Integral As

8/6/2019 Integral As

1/19

1

Integrls

Ksztette: Dr. brahm Istvn

A diasorozat az Analzis 2 (Mozaik Kiad 2005.) c. knyvhz kszlt.


2/19

2

Az integrlszmtsnak szleskr, rdekes felhasznlsi lehetsgei vannak.

Ilyen pdul a grbe vonalakkal hatrolt terlet pontos kiszmtsi mdja:

1

1

T

x

x

V_

2

Hogyan lehetnepontosan kiszmolni pldul az x2s a x

fggvnygrbk kztti terletet?

Hasonl feladatok megoldshoz elkszleteket kell tennnk, amelyekjrszt adifferencilszmtshoz kapcsoldnak.

A hatrozatlan integrl

A primitv fggvny: a (kis) ffggvnynek az [a; b]-on a (nagy) F primitv fggvnye,ha F derivltja a ffggvny: F(x)=f(x).

Plda: az f(x)=2x primitv fggvnye F(x)=x2, mert (x2)=2x.

Aprimitvsz ez esetben nem az okos, kultrlt, bonyolult szavak ellentte, hanem elsdle-

ges, kiindulsul szolgl rtelemben hasznljuk.

Plda: az f(x)=sinx egyik primitv fggvnye: F(x)=cosx, mert (cosx)=sinx.

Megismtelhetnnk a tanult valamennyiderivlsi szablytvisszafel .

A sinx egy msik primitv fggvnye: F(x)=cosx+ , mert (cosx+ )=sinx.

Ttel: a primitv fggvny csak egy konstans erejig egyrtelm.

Ugyanis: haaz f(x)-nek aF(x) primitv fggvnye, akkor nyilvn F(x)+c (c=konstans)isprimitv fggvny, hiszen: (F(x)+c)=F(x)+c=F(x)+0=f(x).


3/19

3

Elnevezs: az f fggvny primitv fggvnyeinek sszessgt (halmazt) az fhatrozatlan integrljnak nevezzk.

Jellse: ,c)x(Fdx)x(f ! ahol f(x) az integrandus fggvny, dx az integrcis vltoz.

A jellsnk szerint igaz: .ff:rviden),x(fdx)x(f ll !! Plda az j jellsnkkel: .c

3

xdxx

32 !

Alapintegrlok

Az integrlszmtshoz a leggyakoribb fggvnyek integrljait meg kell ismernnk.

I. A hatvnyfggvny integrlja: ,cn

nn

ha n{ -1.

Ha n=-1, akkor: .cl ll

A szably beltsa aderivls ismeretben egyszer: ,xnx

ncn

x nnln

!!

(lnx+c)=x- .

II. A trigonometrikus fggvnyek integrlsa:

,sin)'cc s(ert,cc ssin .c s)'c(sirt,csic sMegemltjk: !!

xcos

1)'ctgx(mert,ctgxdx

xcos

122 .

xsin

1)'cctgx(mert,cctgxdx

xsin

1s

22 !!

Vigyzat!Nem a tg s ctgfggvnyeket integrltuk!


4/19

4

III. Az exponencilis fggvny integrlsa:

l

acaln

aert,c

aln

aa !

!

Specilisan: ha a=e, akkor: ! .cedxe xxLthat, hogy egyszeren meg kellfordtaniaz alapfggvnyek derivlsi szablyait.

A tangens, cotangens s alogaritmus fggvny integrljt ksbb trgyaljuk.

Mveleti szablyok

1. A konstans szorz kiemelhet: )Rc(.dx)x(fcdx)x(fc ! Ugyanis abal- s jobboldal derivlsval ugyanazt kapjuk:

).x(cfdx)x(fcdx)x(fcs)x(cfdx)x(cf lll !!! Plda: !! .cxc sxdxsixdxsiVigyzat! Kiemelnicsak konstanstlehet, vltozt nem! !xdxsixxdxsix

2. sszeg, klnbsg tago k t i tegrlhat: .gf)gf( s!s Igazols: mindkt oldaltderivljuk. Kijn.Plda: .cxsi8

6

x3dxxc s8x3

6

!

3. Szorzatot ltalnosan nem tudunk integrlni, csak gy: ! .dx)x(g)x('f)x(g)x(fdx)x('g)x(f

Ez aparcilis integrls kplete. Rviden: .g'ffg'fg

! Igazols: lsd tanknyv.Igazols: lsd tanknyv.

Szorzatotcsak akkortudunk integrlni, ha a kpletjobboldaln lv integrl egyszer .


5/19

5

Plda: ! ?xdxcosxLegyen f=xs g=cosx. Ekkor: f=1 s g=sinx (mert a g=sinxderivltja g=cosx).

!! .cxcosxsinxxdxsin1xsinxxdxcosxEllenrzs (derivlssal trtnik): (xsinx+cosx)=sinx+xcosxsinx=xcosx.

Afggvnyek szorzatra vonatkoz integrlsi szably csakkorltozottan vezet eredmnyre.

Plda: ! ?dxxxsin

a r,x

fHa ! ,x

'f2

! amibonyolultabb, mint az f, gy a jobboldal nem lesz egyszerbb.

Ha fordtva vlasztun : f=sinx, a or f=cosx, ez sem egyszerbb.

gy nem tudju elrni, hogy a jobboldalon egyszerbbintegrl legyen, azaz az integrlsnem vgezhet el! Az integrandus fggvnyne nincs primitv fggvnye.

Ttel: )0x(.c)1x(lnxxdxln "!Igazols: az lnx rhat 1lnxalakban is. Legyen f=lnx s g=1. .xgs

x1'fEkkor !!

Parcilisan integrlhatunk: .cxxlnxdx1xlnxxdxx

1xlnxxdxln !!!

Az x kiemelse utn abizonytand lltst kapjuk.

Nagy trkk: lnx=1Nagy trkk: lnx=1lnx. Az integrlsnl nha ravasz mdszerekhez kellfolyamodnunk.lnx. Az integrlsnl nha ravasz mdszerekhez kellfolyamodnunk.

ltalnosan: ! .celogxxlogxxdxlogaaa


6/19

6

4. Az sszetett fggvny integrlsra szintn nincs ltalnos szably.

Ha az integrland fggvny szorzat s az egyik tnyez a msik belsfggvnynek deri-

vltja, akkorvan eslynkaz integrlsra.

Ttel: az f(u(x)) sszetett fggvnyre igaz: ! .c))x(u(Fdx)x('u))x(u(f(Ha ltezik az f kls fggvny Fprimitv fggvnye.)Plda: ! ?dx)3x5sin(Megolds: ! dx)3x5sin( !

!! c)u(

5'uusin

5dx5)3x5sin(

5.c)3x5cos(

5

A ttel lltsnak igazolsa: Ismert, hogy [F(u)]=F(u)u=f(u(x))u(x) s tudjuk: .F'F !gy (integrljuk mindkt oldalt):

! .c)u(dx)x('u))x(u(f

A tg s ctg fggvny integrlsa

llts: ! .cxlcoslltgxdx

Ugyanis: !

.cxlcosllndx)xsin()x(cos 1 !!! xdxsin)x(cosdx

xcosxsintgxdx 1

Hasonlan igazolhat: ! .cxlsinllnctgxdx Gyakorlsulfelrhatn az indoklst!Gyakorlsulfelrhatn az indoklst!

Plda: !!

dx3)7x2(dx7x2

3 1 .cl7x2lln2

3dx2)7x2(

2

3 1 ! Hiszen a 1-edik hatvny

integrlja ln.


7/19

7

Megjegyzsek

1. Elfordulhat, hogy aszakaszonknt ms utastssal adott fggvnynl az egyes interval-lumokon lteznek primitv fggvnyek, de sszessgben a fggvny integrljanem ltezik.

Plda: legyen

"e!

0xha,20xha,3)x(f

Az egyes rszintervallumokon az integrlok: .c)x(cx2dx2s,c)x(cx3dx3 222111 !!!!A primitv fggvny viszont az F1 s F2 egyestsvel nem ll el, hiszen atrspontban(x=0-nl)az egyestett fggvny nem derivlhat.

2. Nhny feladatban vatosan kell bnnunk a konstans felrsval.

Pldul az elz feladatban az F1-hez s az F2-hz tartoz konstanst szoks egyarnt c-veljellni, pedig azok nem mindig azonosak.

3. Az sszetett fggvny integrlst lehet helyettestssel is vgezni.

Adifferencilegyenletekmegoldsnl pldul a konstansok klnbzsgre figyelni kell.

Plda: .)c)x5cos(5

1:lttukKorbban(?dx)x5sin( !!

A megolds helyettestssel gy trtnik, hogy bevezetnk j vltozt: 5x+ := t.5x+ := t.

Derivljuk mindkt oldalt x szerint: .5

dtdx:gy,

dx

dt5 !! Helyettestnk:

!! .tcos51

5

dt

tsindx)x5sin(A t helyre visszarva az 5x+ -et megkapjuk a korbbieredmnynket.


8/19

8

A hatrozott integrl

A hatrozott integrlfogalmtterletszmtssalszoktk bevezetni.

Feladat: szmoljuk ki a kvetkez, grbe vonallal hatrolt skidom terlett!

A terletet rszekre osztjuk. Mindegyik rsz olyan, hogy csak azegyik hatrol vonal grbe.

Ha meg tudjuk pontosan hatrozni ezeknek a rszeknek a terlett(pldul az egyik .n. grbevonal trapznak), akkora rszekblaz eredeti skidom pontos terlete sszellthat.

Helyezznk egy grbevonal trapzt koordinta rendszerbe:

a b

A grbe vonal tekinthet az [a;b]-on folytonos f(x) fggvnynek.

Afeladatot teht megfogalmazhatjuk gy is, hogy keressk az

f(x) fggvnygrbe alatti terletetaz [a; b] intervallumon.

A megolds: ismert terlet skidomokkal (tglalapokkal)kze-

ltjk a keresett terletet.

f( )

II

f( )f( )f( )

(((

\\ \

Osszuk fel az [a;b] szakaszt x1, x2, , xn hosszsg,egymshoz illeszked rszekre.

Vegynk fel ax1 szakaszon egy 1 pontot, ax2 szakaszonegy 2 pontot s gy tovbb.

Ezekhez ai pontokhoz tartoz fggvnyrtk (f(i)) legyen a

kzelt tglalap magassga.


9/19

9

Mindegyik tglalapalapja teht valamelyik xi, magassgapedig f(i). Egy tglalap terlete:

ti= xif(\i)=(vagy)= f(\i)xi.

A keresett T (grbe alatti) terlet teht:

T=t1+t2++tn=f(1)x1+f(2) x2++f(n) xn= .x)(f iin

1i

!

Haaz [a;b] szakaszt egyre tbb xi rszre osztjuk, azaz egyre tbb tglalappal kzeltnk(finomtjuk felosztst), akkoregyre kisebb vlhat az eltrs a tglalapok terletsszeges a grbevonal trapz terlete kztt.

Elvileg az [a; b] szakaszfelosztstminden hatron tlfinomthatjuk, azaz axiszakaszok

szma tarthat a vgtelenbe.

Ha mg azt is kiktjk, hogy a finomtskor a legnagyobb xirtke is egyre kisebb legyen

(azazlim(max xi)=0), akkor tulajdonkppen a kzelt tglalapok alapjai pontt zsugorod-

nak, ekkor a grbevonal trapzthinytalanulkitltjk.

gy, haabeoszts finomtsval atglalapsszegnek van vges hatrrtke, akkor ez ahatrrtk pontosan megadjaagrbevonal trapz terlett.

Definci: legyen a (pozitv) f(x) az [a; b]-on folytonos fggvny. A x1, x2, , xn az[a; b] intervallum egymshoz illeszked szakaszokra trtn felosztsa, a1 a x1,a 2 a x2,,a n a xn szakasz pontja. Ekkor a

Tn=t1+t2++tn=f(1)x1+f(2) x2++f(n) xn= iin

1i

x)(f (\!

sszeg a fggvny [a; b] intervallumon vett grbe alatti terletnek kzeltse.


10/19

10

Ha ltezik a Tn sszeg hatrrtke: ,x)(flim iin

1in

(\!

gps kzben (max xi)p0, akkor

f(x) az [a;b]-n integrlhat: .dx)x(f)jells(x)(flimTlimTb

a

ii

n

1in

nn !!(\!!

!gpgp

AzAz aa ss bb az integaz integ--rls hatrai.rls hatrai.

Plda: szmoljuk ki az f(x)=x2 grbje alatti terletet a [0; 1] intervallumon!

Haa [0;1] szakaszt 4 rszre osztjuk s az .n. alulrl kzelt tglalapok sszegt vesszk,akkorakzelt terlet:

x1

0 ,2 0 . 0 ,7 1

2 .4

3

4

1

4

2

4

1

4

1

4

10

4

1t

222

4

!

Kiszmolva: .218 5,064

14321

4

1t 322

34!!!

Kzelthetjk a terletet kvlre nyl tglalapokkal:

x1

0 , 2 5 0 .5 0 , 5 1

2

Ekkor: !

!2222

4 4

4

4

1

4

3

4

1

4

2

4

1

4

1

4

1T .468 5,0

64

304321

4

1 2322

3

!!

Pontostsuk a kzeltst, osszuk fel a [0;1]intervallumot 10 egyenl rszre:

.285,09...2110

1t 322

310!! .385,010...21

10

1T 222

310!!

Haa [0;1] szakaszt n rszre osztjuk, akkor:

.)1n(...21

n

1t 322

3n!

.n...21

n

1T 222

3n

!


11/19

11

Ismert, hogy: .6

)1n2)(1n(nn...21 222

!

Ha nem n az sszeg utols tagja, hanem n1, akkor: .6

)1n2(n)1n()1n(...21 222

!

gy: sn6

1n3n2

6

)1n2(n)1n(

n

1

t 2

2

3n

!! .n6

1n3n2

6

)1n2)(1n(n

n

1T 2

2

3n

!

!

Haa felosztst minden hatron tl finomtjuk, azaz npg, akkor:

limtn=limTn= .31

6

2!

A keresett terletet ezzel teht pontosan megkaptuk.

Nem mindig ilyen egyszer a terletszmts, pldul a sinxalatti terletet a [0;]-on mr

meglehetsen bonyolultlenne hatrrtkkel szmolni.

A hatrozott integrl tulajdonsgai

1. A konstans kiemelhet: .dx)x(fcdx)x(fcb

a

b

a

!

A bizonyts a hatrozott integrl defincijval egyszer (lsd tanknyv).

2. sszeg, klnbsg tagonknt integrlhat: .gfgfb

a

b

a

b

a

!

Bizonyts: lsd tanknyv.

3. A hatrozott integrl a hatrok szerint is additv: .fffc

a

c

b

b

a

!

Az llts igaz volta szemlletesen igen egyszeren belthat (lsd tanknyv).


12/19

12

4. Haa-tl a-ig integrlunk, akkor0az eredmny: .0dx)x(fa

a

!Az llts igaz voltanyilvnval: haa-tl a-ig integrlunk, akkorakzelt tglalap alapja0,gy aterlete is 0.

5. Az integrls hatrainak felcserlse eljelvltozssal jr: .ff

a

b

b

a !Ugyanis: .fff0

a

b

b

a

a

a

!! Rendezve: .ffa

b

b

a

!

Az integrlszmts kzprtk ttele

Ha az [a; b] intervallumban az f(x) fggvny folytonos s integrlhat, akkor van legalbb

egy olyan az intervallumban, hogy:

).(f)ab(dx)x(fb

a

\!Az lltsunk szemlletesAz lltsunk szemlletes beltsabeltsaegyszer (egyszer (lsd tanknyvlsd tanknyv).).

Az lltsbl az is kvetkezik, hogy ha f-nek az [a;b]intervallumon amaximuma M,aminimuma m, akkor:

(ba)m ee

dx)x(f

b

a

(ba)M.

A Newton-Leibniz ttel

A hatrozott integrl rtke kiszmthat afintegrandus fggvny Fprimitv fggvnyvel:

).a(F)b(Fdx)x(fb

a

!Plda: szmoljuk kiaz x2 grbje alatti terletet a [0;1]intervallumon!

!!

!1

0

331

0

32 .

3

1

3

0

3

1

3

xdxx

Az x2 primitv fggvnyt szgletes zr-

jelek kz rjuk s alul-fell jelljk azals s fels hatrt.


13/19

13

A Newton-Leibniz szably bizonytshoz az .n. terletfggvnyt hasznljuk fel.

A ttel bizonytsa nem knny, de ez az analzis egyik legfontosabb ttele, a tanknyvben

viszonylag egyszer bizonyts tallhat. A szablyt igen gyakran alkalmazzuk.

Plda: szmtsuk ki az f(x)=sinx alatti terletet a [0; ] intervallumon!

3

s i n x ? AT

T!!T!!!

0

0 .21)1(0coscosxcosxdxsinT

Eredmnynknem kzelts, ez a teljesenpontos rtk!

A hatrozott integrlt tovbbi terletszmtsi feladatokban alkalmazhatjuk.A hatrozott integrlt tovbbi terletszmtsi feladatokban alkalmazhatjuk.

Plda: szmtsuk ki az f(x)=x2 s a x)x(g ! fggvnygrbk kztti terletet!

I

_1

1

x

xV_

2

A kt grbe metszspontjaiban az y rtkek azonosak, azaz ekkor:

.xx 2 !A metszspontok abszcisszi: x1=0 s x2=1.

Haa [0;1]intervallumon a x grbje alatti terletbl kivonjuk az x2

grbje alatti terletet, akkor megkapjuk akzbezrt terletet:

!

!

!!1

0

1

0

2

3

1

0

2

3

2

1

.3

201

3

2

2

3

xdxxdxx

Az x2alatti terlet a [0;1]intervallumon mrismert, gy akeresett idom terlete:

.3

1

3

1

3

2!

A terletszmtsnlgyelni kell arra, hogy azx tengely alatti terleta hatrozott integrl-

lal szmolva negatv eljelnek addik.


14/19

14

Plda: hatrozzuk meg az y= 0,5x+ egyenes s az x tengely kztti terletet a [2; 22]intervallumon!

A Newton-Leibniz szably szerint: .0x64

xdx6x

2

1T

22

2

22

2

2

!

!

!

Az eredmnynk nyilvn hibs, hiszen az egyenes s az x tengely kztti terlet nem lehet 0:

2 6 8 2 1 16 18 20 22 2

123456

0,5x+6x)= Az x tengely feletti hromszg terlete: .252

105T1 !

!

(Az alap=10, magassg=5.)

Az x tengely alatti hromszg terlete is 25 (egybevgsg), tehtaz egyenes s az x tengely kztt sszesen 50 terletegysg van.

Terletszmtskorkln kell a Newton-Leibniz szabllyal integrlni azokon a szakaszo-kon, ahol az x tengely alatt, illetve felett van a fggvny vonala, majd abszolt rtkbenadjuk ssze a rszterleteket.

A fentipldnk esetn: ,25x6

4

xdx6x

2

1T

12

2

12

2

2

1 !

!

! s T2=(integrls 12-tl 22-ig)= 25.

gy a keresett terlet =T1+lT2l=50.

Kt fggvnygrbe kztti terlet

ltalban nem kell a negatv terlet rszekkel kln foglalkozni, hiszen ha van negatvfggvnyrtk, akkor a mindkt fggvnyt felemelhetjk gy, hogy ne legyen x tengelyalatti kzs terlet.


15/19

15

Plda: szmoljuk ki az f(x)=x2 x+5 s a g(x)=2x fggvnyek ltal hatrolt terletet!

1 2 3 4 5

-

-

-4-2

2

4

6 Fggvnytranszformcival (a fggvnyrtkekhez elegenden nagykonstans hozzadsval) elrhet, hogy a kzbezrt terlet teljesenaz x tengely fl kerljn.

A szmolsi eljrsunk: !!b

a

b

a

b

a

).gf(gfT (Additv tulajdonsg.)

Az eljrsunk lpsei:

1. Kiszmoljuk az integrls hatrait, a kt fggvny metszspontjainak abszcisszit:

f(x)=g(x), azaz x2

6x+5=2x . Ebbl: x1=2=a s x2=6=b.2. A kt fggvny klnbsgt integrljuk az [a;b] hatrok kztt:

.3

210x12x4

3

xdx)12x8x(gf

6

2

6

2

6

2

23

2 !

!!

3. A kzbezrt terlet mrszmt a kapott eredmny abszolt rtke adja: T=10,66...

Megjegyzsek, kvetkezmnyek

I. Az improprius integrl

Elfordul, hogy az integrcis intervallum hossza nem vges.

A hatrozott integrlt(szerencss esetben) ekkor is kiszmolhatjuk a hatrrtkszmts

bevetsvel.


16/19

16

Plda:mekkora az2x

1)x(f ! grbje alatti terlet az [1;g[ intervallumon?

1 2 3 4 5

1

x_

2

Az eljrs: valamely n rtkig (n>1)integrlunk, majd megvizsgl-juk, hogy a kapott kifejezsnek miahatrrtke, han

tart a vgtelenbe.

!

!

n

1

n

1

2.1

n

1

x

1dx

x

1Vesszk a hatrrtket: .11

n

1limn

!

gp

A keresett terlet mrszma 1. rhatjuk gy is: !

!

!!gpgp

n

1

n

1n2n

.11n

1lim

x

1limdx

x

1limT

A mnusz vgtelen is lehet integrcis hatr.

Ilyenkoraz eljrsunk hasonl, csak a felvett segdvltoz , az na g-be tart.

ltalnosan: g

g g

g

!k

k

.fff Ezutn hatrrtk szmols kvetkezik.

Elfordul, hogy a c pontban szakadsa az integrland fggvnynek.

cc c

f x)

I I

Ekkor elbbac eltt bizonyos I tvolsgra lv pontig integrlunk,majd vesszk az Ip0 hatrrtket:

.flimflimfb

a

c

a

b

c00

I

IpIpI

!

A c utni rszre: elszr c+I-tl integrlunk, majdismt Ip0 .


17/19

17

II. Forgstestek trfogata

Adott egy folytonos f(x) fggvny, amely az [a; b] intervallumon pozitv rtkeket vesz fel.

Ha a fggvny vonalt az x tengely krl krbeforgatjuk, akkorforgstestet kapunk:

f(x)llts: a keletkezett forgstest trfogata:

T!b

a

2 .dx)x(f

Ezzel a formulval bonyolultnak ltsz problmkat(pldul a gmb, vagy a

csonka kp trfogata) tudunk egyszeren megoldani.

Bizonyts: lsd tanknyv.Bizonyts: lsd tanknyv.

Plda: szmoljuk ki az r sugar gmb trfogatt!

A koordinta rendszerben vegynk fel egy rsugar, orig kzppont krt:

rr

x r A kr x tengely krli krbeforgatsakor gmb keletkezik.

A kr egyenletbl: y2=r2x2.

Elegend aflgmb trfogatt kiszmolni, azaz 0-tl r-ig integrlni:

.r3

2

3

xxrdxxrdxy

2

Vr

0

r

0

3

r

0

32222 T!

T!T!T! A teljes trfogat: .3

r4V

3T!

A trfogatszmtsnl is elfordulhatnak improprius integrlok.

Plda: a norml hiperbola x tengely krli forgat-

sval keletkez test trfogata, haa hatrok 1 s g:

g g

gpT!

T!T!T!

1 0

n

1n2

2 .x

1lim

dx

x

1

dxyV


18/19

18

III. A ketts integrl

Az f(x;y) ktvltozs fggvnyt a derivlshoz hasonl elv szerint integrljuk.

Elbb az egyik vltoz szerint integrlunk az adott hatrokon, majd a kapott kifejezst

mgegyszerintegrljuk a msik vltoz szerint, annak a hatrain:

!

b

a

d

c

b

a

d

c

.dxdy)y;x(fdydx)y;x(f

Plda: az f(x;y)=3x2siny+5xy3+2 fggvnyt integrljuk gy, hogy az x hatrai 0 s 2,az y hatrai pedig 0 s T.

T

!

0

2

0

32 dydx2xy5ysinx3 (xszerint integrlunk) T

!

!0

2

0

32

3 dyx2y2

x5ysinx (xa vltoz)

!

!!TT

00

43 y4

2

y5ycos8dy4y10ysin8 .4

2

516

4

TT

Ha fordtott sorrendben integrlunk, azaz elszry szerint, az eredmny ugyanaz lesz.

A hatrozott ketts integrl geometriai jelentse: az f(x;y) ltal meghatrozott fellet alattitrfogat mrszma az x,y koordinta skon felvett, az a,b,c,d hatrok ltal meghatrozottskidom felett.

A ketts integrlokhoz hasonl gondolatmenettel rtelmezhetk az .n. hrmas

(vagy akr n-es) integrlokis, hrom (illetve n) vltozs fggvnyekre.


19/19

19

IV. Differencilegyenletek

Elfordul, hogy valamely konkrt problma megoldsnl olyan egyenlettel tallkozunk,amelyben egy fggvny derivltja is szerepel.

Plda: oldjuk meg f(x)-re: 5x22x+f (x)=0.Megolds: f (x)= 5x2+2x. Ismert: ! .c)x(fdx)x('fIntegrls: ! .dxx2x5dx)x('f 2 gy: .cx

3

x5)x(f 2

3

!

Lteznek olyan differencil egyenletek, amelyekben magasabbrend derivltak, illetve

parcilis derivltak szerepelnek. Ilyenekkel a szaktudomnyokban tallkozhatunk.Plda: egy terleten a lakossg npessgnvekedse vi 3% s ez egyenesen arnyos

a mindenkori npessgszmmal. Adjuk meg a npessgszmot a megfigyelskezdettl szmtott t idpontban!

Megolds: Legyen a npessgszm y, a nvekedse y. Az egyenes arnyossg miatt:

.03,1y

'y! Az y fgg az idtl, teht y(t) alak. A kezd idpontban t=0, a kezdeti felttel: yo.

Megoldand: y=1,03y, azaz: .y03,1dt

dy! Rendezs: .dt03,1dy

y

1!

Integrlunk: ! .dt03,1dyy1

Ebbl: lny=1,03t+c, azaz: y=e1,03t+c=e1,03tec. Legyen ec=c*.

Ha t=0, akkor: y(0)=yo=c*eo=c*. Eredmnynk: y(t)=yoe1,03t.

Akplet brmely idpillanatban megadja a npessg szmt az adott terleten.

A fejezet trgyalst befejeztk.

Integral As

Documents

Transcript of Integral As