Inference on Phase-type Models via MCMC1 both C1 and C2 work 2 C1 failed, C2 working 3 C1 working,...
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Inference on Phase-type Models via MCMCwith application to networks of repairable redundant systems
Louis JM Aslett and Simon P Wilson
Trinity College Dublin
28th June 2012
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Toy Example : Redundant Repairable Components
C1
C2
State Meaning
1 both C1 and C2 work2 C1 failed, C2 working3 C1 working, C2 failed4 system failed
β΄ a general stochastic process, e.g.
1234
System Failed
Y (t)
t
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Continuous-time Markov Chain Model
State Meaning
1 both C1 and C2 work2 C1 failed, C2 working3 C1 working, C2 failed4 system failed
C1 downC2 up
C1 upC2 down
C1 downC2 down
C1 upC2 up
!f !f
!f !f
!r !r
!u
=β Ο =
100
,T =
β2Ξ»f Ξ»f Ξ»f 0Ξ»r βΞ»r β Ξ»f 0 Ξ»fΞ»r 0 βΞ»r β Ξ»f Ξ»f0 0 0 0
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Inferential Setting
Cano & Rios (2006) provide conjugate posterior calculations inthe context of analysing repairable systems when the stochasticprocess leading to absorption is observed.
DataFor each system failure time, one has:
β’ Starting state
β’ Length of time in each state
β’ Number of transitions between each state
β’ Ultimate system failure time
Reduced information scenario =β Bladt et al. (2003) providea Bayesian MCMC algorithm, or Asmussen et al. (1996) providea frequentist EM algorithm.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Inferential Setting
Cano & Rios (2006) provide conjugate posterior calculations inthe context of analysing repairable systems when the stochasticprocess leading to absorption is observed.
DataFor each system failure time, one has:
β’ Starting state
β’ Length of time in each state
β’ Number of transitions between each state
β’ Ultimate system failure time
Reduced information scenario =β Bladt et al. (2003) providea Bayesian MCMC algorithm, or Asmussen et al. (1996) providea frequentist EM algorithm.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Definition of Phase-type Distributions
An absorbing continuous time Markov chain is one in whichthere is a state that, once entered, is never left. That is, then+ 1 state intensity matrix can be written:
T =
(S s0 0
)
where S is nΓ n, s is nΓ 1 and 0 is 1Γ n, with
s = βSe
Then, a Phase-type distribution (PHT) is defined to be thedistribution of the time to entering the absorbing state.
Y βΌ PHT(Ο,S) =β
FY (y) = 1β ΟT exp{yS}e
fY (y) = ΟT exp{yS}s
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Relating to the Toy Example
State Meaning
1 both C1 and C2 work2 C1 failed, C2 working3 C1 working, C2 failed4 system failed
C1 downC2 up
C1 upC2 down
C1 downC2 down
C1 upC2 up
!f !f
!f !f
!r !r
!u
=! T =
!""#
"2!f !f !f 0!r "!r " !f 0 !f
!r 0 "!r " !f !f
0 0 0 0
$%%&
!2!f !f !f 0!r !!r ! !f 0 !f
!r 0 !!r ! !f !f
0 0 0 0
S s
fY (y) = ΟT exp{yS}s FY (y) = 1β ΟT exp{yS}e
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Bladt et al: Gibbs Sampling from Posterior
Strategy is a Gibbs MCMC algorithm which achieves the goalof simulating from
p(Ο,S |y)
by sampling fromp(Ο,S,paths Β· |y)
through the iterative process
p(!,S |paths Β·,y)
p(paths Β· |!,S,y)
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Bladt et al: Metropolis-Hastings Simulation of Process
In summary:β’ Can simulate chain from
p(path Β· |Yi β₯ yi)
trivially by rejectionsampling.
β’ A Metropolis-Hastingsacceptance ratio (ratio ofexit rates) exists sttruncating chain to time yi(at which point it absorbs)will be a draw from
p(path Β· |Yi = yi)
Metropolis-Hastings
Rejection Sampling
CTMC Samplingp(path Β· |!,S)
p(path Β· |!,S, Y ! y)
p(path Β· |!,S, Y = y)
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Motivation for Modifications
1 Certain state transitions make no physical sense. (eg 2β 3in earlier example)
2 When part of a larger system, it is highly likely there willbe censored observations.
3 Where there is no reason to believe distributionaldifferences between parameters, they should (in idealisedmodelling sense) be constrained to be equal. This is asmuch to assist with reducing parameter dimensionality.
4 Computation time!
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Toy Example Results
100 uncensoredobservations simulatedfrom PHT with
S =
β3.6 1.8 1.89.5 β11.3 09.5 0 β11.3
=β Ξ»f = 1.8, Ξ»r = 9.5
Parameter Value
Den
sity
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0.5 1.0 1.5 2.0
Param
S12
S13
s2
s3
F
S12
S13
s2
s3
!f
Reliability less sensitive to Ξ»r(Daneshkhah & Bedford 2008)
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Toy Example Results
100 uncensoredobservations simulatedfrom PHT with
S =
β3.6 1.8 1.89.5 β11.3 09.5 0 β11.3
=β Ξ»f = 1.8, Ξ»r = 9.5
Parameter Value
Den
sity
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
8 9 10 11 12 13 14 15
Param
S21
S31
R!r
S21
S31
Reliability less sensitive to Ξ»r(Daneshkhah & Bedford 2008)
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Toy Example Results
100 uncensoredobservations simulatedfrom PHT with
S =
β3.6 1.8 1.89.5 β11.3 09.5 0 β11.3
=β Ξ»f = 1.8, Ξ»r = 9.5
Parameter Value
Den
sity
0
2
4
6
8
10
12
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Param
s1
S23
S32
S23
S32
s1
Reliability less sensitive to Ξ»r(Daneshkhah & Bedford 2008)
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
The Big Issue
Intractable computation time for many applications!
1 longer chains and MCMC jumps to states for whichobservations are far in the tails can stall rejectionsampling step of MH algorithm.
2 states from which absorption impossible β wastefulto resample whole chain because state at time yiunsuitable for truncation.
3 time for MH algorithm to reach stationarity cangrow rapidly.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
The Big Issue
Intractable computation time for many applications!
1 longer chains and MCMC jumps to states for whichobservations are far in the tails can stall rejectionsampling step of MH algorithm.
p(!,S |paths Β·,y)
p(paths Β· |!,S,y)
P(Yi ! yi |!,S) = 10!6
2 states from which absorption impossible β wastefulto resample whole chain because state at time yiunsuitable for truncation.
3 time for MH algorithm to reach stationarity cangrow rapidly.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
The Big Issue
Intractable computation time for many applications!
1 longer chains and MCMC jumps to states for whichobservations are far in the tails can stall rejectionsampling step of MH algorithm.
E(RS iter.) = 106
95% CI = [25317, 3688877]
p(!,S |paths Β·,y)
p(paths Β· |!,S,y)
P(Yi ! yi |!,S) = 10!6
2 states from which absorption impossible β wastefulto resample whole chain because state at time yiunsuitable for truncation.
3 time for MH algorithm to reach stationarity cangrow rapidly.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
The Big Issue
Intractable computation time for many applications!
1 longer chains and MCMC jumps to states for whichobservations are far in the tails can stall rejectionsampling step of MH algorithm.
2 states from which absorption impossible β wastefulto resample whole chain because state at time yiunsuitable for truncation.
1234
yi simulationinvalidtruncation
3 time for MH algorithm to reach stationarity cangrow rapidly.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
The Big Issue
Intractable computation time for many applications!
1 longer chains and MCMC jumps to states for whichobservations are far in the tails can stall rejectionsampling step of MH algorithm.
2 states from which absorption impossible β wastefulto resample whole chain because state at time yiunsuitable for truncation.
State Meaning P(state)
1 both PS working 0.99862 1 failed, 2 working 0.00073 1 working, 2 failed 0.0007
=β E(MH iter) = 1429
95% CI = [36, 5267]
3 time for MH algorithm to reach stationarity cangrow rapidly.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
The Big Issue
Intractable computation time for many applications!
1 longer chains and MCMC jumps to states for whichobservations are far in the tails can stall rejectionsampling step of MH algorithm.
2 states from which absorption impossible β wastefulto resample whole chain because state at time yiunsuitable for truncation.
3 time for MH algorithm to reach stationarity cangrow rapidly.
0 100 200 300 400 500
0.0
0.2
0.4
Iterations
Tota
l Var
iatio
n D
ista
nce
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Solution: βExact Conditional Samplingβ
Metropolis-Hastings
Rejection Sampling
CTMC Samplingp(path Β· |!,S)
p(path Β· |!,S, Y ! y)
p(path Β· |!,S, Y = y)
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Solution: βExact Conditional Samplingβ
Metropolis-Hastings
Rejection Sampling
CTMC Samplingp(path Β· |!,S)
p(path Β· |!,S, Y ! y)
p(path Β· |!,S, Y = y)i) Starting state ~ discrete
ii) Advance time ~ Exponential
iii) Select next state ~ discrete
iv) If not absorbed, , loop to ii
! ! Exp("SY {t},Y {t})
t = t + !
Y {0} ! !
Y {t + !} ! {"SY {t},!Y {t}/SY {t},Y {t}}
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Solution: βExact Conditional Samplingβ
Metropolis-Hastings
Rejection Sampling
CTMC Samplingp(path Β· |!,S)
p(path Β· |!,S, Y ! y)
p(path Β· |!,S, Y = y)
CTMC Samplingp(path Β· |!,S, Y = y)
e.g. Starting state mass function changes with conditioning:
P(Y {0} = i |!,S, Y = y) =eT
i exp{Sy}s !i
!T exp{Sy}s
P(Y {0} = i |!,S) = !i
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Tail Depth Performance Improvement
Upper tail probability (10^-x)
log[
Tim
e (s
ecs)
]
10-3
10-2
10-1
100
101
102
2 3 4 5 6
MethodECS
MH
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Overall Performance Improvement
This shows the new method keeping pace in βniceβ problems andsignificantly outperforming otherwise.
T =
(β3 1 1 11 β3 1 11 1 β3 10 0 0 0
)T =
( β2 0.01 1.99 01 β300 0 299
299 0 β300 10 0 0 0
)
No problems i-iii All problems i-iii
MH ECStΜ 1.6 Β΅s 7.2 Β΅sst 104 Β΅s 19 Β΅s
MH ECS10.2 hours 0.016 secs9.4 hours 0.015 secs
2,300,000 Γ faster on average in hard problem
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
2
1
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Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
2
1
3
1
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Networks/Systems of Components
Quick overview now of current research focus: inference fornetworks/systems comprising nodes/components which may beof Phase-type.
?
?
?
?
T = t
Again, reduced information setting: overall network failuretime, or so-called βMasked system lifetime dataβ.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Direct Masked System Lifetime Inference
Even a very βsimpleβ setting quite hard to tackle directly.
X1 X2
X3
XiiidβΌ Weibull(scale = Ξ±, shape = Ξ²)
System lifetimes t = {t1, . . . , tn}
FΜT (t) = 1β(1β FΜX1(t)FΜX2(t))(1β FΜX3(t))
=β L(Ξ±, Ξ²; t) =
mβ
i=1
tβ1i Ξ²(ti/Ξ±)Ξ² exp
{β3(ti/Ξ±)Ξ²
}[2 exp
{(ti/Ξ±)Ξ²
}
+ exp{
2(ti/Ξ±)Ξ²}β 3]
β΄ p(Ξ±, Ξ² | t) β L(Ξ±, Ξ²; t)p(Ξ±, Ξ²) awkward.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
MCMC Solution (Independent Case)
Proposed solution in the tradition of Tanner & Wong (1987),since inference easy in the presence of (augmented) componentlifetimes.Thus, for Xi
iidβΌ FX( Β· ;Ο) sample from the natural completion ofthe posterior distribution:
p(Ο,x1 Β· , . . . ,xn Β· | t)
by blocked Gibbs sampling using the conditional distributions:
p(x1 Β· , . . . ,xn Β· |Ο, t)p(Ο |x1 Β· , . . . ,xn Β· , t)
where xi Β· = {xi1, . . . , xim} are the m component failure timesfor the ith of n systems (xij = tj some j)
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
p(Ο |x1 Β· , . . . ,xn Β· , οΏ½t) is now simple Bayesian inference forsystem lifetime distribution β well understood and inPhase-type case, above algorithm slots in here.
Problem shifted to sampling p(x1 Β· , . . . ,xn Β· |Ο, t)
Propose using Samaniegoβs system signature sj = P(T = Xj:n)
e.g. p(xi1, . . . , xim |Ο, t) =mβ
j=1
{p(xi1, . . . , xim |Ο,Xj:n = ti)
ΓP(T = Xj:n |Ο, ti)}
where
P(T = Xj:n |Ο, ti) β sj(mβ 1
j β 1
)FX(ti)
jβ1FΜX(ti)mβjβ1
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
p(Ο |x1 Β· , . . . ,xn Β· , οΏ½t) is now simple Bayesian inference forsystem lifetime distribution β well understood and inPhase-type case, above algorithm slots in here.
Problem shifted to sampling p(x1 Β· , . . . ,xn Β· |Ο, t)
Propose using Samaniegoβs system signature sj = P(T = Xj:n)
e.g. p(xi1, . . . , xim |Ο, t) =
mβ
j=1
{p(xi1, . . . , xim |Ο,Xj:n = ti)
ΓP(T = Xj:n |Ο, ti)}
where
P(T = Xj:n |Ο, ti) β sj(mβ 1
j β 1
)FX(ti)
jβ1FΜX(ti)mβjβ1
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Algorithm to sample p(x1 Β· , . . . ,xn Β· |Ο, t)
For each system i = 1, . . . , n:
1 Sample j β {1, . . . ,m} from the discrete probabilitydistribution defined by the conditioned system signature,P(T = Xj:n |Ο, ti). This samples the order statisticindicating that the jth failure caused system failure.
2 Sample:β’ j β 1 values, xi1, . . . , xi(jβ1), from FX |X<ti( Β· ;Ο), the
distribution of the component lifetime conditional on failurebefore ti
β’ mβ j values, xi(j+1), . . . , xin, from FX |X>ti( Β· ;Ο), thedistribution of the component lifetime conditional on failureafter ti
and set xij = ti.
Each iteration provides xi Β· οΏ½
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
All Systems of 4 Components, Exponential (Ξ» = 0.4)
Network
Rat
e
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
ββββββββ
βββ
ββ
ββ
βββ
β
ββββ
β
β
β
βββ
β
βββββββββββ
β
β
β
ββ
ββββ
β
β
ββ
β
β
β
β
βββ
ββββ
β
βββ
ββ
β
ββ
β
β
β
ββ
ββ
β
βββ
βββ
β
βββ
ββ
β
β
βββββββββ
ββ
ββββ
β
ββ
ββ
β
β
β
ββββ
β
ββββββββ
β
ββββ
β
β
β
βββ
βββββ
β
βββ
ββ
ββ
β
ββββ
β
βββ
ββββββ
β
ββββ
β
ββ
β
βββββββββ
β
βββββ
β
β
ββ
β
βββββ
βββ
ββ
ββββ
β
βββ
β
ββ
βββββ
β
β
β
βββ
βββββββ
β
ββ
βββ
β
ββββ
β
βββ
β
ββ
β
βββ
β
β
βββββββ
β
β
β
βββ
βββ
β
β
β
β
β
ββββββ
β
β
ββ
ββ
β
ββ
β
ββ
β
ββββββ
β
β
βββ
β
ββ
β
ββ
β
β
ββ
ββ
ββββ
βββββββ
β
ββββ
β
β
βββββ
βββββββββ
β
ββ
β
β
βββ
β
βββββ
ββββ
ββ
ββββ
β
ββ
β
βββ
ββ
βββ
ββ
βββ
ββ
β
ββ
β
β
β
β
ββ
βββββ
β
β
ββ
β
βββββββββ
ββ
ββ
β
β
ββ
ββ
ββ
ββ
ββ
ββββ
β
β
β
β
βββββ
β
ββ
ββββ
βββ
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
βββ
β
ββ
β
β
βββ
βββββββ
βββ
ββ
β
ββ
ββ
β
β
β
βββββ
β
β
βββββ
ββ
βββββββββ
ββ
β
ββ
β
ββ
β
βββββββ
ββ
ββββ
β
ββββ
β
β
β
β
β
β
β
β
β
ββ
βββ
ββ
ββ
ββ
β
ββ
ββ
β
βββββββββββ
β
ββββ
βββββββ
ββ
β
ββββββ
β
β
β
ββ
βββ
β
βββ
ββββ
βββββββββ
β
β
β
βββββ
ββ
ββββββ
β
βββ
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βββββ
ββ
βββ
β
β
βββ
ββ
ββββββββ
ββ
β
β
β
βββββ
β
βββ
β
βββ
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β
β
β
ββ
βββ
βββ
βββ
βββββββββ
β
βββ
β
ββ
βββ
ββββββββ
β
β
β
βββ
ββ
β
βββββββ
ββ
ββββ β
β
βββββ
β
β
β
βββ
βββ
βββββ
β
β
β
β
ββββ
ββ
β
β
β
β
β
βββ
ββ
β
β
β
ββ
β
β
β
βββ
βββββ
βββββ
ββ
β
β
ββ
ββββββ
βββββ
β
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β
ββββββββ
β
β
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β
ββ
β
β
βββββ
ββ
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β
β
ββ
β
β
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ββ
β
β
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β
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β
β
ββββ
βββ
β
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β
ββββ
β
β
β
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ββββββββ
β
β
βββ
β
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β
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ββββββ
ββββββ
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βββββ
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β
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β
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β
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ββββββββ
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ββ
β
β
β
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βββ
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ββ
ββ
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βββ
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ββ
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ββ
β
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β
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β
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ββ
β
ββ
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ββββ
ββ
ββ
ββ
β
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β
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ββ
ββββββββ
ββ
βββ
β
ββββ
β
βββββ
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Exchangeable Failure Rate Parameters
It is straight-forward to allow the more general setting ofexchangeable failure rate parameters between networks:
XijοΏ½iοΏ½ Ti
j = 1, . . . , n
i = 1, . . . ,m
However, exchangeability within network would break thesignature-based sampling of node failure times so this isprobably as general as this particular approach can go.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
All Systems of 4 Components, Ξ¨ βΌ Gam(Ξ± = 9, Ξ² = 12)
Network
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Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
All Systems of 4 Components, Ξ¨ βΌ Gam(Ξ± = 9, Ξ² = 12)
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Extend to Topological Inference
It is now possible to add topology detection to the inferentialprocess.
? ?
??
T = t
It is simple to sample from p(M|Ο, t) as an additional Gibbsupdate, moving between network topologies. With care,reversible jump between component numbers is also feasible.
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
True Topology with Signature No. 12 (40 observation)
Network
Pos
terio
r P
roba
bilit
y
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
4 6 8 10 12 14 16 18
Intro Phase-type Distributions Bayesian Inference for PHT Computational Issues Network Inference
Asmussen, S., Nerman, O. & Olsson, M. (1996), βFitting phase-typedistributions via the EM algorithmβ, Scand. J. Statist.23(4), 419β441.
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