Research Collection

Doctoral Thesis

Elastische Schwingungen von Kugelschalen

Author(s): Zwingli, Hans

Publication Date: 1930

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000088704

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ETH Library

Elastische Schwingungen

von Kugelschalen.

Von der

Eidgenössischen Technischen Hochschule

in Zürich

zur Erlangung der

Würde eines Doktors der Mathematik

genehmigte

Promotionsarbeit

vorgelegt von

HANS ZWINGLl

aus Horgen

Referent: Herr Prof. Dr. E. Meißner

Korreferent: Herr Prof. Dr. M. Plancherei

Nr. 602.

ZÜRICH 1930.

Diss.-Druckerei A.-O. Gebr. Leemann & Co.

Stockerstr. 64.

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Einleitung.

I. Problemstellung und bisherige Resultate.

§ 1. Das Problem der Schwingungen einer beliebigen, iso¬

tropen, dünnen Schale ist einläßlich von A. E. H. Love1) be¬

sprochen worden.

Die Schwingungen geschlossener Kugelschalen sind zuerst

von Lamb2) berechnet worden. Lamb geht von den Grund-

gleichungen der elastischen Bewegung aus und beschränkt sich

erst spätei auf dünne Schalen. Ähnlich ist Jaerisch^) vor¬

gegangen. Während sich Lamb durchwegs eines kartesischen Ko¬

ordinatensystems bedient, verwendet Jaerisch Polarkoordinaten,die der Sache wohl mehr angepaßt sind.

Die Schwingungen offener Schalen sind bis jetzt nur mit

JSTäherungsverfahren behandelt worden. Rayleigh*) baute eine

Methode aus, die auf der Annahme streng dehnungsloser De¬

formation der Mittelfläche beruht. Es mögen 9" die Poldistanz

und <f> die geographische Länge eines Punktes P der Mittel¬

fläche bedeuten, u, v, w seien die Projektionen der Verschiebung,die P erfährt, auf die Meridiantangente, die Tangente an den

Para Uelkreis und auf den Radiusvektor des Punktes P. Rayleighdrückt nun die Dehnungen der Mittelfläche durch u, v, w und

deren Ableitungen aus und setzt sie gleich null. So erhält er

ein Gleichungssystem, dessen Integrale lauten:

u = A sin S • tgH (#/2) • cos n q>

v = — A sin & • tgw (#/2) • sin n q>

w= — A(n-\- cos &) tgw (5-/2) • cos n cp

A ist einer einfachen harmonischen Funktion der Zeit proportional.

l) Love, Lehrbuch der Elastizität, deutsch \on A. Timpe, Leipzig und

Berlin, 1907. Kap. XW.

s) London Math. Soc. Proc. vol. 14, 1883, S. 50.

3) Crelle's Jourual Bd. 88, Berlin 1880

4) Rayleigh, Theory oi Sound 1, 2. Aufl. London 1894.

_ 4 —

n ist eine ganze Zahl > 1. Die Frequenz ist der Schalendicke>

proportional, strebt also mit abnehmender Dicke gegen null.

Love6) hat aber schon im Jahre 1888 nachgewiesen, daß

streng dehnungslose Schwingungen weder die Befriedigung der

Bandbedingungen noch der Bewegungsgleichungen zulassen. A.

Basset6) und H. Lamb7) bemerkten auf Grund statischer

Überlegungen, daß die Korrekturen, die man zur Erfüllung

der Eandbedingungen hinzufügen müsse, im allgemeinen größer

seien als diejenigen, die zur Erfüllung der Bewegungsgleichun¬

gen nötig seien. Daraus zogen sie den Schluß, daß die Dehnungen

wohl nur in der Umgebung des Randes merklich groß seien.

Eine hievon wesentlich verschiedene Methode wendet Love5)

in seinem Artikel „On the Small Free Vibrations of a Thin

Elastical Shell' bei unendlich dünnen Schalen an. Da der Aus-

diuck für die potentielle Energie einer deformierten Schale die

Form hat

V = A-h + B-h*,

worin h die halbe Schalendicke bedeutet und A ein Ausdruck

ist, der hauptsächlich von den Dehnungen abhängt, B dagegen

von den Krümmungsänderungen, nimmt Love im Gegensatze

zu R a y 1 e i g h an, eine unendlich dünne Schale könne keine

Biegungsschwingungen aufweisen. Bei der Auflösung der Fre-

quenzengleichungen beschränkt er sich auf den symmetrischen

Fall. Auf ähnliche Art hat E. Mathieu das Thema behandelt.8)

Das mehr akustische des Problems ist außer von R a y 1 e i g h

von Biehler9), Blessing10), Jones11) beschrieben worden.

§ 2. In der vorliegenden Arbeit habe ich in Anlehnung

an die anfangs erwähnten Love' sehen Abhandlungen12) für

B) Phil. Trans. Roy. Soc. London 179 A 1888.

«) Phil. Trans Roy. Soc. London 181 A 1890. (S. 433).

7) London Math. Soc. Proc. 21. 1891. (S. 119).

8) Journal de l'Ecole Polytechn. Paris, t. 51, 1883.

9) Phys. Z. 20, 1919; 22, 1921.

l0) Phys. Z. 12, 1911.

n) Phys. Rev. 16, 1920.

12) Love-Timpe, Kap. XXIV.

die Schwingungen einer durch den Breitenkreis 9- = 9-0 begrenz¬

ten, isotropen, dünnen Kugelschale die Verschiebungskomponenten

und die Frequenzen berechnet. Ich suchte die Frage nach dem

Einfluß der Schalendicke auf den Schwingungsvorgang zu be¬

antworten. Zu diesem Zwecke führte ich die Rechnungen für

eine Halbkugeischale auch numerisch durch, und zwar sowohl

für eine verhältnismäßig dicke Schale als auch für eine un¬

endlich dünne.

Es zeigte sich, daß zwar dehnungslose Schwingungen nicht

existieren, dass es aber einen Typus von Schwingungen gibt, bei

denen die Dehnungen klein sind gegenüber den Krümmungsände¬

rungen. Ich habe sie Biegungsschwingungen genannt. Beim andern

Typus sind die Krümmungsänderungen klein gegenüber den Deh¬

nungen. Diese Schwingungen nannte ich Dehnungsschwingungen.

Die Frequenzen der letztern sind von der Schalendicke 2h so¬

zusagen unabhängig. Die Frequenzen der Biegungsschwingungen

sind dagegen ungefähr proportional mit h, solange die Schale

nicht zu dünn ist. Für sehr dünne, gewölbte Schalen zeigt sich

aber, daß im allgemeinen auch die Biegungsfrequenzen von der

Schalendicke unabhängig sind und nicht verschwinden, wenn h

gegen null strebt. Die niedrigste Biegungsfrequenz macht hievon

eine Ausnahme. Wenn die Schwingung mindestens 2 n = 4

Knotenmeridiane aufweist, ist diese Frequenz ungefähr proportional

mit h. Diese entsprechen den Biegungsfrequenzen, die Rayleigh

mit dem vorhin erwähnten Verfahren annäherungsweise berechnet

hat. Während es nach Rayleigh zu jedem w;>2 und nur zu

diesen je eine Biegungsschwingung gäbe, folgt aus meinen Be¬

rechnungen, daß für n = 0, 1, 2, . . . je eine unendlich viele

Glieder enthaltende Frequenzenserie existiert.

Der Grenzübergang zur unendlich dünnen Schale lieferte

mir die gleiche Beziehung, wie sie Love fand, indem er sich

von Anfang an auf diesen Fall beschränkte.

Die hier angewandte Methode verdanke ich einer Anregung

von Herrn Professor Meißner aus Zürich, der mir auch mit¬

teilte, daß er sie bei der Untersuchung der rotationssymmetrischen

Schwingungen flacher Kugelschalen verwendet habe.

— 6 —

II. Die Love'schen Schwingungsformeln für

dünne Schalen.

§ 1. Ich werde zunächst die am Anfang erwähnten Abhand¬

lungen Love's über dünne Schalen resümieren, soweit dies für

das Felgende nötig ist.

Es liege eine kreisförmig begrenzte Schale von der Dicke

2 h vor, deren Mittelfläche eine Kugelfläche mit dem Zentrum

0 und dem Eadius R sei. Der Pel der Schale heiße Z. Ich

führe ein rechtshändiges Polarkoordinatensystem ein mit 0 als

Ursprung, von dem aus ich den Abstand r messe. Die Poldistanz

von der Axe OZ aus heiße 91. Die geographische Länge von

einem beliebigen Nullmeridian aus nenne ich cp. In der Ruhelagesind somit die Punkte der Schale durch

B — h<r<R-\-h; 0<&^»0; 0 < r/> < 2 ?r

bestimmt.

Wird die Schale deformiert, so erfährt der Punkt P mit den

Kooidinaten (r, 9-, cp) eine Verschiebung nach P* = (r*, 9"*, cp*).Die Projektionen des Vektors PP* auf die Koordinatenlinien sind

u = r (-9-* — #), v = r • sin 9 • (cp* — cp), w = r* — r.

Es sei nun P speziell ein Punkt der Mittelfläche. t\ und1

«2 bedeuten die Dehnungen der Linienelemente, die im ungespann¬

ten Zustande zum Meridian und zum Parallelkreis gehören, m sei

das Komplement des Winkels, den diese Linienelemente nach der

Deformation miteinander einschließen.

1 [ du .)

«2 = -p- <cosec#-^ 1- wcotg# + iv\

1 \dv du )co = ~ !-~- -f- cosec d- v cotg &\

M löir o cp \

Für die Dupin'sche Indikatrix der deformierten Fläche in P

findet Love bei Vemachläßigung der höhern als ersten Potenzen

von eu e2, w die Gleichung

— 7 —

wenn in der Tangentialebene in P* die x-Axe Tangente an den

deformierten Meridian ist und die y-Axe senkrecht darauf steht.

Daraus erhält man in bekannter Weise die Krümmung eines be¬

liebigen Schnittes durch P*. Bei bekannter Dehnung ist somit

der Krümmungszustand durch qu pu p2 definiert. Nach Love

führe ich die Bezeichnungen ein

m = (1 — qJlR x, = paj(B sin ») + IjR % = p^R

die er Krümmungsänderungen nennt, und für die gilt

1 (d2w du'

1 e 1 dw

R%sin&)dcp \sin# ôcp

i e i l dw^

d(p

v I + cos 3-div

R2 è & Vsin #

II

Über den Verzerrungszustand im Innern einer schwach de¬

formierten Schale macht Love die Annahme, daß Linienelemente,

Fig. 1. Komponentender Spannungsresultanten

Fig. 2. Komponentender Spannungsmomente.

die ursprünglich gerade und senkrecht zur Mittelfläche waren,

diese Eigenschaft auch nach der Deformation noch haben.

§ 2. Um den Spannungszustand zu charakterisieren, denke

ich mir zwei Normalschnitte der Mittelfläche in Richtung der

Meridian- und der Parallelkreistangente gelegt. Die Spannungen

sämtlicher Flächenelemente des Schnittes von der Länge ds

seien zu einer resultierenden Einzelkraft und zu einem Versatz-

— 8 —

kräftepaar zusammengesetzt. Die Komponenten der Einzelkraft

sind T ds, ... diejenigen des Momentenvektors H- ds... Die

Bedeutung der Buchstaben Tx, ...N2, Hu ...G2 ist aus Fig. 1

und 2 ersichtlich. Sie stellen die Komponenten der Spannuags-resultanten resp. des Spannungsmomentes dar, bezogen auf die

Längeneinheit der Schnittkurve der Mittelfläche.

Der Versatzkräftepaarvektor besitzt bei diesem Grade der

Approximation keine Komponente normal zur Schale.

Love stellte Näherungsausdrücke für die Spannungsresul¬tanten und -momente auf. Es sollen E der Young'sche Modul,a die Eeziproke der Poisson'schen Zahl und D = 2Ehi/[3(l-o2)]die Biegungsfestigkeit bedeuten. Dann lauten sie

2EhTx =

Si =

1 —a2

2 Eh

1 —a2

Eh

(«2 + 0«l)

10— So

III

1+ff

G2 = — D (x2 -f- ff*i)

Hl = — H, = D(l — o)r

§ 3. Setzt man in den Gleichgewichtsbedingungen als einzige„äußere" Kräfte die kinetischen Eeaktionen ein, so erhält man

die Bewegungsgleichungen für die freien Schwingungen. Unter

Vernachlässigung rotatorischer Trägheit lauten sie

e

B

d

(fix sind)

(Gxsind)

(ï^sind)

ô q>

dcp

es*

— i?2 cos » + N2 R sin d = 0

— G2 cos » — Nx R sin 9 = 0

IV

d cp

ei*

T2cosd- + Nlsmd- = 2çhRsm$

e&(SlSm*)+ d<f

ß BN,

<32 u

— S2 cosd + N2 sind = 2QhRsm&-^7i-c z

(Tj. + Tg) sind- =2qhRsindô2w

et2

v

_ 9 —

Die Gleichungen für die Spannungsfreiheit des Randes 9- = 9-0

lauten

T1 = 0; 5,-^ = 0; ^-^^= 0; 0> = 0. VI

m, v, w, seien einfache harmonische Funktionen der Zeit mit

der Schwingungszahl pßn. Dann werden

U = Mö • COS p t

v—

uv • cos p t

W = Ur • COS p t

worin ur, ud, uv die von der Zeit unabhängigen Amplituden der

Schwingung der Mittelfläche darstellen.

A. Rotationssymmetrische Schwingungen von

Kugelschalen.

Unter einer rotationssymmetrischen Schwingung einer Kugel-schalo verstehe ich eine Schwingung, bei der sämtliche Punkte

der Mittelfläche der Schale, die in der Ruhelage auf demselben

Parallelkreise liegen, in jedem Momente die gleiche Verschiebung

erleiden.

I. Rotationssymmetrische, tangentiale Schwingungen.

§ 1, Aus der Theorie der Schwingungen geschlossener Kugel¬schalen folgt die Existenz rotationssymmetrischer, rein tangentialer

Schwingungen, bei denen sich sämtliche Punkte der Schale nur

auf Parallelkreisen bewegen.*

Ich werde die Existenz solcher

Schwingungen auch für Kugelschalen von beliebigem Öffnungs¬winkel nachweisen. Ich setze vorläufig die Existenz solcher

Schwingungen voraus, bei denen ur und uö verschwinden. Ich

werde dann zeigen, wie uv als Funktion von 9" gewählt werden

muß, damit die Bewegungsgleichungen für dünne Schalen er¬

füllt sind. Ebenso werde ich zeigen, wie die Frequenz p bestimmt

werden muß, damit die Bedingungen für einen freien Rand er¬

füllt sind.

§ 2. Für die Dehnungen und Krümmungsänderungen ergibtsich nach (I)

£x = 0 ; i2 — 0 ; to = (u'v — urp COtg d)jR ; x)

und nach (II)

-/j = 0 ; /2 = 0 ; % = 0.

Die Gleichungen (III) drücken die Spannungsresultanten und

-momente durch die Verzerrungen der Mittelfläche aus. Es

werden

*) Durch'

werden Ableitungen nach & bezeichnet.

— 11 —

2\ = 0; T2 = 0; ^ = 0; iV2=0; ^ = 0; £2=0;pi

Si = — St = -ß (M»> — M?> cotS ^) ' —Hl = H2 = 0.

Von den Bewegungsgleichungen (V) sind die erste und die

dritte trivial. Aus der zweiten folgt

0 = < + M; • cotg »+ «„ [1 - cotg3 * + 2 f?^ R2 (1 + (j)/.B]

Diese Gleichung zeigt eine gewisse Verwandtschaft mit der Dif¬

ferentialgleichung für Kugelfunktionen. Leitet man nämlich deren

Differentialgleichung y" -\- y' • cotg 91 — l y = 0 einmal nach 9"

ab, so folgt y",Jry" cotg 9-— y' (cosec2 9-+ 2) =0. Wegen

ootg2 9 =- cosec2 9" — 1 folgt daraus uv = P'l9-), wenn P der

Differentialgleichung für Kugelfunktionen genügt, sobald man

l = — 2 — 2 Qp-2R*(\ + o)(E (1)

setzt.

Durch die Substitution » = oos9- geht

P" + P'cotg#-AP = 0 (2)

in (

( 1 - x9)d*Pjdx2 — 2xdP\dx — lP = 0 (2*)

über. Diese Differentialgleichung besitzt die singulären Stellen

x — + 1, oo. Durch die Substitution z = \ (1 — x) geht (2*)

in die Gauß'sche

e(l— z) d* Pjds* + (l — 2£)dP\dz — IP = 0

über. Die hypergeometrische Reihe P (a, ß, 7,2) mit a + /? = 1,

a- /J = A, y = 1, d.h.

p,(i + VF^^-VF::i-i^)=i+^r + ^^f^+--liefert ein für z = 0 (# = 1) reguläres Integral, und jedes

in x = 1 reguläre Integral unterscheidet sich davon höchstens

durch eine multiplikative Konstante.

Weil der Pol 9- = 0 zur Schale gehört, muß dort P end¬

lich sein, d. h. es kommen nur diejenigen Integrale der Diffe¬

rentialgleichung in Frage, welche bei x = 1 regulär sind.

1 l-x. i(i+i.2) (i-xy

"f" 1-1 2"*"

1-2-1-2 22t- ••

- 12 —

mit Ä = — ß (ß -\- 1) heißt eine Kugelfunktion vom Grade ß.

(ß muß weder ganz noch reell sein.) Die Potenzreihenentwick¬

lung von P ist konvergent in einem Kreise mit dem Konvergenz¬

radius 2 um x = 1. Sofern ß ganz und positiv ist, bricht

die Reihe ab und konvergiert somit für jedes x, andernfalls

besitzt sie in x = — 1 einen Pol.

§ 3. Die Bewegungsgleichungen führen so zum Ansätze

uv = C P0' (9-), worin der Index 0 andeutet, daß der Grad der

Kugelfunktion durch (1) bestimmt sei. Im Ausdruck für l ist

p bis jetzt unbestimmt geblieben. Es muß so gewählt werden,daß dieser Ansatz auch den Randbedingungen genügt. Wenn

es sich um eine geschlossene Schale handelt, muß uv auch

in 9 = h stetig sein. Daraus resultiert, daß dann ß ganz und

positiv sein muß.

Liegt dagegen, wie in dem hier zu betrachtenden Falle,eine Kugelschale vom halben Öffnungswinkel 9"0=(=^ vor, dann

muß für 91 = 9"o S1 verschwinden. Die übrigen Spannungsresul¬tanten und -momente mit dem Index 1 verschwinden identisch

in 9-. Daraus folgt die Bedingung

P" — P'cotg# = 0

oder wegen (2)

P'cotgd- — J*P = 0 für # = #o- (ß)

Da ich später zeigen werde, daß diese transzendente Gleichungin l Wurzeln besitzt, denen reelle Werte von p entsprechen, ist

die Existenz tangentialer, rotationssymmetrischer Schwingungen

.sichergestellt.

II. Rotationssymmetrische Schwingungen in der

Meridianebene.

§ 1. Neben den gänzlich tangentialen Schwingungen kennt

man bei der geschlossenen Kugelschale noch eine zweite Klasse

rotationssymmetrischer Schwingungen, bei denen sich die Punkte

P der Schale nur in der Meridianebene bewegen. Ich werde

zeigen, daß auch Schalen von beliebigem Öffnungswinkel so

schwingen können, dass uv identisch verschwindet.

— 13 —

Ich drücke zunächst die Dehnungen und Krümmungsände>-

rungen der Mittelfläche durch ur und ua aus. Nach (I) werden

«i = (ui -\- ur)jR 62 == (w# cotg & -f- ur)jB io = 0.2)

Für die Krümmungsänderungen ergibt sich nach (II)

*i = (+M>- —u^y-ljR2; x2 = cotg #(+««,'— uâ)jR2; % = 0.

Für die Spannungsresultanten und -momente liefert (III)

2 PA

1\ = [Mö-|-ff-%.COtg* + Mr(l + ff)]- -^(1_g2)

2 7^A

t2 = [a M; + «o cotg # + ar (i + a)] •

^(1_qä)

s1= — s, = o

2 ÜJA3Ci = — [u'r + ff • m,' cotg # — Ug — a • u,r cotg #] ;

(4>

<3R2(l— ff2)

(r2 = — [(M«," -f- W,' COtg & — (JMff — % Cotg &] om,,-^

#, = - s, = 0

Die Spannungsresultanten JVi und iV2 berechnen sich nach (IV) zu

JV = JVj = — [«,'." + u','- COtg # - u'r COtg2 # - tt£ - U$ COtg & + U# COtg2 #

-«K-%)]^^_-^ (5)

§ 2. Die Bewegungsgleichungen (V) lauten jetzt

0 = (^sintf)' — T2cos# + Nsin» + 2-Q-p2 R-h-smlhu# (6a)

0 = (iVsin#)' — (T1 + T2)sm» + 2-Q-pi-R-h-smt>--ur (6b)

In JV' treten u'r und —m(, symmetrisch auf. Ich mache daher den

Ansatz

worin P eine noch näher zu bestimmende Funktion von 9- ist.

Es empfiehlt sich, den von Meißner3) eingeführten Operator

2) Durch Akzent werden Ableitungen nach & gekennzeichnet.

3) Phys. Zeitschr., 14. Jahrg., 1913, Elastizitätsproblem für dünne Schalen,

S. 343 ff.

— 14 —

L( ) = ( )" + cotg#( )'-cotg2#( ) (8)

auch hier einzuführen. Dann wird

2 Fh3

N=U-B)[L(Pl-oP1.ww^f2)Aus (6a) folgt

>0 = E[L(P')-oP']^A+E(l + o)-P'-B+E(}r}i*!B2)[L{P')-oP']{A-B) ++ q-P*-(1 — o2)B2-P'-A

Man genügt dieser Gleichung, wenn man P' der Beziehung

UF) = pF (9)

unterwirft, wo n eine noch näher zu bestimmende Konstant©

bedeutet.

0 = A{(n-a)[\ + h2l(3B2)~] + Qp2(l-o2)B*lE}-B{(Li-o)h*l{3B'2)-(\ + o))

Es bleibt zu untersuchen, ob durch den Ansatz (7) auch

(6b) erfüllt werden kann. Ich erhalte

•0 = E-h2l(3B*)(u-o)(P"+cotgVF){A-B)-E(l + o)[A(P"+cotg»P') ++ 2BP] + Qp'i(l-o*)B2-P-B

Diese Gleichung legt es nahe

P* + cotg#P' =xP (10)

zu setzen. Dann muß ich zeigen, daß x so gewählt werden

kann, daß (9) erfüllt ist. Aus (10) folgt durch Derivation

F" + cotg 9 P" — cotg2 &P'-\- (cotg2 * — cosec2 d) F = x P'

oder L(P') = (1 + *) F. Somit ist (9) mit (10) verträglich,

sobald fi = x -j- 1 gewählt wird. Die Bewegungsgleichungen lauten

dann

0 = ,4{[/.+l-ff][l-Ä2/(3JB2)] + ^2(l-a2)ii2/jE'}-- B{(y.+l-a)h2l(3 B2)-(l + a)} (6a*)

0 = A{{y.+ l-o)*hil(3B*)-x(l + o)}-{(x + l-o)yt,-hil(8B*) ++ 2(l + a)-op2(l-o2)B2jE}B (6b*)

Damit diese beiden linearen, homogenen Gleichungen in A und

B nichttriviale Lösungen besitzen, muß ihre Determinante D

verschwinden. Dies liefert eine algebraische Gleichung in *.

— 15 —

§ 3. Ich gehe nun an die Bestimmung der Funktion P (&).Vergleicht man die Differentialgleichung (10) mit (2), so sieht

man, daß sie die gleiche Form haben, nur tritt bei (10) % an die

Stelle von 1. Da P bei 9" = 0 endlich bleiben muß, ist P (9-) eine

Kugelfunktion im Sinne von S. 12. Ihr Grad a genügt der

Gleichung a (a -j- 1) =— x.

§ 4. Die Gleichung, die das Verschwinden der Determinante

des Systems (6*) ausdrückt, liefert eine algebraische Beziehungzwischen x und p:

D = y^—a^-irb-A — c = 0 (11)

worin

a — — 4 — q2b = [(1 - a2) — <f~\ d2 + 5 — ff2 — aq2c = -[2(1 — er2) + g2(l+ 3ff)-^]d2 — 2(1 — ff2)+g2(l — a)4)

wenn der Einfachheit halber q p2 (1 — o2) B2/E mit q2 und 3 IPjh2mit d2 bezeichnet werden. Da die Schale dünn ist, ist d eine

große Zahl.

(11) hat im allgemeinen zu jedem Werte von q 3 verschiedene

Wurzeln. Es gibt daher zu jedem q 3 verschiedene Funktionen P,die ich mit Px (0-), P2 (Q-), P3 (9") bezeichne, und die wegen

der Linearität der Gleichungen linear kombiniert werden können.

ur = B, P1 (9) + B2 P2 (#) + Bs P31*)(l2)

worin die 3 Konstanten Bu B2, 2?3 vorläufig unbestimmt bleiben,während die Verhältnisse Ac.B% nach (6a*) durch die Bewe¬

gungsgleichungen bestimmt sind.

Tt = AtjB^ {(*i+l-<r)-(l + o)d*} : {(xt + l-o)(d2 + l) + q*d*} (13)

§ 5. Durch die Gleichung (11) ist eine algebraische Funk¬

tion y. (p2) definiert mit einer dreiblättrigen Riemann'schen Fläche,deren Verzweigungspunkte bei den Nullstellen der Diskriminante

4) Berücksichtigt man in den Formeln für die Spannungsresultanten neben

den Gliedern in hjB noch diejenigen in hdjS3, so erfahren die Koeffizienten b

und a in (11) eine kleine Veränderung. Zum Ausdruck für a ist noch das Glied

— a (1 + a) 3/2 hinzuzufügen, zu b das Glied - a ( 1 + a) [<f\{l — a) — 2] 3/2.

— 16 —

D* der linken Seite von (11) liegen. Mich interessieren haupt¬

sächlich die 3 Zweige xt (q2), x2 (q2), % > (q2) für reelle, positive

Werte von q2. Um sie einzeln zu charakterisieren, betrachte

ich ihr asymptotisches Verhalten. Für große Werte von q re¬

duziert sich (11) auf

0 = x3 + x2 g2 — x g2 d2 — qid2 = (x + g2) (x2 — g2 • d2)

Die 3 Zweige sind charakterisiert durch

*i (22) ~ — 32 )*2(q2)^ — qd (U)

*3(22)^ + ^-'

Um für einen vorgegebenen Wert von q die drei Wurzeln

xt zu bestimmen, reduziert man die Gl. (11) durch die Substitution

x = y — l(q2jr4) auf die Gestalt 0 = yi + a* y + b* und ver¬

wendet dann die Cardanische Formel.

Für die Diskriminante erhält man den Ausdruck

D* = (&72)2 + (a73)3, worin, wie oben, a* = (g2+4)2- l/3+2(g2+4)-a/3+6,V = — (g2+4)3 • 1/27 - (g2 + 4)2 • a/9 - (g2 + 4) • 6/3 - c sind.

Ist D* > 0, so besitzt (11) 1 reelle und 2 konjugiert komplexe

Wurzeln; ist D* = Q, so fallen 2 Wurzeln zusammen; ist D*S.O,

so sind alle 3 Wurzeln reell.

In der Folge stellt sich das Problem meist so, daß z. B.

die zu einem gegebenen xt gehörenden Werte von q, x2, x3 ge¬

sucht sind. Ich nehme also an, ich kenne eine Wurzel x = x

von (11) und bestimme zunächst den Parameter q. Die linke Seite

von (11) muß für x = x verschwinden, d. h. für g2 gilt die

quadratische Gleichung

d2qi-q2[(l + 3o)d2-(l-o)-x(d2 + o) + x2]-

-[2(l-o2)(l + d2) + ({l-o2)d2 + b-o2)x + 4:X2 + xs] = 0

und, bei einigen unwesentlichen Vernachlässigungen,

= %(l + 3o-x+x2jd2) ±

± ii(l+3a-x+x2jd2y + 2(l-a2)+JY-a2+(5-a2)jd2}x+(ix2+x3)jd2.

Die beiden übrigen Wurzeln, die zu diesem q gehören, erhält

man aus

— 17 —

x =-£(28+4+a;) ± ilf(q2+4:+xy+(dHo-x)c[2-[(l-(jZ)d2+5-o2 + 4:X+x*~] (16)

§ 6. Um einen tiefern Einblick in den Verlauf der Funk¬

tionen x, zu erhalten, muß ich das Verhalten der Diskriminante

D* untersuchen. D* ist ein Polynom 5. Grades in q2. Für

q=-0 ist D*> 0, für q = oo ist D* < 0. Dazwischen liegt also

mindestens eine Nullstelle ungerader Ordnung. Für a = \ und

d2 = 1000 hat D* eine einfache Nullstelle ungefähr bei q2 = 1,31

und 2 ungefähr bei q2 —1000 (= d2) zusammenfallende.

Läßt man die Schalendicke abnehmen, dann strebt d gegen oo.

(11) lautet nach Division durch d2 für eine unendlich dünne

Schale

*ü* -l + o*) = -q*+ g'(l + 3o) + 2a - °*) (17)

Die einzige Nullstelle der Diskriminante liegt bei q2 = q02 = 1 — «2.

Dort wird x = oo.

Allgemein kann gesagt werden, daß D* eine einfache Null¬

stelle besitzt etwas oberhalb q02 = 1 — o2, die sich mit abneh¬

mender Schalendicke immer mehr dem Werte 1 — o2 nähert.

Außerdem besitzt sie 2 ungefähr bei q = d zusammenfallende

Wurzeln. Die übrigen 2 Wuzeln sind komplex.

Ich betrachte nun den Verlauf der Funktionen x,(q2) etwas

näher. (Siehe Fig. 3 und 4.) Die Funktion x2 ist bei positivem

ql immer negativ, der Grad der zugehörigen Kugelfunktion ist

reell, da allgemein

xi und x0 sind für q<.q0 konjugiert komplex. Für q = q« sind

sie einander gleich und zwar positiv. xt hat eine einfach©

Nullstelle bei q = q_u wo qt die einzige positive Nullstellle des

Koeffizienten c in (11) bedeutet. Sie liegt für a = § bei <?12 = 2,67.

Für q^>qi ist *t negativ. Für x1 imaginär oder reell und

>J ist a-i komplex, für höhere Frequenzen ist ax reell. Wenn

sich q dem Werte d nähert, werden x± und x2 einander gleich.

Vorher ist | *i | kleiner, nachher größer als das zugehörige

I x2 | . xs ist für <z>g<> positiv.

Mittels der GL (15) und (16) sieht man, wie sich die x,

ihren asymptotischen Ausdrücken (14) nähern. Ich setze | x | > 1

— 18 —

voraus und betrachte vorerst den akustisch wichtigeren Fall,wo | x | < d2 ist.

Soll x = x1 bedeuten, dann muss in (15) das positive Wurzel¬

zeichen genommen werden, da dann der größere der beidea

Werte von q2 in Frage kommt. ( | xt (g2) | < | x2 (q2) \ gilt nur

für q< d, daher die Voraussetzung x<^d2). Entwickelt man die

Fig. 3. (P = 1000 Fig. 4. ä* = oo

Wurzel in (15) und bricht mit dem zweiten Gliede ab, so erhält

man für 1 < — xx <c d2

22f^-y.1 + 3a+ff2-[2(l-a2) + (l + 3r7)(l-ff2)]/x1-(6 + 3(r-02)x1/rf2, (18)

Es ist zu bemerken, daß in diesem Intervall x1 im wesentlichen

von d unabhängig ist.

Für x > d2 liefert; (15) bei Verwendung des positiven Wurzel¬

zeichens q2 ~ x2/d2, woraus ich schließe, daß alsdann x ent¬

weder x, oder x, bedeutet.

Es sei wiederum l<\x\ <d2, dagegen wähle ich in (15)das negative Wurzelzeichen. Dadurch messe ich x die Bedeutungx2 oder x-s bei. Dann ergibt sich

q*c^x*\d* + \— a2-)-{3(1 — 0t)(l + o)lx + (e-\-3o+0-2)xld}, (19)

worin x = x« oder =x3 gesetzt werden kann.

— 19 —

Außer für ganz niedrige Werte von x wird der erste Term

überwiegen, es sei denn, d sei sehr groß. Man sieht hier, daß

ein wesentlicher Unterschied besteht zwischen den dünnen Schalen

mittlerer Dicke und den unendlich dünnen, bei welchen die Schalen¬

dicke überhaupt keine Bolle mehr spielt in dieser Beziehung. Bei

den zuletzt genannten überwiegt der zweite Term auch für die

hohen Werte von x. (19) reduziert sich auf g*~(l — o2)[14-

-T 3 (H a)/xa].

§ 7. In den folgenden Bechnungen treten neben den Quo¬

tienten A,/ B, =- T», die in (13) berechnet wurden, auch die Quo¬

tienten (-B, — A,)/B, = r,* = 1 —t, häufig auf.

Ich betrachte zunächst ru Für 1 < q < d folgt aus (18)

Für große Werte von | *2 | und I *s | ergeben sich nach (19)

x, + Aid2

1+0

>0

<o

(21)

x, -} 4\d2

Daraus folgt, daß fü r 1 < q< d i A1 und|Pi von glei¬

cher Größenordnung sind, während \A2\<lB2 und

l^3 - VA.

§ 8. \\ ährend dieser ganzen Betrachtung hatte q die Be¬

deutung einer Unbestimmten. Um den Nachweis zu leisten, daß

wirklich eine Schwingung existiert, die ganz in der Meridianebene

stattfindet, muß ich noch die Möglichkeit der Befriedigung der

Bedingungen der Spannungsfreiheit des Bandes 9" = 9"o nachweisen.

Dabei werden das Verhältnis B1:B^:B3 und die Frequenz p be¬

stimmt werden.

Die Randbedingungen lauten bei Vernachlässigung von Ter-

men in 1/d- gegenüber 1

T1=0 = -Al [(1 - o) P,'(^o) cotg^0 - x, P,(d0)] + Bt{l + a) P,(#0)

G1 = 0 = {Bl- At) [(1 - ff) Pt'(90) cotg »0 - x. Bl (*0)]

JV, = 0 = (B, - At) (* + 1 - <0 P,' {&0)

— 20 —

wobei in allen Ausdrücken über den Index i zu summieren ist

(i = l, 2, 3). 8X und Ht verschwinden identisch in fr. Die drei

Gleichungen können noch etwas anders geschrieben werden:

0 = Bi {n tPi'(&o) cotg #0 (1 - a) - Pi (#0) x,] - Pi (&0) (1 + ff)} |0=3, rt [P/(*0) cotg *0 (1 - ff) _ P( (*0) x,] (22)0 = PtVP/(#0)(x,+ l-ff) )

oder durch lineare Kombination:

0 = Bt {P/W cotg £0 - ^ (#0) (x, +1 + o)l(l - ff)} )0 = 3rt {Pi(\) cotg ^0 - Fi (&0) x,/(1 - ff)} (22*>0 = P,<r;P/(^0)(xi + l-ff) )

Dies sind drei lineare, homogene Gleichungen in den 3 Un¬

bekannten Bu B2, B3. Damit sie eine nichttriviale Lösung be¬

sitzen, muß die zugehörige Determinante verschwinden. Dies

liefert eine transzendente Gleichung in q. Da ich im 3. Kapitel

zeigen werde, daß sie reelle Lösungen besitzt, ist die Existenz

dieser Schwingungsklasse sichergestellt.

III. Rotationssymmetrische Schwingungen flacher

Kugelschalen.

§ 1. Ich wende mich in diesem Abschnitte den Kugelschalenmit kleinem Öffnungswinkel zu, die ich flache Schalen nenne.

Wenn der Kugelradius B immer mehr anwächst, und gleich¬zeitig der Öffnungswinkel 2fr0 abnimmt, so daß i?fr0 = a un¬

verändert bleibt, entsteht im Grenzfall eine «bene, kreisrunde

Scheibe von der Dicke 2 h. Die Theorie der Schwingungen;kreisrunder Scheiben ist also in dieser Theorie mitenthalten.

Wenn B über alle Grenzen anwächst, strebt auch der Grad

der Kugelfunktionen P0 und P< gegen oo, wie aus (1) und

(11) ersichtlich ist. Läßt man fr mit wachsendem ß so ab¬

nehmen, daß das Produkt B fr = s einen konstanten Wert bei¬

behält, dann streben die Produkte

a & c^j y— x sjB = /u s

— 21 —

wo |W2 =— %/R2, v2 = — 2/£'2, gegen endliche Werte, und die

Kugelfunktionen P (9-) gehen in die Besselfunktionen J (/.t s) und

J (v s) über. 6) Man erkennt dies auch daran, daß die Differential¬

gleichung (2) in die Differentialgleichung für Besselfunktionen

s-d3Pjdai-\-dPlds — X-8-P = 0

übergeht, wenn man s = R§ substituiert und R gegen °o streben

läßt. Dabei ist zu berücksichtigen, daß P für s = 0 regulär

bleibt.

Ich untersuche jetzt das Anwachsen des Grades, wenn R >o°.

Anstatt l betrachte ich den Ausdruck —la2/R2 = tv2, wobei

a = R§» den sphärischen Radius des Randkreises 9 —90 der

flachen Schale bedeutet.

w2 = 2 Qp2 (1 + ff) a2\E + 2 a2\R2 -> 2 qp2 (1 + ff) a2jE = iv\

w =w0-\-ôw ôw = (\jw0)-a2jR2 (23)

Um das Verhalten der xt zu untersuchen, transformier©

ich zunächst (11) durch die Substitution x —— xa2/R2. Im Grenz¬

falle i? = oo ergibt sich, wenn 3a2/h2 mit f2 bezeichnet wird,

0 z= xa-x2Qp2(l~a2)a2jE-XQp2(l-a2)a2f2jE+lep2(l-a2)a2lE]2 =

= [x-QP2(l-o2)a2IE]ix2-Qp2(l-o2)a2f2lE]

d. h.

Xl = q p2 (1 — ff2) a2\E = wjj

*2,3 = ± )/qp2(1 — a2)f-a2\E = ± »2

Die Beziehung zwischen Grad und Frequenz

vereinfacht sich also für flache Schalen ganz

ähnlich wie für Schalen von beliebigem Öffnungs¬

winkel aber für große p. Dieser Analogie bin ich noch

öfter begegnet.

§ 2. Ich will nun die Korrekturen berechnen, die ich hinzu¬

fügen muß, wenn Glieder in a2/R2 noch berücksichtigt, höhere

Potenzen dagegen vernachlässigt werden.

Ich bezeichne *ia2/_K2 mit —u2, x2a2/R* mit — v22, K3a2JR2

mit —v32. Dann folgt aus (18)

B) Siehe z. B. Heine, Handbuch für Kugelfunktionen, Berlin 1878, S. 184

22 —

du =

u0 -f- à u mit

3<J + ff2 "2

2wn 5s"

und aus (19)

ôv*

v3 = it^-f-d«.

mit

-(4 + 3g+ ff2)^ a2

mit

(24)

(25)

ÔVo = —,(1 g2)/2 + (4 + 3 g+a2K2 a2

R2

Die Formeln für die rt

Gestalt an

4»?

nehmen nach (20) und

1 + g

= +

1 + 2 a + g2

1 + g o*_

1 + g a2

E2

(26)

(21) die

(27)-

vi + vllf*à w und ô w sind von der Schalendicke unabhängig, während

à v mit abnehmender Schalendicke zunimmt. Die ô v sind be¬

deutend größer als ôu und öw. Der Einfluß der Krüm¬

mung macht sich also bei den Biegungsschwingun¬gen stärker geltend als bei den Dehnungsschwin¬gungen, und zwar bei gleichbleibendem Öffnungs¬winkel um so rascher, je dünner die Schale ist.

§ 3. Es ist gezeigt worden, daß im Grenzfalle ß = oo die

Kugelfunktionen in die Besselfunktionen übergehen. Wenn ich

dagegen noch Größen von der Ordnung s2/B2 in Berücksichtigungziehe, unterscheidet sich schon die Differentialgleichung für P

von derjenigen für die Besselfunktion. Ich berechne nun die Kor¬

rekturen, die an den Besselfunktionen anzubringen sind, damit siebis auf Größen von der Ordnung s2lB2 mit den Kugelfunktionenübereinstimmen.

Mach den Entwicklungen auf S. 11 wird die Kugelfunktionvom Grade a

— 23 —

P(?) = Fü+ VI3* - i ~ VI37*, 1. sin2 i$] (28)

F[2a, 2b, «+ &+ £, *- VJï] = F[a, b, «+ & + i, \-x\ «)

a = cos2*, a = £(l+yr^ïx), 6 = i(l —yi — 4x)

P = ^U(1+VÏ^4^), i(l —yr=4^), 1, sin8*]

= l+^sin2* + ^±^.sin^+....Bei Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung wird

sin 9- = s/i2 • (1 —1/6 s2/P2). Ich schreibe ferner t--R sin 9",

fi2 — — x/R und erhalte dann

= JoM +^{- ^|iW + |£J^W" • • • } + 0(t4/ß^)

P (*) = J0 {ft s) + s2/P2 • {Bo Ou s) - «7o'(iu s) • p s/6} JR(s)-

2'3a. i

2-3 + 4-5 (29a)^oW —

92.42'*' 92-42-62

dP/rf* = cos* {|^sin * + -*|^^ sin3* + • • • •}dP/d* = —i«E{t71(^s) + s2/B2.[-iJ1(ius)+E*0(fis)-J1'(/us)-f's/6]}

». _ 1 I2'3 2-3 + 4-5,

.2-3 + 4-5 + 6-7

4(29 b)

§ 4. Ich betrachte jetzt die Randbedingungen für

rotationssymmetrische, tangentiale Schwingun¬

gen flacher Kugelschalen. Ersetzt man in (3) für 9-0 = t//K P und

P' durch die Ausdrücke (29 a) und (29 b) und cotg^o durch

(1 —1/3 • a2/P2) R/a, dann lautet die Frequenzengleichung

0 = Jx (w) — £ w J0 (w) + o2/P2 {R*0 (w0) — \w0 R0 (w0) —

- | • Ji (w0) - 1• J, (w0) — w/6 • J0 (w0)l (30)

wo w und w0 durch (23) bestimmt sind. Sie nimmt für P = oo

die bekannte Gestalt an

J\ (^o) — è w0 J0 (wo) = °• (3°a)

6) Kummer, Crelle's Journal, Bd. 15, S. 82 oder Mehl er, Math. Ann,

Bd. 18, 1881, S. 178.

— 24 —

§ 5. Ich betrachte nun noch die Randbedingungenfür die Schwingungen in der Meridianebene. Diese

lauten für flache Schalen nach (22)

0 =.B1T1|j-«J1(tt) + j^J'o(u)] + a*IR*[—-u0-J1(u0) —w^jJoW +

+ i^iîo(«o) + «oA,o(«o) + «?/6-/I,(«0) - 6^~)^o'K)]} ++ I?2 [r2 [_ «o J, (t,0) +AJ-0 (t,0)] _ l±f J-0 („„). «*/£*} +

+ -B3 {«"s [-*t>o«7i(iVo) — j~^0(^0)] — YZZ^ Jo(^o)«2/-R2}0 = ^Vf-w J1(M)+Mä/(l — ff).Jo(M) + a2/.R2 • • •} +

+ -B2^{[-^ JM)+ vll(l-o)-Mv,)] + «2/£2 |J-»o^(fo)-»o^(t;o) +

+ vll(l -o).R0 (v0) + *„!/6 • JXvo) - »S/(l - <r) • Jo>o)/6]l +

(31)

-4- B,^\l-v3 «/,(»,) + vll(l-c)-J0(v3)] + a*IR* [§• tt>0J,(»«0H»oW»o) "

_ »ï/(l-ff)-2îo(it;0) —t;?/6.«7i'(it;o) + i«g/(l-cr). J0'(i»o)/6]}0 = £1zr1Vi(M)-M3 + a8/-R2 h

+ 5^Vifa)»S + a^l-vo Ji(»o)(l-a+ it;J) - »J/6. Ji'(«0)]} ++ £3 *3* {J, («,) «s* + a2/^2 [- i »o «Ji (i %) (1 - ff - h vi) — »S/6 • «71'(* *>„)]}

Durch Nullsetzen der Determinante A dieses Systems linearer,homogener Gleichungen in den Bt erhalte ich die Frequenzen¬gleichung. Sie lautet in erster Annäherung

0 = {~u0J1(uo)-{l-o) + J0(u0)-ul}-{[-v0J1(v0)-{l-o) + J0(v0)-vl]l~iJ1(iv0)-vl}-— [- i v0 ^ (i Vo) • (1- ff) — J0 (* v0) • f0] • Ji Oo) -vi) (32)

Das Verschwinden des ersten Faktors kennzeichnet die ra¬

dialen Dehnungsschwingungen ebener Platten, das Ver¬

schwinden des zweiten Faktors die Biegungsschwingun¬gen. Bei Kugelschalen, auch bei flachen, treten dagegen diesebeiden Schwingungstypen nur gekoppelt auf.

B. Nichtrotationssymmetrische Schwingungenvon Kugelschalen.

I. Die beiden Schwingungsklassen.

a) Integrationsmethode n.

Ich wende mich nun den allgemeineren Schwingungen zu,

bei denen der Verschiebungsvektor u auch Funktion der zweiten

sphärischen Koordinate <p ist. Dies kann so geschehen, daß,

in Erinnerung an die Fourierentwicklungen, die Verschiebungs-

komponenten ur, n#, uv der Punkte der Mittelfläche proportionalden cos und sin der ganzzahligen Vielfachen von cp gesetzt wer¬

den. Dieser Ansatz drückt die Geschlossenheit der Breitenkreise

aus. Nach den Love'schen Formeln werden zuerst die Dehnungen

und Krümmungsänderungen und daraus die Spannungsresultanten

und -momente ausgerechnet und in den Bewegungsgleichungen

eingesetzt. Dies liefert 3 simultane, lineare Differentialgleichun¬

gen höherer Ordnung in ur, u,,, u(p, die aber so umfangreich und

kompliziert ausfallen, daß man sie kaum integrieren kann, wenn

man die Lösung nicht schon kennt.

Ich ziehe es daher vor, vorläufig Kugelschalen von ganz

beliebiger Dicke zu betrachten, und mittels der Grundgleichungen

der Elastizitätstheorie Integrale zu suchen, die den Rand- und

Oberflächenbedingungen genügen. Ähnlich sind Lamb1) und be¬

sonders Jaerisch2) vorgegangen bei der Untersuchung der

Schwingungen geschlossener Kugelschalen. Erst später werde

ich mich wieder auf dünne Schalen beschränken.

b) Die Schwingungsgleichung.

§ 1. Es sei u* die Verschiebung eines Punktes, der in der

Ruhelage die Polarkoordinaten r, 9-, q> hat. Die Differential-

') London Math. Soc. Proceedings, vol. 14, 1883, S. 50.

a) Crelle's Journal, Bd. 88, Berlin 1880.

— 26 —

gleichung der Bewegung lautet

(l + u) grad div u*-f,«Au' = Q^f (33)

Hierin bedeuten

oE El =

(l + «7)(l-2ff)''_

2(1 + <j)'

A den Laplace'schen Operator. Ich zerlege den Vektor u* ineinen rotationslosen und einen dilatationslosen Teil

u* = u*! -f- u*2, wo rot u*i = 0, div u*2 = 0.

Da u* als eine einfache harmonische Funktion der Zeit mit derFrequenz p/2n angenommen wird, u* = u cos pf, folgen aus (33)die Gleichungen

(A + *ï) © = 0, wo l\ ~ Qp*i(l + 2n), G = div Ux (34a)rot Ux = 0 (34 b)

(A 4- *|) u2 = 0, wo U = 2 g (1 + o)pijE = Qp*\p (35a)div u2 = 0 (35 b)

Wegen 0 = div iii und rot U] = 0 folgt durch Eotationsbildung

0 = rot rot Ux = grad div ut — A ui »

d.h. grad 0 = Aui- Mittels (33) folgt daraus

grad & — — Äf Ux.

Die Ausdrücke für A und div in Polarkoordinaten werden aus

der metrischen Fundamentalform ds2 = dr2 + r2 d fr2 -j- r2 sin2 9' d ç>2nach den Methoden der Tensoranalysis abgeleitet.3) Es ergibt sich

(":-j 11

- (r2 ur sin d) -f- ^ (r uä sin &) -j- — (r u^) j

Aw=""-(fr(''l9+«»»»Ä(,h*^+""»**^l-Setzt man xo = \ rot u mit den Komponenten wr, wx?, wv,

so erhält man die Bewegungsgleichungen4)

3) Siehe z.B. Appell, Mécanique rationelle, t. 5, Paris 1925.

4) Siehe auch Love-Timpe, S. 160.

— 27 —

(I + 2 fi)4® -4^7 UrK sin »'or r$md-\od-\ p

c icâ

8 cp

{1 + 2 fx)1 8 0 2/.i low,

r 8& rsin# I dcp dr

8 }-~

(rsin#«gj

(l + 2n)-^

rsi

wobei 2 w

1 8 0 2ju I (9/ x

ö»,

rsin# dip r 1er 8$

- Qp-ur

-QP2u#

= QP1 Uv

cosec &lr e^(uvsm»)8u$

8<p

2 wu = cosec #/r • ~^- — sin # — (r w„)I oy or )

2w„ Mr- \^.(ruô)o ur

(37)

Die Komponenten des Verzerrungstensors drücken sich durch u

folgendermaßen aus

crr —

<?öö

dur

~Jr~

r d& ~r~

1 3 m„ ,

r sin # 3 r/>

•COtg# Mr

r r

'r \d& I rsin# 3t

Vfpr =1 9wr

3<jP+

3m

3r

V

rsin#

er$ =3%

3r r

+1

r

(38)

Dadurch lassen sich die Komponenten des Spannungstensors nach

bekannten Formeln ausdrücken. Wichtig sind vor allem die

Spannungen, die auf ein Element parallel der Kugeloberfläche

wirken.

3 urT„ = l & + 2 n e„ = l © + 2 u

dr

= 2fi[1 dur 3 !ua

L_ y I

r 3# 3r\r

*.= .,*. = 2„(-^£ + ,£(ä)} |

(39)

— 28 —

§ 2. Ich gehe nun an die Ermittlung der Funktion

Ui = — l/&i2 • grad 0. Aus den Ansatz

Q = f(r).S(&M (40)

folgt nach (34a)

0 = S^fldrZ + qr-dfldr+Wtf^ + ^osecö— UnÖ^+coaecZ&C^-flr*Diese Gleichung besteht für alle Werte von r, Q- und <p. 8 und /sollen nicht identisch verschwinden. Ich dividiere (41) durch

S-fjr2. Dann ist das erste Glied höchstens Funktion von r, daszweite von 9- und cp. Es folgt, daß beides Konstante sind, d. h.

cosec#^(sin#^)+cosec2#!^4— xS = 0 (42)d<r \ 3 & '

3 <p

und

d2 fjdr2 + 2/r • dfjdr + (fcf + x/r *) f = 0. (43)

(42) ist die Definitionsgleichung für Kugelfunktionen vom Grade

a, wo

a(a + 1) = — x.

(43) vereinfacht sich noch etwas durch die Substitutionf(r) = F(r)/r. Die Gleichung lautet dann

d2 Fjdr2 + (jfc* + x/r») .P = 0. (44)Das allgemeine Integral dieser Gleichung enthält 2 Integrations¬konstanten. Falls a ganzzahlig ist, ergeben sich 2 partikuläreIntegrale

hr du (—) und b s) hr) mit * =*"• >

die sich durch Besselfunktionen vom Grade a-\-\ respektive— (" + !) ausdrücken lassen. Um die Lösung für allgemeinesa zu erhalten, setze ich F (r) = 2„cntß+2n, worin q(q — 1) + * = 0,d. h. ft = J + Vl^x, p2 = £ — Vj-x = 1 _ ft. Die Koeffizien¬ten der zu gx und ß2 gehörigen Keihen bestimmen sich durch!die Rekursionsformel

6) Lore-Timpe, S. 322.

— 29 —

(-!)»&?»ZU Cn_

[ç(e-l) + it][(ç+i)(? + 2) + z]...[(?+2w)(e + 2w-l) + x}

-F hat die Gestalt

F=Ä-(Jc1 rp %(r) + B (kr)** % (r),

wo $! und ^2 Potenzreihen in r mit den Koeffizienten cln und

CïjB darstellen. J. und -B sind Integrationskonstanten.

Für die Funktion 8 (%-, cp) mache ich die Annahme, sie lasse

sich in ein Produkt 8 = T (%) • 0 (cp) aufspalten. Dann folgt aus

(42) auf die gleiche Weise wie vorhin

a!2tf>/d<p2 + w2<Z> = 0,

d. h. Q> = cos (ncp — e), worin die Konstante n wegen der Periodizität

von # reell und ganzzahlig sein muß. Die Integrationsikon-

stante e kann durch passende Wahl des Nullmeridians immer

zum Verschwinden gebracht werden. Die Gleichung für T lautet

jetzt

cosec$ d\dö{%m&d T\dd) — (x + w2 cosec2 d) T — 0

oder, wenn ich T = P" (9~) setze,

d2Pn\d&- + cotg^dPnjd^ —(•/.+ n2 cosec2 iï)Pn = 0 (45)

Schreibt man x = oos fr, so folgt

(1— x2) d2 P>ljdx2 — 2xdPn\dx — [> + m2/(1 — x2)~] Pn = 0 (45*)

Dies ist die Differentialgleichung der n-ten Zugeordneten der

Kugelfunktion P°(fr) = P(fr) vom Grade a. Für rc = 0 hat (45*)dieselbe Form wie (2). Daraus erhält man Pn mittels der Formel

pn — (i _ x*fi dn\dxn (P°) (46) 6)

Das von P" linear unabhängige Integral von (45) hat in fr = 0

einen Pol und kommt daher nicht in Frage.

«) Siehe Love, Phil. Trans. Roy. Soc. London 179 A, 1888, S. 535.

— 30 —

Aus der Funktion <P = F (r)/r • Pn (9-) •

cos v cp berechne ich

ut = — l\h\ • grad 0

ur—

— ljh'i djdr(Fjr) Pn(») -cosnq> . .

tu, = — l/*f • Fjr9 • dPn\d»-cosnq}( '

U(p = + l\k\ Flr2 n cosec# • Pn(d) -srnncp

§ 3. Ermittlung der Funktion u2. Aus (47) ist er¬

sichtlich, daß besonders die Ausdrücke für «»•, u#r, u^r • sin &

einfach werden. Dies sind die kovarianten Komponenten des

Tensors 1. Ordnung u bezüglich des Polarkoordinatensystems.

£r r= ur £# = u0 • r £v = uv • r sin &

Dann erhalten die Bewegungsgleichungen (35) oder (37) die

Form

A (r2 £r) + *1. r2 • &. _ 2/r • 9/3 r (r21,.) = 0 (48 a)

A (£» sin #) + *1 sin # £ö - 2/r • 3/3 r (£ö sin 5) = — 2 sin &jr • 31^3* ++ 2cos#/r2-3/3#(r2£r) (48 b)

A (£,,) — 2 cos * cosec »lr* d !w'3 * + *1 £„ — 2/r • 3 £v/3 r == — 2/r 3 £r/3 (f — 2 cos # cosec2 £/r2 • 3/3 <? (i?„ sin #) (48c)

divu2 = 0 = 3/3r(r2£r)+cosec^-3/3^(f3-sin^)+cosec2^-3^/3</' (49)7)

Die Annahme, diese Komponenten lassen sich als Produkte

einer Funktion von r und einer Funktion von 91 und g> dar¬

stellen, führt wegen (49) zu folgendem Ansätze

r2£r = M(r)- S'(xVf)h = N(r)-dSld&£,, = JV(r) • 3 5/3 (p

Daraus folgt nach (49)

S- dMjdr + [cosec & • 3/3 0- (sin d 3 S/3 i)) + cosec2# 32 S/3 y2] Ar(r) =r 0,

d. h. eine Gleichung von der gleichen Art wie (41), aus der

wie dort folgt, daß S eine Kugelfunktion ist, und daß N (r) und

M (r) durch die Relation

*-N(r) + dMldr = 0 (50)

7) Die Formeln 48 und 49 stimmen mit den von Herrn ,1 a e r i s c h gefun¬denen Ausdrücken überein. Siehe Crelle's Journal 88, 1880, S. 141.

— 31 —

verbunden sind, wo * = — a(a-\-l) ist, wenn a der Grad von

S ist. Ich setze nun in (48) ein und sehe, daß diese Gleichungerfüllt ist, sofern M (r) der Beziehung

d2 Mjdr2 + (kl + x/r*) • M(r) = 0 (51)

genügt. Die Differentialgleichung (51) für M lautet gleich wie

(44), wenn F durch M und kt durch Jc2 ersetzt wird. Setze ich

diese Ausdrücke in (486) ein, so lautet sie

. IdMdS . „\, 12dM dS

.„

2 d2M dS.

"\ dr d & J dr 3 # r dr2 d&

/2sin# a S dS\ x- Jtf. .

Schreibt man den Ausdruck für ^ aus, so reduziert sich (48/;*)mit Hülfe von (49) auf

ds M\dr3 -f (kl -t- x/r2) • d Jf/rfr — 2 / • M\rs = 0.

Die linke Seite dieser Gleichung ist die Derivierte der linken

Seite von (51). (48 6*) ist also durch den gewählten Ansatz er¬

füllt. Auf gleiche Weise zeigt sich, daß auch (48 c) erfüllt ist

Ich erhalte schließlich für u2

ur = M(r)\r2 Pn (&) • cos n <p juâ = —11/. dMjdr \\r dPnjdÖ- • cos ncp 52)

uv = 4- 1\a dMldr • Ijr • Pn(#) n cosect9- • sin ncp )

Indem ich diese Ausdrücke in der Formel (37) für u; ein¬

setze, sehe ich, daß wr überall verschwindet. u2 besitzt also

keine radiale Drehungskomponente.

§ 4. Die Funktion u0 (Tangentiale Schwingung). Ich

werde nun noch ein Integral der Gleichungen (48) und (49) kon¬

struieren, bei dem die radiale Verschiebungskomponente fehlt.

Wegen £r = 0 nimmt (486) als Gleichung für f,?sin8 die Form

von (48«) an. Aus (49) folgt

0 - sin » • did » (£, sin ») + 3 §vj3 <p

und daraus die Gleichwertigkeit von fö und Sv bezüglich r. Da¬

her mache ich den Ansatz

— 32 —

sin#- £,= G(r)-dS0/d<p

|v = — £(»•)• sin #-3S0/3#,

der in der Tat den Gleichungen (48) und (49) genügt, sofern

di G/dr* + (*! + Â/r2) • G (r) = 0 (53)

und £0 eine Kugelfunktion vom Grade j8 ist, wenn — ß (ß -j-1) = ^

ist. Die Differentialgleichungen für M und G unterscheiden sich

somit nur dadurch, daß x durch l ersetzt ist.

Die Komponenten von u0 können bei geeigneter Wahl des

Nullmeridians geschrieben werden

ur = 0 |m„ = G/r-cosecd--dS0jd(p = G/r-Pn(d-)-n-cosec&-cosn(p J (54)

«„ = — Gjr-d S0I3 5- = — Gjr- dPnjd» -sinn y \Sowohl die rotationslose Schwingung Uj wie die beiden dila¬

tationslosen Schwingungen u2 und u0 genügen der Grundgleichung

(33) der elastischen Bewegung, und wegen der Linearität und

Homogenität dieser Gleichungen auch jede lineare Kombination

u = a Uj -)- b u2 -4- c u0.

c) Oberflächenbedingungen.

Ich muß jetzt noch ausdrücken, daß die Kugelflächen

r^B^h spannungsfrei sind. Dies liefert die 3 Oberflächen-

bedingungen

T„ = 0 (55a), Tr<, = 0 (55b), Trrp = 0 (55c) für r = R ± h..

§ 1. Bei den Tangentialschwingungen sind & = c = 0.

Ich werde zeigen, unter welchen Bedingungen u0 den Ober¬

flächenbedingungen genügt. Nach (39) ist (55 a) trivial. (55 5)und (55 c) gehen ineinander über und nehmen die Form an

dldr(Glr2) = 0 für r = B ± h (56)

Das allgemeine Integral von (53) hat die Gestalt G (r) = at G1 (r) -\--f- a2 G2 (r), wo G1 und G2 2 linear unabhängige Integrale be¬

deuten. Die Gleichungen (56) können somit als 2 lineare, homo¬

gene Gleichungen in den beiden Unbekannten at und a2 auf¬

gefaßt werden, deren Koeffizienten die Parameter l und p

— 33 —

enthalten, während n nicht darin auftritt. Damit sie nicht--

triviale Lösungen besitzen, muß ihre Determinante verschwinden.

Dies liefert eine von n unabhängige, transzendente Relation zwi¬

schen l und p. Diese Relation, die auch bei geschlossenen Kugel¬

schalen eine Rolle spielt, muß sich also für dünne Schalen auf

die Gleichung (1) reduzieren. In der Tat hat Lamb8) in einer

Veröffentlichung über Schwingungen dünner Kugelschalen gezeigt,

daß bei sehr kleinem h das Verschwinden der Determinante von,

(56) durch die Relation (1) ausgedrückt wird.

§ 2 Bei der Klasse der Schwingungen ohne radiale Drehungs¬

komponente ist c = 0. Es zeigt sich, wie dies für geschlossene

Schalen schon lange bekannt ist, daß bei dieser Klasse weder

eine dilatationslose, noch eine rotationslose Schwingung den Ober¬

flächenbedingungen genügen kann, d. h. es sind a und b 4= 0. Da

die Gleichungen (55) für jeden Wert von 9" und 9? erfüllt sein

müssen, ist der Grad der Kugelfunktionen in 1^ und u2 derselbe,

d. h. die k in den Gleichungen (47) und (52) sind gleich groß.

Der Vektor u = a Uj -j- b us hat somit die Komponenten

ur = {— ljh\ djdr (Flr) + Mjr2} P» (») • cos n (f

% = {— 1/** • Fjr2 — 1/x • 1/r • dMjdr}dFnjd» cosn<p (57)

uv— {+ llk\ Fjr2 + 1/x • 1/r- dMjdr}Pn(d)- w-cosec#-sin«<jc>

(55 a) lautet

l Fjr + 2 p {— l/*f • d2jdr2 (Fjr) •+ dldr {Mjr2)} = 0 (58a)

und muß erfüllt sein für r = B ^ h. Aus (55 b) folgt

— \jh\ dldr (Fjr) — r2jh\ djdr (Fjr3) + Mjr2 —

— r2/x • djdr (1/r2 • dM\dr) = 0 (58b)

für r = R^2.h.

Tr<p ~{—2 (ilr [- 1/ftf • djdr (Fjr) + Mir2'] + 2,ur [1/Ä? • djdr (Fjr3) +

+ 1/x • djdr(ljr2 dMjdr)~]}Pn(d) n • cosec# • sinwy

Wegen (58 b) verschwindet Tr(p an den beiden Oberflächen der

Schale, d. h. (55 c) ist bei diesem Ansätze für u eine Folge

von (55 b).

8) London Math. Soc. Proc, vol. 14, 1883, S. 50.

— 34 —

Die 4 Integrationskonstanten, die in F (r) und M(r) ent¬

halten sind, sind so zu wählen, daß das Gleichungssystem (58)erfüllt ist. Dies führt auf 4 homogene, lineare Gleichungen in

diesen unbekannten Integrationskonstanten, mit Koeffizienten, die

die Parameter l und p2 enthalten, dagegen nicht n. Damit das

System nichttriviale Lösungen habe, muß die Determinante ver¬

schwinden. Dies führt zu einer (von n unabhängigen) Relation

zwischen A und p.

Im Falle n = 0 habe ich diese Relation durch die Gleichung

(11) ausgedrückt. Es ist jetzt gezeigt worden, daß jene Gleichung

auch bei beliebigem n erfüllt sein muß. Lamb hat aus einem

mit (58) äquivalenten Gleichungssystem für unendlich dünne

Schalen die Relation (17) abgeleitet, was hier als Kontrolle

dienen kann.

Weil die Oberflächenbedingungen auch lineare1, homogene

Gleichungen in den Komponenten von u sind, können die 2

Schwingungsklassen, die ich soeben behandelt habe, beliebig linear

kombiniert werden.

d)AllgemeinsteDarstellungderSchwingungskom-

ponenten bei vorgegebenem n.

§ 1. Ich werde mich im folgenden wieder auf die Schwingun¬

gen dünner Schalen beschränken. Für diese kenne ich die Re¬

lation zwischen dem Grad der Kugelfunktion und der Frequenzder Schwingung. Ich betrachte wieder ausschließlich die Ver¬

schiebung der Punkte der Mittelfläche der Schale, für die r = P

ist. Ich bezeichne die 3 Funktionen P", deren Grade durch

x — xu x2, x3 bestimmt sind, mit P/, P8n,P3n; die 3 Größen

{- l/W-dldriFjr) + Jf/r*} für r = R und x = vn, x„ xs, die in (57)auftreten, mit BUB2,B3; die 3 Ausdrücke {—l/^-F/r2—1/x.•1/r-dM/dr) für x = x1, x2, x3 und r = R, die ebenfalls in (57)

auftreten, mit Au A2, A3; und endlich den Quotienten G/rfür r = B, der in (54) auftritt, mit (7. Dann ist das Verhältnis

A/B = r nach (58) mit p ebenfalls durch eine von n unab¬

hängige Relation verknüpft, und daher durch die Formel (13)gegeben. Durch Kombination der 4 Integrale erhalte ich für

u die Darstellung

— 35 —

= {/?! PI (») + B, Fl (») + B3 P"3 (»)} cos (n<p-e) j= {A1 dPljd» + Â2 dPydd- + A3 dPl\dÖ + CPl(ê)-n- cocec »} cos (n q> - e) (59)= -{[A1Pï{^+ A2Pl(V)+ABPî(V)]-n-co$ec»+C-dPïldO}sm(n(p-e)\

Das erste Integral, bei dem nur Bx und A1 4= 0 sind, wäh¬

rend alle andern Integrationskonstanten verschwinden, nenne ich

eine B1 - S c h w i n g u n g. Sind nur 4a, B2 bezw. A% Bs bezw.

C =t= 0, so spreche ich von der B2-, bezw. B3-, bezw. C- S c h w i n -

gung.

§ 2. Wenn ich die Voraussetzung fallen lasse, daß der Pol

& = 0 zur Schale gehöre, daß also dort Pn endlich sein müsse,

treten noch 4 analoge Glieder hinzu, die die von Pn linear un¬

abhängigen 2. Integrale der Gleichung (45) enthalten, mit 4

weitern Integrationskonstanten. Da das Gleichungssystem für

u,, w„, uv, das man durch das auf Seite 25 geschilderte Ver¬

fahren aus den Love'schen Gleichungen erhält, in w, von der

4., in u~ und urp je von der 2. Ordnung ist, stellt dieser

Ausdruck mit 8 Integrationskonstanten das allgemeinste Integral

dar, und (59) ist die allgemeinste Darstellung der Schwingungs¬

komponenten bei vorgegebenem n und festem p, sofern der Pol

9" = 0 zur Schale gehört.

II. Randbedingungen.

Auf Grund der Randbedingungen werden nun die 4 In¬

tegrationskonstanten Bls B2, -ß3, C und die Frequenzen be¬

rechnet. Die Randbedingungen reduzieren sich für dünne Schalen

auf (VI), d. h. für 9* = 9"0 müssen

Ti = 0 (60a); S, — HJR = 0 (60b); G± = 0 (60c)

N1 — coaecdjR-dH1ld(p = 0 (60 d)

Diese Gleichungen sind linear und homogen in den 4 Integrations¬

konstanten.

Ich wende mich nun der Berechnung der Spannungsresultanten

und -momente zu. Hiezu verwende ich die Love'schen Annähe¬

rungsformeln. Vorerst berechne ich die Dehnungen und Krüm¬

mungsänderungen. Die Dehnungen ergeben sich nach (I) zu

£l = \\B • [AtPt" + B%Pt + C-w• cosec^-Po'-cotg#0^0)}cos(w(/>-«),

— 36 —

wobei, wie überall in diesem Abschnitt, über den Index i zu

summieren ist. Der obere Index n ist hier wie im folgenden der

Einfachheit halber weggelassen.

e, = HB {Âi(Pi • cotg^o — n2 - cosec2#0 Fi) + BtPi —

— G-n cosec Ü0 (P0' - cotg #0 Po)} cos (w (jp - e)

cd = IjR • {-Ai • 2n cosec#0(iV — P% cotg#0) +

-\- C(- PI + P'o cotg #0 - wä • cosec2 #o Po)} sin (nip-e)

Für die Krümmungsänderungen erhalte ich nach (II)

xx = llR2{(Bi-Ai)Pi" -n-cosec&o- C-(P0'-cotgöo- P0)} cos(n(p-e)

x2 = 1/P2 {(Bi- Ai) (P/- cotg&0-n2- cosec2 #0 • P<) +

+ G-n-cosec#0• (P0' - cotg#0• Po)}cos (ntp-e)

%—

— 1/E2-Uj-w-cosec ^o-(P/-cotg^0-Pj) sin (wijp-e)

Nach (III) und (IV) werden

Ti = ITTï^-iï(^ C- (1 - ff)P<' • cotg^o + [* + (1 - tr) • w2 • cosec2 #0] P,] +

+ Pj-(l + o-)-Pj+C(l-o-)-n-cosec^'o-(Po-cotg^0-Po)}cos(w9)-£)

5ec*o-(P/-cotg^o-P0+

C[2P;-cotg^o-

— (1 + 2-n2- cosec2 #0) Po]} sin (nq>-e)

tg #0 - [n2 • cosec2 #0+

*,-/( 1 ~ o)] PJ+

0-w-cosec#o(Po-Po cotg^0)} cos(ra</>-e)

• cotg-y-Q-[w2-cosec2#0-ffxj/(l-ff)]-PJ -

+ G- n cosec #0 • (P'0 - P0 • cotg #0)} cos (n r/> - «)

iZi —-H^—

3.-.Brn-cosec ftotPt'-P»-cotg #o)-sin(nqp-e)

2~Ehscosw&ojR-dHijdç — '^~:prTrr-:•

P» • w2 • cosec2 #0 (P/-Pr cotg #0)-cos (n<p-e)

iV1 =3 ^3

•{A[(l+xi/(l-o-)+n2-cosec2^0)-P/-M2-cosec2^0-Pi-cotg^o3-

-P,[l+Xi/(l-a)] • P/-C-n-cosec#o [Po- cotg#0-(A+ 1+n2 cosec2^0) • P0]}cos(»qp-e

Sx = -S2 = 1-^-.-{-^-2w-cosec*0-(P/-cotg^o-PO + C[2P;-cotg^0ii-(H-ff)

Gl = 3^BJ^+o){{Bi~Äi)iFi COtg*0-[w2'C°SecS^°+

X'/(1~ÖWPJ+

o pis

&2 = -^^-^{(Pi-^)[P/-cotg^o-K-cosec2^o-ffV(l-ff)]-Pi] +

ö-ii -(l + ff)

— 37 —

Die Gleichungen (60) liefern jetzt

0 = Bi{TilPin' cotg^o- [x,/(l-ff) + w2 • cosec2#0] P<*Hl+<r)/(l-ff) P*"}-

-O-n- cosec &0 {Po"' - Po" • cotg #0} (61a)

0 = -Bi-n- cosec #0 • |>, - 2 /*2/(3 P2)] • (P*"' - P*" • cotg &0) +

+ C{P0n' cotg #o - (à*+w2 • cosec2 #o) Po"} (61 b)

0 = PjTi"'{P"'-cotg^0-[w2-cosec2^0 + )tl/(l-a)]Pi»} +

+ (7- n cosec #0 {Po"' - PJ1 cotg #„} (61 c)

G = Bi {t,* [P,»' [1 +x</(l -a)+m2 cosec2 &0] - «2 • cosec2 #0 • P" cotg &0] -

- 2 w2 • cosec2 #0 (P,"'- Pin cotg #0)} + C- « • cosec #0 {Po"' cotg #0 -

-(l + l + n2 cosec2#0)P0"} (61 d)

Durch lineare Kombination läßt sich das System (61) noch etwas

vereinfachen.

0 = P^r;[P/.cotg^-[xi/a-aH»2-cosec2#0] P?]-(l+o)l(l-o)-Pf}--C-n- cosec #0 ( P0"' - P0» • cotg *0) (61 a*)

0 = Bi {%i - 2/3 -h2IR2)n- cosec #0 (P,»' - P<» • cotg &0) +

+ C{P„"' • cotg #0 - (J A + w2 • cosec2 #0) P0"} (61b*)

0 = B({P»' cotg #0 - O2 • cosec2 #0 + (x, +1 + a)/( 1 - er)] Pt-«} (61 c')

0 = P>i{r/P»'[l+xi|(l-ff)J-[l-2Ä2/(3P2)]-w2-cosec2^0(P"'-Pi"-cotg^o)}--C-w-cosec^0-(|X+l).P0» (61 d*)

pü, /, t, t* sind durch die Gleichungen (1), (11), (13) als Funktionen

von Tp resp. q bestimmt. Damit das System linearer, homogener

Gleichungen in Bu.. C nichttriviale Lösungen besitze, muß die

zugehörige Determinante A verschwinden. Durch diese Gleichung

ist q bestimmt. Unter den Nullstellen von A befinden sich auch

die Nullstellen der Diskriminante D* von (11), denn diesen

Werten von q entsprechen 2 zusammenfallende Wurzeln z. B.

*i = :*ä von (11) und somit zwar nichttriviale Lösungen des

Systems (61), die aber bedeutungslos sind, denn das Lösungs¬

system lautet dann {Bu B2, Bs, C) = (1, — 1,0,0), und sämtliche

Komponenten der resultierenden Schwingung verschwinden.

III. Überblick.

Aus den Gleichungen (61) müssen natürlich für n = 0 die

Randbedingungen (3) und (22) hervorgehen. In der Tat reduziert

sich A bei n = 0 auf das Produkt aus der linken Seite von (3)

— 38 —

und der Determinante von (22). Daraus folgt, daß im rotations¬

symmetrischen Falle die beiden Schwingungsklassen (Schwingungohne radiale Verschiebungs- resp. Drehungskomponente) immer

getrennt auftreten, wie dies auch bei geschlossenen Kugelschalender Fall ist. Dagegen herrscht bei ^4=0 diese Übereinstimmungzwischen den Schwingungen geschlossener und offener Schälennicht mehr. Während bei jenen die Klassen auch jetzt noch

unabhängig'

von einander schwingen,9) sind sie bei diesen ge¬koppelt; denn man sieht aus (61), daß Lösungssysteme, bei denea

Bi = B$ = B3 = 0 und C 4= 0 oder C = 0 während mindestensieines der Bi 4"- 0 ist, unmöglich sind.

Ich vergleiche nun die Kugelschalenschwiagungen noch mitden Schwingungen ebener, kreisrunder Platten.10) Bei diesen exi¬

stiert für jeden Wert von n die Trennung zwischen Schwingungennormal zur Plattenebene und Schwingungen in der Plattenebene.Eine entsprechende vollständige Trennung herrscht bei Kugel-schalen nicht, denn sobald u, 4= 0 ist, kann u# nicht identisch ver¬

schwinden, weil t 4= 0 ist. Dagegen bestehen im symmetrischenFall, entsprechend den 2 Klassen von Kugelschalenschwingungen,2 Klassen von Schwingungen in der Plattenebene, von denen beider einen die radiale (d. h. gegen den Plattenmittelpunkt ge¬

richtete) Verschiebungskomponente fehlt, bei der andern die Kom¬

ponente in Richtung der Parallelkreistangentei Ist n 4= 0, dann

treten diese Klassen auch bei der Platte nur gekoppelt auf.

9) Dies wurde z. B, von Jaerisch nachgewiesen (Crelle's Journal 88, 1880).,0) Love-Timpe S. 564, 655.

C. Bestimmung der Frequenzenserien bei n = 0.

Koppelung der Dehnungs- und Biegungs¬schwingungen.

Ich wende mich nun der Auflösung der Frequenzengleichung

zu und betrachte zuerst die rotationssymmetrischen Schwingun¬

gen. Bei diesen zerfällt die Schwingung in 2 Klassen.

1. Flache Schalen.

a) Klasse der Tangentialschwingungen.

Die Frequenzen dieser Klasse, bei der ur und u# identisch

verschwinden, werden durch (30) geliefert. Da Jn (x) ~ cos (x —

— \nn — \n), erhält man bei Vernachlässigung von a2/B2 für

hohe Frequenzen nach (30 a) die einfachere Gleichung

i- IV = Jj (w)/J0 (w) ^ COS (W — f n) J COS (tV — \n) = tg(w — £ 1l)

und daraus w^\n-\r'kn, und zwar ist die ft-te Wurzel kleiner

als der angegebene Wert; sie ist ihm aber um so näher, je größer

k ist. Ich bezeichne die sich aus (30 a) ergebenden Frequenzen,

die zu einer ebenen Schale vom Radius a gehören, mit p* zum

Unterschiede von den Frequenzen p —p* + A p der zu betrach¬

tenden Schale mit dem halben Öffnungswinkel 9"0 = a/i2. Ferner

seien

w* = iv0 (jf) = ]/2Qp*2(l+a)-a2jE, w" + Aw — i2çp2(l + o)-a2]E.

Daraus folgt nach (23) w = ur* + ô w -j- A w, wodw = 1/w* a2/R2

das durch die Differentialgleichung bedingte Korrekturglied be¬

deutet, wenn p = p* ist während é w der durch die Rand¬

bedingungen erforderten Frequenzänderung Ap proportional ist.

Ich entwickle nun den Ausdruck Ji (w) — \w J0(iv) in der

Umgebung der Nullstelle w = w* in eine Maclaurin'sche Reihe

und breche nach dem ersten Gliede ab.

— 40 —

Jl(w) - ^ ÎD J0(w) = (lO-W*)[-J"0(w*)-%lV*Jà(w*)-%J0(w*) —— (w~ W") [- Jx (w*) • (Ijw"- \ IV*) + \ J0 («<:*)]

(30) lautet jetzt

0 = (ôw + Aw)[-J1(w,)(\lwt-±w*) + ±J0(iv*)~] + a2IR2[R*0(wi)-- \ tv" R0 (w*) -1 • «7i (w*) - J Ji (w*) -1/6 • w* J0 (»•*)]

Die niedrigste Wurzel von (30 a) habe ich zu w* = 5,1359berechnet. (Die zweitniedrigste wäre 8,412.) Daraus erhalte ich

als Korrektur für die niedrigste Frequenz

A w - — 0,722 • a*lR*

Ap = _ o,722 • a*/Ä* • \\a • 1/'-JL^

p = (5,1359 — 0,722 • a2jR2) • I/o • 1/-

F 2(l+o)e

b) Schwingung in der Meridianebene.

§ 1. Hier liegen die Verhältnisse weniger einfach, da die

bei ebenen Platten getrennten Schwingungen ohne Normalkom-

ponente bezw. ohne Tangentialkomponente jetzt nur gekoppeltauftreten. Die Koppelung ist schon bemerkbar, wenn

Glieder von der Größenordnung a/R berücksich¬

tigt werden, Glieder in a2/R2 dagegen vernach¬

lässigt bleiben. Bei dieser ersten Annäherung für flache

Schalen lauten die Gleichungen (59)

ur = Bx J0 («o • s\a) + B2 J0 (v0 sja) + Bs-J0 (i v0 sja)

w# = - Rja {!?! %x u0 J, (w0 • sja) + B2 t2 v0 J] (v0 -sja) + Bs r3 i v0 Jx (iv0- sja)}.

Aus (27) folgt, daß bei der -Bi-Schwingung

,

J0(uQsja) lan

. _.

«>* =- V,

' '~

7j-= 0t (alR),

W0 Ji(w0s/a) rj R

d. h. eine kleine Größe von der Ordnung a/R ist. Weil t.. und t(

Größen von der Ordnung a2/R2 sind, werden bei der i?2-Schwingung

ur/uä = O2 (R/a) und ebenso bei der J33-Schwingung ur/u# = 06 (R/o).Daraus sieht man wieder, daß die -Bi-Schwingung aus der gegen

die Mitte der Platte gerichteten Tangentialschwingung hervor¬

geht, die B2- und die -Bj-Schwingungen dagegen aus den Normal-

schwingungen (Biegungsschwingungen) ebener, kreisrunder Plat-

— 41 —

ten. Schon bei dieser ersten Annäherung sind aber die i>i-

Schwingung keine reine Tangentialschwingung und die B2- und

-Bo-Schwingungen keine reinen Normalschwingungen mehr. Die

B2- und die -B3-Schwingung, die schon bei der ebenen Platte

nicht von einander getrennt auftreten, gehören auch hier immer

zusammen. Eine Schwingung, bei der von den 4 Integrations¬

konstanten nur B2 und -B3 4=0 sind, nenne ich eine reine Bie¬

gungsschwingung, die -£>!- und auch die C-Schwingung mögen

reine Dehnungsschwingungen heißen. Diese Benennung begründe

ich damit, daß nach (I) und (II) bei den B2- und -B3-Schwingungen

die Dehnungen kleine Größen von der Ordnung a/B sind, ver¬

glichen mit den Dehnungen der -Bi-Schwingung oder mit den

Krümmungsänderungen der B2- bezw. der -B3-Schwingung. An¬

derseits sind die Krümmungsänderungen der i^-Schwingung klein

gegenüber den Dehnungen dieser Schwingung oder gegenüber

den Krümmungsänderungen der B2- oder -B3-Schwingung. Es ist

aber bemerkenswert, daß z. B. auch die -E>2-Schwingung nicht

streng dehnungslos ist, sobald Größen von der Ordnung a/M

noch in Betracht gezogen werden, während umgekehrt auch die

-Bi-Schwingung Krümmungsänderungen hervorruft.

Bei dieser ersten Approximation reduziert sich die Deter¬

minante des Gleichungssystems (31) auf die Gl. (32), und nach

(24), (25), (26) ist auch die Frequenz dieselbe wie

bei der entsprechenden ebenen Platte. Für hohe

Frequenzen wird also bei den Dehnungsschwingungen u* ~ Q -f- k)n,

bei den Biegungsschwingungen v* ~ Je n mit ganzzahligem Je.

§ 2. Im folgenden werde ich auch Größen von der Ordnung

a2/B2 berücksichtigen. Ich will nun die Veränderung der Fre¬

quenz bei einer gekrümmten Platte berechnen. Zu dem Zwecke

muß ich die Nullstellen der Determinante A des Systems (31)

aufsuchen. Der Aufbau von A sei nochmals kurz angedeutet:

{r1[-Mj1(tt)+tt2/(l-<;)-J'o(M)]+oa/Bi!- •}; {rs[-v0Ji(»o)+- ']}? (T3 [-*«<> «7i(*»o)+ ]}

{'î[-«o«7"i(«o)] + - •}; HHï«7i(«ï)+«i/(i-ff)-Jo(»*)]+- •}; {4[-vsJM)+- ]}

{r>.«71(tt)-t»i!/(l-a)+. •}; {T'2v2J1{vi)-v]l(l-a)+ }: {4 }

— 42 —

p* bedeute wieder die Frequenz der entsprechenden Schwin¬

gung der ebenen Platte vom Radius a. u* = u0 {p*) und v* = v0 (p*)sind analog zu w* definiert. (Siehe S. 39).

Ich denke mir A nach den Elementen der obersten Zeileentwickelt und nach Potenzen von a/B geordnet. Wenn zur

Abkürzung

] (u) = — U J~! (u) -f- J0 (u)

II (v2,v3) = [-«jtM»,) + vll(l-o)-J0(va)']J1(va)-i%l(l-o) —- [-«« Ji(v8) + »1/(1-a).«7"0(«3)J Ji(»,)-«ï/(l-ff)

gesetzt werden, so sind I (u0) • II (v0, W) die einzigen von a/Bunabhängigen Glieder, während alle andern proportional min¬destens der 2. Potenz von a/B ausfallen.

Bedeutet p* speziell die Frequenz einer Dehnungsschwingungder ebenen Platte, so verschwindet l{u*). Die entsprechendeSchwingung der flachen Schale nenne ich schlechthin Deh¬

nungsschwingung, im Gegensatz zu den reinen D eh-

nungsschwingungen, bei denen B2 und Bs verschwin¬den. Bedeutet p* dagegen die Frequenz einer Biegungsschwingungder ebenen Platte, so möge die entsprechende Schwingungder flachen Schale auch Biegungsschwingung heißen.II « iv*) = 0.

§ 3. Ich berechne zuerst die Frequenzen der Dehnungs¬schwingungen flacher Schalen.

I (U) = (ÔU + JM)[-M,2|(l-ff)-/1(tt*) + (l + ff)/(l-a).M*-Jo(M*)]worin also

w = V^JttO2/^2" = u* + âu + Au.

Da Au mit a2/B* verschwinden soll, enthalten alle Glieder derobersten Zeile den Faktor a?/B2, und ich brauche von den

übrigen Gliedern der Determinante nur die von a/B unabhängigenzu berechnen. Speziell reduziert sich II (ve, vs) auf II (v*, iv*),und ich erhalte v*=^u*f, wenn wiederum /2 = 3a2/^2 ist.

Um numerisch rechnen zu können, muß ich die Material¬konstante a und die Konfigurationskonstante f wählen. Es seieno = \ und f = 40. Ich fand für die tiefste Dehnungsschwingung

— 43 —

der ebenen Platte, d. h. für die kleinste positive Nullstelle von

I, n* = 2,069. Daraus ergeben sich

v* = 9,097 du = - 0,268a2\R2

t1 = -0,75-0,350-a2jR2, t2 =+0,0170a2/i?2, t3 = -0,0153a2/B2

£0(M*) = ~ 0,2273 R*0(u*) = +0,291

und schließlich

Au = 4- 0,507 a2jR2 = a- ]/c(l~a2)jE Ap,

d. h.

p = p* + Ap = (2,195 4- 0,537 a2jR2) fËfç • I/o.

§ 4. Ich gehe nun an die Berechnung der Frequenzen der

Biegungsschwingungen, für welche II (v*, iv*) verschwindet. Die

zugehörige Frequenz sei p*. Ich erhalte

II (v2,v3) = (<J», + Jt;2)/(l-ff)2.{[-^«71(i;) + (l+ff).t>*.Jo(f0][-^,,tJ1(if0]-- [-^i-J1(it;)(l-ff) -t^8-J-0(itO] O*2 Ji(tT) + v*3 Jo(»*)J} +

+ (dvB+iJ»,)/(l-ff)2.{n-^Ji(t^)(l-a)+t^8.J'o(«0][-2f^2-«7i(itO-^s*^oO"0]-- [tf *«7i(it0 + (1+ o) iv* J0(iv*)~] «*s «W»

worin

v* = î/Çp*2(l-ff2)-a2-7p;

vg = v* 4- d^2 4- ^v2 v3 = iv* + öv3 -\- iAv3

Da, A p und nach (25) und (26) ebenso ô v2 und ö v3 je von der

Ordnung a2/E2 sind, ist die Differenz zwischen Av2 und Av3

von der Ordnung aV-ß4, und ich kann somit Av2 = Av3 = Av

setzen.

Für die tiefste Biegungsschwingung erhalte ich nach Kirch-

hoff1) bei ö = | v* = 3,013. Ist wiederum / = 40, so folgen

daraus

m* = «rü/f = 0,227

tx= -0,75-29,1 a2/i?2 t2 = +0,148 a2/£2 t3 = -0,146 a2jB2

B0 (iv*) = + 2,20 R*0 (i v*) = i • 4,15

E0(«*) =-0,208 B*0{v*) =0,0015

») Crelle's Journal 40, Berlin 1850. S. 51.

— 44 —

Av = 12,08 a*jR22v-Av = aiJ(î~o2)-IÉ-f-Ap

p = (0,240 + 1,925 • a2jB2) fËjç I/o

§ 5. Um Aufschluß über die Ko p p e 1 u n g der Dehnungs¬und Biegungsschwingungen zu erhalten, berechne ich nach (31)die Koeffizienten Blt B2, Bs. Betrachte ich zunächst die tiefste

Dehnungsschwingung, so habe ich zu setzen

% = 2,069+0,507 a2/-ß2

Es ergibt sich dann B1:B2:B3 = 11900: —139000:16,2.Ich schreibe Bx = 11 900 a/R;B2 = —139 000 a/R; B, = 16,2 a/B,woraus folgt

ur = {11900 Jo (2,069-s/a)- 139000 J0(9,097 sja)+ 16,2 /0(i 9,097 */o)}-o/J?u« = 18450J1(2,069-s/a) + a2ß2{21000^(9,097 sja) +

+ 2,26 iJj (9,097-i-s/a)+l 8450 s2/a2[i ^(2,069 s/a)-i?*0(2,069s/a]}.urju,} = 0(ajR)

Für die tiefste Biegungsschwingung erhalte ich

B1:B2:B3= - 2,61 o2/E2 :-55 :+4,59,

und daraus

ur = - 55,0- J"0(3,013s/a) + 4,59 J0(i 3,013 sja)+ a2/E2{-2,61J"0(0,277 sja)--55,0-s>2--R0(3,013s/a) + 4,59-s2/a2-i?o03,013s/a)}

mj = {-0,543 «7,(0,277 s/n + 22,5 Ji (3,013 s/o) + 2.02 • i • «^(t 3,013 s/o)} • ajR.

tlfi/Vr = 0 (o/E)

Bei den Biegungsschwingungen ist der Hauptbestandteil die

-Sa-Schwingung. Die -B3-Schwingung ist nur am Rande von der

gleichen Größenordnung wie die i>3-Schwingung, und ermöglichtso die Erfüllung der Randbedingungen. Nach innen klingt

'

sie

exponentiell ab. Um dies zu zeigen, stütze ich mich auf die

asymptotische Entwicklung

Jn(iz) <^j 1/—7—cos(ix-^nfr-i7c)= \—:—["cos(ia;)-cos(iwfr+i7ir)+"

nix'

jux

+ sin(i«)-sin(Jw77; + ^7r)] c^j

ex exp (^nni + \ni) e? exp (^nni)

y~2/t% exp (^ rci) y 2 nx

— 45 —

Ich setze nun x = v s/a und bezeichne mit t = a — s den

Abstand vom Rande. Dann lautet z. B. der Ausdruck für die

_B3 euei.p (— vtja)Normalkomponente der -B3-Schwingung ur ^ -p ;—

•

y Z7cvs\a

Auf Grund der vorigen Untersuchungen ergeben sich J33 • e° und

B2 als von der gleichen Größenordnung.

Diese Erscheinung ist von Love im statischen Falle als

edge effect bezeichnet worden. Die -Bj-Schwingung, die zur

reinen Biegungsschwingung hinzutritt, hat sowohl am Rande wie

im Innern gegenüber der -B2-Schwingung kleine Normalkom-

ponenten. Jene klingt aber nach innen nicht ab.

Bei den Dehnungsschwingungen existiert nichts Analoges

zu diesem edge effect. Wohl müssen zur Erfüllung der Rand¬

bedingungen noch die B2- und die -B3-Schwingung hinzutreten.

Die Tangentialkomponenten dieser Schwingungen sind klein gegen¬

über der Tangentialkomponente der -Bi-Schwingung; die -ßi-

Schwingung klingt nach innen nicht ab.

c) Unendlich dünne Schalen.

§ 1. Bis jetzt war vorausgesetzt / • a/R < v2, d. h.

1/ ^ «

Darum waren

\du\ < \u |, \öv | < v\.Nun betrachte ich im Gegenteil ganz dünne Schalen, bei denen

wenigstens für die tieferen Schwingungen die zugehörigen Werte

von q2 = Q-p2-(l — o8).JB2/jE in der Nähe der Nullstelle q0 der

Diskriminante D* von (11) liegen. Daraus schließe ich, daß im

jetzt betrachteten Intervall «i entweder positiv (wenn qa<Zq<iqd

oder komplex (wenn qo~>q) ist. Somit sind u und v3 komplex.

v2 ist immer reell, da ^2 stets negativ ist.

Am einfachsten sind die Verhältnisse bei einer unendlich dünnen

Schale zu überblicken. Ich betrachte zunächst die Dehnungs-

schwingu ngen. Diese sind von der Schalendicke h sozusagen

unabhängig. Für diese niedrigen Frequenzen hat I (u) keine Null¬

stelle, da u komplex ist. Für die Dehnungsfrequenzen wird v2 ~ uf

sehr groß. Da der Term I (u) • II {v2, v3) der wesentlichste Be-

— 46 —

standteil von A ist, fallen die Nullstellen der Determinante A

mit den Nullstellen von I zusammen, die von der Schalendicke

unabhängig sind. Da auch die Relation zwischen u und p nicht

von h abhängt, gilt dasselbe für die Frequenz. Weil die Koef¬

fizienten von B2 und -B3 in den Randbedingungen sehr großsind, sind | B2 \ und I B3 j sehr klein. Die Bs- und die B3-

Schwingung treten also um so mehr in den Hintergrund, jedünner die Schale ist.

§ 2. Ich wende mich nun den Biegungsschwingungenzu. Hier zeigt sich für die gewölbten Schalen eine viel be¬

deutendere Abweichung von den ebenen Platten. Bei diesen fällt

für eine unendlich dünne Schale die ganze Frequenzenserie in

p =- 0 zusammen. Dies trifft für gewölbte Schalen nicht mehr zu.

Es sei also v% < f • a/B. Für q < q0 sind xt und x3 kon¬

jugiert komplexe Größen von großem Absolutbetrage. Dasselbe

gilt für u und v3. Wegen (13) reduziert sich der in der Fre¬

quenzengleichung auftretende Ausdruck

T[rvJ1(v)+v*l(l-o)-J0(v)-]-(l + o)l(l-o)-a*IRi-J0(v)für große v auf

{- JM\v + J0(v) [qp2(\ - ff'2) • a^E^v2} (1 + a) • a2/if2.Die Frequenzengleichung vereinfacht sich auf

-Mv2)-v2 + Jo(v2)-ep2-(l-02)-a2lE=O,und daraus folgt für große v%

v2 c^j (^ + Je) 7i.

Ich betrachte nun die zugehörigen Werte von p. Aus (17)folgt

QP2-(l~a2).a2lE = ±{vl +(1 + 3 o).a2jB2 —

- f[tT+(l+3ffVöi/F]¥T4p(l- <72) v\ a2\R2 + ^(f^ff^a4/^4]}oder

a 'q R { 2v; ir )

sofern vs > a/B ist. Für p = 0 wird vz = 2 a/B und das Dif¬

ferential

d(v\) = 3(\ + a)-a2 ejE- d(p2).

— 47 —

Weil r2 sehr klein ist, kann diese Schwingung als Biegungs¬

schwingung bezeichnet werden. Somit ist auch die Frequenzder Biegungsschwingungen schwach gewölbter, unendlich dünner

Schalen von deren Dicke unabhängig.

Bei unendlich dünnen Schalen ist 1/a- yEjg • aiR

obere Grenze und Häufungspunkt für die Bie¬

gungsfrequenzen. Für Schalen endlicher Dicke

gibt es auch Frequenzen oberhalb dieser Grenze.

Mit zunehmender Dicke der Schale wachsen alle

Biegungsfrequenzen an, die höheren aber rascher

als die niedrigen, denn die Bedingung für Pro¬

portionalität zwischen Frequenz und Schalen¬

dicke ist v2 > f -a/R. Anderseits folgt daraus, daß

diese Bedingung um so eher erfüllt ist, je weni¬

ger die Schale gewölbt ist.

II. Halbkugelschale.

a) Berechnung von P (Jn) und P' (l ri).

§ 1. Ich bezeichne die Kugelfunktion P (0-) vom Grade «

mit T (a, x), wobei x = oos 9" bedeuten möge. Aus der Formel

(28) ergibt sich die Darstellung

Ich benutze nun die von Kummer stammende Beziehung2)

F(2a,2b,a-\-b + $,k — kx) = F(a, b, a + b + ±, 1 — x% (63)

die gültig ist für x ;>0, d. h. für 9- <I f n.

Ich setze a = \(a\\), b=~- — |a und erhalte in Übereinstim¬

mung mit der Formel (28 a)

T(a,0) = F(ia + %,-%a,l,l).

Nun ist eine Darstellung von T (a, 0) durch P-Funktionen

ermöglicht. Aus

1 (a, b, e. 1) -_c_-^-^—-^ (64)

2) Vergl. Mezu die Anmerkung auf S. 23.

— 48 —

folgt T( mr(i) • r(j)

l,'"r(i + i«) m(i-«)]

und wegen P (z) • P (1 — .?) = jr•

cosec ji £

p = co8(^rc)- r(i«f|)

Wegen djx(T(a,x)) — x dldx(T(a — l, x)) — a • T(a — 1, x) wird

die Ableitung der Kugelfunktion P (9-) = T (a, cos 9) an der Stelle

35=0

P' (1 tt) = -

" ' sin(^yra) • P(£«)

FiWlPQn) = -ia'tgüna) (7^^)'

(65a)

Da die Gammafunktion für reelle Werte des Argumentestabelliert ist, eignet sich diese Darstellung besonders zur Be¬

rechnung bei reellem a.3)

Für x reell und größer als \ hat der Grad a die Gestalt

a = — f -\- g i mit reellem g. * = l + g2. Solche Kugelfunktionenheißen nach M e h 1 e r Kegelfunktionen.4) Für diese ergibt sich

und daraus

§ 2. Zur Berechnung von P (j +f # *) verwende ich die

verallgemeinerte Stirling'sche Formel

log/» = {x — ^)logx — x + ^log(2n) + l(x)

worin I (z) durch die asymptotische Formel definiert ist

3) Keiichi Hayashi, 7 - und mehrstellige Tafeln der Kreis- und

Hyperbelfunktionen, Berlin 1926.

4) F. G. M e h 1 e r, Über die Kegelfunktionen, Math. Ann. 18, 1888, S, 177ff.

— 49 —

Die B, bedeuten die Bernoullischen Zahlen (Bt = 1/6, Bt = 1/30,...).Wenn ich diese Reihe nach dem «-ten Gliede abbreche, ist der

Fehler dem absoluten Betrage nach kleiner als der Betrag

des (n -f- l)-ten Gliedes, sofern 9?(x) ,> 0 ist. AVenn g nicht

sehr klein ist, genügt es, von I (x) nur das erste Glied zu be¬

rücksichtigen. Bei kleinem g berechne ich nach der Stirling-

schen Formel P (1 + x) und finde P (x) durch die Beziehung

x P (x) = P (1 + x).

Nun berechne ich für reelle Werte von g ] P(j + è<M) i

In r(i + *<7*)| = 3t[logr(4 + i0i)].

Unter Berücksichtigung der Beziehung « == \ + g2 erhalte ich

ln\r(% + yi) 1c^-iln(iz)-2^arctg2^-l + 21n27r + i-(l/jt) (66)

§ 3, Wenn a oder g positiv und > 1 sind, d. h. bei hoch¬

frequenten Schwingungen, vereinfachen sich (64) und (65). Wegen

log r(x) — log r(x-\-%) = (x— J) log x — x — x log (x + i) +

+ s + è + I(*) —I(* + è)

= —$logx + 0(\lx)

wird

r(i(«+D = »Ci + ol(i/«)],

und (64) reduziert sich für große, positive a auf

P'(**0/P(i")~-«-tg(*«a) (67)

Hat a die Gestalt a = — i + ig ,so ergibt sich aus (67)

oder nach einigen Umformungen aus (65) der asymptotische

Ausdruck

P'(**r)/P(a*)~\^. (68)

b) Frequenzenserie der Tangentialschwingung.

§ 1. Nach (3) lautet die Randbedingung für $<> = % n hier

einfach P0(|n) = 0. Der Grad /? = -£ + VH2 + 2çi>s(l+cr).P2/P,von Po ist stets reell und 2^1. Daher ist nach (63 a) cos (| n ß) = 0,

d. h. für den Grad ß der Kugelfunktion P0 gilt

— 50 —

ß = 2m+l, (69)

worin m eine ganze, positive Zahl > 1 bedeutet. Durch m = 0

werden wohl die Randbedingungen erfüllt, es würde aber p = 0.

Daher ist diese Wurzel der Frequenzengleichung bedeutungslos.Die Schwingungszahlen bestimmen sich durch die Gleichung

(2»i + 1)(2 m + 2) — 2 = 2qp2(1 + o)- R2IE.

Sie sind von der Schalendicke 2h unabhängig. Für die tiefsten

Töne erhalte ich

px = 3,158

p2 = 5,291

Ps = 7,348

Pi = 9,380

Pt =11,401

V^/[2c(r+a)].l/B

oder für die akustischen Intervalle

P* ' Pi = 1,673 Pi'Pi = 2,966

Pa : Pl = 2,323 p5:Pi = 3,605 &)

§ 2. Ich untersuche jetzt noch die Veränderung der Ton¬

höhe, wenn der Öffnungswinkel 9-0 nicht mehr genau hn mißt,sondern wenn 9"0 = \ n -f- \p.

Ich fasse P0 (9"o) als Funktion der beiden Variablen ß und y

auf, und schreibe P0 (9"0) = T (ß, tp). Dann lautet die Frequenzen¬

gleichung (3)

-tgtl>-dTldil> + lß-(ß + l).T(ß,xl') = F(ß,i») = 0.

Durch diese Gleichung sind implizite Funktionen ßm (y) definiert,deren Werte für tp = 0 bekannt sind. ßm(0) = 2m-{-1. Hier in¬

teressiert mich der Verlauf dieser Funktionen in der Nähe von

tp— 0. Ich werde den Differentifalquotienten d ß/d ip an der Stelle

ip — 0 ausrechnen. Zu dem Zwecke bilde ich das totale Differential

dF an der Stelle (ß, y) = 2 m +1,0).

0 = dF = {— dTldty + (2m + l)(m + 1) dTldif>}d\l> ++ {(2 m + !+*)• T(2mj + 1,0) + (2m + 1)(»h +1 -dT\dß}dß,

6) In Übereinstimmung mit Love, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 179A

1888. (On the small, free vibrations of a thin elastical shell.)

— 51 —

wobei die partiellen Differentialquotienten an der Stelle (2 m +1,0)

zu nehmen sind. Nach den Entwicklungen auf S. 48s) werden

T(2m + 1,0) = 0

r(m + j) • r(i)(dTjdip)2m+U0 =—(2m + l)(-iy

(dTldß)am+U0 =-(-!)

n • r(m + 1)

r(m + i) • r(i)

2T(m + l+i)

Setze ich diese Werte in der Gleichung (dF)2m+u0=0 ein, so

finde ich

äß__

± m(m + 1 + J) • r(«t + &) r(ffl + 1 + è) ,-nv

di/' TT (m+1) [F(w + 1)]2l '

Wenn ?« groß ist, ist d ßjd y ~ — 4 m/ji.

Durch Differentiation von (1) finde ich

4Qp(l + o)-B2IE-dp = dß-(4m + B).

Wenn p,„ die Frequenz des (m-l)-ten Obertones der Halbkugel¬

schale bedeutet, wird die Frequenzerhöhung dpm bei einer Ver¬

größerung des Öffnungswinkels um dip

,__

i w(m + l^)(w+j)-r(»n-i).r(m+l+^) EPm~

n (m+1) [f> + l)]2'

Q-pm-(l+o)- B2^

und für hohe Frequenzen

4«î2 .E,

Durch Vergrößerung des Winkels wird die Tonhöhe erniedrigt. Weil

pjm = 0(1) ist, wächst für hohe Frequenzen — dpm ungefähr

proportional mit m. Die Frequenzerniedrigung ist also bei ge¬

gebenem d ip für hohe Obertöne größer als für tiefere.

c) Schwingungen in der Meridianebene.

§ 1. Die Randbedingungen lauten für diese Schwingungen

nach (22*)

6; Vergl. hiezu auch S. 53.

- 52 —

0 = Bj.t*^ PiQn) + B2 *2*x2 P^n) + • • • •

0 = JB1<(x1+l-ff)P;(J.r)+.... (71)

Dies liefert fdie Frequenzengleichung

p,-p2- p3 {Cl Pi/Pi+c2 p;/p2 + c3 P3jPs} = P1.P2-P3.A = 0

mit

Ci = Ti* (vti +1 - a) [(x2 +1 + ff) ^3* z3 —- (x3 +1 + a) < x2 J .

c2 und c3 ergeben sich daraus durch zyklische Vertauschungder Indices 1,2, 3.

§ 2. Ich betrachte zuerst die einfachere Frequenzengleichung-für die höhern Obertöne. Im Intervall 1 < q < d werden

2+ 3(7-1-CT*/, , x / sCl ^ 'i-j-2ff + ffT (! + a) »i ("s

—

*s)

1 + g

* ~

]+2a+7* *" *'

1 + a

c3 ~ -

T+2T+^ Xl *» Xs °° ~~ C2 •

Weil in diesem Bereiche für q v*i \ -^ x2 , j x31, ist | cx j < J c2 j.Daraus folgt, daß eine Serie der Nullstellen von à sich in der

Nähe der Unendlichstellen von Pi'/Pi befinde, die andere in der

Nähe der Nullstellen von (P27P, — P,'/Pj). Nach (67) folgt dar¬

aus für die erste Serie

ai^-1,3,5, •••

Die zweite wird gefunden durch

— <X2 tg(j7C«2) — V x3 ~ 0.

Weil aber ^ ^ — x2 ^ «22, wird daraus tg (| ?r a2) ~ — 1, d. h..

a2^3/2, 7/2, 11/2, ••••

oder allgemein

a21^> (4 m — l)/2 .

— 53 —

Die untersten Glieder dieser Serie sind bedeutungslos, da die

asymptotischen Formeln für kleine a keine Gültigkeit mehr

haben.

Ich will jetzt das Verhältnis ur ; % für die zu diesen beiden

Serien gehörenden Schwingungen untersuchen. Hiezu verwende

ich die Näherungsformel

P (») ^ 1/ 2_^^ cos [(« _j_ j) $ _ 1n~\ (72a)

wenn a 9- < 1,9- < n. r)

Um einen ähnlichen Ausdruck für d P/d 9- zu erhalten, schreibe

ich x =- cos 9- und P (9") = ï1 (a, a?). Dann wird

T(«, x) = - f [> + ix* — f cos <D]« d CD 8)

a/a*(r(«,aO) = — fl* + j^^T. cos©!""1 Ji +4^=^U®

=

77 l> + V^^Tcos CD]«-1 [A{x) + B(x)-(x + V^Tcos CD)] tf CD

0

£ 1worin B(x) — ——— und A ix) — 5—r

X1 — 1 X1 —1

zu nehmen sind.

a

x*^-\3 T/3x' = —i r [.— T(a—l,x)+xT(a,x)]

dld$(T(a, cos#)) = -a cosec# [T(a-1, cos#) -cos#- T(«, cos,*)] (73)

Aus dieser exakten Formel folgt bis auf Glieder von der

Ordnung 1/a genau

F{d)^ — aY ^-—r-sin [(« + £)# — \n~\ (72b)

') E. Heine, Handbuch für Kugelfunktionen I, Berlin 1878, S. 178.

8) Whittaker and Watson, Modern Analysis, Cambridge 1920, S. 306 ft.

— 54 —

Ist « = —J + ig mit reellem g, so werden

P{») c^> -^=L==_ (72a*)y 2 7tg • sin#

P'($) ~|/^_£_ es» (72 b*)v ' "

2 TT • sin #

Wenn die Näherungsausdrücke für P (91) direkt deriviert undGlieder von der Ordnung 1/a gegenüber 1 vernachlässigt werden,entstehen, wie zu vermuten war, dieselben Ausdrücke für P' (9-).Wenn in (72) und (72*) 9" = f ti gesetzt wird, verifizieren sichdie Formeln (67) und (68).

§ 3. Ich berechne nun die Koeffizienten Bt für die beidenFrequenzenserien. Bei der ersten Serie (at ~ ungerade, positiveZahl) wird P (f n) sehr klein. | -Bx | ist nach (72) mindestensvon gleich hoher Ordnung wie | B2 | und \ B3 \ .

Weil aber

T3 und t. kleine Größen von der Ordnung l/a22 sind, überwiegtin ua die -Bi-Schwingung.

«r~5i 1/,7 COS[(a! + h)&— i/f] +

7i • a1 • sin #

+ Ba \I 2 eff'

•—r coslïa, + è) # — i n~\ + B, _,- :=

7T-a2-sinÄlv 2 i 2/ 4 j -r

sy27r^-siny»-

uâ^-B1 xxy^\ si" [(«i + *)*-*«]r yrsm^-

Somit ist | Mr 1 < I uû \ .

Bei dieser Schwingung sind nach den Formeln CI) und (II)die Krümmungsänderungen klein gegenüber den Dehnungen. Die

Schwingungen, bei denen o^ ~ ungerade, positive Zahl, nenne ich

Dehnungsschwingungen.Ich betrachte jetzt noch die Schwingungen, die zur Serie

«2 ^ I (4 m — 1) gehören. Für diese Serie wird nach (71)|jBxI < L2?2[. I-Bgi, denn, wenn ich zum Zwecke der Elimination von

B3 die erste und die zweite Gleichung von (71) je mit P3'(%n)multipliziere und sie dann von der dritten subtrahiere', erhalteich -Bil < |_B2 , weil jetzt PJ/Pz^P's/Ps ist. Auf analoge Weise

ergibt sich ^ < \BS .

— 55 —

Weil t2> To von der Ordnung l/a22 sind, ist \ur\ > \ua\, und die

Dehnungen dieser Schwingung sind klein gegenüber den Krüm¬

mungsänderungen. Daher nenne ich diese Schwingung Bie¬

gungsschwingung.

§ 4. Nach diesem Exkurs ins Gebiet der hochfrequenten

Schwingungen wende ich mich der Berechnung der Frequenzea

der Grundtöne zu. Bei diesen sind die Beziehungen etwas kom¬

plizierter, und die numerische Berechnung kann nur erfolgen,

wenn für die Materialkonstante o und die Konfigurationskonstante

d bestimmte Werte angenommen werden. Es sei a = \. Ich

betrachte zuerst eine verhältnismäßig dicke Schale mit d* =

=-S B>/h* =1000.

Dann erhalte ich für die niedrigste Frequenz der Dehnungs¬

schwingungen q2 = gp2(l — a2) • R2/E = 4,004, d. h.

p = 2,121 \JE\q \jB

/-! = -1,9996 /.2 = -58,97 x3 = +52,97

«! =+0,9998 a2 = + 7,20 a3=-A + 7,26i

t1 = -0,491 t2 = + 0,025 ts = -0,022

2?! Fl (J n) : B2 P2 (J «) : B% P, (J ?r) = 0,003344 : 0,945 : 1,000

BiiBt-.B, = 438 : 3,48 : 0,0000753 .

Man sieht, daß B2 f., (| n) und i>5 Pa (| n) von derselben Größen¬

ordnung sind, und daß hier | B^ | ziemlich größer ist als

i i>2 I .Diese Schwingung kann deshalb als Dehnungsschwingung

bezeichnet werden, obschon hier die Krümmungsänderungen nicht

mehr vernachlässigt werden können.

Für die niedrigste Frequenz der Biegungsschwingun¬

gen erhielt ich p = 0,979 fËJg • \\B

*! = +3,88 + 12,18 i -tg =-13,62 xs =+3,88 -12,81 i

0l =+1,63-2,91* «2 = +3,228 «3 = +l,63 +2,91 i

%x = -0,0406 + 0,0915« t2 =+ 0,111.

c3 = -0,0406- 0,0915 i

BJFl{i7T):B2PSi(^7i) : P>3P3(J?r) = (1-0,0957 Ï) : 0,58 : (1+0,0957 i);

für die zweitniedrigste: p = 1,477 fË]q- IjR

— 56 —

xt = +1,8 x2 = -36,20 z3 = +28,4

a! = -J + l,25i a2 = + 5,537 a3 = -£-l,25i

r2 = -0,31 t,-= + 0,042 r3 = -0,042

A^iM : S,P,(^n) : B3P3(%n) = 0,004 : 0,853 : 1,000

Bei diesen beiden Schwingungen überwiegt mindestens im

Innern die -B2-Schwingung. Die Dehnungen treten gegenüberden Krümmungsänderungen stark in den Hintergrund.

§ 5. Nun betrachte ich noch sehr dünne Schalen, bei denen

d sehr groß wird. Für q- < q02 1 — a2 wird A rein imaginär.Bedeuten in (16) x = x2 und / =- xu so zeigt sich, daß der ima¬

ginäre Bestandteil $(*i) sehr groß wird, sofern q nicht nahezu

=<Zuist. | ai ! ist sehr groß und argai^f^. Weil |xil,|*s| ^ !*2>sind |ci| • |«j| und ,csi • |«3| > |c2j • |o2|. Weil | «i > 1, läßt sich

für P'JPi die asymptotische Formel (67) anwenden. Ich schreibe

§na1 = a-\-bi. Dann wird

tg a -4- i th 6 tg a -f- i. , 7 ,

tg(*7ra,)= r~ —T an.

~ ,—--.--^— = », sofern 6 *» 1.6 V2 1/ i

— itga-tno 1 — i-tga

Somit werden P\/Pi ^ — axi, P)'IP3 ~ + aj. i

Die Frequenzengleichungen liefern a2 ~ 3, 5, 7,... Diese Über¬

legungen gelten nicht mehr, wenn q < g0 sich in unmittelbarer

Nähe von qQ befindet. Für q ?» </0 habe ich am Anfang diesesi

Abschnittes gefunden as~|(4m — 1). Dies sind alles Biegungs¬

schwingungen, bei denen \ur\ ?> \u#\.

Die Dehnungsschwingungen haben nur Frequenzen oberhalb

qo. Sie sind bestimmt durch at ~ 1, 3, 5,..., welches auch die

Dicke der Schale sei. Für die Dehnungsschwingungen spielt d

eine viel weniger wichtige Rolle als für die Biegungsschwingungen.

Bei einer unendlich dünnen Schale sind sämtliche Biegungs¬

frequenzen p unterhalb )/E[q • 1/-B. Von den Randbedingungensind 6ri = 0 und N± = 0 trivial, da die darin .auftretenden Funk¬

tionen von 9- den Faktor l/d2 tragen. Für die Biegungsschwingun¬

gen unendlich dünner Halbkugelschalen wird

«2 = 3, 5, 7, • • • •

— 57 —

oder pl = 0,863 ]

Pi = 0,937

p, = 0,971 iEJQ . IIB

|)oo= 1.000

und für die Dehnungsschwingungen analog

«! = 1, 3, 5,

oder

Pi = 2,13 1

jPi = 3,86

i53 = 5,92iE\q.\\R

Auch hier sind die Biegungsschwingungen nicht streng dehnungs¬

los, und die Dehnungsschwingungen weisen Krümmungsänderun¬

gen auf. Diese Nebenbestandteile sind besonders für die untern

Tone jeder Serie nicht zu vernachlässigen.

d) Knotenkreise, Schwingungen des Randgebietes

der Schale.

§ 1, Ich betrachte wieder zuerst die Tang entia 1 Schwin¬

gungen, bei denen ur und ud identisch verschwinden. Diese be¬

sitzen eigentliche Knotenkreise, d. h. Parallelkreise,

für welche uv verschwindet.

u* = CPi(d)>

liefert

C l/2(2w +» n sin b

1). sin [(2 w + 3/2)* — \n\ = 0

(2 m +- 3/2) *-|?rs0 mod n.

Da nur diejenigen Lösungen einen Sinn haben, für welche 9" < \ n

ist, erhalte ich m +1 Lösungen. Den niedrigsten Lösungen

brauchen keine Knotenkreise zu entsprechen, da die asymptoti¬

schen Formeln ihre Gültigkeit verlieren, wenn \f ß sehr klein

ist. Ich habe gezeigt, daß dann P' (%•) durch Jx OS 9-) gut approxi¬

miert wird, und somit die niedrigste Nullstelle von u sich bei

— 58 —

9 = 0, also im Pole der Schale, befindet, und nicht bei

2(4m + 3)'

Wenn ich diesen auf einen Punkt reduzierten Knotenkreis nicht

mitrechne, besitzt die zu ß = 2 m -f 1 gehörige Schwingung m

Knotenkreise. Beim Erklingen des Grundtones entsteht 1 Kreis.

Oberhalb und unterhalb desselben hat uv entgegengesetztes Vor¬

zeichen. Über die Schwingung der Kugelzone in unmittelbarer

Nähe des Randes ist höchstens zu sagen, daß | u,f \ am Rande

ein Maximum hat.

§ 2. Ich wende mich nun den Schwingungen in der

Meridianebene zu. Bei diesen gibt es im allgemeinen keine

eigentlichen Knotenkreise, denn, wenn z. B. bei den Dehnungs¬

schwingungen u« für 9" = 9"! verschwindet und somit P' (9"i) = 0

ist, kann P (9"i) nicht auch = 0 sein, und wenn nicht zufällig51P1(9-1) + 52P2(9-1) + ^3P3(9-1) verschwindet, ist ur 4= 0.

Da bei den Dehnungsschwingungen im allgemeinenI«»1 > |«r| ist, werde ich die Kreise, für welche T\' (9) verschwin¬

det, als Quasiknotenkreise bezeichnen. Wenn «i = 2m + 1

{m =- 0,1, 2,..), erhalte ich wie oben m Quasiknotenkreise. Bei

der niedrigsten Dehnungsschwingung (at ^ 1) existiert demnach

kein Quasiknotenkreis, bei der zweitniedrigsten einer, etc.

Um die Quasiknotenkreise einer Biegungsschwingungzu untersuchen, längs denen ur verschwindet, muß ich eine all¬

gemeine Bemerkung über Kugelfunktionen von komplexem Grade

a vorausschicken. Es sei a = a -j- b i eine komplexe Zahl. Nach

(72 a) enthält der Hauptbestandteil von P (9-) den Faktor eM,d. h.: sobald1 a komplex ist, klingt P (9-) vom Rande nach innen

exponentiell ab, und zwar um so rascher, ]e größer der Imaginär¬teil von a ist.

«3 ist immer komplex. a1 ist nur komplex, wenn xi komplexoder reell und größer als \ ist, d. h. bei d2 = 1000 und a -= \für q < ca. 1,6. Bei den tiefsten Biegungsschwingungen klingeasomit die Bt- und die -B3-Schwingung nach innen ab, und es

bleibt im Innern der Schale als wesentlicher Bestandteil nur die

Po-Schwingung übrig. Ist die Schale unendlich dünn, dann gilt

— 59 —

das für alle Biegungsschwingungen. Bei d2 = 1000 ist dagegen

a1 nur für die tiefsten 2 Schwingungen komplex. Für alle

höhern klingt die -B^Schwingung nicht ab. Nun ist aber für

diese i^ < _Z?2I, und daher ist die i?i-Schwingung für ur

unbedeutend. Dagegen sind B2l>2{h71) und BiF-,(ln) von der

gleichen Größenordnung. Am Rande der Schale tritt somit zur

I>3-Schwingung noch eine Schwingung von gleicher Größenord¬

nung hinzu, die die Erfüllung der Randbedingungen ermöglicht,

die aber nach innen exponentiell abklingt. (Edge-effect.)

Ein Anâlogon hiezu gibt es bei den Dehnungsschwingungen nicht.

Für die Quasiknotenkreise erhalte ich aus P2 (9") = 0

(a2 + i) ^ — i n = 2n m°d 1t

und z. B. für eine unendlich dünne Schale

Ich habe schon bemerkt, daß P2 (ln) sehr klein wird. Diese

Lösung entspricht aber nicht einem Knotenkreise, denn am Rande

ist -Bi-P3 (9-) groß. In der Formel für %k ist also nur fc = 0,1, •••,

m —1 zu setzen. Die niedrigste rotationssymmetrische Schwingung

einer unendlich dünnen Halbkugelschale hat somit im Innern

nur einen Knotenkreis.

III. Kugelschalen von beliebigem Öffnungswinkel.

Für genaue Berechnungen genügen die von Heine an¬

gegebenen Annäherungsausdrücke für Kugelfunktionen nicht mehr.

Ich erwähne deshalb noch eine Reihenentwicklung Hobson's').

PW = T(a,eo8*) = ^^.^^.{co»[(a+ i)*-«/4] +

l2-cos[(a+3/2)#-37g/4] P-32-cos[(« + 5/2)ff-57r/4] ] .

2(2«+3).2sin# +2-4(2«+3)(2a+5)-22-sin2# 'i( '

Wenn ich hierin Glieder in 1/a gegenüber 1 vernachlässige,

erhalte ich die Formeln (72).

9) Phil. Trans. Koy. Soc. London 187 A, 1897.

— 60 —

a) Tangentialschwingungen.

Die Frequenzengleichung (3) nimmt bei Verwendung der

asymptotischen Formeln (72) die Gestalt an

-/»tg[(/»+è)So-i*]-cotgS0 + i/?(/î + l) = 0

tg [(/? + ft&o - i *] = W + 1) • tg^o •

Wenn O'o + O, .t ist, folgt daraus

Diese Formel stimmt umso genauer, je größer k tg 9"0 ist;

b)SchwingungeninderMeridianebene.

Die möglichen Frequenzen sind die Nullstellen der Deter-*

minante A des Systems (22). A = At + A2 + A3, worin der Minor

A = {T1[P;-cotg*-(l-ff)-P1y.1]-P1(l+(;)}{[P1*cotg^.(l-o)-P9x1]Pi(x8+l-a)-- [P3 • cotg& • (1 - (J) - P3 Xs] Ps (x2 +1 - ff)} T2* iz* mit # = #0 •

^2 und J-3 ergeben sich daraus durch zyklische Vertauschungder Indices.

§ 1.. Die Schale sei zunächst nicht unendlich dünn, und es

sei q > q0. Dann sind | t2 I und | t3 j sehr klein, während tx

endlich bleibt. A2 und As können daher in A gegenüber Atvernachlässigt werden. Ich erhalte:

Entweder

T1[P1'cotg*0-(l-<T)-|-P1-c1(a1+l)]-P1(l + ff) = 0 (75a)

oder

[P; cotg^0 • (1 - ff) - P2 x,] P3(x3 +1 _ ff) _ [Pi cotg^o • ( 1 - ff) -

-P3x3]P2'(x2 + l-ff) = 0 (75 b)

Die Lösungen von (75 a) entsprechen den radialen Dehnungs-schwingungen, die Lösungen von (756) den Normalschwingungeneiner ebenen, kreisrunden Platte.

Aus (75 a) folgt

^i{-«itg[(«i+e)^o-i^]-cotg^0-(l-ff) + «i(«i+l)}-(l + ff) = 0

— 61 —

und daraus

tg K«i + *) #o - \A ~ Y^tg^o(«j^r^Tr/^o-d + m)-! (,» = 0,1,.-.) (76>

Wie bei der Halbkugelschale läßt sich zeigen, daß bei dieser

Schwingung \ufl\ ***• ur | ist. Es handelt sich also um eine Deh¬

nungsschwingung. Setze ich 9"0 = ] n, so folgt wie dort

C«! f>o 2 «j -)- 1.

Aus (75 6) erhalte ich die Biegungsschwingungen. Da

%i/x2 ^ — 1 ist, ist x3 ^ a»2. Auf die gleiche Art wie vorhin

folgt

a2^7cl&0-m — % (m— 1, 2, 3, ••) (77)

Wenn m klein ist, verliert die Formel ihre Gültigkeit. Setze

ich in (77) 9-0 = \ n, so verifiziert sich die Formel

a2 <^o — J + 2 W

§2. Für 2<g0 sind/.i,-^!,^ konjugiert komplex zu /.3,.43,r3.A = 2Qi(J.1) -f-^42. c\\ ist auch klein, und die eben angewandte

Schlußweise fällt dahin.

Ich betrachte darum jetzt noch die Biegungsschwingungen

sehr dünner Schalen, für welche q •< q0. Nach (13) wird

— (1 + ff) — Tt*t r-o — (l + a)(l-a + q2)- 1/x,, sofern /^| > 1 ist.

Bezüglich 1 «! j sind Ax von der Ordnung 2, J.2 von der Ord¬

nung 5, bezüglich | «2 | sind Ax von der Ordnung 3, A3 von

der Ordnung —1,. Da aber «2 ^ aj, außer wenn q sehr nahe

bei qa ist, ist A2 der Hauptbestandteil von A. Somit lautet die

Frequenzengleichung

0 = r2 [P2' cotg d0 • (I - a) - P2 x2] - P2 (1 + a)

Ooo-(l-cr)a2.sin[(a2+J)^0-4;7r].cotg5-o+(l-ff+9'3)-cos[(a2+J)^o"i7rl

Wenn a.. cotg 9"0 > 1, d. h. wenn a3 > 1 und 9"0 nicht nahezu | jt

mißt, erhalte ich

tg [(««+*) #o-i"] -°

a2 oo 7r/^0 • (i + ä) — \ (h ganz, positiv)

— 62 —

Ist dagegen 9-0 = I n, also ootg 9"0 = 0, so wird

«2 = */#„(? + *)-* = l + 2ft, (* = 1,2, ••)

wie ich früher schon gefunden habe. Dieser Umstand legt

eine Untersuchung der Funktion a2 (\r0) in der Umgebung von

9-,, = \ n nahe. Auf Grund der Gleichung

0 = F(a,d) = -a-sin[(ß+i)^-i7r]-cotg^+[l+32/(l-o-)]-cos[(a+J)^-47r]

bestimme ich d a/dQ* für 9" = \ n.

((dF) = 0 = (1+2*) • sin(i/r+*7c) • d*+[l+g8/(l-a)] [-(3/2+2*) • sin^yr+fcr) • rf*-

0 = 1,1 - j7r-sin(j7T + *7r) a«J

_

(l-ff)/2 + (3/2 + 2*)g»rfß2 ~

7r(l-ff+^7/2**° • ' (?8)

Hierin wird q durch (17) bestimmt, wenn x — — (1 + 2 *) (2 + 2 *)ist.

Daraue ist ersichtlich, daß in der Umgebung von 9"o = J ji

dai/d^o größer ist als es sonst der Fall ist, denn wenn man

die für 9"0 4= \n gültige Formel auch für &0 = \ n anwendete,2

ergäbe sich da2/d$-0 — — — (3/2 + 2*), also ein absolut genom¬

men größerer Wert. Wenn somit

ß2 (#o) ^° 7Cl&o • (i + &) — h. für #0 <C \ n ist, so wird

a2(^7r)rxj (1 + 2*) und.

o,(*o)~W*o'(i + *+l)-è für^0>i/r.

Diese axymptotischen Formeln stimmen um so besser, je

dünner die Schale ist. Für Schalen von endlicher Dicke ver¬

lieren sie ihre Gültigkeit, sobald das zugehörige q sehr nahe

bei qa liegt oder gar größer als qu ist.

Die Resultate und deren Beweise betreffend das Auftreten

der Knotenkreise und das Abklingen der By und besonders der

i^-Schwingung bei den Biegungsschwingungen, die ich für die

Halbkugelschale abgeleitet habe, lassen sich ohne weiteres auch

auf Kugelschalen von beliebigem Öffnungswinkel übertragen.

D. Bestimmung der Frequenzenserienbei nichtrotationssymmetrischen Schwingungen.

Koppelung von Dehnungs- und Biegungs¬schwingungen.

I. Darstellungen der Funktion Pn(iï) = Tn(a,cos&).

§ 1. Zuerst werde ich die Darstellung von Pn{§) durch eine

hypergeometrische Reihe besprechen. Bedeutet wieder x = cos 9-,

so bestimme ich Tn(a,x) durch die Gleichung (46). Durch

«-malige Derivation der hypergeometrischen Reihe finde ich

vuTn _ Ji .*+"(*+!) !-*

,rx+n(n+l)]Q+(n+l)(w+2)] ß~A\

r\ax _c|i+ 1(w+1)•

2+

i.2.(»+l)(n+2) l 2 /+"

Der Ausdruck in der Klammer, der bis auf eine multipli-

kative Konstante die ra-te Ableitung von P bedeutet, kann noch

vereinfacht werden. Aus

(1 -x2) d2P\dx> -2x- dPjdx -xP = 0

folgt durch die n-malige Derivation nach x

{\.-x2)-d2\dx2{dnP\dxn) -2x(n+l) d\dx{dnP\dx") - |>+m(m+1)] dnPjdr» = 0.

Es sei dn P/dxn = y. Dann wird

(1 - x2) d2 yjdx2 — 2x(n + l)-dyjdx — [x + w(w + l)]-«/ = 0.

Durch die Substitution z = %(l — x) geht diese Differential¬

gleichung in die Gauß'sche über. Ihr für z = 0 reguläres Integral

lautet y = F (a, b, c, z), wo

a -= » + * + Vi-- /.

b == » + * -Vi-- 7.

c -- n+ 1

— 64 —

Damit ist auch dn P/d xn durch eine hypergeometrische

Reih© dargestellt. Diese läßt sich aber noch vereinfachen. Es

seien

y y = x = cos &, d. h. y = cos2 #

a —la* «*= Jw + i +JVÏ^Ot. b = 2b* &* = Jw + i — J Vi— «

c = c*

Weil e* = a* + &* + § ist, wird nach (63)

dnPjdxn — c-F[^(n + ^ + iJ^),^(n + ^iJ^.),n + l,sm2d]

P»(^) = C.sin^{l + ^^t^.sin^ +

[x+n(w + l)][x + (n + 2)(n + 3) )+

2*.l-2.(n + l)(n + 2)"sm ^ + }• l'y>

§ 2. Ich erwähne noch eine Integraldarstellung von Tn (a, x).

Für 0-<|jr gilt1)

T*(a,x) = (g+1)--;(g + w). [(x+cosO)V^^T)a-cosWa)-da). (80)

II. Flache Schalen.

a) Korrekturen, die an den Besselfunktionen

anzubringen sind, damit sie bis auf Größen von der Ordnuag

s2/-R2 mit den Kugelfunktionen übereinstimmen.

Um den Anschluß an die Besselfunktionen zu erlangen,

wähle ich in der Formel (79)

2n n\

Dann wird

pn(n _VF^F-sin"*•*«&*, C.sin'a) (81)

') Siehe Whittaker and Wa t s o n, Modern Analysis Cambridge 1920,S. 306 ff.

— 65 —

Ich setze sin 9- = s/R (1 '—1/6 • s2/-B2), n2 = — x/R\ t = R • sin 9

und erhalte so

P»/'M= M" fl /*'-"(" + !)/*%,,^-«(«+lpl[f8-(n+2)(n+3)|ff]

^ ' 2*.»!l 28-l.(n + l) 2*.l-2-(n + l)(n + 2)

P»(,V) = Jn (,u 0 4- s2jR* Rn {ft t) (82)

wo

-PIA-*" ! w<w + 1) *»(*»+!) +(w+2)(n + 3) 1

äbW_ 2».n!l2s|.l-(n + l) 2^1-2-(w+l)(n+2)x +'"l

P»(i>) = JB(x) + s*jR*{Rn(x) — \x- dJnjdx} (83)

mit x = /xs = (j,Rd-, Die Konvergenz der Reihe Rn für jedes

endliche x ist durch das Quotientenkriterium sichergestellt.

Die Ableitung beider Seiten von (82) nach 9- ergibt nach

einigen Umformungen

dPnjdd- = [i-R{dJnldx+s*lR2 [dR^dx^2\x-Rn{x)-lß-dJn\dx +

+ xj6-(l-n^)-Jn(x)-]}. (84)

Da aber die rechte Seite von (82) nur die ersten 2 Glieder

einer nach Potenzen von s/R geordneten Reihe daxstellt, von

der ich die höheren Glieder nicht untersucht habe, ist es nicht

sicher, ob durch Ableitung des Näherungsausdruckes ein Nähe-

rungsausdruck für die Ableitung entstehe. Ich werde deshalb

den exakten Ausdruck für Pn derivieren und zeigen, daß die

Vernachlässigung höherer Glieder auf (84) führt.

dRn\dd- = ^J~^\n-smn-1»-F(a*,b*,c*,s\a2d-) + smnd--,.^Jitm»

' 2n-nl l a(sm#)J

Wegen

dldelF(a,b,c,e)] = —F(a + 1, 6 + 1, e + 1,*) (85)c

ist

dl n\dS = ^ **"w-sin»-1^-F(a*, V, c*, sin2,*) +

+ lt9+*("tv1)J'(a* + l,y+l,c* + l,8in^)& * [n+1 )

cos#.

— 66 —

Durch Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung in s/R

erhalte ich hieraus nach einigen Umformungen die Formel (84).

b) Berechnung der Frequenzen.

§ 1. Duch Einsetzen der Ausdrücke (83) und (84) in den

Randbedingungen (61) ergeben sich bis auf Größen von der

Ordnung a2/R2 genau die hier angedeuteten Gleichungen

o = BMbi Jn(yù+btSKi-o) -n*)jn(yiy\+a2\R2 [yii-pndji)+Rniyi)+2 • Rn(yd -

—-Jn(yi) ~]-C-n§w-Jn{w)-Jn{w)~\ + a'i\Ri{rlw-Jn{w)+ • •]}

0 = Bcn- Ti{[yi Jn(yi)-Myd'J+ailR2\.- •]}-£{[> • Jn{w)HW^)Jn{tv)W\R2 [• ]}

0 = BtfoiJnkfi) + {ym-o) - n*)Jn(yi)] + a*/B* [• • •]}

0 = Bi{[(- xt ym- ff) - n2) • yt Jn (y.) + n2 • Jn (y,)] + a8/-ß* [••]} +

+ C-n&w* Jn(w) + a2lR2 [••]} (86)

Hierin bedeuten yi = [iia,w = va. Es ist überall den Index *

zu summieren. Bei gleicher Bezeichnungsweise wie bei den

rotationssymmetrischen Schwingungen wird

u = faa = y-Xi ajR = u* -4- ou -f- Au

fj = ,m2 a = y—Jtg a/-ß = -f* —(— <5 ^2 —(— zl t;

v3 = jU3 a = y-xs a/22 = i«*-|- dv3 -i-iAv

w = va = V -À a/jß = m;* + d w -|- zf m>

Die Frequenzengleichung lautet A = 0, worin für /d die

Determinante des Gleichungssystems (86) zu setzen ist. Ich

deute deren Aufbau nochmals kurz an: (siehe folgende Seite)

§ 2, Sofern Größen von der Ordnung a2/R2 gegenüber 1

vernachlässigt werden, reduziert sich A auf .das Produkt

Ti I (u, w) II (v2, v3), mit

1 (u,w) = -{u-Jn(u) + [u*l(l-o)-n2]-Jn(uj}{w-Jn(w) + [%W2-n*~] Jn(w)}-\-

-\-n2{u-Jn{u)- Jn(u)}{w Jn(w) - Jn(w)}

II (t2,«s) = {^•^(^)+K/(l-ff)-w2]Jrn(^)}{-[^/(l-ff)-w2]v3-t/;(t;3)+«2-./n(^)j

+

**» I—I

+

i—» ^s(71 Kfc

Bs

» to

s +

f—I

g

T PS

^

55_e

+

S*

,8 » 5

Ph«

I ^ß?

to

I

s«

,», 1 I

§ + 5*

g e

+ +

i ^

^r

I I

I

I

'S"

P£

3^S"

+

5

g

?1a

+

'S"

5

>,*

(S

I

+

^

— 68 —

Bei diesem Grade der Annäherung ist va = iv2 = i v*. Durchdas Verschwinden von I (u, w) sind die Dehnungsschwingungenebener, kreisrunder Platten gekennzeichnet, durch das Verschwin¬den von II {v*, iv*) die Biegungsschwingungen. Für n =j= 0 tretensomit schon bei ebenen Platten die Bx- und die C-Schwingungnur gekoppelt auf, ebenso die B2- und die -E>3-Schwingung;dagegen bleiben auch für n 4=0 die Biegungsschwingungen unddie Dehnungsschwingungen getrennt, wenn die Platte eben ist.Die Veränderung Ap, die die Frequenz erleidet, wenn ich von

der ebenen Platte vom Radius a zur gewölbten Schale vom'

halben Öffnungswinkel 9-0 = a/JB übergehe, ist also von höherer

Ordnung klein als a/R. Die Schwingung ist bei dieser Annähe¬

rung keine rein tangentiale resp. normale mehr, denn bei der

-Bi-Schwingung sind

\ur\ : |w„| : \uv\ = 01(o/jB):02(1):0s(1),bei der C-Schwingung

\ur\ : |w,,| : \uv\ = (^(a/iî) :02(1):0S(1),

bei der B2- und der -B3-Schwingung

\ur\ : | wtf | : \Ufpl = Oj (1) : 02 (ajR) : 03 (ajR).

Wenn die Gruppe der Bx- und C-Schwingungen gegen¬über der Gruppe der B2- und -B3-Schwingungen in den Vor¬dergrund tritt, spreche ich von Dehnungsschwingun¬gen, im umgekehrten Falle von Biegungsschwingungen,wenngleich diese nicht streng dehnungslos sind. Bei den Deh¬

nungsschwingungen sind die Krümmungsänderungen xu x2, % kleinvon der Ordnung a/R gegenüber den Dehnungen el5 e2, ca; bei den

Biegungsschwingungen ist das Verhältnis reziprok.

§ 3. Nun schließe ich auch Größen von der Ordnung*a2/R2 in den Kreis der Betrachtungen ein und will zunächstdie Frequenzerhöhung Ap berechnen, die die Schale vom halbenÖffnungswinkel a/R gegenüber der ebenen Platte vom Radiusa aufweist. Wie früher bedeutet p* die Frequenz derebenen Platte. Ich denke mir die Determinante A nachden Unterdeterminanten der beiden ersten Zeilen entwickelt.

— 69 —

A = ^12-f A13 + Au-{-A23-\- J-24 + ASi, wo Alk das Produkt aus

der Unterdeterminante der i-ten und der ft-ten Kolonne mit dem

zugehörigen algebraischen Komplement bedeutet.

= l(ut,wt)-lI(u\ivt) + {dldu(l)-(ôu + Au) + djdw(l)-(ôw + Aw)}ll(v\iv*)

-hl(u*,w*){dldv2(ll)-(dv2 + Av) +dldv3(ll)-(dvs+iAv)} +

+ {Korrekturglieder herrührend von Au) +

+ A13 -f- AiS + Au -j- AZi.

Der Term A23 tritt nicht auf, da er klein von der Ordnung

ayR* ist.

In dieser Formel ist

A01+»

,

A w = 2 v-1— -Au.1 — a

Bedeutet p* die Frequenz einer Dehnungsschwingung der ebenen

Platte, so verschwindet I (u*, w*), bedeutet es dagegen die

Frequenz einer Biegungsschwingung, so ist II (v*, iv*) = 0. Die

numerische Berechnung von p* für Biegungsschwingungen ist

durch Kirchhoff durchgeführt worden.2) Für hohe Frequenzen

liefern die asymptotischen Formeln für Jn(u) und J„(w) bei

Vernachlässigung von 1/u resp. 1/w gegenüber 1 für die Null¬

stellen von I

cos (u — J wn — \n) cos (w — \nn — \7t) <^ 0, d. h.

entweder

u = (| + \ n) n mod n

oder

w> = (! + ^ w) ji modîï.

Bei der ersten Lösung wird \Bl\ > \C\, d. h. der Hauptbestand¬

teil der zugehörigen Schwingung ist eine -Bi-Schwingung. Bei

der zweiten Lösung ist es im Gegenteil eine C-Schwingung.

Bei niedrigen Frequenzen ist die Koppelung der beiden Schwin¬

gungen enger.

Für die niedrigste Dehnungsschwingung berechnete

ich bei o = £ und n = \ u* = 0,924 und somit w* = 2,772.

Bei /2 = 3a2/Ä2 = 1600 erhalte ich v* = Q,08.

2) Crelle's Journal, Bd. 40, Berlin 1850, S. 51 ff.

— 70 —

Ti =- 0,75- 1,758 -a^E2; v2 = +0,0370 -a2\E2; ts = -0,0353 -a2IB2

B^u) = +0,0883 E^w) = -0,078

E[ (u) = + 0,0403 El (w) = - 0,180

du =-0,602 -a2lE2 aw =+0,361 a2jE2Au = + 0,268-a2jE2 = }j q(1~o2)\É -a- Ap

p = (0,979 + 2,84 • a2\E2) iWo~- HaFür die niedrigste Biegungsschwingung ergibt sich

nach Kirchhoff bei n — \, o = i, / = 40

v* = 4,530 und daraus w* = 0,5125, w* = 1,5375

t,, =-0,75-5,70 a2IE2; %2 = 0,0660-a2/jß2; t3 = -0,0645 a2/i?2

Ät(«) = -0,19 Ä^i«) = +12,23 i

#(«) = +0,27 #;(*») = +13,78

dv2 =-3,50 a2jE2 öv$ = - 4,15-i.a2/i22J« = 2,80 a2/E2

= (0,543 + 0,673 a2\E2) i'EJQ 1/a.

c) Koppelung.

Ich berechne nun die 4 Konstanten J?!, _B2, jB3, C. Für dieniedrigste Dehnungsschwingung erhalte ich

B±:B2:BS:C = 131,5: — 2,59:0,007 24-1:32,9

ur= {131,5- Jj (0,924-*/«)-2,59-«^(6,08-s/o)++ 0,00724 • i • «7, (6,08 sja • i)} a/JS • cos q>

w* = {-91,1-J1'(0,924-s/a) + 32,9-a/s-J1 (2,77-s/a) + 0(a2/i22)} cos <p

Mç) = -{- 98,6 • ajs • «7i (0,924 • s/a) + 91,2 • «7Ï (2,7 7 • s/a) + 0 (a2JE2)} sin cp.

Die Amplituden der B2- und -B3-Schwingung sind am Randeder Schale von derselben Größenordnung. Die -B3-Schwingungnimmt nach innen nach einem exponentiellen Gesetze ab. Die

^-Komponenten dieser Schwingungen sind mit der ^-Komponenteder -Bj-Schwingung vergleichbar, wenn auch kleiner. Bei den

— 71 —

übrigen Komponenten sind die Beiträge der B2- bezw. Bs-

Schwingung klein von der Ordnung a2/B2 relativ zu den Beiträgen

der By- bezw. O-Schwingung.

Bei der tiefsten Biegungsschwingung werden

Bx : B2 : B3 : C = -U,2-a2jR2 : 436 : -8,28- i : -l,40a2/B2

ur = {436 • Jt(4,530 sja) + 8,28 i ^(4,530 • sja i) + 0 (a2/E2)} cos 9

«# = {17,0-/; (0,5125 8/o)+130-J'i(4,530-s/o)+2,46-j;'(4,530-s/a-»)-- 1,40-a|s- J^l^S-s/e^ja/E-cos^

M„ = -{[33,2.«7i(0,5125-s/o) + 28,8-J1(4,530-s/o)--0,534-î-J1(4,530-s/a-î)]-a/s-2,15-J'1'(l,538-s/a)}a/JB-sinqo.

Hier ist das Abklingen der _B3-Schwingung nach innen wichtiger

als bei den Dehnungsschwingungen, da die J33-Schwingung jetzt

am Rande viel mehr hervortritt, als es dort der Fall war. Die

-Bi- und C-Schwingungen liefern nur kleine Beiträge von der

Ordnung a2/R2 zur Radialkomponente der Schwingung. Bei den

Tangentialkomponenten sind die Beiträge der By-, B2- und der

C-Schwingung von der gleichen Ordnung klein relativ zu ur.

d) Knotenkreise und -meridiane.

Bei den Dehnungsschwingungen treten nur im rota¬

tionssymmetrischen Falle Quasiknotenkreise auf, nämlich bei den

Nullstellen von J0' (u s/a). Bei der tiefsten Schwingung entsteht

demnach gar kein Knotenkreis, beim Ertönen des fc-ten Obertones

deren k. Ist n =j= 0, dann fehlen im allgemeinen die Knotenkreise,

wenigstens für die untern Töne, da u# und uv von der gleichen

Größenordnung sind, und einer Nullstelle von % keine Nullstellle

von uv entspricht. Knotenradien (= Knotenmeridiane) treten auch

keine auf; denn damit u# verschwindet, muß ny>^\n mod^r sein,

damit uv verschwindet, n<p = 0 mod?*. Wenn längs eines Radius

der flachen Schale | uä | verschwindet, ist dort | uv | maximal

und umgekehrt.

Anders liegen die Verhältnisse bei den Biegungsschwin¬

gungen. Die Quasiknotenkreise resp. -meridiane sind die Null-

steilen von u„ denn die Amplituden von u# und uv sind klein

gegenüber denjenigen von u,. Bei n = 0 und n = 1 hat schon

— 72 —

die tiefste Biegungsschwingung einen Knotenkreis, bei n = 2,3,fehlt er bei der tiefsten. Beim Ertönen des ft-ten Obertones derSpektren n = o und n = l bestehen k +1 Quasiknotenkreise,in den übrigen Spektren dagegen deren k. Die Quasiknoten-meridiane befinden sich bei ncp = \n mod n.

e) Flache, unendlich dünne Schalen.

§ 1. Wenn die Bedingung v* > f • a/B, d. h. p > Va • ^^[q . a/B,nicht mehr erfüllt ist, ist | à vs | bezw. | ô ii | nicht mehr kleingegenüber v2* bezw. w*. Das bisherige Verfahren zur Berech¬nung der Frequenzen schwach gewölbter Schalen läßt sich nichtmehr anwenden. Dagegen bleiben die Gleichungen (86) bestehen.

Ich betrachte jetzt das Intervall q < qlt worin qx = i [H 3 a +_|_ y^i4_30)2_j_8(l -^V5)] + 0 (1/d2) der Nullstelle von xx (g) ent¬

spricht. In diesem Intervall ist u komplex. Für q <C q<> (= Null-steile der Diskriminante D* von (11)) sind u und v3 konjugiertkomplex und dem Absolutbetrage nach sehr groß. Wenn / = oo

ist, sind ihre Imaginärteile unendlich groß.

§ 2, Wie bei den rotationssymmetrischen Schwingungen sinddie Frequenzen der Dehnungsschwingungen von der Schalendickeh sozusagen unabhängig. Sie liegen alle oberhalb dieses Inter¬valles. Die zugehörigen Werte von | v2 | und I vs \ sind sehrgroß, daher sind die Koeffizienten B2 und -B3 der Glieder inv^ v0 in den Gleichungen (86) sehr klein. Bei unendlich dünnenSchalen bestehen somit die Dehnungsschwingungen nur aus .St¬und C-Schwingungen.

§ 3. Anders ist es bei den Biegungsschwingungen,denn diese haben Frequenzen, von denen für sehr dünne Schalenmindestens die tieferen in das genannte Intervall hineinfallen.Wegen (13) wird

v{v Jn(v) + [v*l(l-o)-n^Jn(v)}~(l +o)l(l-0) a2IB2 Jn(v) ^

Vergleiche ich die verschiedenen Aa miteinander, so bemerkeich, daß der wesentlichste Bestandteil von A der Term A2i ist,

— 73 —

da er von der höchsten Ordnung in u ist. A — O reduziert sich

somit auf

{T2(»2Jn(«2) + M(l-ff)-«s]JM(t;2))+(l+0)/(l^ff).J-^2).a2/i?2}-• {u>Jn(w) + [%w2-n2] Jniwfi-nHifaJäivJ-Jnivt)} {wJ„(w)~Jn(tv)} oo 0

sofern v2 > 1 ist. Weil p klein ist, ist auch w klein.

Ich erhalte daraus schließlich die Annäherungsgleichung

{2</„(«2)/^2}{-w2 • Jn(w)}<r^ 0 oder i/i(»2) ~ 0, d.h.

v2 = (I -f- \ n) n mod rt. Daraus berechnen sich die Frequenzen

mittels der Formel (62 b).

Die niedrigste Biegungsfrequenz verhält sich da¬

gegen anders. Für p = 0 werden nach (1) und (62 b;

w—

V9 = y 2' a/B. Indem ich Jn (w) und J„ (v2) nach Potenzen

des Argumentes entwickle und nach dem ersten Gliede abbreche,

bemerke ich, daß der erste Faktor von A2i für p = 0 verschwindet.

p ~ 0 ist somit eine Biegungsfrequenz der unendlich dünnen

Schale. Ist sie nicht mehr unendlich dünn, dann sind neben

A2i noch Au und Au zu berücksichtigen, solange p sehr klein

ist. Ich dividiere A durch den 2. Faktor von Au, der 4= 0 ist,

und ordne nach Potenzen von v2. Weil nach (16) u2 ungefähr

umgekehrt proportional mit h ist, folgt aus ,der Frequenzen¬

gleichung, daß vs anfänglich ungefähr proportional mit h zu¬

nimmt. Nach (15) ist also p näherungsweise proportional mit der

Schalendicke h. Diese Lösung verliert jedoch ihre Bedeutung,

wenn der Proportionalitätsfaktor negativ ist, wie dies bei n = 0

und n = 1 der Fall ist.

Allgemein kann gesagt werden : Die Biegungs¬

frequenzen sehr dünner Schalen häufen sich bei

P^iEfq -l/a-a/B, sind aber stets kleiner als dieser

Grenzwert. Sie sind von der Schalendicke sozu¬

sagen unabhängig, ausgenommen die tiefste Fre¬

quenz bei n = 2,3,..., die anfänglich proportional

mit h anwächst.

Wenn die Schale sehr dünn ist, verschwinden Bx und Bh

weil ihre Koeffizienten in allen 4 Gleichungen (86) sehr groß

— 74 —

werden. Cverschwindet im allgemeinen nicht,aber \C\-Jn(w)\<\B2\.Daher ist die Schwingung beinahe eine reine B2-Schwingung.

Ich lasse nun die Schalendicke h allmählich zunehmen. Dann

treten zur jB2-Schwingung die B±-, die B3- und die C-Schwingunghinzu. Die Frequenzen sind nicht mehr auf das Gebiet g<gobeschränkt, sondern sie können beliebig groß werden.3)

Die -B3-Schwingung ist dabei immer auf das Randgebiet be¬

schränkt, die -^-Schwingung höchstens für die tieferen Schwingun¬gen; dagegen tritt in allen Fällen die radiale Komponente der

-E>i- und der C-Schwingung gegenüber der radialen Komponenteder -BySchwingung zurück.

III. Halbkugelschale.

a) Berechnung von Pn(in) und Pn'{\n).

§ 1. Wie am Anfang dieses Abschnittes gezeigt wurde,gestattet die Funktion Pn(Q-) = Tn(a, x) mit « = cos9'die Dar¬

stellung

Tn(a,x) = (l-x2fn- F(n + a+l,n-a,n+l,i-ix) (87)

= (l-x*fin.F[t(n + a+l), £(n-«),»+l, 1-tf2)]

mit x ;> 0. Daraus folgt mit Hülfe der Formel (64) für F (a, b, c, 1)

r(n+i).r(j)P»(1tt) = T»(a,0)r[J(« + a)+l].r[è(n-a + l)]

'

Zur Berechnung von Pn' (| n) gehe ich von (87) aus. Unter

Berücksichtigung der Formel (85) für die Ableitungd/d z (F (a, b, c, zj) erhalte ich

F^'(^)= -dldxT«(a.0)= -^^^-^ F(n + a + 2,n-a+l,n + 2,i)

und daraus

K* >r[i(»+«+i)]-m(»-«)]'

3) Vergl. die Bemerkung hierüber auf S. 47.

— 75 —

Nach einigen Umformungen ergibt sich

2r(w+l)-r[i(«-w+l)]P»(i/c) = cos [(a-n)inr]

P"'(j7c) = - sin [(a-n)J 7t]

V^T-(a + n)-r[i(a + w)]

(a-n)- r(w+i)- r[H«-»)]

V^-r[J(a+ n+l)]

Pn'&c)lPn(ïn) = -£(„*-„*). tgß„(cr-»)]r[i(a-»)].rri(a+n)]

rß(a+n+l)]-r[J(a-»+l)]

Wenn a die Gestalt |-f-<7« hat, so erhalte ich

(88 a)

(88 b)

(89)

P»'(i^)/P»(J.r) = 2

ni + in+ifl*)(90)

§ 2. Wenn | a | groß ist, können diese Formeln noch ver¬

einfacht werden. Aus (89) folgt für a > n

Pn'(±7c)jPn(±7c)r^-^~a^n*-tg[±n(a-n)~] oo-atg[£rc(a-»)]. (91)

Wenn a die Form —i~\-gi hat, wird nach (90) oder (91)

Pn'(%7c)\Pn{%7l) ^^1/7. (92)

b) Frequenzengleichung.

Die Randbedingungen lauten für 9-0 = i ^ nach (61) bei Ver¬

nachlässigung von 1/d2 gegenüber 1

0 = {r1[>t1/(l-a) + w2] + (l + (T)/(l-a)}P1"-P1 + {..}P2"P3 + ..P353+MP0»'C

0 = w^P/P, +.. P,"'P2 +. P5"'P3 + (i A+ w2) P0»C

0 = [n2 + (/1 + l + ff)/(l-(j)]P1nP1 +..P./P-2 + ..P3P3 + 0

0 = {t*x [1 + */(l - a)] - n2} Pi»'^ +.. P/P2 +. . P3M'P3 - » (i H1) PonO. (93)

Daraus folgt die Frequenzengleichung 0= P"0-Pl-P"2-P%-A,

wo

^/ =

T1[x1+M2(l-(7)] + l + ff;T2[x1! + W2(l-0)] + (l + a)

nt1P1n'IP1n ; ...

w2(l-(?) + -/!+ l + ff ;...

{Aa-ff + xO-n^l-ff)}^»'/^»;...

n(l-<W/Po"

J/l+W2

0

-»(1 -ff)(*Hl)

— 76 —

Ich entwickle diese Determinante nach den Unterdeterminantender ersten und zweiten Zeile. A = 2 Alk worin AiJc das Produktaus der Unterdeterminante der i-ten und der ft-ten Kolonne mitdem zugehörigen algebraischen Komplement bedeutet.

Für q0<^q<.d sind 1 t2 |, | i3 | nach (13) kleine Größen,

während rx wesentlich 41 0 ist. Wegen rt xt + 1 4" ö ~

~ — t2 (1 — a + g2) ist Au in diesem Intervall für q der Haupt¬bestandteil von A. Die Frequenzen fallen daher näherungsweisemit den Nullstellen von Au zusammen. Weil Au aus einemProdukte von 2 Faktoren besteht, zerfallen die Frequenzen in2 Gruppen oder Spektren.

c) Dehnungsschwingungen.

Die Frequenzen der ersten Gruppe sind charakterisiert durch

(J>l+w2){r1[)(1 + (l-(7)w2] + l+ff}-(l-(j)w2ï1P1n7P1»-Pom7Ppn<^0.Auf Grund der asymptotischen Formeln (91) ergibt sich darausfür q > n

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn entweder

a1 — w = 1 mod 2 (94 a)oder

/S — » = 1 mod 2. (94 b)

Im ersten Falle sage ich, die Frequenz gehöre zur BrSerie,im zweiten, sie gehöre zur C-Serie.

Ich betrachte (93)-als ein Gleichungssystem in B, PJ1 (J n) = B*und CP0nßn) = C*. Die Koeffizienten von B2* und £3* in denersten zwei Gleichungen sind klein verglichen mit denjenigenvon Bj* und C*. In der 3. und 4. Gleichung sind die Koeffizientenvon B2*,B<? groß gegenüber denjenigen von B±* und C*. Weilihre Unterdeterminanten nicht verschwinden, folgt daraus, daßim allgemeinen \Bi\, \C*\ > \Bt*\,\B3*\ sind.

Gehört nun die Frequenz z. B. der -B^Serie an, dann istPtn (* n) sehr klein, und die Amplituden der Funktion

— 77 —

B1-P1nß) = B1*-P1n(§)/P1n(±n) sind viel größer als diejenigen

von C • P0n (&). Gehört die Frequenz dagegen der C-Serie an,

dann ist eis umgekehrt.

Weil x-i eine endliche Größe ist, sind in beiden Fällen die

Amplituden der Normalschwingung klein relativ zu denjenigen,

der Tangentialschwingung. Bei der Pi-Schwingung sind außer¬

dem die Amplituden der Funktion u# groß verglichen mit den¬

jenigen von uv. Bei der C-Schwingung trifft das Gegenteil zu.

Der Vergleich der Krümmungsänderungen mit den Dehnungen

mittels der Gl. (II) rechtfertigt den Namen Dehnungsschwingungen

sowohl für die Schwingungen der Bx- wie für die der C-Serie.

Ich berechnete die niedrigsten Frequenzen der Dehnungs-

slchwingungen. Auf Grund der exakten Gleichungen ergibt sich

bei a=\ und d2 = 3R2/h2 = 1000

für n = l:

p = 1,461 fËfc. 1/P,

«,= _i + i. 1,368

ß = 2,31

für n = 2:

p = 2,29 fEfe-llR.a1= 1,21

ß = 3,53

Bei diesen niedrigen Frequenzen lassen sich die beiden Serien

nicht mehr auseinanderhalten, da die Bt- und die C-Schwingung

stärker gekoppelt sind als es für die höhern Frequenzen der

Fall ist.

d) Biegungsschwingungen.

Die 2. Frequenzengruppe wird durch die Nullstellen des 2.

Faktors in Au geliefert.

0 = [jc, + w2 (1 - a) +1 + ff] [t,*(x, +1 - ff) - m2 (1 - ff)] P,»7P,» -

— [x, + w2 (1 - ff) +1 + ff] [r2* (x, +1 - a) -n* (1 - ff)] P,B7P,n

DaraiUS folgt nach den asymptotischen Formeln

— a2tg[%n(a2 —n)~]c^gc^as

«j — n = — \ mod 2 (95)

— 78 —

In den ersten 2 Gleichungen (93) sind wiederum die Koef¬

fizienten von B2* und Ba* klein gegenüber denjenigen von Bj* und

C*; aber jetzt verschwindet die Unterdeterminante dieser 2 Koef¬

fizienten nicht. In den 2 letzten Gleichungen treten die Koef¬

fizienten von JBi* und C* gegenüber denjenjenigen von B2* und

Bs* zurück. Die Unterdeterminante der letztern verschwindet.

Daraus folgt, daß \BS*\, \B3*\ > \Bf, \C*\. Bei diesen Schwingun¬gen überwiegt die radiale Verschiebungskomponente, denn z2, t$

sind kleine Größen von der Ordnung l/xa. Weil die Krümmungs¬änderungen groß sind gegenüber den Dehnungen, erhalten diese

Schwingungen den Namen Biegungsschwingungen.Die -B3-Schwingung ist am Rande von der gleichen Größen¬

ordnung wie die J52-Schwingung; aber sie nimmt nach innen ex-

ponentiell ab. In der Tat ist für 9 (a) = g > 1

BP»(à) = JB\P»(#)/i*(£0)~5?4re<'(*~*,,)-"

sin &

Um die tiefsten Biegungsschwingungen zu berechnen, müssendie genauen Formeln benützt werden. Bs ergibt sich für die

niedrigsten Wurzeln der Frequenzengleichung bei a = |, d2 =1000

für n = \;

p = 0,905 fËjjr.llB, p = 1,830 y^l/B;a2= 2,90 a2= 6,33

für n = 2:

p = 0,133 fEJQ-ljB, p = 1,494 fEjö'-llB, p = 2,29 ]/lE\ö- \\R.öj= 1,022 a2— 5,537 a2= 7,533

Um Einsicht in die Koppelungsverhältnisse zu erlangen, habeich bei der zu a2 = 5,537 und n = 2 gehörenden Schwingung das

Verhältnis Bf: Bf: BB*:C* = 1,000: — 21,7: — 21,3: — 0,15 be¬

rechnet. Daraus ist ersichtlich, daß auch für die niedrigenSchwingungen im Innern die .^-Schwingung überwiegt.

§ 2. Für unendlich dünne Schalen verlieren die all¬

gemeinen Betrachtungen ihre Bedeutung. Wie bei flachen Schalen

ist im Intervall g<go der Term A2i der Hauptbestandteil von A,

— 79 —

denn für q<Llo— « ist *2 < \yn\. e ist um so kleiner, je dünner

die Schale ist. Der Quotient | %x / t2 ] strebt mit abnehmender

Dicke gegen 0. Die Frequenzengleichung vereinfacht sich auf

{r,[x1 + «a(l-ff)] + l + ff}{J^+»i!}-f»!,T1(l-ff)P1»7P,»-PoB7PoB= 0,

d. h.

(iZ + w2)[-g2 + (n2-l)(l-ff)]-M2(l^ff)P2»7P2»-Po'l7Pon^O.

Hierin ist nach (1) Ä|<2 + 2(l + ff)- Nach Division durch

P0n'jP0n =)= 0 wird für die höhern Frequenzen

tg Li7* («*-«)] = °

«,— n ~ 0 mod 2

. (96)

Für n = \ erhalte ich als niedrigste', von 0 verschiedene Wurzel

bei a = \

p = 0,860 fËfe. 1/P,

«,= 3,058

für w = 2 bei ff = J

j) = 0 p = 0,925 yifc- 1/P.

«2=1 a2 = 3,86

Die Frequenzen der höhern Schwingungen berechnen sich

mittels der Formel (17) aus den a2. Die Biegungsfrequenzen sind

alle kleiner als ^EJq ' 1/-B. Dieser Punkt ist Häufungspunkt im

Spektrum der Biegungsfrequenzen. Die Schwingung ist eine reine

^-Schwingung, die zwar nicht dehnungslos ist, aber die Deh¬

nungen sind klein gegenüber den Krümmungsänderungen, beson¬

ders für die Frequenzen höherer Ordnung. Bei diesen sind die

Tangentialkomponenten der Verschiebung klein relativ zu den

Eadialkomponenten.

Mit zunehmender Schalendicke wachsen die Frequenzen auf

analoge Weise wie bei den flachen Schalen: Während die

FrequenzenhöhererOrdnungimBiegungsfrequen-

zenspektrum mit wachsendem h stark zunehmen,

ist der Einfluß der Schalendicke auf die Frequen-

— 80 —

zen niedriger Ordnung anfänglich sehr gering,

ausgenommen auf die tiefste Frequenz bei wis2,die am Anfang ungefähr proportional mit h ist.

Die Koppelung der -Bx-, _B3- und C-Schwingung mit dem

Hauptbestandteil, der -B2-Schwingung, ist ganz ähnlich wie bei

den flachen Schalen.

e) Knotenkreise und-meridiane.

Bei den tiefern Dehnungsschwingungen treten

weder Knotenkreise noch Knotenmeridiane auf, da

% und uv nicht gleichzeitig verschwinden können. Bei den

höhern Frequenzen der -Bj-Serien, die zu einem bestimmten n

gehören, können Quasiknotenmeridiane festgestellt werden bei

tc 3 7t (2 w — X)n<5P = ~2¥' Yn1 '"' ¥n '

weil dort u0 verschwindet. Ihre Lage ist somit nur von n und

nicht von der Ordnung der zu n gehörenden Frequenz abhängig.Die Quasiparallelkreise sind durch die Nullstellen von Pn' (9")

charakterisiert. Schwingt die Schale mit der Frequenza1r^l-\-2Jc-\-n (k > 1), dann ist deren Lage nach (83) und (94 a)

bestimmt durch

* ~ T^+T+W (h ganzzahllg)-

Die Knotenmeridiane der C-Schwingungen sind bestimmt durch

<p = 0, njn, 2 7ijn, (n — 1) 7tjn,

die Quasiknotenparallelkreise durch

(i + in + ä)^»

J + W + 1 + 2Ä

Bei den Biegungsschwingungen befinden sich die

Quasiknotenmeridiane bei den Nullstellen von ur, d. h. bei

n 3 TT (2n — 1)jtf ~ ~2n' ~2n'

' ' '

2n

— 81 —

und , die Quasiknotenparallelkreise bei

aS T 2

wo «j angenähert durch (95) oder (96) bestimmt ist.

jy. Schalen von beliebigem Öffnungswinkel (#0 4= 0, «).

a) Prequenzengleichung.

Die Determinante des Gleichungssystems (61) sei nach dea

Unterdeterminanten Al2 A3i der ersten 2 Zeilen entwickelt.

Für q0 < 2 <d zeigt sich auch hier, daß der Term Au der

Hauptbestandteil von A ist. Auf dieses Intervall für q beschränkeich mich zunächst. Wenn ich P,n(&o) einfach durch P, be¬

zeichne, lautet die Frequenzengleichung näherungsweise

0 = ^4 = {{r1[cotg^0P1'-(x1/(l-a)+«2.cosec2*o)Pi]-(l+ff)/(l-ff)-Pi}{cotg^oPo-

-(yA+n^cosec2d-6)P0}+n2-T1-cosec2»0(P'i-cotg^0P1)(P^-cotg»0P0)}.{{cotg*0Pi;-[(xI+l+ff)/(l-ff)+ns-co8ecî^o]-P»}{*.*[l+*»/(l-<')]^-

-w3-cosec2^0(P3-cotg^oP3)}-{cotg^0P3-[(x3+l+a)/(l-ff)+w2-cosec2^o]i,s}-• K[l+x2/(l-ff)]P^M2.cosec2^0(P2-cotg^0P8)}}-

Da Au in ein Produkt von 2 Faktoren zerfällt, von denen

jeder reelle Nullstellen besitzt, zerfalllen die Frequenzen wiederum

in 2 Gruppen.Für den Quotienten Pn'/Pn erhalte ich nach (80) den Nähe-

rungsausdruck

Pn'{d)lPn{») oo — atg [(« + J) » — %n + Jra/r] . (97)

b) Dehnungsschwingungen.

Ich betrachte zunächst die Nullstellen des ersten Faktors von

Au. Die Frequenzengleichung nimmt dann die Gestalt an

P0ft-PiM = Oi (I/o,)+ 0,(1//?).

Nach der asymptotischen Formel (83) erhalte ich daraus:

Entweder

(ai + i) &o — i n + i Wir = \ it mod n,

— 82 —

d. h. die P^-Serie

«, = (! +in+ *).*/#„-J, (98a>

oder die C'-Serie

/i = (| + in + fc)-^0-i. (98 b)

Mit denselben Hülfsmitteln wie bei den Halbkugelschalen

kann eingesehen werden, daß bei diesen beiden Schwingungen

|P2*|, \B3*\ < \Bt*\, \CT\, wenn B? = Bi-Pln(#0), C* = C-P0»(*0).

Weil aber bei der Pj-Serie Pi"(9'o) sehr klein ist, ist

Bx PS{&) = BS • PS (9-)/P/(9-0) > C Po(9-). Die Schwingungen

der By- und der O-Serie sind also Dehnungsschwingungen, bei

denen die Radialverschiebung klein ist gegenüber den Tangential-

verschiebungen. Bei den Schwingungen der Pt-Serie sind außer¬

dem die Amplituden von uv klein relativ zu denjenigen von ufh

Bei den Schwingungen der C-Serie ist es umgekehrt.

Die Knotenmeridiane und -parallelkreise werden auf die

gleiche Weise gefunden wie bei den Halbkugelschalen.

c) Biegungsschwingungen.

Für die Nullstellen des 2. Faktors von Axk erhalte ich

0 = — P3'jP3 + Ps'/P2 +0(1/«,).

Nach (98) wird für a3 = — J -\- i g PÎ\P3 ^ g <^ «2, da tg {s) 00 i,

sobald $(s) > 1. Daraus folgt als Frequenzengleichung

a2 c^j _«stg[(a2-|-i)^0 — |a-fi»?t] ,

d. h.

(«2 — J) #0 — i >x + h n 7l = — k m°d n

a, = ün + k)-7tl&0-b. (99)

Dies gilt alles nur unter der Voraussetzung g>g0. Da in

diesem Gebiete — x2^qd ist, sind die Frequenzen annähernd

proportional mit der Schalendicke. Wie früher zeigt sich, daß

diese Schwingung hauptsächlich eine Radialschwingung ist, bei

der die Krümmungsänderungen groß sind gegenüber den Deh¬

nungen. Die P3-Schwingung ist wiederum auf das Randgebiet

beschränkt.

83 —

Ich nehme nun an, q - q0 und die Schale sei sehr dünn, im

Grenzfalle unendlich dünn. Dann ist nicht mehr Au sondern

A2i der Hauptbestandteil von A, und die Frequenzengleichung

reduziert sich schließlich auf

- «itg[(«, + h)\ -\n + \nn~\ Ox(1) = 0,(1)

und somit

«»~ (* + *» +*)•*/#<>-*. (i°o)

Über die Abhängigkeit der Frequenzen von der Schalendicke

ist dasselbe zu sagen wie bei den Halbkugelschalen, ebenso über

die KoppelungsVerhältnisse und die Knotenlinien.

Zusammenfassung.

In Übereinstimmung mit den. Beobachtungen1 bei Gtoeken-

sichwingungen von Blessing, Biehle, Jones1) ergibt sich

aus meinen Berechnungen, daß bei der niedrigsten Frequenz,die zur Serie der Biegungsfrequenzen für n = 2-gehört, kein Quasi-knotenkreis auftritt. In dieser Beziehung verhalten sich die

Kugelschalenschwingungen gleich wie die Schwingungen ebener,kreisrunder Platten.

Bei einer Halbkugelschale ist für a = \ und h = 0,0548 R

p = 0,133yJE/q ' 1/-B. Nach der Rayleigh'schen Annähe¬

rungstheorie ergäbe sich in ordentlicher Übereinstimmung hiemit

für diese Schwingung p = 0,142 y'E/q ' 1/R. Aber wie ich schon

in der Einleitung bemerkt habe, ist die zu dieser Frequenz ge¬

hörige Schwingung nicht streng dehnungslos, noch ist es die

einzige zu n = 2 gehörige Schwingung, bei der die Dehnungenklein sind gegenüber den Krümmungsänderungen.

Die in der Einleitung erwähnten Vermutungen von Lamb

und B a s s e t über die Besonderheiten der Schwingungen des

Randgebietes bewahrheiten sich insofern, als zur Erfüllung der

Randbedingungen noch Schwingungen hinzutreten, die nur in

unmittelbarer Umgebung des Randes merklich groß werden.

Über die Veränderungen, die die niedrigsten Frequenzender verschiedenen Serien erleiden, wenn sich der Öffnungswinkel2 9

o und der Radius R so verändern, daß stets R tfo = « = 1

ist, geben die beigegebenen Skizzen Aufschluß, in denen als Ab¬

szisse 9"o, als Ordinate p y E\q aufgetragen sind. Die ausgezogenen

Kurven beziehen sich auf eine Schale von der halben Dicke

h = 0,0349, die gestrichelten, mit Akzent bezeichneten,., auf eine

unendlich dünne.

J) Siehe Einleitung, Anmerkungen 9) 10) 11).

— 85 —

Die Dehnungsschwingungen sind von der Schalendicke sozu¬

sagen unabhängig, während bei den Biegungsschwingungen die

Frequenz im allgemeinen ungefähr proportional mit h anwächst.

Das letztere trifft zu, wenn pB> y'Ejç, und für die tiefsten

zu n = 2, 3, • • • gehörenden Biegungsschwingungen, also für die

Fig. 5. n = 0 Fig. 6. n = 1 Fig. 7. n — 2

I = Tangentialschwingung. I = Dehnungsschw. Biegungsschwingung.

II = Dehnungsschw. in der II = Biegungsschw.Meridianebene.

III = Biegungsschw.

akustisch wichtigen Schwingungen. Ist dagegen Bp<.^ EIq ,

dann hat bei dünnen Schalen die Dicke h keinen merklichen Einfluß

auf die Tonhöhe, sofern es sich nicht um die mit abnehmender

Schalendicke gegen null strebende, niedrigste Biegungsfrequenz

handelt. Damit steht das Resultat Love's im Einklang, daß bei

einer unendlich dünnen Schale alle (von null verschiedenen!)

Frequenzen von der Schalendicke unabhängig seien.

Lebensabriß.

Ich wurde im Jahre 1905 in Borgen (Kt. Zürich) geboren.

Dort besuchte ich von 1912 bis 1920 die Primär- und die

Sekundärschule. Im Frühjahr 1920 trat ich in die Industrie¬

schule (Oberrealschule) Zürich ein und legte dort im Herbst

1924 die Maturitätsprüfung ab. Darnach studierte ich an der

Abteilung für -Fachlehrer in Mathematik und Physik an der

Eidgenössischen Technischen Hochschule. Nach vierjähriger

Studienzeit bestand ich im Juli 1928 die Diplomprüfung.Im darauffolgenden Herbst trat ich eine Stelle als Assistent

für Mechanik an der Eidgenössischen Technischen Hochschule

bei Herrn Professor Meißner an, und ich hatte sie während

eines Jahres inne. Anfangs März 1929 schlug mir Herr

Professor Meißner die Berechnung von Kugelschalenschwingun¬

gen als Promotionsarbeit vor. Als ich meine Untersuchungen

zur Hauptsache vollendet hatte, trat ich anfangs Dezember letzten

Jahres eine Stelle auf dem mathematischen Büro der Schweize¬

rischen Rückversicherungsgesellschaft in Zürich an.

Hör gen, im Januar 1930.

HANS ZWINGLI.