Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite...

77
HAL Id: cel-00391789 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00391789 Submitted on 4 Jun 2009 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir (Tunisie), 2005, pp.76. cel-00391789

Transcript of Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite...

Page 1: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

HAL Id: cel-00391789https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00391789

Submitted on 4 Jun 2009

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Infinite-Dimensional Lie GroupsKarl-Hermann Neeb

To cite this version:Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir (Tunisie), 2005, pp.76.�cel-00391789�

Page 2: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �

�������� ���� ����� ������������������� ��� �����

��������� ����

��������� ����� ��� �� ��� ����� �� � ���� ����� �� � ����� � ���� �� �������� �� ��� ��� !��� ���� ������ �� ���� ���� �� �� ������� ���� �� ��� ���� �"��� �� ��������"���������� ��������� ��" �� �#����� ��$ �� "�%��� ���� ��� ������"���������� ������! �� ��� �����" ���� �� ����$� ������� ���� �� ��� ���� ����� �� ��������"���������� ��� ������ ������ ��� �����& ����� �������� ���� ��" ����� �� "�%�����������! '� ���� ��� �� ���� ���� "����� �� �������"� ��"���"�� �� ���� ����# ��� �� ��" ��� ��������"��� �� �� (� ���� ��)! �� � ���� ��� $� ������� ����*��� ��� ������ ��� �� ���� ����# ��� �����! ��� +�"������� ������� ��� ��� ���� ����"��� ����� �� �������"� ��" ���� �� ��� ����"���� ����� ������ ��� "�� ���" �� � ���� �,! +�� ������������"���������� �����& ��� �#��������� �� ���� *������ $���� ���� ��� ������"���������� ������ -��� �.��� �����! � ���� , �� "�����" �� ��� ���� �� �� ���� �#��������� ��� �����& �!�!& �������� $�� � ��� �#��������� �� ���� �� � �� �� "�%���������� �� �! '� �� �"� ����� ����� $��� �*���� "�� ����� �� ��� �������*����� ���*��� ��� �� ���� ����# ��� ����*���� '��� �� � �� ���� ����#��� ����*�� ��� ��� ����*�� �� � ���*�� ��� ����/

�� ������ ����

���������� �� � �� ����� ��� �� ��� ������ � ��� �� ��� ���������� ��������� �������������������� ��� ������ ���� ���� ���������� �������� �� �������� ���� ������������ � ���������� ��� �� ������� �� �� ������������ � � �� ���� ���� ��� � ������� ���������� ��� �������� � � ��� ����� ��� ���� ��� ������ ���� ������

����������������� ��� ������ ��� ������ �� ��� ��� ���� ������ �� ������ ����� ������� ������ ���� �� ����� ���������� ��� � � ��� ��� ����������� ������ ��� ��������� � ��������� !�� ��"���������������� ���� � �� ���������������� ���� ��� ����� #�� �������� ������ ����$���% �� ������� ��������� �� ��� ������ �$ ������� ����� ���� ��� ��� ������ �� ���� $����$��� & �� �� ���� �$ ��� ���������������� ������ �� ���� ��������� ��������� ����� �� ����� � $��'����� ���� ���� ������ �$ ���������������� ��� ����� ������� �$ ��� ���� ������� ��� ��� ��� ���� ���� �$ �������� ������

�� ������� ����������� ��� ������ $��� ��� ����������� �� ��� � � ��� ��� $��� ������� ��� ���� ��� �� ��� ������ �� ������� ���� � ��� ������ ���� ���� ����� ����� ������ ������ & ���������� ��� �$ ��� ��������� �� ������������������ ��� ������ �( ������ �������� ��� ��� �$ ��� �������� ����� ���� ����� ��� ����� ��������������� )������� ��� �� �� ����� �$ ������ �� � �� *� +����� ����� �� ������ ���� � ���� ������ �� �� ���� ��� ������ ������� �������� �� ���� ���� ���� �� ������� $�� ���� �� ������ �� ��������� ����� �� ����� ��� ����������� ���� � �� ��������� $�� � �������� ��� � ���� ���� �������� �� ���� �������� �� ���������� ���� ��������� ,� ����- ���� � ������ ������������� �� ���� ���������� ��������� ����� ����������� ��� �������� ����������� ��� ��� ��������� ���� �������� ����� ���� ���� ���� ����

�� ����� � ����� �� �� ������� �� ��� � � ��� ���� ��� �$ ������������������ ���������� �� �� �� ��� �� ������� ������ �� ��������� �� ��� $��� ��� ��� �� �������� .��������� ��� ����� �� � ������ �$ ��� ���� ��� � �� ���� ���� ��� ���� ������/ & ��� �������� �� � ����$��� ������� ���� � ���� ���� ���� �� � ���� ����� ����� ��� ������������ ������ ���� !�� ���� ��"���� � ������ �� ��� ���������������� ������ �� ���� ���

Page 3: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� 0��� 1& ���

������ �$ � ����$��/ !�� ����$��� �� ������� ��� ��� �� ����������������� ��� �������� �� ��������� � �� ����( �� �� �� �� ���� ���$� �� ���� � ��� ����� $��� �� � ������� ���� ����� �� ���� ���� ������ � ������ ��� ������ �$ � ���� ��� �� �$ ��� �������!� ������ ���� �� �� ������� �� �� �������� �� $� �� �� ��������� ����� �$ ��� ������ ������ ������� ���� �� ��� ��� ������ ����� �$ ������������������ ��� ����� ������� ����� ����������� !�� ���� ����� �� �� ���� �� ��������� �$ ��� �������� ������� �$ ��������������������� ������

��� �������

!�� �� �� �$ � 0��� �+��� ����� ����� � ��� ���� ������ �� � 0��� � �� �� ��� ����������� �� �� 1� 0��-��" �� 20�345� !�� ��� �� ���� ������ ����� �$ ��������������������� ����� ������ �� ����� � �� ����( �� �� � ��� ���� �� �� ���� � �$ ������� ���&������ 2�&675 �� ��� ����(� �$ ����������� �� !��� ��� ���� �� �� ��� ���� ���-�� ����� 8� ����� �� ��� ��� )�� ��� � ���� ����� 2��435 ��� � ������ ���� ���� ������ �$ ��������� ������� !�� ����������� ���� ��� ��������� �������� �� ��� ��������� � �� ����(�� � �� �� ������� $�� ��� ���� ������ �� ��� �� )� 19� -��� #217:�5%� !��� �� �������� $�� ������� ������ ����� �� ���� �������� �$ ����� � �� ����( �� �� ���� ��� �� ������

!���� ��� ������ ���-��� �� ��� �$ ��� ������ ����� ������������������ ����$���� .���� ����� �� ��� ; ��������� �������< $�� ���� ������� ������� �� ��9��� ���� *���� ����� ��� #2�*445 ��� 2*��65%� �� ��� ����(� �$ ��=� ��� ����$��� ���� ������� ���� ��� ��"��$��� ��� ��� ��������� ������ ��� $�� ���� ������ ���� �� �� �� ������� � �� �� �$ ������� �� ��� � ���� ��� �� ������� ��� ���������� ��� � ���� �� ��� ����� ��� � ������ ������ � ������ &������ ���� � �� ����� �� ��� �� �� �$ � ��"����� � �� � ����� 8���� ������� #2��4>5% ��� � �� �� ���� �� ����� �� �� �-� �������� �$ � �� ������� ������������ �� � ��"������� �������� ����(�� �� ��� ��� �������� ��������� ���� ��� ��������$ ��"����� � �� �� �� �������� ���� ��� ���� ��� ������� �$ � ��"����� � �� � ������ ������� ��"������ .� ��� ����� ����� ���� �� ������ $������ ������ ���� ���� ��� ���������

!��������� ����� ����� � � ��� � � ��� � �� ��� �� �� ��� ��� �� ���(� ��� ��������� � �� ��� �� �� ��� �� ����� �#��� % $�� ��� �� � �$ ��������� ����� ��������� �� ��� �� �#� % /? �#�� � %�

���� ����� ��� ������

�� ���������������� ��� ������� � ������ ���� � �� ��� ����� �� ��� �����( ������ ������������� �$ ��� ���� 1��#�% �$ ��������� ��� ��������� ��� ��� � ����� ���������������������� �� �� �������� ���� � �����( ������� ���� �� � ������� �� ���������� �������� �$��� ���� ����� �� /? �� � �/ #�� � �%�� ? �� ? �� �$ ���������������� ����� ���� ������������� � � !�� ��������� �$ ���� ���� � �� ����� ����� ��� ��������� ����������� ��� �� ����� ��� �(������� $�� ���� ���� ���� �� ��� ��� �(������� ������ ��� ���� ��-� ������ �� �� ������ ����� ������ �� ��� ������ !��� ���� � ��� ���-� ���� �� �� ��� ����(� �$ 0��� ����� ������ )��� ��� ����� ��� ����� ��� �������� �$ ���� ����� �$ 0��� ��������� ��� ���� ������� �� ��� ������ ���� $�� ���� �� ������ �$ ������������������ ��� �������

��� � �� � � �� ����( �� � ��� � /? �#� % ��� ����� ���� ������ ������ �$ � ��������� ����� ������������ �$ � � ��� ���� ���� �� ��� ������ ����� ���� 1�#� % �$� � ��� ��$��������� ����� �� �� ������ ����$�� ���� ���� �� 1�#� % �$ � �� ��� � 0��� ��� �� �� ���� ��� �� �� $�� $��� ����� ���� �� $���� $��� ��� $� � ���� �$ ��� �� ���� �$��� ������� � �� ���������� ���� �@ �� �� ��� ��������� $�� � ��Æ ����� ��� ����� �$ � �!����$��� �� �� �� � ���� ������ �� ������� � ��� �$ ���������� ���� ������ ������� ��������$ ��� ������� �$ ��� $��� �#� % $�� ������ � �� ����( �� ���

,� ��� ��� ���� ��� ���� ������ ��� �$ ������� $�� ������������������ ��� ������ ������ ��� ��� ���������� ���� �� ��� #A�&�%� !���� ��� ����� � �� ����( ������� � ����

Page 4: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �

��������� ����� ����� �� � ���� ��� ���� ���� �� �� ��� ��� ��� ��������� �� � ����������� �� � � �

����� ������ #�% B� � ����� 0��� � ������ � �� � ��������� ������� ������� �� $� �� �$� � �� � ��������� ����� ���� �� � ���� ��� ? �� ���� $�� �� � � � ���� �� � ������ � � �� ����

#� %�� ?�����

��

��� ��� �������� ������� ��� ��� ��� ������ ���� �������� ���$���� �� �� � �� ��#7%���� � �� ,� �� ��� ���� �� ������� ��#�% ��� ���� ��������� �� ��������� �� ���� ���C�� ��������� ��������� ��� ���� �� �� ��� ��� ���� ��������� �� ��������� #B(�� ��� ���%�

#�% ��� �� � 0��� � �� � � ��� ������ �#� % �$ ��������� ����� �������� �� � �� ������ 0��� � ������ ���� ���� � �� ��� ������� ����

� � /? ���� #�%�/ ��� � ���

��� � �� ���� ��� � A�&�

# % ��� �� � A�& � ��� � � � ��� �����( ������� ��#�% ��� �� � A�& ���� �������

���� ��� ���� � ������ �������� �� ������$���� �� ���� ���

# $� 20���75� B(�� ��� ��3%�

#�% �$ � �� � ��� � ����$��� ���� ��� ������ ��#�� � % �� � ��������� ������� ������# $� �� ���� �� $�� ��� ������ �� ���� ������%�

#�% ��� � �� � 0��� � ������ ��� �/� � � � � � ������� ��������� � ���� �$ ������������������� ��� ���� � �� � �� �������� ������������� !��� ��� �� � � /? ��

�$ ������ �� ���� $�� ���� � ���� �� � ����� ��������� ��� � ��=� ��� A�& # $� 20���7� D���&�:��5%�

,� ��� ��� ���� ���� ��� ���� ���� �$ � A�& �� � ��� ����� ���� ������� ���� ��������� ����$�� ���� ����� �� �� ��� ������� !��� ������ ���� ����� ���� �� ��� ����(� �$������������������ ��� ������ ���� � �� ����( �� ��� A�&� $��� ��� ������ ��� �$ ��������� �� ����������

�� ���� �$ E����- �����# %� 1��#�% �� � ��� ���� $�� �� � A�& � � ,� ����- �$ ;�����������< �$ ����� ����� �� ���� �� ����� ��� �� ��� ��� ��� ���� �� �� ���� ��� ������ �� ��� ���� ���� ��� ������ �$ � ��� ������� �� �� ���� ���� �� ���� C��� ���� ���� ���� � ��� ����� ��� ������ �� ������F��� �$ ������ ����� �� �� �� ��� ��� �$ �(�� ����� $��� ���� �$ ������������� & ����� ������ ����� ���� ������ �������F������ �� ����� �� ����������� �� A�&��

�� � ������ �� ������� �! ����� ���

�� ��� ����(� �$ 0��� �+��� ����� ��� ������ �� ��� ����� �$ ������ �� $����� ���� ��� � �� � � ��� � 0��� �+��� ���� � ��� ���� �#���% �$ ��������� ��� �� �0��� �+��� ���� ���� ��� ������ �#�� �%� ����� � /? �#�% �� ��� ��� ������ �$ � �

�� ��� ����� ����(� �$ � �� ����( ��� ����� ��� ��� ������� $�� �� � ��� ���� ���� � ��� � ������ ����$�� � � ��� ���� ���� ���� �� ��� ���� ��#���% �$ ��������� $��� � �� � � !��� �� � ��=� ���+��� ���� �$ � �� � ��=� ���+��� ���� ��� ��� ��� �������� ��#�� �%�

!�� ������ $��� ��������� ��� �� ������ ��� �� ��������� �� ��� �������� �$ ������(�������� �$ ����� ������ !�� ����� ��#���% ���� �� � ���� ����� �(�������� �� �������� �#���%� ��� � �(����� � �� ��� �������� ���� ����� A���� ������ �� ��� $� � ����������� �$ ������ $�� ����� ���� �� � ���� ����������� ���� ������� �$ ��������� $�� �����# $� ��� ��� ��� ������ �� �� ���� ��3%�

& ����� ��� �$ ����� �$ ������ ��� �� �������� �� �� ���� �$ ��� �� ��������$ �/� � � �� � ������ ��� �� ����� ���� ���� ���� ���� � ��� �/� �� � �� #�� �% ��

Page 5: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

" �������� 0��� 1& ���

��#�% ? ��� ������� ��� ����� � ���� �$ � �� � � ����

1��#� % /? � � G�"#� %/ � Æ ? �� # � � �% Æ �� ? �� Æ �

�� ��� ��� �� ��� �� �� ����� ��� ��� ������� �� �������������� �� ���� �$� Æ ? � � �� � ����� �����$�������� �� �� ������� �� #�% ? ���#�% $�� ���� ������$�� ���� � /� � � � ��� $��� Æ �� ? �� Æ �� ������ ���� ��#���% ? �#�%� � �����

#�����% �#���% ? ����#�%�� � � �� � � ��

A��������� ����� ������ $�� ���� � /� � � �����$���� #�����% ������ � ����� �����$���������� � #�% /? ���#�%� ���������

��# �� #�%% ? ��#�%���� ��#�%

�? ��#��#�%��#����#�%%% ? ��#��#�%��#�%% ? ����#�%

����� ���� �� ������ �� ���������� �$ �����

��#���%� /? �� � ��#���%/ # � � � %# � � �% �#���% ? ����#�%�� � 1��#� %� � �� � �

,� ��� �����$��� ���� 1��#� % �� � ������� �$ ��� ���� ��#���%� ������� ������� �������� ���� � ��� �� ��� ��� ���� ����� ��� � �� ��������� �� ��� ����� ��� ������� ���� ���� � �� �� ���� ���� 1��#� % �� � ��� �����

�$ ��� ����� � �� ������� ���� ����� �(���� � ������ ���� �� ���� �/� � � � ��� �����

��#���%� � ��#���%� � �� � Æ ��� �� ���������� �$ ������

���� ������ �� ����������� �! !�#���������

����������� ����� ����� ������� $��� �������� �� ����� ���� ����� �� �� �� �� ���������������� ������ �� ��� ����� �$ ���( *���H� B������ D������� �������� ���� ����� ������� ������ �� ����� �$ ����� ����������� ������ �� ���� �� ���� �� ��-� � ���� ��- �� ��������������� ���� )����#�% �$ � ������ � �� � � � ��� ��"��������� ���� G�"#�%�$ � ������ ����$�� � ��� ����� ���� �� ��� ����������� ����� �$ ��� ������������������ �$ ��������� ��� ������ $�� ������

������ �$ � �� � ������ � �� �� ���� ��� ���� )����#�% � �� ������� �� �������������� ��� ������ �#���% �$ ��������� ��������� $�� ����� �� � �� ������ ������������ ���

# ��%#% /? �# ��#%%�

�$� �� ��������� � �� ��� �� ���� �#���% ��� � ������ 0��� � ������ ���� ���� ������� ��� �������� ��� ���� 1�$��� ������ ��� �� � � �� �� �� ������ $��� ���� ������ ��

� �? )�����#�#���%��% � �7�

�� ��� ����� ���� ����� ����F��� ������ ����������� �#���% � � #��� � �� �������� �� ���������% �� ����� �� � ���� ��������� �#�% ? �#�%� !�� ������ �� � �� �� �� ������$��� �#���% �� �������� )�����#�#���%��% ���� ��� ������ �$ �������� �������� � ���#���% �

��� ��� 0��� � ������ � ��� ���� &��#�% ������ � ������ ��� ���� ���� ���� #��� ��� ������� �$ 1�#�%%� �� ���� )����#�% �? &��#�#���%% �������� � ������ ��� �������� ���� ���� ������� ���� ��� ���$��� ������� ������ ��������� $��� ��� 0��� � �������#�#���%% � ,� ��� ���� ���� ������ ����� )����#�% ���� � ��� ���� ����� �� $� �� �$ �� � ���������� ������������ �$ � ��� � � � �� ����� �� � ���� ����� �(���� � ���������

Page 6: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� $

$�� ���� � � �#���% ���� ��� ? �� �#�% ? 7 ��� �# ��#�%% ? �� !��� � �� �� � � ��������� � �� � �� !����$��� ��� ���� )����#�% �� ��� ����� ��� � �(�������� �$ �������������������� ���� ������������ ����� �$ ������������� �� $���� ���� ���#�#���%% ? �7� �

C����������� ��� �������� ��������� � ����� �$ ���� ��� ��� ����� � �� � � �������� ��������� �$ ��� � ���� ����� ���� ��� � ���� �� �/� �� � � �� ���������� 0�� �������� ��� ���� ���� ��� ����������� ����������� � � )����#�% �� ���������� ,� ����� ���� ���� ���������� ����� ���� ������ ����������� ����� ��� ������� ���� ��� �������� ����� ��� � ��� ��� ��� $�� ���� ������� � ��� �� ������ ���� �$ ��� ������� �

���� � C�� �� � �� � ��� � ������ ����$�� ��� ������� ��� ��=� ��� ������ � /?��#���% �$ ������ $�� ����� �� � # $� B(��� �����I%� �� ���� ����(� �� ��� ����

� �? )��#��#���%��% � �7�

�� ��� ����� ���� ����� ����F��� ������ ����������� ��#���% � � �� ����� �� � ������������� �#�% /? �#�% $�� ���� � � � #��� !������ &��%� !�� ������ ���� ���� �� � �� ������ ���������� �� ��� �� �������� ���� ��� ��� � � �� � �� �#�% ��� ������� !�������� ���� ��� ���� &��#��#���%% �$ ������������ �$ ��#���% �� �� ��������� ������� ���� G�"#�% �$ � ��"���������� �$ � �

�� ���� ������� �� ��� ������ � ����(�� ��� ���� G�"#�% ��� � ���������� ���� ������ � ��� ���� ������ �� ��� �� � �#�% �$ #������% �� ��� ���� �� � � ��� � ���� �� ������ ������ �$ #��� ������ �$% ���� ����� ��������� $�� � ���������������� ��� ���� � ������� �$� � ����� �/� �� � � �������� �� ��� ���� ������������ � � G�"#�%���� � ? � �� ������ �� ���� ��� ��� ���������� � ������� ������ '��� �� � � �������� ��� ���� �� � � ��� ������������ �������� �$ G�"#�%� �$ � � �#�% �� � �� ��� ������ �� /� � G�"#�% ��� ����������� '��� ����

�(/�#�%� G�"#�%� � �� ��#�%

�� ��� �(������� $�� ���� �$ ��� ��=� ���+��� ���� G�"#�%�

.���� �������� ����� �$ ��"���������� ����� �� �������� �$ G�"#�%� .$ ���� ���������� � �� ��� ������F�� ������� G�"#���% �$ � ����� $��� � �� � #�$ � �� ���������%���� ��� ������F�� �#���% �$ � ���� �� $��� � �$ #���% �� ���� �� # $� 2*��65%�

������ �$ � �� � ��� ��� � ���������������� ������ ����$��� ���� �� ��� ����

� �? )��#��#���%��% � �7� ��� G�"#�% �? &��#��#���%%

#!������ &��%� ��� ���� ����� �� �� ������ ��� ���� ���� ���� �� G�"#�% �� � ���� ������� ����� �$ ��� ����� � �� � �������� �� ��� ���� ������������ �� G�"#�%�

�� �� ������ �� ���� G�"#�% ���� � ��� ���� ���� ��� ������ ��#�%� ��� ��� ������ �$� ������ �� ��� ���� ���� ��� � ������ �$ � �� ��� �� ���� ����� ��� �$��������������� ���� ���� ���� �� G�"#�%� ��� �$ � �� ��� ��� �� ���� ��� ����������� ������ ��G�"#�% �� �� ��� ���� ��� ���� '�� ��������� �� � �� ��� ��� ����� ����� �� ��� ��� ������ ��� ��� �� � ��������� ����������� � � G�"#�%� ��� ���� ��� ���� ���� ���� �������� ������� G�"�#�% �$ � ��"���������� ��� � ��� ��� ���� �� ������� � ��� ���� �� �� ��� ��������

����"� !�� ��������� $�� ���� ��� � ����$��� �� ������ �� ��� ��������� �� �� ������ �� ��������� �$ ������� ���� ��������������� ��� � �� � )����� �� � ��� �#�% ��� ������� �����!��� ���� ��� ��� ������ ��������� !�� ���$��� ������ �� �#�% ��������� $��� ���0��� � ������ �#�% ����� �� ���� � 0��� �+��� ����� ��� ���� ������ �� ������ ���� !�������� ������� ������ #��� ������ �$ �������� �������� �% ����� �#�% ���� � ������ �

� ����� ��� ����� �������*�� ���������� �� ��� ���� ���� $�� � ��� ������ ��" ��������� ���� ����*��

�� ��"� �������������� �����! 0 2��� ������ ��� �� �*�����" �� ��� ������� �������� $��� ����� � �� ��� ���

���� ����� ��� �������� $��� ����� � �� ��� ���� � ���� �������� �� ���� !

Page 7: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

% �������� 0��� 1& ���

���� �� � ���� ��������� ������� �������������� �$ � ������ � ���� � �������� �� ��������� ���� ������������ � � �#�%� �$ � �� � ���������������� ��� ����� ���� � ��������� ������� ������������� �� ��������� ���� ���� � �� ��� ���$��� ������ �� �#�%�$ ��� ��� �$ � �������� �$ ��� ������� ������������� ��� �������� ��� ���� ����� ���������� ��� ������������� $� ���� ������� � ��� ���� ���� ��� � ��� ������ # $� 2��>:5� 21�475�B(�� ��� ��J%� �� ���� ����� ��� �������� ���� ��� �������� �$ ��� ������� ���������������� ������� �� �������� �� ��� �� �������� ���� ��� �� ��� ���� ����������� �� � ������� ���� �� � ����$�� ���� ��� � ������ �� ���� ����� ��� ���$��� ������ �� �#�% ���������������� �� ��� ��� ���� ���� ���� $��� #��3�3% �� G�"#�% �$ � �� ���� ��� �� !�� ����$ � ��� � ����$�� � ��������� �� ��� ��� �$ � ���������������� )����� �� � � � $����� � ��� ��� �������� �� �#�% ��� ����

����$� A����� ��� ��������� �� ���� ����� �$ � �� �� ������������������ ����$��� !���G�"#�% ��� �� ������ ���� ������� ��� �� �� ��� ��-� ����� �$ ������ ��� � / �G�"#�%� ����� �� � ������ ����$��� �� �� ������ ���� ��� ����������� ��

�� ���� #��!% �� #�#�%#!%� �#�%��#!%%

�� ������� �� ���� ����� � ������ � ���� �$ � ��� ���� � �� � �� � ������ ������������� G�"#�%�

������ ���������� ��� $�� ��� ���� 1�#� %� ����� � �� � ������ � �� ����( �� ��

&'�� ���� ��� �� ��� �

&'�� ��� ���� ��� �� ���� ������ ������ � �� ����� �� $�� ��� ������ � � � ���� �������� �����

#�� "%#�� �% /? #��@ "�@ ��� "�%�

��� K���$� ���� �� �� � ����� ������ ���� ���� � ? #7� �%�

��� ���� ���� 1��#�% /? ��� � #�� ���% �� � �����

��� �$ # � � �� �� �������� ������� ���� �� �� �������� �� ��� ���� � ���� � ������ �� ����� ��� ���� � #�� "%#�� �% ? #��� "�%�

&'�� ��� �� � & ������ ���� �� �� � ���� $ ������� ���� � ������ $�� ��� � �������� �������� ����� ��� ���������� ��� $ �� � ����� ������ � ����� ���� ����/

��� ��� � $� ��� �$� ��� ����� ����� ������ % #&% /? & ��� ' #&% /? & ��� �������������� �$ $ �

��� !�� ���� ���� $� �� ��� �$ ��� ��� �$ �� �� � ������������ �$ � �

��� !�� ��������� $� � $ �� ���������� ����� #$�� % �� � ������ � ����� �$ �� �� ����������� � �

&'�� ��� ���� ��� $ �� � ����� ����� � � � ��� ��#$% ��� ���� �$ � #�� �%������ �� ����������� �� $ � �� ��� $������ �� ����� ������� ���#$% ��

?

�� �( )

����#$% ?

�����#$% ������#$%������#$% $

�?

�����#$% $���

#$���%� $

��

��� ���� ���� � �����( �� �$ ��� $����� *7 �

��� 77 Æ

��� 7+ �

����� � � 1����#$%� *� +

� � $���� Æ � $�

�$ ��� ��� �$ ) � $�� � �)��( � 1����#$%� ��� ���� �� ���� ���

Æ ? )� * ? �)��� + ? )��(� � ? � �)��(���� &������ �� ��������� ���� $ �� � ������ � ���� ���� ��� ���� ���� ��� ���������

���������� ���� �� ���� ���� �� � ����

��� 1��#$% �� ��� �� ��#$%�

��� ��������� �� 1��#$% �� ���������� ����� 1��#$% �� � ������ � �����

Page 8: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� (

&'�� ��� ��"� ��� $ �� � ����� ���� ��� ������� ��� ����� $ ������ $� � ����� ��� ��������� ���� �� ����� �� #�� � � � � �%�� /? #��� � � � � ��%� ��� � �� � ����� $ ������� �/ � �� ��

�� ��������� �� $ � ����� �� ��������� ���������������� ��� , � ���� � & ���������� ��*/� �� � $ �� ��� � ���������� �$

*#��� &�"% ? ��*#� &%" $�� � & ��� �� " � $�

�� �� ��� � �,�������� �$� �� ���������

�#� &%� ? ,�#&� % $�� � & ���

��� , ? � �� � ��� $��� � �������� ��� � ������������ $�� , ? �� ��� �� � �,����������$��� * �� �

�#��*% /? � � &���#�%/ # � & ��% *# #%� #&%% ? *#� &%�

�� ��� ��� ����������� ������ ���� ���� ����/

��� B���#$�% �? ��#$%� ����� ��#$% ������� �� �$� ����� ����� �� ���� �� ����

�� $� �

��� &���#$�% �? 1��#$%�

��� *#� &% /?�����

�� &� �� � � ���������� $��� �� $� � G�� ���� ��� ����������� �������

���� �� ����� �$ ����� ���

��� *#� &% /?�����

�� &��� ����&� �� � � �������������� $��� �� $�� � G�� ���� ��� �����

������� ������� ���� �� ����� �$ ����� ���

&'�� ��� ��$� ��� � �� � ������ � �� � ��� ����� ��� ��� �#���% �$ ��������� ��$��� �$ � ���� ��� ��� � ��� ������� ����� ��� ������ ��������� �� ��� ���� � #��-% /?�� � �#���%/ �#�% � -� � ����� � � � �� ��� � ��� - � � �� ��� # $� &����( 0%� ,������ ��� ���� )����#�% ���� ��� ������ ������ ���� ���� � �� ��� ��

)����#�%� �#���%�� �� # � ��%�

���� ���� �$ � �� � �� ��� �� ���� ���� ������ ����� )����#�% ���� � ������ ������ )���/ �$ � Æ . � � #��-% ����� � ��� � ������ � � ��� �� ��� ������ -� ����.#�% � -� � � � � ���#-%�

&'�� ��� ��%� ��� � �� � ���������������� ���� ��� ��� ���� ��� //� � 1�#�% �� �$����$� ������������� ��� � �� ��������� ���� 1�#�% ������ ��� ���$��� ������ ���������$��� ��� 0��� � ������ �#�% ��� $�� ��� � /#�% �� �������� ���� ���� � /? �#�% �� � ��� � ��� ������ �� ����� ��� $������ ����/

��� / �� � ������ ����������� �$ ��� ������ �� ���� ��� �� ���� � ������������� �$ ������ ������ �#/%/ � � �#�%�

��� �� /? ��#/%#%� ������ � ���� �� � ��� &�#�% �� ������� ���� ���� � �� ���� �����

��� &�#�% ��� ��� � ������ �� ���� � �� � ��� � ��� �������

�$� �� ��������� � �� � )����� �� �� ���� ��� �� ���� ���� ���� ����� �(���� � � ������� � ������� ���� ��� ������ ��� � �� ��������� ����� � � �� ���� / �� ���� � �������������������� ���� ���� � �� ���� � ��� ���� �� !��� �� �� � ������ �� ������� ���� ������ �$ � ������� � ��� ���� �� �� � 0�����+!��� �� � ��� ���� ����� ��� 0�����+!�����(�� D���� !�������

Page 9: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

) �������� 0��� 1& ���

��� ������������������� ���������

�� ���� �� ���� �� ���� �� ���� ���� ������ �� ������������������ ����$���� ����� �� ����'���� ��� ��� �� �� �$ � � �� ����( �� �� ���� ��� ���� � ��� ��� � ��������� �$ � ��� ������� �� �� ��� ���� ����$��� ������ �� � �� ����( �� ���

�� ���� �� ���� � ����� ������� � � ��� ��� �� � ��� � �� � �� � �

����� �� ���� �*�' ��� ��

+�,���� ������� #�% �$ � �� � �������� �� � � ��� ��� �� � � � ���� � /? ���#7% �� ������ � �$ � � ��� �� /? �0 � �� � ������ �� � ���� �� @ �� /? �#�%� ��� ��/� � �������� ��� ����������� ������� ���

#�% ,� � � ��� � �$ ��������� �� � ������� �$ �#�% ? 7 $�� � � � � ����� � ? 7�!��� �� � ������� �� ��� ����� ��

�/� ����

��� � �� #��#�%%��

����� ��L� �����

# % �$ � �� � ��� ��� �� /� � �� � 1 � 2 � ������ ���� ������ � �� ��� ���� ��� ������� ������ �� � $�� ��� � � ����� ��� ��� ��������� �� ��� ��� ������� ������ � ��� ���� ���� �� �� ������ #��%��� � !��� ������ �� ��������� �� ��� ������� ������ �$ ���������� �$ ��� �� �� �� ����� ��� ��� �� � A�������� ��� $�� ����� �� �� � ����� $�� ����

� /� �����

�� � �� #��#%%��� �

��� ������ ������ �� � �� ������� ��� ��� ������� ����� �$ ��� ���� � ������ ����� � �

#�% !� �� � ��������� $���� � �$ ��������� �� � �� ���� ���� ��� ������ ������ 3�� � ������ �� ��� ��� ��/� � �� �� ��� ������ �� �� �� � ,� � �� ��� ������� ����������� � �� � ������ �� � �

��� � ��� $���� � �� ���������� � �� � )������" �� �� ������� �� �� ���� �� ���� ����� �� � ������ � �� ��� �� � �� ��� ����� ���� �������� ��� � ��� ����� ����� �� � ��� ��������� ����

& ������� ����� ���� �� � �� ��� �� � ������� ���� � ������ ������ �� � ���������$���� �$ ���������� !�� �� ����� �������� ����� ���� �� � � �� ����( �� � �� ������ ��� � ������ � �� ��� �� � ��� � �� �� �������� ���� � ���� �

��� �� �$ ������

�� ���

#�% & � �� ����( �� � � �� ��� � ����� ���� �$ ��� ������ �� �� ������ ��� ������� $���� � ? ���/� � �� �$ ��������� ��� �$ � �� ����� ���� ���� � �� ��� ������� �����

)#� &% /?����

:����# &%

� @ ��# &% �

����� ����� � #�% & �� ��� � #�%��� �� � � �� ����( �� � � �� ���� �� �� � ����������� �$ �� � �� ��� � ��#�%� � � � � �� � A�� �� �� ��� � �� �� � ,� ��� ���� � ������������ ������ �$ ����� A�� �� �� ��� � �� � ���������

#�% .�� ��� � ������ ������ �$ ��������� $�� � �� ����( �� �� #����� A�� �� ���� ��������%� A����� � �� ����( �� �� �� �� ���� ����F�� �� ����� �������� �� ����

Page 10: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� -

����� �� �$ ���� �� �$ 0��� � �� ��� �� $� �� �� � � ������ ��� ������� �$ ��� �������� � �� � ,� ���� ���� �� ���������

�/� ����

� �� � �� #��#�%%�� �

��� ��� ��������� �$ � �� � ������� �� ��� �������� �$ �#� % �� ��� ���� � �$ ��� 0��� ��� �� � � � ��� � �� � ����� �� � #B(�� ��� ���4%�

&'����� ������� #�% ��� � �� � ������ � �� �� ��� �� � ��� � ������ � � � �������� � �������� �� �� �#���% ��

��#�% /? �����#%�/ � ���

!�� $���� � �$ ����� ��������� ������ �� �#���% ��� � �� ����( ������ �$ ���$��� �������� � �� ��� � ������� �$ � �

�$ � �� ��� �� ���� �� ��� ��-� � ? � ��� ������ � ���� �� �#���% ��� � ��������� ������M � ����� ��������� �� ��� ��������� # $� B(�� ��� ����%� �� ���� ��� �#���% ��� 0��� � �� ��

#�% !�� �� ����� �(��� �� �� �������F�� �� ��� �� � �#��� %� ����� � �� ������� � �� � ��� � �� � � �� ����( �� �� !��� �� ����� $�� �� � ��� � ������� � � ��� �� � ��������� �������� � �� � � ��������

����#�% /? ����#�#%%/ � ���

!�� $���� �$ ����� ��������� ������ � � �� ����( ������ �� �#��� %� ��� ������ �$���$��� �������� � �� ��� � ������� �$ � # $� &����( 0%�

# % �$ � �� � �� ��� � ��� ������� �� �������� ���� ����� �(���� � �� ��� � #��%����$ ��� � ������� �$ � ����

��� ��� �� � ��

��� � ,� � �� � � �� ��� � #��%��� ����������� �� � � !��� �� � ��� � ������ � � � ��� �� ���� �� � �� ���� �� � �������� ���� ��������� �� ���� ���

� !��� ����� ���� �#���% �� �����F���� ��� ��� � �� �� ��� �������� �� � ��=� ��� �� �� �� ���� �� � ��=� ��� ������ �� ��� ����� ���� ��� ������ ����� ����� �� ��������� # $� B(�� ��� ���I%�

#�% ��� ��� ��� � ��� �� � �� �$ � ��������� $�� ���� � � � �� � � �� ����( �� ����� ���� � �� ��� ���� � ������� !�� ������ �� ������ �� ��� ��������� � ������ ��� #�% /? ��#%� � � � � !��� �� � �� ������ ��� �� �� �����F��� �$ ��� ��� �$ � �� ��������

&'���� �����"� #�% ��� � � �� �� �� ��� ������ ��� ������� ��� ������ ��#���%� ���

�� � ��������( ! ? #!�� � � � �!�% � �� ���� �!� /? !� @ � � �@!� �� ������� ��� ��"��������������

4� /? 4��

� 4��

� /?5�

5��

� 5����

,� ��� ������ $�� �� � ! ��� �� � ��� � ������ � � � � �������� �� ��#���% ��

����#�% /? ����4��#%�/ � ���

!�� $���� �$ � ����� ��������� ������ � � �� ����( ������ �� ��#���%�

!� ������ �� �(�������� �$ � � �� ����� � ���� � � �� �� ��� ������� ��� ��� ��������

�� /? � � / �� � �� ����#� ��% � �

��

����� �� /? �� � � ������� ��� ������� �$ � ��� ����#� ��% /? ��$�� &�/ & � ��� �� � ��������� $�� ���� #B(�� ��� ���>%� �� �� ���� �� ��� ���� #��%��� �� �� �(�������� �$ � � �� ������� ������ �� ��#���% �� �� ������ �� � ������� ��� �$ ���������� ��������� ��#���%

Page 11: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�. �������� 0��� 1& ���

�� ����� ���� ���� � �� ��� ����������� ����� ��� ��� ����� ����� �� ���� ������ �� ���������� �� ���� �� �� � ��=� ��� ������ #B(�� ��� ���J%�

#�% ��� � �� � ������ ������������ ����$�� ��� ������� ��� ������ ��#���% � �$# ��% �� � ���� �$ � � ���� #�% �� �� ��� ������ �$ ���� �� � �� ����� �� ���� �$ #�%� �� ���������� � ��=� ��� ������ ���� ���� �� ��# #�%��% � ,� ��� ������� ��� ��

N/��#���% 6������

��# #�%��%� � �� #� �� Æ ��%����

��� ����� ��� ����� ���� ���� ���� ��� ���� � ������� ������� �� ���� � � �� ����( ������#B(�� ��� ���4%� !����$��� ��� ������� ����� �$ ���� ������ ����� ��#���% ���� � � �� ����( �������

!��� ��� ������ �� ���������� ��� ��� ���� �(� ��� !� ��� ��� �� �� �� ������ ������������ ���� ���� $�� �� � ��� � ������ � �� $�� ��� � ����� �(���� � ���� /� � ��

���� � � � ��� $�� �� � ��������( ! � ��� �� ���� � ��������

����#�% /? ����4�#� Æ ��%#%�/ � #�%��

�� �� ���� �� ��� ���� ���� ��������� ����� ��� ������ �� ��#���% ��� ���� �� ���� ��������� ���� ���� �$ � ��=� ��� ������ �� ��#���%� !�� ������ �� ��� ��� ������ � �� ����������� ���� �� �� ��� ������ ���������

# % �$ � �� � ���������������� ��� ��� � ���( ����$��� ���� �� ������� ��������� )�#�� � % �$ �������� $�� ����� �� � �� � ��������� �$ �#�� � %� ������� ���� ��������� �$ ���$��� �������� � �� ��� � ������� �$ � #B(��� �����3%� !��� ������ �����)�#�� � % ���� � ��=� ��� ������� ��������� ��� �� ���� ���� ��� ��L� ���� �� )�#�� � % 6���#�� � %�� ��� � ������ � ��������� #B(�� ��� ����%�

+�,���� �����$� ��� � �� � �� ��� �� � ��� �� /�� � � ����� ���� ������ �� � �� ����( �� �� �� � ,� ������� ��� ������ � �$ � ����� ��������� � �� � $�� ��� � � ���������� � Æ �� ��� ��������� ��������� �� ��� �� �� �� � 0� ����� �$ � � �� �������� � � � �� ����( ������ ��� ��� ���� ������� ����� ������ � ������ �� ��� ������#��%��� �

!��� � �� ����( ������ ��� ��� �������� ������ ���� � ����� �� /� � � ����� � �� ����( �� � � �� ��������� �$ ��� ��� �$ � ��� ��� �� � 1 � 2 � ��� ���������#B(�� ���%�

&'���� �����%� #�% ��� � �� � � �� ��� � �� � ��� ��#���% ��� �� � �$ ��� ��������� ��������� $�� ������ ��� �� � ��� � ������ � � � �� ���� ���� � �������� �����

�� /��#���% /? �� � ��#���%/ ��#�% � �� 6� ��#���%�

B� � �� � ��#���% �� � 0��� � �� � ���� ���� � �� ��� ����

���� /? �����#%�/ � �� ? �����#%�/ � ���

,� ����� ��#���% ���� ��� ��� � �� ����( ������ ������ �� ��� ��� �� #G��������� �����>%�

#�% ��� � �� � ������ ����$�� ��� ������� ��� �� � ��� #���% �$ ������ $�� ��������� ��� � ������ ��� �� � ��� � ������ � �� �� ���� ���� � ������ �� �����

�� /��� #���% /? �� � ��� #���%/ ��#�% � �� 6� ��� #���%�

,� ����� �� � �� � ��� #���% ���� ��� ����� � ������ ��������� $��� ��#���%� ��� ������ �� ���� � ��=� ��� �� �� ,� ����� ��� #���% ���� ��� ��� � �� ����( ������ �������� ��� ��� �� �

Page 12: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� ��

��� � /�� ���� � �� ���� �*�' ��� ��

�� ���� �� ���� �� ����'� �(��� ��� ����������� �$ � ��� �� � �� ����( �� ��� !������ ���� �� ���� ��� ���� �� �������� ������ �$ ��"������������� ����� ���������� ��� �$�� ��� �� �� ��� �$ 0��� � �� �� ��"��� $��� ��=� ��� ��"������������ ��� ��� � �� ���� ��������� �� ��� ���� �$ � �� ����( �� ��� .�� ���� ��$���� �� ��� 2)�4:5 ��� 217:�5���� �� ���� ��� ��� $���� ����� ���- 21C7>5� ����� ��� ���� ������� ���$�� .�� �������������� ���� �� � ��� ��� ��� ���������� !������ �$ A� ���� ���� ��� ���$� �$ ��� ���������������� ��� ���� �����

& ��"����� ���� � �� ��"������������ �� ������������������ �� �� ������� �� ��� ��� ��� ��������� �������� ��� � �� �� $���� �� 2�*445 ��� 2*��65� & ����� $������ �$ �������� � �� ���� ������ ��� ��� �� ����� �� ����� �� �� ���������� ��� $�� � ��� ������=� ��� �� �� ��� ���� ��� ���� ��� �$ ������ ���� !�� �� �� �$ � ��"����� � �� ���� �� 8���� ������� #2��4>5% ���� �� � $������� �� �� ������� �������� �� ����� �� �� ������������� �-� �������� �$ � �� ������� ���� �������� �� � ��"������� �������� ����(��

+�,���� ��� ��� ��� � ��� 7 �� ������ � �� ��� �� ��� � � � ��� ��� � /� � 7� ��� !��� ��� ������� �� � �� �� �� ������� �� 8 �� ������ ��

)�#%#8% /? �����

��#@ �8% �#%�

�������� ��� ���� �(����� !�� $�� ���� � �� ��� ��������� �� �$ )�#%#8% �(���� $�� �8 � � � �� �� ��� ������������ ��������� �$ �� �� ��"��������� �� � ����� �$ � ���

)� /� �� � 7� #� 8% �� )�#%#8%

�� � ��������� ��� �� �� ��� � �� ���� �$ �� �� ��������� ��� ���������� ��"������������� $�� � � :� � �� ���� �$ )� �� � ���� ���� ��� �� #�� ������% �$ �� �� �� $�� �� � � � � �!��� �� ��� ������ �$ ��"������������ ���� �� 2��435� 2)�4:5� 217:�5 ��� 2C�7�5�

#�% �$ � ��� 7 ��� ���( �� ��� �� ��� ���� ��� �� � �� ��� ���������� �$ �� ���� ��� $�� � � � ��� �� )�#%/� � 7 �� ���( ����� # $� 2��43� � �7:65%� ,� �� ������� ���� ��� ��� )�#% ��� ����� ��� ����� #����� ���:�3%�

# % )����� ����������� ��� ������ $�� �� ���� ��

)��#%#8�� � � � � 8�% /? �����

�)����#@ �8�%#8�� � � �� 8���% )����#%#8�� � � �� 8���%

��

����� ��� � � #�% �$ � ��� 7 ��� 0��� � �� ��� ���� ��� ������ �$ ��������� ��"������������� �� ���-�� ���� ��� ���� ������ �$ ��������� ��=� ������"������������ �� 0��� � �� ������ � �� ����� ���� ��� �� �� )�#% �� ��������� ���� ���� � �� ��� ������� ����� C������������ ��� �� ���� ���� � �� ��� �� ��� ����� ������ ����� �� �� �� ��� ����� �$ ��=� �����"������������� �� ���� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� ���� ��� �$ �� �$�� ����� # $� 2C�7�� ��J��� ��65%�

#�% ,� ��� ���� ���� ��� �(����� � �$ ����� ��� ��� � ��� ��� ��������� ����� ���� ��� ��������� �$ � ���� ��� $��� $��� ��� ��"������������ �$ � �� ���� �� � ����� �� � /� � 7�� ��"��������� �� �� � � � �� ��� ����� �$ G�������� ���:��#�%�

C�� �� �� � ��� �� ��� ���������� �$ ��� ���� $��������� $� �� �� � ��� �� � �� ����( �� �� ������ �� ��� $�������

��� ��� ��� �� � ��� 7 � ������� ����� ����� � � � �� ��� ����� ��� � /� � 7� ������������ ��������� ��������!

�� �� ��� � � �� ��� )�#%/� � 7 �� �� ���� ��� ����������!

Page 13: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

� �������� 0��� 1& ���

�� "� @ 27� �58 � � ���

�#@ 8% ? �#% @

� �

)�#@ �8%#8% )�

#���������� !������ �$ A� ���%! "� �������� � �� ������� �������� �� ��� ���� ��)� ? 7 !

�� � �� ����������!

�� "� � �� �� � � : ��� �� ��������� #8�� � � � � 8�% �� )��#%#8�� � � � � 8�% � � �������� ������ ����!

�� "� @ 27� �58 � � ��� � ��� �� #���� ������

�#@ 8% ? �#% @ )�#%#8% @ � � �@�

#� �%O)����#%#8� � � � � 8%

@�

#� �%O

� �

#� �%���)��#@ �8%#8� � � � � 8% )��

0����� #�% ��� �� � ����� $�� ����� % � 7 � ��� 8�� 8� � � ��� ��

9 #��� ��% /? %#�# @ ��8� @ ��8�%%

�� ������ �� �� ��� 7������������� �� �� ��� ��� ��������� ����� �����������

59

5��#��� ��% ? )�#@ ��8� @ ��8�%#8�%�

59

5��#��� ��% ? )�#@ ��8� @ ��8�%#8�%�

���� ���������������� � ��� �� -��� ���� 9 �� � �� ��� ��� )9 #7� 7%/�� � � �� ������!��� ����� ���� % Æ )�#% �� ����� �� ����8�� 8�� � ��� � :� �������� ��� ����� �$ 7 ���8�� 8� ��� ���������� ��� �� )�#% �� ��� ������ ��� ��������� $���� $��� ��� ��������� �$ )� �

#��% ,� ������� $�� % � 7 � ��� �� ���

9 / ; � �� 9 #�% /? %#�#@ �8%%

��� ������ $��� ��� ���������� !������ �� ��� ������� � ���

%#�#@ 8% �#%% ? 9 #�% 9 #7% ?� �

9 �#�% )� ?

� �

%#)�# @ �8%#8%% )��

��� � 7 � �������� ��� ����� �$ 7 � ���� ����� ���� ��� ���- ������� �� )�#@�8%#8% )�� ��� �

� ����� �(���� ��� �� ��� ������� �$ 7 � � ���� ������ �� ������ �$ 7 ��� � ��� �������� �#@ 8% �#%�

#���% ��� � �� � ��������� �������� �� 7 ��� , < 7� !��� ����� �(���� � ���� ��7������������� �� � � ���� @ �� � � ��� �

�)�# @ �8%#8%

� , $�� � � 27� �5 ��� 8 � �� �

)�� �

���#@ 8% �#%� � � �

��)�#@ �8%#8%

�)� � ,

#B(�� ��� ����:%� ��� ���� � �� ����������

#��% &������ �� �� #�%� �� ��� ������� ������ ���� 7 ? � � !��� ��� ��� )��#% ����������� ��� ������� $���� �� ���������� ��� �$ ��� $���

#��� � � � � ��%� �#@ ��8� @ � � �@ ��8�%

�� ��� 7������������� �� �� ��� ���� ����� ��� ����������� ���������������� ������

#�% ,� ������� ��� �� ���

9 / ; ? 27� �5� �� 9 #�% /? �#@ �8% ���� 9 �� #�% ? )��#@ �8%#8� � � � � 8%

��� �� ��� !���� ������ $�� �� �$�� ����� ; � � �

!�� $������ ���� ����F����� �$ �� �$�� ����� �� ���� ���� ��������� $�� ��� ���$ �$��� A���� E���

Page 14: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� ��

0��������� ��� �"� �� � ��� 7 � ������� ����� ����� � � � �� ��� ����� ���� /� � 7 � ���! #��

� ��� /? �#� 8� �% � � �� � � / @ �8 � ��

�� �� ��� ����� �� � � � � � ��� � �� �� �� ��� ���� �� �� ����� � ���������� ��������� ���/� ��� � 7 ����

� ���#� 8� �% /?�

�#�#@ �8% �#%% �� � �? 7�

"� ���� �� �� ��� ���)�#%#8% ? � ���#� 8� 7%�

0����� !�� ������� �$ � ��� $���� $��� ��� ��������� �$ ��� �� ����� � �� #� 8� �% ��@ �8 � �� ���� � ��� �� ��� ������� ����� �$ � ����� ���� ���

�$ � ��������� $�� ���� � ��� �(���� ���� ��� �� ����� ��������� ���� ���� )�#%#8% ?� ���#� 8� 7%� ��� � ����� ���� � �� � �� �$�� �����

������ ��������� ���� � �� �� � ��� � � �� ���� ����� �(���� $�� �� � � � � ����(���� �� 7������������� � � � ���� @� � � � ��� &� �8 � �

�� �� ���� ���� &@27� �5�8 � � ��� ���� ����� ���:�3#��% ����� ����

�#�#& @ �8% �#&%% ?

� �

)�#& @ "�8%#8% )"�

��� � ��� ����� ���� ���� ������ � ��������� $�� ���� �� ��� ������������

�#&� 8� �% � � ���/ & @ 27� �5�8 � ��

�$ � �� � �7� � �� ��� ����

� ���#� 8� �% /?

� �� )�#& @ "�8%#8% )" �$ @ 27� �5�8 � ���#�#@ �8% �#%% ���������

�� � ��������� $�� ���� �� � ��� �����$���� � �� ����������

0��������� ��� �$� #A���� E��% "� � 7 ��� = � ������� ����� ����� � � � ���� � 7 � ��� ��� ��/� � � ��/� � = � �� ��� �� Æ ��/� � = �� �� ����

)#�� Æ ��%#% ? )�����#%

� Æ )��#% �� � ��

0����� ,� ��� ��� ���� ����F����� �$ �� �$�� ���� $��� D��������� ���:�I� ��� #� 8� �% � � ���

�� ����

�#�� Æ ��%# @ �8% #�� Æ ��%#%

�?

���#��#% @ ��

���� #� 8� �%% ��#��#%%

�? �

���� #��#%� �

���� #� 8� �%� �%�

��� � ���� �� � ��������� $�� ���� �� � ��� � D��������� ���:�I ����� ���� �� Æ �� �� �� � ���� ? 7 �� ������ �� ���� ���

)#�� Æ ��%#%#8% ? � ���� #��#%� ����� #� 8� 7%� 7% ? )��#��#%%#)��#%#8%%�

0��������� ��� �%� "� �� �� ��� 7 � ������� ����� ����� � ? �� ��� � � � ����� ��� � /� � 7 �� ���������� ��� �� ������ ��������

)��#�� �%#8% /? �����

��#� @ �8� �% �#�� �%

Page 15: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�" �������� 0��� 1& ���

���

)��#�� �%#8% /? �����

��#�� � @ �8% �#�� �%

����� ��� � ���������� �� ��� ���� �� � �� �� ! "� ���� ��� � ���

)�#�� �%#8�� 8�% ? )��#�� �%#8�% @ )��#�� �%#8�%�

0����� �$ � �� �� � ���� ��� �(����� � ��� ��������� �$ ��� ����� ����������� )�� ��� )��$���� �� ������ ���� )� �

������ ��������� ���� ��� ����� ����������� )�� ��� )�� �(��� ��� ���� ���� ��� ���������� �� ���� ���� ��� ��� ����� �� ��� ��� �������� #����� ����:�3%� ���

#�� �% @ #27� �58�� 27� �58�% � ��� ���� ����

�#� @ �8�� � @ �8�% �#�� �%? �#� @ �8�� � @ �8�% �#� @ �8�� �% @ �#� @ �8�� �% �#�� �%

?

� �

)��#� @ �8�� � @ "�8�%#�8�% )"@

� �

)��#� @ "�8�� �%#�8�% )"

? ��� �

)��#� @ �8�� � @ "�8�%#8�% )"@

� �

)��#� @ "�8�� �%#8�% )"��

P���� ��� ��������� ������� � �$ �������� �� ��������� #B(�� ��� ����:# %%� �� �� ��� ����� ���� ����� ����������� �$ � �(��� ��� � ��

)�#�� �%#8�� 8�% ?

� �

)��#�� �%#8�% )"@

� �

)��#�� �%#8�% )"

? )��#�� �%#8�% @ )��#�� �%#8�%�

����� ��� �(� #�% �$ � /� � 7 �� � ��������� ����� ��� ���� � �� ������ ����

)�#%#8% ? �#8%

$�� � � 8 � � � ��� )�� ? 7 $�� � � :�

#�% ���� #�% ��� D��������� ���:�J �� $���� ���� � ��������� � ������ ��

!/�� � � � ���� � 7

�� ���������� ��"��������� ����

)!#%#8�� � � � � 8�% ? !#8�� �� � � � � �% @ @!#�� � � � � ���� 8�%�

���� ����� ��� ������� ���� ! �� ������ ���� )���! ? 7 # $� B(�� ��� ���:�%�

# % !�� �������� �� �/� �� � � �$ � ������ � �� ��� �� � �� ������� �� $� �� ������

)�#� &%#�� >% ? � @ > ? �#�� >%�

�� ���� � �� � �� ���� ���� ����� �� $���� ���� � �� �������

#�% �$ � /� � 7 �� ���� � ���� ����� ���:�3#��% ��� D��������� ���:�J ��� ����

)#)��%#� 8�� � � � � 8�%#&� ��� � � � � ��% ? )����#%#8�� � � � � 8�� &%

@ )��#%#��� 8�� � � � � 8�% @ � � �@ )��#%#8�� � � � � 8���� ��%�

�� $���� �� ���� ��� ����� �������� � �� �� � ���� � �� ���� �$ ��� ��� �$ )�� �� �� �

#�% �$ � /� � 7 �� �������� � ���� ��� ���������������� ������ ����� ���� $�� �� �8 � � ��� $�� ���� � � 7� �� )�#%#8% �� �������� � )�� � )��#% �� ���( ������� ��������$��� )#)�% �� ���( ������ !��� )� /� �� � 7 �� ��� �������� �

Page 16: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �$

&'���� ��� �)� �� ��� ��������� �$ �� ���� �� ���� ��� �� ����� ��� ��������� ������ ��� ��� �� �� �� �� � �� ����( ��� ��� ��� ������ ������� ���� ��������� �� ���� $�� �������� � �� �$ ����� ��� ���� ������� ��������� �������� !�� $������ �(��� ����� ����� � ����(��� �� �� �� $�� ��� ������� �$ ��� ���������� !�������

��� � ������ ��� �� � �$ ��������� $�� ����� � / 27� �5� � $�� ��� �

�� � /?� �

��#%� �� )

�� ����� ��� ������$� ������$� $�� ����� ��� � ��� ��� �� � ��� ����� ������� ��� �������F���� !��� )#�� .% /? �� .� ������ � ����� �� ���� �� � #B(�� ��� ���3%� ,� ���� ������ ������ ������ � �� ��� �� � #�� )%�

��� � ������ : � 27� �5 �� ?� ������ ��� ���� ������� $�� ����� A������� ��� ����

+/ 27� �5� �� +#�% /? ?������

!���

�8���+#�@ 8% +#�%�� ? �8�� �� �8� � 7

$�� �� � � � 27� �5 �� 8 � 7� )�� � + �� �� ���� )+ ? 7� ��� � + �� ��� �������� ������������� !������ �$ A� ��� ���� ��� ��� �� � �

!�� ��$� � �� ���� �(��� �� ����� �� ��� ����� � ����(��� �$ � � �� $� �� ��� �� �������� ���� � ��������� ����� $�� ������ �� � �������

����� ��� �-� #�% �� ��� ����(� �$ 0��� � �� �� ��� ��� �� ������� ��� ���� !��������� ��� �� ��� �� ��� ���� !������ #2����5%� �� � ������ ����� �� �(� ��� �� ������ $����=� ��� �� �� # $� ��� �(������� $�� ���� �$ G�"#��%%� C����������� 19� -���H� �� ��� ���21735 ������� ��� �� $�� ���� �������� $�� ��� �$ ��� ��� � /: � 9 � ����� 9 �� � 0��� ��� � ��� : �� � �� ����(�

#�% &������ �����-��� ������� � ������ ������ $�� 0��� � �� �� �� ���� � ��������� � 9 �$ � 0��� � �� � : ���� ��� ���� � ���� �������� & ���� �(��� �� �������� � 9 /? (�#���% �� : /? @�#���% #2,���>� ���F �K�J�>5% # $� B(�� ��� ����3%�

!��� ��� ��� ���� ��� � ���� ��� ������� �� �/: � :09 ��� �� ������ �� ������� ���� ��� �(����� � �$ � ������ � � �� ���� �/� � : ������ 7 � :09 ����� ��� �(����� ��$ � ���� ������� ��#)�#7%% �? :09 �� 9 �� : � C����������� ��� �� �/: � :09 ��������� ���� ���� �$ � ������ � 9 ���� �� ����� ���� :09 ��� � ��� � ��������� ���� �� ������ �� ���H� ��� ���� !������ #2��>�5%�

����� ��� ��.� #D��������� �$ ����� .GB� �� ��=� ��� �� ��% #�% ����� �� ���� �� �(����$ � ����� .GB $�� ��� � �������� �� ������ ���� ������ �(���� ��� ��� ��� ��� ��� ,� ������� ��� ��=� ��� �� � � /? ��#27� �5��% ��� ��� ��������� ����� ������� A� /? � � ������ �� �� ,� ��� ��-��� $�� �������� �$ ��� ������ ���� �����

#:�:��% +�#�% ? A+#�%� +#7% ? +��

&� � ���� ��� � �$ B� 0���H� !������ ���� �� � ���� ������ �� ��� !���� ������ �$ � ������$�� ����� �� � +� ��� � ������ �(������� �� � $�� ���� �� � � ��� 8 �� �� � � $�� ���� ��� �������

+/� � �� +#�%#% /? 8#�@ %�

!��� +#7% ? 8 ������ ? +� ��� +�#�%#% ? 8�#� @ % ? #A+#�%%#%� �� �� ��� ���� ����� ���������$ #:�:��% ����� �� ��� ��� � �$ ��� �(������� 8 �$ +� � G�"����� ��� �� ��� �� ��"������(���������

#�% C�� �� ������� ��� �� � � /? ��#��� � % ��� � �� ������$� ���� ��� �� � �$ :/ ������� ������ $�� ����� �� ��� ��� ���� ,� ������� ��� ����� ������� A� /? � �� ��� ���

Page 17: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�% �������� 0��� 1& ���

� ������ #:�:��%� ��� � �� ���� ��� �� ��� ���� � ������ ���� �������� ����� �� �� ���� �� ����F����� � ������ �� ����� �$ ��� ������� �(������ �$ + � �� ��

+#�%#% ?����

��#�%#��

�� ��� ������� �(������ �$ +#�%� !��� #:�:��% ����� ���#�% ? ����#�% $�� �� � � � � � �� ����

��#�% ? ��#7%#��� ���� $�� ��� ������� + �$ #:�:��%� �$ ��� ������� ��Æ ����� ��#7% �$ +� ��

��� �����$� ��

���#7%�#���

$�� ���� , < 7 #��� � ���� ��� �� ��� ��� $�� � ������ $�� ���� +� %� ���� #:�:��% ���� ������� � ������� �� 27� ,5 �

&� � ���� ��� �� ��� ������� �(#�A% �� ����� ������ $�� � �? 7� C����������� �� ������ ��� ������� ������ �(������ �� ��� ���� *#�% /? #�@ B��%�@ �A ������ � ���� */� � 1�#� %��� � �� ������ �� ��� ����� ����

� � � � � � �� #�� �% �� #*#�%#�%� *#�%��#�%%

�� ������� ,� $������ ���� *�#7% ? A � �� ���� A ������ �� ��� ������� �� ��� �$ � ������ ������ 1�#� %� ��� ��� $�� � ������������ �����

+�,���� ��� ���� & � �� ����( �� � : �� ���� �� �� $��%� ������ �$ $�� �� � ������ ���� C/ 27� �5� : ����� �(���� � ������ ���� D/ 27� �5� : ���� D� ? C �

��� � ���� ������� ��� ������ �$ �� -�� ��������� ��� � ������� ��������� �� ��$���� 2*��6� !�� :��I5�

����� ��� �� � �$ : �� � �� ������� ����� � �� ����( �� �� ���� �� �� �� -�� ������ �� ���� ��� �� ������ ��������� ����� ��� �(����� � �$ E������ �������� �$ ���������: ������ $�� ����� �� ��� � ��������� ��� � ���� $�� �� � ��������� ���� C/ 27� �5� : ������(���� � ������ ���� D/ 27� �5� : ���� D� ? C �

����� ��� ���� #�% ,� ����'� �� � ��� ���� ���������� ��������� ��� ��������� � ����� 2*��65� ��� : �� � � �� ����( �� �� !�� (� ������� � �� : �� ��� ��� ������ �������� � �� ��� ��� ��#�� :%� ��� � � : �� �� ��� ������ ��� � /� � 9 � $�� ����� ����� 9�� � � �� ����( �� �� !��� �� � � ���������� ������ �$

� Æ ��#�� �% � ��#�� 9 %�

!��� ����� �� � �������� �������� �������� �$ ��� ��� �$ ������ ��� # $� 2*��6� �375%�

#�% �$ : �� � ��=� ��� �� �� ���� ��� (� ������� ��� ���� ���� ��� ������� ������#2*��6� !�� I���5%� �� ���� �� � ���������� ������ �� �� ����������

,� ��� ���� $�� �� ��� ������ � �$ � ��=� ��� �� �� � �� � /� � 9 �� ���������������� �$ ��� ��� �$ �� �� ������ �� ��� ����� �$ G�������� ���:��� !��� �� �� ����� �� $�������� � ��#�� :% �� ��� ���� �� � $�� ���� ������� �$ ��"������������� ��� A���� E�� ����� �������������� �� ��� ����� �$ G�������� ���:�� ����� ���������� �� ��� ����� �$ ��������� � ����C�� �� ������ ���� � /� � 9 �� ���������� ������� !��� ��� ���������� )� /� � : � 9�(���� ��� ������ � ���������� ������ �� )� /� � �#:�9 % � ��#:�9 % #2*��6� !�� 3��45%�)�� � )� /� � : � 9 �� ��� ���������� ������� ��� ���� ��������� ���� ���� � �� ���(� �������� &� : �: �� � ��=� ��� �� �� �� $���� ���� )� �� ���������� !����$��� � �� ��

�� ��� ����� �$ G�������� ���:��� ��� ��� ��� �� ������� ��� ���������

Page 18: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �(

����� +�#��������� �����!�

��� � �� ���� � ���� ��� $�� �� ���� ������� � �� ����( �� ��� ��� � ��� $�������� ���� �� �� ����� ������ ����$��� �� �� ��� ���������������� ��� # $� 2)�4:5�2��435� 217:�5� 21C7>5%/

+�,���� ������� ��� � �� � )������" ������ � �� � ��� : � � �� ����( �� ��&� : ����� �$ �� ��� ������ � � � �� � ������������ /� � #�% � : ���� �� ��������� #�% �$ : � ,� ������ �� � � ���� �� � ��� # ��%� !�� ����� # ��% ��� #E� � % ������� �� �� �������� ��������� �$ ��� ��

E Æ �� ������ / #� � � %� E#� � � %

�� ������� ���� ��� ���� ��� �� $���� ���� ���������� �$ ����� �� �� � ������ � ��������� ��� ��� �$ � : � ����� �$ � � &� : ������ �� � �� � $���� � /? # �� ��%��� �$ ������� ������� : � ����� �$ � $�� ��� �

� �� ? � � & ������ : ������� �� � �� � ��(���

: ����� ��� � ������ : �����$�� �� � ��� #���%� ����� � �� � ��(��� : ����� �� � �

,� � � ����$�� ������ �� � � �� ����(� ����� ��=� ��� �� �� ����� 0��� � �� �� ������� ������ ����� ������ ����� &����� ���������

����� ����� � #�% �� �� ����( �� �� ��� ��� �� ��� ����� ���� �� � ���� ��� ������������� ���� ��������� �$ ���� ����� ��� ���� ������ �� ��������� �� ����$��� �������� ����� �� �� # $� 2��435%�

#�% �$ ��� � � � ��� ��� ������ ����$��� ������ �� ��� �� �� :� � B ? �� � � � � � � ������� ���� � ��� � /? �� � � � � ��� ������ � ������ ����$�� ���� ���� ���� ���� �� �: ?

����� :� �

+�,���� ������� #�% .�� ������ ��� ������� ����� /� /F� � � �� $����� ���� /? # �� ��%��� �� �� : ����� �$ � � .� ��� ���L���� ����� �$ ��� ��� #��% � : �� ����� ��� ������ � ������� ��

#� �% � �# � Æ ��� %#%� )# � Æ ��� %#%#�%

�$�� � �#�� � ��% ��� � � : ��� ����� 2� �5 $�� ��� � ������ � ��� �$ #� �%� ��� � � �� �!��� ��� � ������ � ����� �$ ��� $��� 2 �#�%� �5 ��� ��� ��� �� ����� �� � � ��� � � �����"�������� )# � Æ ��� %#% ��� ��������� ����� ���� �� ����� $���� ���� ��� ��� F�#�% �$ �������� �� ���� �� � $���� � �� ��� �� � �������� �� : ����� ��� �� : � F�#�%� � �� 2� �5 �C�� �� ���� ��� ��� �� �����

F� /?���

F�#�%

���� � ����$�� �� ��� �����

E�/F�� /?�����

F�#�%� #��%�:� 2 �#%� �5 �� # �#%� �%�

�� �� ���� �� ��� ���� $�� �� � ��� ������ � �$ � � �� ����( �� � : �� ���� F� �? � �:#�� ������ ����$���% ��� �� ���� ��� F�� �? �� �: �� ��� ������� $��� ������

#�% ��� � ��� �� ������ ����$��� ������ �� � �� ����( �� �� ��� � /� � � ������ ��� ,� ����� F� /F� � F $�� ��� ����������� �� ���� �� �� ��� ��� �$������� �� ����� �� �� ���� �� �� ����� ��

F�#� 8% ?��#%� )�#%#8%

��

Page 19: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�) �������� 0��� 1& ���

����� )�#�% /? F�#�%/F�#�%� F��� # % ������� ��� ��"������� �$ � �� � � �� ���� �$ E����-���:�6#�%� ��� ������� �� F� �� ������ �$ � �� ������� �� ��� $������ �� �� ����� ������$�� ���� ��� F��� �� ���� �� F� � �� ���� ����� �� ���� F� �� ? � � �$ �� � � �� ����(�� �� ���� F� �? � � � ��� ��� �� F� �� � ������� �� ������� �� F� ? #�� )�%� ������� ����� �$ )� �� � �� F� � � �

���� ��� ��������

F #�� % ? ��� ��� F #�� Æ ��% ? F�� Æ F��

$�� ������ ��� ��/�� � �� ��� ��/�� � �� �� $���� ���� F �� �� ����$�� ��� �� ��� ������� �$ ������ ����$���� ��������� �� �������� ����� ���� �� �� ��� ����� ���� $�� ����������$��� ��� � � � ��� ����� �� � ������ ����������

F #�� � ���% �? F�� � � F���

# % & '������( ���� ��� � �� � �� � ������ �� ���� �$ ��� ������� ����� �� /F� �� � ���� � ������ �� � /� � F� ���� /� � ? �� � ,� ����� �#�% $�� ��� �� � �$ ��� ��� ���� �� � � �$ � � ��#��� % �� � ������ $�� ���� �� � ���� ����� �� ���� � �� ����( �� � � ��� � � �#�%� ���� �� ������ � ������ $�� ���� �� � ���

��� /? )� � /� � F� � ��

����� �����"� �$ � ? � �� �� ��� ������ �$ ��� � �� ����( �� � : � ���� F� ? � �:���� ��� ����� ��L� ���� /�� /� �: � �� #� �% �� � !��� �� � ������ �� ��� ��� �� �$ ���

$��� �#% ? #� ��#%% $�� ���� ������ $�� ���� ��/� � : � ��� �� ��� ���� ������$� �#�%���� ��� �� � ��#��:%�

����� �����$� #�% .�� �� ��� ����� $�� �� � : �����$�� � � �������� ����� F �#�% ?�� F�#�%� ��� ����� �� ���� � �� ��� ����� ���� ���� ���� � � ��� �� ����� �� ���� �

������ ����$�� ���� ���� �� ���� � � �� ����( ������ �� ��� ��� �� � :� �� � ���� $���� � � � ��"��������� � /� � : � � ��� �� : � ��� �� � � :� � :�� #� %% �� % Æ )�#%�� ������� �$ : �� � 0��� � �� �� ���� ��� ���� ������ �� :� ��� ���� ������� ��� ��������� �$ ����� ����� �� ��� ����� �$ ��� ����� �(��� ����� ���� �� ��� ����

�� �� ���� ���I �� ��� ������� � ��"������� $���� ���� ��� ������� ��$���� � �� ��� �������� ������

#�% !�� $������ ����� ����� ����� �� ���$� �� ������ � � ��� ����� $�� � �������������� ������� �$ ���� ����� ���� �������� ������ : � :� � � � ��� ��� ��� ��������� ������� � �� ����( �� � 9 $�� ��� � �� ���� � �������������� ��������� ������: � 9 � � � ##� �% �� �#� �� � �� ���� �� ��� ����- �$ 9 �� � ����� � �$ :� � !��� �� ��� ������� : �����$��� ���� �� ���� $�� ��� � � ��������� ������

� /? E Æ ��/ #� � � %� E#� � � % � :

���� ��� ������ ���� $�� �� � ��� ��������� ����� �� )�#%/: � : ��� �� ��L���� ��)�#%� �� 9 � �����$����

�)�#%�� >� ? ��� )�#%�>� $�� � � :�> � 9�

��� $�� ��� � ��� ��

#� � � %� 9 � E#� � � %� 9� #�>% �� #�#%� #)�#%�%��>%

�� ������� !��� ��� �� ��� ����� ��� �� ������ ��� �� ������ �� 9 ��� ��� ����� ���� ���� � �� � �������� �$ F �#�% ���� � ������ ��"��������� ���� �����

Page 20: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �-

��� �����%� "� ��7 � �#�% ��� �� ����� � ���� ��� 2��7 5 � �#�% ����� ��������� ������ �� �� ����� ���� �� ��� ��� ����� � �� � ���

#:�3��% 2��7 5�� ? ��#7��% 7�#���%

�� ��� � � ��#���% !

0����� �� �� ��� �� ��� ���� � ��� 7 ��� ����� �� �#�% ?��� ��#�%

���� 7 #�% ?�

�� �7 #�%� � ,� ����� � �� ��� ��� ��

#:�3�:% 2��7 5�#�% /? )�7 #�%� ��#�%� ) ��#�%

��7 #�%��!��� ��� ���������� �$ ��� ����� ���� ���� $���� $��� ��� ���� ���� !�� �� �������� ����#:�3��% ���� �� ��������� ����� $�� ������ � ���������� 2��7 5� ��� ���� A����� #:�3�:%������ � ������ �� ��� ��� �� � � C�� ��� ��������� $���� �� ���� � �� #:�3��% �� � ���� ��� � �$ ��� A���� E�� #D��������� ���:�>%�

0��������� �����(� #�#�%� 2� 5% �� � �� �� ��!

0����� !�� �� �� ��� �� �� �� - ��� 8� ��� ��������� !��� $���� $��� ��� ����������� �����$ � �� �� ��� ������ �$ � � �� ����( �� �� ���� ��� �����

N/�#�%� ������#���%

�� N#�%#�% ? ���

�� ��L� ���� ��� �������� N#2��7 5% ? 2N#�%�N#7 %5 #B(�� ��� ����6%� !����$��� ��� 8� ��� ���������� �#�% $���� $��� ��� 8� ��� �������� �� ��� ���� ������ ������ B��

���#���%

��

��� ��� �� ������ �� ��� ����� �� �� ���� ��� $������ �����

��� �����)� �� � ��� � ������ ��������� ��� /� � � ������ ���! )��������� �� � 7� � �# % ��� � � 7 � �#�% � ����� �� �� ��� ���� �� Æ ? F Æ���� 7� Æ ? F Æ 7 ! #�� 2�� � 7� 5 Æ ? F Æ 2� � 7 5�

0����� �� ��Æ �� �� ��$��� � � � � ������� !����$��� �� ��� ������� ������ ����� � 9 �� ���� ����� 9 �� � � �� ����( �� � ��� ���� �� � � �� ����( �� �� !���

2�� � 7� 5�� #�%� ? )�7�� #�%�� ���� #�%� ) ���� #�%���7�� #�%��C�(� �� ���� ���� ��� ��������� ����� ���� �7� Æ ? ) Æ #��� ��7 %� P���� ��� A���� E���� ������

)�7�� #�%�) #�% ? )#) %��� �7 #�%� Æ � ��� � )�7 #�%

���� �� �� ���� �$ E����- ���:�6#�%� ���� ��

)�7�� #�%�� ���� #�%� ? )�7�� #�%�) #�%� �� #�%

? )#) %��� �7 #�%

� Æ � ��� � )�7 #�%�� �� #�%

? )� #�%��7 #�%� �� #�%

�@ ) #�%

�)�7 #�%� �� #�%

��

C�� ��� �������� �$ ��� �� ��� ���������� #����� ���:�3#��%% ����� ����

2�� � 7� 5�� #�%�?) #�%�)�7 #�%� �� #�% ) �� #�%��7 #�%�?) #�%

�2� � 7 5�#�%��

Page 21: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

. �������� 0��� 1& ���

���"� +�#������� ����

G�"������� $���� �� � ������ ����� ��� ���������� ������������������ ��� ������M �������� ��"������� $���� �� ��� ������ �� �� ��"������� $���� �� ����$��� �� ��� � ������ �������� � �� �� ��� ������ �� ���� �� ��� ���� � ������ ���� � �� ��"������� $���� ������$��� ������ �� � �� ����( �� ��� !�� ���� ��"���� � �� ��� ���������������� �������� ���� �� � � ����� ����� �� �� ������ ��������� ��� ������ �$ ��"������� $���� ��� ����$�� ������ � �� ����( ����$��� #��� ���� $�� � 0��� � ����$���%� ������ ��������� �$����� ��� �������� �� ���� ��� ��� �� �� ���$� ���� � ��F����� ����������

,� ���� ������ ���� ���� $�� �� � ������ ����$�� � � ��� �� � �#�% �$ ������ �� ������� �� � ������ � ������ ��� ������ ���� ����� ,� ��� ��� ���� ���� �� � ������ ��$���� � Q�#��� % ���� ����� �� � � �� ����( �� � � ������ �� ���������� ������� ��

�#�%� � ��#��� %� #��� � � � � ��% �� �#��� � � � � ��%�

�$ � ��� ��� ������ ���� �� � ������� �� ��� �(����� �� � ������ �� ��� ���� ��� � �� �������� ��� � ��� ���� ���� ���� �� �� �� ����� �$ Q�#��� % ���� ��� �� � �$ ��� ������ � �����$�� �#�% ���� ����� �� ��� �#�%������ ��#��� %� ,� ��� ����� ��� �(������ ������������ ��"������� $���� �� �� � � ��� ���� ���� ���� � �� ���� ������� ������ �� ��������� �� ������ ������ ��"������� #&����( A%� !��� ���� �$ ���� �� ���� ���� ���$� ��� �� ���� �� ������ ��� �� �� ������ �������� ���� ����� �� � �� ��� ��� ���������� ��� ��� �(������ ��"�������$��� ��� ������ � ������� �$ ��� ������ � ������

+�,���� ���"��� #�% �$ � �� � ��"��������� ����$�� ��� � � � �� ����( �� ������ � � ������ ����� � �� � �� � $�� ���� � ��� � ���� ����� �� �� � � � � � ������ ���������� �� � ? �#%/F #�%� � � �� � ���� �� � � ���������� ��� ��#� ��� � � � � ��% �� � #��� � � � � ��% �� ������� ,� ����� Q�#��� % $�� ��� �� � �$ ������ � ������ ��$���� �� � ���� ����� �� � ��� ������$� Q�#��� % ���� ��� �� � ��#��� % �$������ � ������ $�� ����� �� � �

#�% ��� ��� ��� �� �� � �� ����( �� �� ��� */�� � �� � �� �� � ��������� ���������� !��� ��� ����� ���� �

Q�#����%�Q�#����%� Q���#����%� #�� D% �� � � D�� ������ �� #� � D% /? � � D � �����

#� � D %#��� � � � � ����% /? �

�O�O

�������

���#�%*�� #���� � � � � � ���� %� D #������ � � � � � ������ %

��

��� � ? � ? � �� ���� �� ���� ���

#� � D% #��� ��% ? *#� #��%� D #��%% *#� #��%� D #��%%��������� �� �� ���� ����� �� � ����� ���� �� ��� ���� ���/

��� */� � � � � �� ��� � ��� ����� ����� �$ � �

��� */���� � �� ��� ����� ����� �$ �� ���� ������ �������

��� */ �� �� � �� ��� ��� ��� -�� �$ � ��� ������� �� ���� ��� �� ��� ����� 2�� D5 /? � � D �# % !�� ���� - �� �$ � � Q�#��� % ���� ���� � �� � ������ �� / � � �� ���

������ ��$��� �� Q�# � � % ������ ��

# ��% #��� � � � � ��% /? ��� #) #%�� � � � � � ) #%��% ? ��� #F # %��� � � � � F # %��%�

C��� ���� ��� ���� ��� ����� ����

#:�I��% ��� � ? � ��� ��# ���% ? # � Æ �%��

���� $�� ���������� �$ ������ ���� ���������

#:�I�:% �#� � D% ? �� � �D$���� ���� �� $��� ��� ����������� ��� � ? � � Q�#��� % �� ���� ���� �� ? � Æ �

Page 22: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �

!�� ��������� �$ ��� �(������ ��"�������

)/ Q�#��� %� Q���#��� %

�� � ��� ���� ����� ���� �� ����� ���������� ����� ��� ����� ���� � � ���������� �� ������� �� ������

0��������� ���"� � �� � � Q�#��� % � � ��� ��� � � � � �� � F #�% � ����� ���������� ���� �� ���� �� � �� ������� �� ��������� ��#% ? �� ! #��

#)�% #��� � � � � ��% /?

�����

#�%������#��� � � � � ���� � � � � ��%�#%#:�I�3%

@�� �

#�%����#2��� �� 5� ��� � � � � ���� � � � � ��� � � � � � ��%#%��� ��� ���� �� �� ����� �� �� ���� ���� �� ��� ���� � ������ #� @ �%���� )� �Q���#��� % !

!�� ��������� �$ ��� ��"������� �� �������� �� �� � � ��� ���� $�� ��� � � � � �� � �#�% ������ �� ��#��� % ��� ��������

#)�%#��� � � � � ��% /?

�����

#�%�����#��� � � � � ���� � � � � ��%@�� �

#�%����#2��� �� 5� ��� � � � � ���� � � � � ��� � � � � � ��%�#:�I�I%

0����� ,� ���� �� ����$� ���� ��� ����� ���� ���� �$ #:�I�3% ���� ��� ����� �� ��� ��� ��$ ��� �� ��� ���� �� ��� ���� �� �� ���������� �� ��� �� � ����� �� ���� ���� )� ���� �������� �� ��� ��� � �$ ��� �� ��� ���� �� � ��� � ������� �� ������� ���� �$ ��� �� ��� ����� �������� �� � ���� ��� ����� ���� ���� �$ #:�I�3% ���������

����� ���� ��#% ? 7� !��� ��� ��� ����� ��� �������� ��������� �� ���

#:�I�>%

��� ��

#�%������#��� � � � � ���� � � � � ��%�#%�

#:�I�J%�� �

#�%����#2��� ��5� ��� � � � � ���� � � � � ���� � � � � ��%#%����

#:�I�6%�� �

#�%����#2��� ��5� ��� � � � � ���� � � � � ���� � � � � ��%#%��� � � ���������� �� �����

����#��� � � � � ���� � � � � ��%�#%? #)��%#���#%%#��#%� � � � � ���#%� � � � � ��#%%

@�� �

� #��#%� � � � � )��#%��#%� � � � � ���#%� � � � � ��#%%@��!�

� #��#%� � � � � ���#%� � � � � )��#%��#%� � � � � ��#%%�

Page 23: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� 0��� 1& ���

��� � �(�� B < � ��� ��������� ��#% ? 7 ����� ���� ��� ��� ����

� #��#%� � � � � )��#%��#%� � � � � ���#%� � � � � ��#%% ����������� �� ���� �$ ��#% ? 7� �� ����

)��#%��#% ? )��#%��#% )��#%��#% ? 2��� ��5#%�

!��� ���� ��#�%��#2��� ��5� ��� � � � � ���� � � � � ���� � � � � ��%#%

? � #��#%� � � � � )��#%��#%� � � � � ���#%� � � � � ��#%%��� ���� ����������� ����� �� #:�I�>% ��� #:�I�6% �� �� ��� ��� ���� ����� $�� B � $������� �� #:�I�>% ��� #:�I�J%� !��� ����� ���� )� �� ���������� �$ ��� ��� � �$ ��� �� ��� ������ �

!� ��� ���� �� ������ � ������ #� @ �%�$���� �� ��� � � ���������� ��� ����� ����� ��� ���� �� �� ������� �� ��� ����� !���

#:�I�4% #)�% #��� � � � � ��% ?

�����

#�%�#)��%#� ��%#��� � � � � ���� � � � � ��%�� � ������ $�� ���� �$ #� ��� � � � � ��%�

�� ������� �� ���� ���� )� �� ����������� �$ �� ? �� $�� ���� B 1 � ���� ��� ������������� ����� ���� �� ��� ������ ���� �� ? �� � ��� � � �� ����������� �� ��Æ �� �� �����������

#)�% #��� ��� � � � � ��%

? #�%�#)��%#� ��%#��� � � � � ���� � � � � ��% @ #�%�#)��%#� ��%#��� � � � � ��� � � � � � ��%? #�%�#)��%#� ��%#��� � � � � ���� � � � � ��% @ #�%���#)��%#� ��%#��� � � � � ���� � � � � ��% ? 7�

0��������� ���"��� �� ��� � � Q�#��� % � ��� )�� ? 7 !

0����� �� ���� ��Æ �� �� ����$� ���� $�� ��� ��� ����� � �� �� ��� ������ �$ � � �� ����( �� � : �

B� � ��$��� � � Q�#��� % ������ � ������� �� ��/�#�%� � ��#��� %� �� ��������� �� ��� ������� �� �� � �� � ���� $�� ��� ��� ������ � /? �#�% ���� ����� �� ����#�%������ ��#��� %� ����� ��� ����� ���� ���� �� ��� ������ ��� ����� �� #���%#% /?)�#%�#%� !�� �� � �� �� �� ��L� ����� �� �� ��� �� ��������� ��$���� �� ������� �� �������� ��������� ��� ��������� �$ ) ����� ���� )��� ? #)�%� � C�� #)��%� ? )

���� ? 7 �����

���� )�� ? 7 #&����( A%�

����� ���"�"� &������ ��� �� ����$� ���� )�� ? 7 �� �� � ���� ���� �� �� � � ��������������� $����� #:�I�4%� !��� )�� ? 7 ����� $���� $��� ��� �������� �$ �� ��� ����������� �$� #����� ���:�3#��%% #B(�� ��� ����7%�

+�,���� ���"�$� B(������� ) �� � ����� �� �� ��� �� � Q#��� % /?�����

Q�#��� %

�$ � � ������ ��"������� $���� �� � � ��� ������� )� ? 7 ����� ���� ��� �� �

=���#��� % /? -��#) ������ %

�$ ����� ���� ������� ��� �� � ����#��� % /? )#Q���#��� %% �$ �(� � $����� �� ���� ���� ������ � *��� �������� � ����

����#��� % /? =���#��� %0�

���#��� %

�� ����������

Page 24: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �

����� ���"�%� ,� ������� ������ $�� ����� � /� � � �� ��"������� $���� �$ ������ 7�!��� )� �� ��� ��$��� ���� )�#%#�% ? F #�%� � ����� )� �� ��� ��"������� �$ � � �� ������������ ��� � � �� � �� ����(� ��� ��������� �$ )� ����� ���� ��� $�� ���� � �� � �� ������� #����� ���:�3#��%%� !��� ��

��#��� % ? =���#��� % �� ��� �� � �$ � �� �������

$�� ����� �� � � �$ � ��� ) ���� ��� ��������� ���� ����#��� %

�? � " �

��� ���"�(� "� / �� �� � ������ ��� ��� � � Q�#��� % ��� )# ��% ? �)��

0����� ����� �� ������ ���� �� � ��"���������� ��� ��� � � � � �� � �# % ��� �����7�� � � � � 7� � �#�% �� 7�# #%% /? ) #%#��#%%� �� ���� 7� Æ ? F Æ �� � �� ���� �$����� ���3�J� ���� ����� ���� 27�� 7� 5 Æ ? F Æ 2��� �� 5 $�� B� 1 ? 7� � � � � � � ��������� �� ����

�#�#7�� � � � � �7�� � � � � 7�%% ? # ��%#��� � � � � ���� � � � � ��%�,� $������ ���� $�� �� � ������ $�� ���� � �� � ��� �������

�#7���%#% ? )�# #%%7�# #%% ? )�# #%%) #%��#% ? #���# ��%%#%�

�� ���� �� ������ ���� #:�I�3%

�#)�%#��� � � � � ��% ? )# ��%#��� � � � � ��%�

��� � ���� ������� ��� ���� �� �� � ��� ������ �$ � � ����� � �� �� ��� ���� )# ��% ? �#)�%� !�� �� ����� �������� ���� �� ���� ��� �� � � ��"���������� ������ �� ������

!� ����� ��� ���$ �$ ��� ������ ���� �� ��� ��� ������ ������� ���� � ��� ������ ������� �$ � �� ����( �� ��� P���� ������� �� ��� ����� �� ���� ����

#)�% #��� � � � � ��% ?

�����

#�%�#)��#� ��%%#��� � � � � ���� � � � � ��%��� �����$���

# �#)�%% #��� � � � � ��% ?

�����

#�%�#)��# #%� ) #%��%%#) #%�� � � � � � ) #%��� � � � � � ) #%��%�.� ��� ����� ����� ��� A���� E�� ���� ��

)# ��% #��� � � � � ��%

?

�����

#�%�#)��# #%� ) #%��%%#) #%�� � � � � � ) #%��� � � � � � ) #%��%@

�����

#�%��� �

��� #) #%�� � � � � � )� #%#��� ��%� � � � � ) #%��� � � � � � ) #%��%

@

�����

#�%���!�

��� #) #%�� � � � � � ) #%��� � � � � � )� #%#��� ��%� � � � � ) #%��%?

�����

#�%�#)��# #%� ) #%��%%#) #%�� � � � � � ) #%��� � � � � � ) #%��%������ ��� ����� �� ��� ��� ��� ���� �� � �� ���� �$ ��� �������� �$ ��� ������� ��� )� #%#����� ���:�3#��%%� !��� ����� ��� ����������

��� ���������������� ����$��� ��� ����� ������ ��� ��� ���������� �$ � ��"������� $����� ��� ���� ���� �$ � �� ��� ��� � �� ����� ��� � � '�� � �� ��� /

��� /?)

)� ���#���� %���

��� � �� ��� ���� �� ������������������ ����$�� ���� ��� ���� � � � '�� # $� E����- ���:��7%��� ������� � ��� ��� ���������� ���� ���� ��� ��������� ��� ������� ��������� # $� &�����( A%�

Page 25: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

" �������� 0��� 1& ���

+�,���� ���"�)� #�% ��� ��� ������ ����$�� � ��� �� � � �� ����( �� �� �� ����� ������ ������������� �$ ��� ��� ������ �#�% �� ��� �� � Q�#��� % �$ � ������ ��$������ � � ����� �� ��� �� �������� ��� 7 � �#�% ��� ��� ���������� �# � �� ������ ����� � � � � �� � F #�% ��

#�# ��% #��� � � � � ��%

? #7��#��� � � � � ��%%#% �����

�#��� � � � � 27��� 5� � � � � ��%#%

? #7��#��� � � � � ��%%#% @

�����

#�%��#27��� 5� ��� � � � � ��� � � � � � ��%#%������ ��� � � � � �� ��� �� ��� ���� �� � ������������ �$ �����$���� ��#% ? �� � !� ��� ������� ����� ���� ���� ���� ��� ����� �� ��� ��� � �$ ��� �� ��� ���� �� � ����� ���� ��#% ? 7$�� ���� B � !��� ��������� �$ ��� ����� ���� ���� �� ����� �� � � ����������

#7��#��� � � � � ��%%#% �#��� � � � � 27���5� � � � � ��%#%

? � #��#%� � � � � )��#%7 #%� � � � � ��#%%

� #��#%� � � � � )��#%7 #% )7 #%��#%� � � � � ��#%% ? 7�

!����$��� �# � �� ���������� �� � � ���������� �� ����

#�# �% #��� � � � � ��% ? #7��#��� � � � � ��%%#% @

�����

�#��� � � � � )7 #%��� � � � � ��%

? #)��%#� 7 #%%#��� � � � � ��% @

�����

�#��� � � � � )7 #%��� � � � � ��%�

��� � ���������� ����� ���� �# � ������ � ������ � ������ ��$��� �� � �

#�% ,� $������ ������ $�� �� � � � �#�% ��� � � � � ����� ��

B� / Q�#��� %� Q���#��� % ���� #B��% ? B�� � �

�����

#B$� %#��� � � � � ����% /? � #�� ��� � � � � ����%�

��� � � Q�#��� % ? ��#��� % �� �� B�� /? 7�

0��������� ���"�-� �� ��7 � �#�% � ��� �� Q#��� % +

��� 2�� ��# 5 ? ����# � �!! �� �� ������� ���� � ��������� �� �� �� �� �� �#�%�� Q�#��� % !

��� 2�� � B# 5 ? B���# � !��� �� ? ) Æ B� @ B� Æ ) #A����� $�����%!

��� �� Æ ) ? ) Æ �� !

��� ��#=���#��� %% � ����#��� % !0����� #�%�#3% �� ��Æ �� �� ����$� ����� $������ � �� �� ������ �� ���� �� ��� ���������� � �� �� ��� ������ �$ � � �� ����( �� �� !��� #�%�#3% $��� $��� ��� �����������$������ �� &����( A� ���� �� ��� ��� ������ � ? �#�% ��� ��� ����� ��#��� %�

#I% $���� $��� #3% ��� )� ? 7�

#>% $���� $��� #3%�

Page 26: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� $

����� ���"��.� A���� ����������� �$ ��"������� $���� � � Q�#��� % ��� ��-�� ����� �$� �� � ���������������� �������� ����$�� #������ ���� ��������% �$ ��������� � ��� ��� �� -�� ������ ,� ���� ��� �� -�� ��������� �� ������ ���� �� � ������ $�� ����� /G� � �� � ��� G /?

�����2��� ��5 � �� ��� �� �������� ��������

%

�) /?

� &�

'�

� &�

'�

�#�� � � � � �% )� )��

�$ /� � �� �� � ���� �$ � ������� ���� ��� ����������� ��� ��#�% �� � ��� � �������$ � � ���� �� ����� �

� /?

����

# ��%�� ?

����

� )�

����� � � ��# #�%� � % �� ��� ��� �� ������� $�� ���� ���������� ��

## ��%��%#% ? �#% )� � � � � � )��

�$� ���� �������� � ��� ��� � ����� ��� #?�%��� �� � ������ �������� �$ ����� ������� ������ ���� ��#?�% �� �������� �� � ���� ������� ���� �� ������

� /?����

?��

��� ������� ���� ��� ����� ���� ���� �� � ����� ���� ����� �� � ������� �� ������ ��� ���#?��% �� �������� �� � ���� ������� P���� ��� �����$�������� $����� $�� ��������������������� �� �� ���� �� ��� ���� ��� ��������� �$ ��� �������

� ���� ��� ����� �� ��� ��� �

�$ ��� ����� ��� ��� ��������� �$ ������

,� ��� ���� ���� ���-�H� !�������

)D ?

�(

D

���� $�� � ������ #� �%�$����� ����� �� �� ���������� ���� ��� �������� 5� ������ ������� �� ������������

!�� ��������� ���� � �� �� -�� ����� �� �� �� �� ��� $������ ���� �� ������ ����(����� � �$ ��� E������ ������� ������� � ��� � �� ���� ���$ �� ��$�� �� 21C7>� A�� ���5�

��� ���"���� #D��� ��=� �����% �� : � ������� ����� � � $��%� ������ ������������ ���� ��� � � : �� ��� ����� ����� �� ��������� ���� ���� �� 7 ! �� � �Q���#�� � % � � � ������ ����� #�@�%����! #�� � ? ) �� ��� � Q�#�� � % ��������� #7% ? 7 ����� �� ��� ��

#%#��� � � � � ��% ?

� �

���#�%#� ��� � � � � ��% )��

����� ���"�� � #�% !�� D��� ��=� ����� �� ��� ���� ��� �� �� E���H� !������� !� �������� E���H� !������ $�� ���������������� ����$���� ��� ��-�� ����� ��� �$ ������ ����������$ ����� ��� � �� ��� ����� �(��� $�� ������������������ ����$���� ��� ���� $�� � 0��� �����$����

#�% ,� � � ������ ����$�� � �������� ���������� �$ ����� ��� ���� ��� � ������������� ������ �������� �$ ������ G� E���H� !������ ���� $�� ����� ������� ��� ��� ���=� ��� ����$�� #2*��6�!��� 3I�65%� ������� )������" �� ��� ������� ����$��� �������� � ������� ������ �� � ��� ������� ��� ��� � #2*��6� :6�I5%� !�� � �(���� �$������� ������ �� �� ��� �� ��� ��=� ��� �� �� #2*��6� !�� �J��75%�

# % B(���� �$ 0��� � �� �� ��� � ��� ��� ������� ��� ��� � ��� �#27� �5��% ���@�#���% � .� ����� �� �� ����� �(���� �� ����F��� ������ $�� ���� ������� �� ��� ���� ��#2*��6� �I���5%�

Page 27: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

% �������� 0��� 1& ���

&'�� ���� ��� �� ��� ��

&'�� ��� ����� ��� #�� 3 % �� � � �� ����( �� ��

��� ���� ���� � �������� � �� � �� ��������� �$ ��� ��� �$ ����� �(���� � % < 7 ������ � � � � �� � � �� � ���� � � %��(#��� � � � � ��%� )���/ & �������� �� ��������� �$ ��� ����$ �� �� ������� �� ���� 7��������������

��� !�� ���� �� ��� �� �$ ��������� �� � ����� ��� ���� � �� ����( ������ �$ ��� ����$ � ��������� �� �� ��� ��������� ������ 3� ��� �� � ������

&'�� ��� ��� � ���� ���� ��� ��� �$ � ��������� �� � �� ��� �� � � �� ���������� !�� ����������� � �� ����( ������ �� ��� ��� ���� ������� ����� ������ �� )���/ B������ ��� �� � ��� � ����� #������� ��� ������� �� ��� &(��� �$ A��� �� ����� R���H� �����%�

&'�� ��� ����� ��( � �57� �2 ��� �� � ������ ��� �� � �$ ��������� $�� ����� � / 27� �5� �

#�� ������$� $�� ����� ��� � ��� ��� �� � ��� ����� ������� ��� ������� F���%� $�� ��� �

�� � /?� �

��#%�� )

�� ������ ���� ���� )#�� .% /? �� .� ������ � ����� �� ���� �� �� )���/ !�� $�� ����27��2� �� �� � �� ������������� !��� �� ���� $���� $��� ��� �� ������

&'�� ��� ���"� ��� � �� � � �� ��� � �� � ��� � �� ������� �� �������� ����� ������(���� � �� ��� � #��%��� �$ ��� � ������� �$ � ����

��� ��� �� � ��

��� � ,� � �� �� �� ��� � #��%��� �� ��������� �� � � ���� ����/

��� B� � ��� � ������ � � � ��� �� ���� �� �

��� !�� ������ �$ ���$��� �������� � �� ��� � ������� �$ � �� ��� �� � �#���% ������� �� ��� �� ��� � �$ ��������� #���

%��� #)���/ B(�� ��� ����%�

��� �#���% �� �����F����

��� �#���% �� ������

��� !�� ����� ����� �� �#���% �� ����������

��� �#���% �� � ��=� ��� �������

&'�� ��� ���$� ��� #��)% �� � ����� �� � ��� S �? H �� � ������� ���� ���� ��� $�� ����

� /� � �� �� ����#� H% /? ��$�)#� "%/ " � H�

�� � ����� ����� ��� � �� ���� ��� ����������

&'�� ��� ���%� ��� � � �� �� �� ��� ������ ��� �� /? � � � / �� � �� ����#� ��% � ����

��� B� � ��� � ������ � � � ��� �� ���� �� �

��� !�� ������ �� ��� �� � ��#���% �� ����� �� ��� ������� $���� �$ ���������#�����%����� # $� B(��� �����I%�

��� ��#���% �� �����F����

��� ��#���% �� ������

��� !�� ����� ����� �� ��#���% �� ���������� )���/ ������F E���

��� ��#���% �� � ��=� ��� �������

&'�� ��� ���(� ��� � �� � � �� ��� � �� �� !�� ���� ���� �#���%� ? �#���� % ����� �� �#���% �$ ��� ��� �$ � �� ��� �� )���/ �$ � �� ��� ��� �� ���� ����� �(���� $���� � ��� � ������ � � � � ��������� $�� ���� �� � �#���% ���� �� �� ? �� ���� ������� ��� #��% �������� �� ��

Page 28: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� (

&'�� ��� ���)� ��� #��%��� �� � $���� �$ � �� ����( �� ��� ���� ����/

��� !�� ���� � ������ �� � /?���� �� ������ �� � ��� ���� ���� �$ � � �� ����(

�� ��

��� !��� �� � �� ����� �$ ��� ��� �$ � ��� �� �� �� ��� ������

��� �$� �� ��������� �� � �� �� � � �� ����( ����� ������� ���� � �� � � �� ����( ������������

&'�� ��� ���-� ��� � �� � ��� ��� � ���������������� ���( ����$�� ��� ����� ����� � )�#�� � % ���� ��� ������ �$ ���$��� �������� � �� ��� � �������� ���� ����/

��� )�#�� � % �� � ��=� ��� �������

��� !�� ����� )�#�� � %� ��#�� � % �� � ������ � ���������� )���/ A�� �� ����������� ������ ���������

&'�� ��� ����.� K���$� ���� )�� ? 7 $�� ��� �(������ ��"������� �� Q�#��� % #� � ����������$�� ������ �� � � � � � �� ����( �� �% ���� �� �� � � ����������� ����� $�����#:�I�4%� )���/ ��� �� � �� ��� ��

�� � &��#��� %� #�� >% �� )���#%#�� >%

#�� ��� ���������� ���� ���� � �� ��� ���� �������� �$ � % �� �������� #����� �����3%�

&'�� ��� ������ ��� � �� � � �� ����( �� � ��� � � ��������� �������� �� � � ��������

� ? ���% � � �/% � ���)���/ A������� ��� ���� ����( ������ � /? � � � / �#% � �� � !��� % �) � � �� � ��������� % � � ��� �$ �#% < �� ���� ����� �(���� � ��������� ����� $�� ����� % � 7 � ���� % �) � ���� %#% < � #)���+0��� � ��������� !������%�

&'�� ��� ���� � ��� 7 �� � � �� ����( �� � ��� +/ 2�� �5� 7 � ��������� ����� &�����

���� ��� ������� ;#+% /? &'+#�% )� �(���� �� ��� ����� ���� ����� �(���� �� ������ ; � 7 �� �

���� %#;#+%% ? &'%#+#�%% )� ���� $�� �� � ��������� ����� $�� ����� % � 7 � � ���� ����/

��� ��� �� � ��������� �������� � �� 7 �� ����

��� &

'

+#�% )���� &

'

�#+#�%% )��

)���/ P�� B(�� ��� ������

��� !�� �� ; /�#2�� �5� 7 %� 7 �� ���������� ���� �#2�� �5� 7 % �� ������� ���� ��� �������$ ���$��� �������� � #��� � ��� ���� ���� ��� ��� � ��� ������M $� &����( 0%�

� � �$ � �� � ������ � �� � ��� +/� � 2�� �5� 7 � ��������� ��� ���� ��� ��

� � 7� ��� &

'

+#� �% )�

�� ����������

&'�� ��� ������ ��� � �� � ����� ����� ������ � �� ��� �� � #$��� � ��=� ��� �� �% ���7 � � � ���� ����� �� ���� ���� ��� $������ ��� � �������/

��� !���� �(���� � ���� ����� � = � � $�� ��� � ��� �� H/7 � = � �� #&� I% �� & @ I ����L� �����

��� !���� �(���� � ���� ����� � = � � $�� ��� � ��� �� H/7 � = � � �� � ������ ������������

��� !���� �(���� � ��������� ��L� ���� �/� � � ���� �#�% ? 7 �

)���/ .�� ����� !�������

Page 29: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

) �������� 0��� 1& ���

&'�� ��� ����"� ��� � �� � � ��� ��� �� � ��� � � � ���� ������� ����� � �� � ����$ ���� ������� F���� ,� ����� &��#�� �% $�� ��� ����� �� � �$ ������� ���������� ���� � � � ��� �� &��#�� � % /? � ��� &��#�� � % /? ���#�� � %� .� ��� �� � &�#�� � % /?�����

&��#�� � % �� ���� ����� � ������� ���� � ��

2�� *5#��� � � � � ����% /?�

�O�O

�������

���#�%2�#���� � � � � � ���� %� *#������ � � � � � ������ %5

$�� � � &��#�� �% ��� * � &��#�� �%� ���� ���� ���� ����� ����� ��� ��� $������ ��������$�� � � &��#�� �%� * � &��#�� �% ��� + � &��#�� �%/

��� 2�� *5 ? #�%����2*� �5 ���� #�%��22�� *5� +5 @ #�%��22*� +5� �5 @ #�%��22+� �5� *5 ? 7 #������ 8� ��� ��������%�

��� &�#�� �% �� � ��� ���������� ���� ���� � �� ��� :�������� ������ ��

&�#�� �% /? &�����#�� �%�&���#�� �%�

&'�� ��� ����$� ��� � �� � ������ ����$�� ��� � � � �� ����( ��� ������� !��� ������� � �� ��� �� � Q#�� �% /?

�����

Q�#�� �%� ������ �� D��������� ���I��#3% �������� $��� � Q�#�� �%� * � Q�#�� �% ��� + � Q�#�� �%/

��� 2�� *5 ? #�%����2*� �5 ���� #�%��22�� *5� +5 @ #�%��22*� +5� �5 @ #�%��22+� �5� *5 ? 7 #���� 8� ��� ��������%�

��� Q#�� �% �� � ��� ����������� ���� ���� � �� ��� :�������� ������ ��

Q#�� �% /? Q����#�� �%�Q��#�� �%�

)���/ �$ � �� �� ��� ������ �$ � � �� ����( �� �� ���� �� ���� ��� ����� � ���������Q�#�� �% 6� &��#�#�%� ��#�� �%% ��� � �� ������� ���� ��� ���� �� ��� B(�� ��� ����I�����

&'�� ��� ����%� ��� � /� � �� � ������ �� ������� ����$���� /� /F� � � ���������� ����� ��L� ���� ��� � /� � F� ��� F��� �� ����� ���� ����

/�� Æ F� ? � Æ /� ��� �� Æ � ? F� Æ � �&'�� ��� ����(� ��� � �� � ������ ����$��� ���� ����/

��� ��� �� � �� ��� ��� ��� �� ��#��� % � ��#��� %� � �� ��� /? ��� �� � �����������

��� !�� �� �#�%� ���#��#��� %%� � �� �� $��� #�% �� � ����������� �$ ��� ��������

� � �$ � �� �� ��� ������ �$ ���� � �� ����( �� �� ���� ��� �� ����� #�% �� ��L� �����

&'�� ��� ����)� ��� � ��� �� ������ ����$���� !�� �� ������� � �� ��� ��� ��#�� %�$ ������ ��� � � �� ��� ������ �������� $��� ��� ���������

��#�� % 6� �#F ���F � %� � �� F ���

����� ��� �� � �#F ���F � % �� ������� ���� ��� ��� � ��� ������� ���� ����/

��� �$ � ? � �� ��� �� � � �� ����( �� � : ��� ? 9 �� � � �� ����( �� �� ���� ����� ������� �� ��� �� � ��#�� 9 % ��� ���� ���� ��� ������ ������ �� ��� ���������

��#�� 9 % 6������

�#� �:� � 9 %� � �� #�� )�� � � � � )��%�

����� �� � $� ��� �� ��� ����� ���� ���� ������ ��� ��� � ��� �������

��� �$ � ? � �� ��� �� : /? �� ��� ? 9 �� � � �� ����( �� �� ���� ��� �� ��������� ��� �� � ��#�� 9 % ��� ���� ���� ��� ������ ������ �� ��� ���������

����#�% /? ���#� Æ4��%#%/ � ���$�� 1 � ! � � � � ��� � ��� � � ��������� �������� �� 9 # $� B(��� �����I%� )���/

P�� ���� F �� �? � � :���� ��� F �9 �? 9 �� ��� ��� ���� ��� :� � �������� �$ ��� ��F �� �� ����� �$ ������ ����������� �$ � �

Page 30: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� -

&'�� ��� ����-� �$ : ��� 9 ��� 0��� � �� � ��� �#:�9 % �� ������� ���� ��� ������������ ���� ��� ������ ���#:�9 % � �#:�9 % �$ � ������ � ����������� : � 9 �� �� ����������

&'�� ��� ��� .� ��� � �� � ������ ��� � ����$��� ,� ����� ��� ��� ��#���% ������� �� ������� # $� B(�� ��� ����4%� ���� ����/

��� !�� ��� G�"���#�% �$ � ��� � � ��#���% $�� ��� � �� � �� )�#%/F #�%� F�� # %

�� � ����� ���������� #��� ��� �$ � � ��"����������% �� ���� )���/ 1��#� % �� ��� ����#� % �

��� �$ � /� �� �� � � � ��"���������� ���� �� �� � ������� ��� �� �� � ��"��������� �$��� ��� �$ �� �� �����������

���� ��� � � � ��"��������� � ��� ������ �#�% /? ����#%� ���� ��� ����� �� ��� ��

������ � ��������� $�� ���� G�"���#�%� � � )���/ ��� �/�� �� ������ ��� �����������

���� �$ � � !��� � �$�� �� � �� �� /�� � �� ��� �#�% ? � ���# ��%� ���� $�� ��� �����

������ ���# ��% �$ �� ��� � �� �� ������ �� ���� ? ���# ��%� $�� � ����� $��� � �� �� �

���� ���� ���� ��� ��� �$ � � � ��"���������� � ���� �#�% � : �� ���� �� ��� �� ��������)���/ P�� � E��������� ����� �� � �� ��� ���� $�� �� � ( �57� �2 ��� ��� �$ � � �����)�#%�� � (��� $�� � � � � � � F #�%� �� ���� ��� � ������������ �$ �� � .���� �).#%�� < �

���� $�� � � � � 7 �? � � F #�%� ��� ��� �� ��� � �� � � ������#�% ? ��#&�% ��� �� � � � �� ��� ������ ���� � � � &� � & � ���� ���� �$ � �? &�$�� � � � ���� �? & ��� �#% ? �#&%�

��� ���� ���� ��� ���� G�"�#�% �$ �� ���"���������� �� �� ��� ������ �$ ��#���%� )���/P�� #3% �� #I%�

&'�� ��� ��� �� ��� ��� � � � � �� ��� 7 �� � �� ����( �� ��� ���� ���� $�� � � �������� !/�� � � � ���� � 7 ��� $������ ��� � �������/

��� ! �� ����������

��� ! �� ��������� �� #7� 7� � � � � 7%�

��� ! �� ��������� �� ���� � ���� #�� � � � � �%�

���� ������������������� ��� �����

�� ���� �� ���� �� ���� ��� ��������� �$ �� ������������������ #� �� ����(% ��� ������� �(��� ��� ��� ��� ������ �� �� ������ �� �� � � ��� ���� �� ������ � $�� ��� $��� ��� ������� �$ ��� ����� �� ��� ������� �$ � �� ����( ��� ��������

�� ��� ��������� �$ ��� ����� �� ���� �� $��� 2��435 ��� �� �� ��� ������ ���� ������� �� � �$ � ��� ���� �� ����� # $� ��� 21C7>5%�

�������1 ��� � �� � ���� ��� . � � � ,� �����

%� /�� �� �� . $�� ��� ��� �������������� �� . �

'� /�� �� �� . $�� ��� � �� �������������� �� . �

!*/���� �� #� &% �� & $�� ��� �������������� ���� ���

D*/�� �� �� �� $�� ��� ��������

�� ��� $������ � ������� ������ � �� � �

������ �,����!������� ��� ������ �! ����� ��� ��������

+�,���� �������� & ������� ����� �� ��� � �� � � �� ����( ����$�� ������� ����� ���� ���� ���� �� � ���� ��� ����� ����� �� ��� ��� ��������� �� ��� ������� ,� ����$��� ����� � /? F�#�% $�� ��� ������� �� � �� � �

Page 31: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�. �������� 0��� 1& ���

& ������� �$ ��� ����� �� � ������ ���� ������������ �� ��� $������ �� ��� �� �� ����( ��� ����� ���� �� ����� ,� ����� AB#��� $�� ��� �� �������� ������� �$��� ������

&'���� ������ � #K� ��� �����% B� � � �� ����( �� � � �� �� ������ ��� ���� �������� � �� ��������� �� $� �� �� ����� � ���� ��� ������� ����$�� ���� ���� ��� ������� ������������ ��� ��������� ��� ������ ����

&'���� �������� #P��� ����� �$ A�&�% ��� � �� � ��������� ������� ������ ���� � ����� ��� ���� ����� &� �� ��� ������ �$ � � ��� ���� �� ������ � ������ ����$�� ���� �����!�� ����� ����� �� � �� ������� ��� ���������� ��� � � ������ �� #E����- ���:�6#�%%�!����$��� ��� ����� ����� �$ �� �� �������

�� ������� �� ��� ���� ��� ��������� D/�� � �� �� ������� ��� ��������� $���� $��� ������������ ���� � �� � A�&� ��� �� � � �� �� ���� ��� ��� ? ���#� �%���� ��� � ��������� $�� � � � ��Æ ����� ��� �� 7 �� ���

D#�@ �8% D#�% ? #�@ �8%�� ��� ? ���#�8%��� ? ����8����

!����$��� D �� ���������� ��"��������� ����

)D#�%#8% ? ���8����

C�� ��� ��������� �$ D ����� ���� )D/�� ��� � �� ���������� ��� � ���� D �� � �� ����,��� ��� A���� E�� ��� ��� ���������� �$ ��� ����� ������ ���� �� ���� ����� ���� )D �� ��� ���� ��� � ���� D �� �� � ��������� ���� ��������� �� �� ��� ���� D �� �������

��� ������"� �� � � � �� ���!

#�% #� ��� �� ���

F!*/F #���% �? F�� F�� F�� #�� >% �� � > /? F!*#�� >%

���� � �� ��� ������ �� F� ���� ������� ���� 7 � F�#�% ? � ��� ������� FD* !#� ��������� ��,����� /�*/F�� � �� � ������� �� �� ���� ���� %�� #��@% ��� ��-� ������ �/�� F�� . �� 7� � F�#�% �� � ����������� �� �� ���� ���� /�* Æ � ? ��* !

#�% "�������� . � � ���� �#.% � F� � ���

#3����% .�� /? 7� �� ��. /? � 7� �� . � �� � � F��

#�� �� ���N/�� �� F�� #.� % �� .�

�� � �����������!

0����� #�% ��� � ��� ����� ����� �� !*/� � � � � �� ������� ��� ���� ���� $�� ���������� ��

F!*/F #���% �? F�� F�� F��

��� ��� ������ ��� ������ ����� ,*/� � ��� ��� ������� ����������� ��� J*/ ��� � ���� ���� ����������� ����������� ��� �������� ������� !��� ��� ���� �(���� $�� � ����� ���� �� ��� ��������

��� !* Æ #!* � ��% ? !* Æ #���!*% #���� ��������%�

��� !* Æ #D* � ��% ? !* Æ #���D*% ? ,* #���������%� ���

��� !* Æ #J* � ��% ? !* Æ #���J*% ? �� #���� ������%�

P���� ��� $�� �������� �$ F � �� ��� ���� ����� �������� ���� ���� �� ��� ����������� ����� F� ��� ���� ���� F� �� � ��� ���� ���� ����� ����� F!* � ��������� FD* � ��� ���������� 7 ? FJ*#7% � F�#�% ? � �

Page 32: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� ��

��� ��� F��� �� ���� �/�� F� �� ���� F!* Æ #� � �% ? � Æ!*� ��� � ����� ���� �� ��� ������� �$ ��� ������ !��� /�* �� � ������� �$ ��� ����� $���� �-����� $���

/�* Æ F!* ? !* Æ #/�* � /�*%# $� B(�� ��� ����J%�

,� ���� $�� �� �� � � /

F!*#.��� .����% ? F!*#.��� .

��7% @ F!*#.�7� .����% ? #.��%�.� @ ..����

��� �� ���� ��� F!*#�� ��% ? � @ �� � ������� ���� -��/�* �? #��@%�

!��� ��� ������ �� N �� � ��"��������� $���� $��� N��#�% ? #/�*#�%� /�*#�%����%�

+�,���� ������$� & �� ��� ��� � � �#�% �� ��� ��� �������� �$

� Æ %� ? F #%�% Æ����� $�� �� � . � � �$ �� ������� � �� � �� ���� � / � � F� �$ ��� ������� ����� F� �,� ����� �#�%+ $�� ��� ��� �$ �$� ��������� �� ��� ���� �� �#�%� !�� �$� �������� � �$ � �� ������ � ����� �� ���� ��� ���� $�� �� � . � � �� ���� �#.% ? .��#�% �� ��� ����� �$ #3����%�� ����� ������I� ��� �� � � � �� ���� � ��� �� �$� ��������� �� ��� ��� + � �#�%+ �������� +#.% /? .� � ��� ��� ��

�#�%+ � F�#�% ? �� � �� �#�%

�� � ����� ��L� ����� �$ ��7 ��� �$� ���������� ���� ���� ��� %� ������� �� ��������� �������� ���3�4 ����� ���� ����� ��� ��� -�� 2��7 5 �������� ���� ������� ��� � ���� 2��7 5 ��#�%+ � ,� ���� ������ � ��� �� ��� ��� -�� 2� 5 �� � �����$����

#3���:% 2� &5+ ? 2+� &+5 $�� � � & � ��

��� ������%� �� ��� ������ # ��% �� � ���� � � � ��� #�% ? 7 �� ����� ��#���� ���������� �� #7� 7% �� �� �������������� � & /? # ��#% ��#&%% �� �� �� ���

@ & @ �#� &%�

�� �/ �� �� � �� � ���������� ������ ��� ���������

#3���3% 2� &5 ? �#� &% �#&� %�"� �������� �� �� ���%� �� � ? F�#�% �� ����������!

0����� ,� ������� � ���� /� � � �$ � � ����� � � � �� �� ��� �������������� ��� #�% ? 7� ��� � � � �� �� ��� �������� �������������� ���� �� � � � !��� �� ������ ��� ��� ��� #� % � � ��� ������ ����� �����

� & /? # ��#% ��#&%%� � & � #� %�

���� F!#�� >% ? � @ > $�� �� > � F�#�% �� ���������� ��� ���� ��� �� ��� ����� !����������� �$ � ��� ��� $��� @ &@ �#� &%� ����� �/ �� �� � �� ������� ��� ��� � �� ��������� ��

�#� &% ? *##� &%� #� &%%

$�� ���� ��������� �������� ������� �� */ #� � �%� � � #����� ���:�3#��%%� A�������!���� �(������� �$ � 7 ? 7 � ? � �� �� ��� ����� ����� ���� �#� 7% ? �#7� % ? 7� ������

�#� &% ? *##� 7%� #7� &%% @ *##7� &%� #� 7%%�

�� $���� �� ���� ��� ���� � �� ��������

��� � � �� % / #� % � �� & �� � & � !��� ��� �$� ��������� �� ��� ��� �+ ����������� �� � � � �� ����� �� #� % �� �+#% ? )% #7%��� ��� �� 7 ��� ���� ����� !����������� �� 7 �� � @ �#� �%� !����$��� ��� ��� ��� -�� �� � ��������

2�� >5 ? 2�+� >+5#7% ? )>+#7%��+#7% )�+#7%�>+#7% ? )>+#7%�� )�+#7%�> ? �#�� >% �#>� �%�+�,���� ������(� !�� � �� ����( ��� ������ �#�% /? #�� 2� 5% �� ��� �� �� �� ���� � �

Page 33: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

� �������� 0��� 1& ���

0��������� ������)� #��� �������� �$ ��� ��� ������% "� /� � � �� � ����������� ���� ���� ��� �� ��� �� ���

�# % /? F�# %/�#�%� �#�%

�� � ����������� �� �� �� ���!

0����� ��� � & � � ��� +� &+ �� ��� ����������� �$� ��������� �� ��� ����� !��� Æ %� ? %��� Æ $�� �� � . � � ����� ����

F Æ + ? �# %#%+ Æ ��� F Æ &+ ? �# %#&%+ Æ �

��� �����$���F Æ 2+� &+5 ? 2�# %#%+ ��# %#&%+5 Æ

#����� ���3�4%� B�������� �� � � �� ������ �# %�2� &5 ? 2�# %#%��# %#&%5�

����� ������-� ,� �������� ���� �#��*% ? ����* ��� $�� ��� �������� �/�� � ��

��� �/�� � �� �$ ��� ������ �� ����

�# � Æ �% ? �# �% Æ �# �%�

�� � ���� ��� � �$ ��� A���� E���

!�� �� ����� ���� ����� ���� ��� ����������� � �� �#�% ��� �� �# % ����� �$�� ���

�/AB#���� K(AB#�K.

$��� ��� ������� AB#��� �$ #� �� ����(% ��� ����� �� ��� ������� K(AB#�K. �$ � �� ����( ��� ��������

��� � �� � $�� ��� ��� ����������� �� ������������ $�� �� � ���������� �$ ��� ����� /�� � � ��� �� �# % �� �� ���������� �$ � �� ����( ��� ��������

+�,���� �������.� & � �� ����( ��� ������ � �� ���� �� �� ��� ��� �$ ����� �(���� ���� ���� � ���� �#�% �? � �

&������ ����� ���������������� ��� ������ �� ���������� ������������ �$ ������������������� ��� ������� ����� ��� �� �� � ���� ����� ������� ,� ��� ��� ��� ���� ������������(���� �� �� ���� K� �����

,� ��� ���� � ��- �� ��� ��� ������� �$ ��� ��� ����� $��� B(���� �����:T3�

&'����� ��������� #�% �$ � �� �� ������ ��� ����� ���� ��� �� �/ � � � � � ������� ������J �� �������� � ��� � ����� ���� �#�% �� ������� !��� ���� �� ���� ����� ��� �������� ��� ���� #��@% �$ � � �� ����( �� ��

#�% ��� � �� � A�&� !��� ��� ��

/�� � �� �� �

�� � ���� �$ �� �����$���� #�% ? 7� �� ���� ���� ��� ���� ����� ����� �� ����� ��

� & /? # ��#% ��#&%% ? #@ �%#& @ �% � ? @ & @ &�

�� ��� ���������� �$ ����� ������J �� ���� ���� �#� &% ? & ��� �����$���

2� &5 ? & &

�� ��� ��������� ��� -�� �� ��� ���� ������ ������ � �

P���� ��� ��� ���� ���� ����� �� ������� ������� �� �� ��� ��� ��� ���� ����� �$������ ��� ��� ��"��������� ������

Page 34: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� ��

&'���� ������� � #1���� �$ ������ ���% ��� � �� � ����$�� #������ �������������������% ��� � � ��� ���� ���� ��� ������ � � !��� �� ������ � ������ ������ �� ��� ����� /? ��#���% �� $�����

!�� ������� ����� F� �$ � �� � ��� ���� #����� ������I%� ��������� ���� �� �������� ������ � ��� ���� ���� ���� �� � ������ ������� ������ F�� �

��� �� � � � �� �� ���� ������ ������ � ����� �#F���F��% �� ����� ��� �������$ ���$��� �������� � �� ��� � ������� �$ F�� #����� 0�3%� ��� � ��� ���� ���� ��� ��� � ��� ������ #D��������� 0�I%� ,� ��� ������� ���� $�� ��� ������ ��� ��� ��/� �� ��� $�� �������� �$ F �����

F #�� ��% ? F #!* Æ #�� � ��%% ? F #!*% Æ #F�� � F��% ? F�� F���

!����$��� ��� ����� � �� ����� ��

��#���% 6������

�#F���F��%� � �� #F��%����

�� � ���� ������������ �� ���� ��� ������� ����� �$ ��� ���� � ������ �� ��� ����� �������� �� � ���� ������ �� ��#���%� !����$��� ��#���% ����� ������ � ������ ���� �����$ � ������ � ����� ���� �$ � ��� � ��� �������������������

C�� �� ������ ���� � �� ��� �� !��� ����� ������ � ����� �� ���� �� ������ ������� ����� ������ �� ��� �� � � /? ��#�� �%� !�� ����� �$ � ��� �������� $��� ����� �$� �� $����� �$ � /�� � � �� � ���� �$ � � ����� � ��"��������� �$ �� ��� ������ �� � ����� �� ��� ������ #��% �$ � � ���� ��� ��� �* /? �� � �/ �#�% � ��� �� �� ��� ������ �$� # $� &����( 0%� &������ �� ��������� ���� � � �� ��� �#�% ? 7� !��� �� ��� ��� ��

*/�* � �� � �� � Æ �

�� � ���� �$ � �������������� �$ � � ��� �� �������� �� ���� �$� ���������� �� ������ �� �����$ � ������� � ��� ���� ���� ���� # $� !������ ���:�� ����%� ��� ������ �� ��$�� �� 217��5������ 21C7>5�

!� � ���� ��� ��� ������ �$ ���� ����� �� ������� ���� $�� ! � � �� ���� $�� �������� ����� �� � � ����������

#� �* .%#!% ? *

� ��* #�% ��* #.%

�#!% ? �

� ��� #�#!%% ��� #.#!%%

�? �#!% �� .#!% ? �#!% @ .#!% @ ��#�#!%� .#!%% @ �

�� ���� �$ ����� ������>� ���� ����� �������#�� .%

�#!% ? ��#�#!%� .#!%%� ��� ��� � ����

2�� .5#!% ? ��#�� .%#!% ��#.� �%#!% ? ��#�#!%� .#!%% ��#.#!%� �#!%% ? 2�#!%� .#!%5�

!����$��� �#��#���%% ? ��#�� �%� ������� ���� ��� �������� ������ ��� ��� -���

����� ��������� �$ � �� � ���� ��� � ���������������� ����$��� ���� ��� ����� �(� ���� ������ � ����� ��#���% �� �� ��� ������ & ��� � �(��� ������ $�� � ? � #�7����������� ����$��% ��� � ? � /? �0� � !��� ��#���% �? �� �� � ������ � ���� $����� � �� �������������� �� ����� ����� �� ���� �� ������ �� ������ ����$�� ���� �����

����� �������"� #!�� ��� ������ �$ � � � ��� ����% !���� �� ��� � ������ ������ �$ �� � ��� ����� !�� ����������� ������� �� �� �� ���� �$ � � � ����/ ��� � �� � ������ 4 � ��� � ������ �� ��� � �� ��� ����� � ��

!*/4 � �� #� &% �� &�

,� ��� ���� ��� ���� � & �$ ��� ������� � & � � �� ���� �$ #� &% � 4 � !�� ������#��4�!*��%� ����� � �� � ������������� ������ �$ � � �� ��� � ����� ��� �$ ��� $������ ��������� ��� ��������/

Page 35: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�" �������� 0��� 1& ���

��� ����� ���� & ��� &I ��� ������� �$ #&%I �� #&I% �� ������� ���� ��� ����� ���� ��� ��� ������ ��� ���� ��� � ���

��� ��� �� � � � ��� ���� �� � ��� � ��� ������ ��� � �� �� �

��� ��� �� � � � ����� �(���� � ��� �� ������ �� � � �� � ���� �� ��� �� ��������� ��� �� ? �� ? � �

��� �$ & �� ������� ���� &���� �� �������

�$ #��4�!*��% �� � � � ���� ���� �� ��������� � ��� � ������ ����$�� ���� ����� 4�� ���� ��� ��� ���

!*/4 � �� D*/�� �� �� ��

��� ������� ���� � � ����� #��4�!*��% �� ��� � ����� �� ����

��� � �� � � � ��� ���� ��� � /? F�#�%� ��� �� � � � ? F�#�% �� ���� ������ ���� �������� ���� ��� +#.% /? .� /? 7� � .�� �� ���� ���� ��� ��� ��� -�� �$ ��� �$���������� �� ��� ���� �� ����� �$� ��������� ��� ���� �� ���� ������ � ��� ������ ���� ���� �� �

#B(�� ��� �����%� G�� ������ ��� ����� ����� �� � � � ���� /� � � ���� #�% ? 7� �� ������� �� �� ��� ���$ �$ ����� ������J ���� ��� �� ��� ����� !���� ������� �� �$ ��� $���@ & @ �#� &% ���� � ��������� ������� �� �/ �� �� � �����$����

2� &5 ? �#� &% �#&� %�,� �� ��� ���� �#�% /? �#��4�!*��% /? #�� 2� 5% �� � � �� ����( ��� ������� ��� ���������� �� � � ��� ����� �� ��$�� �� 21C7>5�

2�� �!3��� ������������

!�� ��L���� � ���� �� � �� �� ���� ���� ������ �$ � ��� ���� � � �� �� ��� ��������������$ � �� �#�% �������� �� ��-��� ����������� �� � $�� ��� ��L������� � ���� �$ � �� ����$� ������ ����� �� �� � ������F�� � ���� �$ ��� ���� ������������ �$ � �

+�,���� �������$� ��� � �� � ��� ����� !��� $�� �� � . � � ��� ��

(�/�� �� �� ..���

�� � ������ ������������ ��� � ���� �� � ��������� ����� �����������

&�#.% /? �#(�%/ �� ��

,� ���� ������ �� � ���� �� �� �� #.� % �� &�#.%� ��� ��� ��,���� ������ �$ � �� � �

�$ �� /? �#��� % ������� ��� ������ ���� ���� �� � � ���� �� ��� ������ � ������������� ���� �� &��#.%�� /? � Æ &�#.%�� � ��� ��� ����,���� ������� ��� � �� �� ��� ����� �� ���� �������� �� ���H� �� �$� ��� ���������� �� ��������� ������ �$ ���� � �����

0��������� �������%� #� ��,���� ������ &�/� � � � �� #.� % �� &�#.%� �� ������! #�������

��/ �� �� ��#&% /? F &�#� 7,% ������� ��#&% ? 2� &5�

0����� !�� ���������� �$ ��� ��L���� � ���� �$ � �� � $���� ���� �� $��� ��� �����������$ ��� ����� ����� �$ ��� ��� ���� F� �� ���� &�#.%� ? #.�%�.�� #����� ������I%�

!� � ���� ��� ����� ��� ��/ � � � � �� ������� � � � ���� /� � � �$ � � ������ � � �� �� ��� �������������� ��� #�% ? 7�

��� � #� % �� ����� ��#% @ ��#% $�� ��� �� ��� ����� !���� ������� �$ ������������ �� �� �� � ����� �� �� ����� ��� �� �� ������� � A������� !���� �(��������� 7 �$

7 ? � �� ? @ ��#% @ ��#% @ �#� ��#%% @ � � �#����� ������J%� �� ��� ��#% ? ��� ��#% ? �#�% ? �#� %� !����$���

# � &% � �� ? �@ & @ �#� &%

�@� @ �#� %� @ �#@ &�% @

? & @ �#� &% �#� &% @ �� ��� A���� E�� $�� !���� ��������� ��� �� ��-��� ��� ���������� ������ �� 7 �� ������� ���� I � �� �������� ��� �� I#&% ? �#I� &% �#&� I% ? 2I� &5�

Page 36: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �$

2�� !�#�������� �����

0��������� �������(� �� � � � �� ��� ��� �/� � � � �� #!� .% �� !�. � ������� �� ������ �� � �� �� ������ �������� � ! #�� �� ��� F�/F� �F�� F� �� � ������� �� ������ �� F� �� F� ! #� ���� ����

U�/ �� �#�%� ���� U�#%#!% /? )�#!��%#7� % ? F�#7�� %

�� � ����������� �� �� �� ���!

0����� !��� F� ������ �� � ���� �$ F� �� F� $���� �� ��� ���� ��� �� �� ����� ������I����� �� ����� F �� ��� ���������� �������� ������� � ����� � ���� �$ � �����

!� ��� ���� U� �� � ����������� �$ ��� �������� �� � - ! � � ��� ����� �/� ��� . �� !�. $�� ��� ������ ����� �� �$ ! � !��� ��� � �������� � �$ � ����� ���� � Æ %� ? �-� � ���� ���� �� ������

) �#.%+#.% ? ) �#.%)%�#�% ? ) �-�#�% ? U�#%#!�.%�

����� ��� �$� ��������� �� ��� ��� + �� � ������� �� U�#%� !����$��� ����� ���3�4 ����� ����

U�#2� &5%#!% ? ) �#�%2� &5+#�% ? ) �#�%2+� &+5#�% ? 2 U�#%� U�#%5#!%�

/�������� �������)� "� �/��� �� �� � ������ ��� ������ �� � �� � ���

U�/ �� �#�%� ���� U�#%#!% /? F�#� 7�%

�� � ����������� �� �� �� ���!

0����� �$ � �� � ������ �$� � ����� ���� ��#!� .% /? �#!� .��% �� � ������ ����� � ���� ���F ��#7�� % ? F�#� 7�% $���� $��� ��� A���� E�� ��� )D*#�% ? �

&'���� �������-� ��� � �� � ��� � ����$�� ��� � ? �#�%� ��� ��� ������ �$ �������� ��� ���� �� � � ,� ��� �(��� ��� ��� ���� G�"#�% �� �� ������ ���� � ��� ����������� �� � �

,� ��� ��� �� �� ���� �K ���� ����� ������� G�"#�% ��� � ������ �(������� $�� ������� �� ��� � � � ��"��������� �$ � 7������������� �� � ���� �� �������� ������������ �� � �!����$��� �� ����� ��� �� �� ����� ����� $�� � � 0�� ����� �� �� ���� ��� ������ ���� ������

��� . �� � E��������� ����� �� � ��� B(/F� � � �� ��� �(������� $�� �������� � ������� �� � � F�#�% ��� ���� +#�%� ����� +/ 27� �5 � � �� ��� ������� ������� ����+#7% ? ! ��� +�#7% ? � � ,� ���� ������ � ������ ��

N/F� �� ��� � �� #!�B( �%� � � F�#�%�

!���� �(���� �� ��� ������������ � � F� �$ ��� F��� �� ���� �� � ���� N ��� � ��"�������� �� ���� �� ��� ������������ �$ ��� ������� �� � �� � C��

�� /? �� � �#�%/�#�% � ��

�� �� ��� ������ �$ ��� ��=� ��� �� � �#�%� ��� �� ����� � ��

/�� � ��#���%� #�%#!% /? B(#�#!%%�

�� �� ��� ���� #7% ? �� � .�� �� ���� ���� �$��� �����-��� �� �� � ��Æ ����� ��� 7������������� �� ��� �� ������� �� �#�%� �� ��� � ����� ���� #��% � G�"#�%� !� ��� ����G�"#�% ������ � ��� ���� ���� ���� $�� ��� � �� � ����� ��� ��� �� ����$� ���� ��� ����

Page 37: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�% �������� 0��� 1& ���

��������� ��� ������ �� � 7������������� ���� �����$���� �� �� ��� � �� ���� !������ ����:������ ����� ,� ���� ������ � ��� ���� ���� ���� �� G�"#�%�

���� ��� ���������� �$ ��� �� �� �� � �� #��!% �� #�%#!% ? B(#�#!%% ��$���� ���� ��� ����� � �$� � ���� �/ G�"#�% �� � �� # �!% �� #!% �� ������ �� ���������� ������������ �$ G�"#�%� ��� ��� � ������� �� ���� �� �� �� � ���� �� ������ ����!�� ����������� ����������� �$ ��� ������� U�/�#G�"#�%%� �#�% �� ����� ��

U�#�%#!% ? F�#�� 7�% ? #)B(%��#�#!%% ? �#!%�

����� U� ? ���� � !��� ���� ��

�#G�"#�%% ? #�#�%� 2� 5%��

!��� ;�����< ���� �� ����� �� ��� $� � ���� �� ������� G�"#�% �� � ���� � ���� �� �$��� ��� �$�� �$ �� ������� �� �� � ���� � ���� �� ��� ������ �� ������ ��� ������ ����� �����

� E /? E Æ �

���

�#G�"#�%�% �? #�#�%� 2� 5%

$���� $��� D��������� �������6�

!�� ������� ����� �$ G�"#�% �� �� ��������� ���� ��� ���

F #G�"#�%% /? �� � ��#��F�%//� � � G�"#�%��

����� ��� ��

//F #G�"#�%%� G�"#�%� � �� /� �

�� ��� ����� ��L� ����� !���

F�#G�"#�%% /? /��# % ? �� � ��#��F�%//� � ? �

�� ��� ������� �� � �� ��� ��"��������� � !�� ����� ����� �� ��� ���� F #G�"#�%% ������� �� ��� $�����

� 7 /? /� � Æ F� Æ 7�

����� /� � /F �� � F� �� ��� ������ ��L� ����� C��� ����

/� Æ #� 7 % ? /� Æ /� � Æ F� Æ 7 ? /� Æ� Æ /� Æ 7

����� ���� / �� � ���� ������������ ������$���� � G�"#�% ���� ��� ������ �� F�#G�"#�%%��� ���

� ? /� � Æ F� Æ ? � Æ ��� � ? /� � Æ F Æ� ? F Æ��

�� ���� ���� ���� ���� �� ��� $�����

&�# %�� ? F Æ� Æ ��

$�� ��� ��L���� � ���� �$ G�"#�% �� F�#G�"#�%% ? �#�%�

Page 38: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �(

���� � 4�� �� �� !��� �� ������ ��� ������

!�� $������ ������� �� ��$� �� ������ ��� ���� ���� ����� �� ������

2����� ���� ��� �� � � � ��� ��� � ? ��� � ������� �����! . ���� ��������� � �� � ������ �������� ���� ����

���� �� ����� �� ��� ���� ������� � � � ���� � � ? � � � � ���� ���� �� ����������������� !� /� � � � � �� ������

���� �� ������� ��� D� /� � �� J �� J�� �� ������ ���

���� �� ��� . � � �� ����� �� ��� ���� ������� �� � � ���� (�#��% � � ��� ���� ������ ���,� ����� ��� (�/�� � �� �� ..�� �� ������!

#�� �� ����� � ����� �� ��� ������ �� � �� ����� �� ����� �� ��� ���� ������� �� � � ���� ���� �� ��������� ��� �� � � ������ � ����������� ���� ����� ����� �� � !

0����� # $� 2A�IJ� ��I� D��� :5 �� 2!�43� ��I5 $�� ��� ���������������� ���% ����� �� ���������� ���� ����� ��������� �$ � ��������������� �� � � �� ��� ���������� �$ ����� 0�:�#��% ����� #P�%� #�:% ����� #P:%� ��� #�3% ����� #P3%� ��������� ��� ��������� ���� ��� )������" ����� ����

� ? ��� � !����$��� ����� 0�: ����� ���� � ������ � ��� ������ ���� �$ � #)������"% ������ � ���� $�� ��� � �� � ����� �$ ����������������

&$��� �����-��� � ��� � � �� ��� ������ ���� ����� �(���� � ��"��������� /� � #�% � : � ����� : �� � ������ � � ��� ��� �� �� #�% �� ��� ������� ���� � ��������� ? � �� � � � � � � ��� ���� !� /�

� � � � � � �� ������� ��� . � � �� ������� ��� ���

� / .� � :� �#% ? #.��%

��� � ��� ������������� �$ .� ���� #� %� ,� ��� ���� # � � .� %��* �� �� : ����� �$ � �

��� .�� .� � � ��� �� � /? .�� � .�� � �$ � �? S� ���� .��� .� � � � �� ? � � � !������������ �$ ��� ��

E /? �� Æ ���� ���� �. / �� #� %� ��#� %

����� ��E#% ? ��#

����

#%% ? ��#.� ��#%% ? #.��� .�

��#%%

$���� $��� ��� ���������� �$ ��� ����� ����� � � � � � � � � !��� ����� ���� # � � .�%��*�� �� ���� �$ � � ��������� ��� ������ ���� ����� ���� � �$� ����������� �$ � ��� ����������

!�� ������ ���� ��� ����� ���� $�� �� � . � � ��� ��L������� (� /� � � �� �������� � ������������ �$ � � ��� � � �$� ����������� ��� ������� ��� (� Æ % ? %��� Æ (� � ������������� �$ (� �� � ������������ �$ � � $����� !����$��� � ��L�������� ��� ��� � ���� ����� ����� ������ ��� ������� !�� ���������� �$ ��� ��������� $���� $��� ��� ������������ � ��� ��� $� � ���� �$� ��� ����� ����� ������ ��� ������� ����� ��� ���������� �$ �������� ����� $���� $��� ��� ���������� �� �� � �� ����

!*#.�� .�&% ? .�.�& ? .�.�(����

#%& ? .�.�!*#(����

#%� &%�

!�� ��� ������ �$ ��� ��� ���� ���� ���� �� ��� �� ���� �� � � �� ��"������� ��L� ��������������� ������� ��� ����� �� � ��"����������

����� ���� � � ����� ���� ��� ���� � �� !������ ����:�� �� ��������� �� �� � �������������� � �� � � !��� �������� #�3% �� �� �������� ������� ��� ������ ���� �$ ������ ���� ���� ���� ����� ���� $�� �� � . � � ��� ��L������� (� /� � � �� ������ �� ������������� �$ � � ��� � ��� ��� �$ � ����� . �� � ��������� �$ � ��������� � � �� �������� � $�� �� � � � � � ��� � � �$ � �� ���� � �� ��������� �� � � !����$��� � ��L�������� ���������� ��� ��� �� �� ��� �� �� ��� ���$ �$ !������ ����:���

Page 39: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�) �������� 0��� 1& ���

/�������� ���� ��� �� � � � ��� ��� � � � ����� ��� ��� ���� ���� � �� ���������! #�� �� ����� � �� ��� ������ �� � �� ����� �� �� ��� ��� ��� �� ������� �� �� ��� . � � �� �������� (� �� �� � ������ ����������� �� !

0����� �$ �� �� ��� ����� ������� �$ ��� ��� ���� � � ���� ���� � ����� ������������� �$ � ������ � �� ������ ������������ �$ �

������ ��������� ���� �� � ����� ������� �$ ��� ���� � ��� � �� � ��� ���� ������� � ����� ������������ �$ � ������ � �� ������ ������������ �$ � !��� �� �� ��!������ ����:�� ���� � ? ��� ������ � ��� ���� ���� ���� �� � $�� ��� � ��� �� ����� � � �� � � � ��"���������� ��� � � ��"��������� ���� �� ��� ������� �$ � �

��� ��� $������ ������ �� �� � ���� � ���L� ���� ������� /� � � �$ ������ ������ �� ��� � ����� �$ �� �� �� ��� �� ���� ��� ���� -�����

/�������� ���� �"� �� /� � � � � ����� �� ������ ���� ����! "� � � � �� � �� ��� ��� �� ��� ��� ��� � ����� �� ��� ������ �� ����� �� � ������� �� �� ���� ����� �� � ����� �����������!

0����� ��� � �� � �������� �� �� � � � ������������� �� ���� ����� �(���� �� ����������� �������������� � � � �� � ���� . /? �. /� � #� % �� � �������������,� ��� ���� �� ����� � �� ��� ���� �� ���� ���� � -�� ? ��� �� ������ ���� . ����L� �����

����� ���� ���� � �� � ��� ����� !��� �� �� !������ ����:�� ���� � /? #� %�!� ����$� #��%� �� ����� �� � � ��� ���� ���� � � ��� �� � /? #��%� ��� $��#�3% �� ���� ���� ��� ���L� ������ �$ ����� ���� $�� �� � 8 � � ����� �� �� ������ . � ����� #.% ? 8 � C�� �� ����� �� ��� �������������� �� � � ���� (�#��% � � ��� ���/ /? #��%�

�$� ��������� � �� � ��� ����� ���� �� �� � /? � � �� � �� ����� ��� ��� �������������� ���� � � � � � ��� �� �� �� ��� ��� ����� ��� ��� �������������� ����(�#��% � � �

/�������� ���� �$� �� � � � �� ���!

��� "� � � �� � ����� ��� ��� ��� �� ������� �0 ���� � ����� �� ��� �������� ����� �� ������� ��� �/�� �0 �� � ����� �����������!

��� "� � �� ������� ��� �*/ ��� � �� ������� ����� ��� ��� �� ���� � ����� �� ��� ������ �� ����� �* �� � ����� �����������!

0����� #�% $���� ���� �� $��� A������ ����:�I �� ���� ��� ������� �� � � �0 �� � ��������

#:% ,� ���� ���� �� ������ � � ������ � ���� ���� ���� �� ��� �������� �������

�� � �� � D� - �� ������ �� � ���* #�%� !��� ��� ����� ����� �� !*/� � � � � �$��

��� ��� �� � ��������� �� �!*/ ��� ��� �� ���� �!*#��� ��% ? �� � !� ��� ���� ��� ����� ������� �!* �� ���� ������� �� ������� ����

�* Æ �!* Æ #���*��!*% ? !* Æ #�* � �*% Æ #���*��!*% ? !* Æ #��*�!*% Æ #�* � �* � �*%? !* Æ #!* � ��*% Æ #�* � �* � �*% ? �* Æ �!* Æ #�!* � ���*%�

�� ���� ��� ��� ��������� ���

�!* Æ #���*��!*%� �!* Æ #�!* � ���*%/ ��� � ��

��� �$�� �$ ��� ���� �� �� � � ��� ���� �� #��� ��� ��% �� �� � )�� � ��� ��� ������ �$

�$�� ����� ���� �!* �� ���� ������� ,� �-����� ������ ���� ��� ��� �� �$� �D*/ �� � �� �$ ������������ �� D*/�� � ���� �D*#��% ? �� ��������

�!* Æ #D* � ���*% ? �� ? �!* Æ #���*�D*%�!����$��� �!* ������ �� �� � ������ � ���� ���� ���� �� � ���� �*/ �� � � �� � �������������� �$ ������ � ������ C�� A������ ����:�I �����

Page 40: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� �-

����� ���� �%� �$ �*/ �� � � �� ��� �������� ������� ������� �$ � ���� ��� ��� ����� � ���� -�� �* �� � ��� ���� ����� ������� �$ ��� ���� ��� ���� �� � ��� � ����� #B(��� ��� ����3%� ��$� ����� ����� �� ������� �$ ���� ���� ��� �� �� - �����$��������� �$ ���

������� ��� � � ��� ���� ����� ���� /�#�% �? -�� �* �� ������

A����� � �? ��0 -�� �* � �$� ��������� V � �� �� � ��� ���� ����� �������� ���� ��0V�� � ��� ���� ���� ��� ���� �������� ������� ���� �� � � !�� �� � ����� ��0V� �����0V� ��� �������� �$ ��� ��� �$ ����� �(���� � ��� ���� ����������� � &��# ��% ���� #V�% ? V� � !����$��� ��� ���������� ����� �$ ��� ����� ���� ��� ���� �������� �������

���� � ��� ��������F�� �� ��� ������ �$ ��� ���� &��# ��% �� ��� ��� H �$ ��� ���� �����

�������� �$ �� � ��� � ��� ����� ������� ���# ��% /? �(�/ . � ��� �$ ����� ������������

� �� ������� �� ���� ���� ��� � ���� �$ &��# ��% �� H $� ���� ������� �� � ���� �$ ��� ����

.��# ��% /? &��# ��%0 ���# ��%���� � �� � ����������� � &��#�% �$�� �� � ��� �� ����������� � � &��# ��% #B(���

���O%� �� ���� � ������ ��������� &��#�% 6� &��# ��%� ��� ��� ����� �$ ���� �����������

������� �$ ��� ������F�� �$ ��� ������� -�� �* � =# ��%�

&'�� ���� ��� �� ��� ���

&'�� ��� ������ ��� #��4�!*��% �� � � � ��� ����� ���� ����/

��� ��� .� 8� J � � ���� #.� 8%� #8� J%� #.8� J% � 4 �� ����

)%�#8% Æ )%/#J% ? )%�/#J%�)���/ ���� ���� %� Æ %/ ? %�/ �� � ������������ �$ J �

��� ��� ��� ��� ��� 4� /? �8 � �/ #.� 8% � 4� ��� ��� ������ ��

%� /4� � �� 8 �� .8

��� �� ��� ��� ������ �� +#J% /? )%0#�%� �������� ��� �$� �������� � ��������

+ Æ %� ? F #%�% Æ + �1��

��� ���� ���� ��� ��� �#�%+ �$ �$� ��������� �� ��� ���� �� � �� � ��� ��������� �$ ��� ��������� �#�% ��� ���� ���� ���� ���� �� � ��� ��� -�� �� � ? F�#�%�

��� !�� ������� ����� F� �$ � ������ � � � ��� ���� ���� ���� #F�� F4� F!*� 7�%�

��� �$ /�� � �� � ������� �$ � � ��� ������ ���� �# % /? ) #�% �� � ����������� �$��� ��������

��� ��� � � ��� #� &%� #&� ��%� #&� ��% � 4 �� �� ( #&% /? #&%�� ��� ���� ���� ������ �� ������ �� ���� ������������ �$ � � �$ #� &% � 4 � ���� ( Æ (, ? ( , ���� �� ������������� �$ � �

��� &�/�� &��#�%� . �� �#(�% �� � ����������� �$ ��� � � ���� � �� ��� ���� &��#�%�

&'�� ��� ���� � ��� � �� �� ������ ���� ��� � � � ������� ������� � ��� �������� ����� !��� ����� �(���� � ��� �� ��� ���� ���� ���� �� � � $�� ��� � �� �� ��� ��������)���/ A������ ����:�3�

&'�� ��� ������ ��� � �� � ���� ��� ������ � ���� ��� V � � � ��� ���� ������������� !��� V �� ������

&'�� ��� ����"� ��� � �� � A�& ��� � � ��� � ������ ����$��� ���� ���� ��#���% ��� A�& ���� ���� � �� ��� ������ ������ �� ���� ������ ��� � �� �������� $��� ��� ���������

��#���% 6������

�#F ���F ��%�

����� ��� ����� ���� ���� ������ ��� ���� � ������ ��� �� �� � $� ��� ��� ������ �$ ��� � �������� � #��� �� �� ���� �$ &����( 0� ��� ���� ���� ��� ��� � ��� ������%�

Page 41: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

". �������� 0��� 1& ���

&'�� ��� ����$� ��� � �� � ��� ���� ��� F�� � � � � � ��� �������� ������� ������� ��������/

��� F� �? #��@%��� � �

��� !�� ��L���� � ���� �$ � �� � ���� �� �� � ���� F &� �$ F� �? ��� �� F� �? �� � � �������

#F &�%#� .%#�� >% ? #&�#.%�� @ 2�&�#.%�>5�&�#.%�>%�

��� F �� �? #�� �%�� �� #���%� !�� ����� ����� �� ���� ���� ��������

#�� �� ���%#���

���

����% ? #� @

�� @ 2��

��5� � @

��� � @

��%�

��� 1������F� #3% �� F �� �

��� F�� �? �� � ����� �� � ������� ��� ���� ��"������� �� ����� �

&'�� ��� ����%� #�% ��� !/���� � �� � ������ ���� ������ ����� ����� �� ��� ����$��� ���� �������� ������ � � ���� ���� ��� ��"������� �� #���% �� ����� ��

)!#���%/F�#�% � F�#�%� F�#�%� #�� >% �� � @ >�

#�% ���� ���� ��� ���������� �$ ��� ��������� �� ��� ��������� �$ � 0��� �+��� ���� �� ����������� ���� ��� ������� ��� ���� !������ �� �� ���� �� ��� ��

���� ���� #� &% �� #� &%

����� ��"������� �� #���% �� ����� �� ��� �� #�� >% �� #�� � @ >%�

&'�� ��� ����(� ��� � �� � ��� ���� ���� ��� ������ � ��� /�* � � � � � ���� ���� #�% ? 7� ���� ����/

��� ��� ��� � � ����� ����� � & /? # �� ��#&%% ��� �� ��� ����� !���� ������� �$ � & � �� � &�� �� #7� 7% �� ��� ��� ��� -�� 2� &5 �

��� P�� #�% �� ���� ���� $�� �� � ������� �$ ��� ����� /� � � ��� �� ) #�% �� ������������ �$ ��� �������� )���/ A����� ��� �� ��� ����� !���� �������� �$ #% � #&% � #%�� � #&%�� ��� # � & � �� � &��% �� ����� ��� A���� E�� $�� !�������������

&'�� ��� ����)� ��� � �� � ��� ����� � � � �� ����( �� � ��� �/�� � � � � ����������� � ���� �$ � �� � � !��� � �� ��� ���� U�#%� � � � ��� ������ ��� �� ���� ������ �������������� �$ ��� ������� �#�%/ � � ��#� % ���� �#�%#%� ? U�#%#�%�

&'�� ��� ����-� ��� � ��� �� ��� ����� ��� /� � &��# % �� � ����������� �� ����� ��� �� � � � � #.� �% �� #.%#�% �� ������� !��� ��� ��������� � ���� � ���� �� ���� ��� ����� �����

#�� .%#��� .�% /? #� #.%#��%� ..�%

�� � ��� ���� ���� ��� ������ ����� � � ����� �# %/ � � ���#�% �� ��� ������� ��������������# $� B(�� ��� ����4%�

��� ��� ���������� ������� ��� ��� ���������� �� �����

�� ���� �� ���� �� �������-� � ��������� ����� �$ ��� ���������� $�� ������ �� ��� ������� �� � ������ $�� ���� � /� � � �� � ���� ��� ����$�� � ���� ����� �� � � �� ����(�� � � �� ���������� �� � ���� �� �������� ��� ��� ��"������� $��� )� � Q�#��� %� �� �� ���� ���� �� � ������ $�� ���� � /� � � ���� ����� �� � ��� ���� � ������ ��$���

Page 42: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� "�

Æ#�% � Q�#�� �%� ,� ��� ��� ���� �$ � �� ���� ���� ���� Æ#�% ���������� � � �� �$������ ����� �� � �������� A��������� �� �� ��- ��� � ������� ��$���� � ��� ��������� ����� ����� ���� � ? Æ#�% $�� ���� ������ $�� ���� � /� � � � ��� ��� �� �� ��� � ? 27� �5����� ���� �� ��� �� �� �$ � ������ ��� ���� ��� ���� ��� ���������� !������ $�� ������������� $�� ����� ����� �� ������ ��� ��Æ ���� ��������� $�� � � Q�#�� �% �� �� ����������� ��� ����� ���� �� �� �$ ��� $��� Æ#�%�

!�� ���� ���� �$ ���� ���� �� ���� ������� ��$���� ��� �� � ����� ��L� �� ������� ���������� $�� ������ �� ���� ��� �� � ��� ������ ����������� /�#�% � �#�%������ �� �#�%������ ��$��� �� � ��� � �� ��������� �$ ��� ��� �$ ����� �(���� � ��� ��������������� E/� � � ���� �#E% ? � �$ � �� �� ���� ��� ��� � �� ������� �� � ������������ ����� �(�����

�5��� ��������� !���*���*�� �! ����� ����� �����

&6��*����� !�#������� ���� �! ��� ������� ��������

+�,���� �5����� ��� � �� � ��� ���� ��� � � ������ ������� ����� �������� ����� ��� � � �� ����( �� � ��� ��� � ���� �� '� /� � � � �� #.� �% �� .�� �� ������� ,� �����'� #.%#�% /? .�� $�� ��� ����������� ��������� ����� ������������ �$ � �

,� � � ��$��� � � Q�#�� � % ��������� �$ �� ���� $�� �� � . � � ��� �������

%��� ? '� #.% Æ ��

,� ����� Q�#�� � %* $�� ��� ����� � �$ � ��������� ��$���� �� Q�#�� � %� ��� ���� ���� ���� ����� �� � �$ ���(�� ������� ���� ���� � �� ��� � ���� ����� �� .�� /? '� #.% Æ #%��� %�� � W

�$ � �� � ������ ������ ���� �� � ��������� $��� �� � �$� ��������� � ������ $��� �� � �&� � ��������� ��$��� � �� ��� ��� ���������� �� ��� ����������� ������ �� � ��� #�� � % ?&��#�� � % # $� &����( A%/

#I����% ��#.��� � � � � .��% ? '� #.% Æ ��#�� � � � � �%

$�� . � �� � � � �

A��������� #I����% ������� $�� �� � � � ��� #�� � % � ��� �� � ��������� ��$��� ��� �� ����� ���

�? � �

!�� $������ ��������� ����� ���� ��� ���( �$ � ��������� ��"������� $���� �� ������� �� ��� ��� ������ ���( ���� ����� �� ��� ������� � �

0��������� �5��� � �� ��� � � ��� #�� � % � ��� )#���% ? #)��%�� ! "� �������� ��

��������� ������/ Q

�#�� � %* � ��� #�� � %� � �� ��

���� �� ���������� ��� �� ����� ������ #Q�#�� � %*� )% �� ��������� � ������ ��������� ���� �� � �� �� ���������� � ������ �� �� �� ������ #��� #�� � %� )�% !

0����� # $� 2A�BI4� !�� �7��5% ��� . � � �� ����

%��)��� ? )%���

�� ? )#'� #.% Æ ���% ? '� #.% Æ #)���%�

������� ���� )��� �� � ����������

W !�� ���( #Q�#�� � %*� )% �$ � ��������� ��"������� $���� ��� ���� ������� �� �� ������������������� ������� �� A������ ��� B������� �� 2A�BI45�

Page 43: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

" �������� 0��� 1& ���

��� � � �� ����� +#.% /? .� $�� ��� ����������� �$� ��������� �� ��� ��� �� � � ������ �$ #I����%� �� ��Æ �� �� � ���� ��� ���� �$ )��� �� #�@�%����� �$ �$� ��������� �� ������� �� ��� �������� ������� ����

���#��+� � � � � ��+%#.% ? '� #.%��#�� � � � � �%�

�� ������ ���+��

��#��+� � � � � ��+%�#�% ? ���#�� � � � � �%�

��� �����$����)���#��+� � � � � ��+

��#�%

?

�����

#�%���+����#��+� � � � � ���+� � � � � ��+%#�%@�� �

#�%������#2��+� ��+5� ��+� � � � � ���+� � � � � ���+� � � � � ��+%#�%?

�����

#�%����#�� � � � � ��� � � � � �% @�� �

#�%����#2�� � 5� �� � � � � ��� � � � � �� � � � � � �%? #)��%#�� � � � � �%�

!��� ����� ��� ����������

7�����8/���� ���� �! ��������� !���*���*��

��� ��� $������ ��������� �� �� � $��� ����� ������I ���� $�� �� � ��� ���� ���� ������� ����� F� ��� � ������ ��� ���� ���� ���� ��������� � �� ��� F��� �� �����E����� ���� ��� ����� ����� �$ F� �� �� F� � �� ������ �� ���� ��� � ������ �$� � ���� �$� �� F� ��� � �� ���� ����� #.� �% �� .�� �

+�,���� �5����� #�% ��� � � F�#�% �� ����� L*#�% /? .���� � � ? F�#�% ��� ���� ����

���� ������ � ������ ��$��� L* � Q�#�� �% �� ���� ��� ����� ����� �� ��� ��� ���� F� ��������� !��� $��� �� ��� ��� '���( $��/����� ��� �� � � �� �� � �$� ��������� ���������$��� �� � �

#�% ��� � �� � ������ ����$�� ��� � � ��� ���� ���� ��� ������ �#�% ? � � ��� �������� � � ��#���% �� ����� ��� '���( �� ������� ������� �� ��� ������� ��$���

Æ#�% /? ��L* � Q�#�� �%�

��� � � F�#�% ���� ����� ���� Æ#�%�#�% ? �#!%���#)�%�#�% ? �#!%��F�#�%�

,� � � � Q�#�� �% ����� ��� �$ ����� �(���� � ������ $�� ���� � /� � � ����Æ#�% ? � �

# % �$ � ? ; �� �� �������� ���� �� ������$� Q�#;� �% ���� ��#;� �% �� ������$���� ��������� $�� ���� C/ ; � � ���� ��� ��$��� C )� � �� ���� ����� �� �� ��������� $�� � ������ ���� +/ ; � � ��� ��������� ���������� Æ#+% ? +�L* �� � ������ ���� �� � � B(� ���� ������

Æ#+%#�% ? +#�%���+�#�%�

,� �� � $��� G�������� ���I�� ���� �� ��� �� � Q�#�� �% �$ ������� ��"������� $������ � �� ���� � ������ ��� -��

Q�#�� �%�Q�#�� �%� Q���#�� �%� #�� *% �� 2�� *5

��� � $�� �� * � Q�#�� �% �������� $�� �� > � F�#�%

2�� *5�#�� >% ? 2��#�%� *�#>%5 2��#>%� *�#�%5 ? :2��#�%� *�#>%5

#B(�� ��� ����>%�

Page 44: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� "�

��� �5���"� #D���� � ��� X������� E��% �� ������ ��������� �� ./� � � � ���

#I���:% Æ#�.% ? Æ#.% @ &�#.%���Æ#�%�

�� #&�#.%���Æ#�%%� /? &�#.#!%%�� Æ Æ#�%� ! "� �������� � ���

#I���3% Æ#���% ? &�#�%�Æ#�%�

0����� A���� ��� �������� ���� � �� � ������ $�� ���� �./� � � � ,��� ��� A���� E���� ������

)#�.%� ? �#!%�#).%� @ #)�%��.#!%�

��� ���� ���� ��

Æ#�.%� ? #�.%#!%���)#�.%� ? .#!%���#).%� @ .#!%���#!%���#)�%��.#!%

? Æ#.%� @&�#.#!%%�� Æ Æ#�%����� � �� #I���:%� D������ . ? ��� � �� ������ #I���3%�

!�� $������ ���� ������� � ��� ������ ����� $�� ��� � ������ Æ#�% ? � �

��� �5���$� #P�� ������ �����% "� ��� ������ ��������� ��� ��/� � � ��� �� ������ �� ������� ������� ��� � �� ������� ��� �� ����� . � � ���� �� ? %� Æ �� !

0����� ,� ���� �� ���� ���� ��� $�� ���� �� ��#%��#%�� �� � �� �������� ��� �

������� �� ���� � �� ���� ���� ����� �� ������ ���� ����� �K���I

Æ#������ % ? Æ#���� % @ &�#��%Æ#��% ? Æ#�

��� % @ &�#��%Æ#��% ? Æ#���

��� % ? 7�

!��� ����� ���� )#������ % ��������� ��� ��� � ���� ���

��� �� � �� ��������

��� ��� �(����� � �$ � ������� �$ ��� � ������ Æ#�% ? � � ��� $������ ���� ������� ��� ������ ���������

��� �5���%� "� � ? Æ#�% �� ��� � � ��#���% ��� � ������� �� $��/������������

#��% )�@�

:2�� �5 ? 7�

0����� ,� ���� ���� ���� L* �������� ��� �A � ������� ��� ���� �� ������� ���� ������������� �$ ���� ���(��

���/ Q�#�� �%* � ��� #�� �%� � �� ���

����������� �� ��� ������ � ���� �$ � �� � �� ������� ���� ��� ��� -�� ������ �� ��������� # $� B(�� ��� ����>%� ��� � L* ? #���%

�� ���

#)� ���%#� &% ? ���#2� &5% ? 2� &5 ? �

:2���� ���5#� &%�

�� ������

)� ���@�

:2���� ���5

�� ��� #�� �%� ��� ���� D��������� �K���: ���� ���� ��

)L* @�

:2L*� L*5 ? 7�

!����$��� � ? ��L* ��������

)� ? ��)L* ? �

:��#2L*� L*5% ? �

:2��L*� �

�L*5 ? �

:2�� �5�

��� � �� ��� ������+A����� � ������ $�� � �

Page 45: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

"" �������� 0��� 1& ���

����� �5���(� �$ � �� ��������������� ���� �� � ������� :�$��� �� � ��������� �� ����2�� *5 ? 7 ? )� $�� �� * � Q�#�� �%� !����$��� � ��$���� ������� �����$� ��� ������+A������ �������

0��������� �5���)� �� � ��� � � �� ����!

��� "� /�� � �� � ������� �� �� ���� ��� Æ# % ? �# % ÆL*� �� ��� ������ ��������� /� � � � ��� Æ# Æ �% ? �# % Æ Æ#�% !

��� "� � �� ������� ��� �� � / � � � � ������� �� �� ���� ���� �# �% ? �# �% ��� � ? � !

��� )����� ���� � � ��� � ������ ������ �� �� ������� �� ��� � �� � �� ������������� �� ���� � ���� ������ � ������ ������ �� � �� � ? �#�% ! #�� �� � �������������� � /�� � ���� �#�% ? � �� �������� � ��������+

��� Æ#�% �� �� ��������� ������� ����� �� � !

��� �#.% ? �#.% .��#% �� .� � � �!! � �� � ����� �����������!

0����� #�% ��� . � � �� ���� Æ %� ? %��� Æ � �� ����

Æ# %� ? )#%����� Æ %� ? )# Æ %��� %� ? #) %#�% Æ )%��� #.% ? �# % Æ #L*%� �

��� ��� ������ $�� ���� � /� � � �� ��� ���

Æ# Æ �% ? �� �L2 ? ��#�# % Æ L*% ? �# % Æ ��L* ? �# % Æ Æ#�%�

#:% �� ���� �$ #�%� Æ# �% ? Æ# �%� �� ���� ��� ��������� $���� $��� �#�% ? �#�% �������� �K���3�

#3% ,� ����� .� ? '�#.%� $�� ��� � ���� �$ � �� � ��� .�8 ? '2#.%�8 $�� ��� � ���� �$� �� � ��� ���� ���� �#'2#.%% ? '�#.% ���� $�� �� � . � � �

��� . � � � !��� ��� ��������� ���������� �$ %����� Æ � Æ%� �� %��Æ#�%� ���� �� ���� �$ #�%�

��� ��������� ���������� �$ '2#.% Æ � �� '�#.% Æ Æ#�%� ��� � ���� $�� ����� �� � �� � � ���� ��� ��� �$ ��� ��� �$ ����� ��������� ����������� ��� ��� #����� �K���>%� !��� ����� #3%�

/�������� �5���-� "� � �� � ������� �� ��� ��� -��&� ? =#�% !

0����� ��� (�#% ? ..�� � �� ���� �$ D��������� �K���4#:%� $�� . � � ��� ���������(� ? ��* ��� �#(�% ? &�#.% ? ��� ��� � �������� !��� ����� ��� ����������

0��������� �5����.� 0 ������� �� ��� � �� ������ �� ��� ���� �� ��� �� �� �� ��������!

0����� !��� ��� ��� ������ �$ �� ������ ��� ���� �� ������ �� � ���� � ���� ��� � �$����� ������J� ��� � ����� ���� �� ��� ���� ��� �� ��� ����� !���� ������� �$ �������� ����� ��� ��� $��� @ & @ �#� &% ���� 2� &5 ? �#� &% �#&� %� �$ � �� ����������� � �� �������� � ��� �����$��� �#�% �� �������

�� ���� �$ ��� �� ����� ������� �� ���� �� ���� ���� $�� �� � . � � �� ���� &�#.% ? � ���� � � ��� ������� � ������ ���� +/ 27� �5 � � ���� +#7% ? � ��� +#�% ? . � ���D#�% /? &�#+#�%%� �� ���� ���� �� D��������� �������J

D�#�% ? F &�#+#�%�Æ#+%#�%� 7% ? &�#+#�%%�2Æ#+%#�%� 5 ? 7

$�� �� � � � �� ���� D �� �������� !��� ����� ���� &�#.%� ? D#�% ? D#7% ? �

0����� �5��� ���� ���� � ���� ��� ��� ���� � �� �������T������ �$ ��� ��� �$ ������ ������ � �� �������T������� & �������� �������� ����� �� �� ���� ���� ������ ����������� ��������� $�� �������T������ ��� ������� �� �� �(������ �� ����������� �$ ������ ��������� �(�������� �� ��� ����� �� � �� �������� ���� ��� ���� ������ �T����������$ � ������ ��� ����������� ������ �$ � �

�$� ��������� � �� �������T������� ���� ��� ��L���� ������������� ��� ������ ����������� � ���� �� �� ;����������< �� ��� �����

Page 46: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� "$

�5� � ������� ��� ������ �! ��� 4�!����� 2�����

�$ � ? ; ? 27� �5� ���� ��� ������+A����� � ������ �� �������� �� �� � C � Q�#;� �% �?��#;� �%� �� ���� �� � :�$��� �� ; ��������� !�� �� �������� ���� $�� �� � ������ ����C � ��#;� �% ��� �������� ��"������� � ������

+�#�% ? +#�%�C#�% $�� � � ;�

��� � ������� �������� ������� �� C ���� �� ��� �� �� �$ � ������ ��� �����

+�,���� �5� ��� & ��� ���� � �� ��� ��� �$ $�� �� � C � ��#;� �% ��� ������ ��������� #�KD%

#I�:��% +#7% ? �� Æ#+% ? C�

��� � ������� +3 � ��#;��% ��� ��� �������� ��

���*/��#;� �%� �� C �� +3#�%

�� �������

��� � ������ ��� ���� � �� ����� ��� ��������� ��������

�(/�#�% ? �� � �� �(#% /? + #�% ? ���*#%�

����� � � �� ��������� �� � ������� $�� ���� ; � � � &� � ������ ���� �$ ��� ������ $�� �������* � ��� �(������� $�� ���� �� �������

��� � ������ ��� ���� � �� � � ������ $�� ���� �(*/ �� � �� ��������� ���������� � �$ $�� �� � � � ��� ���� + #�% /? �(#�% �� � ������� �$ ��� �KD #I�:��%� & ������ ������� �K���>� �� � � ������� �� ��� �� �������� �� �(����� !����$��� � ��� ���� ��� �� ������� �(������� $�� �����

����� �5� � � #�% &� � ���� � ���� ��� � �$ ��� �(����� � �$ �������� �� �������� ��"�������� � ������� �� ��� ������� �$ 0��� � �� �� ��� ����� ������ ������� � �� ��������������� 0��� �+��� ���� �� �������

#�% ��� � �� � ����� 0��� � ������ ��� �� ��� ���� ����� ��� � � �� � A�&� �� �� ���� ����� ��� � � ��� ����������� �$� ��������� �� ��� ��� �� ����� �� �� �� +#�% ? � ���� ��� ��� �� �������� �$ ��� �KD #I�:��% ��� ����� �� +#�% ? �(#�%� �����

�(4/�� ��� �������

�O�

�� ��� �(������� $�� ���� �$ � � !��� ����� ���� �(4 �� � ������ �(������� $�� ���� �$ ������ ���� � �

!��� ������� ���� $�� �� � �� -�� ����� A�& � / ��� �� � � � ��� �(������� ������ �������� ��� �(4 ������ � ������ �(������� $�� ���� �$ �� # $� 217:�5%�

# % &������ �� ����� �� ���� �� ����$� �� �� �� ���� ����������� � ;-����< ��� ����������� �� �� -�� ����� �� �� ��� ������� ��� �(��� �� �� ��� -��� �$ � ���� ����� �$�� -�� ����� A�&� ��� ������� ��� �� ���� L��� ���� �� #�% ���� ���� ����� ���� � �������(������� $�� �����

�$ ��� ���� �� � �� �� ����� ������� �� �� �� -�� ������ ��� ������� ������������� ����� �� $���� # $� 217:�� �� �� 65%/ ��� � � �#27� �5��% ������ ��� ��������� �$ �������� $�� ������ ����� �$ � �������� �#%0�#%� ����� �#% �� � ������� ������� F��� ��27� �5� ,� ����� � ���� ��� ���� �� ���� ��� /? ������� ��#�%� � �$ �� ������ � � � ��

Page 47: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

"% �������� 0��� 1& ���

��������� �� �#27� �5��%� ���� �� ��� �� F��� �� 27� �5� ��� � ����� ���� �� �� ��� ��������� ��� � �����

�� ? �#27� �5��%� ���!��� ����� ���� �� �� ��� �� � � ��� ��� � ��� 0��� � ������ �#27� �5��% �� � A�&� ������������� �$ ��� ��������� �� ��������� �� � � �� ���� � �� � A�&� )�� � �� �� � ��� ����#B(��� ������3%�

�$ �� �� ������� ���� �� ��� ��� � ������ �(������� $�� ����� ��� $��� ����� �K���3�� ������ ���� �� �� ��� ������ ���� �$ ��� �(������� $�� ���� �$ �#27� �5��%� �� � � ��� � ������

�(4#�% ? #� � � �� #��� �

!��� ������� �� ��� ����������� ���� $�� ��� $�� ���� �#�% ? � ��� $�� ���� #� �� ��� ��������!����$��� ��� ��� ���� �� ���� ��� ���� �� �(������� $�� ����� ��� � �� ��� �������

#�% �$ � �� � � �� ����( �� �� ���� #��@% �� � ������ ��� ���� �$ ��� ��� �$ �� ���� -�� ����� �� ���� ���� ����� ���� $�� �� � ������ ���� C/ ; � � ����� �� � ������ ���� +3 / ; � � ���� +�3 ? C � E�������� �� ��������� �� � ������ ��� ����� �$ ��� $���= ? �0V� ����� V �� � ��� ���� ������� �$ � #B(�� ��� ����I% # $� A������ �����6 $�� ��� ������� ���� ���� �� �0V%�

#�% �$ � �� � ��� ���� ���� � ������ �(������� $�� ���� �(� / � � � ��� � �� � ��� � ������ ����$��� ���� �� ������ �� �(������� $�� ���� �$ ��� ���� ��#���% ��

�(*/ � ? ��#�� �%� � ? ��#���%� C �� �(� ÆC�!�� $������ ������� �� �� �������� ��� �� ����$� ���� ����� ��� ����� ��� �������

2����� �5� ��� �� �� � � �� ��� ������� �� �� �� ���� � ��� �!! ������� � ��,���� ������� �/ ��� � ���� -�� � �? �� �� ���� �� ������ �� �� ��������� �����! #�� �� ��� �� �� ��� �� ��� ���� �� �� ���� � ��� � ���!

2�� 4�!����� 2�����

��� �5� �"� #.����% "� � �� � ��� �� ��� � � ��� C � ��#;� �% ��� �� ����������� �����

#B�% D�#�% ? 2D#�%� C#�%5� D#7% ?

��� � ����� �������� ��� ��

#B:% D#�% ? &�#+3#�%%����

0����� ��� +#�% /? +3#�% �� ��� ���� ����� �K���I

Æ#+��% ? &�#+%�Æ#+% ? &�#+%�C�

,� ����� D �� #B:%� !��� D �� � ������ ���� ����

D�#�% ? &�#+#�%%��2&�#+#�%%�C#�%� 5 ? 2&�#+#�%%���� C#�%5 ? 2D#�%� C#�%5

#D��������� �������J%�

C�� �� * �� ������� ������� �$ #B�% ��� ������� ��� ����

�*#�% /? &�#+#�%%�*#�%�

!��� �*#7% ? *#7% ? � ��� D��������� �������J ���� ��

�*�#�% ? &�#+#�%%�2Æ#+%#�%� *#�%5 @ &�#+#�%%�*�#�% ? &�#+#�%%��2C#�%� *#�%5 @ *�#�%

�? 7�

!����$��� �* �� ������� � �� �� � ��� �� ������ *#�% ? &�#+#�%%����*#�% ? &�#+#�%%��� ?D#�%�

Page 48: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� "(

����� �5� �$� ��� � �� ������� !��� ��� ��

H/ ; � ��#;� �%� ��#;� �%� H#"� C%#�% ? "C#"�%

�� ������� ��� C � ��#;� �% ��� +3�5#�% /? +3#"�%� 7 � " � �� �� ���� Æ#+3�5%#�% ? "C#"�% ?H#"� C%#�%� !����$���

+3#"% ? ���*�H#"� C%

��

�� ���� ��� �����* ÆH/ ; � ��#;� �%� �� #"� C% �� +3#"%

�� �������

����� �5� �%� C�� �� ������� ������ $�� ����� ;� � � � ����� ; ? 27� �5 �� ��� ����������� ��� � �� � ������ ��� ����� & ������ ������� ��$��� � � Q�#;�� �% �� �� ���������

� ? � )@ > )& ���� �� > � ��#;�� �%�

!� ������� ��� ������+A����� � ������ $�� � � �� ���� ������� ����

:2�� �5

� 55�5

5&

�?��� 55

�� �� 55&

��? 2�� >5 � ��#;�� �%�

��� ������

)�@�

:2�� �5 ?

5�

5&)& � )@ 5>

5) � )& @ 2�� >5) � )& ? �5>

5 5�5&

@ 2�� >5�) � )&�

!����$��� ��� �A � ������ $�� � �� � ������� �� ��� ����� ��"������� � ������

#I���>%5�

5& 5>5

? 2�� >5�

����� ���� ��� ��� ������ $�� ����� �� >/ ;� � � �����$� #I���>%� !��� �� ����� ������� $�� ���� � / ;� � � ��

�#� 7% /? +$���� #% ��� �#� &% /? �#� 7% +6� �� #&%�

��� � ��� �� ; � ��#;� �%� �� >#� % �� ������ #B(�� ���O%� � �� � ������ $�� ����� ,�����

Æ#�% ? �� )@ > )& ���� ��#� 7% ? �#� 7%� � ;�!�� ������+A����� � ������ $�� Æ#�% ����� (�$

(, (6(

? 2��� >5� �� ���� ������ ���� �$ ���� � ������$��� #I���>% ���� ��

5#� ��%5&

? 2� ��� >5�&� #� ��%#� 7% ? 7� ��� ��� ������ ��������� �$ ����� �K�:�3� ���� ���� C#�% /? >#� �%������ ���� #� ��%#� &% ? 7 $�� � � & � ; � ,� �� ��� ���� � ? �� � ��� � ����� ����Æ#�% ? � )@ > )& �

��� �5� �(� �� � � �� ��� ����� ����� �� �� ������� ����� ���� � � � ����� ��� ��� ��� � � Q�#�� �% ��������� �� $��/����� �������! #�� �� ����� ������� �������� � /� � � ��������� Æ#�% ? � !

0����� ,� ��� ������� ������ ���� � ? 7 � � � ��� � � �� ���� ������� ��� ������ ����

C / ; � �� � �� �#�%#%�

Page 49: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

") �������� 0��� 1& ���

!��� ��� �� � � ��#;� �% �� ������ #B(�� ���%� �� ���� ��� $�� ����

� /� � �� �� ���*#C %

�� �������

����� �� ���� ���� �#"% ? +3�#"% ���� $�� �� � " � ; � ���� E����- �K�:�I �� ����������

H#"� C %#�% ? "C #"�% ? �#"�%#"% ? C5 #�%�

��� � H#"� C % ? C5 � ��� � ���� �� �#"% ? +3�#"%�

��� � @ 8 � � �� ������� ��� ������ ��

/ ; � ; � �� #"� �% �� �#@ "8%

��� ��� ������ $�� ���� 9 /? �Æ � !��� ��� �� ����� ������������� ��� 9 #"� 7% ? �#7% ? � �

59

5�#"� �% ?

)

)��#�#@ "8%% ?

)

)�+3��#�% ? 9 #"� �%�C �5/#�%

? 9 #"� �%��#�# @ "8%%# @ "8% ? 9 #"� �%�# ��%�5�� � 55�

��

&� �� ���� ���� �� E����- �K�:�>� ����� �������� ��� ������ ���� Æ#9 % ? �� ���� �� ���� ���� ;� � ,� �����$��� ������

5

5"�#@ "8% ?

5

5"9 #"� �% ? 9 #"� �%�� �5/#8% ? �#@ "8%�� �5/#8%�

��� $�� " ? 7 ���� ���� �� #)�% #8% ? �#%�� #8%� ��� � ����� ���� Æ#�% ? � �

!�� $������ ������� �� � ������� �$ ��� ���������� !������ �$ � ��� $�� $�� ��������� ����� �� ������ ��� ������

2����� �5� �)� #���������� !������ $�� ��� ���� ����� $�� �����% �� � � � ������������� �������� ��� � � ��� �� ���! #�� � � Q�#�� �% �� ��� ��� �� ��� ���� ��

#��% )�@�

:2�� �5 ? 7�

0����� ,� ���� ������ ���� �� ����� �K���J ���� ��� �A � ������ �� �� ������ $�� ����(����� � �$ � ������ $�� ���� � /� � � ���� Æ#�% ? � �

,� ������� ��� ���� � ��� � /? � � � ���� ��� ��� ��L� ���� ��� 9 /� � ���� �/� � � � ,� ����� � ������ �� � �� $����� ��� �� � ��� #�� �% ��������� �$�� ��� ������ � � � ��� � ������ $�� ���� � /� � � ���� Æ#�% ? � � � ��� ����V#�� �% /? �#� �#%%/ � �� �� � ������ �$ � � !���� ���� $��� � ����� $�� � ������ 3 ��� �

,��� ���� � �� ���� ������ ��� ����� �/� � � �� � ������� ��� !� ��� ����� �� � � � ��� � � �� � ����$��� ����� �(���� � ������������ � �$ ��� � �� ��"������� �� � ����( ������ �$ � � �� ����( �� �� �� ���� �$ ������ �K����7 ��� �K���>� $�� �� �. � � ��� �� � � � ��� � ������ Æ#�% ? � �� ��� � ��� �� ������� �� ���� ��#% ? . �C�� ���#�% ? � � � ?

��* V#�� � �% �� � ���L���� ����� �$ ��� ������� �$ � #���� �� ���

��� ���� ������� �$ � %� ��� �����$��� � �� � �������� ,� �� ��� ���� � ������ � ����������$�� ���� ���� $�� ��� � � �� � � � ��"���������� ��� ���� ����$�� ���� ���� ��� $�� ����9 /� � � �� ������ ���� Æ#9 % ? ��� �

C�� �� �( � ���� � �� ��� �� ������ . � � � !��� ��� ���� ��� ������� �� �$#� .% �� � �� � ���� ��� ������� ����$�� �$ � � ��� � ��"������� �� � � �� ���� �� ����� � /? 9 Æ #� �� %�� �

Page 50: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� "-

����� �5� �-� #�% �$ � �� � ���( ����$��� � �� � ���( ������ ��� ���� ���� � Q�#�� �% �� � �������� ��$���� ���� $�� ��� ������ $�� ���� � /� � � ���� Æ#�% ? ���� ��"������� �$ � �� ���( ����� �� �� � ����� �� ���� � �� �������� � A��������� ����$� ��������� ���������� �$ ��� �������� $�� ���� � �� � �������� ��$����

�$� �� ��������� � �� � ���( ����� ����� � �������������� ���( ����$��� ����$�� �� � �������� ��$��� � � Q�#�� �% ��� :�$���� )� ��� 2�� �5 ��� �������� � ��� ������ ���� ���� ������ �� ���� � �� � ��������������� !����$��� ��� ������+A����� � �������� �������� �� �������� �� � �������� ��$�����

.�� �$ ��� ���� ����� �$ ��� ������ �$ ��������� �� ������� �� ��� $������ ��������

2����� �5� ��.� "� � �� � ��� �� ��� � �� � ������ ������� �� ��� ��� /�#�% � �#�% �� � ���������� ����������� �� �� �� ��� ��� �� ����� � ����� �� ��� ����������� � /�� � ���� �#�% ? !

0����� !��� �� !������ 4�� �� 2��435 #��� ��� 2*��6� !�� I7�35%� !�� ��� ������ ���������$���� $��� D��������� �K���> ��� ���� ��� �� ���� ��� ��������� �$ � �

.� � �� ������� ��� ������ ������� ��$��� ����� �� � /? ÆL* � !��� �� �������� ���������+A����� � ������ $���� $���

)� ? Æ )L* ? �

: Æ 2L*� L*5 ? �

:2 Æ L*� Æ L*5 ? �

:2�� �5�

!����$��� ��� ���������� !������ ����� ��� �(����� � �$ � ��� �� ������ $�� ���� � /�� ����� Æ#�% ? � ��� �#�*% ? �2 � �� ���� �$ D��������� �K���4#3%� ��� $�� ���� � �� � ��������$ ��� ������ ��� �� ���� ���� �#�% ? �� ? �

/�������� �5� ���� "� �� ��� �� � ��� ������ ������� �� ���� ���� ����������� �� ��� ��� �� ��� �� � ���������!

2�� ������� �� ��! ���

��� � � �� ����( ��� ������ � �� �����

=���#�� �% /? �� � Q�#�� �%/ )�@

:2�� �5 ? 7�

$�� ��� ��� �$ �������� �$ ��� �A � ������� C��� ���� �$ � �� ������� ���� =���#�� �% �� ���

�� � �$ ���� ������� ��$���� ��� ���� $�� ���������� ��� ������� � ��� ��� =���#�� �% ����

��� ���� ��� ������ �� ��� �� � ���� �����

,� ��� ��� ��-��� $�� � ��Æ ���� �������� �� � � =���#�� �% �� �� ������������ �� ���

��������� �$ ���� �� ���� �� ��� ������ ���� � �� ������ ��� ���� � �� ���� ���� ��� ������� � �� ���� ���� ���� ,� �( � ���� ���� !� �� �

��� � � =���#�� �%� �$ +/ ; ? 27� �5�� �� � �� ����� ������ ��� ���� +�� � Q�#;� �% �?

��#;� �%� �� ���� ���*#+��% � � �� ������ �� ���� � �� �������

��� �5� �� � "� � ������� �� $� ������� ��� ���*#+��% ��� ��� ���� ���

��������� ���� ��� �������� ���

����

7 //�#��!�%� �� 2+5 �� ���*#+��%

�� � ��� �����������!

0����� ��� � /�� � � ������ � �������� ������� ����$�� �$ � ��� ����� � �������� �!� � �� ���� � #�!�% ? !� � !��� ��� ������� ��$��� ��� �� �� ��� ����������� ������+A����� � ������� �� ���� ��� ���������� !������ $�� ���� ���� ��� ����$���

Page 51: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

$. �������� 0��� 1& ���

#!������ �K�:�6% ����� ��� �(����� � �$ � ��� �� ������ $�� ���� �� /�� � � ���� Æ# ��% ? ������ ��#�!�% ? � �

,� ������//�#��!�%� �� � ��� #)�!% �� )�! ? �"#!%

$�� ��� �$� � ���� �$ ��� $��������� ���� /�#��!�% �� �� � !��� ��"��� ? ��� $�� �� �

) � /�#��!�% ����� ��� �(����� � �$ � $�� ����

//�#��!�%� � ���� �� Æ �" ? #)% ��� ) � /�#��!�%�

�� ����Æ# �� Æ �"% ? ��"��� ? ��� ? Æ# ��%�

��� )�� )� � /�#��!�% �� ���� ������ Æ �"�"� ? �� Æ �"� Æ �"� ? # #)�% ��% Æ �"� ? #)�% # �� Æ �"�% ? #)�% #)�% ����� ���� �� � ���� ������������

,� ��� � - � ��������� �$� �+/ ; � �� ���� � Æ �+ ? + ��� ������� ����

Æ# �� Æ �+% ? �+���� ? +���

��� � ������ ���� #2+5% ? ��#2+5��!�% ? ��#�+#�%% ? ���#+��%�

!��� ������ ��� ���$�

+�,���� �5� ���� ��� � � =���#�� �% ��� �����������

����

7 //�#��!�%� � ���� ����

7 #2+5% ? ���#+��%

$�� �� � �� ����� ������ �� +/ ; � � �� !� �� ��� ��� ���� ����������� �� � �������� �� !� �

A���� ��� $�� ���� �� �� ��� ���$ �$ ����� �K�:��� $� ���� ������� � ������ $�� ������ � �$ ��� �� �$ ��� ����� ����������� �� ������� !��� ���� �� ��� $������ ������� �$��� $��������� ������� $�� ����$��� ��� � ��� ��� ���� ���� ����

2����� �5� ��"� #���������� !������M �������� ���� ��� ���% �� � � � �������� �������� !� � � � � ��� �� ��� ��� � � Q�#�� �% ! #� ����� � �������������� � /� � � ���� � ? Æ#�% �� ��� ���� �� � �������

)�@�

:2�� �5 ? 7 ��� ����

7 ? ��

&'�� ���� ��� �� ��� �5

&'�� ��� �5��� ��� � �� � �� -�� ����� �� � ��� V � � � ��� ���� �������� �������� ��� ������� ��� ���� �0V �� �������

&'�� ��� �5� � ��� � �� � ������ ����$��� � � ������ ��� ���� ��� � � =���#�� �%�

���� ����/

��� ��� ��� ��"��������� � G�"#�% �� ����

����

7 # ��% ? ������ 7 #�% Æ /�# �!�%//�#��!�%� ��

��� ��� � �� � ��� ����� � ���� ������� �� � $��� ��� �$� �� .�! ? ��#!% ��� ��� ��� � ����� � � �� ������������ '2#.%� ����� '�#.%� ,� � � �� � ��������� $��� �$

���� ? '�#.% Æ ����� $�� �� � . � � � ���� ���� �$ � �� � ���������� ����

'2#.% Æ ����

7 #�% ? ���-��

7 #�% Æ /�#�� �!�%//�#��!�%� ��

�$� �� ��������� !� �� �(�� �� � ��� � �� ���� ���� ����

��#����

7 % � �*�

Page 52: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� $�

�� �� ��� �!��������� ��� ����� ��� ��� �"�����

�� ���� �� ���� �� ���� �� ��� ����� ���� �� �(������� $�� ���� �(/�#�% � � ��� ��� ���������� �� ��� ����� ���� �� ��� � 7������������� �� �#�% ��"������� �� ���� ��������������� �� � � ,� � �� � ��� ����� ������� ����������

!�� ��������� �$ � � �(���������� ��� �������� ���� ���� ���� ��� ��� ��� ������������ ���� �$ ��� � ��� ���� �� ������ �� �� ����� � ���� ������ �$ ��� �������� ��� ��������� ���� �� � ���� ����F����� �$ ����� ������� $�� ��� � �� ��� $��� ��� ���� ���������

P�$��������� ��� � ������ ��� ����� ��� � �� �(�������� &� �� �������� �(����� ��� ��� ��� ���� G�"#��% �� ���� ������

5��� �� ���� �'������� ��� ������

+�,���� 5����� ,� � � ��� ���� � ������� ��������� �$ �� ��� � ������ �(�������$�� ���� �(/ � ? �#�% � � ��� ����� �(���� �� ��� 7������������� � � � �� � �����( �� /� � �(#�% �� � ��"��������� ���� �� ��� �������������� �$ � � & ��� ������ ��� ��������� �$ �� ��� �� �(������� $�� ���� ��� � �� � ��"��������� �� � �

��� 5��� � "� � �� � �� ��� ���� ��������� �������� �(/ �� � ���

) �(#7% ? ��� �

0����� ��� � � �� ���� �(#% ? + #�%� ����� + �� � ������� �$ ��� �KD

+#7% ? �� Æ#+% ? �

!��� ����� �� ���� ��� ���� �(#�% ? +� #�% ? + #�% #E����- �K�:�I%� ��� ��� �

#) �(%#7%#% ? +� #7% ? �

!�� �� ����� ���� �� ��� �� ���$� �� ��� ������������������ ����(� �� �� �� �� ������������������� �� 0��� � ����(�� ��� 0��� �+��� ����� �� $���� $��� ��� ������� ��� ����!������ ���� �( ������ �� �� � ��"��������� �$ ���� ��� 7������������� �� � �� �� ����������������� �� � � �� ���� �� �� ��� ��� �(������� $�� ���� �� ������ ����� ������ � � ,��� ��� ���� ���� ���� �� ����� ���� ��� ���- $�� ��=� ���+��� ����� �� ���� �� ���� ����(������ �� �� ������ ������� ��� ���� !������� !��� ����������� ��� ����� ���� �� ������������ ������ ������������ �� ���� ������������ �� �� �� ������ ��� ������ �� ����� ������� ��� ������ �#�(* % /? �(2 #% �� ���� !������ �K�:��7 �� ���� ��� ����� �$ �(*���� ��� ������ �� �������� ������������ �� � # $� !������ K���J ����%�

����� 5����� #�% �� ���� �$ ����� K���:� ��� ������� ��� ���� !������ ����� ���� �� �0��� �+��� ���� �� � �� �(�������� !��� ��� ����� � ���������������� ��� ������

#�% P��� ����� �$ �� -�� ����� A�&� ��� � �� �(������� # $� 217:�5%� �� $� �� �$ ��� � �� -�� ���( ���( A�&� ���� ��� $� � ���� �� �� ��� ����� ���� $�� �� � � � � ����� ���� �� #�% �� � ��� � ������ #��� � ��� �� ��������%� ��� �� �� ����� �� 217:�5 ������� �������� � ��� ���-� �� $�� 0��� � �������� ,� ��� ���� �� ��� ������ ������ �������� ������ �� ���� ,� ���� ������ �� �(������� $�� ����

�(4/�� ��� �� �

:/B

��

#8#M� %�� )M�

Page 53: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

$ �������� 0��� 1& ���

����� V �� � �� ����� ������ ������ ������ �� #%� !��� �( �� � �������� $�� ������ �� �

��� '#�% /? ����%�/% � �� #�%� ������ ��� �� ��� ������ �$ � � � � !���

Q /? �� � �/ '#� �% ��

�� �� ��� �������������� �� �� � ��� ���� ��� ���( �������� $�� ����

��/ �I � � / �� I� �� � �

�����$���� ��#�% ? 7� �� ��� ��� �������� $�� ����

��4/ Q� �� �� �

:/B

��

��#M%#M� %�� )M�

����� V �� � ������ ������ �� #%� ���� �� ��� ��� ��� �$ ������ � ������ �� C�� $�� ����� � ��� ����� ���� #��4 Æ �(4%#% ? $�� '#% ��Æ ����� ���� ��� #�(4 Æ ��4%#% ? $�� �� � � Q� ,� �� ��� ���� ��� ���� ���� �� �� � �� �(��������

�$ � �� � ��� A�&� ���� ��� ���� ��� $� � ���� ��� ���(�� ����� �� �� � A�& �� ��� ������4�#Q ���% � � � ��� ���� ��4 /? ��4� �� �� � ������ � � ������� �� �(4 /? �(4� �4 �

# % �$ � �� � � �� �(������� ��� ���� ��� � �� � ��� � ����$��� ���� ��� ������� � /? ��#���% #B(��� �������:% �� � �� �(��������

�� $� �� �$ �(� / � � � �� �� �(������� $�� ���� �$ � � ����

�(*/ � ? ��#�� �%� � ? ��#���%� C �� �(� ÆC

�� � ������ �(������� $�� ���� �$ � � ��� � �� ��� ��� ��� �(������� $�� ���� �(� / �� ��� ��� � � � ���� �$ � � ��� ������ ���� �$ ��� � � ����� �$ � ����� ���� � �� � ���(��������

#�% E� ��� ������ �$ A�� ,� -� #2,�735% ��� ���� ��� �� ����� ������� �������F������ �� ����� �����/ �$ � �� � �� �(������� ��� �/� �� �� � ������ ��� �� � ���������� ��� ��� � ����$�� � � ���� 1��#� % ������ � ������ ��� ���� ���� ����� ������� ������ � � �� �(������� ��� ����� �� $� �� ��� ����� ����

���#� % /? ��#�� �%� � ��#���%� �? 1��#� %� C �� �(� ÆC

�� � � � ������������� ��� ���� �� �� �� ���� �� ����� � ��� ���� ���� ���� �� 1��#� %�

#�% �$ � �� � ������� � �� ����( ��� ������� ���� �� �� ��� ��� 0A) ������ � & /?@ & @ �

� 2� &5 @ �� ����� � ������� ��� ���� ���� ���� #�� �% ���� �#�� �% ? � �

���� �������� �$ � ? ����

�� �� � ��L� ���� ���� �$ � $���� �$ ������� ��� �������

#��%��� #� ��� ��� ����������� �� �� ��%� ���� ��� ����������� �������� �$ ��� ���������� ��� �������� $�� ��� ����������� ���� ���� ������ �� ���� #�� �% /? ��

��#�� � �% ������

�� ��� �� � � � ��� ���� ���� ���� ���� �#�� �% ? � � ,� ���� ������ �� �(������� ��� ����� ? #�� �% ���� �(* ? ��� �

!��� ������ ���� �� �� ���� �� ���� ���������� �� ��� ���� ������ ����� �� �� ���������� ��� ������ &� �������� ��� �$ �(���� ������ �� $����� ��� � �� � ����������������� ��� ��� �� �� �� �"#�� � % ������ ��� �� � �$ � �������� $�� ����� � � � �$ ������ ) �!��� $�� �� � � � : ��� �� � �� /? �������#�� � % ������ � ������ ��� ������ ���� ���� �����$�� � � ��#�� � % ��� . � ��#�� � % ��

2�� .5#% /?

�).#%�#% )�#%.#% $�� B@ 1 � � �7 $�� B@ 1 � < ��

!��� �� � ����� ����� �$ ��� ������ ��� ��� -�� �� ��� �� � ��#�� � % �? �#� %� �������� �� ������ �$ � ����� �$ ������ < � � ����

2��#�� � %� ��#�� � %5 � ������#�� � %

Page 54: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� $�

�� ���������� $���� ���� �� � �� �� � ������� ��� ������� ��� � ! � �� ���� ��������L� �����

��/ �� � ���

��� � ��� � ���� ������������ �$ ��� �������� !�� ��L� ���� ���� ��� ������ � /? ����

��

�� �� ��������� ���� ��� �� � �$ � ������ $���� ���� ������ �������� �� ������ :�

& ������ ��� ���� ����������� �� �� �� ��� ��� �$ � ������� ��� � /� � � ����� ��� � �� � !�� ���� ���� ���� �� ����� �� ��������� ��� ���� �������� � ����� �$ �����< � /

� � . ? #� Æ .%���!��� ����� �� ���� � ������� ��� ���� ���� ��� ������ �� � !�� ����������� �(�������$�� ����

�(*�/ �� � ��

�� ����� �� ;�����������< � �� ��� ��� � � �� ����� ����� �$ ����� < � � ��� � �� ����"������� �� � �� ��� �� �� ��� �(������� $�� ���� �� � ��"��������� �� � �� �

,� �� ��� $��� ��� ��L� ���� ���� ���� � /? ����

�� ����� ����$�� ���� ���� ��

�������� $��� ��� $� � ���� �� �� �� ��� �� � ���� ���������� ���� � � ��� � ��� �(�������$�� ����� ��� ������� ���� ��� ������� �� ���� �� ��� ���� � �� �� �(������� ��� �������� � ���������� ��� ������� !�� ���� � �� �� ������ ���� ��� ��� �$ � $������"���������� �$ � �(��� 7 ��� ���� ���� ����� ���� ����� �� ��� � ��-����� � �� ����������� ���� � ��� ������ �$ $���� �� ��� �����

#$% ,� ��� ���� � ��=� ���+��� ���� � ��� � �� ������ � $�� ��� � �(/ �� � �� � ��"���������� ��� ������ � ��� �(�� �� ��� �� ������ ��� ��� ��� ����������� ����� ������� � �� ��� ������ �

��� &"#�% ������ ��� ��� ���� �$ � � ��� � �� �������� �� �� � ������� ���� �������� �����

#� &%#�� &�% ? # @ #,�� & @ &�%

��� ��� �(������� ��

�(/�� � �� � �(#� &% ?

�#, �

&� &

��

����� ������� �� ����� ��

��/�� � �� � ��#� &% ?

� &

#, �� &

��

.� ��� ��� ������ ��� �� ����

2#� &%� #�� &�%5 ? #&� &�� 7%�

!��� ����� ����

��#7� &%��#�� &�% ? #&��� 7%�

�� ��������� ��#7� &%

� �������� �$ ��� ��� �$ �&� ��

,� ��

� /? &"#�%� �? #�� %�

���� ��� ����� �����

#�� &�%���#��� &

��%��� /? #� @ #

,���� &� @ &��%����

,� ����� � ���� ��� ����$�� ���� ���� �� ������ �� ������$���� �� ���� ��� ���� � �� �#�� %� ��� � �� � ��=� ��� �� � # $� B(�� ��� ���4%� !��� ����� � ���� �� ������ ����$��� &�

Page 55: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

$" �������� 0��� 1& ���

��� ���� ������ ������� ��� ����� ����� �������� ������ ��� ����� ����� �$ � �� ������ ���� ��� ���� ���� $�� ��� ��������� ��� �� ���� �� &"#�% �� ����

#� &%�� ? ##�,�&%�

!����$��� � �� �� ������ ��� �����

!�� �(������� �� �$ � �� ����� ��

�(##�� &�%%� ?�#,� �

&��� &�

��

��� ����� �� ��� ���� �( �� ������ �� ���� ��� ����������� ���� ������ �������� ��������� ��� ������� $�� ���� �� ������

�(��##�� &�%%� ?� &�#,� �

�� &�

��

��� ���� �� �� ��� ������ �� ���� ��� ���� ������ �$ ��� ��� ������ $�� ���� & �� ,9���

�������� ��� �� ��� ������� $��� :/ �� :/ � ��� ��� ���� � �$ �������� ���� �� � ���������� ��� �� ��� ������ �� � �? #�� %� �

��� ��� ����� ����� �� ��� ��� ������ ���#�% �������� $��� ��� �(������� ���� ������

#� &% � #�� &�% ? ��#�(#� &% �(#�� &�%% ? ���#, �

&@ #,

#,� �

&��� & @ &�

?� & @ &�

#,�,� �

�#, �

&@ #,

#,� �

&���� & @ &�

��� �� ���� ���

#7� &% � #�� 7% ? ��##,� &% ?� &#,

#, �� &�?� &

� #�, � &��

!����$��� ��� �������� $��� ����� ��� ����� ���� ��� ����� ����� �� ��� ���� � ��� ������� �� ��� ������ �

��� ��� $������ ������ �� ��$�� �� 21C7>5�

2����� 5���"� 1��� ���������� ����������� /� � � ���� ������� ��������� ���� �� ������!

0����� #����% P���� �(������� ������ �� ������ ��� 7�������������� �� � � ? �#�% ����� � � ? �#�% �������� ���� � ��������� �� E/�� � �� �����$����

E# � &% ? E#% � E#&%� � & � ���

!��� ��� ����� �����#% /? ��

����E# �

�%

�������� $�� �� � � � � ���� � ��� ���� �� � 7������������� ���� E � ��� ���� � �� ������&� � �� ��������� �� � 7�������������� �� �� ������� ��� $��� �(2 Æ� ? Æ �(* �� � 7������������� �� �� � �� ������ ���� �� �������

2����� 5���$� �� � ��� � � ������� ��������� ���� E/�#�%� �#�% � ��������������������� �� �� �� ��� ��� ����� ���� � �� ������� ��� ������ �������! #���� ����� � ����� ������� �� �� ���� /�� � ���� �# % ? E !

0����� #����% ��� �� � � ? �#�% �� � ����( ���� �� 7������������� ���� ��"�������� �� �� ��� �(������� $�� ���� �� �� ��� ������ �$ � �

Page 56: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� $$

����� ��� ����� ���� ��� � � ������+A����� $��� �� �� �� ����� ��

#L�% /? #�(� L*% ?

� �

#�� �� )��

!��� ����� ���� E�L� ? E Æ L� �� ���� 7������������� �� � � ��� ��� �� � /�* � �� ���(2#E#%% ���� ���� ��

��L2 ? E Æ L*�������� ���� ��� ������� ��$��� E Æ L* �� � �� ���������� ��� � ���� $��� �� � �� �$���������� ��� � �� ���� ���� ���� �� �� ����� ��������� #$�� ���� ��� �� ����� �� �� ������$ �$ ��� ���������� !������ �K�:�6%� �� ���� �� ��� � ������ $�� ���� /� � � ���� #�% ? � ��� Æ# % ? EÆL* � C�� D��������� �K���4#3% ����� ���� �� � ���� ��������������� �# % ? �� ? E �

/�������� 5���%� "� �� ��� �� � ������� ��������� ������ ������� �� ���� ������������� �� �� ��� ��� �� ��� �� � ���������!

�� �� ������ ���� �� ����� ��� �� ����� ������ ���� A������ �K�:��7 ��� � ��-�� ������� ��������� $�� ������ ��� ������ &������ � -���� ��� ����� ��� ������� ����� �� ��������� ������ ���� � � �� �(������� ����� ��� ������� !��� ��� ������� �� $��� �� ���$��� ��� �(��� � ? G�"#��%� ��� � �� ������ ��� ��� � �� �(��������

G�"#��% �� �� �� ���� �'�������

0��� �� ���� ���� ��� �(������� $�� ����

�(/�#��%� G�"#��%

�� ��� � � � ��"��������� �� ������ ���� ����� �������� ������������ �$ G�"#��% �������������� ��� � �� ��� �� �� � ������������ ����� ��� � ��� ��� �������� �� ��� ����� �$�(�

��� � /? G�"�#��% ������ ��� ���� �$ ����������� ��������� ��"���������� �$ ��� �����

��� �������� ������� �$ G�"#��%� !� ��� � ������ � ���� �$ ���� ����� �� ���� ������ � ���

�������� ������� ���� �� � ���

�� /? � � G�"#�%/ # � �% # @ :/% ? #%� � < 7��

,� ������� ��� ���/� � �

� /? �0:/�� �� @ :/�

�� ��� �������� ������� �� �$ �� � !��� ����� ����������� ��������� ��"��������� E �G�"�#�

�% �$�� �� � ��"��������� �E �$ � � �������� ���� ��� ���������� � ���� �$ ��� ����

:/� �? /�#��%� ��� � ����� ���� �E# @ :/% ? �E#% @ :/ $�� �� � � � � !�� ��"����������E �� ��� ��� ���������� �� ��� ��� � �$ �� ������ �� ���#E#�#7%%%� !��� E �� �����������

��������� ����� ���� �E� < 7� )�� � �� ���� � ���L� ���� �����������

�*/ ��� �� �*# %#�#%% /? �# #%%

���� -���� �������� �� � �

!�� ��� ���� ���� ���� �$ �� �� ������ ����� �� �� �� ������ �� � ���� ����� ������:#���% ������ ��� ��=� ��� �� � �$ :/ ������� ������ $�� ����� �� � � ��� � �� ����������� � ���� ����� � �$ ��� ��=� ��� �� � ��#���%� �� ���� �� �

� /? � � ���:#���%/ � < ��

Page 57: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

$% �������� 0��� 1& ���

�� �� ��� ����( ������ ��� ��� ��

N/� � ��� N#�%#% /? @ �#%

�� � ��L� �����

�� $� �� �� � � � � !��� N#�%#@:/% ? N#�%#%@:/ $���� ���� �� $��� ��� �� ������������ � �� :/ ������� � ��� N#�%� < 7 $���� $��� � � < �� !����$��� N#�% �� ���� �� �� ����������� � � ��"��������� �$ � ���� ��� ������� N#�%#�% � &� ��� ����� ������� �� ��������� �����

���������� �� :/ � �� ��� ���� N#�% �� ���L� ���� ��� �����$��� N#�% � �� � A��������� �� �� ������ ��� ���� N��#E%#% ? E#% ����� �� ������� �$ N� ,� ����� ��� ����$�� ���� ���� ���� �� �� ����� N �� �� � ���� ����� ,��� ���� � �� ���� ����� ��� ���� ��������� �� ����� ����� ��

!#�� .%#% /? �#.#% @ % ��� D#�%#% ? #� @ ���%��#% �

��� � �� �� ����� ���� �� �� �� ������ ���� ,� ���� ������ �� �� ��� ���� ���� �$ � ������� �� � ���� N/� � �� �� � ��"���������� �� ���� ��� �� �� ����� ���� ��� �����$������� ���� ���� �� ���� ��� �� �*/ ��� � ����� ��� �� �� ��� �������� ������� �� �$ � �

2����� 5���(� 1�� ������� �� ������� �� G�"#��% �������� ����� ��� �������� ���� ��� �� �� ��������� ��������!

0����� ����� �� ������ � ������ ������� �� �� ��� � ��� ��� �� ��� ��������� ��� 7 , ��

�� ������� ��� $�� ����� /� � �� �� @

/

�@ , ����#�%

��� ������� ���� � � �� $���� $��� � �#% ? � @ :,� ���#�% ��#�% ? � @ ,� ���#:�% < 7�

���� �� ��� � ���� �(�� ��� ,� 7 �� ��� ������� �� �� ��� � ��� ���������� ��� �� ��� �

���� � �*#�% ��� � ��� �� ������ ����� �$ ����� :� �� �� / P���� �*#�% ��� ���� �#7% � ���� ���� �� :

��� �� �� ���� �� ������ ��� �����

�#7%� �#:�%� �# �:

�%� � � �� �# ����� :

�%� �#7%�

��� 7 � :��� ���� $�� � /? �#�%/

� @/

� �

:/

��

��� $�� � /? �#���% ��� ��������

7 � � /� � :/

� /

��

!����$��� � � �� :/� $�� �� � � � � � ��� ��� � ��� ����� �$ �#�% ����� �*#�% �� ��� ������!��� ����� ���� �*#�% ��� � ��� �� ������ ����� ��� ���� ��� ����� �$ ���� ����� �� :� �

���� �� �*#�% �? .� $�� � . � G�"#��%/ ,� ����F� ��� ������ ������� B���� ������ ���� �$. �� � ������ ���� �$ .� ��� �� � ������ �$ ��� ����� �$ ����� . �� ���� ���� ��� ����� �$ ����� . ��� .� �� ��� ����� �$ ��� ����� �$ �� :! � ���� ��� ����� ����� . ����-� � ���� ��������� ����� .� � �� � �$ ����� ! � !����$��� .� �� ����� ���� � ����� ������ ����� �$ ���������� ��� ���� ����� ���� �*#�% ��� �� � ���� ���� �� G�"#��%� �� $���� �� ���� ��� �����*#�% ���� ��� �� �� ��� ������������ �������� ����� �*#�% �? �(� $�� �� � � � �#�%�

����� 5���)� #�% �$ � �� � ��� � ����$��� ���� ��� �� ���� ���� ��� �������� �������� G�"#�%� �$ G�"#�% �� � ���� ���� #B������ )������ ��� !�������M ��� 2B675%�0���� ����� �� G�"#�%� � ��� ������� ��(�#�%� ��� ���� ���� G�"#�%� � )�� � �������"��������� ������� �� ��� �������� �� � ����� ���� � �$ �(���������

#�% &������ G�"#�%� �� � ���� ��� ����� ��� ��� ������ �#�% �� $�� $��� ����� �������� �� � ������ � �� ��� ��� ��#�% �$ � �� ��� ���� ������� �� ��� ��� � �� � ��� ���������� ��� � �� ���� �$ � �� ��� ������

Page 58: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� $(

2�� ���� ���� �� ������ ��� ������

!�� $������ ��������� ����� �� ���� ��� ���� �� � ������ ��� ����

0��������� 5���-� #�� ���+!�� ������ ����% �� � � � ������� ������ �� �������� �� � $��%� ������ ���� � ! #�� � ��� � ������ ��������� �������� �� ��� ������ � �? �0V4 ����� �� � ����� ��� ��� V4 �� � !

0����� ��� �� � ������ ��� ���� �$ ��� $��� � ? �0V4 ��� ��� ������ �� �#�% ? � ������ ������� �� �� � �� � ������ �(������� $�� �����

!����$��� �� ������� �� ��� ���� ��� �(����� � �$ � ������ �(������� $�� ���� ����� ����� �� �$ ��� $��� �0V4 � ����� �� ��� ���� �(4 �� ���L� ����� ��� � ��� ��L���� � ���� �$ � �������� #A������ �K����%� ����� �K���I ����� ���� �(/ #��@%� � �� � ���� ��������������� � � ������� �$ ��� ������ ��� � � � ��� ������� � ������ ��� +/ 27� �5 � � ����+#7% ? � ��� +#�% ? � � !��� ��� ��������� ���������� C /? Æ#+% �� � ������ �� 27� �5 � �

��� �� ������� ��� ������ ���

D#�% /? �(4

�� �

C#"% )"�

���� ��� �������� Æ#D% ? C #D��������� �K���4#�%%� )��� �� ���� ���� ��� �� -�� ����������$ � �� ������ ��� �(����� � �$ ��� E������ ������� �$ ��� ������ ���� C � C�� D#7% ? +#7% ? �

����� ����

� ? +#�% ? D#�% ? �(�� �

C#"% )"�� ��#�(%

#����� �K���>%�

��� �4/ �� � � ������ � �������� ������� ����������� ���� �#�4% ? ��� � !��� ���

�(������� $�� ���� �$ � �$�� �� � ������ �(������� $�� ���� �(�4/ � � �� ���� �(4 ?

�4 Æ �(�4 � ��� � �� �� ���� ���� ���� ��� ��� ������ ����������� ���/ �� � ���������� ��

� ��� ���� ����������� A/ ��� � ���� �#A% ? ��� #!������ �K����%� ,� ��� ����

A Æ �(�4 ? �(� Æ�#�% ? ��� Æ ��� ? ����

��� ��� � �(�4 ÆA ������ �� �� ��� �������� �� ��#�(�4% ? � � ��� � ��� ���� ��

�(�4 ÆA ? ���4 �)�� � �� �? � �� ��� ������ ��� � ����� ���� �(4 �� � ������� ������� ��� �����$��� ����V4 /? -��#�(4% � � �� ��� ���� ���� � �? �0V4 �

5� � ��� ���������

�� �� � �� -���� ����� �� ���������������� ��� ������ ���� $�� �� � ��������� � �$ ������ ������ � �$ � ���������������� ��� ���� � ����� �(���� � ��� ���� � ���� ��� ������� �������� ���� �� ��L� ���� ������� �$ ��� ����� N/� � � $�� ��� � �#N%/ � � � �� ����� ����� ��� &� � ���� � ��� ���� ���� ��( �� � ��� ������ ������� ����������� �� � ���� � �� �� �� ������ $��� ���� ������� �� ��� ���

� � �/ �(#�% � ���!��� �� � ��� ���� ������ �$ ������ �������� �� �� ����� ���� �� $� ��������� $�� ������������������ ��� ������ ��� ���� $�� � �� �(������� ����� &� �� ��� ��� ����� �� ��� ���� ������ �� ������ ���� ���

Page 59: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

$) �������� 0��� 1& ���

0��������� 5� ��� �� � � � ������� ��������� �� ���! �� � & � �#�% � ��� ��#��� 2����� ������

�(#@ &% ? �����

��(

��

��(

� &�

������ �� ��������� ������

�(#2� &5% ? �����

��(

��

��(

� &�

��(

� �

��(

� &�

�����

&� �� ��������� ���� ��� �� �� �� ������ �� �� � ���� ������� � � � � ������������ �$ �#�%/

/�������� 5� � � �� �� ����� ��� ��� � �� �� ������� ��������� �� ��� � �������

�#�% /? �� � �#�%/ �(#��% � ���� � ����� �� ����� �� �� �#�% !

��� � ��� ����� �$ � ������� �$ ��� ������� ���� ��� �� ����� �� �� ���� ������ ���� �� ������� ��� ���� ��������� ����� ���� ��� �����������

+�,���� 5� ��� & ���� ������� � �$ � � �� �(������� ��� ���� � �� ��� � ����� ��� �$ ����� �(���� �� ��� 7������������� � � �#�% �� � ���� �( �� �� � ��"������������� �� ��� ������ �(#� % �$ � ���

�(#� � �#�%% ? #�(� % �������� 5� �"� #�% �� 2����5 �� ���� �� � ������� � �$ � 0��� �+��� ���� � � ����� ��� �$ � ������ � ��� ���� ���� ���� $�� ��� � ����� �(���� �� ��������� D/� � � ��� ���� �$ ��� ��������� �$ �� ���������� ���� �� �� �� ����� ��� ��� ������ � ? �#�% �$� ? �#�% �� �� � ���� ��������� �$ � ��� � �� ��������� �� ��� ����� ���� ����� �(���� � ���� �� ��� �� � �������� A��������� �� �� ����� �� 2����5 ���� $�� ����� ��������� ���� ��������� � � � ����� �(���� � ��� ������� �� ���� ����� #2����� !�� K��>�I5%� ��� ����������������� ��� ���� � � ���� �� �� ��� ����� ��� ������ �������� �$ � �� ���� �������������� �$ � ���������������� ��� ������ �� ���� ��� ���������� &� ��� ����� ������ ��� �������������� ����� � ? �� ������ �������� �$ ���� ��� ���� ��� �� ����� ,� ������� ���� ��� ���� ����� �

(�#���% � @�#���%

�$ �� ��� �� ��������� �� 7 �� ��� ��������� #��� 2,���>� ���F �K�J�>5 $�� �� ������������$%� ��� � ��� � ��� ������� �� ��� ����� �$ �����

#�% !�� ���� ������ ���� �� �� �$ � ��� ������� �� ��� ��� ���� �� 20��4�� A�� 35� )���� ��� ������� � �� �� ����� �� �� � �������$�� ��� � ����� �� ���� ��� ���� �� �� � �� ���� ��� �����$��� ����� .� ��� ����� ���� ���� ����� ���� ��� ������� �� � �0� ���� ������ ����$�� ���� ���� $�� ��� � ��� ������� �� �/�� �0� �� � ���������� #20��4��A�� 3� ���J� D��� ��5%�

# % ��� ���������������� ��� ����� ���� �������� ��� ��� ��������� ��� $�� 0��� �+��� ����� ���� �� �� ����� ����� ,��� ������� ���� �� ���� � �� ��� � �������� ��� ����������� # $� 2)����4� !�� >�I�#��%5%� )�� ��� ���� �������� ��� ������ �� ����������� ��� $������ �(��� ��� �� *� )� )�$����/ ,� ������� ��� ��� )����� �� � � /?A�#27� �5��% �� � 0��� �+��� ����� !��� ��� ������� � /? A�#27� �5��% �$ � ����� $�� �������� � ����� ���������� ��-� ����� �� � �� � ���� �������� ��� � ��� �������������������� �$ � ��� �$ ��� $��� �� � � � � � �� ���� �#�% ? �7� � .� ��� ����� ����� ������� � �� �� ���� ���� ��� ��� ���� ����� ���� �� ���� ��� �� 9 / 27� �5�� � � �������

9 #�� �%#% /?

��#% 7 � � �7 � � �

�� ��������� ���� 9 #�� �% ? � ��� 9 #7� �% ? 7�

!�� $������ ��������� ����� ���� ��� �������� ���� ������ ��� ���� ���� ������

Page 60: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� $-

0��������� 5� �$� �� � � � ������� ��������� �� ��� ��� � � � � �� ��� ��� #��� ���� � ������ ������� ��������� �� ��� ������ ���� ���� �#�% �� �� �� �� �� ��� ��� �� ��������� ��� �� � �� ��� �� �� ��������

�(2 ? �(* ���2 /�#�%� ��

$��� �� ��������� ��� N/� � � �� � ������� �� �� ���� ����� �� � ��������������� ��� ��� ��� �#N%/�#�%� �#�% �� �� ��������� ���!

0����� #����% !�� ���� �� �� �� !������ ����:�� �� ��� ������� � ����� � ? �(����� $�� ���� ������� ��� �������� ������ � � �#�%�

0��������� 5� �%� "� /�� � � �� � ������� �� ������� ��������� �� ���� ��� � � ��� � �� ��� ��� ��� � � /? ��#�% �� � �� ��� ���! "� �������� -�� �� � �� ��� ����� �� !

/�������� 5� �(� "� � � �� � ����� ��� ��� �� �� ������� ��������� �� ��� ����� ���� �� ������� ��� �0 ���� � ������� ��������� �� ��� ������ �� ����� ��������� ��� �/�� �0 �� � ������� �� �� ���� ��� �� � �� ��� ���!

2����� 5� �)� #X������� !������ $�� � �� �(������� �����% �� � � � � ������� ��� ��� ��� � � � ? �#�% ��� �� �� ��! #�� �� ������� ��� �0 �� � ���������������� �� ��� �� ��� ���� �� �� ����� � 7��� ������� � � � ���� ���� �� �����

L�#% /?

� �

#�� �� )�

�� � �������L�#%#�% ? � �� ��� � ��

/�������� 5� �-� #X������� !������ $�� 0��� �+��� �����% �� � � � � ����� ��� ����� �� &�����/�� ��� � ! #�� �� ������� ��� �0 �� �� � &�����/�� ��� �� ��� ���� �� � ����� �� ��� ���!

0����� ��� � � ? �#�% �� � 0��� �+��� ������� ��� ���� � ? �# % �� ��������� ����� ���������

L�#% ?

� �

#�� �� )� ?� #� ��

��?

�����

#�@ �%O#�%�#��%��

��� �� #��% � ��:#7% #��� � �� ��� ��� �� ���� 7������������� �$ �% ���� ������� ������������ ��� ��� ������� �� �� �(������ �� � ���� ������ �� �� � !����$��� �� ��� ���L�#%

��#�% � � � ��� � ����� L�#%#�% ? � �

9������� ���������

,� �� ��� ��� ��� � ���� ��������� �������� ��� � �� ���� �� ���� ���� �� �� ������ ����$� ���� � ���� ������� � �$ � 0��� �+��� ���� �� � ��� �������� !� ���� ���� ���� ���� ��� �� �� �$ � ������� $�� ���� ��� �$ �� ������� ��������

+�,���� 5� ��.� ��� � �� � 0��� � ������� & ������� � � �� �� ��� �� ���� �$����� �(���� � ) � �� ��� � ��� �$ 0��� � �� � ����� ������� $�� ����� �� � � � �$������ � ) �� � ����

� ? �. � ��/ # � � % �#.� .��% ? 7��

2����� 5� ���� #)�����T*��% 2C�7I � D��� �K��I5 1�� �� ���� ��� ��� � � �� ���� ���� ��� �� �� � &����� �� �� � �� � �� ��� ���!

Page 61: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

%. �������� 0��� 1& ���

0��������� 5� �� � �� : � � &����� ���� ��� 9 � : � ����� �������! #��

� /? �. � 1�#:%/ .�9 � 9�

�� � �� ��� ��� �� 1�#:% !

0����� ��� � � � �� �� ��� 7������������� �� � ���� �( �� /� � �(� �� � ��"���������� ��� � �( �� � $�� � � � � !��� ��� ������� $�� ����

��/? #�( �� %��/ �(� � �

�� ����� �� ��� ��������� ���� ������

��#.% ?

�����

#�%����

#. �%�

#���� �� ����� � ���$O%� ��� . ? �( � #�(� %�� �� ���� ������ �9 � 9 ���� �� $��� ������� �������

9����� ���������

+�,���� 5� ���� ��� � �� � ��� ���� ���� �� �(������� $�� ����� �� ���� �� ������$�� �� � � � /? �#�% �� ����������� #�� /? &�#�(% � &��#�%� & ��������� � � � �� ��� ����� �$

#�� �� ? &�#�(%�� ? � $�� � � ��

&� ���� � � � �� ��� � ����� ���� �$

#�� �� ? � $�� � � ��

!�� $������ ���� ����� ���� �������� �$ -���� ��� ����� �� � �� ������ �� ������� $����� ������������ �$ � ����������� �$ ��� ��������

��� 5� ��"� "� /�� � �� � ������� �� �� ���� ���� �� ��������� �������� �����#�# %% �� � ����� ����� �� �� �#�% ��� -��#�# %% �� � ����� ���� �� �#�% !

0����� ��� � /? �# % �� ���� Æ �(* ? �(2 Æ�� ��� � ���� ��

�Æ#�� ? �# %Æ&�#�(% ? �# Æ(��� % ? �#(����� Æ % ? &�#�(�# %�%Æ�# % ? #��7� Æ��

,� �� ��� �� ���� ��� ���� ��#�% �� � ����� ��������� ��� ���� -��� �� � ����� �����

&'���� 5� ��$� ��� � /? ��#���% ��� ������� ��� ������������ ���� �/� � 1�#� %������ �� �#�%#�%#% ? �# @ �%� !��� � � �� ������� �� � � �� ���� �� ��� $��� ��� ����������� �������� � ���� � ����

� /? � �7 ��

!��� �� � ��� ���� ���� � ������ �(������� $�� ���� ����� ��

�(#�� �% ?�� �

�#"�%�� )"� ���

����� �� �

�#"�%�� )"�#% ?

� �

�# @ "�% )"�

Page 62: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� %�

!�� ��� ������ � ��� ��� ����������� �������� � ���� � ���� ���� � ? � �1 � ����4� ? �� � �����

2#�� �%� #.� "%5 ? #�.� "� �� 7%��� � �? � � � �� ��� ������� ��� ��������� � /? ������ � � � �����

������ /? �� � � / ��#�% � 27� �5��!��� � ���� �� � ���� ��������� �$ � � �� �� ��� ����� �� ���� �#�%������ ? ��������� !��������� �$ � ��������� �� �( � ������� �7� � � � ������ � ��� ��� � � ��������� �������� ���� � ����� ���� ��( �� ? ��� #�% � � �

!�� �� ����� ���� ����� ���� ��� �� ����� � 6� � ���� ��� ��������� �� � ������������ /� � � �$ ��� ���� ���� �� �(������� $�� ����� $�� ��� � �# % �� ��� �� ������ 6� � �

+�,���� 5� ��%� ��� � �� � � �� �(������� ��� ����� &� �������� ��� ��� �� ����L� ���� ������� N/� � � �$ � �� �(������� ��� ����� $�� ��� � � �� ���� ��� ������ ��"������� �#N% �$ N �� ��L� �����

����� 5� ��(� �$ N/� � � �� �� ������ �������� ���� ��� �������

#>�:��% �(* Æ�#N% ? N Æ �(2����� ����

-��#�#N%% ? �#-�� N% ? �7���� ���� �#N%/�#�% � �#�% �� �� ��L� ���� ������� �$ � �� �(������� ��� �������� ��� ������ �� ���� ��� ���� � /? ��#�#N%% �� � ����� ��������� �$ �#�% #����� K�:��I%��������� #>�:��% ����� ���� ��� ������� N#�% �$ � ��� ����� �� � ���� ���� ��� ���������(* �� �$ � ��������� �� �(* � � !����$��� �� ������ ������� �� �� ������ �� � � ���(������� ��� ���� ���� ���� �� ��� ������� �$ � ��������� �� �(* � �

+�,���� 5� ��)� & � �� ����( ��� ������ � �� ��� ������� ��������� �$ ����� �(����� �������� ����( ��� 7������������� � � � ��� �� ��� ������ 4 � � � � �� ��� � ������ � ������ ��

!� /4 � �� #� &% �� � &�� � ���� #��4�!� � 7% �� � � � ��� ���� ���� ��� ��������� ������ ����

������� � � ��� ���� �"�� ��@ "� � � �� ���� #�� "% � 4 ����

� � " ? #�@ "%�

#B:% !�� �� ��� ����� ���� �� ��� !���� �(������ �$ !� �� �#� &% ? �� 2� &5�

��� � ��� � � ��� ���� #��4�!� � 7% �� �� ��� ������ �$ � � �� ����( �� � � ������ � ��� ������ ���� ���� �� � #E����- �������:%� �������� #B:% ��� ������� ���� � �� ��� ��������� �$ ��� � � �����

��� 5� ��-� #� �� �� �� �� � ������� ��������� �� ��� �� ������� ���������!

2����� 5� � .� #&����� ������� !������% �� � � � ������� ��������� �� ������ � ��� �� �� ��! #�� �� ��,���� ������� �/ � � � �� ������� ����� �� �� ������ ��� �� �� �������� ��� ��� �� ��� ���� �� � �� � ������� ��������� �� �� ��!

!�� �������� ���� � ���� ��������� � � � �� � �� �(������� �� ���� ������ ������� ���� $�� � & ��Æ ����� ���� �� 7 �� � � �� ���� � & � � � !� ����$� ���� ������������ ���� �-� �� ���� ���� ��� ������� ���� +#�% /? � �& �$ ��� �$� ��������� �� ��� ���&+ ������� ���� ��� ���� ��� ���� ����� � � �$ � � !��� ���� �� ��� ��������� ������������ )% #7%#�% � � � ��� �� ����� ��� ��������� ���� � �� ������ ����� ���� ��� �������

L�#% ? ��#�� �� )� �������� L�#%#�% ? � $�� � � ��Æ ����� ��� �� 7 #!������ K�:�4%�

��� � ���� ���� � � � �$ ��� � �� �(������� ��� ������ � � ��� ����������� ��������L�#%#�% ? � $�� � ��Æ ����� ��� 7 �� ��Æ ���� $�� � �� �� � �� �(�������� !��� ������� ���� �� ��� ���$ �$ ��� X������� !������ K�:�4�

Page 63: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

% �������� 0��� 1& ���

/�������� 5� � �� #&����� ������� !������ $�� 0��� �+��� �����% �� � � � ���������������� �� ��� ��� � ��� �� �� ��! #�� �� ��,���� ������� �/ � � � �� &������� ��� ������ ��� ��� �� �� �������� ��� ���!

0����� P���� ��� 0A) ����� ����� �� � 7������������� �$ � � �� $���� ���� � �� � ���(��������

����� 5� � � �$ � �� � 0��� �+��� ���� ��� � � � /? �#�% � ���� ������� �������������� ��� ������ ������� � /? ��( �� � � ��������

�#�% ? � � �/ �(#�% � �� ? ��

����� �(� � � ����� � � #!������ >�>: �� 2)����45%�

��� ����������� ���������� � ���� �� �� ����� ���� �� ������� �� ��� $������ ��������(��� ����� #2)����4� ��>65%/ ,� ������� ��� ������ ��� ���� � /? @�#���%�� � �������� ���� ���� ���� �� ����� �� ��� ��������� ,� ����� ##�%��� $�� ��� ����� � ������ � ������������ �$ @�#���%� !��� ��� ������� 4 ��������� �� ��� ���� ##���%� � � � � �� ������� ��� ����� �� ���� � /? �04 �� �� ������ ��� ����� C�� �� ������� ��� ���� ���������� /? @�#���% �$ � � &� �@4 ? � � �� ���� � /? �( � ? � � ��� �����$��� #7� �% � �#�% � ��

&'�� ���� ��� �� ��� 5

&'�� ��� 5��� ��� � �� � � �� ����( �� �� ���� ���� ����� ��������� ���� ������������ +/ #��@% � #��@% �� �� ������� �� +#�% ? �� $�� ���� � � : �

&'�� ��� 5� � ��� : �� � 0��� � �� ��

��� �$ 9 �� � ���� ����� � �$ : ��� � /? �. � 1�#:%/ .#9 % � 9� # $� D��������� K�:��:%�����

�#�% ? �7 � �#:%/7 #9 % � 9����� ��� �� � � � : ��� � /? �. � 1�#:%/ .#�% ? �� �� ����

�#�% ? �7 � �#:%/7�� ? 7��

&'�� ��� 5��� ��� � �� � 0��� � �� � ��� !/���� � � ��������� ������� ��� !������ ����

&��#��!% /? �. � 1�#�%/ # �� � � �% !#.��� .��% ? .�!#�� �%��$ ������������ �$ ��� #��� �� ������� ���� ������% ������ #��!% �� � ��� ���� ����� ��������� �� ��� �� �

���#��!% /? �� � �#�%/ # �� � � �%��!#�� �% ? !#���� �% @!#�����%�

�$ ����������� �$ #��!%� )���/ !������ K�:����

&'�� ��� 5�"� ��� 2 �� � ���� ��� � ��� ? #�%��� � #�� %� �� �����

����

� /? �������

� /9 � 2 �������

���� ����@�#2��% /?

� ? #�%��� /

����

�� � ��

�� � 0��� � �� � ���� ���� � �� ��� ���� ��� /?���� �� �� G���� #� � @�#2��% ��

##�%� ? �� � ���� ���� ��� ������� V ��������� �� �#� / 1 � 2� �� ��� �����

Page 64: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� %�

��� ���� �� �������"���� �� ��� ����"���

,� �� � ���� � � �� ����( ��� ������ � �� ���� �� ��������� �$ ����� �(���� ���� ������� � ���� �#�% ? � #G�������� �������%�

&'����� 5���� �$ � �� � ���������������� ��� ������� ������� ���� ��� ��� �� � �� ����(������� ���� � �� ���������� !��� �� ���H� !���� !������� .�� ��������� �� ���� ���� �� ������ ��� &��H� !������ �� ��� �� ��������� � 6� ���#�% ��� ���� �� ����� ��� ������ �������� /? ��( �� � 1��#�% ���� � ��� ���� ���� ���� �� � ���� �#�% ? � # $� A������ K�:�:7%�

0��������� 5�� � �� � � � ������� ������ �� ���! #�� ��� ����� ���� �� � ���������� ��� &�#�% !

0����� ��� � � � �� � ���� ����� ��� � � �� ������� �� �� ���� ���� �� ��Æ �� �� �������� ����� �(���� � �������������� � � � ���� &�#�%�� � � � ,� ��� ������� ������ ����� �� ��"������� �� �� ��� ����( 7������������� �� � � !��� �� ��� $�� ����� . � � � ���� ��� ��� ������ � � � ���� 7� � � � ��� � �������� �� �/� � � ���� �#7% ? �

��� �#�% ? . �

��� >� � � ��� >#�% /? &�#�#�%%�>� $�� � � � � ,� ���� �� ���� ���� >#�% ? &�#.%�>� �� � ��� ��� ����� ��������� ���������� � /? &�#�%�Æ#�%/� � � �� ������ ��� ��"������� � ������

#J��% >�#�% ? &�#�#�%%�2���#�%���#�%� >�5 ? &�#�#�%%�2Æ#�%#�%� >� 5 ? 2�#�%� >#�%5�

��� � ��� ��� � ��� > ��� �������� � ����� !���� �(������� ������� $�� � ��� �� 7/

�#�% ?�����

���� ��� >#�% ?

�����

>���

�� � � !��� ��� ��"������� � ������ #J��% $�� > �� �� ������� ��

�����

#�@ �%>����� ? >�#�% ? 2�#�%� >#�%5 ?

�����

�������

2��� >���5�

A������� ��Æ ����� ��� ���� ��

>��� ?�

�@ �

�����

2��� >���5�

�� ���� �� ������ ���� ����� >� � � $�� �� � � � � � ��� � � �� ����� �� ��� >#�% � � $�� � ��� �� 7� &���� ��� ���� �������� �� ����� ����� �� � � � �� ��� ���� ��� ��� >��#�% ���� ��� ���� ������ �$ � � ��� �����$��� ���� �#�% � � �� ���� �#7% � � ��� � �� ���� ����

/�������� 5���� "� � �� � ������ �����/�� �� �� ��������� � ����� ���� ����� �� �������� ��� � �� ��� ��� ��� �� � �� ��� ���� �� ��������� ��������!

����� 5��"� !�� �� ����� ��������� �� �� �������F�� �� ��� ����� ��� �$ ��� ������ ��� ������ ����� �� �� �� ���� �� �� ��� ���� ��� ��� ���� G�"#�% ���� ��� ������ �������� ��� ���� ���� ����� ������ $�� �� � ��������� ������ � �� ��� ����� �

�#�%� /? �� � �#�%/� �� ? 7�

�� � ���� ���� �$ �#�% ��� ��������� ����� G�"#�% �� ���� &�# %��#�%� ? �#�%��� $�� � G�"#�%�

Page 65: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

%" �������� 0��� 1& ���

2����� 5��$� #������% "� � �� � ������� �������� ��� �� �����/�� �� �� �#�%��� ��� ��� ��� �� � ��� �� ���!

0����� #�-�� �M ��� 2��435% ��� � /? �#�%� ��� � �� �� � �������� ������ �$ � ��� ��� ��� ������ !��� ���

� /? � � �/ �� ? 7��� � ���� ���� �$ � �

��� � �� � ������ ��� ���� ���� ��� ������ � ��� �� �/�G�"#�%� G�"#�%� ������ ����������� ������� ����������� �$ G�"#�%� � !��� ��� �� ����� ����������� �#�% 6� �

�� �� ���������� �� � ��� ���� ����������� / �G�"#�% � � � ��� . � �G�"#�% �� ��������

&�# #.%%�� ? ��� �� �

������� ���� ��� �������� � �$ � ����� &�#�% #D��������� K��:%�

����� 5��%� #�% �� 2.��4�5 .���� ����� ���� $�� ��� ���� ��� � ������ ����$�� ���� ��� ������ �#�% �� ��� ����������

#�% !������ K��> ���� ������� ��� ��������� ���������� �������� �� ��� $� � ���� �#�%��� ��� ��������� �� ��� ���� � ���� �� �(������� $�� ����� !�� ���� ���� �� ���� $�� ����� � ���� � ��� � � �#�% � � ��� ������������ ���� �(#��% � �� �� � �� ���� �� ��� ����������� ������������ ���� �$ G�"#�%� !��� �������� �� ����� � ��� ����� ���� $��;������< ��� ���� ����� �� &��#�%� ��� � �� $�� $��� ����� � ��� ���� # $� 21C7>5%�

&'���� 5��(� !� ������ � �� �(��� �$ � ������������� 0��� �+��� ������� �� �� ����� $�����

��� � �� �� ������������������ ���( )����� �� � ��� �#�% ��� ������� ����� !����� � 0��� �+��� ���� ���� ��� ������

�#�#�%% ? �#�% /? �� � �#�%/�� ? ���!�� ����� �$ ���� ��� ������ �� ����� �� #�#�%% ? �B�� ,� ������� ��� 0��� �+��� ������

� /?��#�%� �#�%

�0�B#��

!:�%�

,� ��� ���� � �� ��� ���������� ��� �� ������ �� ��� ������� ���� � �� � ���� ��� ������� ���� ��� ������ � � ���

�/ �#�%� �#�%� �

������ ��� ������� ������������ & ������ �� *����H� !������� ��� ���� �#�% ������ � ��� ���� �� /? �#�%��#�% �� ����� ���� #2*�J>5% ��� �����$��� �� ���� ��� ���� ���� ���� )�� � ����� �(���� � ��� �� ��� ���� �����������

� /�� � � ���� �#�% ? ��

,� ���� ���� �(* � ? � �(*� � ��� �� ���� ��� �(#-�� �% � -���� &� =#��% �? �� �� � �������������� ����� ��� �(#-�� �% �� � ����� ������������ ������� �$ =#��%� ��� ��������� �$� ����� ���� =#��% � -�� � ��� ��� � ���� #��% � -���#�% ? -�� � � ��� � �� � ������� �����

!�� $������ ������� �� �� ��������� ���� ��� � �$ A������ K�:�:7�

2����� 5��)� #��� B��+*��������� ��JI% �� � ��� � � &�����/�� �� ���! "� � ����� ��� ��� / � 6� � �� ��,���� ��� � �� ��� ���!

/�������� 5��-� "� � �� � &�����/�� �� �� ��� �0 �� #�% �? �� � �� ��� ���!

0����� !�� ��L���� ������������� ��/ � � ��� � $� ���� ������� �� ��L� ���� ������������0#�% 6� ��� � � ���

��� � /? �4 � �#�%/ # � & � �% 4#2� &5% ? 24#%� &5 @ 2�4#&%5���� ��� ��� ������ �$ ��� 0��� �+��� ���� &��#�% # $� B(�� ��� K�3%�

!�� $������ ������� �������F�� A������ K��4� �� �� ����� ���� ������ �� �������� ���� $�� � � �� ����( ��� ������ � ��� ���� &��#�% ������ �� ������ ��� ���� ���� �����C����������� ��� �� ��� �� �$ ��� ���$ �� �� ����� ��� ������� ��������� �� #�� � � ��� � ��-������� $�� � �� �(������� ��� �������� ���� � ��� ���� ���� �����

Page 66: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� %$

2����� 5���.� �� ��� ������� ��������� �� �� �� � �� ������� �0#�% �� ��� ����� � ������� ��������� �� ���!

!�� �� ����� ������ ���� �� ��� ������������ ����� $�� 0��� �+��� �������� ��� ����$�� � �� �(������� ��� �������� �� ��� ������� ���� � ����� �(������� �$ �� ��������� ��������� �� ����� ���������� �� ���� ����(� � ����� �(������� �� � ������� ������� �/�� � �

�$ ��� ������� $�� ��� � /? -�� � �� ����� �� �� � C�� ��� ������� �� ��� $������/ ����� � ���� ��� ��� ���� � ���� ��� ������ � � ���� �� ����� � ����� ���� �(������� = 6� ��� �;�����������< ��� ����������� ��� ������ �(�������Y ,������ ����� ��� �� � ���� ��������� ��� ��� $������ ������� ��� � ����� ���� � ���� ���� ��� � �� �� $����� ���� �� ���$�� ������ ��� ����� #��� 2C�7:�5%� B����� �������� �$ ��� $������ ������� $�� 0��� �+���������� ���� ���� �������� �� ��� B�� ��� *�������� �� ����� ��������� ��� ������ �$ ������������������� ����� $�� 0��� �+��� ������� �� 2B*JI5�

2����� 5����� �� � � � ������ ������� ������� ��������� �� ��� ���� �� �� ��� ! #�� �� ��� �������� �� ��� ����� �� �� �� ������� 6� ��� � � ��� ��� �������� ������ ( � ��#�� % �? )��#/�#�%� % ����� � ����� �� � ���� �����������

���//�#�%� �

#�� � ��������� ����� ������� = 6� ���� � ����� �� � �� ��� = ���� �� �� �� �� ��� ���� �� ��#���% � �� �����!

����� 5��� � #�% ��� � �� � � �� �(������� ��� ������ ��� ��� � ���� ���� ��� ������� ���� ��� ������ �0#�% #!������ K���%� !��� ��� �� ����� ������� ����� �� ���� ������� � �� ��������� �$ ��� ��� �$ ��� ����� ����������� ���//�#���%� #�% ���� ����� ����� ����� �(������� ��/ �� �0#�% ��� ��� ���� ������

!�� ����� ���� ���� ���� ����F����� �� ���� �� ������ �� ����� �� ���� ���� �� ������������ ����� �$ ��� ����� ������������

#�% ��� ��� ������� ������� � � �0 �$ 0��� �+��� ����� �� ���H� ��� ����!������ #2��>�5% ����� ���� � �� � � �� ������ ������ � ���� �� ����� ���� �0 ���� � ����� ��� �(����� � �$ � ����������� ��� �(� � ������� �� ��� ��

�$ � �� �� ��������� 0��� �+��� ������ ��� � �� � ���� ���� ��� 0��� �+��� �������� ��� ������ � � ���� ��� ��� �(� � ������� �� ��� � ���� ����� �� ��� ������������/�� ��� ���� -���� =#�%� ���� �� � ���L� ���� ���� ���� �����������

/�#���%� /�#=#�%%

��� �� ������$���� ��� �������� ������� ���� �$ =#�%� ���� ##�%�@%� ��� �� ���� �������� ���� ���� ����������� ��� ���� ���� ��� ����� ��� ��� ����� �� ��� ���� /�#=#�%%� ��������� �� � ������� �$ � ,��� ���� � ���� �� ���� ��� ��� ����- ���� ��� ������������������ � 0��� �+��� ������ � �� ����� �� ��� �����(����� � �$ � ��� ���� = ���� ��� ������ #�%��� $��������� ���� ��#���%�

# % �$ � �� ����������������� ���� ��� �� ��� ����������������� ��� �����$��� /�#���%�������� �� � ������� �$ B� A������ )�� � ��� ����� ����������� ��� �� ������ $�� ��������������������� ��� ������ � �

&'���� 5����� ,� ������� ��� ��� ������

� /?��#�%� �#�%

�0�B#��

!:�%

$��� B(��� K��6� !��� #�% �? B� ��� ��� �� ���� ���� ��� ����� �$ ��� ����� �� �� �������

:/B#�@!:�%� B��

��� � �� ��� ��� �����

Page 67: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

%% �������� 0��� 1& ���

#������! #� $���� ���� �� ��� ����"�� �� ������ �� �����

2����� 9��� �� � � � ��������������� ������ ���������� �������� ��� � /?��#���% �� ������ ����� �� �� �� ������ ��������� �� � !

��� "� � �� ������� ��� ��� ������� ���� �� � �� �����!

��� 1��� ����� ������� ���� �� � �� �� %�� �� �� ��������� ������������/�� �� � �� �#�% !

��� 1��� ������ ?/�� � �� �� ��������� �� ��� ����� � �� !

0����� #�% �$ � �� ��� �� ���� ��� ���� ���� �� ? ��#���� % �� �� ��� ������ �$ � ��$ ; � � �� � ��(��� ����� ���� ; ������� �� �� �������� ��� ��� � �� �� ���� ��� �������� $�� ��� ����� ; � )�� � ; ��� �� � ���� ����� �� ���� ��� ��(������ �$ ; ����� ����; �� �����

#:% ��� ; � � �� � ���� ��(��� ����� �$ � $�� ����� �� ; ������ �� ��� ���� � �� ����� ��� ��(������ �$ ; ����� ���� ; ? -�� � � �� �� ���� �� ���� ���� �� � � ���� �(�������� �� ������ ���� ���� �� ��� ��� ���� ���� ���� �� ��� ������ ��� ������� ���� ; ? � �

��� � � � �� � ��� � ���� !��� $�� �� � � � � ����� �(���� � $�� ���� �� � ; ������#�% �? 7� !�� $���� #���� #�� %%��� �� �� ��� ���� �$ � � �� ���� ����� �(��� ��� � � � � �� � ����� �� /?

�� �

���< 7 �� � �

�$ � �� ��� �� ���� �� ���� ������ � $�� ���� � � ; ���� �� F����� ��� � ���� ����� ������� ���� � � �� � ; � ����� ���� � �� ���� ��� �� !��� ����� �(���� � �� ��� �#��%��� �$ ��� � ������� ���� � ?

��� ��� �� ���

��� � ��� �� � ; �� � ������������$�� ���� ������� �� ���� ���

��� ���� �� < 7 �� ��� ��� � ��� �� ������ � )��� ���

�� �������� �� ��� ����� �� �� � ������ �� �������� ���� � ������ $�� ���� ��������� ���� ���

��� ��� � � ��� � �� �� ������ � !��� ��� ������

�� �� �������� �� ���� ��

�� � ��� �� �� �� �������� ������� ��� �� � ��� � ������ �$ � �� �������� �� ���� �� �C�� � /?

�� �� �� � ������ $�� ���� �� ; ? ; ���� � < 7� )�� � � �� ���������� ��� � �� �

������� �����

#3% ��� ?/� � � �� � ���� ���� �$ � � � �� ������������� ���� $�� �� � ( < 7 �� ����� @ ( ? 8� $�� ���� 8 � �� � ��� ���� ����� ���� ?#�%@ ( ? ?#� @ (% ? ?#8%� � 7� ��� � ������ ?#�% � ( � ��� ���� ����� ?#�% � 7�

C�� �� 9 /� � � �� � ������ $�� ���� $�� ��� � ��� ���� 9��#5 �� (5% � ( � � � ��� ��� �� �� � � $�� ���� �� ����� �� ������ ��� $��� � �� ��� � #��%��� �� ����� ����� ������� ������� �$ P������H� ����� #B(�� ���%�

,� ������� ��� ���� ; /? -��? � �$ ; ��� � F���� ���� ; ? -�� � $�� ���� � �� ��� ��������� ���� ? ? � � )�� � �� ��� ������ ���� ; ��� �� F����� !��� ��� �������� ����� #:%������� $�� �� � ��� � ������ � �� � ��� �� ������� $�� ���� �� � ; ���� �� < 7�� � � �$ 8 � � �� ������� �� � � �� �����$��� ��� � % < 7 ���� %�� 8 � 7� ��� � ���� ��

7 � ?#%�� 8% ? ?#8%�

��� ��� � �� ?#8% � 7� E�� ��� 8 �� 8 � �� ��� ��� ?#8% � 7 ��� ��� � ?#8% ? 7�!����$��� ? �������� �� � ��� �� ������� $�� ������

��� ( < 7 �� ��� � - �� � ; ���� �� < 7 �� ��� ��� � ������ 9��#5 �� (5% ����� � 7� !��� ����� �(���� � � < 7 ���� ���@9 � ( �� 9��#5�� (5% � C�� ���@9 � ( ������ � �$ � � ��� �����$���

?#9 % ? ?#9 @ ���% � (���� � ( < 7 ��� ���������� �� ������ �� � ������� �����

Page 68: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� %(

#������! %� ��� ���� � ���� �������

�� ���� �����( �� ��� ��� ���� �������� �$ ��� ��� � ��� ������ �� ��� �� ��#��7 % �$ ��������� ��� ������� ��� ������ � �� �� � ��� 7 �

+�,���� :��� �$ � ��� 7 ��� ������ � �� ��� ���� ��� ������ �� �#��7 % ����������� ��� ����

� #��-% /? �� � �#��7 %/ �#�% � -��� � � ��� � ��� - � 7 ���� �� ��� ��� ������� ��� ������ ��

!�� $������ ���� �� �(������ ���$� �� ������ � ���� �������� $��� � ���� ����� �$�������� �������������� )��� �� ��� ��� �� �� ��� ���� $�� � ������ � ���� � ��� ��� ���� ������ ����� �#���% ���� � ������ � �����

��� :� � �� � � � ��� ��� � ��� ����� �� ������ �� � ���������

����� ? ��� !

���� # � � %#�� � % � � � ������ # � � %#�� � % � �� � ������ # � � %# . � �%#�� � % .� .�� � ��#�� �� ����� � ����� ��� ������ � �� � ���� ���� �� � ����� �� ���� �������� �� � !#��� ������ � �� ��� �� �� � �/ # . � �%#�� � % .� � ���0����� #20��44� A�� ���� ���:� D��� �5% ���

3 /? �� � �/ # . � �%#�� � % .� � ���

����� �� ���� ���� 3 �� � ������� A���� S� � � 3 � ��� #��%��� �� � $���� �$ ��������$ 3 ��� � /?

��� �� � ��� �� � . � � �(���� � 1� � 2 ���� . � �� ��� � � � ����

.� � ��� � � � !��� � � 3 ��� �� ��� ���� 3 �� ����� ����� ��������� �������

�$ ��� �� � 3 ��� . � �� � �� � ���� ����� �(��� ��� �� � ���� .�� � �� � ��� � �� ����� ������ ����� �(���� �� � ���� �� � �� � �� � ��� ���� .�� � �� � �� � ,� �� ��� ������ � �� � 3 � ��� ��� � ���� 3 �� � ������ �� � �

,� ��� ���� ��� �������� �$ � ������ � � � �� ����� ��

�� ? �� /? �J � � / #�� � % J� � ���

�� $� �� �$ ����� �(���� � � � ���� J� � � � ���� �� � - � � � ���� �� � � ��������� J�� � � � �� ���� J� � �� � )�� � �� �� ���� ��� �� ���� �� ��� ������ ��������� �������� �� � � ����� �� ? �

� � �� $���� �� ���� ��� ���� � �� � ������������ �$ . �$��� ��� �$ . � �� � ��� �� ��� �� ���� ��� ���� �� � ����� �$ ��� ������������ ���� �$ � �!�� ������

� ? ��� ����� ���� $�� �? & ����� �(���� � � ���� &�� �� � � ��� � � ���� � � � � ��� � � ���� ��� � � �� ���� ������ &�� �� ���� � ����� � � &� ? S�!��� #�� 3% �� � )������" �� ��

!� ��� ���� � �� � ������ � ����� �� ���� �� ����$� ���� ��� ��

� /���� �� #� &% �� &��

�� ���������� �� �� � & � � � � � ��� � - � � ���� &� &�� � � ��� � � �������� � � � !���

�#�� &� % ? ����&�� ? &��&#����%&�� � &��&� &�� � &����

����� ���� � �� ��������� �� #� &%�

Page 69: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

%) �������� 0��� 1& ���

��� :��� �� � � � �������� ������ ���� ���� ��� � � ������ ���� ���! #�� ���� �#���% �� ��� ���������� ���� � � � �� � ��� ���� ���� �� �������� ��������������!#� ���� ���� �� ���� ��� �� �� �������� �������� � ! #� ����� �� ��� ��� � #���% ��#���% �� � � � �� ������� ��� � � � �� �� ��� ���� ������� �� � ��� ����� ����� ����� � ����� ��� ������ � �� �#���% �� ����� �� � ����� �� ���� ��������!

!��� ������ �� ��� ��� ������ � �� ������� ���� �� �� ��� ������ � �� ���������� �� �� ������� ����

0����� ����� �� ���� ���� �� � ���� �����/

��� �� � � � ��� ��� � #��� �% �� �������� �� � �� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� � #���% ������� ��� ������� �� � � �� �� ��������� ,� $������ ���� � #��� ��% �� #��� ��% " � #�� # ��� �� � ��%� !��� ����� ���� �� � ���� ����� �$ ������� �$ � � ,���� ����$� ��� ��������� �� ����� 0�:�

#P7%/ �$ � � �#���% �� �������� �� � #��� �% $�� � ��������������� � �� � � ��$���� $��� ��� $� � ���� � �� )������" ���� �#% ? � � �� ����

� ������� ��� �$ ��� ������� $�� ���� � �

#P�%/ ��� �� � � #���% � �� ��� � �������������� � � � ���� � � � � � !���� #��� %� #��� % �� #���%�

#P:%/ � #���%�� ?� #�����%�

#P3%/ ��� � � �#���% ��� � #���% � �� ������� ��� ��� ���

: /? �#� .% � � ��/ �#%.�#%�� � ���

!��� � � ��� � : ��� ��� ��� ����� �$ � ��� ��� �(����� � �$ � �������������� � ��� ���� � � � � : � !��� �� #��� %��� �� #���%�

C�� ����� 0�: ����� ���� ����� �(���� � ��� �� ���� ������ �� �#���% $�� ��� � �� � ����� �$ ����������������

0��������� :�"� �� � ������ ���� ���� � ��� � ������ ���� ��� � �� ������� ��������� � �������� �� �#���% ���� �� ������ � �� ������� ���� �� �� ����� �� ���� #��-% � � � ������� ��� - �� ��� ���� ������� �� � ��� � ����� �� ��������� ��������!

0����� ���� �1 !�� ������ �$ ��� � �������� � �� ���� ���� ��� ��� � ��������� �� ���� �� � ��� � #��-% �� ��� �� ��� ������ �$ ��� � �������� �� �� $� �� $��� � � #��-% ��� ��� �#�% � - � � �� ��� �� �� ���� ����� �(���� � �������������� � � ����� �#�%� � - � !��� ����� ���� � � #���% �� #��-%� ��� ��� � ���� � #��-% �� ����� ��� ������ �$ ���$��� �������� � �� ��� � ������� �$ � �

���� :1 ��� �� � �#���%� ,� ��� ���� �� � ��� �$ ��� $��� ��� #��� % ������� ������������� �$ �� �� ��� ��� � ��� �������

��� � ? ��� � � �� �� ��� ��������������� ��� � �� �� ���������� �� � � � � ���� ��� � ������������ �� �� � ���� ��#��% � ��#�%� � !�� ��� ����� �$ � ����� ������ �� ������ �� ������ ���� �$ ��� ���� �� � �� ���� ����� �(��� ��� � � � � �� � � ����

� � ��� # � � � # ��� �

!��� ��� ���� G� /? ��#��� %� ��� ��� �� � ���� �� � � #��� � G�%� !����$��� � /?������ #��� � G�% �� � ������������ �$ �� ���� ���� � �� ��� ��� � ��� ������� ���

� � � ��� � ��� �� ���� ��#% � G� ��� �#% � G� � ��� � ����� ����

��#%���#% � G��� G� ������#��� %

����#��� %� ���������#��%����#��%�� �� � � ��

,� �� ��� ���� � � ��� #��� % ��� �����$��� � � ��� #��� %� !��� ������ ��� ���$�

Page 70: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� %-

����� :�$� #�% �$ � �� � �(�� ������ � ����� ���� �#� �% �� � ������������ $�� ��� $������ ������� �$ )������" ������ � �� �� ��� ��������� ��� �� ��� ������� �$ ������ �������

�� $� �� $�� �� � ��������� �� � /� � 7 �� ���� � ���� �����������

�� ? �#���%/�#7��% � �#���%� C �� C Æ ��

��� �� � ��� � ������ � � � ��� �� � ��� ������ - � � �� ����

#��%��#� #��-%% "� #�#�%� -%�

��� � ����� ��� ��������� �$ �#���%�

#�% �$ � �� � �(�� )������" �� � ��� /�� � � ������� �$ ������ � ������ ������� ��

� ? �#�� %/�#���%� �#���%� C �� Æ C�� � ���� ������������ ��� �� � ��� � ������ � � � ��� �� � ��� ������ - � � ������

# �%��#� #��-%% "� #�� ��#-%%�

��� � ����� ��� ��������� �$ �#�� %�

0��������� :�%� �� � ��� 7 � ������ ���� �����! 3� �#��7 % �� ������� ��� ������ ��������� ���� �� ��� ������ � �!! �� ������ � ���� �� �� ��� �� �� ���

�#��7 %��� /? �� � �#��7 %/ V#� ��% � ���

�� � � � � 7 �� ��� � � � �� ������� ��� V#�% � � � 7 �� �� ��� �� � !

"� �� �������� � �� ������� ��� � ����� �� �� ��� ������ � �� ��� �� �� ���

�#��7 %� /? �� � �#��7 %/ V#�% � ���

�� � � � � 7 �� ���!

0����� ��� � � �#��7 %� � � � ��� � ��� � " V#� ��% �� ��� ������ �$ � � 7 � !�������� �(���� $�� �� � � � � ��� � ������������ � �$ �� � ��� �� ��� ��������������� �$ �#% �� 7 ���� � � ��� � � ��� �#� % � ��� � A������� � ���� ������ �������� � � � B ? �� � � � � � � �� ��� ����

�����

� #� � � ��� � % � �#��7 %��� �

!��� ����� ���� �� � ��� �#��7 %��� �� ��� �� ��� ��� � ��� �������

A��������� �� � � � �� ��� � ��� - � 7 ���� !���

� #��-% ? �� � �#��7 %/ V#� ��% � � �-� ? �#��7 %��;��

�� ��� �� ��� ���� ������� ,� �� ��� ���� ��� ���� ������ ��� ���� ���� ��� ��� ���� �������

&������ �� ��������� ���� � �� ��� �� !�� ������ �$ ��� ���� �#��7 %� �� ����� ������������ ������ ��� � � ����� $�� ��� ������ �� ���������� B� � ��� �#��7 %� ? �#��7 %����� ��� �� ��� ���� ������� �$� ��������� � � � �� ��� � ��� � � � � 7 �� ������� � � �#��7 %��� � ���� � /?

�#� � �% � 7 � # � �� �� ��� ������ �$ � � 7 ����

� � �#��7 %� � �#��7 %��� � !��� ������ ��� ���$�

Page 71: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

(. �������� 0��� 1& ���

#������! $� ��� ����"�� ��������

!�� �������� �$ ��� ������� �� ��� ������ ��� �� ���������� ��� �� �� ���� ��� ���������� �� $��� ����� ��� ������� � ��� � �� �� � � ��� ���� � � �� ��� ��0� �? � � &� ���������� �� ��� �$ ���� ��������� ������ �$ � �� ������� �� �� ������� ,� �� ��� �� ���� ��� ������ ������ �(�������� �$ ��� ������� �� �� ��������F�� �� � ������ �������� �� ��

!��������� ���� �� ���� � ������� � ��� ������ ���� ��� ��� � � ,� ���H� ���� �� ��-���� ��������� �� ��� ��������� �$ � �� ��� ������ �$ ��� ��� � �

/�������� ;��� *����� � �������� �� �!����

��� � �� � ������ � ��� �$ ���� ������� F��� #� ��� ��������� ��� ������� �� �� ���������%� & ������ ���� �� �� �� � �� � � ���� ������ ��� � �� � ������ � �� ��� �� �$�� ��� � ��� ��� ��� -�� �� � ��������� ������� ��� & ������ ���� ������� �� � ������� ���� � �� � ������ � �� ��� �� � $�� ��� � ��� ����� ���� ����� ������ �� � �� ��� � � �#� �% �� �� �� ���������� C��� ���� ����� ����� � �$ � ��� ������ � ���� � ��� � �� ����� ������ � ����� �$ �� ����� � � � ��� � ���� ��� ��� ���� ������� �� ���� ����� � ���$������ ���� �� ���� ��� �� ������ ������ �$ ��� ������ ���� ���� �$ ���� ������� F����

+�,���� /��� ��� � �� � ������ ���� ����� �� �� ������ ���� �� �� �� � � ��� � � �� ��� ��� #�� � % ������ ��� �� � �$ ��������� ���������� ��� �� � � � ����� ��� �� �� ������������ ���� ����� �� �� ����� � � ,� ����� ��#�� � % /?

�����

��� #�� � %� C��� ����

��� #�� � % ? �#�� � % �� ��� �� � �$ ��������� ����� ��� � � � � ,� ��� ��� ������������ #�� � % ? � � ,� ���� ������ � ���� ���( ���� ��� ��"�������

)�/��� #�� � %� ����� #�� � %

����� �� � � ��� #�� � % ��

#)��%#�� � � � � �% /?

�����

#�%�� ��#�� � � � � �� � � � � � �%@�� �

#�%����#2�� � 5� �� � � � � ��� � � � � �� � � � � � �%������ �� ���� ���� �������� �$ � � C��� ���� ��� ��������� �$ ��� ��� -�� �� � ��� ��� � ������ � ��� ���� )�� �� ��������� ��� �� ������ �$ ����� #�� � %�

��� ������� �$ �� ������ �� ���� �� ���� ���/

� ? 7 / )��#% ? ��

� ? � / )��#� &% ? ��#&% &��#% �#2� &5%� ? : / )��#� &� I% ? ��#&� I% &��#� I% @ I��#� &% �#2� &5� I% @ �#2� I5� &% �#2&� I5� %

?����-

��#&� I% �#2� &5� I%�

����� �� ���� ���� ��� ������������-

+#� &� I% /? +#� &� I% @ +#&� I� % @ +#I� � &%�

�� ���� ����� ��� 8� ��� �������� ������

���-22� &5� I5 ? 7�

0��� �� ��� ���� ���� )�� ? 7� �� ���� ��� �� � =�� #�� � % /? -��#)� ��� ���� % �$ ��

������� ������� ��� �� � ��� #�� � % /? )�#����� #�� � %% �$ ������������� !�� �������

��� #�� � % /? =�� #�� � %0�

�� #�� � %

�� ��� ���� ���������� �������� � ���� �� � ���� ����� �� �� ������� � � ,� ����� 2� 5 /?� @��� #�� � % $�� ��� �������� ��� �$ ��� � � � � �

Page 72: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� (�

.� ��� #�� � % �� ���� � ������ ������������� �$ � � ����� $�� � � ��� � � ��� #�� � % ����� �� �������

#� �%#�� � � � � �% ? ��#�� � � � � �%�����

�#�� � � � � 2� � 5� � � � � �%

? ��#�� � � � � �% @

�����

#�%��#2� � 5� �� � � � � �� � � � � � �%�,� $������ ���� $�� �� � � � �� ��������� ��

B /��� #�� � %� ����� #�� � %�

�B ��

�#�� � � � � ���% ? �#� �� � � � � ���%�

����� �� ����� B �� �� 7 �� ��� #�� � %

�? � �

��� /� � �� � & � � � ��� �� �������� ��������+

��� � ? )� Æ B @ B Æ )� #A����� $�����%!

��� 2� � B,5 ? B� �,� !��� 2� � )�5 ? 7 !

��� )�� ? 7 !

��� � #=�� #�� � %% � ��� #�� � % ! "� �������� �� ������ �������� �� ��� #�� � % �� ������!

0����� #�% P���� ��� ��������� �� B � � �� �� ������� ��� $����� $�� ��� ���������������� ��

�B � �)��

�#�� � � � � �% ? ���#�� � � � � �%

�����

#�%���� ��#�� � � � � �� � � � � � �%@

�����

#�%��#2�� � 5� �� � � � � �� � � � � � �%@

���� �

#�%����#2�� � 5� �� � � � � ��� � � � � �� � � � � � �%?���#�� � � � � �%

�����

#�%���� ��#�� � � � � �� � � � � � �%

�����

�#�� � � � � ���� 2�� � 5� ���� � � � � �%

���� �

#�%����#�� 2�� � 5� � � � � ��� � � � � �� � � � � � �%?#� ��%#�� � � � � �% )�

�B ��

�#�� � � � � �%�

!��� ����� ��� ����������

#:% !�� �(� �� $����� $�� � ����� ���� $�� & ? � �� ���� B,� ? � B, B� �,��#3%�#I% ��� /��� #�� � % � ��� #�� � % �� � ����� �� $�� ��� � ����� �(���� �� , � ����

���� Æ B ? ,B Æ $�� � � � ��� � � � � ���� #��� #�� � %% � ����� #�� � % $�� �� � � � �� �,� ��� ���� ? 7� ��� � ��� �������� B /�

�� #�� � % � ����� #�� � %� � � � ������� ���

������ �� ��Æ �� �� ���� ���� B Æ ? , Æ B �������� $�� �� � � � � .� ��� #�� � % ���� $����

$��� ��� ��������� �$ B � ��� �� ��� #�� � %� � � � � �� ������ �� �� ���� �����

C�� �� ���� #3%� ���� #:% �� ���

�� �,� ? 2� ��,5 ? 2)� Æ B ��,5 @ 2B Æ )���,5? 2)���,5 Æ B @ )� Æ B� �,� @ B� �,� Æ )� @ B Æ 2)���,5? 2)���,5 Æ B @ �� �,� @ B Æ 2)���,5�

Page 73: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

( �������� 0��� 1& ���

�� ���� /? 2)���,5 ���� ������� ���� ��� �������� B #, ? � ��� � ? �%� !����$��� ����������� �� ��� �� ����� ������� ����� ���� ��������� ��� � �� #3%�

!� ������ #I%� �� ������� ��� ������� ? )�� � A�������� #3% ���� ��� A����� ��������� ���

#��:% 7 ? 2)��� 5 ? )�� Æ B B Æ )����� ���� ��� �������� ����� ���� ���� , ? � ��� � ? :� !��� ����� ���� )�� ? 7�

#>% $���� ���������� $��� ��� A����� $����� #�%�

+�,���� /��� & ����� ����� � � �$ � ������ � �� ��� �� � � �� ��� '������ ������(����� �$ �� �� ���� ��� ����� �� � ��������� ����� �� �/�0� � � $�� ��� � ��� ��

� � �0� � �� #>� % �� > @ �#%

�� �� ���������� �$ ������ � �� ��� �� ��� C��� ���� ��� �������� �$ � ���������� ������� ������� ������ ����� �0� ���� � )������" �� � ��� � �� � ������ � �� ��� �� ����� ���� � �� ��� ���� �� �� ��� �� � ���� ����� & ��������� ����� �� � /� �� ������������� � �� ��� �� �� �� ���� �� �� '������ ������( ����� �$ ��� ����� �� -��#�% � � �����#�% �� ��� ������ �� ����

����� /�"� ��� � �� � ��� ������ ���

7� ��7��� <��� � 7

�� � ������ �� ��� ����� �(� � �� ��� � �$ ��������� ������$���� �� ���� �#��% � �� ��� ���� ������ ��L� ���� ��� ��/�

�� #�� ��% � ��� #�� ��% ��� ���L� ���� ��� *�/�

�� #�� ��% �

��� #�� ��% ��� � ��� � ����� �(� � �� ��� �

7� ��� #�� ��%7����� #�� ��%

<����� #�� ��%� 7

�$ � ���� ���(��� !���� ��� �� �� ������� �� � ��� �(� � �� ��� �

7� ��� #�� ��%� ��

� #�� ��%� ��� #�� ��%� ��

� #�� ��%� ��� #�� ��%� ��

� #�� ��%� � � � �

������ $�� � � �� � ��� ���� ���� ��

Æ/��� #�� ��%� ����#�� ��%

�� ������ �� Æ#2� 5% ? 2)� �� 5 � ����� �� � ��#�� ��% �������� * Æ �� ? � � ��� � ����� ����

��#)� ��% � �� �$ � �� � � � ��

9� � ���� �� ��� �������� �! �� � � ���

+�,���� /�$� ��� � �� � #������ �% ��� ������ ��� � ������� #������ �% ��� ���������� � �� � #������ �% ������� �� ��� � � � �� �� ������������ & ����� �� � / � � � �� ��� � ����� ����������� �$

�#2� &5% ? ��#&% &��#% @ 2�#%� �#&%5

���� $�� � & � � � ,��� ���� � �� ��� ��� -�� �� ��#�� �% ���� �� ��� ������ A����� � ������

)�� @�

:2�� � 5 ? 7

# $� B(�� ��� ����I%�

�$ � /? � �� ������� ��� � ���� � �������� ���� ��� ������ ������������ ��� ����� � � ��� !�� ������� �$ ��� ����� � ��#�� � % #��� �� �����������% ��� ��� ������������� �������������

�� ��� $������ �� ����� ���#� % ? � � ��#� % $�� ��� �� �� �� �� �� � � �������#� % /? �#� %� ������� ���� ��� ��������� ��� -��� & ���������� �� ������ �$ � ��������� � �� � �� � ����������� // �� ���#� % �����$���� ��� $������ ��������� ���������,� ���� ���� �� �� � ��� #���% � ���#� % ��� ��� �� �� ��@ � ��� �� �� ���� ��� ��

�� � � �� #� �% �� /#%��

�� �� ����������

Page 74: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� (�

0��������� /�%� �� #'� � % � � ������ ���� �������! 0� ���� � � ��� #�� � % �� ��

=�� #�� � % �� ��� ���� �� �� ���

'� ? #�� '%/ � � ���#� % �? � � ��#� %� �� ��#%� '#%

��� � ����������� �� �� �� ���! #� ���� ��

� #�� � % ������-� �� #��� ����,� ��� �������� ��������� �� ������� �� � �� � ���� ��������� ���� ������ �������� ���� ' !

#� ���������� ������� �� ���� �� ������� ����� � ���,� �� �� � ���� ������ �!! ����� ��� � ��� �����! #� ������ � ? )�� �� �������� �� '� #%�� ? 7 �� ��� � � !

0����� !�� ���� ��������� �� ����� �� -��� ��� � � � �� ������� ��� ����������� �$ ���#� %����� �� D$ ? #�� $ ? � @ �� � � !��� D$#>� % ? #> ��� %� ������� ���� D$ Æ '� ? '��"�$ ������ )��#% ? �� � !��� ��� �Æ�� � ����� '� ��� '� � ��� ��L����� ����� ���� D$ �$ ������ �$ ��� �������� ����� �$ � ��� � � ��� ���� �� ���� ����� ��

� #�� � % ��������F�� ���#��� � ��L��� � ����� �$ ��� � ����� �$ � �� � ����� ����������� ����� � ���� ��� �������� ' ��� ��� ����������� �������� �� ����� ��� � ����� ��� � ��� ��L����� �� � ������ ����� �������� �� �� ��� ���� �� ��� � ���� '� �� ������F���� ����� ��L����� �� � ������ ����� �$ ��� ��� �$ ����� �(���� � ��� ����� � � � � ����� '� #%�� ? 7 ���� $�� � � � � !��� �������� ����� ���� � ? )�� �

9����� �'������ �! :� � � ���

+�,���� /�(� ��� � ��� � �� ������ � ��� �������� & ������ �� ��� ����� �(� ��� ��� �

� 6� ���� �

�� ��� � '������ ������ �����( ������� �� � �� � � ,� ������$� � ���� ��� ����� �� �� � ��� ������� �� � ���� � ��� �� ? � � � �$ ������ � �� ��� �� ��� !��� � �� � ������ �� ��� ������� ��� ������� �� �/��� � ��������� �� #�� % �� � �$ � �� ������� ���� ��� �(������� �� ��� �������

!�� �(�������� � 6� ��� �� � ��� � 6� ��� �� � ��� ��� �������� �$ ����� �(���� �������� /��� � ��� �$ ������ � ��� ������� �� � ���� ��� �������

� 6� ��� �� ��� ��� �� � �� ���� 6� ��� �� �

�������� �� �� ���� �� ��� ���� ���� ����� ���� �� �� ���������� �$ ������ � ��� ����������� � ������ �� � ������ � �������� ,� ����� B(�#�� �% $�� ��� ��� �$ � ������ � ����� �$�(�������� �$ � �� � �

,� � �� �(������� �/�� � � ���� -�� � ? � ������� �� ��� ���� ��� �(������� ������� �$����� �(���� � ��������� ��� ������ ����������� �/ �� �� ���� � Æ � ? ��� � �� ���� ��� �����

��� �� ��� #�� % �� �@ �#%

�� �� ����������� ����� ��� ��������� � ��� �� ������ �� ��� �����������

H/ �� ���#�%� H#%#�% /? 2�#%� �5�

+�,���� /�)� ��� � �� � ������ � �������� !� �� � ��������� :� � � � � � =�� #�� �%

�� ���� ���� � ������ � ��� ������ ��=� �� ��� ������ � ���� � �� ��� �� � ��� ����������� ��� ��� ��� -��

2#�� %� #��� �%5 /? #��� ���@ �#� �%� 2� �5%�!�� ������� �� �/ ��= �� �� #�� % �� �� � ��������� ����������� �$ ��� ������� ����-���� � � ��� � ������ �� ���(������� �$ � � !�� �� �/ � � ��= �� �� #7� % �� � �������������� �� ���� �$ � �

Page 75: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

(" �������� 0��� 1& ���

0��������� /�-� �� #�� '�% � � ������ ���� ������� ��� ��� B(�>�#�� �% �� �� �� ����� �������� ������ �� ���������� �� �� � �� ����� �� ��,���� ������ �� �� �� � ������ �� ��� ������� ������ �� � ! #�� �� ���

=�� #�� �%� B(�>�#�� �%� � �� 2��= �5

������ ���� � � ��,�����

��� #�� �%� B(�>�#�� �%� 2�5 �� 2��= �5�

0����� ����� ���� �/��� � �� �� ���(������� �$ � $�� ��� � ��� ���� �� ������� ���� ������ � ��� ���� ���� '� � ��� �/ �� �� �� � ��������� ����� �� ����� �� ���� � Æ � ? ��� � !���

�#� &% /? 2�#%� �#&%5 �#2� &5%

��� ����� �� ��� ����� � � ? -�� � �$ �� ��� ��� ��

�� �� ��� #�� % �� �@ �#%

������ �� ���������� �$ ������ � ��� ������� ��= �� �� ��� �� ���� �� ����$� ���� � �= � � � �? � �$ ��� ��� �$ � D � ��

� #�� �%� !����$��� ��� ������� �� � ��

� #�� �% ������� ��� � ������ � ����� �$ ���(�������� �$ � �� ��� ����������2�5 �� 2��= �5 �

������ ��

20�345 0��-��"� 1�� 0������� ����� !����� ����� �$ ��� &���� �� ����� �� � "�

#��34%� J�+�7��

20���75 0���� 8��0�� 2����� �43%� � ����� � ����5�� ��������� ����������������� ������� ����� �.� #���7%� :J�+333�

20��445 0�����-�� C�� ;1����� !������< A���� �+�K� ������� K����� ��44�

20��4�5 0�����-�� C�� ;��� 1���� ��� ��� &������� A����� �+3�< ��������K�������4��

2A�IJ5 A������� A�� ;!����� �$ ��� 1���� ��< D��� ���� P���� D����� ��IJ�

2A�BI45 A������� A� ��� �� B�������� �������� � ���� �� �� ���� ��� �� �� ����� !����� ����� �$ ��� &���� ����� �� � %� #��I4%� 4>+�:I�

2B675 B������ G� 0� &�� #� ���������� �� ����� ���� �� ������������� A�������� #��67%� �J>+�63�

2B*JI5 ��� B��� ,� !�� ��� !�� 8� *��������� ��� ��� ��� �� �� ���� D�� � *���C��� & ��� �� ,��� & %( #��JI%� �>+3��

2�*445 ��9��� ���� &�� ��� &� *����� ;������ �� �� ��� G�"����������� !������< 8�,���� ������ ��� �� ��44�

217��5 19� -���� )�� �� ��� ������� �� ������� ���� ��� ������� ���������������� �� ����������������� �� ����� 8� ��� �� &���� �� �����

217:�5 19� -���� )�� "���������������� �� ���� ������� ��������� ������������ ;1������� ��� &������ �� ����� ��� ������������������ ��� ������< B���&� ������������ ,� ,�L����-�� 8� )����� ��� *��)� C���� 0��� � A����� D���� ������ $$ #:77:%� I3+>��

217:�5 19� -���� )�� 0� ��� ���� ���� �� ����� � �� ����� ������ ����� �$�#:77:%� �I6+�66�

217: 5 19� -���� )�� �� ��� ������� �� ������� ���� ��� ������� ���������������� �� ����������������� �� ����� 8� ��� �� &��� �-" #:77:%� 3I6+I7��

Page 76: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

�������� ���� ����� ������������������� ��� ����� ($

21735 19� -���� )�� "������� ��������� ��� ������ ���� ���� ����� �� &����� ������!P G��������� D������ (�� ��� � :773�

217I5 19� -���� )�� ����������� �� ���� ����� �� ����� A����� ������ �� �����M ��Z��/�����1�T7I737�3�

217>5 19� -���� )�� G�"#�� % �� � $����/�� ���� ����� C� ��� ()1- #:77>%��7:>+�73:�

21C735 19� -���� )�� ��� *��)� C���� &�����/�� �������� ��� ������� ��� �������� ���������������� 8� ����� ������ ����� $%. #:773%� �+:4�

21C7>5 19� -���� )�� ��� *��)� C���� ;������������������ ��� ������< ���- �� �����������

21�475 1������� G�� &����� �������� ���������� ���������� �� �� ���� ����� ���� 8� ��� �� &��� �% #��47%� I7�+I76�

2)�4:5 )������� E�� #� ���� �������� ���� �� ���� ��� $��� 0�� &��������� �� � ( #��4:%� J>+:::�

2)����45 )�$����� *� )�� ��� �� &� ������� ;!�� ���� ���� �$ A��� � 1�����< ��������� ������ �� 1������� 0����� ���4�

2*��65 *����� &�� ��� D� �� ���� ;!�� A��������� ������� �$ 1��� &�������< ������������ ��� ��������� $�� &���� ����� �� �� ���6�

2*�J>5 *����� C� )�� #� �������� ��� �� �� ������ ��� �� 6���� ������ !������ � #��J>%� ��+37�

2����5 ����� ��� ;����������� �$ G�"������� 1��������< 1������� !�(�� �� ������-�� ��������K����� �����

2���65 ������� ��� #� ����� �� ����������� � �� ���� ��/ A������� D� G� ���� #B���%� ;�������������� A���( &������ ��� D����� G�"������� B ���������< &��� A������ ����� .$ #���6%� �J�+�6J�

2�&675 �������� 8�� ��� E� &������� 6���������� �������� �� �� ���� ���6������������ �� ;1��� &������<� D�� � ���� D��� ����� �%� B����� �� A���� ��� �� ����� &���� ����� �� �� D������� �� E�� :36+:I3�

2��>�5 �� ���� B�� ����� ������� ��� ���������� ��������� A��� 8� ����� ��#��>�%� >>J+>6>�

2�!��5 �� ���� D�� ��� 8� !�� ������ 7�������� �� ������ ���������� ������ ���� �� ����� 8� ��� !����� -1 #����%� I46+I4��

2��435 ������ 8�� *��%� �� ����������������� �� ����� D�� � ������ � ����� X������ 1������� 0� G�,��� ���� ��� )�� ���� ��43�

2���>5 ������� ��� 6������� ���� �� �� ����� �� ;)������- �$ &������ !�������< �� �� 8���� ���� C���� )����� ���>�

2C�7�5 C���� *��)�� *���������� �� ������ ���������� ����� �� ;������� G���������� *9���� ����$����< B��� &� )� -������� !� ,��F�� ���� G�K����������� 0��-�9����� K����� :77�M �3�+�64�

2C�7:�5 C���� *��)�� ����� �������� �� ����������������� �� ����� &����� ��H����� ������� >:/> #:77:%� �3J>+�II:�

2C�7:�5 [� ��������� 6����/�� ���� ��� �������� ��� ��� �������� ����� ��;1������� ��� &������ �� ����� ��� ������������������ ��� ������< B��� &������������� ,� ,�L����-�� 8� )����� ��� *��)� C���� 0��� � A����� D���� ������� �� �����

2C�7I�5 [� 0����� �������� �� ����������������� �� ����� !�����( ����� �$#:77I%� J�+��I�

2C�7I�5 [� ���������� �������� �� ������ ���� �� �� ���� A������ �� &������ �������

Page 77: Infinite-Dimensional Lie Groups - CEL · Infinite-Dimensional Lie Groups Karl-Hermann Neeb To cite this version: Karl-Hermann Neeb. Infinite-Dimensional Lie Groups. 3rd cycle. Monastir

(% �������� 0��� 1& ���

2C�7I 5 [� "���������������� �� ���� ��� ��� ����������� �� ;��� !�����/��� &������ ��� E��������������< D������� �� ����� )� B�� 8� D� &�-��� 0�S������ 0��-�9����� K����� :77IM :�3+3:4��

2C�7>5 [� 1���� ������ �� �� ��� �������� � ���� ���������� �������� ������������

2.��4�5 .����� )�� 0 ��% �� ������� ��� �� �� ���� 8� ����� �� � 8��� ��1"

#��4�%� 676+6�7�

2.���65 .����� )�� "������7��������� �� 8����� !���������� �$ ����� ����������$)� &���� ����� �� �� ���6�

2.��>5 .������� 8� !�� ;������� G��������� 1���� ��� &������ �� X������D���� �<� ������� K����� �� ���� C���� �� D���� � (� ���>�

2��>:5 ������� �� ��� 9������� ���������� ���������� �� �� ����� &���� �$����� $%1 #��>:%� :I:+:I6�

2��4>5 �������� 8����� 9� �� ����� ������ � ������� ���������� �� � ��������� &��=���� ��� ���� �=����� ��4>� 3I�+3���

2!�435 !���� 8�� ;���� �� 1���� ��� &������<� �������� C�� \��-� )�����������43�

2,���>5 ,������ G�� ;���-�������������< ��������K����� 0����� )��������� ���>�

2,�735 ,� -�� A���� ;A����� B(�������� �$ 1���� 1�����< !����� #G��%� !P G���������� ���� :773�

*���)������ C���!� ���� �� P��������9�� G��������� ����������������� 6G�JI:4� G��������G���� ����

����]���������-����������������