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Title Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien rechteckigen Platte

Author(s) Iguchi, Shikazo

Citation Memoirs of the Faculty of Engineering, Hokkaido Imperial University, 6(5), 317-385

Issue Date 1942-04-30

Doc URL http://hdl.handle.net/2115/37736

Type bulletin (article)

File Information 6(5)_317-386.pdf

Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP

https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/about.en.jsp

Dge Eggesusgkwiggggessgeff mprsdi KReeecgfifiggegeefi deff

' ' frefieee geecktegkijgess gelagte.

vgegesegtfig

Von

Shikazo IGucHi..

(Eingegangen am. 25. 0I(t. 1941).

s

'

L

II.

III.

INHA.LTSVERZEICHNXS.

Einleitung .･････.-e･.･-･･-････e･-･e･･-･････ .･ ･Kapitel. Allgemeine Er6rterung･･･.......- ･`.････.･･･-･･ 1. Die Grundgleichung･.-････････.･e･a････`･･････ 2. Al]gemeine L6sung und die Randbedingungen .･ ･ ･ ･ . ･ ･ ･ - ･ ･ ･ ･ e

Kapitel. Die Platte mit Eckst(itzen.-････-.･e-･･･････････4A. Allgemeines･･･....･''･･-･-･.･.････....･･･････ 3. Die allgemeinen Formeln.････-･･･････････････････ 4. Die Symmetrie- und Antisymmetrieeigenschaft der Sehwingungsfli,ehe'- ･ ･

B. Die erste Schwingungsart.･･-･.'･ ･･-･･-･･････-･･････ 5. Die a･llgemeinen Formeln fij'r aie reeliteckige I'latte.･ - ･ - ･ ･ ,･ ･ ･ ･ ･

6. DieFormelnunddienmnerischenReehenergebnisseflirdiequadra･tisehePlatte.

C. Die zweite Sehwingungsart ･,- ･ ･ ･ ･ . . ･ t ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ t ･ ･ ･ - ･ ･

7. I)ie allgemeinen Fonneln ftir die reehteckige Platte.- ･ ･ ･ ･ ･.i ･ ･ ･ ･

8. DieFormelnunddienumerischenRechenergebnisseflirdiequadratisebePlatte･ 'D. Die dritte Sehwingungsart ･････:.............･-････, 9. Die ailgemeinen Formeln ftir die reehteckige P!atte ,･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ - -

'. 10. Die Formeln und die numerischen Rechenergebnisse ftirdie quadratisehe Plattet

Kapitel. Die Platte ohne Ecksttitze.･･. .. ...-..-.･..･-･-･･･A. Allgeineines･･･････t･,･････--･-･･･････-･T･･-･ 11. Die allgerneinen Formeln ･･-･･･････････････'･ ･･･ ･'･

B. Die erste Schwingungsart･･-････--･････e･････b･････ 12, Die allgemeinen Formeln ftir die rechteckige Platte.･･･････････

l3. DieFormelnunddienumerisehenRechenergebnisse£iirdiequadratischePlatte･ ' 14. Ntiherungsformeln fify die quadratisehe P]atte .･-････････････ iC. Die zweite Schwingungsart･････････････････････････ 15. Die allgemeinen Formeln ftir die reehteckige Platte.･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ - ･

16. DieForme!nunddienume.rischen'ReghenergebnissefifrdiiequadratisehePlatte･

D: Die dritte Schwingungsaris.･ ･ ･ ･ . . . . . . ･ ･ ･ ･ ･ t ･ ･ ･ ･ ･ ･ - - ･

17. Die allgemeinen Forme]n fiir die reehteekige Platte .･ ･ ･ ･ - ･ ･ ･ ･ ･ ･ 18. Di,eFormelnunddienumerisehenRechenergebnitsseii'rdiequadratische?labte.

E. Experlmentelle Untersuehung.･･･････････-･-････-･･･-

Seite

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321-

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364

371

371

372

383

l

'

'

,

318 S. Iguehi.

EINLEITUNG.

Die Eigensehwingungserscheinungen der elastischen quadratiseheii Platte mit

freien Ra'ndern sind sehon seit Anfarrg"des letzten Jahrhunderts dureh die von[E. F. IP. Chladni(i) experii[nentell hergestelltep Saildfiguren (Klangfiguren) wohl-

bekaRnt. Seit jener Zeit haben zahlreiehe Forseher, namlich Ch. XVIieatstone,2)

F. Strehll

Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien rechteckigen Platte. 319

I. Kapitel.

ALLGEM[EXNE ERC R:ErERUNG.

1. Die Gruxxdgleiehuftg. Ist w die Auslenkurig zur Zeit t an der Stelle

(x,y') der Mittelebene einer homogenen dttnnen Plabte, dann gilt fiir die Bie-

gungssehwingungen die Differentialgleichung , aa`i`,' +2-a.e,`2e",,/,+aa`l`:+liiil} Oa2tZ,V ==o. (.i)

' 'Hierin bedeutet p die Plattendichte und N die Plattensteifigkeit, d.h. Eh3/12

S. Igughi.320 ' ' ' ' A..vaVMnZ+pa, R2.==i/?n2="i', (ai!!g)

' ' pa = -3iai-22--"--P2vL-- (dimeh'sionslose Gr6sse)

tt tt

ergibt sich . ' '-x;,(e).,,,T't'a'9"ltX, ,-"A.ct'Vx, ,gl.li-!pf, le-!i.r2"x

'oderaueh ,. . . ' X;,({ll-) :(EDf VT'il"otx, ein "Ti'lctnx, (Epi "Ti'lct'eem, (iisik Vi"ilct'nx1

' ' 'Aus dem analogen Ansatz ,･ ' ' ' ?.vt ==･ Y.(-i;)sinmvr(-li' +-l;,-) oder ' w' == I';,,(X'/)cosonzor(-li'-+{li-

'

tt ' I7',.(-ii[-) :(SoiV"2s"'･3/, Sin7r'fl;B'ny, QsDi+7i`'bl'fi',tf/, sin'Tr2A"xz/

'mit den Abkttrzungen ' ' ' ' Rfi.=1/B2m2+pt, 2g.=1/i(g2m2---pa', (Bi-iE±-Z-)

.+ fo, ,.. Ii/;i pa .= .:;:ba:2V-g(71mi' . (dimensionslose Gr6sse)

'Somit sehreibt sieh nuii die allgemeine L6sung von (3), wie folgt:

' de) la.rp 2 x;,(})!Si" 'nVT' (-ill' +")+ i:2i v;.(,)1sin m7r(-l}-+ 6) l

. " {cosn7r(S'-+op) M teos7n7r(-ll}-+G),

(-,n:='(g:i;::::'i[ui:'g;gs,tr-.x:e,i/:g.x,'A), > `6a'

' 6Ei:, "ee{', ･J ' -t ' .t b il li`,;',:. A.'.,i:', 1:;i.'2j gD,Iff,',1':,S:2'11.el'#.7r.i,ctSII2./fjgi ,T,1,;ct:i:') (6b)

./ ' ' ' ' ' ' ' t tt

(4)

)

(5)

e

DieEigenschwingungenundKlangfigurendervieTseitigfreienreehteekigenPlatte. 321

' - ,･.. ,t , ' ' Fttr die dureh Abb. 1 dargestellte reehtecl

322 ' S.Iguehi. /t ' hervor. Daraus uild aus der ersten Formel (6b) t'olg't,

, A.(R2..-va2n2) {IS Di Eli-A..+Ah(Re2.-va2n2) {iSIoi Zi-Ra.

' t (A# (R2..-va2n2) ein -

'

Die,Ei.lensehwingungenundKlangfigurendervierseitigfreienrechteckigenPlatte. 323

' ' ' Die in (8) und (9) noeh verfiigbaren unbekannten Beiwerte a., 'ah, b., bin

mUssen miteinander so verknUpft werden, dass ?v' (7) mit (8) und (9) den ttbrigen

Randbedingungen 3) und 4) gentigen. Da aber die diesbezUglichen weiteTenRechnungen vie] komplizierter sind, als die fUr die Randbedingungen 1) und 2),

so werden sie in den kommenden Einzelfallen durchge:fiihrt.

' 4. Die Symmetrie- und Antisymmetrieeigenschaft der Sehwin'gungsflache.

Esistlei,chtersiehtlie,h,dasti , ' ' u･ct.(-g)=zi･ec.(6), vct.(-g)---ii..(e) , ･ .

jst. Ferner wird ･ ' sin wz7r ( >1-+ s) == sin "i2'7T' eos 7nvrg'+eoS 7]?{T sin 77i,7r6 ,

' m-1 . -ts ==(ml)2cos"?･T6 ftirm=::1,3,5.'.., ' ' ' 'ln ' ==

Durch EinfUhrung dieses Ausdrueks fUr w' in die Randbedingungen 3) erhalt man

:l;(-1)'Ziia,,.(-.C,.-3st-'.'A

324 . S. IguchL 'wbrin lautet

-.a,i.IT'zeUn'(i:Lli')pma2n2(2-v)-#-teG7t(±-ll-)== FGCa,, (abkurzungsxNTeise),

' ==ER2..(aa2.-va27r2)f};gIIIiFA'a2.(R2ct,,nvva2n2)iSgiliRa. '･'

. ' :pa2n2(2-v)(2a.(Aa2.opva2n2)ll$g-'2'"-2ct,,-Re.(22..-va2'n2)CvS'g l}Rg,,i

-um F(Act,,Il (m o!!i'ji'(., l:'3i,.ll`:l,2,','//"it,,.) eos o'b7r'7, )

', g:ltlli7ifi2M,lll in-L[llZ'ttrm.2,a-//EM'fi.",- = wwS',C',L-C :li]('1i)2!'S!-i(.,'i'it,,'.)'i"hE-:i] i}-g,)-cosoz7rn,

R2fim(siiliokcn"f,fi.m"-R32m(EgiDl.ll;7I-Tr-:/;".m"-=:8-}i}'b:{:;i](--i)"S-i(,,,+A?,.7)"(3.,+Rc,,,.)eosn7T"o7

' , (--l}

Die Eigensehwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien rechteckigen Platte.. 325

' Gemgss (b) Qnd (c) geht die vorherge}iende Gleichung (a) ttber .in

' ' :;F (-o"i' [a.Gff. + 8,',XL':;,;b. WZn{(ltt,"+)2"Rik2.'Z)2(?,,(3- iEil,".))"2pa'2i-] cos n7rep == O ..

' Da diese (]llejehung ftir jeden XVert von' ,7 erfCillt sein soll, so mRss die eekige

KT.laininer verschwinden. Also wird

' "'" + ,-,8tt,'.';,1 :Il;. br "2']'l{

326 S. Iguchi.

Dies ist die gesuchte lj"requenzgleichung, dureh deren Aufl6sung i[nan diedell versc:hiedenen [1]onh6hen dieser Sehwingungsar't entspreehenden Eigen-werte pa (oder foi) aufzufinden hatt. XNTenn man so die Werte von pa ausrec'hnet,

1i'ISS,,12.-,")pa2 )

Stei].e von vz.

(15) init diesen

t-

"Iert ･

(18)

Damit, drUckt sjch ,jetzt die GIeiehung (15), wie folgt, aus:

Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien reJ'hteckigen I)latte. 327

" --

1-= q),e,

r -= ･r3QOrl

r -= cbr5carl

r

---

-= a),.lq)l3

r1-= ¢3, r MX car5car3 tli

i--

-= carlopr5 ･･･

T -:EI] oC),･3{7).s ..-

r1-:lli]ip,?s ･･･

r -ee ---

== o.

Mit Hilfe deii Multiplil{ationsformel der

Syi:nmetrierelation (Pi,j=:ss ..･

}--

I'''' I l

---

=- ol

Determinantengleiehungen

Diese ForderLmg wird erfallt, wenn a.:=b. ist. Somit vereinfaeht sich derAusdruek fUr zv'i(16), wie folgt:

,zvi = ceiiil)i)

,it, Jx ,,.- :ll](--1)'nii' a,,(ti,. (e) eos n7rn,+'t(n ('O) eos 7?･vr8} , (21)

a.==-"-Z'-, (ai=::-t1), (n=1,3,5...). '

al ' ' ' ' 'Wegen b. (=b.) == a. ft)Igt aus (12) oder (13") ' ･ ' ce.+i8-#,;-¥ct. ns{(iiljl--i4'7S,i,±ny`?,i-V)"2} =-o･ '

' ' ,Damit (lrUel

,

' ' t/ DieEigenschwingungenundKlangfigurendervierseitigfreienrechteekigenPlatte. 329'

ttt ' ' 4, =zgg,/iu-'m'p,･ -'

. fttr pa

330 S. Iguehi.

Tabelle 1

pa

. ' Die Werte der entspreehenden

den versehiedenenDeterminanten (v =:-`

Gi-6ssen von

O,3).

y･

j'

Al

O,750

O,740

O,716

O,700

-O,170988

-O,106968 o

･ O,025997 O,101356

A2

Wurzeln e,721086

-O,166049i

i , -O,104873l･ o,o222olIL- O,e94224

l･' O,720555i

A3

11.

Ilil

-i I j

Ad

-O,161688

-e,102209

O,021341

O,091369

O,72e503

-O,158508

-O,100218

O,020863

O,089494

O,720491

Aus dieser Tabelle'sieht man leieht, dassminantengleichung zwisehen O,740 und O,716 liegt.der rl"abelle angesehriebenen Zi･ffbrn sind die' Werteder Wurzel-, welche mittels der Lagrangeschenllnterpolationsfbrmel ausgeree]inet sind. Ferner

zeigt die Tabelle, dass die Konvergenz derZahleiifolge der den Determinantengleichungen

gi=:O, zi2=:O, U3=O, ti4==O entspreehendeiiWurzeln recht gut ist, wie Abb. 3 zeigt; ausds == O wttrde mit IE[ilfe der Newtonschen Inter-

polatdionsformel der gleiche Wert pt :O,720491

folgen, genau wie pt aus J4=O. Somit kannman fo ==' O,72049 a].s den richtigen Wert der

ersten Wurzel annehmen. Dieser Wert von paist der' allerniedrigste Eigenwert aller Schwin-gtmgsavten' der betrachteten quadratisehen Platte,

an, in dem die Platte ohne Knotenlinie sehwingt,

' AufGruncl der voran erw"a"hnten Tatsacheman einen hinreichend gena,uen Wert von padrei oder vier Zeileiri un'd Spalten der

die an(leren Schwingungsiarten, obwohl die

sendem ,Lb et,was schlechter wird. In dennungeii･benutze ieh immer die Determinante mitSpalten, d.h. die P"requenzgleichung ts4==O. DieEigenwerte pa sjnd in Tabelle 2 zusaminengestellt.

ij･die erste NNTurzel jeder Deter-

Die in der untersten Reihe

Zt ltr

x,fi ire.z

anep7 g anee6 .

'A H-i "L aneps

anepa

am3 123es6 n Abb. 3. Da!llgtellung der G(ite der

Konvergenz der Za･hlenfolge der VVurzeln u･ aus An = O.

also geh6rt er dem Grundton wie Abb. 4-(I) oder 5-(I)

man sieh nun, dass wenn man nur die ersten nimmt. Das gilt auch fUr gew6hnlich mit waeh- numerj.schen Rech- den ersten vier Zeilen und

so ausgereehneten h6heren

ttberzeugt

erhalt,

Determinante

Konvergenz nachfoIgenden

'Die Eigenschwingungen und Klanifiguren der vierseitig freien rechtecldgen Platte.

' ' ttTabelle 2. Die VVerte von p ulld clie der verschiedenen Beiwerte

ftir die erste Familie der erstell Sehwingungsart der

' quadratischenPJattemitv=O,3.

331

v･

pto:vs

A

thptoewpa

o

nlt

cttv

1

3

5

7

1,eooooo

O,O06940

o,eoogs2

O,OO02Vl

).?z

t

I )!2n-vn2

:

),lo?'EI

),2n-Nn:"

l

v : $i = )n g eq.

y esi

et･

ro" ifb :. ge

k o. evP-･,

ed

ll

31

5

71tttttttttttttttttt

1

3

5

7

1,eoeooo

O,080207

o,oe476o

e,oolo23

1,oooeoo

O,223594

O,062859

O,O07986

1,31i674

3,117770

5,071538

7,051276

IHo,o2o4gIois2s6s7 i' i,42･o4g

i

1 2,877414 1 7,02049 5,5795iI 1

16;77951 4,927424 l 18,22049

I i 6,g4s34.o" I 3s,o2o4g 33,57951 l

2,344269

3,673636

5 43e986

7,314069

i

i - 3,79560

l,80440

iI i3,tw4o

29,80440i

E

3,876706

6,798838

6,247307

7,93967o

i

l/ r13,32885

I .- 7,72ss5

lII

I･ 3,4nisi

i

ll 20,27115j

* 1,869652i

2,122357"

4,528178

6,671161 ttttttt tttttttl

* 3,609550i ' * 2,242510i

l

3,312272

5,913643

5,19560

10,79560

21,99560

38,79560 ･

14,72885

20,32885

'

31,52886

tt "48,3.2885

Abb. 4.Knotenliniei}.

(I) -

(II)

(III)

* i bedeutet die irna･ginare Einheit.

' 'Weiter "roll.en wir uns rnit der Untersuehung der Sehwingyngsgestalten.,folsps,ut#.ikil//#, 'ts.s:rw,ig,e,gj ,ii",gi?:e, haZ,)'ve,e,k,f. gsl･hi'･'k'g,,sl,si"x.glg,,,",.(i;,ktko,",

Punktes (x, zl) zu jrg,endelner Zeit ist proportional zu E,Z)/. So hat man es ･nui}

n6tig, die Werte der unbekannten Beiwerte ct. ausziirechner}. Div.i(lie･rt, man zu

('liesemZ"l.eekedieersteGleichungjn(I.4)(lurchcei,soerhaltman ･ ･

' a,,+=K;,,a,=O, (at=1), (n,s--1,3,5,7) ' (23) ' s ' //oder mit den vorteilhafteren Bezeiehnung, cn,'= .llrL,. fUr n=l=s, cnn -tu l + K;m rur

n=s,sehreibtsich . ･

,

332 S, Iguehi.

Cll + C13 a3 + e15 a5 + e17 a7 =O,

C31 + e33 a3 + e35 a5 + C37 a7 =O, ･ (24) C51 + e53 a3 + C55 a5 + C57 a7 :O) , C71 + C73 a3 + C75 a5 + e77 a7 =O.

Dies Iautet zum Beispiel fttr die erste Wurzel pa == O,72049

' ' O,e03090-O,403537a:-O,245779as-O,176261a7=O, ･ (a) ' -O,006t545+O,953707a3rvO,059165as-O,055555a7==O, . (b) ' -O,OO0858-O,O12729a3+O,972895as-O,033904a7-mbO, ' (C) , -O,OO()22{-O,O04354a3nvO,O12351a's+O,980691a7=O. , (d)

Diese vier GIeiehungen fULr die drei Unbekannten a3, as, a7 liefern vier ver-

sehiedene Systeme der drei Gleichungen, aus deien L6sungen vier Wurzeln fUrjede Unbekannte hervorgehen. Aber sie mUssen unteteinander gleieh sein,wenn die Bedingung (Frequenzgleiehung), dass die aus allen Koeffiziepten be-stehende Determinante gg gleieh Null wird, genau erfiillt wttrde. Aber es ist

fast unm6glich, die Wurzeln pa, m.it denen die Determina,nte genau gleieh,Null

wird,auszufinden.SozumBejspielstelltdiewirklichelRechnung ･ ' tt ' ' i 'O,OOOOOI fUrdieersteWurzel･pa=O,72049, d4= -O,eOO037 fiirdiezweiteWurzel pa=- 4,4956e, ' O,OOO075 furdiedrite"Turzel pa==14,02S85 'dar. Mithin muss ein Fehler auf der reehten Seite jed6r Gleichung (24) oder((b) bis (d) hii]zugefUgt wei'den, und die wahrseheinlichsten Werte vbn a3, as, a7

sind aus den Normalgleichungen

[C･n3 Cnl] + [Cn3 eot3] a3 + [Cn3 Cns] as + [C?t3 Cn7] a7 == e )

.- [C･nsCnl] + [CnsCh3] a3 + [CnsCns] as + [ens Cn7] a7 := O, (25) [Cn7Ctrbl] + [Cn7Cpt3] a3 + [Cn7 Cn5] a5 + [Cn7Cn7] a7 `= O

zu finden. So lauten die den Gleiehungen (a) bis (d) entspreehenden Normal-gleiehungen ipit verhvmdertfachten KoeMzienten, wie folgt:

-O,747704tj +107,2580137a3 + 3,0424641as + '1,4306278a7 ='L O,

-O,l204.199 + 3,0421641a3 +101,0432495as + O,1510617a7 =;' O,

' -O,0371624+ ''1,4306278d3+ O,1510617as+99,7058617a7==O, ' tttt ttttaus deren Ldsung man die gesuchten Vgfurzeln

t a3==O,O06940, as=:e,eO0982, a7==O,OO0271

1 ,.erhalt. In analoger Weise kann man aie Werte von a3, as, a7 fiir die h6herenEigenwerte pa ausrechnen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 zusammengestellt.

e

't

D

Die Eigenscbwingtmgen und Klangfiguren

c

der vierseitig

H

A

-to

H-a5

aa A

D

D

freien rechtbel

eine solche Sehwingullgsfl5ehe mindestells zwei Diagonalen als Knotenliniell,und es gilt offenbar die Antisymmetriebedingung

w, '(x, ･y) == -w"('gl, :U),

die durch die Sonderrelation

bn(== bm) == moan

'befriedigt wird. Somit ergibt sich aus (l6)

zvt == al -wt e

n-1 . , isi.==:ii],(--Ll)2a.(?t.(6)cosn7r"-2en

I)ie Eigensehwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien reehteckigen Platte, 335

,

o

"

A

., ;,>EiiilJJ 2//1/'.L-ig/f

`tG)- s-si`-

ts -+vY)k-gks

s'

,isi 4

ge.J2

rr--m;.;77. I

r'' ,ttt ..i tltt t!1 ',.ii･ 11JII'.1. ･.. ･1

'-'-'t'-)Xx J!// xy / + l/! vag,,( es}(,

pt SN,. tt ttt as:' t'

C

F

B

･ Sthnm A-B ct. M-F

Abb. 7.

v llA

mtae

Bef

tt.t.

,

w,

Schicbtlinien der if'LFIljehe fifr die zweite Familie

der ersten Sehwingungsart mit vJ == 11,86634.

'

- ' C. Die zweite Schwingungsaret. ' ' ' ' 7. Die aalgemeinen Forrneln flir die rechteckige Platte. Es handelt siehjetzt um die zweite Schwingungsart, in der die Schwingungsflliche antisym-metriseh in 'bezug auf die beiden Mittellinien 6==O und n=O des Rechteel

「336　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　s．19uchi．

　　　潔（一・）号・夷｛鼻：螺（嚇・2・・2（2＝・）募吃（結）｝：・i・・一・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一幕贈・隔（η）一α2？η（2一ゆ）£：・1；。（・）ト・

bzw．．

謬（一・）誓δ概｛巽艦）一β2・・嬬嘱（土量）｝li…罪ξ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「凄α栖（ξ）『β勉（2「の妥鑑（ξ）｝ro

gen螂．　In． iα）lau七e七

募1磁暢）二・・…嗣÷・乙・（士1）一一一　…ng・W・i・・）

　　　　　　　　　　　　　→・（鵜一レα2π2）2鰐λ・・＋λ在・（λ＆　ツα2’L2）2⑤tg置λ＆・・，

　　　嵐（η）一α2”z（2一レ）輩一細≒脇嚇z・1・9・w・i怠・）

　　　　　　　　　．∵（驚〕舞）

　　　　　　　　　　　7脚岬町襟留呼野…）

　　　　　　　　　　、＋燗（λ鴛柵㊥t童τ輔隔η　λ鑑Gi11輔1秘ηG曝、鱒偏）1

：B㌧萱：i七　　1ヨ［ilfb　　de〕〔・　F｛＝）rr［ユelrL

細一舞綴劃一尋（｝1＞窒．画厩・s　

　　　　ド

（a）

（b｝

（e）

（28）

'

1{rLzs 7rny2.ZiZl.

Dieser Ausdruck fUr

und Hs. und (.

c E E g=

lausgedrUc]

' '338 ' S.Iguchi. ' ' 8. Die Formeln und die numerischen Reckenergebnisse fure dietische Platte. Wegen o7z =n=:2, 4,,6.･.., a==B:=1, pa'--pa fUr die

tische Platte kann man hierftir sehreiben ' ･

, 2o':i.].(--1)e{aav.(8)sinnvrn+bav.(n)sinn7re}i.

(n =: 2, 4, 6 ...)

Der Ausdruck ftir .ll?,, lautet nach (31>

' ,zli;,, ,.. - 64tL2ns = ?"2{(11--y>2on27z2 +(2-v)A2} {(1-v)2o･2s2 +(2 mv)y2}

r

quadra-quadra-

(33)

7r2H;, rz{(r2+n212-A2}{(r2+s2)2nvfo2} ' ' ' (T, 7'b) S =: 2, 4, 6e..) (34)mit

H;, Tt Rn (a"2-yn2)2 (IXtg -liL2.--ia(RZ-vn2)2 (IS tg -ll-- 2;, .

' ' '

Der Augdruek futr H;. ist derselbe wie der fUr Ji4, mit o' an Stelle von n,. Aueh

fiir diesen Fall wie fUr die erste Fai[nilie der ersten Sehwingungsart ist es m6glieh, die Frequenzgleiehung' (32) mit K;,, (b'4) in zwei verschiedene ･Gleich-

ungen von der analogen Form wie (19) und

DieEigeBsehwingungenundKlangfigurendervierseitigfreienreehteekigenPlatte. 339

Man kapn beweisen, dass di6 durch lkrl,. (36) gebildete Frequenzgleiehung aueh

aus der Determinantengleiehung (32) mit .K;,. (34) hervorgeht.

In analoger Weise wie･in den frtiheren Fallen erhlilt man die in Tabelle 4

zusammengestellten Rechenergebnisse fttr die erste und zweite Wprzel pt.

Tabelle 4.

fix'r

Die NNrerte von t, und die der versehiedenen

die erste Familie der zweiten Sehwingungsart

quadiratjsehen Platte mit v =O,3.

Beiwerte

der

IL

re

ts

$

M

pase

eq ･

oc-

･kts

pi esl'

gy,

ptcoo.o･ec

7Z

2

4

6

8

2

4

6

8

an

'1,OOOOOO

l

` >-rb

O,368251

O,026749

O,O06794

l

t

IE

4,049823

5,329265

6,957087

8,740770

1,eeoeeo

O,303269

i5,484688

6,487048

)!2n-vn2

- 9,60107

-- 1,201C7

12,79893

32,39893

O,l94748,

7,879201

-23,28180

-14,88180

LilII,

O,88180

)!n

2,898459i

1,897084

4,587875

7,183239

),2n'vn2

15,20!07

23,60107

37 60107 '

57,20107

O,025757 9,491144

'4,699127i,

3,175181i

3,149318

Eilli

28,88180

37,28180

51,28180

lt18,71820I. 6,157775 i･ 7Q,88180

ll

Abb. 8.Knotenlinien.

(I)

((IIIII)iii>)

'

3･40

D

)/i// ("

n7u-rr-'/7-dL. ･f ft] tt! trttt..t / /t-..x.X (-'x ,, ･N･tt

./. ] -y K..-.--'K"-. ."

xF

)j

NX

x

"

..rptg･..,g.//t,

''glitl9g{. x....-- -xHx."~ S.x'Xx × X "'x ×

+

'x-.N'"T Iii-I

.t-ssx l)×///ICg)L"s･},,

-tti

vK..7r --

S. Iguchi.'

'

!

H

--le

--as

ao

as･

te

e

der

z/9t-ti

t

x- tt

cs(S.l' i,x

T )"'""'/ ao

-C ,l

i,k

vx l x

+f: x(.(/ll.2･if.l,,.,[

(.iil'i-ZI./'ii'

t.

F

B A scfinltt A-B Sirhnttt A-B lal

sl

(I). tJ,i=l2,40107. (II'. ve==:26,08180. ' P 1= Abb.9.Schiehtlinien T,i-FiacheftirdieersteFamilie derzweitenSehwingungsartr ,

' ' - t.Avnorazlgiel:gk.der AUSdrUOI< fUii I{r;ts derselbe wie dei m (36) iinit entgegengesetztem

' ' tt

Tabelle 5. Die XVerte der versehiedenen Beiwerte fCii` die

' zweite Familie der zweiten Sehwi]igungsart der

quadratisehen Platte mit v :e,3.

i Abb. 10. Knoteniinien.

l

I;.tt trtIFii e-.LL.LTrm-t"-!.--iI

-tt.

--;-

li---･･vIl,

l lp

w

m i' ,-rv

4t.tt -H

e

J

ny -L-t-.le..ttt N.It..J...1i.-.E,..---:,/

.....Lrnl-.L...l･L....tt

'Vv,

y n >･n')!2n-vn2

1i),tn])･2nrmvn2

2

if) 4tv･gg

CS)h

e.D 6

8

goooooe

1,284942

' '-O,131509

-e,023564

4,968777 -17,88875

6,057i25 -9,48875

7,529193 4,51125

tt

9,202649 24,11125

4,085,187･i

'

2,165352i

3,912959

6,581128

23,48875

31.,88875

45,88875

65,4s875

l

tL

i

t

,

Die Eigensehwingungen und Klfingfiguren der vierseitig freien rechteelcigen Platte. 341

Die iRechenergebnisse far die erste

Wurzel Fb=20,68875 sind in [l)abelle 5

zusammengestellt, wahrend die sehema-tjseh gezeichneten Knotenlinjen dafttrbzw. die entspreehenden Sehiehtliniender zab'-Flache dureh Abb. 10 bzw. Ildargeste]lt werden.

X). Die dritte Schwingungsart.

9. ])ie aligemeinen Formeln ftirdie reehteckige Platte. In den frin'heren

Untersuchungen sieht man, dass diePlatte in der ersten sowie der zweiten

Schwingungsart immer derart seh"Tingt,dass die Auslenkung einer beliebig durch

den Mittelpunkt des Quadrats gezogenengeraden Linie symmetrisch in bezug auf

diesen Punkt ist. Wir gehen jetzt dazu

Uber, den anderen SchNsringungsfall zu

betraehten, in dem irgendeine solche Linie antisym- metrisch in bezug

auf ihren

Wenn nun bezug aufdie

y

'-

nynvtgn!tnte

+1+

-9--"S Abb. 12.zva/-Flliehe.

=

wa =- :II][(

n

D''

' - y- +

･+ -

ecs ..ues

- +

+-ne5-c)pas

ew av

t,R

"ee,

R

cus ddi5

JO -no'x

A

av

nv

inca

av

nv

&eaiff A-B

c

8

e

M.

Mittelpunkt

die MitLellinie

in bezug auf die andere

eine Knotenlinie ndie schwingende elastische

den Mit･telpunkt des

verlauft; antisymmetmsch

Eine Schwingungsflaehedureh

m-1 2 b;.vp.(v) cos ?n7r6

7n (m = 1, 5, 5 ... , n == 2,4,6 ...)

Abb. 11. Schiehtlinien der i7,i-Flttche ftir die zweite 'Familie der zweiten Schwingungsart mit p == 20,68875.

schwingt. SehwingungsflEiche syminetrisch in

6 =: e, antisymmetriseh dagegen op == O ist, so muss sie mindestens

::O haben, wie Abb. I2 zeigt, und -

Linie einer beliebig dur¢h Quadrats gezogegen geraden Linie

' in bezug auf djesen l'un]

'

. tp

' ' ausgedrUck£. I)ie beiden unbekannten Beiwerte a. und bh werden durch die aus

denRandbedingungene"))bzw.4).hervorgehendenGleiehungen ,

' ' ･:Ill] (-1)':t' an( #: ?.i･G'.' (± -l}-)-a2n2(2-y) -;;-3,ea.( ± -12-)i sin n7i-n

' '±ll,ll].bin(m3vsm(op)--a27n'(?.-v)32,v'fi'.('7))=O

' ' ' ' ]lli,l(-1)Miibr.(,b,3,v(,'.'(±-12-)-K92m2(2-v)'tt-v'fi.(ke-i:-)]eos7ncrrcr

---- :lll a.(n3ztct.(6)-B2n(2-v) -g-i22 2t!.'.(6) i -im O,

' { miteinander verlB-e'pa-2-}'. (41)

ys (v' == l, :'S, i} ･.., n, ,g =-: 2,,4,6.:.)

l)araus l

r･LVb

Daftir

bm

mit

Ki,nr

Die E'igenschwingungen und Klangfigureri der vievseitig freien rechteelcigen PIatte.

tl,Hl e ltl!L. = =(-1) 2 a"?]..(e) cos trt7rny + ]:II](-1)2b.zep.(n)sin 'm7r6. (M == 2) 4,6eee, n:= 1, 3,5...)

gilt offenba,r

-- = fL:mrbr =" ()

r

- 64IhsL'onzT=s2{(1-v)2'ln2s2+(2-v)B2fo2}{(1-v)2r2su(2-v)a2pa'2}

s

343

(42)

(43)

･7r2G!{3. -El},.(7n.2+R2,,)rmmet-

nisch dagegen in bezug auf die andere ep -- O des Quadrats sehwingt. Dj.e Sch-

wingungsflache hierftir lautet sofort naeh (38), wie folgt: '

･Lva =:' a2'be,'. ,

tt on-1 E?T,h = =(-'--l)2a.zt.(g")sinn7rn + =(-1) 2 Bhv,.(op)eOs 7?z7T"6, ' (m-ny･1,3,5...,n=･2,4)6...), (44) an==-9e!ti'-J (a2--1))' isin==bfa--.

a2 , a･zDafar gilt

tt ' an + = -KLtsas = O,

Khs tuh nd ge4tt.?"ns ¥ '"2{(1lytt)2'{2(℃:,++(,2.,i,l/i2,}}{{((1,.;+"2Ii',2'22 pa+,(}2-")pa2} 1

(r=1,3,5..., n,s:=2,4,6...) >(45)

'

'

344, ' S.Iguc.hi- ttt

G'. f a. (Rh2 --vn2>2 Zg -g--R.-Ra (Ae,-vn2)2 ℃g :i;R;, ,

' .ZII].v=.;R,.(R;.2---vr2)2Stg-72'"-R.-a;,(R?.rvT2J2agtg-g-R;. ･j

' Wenn man daraus die Wei'te von a. ausrechnet, so kanii man die XVe]ite von

BA,ausderaus(4e)hervorgehendenGleicliung ,

B;n(=:'lltltg)i=nv,,.l'illZb;:i:i]asMS{(li,;,),27+?Z2,S,i,+-(t2,,-")'tL2}.. (46)

erinittehi.

Analog ftir die anbisymmetrisch l)zw. s>rmmertisch in bezug auf 6 :== {} bzw.

n== O sehwingende Flache ergibt sieh aus (42) .

' , . zvS =b2tHt･g, tfieug == I:ii] (-1)lt2-'a"v.(s) eos n7r77 + :il] (-1)'{'ltJIg.tt･.(op) sin m7r6 ,

n ･nz - '(o?z-2,4,6...,nl=l'1,3･,s...), (47) aA==abi-', B.=-t6':L,'' (ie2--1).

' ' ' Es ist lejcht ersiehtlieh, dass die eine von den Flljehell ZiTta und TtS dureh

eine Drehung um 900 ui:n den Mittelpunl

'

Die Eigenschwingungen und Klar}gfiguren der vierseitig freiell

i.

reehteekigen Platte.･' 345

v･ m plm )･m >!2m-vm"- >,lm ),2on-x'm2

T li'l-11,369403 1,611791 -O,89787 O773221i' 2,29787

Nts Eigoo 3I -O,035521 3,255437 4,70213 2,720685 7,89.787pge-ptdi57] -O,O06377

-O,OO1917

or ,157313

7,113219

15,90213

32,70213

4,837575

l6,88492119,09787

35,89787' l

i

ptcoNu.8v'tes

13 -O,219366lo,041799

2,470830

3,755663

-4,40500

1,l9.500

ll2,0260soi

1,973575

･,5,80500

11,40500$eehnai

57[l･O,O03222

I.IO,OOI1435,486803

7,35.1610

12,39500

29.,19500

l4,460380l6,62s331

22,60500

39,40500

1. Wurzel [J-1 == 1,59787.

(I-1), ,c =: O,O. (I-2),

2.' Wurzel

tc r- -1,O.

v.2 = 5,10500.

../ /-

(IL-3), ic =l TO,2.

tt 'ai-i),k=o,o.' lai-2),rc=-i,o. ''ai--3),rc=--o,3.

' Abl]. 14. Schema･ti$che Darstellung 'der Knotenfiguren ftir die dritte Schwinungsart der quadratischen Pla･tte mit v = O,3. ,

' ' ttAbb. 14-(I--1) bzw. (II-1) zeigt die schelliatiseh gezeichneten Knotenlinjen fiir(tie erste Wurzel /bbi = 1,59787 1)zw. die zweite IL2 == 5,10500, "rlihrend die ent-

spreehenden Sehiehtlinien der fo. .-Flaehe dure]] Abb. 15 dargeste]lt werden.

Wie i;!Lan aus Abb. 15-(I-t) sieht, liegt jede der die Platt･enecken passie-

renden Knotenlinien sehr nahe dem zur Knotenlinie 77 -- O senkrecht stehenden

elltspi'eehenden Plactenrande, dessen Auslenkung T/J.' infblgedessen sehr klein

wird. So schwingt dje Platte hierbej, als ob sie a,uf den beiden Rdndern

cr-. =: ± -5- firej gesttitzt wird:. Djese 1"atsache ist deswegen ganz naturljeh, weil

dj.e Gr4sse Lei= 1,;59787 ftir cliesen Seh.wingunsfall sehr wenig-; von der ersten

' ' ' ' /tt ' ' ' ' '

346

eLes1

as

l.

Ti

:I'l-

- un tT an '

>ga ss. e'

D e

S. Iguchi.

wets

ff

9ts

Fci'

M

.+

'i l

×'--S-L-j

T.ig

+

;

i

l!

1

ee

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de

"A &hnittE"ApB

ss

as

te

(I-1), v,i =- l,59787 (,c = O,o).

c

b--

ts,

m

LL.

-

ttt

- ttt

.t.tt.

.t.

''"1'.=.t

ttt ttttt

L

ttttttl"'I'''

sl

J

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//

-11iJJI,,iflilllllTiilfiiilliii-HtTi

>x

l vaua

uel

+

g

+

c

rh)s.A ,g,B '"･ mg &. " Sthnitt A-B ve , '

(II･-1), v2 = 5,I05oo (tc == O,O).

ALbb. 15. Schiehtlinien der n,at-Flitehe fUr die erste

Familie der dritten Schwingungsart.

' ･ orh/t=EU:t:iibbt

erftillt. Diese Verbindung ist deswegen m6g]ich, weil,

TeiJschwingung ibA und 2-vS, und foIglich auch die resultierende

1) S, Iguchi, Dobo1{u-Gakl

ellle

D

lf

Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der

'und dieselbe Sehwingungsdauder, a]so

c

vierseitig freien rechteel

348

"st

"iE

tL

'ittt

`

<

th >ts Q& el S

o

s$CP H>scr'

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A

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"av Aav

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-i ao .+ l vas f 1 gyv

.: ! 4ZY

fA-B u. H-F

c

F

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B

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'

l

W'

D

l･

(II-3), y., == 5,lo5oo (,t=-o,3i. :l,l fi

F 'm t ･ ･ ny,･ '

Abb. I7. Sehichtlinieb. der Flaehe

''tZl=::{t:･ai+MV"bi'ftir die d}itte A ts"' a g " " Familie der dritten iSehwingungs-

art.' ･, .' Ltis ' - .H , aoA as

XXI. Kapite!.

DXE PLAtTE OHNE

A. Aligemeines.

' 11. Die allgemeinen Formeln. Da flirAblejtimg //S-:a?-fi in den vier Eekpunl

D.ieEigenschwingungenunolKlangfigurendervierseitigfreienrechteclcigenPIatte. 349

w'==:,:.x;v(g)eosn7)"(-5-+v)4:;;z.(n)eoson7r(5+e). (so)

. (m,n==O,1,2...) . ' Wegen des Versehwindens der ersten sowie der dritten Ableitung voncos mvr(S-+ e) f(ir die Sonderwerte g == ±112 geht aus den Randbedingungen 3)

･･ ..#3sx:"(±tl--)-a2n2(2-v)-tq-x;:(±-ll}-')==o '･

tt 'herv.or. MiL RUcksicht auf die erste I]'ormel in (6b) ergibt sich

t. lt (AnRct. (Z'a2.-vfL2n2) Sirt -l}2ct. + A'. Ra.(A2..-vh2n2) Sin gAe.) ' ' r- Ah'Rct.(RG2.-va2n2) (Eloi ZI-2ct. +Ah"A:.(R2ct.-va2n2) {Soi -Z; Ra. = O .

' 'Die Stitmne bZw. die Differenz der !hierduvch dargestellten zwei Gleichungenliefert

' A,,2.,,(Rtr'2.-va2}L2)ein-:.i?a.,,+A;,na,,{A2..-pa2n2)eintLtrae.--{) '

' ' t t. A;I ,'{ct.(,RZ,-va2n2) CS oi -{i-Act. + xfiI:',R:,.(a2a,,inva2n2) {S oi -Zi- ,Ra. := O ･

' 'Damit und mit aen neu eingefa}}rten Beiwerten (e. und (e;, erhalt man

fl..,,..!enCa.2g.,.i.=..-?-a-2-nl)., A,:,F,th.a.(aa/m,.i,:]L..y.mailu2).,

･ Rctneilr･:iRct,, Ra.(i5in-Zl'2a.

' ' A,x=.Cl.{.!.(R.-2cttLr..e.q.?.i-}2")., As,txh--a;,(Ra2.-va2n2).

' Rct.gDi-Zl-I2ct,, ,Ra.Eoi-72r--Ra..

'DieFunkLion.I,(8)schreibt$ic)]jetzt,xviefblgt: ' ' ' ' -X;z(6)--a.zect.(e)+a;,vct.(6), (w,==O,1,2...) )

'iLctn(6) =:(22ct.-va2n2) (SDfvr2ctn6--(Ra2.m..2n2)hL=.E.Oi7rRaneTL., ,

2ct.ein-iiact,, Ra.. (sl)

sdw'Q)ctn(6)=:93n-va2f?･2)-///rSicr",tt"/"S..;-nv(R32n-va2"2) Aie.k",?tli'5.;/'' ,･

' '

'

N

350 ' S･lguehi･Analog aus den Randbedingungen 4) erhliIt man

IYhi(op)::=b.zefi.(")+bin?fi.(ep), (m==O,1,2....) ,. )

' zep.(77)==(R2p.-ysg2o7z2) (EIPiorrRfim'7 (xfi2.mu.B2m2) (Soi7rAA'mn , -･, '

.. ' /V- z,.g5in-i;-,fi,ff,. R(smein-;ILAfim > (s2)

' ' v,,.(zl) =(A?,.-.B2m2) Siger`RBm'7 -(R32.m.B2m2) SincrrR'3,.,7 .

Rp,.goi-:;-Rfi. Ra.{SIoi-i}'-R's.

' 'Die in (51) und (52) noeh verftigbaren unbekannten Beiwerte a., cea, b., bin

mUssen miteinander so verkntipft werden, dass 2v' (50) mit (51) und (52) den

ilbrigenRandbedingungenl)und2)genUgt. . .'･ Mit RUcksieht auf die Beziehung ' ' ' eos mde (S + 6) -la cos M2ew?ri cgs ooz7r6-sin 7r2i7r sip wh7r6 ,

m ==(-1)+2-cosimtn-g ' /fttr 'xn =O,2,4..., ' ' m-1 ,･ ･==(-1)2si]iwL7r6 ftir 'n'b==･1,3,5...

merken wir vo}'laufig an, dass die Zeiger on in (50) bis (52) die geraden bzw.ungeraden Zahlen nehmen, je naehdem die Sehwingimgsthehe der Platte sym-

rneprisch bzw. antisymrnetriseh in bezug auf die Mittellinie 6==･O ist. Analog

durchlaufen die Zeiger n die geraden bzw. ungeraden Zahlen, wenn die Schwin-

gungsflelche der PIatte sieh symmetrisch bzw. antisymmetriseh in bezug auf die

Mittellinie n==O g,estaltet. Zur Betrachtung der Symmetrie- sowie der Antisym-

metrieeigensehaft der Seh"rlngungsflache ist natUrlich noch zu berUeksichtigen,

dass die bejden Funktionen X;,(8) und X.(op) aus Summen von gerad,en und

ungeradenFunktionenbestehen.. ･ . B. Die eifste Schwingungsart:

/ 12. Die allgemeinen Formein fur die rechteckige Platte. Da die Sehwip-gungsfigche hierfUr symmetriseh in bezug auf die beiden Mjttellinien 6 == O und

" = O des Rechtecks ist, so ergibt sich $ofbrt aus (50)

' ' 2vi'.t:Il;(-1)LZ-a.zL,.(6)6osnvrep+]illl(--1)pmM2"Vbhz`fi.(op)cos'm7rg (53)

, (m,n==O,2,4...) .

zv':= aozecto(g)+bozL6o(op) ) ･n ･m +]:li](op1)rZJ-anzectn(#)cosnvrn+iiJ,(-b7b.zLfi.(op)coso7z7r6 ･ ' ' ("z,n=2,4,6...) '

'

' DieEigenschwingungenundKIangfigurendervieiseitigfreienrechteckigenPlatte. 351

'Mi` 2e.,(si-L-lj./?3zel.(g)==:lviJan(g?.it/lirf/li':'Lgetti'1/,-'lif)･ l, `5`' '

tt ' Tt h ze,,(n)--,in,,buB.fop?=-.v'7iJ'(8?,i7t'-/.pa,21'-l:.#-T.,'i,"fl')･,.'' ,

' ' ' ' Um weiter die Gleicliung fitr die unbekannten Beiwerte a. und b. zu er-ll)]itetienl?' geotZleanuteWtir ZUnaehSt den AuSdruck flir 2v' (53) in die Randbedingungen

ttt t. go #22 2ea'o( ± ;IJ) + ;F{-1)':;' an( #: ie2'.( ± -E--)-va2n2Lectn( ± -ll-)j eos n7r-f7

+bo ',',",2 'ua'o (?7) - pu. b.(o7i2zeB.(77)- ",",,2 'ie'B'.,(77)] :=: O. (a)

' ' 'Dai'inwircl' ･}" . ' ' ' ' ' ;t#tea',(±Sl)=e(abkiii'zungsiveise), ' .'

' ･ ･ -=pai/pa(Etg-llLi/-i[I'+ctg-ZiLi'L][i), .(b)

' ' ' tt tt g #22 t"ct'.(±-lllt)-va27b2zea.(±S') =-IIIIr.

352 S. Iguchi.

Eoi w-i/P'n

sin -:U:- l/i`tL,

2 tcos 7r VM' n

lm-

4-TLi.'-foZ(i-}-m' + ¥,

4v'IIT,

vr

(2}1- -= n

Lk7/t/f2e,- cosob7rn), )

(-1)Z

sin -7T."L 1/ pai

2(SiOi vrAfs. 77

n2mtbt

COS O17T'O) ,

= l4.s7)!-!hi.ln7

7r t2R?im += nOb. .. .. ....... .. .

Sin -:i'A[sm

(L---"1)?'

1 S ,7 S2

12'

7'l･2 + R2pm

eos n7rnl ,

.(72' = 2, 4? 6 e･-)

(55)

erhglt llia!i naeh einigen Zwjsehenrechnungei}

",a,.,2 t{!p'o(n) == -8":il2pa' ('l}---i:ii,](-1)r/'i' n,psrm'tll':7T, cos 'rb7r"o] ,

Ufsnt('7) ::'=' t-,pu.'( 2(BY8,m2,Clnvl'2-pa-J,) + :!ll,)(-1)S ((1,,i+")/{O,,ii2i'(Z72i,k+":i,tS,')2 cgs nvr7]l

(d)

(e)

Da,s Einsetzen voii (b), (e), (cl) und (e)

aoc+ 4v#2Tki (bo- :l. br /s)4o.r!t pa/2)

in (a,) liefert,

..n.-.+ ::E] (-.1.)2

n

!anHli

(

n 8;It'[bo va2pat2n4-xLt2

+ :Xl br tu'

r

(1 '- v)27"2n2 + va2pat2

(n2+R?,.)(n2+af,2.)])jeos nT',7 == O.

Da･ diese Gleichung fhr jeden Wert von " erfUllt sein soll, so muss die Summe

der konstanten Glieder vtnd der mit cos･n7r7? behaftete Ausdruek teilwejse ver-

schwinden. Also erhalt ma･n

4va2pat(bO +

7rC

8pa/an M V7r Hltn

'(bO ww' ilE.i] br

va2pat2

IL12

!b

t

K{l4o'4-ib

+ ]:X] br

r

t2) "imlh"'- O,

(1-p)2oa2n2+pa2pa12)

'mit

j == oe---n4 - pa'2 (n2+Zg.)(tn,2+R

(n, r -hm 2, 4, 6 ...)

-H}.,-= (a2ctn :f.a2?Z2)2 stg .ltSft..--

e ='･//.M, Ulxn -' paV"-pa'((Sltg r;l-

(R'ct2.-va2n2)2

k2r)

V7ff

Ae.

+ ctg -!}-v pa

Etg -li-Aa. ,

' 1--) .

J

(56)

s

Die Eigensehwingungen und Klangfiguren der vierseitig fi･eien rechteclcigen

Analog ergibt sich aus den Randbedingungen 2)

' ' ' be + 4#e,2pa (a･e- lil] as a4s4A-2 pa2) an- O'

bm ny ,,.Ilie. (ao,,¥,,B-2-"'k + :i] as 21 ilii)i./1'?)2Xi,:B,2gZ2)j -- o

' ' (m,s--2,4,(]}...)

mit ' fil,. i!si tt2･tLn! il.,".E2'U!/Slli Gtg -72r--R,,. -(af`2?"-a///,2nj)-2 {ls tg -;;-Ra.･ ,

' ' ' c' -- lme, -Elk. Ei!e p'VI' (as tg -li-i/7I7' + etg {i-',/paT'),,

Aus der ersten Gleiehung in (56) und der ersteii in (57) erhalt man

/. - ･t･ ' ' ' ' in 4vpat cia2)]br B4o.rZt pai2m--4-t;tCe-ii.ias a,s4:'12pa2 ' ) .. . tttt. .. t..ttLLt

Platte.

(57)

353

ae T , /16v2papa1 '･ cc - 7r2 bo =- 4rry.Hxna･e .fiE.i.ill.iiiE,...f'i .eet 41il#.. ,Tl/..' `ili`bl' ?....b..rJ..,.,.e,?:f'.tL..f. I.l..,,.,.f.e... (58)

T ecl ny 16V2fopa1 7r2' ''J

. Durch geeignete weitere Rechllungen 1

354 S･ Iguchi. ae ="iv2Vffc7:i] as s4{l12p2) . . l

'anH,,81fo7h(aon,"-pa2pa,+pu'as(1(Mn,"+)2iS,2-+i,"21=O, ' ,>(sg)

- '(n,s==2,4,6...) ･ [ki;, ,-,,, (n2i,,n+2+foP')2 Gtg g v/n2+,ci - (n2if,st-i;.}-1 )2. 'Gtg .;;i/n2-pj

ihervor. Dureh EinfUhru]ig des dureh die prste Gleiehung (59) dargestellten Ausdruck fttr ao in die zweite erhalt man

a.+XK;tsas--O, (n,s=:2,4,6...) s,Mlt

Ks==-,,ttum((2.+sce:.)l7"v2,paip,)

Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien rechteckigen Platte.

'K.gteb.iiX,8･u..

355

p

pgi

ts

gi:

od

er･oocuny Ao

pgi

ts

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ocuoceev -Npt

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pto:5$

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4

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o

2

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6

8

ctn

rO,119758

1,eoeooo

O,034218

O,OI0652

O,O04732

-8,817139

1,oooooe

-1,193561

-O,082133

-O,024019

-O,074816

1,OOOCOO

O,448845

O,035895

O,O13469

-8,904242

.1,OOOOOO

-O,595210

-1,391915

-O,137033

)･n

3,233086

4,738443

6 515585 '

8,393619

).?n-yn2

9,2528.4

17,65284

31,65284

51,25284

+

4,050464

5,329752

6,957461

8;841067

15,20626

23,60626

37,60628

57,2e626

atn

1,566154i

3,089848

5,43573b

7,585985

>!2n-vn2

-3,65284

4,74716

18,7471ti

38,34761

4,590368

5,750782

7,285018

9,O03970

5,864257

'6,810985

8,149975

9,715426

- ii I

2,899354i I

1,895716

, 4,s57340 l

I 7,ls2s77 ･I

-9,6Q626

-1,20626

12,79374

32,39374

"

19,87149

28,27149

42,27149

61,87149

33,18952

41 58952 '

55,58952'

75,I8952

3,615451i

1,035128i

4,350691

6,850440

5,137071i

3,793P51i

2,368641

5,797454

-14,27149

- 5,87I49

8,12851

27,72851

-27,58952

-19,18952

- 5,!8952

14,41049･

/

tt

(II)

(III)

(IV)

t

" "L-' fv)

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1

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,

356 S、Iguchi・

o脇淡噛‘ω

　　ノ　　ノ　　　ノ　　　ド　／　／　一　／　／／／／　i－4ジギニ＼

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＼＼

8

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λ

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8

3‘加’がA一θα、〃一F

8‘加’がん8α．〃イ

（1），砧1篇＝2，45909．

一42

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2〃

45

イ〃

（1王），←2＝6，45284．

o

〃

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汐「／　　 ，　　’〉十くノ

　　一　　　　．　　・　　　　■　　　　 ．　　　　， 一

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戸

　オ“御！ノ

ー郡∂

4〃

5‘枷’”，4－8α．〃一F

β

8r　ξ

w’

（III），　F3講12，4G626．

D

H

I)ie Eigenschwin,o.ungen und Kla･ngfiguren der vierseitig freien rechteelcigen Platte.

' ' ' / ' 'IZstI X'vf i ' esC

--

'

ii;a?

･

ausgereehnet wird, Die den ersten ffinf Wurzeln angeh6renden KnotenlinieniHw' == O werden sehematiseh in Abb. 18 dargesteJlt. Dje jn Abb] 19 gezeigten

1[i'iguren sind die entspreehenden Sehiehtlinien der t-be'-Flache. ' 2) Die zweite Sehwingungsfamilie, Hierin wollen wir uns mit der zweitenFamilie der ersten Sehwingungsart beschtiftigen, in der die'Platte symmetrisch

in bezug auf die beiden Mittellinien, antisymmetriseh dagegen in bezug auf die

beiden Diagonalen schwingt. Die Sc}iwingungsfiljehe hat hierbei iiznmer mind- 'estens zwei Diagonalen als Knotenlinien uncl wird xsTegen･b.(==b.)==-a. '

t-w'=:q.(zeo(.lt)--'it･o(op)}+]IIF(-l)-"2"a.{i(･.(.e)eosn7rv----2t･.(op)cosncrr(} (6:'3)

(n -- 2, 4,6...) '

ausgedrlicl

t.

Die Eigensehwingungen und Klangfiguren der vieTseitig ireien reehtecklgen Platte.

Abb. 20.Knotenlinien.

359

ls n )･de ･ ).2n-yn2 )'nl

Pgei

ts

is

di

ltb'

omdeoo -ptwh

o

2

4

6

8

3,848262

1,OOOOOO

-O,480908

-O,028448

-O,O04534

3,983171

5,278792

6,918502

8,710088

14,66565

23,06565

37,e6s6s

56,66565

2,804577i

2,033310

4,912671

7,220411

)!en-vnza

. 9,06565

O 66565'

13,33435

32,93435(III>

rgi

vin

Ei,

v

ptooemrccavapt

o

2

4

6

8

-O,028327

1,OOOOOO

-O,244277

-O,O13635

-O,O02967

4,512635

5,688925

7,236287

8,964590

19,16387

27,56387

41,563s7

61,16387

3,516230i

O,603217i

4,431266

6,901892

-13,56387

- 5,16387

8,83613

28,43613c v)

o 5,793543 - ww - -ptotskge

2 pa1,oeoooo 5,810332 32,55996 5,075427i -26,95996

$tif-}"en 4 O,663307 6,764612' 40,95996 3,7co441i -18,55996

'CNqwo 6 -O,616989 8,109251 54,95996 -4,55996

e

8 -O,057321 9,682972 74,55996 5,851499 15,04004.(v)

360

　．〃

　ノ〆．

吻”

髭．

二

　．o

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“　必，　＠　／π＼＼

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3伽μゑ一8α・κ塵F

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〃 ・　　　　田・　　　　　　　　　F

　　　隔二・騨

　　　　鋤，fM．8、’肝

　　　（IH），　晒3．綴　11，86565．

　S．lguchi．

　　　　　　　　　鋤糊．8止肝

　　　　ψ　　　　偲”

　　　　甲4

　　　　二

　　　　　　　　　、、、）∴凶623、＆

　　　　・i二τ：．．、レ．一．・　　　　　　　・．，．．．一■＼τ．ノ　 ．・ `．．．／・「 @　　だ．牛．、、　μ

　　　　　ウ％（審！一臥

　　　　　　／1　／／．”｝＼　　　　A　r．　　　　　

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　　　　　　　　　3‘ゐ〃1がA－8縦．〃一Fθ

　　　　一〃

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　　　　〃

　　　　　　　　（IV），内謂16，36387．

’　　し　　．』．幽†・　　．．一　　‘

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齒¥．．　　…　．．．　　　n’

@　」一↓　　　　．トー戸ξ

．一｡一　　　　’． 誘　印

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杷 　十r　　　　　　　　「

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D†『ゴ†－一†一セ．’胴

一一 A｝』＋一｝．1‘「－一 ｡一黶D ¥．一・…叔れ

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A 89

甲’

Die Eigensehwingungen und Klangfiguren der' vierseitig freien rechteckigen Platte

)-

Alllll

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- sifa tt tt A･a ' ` Scbuiitt. A-･Bu.･H-F ' -te

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(V>,IXfi=:29,75gg6. "'

' .･Xbb. 21. ScbichtJinien aer 7t:/-IFIache fifr dje'zweite .Fami]ie dererstenSchwingungsa,rt. ' ' 14. Die Nh'herungsformeXn ftir die quadratisehe Platte.(62) bzw. (63) alle GIigder der unendliehen Reihen vernaehlassigt,

w' ==l ao(t{e(g)+ uo1' b)} ,

i "o "i '( ".S O, l,'tl,i/･,-g-il' -7" ::. ,i ?anl 77･ ii-g " E.O, l,t/l. li.l ilJ'LIIi'I2:-'e,'2S'i,"'ll','i.il'fL!l-i2'

wt -hi ao(?to(g)-leo(op)) ,

' de qov" pa (-g.'4-I,7rl/,f,[ -- ::. ,i tb,'1',-'--,g-//l. 'krtil.//.;'-+ g;ljt/}'V,tt7--

-). i･di.Dies'e sjnd die Rayleighschen NHherungsformeln i>,

(64b) geh5rt zu der ersten bzw. zwejken Familie der ersten

' ' '' 1) Iuord Rayleigh, "Theory of Sound," 1, S. 372, 1929.

,/

BeA

- -u W: F-

. 361

XVeml mall ill'

so erhlj,lt man

)･ (64a)

' ). (CS4b)

t/tuncl die Glejchung(64a) bz"r.

Sel]wipgungsart der

.t.t.

362 ･' S･Iguchi. ' 'quadratisehen Platte. Die beiden Gleichullgen genUgen von vornherein den

' (e8.W,'),L.i::o unq (a8ik'),...s:==o-

' ' ' ' 'Die Werte von pa werden dureh die aus den anderen Randbedingungen

' (ae2..W,,')t=.skO oder' (aa2:2",'),=.e=:o

. ' 'hervorgehendenGIeichung,ngmlichdureh ' '

t t tt ' ' ' agtggi/J7IL+ctg-72i"--i/7I"==O oder Mg-liL'vii[I-+tg:2Z{-i/'7I',==O..(65> ' ./ ttt tt ' ' ' 'bestimmt. Dies ist niehts anderes als die Frequenzgleichung fUr die symmet-rischen Schwingungen des geraden Stabes mit freien Enden. Es ist bemerkens-wert, dass die GIeichung (65) auch aus 1,il.ip, rz, =:c ::'; O hervorgeht.

Die Aufl6sung von (65) naeh ik liefert

' t/t/t/t//t 1. Wurzel ' 2. Wurzel 5. Wurzel 4. Wurzel - ' ' pa==2,26689,'12,25007, 30,25000, 56,25000.･ ' ' 'Diese Werte von IL ge!ten sowohl fttr die e}ste als aueh ftir die zwejte Familie,

weil eine und dieselbe Frequenzgleiehung (65) aus (64a) wie auch aus (64b) her-

vorgeht. Theoretiseh ist das aber njeht der Fall.

Man erkennt, dass die oben angeschriebene erste, zweiP.e bzw. dritte Wurzel

der in Tabelle 7 oder 8 stehenden ersten, dritten bzw. fitnften Wurzel mit nurwenigem Fehler entspricht. Ferner sieht man, dass die' den aus den theore-tisehen IB'ormeln hervorgehenden zweiten, vierten u.s.w. Wurzeln entsprechenden

Wurzeln nicht aus der Ntiherungsformel (65) folgen. .: ' ' ' ' /t ' C. Die zweite Schwingtmgsart.

Ig. Die allgemeinen FormeZn flir die rechteckige Platte. Nunmehr denkenwir uns den Fall, in dem die Schwingungsfitiehe der Platte antisymmetrisch in

bezug auf die beiden Mittellinien' 6-h-O und n =O des Reehteeks ist. Die Sch-wingullgsfl5che hat hierbei thindestens zwei Mittellinien als ihre Knotenlinien

und wird durch

' ' ' .t ' ' n-1 m-l tv'==.i:ii,](-1)2ophvct.(e)sinn7rn+Ill,?(-1)2bhv,s.(op)sin77zvrg (66) ' ' ' (m, n, == 1, 3, 5...)' ' ' tt

y'

)

f

' DieEigenschwingungenundKlangfigurendervieTseitigfreienrechteekigenI'latte. 363

.. , ' 'ausgedrUckti. Die darin enthaltenden Beiwerte a" undb. werden wegen der 'Randbedingungen 1) mjteinander so verkntipft, dass ' ttt ' tt ' :lll(-i)"iiaa(#:va'.

364 S. Iguchi.

Insbesondre ftui die quadratisehe Platte lgsst siqh sehr'eiben

mit

KLts ==-'76r24#.2 ¥. {(1-v)2r2n2 + ppa2} {(1 -v)27"2s2+v]tL2},

Gn =ti- "U(n2-vn2+pa)2

G.{(n2+7,2)2-pa2}{(7･2+s2)2-p2}

s

1/n2+p

/,

- Zg -g- i/ n2 (n+pa--2-vn2-Ib)2l/,rb2-ii)

sg -g- T/'5 2tu pa .

(71)

Der Ausdruel< ftir G. istJ CIerselbe wie der SXIr G. mit o- an Stelle von n. ' ' ' ' ･ /11111, ,･ . ' 16. Die Formean undi die numerischen Rechenergebnisse ftir die quapt 'dratischePlatte. ' 1) Die erste Schwingungsfamilie. Bei diesem SchwingungsfaIle ist dieSchwingungsfiache antisymmetriseh bzw. symmetrise}i in bezug auf die beidenMittellinien bzw. Djagonalen des Quadrats und wird gemljss bS, (-- bts,)== a"

wi == a{tbt/) ., n-1 'tt'':]:,xt.(--1)'M{}uatc41(?･'?r.(e)Sinn7rop+'vn('7)sin7z7r6), .. (72)1

(4,==;t{'S{t"It-, (a{=:1), (.'n･-th1,b',5...) '

al

ausgec{ ri'ickt. I)a. ferl}.er

a == B -ny l, tkl =; At, ) b;. -- ag

ist, so erhljlt lnEUI aus (68)

a"-e-;-8'-S,1 ::, ],, "g (1 - v)2n2s2 + pAL2

(o?,2+s2)2-pt2- =: o.

Somit verejnfaeht, sieh der Au.sdruek filr Kts, wie folgt:

.Ik its =rv- 8pa ,{1-v>2･n2 s2 + vpa2

vrG,, (･rt,2 +s2)2tupa2.

(n, s == 1, 3, 5.") (73>

In analoger Weise wie in den firttheren Fljllen erhlj,lt man die in Tabelle 9

zusammengeSteliten Reehenergebnisse und die durch Abb. 22 dargestellten IKno-tenfiguren. Abb. 23 zeigt die entspreehenaen Sehiehtlinien der tt,'-Flgche.

/t

'

a

'

Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien reehteckigen Platte. ' ' ' ' 'Tabelle 9. Die Werte von pa und die der versehiedenen Beiwerte fUr die erste Familie der zweiten Sehwingungsart der

' quadratisehenPlattemitv-hO,3.

X/2n-vn2 Abb. 22.Knotenlinien.

365

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:=g-v.g

ooQmwaco -pt

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7

1

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l,OOOOOO

･ O,O07663

O,OO0997

O,OO0406

1,OOOOOO

O,233391

O,O08881

O,OO1778

1,OOOOOO

-4,560648

-O,054907

=O,O14567

>-n

1,537881

'3,219485

5,134693

7,096836

2,976849

4,106324

t/

5,7325o5

･7,540664

4,102474

4,982991

6,389858

8,051760

>,2,n-vn2

2,06508

7,66508

18,86508

35,66508

8,56163

14s16163

25,36163

'

42,16163

16,53029

22,33029I

[

33,33029'

50,13029

).Xn

O,604219i

2,763136

"

4,86!577

6,901805

i

EE

EIE

- O,66508

4,93492

16,13492

32,93492

2,619471i

I,066944

4,139850

6,413920

l 3,851012i

I

I 2,613482i

l 3,028153

II 5,759315

-7,16163

-1,56163

9,63837

26,43837

-15,13029

gts

is

sgt;

captoucapt Arwcu

lIl

i

1

3

5

7

1,OOOOOO

-O,076128

O,l79381

O,Ol1812

r.4,764675

5,540950

6,833894

8,408461

22,40213

28,O0213

39,20213

'56,O0213

7 9,5302g

i

' 1,66971l

1

18,469711

'

4,549959i

3,564005i,

1,816004

5,224735

l

-21,O0213

-15,40213

- 4,20213

12,59787

i

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(IV)

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喚霧．

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6，289330

7，453567

8・919409

）・％2－vπ2

31，25567

36，85567

48，05567

64，85567

λ’処

5，436513乞

4，〔142808多

2，357046i

4，294686

λ’2％フη2

一29，85567

－24，25567

－13，05567

　　3，74433

　　Abb，12．

1（notenlinien。

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（II），　｝λ2鎚7，86148．

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Die jn Tabelle 9 angeschriebene erste Wurzel pm =1,36508 ist der aller-,niedrigste Eigenwert far alle Sehwingungsarten der vierseitig freiell quad.ra-tischen IPfatte ohne IEckstUtze, also geh6rt sie dem Grundton an, in welchem

df6 Platte mit den beiden Mitteljinien 6==O und n--O als ihre Knotenliniensehwingt, w,i'e Abb, 22-(I) oder 23-(I) zeigt.

2) Die zweite Sehwingungsfamilie. Wir wollen uns jetzt mit der zweiten,sc･ghMil.e,,g9r.,Z.'K,'2i::,Ssw, 1iig.".",gS,:"%,b8.Sgh/r.ft,iga:･g i,a,,ggx dMe,Xsmxl･eg,uwwgi;.e

aueb auf die beiden Djagonalen des Quadrats gestaltet. Die Schwingungsfiaehe hat

hierbei mindestens vier Knotenlinien g =- O, op sc O, 6 == op, 6 == -n, und der Aus-

druek fUr t-w' wird nur durch Umk,ehrung des Vorzeiehens von v.(op) in (72)ermittelt. Also lautet

n-1 . 'i7tii::][il(-1)2a;,(?,.(g)sinn7r'7?-v.(,7)sinncrr8}. . (74) (7b -- 1, 3, C) ...)

jAnalog ist der Ausdruck fUr K., (lerselbe wie der in (73) mit eiitgegengese-

tztem Vorzeiehen. Der allgemeine Ausdruek von K;,, (71) ist verschieden von dem von IL,,(73) fUr Ln ),2n-vn2),t7I )!2n-vn2

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ptco". esq 3sij ces e"$g t,i" 5pt･

1,OOOOOe 2,835846

-O,l28266 4,O05250

-O,O05566 5,660567

7 -O,OQIOIO 7,486121

7,74202

13,34202

24,54202

41,34202

2,4ssosli i -6,342o2

1,399278

4,237686

6,477499

-O,64202

II

le,45798

27,25798

Abb. 24.Knotenlinien.

i

(I)

Die Eigensehwingungen und Klangfiguren der viergeitig freien rechteel

370

t.

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Abb.

(III). u.3 = 20,73565.

25, Schichtlinien der Pv-Fltiche

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D cNNx.

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DieEigenschwingungenundKlang'figurendervieTseitigfreienrechteckigenPlatte. 371

' ' D. Die dritte Sehwingungsart. ,

17. Die ailgemeinen Formein ftir die rechteckige Platte. Wir wollen hierbei die dritten Sehwingungsayt betrachten, ill welcher die Auslenl

372

KLts = nd

+= 7-

Daraus l

.

DiercigensehwingungenundKlangfigurendet'vierseitigfreienrechteekigenPlatte. 373

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. (m"=1,3,5ee･,n==2,4,6.e.) i(62) .6mu--,a,/i, ar.:.･-fil'?4t･--, ie.-:-t6,, (igi=-i)･ l .

' ' "VgTie in Ziff. 10 ftir die quadratische Platte mit EekstUtzen erwahnt, sind

die Gr6ssen von lh fur tZV',S gleich den entspreehenden Gr6ssen von IL fur tta. Die

Werte von pa ftir die beiden Sehwingungsfielehen t-wa und t-toS 1{6nnen daher durch

Aufl6sung der dureh KL,, (78> mit a -ny- B == 1, namlich durch

' KLzs'=-ellitt-'(l2/i('.,-"pa2:7)-`tt-pa,)+]lll.II{(Gti.{(",>,',O"llli2.,iS,gtLX},}{{{i(il;l)i2,.:)2,S2i+ip",'}`2}) (g3)

' ,"gebildeten I"requenzgleiehung ermittelt werden.

Die viTirl

Tabelle. 11e Die W erte von pa und die der versehiedenen'der quadratischen Platte mit

Beiwerte ftir die dritte

v = e,3.

Schwingungsart

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-5 O,O04296 5,340982 21,02609 4,633994 13,97391" 6 O,O03208 6,286978 28,726e9 5,698587 21,67391

7 O,OO1827 7,247489 37,･82609 6,743434 30,77391 8 e,OO1325 8,217425 48,32609 7,776498 41,27391

' m - . - ' o -7,629322 - m'-

-ntS'ffo 1 leggegg) 2,681449 6,89017 2,278194i -5,49017 2 -O,565877 3,1922e5 8,99017 1,479922i -3,39017

=oB9 3 -O,860284 3,897457 12,49017 1,676255 O,10983 4 -O,O13918 4,710645 17,39017 3,132067 5,O0983･5 -O,043478 5,584816 23,690X7 4,337031 11,3e983' 6 -O,OI0758 6,495396 31,39017 5,459838 -19,e0983

7 -O,O09735 7,

Die Eigensehwingungen '

und Klangfiguren der '

-l .vlerseltlg freien rechtecl

376 S．．lguchi．

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Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vierseitig

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378 S, Iguchi･'

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(III-4) ･ (IV-4) .p:i--10,6s568(rc==:-1,e). , tiJ=13,32067(rc==-1,O).28. Schichtlinien der'Flache- Awt =: zaa'--Tetb fUr' die zweite Familie der dritten Sehwingungsar#.

v

Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vlerseitig.freien reehteekigen Platte. ･379

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(I-2)tLl =: 3,52609 (K == -O,1).

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Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien rechteckigen Platte. 381

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382 S. Iguehi.

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der dritsten Sehwingungsart.

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DieEigensehwingungenundIt gleich wird, nljmlieh

.t,a(xi,yi)+Kt-teS(xt,yi)=7 oder rc==77T.,/k'fs(,X,ilge}･

Dies ist aber darauf besehrttnkt, dass die Gr6sse r-u6(:ui, yi) nieht gleich Null ist,

oder in anderen Worten, der Punkt (xi, yi) nieht auf den I

384 S．Iguchi．

1）f〔tr晒3． 2）f〔irF」． 　2）　f貢r　←3， 2）f葭r臣1．

Abb．30．　Slmd6guren　ftir　die　erste　SehwingUI1傘sart．

　　　　灘縫灘．．難

漁離饗羅．．莚翔

　1）f直r腕．

1懸回目憲　2）　fUr　IL】．

幽幽鱗．・灘

雛繋．『臨

2）　fhr　』瓦3． 2）　　fhr　pL4φ

Abb．31．　SandfigUren　f〔ir　die　zweite　Schwhlgullgsar七．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ゆ

1）　　fUr　p」1． 3）　f廿r　μ】． 3）　fiir　μ1．

畷 蓑

　　　犠

2）　　fUr　μ1．

　嚢ヂ3）　fUr　魅2， 2）f廿r儲2． 1）駈r隔， 3）　f〔ir　μ窩．

1）　　　貫ir　　μ4　巳 3）　fUr　μ4． 3）　fiir　Iり。 2）　fUr　l二4，

Abb．32．　Sand伍gurell　filr　dまe　drit七e　S¢hwingullgs制t．

' DieElgenschwingungenundKlangfigurendervieTseitigfreienreehteclcigenPlatte. 385 tt ' '