INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS

Bernard Dacorogna

avec 128 exercices corrigés

2e édition revue et augmentée

Introduction au Calcul des Variations

Bernard Dacorogna

iv

Table des matières

Préface à la deuxième édition française xi

0 Introduction 10.1 Quelques commentaires historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Le problème modèle et quelques exemples . . . . . . . . . . . . . 30.3 Présentation du contenu de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Préliminaires 131.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Notations et espaces de fonctions continues . . . . . . . . 141.2.2 Fonctions Hölder continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Dé nitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Convergence faible et théorème de Riemann-Lebesgue . . 221.3.3 Le lemme fondamental du calcul des variations . . . . . . 271.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Dé nitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . 301.4.2 Quelques propriétés supplémentaires . . . . . . . . . . . . 341.4.3 Théorèmes d’immersion et d’immersion compacte . . . . . 401.4.4 Extension de fonction dans les espaces de Sobolev . . . . 431.4.5 Inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.5 Analyse convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

v

vi TABLE DES MATIÈRES

2 Les méthodes classiques 572.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.1 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.2 Quelques cas particuliers importants . . . . . . . . . . . . 622.2.3 Le phénomène de Lavrentiev . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Deuxième forme de l’équation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . 732.3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.4 Formulation hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.1 Un lemme technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4.2 Le théorème principal et quelques exemples . . . . . . . . 792.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.5.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.6 Théories des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6.1 Un cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.6.2 Champs exacts et théorème de Hilbert . . . . . . . . . . . 912.6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3 Les méthodes directes : existence 953.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2 Le cas modèle : l’intégrale de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.3 Un théorème général d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.1 Le théorème principal et quelques exemples . . . . . . . . 1003.3.2 Démonstration du théorème principal . . . . . . . . . . . 1043.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.4 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.4.1 Le cas régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.4.2 Le théorème principal et sa démonstration . . . . . . . . . 1093.4.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.5 Le cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.5.1 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.5.2 Continuité faible du déterminant . . . . . . . . . . . . . . 1193.5.3 Démonstration du théorème principal . . . . . . . . . . . 1233.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.6 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6.1 Le théorème de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

TABLE DES MATIÈRES vii

4 Les méthodes directes régularité 1334.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.2 Le cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.2.1 Un cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2.2 Deux théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.3 La méthode des quotients di érentiels : régularité intérieure . . . 1424.3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.3.2 L’intégrale de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3.3 Un cas plus général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.4 La méthode des quotients di érentiels : régularité jusqu’au bord 1534.4.1 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.5 Régularité supérieure pour l’intégrale de Dirichlet . . . . . . . . . 1574.5.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.6 Lemme de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.6.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.7 Quelques résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.7.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5 Surfaces minimales 1695.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.2 Généralités sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.2.1 Dé nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.2.2 Surface minimale et surface d’aire minimale . . . . . . . . 1775.2.3 Coordonnées isothermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.3 La méthode de Douglas-Courant-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . 1835.3.1 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.4 Régularité, unicité et non unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.5 Surface minimale non paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.5.1 Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.5.2 Le théorème de Korn-Müntz . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.5.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6 L’inégalité isopérimétrique 1976.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2 Le cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2.1 Inégalité de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2.2 L’inégalité isopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.2.3 Stabilité de l’inégalité isopérimétrique . . . . . . . . . . . 2026.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

viii TABLE DES MATIÈRES

6.3 Le cas de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.3.1 La formule de Minkowski-Steiner . . . . . . . . . . . . . . 2076.3.2 Le théorème de Brunn-Minkowski . . . . . . . . . . . . . 2106.3.3 L’inégalité isopérimétrique en dimension . . . . . . . . . 2116.3.4 Démonstration du théorème de Brunn-Minkowski . . . . . 2126.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7 Corrigés des exercices 2177.1 Chapitre 1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.1.1 Espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.1.2 Espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.1.3 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.1.4 Analyse convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.2 Chapitre 2. Les méthodes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.2.1 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.2.2 Deuxième forme de l’équation d’Euler-Lagrange . . . . . . 2587.2.3 Formulation hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.2.4 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.2.5 Théories des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.3 Chapitre 3. Les méthodes directes : existence . . . . . . . . . . . 2657.3.1 Le cas modèle : l’intégrale de Dirichlet . . . . . . . . . . . 2657.3.2 Un théorème général d’existence . . . . . . . . . . . . . . 2677.3.3 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.3.4 Le cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.3.5 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

7.4 Chapitre 4. Les méthodes directes : régularité . . . . . . . . . . . 2837.4.1 Le cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2837.4.2 La méthode des quotients di érentiels : régularité intérieure2877.4.3 La méthode des quotients di érentiels : régularité jusqu’au

bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.4.4 Régularité supérieure pour l’intégrale de Dirichlet . . . . 2917.4.5 Lemme de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2957.4.6 Quelques résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

7.5 Chapitre 5. Surfaces minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3007.5.1 Généralités sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 3007.5.2 La méthode de Douglas-Courant-Tonelli . . . . . . . . . . 3037.5.3 Surface minimale non paramétrée . . . . . . . . . . . . . . 304

7.6 Chapitre 6. Inégalité isopérimetrique . . . . . . . . . . . . . . . . 3047.6.1 Le cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3047.6.2 Le cas de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Bibliographie 313

TABLE DES MATIÈRES ix

Index 321

x TABLE DES MATIÈRES

Préface à la deuxièmeédition française

Le présent ouvrage a maintenant une longue histoire. La première éditionfrançaise est parue en 1992 aux Presses Polytechniques et Universitaires Ro-mandes (PPUR). Elle a été suivie de trois éditions anglaises en 2004, 2009 et2015 publiées par Imperial College Press (World Scienti c). La structure du livreest restée la même, mais sa taille a doublé.Après de nombreuses années d’expérience, je pense que le livre peut servir de

manière adéquate comme une présentation su samment générale du calcul desvariations. Il peut être et a été utilisé aussi bien au niveau d’un cours de maîtriseque de doctorat. A un niveau plus avancé il devra évidemment être complété pard’autres livres plus spécialisés et dont certains sont explicitement recommandésdans chacun des chapitres. Une des caractéristiques du présent ouvrage est lenombre important d’exercices (maintenant 128) qui sont proposés dans chaquechapitre et qui sont intégralement résolus dans le chapitre 7.Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathématiques. De

nombreux grands noms des mathématiques ont contribué, et ceci depuis destemps anciens, à son développement. C’est un sujet toujours très actif et enpleine évolution. Outre son importance purement mathématique et ses liensavec de nombreux sujets comme les équations di érentielles ou la géométrie,il est beaucoup utilisé en physique, en ingénierie, en économie ou en biologie. Ilest évidemment impossible dans un tel ouvrage de parler de ces nombreuses ap-plications ; mais je suis sûr qu’un lecteur motivé, qu’il soit physicien, ingénieur,économiste ou biologiste, verra facilement comment appliquer les résultats pré-sentés ici à son sujet propre.Le présent ouvrage ne doit pas être vu comme un livre de référence mais

plutôt, comme son titre l’indique, comme une introduction détaillée au calculdes variations. Chaque chapitre pourrait faire à lui seul l’objet d’un livre et,de fait, il existe de nombreux ouvrages consacrés à chacun des chapitres. Parexemple, j’ai écrit un livre qui couvre essentiellement le sujet du chapitre 3 sur les

xi

xii Préface à la deuxième édition française

méthodes directes. Par ailleurs plusieurs aspects du calcul des variations ne sontmême pas discutés ici. Le but principal du présent ouvrage est de permettre auxnon spécialistes, qu’ils soient mathématiciens, physiciens, ingénieurs, étudiantsou chercheurs de découvrir les problèmes et les techniques les plus importantsdu sujet. Avec ce but en tête, j’ai souvent, par exemple, démontrer les théorèmessous des hypothèses plus fortes mais su samment signi catives.

Les di érents chapitres peuvent être lus plus ou moins indépendamment. J’airappelé au chapitre 1 certains résultats de base sur les espaces fonctionnels (es-paces de Hölder, ou espaces de Sobolev) et sur l’analyse convexe. Le lecteur,qu’il soit familier ou non avec ces sujets, pourra dans un premier temps omettrela lecture de ce chapitre. Puis à mesure, dès que nécessaire, il pourra s’y référer.La chapitre 1 est surtout utilisé dans les chapitres 3 et 4, mais beaucoup moinsdans les autres. Tous les chapitres, outre de nombreux exemples, contiennent,comme déjà dit, de nombreux exercices intégralement corrigés dans le chapitre7.

Tout au cours des di érentes éditions, j’ai béné cié de nombreuses discussionsavec des étudiants et collègues. Je voudrais particulièrement remercier S. Ban-dyopadhyay, S. Basterrechea, O. Besson, B. Bu oni, S.D. Chatterji, G. Csato,G. Cupini, C. Hebeisen, O. Kneuss, M. M. Marques, F. Meylan, K.D. Semmler,J. Sesiano, S. Sil, D. Strütt et F. Weissbaum.

Chapitre 0

Introduction

0.1 Quelques commentaires historiques

Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathématiques. C’estEuler, qui, au vu des travaux de Lagrange, a donné son nom à ce sujet desmathématiques.

En fait le sujet est beaucoup plus ancien. Il commence avec un des plus vieuxproblèmes des mathématiques : l’inégalité isopérimétrique. Une variante de cetteinégalité est connue comme le problème de Didon (Didon est supposée être uneprincesse phénicienne et plus tard une reine carthaginoise). Plusieurs démons-trations plus ou moins rigoureuses sont connues depuis déjà 200 avant J-C, grâceaux travaux d’Archimède, Pappus et surtout Zénodore qui a montré l’inégalitépour des polygones. Des contributions postérieures notables sont dues à Euler,Galilée, Legendre, L’Huilier, Riccati, Simpson et Steiner. La première démons-tration, au sens moderne du terme, est due à Weierstrass et a été généraliséeou redémontrée de di érentes manières notamment par Blaschke, Bonnesen, Ca-rathéodory, Edler, Frobenius, Hurwitz, Lebesgue, Liebmann, Minkowski, H.A.Schwarz, Sturm et Tonelli entre autres. On peut consulter l’article de Porter [99]pour une présentation historique de cette inégalité.

D’autres problèmes importants du calcul des variations ont été étudiés au17ème siècle en Europe On peut citer, par exemple, le travail de Fermat surl’optique géométrique (1662), le problème de Newton (1685) sur le mouvementdes corps dans un uide (voir aussi Huygens en 1691 sur le même problème)ou le problème de la brachistochrone formulé par Galilée en 1638. Ce dernierproblème a eu une grande in uence sur le développement du calcul des variations.Il a été résolu par Jean Bernoulli en 1696 et presque simultanément par sonfrère Jacques, Leibniz et Newton. L’étape décisive dans l’histoire du calcul des

1

2 Introduction

variations a été réalisée par Euler et Lagrange, qui ont découvert une manièresystématique de traiter ces problèmes en introduisant l’équation que l’on nommemaintenant l’équation d’Euler-Lagrange. Ce travail a été étendu notamment parBliss, Bolza, Carathéodory, Clebsch, Hahn, Hamilton, Hilbert, Kneser, Jacobi,Legendre, Mayer et Weierstrass, parmi de nombreux autres. Pour un historiqueintéressant sur les problèmes unidimensionnels du calcul des variations, on peutconsulter le livre de Goldstine [63].

Au 19ème siècle et en parallèle avec certains des travaux mentionnés ci des-sus, probablement le problème le plus célèbre du calcul des variations, à savoirl’intégrale de Dirichlet, a commencé à être étudié ; un problème d’intégrale mul-tiple. Son importance est en partie due à sa relation avec l’équation de Laplace.Plusieurs contributions importantes ont été apportées notamment par Dirichlet,Gauss, Thompson et Riemann. C’est Hilbert qui, au tournant du 20ème siècle,a résolu le problème et immédiatement après il a été imité par Lebesgue et To-nelli. Leurs méthodes pour résoudre ce problème sont, essentiellement, ce quenous appelons maintenant les méthodes directes du calcul des variations. Ondoit aussi insister sur le fait que ce problème a eu une in uence considérablesur le développement de l’analyse ; on pourra consulter sur ce sujet le livre deMonna [86].

Le problème des surfaces minimales a aussi eu, à peu près au même moment,une grande in uence sur le développement du calcul des variations. Le problèmea été formulé par Lagrange en 1762. Plusieurs contributions signi catives sontdues, entre autres, à Ampère, Beltrami, Bernstein, Bonnet, Catalan, Darboux,Enneper, Haar, Korn, Legendre, Lie, Meusnier, Monge, Müntz, Riemann, H.A.Schwarz, Serret, Weierstrass, Weingarten. Indépendamment Douglas et Rado en1930 sont les premiers à avoir résolu le problème complètement. Une des deuxpremières médailles Fields a été attribuée à Douglas en 1936 pour sa solutiondu problème. Immédiatement après les travaux de Douglas et Rado, plusieursgénéralisations et améliorations sont dues à Courant, Leray, MacShane, Morrey,Morse, Tonelli et plusieurs autres après. Pour des références historiques sur ceproblème, on peut consulter les livres de Dierkes-Hildebrandt-Küster-Wohlrab[41] et Nitsche [91].

En 1900 au congrès international des mathématiciens à Paris, Hilbert a for-mulé 23 problèmes qu’il considérait comme importants pour le développementdes mathématiques au 20ème siècle. Trois d’entre eux (les 19ème, 20ème et23ème) sont consacrés au calcul des variations. Ces “prédictions” de Hilbert ontété amplement justi ées au cours du 20ème siècle et le sujet est encore à l’heureactuelle extrêmement actif.

Finalement mentionnons que nous ne parlerons pas ici de plusieurs sujets im-portants du calcul des variations, tels que les théories de Morse ou de Liusternik-Schnirelman. Le lecteur intéressé pourra consulter avec pro t les livres de Eke-

Le problème modèle et quelques exemples 3

land [44], Mawhin-Willem [85], Struwe [107], Willem [113] ou Zeidler [116].

0.2 Le problème modèle et quelques exemplesDécrivons maintenant plus en détails les problèmes que nous allons considé-

rer. Le cas modèle s’écrit comme

( ) inf

½( ) =

Z( ( ) ( )) :

¾=

En d’autres termes on cherche à minimiser l’intégrale, ( ) parmi toutes lesfonctions (et on dénote par la valeur minimale que peut prendrel’intégrale), où

- R 1 est un ouvert borné, un point de est noté = ( 1 · · · ) ;

- : R 1 =¡1 · · · ¢

et donc

=

μ ¶11

R ×

on écrira souvent = ;

- : ×R ×R × R = ( ) est continue ;

- est l’espace des fonctions admissibles (par exemple, 1¡ ¢

avec= 0 sur ).

On cherche un minimiseur de ( ) ce qui veut dire que

( ) ( )

De nombreux problèmes provenant de l’analyse, la géométrie ou des mathéma-tiques appliquées (à la physique, l’économie ou la biologie) peuvent être formuléscomme ci-dessus. Certains autres problèmes, même s’ils n’entrent pas dans notreformalisme, peuvent être traités par exactement les mêmes techniques. Tournonsnous maintenant vers les exemples classiques.

Exemple : principe de Fermat. On cherche la trajectoire d’un rayonlumineux se déplaçant dans un milieu d’indice de réfraction non constant. Onpeut formuler le problème dans le formalisme ci dessus. On a = = 1

( ) = ( )p1 + 2

et

( ) inf

(( ) =

Z( ( ) 0 ( )) : ( ) = ( ) =

)=

4 Introduction

Exemple : problème de Newton. On cherche une surface de révolution sedéplaçant dans un uide de manière que la résistance soit minimale. Le problèmepeut être formulé comme suit. Soient = = 1

( ) = ( ) = 23

1 + 2

et

( ) inf

(( ) =

Z( ( ) 0 ( )) : ( ) = ( ) =

)=

Nous ne traiterons pas ce problème dans le présent ouvrage et nous référons àButtazzo-Kawohl [18] pour de plus amples développements.

Exemple : brachistochrone. Le but est de trouver un chemin que suit unpoint matériel, soumis à l’in uence de la gravité, reliant l’origine à un point( ) avec 0 en un temps minimal. Le chemin est représenté par( ( )) 0 Dans nos notations, on a que = = 1 et la fonctionconsidérée est

( ) = ( ) =

p1 + 2

2

et

( ) inf

(( ) =

Z0

( ( ) 0 ( )) :

)=

où

=©

1 ((0 ]) : (0) = 0 ( ) = et ( ) 0 (0 ]ª

La trajectoire la plus courte est une cycloïde.

Exemple : surface minimale de révolution. On veut déterminer parmitoutes les surfaces de révolution de la forme

( ) = ( ( ) cos ( ) sin )

et dont les extrémités sont xées ( ) = ( ) = une d’aire minimale. Ona toujours = = 1

( ) = ( ) = 2p1 + 2

et

( ) inf

(( ) =

Z( ( ) 0 ( )) : ( ) = ( ) = 0

)=

Le problème modèle et quelques exemples 5

Les solutions de ce problème, quand elles existent, sont des caténoïdes . Plusprécisément, le minimiseur est donné, 0 et dénotant des constantes, par

( ) = cosh+

¸Exemple : système mécanique. Soit un système mécanique de parti-

cules dont les masses respectives sont et leurs positions au temps sont

( ) =¡

( ) ( ) ( )¢

R3 1

Soit

( 0) =1

2

X=1

¯̄̄¡ ¢0 ¯̄̄2=1

2

X=1

μ³¡ ¢0´2+³¡ ¢0´2

+³¡ ¢0´2¶

l’énergie cinétique. On note l’énergie potentielle par = ( ) Soit

( ) = ( ) ( )

le lagrangien. Dans notre formalisme nous avons = 1 et = 3

Exemple : intégrale de Dirichlet. Il s’agit du problème le plus célèbre ducalcul des variations. Ici on a 1 = 1 et

( ) inf

½( ) =

1

2

Z| ( )|2 : = 0 sur

¾Comme pour tout problème variationnel, on lui associe une équation di érentiellequi ici n’est rien d’autre que l’équation de Laplace, à savoir = 0

Exemple : surfaces minimales. Ce problème est presque aussi célèbre quele précédent. On cherche à trouver parmi toutes les surfaces R3 (ou plusgénéralement dans R +1 2) une d’aire minimale, sachant que le bord =est prescrit, étant une courbe simple et fermée. Une variante de ce problèmeest connue comme le problème de Plateau. On peut réaliser expérimentalementde telles surfaces en plongeant un l de fer dans de l’eau savonneuse ; lorsquel’on retire le l de l’eau on observe alors une surface minimale.La formulation précise du problème dépend du type de surfaces que l’on

considère. Nous avons déjà vu ci dessus le cas des surfaces minimales de ré-volution. Voyons ensuite comment formuler le problème pour des surfaces plusgénérales.

Cas 1 : surface non paramétrée. Soit une (hyper) surface de la forme

=©( ) = ( ( )) R +1 :

ª

6 Introduction

avec : R et où R est un ouvert borné connexe. Ces surfaces sontdonc des graphes de fonctions. Le fait que est une courbe donnée, setraduit par = 0 sur où 0 est une fonction donnée. L’aire d’une tellesurface est donnée par

Aire ( ) = ( ) =

Z( ( ))

où, pour R on a posé

( ) =

q1 + | |2

Le problème est ainsi écrit sous la forme habituelle

( ) inf

½( ) =

Z( ( )) : = 0 sur

¾On associe à ( ) une équation aux dérivées partielles appelée équation des sur-faces minimales

( ) M³1 + | |2

´ X=1

= 0

qui est l’équation que tout minimiseur de ( ) doit véri er. En termes géomé-triques, cette équation exprime que la surface correspondante a une courburemoyenne nulle partout.

Cas 2 : surface paramétrée. Les surfaces non paramétrées sont du point devue géométrique clairement trop restrictives. On est donc conduit à considérerdes surfaces paramétrées. Ce sont des ensembles R +1 tels qu’il existe unouvert connexe R et une application : R +1 avec

=¡ ¢

=©( ) :

ªPar exemple, quand = 2 et = ( 1 2) R3 si on note par 1 × 2

la normale à la surface (où × dénote le produit vectoriel de R3 et1 = 1 2 = 2) on déduit que l’aire est donnée par

Aire ( ) = ( ) =

ZZ| 1 × 2 | 1 2

Dans notre formalisme on a donc ici = 2 et = 3

Exemple : inégalité isopérimétrique. Soit R2 un ouvert borné dontle bord, est une courbe simple fermée su samment régulière. Soit ( ) le

Présentation du contenu de l’ouvrage 7

périmètre de et ( ) l’aire de L’inégalité isopérimétrique s’énonce alorscomme

[ ( )]2

4 ( ) 0

De plus, l’égalité a lieu si et seulement si est un disque (i.e. est un cercle).Dans notre formalisme (ici = 1 et = 2), le problème revient à montrer que

( ) inf { ( ) : ( ) = 1; ( ) = ( )} = 2où

=©( ) =

¡1 ( ) 2 ( )

¢: [ ]

ª( ) = ( ) =

Z q¡( 1)0

¢2+¡( 2)0

¢2( ) = ( ) =

1

2

Z ³1¡2¢0 2

¡1¢0´

=

Z1¡2¢0

Ce problème peut être généralisé à des ensembles R dont le bord, estsu samment régulier. L’inégalité est alors

[ ( )] [ ( )] 1 0

où est la mesure de la boule unité de R ( ) est la mesure de et ( )la mesure ( 1) dimensionnelle de De plus, si est su samment régulier(par exemple, convexe), il y a égalité si et seulement si est une boule.

0.3 Présentation du contenu de l’ouvrageLes problèmes rencontrés dans la section précédente seront traités de deux

façons di érentes que nous appelons les méthodes classiques et directes. Avantde décrire plus en détails ces deux approches, il peut être utile de commencerpar discuter les problèmes de minimisation dans RSoient R : R et

( ) inf { ( ) : }La première méthode (dite classique) consiste, si est continûment di éren-

tiable, à trouver des solutions de

0 ( ) = 0

Puis, en analysant le comportement des dérivées d’ordre supérieur de ondétermine si est un minimum (global ou local), un maximum (global ou local)ou seulement un point stationnaire.

8 Introduction

La seconde méthode (dite directe) considère une suite minimisante { }i.e.

( ) inf { ( ) : }Sous des hypothèses appropriées sur on peut montrer que la suite est compactedans ou en d’autres termes

quand

Finalement, si est semi continue inférieurement, à savoir

lim inf ( ) ( )

on a que est un minimiseur de ( )

On procède de manière semblable dans le calcul des variations. Toutefoisle problème est maintenant considérablement plus di cile, car nous travaillonsdans des espaces de dimension in nie.Rappelons que le problème considéré est

( ) inf

½( ) =

Z( ( ) ( )) :

¾=

où

- R 1 est un ouvert borné, = ( 1 · · · ) ;

- : R 1 =¡1 · · · ¢

et =¡ ¢1

1R × ;

- : ×R ×R × R = ( ) est continue ;

- est un espace de fonctions admissibles qui satisfont = 0 sur où0 est une fonction donnée.

Ici, contrairement au cas de R on rencontre un problème préliminaire, àsavoir : quel espace de fonctions admissibles doit-on choisir ? Le plus naturelsemble être = 1

¡ ¢Plusieurs raisons, qui deviendront plus claires tout au

long des développements que nous ferons, indiquent que ce n’est pas le meilleurchoix. L’espace de Sobolev 1 ( ) 1 est plus approprié. On dit que

1 ( ) si est (faiblement) dérivable et si

k k 1 =

Z(| ( )| + | ( )| )

¸1Les propriétés les plus importantes de ces espaces sont rappelées au chapitre 1.

Au chapitre 2, on présente brièvement les méthodes classiques introduites parEuler, Hamilton, Hilbert, Jacobi, Lagrange, Legendre, Weierstrass et d’autres.L’outil le plus important est l’équation d’Euler-Lagrange, l’équivalent de 0 ( ) =

Présentation du contenu de l’ouvrage 9

0 dans le cas de dimension nie. Elle donne une condition nécessaire que doitsatisfaire un minimiseur 2

¡ ¢de ( ) à savoir (on écrit ici l’équation dans

le cas = 1)

( )X=1

[ ( )] = ( )

où = et =Dans le cas de l’intégrale de Dirichlet

( ) inf

½( ) =

1

2

Z| ( )|2 : = 0 sur

¾l’équation d’Euler-Lagrange n’est rien d’autre que l’équation de LaplaceOn remarque immédiatement que trouver une solution 2 de ( ) est, en

général, une tâche di cile, sauf éventuellement quand = 1 ou quand l’équation( ) est linéaire. L’étape suivante est alors de savoir si une solution de ( )parfois appelée un point stationnaire de est, en fait, un minimiseur de ( ) Si( ) ( ) est convexe, pour tout alors est bien un minimiseurde ( ) ; dans les exemples ci dessus, c’est le cas de l’intégrale de Dirichlet ou duproblème de surfaces minimales sous forme non paramétrée. Si ( ) ( )n’est pas convexe, plusieurs critères, surtout dans le cas = 1 peuvent êtreutilisés pour déterminer la nature du point stationnaire. Ces critères sont, parexemple, les conditions de Jacobi, Legendre, Weierstrass, Weierstrass-Erdmannou les théories des champs.

Aux chapitres 3 et 4 nous présentons les méthodes directes qui trouvent leursorigines dans les travaux de Hilbert, Lebesgue et Tonelli. L’idée est de diviserla discussion du problème en deux parties : l’existence de minimiseurs dans unespace de Sobolev et puis la régularité des solutions. Au chapitre 3, l’existencede minimiseurs de ( ) dans l’espace de Sobolev 1 ( ) est discutée Dans lechapitre 4 on montre que, parfois, les minimiseurs de ( ) appartiennent à desespaces de fonctions plus régulières que celles dans un espace de Sobolev, parexemple ils sont 1 ou même si les données et 0 sont su sammentrégulières.Décrivons maintenant brièvement les idées qui permettent de montrer l’exis-

tence de minimiseurs dans les espaces de Sobolev. Comme dans le cas de dimen-sion nie, on commence par choisir une suite minimisante { } 1 ( ) cequi veut dire que

( ) inf©( ) : = 0 sur et 1 ( )

ª= quand

La première étape consiste à montrer que la suite est compacte, c’est à dire quela suite converge vers un élément 1 ( ) Ceci, évidemment, dépend de

10 Introduction

la topologie que nous mettons sur 1 La topologie naturelle est celle induitepar la norme, qu’on appelle convergence forte et qui est notée

dans 1

Toutefois il est, en général, di cile de montrer que la suite converge dans une telletopologie. Il vaut souvent mieux a aiblir la notion de convergence et considérerune convergence faible, notée Obtenir que

dans 1

est nettement plus facile et il su t, par exemple si 1 d’établir (à l’extractiond’une sous suite près) que

k k 1

où est une constante indépendante de Une telle estimation suit, par exemple,si on impose une hypothèse de coercitivité sur la fonction de type

lim| |

( )

| | = + ( ) ×R

On observe que l’intégrale de Dirichlet, avec

( ) =1

2| |2

satisfait l’hypothèse, mais pas celle des surfaces minimales non paramétrées, où

( ) =

q1 + | |2

La deuxième étape consiste à montrer que la fonctionnelle est semi continueinférieurement par rapport à la convergence faible, en d’autres termes

dans 1 lim inf ( ) ( )

On verra que la conclusion est vraie si

( ) est convexe, ( ) ×RComme { } est une suite minimisante, on déduit que est bien un minimiseurde ( )

Dans le chapitre 5, on considère le problème des surfaces minimales. Lesméthodes du chapitre 3 ne s’appliquent pas telles quelles. En fait, c’est l’étapede compacité de la suite minimisante qui est nettement plus di cile à obtenir,et ceci pour des raisons que nous expliquerons dans le chapitre 5. Il y a aussi

Présentation du contenu de l’ouvrage 11

des di cultés liées à la nature géométrique du problème ; par exemple, le choixdu type de surfaces considérées ou la notion d’aire. Dans le chapitre 5, nousprésentons une méthode due à Douglas et développée par Courant et Tonellipour traiter le problème des surfaces minimales. En fait, les techniques utiliséessont aussi, par essence, des méthodes directes.

Dans le chapitre 6, on discute l’inégalité isopérimétrique dans R Suivantla dimension, la façon de résoudre le problème est très di érente. Quand = 2nous présentons une méthode, essentiellement due à Hurwitz, qui utilise destechniques semblables à celle développées dans le chapitre 2. En dimensionssupérieures la démonstration que nous donnons est plus géométrique ; elle utilise,comme outil principal, le théorème de Brunn-Minkowski .

12 Introduction

Presses polytechniques et universitaires romandes

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Professeur L. C. EvansUniversité de Californie, Berkeley

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Association américaine des mathématiques