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Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 1
Testi consigliatiAitchison I., Hey A.Gauge Theories in Particle Physics,Vol. 1 - A Practical Introduction (3rd ed.)IOP Publishing 2003
Aitchison J., Hey G.Gauge Theories in Particle Physics, 2nd ed.IOP Publishing 1989
Halzen F.,A.Martin A.Quarks and Leptons. Introductory Course in Modern Particle PhysicsJohn Wiley & Sons 1984
Horejsi J.Fundamentals od Electroweak TheoryCharles University, Prague 2002
Hitoshi MurayamaLecture Notes (files pdf)
Diapositive e registrazioni audio del corsohttp://www.mi.infn.it/~ragusa/2019-2020/elettrodebolihttp://www.mi.infn.it/~ragusa/2098-2020/elettrodeboli/registrazioni
prof. Francesco RagusaUniversità di Milano
Interazioni Elettrodeboli
anno accademico 2019-2020
Lezione n. 130.09.2019
Equazione di Klein-Gordon Invarianza relativistica
Paradosso di Klein
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 3
Equazione di Klein-GordonL’equazione non relativistica di Schrödinger non è adeguata a descrivere i risultati degli esperimenti quando l’energia cinetica è molto maggioredella massa a riposo delle particelle
Ricordiamo l’equazione di Schrödinger
Può essere ricavata partendo dalla relazione
Per ottenerla si fanno le seguenti sostituzioni operatoriali
Per giungere ad un’equazione relativistica si può seguire lo stesso metodoutilizzando grandezze e relazioni relativistiche (c = 1)
Il 4-vettore energia impulso pν = ( E, p )
La relazione energia – impulso
2 2 2 2p p p E mνν= = − =p
2
2E
m=
p
E i it∂
→ → −∂
∇p
( ) ( )2
2 , ,2
t i tm t
ψ ψ∂
− ∇ =∂
r r
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Soluzioni dell’equazione di Klein-GordonPer semplicità da ora in poi poniamo ( = c = 1)
Sostituendo gli operatori nella relazione energia impulso otteniamo l’equazione di Klein-Gordon
Una soluzione di questa equazione è (p e x sono 4-vettori)Sostituendo otteniamo
Perché l'equazione sia soddisfatta p deve soddisfare la condizione
Identifichiamo pertanto p con il 4-impulso della particella e quindi po = ELa soluzione è caratterizzata da 3 parametri indipendenti: px, py, pz
Notiamo inoltre cheCi sono pertanto due soluzioni
22 2
2 0mt
φ φ φ∂
− ∇ + =∂
ip xNeφ − ⋅=
2 2 20 0p mφ φ φ− + + =p
2 2 20p m= +p
2 2E m E= ± + ≡ ± pp
iE t iNeφ − + ⋅+ = p p x
iE t iNeφ + + ⋅− = p p x
soluzione con energia positiva
soluzione con energia negativa
Ep sempre positivo
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Soluzioni dell’equazione di Klein-GordonCome nel caso dell’equazione di Schrödinger le soluzioni trovate sono autofunzioni dell’equazione che hanno uno spettro continuo
Non sono normalizzabiliLe soluzioni per problemi fisici si ottengono costruendo pacchetti d’onda
Sfruttando la simmetria dell’integrazione in k si può cambiare il segnodella parte spaziale dell’esponenziale del secondo termine dell’integrale
Ricordiamo che b(k) è una funzione arbitraria
Introduciamo il prodotto scalare quadridimensionale
( )( )
( ) ( )3
3,
2 2
iE t i iE t idt a e b e
Eφ
π
+∞− + ⋅ + + ⋅
−∞
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk r k r
k
kr k k
( )( )
( ) ( )3
3,
2 2
iE t i iE t idt a e b e
Eφ
π
+∞− + −⋅ + ⋅
−∞
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk r k r
k
kr k k
( )( )
( ) ( )3
3,
2 2
ik x ik xdt a e b e
Eφ
π
+∞− ⋅ + ⋅
−∞
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫k
kr k k
k x E t⋅ = − ⋅k k r
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Corrente di probabilità (Schrödinger)Consideriamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata
Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per ψ e ψ
Sottraiamo le due equazioni
Elaborando
Definendo
Otteniamo
210
2i
t mψ
ψ∂
+ ∇ =∂
*2 *1
02
it mψ
ψ∂
− + ∇ =∂
*2 *1
02
it mψ
ψ ψ ψ∂
− + ∇ =∂
* * 210
2i
t mψ
ψ ψ ψ∂
+ ∇ =∂
** * 2 2 *1 1
02 2
i it m t mψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂
+ ∇ + − ∇ =∂ ∂
( )* * *10
2i
t mψ ψ ψ ψ ψ ψ
∂+ ∇ ∇ − ∇ =
∂( )2 * * 0
2i
t mψ ψ ψ ψ ψ
∂ −+ ∇ ∇ − ∇ =
∂
2 * *
2i
mρ ψ ψ ψ ψ ψ
− ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦J ∇ ∇
0tρ
∂+ ∇ ⋅ =
∂J equazione di continuità
per la probabilità
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Corrente di probabilità (Schrödinger)Nel caso particolare delle soluzioni
Otteniamo
2
2i t
mNeψ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=
pp x
2Nρ =
mρ ρ= =
pJ v
[ ]2 2
2i
N i i Nm m−
= + =p
J p p
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Corrente di probabilità (Klein-Gordon)Dobbiamo adesso verificare se le soluzioni dell’equazione di Klein-Gordonconsentono lo stesso tipo di interpretazione che si era sviluppato per le soluzioni dell’equazione di Schrödinger
Procedendo in modo del tutto analogo a quanto fatto per l’equazione di Schrödinger
Moltiplichiamo per φ∗ e φ
Sottraiamo
Si giunge aDefinizione di densità di probabilitàDefinizione di densità di corrente di probabilitàEquazione di Continuità
22 2
2 0mt
φ φ φ∂
− ∇ + =∂
2* 2 * 2 *
2 0mt
φ φ φ∂
− ∇ + =∂
2* * 2 2 *
2 0mt
φ φ φ φ φ φ∂
− ∇ + =∂
2* 2 * 2 *
2 0mt
φ φ φ φ φ φ∂
− ∇ + =∂
2 2* * 2 * 2 *
2 2 0t t
φ φ φ φ φ φ φ φ∂ ∂
− ∇ − + ∇ =∂ ∂
* *it t
ρ φ φ φ φ∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂
( )* *i φ φ φ φ= − ∇ − ∇J
0tρ
∂+ ∇ ⋅ =
∂J
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Corrente di probabilità (Klein-Gordon)Ancora una volta, specializziamo alle soluzioni di onda piana
Calcoliamo la densità di probabilità
Questa definizione porta alla prima inconsistenzadell’equazione di Klein-Gordon
Per le soluzioni a energia positiva (ricordiamo che Ep > 0 sempre)
Per le soluzioni a energia negativa
Pertanto le soluzioni a energia negativa portano ad una probabilità negativaPriva di alcun senso fisicoLe soluzioni non hanno quindi un’interpretazione fisica
Notiamo che matematicamente la probabilità negativa è una conseguenza del fatto che l’equazione di Klein-Gordon e di secondo grado nel tempoTorneremo in seguito su questo problema
ip xNeφ − ⋅=
iE t iNeφ + + ⋅− = p p x
* *it t
ρ φ φ φ φ∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂
iE t iNeφ − + ⋅+ = p p x ( )2 22 0N i iE iE N Eρ = − − = >p p p
( )2 22 0N i iE iE N Eρ = + = − <p p p
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Invarianza relativistica dell’equazione di Klein-GordonUn importante requisito delle equazioni relativistiche è la loro invarianza relativistica
Formalmente le equazioni relativistiche devono avere la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali
Consideriamo l’equazione di Klein-Gordon (∂μ ∂/∂xμ)
Consideriamo un passaggio da un sistema inerziale K ad un sistema K' tramite una trasformazione di Lorentz Λ
Come si trasformano gli operatori di derivazione ?Come si trasforma la funzione φ(x) ?
La massa m è invariante ( è uno scalare in una trasformazione di Lorentz )Approfondiamo innanzitutto le proprietà delle trasformazioni di Lorentz
22 2
2 0mt
φ⎛ ⎞∂ ⎟⎜ − ∇ + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠∂
( )2 0mμμ φ∂ ∂ + =
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Trasformazioni di LorentzIn una trasformazione di Lorentz (ad esempio un boost lungo l’asse x) le componenti del 4-vettore tempo-posizione si trasformano secondo la legge
In forma matriciale e introducendo xμ =(ct, r)
Conviene esprimere il prodotto matriciale in forma tensoriale
Notare le posizioni degli indici μ e ν e i segni degli elementi della matrice che corrisponde a questa disposizione degli indiciAltre forme della matrice
ct xct y y
ct xx z z
γ γβ
γβ γ
′ ′
′
=
= − + ′
= −
=
0 0
1 1
2 2
3 3
0 00 0
0 0 1 00 0 0 1
x xx xx xx x
γ γβγβ γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ −⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜′ ⎟ − ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟= ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟′ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎝ ⎠′ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎜⎟ ⎟
x xμ μ νν′ = Λ sottointesa la somma dell’indice contratto ν
g αμν μα νΛ = Λ
0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 3
2 2 2 20 1 2 3
3 3 3 30 1 2 3
⎛ ⎞Λ Λ Λ Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟
gμν αν μαΛ = Λ
0 0 0 00 1 2 3
1 1 1 10 1 2 3
2 2 2 20 1 2 3
3 3 3 30 1 2 3
⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟
0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 3
2 2 2 20 1 2 3
3 3 3 30 1 2 3
⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟
g gν νβ αμ μα βΛ = Λ
x
y
z
K x'
y'
z'
K'
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
gμα
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
gαν
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠
g g gαν ν νμα μ μδ= =
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Trasformazioni di LorentzLa proprietà che caratterizza una trasformazione di Lorentz è l’invarianza del prodotto scalare
Introducendo le coordinate nel sistema K'
Si ottiene
In conclusione
Moltiplicando ambo i membri per g βσ si ottiene
Esercizio: verificare che
x y x y x y x yμ μμ μ′ ′ ′ ′⋅ = = ⋅ =
x xμ μ νν′ = Λ y yμ μ ν
ν′ = Λ
x y g x yμ μ νμ μν′ ′ ′ ′= g x yμ α ν β
μν α β= Λ Λ ( )g x yμ ν α βμν α β= Λ Λ g x yα β
αβ=
g gμ νμν α β αβΛ Λ =
g g g gμ ν βσ βσ σμν α β αβ αδΛ Λ = = μ σ σ
α μ αδΛ Λ =g gμ σ σα μ αδΛ Λ =β
βν
ν
Λ 1−Λ I=
0 0 0 00 1 2 3
1 1 1 10 1 2 3
2 2 2 20 1 2 3
3 3 3 30 1 2 3
μα
⎛ ⎞Λ Λ Λ Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟
0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 3
2 2 2 20 1 2 3
3 3 3 30 1 2 3
σμ
⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟
( )1 σ σμμ
−Λ = Λ
0 0 0 00 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1
I
γ γβ γ γβγβ γ γβ γ
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜− ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠
TG GΛ Λ =in forma matriciale
Osservazione: l'inversa si ottiene con la sostituzione β → −β
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Operatore di derivazioneVerifichiamo le proprietà di trasformazione del 4-vettore ∂μ ∂/∂xμ
Si ha ovviamente
Ricaviamo l’espressione di x in funzione di x'
Pertanto
Le componenti ∂/∂xμ si trasformano come xμ vale a dire in modo covariante
Analogamente abbiamo le componenti contravarianti
xxx x
α
αμ μ∂ ∂ ∂
=′ ′∂∂ ∂
x xμ μ νν′ = Λ x xα μ α μ ν
μ μ ν′Λ = Λ Λ x x xα μ α ν αμ νδ′Λ = =
xx
αα
μμ∂
= Λ′∂ xx
αμ αμ
∂ ∂= Λ
′ ∂∂
x xα α μμ ′= Λ
1 1, , , ,
x c t x y z c tμμ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜≡ ∂ = = ∇⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1,
x c tμ
μ
∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜≡ ∂ = −∇⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂ xxμα
αμ
∂ ∂= Λ
′ ∂∂
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Operatore di d’AlembertIntroduciamo l’operatore di D’Alembert (o d’Alembertiano)
È un operatore scalareÈ il prodotto scalare di un 4-vettore con se stessoHa la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento
In forma esplicita
Per finire scriviamo la corrente di probabilità dell’equazione di Klein-Gordon in forma covariante
x xμ
μμμ
∂ ∂≡ ≡ ∂ ∂
∂ ∂
22
2tμ
μ∂
∂ ∂ = −∇∂
( )* *j iμ μ μφ φ φ φ⎡ ⎤= ∂ − ∂⎣ ⎦ 0jμμ∂ =
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RapiditàUn modo alternativo di rappresentare la trasformazione di Lorentz si ottiene introducendo la rapidità ξ
Infatti osservando la seguente proprietà di γ e γβ
Possiamo porre
Utilizzando la rapidità la trasformazione di Lorentz può essere espressa
Che può essere vista come una rotazione con un angolo immaginario
( )2 2 2 2 21 1γ γ β γ β− = − =
sinh cosh tanhγβ ξ γ ξ β ξ= = =
0 0
1 1
2 2
3 3
cosh sinh 0 0sinh cosh 0 00 0 1 00 0 0 1
x xx xx xx x
ξ ξξ ξ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ −⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜′ ⎟ − ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟= ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟′ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎝ ⎠′ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎜⎟ ⎟
( ) ( )sinh sin cosh cosi i iξ ξ ξ ξ= − =
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Invarianza relativistica dell’equazione di Klein-GordonA questo punto abbiamo tutti gli ingredienti per discutere l’invarianza relativistica dell’equazione di Klein-Gordon
La funzione φ(x) soddisfa l’equazione di Klein-Gordon nel sistema inerziale K
Alla funzione φ(x) corrisponderà una funzione φ′(x′) nel sistema K′Se richiediamo che l’equazione di Klein-Gordon sia invariante per trasformazioni di Lorentz dovrà valere
Dal momento che ∂μ∂μ è invariante e che m è invariante è necessario che
La condizione sopra riportata definisce la funzione scalare φ′(x′)I punti x e x′ rappresentano lo stesso punto nello spazio tempo visto in due differenti sistemi inerzialiLa forma funzionale φ′ può essere differente da φ
Esempio φ(x) = e−ik x φ′(x′) = e–ik′ x′
( ) ( )2 0m xμμ φ∂ ∂ + =
x xμ μ νν′ = Λ
( ) ( )2 0m xμμ φ′ ′ ′ ′∂ ∂ + =
( ) ( )x xφ φ′ ′ =
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Equazione di Klein-Gordon: interpretazioneAbbiamo visto che le soluzioni con energia negativa portano ad una probabilità negativa che non ha senso fisico
Dirac riuscì a risolvere il problema del segno della probabilitàLo vedremo fra poco
Potremmo tentare di utilizzare l’equazione di Klein-Gordon utilizzando solo le soluzioni con energia positiva
Ci sono comunque inconsistenzeAd esempio il Paradosso di Klein
Presente anche nell’equazione di Dirac
Studiamo l’interazione di una particella con un campo elettrostaticoL’interazione elettromagnetica viene introdotta tramite la sostituzione
Per la componente temporale
Per la componente spaziale
iqAμ μ μ∂ → ∂ +
i→ − ∇p q= +P p A
E it∂
→∂
0TE E qA E U= − ≡ −
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Il paradosso di Klein†
Poniamo
Consideriamo l’equazione di Klein-Gordon nel caso di un potenziale a barriera
La funzione d’onda consiste di due partia sinistra (I) un’onda incidente e una riflessa
a destra (II) un’onda trasmessa
Pertanto a sinistra e a destra l’equazione è soddisfatta rispettivamente per
†Landau R. – Quantum Mechanics II-A second course in quantum mechanics 2nd ed. pag. 213
ip zBe ⋅
ip zCe− ⋅
ik zDe ⋅( )0,A Aμ = 0
( ) ( )( )
( )2
2 22
d zE U z m z
dz
ψψ ψ− = − +
z0
U
( ) ip z ip zI z Be Ceψ ⋅ − ⋅= +
( ) ik zII z Deψ ⋅=
2 2 2E p m= +sostituendo nell’equazione (U = 0 )
sostituendo nell’equazione (U ≠ 0 )
( )2 2 2E U k m− = +
2 2p E m= ± −
( )2 2k E U m= ± − −
deve essere p > 0 (B viaggia da sx a dx)
il segno di k deve essere determinato
( ) ( ), iEtE z t z eψ −Ψ =
0qA U=
regione I regione II
solo soluzione con E > 0
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 19
Il paradosso di KleinImponendo la continuità di ψ e di dψ/dz a z = 0 si ottiene
Risolvendo in funzione di B
Riepilogando
Le soluzioni normalizzabili si ottengono formando dei pacchetti d’onda
Come è noto, nel caso di pacchetti con una definizione del momento molto netta (g(ξ) molto stretta) il pacchetto viaggia senza deformarsi con velocità di gruppo
B C D
ipB ipC ikD
+ =⎧⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩p kC B
p k−
=+
2pD B
p k=
+
( ) ( ), iEtE z t z eψ −Ψ =
( ) ip z ip zI z Be Ceψ ⋅ − ⋅= +
( ) ik zII z Deψ ⋅=
2 2 2E p m= +
( )2 2 2E V k m− = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , iE tEz t g z t d g z e dξξ ξ ξ ψ ξ−Φ = Ψ =∫ ∫
regione I ξ = pregione II ξ = k
gE
vξ
∂=
∂
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 20
Il paradosso di KleinCalcoliamo adesso le correnti e le densità
La corrente è data da
Nelle due regioni otteniamo
Analogamente la densità è data da
Nelle due regioni abbiamo
* *12
jim z z
∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜= Ψ Ψ − Ψ Ψ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂
( )2 2I
pj B C
m= −
2
0II
kD k reale
mjk immaginario
⎧⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎩
* *1
2i U i U
m t tρ
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥= Ψ − ⎟Ψ − Ψ + ⎟Ψ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂⎣ ⎦
( ) ( )* *1
2E U E U
mρ ⎡ ⎤= Ψ − Ψ − Ψ − + Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦
2E U
mρ
−= Ψ
2E U
mψ
−=
2I I
Em
ρ ψ=2
II IIE U
mρ ψ
−=
NB: La normalizzazione di j è quella di R. Landau e differisce da quella di Aitchison & Hey
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 21
Il paradosso di KleinSiamo ora in grado di discutere il fenomeno della collisione di unaparticella con la barriera U
B è l’ampiezza dell’onda incidenteC è l’ampiezza dell’onda riflessaD è l’ampiezza dell’onda trasmessa
Calcoliamo i coefficienti di riflessione e di trasmissione
Queste formule sono sempre valideInterpretiamole al variare di U
2t
i
j k Dj p B
= =T
( )2 2I i r
pj B C j j
m= − ≡ −
2II t
kj j D
m= =
2i
pj B
m= 2
rp
j Cm
=
22r
i
j C p kj B p k
−= = =
+R per k reale
zero altrimenti
ip zBe ⋅
ip zCe− ⋅
ik zDe ⋅
z0
U
regione I regione II
p kC B
p k−
=+
2pD B
p k=
+
22k pp p k
=+
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 22
Il paradosso di KleinVediamo quindi cosa succede per una fissata energia E della particella al variare dell’altezza dell’energia URicordiamo che
per V piccolo (0 < U < E m) k è realeSi ha propagazione di un’onda nella regione IIPertanto k deve essere positivo
La velocità di gruppo è positivaLa densità nella regione II è positiva
Si ha un urto del tutto analogo a quanto avveniva nella M. Q. non relativistica
2 2p E m= + −
( )2 2k E U m= ± − −
2II II
E U
mρ ψ
−=
ip zBe ⋅
ip zCe− ⋅
ik zDe ⋅
z0
U
regione I regione II
gE k
vk E U
∂= =
∂ −
22t
i
j k pj p p k
= =+
T2
r
i
j p kj p k
−= =
+R
segno da determinare
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 23
Il paradosso di Klein
Aumentando U (E m < U < E + m) k = i diventa immaginario
Non si ha propagazione di onda nella regione IILa densità decresce esponenzialmente
La densità può diventare negativa ma è comunque piccola
È ancora simile alla M. Q. non relativistica
Riflessione totale
k zII eρ −∼
ip zBe ⋅
ip zCe− ⋅
zDe κ− ⋅
z0
U
regione I regione II
0t
i
jj
= =T2 2
1r
i
j p k p ij p k p i
κκ
− −= = = =
+ +R
2II II
E U
mρ ψ
−=
( )2 2k E U m= ± − −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 24
Il paradosso di Klein
Aumentando ancora U (U > E + m) k è di nuovo realeSi ha di nuovo propagazione di un’onda nella regione II
Proibita in M.Q. non relativisticaLa densità è negativaLa velocità di gruppo è
Per mantenere l’interpretazione di un’onda che viaggia verso destra occorre scegliere k < 0
( )2 2 2E U k m− = + gE k
vk E U
∂= =
∂ −
ip zBe ⋅
ip zCe− ⋅
ik zDe ⋅
z0
U
regione I regione II
22t
i
j k pj p p k
= =+
T2
r
i
j p kj p k
−= =
+R
2
1p kp k+⎛ ⎞⎟⎜= >⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ( )2
40
p kp k
= − <−
Trasmette un numero negativo di particelle
Riflette più di quanto incide
2II II
E U
mρ ψ
−=
( )2 2k E U m= ± − −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 25
Meccanica Quantistica e Relatività†
Il principio di indeterminazione di Heisenberg impone una relazione fra l’incertezza nella misura simultanea:
Della posizione q di una particellaDella sua quantità di moto p
Ciascuna delle due variabili può essere misurata separatamente con precisione arbitraria purché il tempo della misura sia abbastanza lungo
Il Principio di Relatività ( ristretta ) richiede che il tempo e l’energia siano entrambi la quarta componente di un quadrivettore
Quadrivettore posizioneQuadrivettore energia/impulso
La covarianza relativistica impone che tempo ed energia siano trattati analogamente alle componenti spaziali dei rispettivi 4-vettoriSi introduce pertanto un ulteriore principio di indeterminazione
†Landau, Lifshitz, Berestetskii, Pitaevskii – Quantum Electrodynamics: Introduction (§ 1. )
q pΔ Δ ∼
( ), , ,x ct x y zμ =( ), , ,x y zp E p p pμ =
E tΔ Δ ∼
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 26
Meccanica Quantistica e RelativitàIl significato di questa relazione è che
L’energia di un sistema può non è esattamente definita se misurata o considerata per intervalli di tempo troppo breviMisure fatte in tempi molto brevi possono portare ad una indeterminazione dell’energia del sistema
L’equivalenza fra massa ed energia introdotta da Einstein
implica che l’indeterminazione dell’energia possa manifestarsi con l’apparizione di nuove particelle, sebbene per periodi di tempo brevi (stati virtuali)
Inoltre l’energia stessa delle particelle può trasformarsi in nuove particelleLa teoria non ha più un numero costante di particelle
Il paradosso di Klein ha inoltre mostrato che il tentativo di “localizzare” una particella con una barriera di potenziale porta all’apparizione di contraddizioni
Non è possibile tentare di localizzare una particella con precisione arbitrariaIl significato di una funzione delle coordinate va rivisto
Per finire lo spazio e il tempo devono essere trattati allo stesso modoSia r che t diventano parametri e non variabili dinamiche
2E mc=