INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL ANTONIO NARIÑO …

1

GUIA N° 001 MATEMATICAS GRADO SEPTIMO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL ANTONIO NARIÑO

GUÍA No.: 001 AÑO: 2016

ÁREA: Matemáticas ASIGNATURA: Aritmética

GRADO: Séptimo PERIODO: Primero

TIEMPO ESTIMADO: 10 Semanas TIEMPO DE INICIO: Enero 18

DOCENTE: Daniel Edison Gutiérrez A.

FRASE DE REFLEXIÓN:

“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de

razonamientos, todos sencillos y fáciles.”.

René Descartes.

COMPETENCIAS:

Resolución de Problemas.

El Razonamiento.

La Comunicación.

La Modelación.

Ejercitación de Procedimientos.

ESTANDARES: PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

Justifico la representación polinomial de los números racionales utilizando las propiedades del sistema de número decimal.

Utilizo (fracciones, decimales, razones, porcentajes) para resolver problemas en contexto de medida.

Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad

TOPICO GENERATIVO: Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

2


EVALUACIÓN DIAGNOSTICA

1. Ejercitación: Escribe las fracciones que representa cada una de las partes

coloreadas y como se leen:

a. b. c.

2. Razonamiento: Indica si cada fracción es propia o impropia.

a. 7

3 b.

4

5 c.

45

40 d.

13

7 e.

9

52

3. Solución de problemas: Elkin y Ángel compraron cada uno un pan francés del

mismo tamaño. Elkin lo dividió en seis partes y Ángel en doce. Elkin consumió dos

de sus porciones y Ángel cuatro de las suyas. ¿Quién consumió más pan?

Representa gráficamente las fracciones de cada pan y sombrea la cantidad

consumida por cada uno.

4. Razonamiento: el resultado de 2/5 + 7/5 es:

a. 9/10

b. 9/25

c. 9/5

d. 14/5

MARCO TEORICO

NUMEROS RACIONALES

El concepto de número racional surge a partir de la idea intuitiva de dividir una totalidad

en partes iguales, como por ejemplo, cuando nos referimos a un cuarto de hora, a la

mitad de una pizza o las tres cuartas partes de una naranja.

3


Por lo tanto, todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para

representar medidas. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a

diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y

a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9

le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución

pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos

durante toda la eternidad.

Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad

mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8,

debido a que estas son fracciones reducibles.

Así mismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su

expresión decimal, estos son:

Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número

determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un

número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque

de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números

irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas. A su vez los números

racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se

encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los

periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número

determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…

FRACCION:

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre ambos.

En una fracción común 𝑎

𝑏 el denominador b representa la cantidad de partes iguales en

que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es el entero.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones 𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑 son equivalentes, y se escribe

𝑎

𝑏 =

𝑐

𝑑 , si al multiplicar sus

términos en cruz se obtiene el mismo resultado, es decir, a x d = b x c.

Ejemplo:

4


1

6 es equivalente a

2

12 porque 1 x 12=6 x 2

3

5 no es equivalente a

6

18 porque 3 x 18 ≠ 5 x 6

(Realizar actividad N° 1)

REPRESENTACION GRAFICA DE FRACCIONES

Para representar una fracción suelen utilizarse figuras geométricas, las cuales

representan la unidad dividida en tantas partes como indique el denominador y se

colorean tantas de estas partes como indique el numerador.

Ejemplo:

- Representar gráficamente la fracción 1

3

Solución:

Para poder graficar la fracción 1/3 se debe observar que la figura que se va a utilizar

para describirla, se debe dividir en tres partes como lo indica el numerador y de esas

tres partes se debe tomar solamente una como lo indica el numerador, así:

UBICACIÓN EN LA RECTA NUMERICA DE LOS NUMEROS RACIONALES

Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera,

podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar

que ocupa en la recta numérica.

Para ubicar un número racional en la recta numérica se divide el entero en tantas partes

como indica el denominador y se toma las que indica el numerador.

1/3

5


Ejemplo:

Representar en la recta numérica la fracción 3/5.

La fracción 3/5 se ubica en la recta, en el punto amarillo. El segmento de recta que representa al número 1 lo dividimos en cinco partes que están indicadas de color rojo. De esas cinco partes, tomamos las tres que están señaladas con color azul. En esta actividad se puede observar que el número 3/5 está más cerca del 0, por lo tanto es más pequeño que el número 1.


RELACION DE ORDEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Orden con numeradores y denominadores distintos

Una de las maneras más utilizadas para comparar números racionales es

ubicándolos en una recta numérica y compararlos de acuerdo a la posición que

ocupe dentro de la recta.

Otra forma de ordenar los números racionales, cuyas fracciones tienen distinto denominador, es buscar una fracción equivalente a cada una de las fracciones dadas cuyos denominadores sean iguales

Orden con fracciones de igual denominador:

De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

Por ejemplo: < pues 3 < 4

Orden con fracciones de igual numerador:

De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

Por ejemplo: < pues 7 > 4


OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES

FRACCIONES DE UNA CANTIDAD:

6


Para calcular la fracción de una cantidad se multiplica la cantidad por el numerador y se divide por el denominador.

Veamos un ejemplo:

Multiplicamos 20 por el numerador: 20 x 5 = 100. El resultado lo dividimos por el denominador: 100/6 = 16,66

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Para sumar y restar fracciones hay que distinguir entre: Fracciones con igual denominador y Fracciones con distinto denominador.

Fracciones con igual denominador:

En este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador

y se suman o restan sus numeradores.

Ejemplo:

Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

Otro ejemplo:

Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

7


Fracciones con distinto denominador:

En este caso para sumar o restar fracciones: Lo primero que hay que hacer es buscar un denominador común a todas ellas. Luego, sustituir las fracciones originales por fracciones equivalentes con este denominador común.

Y ¿cómo se calcula este denominador común? utilizaremos el método del mínimo común múltiplo (MCM).

Una vez obtenido el denominador común hay que calcular las fracciones equivalentes. Para cada fracción haremos lo siguiente: Sustituimos su denominador por el denominador común. Posteriormente, calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el denominador común por el denominador original de cada fracción. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fracción equivalente.

Ejemplo:

Vamos a calcular las fracciones equivalentes:

Primero calculamos el denominador común: si calculamos los múltiplos de 4, de 3 y de 5 vemos que el MCM es 60.

Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fracción:

- Primera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 / 4 =15

Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 = 30

- Segunda fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 /3 = 20

Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 =120

- Tercera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 /5 =12

Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 = 36

Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:

Y procedemos a la suma:

8



MULTIPLICACION DE FRACCIONES:

Para multiplicar fracciones:

Se multiplican sus numeradores y sus denominadores:

Caso particular: Multiplicación de un entero por una fracción:

Multiplicamos el entero por el numerador y luego lo dividimos por el denominador.

Ejemplo: ya que:

DIVISION DE FRACCIONES:

9


Cuando se dividen 2 fracciones:

La fracción resultante tendrá:

Como numerador: el resultado de multiplicar el numerador de la primera por el denominador de la segunda.

Como denominador: el resultado de multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Otra forma de resolver un cociente de un cociente:

Cuando tenemos una división de fracciones expresada de la siguiente forma:

a y d reciben el nombre de extremos; b y c reciben el nombre de medios. Ejemplo:

Entonces, se multiplican entre ellos los medios y los extremos, es decir, los extremos son 7 y 3, la multiplicación sería 21 y los medios son 5 y 2, el producto

dará como resultado 10. Por lo tanto, se obtiene el racional 21/10.


POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS RACIONALES

POTENCIACION: La potenciación es una operación matemática, entre una base y un exponente, donde el exponente nos indica el número de veces que debe multiplicarse la base, para obtener un resultado llamado potencia. Los expertos definen la potenciación de números racionales de la siguiente manera:

10


Donde a/b es la base y n es el exponente. Ejemplo:

- Propiedades:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

RADICACION:

La radicación es una operación contraria a la potenciación, consiste en buscar un

número que multiplicado tantas veces como indica el índice de la raíz nos de la cantidad

sub radical o radicando.

√𝒂/𝒃𝒏 = x

Xn= 𝑎

𝑏

Dónde:

a/b: es un numero racional llamado radicando

n: es un numero natural (n>=2) llamado índice

x: se llama raíz

11


√: se llama operador radical

Ejemplo:

(Realizar Actividad N° 6)

ACTIVIDADES DE COMPETENCIAS

ACTIVIDAD # 1

1. Solución de problemas. Escribe como se debe representar cada termino como un

número racional (Ejemplo: Tres medios se debe representar así 3

2)

2. Modelación. Colorea la fracción equivalente correspondiente en cada caso:

12


3. Razonamiento. Escribe como número racional cada una de las siguientes divisiones. a) 2 ÷ 7 f) -9 ÷ 16 b) 5 ÷ 9 g) 25 ÷ (-3) c) 11 ÷ 3 h) – 49 ÷ (-22) d) 18 ÷ 13 i) 2 ÷ 4 e) 8 ÷ (-27) j) 14 ÷ 20

4. Razonamiento. Para el siguiente ejercicio se debe hallar el término que hace falta para poder afirmar que es una fracción equivalente. Cabe aclarar que debe revisar los conceptos acerca de fracciones equivalentes para poder realizar la actividad.

1

3=

12

1

11=

44

7

8=

14

2

3=

8

1

3=

12

4

7=

12

8=

4

32

1

=

2

4

1

8=

3

5. Razonamiento. Analiza y señala la respuesta correcta:

- 1

3 es igual a:

- 2

5 es igual a:

- 4

7 es igual a:

- 6

2 es igual a:

6. Ejercitación de procedimientos. Empareja las fracciones que aparecen en la columna de la izquierda con las fracciones que sean equivalentes de la columna de la derecha.

3

8

3

10

14

21

27

39

12

40

2

3

9

13

6

16

7. Comunicación. Colorea la siguiente imagen de acuerdo a las instrucciones dadas

dentro de la actividad.

1/6 2/6 3/6

5/10 2/10 7/10

8/7 4/14 8/14

4/8

4/10

9/14

18/6 4/12 1/6 8/14

13


Nombre: _____________________________________________________________ Grado: ________________ Fecha: _______________

14


ACTIVIDAD N° 2

1. Modelación. En las figuras que se muestran colorear 1/2 y 2/3 de cada una de ellas:

2. Resolución de problemas. La parte sombreada de cada tira de abajo representa una fracción. Determine la fracción que representa cada tira y luego, contesta la siguiente pregunta: ¿Qué tienen en común las fracciones mostradas en a, b c y d? Justifique la respuesta. a.

b.

c.

d.

3. Razonamiento. De acuerdo a la información dada en las banderas que se muestran

a continuación, responda las preguntas formuladas al respecto.

3.1. La bandera de Antioquia está dividida en: a. Tercios b. Medios c. Cuartos d. Quintos

3.2. Una bandera diferente a la de Antioquia y que está dividida en medios es:

a. La bandera del Chocó b. La bandera del Cauca

15


c. La bandera de Quindío d. La bandera de Casanare

3.3. Las banderas que están divididas en tercios son las de:

a. Quindío, Chocó y Bolívar b. Quindío, Cauca y Bolívar c. Choco, Bolívar y Antioquia d. Cauca, Bolívar y Chocó

3.4. En la bandera del departamento del Cauca, las partes que tienen color verde

corresponden a: a. 2/3 de la unidad b. 3/2 de la unidad c. 1/3 de la unidad d. 3/1 de la unidad

3.5. Una información verdadera es:

a. Dos tercios de la bandera del Quindío son de color rojo. b. Dos cuartos de la bandera de Bolívar son de color verde. c. Dos cuartos de la bandera de Chocó es de color verde. d. Un tercio de la bandera de Casanare es de color rojo.

4. Modelación. Representa gráficamente y ubica en la recta numérica los siguientes

números racionales.

a. 3/6 f. 2/4 b. 12/6 g. 5/3 c. 7/8 h. 6/9 d. 2/7 i. 9/3 e. 10/4 j. 5/4

5. Solución de problemas. Representa gráficamente y por medio de una fracción la

solución de los siguientes problemas: a. Un grupo de montañeros llega a una cabaña, que está casi llena. En la entrada

se encuentran con el siguiente cartel: “Número de plazas: 20 - Ocupadas: 17 - Libres: 3”. Expresa mediante fracciones el número de plazas ocupadas y plazas libres que hay.

b. La mandarina de Manuel tenía 10 gajos y se ha comido 3; la mandarina de María Jesús tenía 11 gajos y se ha comido 4. Expresa gráficamente y mediante fracciones la cantidad que ha tomado cada uno.

c. De los 40 alumnos de la clase de Séptimo, tienen como actividad extra escolar los siguientes deportes: fútbol 18 alumnos, baloncesto 5 alumnos, natación 12 alumnos y el resto van a patinaje. Escribe la fracción que corresponde a cada deporte.

d. Carmen parte su torta de cumpleaños en 12 trozos. Si se comen 7 pedazos, expresa mediante una fracción la cantidad de torta que se han tomado y la cantidad que les queda.

6. Modelación. Representa en la recta numérica las siguientes fracciones:

a. Un décimo b. Tres veinteavos

16


c. Siete decimos d. Dos quintos e. Nueve veinteavos f. Un cuarto

ACTIVIDAD N° 3

1. Razonamiento. Escribe el signo > o < donde corresponda:

a. 2

3

4

5 e. -1

1

3

b. 1

2

1

4 f.

1

3

1

4

c. 1

3

3

4 g.

3

2

4

5

d. 0 −15

8 h. −

15

8 -1

2. Ejercitación. Ordenar de menor a mayor los siguientes números racionales:

a. 5

12 ,

2

15,

5

4,

7

5,

1

3

b. 2

3,

1

2,

4

5,

2

8

c. 8

10,

3

2,

3

5

3. Razonamiento. Ana toma 6/8 de una barra de pan, y David, 12/16. ¿Han tomado la

misma cantidad de pan?

4. Comunicación. Completa las siguientes frases:

a. Si dos fracciones tienen el mismo _________________, la mayor es la que tenga el numerador mayor. Por ejemplo 2/5 ....... 4/5.

b. Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, buscamos fracciones ____________que tengan todas el ______________ denominador, y luego comparamos sus _______________.

c. Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tenga el denominador _____________. Por ejemplo 6/7 ……. 6/9

5. Comunicación. Para cada número racional, escribe uno menor y otro mayor que él:

a) 5/2 b) – 13/16 c) 3/8

ACTIVIDAD N° 4

1. Solución de problemas. Juan ha pintado 1/4 de una pared y Pedro 1/3 de ella. ¿Qué

parte de la pared han pintado?

a) 7

12 b)

5

12

c) 9

12 d)

8

12

2. Comunicación. Desarrolle la siguiente actividad de acuerdo a las instrucciones

dadas en la hoja.

17


Nombre: _____________________________________________________________ Grado: ________________ Fecha: _______________

18


3. Modelación. Relaciona cada suma con su representación gráfica, además, calcula el resultado de cada una de ellas.

4. Comunicación. Complete las siguiente frases: a) Para sumar fracciones con distinto denominador, las reducimos primero a

______________________________________ y después _________________ los _____________________

b) Para restar fracciones con distinto denominador, las reducimos primero a ______________________________________ y después _________________ los _____________________

5. Ejercitación de procedimientos. Relaciona cada operación de la izquierda con su

correspondiente resultado en la columna de la derecha.

a) 3

2+

7

3−

1

4 1.

79

24

b) 3

4+

7

2+

7

3 2. −

10

9

c) 5

6−

2

9+

1

12 3.

43

12

d) 4

6+

9

4+

3

8 4.

79

12

e) 13

36−

5

4−

2

9 5.

25

36

6. Comunicación. Completa las casillas del siguiente cuadro:

2

5 +

=

9

10

-

-

-

+

=

3

15

=

=

=

3

5 +

1

10 =

19


7. Razonamiento. Corrige los errores que se han cometido en cada caso. Hacer las operaciones necesarias para justificar las respuestas.

a) 3

2+

9

4=

12

8 b)

2

6−

5

6=

3

6

c) 3

4−

9

4= −

9

8 d)

11

5−

4

3=

7

2

ACTIVIDAD N°5

1. Comunicación. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 3

7 𝑥

5

12 f) −

2

9 𝑥(−

17

5)

b) 41

3 𝑥

22

15 g) (−

57

8) 𝑥(−

2

19)

c) −9

11 𝑥

4

5 h) (−

3

8) 𝑥

14

13

d) 7

5 𝑥

2

9 i) 1 𝑥

4

5

e) 8

10 𝑥

1

2 j) −

9

11 𝑥 2

2. Ejercitación de procedimientos. Verifica las siguientes igualdades:

a) −3

5 𝑥

5

3= 1 e) −

3

4 𝑥 (−

8

5) =

6

5

b) 9

7 𝑥 1 =

9

7 f)

1

2 𝑥 (−2) = −2

c) 6

4 ÷

1

5=

6

20 g)

4

9 ÷

5

10=

40

45

d) 7

2 ÷

11

3=

21

22 h)

15

6 ÷

7

3=

105

18

3. Ejercitación. Busca en el rectángulo central los resultados de las divisiones de las

columnas laterales:

4. Solución de problemas. Se reparten 14/15 de kilo de harina en bolsitas en las que caben 1/15 de kilo de harina en cada una. ¿Cuántas bolsitas se han llenado?

5. Ejercitación de procedimientos. Completa con los números adecuados en cada

caso:

20


a) 2

3 ÷

5=

10

21 c)

15

𝑥

7=

45

42

b)

9 𝑥

8

11=

96

d)

÷

5

4=

36

85

6. Comunicación. Realiza las operaciones en el cuaderno y determina el nombre de

cada personaje: Nombre: _____________________________________________________________ Grado: ________________ Fecha: _______________

21


ACTIVIDAD N° 6

1. Razonamiento. Resuelve cada potencia:

a) ( 3

4 )2 d) (

9

4 )2

b) (−1

2 )4 e) (

1

3 )2

c) (−3

2 )3 f) (−

7

4 )3

2. Razonamiento. Expresa en forma de potencia. Luego resuelve cada operación:

a) 1

3 ×

1

3 ×

1

3 ×

1

3

b) −1

2 × −

1

2 × −

1

2 × −

1

2 × −

1

2

c) 2

5 ×

2

5 ×

2

5

d) −4

7 × −

4

7

e) 1

4 ×

1

4 ×

1

4 ×

1

4 ×

1

4 ×

1

4

f) −5

9 × −

5

9 × −

5

9

3. Razonamiento. Completa las siguientes frases:

a) Al hallar una raíz cúbica el índice es _________

b) Al hallar una raíz cuadrada el índice es ________

c) La radicación es una operación contraria a la _________________

4. Comunicación. Relaciona cada potencia indicada con su respectivo resultado:

22


5. Modelación. Realiza directamente las siguientes operaciones:

a) 𝟑

𝟐+

𝟓

𝟐+

𝟕

𝟐+

𝟏𝟎

𝟐 b)

𝟑𝟑

𝟒−

𝟒

𝟒−

𝟕

𝟒−

𝟓

𝟒 c) (

𝟏

𝟐𝒙

𝟕

𝟒) −

𝟓

𝟔

d) 𝟑

𝟐𝒙

𝟓

𝟐𝒙

𝟕

𝟐𝒙

𝟏𝟎

𝟐 e) (

𝟏

𝟓÷

𝟕

𝟒) +

𝟓

𝟑 f) (

𝟏𝟐

𝟓÷

𝟕

𝟑)

g) (−𝟏𝟐

𝟓÷

𝟕

𝟑) h) (−

𝟔

𝟓𝒙 −

𝟕

𝟑) i) (−

𝟔

𝟓+

𝟐

𝟕−

𝟕

𝟑)

6. Comunicación: el docente le hará entrega de esta actividad para el desarrollo de la

misma.

ACTIVIDADES DE PROYECTO PERSONAL DE SINTESIS:

La actividad se realizará en forma grupal, conformados por tres alumnos máximo, donde se debe realizar lo siguiente: 1. Cada grupo conseguirá un juego de domino. Luego, con las fichas de este juego se

debe observar de qué manera se pueden hallar números racionales. 2. Posteriormente, se deben escribir la mayor parte de números racionales que pueda

encontrar dentro del juego. 3. Determinar las operaciones que se pueden realizar con los números racionales

encontrados. 4. Socializar con el grupo los resultados obtenidos de la actividad.

23


CRONOGRAMA:

ACTIVIDAD FECHA EVALUACIÓN

AUTOEVALUACIÓN COEVALUACIÓN HETEROEVALUACIÓN

1

2

Evaluación

3

4

Evaluación

5

6

7

Evaluación

Actividad

de Síntesis

INFOGRAFIA:

Números Racionales:

http://musicaloreto.wikispaces.com/file/view/Mates+6%C2%BA+Ejercicios+tema+6.pdf

www.actiludis.com

http://www.ditutor.com/

http://www.academia.edu/5122365/MATEMATICAS_OPERACIONES_CON_NUMEROS_RACI

ONALES

BIBLIOGRAFIA

Juan A. Medina C. Universidad de Madrid, Lecciones de Aritmética, colección didáctica de

matemática elemental, cuarta edición, Editorial Norma.

James R. Velasco Mosquera, Luis Ernesto Rojas Morantes y Yolanda Gallardo de Parada,

Postprimaria Matemáticas 7 Enlace Editores Ltda., Bogotá DC y abril de 2005.

Eduardo Padilla Beltrán, Clara Esther Melo Rodríguez, William Enrique Barraza Burgos y

Edgar Sánchez Bernal, Estrategias Matemáticas 7 Primera Edición, Educar Editores S.A.,

Bogotá año 2003

Luz Stella Alfonso Orozco, Lizzie Patricia Zambrano Llamas, Johanna Andrea Fuentes Díaz,

Nelson Enrique Rodríguez, Marlady Bogotá Torres, Oscar Yesid Mariño Beltrán.

MATEMATICAS Redes de Aprendizaje para la vida 7. Ediciones sm. Bogotá D. C. Año

2012.

.

http://musicaloreto.wikispaces.com/file/view/Mates+6%C2%BA+Ejercicios+tema+6.pdf

http://www.actiludis.com/

http://www.ditutor.com/

http://www.academia.edu/5122365/MATEMATICAS_OPERACIONES_CON_NUMEROS_RACIONALES

http://www.academia.edu/5122365/MATEMATICAS_OPERACIONES_CON_NUMEROS_RACIONALES

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