Introduction To Fluid Mechanics And Fluid Machines
Transcript of Introduction To Fluid Mechanics And Fluid Machines
������������ ���� �������������������������������
���������� ���
��� �� �� ���� � �������� ���� � ������� �������� ������ �� ����
�������� !� ���"�� ������ #�� �� #$�������% #���� #��� ������&��� �������� �����!� �%��% '��%� '� ����
�������
������������� ���� �������������
������������������ �����
���������
�����
������������� ���� �������������
������������������ �����
������
�������������
���� ����������
���� ������
�����������������
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM3
(�"���)��"%�'����#�* �+�����(�"���)������ !��%��� ���,
-�����(�������� ,�����)��../�//01
��!% ��)��2�3//0,��"%�'����#�* �+�����(�"���)������ !��%��� ���1
���!� ���4��)���!�"��������� �%�"� ! ������� ����� �"���������%�4� �� �"%���%� ���,��� ����,� �)������,�!)�����!%���,� �� ����,�� ���) ���� ���� �����������"���� � �5��� �%�� ���)���� �)�! �� � �����! ��������4� �)�!�"���) �1�')�! �� � ���������6�4���%7� �%�"��� �,���� ������$������������ !�� ��%�� ,�"����)%� �%����"� ! ������4� �!�"��������1
')��������������"�$!� ���4 � ����������%�"%��)�!�"���) �,'����#�* �+�����(�"���)������ !��%��� ���1
����+.89�:-0+/+/-+/;;-;3+<
����+./9�/+/-+/;;-;3+<
#���������� ��� 9�����������
*� ���#���� 9�(�"���)���=��#�>�'�)���9�������������
����1��!���� ��������� 9����������������
& 1������ �����$����59�������������
�$����5=����� ����� 5���9���������������
���� �( ����������$����59������������
*� ���#���� 9�#� �����=���) �����������>���)���9��������� ���
( ������#���� 9���#�>�'�)���9�!����������
���� ��� =( ��������9����������"��������
����1�*� ���#���� =( ��������9�!�#�$�%��
��4� �������������������)���� ��)���"���"������"%�'����#�* �+����,�4 �
��� ���"��5�����"� ���"�1���5 ,����) �'����#�* �+������� ��������)� �
��� �����)����� ��%�� ��� !�������4���%���4� ������!�"���)��) ��,����
���) � '���� #�* �+����� �� � ���� ���)� �� �)���� "� �!����"�� 4� � ��%� � �,
� �������,�� ��� ����� �����������4�����4��)�����4� �����1�')���� �����!�"���)�
��)� �)� ��� ��������� �)��� '���� #�* �+����� ���� ���� ���)� �� � � ��!!�%���
��4� ������ "��� � � ���� ��� !����� ��� �� � ���� ���� � � ��) � ! �4�������
� 5���1��4����)�� 5����� � ?�� �,��)������������4�����!! �! ����! �4�������
�)�����"�����)�1
'%!�������� �!��#�� �,�.:,��.+�,�����#� ��,�(���)� �@�)� ,�����)��../�/;8,
'$��������5 �! ����������������������������+:0,����� �;A,������1
B�������BCBDE
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM4
"�� �������������&�����������'���� ("�� ������������������'���� ("�� �����������)����'���� (
� !����������������"��������� ��������� �
.1. �4���������4��� �� *
.13 �4���������4������ +
.18 ������������"���������������������� +
.1< ������( �! ��� ,��--��� *.��&���'(�-/�� *0'(������ +1
# " ����$������ #%
31. �� �������������� ��� +0313 �� ����� ����������������� %������ +0318 ����� ������?��������4�������������� ,231< F����������������4�( ��� �#��� �� ,,31A ')��� � � ,331; #��� � � ,131- �%� ��������') ����������" ����� 4��� 32310 ���%���% 3131: ���"����%��4�F������ ������������������� 3.
��--��� 1,��&���'(�-/�� 13'(������ 4,
& '�����������(�" ��� )%
81. ��� �������� 40
813 ����� �����@��� ������ 40
818 ���������������� �!������4�������#����� 45
81< �$�������4���� 54
��--��� 50
��&���'(�-/�� 55
'(������ *25
��������
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM5
*� �������
+ ������*������,-������������.�� ������(�"������������ �/� ���� �0%
<1. �%�� *20
<13 ���� 5�������4�#���=')����������%��?������ *25
<18 ���� 5�������4�#� ��� 9�#� ��� �')� *+*
<1< ����%�����4����������� ���@��� � *+4
<1A ��� G���?������9�')��?��������4�#������4� ������������ *,0
<1; ���� 5�������4��� �% *31
��--��� *12
�� ������� *1*
��&���'(�-/�� *1*
'(������ *..
1 .�� ����������(�,-���������(��������������������� �,����� �)1
A1. ��� �������� *41
A13 � ������G���?����������� ������������� *4.
A18 ����%������������� 5���� � ���� *45
A1< ����������B����5��?����" �� *04
A1A ( ����!����4����%� ��������!)�� *52
A1; ������������*� � ����)���� *5+
A1- #��� ����4�����B���') ���)�(�! *5.
A10 ����') ���)�H �4��������#���)!��� +21
��--��� +*1
��&���'(�-/�� +*4
'(������ +,.
2 ������� ����(�������� �$��� �������������������� �.�� ���� #+�
;1. ��� �������� +3*
;13 ����!������'%!���4�()%�������� ��� ��% +3+
;18 ')��!!����������4��%�� ����� ��� ��%=
�� ������������%��� +12
��--��� +.*
��&���'(�-/�� +.*
'(������ +43
) " ���(�!��� �" ���� #))
-1. ��� �������� +44
-13 �� ��� %�����������'�+�� ��������(��� +45
-18 ��! !���������4��� ��� %����� +0.
-1< � �4����')� % +50
��--��� ,2+
��&���'(�-/�� ,2+
�� ������� ,*2
'(������ ,**
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM6
������� *��
% /�������!����������� ��" �� &�+
01. ��� �������� ,*3
013 *� ���@�������%��� ,*1
018 ��5� I�������?������� ,*.
01< �$���������������4���5� I�������?������� ,+3
01A ���B%�������� " ���� ,,4
��--��� ,3+
�� ������� ,3+
��&���'(�-/�� ,3+
'(������ ,11
3 ��������4�������������� &13
:1. ��� �������� ,15
:13 ������ %���% ��?������� ,15
:18 ������������H5 ��������(��� ,.,
:1< ������)� ����������� %���% �')������ ,.5
:1A #� ��� +���� ����?��������4� ������� %���% ,4+
:1; �!� �������4������� %���% ,4,
:1- �� ��+(�)�)������!! �$� ���#�)���4� ���������
�4�#� ��� ����� ����?��������5 ��������(��� ,44
:10 ���� ���#�)���4� ����+E ��( ��� �* ���������� ,45
:1: ��� %�������������� ,0+
:1./ ���� ����4������� %���% ��!� ����� ,0,
:1.. #�)�������4������� %���% �' �������� ,03
:1.3 �5 ����5�����4�' �������� ,0.
��--��� ,04
�� ������� ,00
��&���'(�-/�� ,00
'(������ ,5,
�0 ����� ����" � &3%
./1. ��� �������� ,50
./13 �)� ��� ��������4�'� "�������� ,50
./18 �� ��� I'� "�����' �������� 322
./1< �� ���������������� 32+
./1A #���#���������������������� 32,
./1; � �5�������4�*�5 ������?��������4� �'� "�������� 32.
./1- '� "����������� %���% ��?������� 325
./10 ������ %����������� 3*2
./1: �)� ��� ���#���� 3*+
./1./ F��5 ����@�����%����� �"�������������� ������������
�������������4� �@ %��� ��B%�������� " � 3*1
./1.. ����%��5��!��'� "��������������(�!�4�
#�� ���B%�������� " � 3*5
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM7
*��� �������
./1.3 ������ ���������44������4� ������� %���% ������������(��� 3+*
��--��� 3+3
�� ������� 3+1
��&���'(�-/�� 3+1
'(������ 3,2
�� .�� ����������(�/�������" ���������������� +&&
..1. ��� �������� 3,,
..13 ����!���4�� ������������ ������(�!���� 3,,
..18 @� ��������4�� ������������ 3,1
..1< ����!���4�����(����������������B������� 3,5
..1A �����) ���)�� ���)��(�!� 33*
..1; �����) ���)�(�!����)�����'�!!���� 330
..1- ���������(�!����� 312
..10 ���������(�!��������� 31*
..1: (� �' ��� �������"%���(�!��� 31+
��--��� 31,
��&���'(�-/�� 313
'(������ 3.0
�# " ���������"����$��(��� +)#
.31. ��� �������� 34+
.313 �������H!���)����� 34+
.318 ��������������� ���� ����������H��%�(� ��%����� 304
.31< �%� ������&� ! 305
.31A H��� ����4�� ����������������� 35+
��--��� 35*
��&���'(�-/�� 351
'(������ 12,
�& .�� ����������(�5��������" �� 101
.81. ��� �������� 121
.813 �� ����( ��� ��������� ���5���� 12.
.818 ����"���) ����4���� 124
.81< H����������������F+'�" 125
.81A �� !��H�����������"���'��B� 5�� � 1*,
.81; ��� ��� 1*1
��--��� 1+5
��&���'(�-/�� 1,2
'(������ 1,.
�+ ���������� ��" � 1&%
.<1. ��� �������� 1,0
.<13 ') ��%�� ���B���������4�( 4���*��� 132
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM8
������� �6
.<18 �!���4������ 13.
.<1< ( ��� ��������������#�5������� � 134
.<1A �������?��������4� �H�+�� ����������� 135
.<1; ���������������������( �! ��� 11*
.<1- �� ����)���� 1.+
��--��� 142
�� ������� 14*
��&���'(�-/�� 14*
'(������ 145
�1 ������� ����(�" ������������ 1%�
.A1. ��� �������� 10*
.A13 ������4����������4�������#��)��� 10*
.A18 B����%�� ���#��)��� 10,
.A1< ��44 ���'%!���4�B����%�� ���#��)��� 153
.A1A B��! ��������(� ! .+5
.A1; �%� �������%�� .,1
��--��� .,4
��&���'(�-/�� .,5
'(������ .10
�2 �����������7�"��������4 ���� 22�
.;1. ��� �4������� ! ��� � ..*
.;13 �$���������� ! ��� � .4+
.;18 ������������ � .40
��--��� .03
�� ������� .01
��&���'(�-/�� .01
'(������ .5+
.������6�.6"������"��/������� �)��� .51
.������6�46��&���� �"��-����� ����/��
��������������������/������� .50
!���6 420
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM9
���������� �
����������������������
')�"�������4� ��� ��������.::0������)�����������������!�"��������3//<1
')�"����)���"��$����5�%�����"%��)�4�����%� " �������)��������
�� �����)������ %1�')�! ���� 5��������������"��������)��� ���� ��5�
4 � ��)��� ���4��)�"���1��������)����!!� �����%�����)�����)�����5���������
5� �����������J���5 �����J����������)��! �5������!����4� ��)�� ! �5 ���1
����)� 5����������������,��)��%!�� �!)����� � ��)���"���� ���1��� ���
�)� 5�����,��)�4��������! � � ��%�����)��)�!� ��! �����������������#��)�� %
6�)�!� �.A������)�!� �.;71��� �������������)�5�"��$!�������� ����
"�� � ���������� "��� �)� 4���� ������ ���� �)� �!!���������1� ')
������ �������)�5�"��� ! �5�1���� �� ��4������#�1��� �")���)���������#�1
��)����#��) K��4�#�* �+����� 4� � �)�44������! ����������4� �)� 5���
������������1���)�!��)����� � �� ������4�����)� 5����������������
� ����4��1
������
*������
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM11
��������
� ����������������
#��%� ������,� ���5 ������ ���� ������������� )�5� ���� �)��� "���� ����� �)
!�"����������4�����4� ���������1�')�����������������������4��)����)� ��)�5
���5����"�������������4� ��)�� ! �5 ����4��)�"���1�')�4�"�����4��)
�������� )��� ��4������ �� � ��%�� �4� ! ��������� ��� �)� 5���� ������1� ')
����������� ��5��4 � �( �41�@���� ��,�( �41�B�(��))�" ������( �41�(��
*)��)������� ��4���'����!� �� �� ��4���%����������1��� �K� � 5������)��
"�� " ���)�� �"���� ��� �)�!� � <,� �!�����%,� 4�������� �)� ����������� �4
( �41�@���� �������)�� �� �5 ������4��)��)�!� 1�( �41�����#� �%��4���'
#�� ���! �5����5����"����5�������)�� �� �5 ������4��)�!� ��:,�..�����.31
( �41������)�����)� %�,�( �41��1�*)��)�#�����,�( �41�(�����������( �41��������
���)��4���'��)� ��!� �! � !����5 ���� !� ����� ���4��������1���!���4 �
( �41�(�#�@���""� ����4���'���)����������$� �%���4��1�( �41��1�1�&��)�
�4�*�5�1��������4������ ���,��� ����"��,�!��� 4� � �� ��%� �����4��
����������1�')����)� ��)�5� �������4��)����!!� �����%������ ����)� � �
������� ������� �� �����������!! �! ���� ��� 1�')��$�����)����������
)���"���)�����"%�����������������������)�!� �6�)�!� �.;71��� �$������
! �"� �� )�5� "�� ����� �) ���)���� �)� "���1��� ���� �%� )�!� �)��� �)
�� ������4�����)��� 5��������������� ���������4��1
�����H#
*�������
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM12
��������
� ���������������
')����$��)���"�� �����! � � ��%�4� ������� ������ %���� �����4����� �)�����1
����,������� !��)���"�� ��������5 ��������4������!� ���4��)�4� ������ ����
4����� ��)���1�')�"��������������� ��4��� ����)����$! ��������)�������
����������4�'�)�����%,��)� ��!� ,����������������������4�'�)�����%,����!� 1
����)�����4� �� ����������4��)������� �������� �����������,������)��
"�� 4��� ��� �� ���� �)� ���� ���� �� ����� � �4� �)� ����� %� ��� �)
��� � �������5�1����)���"���"� 5���)��� ��%��4��� �� �������� �"���
� ��� ����� �� )��)� �5�� �4� �� !���������� ���� $! � ����� � �� ��� 4����
�)��������)�����)�"�4����4�����+"�������"�������� �����4�����1������"����
6�� � �5�7���� �,���)�����4� ��!����� ���5 �,������� ����5 %��%����
����!�������� ����������)��������1��������)����� ���� G��K�"���� ���� �"����)
!)������4���%���!����)���)�4����)��������� ����4�������)� � �! �� ��%1�')
����4���"�������� ���������������+"���������5 ����4�!)%����������!��,
��) ��������! �����������! ��������� ���� ���������)����)����!��4� �)
��� �1�')�!� !����4��)���"����������!���44� ����� ����)����� ���������! �5��
����4���4�����������4�4����� �)����������������� ����� ��������4��)������ %
� �!���5��4��)� �����5�����������!����1�') ���)�����)���"���,��)�5�"�
!)�������� ����)� �� ����������������%������� �����1
')���!�����4��)�4� ���4�� ����)�!� ��� �����)�����)����������� ?�� ��
��+� �� � 6.A���7� ��� ����)� 4�� � ��+)�� � ���� �� ! ��1� ')
4�4���)��)�!� �������4����� ��)����)��)���5 ����!�������)����"�����! ����!��
�4� 4����� ��)���,� )%� ������ �� "���,� !� !�,� 4����� ���!������ ���� �� ?�
���5 � �1�')��� �� ���� �%�"�����4���%�������������) ���)��)���) ��
�5����"�� �$�� �� ���� ��� ���� ���� ��� � �� "���� ��� ��5 � �� 4���� ��� �� ��
��� ������ %��� "� ��)���1
')��$����������� ��%�� ��+����$� !��1�')��� ��������� 4���%���
�)��� ������� �4� �)� ! ����!��� � � "�� � $!������ ���� ���"��� � � �5�
�) ���)�� ���� �����1�')�! �"� ����������4� �! ����������)� � ���
������� ������)��������)��� ����� ���5���!�"����%�����)��������1���)�!
�)�������� !�������4� �)���� �,� �)�������������"��"�� ����!!�%� �)�"����
! ����!���������� �����������������!! �! ���� ��� 1
��� �� ��4���������� " ��4����� ����4� � ��%���4����������������� ���
�5 ����������4��)�! !� �������4��)���"���1�')%�� �( �41�B����� �K��,�( �41�(
������)���� �%�������( �41�'������ � �K����4���'�#�� ��,�( �41�����*�!��,
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM13
6�* "�� ���� ��� ���� )���� '����
����( �4�����#�)���%,�( �41�(������,�( �41��������)���������( �41���(
����!����4���'��)� ��!� ,�( �41���#� ����)� ,�( �41�@���� ��,�����( �41����
#�������4���'����!� ,�( �41�����B�%,�����( �41������������4��������������
( �41���*)������4�&���5!� �F��5 ���%1�����)���� �� ���� ���� ��� ���������
( �41���@����� %�4� ��� 4���%� �������)��$��� �����)���)�������� �)�
)�����)��� ��� ��4���'�#�� ��1����)�����)��� ����� ��5��! ��������4
��'��)� ��!� �4� �! �5�������)���������4�����������!!� ��4� ��)�! !� �������4��)
����� �!�1���� ������� ��4������@�")��#�)�K����4�'����#�* �+�����4� ��)
44������! ����������4��)�"���1
������%,��$! �����5 %��!����������4��!! ������������� �4� �����)�
"�5�����%� 4� ��� �)� � �)� � �4� ��������� �� ���� �)� ! !� ������ �4� �)
����� �!�1
����� ����5�� ������ ����������������4 � ��� � �� ������"���� 1
�����H#
*�������
New Prelimes.p65 3/11/08, 4:21 PM14
��� ����������������
d���� ������������d����� ����� ��������� �������������������������d����� �������������������������������������� ������� ������������d����������������������������� �� ���������� ����������d��������� ���������� �� ��������d������d��������� �����������d���d�������d������������ �������������� ����� �������������� ������� ���� ���������!�������
�������������� ������ ��������������������������������� ��� �������� �����
�������
������������ ���� s�� ���d �fi"
��d�� #d��
����������� ���� t�� ���d �fi"
��d��#d��
d A d F
d Ft
t
n
dFn
�������� � ������������������ ���� ���������
������������������� �������������
�
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:22 PM1
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
��� ���������������
$��������������� ���� �� ���������� �����������������%� ��� ���� ����� ������
������� �������������������� ���������� ������������
$������� ������ ������������� ���������� ��������� ������������� ����
��� � � ���������������!��������������&�������������� �����t������������� ������� ��������������� ��������� �"��¢������������ ������� ���� ������������ ��"&&¢� ���� ��"''¢����� ��"((¢������������)��� ����������� ��� ����� ����� ����������������������������������� ���������� �������������������� ��������� �����������
*����
�������� ����������� ������� �!
��" ������#���$��%���&����&��&�����
�����������������������������������������+�������������� �� �� ����������
$ �� ����������� ����� ������������������������������������� ���� ��������
�����
$������������������������ ����������� ������� a�������� ������������'��������+������� ���������������� �������������������� ����������� ��������� ���
�a�� ��� ������ ������ �� ��� ����� ���� �� �������� � ����� ��� �� ����� ���� ������� ����
a a
t
Solid
�������� ��� ����� � ��� ��� �!
)� ������������������ ��������� ����
��������������������!���a���������������� ��������� ������ ������ � �����
)�� ���� �� �� ������� ������ ���
������ ����� ������ ��� ��� ����� ��� ��
������ � ����� ���� ��������� ) � ��� ��
����������������� ����������� �� ������
��������������� � ����� ����� ������������ � ������ ������������������� �����
��������������� �� �����,�������������� ��� ����� ����� �����������������������
��������� ��������������� ��� ���������������������������������������������������
� �����������������
��"�� # ���'� �# �������
�������� ����� �����������+������������*� ������ ����� ������������� ���
�� �� ��� ������ ��� ������ ���� �� ��� �� ��� ���� ���������� ��� �� ������
�� ����� �� ����� ����������� $� ������ ���� �� ��� ��� �������� �� �������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:22 PM2
������������ ��� ���������� �������� �
���������� ������� ����� ������������������ ���������� ���� ����������
�� ���� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� ������ ��� ���� �� ��� � ���
��������� ������������ �����������
������� �������� ��������������� �������� ���������������� ������������
�� ����� �� ��������� ����� ��� � � �� ��� ������ -� � ��� ��.������ ��������
������ ��������� ���.��������������� ���������� ���������� ����������� ���� ����
�� ��������������������������+�� ����� ������.��������� ����������������/
������������������ �����)�������������� ���.��� � �����������������������
������������������ ���������������� ���������� ������������� ���������������
�� ���� ��������) ����������� ����������� �� ���� ������������ �����������
����� ����&�0�¥��"&1���������������'��)���� �������������������������� ������� ��� ����� ��� ������ ��� ������� ���� ��� ��� ������ ����� � �� ��� ��
�!������������� ��������� ���������������� ����
������ ���� � ���� ����� ���� �� ��� ���������� �� �� ���� � ����� ���� ��
�� ��������� ��������� ������ �������������2�������� ��� ��� ������ ���
�� �������������� ����� ��� �� �� ���� �� ��������� ����� ��� ���� ��� ���
�� ����� ������������������� ��������������������� ���l������������� � �� �������������� ���� ������������ �������� ����� �����������������������)� ��
����������� ����������������������������� ����������� ���� ������ ����� ��
������������������ ����������������� ���������������� ���� ������������� ��� ��
������� ���������������)� �������������� ������������������������ ������
���� ���� ������ ��� ����������� ���������������� ������������ ����������
������������ ������������ �������$��������������������� ���+���������������
�������������l#���������l���� �������������� ����������� ������� ���� ������ ���� ������������ ����������������� ���������� �������3���������������4�"�"��
��� ���� � �� �� ����������� �� � ����� ������-������ ���� �� ���� ������ �
5��������������� ������������+������������������"�"��6����6�"����� ����� ���
�����"���6����6��"���������/����������������4��"���7����������� ������
�������������������� �������+�������������������� ����"�"������� ���������� �����
�� � ��������������� �������$��� ����� ����8��� ������ ����� �����������9
� ���� ���� ����� ����������+�� ��������� ������ ��������� ����������� ���
�� �������������������� ������������������������������ �� � ����������� � �� ���
������ ���������������� ��� �������������
��( �����)�)������
:�� �������� ���� ��������� �������������������������� ��� ����� ������ ��
������������ ���� ���� ��� ���� ������ ����� ������ ���� �� ��� ������ �� �����
��������������������������� ���������
��(�� ������!*r+��������� ��r�������������� �������������� ���������;���� ������ ������ ���+�#�'�)�������������� ���������������� ����������������D� ����������D����������(�� ��������� ���r��� ����� ��������� �����
r�� ���D
DD� �
��
��Æ
="
��
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:22 PM3
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
��(���'������%�����*,g+
d xd y
P
D =V x y zd d d
d z
������� &������������
���� ����' ���)
��������������� ���� �������� �������
���� ��� � �������� ���� ������ ����� � ��
��������
<g �� r ������ � ��� ��� ����� � ������ ������ ����
=�� ��������� ���� �������������� ���������
���������������� � �������������� ���
��� ���������� ��������� ��� )��>)� ��� ��� <g���������!�����������?#�'�
��(�" �'������- ����*v +
������������������������������ ����������������������� ������������������
v �� �#r>���������������� ������ ����'#+��
��(�( �'������.��/��!*�+
������.������� ���� ����� ���������� ��������.����� �� �������� ����� �� �������� �
��������� ���� ��"��+?#�&������� �(�@:����������������� ������������� ����� ��
��� ������� �� �� �� ����� ��������������������� �������������� ������ ������
����������7�������� �������������������� ������A���� ������� �������� ����� � ��
��������������� �� �������������� ����������
��(�0 -��� ���!*m+������������� ������������������ ���� � ����� ��� ���������� ����������� ���
����� ���������������� �����)��������������������� �������������� ��������� �
������ ������ ��������������� �������������������� �������� ��������� ���
�� ���� ��������� �������������������� ����������������� ������� ����� �������
������ ���� �������� ������ ������������� ���������� ����� ���������� ��������
O x
y
u = u y( )
y
������� )��������� 1 �������
��� ����� �� ����� ���� ������ ��� >��
)����?�� ����:�������� �� ���� �����
��1�� ��� ����� ���� ����� ��� ����� ���
���������� ������������ ������������
���� �� � ����������������������������
�� �������� ������ ����
���������B� �������� �� �����%���
��������������� ������ ��������������
���������������!������������1�����
���� ���� ������ ����� ��� ������ ��� ��
����� ��B� ��� ��� ��+�� �� ���� ��� ���
������ ������������ ���������� �� ���
����� ������� ����������������������
�������������� ��� �����������������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM4
������������ ��� ���������� �������� �
�� ������ ������� ������ ������� ���
�������>���������� ��������������� ����� �
�� ���� ��� ������ ����� �������� �
?�� ��C�� ������������ ������.�������
������ �� ���� �� ��� � �� ������ ��
��������� �� � �� ���� ������ ��� ��
� ���� ��� �!��������� ��� �� ����� ���
��������� �������� ���� �������� )��
� ������������������� � ���� ���� ��
������ � ����� t� ��� ������� ��� t��� �#��
y
FF
�������� �1 ��2�������!��� ��
� /��������
?�� ������ ��� ��� �� �t���������� ������ �� ���.��� � ��D�#D���������D����� ����� ������������ ������ ��� �������������D����� �������������� ���������� ����)�� ������� ����������D��fi�"��D�#D���.����� ����#���� �������� ��������� �� ������ � ��������� ����������������� �� ������� ������ ����� ������ ��� ������
$������� ��?�� ����t�������#��������� ������� ���
t�� m ��
�
������
������� ������ �� ��������� ������ ��m����+�������� ��������� �������� ���������� ��������� ������������������ ���� ������������������������ ��� � ���>���
��t�������������� ������������#�������� ��������������������������1����#��������� ������������������������� t� ������� �����-� �� �������� ������� ���������������������� ������� ������� �������� ������ ���������� ����������� �� ����
D.�� ������������������� ��������� ���������������+��������?�� ��C�������
������ ��� :������ ������� ��*�� �� ���� ����� ������� ����� ?�� ��C�� ���� �
������ ����������+���������� �������������2 ����������������������*������ ��
������ ������������� ���������������� ������ ��� ����������������� ����������t������#�����������+�����������!�� ������������
�������������� �������������������� ;�������������������������� �
����� ������������D.�����������
m�� t� �� �#
���E�#� F
E�#�F
&
���E,� �
�
�- -&
�
F
E # F���E,�<���<�F
����������������m��������!���������� ����������<&��� �����������������������������������,�<��<���� ��,�������������������������A�������������
�����������>)���� �����?�#�&�����+�#�������� ������
���� ?�� ������ ������� ��� ������ � �� ������ �� �������� � ������� ��
������ ���� �� � ������� ����� �� ��� �� �� ���������� ���� ��.������ ��� ������ �
����������� ������������� ������ ���������������������������� ������������� �
�������������� ������ ��������������0������� ��� ����������� ������������ �
�� �� ������ ���������������������������.���������������
�� �������������� ������������������ �������������������������� ���� ��� �
��� � ���G� ���� �� ����������� ���� �� �������� ����� ��������� ����� ��
�!������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM5
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
Temperature, C∞
Vis
co
sity
,(N
s/m
m2)
Carbon dioxide Methane
HeliumAir
Mercury
Water
- 20 0 20
8
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
6
6
6
6
6
8
8
8
8
81.0
2.0
4.0
6 10¥ -6
1 10¥ -5
1 10¥ -4
1 10¥ -3
1 10¥ -2
1 10¥ -1
40 60 80 100 120
KerosineOctane
Heptane
Carbon tetrachloride
Glycerin
Castor oilSAE
30oil
SAE
10W
-30oil
SAE
10W
-30oil
�������� -��� ���! �� �� ���������������� � ����'�������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM6
������������ ��� ���������� �������� �
��� ;��� �� � ����� �������� ����� �� ����� ������������� ���� ������ ��� �
������������ ����� ������� �����%��� ������� ��������� ������.���������
���� ������������ ����� ��������� ����������������������
���� ��������������������������������������� �������������� �������� ���
�� ������+��������������������������!������������� ����� ����
������ ����������������� ���������>������������� ����� �������������
������������������������H������������������������� ���� �������������>���
��������� ���� ��� ������ ���� ��� ������ �� ����� �� ������� ������
��� � ����� ����� �� �� �� ��� ������ ���� �+���� ��� ���� �� �� ���� ��
����� ��� ������������������� ��� ������ ���� �����-��8���������9��� �
� ������������� �������� ����������� ��� ��� ������ ���� ��������� ��� ��
������������� �������� ������������ ����������������������������������
����>���������������������� �������������������������� �������� ���� �
�� ���� �������������D�������������� ����������������������������
������ ���� ��� ������� ���� �� ����� ��� ������� ��� ��� �� ������� ��
��������� ��� ����� �� �� ����� ��� ������� ���� �������� ��� �� � �
������ ��
a
b
a
b
Molecules
������� 3 /����� ������� ������� ��1����1 ��2������ /�����!���
$� ������ �������������������������� ����!����������������.�����
�� ���������������������� ������������� �������������� ���������.�����>���
������������������� �� ������ ����� �����.���������� ���������+�������)�������
����� ������������������������������������������� ��������� ������� � �����
�������������� ����!�������$�� ��������������������� ��������������� �
���������� ������ ����� ��������� ���������������������������D!�� ��������
�������������������� ��������������������� ��������� ������ ����.��������������
������ ��������� ���������������
����� �� ) ��������������� �� ��������������������� ��������������������
��� ����� ���������������������� ������������� ������� ���������� �� ���
��������������*���������� ���m���"���>����������������������������������� ������� ������ ���������������������������������� ��)���������������� ����������
�!�� ����������������������������������������� ���$��� ����������������� �
����������� ���m�4�"����������� �������� ����������������������� ������� ������+��������������������3������� ������ �� ���������������������� �������
��������������������� ��������������������������������������������������
��������� ������������� ������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM7
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
������������� � ��� ������ ���� �� ���� ������������ ��� ������� ���� �������
�� ����� ���������� ��������� ��������� ������ �������� ��������� ������������
���������!����������� ���D.������������� �����������������I������� �� ����������
�������� �������� ����������������������$���������� ����������� ��������� ��������
�� ���� ���������� �����;��� �� �������� ��������?�� ��C�������������� �
���������������� ��������� ���!�� ������ ������������������� ����������I
�������� �� ����������������������������������� ��������������� �������� ���� �
��������������� ������ ������������*�������������� �����!���� �*����������� ����
�������������� ��������������������� ���������� �� ������������������ ����������
������ ���� �� �� ������ ���� �������� ���� ���������?�� ������ ������ ������
�������� �� ������� �� �������� ����������������������� ������ ������� ���������
����� ����������� ������D.���������������� ������������ ������ ���������� ����
������ ������ ��������� ������� ����� ������ ������� ����������������������� �������
�� �������� ��������� ���$�������������� ���� ������������������������� �
�������� �������������8�����/� ����� ��������� ���/�� �9� ���� �������������/
?�� �������������-� ����������������������������� ������ � � �����.�� ���
�8������� ���������� ���������� ���9����� ���������������+����������/?�� �����
�������7�������� ����� ���� ���������� ��� ���������� ���������� �� ��/
����������������� ��������������������/?�� ��������������� ����� ��!��
�����������������+��������"�� ��!��#�������� ������������ ��� ��
���� �� ��������������� ���$������� ��2� ����/��� ����������
t�� ��
�
�
�
��
�
�
�
-�
���&�
�������� ���+�������� ��� �� ����������� ����$ ���� �� ��� ��� �������������
����!��J����� ��������������������������������� ����� ������������ ����� �� ��
������ ������ ���7���������� ����� ���K����/������������������� ��������
������������������������G
Plasticfluid
Ideal bingham plastic
Non-Newtonian
pseudoplastic( < 1)n
Non-Newtonian
dilatant ( > 1)n
Newtonian (= 1)
n
d /du yo
t
Ideal fluid
Ideal
soli
d
�������� ����������������� ����� ����������� ����' ����������������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM8
������������ ��� ���������� �������� �
���
�
�
�
� -�
) ��������������������� �� � ��������� ���������/?�� ������������������ ���
�������� ������ ����������� ��� ���������������� ������ ���������� ��
��������������.����� ��m�� ������������� �������� ������?�� ���������������������������
������6���� ������������������������������� �������������������� �����������
���+�� �
���� ��4���� ��������� ���������������� �� � �������������������� ����� ���
�.������������������������ ����� �
������������������� ������������.�������������� �������� ��������� ���
�� �������� �������� ������� ������������������� �������� � � �����.�� ����������
����� ������� ���������� ��������� ���� ������������� ����������������������
������ ��� %�� ��� �������� ���� ��� ������ -������� ���� ��� ��� ������ � ����/
������ ������ ������ ������������������
��(�4 5��������-��� ���!
���������� ��������� ��m���������������������������������+�������� �������� � �� ������� ������ �� ��� ������� ��� ������� ������ ��� $�� ���
������ ��������� ��+��������+����� �������� ��������������
n�� mr
) �� ������������ ������� ��� �&�<�� ���� ��� �!�������� ����&#�� ��� >)� ��� ��� ���
����� ������+����� �������� �������� ������������������� �� ���� � �� ������
���������� ������� �� ����� ������ � ��� ������ ������ �� m�� ��� ���� ��� ���� �������� ������ �� r� ���� ���� �� ��� �� m� ���� r� �������� ��� �������� ��������������������� �������� ������+��L���������������J�#n��K���� ���������n#a�� ���������������������������������������
��(�6 � 7���'# ����� � �-��� ��������
������������������������������������������� �������������� ����%��� � �� ��
������� ���� �������� ���� ��������A����� ����������� ������� ��������� �
�� ����� ��� ������ ������ ���� ��� ��%��� � ����� ��� ����� ��� *����� ����
����������� ���� ����� �� ��������� ������� �!������� ��� ������� ����� ���� ��
+����� ��� ��� 8��/����9� ���� ���������� ��� ����� ������ �� ��� �� � ��� �� �
� � ������� ������ ����� *���� ����� ��� ����� ���������� �� ��/����� � � ��� �����
��������������� ������������� �� ����� ���������������� �������������
�!��������������������������� � ������������� ����������� ��� � ������������
����������*��������� ��� � ���������� ��� ����������� ���������� ������� �����
������ ���������������� �����/��������� �������������.������������������ ��
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM9
������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
��(�8 # �'����� ����!
:������������ ������������ ������� �������������� ������������������������ ��
� �������! �������������������� ��������������������������� �������d��������������������������� ���� ��������� ������ ����������������������������� ����
������������������ �� ���� ����+�������������� � ����������������������������
����� � �� ��������������������� ���������� ��� ��� �� ���� ���������� ������� �
������������ ���������� ����������� ���������� �����&�����������������
'����������
'�� ���#D
DD- fi
-�
�
� �"���'�
������D "�����D������ ������������� ���������������������������� ��������������� ������ �������������������� ������������D.�����'������� ��� �� ��������������
������������������ ����� ������������������������������������������������ ����
������������� ������������������ ���� ������ ������� ���
D--�
��� - Dr
r���(�
�� �� ����������D.�����(���'��������!�����������
'�� ���� # �D
DDr r rfi"
����r
r�
�
����1�
J��������'������.�������������������������������� �� ���������������!�� ��
�������������������������������� ��.����������������� ��������� �������������
������ ����������� ��������� ������� ����� ���������������������� �����������
'� ��� µ�� ���� �!������� ��� ���+� �������� �� ���� �� �� ��� �� ��� ���� ���� � � ��������� ��������� ���� �����!��� ���� &� ¥� �"B� +?#�&� ���� �"�� +?#�&����� �������) ������ ��� �� ������������ �&"�"""� ���������������������� ���
�� ����7������ ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���������������$�� ���� ���� ���� �
������ ����+�������������������� ����� ���������������������������� ) � ��� ��
�����������'���
����
rr�� ����<�
�
nn�� �
FHG
IKJ ���B�
������ ����!����������� ��������������������n ���������������������� ������������������������������������������� ����� �������������������������������
��� ������ ��������� ����������$��� ���������� ���������� ����� ������������
����������� ������ ����� ������.����������� � �����+�������� �����������
�.�� ������� � ����� �������������������������� ��� �������������.�� �����
� � �������������
��� r() ���0�
������)���� ��� ������ ������������� �� ������������������� ������ ��������
��������������� ������ ����������(����+�������� ������� ���� ��������� �� �
���������������������������������� �����������7�������� �����.�� �����������
��������� ����������������������� ����������������������� �������.����������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM10
������������ ��� ���������� ��������
��������� �����������(����&H0�=#+��5���������� ���������� ����� �����������������
����������� ����������������������������������������������� ����� ������ ��
��������$������������� ��������������������!����������� ��������
��$�� ��� �� ���H�
��������� �� � ������ �������� ��������������������������������$������)� �������
��� ��� � ������� �� ��� ���� ��� ����� ��� ������� ��� +����� ��� ����������� $
�� �������������� �������������������������������������������$��.����� �� ��
�� �������������� �� ���� �� ���������� �� �� �� ���� �� �������������D.�����H�
��������� �������������� ����������
�
�
�
��� - �
$ ����I�
3����� ������� �������I���D.�����1���������B�������
'�� $� ����"��
�� ����
$ �����"��
���������� ��������������� �����������+��������������� �� ��'���������
����������� ����� ������ ���������� ������������ ����������������������
����������������� ������������������������������$�������D�������������#������
��������'��������.�� �������������� ������ ����������+��������������� �� ���
������� � ��������� ��������� ���� ����� ��� ������ �.����� �� ��� ������
� ������������������
��(�9 ��������� � ��1�������� �'����� ������# �'����� ���� 1
)�������� ��+������� ����� ������������� �� �+���� ������ � ��������������� �
�� ������ ��� ����� ����������������� ����� �� ����������� ���� ��� ������ ��
��������������� ����� ���� ���������� ����������������������������������
����� ��
�����-��������C���.�� ����� ������������������������.��� ���� �������M��
&
r�&� �� ��� �� � ��� ������ ��� ����� �� �� ������ ���� �������� ��� ������ ��
����������D����������������������� ����������� �&�r�&����������������)���+���
�������� ���������� ��D.�����1������� �
Drr�ª �
&
&r�'
������
?�������������� �� ����Dr#r����������������� ��������������������� ��� ��������������������� �����������������������!��� �����$������� ��������*�
�+�������� �������� �������������������������� ' #r ��7���
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM11
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
Drr�ª �
&
�
&
&
&
�
�ª ���& ����&�
������������ ����� ����� �������� �������� �� ������� ������� ����� ���������
�������� � ������� �����������+�������������������
����� ������������������� ��� ������������ �� � ��������������� ����������
����������������� �����Dr#r������������������������ ������� ��������� �&���&
66���
)��� ������������� ������������ ���������������������� �� ������������ �
����� ��� ������������ ��������������������� ����:���������������!����
���� ������������������ ����1������� ���� ����� �����������������������������
������������� ���,����������������������!��� ����"�''��)�������������
� �������������������� ������ ����� ������� ������� ��������� �''1�&H��#���
7������,������������"�''������������ ��������� �������� ���"��#���
���������������������� ��������� ������"��#���������� ����������� ������
����������������������������������
��(��: ������������ � ���;����
����������������������� ������������������ �� ��� ���+��������� ����������
�����������������������������������
����������� �� ������ ����� ������������������.���������� ���������
�������������� ������� ���� �������������������������������� ��������+�������
����������������������������� ���������� �����.���� ������� � �������� ������2�
���� ���������� ���������� �� ������ ���������+������������������� ����� ��
����������������� ���.���������� ����� ������������������.�������� ��������
���������������� ������������� � ��� ������� ��������+�������� ��������
��������������������������� ��������� ���.����� ��������� ������� ��������
��.���� ��������� ������������������������
:�������������+�����.������ �����������������������"�� �� ������� ��� ������+
����.�������������$���������� ������� ������%����� �� ����.����������������� ����
��� ��������������������������;��� �� ������������ ������ ������������� ��
���������������������������������������������� ���������������������.������
�������� ������,��������� ������������� ��������������� ����� ������� ��������
�� ����� �� ���� ����� ��� �������� ��� ���� �� ����� ��� ��%��� ����������
��������������������������������������������������� ��������� ���$��������
� �������������� �� ���������������������������������� �� ����� ��������
���� ������� ������ ���������������� ������������������������� ���� ��
������ ��� � �� � �� ��������� ��������� )��� ����������� �� �� � ���� � �� ��� ��
�������� ������� ����� �������� �����.������������������� ����!����������
����� ��������������� ������� � �������������� �,��������� ������������� �,
���������� ��������� ���� �� ������ ������������������� �����.������� ��������
��� � �� ���� ��� ������������ �� ���� ��� ��� � ���� ����� �� ��� ������� ���
���� ������� ���� �������������������������������������������������.�������������
7��������+���������������������������������� � ��������������� � ���� �����
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM12
������������ ��� ���������� �������� �
��������������������������������+������������������� ������������������
������������� ���������� ������������������������������.��������������
����������� ������ �������� ����!�� �������������������������� ������������
� �������������� �������+�������� ���� ��������������$��� ��� ��� ����� �
� ���� ������� ������� ������.������������ ��� ���� �� ����������������������
����� �� .��� � �� �� ��.���� ����� ��%�� � � �� ������ �� ��� � �� ������ ����� ���
����.��� ���� ��������������������������������������!������������������.���
������������� ���������� �+������������� ��������������������������������
�������� ������������� �������� ������������������ ����������������������
������������������������������������� ����!�� �������� �������������� ��
���������� �������������� ����������� �� �������� �������� �� ���������)���
��������������������������� ���������� �����.������������������ ������������
����� ���������������� ������ �� ������� ��������� ��������������������%� ��� ���
� � ���� ��������������������� ������������ �������������������� ��� ������
����� ������������������ ������ ����� ������� ������������������� ������� ���
������������������������������������#�����,�<&��) �������������!�����������?#�
���>)���� ���>����� ������� ������������������ ���� ��� ��.��������������� ��
��.������������������� � ��� ������� �������������� ����� ������) ���������
����� ����� ������������ ������ ��������������� ����������� �������� � ��� �
����� �&"�@:�������� �"�"0'�?#��
) �������� �������� ������� �� �����������.������ ���������.��������������� �
��������� ������������� � ���������������� ��������� ���� �� �� �� ������!������
:����������������� �����������.���������������������������� ���� ������+��
��.�������� ������������������������������� ���������� ����������������.������
�������!���������������������������� ���������������� �� ����������� �������
������ ���������������&������� �� ������� ���� ������������� ���������������
�q�������q&������ ������� � ����� ��������� ����������������������������� � ��������������%� ��� �� ������������������������������ �� ����������������!
������ ����� ������ � ���� ������������� �� ��� ������ ��� ����������� �����
������������������ �������������������� ���������������� ����� ����! �����
Free surface
Liquid
Air
A
B
C
D
��������� ��������� �������� ����/�� ����������� ��< ���;���
1���������������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM13
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
������ ������� ����������:����������� ����.������������ ���������������� ��
����������������������� ������� ����������������� �� �������������� ��
s q1 1r d
sq
11
rd
sq
11
rd
r1
r1
r2
sq11
r d
s q2 2r d
s q2 2r d
dq1/2 dq1/2 dq2/2 dq2/2
s q2 2r d
2r
dq2
dq1
s q2 2r d
dq1
dq2
��������� ����� ����������� ��� ������ �����/����;������������
���;���� ����1������� ���������� ������������ �
&�s��&��q&������q�&
FH
IK �M�&�s�����q������
�q&&
FH
IK �������<��������&��q���q&
����������������
����� �q q� �
& &
FH
IK ª ������
� �q q& &
& &
FH
IK ª
7��������� ����������.�� �������������������������� �
s s� �� &
+ �� ����<����
�� D��� s s� �� &
+ ����'�
����� D��� ���<�������s���� ��������� ��������� �����.��������� � ��� �� ����������������� �� �����!�������)� �����.������������!�� ���� ����� ���������������������������
���������� �� ���������� ��������� ������������������������ �� ������������
����!��� ���������� ����� ������� �������������� ����������������� ������
�� �������������D.������'���7���� ����.�� ��������������������������� ���
����������
D��� &� &
s s� �
+FHG
IKJ ����(�
����������� �����������������.���������� ���D.������'����������������� �� �����&������ ������������ ��������� ���� ������� ������������� ����� �����������
������������� ����� ����������
D��� &s#� ����1�
���� �!���� ��������� ��� �� ���������� ��.���� %� � ����� ��� ��������� �� ��
������������� ������������������������D.������'���� �����fi�µ������&����� ������������ ���%� ����
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM14
������������ ��� ���������� �������� �
D��� s#� ����B�
)�������� �������������������� ���D.������(����������������� ��������&����
���������� ����������������������
D��� (s#� ����0�
��(��� #�'�������!
������ ��������� ��������������������������������!������� ���������������
�������� ��� ������ ��.���� ��� ����� � ��� ����������� �� ������������������
�� ����� �������������� �����.�������� ����������������� ��� ���� ���������
�������������� �����.������������� ����������� �����.�����������������
������� ��� ������ ������� ���� ����� �� �� � � �� ����� ��� ��.���� ���� �����
������������� �����.���� ������ �� ��������������������������������������
�+������������� ������������������������ ��� ���� ������������������������
��������������������������� ��������� ���� ������������������������ ���������
�� ��.���� �� ���� ������ ��� ����� ��� �� ���� ������� �� �� ��� ��.���� ���������� ����
��� ���� �������������������������� ���� �� ���������������� ����������&������
������q����������������������&����� ���������� ������ � ��������������� ���� ������� �� ���������������
h
h
D
Capillary rise
Adhesion > cohesionliquid wets the surface
Adhesion < cohesionliquid stays away fromthe surface
Capillary depression
q
q
sp D
D
sp D
t t
��������� )��� ��� � ���'�������!
D.�� ���� �������� ��� �������������.�������� �� ������ ����������� ��� ��
������ ��������������������
p ,&
(���r� �� s�p�,����q
���(s q
r��
,����H�
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM15
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
����������� �������� � ��� ���������������������� ����� ����������������� �+��
������� ��q���"��������������q�������������� �����*���������� ��������������������������������������������������,�������������������������������
�� ��������������� � ������� ��'"@���������������������� � ��� �������>�����
������������������� ��,�������������D.������H���������������������������������
�������������������������� ������������������ ��������
��(��� -�' ��)�������
$�����.������������ ������� ��������� ��������!������ ������������� ���������
������ ����������� ����������������� ��������������������� �����.�����������
����������������� ��� ��������.��������� �� ������ ������������������������
�!�� ������ ���������������� �������������� �����.�����+������������������������
)� �������������� �����.�����������������������'������ �����.����������� �������
��� �� � ������ ������ ���������� � ����� ��������������������� �����.���
������� �������������������� �� ����! �� � �� �������� ����������������� �
�� ��� �����.�����D��� ����������.�������������� ��������������������� ����� ���
����� ��� ������� �� ���������������� � ��+���� ��+� ��� ��.���� ������ ���
�������������%�� ��.���� �� ����� ��� ������ �������������� �������������
����������� �����.���� ������������� ��� ����� �����������������������������
������������.����������� ������ ������ �����������������.���� �� ����� ��� ���
��������� ��� �������� ������������� �� �� � ������ ����� 7����� ��� ������
�������������������� �� �������������� ������ �������������� ���������������
��������������.������������������ ��� �� ��������������������)��� ������� ��
����������������������.������������.���� �� ��� � �������������������������� �
������� ��� ��.����� �� ������������������������ �� ����������������������
�� ��������������� ��� ������ ������ �����.�������� �� �� �������������������������� /
��� �� ��� ������ � ���������� ��� ��� ��������� ��� ��������� �� ��� �������
������������������ �� �����.���C������������������� � ����!�� ���� ������ ����
Liquid
Saturated vapour
��������� � ����� � /����� ���;���� ��������� ���������������
� �������'�������� ������� ������
�������
∑ $��������������� ���� �� ���������� �����������������%� ��� ������
�������� �������������� ������>�������������� � ����� ����� ������ �� � �
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM16
������������ ��� ���������� �������� �
���� ����������������������� �������� ������������������������ �������
����������� �������������������� ������������� ��������������� ��
������� ����������������
∑ ���� ���� � �� �� ������ �������� �� �� ������� ��� ���� ���� ������
�� ���� ����� ��� ��� ��� ����� �� ��� ��� �� ������ )�� ��� �� �����
��������������� ����������� ����������!������������� ��������� ����
����������� �����$��������������������� ���+���������������������
�����l#���������l���� �������������� ����������� ������� ���� ������ ���� ������������ ����������������� ���������� ��������������� ��
�� ���������������������������������6�"�"��
∑ J����� ������������� ����������������� ����������� ����������� ���� �
���������������� ������ ������� ������������������������� ��������� �����
�� ����� ����������� ���������������������������������t���m���#����������� �� ��������� ������ ��m����+�������������� ��������� ����������� ��������� ����������� �����������+�������� ���?�� ��C�������������� �
���� ������������������� ������������+���������� ������������
∑ �������� ���������� ����� ���������� ��������� ����� ����������� �������
+����� ��� ��� ��� � � ���� �.�� ����� ���� ������ ������ ��� � � ���
�.�� ����������� �������� �������������������� ������ ���?�� ��C�������
������ �������+�����������!�� ���������������������?�� �����������
������ �� ��� �� �� ���� �� ������ ���� ������ � �� ��� �������� ��
������ ����� ��� ������ �� �� �� ��.���� ���������� ������ �� � �� �� ���
�������������������/?�� ������������ ��������� ������������ ��������
������ ���� �� � ����� ��� ��� ������ ���� �� �� �� ��� ������5����� �
������ ��n��������������m#r�∑ :������������ ���������� ������� �������������� ��������������������
����� �������� ���� �������! ������������) ���������������� ���������
�����&�����������������
'�� ���#D
DD�
�
� �Æ
-"
∑ $������������� ������������������������ ������������� ������� ������ �
��������������������������� ����� ���� ���������� �����������������
������� ���� ������������ ������.���� ���������� ����"�''� ������� ��
��������� ��������� ������� ������������������ ���� ������������� �
�������������.���� ���������� ����1������� ������ ���������������� ��
����������������� �������������������
∑ ���� ���� �� � �� ���� �� ����� ������������ �� �� ����� ��� +����� ��
��������������� �� ��� ����� �������������������������������������
+����� ��� ���������� ���� �� ������� �� ����� ��� �� ����������� ����
�!������� ��������������������� ���������������������������������������
$������������� �����.��������������������� �� �������� ������������
����!�� �������� �������������� ������������������ ������ �������
������� � ���� ���� ��� ���������� ����������������� ��� ��.���� ������ ��
+�������� ��������� ������������� ����������� ������������������
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM17
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
>����� ������������������������� ������.��������������������������������
���� ���������� �� ������ �����) �������� �� ��������� ������� �� ��������
��.������ ����������.���������������� ����������� ������������� � ��������
����� ���� �� �� �� ������!����������������������������D��������������D�
��s� � �
� &� �+
FHG
IKJ ��$���.������ ������������������������� ��������������������
����� �������������������� ����� �����.����������������������� ���
��������������������� ����� ����������������.������������������� � �
?��/�� ����� ����������������������������������������������!���� ��
��� �����.������������������������������������� ���� ���������
���������
����� ������
�������� $����������������� �������� ����"�"(H�K�������������������� ���
"�I�'������ ����������������������������� �������������� �������� ��� ������� �01���
��������� ���������������&1��#���:����� �� ���������� �������� � ��������������������
���� ��&1�����1"���������01������������� �������������������$������������������
����� ����� ���� ����������������������������� ����� ���� ������ �� ������ �!�� � �������
01������������� ��������������� �������� ��������&1��#��
�������� :���������� ����������������� ������������� ����� ����� �� �������� ���
��������������������� ������������� ����-����� ������������ ��������� ���� �� ��
�������"�� � ������������������������(�
50
mm
75
mm
25
mm
y
O V
a
(ii)
=30
200
y
y-
2
V(i)=
15
V
y
�������� -�� ���!������ ��� �������� 1 �������������� �����=��'��
$������� �� �����/��������� ����� � ���������������
��� "�� �����"
��������� ���&1��#��� �����"�"01������������� �����������
���������������������� ����� ���� ����� ������� ������ ����������������������&1
" "01
�
������1�
7����
�
�
��� �1��<�
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM18
������������ ��� ���������� �������� �
$������� ��D.���������������� �����t���m���#��� "�"(H�¥��1� "�0&�K���?#�&�
)�� ���������������� ��������������� �������� �
����������.�� ������ ����������������� ����� ���� ����������������� �������������
��� ��M�-��M�:�&
������ ������ �� ��$��-�����:����� ������� ������������ ���������������� ����������
��� �������������
��� "�� �����"��?�/������ � ������ ��������
��� ���&1�� �����"�"01
�
�
�
��� "�� �����"�"01�� ������� ������� ������ �!��� ������������
>��� � � ������ ���������������� �������� ����!���������������� ��������������
$�� "
���&1�� "�"01�-�M��"�"01�&�:
2�� -�M�"��1�:
��������� -�� '"��:���<�&""
��������� ����!���������������� ���������������
���'"��<�&""�&
7�����
�
�
��� '"�<�(""� ����I�
������ ����������� ���� �� ����������D.������I����������������G
� � ��#�� t���"�"(H����#���� �#� �><�� �K��
" " '" ��((
"�"&1 "�B&1 &" "�IB
"�"1" "�HH" �" "�(H
"�"01 ���&1 " "
) ������������� �� � ���������� ����������������� �������� ��������� ������������ �
������ ���������� ������ �������������*���������� �������� ��������� ����*����
�������� � $��������� �� "��&��� ������� �� � ��� ���� ������� ������� �� �!��
������� �������� �� "��'��� ��������-� �� ��� ��������� ���� "�'��� ������;� ������� ��
������ ���� �����.�������������� ���������� ����� ���������������� ��.�����"�HH�?�
�����.������ ������ �������������������� ����&p����#���������� ���� ��.���������� ����������� ���� ��.������ �������
���������� ������¥��������������¥�����.�������7������ ��������������� ���������� ����!������� � ����
"�HH�� t �&�p���¥�"�'� �
t��" (B0&
�
�
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM19
� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
?����������� ��D.��������
�
�
�
���
tm���" (B0
&
�
m �L����������� ����������!����������������� � � ����<����������� ������������������� ��
�� ���� ������������� ����������������������������������� ���
�
�� ��
�����
�
�
�
z ��" (B0
&
" �'
�&�
�
�
m-z �
"�
�
7��� �������<���� ����" (B0 �
" �'
" �&�
�
�
m �
LNM
OQP
��������� ���� �����������������
�������� &�p�¥�"��&���"�01(��#�
7���� �"�01(�<�"���" (B0 �
" �&
�
" �'
�
� �m-
FHG
IKJ
��������� m�� "�'I0�K���
��������� ��������� ������������������������ ������������������������!�������
��
��� &.����<��&#�&"�
������.���� ���������������� �������� ������������� �������� ����� ���������� ��������
���� �"���� ����������������;���� ������������������������ ������������t#t"������� ��#�"�������t"���� ��������������� ����������� �����������t"������������������������������� ������� ��m���(�¥��"<&�?<�#�&�������� ������������������ ����(��#������������������� ���1"����
�������� ��������������� �����������
��� &.���<��&#�&"�
�
�
�
��� - (
"&
.�
�
>������ ������ ��������������� ��������������� ��
��
t�� <�m��
�
�
�
7����t
t "��
� �
� �
� �
� � � �
#
� # � = "
����
�"
����������1������� ���������� �������� ���� ���
����������� ���� t"�� -FHG
IKJ =
m �
�
�
�� �"
� m (
"
.
�
FHG
IKJ
1.0
0.5
(/
)t
t 0
( / )r r0
00 0.5
45 º
1.0
�������� ����������������� ��� �
�����'�'��� 1'� ���
��=��'����"
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM20
������������ ��� ���������� �������� �
� �(�¥��"<&��( (
" "01
¥FHG
IKJ�
� H�1''�?#�&
�������� )��������� � ��� ������ ������ ����������������������/����� �
���� ���� ��� �� ��� ��� �#��� �� '""�� ¥� �r#r��0� <� '"""�� ������ ������� � N�C� ������ �
� ��������� ���� ������ ;� ������� ��� ��� ������� ���+� �������� �� ���� �� �� ���
������������ ������ ���� �����"������""�� ������������������
�������� K�������/����� ������ �������������������
�
���� '""��¥� r
r�
FHG
IKJ0
�<�'""" ���&"�
�
�
�
�
�
�r�� 0�¥�'""�� r
r
B
0�
7����
�
�
r�� 0�¥�'""�����
rr
B
0�
rr�
�
��� 0�¥�'""�����
rr�
FHG
IKJ0
$������� ��D.�����1��
'�� rr�
�
����0�¥�'""�����
rr�
FHG
IKJ0
���&��
>��� � � ���� �����������r
r�
FHG
IKJ0
�����D.�����&"�� ��D.�����&���������
'��0 '""�
'""�'"""
¥ +LNM
OQP
◊ � �
��
�
� 0����
��+
LNM
OQP
'"""
��������
�'���� ������������ 0�¥�'""����� &��&H�¥��"B�+?#�&
������ ������������������������ �+������ �� �� � ������������������.����� ����"�'&�¥��"1
?#�&�
�'��"�� ������������ 0�¥�'"�"���� &��'1�¥��"B�+?#�&
�'��""�� ������������ 0�¥�'�""���� &��IH�¥��"B�+?#�&
L���� ���������������� �������
������ �������������
��� ������� �' ����
���"�(0�¥��"<B��'#+?
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM21
�� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
����"�� �������������
�"� �' �� ����������
���"�(BH�¥��"<B��&#+?
����""�� �������������
�""� �' �� ����������
���"�(11�¥��"<B��'#+?
) � ��� ����� ���� ��� ������ �!������ �� � ��� ���+� �������� �� ���� �� �� ��
������������ ������ ����������� ����������� ������������
��������� $����������� �����"�'1��'�������� �1"�@:�����&0B�+?#�&������� ��
���� ���� ��� ���������� �� "�"0���'�� ����$�������� ��� ������� ���� ��������� � ��� ��
���������� � ��������������������� ���� ������ ����������+��������������� �� ��� � ��
���� � � ��� ����$�������� ���� ����� ���� ��������� � ��� ��� ��������� ������� � ��� ��
���� ��������+��������������� �� �O����+�� ����� �������������� ��������g� ����(��������� ����������� ����������� �����
������ �&�&
���� �&�0B�¥��"1�"�'1�� ��&��"0������������
�&�� �'�B�¥��"1�?#�&
� ��'B�,?#�&
������� ����������+��������������� �� ��� ������ � ������������������.����� ��� �
���������� � �� �� � ���7����'����&�����'B�,?#�&�
������������ ��������� ����
�������(�� �&��&
��(
���� �&�0B�¥��"1���"�'1���(�� ��&����"0����(
���������� �&�� &1�H�¥��"1�?#�&
� &�1H�,?#�&
�������� ��������+��������������� �� �
'�� g������("�¥�&1�H�¥��"1�?#�&
� '�B��,?#�&
��������� ,�+���������������� ����������� ����� ��/������ �����������������
��������������������������B����������� �� ������������������#(�ª��&�h#�$&��������(���� ��������������� ������ ����� ���������� �������������������������� ����� �������
����������� �������� �������������� ������� ���������� ����D����r h��-����������� ����G�������� ������ � �������q���q"�� �$���"������q���I"@����$�Æ�•�� �� ���� ������� �h�� � �������O
�������� ������������ ������������������ �������� �����7���� �������������������
������ ����� �������������� ����������� ��D.������'����
D��� ���<��&���s�
(
FH
IK ���&&�
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM22
������������ ��� ���������� �������� ��
x = 0
h( )x
x
p1
q0
p2
��������� %���������������������'����1���
������������� �
�
(���
�
&h$&
��� D��� r� �h>��� � � ���� �������������#(�����D�����D.�����&&��������
�
�
&h$&�<�
rs
h �� " ���&'�
�������� ������h����� ���������D.�����&'�����
h�� $� -�
�-+
rs
rs
$ $
���&(�
������$�����-����������� ������ �� ���������������$�����-������������ ���������
������������� ��������������G
� �$���"��
�
h$�� <�� �q"
��� � �$�Æ�• �
�
h$�� "
����������
$��sr �� �q"
-�� "
7����D.�����&(��������
h��sr �� �q"��
- sr
$
������������ ����������� ����� ����
�h�$���"��sr �� �q"
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM23
�� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
h
To ToTi Ti
ro
ri
��������� #�'�����!���� �1����
������������ ��1
� �=���������� ��
#�� )��M�)� ���&1�
$����� )��� s �&p����)��� s �&p����
��� #�� p��&��<��&���r
>��� � � ������ ��������������)���)������#���D.�����&1��������
p ��&��<��&���r �� &ps ����M����
��������
���&s
r � �� �� �-
��������� �� ���� �������������� �/
��������������� ������������������ ����� ��
���� ���� �� ���� �������������������� ����O
$������s����������� ��� �����"�"0'�?#��
�������� D.�� ���� ����1�� ��� ����� �
�� ������� ��������������������D������&�<��A������ ����������H����
D��� &s#(
�������� � ���� ��!���� ������ ����� ������� ��� ���������� �� ������ ���� ���
��������� ����� ��� ����� ����������� ������������ ��� �������� ��������������� ������� �"����� ������� �� ���� ��������������������� ������ �������������s���� ��������� ���������� �������� � ��� �����O
�������� ����������� ������ � �������������/�� ��� �� ����� ����������� ���� ���"@
���������0��������������.�� ���� �������� ����� ������������ ������������� �� ��� � ��
������ ����������������� �
p1 p2
s
�������� ������������ �� ��� �
��'�������1������ '���
�� D��� &�¥�0�'�¥��"<&#�"�1�¥��"<'����&I&�?#�&
��������� $������������ ����������������������� ������� �������������� ��B(
�����������������.������*�������� ������+���.������������� ������� ������������������
������������� ����� ������������"�"0'�?#��
�������� $������������� ���������������� ���������������� �+���������������������
��������� ����� �� �������������������������������� ������+���.������ ������������ ��
����� ��������� ������������� ����� �������������������������
�� ������ �������� ����� �����������������
������������ ����������
B(�¥�p�¥� �'
B�� p�¥� � � �" ""�
B
'
���������� ���" ""�
(
����"�&1�¥��"<'��
)�� �������������������� �� ���������������
� p�¥��"�""��&
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM24
������������ ��� ���������� �������� ��
� p�¥��"<B��&
���������������������� ��B(���������������
� B(�¥�p��"�&1�¥��"<'�&
� (p�¥��"<B��&
7����� ������������������������
� �(�<���p�¥��"<B
� '�p�¥��"<B��&
���������� �����.���������+
� "�"0'�¥�'p�¥��"<B�=� "�BI�¥��"<B�=
������
��� :������ ������� �������
��� $��������������� ���� ��
��� ��������!�������� ���� ������������ ������
��� ������ ��������������������
�� ���� ��� �� ������������������
��� ���� ��������� ���� ������� ���� ��������������������
��� ������ ���?�� ��C�������������� ��
�� ������� ���������
���� ?�� ��C�������������� ������ ��
��� ��������������� ������������ ��
��� ������� ����������� ������������������ ��������������
�� ������� ������ ������ ����������� ����������� ��
��� ���������������� �������� ������������������ ����
��� ������� ���������
����� �������+��������������� �� �
��� ������������� ��� ������ ����
��� ����������� �� ������������
�� ���� �����������������#K�
��� ��������������� ����������������������������
��� ������������� ���������������������� ��
���� ��������������������������������������������
��� ����������������������� ���� �����
��� �������������������� ��������� ��������� �����.����
�� ������������� ��������� ��������� �����.������� �������� ��� �������
������������������������ � ��� �����.����
��� �������� ����� ��� ��������� �������� �� ����� ��� ��.���� ���� ��
���������� �
��� ��������������� ��������� ���� �����.����
��& 2����������� ��� �� �� ���� ��� ��� �� ������� ��� ��� ��*�� �� � ������� ���� �� ��
$������� �� ���+��� �� ������������� �������������� �������������
l�� ��&B�m#r��()��#&
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM25
�� ������������ �� ���� ��������� ��� ���� ��������
�� ��������� �������� �������������� ������������� ������"��������� ������ ���
���&"�@:��m�����H�¥��"<1�+�#����(���&H0�=#+��5� ���/��"�0H&�¥��"<1�+�#�'���' $���� �H"������������ ������������������� ������������������������H"�&������
����� ��� ���� "�'� �� ������ ���� ��������� �������� ������� ��� ������� �� �
������ ���������������� ��"���+�#������������������ ��"�I�� ���� )� ������
�������!������� �"�H���#���� ��� �� �������� ���������!�� ������ ���������� ��
��� �� ���� )� ��� ��� � ��� �!������ �!��� ���� �� � ��� � � �H""� ����� �� ��� �� ��
����� ���� ��.����!�� ������ ����������� �����������.������ ���� � �� ������ �
���/��B"�'&?��&&�0(�?���(�&I�+ �
��( $� �������������� �"""�?� ������� ����� � � �� ������� ������ �� ����#� ������ �
������ �������������������+����'"@��������� �� �������*�� �������������� ���
������� ����"���+�#��������� � �������� �����������"�&1��&��;� ������� ��
������� � ��+�������������������������� ����� ���� ���� ���/��"�"1����
��1 $� ������� ���� �� ���� "��'���� ��+� ������ ��� ��� ������ ���� �� &""���
����� �������� ��� �/�!������� )�������� ��� ����� �� ��� ����� �� ��� ��.��
��������� ���� � �������������� ���� ��� ����� �����������0����#����� ������������
������ ����"��(�K��� ���/��0�('�?��
��B $� ��� ��� 0I�B� ��� ����� ��� ���� &�"���� ����� ���+�� ��� �� �������� H"���
����� ����)� ��������������������������� ���������� ����������������������� ���
"�"B1�+�#��������� �� ����������� ������� ������ ������������� ������� ��
�����������������!�����������H1�B�?�������������?���� � ������� ����� ������ ���
���/��1�"���#��
��0 ��������� �����������������������""��'����� ���� �&B�0�@:���������%� ��� ���
��������� �������� �� &� ,?#�&� ����� ���+� �������� �� ���� �� �� �� �� ��� �
&B�0�@:����&�&(�¥��"I�?#�&�� ���/��"�HI�¥��"<'��'���������� ��� ��������� �� � �� ��� �� ������� ������+����������� ���� �� ���
�� ��G�� �'�1�,?#�&�� ����������������"""��'������ �&(�,?#�&�� ���������
����"�II"��'� ���/��&�"1�¥��"I�?#�&���H $�������������������������� ���������������"�1��'�� �� �������������������) ���
�������� �� �� � ���������� � � '""������������������ ��� �� �� � �������� ��� ��
����� ������� ����������� ������ ����������� ����� ���������� ������������ ���
��'""��������B������� ��:����� �� ������������ ��� �������������� �� ���������
��� ���� ���������������������������P����� ������+��������������� �� ������ ��
���&�¥��"I�?#�&� ���/��1'H�+��
��I ���������!����������� ������ ����������+��������������� �� ���������������
�������������� ������������ � ���������� �� ����.�� ���
��� r ()��
�--
FHG
IKJ�
�
()rr�
��������������������� �� ��
���" $��� ���*���������� ��������� ���� ��������� �����1� ¥��"<1���� �� � ��� ������������� ���� ��������� ��� �&"�@:���� �������������� ����� ��������� ������"�
+?#�&O�$������ ��������� ����������� ���� �&"�@:����"�"0�H�?#��
���/���"B�0(�+?#�&�
���� $����������������������������� ���������������� ����� ������������������ ��
�&� �� ��������������������������� ��� �'��� ������� ������������� �������
$�������� ��� ��� ������� �������� ������� ��� ����� ���� �!��������� ��� �'� ��� �
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM26
������������ ��� ���������� �������� ��
�� �����������&�� ��������� �����������"����� ��������� ������������������ ���
s��)������&"������&���("�����"����"��+?#�&�����s���"�"I�?#����� ��������'�
���/���"�M�Hs#�'��''�����"�M�Hs#����
'��M���"�M�Hs#�&��
'&�A��'���(��B"����
���& -��������������� ���������������������������%� ����� ���(������������ ��
�!���� �������������� ���������������� ����������� ��������� ����������� ��
���"�"0�H�?#�O ���/��'1�I�?#�&�
���' :����� �� ��������������������������������� �&"�@:���� � �������q����("@�� �����!�� ��������&�1��������� ��� ��������������� ����������������� �&"�@:
���"�(1(��?#�� ���/��(�&����
CHAPT1.PM5 3/11/108, 4:23 PM27
��� ��������� ���������
����������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������� ��������������������������������������������������� ����� ���� ���������� ��� ������ ��� ���� �������� ������ ������� ��
������������������������� �������������� ����������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ���� ����� �������� ��� ������� �������� ��� ���� ������ ������� ��� ������������� ������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������!�!���
"������!������������������������������������������������������������������ � ���� ����� ��� �� �������� ��� ��� ���� ������ ��� � ���� ����� ��� ������������������������������� ��������������������������������� ������������������������ �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����#�������������������������������������������������������� �������������������������������
�������� ����������� ���� ������������������ ������������� �� ������������� ���������������������� ������� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������#����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��� ������������������������ ��
�� ��������� ������ ������� ��� � ������������ ����� ����� ������ ��� ���� ����
��������� ��������������������������������������$� ��%�!�� ������������������
�����������
�
������ ������ ��
������������������������������������������������������������������������� ���
���������������������������������������"��������� � �����������������������
����������������������������&�����������������&���������������������������
�����������������������������
S���' s�� %
� �D DÊ ˆÁ ˜Ë ¯ �(�s �D ������a�'�) �%�!�
S���� s��D D� �
%
FH
IK �(�s �D ������b '�) �%�%�
S���� s��%
� �D DÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�(�s �D ������g�(� r�*�D��D��D���'�) �%�+�
������S����S�������S������������������������� ��������������������������������������������������������������������������a������b������g�������������������������������������������������������������������D������������
D������a�' �D��D ��,% �%�-�
D������b�' �D��D ��,% �%�.�
D������g�' �D��D��,% �%�*�
����� D��� D ��� D �� ��� ������������� ���� ������ ���� ��� ����/&�� �%�+�� ��� ���� ���������������������������������������� ���������� ��������������D�����a��D������b����D������g�����/&���%�-����%�.������%�*�������/&���%�!����%�%�����%�+���������
s��' s��'�s��'�s �%�0�
������������������������������������������������������������������������
/&���%�0��������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������&��� �������������
�����������������������������&����������$� ��%�!���������������������������
���������� ���������������������1�������������������������������������2���
������������ �������� ��� ���� ��������� �� �� ���� ���� �������� �������� ���� ����
�����������������������������������
s��' s��'�s��'�(� �%�3�
�������� ��������������� ��������� ��������������������
���� ������������� �!����������� ������
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
��" � ����������# ��������� �������
��� ��� ����������� ���� ���� ����� ����������� ���� � ��������� ������ �������� ��
/&�4�%�3��������������������������������������������&����������������������
��������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������
"��������� ���������������� ���������� ��������������������������
������������������������$� ��%�%��
�������� �$���������%��������� �������������
������������������������&���������������������������������������� �������5
�������������������� ����
���'�
!
r �zzz �%�6�
������� ����������������������������������r�� ������
! ������������������
���������������� ������������������������
������������������ ��� ����
��' -zz � � �
� �%�!)�
����������������������������������������������
���������������������������
���������������������1���������������������������������������������������
7��������� �������������/&���%�!)������������������
��' - zz � � �
� '�- —zzz �
� �%�!!�
$����&�������������������������������������
���8��
��' � ��
! �
r - —zzz � �'�) �%�!%�
/&�������%�!%����������������� ������������������������������������������
������������������
������ ������ ��
�
!r �(�—��' )
��� —��'�
!r �%�!+�
/&�������%�!+�������������������&�������������������������� ������������9
���������������������������������������������� ��������������������������������
���� /&�� �%�!+�� ��� ��� ���������� ��� ���� ����� ��������������� �������� ���
�������������������������$� ��%�%���
∂∂�
��' ) �%�!+�
∂∂�
��' ) �%�!+��
∂∂�
��' !��r�'�(��r �%�!+��
������ !��� ����������������������������������� ��� �������������������������� �
��������������������&������������� ������������� ��� ���������������������
�������$���/&���%�!+������%�!+���������������������������������������������
�������������������������������/&���%�!+�������������������
�
�
�
��' ( r�� �%�!-�
������������������������������������������������������������������������
��������������� ���� �����/&���%�!-���:����������������� ���������������������
����������������������r����������������1���������������������������������������������� $�������������������������
������������r����������������� ������:���������/&���%�!-������������ ��������' (�r�����8�" �%�!.�
������"������������ ��������������
�������������������������������������������������������������������������
������������'��)��$� ��%�+���/&���%�!.������������������
��(��)�' r�����)�(��!��'�r���� �%�!*�
�����������/&���%�!*�� �����������������������������������������������������
�������������� ����������� ���� ���� ����� ������� ��� ��� ������ ���� ����������� ��
������������������������������������������������������������������������������
����� ��� ���� �������� �������� �������� ���� �������� ����� ������� ��� 1����� �
#���������� ��� ����� ������ ��� ���� ����� ���� ������������ ��������� ������
��������� ���� ��������� �)� �� ����� ������� ��� ���� ����� ���������� ���������
������������������������������/&���%�!*�����������������������������������
������������ ������������������������������������������������������������
����������r������������������������������������������������������������������
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
x
y
z
z1
zo
Free surface p = po
p = p + gho r
pgh
p p =- o 0
h
������� &�������'��������������%��!�����(������ ������)��*����������%�
����������������������������������������������������������� ��������9
��������������������������������������������������������������������������
��� ����������� �������������������
������������������������������������������ �����&������������������
������������������ ��������������������������������������������������������
������������������������� ��������������������������������������������������
/&���!�0�
�
r�'
�)
)r�%�!0�
�������)����r)������������������������������������������������#����������2����������������/&���%�!0���/&���%�!-���������
��
��' (�
r)
)� ��� �%�!3�
��' �)����� - -LNM
OQP
r)
)
)
�
�� �� � �%�!6�
������������)���������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������
��� �������������� ���������������������������������������������������
������&����������������������������������������������������� �������
#�' #)�(�a��� �%�%)�
������#)����������������������������������������������������a����1����������������$������������������������a�'�*�.�;,1����#)�'�%33 ;��2�������
��������/&���!�0������%�%)�������/&���%�!-������������������
������ ������ ��
� �
��'
--
�
$
�
# �
�
) ab g �%�%!�
���� ���������/&���%�%!��������
����
�)�'
�
$
# �
#aa
�� )
)
-
:������
�)�' !
)
-FHG
IKJ
aa
�
#
� $,
�%�%%�
�����������������/&���%�%%�����������������������������������������������
����)��/������������������������������������������������������������������9
��������������������������������������$� ��%�-�
100 80 60 40
Temperature C
Troposphere
Stratosphere
Mesosphere
Ionosphere
Alti
tude
km
20 0 200
20
40
60
80
100
������� ���!�������'���������������!*���
��+ ������������&�� ����� ������
������������������������<,%�������1���������������=��������������������9
�����������������������������������������#�������������������������������
������������������������������%�����������������������������������������
�������������������������������������������#��������������2����������������
��������������������������������������������������������������������������
���1��������������������$� ��%�.�������������
����' ��(�)�'�� �%�%+�
� � ��' ��(��� �%�%+��
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
��������������������������������������������������������������� � ����������
� � ��� �������� ��� ���� /&�� �%�%+���� ������� �� ����� ��� ��� ������ &�����
������
Gauge pressure
Vacuum pressure
Absolute pressure
Absolute zero (complete vacuum)
Absolute pressure
Local atmospheric pressure
�������� �*��%�����!�������
�����9�������������������������������������������������������
���' !)!�+%�1<,%
��, �-�.��������
��� �������������������������������������������������/&��%�!*�������������
��� ������������������&�����������������������������������������������������9
������������ � ��������������������� �����������������������������������������
�������������������������������#����������������������������� ������'��,r��������� ��� ������������� ����������������������� ������������� ���$������&���
�������� � ����� ������� ��� � ������� ������ ���� ��������� ���� �,r�� �� � ����������������� ��� ���� �������� ��� ��
������������������������������������
��������������������������������������
��� ��� ��� ����� ��� ��������� ��
�����������������������$� ��%�*��
����� ����� ���������� �������
��%������������ ��������������������
���� � �������������� ���������� ��� ���
������������������#�������������������9
��������� ���������������������������
��������������������&���������������
� �������� ������ ���� ��� ��� ��� ���
����������������������������������
�������� ��������� ��� ���� ��&���� �� ��� �������� �!��/��������(�
h = p/ g
������ ������ ��
���������������������������������������9
1�������������������������������
���� ����� ���������� ���������
>������� ��� �������� ������� ���
�������� ��� ������������� �� �� ����
�������� ������ ������ ��������������
��� ���� ������� ��� ��� ����� ���
��������������������������������
������������������������������������
�$� ��%�0�������������������?�����������
��� ��� ��������� ���� ����� ������ ��
��������� ��� ����������� ������ ��
��������������������&���������������
��������� ��� ������� �� ���� �������
pv
hA
B
Torricellian vacuum
���������������������������������������������������������������������
1�������#��������� �������������������������&���������������$� ��%�0�
������������������������������������������������������������������#����
����������������������������
���' ���'����8�r���� �%�%-�
������������������������������������������������ ������������������
����������%) @"�������������)�!*��������������'�!�)!+%�¥�!).�=������������
�������� �������/&���%�%-�
��'���,r���! )!+% !)
!+.*) 6 3!
.�
� � � �
¥ <,
1 , <,1 �
%
+�'�)�0.%�����:
$�������������1��������������������������������������������������������
r����������������������������������������������������������������������� ������� �������� ��������� ��� ����� ��� ����� ������� ��� �������� ���
������������ ���� ������������������������������!)�-�����������������������
�������������������������������������:�����������������������������
��������������� ���������� ������������������� ������������ ������ ���
!. @"���������������!3)����������������������>�������������������������
�������������������!.���������������������������������� ��������
��0 ���������
>�������������������������������������������������&����������������9
������������������������������������������������������������������������������
��������������$��������� ���������� � �����������������&��������������9
�#������������$� ��%�*���������&��������������� ��� � ����������������
������������������������������������������������������������1���������'
������������������������������1�������������A�9����B�����������
$� ��%�3�
C������������������������������������������������������ �����������������
���������������������������������������������������������������������������
������� �(��������
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
������������9����������������&��������������������������������������� �����
������������������������������������������������ �����������������������������
����������������(��$� ��%�3����������#����������������������������������9
������������������������&���������������������������&����������&���� ����
�����������������(������������������� �����������������������������������������
������������������������&����������������������/&��%�!*���������
�!�8�r�������8����' ���8�r�����:����� �!�(����' �r��(�r�������(�r����� �%�%.�
������ �!���������������������������������������� �������������������������� ���
���������������������������������������������������2�����������������������
�����������������������������������������������������������������&�������������
���������������������D�����������������$� ��%�3���:���������������
p1
p1 > patm
patm
P Q
B
y
A
x
��������� ����!��������������������1��1�!�������
p1+
p1 < patm
patm
P Q
B
y
A
x
��������� ����!�������������������1'�%���!�������
������ ������ �
�!�8�r������8�r������' �����(��!�' �r����8�r����� �%�%*�
�����������������������������������&���������������������������������
����������������������������������������������������������#�����������$� ��%�6��
p1 > p2
P
y
x
Q
p1
m
p2
A B
�������� ������������������1!������� �����������
��� ���������������� ���� ������������������������ ��������������� �����
������������������������������������������������������� ������������������������
����������������� �������������������������������������(��������
�!�8����8���r���' �%�8���r���8���r���!�(��%�' �r��(�r���� �%�%0�
�������r�������������������������������������r���������������������������1��
������������ ������ ������������ �����������������������������������������������
�������������������������������������������������� �������������1�� ��������
�&����������
����� �!�(��%�'� �
��
�
�
�
! % !-
=FHG
IKJr
rr
( �%�%3�
��0�� ��%���� ��(����������
���������� ����������������� �� E/&��� �%�%3�F� ����������������������
�������������������������������������G9�����������������������������������
����� r�,r�� ���������������� ���������� ��� �������1�� ������� ���� ��� ����� ����������������>�����������������������������������������������������&������
������������������������������������1�� ���&������� ���� �������������������
��������������������������������$������������������������������������������
������$��������������������������������������������������������� ������9
��������������� ���q������������#������$� ��%�!)���������������������������������������� ������������������������������������ ������������������������9
������'��,����q���� ������������$� ��%�!)��
� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
sx
��������� ����%���� ��(����������
���q����������������������� ������������������������������������������� ����������� ���� ����� ����.@�� ��������� �������������� �����������
�������������������������������������������������������������������������C��
�������������������������� ��������������9�����������������������2����
��������������������������������������������������������������������&���
��������������������������������������� �� ��������������������������� ���
���� �������� ����� ��� ���� ������ ��� ���� ������� ��� ���������� ���� ��� �����
��������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������&����������������������
��0�� ��'���� ��(����������
$�������������������������������������������������&�����������������G9����
������������������$� ��%�!!���������������
:����r��H�r����������������(�����1������������������������ ���������������&�������������������������(������������������������������������������
�����������
�!I�(��%
I�' �r��(�r������ �%�%6�
��������� ����'���� ��(�
���������
P
p1
z1z2
p2
xQ
V rm
rw
������ �I� ����������� ���� ���������
���������8�r���������� ��������������� ��������������������������������
���������� ������ ��� ���� ���
����#������������!�'��%�����������������
������#������������������������&��
����������������������������������������
��� �r��(� r��� ��� ������������� ����� �� �����������������������������
������������ �!I�(��%
I���������������
������������������������������r������ �� ����� ������� ����� r�� ��������
������ ������ ��
�!I�(��%
I�ª r����� �%�+)�
�������������������� �������� ����������������������������������
��&�������������������������������
��0�" ��%�����������
2��������������� � ����&����������������G9���������������� ������������
����������� ����������������������������������������������������������
���������� �����������������$� ��%�!%�
Cross-sectional
area A
Initial level of
gauge liquid
Gauge liquid
of densityInitial level of
manometric liquid
Cross
sectional area
a
Manometric liquid of
density rm
Working fluid
of density rw
h
p1 p2
p p1 2>
DzDz
r r > rm G> w
rG
z
y
y
QP
2
2
��������� ���%�����������
�����&���������������������&������������(����������������
�!�8�r������8�D ���8�r)�� (%
�� �
Ê ˆD +Á ˜Ë ¯�'��%�8�r������(�D ��
8�r)��%
�� �
Ê ˆ+ D -Á ˜Ë ¯�8�r����� �%�+!�
������ r��� r)� ��� r�� ��� ���� ���������� ��� ���1�� � ������� � �� ��&���� ������������&�����������������
$����������������� � ����&����
��D ��' ��
%�%�+%�
���������� �����D ������/&���%�+%�����/&���%�+!���������
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
�!�(��%�' ��� r r r� ) �
�
�
�
�- -F
HIK -RST
UVW! �%�++�
�����������������������������
�!�(��%�ª �r��(�r)���� �%�+-�
2���� � �������� ������� ���� ������������ ��� � �� ��&����� ��� ���� �����
��������������������r��ª�r)����������������������������������������������������������������
��2 -����������-� ��� .���3��
�����
J�����������������������������������������������������������������������
�������� ��� ��� ���� ��� � ������ ������������� ��� ��� ������������ � ������� ���
���������� ������� ������������ ����� �� ��� ���� ����� ��� � ��������� ������� ���
������������������� �������������������������������������������������������
���������������������� �������
��2�� &��������%��
$� ����%�!+������������������������������������������������ ������
��&����������������������������������1������ ���q������������������������������&���������������������������������������������������������������������
���D������������������������������������������������������������������������
���������������������������������?��������������������������������������������
�����������������������������������������������������������$� ��%�!+������
���D���������������������������������������������������������������������
������������K���������������� � �������������������������������������������
��������������������������������
Free surface
(a) Inclined surface (b) Horizontal surface
F
Free surface
hchc
dA
p
A
h
x
x¢
xp
c
q
y c
y¢
y
y p
y
cx
yp
pp
(,
)
cx
y(
,)
ccx
c
�������� -4 �������%�*��������(���1� !���������%�
������ ������ ��
��'�
ÚÚ ���� �%�+.�
�������� ����/&���%�!*���/&���%�+.������������
��' r� ÚÚ �����'�r�������q� ÚÚ ���� �%�+*�
����������������������������������������������������������������������������
�������� �� ���������� ���� ���� �9����� ���� ����� ��� ������������� �������� ���
���������������������������������������������������$� ��%�!+�����������������
��������������������������������������������������
���'!
� ÚÚ ���� �%�+0�
:���������/&���%�+*������%�+0������ ��
��' r����������q���'�r������� �%�+3�
����������'��������q�����������������������������������������������������������/&�������%�+3����������������������������������������������������������&��
���������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������#���������������������������������������$� ��%�!+���
������������������������������������������������������������������������
�����������������������K���������������������������������������������������������
�����������������������������/&���� ������������������������������������
�������������������������������������������������������������������
����' Ú �����'�r������q� ÚÚ �%��� �%�+6�
����� ������������/&���%�+6������������ �������/&���%�+*��������������
���'
% �
�
�
�
� �
� �
ÚÚ
ÚÚ�%�-)�
�����������������������������������������������������������������������
����1�� ����������������9���������������
����' Ú �����'�r������q� ÚÚ ���������������
���'
�
�
�
�
�� �
� �
ÚÚ
ÚÚ�%�-!�
������������������� �����������������������/&���%�-)������%�-!��������
�������������������������9������������������������������������������������
������������������������������������������ ��������������������������
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
����' ÚÚ �%����'���¢�¢�8����%� �%�-%�
����' ÚÚ ������'���¢�¢�8�������� �%�-+�
������� ��¢�¢���� ��¢�¢������������������������������������������������������
��������������������������������¢�(��¢���������������������������������������������������������������������(�������
2����������������/&���%�-%����%�-+������%�+0���/&���%�-)������%�-!�������
���������
���'�
� ��� �
��
¢ ¢ + �%�--�
���'�
� ��
� �
��
¢ ¢ + �%�--��
���������� ������������� ��������������� ����/&���%�--�� �����������������
:������������������������������������������ �����������������������������
���������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������2�������
������������������������������¢��������¢�¢�'�)��������'����
��2�� ���'� ����%��
C����������������������������������������������� �������������������������
������ ���� ��������� ������� ��� ���������� �������� �������� ������� ��� �����
�������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������
���������������������������
���������������� �����������������������������$� ��%�!-��������� ���
"��������������������������������������������������������������������������
�������� -4 �������%�*���������(���1� %��'� �����%�
o
yz
czp
zc
p
dAxz
x
A
Fx
dAz
dA
dF
dFx
dFzdFy
yp
yc
y
������ ������ ��
���������� ���� ��&������� �9���� �������������������������� ���� �� (� �� �����
"�����������������������������������������������������������&��������
����������������������������������������
���' r������� �%�-.�
����������������������������������������������������������������������
�����������������������������������
����' ���� ' ��r����� �%�-*�
����' ���� ' ��r����� �%�-*��
����' ��� ' �r����� �%�-*��
2������������� ����������������������������������������������������������
���������������������������D��������������������������������������������
����' ���� �%�-0�
����' ���� �%�-0��
����' ��� �%�-0��
���������� �/&���%�-0(%�-0���������%�-*�������������
����' r������� �%�-3�
����' r������� �%�-3��
����' r������� �%�-3��
��������������������������������������������������������� ��������������
������
���'
�
ÚÚ r��������'�r������� �%�-6�
���'
�
ÚÚ r��������'�r������� �%�-6��
���'
�
ÚÚ r������� �%�-6��
�������������������������������������������������������������������D���������
�����������������������������������������������������������������1������������
�������������� �����������������������������������D��������������� ��������
�������� ������������������������%�0�!�������������
���'%!�
��
�� � � �
�� �
� � � �=ÚÚ �%�.)�
���'!
���
�� � � �
��� �
� � � �=ÚÚ ��%�.)��
�����������������������������������������������9����������������������������
�������������������������������������������������������������� �¢������¢��������������������������������������������������������������������������������
�¢��'%!� ��
�� � � �
�� �
� � � �=ÚÚ �%�.!�
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
�¢��'!
� ���
� � � �
��� �
� � � �=ÚÚ �%�.!��
����������������������������������������������������������������������������
���������������������������������
2������������������/&���%�-6����%�.)������%�.!�������������������������
���� ��������� ��� ����������� ������ ��� � ����#����� ���������� ��� �&��� ��� ���
���������������������������D�����������������������������������������������
������������ �����������������������������������D����������$���/&���%�-6�������
����������������������������������������������������������������������������
���' � �� � � � r r=ÚÚ �%�.%�
������ �������������������������������&����������������� ������������ ����������
�������������� ��������������������������������������&���������������������������
�������������������������������������� ���������������������&���������
��� ������������&���������������������������������������������������������������
������&���������������� ���������������� ���������������&�����������������
�����������������$� ��%�!.���������������������������������������������������
������D��������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������&������� ��������������
��� ��������� ����������������&������������ �������������������������
������������������������������������������������������������������������ ����
����� ������� �� ��� ����������
�$� �� %�!*�� %�!*��� �� � ��� ��� �,r��������������������������������������
1����������������������������������
������� ��� ����� ��� ��������� ��
���������� �������������������� ��
���������������������������� ����
��������������������
��������� -4 �������%�*�������*�
�� ���� ����%��'�
�����%�
��������� -4 �������%���%��$���� ���%��'� �����%�(4�����
)��*�������������%�
Imaginary volume ofliquid
Fz
������ ������ ��
��5 . ������
2���������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������
���������������������� %���� ��������������������������������� %���� ���
"��������������������������������������������������� ���������� ���9
������&���������������$� ��%�!0��:������������������������������������������
�������������������
x
z2
z1
p1
p2x
xB
dF1
dF2
dAz
FB
B
z
o Free surface patm
�������� .��4������%������(���1� (� 4
��������������������� ����������������������������� �������%�0������������������
����#�����������������������������������������������������������#�������
��������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������
����������� ���������������������������������������9�������������$� ��%�!0����
������������
��!�' ����8��!������'�����8�r��!���� �%�.+�
��%�' ����8��%������'�����8�r��%����� �%�.+��
���������������������������������������������������������������� �������
���������������
����' ��%�(���!�'�r����%�(��!������'�r�� �%�.-�
������� ��������������������������
:�������������������������������������������� ��������������������
���' �
� rÚÚÚ �'�r� �%�..�
������ ������������������������������� ���������������������������������������
�������������������1�� ������������������������������������9���������
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
������' Ú ����� �%�.*�
���������� � ���� ���� ��� ��� ���� /&�� �%�.-�� ��� �%�..�� ������������� ����
/&���%�.*��������������������������������������������������������
���'!
�
�
ÚÚÚ �%�.0�
�������������������������������������������������������������/&���%�..���������
�����������������&�������������� ��������&������������������������� �������
��������� ��������������������������������������������������1������
���� ��������� ��� ������ ����� ���������� ������ ���� ���� ������� ������ ���
����� ������������&������������� ��������&��������������������������������
��������������������� ������������������ ������������������������� �������
��� ��������������� ������������������������������������������������������
���� ��������������������������� ������������� �����&���� ��� ����������
�������������������������������������������������������� �������������
�������������������&������������� ���������������������&�������������������������
�������������������������������������������������������� ���������������������
$���������� ����������������&���������������������������������������������
����������������������������������������� ���������������
��6 ��.������� �����������.�������� ��
��6�� �(���1� .� ���
$���������������������������������������������������1���������������������������
���������������������������������� ���������������������������������������
���������2������������������ ���������&����������&�����������&�������������
��� ������������������� ������ ��������������� ������������������������������
�&����������������������� ������ ���������������������������� �������������
��������������� �����������������������������������������������������������
��������������������� ������)��������������������������������������������������
�������������������������J������� ������������������������������)�������
������ ��������� ����������������������������������&�������������������
���%��*����%����������� ���%��*����%�������������� ������*����%�����
������������������������������&��������������������� � ������������ ���
����������������������������������������������� ����������������������� ����
��� ���������������������������������������������������������������������������
���������� �������������������������������������������&�����������������������
��������&����������������������� ������ ����������������������������
�������������������������������������� ���������������������������������������
��������� �������� ����������� ������������������"��������� ����� �������� ��
�&������������������������� ������ ��� ������������� ���������������������
�$� ��%�!3���������������������������� �����������������������������������������
������� ����������������� �������� �������� ����� � ��� ������� ��������� ��� ���
��� ��������������$� ��%�!3���%�!3����C��������������������������)��������������
������ ������ �
�� �$� �� %�!6��� ��� ����������� ���� ���� �&��������� �������������� ������
��������� � ������������������ ����� ���� ����� ��� ���� ���� ��� ���� ��������
�$� ��%�!6���%�!6����2���� �������������� ������)� ��������������������� �
�����������������������������������������������������������������������
�$� ��%�%)����������������������������&���������������������������������������
���������������������������������� ������������������������������������
��������&�������������������������� �������������������������������������������
��������������������������������$� ��%�%!��
FB
B
G
W
(a) (b) (c)
W
W = FB
W
G G
B B
FB FB
Free surface
��������� ���(���1� (� 4�����(���7����(����
G
BB
W
W W
(a) (b) (c)
FB
FB W = FB
G G
BFB
Free surface
��������� ���(���1� (� 4�������(���7����(����
� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
BG B
W W W
(a) (b) (c)
FB
FB
W = FB
G BG
FB
Free surface
��������� ���(���1� (� 4����������7����(����
B B
B
G
G
GW
W
W
(a) (b) (c)
W = FB
W = FB W = FB W = FB
FB
FB FB
Free surface
Stable equilibrium
Neutralequilibrium
Unstableequilibrium
��������� ��������7����(���������(���1� (� 4
��6�� �������1.� ���
������������������� ����������������������� �������������������������������
����� ��� ������������� ���� ����� ����� ���� �� � ���� ����������� �����
����#������������������������������������������ ����������������������
������������� �������� ��� ���� ��������� � �������� ������ �&�������� ��� ��
��������� ������ ������� ����������� ����� ����� )� ��� ����� ��� $� ���� %�%%
������������������ �����L�������������������������&����������������������
������������������������&������������� ���������������+�������������������
������ )� ���� � ����� ���� ������� ��� �������� ��� ���� ��� �������� �����
$� ���4%�%%������������������������������������������� ���������� ���
�����������q������������������������������������������������ ������)������
������ ������ ��
����� �������������������������������������������������������������������������� ��������������� ���� �����������������J���� �������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9���������������������� ������������������������¢��K������������������������������������������������������������������������� ���¢���������������������)����������������� ������������� � �������������� ������)���� ���������������������������������$����������������q����������������������������������������������������1����������� ����$���������������������$� ��%�%%�����������)�������������������� �������������������������������������������������� ���������������������� ����������������� ������� ������������������������������)�� ������������������������������� ������������������ �����&��������������������������������2���������������������)������������������������������������������������������������������������������������������&������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������)����������������������������������������)������������������������������)���� �����������)����1�������������������� ���)�������������
���������)��' ���(��)
:�����������������������������&�������������������� ���������������������
������������������������ ������������5
)��M )������������)� ������&��������
)��' )������������� ������)� <�������&��������
)��H )�������������)� G��������&��������
����� ������������������������������������������� ���������������1����
��N������ O�������������������������������������1�������A������� B�
��6�" �$!����������������������������%�����%-��1*�
������������������������������������������������������������������� ���
������� ���� ���� ���� ����� ������ ��� $� �� %�%+�� ���� ���������� ��� ��
W W
M
W = FB
Equilibrium position Tilted position
B
(a) (b)
B BFB
FB
G G
��������� ��������1(� 4�����(���7����(����
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
������������ ����A����B������������� ����������������������������������������
�������������� ����������&�������K������� ����������������������������������
���1������������������������#�������������������������������� �������� ��
q�����������������������������������������&����������������������������� ����������������������������� ������������������������������������������� ��
������� ��������������������������������������������������������� �������������
��� ������������������������� ��������)����)¢�
W
PM
P
X
B
(a) (b)
B BG
FB
G G
�������� �$!��������� ������������������%�����%*��1*�
:����� ��◊���' +�))¢� ��� ))¢�' )�����q
���������� )��'� �
+
◊��� q �%�.3�
����� �����������q����������������������������������������������������� ������������������������������������������������������ �����������
���������������������������� ���������������� ���������)����q��)��������
������������������ ����������������������)���������������/&���%�.3�
��������������������q���������������� ��������� �������� ����������� ���� ����������������� ��� ������� �� ���� ������������
��������� ���� � ������ � ���������������� ��� ��� ��������� ��� ��������� � �������
������������������������� ���������� ������������������������������
����������������������������������������������������������������������
���������� ���� ���� ��� ���� ����� ������� ���� ����� �� ��� ����� ������ ��
���������� � ���� ����� ��� ���� ������ $� ���� %�%-� ������ ���� �����9��������
�������������������������������������������������������������������������������
������� �&��������� ���������� ���� ��������� ��� ���� ����� ����� � ���� � ���
�����������������������$� ��%�%-���������������������������������������������9
������ �������� �������������&���������������������9���������������������
�� ���������������������������&�����������������������������������������������
������?�������������������&���������������������������������������� �����
���� ����� ������ ��������� ��� ����� ���� ������ �������� ��� ���������� ���
������� ������������ � ��� ���� �����9������� ��������� ��� �&���� ����� ��� ��� ��
�������������������������������&��������������������������������������������
������ ������ ��
����������������������������������������������������������������� ��,��
��� ����,-��������������������������������$� �%�%-����%�%-���,-������������
��� ����������������������$� ��%�%-������,.� ����������������������������
��� �����&����������������������� ����� ��������������������������� �����
����������������������������������������������������������������������
���$� ��%�%-����%�%-���������������������������������������������������������
������������������������&�������� ���������� ������������������������
���������������������������������������������������������1�� ���������
����������������������������������
���' � � �� � �Ú �%�.6�
�������� ����4���������%�����%*��1*�
�������������������������������������������������������������8������q������������������������������������¢�����������������
�¢��' Ú ���8������q ������ �%�*)�
�������� �/&���%�.6������/&���%�*)������ ��
��¢��(�����' Ú �%����q����'����q� Ú �%��� �%�*!�
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
���� ��������������� ������ ������������ ��������� ����� ���� ���9,�� ��
���������
����' Ú �%��� �%�*%�
� ������������� ����������������
�¢��(����' ������q �%�*+�
2����������������/&���%�*%������%�*+���/&���%�*!�����������������
���'�
��
'
����� ����������������������������������������������������������������������������������������
�������������%�*-�
:����� )��'�
���(��) �%�*.�
���� ��� ��� ��� ��� ��������1����������������� �����?� ������� ���� ��
������������������������������� ���)���$��������� ���������������������
���������������������������������������������1������������� ������������
����������������� ���������� ������������������ ��� �������������������$��
������������������������������������������������������������������������
������� �������������������������� �������������:��������������������������
���������������������������������� ��������������������������������������
������������������ �������������������������������������������������� ����
����� ������������������������������������������������������������������
����9������ ������������ ������������� ���� ������������������������� ��� ���
����������������������� �������������������� ������������������ �������
���������������������������������� �����������
��6�+ �������1.� ������������1��7��
��� � ������ � ����� ������ � ��&��������� � ����� ������� ����� ���� �� � ���
������������������&��������������������1������������������������#����������
����������������������������������������������������������������� ������)���
���������� ��������������������������������������������������������������
���:������������������������������������������$�����������������&���������������
��� ������� ��� � ����� ��� ���� ����� � ������ ��� ������� ���������� ��� �� ��
����#�����������������������������
��6�, &���� ����%��������
��������������������������� ��� ���������������������������� ����������������
�������������������� ���������������� ����������� ����������������������
�&���������������������+ ◊ )������q��$� ��%�%%��� ������������&����&�������������� ��� ������� ������� ������� ����� ��� ���� ���������� ��� � ���
����������������������������
+�)�������q�' (������%q,��%� �%�**�
������ ������ ��
������ ��� ����������� ��������������� ���������� �������������� ����������
�������������������� ���������P: ����/&���%�**���������������������&������
������� ���������������������� �������������������q�������������q�ª�q���������/&���%�**�����������������
�
�
%q q�
+ )�
��%
+ ◊�' ) �%�*0�
/&�������%�*0�������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������1� ���
�&�������%p��� ,+ ◊ )��!,%������������������������������������������������������&��������������������������������������� ���������������������������������
�������������������&�������������������� �������������&���1�����������������
����������� ������� �������� ������������ ����� �� ����� ����� ���� � ���
������������
����������������� ����������9 ��� ����������������������������������)�+����
!�%������ �������� ��� �������������� ��� ��� �������� ��� � ������� ��������� ���
������������������������������������������������������������������������ �������
�� �� �������� �������������� ��� ��� ��� ���� ������� ��� ����� ��� �D������ ��
��� �� ����������������������� ������������ ���������������������������������9
������ ������������ ���������� �������������������&����������������������
�������������� �����������������������������C����������������� �������������
���� ���������������������������������������������������������������
�� ���������������� ����
�������
∑ $���������� ���������������������������������������������?�����������������
���� ������������������������������������������������������������������������
�������������������� ������������������������������������� �����������������
���������� ���������������������������������������������
∑ <���������������������������������������������� ��������������������������
��������������������������&��� ����������������� �����������������������
1�����������������������������������������
∑ ��������������&������������������������������������∂ �,∂ ��'�)��∂ �,∂ ��'�)���∂ �,∂ ��'�(�r��������������������������������������������������/(�������������#������������������ ����������������������������$������������������
���������������������������������������������������������������������'��)�8 r����������)��������������������������������
∑ �����9�����������������������������������������������������������������
���'�!)!�+%�1<,%����������������������������������������������������������
����������������������������������1������� � �����������
∑ =��#���������������������� � ��������������������� ���&������������������
��� ��������&�����������>����������������������������������������������
��&���� ��� ����� ��������� ���� ����������� ��� ��������� �������� ���� ������� ��
�������� � ������� ������ ��� ���� ������������ ������G9������������ ��
�������� �� ��������� ����� �������� ��������� ����� ������� ��� ����
�� � ��������� � ��� ������ ���� ���� � �� ������ ����� �
������������������������������������������������� ��������������� �
����������������&�����������
∑ ��������������������������������������������� �������������������&���������
����������� ���������� ��������������� �������������������������������� ���
������������������������������������������������������������1���������������
��������������������� ����������������������������������������������������
������������������������������������������������������ ������������������
��� �����������(��"�'���¢�¢,���0
∑ $��� � ������� �������� ���� ��������� ��� ����������� ������ ��� ��� ����#����
���������� ����&��� ��� ��������������� ��������� �������D���������������������
�������� ����� ������������� ��� ���� ���������� ��� ���� ����� �� ���� ������� ��
��������������������D�������������������������������������������������������
��� � ����� ��� ������� ������� ��� �&��� ��� ������� ��� ��� ���� ��&���� �����
������������������������ �����������������������������������������������&���
������������ ���������������� ���������������&�����������������
∑ 2���� � ������ ����� ��� ������� ������� ��� �������� ������� ��� � ������� ���
�����������������������������������������������������������������������������
��������������� ��������� ��� ������ ����������� ������������������ ���������
����� ������������ ����������&������������� ��������&������������������������
���������������������������� ���������������������������������1������
������������������
∑ �����&������������������ ��������� ������������&����������������� ���������
��������� ������ ���������������� �������������������������������&���������
���������� ������ �������������������������������� �������������������������
�������������������&�������������������������� �������������������������������9
���������������������������������������������>������������������� ��������
���������������������������������������������������������������9����������������
�������������� ������������������������������������������������������ �����
��������������������������������� ����������������������������$��������
�&������������������ ������������������������������������������������ �����
)������������� ������)�������� �������)������������������������������������
�������� �&��������� ������������������ �������� ������������ ���� ������� ��
��������� �������������������������9�����������1�������������������� �����
��� ���������)�'����� , ��(��)�
����� ������
��������� 2��������������������������������������������������������!.))��
����� � ��� ��������� ��� ������������������� � ������������ ��� ��� !)).)�<,+� ��
���� ���� ����� ��� ������������ ������ ��� !)).)�<,+� �� ���� ����� ������Q� 1� ����1
���������������������������������'�%)0)�><,%�����������
�������� �� $�������������������� �������������������������������������������������
���/&���%�!*�����
��������������� � ���' r���'�!)).)��!.))��<,%�'�!.�)3�><,%� � �
����������� ����������������������������������&�����������������������������������
������� ����/&���%�!-���
������ ����� ��
�
�
�
�� r� �����
�� �������������� � � ��������������������������� � ������������� !
���� ���rr
����"
#������� �������� �������"!����������������$���������!�%�����
��� �����r�&�� ���'(
)��� ������� �������������������������������������� ��� ��������(�����r���r(�������
�������������
)����������������'(��������
��*��(�� �����r
r (
FHG
IKJ ���'�
+���� ��� ������������������������ ������������"�� ����
� ��� �
�
rr�
����� ������� ��
�� - +�
��
r �
)��������������� ������������������������� � �������!�r���r(���� ���(��������������
,����! ���
�
� �
(r r-
FHG
IKJ
�����%� ��r
r (
���
� �- r(
+���� ��� ����� ��$��������r-r(� ���������'�!�%����$�
��*��(�� ������
� �* r(
FHG
IKJ
)��������!
��� ��������� ��('�¥��("����� (' �(
� (' �( �(( ( � ((
"
"
�
� * � �
¥¥
LNM
OQP�.-��������
� � ��/�0.-��������
�������� 1��������������� �����������*��'�((�2���1 ������ !������� ���������
���$�� ����������� �� ��� �������3���3 �4����������������!��!��!������������������� �����
�������� ������56������������)������$�� �������������� ���������!�������%�� ��1 ������ !
��������������������� 7�������������������
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
Dh1
C
El.6.0
El. 4.0
Spgr: 1.600
Sp gr: 13.57
El.8.0
Water
Spgr = 0.700 Liquid I
Liquid II
Air
El.11.6
E1.15.0
El.20.0 A E
L
N
M
Q
R
F G
hK
H
��������� �������������� ���� ���������� ������������������������
�������� ���+ ���������3�� � ��%� �������� ��������.-�/� ��$�������������3������������
�������� �� ��!�����3��������������$�� ���� �(������������ ������������*�'�((�2����������
������� ��� ����%� ������� � �� ���$�� ��% ������ ������� ������� � �� � ����� ������ �� ���
�������� ����
1�����������8�+ ��������3������������� ������%����������3��� ��3�������!��������$�� ��
���� �� �� ������3 �4���������% ����������%��!�������������� �����$�� ��� ����������%�� �
1 ������ �
1��������3� �� 3��������������� ��!�������9
)���������*��'�((�&��(�'((�¥�"����¥��(/ �������
�%���������� �����������3��� ��3�������
�� �� �� ��
,������������$�� �������� ��� �*��� ������ ��
1�����������8�2������������9�������2������������9� �(�&�2���������������� �� ��#
� *��'�((�&��(�'�¥�"����¥��(/��� �*������ ��:��2�������
%� ������������������3�������������
)����� �������%������������������3��� �������� ��3�������� ����:�
"��(���(��/��!����
��������������%������������ ������3 �4���������% ���� ���(��/������$����
,������������$�� �������� ��������&�(��/�������/��
1������������8�2����������
�9��(�� 2������������9�����&�3�����������/��������%����
� ��:��&�"����¥�/���¥��(/���:�:�:�2�
������ ����� ��
%� ���������������3��������������������������������������
:�:�:
� � "��(� ¥�� ���:������� �� ��##
)��������!������ �� ��������� ��3 �4���������% ���� ������:������$�����������$�� ��
����� �����(�&����:����(��:���
���1�������56����������!
2�������������� 2������������
"��(�¥��/� '� ��� 2������������9�����&�2�����������'��������%����
��! �/� '� ��� (��/�&�'��
�����%� �� ��� (�����
��������� ���3 ����� ������� ������������� ���������������%������ ����������
������� 4������3 3�� ��������%� ���%����� �� ���% ������ �� ������� ����� �1 ���������)��
������� �������������� ���������������� ��(�����% ���������$�������������� ���������%��
����������%�� ������� ������;�������������� ��������� ��3�����������%����+��� ���������
��)������������ � ������%���������������������(((���-�/������/ '(���-�/����3��� $����
WaterMercury
0.6 mG C
A B
D
E F
z
��������� ������������������������������������������������
����� ��������������������������������
��������
����2�������������� ����2������������ ���'�
�� � ���� ����2������������������*�r!���" ���'/
��� ���� ����2�������������&�2��������������������������� �������
� ����2�������������&�r#����(��� � �*��"�&�(���r!����&�(���r#�� ���':
< ����������3��������� �������'/��������':!���������� ������'���������%� �������!
���*�r!��"�� � �*��"�&�(���r!���&�(���r#��� ���*�� �� (�����r#�*�r!���(���¥�"������/� '�*���¥��(
/�2�
� ':��2�
��������� �� ��� ���� ������������������������ ����������3�������� ��� ��� �
����������1 ������'��)��������$� ������������ ����������������������������� (�������
�������3��� $�����)��� ��� ��� ��������������������� ��/(=��<����% ����������3���������
������ �������� ������ �����������$� ��������� ��� ������������
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
R
Sps
psbc D
R sin
= 30°ch
b
�������� ���� ���������������������������������������������
�������� 9��!�% ��������33� ��� ������3����������!�������$��������������� �� �����������$� �
��%������%�������$$����
.�%!�3��������������2������������
�� ���� r��◊������� ��q�&� ���'
%�����r�� ���������� ������������������� ���1�������� �� ������������� �� ������������ ���!
��◊� �� �◊��
�� �� �
����'�
%�������������������������6���� �����������������������$� ������������������3��� $����
+���� ��� ������� �������������'�� ���������'
���� r������ ��q��
�� �
� qÊ ˆ
+Á ˜Ë ¯���''
9�������3����������������������������¢�������������������� ������������������ ������
�����$� ��������� ��� �
)��� ��¢�� r������� ��q ���'�
)���3���������������� � �������� ��� ������ ��¢� ������%���������������% ��� �������3����������''��������'����
���� * �(( �
�((
� � �
� �
�
� �
��
q
¥¢ = ¥Ê ˆ+Á ˜Ë ¯
��
��(( ��"�>
( ��
�
¥ =È ˘Ê ˆ+Í ˙Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚
�������� ? ������3�� � �����$ ���(��((�����������$��� ������ �������������%����
�3�7� �� ������� �����������)����� ������ �� ������������/���� �������:���% �����$��� ���
������������������������� ��� ������������������:����������������� ���������� ���������3��
���%������1 ����������� ���������3� ��������� ����������������������������� ��������������
��� ��������
�������� )������������������������� ������%����� �����%�� ��1 ��������
������ ����� ��
O x O
3 mdz
z
2 m
P P Oil spgr = 0.8
Water
F F F= +1 2
F2
F1
H
R R
Q Q
y4 m
�������� ��������������� ��������������������� ����������������
)������������ �������������������� ������������
� "����¥�(���¥��(/�¥�� �
/ / :/ �
Ê ˆ Ê ˆ¥ ¥ ¥ ¥Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ ����":�����.
)������������ ����������������������������������
� "����¥��(/��/�¥�(���&���¥����¥�:����������/��.)��������������������������������������� �������
��� ���&������":����&������/���/����.
+ ��������$��� ����� ����������������3�7�(� �������7 ������������������������ �������!����
��������� ���������% �����%������������������ ��� ����)��� �������3� ���������� ���������
���������������������� ��� ��!������7���%&�����%'�����������������%�� ��1 ��������
1��� ���� �� ������������!������������ ���������� �������������� ��� 3����� �� ������� �"
������%&�� $�
�� ◊%(��/
(
Ú "����¥��(/��(��4��,�4�4
�� ���������������! ���:
/�"
,����! %(��
// /
(/
:"��� �( (�� �
/
":��� �(
" "Ê ˆ¥ ¥ Á ˜Ë ¯
¥
������ ��
#����� � ����%��!�����3� ��������� ������������������������������������������� ��������������
%���
/
//
"��� �( @�/ (�� � /A �: �
�����/ �(
" " "¥ ¥ + -
¥
���:����
1 ����������3� ��������� ������1 ��������������������������������� ������������������ ��
��������������������������������������%���
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
%���": �� � � ��� �/ : �
/��
� � � �¥ + ¥���/�����
��������� 1 ��������"����%���� �������������1 ��� ������3������%����� � ��� ���
�������%��������%����� ��B�������������� 3�����������������
h
y p
y c
h/2
60�
60�
G
1m
e
HingeO
B
��������� ������������������
�������� )���������������% ���� 3� ��������������� �������������������������������3� ��
�%������������� ������%�����������������������)��������!�������3������%����� �����%� ��
������������� �������� ���3������ ������������� ����3� ���%� �� �������� ������3���%���
%����� ��B�������������� 3������������9�������������������������$ ��������������������3������
�����������1 ������"�
)���! ��� -
� �
�
�( /∞=
#�� '�� ���� '� ���� ���� � �������� ��� ���� 3�������� ������� �3� ��� ��� �33� ��� ��� ��� ���
��������� ��������������������������������$ ������3��� $�����������������������������������
�����!������������������::�
��� '��*�'���
/�� - /
���
/ /
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
��� - ( )/ / ���'"
����� ��� ����� ���������������������
�� �������������������!
��� ��*� %��� ( )- / �*�� ����(
����� ��������%���73���� ���������������������'"���������(!�%����$�
- ( )/ / �� - / �*��
�����%� �� ��/ /
���������
��������� )���3�����������1 �����/(�%� �����(((�.-���������������� ��� ���
3������������� ����!�% ��� ����������������$ ����������������� ����%��1 ��� ����������� �����
q�������� � �� ���������������
������ ����� ��
Water
G
h
FP
O
W = 2000 N/m
4 m
yp
2 m�������� ����������������������������������� ��� ����������
�������� 9��������������������� ����������� ������������������3� ���(
)��� ��� 2��������������������� �������������������3��� ����������¥���������������������������
�
�" �� �( �
:"( /�
¥ ¥ ¥ ¥ =�� � � �q q
�����
)���� ��������������3���������������(�������������������������������������� �����������!
������ �������������::!���
'���/� � -� � � � �
� � � � � � � / � ��� �
� � � � �
qq q q
q q
¥ Ê ˆ+ = + =Á ˜Ë ¯Ê ˆ¥ ¥ Á ˜Ë ¯
.�% %(��
� � � � � �q q q- =�
/
�
/
1������ � �� ��������������!������������������������������������� ����%�% ������4����
,����!�
/ � �
�
qÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�*��(((��������q���(
+���� ��� �������������������!
�:"( �
� � / � �
q qÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�*�:(((�����q���(
�����%� �� �� ��/:'��� ���q�����q�-/
��������� �� ���������� ��������������� �������������(�������� ���������3�����
%����� ���������������%�� ��1 �����/����C����� ���������� 4����������$��� �������3������
������������ ������������������ �����
�������� 9���������� ���!��������3���"����������������������!����������������������������
��� �����������������������������q����������������)������ 4����������$��� �������3������
������������ �������������������������������������%� �������
��,�� "����¥��(/�@(�"����&�����qA��(�"��q�¥���� ��q��� ��)�� "����¥��(/�@(�"����&�����qA��(�"��q�¥�������q
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
)��������!� ���� ��� 4������ ���� $��� ���� ���3������� ��� ���� ���� ������ ��� ���� ��� ��
��� ��� ������������ ����������% ���%���������� $�����
����
(
p
Ú "����¥��(/�@(�"���&�����qA������ ��q��q�.���/��'���.
�)��
(
p
Ú "����¥��(/�@(�"���&�����qA���������q��q�.
� "����¥��(/�¥�(�"�¥����� �
( (
��� � ��� �
p p
q q q qÈ ˘
+Í ˙Í ˙Î ˚Ú Ú
� "����¥��(/�¥�(�"�¥����� ( .�
pÈ ˘+Í ˙Î ˚� �:�"���.
��������*��#�� ��8
)������ 4���������3���������������������� ��������������������� ��1 �����/��� ����������
������������� �������������3��B������3�������������������� ����������������
)��������! ���� "����¥��(/�¥�(�"�¥������¥���.���/��'���.
dA
dF
OO
B
C
D A
0.9 md
z
1.8
m
1.8
m
���������� � �� ��� ���������� ���������� � �� ��� ����������
����������� �����������
)�����%�%����$��� ������������� ����������������� �������� ��� ����%� �������%����
����� ���� ������$������������)����3%����$��� ������������� ��������������� � �������
�������%� �������%�����������3��� ��������$������ ��� �
)������������������3%����$��� �����������������������
� <� �������%�����������3��� ������$��������� ��� *�<� �������%����� ��$����������
� <� �������%�����������3��� ��������$��������� �� ���������������� �����$�����
,����! �)�� "����¥��(/�¥� ���@/��:�¥��(�"��¥��A.����:�"���.
��������� �3������ ������� � � ��� �������� �� ���� ����������� � ��� ���%�� �
1 �����/���)�������� ��/���% ����C����� ����������3����������������������� ��������������
������7���������%�����
������ ����� �
B
Ax
(Gate profile)
z
x =
dxdz
dFv
q
z21
3
Water
z
dF
dFH
ds
1.5
m
��������� ��������� ������������������ �������
�������� )��� ��������� �� ������ ��� ��� ���������� 3��� ��� ��� ���� ����� ��� ������� ��
�1 �����/���������%� �������
���� "����¥��(/�¥���� �*�"����¥�/
)������ 4����������$��� �������3��������������������������
����� "����¥��(/�¥�/��� �*�"�¥��������q� "����¥�/�¥���� �*�"�¥��(/��"
���
��)�� "����¥��(/�¥�/��� �*�"�¥����� ��q
� "����¥�/�¥���� �*�"�¥��(/��&)��������!�������� 4���������3������������������ ������������������ �������
����
��
(
Ú "����¥�/�¥���� �*�"�¥��(/��"
� "����¥��(/�¥�� �
�/
� �¥ ¥ �.���//�����.
)���$��� �������3������������������������� �������
�)��
��
(
Ú "����¥�/�¥���� �*�"�¥��(/��
/"
Ê ˆÁ ˜Ë ¯ ��"
FHG+ ����&��
�
/
�" ��������������3��� ��!��&����
/" ��"
IKJ
��
/" �� �(
�
�/ �� (:
//
¥ ¥ ¥ ¥ =�� �
�. �.
���������� ������������!������� ���:�������������� ��!�����������������%���
%����� �� �� ��� 4������ ��������� 1��� ���� ��� � �� ��� ���� � ��� ���%�� �� 1 ��� ��//!
������ ��������������������������������
� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
30º
4m
A
E
Fv
dFv
dFH
FH
zp
F
dF
C
D O
dA
a
B
h
1 m
dq
q
��������� ��� ������� ��������������������������� ������
�������� )������ 4���������3���������������������� �������� �������������%� ���%����
����7�������������%����������3��B������3������������� ����$��� ����3������)����� ��������� �
3��B�������������� ��:�� ��/(=������������� ��������� �� �����&��-��������������%���������
��������
)��������!�������� 4���������3������������������ ��������
���� r�� �����(((�¥�"����¥���¥�� �¥���.����"�����.)���� ��������� ���������3����������������������������D3��������%� ��� �������� �������"�
����%�����������������!�� $�����������������::�
"(�� ��&� �
�� � �
/�
� ¥ ¥ ¥�������'��
)���$��� �������3���������������������� ����������)
��<� ������� ��� �����%���������� ���� ������$������� ����
.�%!�E����� � ������ E������� ����&�E������%��%�*�E������%��%
E����� � ����� �¥�� �¥� ���� �¥��:�*�:�����/(=�¥��� �¥�(� /�
E����� %��%�� �¥�p�¥��%���¥�/(-/�(� �¥�p�¥��:��¥��/(-/�(
E����� %��%�� �¥� ���¥�:�� ��/(=�¥ :�����/(=
� �¥� ���¥���¥�:�����/(=
)��������!
�)�� �(((�¥�"����¥� �ÈÍÎ�(� /��¥���&� � /(
:/�(
pÊ ˆ¥ ¥Á ˜Ë ¯
*��
� : ��� /(�
˘Ê ˆ¥ ¥ ∞Á ˜˙Ë ¯ ˚�.���������.
)����������������$ ������ ���� ��� ����� ��� ��$������ � ����� �� ��������� ��� ��
���������������%� ������������������������������ ��$������������� ���#�� ��(��/'���������
������ ����� ��
�������� �+�)������ 4����������$��� �������3������!��� �����63�����!����� ������� $���
� ���������������������������� ���������
��� �����&��)
��-����@��"�����&�������A�-�����( �'��.
������������a������*�������-�"����ª��'� =����������� 4��������������*��#�� ��,
;��� ����������������������d��������������������� ������������������q����(��1 �����//�)����������������� ������������������������d���������������r�� �d��)������ 4����������$��� �������3����������������
����� r�� �d�������q��'�� r�� �d���� ��q
%����� � ������$��� ������3�����������d������%������������������.�% �� ���&�:�� ��q��� d��� �:��q�¥� ����(��q
)���������������������� 4����������$��� �������3����������!
����
-�
(
� �((( "��� �( �� : � � ��� � .��
p
q q q= ¥ ¥ +Ú Ú ����"�����.
�)�� �(((�¥�"����¥��(�-�
(
p
Ú ���&�:�� ��q �� ��q��q .���������.
+ ����������������������������������3��3��� ��������������������!���� ��� ���������� ��
3������������%������������������������������������������������3��������������%�
���������� ������������������3������'�� ���������������������%����� �����������
��1 �����/:��<���� ��������� ����������$������� ������ � ��F���3����������������� ���/� '�
Steel block
Mercury
Water
a
b
��������� ��������� �������������� �������������� �
�������� 9���������������$������ ����������6���� ������������
5������������� � ����������� ������ � �� ���������%�� ��1 �����/:!
<� ����������������� )�����G����������������� ������ �
��¥���&�$��'� (�¥���� �$�¥��/� '�&��¥���¥���¥��(/
,���� '�� ���&�$�� �/� '$�&�
��!
$��
'�
� �
�
����(��/
��������� ������ � ��������� (���������� ��� �����3�������������� ��� �
� ������%�����������%�� ��1 �����/ ��)�������� ������������% ����������� ���� ��� ��� �����
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
��������������� ��%������1 ����������� ��� ��������� ��� �������3�� � �����$ ������� �� ��(������
�����3�� � ��%� ����������� � ��� ��� �"/��.-�/�
T
T
75mm
150 mm
Oil
Water
��������� ��������� �������������������������������
�������� )��� ���-� ��������� ����������%� ����� ������ ����� ������������� � �� �����
�����������
-�� .�*��
� � �"/�¥��(/�¥���� /�*�"����¥��(/�H��� /�¥�(� �¥�(��&���� /�¥�(� �¥��I�.
� '�'��.
�.���%� ��������������������� �����������������������������������
���������� ���������� ������������% ���������� ����7���$��� ���� ����� �� ����
�3�� � �����$ �������#�������3�� � �����$ �������������������� ��� ���!�� �������$��������
��-������������������� ���� ����������4����
�������� 9������������������% ��� ��������������������3���������%�� ��1 �����/��
1������ � �� ��������������!
Spgr. Spgr.
SLSC
G
M
a
Bh
��������� ������ ������������������
<� ����� G������������
/��¥��(/�¥�"����� ���¥����¥��(
/�¥�"�����! �� ���-�����-&
������ ����� ��
%���� ��-��� &
)���� ����������%��������������������������� ������������������$ ������������
���
&� � ��
�- = -F
HIK
9����������������������!�����
����
)
&
&=
FHG
IKJ
= FH IK=
/
�
:
�
��
�� ��
)������������ ���� ��������� ��*� ����&
&�� ��
�- -F
HIK
����� ����������� $������� � ��
����&
&�� ��
�- -F
HIK ���(
��! &��*��&�&���� (
%� ���� $�� &��� ��
�
±���:�'/�!������
,���� ��-��� :�'/� �� �����
���������� ����������������������% ����$�������������������3������������ ��
�������������$ ����������%����� ����1 ���������������� ���� ���� �����������$-�!����������
���%�������������������� � �� ����������������$-��≥� � �
�������� 9��� !����������������������������������!��������������$ ��������������������
�����������1 �����/'����3��� $����
M
b
G
BH
O
�������� ��� �������������������
.�%! % �� �-�
���! %��� ������� $��� ������3������
,���� ��� %��*�% �����*�� �
� �=
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
�� � ����
)
� $
� $ �
$
�=
× × ×=
/ �
�� ��
%����� �� �� ���� ������� ��� ���� ������ �� �� � ���� ��� 3��3��� ������ ��� ���� 3����� ��� ���
1 �����/'�
)��������! ���� ��*� ����$
�
� � $
�
� �
�� � �
�
��- = FH IK -RSTUVW
1������������� � �� ���������������!����≥�(
,����!� $
��
�
��
�FH IK -RSTUVW �≥�(
%� ���� $�� $-��≥� �
��������� ���� ����� �3������������ ���r�������� ������������% ��� ���3��������� �������� ����� �� ��������� ���r���r��J�r��+��%������������� � �� ��� ������������
������������� ���� ���� �
/
��� �r
r-F
HGIKJ
�������� )������ �3����� �� �������� ������� � ��� �����%�� ��1 �����/���9���)�������
����������$�������)������������ � �� �������������� ������� � ��!
�
/
/p r� ¥ �� )�¥�r�
��! )���
/
/p rr
��
¥
)��� ������� ��� ���$ ��� ��% ��� � �� ��� ���� �7 �� ��� ��������� ��� ���� ��� �3������)��
� �������������������� ��� ��������������������������� �3������������������������ ��
���������������������� ���������� 3���1 �����/�������������������
M
BG
Hz
dz
O
�������� ��������������������������������
%���
p
p
� * � " " "
��
�
� �
(
/�
/
/
�
�z=
������ ����� ��
#����� � ����%��!���������� �������������������������%� ��� ���������������� �������
$������)� ����������
% ��
p
p rr
rr
� * � " " "
�
��
�
�
�
�
�
�
� �
(
/
�
�
�
��
/
/
��
�z= -F
HGIKJ �����
%������� ��������3������ ��������$������������%�� ��1 �����/��
#��� � ��������� �����������6���� ������������� �3��������%������ ��!������%������%� ��
���� ���*���
+���� ��� �������$���������� �����������!�%����$�
% ��/
��
:
:
rr� �
�
�-F
HGIKJ
)����� ���������������������������$������������������������� � ��� $�����
����
)
�
�
��
�
�
� =FH IKRST
UVW
=p
p rr
rr
:
/
:
:
:�
/
/
�
)��������!�������������� ���� ��������������
���� � �*� ����� �*��%��*�%
�/
�
/
�
/
��
:
:
:
:
rr
rr
� � ��
�� �
�
�- + -
FHG
IKJ
LNM
OQP
�/
��� �r
r-F
HGIKJ
+ ����r��J�r!����J�(!����������!�������� � �� ��� ���������
���������� ������������� ��%�����% ��� ����3�7���%�%�����1 �����/"����������
������ ���������������$��� ������ �������#�������3�� � �����$ ��������������� ���!�3��$������
�������������� � �� ��!
���K�
: �
� � /
� /
� �
�
-
--FHG
IKJ
�������� 9������������������� ��������������������������� ������� � ������ !��������
� �������������������6���� ����������3�������������� ���������1 �����/"�
1���������� � �� ��!
<� ����������������� )�������������������
��
/ :
�� �p
Ê ˆ◊Á ˜Ë ¯
���
�
/ :
� p
Ê ˆ◊Á ˜Ë ¯
����/
�� ���������������!
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
��� ��
�����:
5� �������$�����������������������:� ����������/!�%�����
�� ����-/ ����
)����������������$ ����������������� ������������������� ��� ������������������ ��� ���
������������� �����"������ ��������"-�!����� ���������������������3�7�(� �����������% ��
%��8
%���
� �
�
(�
�: /
:�
/ :
�� "
" "�
��
�
p
p=
Ú
)���������������������� � ����������������$�������������������������� ����3�������
������% ���/
:� �
)�������� ��� %��*�% ���/
:����*�
+���� ��� ��� �������������� �%������%� ��
���/
:������*���-/ �����
D
Hh
G
O
z
dz
B
M
d
��������� ������ ���
���������������
#���� ����������������!�������������� ����� ��
���������%� ����������� ��������������:���
������
�:�
/:
/
��
:
�
�
)
�
�
�
=
¥=p
p � -
+���� ��� ��� �� ����� ���� ����:� ���� � ����
�������� !�%������%� ��
���/
��
�� /�
��
-
)������������ ���� ���
���� ��*� �
�/
��
/
:�
�� / � /�
�� � �
- -� - -
1������������� � �� ��!����J�(
,����/
��
/
:� (
�� / � /�
�� � �
- -� - - >
��!�
�� �
�
�
� / � /: � (
- -� - - >
��!�
�� �
�
�
� / � /: �
- -� > -
������ ����� ��
��!�
� � �
�
� � / � /
�
: �- -
� <
-
,����! �� �
�
�� � /
� /: �
<-
-
-�
���������� ���(����� ����������3�� ������ ����� ��������� �����������(���
� ��������(������ ��������� ��3�������$ ����3������:�(�������������������%������������
�(����� �������%��������� ���������3�� � �����$ ���(����1 �������� � �������������������
����%������3��� ������������������3�� ������ ��������������� ������������ � �� ��� ��%����
% ��� ����7 ��$��� ����
�������� 9��� �� ��� ���� ������� ��� ����%������ 3 ����� 1��� ����� ��� ��� � �� ��� ��� ���
���3�� ������ ����!
<� �������������� ������£ <� ������������ �� ��������������$����������������������� ����
,����!p p� �
@ � � A� �
@ � A( (�
:( (� : ( �
( (�
:( (�
� �
× + ≤ +� �
1����%� �� ��≥ (�/��
,����!������ � ������������������%������3��� ����� � ������(�/�����/((����
)���� � �����������������3������������� ���� ���%����������� �����% ��� B���������
% ��� �����3���������������������������1 �����:(���1�����������������������������/((���!
������� �����% �����%���������� ����� � �� ���% �����3������� ��������������������������%�
���1 �����:(���)����33���� � ����� ��%����������� ����������������� ����� ������������
��� � �� ���������������� � ������������� �����
l min h
l
20 mm
20 mm
80 mm
(a) (b)
80 mm
M
G
B
O
�������� � �������� ����������������������
1������������� � �� ��!
0�������� ��,� ����J�( ����'
)�������� �������������������$ ���������������3�� ������ ��������������������
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
%���
p
p
�� H� � � � � � I
�� �� �
(�
:(� : (� � ( ( (�
(�
:(� �
�
�
× × + × +
+
� �
�
� ( � ( (�
�( �
�� �
�
+ ++
� �
)�������������������� ��������%��������� ����� ��������������������� ����� �����
����� ������ � �� �����
<� �������������� ������ G�������������
p �� �� � A
(�
:(� : �
�
¥ + � ��p �� (�
:
�
¥
�� �� (�(����(���&�� �����
)�������� ����������������������������� �������������������73����������% ��� -����(�(:
��(���&��
.�% ��� %��*�% ��� ( � ( (�
�( �( (: �( �
�� �
��
+ ++
- +� �� �
�� �
�
� ( � (/
�( �
* � * �
+����"
)�������� ��������������������������$����������� ������������������������ �����
���L����:���
����
) = ¥
¥ ¥p
p��
��
(� :
�: (�
:
����"(
+���� ��� ��� ��������������������������"(!�%�����
����((
�( �� +
)��������! ���� ��*� �����((
�( �� +�*�� �
�
� ( � (/
�( �
- -+
� �
�* � * � * � � �
�
�( � (/
�( �+
5� ��������� ��� ����������������� � �� ���������J�(�%����$�!
* � * � * � � �
�
�( � (/
�( �+�J�(
�� ���*�(�� ��*��(/ �K�(
�� ���*�(�� /����&�(�( /�K�(
)������������������$����������� $���,����!�����3��� ������3��� �������� � ��� �
��*�(�� /�K�(
��! ��K�(�� /
������ ����� �
���������
��� ;���������������������%��
� )����������������� ����������� ������� ���� ���������3� ��� ������� �8
�� �����%����������� �� ���� �� ������
�� �����%����������� �� ���� �� ����������� ����3���� ���
�� ����� �� ���������
�� %����������� �� ���������!��������������� ����������
� )������� ����������������� ���������������� ��������� �������������������� �
����!�% ������������� ���(�������%��������%���������� ���r��������� �8�� �����������(�r��� �����������(�r��� ��������������(�r��� ���� 3������� ��� r�� ���� ���� $��� ���� � ������� ����� ���� ����� �������� ��
3��������������
�� ���������������$��
� )���� ��������� �����������������������������������������
�� �������������$ ������������������������
�� ������ ���������$������������������ �������
�� ������ ���������� �3������$������������ �
�� ������ ���������$������������ ��$��� ���������$����������
�� ������ ������������ 4������3��B��� ���������������
� $ 1������������� � �� ����������� ������ ��!������������������$ ���������8
�� �����%��������%�����������������������
�� �����%�������$������������������������
�� �����%�������$����������������
�� �����%��������%���������������
�� �� �� ���% �������������
��� #����������� ��!������������� �������������� �$�����������% ��� ����3�������� 33��
������������ ���� �� ������� ���� ������������3�������������3�����
��� ����� ������ ������� � �� ��������� �� ��������������%����� ���������3��� �
3�������� ���((��.-�������%��������� �� �� �����������������%��������� �� �� �
%������)��������� ������3�������� �� ( =;!�����$�3����3�����������������������
%���������� �����3���������������3��� $����(�(� �¥��(:�.-����������/�¥��(:�.-��!
���� ���� ���� � ��� ���� �/ ((� ���� "�(� ��-�/� ���3��� $�����<����%����� ��� ���
3���������������� ����������������$�3����3�������� ������������
���+��(�' :��!�"�����!�(��:>!��:�( >
��/ )������� ����������� ��� 7�����r�� ����-�/� �������� ������������$�� ���% ������
$��� ����� ������� "�� �����������$���������������������������������� ���������
����� ��
r����(����
� * (( �(((
" "È ˘Ê ˆ+Í ˙Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚���� �������� 7��������������� �����!������� �������3��������� ������������%���
�����������������3�������(����������������
���+�� � "��.-��
� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
��: 1 ������������3��� ��3��������B���������������������3��3�����%� ����7�������3��
���� ���� ��� ���(����� ��������� ��$����;��� ���� �� ���3��������$�� �� ��� �� ���
���3��3��������-����������*���:"�¥��(*/�"!�%�����"� �� �������������-� ��M��$ ��
)��������3��� ��3�����������������$��� ���(��/���.-���
���+����� ��.-��
�� 1 �������3�����������������$�� ������/(((������$������������$����������� �����
��� �������������� � ������� ������������ ������3 ������ � ������� ���2�����������
���3�����������������$��������(��/���.-��������"/�� �M��;��� ����� ����������
����� ����% ��� �� ���������� �� �� ���� ��������� �� ��'� N-���M!� ���� g ���� �� ��
�3�� � ������������:�
���+��'��:���.-��!�'(�(���.-��
��������� �����������������
����� ����� �������
+ A1.
8 m
z
+ B
��� )%��3 3��������� ��1 �����:�����
�� ���� ����� ���$�� ���� <����� �
����� ���� ��������� �����������$��
��� ���� �� ���$�� ��� ;�����
���������� ��� �+3�� ���� �� �� "� �
����� ���� �� �� )��� �$�����
56����� �� � �����% ��� ���3������
� �� ��� /((� �.-��� ���� /( =;�
G��������� ������ '�(� ��� ��
���������C����� ��8
�� )��� 3�������� � ��������� �
�.-������%���������� � ��"��
(�: ���
�� )��� ��������� 3�������� �� � �
��������������
���+��( �*�(����/�:��.-��!��:(�������
��' ����� 6����������������� ���%����������������� ����������������������3�������
���� �� ����$�����!�������%�� ��1 �����:���1�������� $���$����������� ����!����������
����������3�������� ������$������� ����(�:��!� ����(� ��!� /���(�/��!� :���(�'��
����(��������� ����(� ���
���+���"(�/���.-��������
Water
Mercury
Air
h1 h2 h4
h5
h3 h6Air
O O
��������� �����!���������������������������������"�����
������ ����� ��
��� O����� � ��1 �����:/� ��������% ���� ����� ���� ���3��3��� �������������3�������
����� ��������� ��� �����������O�������������*�(��:'���������� �� ������� ��������
����� ����$ ���������� $������ ���(�' ��<������� 4���������������������33� ������
������� � �� ������������ F
���+��/�����.
Air
Water
B
A5.5 m
1.8 mOil
��������� ������������������������������������������������
��" +��%��������������������3��������������$��� ������� � �������3��������������� ���
������������� �� ������% ��� ���� ������������������������������ ����������������
� ����������3������/p�-/������������������������
���( ��3��� ����$ �% ���3�����7 ������ �������%��������� ��%�������������������������
���%�� ��1 �����::��;����������������� ����!�� ���� ������������ ����������������
�������$ �% ���3����
1.5 m
1mO
��������� ������� ��"����������������������
���+��'"�':��.!�' =� ����� ���� ���' =������% ��
�������$��� �������3%����� �������3�������������������������%
�� ������������ ��� ������ �� ���� ��� ������ � ����
���� 1 �������%� �������������� ������� ��������3���������������� �� ����33�����%����
���� � �� �+3�� ���� (���� ��� ���%�� �� 1 ��� ��: �� ������ �������� % ��� %���� ��
�� �� �������
���+���:�(���.
A
E
O CWater
OilR = 1m
B
��������� � ���������������������������
���� ;������������������������� ��������������������� �����������3�� � ����1 �����:�!� �
����(����� ���+��:��(���.
��������� ������� ����������������������������������������
���/ ���� ��� ������������3�� � �����$ ���(�:� � �� ���������������� ��� ��������)�
%������3�����������% ���� ��� ��������%�����% ��� ����7 ���� ������ 4�����F
���+��(������
���: � �3����� ��� ���"� ��� � ������� ������� ����� ���������� �� ����� %����� �r� ��(� ���-�
/��<����� � ����������������������r����:(/���-�/���������������
������������������������������3��������3������F ���+���:��:'���
������ ����� ��
�������� ����� ����������
Patm
String
Plug
50 mm
Water
2 m
��� )������ ��3�������%�� ��1 �����:'
��������� � � ������������%������ ���
�3� ���� ���� ��$��� �������� ���!� ���
��������� ��������� ���� ������ �3���
���� 3����� 1 ��� ���� $������ ��� ���
�3��� ����%� ���� �������������������
����3������������%� ���� �� ������
������������3�����3���� �� �������$��
���������3���6���������������B��3�
�3%���� ���� ���� ��� �� ����� ��
3�� � ���� �73�� ��%����C����� ��
���� ��$��� �� ���������$� ��%�������
3���� ������� ��� ��� ;��� ���� 3���
� ������� ��� ������� ����� ���� �����
� ������F� 1 ��� ���� ���� ��7 ���
3��� ����3����� �������
���+��(�(����/!���" ��!�.�!��'� ���
���� ������3� ��!����������6���� ������%� ��� �������� ���������� ���������� ���!�������
��%�����% �������� ������ 4���������������������������3��� ��1 ��
�� -����������� �����������3�� � �����$ ������������3� ���
15 m
15 m
6 m
6 m
�� )������������ ���� ���� ������������ �������
�������������������� ��� ���3�� � �����$ ��!����
(���
���+�� / �� !�(���
���' ��� �����%��������� ������������3�� � �����$ ��
���(����1 ���������� ������ �����������������������
��� ������������� ��% ���B�����������3� ���� ���������
�������������� � �� ��� ��%�����
���+����/��
���� 1 �������� � �����3�7��������������� ���������
�3�� � �����$ ���(����������� ������������ ��������
��� ��� ��� �� ������%�����% ��� ��� �7 ��$��� �������$����7���%�%����
���+��/����=
���" ��� 3�%� �� ���� �0.�������� ������%�����% ��
��� �7 �� $��� ����� � 3�������� �L�� ����� ������$��� ��� ��$�� �� ��� 4������ � �3��������� ��
�(����%������%� �������:(��.� ����$��� ��
�����������������1 ���������������� ���� ������
������ 3� ���+��(����
���( ��� 3�����������¥��(����������������6���� ���������%����� ���������%�� ��1 ��L��:���)���������
������������ ���� �������%�����������������!����
���� ������� ��� ���$ ��� �� (��� �� ���$�� ���� ������������� ;��������� ���� ��������� �� �� ���� ���
���� ��� ���� 3 ��� ��� ��� ���� �� 3� % ��� �� �����
���������� ��� ���+��(�:���!�� �:���
�������� #����!�� ������
����������
���������
��� ����������
��������������� ����� �� �� �������� �������������� �����������
������ ����������������������������������� �� ������� ��������
���� �� � �������� � � ��� ������ � � ��� ������ ���� �� ����� ����
������������ ������������������� ������� ���� ��� ��������� �
��������������� �� ��������� �������� � ����� ������ �����������
� �� ����������������������������
��� �������� ����� ����� �������������� ����������������������
���� �� � �������
��� ���������!��� � �������������� �� �� ����� ��������� ����� �
���� �����������������
��� �������������� � ����� ����� �� �������������� ������� ������
� �� �" ����" ��� �#�� ���� � � ��� � �������� � � �������� �� ���
� �� ��
��� ��������������������
������ $��������������� ��������������������� ���������$�����
�������� ��� �� � �������� �������� �� � ����� ������ ����������� ��
����������������� ����� ��������� �����" ������ ��� ���������������
��������� ������������������������������������������#���������
���������������"��������������������������������
����� $������������������������� ��������������������� ���� ��
� ������� ��% ���"��� �������������������������������� ��������������
��������� ������ ���������
����������� ����
�
��������� �� ���� ��
���������� &��������� ���������� �"������������ ����������������"
��� ���� � ������������� ��������� �������������������� � ��� � � ���
�#����� �������������
��������� &��������� ���������� �"����� ������� ����������������"
��� ���� � � ������ � ���� � ������ % ��� ��� ��� ���� ����� ��� ��� �������
�#����� ����� �������
��� �������������� ����������������������
$�� ������������ ������������� ������������������������ ��������
������ ������'�����"��� ���������������� ��&� ����� ��"��� ������
����������������� ����������������� ������������ �����������������$
������������� ������� �� ������ �������� ���������������(����
������������ ���� ���������� ��������������� ���������������� ���� �
��������������#��������� ����������������&� ����� ������� ������
������� ������ �"��������� �� �������������� ���� ��������
� �� ��
���������������� &�������� �"��������� �� �������������������
������������������ �� �������������������������������� ������������
�� �� &�������� � ��� �������� ������� �� ��������� ����� ������� � ��� �
�������� ���� ������������������� ��� � ��������������� ���������� �
���� ������� ��� ������ � � �� ����������� �������� �������������
�������������#�������
� ) ���
� *"�� �+�,�
������
� � ���� ��� ����� � ��������������������� � ���#�� � ��� �
����������������� ���
� *����������� ��� ������������� �) �*"������
������� ��� �������� � ���������������-�� �+�,� ������������ ��� �����
� �� ��������������� ������������������������� �� ��������
�) ���*"�*"�*" �� �+�,��
�) ���*"�*"�*" �� �+�,��
�) ���*"�*"�*"�� �+�,��
������*"�*"�*�������������� �����������"�"�������� ��������������
� �������������(�����
� ��-���+�,�������#�������
� )� � �
� � � � � �+ +
������� "
�� ���
�
� �������������� ��� ���"������#����������������
��� ������ ������������� �
�� � ��� ������������������ ������� �� � ���
������������������ ����� ��� � ����������������������� �����
������ ��"
�� )
*
�
��
�
�
È ˘Í ˙Î ˚
�
�+�.��
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
�"������ ������� �� ����"
�)
* * *"
�
� � � �
�
�
È ˘Í ˙Î ˚
�+�.��
v)* * *"
�
� � � �
�
�
È ˘Í ˙Î ˚
�+�.��
�)
* *" *"
�
� � � �
�
�
È ˘Í ˙Î ˚
�+�.��
�"v"�������� �� ���� ���� �������"������������ �������������% �������������� �"
�� )
*
.
.
�
��
�
�
È ˘Í ˙Î ˚
�
�+�+��
��������" ��)
* * *
.
.
" "
�
�� � �
�
�
È ˘Í ˙Î ˚
�+�+��
��)
* * *
.
.
" "
�
�� � �
�
�
È ˘Í ˙Î ˚
�+�+��
��)
* * *
.
.
" "
�
�� � �
�
�
È ˘Í ˙Î ˚
�+�+��
������������-��+�.�����+�+�����������������������)�*�� ��� � �
������������������������������������������������� ����������� ����
���� ������������ ����� ��� ������ �� ����������� �� �������������
�������� ��������� ����������������� ����� ����������� �� �����
��������������&������� �"�������� ������������������������������������������
������������ ��������� �� �"� ������� � �������������( �����"���
��� ��������� �������� ��������� ���� � ���������� ��-��+�.�
����+�+�������������������������������������������#�����������������
������������ ��"������� ���������������� ������������������� ��
�������������� ������� ����� /� �����-����� �����������������
�������� ���������������� � ����� ������ ����������������������������
������������&���������������� ������ ������������ ����������������
��� ����� � ���� � ��
� � �� ��� �� � ������0���� �� ���/��������� ����" ���
���� ������������������������ ����������� ��������"��-�����������"
������������� � �� ���� ���������1�������������"����� ��������-�������
���� ������������� ) ��
�
� "�� �+�2�
�����"�� )
� � �
� � � ��+ +v���"
�
� )� � �
� � � � � �+ +
��������� �� ���� ��
������ ��" �) ���"�"�"�� �+�2��
v) v��"�"�"�� �+�2��
�) ���"�"�"�� �+�2��
��������� ��������������-����������/������������� ����� ���
� ������-���+�2� �-��������������� ��������������"
�
�
�
�
�) ��
�
� "�� �+�3�
�"�
�
�
�) ���"�"�"�� �+�3��
�
�
�
�) v��"�"�"�� �+�3��
�
�
�
�) ���"�"�"�� �+�3��
������������ � �-���+�3���������� ����� ���������� ���������� ��
� ����� ������������ ������� ������������������(����"��� ���� � �
-��4�+�3�������������� � �/��������"�
� ) ���
� *"��
�" �) ���*"�*"�*" ��
�) ���*"�*"�*" ��
�) ���*"�*"�*"��
������ ��"��������������"�����������"���/������������� � ��������� �
������������������� ����-����������� ��5����� ���� � ������ �
������������� ������������������� �������������������������
����� ���������������������� !�!�"������ !���#� $�%!
&��������"����� ���� ������� �������� ��������������������������
������������������ � ��� ���� �� ���������������"����� �� � ��
������� �� ���������#��� ����$�� ������ ������� �������� �"���������
����� ��� ��� �������������� �� ��
���� ��� ������ ����� $������� ������������� �����������
���� ����� �������������������������� ������������ ���� � �������
���������%� ����������� ������������������������������������
��������� ��&�-����������� ���"�������� �����������"�� ) ��
�
� �
����� ) ��
�
� �
���������������� ����������������� ���������� � ������ �������
�����������������"���������� �"������� ���������� �������������
��� ���� ���� � ���� �" ��� ��� ������ ��������� � � ��� ��� ���������
���������������������������������
&����/������������� ���"���������������������������������� �� ����
�������� �-�� �+�,���5�� �� ����� �� �" ������ ����� �����������������
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
��� ��� ��� ��#�� � ��� �� ��������� �������� �� ���� &� ����� ��" ���
�������� � ���� ������������ � ������ ������������������������� �
������ ����������������� ������ �������������������������������
������������ ����� � ���� ������������ � �������� ���� ����������
��-����������� �� ������ ��" ���-������� ���/��������� ���� ���� �
��������������� �� ���� ������������������������� ��
&���������"�� ����������� ������#����� ������������������"�������
�� ������������������������������������������� ���������� ���
��� ���������� � ���� ������� ��������������������� �������������"���
������� ����� � ��� �������� ��� � ��� ����� �������� � ���� ������
����������1 �� ���"������������� ���������������� �� ���������
�������� �� ������������������� �������������������� �� � ��
� �� ���������������������������������� ��� �� ��������#��
������ ��"�� ��������������� ������������������� ������ ��� �
� ��������#��% ��#�����"���� ������ ��������������� ��� � �6
� ��������������� �������� ����� ����������� �������������� ��������
����� � �� ������ �� ���� ���(�� ���� ����� �������� �� �������
����������� �����������#������� ���� �� ������ ��������"� �����"
�������� �� ���������� ������������������� ���������������
����(�� ������ ������������ ���������������#���#��� ����������
7���� ��� �#������� � � ����� �� � � ���������� ������ ���� ���� �
������� �� �" ��������� �#� ��� �� ��"����� � ����" ���� �� �����
������� �������������������� ��������
������ �� ��������� ��� 0��� ��� ���� ��� ���� ���� �������
���������"����������� ������ � ��������� �� ���� � �������� �
�����"����� ������ ������ ���&�"� �����"������� ������ � ��� ���
� �� ����"����� ��� �6���� ���(����"� ������ ���� �"������ ������
������ � ����� ���"�����������#�������-��������������� ���� ) ����
�������������� ������ ���� �"������������ ��������������� � �
���� ���������� ��������������$����������������������������������
����������������"����� �� ���"������������������������ ����������
% ��� �6���� ���� �"�������������� ��� ������� ��������������
������� � � �� � � ��������� �������������� � ������ ���������� �� �6
���� ����� � ����� ��� ������� ���� ��� � ������� �������� ��� �����
�� ����� ������� ��� ������ ���� �������� ������ ��� ��������
��� ����� !�� ��� ���� �������� 6���� ����� ������������ ������6,��
% �������������� ���� �"��� ������������������� � ������ � �
����� �������"���������������� ������������� ��� ��������� � �
�� �����������7������� ��� �������� ����� ��� �� � �����������
� �������$�� ����� ��� ������� ��� ���������+�,�� �����
��������� �� ���� ��
��������
���� �������
,� 7��������� ���� � %� ���� ������������ �������� ����� ��
�� 6���� ���������� ��� �� ������� �
��������� �����������������
.� 7������ �6���� �� %� � �� � ����� ���� ��� ��� � ���� � � �6
�� � ���� ���� 6���� ����������������
+� '���������� ���� � %� � �� ������� ���� ��� ��� � � �� �������
���� � ���� �� �� 6���� �� �$���� ���
���� ��� �� ����������� �����
2� '������� �6���� �� %� ����������������� ��������
�� � �� �6���� ���� 6���� ��
����� ���!�����!��&���&!���#��%%!�!������
/������ ��� � ��������������������������� ����������������������
� ���������"�"������������� ������������������������� �����������
������ ����� �� �����"v"� �������������� ���"������������ ������6������������������������-�������� ���
�) � ��"�"�"��
v) v ��"�"�"���) � ��"�"�"��
$���������������������������D ������"��������������� ��� ����� ��� �
����������� ���������8D �"�8D�"�8D ��"�������� ����� �� ������
������� ��� ����8D�"v8Dv����8D�������� ��"�����������8D�) ���8D�"�8D�"�8D�"�8D�� �+�9��
v8Dv) v��8D�"�8D�"�8D�"�8D�� �+�9��
�8D�) ���8D�"�8D�"�8D�"�8 D�� �+�9��
����#���� � ���������������� ����-��+�9��� �+�9�������� �� �
���� �:��������
�8D�) � � � � ��
��
�
��
�
��
�
��� " " " � + + + +∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
D D D D
8������ ����������D�"D�"D����D� �+�;��
v8Dv) vv v v v
� " " " �� � � ��
��
��
��
�+ + + +∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
D D D D
8������ ����������D�"D�"D����D� �+�;��
�8D�) � � � � ��
��
�
��
�
��
�
��� " " " � + + + +∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
D D D D
8������ ����������D�"D�"D����D� �+�;��������������������� ��������������������
D�) �D�" D�)vD�" D�)�D�7������������������ �D�"D����D���-��+�;��� �+�;��"������
DD�
�) �
�
�
�
��
�
�
�
�
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+ + +v
8����� ��������D������������ ����
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
DDv�) �
� ��
� �
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
vv
v v v+ + +
8����� ��������D������������ ����DD�
�) �
�
�
�
��
�
�
�
�
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+ + +v
8����� ��������D������������ ���������������� �� ���������� ��D�Æ*��� ��
<
<
�
�)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
�
��
�
�
�
��
�
�+ + +v �+�=��
<
<
v�)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
v vv
v v
��
� ��
�+ + + �+�=��
<
<
�
�)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
�
��
�
�
�
��
�
�+ + +v �+�=��
LNM7���� ��� " ��� " ���
D D D
DD
DD
DD� � �
�
�
�
� � �
�
�
�
�Æ Æ Æ= = =
* * *
<
<
<
<
<
<
v v"
���D�Æ*
������ ��������D������������ �����)*OQP
&����������� ������ �������� �������� ����� �� �� ���������������
����������� ����"<><����� ���������������������� ����������������������
∂>∂��<
<�)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂�
�� �
��
+ + +v �+�?�
���� ���������������<><���� �������������� �� �����������!���!�
���������� � ������������ ���� ∂>∂� �� ��������������� �-�� �+�?� ��� ������� ��� �� �������������������#����������� �����������
����"�����#��� ��� ���������������������������������� �-���+�?����
� �������� ������!����!�����!���!������������������������� �������
���� ��������� ��� ������������������ �������������������������
� -��+�=��� �+�=������������� �" ���� �� �� ���� ���������� �
������������������ ����� ���� ���� �� ��� ������������ �-� �+�=�� �
�+�=����������������������� ��� ����� ������������� �"�������� ����
�������� ������������������ ���������������"
��)<
<
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�= + + +∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
v �+�?��
��)<
<
v v vv
v v
� ��
� ��
�= + + +∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
�+�?��
��)<
<
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�= + + +∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
v �+�?��
�1������� � ��������� ���������� �� ) ����� ��� � � ��� ���������� �� 8
�� ������������������ ��
��������� �� ���� �
&��������� �"������� ������������� ��!�� "���������� ���������
� ����������������������&������ ���� �" ���� ��������"���� ��������
���������� ��!�� "���������� ����� �� �������� ���������� � �����
� �������� &�� ������������ ���� �"� �� ��� ���� ������� ��������
���������� ��������������������#��� ������������������ ��-#������ �
��� � �� ���� � ���������� � � � ��������� ���� � �� �" � �������� ��
�����+�,"�� ���������+�.�
��������
���������� �������� "�����������
�������� #��!����!�
7������������ �� * *
7��������� �6���� �� * �#��
'������������� �� �#�� *
'���������� �6���� �� �#�� �#��
�!�������������������"���� � ������������ &�������������� ���
� ������� ���� �%��� +�,��" ��� � �� ���� � ���������� � �� �" q ��� �������� ��������������
��)<
<
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� ��
� ��
�- = + + +q q q∂∂
∂∂
∂∂q
∂∂
. .
@ �+�,*��
�q)<
<
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
� �
�
�� �
�q q q q q q q q∂∂
∂∂
∂∂q
∂∂
+ = + + + + �+�,*��
��)<
<
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
� ��
� ��
�= + + +∂∂
∂∂
∂∂q
∂∂
q �+�,*��
�������@�.q >������-���+�,*������������ ������������������������ ��������� �������������������� � ��q���� ����� �� ����������!�������������� �q �����q�� ����%���+�,����������������� ������������������������ ��&������������ �"����������q >����������� �� ���� ����������� ����!�������������� ��������������������������� � �������
q�%���+�,���������������� �� �� ���������������� ���� ������������%���+�,��
������#������
�$)∂∂
∂∂
∂∂ f f
∂∂ q
f q f q�
��
�
$
�
$
� �
$
� � �
$
$$
$ $ $+ + + -+
��
. .
�+�,,��
�f)∂∂
∂∂
∂∂ f
∂∂ q
f f f f
f
q f�
��
�
$
�
$
� �
$
�$+ + +
��
- -� �
$
�
$
$ f q f. � ��+�,,��
�q)∂∂
∂∂
∂∂ f f
∂∂ q
q q f q q q�
��
�
$
�
$
� �
$
�$+ + +
��
8� �
$
� �
$
$q q f f+
� ��+�,,��
� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
x
u
z
w, VZ
o
qDq
y
rV
V
q
q+ D
V qDq
Dq
v
V + Vr rDVq
Vr
Vr Dq
�� ����� �!��%��'�%� $��!��"������%'���#��%���$�����%���#����!�"'"�!
�� ����� �!��%��'�%� $��!��"������"$(!��%���$�����%���#����!�"'"�!
����� ��!� ���!")����(����!"���#� ��!�*����!"
����������� ��� ���������� �������� � � �� � ��� ����� �� ��� -�������
���� ������ ��������������������� ������� ����� �����������&����
-����������� �"������ �������� ����������������� � ������������
� ��������&�� ����#�������� �����"���������������� ������ �
������������������ ������ �������� �"������������������������������
��������� �� ���� ��
������ ��"���-����������� ���������� ���������� ���������� ����
���� �� �� ��%���+�.���&� ����� ��"��������������������������
������������������������ ������������ ������ ��������������� ���
����������� ��������������������� � ������������� ���� ����������
� ����&������������ ������������ �������� ���������������"����������
� ��������� �� ������ �� � ������ � ������� &� � ����� �� �" ���
�������� � ����������� ������������������#���%� ������ ���������� �
����������"���������������� ¥�
�
� ) * �+�,.�
(a)VV
V
(b)
�� �� ��� ��!� ���!" �� ����� ��!� ��+,!
��
� ���������� ��������������������������� ���������������� ���
������� ������������� ���� �������� ������� ���#���� ������� ��
�������� ��� ������������ ������ � � � ���������� &� � �������� � �������
����"������� ��� ����
�
� ������������������ ������� �� ������ ��
���� ��������#���� )
� � �
� � � ��+ +v ��� �
� )� � �
� � � � �� � �+ +j �����
-���+�,.�����
��
�)
� �� �
�v= �+�,+�
���������������������������������� � �������������������������� �
����������
$������ ������� ���������������������������� � ��������
��� ������������������ ��%���+�.������������� ������������������
���� 6���� ����� ���������6�����$�����6����������� 6���� �
������ ���� ����������� � ���� ���� ������ ������������� ������
����������������������7������������6������ ����� ���������
������������"���������� �"��� ����� �� ��#����� ����������"�
������������� ������������6�����#������� �������������������� ���
��� ����������� �������� � ��� �� �� � �� � ��� ��������6����
���������� ������������ ��� ��
#�������� A������������� ��� �� ����/������������� ������������
������� ����� �������� ������������������������������� � ������&�
����� ��"�������������������� �� ��������������� ���#�����������
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
���������-���+�,�������� ��������� ��������������������������� ��� �
�����������������"��"%,"%."%+"���� �%���+�+�� &����������� ����� ���
� ���#������������������������������� ����������������� �����"���
�������� � ���������������������� ������������� � �����"����������
����������������� � ���� � ��� ���� �� ������� �������������������
���� ���� ���� ������������������������ ���� ������������ ����
����������"������������� ����� � ��� �"����������������� ���������
����������������������� ���� ������������������ ����������� �����
����" ���� ��������"�������������������� �������������������� �
��� �������� ���������� ���� ��������������&���������������������
��� ��������� � ��������� �� � ����� �� � � ���-������� ���/���������
���� ���� ���������
P1
P1
P2
P2
P3P3
�� ����� ���(����!"
�����$����� $�������������������� ���������� �� �������� ����
� ���� � �������������������������� ������#��� ���������� �������
0������������������� ����������� ���������������"�������������������
�����#��� ��� ������� ��������������� ����������� ������� ���#����6
�������� �������!��� ��&���������������� ������������#��� ��������
�� ������"�����������������"������������������������� ��� ��������
���� ������������������������� ������������� �� ������������� � ��
���������������������������������/������������� ��&���������������
��
� *������� ������#��� �����
� ,����� ��� ������"�������/���������
���� � ��������� �������������� �
���
�* "��)�
� , �+�,2�
� ������ ��
� * " �
�* ) ��
� ,"�� �+�,3�
&����� ��� ���
� � ���������������������������� ��������#��� ���
��
� ,��������������"��������������������������� �������� �������
������ � ������������������������������
� ) ���
� *"�� �+�,9�
'� ��������� � �-���+�,3���� -���+�,9��� �����"�
� ) �B ��
� ,"��"�C �+�,;�
��������� �� ���� ��
������������� �� ���������� � �������������������� ���#��� ���
�,�%�����+�2������������������������������������������������/��%
�����#��� ������������ ���������������� �����������������������
��������������&������������ �"������ �������� ���%������������������
�����������������������������%���������������������������������������
����%"&"%'$���%#������������������������� �������������/�������
�������,"��������������������� ���&"$��������"&"$������������
��� ��� � ��� � ��� ������� ��� � ���� ����� �������� �� ��� ������ �,�
������ ��"��������� ��������� ����"$"&��������#��� ��� %����������
�������������������������,������#��� ���%������ ��� ��������"������
���������"������������������������� � ����������������� ����% ��
������� �"������ �������� ������� ��������������������������������
�������� ������������������������������������������ ���%�����������
��������� �������"������� ���� ���������� ���� �����������������
������������������������������ ������� ��"���������� �"�����������"
����������������������������������
P
AB
C
Q
R
S
�� ����� !"%��$����������"��!�*���!
����- ��!.)����.���#��(�!!.� !�"����������"
&��������"������� �������6������ �������������������� ����������
���� ��� ����" ������ ��� � ���� �� ��� ��� ����� � ������� ������� ��
7 ����������������� ����������������� ����������������� ��� ����
�������������� �������������� � ���������������������� � �������� 6
��������������������������� ����� ������� � ������� ��� ���
7 ���(���������� ���� � ���� ������� ��� ��� �� ������������� ��
�#������������ � �������� ������� ������� ����������������
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
� ��������������������������������� �����������6������ ����������
�������� � ��� ����������������������� �����% ��������"����� ����
���� � � ������� ��6������ �������������� � � ������ ������ ����
������ ����������� ��������"������������� � �������� 6���� ��
����������������&���������� ������� ��6������ ������������ ���
���������� ����� �������� !�� ����� ���� ��������&�� �����"���� �
���� ����� � ��� ������ �� � � � � � �����" �������� �������� ���� ��
��������� ��D �������� ���������E�'������������� �"����������
����� ������ ������������������������ ���������������� ����� �����
������ ���������� ����������� ����������� ��&���� 6������ ���
�� �"����� ������������������� � ���������� ����� �����������
��� ���������� ������� ��� �������� �"��������� �����������������
�������� ���"�����������"��� ��������������������������� �������� ��
&������������� ����� �"������� ������������������������� � ������
����� ���������������
����/ ����"������)����!����!��� ��������#���������
���� ������ �����������������������������������������"�������
�������� �"���� ���� ����� ����� ���� ��$������ �� �"���������"� ���
� ���� ����� ������� �������� ���� �������� � ��� � ���� � ���� ��
��� ����� ��������������6� ������������������� � �����������������
���� ���%�����+�3� ����������� �������������� ��������� �� ���� �
������ ����� � ������������������� 6������ ����� ������������
�������������������� ������������&������� ���� ����� ����� ���� �"
y
y
y
x
x
x
v
u
u = constantv = constant
y
x
�� ����� ��+�#�!�! !������$+�!�����"������
��������� �� ���� ��
������������ ����������������� ������� �������������������������
������ ������������������������������������������������� ����
��������� ���� ������������ �� ������� ��������v������ �� ������� ���������������������� � ��� � � �"�� ����� ��"����� �������
� ��������� ���
F �� ������������ �������� �� ���� ��� ���� ������� �����
������ � � ��� ������� ��������� �������������� ����� �� �����
��������% ��#�����"���)�������v)v���"���������������"'#)��� ��� ����������� ����������������������������� ����� �������������
�������������������������� ����%���+�9�
∂u
uDt
∂v
∂v
Dx
x
Dy Dt
Dt
Dt
Dt
Dy
y
A
A
B
BD
D
C
C
Dy
Dy
Dx
Dx
∂x
∂y
∂yv +
∂u Dx∂x
u+u = u x( )v v= y( )
v
Dt
�� ����� ��+�#�!�! !����������"����������(�%�����+�+"����!���#!��� �����
���������������������� �� ���'����������� � ���"�� �������������
������� ��∂∂�
��D �7��������"���������������������� �)����������� "
�� �������������������� ��∂∂v
��D �7������� �������� � ��"���v�� �
������� � ��"���� ��� �����������������")� ������������ ���������
�������� �������� ��� �����������������"'� ��������������� ������
�������� ��(����������� ������������� �������������� ��� ����� ��
���������������������������������� ����������� ��������� �����������
��� ����� ��������������������� ������ ��������#���������������
���� ���������������������������� �� ���� ���������� ����� � ������
������������������������� �������� ��"���������������� �� ���������
�������� �
�e � � )∂∂�
��+�,=��
���������������� �� �������������� �
�e � � )∂∂v
��+�,=��
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
/���� ������� ���������� �"������� �������������������������
� �������� ���������v��� �������� � ������"����
�) ���"��
v) v��"��
&��������%���+�;�"���� ���'�������������������������������� �����
������� ���� ���"��������������� ���)�������������������������
������� ������������ � ���"�(���������������������������"'���")
������"������������������������� ����� ����������� ����� ��� ��
���� ��� ������ ��� ����� � �� � ��� � �� � �� �� ��� ���� � �������
��� ����� � �g�� � ������� � ��� ���� � ������ � ����� ������� ��� ������������"'���")�������������������������������� ���� �����
�� ����� ��+�#�!�! !����������"����������(�"� +����!�+"����!�����#
��0+����#!��� ���������!"
%� �%���+�;"
�g �� )�
�
�
�
a b� �
+FHG
IKJ
$������ ������ �����
�a) ��� ���D �Æ
-
*
,
∂∂
∂∂
∂∂
vv�
� �
��
��
��
D D
D D,+FHG
IKJ
F
H
GGGG
I
K
JJJJ
= �
�b) ��� ���D �Æ
-
*
,
∂∂
∂∂
∂∂
�
�� �
��
�
�
��
D D
D D,+FHG
IKJ
F
H
GGGG
I
K
JJJJ
=v
�
��������� �� ���� ��
(����"�
�
�
�
a b� �
+ ) ∂∂
∂∂
v�
�
�+
FHG
IKJ
%������"����������
�g �� )∂∂
∂∂
v
�
�
�+ �+�,?�
���������������������� �'����������� "������������������������
�)����������� "�%���+�;������� ������������ ���� � ����������
������"'���")�� ��"������������ ����� �� ���� ������ �������
���� ���� ����� ����������������������������� �������������� �����
��� ��������������������������������������� ����������������� �����
�"'���")�� ��"����
�
a����
�
�
b������������"�������� �� �������
�������� ��� ������ ����� ������� � � � �����" ��� � ���� � �� " ��� ��
��������"
w�),
.
�
�
�
�
a b� �
-FHG
IKJ
�" w�),
.
∂∂
∂∂
v�
�
�@
FHG
IKJ �+�.*�
�������#���w������������ ���� ��� ���6�#�������� ��"��� ���������������)���"�����v)v��"������ ���� ����
���������� ����� � ���������������#���������� ����
&�����������"����
∂∂v
�) @
∂∂�
�"
�g �� ) *��� �-��+�,?� �+�.,��
��� w�)∂∂v
�)@
∂∂�
���� �-���+�.*�� �+�.,��
����������������������������"'���")� �������������������
��� ������ ����������������������� ���������������������������������
�������������������� ���������� ����� �������������������� ��
�� ����������������%���+�=���&��� �������������"
����∂∂v
�)
∂∂�
�
�g �� ) . .∂∂
∂∂
v
�
�
�= ��� �-���+�,?�� �+�..��
��� w�) * ��� �-���+�.*�� �+�..��
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
��� ������ ���� ����������������������������� ����� ���������
� ���� ��� ������6�#��%���+�=��
������
A Ada b= - d
da da
db db
da b= dB B
B
C
C
C
B
DD
D
90º
C
D
�� ������ ��+�#�!�! !������$+�! �� ������ ��+�#�!�! !������(���0+���
�������� #!��� ����������,"!�%!������������
&������������� ����� �"���� �� ���� �� ���� ������������
w�),
.
∂∂
∂∂
�
� �-
FHG
IKJ�
�+�.+��
w�),
.
∂∂
∂∂
�
�
�
�-
FHG
IKJ �+�.+��
��� w�),
.
∂∂
∂∂
�
�
�
�-
FHG
IKJ �+�.+��
% �� ����-��+�.+��� �+�.+��"� ���� ������ ������������#��������
���� �� ���
�w ) ,
.� �— ¥
��
0������� �� ���� �� ���� ������� �������� ��������� ��!�� "���
�� ������ ����� ���� ���������� ��"����������������������� ����� �
� ���� ������� ����� ���� ����
— ¥�� ) * �+�.2�
����1 �����%��'
���!��������W����������� ���������������� ������������� �� �������� ���� ����� �
�
W ) .� �w = — ¥ � �+�.3��
������ ��"� ������ ���� ����� �"� �������� �� ��������� !�� �&���
����������������������������� ��������������� ��������� ���������
������� � ����� ����������� ��
W ������� ���"���������������!���������������� ��"���������������� � ����� ���#�����������������"
� �W ¥ � ) * �+�.3��
��������� �� ���� �
&���������������������� �����������"����� ��
��
�W)
� �� �
� �W W= �+�.3��
�����" W�) .w� �+�.9��
W�) .w� �+�.9��
W�) .w� �+�.9��
���� ��������������������������������� �������������������������
����� ���������� �� ���� ������ ������������ ���������������
��� �� ���������� �������� �� ��������������������� ��
���������� �� ����� ��������� &� � �� ������ ��� � ��� � �������
�����%���+�?�"������������� ���� �������D ��������������
���� � > � �
D
D DD D�
� � � � � �
� �Æ
+ -LNM
OQP*
q q q∂ ∂)
∂∂
q�
�
$� "������������� ���� ������� �Dq ��� ��
���� � > � �
D
D DD D�
� � � �� � � �
� � �
�
Æ- + -LNM
OQP
= -*
,∂ ∂q qq
∂∂q
�� ����� !��������������������������$�����%���#����!�"'"�!
��������� ��������������� �������������� ������ �����������*�
�q >��
(����"���� �������� �� ����W���� ���� ��������
W�) .,w
∂∂
∂∂q
q q�
��
� �
� �
�= - +
������ ��" �� � ����� ������ ��� ����������� � ��� � ������� ����" ���
� �������� �� �����������������
� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
W�)∂∂
∂∂q
q q�
� �
� �
�
�- +,�+�.;��
W�),
�
� �
�
�∂∂q
∂∂
q− �+�.;��
Wq)∂∂
∂∂
�
�
�
�
� �− �+�.;��
&����������� ���� ������������%���+�,��"���� �������� �� ����
�����������
W$), ,
$
�
$
� �
$
∂∂f f
∂∂q
fq f q- +��
� � �+�.=��
Wf),
$
� �
$
�
$
$
�� f∂∂q
∂∂
q q- - �+�.=��
Wq)∂∂
∂∂f
f f�
$
�
$ $
�$+ - ,�+�.=��
����2 3!�!����4!#��5$�!""��������(!���&! !���������+�#���! !��
�� ����� 3!�!�����!$�!"!����������
��+�#� �����
P
S
O
dV
ds
V 1= V
+ dVVVS
+ ds
P1
$� ���������� �#���� � � ��������
���� ��������� �� ����� ������
� � ����� ������� � ������ �
�������� �" � ���� � ��� ��� ����� �
���������� ����� �� ��
����� ���� ������ � � �����
���������������� ��������� ��
��%���+�,*�
������ �������� ���%��"�"�����
��� �� � ��� %,��," �," �,�" � ����
���������
� �� �%"��� ,�
��� ��� ���� ���� ��� , ��� ��
���������� ,)
� � � � �� � � �� � ��, , ,+ + = +v
)� � �
� � �
� � � � ��
��
�
��
�
��+ + + + +v
∂∂
∂∂
∂∂
� � �
) � � �� � �
� � � � �� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ + +Í ˙
Î ˚
�
8 � � �� � � �� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ + +Í ˙
Î ˚
� v v vv
��������� �� ���� ��
8 � � �� � �
� � � � �� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ + +Í ˙
Î ˚
��+�.?�
������,"v,"�,����������������"������ �� ���� ��� ,����"v"����
�� � ��� �
-���+�.?�����������������
�� ,)
, � ,� � �
. .
� � � �� � � � �
� � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
È Ï ¸Ê ˆ Ê ˆÔ Ô+ + + + +Í Ì ˝Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Ô ÔÍ Ó ˛Î
�
8,
.
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
�
�
�
��
�
�
��-F
HGIKJ - -F
HGIKJ
RSTUVWOQP� �
v
8, ,
� � �. .
� �� � � �
� � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
È Ï ¸Ê ˆ Ê ˆÔ Ô+ + + + +Í Ì ˝Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Ô ÔÍ Ó ˛Î
� v v vv
8,
.
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
v v�
�
��
�
� ��-F
HGIKJ - -F
HGIKJ
RSTUVWOQP� �
8�
� ��
��
�
�
�
��
�
� ��+ + +F
HGIKJ + +F
HGIKJ
RSTUVW
LNM
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
� � �,
.
,
.
v
8,
.
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
�
� ��
�
�
�
��-F
HGIKJ - -F
HGIKJ
RSTUVWOQP
v� �
)� � � �� )+ ¥ +,
.W � �+�+*�
�����" ��
� )� � �
� � � � � �� � �+ + "�
W ����� ����������� �����������-���+�.3��
����) )
, ,� � �
. .
� � � �� � � �
� � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
È ˘Ê ˆ Ê ˆ+ + + +Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Î ˚
� v
8, ,
� � �. .
� �� � � �
� � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
È ˘Ê ˆ Ê ˆ+ + + +Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Î ˚
� v v v
8, ,
� �� 8 �. .
� � � �� � �
� � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
È ˘Ê ˆ Ê ˆ+ + +Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Î ˚
� v�+�+,�
-����� ��+�+,������������� ��������� �� ����� ������ �������
�������������������������������������� ������ �����������������������
� �� ����� ����������� ����� ���������� �������� ��������������
������� ��� ���� � ����������������"������������������) �����������
���� ���� ����� ��
��- �6� �������������
$�������������������� ��"��� ������ ��� �� ������� � ��� ��
� ��� ����� ��&� ����� ��"������ ���������"� � � �
� � � � ��= + +v ���
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
�#�� �� � ����� � �������" ��� ��� ���� � �� ���� ��� ��� ��� ��
� ������� � ���������� G�� ���� � �� ���� �� ��� ������ ���� ��� ��
� ������� ���������������� � � ��������� ����������� �"������ ��
�� ���� � �������������"������� ������������ ������ �������� ��"���
�#������ ������������ ���� �� � ����� ��������� �� � ������������ �
� ������� � �������������������� � � ��� � �������� � �����#�
��������� �������������� � ���������� �� ������� � �� ���������
�������
�������
∑ ��������� � ����� ���� ���� ��� �� ����� � ����� � �� �� &�
����������!� ������������ ���� �� �� ����� ��������� ����� �
���� ��������������
∑ ��� ������ �� � � �������� �� �� ���� �" ������" +�,���,���
������������������������&����/�������������"������ �������
�������� ���������������������������� ��������� �������� �
����� ���������" �����" �� ��� -������� ����" ���� ��������� ���
�#������������ � �� ���� ������������/������������� � ��
�� ����������� ��������� ���� ��������� � � ����� ������� �
�������������� ������-����������� ��
∑ $�� ���������� ������������������ �������������������
������� ������������ ���� � ����������������%� ����������� �
�������������������������������������������$�� ����
����������� ������������������� ������ ��� �� ��������#��
$�� ������ ������ ������� ���� ����������������������
�� �� ���� � �������������� �����" ��������� ��� �6���� ���
∑ ���� ������������� ���� ��������������� ������� �����������
�������������������� �"������������������������� ���� ��������
������ � ����� ����#��� ���� ���� ������� ������������� ��
1����������������� �)���� ������������� �8� ������������������ ��
∑ $�������������������� ���������������������� ����������
�� � ����� ���� ��� ������� � ��� ����� �� ��� � ��� �������� ���
������� � � ��� ��������� ���� ������ ����� ����$���� ���� � ���
������� �� ��������������� ����������������$��������������������
���������� �� ����� ����� ���� � ������������������������
��� ������#��� ���������� ��&��������� �"������������"����
�����������������������������
∑ %� � ���������" �� �������" ��� �� ������ � � ���� ��� ����
� ��������$ �������� ����� ������������������ ����������
��������� � �������� ������� ������� ����
∑ $ ����� � �� � � ��� � �������� �" � ���� � ��� � ����� �
��� ����� ��&������� ���� �"��������������������������������
���� �������� ����� � �� ���� �������� ����� ����� ���� � ������
��������� �� ���� ��
��������������������������� ������ ����� �� �����������
����� �������������������� ����� � ����������������������
���� ������� ������� ��������������������������� ��������������
������� ����������� ����� ����� ������������������� �������
��������������� �������������������� ���������������������
������������� � ���� ����� ��� � ���� � �� � � ��� � ������� � ���
�������������� � ��� ������� ��� ����� � �� ������������� ������
�������������������� �������� ���� � ����������������������
������� ����� ���� ������� ������� ��� ���� ��0������
� �� ���� �� ���� ������� �������� ���� ��!�� "����� �����
� ����� ���� ����
∑ ���� ������� ����������������������� ��� ���� �� ����������
���� ����������� �� �������� ���� ����� ��G ��������!�� � ���
��� ���� ����� ��
∑ ��� �#������ � � ��������� � ���� �� � ����� � �������� �� � ���
��������� �� ������� � ����
����� ������
�������� � &� � ,@< �� � �����" ��� ��� ���� �� � � ������ �� ����� �� ���
-��������������)�8��<���������������������� ����������������� ��������
� ��� ���*��������������*�����/��������������
�������� �)�8�
�" ��>��) �8� �+�+.�
'���)���� ����� ��>��"���-���+�+.��������������
�)@,��) � �+�++�
��� ���� � �-���+�++��
�) "��@�@, �+�+2�
���� �����"�� ����� ������������ ����� ��� �� ��
�*) "��*@�*@,
(����" ")� �
��
* * ,
*
+ +
7������������������ �"��� -���+�+2�"�����
�) ��*8�*8,����@�*�@�@,
��� ������ � � ��� ��������/��������� ���� � � ��� ����� �������� ������ ���
���������)�*���)�*�
��������� $�� ������ ����� ���������������/��������������
�) �*�@��8�*�,@�
@.���
��� �) �*���
%��������������� � ��������� ������������������������ ����� �� ������
-������������
��� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
�������� ��� A��� ���� � ��� �������� � � ��� �� ����������� � �� � ��� ����� �
������������ �� ��� �� ��
���)�>�*
(����" �) �*��*>��8�*�,@�.*>�
.�
��������������������� ���������������
��@�*��.@�* �* �8�
+*)*
��������������������� � ����������
���������� �� ���� ���� �����
)�
�
�
�
) @ .* *
��, �
�
�� ��� � � ��
-È ˘+ -Î ˚) @��*�
@��8.��*�@.��
) @�B�@�*�,@�@.���C8.��*�
@.��
) @��8��*�,8�@.���
) @��8����@��8�@+���
v������ �� ���� ���� �����
)�
�
�
�) ( )*
�
�
��� ��
) �*����)��
�������� H�������� ����������
� )�28��8.���
� 89�+�
� 8�+��.8���
� �%���
������������� � ������������������."2"@2���������)+�
���������� )
<
<
� �� ��
�
�
�� �= + ◊—∂
∂� � �+�+3��
∂∂
�
�
�) .
�
� 89���
� �+�+3��
��
� �—��
� )+ .B�2 . � 9 �+ � C� � �� � � � � �� � �
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ + + + + + +Á ˜Ë ¯
�� �v
) � � � � � � � �� � �� � � � � �� � � � �
+ + + +,= +. . v
) �28��8.��� � � � � �� � � � �
� � � � � � � �� �� � �+ + + + +,= + 9 +. . + .
) �2�8��.8.��89�2��
� 8�;.�.8,=�+�8+9��.��
� 8�,.�.
8+���.89�+8+��.8���
� �+�+3��
����������� �-��+�+3��� �+�+3��"������������� ������������#������
�� ) �.82�8��.8.��89�2�
�
� 8�;.�.8,=�+�8+9��.��
�
8�9��8,.�.8+���.89�+8�8+��.��
� �+�+9�
������������� ����� ������� ����."2"@2�����������)+������ ��� ����
������������������ ��"�"����������-���+�+9��
�� ) ,;*
�
� 8,.?9�
� 83;.�
�
��������� �� ���� ���
(����" �� �� ���� ����������� ���) ,;*����
�� �� ���� ����������� ���) ,.?9����
�� �� ���� ����������� ���) 3;.����
1�������� ������������������� �
I I�� ) B�,;*�.8�,.?9�.8�3;.�.C,>.
) ,+;3�+?����
�������� ������ ��������������������������������������
�) �*�@.�>+ ��� r)r*�
@�>+
%���������� ������� ����������)+�
�������� ������� ������� ����������������������������"
<
<
ρ�)
∂ r∂
∂ r∂�
��
+
) *8�*�@.�>+
∂∂
r�
�� +
*- >e j
) � �+
�� + � +*
. *- -FH
IK
> >@r
) - -r* * +�
+�
� +>
���) +" <r><�)- -r* * +�
+�
��������� ������ �������������������������������
�
� ) + . . +.�� � �� � �� � �� � �
+ + +� �
%������������������������� � ������������ ������ ����"����� ���� ������ ����
������������ ������� �����������������,".",�����������)+�
�������� ����������� ������ �������� ����,".",�������)+�������������"
�
� )+�,��2��
� 8.�,��.��
� 8�.�,�.8+�+��
� ),.�
� 82�
� 8,+�
�
(���� �� �� ���� ��������� ������ �����) ,.����
�� �� ���� ��������� ������ ����v) 2����
�� �� ���� ��������� ������ �����) ,+����
����J ���� ������ �������� ��� ����
��
w ),
.
,
.� �— ¥ =
�
� � �
�
� � �
� � ��
∂∂
∂∂
∂∂
u v
) @ @ @. . .
� � � � � � �
� � � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ï ¸ Ï ¸ Ï ¸+ +Ì ˝ Ì ˝ Ì ˝
Ó ˛ Ó ˛ Ó ˛
�� �v v
) ( ),�. + � @ .
.� �� � ��
� �
∂ ∂∂ ∂
È ˘+Í ˙
Î ˚
�
��� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
8�
��
���
�� �,
.+ . +.∂
∂∂
∂� � - +
LNM
OQP
b g
8�
��
���
��,
.. + .∂
∂∂
∂� � -
LNM
OQPe j
) ��
� 8��@+����
����,".",�����)+"
��
w )�
� @2�
�
������ �� ���� ���� ������ ������ ����#�w�) ,����
���� ���� ������ ������ ����#�w�) *����
���� ���� ������ ������ ����#�w�) @2����
��������� ��������
W ) . ��
w
(�����
W ) .�
� @=�
�
��������� %���������������� ����� �������� �� �������� ����,",",�� �
���� �� ������ �������
�) .�.8+�" v)@.��8+�.8+��" �)@+
.. ?. .� �� � �+ -
�������� $��������� �� �� �����
�� �� ���� ����������� �
��)∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
�
��
�
�
�
��
�
�+ + +v
) *8�.�.8+��2�8�@.��8+�.8+���+8*
������ ��" �������,",",�) *83¥282¥+8*)+.������ �� ���� ����������� �
��)∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
v vv
v v
��
� ��
�+ + +
) *8�.�.8+���@.��8�@.��8+�.8+����@.�89�8+��
8. .+
@ . @ ? +.� �� � � �
Ê ˆ+Á ˜Ë ¯
������ ��"�������,",",�)3¥�@.�82¥;8�@=�3�¥+)@;�3������ �� ���� ����������� �
��)∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
�
��
�
�
�
��
�
�+ + +v
) *8�.�.8+��.�8�@.��8+�.8+����@,=���
8. . .+
@ . @ ? �@+ . @ ? �.� �� � � � � �
Ê ˆ+ +Á ˜Ë ¯
������ �� �������,",",�) *8�.8+�¥.@�@.8+8+�,=
8+
.
Ê-ÁË 8.@?��@+8.@?�
) .+����
��������� �� ���� ���
W�)∂∂
∂∂
�
� �@
v)@,=��@+�)@�,=��8+��
W�)∂∂
∂∂
�
�
�
�@ )*@.�)@.�
W�)∂∂
∂∂
v
�
�
�@ )@.�@+)@�.�8+�
������ ����,",",�
W�) @�,=8+�)@.,����
W�) @.����
W�) @�.8+�)@3����
��������� %���������������� � ��������������������� ��� �).�"q)p>.� ��.6������ ����� ��������
��) -FHG
IKJ�
�
�,
.
.@ � q " �q)
.
., ��
��
�q
Ê ˆ+Á ˜Ë ¯
��������∂∂q�� ) �
�
�
��
�
��� @ " � q
∂∂q
qq, ,.
.
.
.
FHG
IKJ = +F
HGIKJ
∂∂�
�
� )- = -. .
.
+
.
+
��
�
�
�
��
�� " �� "q ∂
$��������� ������������������� �
��) ��
�
�
�
� �
��
� �∂∂
∂∂q
q q+ -.
).
, , ,. .
+
.
..
. 2
2.
. .
.
.
.� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�-
FHG
IKJ + -
FHG
IKJ - +
FHG
IKJ� �� ��q q q
(����"�������).�"q)p>.
) *.
,,
,9 .,
,
2
. . .
+ -FH
IK - +F
HIK
�
�
�
�
) - 3
,9
.�
�
$��������� �������!�������������� �
�q) ��
�
�
�
� � �
��
�∂∂
∂∂q
q q q q+ +
)
.. . . . .
+ . .
., @ �� � , �� �
� � � � �
�� � �q q q q
Ê ˆ Ê ˆ+ +Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯
@. 2
2, @ �� �
� �
� �q q
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
��� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
(����"��q�����).�"q)p>.�)*8*8*)*
������ ��"���).�"q)p>.��) @3�.>,9" �q)*
��������� $����� � �� ������ � � ������ ���� �� � ���� � & ��� ����
��������������������������� ������������� �),���).��������������������� �
+� $����� ��� ��� ���� � �� �#��� ��� ���� �� �� ��� ���� �" � � ���� ���
���������� � �� ��� ����� ��� ����� � ��� ���� ��� ����� �� @� @ �+. .
. ,.
,3
& ) )
+)p ���
@� @ �+. .
. ,.
.3
& ) )
+)p������������
Direction of flow
D1 D2
x
L
Dx
�� ���� ������(��+0(���#�&!�0!���#+%�
�������� ����������� �������������#������������� ���������������%���+�,,�
��������
)�) ),8�
+�).@),�
������ ��"������ ������������� ��������������
�)2
, . ,
.
&
)�
+) )p +L
NMOQP� @ �
$��������� ���������� ��������������
�) �∂∂�
�
)2 =
, . ,
.
, . ,
+. ,&
)�
+) )
&
)�
+) )
) )
+p p+LNM
OQP
¥+L
NMOQP� @ �
@
� @ �
� @ �
)@ � @ �
� @ �
+. .. ,
., . ,
3
& ) )
+ )�
+) )p +L
NMOQP
�+�+;�
���������������#���� � ����������� ���������� �������������� ����
����� � ��������7���������� �������� � �)* �� � ��������� �) + �� � ������ ��
-���+�+;�������"
��������� �� ���� ��
$��������� �����������)@ � @ �+. .
. ,
.,3
& ) )
+ )p
���"���������� ������ �����)@ � @ �+. .
. ,
..3
& ) )
+ )p
��������� $�� 6������ ����� ����������������
� )�
� �@�
� ��<��������
������ � ������������������ ������� ����,",��
�������� ��������� � ������������
� ¥�� ) *
�" ���@v��) *
(����" ��>��) v>�)@�>�
�" ��>�8��>�) * �+�+=�
&�������� � �-���+�+=�������)#"�����#��� ������
% ��������������������� ����,",�"�������� ����� �����#�,�
(��������������������� � ������������������ ����,",����@,)*�
������
+�, � ����� ����������
��� $�� ������ �����������
��� � ����� ����������������������
��� � ����� �� � ��������������������� ���
��� � ����� �� � ���������������������������� ���
��� ������ ����� �� �������������������������� ���
��� ������������� �������� ������� ���������� �������������
��������
���� $���������������
��� ������ ����� ������ �������� ������� ���
��� ������������������������������������ ����������� �����
��� �������� ��������� ����������
��� �������� ������������������ � ���� �������� ��������� ����
����� 7���������"������������������������������������
��� ����� ������ ��
��� ����� �������
��� ����� ���� ������ � ����������������������
��� ����� ��������������� ����� ���
���� ��������������������� ��!�� � ��
��� ������� �
��� ������������ ���� �
��� �������������� ���� �
��� ����������� �6���� ���� ��
+�. H���������� ���������� � � �
� � � � �� � � �� �= + +,* ,3 .3 +. � @ �
�� ������������ �� ���� �������� ��� ���� �������
%���������������� � ������������������� ����,"."@,�������"�)*�3�
"�-�,3+,�?*�����
+�+ H������������������������������)���8 �8+���������������� ����
������ � � �
� �� � � � � �= + + 3 "����������������� ������� ������������ ��
������������ ����."@.",��������).K
"���.+�>�
+�2 $�� 6������ ���������������)2�+@.�.�� �������������� ���������
�������� � �� � � � � �� � �= - + - +� � � �. . . �<�������� ��� ���� ������� �
���������� ����.",��
"���.9*�����
+�3 ������ ������������������� ��������������������� �������� �������
������� )9 ��
�
8�2�8,*��
� 8.��
� �0��������������� ���������������
����."9"2��������).K
"��BL���8���2�8,*�8,3�;;M.@,** �)*C
+�9 ������ �������������������� ��� � ��������� �� �����������
�) .*�>+"v )@.*�>+"�)*
��� � ������������������ ����� ��������������
��� ��+)*�3�"����������������� �.*������ ������������� ���
��"��) �+"+��,*�>.�
"���,�==�>�
+�; % ��������� 6������ ������ ���������� ���� ����� !!��"������ ����
��������������
� )�*�,8.�>+��
� "������������������� ������#� ����
� !!���� ����������������+���������� ����� !!���%���
��� ���#���� � �������������� � ������������ ������� ������� !!�����
���� ��� ������������� ��������������� � �������� ���� ����� � ����#�� � ���
� !!���
"��+
�.+
*
��FHG
IKJ
+�= % ��������� ���� ����� ������ !!������#������ ��������� #�������
��������).*�,@�>+�@."�����.*������������ �������+�����������
�� ������������ ����������������# ����� ���������������������#���� �
� �����#������������� ������������������������������ ����)*����),�*�
��.*)3�>���+).��
"���.3�>."=**�>.�
+�? �� /���� �������� ����� � ����� �� ��� �������� ����� �� �������� ���
� �� ���������#��������� �������� ���� �������������� �����*��������������� �� � ����������������� �����!���������������<�����
���#���� � ���������� ����������������� ����������� ���� ���������
������������������������ ����������������� ������� ��������� ��
���� ���
"��� �
�
� �
�
* *.
.. 2"
FHG
IKJ
��������� �� ���� ���
+�,* $ ����� �� � ��� ��� � � ��! ���� � ����� ���� ������ �� ����� �������� �
.**������� ������������� �2**������������ �.�������� ���� ���
����� 6���� ������� �������� ������ ���<������������ ��������
���� ������������� �������� ������������������+**��� ����� �� ����
����
��� ������������������ �*�+�+>
��� &����������������������������� �*�+�+>� *�9�+> ����� �� ������
���� ��������������),�� ���
"������*"@,.�*,�>.N���.�,.�>."@.;�*.�>.�
+�,, ������ ����� �� ��������� 6������ ����� ������� ������ ��������
���������������
�) ��� �������v)@��������
<����������������� � ����������� ������ ��
"���� ��8����)� ������
+�,. $�����6������ ������ ������������������)@�"v).�����)3@��%������������ � ������������� ����.".",��
"����.�)="��3@��.)+.�
+�,+ $�����6������ ������ �����������������
���"�"��) ��8.�*�8�*
v��"�"��) ��8v*���"�"��) @.��8�*�
����� �" �*" �*" ��� v* ��� � ������ %��� ��� � �� ���� � ��� � ���� ������ ����"����� ���������������������������� ������ ���� �������
"��� � " � N "
� " � " � N � " � �
w w we e e g g g
� � � � � �
�� �� �� � � �� � �
� �
� � � �
= = = - = = = -= = = - = = =
RST
UVW
* * .
. . *
* *
*
W W W
+�,2 G������������ ��� � �� ���� �� � ����� ��� � ���� ���� &� " ��������� ���
� �� ���� �� ���� ��� ������ ��#��
��� �)��� ���� �)�� ����� ��)">� ���� ��)">�
v)�� v),
.��.@�.� �*)'� �*)'>�
�)��@��. �)* ��)* ��)*
"������ ���� ���"
������� ���� ���" ������ ���� ���" ������ ���� ���
w w ww w wq
� � �
� �
� � � � � � � � �
'
= - - = - = -= = =
L
NMM
O
QPP
,
..
,
.
,
.,
*
� �" � �" � �N
" " �
+�,3 7� ����������� �����������������
� )��8 �@ ����
� 8��@ �8 ����
� 8
� �8��@����
� ���������������������� ��� �� ��
��� ������
Boundary
System
Surroundings
�������� ��� ���������������
������� �� ������� ��� ����� ��� �
������������������������������������
���������� ��� ���� ��� ���� ��������� �� �
��������� ����������� ��������� ��� ���
������������������������������������
������� ��� ��������� ���� ���
���������������������������������
������ �� !����������� ��� �� ����� ����
���������������������������"�������
���� ���������� �������� ����� ���
������������#������������������������
�����������������������������������������������������������������$
System
Control mass system(Closed system)
Control volume system(Open system)
Isolated system
������������ �����������������������
��������������
�
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
������� ��������� ����������������
������ ��%!� �� ���� ����� ����� ���
��������� ����������� ����� ������ ��� ��
����� �������� ������� ���� ������
��������� ������ ���� ��� ������
�������������������������������������
�������������������������������������
&������������'�
������ ������� ������ ����� ��� �
������� ������ ��(!� ��� ������ ������
�������� ���� ������� �������� �����
�������� ������������ ���� ������� ��
�����������������������������������
������� ��� �������� ������� ��� ��� ��
&����� ������'� ��� ����� ���������� �
&�������� ������'�� )�� ������ ����"� �
�������� ����������� ��� ����� ��� �
����������������������������������
������������������)�������������� ���
����������������������������������
Boundary
Energy out
SurroundingsEnergy inNo mass transfer
Control MassSystem
�������� ���������� ���� ���
��������
��������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������*������������������������������
�������������������!���������������������������������������������������
��������������!�����������������������������������������������������!�� ����
���+������������,������"������������������������������������������������������
����*�������������������������������������������������!�
Energy in
Energy outMass in
Boundary
Mass out
Surroundings
Control VolumeSystem
������� �������������� ���� ���
�������
Isolated system
Surroundings
No mass or energy transfer
�������� �������������
-������ ����������������������"� ����������"
���������������������������������������������
���������������������������������������������
������ ���� ������� ��� ������� ���� ������
�����������������������������������������������
������������������������ �������� ��� �� ����
������ �� ����������� ���� �� ���� ��*��� �����
����������������������������������������������
�����������������������������������������
���� ���������� ����������������������������������!��������������������������
������������ �� ����� ���� ������� �������� ���� ������� ��� ���� ������������
����������������������������������������������������������
��� ����� !��"����#�����$�%������"�&"���'&��"��
���������������������������������������������������������������������������
���������.���������������������������������������������������������������
�����������������������������������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
D�/D�0 1
���������������������������������
�����������������������������2!"�������������������������������������������
��������
3������������������������ 0 3������������������������������������4
���������� 3���������������������������������������
��"
3������������������������������������������������4
5�������������������������������������������0�1 ��� !
�����������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������*������������� �������
���������������������� �����
Fixedregion ascontrolvolume
Mass of fluidentering the
region
Mass of fluidleaving the
region
Control
surfa
ce
������� �������������� �������(��)�(����
����� �����������*������+,�((��������� #��
)�������������������������������� ��������������������������"���������������������
����������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������6
�������������7!�������������������������������������������������������������
�����������������������5��������������������� �6�����������������������
r +
r +
r +
( +u
v +
w +
dx
rvd
dx
z
rw x yd d
ru y zd d
dy
dz
dx
x
dy
dz
d dy z
dy
dz
d dx z
d dx y
d x
∂r
∂r
∂r
∂u
∂v
∂w
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
C G
HD
y
B
z
A E
F
�������� �������������� ���������������������������������������
����������� ��
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
�����������������������������������������6������8���������������������������
�����������������������������������������������r������������������������
�����������������������������������������������������4�∂∂�
�������r�4�∂
∂r���
����������������������������������������������������!�
��������"��������������������������������������������������������������0
r���� ���"������������������������������������������������������������
0 r r+FHG
IKJ +FHG
IKJ
∂∂
∂∂�
� ��
�� ���
0 r r��
� �+LNM
OQP
∂∂
� ! ���
��������������������������������������!
,����"������������������������������������������������������������������
0 r r��
� �+LNM
OQP
∂∂
� ! ��� �9�r����
0∂
∂ ���r�!�����
0∂
∂ ���r�!��
������� ����������������������������� �
)������������������"�������������������������������������������
0 r r+FHG
IKJ +FHG
IKJ
∂∂
∂∂�
��
� vv
��� �9�rv���
0∂
∂ ���rv!��
��"��������������������������������� ���������
0 r r+FHG
IKJ +FHG
IKJ
∂∂
∂ ∂∂
∂
!!
�����9�r!����
0∂∂
��r!!��
������������������������������������������������������������∂∂
��r � !�0
∂∂
r� � � ���� ���� ��������� �� �������� ������"� � � ��� ���������� ����� ����!�
��������"� ��������� ��� ���� ���������� �� ������������� ������� ��� �� �������
��������� ���� !"�����������������������
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
r r r r �
��
! �+ + +RST
UVW� ! � ! � !v �0 1
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
:���������� ������������������������������������+��� ���������������������"
������������
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
r r r r �
��
!+ + +� ! � ! � !v �0 1 ���%!
����� ��� ���������*����� � �����������������������"����#��� ����� ����
��������������������������������������������� ���������������������������������
������
∂∂r r
�+ —◊� !��0 1 ���(!
�������� ��������������������������������
)��������������������"
∂∂r�0 1
,������ �����(!��������
— ◊ �r��� !�0 1 ����!
����������������������������������������������
∂∂ �
��r�!�4�∂
∂ ���rv!�4�
∂∂
��r!!�0 1 ���2!
� �����������!�������2!���������������������������� �����������������������)�
����������������������������"
r�0 ��������
,�����∂r/∂�0�1�������������—◊ �r��� !�0�r—◊ �
�� !
��������"������������ ����������������"����#������!�#������
—◊ ��� !�0 1 ���7!
��"∂∂
∂∂
∂∂
�
� �
!
+ +v
�0 1 ���;!
)�� ���� ��� �������� ��� ����� ������� ����� ���� ����"� ������ ��� ����� ������ �
� �����;!���������������������������������"��"���� �������������������������������
��������������������������������.�������(����������"�� �����;!������������
������������������������������������������������
� � �e e e�� �� + + �0 1 ���<!
.��������������������������������������������"������ ��������������������
����� �"� ����� �������������"��������������������������������������������������
��������������������������������������
���=� � ! � � ! � � ! >
�D
D D DD
�� �� � �
� � Æ
+ + + -1
e e e D �������������������������
LNMM
OQPP
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
0 � � �e e e�� �� + +
,���������������������������� �����;!�������<!�����������������������������
�������������������������������������������������������������������������
�������������������+�����������������������������
���������������� �������������������������������������������������������
��� �������� ��� ���� ����� � ������� �� �� ��7!�� ����� ��� �������� ���� ��������
�����������������������������������������"��������������"���������������
������������ ��������� ����(!����������"�����������������?����������������������
� ������� �� ������� ��7!� ����� �������� ��� ��������������� ���� ��� ������ ��
��������
������������ ������ �������� ���� ����� ���������
���� ����������� � ������� ��� ���
���������� ������� ���� ��� ������ ��
��������"���!�����������������������
������������������������� �����(!�����
�������� ��� ���� ����������� ���������
������"� ��� ���!� ��� ����������� ��
������������������������������������
��� ���� ��������� �����������������
�������� �����������������������������
��
zy
r
x
��������������������������������������������������������������������������
��� ����� �� ��� !������ ����� —◊� !r�� � ��� �� ����������� ������ ���������� ������
��������;!������������������
—◊� !r�� ��
∂∂
r r ∂ r∂q
∂∂
rq
��
�
� �
�
��
� � !
� !� !+ + +
���@!
��������"������ ����������������������������������������������������������
�����������������
∂ r∂
∂∂
r r ∂ r∂q
∂∂
rq
��
�
� �
�
��
� + + + +� !
� !� !
�0�1 ��� 1!
����������� ������������������������������������������������������������
�������������������������������<�
3�������������������������������������������������������
0 r������q� 3����������������������������������������������������������
0 r������q� �4� ∂∂
r q�
� � ��� !
,����"��������������������������������������������0�
� �� � ��
∂∂
r� !
�����"���0�����q ����������������������!
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
������� �������������� �������������������������������������������������
�����������������������������������������������"� ��� q���������"� ��� �����������������������������������������������������������������������
������������������������������
�� �
∂∂q
r q� ! �
���������������������������� �����������������������������������������������
∂∂
r
� � � !
������������������������������������������������������������
∂∂
r
�� ! �0∂ r∂
�� !
,����"� ��������� ����� �� ��� !"� ���� ����� ������ ����������� � ������� ��� �
�����������������������������������������
∂ r∂
∂∂
r ∂∂q
r ∂∂
rq � �
� ��
�
�� + + + � ! � ! � ! �0�1
��"∂ r∂
∂∂
r r ∂∂q
r ∂∂
rq �
��
� ��
��
� + + + +� ! � ! � !
�0�1
)������������������������������"
∂∂
∂∂q
∂∂
q�
�
�
� �
�
� � + + + ��0�1 ��� !
����� ����������������������������������������������������������������(� !
������������������������������������—◊� !r�� ���� �����(!���
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
∂ r∂
∂∂
rf
∂ r∂q f
∂ r f∂f
q f
$ $$ �
$
�
$
�$+ + +
%
%� !���
� !
���
� ��� !�0�1
��� %!
�������������������������"�� ����� %!����������
%
$ $$ �
� �$
∂∂ f
∂∂q f
∂ f f∂f
q� !��� ���
� ��� !+ + �0�1 ��� (!
���� ���������� ��� �� ��� %!� ��� ����������� ��� ���������� �������� ������
������������������������������������������������������������������������������
�������
��������� ��� ���� ���� � ������� ������� ���� �� A�� *���� ����� ���
��������������������������������������������������������������������B�/B�0
1"��������������������������������������,������"�����������������������������"
���������������� �����(!"���������������������������������� �������������
���������������������������������������$
8������������������������������������������������� D�� ����������� r���������"�������������
B
B�� !r D �0�1
��"B
B
B
B
r r �
�+
DD� ! �0�1
��������������������� ���������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������"������������
���"
∂ r∂
r r
��
�+ — +�� � !
DDB
B�0�1
���������
DD
� �
B
B� !�����������������������������������������������������
������������������������� ��������������������������������������������������
�������������������������������
��������"��������
∂ r∂
r r
� �+ ◊— + —◊� �
�0�1
��∂ r∂
r
�+ —◊� !��0�1
�������������������������������������� �������������������������������������
�������������������������������� �����(!��)��������������������"��������
�������"������—◊�� �0�1"��������������� ����������������������������������������
���"��������������������� ����� ������������������������������������������
�����������������
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
����� ����� � #�������
���� �������� �� ������� �������� ��� �� ������ ����� ������ �� ���� ���������� �
������������8�������������������6���������������������������������������������
��9�������������������������������������������������������������������������
���������������
��0 ���"��"�!
��0 ���"��"�!
!�0 1
����� ����������������������
∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0�1 ��� �!
)�����������y ��"��"�!����������������������
��0∂y∂ �
��� 2�!
�� ��0 9�∂y∂ �
��� 2�!
��������������������������������������� ���������������������� ����� �!!"���������
�������y����*�������������������������������������"�y�������������������
�����������������������)��������������6���������������������������"
∂∂
∂∂
�
�
�
�- �0�1
�������
9� � � �
∂ ∂y ∂ ∂y∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ Ê ˆ-Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯
�0 1
��" — = +%%
%
%
%y
∂ y∂
∂ y∂� �
�0 1 ��� 7!
����"� ��� ��� ������������� ���"� ������� �������� ��������� ���� %�"����&�
� �����
���� ������yyyyy��� ���� ���� :�����y�������������������"������������������
����������������������������,����"��������������������������������y�������
����������
y�0∂y∂
∂y∂�
��
� + �0�9�����4����
�������"������ ���������������������������������
�
��0
�
��� ����9�����0�1
)��������������y�0�1����������������"������ ������������y� �������������������
��������������������"������ ������������������������������������������������
�����������������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
y ��"��!�0 �������� ��� ;!
C����������������y����*����"���������������������������?���������������
���������y����������������
������ �� ������� ��� ��� ��� �� ������� y� ������� ��@�� ������������ �� ���
����������������8�������������������"�����'��������������������������������
���������������������'�����?������������������������������'������'��������
��������������� ������ ���"� ����������� ���� ����� ������� ��'� ����� ���� �����
��'������������������������������������������������������������������������
���!���������� ���������������������'��������������������������������������
���'����'"���'" � � �!������������������������������������������������������
�������������� ��������������� �������� ����� ����������� ��������������������
�������������'����������������������������������'�
:����� �� ��� ���"� ���� ������� ����������� ��'"� ��'"� ��'"� ��'� ���������
����������������'!����������������������������������'������������������*�������
�����������������y��������������y����'�����������������������������������
���������������������?�������'�������������������y�������������������������+����
����������������������������������������������"����������������������������)��
������'¢���������������������@�!"�''¢�������������������������"����������������
���������������������?������������'¢�����������������������������'"������"�������
�����������������������"������������������������''¢��������������y�������������
��������'¢����'��:�����'¢�������*������������������������������������������'"���
������������y���������������������������������������������������������������
��� �� ������� �� ������������ ��� � ���� ����������� �� y�� )� �������� ������ '¢¢� ����������� ������ ��@�!� ��� ���� �����"� ����� ����� ''¢¢� ��� �� ������ �������� d����������������������������������������'�������'¢¢�D��'"��������������������
�����������������������'¢¢������������������������������'������������������dy��
�����������������������������'����'¢¢��8���������������������������������������''¢¢���������������������������������������'!�����"�����"
dy�0 ��◊�d �
��" ��0 dy/d �
��������"����������������������������������������������������������������������
y���
��0 ���d
dyd
∂y∂� � �Æ
=1
�����������������������������������������������������������������������'�
��������������������������������+�������������������������������������������
�����?����������������������������������������������������������������������@�!�
8�����������������������������������������������������������������������y���
y�4�y����������������������(�����������������������������������������"����
��"������������"�?�����������������������������������������������"�������
����������
(�0 y
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
E
D
C
B
yyd
constant
+=
y = constant
y
P
- xvd
A
B
dQ
u yd
x
A
(a) (b)
(c)
A
P¢ P¢¢
P
dn
P
Streamlin
es
�������� -.���������������������(����� �(�������
���y��������������������������������"�������"
y�0∂y∂
∂y∂�
��
� +
,����" (�0∂y∂
∂y∂�
��
� + ��� <!
�����"���������������������������������������������������������������
���������'�����'��������������,����"
(�0 ����9���� ��� @!
.�������������� ���������� <!������� @!"�������
��0∂y∂ �
�� ��0�9�∂y∂ �
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
������������������"���������������������������������������
���0
�
∂y∂q
�� �q�0�9�∂y∂ �
��������������������������q��������������������������������������������
������������ ����������������������������
∂∂
∂∂q q
�� � ��� ! � !+ �0�1
��� �� ������� �� ������������ �� ��� )�� ��� ���� ��������� ��� ���� �
�����������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������6���������������
����������������������������������������������������������������������������
��������������� ������������������������������������������������������������
�������������������������������������� ���������� !��������������������������
�������������� ��0�1������� ���� ������� ��������!"� ���� ��������� ������ ���
� ���������� !������������������
�
�∂∂q
q ��������������������������������
�����0 9�∂y∂
" ��� �0�∂y∂ �
���%1!
������������y"�������������� �����%1!���������������������������������
����������������������"����������������)����������������
��� �������������������!������ B������������������������������y�����
���6���������������������������������������������)����������������������
����������� ���� ����"��������� ������� ��� ��� ��������� ���� ��������������������
� ���������������������6���������������������������������������
∂∂
r ∂∂
r�
��
� ! � !+ � �0�1
,����������������������y������������������������������������������ ������
���������������
r ��0 r∂y∂1�
r ��0 9�r∂y∂1�
���% !
������r1����������������������������������������������������������� �����% !"
��� ������� ���� ����� �� y� ����� ��� ����� ��� ���� ����� �� ��� ��������������� ����
��������"� ���� �� ��������� ������ �� ����"� ���� �������� ��� ������� �������
�������������������������������������������������������������r1��������������
����������������������������������������������������������������������
����/ �����������*������0�"��������#��
���������������� �������������������������������������������������������������
�������������������������������������� ���� !��������������������������������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
�����������+���8���������������������"�������������������� 1"����������������
���������������*��������������������������������������������*������������
V
Control volume V
SControl surfaces
dA
��������� �������������� ��(����.��������������(������������*�������1���������(�� 2
*
� �r ◊ÚÚ��
�������� � ��� �����������������������������������������
�
� ���������� �����������
���������������������������������������������������������������������������
�����������
��������������������������������������������������������������
�
�
∂ r∂
◊ÚÚÚ������� �����������������������"�r������������������� ��������������������
������ ��� ���� �������� ������� *�� ,����"� ���� ����������� � ������� �������
������������������������������������� ����� !!
� *
� � �
∂r r
∂◊ + ◊ÚÚÚ ÚÚ
���0�1 ���%%!
���� ��������� ������ ���������������� ��������� �����%%!!�������������������
� ������������������������������������������� �����(!����������������������
� �� ���%%!� ���� ��� ��������� ����� �� ������� ��������� ��� ���� ���� �� ���� �����
����+��������������
� !
* �
� � � �r r◊ = —◊Ú ÚÚÚ�� �
:������������������������������������������"������� �����������������������
�������������������������������� �����%%!��������������������
���������� �����%%!������������������
� !
�
� �
∂ r r∂
È ˘+ —◊Í ˙
Î ˚ÚÚÚ
��0�1 ���%(!
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
� ����������%(!�����������������������������������������������������������
�����������+���:��������������
∂ r∂
r
�+ —◊� !��0�1�
��/ ����� !��"����#�������&�0������&���%�� ��
)��5������������������"����������������������������������������5�����#�
����������������������������$
"� ��#��������$ ����%���� ���������������������������������������
������������� ��� ���� ��������� ������� ��� ��*��� ������ ��� ���� ��������� �� ���
��������� ��������������������� ����������� ��� ������� ��� �������� ��� ���
������������������������������������������������������)����������������"
��������&���'�����������������������������������������������������&��������'
���&�������������������'�
��/�� ����������������.����
)�����������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������
����"���������������������������������������������������������������������
C�� �������������"���������� ���� ������� ������������������������ �������
���������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������"
���������������������������������������������������������������������������
��������������*��������������*������������3������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������$
���� �������&�������� ����������� ��������������������������������
����� ��������������������������������������������������������������������
������"����������������������������������������������� �����������������������
������������������������������������������"���"�� ��������������"���������������
���������������������������������������������������������������������6����
����������������������������������������������������������������������������
����!������������������������������������������������������������������������
�������� �!�����������4�d"������������������������������������������"������
����� ��������� ������������� ���� ������������� ������������������ ���� ��������
����������������������������
8���,������������������������������������������"���������"�������!�������
��������������������������������"��������h���������������������������������������
�����������������������������������������������������,��������������������
������������������������������������������������,������������������������8��
���������������������������������������������������������������������� )��������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
���������������������������������������������������� �!�����������4�d"������������������������������������������������������������������� )))����� )E
�������� �!��E�������� ))����� )E�����������������������������������������������
���������������������������������������4�d���������������������������,����������������������������������d������������
z
y
o x Con
trol
volu
me
Inside
dA
dA
V V
Outflow area Inflow area
Inside
(a) (b)
(c) (d)
Controlvolume
Controlvolume
Time t Time t + tdControl Mass System
VII
VIII
VIV
ControlMassSystem
VI
��������� �������.���3��)������ ����������������� ������������
�.���������(���(��)�(����4��(��������������������5�6�
�,�4�d �9�,!.�������������������0� h r h r h r
d
))) )E )
� � �
� �
�
+L
NMMM
O
QPPP
-L
NMMM
O
QPPP
zzz zzz zzz+
)��������� � ����������� ��� �������� �� ������������� ����� ��� �����������
h r
d
))
�
�
zzzL
NMMM
O
QPPP +
� ��� ���� ������ ���� ���� �� ���� � ������� ��� ����� ������
��������������d "��������
� !, ,
+ -d
d.������������������
�0�
h r h r h r
dd
))) )) )
� � �
� �
�
+L
NMM
O
QPP -
L
NMM
O
QPPzzz zzz zzz
+
4�
h r
d
hr
dd d
)E ))
�
�
�
�
zzz zzzL
NMM
O
QPP
-
L
NMM
O
QPP
+ +���%�!
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
������������������� �����%�!����������������������������������������,�������
���������������������������������������d��)���������������d������������+���"���
��������,/����������������������,����������������������������������������!�
)��������������������������������������� �����%�!"�������������������������������
���������,��������������������������������4�d "�������������������������������
�������,���������������������������������)�����������"����d ������������+���"�����
���������������� ���� ������������ ����������� �������������,�������� �����������
����������������������������∂∂
�h r
.E
zzz ���������������"������������������
�������������,����������������������������������������"��������������d ��1"���
���d
d
hr
d
�
�
Æ
+
zzzL
NMM
O
QPP
1
)E
�0� hr� �
� �◊�����������
zz)��������
�� � ��� �����������������������
�
� � ������������������������������� ���
�����������������������������������
� ��������������������������������������������
�������� �!��:��������"���������������������� �����%�!��������������������������
,���������������������������"��������������d��1
���d
d
h r
d
�
�
Æ
+
zzzL
NMM
O
QPP
1
))
�0�-zzhr
� �� �◊
����������
��������������������������� �
� �◊ �������������������������������������������
� �����%�!����������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������� hr� �
� �
�*
◊zz ��������������������
�������� �������������� ,� ���� ��������������������,����"�� �� ���%�!�������
����������
.-:
,
FHG
IKJ �0
�� �*
� � �
∂ hr hr∂
+ ◊ÚÚÚ ÚÚ��
���%2!
����� �����%2!����*��������$��������-����"���-������������������������
&������������������������������������,���������������������������������� ������
������������������������������������,��������������������������������������������
�� ����� �� ���� ��������� ,� ������� ���� �������� �������� ����� �������� ��� ���
��������������"��������������� �����%2!"�������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������.-:������������������������������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
)������������������������������������������������������������������3������
���������� �������� �� �� ��%2!"� ���� ��������� �������� �������� ��������� ��� �
���������������� ��������� !���������������������������������*�������"���
������������������������������������������������������������� ���������*�����
������ ����� ���� ���� ��������� ���� �� ���%2!� ����������� ��������� ��� ���� �������
������������������+������������"������ �����%2!������������������
.-:
,
FHG
IKJ �0
∂∂
� � �
��
�
�*
hr hr zzz zz+ � !◊�
���%7!
�������������������������� ������������������������������������������
��� �0
� �� ��- ���%;!
�� ����
��� �������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������� �������������������������
��������������������������������������������
������ �������&�������� �������������������� ������% ��� ��%������
����� �������� �� ����������������������������������������������������
��������������������������������������������
.-:
�
FHG
IKJ �0 1 ���%<�!
�������������������������������������� �����������������������������������
������"� ����� �� ���%7!� ������������ ,�0� �� �����!���� h�0� � ����������� ���� �����%<�!�
����������
∂∂
� � �
��
�
�*
r r zzz zz+ � !� �
◊ �0 1 ���%<�!
����� �����%<�!����������������� �����%%!��������������������������������
������������ ������������������������:������%�(����������������"�����������������
������������������� �����%<�!����+�����,����"�����������
r � !� �� ��
�*
◊zz �0 1 ���%<�!
����� ������������������������������� ������������������������6
�������������������������������������������������������������������������
�����������������
$�� �������� ����������������������������������������������������������
���������������������������������� �����%7!�����������������,��������������
���������� !������������������h������������������ !
�� �����������������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
��
�� !.-:�0
∂∂
� � � � �
��
�
�*
� � � �
r r zzz zz+ � !◊ ���%@!
��������������� �������������������������������� �����%@!�����������������
��������� ������� ���������������������� ���� ����������� ���� ���� ���� �����
� �� ���%@!� ��� ���� ��������� ������ S�� � ��� ���� ������������� ������� ��� ��� ���
����������������������������������������������������5�����#���������������
����������
S�� �0
∂∂
� � � � �
��
�
�*
� � � �
r r zzz zz+ � !◊ ���(1!
����� �����(1!�������������������������������������������������������
)�����������������������������������������������������������������������"������
������������������������������������������������������������������������������
������������������������"����� ���������������� �����%@!���������������"
����� ���� ���������"� ��� ������������� ,� ��� ���� � ��� ����������� h� ���
��� � ��
� �����%7!���
.-:
���� !�
�0∂∂
� � � � ��
��
� �
�*
� � � �
r r zzz zz+ � !◊ ���( !
������������������� �����( !��������������������������������� �����%;!���
.-:
���� !�
�0 ��
�
.-:
�FHG
IKJ
0 �
� ��
.-:� !
� �-
0 ��
���
.-:
�FHG
IKJ -
�������
�
��
�
�=FHG
IKJ
��������������������������������������������������������������
�������������������������!�����������������������������������������������
5�����#��������������
��
.-:
�FHG
IKJ �0 S
��
��������"
��
�
.-:
�FHG
IKJ �0 S
� �� ���- ���(%!
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
����� �����( !����������������������������������� �����(%!���
S� �� ���- �0
∂∂
� � � � ��
��
� �
�*
� � � �
r r 4 zzz zz � !◊ ���((�!
��������������"�����������
S� �� ���- �0
� � �� � �� �
�*
r � !◊zz ���((�!
)�����������������"����������������"������� �����((�!�������� ��������������
� �����(1!���������������������������������������� ����� !
� �� �� �+ ����� �����(1!�
)�������������������������������������������������������������������������
�����������������������������!"���� �0�1����������� �����((�!�������((�!��������
������������
S�� �0
∂∂
� � � � ��
��
� �
�*
� � � �
r r zzz zz+ � !◊ ���((�!
��
S�� �0
� � �
� � �� �
�*
r � !◊zz ���((!
����� �����((�!�������((!����� ���������� ������� ���� ���������������
������������������ ������ �������������������������������������������������
������������"������������ �����((�!�������((�!����������������������6��������
�������������������������������������������������������������
�������������������S�� ����� �����(1"���((�������((�!�����"�����������"����
����������"F�������������������������������������������������������
S�� �0
� �� � ��
��
*zzz + ���((�!
��������� ������������������������������������
��* ���������������������������
�����
���� �������� �������������������������������������������������
������������������� �����%2!��������������������������������,���������������
�����������������������h������������������������������������������������
���������
!.-:
�� �0
∂∂
� � � � � � �
��
�
�*
r r� ! � ! � !� � � � � �
¥ + ¥zzz zz ◊ ���(�!
�������.-:����������������������������������������������������)�����������
���������������������������������������������������������������������������������� ������ �������� ���� ��������������� �� ���(�!� ��� ���� ����� �������������������������������������������������������"���������������������������������
���� ������ ���� ���� �� ���� � ������� ���� ���� ����� ����� �� ��������� �� �������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
����������������������������������������������������������������������
��������������������������
��������������� ��������������������������������� �����(�!�����������������
����������������������������������"����������
!.-:
�� ���������������������
���������������S����������������������������������������������������������
,�������������������� �����(�!���
S��0∂∂
� � � � � � �
�� �*
�r r� ! � ! � !� � � � � �
¥ + ¥zzz zz ◊ ���(2�!
��������������"
∂∂
� � �
��
r � !� �
¥zzz �0�1
������������������
S��0 � ! � !� � � �� � � ��
�*
¥zz r ◊ ���(2�!
����� �����(2�!�������(2�!�������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������
��� ���7��"���#�#"�"������� �7�!�7&���
������������������������������������������������������������������������
��������� )�� ������������������������������������ ��������������������������
�������������������������������������������������6�������������������������
����� "����������������!��� �
�������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������"�������
��! ������������������������������������������������������������������
�����
���! ������������������������������������������������������������
?����
����! G������������������������������������������������������������
����� #������������#��)��.����.��8����������� �������-����9���
8��������������������������������������������������� %���������������������
������������������������������������������������������������������ �����%���������
������������������������������������������������������������������" ����"%�����
����������������������������������������������������������������������������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
���� �������� ��� �������� ����� ��� ���� ����������� �� ���� ����� �� ����� ��� ���
��������������������������������������
q
p2
p1
V2
V1
3
C.V.
2
1
4
���������� #��)��(���(������.����.�����8������
��������������������������������������"��������������������������������������
�������������������� ������������������������������� %���������������������
������ ����������� ��� ������ 6%"� %6("� (6�"� ��� �6 � ��� ������ ����������� ��
������� %��
�����������������������������������������%6(���� 6����������������������
�������������������������������������������������������������8��������������
����.�����/��:������������������������ %(� ����������������������������������"
���������� �����((!�����������������������������
���%�����q�9� ��� �0 " � �9�"%�%�����q�4��� ���(7�!
��" ���%�����q�9�1�0 9"%��%�����q�4����9��+ ���(7�!
��" ���0 �� ���%�����q�9�� !�4�"%�%�����q�9�" � ���(;�!
�� ���0 �� ��%�����q�4�"%��%�����q�4��+ ���(;�!
�� �����������������������������������������������������������������
�� �0 r� � �0�r�%�% ���(<!
������� �����%��������������6������������������������������������������������
��������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������
��������������
��0 r��
���������������������������������������������
����"��������������������������������������������������������� %�!�����������
������������������������"�������������5�����#����������"�����������������
����������� ���� ������ $�� �0� 9��!� ��� $�� �0� 9� ��!� ��� ���� �� ��� �� ���������
�������������������������������������������������������������������� %��
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
o
MgFy
Fx
2V1
V2
p1
p23
4
1
x x
y y
Fatmx
Fatmy
Rx = Fx
Ry = Fy
���������� ������������ ���� ������ ���������� #����3��������� ��(
�.��(�������������������.� ��.���8�������8�������������������
���������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������� (�
������������ (����������������������������������������������������������
��������������������������������
������0 "����◊��%�����q�9�"�����◊��
������0 "�������%�����
�q���������������������������������������"
���0 $��4�������0�9����4������
���0 $��4�������0�9����4������
��" ���0 9 �� ��%�����q�9�� !�9��"%�9�"���!�%����q4��" �9�"���!� ���(@�!
���0 9 ���%����q�9��"%�9�"���!��%����q�9��+ ���(@�!
p atm
p atm
2
3
y
x4
1
4
2
1
3
4
3
1 2
p1
p2
�������� �((�����(��� ��.����������������.���8������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
)����������������������������������������������������������������������������
� �� ���(;�!�������(;�!������ " ���� "%���� �������������������� ��������� ���
�������������"������������������������������������������������������������� ���
���9������9���
�� �������������� �� ����������� ���������������������������$������'���
������� ��� ��� ����� �� .������������������������������������� ���?����
���������������������&�'�����*����������������������������������q�������������������������������� ���
������������������������ ��������*������������������������"�����������������
���������������� ��!������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������
������� ����8��������������������������������������?������(����������������
( ����(%��������������������������������� ��!�������������������������������
���� ��������� ����������� ��� ����� ��� ���� ������������ ��������"� ���� ������ ��
����������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������!�
��������� " ����� �����(���*����:�����������������(���������
.����������������������������0�����0������������������������������������
��������������5���������������������������"���������������������������������+���!"
������������������������������������������������������������������������
������������������������������� �����((!���
���0 1�0�r(%���4�r( �9�!�9�r(������q ����1�!
�� ���0 1�9�r (��������q! ����1�!
����������������������������������������������������������������0�����0�
������������"
���������������"
(�0 ( �4�(% ���� !
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
A���������������� ������1�!�������� !"�������������
( �0(
%�� �9�����q! ����%�!
(%�0(
%�� �4�����q! ����%�!
������������������������������������������������������������������������
����?�����������������������������������������&0�'��������������������� ������1�!
�����0 9�r�(�������q
,����"�������������5�����#����������"��������������������������������
�"�0 9���0�r�(�������q ����(!
)����������6���������������������?������&�'"��������������������������(�����*���
���������������������������
(�0 ��
� �����������(!�������������
�"�0 r����%�����q �����!
����� �� ������� ��� �� )� ���� ������ ��� ���� ������ ������������������� �
������������������������������������?���������������������� 2!������������������
�� �������*�����������������������������������
(�0 ����9��! ����2!
H���������"������������������������������������?���������������������� ���������
�� ��������������������������������������������������� ����������"�����������
��++����A������0��"�(�0�1�����������D��"�(�������������������������������
��������������������������������������������������?������������������������
� ����������������������������������?��"�����?�����������������*������������
Q
O
Fn
n
FE s
u
u
u
B
A
CV
q
q
q
D
C
V
V V uR1= -
Vo1
V V uR0= -
(absolute velocity)
Vo2 (absolute velocity)
V
Vu
R0 =
-
�������� " ����� �����(���*����:�������� ������(���������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������� �����((!���������������������������������
��������������������,������������������������������������������������������������
�����������������������������?������������������������������������������������������
�$ �0 ��9��
:�����������������������������������������"�����������������������������
��������������� ���������������������� ��������������������"�������������������
��������������������������� ����������������-�������"�����������������*����
���"������� ��������������������������������������������������������$1"����
�������������������������� �����������������"��������������������������������������
������������������� ��������������������������������������������������������
������������������������������������������������?�����9�����������������������������
��������������������������������������������������������������� 2!��.�������������
������������������������������������������������&0�'����&0�'���������
���������������������������������������
���������������������������������������������������������&0�'���������+���
�����������������������������������������������������������������������������
&0�'��������������������������������"�����������������������������������������
����������������������������������������
���0 1�9�r(�=���9��!�����q>:������������(������ ������2!"
���0 9r�����9��!%�����q,�����������������������������������������
�"�0 9����0�r�����9��!%�����q ����7!
)����������������������������������������������������������������������������
������������������?��!"���������������� �������*��������������������������������
��
(�0 ����4��!
��"�������"�������������������������������������
�"�0 9����0�r�����4��!%�����q ����;!
��������"������������������������������������� �������!������� ������7!
�������;!"�������������������������?�������������"����������������������������
�������������?��������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������?������������������������6
�������
������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������?��!���
'�0 �"�����q�I � I�0�r�����9��!%������%�q ����<!
������( �� ���������������� ������������� ����������� ���������+�������
���������*��������������������������������?�������*��������������������
����������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
���� ������ ��� ������� ��������� ���������� ��
������ ���������� 7������ ���� ?�������� ��
������������������� �����*������������������
�����������������������������������?����� ���
���� ������ ��� �������� ��� �����������
�����������������������������������������
� ������?�������*������������������������*
�� b � ������ �� 7!� �������������� ���� �����
��������� ���� ������ ���������� )� �������� ��
��������� ��� ��������� �������� ��������"
����� ���� ��������� ��������� ��� ���� ������� ��
� ����������������������������%�0���
!�
�������������������������������������� 7
����������������������������������������
������������������������������� �����((!
��� ������������� ���������� ���� �������
��������������������������
8�����������������������������������������������������������������������
���������
���0 9 ����%�����b%�9� ���� ������ <1J�9�b !
0 9 �� ��!%�4���4��! �9��!
0 9 �� ��! �4��!%!
���*�������������������������������������������"���������������������������"����
������������������������������������������"
��0 9����0� ����! �4��!%! ����@!
���������������������������������"��������������
��!%�4��!%�0 �
%�%�9��
%� %
��" �%!%�4��
%�4�%�!%���0 �%�%�9��
%� %
��" �%%�9��
%�%�4��
%�4�%�!%���0 �%�%�9��
%� %
��" �!%���0
%�=�%
�%�9��%%�9��
%> ���21�!
:����������������������������������������"������������������������
�! ���0
%�=9��%
� �4��% �4��
%> ���21�!
���������� �����21�!�������21�!������
��! �4��!%!��0
%���%
�9��%%!
H������������������������
'�0 �� ���! �4��!%!���0���
%���
% �9��
%%! ���2 !
Inlet velocity
Vw1
Vf1
Vf2
Vr1
Vr2
Vw2
V2
u
V1
CV
Fc
F
u
u
a1
b1
b2
Outlet velocity
��������� #��)��(�(������������
�����������������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
������������������������������������������������������
h�0� � !
�
� � � �
��
! ! %
%
%
+�0� %
%
%
- �
����2%!
�������������� �� G���������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������
��������������������"������������"�������������������G����������������������
����������������������������������������������������������������������������
����������
.���������?����������������"�������������������������"��������������������
�����������������������������?�������������������������������������������������
��������������������*�������������������������������������� ;���������������
������������������������������ �����((!!��������������������������������
�����"�������������
Control volume
V = ship velocity
Vr
FCV = Velocity ofincoming water(relative to the ship)
��������� �������������� ��(����� ������.��
���0 �� �=9����9��9�!>
0 �� ����9���!
A�����������������������������������������������������������������������������#�
�������������������������������������������������������������
��0 9����0� �� �����9��! ���2(!
H��������������������������� '�0� �� �����9��!� ���2�!
'������� ��?��������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������
�������������������?������������������������������������?��������������������?��"
���?�����������?���
�� �����?��� ������� ��������� ������������ ������ �� <!� �� �� ����������"� �
������������������"����������������������++����������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������*��������������������?�����
����++����������������������"�?������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������
�������)����?�������������������"����������������������?��������������������������
����������������������� ��������������������������������������������������������
������������)������������"�������������������������������������"�����?�����
�������������������������� ��������������������������������������������������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
������������������������������������������������������������)�������������"����
������������������"%����������++������������������������������������������������
"�����K���� ���� ���������� �� ���������������� �� ���� �������"���� ����� ��� ���
� �� ���((!� ��� ������������� �������� ��� ���� �������� ������� ��� ������ ��
������� @�������������
� � � ! �� � � � �� � �+ - �0 ���9��"%�9�"���!��%
��" ���0 �"%�9�"���!��%�4�� � � ! �� � � � �� � �+ -
�����"���� �����������������������������������������������������������������
���������������&��'��������������������������"��������������������������������
��������������������������������������?�������������������������������� ������� ���
���������������������������"������������������������������������������K������
���� �������� ������������� ��� ���� � ��� / ������������������� ����1�1 � ���1�1%� ����������!�
������������������������������������������������������
�-�0 9����0�9= ������9��!�4��"%�9�"���!��%> ���22!
������"� ����LL� ���!
Fuel
FT
A2
p = p1 atm
p2
u
r1
V
V
Combustionchamber
Gasturbine
Nozzle
Compressor
�������� �����3�:���������
V
patm
patm
patm
C.V.
A1
A2
Fx
y
o x
Fy
patm
patm
ma( + )m ma f
p2
u
���������
��������������������������� ���� ���������.������ ��(
(�����(��)�����.����.��.��������
���� ������ ��� ��������*������������������������,����"� ������������� ����� ��� �-
�������������������������������������������������� ��"� ����� ���������������������
�������������?�������������������������������������������
'�0 = ������9��!�4�� "%�9�"���!�%>� ���27!
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
����� ���+"����������������!��� �
���������������������6��������������������������������*��������������������
���*�� ��� ���� ���������� �� ?��� ������������ ���� ������ ������������� ���� ?��� ���
���������� ������������������� ������������������������������������ ���
�������� ��������"� ��� ���� ��� �� ����� ���� ������� ��� �� ���*��� ���� �������
����������������������������������� ����������������������������������������
���*��� ��� ���� ���������� ��� ��� ���������� �� ���� ��������������� ���� ������ �
?������"����������������������������������������������������������������������
����������*����A��*���������������������������������������������������������
���������������������������������"�������������������������������������������"
�������*�������������������������������������������������������������������������
�����������*����������������������������������������
8��� �� ����������������������������������������������������������*���������
��������� ���������������������*�����������%1!��M���� �� ���� ������������������
���������
mu
patm
patm
MdV
dt
patm pe
patm
Mg
D
��������� �������������� ��(��������;���������
8����������������������������������������������������������������������!
���������*������������������������������������������%1������������������������
��������������������������� �����((�!��������������������������������������
������������������
S��9���
�
�0 �� =�9��!�9�1>
S��0 ��
�
�9 ��� ���2;!
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
������S���������������������������������������������������������������������
������������������ )� "����� "�� ��� ������++��� ��������������������������� ��
��������������������������������������������������������������������������*��"
������������������
S��0 �"��9�"�!����9��+�9��
A����"��������������������������������������++���
������ �����2;!������������������
��
�0 ��� �4��"��9�"�!����9��+�9�� ���2<!
)��������������������������"�� �����2<!��������
��
�0 ��� �4��"��9�"�!��� ���2@!
����/ �������������(��� �����(��� ���� ��.����
8��������*����������������������*������*�����������������������������% �����
�������������������������+����������������������������������w�����������������
��������������A��������������������������������������������������������������������
���������������������������������������++���������������������������N�#�������
������������������������������++���
���������������������������������������������������������������������������% �
r
CS
w
��������� ������;������;�����3���
��������������-����������-������������������ ����(2�!������
� ��0 � � !� � �� �
¥A������ �����������������������������������������������������������������
�������������������������������������
�� �0 �%���!�r
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
��������������� ���������������������������������������������
� �� �¥ �0 - ¥��
������9�w�!�
�q �0�9� ����9�w�!
�
� ��0 - ��� �����9�w�!
������������ ����������������������������������������
� �0 9�� ��0� ��� �����9�w�! ���71!
�������������������������������������������
'�0 � �w ���7 !
��< �&7� =���'&��"��0��%���'&��"����#���"���#� ����",��7�#7�>
���������������������������������������������������������������������������
��������������������*��������������5�����#�������������������������
����������� ������"���������������������"����*�������������&��� �������������
������������������������������������������������������������#��� ������"�������
��������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������%%��)�����
������������������������:����%� ���.�������%"����������������������������������
����������������������������������������������������
8���.�"�.�"�. ���������������������������������������������������������
��������������������������������������"������ ����������������������������
��������� ������������ ����� ����� ��*���������"����������������� ���"�����"� ��
��������"��������������������������.�"�.�����. �������������������������
���������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������%%����������"
�����������������������������������������������"������ �������������������������
��
���0 r .������ �4�"�◊��� �9� "
" � � �
∂∂
Ê ˆ+Á ˜Ë ¯
0 9 �
". � �
�
∂r∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
���0 r .������ �4�"�◊��� �9� "
" � � �
∂∂
Ê ˆ+Á ˜Ë ¯
0 9 �
". � �
�
∂r∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
� �0 r . ����� �4�"�◊�����9� "
" � �
∂∂
Ê ˆ+Á ˜Ë ¯
0 9
". � �
∂r∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
dy
dzz
p
p +
p +p +
p
pp
x
yz
dx
dydz
p
o xp
dx
y
��������� ��(�������� �������������������������������������������
����(����.��������������(������¢��*������
� ����������������������������������������������������������������������
���������"��������
B
B
� � �r( ) �0 9 �
". � �
�
∂r∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
���7%�!
B
B
� � r �( )�0 9 �
". � �
�
∂r∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
���7%�!
B
B
� � !r( )�0 9
". � �
∂r∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
���7%�!
:���������������������������������������������"����������Nr��+#����������������������������������������������� �����7%�������7%�!���
B
B
�
�0 .
"
�� 9
r∂∂
���7(�!
B
B
�
�0 .
"
�� 9
r∂∂
���7(�!
B
B
!
�0 .
"
9
r∂∂
���7(�!
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
��������� ��������������������������� ���� �� ���7(�!� ��� ���7(�!� ��� �������
��������������������������������������������������"�������
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ r
∂∂
�
�
�
�
�
�!
�
.
"
��+ + + = -�
���7��!
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ r
∂∂
� ��
� �
�
� �!
.
"
��+ + + = -
���7��!
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ r
∂∂
!
�
!
�
!
�!
!
.
"
+ + + = -�
���7��!
����� �����7��"���7��"���7��!������������������������������������������������
�����M������������0���0�!�0�1"������������������"��������������������� ��������
���������������������:����%�%���.�������%��� �����������7��!"����7��!"����7��!
��������������������������������������
B
B
���
.
"= - —r
���7�!
��∂∂ r
�� � ��
� � .
"+ ◊— = - —� ! ���7��!
���������������������������� ����������������������������������������r
�. ����
��������� �0
� � �
� 1 ) !+ +�
r�. �0
� � �
. 1 . ) .� � r r r+ +
� ����������7�!�������7��!�������������*����������#��� ��������������������"
������� �� ���7��!� ��� ���7��!� �������� ���������#�� � �������� ��� �� �����������
.��������������������������
��<�� �����=��*�������������������� ����
�����#��� �����������������������������������������������5�����#�����������
�����������������������������������������������������.��������������������
�������������������������������������������������������������%(!"��������
������������������������������������������������������������������������������
���0 9�∂∂"
��D��D��9�r�D��D��+�����a ���72!
������D��������������6����������������������������������M�������������������
5�����#����������������������������������"�������
r D D� ��
B
B�0 9�
∂∂"
��D��D��9�r +�D��D������a ���77!
������������������"
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
����a�0 ���D
DD�
�
�Æ=
1
,����"����������������� �����77!��������
r ∂∂
rB
B
�
"
�+
�= - -
��∂∂
∂∂ r
∂∂
�
�
�
�
"
�+
�+ = - -
���7;!
� ����������7;!�������������&��� ���������+�����������2
w
dxu x
dy
dz Ds
a
zyv
V
z
ds
V
1
2
s
s
rg A sD D
p + Ds DA∂ s
∂ p
Dz
pAD
�������� #�����3������������ ��������� ���������������� ����
� ����������7;!������������������������������������ �����7��!"����7��!
��� ���7��!� ��� ���� ����������� ������������ �� 8��� ��� ��������
�� � ������ ���
������������������
�� �0
� � �
� 1 � ) + +�����"����������������������%(!"
�
��0
�
�
�
�
�
!"
��
= =�
� �
A��*�������������� ���������������������������������� �� �¥ �0 1
��
1 )
� !
�
�
�
�0 1"���������������������
����0 ���O �� �0�!��O �� �� �0�!��
-������������ �����7��!"����7��!�������7��!�����"������ ����������������
�������������������������������������� ��������"�������
� � � � �� � � � � �
� � �
∂ ∂ ∂ ∂r∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ◊ + + +Á ˜Ë ¯
�0 - +∂∂"
�� . ��
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
�� �
� � �
∂ ∂ ∂ ∂r∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ◊ + + +Á ˜Ë ¯
v v v vv v v v �0 - +∂
∂"
�� . ��
! � ! ! !! ! � ! � !
� � �
∂ ∂ ∂ ∂r∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ◊ + + +Á ˜Ë ¯
�0 - +∂∂"
.
��������������������������� �������"�������������
% % % % % %
% % % % % %
� � ! � !�
� �
∂ ∂r∂ ∂
È Ê ˆ Ê ˆ◊ + + + + +Í Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ÍÎ
v v
4�% % % % % %
% % % % % %
� ! � !�
�
∂ ∂∂ ∂
˘Ê ˆ Ê ˆ+ + + + + ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ ˙
v v
0� 9 9 " " "
� � + � �
∂ ∂ ∂ r∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ +Á ˜Ë ¯
�)�������������������������������������������������!
��% % % %
% % % %
� � � � �� �
� � �
∂ ∂ ∂ ∂r∂ ∂ ∂ ∂
È ˘Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ+ + +Í ˙Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯Í ˙Î ˚
0�9� " " "
� � + � �
∂ ∂ ∂ r∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ + -Á ˜Ë ¯
��
� � � � � � �
� � � � �
∂ ∂ ∂ ∂r
∂ ∂ ∂ ∂È ˘Ê ˆ
+ ◊ + ◊ + ◊Í ˙Á ˜Ë ¯Î ˚
0�9�
" � " � " +
� � � � � �
∂ ∂ ∂ r∂ ∂
Ê ˆ◊ + ◊ + ◊ -Á ˜Ë ¯
��� �
� �
∂ ∂r∂ ∂
È ˘+Í ˙
Î ˚�0�9�
∂∂
r"
�+
�9
����������������#��� �������������������������������������������������������
����������������������������������������������
�����¢¢¢¢¢���������������������������� �������������!������"#���$�
.���������:����� �����#��� ��������� ���������������������������������!
3���������� ����������B
B
�
�0 9�
r∂∂"
�.�+
.��������� ��������� ����������B
B
�
�0 9�
r∂∂"
�.�+
��������%%! ���������B
B
!
�0 9�
r∂∂"
. +
3����24
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
.��������������� ����������B
B
�
�
�
� 9 q%
�0�9�
r∂∂"
�.�+
������������������;! q���������B
B
�
� �
�
�q q+ �0�9�
r∂∂q q
�
".+
���������B
B
�
�0�9�
r∂∂"
. +
:�������������� $���������B
B
�
� �
$
$ -+f q
% %
�0�- +
r∂∂"
$.$
.�������� q���������B
B
�
� �
$
� �
$
$q q f q f+ +
���
0�9���
$
".
f∂∂q q+
������(� ! f���������B
B
�
� �
$
�
$
$f f q f+ −
% ����0
9
r∂∂f f
$
".+
�����#�� � ������� ��� ������� ���������� �������� ���� ��� ������ ������� ��
������������������������������������������������������� �����7�!"����������
������������ �� 5�����#�� ������ ���� ��� �� ���� �������� ������������ ��� ���
�����������������
��<�� ����������!��� ���������.�(����.��,����������(������=��*������
)��������������������������������������������#��� ������������������� ����7�����
��7��!!���������������������:������2��������������5�����#����������������
��������������������������������������������������������������������������
��������������������������$
)�� �� ���� �"� �"� � ����� ����� ������������ ���������� ���������� ������!"� ���
�������������� ������ ���� ��*��� �������� ��� �� �������� ����� ������� ��� ���
�������������������������������������%�!�
���������������������� � ��� �������� ���������������������������� r
�. � ���
��������� �0
� � �
� 1 ) !+ +�
r�. �0
� � �
. 1 . ) .� � r r r+ +
�������������������������������������������������������������������������
� ���� ��� r�%� �� ������������� ���������������� ���� ������������������
���������������������� �������
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
r�%��� �4�∂
∂r
�� � �� !%
����������������������������������������������������������������������
���� ����� ������������� ��� ���� �� ��������� ������ ����� ��� ����!� 0
∂∂
r�
� �� !% �
�����"��"����������������������0����� 2
:��������"�������������������������������������������������������������
�����������������������������������!
0∂
∂r
�� �� !�
ru y z2d d +
rwu
xy
dd
+
ru y z2d d
rvu
xz
dd
ruw
xy
dd
ruw y zd d
rvw
xz
dd
rwx
y2d
d
ru y zvd d
rv2 d
dxz
rwx
yv
dd
ru y zvd d +
rwx
yv
dd
+
rvu
xz
dd
+
rv2 d
d+
xz
rvw
xz
dd
+
(
dd
)
rv2
xz
(
dd
)
rvw
xz
ruw y zd d +
rwx
y2d
d+
( d d )ru y z2
(d
d)
rwu
xy
( d d )ru y zv
(d
d)
rwx
yv
(
dd
)
rvu
xz
( d d )ruw y z
(d
d)
rwx
y2
dx
dz
dx
dz
dy
dy
dy
dx
dz
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ x
∂z
∂ x
∂z ∂ y
∂ y
∂ y
∂ x
∂z
A E
F
C G
H
dx
dy
dz
Dv
y
u
w
z
B
x
x Momentum
xM
omen
tum
xM
om
en
tum
z Momentum
z Mom
entu
m
zM
om
en
tum
y Momentum
yM
omen
tum
yM
om
en
tum
��������� �������������� ������(����.��������������(������=��*������
�����������������������������������������������������������������������
���������������������������!�0�∂
∂ ��r �!!�� �
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
,����"��������������������������������������������������������������"
%� ! � �! � ! � � �! �� �
∂ ∂ ∂r r r∂ ∂ ∂
È ˘+ +Í ˙
Î ˚���������������������������������������������������������������������������
��
∂∂
r
� �� ! �0∂∂
r
� �� ! ��������"��������������������������
������"�����������������������!
��������� ���� ���������� �� ��������� ������������� ��� �� �������� ������
������
∂∂
r ∂∂
r ∂∂
r ∂∂
r r ∂∂
��
��
�
�! ."
��� ! � ! � ! � ! 9+ + + =%
� ���7<�!
����� �������������������������������� �����������������������������������
����������������������������� ������������������������������������������
��
∂∂
r ∂∂
r ∂∂
r ∂∂
r r ∂∂ �
��
! ."
��� ! � ! � ! � ! 9� � � �+ + + =% ���7<�!
∂∂
r ∂∂
r ∂∂
r ∂∂
r r ∂∂
!�
�!�
!
! ."
� ! � ! � ! � ! 9+ + + =�
% ���7<�!
�����������������������#��� ������������������ �����7<�!"����7<�!�������7<�!
���*������������������������������)��������������"�������������������������������
� ��������� ����%!"����������� �����7<�!"����7<�!�������7<�!��������������������
� �����7��!"����7��!�������7��!��������������
��? ����� !��"����#���� @�
����������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������(����������������
�����������"��������������*�����5���������������������������"�� �����������
������������������������������N�#������������������������������������������������
�������������������������������������������� ��������������������
(�9�5�0 D��0��%�9�� ���7@�!
� ����������7@�!������������������������������������������
dd
dd
(
5
- �0
�
���7@�!
A����� d(���� d5����� ���������������������������*�����������������
������������������������d����������������������������������������������������������������������������
������"������ �����%2!�������������,�0�����������������������!����h�0������������������������������������!����������������� �����7@�!������������
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
dd
dd
(
5
- �0
∂∂
� � �� �
.E .:
zzz zzz�� �
� �
◊ ���;1!
����� �����;1!����*���������������������������� ���������������������������
������������������������������������������ �������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������5����������������������������������
������������������������������������������������������������������������
������ ������ ����������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������"
����������"� ����� )�� ���� �������� �� ������ ����� ��������� ����� ���"� ���� �����#�
������������������� ��� �����������������������������������)�������������� ��
������ ����� ������������� ����.�P�� ������������������������� � ����������������
����+����������������"�������������������������������+ ������������������������
�������������� ��� + �� ���� ���������� ��������� ���� ����� �� ������ ����� ������ ���
���������������������������"����������������������������"� ����������������
��������������������������
)���������� )��� �����������������������������������������������"������
����������������������������"����������������*�������������������%/%��������*������
�������������������������%/%�������������������������"�������������������������
�����������������������������)����������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
�����6��������������� �"� ���� ������*����������������������������� ��������������
���������������*�����������������������������������������������
Q��2�0(
%
�
��
rÚ
�������������������������������6�����������������������������������������
������������������������������"
����0
�
� �
�
Ú
����*�������������������������������������������������������������a ��%�� /%!
������a� ���*�������� ���� )��������+����������� ���������������"������������
a r�
���
�
�
%
%���0
(
%
�
��
rÚ
,����" a�0
% (
(
�
�
� � �
� �
r
rÈ ˘Í ˙Í ˙Î ˚
Ú
���; �!
�������������������������"
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
a�0
% (
(
�
�
� � �
� �È ˘Í ˙Í ˙Î ˚
Ú
���; �!
)�����������������������������������������������������������������"����
��������a���������%������������������������������������"�������������a������������������� �1 ���� � 2��)������������������������*��������������������������
�����������"�������������a"���������������������������������"������*������������
���������� ����� �����������������������������������������������������
��������������������*����������������������������������������������������������
�����������������������������������������"�������������������������+����������
������������������������"���������"����������������*��������������������������
����*���������������������������������������������������������������������
��� � �* ���������������*���������������������������������������������
�������������"��� �������� ����������������6������������ �������� �����?�����
���������������������������������������������������������������*���������
�����������������������*������������������������*������������������������
�������������������������������������� �r �����������������������������
���������������������%2!���������*�������������������������������������� ���
���" �� ����������������������*���������������������������������
" � �/� �r ��0 " /r
������" ���������������������������������������%2!
Control volume
C
dxx
A1
A
B
D
p1 p2
A2
r2r1
�������� >��;������3���(��������(��)����������������
��������������������*������������������������������������������������
�����������������������������%2!����" /r ��:��������"������������*��������
��������������������������������������������������������������������������
���"%/r%��)�����������������������������������������������������"��������*
������������������������������������������������������������������������������
����������*������������������������������"���������������������������������
�������*�
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
��������� N�������*#� ��� ���� ��� ���������� ������ ������"� ��� ��� ���������
�������������N���������������#������������������������������������������������
�����������������������������"��������������������������������������*�������
����������������������������������������������
��� ������ ��������� ��� ������������ �����������������������������������
���� �����;1!����������������"������������������������������������������� ������
��������+�����������������
dd
dd
(
!
- �0 � �� �
� �◊
.:
zzz ���;%!
)�� ������������� �� ���� ���� ������� ����������� ��������� ���� �������*� ���
���������������!������������������������������������"��������������������N�#���
� �����;%!���
��0 ��4�" �
r+
%
%�4�+
����������������
dd
dd
(
!
- �0 �
" �+ � �� � �
FHG
IKJzzz
�
�
%
%.:
� �
◊ ���;(!
����� �����;(!����*�������������������������� �������
��?�� 9��������=��*������0��������*��������(����"�����#��)������������� ����
�����#��� ������������� ��������������������������������!��������������������
���������������������������������������������������������������������������
� �����7;!���
��
�
�0 9 9
r
"
�+
����;�!
������������ �� �� ����� �������� �� �������� �� ������ ���� ���������������
����������� ���������*� �������������������������� ������� �����������������
�������������������������������������������� ������������ ����� �� ���;�!�����
���������������
�� �
�Ú �0
9 9
" � + �
� �rÚ Ú
��"%
%
� "+
r+ +Ú �0 � ���;2!
A������� ����������������������������������)������������������������������"
� �����;2!������������������
" �+
r+ +
%
%�0 � ���;7!
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
����� �����;2!�������;7!���������������������������������������*��������
������������������������������������������������������*������������������
������������ �����;7!�����������������������*��������������"���������������
����������� ����*������� ����������� ���������� ��� ���� ����� ����� ����������� ���
�����������������������������������������������������������������������������
������� �����;7!�������������������������������������������������������������
������ �������� ��������� ������ �� ����������� ��� �� ������ �������� ��
��������������������������,���������� �����;7!���������*�����������������
����+��� ������������ ���������������������������B������M������������ ;(<
������������������������������������&��� ������������������������ �����;7!
���������������������������������������������� ������������������������������
���������������������������������
"
+
�
+r+
%
%�4� �0 � ����������! ���;;!
)�����������"�������������������������������������������������������"����
�������������������������������������� �����;;!"�������������������������������"
����������������������������������������������������������*����������������!"
��������������*�����������������������������!�����������������������������������
���������������!���������������������������������*�������������������������������
���������������!�
��?�� 9��������=��*�������)��.�%����7�
����������������������������������� ����������������������������������
��������������������������������������*����������������������������������
������� ���� ������������ �������*��,������"� ������������������ ����������"
�������������������������������������������������������������������������
M��������#��� ���������
"
+
�
+
"
+
�
+ � �
%
% %
%
%% %r r
+ + = + + + ���;<!
�����"��������������������������������*�������������*��������������������
�������!������������������������������������������������������������ ����%
�����������������������������������������������������������������������������
����������������� ����%"��������������������������������������������������������
������������������������������� ����%�������������������������������������
�������� ��� ����������� )�� ����������� ��������� ����� ���� �������� ��� ���� �����
����������������������������������� ����%�����������������������������������
��������������������������������������������������� �����;<!��������������
����"��������������������������+������%�������������������������������������
������������������������������%�0�1"�������������������������������������������
�������������������
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
�������
∑ �������������������������������������������������������� ���������
����������������������"������������������������������������������
�������������������������������� ��� ���� ������������������ ���
���������������
∑ .����������� ��������������� �������������������������������������
����������������� ������ ���� ����������� � ������� ��� ����������
����������������������������
∂ r∂
r
�+ —◊� !��0�1
�����"��� ������������������������
∑ ��������������������������������������� ��������������������)�������
�����������������������������"�������������������������������
����������������������������������������������������������������
����������������������������������������!�����������������?����������
������������������������������������������������������������������
∑ $�������� ����"��� ������� ������� ���� ��������� �������� � �������
������� ��� �� ������� ��� ������ ������� ��� �� �������� �������� ���
������������ ���� ���������������������������������������� ����
������������������*�������������������������������������������
������������������������������� ��!�������������������������������� ���
��� ���� ����� ����� �� ��������� ��� ������� ��������� ���� �������
��������!�����������������������������������������������������
������������������������������������!������������������������
∑ ����� ����������������������������������������!�������������
���� ��� *����� ��� �����&�� � ������ ���� �������� ���� �� �����#�
� �������������������r�B�� /B�0�r
�. �9�—""�������
�. ����������������
�������������������������� � �����������������������������#��� ������
������������������"����������������������������������"���������������
��
r B
B
�
�0 9�
∂∂
r"
�+
�9
������������������������������������������������������
∑ �������������������������������������������������������"�*������
�����������������������������������*��� ������������������������
�������������������������*���������������*��)���������������������
�����������������������������*�����������*������������������������
����������������������������������������*������������������������
�������������������������� ����������������������������������� ������
����������������������������������"��������������������������
���� ��� �� ������������� ���� ����� ���� ��� *����� ��� ��������&�
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
� ������M��������#��� ��������������������������������������������
��������������������
"
+
�
+
r+ +
%
%�0��
��������������������������������������������������
∑ ���� ����� �� ����������� ������� ��� ��� �������� ��� �� ����� ���� ��
������������M��������#��� ���������
"
+
�
+
"
+
�
+ ��
%
% %
%
%% %r r
+ + = + + +
�����"������������������������*�����������������������������������
�������������������������������������������������������������������
����%�������������������������������������������������������������
�����
��������
� :�������"� E������ 8�"� A����"� ��� M��?����"� ��� M���"� Q�����A�"� ����
��������"�5�����������"�-�P���6,����M��*�.������"� @@<�
� �������������
��������� B���������������������������
�
� �0 2 2( %� � � 1 )� � �
9 +
���������������������������������������������R
�������� )��������������*������������������������������������������������"��������
������*����������������������������� ��������������������
���������������� ������������������������!�������������������������������������
���������������������
— ◊ �
� �0∂∂
∂∂
∂∂
�
� �
!
+ +�
�0�1
,���" ��0 2�("���0�9 2�%�� �� !�0�"
,����"∂∂�
��0 2�%"�
∂∂�
��0�9 2�% ��
∂∂!
�0�1
�����"������������������������������������ ���������������������������"��"� ���� ��������
��������������������������������������������������������������������������������������
����
�������� � A����� �� ���� ��������� ����� �� � �������� ���������� ��������� ���6
������������������������������R
��! ��0���4��O���0���9��
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
��! ��0���4�%�O���0��%�9��%
��! ��0����4��O���0���9��%
�! ��0���4�%�O���0��%�9��%
��! ��0��%O���0����4��%
�������� ���� ����������� � ������� ���� ���������� ���!� ��� �� ���� ����������
����������������������∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0�1
��! ��0���4�� ��0 ��9��O∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0 �4��9 !�0�1
���6������������������������������������������
��! ��0���4�%�" ��0 �%�9��%O∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0 �9�%�
������������
��! ��0����4��" ��0 ��9��%O∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0 ��9�%�
������������
�! ��0���4�%�" ��0 �%�9��%O∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0 �9�%
������������
��! ��0��%"���0����4��%O�∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0� %�4���4�%�
������������
�������� �������������������������"���������������������������������������
��0 �%�9�%��4�%�
B��������� �� ��������� �� ���������� ��� �� �����"� ��������������� �����,�������
�������������������������������R
�������� ������������������������������������������������"���������������
∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0 1
��"∂∂�
��0 9�
∂∂�
�
���" 9�∂∂�
��0 9�
∂∂ �
� � � � �� 9 ! � !% % % % % % %+ = - + = - -
,����" ��0�
�% %! �
� � � �� �
∂ ∂∂ ∂
= - = - +Ú Ú Ú0 9�%���9�%��4�� ��!
������ ���� �������� ������� �� ��������� �� ����������"� ������ � ��!� ��� ����������� ���
������������������������������������� ��!�0�1�
�������� ����������������������������
Y�0 %�%��4��(�4�!�%
���������������������������������������������������������0��"�����������������%7"
�������������*������� ������������� �������������������0� �
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
B
dAAB
dAOA
dAOB
dxdy
3
2 n
O A
y
x
��������� �.��(�����(�����������������
�������� ������������������������������������������������������������������������
������������� ����� 2�!������� 2�!���
��0∂y∂ �
� �= + +% % (% � !
��0 9�∂y∂ �
�0�9����
���������������������������������������������������������������������������������
����0�
��!�0� �0 %�%�4�<�
��!�0� �0 9����
������������������������������������������������������� ����������������������
����0������������������6�����������������
(0��0 � !� � � ��
�
0�
0�
==
z z= ◊ 1
1
%
< �0� 7������
:��������"� ���� ���� ����� ������� ���� ��������� ���� 0�� ���� ����� ��� �6�� �����!� ��
��������������������������������������
(0��0 � !v �
�
0�
0�
�==
z 1
0 1
:����� ���� � ���������� �� ��������� ��� +���"� ���� ������� ���� ������ ������� ���� ����
�������������������� ��������������������0�������������������������������������������
��������������!��������+����
E����������������������������������������������������������������������6�������
�����������������
(���0 ��� � �◊Ú��
���;@!
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
�������� ����������������������������������������������������������������"���*�����������
���������������������������������������%7��,����"��������������� �����;@!���
(���0%
= > = �% < ! �9� !>
���
� 1 � � � 1 ��+ ◊ + +Ú� � � �
������"��
�����
1 ��������������������������������������������������������!
0%=% < > � � !
�� ��� �
� � � �� �+ + -Ú Ú ���<1!
����������������������"
�
�( -�0
%
(
��������������������
K���������������������� �����<1!"�������
(���0
%% (
1 1
( %% ( < � %
% (� � � � � �
È ˘Ê ˆ Ê ˆ- + - -Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Í ˙Î ˚Ú Ú �0� 7������
��������� ��� ��������������� ������������ ��������� ���������� ������ �"� ��
��������������������������������
y�0 9�7�������q�4� 7 �
�
% ��� q
������ 7� ����������� ���� ���� ����������������� :���� ����� ��� ����� ������ ���������� �
��������!�0�1�����������������"���0���������������������q������0��"�������I I�
� �0�7�
�������� )��������������������������"
���0
�
∂y∂q " �q�0�-
∂y∂ �
:�" ���0% %
%
��� ��� ���
7� �7 � 7
� � �q q q
È ˘ Ê ˆ- + = - -Í ˙ Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚
�� �q�0% %
% %��� ��� ���
7� �7 7
� �q q q
È ˘ Ê ˆ+ = +Í ˙ Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚
�����0��"����0�1�����������������q�����q�0�%7�����q��������"��������������������0��" I I
�
� �0�I�q I�0�I%7�����q I
H�������I I�
� �0�7"������������q�0�± %"�����"������q�0�4�(1J"� 21J"�% 1J����((1J�
��������� ����������������������������������������������������f�0� �%�9� �%�E������������������������������������������������������������������������������
����
�������� f�0��%�9��%
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� �
������������������������������������������������������������������.���;"�:���;� !"
�
� �0 —f�0�∂f∂
∂f∂�
�
1� �
+
���������
� �0 %��
�9�%��
1 " ��0�%�"���0�9 %�
.���*����������������������$�∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0�%�9�%�0�1
�����������������������������������y"
��0∂y∂ �
" y�0� Ú ���0�%���4�� ��!�4��
��0 9�∂y∂ �
" y�0�9 Ú ����0�%���4�+��!�4��%
���������������������������������y"������
� ��!�0 +��!�0�1
,����" y�0 %���4��
�����"�����������������
��������� �������������������������������������#�����������������������%;!�
C������������������������������������������������������������������*�������������������
������������������������������������������������������������������������������������������
��� �1�������� ������������ ������ �1� �������� ��������������� ��� ������������ ��� ����� ���
��������� ���������� �� ��� ���� �� ���������������� ���� �������� ��� �� �������� �� �� �����
.��������������������������������������"���������������������������������������"���
�������������������
u0
v0
y
x
b
��������� #��)��.����.����.������(�� ���3��)�������
�������� ����� ���������������������������������������������������������������������
∂∂
∂∂
�
� �+ �
�0 1
��"∂∂�
��0 9�
∂∂�
����< !
� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
:����� �� ����� ���������� ���������� �� ����� ���������� ������"� ����� ��������� �����
����������"��������������������� �����< !"������������������������������������
� �������������������,����"�������������
�
��0 9�
�
���0�8������������!
���������� �/��0 8 ���<%�!
�/��0 98 ���<%�!
)�������������� ������<%�!�������<%�!������
��0 8��4�� ���<(�!
��0 98��4��% ���<(�!
K��������������������������
�����0 1 ��0��1�����0 1 ��0��1
�� �����0 # ��0�1
���� �����<(�!��������<(�!"��������
� �0 �1"��%�0��1"�8�0��1 /#
:�������������������������8"�� �����%����� �����<(�!�������<(�!"���������������������
������������������������
��0 �1�4��1
#� �� ��0��1�9�
�1
#�
��������� A����������������������������������� ��������������������*����
���������%<�����������R�����������������������������������������������*�����������
��������������+����������
Water
C.V.
y
y
o
o
x
xFx
Fy
Water
Q 4= 28 l
itres
/s
Q3 = 31 litres/s
V 4= 20 m
/s
V3 = 30 m
/s
Wate
r
Q1 = 20 litres/s
Q 2water
V1 = 50 m/s
V 2= 40 m/s
60º
60º
45º
�������� ��3���;�3�8�)��.���(��)��������(��)��(�)����
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
�������� ������������������������������������*���������������������������������������
��������������:����������������������������������������������������"�������������
(%�4�(��9�( �9�((�0 1
��" (%�4��%<�9�%1�9�( !�0 1
����������� (%�0 %(�������/��0�%(�¥� 19(��(/�
�����������������������������������������������"��������
���0 r(%���1�����(1J!�4�r(���%1����� (2J!
9�r((�(1����� %1J!�9�r( �1!
0 1(�¥�%(�¥� 19(�(
�1%
Ê ˆ¥Á ˜Ë ¯
�4� 1(�¥�%<�¥� 19(�
%1%
Ê ˆ- ¥Á ˜Ë ¯
9 1(�¥�( �¥� 19(�
(1%
Ê ˆ- ¥Á ˜Ë ¯
0 <72�;7�5
�� ���0 r(%���1�����71J!�4�r(���%1����� (2J!�9�r((��(1�����(1J!
9�r( �921!
0 1(�¥�%(�¥� 19(�
�1%
Ê ˆ¥Á ˜Ë ¯ �4� 1(�¥�%<�¥� 19(�
%1%
Ê ˆ- ¥Á ˜Ë ¯
9� 1(�¥�( �¥� 19(�(
(1%
Ê ˆ¥Á ˜Ë ¯
�9� 1(�¥�%1�¥� 19(��921!
0 %2<�7%�5
,���������������������������������������������������������������������������6���
�6�������������%<!������������������������������������������������������5�����#������
���"���������������������������������������*����"��������������"���������9������9���
��������"������������������������ �����������������������������������������������2
��������� �����*�������������������������������������������������������%@�
A�����������������������*�����������21��������������++������2��/���������*������
������������� ������ ��� ��� �2J� ��� �������B��������� ���� ������������ �� ���� ������� �
��������%�*5/��
45º
Rxx
B
A D
C
��������� �����;������������.�������������)��.��:��������(�)�����:���(�� ��.�����;
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
�������� 8��������������������������������������������������%@�������������������
�����������������������������������������$������������������������������������������������
������������������������������������
����������������� �� �0 111�¥� p��¥��1�12!%�¥�2�0�@�<%�*�/�
���������������������������������������������������"�������
$��0 @�<%�¥�2������2J�9�1�0�(��;%�5,�����������������������������������0�9�$��0�9�(��;%�5���������������������������
��������"������������������������������0�(��;%/%111�0��1 ;(7���0� ;�(7����
���������� A��������������������������������������������"����������������1�(��"
�����������������������%71�*H�������"�����������������(��/���������������������� 1��������
�����������������������������������������������������1��"��������������������� ��
1� 2����������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������@@@�*�/�(�
�������� ��������������������� ��������������������!
� *
� � �
∂ r r∂
+ ◊Ú Ú���0�1
���������������" � �r ◊Ú���0�1
�������������������������������"�� � �0��%�%�
�����"�� �����%��������������6�����������������������������������������������������"
���� "��%���������������������������������������������������
,����" �%�0
%
%
1�((
1� 2
��
�
Ê ˆ= ¥Á ˜Ë ¯
�0� %��/�
�������������M��������#��� ���������������������������������������������"��������
" �+
%
%r
+ + �0" �
+ % %%
%%r
+ +
" ����������������������������������!�0�%71�*5/�%�������������!�
���������"%���������������������������������������!
0 " �4� ( )% % % %� !
%� � +
rr- + -
0 %71�¥� 1(�4� @@@%
( % @@@ @ < 1% %=� ! � ! > �- + ¥ ¥
0 %@1�2;�¥� 1(�H�������0 %@1�2;�*H�������
���������� :�����������!����������������������������������������������������1
� ����� ��� %�����
� !� %!) )
È ˘Í ˙+ +Î ˚
� ��� ���!� ���� *������� ������� ����������� ������ a� 0
� ! � !
� ! � !
) )
) )
+ ++ + %
� ( ( %
( (
"��������������������������������������0������� �9��/�1!)�
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
�������� ��!�������������������������������
��0
v
v
� !
� / !���
%%
1
1%
1% 1
1
1
1p
p
� �
� �� � � �
�
)
�
zz= -
8�� �9��/�1�0
�����" ��0 �1�� �9� ! �� ��0�9�1�
:�������������������������������������� ����������������������"��������"
��0
%���1 ���%
1 1
% � ! %
� ! � %!
)�
) )�
È ˘- = -Í ˙+ +Î ˚
Úv
v
0 %������
� !� %!) )
È ˘Í ˙+ +Î ˚
���!�.��������������������������������������"�����*����������������������������������
����������"����������� �����; �!"���
a�0
1
1
% % (1 ��� 1
1(
��� 1
1
� ! = � / ! > �% !
� / ! �% !
�
)
�
)
� � � � �
� � � �
p p
p
-
È ˘Í ˙-Í ˙Î ˚
Ú
Ú
v
v
:������������������������� �������������������������� �9��/�1!�0� "�������
a�0
� ( % (1 ��� 1
1( (
( %��� 1
1
% � !
�( ! �( %!
� < � !
� ! � %!
)
)
� � ) )
� ) )
È ˘- -Í ˙+ +Î ˚=È ˘ È ˘
--Í ˙ Í ˙+ +Î ˚Í ˙Î ˚
Ú
Ú
v
v
0
�
%
( ( %
( (� ! � !
� ! � !
) )
) )
+ ++ +
���������� ���2J�������������6�������������+�����������"���������(1!�������
����711����������������������������(11����������������������������������������������
������ ��� �1�*H����������� ���� ������� ������������ �������� �������� ���1��%2��(/��
5�����������������"���������������������������������+�������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������
�������� �������������������� �01 �%2
�1 7 %
�
� � !
� /�
�
(
p �0� �21(��/�
������������������� �%�01 �%2
�1 ( %
�
� � !
� /�
�
(
p �0�7�1 ��/�
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
����������������� %(� ��������������������������������������
���������M��������#��� ������������������������������� �������!����%��������!
"%�0 " �4�
% %
%%r � !� �-
0 ���¥� 12�4� 111%
�= �21(!%�9��7�1 !%>
0 �%( �¥� 12�H��0� %(�*H�
Fy
FB
y
x
Fx
F
4
1
p A1 1
pA
22
V2
V1
3
2q = 13.86º
45º
�������� ����������������3���������.���A�����������
���������������������������������������������������� %(� ���������(1!"��������
" � �9�"%�%������2J�4����0 r(���%������2J�9�� !
�� 9"%�%�����2J�4����0 r(���%������2J�9�1!
��������������������������������������������������������������������������������������
���������������
,����"
���¥� 12� %�1�7!
�
pÊ ˆÁ ˜Ë ¯ �9� �%( �¥� 12� %
�1�(!�
pÊ ˆÁ ˜Ë ¯ ������2J�4���
0 111��1��%2!��7�1 ������2J�9� �21(!
�� 9� �%( �¥� 12� %�1�(!
�
pÊ ˆÁ ˜Ë ¯ ������2J�4���
0 111�¥��1��%2!��7�1 ������2J!����������" ���0 9(%�%7�*5
���0 ;�@7�*5
����������������������������������������
��0 =�(%�%7!%�4��;�@7!%> /%�0�((�%(�*5
���������������������������������������"��������������������(1"���*��������������
���9 �=;�@7/(%�%7>�0� (�<7J�������������������������������6������������������5�����#�
��������"����������������������������������� ��������������������������������������
�������������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
��������� ����?���������������������������( ������������������������ ?��
���������������������������1������������������������������������������������������
���*�������������)��������������������������������������������������������������6
����"�������������������������������������������������"�����������������������������
�������""%�9�" �0 r ��1 /�"!�� �9��1 /�"!�����9��1!
%
�����"�" ����"%�������������������������������������������������������������������������
������������������"��1�����������������������?��"�� ��������������������������������������
����?��������������������%�������������������������������������
Water
a
b
d
c
p2
p1
V2
V1
V1
Vj
AreaAp
CV
Area Aj
�������� ����:�������� �
�������� ������������������#�������������������������������������������������( �
�����������������������������������������������������������������"�������
�1��1�4���"�9��1!� �0 �"�%
��" �%�0 ��1�4�� �9��!� ���<�!
����� ��0 �1 /�"
�������������������������������������������������������
�" �9�"%!�"�0 r�"�%��%!�9�r�1��1���1�!�9�r��"�9��1!� �� !
��" " �9�"%�0 r�=�%%�9���
%1�9�� �9��!�
% > ���<2!
:���������������������������%������ �����<�!��������� �����<2!������������������
" " %-r
�0 =��1�4�� �9��!� >%�9���%
1�9�� �9��!�%
0 9��� �9��!�% �4�%�� �9��!� �1�9��� �9��!�
%1
0 9��� �9��!�� �9��1!%
,����" "%�9�" �0 ( )% 1 1
1" "
� �� �
� �r
Ê ˆ Ê ˆ- -Á ˜ Á ˜
Ë ¯ Ë ¯
�������� � A���� ��� ��� �������� ��� ���� ����� ����� ���� �������� ��� ��� ��
��������"��������������������������������������������������������������*����*���������
:��������������������������������������������������������� 192��(/������� ������������
����������"������������������� 11��������������������������������������������+���
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
� ��(� ��� ������ ���� ��������� �� ����� ���� � ����� ��� 2� �/��� )� �� ������ ����� ��
��������������%����������� ����������1�2������"��������� ���� ���������� �������
���������������������*���� ��/���������������/���������������
�������� ���������������������������������������������������������������������
�������(%����������������������������������������������������������������������������
2m
0.5 m
Person movingwith a velocity
CV
Vrain
V0
V0
Vrain
A2
A1
�������� �������������� ������������
�.�� �������������
�����3�������8� ��������
����������������"��������������������������
�������� ������� ��������� ���� ���� ��� ���
����� �������������������� ��������� �1� ���6
�����������������������������(%"������������
����1�������������������������������������
��������������������
,����� ���� ����� �� ���� ����������� ���
����������������������
(�0 z�� �������4�z��%�1
������z�0���������������������������������� ����������������������� ����������������
����������!�
����������������������������(�D�
����� D�0 %/�1"�%�0����������������
�����" z�0 ���������������������������
������������������������������!/������
��������"� ���� ������� �� ����� �����
����������
��0 (�D�0�%� ������� /�1�4��%/�����!
���1�0 ��/������*! ��0� 11�� 192!��1�2/ �4�%�1/2!
0 1�111@��(
�� �1�0����/������! ��0 11�� 192!��1�2/��4�%�1/2!
0 1�1112%2��(
:�����������������1S������&���'�����������
���������� ������������*���������������++����2�����������������������1�%��
���1� 2��������������������������������������������������������7�������/�����������
��++����������������������������������������������������������������������((!�
A������� �����������������*�������������������������������������"�������������������
���������������������������R
0.15 m45º
30º
0.20 m
AB
������� ����)������;���
�������� ����������������������������� �����������������������������++���"
(��0 (��0�(�¥� 19(/71�0�21�¥� 197��(/�
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
���0 ���0�21�¥� 197/�p/�!�1�112!%�0�%�2���/�
�����"��������������������������������������������������������������++����
E���������������������������������������������������������������������!����
��w�0 %�2������(1J�0�%�%��/�
��w�0 %�2�������2J�0� �<��/�
��!�A��������������"�������� ���������������++��������������������������������
�����������������������������������������������������$
�����++����"�������� ���0� 111�¥�21�¥� 197�¥�%�%�¥�1�%1 0 1�1%%�5�
�����++����"�������� ���0� 111�¥�21�¥� 197�¥� �<�¥�1� 2 0 1�1 (�5�
��������� �����������++���������� 0 1�1(2�5�
��!�A����������������"�����������������������������w��5����������������������������
������++����������������������������������������������
�����++����" �0��0 �%�%�9�1�%w!��/�
�����++����" �0��0 � �<�9�1� 2w!��/�
������������������������������"���������������������������������������"���������"
r(���%�%�9�1�%w!�¥�1�%1�9�r(��� �<�9�1� 2w!�¥�1� 2�0�1
.����������r����������(��0�(�"�w�0�@�;%���/�
���������� �����*"�����������������(�"���������++������������������� �����
������ �����������������������������������������������������++��"�����������++����
���������%� ����������� ��� ���� ���*�������������%� � �������� ���������������� ���
���������%������������� ���������������+���������������������*����+������5����������
���������������!
�������� ����������������������������������++�������������������������������������
��M��������#��� ���������������������������������������������������������++����
����������++��� "
z
CV
2H1
H1
D2
D1
2
1
Fx
x
�������� �����;�)��.��8�����AA�����������������
"+����
r+ +1 �0
" ����
r+ +
%
%1 ="����0���������������������>
��" � �0 �%+� ! /%
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
������������� �� �0 rp r p
�� �
+� %
%
%
� �%= � ! /
:������������������++���%"��%�0�=%+�%� !> /%�0�%=+� >
/%
�� ��%�0r p �
+�%%
%
�%� ! /
8�����������������+�����������������������������������������������������������������
�������������������������������������*��������������������(������������������������
�����������������������������
���0 �� �9� !�4� ��%�%
0% %
/ % / % /% / % % �% ! �% ! %� ! %� !
� �
� �+� +� +� +�
rp rpÈ ˘ È ˘- +Í ˙ Í ˙
Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚
0rp +�
� � %
%%
�% �� !- +
������������+����������������������������*"������������������������"����+���"���
��������"�������������
rp +�� � %
%%
�% �� !- + �0�1
����������������
%�% �9���
%%�0 1
��" � �0 % �%
���������� ���� �������� ��������� ����� ���������� ���� ��������� ������ ������ ��
�������(2�"�����������������������������������5���������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������
Controlvolume
Pressure 500kN/m gauge2
z1
z2
2
6.2 m
(a) (b)
300 mm dia
1
F
�������� " ����� �����(�)���� �%������ ����������������������:������������������������� ���� ��������������.�
������������������� ���� ����)�����:������
�.�������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� �
�������� ���� �������� ������� ��� ���� ��������� ��� ������ ��� ����� ��(2��� ��������
M��������#��� ���������������:���� ����%���������(2�!"�������
"%/r+�4��%%/%+�4� %�0 "���/r+�4��%
/%+�4�
,���" "%�9�"����0 2�¥� 12�H��%�ª�1" %�9� �0 7�%��
,����" � %�0
2 1
1
2
(
¥�¥�%�4�7�%�¥�%�¥�@�<
��������� � �0 ((��@��/�
����������������������� ����������������������������������"��������
��0 1�9� �� ��9� !�0� ���
A�������������������������������������������������������������������������������
-��������������������� �� �0�r� �
��������" ��0 r� � %�0� 1
1 (
�(( �@
(%
%¥ ¥p � � !� � !
0 ;@�(�¥� 1(�5�0�;@�(�*5��������"����5�����#����������"����������;@�(�*5������������������������������������
������������������
���������� ��� �������������� ������������ �� ��������� �������� �����������
������ ��� ������ �������� ��(7��A����� ����*��� ����� ����� ��� ������ ��� ���� ����������� �
�����������( ����/�������������������1�12��(/������������������������� 1��/��������
������������������ ��������� ��� ����*�������������� ��� 21J���� �������.��������� ���
���������������������������.�������������������������������������������������������
��������������������������������������������� 1S�����*�����������������r�0� 111�*�/�
(!
V2
V2
u
u
150º
150º
Control volume
V1 = 31.4 m/su = 10 m/s
Vr2
Vr2
�������� #��)��(�)������������������������(����� �����)��������3���
�������� .���������������������������������������������������������������(7�
� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
E����������������������������������������������������������������������(7!
�� �0 ( ���9� 1�0�% ����/�
���������������������������������������������������������������(7�
B�������������"���������������������������"����������������������������������������
���������
I�� �%
I�0 1�@�¥�% ���0� @�%7��/�
��������� ������������� ��������� �� ���((!� ��� ���� �������� ������� ��� ������ ��
�������(7�
���0 %�¥� 111 1 12
%
¥ ���9 @�%7�����(1J!�9� 111�¥�1�12�¥�% ��
0 9� �@1��¥� 1(�5�0�9� �@�*5���������������������������������������������������������������������������������������
-������������������������������������������������������������������������������#���������
��������"�����������"����������������������������������������������������������������
� ����������������������������
�"�0 9����0� �@�*5
,����"������������������'�0� �@�*5�¥� 1��/��0� @�*A�
���������� ��?���������������������������������������������<�;��/�����������
������������������������������������������������������������%�(��/�����?�������������
�?������������������������������������� <��/���)������������?������ ����(/�"���������������
�������������������R����������������������������������������������������������
�����������������
�������� ������������������������������������������������
��0 �<�;�4�%�(!�0� ��/�
K������ �����((!��������"��������������������������"
��0 ���¥� 1(�� <�9� !�5�0�@�<�*5������������ ������������������������
'�0 @�<�¥�<�;�0�<2�%7�*A����*��������������������?���������������
��0 1�2�¥� ���¥� 1(�� <�9�<�;!%�5�0�71�2��*A
�������������������������������������
'
' �� !+�0
<2 %7
<2 %7 71 2�
�
� �+�0�1�2<2�0�2<�2S
���������
�� .������������������������
��! ��������������������—��
� �0�1�������������������� ��������������������������
��! �������������������
��! �������������������������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
��! ���������������������������
�! �����������������������������
��! ������������������
���! ����������������������������"����������������������������������M��������#�
� ������
�%/%�4�"/r�4�+ �0�����������! ����� �����������������������������������������������������������
�����������������������������
��! ������������ �������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
��! ����� ���������������������������������������������������������"
�������������������������
�! ���� ��������� ��� ���� � ������� ������� ������� ������������ �� ���� ���� ��
�������������
����! ������������������������
��! �����������������
��! ��������������
��! ���������������������������
�! ���������������������
���! ���������#��� ���������������
��! �������������������������������
��! �����������������������������������M��������#��� ������
��! �������������������������������������������������
�! ������������������������������������������������������������
��! ����������������������������������������������������������������
��% B�����������������������������������������������������������������������������
���R
��!�
� �0�2 ��
��(��4��%!��
1
��! ���0��/�p�"��q�0�1"�� �0�1
=�������!�5�"���!�T��>
��( ���� ���� ����� ����������� ��� ���� ��������� ������� ��������"� ��������� ���
���������������������������*�����������������������"
��! y�0���"��! y�0�����%�4��%!�
=�������!���0��"���0�9��O�����������������
��!���0�%
% %
�
� �+"���0�
�
�
%
% %
�
� �O�����������������
OQP
��� )�� �� ���6����������� ��������������� ���� ����� �� ����� �����"� ���� ��������
���������� ������������� ��� ���� ������ ��� �� 0� %�%� �%� 4� (�(� �"������� �� ��� ���
�������������������������������������������������������������,�����������
��! ��������������������������������������
���! ��� ����������� ��� ������� �������� ��� ����� ������ �������� ���� ���� ��
��������������������
��� � � � � � � � � �� " O= - - = - -LNM
OQP
�
(
@
%
%
(
(
%
( % % ( % % (y ����������
�� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
��2 �A�����������������������������711��������������������������%��(/���)������
������� �� ������������ ��������(;!������������������� ����� ����� ������ ��� �� �����
����������������������������������������������+������������ �2��/��������A������
���������������������������������������������������
������1�2<;��(/�!
300 mm
600 mm
1.5 m/s
B
A
1.5 m
Q = 2m /s3
�������� #��)�������������������)��.�������)���
��7 .�������������������%���������������������������������������������������������
���������������������������������������M����*�����������������������������������
� �0� 2 2 1� � 1 )� � �
+ - "������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
=������������������^������!$ (������0�1!�0�1"
(�������0�%!�0��1��(/��������
�������������^������!$ (������0�1!�0�1
(�������0�%!�0��1��(/��������
������������^����� !$ (���� �0�1!�0�1
(����� �0�%!�0�9�<1��(/�������>
��; )�����������������������������������++��"�������������������������������������
� �/�� ��� 1� �/�� ��� 1�(� �� �������� B��������� ���� ������� ��� ��������� �
������������������������
������%;1��/�%!��< ������������++���1�2�����������������������1��������1�%����������������������
���?����� ��� ��� ������� ������������ ��������� ����1� ��� ��(/�� ��� 1� �������
B�����������������������������������������6���������������++������������6������
��������������������������������������������6��������
������ (2�%1��/�%!
��@ ��1�(����������������������������������������������������������������������������������1� 2����������������������������1�(��������1� 2��������������1�7��
������ �������� �� ��� ���� 1�(� �� ����� ������ ���� ��������� ��� 2 ;� *5/�%�� )� �
���������������������������������������������������������1�(������1� 2��
�������"������ ��� ���� ��������� �� ������������������� ���� ���� �������� ��
1� %��(/��������R������������������������������
������ ;2���!
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ��
�� 1 ����������� ���������� �������������������"� ������������ ��� ��"� ������������� ��
@<�*H��������������������� ��/������������M"�%����������������"���������������
1�2����������������������%1�*H���B����������������������������
���������������M!
�� H�������������������������������������������������������������������������������������������������� ���� � ������� n�0� n���� ��/�1!
/;"������� �1� ��� ��������
���������������������������������������������B�����������!�����������������
���������������������������������������������������������������"������!�����*������
������������������������
����������0�1�< ;�n���"�a�0� �17!�� % �������������������������������������������������������n��0�n �0������nq�0
nq���!����������$ nq�0 w � � £�$
nq�0w $
�
%
� ≥�$
B����������������� ���� ������������ ��� ������������� ���������� ���� ��������������
��������K����������6���������� ������"�����������������������������������"��!
����������������������"�0�"•������Æ�•������������������������������������
����������������
=���������������������£�$"�������������������≥�$
"�0 "•�9�rw%�$%� %
%
%-
FHG
IKJ
�
$���£�$
"�0 "$ $
�• - FH IK
rw % % %
%���≥�$
"������������0�1"�"�0�"•�9�rw%�$%>
�� ( �� ���*��������� ���������������������������1� ��%��������������1���*������
��������������*����������������������������������������������������������
1�1 ��%� ����� ��� ���� ��������� �� ��������� �� %��/�� ��� ������ ���� ����+�������
����������������� �������������������������������������������������(<��K���
�������������������"������������������������������*����1�7����B������������
�������������������������2�@(�*5!
V = 2 m/s
������� #��)��(�)�������������;
�� � �������������������������1�<2���������������������������������������������(@!
������������1�2��(/����������������������� <�*5/�%��������������������������
�����������������������1����������������M����1�(��"������������������������
���M����1� ��(��5�����������������"��������������������������������������
��������� ������%1�%@�*5"� %��;J��������������!
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
45∞
90∞
mg
0.4 m
0.3 mA
B
45∞
�������� ��������������������3���
�� 2 ��������� ����������������1�<� ����� ����������@1J������������������� ���
�11�������711�������������������������������������������������������� (1�*H�
�������������������������� ��������1�7��% /%+"�������� ��������������������������
���������������������������������� �1��(/�"�����������������������������
���������� ���������� ��� ���������������������!����������� ��� �������� ��������
�������������������������������������+������
������@�@7�*5"�� �1(�*5!
�� 7 A����� ��� ������� �������� �� ���� ��� �� ����+������ �����"� ��� ������ ��� ����� ���1�
5����������������"������������������������������������������������������
�������������
���������0�9�@� 15"����0�9�2��<�5!
45∞
30∞ Y
X3
300 mm diameter
150 mm diameter
100 kPa
450 mm. DiaWater
1
0.6 m /s3
0.36 m /s3
0.24 m /s32
��������� ��.���A���������
�� ; .�����������������������������������¥�%��!��������������������������� �����
�������������������������������������������������������������������������
%��/����������������������������������"�������������������������������������+������
�������������%��/�����������������<1������������������������������������
������ ��� ���� �������K����� ���� ���������������� �������"� ���������� ���� ���
�����������������������������������������������������������������������������
����
������� 17�77�5!
U = 2 m/s 2 m/s
X
80 mm
4 m
��������� #��)�������(���������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
�� < ���������������������� ��������������������������������������������%�����
���������������������������������� 21�����������������������������������
���������������21����������������������� ����*����� ��� ��������� ����� �����
�������������������������� ������������<11�*�/�(�������������������������
��������������������������������������:���� ��������������������������<��/������
�������� ������������@11�*�/�(����������������������������������������������
�����������������������/�����:���� ������������������������������������������
�����������:���� �����:����%"������������������������������������"������������
��������� ��� ������ �������������� ���� ���������� ����� ������� ������ ���� ���������
������������:���� ����%�������������������21�5��B�������������������������
������������:���� ����%������������������������������:����%����������*�����
����������6����������������������������������������������
������ �; �*H�!
��������� �����8���� �8����������
�� @ A���������������� �������������������������������������������������������1�<
�����������������1�0�(1��/�����������(!
������@1��7 �5!
40 mmDiameter
V0F
�������� B���� ����� ���������(���������
��%1 A��������������������������1�1(���(/������*��������������������������������������
)���������������������������������������������������������������?������;%1�5"
�������������������������������������������
�������2���!
��% �����������?����������������������������++��������������������� 1��/����������
��� ����������������<11�*�/�(���� ������++���������������� ���71������� ���
����+����������������������������������%11�5���������������������������������
���� ?��� ����������!��B��������� ����� ����������������� �� �� ���������������� ���
��++���������5������������������
������ � %��!
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
h
��������� ��.���A���������������������3������������:��
��%% ��� �������������������� %%�5"������������� ����*��������1�(������"� ��
��������������� ������������������������� ��������������+�������������1�1%��
������������+������ ?������������������������������� 2��/�� ������������ ���
�����������������������������?������1� 2����������������������������������"���"
��������������"������������"�����?�������*��������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������*����������������
��������������������������������������������������������������������������������
������������
������(2�(��5"�(2��J!
��%( �� ?��� �������� ����� ��������� ����� �� ����������� ������ ����������� ������ ��
��������71J��������������������?����������������������21����������������������
(7��/�����������������������������������(1��/���������������������5���������
�������� �����"� ��� ����������� ����� ���� ?��� ��� ������� ����� ��� �����������
��������"�����������������������������������������������������������������
������%(7 �5"�2 J�������������������������?�����������!
��%� ��?�����������������������������(1��/�������������������������������������������
�� %��/�����(1J����������������������������������������������������������� <J�
������!��������������������������������������������������������������*"�������
���!�������������������������������
�������;J"�<@�(S!
��%2 ����������������������������������������2�������������������?�������������
�����������������������������?���
������ 1��/�!
V = 30 m/s
u
�������� �� �����������)��.�� ��������:��
��%7 )������������������������������������������������������?��������������������
���������������������������������������7������������������������������������
(21�*�"���������������������������������������1�12������������������������������
����+�����"� ������ ��� ���� ������� ��� ��� (1J�� ���� ?��� ��������� ��� 2� �/�� ��� ��
����������������������������++��������������1�������������� ������������
����������� � ������ ���� �������� ��� ���� ������� ������� ���
�����������������������������������+����������������������!�����������?���������
�������������������������!�����������?����������������������������������������
������ �1(;��/�%"� �1(;��/�%!
M
��������� �� �������).����)��.�������� ������������
��%; )�������������������� �2��/�"����������������������������������@��/��������������
�������!��������������������������?���������������������������*������������������
����������������� ��� ��������� ���������� ������!���� ���� �������������������
������������ <��/����������������������������������������������������1� 2��(/����
���� ������� �������� % � *A�� ��������� ���� ����������� ����� ��� ���� �������
��������������������
������ %2�5"��<�%S!
��%< ������� ��������������71�*�/����������1�2��������������������� ��������������
2��(/�� �������� ���� ������� B��������� ���� ������� ��� ���� ����"� ���� �����������
��������������������������������"�������������������������������������
������<<�*5"�72��2S"�%�%��-A!
��%@ ��������� ������%1�*5�����������*�����������������(1�*�/��������������������
�����������������������*������������*�����������������������?������������
�����������������������211����������������������� ���������������������
������ �@<��(/�!
��(1 �������������������*����������?���������������������������������������� 2%��/��
������������������������������� /21������������������*��������������1�1�%��%���
�������������������� �%��*�/�(��)�������������������������������������������������
�������� ��� 2%2� �/�� ��� ���� ����� ��������� ��� �����������"� ����� ������� ��
�������R
������ � �*5!
��( ��21��������������++����������������������*������������������������������
����������������1�<1�����+������������������� ����A��������+�������������
�����������������*R
������((<�@;�5!
��(% ���������������������1�1<7�*���������������������������� �%@�*�/�(�����������
������� �������7��������� �������������������������������� ������������ ��
���������5�������������������������"��������������������������������������������
�������������������������������������������� 2��/�%�
������1�11@�*�/�!
��(( ��?�������������������������������� 111�*�/������)����*��� 11�*�/�������"������
%�*�/���������������������1�*5�����������A���������������������������������
��������������������������!R
������77��2 ��/�!
��(� �����������������������������������������q���71J������������+������������������������@21�*�/������������������*�����������������������21�*�/�����������������
����������������� �����1�������������������������������������������� <%2��/�
��� ���������� �� ����� ��������� ���� ����� �������
�����������������������)�������������������������������������q���%1J"����������������������������������������������������������������������R���������������
��������������������������������������������������*�����"�������������������������
��������������������?�����������������������������������������������������������
(1�*5��������������������������������������� ���������������������������"���
������������?��������������������������
������%<1�7 ��/�!
��(2 ��������������������$
��! .�����?������������������������������������������������?�����������������������R
��! .��������*�������������R
�������$�5�"��$�T��!
��� ����������
������������ ����������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������
�������� ��� ������� ���� ��� ����� ����� ��� ��� ����� ������� � ��� ��
������ !�� ��� ������������������ ��� �� �������� ��� � ���� �� ����������"�
����������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������� �������������������
������������������������������������������������������������ �� ���
��������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
�������������"�����������������������������������������#���������������
��������������������������������������������������������
"��������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������
��� � ������� ��� �������� ������� $�� ��� ������ ��� ����� ������������ ��
%������&���������� �������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������� �
������������� ������������������
���������� ����
�
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��� �������������������������������������
%������&�����������'������()��� �������������������������������������
'��&��������������������������������� ���������������������������������
�����������"����� ������������� ���'������()�� ������������������������
���������������������������������������������������������*������
���������������������������������������������������������������������
�������%������&����������������������� �������������������������������
������"���������������������������������������������� ������
"�� ����� ���� �� ���� ��� �� ������ ��� ��� ���������� �� ������ � �+
�������������� �������������������������������������������������������
"��������������������������� �,
� � � �+ v
����������������������������������������
— ¥�� �,
∂∂
∂∂
v�
�
�-
RSTUVW�,�-
�∂∂�
��,
∂∂
v�
�.�/�
"�������������'��&���������������� �������
r ��
�
�
�
∂∂
∂∂
+RST
UVWv �, - ∂
∂�
��.�0��
r �� �
∂∂
∂∂
vv
v+RST
UVW�, - ∂
∂�
��1�r� �.�0��
� ������������+�2����������������������������������� ����3��
�����������������������������������������'����.�/��� �����������∂∂
v���������
���∂∂�
��������'����.�0�������
∂∂�
�������������
∂∂
v��������'����.�0����"������������
��
� �
∂∂
∂∂
+RST
UVWv
v�, - /
r∂∂�
��.�4��
���� ��
� �
∂∂
∂∂
+RST
UVWv
v�, - -/
r∂∂�
�� �.�4��
5� �������������'����.�4������6��&�����'����.�4������6��&�������������������
� ����������� ����
��
��
�
��
��
��
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
� � � �+RST
UVW+ +
RSTUVW
vv v
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
, - +RST
UVW/
r∂∂
∂∂
�
��
�
��� � �1����� �.���
"��'����.����������������������������������������������������������
������������������������������� �,�
� ���7�
�� �����8����� ��v����� ���
���������������������� ����� ��
���,∂∂�
�����7�
∂∂�
���� �.�.��
�v�,∂∂
v�����7�
∂∂
v���� �.�.��
��� ���,∂∂�
�����7�
∂∂�
���� �.�.��
���������������'����.�.�����.�.���������.�.�������'����.���������� �������
�����7�v��v�, - /r����1�����
� ��
�0 0
0 0
RSTUVW
+RST
UVWv
�, - /r����1�����
� ��0 0
0
+RSTUVW
v�, - /
r����1�����
� �� 0
0
RSTUVW�, - /
r����1����� �.�)�
"���������������'����.�)����������
� � �
rz +0
0�7����, � �.�(��
3�������������������� �
� �
r+
0
0�7����, � �.�(��
"����������������'����.�(��������.�(��������������������������������
����������������������� ������������������������� � ����� �������������
��� ������� ����������� ��� ���������� ��� �#�� 5��� ������ ��� ������
'������()�������������������� ����������������������������"�������
������ ���������� ���� ������ ��������� �� �� ��� ��� ��������� ���
�������������� �� ����������������������������������������������������������
������������� ��"�������������������������������������������������
�������������� ������������������������������� ��� ������������������
�������� �9
"����������������������������� ���������������������������� ���������
�����������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
:
:
��
��, - —�
r�7�
�� �.�!�
���� ���������������������������������
"�� ������������ ��������:
:
��
�� ���� �� ������ ��� ���� ��� ���� ������� ���
���������������������
:
:
��
��,
∂∂
�� ��
�� �+ —� � �
3������������� ��∂∂
��
��,�-��������
:
:
��
��, � � �
� �� �—
"�����'����.�!����������������� �������
� � �� �� �— �, - — +�
�r
��.�;�
3������������������������� �#�� �����
—� �� �� �/ 0◊ �, � � � � � � � �
� � � � � � � �� � � � � � � �/ 0 0 / / 0 0 /◊ ◊— + — + ¥ — ¥ + ¥ — ¥
����/ �����
��0 �������� �����������������
3����/ �,�
��0 �,�
�� ������������������������� ����
—� �� �� �◊ �, 0 0� � � �
� � � �� � � �◊— + ¥ — ¥
� � �� �� �◊— �, —
RSTUVW
- ¥ — ¥�� �
0
0
� �� �
, —RST
UVW- ¥��
0
0
� �W �.�/-�
�������������W �,�— ¥
��
*����������������.�/-������'����.�;�������� �������
—FHG
IKJ + — -� �
�0
0 r
��,
� �� ¥ W �.�//��
��� �������� ���� ����� ��� ���������� ��������� ���������� ������� ���
������������������f����������� �, 1�—�f�
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
*���������������������� �����������f������'����.�//��������
—FHG
IKJ + — + —� �
�
0
0 rf �,
� �� ¥ W �.�//��
3������������������� ���W �,�-��������������������������� �—�
r�,�— �
rFHG
IKJ �
������'����.�//��������
— + +FHG
IKJ
� ��
0
0 rf �, -
�� �0
0+
r�7�f��, � �.�/0�
�������������������������������������������������� �����������������
��� ����������������������� f�������� ��� ���� ���� ����� �������������������
��������2����������� ����� ���'����.�/0�������
� �0
0+
r�7����, � �.�/4�
��� ���������������������������������
"�� �������� ��� ������� ������ �� �������� ��� ����� ��� 8��� ��.�/� ��
��������� � ����������� ��������������������������� ����� ��� �����
��������������������������������������������� �+�����������������
�������������������������������������������������������3����.�/���"������+
���������������������������������������/�����������
���,�
�
�
�
�
�������������������������������������������������������������
�����������������������������8����
����, ��q �3����.�/��
���,�
�
�
�
�
��
�
�
�
� = =q 0
��� �� ����������������������������������/��$��������� ���������� ��
������������������������������#�� ����������������������������"���������
������������������������������������ ������������������� ���
�
�
0
�,/
r∂∂�
��7�������q �.�/��
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
Streamline
o
p
p +
dq
r
dq
V1
dn
dn
q
∂ p∂ n
n
sdz
dVs
dVn
V
V+
d ÆV
Æ
�������� �������� !���"#$%&'�()$&�*�+ &
��∂∂�
�� ��� ��� ����� ������� ������ ��� ���� ������ ��� �� ������ ��� ��
������������ ������������������������������������������ �����������
��,�
�
�
��
0
0+ +
r�.�/.�
��������������������������������������������������������$�������
���%������&�������������������������������������������������������
���������������������������� ���
∂∂�
��, -
:������������'����.�/.�� �������������� ����
∂∂�
��,
�
�
�
� �
�
�
�
�
∂∂
∂∂
∂∂
+ +/
r�.�/)�
8������������∂∂�
������'����.�/��������'����.�/)�� �����
∂∂�
��,
�
�
�
�
�
��
�
�
∂∂
∂∂
+ + -FHG
IKJ
0
���q
8��� ����q�, ∂∂�
�
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
��������
∂∂�
��,
�
�
�
�
�
�
∂∂
+FHG
IKJ �.�/(�
"��'����.�/(�����������������������������������������������������������
�������������������������������������������������
����� ,�� &��+$"#��$���$)&-�����(
<��������������2���� ���������������� �� ���������������������
�������"����� ���������������������������������� ����������������
��������������������������������������������������������
�q�π�- ���,�-
���q��������������������������������������������������������������
"������������������������������ ���������������������������� ����������
�����������������
∂∂
∂∂
�
�
�
� �
�� �+ + / q
q�, -
�������������������������2���� ������∂∂�q
q�,�-�������q���������������������
q�� �����q�������������������������
'���������.�/(�������� ������������������������������������������
������������
�
�
�
��,
�
�
�
�
�
�
q q q�
�+
FHG
IKJ �.�/!�
��������������� 3����2���� ����������������������2���� �� �
��������������������������������������������������� �������"����
������������������������������������������������������������� ������
"����� ��� ������ ���������� ���� ���� ���� ���� ���� �������� ��
��������� �������'����.�/!��� �����
�
�
�
��,
�
�
�
�
�
�
q q q�
�+
FHG
IKJ �,�-
�/
� �� �
�
�� �q
LNM
OQP�, - �.�/;�
�������������'����.�/;������
�q�,�
��.�0-�
"��'����.�0-�����������������������������������2���� �� ��������
���������������������� �������"��������������������������������������
���������'����4�0(�����
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
W�, ∂∂
∂∂
�
� �
� �
�
�q q
q- +/
�������������2���� ������������ �������
W�, ��
�
�
�
�
q q+
3���������2���� ������������'����.�0-���W�������=���"���� ��������������������2���� ��������������������������������������������
��������������2��������������� �����8���.�0����������������������������
���������������������������������������� �������"���������������������
����������������������������������������������������������������
��� ���������� �� ������"��������������������������2���� �������������
Æ�-���q�Æ�µ��>'����.�0-�?������������������������������������������������������,�-� ���������������������������������������������������������������2����
������� �� 2����� ��� �� ,� -� ��� ���������� ��� �� ��� ������� �������� �����
���������������-����������������������������������������������������������
������"������������������������,�-���������������������������������
���2���������������������������������������������� ���������������� ��
����������������
����� ���������� ����� ��� �� ������������ �� <���� ������������ ��� �� ���2
��� ������������������������������������������������������������������������
"������������������������������������������������2���� ������� ����
��������������'����.�/�����
/
r�
�
�
��,
�
�q0
�1�������q �.�0/�
�/
r�
�
�
��,
�
��
�
�
q0
- �
��.�00�
���������� '��� �.�00�� ���� ����� ��� ���� ���� ���������� ��� ��� � ��� �
������������ �����
�
r�, �
�
�q0z ���1����7�� �.�04�
�����������������������������������������������������������������
3���������2���� �
�q�,�
�
���'����.�04�������
�
r�, - �
�
0
00�1����7�� �.�0��
��������������������������,��������#�� ������������������������
�������������������.�0��������� �������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
� �- ���
r�,
�
� ��
0
0 00
/ /-FHG
IKJ �1�����1����
,� �� � ��q =
0
0�1�
�q0
0�1�����1���� �.�0.�
���������������������������������������������������������������
����������'���������.�0.��������������������������������� �����������������
%������&������������ ������� ��������������,����������,��������������2
��� �����������������������������������������"�����������������
������������ ��������������������������� �����������������������������
�������������� ������������ ��"������������������������������������
����������������������������������������������������8���2���������
������������������������������ ��������������������������� ������ ��
���������� ����������������������������������������������� ��� ������ �
���������������������� ������������������� �������������������������@���
����������������
���������� ����������� $� ����������� �� ���2�������� ��� �������� ��� �
�������������������������� �����2������������������������ �����3����.�0��
������������=����������+�����������2������������������2�������
������������������������������'����.�0-���"������������������������������
������������������� �������
� �
�r+
0
00�7����, ������������ �.�0)�
"��������������������������������������������������'����.�0)����
���������� �� ��� ��������A� ������� ��� ���� ��������� ����� ��� ������ ��� ��
����������������������������������������������������'����.�0)����������
�������������������������������������� ����,�-������������
�������3����.�0���������2�����
Free surface
Constantpressure lines
Datum
V2 C2
V2p2g 2gr2
2grg
=
H z= +
z
+
�������� �.�+ '$+"���/$&&�%�$)&-
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
����������������� $�����������������2���� ������� �+��������������
��� ���� ���������� ��� �� ���� ��� ����� ��� ���������� ���� �������������
����������������������� �������������������������������������������
����������� ��� ��� ������ ��������� ��� ��� ������� "���� ��� ��� � ����
�3����.�4������������������������������
�q�,�
�
/ �.�0(��
��� ���,�
�
0 �.�0(��
"���� � ���� ���� ����� ��� ���+
������������������������� �������
���'����.�0(��� �����������2����
������������������������2���� ����
a� ������ ��� ����� �� �� ���������������
�� �� �����������������
��� �� �������� �3���� .�4��� ���� ��
�������������������������������q���
���� ������� ���� ��� �������� ��
��������������2�������
/
�
��
�q�, ����a �.�0!�
$����� ����� ��
����a�, �
�
�
�
�
q= 0
/
�������� ��������������������a��������������������������������������� ���'��� �.�0!�� ���� �� ��������� ������� ���� a� ��� ���������� ��� ������� ������������������������
��, �-��q�����a�,��-��
�
�
0
/
FHG
IKJq
�.�0;�
���-����������������q�,�-��3����.�4���'���������.�0;����� �����������������������������������������������B��������
�W �������������'����4�0(��������
=����������� ����������������'����.�0(��������.�0(����"�������������
�����2���� ����������������������#���������������2���� �����������
���������� ��������������� ��� ������� ��� �������"�������� � ��������
����������������������������������� �������������������������������
���2���� �
����������������� 3�� �� ����������������������������������
���������������������������������������������������������������#�� ����
������� �&�*&)$.��/�(0+$���/���
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ��
����� ������� ������ ����� ���!��� "�� ��� � ����� ��� ������� ��� �� ����
������������������
�q�, w � �.�4-��
��� ���, - �.�4-��
$���������������������� ��������������������������w���#�������������� �������������2���� �����������������"������������"�����������W��������� ������������������������
W�, ∂∂
∂∂
�
� �
� �
�
�q q
q- +/
, w�1�-�7�w�,�0w"���������������2�������������������������A��������������������������
������������������������0w��'���������.�/(������������������������������������������������������������������
�
�
�
��, �
�
�
�
�
�
�
�
�
q q q w�
�+
FHG
IKJ = 0
0
����������������������� ������ ��������������������=������������
����
�0�1��/�,w 0
����00�1��
0/� �.�4/�
"����� �������'����.�4/�������������������������������������� �����
������� �����������������������"�������������������������������������
����������#�������������� � �#���������������������������������
"����������������������������� ������� ����������������������+
=����������������� ��������
�0�1��/�,�
�
�
�
�
�
�
�0 / 0
0/0
0 0r r-
LNM
OQP
+ -LNM
OQP
,�
�
�
�
0 /
r r-
LNM
OQP�7�
w 0
0�>�00�1��
0/?
8�����������������2�����������0�1��/����'����.�4/��� ���
� �0 /-r
�, �w 0
0�>�00�1��
0/? �.�40�
"���������������������������������������������������������������������
������������������
/
/
0
r�
�
�
�z ����,�
�q0
/
0
z ����,�w0�/
0
z ����
�� �0 /-
r�,
w 0
0�>�00�1��
0/?
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
"���������������������2���� ���������������������������������
������� ���� ����� ��� 2����� ����� ��� �� ���� ������� ��� �� ������
��������������3�������2�������������������������������������������
���������������������������������������������������������$�������������������
��������� ��� ������ ����� �� ����� ���2� ��� � ��� ���� �������$����
�������2���������������������������� ������������������������������������
������������������
����������������������� $��������������������2��������������=������
��� ����������� ������ ��� ���� �� ������ ��� �������� �� ����������� ����
��������������������3����.������$���������=��������������������������������
������������'����.�4-����"������������Cr��������������������������������������������������������������� �������������������2������3����.������%�
���������'����.�40���� ������������������6�&��������������=����������
�3����.����� �����
��1��-�,w 0 0
0
�
��.�44�
'���������.�44������������������������������ �����������������������
���������������2������������������������������������������������������������������
����������� ��������������3����.�������������������������2�����������
��������������������� ������������������ ������������ �����������
������� �������������
rr
pr
po
0 a Datum
(a) (b)
z0rg
rgz
������� �.�+ '$+"���/�$"&'�%�$)&-�1�2��0& �%&((&��132�"��(&'�%&((&�
������ ������� ������ 8������������� ��� ����� ������ ��� � ��� ���� �
��� ����� ��������������������������2��������������������������2
��� �
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
��4 ���������������������� ���
������������������������������ ��������������������������������������������
���� ��� ��������� ��� ������������� 3������ ��� ������������� �� ����� ��� �� ��
����� �����"��#���������������"������������������ �������������� �
������������������� ����������������������� ���������������������
��4�� ������+)5��� ()� )��""&�&$�)+�
����������������������������������������� ���������������������������
���������������������������������������������������� ��������������
�������������������������������"�� ���������������������������������������
����+���������������������������������������������������������������
������������������������������������ ������������������������������������
�� ������������������������������������������� ���������������������
���������������������������������������������������������������������
�������������������5��������������������������� ����������������
������������������������������������������������������������������
D�������������������������������������������������������������
����������������������������� �����3����.�.��"����������������������
�����������"����������������������� ������������������������� ���
�����������������������������2���������������������������������������
"������������������������������������2�����������
��
�� �
�
��-
FHG
IKJ - +
FHG
IKJ
LNM
OQP
∂∂
∂∂
/
0
/
0� � ������
,∂∂�
����������
p - p +
p +
p +
z az
ay
ax
ax
dz
o x
p -
p -
∂ p ∂ p
∂ p
∂ p
∂ p
∂ p
dx dx
p
dx
dy
dy
y
dz
dz
dy
∂ p ∂ x
∂ y
∂ z
∂ z
∂y
2 2
2
2
2
2
∂ p
∂y
�������� �6#+�+3$+#*��/�/�#+'�&�&*& )�*�%+ !��+)5�"� ()� )��""&�&$�)+�
"����������������������������������������������� �������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
r�������������, - ∂∂�
����������
�∂∂�
��, 1�r��� �.�4���
��r���������������������������������������������������������������������������+�������������� �������
∂∂�
��, 1�r��� �.�4���
"�����������������������������������������������������������
����������� ������"�������������������������������������������� ����
��
- -FHG
IKJ
∂∂�
��r ����������, r������������
�∂∂�
��, 1�r ���7���� �.�4���
��� ��� ������ ����� ��� �������� ��������� ��� ����� �����������
>'��� �.�4����� �.�4���� ���� �.�4���?� �� ������� ��� ��� ����� �����������
�����������������������
��� ��������������������������� ����������������� ���������������
����������������������=�������������������������������������������� ���
����������� ����
���,∂∂�
�����7�
∂∂�
�����,�-
��
�
�
��, 1�
∂∂∂∂
�
�
�
�
�,�-+�
� �
�
�
�.�4.�
8������������������������������������������������������������������
������E������������������������������2������ ����,�����A�������������
���������������������������$�������������2������ ��������������
���#��������������������������������@�����������������������������������=��+
�������������3����.�)���� � ���,� ���,�-������ ������������������������
�����������������
����q�, �� C���,�1���C�
���������#����������������������������������������������������������
'����.�4.�����C���,�-���������������������������������=�������"����
������������� �������������������������� ��������������������������������
�����������������=�������F����� �������'��� �.�4�������C���,�1� r���1����,�-��"��������������������������������������������������������2�����
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
������������������������������������������������������"�����������
���������� ����������� ������� �� �� ������ 2������ ��� 2������ ��� ��
�������� ��� ����� 3��� ��� ����� ������������ ��� ��������� ����� ���� �
����������������������������������������������������� ����������������������
����������#�����������������������������������������
3����� ����������������������������������������������������������
�����������������������'����.�4���������.�4������
��, z ���,� ∂∂�
�z ���7�∂∂�
�z ��
, 1�r������1�r����7������7��������� �.�4)�
"����� ���������������������������������������������������������
������������������������������������������$�����������2���������
������������������������������� ������������������������������� ���
z����� h� �2�� �3���� .�)���� ������� ���� ���������� ��� ��� ��������+��������������������"�����C�z�,�-����
∂∂�
h�,
∂∂
∂∂
�
� �
h�,�
- rq��
����.�4(�
$���������'����.�4.��
�
�
�
��, ����q�,� -
+�
� �
�
�
��������� ����q�, �
� � �
�
� �� � � � C0 0 / 0+ +�.�4!�
8���� �� ��� �� ��������� ��� h� ������ ∂�C∂h� ���� �� ����� ��� ��C�h�� ��� ��'����.�4(�������� ����� �����������������'����.�4!����
Original liquidsurface
(a) (b)
Constant-pressureplanes
z
ax
h
x
z
q
z
x
q = tan { /( + )}-1 -a g ax x
�������� 1�2��+6#+'�(#37&")&'�)��# +/�$*��""&�&$�)+� �132�"� ()� )
0$&((#$&�0�� &(
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�
�
�
h�, 1�r���0��7����7����
0�/C0 �.�4;�
$� ���������� ��� ��� '��� �.�4;�� ���� ��� ����� ������������ �������� ��
������������ >'��� �0�/��?� ��� �� ����� ����� ��� ���� ��� �������������� ���
���������������������������������������������������������������������
G�0��7����7����0H/C0���#��������������������h����������������������������
��� ,�����,���������8���������,8��
3�������� ���� ������������������������������ ���������� ����
����� ����������������������������������������������$�����������
������������3����.�(���������������������%�������������������� ����������
��������������������������������������� �����3����.�(� �������������������
���������������� ���������������������������������������$������������
���� ������������� ��� � ���� ��� �������� $� ������� ������� %� ���� ���� ��
������������������&��"�������#�� ������������������������ �����������#�$
�������������������������������������"������%�����������������������#�� �
����������������������������������������"��@������������������� ����������
����%���������������������� ���� ��9
��� � ������%������&���������������������������������������������
� ���������������&������� �����3����.�(�� ����
�
�
�
r�7�-�7����,
�
�
�
�
& &
r+
0
0�7��& �.��-��
C
A
BzB
zA
T
h
H
zc
Dz
SD
�������� 8.'$�#�+"�(+05�
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
"����������� ������ &���������������� ��� ������������������
B������������������������������������������&����������������������#�$���
��������������������������������%�� ��� ��������'����.��-��
�&�, 0 0� � � � �� &� �- = D �.��-��
'���������.��-������ ������������������������&���������������2������
���������������������������� ��������&����������@�������������� ����
���#�$���������������%�
"��������������������������������������������������#����������� ��������
'����.��-����������������������
�
�
�
r�7�-�7����,
�
�
�
�
& &
r+
0
0�7��&�7��'
���������� �&�, 0� � �'� �D - �.��-��
����� ���, �&�,����������������������
��'������������������������������������������������������ ����������&�
���� ��� �������� �&� 2����� ��� ���'��� �.��-��� ������ ���� ����� ����
�������������'����.��-���������������������������D���������������������
�����������3����.�(����������������%������&������������ �����������"��
�������������������������������
�
�
�
r�7�-�7����,
�
�
�
�
� �
r+
0
0�7��� �.��/��
�����������������+����������������������������������� ���������
�������������&�,������������'����.��/��������� �������
�
�
�
r�,
�
�
�
�
&���
r-
0
0�1�� �.��/��
�8��������,��������������������������������1����,���
����������������������������������������'����.��/��������
�
�
�
r�,
�
�
�
�
&���
r-
0
0�1���1��¢' �.��/��
���¢'������������������������������������������ �������������"���������������������������������������� �������������������������������
��0&C0��7���7��¢'���"����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���� �������������=��������������������������������������� ��*���������
����������������¢'��������������������� ��������������� �������������������� ��������������������������������������5� ������������������������������
�������������� � ������������������ ������������������� �������������
2������������(� �����������������������2������3��������������������
%������&������������ ��������(�� ��������������������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�
�
(
r�,
�
�
�
�
&���
r-
0
0�1��
�8���������������������������������(������������������&�
3������'����.��-���
�
&0
0�, D�
"���������������
�
(
r�,
�
�
���
r�1��D���7��� �.��0�
"��'����.��0������������������������������������������%������&���������
�� ��(�����&�
����������������������������������������������������������2������
�������������������������������������������#������������������� ����
�������������#����������� ����������� ������������"�����������#����
����� �� ��� ����� ��� ������������ �� �� "��� ���#��� �� �������
��������I��������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������
������������� �������������������������������������������������"���
������������#�� ������� ���������������������������������������������
�����������������"�������������������������������������������������
�������#��� ��� ��� ������� ��� ��� ���#���"���� ��� ������ ������ ��� �������
������������� ��������������������������� �����������������������
��������������#���������������������������3�� ���������������������
���������0-�#����0������ �����"�������������������������������������
��������������������������������������������� ���������������������
������� ��� ������� �� ����� ��� � ����� ��� ��� ��������� 3�� �� �������� ����
����������������������#�����������(�����������(�J������ �����������������
���������#���������������#������������
��9 �����������������������8�����
������������� ���������������������@����������������������������������������
����������������������������� ��������������������� �������������������
�� �����������������������@���������������������������������������������
��������������������������������������������������������������"���
������������������������������������������������������������
��� ��� ������ �������� �������� ��������� ��� ���������������� ������������
����������������
$��������������������������������� ��������������������������������
������������������������������������������� �������������������������
��������������������������������� ������������������������������������
�����������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
%��������������������� ������ ������������������������������������
�������"���������������������������������������������������������������
������ ���� ��� �������� ������� ���� ������ ��� �� ���������� �������
�� �������$�� ������������������������������� �
��9�� ��((&(�#&�)���#''& �� ��$!&*& )
����������+���������������� ������������� �������������������������������
�3����.�!����������������������������������������������������������
����� � ��� ������ ��������� ��� ��� ��������� "�� �������� ��#�� �� �������
�������������������� �����3����.�!���"������������#������������������
���������������������������������������������������������������������
����
"���������������������������������������������������������������������
����������������������� ��������������������������������������� ���
��������� �������������������������������"�������������� �/���
������� �1"� ����� ����������� ����������� �0����������� �1���������
����������������/������������������� ���������������0��������������
���������������"���������������������� ���������������� �#���������
������������������������������� ��� �������������� ��� ��������
����� �������������������������������������������������0�����/��
"�����������=�������������������� � ����������������������� ���������
���������������������������������+�������������� �����3����.�!����������
����������������������������������3����������������K��������������������
������ ��� �������� ��� �������� ��� ��� ������ �������� �� ������� �������
������� ��� ��� ����+�������� :�� ��� ��� �������� ��2���� ������ ��� ��
������������������������������������������������� ��������������1�
���� ����������� �����2�������!� ����� ��� ������������$�������
�������"��������������������3����.�!������ ��������������������
������ �������
p1
A1 A2
p2
V2
a
b
d
(a) (b)
hg f
e
cV1
������� 1�2������)5$�#!5��3$#0)�3#)�/+ +)&�& ��$!&*& )
132�������)�+ /+ +)&�& ��$!&*& )�1�-+)���((2
�/�/�7��¢���0�1�/��1��0�0�, r)���0�1��/� �.��4�
���/���0����������+�������������������������������������������
��������������)������������������� ���������¢��������������������������������������������������������������#�� ������2��������������
����¢�,��/
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
������'����.��4�������
��0�1��/��0�, r)���/�1��0� �.����
3����������������������������
)�, �0��0 �.��.�
���������������'����.��.���'����.����������
�0�1��/�, r�0���/�1��0� �.��)�
$��������%������&������������ �����������"����������������������������
��� ��������������������������2���������������������=������� ����� ��
� �/ /0
0r+ �,
� �0 00
0r+ �7���'
�� �0 /-
r�,
� �/0
00
0
-�1���' �.��(�
���'��������������������8��������������0�1��/������'����.��)�������'����.��(��
�������
�'�,� �� �
�
/ 00
0
-�,�
�
�
/0
0�>/�1���/C�0�?
0 �.��!�
����� ������������������������'����.��!��������@����������������������
����2���������� ������������2��������������� �������������� ���������
����������������
��9�� �-+)���((
�������'����.��!����0�Æ�•����������������������������������������������0/C0���"������������������������������������������������������������
��������������� ������� ���� ����������� �� ���3����.�!���8���� ��� �����
���������������������������������������#���������������������
���������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
���2��������������������������������������������������������������������
����
��9�� ��((&(�#&�)���#''& ��� )$�")+�
$�� ������ ����������� ��� ����������� ��� ��� ��� ��� ������ �������
�3����.�;��� ������������������������������ ������������������������
���� ���� ��������� ������ ���� ��� ������� ������� ��� ��� ���� ����
� ��������������� ������������@���������������������������������+
�������������������������������������������������������������������
�����������"�����������������������������#�� ����� �����������������
����� ��� ����� ����� ������ ��� ����� ��� ����� "�� �������� ��� ��� � ��� ��
��������������������������������8���/1/����8����1����������������
��������������������������������������������������������������
������������������������ �������%������&��������������������������� �
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ��
����������������������������������������������������������#������
%������������������������������� �����8��� �1�� ���8���010�� ����
���������2������������������������������#�����������������������������
����� ������������������������������������ ��������������
�� �������������������1����������� ������8���010��"����� ������
�����������������������������������������������������������������������
������������������������� ��8����1�����8���010��"����� �������������
��� ������ ��� ��� ����������� ��� ���� ��� ��� ����������� ������� ���� ��� ��� ��
2������������� ��������������������3���� ����'����.��!��������������������
��������������� �������
�'�,�
�
00
0�>��0C����1�/?
0�,��
�
00
0�>�/C����1�/?
0 �.��;�
(1)
(2)c
c (2)
Area Ac
Area A2
Area A1
V2
(1)
�������� �����)5$�#!5���(#''& �"� )$�")+�
������������������+��������������������������������������������
��������������������������������
���, ��C�0 �.�.-�
'���������.��;�������������2�������
�'�, *��00C0�� �.�./�
� *�, >�/C����1�/?0 �.�.0�
$���������������/��������2�����������������������'����.��;�������������
��� ������ ��� ��� ����� �0C�/�� 3�� ���2���� ������� ����� ���� ��� ������ ����
K��������������"����.�/�������������������������������������*�
���������
�0C�/ - -�-� -�/) -�4) -�)� /�-
* -�. -��. -�4! -�0! -�/� -
��9�4 � )$.���((
$���/�Æ�•�������������*�������'����.�./����������-�.������� �����"����.�/�"����������������������������������������� ���������������������������+
���������������� ��������� ��������������������� ����� �������
�3����.�/-����"����������������������������������������������������-�.
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��00C0��� ���� ��� #�� �� ��� ����� ������$� ��������� ���� �3���� .�/-��� ������ �
����������������� �������������������������������������������� ��������
�3����.�/-���������������������� ������������ ������������������������������
�����������������������������������=�����������������������
�����������������������������D������������������������������������
��#�����������������������������������������������������/-�
(a) (b) (c)
> /2d
d d
Radius
Usually acceptedvalues of K
1.00.5 0
> 0.14d
��������� �����/$�*���$&(&$%�+$�)����(5�$0�&'!&'�0+0&
��: �������������������������8���8�,�,�
3�� � ��� ������� �� ���� ��� �������� ������ ��� ��������� �� ���2���� ��
����������� ������ ��� ���� ���� ��� ������� ��� ����� ���� ������ ��
������������"��������������������������� ���������������������
������������������������������� ������������������%������&����������
"������������ ���������������������������"���������B�������
�����E�����������������3�� ���==��
��:�� �& )#$+*&)&$
$����������������������������������3����.�//����������������� ���������
����� ��������������������������������+������������ ���"���������������
�������������������������#�� ���������������"��� ���������������������
������������������������������������������������ �������������
����� ��������������������������������� ���������������������
Direction of flow
��������� ��%& )#$+*&)&$
"��������������� ������������� �������������������������������
��#������������������������������������� ��������� ���������������
��� ��������������������"��������������������������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
��������������� ��� �������������� ��� � ��������� ��� ��������������� ��
�������������������������� ������������������������������������������
�������������������� ��������������������������������������� �����������
������������������%������&��������"���������������������2����
����� ��������� ����� ����������������� ��� ��� ������� 8����������� �
���������������������������������������������#����������������
��� � ������� ��� ������� ����� "���� �������� ��������� ��� ������ �������� ���
������������ ������������� ��������������������������������+������
������� �����������������������������������������L��������%��������B����
���/(;(�
3����.�/0���� ����������������������������������������������������
�������������������������� �������������������D��������������������
����������������������������������2��������������������� �����������*��
�������������������������������������������������� ��������������D����
�����������������������������8���/�����/������/����������� ��������
�������������8���0�����0������0��5� �����������%������&������������ �
8���/�����0�� ���
�
�
�
�
/ /0
0r+ �7��/�,
�
�
�
�
0 00
0r+ �7��0 �.�.4�
�� �
�
00
/0
0
-�,
� �
�
/ 0-r
�7��/�1��0 �.�.��
��r�������������������������� �����������������������3���������������0��0�, �/�/ �.�..�
��������� �&�(#$&*& )��/�/����3.���%& )#$+*&)&$
���0������/����������+�������������������������������������������
������������������������������'����.�..���'����.�.��������� �������
�
�
�
�
00
00
/00
/-FHG
IKJ �,
�
��
�
��/
/0
0r r+
FHG
IKJ - +
FHG
IKJ
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
� �0�,/
/
0
00
/0
/ 0
--
�
�
� � �� �M M �.�.)�
�� �M/� ���� �M0� �� ��� ��=������ ����� ����� ��� 8��� /� ���� 8��� 0
������������������������
�M/�,�
�
/
r�7��/ �.�.(��
�M0�,�
�
0
r�7��0 �.�.(��
���������������� ����������������������������
)�, �0�0�,��
�
�
� � �0
00
/0
/ 0
/
0
--� �M M �.�.!�
�������������������� ��8���/�����0������������������������
��� �����3����.�/0�� ����� ��
�/�7�r����/�1��-��, �0�7�r����0�1 �-�1�D���7�D��r#�
� ��/�7�r���/��1���0�7�r���0��, �r#�1�r���D�
��
��
�
��/
/0
0r r+
FHG
IKJ - +
FHG
IKJ �,
rr# -
FHG
IKJ/ �D�
� �M/�1��
M0�,
rr# -
FHG
IKJ/ �D� �.�.;�
��r#�������������������������������������'���������.�.;����� ��������
������� �� ���� ������ �� ����� ��������� ���������� �����=�����
�������5� �������������������M/�1��M0�����'����.�.;�����'����.�.!������
)�,� �
� �� �#
/ 0
/0
00
0 /-
-� C �r r D �.�)-�
���������������� ���������������������=������������/�,��0A��������
�M/�1��M0��������/�1��0�� ���/������0����������������������� �
�
�/
/=FHG r
�
��
�0
0=IKJr��"�������������������>'����.�.;�?����������
�/�1��0�,rr# -
LNM
OQP/ �D�
"�����������������������������������������2������������� ���������
���'����.�)-�����������������������������D�����������������������
��� ����������+���������� �������������������������������=�������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
�����F�������������� D��� ���������� �����=�������������� �
8���/�����0���������������� ������ ������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������
"�����'����.�)-���� ��������������������������� ����������������#
����������������������������������������������������������������������������
����������������'����.�)-����
)�������, ���� �
� �� �#
/ 0
/0
000 /
--� C �r r D �.�)/�
"������������������������������� ����������������������������������
���,$�������������������
"���������������������
��� ��� ��������� �������� ��� ��� ������� ��� ���'��� �.�)-�� ���� ��
�������������� D��� ���� ��� ������� ��� ��� �������� ��� ��� �������� ��
�����������������B������������������������������������� ��-�;.���
-�;!�
��:�� �$+/+"&*&)&$
$�������������������������������������������������������
������ ���������������$������������������������������������������ �����
����� ���� ��������� ������� ���� ��� ����"�������������� ����� ��2�� ��� �
�������������������3����.�/4������������������������������ ���������������
�������������������������������������� ���������"������-���������������
�����������������������+�����������������������"����� ��������������
�������� ������������������@��������������������� ���������������������������
������� �� ������ ��� ������ ����� ��� ������ �� ��� ���� ��������� ��
��������������2�������������� ������������� ��������E����� �������
�������� �����)5$�#!5�� ��$+/+"&*&)&$
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
������������������������������������������������������������������
����� �������� �������������������8���/1/����������������������������
��������������� �����������������������������������������������������
����� �������������������������������������������8����1���� ����
����������������%������&��������� ��8���/1/�����8����1��
�
�
�
�/ /
0
0
M
r + �,�
�
�
�� �M
r +0
0 �.�)0�
���M/������M���������=���������������8���/1/������1�����������
3����������������������������
�/��/�, ����� �.�)4�
�������������������������������������������������'����.�)4���'����.�)0�
������ ��������
���,0
//
0/0
� M� �
� �
�
�
--
M�
� C �r�.�)��
K�������������������������������������������=�������������������
�������������� �����������������������������������������������������������
��� ��������������������������v���� �������������/����������������������
��������������������������� ����������������M/�1��
M�����'����.�)�����
����������������������������������������������������������D�
��� ���, �v�0 /
/ 0/0
� �
� �
#
�
� C �
� C �
r r --
D�.�).�
��D�����������������������������������������������r#�������������
����������������������
B����������� ��� )�, ����� �.�))�
������������������������������������������������,���C�-�� ���-������������
��������������'���.�))�������� ������ ��������������'����.�).������
)�, ����-��v�0 /
/ 0-0
/0
�
� � ��#
�
� C �
� C �
r r --
D
, �v�����-�0
//
0-0
/0
�
� � ��
�
#� C
� C �-
-r r D
, � �#� C �r r -/ D �.�)(�
���� ��, ����-�0
/ 0-0
/0
�
� � ��� C �-�� ������,��v����
"�����������������������������������������������������������K������
����������� ��"�������@�������������������� ���� ����������������
����������������������������������������������������������������������
"���� ��������������������������������������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
���������������������������������������������������������������������
��� ���� ������� ��� ��������� ���� ��� ���������� ��� ���=�� ��� �������� ������
���������� �� ���� ��� ���������� ����������� ���� �� ��� ����� �������
:��������������������������������������������������������������
��������������#�� ������������������������������
��:�� �������;;�&
"�� ��� ���==����� ��� �� ���3����.�/�� ��� �������������������� ���� ��
�������������������"������������������������������������������� ���
�������������������������������"����������������������� ��������
������������������ �����������������������������������������%�������
���������������������������������� ��������������==���"���� �����
��������������������������������������������������������������==���
�����������������������������������==���"�������������� ������#����
����������������������"����������������������������������������==�����
�����������������==���������������K������������������ �
1 2
�������� ��/���� �;;�&
$�������������������������������������������������������������������
������ ����������������������������� ���==�������������� 9
"������3�� �� $������ ���� D������ "�������B����
"����� �� �����
B������ ��� ��� D� -�;.����-�;!
E������ D� D� ��� -�)-����-�).
3�� ���==� ����������� ��� -�(-����-�!-
��������������
�������
��:�4 �� "&0)��/��)�)+"�� '��)�! �)+� �,$&((#$&(�� '�00�+"�)+� ��/�,+)�)��#3&�+ �������&�(#$&*& )(
������� ����� �� "�� ������������ �� ����������� ����� ������ ��
����������������������#�� ����� ����������������������!���������������
����������������������������������������������������������������
�����������������������������������#�� ����������������������������3����
��� �������������%��+������������������ ����������8��#&���� ����2������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
���8���!�0��������������������������������������������������������
�����������������������������������"���������������������������
���������������������� �����������D������������������ ��������������������
������ ������� ��� ��� �� ��� 3���� .�/.��� ��� �� ���� ������� ��� ��� ���� ���� ��
������������������������������������� ��������������������������
������ �����"��������������������� �������#�� �������!��������"�������������
��������������������������������������������������������������������
��� ��� ��� ��������� ��� �������� ������ ��� �2��� ��� ��� ����� ��� ����
������������� ���2������ ����������������� ��� ��� ��� ��������������� �
����+���������������������"�� �����������������������������������
������������������������+������������������������������������� ����������
����� ��� ����� ������ ��� ������ ��� ��� ���� ������ ���� ����������
�������������2����������3����.�/.�������������������������������
������������
Static probe
Wall tap
(a)
(b)
32
1
p
��������� �&�(#$&*& )��/�()�)+"�0$&((#$&�1�2�(+ !�&������)�0
132�*#�)+0�&������)�0
���������������� �� "�� ������������������� �������� ��� �� ������ ��� � ��� ��
����� ���������������������������� ����������������������������"�
��� ������������� ������� ������� ����� �������#��������������� �����
������� ��� �����=�� ��� ������ ���� ����� ������ "���� ��� �������� ����� ��� �
�� ���"�����"����������#�� ����� �����������������D��������������
��� ���������������������������������3����.�/)���$��8���/1/������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
������������������������������������������������������������������@������
�������� ���������������������� ����������������������� ��������������
������������������������������������������������������������� ������������
������������������������������������������������������&� �������������
���������� �������� ���������2������%��������������������%������&���������
�� �� ��� ������� &� ���� ��� ��� ������������ ��� ��� ��� � ��� �� ��������� ���
������������� �����
�-�, ��7�r� 0
0�.�)!�
Pressuremeasuringdevice
p < p¢0 0
BAV
1
1
��������� �&�(#$&*& )��/�()�! �)+� �0$&((#$&
�� �� ���� �� �� ��� ����� ���� �������� ��������� ��� ��� ������ �� ��
8���/1/�������-���������������&� �������������������������������������
�����������������������������������������������'����.�)!��������������������
������-�������������� ����������������������������������r�0C0� ����
���#�� ���������#�����������"����'����.�)!�������� �������������
��������������
�- , � 7 /0�r�0 �.�);�
8��������� 8����� :���������� ���� ����
� ��, 0 -� �C� �- r �.�(-�
"������������������'����.�(-����������������������������������������
������������������������ ���������������������������� ���������������%��
������������������������������������������������������������������������
��������� "�� ����� �¢-� ��� ��� ����������� ���� ��������� ��� ���� ������������������3����.�/)�� ������ ����������������-�������������������#�����
���� ������������������������������������������������������"������
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��#���������������������������������������������������������'����.�(-�
��
��, �� 0 -� �C� �- r �.�(/�
������� �������������� ������ "���������������� ������������<����
���� ��������������������3����8�������� ���<��������/(40�����������
�������������������$��������������������������������������������������
�����������������������������������E�������������������������� � ���
������������������������������������� �����3����.�/(���"������������ �
�������������� �������������������������������������������������������
�������������� ���������8������������������������������������������
����� ��� ���������������������� ��� ������������ � ��� �� ������� ��
������� ��� ���� �� �� ��� ������� ��� ��� ������ ���� ���� ��� �� �����
�������������������������������"����� ����� ������������
��������
�-�1��,/0�r�0�,���r��
V
AV
h
(a) (b)
p g V g/ + /2r 2
p g/r
V g2/2
��������� �+*0�&�0+)�)�)#3&�1�2�/�$�*&�(#$+ !�)5&�()�! �)+� �0$&((#$&
132��+)5�()�)+"�� '�()�! �)+� �)#3&(
�� �-�� �� ���� �� �� ��� ����������� ������ ������� ����� ���� �������
���������������������3����.�/(���
� ��, 0��
8�������������#�� �����<������������������������������������������������
��������������������������3������������������������ �������������������
��������������������������������������������%����������������� ����������
�����������������<������������������������������������������������
����������������������������������F������������������������
������������������������������������ �����3����.�/(����"���2������������
�����������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������@�������
���������������"�������������������������������������� �����������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ��
�����������������$�<����������������������������� ���3����.�/(���������
��� �����������������"��������� ���<����� ������������� ��� ����������
������ ���� ��� ��=������ ����� �������� ��� ������� ������ ���� �
�������� ��� �� �������� ����������������� ��� ��� ����������� ��� ���
���������������������� ����
�������������� �� "������������������������������������������������
�3����.�/(��������������������������������������#�� �����,����������"�
�3����.�/!���"����������������������������������#�� ���������������� ����
����������������������������������������������������" �����������
������������������������������ ��������������������������������������
"�������������������������������������������:� ����������������-����
��� ��������������� ���� �������������������������������������%�����
����� ��� ��� ���������� ����� ��� ��� �� �������� ��� �������� ���� ������ ��
������ "�� ������� ����� ������� ����� �� ��� ��� ��������� �� ��� � �
��������� ������ �� ������������� ���� ��� ������ ��������� ��� ��
�����������������������3������������� �������������������
��, �� 0D � Cr �.�(0�
��D����������������� �������������������������������"���������
��#��������������+���������������������������������������������������
����������������������������������2����������������������������
�����"�����������������������������������������������������������������
�������� ,+)�)�()�)+"�)#3&
��< ������8���8����������������8,�����
$������������������������������� ���������������������"������#���������
�������������������������� �����������������������������������������������
��������#���������������������������������������������������������� ����
���������� �����������������������������������������"����������� ������
������������������������������������������ �����������������������������=
���� ������� ��� �������$�� ������ �������� ���� �� ����� ��� ��� ����� ��� ��
���������������� �����������������������������������������������������
���������������������������������������������������������� ������������
����#��������������������������������������������������������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��<�� �����/$�*�� ��$+/+"&��)�)5&��+'&��/����� =�# '&$���� ()� )�8&�'
D�����������������#������������������������� ������������������������ ������
��� �����3����.�/;��"���������������������� �����������������������
�� �������D�����������������������������������������������������
�����������#�����2�����������@������������������������ ����������#�
"�����������������������������������@��������������������������������
"�� ��������� ����������� ��� ������ ������ �� ���� ���� 8���� ��
������������������������������ ���������������� �������������������� ��
������ ������ ��� ������ ������ ���� ����� ������� ��� ��� 8��� �1�
�3����.�/;���3�������������������������� ����������������������������������
��������������� ������������������������������������������ ����������
���������������������������"�����������@��������8����1������� ��������
����������������"��8����1�����#�� ����������������������"������������
������@���������������������������������������������������@���������������
h
z1 c(2)
(1)
c
��������� �����/$�*���(5�$0
&'!&'��$+/+"&
�������������������� ��������� ��
����������������������������8���
������������������������������
�����������������������������������
������������������������������
������� ��� ��� ������ ������� ��
����������������������@��������
���������������������������������
������� ���������� ��� @��� ���+
������� ��� ��� � ��� �� ������ ���
���������� ������ ���������������
���� ��� ��� ��� ������������ ��
%������&�� �������� �� �� � �
�������/�����0�������������������+
���� ���� ������ 0� ����� ��� ���
����������3���.�/;��
�/Cr��7��0/C0��7��/�, ����Cr��7��
00C0��7�- �.�(4�
"�����=����������������������������������������������#����������
���������������������������������������������������#����������������
������������������������������������������������/����������������������
��������� �/������� ������������������������� �������������� �/�,� �����7
r�����1��/��"�����'����.�(4�������
����Cr��7����1��/��7�-�7��/�, ����Cr��7��00C0� �.�(��
� �0�, 0 �� �.�(.�
���������������������������������������������������������@�������������������
�����������������"��'����.�(.������������������������ ���� �������@����
���������������������������������������������������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
����� ��� ������� ���� ��� #�� �� ��� $�������.� ���#����� "�� �������� �0� ��
'����.�(.������������������������������������������������ �������
��� �������������"����� �������������� �������v��#�� ����� �����������
�����������������������������������������������
�0 �������, �v� 0 ��
8��������������������������������������������v������ �������������������
"������������������������������������������ ��������
)�, ����v� 0�� �.�()�
�� ��� ��� ��� ����+��������� ��� ��� ��� @�� ��� ���� ����������:������� �
��������������������������������������������������������������������
����������'����.�()�������� �������
)�, ����v��-� 0�� �.�((�
����-�����������+�������������������������"��������������������v���
����������������������������������������������"����
)�, ����-� 0��
� ���,)
� ��- 0
,$�������������������������
��<�� &)&$*+ �)+� ��/���&//+"+& )��/��&��"+).���>���&//+"+& )�/��� )$�")+� ����� '���&//+"+& )��/�+("5�$!&���
$������������������v����������������������������������������������=������
�������"������������v���������������������2�������������������
��� 9
�������������#����3����.�0-��D��������������������������������������
���������������������������������������"��8����1���������������������
"��@��������������������������������������������������������������� �����
�� � �������������������"�����������=������������������������������
���@������������������D��,�����������������@������������ ������ ���� ��
���=���������������������������������������,����������������������1�
������ �����3����.�0-������������������ ������������������������1�����,������
���@��� ����� ���
��, ��
��� ��, ��0C0
� ����������������#���������������������������������1�����,��
'��������������������� ������������ ����
�
�
0
0 �,0��
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
H
c x
zP
c
��������� �$�7&")�$.��/����+6#+'�7&)�'+("5�$!&'�/$�*���(5�$0�&'!&'��$+/+"&
� �0�,
���
0
0�.�(!�
%�� �v�,�
��0
8���������������������'����.�(!�
�v�,�
����.�(;�
"������������������������������v���������������������������������
����������������'����.�(;�� �������������������������������"�����������
���������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������
���������������������������������"����������������������������������
����#�� ��������������������������������������-�����)����,��- 0�� ��"�
����������������������������������������������������������������������������
������������������v��"���������������������������� �����������6�&
���������������������3��������������������������������������������� �
-�)-����-�).�� �����������������v������� ��-�;(����-�;;�
��<�� ��$!&��&$)+"����$+/+"&(
H1 h
b
dhH2
��������� ��$!&�%&$)+"����$+/+"&
������������������������������������
��������������������������������
��� ������� ��� ��� ���#�� ���� ��
��������� ��� ������� ���� ��� ������
������� ��� ��� ������ ���� �� �����+
������"�� ��#� ����� ������������� ��
������������ ��� �������� ���� ��
��������������������������������
��#�� ��
������� �� ���� ������ ���� �
�������������+������������� ����
3����.�0/��D������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
�������/������0���������������������� ��������������������������
D��"�����������������������������������������������������������������
���=������������������������������#��������"������������������������������
�������������� �������������� 0�� �� ������������������������������
�����������
, ���¥����¥���������,����¥�"����¥� 0��
"�����������������������������������������
,
�
�
/
0
z ���¥�"����¥� 0��
, ���"� 0
/
0
�
�
�
z �/C0���
, 04���"� 0� ���0
4C0�1��/4C0�
�����������������������������������������������
��<�4 $�� &'��$��#3*&$!&'��$+/+"&
$��� ��� �� ������� ������ ��� ��� ����� ���� ���� �������� ����� ���
��������������������������������������������#�����"��������������������
h2
h1
z1
(1)
(2)
��������� $�� &'��$+/+"&
3���� .�00� ��� ��� 2����� ��� �� ������
�����������������������������������������
���#��������������� ������������������
������� ������������ ��������� ��� ����� ��
������"�����������������������������#�
����������������������������������
���� �0� �3���� .�00��� $����������� ��� %+
������&������������ ��������/�����0�����
���������3����.�00�������
�/Cr��7��/�7��0/C0��, �0Cr��7�-�7��
00C0�
� ��/�1��/��7��/�7�-�, �0�7��00C0�
�������/�NN��0�
� �0�, 0 / 0� � �� �- �.�!-�
������� �����$�������.����#�������2�����������������.�(.����������
���������������������������������������������������������������3���
������������������������������������ �����������������������������
���������/�1��0��������������'����.�!-������������"�������������������������
������� ��������������������������������������������������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��<�� �+*&��/��*0).+ !��� =
D�����������������#���������������+���������������3����.�04��������������
�����������������/�������������D��������������������������������������
H1
A
dh
h
a
v
H2
�������� +("5�$!&�/$�*���)� =��/
# +/�$*��$&�
���������������������������#�������������
����������������������#�����������������������
�������������������������������������������
����� ������ ��� ��� ������� ��� ������ ��
������������� ���� ������� ���� ���� ���
����������������������������������������
���� ��� ��� ���#������� ���������������
������������������ ����� ���
1������, ����� 0�� ���
"�������� ����� ��� ��������� ������ ��
�������������� ��������
"���� ���,- � �
� � ���
�
0�.�!/�
���$�������������#����������������������������������������/�������������0�
����
-
$
z ���, - z�
� � �� �
�
0/
0
�1/C0���
3��� �����
$�,0
0
�
� � ��
���//C0�1��0
/C0� �.�!0�
���������#���������������������0�,�-��"���
$�,0
0
�
� � ��
�//C0 �.�!4�
����� ��� ��������� ��� � ��!� "�� ������� �����#������� ��� ��� �������
������� ��������������������+�����������������������#������������
��������� ����������������������������������'����.�!/�� ��������������
�������� ��������������������������3�������#� ��������� ����������
�������������������������� �����������������������������������������
���������#��������� �����������������������������������'����.�!/����� ���
H1
H2
dh h
x
a
v
R
�������� +("5�$!&�/$�*��
5&*+(05&$+"���%&((&�
������������������������������+
��������$��2��������������������
��� �������� �� ����������� ����� ��
�������� 9
D��/���������������������������
����������� �����3����.�0������������
���������������������/�����0��������$
�����������������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
������������������������������������� ��������������������������������
�������������������������������������������������&������+��������������
�������������������������������������������������������������������������
1�������, ����� 0�� ���
� ���,- � �
� � ��
�
�
�
0�.�!��
����������������+���������������������������������
� ���, p��0
3�����������������������
�0�, /
0�1��/�1���
0
, 0/��1��0
"�����'����.�!��������
���,- -p � �0
0
0/� �
� � ���
���
�
-
$
z ���, - zp� � �� �
�
0/
0
�0/�/C0�1��
4C0����
� $�,- - - -0
0
04
/ ./4 0
04 0
/. 0
0. 0p
� � �/ � � � �
�
C C C CCd i d i �.�!.�
������������������������������������������������������ �����������/�,�/
�����0�,�-��'���������.�!.�����������
$�,0
0
04
/.
. 0 . 0p� � �
/ /�
C C-e j
,/�
/. 0
. 0p /
� � ��
C
�.�!)�
��$������������������������������
��<�9 �+*&��/������/$�*�� &��� =�)��� �)5&$
D������������������������ �������������#��������/�������������#��������0������� ��� ������ �� �� ��� ���#�� ��� ��� �� ��� ��� 3���� .�0.��*��� ����
����������������������������������������#� �������������������������"�
������ �������� ����"����������������� ����������������������� �����
�������������������� ���������������������������������������#���$���
����������������������������������������������� ��������#�������������
��������������������������������������������������������������������������
����������#��/��������������������������"�������������������#��0� ����������
������������������/C�0��
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
A1
A1
A2
A2
hdH
dH
av
��������� ������/��+6#+'�/$�*�� &�)� =�)��� �)5&$
����������������������������������������
��1�����/�7��/C�0�
"��������������������������������
���, ��1�>��1�����/�7��/C�0�?
, ����/�7��/C�0� �.�!(�
3�������������������������������#��/�� ����� ��
1��/���, ����� 0�� ���
"���� ���,- � �
� � ���
/
0
��.�!!�
8����������������������'����.�!(�����'����.�!!��� ����
���,-
+� �
� � � � ���
/
/ 0/ 0
�
� C ��.�!;�
���$�������������#������������������������������ ��������#�������/���
�0������
-
$
z ���, -+ z�
� � � � �� �
�
/
/ 0/ 0/
0
� C ��1/C0���
� $�,0
/ 0
/ // 0
0/ 0
/ 0
� � �
� � � � ��
� �
� C �
C C-+
�.�;-�
"����� ���������������������#����������� ����������������������� �����
������������������ ��������������������������������� ��������#�� ���
�����=������$/�������������#�������#�����������=������������������������
��������'����.�;-��
$/�,0
/ 0
/ // 0
/ 0
� �
� � � � ��
C
� C �+�.�;/�
���/������������������������������������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
��<�: �-)&$ �����#)50+&"&(
"���������������������������������������������������������������������
��������������"���������������������������������������������������2����
�����������������"���������������������������������������������"�
������ ��� ��� ����� ��� ��� ����� ������� ��� �������� ��� ������ �� �����
��������������������v���������������������������������
H
z1
1
21 3
c
VcV
c
��������� �����)5$�#!5��
&-)&$ ���*�#)50+&"&
�������������#����3����.�0)��$
�����������������������������������
����������� �������������������
���#��"�������� ���#�� ����� ������+
��������������
D� ��, ����+�������������������������
���, ����+������������������ ���������������
��, �����������������������
���, �����������������������
$�������� %������&�� �������� ��+
������������/�����4��������4�����
��� ��� ����� ��� ��������� ��� �
��������� ���
����Cr��7����1��/��7�-�7��/�, ����Cr��7��0C0��7�-�7��' �.�;0�
� �����������������������������B����������������#����������������
���������������������������������������'���������������������������������
������������������������������������������'����������������������
���������������������� ���
�'�,� �� �
�� - 0
0
$��������������������
������, ��
� ��, �����
�����������������������������������,���C�
"���� �'�,��
0
0��/C���1�/�
0
���'����.�;0��������
��, ��
0
0�>/�7��/C���1�/�
0?�,�*��
0
0
� *�, >/�7��/C���1�/�0?
"������������������������v������� ��������
�v�,�
��0�,�
0
0
�� *
��
C
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
� �v�, /C*
8������������������������������ ���������������������������������������
���,��v�,�/C * �
E������������������������������������������������������ �����������,���0
������������������������������������������������������/C * ������ �������
��������� ��������� ������������������������������2�������������� ��
���������������������������$�����������������������������,�-�)0�
*�, >/�7��/C-�)0�1�/�0?�,�/�4(.
�� �������������, /C / 4(.� �,�-�!..
��� ����������, ���,�-�)0
��������������������������������������� ����������%������&���������
�� ���������/�����0��������0�����������������������3����.�0)��������������
���
����Cr��7����1��/��7�-�7��/�, ��Cr��7��0�C0��7�- �.�;4�
� ��Cr��, ����Cr��7���1��0�C0�
���� ��, *�0C0�
��� ���, �C��
"���� ��Cr��, ����Cr��7�*�0C0��1��/C�
0���
0C0�
, ����Cr��1��/C�0��1�*���
0C0�
��� ������������������/C�0������� �������������*��������������������N�/�
���� ��� ����� ��� ���� ��������� ��� �� ���� �� � ����� ��� ���������
�������������,�-�)0�
*�, �/C-�)0�1�/�0�7�/�,�/�4(.
"��� ��Cr��, ����Cr��1�>/C�-�)0�0�1�/�4(.?��
0C0�
, ����Cr��1�/�00.��0C0�
H
c
Vc
V
c
1
32
z1
��������� �����)5$�#!5���"� %&$!& )
'+%&$!& )�*�#)50+&"&
"���������������������������+
��������������������������������
�����#������������������������
��� ����� ��� ��� ���� ��������� ��
��������� ��� ������� ���� �������
��� �
����������� ���������� �� �!�����
"�� ������ ��� ��� ����������� ��� �
���������������������������+
��������������������������������
��� ��� ���� ��������� ���� �����
���������� ��������������������
�������������������������������
��� ��� ����� ��� ��� @��� ��� ���������
�������������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ��
���������������������������������������������8��������������������� �
���3����.�0(��$�����������%������&������������ ���������/�����0��������0
�������������������������3����.�0(��� �����
����Cr��7����1��/��7�-�7��/, ��Cr��7��
0�C0��7�-
��� �0�C0��, ����Cr��7���1���Cr� �.�;��
$���������������������%������&������������ ���������/�����4��������4�����
�����������������������3����.�0(�������
����Cr��7����1��/��7�-�7��/�, ����Cr��7��0C0��7�-
� �0C0��, � �.�;.�
"�����������������������������������������#��������������������������3��
'����.�;��������.�;.��
�
�� �, /+ -� �
�� � �.�;)�
�� ���, �� ��Cr����������������������������, �� Cr����������������������������������
3�������������� ������, ��
"�����'����.�;)��������
����, /+ -� �
�� � �.�;(�
"����2��������������������������������������������������
��C�����2�, /+-� �
�� � �������
�.�;!�
���������������������������������������������������������
�������
∑ "�� ������ ���������� ���� ��� �� ������ ����� ��� ��� ��������� ���
�������������� ���������������� ����������� ������� ������
������������������������������������������������������������ �
∑ 3�� �������������� ������������������� ������������������������
��������#�� ��������������������2���� ���$������2���� ������
��������������2���� � ���������������������������� ��������
����������������������������� ������������������������������
��������������������������������������������$���������2���� ���
�� ���������� ���2� ��� � �� ��� ���������� �������� ��� ������
����������������������������������<����������2���� ��������
���� ��� ������ ��� ��� ������ ��� �������� 8����� ���2� ��� �� �
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�������������������������������������������������������2���� � ���
���������������� �
∑ 3������������� ������������������������������������������������
������������������ �������"�� ����������������������������������
��� �������� ���� ���� �� ��������� ������ ���� �=�� ��� ��� ������
�����������������"���������������������������������������������
����������������������������������������������������������������
����������������������������"������������������������������������
�������������������
∑ "����� �������������������#������������������������������������
������ ���������������2��������������"����2���������������
���������������������������������������������������������������
�������������������������� ��������������� ������������� ���
����������������� �#�����������������2�����������������������
���������#������������� �
∑ $���������������������������������������������������������������
�������������� ���������������������� ���������������������������
���������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������
���������������������������������"�������������������������
���������������������������+�������������������������������������
���������������������������+���������������������������������������2��
�������������������������������������������������������������
�������������������������������������������
∑ B��������E�����������3�� ���==������������������ ����
���������������������� ��������������������������������������
���2������������������ ���������������������������������������
������ ��� ������������"�� ��� � ��� ��������� ��� ��������� ��
�������������� ������������������������������������������������
������������������%������&�� ���������"����������� ��� ����
2�����������$�������������������������������������� ���������
����� ���������������������+������������� ���#�� ������������$�
������������������������������� ������������������������������
�����������$���� ���==�����������������������������������������������
���������������� ������������������� ����������� �������
�������� ��� �������� ������� ���� �������� 2������� ���� ��
�������������������2��������������������������3�� ���==�������
����� ������� ��
∑ "����������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������
����������������� ������������ �������8��#����� �������"������������
������������������������������ ������������ ���������������������
������ � ������� ��� ��� �������������� "�� ������� �� �� ��
�������������������������������������������������������������
���� � �/0
0r� ��������#�� ���������#�����������$����������� ����
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
������������������������������������������������������������ ���
�������������������� ���������������� �������#�� �������,��������
��"��
∑ $������������������������������� ���������������������"��������
���������#������������������������������������������������������$
�� ������������������������ �����������������������������
��������������������������������������������#�����"���������
���������������� ��� ���������� �������� �� ����� ������������� ��� ��
�������#�� �����2���������������"�������������������������
��� �� ����� ��� ��� ����� ��� ���� ��������� ������ �����������
��������������������������������������������������� �
����� ������
��������� :����������+
�������������������� �������� ���#
���� ������������� �����������������+
�����������-�.������������ �+�2�����
��� �����3����.�0!�
�������� D�������������������
����������������������������������������
��� ���,∂∂�
����7�
∂∂�
��� �.�;;�
3���'����.�4���������.�4����
∂�C∂��, 1�r���
∂�C∂��, 1�r����7����
������������������������������
�������������������������
4 m
ax = 0.5 g
z
x
�������� �+6#+'�+ ���)� =�# '&$
# +/�$*� �""&�&$�)+�
� ���, -�.��
��� ���, -
"�����'����.�;;��������
���, 1�r �-�.�����7���������������������������� �������
��, 1�r���-�.��7����7�� �.�/--�
�������������������������������������������������������2��������������
���
��,�����������������������������,�-�������,�-
"�����'����.�/--�������
1�r���-�.��7����, ��1����� �.�/-/�
"������������������������������������������������,���������'����.�/-/�����
1�r���-�.��7����, -� ��7�-�.��, -
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��������� ������� ���������������+�����������3����.�0;����������� �
����������������������������=����������� ���������������������������-�/.������
-��.��������������"�����+���������������4��C���$����������� �+������������
���2���� ���������������������������������������������������������������
�������� ����������� ���������������������� ��� �������������� ����������
���� ����������������������������������������� ����������������� ����
����������
r1 =
0.15m
r2 = 0.45 m
��������� ������/���)&$�)5$�#!5���$+!5)?� !�&'�3& '
�������� ���������������������������������������������������������
���������������������������������������F����������������������������������������
��������2���
�q�, �C�
�������������������
����� �q�, 4��C�������,�- /. - �.
0� �+
�,�-�4��
��� ��, 4�¥�-�4�,�-�;��0C�"��������������������������������������
��q������,��/�,- ;- /.��
�,�)��C�
��q������,��0�,- ;- �.��
�,�0��C�
���� "�� ����������� ������ ��� �������� ���� ������ ��� ��� ���� �� ����� ��� ��
�����������������������������,��q�∂∂�
�qq �,�-
��������������������������������,�-�
�q0
"���� ������,��/�,- ¥) )- /.�
�,�1�0�-��C�0
������,��0�,- ¥0 0- �.�
�,�1�!�!;��C�0
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
F�������������������������������������������������� ���������"�������������
�������������������������������'����.�00����
�����, r q�
�
0
"������
���
��
� �
FH
IK = /
�, /---�¥� ) )- /.
¥◊ �,�0�-�¥�/-4�5C�0�,�0�-�#5C�0
�����
���
��
� �
FH
IK = 0
�, /---�¥� 0 0- �.
¥�
�,�!�!;�¥�/-4�5C�0�,�!�!;�#5C�0
����$��������������
�����, r q�
�
0
�������
�
�
/
0
z ����, r �
��
�0
4
/
0
z ���
� �0�1��/�,r0���0C�0/�1��
0C�00��,�r0���0q/�1��
0q0�
, /---0�¥��4)�1����5C�0�,�/)�#5C�0
���/������0��������������������������� ������������������������
�������� $������ �����������-�)�������������������������������������
�����������������������������������2�����������������������2��������
���������������������������������������������������@��������������������������
�����������������������������/--����
������������������� �����������/4-����� ����������������� ������������O
�������� ����"������������ �������������@������������������������������������
��������� ������� ��� ��� �� ���3����.�4-���D������ ������������ �����������"�
����������������� �����������/������������������0������������ �����������
����������������������������������������'����.�00�����
����
/
0
z ����, r q�
�
/ 0
/
z ���
,r0��w0��0�/-
� �0�1��/�, r w0 0
0
/�.�/-0�
��/�����������������w���������������������������������8����������/�������������������3����.�4-�������������0������������������� �����
������
�/�, ���������������������
�0�, �����7�r��8�������������������������/������0����'����.�/-0��� ����
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��,w 0 0
0
/�
,0 /--)-
- 40 ; !/
0 0p ¥FH
IK ¥
� � ���,�-�.-4��
H
R1
w = 100rpm
w = 130rpm
1 2 2 1
The situation when liquidbegins to uncover the base
The situation when liquiduncovers the base
(a) (b)
�������� �+6#+'�# '&$�# +/�$*�$�)�)+� �+ �� ��0& �%&((&�
���� ���� ��� ���� ��� ������� ������ /--� ���� ��� ��2����� ���������� ���
w0/0C0�� �������������������2���������������������r�������������������������������������������� ����������������������� �����3����.�4-���D��//��
��������� �����������������������A���������������������� �
�������/�����0��3����.�4-��������� �������
�0�1��/�,rw0
0��/0�1�/0/�
���� �0�1��/�, r��
��� r���, rw0
0��/0�1�/0/�
� /0/�, /0�1�0
0
��
w
, �-�4�0�1�0 ; !/ - .-4
0 /4- )-0
¥ ¥¥� �
� C �p�,�-�-4(��0
"�������������������������,�p /0/�,�p �-�-4(��,�-�//)��0�
��������� $��������������-������������������-����������������������� ���
����������������������-�!-������������������������������������������2��������������
0--������������������������������������������������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
A BO
200 rpm
H = 0.4 m
R = 0.2 m
dr
r
�������� ��$�)�)+ !�"��(&'�".�+ '&$�/+��&'��+)5��+�
�������� ����������������&���������������3����.�4/������������������������
��������������������
�Cr��, w0�0C0� ���w����������������������������������������������������������������������������������#��������3����.�4/��������������
������������������������������������ ����
"�������������������
�$�,
-
/
z �0p�����
, pr�w0�-
/
z �4���
,p rw 0 �
�/
�
w�, 0 0--)-
p ¥�,�0-�;����C��
/������������������������,�-�0��
"���� �$�,p ¥ ¥ ¥- ! /- 0- ;� - 0
�
4 0 �� � � � � � �
, ��-�!/�5
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
"������������������������������������������ �������������������������������
�������������%�����������������2������������������������������������������
��� �����������������������
�����������������������������
��, �$�7�r����¥�p /0
, ��-�!/�7�-�!�¥�/-4�¥�;�!/�¥�-���¥�p�¥��-�0�0
, !4.�0;�5
�������� $���������� ��������� �/� ��������=������������ �����������������
���2�����������������������������������2���������������������� ���/�����0���0����������������������������������������=����������� �����0�J��/�������
��������2�������� �������������������2���������0������������/�
�������� $�������������������������������������������� �������������������
�q������2�, �C��� ���������������������������������� �
�q ��������2�, w ��� ��w����������������������3������������������ ����������������,��/�
�C�/�, w �/� �Cw�, �0/ �.�/-4�
<������������� ��������������,��/�������,��0�������� ��������������� ����
��
��0�1��/������2�, r �0
0��/C�0/�1�/C�
00�
��0�1��/���������2�, r w0
0���00�1��
0/�
3���������������������������������
r w0
0���00�1��
0/��, 0 0
0
r � ��/C�0/�1�/C�00�
� �0/��00�, 0�
0Cw0 �.�/-��
3������������'����.�/-4�������.�/-���� ����
�00C�0/�, 0
� �0�, 0 ��/
��������� "������������������������������������������ ������������
(.-������� ������������4-���������/0��C����������������������������������
�����������������0��������������2��������������������������������������������
���������/�0�#�C�4�������������������������,�/4�)��
�������� "����� ������ ����� ��������2������� �������� ������������������
���2���������"������������������������������0�������������
��q������,�0��,���q������,�/.���¥�/.C0�,�/0�¥�/.C0�,�;-��C�D���-���������������������������������������������������������������������
0������������2�������������"��������������2�
�
���
-
r r- �,� � � �;- /0
0
0 0-�
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
, �-.�.-��������
��r����������������������������������
�
�-
r �,(.- /- /4 ) /-
/ 0
4 4¥ ¥ ¥- ��
, !.--��������
��� �Cr��, !.--�1��-.�.-, !-;��.��������
, (/��00������� �
��������� $������������������������������������������������������������-�!
������ ������������� ��������������� ������������������ ��� �� ���3����.�40�
��������
��� ����������������������������������
��� ������������������������&
��� ����������������������������
��� �����2�������������������������������������������������������������
�� �����2���������������������������������������������
�"�#������������������������������� �#����������������0;�.�#<��������
������������������/-/�#<���5�������������
D
C
1.5 m
1.5 m
4 m
h
H
1
A
B
�������� ��(+05� �'+("5�$!+ !��+��/$�*���%&((&��)���)*�(05&$&
�������� ����$�����������%������&������������ ���������/�����(� ����
�
�
�
����
r + /0
0�7�.�.�,
�
�
�
�( (
r +0
0�7�- �.�/-.�
"�� ���=������ ����� ������� (� ��� ��#�� ��� ������� 8���� ��� ������� ��������� ����
�����������������������2����������������
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��� �(�, ����
$�������/�NN� �(�� ����� ��������� ���#� �������� ����������� ��� �������� ��� ����
"�����'����.�/-.�������� ��������
�
����
r �7�-�7�.�.�,��
��(���
r +0
0
� �(�, 0 ; !/ . .¥ ¥� � �,�/-�4;��C�
����������+�������������������������������������������������������������������
������� ��������������������������/-�4;��C��
����"���������������&����������������=������������ �����������������������������
&�������������
"������������������,������7�/�.�¥�-�!�¥�/-4�¥�;�!/�<�
, �/-/�7�//�((��¥�/-4�<�, //0�((�#<�
$��������%������&������������ ��������&
�
��
r �7�-�7���-�,�
�
�
�& &
r +0
0�7���-
� �&�, ���1�r�&0
0
������ �&�, �(�,�/-�4;��C� ��� ���,�//0�((�#<�
��� �&�, //0�((�1�-�!�¥�/-4�¥� � � �/- 4;
0 /-
0
4¥�,�);�.;�#<�
����$��������%������&������������ ��/�������
�����
r �7�-�7�.�.�,�
� ��
r + � � �/- 4;0
0
�7�(
��
��
r �,�
����
r �1�(
� ���, /-/�1�( - ! /- ; !/
/-
4
4
¥ ¥ ¥� ��,��)�-)�#<�
����3������2������������������������������������������������� ��������������
����� ��� ��� ������� ��� �#���� �������� D�� �� �� ����� ������� "��� ��������
%������&������������ ��/�������
�
����
r �7�-�7�.�.�,0; . /- /- 4;
0
4 0� � � �¥ +r� ��7�.�.�7��
� ��,/-/ /-
- ! /- ; !/
0; . /-
- ! /- ; !/
4
4
4
4
¥¥ ¥
- ¥¥ ¥� �
�
� ��1�.�.
, �4�)/��
�"������������������������������ ����������������/-�4;��C�������������������������
�� ������������������������������2����������������.�.����
���F��������������������������������������������� ������������������������#�
��� ����������������������� ���������������������� ��������������������D�����
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ��
�����2���������� ��� ����� ����� ����� ���� ��� ����� ��� �� ��� �� ��� �����
������"�������%������&������������ ��/�����(�
�(�, 0��
$���������%������&������������ ��/�������
�
����
r �7�-�7���,0; . /-
- ! /- ; !/ 0
4
4
0�
� �
¥¥ ¥
+ �
�
( �7���7�/�.�>8�������,��(?
� ��,�
�
���
r- ¥
¥ ¥0; . /-
- ! /- ; !/
4
4
�
� ��1�/�.
,/-/ /-
- ! /- ; !/
0; . /-
- ! /- ; !/
4
4
4
4
¥¥ ¥
- ¥¥ ¥� �
�
� ��1�/�.
, (�)/��
��������� ������� �����������4--����¥�/.-�����������������������-�-4(��4C����������������������������������/���������� �����3����.�44��8������
����������������������������/�0.��:��������������������������������������
C¢300 mm D z
300 mm D
C
D1 m
150 mm D
21
BA
������� ��%& )#$+*&)&$�*&�(#$+ !�)5&�/�����/���)&$�)5$�#!5���0+0&
�������� $��������%������&������������ ��������&���������������������������
������������ ���
�
�
�
�� �
r +0
0�7�-�,
�
�
�
�
& &
r+
0
0�7�- �.�/-)�
�����2������������������������������������=������
$��������������������
�0��, ��&C���0�0& �.�/-(�
8�����������&�����'����.�/-)�� ��������������'����.�/-(��� ����
�&�,0
/0
� �C
� C �
� �
� �
� &
& �
--
r
"�����������������������)������� �������
)�, �(��&��&
, �(��&�0
/0
� �C
� C �
� �
� �
� &
& �
--
r�.�/-!�
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
���(����������������������������
3���������������������������������������������������������� ���
���Cr��1����, �&Cr��1����7�/��7�/�0.�¥�/
�� �
�� &-r �, -�0.��
��������'����.�/-!��� ����� ��
-�-4(�, �(�p���-�/.�0� 0 ; !/ - 0. / / /)¥ -� � � �C� C �
��������� �(�, -�;()
��������� $���#�+�� ����������� ���������������� ��� ���������� ��
����� ����� ���� �� ���� ��� ������� ������� �� ��� ���� �� ����� ��� ��� �� ��
3����.�4���:������2�������������2������������0� ��������@���������������������
��������������������������������������������/��3����.�4���
������������������������������� �����������������������������������������
��������������������������������������
Water
D1
1
D2
h
V2
V1Water
patm
p = p2 atm
������� ��%& )#$+�(&")+� �#(&'�/�$�0#*0+ !���)&$�/$�*���$&(&$%�+$
�������� ����/����������������������/���������������������������������������
��������������������������������
�����1��/�≥ r�� �� ����� ��� ���������������������������� ��� �� ��������� ��� ������� ��� ��
�����
3�������������� �/�, �0��(0C(/�0
$�����������%������&������������������������������������2�����������=����������
�������������������������������� �� ����
�/�7�/0
r�0/�, �0�7�/0�r�00
���0�,��������������������������
��� �����1��/�,/0�r>�0/�1��
00?
, /0
/0
/
�
00r (
(�
FH
IK -
LNMM
OQPP
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
3��������������������������������
�����1��/�≥ r��
� �/C0��r (
(0
/
�
/FH
IK -
LNMM
OQPP��00�≥ r��
"���� �0�≥0
/0
/
� 0
��
((
FH
IK -
LNM
OQP1C
"��2�������������0� ��������@�������������������������������������������������
��������������������������2������� ��������������������
���������� ������� ��������������-�-/.��4C�����������/--���������
������ ���� ��� �� 0--�������������� ��� ��� ������� ��� ����� ���� �� �� ��
������� ������� ���� ��� ���� ��������� ������O� �"�#� ���������� ��� ����������
���,�-�)-������v�,�/�-��
�������� ��#�� �����'����.�)(�
)�, ���
Dr
�����,��v�����-�0
/ 0-0
/0
�
� � ��� C-
3����������������
��, /�-�¥�-�)-�¥�p���-�/�0�
0 ; !/
/ - )- / 00 �
¥-
�
>� � � � � C � �?
, -�-0//
��� -�-/.�, -�-0//� D � �Cr
� D�Cr��, -�.-.������ ��
���������� $����� ������������������������<����+���������������������
���������������������������������������������������� ������������������������
����������/--�����������������������������������������������������������������
�������������/�00�#�C�4�������������������������������������-�;!�
�������� 3�����������������������
D��r �,
� � � � � �� �
- / ; !/ /-/ 00 ; !/
4¥ ¥¥
, !/�;(��������
��� D�� ��� ��� ������� ��� ����������� ���� ������� ������ ��� ������ ��� ��������������������B��������������������������������'����.�(0����
��, -�;!� 0 ; !/ !/ ;(�¥ ¥� � �
, 4;�4��C�
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
���������� ������� ������������������/��/(��C���$���������������� ����
������������������������������������/�0.�����������������<����+����������������������
�������������������������O��$���������������������������������/��
�������� ��#�� �����'����.�(0�
��, �� 0� � �� C �D r
"��������������������
/��/(�, /�--� 0 ; !/¥ � � C �D � �r
��� D�Cr��, -�/-04������ ��3��������������������������������������������
-�/-04�, �/�0.�1�/��
�����������������������������������,�-��-;���,��-;���
��������� 3��������������������� ����3����.�4.�����������������������
@��������������������������������������������������������� ����������������
����������"�#��v�,�/�����,�-�!�
Pla
te
1 m
o0.5 m
H
c
z
x
a = 200 mm2
�������� �$�7&")�$.��/����+6#+'�7&)�'+("5�$!&'�/$�*���%&((&��� '�0�((+ !��%&$���0��)&
�������� 3�����������6E&���������@�����
��, �/�
��� ��, /0���0
����������������#���������������������������������������6E&����������@���
������������� ���������������/��'��������������������� ������������ ����
��,� �
�0
0
/0
�������� ������������@���������������������
$�������� �v�, /�
�/�, 0��
"���� ��, ��
0
�
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
� ��, ��
0
�
���������������������������������
, �/�0C��¥��-�.��,�-�.��"����������������������������
)�, 0 ; !/ - .¥ ¥� � �¥��0�¥�/-1���¥�-�!��4C�, -�---.��4C�
���������� " ����������������������������������������������������#
�3����.�4)���"����������� ������������������������4����������@������ ���������
� ������������������������=�����������������!�������������#������������������
�������� �� �� ��� � �� �������� ��������� ��� ������� �������� ��� ��� ������ ��
����������������@���������� ����������������#��$������v�,�/��������������
3 m
8 m
P
H
h
�������� �$�7&")�$.��/���)&$�7&)(�'+("5�$!&'�/$�*�)����$+/+"&(��)�)5&�(+'&
�/���)� =
�������� D���,����������������������������� ��@��������� �����3����.�4)������������
������#�������������������������� ����������@����������������������������
������,������������������������������
!�, �/� �.�/-!��
��� ���1�4��, /0��0 �.�/-!��
����/�����������������������������������������������������������������������
����������� ,� ���� ��� ��� ���� ��� ��� ���#��'����������� �� ����'��� �.�/-!��� ���
�.�/-!���
���1�4��,/0)�
/0
��
��
�/0
����1�4��, 40 �.�/-;�
�������������������%������&������������ ��������� ���������������������
���������������������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�0/�, 0��¥�4�,�)�8��������������������������0/����'����.�/-;��� ����
4���1�4��, /)
� ��, !�44��
8���������������@����������� �������
!�, �0 �
���� ���1�4�1����, /0��0
'�������������������������� ��
�
�00
����1�4�1����, 40
������ �00�, 0��4�7���
��� �4�7�������1�4�1����, /)
� 4���1�4��1�4��7�����1�4��1��0�, /)
8��������������,�!�44������������2������� ���
�0�1�0�44��, -
� ����1�0�44��, -
������������,�-�������,�0�44���
"����������������� ���������������0�44���
��������� $������������������ ���� ��-������������������3����.�4(�
������ ���@�����������==�����4-���������������������4-�#�C���$����������
��==�����������������������������0������������������������������������������������������� ��������������������������������@������������� ���� �
�������� D���/����������������������������������==��
���� �/�,�#�r �,� 4-
/--- � - -4 0¥ ¥� C � � � �p�,��0�����C�
�5���������0/C0���������������������������������� ���� �������@����������������
�������������0/C0��,�;/�!-��� ������������������-����
D��a�������������������==�� �������=��������������������������#�������������������������@������������ ���� ����������0����������������������/������� ����
��
�������� �$�7&")�$.��/�����)&$�7&)�+((#&'�/$�*��� �;;�&�)��$&�"5���+ '����3�%&�)5&�!$�# '
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
��, �0��������a � �.�//-��
��� 4!�, �0��������a ��1�/C0���0 �.�//-��
��������������=���������������� �������==������ ���� ��'����������������
'����.�//-�������.�//-���� ����
4!�, ������a�1� ; !/
0 �0 �� 0
0
0
�
� � � ���¥�
a�.�///�
"���������� ������������������������a��3����2������������� �� �������������=������ ����a�:����������������������'����.�///�� ������������a�� ���
-�, ����0�a�7�����a ���a �1�-�--0(��
0��0���0�a�����a�
1�- --0(
00
�
��� a a����
FH
IK
3����2�����������a �,�-
��������0�a�1�0�¥�-�--0(��0���0�a�����a�,�-
������a�, /0 - --0(¥ �
�,�/!.�0�� �.�//0�
8����������������a�����'����.�///�������.�//0��� ����4!�, /!.�0�1�-�--0(��0C���0�a
�����������C����a�,�044�.��$����� ������a�, /!.�0��
����a�, /!. 0044 .���,�-�(;4
� a�, .0�.P��� ��, /�0��
���������� $� ���#����� ��� ������� �� ���������� �� ����� ���� �� ������ ��
0��������������������/�00���������������������� �����3����.�4!��"�������������������
������������� ����������������������������-�)-������������������������� ���
�����������#����)���������������������������4�-.��O
2.44 m
1.22 m
a
3.05 m
h
������� ��)� =�+ �)5&�/�$*��/���/$#()#*��/���"� &
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�������� D�����������������������-���������������������������������������������
�����������������������"��������������������������������������������������
��������
��, ���p �
��-0
�0 ���
, -�)-�¥� /��p�0-� 0�� ���
��������������������������#����������������������������������������������������������
1�������, -�)-�p �
��-0
�0 ��� �.�//4�
�����������������������#������������
3���������������������#��3����.�4!��
����a�, � � � ��
0 �� / 000 4 -.
-¥ �,�-�0
"����������������������#������������,�/�00�7�0�¥�-�0�� ��� ���, �pC����/�00�7�-����
0
8�����������������������������'����.�//4��� ����
-�)-�¥��/C���p�0-� 0 ; !/¥ � � ����, 1�pC���/�00�7�-����0���
� �0-�z ���, /
- )- 0 ; !/� �¥ ¥�
4 -.
-
�
z �/�00�7�-�����0��1/C0���8�����������������������z ���,�4)-�������
�0-�,/
- )- 0 ; !/ 4)-4 -.
-
� ��
¥ ¥ ¥ z �/�00�7�-���0���1/C0�����������������������������-�� ���
�0-�, -�-/-��0
� �-�, -�/���,�/--���
���������� $����������#����/-������������)��� ��������������������������
��������������#�������������-�/��4C������������������������������������
-�-.��0����������������3����.�4;������������������ ������������#������������������.���3���� ������������������ ���������������������������� ����������������������
������������������������������������������������������������������������ ����
���������� ���������3������������������#��������������������������������������
)-Q����������������������"�#����,�-�)-��
Q = 0.1 m /s3
q
dh
h
�������� ��)� =>��+)5�� �+ /���>�'+("5�$!+ !���)&$�/$�*�� ��$+/+"&��)�)5&�3�))�*
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
�������� "��������������� �������������������������� ����������������������
������������������������������������� �������������� ������������#�� ����������
����� �)��������������������������-�/��4C����������������������������������������
��, -�)�¥�-�-.� 0 ; !/ .¥ ¥�
, -�0;(��4C�
8������J�)���������������� ������������������$������������������������������������
��������������������������� ����������������������������� ���������������� ���
����������������������D������������������������������������������������������
������#�
"�� -�)�¥�-�-.�¥� 0 ; !/¥ ¥� �� �, -�/
� ���,� � �
� � � � � � �
- /
0 ; !/ - ) - -.
0
0 0¥ ¥ ¥�,�-�.(��
"����������������������������,��.�1�-�.(��,����4����"��������� �������������������
0�4�����,�.�1�-�)�¥����4�� ���������������������� ������)-Q����������������������4����������������������� �����������������������������������#��������������������
��������������������������������������������
"����������������� ��������������� , )����,�-�/���
������������������������ , -�)�¥�-�-.� 0�� ���
, -�/44� � ���3��������������
1������, -�/44� � ����1�-�/���
����������������������#�,�)�¥�/-�,�)-��0
��� ���,)-
- / - /44
��
�� � � �-�.�//��
D� ��, -�/�1�-�/44� �
"��� ��,� � ��
- /- -/((
0- �
���, 10 - /- -/((� � ��
- ����
8�����������������������������'����.�//������� ������������������������� ����
���,- -/0- - /
- -/((� � ��
� ���
, 1�)(!-�- /
/��
-FH
IK ���
���$�������������#�������������������������������.������0�4��������
-
$
z ���, 1�)(!-�>-�/�����-�/�1�-�/44� � ��1��-�/�1�-�/44� � �?.0�4�
, 1�)(!-� - /- / - /44 0 4�
- / - /44 .- /44 0 4� .� ��
� � �
� �� � � �
--
+ -LNMM
OQPP
, .-!-��, /��/�����
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
���������� 3�����/--��������������� �����������������������������
���#�������� �����3����.��-������ ������� ���� ������0��P�� ���������������������
;�0��O�������������������������������������������������O������������2����
��������������������������������� ���������2��O��"�#����,�-�!0������v�,�/�-�B����
�������� ������0��P�����4�#<�����������������������������/-/�#<���
bc
h
z
a
�������� ��)� =��+)5���(5�$)�)#3&��(���*�#)50+&"&
�������� $��������%������&������������ ������������������"�����������"�����
��� ���2������������������������3����.��-��� ���� ������=������������������ "���
������� ����� ��
�
����
r �7����1����7�-�7���,�
�
�
�
�
� �" "
�
���
r + + + -FH
IK
0 0 0
0-
0/
/ �.�//.�
����� �������������������������������,��� C�v�,�-�!0C/�,�-�!0����������������
�����
;�0�,�
�"0 0
0/ /
- !0/+ -F
HIK
LNM
OQP�
��������� �"�, /4�/0��C�
"�� )�, ���¥���¥��"�,�-�!0�¥��pC����-�/�0�¥��/4�/0��,�-�-!���4C�
����$��������%������&������������ ������������������ ������������������
����������������������������������������� ���
�
����
r �7����1����7�-�7���,�
�
�
�� �
r +0
0�7�- �.�//)�
$��������������������
�"�¥��"�, ���¥���
���"��������������������2�����������������������������
��� ���,�
� �"
� "C�,�
�
�"
��,�/4/0- !0��
�,�/)��C�
8������������������'����.�//)��� ����
�
����
r �7�;�0�,�
� ��
r + � �/)0
0
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ��
��������� ,�Cr��,��
����
r -FH
IK4 !.� ������ ��
"����������������������������,�4�!.������ ����������
����$�������������������� ������������������������������������������������ ���
����������� ������������������������������� ������������3�������������
�������������������2��������������������������������������������������������
������������� �#������������3��������������������������������������������
���#����������������������������� ��������'����.�//)�
�
����
r �7���,�
�
�
�� �
r +0
0�.�//(�
����� ���, �"��" C���,��" C��
$����������'����.�//.��
�0"�,0
/ / /
��
��-F
HIK +
"�����
��0
0�, �
����
00
/ / /-FH
IK +
LNMM
OQPP
, �
� � ��
- !0 /- !0
/ /00
-FH
IK +
LNM
OQP�,�/��0��
8�������������������������������'����.�//(��� ���
�
����
r �7���,�
��
r �7�/��0��
� -��0���,�
����
r �1��
��
r3�� ��� ��2����� ���� ��� ��� ,� �v�� ��� ������ ����� ��� ��� ��� ��� �#���
�������
3���������������
�v
r �,4 /-
/- ; !/
4
4
¥¥ �
�,�-�4-)��
�����
����
r �, �/-/ /-
/- ; !/
4
4
¥¥ �
�,�/-�0;)��
��� ���2�,/- 0;) - 4-)
- �0� �
�-
�,�04�(!��
���������� $��2��������������������� ���� ��� �������� ��� ������
��������������������������@�����������������������������"�����������������
������������0-�������������������������������������������������/��������� ��
������������������������"����������������� ��������������������������
���� ������� ��� �������� ����������� �� ��#�� ��� ��� �� ���� ���� ���� �� ���
��������� ��� ��� ������ ���� ��� ��� ����� ��� ������������������ ��� �����2����
��������������������� ���������������������� ��������������������������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�������������������$�����������������������������������������������������
!������ ������ ������������������������������������������������ ���
�������� ����������������� ����"�������������������������������������������
�/�,�/����������������������������
D�������������������������������� ,�-�-/�¥�/���,�-�-/����
D��������������������������� ,�-�-.�¥�/���,�-�-(0-��
"������������������������������������
,�/����1�-�-/���,�/��0.)�������������������������
$���������������� ����� ��
��
��
� �
r +0
0�, /��0.)�7�
�
����
r3������2��������������������������� ����������������� ������� ��������!������
�������������������"����
�
����
r �1�!�7��
��0
0�, /��0.)�7�
�
����
r
�������������,�/4�)��C�
"����������2��������������������������
)��2�, /4�)�¥�p�-�-0�0C��,�-�--�4��4C�
<����������2�����������������$��������������%������&������������ ����
���������������������������2��������������
�
����
r �7�/��0.)�,�
����
r �7��
�00
0�7�-�-(0-
�����0�����2�����������,�.�/.��C�
"���������������0�������2�������������
�p��00C���¥�.�/.�, -�--�4� �0�, -�-40)���,�40�)-���
������
.�/ $������������������#����.���¥��������4��������������������� �������������������0����"�����#���������������4��C�0
��� ���=�������������������������
��� ����������� ���
��� ����������� � �������
��� ������������������������4-P��� �������������=������������������������
:� ������������������������������������������������������������
�������������������#���� ���������������������������������������$�
�������������� ������������������������=�O
���0�>��� ���9�4;0��-�#5������������9�0;�;(�#5�������������9�/�;�!;�#5������� �
����9�/-0�(��#5
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
��� ���9� ./0��-� #5�� ����� ���� ����� ���9� /0!�/-� #5�� ���� � �� ����9
/-0��!�#5
��� ���9�0(0��-�#5������� ������������9�)!�/-�#5������� ������9�.���!�#5
��� ���9��.0��-�#5������������9��.�;4�#5�������������9�/�;�;!�#5������� �
����9�//)�00�#5A��� � ����������������;�!/��C�0?�
.�0 $�����+���������#�����������������������;--�����������������������4�-�#��
������������-��-.��4��������������������������-�!.���������������������������
�������������������1/��/C4�����������=�����������������������#�������������
��������������������������������������������������������������5�������
�������#���������� ��������������#��������������������������������������
����������������#��������������@����������������������������
���0��4.4!�5�
.�4 $������������������#����.��� ¥��������4��������������������� �������������������0���������������������=���������������������������:�������
��2����� ���������� ����� ���� �� ����� ������� ��������� ��� ��� ���� ����
���������������������� �������������������������������������������
0-Q� ���0��4�;0��C�0��/-Q�
.�� $����=�����������������������������/--������������� ���� ������������
�����������2��� �������������������������4---���������������������������
�������������=�����������������������
���0��'����������=�����������9�/0��/�#5C�0A�B�����������9
"�����9�/04�)�#5C�0A�%��������9�/0��)�#5C�0�
.�. $������ ����������� �������������� ����������2��� � ��������������������
������������������������$�� �����������������������������������������2�����
��������#������������������������������������2����O�����������������
�������������������������������������������������O
���0��w�,� /0 . 0�� �C ��..Q�
.�) $������ ���������������������������� ��� ���������������������C0�����
�������������� ������ ������ ��� ������� �2��� ��� ������� ���� ��� ������
�����������w��:��������������������������������������������������������������������
���0�����,�w0��0�7��0�C4���
.�( $������� ������/--�������������������/.-��������������������������
�����������������4--������������������������� ���� ��������$�������
�� � �+����������� ��� � ��� �� ���=������ ������ ����� ��� ������� ��� ����
�� ����������������������������������� ��������������������������
��������� ������������ � ����������������������/�C�������������������
���� ����������������������������������������/--��������������������������
����������������O
���0�>����-�.!0�#5C�0�����-�)4)��C���4!�/4P?
.�! "������������� ��������������������� �������� ����� ���������
���=������ ���� ��� ��� ���� ����� ��� ��� ���#� ��� ��� �������� ��� 0��C�� ���� ��
���������.--�����������������������������������������������/--���
��������������� ��������
���0����!;���
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
.�; ������������������������������������������ ����#����������/-�������
�����������������/-��C������������������������������������������"�
� �����#����������������������/.-��������������.����������"����
����������������/�.�#5C�0�������$�������������������������������������
/�0�#�C�4�����������������������������������������
���0��0(���4�5�
.�/- ������� ���� �������������������4--����¥�/.-����B������� ����������������-�;!��"����������������������������������/�/!���������������
���������������/�0.�������� �����3����.��/��:����������� ��������4C��
���0��-�-����4C��
DC
457 mm
1.18 m
B
A
300mm
�������� ��%&$)+"���%& )#$+*&)&$
.�// $������������������������������������������������-�!�����������������
���������������/.-��������(.��������������"�������������������
������������/.-������������������������������������������������ �����-�����C�
���� ��� ���������� ��� �������� ��� -�;)�� ��������� ���� ��� ����� ������
�� ���������������������������������������������������������������
*+��������������������� �������������
���0��4��.4�#5C�0��-�0(.���
.�/0 "�� ����� ��� ���� ���� ��� ������ ��� ��� ������ ��� �� 0.�� ��� ¥� /0(� �������������/C)������������������������������������������������������
�����������������������������/-/�)����� ������������� ���� ���������
����������O
���0��-�-)��4C��
.�/4 "���������������������+�������������������������������������������
�������� ����� �� ���� ����� ������� �� ����+���� ������ ��� .-� ��
�������"���������������������������������������������������
��������������������������1/�-�/����������=����������������������������
���������� �� �������� �� ���� ��� �������� ������ ���
������������ �������������������0(/�����8���������������������������
-�!-�����������������������������������������-�)0�������������������
���� ������� �� ((.������� �� ���� /.�!� P�� ���������� �"�#� ���� ��
������������������������,�-�)��
���0��-�-00��4C��
.�/� 3�� �����������;P���������������������+����������������������������������
/!�0;��C��������������������������������-�;.�� �������������������� ���
����� �� ����� ���������O�$����� ���������������� ����������������
/�0�#�C�4�
���0��00�(-����
.�/. �������������=�����������������������������-�-/)��4C����� ��������
�������!�);��O���������������������������������������������
���0����9�/00.���0�
.�/) $�����+�������������������������0.�������������������������������
���� ����������� ��� -�;!� ���� -�)0� ���������� ��� ��� @�� ����� ;4;���� ��� �
���=�����������������0�;)����������������� �����4C������������������
������
���0��-�--/!��4C���/(0(����
.�/( $����������������������������� ������������������������-�;�������� ����
���-�)������ �������2�����/�0������ ���� ����������:�������������
�����������������
���0��/�/;��4C��
.�/! $������������������������������#����������������������/�0�����������
-�)�������"�� ��������������������������������/�0�����������������A
��� ������������������������������������-�4������ ������������3���
�������������������������������������������������������������-�)0�
���0��0�4)��4C��
.�/; " ��������� ��� ��� ���� ��� �� ���#� �� ��� ����� ��� ���� ���� �� ��������
/�!0;���������"���������������� ������������#������0)(������������������
�����������������������������/�0/;����3�������������������v�����
��������@��� �������#�������=��������������� �����������#���������������
������
.�0- ������������������������������#� �����������������+������������������
��������������-�/�������������������������#��"����������������#� ���� ���
�������������4-P��������������������#�����������#������������������
�������� ����������-�(����������������������������0-���������������
�����"�#���������������������-�)�
���0���4(�;(��
.�0/ $����#�4������������/�.��� ������������������� �������������������������������
�����������������������������������������"��������������������������
���������(.���������������� �������� ���������� �����������������
�������� �������������������������������4�������������������������������
������#���������������������� ����������-�)����������������������-�)�
���0��/-!��
.�00 $���������������#���������� ���������2������������������������ ������������
�������!-����������������������������������� �������������#������������
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�����������������������������������������������������������#��/-(��������
������������������#�����������-�)������-�(.�������/0-������������������
/�0������/�0!����3������������������ ������������+���������������������#�
$�������������������������������-�)0�������������
���0��-�-/;��4C���.��!��0�
.�04 �����������������������������������������@���������������������������
�� ������#�������������������������������������������������������������
������������������������"�#���������������������������-�)��
���0��-�!(/�
.�0� "������������� ����������� ����������������
�� �, �� �� �� �+
����,�����1/��������������������������������������������������������
������������� �������������/��/�������0��0�O���������������������������
���0���!�#5C�0�
.�0. "������������� ����������� ����������������
�� �, �� � &� � �0 0 4� �-
��������&��������������������������������������������"�����������
���������
��� :���������������������������������
��� :�������������������������� �����
��� 5����������������������������������������������������������� �
�����������/��/�������0��0�O���������������������������
���0������y�,� �4��0�4�7��������5�����������
��� ����������
������������������� ������������������ �����������������
����������� ��������������������������������������������
�� �������������� �� �� ��� ������� �� � ����� �� ��������� �� �����
� ��������������������������������������������������������� ����
��� �������� �������� �� �������������� ���������� ���� ���������
��������������������������������� ��������������������������
����� ������������������������� ���������������������������
������ �������� ��������� ��������� �� �� ������� ������ ��� ��
������� �� ����������������������� ��������������������������
���������������
!�" #������� ���������������������������� ����������
������ ������������������������������� ������$
!��" %���� ��������������������������������������
� ������ ������� �� �� �� �� ��������� � ���� ����� ��
� ���������������������������������������������
�� �������� �� ��� ��� ��� � ������ ������ �� ��
������������������&��� ������������������������
������������ ����������������������������������������
������������������������'����$
������������ ����������������������������������
�
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
( ������������������������������������������� ����� ���
���������������������� ����� ������� ���������'���������!�"��� ��
��������������������������������������������������������������
��� !��" �� ����� �� ����������� ����������� ��� ����� ������
���������� �� ����������� ����� ������� ���������� ������
�������� ��������������������������� ������� �������������
��������������������������������������� ����������������'�����
��� ����� ������ ���������� ����������)� �������� �� ��������
������������������������������������������������������
����������� ������������������ �������������������������
������������������������������������ ������������������*����
������� �� ������ � ������� �� ����� ������� ������ ��������� �� �����
������������������ �� ���� �� ����������������������� ��'�����
��������������������������������������&������������������������
����������������������������������� ����������������������
�����������������
��� ���� ��������� ������������������������
�� �������������������������������� ���������������������
��� ������ �� ���� �� ������ �� �� ���������� � �� ���� *�� ��
��� ������������ ������������������������������������
����������������� ������������������������������ ��������������
������ ���������� �������������������� �������������� ��
�������������������������������������������������������������
���������������������������� �������������������� �������
%�������������� ������������������������� �� ������������������
�������������� ����������� ����������������������������������
������� �������������������� ����������� ����� ����������������
����������������� ��������������������������������������
������ �� �� ��� ������� &� �� � ����� ������� ��������� ��
��������� ���������� �� ���������� �� ����� �������� �������� �� ��
��������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������
&������������������������������������������������������� ��
�������������� ����������������
��������� �������� +������ ���������� �� �� ���������� �� ��� ����� ��
������� �� �� ���������������������������������������������
����������&����������������������������������������������������
��������� �����������������������������������������������
����������������������������������������������������'������������
��������� ������ �� �������������� �����������������������������,�
&���������������� ��������������������������,��������������������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
�������������������������������������������������������������
(���������������������������������������� ������ ���������
��������������������������������������������� ������ �������
������������������'�������,,��������������������� �����������
�������������������������������������� ������ ����������
������ ����������������,����������������������������������
���������������������������� �� ��������������&��-����.�������
������������� ������� ��������� �� ��� ��'��� ��� �� �������� ��
���������������������
�
�
�
�
-
-
/�
�
�
�
.
.
/��
!������������������������������� ������ �� ������"���
��������������������������������������������*����0�-�����
��� ��������������������������'���������������������������������
������� � ���������������� �����
Right circular cylinders
D
D/2
a
a/2
a/2
h/2
b/2b
c/2
b/2
Triangular prisms
Parallelopipeds
hb
h/2
h
a
c
����� ��� ���������� !� "��� ��� �#$���"
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
&���������������������������������������������������������
����������� �������� +������ ���������� �� ��� � �� ���� �������
�������� �� ����� ����������� �� ����� ��� �� � ���� ������
������( ��������������������������������������������*��������
����������������������������������������������������������
���������������������������������������������������
������ �&������������������������������������������������������
�����������
���������������� ����������� ���������������������������
��������������������� ��� ���������� ������������*����� ����
��������� ������ ������������������,��������������������
�������������� ����������������1�����������������������������
�����������������,��������������������������������������������
����������������������������������������������������������
����������������������������&��������������������������������
����������!����������������������,�����������������������������
��������������������������"�������������� ���������������������
�������������������� ������� �������������������������
�����������������������������
����������������� 2�������������������������������������������������
����������������������������������������������� ���������������
������!�����������������������"���������������������������������������
&�������� ��������������������������������������������������
������� ������ ����������������������������������������� ������
������������&��������������� �����������������������������������
�� ��� �� ����� �� ����� ������ ��� �������� �� ��� ��� ����������� ��
����� ���������������������������3�� ��������������������� ������
������������������������3��.�
(������������ ������������������������������� ����������#�
������������������� �������� ����� ����������������������
������������������������������������������� ������������������
�����������!����������������������������"������
%�� ����� ������� �� ������������ �������� �� ������ ����� ��
��������� �� ����������� ������� �� ����� ������ ����� ���� ��
�� ������������������� ��������������������������������������
�� ���������� ���������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������
�����������������*����� ������������������������������������
���������������������������������������������������������������
����������������������
� ������������� ���������������������������������������&������������
����������������������������������������� ��������������������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
����������&���������������������������������������������������
������������������������������������ �����������������
�������&���������������������������������������������������
�������������������������������������������
4����������!�������������"�
��
5���������!������������� �����"�
��
+����������!���������������������������"�
��
6� ����������!����������������"�
� �
6�� ��������������!�������������"�
� �
(����������)����7�����������������������������������������
�����������������������#����
��/�
��8
�
��8�
��8�
��8�
�� !0�-"
9�������������������
������������������ ����������������
���������������
����������:��!0�-"��������� �������
� �8�
��8�
��8�
� �8�
��8�
� �;
*�������������������������������������������������������
��������� ������ �����������������������
� �����������������
���������������������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
(���������������������������������������������!�"������������
���������� ��������������������������������������!��"����������
������� ������� �� ������������������������!���"������������������
����������)����������� ��������� �����������������������
���������������� ����������������������������������������
���������������������������������������������������
�������������
�� ����������������������������������������������
��������������������� ���������������������������������
���� �� �� �������� �� r�< ���� r �� �� ������ �� ����� ��� � �� ��
������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������
���� ��� ��� �� ������ �� �������� ���������� �� ��� �������������
�������������������� ����������������� �������������� � ��
�� ���������������������������������������������������������������
����������������������� �� �����������.3��������������������
���������� �� ����������r�<�.3�/r�.�.������������������
� µ r�.�. !0�.�"
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�������������
�� ����������������������������������������������
���������������
9���������������������
��/ ���� ����� ¥ ������ ��� ��� ����� ��
�������������
���������������/m!���������"¥���������������
�������������������µ��������������µ�
������������µ�.
#���
��
µ m �
��.
µm�� !0�.�"
��������������
�� �� ����������������������������� �������
����������#�����������������
�� µ D� ◊ �. !0�.�"
���D ������������������� ���������������������
������ ������
�
�� ������������������������������������
#����
�� µ r�<� !0�.�"
������������������������������������ ����������
�������� �� ������ ������� ������
�� �� �� ������ ���� ����� �� �� ��
������ �� �� ������� ���� ��� ������� �� ������ ������ ���� ����
��������� �� � ������ ��� �� ���� �� �� ��������� �� ������ ������ s����� ���������������������������������� � ���������������
�������������������
�� µ s� !0�."
�������������� ���������������
�� :����������������������������������
����� ������������������������������������&�������������:��
!-�<"��������������� ������!�������������"����������� �����
�� �� ���������������������������������� ����������������������
����������������
#����
�� µ �. !0�.�"
���������������� ������������������������������������������
������� �� ������ ����������� ������� ��� ������� ���������� ��
����������������������������������������������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
� ������������� �������������� � �������!���������� ���������������
������������������������������������������������������� ��������
����������������������������������� ����������������������
������������� ��:��!0�.�"��!0�.�"���������
4������ ����
&����� ����/
�
�
�
�
��
� � ��
� ∝ =mr
mr. .
!0�<�"
5����� ����
&����� ����/
�
�
�
�
��
� �
�
�
�
µ =D D.
. . .r r!0�<�"
�� ��� r ��3m �� ����� �� �������� ���!���= ���� �� ��� �� ��
�������������������� ������������ �� ���������������������������
�����������������������������D�3r�.����=#���:��!0�<�"�������
�� �������!��":���������������������������������������������
�����������������=���:�� ���������������������������������
������������������������������������� ������������������������
��������������� ����!�"����������������������� �����������������
!��" ���� �� ��� ��� � ����� � �������� ��� !���" �� ���� �� ���� ��� �
��������� ����������� ����������������������#�������
��� ������������������������������� ������ ����������������
���������������=������������=���:���������:����������
��������! ������ �������"�����
rm� � �
�
� �/
rm
� � �
�
� �!0�<�"
D �
�
�
� �r ./
D �
�
�
� �r .!0�<�"
������������������������������ ���������� ������ �������
�� �������&� ��������� �������� ����� ��������������������
����� ������������������������� ��:��!0�<�"����������������
=�����������!:��!0�<�""������������������������� ���������
��������������������������������������������������
�������������������������������������������������������
� ����������=�����������������������������������������
�������������������������������������� ������������*���������
������������������������������������������������������������
����������� �� � ������ �� ���������� ��� ��� � ��� � �� ������� ��
����������������� �����������/>�3���� ���� � �� ��������
������������������ ������� �������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
� ������������� ����������"������ !���������� ������������� (������
���� ���������������������������������� ������������������
�������������������������� �����?���� ������������������
����� �������1���������������������������� �����������
������������?��� �������� �� �� ����� ������� ��� � �������� ��
�����������������������������������������������������������:���
�����:�!����������������� �����������������"���������������
���������� ����� �� ������� �� ������ ���� �� ����� ������ ����� �� ��
������������� ����
*���:��!0�.�"���!0�.�"
+������ ����
&����� ����/
�
�
�
�
� �
� �
��
�
�
µ =rr
<
. . .!0�<"
&� ��������������������������������������������������������
����� ���������������*���� ������� �������������������!��"-3.3�
�� ��������������3�.��������������� �������������������������� �
������������!��"-3.3�������������������!������%������*�������
������������������������������������������������������#��
*����������*�/�3!��"-3.���������� ������������������������
���������� ���� �� ������ ��� ������ ��������� ������ ���������
�������������������������������������*����������*������
! " 3� �
�
� �
�
- .
/! " 3� �
�
� �
�
- .
!0�<�"
� ������������� ����������"����������������"��������������������
��������������� ���������������������� �������� ������������!�"
�������������� ����������� ���!��"������������'���������������
��������'��������,,������!���"�������������������������������
�������#�������������� ��������������������������������������
�����������������������������������������������������������
�� ��:��!0�.�"���!0�."��
�
�
�
�
�
µ sr
sr
�
� � � �. . .= !0�<�"
�����s3r�.�����������������#�!�����!���%�������+����
�������������9����,%���������������������������������������
�������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ��
� ������������� ����������"������������ %������� �����������������
�� �� ������� ��� ��������� �� ������� �� ������ ���� ��������� ��
����������������������������������������������������������
������������������������������ ������������������������������
��������������%������� ��:��!0�.�"���!0�.�"
&����� ����
:������ ����/
�
�
�
�
� �
�
�
�
µ =r r. .
.
.
!0�<�"
�� ������ r�.3 �� ����� �� $����� ���!��� ���� �� *����
������������(�@�6������&������������������������ �����������
��������
�
�
�
�
µ r� �
.
!0�<�"
��� �������������!����������������������&����������6�� ��->
������������������������������� �� �����������������������
������� � 3r �#��������r�.3 ��������������
.3�
.��������
��������������������������������������3���������� ������!��"
9�������(������� ��������:�����9���� &����������� ��6�� ��-
A:��!-�-."B���������������� ���������������� �����������9���
����� ����;�<<��� ��������� ����� �� �� ������ ��� ��� ������ �
����������������� �� ���������������� �������&�����������������
9�����������������������������������������
������� ��3��/ �� 3�� !0�<'"
&���� �� ���������� �������������,��������������������������
������������������������������������������������������������������
�����������������0�-�
���� ���
5������ ����������� = �������� )�� =�������
����������������� �������� ������
������������������� ���������
������� ���������� �����
�����������
r��3m &����� ����
4������ ����=����������� =
D �3r�. 5����� ����
&����� ����:�������� :�
%$����&'
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
5������ ����������� = �������� )�� =�������
����������������� �������� ������
������������������� ���������
������� ���������� �����
�����������
�3!��"-3. &����� ����
+������ ����*��������� *�
s3r�.������� ������ ����
&����� ����%������� %�
�3 � 3r &����� ����
:������ ����9�������� 9�
��% �� ���������������������������������&�� ����������������
����������������������������������� ��������� �������
�� �������� ������ �� ������ ������� ��������� ������ ���������
����������������������������������������� �� �����������������
���� ������ ������ �� �� ��� ������� �������� ������� �
������� ��������������������������� �����������������������
�������������������������������������������������������������
���� � ��� �� �� �������� �� ��������� ������� �������� � ����
����������������� ��������������������*������� ������=������
�����=/r���3m����������������� ������������������������
�������������������������������������������������������=���
�������������������������������������������������=����
����� ��� �� �� �� ��������� �� � ������� ������� ���� ��� ����
������������������r������m�&���������������������=�����������
����������� ��������������������������������� �����������������
������ �� ����� ��=���� � ������� ������� �� ��������� �� ��� ��
���������������������(���������������������� ���������
���������������������������������������0�-���������������
������������������ �����������������������������������������
� ����������������������������������������(���������������
������������������������� ������������������������������
�������������������������������������������������������
�� ������������������������������������ ������� ������������
������������ ����������������������������������������������
�������������������� ����������������������������������������
����������� ������1������(�����������������������������
C���������� ������� ������ ��� ���������������� ���� ��
����������� ��������������������������������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
��%�� ���'"��'"��(��)!"��� �*+�'�����"
(�� ������������������� ������������������������*����� ����
���������������������������� ��������D�3����-;�3�.�� �������
#��������������������������������������E-�����E.�� �������
&��& !����� &�����������" ������ �� ������ ������� �������������� ��
���������������������������������������� ���������������
�����������������?������������������������������������������
���������,��� !����"�)!�����"�*!���"����q!�� �����"�
(�� �������������������� ��������������� �����������������
�������������������������������������������������������� ������
��������� ������������ �����������*������� �� ���� ����� t ��
�����������3����(���������/����¥����������
���������������������/������������������3��������������
/�����������������
!�������� �����".
/)
* .
�������������/ !@����"./)
.
#�����������������������t/9@3�.@./9@E-� E. !0�>"
������������������������������������������ ����������������
)����7����!:��-�-"���������������������������
t/ m��3��
�� m/ t! 3� � "� �
����������������������������3��������������
������������3��/ �����������3�����������/@3�@/�E-
���������������������t��������:��!0�>"�
#������������ m/ �������� ��
�������� �� � 3�
t� �
/9@ �
�
E- E.
E-
/ 9@E-�E-
������������������ ���������������������������������� ������
�����������������������0�.�
���� � �� ���'"��'"� �(� �)!"��� � *+�'�����"
5������� F������� ��������
9��� 9
@���� @
��� �
�� ����� q%$����&'
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
5������� F������� ��������
4������ @� E-
(������������� � E-
(��������� @� E.
(���������������� � E.
*���������������� 9@� E.
������ ����� 9@E-� E.
9������ 9@� E-
(������������� 9@.� E-
9����� ����� 9@.� E.
%�������� 9@.� E.
5��� 9@.� E<
������������� @.� E-
4���������������� � E-
4������ ������� @.� E-
������ 9@E<
6�������������������������� 9@E-� E-
6��������������������������� @.� E-
������������ 9� E.
C��������������������� 9@E-� E.
��%�� ,+�-�'.)��/"���0�)�����
%��� ������� ����������������������������� ������������
���+-�+.�+<����+������� ����� ������������������������� �����
�������������������� �������������������������
� !+-� +.�+<����+�"/ ; !0�G"
)���� � � �� ����� �� ���������� ��������� �������� ������ ����
�� ���������������������������������������������C���������7�
p�������� ��������������������������!�E�"��� ����
��������������� ����p-�p.����p�E�����p������ ��������������
������� �������������������������������������������������������
������������������� ��������������������� ���������������
�������������������� �������������:��!0�G"�����������
�!p-�p.����p�E�"/ ; !0�0"
���� ����������� ��������� ��������������������������������
� ��� ���� ���������� ��������� �� ��������� ��������� �� !�E�"
��� ��������������� ��������������p�����
#����������$��"������������������� �� %ppppp& �� �"����� ( ������� �����
������� �� � ����� �� �������� ��������� � ����� �� ����������
��������� !�H�" ���� ��� ������� � ��������������������������
����������������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
�--+-8�-.+.8� � ��-� +�/ !-
�.-+-8�..+.8� � ��.�+�/ !.
������������������������������������������������������-+-8��.+.8� � ����+�/ !� !0�I"
�����������������+/ ! !0�D"
��� �/
-- -. -
.- .. .
- .
�
�
� � ��
� � �
� � �
� � �
È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
�
�
�
,/
-
.
�
�
+
+
+
È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
��� !/
-
.
�
�
!
!
!
È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
� �� ����� �� �� �� ��������������������� � ¥���������� � ��
:��!0�D"����������������������������������������������������
�������!�H�"�&����������$��������������������������������
�������������,����������,���������������������������������
������$������������������������ ������
�!$"/ �
������������������ ������������ ��������� ���������������
�������������������������������������������(��
(/
-- -. - -
.- .. . .
- .
�
�
� � �� �
� � � !
� � � !
� � � !
È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
�
�
�
��� ���������������������������������������������������
:�� !0�D"
!�" �!�"H �!(" &������������������������
!��" �!�"/�!("/ �/� &����������������������������
!���" �!�"/�!("/ �H� &� ��������� �������������� �������������
�E����������������������
*��� �� ��������������� ��������� 5� ����� ��� � ����� �� ��
���������������� &�� ������� ���������������������������������
�������������������� ��� ��:��!0�G"������� ���������������� ��
��������������������
�!p-p.��� p�E�"/ ;
��� p-� p. ��� p� E � �� �� ����������� ������ ������� �� �������
���������������������������+-+.���+�������������������������
������(������������*��� ����������������������������������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
���������������ppppp����� ������������ ����p��������������5�
������������� �����������������p�������������
(������ �� � !�/������� �������������������"�������������
� !� / ����� ����� �� ��� ���� �������� ������� �� �����" �� �����
������������������������������ �������������������p����
����������� ������������ ������������������������������������
������ �����������������������!�E�"���������*����� ��+-
+.���+������������ ������������������
p-/ +�-
- +�.
. � � � +��� +�8-
p./ +�-
- +.�.� � � +�
�� +�8.
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
p�E �/ +�-
-+.
� .�� � +��� +�
������������� ������-�.��������������������p��������p������������������ �� ������ ���� ����� ���������� ����� p �����
� ��������������������������������������� ����������������
��������������,��������������������������������������-�.���������������������������������� ��������������������-�.��������
���p������������������p�������������������&��������
��� ������������������������� �������������������
!�" �� � ����� �������� ���� ������ ����� ��� ��� �� �
�����������������������������������������������������
!��" �� � ���� ������� �� �� ��� �� ������ �� �� �������
����������������������������� ��������������
&����������������������������H����������������������
������ ������� ����������������������������������9���������
�/ �� ��� �� ������ ���������� ���������� ���������������� ��
�������������������������������������������� ����� �������
������� �� ������ ������ ��� ������ ������ �� ������� ��
����������J ��%���/ �8-� ������������� �� ��5� ������ ��
�������p������������ ������������ ������
�!p-" / ;
���� �� �������������� ��� p- �� ��� � ����� ����������� �� �8-
������������������� ������
%���J�8-����������p������������������������ ������
�������������������������������������������� �����������������
����������(������������������������� ������������������������
��������������������p��������������������������������������
��� ��������������� ��������� ��������� ������������ p ������
�������� ������������������������������������� �����������
�����p����������������������������������� ���������������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
��� ��� ���������� ������� ���� ����� ���� ��� ����������� ��
�������������� ������� ��������
*��������������p��������������������������������������
������������������p����������������������������������������
������!�E�"����������5� ����������������������� ������
�������������������C���������7�5�����������
�������� ������������ �������������������������������� ����
�� ��'��������������������������������������������������*���
������������ ��������������������C���������7�5�������
�������� ������ �����������������������������������������
�!�� �� �"/ ; !0�K"
#�������������������/<!�� ������"����������� ������
����������������������������)���*�#������������p����
/�E�/<E./-�&��������������p �������������� �������������
���������.����������� �������������������������������
� �������������������������
�������p-/ � ��!� !0�-;"
C�������������������������������������������������������������
����������:��!0�-;"���
@;�
;/ �
�!@�
E."!@
:���������� �����������@����������������������������
���
�E.!/ ;
��� !8-/ ;
����������/ E.
!/ E-#��� p-/ �3��.
���������������������������� !:��!0�K""���������������������
�� �����������������������������������������������������
����������� ������!p-"��
�.
�
��
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
/ ; !0�--"
*�������������������������������������
�� .-
.= �?������������
�������������������5��������������������� �����������������
���� ������������ ������������������������������������� ����
����
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�������� *������������������ ���������������������������
�������� ������������������D �3�����������������������������
���� ��������������������������������������������������
��� �� ������ r ��� �� ��������� m �� �� ������ *��� ��� �� ������
����������� ���� � �������� �� ������� �� �� ��C���������7� p������
�������� ��������������������� �������
D ��
������ r� m
#��� �/ G�
����������������������������������������������� ������
!����"�)!�����"������!*"���������/<�(����������5���������
���������� ����p������!GE<"/.������ ���������� �������
� !p-p."/ ; !0�-."
&����������p-���p.����������� ���������������������������<�
�����D �3�������� ������������������������������ �����
������������������������������r���m�&������������������������
���������������������������������������������������������9�
@�����#������������������������ ������������ �������������
�������
����� r����� m���r�m�� r� m
@���������������������r������p����������������
p-/ � ���!r�D�3 � !0�-<"
p./ � ���!r�m !0�->"
:� ��������:���!0�-<"���!0�->"�����������������������������
����������������
9;@;�;/ !@�E-"�!@"!!9@E<"�9@E.�E. !0�-G"
9;@;�;/ !@�E-"�!@"!!9@E<"�9@E-�E- !0�-0"
:���������� �������9�@����������������:��!0�-G"�����
�8-/ ;
�8!E<�E./ ;
E�E./ ;
�������� �/ E.�!/- ��� �/E-
������ p-/D � �
� �
�
r .
�������������:��!0�-0"
�8-/ ;
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
�8!E<�E-/ ;
E�E-/ ;
���������/E-�!/E-� ��� �/E-
������ p./m
r���
#���:��!0�-."������������
�.
��
�
��
��� �
mrr
Ê ˆDÁ ˜Ë ¯
/ ; !0�-I"
�����p.������� �������=������������=�������������:�������
!0�-I"��������� ������
� .�� ��� ��
� �
rmr
Ê ˆDÁ ˜Ë ¯ / ; !0�-D"
��D ��
� �
�
r ./ f!=" !0�-K"
����� p-����D ��
� �
�
r .����������� ������������ �����������������
���� �����������������������
@������������������m����� ��������������
���
p-/ � ���!m�!D�3�" !0�.;"
p./ � ���!m�r !0�.-"
:� ������ �� ����� ���� ��� �� :�� !0�.;" �� ���� �� ����������
��������������
9;@;�;/ !@�E-"�@!!9@E-�E-"�9@E.�E.
:���������� �������9�@������������
�8-/ ;
�8!E�E./ ;
E�E�E./ ;
*������� �/ E-�!/.��/E-
������� p-/D �
�
�
�
�.
m�������������������� ����������������������������������������
����������:��!0�.-"���
�/ -�!/-��/E-
������� p./r
m���
#������� ��������������������:��!0�-I"�������������
�����������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�
.
�� �� ���
� �
rm m
Ê ˆDÁ ˜Ë ¯ /; !0�.."
��������:��!0�-I"���!0�.."��������������������������� �����
)�� ������� �� ��� ��� �� p ���� ������� �������� ������� ���� ��
� ����������p�������
p- p.
��-D��� �
�
r .�
mr���
��.D � �
��
�.
m�
rm���
%���������
!-3p."����./ !p."����-
��� !p-3p."����./ !p-"����-
������������������������������������p������������������
��������������������������p������������������&���'�����������
������������� ��� ��������� ���� �� ���������� ���������� �� p ����
� �������� �������������
� !p-� p.� ��� p�"/ ;
�� �������� �� ��� �� ����� ���������� ���������� ���� ���� p ����
�����������������������������������������������p���������������
��� �������� ������������ ��� ���� p ���������� ������*��
��� �:��!0�.."���:��!0�-I"�����������������p �����������
��.��
� !p-� p."/ ;
��� �!p-3p.�-3p."/ ;�� ������
����0�<������������������������� ���������p�����������
������� ����������������������� ���������������:��� �.�������
��������������p�������������������.������0�<���������������
����������������������� ��������������������� ������������������
����������� �������D���3�r�.��r���3m������������������
��������������������!���� ��������������������������� �����
��������� ��� � ����� ���� ������ �� ��������� �� ������������������
������� ��������������� ������ ������� ���� ���� �������������� ��� ��
������ ������� ���� ����� �� ����� ���� ����� ���� �� �����������
������������������� ������������������ �� �� �� ���� �������
���� ���������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ��
���� ��� �((���'�����"��(�p�����"���"+ ��'.�(�����((���'�����#�'����'"��(
��1����'.�2����# �"��(�����1��� �3����# ��
= ����� ����p���� *���������=������
4������� p- p.
����� rD � �
� �
�
r .
mr���
�.
��
�
� �
��� �
mrr
Ê ˆDÁ ˜Ë ¯
/;
�����mD � �
��
�.
mr
m��� �
.
�� �� � ��
��
rm m
Ê ˆDÁ ˜Ë ¯
/;
���r"mD � �
�
�<
.
rm
rm��� f
<
.�� �� � ��
�
r rmm
Ê ˆDÁ ˜Ë ¯
/;
��r�mD ���
mr< .
rm��� y
< .� ����
��
rmmr
Ê ˆDÁ ˜Ë ¯
/;
�� ����������������C���������7� p ��������� �������,� ��
�������
!�" @������ �������������������������� ��������� ������)��
�� ����� �� �� �� ���������� ��������� �� � ��� �� �
������������������!�E�"p�����
!��" �������������������������������� ���������������
����������� ��� �� ��� ������ �� ��� ���������� (��
������������������������������������������������������
������
!���" �� ����� p ��� ��� � � ���� �� �� ������ �� �� �����
����������������������������� ����������������������
!��" =���� ���������������� �� !��" �� � ���������������� ���
������������������������������������������p������
������������ �� ������� �� !���"�= �� ���� ������ ��� ��
�������� p �����
!�" *����� p ����������� ���������� �����������������
���������
!��" &���������������� ����������������������������������p����
!���" &������� �������������������������������������������
�����������p�����
!����" (��p�������� ���������������������� �����*��
��� ��p<����� ������p<.��p.�� p . �
!��" (��p�������� ����������� ���������������������������
*����� �p-����� ������<p-�
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
��%�% ��! ��.)/"��'4���� ����)�4
������������������������������������������ ����� �������������
����������� ������������������������� ������#���� ����
���������� ������� ���������������� ���������������������
������������� �����:������������������������������������� ��
���������������������� ���������������������������������
����� �� ������������������������������ ��@���������������������
����������� � ���� �������:��� �.�#����� �����������
D�-�������������
D �
�/ �� ���
!r�m� !0�.<"
����������������������������
&������������������������������������������������������
9@E.�E./ (!@�E-"�!@"!!9@E<"�!9@E-�E-"�
:�����������������9�@��������������������
�8�/ -
�8!E<�E�/ E.
E�E�/ E. !0�.>"
��������������������������������������������������������
�����������������
�/ .E�
!/ E�E-
�/ -E�
#���:��!0�.<"������������
D �
�/ �� .E ���
E�E-r-E�m�
��D �
�/
. �
� �
��
� ��
r mr
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
��D ��
� �
�
r ./ �
�
���
mr
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
!0�.G"
������� � ���� ��� �� ��� ��� ���� ����������� ���� �� ��
������������
D ��
� � ��
�
�rm
r.���
&� ������ �������� �� ���� ������ ���� ����C���������7������ ���
=������7� ����� �� ���������� �������� ������ ���� �� ������
��� ��������������� ���������� ����������������������������
��������*����� ����������������������������:��!0�.G"���
�������������������������������������������������� �������
&����������:��!0�.>"������������������������������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
D �
�
�
�
�.
m/ �
rm���
�FH
IK
������������������ �������������������������������������
�����������������������������������������������������������
��������������������������������������������������� ��������������
� ���������������C���������7�5�������
�������
∑ 5�������������������������������������� �����������
������� �� ��� �� ������� ���������� ������ �������
����������� �������� ���������� ��� ������� ���������� �� ����
��������������
∑ &������������������������������������ ���������������
��������� ���� �� ������ ����� �� ���� &� ��������
����������� �� ������ �� ����� ������ ������� ��� �� �������
����������� �� ������ �� ����� ������ ����� ���� �� ������
�����������
∑ *�� ������������ ������������������������������������ ��
����������������������������� ��������������������
��� �� ����������������������������������� ������
����������
∑ ���������� ��������� �� ������� ��������� �� ��� ���� ��
����� �� ����������� ��� ���� �������� �� ������ ��
��� ���������������������������������� ������������
� ������� ����������������������������� � ���� ��
��������������������C���������7�p����������������� �������
����� �� ������� �� � ���������� �������� ����� ��� �
� ���� �� � ���������� ���������� ��� �� ����� ��
��� �������������������������������� �����������E
�� ��� ����������� �������� �� ����� �� p ����� ��
��� ����p������� ������� ��������������������
C���������7�p���������=������7���������������
����� ������
���������� ����������������� ���������� ����������������������
��������������������������������������������������������r����������m���
������ ������������������������ �������������L����C���������7�p������
������������ ����������������������������������� �� ������� ��
������ �����������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�������� �� �������������������������� �������������r�m��� �����
�����0�����������������������������������������������������<��
��������������������9�@�����������������������p�������������
����� ����p������!0E<"/<�
)�������������p�����������r������������ �����������������
�� p ����������������
p-/ ���!r��p./ ���!r�mp</ ���!r� �
������������ ������������������� ���� �� ������ ���� ����������
��������� ��
9;@;�;/ !@�E-"�@!!9@E<"�9@�E. !0�.0"
9;@;�;/ !@�E-"�@!!9@E<"�9@E-�E- !0�.I"
9;@;�;/ !@�E-"�@!!9@E<"�9@E-�E. !0�.D"
:������� �� � ����� ��9�@ ���������� ������ �� �������������
����:��!0�.0"�
�8-/ ;
�8!E<�8-/ ;
E �E./ ;
������ ���� �/ E .�!/E .�����/E -
������� p-/�
� �r . .
*���:��!0�.I"� �8-/ ;
�8!E<�E-/ ;
E �E-/ ;
����� ���� �/ E-�!/E-����/E-
������� p./m
r��*���:��!0�.D"� �8-/ ;
�8!E<�E-/ ;
E�E./ ;
����� ��� �/ E .�!/;����/E -
������ p</
�
�.r
/
�
� 3r.
#��� �� ��� ���� ����������� ������� ��������� �� ����� ��
p-/�
� �r . . p./m
r�� ��� p</
�
� 3r.
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
)���� ���� -
.p /rm��
/=!=�����������"
��� -
<p/ �
��
� 3r= /9�!9��������"
��� � �� �� ����� � ��� ������
�������� ���������������������������� ���������� ���������������
���������� �� �� ������ ����������� ������� ��
��
� �
�� ��r
rm. .
� �FHG
IKJ / ;
�� �
� �r . . / f rm�� �
��
FH
IK !0�.K"
������3r�.�.����������������������$��#��:��!0�.K"������������
$�/ �!=�9�"
���������� (��������������������������K��!������� ��������
�������E >GM6���<;�.�5��� ������"��>;;�3��(-3.;����������������
��� ������,���������������������������-GM6�*����� ��������������
���������� ���������������������������������������$!*������ mµ* <3.3!*
8--I"� �/g ���/r�*������� �����*����������g������������ �����
����"�
�������� %��������:��!0�.K"���������� ���������������������=������
������=���9���������9��������������������������������
������ �
*��������������9��������9��
�
��
�/
�
��
�
�� ��/ �����
�
/ �
�� �
� �
�
�
rr
!������� �� ���� � ��� �� ������ ��� ������ �� �������"
/ ��
���
�
�
�
gg
rr◊
!�����/ � r ���� /g �"
����� ���� �� ������� �� �����
�
��
�
�
�rr
/**�
�
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
#��� ��/ �*
*��
�
/ >;;�3�! � "! � ".I<-G -G.I<-G >G
+-
/ >G;�3�
*��� �����������=������������
rm� � �
�
� �/
rm� � �
�
� �
��rr�
�
/�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
◊ ◊mm
���
�
�
�
/�
�
�
�
*
*
�
�
�
�
�
�
�
�
◊ ◊ �mm
/�
�
�
�
*
*
*
*�
�
�
�
�
�
�
�◊ L
NMOQP
++
LNM
OQP
G .--I
--I
3
A����mµ*<3.3!*8--I"B
������ ��/ <;�.�5� >;;>G;
.;.I< -G -G.I< -G >G
.I< -G >G --I
.I< -G -G --I
G .
e j ! "��
��
3+-
FH
IK
- ++ +
FH
IK
/ D.-�5�
���������� (������������������������ ���� ������������������
� �.�����������������r������������m!�"������������ ��5����������
�/ r.<�G�!r.�.3m"
!��"(�����������..G������������������.<��3��������������������������
��-�-)��6�������������� ������� �������������������������������
����������0IG���������������������!4��������� ���-�D0¥-;EG5�������-�;-
¥-;E<5���������� ���-�.;��3�<�����-;;;��3�<"�
�������� !�"�� ����� �����������G�������� ��
�!��.���r�m"/ ;
�������������� ������< �������������������9�@�������������
���������p����/!GE<"/.�.������r����������� ���������������
����������� p �����
���� p-/ .��!r�� !0�<;"
p./ .��!r�m !0�<-"
������������ �� �������� �� :�� !0�<;" ��� !0�<-" �� ���� �� ���� ����������
���������9�@��������
9;@;�;/ !�E-"�!@"!!9@E<"�9@.�E< !0�<."
9;@;�;/ !�E-"�!@"!!9@E<"�9@E-�E- !0�<<"
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
:���������� �������9�@��������:��!0�<."�����8-/ ;
!E<�8./ ;
E�E</ ;
����� ��� �/ E <�!/E G��/E -
��� ��� p-/�
. �r < G
��������������������!0�<<"
�8-/ ;
!E<�E-/ ;
E �E-/ ;
����� ��� �/ E -�!/E .��/E -
��� ��� p./m
r.�.
������� �� ����� ��� � � ���� �� ���� �� ��� ���� �����������
������� ��
� �
. � .�rm
r< G .�
FHG
IKJ /;
����� �� �������� ��
yr
rm
�
. �
.�< G
.
�FHG
IKJ / ;
�� �
. �r < G/ �
.�rm
.FHG
IKJ
�� �/ r.<�G �.�rm
.FHG
IKJ
!��" �-/ ..G�� �./ 0IG��
.-/ .<��3� ../ $
r-/ -;;;��3�< r./ -�.;��3�<
m-/ -�;-¥-;E<5�� m./ -�D0¥-;EG5��
�-/ .p¥.<¥-�-% �./ $
*��� �� ��������� �� ���������� �� ��������� �����
rm
. . ..
.
. �/
rm
- - -.
-
. �
../ .�
�--
.
.-
.
.
-
FH
IK
rr
mm
/ .<��3� ..G0IG
-;;;- .;
- D0 -;
- ;- -;
. G
<e j ��
�
¥¥
-
-
/ <K�..��3�
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
�������
. �
.
. .<
.Gr
/�
. �
-
- -<
-Gr
���
�.
-/
��
.
..
-
G.
-
<.
-
FH
IK
FH
IK
rr
��*
*.
-/
��
.
..
-
G.
-
..
-
FH
IK
FH
IK
rr
���� * � ����� �� ���������������� ��������� �/. p.*
#�� *./ *�
�
.
.-.
-
G.
-
..
-
FH
IK
FH
IK
rr
/ -�-)� 0IG..G
<K ...<
- .;-;;;
G .
e j � �FH
IK
/ ;�K<<)�
�������� ��� ( ��� ������ � ��'�� K;; �� ������ �� �� ��� �� ��� ��
0;�3�����������������������������������������������������������
���������� ��������������������������������'����������������
��-->;)�!����� �� �������������:��� �0�<!��""�
�������� ������������� �������� ����������������������������������
� ������� ������
�����������������'��� ���� ���������������������"��������r���
��������� m �� ����)�����C����������7� p ����� �� ���� �� �����������
���������� ����������� �� �� �� r��� m �� � ������ ��� ����������
���������9�@��������������������p������!GE<"/.
%����� �� ���� r �� �� � �������������
���� p-/ � ��!r��
p./ � ��!r�m:� ���������������������������������������� ������������������������
� ���
9;@;�;/ !@�E-"�@!!9@E<"�9@�E. !0�<>"
9;@;�;/ !@�E-"�@!!9@E<"�9@E-�E- !0�<G"
:���������� �������9�@�������������������������������������
/E.�!/E.��/E-����:��!0�<>"�����/E -�!/E -��/E -����:��!0�<G"
#��� p-/�
� �r . .��� p./
mr��
�� ������������ � ����������������� ��
� �
� �
��
rr
m. .�
FHG
IKJ /;
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
�� �
� �
��
rf r
m. .= F
HIK !0�<0"
*����������������������=������������!r��3m"��������������� ������
����������������������������������� ������ ������� ���������
p-������������������� �����������������������������
rm
� � �
�
� �/
rm
� � �
�
� �
!������� �� ���� � ��� �� ������ ��� ������ �� ������"
�� ��/ ���
��
�
�
�
�
�
FHG
IKJFHG
IKJFHG
IKJ
rr
mm
#����
�/ -
.
#�� ��/ 0;¥!."¥- .;-;;;
- ;- -;
- D0 -;
<
G
� �
�
FH
IK
¥¥
FHG
IKJ
-
-
/ I�D.�3�
(������������=�������������:��!0�<0"
�
� �
�
� � �r . ./
�
� �
�
� � �r . .
�� ��/ ���
�
�
��
�
�
�
�
�
FHG
IKJ
FHG
IKJFHG
IKJ
. .rr
/ -->;!>" 0;I D.
- .;-;;;
.
��F
HIK
FH
IK )
/ <..)
�������� ��� ( ����� ���� � ������� ����� ������ ���� ���� ��� ����
���������� ����������������������������/������ �����������������
$���������0�&��6���������������������� ����� �����������������!����
��� � �������������������� ����"������������� ��������������
��������������������/������ ������� ���������������3�+�� ���
����������������������� m����������*������������������������������
� ��� � �� ���� �� �� ��� ���� �������� �� ������� �����
�������� �� C���������7� p ����� �� ��� ��� ���� �� ��� �� ��������
��������� �6���� ���� �� �� /� � �� ��3�+��� m�������� � !�� ����� ��� ��
��������"/0�
�!��������������������������������������������������� ����"/
<!9�@����"
#���������� ���� p������0 E </<
����������� p�����/� ���� m��������� �����������������
p-/ /��!m��
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
p./ /��!m��p</ /��!m���3�+
���������������������� ���������������������������������
�� ���������� ��
9;@;�;/ !@�E-"�!@"!!9@E-�E-"�@�E- !0�<I"
9;@;�;/ !@�E-"�!@"!!9@E-�E-"�@ !0�<D"
9;@;�;/ !@�E-"�!@"!!9@E-�E-"�9@E.�E. !0�<K"
:������� �� � ����� ��9�@ ���� �� ���� ���� �� �� ���� ��������� ��
�� ���������
*���:��!0�<I" �/ ;
�8!E�8-/ ;
E�E�E-/ ;
����� ��� �/ E-� !/; ��� �/;
������ p-/�/
*����������!0�<D" �/;
�8!E�8-/ ;
E �E�/ ;
����� ��� �/ ;�!/E- ��� �/;
������ p./��
&�������������������������������p�������������������������������
��� ������������������������ ����������������������������������
��������� �� � p ����������� ��� �� ������ ��������� �� ���� p-��� p.
�������� ������� ���������� p ������������1 ������ �������������
����������������� p-/�3/��� p./ �3��
*���:��!0�<K"
�8-/ ;
�8!E�E./ ;
E �E�E./ ;
����� ��� �/ E-�!/.����/E-
������ p</�/
�+
.
m��
#��� ������������������������ ������������������������� ������
����������� ���� ��
� �/
��
�/
�+
� �.
m��
FHG
IKJ /;
�� �/
/ ���
�/
�+
�.
m��
FHG
IKJ !0�>;"
&� �� ��������� ������ �� ����������� ���� ��������������������.����������
����������� ��������������� ������������������� ���������������
6�� ��D!���D�>�."�����������:��!D�<K"��
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ��
�/
/ �3�E �/
�+
��
��
.
.-m
��
FHG
IKJ -F
HIK
#����� p ����������������� ����� ����� ���������������� ���������
���� �� ���������
����������� (-3<;���������� ����K;;�.��������������������.
�3��� ����������������.;)�6��������
!�" �� ����� ������ � � �� �� ��� �
!�" ����������������� �� ��� �
!�" ����������������������������������������������������;�;;>���
��� �� ������ ;�;-G�
!�" �� ����� ���� �� �� ��� � ���
!" �� ��� �� �� � �� ��� �
�������� *���������������� ������� �� ����������������� ������� ����
����������� �������� ������*������������ ��������������� �����
�� �������
�� ����� ���� ���� � �� � ��� � ��� �� ��� ������� �� ��� �������������
�������������� ����������������������������������r������������m����
������������������������������������������������ �����/0�����
������� ������������������� ����������� ����������/<�
#��� ��������� �� �� p ������ ����� �� ��� ����
p����/ 0E</<
�� ���� r ��������� �� � ��������������
��� p-/ ���!r��p./ � ��!r��p</ � ��!r�m
:� ������ �� p ������ ������������ ��������� ���������� �����������
����
9; @; �;/ !@�E-"�!@"!!9@E<"�!9@�E." !0�>-"
9; @; �;/ !@�E-"�!@"!!9@E<"�!@�E." !0�>."
9;@;�;/ !@�E-"�!@"!!9@E<"�!9@E-�E-" !0�><"
:������� �� � ����� �� �� ���������� ��������� �� ���� ���� �� �� ����
�������� � ���
*���:��!0�>-"
�8-/ ;
�8!E<�8-/ ;
E �E./ ;
����� ��� �/ E.�!/E. ��� �/E-
������ p-/�
� �r . .
*���:��!0�>."
�/ ;
�8!E<�8-/ ;
�� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
E�E./ ;
����� ��� �/ E .�!/- ��� �/;
������ p./��
�.
p. �� �� ��� ������� ��������� �����������!�����
*���:��!0�><"
�8-/ ;
�8!E<�E-/ ;
E�E-/ ;
����� ���� �/ E-�!/E- ��� �/E-�
#��
p</m
r� �
������������ ��������������������!�����#���� ���������� ��������
��� � � ���� ��
� �
� �
���
� �
rr
m. .
.
� �FHG
IKJ /;
�� �/ r f rm� � �
��� �. .
.
�FHG
IKJ !0�>>"
��������������������:��!0�>>"�������������������� �����������
=����������������*����������*����� ����������������� ������
��� �������� ��=���������������� �� ���� ���� ��
� �� � �
�
rm /
� �� � �
�
rm !0�>G"
������� ��*�������������� �� ���� ���� ��
�
� �
�
� �! " 3- ./
�
� �
�
� �! "3- .
!0�>0"
:�������!0�>G"������3��/!��3��"!n�3n�"����n!�����������������"/m3r�?���
���������:��!0�>0"������3��/!��3��"-3.������� �����������������������
�������*�������������������������������������� ���������������������
�����������!��3��"<3./n�3n��������������������� ������ �������� ���
������� ���� ��������� ��� �� ���� ������ ������ � ������������ ��� �� ����� ��
�����������������������������n�����������n�����������������������
��������������������������!� ���������=�����������"���������������
������� ����� !� ������� ��*���������"��������������������������
���� �� ���� ��� �� ������ �
����������������������������������*������������ �������������
�� ����� �������� �� �� ��� �� ��� �������� ���� !�" �� ���������� ��������1
!�"������������1���!�"����������������������� ���!�"�������������������
��������������� �������������������������� ������=�����������=�
5��� !�"� �� ���� ����� �� � ����� ������ �� �� ����� �������� ��� ����� ����� ����
=������������5���!�"� �����������=�����������������������������
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
��� !�"����������!�"��������� ��������������� ���������������=���
*���:��!0�>>"������������� ��������������f-!="8f. !*�"�)��������
�������� ��������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������
���� �� ��� �������� #��� �� �������� f- !=" �� ������ �� �� � ������
��������������������������������������������� ��������������������
� �����=�������������� �������������������������������������
��������� �������������������������������*�������������������
����� ������ 1������������������������������������������������������
������������������� ���� �����!:��� �0�0"��������������
*��������������*����������
�
� �
�
�
/�
� �
�
�
!�" �� ����� ������ � ��� �� ��� ��/�
��
�
��◊
/ <; ¥.�3�
/ -;�KG�3�
(�� ����� /�
��
�= =-
<;-
K;;
.
e j
��������!�����������"/K;;
K;;�.
/-�.
!�" &��0������ ����������������������������������������������
������� �� ������������������������������������������$� �
��������
���/ -.
r�¥� .�¥��¥$�
/ -.
¥-;;;¥..¥�;;>
/ D)
)���������������������������/���8�0�#�� �0�/ ��E���/.;ED/-.)
)�������������������������������������������
�
� �
0
� � �
�
r . ./
�
� �
0
� � �
�
r . .
�� �0�/ �0�
rr�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
FHG
IKJ
FHG
IKJ
. .
/ -.¥-¥<;¥K;;)/<.>�)
!�" ��� !���� �������� �� �� ������ "
/ -.
¥-;;;¥!-;�KG".¥K;;¥;�;-G)
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
/ D;K�<>�)
!�" ������ �� !����� ���� �������� �� �� ������ "
/ <.>8D;K�<>/--<<�<>�)
!" 5�� ����� ���������/--<<�<>¥-;�KG/-.>-;�%
/ -.�>-9%
����������� �� ��� ���� t �� � ��� � ������� ��� �� ��� ������
���������������������������������������L��������C���������7�p�����
���=������7����������������������������������������� ��������������
��������
�������� ( �������� ��C���������7� p �����
�������������� �������t� ��������������������������������������
�������������)!�����"���*!���"����������������� ����p���/!< E
."/-�����t����� �������������������������������� ���������������
� ������
#��� p-/ ���!t
:� ���������������������������������������������������������
��@;�;/@�!@� E."!��:���������� �������@�������������������������
������8!/ ;� ��� E.!8-/;
����� ��� �/ E -.
� !/ -.
1 ������p-/t ��
���������������������������������� ������������������ �������
� t ��
FHG
IKJ / ; !0�>I"
( ����������=������7� �������������
���� t �� ��� ������������ �� ����� ������
t/ ����! !0�>D"
���� ����������������������������:��!0�>D"��������������������
���������� ��������� �� �� �������� ��
*/ �@�!@�E."!
:���������� ������@�������������������������������8!/;���
E.!/-���������/ -.
��� !/E -.
�
#��:��!0�>D"�����t/� ��
�� t ��
/ �
�������� ����������������������������������� ���������� �����
��t ��
�*���������� �����������������/.p�
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
����������� &� �� ������� ����� ������� ��������� �� �� ����
������������������������������������������������ �����������������
�� ������ ����������������������������� r������������������������������
������m������������������������������������������(��������������
����� ������� ��?����� �� ����������� ������� �������� �� ��������
�������� �� ����������������0�������� �� r� m���� (� �����������
���������� ��������� ������� ���������� ���� � ����/<�������� ��
���������� ����p������!0E<"/<�%����C���������7�p�����������
�� p ������������ r� ���� �� �� � ��������������
#��� p-/ r��!���m
p./ r��!���(
p</ r��!����
:� ����������������������������������������������������������
���9;@;�;/ !9@E<"�!@�E-"!!@"�!9@E-�E-" !0�>K"
9;@;�;/ !9@E<"�!@�E-"!!@"�@ !0�G;"
9;@;�;/ !9@E<"�!@�E-"!!@"��E- !0�G-"
:���������� �������9�@������������������������*���:��!0�>K"�
�8-/ ;
E<�8!8�E-/ ;�E!E-/;����� ��� �/ E-�!/E-����/E-
#��� p-/ m3r���
*���:��!0�G;"�
�/ ;
E<�8!8�8-/ ;
E!/ ;����� ��� �/ !/;��/E-
#��� p./ (3��
*���:��!0�G-"�
�/ ;
E<�8!8�/ ;E!E-/ ;
����� ��� �/ ;�!/E-��/-
#�� p</ !���"3�
������ �� �������� ����������� ������� ��
rm� ��F
HIK !/-3p-" ��=�����������
(��
!/ p."���������������������������������
�������� �������
��
�� !/ p<"���������������
����������� ���� ��������������������������r���������������s���
������������� ���� ���������������f��������������������������
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
*��� �� � ������ ��� � �� ���� �� ����������� �������� ��=������7� ��������
������
�������� 6� ��������������� ��������������� ������������� ����
�� ���� �� �� ��� ���� �������� ���
�/ �r�s !���� f !0�G."
��� � �� � ����������� ���������
!f �� ��� ����� �� ��� � ����� ���� �� �� � ����������� ������� ��� ��� ��
��� ���� p ���"�
:� ������������������������������������������������������������
����
@/ (!9@E<"�!9�E."!@�!@�E."�
:���������� �������9�@������@#����=#�����������������
�8!/ ;
E<�8�8�/ -
E.!E.�/ ;
������� ��� ����������� �� ������ �����
!/ E �
�/ -8.�
�/ �
������������ �������� ��:�� !0�G."����
�/ ��r
s��
�.FHG
IKJ f
�� ��
/ �r
s��
�.FHG
IKJ f
���� �� �� ������ � �������
������
0�- 6���� �� ������ �����
!�" �� � ����� �������� �� � ���������� �������� ������
!�" ��������������������������������������������������
�� �������������
!�" ������ �� � ���� �������
!�" ����������������������������������������������������
!�" ���������� ������� ��� �� ���������� ���������
!��" (��������������� �������������������r!������"� w !�������
�������"� m !����������������"� ��� � !6������������ ������" ��
!�" rwm 3�.
!�" rw�.3m!�" m�.rw!�" rwm�
�������� �� ������� ������� ��� ��������� ������� ���
!���" &��������������������������������������*���������������
�� ���������� ����� �� �����
!�" @�.
!�" -�;
!�" -3@�!�" @�
G3.
!���@������������������������"
0�. ������������������������������������������ ��������������������
���������������������������������������������������G3. �����
�� ����� ������
0�< L������C���������7�p�����������������������/����������������
��������������
// !.�1";�Gf!�31�r/13m"
��� 1 �� �� ��� ������� ����� � �� �� ������ �� �� ������� m �� ��
���������������������������� r �� �������������������������������
��������� � �� �������������� ����������
0�> *�� ����������� ����� ������� �� � ���� ��� � ��� �������� ��
����� ��������������������������������������!�������������"�
2 !�������������� ������� ��������"�. !�� ���������� � ��� ��
������"��1!������������������������������������� �����
����"�r!���������������"�m!���������������������������"����!��
�����������������������������"������������� ��C���������7�
p ����� ���� �� ���������� ���� �� �������� ��� � � ���� �� �
���������� ���� �� �� ������ ����������� ������� ��
f!23.�<��13..�.�r.�.3m��3r.<�G"/;
0�G &�� ���������������������� ��'����� �� ���� �� ���� �� �� +
��� ��������������+������� ������������������������������
������������������������� ��=������7��������������������������
�������� ����
=/.
�+
+
���
� �
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
0�0 ����������������������d������������������� �������� ���� ���
� �����������+������������� ��������������������������
��������������/����������������������n��������������������
�� ��=������7� ��������������� ���������� �������� ����
d+
µ !/+3n"
0�I (����� ����������������������������������������� �����������
������������������������������� ������ �� ���� ��������������
���������� �� �������� ��� �� ���������� �������� ��������������� s�� �� ������ ��� ������ r �� ������ ���� ����� ���� �� �� �� ���� !�"
C���������7� p �������� !��"=������7� �������������� ���� �� ����������
���������� �������������������������� �������3�/f!s 3r�.�"�
0�D (������� ������� �������� ��>��������� ����������������
����������- ..G�#�������������� ������ ���� ������ $
���&!0;������"
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
0�K :������ ������ ���������������������������� �������������� ��
��������������%���������� ���������� ������������������������
K.�K ¥ -;E0�.3� �� ��� �� ������ ���� ��� �� �� ������ ������ ��� �
�������������������I><�.¥-;E0�.3�$
���&!��3��/!n�3n�".3<1 ��/;�.G ��"
0�-; (� �������������-�G�3������������������������� ����������
��>�G)�*��������������������������������������������������� ��
������������� �����������������6�������������������� �����
������������������������-<����������������������������-�.G��3�<�
���&!K�IG�3��;�KG-)"
0�-- 6�������������������������������������G �������-;;�3���������
������������������- <;����������������G)�)�������������
�������� �� ������ �� ��� ������ �� ����������� ���������
���&!-<G�)"
0�-. �� ���� ��� ��� � � ������ �� -.; �<3�� %��� �� �� ����� ���� ��� �
����������� ������� ���� �� � ���� ��� �� ;�IG �<3� �� �������� �� ��
����������$?� ���������������������.�D)���������%����� ��
����� ������ ���� �� �� ������ � ������$ !��������� ��� ������ ����������� �� ���������"
���&!��/;�-<���-�.I�)"
0�-< ������������������������������������ � ������������������
�� � � �� �������� �� � �� ��� ������ ��� ���� ����� �� � ���� ����
���� � ����������� ������� ���� ��� ��� �� ���������� � ��� ��
�� ���� �� ������ ����������� �� � ����� �� ��������������
����������������������( �� �����IG��������������������-G;��
� ��������������>.�G�����3�������������������.;�I��3��&��������� ������� ���������� � �� ��� ������ �� ��� ���� ������� � � �� IG; ��
������� :������ �� ������ ��� ���������� � � �� �� �� ��� ��� ��
����� ���� ��� �� ���� �� ������ �� ��� �� -�.G ��3�< ��� ��� ���������
-�K<¥-;EG5����������������������-�->G¥-;E<5���
���& !<IG���--�-0��3��.�D0�<3�"
������� 2����5� ")�44�'.� 1�"�� �� �! �'4��� 6�(���� ��!'��'� ����� ��� � �7� ����+��"�'��)!"��"7�2� +�����7��44�"�'�8�" �!7���7��9�:;
0�-> �������������� ���� �� ������������� ���� �������� �������
����������������������� ������������������������������*���
0�.����������������������� � ������������� ����r������� m�!�" L� ���������� �������� �� ���� � ���������� ���������� ��� ��
!�" ���������������������������������������������������������
��������������.������������������������������������������
��� ����� �� �� ����� ������� ���������
���&� ��
��= FH
IK
LNM
OQPf r
m
��� ����������
������������ ����������� ��� � �������� �������� �� ������ ������ �����
� ������������� ������������������� ������������ ��� ��������� ����������
�������������� ������������ ���� ��� ������������ � ������� ���� �����
������ ����������������� ���� �������
������� ���� � ����� �� �� ��������� � ����� ������ ���� � � ����� � r� ��� � ����������� ������� �������� � � ������� �� ������������������������ ����
����������� ���� �������� ���� �� �� ������������������ ��������
—◊�� � ! "#�$%
&� �� ���� ���� �� �� � � ����� � � ��� �� �� ���� ����� � ��� ����� �� ������ �
��� ���� ��������� ��� �� ����������������������������"����� ��������������
�������%�������� ��������� �� ������������������������������� ����� ������
��' ���(�(�)������ ����������������� � � ���������� � ������ ������������
� ��������� ���� ��������� * � ��� � ��� �������� ��� � � ����� � � ��� ���� �
� ���� ������ ��� ��� ���� �������������������� �� ���������� �� �� �����*
�� ��� ���� ������������w���������+�,���� ,�� �� ����� �������� ����� ������
� ������������ ����"� � �����-��� ��(%���
w�� $
.
�
�
∂ ∂∂ ∂
È ˘-Í ˙
Î ˚
v
'��������� ��� ������������ �����������������
w � $
.
� �
∂ ∂∂ ∂
È ˘-Í ˙
Î ˚
v��� w�� �
$
.
�
�
∂ ∂∂ ∂
È ˘-Í ˙
Î ˚
�����������������
�
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
/�������� ���� ������� ��������w �������� ����
�w � ( )$
0.
— ¥�
��������+�� �������������w����� ���������+������������ ������� ���� ���
�������������� �������� ����������������� ������������#�$����� ����������
� ������� ���w���* ��������������������� ��������������1�������
�����������������/�� � ���� ������ � �������� ���������� 2���������������
�������—�¥��� � �!���� ������� ���
t = tf
t = ti
����� � ��� � ������� ��� � ������ � ������
* � ��� �������������������������� �� �������� ������ � ,�� �� ������ ����� ��
������������������������ ��� �� ��������� ������� ��� �����f�� � —f "#�.%
-������������3���"#�$%�����"#�.%�� ���
—.�f� ! "#�(%
�����3��� "#�(%�� � � � ���� ��� ������� ������ ���� �� ����������� ����� �
��� �� �����4����� 5�� �������
4����� 5�� ������� �� �� ���� �� � ���� ���� �� ��� ���������� ��������� ��
3��� "#�(%� ��� �� ��� � ������ � ��� ���� �� ���������*�� ���� ��� ������ �
������+����1����� ������������������������� ���� ��������������������/
�������� ����������� ����������������������� ���� �����������������������
���� �� �������������� � �������� ����� � � ����������������� �����
������������� ���� ����������������
* ������������4����� 5��3���"#�(%���������������� ���� ����������������
1������� ���������� ��� ������� ���� � � ������� ������ ���� �� ����������
���������� ������ �������� �����������6�� � ���� ���������� � � �����������
������������ �� � ��������� ,���� ����+���������� ��
$� 7����������
.� '���� ������1
(� 0��� ,
���� �� ������ ������ ���
��� ������� �!�"��#$���� �#�%����$��� �� �� ��
����� �����&�"��'
������������� ����������������������+�,������� � � ,����������� ������� ��
���� �������������� � ��� ������8������ ����� �� ���������!�
�����3���"#�.%�� ��������
���!�9���!� � �� �
∂f∂
∂f∂ �
+
��∂f∂
� �!
∂f∂ �
� �!
� �� f� �! �9��$ "#�:%
� ����������' ���:�.�.����� ���������� ������������� �������������������
� ���� �������� �����������y������ ���� ���������������
∂y∂ �
� �! ��� ;�∂y∂
� �!
������ Y� �!��9��$ "#�)%
* ���������������� ��������$������$���3���"#�:%�����"#�)%��� �����������*
���� �����y�����f�������� � ������ ���� ������� ��������� ������� ���������� ������������� ���������� � ���* ���������������� ������������ ����� ���������
������ �������
y� �! ��� f� ��! "#�<%
* � ��� ������ �� ������#�."�%����������������� � ����������� ����� ������
��� ���� �� ���� ���������� ������� ��� ����+�� ��� ��� �� ���� ������� ��� ���
����������� ���� ���� ��������� ��� �������������
���� �������������"��;�q%��������� ��3���"#�<%�� ��� �y� �!������q� f� ��! ������q "#�#%
���� ������ �������������� ������������� �a����� � +�,����������������#�.��� �� ��� ����
�� �!�����a� �∂y∂
∂f∂�
=
��� �� �!����a� �;∂y∂
∂f∂ �
= "#�=%
��� ��������� ��������������������� �������!����������� �a��� ���� ��������������� ��������� ������ �� ��� �����
�y� ��!"�����a�;� ���a%� f� ��!�" ����a�9�����a% "#�>%
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
x
y
k
= 3U0h
= U
0k
= 2
U0k
= 3
U0k
= 2U0h
11 2
2
3
3
4
= U0h
U0
rh
y
x(b)
(a)
����� ��� ( ) "��'�������� �������&�*��� &
(+) "��'��������������&�*��� &�'���� �� �,���a�'����-% -�*
����� $���������$��.
-���� �� �� �������� ������� ��� ���� �� � ����� ����� �� ������� � � �
� ������������ ������ ���� ���� ���� �� ������������ ������� ���������
�����������#�(��&����� ������������� ������� �����������+������"�q� �!�
��� �!%�
K=K
=3K=
= K
= K ln r1
= 0
= K ln (r2)
r2 > r1
O
2
44
����� �� "��'���� ���� � *������ ���'
���� �� ������ ������ ��
'���������������� �������������������� ��������� ������� ���������������
�������������� ������������������ ��������������������� ���������������" ��%
�� � .p �����r
�� ��� ��
�.
$
pr◊ � �
L.
$
p◊ =�
�
�"#�$!�%
� � ���� �� � ������ ���� ���
�� ��
. .pr p= L
"#�$!�%
����L���� ������ ��������� /����� ����������' ���:�.�.������ �� ������������ ����������������������
�������������� ����� �����
��� $
�
∂y∂q
��� �q� � -∂y∂ �
"#�$$%
?�������� ������ �������������� ��������
$
�
∂y∂q
� �
�"#�$.%
��� -∂y∂ �
� ! "#�$(%
-�������3���"#�$.%�����"#�$(%��� �� �
y� �q�9��$ "#�$:%
6�� � ���������������������������������� ��������
�� ���9����q�
� �� �∂f∂
∂f∂q� �
+ $
�� ��� ∂f∂ �
��� �q� �!� �$
�
∂f∂q
��∂f∂ �
� ��� ��
��� f� ��������9��. "#�$)%
41 �� ����������������� ��� ������������������$������.���3���"#�$:%����
"#�$)%��� ���� �� ������� �������������� ����� ������������ ���� ���� ������
* � ��������������� ���� ������� ��������� ������� ����������� ������� ��� y� �q ��� f� ������� "#�$<%
� � ������ �� ������ ������ ���� �������������������������L������� ���� �������� ������������ ������ �� ������� ���� �� ������������ ���� ��������
������#�(�����L���� ���� ��� ��� ���1�������� � �� ����������� ������� �� �������� � ������ ��������������#�(�� � �������� �� � ��������� � ������
��� ���� ���� ������� �������������������������� ������1��������� �������
�������� �� ����������* ����������� ������1��������������������������
������ ���"� ���� ����� ��� ������ %��������������� ������� ������������� �
����#�(�������������������� ������ ��� �� ������������ ����� ���� �������
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
�� �� �� �������� ��� � ���� ���* � �� �� �� �������� ��� � ���� �� �� �� ��
����� ���������� ��������� �"L%�� ������� �����6�� � ���������1��� ���� ��������������� ��������� ���������������
y� ;��q ��� f� �;������� "#�$#%
����/ 0����-�"��'
���������������� ���� ���� ���� ����� ��������� ������������ �������� �
� �� ������������ ������ ���� ����� �� ������������������� ������� �����
� �� ��� ����������������#�:��'���������������� ������� ����������� ����
*���������� � ������������������
����� �� "��'���� ���� � 1����-� (����� 1����-)
����� ����������������������������� � �� ���������� �������� � � � ���� ����
� ��������
�q� -�������� ��������
�
�q� G @.p
�"#�$=%
� � �G�������������/������������ ���������������������� ��������
��� ! "#�$>%
���� �� ������������ ���������������� �� ������
�q� ;∂y∂ �
��� ��� �$
�
∂y∂q
-������� 3��� "#�$=%� ���� "#�$>%� ��� � � ���� � ���� � ������� ���� ��� ��
������������������� �������
y� - G.p
��� ��9��$ "#�.!%
���� �� ������ ������ ��
� ���� ��������������������������������
�� ���9����q�
� �� �∂f∂
∂f∂q� �
+ $
3���"#�$=%�����"#�$>%������ ����� ������������4����� 5�� �������� ���
f� G.p
q 9 .� "#�.$%
* ��� ������������������$������.��� ���� �� �������� � ������ ��������� ���
� ���� ������� ���� ����� �������* � ��� ��1 ��� �� � � ��������������
����������� ��������� ����������������������� �������� ��������������������� ,
������� ����������� �� ������������� ���� ���������* � ��� ��� ����
y� ; G.p
����� ��� f� � G.p
q "#�..%
�������#�:�������������� ����� ���������������� ,��������� ��� �����������
���������������* ���������� ,������������������ ������� ���"�q�� ��� �
���� %��������������� �� ������� ��������������#�:�������������������� �
���� ��� �� ��������� ����� ��������� ���������� �� �� ������������ ����� �
*���� ������� ������� ��������������� ����G��� � �G���� ������������������ ������ �������������� �������������� �� ����
G� ◊Ú � ��� �
� "#�.(%
���3���"#�.(%��� ��� ��� ��������� �� ������������ ������� ������������ ���
� � ����� � �������� �� ��1 ��������������� ������ ���������� ����� ������ �
�������������������� ���������������������������� ������ ����6�� � ����
������������������ ����������������������������������������� ����� ����
�������������� �� ���������� ���� � ���� ��� ������������������� G� � ��� �� � ��� �������� �������� ����� ,����� ��������� ������� ����� ������ �
�����3���"#�.(%�� ��������
G� ◊Ú � ��� �
� � � � ��� �9�����9���%
���������+�� �����������
G� � �"�� �9�����%�� GGGGG� � ! ���a� �� "#�.:%
-���� ��������� � � �����������������#�)��-���������������� ���� ����+
����1�� ��� �����"��������������������� � �������� ����%�
����� ��� ������ ����� ��� � ���'� �����
�� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
d G� ��d �9��
� � � � �
∂ ∂d d d d d∂ ∂
Ê ˆ Ê ˆ+ - + -Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯
vv v
�� d G� � �
�
∂ ∂ d d∂ ∂
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯
v
�� d G� .�w��d"
�� d G@d A� .w�� �W� "#�.)%
A�������������������� �������� ����� ������������� ������
?������������ ����� ,�������� ����� ������ ���������� �����3���"#�$=%���
�q� G @.p
�
�
�=
������������������"� � ������#�)%
a� !� !� ��q� ��
�
*��� G� .
!
�
�
p
� ���q� �.p � "#�.<%
�������� ���� ��������������� ����� ,��������������������������������
� ������������������� ������������������������������"��������� �����%
�� ��������� ".p ��%� ���� �� � �� ��� ��� � � ������ ��� �� �������� ��� ���� �
6�� � ������ ��������������������� �������� ����� ,�������������������� �
�������� ,�������� ��������������"� �����%����������� �� ����4 ��������1���
����#�<�"�%�������1 ������� ����������"#�$������ ����������������������������
� �������%��������"#�$
G"#�$� ; �q"# �$��q�;���#�
�"�.�;��$%�9��q�$��.��q�9���$"
�"�.�;��$%
* � ����������������
��#�� ��$"
� �!���q"#� �
�
�$������q�$
� ��
�.
G"#�$� - ◊ + ◊ =�
��
�
��
$$
.. !� �q q "#�.#%
���� � � ,������������������������������������w����� �������� � ,� ����� �������� ������������� ����� ��������������� ��������"����#�<�%������
������� �q� w� ���
G� .
.
!
� � .� � � �
p
q w q p w= ◊ =Ú Ú� �v "#�.=%
3������� "#�.=%� �� ����� ���� � � ���������� �� � ��� ��� � � ����� ���� �
��� �� �������� ������������* ��������������������
������� � �� ���� �� ���� � � �� � ���� ,� "����������%� ����� ��� � � ����
"���� #�<�%� �� ������� � � ���� � ��� ��� ������� ����������� 6�� � ��
���� �� ������ ������ ���
���������� � ������� ,���������������"���� ������ ,%���� �������������
� ����� ���� ��� ������ ��� ���������� � ��������� �� ��� �����B ���5�
����������� �� ��"���� �����$=<>%�����-����5��� �� ���������������������
"���� ����$=$)%�� �� ��� ��
"% * �������������������������� ������������������������� �����
�����������
"% /� ����� ��� ������ ����� �� ����������������� ������ �� ������
�������������
dq
vq = rw
vq =
vq
vq
vq
Cr
B
AP
D
C
r1dq
r1
r2dq
rdq
rdq
r
r
r
r r
o
dq
dq
r2
Rotationalcore
(a)
(b)
����� ��� �( ) "����1����-����' (+)��"������1����-����'
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
��/ $�����$�������"� ������� �!� "��#$
� ����������������� � ������������ ���������� ��������� �� ��������� ����
������� ���������������� � � � ���������������� ������ �
��/�� ��+���
������ ������ � ����������� ������� �������� ���������1���� �������� ��������
����������� ��������� ������������ +�,����������������#�#�
��������������%" ���%���� �� �����$������.��� ����������� ������ ������
��1��* ��������������� �������������"���q%��� �� �������
Sink
s
O
s
r1
r2
r
P x, y( )
q1 q q2
y
y
x
x
Source
����� ��� $������*������ ��� � *������ ��� � *��.
* ���� ������������������ ���������������� ���� ����� ������ ���� ��
��� ���������� ������ ����������%���
f� ������$�;�������. "#�.>%
'������
y� ��"q$�;�q.%� �; �a "#�(!%
� � � a� "q.�;�q$%� �������������
����q$� �
�+��� ����q.� �
�
�-"#�($%
��$� � � � ��. . .+ + ��� q ��� �.� � � � ��. . .+ - ��� q "#�(.%
?��������� ����� �� ���� ��� �������� ����
����"q.�;�q$%� ��� ���
��� ���
q qq q
. $
. $$
-+
�� ����a� .
. . . .$
� �� � �� �
� �
Ê ˆÈ ˘+ - + +Í ˙ Á ˜- -Ë ¯Î ˚
���� �� ������ ������ ���
�� ����a� .. . .
��
� �+ -"#�((%
6 �� � � � ��� ��� �������� ���� � � � ������ ��� ����� �������� �� � ���� ����
��������3���"#�(!%�����"#�((%������ ������3���"#�.>%�����"#�(.%�� �� ��� ��
y� ; �����;$�. . .
.��
� �
Ê ˆÁ ˜+ -Ë ¯
"#�(:%
f� . .
. .
. �����
. . ���
� � � ��
� � ��
Ê ˆ+ +Á ˜+ -Ë ¯
"#�()%
C���� �������� ������� �� ��������� ����� ����������1��� ����������� � ���
�����������������!��������� ���� ��� �� ���� ������"L @.p%������ �� ����������� ����� ��* � ��� ������ ������ ��������� ���������� �������1 �
� ������������������Lp�"����������� %������ ����� �c��7�� ��� ����� ���
���������� �
y� �L.
.. . .p
◊+ -
��
� �
D'�� ���� ���������� ����;$�a� �aE
y� - ◊+
= -c c q�
� �. .
��"#�(<%
�����3��� "#�()%��� �� �
f� L:p
�D���"�.�9��.�9�.�������q%�;����"�.�9��.�;�.�������q%E
�� f� � ( ). .
. . . .
. ��� . ����� $ �� % $
:
& &�� ��� � �� �
� � � �
q qp
È ˘Ï ¸ Ï ¸Ê ˆ Ê ˆL Ô Ô Ô Ô+ + - + -Í ˙Ì ˝ Ì ˝Á ˜ Á ˜+ +Ë ¯ Ë ¯Í ˙Ô Ô Ô ÔÓ ˛ Ó ˛Î ˚
�� f� �. (
. . . . . .
. ��� $ . ��� $ . ���
: . (
�� �� ��
� � � � � �
q qp
ÈÏ ¸Ê ˆ È ˘L Ô ÔÍ - + +Ì ˝Í ˙Á ˜Í + + +Ë ¯ Î ˚Ô ÔÓ ˛Î�
. (
. . . . . .
. ��� $ . ��� $ . ���
. (
�� �� ��
� � � � � �
q q q ˘Ï ¸Ê ˆ È ˘Ô Ô˙- - - - +Ì ˝Í ˙Á ˜ ˙+ + +Ë ¯ Î ˚Ô ÔÓ ˛˚�
�� f� �(
. . . .
: ��� . . ���
: (
�� ��
� � � �
q qp
È ˘Ê ˆL Í ˙+ +Á ˜Í ˙+ +Ë ¯Î ˚�
���� ���������������� ����� � ,�� ���������� ����� ����
f�ª c q�
� �
���. .+
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
�� f�ª c q���
�"#�(#%
� ������ ������ ���� ���� ��������� ������ ������ ����
;��c q�
� �$
���� �� ���� ���q�����@�������� ����������� ������� �����$��� �� �
c �
�.� �$ "#�(=�%
���� ����������� ������������ ������������ �������
.�9��
.�;� c�
�$
� ! "#�(=�%
3�������"#�(=�%�� �� � ������������������� ������� � �!��� � ��� ��������� �
�������� ���������� ����* �� ��� ������ ����� ����������� ��+�,���&���
���� ��� � ��� �!�� �������� �� ������������ ����� ������ ����������������������
����� �������������� ������ ���� ������� � ������� ������$������� ����� �����
+�,������ �������* � ���� ���� ���� ��������� ��������#�=��C� ����� �����
������������ ������ ������ ���1���� �� � ���� ������� ������ �������� ����
����� ���������� � �� ���� �� ���� � ��� ����������� ���������������
���� �� ����� ������ � ��� ��������� ������
= C3
= C2
Streamlines
x
y
Velocity potential lines
����� �� $��� &����*� ��� 1������2� ������� �� ����*� ���� � ���+���
���� �� ������ ������ ���
6�� � ���� �� ��������� ������� ����
c q���
�� �$
������� ������������ ���� �������� ��� �
.�9��.�;�c�
$
� ! "#�(>%
&�� ������� ��������������������������� ���* �� ��� �������������� +�,������
�� �!�� � ��� ��������� ����� ���� ���������� ����� �� � �!����������� �� ��
������������ ������ �����������* � ��� �� � ����� ���� ����� �������+�,������
������* �������������������������y��������������f��� ���� ������� ������ ��������� ����� ��� ������������������������ ��� ��"����#�=%��������������
� �� � ������������ ���� ���������������� ��������� ������������� �� �
�����3���"#�(#%���������������� �
��� ∂f∂
c q� �
= - ���.
"#�:!%
/��� �� ��� ����� ������ ����������� ���� �������� ������� �������� ����� �
������������� ������ �����������������������'�� �� ������������������
����������������������� ��������1���� �������������� ���������������������
����������������� ����������������������� ������������� �� ������������������
���������������������� �������G� �!
G � ◊Ú � ��� �
� � �! "#�:$%
/�������'��1 ��* �� ��� �� ��� ��� ��� ���������� ��� �+�� ����
G � "— ¥zz � ��% �" � �! "#�:.%
�����3���"#�:.%��� ��������������������—�¥��� � �!��� �������� �����������
����������������
/������ ������� �������������� ���� �����������,��� ��� ���������� ������
������ ��������������* ����� �� ����������������� ������������������������
�����,��� �� ��� ��������� ��� �� ���������� ��� ����� ��� ��� ������
��� ������*���� ����� ��������������������� ������������������ ����+
��� �� ��� � � ��� �������� ��� �� ������� ����� ���� �� ����� �� � �� ��� ������
��� �����
��/�� "��'� +���� ��2�������#������������� ����
������+������ ���� ������������������� ������������������ ����� �������
��� �������� ��� �� ������� ����� ���� �� ����� ��� * � ����� �� ��� ��� �,�� ��
� � ���� ��������� ������ ��� ��������� ��������������* ������ ����� ����
��������������� ����
f� � �
! + c q���"#�:(%
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
�������� �� ������ ���� ������������ ��� �
y� �!��;�c q��
�"#�::%
����������������� �������������� ���� ����� ������� ����������+�� ������
������ �� ��� ���� ������ � �� ��� � �� ��� � � �� ���� �� ������ � ������ �
� ������� ������������������� ����� �������� � �������������� ��� ����
������� ��� ���* � ���� �� �� � �������� � � ������ ������ ��� �� ����� �� �����
���������� 6 �� �� �� ��� ���� ����� ����� � � ����� � �� ��� � � �������� ��� ��
����������� ��'������������ (����� ���� � #�>� ����� �� � �� ��� ��� ���� ���*
��� ���� ��+$������ ������ � ������ � �� ���������+�� ��������������
� �� ��������� ���� �������� ������������� ����������
C D
����� ��� $��� ��� *��� &����
?���� ��������� � �� ������� ������������ ���� ����������� � � �����
����������� ������������������������ ����������� � ����/���� ���� ��������
� � ��� ����� ����� ������� ����� ���� ��������������� �������� ��
�����������*����� ���� ������ ���� �� ������������������+�� �����������
������* �� ��������� ���� ������� ���������� ���������������� �� �����
��������������
4 ��������1������ ���� ���� ���� ����� ���� ����*���� ������
� ��
! - c q���) ! "#�:)%
� �����������������q� � ���
���q� !� ��
cÊ ˆ-Á ˜Ë ¯ � ! "#�:<%
���q� �!����q� �p��� � �������������� ���*������� ������� � +�,�������������� ���� ���� �y �!��� ��� ������������ ���� �� � ����� ����� � ������
��� ������������� ���6 �� ��������������
��
$@ .
!�
cÊ ˆÁ ˜Ë ¯ "#�:#%
�������� ���������� � ��������� ����������
$@ .
!�
cÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�����������������������
� ���� ���� �y� �!��*���������������#�$!��4 ��������1����� ���������
���� �� ������ ������ ��
�� �� �������� � ����� ����� '�,��� � �
� �������/��������* ��������������� �
���� � ���������
��
$@ .
!�
cÊ ˆÁ ˜Ë ¯
� q� �p�����������/
��
$@ .
!�
cÊ ˆÁ ˜Ë ¯
� q� �!������������
* � � ������ ��� � � � ������ �� � �����
���� ��� ��1��� ������� � ����� �� ��� �
� ������ ��� ����� �� ���� ���������
����� ���� $��� &�����y 3�4���� *�����&��*������'���
���+���� ���������&�*��� &
r =
1/2cU0
y = 0
y = 0
y = 0
A Bx
y
�� ����������� �������������� ����� ������ ������ ��������� ���*��
��� ∂f∂ �
� ��!�����q�;�c q���
� ."#�:=�%
�q� $
�
∂f∂q
� �*�!����q�;�c q��
� ."#�:=�%
/�������"
$@ .
!
� ��
cq pÈ ˘Ê ˆÍ ˙= = Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚
��� !���q� �!
/�������#
$@ .
!
!� ��
cqÈ ˘Ê ˆÍ ˙= = Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚
��� !���q� �!
* ������� "����� #� �� ��� ����� � � ���������������� ��������� � � ����
��� ���������� �� ������ ��� �������������� �����������������������
* ���������� ����� ����� �������������� ���� ���� �y� �!�������� ����� ���������������� �������������������/�������� ������� ������� ������ ���
�������������������������������+�����������������
���� �#�$$������� ���� ���� ������ �������* ���� ���� ������� ��
���� �� ���� �� ���������� ������� ������������������������������������� ��
6�� � ���� ���� ���� ����� �� ����� ������ ���� ���� ����� ����� �����
����� � ������������������� �
����� ���� ��1�*���� ���'� � *�� � �2������
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
��/�/ ����� ���� ,�����"��'�� *�� ��2�������#������������ ����
4�������������� �� ����� ��� ������� �������� ������ ����� ��� ������������
���������� ��� �� ��� �������� ��� ��������������������
A� ���� ������ ������ ������� ������������������� ��� ����������������
������ �������� ������ ��� � �� ����� �� ��������� ������ ���������4 ����
���� �� ��� ���� ��!���1��������� �������������� �������!��?���� ����
������� ������5�� �������� �� ������������� ����������� ��������������
����� ���? �� ������ ��������������� ����� � ���+� �� ��� ����� ��������
�������������������������� ������� ����� ������ ���� ��������
�
+
�
+
! !.
.r+ �
�
+
�
+
( (
r+
.
."#�:>%
� � ��� ����������(������ ��� ������� ����� ������ ���/��� �1��������
������������� � ���� �� ����������������� �� �������(�������� ���������
������ �� ��� ������������� ���������������q������� ������� ���������� � ��
���� ���� ���� �y� �!�
*����� �� �
$@ .
!�
cÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�(� vq
c c
∂f∂q
����
� �� �
�= =
=@
@
@@!
$ .
!
$ .
$
b g b g
"#�)!%
�; .�!����q�����3���"#�:>%�����"#�)!%�� ������
�(�
. .! ! !". �� %
. .
� � �+
+ + +
qr
rÈ ˘
+ -Í ˙Í ˙Î ˚
"#�)$%
* ���������������� ������� �������� ����� ������� ������������������� ���� �
��� � ��� ��������� ������������ � ������������#�$.��� ���������� ������
���� ����
y
pb
x
r = U0
U0
d
���� ���� � ���� ����� ��� �� ,� ��� � �2������
���� �� ������ ������ ��
$� ;�
$@ ..
!!
��� �(��
p cq qÊ ˆÁ ˜Ë ¯Ú
�� $�
$@ .. . .! ! !
!!
". �� %��� �
. .
� � �+
� + + +
p qcr q q
rÈ ˘Ê ˆ
- + -Í ˙Á ˜Ë ¯ Í ˙Î ˚Ú
$�
$@ .. ..!
!!!
"$ :�� % ��� �.
��
�
p r cq q qÈ ˘Ê ˆ
- + -Í ˙Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚Ú "#�).%
'��������� ���������
,�
$@ ..
!!
�� �(��
p cq qÊ ˆ
- Á ˜Ë ¯Ú "#�)(%
* �3���"#�).%�����"#�)(%������� �$� �!�����, �!���� ��� ��� ������������� �
����
6�� � ������ ������� ������ ������������� ,� � �� ���� ���������� ��*�
������������ � �� �� � � ������ ����� � ����� ���� � � ,� �� ��� �� �������
1��������$-"��(���������� ��* �� ���������� ����� ������� ��������� � ��
�������� �������� �� �������������� ������� ����3�� ������� ����� ���
��F�� ������� �������������������������������������� ���� � ����������
���� ��6�� � ���� ������������ ��� ��� ��� ������ ��� � ���� ���� ��� �����
���� ��� ����������������� �� ���� �����
��/�5 "��'� +���� ���� ���,��2������
���������������� ����� ������������������������� ��������� ,�������������
����� ��� ��� ��*������������ ���������������� ������������� ����� �����
� ������ ��� ���� ���������������� ������������� ���������� ������������
������� ����������� ��* �� ��� �������� � ����������������������������F ��
���� ��������� �����1����������+����������* �� ��������� ������������ ��
�������������� ������������������� ������� ,�������������������
f� �!� �9�c q
pq
���
�- G.
�"����1�� ��������% "#�):%
y� �!���;�c q
p��
�+ G.
������"����1�� ��������%"#�))%
�����1����� ���� � ��� ���� ��������������� ��������� ���������������
� ������������ ������
��� ! .
$����
� �
∂y c q∂q
Ê ˆ= -Á ˜Ë ¯"#�)<%
�q� ! .
$��
.�
� ��
∂f c q∂q p
GÊ ˆ= - + -Á ˜Ë ¯"#�)#%
�� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
���������� ����� �� ��������� � � ������q������� ������q��/��� ����������������� �� ������������ ��������������������3���"#�)<%��� �� �
����q� ! .�
�
cÊ ˆ-Á ˜Ë ¯ � �! "#�)=%
�����3���"#�)=%����� �� ���������� ���������� ������������ ������������
��� q� � ± p.������������ ����� �� �� �
$@ .
!�
cÊ ˆÁ ˜Ë ¯
��3���"#�)#%�� ����� ������� ��
������ �� �� ������� ��� �
���q� -+G @" @ %
.
!.
pc
�
� ��� q� ���;$�
! .
@. �
��
pc
È ˘Í ˙-GÍ ˙Í ˙+Í ˙Î ˚
"#�)>%
6�� � ������� ������������������������������������� �� �� ������������ ���
������ �� ���
'���� �������������������������������������
��
$@ .
!�
cÊ ˆÁ ˜Ë ¯
��� q� ��;$�
$@ .
!
!!
.�
��
cp
cc
Ï ¸Ê ˆÊ ˆÔ Ô-G Á ˜Ì ˝Á ˜Á ˜Ë ¯Ô Ë ¯ ÔÓ ˛È ˘Ê ˆ
+Í ˙Á ˜Ë ¯Î ˚
�� q� ��;$�$@ .
!
!
$
..
�
�
cp
-GÈ ˘◊Í ˙Ê ˆÍ ˙Á ˜Í ˙Ë ¯Î ˚
�� q� ��;$�( )$@ .!: �cp
È ˘-GÍ ˙Í ˙Î ˚
"#�<!%
* � ������ ������������������������ �� � ��� ��������� ���������� ����
,� ���������;$�"G$%�
* ���� ���� ��������������� � ������������ �� � ��� ����� ��������
y����� � ��������'�������������� ������������������� �"���q %������ ���� ����������"3���#�))%�� ���
y� ( )
$@ . $@ .
$! $@ . $@ .
! !!
!
�� �� ��.:
�� ��
�
c c cpp cc
-
È ˘Í ˙ È ˘Ê ˆ Ê ˆ-G GÍ ˙ Í ˙- +Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Í ˙Ê ˆÍ ˙ Î ˚
Á ˜Í ˙Ë ¯Î ˚
���� �� ������ ������ ���
y� ( )( )
$@ .$@ . $@ .
! ! $@ .!!
" % ��.:
� ���
cc cpcp
È ˘ Ê ˆ-G GÈ ˘ Í ˙- + Á ˜Î ˚ Ë ¯Í ˙Î ˚
�� y���� �
$@ .
!
��. �
cp
Ê ˆGÁ ˜Ë ¯
"#�<$%
3�������� �� � ���� ,�� ������������ ��������������� ����� ������������
� �
�! �����q�;�$@ .
!
���� ��
. .� )
� �
c q cp p
Ê ˆG G+ Á ˜Ë ¯
���� ���������� ��������
���q�$@ .
!!
�� �� !.
� � � .� �
c cp
È ˘Ê ˆGÈ ˘ Í ˙- + =Í ˙ Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚ Î ˚"#�<.%
/���������������� ����� ��� �
$@ .
!�
cÊ ˆÁ ˜Ë ¯
��������3���"#�<.%����� ������������ ���
��� ��� ������������ ��� �� � �� �� � � ������� �� � ����-���� ���� �
�� �������� ����� �"������y� �!%����� ������������� ���� ���� ����� ���� ���� ����������������#�$(�
A B
Stagnation points
����� ��� "��'� � *�� � �2������� '���� ������ ����
/����� �����1�����3���"#�<!%� ,�������������� ���������������
q� $
$@ .!
" @. %��
." %�
pc
- È ˘- GÍ ˙Í ˙Î ˚
�� q� $
!
" @. %��
.� �
p- È ˘- GÍ ˙Î ˚
"#�<(%
* ���������� ���� ������" @ %G .
!
p� �
� �.��� � �q� ���;$�";$%� �; >!H��������
����������������� ������ ����������������������#�$:�
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
Stagnation point
�������� "��'�� *�� � ������ �� �2�������'���� ������ ����� 1 ����G�����
p�3��
6�� � ��� �� ���� � � � ��� �� � � �� ���� ��� � � ���� ,� ���� ����� �� � ���
� ������������������ ���� �������� ������� ������� ������ ���* �������
����� �� ��� � � ������� ��� �������� � �� � ��� ���� � �� ���� � � ���� � �
��� ����G����� ����� ,����� ��� ���������� ����������������� ������������ ��������������������� ����������� ������ ��� ����������� ��
��/�6 ����� ���� ,�����"��'� +���� ���� ���,��2������
* ��� ���� �������� ������� �������� ������ ����������������� ������!�
C �������� ������5�� �������� �� ��� ������������������������ ���������
���� ������ ��
�(� r+. .! !
. .
(� � �
+ + +rÈ ˘
+ -Í ˙Í ˙Î ˚
"#�<:%
* �� �������(���������� $@ .
!
��
q
cÊ ˆ= Á ˜Ë ¯
v
6 �� � �(�
$@ .
!!
$. ��
.
��
�
∂fq
∂q p cÈ ˘G
= - - Í ˙Î ˚
"#�<)%
�����3���"#�<:%�����"#�<)%�� ��������
�(�
$.
.
!!
.! !
. ��.
. .
��
� �+
+ + +
qp c
rr
È ˘È ˘Ê ˆGÍ ˙Í ˙- - Á ˜Í ˙Ë ¯Í ˙Í ˙Î ˚+ -Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
"#�<<%
* ����������������� �����"� � ������#�$.%
,�
$.
.
!!
; �� �(��
p cq qÈ ˘Í ˙Î ˚
Ú
���� �� ������ ������ ���
�� ,�
.$
.!
!. .
!!
!
. ��.
;. .
��
��
pr q
p cr
Ï ¸È ˘Ô ÔÊ ˆGÍ ˙- -Ô ÔÁ ˜Í ˙Ë ¯Ô ÔÍ ˙Ô ÔÎ ˚+ -Ì ˝Ô ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÓ ˛
Ú
$
.
!
"�� % ��
c q qÈ ˘Í ˙Î ˚
�� ,�
$ $. . . .
. .!!
! !!
; �� �� : ��. .
�
�� �
� �
p r c c rq q qÈ
Ê ˆ Ê ˆ ÏÍ + - ÌÁ ˜ Á ˜Í Ë ¯ Ë ¯ ÓÍÎÚ
$$. ..
! ! !
.!
: ���� �
. :
� � �
�
q c q qp c cp
˘¸Ê ˆG Ê ˆ È ˘G Ô ˙+ + ˝Í ˙Á ˜ ˙Á ˜Ë ¯ Ë ¯Î ˚Ô ˙˛ ˚
�� ,�
$ $. . . .
!!
! !!
; �� ��.
��
� �
p r c cq qÈ
Ê ˆ Ê ˆÍ +Á ˜ Á ˜Í Ë ¯ Ë ¯ÍÎÚ �;�. !
. (r q� ��
$ $.. .
.! !
.�� �� �
=�
� �
�
rc rq q qp cp
˘Ê ˆ G Ê ˆG ˙- - Á ˜Á ˜ ˙Ë ¯Ë ¯ ˙
�� ,� r�!�G "#�<#%
* ���������� ���������� ��� ��������������������q�"������ ��������� �.p%���� ���
*��� � � ������ ����� ����� � �������� �� ����� ��� ���� � � � �� ���� � � ���� ��� �������� ����������������������� �� ��������� �� ������� ���� ��� �������������������������������������������� ������������������ ������������ ���� ��� ������������������������������������ ��� ����� ����������
������������ � ��� ������� ��
* � ������� ���3��� "#�<#%� ���� ���� ���+�� ������� ������ ���� � �� ������ ���������������������������������� ������� � ���������������������� ����
1��������� ������'/��0��0������������� ����� ��� �I ������������������� ���B�����"$=<#;$>::%��������������� �������?1����J��J��1���1"$=:#;$>.$%��/�� ����������� ,���� ����� ��������� ����������������������������� �� �� �� � ���� ���� ���� ��� ��� �� ���� �� ������� ����������� � �������� ������������� ���������������� ����������F �������� ������������ �� ���� ������������ �� �����1 � ���* ��� �� ���� ��������� ��������� �����������
� � ��� ������� ����������� � ��� � ����������� ��������� ���$>.:�� ��������� �������������������������I ������������� �� ������������������� �����
� � ��� ���������������������������������� �����* ��� ��� ��� ����������
���� ���� ���������� ���� �� �� ��� ����� ���� � �� ����� �� � ��� "����� �
����#�$)%�
��� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
Wind (V m/s)
U m/s
Ship
Cylinders
����� ���� $���& ���� �� ,� &� ��� ���� �� �� 1��'� ��� "�������7*� *���
��5 ���"���� �8���!
/ ������� �� � ��� ���� � ��� �� ����� ��� �� � �� �� �� ������ �� ���
��������� ����* � ���� ���� ���������� ���������� ������ ����������������
���� ������* ������������� ������� ���� ��� ������� ��������� ������"� � ����
���� #�$<%�
* ������"�%���� ������� �� �� ��� �� ����� �� ������������ �� ��*
� ����������� ������������������ ������+� �����"� �������������� ����� �����
��� �%������� ��� ���������� �������* ����� ���� �� �� � ����� �� ��������
���� �� �������'�� ����������� �� ����������� � ����������� �������� ��
����������,������1� �����������"�@�%������ �����������,�������� ����
�����"�@�%��� ��� � ��������� ������������ ����������� ������ � ������ ����
����� ������������������������ ��������� �� � �� ������������ ��
y = y1
x
y = y2
t h
Leading edge
Chord (C)
Camber line y = (y1 + y2)/2
Trailing edge
����� ���� �������� *������
* �� ���������1����� � ��� ������������������ ��������������������� �
������� ,+������ ����������������������� ����������������������������
����� ������� ���������������� ��������� ��������������
��5�� "��'� ������ ������ �������
*��� ������� ��������� �������� ���� �������������������������������
���������������������������������1�� ��� ����� ,����� ����� ���� �����
���� �� ������ ������ ���
����������� �����g "�%�� ������� �����* ������������ �����g "�%�������� ��������� �� ������������������� ������� ����� ���� ���� � ��������
'�� �� ����� ����� ����� ���� �������� ������ ��������g "�%��� �g "h%�h"� � ������#�$#%��* ������������������������� ������ ����� ����
G� !
" % �
�
g h hÚ "#�<=%
/��������������������� ����g �h���� � �h�� � �������� ���������� ������%�������� � ,�� �� ����
��� g h hp h" %
" %
�
. - ��������������
* ����������� ��� ��������� ���������� ��������%��� ����� � ��� ����� ,
����������������� ����� ���� ��
Camber line
P (x, 0)
P (x, y)ds
U
U
(s) ds
V1
V2
vVs
xx
v
y
c
d
U sin
U cos
����� ���� "��'� ������ ����� �������
�" %�
!
$ " % �
. " %
�
g h hp h -Ú "#�<>%
�� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
���������������� ��"�����������a%����� ,�� �������� ������������������ ���� ��� ���������%¢��� ����� ����� ,�� ����������� ���� ���� g "�%����� ���� ���� ��* �� ��������� �������� �����•������" %������� ����� ���������
���� ���� ��������� ����� ���������� ���� ������ � ,�� �� ����
�
�
�
�
�
� �
•
• •
+= +
��
������
���
aa
aa
� �
���
�
�
� a +
•
�
��D��� �a���� ��������E "#�#!%
�����3���"#�<>%�����"#�#!%�� ��������
�
�
�
� a�9�
!
$ " % �
. " %
�
�
g h hp h• -Ú "#�#$%K
4 ���������� ����� � � ���������� ����� ���� ��-���� ����������� ������
"������������� ���� %������������* ���� ��������� ���� ������ �� ������ ���
� ������� ���� ����� ������� � ��� ������� ������ ����� ���� ��* ��� �����
�� �� �� � ������� ��� � � ���� �� �� �� * � ���������� ������ � � � ������ � �
� ���� ��������1�� ��� �������
!$����;�!.���� g��� D������������� ������� ���������� ���� ��� �������� �� ��E
�� !$�;�!.� g "#�#.%
���� �� ���� ��������� ����� ������� ��������� ����� ���� ����� ����
!�� �"!$�9�!.%@.��������� �� ���� ����
!$� !��9�g.
��� !.� �!��;�g.
���� � � ����������� ���������������� ���������D��LL�•E��!��� ��� �� �������
�•��* ���� � �� ���� �������������� ����� ���� ������������������ ����� ,
� ����������� ���� ����g "�%����� ���� ���� ���� � �� ������ � ��� ���������� �
��5�� 9���� ��������0������*� ������ �#��,
* ���������������� ��������� � ��� ����������������'/��0��0�����������4��
���������������r���•������ �����������G��8 ������������������������+
������������ ���� ��������� �����
� ��� ����������������������������� ��������� ���� ����� ������ �������
�� �"� � ������#�$=%�
/�� � � ������� � � � �� �� � ������ ����������� ��� � � ������� �� �� *�� �
� ������� ���� �� ��� � � ������� �� �� � �� ������ ��� � �������������� � �
K �������� ��� ������� � �� ��������� �� ������� ��� �����3���"#�#$%�����1����
�������������������g "h%�������������������� ����1��*�� , ��� �������� �������� �������� ,������ � �� ��� �� �������� � ������ ����1�����I��� ���D$E����
���� ����D.E�����g "h%���� � ��� ���� �����������G��������� �� ������ �����,� r �• G����� ������ ��������� ��
���� �� ������ ������ �
� �������������� ����������� ��*������ ��������� ������������� �����
����������������� ������ �������� �� ������ �#�$=�"�%�� ������ ������������
������������ ,���������� ���������� �������6�� � ���� �������������� �
���� �������� �������������������������� �#�$=�"�%��* �������������������
����""#�$%� ��������� ���������F����� ��"�������%����� ,������� �� ���
6 � �� �� � �����B ���5��� �� ����� ������
(a) (b)
= 0
+
A
B C
D
������� 0������*� ,���� ����'���� �� �������� :�*�� +�,��*� ���&�1�
�������� � � ����� ���������� � � � ��� ���������� ������� � � ���� �� ����
* � ��� ����� ����� ����� ������� ���������1���������� ������������� ���������
���� ,���� ���� ������������������� �����������F������ ������������� ��� ��
����������� ���������� ����� ������
* �������������� ��� ������ ������ � ��������+�� ������������ �����
����������� ���������� ���� ������������ ���� ��������l,�� �� ����
l� (
"�
.
"#�#(%
� � �(���� ������� ��������"����� ������������� ������ �������� �����������
������� ��� � ������ � � ������������ ��� ������� � � ���� ���� � ������� ��� �
� ����� �� �� ������� ���� ����� �������������� ������������� ������������
� ����������� ��* ����������������� ���� �� � ��� ������ � �� �������� ����
���������� ���� ���� � �� ��� �� ��� �������������� ��� ������������ �����
����� ����������� �"� � ������#�$>%��*����� �������� ���������������� �������
� �������������� ��� �����+� �������� ������������������������#�.!�
Starting vortices
Longitudinal vorticesBound vortices
U
����� ���� 0������*� ������ � ������� '��,
�� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
Leading edge
Trailing edge
Angle of attack
bl
����� ���� �������� ��� ���,� �� ���,� ��,�� 1������*� ,���� ���� +2� � ���� %'��,
6�� � ���������������������������� ���� ��������������� ���������
��������� � ������ ��� $>$=�� %������� ���� ����������� �� �� ���� ������ ��
� �������� ������������������ ��* ������������ �������������������� �
� �������������� ������� ����������������� ������ ������ � �� ����������� ��
���� ������ ,�������������������#�$>�
�������
*������ ������� ������ ��� ������������������������ ���� ������������
������
∑ ��������������� �������� ���������— ¥��! � �!����� ������
�! � �—f�
� � �f���1������������� ����������������������� ����������—.f� �!�∑ * ���� �����������y�������� ���� �4����� 5�� �������—. y� �!������ ��� ������������4����� 5�� ����������� ���� �� ��������� ��������������
������������4����� 5�� ���������� ����� � ������� ������� �����������'�
���������� ��������������������������� ���� ������������������������
� ����� �� �������������� � �������� ����� � � �����������������
������������������ ���� �����������������*�������� ��� �� ������
��� ��������
∑ '�� � ������ ��������������������� ��������� �������� � �� � ���� ����
������ �� ���������� ���������* ��������������������� ������ �� �
���G� � �! �◊Ú� �
��'��� �� ������� �������������� �� �� ���������������� �
������ ���* ��������������������� ���������������������������� ����
� ����6�� � ���� ������������������� ������ ��������������������������
�������������� ����� ��������������������������+� ������������
∑ * ����������������� �� ����������� � ��� ��� ��� ������� ������� �� �
�����������* ����������������������������� ����� �����,� �r�!G,�� � r���� �� ����������!���� �� ��������� ���� ���� ��� �����
����� ������
��������� * �� ������������ ������� ������ ������� ������ ���� �����
�� ��� �. �������� ��.�9� .�;��.��'���������� ��������� ������������� ,���������������
� � � ������ ��� �����
���� �� ������ ������ �
�������� * �� ��������� ������������� ,������������������������������* ��������
��� � � ����� �� �
∂∂
v �
∂∂�
�
3��������� � � � ����� ��� ���� �� ���� ��� � � �
∂∂
v � . ���
∂∂�
�� �.
* �������������������������� ������� �������������
�� ∂f∂
∂f∂
� . � �� f� � .��9�$�"�%
����� �� ∂f∂ �
��∂f∂ �
� �.�9� .�;��. �� f� ��.��9� .��;� �(
(�1�." %
'�� ����� � � ����������� � ��� ��� ��������
.��9�$"�%� �.��9� .��;��(
(�9�." %
�� $"�%� �.��;��(
(�9�." %
��� ��� �� ��� 1 �� � � ���� � ,�� ����� ����� ���� ���� � � ���� �� ��� ��� ." %� ��� ��� � � �
���������
*�� f� �.��9� .��;�
�(
(�9���������
'�� �f� ��������������� �� � ����������������� ���f������ ����� ��������������������
f� �.��9� .��;��(
(
��������� * ������������������ ���� ��������� �� ������� �.���� �= ��C� �
����� ����������� ,��M��������������� ,�� �����
�������� -������� � ��� ��������� � ���� �� � � ,�� �� � ��� �� ��� ��� �������
∂∂
∂∂
�
�+ v
� ∂∂
∂∂
" %" %
.=
� + � �!
'��� � � ��� ��� �������� ,����
?���� ��������
�y� ∂y∂
∂y∂
�
�� �+
�� �y� ; �� �9� ���
� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
�� �y� ; = � �9�.��
�� y� ; : .�9�.��9��
C�������� ������������ y� �; : .�9�.��
�������� C� ����� ��������� �������������f� �." .�9�.��;� �.%�� ���� �� ������ ������������������ ���� �����M���������������� � � ������������ �� �����
� ������� ��/���� � � ��� � � � ������� ���� ��� ���� ��
�������� ����� ��� ��f������� ������ ���� ���������� ���� �������� �� �1���� � 4����� 5�� ������
∂ f∂
∂ f∂
.
.
.
. �
+ � .".%�9�.";.%� �!
'����������� ��� ,����
* � � ������ ������ ���� ��
�� ∂f∂
� �.". %� �:
�� ∂f∂ �
� �.�".�;�.�%� �:�;�:�
0 ������ � ������ � : ��� �9�":�;�:�%��
'�� ��� �������� y� ���� � � ,�� �� �� ��
�y� ∂y∂
∂y∂
�
�� �+
�� �y� ; �� �9� ���
�� �y� ;�":�;�:�%�� �9�: ���
y� ;�z ":;�:�%� �9�z : ����9��
y� ;�: �9�: ��9�: ��9��
C������� � � ��������� ��� ��� ��� �������� � ��� �
y� :�". ��;� %
��������� * �������� ������������������� ���� �������� �0
������q�
����q� �!����q� �!�����������q������ ���� ���������������� ������
�������� ��� $�
0
�◊ =∂y∂q q���
��∂y∂q � 0� � ����� q
�� y� 0� � ����q� � "�%
?�� �q� ;�∂y∂ �
0
�=.
����q�9� ¢"�%
� �1���� �q� !����q� �!������ ���� ¢"�%� ! ��� "�%� � ��������
���� �� ������ ������ ��
* � ��� �q� 0
�.����q����
y� 0� � ����q
��������� /������� ������������ ��������� ��������� �L� �.�)��.@��������� �
�� �� ������� ����� "�!%� ��� .��@���C � ��� � � � ���������� ����� ���� � ���,���
��1� ��� ��� � ������� ���� �����
�������� � � �� � ��� ���� ��������� �� ��� � ��� ����� ���� ���� ��� ��� �������
� � �������������/���� � ������������� ���� ������� ���� ����� ��������������
�� ���������� ������� ������1������1�����������1� ����������"� � ������#�.$%�
4 �� � � ����� �� � ����� ����� � ������
Maximum width = 2ymax
ymax= K
= K1
K2
K3 K4
= K
= 0a x
y
U0
����� ���� �����&� ���'� ���*� *������ �;� �*� � � ��� +��2
"%�* �� � � ��� ������������������������ �
y� �! ��9� L.
$
p ���- FH
IK
�
�� y� �! ��9������;$��
FH
IK
0 ����� �� ∂y∂ �
� �
�= +
+! . .
'������ �� ;�∂y∂
��
�= +
+. .
/��� ������������������ �!�� �� �!��� ����������� ����� � ��������� �!����
� ;�L
.. )
. .!p p�= - ¥ � �; !�.��
* ��������� ����� ������������������ � "; ���!%���� "; !�.��!%
�� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
* � ���� � ��� ��� ��� �������� ��� � � ���������� ����� �
y�";�!�.��!%� !�9� L.
!$p ���-
�� y����� !�9�. ).�p p � �$�.)��.@�
* � ���+����� �� � ���� �� ��� ������ ��� ����
y� L L. .
= ◊p p � �p �
�� �! ���9� L L. .
$
p ���- =�
�� �! ��9�L Lq
p. .= �� �� �
L $
. !
- qpe j
�
�� q� ! ���,� �L. !�
��� ���,����������
�� q� p.� �� � L
: !��� � ���� �������� ����� �����
�� q� p� �� � !�� � � ���������� ����
�� q� (.p� �� �;
L: !� ��� ���� �������� ����� �����
"%�6�� � ��� � � ���������� � ����������� ��� �
�!��9�L L. .
$
p ���- FH
IK =�
* ���,������1� ������������� �Æ •
.��9�$ .)
!$�
���p- � $�.)
�� $ .).�
� �!�<.)��
* ���,������1� ��� �.���,� �$�.)��
��������� /������ ����� ���������������������������)�@���� ���� ����� ��
* ����+�������������� ���������,�����������.����-������� �"%�����������
���������������"%��������� ���������� ����������"%�� ���������������� ! #.
� � pe j ��������� "%�� ��� �� ����3,���� �#�)�����
�� q� !� ���,� �L.
.
.!�= � �$��
�� L� .�¥�)�¥�$� �$!��.@�
���� ���������� �����
� ; ;�� �! !.
$!. )
= = -¥
Lp p � �; !�(.��
��� �� !
���� �� ������ ������ ��
"%��� q� p.� �� � L
: !��D�����3,���� �#�)E
�� q� p.� �� � $!
: )¥ � �!�)��
* ��������� ���������� ��������.�¥�!�)� �$��"%������������������
y� �!������q�9��q � � �� � L.p
��� $
.!��
�∂y∂q q p= +��� L
�q� ; ��∂y∂ q�
�= - !
���� ������"!�#��p@.%
��� L.
$!. ! #p p�
= ¥ �� �.�.#��@�
�q� ;��!����q� �;)����p.� �;)��@�
!� �������� " � " %. .#% ). .+ � �)�:>��@�
�������� /��� ������ ��������������������!�<��.@��� ������� ����������� �
��� ";$�!%� ���� �� ��1� ��� ����� � ����� ��� � $�.��.@�� �� ����� �� ��� ".�!%�� ���� �� ������
�� ���� ����$!�?@�.����� �������� � ��� �� �� ������������������� ���� ����"$�$%�
( 1, 0) (2, 0)
P(x, y)
1
r1
y
x
r2
2
����� ���� $������ ��� *��.� � ��
�������� y� ���%������ � ,�� �� ����y� �$q$�;� �.q.
�� y� L L$$
... .p q p q-
�� y� ! <. $
$ .. .
$ $����
����p p
- -+
FH
IK - -
FH
IK
�
�
�� �∂y∂ �
� ! <.
$
$
$ ..
.
.. . . .
� " %
" %
� " ; %
" ; %p p
�
�
++ +
LNM
OQP
-+
LNM
OQP
�� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
�� �;∂y∂
� ! <. $
$ .. .. . . .
�
" %
�
" ; %p p�
�
�
�+ +LNM
OQP
-+
LNM
OQP
���� ������"!�!%
�� ! <.
$ ..
.:
! <.
! <.
! <� � � � �p p p p p- - = + =e j � �!�$>!>��@�
�� !
C�������� ���� � $.
.r! � �$!�?@�.
�� r� .!.
!� �):=�(�1�@�(
/�������"$�$%
�� ! <.
.)
$ ..
$.
! <)
! <.
� � � �p p p p◊ + ◊ = +
!�!(=$�9�!�!>):� �!�$(()��@�
�� ! <.
$)
$ ..
$.
! <$!
! <.
� � � �p p p p◊ - ◊ = +
!�!$>�;�!�!>):� �;!�!#<:��@�
!� �������� !�$)(=��@�
C�������� ���� ����"$�$%� � $.�¥�):=�(�¥�"!�$)(=%.
�<�:=�?@�.
��������� * ������ �������������������)�1������������� �� ��� �������������
"����� �� ������� ����������� ���� ,� �����%� ���� � ���� �� ��� (!� 1�@�� ���� �
����� ���� �� ���� ����� #)!�������6���-������� �� ������ ������$�1��������
��������� ��� ������������� ������ ���� ��DC ����������� �$�.�1�@�(��� ��������� �����
�$(�<�¥�$!(�1�@�(E�
1 kmv
v
b
a
5 km
����� ��� ������ ��� � ���� ��� (����� ���� �� 1����-)
���� �� ������ ������ ��
�������� ��� �#)!�������6�� �!�#)������6�
!�#)�¥�$(�<�¥�$!(�¥�>�=$� �$!!�!<.�1?@�.
������� ����� ,������ �������� ��������
����q �� �(��q (� ��
��� )!!!�����q�� �(! $!!!<! <!
¥¥ � �=�((��@�
�� ������������������� �:$<)!��.@�
�� �(� $!!!���
�q(� :$<)!$!!!
� �:$�<)��@�
� ������5�� ������� � �� �� ������ ������ (
�
+
!
+� �
rq+.
.�
�
+
!
+
( (
rq+.
.
$!!!<.$ . > =$
= ((. > =$
.
� �" � %
�¥ + ¥ � �
+(
r + ¥" � %
�:$ <). > =$
.
���
+(
r � =)!!�9�(�)(<�;�==�:$<
���
+(
r � =:$)�$.
�� �(� >>!<.�?@�.� �>>�!<.�1?@�.
��������� /������ ��������� ��������� �!�.��.@������������ ,������� ���
$��.@���� ������ ������ �������C � ��� �� � ������������� ��������� ������������ ��
�������������������� �� �� ��������� ��������� � �!�>��������� �!�=��M
��������
���� � � ����� y� �$q� f� ��$�����
���� � ����� , y� ;��.������ f� ��.q
-���� � y� ! ..
$.
�p q p- �� � � � $ ! $ $
.p q� ��- �
-���� � f� ! ..
$.
���p p q� + � � $ ! $ $
.p q� �� � +
?�� ��� ∂f∂ p� �
= $$!
�q� $ $
.� �∂f∂q p=
�� � !�>�� ��� �� �!�=��
�� " � % " � %! > ! =. .+ � �$�.!:��
���"!�>��!�=%� $
$! $ .!:¥ ¥p �� �!�!.<��@�
�q�"!�>��!�=%� $
.$
. $ .!:p p�= ¥ ¥ �
� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
!�$(.��@�
!� �������� " � % " � %! !.< ! $(.. .+ � �!�$(:��@�
���������� /�(!!������� � ��������������� ��������� ������������,�����
��� ��������� ����������������� ���������)��@���3����� �� ������������� ��� �
����� ���������������������� ��3����� �� ��������� � ,� � �� ������ ������ �
��� ��������������� r������� ������� ������ ������ �$!!!�1�@�(�
�������� '��������� ����� �� �� �� ��
q� ��;$�;G
: !p � �FH
IK
� �� ���� � � ���������� ������ ����� �� � � ���� ���� �� �� � ����� ���� q� � ;>!H�'�������������������� ���� �������� �D����#�$:E�
*�� G: !p � �
� $
�� G� :p����!
���� ������ ���������������������������� ��w��� ������������� ����� � ����� ������ ������ ,� �
G� z "w��%����q� �.p �.�w
.p�w��.� :�p ���!
w� . !�
�
�� w� . )! $)
¥�
� �<<�<#����@�
��� G� :p�¥�!�$)�¥�) >�:.��.@�
4������� ,� �r���G
�� ,� $!!!�¥�)�¥�>�:.� 1�
�
��
��(
.
◊ ◊LNM
OQP
�� ,� :#$!!�?@�
/������� � � ���� ���������� ��� ��� �� � � ������� � ������ �
'� 4��� :#�$�1?@�.
������
$� I��� ���� 6��� 2��� 3�������� �� "������� ���� "������� 2������� -������
7�� �����A� ����4��������$>.<��$>:=�
.� ���� �����I�B��� "�� ������������� ��� ������$��������� -������ �7�� ����
A� ����4�����@? ��N��1��$><#��� ���� ��$>#!�
���� �� ������ ������
������
#�$ -��� � � � ���� ��� ���� �� ���� � � ��������� �� �����
"% '�� ����������� ��� �� �� ���
"�% ����(+C�������������� "�% ��������� �� �������
"�% ����������� ������ ���� "�% .+C� ������ ���� � ������
"% 0 ��������� ����� ,���� ���
"�% ����(+C�������������� "�% ��������� �� �������
"�% �������������������� "�% �� ���� ����������� ����
"% * � ��������� ������� ���� �� ����� ���� �� ���
"�% ����� ����� ��� � ������ �� ��� ��� ��� � �� ���������
"�% � � � ����� �� ��� � ������ ������ ���� ,��� ��� � ��� �����
"�% � � � ������ �� ���� ����� ��� ��� ��� �� ��
"�% � � ��� ��� �������� ,���� ���� �� ���� ������
"�% —���� � �!���� �����
"�% ������������ ������������������ ���� ���
"�% � ����������,��������������������� ����������������������� ���
"�% � � ����� �� ����� ���� �
"�% � ����� ���� ����������� �� ������
"�% 8�� ������ �� ����������������� �������
"�% ������ ���� "�% �� ����������������
"�% ����� "�% �� �� ��� � ��� � � ���� � � ���������
"�% -��������� ��� �� ����
"�% �� � �� ����� ��� � ������ ������ �������
"�% �� ����� ��� ���� ����� ������ ��� ��� � ������ ������ �� ���
"�% �� � �� ����� ��� � ������ ������ �� ���� �� ���
"�% �� ��� ������������ ����������� ������� ������������������ ������
"�% �����������������������'��1 ���� �� ����� ������������������� ��
"�% ������� ���� �� ������� ���� � ��� �
"�% �� ������ ���� �� �� � ����
"�% �� ��������� ���� �� �� � ����
"�% ������ ���� � ��������
"�% * ������������� ��� ������ � ��� ����� �
"�% � ���� ���� ��� �� ����� �� �� ������������������
"�% � ���� ��������������� ��� ���������
"�% � � � ��������� ���
"�% ��� � ��� � � ����
#�. A��� ������ ���� ���� ��y�"���q%������������������� ����� ���� �������������� �� ��������� ����� �� �� f"��� q%�
#�( * � ������������� �������� �������������+�� ������������� ���� �����
�� � �� �� ��
�� ( �9�(� ��� �� �. �;�(�
C �� ���� ,�� ���������� ���� ������������'�������� ������������������
-������� �� ������������ ������� ���
"��� "; .�9�( ��9�"(@.%��.��— ¥
�� � �; $%
� ������������� ��� ������ ���������� ���� ������ ��������
#�: /������ ��������� ��������� �.��.@��������� ������������������ ������� ���
����� ��������� �:��.@��������� �����"(�!%����������� �� ������������ ������
".��.%�
"��� �� �; !�!:=��@����� �!�((:��@�%
#�) /������ ��������� ��������� �)��.@������ ���������������������������� �����
:��@�� ����� � ��� ������� ���+�� ������� ���� �������������� � ���,���
������� � ���������� "��� "$�.)��%
#�< /������ ���������1���� ���������� ��������� �$!���.@���� ������ ��.������������
�����������������)��@�������� ����� ������������ ������������� �������+
���� ������
"��� "$�.=��!%�����"; $�.=��!%
#�# * ������� ����(!��.@��������������������� ���������������$!���� ���� ��
����������!�(��@�������� ���� �� �������.+C������ ��������� ��� ��� ��������
����������� ��� ������� �������� �� ������ � ������ ������ �� ���� ���
����� �� ������������ � ,� ������������������� ����� ��������������� ����
� ������� �������� ��� ��
"��4�"���1� ����������������������������"$)�>$��!%�����.���,� �$!!��%
#�= * ��� ��� �����������"����#�$)%���1 ��� ����������������� ����������� ���
3������ �� ��� � �� ��� (��� ���� � ���� ��� $)���� ��� � �� ����� � ��� �� �� ����
#.!�������������� �� �������� ����8���������� �� � ��� ������ �����������
�� � ����$!��@���/���� ����� ��������$�..�1�@�(�
"��4 "(>!�!=(�1?%
#�> ��������� ���� �������������� ����������� ����������������������.��
��� � ������� ���������������������$)��@��
"��4�"L� �:#�$.:��(@��� ��� �� %
#�$! -���� �������� ������ ,������ ������������������ ��w��3������ �� ������������������������� ������ ���� ���� ������ ,� �����
C �� �� � ,�� ��������������������� ���� ���������������������������"%��
�� ����� ,�����"%������� ������ ,�
"��� "���� ������ ,�G �.p �.�w�O�"%��� �;�r��.@�.�9��.�"%��� �rw. �.@.�9��$%
#�$$ /� ������������ � ���� �� �� ��� �� ���������� ����� � ����� �� ���� #�.:���
��� ���� �!
�q� w ��������£�5
w 5
�
.
�������≥�5
R
v (r)
r
����� ��� ������ ��� ���� ��� (��&+�� ����� ��� ����� ��� ������� 1����-)
���� �� ������ ������
C � ��� �� � ��� ���������� ������������������ � ��� ��� ��"��L�5%���
� ���� ��"��P�5%�� �����7���� ����� ����� ��������� � ��� �� ��� ����
����������� "�%���� �������������������� ��•������Æ�•����������� ������������ ��������� ���� �
"��� "�� ��•�;�rw.�5.�"$�;��.@�.5.%�������L�5O
�� ��•�;�rw.�5:�@�.�.�������P�5%
#�$. /�.������ � �� ����� �� �� �������� ��� $:!!� ���� �� ��� ��� ��� ��� ������� ��
.!��@���-������� �� ������������������ ��� ������� ������� ������ ���/����
���� ��������$�..�1�@�(� "��� ",� �..�:#<�1?��$� �!%
#�$( ������������ ������������� ������� ������� �������� ������������������ ��
��������� ��������������� ,��* �� �� ���� � ��������� � � �������� ����� �
���� ����� ������q������ �5�"5���� ����������� ������ �%��7� �� � ,�� ����
���� � � ����� �� � ������ ��� ����� ���� � � ��� ����� �� ������� �����
����� �� ���� ���� ,� ����� "����1�� � �������%� ���� ���� ���� � � � �������� � +
���������������������� ������ ������ �����;�.������q�*��q�"����� �5%��*
���� � q� �� � � �������� ������� ��� � � ����� ��� �� � ����/� ����� �� ����� �� ��(<!��������������������,�������� �� ������������ �������������� ��
"� �����$�.:�1�@�(%��������� ���������.)��@���* ������ ����.��������+
� �����������"�%������������G "�%������ ������� ��������� �"�%������������ ���������� ������
"��4�".(<�=#��.@���#(:(�?@���;�:=�>(H�����..=�>(H%
#�$: ������������ ������������� ������� ������� �������� ������������������ ��
��������� ��������������� ,��* �� �� ���� � ��������� � � �������� ����� �
���� ����� ������q������ �5�"5���� ����������� ������ �%��7� �� � ,�� ����
���� � � ����� �� � ������ ��� ����� ���� � � ��� ����� �� ������� �����
����� �� ���� ���� ,� ����� "����1�� � �������%� ���� ���� ���� � � � �������� � +
���������������������� ������ ������ �����;�.������q�;��q�"����� �5%��*
���� � q� �� � � �������� ������� ��� � � ����� ��� �� � ����/� ����� �� ����� �� ��.:!��������������������,�������� �� ������������ �������������� ��
"� �����$�.:�1�@�(%��������� ���������.!��@���* ������ ����.��������+
� ��� ���� ���� "�%� ����������� G� "�%� ���� � �� ���� � ���� ���� � � "�%� �� �� ���������� ��� � � ����� ������ � ���� ����� �� ���� � ���������� �����
"����"$)#�>$��.@���(>$<�.)�?@���(=.����%
��� ����������
�������������� ��������� �������� ����������� ����� ����������������������
���������������� �������� �������������������������������������������� ��
���������������������� ����������������������������������������������������
� � ������ ��� ������������ � ����� ����� ������� ���� ���� ������������� ����
����������� ��� ���� ������ ����������� ��������������������������������
������� ��� �������������������� ����!���"�#���������� �� $������ ���������
�������������%�����&������������������������������� ������ ������������&������
��������������������� �������������������������������������� �������������
��������'�������&��������(�������������������������������������&������
����������������������������������������������������������)�����������������
������� ��������� ������ ��� ���� ���������� ����������'������ �&������� ���
���� ��������������������������������'�������������������������������������
�������������������������������������� ������������������������������� ���
��������������'�������&���������������������������� ��� �����������������
����������������������������*����������������������������� ������������������
������������ �����������������������������#������������������������������
����������&�������� �������� ����������� ����������������������������
��������������������� ����
������������� ����� �����
�
�������� ����� ����� � ����� ���
��� ����������������� ���
��������'������������+�������������
t�, m ∂∂�
-.�/0
����������������������������������������������������' ���������� �����m��������� �������� �������������� ��������������������������� ������������ ����
�����������������������*��������������������������������� ����������������
������ ������������ � ���������������������������������������� � ���������(�
���������������������������+������������
1�����������������+������ ������������������������������������������ �����
������������
t���,�t���, m� �
� �
∂ ∂∂ ∂È ˘
+Í ˙Î ˚
v-.�2�0
t���,�t���, m� �
� �
∂ ∂∂ ∂
È ˘+Í ˙
Î ˚
v-.�2�0
t���,�t���, m� � �
� �
∂ ∂∂ ∂È ˘
+Í ˙Î ˚
-.�2�0
���� ������������� � t����������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������� ����� ����
������ ����� ���� ����
�����%�������� ������+������ �������� ������������������
s���, 3 ��4�2m� ∂∂�
��4�m¢� � �
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂È ˘
+ +Í ˙Î ˚
v-.�5�0
s���, 3 ��4�2m� ∂∂�
��4�m¢� � �
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂È ˘
+ +Í ˙Î ˚
v-.�5�0
s���, 3 ��4�2m� ∂∂�
��4�m¢� � �
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂È ˘
+ +Í ˙Î ˚
v-.�5�0
������m¢��������������������������� �������� ��������m/������������������m¢� ,� 3� 2
5� -m� 3� m/0�� (�� ����� ������� ���� ����� ������������� ������
��,�3�- 0s s s�� �� ��+ +
5�������� ��� ��������������� &�-.�5�0��-.�5�0�����-.�5�0�
���������
s���4�s���4�s���, 35��4�2m � �
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂È ˘
+ +Í ˙Î ˚
v�4�5m¢� � �
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂È ˘
+ +Í ˙Î ˚
v
�� s���4�s���4�s���, 35��4�-2m�4�5m¢0� � �
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂È ˘
+ +Í ˙Î ˚
v-.�60
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
$���������������� ������∂∂
∂∂
∂∂
�
� �
�
�+ +�
�,�—◊�� �,�7
������,�3- 0s s s�� �� ��+ +
5������ �����������������������$�������������
�����������+�����������m¢�,�3 25�m������������������ &��-.�60������� �����
����������������,�3�- 0s s s�� �� ��+ +
5������������ ������������������������
�&������� ���������������������������������������������� ���������������
������������������������������� �������� ���������m/�������������� ������������������������
�����������������
s���, 3���4�2m� 2
5
� � �
� � � �
∂ ∂ ∂ ∂m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘- + +Í ˙
Î ˚
v-.�8�0
s���, 3���4�2m� 2
5
� �
� � � �
∂ ∂ ∂ ∂m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘- + +Í ˙
Î ˚
v v-.�8�0
s���, 3���4�2m� 2
5
� � �
� � � �
∂ ∂ ∂ ∂m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘- + +Í ˙
Î ˚
v-.�8�0
�������������������������'������������������������������������������� ����
������� ������������������
/� $����� �� ����������� ���� ���������� ����� ���� ��������� �������
���������� � � ���� ���� ����� � � ����� � � ������ �� ���� ���� ��� ���
����������
2� ���������������� ��������� ������������
5� ���� ���'������ ������������ ����� ����� ����� ������������ � � ���
������������� ������� ����������������������
6� ���� ���� ���������� ���� ������� ��� ���� ���������� ������
-����������������������������,�����������������0�����������
�������������� ���������������*����
��� �������������� ��������
��������*����&�������� ��������� �������� ��������������� ������������������
�������������������������������3�������&��������#�����������������������
���� ���� ������+� ������ ���� ������ ����� ����� ���� �������� � � ��� ���
����������������&����������� ������%������� ���������������������� %������
���������� ���������9��������������������������� ��������������������
������� ������������
���� �������� �������������� ����� -�������������� ������ ���������������
����0����������������������� ���� �����-����������� ���������� ����0�
�������� ����� ����� � ����� ���
������������ �������������������
��� �, �� ����4�
�� ���4��� ��* -.�:0
������ ���� �����������������������
�� �, � � �� � � � � �� � �+ + � -.�;0
!����������� ��������� ������������� ��� ���� ���� ����� -$����.�/0��(������ ��
��������������� ���� ���������������������������� �������������������������'
�������
����� ��� �������������� ��!�"#�����$����$�%�$$�&�'�� ��%�(�!&����$����&
'����%����&(� �()�'� �(�"���
������������������������������������ ���� �������������� ����� !"�����
����������
�� �s���4��� �t���4� �� �t���,�
����
��� ���� �������������� ����#�$%����������������
���� �4�
∂∂
��
�
�� ���
���� ����� ��� ���� ���� ���� ��� ���������� � � �� ���� ����� ��� ���� ������ ���
�� ���� �
∂∂
��
�
�� ��������� -.�.0
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
������ ����������������������������� ���� �������������%��� �����
∂∂
∂∂
∂∂
� � ��
�
�
�
�
�
�� �� ��+ +FHG
IKJ ��������� -.�<0
������������������� ���� ��������������������������
��� �,
∂∂
∂∂
∂∂
� � ��
�
�
�
�
�
�� �� ��+ + -.�/70
����&������������� ��
���� �����
������������������������������������������������
���������������s����������������������������t������ �,
� � �� � ��� �� ��s t t+ +���� �,
� � �� � ��� �� ��t s t+ +
UV||
W||-.�//0
���� �,
� � �� � ��� �� ��t t s+ +
��������������������������������&��������������������&��������� �����
������������������� ����������������� ����������������������������
p�,�� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
s t t
t s t
t t s
È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
-.�/20
���������������������������������������������������������������
��������������������� �����������������&�����������&�����!�������������
�&������� � �������� ��� ������������ ��������� � � ���� ����� �������� -$���� .�/0
���������%���������������
�w � �����, -t��������0���3�-t��������0��
, -t���3�t��0��=�������= ��������������� ������������������ �w � �����������������������������'
�������������������� ���������� ��������������������'�%���������������������������������������� � ���������� ��������������������������= ������������������
����������������� ���������������������������� ������������ ������������&������
������� �������������������������������������������������������������������
#�����������������
t���, t��$���� ���� ������� ������������� ������ ������ ���� ���������� �%������ ���
�����
t���, t��t���, t��
�������������������������������� &�-.�2�0��-.�2�0�����-.�2�0���������
����������������������������� &��-.�/20����������������������
�������� ����� ����� � ����� ���
p =�� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
s t t
t s t
t t s
È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
-.�/50
!��������� &� -.�/70�� -.�//0� ���� -.�/50�� ���� ��������� �� ���� �������������
�������������
��� �, ��
� � �
�� �� ��∂s∂
∂t∂
∂t∂
+ +FHG
IKJ
4 > �� �� ���
� � �
∂t ∂s ∂t∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ +Á ˜Ë ¯
4 ��� � �
�� �� ��∂t∂
∂t∂
∂s∂
+ +FHG
IKJ -.�/60
1����������������� �����
?
?
��
��, � � ��
�
��
��
�
�
?
?
?
?
?
?+ +�
-.�/80
@�������+������ ������������������������� ������������������������������
r-��������0� ??
��
��,�- 0��
��-��������0�4�r
��� �-��������0
�� r ?
?
��
��, �
�� �4�r
���
������������ &�-.�/80��-.�/60�����-.�:0�����������������%�����������������
r� ??
�
��, r���4�
���� ��
� � �
∂t∂s ∂t∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ +Á ˜Ë ¯
-.�/:�0
r� ??
�
��, r���4�
�� �� ��
� � �
∂t ∂s ∂t∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ +Á ˜Ë ¯
-.�/:�0
r� ??
�
��, r���&�
���� ��
� � �
∂t∂t ∂s∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ +Á ˜Ë ¯
-.�/:�0
�������������%����?
?
�
���?
?
�
������
?
?
�
����������� � ����������������� &�-.�20
����-.�80��������������������� &��-.�/:0��������������
r� ??
�
��, r���3�
22
5
� ��
� � �
∂ ∂ ∂m
∂ ∂ ∂È ˘Ê ˆ
+ - —◊Í ˙Á ˜Ë ¯Î ˚
�
4�∂
∂ ��
� � �
� � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂m m
∂ ∂ ∂ ∂ ∂È ˘ È ˘Ê ˆ Ê ˆ
+ + +Í ˙ Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Î ˚ Î ˚
v-.�/;�0
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
r� ??
�
��, r���'��
22
5
��
� � �
∂ ∂ ∂m
∂ ∂ ∂È ˘Ê ˆ
+ - —◊Í ˙Á ˜Ë ¯Î ˚
�v
4�� �
� � � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂m m
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂È ˘ È ˘Ê ˆ Ê ˆ
+ + +Í ˙ Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Î ˚ Î ˚
v v-.�/;�0
��� r� ??
�
��, r���3�
22
5
� ��
� � �
∂ ∂ ∂m
∂ ∂ ∂È ˘Ê ˆ
+ - —◊Í ˙Á ˜Ë ¯Î ˚
�
4�� � �
� � � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂m m
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂È ˘ È ˘Ê ˆ Ê ˆ
+ + +Í ˙ Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Î ˚ Î ˚
v-.�/;�0
������� ����������&�������������������������3�������&��������1�����
A����������������������������������&�������� ��������������������������
����������������� ���
∂ r∂ �
�4∂ r
∂∂ r
∂∂ r
∂- 0 - 0 - 0�
� �
�
�+ +�
�,�7 -.�/.0
������������ ����� ������������&�������������� ������������ �������������
����������r�,���������� &�������� ����������� ���������������� ����������∂∂
∂∂
∂∂
�
� �
�
�+ +�
�,�7 -.�/<0
��������� &��-.�/<0������ &�-.�/;�0��-.�/;�0�����-.�/;�0��������
r� � � � �� �
� � � �
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ + +Á ˜Ë ¯
v
,�2 2 2
2 2 2�
� � � ��
� � � �
∂ ∂ ∂ ∂r m
∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ- + + +Á ˜Ë ¯
-.�27�0
r� �� �� � � �
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ + +Á ˜Ë ¯
v v v v
,�2 2 2
2 2 2�
��
� � � �
∂ ∂ ∂ ∂r m∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ- + + +Á ˜Ë ¯
v v v-.�27�0
r� �� � � �
� �� � � �
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ + +Á ˜Ë ¯
,�2 2 2
2 2 23�
� � � ��
� � � �
∂ ∂ ∂ ∂r m
∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆ+ + +Á ˜Ë ¯
-.�27�0
��������������������������������������������������'�������������������
�&������� ���������������� �����
r� ??
��
��, r m
� �� � �� - — + —2 -.�2/0
��� — ◊�� �, 7 -.�220
�������� ����� ����� � ����� ���
(��������� �������� ����� ���� ��������&���������� ��� ��� �� ���� ��� ���� ���
�&�������9�&�������� ����������������������������������������������&�������
��������������������&���������������������������������������*����������������
���������������������������%��������� ��������� �������&������������������
����������������������� �������������� ���������������������� �������������
���� ���������������������������������'�����������������������������������
&���'�������
������3������ �&������� ��� ����������� ����������� -$���� .�20� ���� �� ��� ��
��������������������� ������q����������������������������������������������
�������� ���'������� ���� �%���� ���������� ������������ ����� ��� ���� ���� �
������������� ����� &� -.�2/0� ���� -.�220� ����� ��� ���� ��������� ���� �
�&������B
vz
zr
v
vr
����� ��� �*(+��'%�!&(� #�(&%� !��%'��&��� &�'� � �� ,�(�!��*� !�"#�����$
r�2
� � � �� �
� � � � �
q q∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂q ∂
Ê ˆ+ + ◊ - +Á ˜Ë ¯
v vv v v vv v ,�r ∂
∂�
�
�� -
2 2 2
2 2 2 2 2 2
/ / 2� � � � �
� �� � � � �
q∂∂ ∂ ∂ ∂m
∂ ∂q∂ ∂q ∂
Ê ˆ+ + ◊ - + ◊ - ◊ +Á ˜Ë ¯
vv v v v v-.�25�0
r� � �� �
� � � � �
q q q q q q∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂q ∂
Ê ˆ+ + ◊ + +Á ˜Ë ¯
v v v v v v vv �,�r ∂
∂qq��
�- ◊/
2 2 2
2 2 2 2 2 2
/ / 2 �
� �� � � � �
q q q q q∂ ∂ ∂ ∂∂m
∂ ∂q∂ ∂q ∂
Ê ˆ+ + ◊ - + ◊ + ◊ +Á ˜Ë ¯
v v v v vv-.�25�0
r� � � � �� �
� � � �
q∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂q ∂
Ê ˆ+ + ◊ +Á ˜Ë ¯
vv v v vv v
,�r ∂∂
��
�� - �
2 2 2
2 2 2 2
/ /� � � �
� �� � �
∂ ∂ ∂ ∂m
∂∂ ∂q ∂
Ê ˆ+ + ◊ + ◊ +Á ˜Ë ¯
v v v v-.�25�0
/� � �
� � � �
q∂∂ ∂∂ ∂q ∂
+ + ◊ +vv v v
�,�7 -.�260
������&���������������������������������������� ��������������������'�����
�&������� ���� ���� ����� ���� � � ������ !������� �� �������� ���� ����� �
��������������$����.�5���������������������������������������= 7�����������
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
���� ������1��������� �� ����� �7�� ���� ������� ���� �� ���������������� ���
�������= 7����������������������� �%������������������� ���������������������
���������������������������������������������� �������������� ����� ���� �����
1������������C���������������������������������������������� �����
������������������������ �������������������'������ �������������������
����������������������������������#�������� ����������������������������
C�����������������������������D���������� ��������� ���������� ��������
�&������������ ����������� ��������� ��������������������������������������
���������� �� ��%�� ����������������������������� ����E
1���������������� ��������� ���������� ���������-����������������������
����������������0����&����������������%������� �������������������������������
���� ������������������������&�������������������� �������������
������� -������!���%�(�,�()"�� ��.�'� ��� $#&!��/�� � � �� �()�'�"�,��0� � %�)0 � ��
C����� ��������� ����������������������������������
, ∂∂ r�
���=
=7
zzz, ∂
∂ r�
�- 0��=
=7
zzz -��������������������� ��������������0 -.�280
C����� �� ��%�� ���������������������������� ���
,
7
- � 0
�
� � �r ◊ÚÚ�� ��,�
7
�
�
�� �r ◊ÚÚ� � �
, —◊zzz - 0r� ��� �=
=7
,� � � �� � � �- 0—◊ + ◊—zzz r rd i �=
=7
-.�2:0
��� ���� ���������������������������������
,
7
�
�
� s◊ÚÚ�
�������� ����� ����� � ����� ���
,
7
�
�
�s ◊ÚÚ�
Fs� �� ������������ �����G
, - 0—◊zzz s �=
=7
-.�2;0
������������� ���������������������������������
, r�� �=
=7
zzz -.�2.0
�� ���� &��-.�2.0����������� �����������������
$��������������
∂∂ r r r�
� � � � �- 0 H - 0 I� � � � �
+ —◊ + ◊—FH
IKzzz �=
=7
,�
=7
zzz �-—◊s�4�r�� 0��=
�� r ∂∂
∂ r∂
r r�
� � � � ��
��
�� � � �+ + ◊— + —◊- 0 �,�—◊s�4�r
��
���
� � � �� �
∂ ∂ rr r∂ ∂
Ê ˆ Ê ˆ+ ◊— + + —◊Á ˜Á ˜ Ë ¯Ë ¯
�� � � �
�,�—◊s�4�r�� -.�2<0
(�� ����� �����∂ r∂
r�
�+ —◊�� ,� 7� �� ���� �������� ���� � � ��� �����������
�&�������������� ������������������������������������ �����������������
��������������� &��-.�2<0�����������
�� �
�
∂r∂
Ê ˆ+ ◊—Á ˜Ë ¯
�� �
�,�—◊s�4�r��
�� r ?
?
��
���,�—◊s�4�r
�� -.�570
&������� -.�570� �� � ���� �� ������ ��� ��!����+� �&������� � ��������� ��� ���
�&��������s��������������������������
s�, 3��J�4�m¢� ( )�—◊��4�2m�-?� ��
�
0JJ -.�5/0
J� ,
/ 7 7
7 / 7
7 7 /
È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
JJ�-?� ��� 0 ,
/
2
� �
� �
� �
� �
∂ ∂∂ ∂
Ê ˆ+Á ˜
Ë ¯
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
$���� &�� -.�5/0��������
—◊s�, 3�—��4�-m¢�4�m0��—� ( )�—◊��4�m —2�
�
-.�520
�������� ����(��� �)����������� ¢ +m m2
5�,�7 -.�550
��������� &��-.�520���� &��-.�570����������������� &��-.�550����������
r ?
?
��
��, 3— + — + — —◊ +� � � �m m r2 /
5
� � �- 0 -.�560
���� �� ���������������� ����� �������'�������&������������ ���� ��� ���
����� ������������������������������������������ ���� &��-.�560�
�����������������������������
-?� ��� 0�,
/ /
2 2
/ /
2 2
/ /
2 2
� � � �
� � � � �
� �
� � � � �
� � � �
� � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
È ˘Ê ˆ Ê ˆ+ +Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Í ˙
Í ˙Ê ˆ Ê ˆÍ ˙+ +Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Í ˙Í ˙
Ê ˆ Ê ˆÍ ˙+ +Á ˜ Á ˜Í ˙Ë ¯ Ë ¯Î ˚
v
v v v
v
���������������� ������������������������������������������-?� ��� 0� ���
�������� ������
��1 �2��������������-����������������������
���� ����� �� ������ ��� ������� ������'������ �&������� ����� ���� ��� ���
��������� �����������-&��������0����������������������� ������������#�������
���������������������������������� �����������'�������&�������������������
��������������������������������������*�����K������������ � ��������������
��������� ���� ������������������������� ����� �� ����������� ���� ���� ���� ����
�����������������������������������
�������������������������������������������������� ��������������������������
��π�7����,���,�7�����������������������������&��������������
∂∂
∂∂
∂∂
�
� �
�
�+ +�
7 7
�,�7
∂∂�
��, 7 �������������,���-������ �0
�����������'�������&������� ���������������� ����������
7 7 7 2 7 2 2
2 2 2
/3
� � � � � � � �� �
� � � � � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂n
∂ ∂ ∂ ∂ r ∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + + = + + +Í ˙
Î ˚v
�������� ����� ����� � ����� ���
7 7 7 7 2 7 2 7 2 7
2 2 2
/3
�� �
� � � � � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂n
∂ ∂ ∂ ∂ r ∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + + = + + +Í ˙
Î ˚
v v v v v v vv
7 7 7 7 2 7 2 7 2 7
2 2 2
/3
� � � � � � � �� �
� � � � � � � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂n
∂ ∂ ∂ ∂ r ∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + + = + + +Í ˙
Î ˚v
�������������
∂∂�
��,
∂∂�
��,�7���������������,��-�0�������
���∂∂�
��,
2 2
2 2
/3
� � �
� � �
∂ ∂ ∂n
r ∂ ∂ ∂
È ˘◊ + +Í ˙
Î ˚-.�580
$������������������������� ���������������������������� &��-.�580��� ������
����� �������������������������������������������1�������� ���������������
������������������������������� ��������������������� �����������������
�������������������(�����F/G�����$�����F2G��#��������������������������
���������������%������������������� ����������������
��1�� 3&%&((�(�-(�/����&���%&�0 ��� &���(
!������������ ������������������ �������������������������������������
$����.�6��$������������������� �������������������������������������������������
�������������� ����� &��-.�580�������
����� �� 3&%&((�(� �(�/� ��� &� $�%&�0 �� ! &���(
�
�
�
��, m �
�
2
2
�
�-.�5:0
�������������������������������,������,�7L�������,�3�����,�7�
$���� &��-.�5:0��������������
�
�
�
��,
//m
�
�
�
�� %+
�� ��, �/
2m◊ ��
�
���2�4�%/���4�%2
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
1���������������������������������������������������������B
%/�, 7 ��� %2�,� 3/
2
2
m◊ ◊�
�
�
�
�
�����������������
��, 3 - 0/
2
2 2
m◊ -�
�
�
�� � -.�5;0
��������������������������������� �����������������(�������%��������������
������� ���������������������������������������������������������%������������
�����������������������������������
1����,�7�� ��, *��%L���������
*��%�, 3� �
�
2
2m◊ ��
-.�5.�0
K��������������������������������������
*���, ��� ���� /
�2 ��� ���� 2
�
�
+� �
� � -
= = Ú
�� *���,
7
2�
2
�
� ��Ú �,� 2 2
7
/ / �3 - 0 �2 �
��� � �
� �m◊ -Ú
,5
2
77
/ � /32 � 5
��� �
� �� �m
Ï ¸Ê ˆÔ ÔÈ ˘◊ -Ì ˝Á ˜Î ˚ Ë ¯Ô ÔÓ ˛
$������ *���, 3/
2
2
5
2
m�
�
�
�� -.�5.�0
���*
*
��
��%
�,2
5
�� *��%�,�5
2*�� -.�5.�0
���� �������� ���� ��� ��������� ��� ���� ��������� ���� ��� �� �������� ���� ��
����������� ��������������������������
t �� ��, ��%�
3 2�
�
*� ��
� � �
∂m m
∂Ê ˆ
= =Á ˜Ë ¯��������������������������D��������� ���E�����������������������������������
�������������������������������
���������� ����������� ��������%������� ������
%��,- 0 Mt
r
m
r
�� �
*
* �
*/
2
5
/
2
2 2��
��
��
=
�� %��,/22
/2r
m* ��� - 0 C�
= -.�5.�0
�������� ����� ����� � ����� ���
������C��,�*��-2�0Mn�������C�������������� � ��������������������������������������������������-2�0�� %������������������ &��-.�5.�0���������������
�������� ������� � � ���� �������� �����������%�����C������ ������� �����
���������������� ���������������������� ����� ����������������������������
���������2577�������������������� ����%������������������ ������������������
�����������C��,�/7�777��@����������������������������� ��������������������
���������������������������������� �C����2577�
��1�� ��)�����-(�/
1��������������������� ��� &��-.�580������������ ���!������� ���������������
���������������-$����.�80��#�����������������������������������������������������
��������*��������������������������� �� ������� ��������� ��������������� ���
��������������������������������������������&����������
�
�
� 2
�
�
�
�= m
2
���A�����
������������������������������,�7����,�7�������,������,�*�
U
hy
x
����� ��� ��)����� �(�/� 4��/���� �/�� #&%&((�(� �(&�� #(&��$
(������
��,/
2
2/ 2m
◊ + +�
�
�
�� % � %
�����������������������-�����,�7����,�70��%2���������&�������*����
��,/
2
2/m
◊ +�
�
�
�� % �
�����������������������������-�����,������,�*0�
%/�,*
�
�
��- ◊/
2m�
�
��� ��,2 �
/2 �
� � � � �*
� � � �mÊ ˆ- ◊ ◊ -Á ˜Ë ¯
-.�5<0
&�������-.�5<0�������������%������������� ���
�
*�,
2 �/
2 �
� � � � �
� * � � �mÊ ˆ- ◊ ◊ -Á ˜Ë ¯
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
���
*�, /
� � �,
� � �
Ê ˆ+ -Á ˜Ë ¯-.�67�0
����� ,�,2 �
32 �
� �
* �mÊ ˆÁ ˜Ë ¯
&������� -.�67�0� �������� ������������ ������������ ��� ���'����������� ���
����������������������,������������������������������'�����������������
����������(����,�,�7�������������������������������������������������������
�
*�,
�
�
������������������� ����������������!������� �����(����,�N�7�� ����� ����
-���� ������������� �����������������-3 ��M��0������������������� ������������
���������������������������������������������������������������$�����������
������� �,�-,�O�70������������������� ������� �� ���������������������������������
� ���������������������������������������� ����������������������������������
��������� �������������������������������������������$������.�:���������
� ����� ������������������ ������������������%������������� ��������������������
�������� ����� ������������� �����������������
Prssure increases in the direction of upper-plate motion
Pressure decreases in the direction of upper-plate motionZero pressure
gradient
P < 1
dp dp dp dp dp>> 0 > 0 = 0 < 0 << 0
dx dx dx dx dx
P < 0 P = 0 P > 0 P > 1
����� ��� ��(�!��*�#%���(����%�� ����)������(�/���%�,&%��)$�,&()�$���
#%�$$)%��0%&'����
�������� ��� �������� �� ������ ���� &������������ ����������� � � ���'
������������������������������������������������������������ &��-.�67�0���
��������$����.�:����������������� ���%��������������������������������������
�� �����������������������������������M����&�������*�����$���� &��-.�67�0����
���������
�
�
�
��, / 2
* ,* �
� � �
Ê ˆ+ -Á ˜Ë ¯
$�����%������������������������
�������� ����� ����� � ����� ���
�
�
�
��, 7
�����������
��,
/
2
/
2+
,-.�67�0
�������������������������������%������������� ���,�,�/�����������M��,�/����
�&�������*��$���,�N�/��������%����������������������������������
��O�/�����
���������������,�N�/������ ������������������������������������������������� ����
������������������������������������������������������������K�����������������
�����,�,�3/������������������������������������������ &��-.�67�0������
��,�7�
$���,�O�3/�������������������������������������������
��N�7���������������
������ ������ �� ����� ���� ����� ���� �%��� ������� ���� ������ � ���%����� ���
�������� ���������� ���� ��� ����������� �� ����������� ���� ������ � � �� ���
&��-.�67�0������ &��-.�67�0��
���%�,* ,
,
- 0/
6
2+ ���,�≥�/
�����,* ,
,
- 0/
6
2+ ���,�£�/ -.�67�0
Reverse flow
1 1 2 3
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2 .0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
y
u
h
U
U
h
0
P = 2
����� ���� ��(�!��*� '�$�%�4)����� ��� � �� ��)����� �(�/
��1�� 5&0���3��$�)�((��-(�/
!�������������� � ��� ���������� ���������������������������� �������������'
������������$����.�;��C���������������������������������������� �������'
������������%����������������������'�%���������%��� ���������������������
�������� ��������������������������
���π 7�����,�7���q�,�7
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
����� ��� 5&0���3��$�)�((�� �(�/� � %�)0 � &� #�#�
����� ���������������&�����������������
∂∂
∂∂
� � �� � �
� � �
7 7
+ + �,�7�/
$�������������������� 7�
q∂∂q
È ˘◊ =Í ˙
Î ˚
v
∂∂��
��, 7���������������,����-��� �0
��������� 7� 7� 7� ��� -�� &������0 7��
�q
∂ ∂∂ ∂q
È ˘= = = =Í ˙
Î ˚
vv v �������
������'�������&����������� ������������
∂∂��
��,
2
2
/ /3 � ��
� � ��
∂ ∂∂ nr ∂ ∂∂
Ê ˆ◊ + + ◊Á ˜Ë ¯
v v-.�6/0
$�������� ��������������������&�������������
∂∂
∂∂
2
2
/� �� �
� � �+ ◊ �,
/
m�
�
�
�-.�620
�������������������������
�����,�7������� ���������
�����,�.�����,�7�
&�������-.�620�����������������
�� �
� ��
�
�
�
2
2
� �
+ �,/
m◊ ��
�
��
�����
� �
��� �
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�,/
m◊ ��
�
��
�� ��
��
�
�
�,/
2
2
m◊ +�
�
�
�� �
���
�
��
��,
/
2m◊ +�
�
�
��
�
�
�� ���,/
6
2
m◊ + +�
�
�
�� � � #��
�������� ����� ����� � ����� ���
�����,�7������� �����������������������������&�������*�������������,�.�����,�7
����
#�, 3/
6
2
m◊ ◊�
�
�
�.
���,2 2
2
�3 /
6 �
. � �
� .mÊ ˆÊ ˆ -Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯
-.�650
������������������%��������������� ��������� ��������������������������
�����������������������������������������
1����,�7������������,�����%
����%�,
2 �3
6 �
. �
�mÊ ˆÁ ˜Ë ¯
-.�66�0
�����������������������������������
�����, 7
2 2
2 � - 0 �
.
�� � �+
. .
p
p p=Ú
�� �����,
2 2 6
2
2
�2
6 � 2 6
. � . .
� .
.
pm
p
È ˘Ê ˆ- -Í ˙Á ˜Ë ¯ Î ˚
�����,
. �
��
2
.
/
2m-FH
IK =
�
�v
��%-.�66�0
�� ����%�, 2 ����
-.�66�0
������������������������������������������
+�, p .2 ����-.�680
�� +�, p .2 . �
�
2
.m-FH
IK
�
�F$���� &�� .�66�G
�� +�,6 �
/2. �
" �
�
pmÊ ˆ- Á ˜Ë ¯
-.�6:0
&�������-.�6:0���������������������������������� ���������������������
� ���������� ����������������������� ����������������� ���������������� ����
����������&�����������������������-$����.�.0�
C CapillaryM ManometerN Measuring cylinderP PumpR ReservoirT Tank (constant head)V Valve
M
P
RV
C
V
T
N
V
�������� �! �"&��!�'�&0%&"����� ���.#�%�"���&(��&!�(��*���%�'���%"��&��������,�$!�$��*
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
P������������������������������ ������������������������������������ ����
���� ���� ����������� ���� ����� � � ������������� ���� ���������� ���� ������� �
����������������������������������� ��������������������$���� &��-.�6:0�
�����%������� ��������������������������
m�, - ◊ =-p p"
+
�
�
"
+
� �
�
6 6/ 2
/2. /2.
�
�
- 0
���� ����������� ���� ����� -+0� ������������ �� ����������� ���� ��&���� ��� �
�������������������������������-"0�� ����������������������������� ��������
���������������� ��� ������� ���������������������������
������������� ����������������'����������������������������� �������
�� ��������������������������������� ���������� �����������
t � �, m �
�
��
�
$���� &��-.�650���
�
��
��,�
2
2
� 2
6 �
. � �
� .mÊ ˆÁ ˜Ë ¯
���
�
��
��,
/ �
2 �
��
�mÊ ˆ ◊Á ˜Ë ¯
-.�6;�0
���������� t � �,/ �
2 �
��
�
Ê ˆ ◊Á ˜Ë ¯-.�6;�0
����������������������t��������������������������������������� ���������%��1������������t������������%�����������
1����,�.� t�, t��%�,�/
2
�
�
�
�.
FHG
IKJ
1�������������������������� ������������������� ������
���, t��%� 2p. ◊ �
�� ���,2 //
2
� �
�
-Ê ˆ ◊Á ˜Ë ¯2p .2 ◊ �
�� ���, 3p.2�¥�FP��������������������������� ����������G���������������������������������������������� �������������������������������
��������������
#�������� ���� &��-.�66�0��������������
-��0���,2/ �
3. �
�.
�mÊ ˆÁ ˜Ë ¯
-.�6;�0
���
3�
�
�
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�,.
2
m- 0��
.
�� -.�6.0
K������ �������������������������������,������������
r--.�6<0
�������� ����� ����� � ����� ���
!��������� &�-.�6.0�����-.�6<0��������
���,52 /
2
mr
- 0��
"�
-
�� ◊ ◊
�� ���,52 /
2
2
m
r
- 0
- 0
�
�
�
�
�
" -
��
��◊◊ -.�870
K�� ���������������� ��������� ��� ���������� ���� ����������?���'(������
��������
���,� �
- "
�- 0���
2
2-.�8/0
������D�E���?���� �������� ������� &�������-.�870�����-.�8/0����������
52 /2
mr
- 0
- 0
�
�
�
�
�
" -
��2
��◊◊ �,
� �
-"
�- 0� ��2
2
������ �������������,�:6
C���������C��,�
rm
- 0�� "�� �������C�������������
���� ����� ���������������������� ���������?����-���"���0� �������� �������
�������
�� ,:6
C�-.�82�0
1��������������������� ����������� ������� ���#����'P��������� ����������
�%�������
%��,t
r
�� � .
�
=/
2- 0� ��
2
(�������������� � &�-.�6;�0�����-.�6;�0�������������������
%��,/:
C�-.�82�0
�������� ����������� �������%�� �����������$������+� �������� �������$���
����������� � &�-.�82�0�����-.�82�0�����������
�� , 6�%�
$��� ������������������������ ���������������������������������������
���������������������������%������������������$�������� ������ ���������������
� �C�������������-/76����/7.0����������������� ����������'�����������������
���������� �������$�������� ������� ��������C������������� ����� �������
��������� �������� ���������������#�������������������������� �������������� ��
C��£�2577��������������������������������C��≥�6777����������������������� �����������������������������������
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
1� ��� ��� ����� �������� ����� ���� �� ���� ���������� � � ���� ����� �� �������
�������������������������������������� � �������� �������$�������� ������������
������������������������������ ����� �������������� ��� ���'��������e"�
FHG
IKJ
� ������������������e������������������������������"����������������������
���������� �����������$�������� ������ ����� ������C������������������� ���'
������������������������������%����������������������������������������
������������������������%���������������������������������������������
��������"����!������ ������$��"�����������������������������������������
�������������!�������//�
���� ��������� ��������� ������ �� ���� �� ���� �������������� ������� ��
�������������� � � �������� ������� ������� � � �������� ������������ ���������� �
�� ������
"��,6 �
,
�
�
-.�850
��������������� �������������,�������������������������
�����������&���������������������������������������������������� ������-a0������������������������ ������ -b0��������������� �������������� ������� ����
���������������� ������ ������ ���a ������������������������������������ ����
������������������ ������������������������������,�/
� �2
� �rÈ ˘Í ˙Î ˚
���2��������������
������������������������������������������,� 5�
2�
rÚ ��������������������������
�����������������������������������������-��0������������������������� �������a���
5��- 0
2� �
r aÈ ˘Í ˙Î ˚
v �, 5
2�
rÚ v ���
�� a�,5
��
/
- 0
�
��
È ˘Í ˙Î ˚Ú
vv
���
#����� ���#����'P��������� ����
a�,
52
��%
7��%
- 0 //
2 �/
- 02
�.
�
�
.� �
�p
È ˘Ê ˆÊ ˆÍ ˙-Á Á ˜ ˜Ë ¯Í ˙Ë ¯Í ˙Í ˙◊Í ˙Î ˚
Úv
v�,�2 -.�86�0
� �������� ������ ������ ���b ��������������������������� ����� ������
����������� ������������������������������,�r ��2���L�����������������������
�������������������������������������������������,�r� 2�Ú v ��������� ������
�������� ����� ����� � ����� ���
�������� ��� ������������� ����� ���� ��� �������� ������������ -��0��+� �������� �
����������� ������ b/� �
r b- 0�� ���2 �, 2
�r Ú v ��� �� b�,�2
��
/
- 0
�
��
È ˘Í ˙Î ˚Ú
vv
���
#����� ���#����'P��������� ����
b�,
22
��%
7��%
- 0 // 6
2 �/ 5
- 02
�.
�
�
.� �
�p
È ˘Ê ˆÊ ˆÍ ˙-Á Á ˜ ˜Ë ¯Í ˙Ë ¯=Í ˙
Í ˙◊Í ˙Î ˚
Úv
v-.�86�0
��1�1 -(�/�4��/�����/�����!���%�!����&���0��*(��'�%$
1��������%������������������������%������������� �������'�������&��������
���� ���������������������������������������������!������� �����������������
� � ���� �������� -$���� .�<0�������� �/����� �2� ���� ���� ������ � � ������ ���� �����
������������������������������������������������� ���������������������
w/�����w2�������������
w1
w2
r1
r1
r2
r2
vr
vq
qvz
����� ��� -(�/� 4�/���� �/�� !��!���%�!� %��&���0� !*(��'�%$
$�������������� �������������������������,�7�����,�7��$�����������������
&��-.�260����������������������������������
∂∂q
q� �, 7
������������q��������� ��������� �q��(������������������������������������
������������ �������������������������∂
∂ ��-����������0�,�7���������������
�q�,� �q-�0��(�������������� ������������������������Dq������E����������� -.�250� ������� ��
r q�2
��,
�
�
�
�-.�880
����
�
�
�
2� � �q q q
� � � �2 2
/+ ◊ - �,�7 -.�8:0
&������� -.�880� ���� ��� ����� ���� ������ ����� ����� �� �������� �� ���� ������
���������%�������� ���������� � ���������������� ���� ������ ��������������� ��
��������������������������������������
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
$���� &�� -.�8:0��������
� / �- 0
� ��
� � �q
È ˘◊Í ˙Î ˚v �,�7
���
���- 0�q �,��� �� �q�,�
�� #
�2+ -.�8;0
$��� �����*������������������� ���������� �q�� �������������������������B���
��,��/���q�,��/�w/������,��2���q�,��2�w2��1������������ ��������������������������
&��-.�8;0�������������
��,
22
/ / 22 22 /
2 - 0- 0
�
� �w w wÈ ˘
- -Í ˙-Í ˙Î ˚
��� #�,� �
� �
/2
22
22
/2 / 2
- 0- 0
--w w
$����������������������������������������
�q�,2 2
2 2 / 2 / 22 2 / /2 2
2 /
- 0/- 0
- 0
� �� � �
�� �
w ww w
È ˘-- +Í ˙
- Í ˙Î ˚-.�8.0
�����t�q�,�m �g �q������������������'���������������
�� t�q�, m� / �
� � �
q q∂ ∂∂ ∂q
Ê ˆ+ ◊ -Á ˜Ë ¯
v vv
������� ���� t�q�, m�� �
q q∂∂
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯
v v
�� t�q�, m ���
�� �
qÊ ˆÁ ˜Ë ¯
v-.�8<0
&�������-.�8.0�����-.�8<0�����
t�q�,2 /
22
/2 2 / /
222
2
mw w
� �� �
�--- 0 -.�:70
���� t q� � �=/�,
2 22
2 /
22
/2
m w w�
� �
- 0--
��� t q� � �=2�,
2 /2
2 /
22
/2
m w w�
� �
- 0--
$�������������������������������������������������������������������������
�������&����������������������������������������� ������
02�,2
2/2
2
22
/2 2 2
m wp�
� �� � �
-◊
�� 02�, 6 /2
22
22
/2 2p m w�
� �
� �--.�:/0
�������� ����� ����� � ����� ���
���������������������� �������������������������0/����������������� �����������
����������������������������������������� ���������������������� ������%������
����������������������������������������������������������������������� ������
� �������������������������������������� ����� &��-.�:/0�
��6 �������������78��� -���
(��������������!�������:������C�������������������������� ��������� �������
������ ������ $��� ���� ��� ���� C������ �������� ���� �������� ����� ��� ���
������3�������&���������������������������������������������1�����
���������������������������������� ���������&�������� ����������������������
������ �������C��OO�/��!���&����������������%����������������*������������3
������ �&������� ���� ��� ���� ��������� ����� ��� ��������� ��� ���������
���������(�� ����� ����� ���� ���� ��� ���� ��������"������ ��� ���� ���
C��������������������������� ���������������������������
��6�� � ��%*����5*'%�'*�&"�!��)4%�!&����
����� ����� ��������� ���������������������������� �������������������&����
������������������/77�"P������������������� ����������������������������
�������������������� �������� ���������� ������������������������� ���������
� ����������������-$����.�/70�����������������������������������������*����
����������������������� ������� �������� ������������������ ��������������������
����������������������������� �a��1�������������������������������� �7�728������������������������������������������������������ ������������ �/M8777������
������������������������ ��������������������������������������������������
����������������������������'�����������
p p0
y
x U
Slipper
Bearing plate
h1 h (x)h2
l
����� ���� -(�/� ��� &� $(�##�%� 4�&%��0
$������������������������������ ����������� ����������������������� �
�������������������������������������*��������������-�0�� ������������������
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
���������������������������������������������������������������������������
� � ���� ������� ���� ������� �� �� ������ ���� ����� ��� ����� ���������� �����
��������!������� ������������������� ������������������ ���������������������
����� ���� ������������ ��� ������ ��� ������������?��� ��� ������������ �����������
���������� ������� ���� ����������� ������������� ��∂∂�
�� �� ��������� ���� *����
#�������� �� ��������� ���������� � � �������� ���������� ������� ��� ������ ����
������ ������ ��� ���� ���������� �������� �������� ����� ���� ��� ��������������
���������������������� �����������
������� ����
=���� �����,
22
2 2 2
- M 0 M
- M 0 M
� � � * � * � �
�� � * �
r ∂ ∂ r rmm ∂ ∂ m
Ê ˆ= = Á ˜Ë ¯
������������ ������������������������������������������� ������ ��������� ���
C�������������
.J,
2
/* � �
�nÊ ˆ <<Á ˜Ë ¯
�����&������� ��������������������������������������������������������������
�������������������������������������@��������������'����������&�������
∂ 2�M∂ �2� ���� ��� ���������� �� �������������� ∂ 2�M∂ �2� ������� ���� ������ ���������������������������� ������� ������������ �-�M�02��(�������������� �������
�����&�������� �����������������
m� ∂∂
2
2
�
��,
�
�
�
�-.�:20
�����&�������� ���������������������������
+�,
- 0
7
�
� �
� �Ú -.�:50
�������������������������B�����,�7����,�* �����,�7����,��7�����,������,�7 ������ ��,������,��7 -.�:60
������������ &��-.�:20����������������������������
��,/
2
2/ 2m
◊ + +�
�
�
�� % � %
1������������ ���������������������������������-�����,�7����,�*����������,���
��,�70������
��,2 �
/ /2 �
� � � � �*
� � � �mÊ ˆ Ê ˆ- - ◊ -Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯
-.�:80
�������������������������
�
�
�
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
������������� �������������������������������������
�����������
�
�
������������ �'�%���1������������� ���%�������������
�
�
�
��,�7�
�����
�������� ����� ����� � ����� ���
��� �� ��
�
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯������
�� ���������������� �� �� � ��������� ����������������������������� � ������� ���
������������������������������ � �������� �������� ������ �������!�
"�#$��� � � � ����������%���� ��������&�������� ���� ���$�#����
����� � �
' �'
&
- ¢m
�� �¢��' &
�''
� �
� �m Ê ˆ-Á ˜Ë ¯
����(�
#���� �¢�� ��)���
*� ���� ����������(��#� �������� � ���$�#��� ���
��
�
��
�Ú �� &' &� �
� �� �'
� � � �
� �� � �
� � � �m m
a a- +
- -Ú Ú �������
�� ���� �
� �' &
ma a
ma a
�
� �
�
� ��
� � � �--
-+ ����� �
#���� a�� ����+��'�)� ��� �&���������� �� �
,����� ��������������� � �� ��������������-�$�� � ����������� ��� ������$�������$
�����-�� �����-����������-�� ������$� �����.��#������ ���� ������� ��������� �
�� �������� ����������� ������������ ������������� ������/��� ���
���� � �
� �
� '
� '+��� �&����-�+�
�
� '
ma
�
� �� �+/� �� ����������������� ��$� ������ �������������������� �� � ����������� ������
��� ��� � �
� � �-
'
'� '
�+
-+
m � �
� �
�� ��+��-��� '
'� '
m�� � �
� � �
� �
� �
-+
����0�
* ����� ������������������0�� �� $���� �����������������$����������������'$� ��
���������������#���� ��1�����2�� �������$�� ����� ������� �� �������������������
���� ������������ ��.������� �������� ���.�����������������2���������-����#�� ��
��� �� � ���������������� �������� � ��� �������
���� � �������� ������������� ��������� �#�� ����
��� '- '
� '- -
� ��� � � �
� �� � ��
� � � �� � �
m -- =
+Ú Ú3� ����� � � � ���� �������+�a ��#� ��a������� +� �'�)�� ��� ���� ������� �������
����������� ����� ���� ���$
���'
� � '
'' � '� '
��� '
� �
� � �� �
� � �� �
m È ˘Ï ¸--Í ˙Ì ˝+- Í ˙Ó ˛Î ˚
���(-�
����������� ������ � ��� ���������� ����
��� ����������� �� ���� ������� ��� ���� ������
t����
��
�
� � ��
� �
∂m m
∂ =
Ê ˆ= +¢Á ˜Ë ¯����
� ����� ������������ ������¢������������������ ����������!����������� ���������
��������"������������#$���������������������������%����
t��� &� ��
�
mm�
�
� � �
� � �-
+� �
'��� �������%����� ��� ���������������(���� ���%������$�� �������#$����� ��)
��� ��
� � ��
&�� �
�� � �� �
�� � � � �
mtÈ ˘-
= -Í ˙- +Î ˚Ú �����
*�%����� ��� ����������"����� �������+�,�*��*�%����"�(��!����� ����$���%�$���
���� �������������)�����) �� )����%�� ���%�������'���-� ��������������.�������
�����$���������%���)�����������%����"��#%�$������������ ���%�������% ��� �
A Line of centres
O
W B
p
h1h2
����� ���� ����������� ����� � � �� �������� ������
����� ����������������������������������� !���
���!���������� �������� �������������$���� ����� �����%��)����� ������������(�������
��������%� ���� � �$�������$������/����������)���"����!��������%�� ������������������
���0�����1���!����� ��������2����������������� ������������)�� ������%�$���������
��#���3�(����"�����������������$���� ��� ������ ������� �������������������������
����� ���%��������$���������� � ���"����!����� � ���������� ��������������$����"
(��%�����$��%� ������$������������������ �����������%��)��•"�����������)
��� ��pm��• ���4�
'�����������(���1!��(�����!��5��� �������������� ����������$������/��%�����
���(�� ��������� ���� ���� ���� ������ ���� ��� �� ���$���� ��� ������ ������� � ���
�����������(������ ����������������%����������%����/������ ����%�����%�������� �����
�%%�� �������������������
�����
� �
�
�r •
���&�
�������� ����� ����� � ����� ��
������ 2
6� �
pÊ ˆ=Á ˜Ë ¯������� ������������� ����������������
%"�,:
/
2 6
2 2
p m
r p.*
* �
•
•
�� %"�,26
C�L�C��,�
* �•
n-.�;80
1������������������������+��������� ���������� &��-.�;80������%��������
����������$����.�/2�����������%��������������������������+��������� ���C��O�/�
10-210-3
10-2
10-1
10
102
103
104
1
10-1 1 10 102 103 104 105 106 Re
CD
108
24Stokes' theory
Re
����� ���� ��"#&%�$���4��/�������:�$;�'%&0�!�����!�����&�'��.#�%�"���&(
'%&0� !�����!����
1������������������������� ������+�������������������������� ��������� ��
������ �������������������������������������� ��� ����������������������������
��������������������������������������������������������� ����������������� ����
���� ����������� ��������������������������� �������&����������������������������
��������������������� ������������������������� ���������������������������+
���� ����������������� ���������������������������������� �����������������
���������� &��-.�;50�
(���� ���� ������� ���������� �� �������� ������ ����������������� �� *��������
���� ������������ ���������������������������������������������������������
�������� ������������ �������������� ��������&��������������� ���������
6
5
5p r. -� �,6
5:5p r p m. - � .� 0+ -.�;:0
������ r�� �� ����������� ������������r�� ��������� �������&���������0� �� ��������������������
�������� ���m��������
m�, 2
<
2-.
�0� �- 0r r- -.�;;0
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
����������������������0������������������������������������ ���������������
��������������������������������������� �����������������������������
�������
∑ ����������3�������&��������������������������������� ���������
������������������ ������������������������ �����
∑ ����������3�������&�����������������������������������������������
������� ������������� ����������� �������� �������� ����#�������� ���������
�������������������������������������������������������������������
*�����������������������%������������� �����������'�������&����������
����������������������������������P��������� ���������!������� ��������
����������������������������������� �����������������������������������
���������1��� ����� ���� ���� ������ �� ��������� ���������� ���� ���
����������� ������������������'��������
∑ Q��������� � � ���� �������� ����� ��������� �������� ����������������
������� ������������ � � ����� ����� ������� ����� ���� ���� �����
1������������ �������������� ����������������������������� �������
���������������� ��������'�����������������%��������
��������
/� (������$�"�����������������������"�����'#����@����!�������/<</�
2� $�������� ���������"����������,�����������!���������)��������P����/<<8�
� �������������
��������� ������ ����������������������������������������$����.�/5�����������
������ ��������m�����������������������������������������������������������������������������*�,�6��M�������������� ���������������,�/�.�����!�����������������
��������������������������������� �m�,�7�66���M�������r�,�...���M�5�
vh
U
u
yx
����� ��� 3&%&((�(� �(�/� 4��/���� �/�� #(&��$� /�� � )##�%� #(&���"�,��0
�������� C��,�r�*Mm�,�-...0�-/�.M/770�-60M7�66�,�/68���������� ������������������t�,
m ∂∂�
�����������������������
*
���
������ ����� ��� ���� ��������� ���� � � �&��������������� ����� ����
�������� ����� ����� � ����� ��
t�, m ∂∂�
��,�m - 0*
�
- 7�-7�660�-60M-/�.�M/770
, <;�.�P�
��������� (��������:7R� ������������ ���������� ��������������� �����������
�������������� ������������� �7�5��M���������������������5������������ ��������������
?�������������������������������&�����������������*�������� ������������'��������-m�,6�;�¥�/736��M�2����:7 R!0
by
x U
U = 0.3 m/secb = 3 mm
����� ���
�������� ���������� �&������B m� ��
�
�
2�
�
�
�2=
��,/
2
2/ 2m
�
�
�
�� % � %+ +
�����, 7����,�3*� %2�,�3*
�����, �����,�7������������
7�,/
2
2/m
�
�
�
�� % � *+ - �
�� %/�,*
�
�
��- ◊/
2m�
�
��,/
2/2
m�
�
�
�� �� *
�
�- 0- + -F
HIK
���� +�, � ��
�� �� *
�
��
� �
��
��
7
2
7
/
2/z z= - + -F
HIK
LNM
OQPm
- 0
�� +�, 3/
/2 2
5
m�
�
�
��
*�-
$��� +�, 7�������m�,�6�;�¥�/736��M�2
�
�
�
��, 3
: : 7 5 6 ; /7
7 7752
6
2
*
�
m = - ¥ ¥ ¥ -� �
- � 0�,�3�<6�7��M�2 ◊ �
�������� 1���������������� -$���� .�/80�������������� ���������� ��������
����������������*7��������������&���� ����� ���������� ���������r������������� m���������������������������&���������������������������������� ������������������� ����
���� �������� � � �����������1���� ����� ���� ���� �� ���� ���������� ���� ����� ���
� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
����������������������������������������� ����� ����� �����������������������������
������������������� ����������������� ��,�7����� ��,����K����������%������� ������
�������� ��� ����
Belt
p = patm
Bath
U0
dx
dy
h g
y
x
����� ����
�������� ���� ���������� �&������� �
m �
�
2
2
�
��, r-
�� m �
�
�
��, r-��4�%/
���
�
�
��,
rm m-� %+ /
��,r
m m-� %
� %2
/2
2+ +
�����, 7����,�*7� � %2�,�*7
�����, ���t�,�7� ���
�
�
��,�7�����%/�,�3�r-�
��,r
mr
mrm
-� -��*
- ��� *
2
7
2
72 2
- + = -FHG
IKJ +
��������� (����������������������������������������� �/7��5M��������������
����� ����� ����� ���������������������K������������ ���������������������������������
������������������������������������ ����� ��������������������������������������������
�������������� �������������������%������������ ��������������������������$����.�/:�
(�������������������������������������������� ������/�������������������'��������
7�/��2S
�������� ����� ����� � ����� ��
3 m3/s per unit length
5 m3/s per unit length
10 m3/s
V2
z
y
x
����� ����
�������� !������� ���� ���� �� ��������������� ������ ���� ���� �� ���� ��� �� ���������
�������������� ���� ���� ��������������������
������,���2�4����4������������������ �������������������������������� �����$����������������
�������� ���������B
�� ��,�7����,�7
�� ��,�/����,�5
�� ��,�7���
�
�
��,�7
��� ��,���,�7����,�5
���� ���,�5�2
������������������ ���� ������� ����
��� ��, ��4��
���� ���, /����,�7UVW ������B ��,�8
��, 7����,�8 �,�38
��� ���, 3 8��4�8
$��� ����� ������������� ����� ���� ���������� �&������� ����
� �� �
��
◊z � �,�7
!����� ���� ���������� � ��������� �� �� ���������������
���� 3�/7�3� 5 7 /2
7
/
7
/
2� � � �� 8380�z z+ +- - � 0 �,�7
�� 3�/7�3�/�4� 88
2-F
HIK �,�3�7�/��2
$��������2�,�.8��M
��������� (����� ��� 27 R!� �� ������� �������� �� ��������������� �������� ��
����������������������������������/�8������������ �����������������������2��M�� �������
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
-�0�������%��������������-�0������������������-�0���������������������������-�0����
����������� �������Fm�,�7�77/7/���M� ◊ G�
�������� -�0�������%����������������������
*��%�,5
2
5
22*�� = F G�,�5��M
-�0����������������� ��� �� ��������������� �������� �������� �� �������
�
�
�
��,
-22
m*�
��% ����������,���� �������������������
,-
¥2 7 77/7/ 5
/ 8 2 /777 2
- � 0
F � M- 0G
, 3�/7;;5�55��M�5
�� 3/7;;5�55��M�2����������
-�0����������������������������������� �������������
t���, - = - = -¥
m ∂∂�
���
�
�
�
/ 8
2 /777
��-3/7;;5�550
�� t���, .�7.7��M�2
-�0�C�� -����� ��� �������� ������� ���� �������� �������0
,r
m* ���- 0 - � M 0
�
2 /777 2 / 8 /777
7 77/7/= ¥ ¥
�ª�2<;7
������������������2577��������� �����������������������������������������%���������
&��������������#��������%��,�/2
C��,�7�776�
��������� ����������� ��� ���������������������� ����������������������
������������� ��� �������� ���� �������� ������� ���������� ?������ ���� �%������
���,�. �
�
�
.
2 2
26/
m-FH
IK -FHG
IKJ
�
���������� ���� ����������������������������
R
p p + p
dr dr
rr
rz
l
����� ���� -)((*� '�,�(�#�'� (&"��&%� �(�/� � %�)0 � &� #�#�
�������� ���������������������$����.�/;������ ������������������������������������
���������������������������� ������%��������������������������������������������������
��������������������������?������������ ������������������������������������������
���������� �� �������� ���������� �� ������������� ���∂∂v���
�������� ����� ����� � ����� ��
����������������������������������� ��&������������������������ �������������� �������
d �������������������������������F��3�-��4�d �0G�p �2�, 3�t�2 p ��d �
�� 3�d��p �2�, 3�m�∂∂v���2 p ��d �
��∂∂v���,
/
2
/
2m m�
�
�
�
�
��
�
��=
����� ������������
���,/
6
2
m�
�
�
�� 2+
�� ��,.�����,�7� ����� 2�,� 3/
6
2
m�
�
�
�.
FHG
IKJ ◊
��� ���,. �
�
�
.
2 2
26/
m3�
�
FH
IK -FHG
IKJ
��������� ��������������� ����� ��� ���������������������������������������� �����
�%��������������������������� �������������������������������������� ��������������
P���������� ���������������������� �������%�������������������������������2�
�������� ����$����.�/;��$����������������
���, ����%� /
2
- FH
IK
LNMM
OQPP
�
.
+�, v v� �
.
��
.� �� �z z= - F
HIK
LNMM
OQPP��%- 0/ 2
2
7
p
, 2p�����%�� �
.
. ..
�
2 6
2
7
2 2
2 62
2 6-
LNM
OQP
= -LNM
OQP
p v��%
, ����%�
p .2
2
FHG
IKJ
������� , +
�
.
.
� �= =v v
��% ��%- M 0
- 0
pp
2
2
2
2
����v
v�
�
��%
����
�, 2
�������� ������������������������ ����� ���'������������������ �������������
�� ������ �
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
��, 3�. �
�� .
22
6/
m∂∂◊ -F M Gb g
?��������� ���� ������� �������� ���� ���� ����� �%�� ��������� ���� �������� �&���� ���
�������� ��������
�������� $����� ���'������������������ ���������������������������
��, 3�. �
�
�
.
2 2
6/
m∂∂
- FH
IK
LNMM
OQPP
����,+
� .
. �
�
�
.� �
.
= - - FH
IK
LNMM
OQPP
RS|T|
UV|W|z/
6/ 2
2
2 2
7p m
∂∂
p �
, 3. �
�
2
.m∂∂
����� �� ��,��� ��� �����
. �
�
�
.
2 2
6/
m∂∂
- FH
IK
LNMM
OQPP�, 3
. �
�
2
.m∂∂
�� /�3��
.
FH
IK2
�,/
2
���
.
FH
IK2
�,/
2�� ��,�
.
2�,�7�;7;�C
��������� �1 �/7������� ����������������������������������������� �/�7��M�����
�������68��������������������������� �/87�����$����������������������� ���������Fr�,.:<���M�5�����m�,�7�7./6���M� ◊ G
�������� ���,� � �
-"
2
2
����������������� ��� �������������������������C��
C��,r
m� "
,- 0 - 0 - M 0
�
.:< / /87 /777
7 7./6�,�/:7/�58
������C��O�2777������ ����������������������������������
��, :6MC��,�:6M/:7/�,�7�76
��� ���,- � 0- 0- � 0
- 0- � 0- M 0
7 76 68 / 7
2 < ./ /87 /777
2
�,�7�:/2��
�������� ����� ����� � ����� ��
���������� #���� �������� ���� ���������#�����������/77�������*����������
������ �/87���������������������������� �� ��/�7.�"P��������� #��� 7�<8�"P������
�������������������6/2�8�¥�/73:��2M�������������������������� �����������7�</.��(���
������ �������������5MS
�������� ����@��������+� �&������� �������� ������ #
/ 7. /7
</. < ./ 27
: 2�
�
¥¥
+ +�
-�,
7 <8 /7
</. < ./ 27
/77
2 7 /87
: 2 2�
� �
¥¥
+ + +¥
�
-�
�
-
�� //<�<28�3�/78�6<�,::: :;
2
2� � �
-
@���������� ��������������������������� ������������������������� ��������� �����%���
����� ���� &��-.�6.0�
� �
�
/ 2-�,
.m�.
��2
�� ����,- 0 - 0 -� 0
- � 0- 0
� � "
�
/ 22 2
:52
/7.7 <87 /777 /87
52 6/2 8 /7 </. /77
- = -¥ ¥-m
,/57 /777 7 7228
52 6/2 8 </. /77/7
:¥ ¥¥ ¥ ¥
¥�
��,�2�6/��M
C��,2 6/ /87 /777
6/2 8 /7:
� - M 0
�
¥¥ - �,�.;:�5:
#�������������� ���������������������
+�, �����,�p6�-7�/802�¥�2�6/�,�7�7628��5M
���������� 1�������������������������-e�,�7�777/��0��������������������67�����/�����87�������������������������������68��M� ������������'�������������
�����������$���� ���������� ��&������ � � ���� ������:8���������� ��������$�������� r�,/�2���M�5��m�,�/�./�¥�/738���M�'��������� ����������� ���������� � � ���� ����� �
,��,67
/77
67
/77/ /+ + +L
NMOQP �,�2�.��
�������� ��������������,�67
/77/¥ �,�7�6��2�
#������������������������"��,�6 7 6
2 .
¥ �
��,�7�8;/6��
C��,r
m" �� �� =
¥ -- � 0- � 0 - 0
- � 0
/ 27 7 8;/6 68
/ ./ /78
�,�/�;�¥�/7:
���� eM"��,7 777/
7 8;/6
�
��,�7�777/;8
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
$����"���+������� ���C��,�/�;�¥�/7:�����eM"��,�7�777/;8
��, 7�7/67
���, ��3
"
�
-�
FHG
IKJ =
FHG
IKJ ¥LNM
OQP
2 2
27 7/67
87
7 8;/6
68
2 < .- � 0
�
- 0
�
, /2:�8��
�����������������D��,�r-���,�-/�270�-<�.0�-/2:�80�,�/6.<�P�
+�, ���,�67
/77/ 68
FH
IK a fa f�,�/.�7��5M
P������� ������ ,�,r
h-+�� = - � 0- � 0- � 0 - � 0
�
/ 27 < . /. 7 /2: 8
7 :8
, 6/277�(
���������� 1���������������� ��������������������3�����������������������
�������� ������� � � �� ��&���� ��������� �� ����� � � ������ ���� ����� �� ����� ��
$���� .�/.�� 1�� ���� ������ ������� ���� �������� �� ��� ���� ����� ���� ���'�����������
�����������7��1���������������������������������������������������������������� �����
������������������ ����� ���������������������(���� ���������������������������������
����� ��������� ��������S
����� ����
�������� $�����������������������������������������&������������- �������� ���0
r� �� �
%(
◊z � �,�7 ��� 3��7�p �2�4� 2
7
� � �
�
p �z �,�7������ � � �� �
�
� =z 72
72
������ ������������������� �,��7�4��/��4��2�2
�����,���� �,�7���/��4��2��2�4��7�,�7
�����,�7��
�
�
�� = Æ7 /�,�7
�������������
- 0� � � � �� �
�
7 22
7
72
2+ =z �
�������� ����� ����� � ����� ���
�� ��
��
��
7
2
2
6
7
2
2 6 2◊ + = \ �7�4�
�2
2��2�,��7
1���������������7�4��2��2�,�7
!��������� ���� ������ ���� �%����������� ����
�2
2��2�, 3 �7 \ �2�,�3
2 72
�
���� �7�,�4�2�7
\ � �, 2�7� /2
2-
LNM
OQP
�
�
�����������������������&������������������������������������ ��������������-��������
���� ����� �� �������� ���� �������� ������L� ���� ��������� ��� �������� ������0B
��4�-�/�3��20�p �2�, 3�r�7�p �
2 ◊ �7�4�r 2 2
7
p � � �
�
�z, 3�p r p r� � � �
�
��
�
72 2
72
2
2
7
2
. /+ -FHG
IKJz �
, p r � ��
�
�
�
�
��
�
�72 2
6
6
2
2
7
/
/ . / 2- + + -FHG
IKJ
FH
IK
L
NMM
O
QPPz
, p r � �72 2 / 6
6
56- + + -F
HIK
LNM
OQP
,/
5
272p r � �
\���,�/
5
272p r � � � 3� -�/�3� �20p �
2� ��� ����*������ ���������� ���� -������� �� ��� ��������
���������0�
��������� 1�������� -�����0� ���������� -�����0�������7�8�����������������
��������������������$����.�/<��?������ ����� ������r�,�<�77���M�5�������������m�,7�/��M�2�
20 cm
1 m/s
0.005 cm0.002 cm
����� ���� �(�##�%� &�'� #(&��� 4�� � <�6�"�/�'�
$������������-�0����������������������� ��������������-�0�����������-�0�������������
���� ��������
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
�������� -�0�!���������� ���������� �� �� ��������� &�� -.�;70� ��� ���� ����� �������
��������
,�,:
22
/ 22
/
2
/ 2
/ 2
p*� �� �
�
�
� �
� �- 0��
-- -
+LNM
OQP
,: 7 / / 7 2 7 2 7 8
7 778 7 772 2
¥ ¥ ¥ ¥ ¥-
LNM
OQP
� � � �
- � � 0�¥
���
�
� �
� �
7 778
7 77227 778 7 772
7 778 7 772- -
+LNM
OQP
,7 7/2
< 7 /7:
�
� ¥ - �-7�</:5�3�7�.8;/0�,�;.�<5��
-�0 "���������� � &��-.�;20� ��������������������� ��������������������
"�,m*��� �
�
�
� �
� �/ 2
/
2
/ 2
/ 2
6 :-
- -+
LNM
OQP
��
,7 / / 7 2 7 8
7 778 7 772
� � �
- � � 0
¥ ¥ ¥-
67 778
7 772:7 778 7 772
7 778 7 772��
�
�
� �
� �- -
+LNM
OQP
,7 7/
7 775
�
��-5�::8/�3�2�8;/60�,�5�:68��
-�0 P���������,������¥��������, 5�:68�¥�/�,�5�:68�(
+
+ + +
+
Force on the shaft due to lubrication pressureLoad (ext.)
(a)
(b)
( p p0)
O
+2
Bearing centre
Shaft centre
����� ����
���������� 1��������'
���� A������� �������� ������� �
����� ��������� ���������� ��'
������ ����� ���� �� �� ��������
���������� ������� ���� �������
� ������� ��������������������
��� ������ � ������������-����0�� �
��� ����������� �� �������� ����
�%����������� ��� �&������� ���
��&������
�������� ��� ���� ����� ���
������� ������������ �� �'
������� �� ����� -$��� .�270
������ q� �� �������� ��� �������������� ��������������� ��� ��
���� ������������� ���%����
���������������� �� ������ ���
�� �� ������� �� ��� ���� ��-��� �
�������� �������� ���� ���� ����� �
������� �� ����������
�������� ����� ����� � ����� ���
���������� $������� �����������������������-$����.�2/0��������������� �������
���� �������� ������ ��� ���� �'���������� �� ���� ������ �������� ����������
Slider
p0 = atm pressure
Guide
U
h2
h1
p0
y
x
L
����� ����
�������� ��� �������� ����� ��������������� ���� �
�
*�, / / 5 /
2
/
/-FH
IK - -
+FHG
IKJ
LNMM
OQPP
�
�
�
�
�
�
���� ����
,�,:
/
2 /
/
2
22 2
m* 3
�
- 0��
- 0
-- -
+LNM
OQP
����� �, �/M�2
$�������� ���������� ��� ���� �'���������� �
���, t aa a
a�
33
� � ��
��
��- 0
��
��- 0 - 0 ��/ /7
77
+ -zz, t a�
33
� � � �� �+ -zz ��� - 07
77
���� t��, -FHG
IKJ =
m ∂∂�
�� �
��� ��, *� / / 5 /2
/
/-FH
IK - -
+◊
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
�
�
�
�
�
�����������
∂∂�
��, *
� �
�
�
�
�- -F
HIK -
+◊
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
/5
/ 2/
2
/2/3
\ t��, 3 m*� �
�
�- + -
+◊
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
/ 5/
2
/
/
�� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
, m*�
�
�3 �2 :
/
/2+
+LNM
OQP
1��� ��, �/�3�-�/�3��20��
3
\ ���, 3�� �
3
/ 2-���
���� t �
3
��
7
z �,3
� ���
�
�
/ 22
/
- zt �
,m 3*� � �
�
��
�
�
/ 2
/2
2
/
2 :
/-+
+◊
FHG
IKJz 3 �
,m* 3
� ��
�
��
�
/ 2
/2:
/2
/
--
+◊
FHG
IKJ3 ��
,m*3
�
�
� �2
/
/ 2/2
:
/
/ /
- 03 ��
--
+-
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
,m*3
�
2 /2
: /
/- 03 ��
- 0
-+ -
+LNM
OQP
1���� ���� ,�, - 0��
��� �
�3
-z 7
7
� aa
-����������� ������������� � t���������L�a�������0
\ ���,
7
3
z t�����4�����a�-,0
�� ���,m*3
�
� �
32
/ 2
/2
: /
/- 03 ��
- 0
-+ -
+FHG
IKJ +
-LNM
OQP ¥
:
/
2 /
/
2
22 2
m*3�
- 0��
- 0
-- -
+FHG
IKJ
,m*3
�
2 /6
: /
/- 0��
- 0
-- -
+FHG
IKJ
�������� �������� ���������� �
�$�, t$
3
��
7
z@�� t$�, 3 m ∂
∂�
��
FHG
IKJ =7
�������� ����� ����� � ����� ���
, m *�/ 5
/2
/
/
� �
�
�+ -
+◊
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
���� �%������� � t$�, m*� 6 :
/
/2�
�
�3
+◊
LNM
OQP
\ �$�, t$
3
��
7
z,
3
� ��$
�
�
/ 22
/
- zt � -�� �� ���0
,m*3
� �
�
��
�
�
2
/2
/
6 :
/2
/
- 0--
+◊
FHG
IKJz �
,m*3
�
�
� �2
/
/ 2/6
:
/
/ /
- 0��
-+
+-
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
,m*3
�
2 /6
:- /
/- 0�� 3
0
--+
LNM
OQP
���������������������
���������
.�/ !����� ���� �������� ������
-�0 @���� ���� �� �&���� ��� ������������� ������
-�0 � � ��������� �������� �������� �� *���
-�0 ��� ������������� ���
-�0 ���������������� ������������������������������ �������� �������
-�0 � ��������� �������� �������� �����'*����
-��0 1������������� ��� ����������� � �������'������ �&������� ���B
-�0 ����������� ������������� �������������� ����� ���� m� ,� �������-�0 ����� ����� ������������� ����� ������������� ���
-�0 ����������� ���'���������� ������ ������������� ���
-�0 ����������� ���������� ������ �����+� �������� ���� �������
-���0 ����� ������������������� ���
-�0 ������� ��������� �� �������� ����� ��������� ����� ���
-�0 �������� ����� �������� ��������� ����� ���
-�0 ��������������������������������������������������������������
�����
-�0 ����� � � ���� �����
-��0 ��� ���� ���� � � ���� ���������� ���� �������� �����
-�0 ?���+� �������� ������ �� ����������������� ����������� ������
-�0 ?���+� �������� �������������� ����������� ����������� ���
-�0 ?���+� �������� ������ ��������� ���� ���� ����������� ������
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
-�0 �������� ����������� ��������������������������?���+� �������� ������
-�0 @������������������������� �������������������������� ����� ��������
���� ��������
-�0 ������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������� �%���
-�0 C�������� ���� ���������� � � ���� ��������� � � ���� �������� �������
���������� �%���������������������������������������������������
-�0 ��
�
�
�
∂∂
m ∂∂
>>2
2
-�0 $����������� ��������������-�0��������%����������������������� �
���������������
-��0 K��������������������������A���� ��������������&�����������������������
����������������������������� ������+�������� ��������� ������
���� ������� ��������� �������� �
-�0 ������������ ����� ������������������������������� �����������
����� ���� ��������� ����
-�0 ���� ����� ����� �� �&���� ��� ���� ������� ����
-�0 ���� ������� ����� ������� ����� ���� ����� ����
-�0 �������� ������������ ������������������ ��������&�����������������
� � ���� ����
.�2 -�0 (����������������� ������������������� ����+��&�������� ���������������
������'������ �&������S
-�0 ��� ���� � � ���� �������� �� �������� ����� � � ��������� ���'������� ����
�����������������������%��������������� ����������������������'�������
���������������������� ���������������������������������������������$���
����������������������������������%������������������������������� �?���3
(��������&������� ���������������������� ��������������������������,���-3M
"0�-�2M2-0���������������,�:6MC���������3������������������"���������������
� � ���� �����
.�5 (��������������������������������������������������������%���������������
����� ���������� ���������������� �%�����������������S�(�������������������
�� ������ ������� ���� ���������� ������S
��� -*��%�,�/�8�*��0
.�6 ������������������ ���!������� �����������������������������*���������'�����
� � ���� �������� �� ������������ � � ���� ������� ��������� ������� ��� ���� ����
.�8 -�0 $������������������������������� �������������������������������������������
��������*������������*������������������������������������ �����������������
������������� �������������/������2�������������� ���������������������
�������� �������
-�0 1������� ����� ����������� ���������� � ���������� ���������
+�, *� �
� �
/ 2
/ 2+.�: K��� ������������������������������������� ����������������������������������
���������������*��-�0�� ������������������������������������������ � ����������
������ �8�P�M�����������������������7�78���M��������������� ���������*�����
��������7�76���������������������� ����+������������������7�72��2M������������
�������� ����� ����� � ����� ���
��������*S�-�0�!���������*�� ����������������������������������� �8�P�M��������
����������� � ����
��� -�0�7�<;��M�-�0�,�/�72;��M
.�; (����� �������������������������������*���������������� ����������27����������
� � ���� ����������������� ������� �� 7�/8��M������� �� ���� ����� ���� -�0� ��� ���
�����������������-�0�8��������/7�������������������������S�1����m�,�/�/�¥/7
35��M�2�
��� -�0�7�76<8��M�2�-�0�7�726.��M�2
.�. 1�������������&���� ���������������������������������������� ������ ��������
����� ��� ������ q� ����� ���� ����*������ ������� ���� ���� �������� �� 0� ���� ��� �������������� ���������'������������-�0��������������� ��������������������� �
- ���0��������������������
��,��
2
- �� 0
qn
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯-�0 !����������������������������������������������������� ���������+���������
������� ������� ��������������������������� ��������� ��������� ���������
���������������������������� ��������������������'����������� ����������
��������
��� -*���,�-����q�02M5n��+�,�-����q�05M5n0
.�< 1� ����*������ ��������� ����� � � ������ ������ ./� �� ������� �������������� �����
����������������������� � ������ ������ .2��!���������� �������������� �������
����������������������������������������������������%������������������
����������� .7��������
.7�,
/M 22 22 /
2 /2 �� - M 0
. .
. .
È ˘-Í ˙Í ˙Î ˚
.�/7 ����C������ ������� ��� ����� � ���� �������� �� 8� ������������ ����� �� /;77�
����������������������n�,�/�72�¥�/73:��2M��(����������������������������
7�:28�������� �������������
��1 -7�75��M0
.�// ����������������������������������� �����#����'P��������� ���������7�/�����������
�������2��M��� ������������� ����� �������7�7;���M������������� �����������
7�<2������������-�0���������������� ����������-�0����������� ����� ����������������
������-�0����������� ����������� ������������-�0�����?���� ����������� �������
��� -�0�;�.86�¥�/735��5M�-�0�8�:��M�2��-�0�7�7/2�-�0�7�76.
.�/2 Q����������/7 R!� ��������������27��M��������������/87������������*�����
������� � � 8�8� ��� ��������� ���� ����� ������!������� ���� ������� ����� � � ���
�������� ��������������� ��������� ���������� ����*�������/7 R!������������
����������$��������������/7�R!��r�,�.27���M�5�����m�,�7�7728��M�2����� ��
���*���� r� ,� .<<� ��M�5����� m� ,� 7�777.��M�2��(�� ��� ��� ������� �������
������� ����� ��� ���*���S
.�/5 1����������� ��������������������������������������� ���������������������
��� ���� ���������
��, 3
222
/.
� � �
� �
∂m ∂
È ˘Ê ˆ Ê ˆ-Í ˙Á ˜Á ˜ Ë ¯Ë ¯ Í ˙Î ˚
��� ����������� ��� ������ � ������� ��� ������ ����� �
������������������������������������������,�5������������������������ �������
������� ������������������ � �������� ��7�8��M�2����� �������������������� �
3 /277��M�2M���$��������������������������������� ��������������������������
�������������������������� �������������������������� �������������
��1 -�0�3/�.7��M�2��-�0�8�67�¥�/73:��5M��
.�/6 1� ���� ���������� �������� ���� �� ������� ������ ��� ���� ������� �������� ���
������������������������������������������������������������������������������
�%������������������������������7��1���������%��������������������������*���
-��M���,�70��$�������������������%������� �������������������� ���������
�������������������1��� �������������������%������� ������������������ ������-�0�
��1�-�0�t�,��M���-�0����,��7��� - M 0
�� - M 0
� �
� �
�
� �
��� ����������
����������� ��������� ������� ��������������� ����� ������������ ������� ����� ������������������������������������������������� ������ ����������� ����������������������������������������������� ������ ����������������������� ���� ������������� ����� ���� ����� ��� �������� �� ���������� ����� ��� ��� �������������������� ��������������������������������� ������������������ ����������������������������������������������������������������������
��� ��������������������
��� � !"�� #����� $��� �� ������ � ������%����� ����������� ��������� ��������������������� ����&�'��������������(������������������ ����� �������������������������)�����*�������(��������+����������������������� ��������� �� ���� �� �� ������������ �������������� ������ � ��������� ��� ���� � ��� ��������������� �������������������������������� ����������������������������������� ���� ������������ ����������������������������� ������������������������,��������������� �� �������������������� ������������������������������������������ ����������+�������������������������� ������������������������������������������������� �������� ������������ �������������������� ����-������������ �������������∂�.∂�������� ���� �/������� �������� ���,������������������������������������ ����� ���������� �� ����������� � � ���+������ ���� ������� �� ���� ������� ���� ��������� ��� � ������ ����������� ����������������� ������������ �� ����$��� 0����� ������������������� ����� ���������������1���� ����+���������������,���������������������������������� ������������ ���� � ������ �������� ���� -�������/��� ������ ������ ����� ��� ����������������������������������-������������ ���/���������������������������� ��
������������������ ��
�
��� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
������ ���������� ���� ���� � ��� ��� ������ ���� � ��� ������ ��� ���� ��������������������������������������� ���������������������������������� �������������� �������������������� ����������������������d�������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������� �������������������������������� �������������������������� ����� ���� ������� ∂�.∂�� ��� ����� ���� ������� ��� ���� ������� ��� ���� � �����������∂�.∂���)�,����������������� ��������)����2*�������(��������������������������� � ����������������� ��� �����3��������������)�����*������(��������������������������(��������������������������� �������������� ���������������
��
�
�
�
∂∂
∂∂
+ � �4 25 5
5 5
� � � �
� � �
∂ m ∂ ∂r ∂ r ∂ ∂
È ˘+ +Í ˙
Î ˚- ��/
�� �
∂∂
∂∂
vv
v+ �4 25 5
5 5
� � � �
� � �
∂ m ∂ ∂r ∂ r ∂ ∂
È ˘+ +Í ˙
Î ˚- �5/
∂∂
∂∂
�
� �+ �
�4 ! - �6/
Potential flow
Free stream
Boundary layer
u(x, y)
U
y
xL
u
U
(x)
����� ��� �������� ������ ��� �� ����� ����
+���������� �������������������������������� ������������������������� ����������������������� ������������������������������� ��r����������������m�������������������������������� ���
���� �(������� ��� ���������������� ����� ���� ������ �� ���� �� ������� �������������������•����������� ������������������� ����� �����7
�8�4
�
�
�
• • •= =� �8 8
��
r 5
�8�4
�
��
�
�� 8 =
������ •� ��� ���� �������� � ����� ������ �� ������ �� ���� ��������� ��� ������������ �������������������������������� ���4�-�.5/� r�
5•��9����� �����
����������� ����� ��������:(��- ��/����- �6/�������
������� �������� ������ ���
��
�
�
�
88
8
8
88
∂∂
∂∂
+ � �48 5 8 5 8
8 85 85
�2
;�
� � �
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ +Í ˙
Î ˚- �"/
�� �
88
8
8
88∂∂
∂∂
��
�+ �48 5 8 5 8
8 85 85
� � �2
;�
�
� � �
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ +Í ˙
Î ˚- �</
∂∂
∂∂
�
� �
8
8
8
8+ ��4 ! - �=/
����������;���� ���������
;��4r
m �•
#�������,��������������������������� ������������������������������ ������������� ��������� �������������������� ������������������������������������������������������������������������� ���������1���������������,���� � ���������� ��� ��������������(� ����•�
>������������������������������������ �������� ����������������� �������� ��7
?��� � @�������� ��� � )���������� ��� �
� • �
� � �
� d e -4d .�/
��������� �e������������ ���������� ����������)���� ������ �������������������������������������� ����������� ������:(��- �"/��- �</���- �=/�A���������������������������:(��- �=/��B�������� ��� ����������������� ��� ����������� ��� ������� ��� ���� ���� ��� ���� ��� ����� ����� ���� �����������(�������1���������� ������������� �������� �����������������∂��.∂�8����������������������������������������������������(������∂��.∂�
8����� � ��������������������)�������������∂��.∂�
8������������������C������� �������������������������e���������8���������e�-4�d.�/��������,������)�,����������:(��- �"/����������������������������������������������������������������∂ 5��.∂ �85��������������������∂ 2 �8.∂ �82���������� ���������������-�.e 5/�+������� ������� ��� ������������ �.;��� ���� ������� ������ ���� ������ �������������� ���� � ������� �� ���� ���� ����������� ��� ��� ���� ���� ����� � �������������������������������������������� ���� ���������;���� ���������-;�/�������������������.e5������� �������������:(��- �"/�����2∂ �8.∂ �8��� ������,�������������������������������� �����������������������������1�� ���:(��- �"/�- �</���- �=/������������������
��
�
88
8
∂∂
D �8
8∂∂�
�4 2�
∂∂
�
�
8
8 D5 8 5 8
85 85
�
;�
� �
� �
∂ ∂∂ ∂
È ˘+Í ˙
Î ˚- �"/
- /- /
- /�
�
�- /
- /
- /e
e�
4 -�/ 55
-�/ �- /
-�/ - /e
e
È ˘+Í ˙
Î ˚
��� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
��
88
8
∂∂�
D ��88
8
∂∂ �
4 28
8
∂∂
�
�D
5 8 5 8
85 85
�
;�
� �
� �
∂ ∂∂ ∂
È ˘+Í ˙
Î ˚- �</
- /- /
- /�
�
e- /
- /
- /e e
e4 -C/ 5
5
- /- /
-�/ - /
e ee
e
È ˘+Í ˙
Î ˚∂∂�
�
8
8 D∂∂�8
8�4 ! - �=/
- /
- /
�
�
- /
- /
ee
���������(������������������������������ ������∂∂
5�
�
8
85������������
������������������������������(������������������� ��� �������������.;����������������� ���������������������)��������������� ���������������������:(��- �</��� ��������������������(��������������� �����������������������:(��- �"/��������(����������� ������ �������∂�8.∂�8������������������������������������������������������������������(���������������
∂∂�
�
8
8 �4 �-e/ - �E/
�������������� ������������������������������ ������������������������������� ��� ��������� ��� ���� ������� ����� �� ���� � ��� ��� ��������� ������������ ������������������� ��� ��� ���� ���� ������������� �� ��� �� �� ��������� ��� ��� ���� ��������� ������� ��� � ���� ��� �� � �� ��������� ��� ����������� � ���������� ���� ������� ��������� �� ����������:(�� - �"/� �� ����������������������� ���������
��
�
88
8�4 2
8
�
�
8
- �F/
����������� ���������������������������
�
��4 - �
r
�
�- �F�/
B�������������:(��- �F�/�������� �������>����� �0���(����������������
��D��5
5r �4 � ������� - � /
1�� ������������������������������������������� ����������)�����*������(�������������� �����������(��������������� ���
��
�
�
�
88
88
8
8
∂∂
∂∂
+ � �4 2;�
8
8
8
85
∂∂
∂∂
�
�
�
�+ � 5
- ��!/
∂∂
�
�
8
8 �4 ! - ���/
∂∂
∂∂
�
� �
8
8
8
8+ ��4 ! - ��5/
������� �������� ������ ���
������ ��� ������ �� $��� 0�� ������� ���� �(�������� ���� �� � ��������������������7������������
���8�4 !� �8�4�!�4��8
�� ����4 ! ��4�!�4���- ��6/
�� ���������������� �����
���8�4 (e)�4� d�� �
8�4��
�� �����4 d����4� -�/- ��"/
��������������������� �� ��� ���� ����������� �(������ ��� ��� �������������>����� �0��:(�� - � /�� ��� ���� �������� �� ������ ������������ � -�/� ��� ������������������������������������� �������� ���������������������������� ���,�����������������������A�� ��������������������������:(��- ��!/���- ��"/������������������ ��� ���� ������������������������������������� ��+�������� ����������� �����(���������� �� ���� �������� ����� ��������������������)�����*�������(�������������������� �������������� ���� ��������� �������(����
A���� �������$��� �������� �����(������������8-���/����8-���/������������������������������������� ���� �����������(������������ ������������������ ���� ������������ �������������������������� ��� ��������� ��������)���������������������������:(��- ��!/������� ���� �����+�������� ��� ���� ��� �������� ��� ������� ��������� ��� ��� ������������������������� � ����������� ������������ ����� ���� ������� � � ��� � �������� ��� ������� �� ���� ������� ���������!���� ���������������"�� ����������������� ����������������)�����*�������(�������
��! ������"��#��$�����"����%����
����� ���� ����� ���������������+��> ��������������������� ������������������� ��� ���������� ��� ������������ ���������������������������������������������������� ������•������� ����,�������������������� �������������������� �������������� ����� ������ ����� ����������1���� ���
> ����������������������-/������� ��������� ��� � ������������������� �����-�/������������ ��������������-d/��-�/������������������������������������ ������-/���������������������� ���
����$��� �������� �����(�������������������������������������
��
�
�
�
∂∂
∂∂
+ � �4 n ∂∂
5
5�
�- ��</
∂∂
∂∂
�
� �+ �
�4 ! - �6/
�����������������������
����4 !� ��4���4�!����4 • ��4�• - ��=/
¸˝˛
¸˝˛
��� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
����������������������������������������������������
�
�rÈ ˘-Í ˙
Î ˚��������������
������� ��������������(����������������������������������� �������������
�
••
È ˘Í ˙Î ˚
������� ����(� � ���������+����� ��������������:(�� - ��</��������
��������������������������������+��������������������������������������������� ������•��n��������������
��4 ��-•��n������/>��������������� ���� ����� �� ��������� ��� ������ ��� ���� ������������
������������������������(�����������������#���������� ����������� ���� ���������������������� ����������������� ����������������� ����������� ������-����/�������������� ���������������� ������� ����������������������������������� ����������� ����-����/��� �� ��������������������������������������� �������������������������������������������� ��������������������������� �������������� �� �������������� ������-�/���������������������������� ��������������������������������� �����-�/������������������������������������ ����������������� �������������������������-�/��������������� �������� �� ������� ���� ���������� ��� ���� �� ���� �� ������ �������� ����� �� ����������������� ����� ���� ���������� ���� ������ �������� ������������ �� ����������� ���������5����� �������������(�����
{ }� �
�
� . - /
- /
� � � � �
�
È ˘Î ˚ �4{ }5 5
5
� . - /
- /
� � � � �
�
È ˘Î ˚ - ��E/
)��������> ������ ���������������� ����������
�
•�4
��
�
n
•
Ê ˆÁ ˜Á ˜Á ˜Á ˜Ë ¯
�4��-h/ - ��F/
����� h�G� �
d���d�G� n �
•
��������������� �� h�4 �
�
n
•
- �� /
������������������������������������������������������ �����������������
y�4 - / - / �
� � � � �
nh h n h h• ••
= =Ú Ú Ú�� y�4 �• n � �-h/�D�������� - �5!/
����� �-h/� h�4� �-h/� �� ���� �������� ��� ����������� ��� ����� ��� ���� ���������������������� �����������������(� ���������
������� �������� ������ ���
)���������� �������������������������������������7
��4∂y∂
∂y∂h
∂h∂
h� �
�= ◊ = ¢• - / - �5�/
��4� � � �
2 - / - /5 5
� � � �
� � �� �
y y h n h hh n•
•
È ˘Ï ¸Í ˙Ô ÔÊ ˆ∂ ∂ ∂ Ô ÔÍ ˙+ ◊ = - ◊ + -¢ Ì ˝Á ˜ Í ˙Ë ¯∂ ∂ ∂ Ô ÔÍ ˙Ô ÔÍ ˙Ó ˛Î ˚
�� ��4�
5
n h h h
�� �• ¢ -& - / - /' - �5��/
∂∂�
��4
� �- / - /
5
� � �
� ��
∂hh h∂ n• •
•
È ˘Í ˙Í ˙= ◊ - ◊ ◊¢¢ ¢¢ Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
��∂∂�
��4 2
��• ◊ ◊ ¢ ¢
5
h h- / - �5��/
∂∂�
��4
�- / - / � �
� �
∂hh h∂ n• •
•
È ˘Í ˙Í ˙◊ = ◊¢¢ ¢¢ Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚
��∂∂�
��4
��•
• ¢ ¢n
h- / - �5�/
∂∂
5
5
�
��4
�- /
�
� �
hn n
••
•
Ï ¸Ô ÔÔ Ô¢¢¢ Ì ˝Ô ÔÔ ÔÓ ˛
��∂∂
5
5�
��4
��• ¢¢¢
5
nh- / - �5��/
*������������- �5�/������- ��</��������
2�
�� �
�� � �• •¢ ¢¢ + ¢ - ¢¢
5 5
5 5
h h h h h h h� - / - / & - / - /' - / �4�
��• ¢¢ ¢
5
- /h
�� �2 - / - / - /�5
5 5
�� �
��• •¢¢ = ¢¢ ¢h h h
�� 5� ¢¢ ¢�-h/�D� �-h/�� ¢¢-h/�4�! - �55/
����������������> �����:(���������������������������������:(��- ��=/��������������������:(��- �5�/���- �5��/�������
��� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
��h�4 !�7 � -h/�4�!� � ¢-h/�4�!��h�4 • 7 � ¢-h/�4��
- �56/
:(������ - �55/� ��� � ����� ����� ��� ����� ��������� � �(������� > ����������������� ���������������(�����������������������������,��������������� ���� �������(���������������������������������������,���+������������� ������� � ������� � ������(��� ��� �� ��� ���� ������� �(������������ ��� �������������������� ��
�����������������������������(������������������������������1���������������������������4�!�����4�•�������������������������h Æ •���.•�4�� ¢�4��������������������������������� ������� ������
A����� ��������:(�� - �55/��� ������ �������������������� � �(������� ��� ����� ��������
� ¢�4 $ - �5"/
$¢�4 % - �5"�/
%¢�4 - �5
� % - �5"�/
#��������,��������������������������������������������� � -!/�4�!�������� ���)�,���������������� ¢-!/�4�!����������$-!/�4�!��1�� ��� ¢-•/�4�����������$-•/�4����)�������������(���������������$���������� �� �����+������������ �������%-!/���������������+����������������������� ������ �� ������� ���)������� ���������� ����������� ������������ �� ������� ��������������� ���� ��� %-!/� �� �� ����� ��� ������� �������� �-h/�� $-h/�� �� %-h/�� ������� ���������������$-•/�4����� ���������������������������������$����������������������� ��� �������A������������������������� �� �������%������������� �����������%-!/����������� ������$-•/�4������������������� ��������� ��� �����"���
���:(��- �5"/������������������������������������������������ ��������� ��h������������������������ ������;�����H��������������������� ��
��D�� 4 ���D��=�-&��D�5&5�D�5&6�D� &"/ - �5</
$�D��4 $��D��=�-���D�5�5�D�5�6�D��"/ - �5<�/
%�D��4 %��D��=�-���D�5�5�D�5�6�D��"/ - �5<�/
B��������������h�����h�D��4�h��D��'������������������������������������������������� ��������������������������������h�D��2�h��4������� �� �������������� �������&�� ������������� ����
1�������� ���� ����������������������������(���������
� ¢� 4 ���- ���$��%��h/��$¢�4��5- ���$��%��h/���%¢�4��6�- ���$��%��h/������
&��4 ����- ����$���%���h�/���4 ���5�- ��(�$���%���h�/
���4 ���6�- ����$���%���h�/
¸˝˛
������� �������� ������ ���
&5�4 ����� � � �� � �
� � �5 5 5 5� � � �
�� & $ � % � h
Ï ¸Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ+ + + +Ì ˝Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯Ó ˛
�5�4 ���5� � � �� � �
� � �5 5 5 5� � � �
�� & $ � % � h
Ï ¸Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ+ + + +Ì ˝Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯Ó ˛
�5�4 ���6� � � �
� � �� � �
5 5 5 5� � � �
�� & $ � % � h
Ï ¸Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ+ + + +Ì ˝Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯Ó ˛��� � ���� ����� &6�� �6�� �6� �� &"�� �"�� �"� ��� � �� ��� �� ������ ��������� ����������;�����H����������������1����,�� ���&6������������
&6�4 ���� � & $ � % ��
� � � �+ + + +FH
IKFH
IKFH
IKFH
IK
RSTUVW
�
5
�
5
�
5 55 5 5� � � h
�������������������5����6����$��%��2��%.5����������� ������������������Dh���������� ��������
�-Dh/� 4 �-!/�D�$-!/�Dh - �5=/
$-Dh/�4 $-!/�D�%-!/�Dh - �5=�/
%-Dh/�4 %-!/�D�%¢-!/�Dh - �5=�/
%¢-Dh/�4 2�5�� -Dh/�%�-Dh/ - �5=/
��� ��� ��� �������������� �� ���� � ¢¢-!/�4� %-!/�4� l� ��� ��������� �������� ���������������������������������� ¢-•/�4�$-•/�4�������������������������������������������� ������,���������������� ������h�-�����h�4��!/������������������������� l� ������ �� ���� ���� ��������� �������� � �� ��� ������ ���������������������� ���
1�������������������������1���� �5-/������������� ����������$��������h������������������ �������%-!/����� ����������� �������$-•/�������������������� $� ������� �� ��� � ����� ��� 1���� �5-�/�� ���� � ��� ��� %-!/� ���� ��� ��� �� ��� ��� ������� ���� � ��� %
G-!/� �������� ���� ���� �25� �������� ���� ���
$-•/�4����>������������ ������� �������������������
% %
$
% %
$ $
G- / - /
- /
- / - /
- / - /
! !
�
! !�
�
5 �
5 �
-- •
=-
• - •
>���� ������������������G% -!/��)�,�������������������� �� ��������������
������G% -!/������������������������������ �� �������%-!/��������������������
��������� ���GG% -!/�������������������������������������������
GG% -!/���
G% -!/
����������� ������������������������� ��������%-!/��������������������
��� ����������������������������� ������%-!/������������$-h/��������h����������,������������������������ ������$-•/�
���� ���������� �-h/�� � ¢-h/�4� $��� � ¢¢-h/�4� %� ��� � ����� ���1���� �6������� ����������������������������������������� ����������������������
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
Initial value H(O)2
G ( )1
G ( )1
H(O)1 H(O)2 H(O)
H(O)
G ( )2
G ( )2
G ( )
1
1
1
2
G
Initial value H(O)1
(a)
(b)
0
�������� �����&�'�(��)��'�'�'���(��**�����+,�-
0 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
2 3 4 5 6 7 8 9
f ( )
f ( )
f ( )
������� �.��.��������'*��'/��'���'���)��/�������������
������� �������� ������ ��
:(�� - �5�/� �� - �5��/� ���������� ���I����������� ��� ����� ���� ������� ����������� � ���� ������������������������������������� ��������,����������� J�)��������������,�� ������������������������������� ����� �������������������� ������������������-�.•/������������������� ������������������������� �� ����+�������������� ������������� ����������� ��������¢-h/�4��.•�4�$��� ¢¢-h/�4�%��������������� �� ���
�� ����� ��*'�*�$���&'���%���'��� ��0� �1�•.� ������ �� �������&)�'&)�'�(� 2�3
h � $ %
! ! ! !�665!=
!�5 !�!!==" !�!=="� !�66�
!�" !�!5=<= !��65EE !�66�"E
!�F !��!=�� !�5="E� !�65E6
��5 !�56E < !�6 6EF !�6�=<
��= !�"5!65 !�<�=E= !�5 ==E
5�! !�=<!!6 !�=5 EE !�5==E<
5�" !� 556! !�E5F !�55F!
5�F ��56! !�F��<5 !��F"!�
6�5 ��<= �� !�FE=! !��6 �6
6�= �� 5 <" !� 5666 !�! F!
"�! 5�6!<E= !� <<<5 !�!="5"
"�" 5�= 56F !� E<FE !�!6F E
"�F 6�!F<6" !� FEE !�!5�FE
<�! 6�5F65 !� �<< !�!�< �
F�F E�!E 56 ��!!!!! !�!!!!!
��4 #�����+������� ������������+��5����
A������������� ���������� �������������� �����
t#�4 m ∂∂�
� � = !
�� t#�4 m�•�∂
∂hh ∂h
∂ h¢ ◊
=�
�- /
!
�� t#�4 m •�¥�!�665!=�¥��
- /.n � •& � ¢¢-!/�4�!�665!=�������� �� ��'
�� t#�4! 665 5�
;�
r
�
• - �5E/
��� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
������ �� �����������������������������
)���4t
r#
�
55•
*�����������������- �5E/�������
)���4! =="�
;� �
- �5E�/
���� <���#���������@����&6'��������������������������������� �� �������� ������������� ����������������������������������:(��- �5E/���� ��������� ������������������������������ ������ ����������
��4!
�
# �tÚ
�� ��45
!
!�665 �
�
�
r
n
•
•Ú
�� ��45 �.5
!
!�665
�.5
�
�
rn
•
•
È ˘Í ˙Í ˙¥
Ê ˆÍ ˙Á ˜Í ˙Ë ¯Î ˚
�� ��4 !�=="�¥�r n
�
•
•
5 - �5F/
����������������������������������������
� � �4 ( )5
��65F� ;�5
�
�
�r •
= - �5 /
�������;��4�• ��.n�*������.•������������!����Æ •���������������������� ��������������� ������������� d� �� ���� ������������ �.•� ���������!� ��1������ �� ���� �*•�������!� ���h�4�<�!��������������
�
nd•
Ê ˆÁ ˜Ë ¯ ª < !�
�� d ª� <�!<�!
;� �
� �
n
•
Ê ˆ=Á ˜Ë ¯
- �6!/
+�������� ���� ������� ���������� ��� ������� ���� ���������� ��� ����������������������� ��������������� ������������������ �����������������,������������������ ������� ����������
������� �������� ������ ���
����� ��� ,�-� '* ��&�6���� �)'&7��**� ,/-�8�6����6� �)'&7��**
+���������� ���&�����-d8/�������������������������������������,���� ������� �� ��������� �������������������������������� ��������������������� ����
•�d8�4
!
•
Ú -•�2��/��
���������� d 8�4!
��
•
•
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯Ú �� - �6�/
*������������ ���� � ���� ��� -�.•/� �� h� ����� :(�� - �5�/� �� - �� /� ����:(��- �6�/����������
d8�4!
-� / ��& - /'� �
� � h
n nh h h•
Æ•• •- = -¢Ú
�� d8�4 ��E5!F�n �
�
�•= � E5!F�
;�- �65/
1� ����������� �������������� ������������������������������������������������������� �� ���&�����-d88/���������������� ����������������������������� �������������������������������� �� ��������
r •5�d 88�4
!
•
Ú r��-•�2��/��
�� d 88�4!
� � �
�
•
• •
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯Ú - �66/
A���� ���� ������������� ��� -�.•/� �� h� �����:(�� - �5�/� �� - �� /����� ���� ����������� ������� ������d88������� ��� ����
d 88�4!
-� / �
� �
n h•
•-¢ ¢Ú
�� d88�4 !�=="�n �
�
�•= ! =="�
;�- �6"/
������ ������������������d��d8���d88�������������������1���� �"�
��� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
��9 8�8���8:����;���� ��������� "�� ������ �����
��������������� ���������� ������������������ ����������������������������������������,������������������� �(���� �� ������������������������������������������ �����H������$�� ����������������� ������������������������� ������������������������������������� ����� ����������������������$��� 0����������� ��(���������������������������� ������������������� �����A���� ��������������������������
3������������������������������������ ��������������� ��� ������������� � ������ ���:(�� - ��!/� ��� - ��"/��9���� ����������� ������������ � �������:(��- ��!/�������������������4�!�-� /������4�d�-������d������������������������������������������������������ ���/����������
5
5! !
�
� � � �� � � �
� � � �
d d∂ ∂ ∂n∂ ∂ r ∂
Ê ˆÊ ˆ+ = - +Á ˜Á ˜Ë ¯ Ë ¯Ú Ú
��5
5! ! ! !
� �
� � � �� � � � �
� � � �
d d d d∂ ∂ ∂n∂ ∂ r ∂
+ = - +Ú Ú Ú Ú - �6</
���������������������� ������������������,�����
!
�
� ��
d ∂∂Ú �4 [ ]!
!
��� � �
�
dd ∂
∂- Ú
��!
�
��
d ∂∂Ú v �4
!
�� �����
� � �
� � �
d
d∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂•
Ê ˆ+ = -Á ˜Ë ¯Ú v
��!
�
��
d ∂∂Ú v �4
! !
� � � � �
� �
d d∂ ∂∂ ∂•- +Ú Ú - �6=/
*������������:(��- �6=/����:(��- �6</���������
!! ! !
� 5 2 2
�
� � � �� � � �
� � � �
d d d∂ ∂ ∂∂ ∂ r ∂•
=
= -Ú Ú Ú v - �6E/
*������������������ �������������
�
��������������������� ������•� ���� ���
����������������:(��- �6E/�������
!
! ! !
5 2 2
�
�
�� �� � � �
� � �
d d d
∂m∂∂ ∂
∂ ∂ r=•
• •
Ê ˆÁ ˜Á ˜= - Á ˜Á ˜Á ˜Ë ¯
Ú Ú Ú
��!
5
#� �
� �� � �
d t∂ ∂∂ ∂ r
•• •
Ê ˆ- - = -Á ˜Ë ¯Ú
������� �������� ������ ���
�����������������
{ }! !
& - /' - /
#
� � � � �� �
d d t∂∂ r
•• •- + - =Ú Ú
*����� ���� ������ �� ������������� ����������� �������� ��� ���� ������d�4�•�
! !
& - /' - /
#
� � � � �� �
t∂∂ r
• ••
• •- + - =Ú Ú
��! !
& - /' - /
#
� � � � �� �
tr
• ••
• •- + - =Ú Ú - �6F/
*������������:(��- �6�/���- �66/����:(��- �6F/���������
�
�
#• •
•+ =5 d dtr
88 8 - �6 /
:(������- �6 /��������������������������� ��(���������������������� ������������ �� ������������ ��������������������� ����������� ���������� ����� ���� ��)�� ���� ��� ���� ����� � ����� ������� -t#/��� � ��
��������� ���� ����� �� ����� ���� � ����� ���� �����
�
••
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
� ���������
��������� ��� ������� ��� ���� ����� �������:,�������� ��� ����� ���������� ���
����������������������������������������������� �������������1����,�� �����
������������ ������
�
••
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
������������������� �������������������������
������������������ ��1����,���� �� ����������,�����������
�
••
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
������
������������������������@����������� ���������� ��� ����
�
••
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�4�!��
������������������� ��(�����������������
� #
• =5 dtr
88 - �"!/
��< ��%���������"� ������ �����
���������������������������� ������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ����*�������� ����� � ��� ��� ��� �,����������������� ���� ���� ����� � ��� ������� �������������������������������������������������������������.�K�!������������ ������������������������ ��1������ �<������������ ������������ ���� ���������������������������9�����q�4� !L������� ���������� ��������������� ������ �� ���� � ��� ��������� ��� ���� ���� ��� � ���� ��� >����q�4� !L������ ��������������������������������� ������������������������ ����
��� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
���������������������������������������������������������������� ���������������������������� �������1���� �<��+�����•���•��������������������� ���������������������������������� �� ������������������� �����
Cylinder
Boundary layer
A
p
U
p p
U2
3.0
2.0
1.0
.0
1.00˚ 45˚ 90˚ 135˚ 180˚
�������� "��=�*� ����'����������6��'������=�7��/�)'�����&'�&�����&��'����
3�������������������������� ������ ������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������� -���������������� �������������.������ �/� ���� � q� 4� !L��>����q�4� !L��������������������������������������������@������������������������
������� �������� ������ ���
����������������������������������������������� ��������� �������������������������������������������������������*�� ���������������������������������������������������������������������������+����������������������������-��������� ��������/��������q�4� !L��������������������������������������������������������������������������� ��������1 �������� �����������������������������������>�����q�4� !L�������������������������������� ������������������������������ ��� ��� ����� ���� ���� ��������� ��� ��� ������� ������������������ ����������� ������ �� ��������� �������@�������� ����� ������������ ��� �������������������������������������q�4� !L������� �������� ����������������� ������������������������ ����������������������������������+����������������� ��,���� ������������������������������� �������������������������� ����������� ���������������������� ������)��� ������ ����������������� � �,� ������ ��� � ������������� 1� ������ ���� ������������������������������������������������������������� ����������������������������� ���������� ���������� ������������ �������������������������������
!�
�
�
∂∂ =
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�4�! - �"�/
������������������������������������� ��t#�4�!��>�������������������������������������������������,���������������������������������������� ������������������������������� �������������� ����A����� ����,� ���� ���������������������������������������������������������� ��������������� ��1��������������� ����������������������:(��- ��!/�������� ����������4���4�!������������
5
5!�
�
�
∂∂ =
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�4��m
�
�- �"5/
3��������������������������������� �����������������������
�
��M�!�
1���� :(�� - �"5/��������� -∂ 5�.∂�
5/� �M�!��������������� ������ ���� ����
������� ������ ������ �����������•���������� ������ ∂�.∂���������������������� �� ������������� ��������������������������-∂5�.∂�5/�������� �������������������������������������� �����1�� ������������������������������� ��������� �������� ���� ��������� ��� � �� ������ ����� �� -∂5�.∂�5/� �� ���� �������� �� ������ ��� -1���� �=/��)�,�� �������� ���� ���� ��� ����������������������∂�.∂��K�!��1����:(��- �"5/������������������������������������������������������� �������������������-������∂�.∂��K�!/�
+����������������������������������� ������������������������������������� �������� ∂�.∂�� �� ∂5�.∂�5� ��� � �� �� ���� �� ���� ��������� ������������������������������������������������������������������������,��������������������∂ 5�.∂�5�4�!���������������������������� �������� ������������ ����������� ���������������� ���������������1���� �=���+������������������������������∂�.∂��4�!�������� ������������:(��- �"5/�������∂ 5�.∂� 5�K�!������� ��������������������� �������������������������������������>��
��� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
������� ������������������������������������� �����∂ 5�.∂�5�M�!������������������� ���������������������������������������������������,���������������� ���������������� ����������� ��
����� ��� $���&'����'*��'/��'���='�)'����/�������������
,�-�"�>����/��� ��**����(���'���.��
�?
�
�<
,/-���>��*�� ��**����(���'���.��
�?
�
�>
#��������������������� ������������� ���� ������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������� �������1���� �<��������������������������� �� �����������+����������������������� q�4� !L�-����,���������� ��������������������������� q�4�F�L/�� ���������� ����������� ���� �� ����� ����� ��I����� ��� ��������� ��� �������������� � ���� ��� ������������������������ ������ ���� ����� -�������� � ������(������������������� ����������������������������������������� ����������������������������/��������������� ������� ���������������� ������������������������ ������������������������������������������� �������1���� �<��*����������������������������� ����������������������������������������-���������� �� ������ ,� ��� 1���� �</�� ���� �� ����� �,���������� � ��� ������������ ��
������� �������� ������ ���
���� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������� ��� �&�� ���� ���������%���� ��� ������ �������������� �������������������� ���������� ���������������
��@ 5��8��:%�+�+������%%��A�8���8��+��"������������"8�8���8� ����;���� ��������$�����"����%����
����������(������ ���� ����������� ������������� ����������� ���� �� ������������������(������-������� ��������������(�����/���������������������������� �-����4�!/������������d -�/��������������������������������������� �����A������������������������������������H������������������� ��(�����- �6 /� �
( )88
5 88 8 5
#
� �
td d dr
•• •+ + = - �"6/
������������������������������������������������������������������ �����������1�������������������������������,���� �� ����������������� ����������������������� �� ��������� ������� ��������������� �����������������������������������+�������������������� ����������� �������������� ����� ����h�4�.d����������������������� �����h����������������� ��������� ����������� ��������������������������������� ������������������������������ ��������������� ����������� ��-�.•/����������������� ������ ���A������������ ���������� �������������
�
•�4 �!�D����h�D��5�h
5�D��6�h6 - �""/
��� ����� ��� ��������� ���� ��������� �!�� ���� �5��� �6���� �� � ���������� ����� ����������������������
� ��4�!� ��4 ! �� ��h�4�!�� �
•�4�! - �"</
� ��4�!��∂∂
5
5�
��4 ! �� ��h�4�!�� ∂
∂h
5
5- . /� • �4�! - �"<�/
� ��4�d����4 • �� ��h�4���� �
•�4�� - �"<�/
� ��4�d�� ∂∂�
��4 ! �� ��h�4����
∂∂h
- . /� • �4�! - �"</
��������(������������ ����
�!�4�!� �5�4 !� ���D�6�6�4�! � ���D��6�4��
1�� ������������������ ������� ����������������������������:(��- �""/�
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
�!�4�!� ���465� �5�4�! � �6�4�2�
�5
�������� ����������� ����������
•�4
65
�5
6h h- - �"=/
1��� � �������� � � �� � ����
�
��4�!�� ������ •�
�
• � 4� !� �� ���� ���������
:(��- �"6/����������
88d�
�4t
r#
•5
- �"E/
����������:(��- �66/���������������������������
d 88�4!
� � �
�
•
• •
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯Ú
�� d 88�4!
� � �
�
d
• •
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯Ú
�� d 88�4�
6 6
!
6 � 6 ��
5 5 5 5d h h h h hÊ ˆ Ê ˆ- + -Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Ú
�� d 88�46 5F!
d
����� ������������������������
t#�4 m� ∂∂�
� � = !
�� t#�4 m� 6
!
6 �
5 5
h
∂ h hd ∂h •
=
È ˘Ï ¸Ê ˆ-Ì ˝Í ˙Á ˜Ë ¯Ó ˛Î ˚
�� t#�46
5
md
•
*����������������� �������d88���t#����:(��- �"E/��������
6 5F!
d��4
6
5 5
md r
•
•
�� d dÚ �4 ��"!
�6
� )
mr •
+Ú
��d 5
5�4
�"!
�6 �n �
)
•+ - �"F/
������)��������������������������������
������� �������� ������ ��
������������������� ���������-����4�!��d�4�!/���� �)��4 !
1�� �����������
d5�4 5F!
�6
n�
•- �" /
�� d�4 "�="n�
•
�� d�4 " ="�
;�
�
�
- �<!/
������������� ������������� ������������������� ��� ����� ��������������������������,������������������ ���������������������� �������������� ������� ���� �� ��������������,����� ��������� ������ ���������� ��� �����������:(��- �6!/������������������������������������������������� ���������� ����������������������������������:(��- �""/������������ ������������������� ����� ��
�
•�4 �!�D���h�D��5h
5�D��6h6�D��"h
" - �<�/
������������������������������������:(��- �"</������� ���(��������������������������
� ��4 d�� ∂∂
5
5�
��4�! �� ��h�4����
∂∂h
5
5
- . /� • �4�!
����������������������������!�4�!�����4�5���5�4�!���6�4�25����"�4����1�� ������� ����������� ���� ���
�
•�4 5h�2�5h6�D�h"
*����(���� ������������������������� ����������������������� ���������������
d�4 < F6�
;�
�
�
- �<5/
�������� ��������� ������������ �����������,����� ������
��B ����;����8��+��"������:C���%�������;������� "��#�
����������������N������ �������O������������������������������������;�������&"'��������������������&<'���������������������� �����������������������,���������������������������+� ��������>�� ���&='��A���� �����������+� ������>�� �������������������������
��������������,����������������� ������������ �����(����������������������� ������ ����� �����������������:(��- �6 /����� ������ ��������������������������������������
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
�
�
& '88 885d d+ �4tr#
��
�
�
5 5
d d d88
88 8- /+ + �4tr# - �<6/
���� �� ������ ����� �� ���� ������� ���� ��� ��������� ��� ��� � ������������� ����� ������������������������� �����������h�4��.d��������,��������
�.�4 �h�D��h5�D��h6�D��h"
�����������������������
h�4 !7���4�!����4�! � �
d h5
5∂∂ 2 �4�
�r�
��4�-
�
h�4 �7���4��∂∂�
h �4�!��∂∂
2 �
h5 �4�!
���������� ����(����������������������������������������
l�4 dn
5
�- �<"/
������ �������� ���������������
��4 5=
+ l� ��4�- l
5� ��4� - +5
5
l� ��4��
=- l
)���������� ����������� ���������,��������
�.�4 �-h/�D�l$-h/� - �<</
�����
�-h/�4 5h�2�5h6�D�h"� $-h/�4� �=�h-��2 h/6
����������������t#�4�m-∂�.∂�/�4!������������
t dm#
�4 5
=+ l
- �<=/
A������������ �������������� �������������
��4t d
m#
88
- �<E/
-�4- /88d
n5 �
- �<F/
%�4 d8.d88 - �< /
����������������������:(��- �<6/����������
�
d d88
88+ �-5�D%/�
��4�
nd
�88
������� �������� ������ ��
��
�
- /88dn
5LNM
OQP�4 5&��2�-�-%�D�5/' - �=!/
�������������� ����� ��������������������������-� ��� ��������������������������������������-��������������������� �������%�����������������������������������-������
dd
8
�4!
�
z &��2��-h/�2�l$-h/'h�4�6
�! �5!- l
- �=�/
dd
88
�4 �!
�
z -�-h/�D�l$-h/�-��2��-h/�2�l$-h//h
46E
6�< "< !E5
5
- -l l- �=5/
-�4& '88d
dl l l l5
5
5 56E
6�< "< !E5= - -
FHG
IKJ - �=6/
����������
��4 5=
+FHG
IKJ
l dd
88
�4� 5=
6E
6�< "< !E5
5
+FHG
IKJ - -FHG
IKJ
l l l�4� ��--/
%�4dd
8
88 �4�- . / - . /
- . / - . / - . /
6 �! �5!
6E 6�< "< !E55
-- -
ll l
�4� �5--/
��������������������:(��- �=!/����������������������-� �����A ��&E'���������������������������������������,���������������������������������� �����������������-�������
5&��2�--%�D�5/'�4 ��2��-
:(������- �=!/��������������������
�
& '88dn
5FHG
IKJ �4 ��2�-��2��/�
�
& '88dn
5 �
*� ������ ��� ����� ��������� � �(������ ���� ���� �������� ���� �� -&d88'5.n/���P����������������������������4�!��������4�!�������
& '88dn
5
�4�
�
�
- z�
!
��2����
A���� ��4�!�"E��� ��4�=�� ��������,���������������� � ��� �������������������������������� ��������������,������� �������1�� �� ����� ������ ��������������� ����
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
&d 88'5� 4! "E
=<
!
� n
�
�
z - �="/
>������������ ��������:(��- �="/�������������#0+����� 0���� ��������������������
&d 88'5Q��4�!�4 !�"En.= ¢-!/�������������������-�4�!�!EF6������������������������&d 88'���������(� ���������������������������������-&d 88'5.n/������������������:(��- �="/��--�/������ ������� ����� :(�� - �<F/�� �� �� �5� ������ ���� ��������� ��������� ���������������� ������������� ����������� ����������������t#����������,������������������ ������������ ���������������������� ����
�� �� ��� ��D'�'���� ���&�'��*� ������+��*��'�� ���� �)���� 2<3
l - ��--/ �5--/
�5 !�! "F 5�5<! !�6<=
�! !�! � 5�5=! !�6<�
F !�!F6� 5�5F !�6"!
E�= !�!F!E 5�5 E !�66E
E�5 !�!EF� 5�6!< !�666
E�! !�!E=E 5�6! !�66�
=�= !�!E6E 5�6�F !�65F
=�5 !�!E!= 5�65F !�65"
<�! !�!< 5�6=� !�6�!
6�! !�!6F< 5�"5E !�5F6
��! !�!�6< 5�<!F !�5<5
! ! 5�<<" !�56<
2�� 2�!�!�"! 5�=!" !�5�E
2�6 2�!�!"5 5�E�= !��E
2�< 2�!�!E5! 5�F"E !��"!
2�E 2�!�! 5� !��!!
2� 2�!��5<" 6��E= !�!<
2��� 2�!��"E" 6�6F6 !�!�
2��5 2�!��<=E 6�<!! !
�������������� �����-���l������ ������������������������������������������� ������������ ��� -� �� l� ��� ���� ������ � � ����� ��� ��� �,�������� ��H����$�� ������������������ ������ �������������������������+������������ ������������� ����������������������������l�M�2��5���l�K�D��5�
��� ������"��#��������
%���������������� �������������� ����� ���������� �����������������������������������#���������������� ��������������������������������� ������
������� �������� ������ ��
���� ������� ���� ������ �������� ��� ����� � �� ���� �������� ��� ���� �����%�� �� ��� �������� �������� ��� ��������������� ���� � ����������� �� ���� �������������������� ��������������� ������������,��������������-1���� �E/�� ���� �� ������ ����� �� ��� ��� �� ������� �� �� ���� �������� �� ����� ����������������� �������� ���������� ����� ������������>���������������� �����������������������������������,��������������� ���������������������������� ��������������������*����������� ����� �������������������������������� �� ���� ������� ���� ���������� ��������� ��� ���� � ��� ���������� ������������������� ��������������������������������� ������������������������������������ ����������������� ��� ����������� ����������� ������������������ �������� �����������������������������������������������������������������
��
+�ª �!�!<�;�� ������;��4�
+�
n1����;���� ������������5!!!������������������������������������������������������ ���������������!!���������������1�������� ����� �������������������������������������������������� ����������� ����������������
����������������������������� ������������������������������� ���������������� � ��� ��� ����� ������� �� ������� ��� � ��� ���� � ���� ��� ��������������� � �,� ������ ��� �������� ��� ���� �������� ������� ��� ������� ���� �������� ���������� ������������������������������������ ����������� ������������������������������� �������������������������������� �������������������������������������������������������� ����� �����������
Entrance region Developedregion
Le
d
�������� �>��� 6�������/�������� ������ '�� �)�� ������&�� ��('������ ����&�
���? ���������"� �������������%�������
������ ������������������������� ��������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� ������������ ��� ����� ��� ������ ���� ����� ���� ���� ������� ������������ ���� � ��� ��������� ��� � ��� ��� ���� �������� ������� ����������������������� ���������������������������������� �������������������� �������������������������������������������� ����
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
-�/ >��������� ��������� ����� �������������� �������������������1���� �F������������� �������������������������� �������������������� ��� ���� ��������� �������� ���� �������� �������� ���� ����� ��������������������������������������������������������������������������������
(a)
CD = 1.2 CD = 0.07
10 < Re < 103 5 10 < Re < 103 5
(b)
D D
�������� ����&�'���������(�&����'&'����,�-�/��('>'�(��)�� ���'�����*����6�'����*)� �
-��/ ���� ��P������� ��� � ��� �������� ������� � � ��� ��� ������ � ���������� ��������������������������� ������� ��������� ���������� ������� � ��� ����� ��� ������� �� ����� ���� ������� �������������� ��� � ���� ����� � ��� ����������� ����� ��� ������ ��1���� � �� ���� ��P������� ��� � ��� ��������� ����� ����� �� �������������������������������>�������������������������������� ������� ������������ ��� � ��� ��������� �� ����� ��������� ��� ��� ����������������������������������������������������������������
����� ��� �������� ������ &������� /�� /��='�(
���� 8��+�������"� ������ ���������������
B�������������������������� �������� ������������������������� ���������������������� ����� ����� ��� ����� ���� � ���� ���� ���� ��� ��� ���� ����� ���������������� ����� ����� ������������������� ���� � ����� ���� �����(������ ��� ������������ ���������������������������������� ��������������������������������� ��������������������� �������������������� ��������������A�������������� ������������ �,������������������������� ������,�������������������������� �� ���������� �����
1������ ��!�-/������������ ���������� ��������������� ���;���� ��������-G�/������� ��������� ������������������������������ ����������;���� ����������������"������� ���������������������������������������������
������� �������� ������ ��
������������������������������������������������������ ������������������������;���� �����������������"!������������1���� ��!-�/�
A���� ���� ;���� �� ������� �������� "!�� ���� ����� ��� ���� ���� �������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������1���� ��!-�/���������������������� ������������;���� ������������ !���������;���� ������������������������������������������ ������ ����������������������������� ����� �� ���� ���� �� ������� ��� ������ �� ���� � �������� �� ��������� ����������������������.��-�������� ��� ��� ������1���� ��!-/��+������������������ ��� ������ �� ������ ��� ���� � ��� ��� ������ ���� �����,������������������� ���� ����������� ��� ����������� ��� ���� ���(������ ��� �����,������������������������� ����������������,�����������(����������,�������� �+.������������������ ����������������������?��*����� ���%�������������������,���������������������������������������������*����� ��������������� ���������������������������������;���� ���������������� �����!�5�����������;��4�<!!���� ��� �����(����������������������������������������������������� ����
D D
(a)
(c)
(b)
(d)
Re = U D/
Re ~ 1
Re > 40
Re ~ 4 to about 40
Re ~ 90 to about 500
D D
����� ���� �������&�� ��� �������*� ��6/��� ���=�7�:E���� ��������6'&*
�������������� ��� ���� ��������� � � ��������������� � �� �� ��� ������ ���� ���� ������� ��� ���������� ���������� ���� ���������� ���������� ��� �����������������������������������������������������������������
���������� �� ����������������������������������������� ������;����4�56!!�������� �� �������������������������������� ����*�����,����������������������������� �;���� ��������������������������"!�!!!���������������������������������������������� ����������������������;����4�56!!��>� �������� ��������� ���������� ������������������P��������������������������
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
1���56!!�£�;����£�5=!!������� ��� ������������ ���������� ���������� ������� �����)������������� ���������� ����������� �������������� �������������������� ������� ���������������� �������� ������1���� ��������� ��� ��������� ������������������������������;���� ����������-•��.n/���6�<�¥��!<����!=�
���� ��$������$������"�����������
��������� �� �������������������� �������������������1���� �����#����������������������������������������
�� ����������������������������������������������� 3�������� ������ ��������� ��� ��� ��������������� ������������-1���� ���/������������������������������������� ��� �� ������ ��������� �������� �� � �����;���� �� ������� -������ ����������,���� �� ���.���/�������������� ������������������������������������ ���������������������� ����������������� 5 ���� ������*�� �������������������������������� �������������������������� �������������������� ��/������� ������� ��������
��� !���"������������ ������ ���� ������� ��������� @����������� ��� ���� ����������������� ���������������������������� �������������������������������� ��� � �������� ��� ���� �������� ��������������� ��� �� ����� �� ������������ ����������������������� ���������������������������� �� ����������������������������������������������������������������������������������������������������,��� ����������������������� ���
#��$��%"&���������������������!�������������������� ��������������������� ���������������������������������� ����� ������ �������������� �,���������������,���������+�������������������������,����������������������� �������������� ��������� ���������� ��� ��������� ������������ ������������������������� ������������������������ ����-1���� ��5/�
'�� &��������� �������������� ���� �!���� ������ ����������� ��� ���� ������� �������� ������������� ��� ���� ����� ���� ������������ ���������� �� ���������� ������������������� �������B����������� �,������������������������ ���������� ���������� ������ ������ ����������������������������������� �����������������
(��)���%���� ���� �������������� ����������� �������������������� ��� ������������������������������ ����������� ������� ������������� ���������������� �����������������(�������������������������������+��������������� ������ � ���������� ���� � ������� �� ���� ��� �� ���� ��� � ����� �������������� �������������� �������������������� ������ ���������� ����������������,����������� �������������������������� ������������������� ��������/������� ������� ���#������� ������������������ �������������������������������������� �������������������� �����������������������������H ��������� ��&F'����������������������(������� ������������������������
������� �������� ������ ��
*�� ��������"���������������� �������������������� ����������������������������������-������/������������������� ��������������������������� �������� ��������� �� ������ ����� ��������������� ������ � ��������������������� ����������������������� ����������������������� �� �������������������� �������������������� ������������� ��������������������� ���������� :��� ����� ������ ����� ���� �� ����� ���� ��������� �������� �������������������������������������������������������������
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Boundary layer
Streamline
����� ���� ��F���&�� ��� �>���� '�>��>��� '�� ����*'�'��
Peak PeakPeak
Valley Valley
����� ���� ���**:*����6� >'�=� ��� �)�� *����6='*�� >����D� *�*��6
�������
∑ ���� ������� ���� ��� ���� ����� ���� ��� � ��� P����� ��� ���� �� ���������$�������� ���� �������������������������������������������������������� ����
∑ ���������������� ���������������������������������������� ������������������ ���������������������������� ����
∑ :�������� �������������� ������������������� ��������������������� ��� �������
∑ ���������������(��������������������� ������������������������������������������������0����� � �&���"�� ��������������������� �������������������������������������������������������������������������������� ����
∑ ��������������������������������������� ������������������������� ���������������� �� ������������������1��"�� ����
∑ ���� ������� ���� �(������ ��� � ������ ����� ���� ����� ���� ��������� ��(������������,����� ���������������(������������������������ � ���� ����� 1��� ���� � ��� ����� � � �� � ���� ���� ���� ������ ��������������������������������������� �����3��� ����� ���� ������������������� �����������������������������������,���+�������������������������� ��(���������������������������������� ����(������������������� ������ ���� ����������
� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
∑ ������ ����������������������������� ��(���������� ������,�������� ��������������������� �����(������
∑ ����������� �����(����������� ������������������������������������������������������������� ������������������������� ���������������,������������������������������
∑ >��������������������������������� ��������� ��������������@������� �������� ��������������������������������������������������� ��������������� ����������������������������������������
����������������
��������
�� $��� �� #�� R���� 1 ������������������� ���� ����� � ������ ;�������!���'/������ ���'�� �')�������(%�����������"F"2" ���� !"�
5� *�� ���������+����������������/�������*�������:�������I�%���+� ��)���S������ FE�
6� #��������+�A�����@�����*���N@������I��������������#�� *����1�����������#����������+���������1 ��O��!���'���� �
0� �����)�������,���'�������F= ��� <��"� ;��������#�� -:/�� �����������������������B,����9���������
$������ #������ � =6�<� ���������>��� N�����,�����3 �� ����� ��� ����#�����>�����
#���O��,������ 2��� ���?� ��������5"<25F!��� " �=� +� �������+�����>�� ��������:������������?������������>���������
#�������;������������������������)��������������������H�$�� ��������������� ������ ��� ������ ��*���!��<2�=��� "!�
E� A ��� ���� :��� ������ ������ 1��� �� %����������������� � �� �������;���������������������� ��� ������ ���"���F2�5��� "��
F� H �������� $�*��� ���������H�@��� �� *������� #�I��� N����������@�������� �)��������>������#���������� ���O��3'�����������?� ���5������26"��� =5�
� �������������
��������� A����� ����������� ��� ������������������� ���������!��<��.��
������ ��� ��� ��������� ������� �� ����� ������� ���� ��� =���� ��������������
������� � �� ������ ����� �
�
•�4 ���
pd5
�FH
IK
1�������� ������������������������� �� ������� �� �� ����������������������������
������������
&m4 ��!5�¥��!26���.����r4��!!!���.�6'
������� �������� ������ �
�������� t�4 m ∂∂
md
∂∂ d
�
�
�
�= ◊• •- . /
- . /
4m
dp p
dm
dp
d � �• •◊F
HIK = ◊F
HIK5 5
� <E
5���
����
t#�4 t md�
=
•=!
� <E�
�� t#�4� <E � !5 �! ! �<
= �!
6
6� � �¥ ¥ ¥
¥
-
- �4�!�!"�).�5
)��4t
r#
�
5
5 ! !"
�!!! ! �<5 5
•
= ¥¥
�
- � /�4�6�<�¥��!26
��������� ���� �� ����� ���������� � ��������� � � �� � �������� ���������
��������6��.�����1���d��t#�����4�������������� ���������-��������������� �����
����� �/��1�������n�4���<�¥��!2<��5.������r�4���56���.�6�
�������� ��� ������������� ������ ��������������� �E������������� ����������� ���
��������������������� ����������������
•�4
6
5
�
56h h h
d- =� ����� � ��
��
�d��4
" ="�
;��
1�����������n�4���<�¥��!2<��5.�������� �� �;���� ���������������
;���4 �•
-= ¥¥n6 �
� < �! <��4�5�¥��!<
d4" =" " =" �
5 �!<�
;�
��
�
= ¥
¥��4�!�!�!6���4��!�6���
t#�4 m ∂∂�
�� = !
�4�m
d hh h
h
�•
=◊ -L
NMOQP
6
5
�
56
!
t#�46
5
6
5
md
rnd
• •=
�� t#�46 � 56 � < �! 6
5 ! !�!6
<¥ ¥ ¥ ¥¥
-� �
�
t#�4 F�!=�¥��!26�).�5
�������� ����������������� ��� ������������������������������ ����������!
�.�����������������<���������������������������������� ���������������������� ���
���������C�9�������� �������� ���������������� �����1�������n�4���<�¥��!2<�5.���
r4���56���.�6�
�������� 1�������� �������� �� ������ ���
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
�
•�4 ��D����D���5
���� ������� ���������� ��
� ��4 !� ��4�!
� ��4 d( ��4�•
� ��4 d�∂∂�
��4�!
:� ������ ���� ��������� ��� ���
�
•�4 5 5
55� �
d dh hF
HIK - F
HIK = -
)�� t#�4 m ∂∂
md
∂∂ d h
�
�
�
��=
• •
== ◊
! !
- . /
- . /
�4m
dh h
hh
•
=
◊ -
- /5 5
!
�4�5m
d•
��� �������������� ������ � �(�����
t#�4 r d h�
�
�
•
• •-
FHG
IKJz5
!
�
�
5md• �4 r d h h h h h
�• - - +z5 5 5
!
�
5 � 5
- /- /
55
md r
•
•�4
d h h h h h�
- 2 /5 < "5 6 "
!
�
- +z��
5 md r•
�45
�<
d�
�� d d�4 �<mr•
��
d 5
5�4
�<mr•
��D�)
��������������������4�!��d�4�!���������� ��)�4�!������
d�46!mr
�•
��d��4
6! < "Fmr � �•
= �
;�
��� ��������� ��� ;���4�! �< �!
� < �!
5
<
¥ ¥¥
-
-��4���¥��!<
������� �������� ������ ��
d�4< "F�
;��
�¥��<����4�!�5< ���
�� d�4 5�< ���
��������� �����������������!��� ����� ��� ����������������������� �������
����� ����� ��������� �����������;���� �������������5�<�¥��!=���6�=�¥��!=��A��
������������������,��������������������������������������� ��� �������������
�,����� ����� � ��� ��� ���� ������� ���C� ���� ����� ������ �� ������ ��� 6!� �.�� �
n�4���<�¥��!2<��5.��
�������� A�������������������������;���� �������������� ������ ������5�<�¥��!=
���6�=�¥��!=
1������� ����� �����
5��<�¥��!=�4 6!
� < �! <
�
� ¥ -
�� �����4 ��!E<��
�������������� �����
6�=�¥��!2=�4 6!
� < �! <
�
� ¥ -
�� ��,�4 ��F��
��������� A�������< L3�� ����������� ��� ����������������5��.�������� ��
���!�6��� ������5������������������� �������������������������� ������ �����
������������� ����������� ���������,��������� ������,�������������������d� �
= 6 "=�
;��
@������������������������������ ����1��������n�4�����¥��!�=��5.���r�4��!!!���.�6�
�������� B���� ��� ����������������������������������������������������������� ��
�+�4 5
!
�
z t#� ���
1��� ���������� ��
� �
�#
�• == =
dt m ∂
∂�
!
�� t#�4m
d∂∂ d
md
�
�
• •
=
•◊ =- . /
- . /!
�+�4 5m
dm
n
� �
�� �
� �
• • •z z= ◊
! 5
56 "=�
45
6 "=
�� 5
5
mn
�
��
�
• • z� - . /
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
45
6 "=5
�
5mn
� �
�
�
• •LNMM
OQPP�
4"
6 "=
mn
� �• •�
�4�m �
�•
6 "=�;�
;���4 �•
-= ¥¥n
� 5 ! 6
�� �! =
� �
��4�6�5E�¥��!<
���������� -;��/�.5�4 <E5
����� �+�4" �� �! � 5 5 <E5
6 "=
6¥ ¥ ¥ ¥ ¥-� �
��4���E"<�)
��������� �������� ������������������ ��� ���������������� ������!�6�������
��� ���� ����� ����� ���� � ��� ��� ������ ���������������� •� 4� 6!��.������� � ��
�������������������������4�-����1���� ��6/��9��������������� ��� ����������� �� ��
��������� ����������������������������@����������������������������������������
���������������������(���������� ������ ������������������� ����������� ������� ��
������ ��
•�4 5
5
5� �F
HIK - F
HIKd
��d�4�"�����@�������������4���56���.�6���n�4���<�¥��!2<��5.����
Ua b
d c
y
z
x
����� ��� �������� >���6�� ��� '�����*�� ��� ����� ����
�������� ������
•�4�5h 2�h5T�h�4��.d
*���� ����� ����������� �(������ ��� ������ ��
r� �
� ◊z
�
�4�!
�� 2r•�d�D� rd
� � � ��� +z �
!
�4�!
������� �������� ������ ��
����
!
d
z r������4r•��d�!
�
z -5h�2�h5/h�4�r•��d� h h r d56
!
�
6
5
6-
LNM
OQP
= • �
����4 r•��d�2�5
6
�
6r d r d � �• •=
�� �����4�
6�¥���56�¥�6!�¥�!�6�¥�!�!!"�4�!�!�"E���.�
*���� �������������� �(������ ��� ������ ��
� �
)�
��r� �
V A◊ =z
�� 5��4 ����U2r�•��dV�D���������D�
!
d
z ��r����
>��� ����4 ����4�•, �
!
d
z ��r�������4 r5•��d�
!
�
z -5h�2�h5/5h
4 r5•��d� "
6 65 "
<
!
�
h h h- +LNM
OQP�4�
F
�<r5
•��d
����� 5��4 2�r 5•��d�D�
�
6r5
•��d + F
�<r5
•��d�4�2�5
�<r5
•��d
5��4 2�5
�<U��56�¥�-6/5�¥�!�6�¥�!�!!"V
4 2�!��EE�)�-�������������������� ����������3?������� � ��/
+����� ���4 5��4�!��EE�)�-������� ���/
���������
�� �������������������������
-�/ ���� ������������ ���� �������������� � �� � ��������� �-/ �-2�.5/ -�/ �-".</ -�/ �-�.5/ -/ �5
-��/ ���� ����� ���� ������� ���� ���������� ��� � � �� � ��� ������ �
-/ �-D�.5/ -�/ �-".</ -�/ �-�.E/ -/ �-=.E/
-���/ ������P������������������������������ ���������� ������������ ������������������������������������������������� �������������P���������� ��� ������������ ����� ���������� ��� � ���� �� ��-/ �������� ��� ��������������������������� ��� �����������-�/ �������� ��� ��������������������� ��� �����������������-�/ ������� �������� ���� ����� ����������� �������-/ �������� �������� ���������������������������
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
-��/ ������������������������������������������� ���������������������������� ��� ������������ ��� ��������� ��� -/ ����� ��� ��������-�/ �������� ��������� ������-�/ � ��������������������� �����������-/ ��������� �� ��
-�/ 1 ��� ��������� ��� ����� ��-/ ��������� ��� ��������� ��� ������ ��������-�/ � �������� ��������� ������-�/ � ��������� ��������� ������-/ ���� ������� ���� ���������� �������� ��� �����
-��/ ��� ���� ������ ��� ��������-/ ����� ������� ��� ����-�/ �� ������ ��� �������-�/ ��������� ������� ��� �������-/ ����������������,����
-���/ 3�����������,������������� ���������������������������������������� �������� ���
-/< !�
;�
�
�
-�/!
� �
�
•
•
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯Ú
-�/!
� � �
�
•
• •
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯Ú -/ ( )
!
. � �
•
•Ú
-����/ 1���������� �������������� ���� ��������;���� ��������� ;� +
n•È ˘=Í ˙Î ˚
�����������5!!������������-/ �� � ��������� �(� � ��� ���� ������ ��������� �����-�/ �� � ��������� ����� ���� ���� ������ ��������� �����-�/ ����������� ��������� ����� ��������-/ �� � ��������� ������� ���� ���� ������ ��������� �����
�5 )�������� ��� � ������ ������� ��� $��� �� ������� �,�������� � �� ��� ������ ���������� ��� ���� ������������ �����������+���������������������
6� � �
� � d d
Ê ˆ Ê ˆ= +Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯
������� �� ��� ������������� ��������� ���������� �������� �� ��� ������ ��� ��:� ��������������������� �������������������B����������,������������������������ ��������������d����� �����������������d8� ������������������d�8� �� ���� ����� ������� t#� ��� ���� ������� ��� ���� � ���
,��'�-��4�6.5����4�2�.5��d.��4�"�="�.-;��/!�<�
-d8.��4���E6�-;��/!�<��t#�4�!�656�m�-;��/
!�<�.�
�6 %����������������������������,��������,������ ����������� ����������������� ����������C����������������������� ��������� ��� ���� ������� ������� ������������������� ������������ � ����� ������� ��������� ���� ����������� ����� ������������������ ��(����������� ���������� ��� ���
,��'�-����,���d8�4�!�6=6�d��d88�4�!��6E�d��t#�4�pm�•.5d��d.��4�"�F.-;��/!�<
������� �������� ������ ��
�" 1������� ������ ���������� ��� ���������,������������������������ ����������� �6
6 �2
5 5
� � �
d dÊ ˆ Ê ˆ= Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ �� 1��� ���� ����� ���� � ��� ����� � � �� � ���� ���
�,�������� � ������������ ����� � ����� ��� ;���� �� ������� �������
�.E� �
dÊ ˆ= Á ˜Ë ¯ ��1���������������-d8.d/����� ������������ ���������
,��'�-d8.d/���4�6.F��-d8.d/����4��.F
�< ��������������� ����������� ���
�
� �•= ���
- /���������������� ���������
� ��� ������������������������������ ����������d��d8�d88���t#��3������������
���� ����� �� ��������� � ���� ������� ����������
)���7��-�/�π�d -�/�������d�����������������4�d����4�!� �•
,��'�-d.��4�=�E=.-;��/!�<��d8.��4���EE.-;��/
!�<�d88.��4�!�EF6.-;��/!�<�
t#�4�m�•�-;��/!�<.5�<<6��
�= ��� ����,����� �,��������� ���� ���� �� ������ ����� �� ��� � ������ 52@������������� �� ������� ���� ��
�
•�4 � � ���
=� & �h h p h- -Ê ˆ- + - -Á ˜Ë ¯ � ����!�£�h�£�6
4 ��6�2h�2�&�2h� ��� h�≥�6������ h� 4� �.d -�/�� *���� ���� ���� ����� �� ��������� ���� �� ������ ���������������
����4 !����4�!
����4 •����4�• , ∂∂
∂∂
�
�
�
�=
5
5�4�!
� ��� �������� &� ����� �� ���������� ������� ���������
,��'�-&�4�-d5.n/�-•.�/�2�/
�E A�������������������������� n�4���!5� ¥� �!2=��5.�� ��� � ������ ���� ������� �������� ��� ������������ ������������������ ��������=��.������� ������������� ������!�6����3 �� ���-/������������������������� �������<������������ ���������-�/����������������������������� �������<������������� ��������� �� -�/� ���� ��� � ��� ������������ ��� ���� ���� ��� ���� � ���� ������� ���� ��� �� ������ ����� ��
,��'�-d�4���E�����d.��4�<�=5<�¥��!26��3 ��4��� 6<�¥��!26
�F A����� ������������������ � �� �������������1���� ��"�������� ���������������������������������������������>����������������������������������������������� ������������� ����� ����������������� ��������������������������������5�������������� ���������������� �������������� �������������
��4�-�/�5
�
dÊ ˆÁ ˜Ë ¯ �������d�4�a� � T�a�����������������@���������������� ������
�������,�������������������!�£���£����
�� �� ����� ��� � ����� ��������� ��� ����� ��������
Boundary layer
Core
u
U (x)
U0
y
h
x
Le
����� ���� �>��� 6���� ��� /�������� �����*� '�� �� &)�����
,��'���4�-5! . 6��/�-�.��/2�.5.-��2�-5.6/-�.��/!�</6
� 3����������� ������������ ��������� ��� �������������������������� �����.!������������1���� ��<7
Incompressible fluid
V0 = constant
y
Ux
����� ���� "��=� ��� �� ����� ����� ='�)� ��'���6� *�&�'��� >���&'��
1����������� ���- �����/����� ����� �����������������������������,������������������ ��������������������������������������1��������� ������������������������������������� �������� ����������������������(���������
∂∂
∂∂
�
� �+ �
�4 ! � ��
� �
�
�
�
�
∂∂
∂∂ r
n ∂∂
+ = - +�� � 5
5
����������������������������4�!����4�!����4�.!����-•/�4�
,��'���4�U��2�,��-2.!��.n/V��t#�4�r.!
��! 3�������� ������������ �������� ��� ����������� ����������� ����������
�
�4
6
5
�
56h h- � �������h�4��.d
1������������� ��d� �
= " ="�
;��
@������������,����������������� �� ����������������������������������������������� � ��������������
,��'�-)��4�!�="E�-;��/!�</
��� �� ����������������� ����������������������� ����������������<!��.���5! L3��B��������������������������������������� ����������� ��� �������
������� �������� ������ ��
������ ������������� �� ��� ��� �;���� �� ������� ���;��� 4� �!F��A��� ��� ���
��������� ��� �������������� �������C������������������������ ����������� ���������������������������������� �;���� ������������;������4�6�<�¥�!<�C����5< L3��n�����������<�E�¥��!2=��5.��
,��'-�����4�6��"��������4�!��! ��/
��5 $��������������� ��� ������-��� ����1B;�;�)����/�������:(��- �5"/���;�����H���� ������ -�� ��� ���� ��� ���� ��,�/� ������ �� � ������� ���� > �����(������������������ �������%-!/�4�!�5��������������������,���� ������%-!/4�!�"= =�
��6 �� �(����� ������������������������ ������������������� ���������� ����������������������������� ��������������� ��������������������������*��������������� ���������� ��� ������� �� ����� ��������� ���� ����� ���������� ���� �� ��� ����� ����� ������ �(������������������2��������������
2��465
6
� � pn
������������������������������������������ ���� �������� �������������������������� ����n� ��������������������������������� �(���
*������������������������ �������������������������������������������������������� ���������������������������� ����� ������ �(������������������2������������
2�@�2
�
�
�
�
"�
�-
FHG
IKJr
�
������
�
�� ��� ����������������� ���� ���������� r� ��� �������������� ���� �(��
�� ������ ����� �� ��� �� ������ ����� ��" ������ ������������������ ��� ���� ������������ ���� ������ ��������
�
�
�4 �-h/�D�l$-h/
������ �-h/�46
5 5
6
h h- T�$-h/�4�h h h" 5 "
5 6
- + T�h�4��
d���l�4�
5
�
�
dn
1�������� ������l����������� ���������������������������������������������� ���� ��� ������� ������������ � ��� � �� ���� ������� ���� ����������
���� ����������
���� ����������� �� �� �� ����������� ������� ������� �������� ������ ��
��������� ������������ ������������� ������������������������ �������������
�� ����� ����������� ����������� ����������� � ��������� ��� ������ ���
���� � ���������������� ����������������������������������������� �� �
� ���� ������������ ������������������������� �� ������������������������ � ��
���������� ��� ��������������
�� ����������� �� ������� ������ ���������������� ������� �����������
���������������� ��� ������������������ ��������������������������������
�� ��������������������������� ������������������������� ���������� ����
���������������� ���������������������������������������������������
���������� � �� �����! �� ��������������� ������������������� ����������
������� ����� �������� ���������� ����� �������������� ���������� ���
����� ����������������� ���������������������������� � ���������������
����! �� ��������������������������������������������� ���������� � ����
�����������!��������
���� � �����������������������������
��� ���������������� ��� ����� � ���������� ����������������� �� ������������
��� �� �������������������� ���������������������� ������������ ���� ��� ��
������������" ���#$�#��
������������
��
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:58 PM398
��������� ��� ���
Laminar
(a)t t
(b)
Turbulent
UPUP
��������� ������������������ ��!��"����#!$����%�����$���������&
�'�('$!����$�)"������ ������
����� � �� ������������� ��������������������������� �����������������
������������� ��������� ���� ��� ��� ��� ���������� �������������������
����� �������������" ���#$�%��
Laminar
u(r) u(r)r
r
x x
º P º P
(a) (b)
up
up
Turbulent
��������� ��� ���"������#!$����%� ����$!"������ � !�����*�+�$������
��&�*(+��'�('$!����$�)"
����������������������������� �� �������������������� ���� ��������
������������������������� ���� ���� ����������� � ����������������������
������������������ ����������������������� ������������� ����������������
��������������� ������������������� �������� ����� ��������� � �� ����
������� �������������������������������&���������������� �� ����������
���� ���������������������������
'�� ��� ���� �������� ��� � ���� ��� �� ��������� �� ��� ��!�� ���� ���� ����
����������������������������� ���� �������������������������������
�������������� ��� ���� ��������������������� �� �������������� ���� �������
���������������������� ������� ���������� �� ������� �� ������������������
� ���� ������������������������� ����������� ������������� ���������� ������
����������������� ������������� � ���� ��� �������� ������� ����������� ��
������� ����������� ����� ������ � ������������������������������ ���� �
�������� ������������������ ������������� ���������������� ��� ��� �����(���
����������������������)������ ����������������� ������������� �� � ���
��������� ������� �����������
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:58 PM399
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
�� ���������� ����� ������������������ ������ ����������� ����������
�� �������������������������������������� �� ���������������� ���������� ��
���������������������������������������������������� �� ������� �������
���������� � �� ������� � � ��� � ��� �������� �������� ��
*�� ���������������������������� ���������� ��
�¢�+� �% ��¢�+� �% ��¢�+� �%
��������������������� �������������������¢ ��¢�����¢���������� ������
���������������������������������������� ������������ ������� �����������
������������������� ����������������� ��������������� ������¢������������
����������� ���� �� ����� �������������������������� ������������ ������� �
������ �����
�� ��� � �� ��� ��� ����������� ����� � �� ���� ���� ��� ������� ��� ���
����������������� ������������� � ��� � ��� �������� ������� ����������� �
���� � ���� �� ����� ��� ������ �� �������� � �� ��� ��� ��� � �� ��� ��� ���
��� �� � �������������������
�� ������ �� ��������� ������� ��� ���� �������� ��� ���� � ���� �� ��
�����������
�% �+ �% �+� �%
�� �¢�+ �¢�+��¢��� � �� ����������������������������� ����������������� ����������� �����
���� ���� �� ��������������������� ��������������������������� �����
������������ ������� ���� ���� ������� � ����������� ���������������
� � ��������� ������������������� � ���� ���� ��������������������,����-
� ���� �.� ���������������� �� �� ����� ����������������������� ���� ������
������������������� � ��������� ������� ���� ��� �� �����������������������#$$���
������������������������������������� ��������� ����������������������
������������������������������������ ������� ������������������ ������������ ��
���� ��� ������ �������� /���� ���� ��� ������� ��� ��� � �� ����� ������ ��
������������������
���, ��-����.������������������
"������������������������������ ���������������������������������� ������
���������� �������������������� �������������� ������� � �������������
������� ����������� ����� ��� �������� ����� ���� �������� �������� ����
��� ���� �������� � �� �!��� �� ��������� ��� ������� ���������� �����
������������� ��������� ��������� ������������ �&������������� ����������
������" ���#$�0��
�� ������� �������� �� �������� ��������� ����� ��� �� ����� � �� �� ���� � � ���
�� ���������������������������������������1��� ������ ���������������
� ���������� �������������� ���� ���������� ������ ��
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM400
��������� ��� ���
TransitionalLaminar sublayer
Turbulent
Laminar
U U
�������� �������/�'�('$!��� ����"�����
"������������������� ���������������������� ��� �������������������
����������������� ��������������� � ����������������� ������� � ������ ��
���� ���� ��� ��� ���������������� � ������ ���� ��� �������������
�����������1����������������#2#%������������� ������� �������� ����
3�� ��� ���������������������������������� ��� ����������������������
454�������������������������� �����
���+ �•d67n
�������•� ���������������������� ������d6� ������� ����������� �!����������
������������������������� ��� ������������������������ � �� �������������
��������� ������� �� ��� ���� �������� ����� ����� ����� � ��� ���� ����� ������
���������� �� �� � ��� ���� ���� � �� �� ��� ��������� �� ������ ��������� ��
����������������•�7n�� �������������%$$$����%5$$����������������������
� ������� ������� � ���������������� � � ���������������������������� �
���������������������������������" ���#$�8������������������������� ��������
���������%4����8$�� ���������������� ������������� ���������������������������
���������������������� �������� ������� ������������������ ����������
���� ������ ��� �� �� ������ )������ � ���� ��������� �������� ���� !�� ��� ������ ��
���!������9�����:#;����) (��:%;�������������!�������
Developing region
U
Fully developed turbulent flow
Lx
u
�������� !#!$� �!�������'�('$!����$�)����������'$���&'��
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM401
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
���0 ��������������������
������ �� ���������� ����������� ������������� ������ ��������� ����������
�������� ��� �� �� ��� ��� � �� ���� �� ��� ��� /��� ������ �� ���
� ����� ����������������� � � ������� �� ���� �������������������� ���� ���
��������������� � ������������ ��� ������ � ������� ������������������� ��� �
��������������� �������������������
*�� ���������� �� �������������������������� ��������� ������������� ��
���������������� �����������<��� ��������� ��������� �������������������
�� ������������ �����
��+ � �� � � �� � �+�� ������ ����� � ���� ��������� ������� ���� ���� ���� � ��� ��� ���� �� ��� �
��������� ��� ���� ������� �� � ���� ���� � ��� ��������� ��� ���� ��������� ��� ���
���� � ��������������������� ��������������� ����������¢����������������
������������ ������������������ ��� ����� �����
¢ ¢ +� � � � �� � � �
��� ������� ���������!�� ��������-� ��� ���������������������� � �����
��
�����+¢ ¢ +
¢ ¢ +
� � � � �
� � � � �
� � � �
� � � �7
% %# %
e j���������� ����� ��� � ��� � � � ��� �� �������� ������� �� ��� ���� ���� ���� � ��
������������ ����� �� �� ��������/���� ���������������������� ������ �
�� ������������� ����������������������� � ��� ��������������������� �������
� �������� ����" �����#$�4���������� ������ �� ����������������� �� ��� ��
����� ��������� ����
�������� ������������ �������������� ������ ���¢��� �����������!������
����� ��� ����������������¢����� �������� ����������������"����� �����������
������� ������ �
��t��+ %� � � �� � � � �t+¢ ¢ ¢
������� ���� ������ ��� �¢� ��� � ������� � ���� ���� ���� ������� �� �� �� ����
����������� ������ ��
����������� ������ ����������������������������� �� ����������������� ��
�� ������������������������������ ���������� ����������� ����������� �� �
���� ��� (�������� (����������������� ��� ������������� �������� ��� ���������
� ������ �� ��&����� ��� ���� � ��� ��� ��� ���� ���� ��������� ���� � (�� ��� ���
���������� �������������������������#������������)������ ��������������� ��
���������������������������������������������������������������� �
������������ � ���������� ��������� ���
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM402
��������� ��� ���
R r( )
Or
1.0
��������� ���������������)��1��1!�&�"����!����"! �������� �
���2 -����-�������������������
��#==0 �'����������������������� ������ ���� �������������� �� ������
����������� ����������� �� �������"������������������� �����������������
���� ���� ������ ������ ��������> ��� ����� ������ �� �������������������
� ���� ���� ���� ������������� ���� ������������������ ��������������
������������������������&��������������������� ���� �� ������ ���� ��������
�� � � �������� ������� ����� ���������� ���� ���� ������ ���� ����� � ���
����� ��� ��� ���� ����� ������� ��� �� ������� �������� ��� ��������
����������� ���� ������������� ���� ��� ��� ����������������-���� �� ������
� ��������� ��� ���������� ������� �� ������������������� ������ ������
����� ������� ������ �� ��� ������� �� ����� ��� ��� �� �� ��������� ��� ��
��������������� � �����������������
)��� ��������� ������� ������������ �� ������������� ���?����� ����
<��� ������ ���� ��������� ����������������������� �������������� ���
� � � ��������������������� �������������
� ��� �$ �+
#
##
$# @
# � � � �
%
�
��
� � � ��Æ• Ú
� � 3��������������������������������������
� ��� �$ �+ $
@
# � � � �
%
�
��
� � � ��Æ• Ú
"��� �� ���� ����� ��� ����������� �������� � �� �� �������� ����� ���� ���
������������������������������A� ���+� �
���������������� �� ��!���������
�����������������
���������� � ������������������� ���� ���������������������� ��� ���
>����!�� �#���� ��� ��������� �� ����������������������������� ����������
����������/������������������� ������������������������ ���������� ����%���
���������� �� �������������� �� � ������������������� ���������� ����������
��������� ������������ ������������������
���� ���������������� � ���������� ��������������� ������ ����������� �
�� � ����+ � � ���B��¢��G ��� �#$�#�
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM403
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
������� � ����� ��������������� � ���������� ����������� ���� �������
��� �� ����������������9��������!��������� ������������������ �������� ����
" ���#$�C�����������������������G�� � � ���������������������� �����
>� ��������� ������� �������" ���#$�C����� ��������������������� ���������
�������� �������" ���#$�C������������������������������������ ����������
�������� ��������� ������ ����������� ������������������� ���������� ���#
������������� ������ �������������������������� �� ���%����������� ���������
�%�DD��#��<��� ��������!���� �� ������� ������������ ���¢��� ����������� ��
���� ���� ����/�����������!����������� � �������� �
∂∂
∂∂
∂∂
�
� �
�
!+ +�
�+�$
���! ��<����#$�#�� ������������������ � �������
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
�
�
�
� �
�
!+ ¢ + +�
�+�$ �#$�%�
Vel
ocity
Vel
ocity
Time
(a) Steady (b) Unsteady
Time
u = u + u
uu
v v
u = u + uu
u
t1 t1
t2
��������� ��!�&%���&�'�"�!�&%��!���������"�������'�('$!�����$�)
3 ���∂∂
¢�
��π�$ �<����#$�%����� ��������������!����������������� ����� ������
������������������ ���������� �����������>������� ��
��� ����+ � ����B��¢��G ���
��+ $�B��¢��G ���
¸Ô˝Ô
�#$�0�
��+ $�B��¢ �G ��
)������ ������������ ������������������� ��������������!�� ��������
��� �� �� �� ������� ���� ���������� � ��������� �� �¢� �� � ��� ����� �� ��
������ �������������!���� ���>��������������������������
�
�-Ú �¢����+ $ ��#�E���£��%�
F��� ��� ���� ������ �� ��� ������� �� �������� � ��������� �� �������
��������� ��!��� ������ ��������� � ������ �� ������� ������� ���� ������� �
���������������������� ��� ���-(��������� ��������������������
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM404
��������� ��� ��
�
�-Ú �¢��¢����π $
>����!��� ������������������������ ������������ ��
� ¢�+ #
%
�
�� -
Ú �¢����+�$ �#$�8��
�� ¢ ¢� � �+#
%
�
�� -
Ú �¢��¢����π�$ �#$�8��
/�� ���������!�������������������� ����������������� ������������ ����
� ���� ¢�����¢���
¢� �+ ¢� �+�$ �#$�4��
¢ ¢� � �π $ �#$�4��
����� ��������������� �������� ������ ������� ����������� ��������������
����������������� ����������������� ������
∂∂
¢�
��+
∂∂
%
%
¢�
��+�$
��∂
∂� �¢ ¢� �
��π $
�#$�C�
������������������������������������������������ ������� ������� ������
���� ���� ��� ��� ����� ��� ���� ����� ���� ������� ����� ��� ���� ������� �
���������� ������������������� �������������� ����� ���������������� ��
������� �� ��� �����
��+#
0
% % %� �¢ + ¢ + ¢ •� � �� �#$�5��
����������������������� ���� ��������������������������� ������ �
����������� ������������������������������������ ����������� �� ����������
���������� � ���� ��������� ���� �� ������������ ������ � � ���� �������
��� �� �� ����������������������������
¢� % �+ ¢ = ¢�% %�
���� ������ � �� ������ � ��������� ����������� �� ���¢� ������ ���� ��������
���������
��+ ¢ •� �%�#$�5��
�� ��� �������� � �������������� ��� ��� ������������ ������ �������
������������������� ����� ������ ��
"��� ����������������� � � � �� ������������������������������� �� ��
��������� �������������� ��������� ����� ���F��� ������� �������������
¸Ô˝Ô
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM405
�� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
��������������������� ������� ����������� ��������������¢ ��������� ��
������������ �
��+�� �B��¢ ��+ � �B��¢ ��+�� �B��¢, ��+� � �B��¢ �#$�=�
G����� � � ������ ��������������������� � �������� � ��������� ������
��������(����
¢� �+ $ ¢� �+�$ ¢� �+�$ ¢� �+�$ �#$�2�
����������� ����¢ ��¢ �����¢� ����������������� ��� �� ����� � �����
���������������������� ����� � ������������� ������� �������� ��������
�������� ���������������� ���������������������� ��� ������������ �������
� ���� ��������������� ����������� ���� � ���
>�� ���� ������ ����� ����� ������� � ��-��������������� ��� ����� �� ���� ���
����������� �������� ������������������������ ����������� ������ �� �!
� ����
� �+ � H � � � � � � � �+ = + ◊ = ◊H H
∂∂
�
��+ H � �
�� � � �
�
∂∂
=Ú Ú �#$�#$�
���3 �������������4�������4�5�����������������������
"��� �������� ������� �����/�� ��@3��!�������� ������������������� ����
����
r�%
%� � � �� � �@
� � � �� ��
� � � ! �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂m
∂ ∂ ∂ ∂ ∂È ˘
+ + + = + —Í ˙Î ˚
�#$�##��
r�%
%� � �� �� � �� �@ �
� � �
� � � ! �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂m
∂ ∂ ∂ ∂ ∂È ˘
+ + + = + —Í ˙Î ˚
�#$�##��
r�%
%� � �� � � �@
� �� � � ��
� � � ! !
∂ ∂ ∂ ∂ ∂m
∂ ∂ ∂ ∂ ∂È ˘
+ + + = + —Í ˙Î ˚
�#$�##��
��∂∂
∂∂
∂∂
�
� �
�
!+ +�
�+�$ �#$�#%�
9���������������������� ������������������������ ����������� ��-���
������������������ ��������� ��������� � �������� � ��� ������� ��� �
�������������� ��������� ��� �������
∂∂
∂∂
∂∂
� � � � � �� �
� �
� �
!
+ ¢ + + ¢ + + ¢� ��+�$
��� �� � � �
� � ! � � !
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ê ˆÊ ˆ ¢ ¢ ¢+ + + + +Á ˜Á ˜Ë ¯ Ë ¯�+�$
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM406
��������� ��� ���
3 ��∂∂
∂∂
∂∂
¢ = ¢ = ¢�
� �
�
!
��+�$ :"����<����#$�C�;
>������� ��
∂∂
∂∂
∂∂
�
� �
�
!+ +�
�+�$ �#$�#0��
"����<����#$�#0�������#$�#%� ��������
∂∂
∂∂
∂∂
¢ + ¢ + ¢�
� �
�
!
��+�$ �#$�#0��
��� ���� �������������� ��-������������� �������������������������� �
���� ��� �������� � ����� ��� ���� ���� ��� � ��� ����� �� ���� �������� ��
�����9������ ��� �������-� ��� ������� ��� �����������������������
���� ���������������!-� ���� ���<������ �<����#$�#0����������
∂∂
¢�
��+ @�
∂∂
¢��
�#$�#8�
'�������� �������� � ���#$�#8� � �� ����������������� ������� ����������� ���
������� ��¢� ������-� ���� � � ��� ���������������� ������� ��¢� ����
���� ��� �-� ���� ��� �� ������ ����� � ¢ ¢� � � �� �-(���� ��� ���� ���� �� �� �
������� �������� ��� ����� �� � �� � ���� ��������!� ��� ���-��� �
����� �� ������������������
���! ������������������#$�=�� ������������ ��������� ���#$�##� �� ��� ���
���� �������� ��� ������������������������ ������������/�� ����� �
� ������������������ ��� ���������������#$�#$������ ������������� ������
�������� ������� ��� ���������∂∂
∂∂
¢ ¢�
�
�
���
%
%��� ������������������������
:������#$�C�;����������� ���������������� ���������� !��� ◊�¢ ����� ◊�¢ ��������
������� �� ������ � ���� ������� ����������� ���� � � ��������� ���������
������ � ����������� ¢� % � ¢ ¢� � �����
"��� ������ � �� ��� �������� ���� ������� �� ����� ��� �� ���� �� �������
����� � ������������
r�%� � � � � � �� � � � � � �
�
� � � � � � � � � �
� � � !
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ + + + + +¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Í ˙+ + +Í ˙Î ˚
+�@�% % %
% % %
� � � � � � � �� � � � � � � �
� � � !
∂ ∂ ∂ ∂m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + + +¢ ¢ ¢ ¢Í ˙+ + +Í ˙Î ˚
�� r�
$$% %� � � � � � � �� � � � � � � � � �
� � � � !
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ï ¸+ ◊ + ◊ +¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Ô Ô+ + + +Ì ˝Ô ÔÓ ˛
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM407
�� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
+�
$ $ $$% % % % % %
% % % % % %@
� � � � � � � �
� � � � ! � � !
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂m∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
È ˘Ê ˆ¢ ¢ ¢ ¢- + + + + + +Í ˙Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚
�� r%
%� � � �� � �@
� � � � ��
� � ! �
∂ ∂ ∂ ∂m
∂ ∂ ∂ ∂Ï ¸◊ ◊Ô Ô+ + = + —Ì ˝Ô ÔÓ ˛
@�r % �� � � �� � !
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ +¢ ¢ ¢ ¢ ¢Í ˙
Î ˚������� ��� �� � ��� ����� � ������������ � ���<����#$�#0�� ������������
r� %� @� � � �
� � �� � ! �
∂ ∂ ∂ ∂ m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + = + —Í ˙
Î ˚
@r % �� � � �� � !
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ +¢ ¢ ¢ ¢ ¢Í ˙
Î ˚1������ ����� � �������������������!�������������� �� �� �����
���� ������������������ ��� ���������
r�%� @
� � � �� � �
� � ! �
∂ ∂ ∂ ∂ m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + = + —Í ˙
Î ˚
@r % �� � � �� � !
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ +¢ ¢ ¢ ¢ ¢Í ˙
Î ˚�#$�#4��
r�%� � �
� @ ��
� �� � ! �
∂ ∂ ∂ ∂ m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + = + —Í ˙
Î ˚
@r� %� � �� �� � !
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ +¢ ¢ ¢ ¢ ¢Í ˙
Î ˚�#$�#4��
r� %� @� � � �
� � �� � ! !
∂ ∂ ∂ ∂ m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + = + —Í ˙
Î ˚
@r�%�� � � �
� � !
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
È ˘+ +¢ ¢ ¢ ¢ ¢Í ˙
Î ˚�#$�#4��
���� ���� ���� � ��� ��� <��� �#$�#4��@�#$�#4��� ���� ����� ��� � � ��� ��� ���
������-������/�� ��@3��!�������� ��� ���������� ������������� �����������
������������ �� ����� �������������������������������������� ���������������
����� ��������� ������<����#$�#4��@�#$�#4����)������ ���������� �������
�������� � ����������� �������������������������� �����������������������
��� � ��������������� �����������������������������������������/�� ����
��������������������������� ������������������������������������ ��������
r�%� @
� � � �� � �
� � ! �
∂ ∂ ∂ ∂ m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + = + —Í ˙
Î ˚
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM408
��������� ��� ���
B� � � � � ! �� � !
∂ ∂ ∂s t t∂ ∂ ∂
È ˘+ +¢ ¢ ¢Í ˙
Î ˚�#$�#C��
r� �� �
�!
�
�
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
mv v v v v+ +LNM
OQP
= + —@ %
B� � � � � ! �� � !
∂ ∂ ∂t s t∂ ∂ ∂
È ˘+ +¢ ¢ ¢Í ˙
Î ˚�#$�#C��
r�%� @
� � � �� � �
� � ! !
∂ ∂ ∂ ∂ m∂ ∂ ∂ ∂
È ˘+ + = + —Í ˙
Î ˚
B� � ! � ! ! !� � !
∂ ∂ ∂t t s∂ ∂ ∂
È ˘+ +¢ ¢ ¢Í ˙
Î ˚�#$�#C��
*����� ��<����#$�#4������#$�#C� ��������� ��
%
%
%
�
� � �
�
�� �� �!
�� �� �!
�! �! !!
� � � �
� �
� � � �
s t t
t s t r
t t s
È ˘¢ ¢ ¢ ¢ ¢È ˘¢ ¢ ¢ Í ˙Í ˙ Í ˙= -¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Í ˙ Í ˙Í ˙ Í ˙¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Í ˙Î ˚ Í ˙Î ˚
�#$�#5�
����������� ������������������� ������������������������������ �������
�����/�� ��@3��!�������� �������� ��������)������ ��������������������
������ �������������������� �������������� � �������������� �������� �����
������������������#$�#5������������ � ����������������!����������������������
������������������������������������3 ������������ ����� ������������� �
��� ���������������� ����� � ������������������������������ ������������������
���������� �� �������������� ��������������������� �� � �� ��������� ������
����������������������������������������� ���� ����������������������������
s���+ @� ��
��+ - ¢% %m ∂
∂r
t���+ m�
��
�� �
∂ ∂ r∂ ∂
Ê ˆ+ - ¢ ¢Á ˜Ë ¯
�#$�#=�
������������������������������������������������������ ��������������
�������� ��������������������������������� ����������������� ���
���6 �������������7���7���5������
"��������-� ��� ����������+�$����������������� ������� �!��������������
������������� ������������������������������������� �������������������
������ ��������� ������������*������-2������������ ������������������ ����
���� �� ����������������A
���∂∂
�
��+ $ ����
∂∂
�
��+�
�
�
�
�
˘˙˙˙
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM409
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
���∂∂
%
%
�
��EE�
∂∂
%
%
�
� ���
��� ( )%��
∂r
∂- ¢ �EE� ( )��
�
∂r
∂- ¢ ¢
������������������������������ ������������ ������������ �������� � ��
�������
∂∂
∂∂
�
� �+ �
�+ $ �#$�#2�
��
� �
∂∂
∂∂
+ �
��+ @
# �
�
� ��
� � �
∂ ∂nr ∂ ∂
È ˘+ - ¢ ¢Í ˙
Î ˚v �#$�%$�
�������� ������<����#$�%$��� ����� ����������������<����2�#$����� ����
����A�� ���������������������������� ������������������ �� ����� ������ ��
� ����������������� ��������∂ t
∂� ��
�� ������������
∂∂ �
�t�B�t�� �������t�+�m ∂∂
�
�
�������� �������������������t��+�@�r�¢��¢� ���������������������
���8 �����7����������
������������������������������������� ������������ ��������������������
�� ��������������������������� �������������������� �������������������
��� � �� ���������� �� ������������������ ����������� ������ � �������� ��
�������������� ���������������������������� !�������������� ��������
�� ���������� ������� ��!������� ��� ����� ������� ������� � �����������
���������� ���������������� ������������� ��� ����������/������������� ���� � �
�����" ���#$�5���"����������������������������������������� � �����������
��� � � ��� �������������� � � � ��� ������������ ��������<����#$�%$�
n�∂∂
∂∂
%
%
�
�
�
�- ¢ ¢� ��
�+�$
Turbulent shear
Wall 0
Turbulent shear stresses
Laminar sublayer
Shaded area in viscous
shearBuffer layer
U
Us
u
Laminar sublayer = s
xy
u v
dudy
�������� ���!�!���9��!"�������'�('$!����$�)� �"����)�$$
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM410
��������� ��� ���
�� ��������� ����������� �n ∂∂
�
��- ¢ ¢� �+�������
��� �������!������������������� ���������� ��������� �������������
�������������������������� ��������� ��������� �������
n ∂∂
�
� � = $
�+tr�
)������ ��������������������� ������ � ������������ ����������� ����� �����
��
t��+$
$
� �
� �
� �m m
d dÈ ˘-
=Í ˙-Î ˚�#$�%#��
��������� �������� ������ ��������������������������������������� ������������
�� ���� � ��� ��� �� ���� ��� ����� ���������� �� �� ��� �� �� ��� ���� >�� ��� �� ���
�� �� ������ ��
�t�+
#7%
�tr
È ˘Í ˙Î ˚
�#$�%#��
��� ���� ���� ��� ������ '��� �t� �� ���� � �� � ���� ���������� ��� ���� �������� �
���� � ���� ��� ���� ���� ��� ����� ����� ������ ����� ���� �������� ��� ��
� ��� ��� ��� ���� ������ � ��� �t �� "��� ������ � ��� ���� ����� ��� ���� ¢� % � �
������������=�t%���������� ��� ����������t����������������������� �������
<����#$�%#�������#$�%#�����
�t%�+ n
d��
�
9������������ ���+ " �• ��/����������� ��
�t%�+ "
�
�
nd
• �������" � ����������� �� �����������#$�%%��
��d
nt�� �+
�"
�t
•È ˘Í ˙Î ˚
�#$�%%��
)��� ����-� ��� �������� �������������� ����� �h�+���t
n��� ����
���������� ��� ��� �������(���� ���������������������� �!��������� ��
������������ �������������� ����� ������������h�ª�4������������������������
����(������h D�4���� ���(������4�E�h�E�5$ ��� ����������������� ��
���� ������ ������ � �������������������(����������������������������� ������
�� ���������� �����(���������h�+�5$������ ����� ��� �������������������
�����
"��� ���� ����� �� ���� ���� � ���� �������� ������ ������� �@ r ¢ ¢� � �� �� ������
����������� �������� ���� ������� ������������������t�����������������������
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM411
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
��������������������� ���������������������������@ r ¢ ¢� � ����� ���� �������
�� ������ �������� ��
tt
�
�
�+z�
�#$�%%��
��������������� ���������������������� ����%�����z� ������� ��������������
�������������� ���������������+�@�����" �����#$�5����� ���������� �� ����
���������������
���: � �����������-����
�� ������ � ��� ���� ����� � ��� ��� � ���� ��� ���� �� ��� ��� � I�� G���� ���
������������ � ������� � ���mt������������������������������� ��! �
t��+ @�r m ∂∂
¢ ¢ =��
��v
/�������������� ������������ ����������������� ������
t��+ rn ∂∂
t m ∂∂
rn ∂∂
�
�
�
�
�
�� � � = =
������������������� �
��
�
�
�
∂∂
∂∂
+ � �+#
@ �� �
�� � �
∂ ∂ ∂nr ∂ ∂ ∂
Ï ¸◊ + - ¢ ¢Ì ˝
Ó ˛��������� ������
��
�
�
�
∂∂
∂∂
+ � �+ @ � �#
r∂∂
∂∂
n n ∂∂
◊ + +RST
UVW�
� �
�
�� �#$�%0�
���� ����� n�� �� !��� ��� ���� ���������� ��� ���� ����� �� !��� ��� ����
��������������������� �� ����� ��� ��<����#$�%0��������� ������������ �����
�������� n�� �����!�������� ����� n� ���������������� ���� �� ���������� n�� �
���� ���������������������� ������ ������������������������� ���)������ � �� �
������������� ��������� � ������� ����������n����������������� ����>�
����� �����������������!������� �������������������� ������������
������ ���� ������������������ ������������ ��������� ��������� ��
���:�� ;���&�$<"�-�=��>��!�>�1� % ��1!"�"
9��� ��� ��� ���� �� ���� ��������� �������� �������� ����� �" ��� #$�0��� ���
������� ����������� ������ ����������������� ����������� ���������
����� ���� �� ������������������������-�� ���" ���#$�=��
���� � ��������������������������� �������� ������ � �+� � � ��� � � �+�$
� �+�$������������� ��������������������������� ����¢������������������
�������� ������� �� ���� ��� �#� ����� ���� ���� ���� ������ ������� ���� ��� ���
������� �� �
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM412
��������� ��� ���
� ����� t��+ @�r� ¢ ¢ =� ��
��m ∂
∂�#$�%8�
����������� � ��� ����������������������#���������������#�@������������� � ��
���������¢������������������ ������ �� ����� � �������������� ������� �����
�������������� ���#� �������������������� �������� �������������� �������
����� � ��� �����
D �#�+ � ��#��@�� ���#�@����ª��#�
�
�
∂∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯ �#$�%4�
Proportional to u
l u (y1)
u (y1 l)
y1
y
y
x
u (y1 + l)
u (y)
v
l
��������� ��!/&��!�"����$� ���$$!$��$�)���&�;���&�$<"���=��>�$!�>�1�1% ��1!"�"
����������������� �� ������ ����������� ���������� �� � ��#�@� ��� ��
��������� ����������� ����� ��������������������� �������������� ��� ����
��� �� ���� � ��� ������������������!������1����J��� � ��������1����
����������������������������� ����������������� ������ ��� � ������������
K�J��9��������� �������������������� ��� ��������� ����������� �¢���� �� �
��� � ������#��������#�B���������� ���������� �� ����� � ��������� � ������
���� ������������������� ���#�� ���������������������������� � �����
���� �������#���� ��� �������� ��� �����
D�%�+ � � �#�B����@�� �� �#��ª��
#�
�
�
∂∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�#$�%C�
�������� ���� ������������������������������������ �����������������������
������������ ����������������#��>��������������� �������������������������
���������� ��������� ����
¢� �+ ( )#
# %
#L L L L
%�
�� � �
�
∂∂
Ê ˆD + D = Á ˜Ë ¯
�#$�%5�
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM413
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
3��������������������������� ������������������#������������ ��� ���� ����
���� ��� %�¢� ��� � ������� �� �� ��������� ���� ���� ��� �� ������ ��� ���������
���� ��� �������� � ����� � ���� ��� � ��� �������� ��� ���� ����� ��� �#�� /��
������������������������������������ ��������������������������������#�� ����
���� ���%�¢������������������� ����� ������������������� ���� ������� �
�������������� �������������� ���� ���� ��� �������#��M��� �� �� �
�� ��������������������� ��������� ���������� ��<����#$�#8� �������
����������
¢� �N ¢�
�� ¢� �+ ����� ¢� �+���������∂∂
�
�
����� ���������� � ���������������������� ����¢� ����� � �� ��¢� ������� !��
���������� ��������������������¢� ������ ����1��� �� ��������� �������� �
�����
¢ ¢� � �+ @�"#� ¢� � ¢�
�� ¢ ¢� � �+ @�"%��%�
%�
�
∂∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�#$�%=�
������"#����"%������ �������������� �� ������������)������ �����������
"%���������� ������ ��� ��!���� � ����������<����#$�%=��������
���� ������
¢ ¢� � �+ @��%�
%�
�
∂∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
"�������������� ������������������ ���������t� ���������� ��
t��+ @�r ¢ ¢� � �+�r �%�
%�
�
∂∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�#$�%2�
������ ������ �� �� �� ������� �� � ��� ���� ����� � ���� ��� ������� ��
<����#$�%8� ����������� ����������������� ������ � �
t��+ r �%�∂∂
∂∂
m ∂∂
�
�
�
�
�
��
FHG
IKJ = �#$�0$��
������������������� ���� ����������������������
m��+ r �%�∂∂
�
��#$�0$��
���������������! ���� ��� ���� ��� ��� �����
n��+ �%�
∂∂
�
��#$�0$��
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM414
��������� ��� ��
������� � ������������ ���������������� ������� �������<����#$�%2�� ������
��� �������������∂∂
�
����������� ������������� ����� �����t�������� ��������
� �����∂∂
�
���������������� ���������������������� ���� ���������������
����� � ��������������������� �������� �����������������������������
������� ���)������ ������������ ���� �������������)������������ �����
��������,�.������ � ������O�3������������� �� ��� ������� �����������
����t����������������������������� ����
)������ ������������������ ������������������ � ������� �������� �����
������ ����������� ��� �����
��+ c � �#$�0#�
�������� ������� ���������������������c� ��!���������M�����������
�ªP$�8��
����� ����������������7����������������������������������������������������7����4����7������-����
"�������� ��������������������������������������������������� ��
���������������� ������� ������������������������������������������ ���
%������������� ��� �����������������������������������������>�����
��� ������������������������������������������ �������������������������
� ����������������������������� ��� ���� ���� �� � ����������� ���������
� �������������������� ������������
��+ c �
������ �����1����J��������� � ������������������ ���������� ���
t��+ rc% �%�
%�
�
∂∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�#$�0%�
����� ���� � �1����� �������������� � ���������� ���� ��� !�������
*�������������!����������������� ������������������� � ��
t��+ t� �#$�00�
������t������������������ �����������������������! ����������������� �� �
���� ����t�+�
#7%
�tr
È ˘Í ˙Î ˚
��������
�t%�+ c%�%�
%�
�
∂∂
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�#$�08�
��∂∂
�
��+
�
�
t
c�#$�04�
'� ������ ������ �
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM415
�� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
� �+�
� "t
c + �#$�0C�
F��� �����������������<����#$�0C�� ����� ������������� ����������� �� ������ ���
����� ������������������������������������������� �������t��+�t��+�������
����������� ������������ ������ ��������+�������������� (����� ������������
����� � ��� ����� � �+� ������ ���� ������� ��� ������ �� �� � � ����� ��
��� ��� �
�����+�
� "t
c +
�� "�+ �����@��
�t
c
3���� ��� ��"� �<����#$�0C� �������
��� �
�
��� -
t�+
#
�
�cÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�#$�05�
<���� ���#$�05�� ��!������� ���������� ���������� ������1�������� ��
� ��� ��� ��������������� �" ���#$�2�
)��� ������������������������ �� ������ ����t� ��������������������������
���� ����>�� ���� ���� ������ ������������ ��� �� 7�t����� h��+� �� �t 7n�� ��
������������<���� ���#$�0C������������ ����������� ������� ������������
�
�t�+
#
c����B�"
��������� �"���('��������'��#!�"�$�#!$����%�&!�!���$�)���
;���&�$�������'�('$!����1���!$��$�)
�����-� ����� � ����� ������������������ �� ���� ������ ������������
������ ����� �� ��������������������������� ������� � �����������������������
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM416
��������� ��� ���
������ ��� ����� � � +� $� ��� �� ����� ���� � ������ ��+� �$� ����� ���� ���� )���
<����#$�0C���������
�
�t�+
#
c�����@��$� �#$�0=�
����� �������$� ��������������������� �������������� �!������������ �����������
/����������� ���<����#$�0=����
�
�t�+
#
c
�� t b
nÈ ˘-Í ˙Î ˚
���
�t�+ #��h�B��# �#$�02�
������##�+��7c� ������!���b� �� ������ ���
<���� ���#$�02�� ���������!����������������� �������������� ���������
����������������� �� ����� �����������������������������������������������
)������ �������������##�����#������������������������������� ���������
������� ������ �� ���������� ��������������������������� � ������ �����
��������� ������� ��� ������� ������� ������������������������ ��������
����� ����������������� �������� ���������������������������������� ����
� ������ ���� ��� ���� �� ��� ��� ��� ����� ���������� �������� ���� ��������� ��
<������#$�0�
<���� ���� ��������������I��/ !������ �������������<����#$�02�� �� �����
��������� � ��� ����� ����� �������� G����� �� / !������J�� ��� �� ������J�
����� ��������� �������� � ��������������<����#$�02�������������� ������
���������� �
�
�t�+ %�4��h�B�4�4 �#$�8$�
�� ������ ���� ��� ��� ��������������������������������� �" ���#$�#$�
5
10
20
uu
30
105
102 103 10460
b
Laminar sublayer
Buffer zone
Turbulent zone
���������� �1!�'��#!�"�$�#!$����%�&�"���('�����$�)�����"����1� � !"
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM417
�� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
)������ �������������� ���� �� �������������� ��<����#$�8$�� �
#
��+ %�$���#$����� � ��@�$�= �#$�8#�
������ ������� �� ������ ���������� ������� ��������������������������������
��������� ����� ������������������ ����� ���������)������ ����M����
��������������� � ��� ����������� ��� ����� �����������������!������ ������
�
�t�+ h�+�
� �t
n����h�E�4�$ �#$�8%�
��
�
�t�+ ##�4���#$�
� �t
n�@�0�$ ����4�E�h�E�C$ �#$�80�
<���� ���#$�8%��������������������������������� �" ���#$�#$�
����������������� �������� ���������������������� ���� �������������� ���
������������
$�£e
nt� �
�£�4 �#$�88�
������e�� ���������������� ������������������ ��� � �������� ���
1��� ��� ������������������ ������������������������ ����������� ����
������������������ ��������� ���������������������� ���������������� �!������
�� ���������� � �� ����&�������������&��� � ��������������� �������� � ��� ��
������������� � ����� �� ������ ������� ����� ��������� ����� �� ������������
��������������� ������������������� ��� ���������������������������� ���
����� ����� � ������������������ ������� ���������������������A
�
�t�+ %�4��
�
�e+ = 4� �#$�84�
������������- � �������� �������� ��� ��������������
�
�
���
t�+ %�4��
�
�e+ = 4� �#$�8C�
/���������n����������������� ��������e����� ������������������������������
(������ �������� ��� � ���������� �� ��������������������������� ��
������ �������� �� ���� ����������� )������ � ���� � ��� ��������� ��� ���� �
������� � ���� ���������� ������ ���*������!����>� ������!��������� �
������� �
#
��+ #�58�@�%�$���#$�
#=�5
��
�
� �
eÈ ˘+Í ˙
Í ˙Î ˚�#$�85�
�������� ������� ������ ���
"���e���$ ��� ������� ������������������������������������ �����<����#$�8#���
"������Æ�• � ��� ��������������� �������� �� ������������������������������� ��
����������� ������������������ ��� ��� �����
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM418
��������� ��� ���
��+%
#
% �� #�58�
�
eÊ ˆ
+Á ˜Ë ¯
�#$�8=�
��������������������� ������������ ���� ��������������������������������
��� ���������������� ��� ���������
�������������� � ��������� ����� � ����� ��������� ���� ��� ��� ����
������ ���������������������������� ��������
����� ���7������;�������������������
;�;������-���������7������-����
������������������������������� ������������������������������� ������ �I�
/ !������������� ��������������������������� �����������������������
������������������������������%4����8$�� ���������>���������������� ����
����� �� ��� ���� ��������� �������� ����� *�� ��� �� �� ���� ��������
��������� ���������" ���#$�##���������� ��
%�p���t��+ @��
�
�
�
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�p��%
�#$�82�
���
@�
�
�
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�+% �
�
t�#$�4$�
x
dp w
w
dx
���������� �'$$%�&!#!$� !&��'�('$!��� � !��$�)
����������� ������� ������������������� ������������������ �������������
�������������������������������������������������)������ ������� �� �
��������F������� �� ���������� ����� ��� ����������������������
@��
�
�
�
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�+r ��
�
��%
%�#$�4#�
*����� ��<����#$�4$��� ���<����#$�4#� ��������� ��
t��+�
�=
r ��% �#$�4%�
)�� G�� ��� ��������� �� �� � ��� ������� ��� ��� ���� ����� ����� ������� ��
����� ������������ � ���������� ��������������������� ����
��+ $�0#C8���@$�%4 ����������+�r����7m �#$�40�
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM419
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
��� ����������������G�� ��J��������� ���� �� ����������������������������
���£�#$4���������� �������G�� ������� ������������ ��������� �����������
� ������������������������������ �����)������ ������� �I��/ !������
���� ������������ ������ ���������������� �� �� ��������� �����������������
������ �8�¥�#$0�£����£�0�%�¥�#$
C���������� ������� �� ��� ������������A
�
��+
#7 ��
�
È ˘Í ˙Î ˚
�#$�48�
������� � ������� ����������� ����������� �������������� ���������� �����������
� �������� ������� �� ��� ��� � ����� � ��� ������� ������� �� ���� ����� ��
��PNP#$4 ��� ��5�
������� ������ ����������������������� ������ �� ����������������� ��� �����
���������������$���
$�+ p �%����+�
$
�
Ú %p ������
�� p �%����+ %p�� �
$
�
Ú ���@������7��#7���@���
�� p �%�����+ %p��
# # % # #
$# % #
�� � �
� � � �� �
� � � �� �
- + + -È ˘Ê ˆ Ê ˆÍ ˙-Á ˜ Á ˜+ +Í ˙Ë ¯ Ë ¯Î ˚
�� p �%�����+ %p�� �% %
# % #
� �� �
� �
È ˘-Í ˙+ +Î ˚
�� p �%�����+ %p��% �
%
� #� �% #�
�
� �
È ˘Í ˙+ +Î ˚
���
�
�� �+%
# % #
%�
� �� � � �+ +�#$�44��
/�� ������ ������������������������ ���������������������������������
� �������������������7� ������<����#$�44����'������ ��� �����G�� ������ �����
��������#$�40�� �<����#$�4%� ��������� ��������� �����������������������������
������������� ���
t��+$ 0#C8
=
$ %4��� �- r ���
%
�� t��+
#78
%��
��
$�$0244%
�� �
nr
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�� t��+
#785 78��$�$00%4 �
�
nr Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�� t��+
57 8 #7857 8��$�$00%4 � �
��
� �
nrÊ ˆ Ê ˆÁ ˜Á ˜ Ë ¯Ë ¯
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM420
��������� ��� ���
"�����+�5 ���� 7� �����������������$�=��3���� ��� �����7� �+�$�=� ����������
����� � �������
t��+ $�$00%4�r��$�=�#78�� �578��n7��#78
" ��� ���������� t��+ $�$%%4�r��� �578
��n7��#78
�#$�44��
�� �t%�+ $�$%%4��� �578�
#78
�
nÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�������t� ���� �� ������ ����)������ ��t%���������� ����� ����t
578�����t#78���
������� 57 8
�
�t
Ê ˆÁ ˜Ë ¯
�+ 88�88�
#78� �t
nÊ ˆÁ ˜Ë ¯
���
�t�+ =�58�
#75� �t
nÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�#$�4C��
/������������������������������������ �� ���������� ���������� ����� �
���+������������������� ������������������������������������ �������������
�
�t�+ =�58�
#75��t
nÊ ˆÁ ˜Ë ¯
�#$�4C��
������� � � ���������� ��������#75�������������� ���� ��� ��� ������#$�4C��
��������� ���������G�� ��J����� ��������������#$�40���<���� ���#$�44���� ���
��������������������� ��� �� �� ��������������������������������� � ������£#$4��Q !�������� ������������������� ������ �� �����������������
����������������� ������������� ��������������!���� �����������������
(����
��� ����������� � ������������� �� �������������� ������� � � ���� �����
<����#$�40�� ���� ������������ � ������������������������������������ ����
����������� � ������������ ������������������� ������������������������
������ �������� ������������������������ (������������������ �� ���� ��
������������� �*�������##�
����� �?��������������������������������7���7��������������;����
*����� �������! ��� �� ��������� �� ����������������������� ����� ������
���������� � ���������������������! ��� �� ����������������G����������(���
������������� �� �����������������(���� � ����� ������������� ������������������
��� ��� ���� ��������� ������������������ ���� �� ����������(�������������!
�� �� ��� ������������� ����� ������������������� ����������� ��
>����� �� ��������������� ����������� ���������������������������
�� ��� ���� ������������� ������������������
( )% 66�
��
�d• �+ �t
r�#$�45��
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM421
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
���! ��������� � �����"���%#
%
���"
�
t
r •
Ê ˆÁ ˜=Á ˜Á ˜Ë ¯
�<����#$�45������������� ������
"���+ %�
�
d 66
��#$�45��
F����������� � �� ��� �������������� �������� ���������� �������� ��������
��� ��������������������������� ��� ��d�����������•���������� ����������� �����
����� ����������������� ���������� ��������������� �������������� ������ ���� �
��������������������������������� �������� �������������� ����������� �� �������
�������������� ��� ��������������������������������� �� �������������� � ����� �
��� ��������������������������������� �!����
" �� ��������� ������� ��� ����:���� ��<����#$�48�;
�
�•�+
#75�
dÈ ˘Í ˙Î ˚
��� �� £ #$4 �#$�4=�
������������������������ �!����� ����� ������ � ������������
�d66�+
#75 #75
$
5# �
5%
� ��
d
dd d
È ˘Ê ˆ Ê ˆ- =Í ˙Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯Í ˙Î ˚Ú �#$�42�
*�������� ������������������������� ������������£�#$4������������������� �
��������������! �������������� �������������� �����<����#$�44�����
t��+ $�$%%4�r�� �578
�
#78
�
nÊ ˆÁ ˜Ë ¯
��t
r�
�� �%�+ $�$%%4�
#78
��
nÈ ˘Í ˙Î ˚
3���� ��� ���•������ ����d������� ������������������ � �������
��t
r�
�•%
�+ $�$%%4�
#78
�
nd •
È ˘Í ˙Î ˚
�#$�C$�
'������ ������ ��� ��<����#$�42������#$�C$�� �<����#$�45� ��������
5 �
5% ��
d◊ �+
#78
$�$%%4�
nd •
È ˘Í ˙Î ˚
�� d#78 �
�
d�
�+
#78
$�%0#8�
n
•
È ˘Í ˙Î ˚
�� d 478�+
#78
$�%=2% � "�
n
•
Ê ˆ+Á ˜Ë ¯
�#$�C#�
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM422
��������� ��� ���
"���� �� � �� � ��������������������������������������������������������
��� �������������������������������������������������������� � �����+�$
d+�$��� ���� �� ���"�+�$ ����<����#$�C#��� �������
�d7��478�+ $�%=2%�
#78
��
n
•
È ˘Í ˙Î ˚
��d�
�+ $�05�
#74
��
n
•
È ˘Í ˙Î ˚
��d�
�+ $�05������@#74 �#$�C%�
����� ����+ ��• ��7n"����<����#$�45�� ��#$�42������#$�C%� � �� ������ �������������������������
�! ��� �� ������� � ������������������
" ��+ $�$5%����%�@#74
�#$�C0�
�������������������<����#$�C0������ �����������������! ��� �� ������� � ��
��������� �������� ������������������������%�¥�#$C�
�� �������� ������������� ���������������� ������������ ������������ ����
����������������������������4�¥�#$4����#$5��� ��� ��� �����
" ��+ $�$58����%�@#74 �#$�C8�
<���� ���#$�C8�� ����� �������������������� �������������������������
���������! ��� �� ������� � ����������������
> ��������������/ !������J������� ���� �3�� ��� ������ ���������� -
��� � �������� �������������������! ��� �� ������� � �����
" ��+$ 844
% 4=
�
��� ��� ��#$�C4�
<���� ���#$�C4��������� ��������� �������������������������������������
����� ����� �������������� �� ������� ����� �� ���� ��������������� ���������
������������������ � ���"����� ��������� � ����������������������
" ��+$ 844
% 4=
�
��� ��� ���- #
�#$�CC��
������#�������� ��������������� ���������������������������������� ��
�������� � ����!�������������������� � �� ���������������!���������������������
���������4�¥�#$4 ��������������! ��� �� ��������� �����3�� �� ���������� ���
��
" ��+$ 844 #5$$
% 4=
�
��� ��� ���- �#$�CC��
������������������������������ ������� ���������������������3�� ��� ��������
���� ��� ��������� ��������������������������������������������� ���
" ��+
%�4
#�=2 #�C% ���
%
e
-Ê ˆ+Á ˜
Ë ¯�#$�C5�
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM423
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
�������
∑ ����������� �� ���� ����������� ������� ������ ���� �������� ���
)������ ������������������� ������ ���������� ���������� �����
�������� �������� ��-������� ������������� �������������� �� �
�������������������� � �����������������
∑ ����������� ��� �������� �� ��������� ������������������
��������� ��� ��� ���������� � ������ ��� ���� � ��-��������� ��� ���
��������� ��������� ����3���� ��� ��������������������� �����
����/�� ��@3��!�������� ������� �������� �������������������
� ��������� ��� ������������ ������� ���������������������������
�������� ������������������������������ �������������/�� ��-
3��!�������� ��������� ��������)������ �������������������� ����
�� ���������������� �������������� � �������������� � ������������
������� ������ ���������������������� � ����������������!�����
���������������������������������������������������
∑ ��������� ��������� ����������������� ���������������������������
���������������� ������������������ ������� ���������� � �
����� � ���!������������ ���� �������������� ���� ����n��������
�������������n��+��%� �
�
�
� ��������� ��!������1����J��� � �������
∑ "������������������� ������ ���������� ������� ����������������
� � ������� ��� ��������+�c ������� ��������� � ��� ������� ����������
����������c� ��!���������M�������������ª�$�8���"���� ��
������������ ������������������������������� ��������� ��
���� �� ��� �����
�
�t�+ ##��h�B��#
������� � ������� ��-�������� ���������h��+��t 7n������t� �������� �� �
���� ���� ������ t r� 7 ��������������##�����#����������� �������
����� ������� �������%�4����4�4 �������� ��� ������������� ��������
��������� ���� �� ���������� ��� ��� �����
����������� ��#
��+�%�$���#$���� � ��@�$�=�
∑ )������ � ���� � ��� ��������� ��� ���� �� ������ � ���� ���� �
���������� �����*������!����>� ������!����
#
��+ #$
#=�5#�58 %�$ ��
��
�
� �
eÈ ˘- +Í ˙
Í ˙Î ˚������e�7�� ��� ������������
∑ �����������������£�#$4 ��������� ���� ��� ��� �� ����������� ��� �
� �����
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM424
��������� ��� ��
�
�t�+
#75
=�58� �t
nÊ ˆÁ ˜Ë ¯
∑ ������ �� ��������� ��� ����� ��� ��� ������G�� �����
��+ $�0#C8�����@$�%4
∑ ����������������������������������������������������������� �
� �����
d�
�+ $�05������@#74
∑ ����������� �������������������! ��� �� ������� � ����������� ��
�������������%��������������� �����
" ��+ $�$5%����%�@#74
∑ �� �������� ������������� ���������������� ������������ ����
������� �������������4�¥�#$4�E����E�#$5��� ��� ��� �����
" ��+ $�$58����%�@#74
∑ "��� �������� ���� ����� �� ������ ���� � ���� �������� �! � �� �� �
����� � ��� ��� �����
" ��+
%�4
#�=2 #�C% ���
%
e
-Ê ˆ+Á ˜
Ë ¯
��������
#� ���!�� �)� ����9���� �I�9 � #����"����������������� �����R���1����
*���� ��� �R������������ �#25%�
%� ) (� �I�'� ����������� �R�?���-) �G��!�*����� �/���S��! �#2=5�
� �������������
��������� 1���������
f x�
� �
� �
@ 7
7
%
%+
z �+ f x�
� �
� �
@ 7
7
%
%+
z������f� �������� ��������� �����x
��������
f x�
� �
� �
@ 7
7
%
%+
z �+#
%
%
%
%
��
� �
� �
� �
� �
@ 7
7
@ 7
7+ +
z zL
NMMM
O
QPPP
f x� �
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM425
�� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
*��� ��������������� ������ � ��������� ��
�� f x�
� �
� �
@ 7
7
%
%+
z �+
� �
� �
� �
� �
��
@ 7
7
@ 7
7
%
%
%
%#
+ +
z zL
NMMM
O
QPPP
f x� �
�� f x�
� �
� �
@ 7
7
%
%+
z �+ f x�
� �
� �
@ 7
7
%
%+
z�������� �� ���� ��� !��� �� �� ��� ��������� ��� & �� � ���������� ���
� � ���������������+�c�� �
� �%
� �
� �
7
7 %��Q� ���� ������ ���� ����������� ������� ���������
�����������-����������������������
�������� >��!��
t��+ m ∂∂
m r ∂∂� �
�
��
�
� ����� = %
3� t��+ r ∂∂
��
�
%
%
3���� ��� �����& �� �'��������� � �������
t��+r c r c% % %
% %
% 8
% %
� 7 � � 7 �
� 7 �
� 7 �
� 7 �
� � � �
� �
� �
� �% %
� � � �
� �
� �
� �=
���
�
�
�
FHG
IKJ
8
�+tr c
� �
�
#% %
%�
�
%FHG
IKJ
����� ��t��+�t�������� ��� ���t�+� t r� 7
�
�
�
�
FHG
IKJ
8
�+� �
�
tc
%
% %
%�
�
%FHG
IKJ
��! �� ���� ������� ���� � ��� ���� �� ���� ��� �������� ����� ��� 7���� ����� ��
��� ��� ��������
�
�
�
�
FHG
IKJ
%
�+ T�� �
�
tc
�
�
%
%
FHG
IKJ
9�� ��+ �� 7��
��� ��7���+ T�c
t���%
������� ��� ���
@�#
��+ (
c
t���B�"#
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM426
��������� ��� ���
Q� ����fi�•������fi�$ ��������"#�+�$
��� �
�
�
��+
�
�
tc
� ����
�
�
�≥ $
������� � ��������
� �+�tc
���B�"%
������������ ��+ �$� �� �+�$
���! ���� � "%�+ @�tc
���$
���� �
�t�+
#$c
◊ - � �� �
9��� ��� ����� ����� �$�+� b n
t�� ������ ��� �� ��� �� ����� ��� � ������ �������� ��� b� �� �
��� �������������
>��������� �����
�
�t�+
#
c nbt
� � -FH
IK
���
�t�+ ##��h�B��#
�� �� ������� ���������� ������� ��
��������� Q� ��& �� �'������ �� ��+ c�� �
� �%
� �
� �
7
7 % ���������������� �����
���� ���� ��� ��� �� ��������������������������" ���#$�##�� ��� �����
� �
�
��� -
t�+ @
##
c-
FHG
IKJ +
LNMM
OQPP
�
�
�
�
����� �%�� �������� ��������������� ��� ������� ������������������������������ ����
������������c� ������� � ���������������������������� ��� ������ ���� �� ��@
���7����
�������� "���������������� � �������
∂ t∂� ��
��+
∂∂
�
�
�� t��+∂∂
�
�� "
FHG
IKJ + #
�����+�$ �t��+�$ ��������!���"#�+�$
���� t��+∂∂
�
�
FHG
IKJ ��
CHAPT10.PM5 3/11/108, 4:59 PM427
�� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
�� t��+∂∂
�
�
FHG
IKJ ��
������tt
�
�
�+�
�
"����& �� �'������ � ��������� ��
t��+r c ∂ ∂
∂ ∂
% 8
% % %
� �
� �
7
7
b ge j
��� t��+� � �
� � �
r c ∂ ∂
∂ ∂
% 8
% % %
7
7
b ge j
�t%�+
� � �
� � �
c ∂ ∂
∂ ∂
% 8
% % %
7
7
b ge j
���� ∂∂
%
%
�
��+ ±
FHG
IKJ
c ∂∂t�
�
�
�
�
%
3���� ��� ��������+�∂∂
�
����� ������ �
@�#
��+ ±�% %
c
t�� � "+
�����+� ���Æ�•����"%�+�±�%�c
t��
/�� ����!��������∂∂
�
��£�$�������D�$��������� ��
�� �+ @7
�
�
�
� �
tc% #
�
-z3���� ��� ����� x�+ #�@�
�
����� ������ �
� �+�
"tc
x x - + 0
�� � �+� �
�
�
�"t
c @# # 0-
FHG
IKJ -
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
+
�����+�$ �� �+�����
"0�+ �����B��tc
" �� � �
�
��� -
t�+
##
c @-
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
�
�
�
�
CHAPT10.PM5 3/11/108, 5:00 PM428
��������� ��� ���
���������� F�� ���������������������������� ��������������������������
���� � ���������������������������������������������� ������������������� ����������
������������� ���� ������� �� ��� ���������� �����#75���������������� ������� ��
��������������� ����" ������������� ������������������ ����������������� �����
������������� �� ���������������������� ���������
�������� �������� ���������������������������� ������������������ �
#�+ z ��r��� ����+�r��•%� �d�
�
�•
FHG
IKJz
%
�h
����� h�+��7d
"����� ������ �
�•�+ %�h�@�h%
#���+ r d h h h h� • +z% % 0 8
$
#
�� 8 @ 8 �� �
+ r d h h h� • +
LNM
OQP
% 0 84
$
#8
0 4�� @
+=
#4
%r d� • ��
"���#75������������������������ �
�
�•�+ h#75
#�����+ r d h h� • z% # 5 %
$
#
���� �� �7
+ r d h h� • z% % 5
$
#
���� �7
+ r d h r d� � • •LNM
OQP =% 2 5
$
#%5
2
5
2���� ����
7
*����� �������������������
dd
����
��
�+5%
#$4
��� ��������������������������������������������������������������������� ��
���������������������������������������� ����� ������������������ �������
)������������������������ ���� ��������� � ���������������������������
���������� � ���r�+�#�%0�!�7�0����n�+�#�4�¥�#$@4��%7��� ����� ������������
���������������������������� ��#4��7��������� ���������#��������������� ������ ��������
d����t��������������������� ������ �����������������������������������#75��������
������� ������� ��
CHAPT10.PM5 3/11/108, 5:00 PM429
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
�������� ���� �� ���� ������� ��������� � *�������� 2� ��� #$ � ��� ��� �� ��� ���
������ ������ ������� ����� �������
d�
�+4 8=
$
�
����
�
�
��� t m ∂
∂=
=
����+� �
n= ¥
¥= ¥-
#4 #
# 4 #$# $ #$
4C
��
d�+4 8=
# $ #$#
C
�
� ¥¥ � �+�4�8=���
t��+ m ∂∂
md h
h h h�
�
�
� =
•== ◊ -
$
%$%
�
�: ;
t��+% # %0 # 4 #$ #4
$ $$48=$ #$#
4¥ ¥ ¥ ¥ =-� �
�� / �%
"��������������
d�
�+$ 05
# 4
�
��� � 7�
�������<���#$�C%�
�� d�+$ 05$
# $ #$C # 4
�
� � � 7¥�¥�#���+�%0�08���
�� d7��+ $�$%00
t��+ $�$%%4�r�%•
nd�•
FHG
IKJ
# 87
�������<���#$�C$�
t��+ $�$%%4�¥�#�%0�¥��#4�%�n
d� �
�
•◊
FHG
IKJ
# 87
�� t��+ $�$%%4�¥�#�%0�¥��#4�%�#
# $ #$
#
$ $%00C
# 8
� �
7
¥¥
LNM
OQP
+ $�4$%�/7�%
�������������������������������������������������������� ����������������
���������
#$�# '�� �� ��� ���� ���� ��� �� �����7������ ��� ���� ��� ��� �� � � � �� ��� ��� ��� ���
������� ������� � ���� � "���������������� ��� ����� ��� ���������������������� �� � ���� �������
���� ������� ��� ���������� ��������������� ������� ������� ��
�����7"����
� � ��������������� ������������� �� �������������� ������� ������ ��
�����7"����
� �∂∂
∂∂
¢ + ¢�
� �
�
�+�$�������������������� � � ��
CHAPT10.PM5 3/11/108, 5:00 PM430
��������� ��� ���
��� �������� ����!�����������������
��� � ������� ��¢� ���� � ������ ���� ��� �������������� ������� ��¢ ����� ������ ���� �
��� ��������� ��� ������ ���� ��������� �� ������ �
�� � ������������� ����������� � �� �������������� ���������������������
����������������������� ���� ����������
��� 0�4�¥�#$4 ��� %�¥�#$C
��� �������%$$$����%5$$ ��� 4$$$
��� �� ���������������� �� �������� ����������� � ����� �� ��� ������� � ��������������������������(������������ ������� ������ ��������� ��
�������� ������� ��������
��� ������ ������ � ��� ��� ������ �
��� �������� � ��� ���� ��� ������ �
�� � ���� ���������������� ������ !������������������������������������
����� �����7"����
#$�% 3�������� �� ������������������������ � ��������������� ���������)� ������
� � �����������������& �� ���� ��� �<������#$�%� ������ ���������� ������ ������������� ����������������������������������������������� �����
� ���������������������
� �
�
��� -
t�+
#
�
� �kÊ ˆÁ ˜-Ë ¯
�������� ��������� ����������� ������k� �����������
#$�0 *����������������� ���������������������� �=���������0���� ��� ������
�r�+�#$$$�!�7�0 �m�+�#�$%�¥�#$@0�!�7�������=��7�������������� �������A
��� ����������������� ��������������������� ����������������������
��� �������� � ����!��������������+�4�¥�#$4�
#�� �����#%�40C�¥�#$0�>�����#%�4#=�¥�#$0�>
#$�8 �������� � ��������������� ���� ������������������� �������� �����
%0$$��)���������� �����������������������������������������������-����� ���• ��������-���������� ������������������ ������ ������d� �������������� ����� ����O
#�� ������+�%�##C�¥�#$4�
#$�4 �������4$����������%�4���� ��������� ���������������������#4��7���<�� ����
�������� ���������� � ����!��������������+�4�¥�#$4�������������������� �������
���������� �e��+�$�#�����"�������� �r�+�#$$$�!�7�0����m�+�#�$%�¥�#$@0�!�7���
#�� ������8##�8$4�>�����=$C�#C=�>�
#$�C �������������-�������� ��������������������� ��� ����������������
t��+�$�$%%4�
#78
%�
�
nr
d••
È ˘Í ˙Î ˚
���� ������������� �������� ��#75���������������� ������� ������
"���+�%��
�
d 66
��� d66�+�
5
5%d
"���� ���� ������ ������ ����� �� � � �� ���� � �� ������� �� ���� �! � �� �� �
����� � ����"����
#�� ��"���+�$�$45C������@#74�
CHAPT10.PM5 3/11/108, 5:00 PM431
��� ������������ �� ���� ���� ���� �� ���� � ������
#$�5 >����� ����� ��� �� ����� ��� $�$4� �07�� � �� %$� ��� � ������� ����� ��� � ��
�e�7��+�$�$$$5���>���� �� �������������������� ��������! ����������� ��O�"��
����� �r�+�#$$$�!�7�0 �n�+�#�$�¥�#$@C��%7���Q���R����J��*�����
#�� ��#%�%���
#$�= � ���r�+�#�%�!�7�0����n�+�#�4�¥�#$@4��%7���������������������%�4��07�� ���0$���
¥��C$�������������������������e��+�8�C�¥�#$@4�����>���� �����������������������
4$��������������O�Q���R����J��������
#�� ��%#5����
#$�2 >����� ���� ������������������������������ ��� ����t e� 7n�+�#$$� �#�!����
� ������ �������� ������8��7����������������������� ��#�4�¥�#$C �� �����
����� ��������������� ���������������� ��������� �� ����������"�������� �r�+
#$$$�!�7�0 �n�+�#�$�¥�#$@C��%7��
#�� ����+�$�848�� �)�+�#08�##0�!>�
#$�#$ R�� ��������� �� ������������ � ���� ������<����#$�C8�����" � �+�$�$58����%�@#74
@�#7��%��9���������������� ������������ ������*��������������� ���������
������������*���£���£�%��*�� ������������ � �������������������+�4�¥�#$4�
#�� ��#�+�#5$$�
#$�## � ��������������������������������������� ������8�8��7���������� ������� �� �
#�$%2�!�7�0��������! ���� ��� ���� ��� ��#�04�¥�#$@4��%7������������������
����� ��#%��� ������ ���� ����������*������������������������������ �!���
���#C�������#%���������� ��� ������������� ���������������������������� � ��
���������� ��������������������� ������� ��� ��������������
#�� ������0�4�¥�#$@0�� ����$�$%$5�������" � �+�0�448�¥�#$@0�
#$�#% �������� ���� ��� ��� ���������� �������������������� ��� �������
��
�+��
pd%
◊ �FH
IK �� ���� ���� ��� ��� ��+� +� �� � ��� ��� �+�� ��� �� �������� ����� ���� ���
�������������� ����+�� ��������������� ������� ����������������������� �
� ++
n� ����������������4�$��3��������������� �������������������� ������ ����
��� ���� ���� �� ��� ��������� �� ���� ���� ���� �������� ����� ��� ����
�� ��� ������ ��� ������+
��+�
# �
�����7
7
0 8
# 8FH
IK ������ ����+�
� ��
n ��� ����������
��������������������#� �����������
CHAPT10.PM5 3/11/108, 5:00 PM432
���� ����������
�������������� ��� �������� ���������� ����� ������� ������� ���������
���� ��������������������� �������� ������ ������������������������� �����
�� ��� �� ������� ������ ���� ���� �� ��� ���� � ��� ������ �� �� ������� �
��� �������� ����� �����!����������������������� ��� ��������������������������
����������������� ������"�� ������������ ���� ������ �������������
��� �� �������� ���������� �� ���� ���� #��� �� ���� ���� ������� ����� �
������ ����������������� ����� ����������� ������������ � �������������� �
���������� ����������������������� ���� �������$���������%� �� ������ �� �
���� ����� ������ ����������������� ������� ���� �������������� ��
������������� �������� � �������������� ���� ������ ���%� ��������������
� ��������� ���������������������� ���� ������������� ������ ���
���� ��� ����������������������� � ������
%����� �� �������� ��������������� ���������������������� ���� ��&����������
'�� ��������������� ����� ���������� �� ������������ �� ������ � ���� ���� ��
����������������$���� ������� ��� ������������ ������������&$ ���� �� ������ �
� ����������������������������������������������� ����� ������
���(t
r�
�)�*+, +)����,
�������������� ���������������������
��
��� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
�����!� �� �� ���������������� ����� ����� ������� ��(� �*�!� �� ���� �� ���� ���
������ ���� ����� ������� ���� ����� ���� ���� ��������� ���� ����� �� ���� ����
������ ������������������������������� ������� ����������)� �������,� �������
�� ���������������������������������������� ��������!���������� ��
t��(D � �
� �
-
)���+,
w
w
p* p* p*
L
��������� ������������������������������� ���� !������"��������#� !���$!������
�����!�t�� �����������������������������������D ��� ������ �.���� ������������
������������������������������������ ������������������ �������������������
�� ������������������&���� ��� ��������"���� ��)���+,� ��/ ��)����,!��������!
���(D � �
� � �
-
) * ,� + +r
(�
� � + +
�
�
�
�
� D -
) * ,r)����,
�����!����(���*������ ��$����������������� �� ��������0������������ ������
�!����(��!������ ������������� ���%������� � ���������� �������/ ��)����,
��)����,� ��$����������� �� ���� �� ���������%��������� ��������������*�� �
����/ ��)����,!�1�������� �������� �� ������������
��(�
�
�
�
� D -
) * ,� + +r)����,
2��� �����/ ��)����,�����)����,�� ������(������/ ��� ��)����,���������� ����
����� ��������
��(�
�
�
�
D -
) * ,� + +r)���3,
/ ��� ��)���3,� ���� ����� ����� ������������ ����� ������� ���������� ���� �
����������� ������ �����
D�-�( ��
��
�
+
+r )���4�,
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ���
�� �������������������)���������������� ���� ���,
���(D �
�
-
r�(� �
�
�� �) * ,+ + )���4�,
�����!������������������������������������� �� ������������������������� ��
/ ��� ��)���4�,� ����� ������������ ������ ����������� �����������$ ��������
������ �������� � ���� ������ ����������������
���% &�������������������������
0�������������� ����������������������������� ��!������� �� ���������� �
����� ���� ���� �"���� ���� �� �� ����5�� ���&�$��� � ��� �� ��� � �������� �
&�����������0�� ��� ������
��(4�
6�)���7,
0���������������� �������� ��&������������������������� ������������������������!
�� �� �������������������������6��������������������������������� �
���������& ��%�����/��&������)��438�9��,�� ������������������ ����"�� �����
������������� �������� ���� ����������������� ��������� ������ ������ ���
'���������!� ��:������ ��� �����5 $������� ���� ��� ��� �"�� ������ �� ����
������� ��� �� �� ������ ��� ������ ��6������� ��������'� �������� ��
��������� ���������"�� ����������������� ���� ����� ��� ���������������
�� �� �� �� �� ����� ���� ���������� �� ���� ������ �� � �����!� ��� ����� �
� ��� ���+!� ���;����<��� �� ���� ���� ��� �� �� �� �� �� �� ������ ��� ��� ���
��� ���������� ������������!�������!�����6���������������������������
����� ������������e*�������� ���%� ��� ������ ��$�������<��=��� �����
�� ��� ���������� �������������������������������� �� ������������������
6�������� �������� ��� ��� ����������������� �������������������� ��
�������������� ��� .��������� ����>���������������� ��� ���������� � ��
�������������������������� ��� ������������������������������ ���������
����� ���� %� �� � � ������� �������� ��������� �� ������ ���� ���� ���
�"�� ����������� ������������������������������ ���������� ��� �
� ������������ ��� ������ � � �������������������������� ������ �����������
�� ����� .���������������� �� ���������� ����� �������!����� �������/ ��)���7,!
�� ��������������������������� ������!��������������������� ��������������
���� �������� � �����$��������� ������������ ��� ������������� ���?������
6������� ������� �� +���!� ���� �� ���������� ��� �!� ���� ���� ������� �� ���
��������������� ���� ��������+��� ���� ����� ������ �� �������� �������� ���
6�������������!� ������������������� �!������������������� �����������!
��� �������������� ��������������������������� ������������� �!������������
��������������������������������������������������!��� ����������������
����������������6������������������� �����6��������� ��� �� ����� �������
��������� ���%� ��.��� ��$����������� �����#����������%������ �
�����������6���������)� ������+,��������� .�������� ���������� �� ���������
��� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
��6�!� ��$����������������.����������� ������� ������� ������������������
���������.��� ��$���������������� � ��.����%���� � �������"����������
������.��������������������� ������������������ ���0�����������.����
���!�������� ���������������������� �$!����������!� ������������ ��������
���������������������� ����%������������������������������������ �� ���
� ��� ������ ���6�������������!������� �$�����������������������������������
������������������������������� ���%���� ����� ��������������������� �!����
����� ��������������6������� ��������������������6����������������������
��������)� ������+,��0�����������.��������!������������ ������� ���� �������
�� ���� ���� ����� �� ����� ����� ���� %��� �������� ��� �� �� �� ��� �� �
��" ���������� ����������� ����������������������� ����������%�����
������� ������������6�� ���� ����� ��
0������ ��!������������������ �� �������������������������� ���������������
��� ����� ��� �����������@
) , %���������������� ��� ������������ �����#��������������� ������
������������������ ������������� ����������������� ������
�� � �������� ��� ��������������������������
) , %��������������������� ��������������� ����$����� ������� �
� �����#���������� ��������������������������������� �� �������
����� �����
) , %��������������������� ����������������� �������������������
������ ��������������� �����#���������� ����������� ������������� ��
0������� ��������������������!������� �� ���������� �����������"� � ���
��������� �������������������������� ��� ��������%�������!���������������
����������������� � ����"����������������������������� ������������ ��� �
��/ ��)���4�,��'��� �����"��������� ������������������� ��� ��������@
�������� 1����� ������������������ ���� �� �����������������3 A2�����
������������������������� .��������� �����3������ �������������3���*��
)$ ����� �� � ��� ��� �������� ��� �3 A2�(������ ¥� ��84��+*���'������� �������
������������������ .���������(����3���,��'������������������� ������
�� � �������� ��� ���������������
�������� '����������� �����������(�� �3
� � �3 +
�
) * ,) � ,p�(�+������*�
%�������!�6��������������6��(�� �
n= ¥
¥ -+ �� � �3
��� �� 4
� �
��(���7+�¥���3
6���� ����������� e*� ( ���3*�3��(������
����� ������+! � (����+
>����!��� ���/ ��)���4�,
���( ���+����
� �3
+ ��,
+ 9 ��
+
�
) �
�¥�(��4�����
B������ � �������� ��� ������������������������������������������������ �
� ������
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ���
���
���
���
����
�����
�� �
�"��
���
'�'
�"�(
���'
����
���
����
�"�
��)*
�+�
,,+�
,-�+�
�.//0
��� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
"�( r ������
( ����¥�9����¥��4����¥����3��( ��$�
0������������������ ��������� �����������!�������������������������� �
� ��������������$����������������������� ��������� �� ���������%�����������
������� �������������� ����������������������������� ������������ ��� �
��/ ��)���4�,!��������� ��/"�������������'��������� ����� �� �����������
���� ��������������������� ��� ��������������� ������������������� ������������
�������� �� ���� ���� ����� �� ���� �� � ������!��� ������� �� ��$���� �� ���
�����!� ���������������� ������" ��� ���� �������/ ��)���4�,��%�������
���������������� ���������� �������������������6��������������������������
��" ������������������������ ��� ����������������������%��������� �
��������� �������� � ���������������� ���� ����� ������/"���������� ���� ���
������ ���� ���� ��� ���� ������� ����� ��� �� ������ ��� ) ,� ���� ) ,!� ��
���� ��������!������ ��������@
�������� # ����$ ����� ��� ��� �����83��+*������������������������������
������� ��� ������������ ���������������+3�����������������������������
0����������������������� ������������+���� ��3��������� �!������ ���������
���������������� �C
�������� & ������������ ��� ����$���!�6�� ����$�����6���� �����������e*�(���+3*����(�����+3�
'��������������� �� ������������� ������� ������������ ������������ ������+
�����(����+4
%����/ ��)���4�,�� ������� ������ ��
3�( ���+4��+�
� �� + 9 ��
+
� �
�
¥����! ��( ��77���*�
%���! 6��(� 77� � ��
��� 77� ��
3
�� ��
¥ = ¥-
%�����������6�!�� ���e*���������+3!�� ���� ��(������4�)� ������+,��%��������
������ ����� �� ������������������� ������� �����(������4!���
3�( �����4�¥� �+�� � + 9 ��
+
� �
�
¥�� ���� ��� ��( ��4����*�
��� 6��(� 4�� � ��
�� 3
� �¥- �(���4���¥����
%������������������ ��6��)� ������+,����������������%�������� �����������������
�������������� �������������� ����4�D��� ��� �� �� �� � ������>����������������
��(���4����*�� ������������������ ����������
%�������!����������������(���4���¥�)p*�,�¥�)����,+�(���������*�
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ���
��������� 1����� �������� .������������ .��� ��� ����������������� �
������ �� � ������� �� ������ ��� ����3���*��� ��� �� ���� �� ����� �� 9���� )%�$�
$ ����� �� � ��� ��� �������� n� (������ ¥� ��84��+*�!� ���� ���� �������� �������
������������������ .��� ���(����3���,�
�������� ���� )���4�,!
9�(
+
+
��� ����3 �
+ 9���*��
� �p
Ê ˆÁ ˜ ¥Ë ¯
�� ���� ��� �3�( ����+� � )����,
��� 6��(� ��3
� ��� ��+ 4
�
) * , �
�
�p ¥ ¥ -
( 9��9�¥����� ��
)���9,
� ���!��������� �� �� �������������+��
%���� ����/ �� )����, ��( ���94��
��������/ ��)���9, 6��( �����¥���3
%�������� ����������� e*��(� �3
� �94
�
��¥���8��(������74
� ����������������6������e*�$���������������������� ������������ ������+���
����9��� ����� �������������������9!������������� ����������6������/ ��)����,
����)���9,�� ������(�����7��!�6��(�3��7�¥���3��e*���������)���3*����7,�¥���8�(���������%����������������6������Œ*����� �����(�����9+������ ������+��%� �
����������� ���������� � ����)����D,������������ ���������������9��%�������
���������������� ���������(�����7��� ������������������ ����������
���/ ��� ���������� �������������������)�)����
2�� ��������������������������������� ������������������� ��� ��������
%������������ ���������%������� ��� ����� ���������������������������%��
� ���������������������������������� ��D&��������� ������� ������%�������
��������������������� ������������ ��%��'� ��� ����?������ =��� ��� �
����������� ����������%���������������������� ��������������� ���� ���
����
�r�E�&��E�'��(
����
�r�E�&%�E�'%�E���
� D &�( )'��E�&�,�8�)'%�E�&%,�(��� )�����,
������ ��� �� ���� ���� �� ����� �� ���� ������ �� ���� ���� �� �� %�� %�������!
/ ��)�����,�������������������������������!�������������� �������D&�������
� ���� �� ���� ����� ���� �� ����� ���� �� ���� ����� 2�� ��� ��� ���� �� ���
��������� �� �����!� ���� ����� ���� �� ����� ��� ���� ����� ����� �� ������ �� ��
� �������� �������� ��
��� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
patm
patm
B
L
V
D
A
H
HB
ZA
ZB
HA
Datum
����� ���� ���#� ��� ��1���� ��������� ��"��2���� �� ��� !��
���(� 3
+
+� �
�E �
�
�
�
�
+
+E
�
�
+
+
;��� �� ����� �� �� �� �� ���� � /" �����������
������ �� ���� � �� ���� �� ������ �� %
���������� ��� ������� �
(�+
��3+
� ��
� �
Ê ˆ+Á ˜Ë ¯)�����,
�����!��� ������������������ ��������� ������ ���%������� ����� ����������
� ��� �� ��������������� ������ ��������������������!�� ���!�������������������!
����������������� ������������������������ ������� �� ���� ���������������
%�������!������������� ��/ ��)�����,�������(���*p�+������ ���������
���(+
+ �
�� ��3
�� �
� � �p
È ˘Ê ˆ+Í ˙Á ˜Ë ¯Î ˚
� ���( ( �+ )����+,
�����! (�(+ �
���3
��
�� �p
È ˘Ê ˆ+Í ˙Á ˜Ë ¯Î ˚)�����,
%�������� (� ����� ������� ���� ������� �������� 0����� ���� �������� ��������
������������6�!������������ ��������"����������/ ��)�����,��������� ���
������� �������� ������������ �������������/ ��)�����,!�/ ��)����+,�������
�� �������
D &�( (�+ )�����,
D&� ��/ ��)�����,� ��������������� ��������������� ����� ������������ ��������� �
�������� ������������������%�
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ��
%� ��� ��� �� ������������� ������������������������ ��� � ���������
��� �� ��������� ����� ��� ���0������������� �� ��������� ����� ��� �!�D��(�� !������
D�� �� ���� ������� �� ������ ���� ���� ��� � ��������� ������ �� ��� ���� ����
��� ������� ������������������ ��������������� ���������� �� �� ��%���� ��������
������� �� ����� �� ��� ���� ������� ��� �� ��� ������ ���� � ��� �� �� � ������
��� �������������!������ ��������� �������������� ��� ������� ��� ��� �� �
��� ����������� ���������������������%�������!�������� ���������������
����� �� � ��� ����� ���� ����� ���� ��� / �� )�����,� ���� ��� �"������� ��� ��
� � ������������� ���������$���������������� ��� ��������
Q2R
H
����� ��� �1��2���� ����� �������� #��3�"4" ���������"��'��'�'�����#�'�������"!�#�������$�����%
���5 ������6��76�8���6��� � �)
0�� �������� ���� ���� � ���� ��!� ���� ��$��� ����� ������ �� � ���� ����� ������
� �������� ���F �������������� ����� ����� ����� ������������ ������� ��� ���
�����������
���5�� �'�"����)����"
0���� �� ��� ��F ��������������� �� ���� ����� ���� �!������������� ���
���� ����� ��� �� ��� ����'� �� ���� �"����� �� ��� �� ��� ��� �� ����� �
� ������3��>���������� ����!�%�����������F ���� ����� ���
AB
QA
QA = QB = QC
VA
QB VC
VB
C
DA
LA
H1 H2
1 2DB
LB
DC
LC
QC
����� ��� �'�"� ��� "����"
0���� ������!������������������ �������� ������� ���>����!
���( �%�(����(��
0������������������� ���������&������)������� ������� ���,� ��&���� ��� ���������
�����&+!������������������&����+�)��������" ���� ���,!����������������$�������
�� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
��������+��������������������� �� ���� ����� ����'� ��� ����?������ =�
� ��� ����������&����������+�� ���
&��8�&+�( ��
�����!���� ���������������������������������������+��6���� . �������� ��
������F������������ ������ ����������!������������� �������
���( ����
�
�
�
�
�
�+
+E
) ,� �
�
� %- +
+E �
�
�
�
�%
%
%
%+
+E
+ +�
�+
�
�
�
� �
Ê ˆ-Á ˜Ë ¯
�� �� �� ��� ;��� ���� � �� �� �� ��� ;��� ���� �� �����
�� ��� � ������������ �� � �� ��% � ������� �� ��� �����
��������� ��% ��� ���
E� ����
�
�
�
�
�
�+
+)����3,
�� �� ������ ��B ��2
%��� ������ ��� �!� %� ���� �� ������ �� ���� ���� � ��� �� �� �!� %� ���� �
������ ��������� ���������� � ������������� ��
%����������������� �� �������� ��� �
��(p p p�
��
��
���
%%
��
+ + +
� � �= = )����4,
G��� � �����$��%�������� ��/ ��)����3,���������� ����������/ ��)����4,!�������
���
���(
++
+ 3 + + � + 3
� � � ��� � %
� %
� % � %
� � �� �
� � � � � � �p p p
È Ê ˆÍ + - +Á ˜Í Ë ¯Î(� (+ (�
E�
+
+
+ � + 3
� � � �� �
�� � �
�� �
�� � � �p p
˘Ê ˆ ˙- +Á ˜Ë ¯ ˙)����7,
(� (3
� ���( (�+
�����! (�( (��E�(+�E�(��E�(��E�(3 )�����,
/ ��� ��)�����,����������������������������� ������� ��� �������������������
� ����������� ����������������%�������!���������������������������� ���
������� � ������������� ���������$���������������� ��� ������4�
Q2Q2
H1
R1 R3R2 R4 R5
H2
��������� �1��2���� � ���� ������ �� #��3� "4" ��� ���� ���#� !���$!�'�'�"� ��� "����"
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ���
���5�� �'�"���� �������
��������������� ���������������!��������� ��� ������7!���������������
� � ������������� ����������������������� �!����� ��������� ������� ����������
0���� �������)� ������7,!�� ��� ������� �� ���� ���
��( ���E��% )����9,
�����!��� ��������������������������������%�������������������������� ����
����%������� ������;�������������������������� ���������+���������"������
��� ��� ��� ?������ =�� � ��� �� � ����� ������� ���� ���� �8�8+� �� �8%8+�
%�������!���������� ��
QA DA
DB
Q Q
A
BQB
H1 1 2 H2
����� ���� �'�"� ��� '�������
&��8�&+�( ��
�
�
�
�
� �� ��
�
�
� �
�
� �
+
+ 3
+
+
�=
p
��� &��8�&+��( ��
�
�
�
�
� �� �%
%
%
% %
%
% %
+
+ 3
+
+
�=
p
/ ��� ����������������"���� ��!�������
��+�(
(
(�%
�%+ )���+�,
�����! (��(�+ 3
�
� ���
�
�p
(%�(�+ 3
�
� ��%
%
%p/ ��� ���)����9,�����)���+�,�� ��
���()
)� �
)�%
�
�
�+=
+! )���+�,
�����! )�( ( (% �* )���++,
��� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
%�������������������������� ����������� � ������������� ����� ��� ���������� �
� ��������
RA
RBH1 H2
QA
QBQ2 Q22
2
����� ��� �1��2���� � ���� ������ �� #��3� "4" ��� ���� ���#� !���$!� '�'�"� ��� '�������
�������������� ����� ������������������������ ���) ��� ����� ����
�� �������!� �� �� ��� ��� �� �� ���,!� ���� ���� ��� � �� ���� ���� ��
������ .��@
) , %����� �� ��� ��� ��)/ ������,������������ �� ����������� ��
) , %��������������������������������������� ���
) , '������ �����������������������������F���� ����������.��!� �������
������������������������������F���� ����������� ��������������
����������������������� ��
) �, '������ ����������������������������"�)�+,���������������� ������
)������������ ��������� ������������ ���� �������,���������.��� �
����������������� ��� ��� ��
%���� �� ����) ,�����) �,���������� ����������� ��������
S���( �����������)H���� �, )���+�,
S�(I�I��( �� ����� )���+�,
�� ���/ ��)���+�,� �� �������� �� �������� �� ��� ����������� ��� ��� �!
/ ��)���+�,� ������������������������� ��� ��������� ��� ��
���5�% �'���� #��39�)��� �����4�6���4���""�*� !��
%���� ��� ��� ��������������� ������ ��� ��������������������� �������$
��� � �������� ��� ���� ��� ����� ����������������%�������� ��� ��� �� �
�� �� �����$� �� ������ ���� ����/ �� )���+�,� ���� )���+�,��%��� ���� ���
/ ��)���+�,�����)���+�,������������� ������������� ����� �������� ���� �����
� � ��������� �����%���������������������>�����2�������� ������� ���
����@
)�, %��� ���� ������ �� ����� �� ���� �������� �� ����� ���� ��� �� ��
)/ �����+�,������������� ����� �� ����J�������������������� ���������
��������������������������� �������(������ ���������
)�, 0�� ���� �������� ������� �� ���� ������ ���� ��� ������!� ���� �������
� ��� ��)/ ��)���+�,�� ������������ �� ����%������������ ��������������
����������������� ����� ��� �������/ ��)���+�,�
;������������������������ ��������������������������������������%����������
������ ���������� ������
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ���
��( ���E��� )���+3,
;�� ��( (I�I� )���+4�,
��� �¢�( (I��I�� )���+4�,
%��������� �����/ ��)���+�,
S��¢�( � ����� )���+7�,
��� S���( � ����� )���+7�,
�������� ����� ������������������ ����������� ��� ���������� ��������������
������������������ �����������
����/ ��)���+7�,�����)���+7�,��������
S�)��8��¢,�( �
�! S����( � )���+�,
���������)(� ��8� �¢,� �� ��������� ����������� ��� �� ����������'�� �� ���/ ��)���+4�,!���������� ��
�
�
�
��( +(I�I
�! ���( +(I�I�� )���+9,
&���� ��� ����������������������/ ��)���+9,� ��/ ��)���+�,��������
S�+(I�I���( �
2�� ��� ������������������������������������������� ������� �����!�������
�� ��
���(�
( �S+ I I)�����,
%���/ ��)�����,���������� ������ �������������/ ��)���+4�,�����)���+7�,���
���(SS( � �
( �
I I
I I+)�����,
%�������� �������������� �������� ��������/ ��)�����,������������������ �
��������������� �������������������� �����/ ��)���+3,��%����������� �
�������������������������������������� ����� ��������������������������������
%���>�����2����������������������� �������������� ��� ��� ������ � ��
��������� ���� ����%������������ ��� ��)/ ��)���+�,,� �������� � ��� �
��� ����� �����������������)��,����������� �$�)���� ��,���
8�D&�E�S(I�I��( � )����+,
������D&� �������������� ����������������� ������� ��� ���%�������!������������
D&����������� ������ ��/ ��)����+,�� ������� � �������������������� �������
���� ���
%����� ��� ����>�����2���������� ���� �������$� �� ����������� �����
���� ����"�����
��������� '� �������$�� ��������� ������� ��� ������9��1����� ��
�������� ������� �������� �������3��� ����������F���� �����������������+��
��� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
�� ��� ���� ���� �� ��� ��� F���� ��� �� ���� �� ������ ������ %��� ��� ������� (� ��
� �������� ������������ ������� �����
5.0 units
R = 200 units R = 300 units
2.0 units 3.0 units
R = 120 units
R = 150 units
R = 400 units
A
D
B
C
����� ���� �� '�'�� �� #��3
�������� ����� ���� �� ����������� � ������$� ������������������%�
����%����%��� ����� ������� �����������>�����2������������������������
%���� ����� �������������������������������������������� ��� ������� ��� ��������K
���������� ��!���� �����������������/ ��)�����,��'������ ������ ��!������������� �
������������� ���������������������� �������� ������������� �����>��������
�������� ����������������� ���������������� ������ ���
� ������ ��
�;��%� ;�%��
( I�I� +( I�I ( I�I� +(I�I
�+��¥�++�(���� +�¥��+��¥�+�(���� ����¥�)��+,+�(���+ +�¥�����¥���+�(�7+�����¥�)���,+�(�+34 +�¥�����¥�����(�4�� 8��3��¥�)���,+�(�8���4 +�¥��3��¥�����(�3��8�+���¥��+�(�8����� +�¥�+���¥���(��+�� 8�����¥�)���,+�(�8�+34 +�¥�����¥�����(�4��
S(I�I��(�8���4� +S(I�I� (� +�+� S(I�I��(�8���� +S(I�I� (� �9��
���(�SS
( � �
( �
I I
I I+���(�
SS
( � �
( �
I I
I I+
(�-��4�+�+�
(�-����9��
(�8����4 (�8����4
&������� ��@
�;��%� ;�%��
( I�I� +( I�I ( I�I� +(I�I
�+��¥�)+��4,+�(�7+4��9 +�¥��+��¥�+��4�(�39���� ����¥�)���4,+�(�33���� +�¥�����¥����4�(���4
����¥�)����,+�(������� +�¥�����¥������(������� 8��3��¥�)��4�,+�(�8������� +�¥��3��¥���4��(��9+
8�+���¥�)+�3�,+�(�8�+9���+ +�¥�+���¥�+�3��(����4��� 8�����¥�)����,+�(�8������� +�¥�����¥������(����
S(I�I�� (� 8� 3���� +S(I�I� (� +��4��� S(I�I�� (� 8� ��+�34 +S(I�I� (� +���
���(�S
S( � �
( �
I I
I I+���(�
SS( � �
( �
I I
I I+
(�-3� ��
+��4 ��
�
�(�
-��+ 34
+���
�
(�8����+ (�8����3
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ���
R = 120
R = 120
R = 120
R = 120
R = 120
(a) First trial
(c) Third trial
(b) Second trial
(d) Fourth trial
(d) Fifth trial
R=
30
0R
=300
R=
300
R=
300
R=
300
R=
20
0R
=200
R=
200
R=
200
R=
200
R = 150
R = 150
R = 150
R = 150
R = 150
2.0
2.48
2.46
2.54
2.548
1.8
1.49
1.64
1.48
1.46
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
2.5
2
2.5
42.4
6
2.4
52
1.2
1.5
1
0.8
0.97
1.10
1.02
1.00
8
R=
400
R=
400
R=
400
R=
400
1.3
61.5
2
1.5
40
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
A
A
A
A
A
D
D
D
D
D
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
����� ����� ���#���" ���� ���������'�'���� #��3��� ����������� � ����"
���� !���:��'���/
��� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
%� ����� ��@
;��%� ;�%��
( I�I� +( I�I ( I�I� +(I�I
�+��¥�)+���,+�(�7����3 +�¥��+��¥�+����(�393�+� ����¥�)��3�,+�(�4����� +�¥�����¥���3��(�9�4���
����¥�)��97,+�(��74��4 +�¥�����¥���97�(�774��� 8��3��¥�)���9,+�(�8������� +�¥��3��¥����9�(���7���
8+���¥�)+�3+,+�(�8��+7���� +�¥�+���¥�+�3+�(�������� 8�����¥�)��97,+�(�8��74��4 +�¥�����¥���97�(�774���
S(I�I�� (� 8� �33�47 +S(I�I� (� +�79�+� S(I�I�� (� 8� +3��� +S(I�I� (� +�+9
���(�SS
( � �
( �
I I
I I+���(�
SS
( � �
( �
I I
I I+
(�-�33 47
+�79 47
�
�(�
-+3 ��
+�+9
�
(�8����4 (�8�����
�������� ��@
;��%� ;�%��
( I�I� +( I�I ( I�I� +(I�I
�+��¥�)+�3�,+�(�77��+� +�¥��+��¥�+�3��(�4�9�4� ����¥�)��3+,+�(�49���+ +�¥�����¥���3+�(�9�+���
����¥�)���+,+�(���4��4 +�¥�����¥����+�(���4��� 8��3��¥�)����,+�(�8��+��34 +�¥��3��¥������(�������
8+���¥�)+��4,+�(�8��+����+ +�¥�+���¥�+��4�(�9����� 8�����¥�)���+,+�(�8���4��4 +�¥�����¥����+�(���4���
S(I�I�� (� 8� �9�94 +S(I�I� (� +��9�4� S(I�I��(�8�3��4 +S(I�I� (� +�7+
���(SS
( � �
( �
I I
I I+���(�
SS
( � �
( �
I I
I I+
(-�9 94
+��9 4�
�
�(�
-3� 4+�7+
�
( 8������ (�8����+
� ������ ��@
;��%� ;�%��
( I�I� +( I�I ( I�I� +(I�I
�+��¥�)+�3�,+�(�779��� +�¥��+��¥�+�3��(�4�9�+� ����¥�)��3�,+�(�7����� +�¥�����¥���3��(�9+����
����¥�)�����,+�(���4��+ +�¥�����¥�������(���4��� 8��3��¥�)���4,+�(�8���9�7� +�¥��3��¥����4�(�������
8+���¥�)+��3+,+�(�8�+�+��4 +�¥�+���¥�+��3+�(�9����� 8�����¥�)����,+�(�8���4��+ +�¥�����¥�������(���4���
S(I�I�� (� 8� �4�94 +S(I�I� (� +��4��� S(I�I�� (� 8� ���4� +S(I�I� (� +�4����
���(�SS
( � �
( �
I I
I I+���(�
SS
( � �
( �
I I
I I+
(�-�4 94
+��4 ��
�
�(�
-�� 4�
+�4� ��
�
�
(�8�����7 (�8�����7
���, ������6��76� � �)����6�)������ ��7)
0����������������������� �!������ ���������� ����������������� ����� ���
���������������������� ���������� ��� ����������0������� ����� ������������
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ���
������������!����������������������� ������������� ������������ ������
����� �����
q
q
dx
QxQo
Vx
x
1
1
����� ����� ���#� !���$!� '�'�"� #� !� "���� �''��$"
%��� ����� �� ���� ������� ���� �!� ������ �� �� � ���� �!� ���������� �� ���
� ���� ��������������� ����� �����%�������!��������������������� ���������
���� �������� �� ��������������%����� �� �����������������������������������
�*������� ������������� ����������� �������
����( ��*
�
�
�
*+
+)�����,
�����!��*� ���������������������� ��������������� ���0������� ����� ������������
������������!�/ ��)�����,�������� ������������������ �����������������������
�� �� ��������� ������������������� �!��� ���!��*���������������� ���������
���� ��������� ���� ���;��������� ���!� ��� �� ������!���&��� ���8����� ���
�������� F���� �������� ��� ���� � ��� �� ���� ���� �� ����� 0�� ���� �� ���� ���
�� ����������������������!��������������� �� ���������������� ���������+���
�� ��������������� �!��������������������������*������� �������*��������� ����
&��� ���8����������� �������
�*�( ���8�+*
�����!���� ������������������������&�����8���>����!
�*�(� �
�+
�+
�
�
�
�
�
+
�**
p p= −F
HGIKJ )�����,
&���� ��� ����*�����/ ��)�����,� ���/ ��)�����,!��������!
����(
++�
+ 3�
�4� �
+
� � +* *
�� �pÊ ˆ
-Á ˜Ë ¯)����3,
%�������!������������������������ �� ����������������� ��� ������
���(+ +
+�
+ 3 +� ��
� �� �
�
�
�
� � � + +� � �
�� � �p
Ê ˆ= - +Á ˜Ë ¯Ú )����4�,
��� ������� �� �� ��� � ������ ��� ��� ��� � ���� ���
>���!������� �� �������� �� ����������������������������������������������
������ ���0��������� ����������&�������� ����� �����������������������!�����!
���8�+��( � �+
��
�(��
�
/ ��� ��)����4)�,,!��������� ��� ���� �!�������
���(��
�
�+
+ 3
� � �
� �p�(
�
�
� �
+
�
�
�
+
�+
+
�+�
�
�
�
� ��
�
��
�pFHG
IKJ = )����4�,
�����!���� ������������������ ���������������� �����&��� ���8��
/ ��� ��)����4�,� �� ���������������������������������� �� ����������������
���� �!�������������� ������� ����� ��������� ��������������� ����� ���!
������������ ���������� ���� ��������������������� ������!������ ������ ��
�� ����
���- ��))�)� ��� � ��8���)
����� ����� ���#� !���$!�'�'�
����
BD
CA
?����������� ���� �� �����������
���� � ���� �� �� ���� ������� ��� '�
��� � ��������������!��������������
��������� ���� �� �!���$�������� �����
������������������� ��������%��
��� ����$������������������ ������ ��
������� �� �� ����� ��� ����� �
� �������+���������������� ������� ���
������� ���!� ������ ����� ��� �� ����
��� ������ ����� ���������������� ���
�� ������� ��������������� �!�$���
� �� ����� ������ ��������� ��� %� �
�������� ����� �������� ���������������������������������������!������ ���������
�����)� �������+,������ � ���������" ����������� ���%��%����� �������
������ ��������������������� ����������� � ������ � ����������������������
����� ������ ��������������%����������������������%��������������������
������� ���"�� ����������������������������� ����)������������ ��������� �����
� ���� �������,����� ����� ����� ���� ����� �!�������������� ��������" � ��
�� ��������!� ����� ��� ���� � ��� ���� ������ ������� ���� �������� �������
���� ���������� ������������������ �������������������������������� ����
������ �� ������� �� ������� ��� ����� ��� ���� ;����� ���� ��$�� ����� ���� �� �
������������� ��������� �������������� ��������������������� ���������� �
������� �������������� ���%� �����!� ����F���� ��� ��������� �����!�������
���� ����� ������ ����������� ���� ������ ������������������������� ������
��� ����� �������� ��� ����������������������������������������%� ��� ���
�� ����������� �� �������������������������� ��������������� ������� ������
���� ������!���������������������� �������������� �� ������������������������
���� ��� ��� �� � ����� ����� !������ " ��� ��
�� �������������������������������� �������� ���� �����������������������
� �������
%������ � ���� ����������� )����� ���� ��������� �������� �� �� �,� �� ���
������� �������� ��$�������������������� �����������"����������������� ���
�������� �����������)�+*+�!��������� ������������������ �������������������
���%�����������)������������������������������������������������ ������ ��
��������������������������� ��� �������(*���%������ ���������������(� �
����������$������������� ����������������������������� ���������������%���������)
��� ����� ������� ���6��������������6�� �������� ������������6������������� �
���� ��!� ���� ���������� ��� �������� ���������
���; ��))�)� ��� � �� ������7)
'����� � �����������������$�������� ������������������������� ��� �� ���
� $��������!���� �������������0���������!���������� ���������������� �!��������
����������������������������������!������������������ ����������� ������
�������������������� ��������������������"����������)�+*+�!��������� �����
������������ ����������%�����������)���������������"������������������
���������%� �������������)������ ���� ��%�����������& ����������� ������������
���� �� ������� ����������� ����������������!������������������������������
���� �� ����������������� ������������� ����������������������������������
�� ������������������������
%������������������� �����"������� �������������� � ������������������
������������ ���� ���� �� ���� ��� ��� � ���� ��������� ����� ��� ���� ����
���������������� ����%���� �
)��
�
+
+�( �� �
�
�
�
�
�+
+�
�
�
� �(�)
�)����7,
������������������������ � ���������������� ��� �����������"������� ���������
���� ��� ����������� �������/ ��)����7,��%������ *������������������ �� �
������ �!��������������������6��������������������������������� ��
������ ���� �''��:��� �� ��""� ��������� "� �� ���� ���������� �'�� �� ��$"
!��������� � ����� �� ��� ���������)
:���������! � ����� ��
:���������! � ����� ��+
������ ���������� ���3
������� 3�4
��������� +�
B����������� ��3
9�A������)��������, ��9
�3A������)��������, ���
& �����������!�F���� � ���