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Indice

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Strumenti astronomici

• Le Magnitudini ............................................ pagina 2• Magnitudine apparente ................................. pagina 2• Magnitude assoluta ...................................... pagina 3• Differenti colori, differenti magnitudini .......... pagina 3• Dall’indice di colore B-V alla temperatura ........ pagina 4• L’equazione della distanza ............................. pagina 5• Piccoli esercizi pratici ................................... pagina 5• Luminosità ed intensità ................................ pagina 7

Strumenti matematici

• Piccoli angoli e grandi distanze ..................... pagina 8• Unità ed altri dati utili ................................. pagina 8

Guida per l’insegnante

• Guida per l’insegnante .................................. pagina 9

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Magnitudine: un concetto sviluppatoper la prima volta nel 120 a.C.

Quando noi guardiamo il cielo di notte, vediamole stelle. Viste dalla Terra, alcune appaionobrillanti e altre molto deboli. Certe stelle che ciappaiono deboli sono intrinsecamente moltoluminose, ma assai lontane. Fra le stelle piùluminose del cielo alcune sono molto deboli mamolto più vicine a noi. Quando osserviamo, sia-mo costretti a stare sulla Terra o nelle vicinanzee perciò possiamo misurare soltanto l’intensitàdella luce che ci raggiunge. Sfortunatamente ciònon ci dice immediatamente tutto sulleproprietà intrinseche della stella. Volendoconoscere più informazioni su una stella, peresempio le sue dimensioni o la sua luminositàintrinseca, dobbiamo determinarne la distanzadalla Terra.

Storicamente, le stelle visibili ad occhio nudofurono divise in sei classi differenti, chiamatemagnitudini. Questo sistema fu ideato origina-riamente dall’astronomo greco Ipparco intornoall’anno 120 a.C. ed è ancora in uso oggi in for-ma leggermente modificata. Ipparco scelse diclassificare le stelle più luminose come aventimagnitudine 1, e le più deboli di magnitudine6.

L’Astronomia è un po’ cambiata da allora! Invecedi usare solo l’occhio nudo, la luce è oggi rac-colta da grandi specchi sia nei telescopi instal-

lati a terra come il VLT nel deserto di Atacama inCile, sia con il telescopio spaziale Hubble sopral’atmosfera terrestre. La luce raccolta è quindianalizzata da strumenti capaci di individuare og-getti miliardi di volte più deboli di quelli visibilidall’occhio umano.

Comunque, ancora oggi gli astronomi usano unoschema di magnitudini leggermente modificatorispetto a quello di Ipparco, chiamato magnitu-dine apparente. La definizione moderna di ma-gnitudine fu scelta in modo che le magnitudinigià esistenti non subissero variazioni.Gli astronomi usano due tipi diversi di magnitu-dini: le magnitudini apparenti e le magnitudiniassolute.

Magnitudine apparente

La magnitudine apparente, m, di una stella èdefinita come la sua luminosità della stellaosservata dalla Terra o nelle sue vicinanze.Invece di definire la magnitudine apparente dalnumero di fotoni ricevuti, la si definisce pren-dendo la magnitudine e l’intensità di un’altrastella di riferimento. Ciò vuol dire che unastronomo misura le magnitudini delle stelleconfrontandole con quelle di alcune stelle diriferimento che sono già state misurate in modoassoluto (invece che relativo).

Figura 1: Ipparco di Nicea (c.190-c.120a.C.) a lavoroIpparco, un astronomo greco, inventò la primascala per misurare la luminosità delle stelle.

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La magnitudine apparente, m, è definita come:

m = mrif – 2,5 log10 ( I/Irif )

dove mrif è la magnitudine apparente della stelladi riferimento, I è la misura dell’intensità dellaluce della stella e Irif è l’intensità della luce dellastella di riferimento. Il fattore di scala 2,5 ren-de la definizione moderna corrispondente allevecchia.

È interessante notare che la scala che Ipparcoscelse su basi intuitive, usando soltanto l’occhionudo, è già logaritmica come conseguenza delmodo con cui l’occhio percepisce la luce.

Per confronto, la magnitudine apparente dellaLuna piena è circa –12,7, la magnitudine di Ve-nere può arrivare a –4 ed il Sole ha una magni-tudine di circa –26,5.

Magnitudine assoluta

Abbiamo così definito la magnitudineapparente. Essa è uno strumento utile per gliastronomi, ma non ci dice nulla sulle proprietàintrinseche della stella. Occorre stabilire unaproprietà che possa essere usata per confrontarestelle diverse e nelle analisi statistiche. Questaproprietà è la magnitudine assoluta.

La magnitudine assoluta, M, di una stella vienedefinita come la magnitudine relativa che unastella avrebbe se venisse posta a 10 parsecs dalSole (vedi la definizione di parsec negli stru-menti matematici).

Poiché soltanto poche stelle distano esattamen-te 10 parsecs, dobbiamo usare un’equazione checi permetta di calcolare la magnitudine assolutadi stelle a distanze diverse: l’equazione della di-stanza. L’equazione funziona naturalmente anchenell’altro senso: nota la magnitudine assoluta sipuò calcolare la distanza.

Colori differenti, differenti magnitudini

A partire dagli ultimi anni del XIX secolo, quan-do gli astronomi iniziarono ad usare la fotogra-fia per studiare il cielo e misurare la magnitudi-ne apparente delle stelle, sorse un nuovo pro-blema. Alcune stelle che osservate ad occhionudo avevano la stella luminosità, sulla pellicolaapparivano di luminosità differente, o viceversa.Confrontata con l’occhio umano, l’emulsionefotografica usata era molto più sensibile allaluce blu e meno a quella rossa.Di comune accordo, si scelse di usare due diffe-renti scale: la magnitudine visuale, o mvis, chedescrive come la stella appare all’occhio umanoe la magnitudine fotografica, o mfot, riferita amisure effettuate con pellicole (in bianco enero) sensibili alla luce blu. Queste sono adessoabbreviate con mv e mp.Comunque, differenti modelli di emulsione foto-grafica differiscono per essere sensibili a diffe-renti colori. Anche gli occhi delle persone sonodifferenti! I sistemi di magnitudine designatiper differenti intervalli di lunghezze d’ondadovevano quindi essere calibrati con esattezza.Oggi, misure precise di magnitudine vengono ef-fettuate con fotometri fotoelettrici standard at-traverso filtri colorati calibrati.

Figura 2: Temperatura e colore delle stelleQuesto diagramma schematico mostra la relazione tra il colore di una stella e la sua temperatura superficiale. Si mostra comevari l’intensità rispetto alla lunghezza d’onda di due stelle ipotetiche. Indicando la parte visibile dello spettro, si mostra come ilcolore della stella sia determinato da dove il picco di intensità interseca la curva nella parte visibile dello spettro.

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Figura 3: Temperatura superficiale in funzione dell’indice di colore B-VQuesto diagramma mostra la relazione tra la temperatura superficiale di una stella, T, ed il suo indice di colore B-V. Conoscendola temperatura superficiale è possibile ricavare, usando questo diagramma, l’indice di colore B-V, e viceversa

Sono stati definiti diversi sistemi fotometrici: ilpiù familiare è noto come UBV dal nome dei trefiltri più comunemente usati. Il filtro U lasciapassare la luce nel vicino ultra-violetto, Bprincipalmente la luce blu, e V corrisponde ap-prossimativamente alla banda del visibile; il suopicco più ampio è nella banda giallo-verde, dovel’occhio è più sensibile. Le magnitudini corri-spondenti in questo sistema sono chiamate mU,mB e mV.

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Dall’indice di colore B-V alla tempera-tura

Il termine indice di colore B–V (chiamato breve-mente B–V dagli astronomi) è definito come dif-ferenza tra le due magnitudini mB e mV

(misurate nel sistema UBV). Una stella biancaha un indice di colore B-V di circa 0,2, il nostroSole giallo di 0,63, la stella rosso-arancio Betel-geuse di 1,85; la stella più blu che si pensa siapossibile osservare avrà indice di colore B-V pa-ria a circa –0.4. Per capire come vari l’indice dicolore si può pensare che più una stella è blu,più negativa sarà la sua magnitudine B e quindiminore sarà la differenza mB–mV.

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Figura 5: Il satellite dell’ESA HIPPARCOSIl satellite HIPPARCOS è stato lanciato nellanotte dell’8 agosto 1989 da un razzo EuropeoAriane4. Il principale obiettivo della missioneIpparco è stato la produzione di un catalogodi stelle di precisione senza precedenti. Leposizioni e le distanze di un set di circa120.000 stelle prescelte con magnitudineinferiore a 13 sono state determinate conelevata accuratezza. La missione Ipparco èterminata nel 1993 ed il primo catalogo distelle è stato pubblicato nel 1997.

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Vi è una precisa relazione tra la temperatura su-perficiale T di una stella ed il suo indice di colo-re B-V (vedi Reed, C., 1998, Journal...): si puòquindi ricavare la temperatura superficiale diuna stella usando il diagramma di T in funzionedi mb-mv (vedi figura 3).

log10(T) = (14,551 – (mB - mV) )/ 3,684

L’equazione della distanza

L’equazione della distanza è:

m-M = 5 log10 (D/10 pc) = 5 log10(D) – 5

Questa equazione stabilisce la relazione tra lamagnitudine apparente, m, la magnitudineassoluta, M, e la distanza, D, misurata in parsec.Un po’ di algebra trasformerà questa equazionein una forma equivalente che è talvolta piùconveniente (siete liberi di provarlo da soli):

D=10(m-M+5)/5

Nel determinare le distanze tra oggetti nell’Uni-verso prima si misura la magnitudine apparentem e poi, conoscendo quanto l’oggetto sia intrin-secamente luminoso (la sua magnitudine M) sipuò calcolare la sua distanza D. Gran parte dellavoro eseguito per calcolare le distanze astro-nomiche è consistito nel trovare la luminositàintrinseca di certi tipi di oggetti celesti. La ma-gnitudine assoluta è stata misurata, per esem-pio, dal satellite dell’ESA HIPPARCOS. Questo sa-tellite, tra i suoi molti obbiettivi scientifici, hacompiuto misure accurate di distanze e magni-tudini assolute di un gran numero di stelle a noivicine.

Piccoli esercizi pratici

Questi brevi esercizi dovrebbero farvi familiariz-zare con le quantità appena introdotte.

Esercizio AT1

La stella α-Orionis (Betelgeuse) ha una magni-tudine apparente m=0,45 ed una magnitudineassoluta M=–5,14.

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Foto 1: Betelgeuse (Orion – Il Cacciatore)

Foto 2: Vega (Lyra – La Lira)

Foto 3: Il Triangolo Estivo: (clockwise)Deneb (Cygnus – The Swan), Vega (Lyra – LaLira), Altair (Aquila – L’Aquila)

Foto 4: Sirius (Canis Major - Il Cane Maggiore)

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? Trovare la distanza della stella.

Betelgeuse è la stella rossa sulla spalla sinistradi Orione ed è una supergigante rossa. Quantoviene osservata ad occhio nudo, appare con unatinta rosso-arancione.

Esercizio AT2

α-Lirae (Vega), con una magnitudine assoluta di0,58 dista 7,76 parsecs.

? Calcolare la magnitudine apparente.

Vega è la stella più luminosa della costellazionedella Lira ed è la stella in alto a destra deltriangolo estivo.

Esercizio AT3

α-Cygni (Deneb) è la stella in alto a sinistra deltriangolo estivo e la stella principale del Cigno.La sua magnitudine apparente è 1,255 e la di-stanza è di 993 parsecs.

? Calcolare la magnitudine assoluta. Cosa vidice questo sulla natura di Deneb?

Esercizio AT4

La stella α-Canis Majoris (Sirio) è la stella piùluminosa del cielo. Essa si trova ad una distanzadi 2,64 parsec ed ha una magnitudine apparentedi –1,44.

? Calcolare la magnitudine assoluta di Sirio.Se confrontata con la magnitudini assolutedelle altre tre stelle qual è il vostro giudiziosulla luminosità fisica o intrinseca di Sirio?

Esercizio AT5

? Se le stelle Vega, Sirio, Betelgeuse e Denebfossero poste a 10 parsecs dalla Terra nellastessa direzione, cosa osservereste?

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Figura 5: Intensità della luceQuesta figura mostra come la stessa quantità di radiazione proveniente da una sorgente luminosa debba illuminare un’areasempre più grande al crescere della distanza dalla sorgente. L’area aumenta come il quadrato della distanza e quindi l’intensitàdiminuisce nella stessa misura.

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Esercizio AT6

La magnitudine assoluta M viene definita comela magnitudine apparente che una stella avrebbese venisse posta a 10 parsecs dal Sole.

? Ma non sarebbe corretto misurare questa di-stanza dalla Terra? Perché non c’è differenzase noi misuriamo questa distanza dal Sole odalla Terra?

Luminosità ed Intensità

Fino ad ora abbiamo discusso di magnitudinestellare, ma non abbiamo mai parlato di comevenga realmente emessa l’energia luminosa dauna stella. L’energia totale emessa dalla stellaper ogni secondo sotto forma di luce è chiamataluminosità L, è misurata in watts (W) ed è equi-valente alla potenza emessa.

La luminosità e la magnitudine sono collegate.Una stella lontana con una elevata luminositàpotrà avere la stessa magnitudine apparente diuna stella relativamente vicina ma con minoreluminosità. Conoscendo la magnitudine apparen-te e la distanza di una stella, si puòdeterminarne la luminosità.

Le stelle irradiano luce in tutte le direzioniquindi l’emissione è distribuita su una sfera. Pertrovare l’intensità, I, della luce proveniente dauna stella verso la Terra (l’intensità è l’emissioneper unità di area), dobbiamo dividere la sua lu-minosità per l’area di una sfera, con la stella alcentro e raggio uguale alla distanza della stelladalla Terra, D. Vedi figura 5.

I = L/(4πD2)

La luminosità di una stella può anche essere mi-surata come un multiplo della luminosità delSole, LSole= 3,85 · 1026 W. Poiché il Sole è la “no-stra” stella ed anche la più conosciuta, vienespesso utilizzata come stella di riferimento.

Usando un po’ di algebra si può ricavare laluminosità di una stella, L, relativamente allaluminosità del Sole:

L/LSole = (D/DSole)2·I/ISole

Il rapporto I/ISole può essere determinato usandola formula che trovate nel paragrafo sulla Magni-tudine Apparente di questa dispensa (mSole =–26,5).

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Figura 6: Piccoli angoliSe b è piccolo in confronto a c, allora b sarà un angolo piccolo. Possiamo quindi individuare una relazione tra b, c e b che nonfaccia uso di funzioni trigonometriche

Unità ed altri dati utili

1 arcminuto = 1’ = 1/60 di un grado = 2,9089 × 10-4 radianti1 arcsecondo = 1’’ = 1/3600 di un grado = 4,8481 × 10–6 radianti1 milliarcsecondo (mas) = 1/1000 arcsecondoVelocità della luce (c) = 2,997 × 108 m/s1 parsec (pc) = 3,086 × 1013 km = 3,26 anni-luce1 kiloparsec (kpc) = 1000 parsecs1 Megaparsec (Mpc) = 106 parsecs1 nano metri (nm) = 10–9 m

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Piccoli angoli e grandi distanze

Guarda la figura 6:se b è piccolo in confronto a c, si può assumereche i due lati più lunghi del triangolo, c,abbiano la stessa lunghezza della linea centrale.Con semplici equazioni per i triangoli rettangolitroviamo:

sin(β/2) = (b/2)/c

Lavorando con angoli molto piccoli (se espressiin radianti), allora si può usare l’approssimazio-ne per piccoli angoli: sin x = x. Questaapprossimazione può sembrare azzardata, ma è

matematicamente dimostrato che funziona perpiccoli angoli.

Quesito MT1

? Verifica da solo questa approssimazione cal-colando sin(1°), sin(1’), sin(1’’). Ricorda diconvertire gli angoli da gradi a radianti.

Adesso hai una semplice relazione tra b, c e βsenza dover usare funzioni trigonometriche:

β/2 = (b/2)/c

c = b/β

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Guida per l’insegnante

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Questa guida per l’insegnante contiene le soluzioni ai quesiti pratici presenti nella dispensa.

Quesito AT1: D = 131 parsecs

Quesito AT2: m = 0,03

Quesito AT3: M = –8,73

Questa è una stella inusuale per quanto riguarda la luminosità.

Quesito AT4: M = 1,45

In confronto con Deneb (M= – 8.73), Betelgeuse (M = –5.14), e Vega (M = 0,58) Sirio è una stella al-quanto debole. Questo dimostra che i nostri sensi non sono sempre “ben equipaggiati” per indagare larealtà fisica che ci circonda.

Quesito AT5:

Se posizionate ad una distanza di 10 pc, Vega e Sirio dovrebbero essere più deboli, ma sarebbero an-cora tra le stelle più luminose. Invece le stelle Deneb e Betelgeuse dovrebbero essere entrambe piùbrillanti di qualunque altra stella mai vista nel cielo notturno.

Quesito AT6:

Non vi sono ragioni per distinguere tra compiere misurazioni della distanza dalla Terra o dal Sole, inquanto la distanza tra Terra e Sole è piccolissima se confrontata con 10 parsecs.Calcolare la differenza di magnitudine apparente usando la distanza dalla Terra o dal Sole comporta, almassimo, una differenza di magnitudine apparente dell’ordine di 10-6 mag.

Quesito MT1:

sin(1º) = sin(0,017453293 rad) = 0,017452406sin(1’) = sin(0,000290888 rad) = 0,000290888sin(1’’) = sin(4,84814 × 10-6 rad) = 4,84814 ××××× 10-6