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INTRODUCCION AL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE ESTADOS DE ESTADOS

Alumnos: Nelson Castro, Grace Chinchuña,Johanna Inachonta, Marcela ViracochaCurso 6 Eléctrica

26Julio, 2014.Universidad Politécnica Salesiana

Campus Kennedy.

Abstract—this paper exposes all on the introduction to the design of control systems for space, for which we use the software matlab simulations for different applications of this subject.

Index Terms— control system, matlab, transfer function.

RESUMEN

En este documento se expone toda sobre la introducción al diseño de sistemas de control de espacio, para lo cual utilizaremos el software de matlab para realizar las simulaciones de las diferentes aplicaciones que tiene este tema

Palabras Claves: sistema de control, matlab, función de transferencia.

I. INTRODUCCION

La teoría de control moderna se basa en describir a través de las ecuaciones de un sistema en un número n de ecuaciones diferenciales de primer orden que son confinadas en una ecuación diferencial vectorial, de tal manera que el incremento de variables de estado no aumenta complejidad de las ecuaciones . De tal manera que el análisis de sistema con múltiples entradas y salidas se puedan realizar mediante un proceso ligeramente complicado los cuales e utilizan para el análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares. Para la realización de las aplicaciones o ejercicios utilizaremos matlab ya que es una herramienta muy versátil para el modelado de este sistema de tal manera

que nos permita de una amanera fácil mirara el comportamientos de estos sistemas de control.

II. MARCO TEÓRICO

1. Representación de sistema en espacio de estado

La representación de estado es un modelo matemático de sistemas que se puede expresar a través de entradas y salidas que se pueden relacionar con ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden combinar con ecuaciones diferenciales matriciales o vectoriales de primer orden. A la representación estado también se la conoce como la aproximación en el dominio del tiempo, tiene múltiples entradas y salidas. El espacio de estado toma referencia a n dimensiones cuyos ejes están constituidos por variables de estado, además el estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.

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Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante. Las ecuaciones de estado son el conjunto de ecuaciones que describen dinámica de un sistema mediante la relación entre las variables de entrada, salida y variables de estado. El modelado de sistemas dinámicos en el espacio de estados permite describir el comportamiento de todo tipo de sistemas como: SISO, MIMO, lineales, no lineales, invariantes, variantes, etc… La ecuación de estado genérica es:

x i=f i¿

u1 (t ) , u2 ( t ) , …,u p ( t ) ;w1 ( t ) ,w2 (t ) ,… , wv ( t ) ¿

1.1. Transformación de los modelos de sistemas con el software MATLAB.

Transformación del modelo del sistema basado en su función de transferencia al espacio de estados, y viceversa, se debe desde el análisis con la transformación de una función de transferencia al espacio de estados.

Y (s)U ¿¿

Formulación en el espacio de estados de sistemas basados en su función de transferencia.El comando tf2ss convierte los parámetros de una función de transferencia de la representación de un sistema dado a los de una representación de espacio de estado equivalente[A, B, C, D]=tf2ss (num, den) devuelve las matrices A, B, C y D de la representación en espacio de estado para la función de transferencia de entrada única

Del sistemas

El vector de entrada contiene los coeficientes del denominador en potencias descendentes de s. Las filas de la matriz B contienen los vectores de coeficientes del numerador (cada fila corresponde a una salida). En el caso de tiempo discreto, debe suministrar b y una para corresponder a los polinomios de numerador y denominador con coeficientes en potencias descendentes de z. Para los sistemas de tiempo discreto, b tiene el mismo número de columnas que la longitud de una. Se debe hacer mediante el relleno de cada numerador representa en b con ceros a la derecha

Ejemplo: Considere el sistema definido por la función de transferencia siguiente:

La representación en variables de estado quedaría:

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Transformación del espacio de estados a una función de transferencia.El comando ss2tf convierte una representación en espacio de estado de un sistema dado a una representación de función de transferencia equivalente. [Num, den] = ss2tf (A, B, C, D, UI) devuelve la función de transferencia

Del sistema

De la iu-th entrada. Vector a contiene los coeficientes del denominador en potencias descendentes de s. Los coeficientes del numerador se devuelven en serie b con tantas filas como salidas y. ss2tf también trabaja con los sistemas en tiempo discreto, en cuyo caso se devuelve la representación transformada zEjemplo: Obtener la función de transferencia del modelo de variables de estado del siguiente sistema con entradas y salidas múltiples.

La función de transferencia del sistema para cada entrada y cada salida queda:

1.2. Solución de la ecuación de estado invariante en el tiempo.

A través de esto obtendrá la solución general de la ecuación de estado lineal e invariante en el tiempo. Primero se considera el caso homogéneo y luego el no homogéneo.Solución de las ecuaciones de estado para el caso homogéneoPrimero realizamos la solución de la ecuación diferencial escalar

x=axAl resolver esta ecuación, se obtiene una solución x (t) de la forma

Sustituyendo

Por tanto, igualamos los coeficientes de las potencias iguales de t, obteniendo

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Donde valor de b0 se obtiene sustituyendo t=0

La solución x (t) es:

Método de la transformada de Laplace para la soluciónPrimero se toma el caso escalar

x=ax

Tomamos la transformada de Laplace

Al despejar X(s)

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación da la solución

Solución de ecuaciones de estado para el caso no homogéneoConsiderando el caso escala

El primer término del segundo miembro es la respuesta a las condiciones iniciales y el segundo término es la respuesta a la entrada u (t). Ahora se considera la ecuación de estado no homogénea descrita mediantex=Ax+BuDonde: x =vector de dimensión nu =vector de dimensión rA=matriz de coeficientes constantes de nxnB=matriz de coeficientes constantes de nxrConsiderando el caso para la ecuación de estado no homogénea descrita por:

Método de la transformada de Laplace para Solución en términos de x (t 0).La solución de la ecuación de estado no homogénea también puede obtenerse mediante el método de la transformada de Laplace. x=Ax+BuDonde utilizamos las siguientes ecuaciones

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Pre multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por ( sI−A )−1, obtenemos

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación se obtiene a partir de la integral de convolución, del modo siguiente:

2. Criterio de controlabilidad y observabilidad

Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron introducidos por Kalman en el año 1960. Ellas afrontan respectivamente la relación que existe entre la entrada y el estado (la controlabilidad), y entre el estado y la salida (la observabilidad). Cada vez que hagamos referencia a la entrada u (t) del sistema, supondremos que es una entrada de acción de control, y no de una entrada que sea una perturbación al sistema

.

2.1. Controlabilidad

Un sistema es controlable a un tiempo t0 si es posible transferir mediante el uso de un vector de control sin restricciones al sistema desde el estado inicial x (t0) a cualquier otro estado en un intercala de tiempo. Un sistema exhibe controlabilidad completa si todos los est ados son contrôlables.

Contrabilidad completa del estado de sistemas en el tiempo continuo

Considere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por:

,  

 t ≥ t0,       x(t0) = x0               

Donde A, B, C y D son funciones continuas del tiempo. Supongamos que para alguna entrada u (t), t  [t0,t1], y para el estado inicial x0, el estado al tiempo t1 es x1. Decimos entonces que la entrada u transfiere el sistema desde el estado x0 (en el tiempo t0) al estado x1 (al tiempo t1).Sea t=0

Si se define

Sistema completamente controlable

Si todo estado x (t0) del sistema es controlable sobre [t0, t1], el sistema se dice que es completamente controlable sobre [t0, t1].

Sea

donde A, B, C y D son las matrices constantes:

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                 ,   

             ,              ,         D = 0

Como podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será:

                

                

La ecuación de la salida:

                

y suponiendo que el estado inicial fuere x1(t0) = x10, y x2(t0) = x20, podemos graficar el diagrama de simulación de dicho sistema sea:

 

Forma alternativa de la condición para la controlabilidad completa

Sistema definido :

x=Ax+BuSi los valores propios de A son distintos, es posible encontrar una matriz de transformación P talQue

Si todos los elementos de cualquier fila de la matriz F n x r son nulos, entonces la variable de estado correspondiente es no controlable por cualquiera de las ui.

Controlabilidad completa del estado en el plano S

La condición para una controlabilidad completa del estado se plantea en términos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. Una condición necesaria y suficiente para una controlabilidad completa de estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre dicha cancelación el sistema no puede ser controlado en la dirección del modo cancelado.

Ejemplo : Consideremos la función de transferencia siguiente :

Controlabilidad de salida

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En la mayoría de casos prácticos se desea controlar la salida en lugar de los estados del sistema. Controlabilidad completa de los estados no garantiza la controlabilidad de la salida del sistema. Se de…ne en este caso una matriz S, para la cual debe cumplirse que elrango debe ser igual a m; el número de variables de salida.

2.2. Observabilidad

Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo que se describe mediante las ecuaciones dinámicas

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un tiempo finito tf ≥ t0 tal que el conocimiento de:

1) u (t) para t0 ≤ t < tf

2) Las matrices A, B, C y D

3) la salida y (t) para t0 ≤ t < tf

Observabilidad completa para un sistema en tiempo continuo.Considere al sistema dado:

˙x=¿ Ax ; y=Cx ¿El vector de salida y(t) es

Donde n es el grado del polinomio característico

Observabilidad completa del estado en el plano S.Las condiciones para la observabilidad completa también se plantean en términos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. La condición necesaria y suficiente para una observabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre una cancelación el modo cancelado no se puede observar en la salida. Ejemplo: Demuestre que el sistema

˙x=¿ Ax+Bu ; y=Cx ¿En donde

Para definir la observabilidad completa, decimos que el control u = 0

Forma alternativa de la condición para la observabilidad completa.Sea el sistema:

˙x=¿ Ax ; y=Cx ¿

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Supóngase que la matriz de transformación P transforma A en una matriz diagonal, o donde D es una matriz diagonal. Si se define

El sistema es completamente observable si ninguna de las columnas de la matriz CP m X n está formada sólo por elementos cero. Esto se debe a que, si la i-ésima columna de CP está formada sólo por elementos cero, la variable de estado zi(0) no aparecerá en la ecuación de salida y, por tal razón, no puede determinarse a partir de la observación de y(t). En este caso, x(0), que se relaciona con z(0) mediante la matriz P no singular, no puede determinarse. (Recuérdese que esta prueba sólo se aplica si la matriz P.1AP está en forma diagonal.) Si la matriz A no se transforma en una matriz diagonal, mediante una matriz de transformación adecuada S, se puede transformar A en su forma canónica de Jordan, o

Controlabilidad de principio de dualidad.Ahora estudiaremos la relación entre la controlabilidad y la observabilidad.

Introduciremos el principio de dualidad, presentado por Kalman, para aclarar las analogías evidentes entre los conceptos de controlabilidad y observabilidad. Consideremos el sistema Sis1 descrito mediante

˙x=¿ Ax+Bu ; y=Cx ¿ en donde x = vector de estado (vector de orden n) u = vector de control de orden r y = vector de salida ( de orden m) A = matriz del sistema de orden n x n B = matriz de control de orden n x r C = matriz de salida de orden m x nY al sistema Sis2 descrito mediante z = A’ z + C’ v • n = B’z en donde z = vector de estado (vector de orden n) v = vector de control de orden m n = vector de salida ( de orden r) A’ = matriz del sistema de orden n x n B’ = matriz de salida de orden r x n C’ = matriz de control de orden n x m El principio de dualidad plantea que sistema Sis1 es de estado completamente controlable (observable) si y sólo si el sistema Sis2 es completamente observable (controlable). Para corroborar este principio repasemos las condiciones necesarias y suficientes para la controlabilidad completa y la observabilidad completa de los sistemas Sis1 y Sis2.Para el sistema Sis1: 1 Una condición necesaria y suficiente para la controlabilidad completa del estado es que el rango de la matriz de n x nr

2 Una condición necesaria y suficiente para la observabilidad completa del estado Es que el rango de la matriz de nm x n

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Para el sistema Sis2: 3 Una condición necesaria y suficiente para la controlabilidad completa del estado es que el rango de la matriz de n x nm

4 Una condición necesaria y suficiente para la observabilidad completa del estado es que el rango de la matriz de Nr x n

Ejercicios: Calculo de la observabilidad y la controlabilidad

%Este codigo calcula la observabilidad y la controlabilidad%matriz Adisp('Matriz A')%A = [-1 1 0; 4 0 -3;-6 8 10]%matriz Bdisp('Matriz B')%B = [1; 0; -1]%matriz Cdisp('Matriz C')%C = [1 2 1]%se calcula de la controlabilidaddisp('La matriz de controlabilidad es')Pc = ctrb(A, B)%n es el determinante de la matriz de controlabilidaddisp('El determinante es')n=det(Pc)%si es diferete de 0 es controlableif abs(n) ~= 0disp('Es controlable')

elsedisp('No es controlable') end disp('La matriz de observabilidad es')Po = obsv(A,C)%si es diferete de 0 es observableif abs(n) ~= 0 disp('Es observable')elsedisp('No es observable')end

calculo de dualidadA=[2 0 0; 0 2 0; 0 3 1];B=[0 1; 1 0; 0 1];C=[1 0 0; 0 1 0];D =zeros(2);Sis1 = ss(A,B,C,D);Sis2 = ss(A',C',B',D); % Sistema dual de Sis1ctrb(Sis1) rank(ans)obsv(Sis2)rank(ans)obsv(Sis1)rank(ans)ctrb(Sis2)rank(ans)

3. Conclusiones:

El sistema de espacio de estado son entrado y salido que podemos relacionar con ecuaciones diferenciales de primer grado que nos periten relacionarlas con otras para su resolución.

Mediante Matlab podemos resolver ejercicios e cada tema propuesto de una manera más fácil y precisa

En Matlab podemos utilizar varios comandos para la resolución de los ejercicios como tf2ss para el sistema de transferencia, ss2tf para la función de transferencia estom dos para el estado de espacio.

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La Controlabilidad puede controlar varias variables de entrada solucionando problemas de la ubicacion de polos

La observabilidad controla las variables de estado observando la salida a traves del sistema linéal estacionario

4. Bibliografía:

Ingeniería de control moderna de katsuhiko Ogata

http://www.unet.edu.ve/~jlrodriguezp/ssctrlobs.pdf

http://gama.fime.uanl.mx/~salinas/clase8CM.pdf

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r79258.PDF

ftp://ece.buap.mx/pub/profesor/academ91/Control_procesos_por_computadora/Libros/Control%20en%20el%20Espacio%20de%20Estado.pdf

http://es.slideshare.net/camilorene/clase-7-espacio-de-estado

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_estados

http://fisica.udea.edu.co/~lab-gicm/Instrumentacion/2014_Espacio%20de%20estados.pdf

http://gama.fime.uanl.mx/~salinas/clase8CM.pdf

http://www.web.valles.udg.mx/vallesweb/sites/default/files/canales/02_oferta_educativa/maestrias/mecatronica/Curso_Sistemas_Lineales_de_Control.pdf

http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ss2tf.html