Homework-Group Theory and Molecular Spectroscopy FQM 512

Professor: Ramiro Arratia Perez Assistant: Plinio Cantero López

UNITARY AND HERMITIAN MATRICES

Definition of the Conjugate Transpose of a Complex Matrix

Matrix with real entries

Properties of Conjugate Transpose

Unitary Matrices

Therefore, A is a unitary matrix.

Theorem

An complex matrix A is unitary if and only if its row (or column) vectors form an orthonormal set in 𝐶𝑛

Hermitian Matrices

Theorem If A is a Hermitian matrix, then its eigenvalues are real numbers

D = T-1 A T

Grupo

Elementos relacionados entre sí mediante ciertas reglas. Pueden ser finitos o infinitos

El agrupamiento de todos los elementos de simetría presentes en una molécula, junto con la identidad, se conoce como :

GRUPO DE SIMETRIA

O también como

GRUPO PUNTUAL DE SIMETRIA

C4

4 , 4, 90C n

det 𝑅(𝜃) = +1 det 𝑅(−𝜃) = −1

6 , 6, 60C n

C6 C6

C6 C6

C6

C6

𝐶2𝑘 =

−𝑐𝑜𝑠2𝜃 −𝑠𝑒𝑛2𝜃 0−𝑠𝑒𝑛2𝜃 −𝑐𝑜𝑠2𝜃 0

0 0 −1

𝑐2𝑦 =𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃0 1 0

−𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐2𝑥 =

𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃

0 1 0

4

2

𝜎𝑥𝑧 =1 0 00 −1 00 0 1

𝜎𝑛 =𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 0𝑠𝑒𝑛2𝜃 −𝑐𝑜𝑠2𝜃 00 0 1

𝑅𝑍(2𝜋 3)𝑥𝜎𝑥𝑧 = 𝜎𝑣2 𝑅𝑍(2𝜋 3)𝑥𝜎𝑣2 = 𝜎𝑣3

𝜎ℎ =1 0 00 1 00 0 −1

𝑖 =−1 0 00 −1 00 0 −1

Snm = Cn·σ = σ·Cn

𝜎𝑑 : plano diedro

S1 h

S2 i

Sn n > 2

Si n es par Snn = E

Si n es impar Snn = h y Sn

2n = E

Si m es par Snm = Cn

m (si m<n) y

Snm = Cn

m-n (si m>n)

Si m es impar Snm = Cn

m h

1. El producto de dos operaciones cualquiera debe ser una operación del grupo. (Se dice que un grupo es cerrado respecto a la multiplicación). 2. Cada grupo debe tener la operación identidad, E, ya que el producto de una operación y su inversa es la identidad. 3. Cada operación debe tener su inversa 4. Todas las operaciones del grupo deben ser asociativas (AB)C = A(BC) 5. Si presentan la propiedad conmutativa se dice que el grupo es abeliano.

Orden del grupo: el número de elementos en el grupo se llama orden del grupo

CLASIFICACIÓN DE UN GRUPO

1.- Determinar si la molécula es lineal o si pertenece a un grupo altamente simétrico (Td, Oh, Ih). Si no es así pasar a 2

2.- Hallar el eje de rotación propia de orden superior (Cn). En ausencia de tal eje buscar:

(a) un plano de simetría (Cs) (b) un centro de simetría (Ci) (c) ningún elemento de simetría en absoluto (C1)

3.- Si se encuentra un eje Cn, buscar un conjunto de n ejes C2 perpendiculares al mismo. Si estos se encuentran seguir con 4. Si no existen buscar:

(a) un plano horizontal (Cnh) (b) n planos verticales (Cnv) (c) un eje S2n coincidente con el Cn (S2n) (d) ningún plano de simetría ni otros ejes de simetría (Cn)

4.- Si existe un eje Cn y n ejes C2 perpendiculares buscar la presencia de:

(a) un plano horizontal (Dnh) (b) n planos verticales y ningún plano horizontal (Dnd) (c) ningún plano de simetría (Dn)

Cv D

h i C5 i

Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales

GRUPOS INFINITOS

Tienen un número infinito de elementos: Moléculas lineales con o sin centro de simetría

H C N

oo v

C oo

Grupo Cv

No tiene centro de simetría

O C O

voo

v

i

ooC

oo C2

Grupo Dh Tiene centro de simetría

GRUPOS INFINITOS

Existen dos grupos que poseen un solo elemento de simetría además de la identidad. Si el elemento adicional es un plano de simetría el grupo es Cs, si es un centro de simetría el grupo es Ci

S

Br F

O O

C C

Br

Br

H H

Cl

Cl

i

grupo Cs grupo Ci

GRUPOS ESPECIALES

Grupos puntuales cúbicos: tetraedro, octaedro e icosaedro

1.- Tetraedro

C

H

HH

H

C3

4 ejes C3

3 ejes C2C2

C2

C2 S4

S4

S43 ejes S4

d

d6

Grupo Td

17 elementos de simetría (contando E)

24 operaciones de simetría

2.- Octaedro

C3

4 ejes C3

3 ejes C2

C2

2 ejes C2

C2

C2

C4

C4

C4

3 ejes C4

3 ejes C2 (C42)

C2

C2

C2

i

centro de inversión

S4

S4

S4

3 ejes S4

4 ejes S6

S63 planos

3.- Icosaedro

Grupo Ih

120 operaciones de simetría (contando E)

[B12H12]2-

H

H

H

H

H

H

CC C3

d

d

d

C

HH

H

H

HH

C2'

C2'

C2'

Grupo D3d

C C

H H

HH

h

C2

C2'

grupo D2h

N N

F

F

h

C2

BHO

HOOH

h

C3

grupo C2h grupo C3h

Tabla de multiplicación de los grupos Un grupo finito de h elementos tiene h2 productos posibles que se pueden presentar en una tabla de multiplicación de h filas y h columnas, donde los elementos en las columnas y filas contienen cada elemento del grupo y los elementos en la tabla contienen el producto (elemento columna) x (elemento fila).

Teorema del reordenamiento: cada columna y fila de la tabla de multiplicación lista a cada uno de los elementos del grupo solo una vez. (no hay dos filas o columnas idénticas)

Grupos cíclicos:

un grupo cíclico de orden h se define como un elemento X y todas sus potencias hasta X h = E. Los grupos cíclicos son abelianos para todo m y n.

Transformación de similitud:

A, X son dos elementos de un grupo entonces B es la transformación de similitud de A X si B = X -1 A X. Se dice que A y B son conjugados.

1)Cada elemento conjuga consigo mismo: A = X -1 A X

2)Si A es conjugado de B entonces B es conjugado de A: A = X -1 B X y B = Y -1 A Y

3)Si A es conjugado de B y C entonces B es conjugado de C (y C de B).

Tarea: Encontrar las transformaciones de similaridad del grupo C3V

Construir la tabla de multiplicación del grupo C4V por representaciones y por matrices . Adicionalmente obtener las transformaciones de similaridad

[OsCl3(CO)3]- (fac)

C3

[OsCl3(CO)3]- (fac)

𝜎𝑉1 𝜎𝑉2

[OsCl3(CO)3]- (fac)

C3v

cyclohexane (chair)

cyclohexane (chair)

cyclohexane (chair)

𝜎𝑑

cyclohexane (chair) i

cyclohexane (chair)

[Co4(Cp)4] cluster

[Co4(Cp)4] cluster

[Co4(Cp)4] cluster

benzotrifuroxan

benzotrifuroxan

benzotrifuroxan

1,2-dichloroethylene (trans)

Tarea: Encontrar todas las matrices que representan cada una de las operaciones de las moléculas discutidas en la clase 2 de Teoría de Grupos Resolver el ejercicio 1.5 del Carter(MOLECULAR SYMMETRY AND GROUP THEORY)