INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

23

Transcript of INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

Page 1: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

��� ������� � ������� � ������� ������ � � � � � ����� � ��������! �"$#&%('*),+.-!%0/1%0"324 �576� �598:)<;!=>'@?A+CBD%�EGFH6I6

JLKNMLOQPSRUTWVXMZY[T3\^]�_!P`TbaQMZVXPSTWcedZfhgji3RUcbYkdlM>TL\`YnmoYQcbpSMZRlfUcbTWqrgoi3RUcbYkdlM>TL\`YtsvuHw`xzyZ{|{J}J~K�M~O�P`RUT�VXM>YQTG\^]�_9PST�a�M>VXPSTWcedUflgvmoYQcbpSMZRlfUcbTWq�\^]D�[\SR�\`YQT~\rg��[\SRh\SYQT~\rg� P`YkP}�|PD_!yS�.���G{�g�MZVXPScb��f>Mldl\���VXPST�a���T~\SR�\`YQT~\}�bMl�S�

�0�Q�`�z���Q�,�I�&�l�[�`�����>����� �`�v�`¡h�&��¢G�Q���l�¤£�¥S¦}�&¡����Q�¨§��}�©�¤���&��ª}�&�}¡h�¤¥}¡���¥Q£��Q�}� �©«[�`¡h¬}�&­��¡����©«k�&�Z�h�`®Q§¯�G�`�I¥|���z�j¥`°±¡���²}¥|¡�¥|�Q� �>¥}�I«����h�>¡¨�|�������^�h�&­�¢$¥|¡�¬D³��©�&�}£}°�¥}¡´�Zµ��}�N«Q§¯�v¶ ·�£�¸�¹�£º`» £�¹}·�£�¹}¼r½L£��}�Q­(���Q�>��¡��`«�«Q§¯���>�`����¥}�Q�����¾¶¯¸ » £|¸}¸`£|¸ º £>¹Q£>¿�£rÀ�£`¸&¿�£}¸rÀÁ£}¸�Â�£}¸SÃz£`¸�¼�£}¸�·�£ º}» ½bÄZÅÆ ���D«��Q¡�«k¥|���X¥`°G�h������¡h�>¦Á�¯�&¢Ç������¥9���>§��&�Z���È«����&�>�D¥`°��h�Q�S�N®[¥�­�ªÉ¥`°Ê¢3¥}¡h¬±£ �`�[­.��¥²}��¦}�����I¥}¡h�(¥}¡3§¯������­��>�h�`��§��&­t�}�>�>¥}���z��£z®k¥`�h��¥}°¤���Q��Ëz�Q�}�z�������I�&�l�[�`�����>�}§k«Q¡�¥|®�§¯�&��©��¡h¡h¥}���Q­��¯��²I�h�����>¥}�I«����h�>¡0¢$¥|¡�¬D�}�Q­È¥}°o�h�����>¥}�I«����h�>¡Ì�|�������^�h�&­H«�¡h¥Á¥`°´�Í�l�©�&§Í°^ÅGÎÉ���¥}«k�����Q���G¢G��§�§�®k���>��§��¯²|�z���>�Q�¯��²¾�����Q�Z�v���Q�l�H¥`°o������¥`���Q�>¡Ê�Z¥|�I«������&¡Ì�}�h�����©����­�¢3¥}¡h¬�¯�ÈËz�Q�`�z�h���Ï�I�&�l�[�`�����>�����Q�`¡h�&���X�`�Áª¾¥}°��h�����X�`����°����S�h��¡�����«�¡h�&���>�z����­D®k�>§�¥S¢�ÅÆ ���¨���[­��>¡h§¯ªÁ����²����Q�>�I�¨���[­��>¡o­����h�Z�[�����¯¥|�����>¡h�j�����h���¨«�¡h¥Á¥`°�«�¡h�&���>�z����­��¯�¾¶¯¸>¿Q£|¸rÀÁ£}¸�Â�£¸rÃz£¤¸�¼�£�¸&·�£ º`» £ º ¸U½¤¥`°Ð�N«�¡����Z���©���|�©ªÁ�I«���¥}�����0°�¥}¡h����§��v°�¥|¡�������²|¡�¥|���Q­zÑ��^�l�S���(�>�Q�>¡h²}ª¥`°Ê�È��¥|�ÁÑz¡h�>§��S�h�¯¦Á���^�h���X�`��¥}�HÅ9Ò0���¾¥}°������¾����²|¡���­��¯�&�z�h�v¥}°����Q�`��«�¡h¥z¥}°^£ �[�`�I�>§�ª9�h����Z¥}�z�h�>�z�(¥}°Ì¶ º ¸U½L£�¢3�|�Ê�h¥����^�l�`®�§������9�}�9�>§��>�I�&�|�l�`¡hªH�¯����Ëz�Q�`§��Í�^ªt�h�Q�S��«�§��rªÁ�(�D�>¡��[�Z���`§¡�¥|§¯�N�¯�9�����I¡h�&�©�(¥}°j���Q�N«Q¡�¥Á¥`°$¥`°j�h�Q�S��°�¥}¡h���Q§��QÅ Æ �����(�����&Ëz�Q�}§¯�¯�^ªÈ¢��}���©�>�©�h§¯��­9�}����Z¥}�I«������>¡©ÑÁ�|�������^�h�&­¾«Q¡�¥Á¥`°o�Q���¯��²I���z���>¡h¦S�`§¤�}¡��¯�����I�>�����`ÅÆ ���G�¯�Q�&Ëz�Q�`§��¯�^ª��Z¥|�Q�Z�&¡��[���h��� Æ ��¥|�X�}�^ÑÁÓ��&¡��I�Á«k¥`���&�z�����`§[ÔQÕQÖг�×`Ä$ØÚÙGÛ�³�×`Ä�ÜS×z£z¢G���&¡��Û±³e×`Ä����G­��ZÝQ����­H�}�3���Q�v�©¥|§¯���h�¯¥|��¥}°Û�Þ Þ�³eßkĨØàߤá¤â ã ä>ÛÁå ã ä}³�ß±ÄUæçÛ�³ » ÄjØè¸}æ,Û�³WéêÄjØ »�ë ³ »�ë ¸�Äì �>ÝQ��� í ³�îGĨØ,ï�ð Û�³�ß±Äß Ù î�ñß ñÐò â ã äóõô ß æ î÷ö.³ » æWîGø}ÄZæ¢G���>¡h�¾ù ó Ø��X�Sµ¤³eùkæ » ÄU£Ð�`�Q­7�H�Á����®[�&¡NîGøv¢G�¯§�§¨®k�D­��>ÝQ���&­7�`�v���Q�¾®[�&²}����������²!¥}°úÁ�&�Z����¥}� º Å Æ ���G°��Q�Q�U�h�¯¥|� í ³�îGÄ´­��>«k�>�Q­��$�©�I¥Á¥`�h��§�ª�¥|�Xîç¶ ¿Q¸U½L£Á�`�Q­N�h���Ê�X�`���X¡����©�Q§Í��¯�7¶ º ¸U½����G�}�3°�¥|§¯§�¥S¢Ê�&û

¸

Page 2: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

ü ýÈþÊÿ���������

��� ����� ���������� í Þ Þ ³WîGÄ����! » ]Z\SR�P`�b� î÷öɳ » æLîGø}Ä �Æ �����I���X�ÉË|�[�`�z���¯�h�`����¦}��°�¥}¡h� ¥`°0�����H��¥|�ÁÑz«k�>¡h�¯¥�­����Z�¯�^ª7¥`°��`§��I¥|�©�I�}§¯§�">�&¡�¥`Ñz�&���>¡h²}ª¥}¡h®��Í�l�G°�¥|¡Ê���Q�$#Ì�}�I�¯§¯��¥|�����}�&%Ø(' )*' ñ,+CÔ�Õ[Öo³-' ß.' ÄÌ¥}�&/10�Ø32z³�ß æ4)}Ä!'zß ö5/76}æ8)¾ö/76�9zÅ�:~�N°e�|�U�&£z�`�I�&�|�©ª��Z¥}�I«����h�S�h�¯¥|�X�©��¥S¢Ê�o�h�Q�S�¨�;"&�>¡h¥SÑÁ�>���&¡�²|ª(¥|¡�®Q�Í�j¢G�¯���X�`�Q²}��§��`¡�N¥|�I�>�z�����èî.��� «[�&¡���¥�­����j�Í°[�}�Q­�¥|��§¯ª��¯°�������­��&¡���¦S�S����¦}� í Þ ³WîGĤ��� �Ê¡h�`����¥}�Q�}§}���Q§Í�h�¯«�§��¥`°=<÷³��©�&�t¶¯¸U½LÅ Ä5#Ì�>�Q�>�}£ Æ ���&¥}¡h�>� » Å�¸�����¥S¢Ê�Ì���Q�`���>§¯¥z�©��­>">�&¡�¥`Ñz�>�Q�>¡h²}ªD¥|¡�®Q�Í�l�0�}¡����©�°�¥}¡G¥}�Q§¯ªD�>¥}���z�l�`®�§�ª¾�X�`�Áª�î(ÅÆ �����¨¡��&¦Á�¯�&¢ ¢G��§¯§[®[�Ê¥|¡�²z�`���?">��­��|�а�¥}§�§¯¥S¢Ê�&û¤Ý[¡h�©�&£|¢$�G¢G��§¯§[«�¡h�&���>�z�´�����ÊËz�Q�}�z����� �I�A@�l�Q�`�����>�}§Á«����Z����¡h�3¡��&§¯�&¦r�}�z� °�¥|¡ �h�����o�����&¥}¡h�>�Hû¤�h�����o²|�¯¦|�&�Ð�Ì�I���`������²0��¥ Æ ���>¥|¡��&� » Å�¸}£®����o�&�`�v®k�$��¬Á�¯«Q«[��­��Í°��h���¨¡h�&�|­��>¡���� ��¥`� �¯�z���&¡����^�h�&­����v�¯�h�o�`«�«�§����>�S�h�¯¥|�Q�&Å�BG°b�h�>¡h¢3�}¡h­Q�>£¢$�(¢G�¯§�§�«�¡h�&���>�z�3������®Q�|�©���(�Z¥}�I«������>¡G���Z�©Ñz��«�°�¥}¡3���Q�(«Q¡�¥Á¥`° ¥`° Æ �Q�>¥}¡h�>� » ů¸|£Á¢G�����l�¢G�¯§�§[���Á¦}¥|§¯¦|�G�^¢$¥��I�}�¯�I�h������²|�&ûo�����0¡���²}¥|¡�¥|�Q�j��¥}§�������¥}�I�h¥v���Q� Æ ��¥|�I�|�~Ñ�Ó��&¡��I����Ë|�[��@����¥}�¤£��}�Q­¾�h�����}�Z���Q�}§±�>¥}�I«����l�S�h�¯¥|��¥}°����Q�0°��Q�Q�U�h�¯¥|� í �`®k¥S¦}�DCz�h���(ÝQ�Q�`§����&�Z����¥}�Q��¥}°�������G¡h�>¦Á�¯�&¢÷¢G��§¯§�®[�v­��&¦}¥}���&­D��¥N�h���&�������h�����&�&ÅÒ0��¡È¡��&¦Á�¯�&¢õ���&¡��.¢G��§¯§�®k�FE^�Q�©�9�ê®Q¡����Z°X�©¬|�Z�l�l�÷¥`°N���Q�1�}�U�h�Q�`§�«Q¡�¥Á¥`°^Å ÎÉ�7¡��>°��>¡�����7¡h�&�|­��>¡H�h¥<�����7¥|¡���²}���Q�`§�«[�`«k�>¡1¶ º ¸U½v°�¥|¡È���Q�1�Z¥}�I«�§��Z�h�1­��Z�l�`��§��&Å Æ ���7«[�`«k�>¡�Í�l�©�&§Í°�¢G�¯���n����� «�¡�¥Á¥}°v¥`° Æ ���&¥}¡h�>� » Å�¸}£���¥|²}�>�����&¡D¢G�¯���n�h��� �>¥}�I«�§��Z�h�9«�¡h¥}²|¡h�}�I��Q�©��­t�¯�H¥}�Q¡G«�¡�¥Á¥}°Ð�}¡���«���®Q§¯���Z§�ª��r¦S�`��§��`®�§���®zª��`��¥|�zªÁ�I¥}�[��GIH�J4°�¡h¥}� �h�����X�}�l�������KML H�N�OQP�HSRIT L*U O4R�VIP!³W:~�z���&¡����>�(�Á����®[�&¡�¸ º ¼QÅ ¼|¹�Å�¸&¹}¹QÅ º ¸�À|Ä3Ò0��¡(«�¡h¥}²|¡h�}�I�0�`¡h���©��¥}¡h�&­�¯�t���Q�v­��¯¡h�&�Z��¥|¡�ª1XYJ�P�Z*XYJ L J*RD[ U X U RS\D][Å^ _a` ?cbed `gf f h �(i�?jblkj� BÆ ����²}¡h¥}���Q­m@L�©�h�`���Ì�&���>¡h²}ªon¾³�pÈærq0Ĩ°�¥}¡�p@�>§��&�U�h¡�¥|�Q�3�`�Q­t���Á�Q�>§¯�&�Q�3¥`°Ð�l�Q�`¡h²}�!q,���­��ZÝQ�Q�&­&s(�}�3�h�����¯��ÝQ����� ¥`°o�����v��«k�&�U�h¡��Q� ¥`°o������#0�`�I��§Í�h¥}�����`�

%ut�v Ø twxzy s={ Ù�|~}��ÊÙ�q�' ß x ' á sA� + wsz�S�A� x � t ' ß � Ù ß x ' á s æ�}�U�h�¯�Q²�¥|� �`�z�h����ªÁ�N�I�>��¡h���u�N³�ß s æ ë&ë>ë æ�ß�t�Ä�ö��¨ñ|³�/16 t ÄUÅ Æ �Q��²|¡�¥|���Q­�@~�^�l�S�h���>�Q�>¡h²}ª¥`°´�`�H�S��¥|� ���������&�È­��ZÝQ�Q�&­H�}� n¾³QqÌÄjØ,�I���t�� s n¾³�pÈærq0ÄUæ�`�Q­È¥|��¡Ì«Q¡�¥|®�§¯�&� ���G�h¥��>¥}�I«����h�$n¾³QqÌÄÌ�}��ªz�I«��h¥`�h���&�`§�§¯ª�°�¥}¡0§��}¡�²|�$q�Å��3����§�­��¯�Q²D¥}�������«�¡h�>¦Á��¥}�Q�3¢3¥}¡h¬X¥`° Æ ��¥}�X�}��¶ ¿|¹S½W£�ÓQ�>¡h�N�j¶ º}º ½W£ ì ��¡h�|�N¶ Âr½ �}�Q­Hú��Z¥}�©�v¶ ¹ÁÃ�½¨³��©�&�0�h������������������������A����� �����¢¡z£��4¤����¢£��4¤�����¥z�;��¦����§��¥�����¨�¦�£�� ©ª����¥r��«-����¥z�I¬

Page 3: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à Ä

�©��¡h¦}�&ª¾�`¡������Z§���¥`°�Ť���>®7¶ ¹ » ½�ÄU£[ú��l�Á¢G����²}�&¡�¶ ¹|Âr½�«�¡h¥}«k¥|���&­¾������¡h�ZÝQ�Q�&­�°�¥}¡h����§��n¾³QqÌÄ=ÆÚÙ§�zÇ�q�ÈrÉ 6 + sÊ q ñ ÙË� s q§ÌrÉ 6 ³©¸ ë ¸�Ä°�¥}¡ ��¥}�I�$�Zµ�«�§����>�Í�h§¯ª�­��>ÝQ���&­v«[¥z�©�¯����¦}�¨�>¥}�Q�©�h�}�z�h���AÇ}£Y� s Å�BG°b�h�>¡ �����3�&�}¡�§�ªÌ¢3¥}¡h¬(¥`°*Ť���>®�`�Q­7úÁ���I¥}�n¶ ¹�¸U½¨¥|�.�N¥|§¯���Z��§��&�&£�#Ì��²}�Q�&�v�}�Q­7úÁ�¯��­��>�z�h¥}«m@LÎ �&�¯¬S�}¡h­<¶ º ¿�£ ¿ » £¤¿[¸`£¤¿ º ½²|�r¦}���!¡h�¯²|¥}¡h¥}�Q��«�¡�¥Á¥}°Ê¥`°G���Q��Ílú��Z¥}�©�I�Z¥}�YE^�&�U�h��¡h�ÏÎ�£´�[�`�I�>§�ª�n¾³�q0ÄXØÙ§�zÇ�q ÈrÉ 6!+sÊ qÌñ�+ÑÐI³Qq�Ò�ÄU£�¢G�¯���ÔÓÕ º Å×ÖG���Z�&�|�h§¯ª|£Ø:~¦Á¡����´�`�Q­ÉúÁ�¯²z�`§�¶ º Ã&½´«�¡h¥S¦}�&­È�����I�`�Q�}§¯¥|²}���¥`°Ð�����Nú��Z¥}�©�0�>¥}��E^���U���Q¡���°�¥|¡Ì�I¥}§��&�>��§¯���>ÅÊÒ0��¡Ê�X�}�¯�H¡h�&����§Í��£[�}����¥}�Q�Q�Z��­H�¯�1¶¯¸>¿S½Ð�`�Q­«�¡�¥S¦|�&­D�¯�7¶¯¸�ÀÁ£¤¸�Â�£¤¸SÃz£�¸&¼�£�¸&·�£ º}» £ º ¸U½W£����Ê�|�3°�¥}§�§¯¥S¢Ê�&Å

��� ����� ��Ù�M��� Å.nD³�q0ÄjØ Ù§� Ç q ÈrÉ 6 + sÊ q ñ ÙF� s q ÌrÉ 6 +¼ÐI³Qq ÌrÉ 6 áMÚ4Û Ä�Ü cbT�a�Ý Ç Ø sñ Ê 6 Ì �Æ ���È�^�l�`¡�������² «k¥}���z�X�¯�<­������>�Q��������² �`��¥}�X�N���X�`� �&§¯�&�I�>�z�h�}¡�ª7¥|®Q�©�&¡�¦S�`����¥}�1¥|� °�¡h�>�«Q�`¡������Z§��&�´���X��®[¥rµ�ÅÐÓ�¥|¡=p °�¡��&�G«Q�`¡������Z§��&�´���¾��®k¥rµuÞÁß�/16`£`�h���Ê�I�����¯����� «[¥z�����¯®Q§¯�¬z�����>�����È�>���&¡�²|ªÕà×áʳ�pÈæ-ÞvÄX���D�&Ëz�Q�`§Ê��¥.���Q�!§¯¥S¢3�&�©�X�>��²}�&�z¦S�}§¯���È¥}°NÙ�|A�}�Z������²7¥}��`�z�����©ªÁ�I�I�Z�h¡����,�N³eß s æãâãâÏâZæ©ß t Ä3öF�$ñ`³�Þ t Ä�¢G�Í�h�N�}«�«�¡h¥}«�¡h���S���¨®[¥|���Q­��}¡�ª��Z¥|�Q­��¯����¥}�Q�&ÅÒ0�����Z¥}�I«������&��à×á̳�pÈærÞvĨ��¡h�¯¦Á���`§�§¯ª|£�®zª��©�&«Q�`¡l�S�h�¯¥|�¾¥`°o¦r�}¡����`®Q§¯���>Å´Ó�¥|¡�§��}¡�²|�!p7£Á�h����`�Q��¢$�&¡���� à×áʳ�pÈærÞvÄ=Æä�UÕQÖ�å ÌrÉ 6 ' Þæ' ³©¸ ë º Ä¢G���>¡h��å�Øçp¾ÜS' Þæ'����Ì�����N­��>�[�©�¯�^ª�¥}°j«Q�`¡������Z§��&�Ì�¯�!������®[¥rµ�£±�`�Q­&�ZÕQÖ9���(�X������¦}�&¡h�h�`§�Z¥}�[�^�l�`�z�&ÅÆ �����G����²|²}�&�©�h���N¢��rªI��¥X�`«�«Q¡�¥rµ����I�`���Ì�������&���>¡h²}ª&è�%~t�v.��ær�;é$¥`°Ð�N¢3�r¦|�Ê°����Q�Z����¥}��N³�ß s æ ë&ë>ë æ�ß�t�Ä3���D�h�>¡h�I�Ê¥`°��h�����>§��&�Z��¡h¥}�H­��>�[�©�¯�^ª

å±³�ß s ĨØäp ï�ê å�ëíì�îzâ�ï ' �N³�ß s æ�ß ñ æãâÏâãâZæ�ß t Äã' ñ ô ß ñ ë>ë>ë ô ß t ë:~��°e�|�U��£�¢$�����Z�ð ÕQÖ ³Wå�ÄjØä� Õ[Ö ï�ê å å�ÌrÉ 6 ³�ß±Ä ô ßDÙ1ï�ê å q' ßÂ' åk³eßkÄ ô ßæ+ ¸º ï´ïmê åòñ ê å å±³�ßkÄ¢åk³eÛ�Ä' ß¾ÙÉÛ�' ô ß ô Û ë³©¸ ë ¹|Ä#Ê�>¡h�}£3�h���ÈÝQ¡l�^�X�h�>¡h� ¥|�ê�h���!¡h�¯²|�z�¾���¾�}�à�`«�«�¡h¥rµ��¯�X�`����¥}�ê��¥.���Q�!¬Á�¯���>�����È�>�Q�>¡h²}ª�N¥}����¦S�S����­�®ÁªN³©¸}Å º ÄU£S�}�Q­(�����¨¡��&�I�}�¯�Q�¯��²Ê���>¡h�X��¥}���h���¨¡h��²}�z���`¡h�j�©���I«�§�ªÌ�h���$�>§��|�������&�`§�>§��&�U�h¡����È«k¥`�h�>�z�����`§(�>���&¡�²|ª °�¥|¡��1�l�[�`¡h²}�!­��&�Q�©�¯�^ªÑåC�}�Q­à�1�Á�Q�>§¯�&�Q�¾¥}°��l�Q�`¡h²}�ÔqvÅÆ ��¥}�X�}�¨�`�Q­XÓQ�>¡h�N�Q�¯�Q­��>«k�>�Q­��&�z��§�ªN«Q¡�¥|«[¥z�©��­v�h�Q�S�j�h���̲|¡�¥|���Q­�@~�©�h�S�h���>���&¡�²|ª�n¾³�q0Ä���I�`«Q«�¡�¥rµ����X�S���&§¯ªÉ�&Ëz�Q�}§¨�h¥9�h���t�N����������� ¥`°�ð ÕQÖ ³Wå�Äv¥S¦|�>¡N�`§�§3«k¥|�h���¯®�§��H­��>�Q���¯�����&�åk³eßkÄUÅ3óÈ¥}¡h�>¥S¦|�>¡�£¨�h���>ªC«�¡h¥}«k¥|���&­C�h���9�I�����¯�I�?">����²ê­��>�Q���Í�^ª�å ÕQÖ °�¥|¡ ³©¸}Å ¹|ÄX�|�D�`��`«�«�¡h¥rµ��¯�X�`����¥}����¥I���Q�v�>§��&�Z��¡h¥}�H­��>�Q���¯�^ª¾°�¥}¡0�`�È�S�h¥}�Ï���È�¯�h�G²|¡�¥|���Q­t�^�l�S���|Å Æ �����Ê����`�9���I�I�>�Q���N�����N«Q§¯�¯Ý[�>�`����¥}�¤£¤�����Q�Z�������N¥}¡h��²}���Q�`§ «�¡�¥|®�§��>� ­����`§��Ì¢G�¯�����N³�ß s ë>ë&ë ß�t�Ä°�¥}¡�põô�¸}£S¢G����§�� Æ ��¥|�X�}�4@LÓQ�>¡h�N�|���Q�>¥}¡hª�­��&�}§��o�I�>¡h�>§�ª�¢G�Í�h�N�Ì°����Q�Z����¥}�N¥}��/16`Å.BÊ�

Page 4: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

ö ýÈþÊÿ���������

�>§��>�I�>�z�h�}¡�ª��Z¥}�I«����h�S�h�¯¥|�I¢G�Í�h���h���§áj�Q§¯�&¡4@�Å��}²}¡l�`��²|�j�&Ëz�Q�`����¥}�N°�¥}¡Ê³©¸}Å ¹|Äo§��&�}­Q�o��¥v�`�¥}¡l­��¯�[�`¡hª¾­��ª÷±�>¡h�>�z�h���}§¤�&Ëz�Q�`����¥}��°�¥}¡§å ÕQÖ £�¢G�����l�t�����&�h���>�z�����`§�§¯ª ³ » Å�¸�ÄZÅ�:~�H«Q�`¡������Z�Q§��}¡&£Æ ��¥}�X�}�4@~Ó��>¡h�I�k�����&¥}¡hª¾«�¡h�&­����U�l�����Q�`�nD³�q0Ä�ÆÚÙ§�zÇ�q§ÈrÉ 6 æ¢G�����l�H���G�Z¥|¡�¡h�&�Z���|�3°e�`¡Ê�}���¯�ʲ}¥Á���>£�®����Ê���Q�l�t��¥Á¥X�Z¡h�Q­��|Å

B �I¥|¡�� ¡��>ÝQ���&­ «�¡h�&­����U�h�¯¥|� °�¥}¡øn¾³QqÌÄ��>¥}�I�&� °�¡�¥|� �����úù PSRUTWR�MlMAû�ü \&drýPhO}O±R�\ãþ|cbVXPSTWce\SY ñ Å Æ ���X��­��&�H�������[�S�����¯�Q�>�I�����D�>§��&�U�h¡�¥|�É­��>�Q���Í�^ª �����`«�«�¡h¥rµ��¯�X�`���>§�ªå|Õ[Ö�£����}�l�t�>§��&�U�h¡�¥|��®k�>�[�r¦}�&���|���Í°Ð�Í�Ê¢��}���I¥S¦Á����²I�¯�H�I«[¥}���&�|�h���}§ÔQÕQÖг�߱ĨØÚÙ q' ßÂ' + ï ê å å|Õ[Ö ³eÛ�Ä ô Û' ß¾ÙÉÛØ' ëÆ ���>¡h�Z°�¥|¡����¯�0���Ì¡h�&�|�©¥|�Q�`®Q§¯�(��¥��`«�«�¡h¥rµ��¯�X�`�������Q��²}¡h¥}�Q�Q­�@~�^�l�S����¥}°Ð��������¡h���$#0�`�I�¯§ÿ@��¥}�Q���}�¶%ut�v.®Áª¾�h�Q�S�Ê¥}°����Q�����Q�l�È���¯�I«�§��>¡§#0�`�I�¯§¯��¥|�����`�

%����jØ twxzy s ³©Ù�|$}���+ Ô ÕQÖ ³�ß x ĩĤæG�}�U�h�¯�Q²N¥|�t�}�z�����©ªÁ�I�I�Z��¡h���×�N³eß s æ ë&ë>ë æ�ß�t�Ä ë ³©¸ ë ¿zÄ� ��§��¯¬|�����Q�v¥}¡h�¯²|�¯�[�`§�#Ì�}�I�¯§¯��¥|�����}�¤£ ³©¸}Å ¿zÄ��&�`�H®[��­����}²}¥|�Q�`§��ÿ"&�&­��Q���¯��²��©�&«Q�`¡l�S�h�¯¥|��¥}°¦r�}¡����`®Q§¯���>£��`�[­H�����X�©�h�`����¥}°¨§�¥S¢$���^�(�>���&¡�²|ªH�&�`�!®k�I¢G¡��¯�©�h�>� �Zµ�«�§����>�Í�h§¯ªÈ���!�h�>¡h�I�(¥}°�����G�&�¯²|�>��°����[�U����¥}�[�Ð¥`°ÐÙ�|Ô+�Ô Õ[Ö Å´úÁ¥��`²z�`���¤£S���Q�G«�¡�¥|®�§��>�è���С���­��Q�>�&­�°�¡�¥|�ǹDpÏ��¥�¹¦r�}¡����`®Q§¯���>ÅÂ:~�¾°e�|�U�&£�����«�«k¥|����n x �`¡h�Ê���Q�N³e���>²z�S����¦}�rÄ´�&�¯²|�>�Á¦S�`§����&�¨¥`°jÙ�|Ñ+ Ô ÕQÖ £��`�Q­§¯�>��� x ³eßkÄ$®k�0�h�����Z¥|¡�¡h�&��«[¥|�Q­�����²D³e��¥}¡h�X�`§��ÿ"&�&­QĨ�>��²}�&��°����Q�Z����¥}�Q�&Å Æ ���>�D������²|¡�¥|���Q­�@�^�l�S���Ì¢3�r¦|�$°��Q�Q�U�h�¯¥|�I°�¥}¡Ì³©¸}Å ¿zÄU£z¢G�����l�I¢$�Ì�&�`§�§M�����U£|���$�`�X�`�z������ªz�I�I�Z�h¡��?">��­I«�¡h¥Á­��Q�U�¥`°¨�h����� x ÅoBÌ�v�}�É�}«�«�¡h¥rµ��¯�X�S�h�¯¥|�È��¥t�h���X²}¡h¥}���[­�@L�©�h�`���N�>���&¡�²|ªÈ¥`°��`�.�S��¥|�H£¤�Í�v����Q�S�h��¡h�}§±��¥I�Q��� n �� ³QqÌÄjØÁè�% t�v � ��� ær� �� é ë ¥`�h�j�h�Q�S�o¢$�¨�}¡��¨�Q�©����²G�h���¨�>µ��}�U�.#Ì�}�N��§¯��¥}�Q���}��% t�v £S�>¦|�>�����Q¥}��²|�~� ��� �`¡h¥|���а�¡�¥|������v���¯�I«�§��¯ÝQ�&­F#Ì�}�I�¯§¯��¥|�����}�7³^¸}Å ¿zÄZÅ�áj§��>�I�>�z�h�}¡�ª¾�>¥}�I«����l�S�h�¯¥|�t²|�¯¦|�&�$���Q��°�¥}¡h����§��n ��� ³QqÌÄjØ÷�©�Q�>²Q³©Ù�| +êÔ�Õ[Ö±ÄoÙ sñ ï¨ï ê åòñ ê å åzÕQÖ ³eßkÄ¢å|Õ[ÖгeÛ�Ä' ß¾ÙÉÛ�' ô ß ô ÛkÙ

sñ ï¨ï ê å ñ ê å ' �0³�ß æ©Û�Äã' ñ' ß¾ÙÉÛ�' ô ß ô Û+ sñ ï´ïmê åòñ ê å ¶ å���U³eßkÄjÙÔå ÕQÖ ³�ßkÄ~½L¶ å ���>³�Û�ÄÐÙ5å ÕQÖ ³eÛ�ÄL½ ô ß ô Û' ß�Ù Û�' æ ³©¸ ë À}Ä��� ������������¥r�Â���ò«r¤���£ �����ò���Q«r¨���«r�����ò��������«r£��«r�������¢������¥ã¤���«r¦�¦���¥��Ï��¨§«-����¥z��¬

Page 5: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à �¢G�Í�h��©���&²Q³^Ù�|¶+�ÔQÕQÖ¤ÄjØ w x n x æøå �� ³�ßkÄ$Ø w x ' � x ³�ßkÄÏ' ñ æ��0³eß�æ©Û�Ä¨Ø w x � x ³�ß±Ä � x ³eÛ�Ä ëÆ ¥N²}�>�3�I¥}¡h�(�Zµ�«�§����>�Í�G����°�¥}¡h�X�S����¥}�D°�¡�¥|� ³^¸|Å À|ÄU£Á¢$���`«Q«�¡�¥rµ����X�S���(�©�Q�>²Q³©Ù�| +.Ô�Õ[Ö±ÄZ£å �� �`�[­��ÌÅ Æ ��� f>MZVNcedZ��PrflfUcedhP`�¤PhO}O±R�\ãþ|cbVXPSTWce\SYQf °�¥|¡´���Q�&���ÌËz�Q�`�z���¯�����&�¨�`¡h���|�а�¥}§�§�¥S¢Ê�>Å

�©���&²Q³^Ù�|ç+êÔ�Õ[Ö±Ä�ÆèÙ ss Ì�� ä ï ê å ' ÔQÕQÖг�ß±Äã' Ì-É ñ ô ß æ ³^¸ ë Â}ù�Äå ���Z³�ß±Ä=Æ s0 � ä ' Ô ÕQÖ ³�ß±Äã' 6 É ñ æ ³©¸ ë Â��ZÄ

sñ ï´ï ê å ñ ê å ' �0³eß�æ©Û�ÄÏ' ñ ô ß ô Û' ßDÙ Û�' Æä���!ï ê å å É 6ÕQÖ ³�ßkÄ ô ß æ ³©¸ ë ÂD�>Ä°�¥}¡Ê�N������¦}�&¡h�h�`§¤�>¥}�Q�©�h�}�|��� � ÅÎ �G¥|�N�¯�´���Q�G�N¥}����¦S�S����¥}��°�¥}¡Ê³©¸}Å Â}�zÄU£Q³©¸}Å Â`®[ÄÐ�}�Q­�³©¸}Å Â}��ÄÐ�`�Q­N�Z¥|�|�h�>�z�´¥}��¡l���>§�¦}�&�o¢G�¯��������X¡h�>�X�`¡h¬È�h�Q�S���h���>ªÉ�`¡h�I�>§¯¥z�©�&§¯ªÈ¡h�>§��S�h�&­ ��¥HÎÉ�>ªÁ§"! ���h���>¥|¡��&� ¥}�.�&�¯²|�>�Á¦S�`§����&��¥}°������Å �`«�§��}�>���}�¤Å´Ó�¥}¡h���Q§��t³^¸|Å Â|�&Ä��`�[­D�¯�h�Ê�}«�«�§����&�S�h�¯¥|�D�h¥I�`��¥|�I�G�}¡���­��Q����¥ ì ��¡l�}�`Å# ����������²D³^¸|Å Â|�|ÄZ£[³^¸|Å Â}®[ÄÐ�`�[­È³^¸}Å Â}��Äo�¯�z�h¥¾³^¸}Å À}ÄZ£|¢3�G¥}®��h�`���N�����0�©�&�N���Z§��}�h�����&�`§Q�}«�«�¡h¥rµ�@�¯�X�S�h�¯¥|�¾°�¥|¡,n���>³�q0ÄUÅ%$�Ó�¡h¥}� �h���ÌÝ[¡h�©�$�^¢3¥v�h�>¡h�X�¨¥|�¾���Q�0¡h�¯²|�z�$���ɳ©¸}Å À}ÄU£Á¢3�Ì¡h�&�>¥S¦}�>¡����� Æ ��¥|�X�}�4@LÓQ�>¡h�N�±�&���>¡h²}ªÈÙ§� Ç q ÈrÉ 6`Å Æ ���(�h���¯¡l­����&¡�� ¥|�D�h����¡h�¯²|�|��¥`°�³^¸|Å À|Ä$�h�`¬|�&�������°�¥|¡��@Ù§� Þ s q Ì-É 6(°�¥|¡Ê�I������¦}�>¡l�h�`§��Z¥|�Q�^�l�`�z�§� Þ s Å Æ ����ÝQ�Q�}§±���&¡�� �¯�7³^¸|Å À|Ä3¦S�`�����©�Q�&��¯�t���Q�v�©�&�N���Z§��}�h�����&�`§��`«�«Q¡�¥rµ����I�`����¥}�¤Å.Bʧ¯��¥|²}�>�����&¡&£�¢3���Q�r¦}�

n �� ³�q0Ä�ÆÚÙ§�zÇ�q§ÈrÉ 6 Ù5�>Þ s q�Ì-É 6 ë ³©¸ ë Ã`ÄÆ ���0§��}�©�3���>¡h� �¯�.³^¸|Å Ã}Ä´�����>�`§�§��&­I�h��� ì ��¡h�|�Ì�>¥}¡h¡����U����¥}��Å'&$¥|�N«[�`¡h�¯��²�³^¸}Å Ã`Ĩ¢G�¯���¾�h����Z¥}¡h¡h�&�U�$°�¥}¡h����§��v��� Æ �Q�>¥}¡h�>� ¸|ů¸|£|¢3�(���>�Ì���Q�`�$�h����qÊñA@��h�>¡h� ���3�I���h���¯��²�°�¡�¥|� ³^¸|Å Ã}ÄU£�`�Q­ ���Q�¶q ÌrÉ 6¾�Z¥Á�(X�>�¯�&�z�v����¢G¡�¥|��²QÅ Æ �Q�I��¡h¥}��®�§��X�������[�S��³©¸}Å Â}�|Ä0���v¥|��§¯ªÉ�È�Z¡h�Q­���`«�«�¡h¥rµ��¯�X�`����¥}�¤ÅB ¡��>ÝQ���&­ °�¥|¡��@¥`°�³^¸}Å Â}�zÄ0¢3�|��«�¡�¥|«[¥z�©��­9®Áª ú��Z¥`���D¶ ¹ÁÃ�½$�}�Q­.ú��l�Á¢G�¯��²|�>¡¾¶ ¹}Âr½LÅDÓQ¥}¡«[¥}���>�z�h���}§���Ô ¢G�¯���É�)&$¥}�Q§¯¥|��®9���¯�Q²}��§��`¡h�Í�^ªÈÔ¾³eßkÄ�Æ�Ù�q�' ßÂ' á sv�S�(�����N¥}¡h��²}���¤£Q�h���>��¡°�¥}¡h����§��N���

�©�Q�>²Q³©Ù�| +êÔ�Ä�ÆèÙ ss Ì�� ä ï * � Ç ' Ô1' ÌrÉ ñ + sÊ q ñ + s Ê � ä ï * � Ç ' Ô1' s É ñ |IÔ ë ³©¸ ë ¼|Äú��Z¥}�©�ʲ}�Q�&�h�©��­¾�h���$qÊñz@��h�>¡h�Ï®Áª¾¢3¥}¡h¬z����²N¥}�����h�����>§��>�I�>�z�l�`¡hª¾�Zµ��`�I«�§��Ô¾³eßkĨØän Ç Ù�q�' ßÂ' á s ë

Page 6: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

+ ýÈþÊÿ���������

ú��l�Á¢G�¯��²|�>¡Ì­��&­��Q�>�&­H�h����§��}�©�Ì�h�>¡h� ��� ³©¸}Å ¼|Ä�°�¡h¥}� ���Q�v°�¥}¡h� ¥`°´���Q�������S�̬|�>¡h���>§�°�¥}¡, á.-�/�á.0 ó *21 £3¢G�����l�C���C����¡h�C���Ȳ}���������&­ °�¡h¥}� �h���ȬÁ��¥S¢G�C�&�}���H¥`°(�����È�Q�}¡��I¥|�����¥|�h�Z��§¯§��S�h¥}¡�Å � �©����²H³^¸}Å ¼|ÄZ£¤³^¸|Å Â}®[Ĩ�}�Q­É³^¸}Å Â}��Ä´�h¥N�}«�«�¡h¥rµ��¯�X�S�h�Ê�h����¡���²}�z�4@L�Q�}�Q­¾����­���¥}°³^¸}Å À}ÄZ£�¢3�(¥|®��h�}�¯�Èú��l�Á¢G����²}�&¡3! �$°�¥}¡h����§��H³^¸}Å�¸�Ĩ°�¥|¡�������²|¡�¥|���Q­�@~�^�l�S�h�0�&���>¡h²}ª|ÅÆ ���È¡���²}¥|¡�¥|�Q�N�Z¥}�I«Q�}¡�����¥}� ¥}°;n ��� ¢G�¯���änD³�q0ÄN¢3�|�I¥}¡h�¯²|�¯�Q�}§¯§�ª1­�¥|���H�¯�Ú¶¯¸�À�½L£�®�������Q�`�0«�¡h¥Á¥`°´�Q�}�Ì®[�&�>�!²|¡����S�h§¯ªt�©���I«�§¯�¯ÝQ��­HÝQ¡l�^�(®zªF���}�l�1¶ º ½´�`�Q­H�h���>�54(¡h�`°�Ñ�úÁ¥|§¯¥S¦|�¢E�¯�n¶ º ¹r½LÅ Æ ���>¥|¡��&� » ů¸¾�Y÷k���U�h��³^¸|Å ¼zÄ��}��°�¥|§¯§�¥S¢Ê�&û�Bʧ¯����¥|��²}�n³©¸}Å ¼|Ä�¢��}�v²}���������&­É®Áªú��l�Á¢G�¯��²|�>¡j�}�Q­Xú��Z¥}�©�j®Áª��>¥}�I«Q�`¡h���©¥|��¢G�¯���I���Q�§#ʪ�­�¡h¥}²}�&�N�`��¥|�Ç�`�[­��h���Ê�Q�}¡��I¥|�����¥|�h�Z��§¯§��S�h¥}¡�£z�¯�G�������}���¯§�ª¾���>�>�����[�S�v³^¸|Å ¼zĨ����°e�}�U��°e�}�¯§��3°�¥}¡3���Q�&���0�^¢3¥I«[¥}���&�|�h���}§��ÏCz���Á�Q�&£���Q�`���Í�N�Z¥}�z�h�¯�Á��������¥È®k�X��¡h���X°�¥|¡����Q� Æ ��¥}�X�|�~Ñ�Ó��>¡h�I�´«[¥}���&�|�h���}§¨���Q�^�v®k�D�È­��&�>«°e�}�U��Å Æ �����Ì���G�h�����}«[�&¡���¥�­����Z�¯�^ªt­������>¡���®k�&­È�S�0������®[�&²}����������²D¥}°o�h�����Ì¡h�>¦Á���>¢�£k¢G�����l������h�����&�h���>�z�����`§��Z¥|�z���>�z�G¥`° Æ ���&¥}¡h�>� » ů¸|ÅBÊ«k�>¡h�¯¥�­����Z�¯�^ªD¥}°Â"&�>¡h¥SÑz�&���>¡h²}ªo#0�`�I�¯§¯��¥|�����`�H«Q�S�h�Q�G����¢$�&§¯§ÿ@L¬z�Q¥S¢G�D�h¥X«�§��rª��N�>¡��[�Z���`§¡�¥|§¯�������h���Ê�©���Q­�ª�¥`°k�>��²}�>�Á¦S�`§������´�`�Q­��>��²}�&��°����Q�Z����¥}�Q�&Å�:~�I¥|��¡j�©�>�©�h�¯��²[£ Æ ���&¥}¡h�>� » ů¸�>�z���&¡h�$®[���>�}�Q�©�0¥}��¡$°�¥}¡h���Q§��|�´°�¥}¡$���Q�0�&�¯²|�>�Á¦S�`§����0����� �`�[­¾­��>�[�©�¯�^ªX�¯�Á¦|¥}§�¦}�Ê�>µÁ«Q¡����¢@�©��¥}�Q��¥}° �h����°�¥}¡h� 67Ø w

sz�87�� v â ã å�98: ;�ð q â ã å< í ³Qq�á¤â ã å< Ä ò°�¥}¡��&§¯�&�I�>�z�h�}¡�ª9°����Q�U�h�¯¥|�Q�����Q�l�1�|�=;¨³?>©ÄNØ@>3Ù ¶ >L½¤Ù sñ Å7³�#Ê�>¡h�9¶ >L½$�����h���D²|¡����S�����^��¯�z���&²}�&¡o���A>UÅ Ä�úÁ���Q�Z��;H���Ю[¥|���Q­���­�£}¢3��¥}®��l�`�����h¡���¦Á���}§¯§�ª������G���^�h�¯�X�`���B67ØDC5E�q â ã åF Å:L° í ³WîGĨØÑ<HG�î1+JIN¢G�Í�h�KGH¡h�`����¥}�Q�}§�£S�h���>�I�h���G�h¡���¦Á���}§��&�©�����X�S���Ê°�¥}¡L6 ���j�&�|�©��§�ª����>�>���¥X®k��������®[���^�Ì«k¥|�h���¯®�§��}Å�Ò0���h���v¥}�����&¡Ê�Q�`�[­�£��¯° ô ñ í Ü ô î�ñ× �; » £����Q�>�È¥}�Q�v�>�`�«�¡�¥S¦|�Ì�h�Q�S�G�h�����Á����®k�>¡l� M 7 Ø q â ã å í ³Qq á¤â ã å�< Ä�`¡h�0��Ë|�Q��­����©��¡h�¯®������&­t�I¥�­���§�¥u<´Å̳ Æ �����}¡�²|���I�>�z�3���Ê�>§¯¥z�©�0��¥o#Ì�}¡h­�ª.! ���&�©�����X�S�h�&��¥}��������z�Q��®k�>¡Ì¥}°´§��`�©�����Z��«[¥|�¯�z�l�Ê���!�¾­������}Å ÄHúÁ���Q�Z�N;¨³?>©ÄÊ���Ì«[�&¡���¥�­������`�[­H�Q�}�Ê�r¦|�>¡l�`²|�">�>¡h¥Q£��¯�G°�¥}§�§�¥S¢Ê�¨�h�Q�S��67ØOC¾³Qq�ÒÁÄ3¢G�Í�h�FÓ& s6 ÅÆ �z�[�>£ Æ ���&¥}¡h�>� » ů¸��`§�§¯¥S¢Ê�$�Q�3�h¥����I«�¡�¥S¦|�Ì¥|�D�h���(��¡h�¯¦Á���`§±�&�©�����X�S���(°�¥|¡$�h�����©�Q�P6�£¢G�����l�È�}«�«[���`¡l�3�¯�t���Q���>��²}�>�Á¦S�`§����������Ï�`�[­t­��>�Q���Í�^ª¾°�¥}¡§% ��� ÅÆ ���$«Q¡�¥Á¥`°�¥}° Æ ���&¥}¡h�>� » Å�¸¨���o���&�>�&�h���}¡���§¯ª(¡l�S���Q�>¡Ð­��>§����&�S�h�}ÅÐÓ�¥}¡Ð���I�}§¯§z«k�>¡�����¡h®Q�S�h�¯¥|�Q�¥`°ÊÔ�Õ[Ö7�¯�7�t�Q�S�h��¡l�`§o��¥|«[¥|§¯¥|²}ª}£¤�����¾�}�Q�`§�¥}²�¥`° Æ ���>¥|¡��&� » Å�¸�°e�}�¯§��&Å Æ �Q�>¡h�Z°�¥}¡h�}£�¢$��Q�r¦}�0��¥I�X�`¬|���©��¡h¥}�Q²��Q����¥`° �����v­��ÿ÷±�>¡h�>�z�����`§���Ë|�[�S����¥}�t­��ZÝ[���¯�Q²XÛ±³e×`ÄUÅ´ÎÉ��¡��&�I�}¡�¬±£��¥S¢$�&¦}�&¡&£3���[�S��¢G�¯���Q¥}���H�1�Z¥|�N«Q�����&¡��¯�t�&�`�n�`§���¥1®[�É�©�&�>�<�h�Q�S� í Þ Þ ¦S�`���������&�t�S��N¥z�^�DÝQ���¯���>§�ª<�X�`�Áª1�h�¯�I�&�ɳ # ¡�¥|«[¥z�©�¯����¥}�C¿QÅ ¼7���è¶ º ¸U½QC(���>�9�}§���¥.���Q�9���Q­��>«k�>�[­��>�z�«�¡�¥Á¥}°k���ȶ º À�½bÄZ£}¢G�����l�¾�`§���¥0���I«�§¯���&�j���Q�`��">�&¡�¥`Ñz�>�Q�>¡h²}ª�«[�&¡���¥�­�����¥}¡h®��Í�l�´�Q�r¦|�3�I���}����¡��">�>¡h¥Q£G¢G�Q���l�à���à���Q¡��÷�}§���¥7���N«Q§¯���&�D�����É���}�I�!¡����©�Q§Í�l�D�©�h�S�h�&­n�}®[¥S¦|�H°�¥}¡t�©���X�Q6�£

Page 7: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à R�`�Q­!�����&¡��>°�¥}¡h��¥|��¡�¡����©��§¯�(°�¥}¡��S�h¥}�I�����>�Q�>¡h²}���&�&Å Æ ���>¥|¡��&� » Å�¸}£±��¥S¢3�>¦}�&¡&£±���(®[�>�©���&¡®[���>�`�[�©�I�¯�v�¯�I«�§��¯����®[�>�©�h�>¡v�&¡�¡h¥}¡0���&¡��X��°�¥|¡��}§¯§Ð�h��¥|���N°�¥}¡h����§��}�&ÅuóÈ¥}¡h�>¥S¦|�>¡�£k�¯°�¥}���¢3�}�|�l�o��¥v�Q�Q­��>¡l�©�h�`�[­�²|¡�¥|���Q­zÑ��^�l�S�����&���>¡h²}���&�o�h¥v��²}¡h�&�S�h�>¡´�}�&�Z��¡l�}�>ª}£Q³��©�&�v¶ ¹�£}¿�£ÁÀ�½bÄZ£�����&� Æ �Q�>¥}¡h�>� » Å�¸}£����t�¯�h�3°��Q§¯§o�^�h¡��&��²`�h�¤£������Q�Q�r¦}¥|��­��}®�§��}ÅS �UT f V¾` d hXWUY ?AB!B7k¨B1d hXZ B h d Y1`[VÆ ����Ý[¡h�©�(���h�©���I�S���Q�}�Q­!������­��&¡���¦S�S�h�¯¥|�!°�¥}¡��D°�¥}¡h����§��X°�¥|¡ í Þ Þ ³�îGÄZÅ Æ �����(���(��¥}�����¡h�¯¦Á���`§Ð�X�S�©�h�>¡v�`�0ÝQ¡l�©�����¯²|�z�&£����¯�[�Z�I­��ª÷±�>¡h�>�z�h���`����¥}�!�^¢G���Z�I���Q����­��N�h���I�¯�z���&²}¡l�`§Ð�©��²}�²}��¦}�&��¡h���©�0��¥¾�}�����[�Z¥}�[­��Í�h�¯¥|�Q�`§�§�ªD­���¦}�>¡h²}�&�z�����z���&²}¡l�`§WÅÆ ¥È���[­��>¡l�^�l�`�Q­ �h���X°�¥}¡h���Q§���°�¥}¡ í Þ Þ £Ð�Z¥}�[�©��­��>¡��h���¾���&¢ °��Q�Q�U�h�¯¥|�]\o³eßkÄvØ ßÌÛ±³eßkÄAC�������j°��Q�Q�U�h�¯¥|�D�Q�|�¨��������²}§��Ê�X�Sµ�������� î ñ ø ¡h�&�|�l���&­X�`�$× ø £Á�`�[­I°�¥}¡Gînö.¶ » æLî ø ½k�����&¡���`¡h�D�^¢3¥É��¥}§����h�¯¥|�Q�>£3­��>�Q¥`����­ ®Áª1× s ³WîGÄI�`�Q­ × ñ ³�îGÄZ£¨�h¥ �h���È�&Ëz�Q�`����¥}�^\o³e×SÄtØõî�ñ}ÅÆ ���>�¤£

í Þ Þ ³WîGÄjØÚÙꧯ���_�` Çba ïdc äe/ 9 1 á _c â / 9 1 ó _ { \г�ß±ÄÐÙ.î ñ � ákå ã ä Û�³eßkÄ ô ßu+Õ�`³�îGÄgf á�â ã äh æ ³ º�ë ¸�Ä¢G���>¡h�$�`³WîGÄÊ���(������Ëz���>§�ª!�©«k�&�>�ÍÝ[�&­!®ÁªH¡h�&Ëz����¡�����²X�h����Ý[���Í�h�>�������(¥}°j�����N§��¯�I�¯�&Å ¥}������>¡h���h���X­��>§����>�S�h�N�&�`�Q�>�>§��S�h�¯¥|�Q�Ê�l�`¬Á����²�«Q§��|�Z�N�¯� �����N§��¯�I�¯�v�¯�C³ º Å�¸�ÄZÅ Æ ���I«�¡h¥Á¥`°¨¥}°³ º Å�¸�Äj�>�`�X®k�Ê°�¥|���Q­X���9¶ º ¸U½LÅ Æ ���>¡h�Ê�¯�$�>�}�¾�`§��©¥�®[�(�©�&�>�I���[�S�j�h���Ê°����[�U����¥}� í �¯�I°e�|�U��ZµÁ���&�Q­��¨�|�j�`�¾�}�Q�`§�ªz�����3°����Q�Z����¥}�I��¥����Z¥}�I«�§��ZµI���&�¯²|�z®k¥}¡h��¥Á¥�­�¥}°j³ » æWîGør½L£Á�`�Q­����[�S�í ®�§�¥S¢Ê�3��«H§¯��¬}��î á Ò �S�Ìî<Ø » £Á°�¥}¡�ÓHØji á2k È 6ñ ÅÆ ���I«�¡�¥Á¥}°¨¥`°$�����&¥}¡h�>� » ů¸N¢G�¯§�§´®k�I­�¥}���I®Áª!¥}®��h�`��������²H�^�h¡����U�h§¯ª!�Q�>²|�`����¦}�N�����¯°�¥}¡h�®[¥|���Q­��j°�¥}¡Ì³ º Å�¸�ÄÐ¥|�I�(Ý[���Í�h�Ì�Á����®[�&¡j¥`°¤���I�}§¯§Q�¯�z���&¡�¦S�}§��¨îBlm �Z¥S¦|�>¡h�¯��²X³ » æLîGø}ÄUÅ Æ �����¢3�|�G­�¥}�����Q������² cbYQT~MZRUpSPS�ÐPSRUcbT�aÁVXMZTWced £[¢G�����l��¢3����¥S¢÷®�¡h����nQª�¡��&¦z���>¢�ÅŤ�Z�po ®k� �����.�©�>�t¥}°¼Í©¡h�>«Q¡����©�&�|�l�`®�§��!�Á����®[�&¡h�-Î1���,�C�Z¥|�N«Q�����&¡&£Ì���Q�`�t��������¥z�©��z�Q��®k�>¡l�����Q�`�������¾�>¥}�I«����h�>¡��&�`�.¡h�>«�¡h�&���>�z���Zµ��}�Z��§�ª}Å�úÁ���Q�>�¾�Z¥}�I«������>¡l���>�}�.¥}��§�ª«[�&¡©°�¥|¡�� �}¡��¯�����I�>�����0���H�`�H�`«�«�¡h¥rµ��¯�X�`���Ì¢��rª}£|���Q����­����v�h¥I«[�&¡©°�¥|¡���¡h�¯²|¥}¡h¥}�Q�$�`¡h�Í�h�m@�N�>�����v���G�h¥¾�¯�[�^�h¡��Q�Z�Ì�h�����>¥}�I«����h�>¡Ì¥|�È��¥S¢ç��¥¾«Q¡�¥�­��Q�>�v��«�«k�>¡(�`�Q­!§¯¥S¢3�>¡G®k¥}���[­����¥I���Q����¡h����¡����©��§¯�h�Ê¥`°o�}¡��¯���Q�N�>������¥}«k�>¡l�S�h�¯¥|�Q�3®[�>�^¢$�&�>�H¡��&«�¡h�&���>�z�h�}®�§¯�(�Á����®k�>¡l�ÏC��¯�¥`���Q�>¡�¢3¥}¡l­��>£�¢$�I¢3¥}¡h¬!¢G�Í�h�.�¯�z���&¡�¦S�}§���¢G�¯���.�>�[­�«[¥|�¯�z�l���¯�5o!£o�`�Q­É¢3�N���I«�§��>�I�>�z��`¡h�Í�h���I�Z������¥}«k�>¡l�S����¥}�[�Ê¥}� �¯�z�h�>¡h¦r�}§��0��� ���Q�l�9��¢3�rª����Q�`�(²|�¯¦|�>�È�^¢3¥D���z���&¡�¦S�`§��&£[�h����Z¥}�I«������>¡�¢G�¯§�§¨«�¡h¥�­��Q�>�D�t������¡l­É���Q�`�����v²}�Q�}¡h�}�|�h�>��­!�h¥9�Z¥|�|�l�`���É�����¾¡h�&����§¯�v¥`°Ê�`§�§�`¡h�Í�h���I�Z������¥}«k�>¡l�S�h�¯¥|�Q�3®[�>�^¢$�&�>�t«[¥|�¯�z�l�G�¯�t�h�����¯�Q�Í�h���}§¤�¯�z�h�>¡h¦r�}§��&Å

Page 8: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

q ýÈþÊÿ���������

Æ �������ZµÁ�´�^�h�>«N��� ��¥(«k�>¡�°�¥}¡h�è�0���¯�I��§��}¡Ð¬z���Q­�¥`°k�}¡��¯���Q�N�>�����`£S¢G���&¡��3¥}®SE^�&�U�l�Ð�`¡h�j°����Q�A@����¥}�Q�0�¯�É�©¥|�I�$���`�Q�|�l�!�©«[�}�Z�|£[�Q¥`�0�Á����®[�&¡h�&Å;BÇ�>¥}�Á¦}�&���¯�&�z�����`�Q�|�l�!�©«Q�|�Z����¥D�[�©��¯�H�h�����Ê�����&¥}¡hªD���G�h������«Q�}�>��¥`°´«����&�Z�&¢G�������}�Q�`§�ªz�����(°����Q�U�h�¯¥|�Q�&£Q¢G�¯���9�I§�¥S¢$�&¡G®[¥|���Q­¥}�.���Q�D�©�?">�D¥`°�������­�¥}�X�`���Q��¥`°Ê�`�Q�}§¯ªz�h���>�Í�^ª|ÅÈÒ(�&�>�}����¥}�Q�}§¯§�ª}£ �Í��¢G��§�§¨®k���Z¥|�Á¦}�>�Q�¯�&�|���¥7�©¢G�¯�h�l� ��¥.²}�&�Á���¯�Q��¡h�&�}§3¦S�}¡����`®�§��������&¥}¡hª}£´°�¥|¡N¢G�Q���l�C¢$�t¢G��§¯§Ê­�¥.¥|��¡I¢$¥|¡�¬.¥}�r Ç ¶~Ù�¸�橸Á½WÅ Æ �Q�X¡����}��¥}�!°�¥|¡����Q���������h�Q�S�v���Á¦}�>¡l���¯¥|� ¥}°$°����[�U����¥}�[���¯��/Fs����v�H§��¯�©��§���&�}�����>¡G�h�Q�`�È�h�����>¥}�I«�§��ZµÈ�Z¥}�Q�|�h�>¡h«Q�`¡��&£Q�I�}�¯�Q§¯ªH®k�&�>�}�Q���������N­�¥}�X�`���È¥`°j­��>ÝQ���¯����¥}�«�¡�¥|®�§��>� ������¡h��¦z���`§����t������¡h�&�}§��>�}���}ÅóÈ¥}¡h��«�¡����Z���©�&§¯ª|£��Z¥|�Q�©��­��&¡$�h�������`�Q�|�l�¶B̧¯²|�>®�¡l�}�

% s ØjsLtгvuzÄjØxwwy y Ç ù y u yNzzzz wwy y Ç ' ù y '� néX{!æ�`�Q­ r Ç Ø 2|tг�ß±Ä�'}t9���G�>¥}�z�����Á��¥}�[��¥}�.¶~Ù�¸�æ^¸Á½�9jæ¢G�Í�h�t�Q¥}¡h�I� ' ' t�' ' s Ø wwy y Ç ' ù y 'Zæ ' ' t�' ' w Øn����«�' tг�ß±Äã'Íæ¡����©«k�&�Z����¦}�>§�ª}Å�%Ôs0���G�X����®Q��«Q�}�>�0¥}° �h���v�©�>�Ê¥`°Ð�`�Q�}§¯ªz�����0°����Q�Z����¥}�Q�G���t�������Q���Í�Ì­�����¬±ÅÒ0��¡3����®Q�©���¯�������0°�¥}¡3�¯�z���&¡�¦S�}§��$�¯�¶% s �}¡��(�©�>�h�(³e��¥}�I�Z�h�¯�I���3�&�`§�§¯��­�Í©�Q�>��²}�Á®[¥|¡��Q¥z¥�­��-Î�£�>¦}�&�ê�¯°Ì�h���>ªê�`¡h����¥}�¾�}�U�h�Q�`§�§�ª1���>��²}�Á®k¥}¡h��¥Á¥�­��hÄ�~�sS³v�zÇzæ ë>ë&ë æ�� t C�r���æ�r���C���Ä�¥`°Ì�h���°�¥}¡h�� tг�uÁÄjØ wwy y Ç ù y u y +Nu x3� ³vuzÄ zzzz ù y öQ� y æ » �^�Ô�ÑpÈæ wwy y t ó s ' ù y '���r��[æ,' ' � ' ' s ��rL�.�³ º�ë º Ä¢G���>¡h��r�� �`�Q­�rL� �}¡��H«k¥|���Í�h�¯¦|�t¡h�&�}§G�Á����®k�>¡l�X�`�Q­ê�h����� y �`¡h�t���z���&¡�¦S�`§��I���ê�h���¡����`§(§¯�����}Å Ó�¥}¡����Q�.�>¥}�I«����h�>¡t�¯�I«�§��>�I�&�|�l�S�h�¯¥|�¤£br��<�}�Q­�rL�7¢G��§¯§�¡h���÷¥S¦|�>¡¾�h����©�>�N¥}°Ì�Z¥}�I«������>¡©Ñz¡h�>«Q¡����©�&�|�l�`®�§��X�Á����®k�>¡l�&£¨�`�Q­7�����t�¯�z�h�>¡h¦r�}§���¢G��§¯§�®k�D�h��¥|���D¢G�¯���¡��&«�¡����©�&�z�h�`®Q§¯�t�>�Q­�«[¥|�¯�z�h�&Å÷ÎÉ�È¡h�Z°��>¡I�h¥dr � �`�Q­�r � �|�X����²}�à�`�[­ ²|�>���&¡h�}§G¥}¡l­��>¡�>¡h¡�¥|¡����>¡h�X�v¡h�&��«[���U�h�¯¦|�>§�ª}£o°�¥}¡v¥|®Á¦z��¥}�[��¡����}��¥}�Q�&Å Æ ���¾�Á����®k�>¡A�.¢G��§¯§$®[��¡��>°��>¡h¡���­�}�b���H� ³��©�>����¥H�¯��ÝQ���¯�^ª9�¯°�r � Ø » ÄZ£ �}�Q­ÔpA¢G��§¯§j®k�I¡��>°��>¡h¡���­È�h¥!�}� �*�|� �� ¥`°'~NÅ:~�!¥}��¡0�¯�I«�§��>�I�&�|�l�S�h�¯¥|�¤£Øp ¢G�¯§�§ �Q¥`�0®k�vÝQµÁ��­�£±®������l��¥|���>�!�|­��`«��h�¯¦|�>§�ªt­���¡�����²X�h����Zµ��&�>������¥}�t¥`°o������«Q¡�¥|²}¡l�`�X�>Å�$ª¾��¡h�¯¦Á���`§¤�h�>�`§�����²Q£�¢3��¢G�¯§�§¤®k�v�`®�§��(��¥¾­�¥X�`�[�`§�ªÁ�����$¥|�

% s ³º' u�Ù5uòÇ�'��ê×`Ä¨Ø s tгvuzÄ´Ø wwy y Ç ù y ð u�Ù�uòÇ× ò y zzzz wwy y Ç ' ù y 'm <é {

Page 9: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à ��¾�©�Q®Q�©«[�}�Z��¥`°Ð�����N�©�>�Ì¥`°¨�}�Q�`§�ªz������°����Q�Z����¥}�Q�Ì¥}�È�h����­�����¬t¥}°j�Z�>�z�h�>¡�u Ç �}�Q­H¡l�}­����Q�×zÅBÌ��°�¥|¡�r Ç £�¢3��¢G�¯§�§¤�Q���v�©�>�h�$Ñ�Í©�Q�>��²}�Á®[¥|¡��Q¥z¥�­��-Î�ÑD¥}°��h����¬Á�¯�Q­

~ Ç ³��zÇzæ ë&ë>ë æ�� t C�r���æ�rL��C�� C�6¨ÄjØ � tг�uÁÄÐØ twy y Ç ù y u y +�u t ó se� ³�uÁÄ�+�u x3� ³vuzÄ zzzzù y öJ� y æ » �d�5�ÑpÈæÊ�©�Q«�3��� ' � ³�uÁÄã'���r � æ¤����«�3��� ' � ³�uÁÄã'���r �.� ³ º Å ¹|Ä¢G���>¡h�Q6 ���N�.����®Q���Z�I¥`°I¶~Ù�¸�æ^¸Á½L£$�`�[­ � �`�[­ � �`¡h�H�Z¥}�z�h�¯�Á��¥|�Q�v°��Q�Q�U�h�¯¥|�Q�I¥}��6�ÅÎ ��¢G�¯§�§¨�Q���X�h���D����«[�&¡h�h�Z¡h��«�� » ¥}¡D¸¾¢G���>�Q�>¦}�&¡v¢3�¾¢3�}�z����¥!�&�N«Q�Q�}���ÿ"&�X�¯� ¢G�����l���¥}«k¥}§�¥}²|ªX¢$�v�}¡��0�h�}¬Á�¯��²N�h���&���>Í©���&�¯²|�Á®[¥|¡���¥Á¥�­��-Î�ÅÆ ����~ Ç ¢G��§�§}��¥}�o�`§�§�¥S¢ �Q�¤��¥Ê«k�>¡�°�¥}¡h� �}���X�`�Áª(¥}«k�>¡l�S�h�¯¥|�Q�kÑÁ���Q�l���}��­��ª÷±�>¡h�>�z�h���`����¥}�ÁÑ�}�´�h���0���X�`§�§¯�&¡�~�s`£|®Q���$¢3�0�&�`�¾�©����§¯§±�}­�­¤£z����§¯����«�§¯ª|£Á¡h�}��������¥�°�¡h�|�U����¥}�[�`§�«k¥S¢$�&¡h�$�`�Q­�¯�z���&²}¡l�S�h��³e�}�N¥|��²�¥}�����&¡h�lÄ´���X�h�>¡h�I�$¥`°��h���>�FCÁ°���¡����Q�>¡h�N¥|¡��|£}�h���0°�¥}¡h����§��}�j°�¥}¡$�������©����>��²}�Á®k¥}¡h��¥Á¥Á­É¥|«[�&¡h�`����¥}�Q���}¡��I�Zµ��|�U��§�ª!�h���D�h�`�I�D�|�(����¥z�©�X°�¥|¡����Q�N~�srÅtÎ �D¡��>°��>¡������¡h�&�|­��>¡3��¥!¶ ¹|À�£Q¹}·r½��}�Q­.¶ º ¸U½¤°�¥|¡Ê�N­��&�h�Z¡h�¯«��h�¯¥|��¥}°o��¥}�I��¥`°o�������©��¥|«[�&¡h�`����¥}�Q�&ÅÆ ���&����~è®k�&�>¥}�I���I¥}¡h���Q�©�>°���§¤¢G���&�t�����&ªt�}¡���¡h�&�h�>�`§��&­��`«�«Q¡�¥|«�¡����S�h�>§�ª¾�`�Q­H�©��¡h����²��¥}²|�Z�h���>¡�û¤�����h�����Т��rª}£r¥|���G�>�`���Q�r¦}�3�Z¥|�N«Q§¯�>����§¯¥��&�`§��`�Q­�²}§�¥}®Q�}§z�>¥}�z��¡h¥}§Á¥}°[�`�Q�}§¯ªz�h���°����Q�U�h�¯¥|�Q��­��>ÝQ���&­9¥S¦}�&¡Ì¦}�&¡�ªH§��`¡h²}�N�©�>�h�&Å Æ �������>¥}�Q�©���¯�����h�&���D�N��§�­9��¥S¦|�>§¯�^ªH�¯�9��������©�>�^Ñz�Q«¤£$���¯�[�Z�È� ������²}§��H¦r�}¡����`®Q§¯�|£¨�Z¥|�Q�©���©������² ¥}°(�É«k¥}���|�h�>¡N��¥7�}�C�}¡�¡l�rª ¥}°�~ ¢G�¯§�§�>�`«�����¡h�(������²|§¯¥|®Q�`§�®k�>�Q�r¦Á��¥}¡�¥`°Ð�I«����&�Z�&¢G�������`�Q�}§¯ªz�h���0°����Q�Z����¥}�¤ÅBʧ¯����¥|��²}�!�>¥}�I«����h�>¡©ÑÁ�}�h�����©����­��}�Q�`§�ª��©�����Q�}�Ê®[���Z¥}�I��°e�}�¯¡h§�ª��©�h�`�[­��`¡l­�£�¢3��¡��>°��>¡G�h���¡����}­��&¡Ì�h¥É¶ ¹`¿S½j�}�Q­ ¶ º ¼`½o°�¥|¡��D­������>¡���«�����¥}� ¥`°j�h���I®Q�}�����v��­��&�|�>Å Æ �Q���h�&�l������Ëz����°�¥}¡�©¥|§¯¦Á����²êÒ ì á�! �D���t�}­Q�`«��h�&­C°�¡h¥}�4¶ ¹|·r½��}�Q­Ú¶ ¹}¼r½L£Ì�`�[­<���¾�h�`��§�¥}¡h�&­C��¥ �Q�`�Q­�§¯�!¥|��¡«Q�`¡������Z��§��`¡�Ò ì áÌÅÁúÁ�&��¶ ¹}¹r½k°�¥}¡3������¥|¡�¥|��²}�¾­����h�Z�Q�h���¯¥|�X¥}��Ò ì á1�©¥|§¯¦Á����²��h�&�l������Ëz���&�&£¢G�Í�h�N¦|�>¡hªv²}¥Á¥�­�²}�>�Q�>¡l�`§��`§�²}¥|¡��¯�����X�&Å�B̧���¥Q£|¢$��¡h�Z°��>¡Ð�h���G¡h�&�}­��>¡o��¥¾¶ Ãz£}¼Q£�¸&¹�£ º ·�£`¹ º ½�`�Q­H¶ ¹|À�½�°�¥|¡j�����}�N«Q§¯��¥`°��Z¥|�I«������&¡^Ñ��}�h�©���©���&­�«�¡h¥z¥}°e�Ð¥`°��(¢G��­��G¦S�}¡����Z�^ªv¥}°[«�¡h¥}®Q§¯�&�I�&Åó!�`���H��­����}������¥|��¡Ê�`«Q«�¡�¥z�}�l��²}¥I®Q�}�l¬I�h¥I����¥z�©��«�¡h¥Á¥`°e�&ÅÒ0��¡v���|�h�>¡h¦S�`§j�`¡h�¯�����I�Z�h���I«[�}�l¬S�`²|�N���v�}�.�|­��`«��h�S�h�¯¥|� ¥}°$�h���¾¥|���X�Q���&­É�¯�ච¹}¼r½��`�Q­¶ ¹|·r½W£�¢G�Q���l�t�¯�t�h��¡��t���3�}�t�|­��`«��h�S�h�¯¥|�D¥}°����Q�(¥|����­��>¦|�>§�¥}«k�&­D®zª ì ÅSÖÊ�}�Q��ÅjúÁ�&�X¶ ¹zÀ�½�`�Q­.¶ ¹}¼r½�°�¥|¡Ê­��Z�l�`��§��G¥|�D�h���v��¥`°b�^¢��`¡h�}Å

Page 10: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

 �¡ ýÈþÊÿ���������

¢ d(i h d(i£T f ?AB Y - hXWcf k h¾_a` ?3d(k�Tab:~���������Ð�©���U�h�¯¥|��¢$�$¢G�¯§�§|®k���Z¥}�[�Z�>¡h����­�¢G�Í�h�v���Q�¨«�¡h¥}®�§��>� ¥}°�²}�Z��������²Ê²|¥z¥�­�®k¥}�Q�Q­���°�¥}¡��������¥}§����h�¯¥|�t¥}° �h��� Æ ��¥|�I�|�~Ñ�Ó��&¡��I���&Ëz�Q�`����¥}�7³ » ů¸rÄUÅ Æ �Q���`�Q�}§¯ª�������¢G��§�§¤®[��®�¡�¥|¬}�&��¯�z��¥N�^¢3¥��X�}�¯�t«Q�`¡��h�&ûo��������¥}§�������¥}��¥`°o�¯���¯�����`§�¦S�}§¯����«�¡h¥}®Q§¯�&�I�&£��`�Q­D���Q����¥}§����h�¯¥|��¥}°������®[¥|���Q­��}¡�ªt¦S�`§����v«�¡h¥}®�§��>�HÅ Æ �Q�vÝQ¡l�^�0¢G�¯§�§ ®k�v°��Q¡©�h���>¡0®�¡�¥|¬}�&�È�¯�z��¥¾����¡h�>���I�}�¯�«�¡�¥|®�§��>�X�>ûÐ�����¯�����`§¤¦S�`§�����«�¡h¥}®Q§¯�&�Ï�S� » £��`�Ê�¯��ÝQ���¯�^ª��`�[­D�&§����>¢G���&¡��|ÅÎ ��¢G��§¯§��Q�©�(�h����°�¥}§�§¯¥S¢G����²I¢3�>§�§�¬z�Q¥S¢G��¡h�&����§¯�h��¶ º Âr½ �}®[¥|���ÊÛ±ûÙ�¤�Ç0Ø §��¯�c ` Ç ÛÁÞW³�×`ħ » æ ³�¹ ë ¸�Ä�Zµ����©�h�&£��`�[­D�h�Q�S�ÊÛ��}­��I�¯�h�Ê�N«k¥S¢$�&¡����>¡h���&���Zµ�«Q�}�Q���¯¥|�

Û�³�×`ĨØè¸>¿}¿¨×|á 6 E wwy y Ç � y ×zá y¦¥ F æ ³�¹ ë º Ä�Z¥}�Á¦|�>¡h²}�>�z�3°�¥}¡Ê×N§��`¡h²}���>��¥|��²}��£�¢G�Í�h�§�rÇ(Ø ¸}£¨� s » �`�[­p©7Ø sñ ³�ª ÃS¹�Ù Ã`ÄZÅ8Bʧ���¥Q£Û9�����`§�¢��rªÁ��«k¥|���¯����¦}�}£o­��&�>¡����}���¯�Q²Q£ �}�Q­É�Í�����v�����¾¥|��§�ª ���Q�l�7�©¥|§¯���h�¯¥|�.¥`°������HÒ ì á���`�����^°�ªÁ����²È³e¹�Å�¸�Ä3�}�Q­.³e¹�Å º ÄZÅd �È%ek 5!=�«j=> N#�¬ N#&;È% V "¨FA­9#&%�2 T ;p«´'´=&8!%«´�È%4Bt=&5J®X;!#& �"3=e«j=&%0':~�n���Q���È���&�Z����¥}�÷¢3�É¢G�¯§�§�®[�.�Z¥|�Q�Z�&¡�����­n¢G�¯���÷�����7��¥}§�������¥}�÷��¥ê�����5:~���¯�����`§=¯j�`§����# ¡h¥}®�§��>� \ Þ Þ ³�ß±Ä$Øàß á�â ã ä \ å ã ä ³�ßkÄZæ�\г�ß�Ç�ĨØ�\�Ç°\ Þ ³�ß�ÇrÄ$Ø�\ s ³�¹ ë ¹|Ä°�¥}¡Gß Ç æ}\ Ç=± » £�¢G�����l�t�&�`�t®[��¦Á���>¢3�&­t�}�3�h����Ý�µ��&­t«k¥}���|�Ê¥}°

² ³�\±Ä´Ø³\�Ç8+ ï }} Û a \ s + ï -} Û \ å ã ä ³"´�Ä´ â ã ä ô ´ h ô > ë:L°o¢3��¡��&²|�`¡l­�\!�|� \o³eßkÄjس\�Ç8+�\ s â&×�â3u�+�u ñ tгvuzÄ¢G�Í�h��u�ØÚ³eß0Ù¾ß Ç ÄhÜr×Á£µt!öF%Ôs��}�Q­I×(���X�`§�§�£z¢3�Ê�©�&�����Q�`� ² �¯�Q­��Q�Z���j���¾����¡h�¯¦Á���`§�¢��rª�`�H¥}«k�>¡l�S�h¥}¡�¶² ¥`°´¢G�����l�Jt9���G�Í�l�GÝ�µ���­�«k¥}���z�&Å Æ �z�[�>£Q������°�¥|§¯§�¥S¢G�¯�Q²¾�`§�²}¥}¡h�¯����� ���Ê��©���I«�§¯���Z¥|�Q���&Ëz���>�[�Z�Ê¥}°¤�����0Ý�µ��&­¾«[¥|�¯�z�3�����&¥}¡h�>� ¥}�7���}�Q�}�l�D��«Q�|�Z�&�&Å Æ ���Ì¡h�>§��>¦S�`�z���¥}¡h� ÑD­��>�Q¥`����­t®zª5' '�' 'zÑI�h��¡h¥}��²|��¥}�����h�����Ì�©���U����¥}�t¢3�(¢G��§�§¤®[�7' '�' ' s Å

Page 11: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à  ¨ ·¹¸�º ���¼» � �Â�¾½������p¿ M��}Ml�`�QdhMNdl\SY±�ScbTWce\SY�f�\`Y \ Ç g \ s g ß Ç g × PSY±� © ��Yk�}M>R Ü aÁcedla ¶²c�f(P Ü MZ�b�ÁÀz�}MvÂjY±Ml�Xdh\`YQTWR�P}d>TWce\SYHcbYKà ³ » æ�©ÐÄ�ßÑ%Ôs gjPSY±� Ü M�dl\`VÊO±��TLM�P`Yt��O|O�M>R�Äl\`��Yk�]Z\SR ' '3¶² ' ' ÅÇÆ È �Æ �����Ì�`§�²}¥}¡h�¯�������������Q�>�È�`«�«Q§¯���&­D��¥I�h����°�¥}§�§¯¥S¢G����²·¹¸�º ���¼» � �Â�ɽ���ÊØ�ÌË cbpSMZYÉPhO}O±R�\hO±RUcePST~M�cbYQT~MZRUpSPS� f ß l g \ lÇ P`Yk� \ ls g¨P`Yk�IR�M~OkRhMUf>M>YQT~P¦Ä>�¯M× g Ü MÌdl\SYQfUT�RU�Qd>T P�Y±MZcÁÍragÄl\`R�a�\�\&� ~I³��zÇzæ ë&ë>ë æ�� t C » æ�rL��C » Ä fU�QdlaIT�a�P`T|]Z\SRÌP`YQq ß*Ç�ö�ßHl g\�Ç.öD\ lÇ g�P`Yk� \ s ö�\ ls g�PSY±�7PSYQq f>\S� ��TWce\SY \ \©] ³e¹QÅ ¹zÄoÜ cbT�a<PSY[q.\©]DT�a�MZf>MtcbYQcbTWcePS�dh\`Yk�`cbT�ce\`Y�flg Ü M�a�PSpSM\г�߱ĨØ�\MÇ8+�\ s âz³�ß¾ÙÉß*ÇrÄ�+�u ñ tгvuzÄZæ u�Ø ß¾Ù ß�Ç× æ]Z\SR�f>\SVXM t!öK~ �Î �ÏÑÐY�|» ��� »��8Ò8� Óo��¡h�©�&£�¢3�v�Z¥|�Q�©��¡h�Q�U��£��¯�È�N���>�Q¡����^�h���(¢��rª}£��N«k¥}§�ªz�Q¥}�I���}§

Ó ³�uÁÄjØ tw m y Ç Ó m u m æ¢G�����l�1�}«�«�¡h¥rµ��¯�X�S�h�>§�ª9��¥}§�¦}�&� ¶² Ó Ø Ó £´�}�Q­É¢$�D���Z��©÷���Q�l�É���Q�`�¶' ' Ó ' '��°©$Å �>µz��£¢$��§¯¥Á¥}¬�°�¥}¡�©�ÇKÔ�©C���Q�l�È�h�Q�S�0�����N�Z¥|�Q­��¯����¥}�Q�0¥}�Èß�Ç|£¨\MÇ`£¨\ s £k×X�}�Q­�©�Ç�²|�¯¦|�>�È®ÁªBʧ�²}¥}¡h�¯����� ¹Qů¸0��¥}§�­¾���Q�Í°�¥|¡��I§�ªI°�¥}¡��`§�§kß�Ç�öHß l £µ\�Ç�öp\ lÇ �}�Q­�\ s ö)\ ls Å �ZµÁ�&£������Q�Z�tÈ����������ÝQµÁ��­D«k¥}���z�Ê¥`°J¶² £�¢3�(�[�r¦}�' ' Ó Ù]t�' '�� ' ' Ó ÙU¶² Ó ' '¸GÙÑ' '3¶² ' ' ÅÇÆ ÈÎ ��²|�Z��������¡h�&Ëz����¡h�&­N~N£Q®zªD«����©�h�¯�Q²A� m ØÚ¶ Ó m æ Ó m ½¤°�¥|¡�ÕoØ » æ ë&ë>ë æ-p@�}�Q­����Z��������²¹r ��&Ëz�Q�`§±�h¥I������¡l�S�h�¯¥I�`®k¥S¦}�|Ũ��Å áÌÅ ì Å Æ �����G�Q�}�3�h����°�¥}§�§�¥S¢G�¯��²N�&�|�©ª��Z¥}�[�©��Ë|�Q�>�Q�>�Nû·¹¸�º ���¼» � �Â�Ö½��×½���Ë cbpSMZY7�Sc�f�Ø>\`cbYQTGcbYQT~M>RUprP`� f ß lÇ PSY±� ß ls g�PSYk�DcbYQT~M>RUprP`� f \ lÇ PSY±� \ ls gÜ MXdh\`Y�fUTWRU�QdZT�cbYQT~M>RUprP`� f Û lÇ PSY±� Û ls fU�Qdla!T�a�P`TÌPS�b�of>\S� ��TWce\SYQf \ TL\ÚÙ�Û|�ÜÛ�Ý Ü cbT�a9cbYQcbTWcePS�prP`� �QMUf�M�Þ>�QPS��T~\DPSY[q \�Ç�öp\ lÇ PSY±�DPSY[q \ s öQ\ ls g�]Z\SR�P`YQq ß!ötß lÇ PSRhM�Í}�QPSR�P`YQT~MhMl�IT~\Mºþ|c�fUT�PSf3O�\SflcbTWcbpSMvf>\`� ��T�ce\`Y�f�\SY ¶bßGæeß Þ ½ g$PSY±�Ì]l��RUT�a�M>RUVI\`R�MvfZP`T�c�f�]lq\г�ß Þ Ä3ötÛ lÇ æ \ Þ ³�ß Þ Ä3öHÛ ls æ]Z\SR�P`�b� ß Þ ötß ls �

Page 12: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

 �ü ýÈþÊÿ���������

d �È%ek 5!=�«j=> N#�¬ N#&;È% V "¨FA­9#&%�2 =«àß:L�Ì�Z¥}�[�Z�>¡h�Q�$���Q�v�©¥|§¯���h�¯¥|�t��¥N�����×:~�Q�Í�h���}§2¯j�`§���� # ¡h¥}®�§��>�\kÞ ÞW³�ßkÄ$Øàß�á�â ã ä \kå ã ä ³�ß±Ä�\o³ » Ä´ØÚ¸á\kÞW³ » ÄjØ Ù�¤ ³�¹ ë ¿zÄ°�¥}¡�¤ ± » £�¢G�����l�t�&�`�H®k��¦z���>¢3�&­t�}�3�h����Ý�µ��&­�«k¥}���|�Ê¥}°

² ³�\±Ä´Øè¸8+ ï }Ç a Ù�¤ + ï -Ç \ å ã ä ³"´�Ä´ â ã ä ô ´ h ô > ë:L°o¢3��«���� \г�ß±ÄjØÚ¸GÙ5¤ âZ×;âu ñ +�u 6 tгvuzÄZæ ³�¹ ë À}Ä¢G�Í�h��u!Ø ³eß±ÜS×SÄ â ã ä £�t<ö�%Ôsr£o�`�Q­ ×t�������X�`§�§�£ ² ���Q­��Q�>�&���}²|�`���.�`�É¥}«k�>¡l�S��¥|¡�¶² ¥}°¢G�����l�]t.���(�Í�l�(Ý�µ��&­!«k¥}���z�&Å~BG°b���&¡��������&£¤¢$��E^�Q�©��«�¡�¥��>�>�&­9�¯�.�t�©���I�¯§��`¡��X�`���Q�>¡(��¥������«�¡h�>¦Á��¥}�Q�G�&�}���}Åd �È%ek 5!=�«j=> N#�¬ N#&;È% V "¨FA­9#&%�2 =«õk 5QâÉ5!=e«HãÆ �����Ê��� \±Þ ÞW³�߱ĨØ<ß�á�â ã äe\±å ã ä}³eßkÄD\o³Lé ÄjØ » � s س� ³�¹ ë Â|Ä¢G���>¡h�����Q��§��}�©�(�Z¥|�Q­��¯����¥}�È���Ì���z���&¡�«�¡h�Z�h�&­H���È���Q�����>�Q����¥}°G³�¹�Å º ÄZÅ Æ ������¥}§����h�¯¥|�È¢G�¯§�§®[��¢G¡h�Í�����&�H�|� \o³eßkÄjØ ¸>¿|¿ß 6 { ¸8+^�kß á ¥$+�u ñ tг�uÁÄ � æ ³�¹ ë Ã`Ä¢G���>¡h�Ìt!öF%Ôsr£8u�Ø³ä ¥ ß á ¥ £Á°�¥}¡Ê��¥}�I�=äè§��`¡h²}�|Å�:L°Ð¢$�����Z�² s ³vt�ÄjØ��eä á ¥ u�+�u ñ tгvuzIJ ñ ³ � ÄjØ ³^¸8+ � Ä å ã ä² 6 ³ � Ä¨Ø ¸ º wwy y ñ ù y u y á ñ³��2©¶+ ¹|Ä>³?�2©¶+1¿zÄ æ � ³vuzÄjØ wy � Ç ù y u y ëBè�©¥|§¯������¥}�H¥`°Ê³e¹QÅ ÂzÄ��Z¥|�N����°�¡h¥}� �}�§t9�h�S�h���©°�ªÁ�¯�Q²å¶² tHØæto£Q¢G�Í�h�網 Ø ² 6�è ² ñ�è ² s ÅBÌ�3®[�>°�¥}¡h�}£Á¢3�0¢3¥}��§�­X§��¯¬|�Ì�h¥�²|¥��}���&�|­¾�`�Q­��l���&�l¬N�h�Q�S���¯�[­��>��­á¶² ���3���>¥}�z��¡l�}�Z����¥}�¤£®��������Q�X«�¡�¥|®�§��>� ���&¡��I���v�Z¥|�Q����­��&¡h�}®�§�ªt�I¥|¡��X����®���§��I���[�`�.�¯� ���Q�X«�¡��&¦Á�¯¥|�Q���>�|�©���>£­�������¥¾�h���v°e�|�U�(���Q�`� ² 6 ­�¥z���Ì�Q¥`�(�h�>�}§¯��¢G�Í�h�§äNÅ!B0�0���Z¥|�Q�©��Ëz���>�Q�>�}£±�Z¥|�|�h¡h�|�U�h�¯¥|�«�¡�¥|«[�&¡©�h�¯���G¥`° ¶² �>�¯�����&¡Ê��¥|§�­H¥|¡Ì­�¥}�é! ��£[�`�[­D�l�`¬Á����²X§��}¡�²|�=äè¢3¥}�2! �Ì���&§¯«È���Q�l�¤Å¨ÎÉ�

Page 13: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à   Ä�`¡h��§¯�Q�l¬Áª|£Q��¥S¢3�>¦|�>¡�£����Q�`�Ê���Q�v��¥}¡h� ¥`° ² ñ ���Ì�&�h�©�&�z�����`§�§¯ª 6 ñ £k�`�Q­t�h�Q�S�0�����v�Q¥}¡h� ¥}°² 6 �����&�h���>�z�����`§�§¯ª ¸ º³ º ©F+1¹zÄZ³ º ©¶+1¿zÄ sñ¢G�����l�I�h�rªÁ�����[�S�Ð������Å��¯«Q�h�l���¯�º"3��¥}¡h�Ú¥`°A¶² ¢G��§¯§��}«�«�¡h¥rµÁ���X�S�h�>§�ª(®k� 6 Å Æ ���3°�¥}§�§�¥S¢G�¯��²¡����©��§¯�G���G���Á�Q�Ê�>¡��Q�>���}§�Åê �����ë�½��×ì�� i3��T ;nØ »�ë ¹ �H�(flfU��VIM¾TbaQPST zz í� zz Øjä á ¥ ' �Y'Â� »�ë º ¹ �C�±a�M>Y ¶² c�fDPdh\`YQTWR�P}d>TWce\SY9cbYpà ³ » æ};oÄ g$PSY±� ' '3¶² ' ' ÅÇÆ Èu� »�ë ¼}Â|À º �Ò0�Q�Z�0�����������G�©�>�©��§��&­¤£��>¦}�&¡�ªz�h���¯�Q²�«�¡h¥��Z�&�&­����}�3®k�Z°�¥|¡��|£��`�Q­D¢$���>�}�D���}���¯§�ª¾�Z¥|�Q�Z§��Q­��������°�¥|§¯§�¥S¢G�¯�Q²Qû·¹¸�º ���¼» � �Â�î½��Üï��PË cbpSMZY � l ÙLcbYQT~M>RUprP`� Ý7P`Yk� ä ÙLR�M~OkR�MZf>MZY[TLP�ÄZ�¯MðÝrg Ü MIOkR�\��S�QdlM ~ sfl�QdlaHT�a�P`TegQ]Z\`R�PSY[q �0öQ� l gjT�a�MvfZ\`� ��TWce\SY \ \^]KÙ�Ûz�?ñ�ݾc�f�Í`cbpSM>Y5Ä>q

Û�³�ßkÄ$Ø ¸>¿|¿ß 6 { ¸8+^�lß�á ¥ +du ñ tг�uÁÄ � æ u�Ø³ä ¥ ß�á ¥ æÜ cbTba tÇö³~ s � ù M>R�MZg ~ s �|MLOQM>Yk�rf9\`YQ� q1\SY � l g�ce�bM&�¯gIcbTvc�fHcbYk�}M~OQMZY±�}M>YQTN\©] Ü aÁcedlaO�P`RUT�ced>���¯PSR � cbY � l Ü MGPSRhMGdh\`Y�fUce�}M>RUcbY Íz��òZYÊOQPSRUTWced>���¯PSRlg Ü MGdlPSYÌOkRh\&�`�QdhM3T Ü \0cbYQT~MZRUpSPS� f\HlÇ PSY±� \2ls fU�QdhaàTbaQPST�gNc ] \ c�fÈTbaQMÈf>\`� ��T�ce\`Y,T~\�Ù�Û|�?ñ�Ýrg Ü MÈaQPSpSM \г�ä�Ä9öå\2lÇ P`Yk�\ Þ ³�ä�Ä3öQ\ ls �d �È%ôó FX;!598È �"�ãõ¬ �#�;È% V "¨FA­9#&%(2 �ZµÁ�Ê¢3��­����h�Z�[������¥S¢÷��¥¾��¥}§�¦}�\±Þ ÞW³�߱ĨØ<ß�á�â ã ä�\±å ã ä}³eßkÄD\o³ » ÄjØè¸å\гWéêÄ¨Ø »Që� ��§��¯¬|��������«�¡��&¦Á�¯¥|�Q���©���U����¥}��£�¢$��¢G��§�§��r¦}¥|��­��X�©�&¡���¥}�Q�3°�¥|¡�����§��S����¥}�t¥`°o���Q���N�>����¥�­³�¢G�����l�<®[���Z¥}�I���¾�ɧ¯�¯�©�h§¯�H�h�&�l�������>�}§�ÄZ£G�`�Q­ê�¯�[�^�h�&�}­C¢3�È�Z¥}�[�Z�>�z�h¡h�`���H¥}�ê�����9�I�}�¯��©���I«�§¯����­����}�&ÅÎà�Q�S�v¢3�I¢G�¯§�§j®k�X�Q�©����²H���&¡��I���v�t¡���²}¥|¡�¥|�Q�̦S�}¡����`�z��¥`°$����� f�a�\�\STWcbY Í �I�Z���Q¥Á­¤û�¢$�¢G�¯§�§ ®k�>²|�¯�È�X�}¬z����²¾�X�Q�>��¡h���©������²|���&�h��°�¥}¡�£[�h�rª}£[Û Þ ³ » ÄU£±�`�[­H¢$�v¢G��§�§¤���Q�>�È°�¥|§¯§�¥S¢÷�h����©¥|§¯���h�¯¥|�H°�¥}¡h¢3�}¡h­t���z�h�¯§Ð�¯�0¦Á�¯¥|§��`�����G¥}����¥`°Ð���Q��«�¡h¥}«k�>¡������&�Ê¢$��¬z�Q¥S¢,�h¥¾®k�v��¡h����°�¥}¡�����N��¡h��� Æ ��¥}�X�|�~Ñ�Ó��>¡h�I��°��Q�Q�U�h�¯¥|�¤û(��������¢G�¯§�§´­��Z�h�>¡h�I�¯���I¢G���>�����&¡�¥}��¡��l��¥|���>��¢��}��`�7��«�«k�>¡�®[¥|���Q­.¥}¡��ȧ¯¥S¢3�>¡�®k¥}�Q�Q­É°�¥}¡��h���D�|�U���[�`§j¦S�`§����X°�¥|¡vÛ Þ ³ » ÄZÅ Æ �����vªÁ���>§�­��®[¥|���Q­��(°�¥|¡NÙ�¤ Ç ØÇÛ Þ ³ » ÄUÅvÎÉ�N�����&�É�&�`¡h¡�ªH¥}�����t�©���I�¯§��`¡�«�¡h¥��Z��­���¡h�N�`�vénÅ$Å��Z�3! �²}�Z�Ê���z��¥X�N§¯�¯�©�h§¯���I¥|¡���­��>�h�`��§Wû

Page 14: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

  ö ýÈþÊÿ���������

# ���l¬1� ¦S�}§¯���Q¤ �`�Q­¤£$¢G�¯���ê�����!�}��­ ¥`°0�����!�}§¯²|¥}¡h�Í�h���X�����C�����H«�¡h�>¦Á��¥}�Q�I���&�U�h�¯¥|�¤£¥}®��l�`����®k¥}���[­���°�¥}¡��h���v��¥}§�������¥}�t¥`°\ Þ Þ ³eßkÄ$Øàß á¤â ã ä \ å ã ä|³�߱ij\г » ÄjØ ¸ö\ Þ ³ » ÄjØèÙ�¤væ�`¡h¥}���Q­È���X�`§�§����z���>¡h¦S�`§��Ê�Z¥S¦|�>¡h�¯�Q²Q£Q�h�rª}£o¶ » æv÷ ½Wŧ:L°^£±�S�(�©¥|�N��«[¥|�¯�z�&£k¢3���>�}�!­��&­��[�Z��Q�©����²��������©�(®k¥}���Q­Q�¨�h�Q�S��\t���3���Q�Z¡h�&�|�©����²Q£Á���h¡���¦Á���}§�Ò ì áC�`�Q�}§¯ª������$�©��¥S¢Ê�¨���[�S�3��������l��¥}���Z�=¤è���Ì� �¯\ Ü M>R ®[¥|���Q­H°�¥|¡B¤�Ç�Ø ÙGÛ Þ ³ » ÄUÅ�:L°´��¥S¢3�>¦}�&¡&£���������¥}§����h�¯¥|�Ȧr�}�����©����­�£�����X�h�`�I���h¡���¦Á���}§´Ò ì áç�`�Q�}§¯ª������0ªÁ�¯�&§�­��0�h�Q�S�=¤�Ç7 æ¤vÅ Æ ����«Q¡�¥|®�§¯�&�*���>¡h�N���0���[�S������H�Z¥|�N«Q�����&¡I�}§¯¥|���D¢3¥}�é! �I�>¦|�>¡N®[�H�`®�§�����¥ ���>§�§��Q�����Q�`���h���È�©¥|§¯������¥}�1¦S�`�Q�������&�&£�©���Q�Z�0�Í�3���>��­��$�Í�$��¥v®k�0«k¥|���¯����¦}�G�h¥�«k�>¡�°�¥}¡h� �h���0­��ÿ÷±�>¡h�>�z�3�}§¯²|¥}¡h�Í�h���X�j�`®k¥S¦}�|ûo��¥Q£|�¯�«�¡h�|�U�h���>�}£S�>¦|�>�N�Í°[�����G��¥}§�������¥}��¢$¥|��§�­�¦S�`�Q�������`�´��¥}�I�3«[¥|�¯�z��£S�����Ê�>¥}�I«����h�>¡Ð¢G��§¯§�E^�Q�©�¡���Ë|�Q�¯¡h�}£o�S�v�&�|�l�É�©���&«¤£Ð�©�X�`§�§��>¡v�`�[­É���X�`§�§¯�&¡��¯�z�h�>¡h¦r�}§��(�h¥È«�¡h¥}«Q�}²|�S�h�N�����¾��¥}§�������¥}�°�¥}¡h¢3�}¡h­�£ ¢G�Í�h��¥}�����>¦|�>¡v²|�¯¦Á����²È���&²|�S�h�¯¦|�X®[¥|���Q­��v°�¥}¡N\o³eßkÄUÅ&#Ì�>�Q�>�}£o���Q�¾°�¥}§�§�¥S¢G�¯��²�©���I«�§¯��§��>�I�X�N���Ê���>§�«�°���§Wûê �����맽��×ø���ù M>T \ ÄhMvTbaQM�f>\`� ��T�ce\`YÉ\©] ³�¹�Å ¹|ÄZ£ØÜ cbTba \ s » ��ò�]º \.ú ã äÇß â ã äÇ �^\ ñ s æ ³�¹ ë ¼|ÄTbaQMZYQg¨TbaQMZRhMNM-þ|c�fUTef�P�O�\`cbYQT > ± ß*Ç fU�Qdha!T�a�PST \ dlPSY]ÄhMIM-þ|TLM>Yk�|Mh��Prf�P Ü M>�b�ûÀz�|M�¨YkMl�O�\SflcbTWcbpSMvf>\`� ��T�ce\`YÉ\©]�TbaQM�üjKbý,TL\ ¶bß*Ç�æ�>SÄ PSY±�rg[]l��RUT�a�M>RUVX\SR�MZg �¯��° } � / } Û þÜ- 1 \г�ß±ÄjØ » �BÌ�j���Z¥|�Q���&Ëz���>�[�Z�}£`�����G¢3¥}¡l­ pSPSY[c�f�a�MZf �Q���&­I�}®[¥S¦|�$���j���¯�I«�§�ª�¡h�>«�§��}�>�&­�®Áª������G�I¥|¡��°��&�}����®�§¯��«�¡h¥}«k�>¡��^ª9³�¹�Å ¼|ÄU£��}�Q­t¢$��¥|®��h�}�¯��������°�¥|§¯§�¥S¢G����²·¹¸�º ���¼» � �Â�ÿ½����Ø�ÚË cbprM>YêPtR�M~OkR�MZf>MZY[TLP�ÄZ��M ¤ g Ü M¾dl\`Y�fUT�RU�Qd>TÌPSY P`� Íz\SRUcbT�aÁVõT�a�P`TegÊc ]fl�QdldlMZfhf�]l��� g Ü cb�b�ocbY±�ScedlPST~M Ü a�M>T�a�M>R ¤Á �¤�Ç \SR ¤ ± ¤�Ç � ù M>YkdlMUg Í`cbpSMZY1PlO}OkRh\hOkRUceP`TLMß m öpo g Ü MNdhP`YXO±R�\&�`�QdlM Û lm PSYk� Û Þ lm ö�� g Õ´Ø » æ ë>ë&ë æ�� g´fU�QdhaÈTbaQPSTÛ�³�ß m Ä3ötÛ lm æ Û Þ ³eß m Ä�ö�Û Þ lm æ ÕoØ » æ ë&ë>ë æ�� ëÎ ����¥S¢ç­�¥N�����v�h�`�I���S�Ê����ÝQ�Q�Í�^ª|Å·¹¸�º ���¼» � �Â� ½������°Ë cbpSMZYçPÉR�MLO±R�MZfZM>YQT~P¦Ä>�¯M � g�PSY±�7PrflfU��V�cbY�Í�Äl\S��Yk�Sf(]Z\`R ¤ Ç g Ü Mdh\`Y�fUTWRU�QdZT P`YDPS� Íz\SRUcbT�aÁV T�a�P`Teg¤c ]3fU�QdldlMUflf�]l��� g Ü cb�b��cbYk�`cedlPST~M Ü aQMZT�a�M>R �� �� s \`R � ± � s �s�M-þ}T�g Ü MX�Áf>MIT�a�MZf>M¹Äl\S��Y±�rfITL\�O±R�\&�`�QdlM ß m ö]o g0P`Yk� Û lm g Û Þ lm ö� g ÕÌØϸ}æ ë&ë>ë æ�� gfl�QdlaHT�a�P`T Û�³�ß m Ä3ötÛ lm æ Û�Þ�³eß m Ä�ö�Û�Þ lm æ ÕoØè¸}æ ë&ë>ë æ�� ë

Page 15: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à   �Æ ����­��>�h�}�¯§��0�}¡����&�}��ª}Å�:~�È°e�}�Z�0¢3���>�}�È�Q���v���Q���ZµÁ�h¡h�X����°�¥|¡��X�S�h�¯¥|�!²}��¦}�&�È®Áª¶B̧¯²|¥Y@¡��¯����� ¹QÅ ¹t�h¥ ­��>���&�Z���&�|�©��§�ª ¢G���&�.�����D�����^�I�©¥|§¯���h�¯¥|�7²}¥Á�&�v®[�&ª}¥}�[­.®[¥|���Q­��&Å ¥}������Q�`���`°b���>¡h¢��`¡l­��Ê¢3�N�&�`�È�l�`¬|�v���Q��®k�&�©��¥`°´���Q���^¢3¥���¥}��¡l�Z���Ì¥}°j�¯��°�¥}¡h�I�`����¥}�É�`®k¥}�������� Æ ��¥|�X�}�^ÑÁÓ��&¡��I�k°����Q�Z����¥}�¤£k�Z¥|�N����²�°�¡�¥|� » ¥}¡�°�¡h¥}�Ï�¯��Ý[���Í�^ª|ÅBè­��>§����>�S�h��«[¥|�¯�z�Ì�Q�>¡h�������h�����l��¥|���>��¥`°o������ß m �}®[¥S¦|�}£�®����Ì¢$��¡h�Z°��&¡G���Q�v�¯�z�h�>¡h�&�©���&­¡����}­��&¡$�h¥!¶ º ¸U½¤°�¥|¡Ê­��Z�l�`��§��&Å ¥`�h���}§���¥È���[�S���h���D¡h�ZÝ[���&­7®k¥}�Q�Q­���°�¥}¡ \ê²}��¦}�&�7®zª�B̧¯²|¥}¡h�Í�h���¹QÅ ¼Q£´�`§�§¯¥S¢ �Q����¥�©�Q�}¡�«k�>�N¥}�Q¡´®[¥|���Q­��o°�¥|¡'¤,ÇzÅ Æ ���&���G�¯�I«�¡h¥S¦}��­v®k¥}���[­��а�¥}¡'¤�ÇG¢G��§¯§Q�¯������¡h�I�¯�I«�¡h¥S¦}�¥}�.���Q�D¥}§�­��&¡�®k¥}���Q­Q��°�¥}¡A� s £j�}�Q­.¢3�D�`¡h�D�`§�§$���Z��°�¥}¡��!¡����Z��¡l�©��¦}�¾�}§¯²|¥}¡h�Í�h���H£��h���¡����©��§¯�G¥`°Ð¢G�����l�t���GËz���¯����«�¡h�&�>������®[¥|���Q­��3°�¥|¡������ Æ ��¥|�X�}�^ÑÁÓ��&¡��I�±°����[�U����¥}��û·¹¸�º ���¼» � �Â�Ö½�����¹¿ M�dlPSY¾OkR�\��S�QdlM ß m g × m öpo g$P`Yk�~ m ³�� mÇ æ ë&ë>ë æ�� mt C�r�� þ m æ�r�� þ m æ º ÄUæ Õ´Ø ¸}æ ë>ë&ë æ��Éæfl�QdlaHT�a�P`T Û�³eß m +du×âZ× m Ä3öK~ m ³�� mÇ æ ë>ë>ë æ�� mt C�r�� þ m æ�rL� þ m æ º ÄUæ ÕoØÚ¸|æ ë&ë>ë æ�� æPSYk� ��m y s ³lß m Ù × m æ�ß m +7× m ÄjØ ³lß s Ù × s æ�ß � +7× � Ä,ß ³ » æLéÚÄÎà�Q�S�¤°�¥|§¯§�¥S¢Ê�±������¥}�I�С���²}¥|¡�¥|�Q�±�Á���I�>¡h���&�`§S¦S�`§����&�¤¢$�´¥|®��h�}�¯����­0°�¥}¡����>¦|�>¡l�`§ Æ ��¥|�I�|�~ÑÓ��>¡h�I�¤«Q�}¡h�}�N�>���&¡h�&Åê �����맽����m��� �±a�M3]Z\S�b��\ Ü cbY ÍtcbY±M�ÞZ�QP`� cbT�ceMZf(a�\`�¯�� ¸ ë À}¼}¼ » ÃÁ¸ »|º|º Â�¸|¸ º ÃS¼��^¤ Ç �,¸ ë À}¼}¼ » ÃÁ¸ »|º|º Â�¸|¸>¿zÃ�¸Ù�¸&¹ ë º à » ·zÃS¹|¼`¿�ÃS·�Ô�� s ÔçÙ�¸&¹ ë º à » ·zÃS¹|¼`¿z¼ º»Që ¿z¼}Â}¹}¿|¼zÀ`¹}¼ » ¿z¹|ÀS·}¿!�<î ñø � »Që ¿z¼}Â|¹`¿|¼zÀ`¹|¼ » ¿zÂ}¼`Â|·º�ë ¸ » ¿ »|º À º ¼ »|º ¸&·!� × ø � º�ë ¸ » ¿ »|º À º ¼ »|º Ãr¿

Page 16: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

 �+ ýÈþÊÿ���������

� d(i h ? V3hXW k%T Z kj�(kÂd�� k�b h¾_ ` ?) kÂd��Ò0�Q�Z�t¢$�t�Q�r¦|���`«Q«�¡�¥|«�¡h���`���¾®k¥}���[­���°�¥}¡N����� Æ ��¥|�I�|�~Ñ�Ó��&¡��I�$°����Q�U�h�¯¥|�¤£j�h���t���ZµÁ��^�h�>«H���3�h¥X�Q���0�h���>�Ï��¥X«�¡h¥S¦}� Æ ���&¥}¡h�>� » ů¸|ÅÆ ���>¡h�H���N�h���!�^�h¡h�}�¯²|�z�©°�¥}¡h¢��`¡l­1�`«�«Q¡�¥z�}�l�1¥}°����¯�I«�§�ª �>¥}�I«����h�¯��²7�>µ�«�¡���������¥}�,³ º Å�¸�Ä°�¥}¡��tÝQ�Q�Í�h���Z¥|§¯§��&�Z����¥}�.¥`°G���I�}§¯§¨�¯�z���&¡�¦S�}§���î lm ¢G�����l�1�Z¥S¦}�&¡��`§�§¨¥`°�³ » æWîNÄ ø ÅFBÌ��¢$�¢G�¯§�§Ì���>�H���>¡h�}£$���Q���X¢G��§�§Ê¢$¥|¡�¬7¢G�¯���<�I¥}¡h�H¥}¡X§��&�h�N��¡h�¯¦Á���`§G�I¥�­��¯Ý[�>�`����¥}�Q�I¥|��§¯ª1°�¥}¡°�¥}¡v���z���>¡h¦S�`§���¢G�����l�.�}¡��I��¥}�v���&�}¡ » ¥}¡�î ø CÐ�¯�z���&¡�¦S�}§��������`¡ » ¢G��§¯§¨¡���Ë|�Q�¯¡h�X���I¥|¡���©¥|«������^�h���&�S����­!�`«Q«�¡�¥z�}�l�t��¥t�Z¥|�N«Q��������² ³ º Å�¸�ÄZ£k®Q���0�����`¡�î ø ¢$��¢G�¯§�§ �[�r¦}���h¥D�Q������Z¥}�I«�§��Z�h�>§�ªÉ­��ª÷±�>¡h�>�z���`«Q«�¡�¥z�}�l�¤Å Æ �����v�©���U�h�¯¥|�7�Zµ�«�§��`���Q�����Q�D�`�Q�}§¯ª����������Á¦}¥|§¯¦|�&­ �¯������v�>¥}�I«����l�S����¥}�t¥`° í Þ Þ °�¥}¡��h���v­��ÿ÷k�&¡��&�z�0î lm Å� �'Ð% ^Î �X®k�>²|�¯�.¢G�¯���.���Q�¾�Z¥}�I«����h�S�h�¯¥|�.¥`° í Þ Þ ³�î l Ä(°�¥|¡�î l �©�g(X�>�¯�&�z��§�ª!°e�`¡v°�¡�¥|� » �`�Q­îGø>Å � �©�X³ º Å�¸�Ä$��¥I¢G¡h�Í�h� í ³�îGÄjØD� s ³�îGÄ�+d� ñ ³WîGÄ�+d� 6 ³WîGÄ3¢G�Í�h�� s Ø,ï��� { \o³e×SÄ´Ù.î ñò� á±å ã ä Û�³�×`Ä ô × ³�¿ ë ¸&ù�Ä

� ñ Ø §¯���_�` Ç a ï �c â / 9 1 ó _ { \г�×`ÄÐÙ7î ñ � ákå ã ä Û±³e×`Ä ô ×�Ù�� s ³WîGÄðfzá¤â ã äeh ³e¿ ë ¸Ñ�ZÄ� 6 Ø §��¯�_�` Çba ï�c ä / 9 1 á _� { \o³e×`ÄÐÙ.î ñò� á±å ã ä Û�³e×SÄ ô ×�Ù�� ñ ³WîGÄðf á�â ã ä�h ³e¿ ë ¸Ï�>Ä

¢G�Í�h���h����� m ���Q�l�����Q�`�G������§��¯�I�¯�Ê���GÝQ���¯���}£[�`�Q­tùæ ��Ì�&�`¡h�Z°���§�§�ªD�l��¥|���>��ÅÆ �����Z¥}�I«����h�S�h�¯¥|��¥}°�� s ���>�&�X�3��¥N®[��¡l�S�h���>¡��&�|�©ª¾�`��ÝQ¡h�©�Ê�©��²}�z��ûo¢3�,E^�Q�©��®Q¡����`¬X��«� s Ø yw m y s ï -���� â-�� { \г�×`ÄÐÙ7î ñ � ákå ã ä Û�³�×`Ä ô ×Sæ¢G�Í�h�^> s Øõù1�}�Q­�> y ó s Øà�SÅ Æ �����N�¯�Á¦}¥|§¯¦|�&��¥}��§�ª1®Q�|�©����¥}«k�>¡l�S����¥}�[��¢G�¯����\n�`�Q­���Á�Q��°��&�}����®�§¯�D¢G�Í�h�7�����t�^�l�`�Q­Q�`¡l­ ���z���&¡�¦S�`§3�`¡h�Í�h���I�Z�h���X«[�}�l¬S�`²|�&�&ÅFB ­��>�&«[�&¡���������������h�Q�S��¥`°G�©«k�>��­�û��¯�v���Q¡��Q�v¥}�����h�Q�S��¢3�X¢G��§¯§$®[�I°�¥|¡h�>�&­ ��¥H�l�`¬}�I�h���¾���z���>¡h¦S�`§��vîBlm¦}�>¡hª.�©�X�`§�§W£Ð�}�Q­É���Á�Q�����&�&­É��¥É�Z¥|�N«Q�����¹� s �X�`�Áª �����I�&�ÏCj�¯�1°e�}�U��£´�©¥!�X�}�zª ���[�S������X­���¡����U���Z¥|�N«Q���h�`����¥}�9�}«�«�¡h¥|�}�l�!°e�`��§���­�������¥������I�X�Z¥}�[�©��­��>¡l�S�h�¯¥|�Q�&£k�}�Q­!¢3�N�}¡��°�¥}¡l�Z�&­D��¥X�[�©���I�Z�&¡©�l�`���t�}�N¥|���z�G¥`°o��¡h���l¬|�>¡hªX¢G�����l�t¢3�(¢G��§�§¤¥}�I�¯�Ê���>¡h�}Å

Page 17: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à   RÆ ���Ì�Z¥|�I«����h�`����¥}�I¥`°2� ñ �`�Q­A� 6 ���j���Q�l�X���}���¯�&¡&û ¢$�G�Q����B̧¯²|¥}¡h�Í�h���ǹQÅ º �h¥v�Z¥}�I«������~ s ���Q�l�D�h�Q�S� \o³eßkĨØ÷î ñ +du tгvuzÄZæ u�Ø ßDÙ × s ³WîGÄ× æ t!öK~ s æ ³e¿ ë º Ä¢G���>¡h��×NÔ ' ù�Ù × s ³WîGÄã'��}�Q­A~ s ���G�����¯°�¥}¡h��°�¥}¡Ê�}§¯§oînöÈî l Å Æ �Q�>¡h�Z°�¥}¡h�}£ï �c â / 9 1 ó _ { \o³eßkÄÐÙ7î ñ � ákå ã ä Û±³eßkÄ ô ßHØ ï �c â / 9 1 ó _ u�á±å ã ä ¶tгvuzÄ ô ß æ°�¥}¡��9���>¢ °����[�U����¥}� ¶to³�uÁÄ�ØÏÛ�³�ßkÄ�t ákå ã ä ³�uÁÄU£Ð�h�Q�S�I�>�}�1�`§��©¥!®k�D�&�Q�Z§�¥|���&­.��� �!�>¥}�~@«����h�}®�§���~NÅ Æ �z�[�>£��¯°¶to³vuzÄjØ wy � Ç ù y u y öK~I³�� Ç æ ë>ë&ë æ���t�C�r � æ�r � C>¸rÄUæ¢$�����>�����[�S�

ï �c â / 9 1 ó _ { \г�ß±ÄÐÙ.î ñ�� ákå ã ä Û�³eßkÄ ô ßtØn× wy � Ç ù y�HÙ sñ u y á âä zzzzzz� y � î�! â ë#"Yï!� y $! æ

¢G�����l�H���I«�§¯���&� � ñ ö�×!â twy y Ç � y�tÙ sñ ð ùvÙÉ× s ³�îGÄ× ò y á âä&%(' æ¢G�Í�h��' ' '��C×Nð*),+t ó sñ + º r � ò Å%� 6 ���G­�¥}�������H�I���¯�I��§��}¡G�X�`�����&¡&Å� �'Ð% SÆ ����«�¡h¥}®Q§¯�&� ��¥S¢ç���Ê�h�Q�S�(¢G���>�9îç���Ì���X�`§�§�£Ð³�¿[Å º Ä�¢$¥|��§�­H�Q�r¦}���h¥D®k��­�¥}�Q���>�¯���Q�>¡¦}�>¡hªN°e�`¡�³b°�¥|¡B� 6 Ä$¥}° ¦}�&¡�ªX�>§¯¥z�©�0��¥ » ³�°�¥}¡�� ñ ÄU£��}�Q­¾�h�����$�������N«Q¡h�|�U�����>�}§�Å Æ �����`�[�©¢3�>¡��¥I���Q���G­��&²}�&���>¡l�S�h���&�}���0²|¥Á�&�3���Q¡�¥|��²}�������v�l�[�`��²|�0¥}°o¦S�`¡h���`®�§��&�3²}��¦}�&��®Áª¾×�³�>©ÄU£��h����¯�Á¦}�&¡h����¥`°¨\¾�`¡h¥}���[­ » °�¥|¡�� ñ £|�`�[­N�}¡�¥|���Q­��¯��ÝQ���¯�^ªv°�¥}¡L� 6 Cz¢$�G¢G��§�§Q�Z¥|�Q�Z�&�|�h¡h�`�������&¡��¥}�Q� ñ Å Æ �Q���Ê�l�[�`��²|�0¥}°o¦S�`¡h���`®�§��&�3ªÁ�¯�&§�­Q�� ñ Ø ôô î a îÈï �c â / 9 1 { \o³e×`ÄÐÙ.î ñò� á¤â ã ä ô ×× h Ø ôô î a îÈï�- / � 19 ä { >ÐÙ7î ñÏ� á�â ã ä ¤�³?>©Ä ô > h æ°�¥}¡�¤�³?>©Ä¨Øn× Þ ³?>©Ä�ÜS×�³?>©Ä>Å Æ �Q�ÊÝQ¡l�^���^�h�>«¾���¨�����&¡��>°�¥}¡h�Ê��¥N�Z¥|�N«Q������¤v£Á¢G�����l�D���¯�Q²}�&�$¥}�������°�¥|§¯§�¥S¢G�¯�Q²N���Á¦}�&¡h���¯¥|���}§¯²|¥}¡h�Í�h���HÅ

Page 18: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

 �q ýÈþÊÿ���������

·¹¸�º ���¼» � �Â� ì����M�=Ë cbprM>Y p Ô » g Ü MoO±R�\&�`�QdlMGcbYQT~M>RUprP`� f ù lñ æ ë&ë>ë æhù lt g PSY±�vPvdl\SYQfUTLP`YQTr8t gjfU�QdlatTbaQPSTzzzzz ×�³�>©Ä´Ù5> E ¸8+twy y ñ ù y í> y F zzzzz ��r t >Ââ í> t ó s æ í>´Øõð >ß Ç ò â ã ä æ]Z\SR�dl\SYQfUTLP`YQT�f ù m öÈù lm g Õ´Ø º æ ë>ë&ë æºp g$P`Yk�Ì]Z\SR >,�/. �Æ ���Ì«k¥}���z�j��¥�¡����`§��ÿ"&�G���>¡h�Ê���j�h�Q�S�j�h���Ê°��Q�Q�U�h�¯¥|��\o³eßkÄj���$��¥`�3�`�Q�}§¯ªz�����G�&�Í�h���>¡��`¡h¥}���[­» ³�¢G���&¡��G�¯�j���$�^�h�¯§�§����j�`�[�`§�ª|�h������� ª ß±ÄZ£|�`�[­����´�&¦}�>�I¢3¥}¡l�©�G�}¡�¥|���Q­��¯��Ý[���Í�^ª|£}¢G���&¡��G�¯��������>¥}��®��¯�[�S����¥}�X¥}°�ß á ñ0�}�Q­X«k¥S¢$�&¡h�¨¥`°�ß /ÿÈ>á k È 6 1 É ñ}ÅÂ:~�t�©«Q�Í�h�0¥}°������0°e�}�Z�¨���[�S�3�������°����Q�U�h�¯¥|�I���´�Q¥`�j�`�Q�}§¯ªz�h���}£`¢$�Ê�&�`�N�¯�I«�¡h���Q�Z��«�§���­��&���¯²|�N�}�I�}§¯²|¥}¡h�Í�h��� °�¥}¡Ð�h�����j�>�|�©��®Áª�Z¥}��®������¯�Q²H­��ª÷±�>¡h�>�z���X�`����«���§��S�h�¯¥|�Q��¢G�Í�h�É�}�Q�`§�ªz������°����Q�U�h�¯¥|�Q�&Åu#Ì¥S¢$�&¦}�&¡&£±�¯������¡h�Q�¥}���Ê�h¥¾®k���I¥}¡h���A÷±�&�Z����¦}���h¥D�©¢G�¯�h�l�È�Q�>¡h����¥¾²|�>�Á�������v¡h�&�}§¤¦S�`¡h���}®�§¯���h���>¥|¡�ª|£[�}�Q­t��¥�Q�©���h�������`�[�}�l���}§¯²|�>®�¡l�=r Ç �¯�[�^�h�&�}­N¥}°±�}�Q�`§�ªz�����3°����Q�U�h�¯¥|�Q�&ÅÂB0�j���Z¥|�Q�©��Ëz���>�Q�>�}£S�h����>�`§��Z�Q§��`����¥}�9¥}°j���Q�I­��>¡h�¯¦S�S�h�¯¦|�&�0�Q�}�0�h¥�®k�X­��&�}§Í��¢G�Í�h� ���.��­��ÿ÷±�>¡h�>�z���I�}�����&¡Ì�h�Q�`�®[�>°�¥}¡h�}Å$ÒÌ°o�>¥}��¡l���(¢3��¥}�I�¯�Ì�`§�§¤­��Z�l�`��§��&£��`�Q­H���¯�I«�§�ªD�©�h�`�������Q���I�}�¯��ÝQ�Q�}§¤¡h�&����§Í��û·¹¸�º ���¼» � �Â� ì���ÊØ��¿ MoO±R�\��S�QdlM0PvYkM>cÁÍ�a Äl\SR�a�\�\�� ~ Ç ³��AÇ|æ ë>ë>ë æ�� t C�r��Qæ » CléêÄ fU�QdhaNT�a�P`T� ³�>©Ä1032 �4 >�¤ÌÞL³�>©Ä�+]¤�³?>©Ä¨Ø�tг í>©ÄZæ t9öA~ Ç æ]Z\SR >,��. �

ú��rªX���Q�>�t���Q�`�t¦��³ í>hÄjØ twy y Ç ù y í> y +Õ%1³ í>©ÄZæ ' % ³ í>©Äã'S� Ý ��' í>ã' t ó s æ » ^>,�/.±æ

°�¥}¡¨ù y �¯�¾�>¥}�I«����l�`®�§��G�¯�z�h�>¡h¦r�}§��´�}�Q­ Ý y ®k¥}�Q�Q­��&­N®Áª����>¥}�I«����l�`®�§��G�Á����®k�>¡�Å Æ ���>�ôô î a îHï _c â / 9 1 { \г�×`ÄÐÙ7î ñ � á�â ã ä ô ×× h Ø ôô î a î ñ ï 9 î ä - / _ 1s ³�>ÐÙê¸rÄ á�â ã ä ¤�³?>©î ñ Ä ô > h

Ø º î ï 9 î ä - / _ 1s ³?>ÐÙC¸�Ä á�â ã ä � ³?>©î ñ Ä ô > Ù º { \o³vf`ÄoÙ.î ñ � á â ã ä ¤�³?\г�f`Ä©Äð\o³vf`ÄØ º î twy y Ç ù y ß á,5Wã äÇ î yÊï 9 î ä - / _ 1s ³?>oÙê¸rÄ á¤â ã ä > 5 ä ô >M+ ¶� ³�îGÄ�Ù { \г�f`ÄoÙ7î ñ � á¤â ã ä º \г�f`Äf�\ Þ ³�f`Ä æ³�¿ ë ¹}ù�Ä

Page 19: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à   �¢G�Í�h�

zzz ¶� ³�îGÄ zzz � º î t ó ñ ' �`ß�Ç á / t ó s 1ñ ï 9 î ä - / _ 1s ³�>oÙC¸�Ä á¤â ã ä > / t ó s 1ñ ô > ³e¿ ë ¹��ZÄÆ �����Ì°�¥}¡h���Q§��Q£k�}�Q­!�D�����N��§��`¡Ê°�¥|¡�����§��I°�¥}¡b� 6 £±�}§¯§�¥S¢ �Q�Ì��¥��>¥}�I«����h�N� ñ �`�[­�� 6 °�¥}¡�I�}�ÁªH���X�`§�§oîBl`Å Æ �Q�>¡h�v���(�¾§����N�¯���`²|�}�¯��£[��¥S¢3�>¦|�>¡�£Q���¯�Q�>���|�(î76 » ���Q�����|�h�>²|¡h�}§���`®k¥S¦}�Ì�}¡��Ê�>µÁ���>�[­��&­D¥S¦}�>¡3�`�¾���z���&¡�¦S�`§��¨��«�¡h�&�|­��¯�Q²���¥��¯��Ý[���Í�^ª|Å Æ �����$�&�`§�§��¨°�¥}¡���ÝQ�[�`§ÑH®����(°�¥|¡©�h���Q�`���>§�ªÈ�&�|�©ª�Ñ!�`�Q�}§¯ª������Ì��¥H�Z¥|�z��¡h¥}§ �������©�I���|�h�>²|¡h�}§��Ê°�¥}¡�¦}�&¡�ªÈ���I�}§¯§jî l ÅÎ �X���¯�I«�§�ª9�©�h�S�h�N���Q�`�(�h�������>�`�É®k�I­�¥}���X�`�[­!¡h�Z°��>¡(�h���X�¯�z�h�>¡h�&�©���&­9¡����}­��&¡(��¥.¶ º ¸U½°�¥}¡Ê�`§�§��h����­��Z�l�`��§��&Å� �'Ð% ¢Î �X�`¡h�vÝ[�Q�`§�§¯ª9§¯�>°b��¢G�¯��� ���Q�N«Q¡�¥Á¥`°¨���Q�`� í Þ Þ ³�îGÄ��ç�u » °�¥}¡vîè���µ(¾�Z���>�z�h§¯ª!�>§¯¥z�©���¥9î ø Å Æ ���X«�¡h�>¦Á�¯¥|�Q�(�I�Z���Q¥Á­ °e�}�¯§���°�¥}¡��h���&���DîÚ�X�}�¯��§�ª9®k�&�&�`�Q���N�����¾­��>¡h�¯¦S�S�h�¯¦|�&�¥`°%\.�S�(�����N�Z¡h¥|�h�©����²¾«k¥}���z�h�0× m ­��>²|�>���&¡h�`���v�h¥ » Å Æ ���N��­��&�¾�Q�>¡h�����Ê�h¥��l�Q�}��²}���h����`«�«�¡h¥|�|�l�É�>¥}�I«�§��Z�h�>§�ª}£´�`�Q­7�>¥}�Q����­��>¡��h���D�l�Q�}��²}�X¥}°G¦r�}¡����`®Q§¯����²}��¦}�&�É®ÁªÉ×�³?>©ÄU£Ð�h����¯�Á¦}�&¡h���(¥`° >Z³�×`Ä¨Ø %98 î ñ ø Ù5\o³e×`ÄZ£�¢G�Q���l�H�`§�§¯¥S¢Ê�3�Q�G��¥I¡��&¢G¡��¯���Ù í Þ�³WîGĨØnî ï sá s ³^¸GÙ5> ñ ÄUá â ã 䨤�³;:K>©Ä ô >Uæ ¤�³?>©Ä¨Ø ×�³?>©Ä×�³?>©Ä æ<: ñ Ø,î ñø Ù.î ñ ë ³e¿ ë ¿zÄ

Æ ���È�X�`���<­��Á(¾�Z�Q§Í�^ªC���>¡h�È���I��¥7²z�`���C�>¥}�z��¡h¥}§G¥S¦|�>¡N�����!°����Q�U�h�¯¥|�à×�³?>©Äȳe¥}¡�¤�³�>©Ä©ÄZ£¢G�����l�H���G­�¥}�Q�(¦Á���N������°�¥|§¯§�¥S¢G����²��h�&�l���Q���&�`§�§��>�I�X�I�¯�È�Z¥|�I«�§¯�>µD¦S�`¡h���}®�§��&�&Åê �����ë5ì��ܽ��=ù M>T \ ö5%ÔsS³-' u�Ù.× ø '��Dä�Ä g¨fUVX\&\`Tba \SY.T�a�MAÄl\S��Y±�}PSRUqH\^]�à ³�× ø æ�ä�Ä g\^]�T�a�M$]Z\SRUV\г�߱ĨØ,î ñø ÙÚ\ ñ ä ñ u ñ +�u 6 tгvuzÄZæ u�Ø ßDÙ × øä æ tг » ÄjØ�\ 6 ä 6 æfZP`T�c�f�]lqScbY�͸}Å�' ' t�' '�� � g \ ñ ± » PSY±� \ ñ ä�ñ ± � �º Å ü�\`R�PDdl\SYQfUTLP`YQT ÷ Ü M�a�P`prM zz \ / 1 ³�ß±Ä zz ��÷ ]Z\SR ' u '��÷¸ �

Page 20: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

ü8¡ ýÈþÊÿ���������

�kaQMZYQg >Z³�ß±Ä dlPSY�ÄlM!M-þ|TLM>Yk�|Ml�7PSYkP`� qSTWcedhP`�b� q7T~\Qà ³�×rø�æ�ä�Ä g�P`Yk�.T�a�M>R�MHc�f!PSYàcbY[prM>Rlf>M×Á³�¤0Ä \^] >Z³eßkÄ gGPSY±PS� qSTWced�cbY ' ¤$'� ² g Ü a�M>R�M ² � ª \ ñ ä ñ Ù � P`Yk�����«= >?= �A@ ' × Þ ³?¤0ÄÏ'm� º ª \ ñ + � ä á ñº \ ñ Ùɹ�' \ 6 'ðä÷Ù s0 ÷æä ñzzzz ô y ó sU×ô ¤ y ó s ³ » Ä zzzz �^�?B ² á y º ª \ ñ + � ä á ñº \ ñ Ù.¹�' \ 6 '}änÙ s0 ÷æä ñ �5Ô »BÌ�Ê�I�Z¥|�Q���&Ëz���>�[�Z�}£�¢3��¥}®��l�`���D�h����°�¥}§�§�¥S¢G�¯��²[û·¹¸�º ���¼» � �Â�[ì�� ì�� �±M>T \o³eßkÄjØ,î�ñø Ù¹uzñtгvuzÄ g Ü cbTba u�Ø ³�ß(Ù¾×�ølÄhÜ|ä ��òe] Ü M§ýSY±\ Ü T�a�P`Tt.ö)~ Ç ³�� Ç æ ë&ë>ë æ�� ñ t ó s C�r � æ » CléêÄ P`Yk��T�a�PSTDC Ç �3' Û�³�ß±Äã'�� C Ç Ü aQMZY ' ß¾ÙÉ×�ø�'��³ä g]Z\SR=Äh\`��Yk�SfEC Ç C Ç g Ü M�dlPSYHT�a�M>YHdl\SYQfUT�RU�Qd>T ² PSY±� ~ s g fU�QdhaDT�a�PST ¤�³�>©Ä$Ø � ³�>�Ü ² Ä gÜ cbTba � ö�~ s � ¿ Mv�Áf>M�Tba�c�f�T~\¾dl\SVÌOk��T~MNP¹Äl\S��Y±�Ê]Z\SR í Þ Þ fU��FCd>ceM>YQTW� qDdZ��\rf>MvT~\ îGø �Î �ÏÑÐY�|» ��� »��8Ò8� Æ ���t�Z¥|�Q�^�h¡��[�U����¥}�.¥}°%~ s ���v¡l�S���Q�>¡v���}��ª9°�¡h¥}�õ������§¯�&�N�X�!�}®[¥S¦|�}ÅÆ ���>¡h�Z°�¥|¡��|£z¢3�(¬z�Q¥S¢à���Q�`��¤�³?>©Ä3ØHGU¤ y ³�>�Ü ² Ä y �`�[­¾¢3�(�[�r¦}�̲|¥Á¥Á­��Z¥|�|�h¡�¥|§±¥}�¾�h���¤ y Å´Î �����Q���>¡��3�h�����G�¯�z�h¥H³e¿QÅ ¿zÄ$�h¥N¥|®��h�}�¯�Ù s� í Þ ³�îGÄjØ,î twy y Ç ¤ ñ y ð : ² ò ñ y © y +êî wyJI t ¤ ñ y ð : ² ò ñ y © y æ¢G�Í�h� © y Ø ¸< ï sá s ³^¸GÙ5> ñ ÄUá�â ã ä > ñ y ô >jØ ð º �� ò º á ñ y ë ³WÀ ë À}ÄÆ ���vÝQ¡l�©�Ê���&¡�� �`®k¥S¦}�����0�>¥}�I«����h�&­È�}�Q­H���Q�����&�Z¥|�Q­H����E^�Q�©�(�}�È�>¡h¡�¥|¡G���&¡��H£k¢G�����l����G���}���¯§�ªX�&�©�����X�S�h�&­t�¯�È�}®Q�©¥|§¯������¦S�`§����(°�¡�¥|� �`®k¥S¦}�|Å´��Å áÊÅ ì Å?EEKt5!FML*#&%�8J®I%(24%�5A«´'&$�Q�`¡h§¯����ÅjÅoÓ��ã÷k�&¡��X�`�7¢��}�v«Q�`¡������`§�§¯ªÉ�©�Q«�«[¥|¡©�h�&­.®Áª.�`� ú�Ó,²|¡h�}�z���S� # ¡����Q�Z�>��¥|�� ����¦}�&¡h���Í�^ª|ÅWch - hXWch b � h B¶¯¸Z½=¯�Å�BÊ¡h��¥}§�­�£ _9P`TbaQMZVXPSTWcedlPS�±_9MZT�a�\��rf�\^] � ��PrflfUcedhP`�±_9Mhdla�P`YQcedZf £µ4(¡l�}­��Q�S�h� Æ �>µÁ�h��¯�>ó!�`���¤Å ¥QÅQ » £QúÁ«Q¡�����²}�&¡4@�¯´�>¡h§��`²Q£ Å N�Å�£¤¸�·zÃS¼QÅ

Page 21: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à ü� ¶ º ½=¯�Å>���}�l�¤£�ͺB0�>�>��¡h�|�Zª ¥`°ÕóÈ���`�Ó ���>§�­BÌ«�«�¡h¥rµ��¯�X�S�h�¯¥|�Q�à°�¥|¡ B3�h¥}�X� �`�Q­óÈ¥}§��&�>��§��&�-Î�£Ð� \SVNVI�o_9P`TbaQ��ijaÁqrf>� £ ¸&·}·|¹�£�¯´¥}§WŤ¸rÀ}À�£ ¥QÅ º £�«�«¤Å º ·|À�Ñ�¹�¸ » Ŷ ¹S½�Bvŵ&PO¥}¡l­�¥}®Q�Q£¦&0Å|Ó��ã÷k�&¡��X�}�¤£}�`�[­~ŨÅzúÁ���Z¥[£ØͺB Æ ¡���²}¥|��¥}�I�>��¡h����úÁ��� ¡��&§¯�&¦S�`�z�´��¥����� ¥|�ÁÑz¡h�>§��S�h�¯¦Á���^�h��� Æ ���&¥}¡hª�¥}°�B3��¥}�X�-Î�£ i3R�\�d&�os�P`TL���0dlP}�|�´��dZce��m���� £RQ|�����¸&·|·`¿Q£�¯´¥|§�Å�·Q¸}£�«�«¤ÅkÀ|Ã}Ã`ÂrÑ�À|Ã}Ã`¼�Ŷ ¿`½�BvÅH&PO¥}¡l­�¥}®Q�Q£.&0Å[ÓQ�A÷±�>¡h�X�`�¤£k�`�Q­>ŨÅkúÁ���Z¥Q£8Í©ÎÉ�>ªÁ§oú����X�Ì�`�[­>B3��¥}�I����áj�Q�>¡h²}ªÒ(���>�¯§�§��S����¥}�[�ºÎQ£TS MZp�c�fUTLP _9PST~M>V7UP`T�cedlP§ò3ÄlMZR�\�PSVXM>RUcedhP`YkP £Ì¸&·|·|À�£�¯´¥|§�ÅG¸|¸}£ ¥[ÅG¸}£«�«¤Å¤¸�ÂzÃ�Ñ º}º ¼�Ŷ Àr½�BvÅ�&PO¥|¡h­�¥|®Q��£2&0Å�Ó��ã÷k�&¡��X�`��£¤�`�Q­ÔÅjŤúÁ�&�>¥Q£�ͺB ����®k�>¡©Ñ Æ ���&¥}¡h�Z�h���$á¨�©�����I�`���°�¥}¡��h��� Æ ��¥}�X�|�~Ñ�Ó��>¡h�I� ì �&�Q�©�¯�^ªmÎ�£�¸�·}·|À�³b�h¥¾�`«�«k�&�}¡lÄZŶ ÂS½ # Å ì �¯¡l�}�}£�Í ¥`�h�¾¥}� á´µ��l�Q�`�Q²}� # ���&��¥}�I�&�Q�È���7����� Æ ��¥}�X�|�~Ñ�Ó��>¡h�I�=B3��¥|�oÎ�£i3R�\�d&� � P`VAÄ>RUce�ÍzMvijaÁcb��\rf>�Ð��\&d�� £�¸�·}¹ » £�¯´¥|§�Å º Â�£�«Q«¤ÅQ¹zÃ`ÂWVn¹}¼zÀ�Ŷ Ã�½�QQÅ # Å�á$�l¬Á�I�}���¤£�#�Å�à�¥��l�¤£��`�Q­ # Å�Îà�¯�©�^¢3�>¡�£ �*dl\SVÌOk��T~MZR��(flfUc�fUTLMl�Di�R�\&\©]D\^]m Y[cbprM>Rlf>PS� cbTWq�cbY��0R�MlP�i�R�MUf>M>RUp&cbY�Í�_9PhOkf £�ó!�>�I¥}��¡h��BvÅ ó7Å ú±Å¯£¼¯´¥|§ º ¼}·�£òBÊ�I�>¡h���>�`�ó!�S�h���>�X�`�����>�`§�ú�¥Á�>�¯�>�^ª}£ # ¡�¥S¦Á��­��>�Q�>�}£mÖ�Å :Uů£�¸&·}¼}¿QŶ ¼S½�QQÅ # ÅYá¨�l¬Á�X�`���I�`�Q­ # Å`Îà�¯�©�^¢3�>¡�£¤� \SVÌOk��T~M>RG_9MZT�a�\��rf0P`Yk�MXÌ\`R�MZ�[�[��VNVXP¦Ä>cb� cbT�q�$O|Ok� ceMl��T~\§ü�M>cÁÍzMZY¨ÄhP`��VZY fÊM�ÞZ�QP`T�ce\`Y £�Ť���U�h��¡�� ¥}���&� ����ó!�S�h���>�X�`�����>�&£Ñ¯´¥|§�Å º}º ÃÁ£úÁ«�¡h�¯�Q²}�>¡º@�¯´�>¡h§��}²Q£ Å N�Å�£¤¸&·|¼|À�Ŷ ·S½N&0Å�ÓQ�}§��>¥}§��¯���W£.&0Å�ÓQ�A÷±�>¡h�I�}�¤£Q�}�Q­1ÖvÅ*Ť§��r¦}�|£m:~��«�¡h�>«[�`¡l�S����¥}��Ŷ͸ » ½N&0Å|ÓQ�A÷±�>¡h�I�}�¤£�Í-B3��¥|�I�$�`�Q­oBÌ�Q�`§�ªz����� �Q��®k�>¡ Æ �Q�>¥}¡hªmÎ�£Y:~��û �v�¯_9�¯��� � M>YQT~MZY�ûYQceP`�oi3� Ä>� cedlPSTWce\SY�g\[[\S���'ò}ò £�BÊ�I�>¡h���&�`��ó!�`���¤Å ú�¥Á�>�¯�>�^ª}£ # ¡�¥S¦Á��­��>�[�Z�}£ØÖ�:U£¨¸&·}· º £«¤Å º Ã&ÑÁ¹|Â�Ŷ͸|¸Z½N&0Å�Ó��A÷±�>¡h�X�`�¤£,Í Æ �Q�~B3�h¥}�I���N�`�[­&óÈ¥}§��&�>��§��`¡�úz��¡h�Q�U�h��¡h��¥}°=ó!�S�����>¡rÎ�£]S M>p�c�flT~P_9PST~MZV^UPSTWcedlPNò3ÄhM>R�\�PSVXMZRUcedlP`YkP £ ¸&·|¼|À�£�¯´¥|§�Ť¸|£ ¥[Å�¸}£�«�«�Ť¸UÑÁ¿}¿QŶ͸ º ½N&0Å´Ó��A÷±�>¡h�X�`�¤£;Í Æ ���¶pHÑ��3¥�­�ª # ¡h¥}®�§��>� ���<�0�Q�}�|�h���góÈ���l�Q�`�����>�-Î�£0� \SVNVI�i3��R�M�PSYk�I�$O|Ok�¯�Ð_!P`TbaQ� £�¸�·}¼}ÂQ£�¯´¥|§�Å[¹}·�£ ¥QÅQú±£Q«�«¤Å[ú�ÂÁÃ&Ñ�ú±¸}¸ » Ŷ͸�¹S½N&0Å�Ó��ã÷k�&¡��X�}�1�`�Q­ËÖ�Å�Å�§��r¦|�}£§Í-ÖG�>§��S�h�¯¦Á���^�h���Xúz�l�`®���§��Í�^ªÉ¥`°�ó!�S�����&¡&£�:¢ÎQ£_S M>p�c�flT~P_9PST~MZVXPSTWcedlPNò3ÄhM>R�\�PSVXMZRUcedlP`YkP £ ¸&·|¼}Â�£�¯´¥|§�Å º £ ¥[Å�¸3` º £�«Q«¤Å¤¸}¸�·rÑ º ¸&¹QŶ͸&¿`½N&0Å�Ó��ã÷k�&¡��X�`�È�}�Q­1ŨÅ[úÁ���Z¥Q£�Í Æ ���Ì4(¡�¥|���Q­zÑ�úz�h�`���×áj�Q�>¡h²}ªX¥`°Ð�uÅ��`¡h²}�;B3��¥|�oÎ�£XG���b�����v�¯_9�¯�±� £ ¸&·|· » £ ¯´¥}§WÅ º ¹�£ ¥[Å º £�«Q«¤Å[À º ÀaV÷À`¹ » Ŷ͸rÀr½N&0Å ÓQ�A÷±�>¡h�I�}�1�`�Q­ËŨÅoúÁ���Z¥Q£�ͺá¨�¯²|�>�Á¦S�`§����&���`�[­�áj��²}�>��°����Q�U�h�¯¥|�Q��¥}°ÌÒ0¡l­����Q�`¡hªì �ÿ÷±�>¡h�>�z�����`§ Ò0«k�>¡l�S�h¥}¡l�ºÎQ£ �0�SpS� _9PST�a�� £ ¸&·}· º £�¯´¥}§WÅ�·|À�£ ¥[Å º £�«�«�Ť¸>¿ÁÀ�ÑÁ¹ » À�Å

Page 22: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

ükü ýÈþÊÿ���������

¶Í¸�ÂS½N&0ŤÓ��ã÷k�&¡��X�`�.�`�[­ÔŨÅ�úÁ�&�>¥Q£�Í Æ �Q�uá¨�¯²|�>�Á¦S�`§����XúÁ���*°�¥|¡v�ÈÒ0�Q�UÑ ì ���N�&�Q���¯¥|�Q�`§# ¥`�h�>�z�����`§ Î�£ �0�SpSPSYkdlMZf�cbYÈ_9PST�a £±Ò(�Z�&Ť¸�·}·}¿Q£ ¯´¥}§WŤ¸ » ¼�£ ¥[Å º £�«�«�Å º Â|¹rÑÁ¹|¹|À�Ŷ͸SÃ�½N&0ÅzÓQ�A÷±�>¡h�X�`�¾�`�[­æÅjÅÁúÁ�&�>¥Q£�Í Æ ��� ì �>�[�©�¯�^ª����D�IÒ0���A@ ì ���I�>�Q����¥}�Q�}§ # ¥`�h�>�z�����`§ Î�£�Ì�`prP`YkdlMZf�cbY9_9PST�a�� £kú��>«���Ť¸&·|·`¿Q£�¯´¥|§�Å�¸ » ÃÁ£ ¥QÅ º £�«�«¤Å¤¸�¼zÃ&Ñ�¹}Â}¿QŶ͸�¼S½N&0Å�Ó��A÷±�>¡h�X�`�D�}�Q­7ŨÅÁú��&�Z¥[£.Í Æ ���!áj��²}�>�Á¦S�`§����0ú���� °�¥}¡G� Æ �Q¡��&�UÑ ì ���N�&�Q���¯¥|�Q�`§ÖÊ�}­����}§ # ¥`���&�z�����`§ Î�£ �Ì�`prP`YkdlMZf�cbY9_9PST�a�� £�¸�·}·zÀ¾³b�h¥¾�`«�«k�&�}¡lÄZŶ͸�·S½N&0ŤÓ��ã÷k�&¡��X�`�7�}�Q­ÔŨŠúÁ���Z¥Q£�Í Æ ��� ì �&�Q���Í�^ª!���7� Æ ��¡��&�UÑ ì ���I�>�Q���¯¥|�Q�`§�ÖÊ�|­����`§# ¥`�h�>�z�����`§ Î�£ �0�SpSPSYkdlMZf�cbYÈ_9PST�a�� £o¸&·}·zÀ¾³���¥¾�`«Q«[���`¡UÄUŶ º}» ½N&0Å`Ó��ã÷k�&¡��X�`�I�`�[­$ŨÅ}úÁ�&�>¥Q£ ÍlÒ0������� ì �¯¡l�}���}�Q­�ú��l�Á¢G����²}�&¡�&$¥}¡h¡����U����¥}�[�¤�h¥0�h���4(¡�¥|���Q­zÑ�úz�h�`���oáj�Q�>¡h²}ª!¥}°��}�ËB3�h¥}�oÎ�£ �0�SpSPSY±dlMUfXcbY1_9P`TbaQ� £ÂBÌ��²QÅj¸�·}·}¿Q£H¯´¥}§WŸ » ÃÁ£ ¥[Ť¸}£�«�«�Ť¸Uѱ¸&¼|À�Ŷ º ¸Z½N&0ŤÓ��ã÷k�&¡��X�`�É�`�Q­5ÅjŤúÁ���Z¥[£�ͺBÊ«k�>¡h��¥Á­����>�Í�^ªÈ¥}°¨���Q�u#0�`�I��§Í�h¥}�����`�ÉÓ §�¥S¢è���9�h���Æ ��¥}�X�|�~Ñ�Ó��>¡h�I� # ¥`�h�>�z�����`§ Î�£�S MZp�c�fUTLPv_9PST~MZV^UPSTWcedlP�ò3ÄlMZR�\�PSVXM>RUcedhP`YkP £k¸�·}·|¹�£|¯´¥}§WÅ·�£ ¥QÅQ¹Q£�«�«¤Å�¿ » ·rÑ�À}À�¸}Ŷ º|º ½�áÊÅSÓ��&¡��I�W£ØÍ � �~óÈ�>��¥�­�¥vúz�l�S�����©�����Z¥�«[�&¡´§�� ì �Z���&¡��I���Q�Y"&�¯¥|���G­����`§��Z�Q��� # ¡h�¯¥|¡����Z�l�­��>§�§"! B3�h¥}�I�ÏÎQ£bS M>Yk�}�¤�0dldlP}�}��s�P3c�� ù cbYkdlMZc £�¸&· º ÃÁ£�¯´¥}§WÅ�Â�£Q«�«¤ÅQ »|º Vn » ÃÁŶ º ¹S½ 4NÅòó1ż4(¡l�S°��`�[­�QQÅ # Å�ú�¥}§�¥S¦}�¢EZ£�ͺB^&$¥|¡�¡h�>§��S�h�¯¥|�×á¨�©�����I�`���$¢G�Í�h��BÊ«�«Q§¯���>�`����¥}�Q����¥�0�Q�`�z�h���õúÁª��^�h�>�X��¢G�¯����&$¥}��§�¥}��®¼:~�z���&¡h�|�U����¥}�[�ºÎQ£,S MZp�ceM Ü fIcbY._9PST�a��jija�qrf>� £¸&·|·`¿Q£�¯´¥|§�Å�ÂQ£ ¥QÅkÀ`��£�«Q«¤ÅQ·zÃ|Ã&Ñ�·}·zÃ�Ŷ º ¿`½�ÎÚÅ�#Ì��²}�����>£!ͺBÌ��B3��¥|�N���æá¨���>¡h²}ª5Ť¥S¢3�>¡��3¥}���[­É���Q�`�~Bʲ|¡��&�&��¢G�¯���Cú��Z¥}�©�3! �&$¥}¡h¡����U�h�¯¥|�*Î�£ �Ì�`prP`YkdlMZf�cbY9_9PST�a�M>VIP`T�cedZf £�¸&·|· » £ ¯´¥|§�űÃS·�£�«Q«¤Å º ¸�¹rÑ º à » Ŷ º Àr½��(ÅI#Ê�&§ª÷±�>¡�£�BvÅIà��[�`��°^£�#vÅÁúÁ�¯��­��>�z�h¥}«¤£Á�`�Q­oÖvÅ|ÎÉ�>��¬S�`¡l­�£�ÍUÒ0���h����BÌ®Q���>�Q�>�Ì¥`°¤�Óo�¯¡l�^��Ò0¡h­��&¡b&$¥|¡�¡h�&�Z����¥}�t°�¥}¡Ì����� ����®[�&¡0¥}°��3¥|���Q­9úz�l�S�h�&�Ê¥}°¨�Dú��l��¡Wd¥|­��¯��²|�>¡Ò0«[�&¡h�`��¥|¡0¢G�¯����&$¥}��§�¥}��®ÉúÁ����²|��§��}¡��¯�^ªmÎ�£3� \SVNVI�jiG� KN�ûýG� £j¸�·}· º £.¯´¥}§WÅ´¸rÃÁ£ ¥QŹ�`�¿[£z«Q«¤ÅQÂ�¸rÀ�Ñ�Â}¹}·QŶ º ÂS½�áÊÅ #Ê��§¯§��}£�ÍUÒ0�È���Q� Æ ��¥|�X�}�^ÑÁÓ��&¡��I�Âá¨Ëz�Q�S�h�¯¥|�*Î�£ i3R�\�d��os�PST~� �0dlP}�}�¨��dZce�vm���� £¸&·|Â}·�£�¯´¥|§�Å� º £�«�«¤Å±Ã3VÚ¸ » Ŷ º Ã�½=¯�Å.:~¦Á¡������`�Q­Õ:UÅ.ó1Å´ú��¯²z�`§W£�Í-BÌ��ªz�I«��h¥`�h���&��¥}°Ê�����J4(¡h¥}���Q­Cúz�h�`���¶áj���&¡�²|�¯����¥}°Å��}¡�²|�Ú&$¥}��§�¥}��®÷úÁª��^�h�>�X�ºÎQ£ �0Y[YkPS� f \^]È_9P`TbaQ� £(¸�·}·|¹�£%¯´¥|§�Å(¸&¹|¼�£ ¥QÅ º £¨«Q«¤Åº ¿z¹rÑÁ¹|¹|À�Ŷ º ¼S½�áÊÅSÎÚÅYà��}�Q�l���>¡´�}�Q­�ÎÚÅYŨÅYóÈ��¡h�}��¬}�&¡&£ �±M>� ]rû~pSPS� ce�|PSTWcbY Í�sv��VIM>RUcedUf¤]Z\`R8ü���Y±dZTWce\SY�`OQP}dlM�i3R�\¦Ä>�¯M>V�f £MBÌ�>�|­��>�I��� # ¡h�&�h�>£ Å N�Å�£�¸�·}¼}¿QŶ º ·S½�Ò�ÅDÅ��}��°�¥}¡l­�£�Í-B�&$¥}�I«������>¡©Ñ�B0�������^�h�&­ # ¡h¥Á¥`°[¥}°±�����ÌÓQ�>��²}�&�z®[�`���@&$¥}��E^���U���Q¡��òÎ�£XG���b�����(_H� £�¸�·}¼|Â�£�¯´¥}§WÅQÂ�£�«Q«¤Å�¿ º Ã&ÑÁ¿|¹`¿[Å

Page 23: INTERVAL ARITHMETIC IN !UANTUM - RiskLab Toronto

­Y®�¯A°D±Y²*³M´�µ¶±Y·�¯�¸�¹�°D¯º·-»¼·�®¾½u¿.³M®�¯4¿�¹�ÀÁ°�»�¸Â³M®�·-»�à ü Ä

¶ ¹ » ½�áÊÅSÅ��¯�&®¤£�Í Æ �Q¥}�X�}�^ÑÁÓQ�>¡h�N���}�Q­1ÖÊ�>§��S����­ Æ ���>¥|¡����&�3¥`°�B3��¥|�X�G�`�Q­FóÈ¥|§¯���Z��§��&�-Î�£S M>p&ceM Ü f�\^]�_9\��}M>RUYHija�qrfUcedUf £o¸&·}¼Q¸}£ ¯´¥}§WÅ[À`¹Q£ ¥[Å�¿Q£�«�«¤Å[ » ¹SÑÁÂ}¿Q¸}Ŷ ¹Q¸Z½�áÊŠŤ���>®É�`�Q­Ô�0ŤúÁ���I¥}�¤£�Í Æ ��¥}�X�}�^ÑÁÓQ�>¡h�I� Æ ���&¥}¡hªt¥}°8B3��¥|�X�>£ óÈ¥}§��&�>��§��&���`�Q­úÁ¥}§���­��ºÎQ£ �Ì�`pr� _9P`TbaQ� £�¸&·ÁÃ}Ã�£ ¯´¥|§�Å º ¹�£�«�«�Å º}º V ¸|¸&Â�Ŷ ¹ º ½�Ö�ŠŤ§��r¦}�}£8Í�&$¥|�N«Q�����&¡!B0�������©����­&�3¥}���[­��Ì���ÉúÁ�h�`®Q�¯§��Í�^ªH¥}°=ó!�S�����>¡rÎ�£3� \SVÌOk��T~MZR�0ce�}Ml�Ìi3Rh\&\©]hf�cbYI�0YkPS�Íqrflc�f £�:¢ó&BàúÁ�&¡����&� ���~ó!�`���¤ÅS�}�Q­�BÌ«�«�§Wů£|¯´¥|§ º ¼�£`úÁ«�¡h����²}�&¡&£&$�¯�[�Z���Q�S�����W£¤¸&·|¼}·�Ŷ ¹|¹S½�Ö�Å�Å�¥}���Q�>¡�£ ý3cbY�f>dlaÁ� ceMfeÐ��Y Í.�|MZR ùhg\rfU��Y ÍQÍzM Ü g\�aÁY[� cedhaQMZR¾�0Y&]ZP`Y Í`feÀ ��Y±� S P`Yk�YûÜ MZRUT~PS�Z]ðÍzP¦ÄlM>Y ��Yk� �0Y Ü MZY±�S��Y�Í|M>Y £ ì �������>¡��h�`����¥}�¤£ � ����¦}�&¡h���Í�Wd�S� à��}¡�§��©¡h�����³ Æ #(ÄU£¤¸�·}¼}¼QŶ ¹}¿`½�Ö�ÅoáÊÅoóÈ¥Á¥}¡h�}£ _9M>TbaQ\&�SfçPSY±� �3O}O±� cedlPSTWce\SY�fè\^]�òUY[TLM>RUprP`�X�0Y±PS� qrfUc�f £Dú�:¢B�ó7£# ����§��}­��&§¯«��Q���Q£ # Bv£�¸&·ÁÃS·QŶ ¹zÀr½ ì Å�ÖÊ�}�Q��£ i3R�\�\^]G\^]´�Ìdld>��R�PST~M�m�O|O�M>R3P`Yk� ù \ Ü M>R?X0\S��Y±�rf±]Z\SR3�[T~P¦Ä>cb� cbTWq�KN\SVXPScbYQfcbYtKNMZY±\SVNcbYkP`TL\`R0i3R�\¦Ä>�¯M>V�f £ Æ �Q�&�����&£ # ¡h���Q�Z�>��¥}� � ����¦}�&¡h���¯�^ª}£�¸&·|¼zÃ�Ŷ ¹|ÂS½�QQÅÐú��l�Á¢G�¯�Q²}�>¡�£�Í Æ ��¥}�X�|�~Ñ�Ó��>¡h�I��óÈ¥�­��>§Wû Æ ���túÁ���Z¥|�Q­d&$¥}¡h¡����U�h�¯¥|�*Î�£ ija�qrfUcedhP`�S M>p&ceM Ü´£¤¸�·}¼�¸|£�¯´¥}§WÅSB º ¿[£ ¥[Å[À�£�«�«�Å º ¹zÀ`¹WV º ¹|Â�¸|Ŷ ¹ÁÃ�½�QQÅMó7Ũ&0űú��Z¥}�©��£=Í Æ �Q���3�¯�Q­��¯��²1áj���&¡�²|ª¾¥`°Ð���Q� Æ ��¥}�X�|�~Ñ�Ó��>¡h�I��B3��¥|�oÎ�£ i¨aÁcb�¯�_9PÍz� £�¸&·zÀ º £ ¯´¥|§�Å�¿z¹�£�«�«�ÅQ¼|À}·WVn¼}ÂzÃ�Ŷ ¹|¼S½�ÅjűúÁ�&�>¥Q£�Í-Ť¥S¢3�>¡§�3¥}���[­���°�¥}¡Ê�����N4(¡h¥}�Q�Q­!úz�h�`����á¨���>¡h²}ªD¥`°�B3��¥|�I�-Î�£ Æ ���&�����&£# ¡h�¯�[�Z�Z�h¥}� � ����¦}�&¡h���Í�^ª|£�¸&·|¼}·�Ŷ ¹|·S½�ÅjŤúÁ���Z¥Q£�Íe&$¥}�I«����h�>¡;BÌ�h�©���^�h�&­5Ť¥S¢3�>¡!�$¥|���Q­��0°�¥|¡;B3�h¥}�I���$á¨���>¡h²}���&�-Î�£$� \`V$ûOk��T~MZR��0ce�|Mh�Hi3R�\�\^]hfXcbY7�0YkPS�Íqrflc�f £�:¢ó&B úÁ�>¡h���&������ó!�S�h�¤Å��`�[­5BÌ«�«�§Wů£é¯´¥}§ º ¼�£úÁ«�¡h�¯�Q²}�>¡�£ &$�¯�[�Z���Q�S�����W£�¸&·|¼}·Q£|«�«�Å º ¿[¸iV º À�¸|Ŷ ¿ » ½�#vÅGúÁ���&­��&�|�h¥}«n�}�Q­äÖ�Å3Î �&�¯¬S�}¡h­�£$ÍlÒ0�<�h���ÔÅ��&�}­��¯��² áj���&¡�²|ª�&$¥}¡h¡h�&�U�h�¯¥|�C°�¥}¡�����vúz�l�S�h���©�����>�}§ ó!¥Á­��>§�¥`° �����×B3�h¥}�Hûm:~�z���>¡l�}�Z������²A&3�|�©�òÎ�£Ð� \SVNV���Y[cedlPSTWce\SY�f�cbY_9PST�a�M>VIP`T�cedlPS�¤ija�qrflcedZf £�¸�·}¼zÃ�£�¯´¥}§WÅ�¸}¸ º £�«�«¤Å�¿�ÃÁ¸ZÑz¿|· » Ŷ ¿[¸Z½�#vÅ}úÁ���&­��>�z��¥|«��`�[­$Ö�ÅSÎÉ�>��¬S�`¡l­�£ ÍlÒ0��������Ť���}­�����²Ì&$¥}¡h¡����U�h�¯¥|�v¥`°[����� Æ ��¥|�I�|�~ÑÓ��&¡��I��óÈ¥�­��>§WûØŤ¥S¢3�>¡!�$¥|���Q­SÎQ£��`�Q­!�}� �}«�«[�&�Q­��¯µ!®Áª&BvÅØó7Å�àIÅ ó/d��§�§¯�&¡&£ òUY[pr�_9PST�a�� £�¸�·}¼|·�£�¯´¥}§WÅ�·zÃ�£�«�«¤Å¤¸rÀ`·rѱ¸&·|¹�Ŷ ¿ º ½�#vÅSúÁ���&­��&�|�h¥}«��}�Q­×Ö�ÅrÎÉ�>��¬r�}¡h­¤£*ͺB �&¢ # �Q�|�©�$ú�«Q�}�>�=Ť¥��>�}§¯�?"&�`����¥}� Æ �&�l���Q��Ëz���¢G�Í�h��BÊ«Q«�§¯���>�`����¥}�Q�¤��¥G�h���3ú����,¥}° �&²|�S�h�¯¦|��áj��²}�&�z¦S�}§¯������¥`°Qú��l�Q¡ad¥z­��¯�Q²}�>¡ Ò0«k�>¡º@�S�h¥}¡l�ºÎQ£ �0Y[Yk���±d>ceMZY[TL�µýGdl\S��M3s�\SRUVXPS�¯MÊ�[��OQM>RUceMZ��R�M £Á¸&·|·�¸}£Ñ¯´¥}§WÅ º ¿[£�«Q«¤Å º ¸rÀ�Ñ º|º À�Ŷ ¿z¹S½�ÅjÅ�#vÅ Æ ��¥}�X�|�>£�Í Æ ���=&3�`§��Z��§��S�h�¯¥|�X¥`°�B3��¥|�N���ÌÓo���>§�­��-Î�£ i3R�\�d&� � PSVKÄZRUce�3Í|M�ijaÁc�û�¯\rf>�o��\&d�� £¤¸�· º Ã�£�¯´¥}§WÅ º ¹�£�«Q«¤Å[ÀS¿ º V÷ÀS¿z¼�Å