesgado de

2 Varianza de , igual a 2/n, estimada mediante s2 = s2(qk) / n

Desviación estándar de , igual a la raíz cuadrada positiva de 2 ; s es un estimador sesgado de

2[s ] Varianza de la desviación estándar experimental s de

[s ] Desviación estándar de la desviación estándar experimental s de , igual a la raíz cuadrada positiva de 2[s( )].

134

Anexo K(Informativo)

Bibliografía

1 CIPM (1980), BIPM Proc-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 48, C1-C30 (en fran-cés): BIPM (1980), Report on the BIPM enquiry on error statements, Bur. Int. Poi-ds et Mesures (Sèvres, France) (en in-glés).

2 KAARLS,R. (1981), BIPM Proc.-Verb.

Com. Int. Poids et Mesures 49, A1-A12 (en francés); Giacomo, P. (1981), Metrolo-gía 17, 73-74 (en inglés).

Nota: La traducción al español de la Recomenda-ción INC-1 (1980), dada en la Introducción a esta norma (véase 0.7), es la correspondiente a la ver-sión final de la Recomendación y fue tomada de un informe interno del BIPM. Es consistente con el tex-to en francés, reglamentario de la Recomendación dada en BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mea-sures 49, y reproducido en A.1 del Anexo A de esta Guía. La traducción al inglés de la Recomendación INC-1 (1980) dada en Metrología 17 es la corres-pondiente a un borrador y difiere ligeramente de la traducción dada en el informe interno del BIPM y, por tanto, de 0.7.

3 CIPM (1981),BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, 8-9, 26 (en francés); Giacomo, P. (1982), Metrología 18, 43-44 (en inglés).

4 CIPM (1986),BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 54, 14, 35 (en francés); Giacomo, P. (1987), Metrología 24, 49-50 (en inglés).

5 ISO 5725:1986, Precision of test methods- Determination of repeatability and repro-ducibility for standard test method by inter-laboratory tests, International Organization for Standardization (Ginebra, Suiza).

Nota IRAM: Existe una norma IRAM que tomó co-mo antecedente esta norma ISO. Esta norma es la IRAM 34553 - Estadística. Precisión de los métodos de ensayo. Determinación de la repetibilidad y re-producibilidad de métodos normalizados por medio de ensayos interlaboratorios, y consta de 7 partes.

6 International vocabulary of basic and gene-ral terms in metrology, segunda edición,

1993, International Organization for Stan-dardization (Ginebra, Suiza).

La abreviatura del título de este vocabula-rio es VIM

NOTAS

1. Las definiciones de los términos dados en el Anexo B fueron tomadas del texto revisado de la Guía IRAM 32:1997 - Metrología. Vocabulario VIM, que tomó como antecedente al texto citado anteriormente.

2. La segunda edición del VIM fue publicada por la International Organization for Standardization (ISO) en nombre de las siguientes siete organizaciones que participan del trabajo del Grupo Asesor Técnico de Trabajo 4 (TAG 4), grupo que apoyó el desarro-llo del VIM: el Bureau International des Poids el Me-sures (BIPM), la international Electrotechical Com-mission (IEC), la International Federation of Clinical Chemistry (IFCC), ISO, la International Union of Pu-re and Applied Physics (IUPAP), y la International Organization of Legal Metrology (OIML)

3 La primera edición del VIM fue publicada por la ISO en 1984 en nombre de BIPM, IEC, ISO y OIML.

7 ISO 3534-1:1993, Statistics-Vocabulary and symbols – Part 1: Probability and ge-neral statistical terms, International Orga-nization for Standardization (Ginebra, Sui-za).

8 FULLER, W. A. (1987), Measurement error models, John Wiley (New York, N. Y.).

9 ALLAN, D. W. (1987), IEEE Trans. Ins-trum. Meas. IM-36, 646-654.

10 DIETRICH, C. F. (1991), Uncertainty, cali-bration and probability, segunda edición, Adam-Hilger (Bristol).

11 MÜLLER, J. W. (1979), Nucl. Instrum. Meth. 163, 241-251

12 MÜLLER, J. W. (1984), en Precision measurement and fundamental constan-

ts II, Taylor, B. N., y Phillips, W. D. eds., Natl. Bur. Stand. (U.S.) Spec. Publ. 617, US GPO (Washington D. C.), 375-381.

13 JEFFREYS, H. (1983), Theory of proba-bility, tercera edición, Oxford University Press (Oxford).

14 PRESS, S. J. (1989), Bayesian Statisti-cs; principles, models, and applications, John Wiley (New York, N.Y.)

15 BOX, G. E. P., HUNTER, W. G., and HUNTER, J. S. (1978), Statistics for ex-perimenters, John Wiley (New York, N. Y.).

16 WELCH, B. L. (1936), J. R. Stat. Soc. Suppl. 3, 29-48; (1938), Biometrika 29, 350-362; (1947), ibid. 34, 28-35.

17 FAIRFIELD-SMITH, H. (1936), J. Counc. Sci. Indust. Res. (Australia) 9(3), 211.

18 SATTERTHWAITE, F. E. (1941), Psy-chometrika 6, 309-316; (1946) Biometri-cs Bull. 2(6), 110-114.

19 Guía ISO 35: 1989, Certification of refe-rence materials-General and statistical principies, segunda edición, International Organization for Standardization (Gine-bra, Suiza).

20 BARKER, T. B. (1985), Quality by experi-mental design, Marcel Dekker (New Yo-rk, N. Y.)

136

Indice alfabético

A

aleatoriedad.....................................................................................................F.1.1, F.1.1.3-F.1.1.5aleatorio......................................................................................................3.3.3, E.1.3, E.3.5-E.3.7 , efecto..............................................................................................................ver efecto aleatorio , error................................................................................................................ver efecto aleatorioanálisis, de error...........................................................................................................................0.2 , de varianza.................................................................................................................ver ANOVAANOVA.....................................................................................................................4.2.8, H.5 y sig. , magnitud de entrada.............................................................................................................4.1.2 , estimación de una.............................................................................................4.1.4, 4.1.6, 4.2.1 , límites de una.................................................................ver límites de una magnitud de entrada , o valor de entrada de origen externo.......................................................................F.2.3, F.2.3.1argumentos, categorización de.................................................................................................4.2.3 , o magnitudes correlacionadas...............................................................................ver correlación

B

BIPM...............................................................................................................i,ii,v,0.5, 7.1.1, A1,A2Bureau International des Poids et Mesures.......................................................................ver BIPM

C

calibración, cadena de.........................................................................................................4.2.8 nota , comparación................................................................................................................F.1.2.3. nota , curva de..................................................................................................................F.2.4.2, F.2.4.5 , curva lineal de..................................................................................................................H.3 y sig.característica.............................................................................................................................C.2.15CIPM..............................................................................................i, v, 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.1, A.2, A.3cobertura, factor de.........................................................................................ver factor de cobertura , probabilidad de.................................................................................ver probabilidad de coberturacoeficiente de confianza...........................................................................................................C.2.29Comité Internacional des Poids et Mesures.........................................................................ver CIPMconfianza, nivel de..........................................................................................................6.2.2, C.2.29convolución.......................................................ver probabilidad, convolucionando distribuciones decontrol estadístico..............................................................................................................3.4.2, 4.2.4corrección............................................................................................3.2, 3.2.3, 3.2.2 nota 2, B.2.23 , factor de......................................................................................................................3.2.3, B.2.24 , ignorando una.....................................................................3.2.4 nota 2, 3.4.4, 6.3.1 nota, F.2.4.5 , incertidumbre de una.............................................................ver incertidumbre de una correccióncorrelación........................................................................5.1, 5.2 y sig. C.2.8, F.1.2, F.1.2.1-F.1.2.4 , coeficiente de..............................................5.2.2, 5.2.3, C.3.6, F.1.2.3, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.4.2 , dígitos significativos para un coeficiente de............................................................................7.2.6 , eliminación de.......................................................................................5.2.4, 5.2.5, F.1.2.4., H.3.5 , matriz de coeficientes de...................................................................................7.2.5, C.3.6 nota 2cotas de una magnitud de entrada...................................................4.3.7-4.3.9, 4.4.5, 4.4.6, F.2.3.3covarianza.....................................................................................3.3.6, 5.2.2, C.3.4, F.1.2.1-F.1.2.4 , experimental, evaluación de..............................................................................5.2.5, C.3.6 nota 3

, matriz de.............................................................................3.1.7, 5.2.2 nota 2, 7.2.5, C.3.5, H.2.3 de dos medias aritméticas..............................................................5.2.3, C.3.4, H.2.2, H.2.4, H.4.2 de mesurandos relacionados..........................ver estimación de magnitudes o magnitudes de salida

correlacionadoscuadrados mínimos, método de...........................................................4.2.5., G.3.3., H.3, H.3.1, H.3.2

D

derivadas parciales......................................................................................................................5.1.3desvío estándar.......................................................................................3.3.5, C.2.12, C.2.21, C.3.3 como medida de incertidumbre.....................................ver incertidumbre, desvío estándar como... , experimental................................................................................................................4.2.2, B.2.17 , experimental de la media.................................................................................4.2.3, B.2.17 nota 2 , experimental de la media, incertidumbre del............ver incertidumbre del desvío experimental de la

media , experimental ponderado....................................................ver varianza ponderada, estimación de , propagación del.....................................................................................................E.3, E.3.1, E.3.2 , propagación de múltiplos del..................................................................................................E.3.3diseño, anidado balanceado......................................................................................H.5.3.1, H.5.3.2distribución, a priori...........................4.1.6, 4.3.1 nota, 4.4.4 y sig., D.6.1, E.3.4, E.3.5, G.4.2, G.4.3 , asimétrica........................................................................................................4.3.8, F.2.4.4, G.5.3 , de probabilidad..................................................................................ver probabilidad, distribución , de Student............................................................................................ver Student, distribución de , F...........................................................................................................................................H.5.2.3 , frecuencia...............................................................................................3.3.5, 4.1.6, C.2.18, E.3.5 , función de...............................................................................................................................C.2.4 , Laplace-Gauss..............................................................................ver Laplace-Gauss, distribución , normal........................................................................................................ver normal, distribución , rectangular....................................4.3.7, 4.3.9, 4.4.5, F.2.2.1-F.2.2.3, F.2.3.3,G.2.2 nota 1. G.4.3 , t............................................................................................................................ver t, distribución trapezoidal.................................................................................................................................4.3.9 triangular............................................................................................................4.3.9, 4.4.6, F.2.3.3distribuciones, probabilidad de convolución.........................4.3.9, nota 2, G.1.4-G.1.6, G.2.2, G.6.5 , determinación matemática......................................................................................................F.2.2

E

efecto, aleatorio............................................................................3.2.2, 3.3.1, 3.3.3, 4.2.2, E.1.1, E3 , sistemático................................................3.2.3, 3.2.4, 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, D.6.1, E.1.1, E.3, E.4.4error, aleatorio........................................................................................................3.2.1-3.2.3, B.2.21 , análisis de........................................................................................................ver análisis de error , de medición.............................0.2, 2.2.4, 3.2, 3.2.1 nota, 3.2.2 nota 2, 3.2.3 nota, 3.3.1 nota, 3.3.2,

B.2.19, D, D.4, D.6.1, D.6.2, E.5.1 y sig. , determinación del.....................................................................................................................3.4.5 , de un instrumento verificado, curva de...................................................................................F.2.4.2 , límite máximo de......................................................................................................................E.4.1 , máximo permisible.................................................................................................................F.2.4.2 , relativo...................................................................................................................................B.2.20 , sistemático..........................................................................................................3.2.1, 3.2.3, B.2.22error e incertidumbre, confusión entre....................................................3.2.2 nota 2, 3.2.3 nota, E.5.4errores..........................................................................................................................................3.4.7

138

, ley general de propagación de.............................................................................5.2.2 nota 1, E.3.2esperanza (o valor esperado)...............3.2.2, 3.2.3, 4.1.1 nota 3, 4.2.1, 4.3.7-4.3.9, C.2.9,C.3.1, C.3.2estadística........................................................................................................................4.2.7, C.2.23estimación.................................................................................................................................C.2.24 , de magnitudes o argumentos de salida correlacionados.................3.1.7, 7.2.5, H.2.3, H.2.4, H.3.2,

H.4.2 , de magnitudes o argumentos correlacionados...........................................................ver correlación , ponderada de la varianza.................................................ver varianza, estimación ponderada de laestimador.........................................................................................................................4.2.7, C.2.25 , entrada..................................................................................................................4.1.4, 4.1.6, 4.2.1 , salida....................................................................................................................4.1.4, 4.1.5, 7.2.5exactitud de medición..............................................................................................3.1.3, 3.4.1, B2.14evaluación de covariancia de tipo A..............................................................................................7.2.1evaluación de covariancia de tipo B..............................................................................................5.2.5

F

F-distribución...............................................................ver distribución Ffactor de cobertura 2.3.6, 3.3.7, 4.3.4 nota, 6.2.1, 6.3 y sig. G.1.3, G.2.3,

G.3.4, G.6.1 y sig.frecuencia....................................................................................C.2.17 , distribución de...........................................ver distribución, frecuencia , relativa........................................................................................E.3.5

G

grado de confianza...................................3.3.5, E.3.5, E.4.4, E.5.2 notagrados de libertad4.2.6, C.2.31, E.4.3, G, G.3, G.3.2, G.3.3, G.6.3, G.6.4 , de una estimación ponderada de la varianza (o de un desvío estándar ponderado)........................H.1.6, H.3.6 nota , de una incertidumbre estándar de Tipo A..............G.3.3, G.6.3, G.6.4 , de una incertidumbre estándar de Tipo B....G.4.2, G.4.3, G.6.3, G.6.4 , efectivos.....................................6.3.3, G.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2 y sig. , efectivos, componentes de tipo A solamente.........7.2.1, G.4.1 nota 3 , efectivos, componentes de tipo B solamente.........7.2.1, G.4.1 nota 3Grupo de Trabajo para la Expresión de IncertidumbresI, v, 0.5, 3.3.3, 6.1.1, 6.1.2, A.1, A.2, A.3Grupo 3 de trabajo (ISO/TAG 4/WG3)...................................................v

H

histograma.................................................................4.4.3, D.6.1 nota 1

I

IEC...................................................................................i, ii, v, A.3, B.1IFCC........................................................................................i, ii, v, B.1incertidumbre, agrupando componentes de.........3.3.3 nota, 3.4.3, E.3.7 , categorizando o clasificando componentes de3.3.3, 3.3.4, E.3.6, E.3.7 , comparación de dos vistas de..............................................E.5 y sig.

, componentes de doble conteo..................................................4.3.10 , cuando no se aplica una corrección..............3.4.4, 6.3.1 nota, F.2.4.5 , debida a aritmética de precisión finita.......................................F.2.2.3 , debida a histéresis....................................................................F.2.22 , debida a la resolución de una indicación digital........................F.2.2.1 , debida a muestreo limitado.......................................4.3.2 nota, E.4.3 , debida a una definición incompleta del mesurando3.1.3 nota, D.1.1, D.3.4, D.6.2 , definición del termino...........................ver incertidumbre de medición , de la muestra.....................................................................F.2.6 y sig. , del desvío estándar de la media, experimental.....4.2.3, B.2.17 nota 2 , del desvío estándar experimental de la media...........4.3.2 nota, E.4.3 , de medición.............................1, 0.2, 1.1., 2.2, 2.2.1-2.2.4, 3.3, 3.3.1,

3.3.2, B.2.18, D, D.5, D.5.1-D.5.3, D.6.1, D.6.2 , del método de medición.................................................F.2.5, F.2.5.1 , desvío estándar como medida de....................E.3.2, E.4, E.4.1-E.4.4 , de tipo A, evaluación de.........ver tipo A, evaluación de incertidumbre , de tipo B, evaluación de.........ver tipo B, evaluación de incertidumbre , de una corrección.................3.2.3 nota, 3.3.1, 3.3.3, D.6.1, E.1.1, E.3 , de una magnitud controlada.....................................................F.2.4.3 , de una única observación de un instrumento calibrado............F.2.4.1 , de una única observación de un instrumento verificado...........F.2.4.2 , dígitos significativos para............................................................7.2.6 , estándar.................2.3.1, 3.3.5, 3.3.6, 4.1.5, 4.1.6, 4.2.3, D.6.1, E.4.1 , estándar combinada2.3.4, 3.3.6, 4.1.5, 5, 5.1.1-5.1.3, 5.1.6, 5.2.2, 6.1.1, D.6.1, E.3.6 , estándar combinada, cálculo numérico de. . .5.1.3 nota 2, 5.2.2 nota 3 , estándar combinada, de componentes de tipo A solamente7.2.1, G.4.1 nota 3 , estándar combinada, de componentes de tipo B solamente7.2.1, G.4.1 nota 3 , estándar combinada, informando......................................7.2.1, 7.2.2 , estándar combinada, relativa.............................................5.1.6, 7.2.1 , estándar combinada y Comités Consecutivos......................6.1.1, A.3 , estándar combinada y comparaciones internacionales........6.1.1, A.3 , evaluación estadística, variando las magnitudes de entrada3.4.1, 3.4.2, 4.2.8, F.2.1, H.5.3.3 , expandida2.3.5, 3.3.7, 6, 6.2.1-6.2.3, G.1.1, G.2.3, G.3.2, G.4.1, G.5.1-G.5.4,

G.6.4-G.6.6 , expandida informando.......................................................7.2.3, 7.2.4 , expandida para una distribución asimétrica................................G.5.3 , expandida relativa.......................................................................7.2.3 , fuentes de...................................................................................3.3.2 , ignorando un componente de......................................................3.4.4 , ilustración gráfica de evaluación...........................................4.4 y sig. , informando..............................................................................7 y sig. , intrínseca....................................................................................D.3.4 , justificación para evaluaciones realistas de................E.2, E.2.1-E.2.3 , ley de propagación de3.3.6, 3.4.1, 5.1.2, E.3, E.3.1, E.3.2, E.3.6, G.6.6 , máxima admitida......................................................................F.2.4.2 , magnitud internamente consistente para la expresión de la...........0.4 , magnitud transferible para la expresión de.....................................0.4 , método ideal para evaluación y expresión de la.............................0.4 , mínima.......................................................................................D.3.4 , necesidad de un informe explícito de..........................................7.1.3 , ponderada, calidad y utilidad de la..............................................3.4.8 , redondeo de................................................................................7.2.6 , relativa........................................................................................5.1.6

140

, resumen de procedimiento para la evaluación y expresión de la.......8 , segura...................................E.1.1, E.1.2, E.2.1, E.2.3, E.4.1, F.2.3.2 , total..................................................................................2.3.5 nota 3independencia.........................................................................5.1, C.3.7independientes, repeticiones.................ver repeticiones independientesinfluencia, magnitudes aleatorias dever magnitudes aleatorias de influencia , magnitud............................................3.1.5, 3.1.6, 3.2.3, 4.2.2, B.2.10información, reunión de, para una evaluación de Tipo B3.3.5 nota, 4.3.1, 4.3.2, 5.2.5Internacional Electrotechnical Commission.................................ver IECInternacional Federation of Clinical Chemistry...........................ver IFFCInternacional Organization for Standardization............................ver ISOInternacional Organization of Legal Metrology..........................ver OIMLInternacional System of Units (SI)............................................0.3, 3.4.6Internacional Union of Pure and Applied Chemistry................ver IUPACInternacional Union of Pure and Applied Physics....................ver IUPAPInternacional vocabulary of basic and general terms in metrologyver VIMintervalo, de cobertura estadística................................................C.2.30 , de confianza........................4.2.3 nota 1, 6.2.2, C.2.27, C.2.28, E.3.3 , de confianza a dos lados..........................................................C.2.27 , de confianza a un lado.............................................................C.2.28 , tolerancia, estadístico....................................................C.2.30 nota 2intervalos de confianza, propagación de.........................................E.3.3ISO...................................................................................i, ii, v, A.3, B.1 /TAG 4................................................................................................v /TAG4/WG 3.......................................................................................v /TAG4/ WG3, términos de referencia de.............................................v Technical Advisory Group on Metrology (ISO/TAG 4).........................v 3534-1......................................................................................2.1, C.1IUPAC.....................................................................................i, ii, v, B.1IUPAP.....................................................................................i, ii, v, B.1

L

laboratorios, metrología nacional o patrones.........................................vLaplace-Gauss, distribución de.....................................................C.2.14límite de seguridad..................................................................6.3.1 notalímites de un argumento.........................4.3.7-4.3.9, 4.4.5, 4.4.6, F.2.3.3 , superior e inferior de un argumento.........ver límites de un argumento , máximos..................................................ver límites de un argumento

M

magnitud, controlada...................................................................F.2.4.3 , de influencia.......................................3.1.5, 3.1.6, 3.2.3, 4.2.2, B.2.10 , de salida.....................................................................................4.1.2 , mesurable..................................................................................B.2.1 , particular................................................................3.1.1, B.2.1 nota 1 , realizada..................................................D.2, D.2.1, D.3.1-D.3.3, D.4 , valor de una...............................................ver valor de una magnitudmagnitudes aleatorias de influencia................................F.1.1.3, F.1.1.4materiales de referencia, certificación de..............................H.5, H.5.3.2

máxima entropia, principio de...............................................4.3.8 nota 2media...................................................................................C.2.9, C.3.1 , aritmética......................................................4.1.4 nota, 4.2.1, C.2.19medición........................................................................3.1, 3.1.1, B.2.5 , exactitud de................................................ver exactitud de medición , jerarquia de.................................................................................7.1.1 , método de.....................................................ver método de medición , modelo matemático de la...............3.1.6, 3.4.1, 3.4.2, 4.1, 4.1.1, 4.1.2 , papel de ANOVA en una...................................................H.5.3 y sig. , principio de...................................................ver principio de medición , procedimiento.............................................3.1.1, 7.1.2, B.2.8, F.1.1.2 , resultado de una..................................ver resultado de una medición , resultado de y su incertidumbre, disponibilidad de información describiendo un...............7.1.1, 7.1.3 , resultado de y su incertidumbre, formatos para informar un7.2.2, 7.2.4 , resultado de y su inertidumbre, informando en detalle un. .7.1.4, 7.2.7mediciones, espectro de, respecto de las cuales se aplica esta Guía 1.1mesurando...................1.2, 3.1.1, 3.1.3, B.2.19, D.1, D.1.1, D.1.2, D.3.4 , definición o especificación del.....................................ver mesurando , incertidumbre debido a la definición incompleta delver incertidumbre debido a la

definición incompleta del mesurando , medición mejor posible del.........................................................D.3.4 , muchos valores del....................................................................D.6.2 , valor del.............................................................................3.1.1-3.1.3 mesurandos, relacionados covarianza dever estimaciones de salida o magnitudes

correlacionadasmétodo de cuadrados mínimos........ver cuadrados mínimos, método demétodo de medición.............................................................3.1.1, B.2.7 , incertidumbre del...............ver incertidumbre del método de medición , unidad dependiente del.................................................................H.6metrología legal..............................................................................3.4.5modelo matemático de la mediciónver medición, modelo matemático de lamomento central de orden q...........................C.2.13, C.2.22, E.3.1 notamuestreo, incertidumbre debido a limitadover incertidumbre debido a muestreo

limitado

N

nivel de confianza.............................................................................................................6.2.2, C.2.29 , mínimo...................................................................................................................................F.2.3.2normal, distribución................................4.2.3 nota 1, 4.3.2 nota, 4.3.4-4.3.6, 4.3.9 nota 1, 4.4.2, 4.4.6,

C.2.14, E.3.3, F.2.3.3, G.1..3, G.1.4, G.2.1-G.2.3, G.5.2 nota 2

O

observaciones, repetidas.......................3.1.4-3.1.6, 3.2.2, 3.3.5, 4.2.1, 4.2.3, 4.3.1, 4.4.1, 4.4.3, 5.2.3, E.4.2, E.4.3, F.1, F.1.1, F.1.1.1, F.1.1.2, G.3.2

observaciones simultáneas, pares independientes de..........................................5.2.3, C.3.4, F.1.2.2, H.2.2, H.2.4, H.4.2

OIML................................................................................................................................i, ii, v,A.3, B.1

142

P

parámetro.......................................................................................C.2.7población......................................................................................C.2.16precisión............................................................................B.2.14 nota 2principio de medición......................................................................B.2.6probabilidad......................3.3.5, 4.3.7-4.3.9, C.2.1, E.3.5, E.3.6, F.2.3.3 , convolucionando distribuciones de4.3.9 nota 2, G.1.4-G.1.6, G.2.2, G.6.5 , de cobertura.........................................0.4, 2.2.3 nota 1, 2.3.5 notas 1 y 2, 3.3.7, 4.3.4, 6.2.2, 6.2.3, 6.3.1-6.3.3, G, G.1.1-G.1.3, G.2.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.6.1, G.6.4, G.6.6 , distribución de3.3.4, 4.1.1 nota 1, 4.1.6, 4.2.3 nota 1, 4.4.1-4.4.4, C.2.3, E.4.2, G.1.4, G.1.5 , elemento de............................................................C.2.5 nota F.2.4.4 , función de densidad3.3.5, 4.3.8 nota 2, 4.4.2, 4.4.5, 4.4.6, C.2.5, F.2.4.4 , función de masa.........................................................................C.2.6 , subjetiva...........................................................................3.3.5, D.6.1promedio.................................................................ver media aritméticapropagación, de errores, ley generalver errores, ley general de propagación de , de incertidumbre, ley de......ver incertidumbre, ley de propagación de

R

Recomendación INC-1 (1980)i, v, 0.4, 0.7, 3.3.3, 6.1.1, 6.1.2, 6.3.3, A.1, A.3, E, E.2.3, E.3.7Recomendación 1 (CI-1981), CIPM.........................i, 0.5, 6.1.1, A.2, A.3Recomendación 1 (CI-1986), CIPM......................i, 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.3relación funcional...................................................................4.1.1, 4.12 , linealización de una............................5.1.5, F.2.4.4 nota, 5.1.6 nota 1 , no lineal.........4.1.4 nota, 5.1.2 nota, F.2.4.4 nota, G.1.5, H.1.7, H.2.4repetibilidad, condiciones de....................................3.1.4, B.2.15 nota 1 , de resultados de mediciones....................................................B.2.15repeticiones independientes........................................................F.1.1.2reproducibilidad de resultados de mediciones...............................B.2.15resultado, corregido..........................................B.2.13, D.3.1, D.3.4, D.4 , de una medición.......................................................1.3, 3.1.2, B.2.11 , sin corregir................................................................................B.2.12

S

seguridad, límite de.................................................................6.3.1 notasensibilidad, coeficientes de..................................................5.1.3, 5.1.4 , coeficientes de, determinación experimental de..........................5.1.4sesgo......................................................................................3.2.3 notasistemático........................................................3.3.3, E.1.3, E.3.4-E.3.7 , efecto................................................................ver efecto sistemático , error....................................................................ver error sistemáticoStudent, distribución de........................................................C.3.8, G.3.2

T

t distribución4.2.3 nota 1, C.3.8, G.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.4.2, G.5.34, G.6.2 , cuartiles de la.....................................................................G.3.4 notaTaylor, serie de...........................5.1.2, E.3.1, G.1.5, G.4.2, H.1.7, H.2.4test F..............................................................................H.5.2.2, H.5.2.4t factor...................E.3.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2, G.6.4-G.6.6Teorema Central del Límite.G.1.6, G.2, G.2.1-G.2.3, G.6.2, G.6.5, G.6.6términos de alto orden........................................5.1.2 nota, E.3.1, H.1.7Tipo A, evaluación de covariancia...................................................5.2.3 , evaluación de incertidumbre2.3.2, 3.3.3-3.3.5, 4.1.6, 4.2, 4.2.1-4.2.8, 4.3.2, 4.4.1-

4.4.3, E.3.7, F.1, F.1.1.1-F.1.2.4 , incertidumbre estándar...........................................3.3.5, 4.2.3, C.3.3 , incertidumbre estándar combinada........................7.2.1, G.4.1 nota 3 , variancia.....................................................................................4.3.1

U

unidad, uso de un valor adoptado de un patrón de medición como3.4.6, 4.2.8 nota

V

valor, convencionalmente verdadero de una magnitud..................................................................B.2.4 , de una magnitud..............................................................................................................3.1.1, B.2.2 , verdadero de una magnitud................................2.2.4, 3.1.1 nota, B.2.3, D, D.3, D.3.1, D.3.4, D.3.5,

E.5.1-E.5.4variable, aleatoria.......................................4.1.1 nota 1, 4.2.1, 4.2.3 nota1, C.2.2, C.3.2, C.3.4, C.3.7,

C.3.8,E.3.4, F.1.2.1, G.3.2 , aleatoria centrada...................................................................................................................C.2.10variaciones aleatorias correlacionadas..........................................................................................4.2.7variancia..................................................................................3.1.7, 4.2.2, 4.2.3, C.2.11, C.2.20, C.3.2 , análisis de la...................................................................................................................ver ANOVA , combinada.......................................................................................................................3.3.6, 5.1.2 , de Allan.............................................................................................................................4.2.7 nota , de la media.....................................................................................................................4.2.3, C.3.2 , estimación ponderada de (o desvío estándar experimental ponderado)..........................4.2.4, 4.2.8

nota, H.1.3.2, H.3.6 nota, H.5.2.2, H.4.25, H.6.3.1, H.6.3.2 nota , experimental (o estimación de la)............................................................................4.2.2, H.3.6 nota , experimental de la media................................................................................................4.2.3, C.3.2 , relativa.......................................................................................................................................5.1.6 , relativa combinada....................................................................................................................5.1.6VIM........................................................................................................................2.1, 2.2.3, 2.2.4, B.1

W

Weich-Satterwaite, fórmula de........................G.4.1, G.4.2, G.6.2, G.6.4

144

Anexo L(Informativo)

Antecedentes para la elaboración de esta nroma IRAM

En el estudio de esta norma se han tenido en cuenta los antecedentes siguientes:

ISO - INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION

BIPM - BUREAU INTERNATIONAL DES POIDS ET MESURES

IEC - INTERNATIONAL ELECTROTECHNICAL COMISSION

IFCC - INTERNATIONAL FEDERATION OF CHEMICAL CHEMISTRY

IUPAC - INTERNATIONAL UNION OF PURE AND APPLIED CHEMISTRY

IUPAP - INTERNATIONAL UNION OF PURE AND APPLIED PHYSICS

OIML - INTERNATIONAL ORGANIZATION OF LEGAL METROLOGY

Guide to the expression of un centainty in measurements (Edition de 1993)

INTI - INSTITUTO NACIONAL DE TECNOLOGÍA INDUSTRIAL

CEFIS - CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO EN FÍSICA

Guía para la expresión de incertidumbres de Medición (Edición de 1999)

CENTRO ESPAÑOL DE METROLOGÍA

Guía para la expresión de la incertidumbre de medida (Edición de 1998)

Anexo N(Informativo)

El estudio de esta norma estuvo a cargo de los organismos respectivos, integrado en la forma si-guiente:

Subcomité de Estadística

Participantes Representan a:

Dr. Jorge H. CAPACCIOLI INVITADO ESPECIALEst. María Susana HANCEVIC CONSEJO PROFESIONAL DE CIENCIAS ECONÓ-

MICAS – CÁMARA II – SANTA FEIng. Horacio NAPOLITANO JENCK S.A.Ing. Carlos PÉREZ FACULTAD DE INGENIERÍA – UBAEst. Stella Maris ROLANTE CONSEJO PROFESIONAL DE CIENCIAS ECONÓ-

MICAS – ROSARIODra. Dora VIGODA DE LEYT INVITADO ESPECIALLic. Alba ZARETZKY CNEAIng. Flavio A. DURANTE IRAM

TRÁMITE

El estudio de este esquema ocupó la atención del Subcomité de Estadística en la reunión del 22 de abril de 1997 (Acta 2-1997), en las reuniones del 19 de abril, 12 de mayo, 16 de junio, 11 de agosto, 8 de septiembre, 6 de octubre y 10 de noviembre de 1998 (Actas 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7-1998) y en las reuniones del 30 de mayo, 20 de abril, 4 de mayo, 1º de junio, 2 de julio, 31 de agosto, 28 de sep-tiembre, 26 de octubre y 30 de noviembre de 1999 (Actas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9-1999), en la reunión del 28 de septiembre de 1999 (Acta 7-1999) se aprobó como Esquema 1 y se envió a Discusión Pú-blica por 30 d.

*****************************

APROBADO SU ENVÍO A DISCUSIÓN PÚBLICA POR EL SUBCOMITÉ DE ESTADÍSTICA, EN LA REUNIÓN DEL 28 DE SEPTIEMBRE DE 1999 (Acta 7-1999).

FIRMADOIng. Flavio Durante

Coordinador del Subcomité

FIRMADODr. Fernando Azcoaga

Secretario del Subcomité

FIRMADOLic. Marta R. de Barbieri

Vº Bº Equipo A

GS.

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IRAM 35050E1

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