Ioan Merches Radu Daniel mica

8/3/2019 Ioan Merches Radu Daniel mica

1/276

1

IOAN MERCHES DANIEL RADU

ELECTRODINAMICA

EDITURA UNIVERSITATII ALEXANDRU IOAN CUZA

IASI - 2002


2/276

2


3/276

3

PARTEA INTAI

ELECTRODINAMICA FENOMENOLOGICA


4/276

4


5/276

5

CUPRINSUL PARTII INTAI

Nota asupra editiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Prefata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Scurt istoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

CAPITOLUL I. CAMPUL ELECTROSTATIC . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1. Legea lui Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2. Densitatea de sarcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3. Campul electrostatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4. Fluxul campului electrostatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5. Potentialul campului electrostatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6. Energia campului electrostatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7. Dipolul electric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8. Multipoli electrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9. Polarizarea dielectricilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.10. Teorema lui Gauss relativa la medii dielectrice . . . . . . . . . . . 461.11. Tipuri de dielectrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.12. Ecuatii de trecere pentru componentele de camp E, D . . . 48Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.13. Metode speciale. Consideratii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.14. Metoda imaginilor electrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.15. Integrarea ecuatiei lui Laplace prin metoda

separarii variabilelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.16. Probleme electrostatice bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


6/276

6

1.17. Actiunea mecanica a campului electrostatic asupraunui mediu dielectric. Electrostrictiunea . . . . . . . . . . . . . . . 71

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

CAPITOLUL II. CAMPUL CURENTILOR STATIONARI . . 782.1. Curentul electric stationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.2. Campul magnetic al curentului electric stationar . . . . . . . . . . 852.3. Dipolul magnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4. Teorema lui Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.5. Potentialul vector al campului curentului stationar . . . . . . . . 912.6. Energia campului magnetic al curentilor stationari . . . . . . . . 922.7. Multipoli magnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.8. Medii magnetice polarizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.9. Tipuri de medii magnetizabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.10. Ecuatii de trecere pentru componentele de camp H, B . . 102

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

CAPITOLUL III. CAMPUL ELECTROMAGNETIC . . . . . . . 1053.1. Ecuatiile lui Maxwell pentru vid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2. Ecuatiile lui Maxwell pentru medii polarizabile . . . . . . . . . . . 1103.3. Ecuatii de trecere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.4. Energia campului electromagnetic. Teorema lui Poynting . 1213.5. Impulsul campului electromagnetic. Teorema impulsului. .1243.6. Momentul cinetic al campului electromagnetic.

Teorema momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.7. Potentiale electrodinamice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.8. Utilizarea potentialelor electrodinamice n deducerea analitica

a unor ecuatii fundamentale din electrodinamica . . . . . . 137Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.9. Ecuatiile campului electromagnetic pentru

medii n miscare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


7/276

7

CAPITOLUL IV. UNDE ELECTROMAGNETICE . . . . . . . . . . 1534.1. Consideratii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.2. Propagarea undelor electromagnetice prim medii

de tip dielectric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.3. Polarizarea undelor electromagnetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.4. Reflexia si refractia undelor electromagnetice . . . . . . . . . . . . . 168Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.5. Propagarea undelor electromagnetice n conductoare masive.

Efectul pelicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.6. Propagarea undelor electromagnetice n medii

de tip semiconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.7. Propagarea undelor electromagnetice n medii anizotrope . 1854.8. Dispersia undelor electromagnetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.9. Propagarea undelor electromagnetice prin

ghiduri de unda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.10. Teoria radiatiei electromagnetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

CAPITOLUL V. ELEMENTE DEMAGNETOFLUIDODINAMICA . . . . . . . . . . . . . . . 250

5.1. Consideratii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.2. Ecuatiile de baza ale magnetofluidodinamicii . . . . . . . . . . . . . 2525.2. Inghetarea liniilor campului magnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2555.3. Unde magnetohidrodinamice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575.4. Unele probleme ale magnetohidrostaticii . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270


8/276

8

Nota asupra editiei

Teoria producerii si propagarii campului electromagnetic, cunos-cuta sub numele de Electrodinamica, are cateva caracteristici funda-mentale, ntre care remarcam : vastitatea ariei fenomenelor conexe, di-versitatea modurilor de abordare a teoriei si aplicabilitatea practica amodelelor investigate.

In primul rand, Electrodinamica, privita ca disciplina de studiu uni-versitar, este parte componenta a bazei teoretice pe care se cladestentregul edificiu al cunostintelor viitorilor specialisti care, ulterior, stu-diaza discipline ca : Dispozitive si circuite electronice, Fizica plasmei,

Teoria cuantica a campului, Fizica si tehnica microundelor, Mecanicacuantica, Optica etc.

In al doilea rand, teoria campului electromagnetic poate fi abordatadin mai multe unghiuri, corespunzatoare perfectionarii cunostintelornoastre despre natura si a instrumentului matematic. Astfel, alaturi deteoria maxwelliana a campului electromagnetic, denumita si fenomeno-logica, Electrodinamica poate fi tratata si relativist-covariant, fie dinpunctul de vedere al Teoriei restranse a relativitatii, fie din cel al Re-lativitatii generale. In sfarsit, acelasi grup de fenomene pot fi studiateprin formalismul oferit de Teoria cuantica a campului, n care un rol

central l are Electrodinamica cuantica.In al treilea rand, dar nu si cel din urma, este de remarcat faptul

ca undele electromagnetice, initial prevazute (prin teoria lui Maxwell) siabia apoi puse n evidenta experimental, sunt purtatoarele de informatien cele mai diverse aplicatii, de la cele mai vechi (radio-ul, televiziunea,radarul etc.) si pana la cele mai noi (telefonia mobila, comunicatia prinfibre optice, descifrarea semnalelor cosmice etc.). Referindu-ne la studiuluniversitar al Teoriei campului electromagnetic, mentionam ca existaformatiuni mari de studiu, chiar facultati, care au ca obiect tehnica pro-


9/276

9

ducerii si propagarii undelor electromagnetice (n particular, a curentilorde diverse frecvente si intensitati).

Cartea pe care o prezentam cititorilor aduna ntr-un numar micde pagini o cantitate mare de informatie. Electrodinamica, una dintrecele mai frumoase si utile teorii ale fizicii, poate fi tratata sau axiomatic,plecand de la cateva principii fundamentale si ajungand la electrostatica,campul curentilor stationari etc. drept cazuri particulare, sau plecandde la simplu spre complex si de la particular la general, urmand totodatatraseul evolutiei n timp a cunostintelor despre campul electromagnetic.Autorii au ales ultima cale si, avand n vedere nivelul de pregatire alcelor carora le este adresata monografia, apreciem ca au ales solutia ceamai nimerita.

Primele capitole ale cartii sunt consacrate studiului unor elementefundamentale din teoria campului electrostatic si teoria campului pro-dus de curentii stationari, cum ar fi : multipolii stationari, ecuatiilepotentialului scalar si vectorial, medii polarizabile, teoreme generaleetc. Cunostintele acumulate sunt apoi aplicate n studiul cantitativ

al campului electromagnetic, ncepand cu ecuatiile lui Maxwell si con-tinuand cu diverse aplicatii ale acestora n definirea marimilor funda-mentale ale campului electromagnetic (impuls, energie, moment cinetic)si evolutia acestora n timp. Studiul producerii si propagarii undelorelectromagnetice prin diverse modele de mediu fac obiectul celui de alpatrulea capitol. Tot aici se discuta polarizarea, reflexia si refractia,dispersia si ghidarea undelor electromagnetice. Prima parte se ncheiecu un capitol consacrat unui domeniu de granita dintre electrodinamicasi teoria fluidelor, anume Magnetodinamica fluidelor.

Urmatoarele cinci capitole au ca scop pregatirea cititorului cu prin-

cipiile si formalismul necesar abordarii relativist-restranse a Electro-dinamicii : postulatele lui Einstein, transformarea Lorentz-Einstein siconsecintele acesteia, spatiul Minkowski n diverse reprezentari etc. For-malismul oferit de calculul tensorial permite autorilor, n continuare,scrierea relativist-covarianta a celor mai importante ecuatii si legi deconservare din Electrodinamica. Ultimul capitol al cartii este consa-crat catorva elemente de Relativitate generala si, prin acest forma-lism, studiului ecuatiilor fundamentale din Electrodinamica n prezentacampului gravitational.


10/276

10

Experienta acumulata de subsemnatul n peste 50 de ani de carieradidactica universitara, timp n care am predat aproape toate disciplinelede fizica teoretica, ma ndreptateste sa recomand calduros aceasta cartecititorilor, cu convingerea ca le va servi nu numai la mbogatirea orizon-tului stiintific, dar si la dezvoltarea capacitatii de a gandi.

Prof.dr. Ioan GottliebIasi, 2002


11/276

11

P R E F A T A

Prin Electrodinamica se ntelege, n general, teoria unitara acampului electromagnetic, conceput ca purtator de energie, impuls simoment cinetic. Acest studiu se poate realiza fie fenomenologic, ncazul mediilor n repaus sau n miscare cu viteza mica n comparatie cuviteza luminii, fie relativist-covariant, abordare ce cuprinde orice vitezade grup posibila (dar inferioara vitezei luminii n vid).

De fapt, Electrodinamica si Teoria Relativitatii nu sunt teorii dis-tincte, independente. Nu exista o electrodinamica relativista si unanerelativista, cele doua abordari diferind doar prin nivelul formalis-mului matematic utilizat. Asa cum cititorul va afla parcurgand carteade fata, teoria relativitatii a aparut si s-a dezvoltat n cadrul studiuluielectrodinamicii corpurilor n miscare, deci se poate afirma ca Electro-dinamica este relativista.

Cele doua moduri de analiza au stat, de altfel, la baza conceperiin doua parti a prezentei lucrari, criteriu la care autorii au adaugatprincipiul didactico-metodologic al trecerii de la simplu la complex, nstransa corelatie cu ordinea cronologica a elaborarii teoriilor ce formeazacoloana vertebrala a electrodinamicii.

Partea I contine cinci capitole, consacrate trecerii n revista aprincipiilor, notiunilor fundamentale si ecuatiilor (legilor) de baza ale

electrostaticii, teoriei curentilor stationari, teoriei campului electromag-netic, generarii si propagarii acestuia sub forma de unde, precum si aleunei discipline de granita magnetodinamica fluidelor.

Cea de a doua parte este conceputa pe sapte capitole. Dupa ex-punerea bazelor experimentale si a principiilor teoriei relativitatii re-stranse, se discuta principalele consecinte ale transformarii Lorentz-Einstein. In continuare, se aplica formalismul analitic si cel ten-sorial n formularea relativist-covarianta a fenomenelor fundamentaledin mecanica si electrodinamica. Capitolul se ncheie cu elemente de


12/276

12

teorie a relativitatii generale si, ca aplicatie, studiul general-relativist alcampului electromagnetic.

La sfarsitul volumului se gasesc sase anexe, menite a facilitantelegerea de catre cititor a formalismului matematic utilizat n carte:calcul tensorial, distributia delta, functia Green, operatori diferentiali ndiverse sisteme de coordonate etc.

In tara si peste hotare s-au scris, n ultimele decenii, numeroasecarti de Electrodinamica, unele dintre ele excelente, care pot fi gasite sin traducere romaneasca. Scopul elaborarii cartii de fata este, naintede toate, didactic, autorii dorind a prezenta cititorului un mod de abor-dare a unora dintre cele mai revolutionare teorii ale fizicii. Aceasta s-arealizat printr-o anumita selectie a materialului de studiu, care sa fie catmai cuprinzator pe de o parte, dar concis si sobru pe de alta.

Prin importanta materiei tratate (Planul de nvatamant al Fa-cultatilor de fizica, din tara si strainatate, contine aceasta disciplina caobiect de studiu fundamental), cartea de fata se adreseaza studentilorFacultatilor de Fizica (toate sectiile), Matematica, Chimie, precum si

studentilor facultatilor tehnice, care audiaza cursuri de fizica generala.In fine, lucrarea este utila cadrelor didactice din nvatamantul preuni-versitar, care doresc a se perfectiona prin modalitatile ce le sunt oferiteprin lege: definitivat, gradul II si gradul I.

Materialul cuprins n prezentul volum este rodul multor ani depredare a cursului de Electrodinamica si teoria relativitatii si de con-ducere a seminariilor aferente acestui curs, la Facultatea de Fizica dela Universitatea Al.I.Cuza din Iasi. Autorii doresc a multumi tuturorcelor care au contribuit la aparitia cartii si, cu anticipatie, celor ce nevor spune parerea lor sincera despre modestul nostru demers.

Scriind aceasta carte, dorim a adresa un mesaj de suflet distinsilornostri naintasi, prof.dr. Teofil Vescan, fondatorul scolii iesene de fizicateoretica, precum si discipolilor acestuia, prof.dr. Ioan Gottlieb si lect.drCleopatra Mociutchi, la scoala carora ne-am luminat si am nvatat sadistingem adevaratele valori spirituale.

Autorii


13/276

13

SCURT ISTORIC

De la primele observatii asupra fenomenelor electrice si magnetice,apartinand lui Thales din Milet, Democrit, Platon, Aristotel si pana lacel dintai rezultat cantitativ, exprimat prin legea lui Coulomb, stabilitan a doua jumatate a secolului al XVII-lea, au trecut peste doua milenii.

In cele doua mii de ani, observatiile si experimentele au avut un

caracter calitativ, ceea ce nu a permis elaborarea unei teorii stiintifice afenomenelor electrice si magnetice. In aceasta perioada s-au acumulat oserie de date experimentale care au condus, n mod necesar, la ceea cecunoastem azi sub numele de Electromagnetism. Sa le trecem, succint,n revista.

In antichitate se cunoaste busola, prin urmare proprietatile mag-netice ale corpurilor, precum si electrizarea produsa prin frecare.

In evul mediu, la preocuparile privind studiul busolei se adaugacele privind magnetismul pamantesc. In Epistola de magnete (1269),Petrus Peregrinus introduce notiunile de pol sud, pol nord si magnetismterestru. De probleme ale magnetismului terestru se ocupa si medicul

englez William Gilbert n cartea De magnete (1600). Aici, el definestenotiunea de pol magnetic pamantesc si descrie unele experimente privindfenomenele electrice si magnetice statice.

Cercetarile lui Gilbert dau un avant considerabil studiului experi-mental al electrostaticii si magnetostaticii. Mentionam aici celebra lu-crare Experimenta Nova (1672) a lui Otto von Guericke, n care pentruprima data substantele sunt mpartite n conductori si izolatori, precumsi observatiile experimentale ale lui Stefan Gray care, n 1731, reusestesa trimita electricitate prin fire metalice.


14/276

14

In secolul al XVIII-lea sunt inventate electroscopul (Charles-Francois Dufay - 1723) si butelia de Leyda (Pieter van Musschenbrock -1765). In aceeasi perioada, Benjamin Franklininventeaza paratrasnetul,construieste condensatorul plan si da denumirile de electricitate pozi-tiva si negativa. Cercetarile efectuate n aceasta perioada se bazaupe ipoteza existentei unui fluid imponderabil numit eter, ca substrat alfenomenelor electrice, magnetice si luminoase.

Dupa enuntarea legii lui Coulomb n 1785, ncepe o perioada nouan studiul fenomenelor electrice si magnetice. Cercetarile sunt legate denumele lui Carl Friederich Gauss, Pierre Simon de Laplace, Simeon-Denis Poisson, Alessandro Volta, Humphry Davy, Georg Ohm, JamesPrescott Joule s.a.

In 1820 fizicianul danez Hans Christian Oersted descopera efectulmagnetic al curentului electric. Prin aceasta se stabileste o legaturantre cele doua grupe de fenomene, electrice si magnetice, consideratepana atunci principial distincte. Cercetarile lui Oersted sunt continuatede Andre Marie Ampere care da teorema ce-i poarta numele, stabileste

echivalenta dintre curentul circular si o foita magnetica si gaseste ex-presia fortei de interactiune dintre doi curenti.

Deosebit de importante n dezvoltarea electrodinamicii suntcercetarile lui Michael Faraday care, n 1831, descopera fenomenul deinductie electromagnetica, n 1833 - legile electrolizei, iar n 1836elaboreaza teoria liniilor de forta electrice si magnetice. Tot el intro-duce notiunea de camp pe care-l concepe ca un mediu material con-tinuu, intensitatea campului ntr-un punct caracterizand campul n acelpunct. Spre deosebire de majoritatea predecesorilor sai, ale caror teoriisunt tributare interpretarii fenomenelor electrice si magnetice de pe

pozitiile mecanicii, Faraday considera ca interactiunile electrice nu sepropaga instantaneu, la distanta, ci ntr-un timp finit, din aproape naproape (prin contiguitate), campul avand rol de mijlocitor al acestorinteractiuni. Faraday introduce notiunea de permeabilitate magnetica,descopera dia- si paramagnetismul si intuieste existenta curentului dedeplasare. In anul 1832 Faraday preda Societatii Regale din Londra unplic sigilat, cu rugamintea de a fi deschis peste 100 de ani. In 1932,cand s-a deschis plicul, s-a constatat ca Faraday prevazuse - ntre altele- existenta undelor electromagnetice.


15/276

15

Ideile revolutionare ale lui Faraday sunt profund ntelese si stralucitcontinuate de James Clark Maxwell. Opera sa capitala este Tratat deelectricitate si magnetism (1873). Aici Maxwell si expune celebrelesale ecuatii (se spune ca cel mai important lucru n teoria lui Maxwell lreprezinta ecuatiile sale), pe baza carora elaboreaza teoria electromag-netica a luminii si emite ideea existentei undelor electromagnetice. Teo-ria lui Maxwell neaga conceptia newtoniana, a interactiunii la distanta,si o nlocuieste cu cea a actiunii prin contiguitate, dar ramane tributarcelei dintai prin aceea ca preia notiunea de eter, campul fiind conceput deel ca o stare de tensiune elastica a eterului. (Teoria relativitatii elimina,ca inutila, existenta unui astfel de reper absolut. Aceasta nu mpiedica,nsa, pe diversi fizicieni sa renvie problema eterului, sa-l cuantifice si sastudieze caracteristicile cuantei de eter, eteronul). Generalizand legilefundamentale ale curentilor stationari si electromagnetismului, Maxwellintroduce notiunea de curent de deplasare si admite ca fenomenele elec-tromagnetice pot avea loc si n vid. Teoria lui Maxwell triumfa nanul 1888, cand Heinrich Rudolf Hertz produce unde electromagnetice,

demonstrand reflexia, refractia, difractia si interferenta acestora.Descoperirea electronului de catre James J. Thomson n 1896 a

permis elaborarea teoriei microscopice a fenomenelor electromagnetice,la care au contribuit Hendric Antoon Lorentz, Henri Poncare, PaulLangevin s.a. Teoria electronica a permis explicarea unor fenomene ca:dia-, para- si feromagnetismul, polarizarea substantelor dia-, para- si fe-roelectrice, dispersia luminii s.a., fenomene ce nu puteau fi interpretaten lumina teoriei macroscopice a lui Maxwell.

Elaborarea electrodinamicii corpurilor n miscare de catre Hertz siLorentz n ultimele decenii ale secolului al XIX-lea a condus, ntre altele,

la aparitia unor contradictii principiale n problema antrenarii eteruluide catre corpurile n miscare. Aceste contradictii sunt rezolvate prinelaborarea Teoriei relativitatii restranse, n anul 1905, de catre AlbertEinstein. Principiile, formalismul si aplicatiile teoriei relativitatii facobiectul celui de al doilea volum al prezentei lucrari.

In primele decenii ale secolului trecut au fost elaborate teorii care aula baza cuantificarea campului electromagnetic (Electrodinamica cuan-tica) sau studiul interactiunii dintre fluidele conductoare si campul elec-tromagnetic (Magnetofluidodinamica).


16/276

16


17/276

17

CAPITOLUL I

CAMPUL ELECTROSTATIC

A. Campul electrostatic n vid

1.1. Legea lui CoulombIn anul 1773 Henry Cavendish (1731-1810) deduce, prin analogie

cu legea atractiei universale stabilita de Isaac Newton, relatia ce ex-prima forta de interactiune dintre doua sarcini electrice punctiforme.Cercetarile lui Cavendish raman nsa necunoscute timp de peste un secolsi sunt publicate abia n 1879 de catre J.C.Maxwell.

Experimental, legea fortei de interactiune electrostatica este sta-bilita de inginerul francez Charles Augustin Coulomb (1736-1806), mem-bru al Academiei de Stiinte din Paris, cu ajutorul balantei de torsiunesi al pendulului electric. Lucrarea sa este publicata n anul 1785, motiv

pentru care a ramas denumirea de legea lui Coulomb.Potrivit legii lui Coulomb, doua sarcini punctiforme q1 si q2, asezate

n vid, interactioneaza dupa legea

F12 = keq1 q2

|r1 r2|3 (r1 r2) = keq1 q2

r312r12, (1.1)

unde semnificatia vectorilor r1, r2, r12 = r1 r2 rezulta din Fig.1.1.Constanta ke depinde de sistemul de unitati, fiind egala cu

14o

n S.I., n care o = 8, 854.1012 F/m este permitivitatea absoluta a


18/276

18

vidului. (Termenul de vid este nlocuit uneori, n literatura, cu cel despatiu liber).

Intrucat r12 = r21, rezulta ca F12 = F21, deci interactiunileelectrostatice satisfac principiul actiunii si react iunii. Spre deosebirensa de legea atractiei universale a lui Newton, forta de interactiune

electrostatica poate fi atat de atractie, cat si de respingere, n functiede semnul sarcinilor.

In cazul unui mediu oarecare, o se nlocuieste cu permitivitateaabsoluta a mediului respectiv, legata de o prin relatia = or, under este permitivitatea relativa a mediului.

Daca asupra sarcinii punctiforme q actioneaza n sarcini punctiformeq1,...,qn, forta rezultanta ce se exercita asupra lui q se exprima prin

F(r) =

n

i=1ke

qqi

|r

ri

|3

(r ri) = 14o

q

n

i=1qi

|r

ri

|3

(r ri), (1.2)

n care prin F(r) am indicat faptul ca forta F se masoara n punctuln care se afla sarcina q, a carei pozitie este definita prin vectorul depozitie r.

1.2. Densitatea de sarcina

Admitand ca sarcina electrica este distribuita n mod continuu pecorpul ce o poarta, vom caracteriza aceasta distributie prin notiunea de


19/276

19

densitate de sarcina. Distributia sarcinii depinde de forma geometricasi natura corpului. Intalnim urmatoarele cazuri:

a) Distributia liniara

= liml0

q

l=

dq

dl; q =

C

dl, (1.3)

b) Distributia superficiala

= limS0

q

S=

dq

dS; q =

S

dS, (1.4)

c) Distributia spatiala

= lim0

q

=

dq

d; q =

V

d. (1.5)

Legea lui Coulomb este valabila doar pentru sarcini punctiforme(cum sunt, de pilda, cele purtate de particulele elementare), de aceean punctele geometrice n care se afla sarcinile notiunea de densitate sipierde sensul. Pentru a putea utiliza acest concept si n cazul sarcinilorpunctiforme, vom face apel la distributia (functionala) , introdusa deP.A.M. Dirac (vezi Anexa E). Densitatea sarcinii punctiforme q, aflatan punctul Po(ro), se va scrie atunci

(r) = q (r ro). (1.6)

Intr-adevar, integrand pe domeniul tridimensional D, de volum V,

cu Po D, avem : D

(r) d = q

D

(r ro) = q.

Densitatea unui sistem discret de n sarcini punctiforme va fi

(r) =n

i=1

qi (r ri). (1.7)


20/276

20

Forta coulombiana dintre o sarcina punctiforma q si un corp ceocupa domeniul tridimensional D, electrizat n mod continuu cu sarcinaelectrica de densitate , se obtine mpartind corpul n domenii ele-mentare de volum d si sarcina dq, apoi integrand forta elementaradintre q si dq

F(r) =q

4o D

(r r)

|r

r|3

d, (1.8)

unde r este vectorul de pozitie al sarcinii q.

1.3. Campul electrostatic

Daca asupra unui corp electrizat, plasat ntr-un domeniu spatial, seexercita o forta de natura electrica, spunem ca n acel domeniu existaun camp electric. Un camp electric ce nu variaza n timp se numestestationar sau electrostatic.

Campul electrostatic se caracterizeaza prin intensitatea sa E care,

prin definitie, este raportul dintre forta F ce se exercita asupra uneisarcini de proba pozitive, asezate n camp, si marimea q a acestei sarcini,adica :

E(r) =F

q=

1

4oq

r r|r r|3 , (1.9)

n care sarcina q, care creeaza campul, se gaseste n punctul P(r). Dacasarcina q se afla n originea coordonatelor, avem

E(r) =

1

4o q

r

r3 . (1.10)

Pentru n sarcini punctiforme, intensitatea E a campului n punctulP(r) se va scrie

E(r) =1

4o

ni=1

qir ri

|r ri|3 . (1.11)

Daca sarcina electrica este distribuita n mod continuu, atat nvolumul cat si pe suprafata unui corp, campul acesteia n punctul P(r)


21/276

21

va fi

E(r) =1

4o

V

(r)r r

|r r|3 d +

S

(r)r r

|r r|3 dS

. (1.12)

Linii de camp. Fie curba C data parametric prin ecuatiilexi = xi(s)(i = 1, n). Daca n fiecare punct al curbei C campul E

este tangent la aceasta, curba se numeste linie a campului E. (Definitiaeste valabila pentru orice camp vectorial). Liniile campului electrostaticse mai numesc linii de fort a.

Daca notam prin ds un element orientat al liniei de camp, dindefinitie rezulta ds E = 0, sau n proiectie pe axele unui triedrucartezian ortogonal Oxyz :

dx

Ex=

dy

Ey=

dz

Ez, (1.13)

adica ecuatiile diferentiale ale liniilor campului electrostatic, n coordo-nate carteziene. In coordonate sferice, ecuatiile diferentiale ale liniilorde camp vor fi

dr

Er=

r d

E=

r sin d

E. (1.13)

Daca sistemul (1.13) admite o solutie unica, prin fiecare punct aldomeniului considerat trece o singura linie de camp. Prin conventie, seadmite ca sensul liniilor de camp este dat de sensul campului.

1.4. Fluxul campului electrostatic

Prin definitie, fluxul campului E prin suprafata S este

e =

S

E.dS =

S

E.n dS =

S

En dS, (1.14)

n care n este versorul normalei la dS. In cazul sarcinii punctiforme,relatia (1.10) ne permite sa scriem

e =q

4o

S

1

r3r.n dS =

q

4o

S

dS cos

r2=

q

4o

S

d, (1.15)


22/276

22

unde d este unghiul solid elementar sub care se vede elementul desuprafata dS din punctul n care se afla sarcina q (Fig.1.2). Dacasuprafata S este nchisa,

d este egala cu 4 sau zero, dupa cum

sarcina q se gaseste n interiorul suprafetei, respectiv n exteriorul ei.Din (1.15) deducem asadar

= S

E.dS = qo daca q este interior lui S0 daca q este exterior lui S

(1.16)

relatie ce exprima teorema lui Gauss sub forma integrala.

Pentru cazul distributiei discrete a n sarcini punctiforme n interi-orul suprafetei S, teorema lui Gauss se scrie

e =1

o

n

i=1qi, (1.17)

iar pentru o distributie continua n domeniul tridimensional D, al caruivolum este V

e =1

o

V

d. (1.18)

Aplicand teorema Green-Gauss-Ostrogradski (A.29), gasim

e =

S

E.n dS =

V

divE d,


23/276

23

prin urmare, tinand seama de (1.18), avem

div E =1

o, (1.19)

relatie ce exprima teorema lui Gauss sub forma diferentiala.Sa notam D = oE, camp numit inductie electrica a vidului. Cu

ajutorul acestuia, teorema lui Gauss (1.19) se mai scrie sub formadiv D = . (1.19)

Din (1.19) rezulta ca div E = 0 n punctele unde = 0. Acestepuncte se numesc surse ale campului electric. Sursele pot fi pozitive( > 0) sau negative ( < 0). In concluzie, campul electrostatic este uncamp cu surse, acestea fiind chiar sarcinile electrice.

1.5. Potentialul campului electrostatic

Fie dat campul vectorial a(r, t). Daca exista o functie scalara(r, t), astfel ncat sa putem scrie

a (r, t) = grad (r, t),spunem ca a este un camp potential, iar (r, t) se numeste potentialulcampului. Daca nu depinde explicit de timp, campul a se numesteconservativ.

Un astfel de camp este, de pilda, campul electrostatic al unei sarcinipunctiforme. Intr-adevar, admitand ca sarcina q se afla n origine, putemscrie:

E = 14o

q rr3

= 14o

q 1r

= 14o

qr.

Daca introducem notatia

V(r) = 14o

q

r, (1.20)

din relatia precedenta evem

E = V. (1.21)


24/276

24

Relatia (1.20) defineste potentialul campului produs de sarcina puncti-forma q, aflata n vid, ntr-un punct aflat la distanta r de sarcina q, iar(1.21) exprima legatura dintre intensitatea campului electrostatic E sipotentialul V al acestuia.

Daca sarcina se afla n punctul P, definit prin vectorul de pozitier, atunci n punctul P(r) potentialul va fi

V(r) = 14o

q

|r r| . (1.22)

Potentialul creat n P(r) de n sarcini punctiforme q1, q2,...,qn va fi

V(r) = 14o

ni=1

qi|r ri| , (1.23)

iar cel creat de o distributie continua de sarcina (un corp electrizat) se

va scrie V(r) = 14o

V

(r) d

|r r| +

S

(r) dS

|r r|

. (1.24)

Utilizand relatia (1.21) si observand ca operatorul se aplica nu-mai marimilor ce depind de r, se constata cu usurinta ca aplicand relatiei(1.24) operatorul se obtine campul E exprimat de (1.12).

Sa calculam circulatia campului E de-a lungul conturului nchis C.Avem :

C

E. dl =

C

V . dl =

C

d V = 0, (1.25)

caci integrala, pe un contur nchis, dintr-o diferentiala totala exacta estezero. Aplicand n (1.25) teorema Stokes-Ampere (A.31), obtinem

E. dl =

S

E. dS = 0,

adica n fiecare punct al campului electrostatic

rot E = 0, (1.26),


25/276

25

relatie ce reprezinta o alta modalitate de exprimare a caracterului con-servativ al campului electrostatic. Un camp cu proprietatea (1.26) senumeste irotational sau fara vartejuri.

Sa exprimam din nou circulatia campului E, de data aceasta luatantre doua puncte A si B ale unui contur oarecare:

BA E. dl = B

A d V =VA VB. (1.27)Dar integrala din membrul stang este numeric egala cu lucrul

mecanic efectuat de fortele electrice pentru a deplasa sarcina +1 dinA n B :

L =

BA

F. dl = q

BA

E. dl, (1.28)

prin urmare din (1.27) deducem

VA =VB + B

A E. dl. (1.29)

In timp ce diferenta de potential VA VB este determinata n modunic (campul E este determinat de distributia sarcinilor, iar circulatia nudepinde de drum), nu acelasi lucru se poate afirma despre potentialul npunctul A. Pentru a determina n mod unic potentialul n A, deplasampunctul B la si alegem V() = 0. Avem asadar

VA =

A

E. dl, (1.30)

relatie prin care se defineste potentialul ntr-un punct al campului elec-trostatic. Din (1.30) rezulta ca potentialul n punctul A este numericegal cu lucrul mecanic efectuat de fortele electrice pentru a deplasa uni-tatea de sarcina pozitiva din acel punct la infinit.

Potentialul ntr-un punct P(r) al campului creat de o sarcina punc-tiforma, aflata n originea coordonatelor, va fi atunci

V(r) = 14o

q

r

1

r3r.dl.


26/276

26

Dar r. dl = r dl cos(r, dl) = r dr, prin urmare

V(r) = 14o

q

r

dr

r2=

1

4oq

1

r, (1.31)

sau, daca sarcina este plasata n punctul P(r):

V(r) = 14o q 1|r r| . (1.32)

Din consideratiile de mai sus rezulta, ntre altele, ca energiapotentiala a sarcinii punctiforme q, plasata n campul electrostatic E,este

We = qB

A

E. dl = q (VB VA). (1.33)

Suprafete echipotentiale. Fie

V(x,y ,z) =

Vo = const.

o suprafata stationara. Prin diferentiere, obtinem :

d V = Vxi

dxi = V . dr = E . dr = 0. (1.34)

Cum dr se gaseste n planul tangent la suprafata Vo, din (1.34)rezulta ca n fiecare punct al suprafetei vectorul E are directia normalei


27/276

27

la suprafata. Dand valori constantei Vo, obtinem o familie de suprafete,numite suprafete echipotentiale sau suprafete de nivel. Altfel spus, prinsuprafat a echipotentiala ntelegem locul geometric al punctelor n carepotentialul are aceeasi valoare.

Din (1.34) deducem ca liniile campului electrostatic au directianormalei la suprafata echipotentiala n fiecare punct al campului. Fa-milia liniilor de camp este, asadar, ortogonala la familia suprafetelorechipotentiale (Fig.1.3).

Forma suprafetelor echipotentiale depinde de forma geometrica asarcinii care creeaza campul. De pilda, din (1.20) deducem ca suprafeteleechipotentiale ale campului unei sarcini punctiforme sunt r = const.,ceea ce reprezinta geometric niste sfere concentrice cu sarcina q n centrulcomun.

Ecuatiile potentialului electrostatic

a) Forma diferentiala. Din teorema lui Gauss (1.19) si relatia

(1.21), utilizand totodata formula (A.47), deducem:

V = 1o

, (1.35)

ecuatie cu derivate partiale de ordinul al doilea, neomogena, de tipeliptic, numita ecuatia lui Poisson. In regiunile unde lipsesc sarcinile( = 0), ecuatia (1.35) trece n ecuatia lui Laplace

V = 0. (1.36)Solutiile ecuatiei lui Laplace se numesc functii armonice. In afara

sarcinilor electrice potentialul electrostatic este, asadar, o functie ar-

monica. Din (1.36) rezulta, ntre altele, ca V trebuie sa fie o functiecontinua, mpreuna cu derivatele sale de primele doua ordine, ntr-unanumit domeniu tridimensional D, inclusiv pe frontiera domeniului.

Rezolvand ecuatia lui Poisson (sau, dupa caz, a lui Laplace), deter-minam potentialul V , prin urmare si campul (E = V).

Ecuatia lui Poisson pentru o singura sarcina punctiforma, n vir-tutea lui (1.6), se va scrie

V = 1o

q (r r), (1.37)


28/276

28

iar pentru n sarcini punctiforme

V = 1o

ni=1

qi (r ri) (1.38)

Ecuatia lui Poisson n domeniul tridimensional D, completata cuconditiile la limita pe suprafata S ce margineste domeniul D, determina

n mod unic campul scalar V(r) n tot domeniul D.b) Forma integrala. Cu ajutorul identitatii a doua a lui Green

(A.38), se pot gasi reprezentarile integrale ale ecuatiei lui Poisson, res-pectiv a lui Laplace. Inlocuind n (1.37) potentialul V al campuluisarcinii punctiforme q prin expresia (1.32) si simplificand prin q = 0,obtinem

1

4|r r|

= (r r). (1.39)

Utilizand aceasta relatie, sa aplicam operatorul expresiei ce dapotentialul unei distributii continue de sarcina electrica (1.24). Tinandseama de (E.19), avem:

V(r) = 14o

V

(r) 1

|r r|

d =

= 1o

V

(r) (r r) d = 1o

(r), (1.40)


29/276

29

adica ecuatia lui Poisson.Sa admitem ca sarcina este distribuita n mod continuu n interiorul

domeniului tridimensional D, inclusiv pe frontiera S a acestuia si ca nD putem defini doua functii (r) si (r), continue si derivabile, farasingularitati. Avem atunci (vezi A.38 si Fig.1.4) :

V

( ) d = S

( n

n

) dS, (1.41)

unde d este un element de volum din D, iar dS un element alsuprafetei S.

Daca alegem

(r) =1

4

1|r r|

; (r =V(r), (1.42)

atunci (1.41) conduce laV

14

1

|r r| V(r) V(r)

14

1

|r r|

d =

1

4

S

1|r r|

V(r)n

V(r) n

1|r r|

dS.

Observand ca

1

|r r|

= 1

|r r|

,

. 1|r r| = 1|r r| = . 1|r r| == .

1|r r|

= .

1|r r|

=

1|r r|

(1.43)

si avand n vedere relatiile (1.35) si (1.39), mai putem scrie :V

1

4o

1

|r r| (r)+ V(r) (r r)

d =


30/276

30

1

4

1|r r|

V(r)n

V(r) n

1|r r|

dS,

de unde, tinand seama de proprietatea de filtraj a distributiei (veziE.19) :

V(r) = 14o

V

(r)|r r| d

+

+1

4

S

1|r r|

V(r)n

V(r) n

1|r r|

dS, (1.44)

care este reprezentarea integrala a ecuatiei lui Poisson.Daca n domeniul D nu avem o distributie spatiala de sarcina elec-

trica ( = 0), din (1.44) deducem reprezentarea integrala a ecuatiei luiLaplace :

V(r) = 14

S

1|r r|

V(r)n

V(r) n

1|r r|

dS. (1.45)

Daca extindem domeniul de integrare asupra ntregului spatiu tridi-mensional, sarcinile ramanand nsa situate ntr-o regiune finita si uti-lizam conditia V() = 0, integrala de suprafata din (1.44) se anuleazasi ramane

V(r) = 14o

V

(r)|r r| d

,

dupa cum era de asteptat. Pentru a arata ca integrala se extinde asuprantregului spatiu, nu am mai indicat domeniul de integrare. Aceastaconventie va fi utilizata si n cele ce urmeaza.

Utilizand conditiile Dirichlet-Neumann pe suprafata frontiera S,

putem transcrie ecuatiile (1.44) si (1.45) cu ajutorul functiei GreenG(r, r) (vezi Anexa F). Prin definitie, functia Green a problemei noastreG(r, r) este solutia ecuatiei

G(r, r) = (r r). (1.46)Comparand (1.46) cu (1.39), deducem ca G(r, r) este de forma

G(r, r) =1

4

1

|r r| + (r, r), (1.47)


31/276

31

unde (r, r) este o solutie a ecuatiei lui Laplace n interiorul domeniuluiD : (r, r) = 0.

Din (1.44) si (1.45) avem atunci

V(r) = 1o

V

(r) G(r, r) d+

+S

G(r, r) V(r)n

V(r) G(r, r)n

dS ( = 0), (1.48)respectiv

V(r) =

S

G(r, r)

V(r)n

V(r) G(r, r)

n

dS ( = 0).

(1.49)Prin urmare, pentru a determina V(r) trebuie sa cunoastem functiile

V(r) si Vn pe suprafata frontiera S. Cum, nsa, teorema de existenta

si unicitate cere cunoasterea numai a uneia dintre aceste functii, vomface apel la conditiile Dirichlet, respectiv Neumann pe S, alegand

G(r, r)

S= 0 pentru problema Dirichlet; (1.50)

G(r, r)n

S

= C (const.) pentru problema Neumann. (1.51)

Ultima conditie se justifica dupa cum urmeaza. Integrand (1.46) pe undomeniu tridimensional si apeland la definitia distributiei delta, avem

V

.G d = S

G . dS = Gn

dS = 1. (1.52)

Se observa ca singura alegere compatibila cu ultima relatie este (1.51),ceea ce conduce la C = 1S , unde S este suprafata ce margineste volumul

de integrare. In acest caz,

= 1S

S

V(r) dS (1.53)


32/276

32

va fi valoarea medie a potentialului pe S. Reprezentarile integrale aleecuatiei Poisson, pentru conditiile Dirichlet, respectiv Neumann, suntasadar:

V(r) = 1o

V

(r) GD(r, r) d

S

V(r) GD(r, r)

ndS ; (1.54)

V(r) = 1o

V

(r) GN(r, r) d +

+

S

GN(r, r)

V(r)n

dS + < V > . (1.55)

Cu totul asemanator se scriu reprezentarile integrale ale ecuatiei Laplacepentru cele doua conditii.

In cazurile concrete, aflarea functiei Green corespunzatoare proble-mei studiate se realizeaza cu dificultate. Din acest motiv, au fost ela-borate diverse metode speciale de integrare a ecuatiei Poisson, respectiv

Laplace: metoda imaginilor electrice, metoda dezvoltarii potentialuluin serie de functii ortogonale, metoda functiilor conjugate etc. Asupraacestor metode vom reveni.

1.6. Energia campului electrostaticLucrul mecanic necesar pentru a aduce o sarcina punctiforma +q de

la infinit pana n punctul A al unui camp electrostatic, unde potentialuleste V(A), se efectueaza mpotriva fortelor electrice, prin urmare el setransforma n energie potentiala acumulata de sarcina +q :

Wpote (A) = q V(A). (1.56)Utilizand aceasta relatie, sa calculam energia de interactiune a doua

sarcini punctiforme q1 si q2, aflate n vid, la distanta r una de alta.Pentru a aduce sarcina q1 de la n punctul A, n absenta lui q2, nu seefectueaza lucru mecanic. In urma aducerii lui q2 n B, la distanta r deA, q1 fiind deja n A, se efectueaza lucrul mecanic W

1e = q2 V2, unde

V2 este potentialul campului sarcinii q1 n B. Rationand n mod similar,pentru a aduce q1 n A, n conditia ca sarcina q2 este n B, se cheltuieste


33/276

33

lucrul mecanic W2e = q1 V1, unde V1 este potentialul campului lui q2n A. Cum

V1 = 14o

q2r

; V2 = 14o

q1r

,

rezulta

W1e = W2

e =1

4o

q1q2r

. (1.57)

Notand cu We valoarea comuna W1

e = W2

e , mai putem scrie

We =1

2(W1e + W

2e ) =

1

2(q1 V1 + q2 V2). (1.58)

Generalizand aceasta relatie pentru n sarcini q1, q2,...,qn, avem

We =1

2

ni=1

qi Vi, (1.59)

unde Vi este potentialul sarcinilor qk(k = i) n punctul unde se afla qi:

Vi = 14o

k=i

qkrik

, (1.60)

rik fiind distanta dintre sarcinile qi si qk. Prin urmare,

We =1

8o

ni,k=1

qi qkrik

(i = k). (1.61)

Daca sarcinile sunt distribuite n mod continuu ntr-un domeniutridimensional sau pe o suprafata, energia de interactiune se va scrie

We =1

2

V

V d, respectiv We = 12

S

VdS . (1.62)

Energia campului electrostatic se poate exprima si sub o alta forma,ce contine intensitatea campului E. Admitand ca sarcinile sunt dis-tribuite n mod continuu n domeniul tridimensional finit D, de volum


34/276

34

V, inclusiv pe frontiera S a acestuia si utilizand legea lui Gauss (1.19)si formulele (A.29) si (A.40), avem:

We =1

2

V

V d = o2

V

V .E d = o2

V

E2 d+o2

S

V E. dS.

Daca extindem domeniul de integrare asupra ntregului spatiu (sau, alt-

fel spus, integram pe o sfera cu raza R si observam ca V En 0ca 1

R3iar dS R2), integrala de suprafata tinde la zero si rezulta

We =o2

V

E2 d =1

2

E.D d, (1.63)

unde am utilizat notatia cunoscuta D = oE pentru inductia vidului.Spre deosebire de relatia (1.62), care arata ca energia campului

electrostatic este diferita de zero numai acolo unde = 0 (respectiv = 0), deci numai n punctele unde exista sarcini, expresia (1.63) nespune ca We

= 0 si acolo unde nu avem sarcini, dar avem un camp E

= 0.

Prin urmare campul electrostatic este purtator de energie, aceasta fiindlocalizata n camp.

O alta deosebire esentiala ntre expresiile (1.62) si (1.63) constan aceea ca, potrivit lui (1.62), energia poate fi pozitiva sau negativa,dupa semnul sarcinilor, n timp ce (1.63) exprima faptul ca energia nupoate lua valori negative (E2 > 0). Mai mult, potrivit lui (1.61), energiaunei sarcini punctiforme este nula, pe cand (1.63) ne spune ca aceeasienergie este infinita. Deosebirea decurge din faptul ca n (1.61) nu setine seama de interactiunea dintre sarcini si propriul lor camp, n timpce (1.63) exprima tocmai energia proprie a sarcinii.

Sa calculam energia totala a campului electrostatic produs de douasarcini punctiforme q1 si q2. Daca fiecare sarcina n parte producecampul E1, respectiv E2, avem E = E1 + E2, deci

We =o2

E2 d =

o2

E12 d +

o2

E22 d + o

E1.E2 d.

Primii doi termeni dau energiile proprii ale sarcinilor q1, respectiv q2,iar ultimul termen exprima energia lor mutuala. In consecint, energiaelectrostatica nu se bucura de proprietatea de aditivitate.


35/276

35

Din ((E1 E2)2 0 rezulta E12+ E22 2(E1.E2), adica energiaproprie a sarcinilor este totdeauna mai mare sau cel put in egala cuenergia lor mutuala, aceasta din urma putand fi pozitiva sau negativa.

1.7. Dipolul electricPrin dipolntelegem un sistem de doua sarcini electrice punctiforme,

egale si de semn contrar, aflate la distanta l una de alta, neglijabila fatade distanta de la dipol pana la punctul n care se determina actiuneasarcinilor.

Potentialul campului unui astfel de sistem, potrivit lui (1.22) sifigurii 1.5, va fi :

V(r) = q4o

1|r r l|

1

|r r|

.

Luand n considerat ie ipoteza (

|l

|


36/276

36

n care am neglijat termenii ce contin l2, l3 etc. Potentialul se va scrie,asadar, sub forma

V(r) = 14o

p. 1

|r r|

=1

4o

p.(r r)|r r|3 , (1.64)

unde, prin definitie, vectorul p = q l se numeste moment electric dipolar.Pentru necesitatile calculului infinitesimal se introduce notiunea de

dipol punctiform, al carui moment se defineste prin

p = liml0,q

(ql). (1.65)

Intensitatea campului electric al dipolului se determina facand apella relatiile (1.21) si (A.51). Avem :

E = V = 14o

p.(r r)

|r r|3

=

=1

4o 3[p.(r r)](r r)

|r r|5 p

|r r|3,sau, daca alegem originea coordonatelor n dipolul presupus punctiform,

E =1

4o

3(p.r)rr5

pr3

. (1.66)

Admitand ca dipolul se gaseste ntr-un camp electric neuniform,sa calculam rezultanta R a fortelor ce actioneaza asupra dipolului din


37/276

37

partea campului. Din Fig.1.6 se observa ca

R = q (E E). (1.67)Dezvoltand E n serie Mac Laurin, avem:

E = E(r + l) = E(r) + (l.)E + ...

Limitandu-ne la termenul liniar n l si introducand acest rezultatn (1.67), avem

R = q (l.) E. (1.68)Asadar, dipolul se va roti sub actiunea cuplului qE, +qE si se

va deplasa n directia axei sale. Daca E este un camp omogen, avemR = 0, prin urmare actiunea campului se reduce la un cuplu de forte,de moment

M = l qE = p E. (1.69)In campul exterior, dipolul va avea energia

We = q V(r + l) q Vr ql. V = p. V = p.E. (1.70)Stratul dublu. Un numar mare de dipoli cu momentele alaturate,

paralele si de acelasi sens formeaza un strat dublu. Potentialul campuluiunui astfel de sistem, ntr-un punct P, este (vezi Fig.1.7):

V(P) = 14o

dS

r+

dS

r

.


38/276

38

Distanta dintre suprafetele si fiind mica, vom integra pe osuprafata mediana S. Observand ca

1

r 1

r+ l.( 1

r), (1.71)

potentialul n P se va scrie

V(P) = 14o

S

1r

1r dS =

= 14o

S

l n.( 1r

) dS.

Avand n vedere ca

n.( 1r

) dS =n.r

r3dS =

dS cos

r2= d

si definind putinta sau momentul stratului dublu prin e = l, obtinem

n sfarsit V(P) = 14o

S

e d. (1.72)

Daca stratul dublu este omogen, e = const. si avem

V(P) = 14o

e. (1.73)

Din (1.73) rezulta ca potentialul n interiorul unui strat dublu nchiscu e = const. este e/o sau e/o, dupa cum fata interioara estepozitiva sau negativa, iar n exteriorul acestuia este zero. Prin urmare,

straturile duble electrice prezinta suprafete de discontinuitate pentrufunctia potentiala.

1.8. Multipoli electriciUn ansamblu de sarcini electrice de semne diferite, aflate la distante

foarte mici unele de altele (n raport cu distanta pana n punctul undedeterminam actiunea sistemului), distribuite n mod discret sau con-tinuu, formeaza un multipol electric. Prin definitie, un multipol de or-dinul n este un sistem cu 2n poli, constituit din 2 multipoli de ordinul


39/276

39

n 1, sarcinile ocupand varfurile unui sistem geometric spatial cu la-turile l1, l2,...,ln si avand momentul definit prin

|p(n)| = n! liml1,...ln0;q

(ql1l2...ln). (1.74)

Dam, mai jos, cateva exemple de multipol:

a) Monopol (multipol de ordinul zero), avand o singura sarcinaelectrica.

b) Dipol (multipol de ordinul unu), de moment p(1) =liml0,q(ql) (vezi paragraful precedent).

c) Cvadrupol(multipol de ordinul doi), format din doi dipoli opusi,paraleli, la distante mutuale mici (n sensul celor precizate mai sus), cusarcinile situate n varfurile unui paralelogram (Fig. 1.8), de moment

|p(2)| = 2! liml1,l20,q

(q l1 l2). (1.75)

d) Octupol (multipol de ordinul trei), format din doi cvadrupoliopusi, paraleli, la distante mutuale foarte mici, cele 8 sarcini fiind plasaten varfurile unui paralelipiped (Fig.1.9), de moment

|p(3)| = 3! liml1,l2,l30,q

(q l1 l2 l3). (1.76)


40/276

40

Potentialele unei distributii continue desarcini electrice stationare

Consideram o distributie continua de sarcini (n cazul uneidistributii discrete, problema se trateaza cu totul similar, integralelefiind nlocuite prin sume) ntr-un domeniu tridimensional D, de volumV, marginit de suprafata frontiera S. Potentialul campului electrostatic

al distributiei, n punctul P(r) este, dupa cum stim (vezi Fig. 1.4) :

V(r) = 14o

V

(r) d

|r r| . (1.77)

Alegand originea O ntr-un punct oarecare din D si admitand ca |r| >>|r|, vom dezvolta n serie cantitatea 1|rr| . Avem :

1

|r r| =1

r x

i

1!

xi(

1

r) +

1

2!xi x

k

2

xixk(

1

r) ... =

= l=0

(1)l

l!(r.)(l)( 1

r). (1.78)

Din (1.77) rezulta atunci

V(r) = 14o

l=0

(1)ll!

V

(r)(r.)(l)( 1r

) d =

=V(0)+ V(1)+ V(2) + ... =

l=0

V(l)(r), (1.79)

unde am utilizat conventia sumarii dupa indici repetati. Fie, prindefinitie

pi =

V

(r) xi d (1.80)

componentele vectorului numit moment electric dipolar al distributieicontinue de sarcina electrica,

pik =

V

(r)(3xixk r2ik) d (1.81)


41/276

41

componentele momentului electric cuadrupolar al distributiei continuede sarcina electrica, exprimat printr-un tensor de ordinul doi, simetricsi cu trasa nula - s.a.m.d. Forma tensorului (1.81) se obtine scazand n(1.79) termenul nul

r2ik2

xixk(

1

r) = r2

2

xixi(

1

r)r=0 = 0.

In general, momentul electric multipolar de ordinul 2l se defineste prinrelatia

pi1...il = (l + 1)

V

(r) xi1 ...xil

d, (1.82)

ceea ce ne permite sa scriem potentialul V al distributiei sub forma

V(r) = 14o

l=0

(1)l(l + 1)!

pi1...il i1 ...il(1

r).

Termenii V(0), V(1), V(2) ... din (1.79) au, asadar, urmatoareasemnificatie:

V(0) = 14o

Q

r

este potentialul de monopol, produs la distanta r de sarcina electricaQ =

V (r

) d, aflata n origine;

V(1) = 14o

pi

xi(

1

r) = 1

4op.( 1

r)

este potentialul de dipol al distributiei (vezi 1.64), dipolul aflandu-se norigine;

V(2) = 14o

1

6pik

2

xixk(

1

r) =

1

4o

1

6pik

3xixkr5

ikr3

este potentialul de cuadrupol al distributiei, acesta aflandu-se de aseme-nea n origine s.a.m.d.


42/276

42

Energia unei distributii continue de sarcina electricantr-un camp electrostatic exterior

Fie un sistem de n sarcini electrice distribuite discret n domeniultridimensional D, plasate n campul electrostatic E. Energia potentialaa sarcinii qk n locul unde potentialul este V(rk), este Wk = qk V(rk),iar energia potentiala totala (a sistemului de sarcini) este

We =

k

Wk =

k

qk V(rk).

Daca distributia de sarcina este continua, formula de mai sus trecen

We =

V

(r) V(r) d. (1.83)

Dezvoltand V(r) n serie Taylor n jurul originii 0, aleasa ntr-unpunct din D, avem

V(r) =V(0) + xiV

xi

0

+1

2xix

k

2 Vxixk

0

+ ... =

=V(0) xiEi(0) 1

2xix

k

Ekxi

0 ... =

=V(0) xiEi(0) 1

6(3xix

k r2ik)

Ekxi

0

+ ....

unde se observa ca am adaugat termenul nul

r2ikEk

xi

0

= r2(divE)0 = 0.

Inlocuind V(r) n (1.83), obtinem:

We = Q V(0) piEi(0) 16

pik

Ekxi

0

+ ... =

l=0

W(l). (1.84)


43/276

43

Din (1.84) deducem semnificatia termenilor W(0), W(1), W(2), dupacum urmeaza:

W(0) = Q V(0) este energia potentiala a distributiei, n ipoteza cantreaga sarcina este concentrata n originea O;

W(1) = p.E(0) este energia potentiala dipolara a sistemului desarcini (vezi 1.70), dipolul fiind n punctul O;

W(2) = 16pik Ekxi 0 este energia potentiala de cuadrupol adistributiei de sarcina, cuadrupolul aflandu-se, de asemenea, n origineetc.

Termenii W(0), W(1), W(2)... indica modul specific n care multi-polii de diferite ordine interactioneaza cu campul exterior: sarcina cupotentialul campului, dipolii cu intensitatea campului, cuadrupolii cugradientul campului s.a.m.d.

Teoria multipolilor prezinta o deosebita importanta, atat n electro-statica (magnetostatica), cat si n teoria radiatiei multipolare, n diverseprobleme de fizica nucleara, de fizica a solidului etc.

PROBLEME

1. Sa se calculeze campul produs de un cilindru circular drept, deraza R si lungime infinita, electrizat uniform, densitatea superficiala desarcina fiind .

2. Un disc circular, de raza R, este electrizat uniform ( = const.).Sa se calculeze campul produs de disc, ntr-un punct oarecare de pe axulacestuia.

3. O sfera plina, de raza R, este electrizata uniform ( = const.).

Sa se calculeze campul si potentialul n doua puncte, unul interior sicelalalt exterior sferei.

4. Sa se determine forma suprafetelor echipotentiale ale campuluiunei distributii liniare de sarcina de-a lungul unui fir rectiliniu, delungime 2c, electrizat uniform ( = const.).

5. Sa se arate ca momentul electric cuadrupolar al unei distributiicontinue, omogene, de sarcina electrica cu simetrie axiala are o singuracomponenta esential distincta. Sa se calculeze potentialul de cuadrupolal distributiei.


44/276

44

6. O sfera conductoare de raza R, pe care este distribuita sarcinaQ, se gaseste n prezenta sarcinii punctiforme exterioare +q. Sa sedetermine :

a) Densitatea de sarcina pe sfera, n particular n punctele celmai apropiat si cel mai ndepartat de +q;

b) Forta de interactiune dintre sarcina sferei si sarcina puncti-

forma +q.7. Sa se calculeze componentele Fourier ale potentialului sicampului electrostatic asociate unei sarcini punctiforme q.

8. Sa se calculeze energia proprie a electronului n urmatoareleipoteze:

a) Electronul este o sfera de raza R, cu sarcina distribuita uni-form, superficial;

b) Sarcina electronului este distribuita uniform n volumul sfereide raza R;

c) Electronul este o sarcina punctiforma.

9. Sa se arate ca energia de interactiune dintre doua sarcini punc-tiforme este egala cu energia lor mutuala.

10. Sa se determine momentul electric cuadrupolar al unui elipsoidelectrizat uniform n volum.

B. Campul electrostatic n medii dielectrice polarizate

1.9. Polarizarea dielectricilorExperimentul arata ca un dielectric, introdus ntr-un camp electric,

se polarizeaza. Prin aceasta se ntelege formarea, sub actiunea campului,a unor dipoli electrici n fiecare element de volum al corpului sau/siorientarea acestora (dipolii pot exista si n absent a campului).

Pentru a studia polarizarea unui mediu dielectric se definestemarimea vectoriala numita intensitate de polarizare sau vectorul po-larizare electrica sau, nca, polarizatie, prin relatia:

P = lim0

p

=

dp

d; dp = P d. (1.85)


45/276

45

Utilizand aceasta definitie, vom scrie potentialul creat de un dome-niu tridimensional elementar al unei distributii continue de dipoli elec-trici. Tinand seama de (1.64), avem :

d V(r) = 14o

1

|r r|

. P(r) d,

prin urmare potentialul distributiei de dipoli din domeniul D va fi

V(r) = 14o

V

P(r). 1

|r r|

d. (1.86)

Folosind formula (A.40) si teorema Green-Gauss-Ostrogradski, maiputem scrie

V(r) = 14o

V

(.P)|r r| d

+1

4o

S

Pn|r r| dS

. (1.87)

Comparand aceasta relatie cu expresia (1.24) ce da potentialul uneidistributii continue de sarcina electrica, repartizata atat spatial cat sisuperficial (un corp electrizat), putem scrie prin analogie

V(r) = 14o

V

p(r) d

|r r| +

S

p(r) dS

|r r|

, (1.88)

unde p(r) si p(r), definite prin

p(r) = . P ; p(r) = Pn, (1.89)

sunt densitatea spatiala (respectiv superficiala) de sarcina, aparute caurmare a polarizarii. Mai observam ca

Q =

V

p d +

S

p dS =

V

.P d +

S

P. dS = 0,

adica sarcina de polarizare totala este nula.Prin urmare, o distributie continua de dipoli, ntr-un domeniu finit,

se comporta din punct de vedere al actiunii electrostatice exterioare


46/276

46

domeniului, ca si o distributie continua de sarcini spatiale si superficialefictive. Aceste sarcini fictive, care apar numai ca urmare si n timpulpolarizarii, se mai numesc sarcini legate (pentru a le distinge de celelibere).

1.10. Teorema lui Gauss relativa la medii dielectrice

Fie Q = q1 + q2 + ... + qn suma sarcinilor libere punctiforme exis-tente ntr-un dielectric si Qp sarcina de polarizare, aparuta sub influentacampului electric produs de sarcinile libere. Aplicand teorema lui Gauss(1.16) pentru o suprafata nchisa S continuta n dielectric, avem

S

E dS =1

o(Q + Qp).

Dar

Qp =

P.dS

V

.P.dS,

unde este suma suprafetelor ce nconjoara fiecare dintre cele n sarciniq1,...,qn. Integrala de volum poate fi transformata n integrala desuprafata extinsa la suprafetele ce marginesc domeniul D:

V

. P d =

P. dS +

S

P. dS,

prin urmare

Qp =

S

P. dS,

deci S

(oE + P). dS = Q. (1.90)

Campul vectorialD = oE + P (1.91)

se numeste inductie electrica (sau deplasare electrica). In vid P = 0,deci D = oE. Cu aceasta notatie, relatia (1.90) devine

S

D. dS = 0, (1.92)


47/276

47

si exprima teorema lui Gauss pentru dielectrici, sub forma integrala.Daca sarcinile libere sunt distribuite n mod continuu, atunci Q =

d si, aplicand teorema Green-Gauss-Ostrogradski, rezulta

div D = , (1.93)

adica forma diferentiala a teoremei lui Gauss.

Teorema lui Gauss se numara printre ecuatiile fundamentale pe careMaxwell si-a cladit teoria sa relativa la campul electromagnetic.

1.11. Tipuri de dielectriciDin punct de vedere al proprietatii de polarizare, un mediu poate fi

omogen(polarizarea nu depinde de punct) sau neomogen(daca depinde).Privit sub alt aspect, mediul polarizabil poate fi izotrop (polarizarea nudepinde de directie) sau anizotrop (daca depinde).

In general, polarizarea P indusa ntr-un mediu polarizabil este ofunctie de intensitatea campului: P = P(E). Pentru campuri nu prea

intense, daca presupunem ca exista o polarizare spontana Po, putemadmite dezvoltarea

P Po + E,unde este un coeficient numit polarizabilitate. Daca Po = 0, iar nudepinde de campul aplicat, mediul se numeste liniar. Precizam ca vomconsidera, n studiul ce urmeaza, doar medii liniare.

Experimentul arata ca, n cazul mediilor liniare, omogene siizotrope avem D = E, unde = or. Utilizand (1.91), avem

P = o(r

1) E = oE = E, (1.94)

n care marimea = r 1 se numeste susceptibilitate electricaa mediu-lui si polarizabilitatea, potrivit celor de mai sus, este = o. Uneori, nrelatia (1.94) se pune n evidenta concentratia volumica n a moleculelor:P = onE.

In mediile izotrope neomogene D = (x,y ,z) E, deci coeficientii si sunt functii de punct:

P = o(x,y ,z) E = (x,y ,z) E. (1.95)


48/276

48

Mediile feroelectrice se caracterizeaza printr-o polarizatie Po = 0 nabsenta campului electric exterior

P = Po + E, (1.96)

iar ultimul termen din (1.96) poate fi de forma

1E+ 2E2 + 3E3 + ... (1


49/276


50/276

50

unde d1, d2 sunt fluxurile elementare prin fetele bazelor, iar

dQ = d = dS dl.

Alegand n2 = n1 = n, putem scrie:

d1 = D1.dS1 = D1.n1 dS =

D1.n dS

=

D1n dS;

d2 = D2.dS2 = D2.n2 dS = D2.n dS = D2ndS.

La limita dl 0, tinand seama ca sarcina trebuie sa ramana finita siegala cu dQ, avem

limdl0

dl = 0; limdl0

dQ = ( limdl0

dl) dS = dS.

Rezulta atunci(D2 D1).n = D2n D1n = , (1.100)

ecuatie ce exprima discontinuitatea componentei normale a inductieielectrice. Cum D1 = 1E1, D2 = 2E2, din (1.100) mai deducem

2E2n 1E1n = . (1.101)

In concluzie, componentele normale ale lui E si D variaza discon-tinuu. Daca = 0 si 1 = 2, Dn prezinta continuitate, iar En variazadiscontinuu.

b) Ecuatiile de trecere pentru componentele tangentiale

Sa calculam circulatia vectorului de camp E de-a lungul conturuluielementar nchis ABCDA (Fig. 1.10). Utilizand (1.25), avem:ABCDA

E.ds =

AB

E1.ds1 +

BC

E.ds +

CD

E2.ds2 +

DA

E.ds = 0.

Cum ds1 = T ds, ds2 = T ds, iar

limdl0

BC

E.ds = limdl0

DA

E.ds = 0,


51/276

51

rezulta(E2 E1).T = E2T E1T = 0. (1.102)

Observand ca T = N n, mai putem scrie

(E2 E1).N n = N.[n (E2 E1)] = 0,

sau, eliminand cazul cu totul singular cand vectorii ar fi coplanari

n (E2 E1) = 0.

Inlocuind E1T = D1T/1, E2T = D2T/2 n (1.102), mai avem

D2T2

D1T1

= 0. (1.103)

Asadar, componenta tangentiala a campului E prezinta continui-tate, n timp ce componenta tangentiala a campului D sufera un salt n

valoare de 1/2. Daca 1 = 2, atunci D2T = D1T.

Observatii

a) Campul electrostatic fiind conservativ, ecuatiile de trecere(1.101) si (1.102) conduc la urmatoarele conditii la limita :V

T

1

= V

T

2

; 1

Vn

1 2

Vn

2

= . (1.103)

Din prima relatie, avand n vedere continuitatea derivatei

tangentiale, rezulta V1 =V2.b) Din punct de vedere electrostatic, corpurile se mpart n conduc-toare si dielectrici (izolatoare). In punctele interioare unui conductor,potrivit legii lui Ohm (vezi 2.19), campul electric este nul (E = 0). Deaici rezulta ca pe suprafata unui conductor = Dn = En, deci

VS = const; = V

n

S

, (1.104)

adica E are directia normalei la suprafata.


52/276

52

Campul electric n interiorul dielectricului nu este nul. In fiecarepunct interior potentialul satisface ecuatia lui Poisson, iar pe frontieraecuatiile de trecere (1.101) si (1.102).

PROBLEME

1. Sa se calculeze potentialul campului electrostatic creat de o

sarcina punctiforma q, aflata ntr-un mediu dielectric omogen anizotrop.2. Permitivitatea unei sfere dielectrice neomogene, de raza R, aflata

n vid, variaza dupa legea (r) = o(rR +2). Sa se calculeze intensitatea

campului electrostatic creat de sarcina Q, distribuita uniform n ntregulvolum al sferei.

3. In centrul unei sfere dielectrice omogene, de raza R si permi-tivitate relativa r, se afla o sarcina punctiforma q. Admitand ca sferase afla n vid, sa se calculeze densitatea p a sarcinilor de polarizare pesuprafata sferei.

4. Sa se arate ca ntre polarizabilitatea atomica a unei substante

dielectrice, permitivitatea relativa r si densitatea volumica a numaruluide atomi n exista relatia

=3

n

r 1r + 2

=3

n

o + 2o

,

cunoscuta sub numele de formula Clausius - Mosotti.

C. Metode speciale de rezolvare a problemelor de electrostatica

1.13. Consideratii generaleAsa cum am mentionat n &5, integrarea ecuatiei Laplace se poate

realiza relativ usor daca se cunoaste functia Green asociata problemei ndiscutie. Cum aflarea functiei Green prezinta, n general, un grad ridicatde dificultate, au fost elaborate unele metode speciale de solutionare aproblemelor de electrostatica. In cele ce urmeaza, vom trece n revistacateva dintre aceste metode.

Procedeul general care se utilizeaza consta n integrarea ecuatieiLaplace, luand n consideratie conditiile la limita satisfacute depotentialul V al campului electrostatic. Aceste conditii sunt:


53/276

53

a) Potentialul este finit peste tot, n afara de punctele unde se aflasursele (sarcinile) punctiforme.

b) Potentialul este continuu peste tot, inclusiv suprafata corpului(dielectric sau conductor), cu exceptia paturilor duble.

c) Pe suprafata conductorului trebuie sa se dea ori V =VS =const., ori (vezi 1.104)

= Vn

S

sau Q = Vn

dS.

d) La suprafata unui dielectric, pentru = 0, avem

2

Vn

2 1

Vn

1

= 0. (1.105)

e) Potentialul se anuleaza la infinit, daca toate sursele se afla la odistanta finita.

1.14. Metoda imaginilor electrice

Aceasta metoda este utilizata n problema determinarii unormarimi electrice ca : potentialul, densitatea de sarcina, forta deinteractiune etc., n cazul uneia sau mai multor sarcini electrice punc-tiforme, n prezenta unor suprafete limitrofe (de separatie), de pildaconductoare legate la pamant sau mentinute la un potential constant.

Se constata, n functie de geometria problemei, ca un numar micde sarcini, avand valori si pozitii alese n mod convenabil, pot simulaconditiile la limita impuse de problema. Acestea se numesc sarcini-

imagine, iar nlocuirea problemei n care intervin suprafete limitrofe cuuna n care acestea sunt nlocuite cu sarcini-imagine se numeste metodaimaginilor.

Metoda enuntata permite, ntre altele, determinarea densitatii desarcina electrica pe suprafata unui conductor de forma simpla (plan,sfera etc.), aflat n prezenta uneia sau mai multor sarcini punctiforme,fara a apela la ecuatia lui Laplace.

a) Conductor plan. Fie o suprafata metalica plana, legata lapamant, aflata n vid, sub influenta sarcinii punctiforme +q (Fig. 1.11).


54/276

54

Potentialul n punctul P va fi dat de suma dintre potentialul sarcinii+q si potentialul distributiei de sarcina de pe plan, aparuta ca urmarea influentei lui +q :

VP = 14o

q

|r r| +1

4o

S

(r) dS

|r r| . (1.106)

Pentru a cunoaste , trebuie sa cunoastem campul potrivit relatiei(1.104), prin urmare este necesar sa gasim o metoda de determinare adensitatii superficiale de sarcina pe plan. Observam, n acest scop, caprelungirile prin simetrie ale liniilor de forta se ntalnesc ntr-un punctB, simetricul punctului A n raport cu planul x = 0, plan care estetotodata o suprafata echipotentiala (V = 0). Aceasta sugereaza ideeade a nlocui sarcinile de influenta de pe plan cu o sarcina punctiformaimagine q. Potentialul n P este atunci

VP = 14o

q1r1

+q

r2. (1.107)

In orice punct al suprafetei echipotentiale V = 0 avem r1 = r2, deunde rezulta q = q, asadar

VP = q4o

[(x d)2 + y2 + z2] 12 [(x + d)2 + y2 + z2] 12

,


55/276

55

ceea ce permite calcularea densitatii superficiale a sarcinii de influenta conform relatiei (1.104) :

= oV

n

S

= o V

x

x=0

= q2

d

r3o, (1.108)

unde ro = (d2

+ y2

+ z2

)

12

.b) Frontiera plana ntre doi dielectrici. Admitem, de data

aceasta, ca planul x = 0 separa doua medii dielectrice de permitivitati1(x > 0) si 2(x < 0), sarcina punctiforma q pastrandu-si pozit ia dinFig. 1.11.

In acest caz, tinand seama ca pe suprafata de separatie nu avemsarcini libere (reale), conditiile de continuitate ale potentialului sicampului pe frontiera cer sa avem :

V1S = V2S ; 1

V1n S = 2

V2n S, (1.109)

unde V1 =V(x > 0), V2 =V(x < 0). Pentru a determina V1consideram sarcina q si imaginea q a acesteia fata de plan, ambeleaflate ntr-un dielectric de permitivitate q1, adica

V1 = 141

q1r1

+q

r2

.

Potentialul V2, determinat n acelasi punct ca si V1, se datoreazacampului creat de o sarcina q care se gaseste n punctul A si este ima-

ginea unei sarcini fictive ce s-ar gasi n punctul B, sistemul gasindu-sentr-un dielectric de permitivitate 2 :

V2 = 142

q

r2.

Utilizand conditiile la limita (1.109), obtinem sistemul

q q = q ; 2(q + q) = 1q,


56/276

56

de unde

q =1 21 + 2

q ; q =22

1 + 2q (q = q + q).

Sa calculam densitatea superficiala a sarcinii de polarizare pe planulx = 0. In virtutea relatiilor (1.89), (1.91) si (1.109), putem scrie:

= P1n P2n = [( o)]1n [( o)]2n = o(E2n E1n) =

= o

V1x

x=0

V2

x

x=0

.

Efectuand calculele, obtinem :

=o4

q(x d)1

(x d)2 + y2 + z23 +

q(x + d)

1(x + d)2 + y2 + z2

3

q(x d)2

(x d)2 + y2 + z23

x=0=

=oqd

41r3o

1 + 1 21 + 2

+21

1 + 2

=

=oqd

21r3o

1 21 + 2

, (1.110)

unde ro are aceeasi semnificatie ca si n relatia (1.108). Daca 1 = 2,

rezulta = 0, dupa cum era de asteptat.c) Conductor sferic. Fie o sfera conductoare de raza R, legata la

pamant, situata n vid, la distanta a de o sarcina punctiforma q aflata npunctul A. Sarcinile de influenta de pe sfera pot fi nlocuite cu sarcinaimagine q, aflata n punctul B, la distanta b fata de centrul O al sferei(Fig. 1.12). Potentialul n punctul P va fi atunci de forma (1.107), adica

VP = 14o

qr

+q

r

. (1.111)


57/276

57

Din conditia V = 0 pe suprafata sferei, deducemq

(a2 + R2 2aR cos ) 12 +q

(b2 + R2 2bR cos ) 12 = 0,

sau

qa1 + R2a2 2Ra cos

1

2 + qR1 + b2R2 2bR cos1

2 = 0.

Se observa ca aceasta egalitate devine o identitate daca se alege

a b = R2 : q = Ra

q, (1.112)

prin urmare

VP = 14o

1r

Ra

1r.

Relatia (1.112) arata ca sarcina q este plasata n inversul punctuluiA (unde se afla q) fata de sfera.

Densitatea de sarcina pe sfera va fi atunci

= oV

=R

=q

4b2

b2

R2 1

1 + R2

b2 2 Rb cos 32

. (1.113)


58/276

58

Acest rezultat poate fi exprimat exclusiv n functie de a. Utilizand(1.112), obtinem

= q4

a2 R2Rr3o

, (1.114)

undero = r|=R = (a2 + R2 2aR cos ) 12 .

1.15. Integrarea ecuatiei lui Laplace prinmetoda separarii variabilelor

Ne propunem sa determinam, utilizand de data aceasta ecuatia luiLaplace, potentialul campului electrostatic produs de un corp electrizatn mod uniform. Intrucat geometria multor probleme de electrostaticaprezinta simetrie sferica sau cilindrica, vom ilustra metoda n coordonatesferice si cilindrice.

1. Coordonate sfericeFie r,, coordonatele sferice ale punctului n care determinam

potentialul V =V(r,,). Avand n vedere (D.27), ecuatia lui Laplacese va scrie

1

r2

r

r2

Vr

+

1

sin

sin

V

+

1

sin

2 V2

= 0

sau, daca exprimam primul termen n alt mod,

1

r

2

r2(r V) + 1

r2 sin

(sin

V

) +1

r2 sin2

2 V2

= 0. (1.115)

Vom cauta solutia ecuatiei (1.115) sub forma

V(r,,) = R(r) () (). (1.119)Introducand (1.116) n (1.115) si folosind substitutia R(r) = 1r U(r),avem :

1

r

d2U

dr2 +

U

r3

1sin

d

d

sin

d

d

+

U

r3

sin2

d2

d2= 0.


59/276

59

Amplificand aceasta ecuatie cu r2 sin2 /U, mai putem scrie

r2 sin2

U

d2U

dr2+

sin

d

d

sin

d

d

+

1

d2

d2= 0. (1.117)

Expresia 1d2d2

depinde numai de . Pe de alta parte, potrivit

ecuatiei (1.117), aceasta expresie depinde numai de r si . Un asemenealucru este posibil numai daca

r2 sin2

U

d2U

dr2+

sin

d

d

sin

d

d

= 1

d2

d2= , (1.118)

unde este o constanta. Solutia generala a ecuatiei

+ = 0

este de forma

= C1 e + C2 e . (1.119)

Pentru ca sa fie o functie periodica, de perioada 2, trebuie ca sa fie un numar ntreg pozitiv : = m2, cu m = 0, 1, 2,...

In problemele de electrostatica se considera de obicei primul termenal solutiei (1.119), adica

= const. eim, (1.120)

sau combinatiile reale de cos m si sin m.Din ecuatia (1.118) mai rezulta:

r2

U

d2U

dr2+

1

sin

d

d

sin

d

d

m2sin2

= 0.

Repetand procedeul de mai sus si notand l(l + 1) constanta deseparatie, obtinem urmatoarele doua ecuatii n r si :

d2U

dr2=

l(l + 1)

r2U, (1.121)


60/276

60

1

sin

d

d

sin

d

d

+ l(l + 1) m

2

sin2 = 0. (1.122)

Ecuatia n admite solutii finite numai daca l este un numar ntregnegativ, astfel ncat l m +l. Solutiile respective se numesc poli-noame Legendre asociate si se definesc prin

Pml (x) = 12l l!(1 x2)m2 d

l+m

dxl+m(x2 1)l (x = cos ). (1.123)

Solutiile ecuatiei (1.121) se cauta de forma

U(r) = A r (1.124)

si, dupa efectuarea derivatei, obtinem:

[( 1) l(l + 1] U(r) = 0. (1.125)

De aici rezulta ca poate fi l +1 sau l, prin urmare U(r) este de forma

U(r) = A rl+1 +B

rl,

deci

R(r) =1

RU(r) = A rl + B r(l+1). (1.126)

Utilizand rezultatele obtinute si avand n vedere ca suma a douasolutii a ecuatiei lui Laplace este de asemenea o solutie, avem n definitiv

V(r,,) =

l=0

+lm=l

(Almrl + Blmr

(l+1)) Ylm(), (1.127)

unde am notat cu Ylm() functiile sferice

Ylm() = (1)m

2l + 1

4

(l m)!(l + m)!

Pml (cos ) eim. (1.128)


61/276

61

Cazuri particularea) Potentialul n interiorul unui conductor trebuie sa ramana finit,

deci pentru r = 0 trebuie sa luam Blm = 0, iar solutia (1.127) se reducela

V(r,,) =

l=0+l

m=lAlm r

l Ylm(). (1.129)

b) In exteriorul unui conductor potentialul trebuie sa fie finit si sase anuleze la infinit, deci pentru r trebuie sa luam Alm = 0 siatunci

V(r,,) =

l=0

+lm=l

Blmr(l+1) Ylm(). (1.130)

c) Daca potentialul prezinta simetrie fata de axa 0z, avem m = 0,iar solutia (1.127) capata forma

V(r, ) =

l=0

(Al rl + Bl r

(l+1))

2l + 1

4Pol (cos ) =

=

l=0

(Cl rl + Dl r

(l+1)) Pol , (1.131)

unde Pol sunt polinoamele Legendre de gradul l si ordinul zero (vezi1.123) :

Poo = 1 ; Po

l = cos ; Po2 =

1

2(3cos2 1) etc.

De pilda, dezvoltand n serie expresia 1|rr| care intervine npotentialul unei sarcini punctiforme, avem :

1

|r r| =1

(r2 + r2 2rr cos ) 12 =1

r

1+

r

rcos +

rr

2 12

(3cos2 1) + ...

,


62/276

62

care se mai poate scrie

1

|r r| =1

r

l=0

rr

lPol (cos ) =

l=0

rl

rl+1Pol (cos ). (1.132)

Comparand acest rezultat cu teoria dezvoltata n

1.8, constatam

ca primul termen din (1.132) nmultit cu q4o reprezinta potentialul demonopol, cel de al doilea potentialul de dipol, al treilea potentialul decuadrupol etc.

2. Coordonate cilindrice. Apeland la Anexa D, vom scrie ecuatialui Laplace n coordonate cilindrice r, , z sub forma

1

r

r

r

Vr

+

1

r22 V

2+

2 Vz2

= 0. (1.133)

Pentru a separa variabilele, vom efectua substitutia

V(r, , z) = R(r) () Z(z). (1.134)

In continuare, un calcul analog celui de la punctul precedent ne conducela ecuatiile

d2Z

dz2+ C1Z = 0 ;

d2

d2 C2 = 0 ; (1.135)

rd

dr

r

dR

dr

(C1r2 C2) R = 0 ,de unde deducem C1 = k2, C2 = m2. In acest caz, ecuatiile (1.135)1,2vor avea solutii de forma sh kz, ch kz, respectiv sin m, cos m, iar(1.135)3 conduce la

d2R

dr2+

1

r

dR

dr+

k2 m2

r2

R = 0, (1.136)


63/276

63

cunoscuta sub numele de ecuatia lui Bessel. Efectuand schimbarea devariabila = k r, aceasta se mai scrie

d

d

dR

d

+ (2 m2) R = 0. (1.137)

O solutie particulara a ecuatiei (1.137) este de forma

R =

n=0

an n+p, (1.138)

unde coeficientii an si indicele p urmeaza a fi determinati. Introducand(1.138) n (1.137), avem :

n=0

(n +p)2 m2 + 2

an

n+p = 0.

De aici gasim urmatoarele relatii de recurenta pentru coeficientii an :

(p2 m2) ao = 0 ;[(1 +p)2 m2] a1 = 0 ;

[(2 +p)2 m2] a2 ao = 0 ; (1.139). . . . . . . . . . . . . .

[(n +p)2 m2] an + an2 = 0 (n 2).Admitand ao = 0 (ceea ce presupune a1 = 0), rezulta p = |m|. Saconsideram cazul p 0. In general, putem scrie

a2n+1 = 0 (n = 0, 1, 2,...) ,

a2n = a2n222n(n +p)

(n = 1, 2, 3,...).

Scriind relatii similare n care n este nlocuit cu n 1, n 2,...,lsi efectuand produsul membru cu membru, obtinem

a2n =(1)nao

22n n! (p + 1)(p + 2)...(p + n)(n = 1, 2, 3,...). (1.140)


64/276

64

Daca alegem ao = 1/2p p!, o solutie a ecuatiei Bessel, cunoscuta

sub numele de functia Bessel de speta ntai, este

Jp() =

n=0

(1)n 2n+p22n+p n! (n +p)!

. (1.141)

Intrucat (1.137) este o ecuatie diferentiala de ordinul al doilea, maiexista o solutie Np(), numita functia Bessel de speta a doua, astfel

ncat solutia generala a ecuatiei Bessel este

R(r) = A Jp(kr) + B Np(kr). (1.142)

Solutia Z(z) este de forma A ekz , n care semnul lui k poate fi atatplus cat si minus.

Unificand rezultatele de mai sus, vom scrie solutia ecuatiei luiLaplace n coordonate cilindrice sub forma

V(r,,z) =+

m=

+

[Am(k) J|m|(kr)+Bm(k) N|m|(kr)] ekz eim dk

(1.143)Mentionam ca solutiile oscilatorii n z (corespunzand lui k imaginar)

se scriu n mod diferit.Se poate arata ca, daca alegem p = |m|, putem avea cel mult o

schimbare de semn la rezultat. (Pentru detalii, vezi Bibliografia reco-mandata).

1.16. Probleme electrostatice bidimensionale

Unele probleme de electrostatica prezinta particularitatea ca pot fistudiate n doua dimensiuni, de pilda ntr-un plan. Situatii de acest gense ntalnesc n cazul sistemelor la care distributia de sarcina electricaprezinta anumite simetrii (de ex. cilindrica), caz n care problema sestudiaza ntr-un plan ortogonal la axa de simetrie, extinderea solutieila trei dimensiuni fiind apoi imediata. Astfel de probleme se numescbidimensionale (plane) si se solutioneaza n mod elegant cu ajutorulfunctiilor de o variabila complexa.


65/276

65

Fie variabila complexa z = x + iy. Daca fiecarei valori a lui z icorespunde un numar complex f(z) = (x, y) + i(x, y), unde (x, y)si (x, y) sunt functii reale, spunem ca f(z) este o functie de variabilacomplexa z. Sa calculam

limz

0

f(z + z) f(z)z

=

= limx0, y0

(x + x, y + y) (x, y)x + iy

+

+i(x + x, y + y) (x, y)

x + iy

=

= limx0, y0

x

x + i y y

+ i

x

x i y y

x + iy

. (1.144)

Limita (1.144) este independenta de modul n care x si y tindla zero daca functiile (x, y) si (x, y) satisfac conditiile

x=

y;

y=

x, (1.145)

numite conditiile Cauchy - Riemann. Daca aceste conditii suntndeplinite, spunem ca functia f(z) este monogena n punctul de afixz, iar limita (1.144) se numeste derivata functiei f(z) n acel punct.Daca f(z) este monogena n fiecare punct al unui domeniu D, spunemca este olomorfa n acel domeniu. Functia f(z) este analitica n punctul

de afix z daca este olomorfa n fiecare punct al unei vecinatati a lui z.Utilizand conditiile Cauchy - Riemann (1.145), avem:

df(z)

dz=

x+ i

x=

y i

y=

x i

y. (1.146)

Din conditiile (1.145) rezulta imediat urmatoarele proprietati alefunctiilor si :

= 0 ; = 0 ; (1.147)


66/276

66

x

x+

y

y= ().() = 0, (1.148)

deci si sunt functii armonice, iar familiile de curbe = const.si = const. sunt ortogonale. Functia f(z) se mai numeste potentialcomplex si se noteaza cu w.

In cele ce urmeaza vom aplica aceste consideratii generale la re-

zolvarea unor probleme din electrostatica prin metoda functiilor com-plexe si a transformarilor conforme.Fie campul electrostatic E(x, y) definit n planul x, y, n care densi-

tatea de sarcina electrica este nula. Din E = V si .E = 0, rezultaatunci, pe de o parte V = 0, iar pe de alta E = U, n carepresupunem ca U are componentele (0, 0, U). Proiectand pe axe relatiavectoriala U = V, avem:

U

x=

Vy

;U

y= V

x, (1.149)

deci partea reala U(x, y) si cea imaginara

V(x, y) ale potentialului

complexw = f(z) = U(x, y) + i V(x, y) (1.150)

satisfac conditiile Cauchy - Riemann (1.145). Daca admitem, princonventie, ca familia de curbe V(x, y) = const. reprezinta liniileechipotentiale, atunci familia U = const. vor avea semnificatia liniilor deforta. Cele doua familii de curbe, potrivit lui (1.148), sunt ortogonale.Mai avem :

E2 = E2x + E2y =

Vx

2+V

y

2.

Pe de alta parte, n conformitate cu (1.146) si (1.149)dfdz

2 = dfdz

dfdz

=U

x+ i

Vx

Ux

i Vx

=

=U

x

2+V

x

2= V

x

2+V

y

2.

Comparand ultimele doua relatii, deducem

E =

df

dz

. (1.151)


67/276

67

Prin urmare, cunoasterea potentialului complex corespunzator uneianumite configuratii electrostatice permite determinarea campului aceleiconfiguratii cu ajutorul relatiei (1.151). La randul sau, potentialul com-plex este determinat de forma secti

Ioan Merches Radu Daniel mica

Documents

Transcript of Ioan Merches Radu Daniel mica