Introduction to Fluid Mechanics - fem.unicamp.br

IM250 – Prof. Eugênio Rosa

CINEMÁTICA

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CONTEÚDO DA AULA

i. Definição de fluido;

ii. Definição de contínuo;

iii. Referencial Lagrangeano e Euleriano;

iv. Campos de Velocidade (regimes 1D, 2D, 3D, transiente);

v. Representação dos campos: linha do tempo, trajetória partícula; linha de emissão de linha de corrente;

vi. Derivada Substantiva e seu significado;

vii. Tensor deformação do fluido e sua decomposição;

viii.Vorticidade;

https://www.youtube.com/watch?v=nuQyKGuXJOs&list=PL0EC6527BE871ABA3&index=5&feature=plpp_video

http://web.mit.edu/hml/ncfmf/05FV.pdf


(i) Definição de Fluido

Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado:

O Fluido se deforma continuamente

O Sólido se deforma, mas não continuamente

Sólido Fluido

O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/V6_1.mov


(ii) Fluido como um Continuo

1 mol de um fluido contém 1023 moléculas em constante movimento.

Não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é

possível medir os efeitos macroscópicos de muitas moléculas:

velocidade, pressão, temperatura, densidade, quantidade mov. etc

As propriedades macroscópicas são avaliadas porque a trajetória livre

das moléculas é muito menor que a dimensão característica do

escoamento.

O conceito de meio continuo descreve o comportamento médio das

moléculas e não o individuual. Ele é a base da mec-flu , termodinâmica,

transferência de calor, resistência de materiais entre outras.

O conceito de continuo falha em: (i) nano-máquinas que trabalhan

com fluido e (ii) na atmosfera externa na fronteira com o espaço.


Fluido como um Contínuo

Definição da densidade num ponto

infinitezimal requer um cubo com

arestas maiores que 10-6 m (1m)

Consequência da hipótese de contínuo: cada propriedade tem um valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular o ponto C do espaço. Mas há limites


Comparações ao metro: 1mm=10-3m; 1m=10-6m; 1nm=10-9m; 1pm=10-12m


Dimensões comparadas ao metro

1mm = 10-3m milimetro

1m = 10-6m micrometro (‘micro word’ 100 m a 1 m)

1nm = 10-9m nanometro (grandeza da ordem do átomo)

1A = 10-10 m Angstrom (grandeza da ordem do átomo)

1pm = 10-12m picometro

Considere um mol de gás (6x1023 moléculas) a P e T de 105 Pa e 300K e a

constante universal dos gases 8.31 J/(mol K). O volume que 1 mol de gás ocupa: V =

P/RT = 24,94 litros

Considere agora um cubo com aresta de 1m, volume = 10-15 litros; o No moléculas

no volume. No = 6x1023x10-15/24,94 = 2.4x107!

Um cubo com aresta 1 nm, volume = 10-24 litros, e No moléculas vol = 0.02! Não é

contínuo.

O No moléculas num cubo de aresta de 1m


(iii) Referencial

Euler x Lagrange


Métodos de DescriçãoReferencial Lagrangeano:

Acompanha elementos de massa identificáveis;Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada

partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.

Referencial Euleriano:Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num

determinado ponto do espaço como função do tempo;As propriedades do campo do escoamento são descritas como

funções das coordenadas espaciais e do tempo;

As leis físicas (massa, 2ª lei Newton, Energia) aplicam-se para referencial Lagrangeano com elementos de massa identificáveis (todo curso de dinâmica baseia-se neste princípio!).

No entanto, fluidos se deformam continuamente. Não é possível seguir cada partícula individualmente mas é possível determinar a aceleração seguindo uma partícula. Este é um dos temas desta aula!


Referencial Lagrangeano:

segue a partícula de fluido

y

x

r(t)

r(t+dt)

2

2

y

2

2

x

dt

yd

dt

dva

dt

dyv

dt

xd

dt

dua

dt

dxu

Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano:

Mas, como seguir uma partícula no fluido?

y

x

Referencial Euleriano:

fixo no espaço, define o

campo de velocidades.

(x2,y2)(x1,y1)

Velocidade para um referencial

Euleriano:

Como definir uma aceleração

seguindo uma partícula?

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

u u x , y , t u u x , y , t

v v x , y , t v v x , y , t


Relação Coordenadas: Euler e Lagrange

No referencial Euleriano a velocidade numa posição (x0,y0,z0) coincide

com a taxa de deslocamento da partícula que passa por este ponto no

mesmo instante (conceito Lagrangeano):

0

0

0

0000000

0000000

0000000

tt

tt

tt

dtt,z,y,xZdt,z,y,xww

dtt,z,y,xYdt,z,y,xvv

dtt,z,y,xXdt,z,y,xuu

Euler Lagrange

Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial:

EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento.

Policial: segue um veículo


Procure seguir uma partícula de fluido

(Lagrange) na simulação transiente

A sequência mostra a concentração de CO2 em ar

resultante (um puff de CO2) de 1 segundo de duração .

Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd.

Tente acompanhar como o CO2 se dispersa

(Lagrangeano)

Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia

(Euleriano)


Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração

mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .

2 seg após injeção



mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.




mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.



Lagrangeano x Euleriano

Todas as leis físicas são definidas para um referencial Lagrangeano:

conservação massa, quantidade de movimento, energia etc.

Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa,

caso contrário não poderíamos segui-los!

Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos,

dentro deste contexto?

Reescrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os

campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.

Isto é possível por meio do Teorema de Transporte de Reynolds,

será apresentado na aula 3.


(iv) Campo de velocidade,

um conceito Euleriano

Campo em relação ao tempo: estacionário ou

transiente.

Campo em relação ao espaço: uni-, bi-e tri-

dimensionais.


Campo de Velocidade

ESCOAMENTO PERMANENTE - as propriedades em cada ponto

do campo (x,y,z) não mudam com o tempo, então:

ESCOAMENTO TRANSIENTE - as propriedades em cada ponto

do escoamento mudam com o tempo, então:

Num dado instante, o campo de velocidade, V , é uma função das coordenadas espaciais V(x, y, z) e do tempo (t) ou em termos de suas componentes (u,v,w) que também dependem de x, y, z e t:

zy,x,V V ou 0 t

V


Escoamentos 1D, 2D e 3D

Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número

de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo

de velocidade .

Exemplos:

Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D

permanente e D1 xVV

transiente e D1 t,xVV

permanente e D2 y,xVV

transiente e D3t,z,y,xVV


Escoamento 1D, regime permanente

Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O perfil de

velocidades é dado por:

A velocidade axial é função de ‘r’

2

maxR

r-1 u u


Escoamento 2D em um difusor plano,

regime permanente

O campo de velocidade varia no plano definido por (x,y) e repete em

planos z = constante, infinitamente.

Alternativamente, dado uma posição (x,y) a velocidade não varia a

medida que z varia!


Escoamento 3D, regime permanente –

Escoamento deVon Kàrmàn (1928)

Escoamento em rotação na

vizinhança da parede de um

disco estacionário.

A velocidade varia nas

direções x, y e z.


Campo de Velocidades: regime permanente e 2D

Escoamento

laminar sobre uma

placa, plano YZ.

Resultados

produzidos pelo

PHOENICS cfd

Campo Vetorial (j,k)

Campo escalar w(y,z)

superposição


PIV imagem: campo de velocidades

instantâneas num plano, experimental


(v) Formas de Representação

Visual do Campo de Escoamento

É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades

das partículas por meio de:

1. Linhas de tempo; “time lines” - (experimental)

2. Trajetória da partícula; “particle lines” - (experimental)

3. Linhas de emissão; “streak lines” (experimental)

4. Linhas de corrente; “stream lines” (matemática)


Linhas de TempoUma quantidade de partículas adjacentes são

marcadas simultaneamente num dado instante:

• making timelines 1

• making timelines 2

Links p/ técnica de bolha de

hidrogênio: (1) e (2)

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/timelines.mov

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/making_timelines2.mov

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-pdf/Hydrogen_bubbles-1.pdf

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-pdf/Hydrogen_bubbles-2.pdf


Trajetória de partítulcas e linhas de emissão

Linha de trajeto: é a trajetória traçada por

uma partícula de fluido em movimento

(conceito Lagrangeano).

Linha de Emissão: ponto fixo no espaço

onde você marca as partículas que passam

pelo ponto em diferentes instantes de

tempo. Após um período temos uma

quantidade de partículas, todas

identificáveis e que em diferentes instantes

de tempo passaram pelo mesmo ponto no

espaço, (conceito Lagrangeano).

Injetor de fumaça

veja túnel de fumaça

dx dyu e v

dt dt

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/clear_tip.mov

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/smoke_paths.mov

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/sportscarsmoke.mov

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/siggi_demo.mov


Trajetória de partícula e Linha de Emissão –similaridade e diferença

Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de

emissão , circle10.mov.

1) Emissão (fumaça)roof-nypth-yov4r.mov

2) Emissão (fumaça) +Trajetória (bolinha)roof-ypth-yov4r.mov

Em regime transiente, a trajetória das partículas não é coincidente com a linha de emissão e nem com a linha de corrente!

Cenário do filmes (1) e (2): escoamento vertical ascendente submetido a uma corrente horizontal alguns instantes após início.

Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a trajetória!

Veja de uma placa plana oscilante.

Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente!

filme

circle10.mov

roof_npth_yovr.mov

roof_ypth_yovr.mov

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/osc_plate.mov


Linhas de Corrente

ds

dx

dy

u

v V

ds

R(t)

R(t+dt)

Linha de corrente

V

Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática da linha de corrente:times

w

dz

v

dy

u

dx

São tangentes ao vetor velocidade do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto. Ela não depende se o regime é permanente ou transiente.


Linhas de Corrente1: linhas de correntes são tangentes ao vetor velocidade. Consequência:

não há escoamento normal a elas.

flowno-flow

flowno-flow

Impossíble!

2: linhas de corrente não se cruzam no interior do escoamento, do contrário haveria extinção ou produção de massa.

Escoamento num cilindro com circulação. Cruzamento linhas de corrente num ponto

de estagnação no fluido! Não viola item (2)


Dois conceitos importantes

Definições de linhas de corrente (conceito Euler – campo) e de trajetória

de partículas (conceito Lagrangeano) a partir de v e u do campo!

1. Observe que as trajetórias também podem ser expressas por equações

paramétricas em t!

2. Somente para regime permanente, a trajetória das partículas é

coincidente com a linha de emissão que por sua vez também coincide

com a linha de corrente, circle10.mov .

dy v

dx u

dx dyu v

dt dt

linha de corrente

Euler (campo)

trajetoria de particula e

Lagrange (seguindo partícula)

circle10.mov


ExemploUm campo de velocidade é dado por:

Obtenha uma equação para as linha de corrente e outra para a trajetória de uma partícula no plano xy para aquela que passou pelo ponto (x,y) = (1,2)

1m/s B e 3m/sA ;jAyiBAxV

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x(m)

y(m

)

c=1

c=2

c=4

c=8

y(3x+1)=C


(vi) Derivada Total, Material

ou Substantiva

Ela relaciona a taxa de variação no tempo de uma

propriedade (H, V, P, Concentração, Temperatura, etc)

medida de um referencial Lagrangeano a partir de

medidas realizadas de um referencial Euleriano!


Para que serve derivada Total?

Todas as leis físicas são definidas para um referencial

Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento,

energia etc

Estas leis aplicam-se em sistemas, que possuem uma massa

(identidade) fixa, do contrário não poderiamos seguir a massa.

Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os

fluidos, utilizando um referencial Lagrangeano?

A derivada Total é a taxa de variação no tempo seguindo uma

partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a

partir de um referencial Euleriano.


Ref. Lagrangeano:

segue a partícula

y

x

r(t)

r(t+dt)

2

2

y

2

2

x

dt

yd

dt

dva

dt

dyv

dt

xd

dt

dua

dt

dxu

Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano são

facilmente calculados se conheceremos a trajetória das partículas!


Referencial Euleriano: fixo no espaço ele define o campo de

deslocamento, r, e de velocidade, V em função do ponto.

tz,y,xvvtz,y,xvv

tz,y,xuutz,y,xuu

,22222,11111

,22222,11111

Note que o campo de V pode ser conhecidos por correlações,

determinados experimentalmente, ou por modelos simples.

1 1 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr x i y j e r x i y j

y

x

r1r2

Como definir uma aceleração a partir do campo de V?

Note que a aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo.

Porém, para determinar a aceleração é necessário seguir uma partícula

de fluido. Isto requer um conceito Lagrangeano!

Então, como determinar aceleração com informação Euleriano?


Um Experimento MENTAL... (Tente Imaginar)

Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A concentração

diminui a medida que é transportada pela correnteza. Você deve fazer

uma medida da poluição. Para isto você dispõe de: um bote a motor e um

medidor da concentração C do contaminante.

Você realizou três tipos de medidas,

1) Com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração;

2) Com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração;

3) Com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.

Você constata que cada medida apresentou um resultado diferente! Tente explicar porque!


Barco Estacionário, Vb = 0

t

c

Dt

Dc

Se o barco está estacionário, o

sensor de poluição medirá uma

concentração ‘c’ que passa pelo

ponto de medida e que varia com o

tempo apenas:x

y

A variação da concentração ‘c’ é

função do tempo e do espaço:

dyy

cdx

x

cdt

t

cdc


Barco Movimentando com

Vb ≠ 0

Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são

independentes mas estão relacionados por Vb:

bV

x

y

dtvdy e dtudx bb



dyy

cdx

x

cdt

t

cdc

A taxa temporal de ‘c’ é determinada por:

y

cv

x

cu

t

c

Dt

Dc

dt

dy

y

c

dt

dx

x

c

t

c

Dt

Dcbb


Barco Movimentando com

a correnteza Vb = V

V

x

y

Se o bote desloca junto com a

correnteza então:

Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação

de ‘c’ SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela

correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)

y

cv

x

cu

t

c

Dt

Dc



dyy

cdx

x

cdt

t

cdc


Derivada Total, Material ou Substancial, D/Dt• Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa

temporal de variação de um escalar, ou vetor, seguindo uma partícula de

fluido (conceito Lagrangeano).

• D/Dt é coincide com a taxa determinada por um referencial

Lagrangeano porém, é medida por um referencial Euleriano. é uma

variável genérica, sua derivada substancial:

• Importante: D/Dt é a taxa no tempo seguindo uma partícula do

fluido.

• Nota: convecção usualmente é utilizado p/ transporte de calor ou

temperatura e advecção p/ transporte de uma concentração. Entretanto

muitos autores utilizam estes termos como sinônimos. Veja apêndice.

termo notacao vetorial termo transiente

convectivo/advectivo

D u v V

Dt t x y t


Derivada Total de um Escalar• O escalar pode ser concentração espécie química, temperatura,

energia interna, entalpia, entropia, etc.

• A taxa de variação temporal seguindo uma partícula para um sistema

com coordenadas Cartesianas é dada por:

f Transiente Convectivo

T

c

u

h

tT u T x v T y

tc u c x v c y

u u x v u y

u h x v h y

tu

th

t V


Derivada Total do Vetor Velocidade, DV/Dt

• A derivada total do vetor velocidade é aceleração da partícula

medida de um referencial Lagrangeano. :

• Para um escoamento 2D o vetor DV/Dt em coordenadas cartesianas

possui as componentes:

f transiente convectivo

Du/Dt = +

Dv/Dt = +

tu u u x v u y

tv u v x v v y

3k

k i

i 1 i

vv ouDV V V xV V

Dt t tV V

d


Para que serve o cálculo da derivada Total?

Todas as leis físicas foram feitas para sistemas. A derivada total fornece

a taxa de variação para um sistema infinitezimal:

Nossa meta é chegar a forma diferencial da Eq. Quantidade de

Movimento, estamos a um passo dela, já determinamos a aceleração

da partícula por exemplo!

A forma integral desta relação será apresentada na aula 3 como sendo o

Teorema de Transporte de Reynolds:

f

f

f

fV

tDt

D

dt

d

initezimalinf.C.Vsistema

r

sistema V C C SC

dB Dd dV V n dA

dt Dt t. .


Identidades para Aceleração do Campo

Aceleração seguindo uma

partícula:

DV VV V

Dt t

Considere as

identidades:V V V V

DV V V V V

Dt t 2

Definindo o vetor vorticidade: V

V VV V

2

A relação acima será importante para derivar Bernoulli.


(vii) TAXA DE DEFORMAÇÃO DO FLUIDO

• Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando

submetidas a uma tensão (normal ou cisalhante).

• A determinação da taxa de deformação será necessária para

estabelecer uma equação constitutiva para o fluido: ~ deformação


i. t = 0, M e N alinhados e dl = 0,

ii. t = dt, M’ deslocou dl em relação M

iii. Deformação: = arcTan(dl/dy)

iv. Taxa Deformação: d/dt

dy

Filme: deformação

Taxa de deformação

A taxa de deformação é um fenômeno local, ponto N e sua vizinhança (dy)

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/V6_1.mov


A taxa de deformação é du/dy e sua a dimensão é (1/seg)

du é a velocidade

relativa entre M e N

derivada arc tan

2t 0

d 1 d dt du 1lim

dt dy dy s1 y

d d

0

A taxa de deformação é:

2

d 1arctan x

dx 1 x

Derivada de arctan

dy

u0+du

u0

Taxa de deformação do fluido

deformação d arctan d dy

taxa deformação = d dt 1 s

As placas paralelas possuem uma velocidade relativa du.

Para um instante dt, a deformação entre N e M - M’ é :

; (dl/dy)2 <<1 por isso 1 + (dl/dy)2 = 1 p/ dy0


Estado simples de deformação(o que vc viu no seu curso de graduação)

Placas paralelas com espaçamento dy deslocam-se com velocidade relativa du.

Como generalizar a taxa de deformação se

ocorrer deformações nas três direções

simultaneamente?

dy

u0

u0+du

y

x


Natureza da Taxa de Deformação

Taxa de deformação é um conceito relativo, quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo à sua vizinhança;

Ela pode variar ponto a ponto no escoamento.

Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional

Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; Dxy = du/dy

Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...


Deformação 2D de um Elemento Fluido

A taxa de deformação depende do movimento relativo de um ponto

em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre

ele e seus vizinhos

Caso 2D há duas direções principais. Em t = 0 tem-se o triângulo

AOB, após t =dt observa-se o deslocamento e deformação devido às

diferentes vel. que atuam em AOB.

O movimento relativo de AOB para A’OB’ ou sua taxa de deformação

pode ser decomposta em três movimentos : deformação angular,

deformação linear e rotação (translação não deforma nem gira ):

C

0tr

A’

B’

A

BO

O’ dttr


Cinemática• Veja deformação de um elemento próximo a parede (filme).

• Movimentos complexos podem ser decompostos em três movimentos

básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:

Rotação pura

O ângulo dos vértices é

preservado e não há

alongamento do elemento

def. linear pura

Há um alongamento numa

direção e encurtamento em

outra direção

def. angular pura

O ângulo dos vértices

variam no tempo.

Assista o filme NCFMM “Deformation of Continua media”

Translação pura

Não deforma nem

gira.

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/1_02030.mov



http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE%20IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/incomp_fluid_element.mov

https://www.youtube.com/watch?v=pqWwHxn6LNo&list=PL0EC6527BE871ABA3&index=2&feature=plpp_video


Deformação de um Elemento Fluido - I

No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w

A velocidade na vizinhança de O é determinada por uma expansão em

série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:

O O

O O

O O

u u uu du u dx dy dz

x y z

v v vv dv v dx dy dz

x y z

w w ww dw w dx dy dz

x y z


Deformação de um Elemento Fluido - II

A variação da velocidade de O para vizinhança é expressa por uma

matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local:

Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido

( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e

portanto tem natureza tensorial.

A matriz é o tensor deformação do fluido D definido por:,

dz

dy

dx

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

dw

dv

du

T

D V


Tensor Deformação - III

Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por

Em notação vetorial,

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

DDD

DDD

DDD

x

uD

j

ij,i

333231

232221

131211

TTVDou VgradD


Decomposição do Tensor de Deformação - I

O tensor D = ui/xj ( i = linha e j = coluna) pode ser decomposto em

uma parte simétrica e outra anti-simétrica:

ji ij

j ji ii j i j j i i j j i

j i j i

Tensor Simétrico Tensor Anti-Simétrico RS

u uu u1 1 1 1D D D = D D =

2 2 x x 2 2 x x

,,

, , , , ,

TENSOR SIMÉTRICO

u 1 u v 1 u w 1 v u 1 w0

x 2 y x 2 z x 2 x y 2 x

1 v u v 1 v w

2 x y y 2 z y

1 w u 1 w v w

2 x z 2 y z z

TENSOR ANTI-SIMÉTRICO

u

z

1 v u 1 w v0

2 x y 2 y z

1 w u 1 w v0

2 x z 2 y z


Decomposição do Tensor Deformação - II

Vamos ver a seguir que:

1. A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear do elemento

2. Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão associados a deformação angular

3. Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação do elemento fluido.

TENSOR SIMÉTRICO

u 1 u v 1 u w 1 v u 1 w0

x 2 y x 2 z x 2 x y 2 x

1 v u v 1 v w

2 x y y 2 z y

1 w u 1 w v w

2 x z 2 y z z

TENSOR ANTI-SIMÉTRICO

u

z

1 v u 1 w v0

2 x y 2 y z

1 w u 1 w v0

2 x z 2 y z


(1) Dilatação linear na direção x

Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0

deforma-se e no instante t = dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. A

extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’.

O deslocamento relativo:

' '0 0u u x dx u dtA C AC

dxAC

A taxa de deformação linear na

direção é:

' '

xx

d A C ACS

dt AC

As componentes nas outras

direções são:

yvDyy zwDzz

u x

u x dt

yyS zzS


(2) Deformação angular no plano xy

Um segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no

tempo t = 0 deforma-se no instante t = dt, em A’D’B’C’. O ângulo

original do vértice A deforma-se nos ângulos xy e yx

yu

dt

d

dy

dydtyu

AD

DD xy'

xy

'yx

yx

dv x dxdtCCv x

dx dtAC

A deformação angular e sua taxa:

xy yxS S

A taxa de deformação angular é definida como a média destes dois movimentos:

ou

xy yxS S


(3) Rotação no plano xy

Um segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira

sobre o vértice A e no instante t = dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O

ângulo original do vértice A é preservado! Não há deformação mas

rotação.

A taxa de rotação no plano (x,y) é definida como a média de d/dt dos vértices. O sinal ‘-’ para xy é porque u < 0!

Se o ângulo de A é

preservado então:

xy

xy

du y dydtDDu y

dy dtAD

'

'yx

yx

dv x dxdtCCv x

dx dtAC

xy yx

DD CC e

AD AC

' '

yuxv

2

1

dt

d

dt

d

2

1DD

yxxyyxxy

Sinal: regra

mão direita

xy yxR R

xy yxR R

ou


Ten

sor

Def

orm

açã

o

1. A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento.

2. Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação angular.

3. Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação média do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente rotação dos elementos. O termo médio aplica porque cada elemento Rij utiliza duas parcelas.

xx xy xz xy xz

xy yy yz xy yz

xz yz zz xz yz

TENSOR S TENSOR R SIMÉTRICO ANTI-SIMÉTRICO

S S S 0 R R

Def V S S S R 0 R

S S S R R 0

( )

j iij ji

i j

u u1S S

2 x x

jiij

j i

j i

i j

uu1R

2 x x

u u1

2 x x


O vetor deformação e o campo de velocidades

O tensor deformação é composto por dois tensores: um tensor

simétrico associado à deformação e outro tensor anti-simétrico

associado à rotação.

D = S + R

A variação de velocidade infinitezimal na vizinhança de um

ponto vem do produto entre os tensores de deformação e

rotação com o vetor deslocamento :

i i, j i, j jdU dr ou dU dr S R S R


(viii) Vetor Vorticidade,

Definição de

vetor vorticidade:

j

i i ijk

k

i j ku

V ou x y zx

u v w

d

Observe que as componentes do vetor vorticidade , i, são componentes de velocidades num plano ortogonal a i.

Por ex., x, emprega (y,z) e (v,w) que pertencem plano (y,z) ortogonal direção x!

w v u w v uˆ ˆ ˆV i j ky z z x x y

x y z

w v u w v uˆ ˆ ˆi; j ky z z x x y

x

y

z rotação (y,z)


Tensor Rotação e Vetor Vorticidade

As componentes do tensor Rotação, R, estão associadas às três

componentes do vetor vorticidade:

1 1z y2 2

1 1z x2 2

1 1y x2 2

1 v u 1 w u0 0 +

2 x y 2 x z

1 v u 1 w v+ 0 0

2 x y 2 y z

1 w u 1 w v - 002 x z 2 y z

1. Por comparação, é igual a 2 vezes a taxa de rotação média do

elemento.

2. O tensor R pode ser expresso pelas componentes do vetor porque

ele é anti-simétrico.

3. ou R são fenômenos locais. Isto é, linhas de corrente com

curvatura não garantem que o escoamento tenha rotação!


Relação entre Rij e O tensor R é anti-simétrico e possui 3 escalares distintos, isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor!

Para um elemento em estado de rotação pura (S ≡ 0),

1ij i i, j j 2

i j

R dr R dr U dr = dU d

x y z

z y

z x

y x

i j k1

det 2

dx dy dz

ˆ ˆdy dz i du i

ˆ ˆdx dz j dv j

ˆ ˆdx dz k dw k

jiij ijk k

j i

uu1 1R

2 x x 2

Para rotação pura, as componentes dU são definidas em termos da rotação dos elementos de fluido e das distâncias dx, dy e dz

i , jR dr

1 1z y2 2

1 1z x2 2

1 1y x2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1

2

0 - dx

+ 0 dy

0 dz

v u u w ˆ dy dz du ix y z x

v u w v ˆdx dz dv jx y y z

u w

z x

1

2

w v ˆdx dy dw ky z


Vetor Vorticidade,

A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido.

Ela tem papel central no estudo de escoamentos com ausência de viscosidade.

Escoamentos onde é nulo são chamados de escoamentos irrotacionais.

Note que na parede (condição de não deslizamento) o fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação!

As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.

Assista o filme NCFMM “Vorticity 1 and 2”

Baixe as notas dos filmes 1 e 2

https://www.youtube.com/watch?v=loCLkcYEWD4&list=PL0EC6527BE871ABA3&index=9&feature=plpp_video

https://www.youtube.com/watch?v=h6bmrRFYFbc&list=PL0EC6527BE871ABA3&index=10&feature=plpp_video

http://web.mit.edu/hml/ncfmf/09VOR.pdf

http://web.mit.edu/hml/ncfmf/09VOR.pdf


FIM


Apêndice I – DV/Dt em coordenadas

cartesianas e cilindrico-polar

Sistema de coordenadas Cilíndrico Polar

Sistema de coordenadas Cartesiano


Apêndice II – Nota sobre convecção e advecção

• Frequentemente os termos convecção e advecção

são empregados como sinônimos do transporte de uma

propriedade pelo campo de velocidades, por exemplo:

q. movimento, energia ou concentração. termo convectivo/advectivo bidimensional

u vx y

• Estes termos podem ser diferenciados pelas definições:

Convectivo - representa o mecanismo de transporte ( movimento) de

um fluido em resposta a adição ou remoção de calor;

Advectivo - representa o mecanismo de transporte ( movimento) de

algum material dissolvido ou em suspensão em um fluido.

As definições dadas não são um consenso na literatura. Usualmente

são usadas como se fossem sinônimos.


Exemplos advecção

•As definições dadas no slide anterior não são um consenso na literatura.

Na prática elas são usadas como se fossem sinônimos.

Exemplos convecção

Transporte da tinta vermelha e azul

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