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Gral. Manuel Obligado - Villa °campo -
;.3nta Fe
INSTITUTO SUP. PART. INCORPORADO N° 9094
"GRAL. MANUEL OBLIGADO"
CARRERA: TÉCNICO SUPERIOR EN INFRAESTRUCTURA DE TECNOLOGÍA DE LA INFORMÁTICA
ASIGNATURA: Matemática
PROFESORA: María, Morello
Curso: ler año
HISTÓRICA o o o'n
CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistema binario
George Boole fue un matemático inglés que en 1854 publicó Las leyes del pensamiento, las cuales
sustentan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad. Boole llevó a la lógica en una nueva dirección al redu-cirla a una álgebra simple, las matemá-ticas, así incorporó la lógica. Estableció la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan las formas lógi-
cas. Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 yOya tres operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no). Comenzó el álgebra de la lógica llamada álgebra booleana, la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadoras, circuitos eléctricos, etcétera.
Los sistemas de cómputo modernos trabajan a partir de la bgica binaria. Las computadoras representan valores mediante dos niveles de voltaje (ge-neralmente OV y 5V), con estos niveles podemos representar exactamente dos valores diferentes, que por conveniencia son cero y uno, los cuales representan apagado y encendido.
Sistemas de numeración antiguos
El hombre para contar empezó por utilizar su propio cuerpo: los dedos de la mano, los de los pies, los brazos, las piernas, el torso y la cabeza, las falanges y las articulaciones.
Mucho tiempo después, hacia 3300 a.n.e., apareció la representación escrita de los números, en paralelo al nacimiento de la escrituro, en Sumeria (Mesopotamia). En las primeras tablillas de arcilla que han revelado la es-critura, aparecen signos específicos destinados a representar los números.
En cada cultura se empleó una forma particular de representar los números. Por ejemplo, los babilonios usaban tablillas con varias marcas en forma de cuña y los egipcios usaban jeroglíficos, que aún aparecen en las paredes y columnas de los templos. Las cifras que hoy utilizamos tienen su origen en las culturas hindú y árabe.
George Boole (1815-1864)
9 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMRIFICADAS
Definición
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos (números) que se relacionan para expresar cantidades. A través de la historia del hombre aparecen varios sistemas de numeración, que dependen de la época o la cultura. Los sistemas de
numeración se clasifican en posicionales y no posicionales.
Sistema posicional. Cada símbolo que se utiliza en este sistema se llama dígito, el número de dígitos corresponde al número de base, es fundamental la existencia del cera. Estos sistemas se basan en la posición que ocupa cada dígito (valor relativo) en el número, esto permite que se puedan representar números mayores a la base.
En los sistemas posicionales los números se representan con la siguiente fórmula:
N(B) = 4,-B" +...+A ,-B' +Ao •B° +A
Donde: /1„, A„_ ...,A,,A,,, A_ ,A A_,, son los dígitos. 8 es el número de base n posición
Para identificar el sistema se coloca la base El como subíndice N,,. Los sistemas más utilizados son: el decimal
(base 10), binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16), entre otros.
Sistema decimal (N00). Se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 los que, como ya se dijo, no representan sólo esos 10 números, sino que al acomodados en determinada posición representarán diferentes cantidades. La posición nos indica la magnitud de la cantidad representada, a cada posición se le asigna una potencia de 10 la cual se llama peso.
Ejemplo Representa el número 573,,1,, en potencia de 10 con la fórmula:
57300 =5 x102 +7 x1OLF3x10°
Ejemplo La representación en potencia de 10 del número 424.32(10) es:
424.320)=4x102 +2x101 +4a10° + 3x10-1 +2a10-2
El subíndice 10 se omite la mayoría de las veces, ya que al ser el sistema decimal que utilizamos, se sobrentiende
que la base es 10.
Sistema binario (No)). Sistema posicional que utiliza 2 dígitos (base 2), el O y el 1, los pesos de la posición son
potencias de 2.
Ejemplo Representa el número 11101.110) en potencia de 2 con la fórmula:
19,10,= 11101.11m =lx24 +1x23 +1a22 +0a21 +1a2°+lx2-1+1a2-2
Cada dígito del sistema se conoce como dígito binario o bit (binary digit). Este sistema que puede ser un poco
engorroso para nosotros, no lo es para una computadora, ya que ésta sólo admite 2 estados posibles, encendido o apagado. que equivale a decir pasa corriente o bien no pasa corriente. De tal forma que cuando pasa se asigna el 1 y
cuando no pasa se asigna el O.
Sistema octal (N(5)). Sistema posicional que utiliza 8 dígitos (base 8), el 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, así la posición de cada
dígito tendrá como peso una potencia de 8.
152
CAPITULO 9 A6TMÉTICA • Sistemas de numeración
Ejemplo Representa el número 23400 en potencia de 8 con la fórmula:
Now= 234(s) =2882 -1-3x 81 +488°
Una de las aplicaciones de este sistema es que la conversión de binario a octal es muy sencilla, como se verá más adelante, ya que por cada 3 dígitos en binario se utiliza un solo dígito en acial.
Sistema hexadecimal (No). Sistema posicional que utiliza 16 símbolos (base 16), el 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9 y las letras A, 8, C, D, E, F, así la posición de cada dígito tendrá como peso una potencia de 16.
Ejemplos Representa los números 2405,,,, y 3AB.21),,6) en potencia de 16 con la fórmula
Nue, =24050,i =28161+ 48162 +0816i +5816°
fi( im = 3AB.2D($6) = 38162 +Ax161 +8816° +2816-1+Dx16-2
La utilidad de este sistema radica en que al igual que en el octal, la conversión de binario a hexadecimal es muy sencilla, ya que por cada 4 bits se utiliza solamente un dígito hexadecimal.
Un byte es la unidad de memoria usada por una computadora y equivale a 8 bits, de tal forma que 2 bytes ocupan
4 dígitos hexadecimales, 4 bytes (32 bits) 8 dígitos hexadecimales y así sucesivamente.
Sistemas en otra base. Hasta aquí sólo se nombraron algunos sistemas, sin embargo existen otros que aunque no son
comunes cumplen con las características de un sistema posicional
a Sistema ternario (N01) Sistema posicional que utiliza 3 dígitos (base 3): 0, 1, 2
Sistema cuaternario (M41) Sistema posicional que utiliza 4 dígitos (base 4): 0, 1, 2, 3
a Sistema quinario (N(g) Sistema posicional que utiliza 5 dígitos (base 5): 0, 1, 2, 3,4
EJERCICIO 89 Transforma los siguientes números en potencias de acuerdo con la base:
48(10)
153,10,
96.722a,„
1010142,
1001.101,2i
102.11(3)
423.0144)
1746.235
60007.51(R)
2AF,,,
18A.4E 6)
C.24A13,,6,
5 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
153
9 CAPITULO MATEMÁTICAS SIMMFICADAS
Conversiones
Dado un número en un sistema de numeración en base B. el número se puede representar en otro sistema. A continua-ción se explican diversos métodos.
Conversión de un número en base "8" a base 10 No • N o
Existen 2 métodos utilizando la fórmula y en el caso de números enteros el de "multiplicar por la base".
.0 Método por fórmala
Now = ét. • B" • /3"-I +...+A, • 131 + Ave + A _ i• +A_, •8-2 +...+A, •fr"
EJEMPLOS o
Transforma 12340 a base decimal.
Solución
No„ =1231(4) =1x43 +2 x 41 +3x4' +1x4°
=lx 64 +2 x16 +3x4+1x1 =64+32+12+1 =109m
Por tanto, 1231,„ equivale a 109, i„
2 s.-convierte 20144 a base 10.
Solución
Nool = 2014301 = 2x 54 +0x53 +1x 52 +4x5I +3x 5°
=2x625+0x125+1x25+4x5+3x1 =1250+0+25+20+3 =1298oo
Por consiguiente, 201430, equivale a 1 29800)
3 o Cambia No) = 1011101.101m a Now
Solución
1011101.101(2) =1X26 +0X25 +1)(24 +1X23 ±1X22 -1-0X2H-1X213 -1-1X2-1+0X2-2 -1-1X2-3
=lx 64+0x 32 +lx 16+1 x 8+1 x4+0 x 2+1 xl+lx 0.5+0 x0.25 +1 x0.125 =64+0+16+8+4+0+1+0.5+0+0.125 =93.62500)
Por tanto, Nen = 1011101.101„) equivale a N„„=93.6250„
154
CAPITULO 9 AfirMtliCA • Sistemas de numeración
4 1. Convierte 34AC033 a base 10.
Solución
Las letras se utilizan para números mayores de 2 dígitos, es decir A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, ..., etc. Al aplicar la fórmula se tiene:
N0o) = 3x133 +4x132 +Ax13' +Cx13° =3x 2197+4 x169+10 x13+12 xl =6591+676 +130+12 = 740900
Por consiguiente, 34AC131 equivale a 7 409(10)
5 **Convierte 274,3200 a base 10.
Solución
274.32 =2x82 +7 x 8L-1-4x8° +3 x 8-1 +2 x8-2 = 2 x64+7 x8+4x1+3 x 0.125+2 x0.015625 =128+56+4+0.375+0.03125 =188.406250m
Por tanto, 274.3215) equivale a 188.4062510
6 •1 Transforma b11 ,51 = 5AF.8400 a Nom.
Solución
5AF.840m = 5 x162 +4x161 +Fx16° +8 x16-1 +4 x16-2 =5 x 256+10 x16+15 x1+8x0.0625+4x0.00390625 =1280+160+15+0.5+0.015625 =1455.515625(10)
Por consiguiente, Nom equivale a 1 455515625,10)
.P Método de la multiplicación por la base y suma del siguiente dígito. Este método sólo se utiliza para mí-meros enteros y consiste en multiplicar el primer dígito (de izquierda a derecha), por la base y sumar el dígito siguiente, el resultado de la suma se multiplica por la base y el resultado se suma con el dígito que le sigue, así hasta el último dígito. El resultado final será el número decimal equivalente.
EJEMPLOS
—1 1 •••;Transforma 11011(21 a base 10. E
Solución
Al seguir los pasos se obtiene:
1 x 2 +1 = 3 Producto del primer dígito por la base, más el segunda dígito.
3 x 2 + O = 6 Producto del resultado anterior por la base, más el tercer dígito, 6 x 2 +1 = 13 Producto del resultado anterior por la base, más el cuarto dígito.
13 x 2 + 1= 27 Producto del resultado anterior por la base, más el quinto dígito. 27 Valor equivalente.
Por tanto, 110110) equivale a 27(10)
155
9 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
2 ***Convierte 257130, a base 10.
Solución
Al seguir los pasos se obtiene:
2 x8+ 5= 21 Producto del primer dígito por la base, más el segundo dígito. 21 x8+7= 175 Producto del resultado anterior por la base, más el temer dígito.
175 x 8 + I = 1 401 Producto del resultado anterior por la base, más el cuarto dígito. 1401 x 8 + 3 = 11 211 Producto del resultado anterior por la base, más el quinto dígito.
11 211 Valor equivalente.
Por tanto, 25713m equivale a 11 211(10)
3 e•. Transforma 2A1F06, a base 10.
Solución
Al seguir los pasos se obtiene:
2 x 16 +A = 42 Producto del primer dígito por la base, más el segundo dígito.
2x 16+10= 42 x 16 + 1 = 673 Producto del resultado anterior por la base, más el tercer dígito.
673 x 16+F= 10 783 Producto del resultado anterior por la base, más el cuarto dígito. 673x 16+15=
10 783 Valor equivalente.
Por consiguiente, 2A1P,1, equivale a 10 78300)
EJERCICIO 90 Transforma os siguientes números a forma decimal:
1100m
10111m
11011011„
111001.1101„
10011.1011„,
21020,
11120m
10010101
21101.2010)
2110112.2120,
3220(4)
12003.223„
3201. 231,
343,
10134,5,
234„,
.01 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
432101,,
3210.3410)
20014.4431(5)
314.1003(5)
45,,
4531(6)
55.3420,
7612„
5671„,
753.1041„
820„,
765,„
2AD4,6,
A82C06)
B3kie F2A.1DC06
156
CAPITULO 9 MINIEICA • Sistemas de numeración
Conversión de un número en base 10 o otra base Niol —. 1'4
zi Método de los residuos. Se divide el número decimal entre la base a la que se quiere convertir, el cociente se vuelve a dividir entre la base y así sucesivamente, hasta obtener un cociente menor a la base. Se toma el último cociente y cada uno de los residuos pan formar el número.
EJEMPLOS • O " =Cambia 2 346„ a base 5.
Solución Lia.
Se divide 2 346 por 5 y con cada cociente se realiza lo mismo.
469 93 18 3 —DI 3 3 3 4 1
512346 51469— Si --- sus 34 19 43 3
46 4 3 I
1 l
1
I
111
Portante, 2346(10) equivale a 33341,5,
2 ••-Cambia 34" a base 3.
Solución
Se divide 34 entre 3 y con cada cociente se realiza lo mismo.
3
3111 313
2 O
o4 1
Entonces, 34„ equivale a 1021,3,
3 •• Transforma 4427500) a base 16.
Solución
Se divide 44275(10) entre 16 y con cada cociente se realiza lo mismo.
2 767 _111 I --->AC F.
Por tanto, 44 275,10, equivale a ACF31 ,,,
1614475 1612767 16[i 122 116 11 107 047
115 15 I
3 I
157
9 CAPITULO
MATEMÁTICAS SINTUEICADAS
Cuando un número en base 10 tiene decimales, se procede de la misma manera con la parte entera, la parte fraccionaria se multiplica por la base hasta obtener cero en la parte fraccionaria o un suficiente número de decimales.
EJEMPLOS
1 •e-Convierte 22.75(9) a binario.
Solución Se divide 2200, por 2 y con cada cociente se realiza lo mismo.
„II 5 2 1 --110> 10 1 I O Parte entera
2122 211-1— 215 212 02 O
'
La parte decimal (0.75) se multiplica por 2, la parte fraccionaria se mu tipfica también por 2, así sucesivamente, hasta obtener O en la parte decimal, con los enteros en el orden de aparición se obtiene la parte decimal.
ler. entero
2do. entero
Resultado
0.75 x 2= 1.5
1
0.5 x2=1.0
Por consiguiente, 22.75 equivale a 10110.11,z
2 -Transforma 235.45„,» a base 6.
Solución
39 6 1
61235 6139— 616
55 3 o
1 0 3 1 Parte entera
tu
ler. entero 2do. entero 3er. entero 4to. entero Resultado
0.45 x 6= 2.7 2 0.2X6=4.2 4 0.2 x6=1.2 1
02x6=1.2 1 .2411...
Por tanto, 235 45m, equivale a 1031.241(ñ,
E o
z' Método de extracción de potencias. Se elabora una tabla de potencias según la base y después se busca el número de veces que cabe alguna de las potencias ene! número, se resta de dicho número, y así sucesivamente
hasta que la diferencia sea O.
158
CAPITULO 9 AtitMÉICA • Sistemas de numeración
EJEMPLOS
{
o 1
;lo •• Cambia 9251,0) a base 4.
Solución Se construye la tabla de potencias de 4
4-2 = 0.0625 4-1= 0.25 40 = 1 41 =4 42 =16
43 = 64 44 = 256 42 = 1024
Por consiguiente, 92560, equivale a 321310,
3 veces 4° 768 925 — 768 = 157
2 veces 42 128 157 — 128 = 29
1 vez 42 16 29 — 16 = 13
3 veces 41 12 13 — 12 = 1
1 vez 4° 1 1 — 1 = 0
EJERCICIO 91 Convierte los siguientes números en forma decimal a la base indicada,
I. a base 2
31500, a base 2
13.75,10, a base 2
19.5(10) a base 2
0.62500, a base 2
121.875,,0, a base 2
1003 a base 3
72100, a base 3
53, ,„ a base 4
427, a base 5
37.84, a base 5
386.434, a base 5
21300, a base 6
411„0) a base 6
97 a base 7
71500) a base 7
63,) a base 8
10400, a base 8
S. 350.1875,,,, a base 8
28 779.75 a base 8
140003 a base 9
1 07500 a base 9
9702100, a base 9
24) 19600, a base 16
358.06250, a base 16
21 468.500, a base 16
1 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Relación entre el sistema binario, octal y hexadecimal. La relación entre los sistemas, binario y octal es de 3, ya que
8 = 23, esto quiere decir que a cada tres dígitos ene! binario le corresponde un dígito del octal.
Tabla de valores equivalentes
Decimal Binario Octal
o 000 0
1 001 1 2 010 2 3 011 , 3 4 100 4 s 101 5 6 110 6 7 111 7 8 1000 10
159
9 CAPITULO ~mas simpuncADAs
Conversión de un número binario a octal N/21 Ncsi
Para hacer la conversión se separan los dígitos en grupos de 3 a partir del punto decimal (hacia la izquierda en la parte entera y a la derecha en la parte decimal), y se sustituye cada grupo por su equivalente en octal.
Convierte 11110014„ a base 8.
Solución
Se separan grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda y se busca en la tabla su equivalencia en octal.
011 110 011 j Binario
4 3 6 3 Octal
Por tanto, 1111004„ = 363„,
2 •••Cambia 1101111.1101000) a base 8.
Solución Se separan grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda y se busca en la tabla su equivalencia en octal.
001 101 111 110 100 Binario
1 4 4 1 5 6 4 Octal
Entonces, 1101111.11010%) = 157.64,„
Conversión de un número octal a binario Niel M21
Para convertir se sustituye cada dígito octal por sus 3 dígitos binarios equivalentes.
Transforma 235,8) a base 2.
Solución
Se busca la equivalencia de cada dígito en base 2
2
3
5
Octal
010 011 101 Binario
Por consiguiente, 235„) = 100111041,
4
4
160
CAPITULO 9 AIMMÉTiCA • Sistemas de numeración
2 in •Transfomia 1206.135m a base 2.
Solución
1 2 0 1 6 1 3 5 Octal
4 1 4 4 4 4 4 ool I 010 I ocro I no I 001 011 101 Binario
Por tanto, 1206.135m = 1010000110.001011101m
e
La relación entre el sistema binario y el hexadecitnal es de 4, ya que 16 = r esto quiere decir que a cada 4 dígitos en
el binario le corresponde un dígito ene! hexadecimal.
Tabla de valores equivalentes
Decimal Binario Hexadecimal
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
Decimal Binario Hexadecimal
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 8
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
16 10000 10
17 10001 11
Conversión de un número binario a hexadecimal NI121 N11,1
Pan convertir se separan los dígitos en grupos de 4 a partir del punto decimal (hacia la izquierda en la parte entera y a la derecha en la parte fraccionaria), y se sustituyen por su equivalente en hexadecimal.
Ej,IEMPLOS
4, I lbs-Convierte 110111110a) a hexadecimal.
T Solución
iL Se separan grupos de 4 dígitos de derecha a izquierda, si para el último grupo hacen falta dígitos se colocan ceros a la
izquierda y se busca en la tabla su equivalencia en hexadecimal.
0001 1011 1110 Binario
4 4 4 1 E I Hexadecimal
Por tanto, 110111110,2, = 10E06)
161
9 CAPITULO MATEMÁTICAS SIWIIFICADAS
2 oo•Cambia 11110011.0111101012, a base 16.
Solución
Se separan grupos de 4 dígitos de derecha a izquierda en la parte entera yen la parte decimal de izquierda a derecha, si faltan dígitos se colocan ceros a la derecha y se busca en la tabla su equivalencia en hexadecimal.
1111 0011 . I 0111 1010 1000 I Binario
4 4 1 4 3 7 A 8 Hexadecimal
Entonces, 11110011.011110101m = F3.7A806,
Conversión de un número hexadecimal a binario N1151 Ni2)
Para convertir se sustituye cada dígito hexadecimal por sus respectivos 4 dígitos binarios.
Transforma 821.5706) a binario.
Solución
Se busca la equivalencia en base 2 de cada dígito.
8 2 1 1 5 7 Hexadecimal
4 1000 0010 0001 0101 1 0111 Binario
Por consiguiente, 821.5700 = 100000100001.01010111,21
2 •.-Transforma A5C.D4,,, a binario.
Solución Se busca la equivalencia en base 2 de cada dígito.
A I 5 4 Hexadecimal
1 1 1 1 4 1010 0101 I 1100 I 1101 0100 Binario
Por consiguiente, A5C.0406) = 101001011100.11010100
Método del múltiplo. Para explicar este método, analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo
Transforma 11110101r, a base 8.
Solución
Se separan en grupos de 3 en 3 de derecha a izquierda. 011 110 101
Se dan los dígitos 1, 2,4, de derecha a izquierda a cada grupo. 21 421 421
(continúa
162
CAPITULO 9 ARITME11CA • Sistemas de numeración
Se suman los dígitos que se encuentran en las posiciones de los unos. 2 + 1 = 3 4 + 2 =6 4 + 1 .+. 5
Los resultados forman el número equivalente en base 8. 3 6 5
Por tanto, 11110101as = 3650,
EJEMPLOS
Cambia 534„ a binario.
1§' Solución
Se colocan los dígitos que forman el número octal. 5 3 4
Se dan los dígitos 1,2,4. de derecha a izquierda a cada grupo, se busca 421 421 421 que los dígitos al sumarlos den el dígito de la columna- 4+15 2+1=3 4+0=4
Se asigna 1 a los valores utilizados en la suma y ceros a los que no se 421 421 421
utilizaron, y se forman grupos de 3 dígitos. 101 011 I00
La unión de los grupos forman el equivalente a binario. 101 011 100
Por consiguiente, 534,,,= 101011100a,
2 0v.Cambia 1101101010,, a base 16.
Solución
Se separan en grupos de 4 en 4 de derecha a izquierda. 0011 0110 1010
Se dan los dígitos 1, 2,4, 8, de derecha a izquierda, a cada grupo. 8421 8421 8421
Se suman los dígitos que se encuentran en las posiciones de los unos. 2 + I = 3 4 + 2 = 6 8 + 2 = 10 = A
Los resultados forman el número equivalente en base 16 3 6 A
Entonces, 1101101010as = 364a,
3 Se Convierte 485,,5) a binario.
Solución
Se colocan los dígitos que forman el número octal. A B 5
Se dan los dígitos 1, 2,4, 8, de derecha a izquierda a cada grupo, se 8421 8421 8421
busca que los dígitos al sumarlos den el dígito de la colurrum. 8+2=10 8+2+1=11 4 + 1=5
Se asigna 1 a los valores utilizados en la suma y ceros a los que no se 8421 8421 8421
utilizaroi2, y se forman grupos de 4 dígitos. 1010 1011 0101
La unión de los grupos forman el equivalente a binario. 1010 1011 0101
Por tanto, AB500 = 10101011010Ias
163
9 CAPITULO M8JEMAI1CAS SIMFtIFICADAS
EJERCICIO 92 Ca mbia los siguientes números a la base indicada.
1110001111,„ a base 8
11011103011,„ a base 8
111001111.110101m a base 8
735,a base 2
1463„, a base 2
45213„, a base 2
56.43„ a base 2
72.16,8, a base 2
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
412.67 a base 2
6017.2034, a base 2
10001101000„ a base 16
100110110001.111010100011(21 a bas e 16
111110111000.01100010,„ a base 16
13AC,,, a base 2
D2F AB,„ a base 2
7E8F.C500 a base 2
Suma con números en base distinta de 10
En la siguiente tabla los números remarcados indican el cambio de orden.
Decimal Binario Base 3 Base 4 Base 5 Octal Hexadecimal
0 0000 0 0 0 0 0
1 0001 1 I I I 1
2 0010 2 2 2 2 2
3 0011 10 3 3 3 3
4 0100 11 10 4 4 4
5 0101 12 11 10 5 5
6 0110 20 12 I 1 6 6
7 0111 21 13 12 7 7
8 1000 22 20 13 10 8
9 1001 100 21 14 11 9
10 1010 101 22 20 12 A
11 1011 102 23 21 13 B
12 1100 110 30 22 14 C
13 1101 111 31 23 15 D
14 1110 112 32 24 16 E
15 1111 120 33 30 17 F
16 10000 121 100 31 20 10
17 10001 122 101 32 21 11
18 10010 200 102 33 22 12
19 10011 201 103 34 23 13
20 10100 202 110 ao 24 14
Para sumar 20 más números se ubica el primer sumando en la tabla y se cuenta el número de unidades que representa el siguiente sumando, el número al cual se llega es el resultado.
164
CAPÍTULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración
Base 5
6 7 4 5 3 Base 8 1 2
EJEMPLOS
o
2
3
4
10
11
12
13
Obtén el resultado de la operación + 4(5).
Solución
En la tabla se ubica el 3 y se cuentan 4 unidades.
4 unidades
Después de 4 unidades se llega al número 12, que as el resultado de la suma. Por tanto, 3,5, + = 120,
2 Ile•El resultado de 5, + 3, es:
Solución
En la tabla se ubica el 5,5, y se cuentan 3 unidades.
3 unidades
Entonces, 5, + 30).= 100,
3 oli-E1 resultado de 80, + 500 es:
Solución
En la tabla se ubica el 8(0) y se cuentan 5 unidades
A 9 7 8 Base 16
6
S unidades
Por consiguiente, 805) + 5,30 = Duo
4 obi-El resultado de 3(5) + 2(5) + es:
Solución
En la tabla se ubica el 3,5) y se cuentan 2 unidades.
° 1 2 3 4 10 11 12 13
A partir del 100, se cuenta una unidad.
2 unidades
O 1 2 3 4 10 11 12 13
una undad
Por tanto, 3(5) + 2,55 + 1(5) = 11,5)
165
9 CAPITULO AAATEMM1CAS SIMPLIFICADAS
Para sumar números de 2 o más dígitos se procede de la misma forma que en el sistema decimal, se toma en cuenta el
cambio de orden para contar las unidades que se acarrean.
EJEMPLOS
Resuelve 234,5) +
Solución
Se colocan los sumandos en forma vertical.
234,5,
4" 315) 4,5,+ 3(5) = no) Se pone 2 y se acarrea 1
2,„
1 234,„
+ 3 3m+ 1(5) = 4(5) Se pone 4 y se baja el 2
242
Por tanto, 2340, + 3„, 2420,
2 •••Resuelve 104„ + 11„).
Solución
Se colocan los sumandos en forma vertical.
101„,
+ 11 l(2) + lai = 10a) Se pone O y se acarrea 1
o
1 101(2)
+ 11 „ +1,= 10o, 1 + 0, „ Se pone O y se acarrea 1
00
11 101,,
+ 11,„ 1,2, + I,,, = t0„, Se pone 10
1000,,
Por consiguiente, 101 + 11,2, = 1000,,
1 66
CAPITULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración
3 ti • Resuelve 2340, + 421(5).
Solución
Se colocan los sumandos en forma vertical.
1
234m + 4210„ 40, + l(5) = 100, Se pone O y se acarrea 1
O
1 234,5,
; + 2,5, = 10,5, Se pone 1 y se acarrea 1
+ 421„) 10(5) + 1(5) =11(51
10
1
234,5, 2(5) 440, = Ilis,
Se pone + 4215) 11 + 10, =12 12
0,
1210„
Por tanto, 234,5, + 421(5) = 12100,
4 si (*.Resuelve 537(3) +
Solución
Se colocan los sumandos en forma vertical.
537,,,
+ 450, 70) + 4) = 14,5) Se pone 4y se acarrea 1
4
I
31) + 11(81 = ;O Se pone O y se acarrea 1 + 45 70, + ; = 100,
04
11 537,,,
+ 45,5, 5m +1(5)= 66) Se pone 6
604(5)
Por consiguiente, 5370, + 45,5, = 604,5,
167
9 CAPÍTULO MATErwk-ricas SINAPLIFICADAS
5 ••• Determina la suma de: 3AC118) + 236„m
Solución
Se colocan los sumandos en forma vertical
3AC„8)
+ 236,10 C,, + 6,„ = 12,16) Se pone 2 y se acarrea 1
;ro
1 3AC(,,)
+ 23608) A0,1 + 3(I6) = A, D06) + 106) = E06)
Se pone E
E2
3AC,,,, + 236,„ 36) + 2061 = 5(16) Se pone 5
5E206)
Entonces, 3AC1 „ + 236,16) = 5E2061
6 • 2 Calcula la suma de: 4762„ + 1304„+ 546(8)
Solución
Se colocan los sumandos en forma vertical.
4762„ 1304,
+ 5468) + 46) + 6„= 14,6) Se pone 4 y se acarrea 1
4 1
4762(8) 1304„ 1(a) + 6(8) + 0 4„ .= 13(g) Se pone 3 y se acarrea 1
+ 546,
34 11
47620,
1304„ lon+ 741 + 3(g)-1- 5) = 20an Se pone 0 y se acarrea 2 + 546„
034 211 4762„ 1304„ 2„ + 46) + 1 6) = 7„ Se pone 7
+ 546„
7034„
Entonces, 4762, + 1304(8) + 546„= 7034(8)
168
CAPÍTULO 9
EJERCICIO
Resuelve 93
as siguientes operaciones:
10111,2) + 11100,
1100160
2211220, + 12010 ,
12120)
43201 + 3010,
1110,
AgrimÉroa • Sistemas de numeración
56721„, + 4576,„
756421,„
110111010) + 110110)
1111101,3)
22011022,, + 1120120 ,
200211,3,
1432,5, + 2312„,
310,
463721,, + 75624„,
421756,m
1011111,2, + loo11
1101101a,
33213„, + 23012 (4)
321„,
21402,5, + 430 0 2,
10110,
47200
+ 59100 65„,
11011111„ + 1000111m
1110111a, 11101,3)
+ 312,, 101,4,
332130,51.2„„ 4123420) + 30122,5,
11330, + AC1,,,,
4F0,
223013213„, + 10230120,
31322„0
60704„, + 50771,
222,,
157606, +A9F1o6)
54CF,,„
102201 + 20120,
211„,
210220, + 2204)
211„,
21332130, + 233220,
30321,0
745320,, + 64301 „,
524131,
A4F11200 + 131BC061
150"163
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Resta con números en base distinta de 10
En la resta se recomienda usar la tabla de equivalencias y se procede a resolver como una resta en base 10.
Determina el resultado de la operación 245,— 14(5).
Solución Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 14 5, a 24,5,
13
14
20
21
22
23
24 30
5 unidades
Por tanto, 24,5,— 14,„= 10„,
169
E Base 16
A O 9 8
44301m
2141.3,
3
Se pone 3 y se acarrea 1 Se suma 1 + 1„ - 2,
9 CAPITULO tsnArEmÁncas SMPUFICADAS
2 Ile•Encuentra el resultado de la operación 7 -3.
Solución
Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 3 a
Base 8
oil
2
3
4
5
7
4 Invdades
Por tanto, 70, - 3(5) =40,
3 Se-El resultado de F11,1- 80,, es:
Solución
Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 8 a F 1,,
7 unidades
Por consiguiente, F06,- 806: = 7(16)
Para restar números de 2 o más dígitos se colocan las cantidades en forma vertical y se procede como en la resta en
base 10.
El valor de la diferencia 44301,, - 21413, es:
Solución
Se colocan los números en forma vertical.
44301„ 214130,
Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 3,, a 11„
I lo
3
11 J 12
13 Base 5
o
2
3 unidades
Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 2„, a 10,
1 o
2
12
13 Base 5
o
1
3 un-dades
170
13 unidades (continúa)
CAPÍTULO 9 ARITMillCA • Sistemas de numeración
1
443011, 21413,,
Se pone 3 y se acarrea 1 Se suma 1,5, + 4/51 — 10„,
33
Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 10 a 13,5,
1
2
3
4
10
11
12
13 Base 5
3 unidades
1
44301,, 214131,
Se pone 3 y se acarrea 1 Se suma 1/5, + 1,,
333
Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 2,5, a 40,
Base 5
o
2 1 3 1 4 1 10 11 1 12 I
13
2 unidades
44301,1 21413n
Se pone 2
2333
Se hosca en la tabla el número de unidades que hay de 2„,a 40)
o
1
2
3
4 10 1 11 1 12
13
2 unidades
44301,1 2141;
Se pone 2
22333n
Por tanto, 44301m— 21413,51= 22333,5,
2 in-iscum es la diferencia de: DE2, im — A25no?
Solución
Se busca en la tabla el núme o de unidades que hay de 5 a 1206)
4 5 6 7 8 9 A o E
10 11 12 13 14
171
Se pone D 13 y se acarrea 1 Se suma 10, + 20,
1 DE2,0 A250,
O
3 4 6 8 9 A
E
10 11 12 13
3 4 5 6 7 8 9 A
O E
10 11 12 13
DE2„„
A250,
Se pone 3
38D00
(continuación)
Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 3,„, a E„„
11 unidades
DE2„w
A25tie
Se pone 8 - 11,,
BD
Se busca en la tabla el numero de unidades que hay de 41151 a
3 unidades
Por consiguiente, DE2"- 425 6 = 381306,
•
9 CAPITULO MATEMÁfiCAS SIMAIRCADAS
EJERCICIO 94 Resuelve las siguientes operaciones:
1. 111000„ 4. 34213, 7. 75451„, - 101011,, - 4432„, - 57627,
1101110110, 5. 420444, 8. 769n5) - 110001„ - 4433,5) - 3A8 11
11011101, 6. 5436, 9. 3ABC" - 1111011„ - 333„ - 2A 8061
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
172
Base 2 (Binario)
x 0 1
0 0 0 0 1
Base 5 (Quinario)
x 0 1 2 3 4
O 0 0 0 0 0
I 0 1 2 3 4
2 O 2 4 11 13
3 O 3 11 14 22
4 O 4 13 22 31
CAPÍTULO 9 ARITMÉ11CA • Sistemas de numeración
Multiplicación con números en base distinta de 10
Así como el sistema decimal tiene sus tablas de multiplicar, a cada sistema se le puede construir su tabla.
Base 3 (Ternario)
x 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 11
Base 4 (Cuaternario)
0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 10 12
3 0 3 12 21
Base 8 (Octal)
x 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 O
0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 10 12 14 16
3 0 3 6 11 14 17 22 25
4 0 4 10 14 20 24 30 34
5 0 5 12 17 24 31 36 43
6 0 6 14 22 30 36 44 52
7 O 7 16 25 34 43 52 61
Base 16 (Hexadecimal)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A BCDEE O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O O 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A BCDEF 2 0 2 4 6 8 A CE 10 12 14 16 18 1A 1C 1E
3 0 3 6 9 CF 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 20
4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C
5 0 5 A F 14 19 lE 23 28 20 32 37 3C 41 46 48
6 0 6 C 12 18 lE 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A
7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3E 46 40 54 58 62 69
8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78
9 0 9 12 1B 24 20 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87
A O A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96
8 0 B 16 21 2C 37 42 40 58 63 6E 79 84 8F 9A A5
C O C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 84
D O O 1A 27 34 41 4E 58 68 75 82 8F 9C A9 86 0
E O E 1C 24 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 86 C4 02
F O FlE 20 3C 48 5A 69 78 87 96 A5 84 0 02 El
173
9 CAPÍTULO
~TICAS SIMPUFICADAS
Para multiplicar números de 2 o más dígitos se procede de igual forma que en el sistema decimal se toma en cuenta la tabla correspondiente a la base.
1 • • Determina el resultado de 12,3) x 2.
Solución
Se colocan los factores en forma vertical.
120)
x 2„,
'120)
X 2, 2,3) x2(3) = 143, Se pone! y se acarrea 1
1
12,„
x 20) 2„ x I, = 2, Se pone 10 20) 1,3, 10„, + =
101„,
Por tanto, 120, x20) = 101„
2 e. 'Encuentra el resultado de 12340) x 3„.
Solución
Se colocan los factores en forma vertical.
1234„
x
1234(5)
X 30, 3(5) x 4,= 22„ Se pone 2 y se acarrea 2
2
1234„
x 3 30) x 3„ = 14,„ 14(5) + 2(5) = 2101
Se pone 1 y se acarrea 2
12
1234„
x 3,5, 3 x 4.11,5, 11(5) + 2„,= 13„,
Se pone 3 y se acarrea I
3120, ,
1254„,
x 30, 30, x 1,„ = 3,,
411- 1(5) = 4(51 Se pone 4
43120,
Por tanto, 234(5) x 30, = 4312„„
EJEMPLOS o o. o
174
3 se El resultado de 324,0 x 506) es:
Solución
Se colocan los factores en forma vertical.
324),„
x 5„6,
32406)
x („) Solo x 40M= 14(16) Se pone 4 y se acarrea 1
4
324(16)
x 5„) 5(16) x 2(16) -= A(16) Se pone B A061+ 106) = »116)
84
324,„
X 5,„ 5116) X 306) = F06) Se pone F
F84061
Por tanto, 3240, x 500 = F841 ,0
4 e.• Resuelve 527„ x 4250.
Solución
Se multiplica del mismo modo que en el sistema decimal, sólo que con la tabla de multiplicar del sistema octal.
527,
x 423(5)
2005 1256
2534 270165„
Por consiguiente, 527(5) x 4230= 2701655)
••• Realiza el producto de: 3AC00 x 840.
Solución
3AC(0)
B2116)
758 2864 280985,0
Finalmente, 3AC00 x B206) = 2809800
CAPÍTULO 9 MIMÉ-1CA • Sistemas de numeración
175
9 CAP111110
EJERCICIO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
95 Resuelve las siguientes operaciones:
11011„, 23012,4) 67124,0 1. 5. 9.
X 111„, x 321,4) x 315„,
110101,2) 2301,„ 1047,„ 2. 6. 10.
x x 34402 x 7601,„
2112(3) 5401„, A4C„„ 3. 7. 11.
x 210) x 543,„ x 2B„„
2301301 5641„) AB206) 4. 8. 12.
x x 546„, x 3A0„
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
División con números en base distinta de 10
Se utilizan las tablas de multiplicar y se procede de la misma forma que en el sistema decimal.
EJEMPLOS S r Resuelve 31214) ÷ 2,4).
Solución
2,4 1
2,4 x 1,, = 2„, Se resta de la primera cifra del dividendo y se baja la siguiente cifra
312„, —2
11
12 20, 312,4,
—2 20,x 20, = 10„, 11 Se resta de 110, y se baja la siguiente cifra
—10 012
123 2,„ 3120,
—2 11 2„, x 3,4) .= 120)
—10 Se resta de 12„,
012 —12
o
Entonces, 312,„1- = 1230,
176
2 •tResue1ve421+3)
Solución
30)
1 319 x 101 = 3(5)
Se resta de la primera cifra del dividendo y se baja la siguiente cifra
421®
—3 12
12
3„ 421,5,
—3 2(5) x 305 = 1105
12 Se resta de 12(5) y se baja la siguiente cifra
—11 011
122
3„ 421(5)
—3 12
—11 Se resta de 110)
011 —11
o
Entonces, 4210, 305 = 1220).
3 ID. Resuelve 5272„ +24,
Solución
211
—50 27
—24 32
—24 06
Por tanto, 5272® „= 2110, y el residuo es 6„
4 'Resuelve 4D0A„-r- 190m.
Solución 315
19, ® 4/31
—4B 020 —19 070 —70
o
Por tanto, 400/3(15) 19 =
CAPÍTULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración
177
9 CAPÍTULO
EJERCICIO
MATEMÁTICAS
Resuelve
SIMPLIFICADAS
96 las siguientes operaciones:
1. 10m111.0m 8. 23j21233;
2. 1 l ml 100111(2) 9. 43„)11104240„
3. 101m 1100100111,m 10. 608 1-5;626;
4. . 1004211Z 11. 32,8) 1-66 81
5. 21a, 117122-2-1: 12. 371) 731 ;„
6. 230V:11S; 13. 1100 151-47:
7. 314322322 14. 23,101,61
4,11 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Sistemas antiguos de numeración
Hemos visto los sistemas de numeración que más se utilizan en la actualidad; sin embargo, la necesidad que el hombre ha tenido de contar desde que existe, lo llevó a inventar otros sistemas, los cuales en su mayoría ya no se utilizan.
Sistema de numeración maya
Sistema posicional en el que se utiliza el principio aditivo, tiene agrupamientos de 20 en 20 (vigesimal), utiliza el cero y se considera muy avanzado para su época.
r Simboiogía
= cero
• = ano =Cinco
178
Los números del O al 19 se representan de la siguiente manera:
o • ••
o 1 2
• •
5 6 7
• 1111
10 11 12
• 5.
15 16 17
•••
3
SO
••••
4
••••
8
•••
9
••••
13
•••
14
••••
18 19
CAPITULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración
Para representar números mayores que 20 se utilizan bloques acomodados verticalmente, de tal forma que las canti-
dades en cada bloque se multiplican por potencias de 20, es decir, el primer bloque por 20° = 1, el segundo bloque por
201 = 20, el tercer bloque por 202 .= 400, etcétera.
EJEMPLOS
•
o 1Transforma a número decimal. el - siguiente arreglo de bloques:
• Bloque 3 6x4002400
Bloque 2 Cr» 0x20=0
• Bloque 1 7 x 1 = 7
Por tanto, el resultado e 2 407
il•-i,Qué número decimal representa el siguiente arreglo de bloques?
2 400
7
2 407
Bloque 3 • • 3 x 400 = 1 200 1
• Bloque 2 7 x 20 = 140 +
• 11 x 1 = 11 1
Bloque I
Finalmente, el resultado es 1 351
200
140
II
351
1 79
Bloque 3
Bloque 2
Bloque 1
•
o •
•
2. 8.
•
o •
6.
•
• •
•
e.
•
•
9.
• •
S.
12.
•
• •
9 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SMPUFICADAS
El sistema de numeración maya tiene una relación astronómica, que tomaba como unidad más simple un día (kin). 20
kines formaban un uinal (mes), 18 uinales formaban un tun (360 días = I año), 20 tunes un katún, un ciclo 144 000
días y 20 ciclos formaban un gran ciclo (2 880 000 días).
Lo anterior indica que cada bloque se tenía que multiplicar por I 20. 360. 7 200,... respectivamente.
EJEMPLOS , -a. es-Transforma a número decimal el siguiente arreglo de bloques:
E a)
6 x 360 = 2 160
O x 20 = O
7x 1 = 7
2 .160
7
2 167
Por tanto, el resultado es 2 172
•
Sin embargo, para efectos prácticos. se multiplica por potencias de 20. es decir, 20° = 1. 201 = 20, 202 = 400,
203 = 8 000. etcétera.
EJERCICIO 97 Transforma los siguientes números mayas a numeración decimal, emplea potencias de 20:
1. 4. 7. 10.
• • •
• o • •
• • • •
"Si Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
180
CAPíTUID 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración
Ejemplo
Convierte 3 528 a número maya.
Solución
Bloque 3: se obtiene al dividir 3 528 entre 400y el cociente se transforma a número maya.
8
400 1.-32T3
328
Bloque 2: el residuo 328 se divide entre 20 y el cociente se transforma a número maya.
16
20
128 8
Bloque 1: el residuo 8 se transforma a número maya.
• • 8=
El resultado final se obtiene al acomodar los bloques
Bloque 3
• •
•
3 528 = Bloque 2
Bloque I
• •
EJERCICIO 98 Transforma los siguientes a numeración maya, emplea potencias de 20:
1.25 7.727
146 8. 1 492
200 9. 2 006
223 10. 6 857
467 11. 9 435
540 12. 12 007
.0 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
•
16 =
181
9 CAPITULO MATEMÁTICAS SIMIIIFICADAS
Sistema de numeración babilónico
Es un sistema aditivo en base 10 basta el 60 y posicional con base 60 para cantidades superiores. Sus símbolos se
llaman cuñas.
Slmbología
= 1
Como el sistema era aditivo se podían formar los números del 1 al 9
V VV VV7 VV VV
1 2 3 4
V V V V V V VV
VVV VV VV VVV
5 6 • - 9
Para números mayores de 10
..4,77 --c4--<( 7
-<VVV -`47VV
10+2=12 40+ 1= 41 —14 37:9.739 V
A partir de 60 se utilizaba el sistema posicional, en donde cada grupo de signos representaba el número de unidades.
EJEMPLOS
6' -Fi 1 e ' Transforma el siguiente bloque a número decimal. E
-< v
-<( -4 V (20 x 3 600) + (21 x 60) + (12)
Por tanto, el número que representa al bloque es 73 272
1.7 72 000
+ 1 260
12
73 272
1 82
2 in Transforma el siguiente bloque a número decimal.
108
+
000
780
2/ -4 -<
-47 -4° "<f° 108 802
(30 x 3 600) + (13 x 60) + (22)
Por consiguiente. el número que representa al bloque es 108 802
CAPÍTULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración
EJERCICIO 99 Convierte a numeración decimal.
1. 4.
-47 -47-47
-47
7-<
2. 5.
-47 -4-4 -<-<
_et v -<vv 7-477 _<
3.
_4 7 -«<7 7 -47
-4 7 -4v
6.
7-47 1 7 -4
9 CAPITULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
EJEMPLOS
I 1•• Representa el número 134 en numeración babilónico E Solución
Se divide 134 por 60
1
60 N3 14
El número 134 = 60 x 2 + 14 Con el cociente y el último residuo se forma el bloque de símbolos.
2 14
V -.4 V V V V V
2 e• Representa el número 4 532 en numerac.ón babilónica.
Solución Se divide 4 532 por 3 600, el residuo se divide por 60
1 15
3 600 171 601932
932 332 32
Elnúmero 4532=3600x1 +60x15+32 Con los cocientes y el último residuo se forma el bloque de símbolos.
1 15 32
V V V
EJERCICIO 100 Convierte a numeración babilónica.
1. 5 6. 2 006
2. 15 7. 7 981
3. 80 8. 40 815
4. 125 9. 44 102
5. 890 10. 73 874
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
184
CAPITULO 9 ARETMÉTICA • Sistemas de numeración
Sistema de numeración romano
Sistema que se basa en 3 principios: aditivo, sustractivo y multiplicativo.
Simbología
I V X L C O M
1 s 10 SO 100 500 1 000
Principio aditivo. Si se tienen 2 símbolos distintos y el de menor valor está a la derecha, entonces se suman.
Ejemplos V!=5 +1 = 6
X//= 10+2=12
CL= 100 + 50 = 150
.0 Principio sastractivo. Si se tienen 2 símbolos distintos y el de mayor valor está a la derecha, entonces se resta.
Ejemplos IV= 5 —1=4 XL = 50 — 10=40
Los símbolos !, X, C, sólo se pueden restar una vez.
¡sólo se resta de los símbolos que le siguen V y X
Ejemplos IV = 5 — 1 = 4
X sólo se resta de los símbolos que le siguen L y C
Ejemplos XL= 50 — 10 = 40
C sólo se resta de los símbolos que le siguen!) y M
Ejemplos CD =500-100=400
Los símbolos I, X. C y M no pueden repetirse más de 3 veces.
Ejemplos
CM.r. I 000 — 100 = 900
/X=10— I =9
XC= 100 —10=90
CM=.1000 —100=900
///,- 3
XXX =30
CCXXV/ = 226
CD= 400 IV = 4
XL = 40
CCC= 300
MMM = 3 000
.' Principio multiplieativo. Si un número es mayor que MMM = 3000, se utiliza un segmento horizontal sobre el número, así se indica que el número queda multiplicado por 1000.
Ejemplos IV =4 x1000=4000
IV =4 x 1 000 xl 000 =4000000
XV = 15 x 1 000 = 15 000
185
ial
9 CAPITULO ~Bus SWPIIFICADAS
Al seguir los principios se puede convertir de numeración decimal a romana.
EJEMPLOS 8 Representar en numeración romana 368.
Solución
El número 368 se expresa de la siguiente manera en número romano.
368= 300 60 8
368= CCC LX VIII
Por tanto, 368 = CCCLXVIII
2 ..• Representa el número 123 457 en numeración romana.
Solución
123 457 se escribe de la siguiente forma:
123457=-123 x 1000+400+50+7
Cada sumando representa un número romano
123 457 = 123 x I 000 400 50 7
123 457 = CD L VII CXXIII
Por tanto, 123 457 = CXXIII CDLVII
3 ...Convierte el número 245 305 379 a numeración romana.
Solución
245 305 379 se escribe de la siguiente forma:
245305679=245 x1000x1000+305 x1000+ 600+70+9
Cada sumando representa un número romano.
245305679= 245 x1000 x1000 305x1000 600 70 9
245 305 679 = CCXLV CCCV DC LXX IX
Finalmente, 245 305 679 = CCXLV CCCV DC LXX IX
EJERCICIO 101 Representa en numeración romana:
6. 1 004 11. 1 997 16. 89 000
7. 1 492 12. 12 345 17. 123 000
8. 1 589 13. 15 432 18. 230 005
9. 1 621 14. 23 007 19. 2 345 000
10. 1 810 15. 43 879 20. 8 340 020
)1 Verifica tus resultados en la secdón de soluciones correspondiente
1.89
2.99
376
786
957
186
CAPÍTULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración
Al seguir los principios se puede convertir de numeración romana a decimal.
‘Representa el número MDCLXVI en sistema decimal.
Solución Se indica la equivalencia de cada símbolo y se suman:
X V 1 000 500 100 50 10 5 1
1000+500+100+50+10+5+1=1666
Por consiguiente, MDCLXVI = 1 666
2 Representa el número XI CM L en sistema decimal.
Solución Se indica la equivalencia de cada símbolo y se suman:
XI CM
11x1000x1000 900x1000 50
11 000 000 + 900 000 + 50 = 11 900 050
Por tanto, X/ CM L = 11 900 050
EJERCICIO 102 Representa en sistema decimal.
1. LXXXII 7. DLXIV 13. MDCCCL 19. XXIII CDLVII
2. LXXIV 8. DCCXIX 14. MDCCIII 20. XIX XX
3. LVI 9. CDLD 15. MDCCCVI 21. CC3CLV
4. XCIII 10. CM3CCI 16. MDXXV 22. MMMCDLVII CMXCVII1
5. XXXIX 11. DCCCIII 17. MMDCCOCIV 23. rx. DLXXV CMDOCIII
6. LXVIII 12. COCLIV 18. MCDXXIX 24. ITICMXLV CMYIE
.111 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Sistema de numeración egipcio
Los egipcios utilizaron un sistema en base 10, bajo el principio aditivo.
Simbología
Vara Talón Cuerda
enrollada Flor de
loto Dedo Pez Hombre '
asustado
I n 10
9 o< t , 100 1004) 10 000 100 000 1 000 000
EJEMPLOS --
Ti
187
9 CAPITULO h/V \TEMA-DC/1S SIMPHFICADAS
EJEMPLOS Transforma a número decimal.
nnniiiiii Solución Se multiplica el número de símbolos por su respectivo valor y los resultados se suman.
nnn 111111 Por tanto, el resultado es 36
2 •••Transforma a número decimal.
mm 1111 nnn 1111
Solución Se multiplica el número de símbolos por su respective; valor y los resultados se suman.
nnnn 1111 70
nnn 1111 .4. 8 78
7 x 10=70 8 x 1 = 8
Por tanto, el resultado es 78
3 ***Transforma a número decimal.
GPñnn1111 Solución
100
nnn 30 + 4
1x100=100 3x10=30 4x1=4 134
Por consiguiente, el resultado es 134
4 *'Transforma a número decimal.
19GRnnnnii
30 + 6
36
188
Solución
LP9 nnnn II lx1 000=1000 2x100=200 4x10=40 2 x 1 = 2
1 000 200
+ 40
1 242
Por tanto, el resultado es 1 242
5 ...Transforma a número decimal.
Solución
D5R 5R91
99GR I 10 000
+ 300 1
1 x 10000=10060 3 x 100=300 1 x 1=1 10 301
Por consiguiente. el resultado es 10 301
CAPÍTULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración
EJERCICIO 103 Transforma a numeración decimal.
6. Ci< cpc G»9991
7.11nnnnnliii
t rt0<1911
cpacbco(99
ttl,
/I Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
1 89
3x1=3 2x100=200
4x 10=40
9c nnnn III
9 CAPITULO
MATF.MM1CAS SIMFUFICADAS
Para representar un número decimal en numeración egipcia se siguen los siguientes pasos:
EJEMPLOS
4, 1 se,Representa 243 en sistema de numeración egipcia. E a> Solución
Se escribe el número 243 de la siguiente forma:
243 =2 x 100+ 4 x 10 +3
Por tanto, el equivalente de 243 en numeración egipcia as:
99nnnnIll 2 •• 'Conviene 1 422 a sistema de numeración egipcia.
Solución
Se escribe el número I 422 de la siguiente forma:
1422=1 x1000+4 x 100+2x10+2
lx1000=1 000 4x100=400 2x10=20 2 x 1 = 2
1 G»GP9 nn II Por tanto, el equivalente de 1 422 en numeración egipcia es:
",99GR9nnll 3 Representa 100 531 en sistema de numeración egipcia.
Solución
Se escribe el número 100 531 de la siguiente forma:
100531=1 x 100000+5 x 100+3 x10+1
1 x 100 000 = 100 000 5x100=500 3x10=30 1 x 1=1
99996P nnn 1 CD‹
Por tanto, el equivalente de 100 531 en numeración egipcia es:
clxi799(a-Innnl
190