UNVIVERSIOAD COMPLUTENSEFACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS

CONSEJO SUPERIORDE INVESTIGACIONES CIENTIFICAS

INSTITUTO DE ASTRONOMIA y GEODESIA(Centro mixto C.S.LC. - U.C.M.). MADRID

Publicación núm. 154

AN APPROACH TO THE SCALAR BOUNDARY VALUEPROBLEM OF PHYSYCAL GEODESY BY MEANS

OF NASH-HoRMANDER THEOREM

por

J. OTERO

PUBLICADO EN «PROCEEDINGS OF THE INTERNATIONAL SYMPOSIUM»,«FIGURE AND DYNAMICS OF THE EARTH, MOON, AND PLANETS»

Praga, 1986, págs. 277-293

MADRID1987

277PfOC. Inl. Symp. Figure and Oynamics Of the Earth. Moon. and Planeta. Prag •••• 1888.

An Approach to the Scalar Boundary ValueProblem of Physical Geodesy by Meansof Nash-Hormander Theorem

J. Otero

ln x r Lt u t , J,' Astrllnllmia y Geodesia (UCM-CSICJFa,' u I r a d J " e i "n c i a s Ma t e m á tic a s • Uní v \:r s ida d eo m p 1 u ten s e~"\ '-! l' - ~Iild r i J (S p a in)

,¡:, II i u c.t • .'in U¡{. ) PUPt¿/l. .tht¿ tVu1/¡-llü/l.mundt¿'1 Ui e u a em ~1 u1ed cri

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l. Introduction

The Scalar Boundary Value Problem of Physical Geodesy hasbe en proposed and studied firstly in (Sacerdote and Sans6, 19H61

In thís problem the gravity:potential W, the gravity modulus gand the ~eodetic coordinates ~ith respect to a certain referen-(c el I ipsoiJ are kno~n at all points of the physical Earth'ssurfa.:c S: what is required is the el1ipsoidal height of eachpoint and the gravity potential outside S.

By means of a change of coordinates, Sacerdote and Sans6transform this free boundary problem into a fixed boundary onefor a nlln-linear b.v.p •• Applying the general implicit functiontheorcm (in H61der spaces) they have been able to establish ancxistencc and uniqucness theorem valid in a neighbourhood of thes ph l' r i e al..: a s e •

0ur approach to the Scalar h.v.p. will make use of the Nash ..

278h6rmander theorem as given in (H6rmander, 1976). ~be resultthat ve have obtained by this vay is veaker than tbe mentionedabove, but it is not limited to a neighbourhood of the spheri-cal case. On the o t h er hand, it makes t h e- analogy be t v een t h ematbematical properties of this problem and th~ Holodens~y'sproblem clearer.

In this paper ve suppose that the Earth is a rigid body ge-nerating a time-independent Nevtonian gravitational potential.The Earth rotates vith a known constant angular velocity w aro-und a fixed axis (in the inertial space) vhich passes throughits center of mass. In addition, we use an Earth-fixed framewith x

3-axis in the direction of the rotation axis, x¡-axls in

the direction of the intersection line of the equator and theGreenwich me~idian and x2 perpendicular to Xl and x3. Moreover,we put the center of the reference ellipsoid at the origino

In section 2 we formulate the Scalar b.v.p. as a certainfunctional equation which may be sol ved with the Nash-Hormanderimplicit function theorem. In section 3 we obtain the lineari-zed equations, and in section 4 we carry out the verificationof the hypotheses of this theorem.

We conclude this brief introduction by making some remarkson the notation and function spaces we are going to use throu~hout this paper.

We viII denote by eA: eÁ(s2) (Á>O) the usual Holder spacesvith norm U(.)UÁ•

The gravity potential and the gravity modulus on S viII bedenoted by W ,g respectively.

5 s .

Finally, the same letter e viII be used to denote differentconstants depending on the same set of arguments.

2. formulation of the problem as a functional equationIn order to simplify the exposition, we ~uppose that on S

the spherical c~ordinatcs (6,1) are known instead of the ~eode-tic coordinates. Let us assumc that the unknown surface is th~boundary of a star-shaped domain, so rhat S can be iJ~ntified

278vith the unit sphere S2 by means of an inaersioD • :S2+R3 defi-r-n ed as

• (~) = r(o)e, 0= (-$,>.)r r

vhere e isrthe unknovn radius. Then the gravity potential and the gravity

the unit vector in the radial direction and r:S2+RJ

modulus are functions

2Ws' g :S +R..s

For a regular function r, Qr viII alvays denote the exte-rior d~main vith boundary • (S2~

r

Under these a ss ue p t í on s , the Sc a La r b.v.p. is formulated as(Sacerdote and Sanso, 1986):

" given Ws' gs' find a function r and a function u (gravi-tational potential) defined in 0r such that

(l) Au o in Or

(ii) W s Vo.r

(1)

( -1(iii) u(x) = O r ), r+-

vhere V(x) u(x)

Since in the spherical case the linear Scalar b.T.p. coin-cides vith the simple Molodensky's problem (ibid.), ve viII a-

I.ssume that the origin of coordinates .is at the Earth's centerof mass in order to avoid the non-uniqueness of the soIutionthat othervise vould appear in the linear problem, at least, ina neighbourhood of the s~herical case. Therefore. the asyaptoticbehaviour of u beco.es

u(x) = c/r + O(r-3) , r+-, c>O. ( 2 )

As in Holodensky's problea, the absence of first de&ree ha~aooics in (2') i~plies that, when ris knovn, Vs aust satisfythree linearIy independent conditions. This situation forces t~~

280reforaulation of tbe problea in order oto &uarantee existence ofaolution for arbitrary data.

To this aia ~e"must have at disposalsurface (telluroid) ~ith radius r (a) and

otial U ~hose region of definition contains

an aprox~aate regularan approxiaate poten-

a Ea. Let us vriter oou Uo.o o

~here". =. . Ve also assume that the gravitational componento rooí U satisfies (2).

Follo~ing (H5raander, 1976) ve choose three functions Al'•• 2

A2, A36C (S ) so that the first degree har.onics in the expan-sion at infinity of the solutions of tbe Dirichlet problems

e u . = O in QJ o

u jO.o = A. on S2 j 1,2,3 (3 )J

U.+O , r+·J

are linearly independent.2+1: 2Besides ~e suppose Vs, ,gs~C (S) vitb c>O. lor data Vs'

gs close to Uo, go in C2+C(S2), our aim is to fiad r close toro in C2+C(S2) and small constants al' a2, a3 sucb that for so-ae harmonic function u in Qr

(i) wO.r + IajAj

(ii),IVWotrl = gs

vbere W(x) o: u(x) + iw2r2sin2e and u í x ) satisfying (2).

This reformulation allovs us to state an appropiate functi-nal representation of tbe problea. In fact, if r ia close to roin C2+c tbe solutions of the Diricblet probleaa

, jo:l,2,3 (5)

281

have first de¡ree bar.onies close to those of uj. Therefore,tbe,. span al1 first degree har.onics and then ve. can find l\ unique set of eonstants {al' a2, a3} so that the unique solutionof the Dirichlet proble.

t

6u o in Qr

on ( 6 )

can be vritten as

U t = U • la j uj (7)

vhere u has no first degree har.onie eo.ponent at -.

Then ve define a nonllnear .apin a 2.' -neiehbourhood of (U ,r ),o oaboye and let

r as follows: glven (w ,r)slet u and {aj} defined as

( 8)

vhere W 15 tbe Ira"it,. potential asociated to u.2+cLet (V.,es) cloae to (Uo,Co) in e

able to find a funetlon r, elose to ro inbe given; if ve areC2•c, such that

then b1 (7) ve can eonstruet a haraonie function u in Qr satis-f11nl (2 ) .nd constants elose to zero (because of the asympto-tic beha"lour of the cravitational eo.ponent of the refereneepotential) such that

Therefore, solving the funetional equation (9) allovs usto solve tbe refor.ulated SeaIar b.v.p ••

282

3. Linearization. Inverse oí the first differential

The first step in the study oí the non-linear equation (9lis to obtain the linearized equations. Our approach for the li-nearization of the Scalar b.v.p. ~ill be the same as that Hor-mander used íor the linearization of the Molodensky's problem(H5rmander, 1976).

According to (ibid.), in order to include the data at theright hand side of Eq. (9), it seems more convenient to ~ork~ith the operatort defined by

t(W ,r) = (r(w ,r),W )s s s ( 10)

instead of r onlJ.

Suppose that all quantities mentioned above are saooth anddepend smoothly on a parameter e. We ~ill also denote the deri-vative ~ith respect to e by a doto

It is clear that W = u is harmonic in Q ~ithout first de-rgree harmonic component at -. Moreover, by the properties of thedirectional derivative ~e have

t'(ws,r)(ws,r) = ~e·(Ws,r) (11 )

and

~r(w ,r) = <e ,Vúo. > + <e ,(M o. )e >rde s g r g ~ r r2~here <,> denotes ~be scalar product on S and

VWo·r

( 12)

-e g I'VWo-. I2

M =(,aw), ~ a x , a x ,

1 J

provide~ on S2 IVWotrl J O.

Differentiating (4) ~e obtain

w = üo. + <VWo. ,e >r + La,A,s r r r J J

~hich ¡iTeS the Dirichlet datua of u on .r<s2).

< 13)

283Ite note that

<VlI'o. ;; >r' r

Derivinc r fro. (12) and substituting into (13) we get

• (¡(IV"'I) J-I(. -.r - .• o. g - <e ,vuo. ».r r s g r (14 )

( 1 S)

provided on S2

vhcrc Q and f are

f

ir "':1' Cs are civen, Eqs. (14) and (15) allow us to writefor.ally the explicit for.ula of the inyerse of the operator.'('" ,rls

- l' .(.'('" ,r)J (1I',g) =s s S

:([ 3(1911'1)0. }-l(g5r r s

( 16)

- <e ,vúo. »,W )g r s

vhere 6 la sol~tion of the linear Sealar b.v.p.

66 O in Qr

ÜO·r - <0,9uo. > " f - La j A j on S2r

u(x) - e/r • o(r-3) at - .

(17)

Of e e ur se , .'("'s,r)will be invertible if the b v v c p , (17)

haa a unique solution A.

284Our next atep is to analyze the loss of differentiability

vitb respect ~o an initial configuration. For this purpose veassuae that ve have some approximate solution for vhich r has kderivatives. Then the vector field o can only be expected to ha-ve (k-2) derivatives, because of the presence of second orderderivatives of W, and ve cannot expect more than (k-I) derivati-ves for u. Therefore, from (14) r has (k-2) derivatives. As inHolodensky's problem this loss of differentiability justifiesthe use of a hard implicit function theorea (e.g. the Nash-Hor-mander theorem) to solve the functional equation

t(W ,r) = (g ,W l. (18)s s s

In what follows we_ will assume

(i) a(lvul) tar o o

-1 2(ii) e = (VUo.)g is not tangential to • (S )go "O o o

(iii) the regular oblique derivative problea

t.ü = O in n o

uo t o<o ,Vüot >o o f - ri. A .

J J( 19)

ü(x) at •

where

has a unique regular s~lution ü for all regular f.

In the spherical case (U c/r) the vector field Qo becomes

Qe

x"2

therefore the perturbatioD technique described in (Sanso, 1981)

can prov~de us an existence and uniqueness result for (19) if

"~ _ ~" is suitable small.o e 1+t:

288

4. Exist~n~~ and uniqucncss of solution

from now on wc wil I assumc that the map • is defined for~v~ry (W .r)~~-(s2).C-(S2) in a 2.t-ncighDourhood· V of (U r)s o' o .In ord~r to use thc Nash-Harmander theorem (Harmander, 1976,th~orcms 2.2.2. 2.3.1). thc first point wc have to prove is that

.• 2 .•. 2t h " val u,' • (W • r ) a I s o b e Ion g s t o e (S ). e (s ).

s

In this rc~ard wc consider thc Dirichlet b.v.p.

t.v O in Ilr

vo. f on S2r

v·1.1 at -for whi,"h is va lid the following Schauder estimate

Lcmma l. Let 1>0 be a noninteger.thcrc is a constant e such that

If r is elose to r in e2+to

11 1I Q V '" • r 11 t • ~_ I Q I < e {II f 11 1 + 1 + 11 f 11 1 + e 11 r 111 + ~ }

w h " r " IQ I < 1 , 1•

Thc proof of this lcmma is an inmediate eonsequenee of a~i"lilar c s t lea t c o b t a í n cd :by H5rmander (ibid., Eq. 3.2.5).

~c want now to cstimatr the image of (W ,r) by •• Aeeordingst~ I~m.a 1 thc fun~t¡on~ u' and {u~} satisfy thc estimates

J

11 1) Q U • ,l • r "1 • 1- I Q I < e {IIW ~ 111 • 1 .11 r 11 1 •. A }

11 1)Q UJ o • r 111 • 1_ I Q I <. ell r 11 t ,1 • j - 1, 2 , 3 .

In thi~ way wc hav~ for the funetion u (ef. (7))

Thc lincar ind~r~ndcn~c ~f thc first degrrc harmonies ofInr, illl~ws t~ obrain rhc ~~nstilnts la.' depcndin~ on the first

.1 J

288

degree harmonic co~fficients of (u~l and u', which are unifora-2 2 J 2ly bounded by IIA.II and IIW -lw r sin ell respectively. ThereforeJ o s o

Since VWPt = Vuot +r rthe previous estimate we get

w2r(cos8,sin6,O), if we take lal in

(20)

where A>O is not an integer. When A=E we note that there is auniform bound for the right hand side of (20) and then from le-mma A.l (see Appendix) we obtain

11 <VWot ,VWOt > 11,<C IIVWot 11.IIVWot 11 <r r A r A r o

(21)

2If (W ,r) are c Lo se enough to (U ,r ) we can expect on Ss o oIVWot 1>6>0 by continuity. Since the right hand side of (21) is

runiformly bounded when A=1 we may deduce from lemma A.2 taking

.1G(t) = t2

or simply

11r (w s' r)1IA<C (IIw sil 1+ A+11r 111+ Al (22)

if we assume a uniform lower bound for IIrli . A similar estimateoi5 valid for t(W ,r) and it shows that • can be extended to a

I+A I~A >. 1+>' .map from e x C to C "C . On the other ha n d , Lf (W ,r) €. scm"e· its image has the same regularity.

With the same procedure described above ve can also obtain

11[a ( !;W I)o t r l"1 11>.<e 111W s "2 + A. + 11r "2 + >.1

lIe 11<e{lIw 111 +lIrIl1,1g >. s +>. +A'

(23)

(24)

287~-.l Estiaates for the lineari:ed equations

In this subsection we want to estimate tbe inverse of therirst differentiaJ of •• Using the same technique descrlbed in(ibid., scctio~ 3.2) we can establish the following result

Lellaa 2.llatlllt'y

dÜ O in Qr

uo. - <o,Vúo. > ~ f - la jA j on s2r rü(x) - c/r + O(r-3) at •

(25)

whcre F&Cc, then there i5 a constant C sucb that

(26)

(b) If ~n additlon W Is close to U in C2+c we have for the5 o

uniquc 501ution of (2S)

"Vüo·r"l.l<C{"~s"l.+HisHl.+

+(HW 11 +lIi 11 )(1Iw 112 ,+lIrll2 .»s ( s C S +A +~ (27)

wherc l>O 15 not an inteaer.

Thc detaiis of the pr ee f" can be found in (Otero, 1986).

froa the fredhol.'s alternative, the first part of thisle.aa implics that for each f~Cc there are a unique fun~tion uand a uniqu~ 5et of constants {a.} with the just stated proper-

Jtics. Thcrcforc ve can now aS5ure that .'(w ,r) is an invertiblesopcrator for (W ,r) in a 2+c-neighbourhood of the initial data

s(U ,r ).o o

Considering Eq. (16) and denoting .'(W ,r) -1 by ,Oí ,r)_ s sit follows froa (23), (24), (27) and lemlla A.1

288vhere A>O ís not an ínteger. If A>c thís estíaate ls on the de-sired fora (Horaander, 1976, Eq. 2.1.6); then ve have (a=A-E)

IIt(W ,r)(W ,t, )11' <c«lIw 11 +1It,11 ) +s s s a+E s a+E s a+E(28)

+(lIli11 +lIt 11 )(IIW 112 +lIrll2 )}s E S E S +a+E +a+E

vhere a>O, a I n-E, neN.

4.2 Estímates for the second differential

The Nash-Hormander theorem also requires an estimate forthe second dífferential of the operator t. The main differencewith respect to Molodensky's problem lies in the fact that inthis case the operator r is not linear in Ws;hence, it is nece-ssary to study all the second differentials .íth respect to Wsand r.

(a) Míxed second differential

- 2Let X,YeC (S ); by definition

" d2rw r(Ws,r)(X,Y) = dsdt(r(ws+sx,r+tY)]s=t=O

s

where (Ws,r)EV. Denoting +r+tY by tt' ve have

r(Ws+sx,r+tY) = IVWottl (29)

where W = u + !w2r2sin2e and u is harmonic outside tt(S2), sa-tisfies (2) and the boundary condition

Differentiating (29) with respect to t and s ve obtain,with s=t=O

"r (W ,r)(I,Y)w 1;' ss ,

+<e ,(M Ot )e >Y)g w r r( 31 )

+<Vu 0+ ,(M ot )e >Y} + <e ,vu 0+ > +s r w r r g st r

+<l ,(M 0+ )e >Yg w r r

duwhere Us (fi'and with the

d u d2uUt~dt' ust=dSlt arefol10w1nl Diriehlet

haraonie in Qr satisfyin¡data r~speetiYely

u o. - t - ra~A.8 r J J

utO.r - -<V~o.r,er>Y - ra~Aj

- r s tusto.r " -<Vuso.r,er>Y - ¿aj Aj's t s t .The eonstants a., a. and a. are the eorrespOndln¡ deriva-J J J

tives of aj puttin¡ s=t=O. Tbe Eqs. (32) are easil, ob~ained bydifferentiatin¡ Eq. (30).

( 12 \

If we take lnto aeeount leaaa 1 and leaaa A.l, the detalla"of the estlaate of r are routine and are not earried out he-wsr

re. However, it ia iaportant to note that the "correctiona"Ia~A., Ia~A., Ia~tA. are bo un d ed by the zer.o-nora of the corres-

J J J J J Jpondinc DirichJet data, i.e.

IIIa~A.1I <CIIaSjl<cllxll. J J o oIIIatjA.1I<CII<Vlto. ,e >YIIJ o r r oIIIajtA}o<clI<vusO·r,er>Yllo'

Then we have (Otero, l?~Ó)

11r: r (~s ' r ) ( X , Y ) It ~< C { (11 V s 112 + ~ + 11 r 112+ A) 11X 111 H 11 y 110 +s

+ ( II~ s lit + A + 11 r 11 1 + A ) ( 11 X 112 + 2 t IIY 11o +11X 110" y 112 + 2 t ) +

t(IIXIl2+t+AIIYllo+IIXlloIIYII2H+A)I,.0<>.;'%. (33)

(b) Second differential with respect to Vs

~ow we can'write

••rw w(Ws,r)(X,Y)s s

where (W ,r)€V,s

r(w .al+tY,r)s

(34)

280~ ; u + tw2r2sin2,

and u is har.onie in Q ,satisfies (2) andr

t I.l + sI Y 1 2 2 . 2, t ( )uo r ; .8 + t - 2~ r s~n - ¿aj s,t AjO (35 )

'"It is elear that in this ease the unknovnlinear funetions of s and t so that a~t;Oo

J

quantities a. areJ

Differentiating (34) vith respeet to t and s ve get, viths=t=O

11r (w ,r)v v ss s

-1 - --g. {<e ,Vu ot ><e ,l/u ot >s g s r g t r(36 )

-<Vu ot ,Vu 0+ >}t r s r

vhere us' ut are harmonie'in Qr satisfying (2) and vith Dirieh-let data

u o. ~ - la ~A .s r J J

utotr y - ia~Ajo( 37)

Aeeording to (a) ve nave nov (Otero, 1986)

1Ir: v (ws,r)(x,Y)1I1<c{(lIwslll •.1.+llrIl1+1.)(lIxllz+2EIIYllo+s s (38)

vhere l.>O is not an i~tegero

(e) Seeond differential vith respectto r

Denoting .r+sX+tY by .st' the second differential with res-peet to r is expressed as

11r (W ,r)(I,Y)rr s

vhere (W ,r)€.V,s

r(Ws,r+sI+tY) = Ivwo·stl

1 Z 2 . ZW = u + 2w r s~n e

(39)

281

.ind u is bélrlll.lni,' o u t s i d e .st(S2) satisfying (2) and

2 - 2 2W - ~III (r.sX+tY) sin 11 - la,(s,t-)A,

s J Juo. s t, (40)

Nl.lw th~ explicit formula is

ti

r (W. r )r r s-1 - _ _ .

-" <e, Vu o. ·dM o. )Xe ><e ,vu o. +s " s r v r r " t r- -1 _ _

• 1 M o. )Y l' > q!, < V U o. +( M o. )X e ,V u o. + (M o. ) Ye > +wr r s sr vr r tr wr r

• <~ • He >XY" r

H (h .. ), h., ' <veD .. W)o. ,e >.lJ lJ 1J r r

A~aln us' ut' ust are har.onie in Qr satisfying (2) andwith Dirichlct data

u· o.·s r -<VWo. ,e >X -r r la jAj

tla jA j (42)-<VWo. ,e >Y -r r

-<Vu o. ,e >x - <Vu o. ,e >Y -t r r s r r

- - t st-«M o.)e ,e >xr - La. A ••v r r r : J J

finally, Lt s e s t Le.a t e Ls (Otero, 198f»

IIr ; r ( Ws • r )( X, Y) 11A < e { ( IIWS 113+A .•. IIr 113+ A )11XII o 11y 11o

• ( IIWs "2 .•.>. .•. 11r 112 .•.A )( 11XIII +t 11r 110+ 11X 11o 11I II} +t ) +

.•.( IIw s "1 .•.A .•. 11r "1 +). )( 11X 112.•.2c III 110+ IIx 11o 11y "2 + 2 f: ).-

1(lIw"3 +nrll3 )(!lxlI,Ur" +"x"oIlIII,)+ (43)s +e ~t "o "

• ( 11X 112 \ III 11 + 11xii lIr 112 ' \)}+c+" o o +~+A

wh~r~ &>0 is nut an inte~et.

282

By aeans of interpolation techniques in Holder spaces, (43)can be siaplified andwe can write

ILr ; r (W s 'r )( 1 ,Y) fI>.<C {(11w s 113+>.+11r 113+ >.) !Ix11o Uy Uo +

+(111112 ,IIYU +11111 I/YI/2 .»+E+A o o +E+Awhere

2E<>.<"&,1:E , >.;'Z

Such an estimate is also valid for the global second diffe-rential and if we put &=>'-2E we have finally

"Ur (Ws,r)(I,Y)lIa+2E<C{(IIWs"3+a+2E+llrIl3+a+2E)1I1110IlYllo+

+(IIXIl2~a+3EIIYIl0+llxllo"YI2.a+3c)J (45)where O<a<.!...!!.-E

E1976;Eq. 2.1.5).

a~n-2E n€N, which has the fora (Hormander,

It should be noted that the estimates (28) and (45) havethe same structure as those obtained by Horaander for the Molo-densky's problem; therefore, we can give a final theorea of e-xistence and uniqueness for the (modified) Scalar b.v.p. simi-lar to the well known Hormander's theorea (ibid., theorea 3.4.1)

Theorem 3. Let any 6>0.(a) Tbere is a 2+6-neighbourhood U of (U ,g ) sucb tbat for_ o o

every (W ,g )~U the modified Scalar b.v.p. has a solution r elo-s sse to ro in C2+6 and constants (a1,a2,a3) close to O in R3.

(b ) If (W ,g )€Ca for SOBe a>2+6 and not an integer, t h ens s

r€C~ •

(e) One can find a 3+6-neighbourhood of ro which cannot con-tain two solutions of the problea.

'ppendix

In thla appendix ve include tvo reaulta-on Holder apaceavhich ve haye úaed in tbla paper.

Le••a A.l (Hor.ander, 1976) Vben l la bounded there i, a cons-tant e sucb tbat

Le•• a A.2 (Schaeífer, 1975) Let l>O and suppose G~Cl(E) vhereE la an opeo set -oí RO• Assuae that the functlon T satlsfles

Then

The constant e depends on H but ls othervlse independent oí Gand v.

References

Hormander L. (1976) The Boundary Problems of Physical Geodesy.Arch. Rat. Hech. An. 62, 1-52

Otero J. (1986) Análisis de los Problemas de Contorno de Frontera Libre de la Geodesia Física Inst. de Astronomía y Geo:desia. Facultad de C. Matemáticas.Univ. Complutense. Madrid.In preparation

Sacerdote F. and Sanso F. (1986) The Scalar Boundary Value Pro-blem of Physical Geodesy. Man. Geod., 11, 15;-28

Sanso F. (1981) Recent Advances in the Theory of the GeodeticBoundary Value Problem. Rev. Geophys. and Space Phys.,19, No.3, 437-449

Schaeffer D.G. (1975) The Capacitor Problem. Indiana Univ.Math.J., 24, 1143-1167

PUBLICACIONES DEL INSTITUTO DE ASTRONOMIA y GEODESIADE LA UNIVERSIDAD COMPLUTENSE - MADRID

(Antes Seminario de Astronomía y Geodesia)

l.-Efemérides de 63 Asteroides para la oposición de 1950 (194?).2.-E. PAJARES:Sobre el cálculo gráfico de valores medios (1949).3.-1. PENSADO:Orbita del sistema visual a2 U Maj (1950).4.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1951 (1950).5.-J. M. TORROJA:Corrección de la órbita del Asteroide 1395 "Aribeda" (1950).6.-R. CARRASCOy J. M. TORROJA:Rectificación de la órbita del Asteroide 1371 "Resi"

(1971).7.-1. M. TORROJAy R. CARRASCO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1560 (1942 XB)

y efemérides para la oposición de 1951 (1951).8.-M. L. SIEGRIST:Orbita provisional del sistema visual 2 728-32 Orionis (1951).9.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1952 (1951).

10.-1. PENSADO:Orbita provisional de 21883 (1951).ll.-M. L. SlEGRIST:Orbita provisional del sistema visual 22052 (1952).12.-Efemérides de 88 Asteroides para la oposición de 1953 (1952).13.-J. PENSADO:Orbita de ADS 9380 = 2 1879 (1952).14.-F. ALCÁZAR:Aplicaciones del Radar a la Geodesia (1952).15.-1. PENSADO:Orbita de ADS 11897=22438 (1952).16.-B. RODRíGUEZ-SALINAS:Sobre varias formas de proceder en la determinación de perío-

dos de las marcas y predicción de las mismas en un cierto lugar (1952).17.-R. CARRASCOy M. PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1528 "Conrada"

(1953).18.-J. M. GONZÁLEz-ABOlN:Orbita de ADS 1709 = 2228 (1953).19.-1. BALTÁ: Recientes progresos en Radioastronomía. Radiación solar hiperfrecuente

(1953).20.-1. M. TORROJAy A. VÉLEZ: Corrección de la órbita del Asteroide 1452 (1938 DZ,)

(1953).21.-1. M. TORROJA:Cálculo con Cracovianos (1953).22.-S. AREND:Los polinomios ortogonales y su aplicación en la representación matemática

de fenómenos experimentales (1953).23.-1. M. TORROJAy V. BONGERA:Determinación de los instantes de los contactos en el

eclipse total de Sol de 25 de febrero de 1952 en Cogo (Guinea Española) (1954).24.-1. PENSADO:Orbita de la estrella doble 2 2 (1954).25.-1. M. TORROJA:Nueva órbita del Asteroide 1420 "Radcliffe" (1954).26.-J. M. TORROJA:Nueva órbita del Asteroide 1557 (1942 AD) (1954).27.-R. CARRASCOy M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1290 "Alber-

tine" (1954).28.-1. PENSADO:Distribución de los períodos y excentricidades y relación período-excen-

tricidad en las binarias visuales (1955).29.-J. M. GONZÁLEZ-ABOlN:Nueva órbita del Asteroide 1372 "Harernari" (1955).30.-M. DE PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1547 (1929 CZ) (1955).31.-1. M. TORROJA:Orbita del Asteroide 1554 "Yugoslavia" (1955).32.-1. PENSADO:Nueva órbita del Asteroide 1401 "Lavonne" (1956).33.-1. M. TORROJA:Nuevos métodos astronómicos en el estudio de la figura de la Tierra

(1956). .34.-D. CALVO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1466 "Mündleira" (1956).35.-M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1238 "Predappia" (1956).

36.-1. PENSADO:Distribución de las inclinaciones y de los polos de las órbitas de las es-trellas dobles visuales (1956).

37.-1. M. TORROJAy V. BONGERA:Resultados de la observación del eclipse total de Solde 30 de junio de 1954 en Sydkoster (Suecia) (1957).

38.--ST. WIERZBINSKI: Solution des équations normales par I'algorithme des cracoviens(1958).

39.-1. M. GONZÁLEZ-ABOiN:Rectificación de la órbita del Asteroide 1192 "Prisma" (1958).40.-M. LóPEZ ARROYO: Sobre la distribución en longitud heliográfica de las manchas so-

lares (1958).4 l.-F. MÚGICA: Sobre la ecuación de Laplace (1958).42.-F. MARTÍN ASÍN: Un estudio estadístico sobre las coordenadas de los vértices de la

triangulación de primer orden española (1958).43.-ST. WIERZBINSKI: Orbite améliorée de h 4530 = ¡: Cen = Cpd --48', 4965 (1958).44.-0. CALVOBARRENA:Rectificación de la órbita del Asteroide 1164 "Kobolda" (1958).45.-M. LóPEZ ARROYO: El ciclo largo de la actividad solar (1959).46.-F. MÚGICA: Un nuevo método para la determinación de la latitud (1959).47.-1. M. TORROJA: La observación del eclipse de 2 de octubre de 1959 desde El Aaiun

(Sahara) (1960).48.-1. M. TORROJA,P. 1IMÉNEZ-LANDly M. Sot.ísrEstudio de la polarización de la luz de

la corona solar durante el eclipse total de Sol del día 2 de octubre de 1959 (1960).49.-E. PAJARES: Sobre el mecanismo diferencial de un celóstato (1960).50.-1. M. GONZÁLEZ-ABOiN:Sobre la diferencia entre los radios vectores del elipsoide in-

ternacional y el esferoide de nivel (1960).51.-J. M. TORROJA: Resultado de las observaciones del paso de Mercurio por delante del

disco solar del 7 de noviembre de 1960 efectuadas en los observatorios españoles (1961).S2.-F. MÚGICA:Determinación de la latitud por el método de los verticales simétricos (1961).53.-M. LÓPEZ ARROYO: La evolución del área de las manchas solares (1962).54.-F. MÚGICA: Determinación simultánea e independiente de la latitud y longitud me-

diante verticales simétricos (1962).55.-P. DiEZ-PICAZO: Elementos de la órbita de la variable eclipsante V 499 Scorpionis

(1964).56.-J. M. TORROJA: Los Observatorios Astronómicos en la era espacial (1965).57.-F. MARTÍN Asís: Nueva aportación al estudio de la red geodésica de primer orden

española y su comparación con la red compensada del sistema europeo (1966).SIL-F. SÁNCHEZMARTÍNEZ: La Luz Zodiacal. Luz del espacio interplanetario (1966).59.-1. M. GONZÁLEZ-ABOíN:Variaciones de las coordenadas geodésicas de los vértices de

una red, por cambio de elipsoide de referencia (1966).60.-F. SÁNCHEZMARTÍNEZy R. DUMONT:Fotometría absoluta de la raya verde y del con-

tinuo atmosférico en el Observatorio Astronómico del Teide (Tenerife), de enero de1964 a julio de 1965 (1967).

hl.-M. REGO: Estudio del espectro de la estrella 31 Aql. en la región U 4000-6600 A (1969).62.-C. MACHÍN: Mareas terrestres (1969).63.-J. M. TORROJA: La estación para la observación de satélites geodésico s de la facultad

de Ciencias de la Universidad de Madrid (1969).64.-M. J. SEVILLA: Reducción automática de posiciones de estrellas (1970).65.-1. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía v Geodesia

de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid en 1969 (1970).66.-M. J. SEVILLA: Los cálculos de estación en triangulación espacial (1970).67.-MANUEL E. REGo: Determinación de las abundancias de los elementos en Id atrnóv-

fera de la estrella de alta velocidad 31 Aql. (1970).68.-M. 1. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Análisis cualitativo del espectro de la estrella peculiar

HD 18474 (1970.69.-J. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia

de la Universidad Complutense de Madrid en 1970 (1970.

70.-R. VIEIRA Y R. ORTIZ: Descripción de un aparato para medida de coordenadas (1971).71.-1. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia

de la Universidad Complutense de Madrid en 1971 (1972).72.-M. 1. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Observación y estudio teórico del espectro de la estrella

peculiar HD 18474 (1972).73.-M. 1. SEVILLA: Cálculo de las constantes de distorsión y parámetros del disco obtu-

rador para cámaras balísticas (1973).74.-R. PARRAY M. 1. SEVILLA: Cálculo de efemérides y previsiones de pasos de satélites

geodésicos (1973).75.-M. REGO y M. 1. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Resultado de las observaciones de ,)' Peg

efectuadas desde el satélite europeo TDI (1973).76.-E. SIMONNEAU:Problemas en la determinación de abundancias de elementos en las

estrellas en condiciones de equilibrio termodinámico local y alejadas del equilibriotermodinámico local (1974).

77 .-J. ARANDA:Construcción de modelos de estructura interna para estrellas en la secuen-cia principal inicial (1974).

78.-R. ORTIZ, M. J. SEVILLAy R. VIEIRA: Estudio de la calibración, técnica de medida yautomatizacrón de datos en un comparador para medidas de placas estelares \ 1974).

79 .-M. J. SEVILLA: Método autocorrector para el cálculo de direcciones de satélites geo-désicos y análisis de los errores en la restitución de un arco de órbita (1974).

80.-M. A. ACOSTA, R. ORTIZ y R. VIEIRA: Diseño y construcción de un fotómetro foto-eléctrico para la observación de ocultaciones de estrellas por la Luna (1974).

8 l.-T. J. VIVES, C. MORALES, 1. GARCÍA-PELAYOy 1. BARBERO: Fotometría fotográficaUBV del cúmulo galáctico King 19 (1974).

82.-R. ORTIZ y R. VIEIRA: Control automático en posición y tiempo de los sistemas deobturación de las cámaras de observación de satélites geodésicos (1974).

83.-J. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geode-sia de la Universidad Complutense de Madrid en 1972 y 1973 (1974).

M.-M. 1. FERNÁNDEZ-FIGUEROAy M. REGO: ex CrB en el ultravioleta lejano (1975).85.-1. M. TORROJA,R. VIEIRA, R. ORTIZ y M. J. SEVILLA: Estudio de mareas terrestres

en España (1975).86.-M. J. SEVILLAY R. PARRA: Levantamiento gravímétrico de Lanzarote (1975).87.-P. KUNDANMALSUlrnwANI: Modelos teóricos de curvas de luz. Su aplicación al siste-

ma (J Lyrae (1975).88.-M. J. SEVILLA: Coordenadas astronómicas y geodésicas. Desviación relativa de la ver-

tical (1975).1$9.-C. TEJEDOR: Fotometría fotoeléctrica R. G. U. del cúmulo galáctico IC 2581 11976).90.-M. J. SEVILLA: Nuevos coeficientes para la reducción automática de posiciones de

estrellas (ln6).9 l.-M. REGO: Técnicas observacionales en espectroscopía astrofísica (l976).92.-M. J. SEVILLA: Determinación de la latitud por distancias cenitales de la polar, mé-

todo de Littrow (1976).93.-T. 1. VIVES: Determinación fotométrica del tipo espectral de la componente desco-

nocida de una estrella binaria eclipsante (1976).94.-M. REGO y M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Contraste y determinación por métodos astro-

fisicos de fuerzas de oscilador (1977).95.-M. J. SEVILLAy R. CHUECA: Determinación de acimutes por observación de la Polar.

Metodo micrométrico (1977).96.-JosÉ M. GARCÍA-PELAYO:Fotometría R G U en un campo del anticentro galáctico,

cerca del NGC 51$1 (1977).97.-JosÉ M. GARCÍA-PELAYO:Datos fotométricos de 2.445 estrellas estudiadas en la región

de Casiopea, entre los cúmulos abiertos Trumpler 1 y NGC 581 (1977).98.-PREM K. SUKHWANIy RICARDOVIEIRA: Spectral Analysis of Earlh Tides (1977).99.--JosÉ M. TORROJAy RICARDOVIEIRA: Earth Tides in Spain. Preliminary results (l977).

100.-PREM K. SUKHWANIy RICARDOVIEIRA: Three different methods for taking in accountthe gaps in spectral analysis of Earth Tides records (1978).

(continúa en la cuarta de cubierta)

10l.-R. VIEIRA: Mareas terrestres (1978).102.-M. J. SEVILLAy A. NÚÑEZ: Determinación de la longitud por el método de M ayer.

Programas de cálculo automático (1979).103.-M. 1. SEVILLAY A. NÚÑEZ: Determinación de la latitud por el método de Sterneck.

Programas de cálculo automático (1979).104.-M. 1. SEVILLA: Determinación de la latitud y la longitud por el método de alturas

iguales. Programas de cálculo automático (1979).105.-P. K. SUKHWANIy A. GIMÉNEZ: Corrección de efectos atmosféricos para imágenes

tomadas desde satélites Landsat (1979).106.-M. 1. SEVILLA: Inversión de matrices simétricas en el método de mínimos cuadrados

(1979).107.-A. GIMÉNEZ: Análisis de la curva de luz del sistema binario eclipsante S Velorum (979).108.-M. 1. SEVILLA: Determinación del acimut de una referencia por observación de la es-

trena polar. Programa de cálculo automático (1979).109.-M. J. SEVILLA: El sistema IAV (1976) de constantes astronómicas y su repercusión

en la reducción de posiciones de estrenas (Primera parte) (1980).110.-M. 1. SEVILLAY R. PARRA: Determinación de la latitud por el método de Horrebow-

Talcott. Programas de Cálculo Automático (1980).111.-M. J. SEVILLA: Determinación de la latitud y la longitud por fotografías cenitales

de estrenas (1980).112.-R. VIEIRA Y M. OREJANA: Comunicaciones presentadas en las XLI y XLII Jornadas

del Grupo de Trabajo de Geodinámica del Consejo de Europa. Luxemburgo (1979-80).I13.-M. 1. SEVILLA: Sobre un método de cálculo para la resolución de los problemas geo-

désicos directo e inverso (1981).I14.-R. VIEIRA. J. M. TORROJA, C. TORO, F. LAMBAS,M. OREJANAV P. K. SUKHWANI:

Comunicaciones presentadas en el IX Symposium Internacional de Mareas Terrestres.Nueva York (1981).

115.-M. A. MONTULL,M. 1. SEVILLAV A. GONZÁLEZ-CAMACHO:Aplicación de la V. L. B. 1al estudio del movimiento del Polo (1981).

116.-A. GONZÁLEZ-CAMACHOy M. J. SEVILLA: Algunas relaciones entre diferentes ejes quese consideran en la rotación de la Tierra (1981).

117.-R. VIEIRA. F. LAMBASy E. GIMÉNEZ: Modificaciones realizadas en un gravímetroLaCoste Romberg modo G para su utilización en registro continuo de la gravedad (1981).

IIS.-R. VIEIRA: La microrred de mareas gravimétricas del Sistema Central (1981).119.-1. M. TORROJAy R. VIEIRA: Informe sobre el desarrollo del programa de investiga-

ción sobre mareas terrestres en el último bienio (1981).120.-F. LAMBASy R. VIEIRA: Descripción, estudio de la precisión y aplicaciones geodésicas

y geofísicas de los nuevos niveles de lectura electrónica (1981).12l.-M. 1. SEVILLA: Programación del método de la cuerda (1981).122.-J. M. TORROJA: Historia de la Ciencia Arabe. Los Sistemas Astronómicos (1981).123.-M. 1. SEVILLAy R. VIEIRA: Comunicaciones presentadas en la Sesión Científica de

la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, celebrada el día 13 deenero de 1982 (1982).

124.-M. J. SEVILLAy P. ROMERO: Aplicación del método de colocación a la reducción deplacas fotográficas de estrellas (1982).

I25.-M. 1. SEVILLAY A. G. CAMACHO:Deformación rotaciona! de una tierra elástica (1982).126.-M. 1. SEVILLAY P. ROMERO: Obtención de las medidas de la precisión en la determi-

nación de la latitud y la longitud por fotografías cenitales de estrenas (1982).127.-M. 1. SEVILLA, A. G. CAMACHOy p. ROMERO: Comunicaciones presentadas en la

IV Asamblea Nacional de Astronomía y Astrofísica. Santiago de Compostela (1983).128.-M. J. SEVILLA: El sistema IAV (1976) de constantes astronómicas y su repercusión

en la reducción de posiciones de estrellas (Segunda parte) (1983).129.--·M. 1. SEVILLA: Geodesia por satélites y navegación (1983).130.-L. GARCÍA ASENSIO, A. G. CAMACHO,P. ROMEROY M. J. SEVILLA: Comunicaciones

presentadas en la V Asamblea Nacional de Geodesia y Geofísica (1983).(continúa en la segunda de cubierta)

13l.-M. J. SEVILLA:Anomalías de la gravedad basadas en el sistema geodésico de refe-rencia 1980 (1983).

132.-J. M. TORROJA:Historia de la Física hasta el siglo XIX. La Mecánica Celeste 0983).133.-A. G. CAMACHOy M. J. SEVILLA:The Molodensky Problem for an homogeneous liquid

core (1984).134.-J. M. TORROJA:La obra astronómica de Alfonso X El Sabio (1984).135.-H. MORITZ: Sistemas de referencia en Geodesia (1984).136.-H. MORITZ: Rotación de la Tierra (1984).137.-A. G. CAMACHOy M. 1. SEVILLA:Autofrecuencias del movimiento del Polo para un

modelo de Tierra de tipo Jeffreys Molodensky (1984).138.-1. M. TORROJA:Nuevas definiciones en el problema de la medida del tiempo (1984).139.-M. J. SEVILLA:Astronomía Geodésica (1984).140.-M. J. SEVILLAy M. D. MARTÍN: Diseño de una Microrred en la Caldera del Teide

para el estudio de deformaciones de la corteza en la zona (1986).14l.-R. VIEIRA, C. DE TORO Y V. ARAÑA: Estudio Microgravimétrico en la Caldera del

Teide (1986).142.-M. J. SEVILLA,M. D. MARTÍNY A. G. CAMACHO:Análisis de Datos y Compensación

de la primera campaña de observaciones ton la Caldera del Teide (1986).143.-M. J. SEVILLAY P. ROMERO:Hamiltonian Formulation of the polar motion for an

elastic earth's model (1986).144.-P. ROMEROY M. 1. SEVILLA:The Sasao-Okubo-Saito equations by Hamilton Theory.

First Results (1986).145.-R. VIEIRA, M. J. SEVILLA,A. G. CAMACHOy M. D. MARTÍN: Geodesia de precisión

aplicada al control de movimientos y deformaciones en la Caldera del Teide (1986).146.-R. VIEIRA, J. M. TORROJA,C. DE TORO, B. DUCARME,1. KAARIAINEN,E. MEGÍASy

J. FERNÁNDEZ:Comunicaciones presentadas en el X Symposium Internacional de Ma-reas Terrestres. Madrid, 1985 (1986).

147.-M. 1. SEVILLA,A. G. CAMACHOy P. ROMERO:Comunicaciones presentadas en el XSymposium Internacional de Mareas Terrestres. Madrid, 1985 (1986).

148.-M. J. SEVILLA:Formulación de modelos matemáticos en la compensación de redesGeodésicas: III Curso de Geodesia Superior (1986).

149.-H. LINKWITZ:Compensación de grandes redes geodésicas: III Curso de Geodesia Su-perior (1986).

150.-H. HENNEBERG:Redes geodésicas de alta precisión: III Curso de Geodesia Superior(1986).

15l.-M. J. SEVILLA:Cartografía Matemática (1986).152.-P. ROMEROY M. J. SEVILLA:Tratamiento Canónico del problema de Poincare. Mo-

vimiento del Polo. (1986)153.-A. G. CAMACHOy M. D. MARTÍN:Constreñimiento s internos en la compensación de

Estaciones. (1986)

Depósito Legal: M. Sep. 894-1958ISSN: 0213 - 6198 Realigraf, S. A., Burgos, 12. 28039 Madrid