Progettini BDM su Crossword Solving 06 Giugno 2006 Marco Ernandes e-mail: [email protected].
Intelligenza Artificiale marco ernandes email: [email protected]@dii.unisi.it Gennaio...
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Intelligenza Artificiale - Game Playing 2/42
Game PlayingGame Playing
Intelligenza Artificiale - Game Playing 3/42
Intelligenza Artificiale - Game Playing 4/42
Cosa vedremoCome si colloca il Game Playing in relazione ad altre discipline: una visione d’insieme
Tipologie di Giochi
Relazioni con il Problem Solving
Formalizzazione del gioco
Algoritmo Minimax
Ricerca di quiescenza
Algoritmo di Alfa-Beta Pruning
Problema dell’Orizzonte ed altri…
La vera sfida del Game Playing
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Introduciamo nel dominiodel problema altri agenti
in competizione
Partendo dal Problem Solving
Game Playing
Complichiamo: stati (congiunzioni di fatti), e operatori (legami tra fatti-condizioni e
fatti-effetti, non tra stati)
Planning
Una visione d’insieme
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Esempio di problema di Planning
Stato iniziale: SILENZIO MANI_PULITE
Goal: PULITO CENA_PRONTA REGALO
Operatori: azione cucina:
precondition MANI_PULITE effect CENA_PRONTA azione incarta:
precondition SILENZIO effect REGALO azione butta_spazzatura:
effect PULITO not MANI_PULITE azione aspira:
effect PULITO not SILENZIO
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Teoria dei Giochi
Von Neumann & Morgenstern (1944)
Teoria della Decisione Teoria dei Giochi
Analizzare il comportamentoindividuale le cui azioni hannoeffetto diretto
Analizzare il comportamentoindividuale le cui azioni hanno effetto che dipende dalle scelte degli altri
Scommesse & Mondo dei Puzzle
Mondo dei Giochia + giocatori
Theory of Games and Economic Behaviour
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I giochi nell’IA e non solo
M. Minsky (1968):“i giochi non vengono scelti perché sono chiari e semplici, ma perché ci danno la massima complessità con le minime strutture iniziali”
Pungolo Scientifico Matematica: teoria dei grafi e complessità Computer Science: database, calcolo parallelo, etc. Economia: teoria dei giochi, eco. cognitiva/sperim. Psicologia: fiducia, rischio, etc..
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Tipologie di Giochi Classificazione 1 condizioni di scelta:
Giochi con informazione “perfetta” Gli stati del gioco sono completamente espliciti per gli agenti.
Giochi con informazione “imperfetta” Gli stati del gioco sono solo parzialmente esplicitati.
Classificazione 2 effetti della scelta:
Giochi deterministici Gli stati sono determinati unicamente dalle azioni degli agenti
Giochi stocastici Gli stati sono determinati anche da fattori esterni (es: dadi)
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Tipologie di Giochi
Informazione
Perfetta
Informazione
Imperfetta
Giochi deterministici
Scacchi, Go, Dama, Otello, Forza4
MasterMind
(è un gioco o un puzzle?)
Giochi
stocastici
Backgammon,
Monopoli
Scarabeo,
Bridge, Poker…
(giochi di carte)
Risiko
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Altre Classificazioni
Numero giocatori (tutti multiagenti!)
Politica del turno di giocata Diacronia (turni definiti/indefiniti) Sincronia
Ambienti discreti / continui
Ambienti statici / dinamici
Ambienti episodici / sequenziali
Giochi a somma zero
L’uomo agisce in unambiente continuo,
dinamico, sequenziale,a scelte sincroniche e
con informazioneimperfetta.
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Giochi e Problem Solving (1)Si può analizzare un gioco come un problema di search, anche se multiagente?
ES: gli scacchi X = tutti gli stati della scacchiera X0 = lo stato di inizio gioco SCS(x) = le mosse legali ad uno stato T(x) = scacco matto g = numero di mosse
Qualcosa non va! …
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Giochi e Problem Solving (2)
g non è determinante
SCS(x) è sotto controllo solo per metà delle mosse e spesso non è reversibile
T(x) non è sufficiente per definire la terminazione Serve una funzione di utilità sulla terminazione Es: vittoria = +1, patta = 0, sconfitta = -1
Obiettivo dell’agente: definire una strategia che raggiunga T(x)=+1
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Giochi e Problem Solving (3)
Per inserire un gioco ad informazione perfetta in uno schema classico di search si considera che: Esiste un avversario che va simulato L’avversario minimizza il nostro utile
L’albero di ricerca si sviluppa su 2 giocatori: MAX(noi) e MIN (l’avversario)
L’obiettivo è raggiungere uno stato terminale di quest’albero con la massimizzazione dell’utilità*.
*(se l’avversario inizia per primo: lui diventa MAX e noi MIN con lo scopo di minimizzare l’utilità)
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Algoritmo Minimax(Von Neumann ’28, Shannon ‘50)
Nei giochi ad informazione perfetta si può ottenere la strategia perfetta con una ricerca esaustiva.
Minimax, funzionamento di base: Si costruisce l’albero delle mosse fino ai nodi terminali Si applica la funzione di utilità U(x) ai nodi terminali Si usano i valori per calcolare l’utilità dei nodi superiori:
U(nodo_sup) = MAX U(nodo_inf) se la mossa spetta a MAX U(nodo_sup) = MIN U(nodo_inf) se la mossa spetta a MIN
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Algoritmo Minimax
MAX
MIN
MAX
MIN
In realtà è depth-first!
3
-4 3 1
1 -4 3 5 4 1
-4 1 -4 -5 3 -2 -1 5 4 1 -4
-4 1 6 1 4 3 -1 3 4 6 -2 -4-4 -5 5 1-2
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Algoritmo Minimax
figli[] = SCS(nodo, agente)for all (figli){ if(END_test(figlio) == true) {
figlio.utilità = UTILITY_test(figlio) }
else figlio.utilità = MINIMAX(figlio, !agente)
if(agente==MAX && figlio.utilità > best) best = figlio.utilitàif(agente==MIN && figlio.utilità < best) best = figlio.utilità
} return best
MINIMAX(nodo, agente)
> MAX = true, MIN = false> MINIMAX(X, MAX)
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Proprietà di Minimax
E’ completo in grafi finiti
E’ ottimale se MIN è ottimale (e se ci sono più avversari).
Se MIN non è ottimale non si può garantire l’ottimalità, ma…
Ha complessità spaziale O(bm) perché la ricerca è in profondità.
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Un “problemino” di Minimax
;
Negli scacchi:"Unfortunately, the number of possible positions in the chess tree surpasses the number of atoms in the Milky Way." Claude Shannon
In generale: complessità temporale = O(bm)
Negli scacchi 35100 = 2,5 x 10154
In problemi reali non si può usare.
E’ utile solo come base teorica.
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Minimax + taglio di profondità
Limitare la ricerca ad una profondità max (dipendente dalla memoria e dal tempo disponibile)
Come valutare l’utilità dei nodi foglia? Serve una funzione di valutazione. Cioè un’euristica!
Far risalire fino alla radice le stime usando minimax ed effettuare la scelta
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Euristiche per Giochi
Funzioni lineari pesate w1f1 + w2f2 + … + wnfn Per esempio negli scacchi: 1 punto x Pedone,
3 x Alfiere, 3 x Cavallo, 5 x Torre, 9 x Regina Vantaggi: la linearità permette rapidità di calcolo Svantaggi: povertà espressiva (es: Cavallo forte nelle
aperture e al centro, Alfiere nelle chiusure, i valori delle combinazioni di pezzi non sono lineari)
Funzioni non-lineari Es. ottenuti da learning, ma come definire i TARGET?
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Un “problemino” del taglio
Prof. 0 Prof. 11 Prof. 18
Euristica possibile per la Dama: Vantaggio di pezzi e vantaggio di dame
Posizioni apparentemente buone possono essere perdenti
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Taglio agli stati “quiescenti”
Arrivati alla profondità di taglio: Per i nodi foglia quiescenti si applica il taglio Per i nodi non quiescenti si approfondisce l’albero
con una ricerca di quiescenza Al termine della ricerca si applica il taglio
Quiescenza = proprietà di uno stato la cui euristica di utilità non varia molto con l’applicazione degli operatori
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Ancora un “problemino”
Vogliamo arrivare a profondità 6 in una partita di scacchi (3 mosse MAX, 3 MIN)
b = ca.35, n° nodi = 356 1,85 x 109
Calcolatore veloce: 106 mosse/sec.!Tempo impiegato: 1850 sec. = 30min
Con un limite di 30min abbiamo un giocatore mediocre
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Alfa-Beta pruning(McCarthy ’56)
?
Si può ottenere la mossa MAX senza osservare esaustivamente l’albero, perché:
1) DATO U(n0 )= α utilità minimax del nodo n0 su cui sceglie MAX
2) affinchè la scelta conclusiva di MAX sia α almeno 1 nodo n (“fratello” di n0) deve avere U(n)> α
3) affinchè U(n)> α per ogni nodo n’ successore di n deve valere h(n’)> α
4) QUINDI: appena un successore di n possiede U(n’) ≤ α il sottoalbero restante può essere potato
“Stesso” discorso vale per MIN, quindi…
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Alfa-Beta pruning (2)
Nella ricerca nell’albero: Si usano 2 variabili:
α = valore maggiore di MAX al tempo attuale ß= valore minore di MIN al tempo attuale
Calcolando MAX si pota il sottoramo di un nodo se un suo figlio ha valore inferiore ad α; se invece tutti i figli hanno valore maggiore il minimo diventa α
Calcolando MIN si pota il sottoramo di un nodo se un suo figlio ha valore maggiore a ß; se invece tutti i figli hanno valore minore il massimo diventa ß
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Alfa-Beta Pruning: Pseudo CodiceMAX-VALUE(nodo, α, ß)
if CUTOFF-TEST(nodo) then return EVAL(nodo)
v -
for all figli in SCS(nodo) {
v max(v, MIN-VALUE(figlio, α, ß) )
if v ≥ ß then return v
α max(v,α)
}
return v
if CUTOFF-TEST(nodo) then return EVAL(nodo)
v +
for all figli in SCS(nodo) {
v min(v, MAX-VALUE(s, α, ß))
if v ≤ α then return v
ß min(v,ß)
}
return v
MIN-VALUE (nodo, α, ß)
v = utilità del nodo
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αß
Alfa-Beta pruning: simulazione
1 2
MAX
MIN
MAX
MIN
αß
αß
αß
αß
αß
αß
-1
αß
αß
αß
2 4
1 αß
1
-1
1
2
2
1 αß
αß
αß
αß
-3
-3
-3
αß
2
2 αß
0
0
0 αß
0
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Alfa-Beta pruningCaso Generale
n0
n’
Se n0 è migliore di n’ allora n’ non verrà mai raggiunto durante il gioco e quindi tutto il sottoramo corrispondente può essere potato
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Efficacia della potatura α-ß
Dipende dall’ordinamento dei nodi Ordinamento migliore: O(b½m) Ordinamento pessimo: O(bm) Ordinamento medio: O(b¾m)
Negli scacchi (considerando il caso medio): Fasi di apertura (b ≈ 35, poniamo m = 10)
Minimax: n° nodi: ca. 2.700.000.000.000.000 Alfa-beta: n° nodi: ca. 380.000.000.000
Fasi centrali (b ≈ 18, poniamo m = 10) Minimax: n° nodi: ca. 3.500.000.000.000 Alfa-beta: n° nodi: ca. 2.600.000.000
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Node Ordering
Un buon calcolatore
(106 mosse/sec)sceglie una mossa in 4
minuti!
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Altri problemi da affrontare
Problema dell’orizzonte
Eccessiva fiducia nell’euristica
Eventi stocastici
Giochi multiplayer
Branching Factor e potenza di calcolo
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Problema dell’Orizzonte
Un lungo periodo di quiescenza può precedere un rapido ed inevitabile peggioramento dell’utilità
Se il taglio in profondità è avvenuto in questa “zona”, valuta positivamente uno stato che è invece disastroso
Problema tutt’ora irrisolto!
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Eccessiva fiducia nell’euristica
Una valutazione molto irregolare tra nodi “fratelli” è rischiosa, soprattutto usando Alpha-Beta
Servirebbe un’ulteriore ricerca nel sottoramo per accertarsi della bontà della valutazione
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Eventi stocastici
Se in un gioco inseriamo la sorte, minimax deve essere riscritto in modo da pesare la valutazione del nodo n con la probabilità che n si verifichi a partire dal nodo genitore
Problema: la complessità cresce molto O(bm dm)
Alpha-Beta Pruning?
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ExpectiMin / ExpectiMax
0.3 0.3
0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3
0.7 0.7
0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7
–8 –7–6 –5 –4–3 –2–10 1 2 3 45 6 78 90 23 4 5678 9 0 123 7
0 5 0 4 3 8 9 8 2 7 7 –5 6 9 0
3.5 2.8 6.5 8.3 5.5 –1.4 8.1 1.4
2.8 6.5 –1.4 1.4
5.39 0.56
5.39
2
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Giochi multi-playerPossiamo generalizzare gli algoritmi per giochi “2-player-perfect-information”: Requisito: non ci deve essere accordo tra i giocatori
Esempio 1: “la dama cinese” 6 giocatori muovono a turno ogni giocatore cerca di occupare completamente l’angolo opposto
Esempio 2: “3-player Othello” 3 giocatori muovono a turno ogni giocatore deve “conquistare” il massimo della scacchiera
QuickTime™ e undecompressore TIFF (Non compresso)
sono necessari per visualizzare quest'immagine.
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Algoritmo MaxN
Assunzioni: I giocatori muovono a turni Ogni giocatore mira a massimizzare il proprio utile Ogni giocatore è indifferente all’utile degli avversari
Funzione di valutazione: Restituisce una n-tupla di valori di utilità attesa, uno per ogni
giocatore (player p) allo stato di gioco s <U(p1,s), U(p2 ,s), …, U(pn ,s)> Esempio: in Reversi/Othello si possono calcolare il numero di
pezzi per ogni giocatore
Algoritmo: Depth-first search come Minimax Fai risalire la n-tupla che massimizza U(pn) quando muove pn
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Algoritmo MaxN: esempio
11
22
3333
22
33 33
(7,3,6)
(7,3,6)
(3,1,8)
(6,5,4)
(7,3,6)
(1,7,2)
(1,7,2)
(2,8,1)
(1,7,2) (5,6,3) (6,5,4) (8,5,4) (7,3,6) (4,2,7) (3,1,8)
Minimax è un caso speciale di MaxN in cui: a) N = 2, b) la funzione di valutazione restituisce la tupla <x, -x>.
Intelligenza Artificiale - Game Playing 39/42
Algoritmo ParanoidIdea: gli altri giocatori sono come 1 solo “macro-avversario” 2 giocatori: MAX (noi), MIN (avversari)
Valutazione dei nodi dell’albero: Quando tocca a MAX si massimizza l’utilità di MAX Quando tocca ad 1 avversario si minimizza l’utilità di MIN
Paranoid permette di rimuovere l’assunzione di non-accordo tra i giocatori
Paranoid ha minori tempi di esecuzione
Paranoid si può sposare meglio con Alfa-Beta pruning
Paranoid non dà la garanzia di MaxN di che MAX massimizzi il suo utile finale
Intelligenza Artificiale - Game Playing 40/42
Branching Factor: comunque un problema
Il primo software capace di vincere a Go contro il campione del mondo vincerà 2.000.000 $!
b è di oltre 350 non ci sono algoritmi o euristiche che tengano: non si usa la ricerca per Go
Negli scacchi uomo e macchine sono alla pari eppure la velocità di calcolo non è la stessa.
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Intelligenza Artificiale - Game Playing 41/42
Alcuni risultati nel Game Playing
OTHELLO: Logistello (Michael Buro) nel 1997 sconfigge il campione del mondo Takeshi Murakami per 6-0
DAMA: Chinook (Jonathan Schaeffer) nel 1994 diventa campione per forfait di Marion Tinsley (campione mondiale dal ’54 al ‘92, mai sconfitto dal ‘50 al ‘95).
BACKGAMMON: TD-gammon (Gerry Tesauro) è oggi considerato tra i 10 migliori giocatori al mondo
BRIDGE: GIB (M.Ginsberg) è al livello di un amatore
POKER e GO: pessime performance (per motivi diversi)
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Intelligenza Artificiale - Game Playing 42/42
La vera sfida
La vera sfida è competere con l’uomo ad armi pari.
L’uomo non usa la ricerca come metodo principale: Prima parte dai GOAL (non ben definiti) A ritroso costruisce SOTTOGOAL Pianifica: azioni subgoal goal Usa la ricerca per raggiungere obiettivi locali Ha capacità “istintive” di escludere le scelte inutili:
riduce enormemente il branching factor
Come interfacciare ragionamento goal-oriented e search?
Intelligenza Artificiale - Game Playing 43/42
Giocatore di Scacchi
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Elaboratoreeuristico sui
nodi Motore minimax
+ alfa-betapruning
Gestore dellivello di taglio
Gestore dellamemoria
Gestore delTempo
DataBaseaperture
DataBasechiusure
Motore Ricerca
quiescenza
Elaboratoremosse forzate