intro final - cdn1.ozone.ru · Системы управления данными об...

УДК 32.973.26�018.2ББК 004.438

У93

Ушаков Д. М.У93 Введение в математические основы САПР: курс лекций.– М.:

ДМК Пресс. – 208 с. : ил.

ISBN 978�5�97060�278�2

Книга представляет собой краткое изложение курса лекций«Введение в математические основы САПР», организованногоНовосибирским государственным университетом при поддерж&ке компании ЛЕДАС. Лекции рассчитаны на студентов старшихкурсов, специализирующихся в области прикладной математи&ки, информатики и информационных технологий. Излагаемыйматериал может быть полезен разработчикам САПР, ученым,инженерам, а также всем интересующимся современными тен&денциями в области автоматизации промышленных процессов.

УДК 32.973.26&018.2ББК 004.438

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть вос&произведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствамибез письменного разрешения владельцев авторских прав.

Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но посколькувероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может га&рантировать абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В свя&зи с этим издательство не несет ответственности за возможные ошибки, связан&ные с использованием книги.

© Ушаков Д. М.ISBN 978&5&97060&278&2 © Оформление, ДМК Пресс

Содержание

Введение ........................................................................... 10

Организатор курса.................................................................. 10Целевая группа ....................................................................... 10Цели курса .............................................................................. 11Организация занятий .............................................................. 11Структура курса ...................................................................... 11Благодарности ....................................................................... 12

Лекций 1. Введение в САПР ....................................... 13

Классы САПР .......................................................................... 14Автоматизация современного машиностроительногопредприятия ........................................................................... 14Исторический обзор развития систем автоматизациипроектирования ...................................................................... 16Функциональность CAD&систем .............................................. 22Современные CAD&системы и их классификация ................... 25Системы инженерного анализа (CAE) ..................................... 26Системы технологической подготовки производства(CAPP) .................................................................................... 27Системы автоматизации производства (CAM) ........................ 28Системы управления данными об изделии (PDM) ................... 28Интегрированные пакеты управления жизненным цикломизделия .................................................................................. 30Вопросы для самоконтроля .................................................... 31Дополнительная литература ................................................... 31

Лекция 2. Геометрическое моделирование ........ 33

Автоматизация черчения и геометрическое моделирование ... 34Виды геометрического моделирования .................................. 35Функции твердотельного моделирования .............................. 37Декомпозиционные модели .................................................... 38Конструктивные модели ......................................................... 39Граничные модели .................................................................. 40Корректность граничных моделей .......................................... 42

4 Введение в математические основы САПР

Пакеты геометрического моделированияи их функциональность ........................................................... 43Вопросы для самоконтроля .................................................... 44Дополнительная литература ................................................... 44

Лекция 3. Базовые геометрические объекты ..... 45

Аффинное пространство и соглашение о нотации .................. 46Способы задания аналитических кривых и поверхностей ....... 46Изометрии аффинного пространства ..................................... 48Матричное представление трансформации в аффинномпространстве .......................................................................... 49Однородные координаты ........................................................ 50Углы Эйлера ........................................................................... 51Экспоненциальное представление трансформации ............... 52Вопросы для самоконтроля .................................................... 53Дополнительная литература ................................................... 54

Лекция 4. Инженерные кривые и поверхности ... 55

Кусочные кривые и их гладкость ............................................. 56Билинейный лоскут ................................................................. 56Поверхности сдвига и вращения ............................................ 56Линейчатая поверхность......................................................... 57Лоскут Кунса ........................................................................... 57Эрмитова кривая, бикубическая поверхность и лоскутФергюсона ............................................................................. 58Кривые и поверхности Безье .................................................. 61Алгоритм де Кастельжо .......................................................... 62B&сплайны и B&сплайновые поверхности ................................ 63Рациональные кривые и поверхности ..................................... 64Интерполяционные кривые и поверхности ............................. 65Вопросы для самоконтроля .................................................... 65Дополнительная литература ................................................... 66

Лекция 5. Обмен геометрическими данными ..... 67

Стандарты обмена геометрическими данными ...................... 68Формат IGES ........................................................................... 68Формат DXF ............................................................................ 70

Содержание 5

Формат STEP .......................................................................... 70Мозаичные модели ................................................................. 71Формат STL ............................................................................ 72Формат VRML ......................................................................... 73Поверхности подразделения .................................................. 73Вопросы для самоконтроля .................................................... 79Дополнительная литература ................................................... 79

Лекция 6. Вариационное моделирование:алгебраический подход ............................................... 81

Параметры, ограничения и вариационные модели ................. 82Создание эскизов и проектирование сборок .......................... 82Задача размещения геометрических объектови ее характеристики ............................................................... 83Вариационный геометрический решатель .............................. 84Способы алгебраического моделированиягеометрической задачи .......................................................... 85Метрический тензор геометрической задачи ......................... 86Методы символьного упрощения систем алгебраическихуравнений ............................................................................... 87Декомпозиция Далмеджа–Мендельсона ................................ 88Метод Ньютона–Рафсона ....................................................... 89Решение систем линейных уравнений .................................... 91Методы координатного и градиентного спуска ....................... 92Вопросы для самоконтроля .................................................... 93Дополнительная литература ................................................... 93

Лекция 7. Вариационное моделирование:диагностика и декомпозиция задачи ..................... 95

Диагностика геометрических задач ........................................ 96Методы упрощения геометрических задач ............................. 96Определение и классификация методов декомпозиции ......... 97Граф ограничений .................................................................. 97Методы рекурсивного деления ............................................... 98Методы рекурсивной сборки .................................................. 99Формирование кластеров с помощью анализа графаограничений ......................................................................... 100


Формирование кластеров на основе шаблонов .................... 102Эвристическое формирование псевдокластеров ................. 103Распространение степеней свободы .................................... 103Вопросы для самоконтроля .................................................. 103Дополнительная литература ................................................. 104

Лекция 8. Инженерия знаний в САПР .................... 105

Параметрическое проектирование на основеконструктивных элементов ................................................... 106Инженерные параметры ....................................................... 108Отношения базы знаний ....................................................... 109Параметрическая оптимизация ............................................ 110Экспертные знанияи продукционные системы .................................................... 112Вопросы для самоконтроля .................................................. 113Дополнительная литература ................................................. 114

Лекция 9. Методы поиска и оптимизациирешения ........................................................................... 115

Задачи удовлетворения ограничениям и оптимизациив ограничениях в общей постановке, их связь ...................... 116Классификация методов поиска и оптимизации решения .... 117Метод координатного спуска ................................................ 118Метод градиентного спуска .................................................. 118Жадный алгоритм ................................................................. 119Метод Ньютона ..................................................................... 119Методы перебора ................................................................. 120Методы редукции областей .................................................. 121Метод ветвей и границ ......................................................... 123Алгоритм модельной закалки ............................................... 124Генетические алгоритмы ...................................................... 125Вопросы для самоконтроля .................................................. 126Дополнительная литература ................................................. 126

Лекция 10. Инженерный анализ кинематики .... 127

Прямая и обратная задачи кинематики механизмов ............. 128Виды кинематических пар..................................................... 128


Моделирование механизмов ................................................ 131Геометрические измерения .................................................. 131Моделирование задачи кинематики ..................................... 132Дифференциальное уравнение движения ............................ 133Натуральный градиент уравнения ......................................... 134Алгоритмы численного решения дифференциальныхуравнений ............................................................................. 135Планирование движения ....................................................... 136Вопросы для самоконтроля .................................................. 137Дополнительная литература ................................................. 138

Лекция 11. Инженерный анализ динамики ........ 139

Задача анализа динамики механизмов ................................. 140Движение абсолютно твердого тела в трехмерномпространстве ........................................................................ 140Моделирование контакта тел ................................................ 142Альтернативный подход: уравнения Лагранжа ...................... 143Методы определения столкновений ..................................... 145Алгоритмы широкой фазы .................................................... 145Алгоритмы фазы сужения ..................................................... 147Коммерческое программное обеспечение для симуляциидвижения .............................................................................. 148Вопросы для самоконтроля .................................................. 148Дополнительная литература ................................................. 149

Лекция 12. Инженерный анализ методомконечных элементов ................................................... 151

Конечно&элементный анализ ................................................ 152Введение в метод конечных элементов ................................ 152Анализ упругости тела .......................................................... 152Тензор деформаций ............................................................. 153Тензор напряжений .............................................................. 154Обобщенный закон Гука, матрицы жесткости и упругости .... 155Уравнение равновесия тела под нагрузкой ........................... 157Применение МКЭ для расчета малых напряжений телапод нагрузкой ....................................................................... 157Другие приложения МКЭ ...................................................... 159Типы конечных элементов .................................................... 159


Разбиения для МКЭ .............................................................. 160Общая схема конечно&элементного анализав CAE&системах ..................................................................... 161Коммерческие пакеты конечно&элементного анализа .......... 162Вопросы для самоконтроля .................................................. 162Дополнительная литература ................................................. 164

Лекция 13. Автоматизация производства ......... 165

Архитектура станков с ЧПУ ................................................... 166Принципы программирования для станков с ЧПУ ................. 167Языки программирования высокого уровня для станков с ЧПУ .. 168Генерация программ для станков с ЧПУ по CAD&моделям .... 170Быстрое прототипирование и изготовление ......................... 171Виртуальная инженерия ....................................................... 173Вопросы для самоконтроля .................................................. 173Дополнительная литература ................................................. 174

Лекция 14. Технологическая подготовкапроизводства ................................................................. 175

Интеграция CAD и CAM ......................................................... 176Задачи инженера&технолога ................................................. 176Модифицированный подход к технологической подготовке .... 177Групповая технология ........................................................... 178Классификация и кодирование деталей ............................... 178Генеративный подход к технологической подготовке ........... 180Конструкторско&технологические элементы ......................... 181Методы автоматического распознавания конструктивныхэлементов............................................................................. 182Пример автоматического распознавания КТЭ ...................... 185Вопросы для самоконтроля .................................................. 185Дополнительная литература ................................................. 186

Лекция 15. Управление даннымина протяжении жизненного цикла изделия ........ 187

Системы управления данными об изделии ........................... 188Цифровой макет изделия (DMU) и спецификацияматериалов (BOM) ................................................................ 188


Примеры PDM&систем .......................................................... 189Программное обеспечение для организациибизнес&процессов ................................................................ 189Из чего состоит PLM? ........................................................... 191Интеграция PLM с системами управления отношениямис заказчиками ....................................................................... 193Интеграция PLM с системами управления цепочкамипоставок ............................................................................... 194Интеграция PLM с системами управления ресурсамипредприятия ......................................................................... 195Практические подходы к интеграции систем PLM с CRM,SCM и ERP ............................................................................ 197Преимущества внедрения систем PLM ................................. 199Вопросы для самоконтроля .................................................. 200Дополнительная литература ................................................. 201

Краткий англо,русский словарь аббревиатурв области автоматизации проектированияи производства ............................................................. 202

Список литературы ...................................................... 205

Лекция 2

Автоматизация черченияи геометрическое моделирование ... 34Виды геометрическогомоделирования ................................ 35Функции твердотельногомоделирования ................................ 37Декомпозиционные модели ............. 38Конструктивные модели ................... 39Граничные модели ........................... 40Корректность граничных моделей .... 42Пакеты геометрическогомоделированияи их функциональность ..................... 43Вопросы для самоконтроля .............. 44Дополнительная литература ............. 44

Геометрическоемоделирование

34 Лекция 2

Автоматизация черченияи геометрическое моделированиеИнженеры и конструкторы имеют дело с математической (преждевсего – геометрической) моделью разрабатываемого изделия. Исто&рически первым и главным языком их общения (то есть языком опи&сания инженерных моделей) был язык чертежей. Чертеж (и другиеподобные графические схемы) широко использовался (и использует&ся до сих пор) не только для описания механического изделия и егочастей, но также и для описания электрических схем, архитектурныхконструкций, карт местности и т. п. Четкие стандарты (как нацио&нальные, так и международные) гарантируют однозначное понима&ние языка чертежей всеми «читателями» – от инженера&конструкто&ра до токаря, слесаря и фрезеровщика. Однако создание чертежейвручную – чрезвычайно дорогостоящая процедура, доступная толькоподготовленным специалистам и требующая использования спе&циальной чертежной доски с линейкой – кульмана, а также разныхвспомогательных средств (например, лекал для рисования кривых).Неудивительно, что первые системы автоматизации в этой областибыли предназначены именно для упрощения и ускорения созданиячертежей (подобно другой эпохальной концепции автоматизациис помощью компьютера – текстовым процессорам, предназначеннымдля упрощения создания текстовых документов и легкого внесенияизменений в них). Системы класса computer&aided drafting существу&ют и поныне, самый известных их представитель – AutoCAD. Типич&ная функциональность таких систем включает в себя средства, необ&ходимые для создания и редактирования чертежей, а процесс работыконцептуально не отличается от работы в графическом редакторе.(Основными понятиями графических моделей таких систем являют&ся графические примитивы с атрибутами, отображаемые уровни,а также различные способы конструирования.) В нашем курсе мы небудем рассматривать системы этого класса, так как в настоящее вре&мя они стремительно уступают свои позиции системам трехмерного мо&делирования (даже Autodesk делает основную ставку не на AutoCAD,а на Inventor Series).

Дело в том, что с изобретением трехмерной компьютерной графи&ки (возможности реалистического изображения трехмерной сценына двумерном дисплее компьютера и ее вращения с помощью ма&нипуляторов «мышь» или «спейсбол» в воображаемом трехмерномпространстве) у инженеров появилась возможность работать напря&

Геометрическое моделирование 35

мую с трехмерной геометрической моделью проектируемого изделия,а не с его двумерными чертежами. Геометрическое моделированиеоказалось настоящим прорывом в конструировании и производствеизделий. Оно не только значительно упрощает процесс проектирова&ния (теперь инженер&конструктор не обязан обладать развитым про&странственным мышлением или использовать подручные материалытипа пластилина – он видит проектируемое изделие непосредствен&но на экране), но и снимает многие коммуникативные проблемы –язык чертежей на наших глазах становится мертвым.

За последние сорок лет было разработано множество способов гео&метрического моделирования, которые мы разберем детально ниже.

Виды геометрическогомоделированияХронологически различают следующие подходы к геометрическомумоделированию:

� каркасное моделирование;� поверхностное моделирование;� твердотельное моделирование;� немногообразное моделирование.

Каркасное моделирование представляет собой прямой переносвекторного подхода к двумерной геометрии на трехмерный случай.При таком моделировании геометрическая модель строится из огра&ниченного набора графических примитивов – отрезки, дуги, кониче&ские кривые. Однако каркасная модель содержит лишь скелет (кар&кас) изделия, по которому в общем случае невозможно восстановитьсамо изделие, так как могут существовать несколько топологическинеэквивалентных трехмерных тел с одинаковым каркасом, как этовидно на приведенном рис. 2.

Поверхностное моделирование является развитием каркасного –с его помощью можно точно описывать поверхности геометрическоготела, формирующие его оболочку. Поверхностное моделирование иг&рает важную роль при проектировании изделий из листового метал&ла (sheet metal parts), таких как капоты и крылья автомобилей, гдеформа поверхности важна как для дизайна, так и для аэродинамикиизделия. Более подробно средства поверхностного моделирования(различные виды задания кривых и поверхностей) рассматриваютсяв материале следующих лекций.

36 Лекция 2

Твердотельное (объемное) моделирование – логическое развитиекаркасного и поверхностного. Основной объект моделирования –трехмерное объемное тело, которое может описываться разными спо&собами: декомпозиционным, конструктивным или граничным. Мыразберем их подробнее ниже. Главным преимуществом твердотель&ного моделирования перед каркасным и поверхностным являетсясвойство физической корректности – все твердотельные модели име&ют аналоги в реальном мире (чего не скажешь о каркасных и поверх&ностных моделях).

Немногообразное (non&manifold) моделирование снимает ограни&чения, присущие классическому твердотельному моделированию –с его помощью можно описывать геометрические модели, которыелокально могут быть не только многообразиями размерности три(объемными телами), но и размерности два (поверхностями), один(кривыми), нуль (точками), а также участками сопряжения многооб&разий разной размерности.

Рис. 2


Функции твердотельногомоделированияФункции твердотельного моделирования подразделяются на сле&дующие группы:

� функции создания примитивов,� перенос и поворот тела,� булевы операции,� функции заметания и скиннинга,� конструктивные элементы,� расчет объемных параметров тела (объема, массы, моментов

инерции).

Все эти базовые функции, как правило, напрямую доступны поль&зователям программ, построенных на основе твердотельного модели&рования.

Типичные твердотельные примитивы – брус (прямоугольный па&раллелепипед), цилиндр, конус, шар, клин, тор. При создании при&митива пользователь должен определить его размеры и положениев пространстве.

Булевы операции включают в себя операции объединения, пересе&чения и разности двух тел. Результаты применения булевых опера&ций к двум твердым телам (куб и сфера) можно видеть на рис. 3.

Рис. 3

Функции заметания создают объемное тело поступательным иливращательным движением замкнутого двумерного контура в трех&мерном пространстве. Функция скиннинга «натягивает» трехмерноетело на его плоские срезы, заданные в виде замкнутых двумерныхконтуров.

38 Лекция 2

Типичные конструктивные элементы включают в себя скругле&ние, поднятие, проделывание отверстия. При создании конструктив&ного элемента задаются его размеры.

Важным свойством систем твердотельного моделирования явля&ется возможность расчета объемных параметров тела – объема, цент&ра масс, тензора инерции и пр. Все такие параметры выражаютсяобъемным интегралом по телу.

В большинстве современных CAD&систем пользователь может со&здать свой набор конструктивных элементов. Отметим, что в однойконкретной системе геометрического моделирования могут поддер&живаться не все функции твердотельного моделирования, а толькоих часть.

Декомпозиционные моделиДекомпозиционные модели являются простейшим подходом к твер&дотельному моделированию, представляя трехмерное тело компози&цией некоторых простых элементов. Различают следующие декомпо&зиционные модели:

� воксельное (voxel) представление;� октантное дерево;� ячеечное представление.

Воксельное представление – полный трехмерный аналог растро&вого одноцветного изображения. Тело представляется трехмернымбулевым массивом, каждый элемент которого является простран&ственным кубиком одинакового размера со своими уникальными ко&ординатами. Такой кубик называется вокселом (voxel – от VOlumepiXEL). Вокселы равномерно покрывают всю область (прямоуголь&ный параллелепипед), в которой содержится моделируемое тело. Со&ответственно, те вокселы, которые имеют непустое пересечение с мо&делируемым телом, представляются в массиве значением ИСТИНА,прочие – значение ЛОЖЬ. Отметим удобство воксельного представ&ления для реализации на его основе булевых операций твердотельно&го моделирования. Для этого необходимо построить согласованныевоксельные представления двух тел и применить соответствующуюоперацию к булевым значениям ячеек массива. Отметим, что слож&ность такого алгоритма будет прямо зависеть от числа вокселов. Навоксельном представлении несложно вычислять объемные парамет&ры тела – достаточно лишь вычислить их аналитически для каждоговоксела и просуммировать.


Октантное дерево является развитием воксельного представле&ния. Каждый узел октантного дерева соответствует некоторому кубув трехмерном пространстве, который является либо:

� полностью (с заданной точностью) принадлежащим описывае&мому телу;

� полностью непринадлежащим описываемому телу;� частично пересекающимся с описываемым телом.Первые два типа узлов – терминальные (листья в октантном дере&

ве), а каждый узел третьего типа обязательно имеет 8 дочерних узлов,соответствующих геометрическому разбиению его куба на 8 частей(октантов) – рис. 4.

Рис. 4

Ячеечное представление соответствует разбиению моделируемо&го тела на произвольные непересекающиеся выпуклые многогранни&ки, полностью (в соответствии с заданной погрешностью) заполняю&щие его объем.

Конструктивные моделиКонструктивные модели основаны на журнале применения опера&ций твердотельного моделирования. Для создания копии модели не&обходимо просто заново выполнить все операции из журнала, то есть

40 Лекция 2

заново сконструировать изделие, по&этому подобный подход к моделиро&ванию называется конструктивным.

CSG (constructive solid geometry)�модели реализуют конструктивныйподход в терминах булевых операцийнад параметрическими твердотель&ными примитивами (прямоугольныйпараллелепипед, цилиндр и пр.).CSG&модели обычно представля&ются в виде дерева, у которого вселистья являются примитивами с ука&занными размерами, а каждая нетер&минальная вершина является либоаффинной трансформацией (перено&сом или вращением), либо булевымоператором. И трансформация, и опе&

ратор применяются к вершинам&потомкам. Пример CSG&дерева при&веден на рис. 5.

Реализация булевых операций для конструктивных моделей, ос&нованных на дереве CSG, достаточно прямолинейна – ведь для этоговсего лишь нужно соединить (сконкатенировать) два дерева в одно,используя новый узел, символизирующий конкретную операцию.Никаких вычислений такой алгоритм не подразумевает.

Нетрудно составить алгоритм перевода CSG&дерева в октантноедерево, алгоритм трассировки луча (для отрисовки CSG&дерева надисплее), а также алгоритм упрощения дерева (устранения из неголишних узлов).

Расчет объемных параметров выполняется простым обходом де&рева. Для терминальных узлов (представляющих собой примитив&ные тела) расчет объемных параметров выполняется аналитически,для нетерминальных (трансформаций и булевых операций) требует&ся лишь выполнить арифметические действия над вычисленнымипараметрами дочерних узлов.

Граничные моделиГраничные модели хранят информацию о границах тела (гранях, реб&рах и вершинах). Для простоты манипулирования эта информацияподразделяется на геометрические и топологические данные. Геомет&рические данные для каждой граничной сущности свои:

Рис. 5


� для вершины – ее координаты;� для ребра – параметрическое уравнение кривой (прямой);� для грани – параметрическое уравнение поверхности либо тип

и набор параметров в случае канонической поверхности (плос&кости, сферы, цилиндра, конуса, тора).

Топологические данные – это информация о смежности вершин иребер, ребер и граней, а также о внутренних и внешних границах гра&ни. Для удобного манипулирования топологической информациейбыло предложено несколько структур данных, называемых BRep:

� многогранные (фасетные) модели;� вершинные модели;� полуреберные модели;� крыльевые реберные модели.

Разберем одну из самых популярных структур – полуреберную,основанную на том простом факте, что каждое ребро границы твердо&го тела принадлежит ровно двум граням (рис. 6).

Рис. 6

Структуры данного представления таковы:

� список тел (solid), каждое тело состоит из списка его граней(faces), ребер (edges) и вершин (vertices);

� грань состоит из колец (loop), представляющих собой внешнююграницу грани, а также ее опциональные внутренние границы;

� кольцо состоит из списка полуребер (halfedges);� полуребро указывает на начальную вершину и следующее по&

луребро, а также на свое ребро;� ребро хранит указатели на два своих полуребра.

42 Лекция 2

Корректность граничных моделейВажным свойством при работе с граничными моделями являетсяобеспечение их корректности. В отличие от декомпозиционных иконструктивных моделей граничная может не соответствовать ника&кому твердому телу. Для автоматического обеспечения корректностиграничных моделей используют операторы Эйлера, основанные наформуле Эйлера–Пуанкаре.

К топологическим элементам граничной модели применимо сле&дующее равенство, называемое формулой Эйлера–Пуанкаре:

v – e + f = 2(s – h) + r,

где v – число вершин, e – число ребер, f – число граней, s – число тел,h – число сквозных отверстий в телах, r – количество внутренних гра&ниц (колец) в гранях.

При модификации топологии граничной модели используют опе&раторы Эйлера, которые добавляют в модель (или удаляют из нее) то&пологические элементы, сохраняя в силе формулу Эйлера–Пуанкаре.Ниже приведен популярный набор операторов Эйлера (табл. 1).

Таблица 1

Оператор V e f h s r Описаниеmvfs +1 0 +1 – +1 0 создать вершину, грань, телоmev +1 +1 0 0 0 0 создать ребро, вершинуmef 0 +1 +1 0 0 0 создать ребро, граньkemr 0 –1 0 0 0 +1 удалить ребро, создать кольцоkfmrh 0 +1 –1 +1 0 0 удалить грань, создать кольцо,

отверстиеkvfs –1 0 –1 0 –1 0 удалить вершину, грань, телоkev –1 –1 0 0 0 0 удалить ребро, вершинуkef 0 –1 –1 0 0 0 удалить ребро, граньmekr 0 +1 0 0 0 –1 создать ребро, удалить кольцоmfkrh 0 –1 +1 –1 0 0 создать грань, удалить кольцо,

отверстие

Об операторах Эйлера справедливы следующие утверждения:

� любая топологически корректная граничная структура данныхможет быть как создана, так и полностью удалена применени&ем конечного числа операторов Эйлера;

� операторы Эйлера не могут создать топологически некоррект&ную граничную структуру данных.


Одним из достоинств граничной модели является удобный способрасчета ее объемных параметров. Напомним, что объемные парамет&ры выражаются объемным интегралом по телу. Для BRep&моделиобъемный интеграл преобразуется в поверхностный (в соответствиис теоремой Остроградского–Гаусса), который в свою очередь распи&сывается на сумму поверхностных интегралов для каждой грани.Поверхностный интеграл по грани вычисляется либо как двойнойинтеграл (если грань отображается на прямоугольную область в про&странстве параметров), либо расписывается по теореме Грина каккриволинейный интеграл, который вычисляется аналитически иличисленно по каждому ребру грани, а затем суммируется.

Пакеты геометрическогомоделированияи их функциональностьПакет геометрического моделирования (называемый также геомет�рическим ядром) – набор библиотек с программным интерфейсом(API), с помощью которого можно пользоваться функциями геомет&рического (например, твердотельного) моделирования. Многие ве&дущие CAD&системы (такие как CATIA, Pro/Engineer, NX) построе&ны на основе собственных геометрических ядер (CGM, GRANITE иParasolid соответственно), тогда как другие (SolidWorks, T&FLEX,ADEM и пр.) построены на основе лицензированных геометрическихядер. Самыми популярными ядрами (используемыми в наибольшемколичестве САПР) являются Parasolid (от компании Siemens PLMSoftware), ACIS (выпускаемый Spatial Corp. – дочерней компанииDassault Syste êmes) и GRANITE (PTC). Отметим также свободно рас&пространяемый в открытом коде пакет Open CASCADE (выпускае&мый одноименной компанией).

Типичной функциональностью пакета геометрического модели&рования является предоставление набора программных интерфейсов(структур данных, функций и классов) для создания приложениякаркасного, поверхностного, твердотельного или немногообразногомоделирования. Обычно родственные интерфейсы группируютсяв модули, среди которых выделяют:

� базовые типы и операции;� моделирование топологии;� геометрические объекты и операции над ними;

intro final - cdn1.ozone.ru · Системы управления данными об...

Documents

Transcript of intro final - cdn1.ozone.ru · Системы управления данными об...