Interpolation Function Theorems

8/10/2019 Interpolation Function Theorems

http://slidepdf.com/reader/full/interpolation-function-theorems 1/5

L E C T U R E 1 5

I n t e r p o l a t i n g F u n c t i o n s

I n t h e n e x t s e r i e s o f l e c t u r e s w e w i l l d i s c u s s m e t h o d s f o r n d i n g f u n c t i o n s t h a t b e s t t a g i v e n s e t o f d a t a .

W e s h a l l c a l l s u c h f u n c t i o n s i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n s , a n d w e s h a l l c o n s i d e r s e v e r a l d i e r e n t m e t h o d s f o r

n d i n g s u c h f u n c t i o n s . W e s h a l l b e g i n t h i s d i s c u s s i o n w i t h t h e p r o b l e m o f i n t e r p o l a t i n g d a t a b y m e a n s o f

p o l y n o m i a l f u n c t i o n s .

1 . P o l y n o m i a l I n t e r p o l a t i o n

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g p r o b l e m :

P r o b l e m 1 5 . 1 G i v e n a t a b l e o f n + 1 d i s t i n c t d a t a p o i n t s x

i

y

i

i = 0 ; : : : ; n , n d a p o l y n o m i a l o f P o f

l o w e s t d e g r e e f o r w h i c h

P x

i

= y

i

8 i 1 5 . 1

T h a t t h i s p r o b l e m h a s a s o l u t i o n i s f a i r l y e a s y t o s e e . F o r i f w e s e t

P x = a

n

x

n

+ a

n 1

x

n 1

+ + a

1

x + a

0

t h e n , s o l o n g a s t h e x

i

a r e a l l d i s t i n c t , e q u a t i o n s 1 5 . 1 w i l l c o n s t i t u t e a s y s t e m o f n + 1 l i n e a r l y i n d e p e n d e n t

e q u a t i o n s

x

0

n

a

n

+ x

0

n 1

a

n 1

+ + x

0

a

1

+ a

0

= y

0

1 5 . 2

x

1

n

a

n

+ x

1

n 1

a

n 1

+ + x

1

a

1

+ a

0

= y

1

x

n

n

a

n

+ x

n

n 1

a

n 1

+ + x

n

a

1

+ a

0

= y

n

f o r n + 1 u n k n o w n s a

0

; : : : ; a

n

. T h a t t h e s e e q u a t i o n s a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t m a y n o t b e i m m e d i a t e l y

o b v i o u s ; b u t i t f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t t h e m o n o m i a l s x

i

i = 0 ; : : : ; n a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t f u n c t i o n s .

W e c a n t h u s e x p e c t a u n i q u e s o l u t i o n o f d e g r e e n

T h e f o r m a l l i n e a r a l g e b r a i c a r g u m e n t f o r t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s i s , h o w e v e r , n o t r e a l l y t h e b e s t w a y t o

n d i n g a s o l u t i o n . F o r , i t t a k e s o n t h e o r d e r o f n

3

o p e r a t i o n s t o s o l v e a l i n e a r s y s t e m s u c h a s 1 5 . 1 o n a

c o m p u t e r , i f w e h a d a m i l l i o n o r s o d a t a p o i n t s t o t , w e w o u l d n e e d t o c a r r y o u t a t l e a s t 1 0

1 8

o p e r a t i o n s

t o c a l c u l a t e a s o l u t i o n . W h i l e s u c h a c a l c u l a t i o n m i g h t a c t u a l l y b e f e a s i b l e o n m o d e r n h a r d w a r e , t h e r e a r e

m u c h b e t t e r w a y s t o p r o c e d e .

2 . T h e N e w t o n i a n F o r m o f t h e I n t e r p o l a t i o n P o l y n o m i a l

T h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m a l l o w s o n e t o b u i l d u p a n i n t e r p o l a t i n g p o l y n o m i a l m u c h m o r e q u i c k l y . L e t

P

0

x = y

0

1



2 . T H E N E W T O N I A N F O R M O F T H E I N T E R P O L A T I O N P O L Y N O M I A L 2

T h i s f u n c t i o n c l e a r l y s a t i s e s P

0

x

0

= y

0

, b u t i t w o n ' t s a t i s f y P

0

x

i

= y

i

u n l e s s y

i

= y

0

. T h e n e x t s t e p

i s t o w r i t e d o w n a f u n c t i o n P

1

x t h a t s a t i s e s a t l e a s t P

1

x

0

= y

0

a n d P

1

x

1

= y

1

. T h i s c a n b e h a d b y

s i m p l y a d d i n g a t e r m t o P

0

P

1

x = y

0

+ c

1

x , x

0

a n d c h o o s i n g c s o t h a t

P

1

x

1

= y

1

c

1

=

y

1

, y

0

x

1

, x

0

N o w w e h a v e a p o l y n o m i a l f u n c t i o n t h a t a t l e a s t a g r e e s w i t h t h e d a t a a t t w o p o i n t s . T o c r e a t e a f u n c t i o n

t h a t i s c o r r e c t f o r t h e r s t t h r e e d a t a p o i n t s w e s e t

P

2

x = P

1

x + c

2

x , x

0

x , x

1

a n d c h o o s e c s o t h a t

y

2

= P

2

x

2

c

2

=

y

2

, P

1

x

2

x

2

, x

0

x

2

, x

1

N o t e t h a t t h e r e a s o n w h y t h i s p r o c e d u r e w o r d s i s t h a t w e h a v e a f u n c t i o n P

1

x t h a t i s a l r e a d y c o r r e c t a t

t h e r s t t w o p o i n t s a n d w e a r e a d d i n g t o i t a f u n c t i o n t h a t m a k e s n o c o n t r i b u t i o n t o t h e v a l u e s a t x

0

a n d

x

1

b u t w h i c h c a n b e a d j u s t e d t o c o r r e c t v a l u e y

2

a t x

2

N o w s u p p o s e w e h a v e c a r r i e d o u t t h i s p r o c e d u r e t o c o n s t r u c t a d e g r e e k p o l y n o m i a l P

k

x t h a t r e p l i c a t e s

t h e r s t k d a t a p o i n t s . T o o b t a i n a p o l y n o m i a l f u n c t i o n t h a t r e p l i c a t e s a l l t h e d a t a p o i n t s u p t o x

k

y

k

w e s e t

P

k

x = P

k 1

x + c

k

x , x

0

x , x

1

x , x

k 1

w h e r e c

k

i s c h o s e n s o t h a t P

k

x

k

= y

k

c

k

=

y

k

, P

k 1

x

k

x

k

, x

0

x

k

, x

1

x

k

, x

k 1

C l e a r l y , s o l o n g a s t h e p o i n t s x

i

i = 0 ; : : : ; n a r e a l l d i s t i n c t , t h e r e i s n o o b s t r u c t i o n t o t h i s p r o g r a m a n d s o

w e ' l l b e a b l e t o c o n s t r u c t a p o l y n o m i a l P

n

x o f d e g r e s s m n t h a t i n t e r p o l a t e s t h e d a t a i t c o u l d h a p p e n

t h a t s o m e o f t h e n u m b e r s c

i

= 0 , t h a t ' s w h y p e r h a p s t h e d e g r e e o f P

n

x m i g h t b e l e s s t h a n n

E x a m p l e 1 5 . 1 F i n d t h e N e w t o n f o r m o f t h e i n t e r p o l a t i o n p o l y n o m i a l f o r t h e f o l l o w i n g s e t o f d a t a

x

0

= 0 y

0

= , 1

x

1

= 1 y

1

= , 1

x

2

= 2 y

2

= 1

x

3

= 3 y

3

= 1 1

S e t

P

0

x = y

0

= , 1

T h e n

c

1

=

y

1

, P

0

x

x

1

, x

0

=

, 1 , , 1

1 , 0

= 0

P

1

x = P

0

x + c

1

x , x

0

= , 1 + 0 = , 1

c

2

=

y

2

, P

1

x

x

2

, x

1

x

2

, x

0

=

1 , , 1

2 , 1 2 , 0

= 1

P

2

x = P

1

x + c

2

x , x

0

x , x

1

= , 1 + x , 1 x

c

3

=

y

3

, P

2

x

x

3

, x

2

x

3

, x

1

x

3

, x

0

=

1 1 , 5

3 , 2 3 , 1 3 , 0

= 1

P

3

x = P

2

x + c

3

x , x

0

x , x

1

x , x

2

= , 1 + x , 1 x + x , 2 x , 1 x



3 . T H E L A G R A N G E F O R M O F T H E I N T E R P O L A T I O N P O L Y N O M I A L 4

c o l l e c t a l l t h e t e r m s i n t h e i n t e r p o l a t i o n p o l y n o m i a l t h a t a r e p r o p o r t i o n a l t o e a c h o f t h e y

i

t o o b t a i n a n

e x p r e s s i o n o f t h e f o r m

P x = y

0

`

0

x + y

1

`

1

x + + y

n

`

n

x

N o w t h e p o l y n o m i a l s `

i

x d e p e n d o n l y o n t h e v a r i a b l e s d a t a p o i n t s x

i

a n d n o t a t a l l o n t h e i r v a l u e s y

i

T h e r e f o r e , b y l o o k i n g a t s p e c i a l s e t s o f p o t e n t i a l d a t a , w e c a n g u r e o u t w h a t t h e y m u s t b e . F o r e x a m p l e ,

s u p p o s e w e x i a n d d e m a n d

y

j

=

1 i f i = j

0 i f i 6= j

1 5 . 3

T h e n t h e i n t e r p o l a t i n g p o l y n o m i a l f o r t h i s s e t o f d a t a w o u l d l o o k l i k e

P x =

n

X

j = 0

y

j

`

j

x = l

i

x

a n d s o w e c o u l d c o n c l u d e t h a t , s i n c e t h i s p o l y n o m i a l i n t e r p o l a t e s t h e d a t a 1 5 . 3

0 = P x

j

= `

i

x

j

f o r a l l i 6= j

w h i c h t e l l s u s t h a t `

i

x h a s n d i s t i n c t r o o t s x

j

i 2 f 0 1 ; : : : ; n i 6= j g . S i n c e t h e d e g r e e o f `

i

x i s a t m o s t

n , a n d b e c a u s e t h e t r i v i a l s o l u t i o n `

i

x i s n o t a l l o w e d o t h e r w i s e P x

i

6= 1 , a n d b e c a u s e t h e i n t e r p o l a t i n g

p o l y n o m i a l m u s t b e u n i q u e w e c a n c o n c l u d e t h a t

l

i

x =

Y

j 6= i

x , x

j

x

i

, x

j

s i m p l y b e c a u s e i t h a s t h e p r o p e r t y t h a t i t i n t e r p o l a t e s t h e d a t a 1 5 . 3 .

H a v i n g i d e n t i e d t h e c a r d i n a l f u n c t i o n s `

i

x , w e c a n n o w w r i t e

P x =

n

X

i = 0

y

i

`

i

x =

n

X

i = 0

y

i

0

@

Y

j 6= i

x , x

j

x

i

, x

j

1

A

T h i s p r e s e n t a t i o n o f t h e i n t e r p o l a t i o n p o l y n o m i a l i s k n o w n a s t h e L a g r a n g e f o r m o f t h e i n t e r p o l a t i o n

p o l y n o m i a l

E x a m p l e 1 5 . 4 F i n d t h e L a g r a n g e f o r m o f t h e i n t e r p o l a t i o n p o l y n o m i a l f o r t h e f o l l o w i n g s e t o f d a t a

x

0

= 0 y

0

= , 1

x

1

= 1 y

1

= , 1

x

2

= 2 y

2

= 1

x

3

= 3 y

3

= 1 1



3 . T H E L A G R A N G E F O R M O F T H E I N T E R P O L A T I O N P O L Y N O M I A L 5

W r i t i n g d o w n t h e L a g r a n g e f o r m o f t h e i n t e r p o l a t i o n i s p r e t t y s t r a i g h t - f o r w a r d .

P x =

n

X

i = 0

y

i

0

@

n

Y

j 6= i

x , x

j

x

i

, x

j

1

A

= y

0

x , x

1

x , x

2

x , x

3

x

0

, x

1

x

0

, x

2

x

0

, x

3

+ y

1

x , x

0

x , x

2

x , x

3

x

1

, x

0

x

1

, x

2

x

1

, x

3

+ y

2

x , x

0

x , x

1

x , x

3

x

2

, x

0

x

2

, x

1

x

2

, x

3

+ y

3

x , x

0

x , x

1

x , x

2

x

3

, x

0

x

3

, x

1

x

3

, x

2

= ,

x , 1 x , 2 x , 3

, 1 , 2 , 3

,

x x , 2 x , 3

1 , 1 , 2

+

x x , 1 x , 3

2 1 , 1

+ 1 1

x x , 1 x , 2

3 2 1

T h e n a l e x p r e s s i o n i s t h e L a g r a n g e f o r m o f t h e i n t e r p o l a t i o n p o l y n o m i a l . W h i l e t e d i o u s , i t i s

n e v e r t h e l e s s s t r a i g h t f o r w a r d t o v e r i f y t h a t

P x = ,

x , 1 x , 2 x , 3

, 1 , 2 , 3

,

x x , 2 x , 3

1 , 1 , 2

+

x x , 1 x , 3

2 1 , 1

+ 1 1

x x , 1 x , 2

3 2 1

= x

3

, 2 x

2

+ x = 1

a n d s o w e r e c o v e r t h e s a m e i n t e r p o l a t i o n p o l y n o m i a l a s i n t h e r s t e x a m p l e .

Interpolation Function Theorems

Documents

Transcript of Interpolation Function Theorems