Introduzione al Metodo agli Elementi...

Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti

Finite Element Method, FEM

Finite Element Analysis, FEA

Finite Element, FE

Applicazione all’analisi strutturale

Prof. Ciro Santus

Dip. di Ingegneria Civile e Industriale (DICI), Università di Pisa

Tel.: 050-2218007

email: [email protected]

http://people.unipi.it/static/ciro.santus/

Metodo agli Elementi Finiti

È un metodo per risolvere numericamente equazioni alle derivate

parziali, su un dominio complesso.

È particolarmente adatto all’implementazione su calcolatore.

Esistono altri metodi alternativi (numerici):

- Metodo alle Differenze Finite,

- Metodo degli elementi al contorno BEM,

tuttavia hanno delle limitazioni rispetto al FEM.

Quindi il FEM è diventato il metodo standard per risolvere problemi

strutturali, ma anche termici, fluidodinamici, elettromagnetici ecc.

Evoluzione del metodo a partire dagli anni ’50.

Attualmente esistono importanti SW commerciali,

es.: ANSYS, ABAQUS

http://www.ansys.com/academic/free-student-products

Iniziativa di ANSYS per la divulgazione verso gli studenti universitari

Dove posso trovare ANSYS, oltre al centro di calcolo???

ANSYS Free Student Product

ANSYS Free Student Product/ ANSYS Product

ANYS APDL

Salvataggio da SolidWorks

Soluzione approssima "piecewise solution"

x

y( )

( ) ?equazionedifferenziale

y f x

f x

=

=

x

y

ih1h 2h

Si impongonoequazioni di bilancio,

si arriva ad un sistema di equazioni (lineare)

lecui incognitesono lealtezze ih


x

y

ih

1h

2h

Si ottiene la miglioreapprossimazionedella funzione,

con una certa discretizzazione


x

yMigliore rappresentazione

all'aumentare della discretizzazione


Elemento,

i-esimo

Nodo, j-esimo

Gradi di libertà del singolo nodo:

Spostamenti nelle direzioni x,y,z

Geometria

“discretizzata”

Possibilità di gestire

modelli da poche

migliaia di elementi,

fino a 106 elementi

Calcolo deformazioni

e tensioni, in ogni

punto a partire dagli

spost. nodali

(Funzioni di Forma)

Nodi & Elementi

Spostamenti

nodali

Funzioni di spostamento

sul dominio dell’elemento

Funzioni di forma (Shape Functions)

Vincoli

Forze esterne

applicate, su

alcuni nodi

Soluzione:

Calcolo degli

spostamenti nodali:

(deformata, prima

incognita)

Vincoli e carichi

K u f=

Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali,

si “riduce” ad un sistema (lineare),

in cui le incognite sono gli spostamenti nodali.

Numero molto elevato di incognite,

comunque finito, ok per calcolatore

La soluzione del modello consiste nella risoluzione di questo sistema.

Tensioni e deformazioni vengono trovate, successivamente,

mediante le funzioni di forma.

Soluzione del modello agli Elementi Finiti

Problema reale

Tipo di Elemento

Analisi statica / dinamica: transitoria, armonica

Modalità di applicazione vincoli/carichi

Comportamento unilaterale/bilaterale del contatto

Comportamento del materiale (modelli costitutivi)

etc.

Modello FEM

Elementi Trave (Beam)

Il nodo rappresenta una sezione

Elementi Guscio (Shell)

Il nodo rappresenta uno spessore

Elementi Solidi (Brick)

Il nodo rappresenta un punto solido

Scelta del tipo di elemento

Geometria 2D 3D

Linee Elemento Elemento

Trave 2D Trave 3D

Aree Elemento solido piano Elemento

(plane strain/stress) Guscio (shell)

Volume --- Elem. solido

(brick)

ANSYS Wb

Scelta del tipo di elemento

INTRODUZIONE AL CODICE

ANSYS

ANSYS

ANSYS

APDL “Classic”

ANSYS

Workbench

BEGIN Level

PREP7 SOLUTION POST1

Classic

Workbench

PREP7

• definizione ELEMENT TYPE

• definizione REAL CONSTANTS

• definizione MATERIAL PROPERTIES

• definizione GEOMETRIA MODELLO

• definizione MESH del modello

• applicazione VINCOLI E CARICHI

SOLUTION Soluzione FEM

POST1• PLOT visualizzazione grafica dei risultati

• LIST risultati in forma numerica

ANSYS Classic

Generazione diretta

Specificare direttamente la posizione dei nodi

Definire gli elementi tramite le connessioni fra i nodi

Modellazione solida

Uso di primitive geometriche (rettangoli, cerchi, poligoni, prismi, cilindri, sfere)

Operazioni booleane sulle geometrie (somma, sottrazione, intersezione, ecc.)

Ansys genera automaticamente i nodi e gli elementi

CREAZIONE DEL MODELLO

ANSYS Classic

modellazione solida

Nodi edelementi

Geometria

Mesh

ANSYS Classic

CREAZIONE DEL MODELLO

25mmD =

4mmb =

2mms =

F

Rigidezza = ?

Stato di tensione = ?

Esempio: Modellazione solida con ANSYS Classic

Anello elastico (plane stress)

Introduzione di un tipo

di elemento

Elemento solido piano

es. Plane 182

Definizione elementi

Definizione keyoptions

Definizione elementi

es.:

- plane stress

- plane strain

- axisymmetric

Materiale:

Elastico Lineare Isotropo Omogeneo

Moduli di Young e Poisson

Definizione proprietà di materiale

Modellazione solida,

anello elastico, plane stress

1

X

Y

Z

OCT 11 2011

15:07:19

AREAS

TYPE NUM

“Mesh”: nodi ed elementi

‘Infittimento della Mesh’

1

X

Y

Z

OCT 11 2011

15:12:25

ELEMENTS1

X

Y

Z

OCT 11 2011

15:15:41

ELEMENTS

1

X

Y

Z

OCT 11 2011

15:15:41

ELEMENTS

Condizioni di vincolo

Condizioni di vincolo

Spostamento imposto su tutti i gradi di libertà = incastro.

1

X

Y

Z

OCT 11 2011

15:15:41

ELEMENTS

Condizioni di carico: pressione sulla linea

Alternativamente si può dare come input la forza F

Condizioni di carico: pressione sulla linea uniforme

2 22MPa, 4mm

8 N/mm

p b

P pb

= =

= =

Condizione di vincolo: incastro

Condizioni di carico: pressione

1

X

Y

Z

OCT 11 2011

15:37:54

ELEMENTS

U

PRES-NORM

2

1

X

Y

Z

OCT 11 2011

15:37:54

ELEMENTS

U

PRES-NORM

2

Solution

Calcola la soluzione

Postprocessing

Rappresentazione deformata

Listato numerico dei risultati

Plot grafico dei risultati

(tensioni eqv., tensioni principali, ecc.)

Grafici dell’andamento dei risultati su path definiti sul modello

Postprocessing: Plot results - Nodal Solution

Componenti di spostamento

Componenti di tensione

Postprocessing: Spostamento secondo Y1

MNMX

X

Y

Z

-.045165

-.014785.015595

.045975.076356

.106736.137116

.167496.197876

.228256

OCT 11 2011

15:57:55

NODAL SOLUTION

SUB =1

TIME=1

UY (AVG)

RSYS=0

DMX =.228291

SMN =-.045165

SMX =.228256

1

MNMX

X

Y

Z

-.045165

-.014785.015595

.045975.076356

.106736.137116

.167496.197876

.228256

OCT 11 2011

15:57:55

NODAL SOLUTION

SUB =1

TIME=1

UY (AVG)

RSYS=0

DMX =.228291

SMN =-.045165

SMX =.228256

Calcolo di rigidezza:

Es.: 1.5mm

12 N

0.228 mm

52.6 N/mm

s

F Ps

FK

=

= =

=

→

= =

1

MN

MX X

Y

Z

.385453

10.993821.6022

32.210642.819

53.427464.0358

74.644185.2525

95.8609

OCT 11 2011

15:41:12

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

SEQV (AVG)

DMX =.228291

SMN =.385453

SMX =95.8609

Postprocessing: Tensione eq. von Mises1

MN

MX X

Y

Z

.385453

10.993821.6022

32.210642.819

53.427464.0358

74.644185.2525

95.8609

OCT 11 2011

15:41:12

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

SEQV (AVG)

DMX =.228291

SMN =.385453

SMX =95.8609

Postprocessing: sigma_Y1

MN MX X

Y

Z

-77.3366

-57.7594-38.1822

-18.605.972269

20.549540.1267

59.70479.2812

98.8584

OCT 14 2011

08:53:09

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

SY (AVG)

RSYS=0

DMX =.228291

SMN =-77.3366

SMX =98.8584

1

MN MX X

Y

Z

-77.3366

-57.7594-38.1822

-18.605.972269

20.549540.1267

59.70479.2812

98.8584

OCT 14 2011

08:53:09

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

SY (AVG)

RSYS=0

DMX =.228291

SMN =-77.3366

SMX =98.8584

I

Th.travi curve:

77.6 MPa = −

E

Th.travi curve:

97.8MPa =

Calcolo flessione, trave a forte curvatura (anello seeger)

D_I, mm D_E, mm Spessore radiale, mm

25 33 4

D_m, mm p, MPa Spessore assiale

29 2 2

F, N

M_f, Nmm 16

464

A, mm^2 r_I, mm r_E, mm

W, mm^3 8 12.5 16.5

5.33 r_G, mm r_N, mm e, mm

14.5 14.41 0.092

sigma_0, MPa c_I, mm c_E, mm

87 1.91 2.09

sigma_I,B, MPa

95.77

sigma_E,B, MPa sigma_t, MPa

-79.58 2

sigma_I, MPa sigma_E, MPa

-77.6 97.8

Postprocessing: sigma_Y, utilizzo del ‘path’1

-77.337

-59.717

-42.097

-24.477

-6.857

10.763

28.383

46.003

63.623

81.243

98.858

0

.4

.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

DIST

OCT 18 2011

12:04:59

POST1

STEP=1

SUB =1

TIME=1

PATH PLOT

NOD1=77

NOD2=235

SY

I

Th.travi curve:

77.6 MPa = − E

Th.travi curve:

97.8MPa =

1

OCT 18 2011

12:04:11

ELEMENTS

BaricentroG

Asse neutro N

Analisi di convergenza

Tensione Max

5.35

5.4

5.45

5.5

5.55

5.6

5.65

0 10 20 30 40 50 60

N° Nodi

FEM

Valore teorico

MP

a

Elementi “strutturali”

Trave a doppio T - appoggiata agli estremi

Trave a doppio T - Modello con elementi Trave

Parametri geometrici da inserire

Determinazione delle caratteristiche della sollecitazione mediante il comando ETABLE

ETABLE, MZ1, SMISC, 6 ! Memorizza il momento nel nodo I dell’elemento

ETABLE, MZ2, SMISC, 12 ! Memorizza il momento nel nodo J dell’elemento

PLLS,MZ1,MZ2 ! Visualizza l’andamento del momento flettente

Trave a doppio T - Modello con elementi Trave

Trave a doppio T - Modello con elementi Guscio

Superfici medie

Trave a doppio T - Modello con elementi Guscio

Tipi di elemento

ANSYS Workbench - Versione attuale: 19.2

Workbench, soluzione integrata CAD - FEM:

- Possibilità di importare modelli 3D da tutti i CAD:

Pro/E, OneSpace, SolidWorks, CATIA, Unigraphics

- Applicazioni vincoli/carichi semplificata (alcune limitazioni)

- Integrazione con altri moduli di calcolo (AUTODYN, CFX) …

Atomatica identificazione delle interfacce di contatto

Modellazione semplice/veloce – alcune limitazioni

Corpi diversi

Superficie di interfaccia

ANSYS Workbench - Versione attuale: 19.2

Tipi di analisiStatica strutturale:

- La struttura deve essere equilibrata

(schema di vincolo iso- o più frequentemente iper- statica).

- In caso di soluzione labile =>

errore modello ‘unconstrained’.

- Può tollerare modello labile ma carico non applicato

secondo la direzione di labilità.

- Analisi non lineari:

- non linearità di contatto,

- non linearità di materiale.

- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.

- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.

- Input: materiali, geometria, vincoli e carichi.

- Output: spostamenti, tensioni, forze, momenti di reazione.

Analisi modale:

- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o

completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo

da riprodurre del sistema.

- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di

contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto,

viene congelata la configurazione di contatto iniziale.

- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.

- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma si

introducono dei limiti sui modi possibili visualizzabili.

- Input: materiali, geometria, vincoli (no carichi).

- Output:

- Lista della frequenze proprie (o naturali), si può

scegliere se mostrare le prime o quelle all’interno di un

intervallo di frequenze;

- Modo di oscillazione associato a ciascuna

frequenza propria;

- Lo stato di tensione e la distribuzione degli

spostamenti è definita a meno di uno scalare.

Tipi di analisi

Risposta armonica:



da riprodurre del sistema

- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di

contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto,

viene congelata la configurazione di contatto iniziale

- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell

- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma solo

se i carichi hanno le stesse simmetrie della geometria.

- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi ma soltanto di

natura armonica (frequenza ampiezza e fase)

- Output:

- risposta armonica alla frequenza di eccitazione

dei carichi applicati (spostamenti, tensioni, reazioni vincolari)

Tipi di analisi

Transitorio dinamico (solutore implicito):




- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)



- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria),

spesso anche velocità iniziali.

- Output:

- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia

tensioni e reazioni vincolari.

Implicito: transitori lenti (tempi dell’ordine di 1 secondo o

molto maggiore).

Tipi di analisi

Transitorio dinamico (solutore esplicito):




- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)



- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria),

spesso anche velocità iniziali.

- Output:

- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia

tensioni e reazioni vincolari.

Esplicito: transitori molto veloci (tempi inferiori o molto

inferiori a 1 secondo).

Tipicamente urti e analisi di crash.

Tipi di analisi

Altre tipi di analisi:

- Buckling (instabilità).

- Fluidodinamica.

- Termico (transiente / a regime).

Analisi consecutive (one way coupling)

Es.: (1) analisi termica, (2) analisi deformativa tensionale.

Analisi accoppiate (two way coupling)

Es.: accoppiamento fluido struttura.

Analisi Euleriana: volume di controllo, prima incognita sono

le velocità.

Tutte le altre analisi meccaniche (anche problema termo-

meccanico) sono Lagrangiane:

viene seguita la particella materiale, prima incognita gli

spostamenti (anche nelle analisi dinamiche, es. di

transitorio).

Tipi di analisi

Analisi con fenomeni fisici accoppiatiEs. one-way coupling: (1) analisi termica, (2) analisi strutturale

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