Injective Surjective Functions5
-
Upload
carmen-ioana -
Category
Documents
-
view
9 -
download
2
description
Transcript of Injective Surjective Functions5
Injective & Surjective Functions
10th grade Standard/High-Level
developed by Manuela Prajea, Ph.D.in Mathematics( working document) Page 1
1. Cercetați dacă următoarele funcții sunt injective:
a) * * 3: , ( )f f x x b) 3: , ( ) 2 3f f x x x c) 4 2: 1, , ( ) 3 1f f x x x x
d) 2
2: ,1 , ( )
1
xf f x
x
e) : , ( ) 2f f x x
f) 3: , ( ) 2f f x x g) : 0, 0, , ( ) 3f f x x x .
2. Cercetați injectivitatea și surjectivitatea următoarelor funcții și determinați inversele acestora dacă este cazul:
a) 2: 1, 1, , ( ) 4 4f f x x x b) * 4: 4, , ( )f f x x
x
c) 2: 2, , , ( ) 2 1f a f x x x ; discuție după a
d)2 1, 1
: , ( )2, 1
x xf f x
x x
e)
1 3 , 1: , ( )
1 , 1
x xf f x
x x
f) 2 2 2, 1
: , ( )2 1, 1
x x xf f x
x x
g) : 0,1 , ( ) 2f f x x h) : , ( ) 2f f x x
i)* : , ( ) 1f f x x x
j)* : 0,2 , ( ) 1f f n n n
k) : 0, 0, , ( ) 1f f x x x
l) 2012 ,
: , ( )2013 , \
x xf f x
x x
3. Determinați ,a b a.î. funcția 2: , , , ( ) 3 1f a b f x x x să fie: a) bine definită
b) injectivă c) surjectivă d) bijectivă; determinați 1f în acest caz.
4. Determinați a a.î. funcția 2 1
: \ 1 \ , ( )1
xf a f x
x
să fie corect definită, apoi arătați că funcția
este bijectivă și determinați-i inversa.
5. Fie 1 , 2
: , ( )1, 2
x xf f x
ax x
. Determinați a a.î. funcția să fie: a) injectivă b) surjectivă
c) bijecție.
6. Dacă , ,a b a b , arătați că funcțiile : 0,1 ,f a b , ( ) 1f t ta t b și
: , 0, , ( )t a
g a b g tb t
sunt bijecții.
Injective & Surjective Functions
10th grade Standard/High-Level
developed by Manuela Prajea, Ph.D.in Mathematics( working document) Page 2
7. Fie : 1,1 ,1
xf f x
x
. Arătați că f este impară, strict crescătoare și bijectivă. Aflați 1f .
8. Determinați ,a b minime a.î. funcția : , ,f a b ,9
( )f x xx
este bijectivă.
9. Determinați funcțiile bijective : 1,2,..., 1,2,...,f n n în fiecare din cazurile:
a) (1) 1 (2) 2 ... ( )f f f n n
b) (1) 1 (2) 2 ... ( )f f f n n
c) (1) (2) ( )
...1 2
f f f n
n
10. Fie ,A B două mulțimi finite având a , respectiv b elemente. Arătați că:
a) a b d.n.d. există o funcție injectivă :f A B .
b) a b d.n.d. există o funcție surjectivă :f A B .
11. Se consideră funcțiile :f care au proprietatea că pentru orice , ,x y x y avem că
( ), ( ) ,f x f y x y . Arătați că aceste funcții sunt injective și determinați aceste funcții.
12. Determinați funcțiile injective : 1,2,3 1,2,3f cu proprietatea că 1 (1) 2 (2) 3 (3)f f f .
13. Determinați funcțiile bijective 1: , , , .f f x f y x y x y ( Manuela Prajea, GM)
14. Determinați funcțiile strict crescătoare : 0, 0,f a.î. , , 0,f xf y f x f y x y .
(Manuela Prajea, GM)
15. Arătați că : , ( ) 2f f x x x este bijecție și determinați 1f .
16. Determinați funcția :f știind că 1f f și că funcția : , ( ) ( )g g x x f x este bijecție.
17. Fie : , :f D E g E F . Arătați că:
a) ,f g injective/ surjective g f injectivă/surjectivă
b) g f injectivă f injectivă
c) g f surjectivă g surjectivă
18. Dacă :f A A este o funcție a.î. 2012 2012
2012
...f f f f f
este bijecție, atunci și f este bijecție.
Injective & Surjective Functions
10th grade Standard/High-Level
developed by Manuela Prajea, Ph.D.in Mathematics( working document) Page 3
19. Dacă funcțiile , :f g A A au proprietatea că f g este injectivă și g f este surjectivă, arătați că ,f g sunt
bijective.
20. Fie :f a.î. ( ) , .f f x f x x x Arătați că f este bijecție.
21. Fie , : , ( ) ( ), ,f g f n g n n f injectivă și g surjectivă. Arătați că ( ) ( ), .f n g n n
22. :f : 2012
... 2 1, . (1) ?f f f x x x f
23. Fie : , , .f f f x f x x x 0 ?f
24. Fie * * 2 *: , ( ) , .f f f x x x Arătați că f este bijectivă și *, .f x f x x
25. Construiți toate funcțiile : 1,2 , ,f a b c care sunt: a) injective b) surjective c) bijective .
26. Fie :f D E . Arătați că:
a) f injectivă există :g E D a.î. 1Dg f
b) f surjectivă există :g E D a.î. 1Ef g
27. Dacă :f este o bijecție impară și strict monotonă, atunci și 1f este impară și strict monotonă.
28. Să se arate că următoarele funcții nu sunt injective:
(i) : , ( ) 0, 3 0, 6 3f f x x x x x
(ii) : , ( ) 2 3f f x x x x
(iii) : , ( ) ,f f f x x x
29. Fie , , , 0a b c a . Arătați că:
(i) 2: \ , ( )f f x ax bx c nu este injectivă.
(ii) 2: , ( )g g x ax bx c este injectivă \
b
a .
30. Dacă , ,a b a b , construiți o funcție bijectivă : 0,1 ,f a b și o funcție bijectivă : , 0,1g a b .
31. Construiți o funcție : 0,1 2,5f care să fie: a) bijectivă b) injectivă și nesurjectivă c) surjectivă și
neinjectivă
Injective & Surjective Functions
10th grade Standard/High-Level
developed by Manuela Prajea, Ph.D.in Mathematics( working document) Page 4
32. Construiți o funcție :f care are proprietatea: a) este injectivă și nesurjectivă b) este surjectivă și
neinjectivă c) este bijectivă și diferită de funcția identică.
33. Determinați funcțiile :f A A care satisfac f f f și sunt: a) injective b) surjective.
34. Determinați funcțiile surjective : 1,f care satisfac egalitatea:
22 , ,f x f y f x xf y f y x y .
35*. Arătați că există o infinitate de bijecții :f și o infinitate de bijecții :f .
36. Construiți o funcție bijectivă :f .
37. Construiți o funcție bijectivă : 1,1f .
38. Fie A o mulțime finită de numere reale având cel puțin două elemente și :f A A o funcție care satisface
relația: , , ,f x f y x y x y A x y . Arătați că:
a) f nu este surjectivă
b) există a A a.î. ( )f a a .
39. Construiți o funcție surjectivă :f A A care să ia fiecare valoare a sa de o infinitate de ori, unde:
a) 1,1A b) A .
40. Determinați funcțiile surjective :f care îndeplinesc condiția: 1 ,n
f n n n .
41. Determinați funcțiile bijective :f care îndeplinește simultan următoarele condiții:
a) (0) 1f b) ,f f n n n c) 2 2 ,f f n n n .
42. Să se studieze injectivitatea și surjectivitatea funcției
2min 2 2 , 1: ,
inf 1 , 1
t x
t x
t t xf f x
t x
43.Construiți o funcție surjectivă :f care satisface și condiția: 0f .
44.Dați exemplu de bijecții , :f g pentru care f g f g x f x g x nu este bijecție.
45.Arătați că oricare ar fi bijecțiile , :f g , f g nu este bijecție.
46.Dacă reprezintă mulțimea funcțiilor :f și , , , , ,Ij Sj Mo Pr Ip Pe reprezintă submulțimile lui
formate din funcțiile injective, surjective, monotone, pare, impare și respectiv periodice, stabiliți relațiile între
oricare două clase de funcții enumerate mai sus.
Injective & Surjective Functions
10th grade Standard/High-Level
developed by Manuela Prajea, Ph.D.in Mathematics( working document) Page 5
Not Only Injective & Surjective Functions …And Much More…
47.Fie : 0, 0,f o funcție cu proprietatea 2 , 0,f f x x x . Arătați că funcția este bijectivă
și că are loc relația: , 0,f x f x x .
48.Determinați funcțiile , :f g care verifică condițiile:
a) g este injectivă
b) f g x y g x f y pentru orice ,x y .
49.Cercetați dacă există numerele naturale ,m n și funcțiile , :f g astfel ca 2 1mf g x x și
2 2ng f x x pentru orice x .
50.Determinați toate funcțiile : 1,2,..., 1,2,...,f n n cu proprietatea f i f j i j pentru orice
, 1,i j n .
51.Determinați funcțiile :f care satisfac condițiile:
a) ,f f n n n b) 2 2 ,f f n n n c) 0 1f .
52.Aratați că există funcții bijective :f .
53.Determinați funcțiile injective :f cu proprietatea 1,f f x f x x .
54.Determinați funcțiile :f care au proprietatea 2 6,f f n f n n n .
55.Determinați funcțiile :f care au proprietatea 6 ,f f n f n n n .
56.Determinați funcțiile :f pentru care , .f f n n n
57.Determinați funcțiile :f pentru care , .f f f n n n
58. Determinați funcțiile :f care au proprietatea 2 3,f f n f n n n .
59.Determinați funcțiile :f pentru care f m f n f f m f n pentru orice ,m n .
60.Arătați că nu există nicio funcție bijectivă de la mulțimea numerelor naturale la mulțimea numerelor reale
( i.e. mulțimea numerelor reale nu este numărabilă ).