INFERENCIA ESTADISTICAJOSÉ MIGUEL ESPINOZA HERRERA

DEFINICIÓN

• La Inferencia Estadística es la parte de la estadística matemática que se encarga del estudio de los métodos para la obtención del modelo de probabilidad (forma funcional y parámetros que determinan la función de distribución) que sigue una variable aleatoria de una determinada población, a través de una muestra (parte de la población) obtenida de la misma.

• Los dos problemas fundamentales que estudia la inferencia estadística son el "Problema de la estimación" y el "Problema del contraste de hipótesis"

DEFINICIÓN

• La inferencia estadística o estadística inferencial es una parte de la Estadística que comprende los métodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una pequeña parte de la misma (muestra).

• La bondad de estas deducciones se mide en términos probabilísticos, es decir, toda inferencia se acompaña de su probabilidad de acierto.

DEFINICIÓN

POBLACIÓN

Muestra

INFERENCIA

DEFINICIÓN

MÉTODOS DE MUESTREO

Métodos probabilísticos.- Muestra que se selecciona de modo que cada integrante de la población en estudio tenga una probabilidad conocida( pero distinta de cero) de ser incluido en la muestra.

Métodos no probabilísticos.- Interviene la opinión del investigador para obtener cada elemento de la muestra.

• MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

• MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO

• MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

• MUESTREO ALEATORIO POR CONGLOMERADO

TIPOS DE MUESTREO

Muestra seleccionada de manera que cada integrante de la población tenga la misma probabilidad de quedar incluido.

MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO

Los integrantes o elementos de la población se ordenan en alguna forma (Ejemplo: alfabéticamente) se selecciona al azar un punto de partida y después se elige para la muestra cada k-ésimo elemento de la población.

Ejemplo: se desea establecer una muestra 100 empleados de los 3000 que tiene una empresa, para lo cual ordeno alfabéticamente a los empleados, divido 3000/100 = 30 y selecciona a uno de cada treinta empleados

Ejemplo: un bingo, introduzco los números en una ánfora y selecciono una muestra al azar

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

MUESTREO ALEATORIO POR CONGLOMERADO

Una población se divide en subgrupos denominados estratos y se selecciona una muestra de cada uno

ESTRATO EDADES Nº DE

EMPLEADOS

% DEL TOTAL CANTIDAD

MUESTREADA

1

2

3

4

5

MENOS DE 25 AÑOS

26-30AÑOS

31-35 AÑOS

36-40AÑOS

MÁS DE 41AÑOS

8

35

189

115

5

2

10

54

33

1

1

5

27

16

1

TOTAL 352 100 50

Se divide a la población en estratos (subunidades) se selecciona con que subunidades se va a trabajar y de las unidades seleccionadas, se toma una muestra aleatoriamente

EJEMPLO: Caracas, Maracaibo, Valencia, Barquisimeto, MaracayCon estas ciudades se cubre el 67% de la población urbana del país,

CONCEPTOS INICIALES

Estimación Puntual.- Estadístico calculado a partir de la información obtenida de la muestra y que se usa para estimar el parámetro poblacional

Intervalo de confianza.- es un conjunto de valores obtenido a partir de los datos muestrales en el que hay una determinada probabilidad de que se encuentre el parámetro, a esta probabilidad se le conoce como el nivel de significancia

Error de muestreo.- Diferencia entre un valor estadístico de muestra y su parámetro de población correspondiente.

INTERVALOS DE CONFIANZA

2X

4X

1X

5X3X

n

s96,1

n

sz

INTERVALOS DE CONFIANZA

n

szX

n

stX

1

)( 2

2

n

n

XX

s

INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS MAYORES A 30 ELEMENTOS

INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS MENORES A 30 ELEMENTOS

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

N

X

2)(

PROPORCIONESPROPORCIÓN.- Fracción, razón o porcentaje que indica la parte de la muestra o población que tiene una característica determinada

PROPORCIÓN MUESTRAL:n

xp

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL pzp

ERROR ESTÁNDAR DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

n

ppp

)1(

EJERCICIO

n

szX

30

11096,1349

39349

Suponga que se toma una muestra de 30 empleados de los cuales reciben en promedio 349 Bs y una desviación estándar de 110 Bs. ¿Cuál es el intervalo de confianza?

389310

n

stX

20

126093,2346

59346

405287

Suponga que se toma una muestra de 20 empleados de los cuales reciben en promedio 346 Bs y una desviación estándar de 126 Bs. ¿Cuál es el intervalo de confianza?

En una muestra aleatoria de 2000 miembros de una cooperativa, se tiene que 1600 están a favor de fusionarse con otra empresa ¿Cuál es el valor estimado de la proporción poblacional?¿Cuál es el intervalo de confianza al 95% de confianza?

n

ppzp

)1(

n

xp

80,02000

1600p

018,080,02000

)80,01(80,096,180,0

EJERCICIO - PROPORCIONES

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA

HIPÓTESIS.- Es una afirmación sobre una población, que puede someterse a pruebas al extraer una muestra aleatoria.

PRUEBA DE HIPÓTESIS.- Formular una teoría y luego contrastarla

PASOS PARA PROBAR UNA HIPÓTESIS

1. PRUEBA DE HIPÓTESIS

2. SELECCIONAR EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA

3. CALCULAR EL VALOR ESTADÍSTICO DE PRUEBA

4. FORMULAR LA REGLA DE DECISIÓN

5. DECIDIR

PASO1 PLANTEAR H0 Y H1

0:0

00 :

H

H

01

01

:

:

H

H

Hipótesis nula: Afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional

Hipótesis Alternativa: Afirmación que se aceptará si los datos muestrales aseguran que es falsa H 0

Paso 2. Seleccionar el nivel de significancia

Generalmente son del 5% o 1% (Error de tipo I y Error de tipo II)

ERROR DE TIPO I.- Rechazar la hipótesis nula, H0 cuando es verdadera

ERROR DE TIPO II.- Aceptar la hipótesis nula, H0 cuando es Falsa

Paso 3. Calcular el valor estadístico de prueba.

Estadísticos de pruebas como: Z, t de Student, F y Ji cuadrado

n

Xz

n

Xt

Para muestras grandes

Para muestras pequeñas

Paso 4: Formular la regla de decisión

Son las condiciones según las que se acepta o rechaza la hipótesis nula

Paso 5: Tomar una decisión

El valor observado de la estadística muestral se compara con el valor de estadística de prueba

n

PZ

)1(

Para

proporciones

EJEMPLO: PRUEBA DE HIPÓTESISLa producción diaria en una planta industrial registrada durante n =30 días tiene una media Muestral de 990 toneladas y una desviación estándar de 20 toneladas, pruebe la hipótesis de que el promedio de la producción diaria difiere de 1000 toneladas por día.

PASO 1: ESTABLECER HIPÓTESIS

toneladasH 1000:1 toneladasH 1000:1

PASO 2: Nivel de significancia (0.05%)

PASO 3: Valor estadístico de prueba

toneladasx 990

toneladas10000

toneladas20

díasn 30

7,2

30

20

1000990

z

n

Xz

UNA COLA

0.5-0.05=0.45

DOS COLAS (0.05%)

0.05/2=0.025

0.50-0.025 =0.475 -0.50 0.50

PASO 4: FORMULAR LA REGLA DE DECISIÓN

PASO 5: TOMAR UNA DECISIÓN

Se rechaza H0 no es igual a 1000 toneladas

Para un nivel de significancia de 0.05, la región de rechazo es z >1.96 o z< -1.96

-2,7

EJEMPLO: PRUEBA DE HIPÓTESISEl gerente de ventas de una empresa editora de libros, afirma que cada uno de sus representantes realiza 40 visitas por semana a profesores. Varios vendedores dicen que esa estimación es muy baja. Para investigar lo anterior, una muestra aleatoria de 28 representantes de ventas reveló que el número medio de visitas realizadas la semana pasada fue de 42. Se calculó que la desviación estándar de la muestra fue de 2.1 visitas. Al nivel de significancia de 0.05, ¿se puede concluir que el número medio de visitas realizadas por vendedor y por semana es mayor que 40?

40:0 H

40:1 H

PASO 1: ESTABLECER HIPÓTESIS

visitasx 42

PASO 3:ESTADÍSTICO DE PRUEBAEn este caso es T de student

visitas40

visitass 1.2

28n

PASO 2: NIVEL DE SIGNIFICANCIA (0.05)

n

s

Xt

GRADOS DE LIBERTAD =28-1=27 VC = 1.703

PASO 4: REGLA DE DECISIÓN

Rechazo H0 SI t calculado es mayor a 1.703

PASO 5: TOMAR DECISIÓN

T calculado = 5.04 cae en la región de rechazo. Por lo tanto rechazamos H0. El número medio de visitas realizadas por vendedor y por semana es mayor que 40

PRUEBA CHI CUADRADOFRECUENCIAS ESPERADAS IGUALES

e

e

f

ffx

2

02 )(

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE FRECUENCIAS ESPERADAS

EJEMPLO: Una empresa de venta de vehículos desea comprobar si no hay diferencia significativa en la venta de vehículos por sus vendedores, se espera que las frecuencias observadas (fo) fueran iguales. Puede concluirse que existe diferencia entre la las ventas de vehículos de cada vendedor

VENDEDOR Vehículos

A 13

B 33

C 14

D 7

E 36

F 17

TOTAL 120

Debido a que existen 120 datos, es de esperar que 20 queden en cada una de las 6 categorías

Vendedores

Vehículos

vendidos fo Número vendido esperado fe

A 13 20

B 33 20

C 14 20

D 7 20

E 36 20

F 17 20

TOTAL 120 100

PASO 1. Se establece Ho y H1

Ho= Fo=fe

H1=Fo=fe

PASO 2. Se selecciona el nivel de significancia 0.05, que es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera

PASO 3. Selección del estadístico de prueba

e

e

f

ffx

2

02 )(

El estadístico es chi cuadrado, con K-1 grados de libertad, donde:

K=es el numero de categorías

fo=es una frecuencia observada en una categoría determinada

fe=es una frecuencia esperada en una categoría determinada

PASO 4. Se formula la regla de decisiónGrados de

libertad Área de la cola derecha

gl 0.10 0.05 0.02 0.01

1 2,706 3,841 5,412 6,635

2 4,605 5,991 7,824 9,21

3 6,251 7,815 9,837 11,345

4 7,779 9,488 11,668 13,277

5 9,236 11,07 13,388 15,086

N= 6-1=5gdl

Se rechaza Ho si el valor ji cuadrada que se obtuvo de los cálculos es mayor que 11,070.

JUGADOR fo fe (fo-fe) (fo-fe)2 (fo-fe)2/fe

RONALDO 13 20 -7 49 2,45

BEKAM 33 20 13 169 8,45

ADRIANO 14 20 -6 36 1,8

DEKO 7 20 -13 169 8,45

RONALDIÑO 36 20 16 256 12,8

SIDANE 17 20 -3 9 0,45

TOTAL 120 120 13 519 34.5

PASO 5. DECIDIR.Como el resultado calculado 34.5 es mayor que el de la tabla 11.070, rechazamos la hipótesis de que las frecuencias son iguales, las ventas son diferentes.

PRUEBA DE BONDAD DEAJUSTE

FRECUENCIAS ESPERADAS DIFERENTES

ESTUDIO NACIONAL

NÚMERO DE

VECES

ADMITIDAS

PORCENTAJ

E DEL TOTAL

1 40

2 20

3 14

4 10

5 8

6 6

7 2

100

Una empresa quiere comparar si el comportamiento de los datos de ingresos a un hospital obtenidos a nivel local difieren de los obtenidos a nivel nacional

ESTUDIO LOCAL

NÚMERO

DE VECES

ADMITIDAS

NÚMERO DE

PERSONAS,

Fo

1 165

2 7

3 50

4 44

5 32

6 20

7 82

400

A simple vista, no podemos comparar entre porcentajes y número de personas

NÚMERO DE

VECES

ADMITIDAS

NÚMERO DE

PERSONAS,

Fo

NÚMERO ESPERADO DE ADMISIONES, Fe

(1) = (2) x (3)

1 165 160 40 400

2 7 80 20 400

3 50 56 14 400

4 44 40 10 400

5 32 32 8 400

6 20 24 6 400

7 10 8 2 400

400 400 100

Deben ser iguales

PASO. 1. Ho: No existe diferencia entre la situación local y la situación nacionalH1: Si existe diferencia entre las situaciones local y nacional

PASO 2. Se establece el nivel de significancia de 0.05%

PASO 3.El estadístico de prueba a utilizar es chi cuadrado

PASO 4. Se establece la regla de decisión

NÚMERO DE

VECES

ADMITIDAS

NÚMERO DE

PERSONAS,

Fo

Fe fo-fe (fo-fe)^2 (fo-fe)^2/fe

1 165 160 5 25 0,156

2 7 80 -1 1 0,013

3 50 56 -6 36 0,643

4 44 40 4 16 0,400

5 32 32 0 0 0,000

6 20 24 -4 16 0,667

7 10 8 2 4 0,500

400 400 Chi =68.96

Observando el valor de la tabla con 7-1 grados de libertad, obtenemos un valor de 12,59. es decir, si el valor calculado de chi-cuadrado es mayor al valor de la tabla, entonces rechazamos Ho caso contrario aceptamos.

PASO 5. DECIDIR.

Como el valor calculado es 68,96 se encuentra en la región de Rechazo, es decir Rechazo Ho