Incerteza e propagação de Erros em sistemas de medição

Prof. ValnerMaterial desenvolvido com notas de aulas e bibliografia

Incerteza de medição

Documento importante: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement(ISO-GUM).

Guia International – anos de desenvolvimento e revisões feitas por sete organizaçõesinternacionais.Fortemente recomendado por Institutosreferência como o NISTMelhor maneira de certificar-se sobre a consistência entre laboratórios do mundo.

Modelo de Medida

Defina o mensurando- measurand – a quantidadesujeita à mediçãoDetermine o modelo matemático, com as quantidadesde entrada X1,X2,…,XN, e (pelo menos) umaquantidade de saída,Y.Os valores determinados para as quantidades de entrada são chamados de estimativa da entrada e são denotados por x1,x2,…,xN.O valor calculado para as quantidades de saída sãochamados de estimativa de saída e são denotadospor y.

Incerteza padrão

A incerteza padrão de um mensurando é a incertezaexpressa como uma estimativa expressada como um devio padrão estimado, isto é uma incerteza de um sigma.A incerteza de uma estimativa de entrada, xi, é denotadapor u(xi).A incerteza padrão de uma estimativa de saída, y, determinada pela propagação da incerteza, é chamadade incerteza padrão combinada, e é denotada por uc(y).

Incerteza tipo A

Avaliação estatísticada incerteza envolvendouma série de observaçõesSempre possui uma associação com o númerode graus de liberdade.Exemplos incluem simples médias e estimativasde mínimos quadrados

Incerteza tipo B

Qualquer avaliação que não é do tipo A é uma avaliaçãodo tipo B.Não é incerteza sistemáticaExemplos:

Usando experiência profissional combinada com umadistrinuição retangularObtendo incertezas padrão de certificados padrão ou de livros de referência

Covariância

Correlações entre as estimativas de entradaafetam a incerteza padrão combinada daestimativa de saída.A covariância estimada de duas estimativas de entrada, xi and xj, são denotadas por u(xi,xj).

Propagação de incertezas

“Lei da propagação de incertezas,” ou, simplesmente, a “equação de propagação de incertezas”Incertezas padrão e covariâncias de estimativasde entrada são combinadas matematicamentepara produzir a incerteza padrão combinada daquantidade de saída.

Incerteza expandida

Multiplique a incerteza padrão combinada, uc(y), porum número k, chamado fator de cobertura para obtera incerteza expandida, U.A probabilidade que o intervalo y +- U contém o valor do mensurando é chamada de nível de cobertura ounível de confidência ou de confiança.

Propagação de incertezasIntervalo de ConfiançaO intervalo de confiança consiste em um número fixo, positivo menor que 1 que representa a probabilidade de um determinado parâmetroda população (a ser estimado) estar compreendida entre dois limites.

( )1 2P L Lϕ≤ ≤

Intervalo de confiançanº de σ Intervalo de

confiança

Nível de

confiança

(%)

Nível de

Significância

(%)

3.30 ( ) ( )3.3 3.3vy y yσ σ− < < + 99.9 0.1

3.0 ( ) ( )3 3vy y yσ σ− < < + 99.7 0.3

2.57 ( ) ( )2.57 2.57vy y yσ σ− < < + 99.0 1.0

2.0 ( ) ( )2 2vy y yσ σ− < < + 95.4 4.6

1.96 ( ) ( )1.96 1.96vy y yσ σ− < < + 95.0 5.0

1.65 ( ) ( )1.65 1.65vy y yσ σ− < < + 90.0 10.0

1.0

(incerteza

padrão)

( ) ( )vy y yσ σ− < < + 68.3 31.7

Análise de IncertezasVariáveis Modificantes

Afetam a sensibilidade da leitura em relação àvariável de interesse (mensurando)Contribuem de forma multiplicativa (expansão polinomial)

Variáveis InterferentesAfetam a leitura mas não a sensibilidade da leitura em relação à variável de interesse Contribuem de forma aditiva (expansão polinomial)

Análise de Incertezas

leitura

u1

Efeitos das variáveis modificantes e interferentes em um sistema de medição linear

ideal

Variável modificanteSensibilidade alterada

Variável interferenteDeslocamento de Zero

Variável interferente e modificanteSensibilidade alteradaDeslocamento de zero

Variável modificante variávelSensibilidade alterada

Variável interferente variávelDeslocamento de Zero

Variável interferente e modificante variávelSensibilidade alteradaDeslocamento de zero

Análise de IncertezasEspecificação da Leitura

Se o erro sistemático for removido então:

Medida Ideal = Medida Real ± incerteza

Incerteza é estabelecida como os limites máximo e mínimo com um determinado nível de confidênciaExemplo:10 gramas = (Medida Real ± 1,3) gramas com nível de confidência de 95%

10g

2,6g

Valor ideal da Medida

Análise de IncertezasIncertezas (erro não sistemático)

Tipo AAvaliadas por métodos estatísticosCaracterizadas pela variância σi

2 ou desvio padrão σi e pelo número de graus de liberdade

Tipo BAvaliadas por outros meios:

• dados obtidos previamente• experiência ou conhecimento do comportamento do sistema

de medição• especificação do fabricante• dados obtidos de curvas de aferição ou outros documentos

Caracterizadas pela quantidade uj2 ou uj que podem ser

tratadas como aproximações de variância e desvio padrão para efeitos de cálculos.

Propagação de IncertezasAo proceder com um ensaio experimental para executar a medição de uma variável, é comum definir um intervalo no qual a medida é significativa como visto na secção anterior. Este parâmetro depende das condições ambientais, da habilidade do operador entre outras. Ao utilizar duas medidas experimentais, cujas incertezas são conhecidas, para determinar uma nova grandeza deve-se considerar a mesma dentro de seu intervalo de confiança (na maioria das vezes determinado pela incerteza padrão) na seguinte forma:

onde G é a grandeza e ∆G a incerteza padrão G G± ∆

Propagação de Incertezas

Considerando uma grandeza dependente das variáveis as quais possuem distribuições de erros gaussianas com desvios padrões , , ,... e médias ,

, , ... respectivamente a grandeza pode ser calculada para qualquer conjunto de variáveis

, , ,...i i ix y z

xσ yσ zσ xµyµ zµ

( ),...,, iii zyxG

Análise de IncertezasEfeito da Incerteza sobre “y”

( ),,,, 2211 kk uxuxuxfy ±±±=

( ) ( ) +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡±⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+= ∑k

kk

uxxxx

fxxxfy,,,

,,,321

321

ucVariação em y

incertezauc

uk x

y

xk

f(x1 , x2 ,...)

Expansão em Série de Taylor

Análise de IncertezasExemplo: Suponha que medimos a corrente (I) e a resistência (R) de um resistor. Pela lei de Ohm:

V = IRSe nós conhecemos as incertezas (ou desvios padrões) em I e R, qual a incertezaem V?Mais formalmente, dada uma relação funcional entre algumas variáveis (x, y, z),

Q=f(x, y, z)Qual é a incerteza em conhecendo as incertezas em x, y, e z?Geralmente consideramos a incerteza padrão em x, e escrevemos: x±s.

Na maioria dos casos assumimos a incerteza “Gaussiana” e como vistoanteriormente, 68% das vezes, esperamos que o valor de x esteja no intervalo [x-s, x+s].Nem todas as medidas podem ser representadas por distribuições Gaussianas!Para calcular a a variância de Q como função das variâncias em x e y, então usamos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

yQ

xQ

yQ

xQ

xyyxQ ∂∂

∂∂σ

∂∂σ

∂∂σσ 2

22

222

Análise de IncertezasSe as variáveis x e y não são correlacionadas, então σxy = 0 e o último termo naequação acima é zero. Podemos deduzir a equação acima da sequinte maneira:Assumindo que temos algumas quantidades medidas x (x1, x2...xN) e y (y1, y2, ...yN). As médias de x e y:

defina:

avaliada nos valores médiosexpandindo Qi sobre estes valores médios:

assumindo que os valores medidos encontram-se próximos das médias, e desprezandotermos de ordens mais elevadas:

1 1

1 1 e N N

x i y ii i

x yN N

µ µ= =

= =∑ ∑Qi ≡ f (xi ,yi )Q ≡ f (µx ,µy )

, ,

( , ) ( ) ( ) + termos de ordens altasx y x y

i x y i x i yQ QQ Q x yx yµ µ µ µ

∂ ∂µ µ µ µ∂ ∂

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Análise de Incertezas

∑

∑ ∑∑

∑

=

= ==

=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

N

iyixiyx

N

i

N

iyixiyi

N

ixi

N

iiQ

yixii

yxNy

QxQ

yQ

xQ

yQ

xQyx

NyQy

NxQx

N

QQN

yQy

xQxQQ

yxyxxxxx

xxxxyxxx

xxxx

1,,

2

,

22

,

2

1 ,1 ,

2

,

2

1

2

,

2

1

22

,,

))((2

))((2)(1)(1

)(1

)()(

µµ∂∂

∂∂

∂∂σ

∂∂σ

∂∂

∂∂µµ

∂∂µ

∂∂µ

σ

∂∂µ

∂∂µ

µµµµµµµµ

µµµµµµµµ

µµµµ

Se as medidas não são correlacionadas o último termo na equação acima é zero:

Uma vez que as derivadas são avaliadas nas médias (µx, µy) , podemos tirá-lasda soma

2

,

22

,

22

yxyxyQ

xQ

yxQµµµµ ∂

∂σ∂∂σσ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Erros não correlacionados

Análise de IncertezasSe x e y são correlacionados, definimos σxy como:

Exemplo: Potência em um circuito elétrico.P = I2RFaça I = 1.0 ± 0.1 A e R = 10. ± 1.0 ΩP = 10 W

Calcule a variância na potência usando a propagação de incertezas assumindoque I e R não são correlacionados

xyyxQ

N

iyixixy

yxyxyxyxyQ

xQ

yQ

xQ

yxN

σ∂∂

∂∂

∂∂σ

∂∂σσ

µµσ

µµµµµµµµ ,,

2

,

22

,

22

1

2

))((1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−= ∑=

σ P2 = σ I

2 ∂P∂I

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ I=1

2+σ R

2 ∂P∂R

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ R=10

2= σ I

2 (2IR)2 +σ R2 (I2 )2 = (0.1)2 (2 ⋅1⋅10)2 + (1)2 (12)2 = 5 watts2

Análise de IncertezasP = 10± 2 watts Se o valor verdadeiro da potêcia for de 10 W e nós medirmos a mesmacom uma incerteza padrão (s) de ± 2 W, considerando uma distribuiçãoGaussiana, então 68% das medidas ficará dentro do intervalo [8,12] WPodemos ainda, fazer o cálculo anterior com erros relativos:

Observe que se a corrente for medida com mais precisão, a incerteza napotência cai mais rapidamente.Pode-se mostrar que em uma função do tipo: f(x,y,z)= xaybzc, a variância relativa de f(x,y,z) é:

)14()1.0(101

11.044 2

22

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RIRP

PIP

PPRIRIP σσ

∂∂σ

∂∂σσ

2222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛z

cy

bx

af

zyxf σσσσ

Análise de IncertezasO erro na média

A média de algumas medidas com a mesma incerteza (σ) é dada por:

A precisão aumenta com a raiz quadrada do número de experimentos.Não confunda σµ com σ ! σ está relacionado com a largura da função densidade probabilidade ( ex.:

Gaussiana) da qual as medidas são originadas. σ não diminui quando se aumenta o número de elementos.

µ = 1n

(x1 + x2 +...xn )

σµ2 = σ

x1

2 ∂µ∂x1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

+σx2

2 ∂µ∂x2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

+...σxn

2 ∂µ∂xn

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

= σ2 1n

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+σ2 1n

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+...σ 1n

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

= nσ2 1n

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

σµ = σn “devio padrão na média” ou incerteza padrão

Propagação de IncertezasDepois do procedimento matemático, das simplificações e considerações, pode-se obter a expressão para a incerteza padrão na grandeza G :

Esta equação permite calcular a incerteza mais provável da grandeza G em função das incertezas de cada uma das variáveis, das quais a mesma é dependente.

...22

22

22

2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= zyxG zG

yG

xG σσσσ

Propagação de IncertezasTodas as grandezas físicas, quando medidas devem ser representadas por um valor numérico, uma incerteza e uma unidade (se a grandeza não for adimensional). Exemplo: temperatura indicada no painel de um forno : 700 °C. A expressão “grandeza física”implica na determinação de um número que representa a grandeza e tem pouco valor caso não seja conhecida a incerteza correspondente. Assim, no caso da temperatura do forno, considerando a precisão do sensor de temperatura, do instrumento de indicação e dos cabos poder-se-ia chegar a uma informação do tipo:

Onde o valor 700 indica a grandeza nominal medida ou estimada e o valor 5 a incerteza (em ºC) relacionada a esta medida.

( )700 5 C±

Propagação de IncertezasErros em uma medida: A análise quantitativa é realizada a partir da medida dos valores das grandezas relacionadas à propriedade alvo da pesquisa. O usuário faz uso de instrumentos de medida cuja complexidade varia de acordo com a natureza da grandeza a ser mensurada. O grau de sofisticação e ou de precisão do aparelho utilizado não livra o operador da existência de erros ao realizar a medida.Dados experimentais devem ser acompanhados por um posterior tratamento matemático que permita uma avaliação da confiabilidade dos resultados obtidos, isto é, quanto os mesmos estão corretos, são aceitos ou mesmo infundados.No processo de medida há uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, nos resultados. Uma vez que é impossível a determinação de como cada fator influencia no processo, o erro verdadeiro da medida permanece desconhecido.É possível somente uma estimativa do erro máximo aceitável para o processo, caracterizado pelo intervalo de incertezas.

Propagação de IncertezasUm ar condicionado de 10000 BTU tem uma tensão elétrica medida de e corrente Pretende-se determinar a potência real dissipada neste aparelho de ar condicionado:

Entretanto, apesar de possível, é bastante improvável que a incerteza da potência seja dada por essas quantidades, uma vez que dois maiores ou menores valores de medida simultâneos devem ocorrer. Segundo o método apresentado anteriormente, o resultado do cálculo da incerteza final é uma função das variáveis independentes para:

( )220 10E V= ± ( )6 1I A= ±

200.6 1320P VI W= = =( )( )min 220 10 6 1 1050P W= − − = ⋅

, , ,...i i ix y z

( ), , ,...G i i iG x y zσ =

( )( )max 220 10 6 1 1610P W= + + = ⋅

Incerteza CombinadaIncerteza Combinada uc

Estimativa dos limites da incerteza em ySe as variáveis xi forem estatisticamente independentes:

∑ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=k

kk

c uxxxx

fu 2

2

321

2

,,,

Se a função de transferência for linear:

( )∑=k

kkc uu 22 λ

Incerteza ExpandidaEspecificando a Incerteza da Medida (Precisão)

Medida Ideal = Medida Real ± U U é a Incerteza Expandida

ckuU ±=k = Fator de Cobertura

Determina o Nível de Confidência• Grau de crença de que o valor ideal da medida se encontra no

intervalo• Se a quantidade z apresentar uma distribuição normal, com

espectância µz e desvio padão σ, o intervalo µz ± kσ abarca 68,27%; 90%; 95,45%; 99% e 99,73% (nível de confidência) dos possíveis valores de z, para k=1; k=1,645; k=2; k=2,576 e k=3respectivamente (considerando graus de liberdade →∞)

• Para outras distribuições os valores são diferentes

Área = P(µz – kσ <z< µz + kσ )

Áreaz

p(z)

µz + kσµzµz – kσ

nível de confidência

Fator de Cobertura

Propagação de IncertezasConsidere, nos próximos exemplos, erros com distribuição gaussiana. Se nada for informado sobre o nível de confidência, o mesmo corresponde a 68,3% (±σ). No exemplo da potência, calcule a incerteza resultante mais provável.A superfície juntamente com a incerteza total de um paralelepípedo deve ser calculada. Os resultados das medidas das dimensões são:

( )100 1%x mm= ± ( )300 3%y mm= ±

( )25 2z mm= ±

exercícios

Aplica-se uma Tensão de a um resistor de , sendo a corrente medida igual a . Deseja-se calcular a potência dissipada de três modos diferentes:

Qual dos modos você considera mais adequado?

%.1.100 ±= VV

%1.10 ±Ω=R

%1.10 ±= AI

RVP

2

= 2RIP = IVP .=

exercícios

Dados dois resistores, , , determine o valor da resistência equivalente, quando:(a) Os resistores estiverem em série;(b) Os resistores estiverem em paralelo.

( )Ω±= .4201R

( )Ω±= .23002R

exercícios

A resistência elétrica de um fio de cobre, em função da temperatura, é dada por:

onde, Ro = 6,00 Ω ± 2% ( na temperatura To)α = 0,0004 °C-1 ± 5%T = 40 °C ± 2°CTo = 20°C ± 2°CCalcule R com a sua incerteza relativa

( )0 01R R T Tα⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

Análise de incerteza - ExemploIncerteza Combinada

Exemplo:

Variável espúria e1

x Condicionador de Sinal

e1

y1

y1=2.x

x1 Condicionador de Sinal yy=10.x1-3

y=10.(2x+e1)-3

++

2

1

2

210,0, ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= em

xm

c uxe

yuxx

yu

x = xm± 2distribuição normalnível de confidência =99,73%graus de liberdade →∞

( )[ ] ( )[ ] 2025,01066,020 222 =+=cu

y = (20xm +47) ± 42 k=3Grau de confidência 99,73%

e1= 5 ± 1distribuição normalnível de confidência =95,45%graus de liberdade →∞

ux=2/3=0,66

ue1 =1/2=0,50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

100

200

300

400

500

600

Uy

x

Análise de incerteza - ExemploIncerteza Combinada

Exemplo:

Fonte de Alimentação

x Condicionador de Sinal

ex

yy=2.ex.x

x=xm±0,4ex=10 ± 3,2distribuição normalnível de confidência =95,45%graus de liberdade →∞

22

2

10,10, ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= exmx

xm

c uxe

yuxx

yu

( )[ ] ( )[ ]222 6,122,010.2 mc xu +=

22 24,1016 mc xu +=

y = 20xm ± 3.√(16+10,24xm2)

ux=0,4/2=0,2uex=3,2/2=1,6

k=3Grau de confidência 99,73%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

100

200

300

400

500

600

U(12)

Propagação de Incerteza A incerteza se propaga de um estágio para outro do Sistema de Medição

A função de transferência de cada estágio afeta a incerteza

xCondicionador de Sinal

e1

y1

y1=2.x

x1 Condicionador de Sinal yy=10.x1-3

++

Variável espúria e1

uxy1=2.x

uy1= 2 ux

ue1

x1= y1+e1

2e

2yx 111

uuu +=

y=10.x1-3

uy=10 ux1

Propagação de incerteza - ExercícioExercício

Determine a incerteza expandida em cada estágio.

3

2

++ ^2 X

^3

3.ln++

0,5

x

e1 e2 e3

y

x=xm±0,05 (99,73%)e1=2 ± 0,1 (95,45%)e2=0 ± 0,4 (99%)e3=1 ± 0,1 (99,73%)

Qual das fontes de incerteza é predominante?

BibliografiaVUOLO J. H. Fundamentos da Teoria de erros. Ed. Edgard Blücher.HOLMAN J. P. Experimental Methods for Engineers,.McGraw-Hill, IncDOEBELIN, O. Measurement Systems, McGraw-Hill, 1990.BOLTON, W. Instrumentação e Controle, Ed. Hemus, 1997.BECKWITH e Buck, Mechanical Measurements, McGraw-Hill, 1992NOLTINGK, B.E., Instrument Technology, Ed. Buttherworths, 1985BALBINOT A., BRUSAMARELLO V. J., Instrumentação e Fundamentos de Medidas V 1 e V2 , 2006 e 2007.