——————————————————————————-

Ivan Pe�qev �ordanovPrilo�eni� na agentnimodeli v popula ionnatadinamika

AVTOREFERATna diserta i� za pris��danena nauqna i obrazovatelna stepen "doktor"Nauqen r�kovoditel:prof. dmn Nikola� K. VitanovRe enzenti:1.................................................2..................................................Sofi� 2012

I. Obwa harakteristika na diserta i�ta.Aktualnost i motivirovka na temata.1. Aktualnost i motivirovka na temata.Popula ionnata dinamika vinagi e bila va�na qast otmatematiqeskata biologi�. Razvitieto na s�vremennatapopula ionna dinamika zapoqva predi okolo 210 godini. Vnaqalni� period spe ialistite po popula ionna dinamikaizsledvat zakonomernostite v razvitieto na qovexkite pop-ula ii. S teqenie na vremeto v popula ionnata dinamikase oform� i drugo napravlenie, koeto se zanimava s t�rsenena zakonomernostite na razvitieto na �ivotinskite popu-la ii. Postepenno se os�znava, qe izpolzvanite v popula- ionnata dinamika metodi i modelni uravneni� mogat da seizpolzvat i daleq izv�n predelite na tozi klon na naukata.Vse po-plodonosno se okazva obedin�vaneto na silite napopula ionnata dinamika, fizikata i prilo�nata matem-atika. V posledno vreme se nab�dava burno razvitie i voblastta na prilo�enie na ideite i metodite na popula- ionnata dinamika k�m so ialni sistemi. Ideite veqe saopisani i na b�lgarski ezik (Vitanov i s�avtori 2005a,2008, Vitanov 2007).Agentnite modeli sa va�en instrument pri analizana slo�ni sistemi. Pri tova, v zavisimost ot sistem-ata, agentite imat razliqni svo�stva i vzaimode�stvat porazliqen naqin. Ako bro�t na agentite e mnogo gol�mi haos�t v t�hnoto povedenie e mal�k, to e v�zmo�noopisanieto na sistemata ot vzaimode�stvawi si agenti spo-malko ili poveqe slo�ni sistemi ot obiknoveni iliqastni diferen ialni uravneni�. Tezi sistemi uravneni�opisvat harakteristiki na kolektivnoto povedenie na agen-tite (naprimer pridvi�vaneto im v prostranstvoto). To-qno takova e polo�enieto pri opisanie na vzaimode�stvawi

1

si �ivotinski popula ii. Poradi tova derministiqnotomodelirane s�s sistemi diferen ialni uravneni� e xirokorazprostraneno i se izv�rxva i v tazi diserta i�.2. Celi i zadaqi na diserta i�ta.Celta na diserta i�ta e da se postroi model na sistemaot vzaimode�stvawi si popula ii, kato popula iite imatv�zmo�nost da se pridvi�vat v prostranstvoto i da sepoluqat toqni analitiqni rexeni� v�v vid na b�gawiv�lni, opisvawi harakteristiki na tova dvi�enie (v n�koisluqai nariqano i migra i�, ako pridvi�vaneto e na po-gol�mo razsto�nie). Celta opredel� i konkretnite zadaqina diserta i�ta, a te sa:

• Poluqavane na modela na vzaimode�stvawi si popu-la ii;• Namirane na toqni rexeni� v�v vid na b�gawi v�lniza neline�noto qastno diferen ialno uravnenie, opis-vawo sluqa� na edna popula i� i izsledvane na stabil-nostta na naykoi ot tezi rexeni�;• Namirane na toqni rexeni� v�v vid na b�gawi v�lniza neline�nite qastni diferen ialn uravnenie�, opis-vawi sluqa� na dve vzaimode�stvawi si popula i.Postavenata el i zadaqi na diserta i�ta sa iz�lneni, apoluqenite rezultati veqe sa me�dunarodno priznati.

3. Metodika na izsledvani�ta.Metodikata na izsledvani�ta e ot oblastta na matema-tiqeskoto modelirane na biologiqni sistemi qrez obi-knoveni i qastni diferen ialni uravneni� i sistemi ottakiva uravneni�.4. Prilo�imost.

2

Poluqenite rezultati sa prilo�imi za ob�snenie napridvi�vaneto na predin� ili zadni� front na grupa ot�ivotni ili za razbirane na s�vmestnoto pridvi�vane nadve vzaimode�stvawi si popula ii (hiwni i i �ertvi)5. Publika ii i aproba i�.Rezultatite ot diserta i�ta sa publikuvani v spisani� svisok impakt faktor kato Communications in Nonlinear Sci-ence and Numerical Simulation (2.697) i Applied Mathemat-ics and Computation (1.370). Aproba i�ta na rezultatitei na qasti ot diserta i�ta e izv�rxena na mno�estvome�dunarodni konferen ii, seminari v Bulgari�, naotqetnite sesii na Instituta po mehanika na BAN i nasek i� "Biomatematika" na Instituta po matematika i in-formatika na BAN.6. Struktura i obem na diserta i�ta.Diserta i�ta se s�stoi ot 132 strani i i s�d�r�a 10figuri S�stoi se ot uvodna glava, tri glavi, v koito saizlo�eni poluqenite rezultati, kakto i opisanieto na os-novnite rezultati, prilo�enie, posveteno na istori�ta naizsledvani�ta po popula ionna dinamika i literatura. VGlava 2 e poluqen obwi�t model na sistema ot vzaimod-e�stvawi si popula ii i e obs�deno pribli�eno rexenieza sluqa� na edna popula i�, poluqeno qrez razlagane pomal�k paramet�r. V glava 3 sa poluqeni toqni rexeni�v�v vid na b�gawi v�lni za sluqa� na 1 popula i�. Sluqa�tna dve popula ii e obs�den v glava 3, k�deto sa poluqenirexeni� ot vid sdvoeni b�gawi v�lni.II. S�d�r�anie na diserta i�ta.Glava 1. Uvod.

3

1.1.Popula ii, matematiqesko modelirane,neline�na dinamikaV paragrafa se obs��da v�pros�t za narastvawoto zemnonaseleie, sv�rzanite s nego problemi i nu�data ot matem-atiqesko modelirane za rexavane na tezi problemi, koetovodi do po�vata na nauqnata dis iplina teori� na neline�-nata dinamika (Ott 1999), Berge, Pomo i Vidal (Berge et

al. 1996)). Neline�nata dinamika dostiga s�vremennotosi nivo na razvitie sled burno razvitie prez posledniteqetiri desetileti�. T� predostav� pon�ti�ni� aparat imetodite za opisanie na vse po-narastvaw klas ot �vleni�ot oblastta na mehanikata na diskretni i neprek�snati sis-temi, statistiqeskata fizika, optikata, atomnata fizika,ekologi�ta, biologi�ta i in�enernite nauki (Hilborn 2001,

Anishchenko et al. 2007). Tezi �vleni� se opisvat otneslo�ni sistemi ot diferen ialni uravneni�, koitovsledstvie na svo�ta neline�nost vod�t do v�znikvane naneoqakvani evol� ionni s�biti�, qesto pridru�avani otpromeni v prostranstvenata organiza i� na izsledvanatasistema.Gorespomenatite sistemi ot diferen ialni uravneni�qesto prite�avat rexeni� v�v vid na b�gawi v�lni.S�westvuva opredelen klas ot neline�ni b�gawi v�lni, prikoito neline�nostta kompensira dispersi�ta. Dnes takivav�lni se nariqat uedineni v�lni. Tezi v�lni sa opisani zapr�v p�t ot D�on Skot R�sel (ko�to gi nariqa owe transla- ionni v�lni) (Russel and Scott 1895). N�koi ot uedinen-ite v�lni se nariqat solitoni. Za da b�de klasifi iranaedna uedinena v�lna kato soliton t� tr�bva da mo�e da sesbl�ska s druga takava uedinena v�lna i sled sbl�s�ka dan�ma prom�na v�v formata na uedinenata v�lna.Uedinenite v�lni i solitonite sa obekt na mnogobro�ni4

izsledvani�. N�kolko primera sa:• Izsledvani� na neline�ni v�lni v hidrodinamikata iakustikata (Whitham 1974);

• Izsledvani� po s�otvetstvieto me�du strukturi vplazma i v�lni v uravnenieto sine-Gordon (Martinovand Vitanov 1992a). Izsledvani� na dvo�noperiodiqnistrukturi v plazmeni sistemi (Martinov and Vitanov1994a);

• Analiz na neline�nite b�gawi i sto�wi v�lni na ed-nomernoto i dvumernoto uravneni� sine-Gordon (Marti-

nov and Vitanov 1992 b,c, 1994b, Vitanov 1996, Vitanov1998b, Vitanov 1998c);

• Neline�ni v�lni v kristali (Maugin 1999).1.2. Agentni modeli na slo�ni sistemi.V nasto�stata diserta i� popula iite se ragle�dat katos�vkupnosti ot vzaimode�stvawi pome�du si agenti, koitomogat da uveliqavat ili namal�vat bro� si. Nie n�ma dase interesuvame ot nabora ot rexeni�, koito tezi agentivzimat pri pro esite na vzaimode�stvie pome�du si ilipri prom�na na bro� si qrez ra�daemost i sm�rtnost.Modeliraneto na vzaimode�stvieto me�du agentite web�de napraveno s qastni diferen ialni uravneni�, pred-stavl�vawi razxirenie na modelite na Lotka i Voltera.1.3. Primeri za prilo�enie na popula ionnimodeliObobwenite uravneni� na Volterra za vzimode�stvie na npopula ii sa:dNi(t)

dt= riNi(t)[1−

n∑

j=1

αijNj(t)], i = 1, 2, ..., n,

5

(1.3.1)k�deto Ni(t) e bro�t na individite v i−tata popula i�,ri e koefi ient�t na narastvane na bro� na individite vi−tata popula i�, a αij sa koefi ienti na vzaimode�stvie,otqitawi kak j−tata popula i� vli�e v�rhu i−tata popu-la i�.V zavisimost ot sistemata, ko�to iskame da izsled-vame, nie mo�em da vkl�qim v matematiqeski� model qlen-ove, otqitawi efekti na stareene, zak�sn�la reak i� nas�biti�ta i t.n. Mnogo ot rannite izsledvani� sa praveniposredstvom obobwenie na uravneni�ta na Lotka-Voltera zadve popula ii.S�westvuvat i drugi obobweni� na uravneni�ta naLotka-Voltera. Edin primer e sistemata uravneni�:

dNi

dt= riNi +Ni

n∑

j=1

Aij

n∏

k=1

NBjk

k , (1.3.2)k�deto Ni sa funk ii na s�sto�nieto (realni ili komplek-sni funk ii na vremeto), ri sa realni ili kompleksni, Ai B sa n× n matri i ot realni ili kompleksni qisla, a ne bro�t na promenlivite. Ako v tezi uravneni� naprimerpolo�im B = I (I e n× n ediniqnata matri a) to:dNi

dt= riNi +Ni

n∑

j=1

AijNj (1.3.3)Pri n = 2 uravneni�ta se redu irat do sluqa� na ran-nite izsledvani� na Voltera za modelirane na ribnitepopula ii. Obobwenata forma na uravneni�ta na Lotka-Voltera v�znikva mnogokratno pri opisanie na pro esi6

v�v fizikata na plazmata, v meteorologi�ta, himi�ta ilibiologi�ta. V diserta i�ta se ragle�dat prilo�eni� voblastta na mehanikata na fluidite, epidemiologi�ta ipri opisanie na konkuren i�ta v sistema ot tri popula ii.1.4. Model�t na Dimitrova - VitanovKonkuren i�ta i adapta i�ta sa dve s�westveni qertina biologiqnite sistemi. Popula iite se konkuriratpome�du si za resursi i tazi konkuren i� qesto vodi doznaqitelni promeni v uslovi�ta na okolnata sreda. Qlen-ovete na popula iite reagirat na promenite qrez po-gol�maili po-malka adapta i�. Tezi, koito se adaptirat po-dobre,imat po-golemi xansove za o el�vane. �sno e, qe e va�noda se modelirat dvata pro esa ednovremenno. V modela naVoltera koefi ient�t na narastvane i koefi ient�t navzaimode�stvie sa konstanti. No prom�nata na bro� naqlenovete na popula iite vodi do prom�na na bro� na sre-wite me�du t�h. Tova mo�e da dovede do prom�na v ko-efi ientite na narastvane na bro� na qlenovete na popu-la iite i na koefi ientite na vzaimode�stvie me�du pop-ula iite. Tova e pro�va na adapta i� na popula iite k�mprom�nata na uslovi�ta na okolnata sreda. Za da modelirattazi adapta i� Dimitrova i Vitanov v�ve�dat zavisimostina koefi ientite ri i αij ot bro� na qlenovete na popula i-ite:ri = r0i

[

1 +

n∑

k=1

rikNk +

n∑

k,l=1

riklNkNl +

n∑

k,l,m=1

riklmNkNlNm + . . .

]

, (1.4.1)7

αij = α0ij

[

1 +n∑

k=1

αijkNk +n∑

k,l=1

αijklNkNl +

n∑

k,l,m=1

αijklmNkNlNm + . . .

]

. (1.4.2)Dimitrova i Vitanov se ograniqavat do na�-prosti� vid nagornite zavisimosti, kato zapazvat samo line�ni� qlen pootnoxenie na popula iite. Taka zavisimostta na koefi- ienta na narastvane i koefi ienta na vzaimode�stvie nabro� na qlenovete na popula iite se predpolagat v�v vida:ri = r0i

[

1 +

n∑

k=1

rikNk

]

, (1.4.3)αij = α0

ij

[

1 +n∑

k=1

αijkNk

]

. (1.4.4)V tozi sluqa� adapta i�ta se opredel� samo ot bro� na qlen-ovete v popula iite i ne e sv�rzana s binarnite vzaimod-e�stvi� i vzaimode�stvi�ta ot po-viskok red.Ottuk natat�k we otbel�zvame s r0i koefi ienta nanarastvane i s α0ij koefi ientite na vzaimode�stvie otnulev por�d�k. S rik we oznaqame adapta ionni� faktorot p�rvi por�d�k na koefi ienta na narastvane,a s αijk weoznaqavame adapta ionen faktor ot p�rvi por�d�k na koe-fi ienta na vzaimode�stvie me�du qlenovete na popula i-ite. Ako rik i αijk sa = 0 naxi�t model s�d�r�a teori�tana konkuren i� me�du tri popula ii, izlo�ena ot Me� iLeonard (May and Leonard 1975).

8

Otqita�ki (1.4.3) i (1.4.4) sistemata obiknoveni difer-en ialni uravneni� za modelirane na dinamikata na sis-tema ot popula ii pri naliqie na adapta i� ima sledni�vid:dNi

dt= r0iNi{1−

n∑

j=1

[α0ij − rij]Nj −

n∑

j=1

n∑

l=1

α0ij[αijl +

+ril]NjNl −n∑

j=1

n∑

k=1

n∑

l=1

α0ijrikαijlNjNkNl}. (1.4.5)Poluqeni�t model e dosta g�vkav poradi naliqieto nagol�m bro� koefi ienti v nego i poradi v�zmo�nostta tezikoefi ienti da mogat da zavis�t ot bro� na individite vpopula iite. Po tozi naqin mnogo izvestni modeli mogatda b�dat poluqeni kato qastni sluqai na (1.4.5). V dis-erta i�ta e razgledan primer, pri ko�to sve�dame (1.4.5)do bazovi� model na dinamikata na virusite.1.5. N�koi rezultati ot modela na Dimitrova -VitanovV tozi paragraf se obs��da sravnenie na rezultatite naDimitrova i Vitanov s tezi na uqenite ot grupata na Ar-neodo ot Lion, Fran i�, kakto i sa izlo�eni rezultati naDimitrova i Vitanov za haosa na Xilnikov v sistema otvzaimode�stvawi si popula ii.1.6. Uravnenie na difuzi�ta i negoviteprilo�eni�Line�noto uravnenie na difuzi�ta za edno prostranstvenoizmerenie e paraboliqnoto homogenno qastno diferen- ialno uravnenie:

∂φ

∂t= D

∂2φ

∂x2.

9

(1.6.1)Difuzionnata konstanta D e m�rka za tova, kolko b�rzoveliqinata, izmervana ot φ (qasti i, toplinna energi�,�ivotni ili drugo) difundira ot oblastite s visoka kon- entra i� k�m oblastite s niska kon entra i�.Rexenieto na uravnenieto na difuzi�ta pri t > 0, x-realno i pri naliqie na naqalnoto uslovie φ(x, 0) = φ0(x)e:φ(x, t) =

∫

R

φ0(ξ)K(x− ξ, t)dξ, (1.6.2)k�deto K(x, t) (nariqano owe difuzionno �dro) e:K(x, t) =

1√4πDt

exp(− x2

4Dt).Za vs�ko ξ i za vs�ko t > 0 �droto K(x− ξ, t) e rexenie nauravnenieto na difuzi�ta i se nariqa fundamentalno rex-enie. V diserta i�ta e razgledan primer za prilo�enie nauravnenieto na difuzi�ta za opisanie na razprostraneniena mikroorganizmi.Mnogo pro esi v prirodata s�d�r�at kakto difuzi�,taka i reak ii. Qesto takiva pro esi se modelirat sreak ionni-difuzionni uravneni� ot vida:

∂φ

∂t−D

∂2φ

∂x2= f(u). (1.6.6)Edin primer e uravnenieto na Fixer:

∂φ

∂t−D

∂2φ

∂x2= rφ

(

1− φ

K

)

, (1.6.7)10

koeto modelira difuzi�ta naprimer na nasekomi, kogatoqlen�t, opisvaw narastvaneto na bro� na nasekomite (reak- ionni�t qlen) sledva logistiqen zakon. Po-gore r e ko-efi ient�t na narastvane na bro� na nasekomite, a K senariqa nosew kapa itet na sredata. Uravneni� podobni nauravnenieto na Fixer sa razgledani v sledvawite glavi nadiserta i�ta.Glava2. Model na migra i�ta na popula ii.V tazi glava se razgle�da sistema ot vzaimode�stvawi sipopula ii, qiito pl�tnosti zavis�t ot vremeto i koordi-natite v dvumerno Evklidovo prostranstvo. Naliqieto naprostranstveni izmereni� dava v�zmo�nost za izsledvanena migra i�ta na predstavitelite na popula iite. Na os-novata na predpolo�enieto, qe tazi migra i� e difuzionenpro es we formulirame matematiqeski model. Tozi model vobwi� sluqa� se s�stoi ot sistema uravneni� opisvawi raz-postranenieto na line�ni i neline�ni popula ionni v�lni.Rexavaneto na tezi uravneni� we ni pozvoli da razberempo-dobre qast ot migra ionnite pro esi v �ivotinskite iqovexkite popula ii.2.1. Obwa forma na modela.Predi n�kolko destileti� Kerner (Kerner 1957, 1959, 1961)e predlo�il lineen model na vzaimode�stvie na popula iiv prostranstvoto. V tazi diserta i� tozi model e rzxirenv dve posoki:(1.) Predpolagame, qe v obwi� sluqa� koefi ientite nanarastvane na bro� na individite i na vzaimode�stvieme�du popula iite zavis�t ot pl�tnostta na popula i-ite;

11

(2.) Vmesto lineen model razgle�dame nelineen model itaka poluqavame v�zmo�nostta da opisvame neline�niv�lni, sv�rzani s migra i�ta na agentite.Neka e dadena dvumernata oblast D (naprimer qastot zemnata pov�rhnost), v ko�to sa razpolo�eni n vza-imode�stwawi si popula ii, vs�ka ot koito se s�stoi otNi(i = 1, ..., n) individa. Togava, ako vzemem proizvolnadostat�qno malko plowadka s li e dS, okolo proizvolnafiksirana toqka ~r ot dadenata oblast, v ko�to imame dNibro� individa ot i-tata popula i�, mo�em da opredelimpl�tnostta na s�otvetnata popula i� v s�otvetnata toqka:

ρi(~r, t) =dNi

dS. (2.1.1)Vs�ka ot tezi pl�tnosti se izmen� s teqenie na vremeto.Tova izmenenie se d�l�i kakto na v�znikvaneto na indi-vidi v oblastta na plowadkata, taka i na vlizaneto iliizlizaneto na individi (t. e. na migra i�ta) prez grani- ata na plowadkata.Neka v oblastta D e dadena funk i�ta Ri(t, ~r), ko�toopisva pl�tnostta na individite ot i-tata popula i� v tazioblast. Togava za vreme dt v li eto dS, t.e. v toqkata ~r ima

dN vol.i = Ri(t, ~r)dSdt (2.1.2)individa ot i-tata popula i�.Neka sega vzemem proizvolna lini� s d�l�ina dl, ent�rtoqkata ~r i ediniqen normalen vektor ~n. Neka za vreme dtprez lini�ta preminat Ii(~n)dldt individa ot i-tata popu-la i�. Togava, za da harakterizirame migra i�ta na indi-vidi v toqkata ~r tr�bva da znaem skalarnata funk i� na

12

vektorni� argument Ii(~n). Ako sqitame, qe tazi funk i�e line�na, t� mo�e da se opredeli s pomowta na vektor~Ii, nareqen vektor na migra ionni� potok. Naistina nekavzemem Dekartova koordinatna sistema (DKS) s ent�r to-qkata ~r, ediniqni vektori ~i,~j i tri�g�lnik na Koxi. To-gava v posledni�t we se po�v�t:

dNi = dN vol.i + dNmigr.

i (2.1.3)individa ot i - tata popula i�, kato:dNmigr.

i = Ii(~j)dlx + Ii(~i)dly + Ii(−~n)dl, (2.1.4)k�deto dlx i dly sa d�l�inite na stranite s normali ~j i~i, a dl e d�l�inata na naklonenata strana. Neka sega l eharakterni� razmer na stranite na tri�g�lnika. Togava

dNi, dNvol.i ∼ l2, dNmigr.

i ∼ l,i ako l e bezkra�no malko we poluqim uravnenieto:Ii(~j)dlx + Ii(~i)dly + Ii(−~n)dl = 0, (2.1.5)k�deto s ~n sme oznaqili normalata k�m naklonenata strana.Da otbele�im, qe oqevidno Ii(−~n) = −Ii(~n). Togava otgornoto uravnenie poluqavame, qe:

Ii(~j)dlx + Ii(~i)dly = Ii(~n)dl, (2.1.6)ili:Ii(~n) = Ii(~j)

dlxdl

+ Ii(~i)dlydl

.

13

(2.1.7)Sega, kato zabele�im, qe:dlxdl

= cos(~i, ~n) = ~n ·~i, dlydl

= cos(~j, ~n) = ~n ·~j,poluqavame:Ii(~n) = ~n · [Ii(~j).~i+ Ii(~i).~j] = ~n · ~Ii. (2.1.8)Vektor�t

~Ii = Ii(~j).~i+ Ii(~i).~jharakterizira migra i�ta na i - tata popula i� vproizvolna toqka ~r ot oblastta G i se nariqa vektor namigra ionni� potok na s�otvetnata popula i� v toqkata ~r.Neka sega razgledame proizvolen kr�g B(~r,ǫ) ⊆ G. Nekagrani ata mu ∂B da ima v�nxna normala ~n. Togava zavreme dt v kr�ga we v�zniknat ∫B dN vol.i =

∫

B RidSdt in-divida ot i-tata popula i�, a prez grani ata mu we premi-nat ∫∂B Ii( ~−n)dldt individa ot s�wata popula i�. Obwotoizmenenie na bro� individi (ot s�otvetnata popula i�) vkr�ga e ∂∂t

∫

B dNi =∫

B∂ρi∂t dS. Togava, kato otqetem (2.1.8),poluqavame:

∫

B

∂ρi∂t

dS = −∫

∂B

~n · ~Iidl +∫

B

RidS,a kato prilo�im teoremata na Gaus k�m integrala po grani- ata ∂B poluqavame rezultata:∫

B

(

∂ρi∂t

+▽ · ~Ii −Ri

)

dS = 0. (2.1.9)14

Da otbele�im, qe gornoto e v sila za proizvolen kr�gB ⊆ G. Sega, ako sqitame, qe podintegralnata funk i�e neprek�snata, mo�em da sviem obema v toqka. Takapoluqavame sistemata:

∂ρi∂t

+▽ · ~Ii = Ri, (i = 1, ..., n). (2.1.10)Parametrite na s�sto�nieto na gornata sistema sa ρi i~Ii. Ako n�mame migra i�, t.e. ~Ii = ~0 to ρi = const ⇒▽ρi = 0. Obratno, ako pl�tnostta e posto�nna to n�mamemigra i�, t.e. ~Ii = ~0. Tova ni pokazva, qe za parametrina s�sto�nieto mo�em da vzemem ~Ii i ▽ρi. Na�-prosti�t(i na�-estestven) sluqa� e tozi, pri ko�to s�otnoxenietome�du t�h e line�no (analogiqno na zakona na Huk za elas-tiqno t�lo):

~Ii = −n∑

j=1

Dij ▽ ρj . (2.1.11)Togava ot (2.1.10) poluqavame sistemata:∂ρi∂t

−n∑

j=1

Dij △ ρj = Ri, (i = 1, ..., n). (2.1.12)Po-dolu we rabotim s Ri ot sledni� vid (Dimitrova andVitanov 2000, 2001a, 2001b, 2004):

Ri = r0i ρi[1−n∑

j=1

(α0ij − rij)ρj −

−n∑

j,k=1

α0ij(αijk + rik)ρjρk −

n∑

j,k,l=1

α0ijrikαijlρjρkρl].

15

(2.1.13)Nepodvi�nite toqki na sistemata (2.1.12) sa s�otvetni nasta ionarni pl�tnosti ρ01, ρ02, . . . , ρ0n. Tezi pl�tnosti ρi0sa ρi0 = 0, kakto i rexeni�ta na sistemata uravneni�:1−

n∑

j=1

(α0ij − rij)ρj0 −

n∑

j,k=1

α0ij(αijk + rik)ρj0ρk0 −

−n∑

j,k,l=1

α0ijrikαijlρj0ρk0ρl0 = 0. (0.1)(2.1.15)Neka razgledame otklonenieto Qi na pl�tnostta na popu-la i�ta i ot sta ionarnata pl�tnost ρ0i kakto sledva:

ρi(x, y, t) = Qi(x, y, t) + ρ0i, i = 1, 2, . . . , n. (2.1.16)Sled zamestvane na gornoto v d�snata strana na (2.1.12)poluqavame:∂ρi∂t

−n∑

j=1

Dij∆ρj = r0i (Qi + ρ0i)

[ 2∑

j=1

(α0ij − rij)Qj +

n∑

j,k=1

α0ij(αijk + rik)(QjQk +Qjρ0k +Qkρ0j) +

n∑

j,k,l=1

α0ijrikαijl(QjQkQl +QjQkρ0l +

QkQlρ0j +QlQjρ0k +Qjρ0kρ0l +Qkρ0lρ0j +Qlρ0jρ0k)

]

.(2.1.17)16

2.2. Sluqa� na edna popula i�.Neka zapoqnem razgle�daneto s�s sluqa�, kogato imame samoedna popula i�. Togava sistemata se opisva ot uravnenieto:∂ρ

∂t−D∆ρ = r0ρ[1−(α0−r11)ρ−α0(α111+r11)ρ

2−α0r11α111ρ3].(2.2.1)Izv�rxvame sm�na na promenlivata:

ρ = ρ0 +Q, (2.2.2)k�deto ρ0 e osobena toqka na uravnenieto (2.2.1). Takastigame do:∂Q

∂t−D

∂2Q

∂x2= EQ4 + FQ3 +GQ2 +HQ, (2.2.3)k�deto sme polo�ili:E = −r0α0r11α111,

F = −r0α0(α111 + r11 + 4ρ0r11α111),

G = r0[r11 − α0 − 3ρ0α0(α111 + r11 + 2r11α111ρ0)],

H = r0[1−ρ0(3α0r11ρ0−4α0r11α111ρ

20+2r11−2α0−3α0α111ρ0)].Da otbele�im, qe (2.2.1) e uravnenie ot vida:

∂Q

∂t−D

∂2Q

∂x2= f(Q),

17

(2.2.4)k�deto f(Q) e funk i� na Q. Pri naliqie na polinomialnaneline�nost ot treta stepen tova uravnenie se nariqa urav-nenie na Kolmogorov-Petrovski�-Piskunov (KPP). Kogatopolinomialnata neline�nost e ot vtota stepen s�otvetnotouravnenie se nariqa owe uravnenie na Fixer.2.3.Lineen sluqa� .Ako se interesuvame samo ot malkite trepteni� na sistem-ata okolo ravnovesnoto s�sto�nie to mo�em da prenebregnemqlenovete na (2.2.3), s�d�r�awiO(Q2), O(Q3) iO(Q4). Takapoluqavame line�noto nehomogenno paraboliqno uravnenie:∂Q

∂t−D

∂2Q

∂x2= HQ. (2.3.1)Rexeni�ta na (2.3.1) sa dobre izvestni i sa opisani v dis-erta i�ta za bezkra�na sistema i za kra�na, za ko�to sanalo�eni graniqni uslovi� ot vid nepropusklivi grani i.2.4. Pribli�eno rexenie qrez razlagane po mal�kparamet�r.Neka razgledame uravnenieto (2.2.3) i t�rsim rexeni� v�vvid na b�gawi v�lni:

Q(x, t) = Q(ξ) = Q(x− vt),k�deto v e skorostta na v�lnata. Sled zamestvane na posled-noto s�otnoxenie poluqavame obiknovenoto diferen ialnouravnenie:Dd2Q

dξ2+ v

dQ

dξ+ EQ4 + FQ3 +GQ2 +HQ = 0.

18

(2.4.1)Uravnenieto (2.4.1) mo�e da se svede do sistema ot dve obi-knoveni diferen ialni uravneni� qrez v�ve�dane na no-vata promenliva P = Q′. Taka mo�em da izsledvame di-namikata na gornata sistema v�v fazovata ravnina (Q,Q′),koeto e napraveno v diserta i�ta, kato e izsledvana stabil-nostta na trite nepodvi�ni toqki za poluqenata sistema ot2 avtonommni obiknoveni diferen ialni uravneni�.Naxi�t interes e da t�rsim rexeni� na modelnite urav-neni� koito se strem�t k�m posto�nni sto�nosti pri ξ →

∞. V�v fazovata ravnina (Q,Q′

) tova s�otve tva na traek-tori� sv�rzvawa stabilna i nestabilna nepodvi�ni toqki.Edna v�zmo�nost e sv�rzvane na sedlova toqka i stabilenv�zel. Nie we izsledvame tazi v�zmo�nost v sledvawataglava sled kato izvedem do�lnitelni rexeni� na modelnotouravnenie.Naxata el v sledvawite redove e da poluqim pri-bli�eno rexenie na modelnoto uravnenie qrez razlaganena rexenieto v red po stepenite na podhod�w mal�kparamet�r. We rexavame (2.4.1) pri naliqie na graniqniteuslovi� Q(−∞) = µ = const, (µ 6= 0) i Q(∞) = 0. S pod-hod�wi polagani� (2.4.1) se sve�da do:Q∗′′ + v∗Q∗′ + E∗Q∗4 + F ∗Q∗3 +G∗Q∗2 +H∗Q∗ = 0,(2.4.7)k�deto ′ oznaqava d/dξ. V�ve�dame paramet�ra ǫ = 1/v∗2.Kogato ǫ e malko dominantni� qlen v (2.4.7) e qlen�ts�d�r�aw p�rvata proizvodna na Q∗. Togava za ξ → ±∞

Q∗ se stremi k�m posto�nni sto�nosti. Neka x = ξǫ1/2 ig(x) = Q(x/ǫ1/2). Razlagame g(x) v red po stepenite na ǫ:

g(x) = g0(x) + ǫg1(x) + ǫ2g2(x) + . . .

19

Figure 1: Funk i�ta g0. (2.4.8)Zamestvaneto na (2.4.8) v (2.4.7) vodi do slednite uravneni�za ǫ0 i ǫ1:g

′

0 + E∗g40 + F ∗g30 +G∗g20 +H∗g0 = 0, (2.4.9)g

′

1 + 4E∗g30g1 + 3F ∗g20g1 + 2G∗g0g1 +H∗g1 + g′′

0 = 0.(2.4.10)Ne e v�zmo�no da se poluqi obwo analitiqno rexenie nagornata sistema ot uravneni� (2.4.9) i (2.4.10). Za da il�s-trirame v�lnovi� profil we poluqim analitiqno rexenie20

za edin qasten sluqa�. Neka ρ0 = 0 i α111 = −r11 = −α0.Togava F ∗ = G∗ = 0. E∗ = r0α30 i H∗ = r0. Rexenieto nauravnenieto v tozi sluqa� e:

g0(x) =3

√

r0

exp(3xr0)− r0α03, (2.4.11)

g1(x) = exp

(

−∫

dxp(x)

)(

c+

∫

dxq(x) exp

(∫

dxp(x)

))

,(2.4.12)k�deto (c e integra ionna konstanta):p(x) = 4

r02α03

exp(3xr0)− r0α03+ r0; q(x) = −g

′′

0(x).2.5. Dispersionno s�otnoxenie za dve popula ii.V tozi paragraf e razgledan qasten sluqa� na (2.1.17) zadve vzaimode�stvawi si popula ii. Dvete neline�ni qastnidiferen ialni uravneni�, opisvawi vzaimode�stvieto saot edin i s�w vid. Neka polo�im:Aij = r0i ρ

0i [α

0ij − rij +

2∑

k=1

α0ik(αikj + rij)ρ

0k +

+

2∑

k,l

(α0ijrikαijl + α0

ikrijαikl + α0ikrilαikj)ρ

0kρ

0l ].Modelnite uravneni� v line�ni� sluqa� se sve�dat do:

∂2Q

∂t2+ (D11 +D22)∆

∂Q

∂t+ (D11D22 −D12D21)∆

2Q +

+(D22A11 +D11A22 −D12A21 −D21A12)∆Q+

+(A11 + A22)∂Q

∂t+ (A22A11 − A12A21)Q = 0.

21

(2.5.2)Za po-prosti� sluqai kogato Dii = Aii = 0, i = 1, 2, zamest-vame:Q = ei(

~k.~r−ωt) (2.5.5)v gornoto uravnenie i poluqavame slednoto dispersionnos�otnoxenie:ω2 = −D12D21k

4 + (D12A21 +D21A12)k2 − A12A21,(2.5.6)a za grupovata skorost na v�lnata (pri fiksirana sto�nost

k0) se poluqavame:(

∂ω

∂k

)

k0

= k0

(

D12

√

A21 −D21k20D12k20 −A12

−D21

√

D12k20 − A12

A21 −D21k20

)

.(2.5.8)Dispersionno s�otnoxenie e poluqeno i za po-slo�ni�sluqa� Dii 6= 0, Aii 6= 0.Glava3. Neline�ni v�lni - sluqa� na 1 popula i�.3.1. Qastni rexeni� v�v vid na neline�ni v�lni.V tozi paragraf e namereno toqno rexenie Q(ξ) na (2.4.1)v�v vida (Fan 2002) :Q(ξ) =

n∑

i=0

aiφi,

dφ

dξ= ǫ

√

√

√

√

r∑

j=0

cjφj , (3.1.1)22

kator = 3n+ 2, n = 2, 3, . . . (3.1.2)Ako izberem n = 2 sto�nostta na r e r = 8 i

c0 = c1 = c3 = c4 = c6 = c7 = 0,

c2 = p2; c5 = 2pq; c8 = q2 6= 0.Togava, ako a2 6= 0:Q(ξ) = a0 + a1φ+ a2φ

2,dφ

dξ= ǫ(pφ+ qφ4), (3.1.3)i sled rexavane na poluqenata sistema ot neline�ni alge-briqni uravneni� za koefi ientite poluqavame:

a0 = − F

4E,

a2 =3

√

−10Dq2E2

E,

p = −F√−10DF

80DE,

v =7F

√−10DF

80E,

G =3F 2

8E,

H =3F 3

64E2, (3.1.5)

23

-40 -20 0 20 40ξ

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Q

(a)

Figure 2: Primer za uedinena v�lna Q(ξ) ot vid (3.1.6). V�lnoviteparametri sa kakto sledva: a0 = 1, a2 = −2.519, p = 0.316, q = −1.265,v = −0.221, G = 0.06, H = −0.03, ρ0 = 0.k�deto q, F , E i D sa svobodni parametri. Togava za rexe-nieto na uravnenieto (2.4.1) poluqavame:

Q(ξ) = a0 + a23

√

{

p exp[3p(ξ + c)]

1− q exp[3p(ξ + c)]

}2

, (3.1.6)k�deto c e integra ionna konstanta. Po analogiqen naqin sepoluqavat i toqni rexeni� za sluqaite E = 0 i E = F = 0.3.2.Usto�qivost na rexenieto .V tozi paragraf se izsledva za usto�qivost rexeni-eto (3.1.6). Osnovni�t rezultat e, qe rexenieto e us-to�qivo, kogato skorostta na opisvanata ot rexenieto b�-gawata v�lna e:v2 > v2c = 4Dr0[1− 4α0r11α111U

3max − 3α0(r11 + α111)U

2max +

2(r11 − α0)Umax],

24

k�deto Umax e maksimalnata visoqina na v�lnata.Glava 4. Neline�ni v�lni - sluqa� na dvepopula ii.4.1. Sdvoeni popula ionni v�lni .V tozi paragraf se razgle�da sluqa� na dve vzaimode�st-vawi si popula ii i se opisvat neline�ni v�lni ot tipkink. Kinkovete za dvete popula ii sa sv�rzani (skoros-tite na dvi�enieto im sa ednakvi), koeto oznaqava, qepromenite v pl�tnostite na dvete popula ii se izv�rxvatv sinhron.Za sluqa� na 2 popula ii sistemata (2.1.17) se sve�da doslednata sistema ot sdvoeni qastni diferen ialni urav-neni� s polinomialna neline�nost ot qetv�rta stepen:∂Qi

∂t−

2∑

j=1

Dij∆Qj = r0i (Qi + ρ0i )

[ 2∑

j=1

(α0ij − rij)Qj +

2∑

j,k=1

α0ij(αijk +

rik)(QjQk ++Qjρ0k +Qkρ

0j) +

2∑

j,k,l=1

α0ijrikαijl(QjQkQl +

QjQkρ0l +QkQlρ

0j +QlQjρ

0k +Qjρ

0kρ

0l +

Qkρ0l ρ

0j +Qlρ

0jρ

0k)

]

.(4.1.1)Qastnite sluqai na tazi sistema uravneni� sa podrobnoobs�deni v diserta i�ta. Za opisanie na sdvoenite v�lnibez uslo�n�vane na izlo�enieto, v diserta i�ta pros-transtvenoto izmerenie v (4.1.1) se namal� na 1 i se raz-gle�da sluqa�t kogato koefi ientite na narastvane ri i ko-efi ientite na vzaimode�stvie αij ne zavis�t ot pl�tnostta25

na qlenovete na popula iite. S drugi dumi neka pred-polo�im rik = 0, αijk = 0 za i, j, k = 1, 2. Neka v dop�lnenieD11 = D22 = 0. Kato rezultat poluqavame sistemata urav-neni�:

∂Q1

∂t−D12

∂2Q2

∂x2= AQ1 +BQ2

1 + CQ2 + EQ1Q2, (4.1.11)∂Q2

∂t−D21

∂2Q1

∂x2= GQ2 +HQ2

2 + IQ1 + JQ1Q2, (4.1.12)k�deto:A = r01 − r01α

012ρ

02 − 2r01α

011ρ

01,

B = −r01α011,

C = −r01ρ01α

012,

E = −r01α012,

G = r02 − 2r02α022ρ

02 − r02α

021ρ

01,

H = −r02α022,

I = −r02ρ02α

021,

J = −r02α021.Analiz�t na sistemata uravneni� pokazva, qe netrivial-nite i rexeni� v�p vid na b�gawi v�lni sa sdvoeni v�lni,dvi�ewi se s edna i s�wa skorost:

Q1(ξ) = Q1(x− vt), Q2(ξ) = Q2(x− vt). (4.1.13)26

Funk iite Q1,2 sega we b�dat t�rseni v�v vida:Q1(ξ) = a0 + a1φ(ξ) + a2φ

2(ξ), (4.1.14)Q2(ξ) = a3 + a4φ(ξ) + a5φ

2(ξ) (4.1.15)k�deto φ(ξ) e rexenie na uravnenietodφ

dξ= ǫ(pφ+ qφ2), (4.1.16)a ǫ, p i q sa parametri. Poluqena e sistemata neline�ni al-gebriqni uravneni� za parametrite na rexenieto i sa raz-gledani 3 qastni sluqa�, na�-prosti�t ot koito e pri:

ǫ = 1, D12 = D21, ρ01 = ρ02,

α011 = α0

22, α012 = α0

21, a0 = a3,

a1 = a4, a2 = a5, r01 = r02.Tova vodi do slednite vr�zki me�du parametrite nav�lnite:a3 = −ρ02,

r02 = −p (v +D21p) ,

a5 = −6D21q

2

p (α022v + pα0

22D21 + α021v + pα0

21D21),

v = −5D21p

(

a4α022p+ a4α

021p+ 6q

)

6q + 5a4α022p+ 5a4α

021p

,

a4 = −2q

p (α022 + α0

21).

27

Figure 3: Primer za rexenie ot vid(4.1.18). Parametrite na rexenietosa kakto sledva: q = 1, ν = −1/2, ρ02= 0.Neka α0

21 = α022 = 1 i neka ν = −p. Togava rexenieto nasistemata (4.1.11) - (4.1.12) e:

Q1(ξ) = Q2(ξ) = −ρ02 +q

q + exp(ν(ξ + ξ0))−

1

2

q2

(q + exp(ν(ξ + ξ0)))2. (4.1.18)Poluqenata v�lna e pokazana na Fig.4.1.4.2. Owe n�kolko neline�ni v�lni .V tozi paragraf sa razgledani owe 3 sluqa� na toqnirexeni� na sistemata uravneni�:

28

∂Q1

∂t+D12

∂2Q2

∂x2= AQ1 +BQ2

1 + CQ2 + EQ1Q2, (4.2.1)∂Q2

∂t+D21

∂2Q1

∂x2= GQ2 +HQ2

2 + IQ1 + JQ1Q2, (4.2.2)s koefi ienti:A = −r01 + r01α

012ρ

02 + 2r01α

011ρ

01,

B = r01α011,

C = r01ρ01α

012,

E = r01α012,

G = −r02 + r02α021ρ

01 + 2r02α

022ρ

02,

H = r02α022,

I = r02ρ02α

021,

J = r02α021.T�rsim rexenie na sistemata. Polagame Q1(x, t) = Q1(ξ1) =

Q1(x − v1t) i Q2(x, t) = Q2(ξ2) = Q1(x − v2t), k�deto v1,2 saskorostite na s�otvetnite v�lni. Kakto veqe opisahme po-gore, skorostite na s�otvetnite v�lni tr�bva da sa ednakvi.Taka t�rsenite rexeni� sa ot vidaQ1(ξ) = Q1(x− vt), Q2(ξ) = Q2(x− vt). (4.2.3)Funk iite Q1,2 se predpolagat v�v vida:

Q1(ξ) = a0 + a1φ(ξ) + a2φ2(ξ),

29

(4.2.4)Q2(ξ) = a3 + a4φ(ξ) + a5φ

2(ξ), (4.2.5)k�deto φ(ξ) e rexenie na uravnenieto:dφ

dξ= ǫ(pφ+ qφ2), (4.2.6)k�deto ǫ, p i q sa parametri. Zamestvaneto na (4.2.4), (4.2.5)i (4.2.6) v sistemata (4.2.1) i (4.2.2) vodi do sistema ot alge-briqni uravneni�, ko�to se rexava za tri sluqa�. Edini�tot tezi sluqai e kogato:

a1 = a4 = 0,

D12 = D21,

G = A; H = B; I = C,

J = E; ρ01 = ρ02,

α011 = α0

12; ǫ = 1.Rexenieto na sistemata algebriqni uravneni� e:a2 = 0,

a3 = 3D21q2

r01α011

,

v =5

6

√

6D21r01(1− 4α011ρ

01),

p =sqrt6

6

D21r01(1− 4α0

11ρ01

D21. (4.2.8)

30

Rexenieto na sistemata uravneni� e:Q1(ξ) = Q2(ξ) =

q2r01(4α011ρ

01 − 1)2 exp

[

2√6

3D21

√

D21r01(1− 4α011ρ

01)ξ

]

12D21α011

(

q exp

[

16D21

√

6D21r01(1− 4α011ρ

01)ξ

]

− 1

)4 .(4.2.9)Glava 5. Osnovni rezultati.5.1. Osnovni rezultati na diserta i�ta.Osnovnite rezultati, poluqeni v diserta i�ta sa kaktosledva:[1. ℄ Na osnovata na line�ni� model na Kerner i narazrabotkite na Dimitrova i Vitanov e razvit neli-neen model za prostranstveno - vremevata dinamika naproizvolen bro� vzaimode�stvawi si popula ii.[2. ℄ Na osnovata na razraboteni� model sa izsledvaniv�lni, sv�rzani s migra i�ta na 1 i 2 popula ii.[3. ℄ Za sluqa� na 1 popula i� e poluqeno pribli�eno rex-enie na modelnoto uravnenie, opisvawo migra ionnav�lna za sluqa� na malki sto�nosti na otnoxenietome�du koefi ienta na difuzi� i skorostta na v�lnata.[4. ℄ Poluqeni sa toqni qastni rexeni� ot tip kink na ne-line�noto modelno uravnenie za sluqa� na 1 popula i�,pri tova kakto za polinomialna neline�nost ot 4-tastepen, taka i za polinomialni neline�nosti ot 3-ta i2-ra stepen. Poluqenite rexeni� veqe sa me�dunarodnopriznati za novi toqni rexeni� na izvestnite modelniuravnenei� ot tip uravnenie na Fixer (za sluqa� na

31

polinomialna neline�nost) i na uravnenieto na Kol-mogorov - Petrovski� - Piskunov (za sluqa� na kubiqnaneline�nost)[5. ℄ Poluqeni sa toqni rexeni� na neline�nata sistemaqastni diferen ialni uravneni�, opisvawi migra- ionnite v�lni v sistema ot dve popula ii. Tezi rex-eni� opisvat sdvoeni migra ionni v~lni, pri koitodvete popula ii migrirat s edna i s�wa skorost.5.2.Publika ii, v koito sa izlo�eniosnovnite rezultati ot diserta i�ta(1.) N. K. Vitanov, I. P. Jordanov, Z. Dimitrova, (2009). On

nonlinear dynamics of interacting population: coupled kink

waves in a system of two populations. Communicationsin Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14, N5,

2379-2388.

(2.) N. K. Vitanov, I. P. Jordanov, Z. Dimitrova, (2010). Onnonlinear population waves. Applied Mathematics and

Computation 215, 2950-2964.

(3.) I. P. Jordanov (2008). On the nonlinear waves in (2+1)-

dimentional population systems.

(4.) Z. I. Dimitrova, N. K. Vitanov, I.P.Jordanov (2005). On

nonlinear dynamiks of agent systems: A case of compet-ing population. Proceedings of the 10th Jubilee National

Congress of Theoretical and Applied Mechanics, 41-48.

(5.) I. P. Jordanov, Z. I. Dimitrova, (2009). On nolinear waves

of migration. J. Theor. Appl. Mechanics .

(6). I. P. Jordanov, E. V. Nikolova, N. K. Vitanov, (2012). Sev-

eral Applications of Differential Equations to Biological sys-tems. (in press) .

32

Publika ii (1.) i (2.) sa v referirani me�dunarodvispisani� s impakt-faktor. Publika i� (3.) e v referiranob�lgarsko spisanie s impakt-faktor. Publika ii (4.) - (6.)sa dokladi na konferen ii, kato (4.) i (5.) sa otpeqatani vp�len tekst, a (6.) e prieta za peqat.5.3. Dokladi na konferen iiRezultatite ot diserta i�ta sa dokladvani na slednitekonferen ii:1.) Second Annual Meeting COST ACTION P10 - Physics of

Risk, Toledo, Spain, 23-26.04.2005

2.) Alexander von Humboldt International conference Advances

in Physics and Astrophysics of the 21st century, Varna,Bulgaria, 06-11.09.2005.

3.) 10th Jubilee National Congress on Theoretical and Applied

Mechanics, Varna, Bulgaria, 13-16.09.2005

4.) 4th Annual meeting COST Action P10 ”Physics of Risk”,

Palermo, Italy, 21 - 23.09. 2007

5.) Bulgarian COST National Conference, Bansko 23-

25.10.2007

6.) 1st Annual Meeting of the ESF Action COST MP0801

”Physics of Compettition and Comflict”, Roma, Italy, 27 -30.05. 2009

7.) 11th National Congress on Theoretical and Applied Mechan-ics, 2-5 September 2009, Borovets, Bulgaria

8.) International Conferense ”Unitech’09”, 20-21.11.2009,

Gabrovo, Bulgaria

33

9.) International Conferense on Mathematical Methods andModels in Biosciences ”Biomath 2012”, 17-22 June 2012,

Sofia, BulgariaAproba i� na diserta i�ta e izv�rxena na redi a semi-nari v Instituta po Mehanika na BAN i v Instituta pomatematika i informatika na BAN, kakto i qrez dva ustnidoklada na 11-ti� Na ionalen kongres po teoretiqna iprilo�na mehanika v Borove , proveden ot 2 do 5 septemvri2009 g.LiteraturaVitanov N. K., Dimitrova Z. I., Panqev S. (2005a). Predi-zvikatelstva pred s�vremennata fizika: ekonofizikai so iofizika. Nauka 15, N 2, 13-23.Vitanov N. K. (2007). Fizika i so ialna dinamika.Fizika 32, N2, 71 - 76.Vitanov N. K., Z. I. Dimitrova, S. Panqev. (2008) So- ialna dinamika bez formuli. Slo�nite sistemi otqoveka do iviliza i�ta. Akademiqno izdatelstvo"Prof. Marin Drinov" na B�lgarskata akademi� nanaukite, Sofi�.Anishchenko V. S., V. Astakhov, A. Neiman, T. Vadivasova

(2007). Nonliner dynamics of chaotic and stochastic sys-

tems: Tutorial and modern developments. Springer, Berlin.

Berge P., Y. Pomeau and C. Vidal. (1996) Order within chaos:

Towards a deterministic approach to turbulence. Wiley,New York.

Dimitrova Z. I., Vitanov N. K. (2000). Influence of adapta-

tion on the nonlinear dynamics of a system of competingpopulations. Phys. Lett. A 272 368-380.

34

Dimitrova Z. I., N. K. Vitanov (2001a). Dynamical conse-quences of adaptation of the growth rates in a system of

three competing populations. J. Phys A: Math. Gen. 347459-7473.

Dimitrova Z. I., N. K. Vitanov (2001b). Adaptation and itsimpact on the dynamics of a system of three competing

populations. Physica A 300 91-115.

Dimitrova Z., Vitanov N. K. (2004). Chaotic pairwise compe-tition. Theoretical and Population Biology 66, 1-12.

Fan E. (2002). Multiple travelling wave solutions of nonlinearevolution equation using a unifying algebraic method. J.

Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 6853-6872.

Hilborn R. (2001). Chaos and nonlinear dynamics: An in-

troduction for scientists and engineers. Oxford UniversityPress, Oxford.

Kerner E. (1957). A statistical mechanics of interacting bio-logical species. Bulletin of Mathematical Biology 19, 121 -146.

Kerner E. H. (1959). Further considerations on the statisticalmechanics of biological associations. Bulletin of Mathemat-

ical Biophysics. 21 217-253.

Kerner E. H. (1961). On the Lotka-Volterra principle. Bulletin

of Mathematical Biophysics 23 141-157.

Martinov N., N. Vitanov (1992a). On the correspondence be-

tween the self-consistent 2D Poisson-Boltzmann structuresand the sine-Gordon waves. J. Phys. A: Math. Gen. 25,L51-L56.

35

Martinov N., N. Vitanov (1992b). Running-wave solutions ofthe two-dimensional sine-Gordon equation. J. Phys. A:

Math. Gen. 25, 3609-3613.

Martinov N., N. Vitanov (1992c). Analysis of the standing-

wave solutions of the one-dimensional sine-Gordon equa-tion. Bulgarian Journal of Physics 19, 48-56.

Martinov N., N. Vitanov (1994a). On the self-consistent ther-mal equilibrium structures in two-dimensional negative-temperature systems. Canadiam Journal of Physics 72,

Maugin G. A. (1999). Nonlinear waves in elastic crystals. Ox-ford University Press, Oxford.

May R. M., W. J. Leonard (1975). Nonlinear aspects of com-petition between three species. SIAM Journal of Applied

Mathematics 29, 243 - 253.

Ott E. (1993). Chaos in dynamical systems. Cambridge Uni-

versity Press, Cambridge.

Russell, J.S., A. Scott (1885). The Wave of Translation in theOceans of Water, Air, and Ether. Trabner & Co., London.

Vitanov N. K. (1996). On travelling waves and double pe-riodic structures in two-dimensional sine-Gordon systems.

J. Phys A: Math. Gen. 29, 5195-5207.

Vitanov N. K. (1998b). Complicated exact solutions to the

2+1-dimensional sine-Gordon equation. Journal of AppliedMathematics and Mechanics (ZAMM) 78 S789-S790.

Vitanov N. K. (1998c). Breather and soliton wave families forthe sine-Gordon equation. Proc. Roy. Soc. London A 4542409-2423.

36

Whitham G. B. (1974). Linear and nonlinear waves. Wiley,New York

37