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7/25/2019 INFLUENCIA DE GRIETA DE TRACCION EN EMPUJE ACTIVO.pdf

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Revista Ciencia e Ingeniera. Vol. 25 No. 2. 2004

Influencia de la grieta de tensin en el empuje activo

Stress cracking influence on active thrust

S. Rojas* y S. PozzobonFacultad de Ingeniera, Universidad de Los Andes,

Mrida, Venezuela.

*[email protected]

Resumen

Se desarrollaran algunas expresiones de empuje activo para suelos arcillosos, en condicin no drenada y drenada, consi-derando las condiciones de equilibrio de fuerzas horizontales y verticales, en donde debe respetarse la ley de resistencia de

Mohr-Coulomb. En esta metodologa se plantea la dependencia del empuje activo de la profundidad de la grieta de ten-

sin, determinndose la inclinacin del plano de falla que genera la mnima profundidad de la grieta, para un valor mxi-mo de empuje activo.

Palabras claves:Empuje, grieta, arcilla, drenada, falla.

Abstract

Some active thrust expressions for drained and undrained argillaceous soils, considering the horizontal and vertical forces

equilibrium obtained from Mohr-Coulomb law of strength are developed. In this methodology the active thrust dependency

of the stress cracking to determinate the fault plane inclination that generates the minimum crack depth, for a maximum

value of active thrust depth is considered.

Key words:Thrust, cracks, clay, drained, fails, active.

1 Introduccin

El estado activo de Rankine permite encontrar la ex-

presin de empuje activo a partir de la envolvente de Mohr-

Coulomb, donde se relacionan los esfuerzos principales (1,3) con los parmetros de resistencia (C, ), a travs de larelacin:

2/1

13 Ka'C2Ka = (1)

2

2

'45tanKa

= (2)

Donde:

Ka = Coeficiente de empuje activo

C = Cohesin del material = Friccin interna del material

Gran parte de los ingenieros utilizan esta expresin sen-

cilla, para hallar el empuje activo en el trasds del muro,adicionndole las cargas externas las cuales tambin sern

afectadas por el coeficiente Ka. Rankine tambin presenta

coeficientes de empuje activo y pasivo, donde toma en cuen-

ta la inclinacin del terreno (i) y la inclinacin del paramento

del trasds (). Igualmente la teora de Coulomb, quien ori-ginalmente presenta el anlisis del equilibrio de fuerzas hori-

zontales y verticales, en sus expresiones para los coeficientesde empuje activo y pasivo, adems de considerar las inclina-

ciones del terreno (i) y del parmetro (), tambin toma en

cuenta el cortante que existe entre el suelo y el paramento, esdecir la resistencia al corte en ese contacto. Desarrollos cla-

ros y amplios de estas teoras son presentadas por Lamber y

Whitman (1990) y Peter y Reid (1993). En este trabajo setrata de mostrar herramientas matemticas elementales, que

tambin pueden resolver el problema de empuje activo

2 Planteamiento

2.1 Arcillas no drenadas

La Fig. 1, presenta una cua de material, definida por

un plano de falla que forma un ngulo con la horizontal


2/12

114 Rojas y Pozzobon.


causando un empuje sobre el muro. Esta cua debe perma-

necer en equilibrio, bajo las fuerzas presentes en la misma.

W: Peso de la cua que empuja al muroT: Fuerza tangencial resistente al corte que acta en la

superficie de falla.

N: Fuerza normal a la superficie de falla.

X: Fuerza de resistencia al cortante que se genera enel contacto entre el muro y suelo.

La simbologa de la figura, indica:

Ph: Empuje horizontal generado por la cua del muro.

qs: Sobrecarga que acta en la superficie del terreno.Zc: Profundidad de la grieta de tensin.

H: Altura del muro.

: Angulo del plano de falla.

Como se sabe en el diseo de un muro, se debe consi-derar que la resistencia al corte disponible, es movilizada

completamente, por lo cual se tiene que:

)(sen

ZcHCuT

= (1)

X = Cw (H Zc) (2)

Donde:

Cw = Resistencia al corte existente entre el

paramento del muro y el suelo.Cu = Resistencia no drenada del material.

El peso de la cua se expresa como:

( ) ( )= ancotZH2

1W

2

c

2

sat

Donde:

sat= Peso unitario saturado del suelo queconforma la cua

Por sumatoria de fuerzas horizontales y verticales, seencuentra:

Ph - N.sen+ T.cos= 0 (3)

W- X - T.sen- N.cos= 0 (4)

Sustituyendo (1) y (2) en (3) y (4), se obtiene:

N.sen() = Ph + Cu.(H Zc).cotan (5)

( ) ( ) ( ) = ZcHCucotanZH2

1cosN

2

c

2

sat

( ) + +cotanZcHqs

CuCw1 (6)

Combinando (5) y (6), se obtiene la expresin de la

fuerza de empuje:

( ) ( ) = ZcHCuZH2

1Ph 2c

2

sat

( )ZcHqsancottanCu

Cw1 +

+

+ (7)

El empuje mximo correspondiente al empuje activo,

se obtiene para 0Phd

d

= , y donde resulta, que:

( )

2/1

Cu

Cw1

1tan

+=

(8)

La sustitucin de (8) en (7), permite hallar:

( ) ( ) +

+=2/1

2

c

2

sataCu

Cw1ZcHCu2ZH

2

1Ph

( )ZcHqs (9)

Siendo Pha, ,el mnimo empuje horizontal sobre el mu-

ro, que produce la falla en el suelo detrs del paramento,

generndose el plano de falla indicado en la Fig. 1.La variacin en el paramento, del esfuerzo horizontal

con la profundidad z, se puede hallar a partir de la ecua-

cin (8), escribiendo:

( ) ( )2/1

2

c

2

satCu

Cw1ZczCu2Zz

2

1Ph

+=

( )Zczqs + (10)

Fig. 1. Fuerzas presentes en la cua activa, en arcillasaturada


3/12

Influencia de la grieta de tensin en el empuje activo. 115


Derivando la ecuacin (10) respecto z, se obtiene:

(11)

(12)

La profundidad crtica (Zc) de la grieta de tensin, re-

sultar para un valor de h= 0, donde el suelo no produceningn empuje horizontal en el paramento. Para esta con-

dicin resulta:

sat

2/1

qsCu

Cw1Cu2

Zc

+= (13)

Se observa como la sobrecarga (qs), tiene un gran in-

fluencia en el valor de Zc, pudiendo no existir dicha pro-

fundidad, cuando:

2/1

Cu

Cw1Cu2qs

+

Lamber y Whitman (1990), respecto a las grietas detensin, expresan: Las grietas de tensin estn asociadas

con la deformacin horizontal inherente al estado de pre-

sin lateral activa. No existe un problema en el caso deempuje pasivo, debido a que existe una compresin hori-

zontal .... Si el nivel fretico se encuentra realmente en lasuperficie del relleno, es muy poco probable que se puedan

observar en la realidad grietas de tensin, pero de todos

modos sirva para considerar el hecho de que el relleno no

puede resistir tensiones horizontales. Estos autores indi-can adems: En la grieta de tensin la presin horizontal

es nula. La grieta se mantiene completamente abierta y lapresin horizontal efectiva es igual a la tensin capilar.

La profundidad de la grieta de tensin se obtiene con-

siderando h = 0 (movilizacin total de la resistencia porfriccin).

Por debajo de la grieta es necesaria una presin hori-zontal aunque se movilice completamente la friccin.

La aplicacin de la ecuacin (12), permite dibujar lossiguientes diagramas de esfuerzos:

Si los esfuerzos en el paramento, lo representamos a

partir de la ecuacin (9), se obtiene la Fig..3. Aparente-

mente el empuje final sobre el muro, difiere, si se calcula

por ambas distribuciones, mostradas en las Fig. 2 y 3.

3 Arcillas drenadas. Nivel fretico coincide con la super-

ficie del terreno

Si se considera que no existe exceso de presin de po-

ros, es decir se tiene una condicin a largo plazo, significaentonces que este suelo debe ser tratado en condicin dre-

nada. La Fig. 1 nos sirve para hacer el planteamiento, es

decir la simbologa de representacin de las fuerzas sobre la

cua, es la misma que para el caso de arcillas no drenadas,

lgicamente con expresiones distintas, tal como se indica:

+=tan'N

senZcH'CT (14)

( ) wtan'PhZcHCwX += (15)

( ) = cotanZH2

1W 2c

2

sat (16)

Ph = Ph Ua (17)

2

w H2

1Ua = (18)

Ph

dz

dh=

2/1

sathCu

Cw1Cu2z

+=

Fig. 2. Primera representacin de los esfuerzos sobre el parme-

tro del muro en arcilla saturada no drenada.

Fig. 3. Segunda representacin de los esfuerzos sobre el parme-

tro del muro en arcilla saturada no drenada.


4/12



Donde:

,C = Friccin efectiva y cohesin efectiva, delmaterial que conforma la cua.

w, Cw = Friccin y cohesin que se genera entre elparamento del muro y el suelo.

Ph = Empuje horizontal total sobre el paramento

del muro.

Ph = Empuje horizontal total efectivoUa = Empuje de agua sobre el paramento.

w = Peso unitario del agua.

Por sumatoria de fuerzas horizontales:

( ) 0senUcosTsen'NPh =+ (19)

Donde:

N = Fuerza normal efectiva que acta en elplano de falla.

U = Empuje de agua que acta en el plano de

falla.

Esta fuerza se expresa:

=sen

H

2

1U

2

w (20)

Las ecuaciones (18) y (20) se relacionan, a travs:

= senUUa (21)

Ahora, si la ecuacin (14) se reemplaza en la ecuacin

(19), se obtiene:

N.(sen- tan.cos) = Ph + C.(H Zc).cotan- U.sen(22)

Por sumatoria de fuerzas verticales:

W +qs.(H-Zc).cotan- X - Tsen- Ncos- U.cos= 0(23)

Sustituyendo la ecuacin (14) y (15) en (23), con pre-

vio reemplazo de la ecuacin (17) en (15), se obtiene:

( ) ( ) +=+ cotanZCHqsWsen'tancos'N

( )

+ cosU'C

Cw1'CwtanUPh (24)

Por relacin entre las ecuaciones (22) y (24), se tiene:

( )( )

( )( )(

( )

( )

+

++

=+

wtancosU'C

Cw1

ZcH'CwtanPh

ancotZcHqsW

UsenancotZcH'CPh

sentancos'N

costansen'N

(25)

Esta ltima ecuacin se puede expresar como:

( ) ( )

( )(

( ) ( ))wtancosU'C

Cw1ZcH'C

wtanPhcotanZcHqsW

senUcotanZcH'CPh'tan

+

+

+=

(26)

Despejando el empuje horizontal, total y reagrupando

trminos se escribe:

( ) ( ) ( )( )( )

+

+='tanwtan1

'tanancotZcHqsZH

2

1Ph 2c

2

sat

( )

( )

( )( )

+

+

+

'tanwtan1

ancot'tan'C

Cw1

ZcH'C

( ) ( )( )( )

+

'tanwtan1

sen'tanwtansencosU (27)

Sustituyendo el empuje de agua (U), se obtiene:

( ) ( ) ( )( )( )

+

+='tanwtan1

'tancotanZcHqsZH

2

1Ph 2c

2

sat

( )

( )

( )( )

+

+

+

'tanwtan1

cotan'tan'C

Cw1

ZcZ'C

( )( )( )

+

'tantan1

sen'tanwtansencos

sen

H

2

1

w

2

w (28)

El empuje para determinada profundidad, viene dado

por:

( ) ( ) ( )( )( )

+

+='tanwtan1

'tanancotZczqsZz

2

1Ph 2c

2

sat

( )( )

( )( )

+

+

+

'tanwtan1

ancot'tan'C

Cw1

Zcz'C

( ) ( )( )( )

+

'tantan1

sen'tantansencos

sen

z

2

1

w

w2

w (29)

Derivando el empuje horizontal, respecto a la profun-

didad z, se obtiene la expresin h del esfuerzo horizon-tal:

Phdz

dh= (30)


5/12



El resultado de la aplicacin de la ecuacin (30), es el

siguiente:

( ) ( )( )( )

++=

'tantan1'tanancotqszh

w

sat

( )

( )( )

+

+

+

'tanwtan1

ancot'tan'C

Cw1

'C

( ) ( )( )( )

+

sen'tantan1

sen'tantansencosz

w

w

w (31)

Para un valor de h = 0, se logra obtener la expresin

de la profundidad de la grieta (Zc) de tensin:

( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )

+

+

+

+

+

=

sen'tantan1

sen'tantansencos

'tantan1

'tanancot

'tantan1

'tanancotqs

ancot'tan'C

Cw1'C

Zc

w

w

w

w

sat

w

(32)

Como se observa la profundidad de la grieta de tensin

en este caso, no es tan sencilla como la determinada por la

ecuacin (13), sino que ahora ya depende del ngulo , cu-yo valor no se conoce. En este sentido la relacin fsica en-

tre la profundidad de la grieta de tensin (Zc) y el empuje

horizontal Ph, est en: Cul es el valor mximo del empuje

horizontal (empuje activo Pha), para un valor mnimo de lagrieta de tensin?. Esta condicin se puede determinar, es-

cribiendo Zc como una funcin de , por lo cual se expresa:

Zc() = f() (33)

El ploteo de esta funcin, produce un mnimo para de-terminado ngulo a, que define la mnima grieta de ten-sin, por lo cual la expresin del empuje activo, puede ex-

presarse como:

( ) ( ) ( )( )

+

+='tantan1

'tancotanZcHqsZH

2

1Ph

aw

aa2

c

2

sat

( )( )

( )( )

+

+

+

'tantan1

cotan'tan'C

Cw1

ZcH'Caw

aa

( ) ( )( )( )

+

aaw

aawaa2

wsen'tantan1

sen'tantansencosH

2

1

(34)

Esta ltima ecuacin se puede expresar, a travs de al-gunas constantes de empuje activo, tal como se indica a

continuacin:

( ) ( )

+= KalZcHqsZH2

1Ph 2c

2

sata

( ) 3KaH2

12KaZcH'C 2w + (35)

Donde:

( )( )( )

+=

'tantan1

'tanancot1Kaaw

aa (35.1)

( )

( )( )

+

+

+=

'tantan1

ancot'tan'C

Cw1

2Kaaw

aa (35.2)

( ) ( )( )( )

+

=

aaw

aawa

sen'tantan1

sen'tantansencos3Ka

(35.3)

Aqu Ka1 y Ka3, se pueden llamar constantes de em-puje activo, sin embargo se sugiere que Ka2 debe ser cons-

tante de resistencia activa. De la ecuacin 35, se observa

que todos los esfuerzos en el paramento se concentran por

debajo de la grieta de tensin, excepto el empuje del agua.

4 Arcilla en condicin drenada. Nivel fretico a cierta

profundidad

A continuacin se estudia el caso de empuje en una ar-cilla en condicin drenada, pero con el nivel fretico a de-

terminada profundidad, tal como se muestra en la Fig. 4.Aqu se considera que en la zona saturada y no saturada de

la cua activa, los parmetros de resistencia (C, ) en elplano de falla y (Cw, w) en el paramento, son los mismosen ambas zonas. En este caso haciendo el planteamiento de

las ecuaciones para determinar el empuje horizontal sobre

el muro, se llega a la misma ecuacin 26, tomando en cuen-

ta que la expresin del peso de la cua viene dado por:

( )

+= ancothw2

1ZH

2

1W sat

22

c

2 (36)


6/12



Sustituyendo la ecuacin (36) en (26) y despejando elempuje horizontal (Ph), resulta:

( ) ( ) ( ) 1KaZcHqshw2

1ZcH

2

1Ph sat

222

++=

( ) 3Kahw2

12KaZcH'C 2w (37)

Donde las expresiones de las constantes de empuje,

son las mismas anteriores tomando en cuenta que ano hasido determinado y por consiguiente en esas ecuaciones de-

be sustituirse por .Si se considera que la altura del nivel fretico (hw), no

vara y que la expresin del empuje horizontal para deter-minada profundidad z, ser:

( ) ( ) ( )

++= Zczqshw2

1Zcz

2

1Ph sat

222

( ) 3Kahw2

12KaZcz'C1Ka 2w + (38)

El empuje horizontal, se expresar por:

h = (.z + qs).Ka1 C.Ka2 (39)

La profundidad de la grieta de traccin a partir de laecuacin (39), se expresa como:

( )

( )

+

+

=qs

'tancotan

ancot'tan'C

Cw1'C

Zc (40)

Recordemos que la solucin del problema, est en de-

terminar el ngulo a, que permitir evaluar las constantesKa1, Ka2 y Ka3, para determinar el mnimo empuje activosobre el paramento del muro. Esta metodologa se ilustra

con el ejemplo presentado al final del artculo.

5 Arcilla drenada. Superficie del terreno inclinada. Ni-

vel fretico coincidiendo con la superficie.

La Fig. 5, ilustra un muro de sostenimiento de un sueloarcilloso con la superficie del suelo inclinada en un ngulo

t respecto a la horizontal, y con grietas de tensin. Para elanlisis de este caso se sigue la misma metodologa presen-

tada anteriormente, tal como se indica a continuacin:

Se observa que la cua de suelo se ha dividido en tresreas de pesos por metro lineal W1, W2 y W3, y cuyas ex-

presiones son las siguientes:

Ly2

11W

sat = (41)

( ) LyZc2W sat = (42)

( )( ) satyZcHL2

13W = (43)

De la Fig. 5, se determinan las expresiones de L y de

y, obtenindose:

( ) tcotancotantcotancotanZcHL

=

(44.1)

( )

=cotantcotan

cotanZcHy (44.2)

Sustituyendo la ecuacin (44) en las ecuaciones (41),

(42) y (43), las expresiones de los pesos se convierten en:

( )tcotan

cotantcotan

cotanZcH

2

11W

2

sat

= (45)

Fig. 4. Fuerzas presentes en la cua activa, en arci-

lla drenada, con el nivel fretico a cierta altura.

Fig. 5. Fuerzas presentes en la cua activa, en arci-

lla saturada, con superficie inclinada.


7/12


8/12



( ) 4KaH2

13KaZc

2

12KaZcH'C 2w

2

w ++

(52)

Donde los coeficientes de empuje activo, se expresan a tra-

vs de las siguientes ecuaciones:

( )( )

+

+=

'tantan1

'tanancot

ancottancot

ancot11Ka

w

(52.1)

( )( )

( ) ( )( ) +

+

+

+

='tantan1

tan

1'tan

'C

Cw1

2Kaw

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

+

+

'tantan1

tan1'tan

tan

1

ttan

1

tan1

w

(52.2)

( ) ( )( )( )

+

=

'tantan1sen2

sen'tantancos3Ka

w

w

( )( )

+

'tantan1

1

w

(52.3)

( ) ( )( ) ( )

+

= 'tantan1sen2

sen'tantancos

4Kaw

w

(52.4)

De acuerdo a la ecuacin (52) del empuje activo, el

diagrama de presiones efectivo sobre el trasds ser el re-

presentado en la Fig. 7, donde se observa que todos los es-fuerzos se distribuyen en el trasds del muro, excepto nue-

vamente el empuje del agua.

En la ecuacin (52), se puede decir que las constantesactivas de empuje son Ka1, Ka3, Ka4 y que la constante de

resistencia activa es Ka2.

Si en este caso analizamos la condicin a corto plazo,

las ecuaciones (51) y (52), se convierten en las siguientes

expresiones:

( )

( )( )

+

+

+

+

++

+

=

ancottancot

ancot1

ancottancot

ancot1qs

sancot'tanancottancot

ancot

ancottanCu

Cw1

Cu

Zc

sat

(53)

( )+= ZcHqs1KaZ2

11KaH

2

1Pha 2csat

2

sat

( ) 2KaZcH'C1Ka (54)

+=

ancottancot

ancot11Ka (54.1)

( )

+

+

+=ancottancot

ancotancottan

Cu

Cw12Ka

( )( )+ ancottan (54.2)

La representacin de la ecuacin (54) en diagramas deesfuerzos resulta algo similar a lo mostrado en la Fig. 7, con

la diferencia que aqu existe una constante de empuje activo

(ka1) y solamente existe una constante de resistencia activa(ka2).

6 Aplicacin prctica

Los dos siguientes ejercicios permitirn ver con clari-

dad la aplicacin algunas de las ecuaciones desarrolladas

anteriormente.

Ejercicio No. 1

El siguiente ejemplo es presentado por Peter y Reid

(1993), en su captulo de Muros, donde estudian el empuje

activo sobre el espaldn del muro que retiene una arcilla

preconsolidada saturada. A continuacin se presentan losdatos y desarrollo del problema.

Un muro de gravedad de 10 m de altura, con el espal-

dn vertical, retiene una arcilla preconsolidada saturada,

que llega hasta el tope del muro, como se muestra en la Fig.

8. Calcular las componentes horizontal y vertical del empu-je activo sobre el espaldn del muro, inmediatamente des-

Fig. 7. Esfuerzos en el paramento del muro, para arci-

lla saturada con superficie inclinada.


9/12



pus de la construccin y un largo tiempo despus, dado

que las propiedades de la arcilla son:

Condicin a corto plazo:sat= 1,96 ton/m

3

Cu = 5,6 ton/m2Cw= 4,2 ton/m

2

A largo plazo:

= 24w = 18C = 1,2 ton/m2

Cw = 0,9 ton/m2

= sat

Suponer para la situacin a largo plazo, que el efecto

del flujo de filtracin estacionario hacia el drenaje vertical,es equivalente a un nivel esttico en el plano medio del mu-

ro.

Solucin:

Para el caso fin de la construccin:

Al final de la construccin no se ha producido disipa-

cin del exceso de presin intersticial, entonces la arcillaest en estado no drenado y el empuje activo inmediato so-bre el muro se determina con un anlisis de esfuerzos tota-

les.

Considerando que debido a que la arcilla se encuentra

en tensin cerca de la superficie del suelo, detrs del muro,

se desarrollan fisuras en el suelo, hasta una profundidad Zc.Aplicando la ecuacin (13), se determina la profundi-

dad de la grieta de tensin.

Zc = 7.559 m

A partir de la ecuacin (9) el empuje activo resulta:

Pha = 5.838 ton/m

De acuerdo a la Fig. 3, no existen esfuerzos horizonta-

les totales a lo largo de la grieta de tensin, sin embargo, sino existe un drenaje y la superficie del terreno no est pa-vimentada, la grieta de tensin detrs del muro, puede lle-

narse con agua de lluvias, y producir un empuje hidrostti-

co adicional sobre el muro, que en este caso ser igual a:

571.282

1 2 =Zcw ton/m

Este empuje, es sustancialmente superior al empuje de

la arcilla a corto plazo. Esto indica la importancia de pro-

porcionar un sistema de drenaje adecuado en todo tipo demuro de contencin.

Solucin:

A largo plazo:

Para estas condiciones se alcanzar el equilibrio en to-

dos los puntos de la arcilla retenida y no existir exceso de

presin. El anlisis se debe hacer en esfuerzos efectivos.

Peter Reid (1993), resuelve el problema a travs de su

ecuacin presentada en su libro, la cual se expresa:

( ) ( ) ( ) 2KaZcH'C1KaZcHqsZcH2

1Pha 22sat

+=

2

2/1

w

180'tan

180'tan

1180

'sen1

180'cos

1Ka

+

+

=

(55.1)

Ka1 = 0.354

22/1

w

2/1

180'tan

180tan

1180

'sen1

180'sen

'C

'Cw2

'C

'Cw12

180'cos

2Ka

+

+

++

+

=

(55.2)

Ka2=1.46

Fig. 8. Esquema del muro, presentando un nivel del

agua en el espaldn para la condicin a largo plazo

de 5m y para la condicin no drenada el nivel freti-

co en la superficie.


10/12



Aplicando la ecuacin (11) a la ecuacin (55) se obtie-

ne:

Para h = 0, resulta la profundidad de la grieta de ten-

sin:

1Ka

1Kaqs2Ka'CZc

sat

= (56)

Zc = 2.523

Sustituyendo en(55) el empuje activo es:

Pha = 19.408 ton/m

Aplicando las expresiones presentadas en este artculo,

para la condicin a largo plazo, se tiene:

El ploteo de la ecuacin (40), que relaciona la profun-

didad de la grieta con el ngulo , permite definir la Fig. 9,en la cual se observa que la funcin presenta un mnimocuyo valor es el que define la profundidad de la grieta en

nuestro problema.

Este valor es igual al obtenido por Peter y Reid (1993).

Zc = 2.523 m

Una vez obtenido el valor de Zc, se evala la ecuacin

37, con lo cual se obtiene un empuje activo igual a:

Pha =27,48 ton/m

Donde los valores de los coeficientes de empuje y de

resistencia, correspondiente a las ecuaciones (35.1), (35.2)

y (35.3), son Ka1 = 0,754, Ka2 = 1,46 y Ka3 = 0,648

La representacin de este empuje se presenta en la Fig.10.

Si las ecuaciones 35.1, 35.2, 35.3 y la ecuacin 40 se

sustituyen en la ecuacin 37, quedando esta ltima en fun-

cin del ngulo , entonces se podr representar la varia-cin del empuje Ph respecto al ngulo (inclinacin del

plano de falla). En este problema, esta relacin se presenta

en la Fig. 11, donde se observa que la curva presenta unmximo, para determinado ngulo , cuyo valor coincidecon el correspondiente al determinado por la profundidad

mnima de la grieta = 51,89.La presin de poros en el espaldn del muro ser signi-

ficativa entre este valor y est determinada por la ecuacin(18), para una altura del N.F de 5 m resultando U=12.5

ton/m. Significa entonces, que an existiendo un dren en el

espaldn, existe un empuje de agua, determinado por el ni-

vel esttico del agua en el dren.

La fuerza de resistencia cortante entre el dren y el re-lleno, ser:

( ) ( )

+= 180tanUPhaZcH'CwX w

X = 11.597 ton/m

Ejercicio No. 2:

Datos:

Muro de 5,40 m de altura, en concreto normal. Laspropiedades del suelo de fundaciones son:

suelo= 1.8 ton/m3 = 32 C = 0

El suelo retenido tiene una inclinacin t = 10 y elnivel fretico coincide con la superficie.

sat= 1.8 C = 0 = 26.(/180)t = 10.(/180) qs = 0 w= 0H = 5.4 Cw = 0 w= 1

Solucin:

Este suelo puede ser tratado como una arcilla normal-mente consolidada a largo plazo, y donde la aplicacin de la

Fig. 9. Relacin entre la profundidad de la grieta y el

plano de falla detrs del paramento, observndose la

profundidad mnima de la grieta.

Fig. 10. Distribucin de los esfuerzos, para la condicin a

lar o lazo.


11/12



ecuacin (51) con estos datos determina un valor de la pro-

fundidad de la grieta de tensin igual a cero (Zc = 0).

Como Zc = 0, entonces trabajaremos con la derivacin

del empuje horizontal, para encontrar su mximo valor endeterminado ngulo , a partir de la ecuacin (59). La eva-luacin de esta ecuacin para distintos valores de permiteobtener la Fig. 12, donde se encuentra que el valor de em-

puje activo mximo es de 16,11 ton/m, para una inclinacin

del plano de falla, igual a = 52,60.El diagrama de presiones se puede obtener a partir de

la Fig. 7, la cual para este problema ser el mostrado en la

Fig. 13.

Aplicando la expresin de Rankine:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) 2/1222/122

'coscoscos

'coscoscoscos

+

=

tt

tttKa

Ka = 0.413

KaHPha sat =2

2

1

Pha = 10.848 ton/m

Se observa que existe una diferencia considerable en-

tre la el ltimo valor y el anterior.

7 Conclusin

Se hace un estudio de los empujes que actan en el

trasds de un muro, donde la distribucin de esfuerzos es

funcin no solamente de una constante de empuje activo,sino que aparecen una serie de constantes principalmente

determinadas por el ngulo de inclinacin del plano de falla

detrs del muro. En el caso de arcillas no drenadas con su-

perficie horizontal la definicin de constantes de empuje esfcil de hallar tal como lo presenta Lamber y Whitman

(1990), sin embargo, para esa misma superficie horizontal

del terreno pero en la condicin a largo plazo, la definicin

de constantes de empuje activo y de resistencia activa no estan fcil conocer su deduccin tal como se expres en la

ecuacin (35).

Se ha analizado la condicin a largo plazo en un muro

que tiene la superficie del terreno inclinada, encontrndose

tres constantes de empuje activo (ec. 52.1, 52.3, 52.4), y

una constante de resistencia activa (ec. 52.2), tal como seilustr en la Fig. 7.

Fig. 11. Relacin entre el empuje horizontal y la

inclinacin del plano de falla, presentndose unmximo para el empuje.

Fig. 12. Relacin entre el empuje horizontal y la

inclinacin del plano de falla, presentndose unmximo para el empuje.

Fig. 13. Esfuerzos en el paramento del muro, para arcilla

saturada con su erficie inclinada.


12/12



En todos los casos vemos que los valores de las cons-

tantes, son dependientes totalmente de la profundidad de la

grieta de tensin y por consiguiente del ngulo de inclina-

cin del plano de falla, ya que la metodologa aqu presen-tada consiste en determinar cul es el ngulo de inclina-cin del plano de falla que produce la profundidad mnimade la grieta de tensin para un valor mximo de empuje ac-

tivo.

Se debe resaltar la presencia del empuje del agua que

acta en el plano de falla y grieta de traccin en las condi-

ciones a largo plazo, an estando trabajando con un peso

unitario saturado del material.Se ha determinado que en ambos ejercicios presenta-

dos, el empuje activo en la condicin a largo plazo, cuando

se estima a travs de la metodologa presentada aqu, resul-t tener un valor mayor al calculado a travs de las otras

metodologas indicadas, en la solucin de los problemas.En este sentido, es conveniente que el profesional encarga-

do del diseo de este tipo de estructuras revise con respon-

sabilidad, qu fuerzas va a considerar para definir la estabi-

lidad de estas paredes de retencin.

8 Agradecimiento

Este trabajo, al igual que los anteriores han sido posi-

bles gracias a la excelente ayuda de la Seora Magaly Va-rona, a ella mis ms sincero agradecimiento.

Referencias

Lambe W y Whitman R, 1990, Mecnica de suelos, JohnWiley & Sons, Inc., Cap. 13.

Berry P y Reid D, 1993, Mecnica de suelos, McGraw-Hill

Interamericana, S.A., Cap. 6.

Terzaghi K y Peck R, 1967, Soil mechanics in engineering

practice, 2

nd

Edic., Wiley, New York.Fratelli M, 1993, Suelos, fundaciones y muros, Mara Gra-

ciela Fratelli.

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