Integral Man i A
105
Integralmania Revisione mag. 2014 Claudio Magno www.cm-physmath.net CM_Portable MATH Notebook Series™
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Evaluation of integrals
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Integralmania
Revisione mag. 2014
Claudio Magno www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series
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Integralmania 1
AdrienAdrienAdrienAdrien----Marie LegendreMarie LegendreMarie LegendreMarie Legendre (1752-1833)
(lunico ritratto, rinvenuto nel 2008, del grande matematico francese, da un acquerello (1820) del caricaturista Julien-Lopold Boilly)
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Integralmania 2
Saper integrare perch
Lintegrazione manuale appare sempre pi confinata tra le pratiche di nicchia (erudite?), forse, un po datate. Spesso, viene sollevata la questione circa lutilit di conoscere tecniche complicate di integrazione quando, per i computer, esistono programmi e pacchetti applicativi specifici, sia numerici che simbolici. Infatti, oltre a gloriose Tables cartacee e a on-line web-integrators, routines efficientissime in Maximafr-sfwr, in Mathematica, in SciLab, in Maple, e simili, danno fulmineamente, in rappresentazione simbolica, i risultati corretti nella generalit dei casi utili. OK! Ma come li si pu ottenere manualmente, passo-passo?
Avverto un ch di pi che estetico nellintegrazione, di imprevedibile, che la meccanicit della derivazione non in grado di offrire. Ragioni didattiche ovvie impongono la classificazione per tipi di integrali ma, quando ci si trova in mare aperto, tentando di inviluppare qualcosa che sembra assente, o non facilmente estrapolabile, dalle Integral Tables sotto mano in quel momento, loperazione pu trasformarsi in un fatto di creativit, in un tarlo assillante legato, chiss, ad aspetti di maniacalit profonda. E questo mi sembra particolarmente vero quando la funzione integranda del modello lascia balenare, in modo sottilmente deterministico e sfuggente, informazioni genetiche inattese! Lillusione (sempre latente) della ricostruibilit formale di una interezza da un suo costituente primordiale (infinitesimo) in grado di suscitare attrazioni sottili e, per qualcuno, irresistibili; credo abbia a che vedere con quel drive interno per chi ce lha dello smontaggio\riassemblaggio di un meccanismo non-ovvio, della lente dellentomologo inquisitivo e sistematico, dellindagatore intellettualmente indipendente del che-cosa-c-sotto e come-va-a-finire.
La mia modesta opinione che lintegrazione consapevole comporta unattenzione specifica nellapplicazione dellalgoritmo rispetto non soltanto alla richiesta (ovvia) di correttezza del risultato quanto, piuttosto, alla consistenza del modello integrale utilizzato in un certo problema (roba complicata ). Da miei appunti (ingialliti ) ho estratto quegli integrali in RRRR , che mi sono serviti di pi o che mi sono parsi pi istruttivi (molti altri si trovano dispersi nelle mie Unit Tematiche). Li propongo, con un minimo di classificazione per tipo, a chi voglia fare un passo avanti in questo calcolo artigianale, insieme con tecniche risolutive che ho imparato da altri, primi tra tutti, Emilio Montaldi, Royce Zia e Bob Gilmore.
Il prerequisito : una conoscenza operativa (onesta) dellintegrazione elementare. Lapproccio sintetico: ogni volta che si riesce a individuare la struttura di certi integrali-base in forma parametrica, il calcolo di integrali pi complicati allapparenza viene ricondotto dettagliatamente alla rappresentazione di quelli base; il resto del lavoro si conclude con operazioni algebriche semplici. A un artificio di calcolo brillante ma troppo
ad-hoc per un integrale indefinito ( )I x , preferita, laddove possibile, la determinazione di unespressione
risolvente iterativa - parametrica per tutta la famiglia integrale { ( )}I x , alla quale, ( )I x appartenga.
Lintenzione e il (pio) proposito sono quelli di un consolidamento e di un aggiornamento costante di questo quaderno di esercizi senza pretese. Al solito, per, chi vivr, vedr Segnalazioni di errori e correzioni saranno sempre pi che benvenute! Alcuni miei riferimenti abituali e consolidati, insieme con una cassetta di attrezzi informatici (free!), sono disponibili nella BIBLIOGRAFIA conclusiva.
Dunque, Have happy integrals! ai tenaci, ai creativi, ai curiosi irriducibili e alle personalit pudicamente maniacali! E, comunque, a coloro che vorranno fare di pi e meglio di quanto trovano qui.
C M
mailme: [email protected]
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Integralmania 3
INDICE
Metodi di Riduzione (MR) p. 4
____________________
Integrazioni Algebriche (IA) p. 18
Integrazioni Goniometriche (IG) p. 49
Integrazioni Esponenziali e Iperboliche (IEH) p. 64
Integrazioni Logaritmiche (IL) p. 68
Integrazioni Speciali (IS) p. 74
Integrazioni Ellittiche (IE) p. 82
____________________
BIBLIOGRAFIA Free MATHSOFTWARE tools p. 104
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Integralmania 4
Metodi di Riduzione
Il calcolo di un integrale richiede spesso una trasformazione preventiva ad-hoc del differenziale integrando o manovre che ne sfruttino simmetrie e\o lo scompongano in parti pi semplici. A tale scopo, metodi utili da ricordare sono:
MR-1
Integrazione per-parti
Se f e g sono funzioni continue in un insieme compatto, , allora, x , vale lidentit
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g f G f Gx x dx x x x x dx
= ,
dove, ( ) ( )G gx x dx
lespressione di una funzione primitiva qualsiasi di g in .
MR-2
Normalizzazione allintervallo [0, 1] di qualsiasi integrale definito
Sia ( )[ , ]f C . La trasformazione lineare : ( ) ( )t u t u = +
riduce lintegrazione definita di f da a a unintegrazione definita da 0 a 1 , i.e.,
( ) ( )f t dt u du
1
0
, (1)
dove, ( )
( ) ( ) ( )ft u
u t = + . Generalizzando, con x , si ottiene la rappresentazione
-la Lagrange-Picard della funzione primitiva F originata in x (i.e., ( )F = 0 ):
( )
( ) ( ) ( ) ( )F f fx
t x uux t dt x t du
= +=
1
0
. (1.1)
MR-3
Riduzione di potenze intere non-negative di polinomi di 2.o grado
La riduzione di un polinomio di 2.o grado, nota come il completamento del quadrato (binomiale),
( )( ) ( )bax bx c a x ax b u
a a a a
+ + + +
2
2 2 2
2
1 12
2 4 4 4, (1)
dove, a 0 , :u ax b= +2 e b ac 2 4 , estendibile prontamente alla potenza polinomiale intera ( )nax bx c+ +2 , i.e., con n + ZZZZ , mediante espansione binomiale finita. Infatti, introdotta,
definitivamente, la variabile composta sintetica : ax bx c = + +2 , risulta
( ) ( )n
n n n k k
n n n nk
n
ku u
a a
=
= =
2 22 20
1 1
2 2
! ( )
( )!( )!
n knk
n nk
nax b
a k n k
=
= +
2
2
0
22
! ( )
!( )!
kn kn
n nk
n d
a k n k dx
=
2
2
02. (2)
-
Integralmania 5
MR-4
Scomposizioni additive razionali di forme razionali
Per forma razionale, si intende, qui, unespressione algebrica del tipo ( ) / ( )N Dx x , dove ( )N x e ( )D x sono polinomi primi tra loro, con coefficienti RRRR ( ( )N x pu ridursi a una costante).
I. Se ( ) ( )deg N deg Dx x ,
allora, o nella forma generale o, quando sia appropriato, nella forma di Ruffini, applicabile lalgoritmo di divisione polinomiale,
( ) ( )( )
( ) ( )
N RQ
D D
x xx
x x= + , (1)
dove, ( )Q x e ( )R x indicano, rispettivamente, il polinomio-quoziente e il polinomio-resto tali che valgono le condizioni simultanee
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ).
deg N degQ deg D
deg R deg D deg N
x x x
x x x
= + <
(1.1)
La forma di Ruffini dellalgoritmo di divisione polinomiale applicabile, com noto, quando ( )deg D x = 1 . In tal caso, ( )deg R x = 0 , i.e., ( )R Rx
0, una costante;
II. se ( ) ( )deg N deg Dx x< ,
lEq. fondamentale (5) d, formalmente: ( ) ( ) ( )Q N Rx x x 0 .
Qui, la nozione di fattorizzazione massimale polinomiale in RRRR , specificamente, di ( )D x , essenziale.
Sia ( )deg D x n= , i.e., in rappresentazione additiva, omogenea vs. la somma degli indici (pedici + esponenti),
( )D n n n n kk n n nx a x a x a x a x a x a x a
= + + + + + + + +1 2 2
0 1 2 2 1 .
Allora, vale la rappresentazione fattorizzata massimale associata
( ) ( ) ( ) ( )D hm m m
hx a x x x x x x= 1 2
0 1 2
( ) ( ) ( ) kk k
x p x q x p x q x p x q + + + + + +1 22 2 2
1 1 2 2 ,
dove, x
1RRRR una radice di ( )D x , di multiplicit ( )m
11 ,
x 2
RRRR una radice di ( )D x , di multiplicit ( )m 2
1 ,
, hx RRRR una radice di ( )D x , di multiplicit ( )hm 1 ,
il fattore quadratico ( )x p x q+ +21 1
, irriducibile in RRRR (i.e., p q =
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Integralmania 6
( ) ( )
h
h
hmh h
m
h h hx x x x x x
+ + + + +
1 2
2
( ) ( )
xx x
x p x q x p x q x p x q
++ ++ + + + +
+ + + + + +1 1
1
1 111 11 12 12
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
( ) ( )
xx x
x p x q x p x q x p x q
++ ++ + + + +
+ + + + + +2 2
2
2 221 21 22 22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
+ +
( ) ( )
k k
k
k kk k k k
k k k k k k
xx x
x p x q x p x q x p x q
++ ++ + + +
+ + + + + +1 1 2 2
2 2 2 2
. (2)
I valori dei parametri r s , i j e i j sono calcolabili in due passi:
si determina ununica frazione parametrica con gli addendi nel membro destro dellEq. (2). Tale frazione ha, necessariamente, la forma
( ; , , )
( )/
P
D
r s i j i jx
x a
0
;
si scrive luguaglianza ( ) ( ; , , )N P r s i j i jx a x = 0
e se ne costruisce il sistema di h k+ 2 equazioni lineari vs. le h k+ 2 incognite r s , i j e
i j uguagliando, secondo il Principio di Identit dei Polinomi, i coefficienti raccolti delle
potenze identiche di x presenti in ( )N x e in ( ; , , )P r s i j i ja x 0 .
Il caso delle radici semplici di ( )D x
Sia CCCC una radice semplice di ( )D x . Allora, oltre allannullamento evidente ( )D = 0 , risulta ( ) ( ) ( )D Qx x x . Il fattore ( )Q x indica il polinomio-quoziente della divisione
esatta ( )/( )D x x . Poich una radice semplice di ( )D x , segue che ( )Q 0 . Inoltre, la funzione-polinomio : ( )D Dx x intera in senso complesso, i.e., analitica in tutto CCCC . Pertanto, considerata la frazione
( ) ( ) ( )
( ) ( )
N N
D Q
x x x
x x
(si ricordi che, qui, ( ) ( )deg N deg Dx x< ) e tenendo conto della rappresentazione in somma di fratti nel 2.o membro dellEq. (2), ! il limite (uniforme), per x ,
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Nlim lim N lim N
D D D Dx x x
x x x xx x
x x x
0
( ) ( )
( )/ ( )
N N
D Qx
d x dx
=
= = . (3)
Luguaglianza (3) si rivela molto conveniente per la determinazione della costante incognita
; la sua applicabilit, per, richiede che x ( CCCC ) sia una radice semplice di ( )D x .
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Integralmania 7
II.2 Equivalente alla (2), vale la scomposizione, detta DI HERMITE (CHARLES, 1822-1901),
( ) ( )( )
( ) ( )
N H
D G
x d xx
x dx x = +
, (4)
nella quale,
( ) : h k k
h k k
x x xx
x x x x x x x p x q x p x q x p x q
+ + += + + + + + + +
+ + + + + +1 2 1 1 2 2
2 2 2
1 2 1 1 2 2
;
( ) : ( ) ( ) ( )G hm m m
hx x x x x x x = 1 21 1 1
1 2
( ) ( ) ( ) kk kx p x q x p x q x p x q + + + + + +1 21 1 12 2 2
1 1 2 2 ;
( ) ( ) ( )degGh k
j rj rx m
= == + 1 11 2 1 ,
con ( ) ( )j rm + 0
1 1 ZZZZ , j r ;
( )H x un polinomio di grado ( )degGn h k x 2 1 1 a coefficienti incogniti. Quindi, ricordando che ( )deg Dn x= , i coefficienti j di ( )H x non-nulli sono, al pi, n h k 2 .
Eseguita la derivazione nellEq. (4), si eliminano i denominatori e si uguagliano i coefficienti delle potenze identiche di x presenti nei due i membri (Principio di Identit dei Polinomi). La soluzione del sistema lineare corrispondente, i.e., il vettore dei valori trovati delle incognite
r , s , s e j , consente di esplicitare la scomposizione (4).
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Integralmania 8
MR-5
Lintegrazione del Differenziale Binomio in termini finiti
Con lespressione Differenziale Binomio si intende, convenzionalmente, la forma differenziale
( )x p qx dx + , (1)
dove, { , }p q RRRR mentre , e sono esponenti, la cui natura, vincolante circa lintegrabilit dellelemento (1) in termini finiti, i.e., mediante un numero finito di funzioni elementari e, quindi, senza il ricorso a funzioni trascendenti superiori (e.g., , , J , etc.) o allespansione in serie. La forma estesa del differenziale-binomio,
( )x px qx dx + , (1.1)
riconducibile alla forma fondamentale (1) riscrivendola (con qualche cautela algebrica ) come
( )x p qx dx + +
e, quindi, definendo : = + e : = . Le condizioni di esistenza in RRRR della parte finita ( )x p qx + sono sempre sottintese ().
Come osservazione iniziale, nella funzione razionale di potenze distinte x 1 , x 2 , , kx
( , , , )kx x x 1 2 ,
si abbia linsieme { , , , }k 1 2 QQQQ e ciascun esponente (razionale) /j j jm n sia ridotto
ai minimi termini. Senza perdita di generalit, si assuma, dora in avanti, jn > 0 .
Definiti : { , , , }kn n n = 1 2 il minimo comune multiplo dei denominatori jn e :x u= , da
cui, segue che dx u du = 1 , lintegrale
( , , , )kx x x dx 1 2
si trasforma in quello di una funzione razionale, , facilmente integrabile vs. la variabile u ,
( , , , ) ( )kx x x dx u du 1 2 . (2)
Ritornando alla forma differenziale (1),
I. se { , } { / , / }m n m n Z QZ QZ QZ Q ,
definito : { , }n n = , mediante la definizione
:x u = , (3)
la forma differenziale (8) si riscrive, vs. u ,
( ) ( ) ( )u p qu du u du + + 1 1 (3.1)
e la sua parte finita ( )u razionale vs. u perch { , , } ZZZZ ;
____________________ () I risultati sintetizzati in MR-5 provengono dai contributi del matematico russo CHEBYSHEV (PAFNUTY LVOVICH,
1821-1894) alla rappresentazione integrale della Funzione Beta di Euler (e.g., si veda, dellautore: Propriet e applicazioni della FUNZIONE GAMMA, cap. 2, Eq. (34)).
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Integralmania 9
II. se ( )/ /m n + 1 Z QZ QZ QZ Q ,
definiti : ( )n = > 0 e
:u p qx = + , (4)
si ricavano
( ) ( )/ /( )/ , ( )/x u p q dx u p q u duq
= = 1 1 1
1
e, quindi, la forma differenziale (1) diventa, vs. u ,
( ) ( )( )/ ( )u p q u du u du
q
+ + 11
1 1 . (4.1)
La parte finita ( )u razionale vs. u perch {( )/ , } + 1 ZZZZ ;
III. se ( )/ /m n + + 1 Z QZ QZ QZ Q ,
definiti : ( )n = > 0 e
: ( )/u px q p qx x = + + , (5)
si determinano
( ) ( )/ //( ) , /( )x p u q dx p u q u dup
+ = = 1 1 1
1 .
Quindi, la forma differenziale (1) si riesprime, vs. u , come
( ) ( )/( ) ( )p u q u du u dup
++ + + 1
11 1 (5.1)
e la sua parte finita ( )u razionale vs. u perch {( )/ , } + + 1 ZZZZ .
IV. se QQQQ ,
i.e., se almeno uno dei tre esponenti irrazionale, allora, lintegrabilit in termini finiti della forma differenziale (1) ancora possibile sse si verifica almeno uno dei tre casi seguenti:
a. + ZZZZ :
qui, poich ( )p qx + una potenza intera positiva di un binomio, lintegrazione risulta immediata dopo lespansione binomiale;
b. ( )/ ++ 1 ZZZZ :
si pu ricorrere alla sostituzione
:u p qx = + , (6)
dalla quale, si ricavano
( ) ( )/ /( )/ , ( )/x u p q dx u p q duq
= = 1 1 11
.
-
Integralmania 10
Pertanto, la forma differenziale (1) diventa, vs. u ,
( )( )/ ( )u p q u du u duq
+
111
. (6.1)
La parte finita ( )u razionale vs. u , essendo sufficiente che ( )/ ++ 1 ZZZZ ;
c. ( )( )/ + + + 1 ZZZZ : si pu ricorrere alla sostituzione
: ( )/u px q p qx x = + + , (7)
dalla quale, di calcolano
( ) ( )/ //( ) , /( )x p u q dx p u q dup
+
= = 1 1 11
.
Quindi, la forma differenziale (1) si riesprime, vs. u , come
( )/( ) ( )p u q u du u dup
++ +
1
11. (7.1)
La parte finita ( )u razionale vs. u , essendo sufficiente che (( )/ ) + + + 1 ZZZZ .
In sintesi, il problema generale dellintegrabilit in termini finiti del Differenziale Binomio poggia sul Teorema di Chebyshev seguente:
Teorema
Condizione necessaria e sufficiente affinch la forma differenziale (1) (Differenziale Binomio) sia integrabile in termini finiti che, se la terna numerica QQQQ
{ }, ( )/ , ( )/ + + +1 1 , (8.1) almeno un elemento di questa ZZZZ , oppure, che, se la terna numerica RRRR
( ){ }, ( )/ , ( )/ + + +1 1 , (8.2)
almeno un elemento di questa + ZZZZ .
MR-6
Riduzioni razionali in RRRR del radicale 2X ax +bx+c
Nel polinomio quadratico ax bx c + +2 , con { , , } { \{ }}a b c 20R RR RR RR R ,
a. sia a > 0 .
Allora, introdotta la nuova variabile u mediante la definizione
:ax bx c u a x+ + = 2 , (1)
si ha, elevandone al quadrato i membri e risolvendo vs. x ,
-
Integralmania 11
u c
xa u b
=
+
2
2 . (2)
Sostituendo lespressione (2) di x nella definizione (1), si ottiene la forma razionale
a u bu c aax bx c
a u b
+ + + + =
+
2
2
2 . (3)
Inoltre, differenziando lEq. (2), risulta
( )
( )
a u bu c adx du
a u b
+ +=
+
2
2
2
2; (4)
b. sia c > 0 .
Procedendo in modo analogo al caso a., si introduce la nuova variabile u dalla definizione
:ax bx c ux c+ + = 2 , (5)
Elevandone al quadrato i membri, si arriva allequazione quadratica
(( ) )x u a x c u b + =2 2 0 .
Scartata la radice x = 0 perch falsifica lEq. (5), si determina la sola radice ammissibile
b c u
xu a
=
22
. (6)
Sostituendo lespressione (6) di x nella definizione (5), si ottiene la forma razionale
c u bu a c
ax bx ca u
+ + + =
2
2
2 ; (7)
DallEq. (6), si calcola lespressione del differenziale dx :
( )
( )
c u bu a cdx du
u a
+=
2
2 2
2; (8)
c. si supponga che , abbia radici distinte in RRRR , x x1 2
, i.e., che sia b ac >2 4 0 .
Scelta indifferentemente luna o laltra radice, e.g., x2, viene eseguita la trasformazione nella
nuova variabile : ( )u u x= a partire dalla definizione
( ) ( ) : ( )a x x x x x x u =
1 2 2. (9)
Elevando al quadrato i termini delluguaglianza (9), quindi, dividendo per x x 2
0 i termini
cos ottenuti e risolvendo vs. x , risulta
x u ax
xu a
=
2
2 1
2 . (10)
Poi, sostituendo lespressione (10) di x nel prodotto ( )x x u2
, Eq. (9), si determina la forma
razionale in RRRR del radicale , con > 0 :
-
Integralmania 12
( ) ( )
( )
ua x x x x
u a
= 1 2 22
, (11)
essendo : ( )a x x = 1 2
2 .
Infine, il differenziale dellespressione (10) dato da
( )
udx du
u a
=
2 2. (12)
Osservazione
Le trasformazioni razionalizzanti (1) e (5) sono applicabili indipendentemente dal segno di .
MR-7
Integrazione definita di una funzione periodica
definita funzione -P periodica (P + RRRR ) in RRRR ogni applicazione f tale che, x RRRR ,
: ( ) ( )f f fx x x P + . (1)
Se f -P periodica in RRRR , segue che, x 0RRRR ,
( ) ( )f fP x P
xx dx x dx
+=
0
0 0
. (2)
Infatti, per ladditivit delloperatore integrale vs. lintervallo di integrazione, si pu scrivere
( ) ( ) ( ) ( )f f f fP x P P x
x x Px dx x dx x dx x dx
+ + + +
0 0
0 0
0
0
( ) ( ) ( )f f fx P x
x dx x dx x P dx= + + + 0 0
0 0 0
( )fx
x dx= 0
0
( ) ( )f fP x
x dx x dx+ + 0
0 0
, q. e. d..
In particolare, quando /x P 0
2 , risulta che
/
/( ) ( )f f
P P
Px dx x dx
=
2
2 0
. (2.1)
Infine, se f pari \ dispari, allora, rispettivamente, si ha
//
/
( ) ,( ) ( )
.
ff f
P
P P
P
x dxx dx x dx
=
2
2
0
2 0
2
0
(2.2)
-
Integralmania 13
MR-8
Formule di riduzione di ( )Nsin x , ( )Ncos x , Nsinh x( ) e Ncoshx( )
La potenza -N sima (N + ZZZZ ) dellidentit euleriana ( / ) ( )sin i x i xx i e e 2 si scrive come espansione binomiale in N + 1 addendi:
( ) ( / ) ( )sin N N ix ix Nx i e e 2
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )N NN N
r i N r x ir x r i N r x
N Nr r
N N
r r
i ie e e
= =
= =
20 0
1 12 2
( ) ( ) ( )( )
( )N
iN x i N x i N x r i N r x
N
N N N N
r
ie e e e
+ + 2 4 2
0 1 21
2
( )( ) ( )N i N x N iN xN N
N Ne e
+ +
1 2
11 1
. (1)
I. Sia N n 2 (i.e., N pari, , , ,n = 1 2 3 ).
Allora, il numero di addendi nellEq. (1) n +2 1 , dispari. Osservato che n n
r n r
2 2
2, tali
addendi tutti tranne lultimo possono essere accoppiati nel modo simmetrico seguente:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )sinn
n nix nix i n x i n x
n
n nx e e e e
= + + + 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 1
1
2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )i n x i n x n ix ix nn n n
n ne e e e
+ + + + +
2 4 2 4 1 2 22 2 2
2 11 1
.
Poich cosi ie e + = 2 , segue che
( )
( ) ( ) ( ) ( )sin cos cos cosn
n
n
n n nx nx n x n x
= + 2
2
2 2 2
0 1 2
12 2 2 2 2 2 2 4
2
( ) ( ) ( )cosr nn n
r nn r
+ + +
2 21 2 2 2 1
, i.e.,
( ) ( ) ( ) ( )sin cos
nn n r
nr
n n
n rx n r x
=
= +
1
2
2
0
2 212 1 1 2
2 . (2)
Il fattore ( )n1 iniziale stato assorbito mediante lidentit ( ) ( )r n r+ 21 1 . Se, nellEq. (2), si esegue la trasformazione /x x 2 , dalla quale risulta
( ( ) ( / )) ( ) ( ( ) ) ( )cos cos cos sinn r x n r n r x n r = + 2 2 2 ( ( ) )sin n r x 2
( ) ( ( ) )cosn r n r x= 1 2 ,
si ottiene prontamente
( ) ( )cos cosn
n
nr
n n
n rx n r x
=
= +
1
2
2
0
2 212 2
2 . (3)
Ancora nellEq. (1), se si effettua la trasformazione di variabile x i x , e si ricorre alle identit sin sinhiu i u e cos coshiu u , si ottiene
-
Integralmania 14
( ) ( ) ( ) ( )sinh cosh
nn n r
nr
n n
n rx n r x
=
= +
1
2
2
0
2 211 2 1 2
2 . (4)
Infine, combinando lEq. (3) con lidentit cos coshiu u , risulta
( ) ( )cosh cosh
nn
nr
n n
n rx n r x
=
= +
1
2
2
0
2 212 2
2 . (5)
II. Sia N n 2 1 (i.e., N dispari, , , ,n = 1 2 3 ).
Ora, poich il numero N + 1 degli addendi della somma (1) pari, gli addendi sono tutti accoppiabili vs. i coefficienti binomiali anti-simmetrici, secondo la ridisposizione
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )sinn
n i n x i n x i n x i n x
n
n nix e e e e
= +
2 1
2 1 2 1 2 1 2 3 2 3
2 1
2 1 2 1
0 12
( ) ( )( ) ( )r i n r x i n r xn
re e
+ +
2 2 1 2 2 12 11
( ) ( ) ( ) ( )n ix ix n ix ix
n n
n ne e e e
+ +
2 3 3 12 1 2 1
2 11 1
.
Poich sini ie e i = 2 e ( ) ( ) /n ni i 2 1 1 , segue che
( ) /
( ) ( ) ( )sin sin sinn
n
n
n nix i n x n x
= + 2 1
2 1
2 1 2 1
0 1
12 2 1 2 3
2
( ) ( )sinrn
rn r x
+ + 2 1
1 2 2 1
( ) ( )sin sinn nn n
n nx x
+ +
2 12 1 2 1
2 11 3 1
, i.e.,
( )
( )( ) ( ) ( ( ) )sin sin
n nn r
nr
n
rx n r x
=
=
1 1
2 1
2 1
0
2 111 2 1
2. (6)
La traslazione /x x 2 nellEq. (6) fornisce la riduzione
( )( ( ) ) ( / ) ( ( ) ) / ( ( ) )
( ( ) ) /
sin sin cos
cos
n r x n r n r x
n r
=
2 1 2 2 1 2 2 1
2 1 2 ( ( ) )sin n r x 2 1
( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )cosn r n ri n r x = 2 1 2 1 111 1 2 1
2
( ) ( ( ) )cosn r n r x 11 2 1 ,
per lidentit ( / ) ( ( ) ) /sin i = 12 1 1 2 , nella quale, ZZZZ ( ( )n r 2 1 ). Cos, dallEq. (6), si genera lespansione associata
( )( ) ( ( ) )cos cosn
n
nr
n
rx n r x
=
=
1
2 1
2 1
0
2 112 1
2. (7)
Ancora nellEq. (6), con la trasformazione di variabile x i x e servendosi delle identit sin sinhiu i u e cos coshiu u , si trova che
-
Integralmania 15
( )
( ) ( ) ( ( ) )sinh sinhn
n r
nr
n
rx n r x
=
=
1
2 1
2 1
0
2 111 2 1
2. (8)
Infine, combinando lEq. (8) con lidentit cos coshiu u , si ottiene
( )
( ) ( ( ) )cosh coshn
n
nr
n
rx n r x
=
=
1
2 1
2 1
0
2 112 1
2. (9)
MR-9
Razionalizzazioni parametriche di funzioni integrande goniometrico-circolari
Con una parametrizzazione appropriata del suo argomento, una funzione integranda f espressa in forma goniometrico-circolare pu ridursi a forma razionale integrabile, talvolta, pi agevolmente.
a. Sia : ( , )f f cos sinx x x .
Ridefinita : tanx u= 12 , i.e., ( / )tanu x 2 o, alternativamente, : cotx v= 12 , i.e., ( / )cotv x 2 , si ricavano, soggette a condizioni di realt specifiche (), le espressioni
,
,
cossec
sincsc
ux
x u
ux
x u
=
+
=+
2
2
2
1 1
1
1 2
1
,
;
tancot
ux
x u
dx duu
=
=+
2
2
1 2
1
2
1
(1.1)
o, rispettivamente,
,
,
cossec
sincsc
vx
x v
vx
x v
=
+
=+
2
2
2
1 1
1
1 2
1
,
;
tancot
vx
x v
dx dvv
=
= +
2
2
1 2
1
2
1
(1.2)
b. sia : (( ) , ( ) , , , , )f f cos sin cos sin tan cotx x x x x x x2 2 2 2 .
Qui, definita : tanx u= 1 , i.e., tanu x o, alternativamente, : cotx v= 1 , i.e., cotv x , si determinano, soggette a condizioni di realt specifiche (), le espressioni
( ) ,( )
( ) ,( )
cossec
sincsc
xx u
ux
x u
=+
=+
2
2 2
2
2
2 2
1 1
1
1
1
,
;
cottan
xx u
dudx
u
=
=+ 2
1 1
1
(2.1)
o, rispettivamente,
( ) ,( )
( ) ,( )
cossec
sincsc
xx v
vx
x v
=+
=+
2
2 2
2
2
2 2
1 1
1
1
1
,
.
tancot
xx v
dvdx
v
=
= + 2
1 1
1
(2.2)
____________________
() Si veda, dellautore: math-junk, p. 29, Tabelle 3 e 4.
-
Integralmania 16
MR-10
Razionalizzazioni parametriche di funzioni integrande goniometrico-iperboliche
In modo del tutto analogo a MR-9, la parametrizzazione di una funzione integranda, f espressa in forma goniometrico-iperbolica, pu essere ridotta a forma razionale.
a. Sia : ( , )f f cosh sinhx x x .
Definita : tanhx u= 12 , i.e., : ( / )tanhu x= 2 o, alternativamente, : cothx v= 12 , i.e., : ( / )cothv x= 2 , si hanno, soggette a condizioni di realt specifiche (), le espressioni
,
,
coshsech
sinhcsch
ux
x u
ux
x u
+ =
=
2
2
2
1 1
1
1 2
1
,
( ) ;
tanhcoth
| |
ux
x u
dx du uu
=+
=
2
2
1 2
1
21
1
(1.2)
b. sia : (( ) , ( ) , , , , )f f cosh sinh cosh sinh tanh cothx x x x x x x2 2 2 2 .
Qui, definita : tanhx u= 1 , i.e., tanhu x , o alternativamente, : cothx v= 1 , i.e., cothv x , si ricavano, soggette a condizioni di realt specifiche (), le espressioni
( ) ,( )
( ) ,( )
coshsech
sinhcsch
xx u
ux
x u
=
=
2
2 2
2
2
2 2
1 1
1
1
1
,
( ) ;
cothtanh
| |
xx u
dx du uu
=
= < 2
1 1
11
1
(2.1)
o, rispettivamente,
( ) ,( )
( ) ,( )
coshsech
sinhcsch
vx
x v
xx v
=
=
2
2
2 2
2
2 2
1
1
1 1
1
,
( ) ;
tanhcoth
| |
xx v
dx dv vv
=
= >2
1 1
11
1
(2.2)
c. sia : (( ) , ) ( )f f cosh sinh coshx x x x x 2 .
una razionalizzazione di ( )x si determina definendo : sinhu x= ( coshdu xdx = );
d. sia : ( , ( ) ) ( )f f cosh sinh sinhx x x x x 2 .
una razionalizzazione di ( )x ottenibile definendo : coshu x= ( sinhdu xdx = ).
____________________
() Si veda, e.g., dellautore: Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica, p. 22-25 e 27, Eq.i (49).
-
Integralmania 17
MR-11
Le identit goniometriche di Dirichlet-Euler
Sia { , }n M + + 0
Z ZZ ZZ ZZ Z . Sommando lidentit goniometrica (WERNER, J., 1468-1522)
( )( / ) ( / ) ( / ) ( / )cos sin sin sinnu u n u n u + 2 1 2 1 2 1 2 vs. lindice n , da 1 a M , si ha
( ) ( / )cos sinMn nu u= = 1 2 ( / ) ( / )sin u= 1 2 3 2( )( / ) ( / )sin sinu u +2 5 2 ( / )sin u 3 2( )( +
( / )sin u+ 7 2 ( / )sin u 5 2( ) ( / ) ( / )sin sinM u M u+ + + 1 2 1 2 ( ))
( )( / ) ( / ) ( / )sin sinM u u= + 1 2 1 2 2 (( ) / ) ( / )cos sinM u Mu + 1 2 2 , (1)
avendo applicato, nellultimo passaggio, la formula di prostaferesi della differenza tra seni.
Dividendo i membri estremi dellEq. (1) per ( / )sin u 2 0 (i.e., u k 2 ), risulta:
(( ) / ) ( / )
( / )
cos sincos
sin
M
n
M u Munu
u=
+ =
1
1 2 2
2 . (2)
In modo analogo, iniziando dallidentit goniometrica di Werner
( )( / ) ( / ) ( / ) ( / )sin sin cos cosnu u n u n u +2 1 2 1 2 1 2 ,
si arriva, dalla formula di prostaferesi della differenza tra coseni, quando sia u k 2 , a
(( ) / ) ( / )
( / )
sin sinsin
sin
M
n
M u Munu
u=
+ =
1
1 2 2
2 . (3)
Le identit (2) e (3), attribuite a DIRICHLET (J. P. G. L., 1805-1859) ma note, probabilmente, anche a L. EULER, si rivelano molto utili nel contesto delle Serie di Fourier.
-
Integralmania 18
Integrazioni Algebriche
IA-1
Integrale della potenza intera positiva del polinomio quadratico
La determinazione di una formula iterativa di riduzione dellintegrale polinomiale indefinito,
( ) : ( )n nnI x dx ax bx c dx= + + 2 ,
con a n + 0 ZZZZ , di interesse computazionale, soprattutto, per la possibilit di ricondurre certe integrazioni pi complesse al suo modello risolvente. Con lEq. (2) della trasformazione MR-3, il calcolo di ( )I x immediato. Da /( )dx du a= 2 , segue
! ( ) ! ( )
( )!( )! !( )!( )
n k n kn nk k
n n n n nk k
n nI x u du u C
a k n k a k n k k
++ + + +
= =
= = +
+ 2 2 1
2 1 1 2 1 1
0 02 2 2 1
! ( )
( )!( )!( )
n knk
n nk
n ac bax b C
a k n k k
+
+ +=
+ +
+2
2 1
2 1 1
0
42
2 2 1.
IA-2
Calcolare ( ) :dx
I xp qx
=+
2
, con pq 0 .
a. Sia ( / )pq >4 0 .
Posto /: ( / )x p q u= 1 2 , da cui, si ha /( / )dx p q du= 1 2 , segue che
//
( )( ) ( ) ( / )
( )
sgntan
du pI x u p q u C
p u pq
= = ++
1 2 1
2 1 2
1
1 I .
Pertanto,
//
( )( ) (( / ) )
( )
sgntan
pI x q p x C
pq
= +1 1 21 2
;
b. sia ( / )pq
-
Integralmania 19
/
/
( )(( / ) ) , se ( / ) ,
( )
( )(( / ) ) , se ( / ) .
( )
/ /
/ /
sgntanh | |
sgncoth | |
pq p x C x p q
pq
pq p x C x p q
pq
+ < + >
1 1 2 1 2
1 2
1 1 2 1 2
1 2
IA-3
Calcolare ( ) :( )n ndx
I xp qx
=+
2
, con \{ }pq n + 0 1ZZZZ .
Integrando per-parti, si ha
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
n
n n n n n
x n p qx qx x p qx pI x x dx n dx
p qx p qx p qx p qx
+
+ + = +
+ + + +
2 1 2
2 2 2 2 2 1
22
( ) ( ) ( )n n n
x dx dxn np
p qx p qx p qx += +
+ + + 2 2 2 1
2 2
( ) ( )( ) n nn
xnI x npI x
p qx+ + + 12
2 2 .
Risolvendo vs. ( )nI x+1 e, quindi, eseguendo la traslazione di indice muto n n 1 , si ricava lidentit ricorsiva
( ) ( )( ) ( ) ( )n nn
x nI x I x
p n p qx p n
= +
+ 12 12 3
2 1 2 1.
Questa, definito lindice :m n= 1 , va ri-applicata a ( ) ( )m nI x I x 1 , e cos via, fino a ottenere lintegrale IA-2.
IA-4
Calcolare , ( ) :dx
I x
= 0 1
, con a 0 .
Mediante la riduzione (1) di MR-3, :u ax b= +2 , per la quale, /( )dx du a= 2 , si ha che
, ,( ) ( )du
I x uu
=
0 1 0 1 22 I ,
i.e., per 0 , ci si riconduce allintegrale IA-2.
a. Sia < 0 . Allora,
, / /( )
( ) ( )tan
ax bI x C
+ = + 1
0 1 1 2 1 2
2 2;
b. sia > 0 . In questo caso,
/
, / /( ) ln
ax bI x C
ax b
+ = +
+ +
1 2
0 1 1 2 1 2
1 2
2;
-
Integralmania 20
c. il caso = 0 elementare, avendosi , ( )u u du= 20 1 2I . Segue immediatamente che
, ( )I x Cax b
= ++0 12
2.
IA-5
Calcolare , ( ) :x
I x dx
= 1 1
, con a 0 .
Dallidentit di uso frequente, (( ) )x ax b ba
+ 1
22
, si pu riscrivere
, ,( ) ( )ax b b dx d b
I x dx I xa a a a
+
= 1 1 0 1
1 2 1
2 2 2 2
, ( )| |lnb
C I xa a
= + 1 0 1
1
2 2.
In tal modo, il completamento del calcolo ricondotto allintegrale IA-4.
IA-6
Calcolare , ( ) :m
m
xI x dx
= 1
, con \{ }a m + 0 1ZZZZ .
Qui, la pi conveniente tra le scomposizioni possibili di , ( )mI x1
, ( )m m
m m
m
bx c b x c xI x x dx x dx dx dx
a a a a
=
1 2
2 2
1
1
, ,( ) ( )( )m
m m
b cx C I x I x
m a a a
= +
1
1 1 1 2 1
1
1.
Iterandone lapplicazione ai termini integrali , ( )mI x1 1 e , ( )mI x 2 1 , ci si riporta senza difficolt ai
modelli indefiniti IA-5 e IA-4.
IA-7
Calcolare , ( ) :n ndx
I x
= 0
, con \{ }a n + 0 1ZZZZ .
DallEq. (2) della trasformazione MR-3, per la quale, /( )dx du a= 2 , si scrive
, ,( ) ( ) ( )n n
n n n
duI x u a
u =
2 1 1
0 0 22 I ,
i.e., per 0 , ci si riconduce allintegrale IA-3. Infine, facendo attenzione nel ripristino della variabile di integrazione x originaria, risulta la rappresentazione ricorsiva
, ,
( )( ) ( )
( ) ( )n nnax b a n
I x I xn n
+ =
0 0 112 2 2 3
1 1.
-
Integralmania 21
A questo punto, si prosegue con la riduzione di , ( )nI x0 1 , fino a raggiungere lintegrale IA-4.
Quando = 0 , segue che
, ( ) ( )
n nn n n
n n
au a u du C
n u
= +2 1 1
2 1 1 2
0 2 1
22
2 1I
e, pertanto,
, ( ) ( ) ( )
n n
n n
aI x C
n ax b
= + +
2 1 1
0 2 1
2
2 1 2.
IA-8
Calcolare , ( ) :n nx
I x dx
= 1
, con \{ }a n + 0 1ZZZZ .
Procedendo con la scomposizione identica a quella eseguita sullintegrale IA-5, risulta
, ,( ) ( )n nn n nax b b dx d b
I x dx I xa a a a
+
= 1 0
1 2 1
2 2 2 2
, ( )( ) nnbI x
a n a =
011
2 1 2,
da cui, appunto, si vede che il completamento del calcolo ricondotto allintegrale IA-5.
IA-9
Calcolare , ( ) :m
m n n
xI x dx
=
, con { , } ( \{ })a m n + + 0 1Z ZZ ZZ ZZ Z .
Poich n 2 , conviene eseguire la scomposizione seguente dellespressione integranda:
,(( ) )
( ) mm n nax b b
I x x dxa
+ =
1 2
2
,( )
( )m n
m m
m nn n
d b x d bx dx x I x
a a a n a
+
= +
1 1
1 1
1
1 1
2 2 2 1 2,
da cui, proseguendo con unintegrazione per-parti, risulta
, ,( ) ( )( ) ( )
m m
m n m nn n
x m x bI x dx I x
a n a n a
= +
1 2
11 1
1
2 1 2 1 2
, ( )( ) ( )
m m
m nn n
x m x bdx I x
a n a n a
+
1 2
11
1
2 1 2 1 2
( )
m
n
x
a n
+
1
12 1
( ), , , ,( ) ( ) ( ) ( )( ) m n m n m n m nm b
a I x bI x cI x I xa n a
+ + +
1 2 11
2 1 2. (1)
Infine, risolvendo vs. la variabile integrale , ( )m nI x , si ottiene la relazione iterativa
-
Integralmania 22
, , ,
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m
m n m n m nn
x m n b m cI x I x I x
n m a n m a n m a
= + +
1
1 21
1
2 1 2 1 2 1, (2)
la cui applicazione sistematica, mantenendo n fissato 2 , conduce a termini proporzionali agli integrali IA-7 e IA-8 e, infine, IA-4.
Osservazione
Lidentit integrale (2) fallisce per m n 2 1 ( , , ,= 3 5 7 ). In questo caso, la forma mono-parametrica risultante riconducibile, progressivamente, ai modelli precedenti, da IA-7 a IA-9, mediante la scomposizione
( )
n n n nn
n n n n n n
x bx c x b x c xI x dx x dx dx dx dx
a a aa
=
2 1 2 3 2 2 2 3
2 3
1
1. (2.1)
IA-10
Calcolare ( ) :I x dx= , con a 0 .
evidente che la rappresentabilit di e, quindi, di ( )I x in D RRRR dipende dalla combinazione ammissibile di ( )sgn a con ( )sgn ; si possono sfruttare, poi, le riduzioni in MR-6.
Alternativamente, se si inizia dalla riduzione (1) in MR-3, per la quale, /( )dx du a= 2 , si ha,
a. per a + 0RRRR ,
/ /( ) ( ) | |I x u u du u du
a a = 2 23 2 3 2
1 1
4 4 I ,
secondo che sia, rispettivamente, 0 . Dopo la trasformazione ulteriore /| |u w 1 2 , si prosegue integrando per-parti:
/ /
( ) ( )| | | | w
u w w dw w w w dwa a w
=
2 23 2 3 2 21 14 4 1
I J
/
( )| | ww w dw
a w
=
2
2
3 2 2
1 11
4 1
/
| |w w w dw dw
a w
2 23 2 21
1 14 1
/
( )cosh| |
sinh
ww w w C
a w
+
1
2
3 2 11
4 J ,
dove, lambiguit tra le rappresentazioni mediante le funzioni cosh 1 o sinh 1 dipende dallessere 0 , rispettivamente. Esplicitando lultima uguaglianza scritta vs. ( )wJ , risulta
/( )
cosh| |
sinh
ww w w C
a w
= +
1
2
3 2 11
8 J .
Quindi, ritornando alla variabile u di integrazione e mantenendo la sequenza ordinata alto\basso delle attribuzioni di segno, | | , si scrive
-
Integralmania 23
/
/ /
( )( )
(( ) )
cosh
sinh
uu u u C
a u
= +
1 1 2
2
3 2 1 1 2
1
8I ,
cos da avere, infine,
/ /
/ /
( ) ( )
( )
cosh
sinh
ax bC
aI x ax b
a ax bC
a
+ + = + + +
1
3 2 1 2
1
3 2 1 2
2
812
4 2
8
( )/( ) lnax b ax b a Ca a + + + +3 2
12 2 2
4 8;
b. per a + = 0RRRR ,
/ / /
( )( ) ( )| | u ax bu u du C C I x
a a a
+= = + +
2 2
3 2 3 2 3 2
1 2
4 8 8I ,
secondo che sia, rispettivamente, /( )x b a 2 ;
c. per a > 0RRRR (necessariamente!),
/( ) ( )
| |I x u u du
a= 23 2
1
4 I .
In modo del tutto analogo a come si operato in precedenza, dopo la trasformazione ulteriore /u w 1 2 , si prosegue integrando per-parti:
/ /
( ) ( )| | | |
wu w w dw w w w dw
a a w
=
2 23 2 3 2 21 14 4 1I J
/
( )
| |
ww w dw
a w
=
2
2
3 2 2
1 11
4 1
/| |w w w dw dw
a w
+
2 23 2 21
1 14 1
( )/ ( )sin| | w w w w Ca + +2 13 2
14
J ,
Risolvendo vs. ( )wJ nellultima uguaglianza scritta, risulta
( )/( ) sin| |w w w w Ca + +2 13 2
18
J ,
da cui, ritornando alla variabile x con lidentit evidente /( )/w ax b + 1 22 , si ottiene
/ /( ) ( ) sin
| |
ax bI x ax b C
a a
+ = + + 1
3 2 1 2
1 22
4 8.
-
Integralmania 24
IA-11
Calcolare ( ) :dx
I x
=
, con a 0 .
Dalla riduzione (1) solita in MR-3, si distinguono i casi seguenti:
a. per a + 0RRRR ,
/ /( ) ( )
| |
du duI x u
a au u =
1 2 1 22 2
1 1
I ,
dove, lambiguit di segno alto\basso corrisponde, ordinatamente, ai casi 0 . La trasformazione ulteriore /| |u w 1 2 , dalla quale, segue /| |du dw 1 2 , restituisce
/
/ /
, se ,( ) ( )
, se ,
cosh '
sinh '
a w Cdwu w
a a w Cw
+ >= = + 0RRRR (necessariamente!),
con la riduzione (1) in MR-3, per la quale, /( )dx du a= 2 , risulta
/( ) ( )
( )
duI x u
a u=
1 2 2
1 I .
Poi, la trasformazione standard ulteriore, /u w 1 2 , d
/ / /( ) ( )
( ) ( ) ( )cos sin
dwu w w C w C
a a aw
= = + +
1 1
1 2 1 2 1 22
1 1 1
1
I J
e, quindi, immediatamente,
/ / / /( )
( ) ( )cos sin
ax b ax bI x C C
a a + + = + +
1 1
1 21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2.
-
Integralmania 25
IA-12
Calcolare /( ) : nnI x dx+= 1 2 n dx , con a n + 0 ZZZZ .
Applicando la riduzione (1) in MR-3 allelemento differenziale integrando, si ha
( ) ( ) ( ) ( )/( )nn n n nI x u u u a dua + += 2 22 1 1
14
2 I .
Lintegrazione per-parti di ( )n uI d
(( ) ( ) ( )/( )nn n nx u u u aa + += 2 2
2 1 1
14
2I
/( )
( ) ( )/( ) ( )( )/( )
n n u au n u u u a uu a
+
2 1 2 2
2
42 4
4
( )
( )/( ) ( ) ( )/( )n
n
n n
n u uu a u u u a du
a n
+ +
+ = +
2
2 2 2 1 2
2 1 1
2 14 4
2 2 1.
Ora, riscritto il fattore u 2 nella funzione integranda come ( )u u +2 2 , si prosegue con
( ) ( ) ( )/( ) ( ) ( )/( )n nn n n n nn
x u u u a u u a dua a
+ + + ++
= 2 2 2 22 1 1 2 1 11 2 1
4 42 2
I
( )
( ) ( )/( )nn n
nu u a du
a
+ ++
2 1 22 1 12 1
42
( )
( ) ( )/( ) ( ) ( ) ( )n n nn nn
u u u a n u ua a
+ ++
+ 2 212 1 1
1 2 14 2 1
2 4I I .
Esplicitando lultima uguaglianza scritta vs. ( )n uI , risulta
( )
( )( ) ( ) ( )/( ) ( )
( ) ( )n
n nn n
nu u u u a u
a n a n
+ ++
= + +
2 2
12 1 1
1 2 14
2 1 8 1I I
dalla quale, infine, ritornando alla variabile x di integrazione, si conclude che
( )( ) ( ) ( )
( )n
n n
nI x ax b I u
a a n
+
= + + 1
1 2 12
4 8 1.
Il completamento del calcolo di ( )nI x si esegue per iterazione, incominciando dallindice n 1 , e cos via, fino a raggiungere lintegrale IA-11.
In particolare, se = 0 (nel qual caso, in RRRR , deve essere a + RRRR ), dalluguaglianza ridotta
( ) /( ) ( ) | |nn n n nI x u u u dua+ +
= 22 1 3 21
2 I ,
si trova prontamente
( ) ( )
/ /
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n
u ax bu C C I x
a n a n
+ +
+ +
+= + +
+ +
2 1 2 1
1 2 2 3 1 2 2 3
2
2 1 2 1I ,
secondo che sia, rispettivamente, /( )x b a 2 .
-
Integralmania 26
IA-13
Calcolare /
( ) :n ndx
I x +
= 1 2 n
dx
, con a n + 0 ZZZZ .
Come per IA-13, applicando la riduzione (1) in MR-3 allelemento differenziale integrando, si ha
( ) ( )( ) ( )/( )
n n
n nn
duI x u a
u u a =
2 1 1
2 2
2
4
I .
Lintegrazione per-parti di ( )n uI d
( )( ) ( )/( )
n n
nn
uu a
u u a =
2 1 1
2 2
2
4
I
/( )( ) ( )/( ) ( )
( )/( )
( ) /( )
n n
n
u anu u u a u
u au du
u a
+
2 1 2 2
2
2 2 1
42 4
4
4
( )( ) ( )/( ) ( ) ( )/( )
n n
n n
u ua n du
u u a u u a
+
= + +
2
2 1 1
2 2 2 1 2
2 2 1
4 4
Ora, riscritto il numeratore nella funzione integranda come ( )u u +2 2 , si prosegue con
( )( ) ( )/( )
n n
nn
uu a
u u a = +
2 1 1
2 2
2
4
I
( )( ) ( )/( )
n n
n
dua n
u u a + + +
2 1 1
2 2
2 2 1
4
( )( ) ( )/( )
n n
n
dua n
u u a
++ +
2 1 1
2 1 2
2 2 1
4
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )/( )
n n
n nn
u na n u u
au u a
+
+ + + +
2 1 1
12 2
2 12 2 1
44
I I .
Risolvendo questultima uguaglianza vs. ( )n u+1I ,
( ) ( )( )( ) ( ) ( )/( )
n n
n nn
a u anu u
nn u u a
+
+ = ++
2 1
12 2
2 8
2 12 1 4
I I ,
e deducendone la forma traslata di indice muto n n 1 ,
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )/( )
n n
n nn
a u a nu u
nn u u a
=
+
2 1 1
12 1 2
2 8 1
2 12 1 4
I I ,
si ricava la -u rappresentazione ricorsiva cercata. La -x rappresentazione corrispondente si ottiene facilmente, aiutandosi con la riduzione (1) in MR-3:
( ) ( )( ) ( )
( )( )n nn
ax b a nI x I x
nn +
=
11
2 2 8 1
2 12 1.
-
Integralmania 27
Iterando n 1 volte questa identit sul termine integrale a destra, si arriva allintegrale IA-11.
Nella circostanza particolare in cui si abbia = 0 , per la quale, la condizione di realt impone che sia a + RRRR , dalluguaglianza ridotta
/( ) ( ) | |n n nn nI x u a u u du = 2 1 2 2 12 I ,
si trova elementarmente
/ /
( ) ( )( )
n n n n
n n
a au C C I x
nu n ax b
= + + +
2 1 2 2 1 2
2 2
2 2
2 2 2 I
secondo che sia, rispettivamente, /( )x b a 2 .
IA-14
Calcolare ( ) :( )
dxI x
p qx =
+ ( )
dx
p qx x x
+ + +
2
, con q 0 .
Posto, per brevit, : /p q = , si riscrive, con identificazione ovvia della variabile-polinomio ,
( )( )
dxI x
q x =
+
1 .
Dalla definizione : /x u = 1 , segue lelemento differenziale ( / )dx u du= 21 . Pertanto,
( / )
( ) ( )( / ) /( / ) /( / )
u duI x u
q u u u
=
+ +
2
2
1 1
1 1 1
I
( )
( / / ) ( / )
sgn u du du
q qp q p q u p q u au bu
=
+ + + + +
2 2 2 21 1
2
,
secondo che sia u 0 (i.e., /x p q ) ordinatamente. In tal modo, il calcolo di ( )uI viene riportato allintegrale fondamentale IA-11, identificando, in modo evidente, i nuovi parametri, a e b , in termini di quelli vecchi, , e :
/ / ,
/ .
a p q p q
b p q
+
2 2
2
La ricostruzione finale ( ) ( )u I xI immediata (v., anche, Osservazione, in IA-34).
IA-15
Calcolare ( ) :I x dxx
=
, con a 0 .
Nel dominio RRRRD dove x + 0 RRRR , si pu scrivere
( )axdx bdx cdx
I x dxx x
= + +
-
Integralmania 28
( )ax b b dx dx
dx b cx
+ + +
2
2
d b dx dx
cx
= + + 2
b dx dx
C cx
= + + + 1
2.
In tal modo, il calcolo di ( )I x ricondotto a quelli di IA-11 e di IA-14 (con p q 0 1).
IA-16
Riduzione per-parti dellintegrale generale di Differenziale Binomio
Prendendo come riferimento la rappresentazione (8) in MR5 del Differenziale Binomio, il primo passo quello di scomporne la parte finita dellespressione integranda nel modo seguente:
( )
( ) ( ) ( ) ( )p qx qx q
x p qx x p qx x p qx x p qxp p p
+ ++ + + = + +1
1
( / ) ( ) ( /( )) ( )p x p qx p x q x p qx + + + +1 1 11 1 ,
con il vincolo ovvio p 0 . Poi, si procede formalmente con lintegrazione per-parti:
, , ( ) ( )I x x p qx dx
+ ( )( / ) ( ) /( ) ( )p x p qx dx p x q x p qx dx + + = + + 1 1 11 1
( ) ( )x p qx dx x d p qxp p
+ + + = + + +
1 1 11 1 1
1
( )
( ) ( )p qx
x p qx dx x x p qx dxp p
++ + + + += + + + +
1
1 1 11 1 1
1 1
, , , ,( ) ( ) ( )( ) ( )I x x p qx I x
p p p
+ ++ +
+= + +
+ +1 1
1 1
1 1 1
1 1
, ,( )
( ) ( )( ) ( )
x p qx I xp p
+ ++
+ + += + +
+ +1 1
1
1 1 1
1 1. (1)
Quindi, si risolve vs. , , ( )I x +1 , determinando lidentit ricorsiva
, , , ,( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
pI x x p qx I x
+ ++
+= + +
+ + + + + +1 1
1
1 1
1 1 1 1. (1.1)
Lidentit (1.1) valida avendo assunto + 1 0 nellEq. (1). Da questo, si possono trarre alcune conclusioni legate a ( )sgn + 1 , utili, soprattutto, quando \{ } 1ZZZZ :
a. se +
-
Integralmania 29
i.e., esplicitamente,
( ) ( ) ( )| | | | | |x x p x
dx dxp qx p qx p qx
+
= ++ + + + + + +
1
1
1
1 1;
b. se + >1 0 ,
eseguita la traslazione di indice muto 1 , lidentit (1) genera la forma esplicita, decrescente vs. (si badi che potrebbe essere ( , ) 1 0 ),
( ) ( ) ( )p
x p qx dx x p qx x p qx dx
+ + = + + +
+ + + + 1 11
1 1;
c. se + =1 0 ,
come si notato, questo caso non compatibile con lidentit (1.1). Daltra parte,
, , ( )x
I x dxp qx
+
1
calcolabile in termini finiti sse sono soddisfatte le condizioni del Teorema di Chebyshev:
almeno un elemento della terna numerica
{ }, ( )/ , ( )/ + + 1 1 1 1 QQQQ , se questa deve ZZZZ , oppure,
almeno un elemento della terna numerica
{ }, ( )/ , (( )/ ) + + 1 1 1 1 RRRR ,
se questa deve + ZZZZ .
IA-17
Calcolare ( ) :x
I x dxa x
=
4
2 2
.
In alternativa al metodo del Differenziale Binomio, si pu eseguire la sostituzione : cosx a = , con a > 0 , senza perdita di generalit. Ne seguono ( / )cos x a = 1 e sindx a d = . Si osserva, inoltre, che la condizione di realt della funzione integranda richiede che sia a x>2 2 e, quindi, sufficiente riferire lintegrazione al sotto-intervallo principale aperto ( , ) 0 , nel quale, sin > 0 :
/
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ( ) )
cos sincos
cos
a a dI x a d
a
= =
4
4 4
2 1 21
I .
Con due iterazioni dellidentit (4) in IG-3, nella quale, si assegni = 4 , risulta
( ) ( ) ( )cos sin cosa d = +
4 3 21 3
4 4I
-
Integralmania 30
( )cos sin cos sina d = + + 4 31 3 1 1
4 4 2 2
( )cos sin cos sin 'a C = + + +
4 31 3 3
4 8 8
( / ) ( )cosx
a x a x a x a x a C I x + 3
2 2 2 2 2 4 1
1
3 3
4 8 8 (1)
( / ( / ))sinx
a x a x a x a x a C +3
2 2 2 2 2 4 1
1
3 32
4 8 8
( / ) ( )sinx
a x a x a x a x a C I x + + 3
2 2 2 2 2 4 1
2
3 3
4 8 8. (2)
Larbitrariet delle costanti C1 e C
2 implica lequivalenza delle rappresentazioni (1) e (2) di ( )I x . Tale condizione
va ben oltre il semplice cambiamento formale generato da unisometria (v. IG-15, Osservazione, pi avanti).
IA-18
Calcolare ( )
( ) :( )
x xI x dx
x
=
+
2 2
2 3
1
1.
Il polinomio ( )x+ 2 31 possiede le radici immaginarie i , entrambe triple. Pertanto, la funzione integranda scomponibile nella somma seguente (v. MR-4, II.1):
( ) ( ) ( )
x x x x x
x x x x
+ + + + +
+ + + +
4 2
2 3 2 2 2 2 31 1 1 1
. (1)
Eliminando i denominatori e ordinando vs. x il polinomio parametrico che si ottiene nel membro destro, si arriva alluguaglianza
( ) ( ) ( )x x x x x x x = + + + + + + + + + + +4 2 5 4 3 22 2 .
Questa, in forza del Principio di Identit dei Polinomi, implica la validit del sistema lineare non-singolare
= = + =
+ = + + =
+ + =
0
1
2 0
2 1
0
0
, avente, come unico vettore-soluzione,
0
1
0
3
0
2
.
Quindi, la scomposizione parametrica (1) vera nella sola forma
( ) ( ) ( )
x x
x x x x
+
+ + + +
4 2
2 3 2 2 2 2 3
1 3 2
1 1 1 1 .
Ne segue che
( )( ) ( )
dx dx dxI x
x x x= +
+ + + 2 2 2 2 3
3 21 1 1
-
Integralmania 31
( ) ( )tan x C I x I x + +11 2 33 2 .
Le determinazioni sia di ( )I x2
che di ( )I x3
si eseguono mediante IA-3 e, infine, IA-2. Il risultato
complessivo
( )( ) ( )
tanx x
I x x Cx x
= + + ++ +
1
2 2 2
3 1
4 1 2 1 4.
IA-19
Calcolare ( ) :( )
ax bI x dx
x
+=
+ 3 21
.
Volendo scomporre la funzione integranda con il metodo di Hermite (MR-4, II.2, Eq. (4)) e tenendo conto che il binomio cubico x +3 1 possiede una radice RRRR e due radici CCCC coniugate,
risulta, con ( ) ( )deg H degx x = + =3 2 16 1 2 1 1 1 1 2 ,
( ) ( )
x xax b x d
x x x x dx x
+ ++ + + + =
+ + + +
2
0 1 2
3 2 2 3 2 11 1 1 1
(1)
( )
x x x xx
x x x x x
+ + ++= + +
+ + + +
4 3 2
0 1 0 1 2
2 3 3 2
2 3 3 3
1 1 1 1 . (1.1)
Le equazioni lineari indipendenti per la determinazione dei coefficienti sono 8. Se non si dispone di un CAS, si pu tentare di ridurre analiticamente le lungaggini del metodo di Cramer o di quello per eliminazioni successive di Gauss-Seidel. Specificamente, poich la differenza minore tra ( )deg D x 6 e i gradi dei numeratori degli
addendi fratti nella scomposizione (1.1) 2, si moltiplica questa, prima per x ( x 1 ) e, poi, per
x2 , prendendo il limite x dopo ciascuna moltiplicazione. Questa manovra non influisce sulle costanti incognite, lasciandone emergere, invece, pi facilmente, valori e/o relazioni reciproche da sfruttare convenientemente.
Cos, moltiplicando i termini dellEq. (1) per x , si ha, asintoticamente, = +0 , i.e.,
= ; (2)
se, nellEq. (1.1), tra i valori convenienti di x che non siano radici di ( ) ( )D x x +3 21 , si sostituisce, e.g., x = 0 , risulta b = + +
1, i.e., per luguaglianza (2),
b = + 1
. (3)
Introducendo i risultati (3) e (2) nellEq. (1) e aggregando i primi tre addendi fratti, risulta
( ) ( ) ( )
( )
x x x x x bax b
x x
+ + + + + + + +
+ +
2
0
3 2 3
1 1 2
1 1
( )
( )
x b x x
x
+ + +
+
4 3 2
0 2
3 2
3 3 3
1
( ) ( )
( )
x b x b x x
x x
+ + + + + +=
+ +
4 3 2
0 0 2
3 3 2
2 2 3 3 3
1 1 . (4)
-
Integralmania 32
In modo analogo allEq. (2), la moltiplicazione completa dellEq. (4) per x2 , seguita dalla calcolo del limite per x , lascia emergere la relazione ( ) = + +
0 00 2 2 3 dal
regime asintotico, i.e., si ha
+ =0
2 . (5)
Ora, utilizzando lidentit (5) nellEq. (4),
( )
( ) ( )
x b x b x xax b
x x x
+ + + ++
+ + +
4 3 2
0 0 2
3 2 3 3 2
3 3 3 3
1 1 1 ,
ed eliminando i denominatori 0 , si ottiene
( ) ( ) ( )ax b x b x x b x x + + + + 3 4 3 20 0 2
3 1 3 3 3
( )b x x x b = + +3 22 0
3 3 2 3 3 .
Dunque, per il Principio di Identit dei Polinomi, deve valere il sistema seguente di uguaglianze lineari parametriche:
b
a
= = =
2
0
0 3 3 2
0 3
3
, ovvero,
/
/
b
a
= = =
2
0
2 3
0
3
.
Queste, combinate con le relazioni (2), (3) e (5), forniscono il (solo) vettore-soluzione
( )/
( )/
/
a b
a b
b
= +
1 1
2 9
4 9
3
.
Ritornando alla scomposizione (1) di Hermite, si scrive
( ) ( / ) ( / )
( ) ( ) ( )
ax b b a a b x a b d a x b x
x x x x dx x
+ + + += + + + + + +
2
3 2 2 3
2 2 4 3 3
1 9 1 9 1 1
( )
( ) ( )
b a x a b d x ax b
x x x x x dx x
+ + = + + + + + + 2 2 3
2 1 4
9 1 1 9 1 3 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b a x a b d x ax b
x x x x x dx x
+ + + = + + + + + + 2 2 3
2 1 2 1 1 4
9 1 2 1 9 1 3 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b a x b a a b d x ax b
x x x x x dx x
+ + + + + + + 2 2 3
2 1 2 1 2 2 4
9 1 2 1 18 1 3 1
( )
( ) ( ) ( )
b a x a b d x ax b
x x x x x dx x
+ + + + + + + + 2 2 3
2 1 2 1 2
9 1 2 1 6 1 3 1 .
I primi due termini sono integrabili in modo elementare, generando ununica funzione logaritmica primitiva; per il terzo termine, si pu ricorrere allintegrale IA-4-a; lultimo termine integrabile a vista, essendo un differenziale esatto. Il risultato
( )( )
( )
| |ln tan
b a x a b x x ax bI x C
xx x
+ + + = + + + + +1
32
2 1 2 2 1
9 3 13 3 31
.
-
Integralmania 33
IA-20
Calcolare ( ) :dx
I xa bx
=+
3
, con ab 0 .
Dal cambiamento di variabile :u x= , nel quale, si definito /: ( / )b a = 1 3 , seguono /dx du = e la trasformazione
( ) ( )( ) ( )
du duI x u
a u a u u u =
+ + + 3 3
1 1
1 1 1 I .
La scomposizione della funzione integranda standard: dalla forma parametrica generale
( ) ( )
x
u u u u u u
+= +
+ + + +3 31
1 1 1 1 ,
si ha, eliminando i denominatori e ordinando vs. le potenze decrescenti di u ,
( ) ( )u u = + + +21 .
Per il Principio di Identit dei Polinomi, deve risultare
+ = = + =
0
0
1
, da cui si ha,
/
/
/
=
1 3
1 3
2 3
.
Pertanto,
/ ( / ) /
( )u
u du dua u u u
+ = + + +
2
1 1 3 1 3 2 3
1 1I
( )
( )ln | |
uu C du
a u u +
= + + +
2
1 1 1 2 1 1 41
3 3 2 1
( ) ( )
ln | |u du
u C dua u u u u
= + + + + +
2 2
1 1 1 2 11
3 3 2 1 2 1
| |
ln tanu u
Ca u u
+ = + + +
1
2
1 1 1 1 2 1
3 3 31
( )
ln tanu u
Ca u u
+ + + +
2
1
2
1 1 1 2 13
3 2 1 3
| |
ln tanu u
Ca u
+ + + +
3
1
3
1 1 1 2 13
3 2 1 3
/ / / /
/ /( )
( )
| |ln tana b x b x a
C I xa b a bx a
+ = + + +
1 3 1 3 3 1 3 1 3
1
2 1 3 3 1 3
1 1 23
3 2 3 .
-
Integralmania 34
IA-21
Calcolare ( ) :a x a x a x a
I x dxx
+ + +=
+
3 2
0 1 2 3
41
.
Per le propriet distributiva della somma vs. la divisione nella funzione integranda e di linearit delloperatore integrale, si pu avviare il calcolo scrivendo
( )a x ax x
I x a dx a dx dxx x x
+= + +
+ + +
23
1 3
0 24 4 41 1 1
( ) ( )
( )( )
a ad x d xx dx
x x
+ + +
+ +
4 2
0 2
4 2 2
1
4 1 2 1,
( ) ( ) ( )ln tana a
x x C x dx + + + + 0 24 1 2 114 2
.
La scomposizione massimale di ( )x in RRRR ,
( )a x a x x
xx x x x x
+ + + = +
+ + + +
2
1 3 1 1 2 2
4 2 21 2 1 2 1
, (1)
richiede la determinazione di 4 equazioni lineari indipendenti, una per ogni costante parametrica incognita. Comunque, qualche manovra appropriata in grado di ridurre le lungaggini del metodo risolutivo standard (MR4, II.1):
poich, nellEq. (1), il membro sinistro costituito da unespressione pari vs.x , cos deve essere anche per il membro destro. Ci avviene sse si assumono
= = 1 2 1 2
.
Quindi, lEq. (1) ri-scrivibile nella forma
a x a x x
x x x x x
+ + =
+ + + +
2
1 3
4 2 21 2 1 2 1
; (2)
per x = 0 , dallEq. (2), si ha a =32 , i.e.,
/a =32 ; (3)
per x = 2 , utilizzando anche il risultato (3), lEq. (2) si riduce allidentit parametrica
( )/ / ( / )/a a a a + = + 1 3 3 3
2 5 2 2 2 2 5 ,
dalla quale, semplificando, si ricava
( / ) ( )a a = 1 3
2 4 . (4)
Con i valori parametrici (4) e (3), la scomposizione (2) diventa
( ) ( )
( ) ( )
a x a a a x a a a x a
x x x x x
+ + =
+ + + +
2
1 3 1 3 3 1 3 3
4 2 2
2 2 2 2
1 4 2 1 4 2 1
( ) (( ) ) ( ) (( ) )
( ) ( )
a a x a a a x a
x x x x
+ + + =
+ + +1 3 3 1 3 3
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 1 4 2 2 1
-
Integralmania 35
( ) ( )x
a a a ax x x x
= + +
+ +1 3 1 32 2
1 2 2 12
4 2 2 1 2 1
( ) ( )x
a a a ax x x x
+ + +
+ + + + 1 3 1 32 2
2 2 12
2 1 2 1 .
( )x , ora, pronta per lintegrazione: il 1.o e il 3.o termine fratto generano espressioni primitive logaritmiche (v. IA-4, b.) mentre il 2.o e il 4.o generano primitive arcotangenti (v. IA-4, a.):
( ) ( )ln tana a a ax x
x dx xx x
+ +
= + + + +
2
1 3 1 3 1
2
2 12 1
4 2 2 1 2 2
( )tana a
x C+
+ + +1 3 12
2 12 2
ln tana a a ax x x
Cxx x
+ += + + + +
2
1 3 1 3 1
222
2 1 2
14 2 2 1 2 2.
La riduzione delle espressioni arcotangenti ha richiesto luso dellidentit goniometrica inversa
tan tan tanu v
u vuv
=
1 1 1
1 .
Infine, in termini finiti, si ha la rappresentazione
( ) ( ) ( )ln ln tan tana a a a a ax x x
I x x x Cxx x
+ += + + + + + + +
2
0 1 3 2 1 34 1 2 1
22
2 1 21
4 2 14 2 2 1 2 2.
Riduzioni ulteriori in ( )I x fra i termini logaritmici e tra quelli arcotangente sono realizzabili sse
( )/ ( )/a a a a a a= = +0 1 3 2 1 3
2 2 .
IA-22
Calcolare ( )( ) :I x x dx=
33 2
1/ /( )x dx 2 3 3 21 .
Rispetto ai simboli utilizzati in MR-5, Eq. (1), i parametri di differenziale binomio sono:
p = 1 , q = 1 , = 0 , / = 2 3 e / = 3 2 .
Poich ( )/ / + + = 1 3 3 2Z QZ QZ QZ Q , ci si trova nel caso III, per il quale, applicando la trasformazione (5), lEq. (5.1) fornisce la forma razionale differenziale specifica
( )( )
uu du du
u
+
4
2 4
3
1, (1)
con / /: ( )u x = 2 3 1 21 . Quindi, il metodo di Hermite (MR-4, II.2, Eq. (4)), per il quale, risultano
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
deg D deg
deg G deg
deg H deg G
u u
u u
u u
+ =
+ =
= =
2 4
2 4 1
1 8
1 6
1 5
-
Integralmania 36
fissa la scomposizione formale seguente:
( )
( ) ( )
u u u u uu u u d
u u du u
+ + + + ++ = +
+ + +
5 4 3 24
0 1 2 3 4 5
2 4 2 2 33 1 1 1
, (2)
dove, con la derivazione vs. u , si ottiene esplicitamente
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x u u u u uu u
u u u
+ +=
+ + +
6 5 4 3 24
0 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4
2 4 2 2 4
2 5 3 4 3 5 2 3
1 1 1 .
(2.1)
Poich lespressione nel membro sinistro dellEq. (2.1) pari vs. u , allora, deve essere tale anche lespressione nel membro destro. Questo implica la nullit della quaterna di valori { , , , }
1 3 5, consentendo di ridurre lEq. (2.1) alla forma
( ) ( )
( ) ( )
u u uu
u u u
+ + += +
+ + +
6 4 24
0 0 2 2 4 4
2 4 2 2 4
5 3 3 5
1 1 1 ; (2.2)
la moltiplicazione completa dellEq. (2.2) per u 2 , seguita dal limite per x , fornisce,
dal regime asintotico (cfr/c IA-19), la relazione = 0
0 , i.e.,
=0. (3)
Ne segue la rappresentazione
( ) ( )
( ) ( )
u u uu
u u u
+ + += +
+ + +
6 4 24
0 0 0 2 2 4 4
2 4 2 2 4
5 3 3 5
1 1 1 (4.1)
( ) ( )
( )
u u
u
+ + + +=
+
4 2
0 2 0 2 4 0 4
2 4
8 3 3 3 5
1 ; (4.2)
ora, si moltiplichi completamente lEq. (4.2) per u 4 e se ne calcoli, poi, il valore limite per u . Si trova, asintoticamente,
= 0 2
1 8 3 ; (5)
per u = 0 , lEq. (4.2) si riduce a
= +0 4
0 , (6)
mentre, per u = 1 , la stessa (4.2) d
= 0 4
1 12 4 . (7)
Pertanto, il vettore-soluzione del sistema delle equazioni lineari (5), (6) e (7), dato da
( , , ) ( / , / , / ) 0 2 4
1 16 1 6 1 16 .
Cos, per sostituzione diretta, la scomposizione II.2, Eq. (4), di Hermite assume la forma esplicita
( )
( ) ( ) ( )
u d u u u
u u du u
= + + + +
4 4 2
2 4 2 2 3
1 3 8 3
1 16 1 48 1 ,
che prontamente integrabile.
Per u 0 , risulta
-
Integralmania 37
( )
( ) ( )( )
tanu u u
u u du u Cu
= ++
4 2
1
2 3
3 3 8 3
16 16 1I
/ /
/ / / //
( )( ) ( ) ( )tan | | | | | |
| |
xx x x x C I x
x
+ +
2 3 1 2
1 5 3 1 3 2 3 1 2
1 3
3 1 18 14 3 1
16 16 .
IA-23
Calcolare ( ) :a bx
I x dxp qx
+=
+
, con bq 0 .
Dalla sostituzione :a bx
up qx
+=
+, seguono:
a pu
xb qu
=
2
2 ,
( )
( ) ( )
aq bp u udx du du
b qu b qu
=
2 2 2 22 2
,
con la definizione sintetica : aq bp = . Quindi, vale la trasformazione integrale
( ) ( )( )
uI x u du
b qu
=
2
2 22 I
( )
( ) ( )
b qu b du dudu b
q b qu q b qu b qu
=
2
2 2 2 2 2
2 22
( )
du u dub
q b qu b b qx b b qu
= +
2 2 2
2 12
2 2 , da IA-3, con n = 2 ,
( )
du uC
q b qu q b qu
= +
12 2.
Per quanto riguarda lintegrazione rimanente, richiesto il risultato IA-2, tenendo conto del caso ambivalente dovuto a ( ( ))sgn b q e sfruttando lidentit ( )/ / |sgn |q q q 1 :
a. se bq < 0 , risulta
//
( )( ) (( / ) )
( ) ( )
sgntan
q uu b q u C
q bq q b qu
= +
1 1 2
1 2 2I
/
( )( )
| ( ) ( )tan
|
b a bx p qx a bxC I x
q bq q p qx q p qx
+ + + + + = + +
1
1 2 ;
b. se bq > 0 , si ottiene
/
( ) ( / )( )
( ) ( / ) ( )
/
/
sgnln
q b q u uu C
q bq b q u q b qu
+= +
1 2
1 2 1 2 2
1
2 1 I
/
( ) ( )( )
| ( ) ( ) ( )
| | | |ln
| | | | |
b a bx q p qx p qx a bxC I x
q bq q p qxb a bx q p qx
+ + + ++ +
++ + +1 22 .
-
Integralmania 38
IA-24
Calcolare ( ) :a x
I x dxb x
=
2 2
2 2, con a b ab 0 .
Presa la coppia { , }a b + RRRR , senza perdita di generalit riguardo al calcolo, e fissate le condizioni di realt | |x a per lespressione integranda, una sostituzione risolvente possibile : cosx a = . In tal modo, il segno di x determinato da quello di cos nellintervallo principale [ , ]0 di monotona della funzione coseno. Quindi, nellelemento differenziale, sindx a d = , sempre sin 0 . Si incomincia con lo scrivere
( )
( ) ( ) ( )( ) ( / ) ( )
sin sinsin
cos cos
a aI x a d d
b a b a b
= =
2 2
2 2 2 2 2 21
I .
La riduzione parametrica ulteriore vs. lintervallo principale ( , )0 della funzione cotangente, d
( )( ) ( / ) ( ) ( ) ( / ) ( )csc cot cot cot
a d a d
b a b b a b
=
+
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21
I
( )cot
a d
b
= +
2
2 21
,
con : /a b = 2 21 . Ora, posto : cotu = , risultano cot u = 1 , /( )d du u = + 21 e la rappresentazione integrale trasformata
( ) ( )
( ) ( )
a duu
b u u
=
+ +
2
2 2 21 1
I J . (1)
____________________ Per brevit nei calcoli, lespressione integranda nella rappresentazione (1) pu essere scomposta in due fratti a
denominatori quadratici, come se ( )u+ 21 sia irriducibile in RRRR , eventualit corrispondente al solo caso > 0 . Loperazione, algebricamente ammissibile data la natura formale dei simboli letterali, non esime dalla distinzione finale dei due casi determinati da ( )sgn . La lettrice\il lettore (paziente) vorr verificare (e generalizzare) questo asserto scrivendo, per < 0 ,
/ /( ) ( )| | | | | |u u u u + = +2 2 1 2 1 21 1 1 1 .
Il collegamento tra le variabili di integrazione e x si ottiene mediante lidentit goniometrica
/
( ( / ))/
cot cot cosx a x
u x ax a a x
= = =
1
2 2 2 21
. (2)
____________________ Pertanto, poich la scomposizione formale
( ) ( )
x x
u u u u
+ += +
+ + + +1 1 2 2
2 2 2 2
1
1 1 1 1 (3)
valida RRRR , si ha, eliminando i denominatori,
( ) ( ) ( ) ( )x u x u = + + + + +2 21 1 2 2
1 1 1
-
Integralmania 39
( ) ( ) ( )u u u = + + + + + + +3 21 2 1 2 1 2 1 2
.
In forza del Principio di Identit dei Polinomi, vale il sistema di equazioni parametriche lineari indipendenti
+ =
+ =
+ = + =
1 2
1 2
1 2
1 2
0
0
0
1
, il cui (unico) vettore-soluzione dato da /( )
/( )
=
1
2
1
2
0
0
1
1 1
.
Quindi, la scomposizione (3) possiede la forma esplicita
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u u u u
= + + + +2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1 . (4)
Si procede allintegrazione, tenendo conto dellambiguit di ( )sgn :
I. sia /a b .
Allora, utilizzando il risultato generale IA-2, b. e lidentit (2) precedente, risulta
( )| |
a du duu
b u u
= +
2
2 2 2
1
1 1 1 1J
( )
| | | |ln tan
| |
uau C
b u
+
= +
2
1
2
1 1
2 1 11
( )ln tana b a b x b a x x
C I xb a b x b a x a x
+ + +
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2 22 ;
II. sia /a b >2 21 0 , i.e., sia a b< .
Con lintegrale generale IA-2, a. e lidentit (2) precedente, si ottiene
( )a du du
ub u u
= + +
2
2 2 2
1
1 1 1 1J
( )tan tana u u Cb
= +
2
1 1
2
1
1 1
( )tan tanb a x b a x
C I xb b a x a x
+ +
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
.
IA-25
Calcolare ( ) :( )
dxI x
a bx p qx=
+ +
, con q 0 .
Sia / /x p q x a b> . Posto :u p qx= + , si determinano gli elementi: ( )/x u p q= 2 , e ( / )dx q udu= 2 . Quindi,
-
Integralmania 40
( / )( ) ( )
( ( )/ ) ( )
q u du du duI x u
a b u p q u aq bp bu bu= =
+ + + 2 2 2
22 2 I ,
dalla definizione ulteriore evidente : aq bp = .
a. Se = 0 , lintegrazione immediata:
( ) ( )u C C I xbu b p qx
= + + +
2 2I .
Questo caso corrisponde alla proporzionalit tra i quattro parametri originari, che si incontra anche nello studio della funzione omografica. Infatti, da aq bp= , si ha, e.g., / /a p b q= , cos che i binomi lineari ( )a bx+ e ( )p qx+ risultano proporzionali tra loro, di fattore / /a p b q ;
b. se 0 , conviene ricorrere allintegrale IA-2. Pertanto,
b.1 b < 0 implica che
/
( ) ( / )( )
( ) ( / )
/
/
sgnln
b uu C
b b u
+= +
1 2
1 2 1 2
1
1I
/
( / )( )( )
( ) ( / )
/
/
sgnln
b p qxC I x
b b p qx
+ ++
+
1 2
1 2 1 2
1
1 ;
b.2 b > 0 fornisce, invece, come risultato,
( ) ( )/ // /( ) ( )
( ) ( / ) ( / ) ( )( ) ( )
sgn sgntan tanu b u C b p qx C I x
b b
= + + + 1 1 2 1 1 21 2 1 2
2 2I .
IA-26
Calcolare ( ) :x
I x dxp qx r
=+ +
, con pq 0 .
Sia / ( )/x p q x r p q 2 .
Definito :u p qx= + , seguono ( )/x u p q= 2 , ( / )dx q udu= 2 e la trasformazione integrale
( )/
( ) ( ) ( / )u p q u pu
I x u q udu duu r q u r
= =
+ +
2 3
2
22 I
( )
( )r r p
u ru r p duq u r
= + +
2
2 2
2
2, da MR-4, Eq. (1),
( ) ( ) | |lnu r u r p u r r p u r Cq
= + + +
3
2 2 2
2
2
3 2
/( ) ( ) ( )r
p qx p qx r p p qxq
+ + + +
3 2 2
2
2 1
3 2
)( ) ( )lnr r p p qx r C I x + + + 2 .
-
Integralmania 41
IA-27
Calcolare ( ) :n n
p qxI x dx
x
+=
, dove, \{ }n pq+ 1 0ZZZZ .
Con n , 1 e / 1 2 , ( )nI x un integrale di Differenziale Binomio calcolabile in termini finiti (v. MR-5, II., Eq. (12) e (12.1)). Lasciando questo procedimento come verifica utile, verr qui seguito, invece, il metodo di integrazione per-parti, prendendo / nx1 come il fattore finito
e p qx dx+ come fattore differenziale.
Lintegrazione di p qx dx+ elementare: come per gli integrali IA-25 e IA-26, la definizione
:u p qx= + , con /x p q , porta alla rappresentazione trasformata
( ) ( / ) ( /( ))u q u du q u C= = + 2 32 2 3I e, quindi,
/( /( )) ( )p qx dx q p qx C+ = + + 3 22 3 . (1) Ritornando a ( )nI x , si ha
/ /( ) ( )
( )n n np qx n p qx
I x dxq x q x +
+ += +
3 2 3 2
1
2 2
3 3
/ ( )( )
n n
p qx p qxp qx ndx
q x q x ++ ++
+
3 2
1
2 2
3 3
/( )
n n n
p qx p qxp qx np ndx dx
q x q x x++ ++
= + +
3 2
1
2 2 2
3 3 3
/( )
( ) ( )n nnp qx np n
I x I xq x q
+
+ + +
3 2
1
2 2 2
3 3 3.
Risolvendo vs. ( )nI x+ 1 , risulta
/( ) ( )( ) ( )n nn
p qx n qI x I x
npx np+
+ =
3 2
1
2 3
2
e, con la traslazione di indice muto n n 1 , si arriva alla rappresentazione ricorsiva
/( ) ( )
( )( ) ( )n n n
p qxp qx n qI x dx
n px n p x ++
=
3 2
1
2 5
1 2 1.
La riduzione formale del risultato ottenuto per IA-27, iterata n 1 volte, porta allintegrale
IA-28
Calcolare ( ) :p qx
I x dxx
+=
, con pq 0 .
Sia /x p q . Anche in questo caso, mediante la stessa trasformazione applicata alle variabili di
integrazione in IA-26 e in IA-27, i.e., :u p qx= + , si ottiene
-
Integralmania 42
( )
( ) ( )u u p p du
I x u du du du pu p u p p u
+= =
2 2
2 2 22 2 2 2 I .
Il risultato immediato, ricorrendo alla forma generale ricavata per IA-2:
, se ,
( ) ( ), se .
| | tan
ln
p p qx C p
u I x p qx p qx pp C p
p qx p
+ + + +
12 0
2
0
I
IA-29
Calcolare /
( ) :( )
p qxI x dx
p q pqx
+=
+ + 2 2 3 22
, con pq 0 .
Conviene riconfigurare lespressione integranda nel modo seguente:
/ /( ) ( )
p qx p pqx
p q pqx p p q pqx
+ +
+ + + +
2
2 2 3 2 2 2 3 2
1 2 2
2 2 2
/
( )
( )
p q pqx p q
p p q pqx
+ + +
+ +
2 2 2 2
2 2 3 2
1 2
2 2
/ /( ) ( )
p q
p p q pqx p q pqx
= + + + + +
2 2
2 2 1 2 2 2 3 2
1 1
2 2 2
/ /( ) ( )
p q
p x x
+ + +
2 2
1 2 3 2
1 1
2 ,
con le definizioni sintetiche evidenti : p q = +2 2 e : pq = 2 . Ora, si ponga /: ( )u x = + 1 2 , cos che ( )/x u = 2 e ( / )dx udu= 2 . Pertanto,
( ) ( )p q
I x u udup u u
= +
2 2
3
1 1 2
2 I
p q u p q
u C Cp u p q u
=
= + +
2 2 2 2 2
2
1 1
2
/ /( )
( )( ) ( )
p q pqx p q px qC C I x
p q p q pqx p p q pqx
+ + + + + = +
+ + + +
2 2 2 2
2 2 2 1 2 2 2 2 1 2
1 2
2 2 2 .
Unapplicazione critica definita di IA-29
Lintegrazione simmetrica di ( )I x nellintervallo ( , )1 1 , che si incontra nel trattamento di certi modelli di carica elettrica statica distribuita su un filo conduttore teso (simmetria cilindrica), d un risultato interessante:
/
/ se ,( )
( ) se .| | | |
p p qpx q p q p qI x
p q p qp p q pqx p p q
1 2
1
2 2 2 1 2 21
1
21
2 0
-
Integralmania 43
IA-30
Calcolare , ( ): ( )m n
m nI x x x dx = 1 11 , con { , }m n m n
+ ZZZZ .
In questo caso, la parte finita del differenziale binomio integrando appare gi nella forma razionale appropriata, del tipo MR-5, I, Eq. (3.1). Per maggior chiarezza, conviene riscrivere
, ( ):m
m n n
xI x dx
x
=
1
1.
Il polinomio-denominatore ( )D nx x 1 possiede n radici in CCCC , ordinabili nella -n pla { }r , con { , , , }r n 1 2 . Esse sono tutte semplici; la loro determinazione costituisce il problema ben noto della ricerca delle radici -n sime di 1 in CCCC .
Applicando la scomposizione stabilita in MR-4, Eq. (2), si scrive la somma
m n
r
nr r
x
x x
=
= 1
11 , (1)
il cui coefficiente generale r calcolabile mediante lidentit (3), l, successiva:
( )( )/
r
mmr n m
r rn n
rx
x
d x dx n n
=
= =
11
1
1
1. (1.1)
a. Sia n pari.
Le fattorizzazioni massimali di ( )D x , rispettivamente, in RRRR e, poi, in CCCC , sono
( )( )( )n n n nx x x x x x x + + + + + +2 4 6 21 1 1 1 , (2.1)
/ / / ( ) /( )( )( )( ) ( ) ( )i n i n ik n i n nx x x e x e x e x e + + + + + 2 4 21 1
/ / / ( ) /( )( ) ( ) ( )i n i n ik n i n nx e x e x e x e + + + +2 4 2 , (2.2)
i.e., con { , , , },k n 2 4 6 2 e tenendo presente lidentit euleriana cos sinie i , necessaria nella riduzione formale. Definite : /k k n = e : n m = 0 , la fattorizzazione (2.2) porta alla scomposizione (1),
nella quale, / cos sinriir n
r r re e i = + , evidentemente.
Si scrive, dunque,
, , , ,
( )
( ) ( )
k k
k k
i im
i ink n
x e e
x n x n x n x e x e
=
= + + + = +
1
2 4 6 2
1 1 1
1 1 1
, , , ,
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
cos cos sin sin
cos
k k k k
k n k
x
n x n x n x x
=
+ = + +
+ + 22 4 6 21 1 2
1 1 2 1
.
Ora, procedendo con lintegrazione e ricordando anche lintegrale IA-4-a., risulta
,( )
( ) ln | | ln | |m nI x x xn n
= + + +1 1
1 1
( ), , , ,
( ) ( ( ) )cos ln cosk kk n
x xn
=
+ + + 22 4 6 2
12 1
-
Integralmania 44
, , , ,
( )cos
sin tansin
k
k
k n k
xC
n
=
+ +
12 4 6 2
2
;
b. sia n dispari.
Qui, le fattorizzazioni massimali di ( )D x , rispettivamente, in RRRR e in CCCC , sono
( )( )n n n nx x x x x x + + + + +1 2 31 1 1 , (3.1)
/ / / ( ) /( ) ( ) ( ) ( ) ( )i n i n ik n i n nx x e x e x e x e + + + + 2 4 21
/ / / ( ) /( )( ) ( ) ( )i n i n ik n i n nx e x e x e x e + + + +2 4 2 , (3.2)
i.e., con { , , , , }k n 2 4 6 1 . Mantenendo gli stessi simboli usati nel caso a., si determina la scomposizione massimale
, , , ,( )
k k
k k
i im
i ink n
x e e
x n x n x e x e
=
= + + =
1
2 4 6 1
1 1
1 1
, , , ,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
cos cos sin sin
cos
k k k k
k n k
x
n x n x x
=
+ = +
+ 22 4 6 11 2
1 2 1
,
dalla quale, anche con laiuto dellintegrale IA-4-a., risulta
( ),, , , ,
( ) ( ) ( ( ) )ln | | cos ln cosm n k kk n
I x x x xn n
=
= + + + 22 4 6 1
1 11 2 1
, , , ,
( )cos
sin tansin
k
k
k n k
xC
n
=
+ +
12 4 6 1
2
.
IA-31
Calcolare , ( ): ( )m n
m nI x x x dx = + 1 11 , con { , }m n m n
+ ZZZZ .
Il calcolo di , ( )m nI x , pu essere condotto come per lintegrale IA-30, usando gli stessi simboli ma
facendo attenzione alle specificit che insorgono dalla parit\disparit di n .
a. Sia n pari.
In questo caso, la fattorizzazione lineare di ( )D x possibile solo in CCCC . Si ha, in generale,
/ / / / ( ) /( ) ( ) ( ) ( ) ( )n i n i n i n ik n i n nx x e x e x e x e x e + + + + + + 3 5 11
/ / / /( )( ) ( ) ( )i n i n i n ik nx e x e x e x e + + + + 3 5
( ) / ( ) /( )( )i n n i n nx e x e + +3 1
, (2)
i.e., per { , , , , }k n 1 3 5 1 . Ne segue la scomposizione dellespressione integranda
, , , ,
k k
k k
i im
i ink n
x e e
x n x e x e
=
= + =
1
1 3 5 1
1
1
, , , ,
( ) ( ) ( )
( )
cos cos sin sin
cos
k k k k
k n k
x
n x x
=
+ =
+ 21 3 5 12
2 1
.
-
Integralmania 45
e, quindi, anche mediante lintegrale IA-4-a., il risultato
( ),, , , ,
( ) ( ) ( ( ) )cos ln cosm n k kk n
I x x xn
=
= + + 21 3 5 1
12 1
, , , ,
( )cos
sin tansin
k
k
k n k
xC
n
=
+ +
11 3 5 1
