Inferencia Estad´ıstica Estimacion de par´ ametros ... · Para la diferencia de proporciones...

Inferencia Estadıstica Estimacion de parametros mediante intervalos de confianza y contrastes de hipotesis – 1 / 56

Inferencia Estadıstica

Estimacion de parametrosmediante intervalos de confianza

y contrastes de hipotesis

Indice

❖ Indice

Distribuciones de losestadısticosmuestrales

Estimacion medianteintervalos deconfianza

Estimacion mediantecontraste dehipotesis


Distribuciones de los estadısticos muestrales

Estimaci on mediante intervalos de confianza

Estimaci on mediante contraste de hip otesis

Distribuciones de los estadısticosmuestrales de una poblacion normal

❖ Indice


❖ Introduccion❖ Para la varianzamuestral❖ Para la mediamuestral❖ Para la proporcionmuestral❖ Para el cocientede varianzas❖ Para la diferenciade mediasmuestrales❖ Para la diferenciade proporciones




Distribuciones de los estadısticos muestrales

❖ Indice






Como se ha visto en el tema anterior, los estadısticos muestrales se puedenutilizar para la estimacion puntual de los correspondientes parametrospoblacionales. Pero ademas de la estimacion puntual, existen otrosmetodos de estimacion de parametros poblacionales como son los interva-los de confianza y los contrastes de hipotesis (que se estudiaran en temasposteriores).Para el estudio de estos metodos sera fundamental tener en cuenta elcaracter aleatorio de los estadısticos muestrales y conocer su distribucion.Ası, se entiende por distribucion de muestreo de un estadıstico la dis-tribucion de probabilidad que puede obtenerse como resultado de unnumero infinito de muestras aleatorias independientes, cada una de tamanon, provenientes de la poblacion de interes.Destacar que este tema se centra en estadısticos muestrales cuyas dis-tribuciones de probabilidad son obtenidas a partir de poblaciones con dis-tribucion normal. Esta caracterıstica marcara tambien los siguientes temasde estimacion parametrica mediante intervalos de confianza y contraste dehipotesis.

Media poblacional conocida y desconocida

❖ Indice






Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple de tamano n procedente deuna poblacion N(µ, σ2), donde µ es conocida. Se verifica entonces que

1

σ2

n∑

i=1

(Xi − µ)2 ∼ χ2n.

Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple de tamano n procedente deuna poblacion N(µ, σ2), donde µ es desconocida. Se verifica entonces que

1

σ2

n∑

i=1

(

Xi −X)2 ∼ χ

2n−1.

Varianza poblacional conocida y desconocida

❖ Indice






Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple de tamano n procedente deuna poblacion N(µ, σ2), donde σ2 es conocida. Se verifica entonces que

X ∼ N

(

µ,σ√n

)

.

Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple de tamano n procedente deuna poblacion N(µ, σ2), donde σ2 es desconocida. Se verifica entoncesque

(

X − µ)√

n

Sn−1=

(

X − µ)√

n− 1

Sn∼ tn−1.

Distribuci on para la proporcion muestral

❖ Indice






Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple procedente de una variablealeatoria distribuida segun una Bernouilli de parametro p, entonces la vari-able aleatoria dada por la proporcion muestral

P =1

n

n∑

i=1

Ai,

tiene distribucion aproximadamente Normal

N

(

p,p(1− p)

n

)

,

si el tamano muestral es suficientemente elevado y donde

Ai =

1 , si el individuo i presenta la caracterısticaen estudio con probabilidad p

0 , en otro caso.

Distribuci on para el cociente de varianzas

❖ Indice






Dadas X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym dos muestras aleatorias simples independi-entes procedentes de sendas poblaciones normales N(µ1, σ

21) y N(µ2, σ

22),

se verifica entonces que

F =S2n−1

S2m−1

· σ22

σ21

,

es una variable aleatoria que se distribuye segun una F de Snedecor conn − 1 y m − 1 grados de libertad para el numerador y el denominador,respectivamente.

Varianzas poblacionales conocidas

❖ Indice






Dadas X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym dos muestras aleatorias simples indepen-dientes procedentes de dos poblaciones normales N(µ1, σ

21) y N(µ2, σ

22),

siendo σ21 y σ2

2 conocidas. Entonces, la diferencia X−Y se distribuye comosigue

X − Y ∼ N

(

µ1 − µ2,σ21

n+

σ22

m

)

.

Varianzas poblacionales desconocidas e iguales

❖ Indice






Dadas X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym dos muestras aleatorias simples indepen-dientes procedentes de dos poblaciones normales N(µ1, σ

21) y N(µ2, σ

22),

siendo σ21 y σ2

2 desconocidas e iguales (σ21 = σ2

2 = σ2). Entonces,

(X − Y )− (µ1 − µ2)

Sp

√

m+nmn

∼ tn+m−2,

donde

S2p =

(n− 1) · S2n−1 + (m− 1) · S2

m−1

n+m− 2.

Distribuci on para la diferencia de proporciones

❖ Indice






Dadas X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym dos muestras aleatorias simples independi-entes con tamanos n y m, procedentes de variables aleatorias de Bernouilli,con parametros p1 y p2. Se verifica entonces que la variable aleatoria

(P1 − P2)− (p1 − p2)√

p1(1−p1)n

+ p2(1−p2)m

∼ N(0, 1).

Estimacion mediante intervalos deconfianza

❖ Indice


Estimacion medianteintervalos deconfianza❖ Metodo delestadıstico pivote

❖ Para la varianzapoblacional

❖ Para la mediapoblacional

❖ Para la proporcion

❖ Para el cocientede varianzas❖ Para la diferenciade mediaspoblacionales

❖ Para la diferenciade proporciones



Estimacion mediante intervalos de confianza

❖ Indice










La estimacion puntual, estudiada en temas anteriores, nos aporta un valorconcreto pero no aporta una medida de la precision de la estimacion. Unamanera de subsanar este hecho sera obtener de cada muestra, no un es-timador puntual, sino un intervalo que se sospecha que debe contener alparametro. En ocasiones sera mas interesante saber entre que posiblesvalores se puede mover el parametro mas que conocer un valor puntualdel mismo. Es decir, puede ser mas interesante proporcionar un intervalodentro del cual este contenido el verdadero valor de un parametro descono-cido, con cierto grado de certeza, que dar una aproximacion puntual delmismo. El conocido dicho mas vale acertar aproximadamente que fallarexactamente resume de manera concisa esta idea.

Evidentemente, esta tecnica no tiene por que dar siempre un resul-tado correcto y a la probabilidad de que hayamos acertado al decir que elparametro estaba contenido en dicho intervalo se le denomina nivel de con-fianza. Los extremos del intervalo de confianza se calcularan a partir de losdatos muestrales y por tanto seran variables aleatorias que dependeran,entre otros elementos, del nivel de confianza.

Metodo del estadıstico pivote

❖ Indice










Sea X una variable aleatoria (continua o discreta) cuya distribucion deprobabilidad depende de un parametro desconocido, θ. Dada una mues-tra aleatoria simple, X1, . . . , Xn, y una funcion t, t = T (X1, . . . , Xn; θ), talque:

● Para cada θ, T (·; θ) es un estadıstico muestral.● Para cada realizacion de la muestra, x1, . . . , xn, T (x1, . . . , xn; ·) es es-

trictamente monotona.● Si Λ = Img(t), para cada λ ∈ Λ, la ecuacion λ = T (x1, . . . , xn; θ),

tiene solucion en θ.

En tal caso, si para cada θ, t tiene distribucion independiente de θ, se puedeconstruir un intervalo de confianza para θ.Entonces, el proceso a seguir en cada ocasion para construir un intervalode confianza, conocido como metodo del estadıstico pivote, sera siempreel mismo:

● Seleccionar un estadıstico, T , que debe contener al parametro para elcual se desea estimar el intervalo de confianza, θ, y cuya distribucionsea conocida y no dependa del parametro desconocido, θ.


❖ Indice










● La distribucion de tal variable aleatoria es independiente del valor delparametro y, por tanto, se pueden encontrar los cuantiles α

2y 1− α

2que

definen un intervalo de extremos fijos, entre los que, con probabilidad1− α, se encontrara dicha variable. Esto es:

P[

λα2≤ t ≤ λ1−α

2

]

= 1− α,

donde λα2

y λ1−α2

son los puntos (cuartiles) de la distribucion del es-tadıstico T que dejan a su izquierda una probabilidad α

2y 1 − α

2, re-

spectivamente.● El siguiente paso sera despejar el parametro en la desigualdad de la

probabilidad anterior, obteniendo un nuevo suceso de extremos aleato-rios que contendra al verdadero valor del parametro fijo y desconocido:

P [a ≤ θ ≤ b] = 1− α,

donde a = T−1(

λα2

)

y b = T−1(

λ1−α2

)

.

El intervalo obtenido, [a, b], sera el intervalo de confianza, al nivel 1−α,para el parametro desconocido en estudio.


❖ Indice










Por su propia construccion este metodo nos permite afirmar que si seconstruyen distintos intervalos, cada vez con distintas realizaciones de lamuestra, al menos el 100(1 − α)% de ellos contiene el verdadero valor delparametro.

Hay que destacar que una vez que se ha calculado el intervalo parauna muestra determinada, no es correcto decir la probabilidad de que elparametro pertenezca al intervalo es 1 − α, ya que una vez calculado elintervalo, este deja de ser aleatorio y la probabilidad sera 1 si el intervaloes de los 1 − α que contienen al parametro, o 0 o si el intervalo es uno delos α intervalos que no contienen al parametro. Por tanto, no tiene sentidohablar de probabilidad sino de confianza. La confianza esta puesta en queel metodo de construccion de los intervalos nos asegura que (1 − α)100%de las muestras produciran intervalos que contienen al parametro.

Los niveles de confianza habituales son del 90%, 95% y 99%. Advertirque conforme aumenta la confianza, si bien disminuye el porcentaje deintervalos erroneos, la estimacion realizada es mas pobre. Si os dijeraque estimo que vuestra nota final estara comprendida entre 0 y 10, ¿os heproporcionado informacion util? Y eso que en este caso hemos trabajado aun 100% de confianza!!!

Con media poblacional conocida

❖ Indice










Sea X una variable aleatoria tal que la distribucion de probabilidades dedicha variable aleatoria es N(µ, σ2), donde µ es conocida. Entonces, dadauna muestra aleatoria simple, X1, . . . , Xn, se toma como cantidad pivotal:

1

σ2

n∑

i=1

(Xi − µ)2,

que tiene una distribucion χ2 con n grados de libertad.Sea χ1−α

2el cuantil 1 − α

2de la distribucion χ2 con n grados de libertad y

χα2

es el cuantil α2

de la misma distribucion, esto es:

P[

Y < χ1−α2

]

= 1− α

2, P

[

Y < χα2

]

=α

2,

donde Y ∼ χ2n. En tal caso:

P

[

χα2<

1

σ2

n∑

i=1

(Xi − µ)2 < χ1−α2

]

= 1− α,

Con media poblacional conocida

❖ Indice










de donde, despejando σ2

P

[

1

χ1−α2

n∑

i=1

(Xi − µ)2 < σ2<

1

χα2

n∑

i=1

(Xi − µ)2]

= 1− α.

Entonces, el intervalo de confianza para la varianza de la poblacion dondela media es conocida se expresara como:

[

1

χ1−α2

n∑

i=1

(Xi − µ)2,1

χα2

n∑

i=1

(Xi − µ)2]

.

Con media poblacional desconocida

❖ Indice










Sea X una variable aleatoria tal que la distribucion de probabilidades dedicha variable aleatoria es N(µ, σ2), donde µ es desconocida. Entonces,dada una muestra aleatoria simple, X1, . . . , Xn, se selecciona como canti-dad pivotal:

1

σ2

n∑

i=1

(Xi −X)2,

que tiene una distribucion χ2 con n− 1 grados de libertad.Teniendo en cuenta, al igual que antes, que χ1−α

2es el cuantil 1− α

2de la

distribucion χ2 con n grados de libertad y χα2

es el cuantil α2

de la mismadistribucion, entonces:

P

[

χα2<

1

σ2

n∑

i=1

(Xi −X)2 < χ1−α2

]

= 1− α,

de donde, despejando σ2

P

[

1

χ1−α2

n∑

i=1

(Xi −X)2 < σ2<

1

χα2

n∑

i=1

(Xi −X)2]

= 1− α.

Con media poblacional desconocida

❖ Indice










Entonces, el intervalo de confianza, al nivel 1 − α, para la varianza de unapoblacion donde la media es desconocida es

[

1

χ1−α2

n∑

i=1

(Xi −X)2,1

χα2

n∑

i=1

(Xi −X)2]

.

Con varianza poblacional conocida

❖ Indice










Para obtener el intervalo de confianza del parametro media poblacional deuna variable aleatoria X distribuida como una N(µ, σ2), donde σ2 es unacantidad conocida, dada X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple proce-dente de X, se selecciona como cantidad pivotal:

(

X − µ)

σ√n

,

que se distribuye segun una N(0, 1). Dicha distribucion se empleara paracalcular el intervalo de confianza de manera que se verifica que:

P

[

Zα2<

(

X − µ)√

n

σ< Z1−α

2

]

= 1− α,

donde Zα2

y Z1−α2

son los puntos de una distribucion N(0, 1) que dejan pordebajo suya una probabilidad α

2y 1− α

2, respectivamente. Esto es:

P[

Z < Zα2

]

=α

2, P

[

Z < Z1−α2

]

= 1− α

2,

donde Z ∼ N(0, 1).


❖ Indice










Si en la desigualdad de la probabilidad anterior despejamos µ, se obtiene:

P

[

X + Zα2· σ√

n< µ < X + Z1−α

2· σ√

n

]

= 1− α.

Por tanto, se ha obtenido un intervalo que contiene en su interior a la mediapoblacional µ con una probabilidad 1 − α. Esto es, teniendo en cuenta lasimetrıa1 de la distribucion normal:

[

X − Z1−α2· σ√

n, X + Z1−α

2· σ√

n

]

,

es el intervalo de confianza, al nivel de confianza 1 − α, para la media deuna poblacion normal con varianza conocida.

1Puesto que la distribucion Normal es simetrica con respecto a su media,que en este caso es el cero, se verifica que Zα

2= −Z1−α

2. Este hecho se

repite unicamente en el caso de la distribucion t-Student.

Con varianza poblacional desconocida

❖ Indice










Sea X una variable aleatoria tal que la distribucion de probabilidades dedicha variable aleatoria es Normal N(µ, σ2), donde σ2 es desconocida. En-tonces, dada una muestra aleatoria simple, X1, . . . , Xn, utilizaremos comocantidad pivotal:

(

X − µ)√

n

Sn−1,

que se distribuye segun una distribucion t-Student con n − 1 grados delibertad, donde

Sn−1 =

√

√

√

√

1

n− 1

n∑

i=1

(Xi −X)2.

El intervalo de confianza queda determinado por

P

[

tα2<

(

X − µ)√

n

Sn−1< t1−α

2

]

= 1− α,

donde tα2

y t1−α2

son los puntos de una t de Student con n − 1 grados delibertad que dejan por debajo suya una probabilidad α

2y 1− α

2, respectiva-

mente. Esto es:


❖ Indice










P[

t < tα2

]

=α

2, P

[

t < t1−α2

]

= 1− α

2,

donde t ∼ tn−1.Despejando el parametro desconocido, en este caso µ, en la expresionanterior obtenemos la probabilidad equivalente:

P

[

X + tα2· Sn−1√

n< µ < X + t1−α

2· Sn−1√

n

]

= 1− α.

De forma que usando que la distribucion t-Student es simetrica, la regionque determina

[

X − t1−α2· Sn−1√

n, X + t1−α

2· Sn−1√

n

]

,

es el intervalo de confianza, al nivel de confianza 1 − α, para la media deuna poblacion normal con varianza desconocida.

Intervalo de confianza para la proporcion

❖ Indice










Dada X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de tamano n procedente de unaBernoulli, estimamos la proporcion muestral mediante la distribucion

P − p√

P (1−P )n

,

que puede considerarse aproximadamente normal de media cero y vari-anza uno, cuando el tamano de la muestra es suficientemente grande.Teniendo en cuenta que la distribucion normal es simetrica y sea Z1−α

2el

cuantil 1 − α2

de la distribucion normal de media cero y varianza uno, severifica entonces que

P

−Z1−α2<

P − p√

P (1−P )n

< Z1−α2

= 1− α.

Si en el suceso expresado en la probabilidad anterior despejamos p, queda

P

[

P − Z 1−α2

√

P (1− P )

n< p < P + Z1−α

2

√

P (1− P )

n

]

= 1− α.

Intervalo de confianza para la proporcion

❖ Indice










Por tanto, el intervalo de confianza, al nivel 1 − α, para la proporcion sedefine como:

[

P − Z1−α2

√

P (1− P )

n, P + Z1−α

2

√

P (1− P )

n

]

.

Intervalo para el cociente de varianzas

❖ Indice










Dadas X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym, dos muestras aleatorias simples indepen-dientes procedentes de dos poblaciones normales, N(µ1, σ

21) y N(µ2, σ

22),

con medias y varianzas desconocidas, la variable usada como cantidadpivotal sera

S2n−1

S2m−1

· σ22

σ21

,

que tiene una distribucion F de Snedecor con n−1 grados de libertad parael numerador y m− 1 grados de libertad para el denominador.Si Fα

2es el cuantil α

2y F1−α

2es el cuantil 1 − α

2de dicha distribucion,

entonces

P

[

Fα2<

S2n−1

S2m−1

· σ22

σ21

< F1−α2

]

= 1− α,

donde despejando σ22

σ21

resulta P

[

Fα2· S

2m−1

S2n−1

<σ22

σ21

< F1−α2· S

2m−1

S2n−1

]

= 1− α.

Y entonces, el intervalo de confianza, al nivel 1 − α, para el cociente devarianzas de dos poblaciones normales es

[

Fα2· S

2m−1

S2n−1

, F1−α2· S

2m−1

S2n−1

]

.

Con varianzas poblacionales conocidas

❖ Indice










Dadas dos muestras aleatorias simples independientes, X1, . . . , Xn eY1, . . . , Ym, procedentes de dos poblaciones normales, N(µ1, σ

21) y

N(µ2, σ22), con varianzas conocidas, entonces la variable aleatoria usada

como cantidad pivotal sera

(X − Y )− (µ1 − µ2)√

σ21n

+σ22

m

,

la cual tiene una distribucion N(0, 1).Si Z1−α

2es el cuantil 1−α

2de dicha distribucion normal, entonces se verifica

que

P

−Z1−α2<

(X − Y )− (µ1 − µ2)√

σ21n

+σ22

m

< Z1−α2

= 1− α,

donde hemos usado una vez mas que por ser la distribucion Normalsimetrica se verifica que Zα

2= −Z1−α

2.

Con varianzas poblacionales conocidas

❖ Indice










Si en el suceso expresado en la probabilidad anterior despejamos µ1 − µ2,queda

P

[

(X − Y )− Z1−α2

√

σ21

n+

σ22

m< µ1 − µ2 <

(X − Y ) + Z1−α2

√

σ21

n+

σ22

m

]

= 1− α,

obteniendose el intervalo de confianza para la diferencia de medias, al nivel1− α, para dos poblaciones normales cuyas varianzas son conocidas

[

(X − Y )− Z1−α2

√

σ21

n+

σ22

m, (X − Y ) + Z1−α

2

√

σ21

n+

σ22

m

]

.

Con varianzas poblacionales desconocidas eiguales

❖ Indice










Dadas dos muestras aleatorias simples independientes, X1, . . . , Xn eY1, . . . , Ym, procedentes de dos poblaciones normales, N(µ1, σ

21) y

N(µ2, σ22), con varianzas desconocidas e iguales (σ2

1 = σ22 = σ2), entonces

la variable aleatoria usada como cantidad pivotal sera

(X − Y )− (µ1 − µ2)

Sp

√

m+nnm

,

que tiene una distribucion t-Srudent con m + n − 2 grados de libertad ydonde

Sp =

√

(n− 1) · S2n−1 + (m− 1) · S2

m−1

n+m− 2.

Si t1−α2

es el cuantil 1− α2

de la distribucion t-Student con m+n−2 gradosde libertad, entonces se verifica que

P

−t1−α2<

(X − Y )− (µ1 − µ2)

Sp

√

m+nnm

< t1−α2

= 1− α,

puesto que la distribucion t-Student tambien es simetrica.

Con varianzas poblacionales desconocidas eiguales

❖ Indice










Si en la expresion anterior despejamos µ1 − µ2, obtenemos:

P

[

(X − Y )− t1−α2Sp

√

m+ n

nm< µ1 − µ2 <

(X − Y ) + t1−α2Sp

√

m+ n

nm

]

= 1− α.

Por tanto, el intervalo de confianza para la diferencia de medias, al nivel1− α, para dos poblaciones normales cuyas varianzas son desconocidas

[

(X − Y )− t1−α2Sp

√

m+ n

nm, (X − Y ) + t1−α

2Sp

√

m+ n

nm

]

.

I.C. para la diferencia de proporciones

❖ Indice










Dadas dos muestras aleatorias simples de tamano m y n procedentes dedos variables aleatorias independientes distribuidas segun dos Bernouillisde parametros p1 y p2, respectivamente. Entonces

(P1 − P2)− (p1 − p2)√

P1(1−P1)n

+ P2(1−P2)m

∼ N(0, 1).

Si Z1−α2

es el cuantil 1 − α2

de la distribucion N(0, 1), entonces, teniendoen cuenta que la distribucion normal es simetrica, se verifica que

P

−Z1−α2<

(P1 − P2)− (p1 − p2)√

P1(1−P1)n

+ P2(1−P2)m

< Z1−α2

= 1− α.

Si en el suceso expresado en la probabilidad anterior despejamos p1 − p2,

queda P[

(P1 − P2)− Z1−α2· δ < p1 − p2 < (P1 − P2) + Z1−α

2· δ

]

= 1 −

α, donde δ =√

P1(1−P1)n

+ P2(1−P2)m

. Por tanto, el intervalo de confi-anza, al nivel 1 − α, para la diferencia de proporciones muestrales sera[

(P1 − P2)− Z1−α2· δ, (P1 − P2) + Z1−α

2· δ

]

.

Estimacion mediante contraste dehipotesis

❖ Indice




❖ Introduccion alcontraste dehipotesis







Introducci on al contraste de hipotesis

❖ Indice











En el presente tema se aborda el problema de inferencia sobre losparametros desconocidos de una distribucion desde un nuevo enfoque. Eneste caso desarrollaremos un procedimiento, conocido como contraste dehipotesis, que va a permitir discernir si una propuesta sobre los posibles val-ores que puede tomar un parametro puede considerarse o no como cierta.Dicha decision sera tomada a partir de una regla, referida como region derechazo, basada en la informacion muestral (destacar que no se estudiaracomo se construye dicha region de rechazo, la cual nos sera dada directa-mente).

El procedimiento de contrastacion, que estudiaremos en los siguientesapartados, tiene los siguientes pasos:

● Planteamiento de hipotesis nula y alternativa, ası como eleccion delnivel de significacion (normalmente 0’05 y 0’01).

● Seleccion de un estadıstico de prueba que conduce a unos lımites (val-ores crıticos) que dividen el espacio muestral en una region donde serechaza la hipotesis nula (region crıtica).

● Tomar una decision.

Contrastes de hipotesis e intervalos de confianza

❖ Indice











Para aplicar esta metodologıa necesitaremos las mismas distribuciones us-adas en la obtencion de intervalos de confianza. Esta situacion no es ca-sual, ya que una regla factible para rechazar un determinado valor parael parametro o parametros desconocidos es que dicho valor se encuentrefuera del correspondiente intervalo de confianza. El contraste y los interva-los de confianza son pues, dos cuestiones estrechamente relacionadas.

Formulacion de un contraste

❖ Indice











Consideraremos una hipotesis estadıstica como cualquier afirmacion, ver-dadera o falsa, sobre alguna caracterıstica desconocida de la poblacion.El proceso de contrastacion de hipotesis consiste en aceptarla provisional-mente como verdadera, se denominara hipotesis nula y se denotara comoH0. La veracidad de la hipotesis nula se somete a comprobacion experi-mental frente a otra hipotesis complementaria, que se denominara hipotesisalternativa y se denota como H1. Como consecuencia de la comprobacionexperimental la hipotesis nula podra seguir siendo considerada cierta o porel contrario se rechazara.

Para una determinada variable aleatoria cuya distribucion de probabili-dades depende de un parametro desconocido, θ, se pueden establecer lassiguientes hipotesis:

H0 : θ ∈ ω

H1 : θ ∈ Θ− ω

}

,

donde Θ se define como el conjunto de posibles valores que puede tomarθ y que recibe el nombre de espacio parametrico.

En tal caso, la hipotesis nula, H0, afirma que el verdadero valor delparametro pertenece al subconjunto ω ⊂ Θ. Mientras que la hipotesis al-ternativa, H1, afirma, por el contrario, que el verdadero valor del parametrono pertenece al citado subconjunto.

Tipos de hipotesis

❖ Indice











Dependiendo del numero de elementos que forman el conjunto ω, se dis-tingue entre:

● Hipotesis simples: Si se refiere a un unico valor del parametro, es decira un unico punto del espacio parametrico.

● Hipotesis compuestas: Si se refiere a una region del espacioparametrico.

Region de rechazo

❖ Indice











Tal y como se ha dicho anteriormente, el procedimiento de contrastacionde hipotesis consiste en tomar como cierta la hipotesis nula y con la in-formacion proporcionada por la muestra decidir si se acepta o no dichasuposicion.

Con tal objetivo se tendra en cuenta la siguiente definicion: La regi onde rechazo puede considerarse como el conjunto de valores del estadısticode prueba que no tienen posibilidad de presentarse si la hipotesis nula esverdadera. Por otro lado, estos valores no son tan improbables de presen-tarse si la hipotesis nula es falsa (el valor crıtico separa la region de norechazo de la de rechazo).

Por tanto, la forma de actuar o regla de decision, siendo la region derechazo (o crıtica) el conjunto de todos los valores del estadıstico de pruebapara los cuales la hipotesis nula sera rechazada, sera extraer una muestray comprobar si pertenece a la region de rechazo.

¡Problema!: Si la muestra se situa en la region de rechazo se tendrıanindicios para creer que la hipotesis nula es falsa. Sin embargo, puede ocur-rir que se haya obtenido una muestra poco frecuente y tenemos el riesgode rechazar la hipotesis nula siendo verdadera.

Tipos de error

❖ Indice











Cualquiera que sea la decision tomada, ya sea de rechazo o no de lahipotesis nula, puede incurrirse en error:

● Se comete error de tipo I cuando se rechaza la hipotesis nula siendocierta.

● Se comete error de tipo II cuando no rechazamos la hipotesis nulasiendo falsa.

En la siguiente tabla se muestran las decisiones que se pueden tomar y lasconsecuencias posibles:

H0 cierta H0 falsaSe rechaza H0 Error tipo I Decision correcta

No se rechaza H0 Decision correcta Error tipo II

Por tanto, de los cuatro escenarios posibles, en dos se toma la decicion cor-recta y en los otros dos se comete un error. Ahora bien, ¿puede controlarsedicho error?

Nivel de significacion

❖ Indice











Definiendo el nivel de significaci on como la probabilidad de rechazarla hipotesis nula cuando es verdadera y suponiendo que la hipotesisplanteada es verdadera, entonces, el nivel de significacion indicara la prob-abilidad de rechazarla. Por dicho motivo se suelen tomar valores bajos, del1% o 5%, para el nivel de significacion.

Ademas, dicha eleccion indica que la probabilidad de cometer error tipoI es baja (por definicion). Si bien acabamos de ver que el error tipo I estacontrolado, por lo general no ocurre lo mismo con el error tipo II (aunqueexisten situaciones donde se consigue minimizarlo).

Cuando es necesario disenar un contraste de hipotesis, serıa deseablehacerlo de tal manera que las probabilidades de ambos tipos de errorfueran tan pequenas como fuera posible. Sin embargo, con una muestrade tamano prefijado, disminuir la probabilidad del error de tipo I conduce aincrementar la probabilidad del error de tipo II. El recurso para disminuir elerror de tipo II, es aumentar el tamano muestral.

¿Culpable o inocente?

❖ Indice











Supongamos que somos miembros de un jurado y tenemos que decidir siel imputado es culpable o inocente. Si construyo un test de hipotesis dondela hipotesis nula es que el imputado es inocente y la alternativa es que esculpable, los distintos escenarios que pueden surgir son:

Es inocente Es culpableRechazo inocencia Error Decision correcta

No rechazo inocencia Decision correcta Error

Por como se ha construido el contraste, el error consistente en rechazar lainocencia cuando realmente lo es (error tipo I) es muy pequeno, mientrasque el error de que sea culpable y declararlo inocente (error tipo II) noestarıa controlado.

¿Es correcta la construccion del contraste? Si consideramos mas gravedeclarar culpable a un inocente que dejar en libertad a un culpable, el con-traste sera correcto. Por este motivo, cuando se esta interesado en la ve-racidad de alguna afirmacion, por como se comportan los errores, su ne-gacion se debe formular como hipotesis nula.

Con la media poblacional conocida

❖ Indice











Sea X una variable aleatoria cuya distribucion de probabilidades es normalN(µ, σ2), donde µ es conocida. Entonces, dada una muestra aleatoria sim-ple X1, . . . , Xn procedente de X, los posibles test, al nivel de significacionα, para la varianza de una poblacion normal con media conocida, junto asu correspondiente region de rechazo, son los siguientes:

Casos Region de rechazo

H0 : σ2 = σ20

H1 : σ2 6= σ20

}

1

σ20

n∑

i=1

(Xi − µ)2

< χ2n,α/2 o

1

σ20

n∑

i=1

(Xi − µ)2

> χ2n,1−α/2

H0 : σ2 ≤ σ20

H1 : σ2 > σ20

}

1

σ20

n∑

i=1

(Xi − µ)2

> χ2n,1−α

H0 : σ2 ≥ σ20

H1 : σ2 < σ20

}

1

σ20

n∑

i=1

(Xi − µ)2

< χ2n,α

Donde χ2n,a es el punto de una chi cuadrado de n grados de libertad que

deja por debajo suya una probabilidad igual a a, es decir, P [χ < χ2n,a] = a,

donde χ ∼ χ2n. Adviertase que tomando como cierta la hipotesis nula,

tomaremos como estadıstico experimental χ2exp =

n∑

i=1

(xi − µ)2

σ20

∼ χ2n.

Con la media poblacional desconocida

❖ Indice











Sea X una variable aleatoria cuya distribucion de probabilidades es normalN(µ, σ2), donde µ es desconocida. Entonces, dada una muestra aleatoriasimple X1, . . . , Xn procedente de X, los posibles test, al nivel de signifi-cacion α, para la varianza de una poblacion normal con media desconocida,junto a su correspondiente region de rechazo, son los siguientes:


H0 : σ2 = σ20

H1 : σ2 6= σ20

}

(n − 1)S2n−1

σ20

< χ2n−1,α/2 o

(n − 1)S2n−1

σ20

> χ2n−1,1−α/2

H0 : σ2 ≤ σ20

H1 : σ2 > σ20

}

(n − 1)S2n−1

σ20

> χ2n−1,1−α

H0 : σ2 ≥ σ20

H1 : σ2 < σ20

}

(n − 1)S2n−1

σ20

< χ2n−1,α

Donde χ2n−1,a es el punto de una chi cuadrado de n − 1 grados de lib-

ertad que deja por debajo suya una probabilidad igual a a, es decir,P [χ < χ2

n−1,a] = a, donde χ ∼ χ2n−1. En este caso, tomando como cierta

la hipotesis nula, tomaremos como estadıstico experimental

χ2exp =

1

σ20

·n∑

i=1

(xi − x)2,

Con la media poblacional desconocida

❖ Indice











que se distribuye segun una distribucion chi-cuadrado con n − 1 gra-dos de libertad y que recordemos que tambien puede expresarse como

χ2exp =

(n− 1)S2

σ20

.


❖ Indice











Sea X una variable aleatoria cuya distribucion de probabilidades es normalN(µ, σ2), donde σ2 es una cantidad conocida. Dada una muestra aleatoriasimple X1, . . . , Xn procedente de X, los posibles test, al nivel de signifi-cacion α, para la media de una poblacion normal con varianza conocida,junto a su correspondiente region de rechazo, son los siguientes:


H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0

}

|x− µ0|σ√n

> Z1−α/2

H0 : µ ≤ µ0

H1 : µ > µ0

}

x− µ0σ√n

> Z1−α

H0 : µ ≥ µ0

H1 : µ < µ0

}

x− µ0σ√n

< Zα

Donde Za es el punto de una normal de media cero y varianza uno quedeja por debajo suya una probabilidad igual a a, es decir, P [Z < Za] = a,donde Z ∼ N(0, 1).


❖ Indice











Adviertase que tomando como cierta la hipotesis nula, el estadıstico mediamuestral, X, seguira una distribucion normal de media µ0 y varianza σ2

ny,

por tanto, el estadıstico experimental usado sera:

Zexp =X − µ0

σ√n

.


❖ Indice











Sea X una variable aleatoria cuya distribucion de probabilidades es normalN(µ, σ2), donde σ2 es desconocida. Dada una muestra aleatoria simpleX1, . . . , Xn procedente de X, los posibles test, al nivel de significacion α,para la media de una poblacion normal con varianza desconocida, junto asu correspondiente region de rechazo, son los siguientes:


H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0

}

|x− µ0|Sn−1√

n

> tn−1,1−α/2

H0 : µ ≤ µ0

H1 : µ > µ0

}

x− µ0

Sn−1√n

> tn−1,1−α

H0 : µ ≥ µ0

H1 : µ < µ0

}

x− µ0

Sn−1√n

< tn−1,α

Donde tn−1,a es el punto de una t-Student de n− 1 grados de libertad quedeja por debajo suya una probabilidad igual a a, es decir, P [t < tn−1,a] = a,donde t ∼ tn−1.


❖ Indice











Adviertase que tomando como cierta la hipotesis nula, el estadıstico mediamuestral, X, seguira una distribucion t-Student con n−1 grados de libertad

y, por tanto, el estadıstico experimental se obtiene como Texp =X − µ0

Sn−1√n

.

Contraste de hipotesis para la proporcion

❖ Indice











Sea X una variable aleatoria distribuida segun una Bernuilli de parametro p,esto es, X ∼ B(p). Dada una muestra aleatoria simple X1, . . . , Xn proce-dente de X, los posibles test, al nivel de significacion α, para la proporcionmuestral, junto a su correspondiente region de rechazo, son los siguientes:


H0 : p = p0H1 : p 6= p0

}

|P − p0|√

P (1−P )n

> Z1−α/2

H0 : p ≤ p0H1 : p > p0

}

P − p0√

P (1−P )n

> Z1−α

H0 : p ≥ p0H1 : p < p0

}

P − p0√

P (1−P )n

< Zα


Contraste de hipotesis para la proporcion

❖ Indice











Adviertase que la proporcion muestral, P , se distribuye segun una dis-tribucion N(np, npq), por lo que el estadıstico experimental (supuesto que

la hipotesis nula es cierta) quedara definido como Zexp =P − po

√

P (1−P )n

.

Contraste para el cociente de varianzas

❖ Indice











Sean X e Y dos variables aleatorias independientes distribuidas segun unaN(µ1, σ

21) y N(µ2, σ

22), respectivamente, donde las medias son descono-

cidas. Dadas dos muestras aleatorias simples X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym

procedentes de X e Y , respectivamente, los posibles test, al nivel de signifi-cacion α, para la comparacion de varianzas de dos poblaciones normalescon medias desconocidas, junto a su correspondiente region de rechazo,son los siguientes:


H0 : σ21 = σ2

2H1 : σ2

1 6= σ22

}

S2n−1

S2m−1

< Fn−1,m−1,α/2 oS2n−1

S2m−1

> Fn−1,m−1,1−α/2

H0 : σ21 ≤ σ2

2H1 : σ2

1 > σ22

}

S2n−1

S2m−1

> Fn−1,m−1,1−α

Donde Fn−1,m−1,a es el punto de una F-Snedecor de n− 1 y m− 1 gradosde libertad que deja por debajo suya una probabilidad igual a a, es decir,P [F < Fn−1,m−1,a] = a, donde F ∼ Fn−1,m−1.Tomando como cierta la hipotesis nula, tomaremos como estadıstico exper-imental:

Fexp =S2n−1

S2m−1

∼ Fn−1,m−1.

Varianzas poblacionales conocidas

❖ Indice











Sean X e Y dos variables aleatorias independientes distribuidas segun unaN(µ1, σ

21) y N(µ2, σ

22), respectivamente, donde las varianzas son cono-

cidas. Dadas dos muestras aleatorias simples X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym

procedentes de X e Y , respectivamente, los posibles test, al nivel de sig-nificacion α, para la comparacion de medias de dos poblaciones normalescon varianzas conocidas, junto a su correspondiente region de rechazo,son:


H0 : µ1 = µ2H1 : µ1 6= µ2

} |X − Y |√

σ21n

+σ21

m

> Z1−α/2

H0 : µ1 ≤ µ2H1 : µ1 > µ2

}

X − Y√

σ21n

+σ21

m

> Z1−α

Donde Za es el punto de una normal de media cero y varianza uno quedeja por debajo suya una probabilidad igual a a, es decir, P [Z < Za] = a,donde Z ∼ N(0, 1).En este caso, adviertase que tomando como cierta la hipotesis nula,

tomaremos como estadıstico experimental Zexp =X − Y

√

σ21n

+σ22

m

∼ N(0, 1).


❖ Indice











Sean X e Y dos variables aleatorias independientes distribuidas segununa N(µ1, σ

21) y N(µ2, σ

22), respectivamente, donde las varianzas son de-

sconocidas e iguales. Dadas dos muestras aleatorias simples X1, . . . , Xn

e Y1, . . . , Ym procedentes de X e Y , respectivamente, los posibles test, alnivel de significacion α, para la comparacion de medias de dos poblacionesnormales con varianzas desconocidas e iguales, junto a su correspondienteregion de rechazo, son los siguientes:


H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2

}

|X − Y |Sp

√

1n+ 1

m

> tn+m−2,1−α/2

H0 : µ1 ≤ µ2

H1 : µ1 > µ2

}

X − Y

Sp

√

1n+ 1

m

> tn+m−2,1−α

Donde tn+m−2,a es el punto de una t-Student de n + m − 2 grados delibertad que deja por debajo suya una probabilidad igual a a, es decir, P [t <tn+m−2,a] = a, donde t ∼ tn+m−2.


❖ Indice











Ademas, recordemos que

S2p =

(n− 1)S2n−1 + (m− 1)S2

m−1

n+m− 2

=n · S2

n−1 +m · S2m−1

n+m− 2.

Adviertase que, supuesto que la hipotesis nula es cierta, se ha usado elestadıstico

Texp =X − Y

Sp

√

1n+ 1

m

,

que se distribuye segun una t-student con n+m− 2 grados de libertad.

Contraste para la diferencia de proporciones

❖ Indice











Sean X e Y dos variables aleatorias independientes que se distribuyensegun B(p1) y B(p2), respectivamente. Dadas dos muestras aleatoriassimples X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym procedentes de X e Y , respectivamente,los posibles test, al nivel de significacion α, para la diferencia de propor-ciones muestrales, junto a su correspondiente region de rechazo, son lossiguientes:


H0 : p1 = p2H1 : p1 6= p2

}

|P1 − P2|√

P1(1−P1)n

+ P2(1−P2)m

> Z1−α/2

H0 : p1 ≤ p2H1 : p1 > p2

}

P1 − P2√

P1(1−P1)n

+ P2(1−P2)m

> Z1−α

H0 : p1 ≥ p2H1 : p1 < p2

}

P1 − P2√

P1(1−P1)n

+ P2(1−P2)m

< Zα


Contraste para la diferencia de proporciones

❖ Indice











En este caso, tomaremos como estadıstico Zexp = (P1−P2)−(p1−p2)√

P1(1−P1)n

+P2(1−P2)

m

.

Inferencia Estad´ıstica Estimacion de par´ ametros ... · Para la diferencia de proporciones...

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